001 konsep hitung kuadrat terkecil

7/21/2019 001 Konsep Hitung Kuadrat Terkecil

http://slidepdf.com/reader/full/001-konsep-hitung-kuadrat-terkecil 1/25

Set -1 - Survei Deformasi Struktur

KONSEP HITUNG KUADRAT TERKECIL

1 MENGAPA SUATU PENGAMATAN HARUS DIRATAKAN DAN

DIANALISA?

1.1 PENDAHULUAN

Tahapan yang terpenting didalam Geomatika adalah yang berkenaan dengan

pengukuran, suatu proses yang secara alamiah yang tidak pernah bebas dari

suatu kesalahan.

Kesalahan-kesalahan dalam pengukuran merambat secara kuantitas, jadi

proses untuk mengestimasi nilai pengukuran yang paling benar, yaitu teknik

perataan, mutlak diperlukan.

Proses:

Patut dicatat bahwa “measurement” berarti adalah keseluruhan proses untuk

menentukan semua elemen yang diukur.

Suatu keuntungan yang sangat signifikan dari perataan adalah didapatnya suatu

model yang konsisten secara geometris atau matematis. Hal ini berarti apapun

kombinasi pengamatan (adjusted observation), solusi yang unik dan konsisten akan

didapat.

1.2 CONTOH-CONTOH K ASUS

a). Suatu jarak diukur n kali. Nilai berapa yang akan muncul? Model komputasi

yang digunakan untuk menghitung nilai rata-ratanya adalah dm = d/n. didalam

kasus dimana parameter yang dicari, dm, adalah juga nilai pengamatan yang

teratakan (adjusted observation value). Nilai residu dari rata-rata tersebut

memberikan informasi kualitas statistik pada dual hal, pengamatan masing-

masing jarak dan jarak yang teratakan. Perhatikan disini bahwa hanya ada satu jarak teratakan.

b). Sebuah segitiga abc berkoordinat a(x1,y1), b(x2,y2), dan c(x3,y3). Koordinat a dan

b diketahui nilainya. Untuk menentukan koordinat titik c maka dilakukan

pengukuran ketiga sudut segita tersebut.

Measurement/

observation

+

errors

Computational

model

Derived quantities

+

observational

residuals



Diukur: sudut a, b, dan c. Hanya dibutuhkan dua pengukuran untuk

menyelesaikan masalah. Model matematikanya: a + b + c – 1800 = 0. Jika

pengukuran yang dilakukan tidak cocok dengan model, maka

cbyxyxf bayxyxf yx ,,,,,,,,,,, 2211221133

a, b, dan c masing-masing harus diratakan untuk memperoleh model yang

konsisten, misalnya mungkin dengan mengurangi (a + b + c – 1800)/3 untuk

masing-masing sudut.

Perhatikan disini bahwa produk akhir dari parameter yang dicari, x3 dan y3, tidak

diamati secara langsung, tetapi mereka juga memiliki ketidakpastian, dankualitas statisktik pengukuran disini tetap berlaku untuk parameter ini.

c). Perhatikan segitiga itu lagi. Kali ini dilibatkan luasan segitiga dan seluruh sudut

dan sisi segitiga diukur.

Diukur: d1, d2, d3, a, b, c.

Model matematika yang dapat disusun untuk kasus ini menjadi bermacam-macam:

a + b + c – 1800 = 0

d3/sin a = d2/sin b = d1/sin c

d12 = d2

2 + d32 – 2 d2 d3 cos c

A = (s(s-d1) (s-d2) (s-d3))1/2 dimana s = (d1 + d2 + d3)/2

A = 0.5 d2 d3 sin c

Berapa banyak model yang diperlukan?

Berapa banyak pengamatan yang diperlukan?

Sekumpulan pengamatan yang teratakan secara konsisten akan menghasilkan

nilai parameter yang sama ( misalnya A) tanpa memandang kombinasi

pengukuran yang dipakai.

Tetapi, bagaimana agar pengamatan tersebut konsisten dengan model

matematika?

a

b

c

a

b

cd2

d3 d1

A



d). Untuk lebih jelasnya, perhatikan tiga buah traverse beda tinggi berikut. Beda

tinggi terukur diindikasikan seperti berikut:

Tinggi untuk A, B, C adalah:

A B C

- 11,4 14,1

12,0 11,8 14,3

12,2 11,6 14,5

Salah satu solusi: (12,1) (11,6) (14,3)

Tinggi mana yang paling mungkin untuk A, B, dan C?

Pengamatan mana yang paling akurat?

Bagaimana kita mengatasi perbedaan nilai akurasi?

Ingat bahwa levelling adalah kasus linier yang sederhana, misalnya: HB – HA =

beda tinggi antar dua titik; semua loop harus bernilai nol.

Nilai didalam tanda kurung konsisten untuk semua loop, tetapi perataan disini

menjadikurang bernilai dan tidak mengacu pada teori statisyik untuk estimasi.

Misalnya nilai akhir yang teratakan adalah bukan nilai yang paling mungkin.

1.3 K ONSISTENSI MODEL DAN DESAIN MODEL

Jika kita menginginkan model yang konsisten dan merupakan nilai estimasi

parameter dan nilai pengamatan yang paling mungkin, maka:

Secara garis besar, pengukuran tidak hanya berkenaan dengan pengamatan fisik

dari nilai data, tetapi juga melibatkan proses penentuan semua elemen yang

terlibat yang akan ditentukan.

A B C

(2,3)

2,2

(-0,7)

-0,82,1 0,6

(2,7)

2,5

1,5

(1,4)

1,4

(1,3)

-01,2

(-0,5)

-0,6-0,12,3

(2,2)

H=10m



1.4 ILUSTRASI TENTANG KEBUTUHAN AKAN ESTIMASI KUADRAT TERKECIL

Masalah: kita akan menentukan parameter persamaan garis lurus m dan b

antara dua variabel x dan y dimana y = mx + b

Atau jika l = Ax, dimana Ii = yi, A i = (xi 1) & x = (m b)T

Proses (hipotesa):

1. Ukur nilai yi pada dua even xi dan secara langsung tentukan m dan b

dengan x = A -1 l

Apa yang didapat? (solusi unik untuk nilai m dan b)

Apa yang tidak didapat? (nilai akurasi parameter dan pengukuran)

2. Saat kita lebih mengetahui bahwa nilai m dan b yang terhitung berelasi dengan

ekspektasi, kita akan menambah pengukuran (redundant observations). Model

matematikanya menjadi l + v = Ax

3. Kita lakukan perataan kuadrat terkecil linier:

x = (A T A)-1 A Tl

v = Ax - l

x1x2

y

hubungan yg. diasumsikan

yg. terhitung

x1x2

y

vi

dihitung dgn. kuadrat

terkecil



Hal ini akan menghasilkan vTv = minimum (jumlah kuadrat residualnya minimum).

Apa yang didapat?

Nilai parameter m & b yang paling mungkin, yang tidak dapat diukur secara

langsung

Evaluasi akurasi pengukuran (besar nilai residual v)

Akurasi/ketelitian parameter m & b (Cx = (ATA)

-1)

Tes ketepatan model matematika (melalui v)

Pengukuran yang terkoreksi (yi + vi) yang konsisten dengan model

Estimasi parameter dilakukan dengan perhitungan yang tidak bertele-tele

2 TEKNIK PENGUKURAN DIDALAM GEOMATIKA

2.1

TAHAPAN-TAHAPAN PROSES PENGUKURAN 2.1.1 Identifikasi Parameter yang akan Dicari

Misalkan: volume, V , dari suatu prisma (lihat gambar) dengan akurasi sekitar

50m3.

Parameter yang akan dicari disini adalah Volume.

Tetapi , karena bentuknya tidak teratur, kita membutuhkan koordinat titik-

titik (x,y,z) pada permukaannya, dari sini volume dapat ditentukan, misalnya

dengan V = f((x,y,z)i, i = 1….n) = F(l) dimana l adalah vektor pengukuran.

Jika bentuk prisma itu teratur, maka: V = F(l) = f(a,b,c,d).

Contoh-contoh kasus lain yang membutuhkan parameter misalnya luas area,bentuk, jarak dan sudut (parameter-parameter ini tidak dapat langsung

diukur).

Kita juga harus menentukan akurasi dari parameter yang akan ditentukann.

Hal ini biasanya diekspresikan dengan suatu probability yang biasanya

menyatakan probabilitas dalam suatu selang kepercayaan tertentu.

Sebagai contoh:

ab

c

d



Suatu jarak diukur 20 kali, dan nilai reratanya x dan standar deviasi x

dihitung. Kita dapat mengatakan bahwa probabiliti 0.95 (95%) yang

benar untuk nilai x terletak pada wilayah x – 2 x hingga x + 2 x.

Pengoptimalan nilai x merupakan bagian yang penting dalam proses

pengukuran.

Suatu titik didalam suatu jaringan geodesi ditentukan untuk memilikikoordinat (x,y). Tingkat kepercayaan titik itu sering digambarkan

sebagai elips, sering disebut dengan elips kepercayaan. Bentuk elips ini

tidak akan berubah untuk berbagai tingkat probabiliti, hanya

membesar atau mengecil oleh faktor skala.

2.1.2 Memformulasikan Model Matematika

Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika

tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran)

dengan parameter yang akan dicari.Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara

langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan

matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.

Contoh:

1. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:

T

e

T

PNNrefraksi GL 25.112696.0

dimana NL = f(P,T,e) parameter: NL

pengamatan/pengukuran: P, T, dan e

konstanta: NG

2. Tekanan uap jenuh, es

3.237

27.17

1078.6 tt

se

parameter: es pengukuran: t (wet-bulb temperature)

3. Persoalan dalam ukur tanah, jarak AB akan dicari, tetapi tidak dapat

secara langsung diukur.



Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.

Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga

bidang datar. Dalam model ini, semua pengukuran harus dilibatkan. Untuk

kasus ini model dapat berupa:

d3 = d1 sin c / sin a

d3 = d2 sin c / sin b atau

d32 = d1

2 + d22 - 2 d1 d2 cos c

0 = a + b + c - 1800

atau model lain dapat digunakan asalkan keduanya linier independen dan

melibatkan semua pengukuran.

Catatan tentang Linier independen dapat dilihat pada bagian akhir bahasan

ini.

4. Penentuan beda tinggi

h2 = h1 + h12

h3 = h2 + h23

= h1 + h12 + h23

seperti yang akan kita lihat nanti bahwa model matematika dapat terdiri

pengamatan/pengukuran, parameter, dan konstanta, atau kombinasi dari

semuanya.

2.1.3 Desain atau Pra-Analisa

Sebelum melakukan pengukuran didalam pengamatan, sangat penting

ditentukan/diketahui sampai tingkat akurasi berapakah pengamatan itu

harus diukur. Hal ini berhubungan dengan tingkat akurasi parameter yang

akan dicari.

h1

h2

h3

h23

h12

danau

c b

a

CB

A

d3

d1

d2



Misalnya: (perhatikan contoh 4)

Jika client menginginkan tinggi h2 dan h3 memiliki kesalahan standar

(standar deviasi) h2 dan h3 < 3mm,

Karena titik h1 adalah titik referensi (fix), maka agar h2 < 3mm maka

diharuskan h12 < 3mm.

Seperti pada dalil perambatan kesalahan (perambatan varian): h3 = ( 2h12 +

2h23)1/2 < 3mm mengindikasikan bahwa h12 dan h23 masing-masing kurang

dari 2,1mm.

Tahapan desain atau pra-analisa ini sering disebut juga sebagai analisa

kovarian. Dimana melalui model matematika dapat ditentukan ketelitian

(akurasi) pengukuran yang berpengaruh nantinya pada ketelitian parameter.

Contoh lain:

T

e

T

P

NN GL 25.112696.0

dari rumus diatas asumsikan bahwa ketilitian NL adalah 1 unit. Kita harus

dapat menentukan sampai ketelitian berapa kita harus mengamati P, T dan e.

jawabannya adalah tidak jelas, namun demikian hal tersebut dapat

ditentukan melalui cara linierisasi dan perambatan kovarian.

Contoh lain, pada penentuan posisi titik I secara spasial triangulasi, sampai

ketelitian berapa sudut (asimuth) harus diukur agar ketelitian koordinat I

terpenuhi? Katakanlah standar deviasi yang harus dicapai adalam dalam mm,

tetapi standar deviasi pengukuran asimuth adalah dalam detik.

2.1.4 Akusisi Data

Pengamatan atau pengukuran dilaksanakan berdasarkan pada desain/kriteria

yang telah ditentukan dalam tahapan desain dan pra analisa. Pengukuran-

1

2

3

I (xi, y

i)

A

B

C



ˆ

ˆ

pengukuran disini adalah obyek dari „variasi‟ atau pengukuran kesalahan

(error).

Error e didefinisikan sebagai nilai hasil pengamatan dikurangi dengan nilai

sebenarnya t: e = - t.

Tetapi, sangatlah sulit untuk menentukan berapa besarnya nilai e yangsebenarnya karena kita tidak pernah mengetahui berapa nilai t itu. Sebagai

alternatif, kita mengamati nilai residu pengamatan v sebagai perbedaan

antara probabilitas yang tertinggi untuk nilai t ,

disebut dengan , dengan nilai hasil pengamatan .

ˆv

tujuan dari hal ini adalah untuk menjaga agar v tetap minimum, atau

diekspresikan dengan cara lain, untuk memastikan bahwa selisih dan

selalu seminimal mungkin.

Ada tiga macam kesalahan:

Gross error: (large blunders) kesalahan yang kuantitasnya angat signifikan, yang

mungkin disebabkan oleh salah catat, salah baca, dll.

Systemetic error: kesalahan yang disebabkan/dipengaruhi oleh instrument, dan

karena itu kesalahan ini menumpuk secara sistematis didalam pengukuran.

Kesalahan ini dapat terjadi baik pada saat pengukuran maupun didalam model

matematika.

Random error: kesalahan yang tersebar/teracak pada nilai pengamatan; biasanya

kesalahan ini selalu diasumsikan terdistribusi normal, dengan ekspektasi (mean

value) adalah nol.

Contoh: pembacaan beda tinggi pada rambu ukur

Pengukuran : 3.210, 3.212, 3.208, 3.211, 3.311, 3.216, 3.209, 3.210

Gross error: 3.311 (kemungkinan karena salah baca)

Systematic error: tidak terlihat secara nyata, tidak dapat diperiksa kecuali

kalau modelnya memenuhi syarat.

Random error: terdeteksi dengan varian atau standar deviasi,. Setelah gross

error ini dibuang (reject) apakah ketelitiannya sudah memenuhi syarat? Tes

statistik untuk mendeteksi outlier harus dilakukan. Tetapi untuk saat ini( - ) > 3

.anggaplah kriteria penolakan tersebut sebesar:

2.1.5 Pra-pemrosesan Data

Pada dasarnya, ada dua tahapan dalam pra-pemrosesan data yaitu

pengkoreksian blunder (gross error) dan mengarahkan pengamatan agar

sesuai dengan model matematikanya.



Tujuan dari tahapan ini adalah menghilangkan seluruh “systematic error”

sebelum hasil pengukuran dimasukkan kedalam model matematika. Aturan

mainnya, model harus dibuat sesederhana mungkin dengan melibatkan

sebanyak mungkin pra-pemrosesan data.

2.1.6 Pemrosesan Data (Perataan)

Pada saat memasukan hasil pengukuran/pengamatan kedalam model

matematika yang berpengamatan lebih (“redundant”) (dalam hal ini kita

harus selalu mengasumsikan adanya pengamatan lebih), variasi-variasi nilai

selalu terjadi didalam proses pengestimasian nilai parameter.

Ada dua kategori variasi:

Variasi – variasi yang berupa fungsi yang dapat dideskripsikan

Variasi-variasi yang bukan merupakan fungsi dan tidak dapat dideskripsikan.

Pada kasus yang pertama, biasanya dapat dihilangkan pada pra-pemrosesan data.

Sedangkan variasi yang masih terdapat didalam proses pengestimasian nilai parameter yang memiliki pengamatan lebih (kasus kedua) sering disebut dengan

istilah stochastic.

Catatan:

Tanpa adanya pengamatan lebih tidak akan ada proses pemeriksaan lebih lanjut.

Dalam mendesain suatu pengamatan didalam geomatika harus selalu memiliki

pengamatan lebih. Berapa banyak pengamatan lebih yang harus diambil, ditentukan

dalam proses desain atau pra-analisa.

Tujuan dalam tahapan pemrosesan data adalah untuk menghasilkan parameter yang

sesuai dengan kriteria tertentu.dari beberapa solusi yang mungkin, hanya ada solusiyaitu hasil dari hitung kuadrat terkecil (least square solution) dimana jumlah kuadrat

dari residu adalah minimum.

Parameter-parameter didalam model matematika juga berhubungan dengan estimasi

ketelitiannya (akurasi). Varian atau standar deviasi dari parameter adalah fungsi dari

dua faktor:

Ketelitian dari pengamatan(pengukuran)

Model matematikanya itu sendiri (misalnya merubah bentuk geometriknya akan

merubah ketelitiannya).

Ketelitian pada kasus pertama dapat ditingkatkan dengan menambah pengamatan

lebih. Pada kasus kedua, ketelitian model sangat tergantung dari systematic error

yang tidak dapat dihilangkan.

2.1.7 Pengkajian Hasil

Karena itu pada tahap ini dilakukan tes statistik untk mengevaluasi ketelitian

parameter beserta dengan kualitas pengamatan/pengukuran dan



kebenaran/ketepatan/keabsahan model matematika yang dipakai. Tes statistik ini

disebut juga dengan post analysis.

Post analysis menggunakan informasi dari:

Model stochastic

Operasi perataan

Pada dasarnya post analysis sangat tergantung dari variasi-variasi didalam

pengamatan. Dari sini kita dapat:

Mengujui asumsi model stochastic (apakah varians dari pengamatan lebih baik atau

lebih buruk?)

Menguji kebenaran/keabsahan model matematika

Menetapkan “confidence interval” dan “confidence regions” berkenaan dengan

parameter.

Contoh:

Suatu jarak diukur dengan macam alat survei yang berbeda, EDM dan GPS.

Hasilnya adalah dEDM = 1062.31, dEDM = 0.05, dan dGPS = 1062.45 + 0.02. apakah

kedua cara ini kompatible? Jika tidak, apakah perbedaan hasil ini mencerminkan

adanya kesalahan pengukuran?

2.1.8 Penyajian Hasil

Penyajian hasil akan melengkapi proses pengukuran. Ada perbedaan-

perbedaan dalam cara penyajian (dengan grafik, angka, dsb), tetapi yang

penting ditekankan disini adalah menyajikan hasil dari ketujuh tahapan

sebelumnya:

Sepesifikasi harus selalu disebutkan, bersamaan dengan penyajian parameter dan

ketelitiannya. Apakah spesifikasi yang ditetapkan sudah terpenuhi?

Hasil dari pre-analysis dan post analysis harus selalu ditunjukkan, misalnya

dengan histogram, ellips kesalahan, dsb.

Nyatakan bahwa ketelitian awal dari pengamatan konsisten perkiraan ketelitian

awal.

Harus diberitahukan pula bila ada data pengamatan yang dibuang. Alasannya

juga harus dijelaskan.

Hasil tes statistik juga harus disajikan bersamaan dengan detail dari confidence

level, dsb.

3 FORMULASI MODEL MATEMATIKA

Menyatakan/menjelaskan hubungan geometrik atau matematik antara

parameter yang akan dicari dengan pengamatan/pengukurannya secara fisik



(real world). Atau abstraksi matematis dari kondisi/situasi yang sebenarnya

dilapangan (permukaan bumi).

Definisi:

A theoretical system or an abstract concept by which one describes a physical

situation or a set of events.

Definisi ini menghubungkan properti yang ditentukan dari situasi atau

kejadian dalam keadaan tertentu, misalnya definisi ini menjembatani antara

pengukuran lapangan dengan unkown parameter.

Didalam geomatika secara umum model fungsi itu memeiliki hubungan

geometris, model yang tergantung pada waktu, dan berdasarkan pada dalil-

dalil fisika.

Walaupun model itu dapat diinterpretasikan sebagai bentuk geometrik

(misalnya jaringan trilaterasi), bentuk fungsinya adalah sekumpulan dari

persamaan matematika yang menjelaskan hubungan antara unknownparameter dengan pengamatan.

Sebagai contoh didalam disiplin ilmu berikut:

Surveying – hubungan trigonometri bidang datar, geometri 3-D ruang

Euclidean, dalil-dalil fisika tentang perambatan cahaya.

Photogrammetry – dalil tentang proyeksi pada pusat perspektif yang

menghubungkan antara titik-titik di citra dengan lokasinya pada ruang Euclidean

3D.

Geodesy – segitiga bola untuk astronomi, hukum gaya berat untuk penentuan

gravitasi bumi, penentuan model orbit satelit – solid mechanics

Model harus mewakili kondisi sebenarnya di lapangan. Tiga buah segitiga

yang diamati sudutnya di permukaan bumi. Jika cakupan areanya kecil (tidak

luas), kita dapat memberlakukan rumusan a + b + c – 1800 = 0. Tetapi jika

cakupan areanya sangat luas maka kita harus menggunakan ellipsoid, dan

modelnya harus diubah menjadi a + b + c – (1800 + e) = 0. Dimana e spherical

excess.

Mungkin akan terdapat beberapa model untuk menyelesaikan masalah dalam

suatu pengukuran tertentu. Tetapi secara umum, model final harus memiliki

jumlah minimum ekspresi linier independen yang menyertakan semua

pengamatan.

Secara simbolik, model fungsi atau matematika dapat ditulis sebagai:

0),,()( xcf qf

dimana:



c – merupakan konstanta, misalnya satuan detik dalam radian ( =

206264.8062), kecepatan cahaya atau koefisien. Konstanta ini diasumsikan

memiliki varian nol ( c2 = 0). Biasanya konstanta diperlakukan sebagai

bagian dari model. Ambil contoh dalam pengukuran segitiga abc:

0180)( menjadiakan0),(0

cbaf Acbacf

x – vektor parameter unknown xi. Parameter-parameter ini harus linier

independen, dan tidak dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari xj,

xk, dst. Misalnya

– vektor pengamatan i, yang secara langsung diamati nilainya berdasarkan

suatu kriteria ketelitian tertentu. Kualitasnya diekspresikan dalam varian

atau standar deviasi dan merupakan bagian penting dalam tahap perataan

pengamatan (adjusdment of observation), residual vi akan berbanding terbalik

dengan besarnya varian apriori si2.

Didalam geomatika pengamatan dapat terdiri dari pseudo-range GPS, sudut,

koordinat citra/foto, beda tinggi, dll.

Suatu model matematika mungkin saja dapat tidak memiliki konstanta dan

parameter, tetapi harus selalu memiliki pengamatan. Karena itu model sering

diistilahkan sebagai persamaan pengamatan.

Berbagai aplikasi didalam Geomatika umunya selalu mencari solusi untuk

parameter unknown x, dan solusi untuk pengamatan hasil perataan. Kualitas

pengukuran (standar deviasi/varian) juga dicari solusinya dari model linier

yang berpengamatan lebih didalam hitung kuadrat terkecil.

4 LINIERISASI

Dalam mata kuliah ini hanya model matematika yang linierlah (dilinierkan)

yang akan dipakai. Sehingga jika dijumpai suatu model matematika yang

tidak linier biasanya harus dibuat linier terlebih dahulu (diekspresikan

kedalam bentuk linier).

0

00),,(

wBvA

wBAxxcf

dimana A dan B merupakan matrik desain (matrik koefisien), w merupakan

perbedaan (selisih) antara pengamatan dengan model pendekatan,

merupakan koreksi dari nilai pendekatan (perkiraan) untuk parameter, dan v

merupakan vektor residu dari pengamatan. Misalnya:

2122113 adananilaisemuauntukxaxax



perkiraan nilaisikanmengindika'^'dimana

dan^

0^

vxx

Ingatlah bahwa suatu persamaan yang linier hanya mengandung variabel-

variabel berorde satu. Contoh, perhatikan konstanta dan variabel x,y,z untukpersamaan berikut:

ax + by – c2 = 0 adalah persamaan linier

cx + y2 = 0 bukan persamaan linier (non-linier)

xy + bz – c = 0 bukan persamaan linier (non-linier)

4.1 TEKNIK LINIERISASI

Untuk merubah bentuk non-linier menjadi bentuk linier sering disebut dengan

liniersiasi.

Suatu deret fungsi trigonometri, misalnya sin x = x – x3/3! + x5/5! - …. (xdalam radian); jika x mendekati nol maka x sin x.

2!

a)n(xanx1 anx1 e ax:Logaritma

2anx

4.1.1 Ekspansi deret Taylor

Didalam Geomatika deret Taylor sering digunakan untuk melinierkan bentuk-

bentuk persamaan yang non-linier, baik dalam bentuk skalar (univariate)maupun dalam bentuk vektor.

Untuk bentuk skalar, diberikan suatu fungsi y = f(x) dengan nilai yang

diketahui adalah y0 = f(x) pada x = x0, nilai-nilai lainnya adalah:

Jika (x – x0) sangat kecil maka (x – x0)2 0, seperti yang terjadi untuk orde-

orde yang lebih tinggi lagi. Hal ini akan menyebabkan:

.)()()( 000

0 jxf xx

dx

df xf xf y

x

Sebagai contoh:

Jika y = f(x) = x2 + x3, evaluasilah fungsi tersebut untuk x=1.1

Dalam hal ini ambilah nilai pendekatan x0 = 1 dan perbedaan = 0.1, maka:

Linier= 0 jika x sangat

kecil

......!2

2x-xdx

f dx-x

dx

df )f(xf(x)y 0

2

200

00

xx



2.541) f(1.1)untuksebenarnya(nilai 5.2.52

532 ,211)(20

000

0

y

xxdx

df jxf y

x

interpretasi grafis/geometris untuk kasus ini adalah sbb.:

kelengkungan kurva tergantung dari fungsi y = f(x)

ketika d mendekati/menuju 0, y0 + j f(x), maka akan tetap kecil

pengaruh orde-orde yang lebih tinggi ditunjukkan oleh perbedaan antara

kurva pada x0 + 1, dan x0 + 2.

4.1.2 Iterasi

Iterasi adalah suatu proses komputasi yang dilakukan secara berulang-ulang

untuk memperbaiki nilai pendekatan x0 dengan prosedur sbb:

i. pilihlah nilai pendekatan untuk x = x10 dan hitunglah:

)()( 0101 xf xf xx j

ii. berikan nilai x yang didapat dari tahap (i) sebelumnya ke x 20 dan

gunakan untuk hitungan yang sama:

)()( 0101 xf xf xx

jii

iii. teruskan proses perulangan ini sampai ditemukan solusi untuk x, atau

ketika f(x) = f(xi0), misalnya pada saat x0

i+1 = xi0.

Contoh hitungan:

x1

x2

X

Y y0=f(x0)1

2

y=f(x)

y0 + j x =

gradien pada

x0y0 + j x2

y0 + j x1

1 dan

2 merupakan

pengaruh dari orde-orde

yang lebih tinggi



an x tentuk ,541.2 jika 3220

032yxx jxxy

jika diasumsikan pendekatan x = x10 = 1, maka:

)()( 0101 xf xf xx

jii dan

100.1541.2541.2100.1

100.1589.2541.2108.1

108.12541.20.1

803.510

4

901.510

3

510

2

x

x

x

catatan:

jika penentuan nilai pendekatan x10 terlalu besar (jauh) dari nilai sebenarnya

akan membutuhkan iterasi yang sangat banyak.

Proses iterasi dapat dihentikan bila:

relatif)nilai(terhadap

atau tertentu)nilai(terhadap

0001

001

iii

ii

xxx

xx

4.1.3 Deret Taylor dalam Bentuk Vektor

Deret Taylor dapat dikembangkan lebih lanjut dalam bentuk fungsi vektor,

antara lain:

Tetapkan:21 xxx

2

121

02

01

22

11

02

0121

0

02

01

0)()(

x

x j jxxf

x

f

x

f xxf xxf

x

f xf uf

xx

x



4.1.4 Ekspansi untuk m Fungsi dengan n variabel

01

1

1

1

0

21

2122

2111

Jacobeanmatrikdimana

misalkan

,,

,,

,,

xn

mm

n

nmm

n

n

x

y

x

y

x

y

x

y

x

yJ

Jyy

xxxf y

xxxf y

xxxf y

101

2

1

0

02

01

0

,, :adalahtersebutdan vektor matrikordo

dan

nmnm

nm

yJ

y

y

y

y

Contoh-contoh soal:

Soal 1

Suatu model matematika terdiri dari dua fungsi yaitu:

23

12

3211

2xy

xxy

x

1

1

1

padatersebutfungsi-fungsiikanLinierisas03

02

01

0

x

x

x

x



Jawaban:

3

2

1

0

3

2

1

2

1

33

2

3

1

1

2

2

2

1

1

21

1

1

210

102

2

0

: persamaan

12110

1012

2

0

21

0

02

22

y

Jyy

y

yy

xx

y

x

y

x

y

x

y

x

yx

x

y

x

Soal 2

Linierisasikan Persamaan:

Jyy

xx

xxx

0

31

322

21

bentukmenjadi

05.2cos6

0sin

Jawaban:

5.2cos6

sin

03

01

02

02

010

32

xx

xxxy

3

2

1

x

x

x



03

02

02

01

02

01

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

sin06

03cossin2

x

xxxxx

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

J

Persamaan Matrik:

3

2

1

,,

03

02

02

01

02

01

03

01

02

02

01

03

02

01

32

sin06

03cossin2

5.2cos6

sin

x

x

x

x

xxxxx

xx

xxxy

xxx

4.1.5 Beberapa Catatan Tambahan

Sangatlah bermanfaat untuk mengembangkan persamaan dalam simbol y0, ,

dan J sebelum anda mengisinya dengan data angka numerik.

Dari contoh soal 1 dan 2, lebih mudah untuk menyatakan suatu ekspresi

dalam bentuk y = … atau 0 = …..

Linier Independen dan Rank

Sekumpulan vektor (u1, u2, …,un) dikatakan linier dependen jika dan hanya

jika terdapat skalar c1, c2, …,cn, yang tidak nol, sehingga memenuhi kondisi:

c1 u1 + c2 u2 + …+ cn un = 0

sekumpulan vektor (u1, u2, …,un) dikatakan linier independen jika semua skalar c1,

c2, …,cn, berharga nol, sehingga memenuhi kondisi:

c1 u1 + c2 u2 + …+ cn un = 0

contoh:

Apakah sekumpulan vektor-vektor berikut u1 = (1,1,-1,-1), u2 = (2,2,2,-2), u3 =

(3,3,1,-3), u4 = (1,1,3,-1) linier independen? Untuk dapat menjawabnya susunlah

persamaan vektornya: c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + c4 u4 = 0.

Dalam bentuk matrik persamaan tersebut menjadi:

0

0

0

0

0

1321

3121

1321

1321

4

3

2

1

xA

c

c

c

c

perhatikan dalam persamaan simultan linier yang homogen diatas adalah dalam

bentuk Ax = 0. Dalam matrik A unsur kolom merupakan anggoata elemn setiap

vektor. Matrik kolom x merupakan unknown yang akan dicari nilainya. Persamaan



ini tidak akan dapat diselesaikan jika rank A kurang dari jumlah unkonwn.melalui

reduksi baris koefisien matrik A akan menjadi:

0000

0000

1110

1001

1321

3121

1321

1321

Setelah matrik A direduksi (ruas kanan) terdapat elemen baris yang semua

anggotanya bernilai nol. Nilai rank suatu matrik adalah jumlah elemen baris

yang anggotanya ada yang tidak bernilai nol. Karena elemen baris kesatu dan

kedua tidak semuanya nol maka dikatakan rank matrik A adalah 2. Elemen

baris ini disebut dengan linier independen. Sedangkan baris yang semua

elemennyya nol disebut dengan linier dependen.

Didalam hitung kuadrat terkecil, sekumpulan persamaan matematika hanya

dapat diselesaikan jika kesemuanya adalah linier independen dan rankmatriknya sama dengan jumlah unknown atau lebih.

Cara praktis untuk mengetahui suatu matrik adalah linier independen atau

tidak adalah dengan memeriksa nilai determinanya. Jika nilai determinannya

tidak sama dengan nol maka dapat dikatakan persamaan tersebut adalah

linier independen.



mulai dengan

identifikasi parameter

Metodologi Pengukuran didalam Geomatika

Meformulasikan

Model Matematika

Desain atau

Preanalisa

Pengkajian pra-

pemrosesan data &

manajemen

Pemrosesan data -

Perataan

Pengkajian Hasil

Penyajian Hasil

Selesai

OK?

Mengkoreksi

Parameter

Mengkoreksi Model

Matematika

Mengkoreksi Desain

Mengkoreksi prosedur

manajemen &

pengkajian pra

pemrosesan

Mengkoreksi

Prosedur Akusisi Data


pemrosesan data

OK?

Akusisi Data

OK?

ModelMatematika

OK?

Desain OK?

Pengkajian pra

prosesing data &

manajemen OK?

Pemrosesan

Data OK?

Tujuan: menentukan parameter yang dicari

Akusisi Data

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Tidak

Ya



Rumus-rumus Turunan (Diferensial) yang mungkin berguna

uD

uu

uDuD

uu

uD

uDu

uDuDu

uD

uD

u

uDuD

u

uD

uDuuuDuDuuuD

uDuuDuDuuD

uDuuDuDuuD

uDuDuDaaaDuDeeDv

vuDuvD

v

uDuvDvuDuvD

vDuDvuDuDnuuD

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xuxxuu

xxuu

x

xxxxxx

xxxxnn

x

1

1)1(csc

1

1)1(sec

1

1)(cot

1

1)(tan

1

1)(cos

1

1)(sin

cotcsc)(csctansec)(sec

csc)(cotsec)(tan

sin)(coscos)(sin

)(lnln)(

22

2121

2

1

2

1

22

1

2

1



mulai dengan

identifikasi parameter

Metodologi Pengukuran didalam Geomatika

Meformulasikan

Model Matematika

Desain atau

Preanalisa

Pengkajian pra-

pemrosesan data &

manajemen

Pemrosesan data -Perataan

Pengkajian Hasil

Penyajian Has il

Selesai

OK?

Mengkoreksi

Parameter

Mengkoreksi Model

Matematika

Mengkoreksi Desain


manajemen &

pengkajian pra

pemrosesan

Mengkoreksi

Prosedur Akus isi Data

Mengkoreksi prosedur pemrosesan data

OK?

Akusisi DataOK?

Model

Matematika

OK?

Desain OK?

Pengkajian pra

prosesing data &

manajemen OK?

PemrosesanData OK?

Tujuan: menentukan parameter yang dicari

Akusis i Data

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Ya

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Tidak

Ya



4.1.6 Memformulasikan Model Matematika

Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika

tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran)

dengan parameter yang akan dicari.

Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara

langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan

matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.

Contoh:

5. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:

T

e

T

PNNrefraksi GL 25.112696.0

dimana NL = f(P,T,e) parameter: NL

pengamatan/pengukuran: P, T, dan e

konstanta: NG

6. Tekanan uap jenuh, es

3.237

27.17

1078.6 tt

se

parameter: es pengukuran: t (wet-bulb temperature)

7. Persoalan dalam ukur tanah, jarak AB akan dicari, tetapi tidak dapat

secara langsung diukur.

Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.

Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga

danau

c b

a

CB

A

d3

d1

d2



bidang datar. Dalam model ini, semua pengukuran harus dilibatkan. Untuk

kasus ini model dapat berupa:

001 konsep hitung kuadrat terkecil

Documents