116866_catatan kuliah matematika iia

7/24/2019 116866_Catatan Kuliah Matematika IIA

1/88


2/88

Catatan Kuliah Matematika IIA

Edisi 2015

-Robby-

Special thanks to:Cover Designer : Feliana Eka DewiEditor : Aholiab Tegar Tritama


3/88

Daftar Isi

Daftar Isi

Teknik Pengintegralan

. Aturan Dasar Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Integral Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Integral Trigonometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Substitusi yang Merasionalkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Dekomposisi Pecahan Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

. Bentuk Tak Tentu/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Bentuk Tak Tentu Lainnya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Integral Tak Wajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deret Tak Hingga

. Barisan Tak Terhingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Deret Tak Terhingga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deret Positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Deret Ganti Tanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Deret Pangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Operasi pada Deret Pangkat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Deret Taylor dan Deret Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Irisan Kerucut dan Koordinat Polar

. Irisan Kerucut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Persamaan Parametrik Kurva dalam Bidang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Sistem Koordinat Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometri dalam Dimensi Tiga

. Sistem Koordinat Kartesius dan Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Kurvilinier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Garis Singgung di Ruang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Permukaan di Ruang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Turunan Dua Variabel atau Lebih

. Fungsi Dua Variabel atau Lebih. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Turunan Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Limit dan Kekontinuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Keterdiferensialan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Turunan Berarah dan Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Aturan Rantai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


4/88

Robby Catatan Kuliah Matematika IIA Edisi

. Bidang Singgung dan Hampiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Maksima dan Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Metode Pengali Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Integral Lipat

. Integral Lipat Alas Persegi Panjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Integral Lipat Alas Daerah Sembarang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integral Lipat Koordinat Polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Aplikasi Integral Lipat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua

. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Tak Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. Aplikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


5/88

Prakata

Puji syukur kepada Tuhan yang Maha Esa atas kebaikan-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan

Catatan Kuliah Matematika IIini.

Buku ini berisi rangkuman materi yang diajarkan berdasarkan mata kuliah MA - Matematika IIA.

Sasaran utama buku ini adalah kepada mahasiswa yang sedang menjalani program Tahap Persiapan

Bersama (TPB). Buku ini berisi bab yang merujuk pada pustaka utama "Calculus9th Edition". Buku iniberisi teorema-teorema penting, contoh soal, berikut soal-soal latihan dalam tiap subbabnya. Adapun

rujukan semua gambar dalam buku ini berdasarkan pustaka utama yang digunakan penyusun.Penyusun tentu tidak dapat mengerjakan buku ini atas kerjanya sendiri. Penyusun ingin mengucapkan

terima kasih kepada Bapak Hendra Gunawan selaku dosen penyusun pada saat penyusun mengambil

kuliah ini. Penyusun juga ingin menyampaikan terima kasih kepada Aholiab Tegar Tritama selaku editor

dari buku ini, Stephanus Ardyanto yang telah memberikan kritik dan saran, serta Feliana Eka Dewi yang

telah membuat cover buku ini.

Penyusun menyadari bahwa buku ini belum sempurna. Sehingga penyusun mengharapkan kritik dan saran

dari para pembaca mengenai materi, cara penyajian, dan soal latihan guna memperbaiki buku ini.

Bandung, Maret

Robby


6/88

BabTeknik Pengintegralan

Pada bab sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa ada anti-turunan dari sebuah fungsi yang dinyatakan

dalam bentuk integral tentu (lihat kembali teorema dasar kalkulus). Terkadang kita menemukan fungsi-

fungsi yang tidak umum lagi, sehingga dibutuhkan teknik integrasi yang cocok untuk menyelesaikan

integral dari fungsi tersebut.

. Aturan Dasar Integral

..Bentuk Baku Integral

Dalam mengintegralkan suatu fungsi tak elementer, kita membutuhkan teknik-teknik tertentu seperti

teknik substitusi yang telah kalian pelajari sebelumnya. Teknik integrasi dasar secara umum dibagi menjadi

dua, yaituteknik integral substitusidanteknik integral parsial. Dalam subbab ini, kita diingatkan kembali

dengan teorema substitusi dalam integral tak tentu.

Teorema Substitusi dalam Integral Tak TentuMisalkang adalah fungsi yang terdiferensialkan dan misalkanF adalah anti-turunanf. Maka, jikau= g(x),

f(g(x))g(x)dx=

f(u)du= F(u) +C=F(g(x)) +C

Sebelumnya, berikut bentuk-bentuk integral baku yang umum dipakai dalam teorema :

.

k du= ku+C

.

ur du=

ur+1

r+ 1+C r = 1

ln |u| +C r= 1

.

eu du= eu +C

.

au du=

au

ln a+ C a = 1, a >0

.

sin u du = cos u+C

.

cos u du = sin u+C

.

sec2 u du = tan u+C

.

csc2 u du = cot u+C

.

sec u tan u du = sec u+C

.

csc u cot u du = csc u+C

.

tan u du = ln | sec u| +C

.

cot u du = ln | sin u| +C

.

du

a2 u2 =1

aarcsin

ua

+C


7/88


.

du

a2 +u2 =

1

aarctan

ua

+C

.

du

u

u2 a2 =1

aarccos

a

|u|

+C

.

sinh u du = cosh u+C

.

cosh u du = sinh u+C

Contoh Soal. Tentukan x

cos2 (x2) dx.

Solusi. Pandang 1

cos2 x= sec2 x. Misalkanu= x2 makadu= 2x dx sehingga:

x

cos2 (x2)dx=

1

2

2x

cos2 (x2)dx

=1

2

sec2 u du

=1

2tan u+C

=1

2tan

x2

+C

Contoh Soal. Tentukan

ex

4 + 9e2xdx.

Solusi.Ingat kembali bentuk

du

a2 +u2. Lakukan substitusiu= 3ex sehinggadu= 3ex dx. Maka didapat:

ex

4 + 9e2xdx=

1

3

3ex

4 + 9e2xdx

=1

3 1

4 +u2du

=1

3.1

2arctan

u2

+C

=1

6arctan

3ex

2

+C

..Soal Latihan

. Tentukan

3sin v cos v dv.

. Tentukan

tan t

sec2 t 4dt.

. Hitunglah

6

0

2cosx sin x dx.

. Hitunglah

20

x| sin x|1 +cos2x

dx. (Petunjuk: misalkanu= x )

. Buktikan identitas trigonometri sec x = sin x

cos x + cos x

1 + sin x dan gunakan identitas tersebut untukmembuktikan:

sec x dx = ln | sec x+ tan x| +C


8/88


. Integral ParsialTeknik dasar integrasi yang kedua adalah integral parsial. Teknik berikut digunakan bila kita tidak bisa

mengintegralkan suatu fungsi dengan metode substitusi biasa. Teknik ini juga dikenal dengan teknik

substitusi ganda (double substitution).

..Integral Parsial Tak Tentu dan Tentu

Metode integral parsial didapat dari turunan hasil kali dua fungsi. Perhatikan pernyataan berikut. Misalkan

u= u(x)danv = v(x), maka:

Dx[u(x)v(x)] =u(x)v(x) +v(x)u(x) (.)

u(x)v(x) =Dx[u(x)v(x)] v(x)u(x) (.)Integralkan kedua ruas persamaan tersebut dan didapat:

(u(x)v(x)) dx=

(Dx[u(x)v(x)]) dx

(v(x)u(x)) dx (.)

Karenadv = v (x)dxdandu = u(x)dx, maka didapat persamaan: u dv = uv

v du (.)

Gambar.: Ilustrasi Integral Parsial Tentu

Persamaan (1.4) menggambarkan bentuk inte-gral tak tentu dengan menggunakan metode inte-

gral parsial. Rumus yang berpadanan dengan inte-

gral tentu adalah:

b

a

u dv = [uv]ba

b

a

v du (.)

..Prioritas

Pemisalan Fungsi dalam Integral Parsial

Keberhasilan dari teknik integral parsial adalah

pemilihanudandv yang tepat. Berikut adalah pri-oritas pemilihan fungsiu:

. Fungsi Invers Trigonometri (contoh:arcsin x,arccos x,arctan x, dll).

. Fungsi Logaritma (contoh:log2 x,ln x, dll).

. Fungsi Aljabar (contoh: x4 + 3x2 + 1,(3x2 +4x 1)2,dll).

. Fungsi Trigonometri (contoh:sin x,cos x, dll).

. Fungsi Eksponensial (contoh:2x,e5x, dll).


x cos x dx.

Solusi. Misalkan u = x sehinggadu = dx dan misalkan dv = cos x dx sehingga v = sin x. Terapkanmetode integral parsial menghasilkan:

x cos x dx = x sin x

sin x dx

=x sin x+ cos x+C


9/88


Kita lihat beberapa kasus khusus dari integral parsial seperti contoh soal :


ex sin x dx.

Solusi. Dengan memisalkanu= ex dandv = sin x dx kita dapatkan:

ex sin x dx = ex cos x+ ex cos x dx

Kita lakukan kembali integral parsial untuk integral di ruas kanan. Misalkan u= ex dandv = cos x dx dandidapat:

ex cos x dx = ex sin x

ex sin x dx

Substitusikan hasil integrasi ke persamaan pertama dan didapat:

e

x

sin x dx = ex

cos x+ex

sin x ex sin x dxPindahkan suku terakhir ruas kanan ke ruas kiri sehingga:

2

ex sin x dx = ex cos x+ex sin x+C

ex sin x dx =1

2ex(sin x cos x+C)

..Rumus ReduksiBerprinsip pada contoh soal, kita dapat melakukan manipulasi aljabar untuk mendapatkan hasil integrasi,

bila dilihat hasil dari integral parsial yang kita dapatkan kembali lagi ke bentuk awal. Suatu rumus yang

berbentuk: fn(x)g(x)dx= h(x) +

fk(x)g(x)dx

dengank < ndinamakan sebagai rumus reduksi.

Contoh Soal. Tentukan suatu rumus reduksi untuk

sinn x dx.

Solusi. Dengan memisalkanu= sinn1 xdandv = sin x dx kita dapatkan: sinn x dx = sinn1 x cos x+ (n 1)

sinn2 cos2 x dx

Gunakan identitascos2 x= 1 sin2 xuntuk persamaan di atas dan didapat: sinn x dx = sinn1 x cos x+ (n 1)

sinn2 dx

sinn x dx

Dengan memindahkan komponen yang sama pada ruas kanan, kita dapatkan rumus reduksi:

sin

n

x dx =sinn1 x cos x

n +

n

1

n

sinn

2

x dx


10/88


..Soal Latihan

. Tentukan

ln x

x2 dx.

. Hitunglah e

1

t ln t dt.

. Tentukan

eat sin t dt.

. Buktikan

xex dx=

xex

x1ex dx.

. Fungsi Beta. Fungsi Beta sering digunakan dalam banyak cabang matematika, didefinisikan sebagai

berikut:

B(, ) =

10

x1(1 x)1 dx

dengan 1dan 1.a) Tunjukkan bahwaB(, ) B(, ) = 0.b) Tunjukkan bahwaB(, ) = 1

B( 1, 1) = 1

B( 1, 1).

c) Asumsikan sekarang bahwa = n dan=m dengann danm adalah bilangan bulat positif.Dengan menggunakan hasil pada (b), tunjukkan bahwa:

B(n, m) =(n 1)!(m 1)!

(n+m 1)!

. Integral TrigonometrikDengan menggunakan metode substitusi dan identitas trigonometri, kita dapat menyelesaikan beberapa

permasalahan integrasi fungsi trigonometrik. Kita akan membahas jenis integral trigonometri, yaitu:

.

sinn x dx dan

cosn x dx.

.

sinm x cosn x dx.

. sin mx sin nx dx, sin mx cos nx dx, dan cos mx cos nx dx..

tann dx dxdan

cotn x dx

.

tanm x secn x dx dan

cotm x cscn x dx

..Integral Trigonometri Jenis

Misalkan pangkat trigonometri tersebut adalahn:

Jikanganjil, pisahkan salah satu faktorsin xataucos x, lalu gunakan identitassin2 x+ cos2 x= 1.


11/88



sin5 x dx.

Solusi. sin5 x dx=

sin4x sin x dx

=

(1 cos2 x)2 sin x dx

=

(1 2cos2 x+ cos4 x)sin x dx

= cos x+23

cos3 x 15

cos5x+C

Jikangenap, gunakan identitas sudut gandacos 2x= 2 cos2 x 1ataucos 2x= 1 2sin2 x


sin2 x dx.

Solusi. sin2 x dx =

1 cos2x2

dx

=1

2

dx 1

2

cos2x dx

=1

2x 1

4sin 2x+C


Misalkanm dann berturut-turut adalah pangkat dari fungsi sindancos.

Jikam ataun ganjil, pisahkan salah satu faktor dari pangkat ganjil tersebut, lalu tentukan substi-tusinya dengan menggunakan faktor sisa tersebut.


sin3 x cos4 x dx.

Solusi. sin3 x cos4 x dx=

(1 cos2 x)(cos4 x)(sin x)dx

=

(cos4 x cos2 x)(sin x)dx

=

(cos x)3

3 (cos x)

1

1

+C

=1

3sec3 x sec x+C

Jikam danngenap, gunakan identitas sudut ganda.


12/88



sin2 x cos4 x dx.

Solusi. sin2 x cos4 x dx=

1 cos2x

2

1 + cos 2x

2

2dx

=18

(1 + cos 2x cos2 2x cos3 2x)dx

=1

8

1 + cos 2x 1

2(1 + cos 4x) (1 sin2 2x)cos2x

dx

=1

8

1

21

2cos 4x= sin2 2x cos2x

dx

=1

8

1

2x 1

8sin 4x+

1

6sin3 2x

+C

..Integral Trigonometri JenisPrinsip dasar dalam menyelesaikan integral jenis ini adalah dengan menggunakan kesamaan berikut:

sin mx cos nx= 12

(sin(m+n)x+ sin(m n)x)

sin mx sin nx= 12

(cos(m+n)x cos(m n)x)

cos mx cos nx= 12

(cos(m+n)x+ cos(m n)x)


sin2x cos3x dx.Solusi.

sin2x cos3x dx =1

2

(sin5x sin x)dx

= 110

cos 5x+1

2cos x+C


Integral jenis ini mirip dengan jenis ke-, namun gunakan indentitas tan2 x = sec2 x

1 dan cot2x =

csc2 x 1.Contoh Soal. Tentukan

tan5 x dx.

Solusi. tan5 x dx =

tan3 x(sec2 x 1)dx

=

tan3 x sec2 x dx

tan3 x dx

=

tan3 x sec2 x dx

tan x(sec2 x 1)dx

=

tan3 x sec2 x dx

tan x sec2 x dx

tan x dx

=1

4tan4 x 1

2tan2x ln | cos x| +C


13/88



Prinsip dasar integral trigonometri jenis ini adalah menyisakan sec2 x atau tan x sec x. Jika m dan nmenyatakan pangkattan/cotdan sec/csc, maka kemungkinan integral jenis ini antara lain:

ngenap danm berapapunContoh Soal. Tentukan

tan3/2 x sec4 x dx.

Solusi. tan3/2 x sec4 x dx =

tan3/2 x(1 + tan2 x)sec2 x dx

=

tan3/2 x sec2 x dx+

tan1/2 x sec2 x dx

=

2tan1/2x

+2

3tan3/2

x+

C

mganjil dannberapapun


tan3 x sec1/2 x dx.

Solusi.

tan3 x sec1/2 x dx = tan2 x sec3/2 x(sec x tan x)dx=

(sec2 x 1)sec3/2x(sec x tan x)dx

=

sec1/2 x(sec x tan x)dx

sec3/2 x(sec x tan x)dx

=

2

3sec3/2 x+ 2 sec 1/2x+C

..Soal Latihan

. Tentukan

sin4w2

cos2w2

dw.

. Tentukan

LL

cosmx

L

sin

nxL

dx, denganm, n Z danm =n.

. Daerah yang dibentuk olehy = sin xdengan0 x , dany =k dengan0 k 1akan diputarterhadap garisy = k. Tentukan nilaik sehingga volume benda putar mencapai volume maksimum.

. Substitusi yang Merasionalkan

..Merasionalkan Akar

Untuk integran (fungsi yang ingin diintegralkan) yang melibatkan nax+b, kita dapat memisalkanu=n

ax+bdan menggunakan metode substitusi.


14/88



dx

x x .Solusi. Misalkanu =

xsehinggau2 =x dan 2u du = dx.

dx

x

x

=

2u

u2

u

du

= 2

1u 1du

= 2 ln |u 1| +C= 2 ln |x 1| +C

..Substitusi Trigonometri yang Merasionalkan

Dalam jenis-jenis akar tertentu, kita dapat menggunakan substitusi trigonometri dan mengandalkan

identitas trigonometri tersebut untuk merasionalkan suatu fungsi. Perhatikan tabel berikut:

Bentuk Akar Substitusi Batasan untukta2 x2 x= a sin t

2 t

2a2 +x2 x= a tan t

2 < t <

2x2 a2 x= a sec t 0 t ,t =

2


a2 x2 dx.

Gambar.:Contoh Soal

Solusi. Misalkanx = a sin tdengan 2 t

2sehinggadx= a cos t dt.

a2 x2 dx= a2 cos2 t dt=

a2

2(t+ sin t cos t) +C

Kita ketahui dari gambar . bahwa x = a sin t t = arcsin xa

yang meng-

hasilkancos t= 1a

a2 x2. Sehingga:

a2 x2 dx= a

2

2 arcsin

xa

+

x

2

a2 x2 +C

..Melengkapi Kuadrat

Jika bentuk akar yang muncul membentuk fungsi kuadratAx2 + Bx + C, strategi kita adalah dengan mem-buatnya menjadi bentuk kuadrat sempurna dan lakukan substitusi trigonometri untuk menyelesaikannya.


dxx2 + 2x+ 26

.

Solusi.Tinjau bahwax2 + 2x+ 26 = x2 + 2x+ 1 + 25 = (x+ 1)2 + 52. Misalkanu = x+ 1sehinggadu= dx.

dxx2 + 2x+ 26 = duu2 + 25Sekarang, misalkanu= 5 tan tdengan

2 < t <

2 sehinggadu= 5 sec2 t dt.


15/88


Gambar.: Contoh Soal

du

u2 + 25=

5sec2 t

5sec tdt

=

sec t dt= ln | sec t+ tan t| +C

= ln

u2 + 25

5 +

u

5

+C= ln |

u2 + 25 +u| ln5 +C

= ln |

x2 + 2x+ 26 +x+ 1| +K

..Soal Latihan

. Hitunglah

32

t2 1

t3 dt.

. Tentukan

dx16 + 6x x2 .

. Hitunglah volume benda putar yang dibentuk dari luas daerah yang

dibatasi oleh kurvay = 1

x2 + 2x+ 5,y = 0,x= 0, danx = 1yang diputar terhadap sumbu-X.

. Dekomposisi Pecahan ParsialSalah satu fungsi yang mungkin merepotkan kita untuk mengintegralkannya adalah fungsi rasional. Dalam

subbab ini, kita akan bahas strategi pengintegralan dengan dua jenis dekomposisi: A+BC

= AC

+ BC

danABC

= PB

+ QC

.

..Integral Fungsi Rasional

Kita ingat-ingat kembali dalil sisa polinomial pada saat SMA. Kita tahu bahwa sebuah fungsi polinomial

dibentuk dari perkalian hasil bagi dengan pembagi ditambah dengan sisa. Contoh sederhana yang dapat

menjelaskan dalil tersebut adalah7 = 2 3 + 1. Dalam contoh tersebut, kita bisa sebutkan bahwa7 biladibagi dengan3 menghasilkan2dan bersisa1. Prinsip ini yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan

persoalan berikut.


3x2 7x3x+ 2

dx.

Solusi.Perhatikan bahwa 3x27x

3x+2 = x 3 + 6

3x+2. Sehingga kita dapat mengintegralkan fungsi tersebut

dengan mudah. 3x2 7x

3x+ 2 dx=

x 3 + 6

3x+ 2

dx

=x2

2 3x+ 2 ln |3x+ 2| +C


16/88


..Dekomposisi Pecahan Parsial: Faktor Berbeda

Untuk penyebut yang merupakan perkalian beberapa faktor (baik linear maupun kuadratik), trik untuk

mengintegralkan fungsi tersebut adalah memisahkan semua faktor menjadi beberapa pecahan dengan

masing-masing penyebutnya adalah masing-masing faktor linear dan pembilangnya adalah sebuah polinom

berderajat paling tinggi satu kurangnya dari penyebutnya. Tugas kita adalah mencari terlebih dahulu

polinom di pembilang tersebut agar fungsi dapat diintegralkan.Contoh Soal. Dekomposisikan pecahan

3x 1x2 x 6 .

Solusi.Faktor dari penyebut dalam pecahan pada soal adalah (x+ 2)(x 3)maka pecahan tersebut dapatdiekomposisikan sebagai berikut:

3x 1x2 x 6=

A

x+ 2+

B

x 3

Kita dapatkan3x 1 =A(x 3) +B(x+ 2), atau3x 1 = (A +B)x+ (3A + 2B).Didapat SPL

A +B = 33A + 2B = 1 yang menghasilkan solusiA =

75

danB = 85

. Sehingga dekomposisi

pecahannya adalah sebagai berikut:

3x 1x2 x 6=

7

5(x+ 2)+

8

5(x 3)

..Dekomposisi Pecahan Parsial: Faktor Berulang

Perlakuan yang berbeda bila kita menemui faktor yang berulang. Dalam kasus ini, kita harus memisahkan

pecahan tersebut menjadi semua pecahan yang berorde1hinggankali faktor itu berulang. Sebagai contoh,misalkan kita menemui faktor(3x + 2)4 maka kita buat beberapa pecahan dengan penyebutnya(3x + 2),(3x+ 2)2,(3x+ 2)3, dan(3x+ 2)4. Pembilang dari pecahan tersebut masih mengikuti aturan kasus faktorberbeda.

Contoh Soal. Dekomposisikan pecahan x

(x 3)2 .Solusi. Kita dekomposisikan menjadi beberapa faktor:

x

(x

3)2

= A

(x

3)

+ B

(x

3)2

Dengan melakukan prosedur yang sama seperti contoh soal , maka didapatA= 1danB = 3.

..Persamaan Diferensial Logistik

Dekomposisi pecahan parsial dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial logistik. Kita

ingat-ingat kembali ketika kita membahas tentang pertumbuhan penduduk. Kita dapatkan bahwa pertum-

buhan penduduk bertambah secara eksponensial. Namun hal tersebut tidak masuk akal di dunia nyata,

dikarenakan adanya tempat yang terbatas untuk perkembangan penduduk. Persamaan diferensial logistik

dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan penduduk dengan "batas" di mana penduduk berhenti

bertumbuh. Bentuk umum persamaan diferensial logistik adalah:

y=ky(L y)

Nilai k menggambarkan konstanta daya dukung lingkungan, sementara L menggambarkan kapasitasmaksimum penduduk. Tinjau bahwa untuk waktu yang cukup lama, nilai y akan mencapaiL.


17/88


..Soal Latihan

. Tentukan

x3

x2 +x 2 dx.

. Tentukan x6

(x

2)2(1

x)5

dx.

. Hitunglah

4

0

cos x

(1 sin2 x)(sin2 x+ 1)2 dx!

. Misalkan bumi ini tidak bisa menampung kehidupan manusia lebih dari16 miliar. Populasi manusiapada tahunadalah2miliar dan tahun kemudian ada sebanyak4 miliar.

a) Tentukan persamaan diferensial yang sesuai dengan kasus tersebut!

b) Tentukan solusi dari kasus tersebut!

c) Hitunglah populasi manusia pada tahun!

d) Kapan populasi manusia mencapai9 miliar?e) Buktikan untuk waktu yang sangat lama, populasi manusia akan menjadi16 miliar!


18/88

BabBentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

Gambar.: Interpretasi Geometrik At-

uran LHopital

Dalam menghitung limit, terkadang kita menemui kesulitan ketika mene-

mui bentuk tak tentu 00

atau . Kita harus melakukan manipulasi aljabarseperti memfaktorkan bentuk polinomial, mengalikan bentuk sekawan,

dan lain-lain. Dalam bab ini, kita dikenalkan dengan teorema LHopital

yang memudahkan kita menyelesaikan bentuk tak tentu dari suatu limit.Kita juga dikenalkan dengan bentuk tak tentu lainnya, serta dikenalkan

integral yang menghasilkan bentuk tak hingga.

. Bentuk Tak Tentu/

..Aturan LHopital

Kita sudah mengetahui bahwa, jika kita menemukan bentuk limit yang

menuju 00

, kita tidak bisa menyimpulkan nilai limit tersebut 0atau menujutak hingga. Hal ini disebabkan pembilang yang menuju nol dan penyebut

yang menuju tak hingga, dan fungsi di pembilang dan penyebut tersebut

sama-sama "kuat", sehingga kita bingung menentukan nilai limit tersebut.

Setelah kita mempelajari bagaimana menyelesaikan bentuk tak tentu

tersebut dengan manipulasi aljabar di bab sebelumnya, kita akan pelajari

terlebih dahulu Aturan LHopital yang sangat membantu kita dalam

menyelesaikan masalah bentuk tak tentu.

Teorema Aturan LHopital untuk Bentuk Jenis 00

Misalkan limxu

f(x) = l imxu

g(x) = 0. Jika limxu

f(x)g(x)

ada, baik dalam pengertian terhingga maupun

tak-terhingga, maka:

limxu

f(x)g(x)

L= lim

xuf(x)g(x)

Perhatikan bahwa notasi L= menunjukkan aturan LHopital itu dipakai. Perhatikan bahwa aturan

LHopital membuat kita "mengganti" suatu limit dengan limit lain yang mungkin tidak berbentuk 00

lagi.

Contoh Soal. Tentukanlimx0

sinxx

dengan menggunakan aturan LHopital.

Solusi.Kita tahu bahwa dengan metode substitusi, nilai limit tersebut akan menuju ke bentuk yang tak

tentu. Kita lakukan Aturan LHopital memberikan:

limx0 sin xxL= limx0 cos x1

= 1


19/88


Perhatikan sekali lagi bahwa Aturan LHopital hanya dapat digunakan jika kita menemukan bentuk tak

hingga dengan metode substitusi. Sehingga dalam langkah pengerjaannya, perlu dicek terlebih dahulu

apakah nilai limit tersebut menuju ke suatu bentuk tak tentu atau bukan.

Namun perlu diperhatikan bahwa Aturan LHopital tidak menyelesaikan semua bentuk tak tentu 00

.

Perhatikan contoh soal berikut:

Contoh Soal. Tentukan limx

ex

x1 .

Gambar .: Pertumbuhan Fungsi Ek-

sponen vs. Linear

Solusi.Kita tahu bahwa dengan metode substitusi, nilai limit tersebut

akan menuju ke bentuk yang tak tentu yaitu 00

. Kita lakukan Aturan

LHopital dan memberikan:

limx

ex

x1L= lim

xex

x2L= lim

xex

2x3L

=...

Hal ini hanya memperumit masalah saja. Bila kita gunakan sedikit

manipulasi aljabar, maka:

limx

exx1

= limx

xex

Nilai limit tersebut akan menuju suatu bentuk tak tentu lainnya, yaitu (yang akan kita pelajari bersama bentuk tak tentu lainnya di subbabselanjutnya). Namun, bila kita buat grafikex dengan grafikx, nilaiex

akan "berkembang" lebih cepat dibandingkan nilaix, sehingga kita dapat memberikan kesimpulan bahwalimit itu akan bernilai nol (untuk penjelasan lebih lanjut, istilah ini disebut juga Big-O).

..Teorema Nilai Rataan Cauchy

Pembuktian dari Aturan LHopital berasal dari perpanjangan teorema nilai rata-rata turunan berikut:

Teorema Teorema Nilai Rataan CauchyMisalkan fungsif dang dapat diturunkan di titik(a, b)dan kontinu di interval[a, b]. Jikag (x)= 0untuk semuaxdi(a, b), maka ada bilangancdi(a, b)sehingga:

f(b) f(a)g(b) g(a) =

f(c)g(c)

Perhatikan bahwa teorema ini akan menjadi teorema nilai rata-rata turunan untuk g(x) =x

..Soal Latihan

. Tentukanlimx0

arctan x x8x3

.

. Tentukanlimx0

x0

t cos t dt

x2 .

. Misalkanf(x) =

ex1x

, x = 0c, x= 0

. Tentukan nilaicagarf(x)kontinu.

. Tunjukkan bahwa Aturan LHopital tidak bisa digunakan untuk menghitung limit berikut.

limx0

x2 sin1x

tan x


20/88


. Bentuk Tak Tentu LainnyaMengacu dari contoh sebelumnya, kita dapatkan bentuk tak tentu selain 0

0. Ternyata, masih banyak bentuk

tak tentu lainnya, antara lain:

Jenis: Jenis:0. dan Jenis: 00, 0, dan1

Bentuk tak tentu tersebut didasari oleh ketidakjelasan bentuk tersebut mengacu pada suatu nilai. Perlu

diperhatikan pula bahwa tidak semua bentuk tak tentu bisa diselesaikan dengan Aturan LHopital.

..Bentuk Tak Tentu Jenis

Bentuk tak tentu pada jenis ini adalah . Prinsip dasar kita mengacu pada contoh soal sebelumnya. Kitaketahui bahwa fungsix bertumbuh lebih lambat dibandingkanex sehingga kita dapat menyimpulkan nilailimit tersebut. Hal ini yang mendasari teorema berikut:

Teorema Aturan LHopital untuk Bentuk JenisMisalkan lim

xuf(x) = lim

xug(x) =. Jika lim

xuf(x)g(x)

ada, baik dalam pengertian terhingga maupun

tak-terhingga, maka:

limxu

f(x)

g(x)L= lim

xuf(x)g(x)

Contoh Soal. Tentukan limx

xex

.

Solusi. Dengan menggunakan metode substitusi kita dapatkan bentuk tak tentu sehingga kita gunakanAturan LHopital dan didapat:

limx

x

exL

= limx

1

ex = 0

Hasil tersebut sama seperti contoh soal di subbab sebelumnya.


Prinsip dasar dari bentuk limit jenis berikut (0 dan ) adalah mengubahnya menjadi bentuk 00

atau dengan manipulasi aljabar dan menggunakan kembali aturan LHopital agar mendapa nilai dari

limit tersebut.Contoh Soal. Tentukan lim

x2(tan x ln sin x).

Solusi.Dalam hal ini kita dapat bentuk tak tentu0 . Kita dapat menulis ulang bentuk tersebut menjadibentuk 0

0dengan memindahkan ruas salah satu pengalinya menjadi penyebut dari pecahan.

limx2

(tan x ln sin x) = limx2

ln sin x

cot x

Kita sudah dapatkan bentuk 00

. Dalam kasus ini kita dapat gunakan Aturan LHopital:

limx

2

ln sin xcot xL= lim

x2

cos x csc2 x= lim

x2

( cos x. sin x) = 0


21/88


Contoh Soal. Tentukan limx1+

x

x 1 1

ln x

.

Solusi.Bentuk tak tentu yang diberikan dalam contoh soal ini adalah bentuk . Langkah yang tepatagar membuatnya menjadi bentuk yang dapat diterapkan Aturan LHopital adalah dengan menyamakan

penyebut.

limx1+

x

x 1 1

ln x

= lim

x1+x ln x x+ 1

(x 1)ln xL= lim

x1+x ln x

x 1 +x ln xL= lim

x1+1 + ln x

2 + ln x

=1

2


Dalam jenis berikut, kita akan membahas bentuk tak tentu eksponensial seperti00, 0,1. Prinsip dasardalam menyederhanakan bentuk tak tentu ini adalah dengan menggunakan sifat-sifat logaritma.

Contoh Soal. Tentukan limx0+

(x+ 1)cotx.

Solusi. Hasil limit tersebut adalah bentuk tak tentu 1. Misalkan hasil limit tersebuty, maka:

y = limx0+

(x+ 1)cotx

ln y= cot x ln(x+ 1) =ln(x+ 1)tan x

Dengan menggunakan Aturan LHopital karena bentuk 00

maka:

limx0+

ln y = limx0+

ln(x+ 1)

tan x

L= lim

x0+

1x+1

sec2 x

= 1

Kita ketahui bahway = eln y sehingga didapat limx0+

y = e.

..Soal Latihan

. Tentukan limx

x1

1 +et dt

x .

. Tentukan limx0+

xx.

. Tentukanlimxa

(1x + 2x)1x untuka= 0+,0, , dan .

. Integral Tak WajarSetelah kita mengetahui bentuk tak tentu yang dapat terjadi pada limit, mari kita tinjau bentuk-bentukintegral tak wajar. Integral tak wajar secara umum terbagi menjadi dua jenis: batas tak wajar karena

menuju tak hingga dan integran tak hingga karena melewati batas di mana nilai integran menuju tak

hingga.


22/88


..Limit Integrasi Tak Hingga

Dalam subbab ini akan dibahas selang integrasi yang tak hingga, sedangkan biasanya sebuah integral

tentu mempunyai selang yang terhingga. Kita akan menyelesaikan permasalahan ini dengan bantuan limit.

Perhatikan definisi berikut.

Definisi Limit Integral Batas Atas atau Batas Bawah Tak Wajar b

f(x)dx= lima

ba

f(x)dx

a

f(x)dx= limb

ba

f(x)dx

Jika limit pada ruas kanan mempunyai nilai terhingga, maka dapat dikatakan integral tersebutkonvergen

ke suatu nilai. Jika tidak konvergen, maka integral tersebut dapat dikatakan divergen.

Contoh Soal. Tentukan1

xex2

dxjika ada.

Solusi. 1

xex2

dx= lima

1a

xex2

dx

= lima

1

2ex

2

1a

= lima

12e

+1

2ea

2

= 1

2e

Jadi integral tersebut konvergen ke nilai 12e

.

Definisi Limit Integral Batas Atas dan Batas Bawah Tak Wajar

Jika

0

f(x)dxdan

0

f(x)dxkonvergen, maka

f(x)dxkonvergen dan mempunyai nilai:

f(x)dx=

0 f(x)dx+

0

f(x)dx

Jika tidak, integral tersebut divergen.

Definisi seringkali dipakai pada saat menentukan peluang dari distibusi kontinu (lebih lanjut dipelajari

di mata kuliah Probabilitas dan Statistika).

..Integran Tak Hingga

Bila kita ingin menghitung integral tentu dari fungsi 1x

dari selang[1, 1]maka kita tidak bisa melakukanprosedur seperti biasanya karena 1

x

menuju tak hingga di titikx = 0. Maka dari itu perhatikan definisiberikut:


23/88


Definisi Integran Tak Hingga pada Titik Ujung

Jika

0

f(x)dxdan

0

f(x)dxkonvergen, maka

f(x)dxkonvergen dan mempunyai nilai:

f(x)dx= 0

f(x)dx+0

f(x)dx

Jika tidak, integral tersebut divergen.

Contoh Soal. Tentukan 20

dx4 x2 jika ada.

Solusi. Perhatikan bahwa integran menuju tak hingga padax= 2. 20

dx4 x2 = lima2

a0

dx4 x2

= lima2

arcsin

x2t

0

= lima2

arcsin

t

2

arcsin

0

2

=

2

Definisi Integran Tak Hingga pada suatu Titik InteriorMisalkanfkontinu pada[a, b], kecuali padac dengana < c < b, dan misalkanlim

xc |f(x)

|=

, maka

kita definisikan: ba

f(x)dx=

ca

f(x)dx+

bc

f(x)dx

Integral di ruas kiri konvergen jika integral di ruas kanan konvergen. Jika tidak, maka integral di ruasi

kiri divergen.

Definisi menjelaskan bahwa bila integran menuju tak hingga pada suatu titik di selang integrasi,

maka tugas kita hanya memecah selang di mana integran menuju tak hingga dan limitkan satu-persatu

menggunakan definisi.

Gambar.:Paradoks Terompet Gabriel

..Soal Latihan

. Tentukan

dx

(x2 + 16)2.

. Hitunglah luas daerah di bawah kurvay = 1x2+x

di sebelah kananx = 1.

. Paradoks terompet Gabriel. Tunjukkan bila kurvay = 1x

dari selang[1, )diputar mengelilingi sumbu-X, benda putar tersebut memiliki volumeterhingga dan luas permukaan tak-terhingga. Hitunglah volume tersebut.

. Jikac >0, tentukan 2cc

x dx

x2 +xc 2c2.

. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 1x

dany = 1x3+x

untuk0 x 1.


24/88

BabDeret Tak Hingga

Kita sudah mengetahui tentang barisan dan deret pada saat SMA. Bahkan kita pernah mendengar sedikit

konsep tentang deret geometri menuju tak hingga. Pada bab ini, kita akan mempelajari tentang kekonver-

genan suatu barisan dan deret tak hingga. Tidak hanya deret geometri, tapi kita akan perumum definisi

barisan dan deret tak hingga untuk semua pola deret.

. Barisan Tak TerhinggaBarisan adalah seuatu fungsi dengan input bilangan bulat positif dan output bilangan real. Suatu barisan

akan memberikan pola teratur bila kita cari pemetaannya satu persatu. Pada subbab ini, kita akan melihat

bagaimana suatu barisan disebut konvergen dengan menggunakan bantuan limit.

..Konvergensi Barisan

Perhatikan barisan0, 12

, 23

, 34

,... Bisakah kita menebak suku tak hingga dari barisan tersebut? Lama kelamaanbarisan tersebut akan berkumpul ke dekat1. Maka kita sebut bahwa barisan tersebutkonvergenke1. Definisiumumnya adalah sebagai berikut:

Definisi Konvergensi BarisanBarisan {an} disebut konvergen ke L apabila:

limn

an=L

atau dengan kata lain, untuk setiap bilangan positifterdapat bilangan positifNsehingga:

n N |an L| <

Suatu barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen.

Sifat limit dapat diterapkan kepada limit dari sebuah barisan.

Teorema Sifat Limit suatu BarisanMisal {an} dan {bn} barisan yang konvergen dank suatu konstanta.

. limn

k = k

. limn

kan=k limn

an

. limn

(an bn) = limn

an limn

bn

. limn

(an.bn) = limn

an. limn

bn

. limnan

bn =

limn

an

limn

bn dengan syarat limn bn=

0


25/88


Teorema lain yang dapat kita adopsi dari bab limit adalah teorema apit.

Teorema Teorema Apit BarisanMisal {an} dan {cn} barisan yang konvergen menujuL dan an bn cn untuknKdenganKadalahfixed integer. Maka

{bn

}juga konvergen keL.

Contoh Soal. Tunjukkan bahwa limn

sin3 nn

= 0.

Solusi.Untukn 1kita dapatkan ketaksamaan 1n sin3n

n 1

n. Ambil limit dari ketaksamaan kiri dan

kanannya dan menghasilkan0. Menurut teorema apit, maka hasil limit di tengah haruslah 0. Teorema apit juga dapat dikembangkan menjadi teorema yang berguna untuk barisan ganti tanda.

Teorema Teorema Barisan Ganti TandaJika lim

n|an| = 0maka lim

nan = 0

Buktinya terletak pada ketaksamaan |an| an |an|. Dengan menggunakan teorema apit, makadidapatlah teorema.

..Barisan Monotonik

Hal yang mendasar dari barisan monotonik adalah sebagai berikut: bayangkan ada barisan yang selalu

bertambah nilainya. Hasil limit tak hingga dari barisan tersebut hanya ada kemungkinan: divergen atau

konvergen bila dibatasi oleh suatu "batas penutup". Teorema berikut akan menjelaskan tentang kasus

tersebut.

Teorema Teorema Barisan MonotonikJikaPadalah batas atas suatu barisan yang tidak menurun (monoton naik) {an}, maka barisan tersebutakan konvergen ke suatu limitA U. Hal ini berlaku sebaliknya bila suatu barisan monoton turun.

Perlu diperhatikan bahwa konvergensi atau divergensi suatu barisan tidak tergantung pada suku-suku

awal, namun bergantung pada hal yang terjadi ketikanbesar.

Contoh Soal. Tunjukkan bahwabn= n2

2n konvergen.

Solusi.Untukn3, tampak bahwa barisan tersebut akan monoton turun (bnbn+1). Tinjau pertidak-samaan berikut:

n2

2n >

(n+ 1)2

2n+1

n2 > (n+ 1)2

22n2 > n2 + 2n+ 1n(n 2)> 1

Pertidaksamaan di baris terakhir bernilai benar untukn 3. Karena barisan tersebut monoton turun danmempunyai nilai batas bawah nol (dengan induksi matematika), maka dapat disimpulkan bahwa barisan

tersebut mempunyai limit.

Perlu diperhatikan bahwa untuk mengerjakan contoh soal, kita membutuhkan suatu metode pembuktian

yang melibatkan bilangan bulat positif, disebut juga denganinduksi matematika.


26/88


Sekilas Induksi Matematika

MisalkanP(n) adalah pernyataan matematika yang melibatkan n N. Untuk membuktikanP(n)benar untuk semuan

N, kita buktikan dengan langkah berikut:

. Langkah basis

Buktikan terlebih dahuluP(1)benar.

. Langkah induktif

AsumsikanP(k)benar untukk < n. BuktikanP(k+ 1) benar. Dengan kata lain, buktikanP(k)benar mengakibatkanP(k+ 1) benar.

. Konklusi

Berikan kesimpulan bahwaP(n)bernilai benar untuk semuan N.

..Soal Latihan

. Tentukan lima suku pertama dari barisanan = e2n

n2 + 3n 1 dan selidiki kekonvergenan barisantersebut. Jika konvergen, tentukan nilainya.

. Buktikan bahwa barisanan =4n 3

2n konvergen dengan menggunakan teorema barisan monotonik.

. Deret Tak TerhinggaSetelah kita mempelajari barisan, dalam subbab ini kita akan mempelajari penjumlahan dari suatu barisan

tak hingga. Sebelumnya, tahukah kamu bahwaex,sin x,cos x, dan fungsi-fungsi transenden lainnya dapatdihampiri melalui deret tak hingga? Kita akan pelajari hal tersebut nanti. Dalam subbab ini, kita akan

mempelajari kekonvergenan dari suatu deret terlebih dahulu.

..Konvergensi Deret

Pada saat SMA, kita sempat ditanyakan tentang jumlah beberapa suku pertama dari sebuat deret, sebutlah nsuku yang biasa dinotasikan dengan Sn.Sntersebut disebut juga jumlah parsial dari sebuah deret. Sekarang,bayangkan bilansuku tersebut menuju ke tak hingga, maka kemungkinan nilaiSntersebut konvergen kesuatu nilai atau divergen. Sama seperti barisan, deret tak hingga pun mempunyai istilah konvergensi dan

divergensi. Berikut definisinya:

Definisi Kovergensi Deret Tak Hingga

Deret tak hingga

n=1

ankonvergen dan mempunyai jumlahSjika barisan jumlah parsial {Sn} konver-gen keS. Jika {Sn} divergen, maka deret divergen. Deret divergen tidak memiliki jumlah.

Terkadang untuk mengetahui deret tersebut konvergen atau tidak, kita membutuhkan sebuah teorema

untuk mengujinya.


27/88


Teorema Uji Divergensi Suku ke-n

Jika deret

n=1

ankonvergen, maka limn

an= 0.

Terorema tersebut secara ekuivalen pun mengatakan bila nilai limit barisan tidak nol (ada maupun tidak

ada), maka deretnya divergen.

Bukti. MisalkanSn jumlah parsial ke-ndan S = limn

Sn. Kita ingat bahwaan = Sn Sn1. Karenalimn

Sn1sehingga:

limn

an = limn

Sn limn

Sn1=S S= 0

..Beberapa Deret Terkenal

Setelah kita mengenal teorema divergensi suatu deret, maka kita akan mencari tahu divergensi beberapa

deret terkenal.

...Deret Geometri

Kita sudah mengetahui sebelumnya bahwa rumus penjumlahan suku ke-n suatu deret geometri adalah:

Sn = aarn

1r . Rumus tersebut dapat disebut juga jumlah parsial dari sebuah deret geometri. Namunbagaimana jika kita ingin menjumlahkan deret geometri tak hingga? Kita limitkan saja n menuju tak hingga

dan menghasilkan:

limn

a arn1 r = limn

a

1 r a

1 r rn

Dari persamaan tersebut kita dapat mengetahui bahwa limit tersebut akan konvergen jika |r| 1 +1

2+

2

4+

4

8+ ...+

1

n

= 1 +1

2+

1

2+

1

2+ ...+

1

n

Namun sebenarnya deret tersebut divergen, walaupun dengan pertumbuhan nilai yang sangat lambat.

Perhitungan di komputer memberikan hasil bahwaSnbaru melebihi20 padan = 272.400.000. Namun,divergensi suatu deret tidak dilihat dari cepat atau lambatnya pertumbuhan nilai deret tersebut.


28/88


...Deret Teleskopik

Deret teleskopik (collapsing series) adalah bentuk deret di mana suku-sukunya saling menghilangkan satu

sama lain sehingga membentuk suatu nilai yang konvergen. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh

berikut:

Contoh Soal. Hitunglah

k=1

1

k2 + 5k+ 6.

Solusi.Gunakan dekomposisi pecahan parsial untuk deret tersebut dan didapat: 1k2+5k+6

= 1k+2

1k+3

.

Sehingga jumlah parsialnya:

Sn =n

k=1

1

k2 + 5k+ 6

=n

k=1

1

k+ 2 1

k+ 3

= 13

1

4 + 1

41

5 +...+ 1

n+ 2 1

n+ 3

=1

3 1

n+ 3

Kita limitkan jumlah parsial tersebut menuju tak hingga menghasilkan:

limn

1

3 1

n+ 3=

1

3

..Sifat Deret Konvergen

Sama seperti operator sigma yang sudah kita pelajari sebelumnya, deret yang konvergen juga mempunyaisifat linearitas sebagai berikut:

Teorema Linearitas Deret Konvergen

Jika deret

n=1 andann=1

bnkonvergen dank konstanta, maka:

.

n=1

k.an konvergen.

.

n=1

(an+bn)konvergen.

.

n=1

k.an = k

n=1

an

.

n=1

(an+bn) =n=1

an+n=1

bn

Teorema tersebut mengatakan bahwa kelinearan suatu deret dapat diterapkan jika dan hanya jika deret

tersebut konvergen. Jika deret tersebut divergen, kita nyatakan dalam teorema berikut:

Teorema Teorema Perkalian Deret Divergen

Jika deretn=1

andivergen danc = 0makan=1

c.andivergen.


29/88


Definisi konvergen secara umum adalah bahwa nilai pada suatu operasi (kalam konteks ini: deret)

tersebut ada dan tentu. Sedangkan bila deret tersebut divergen, belum tentu nilai deret tersebut menuju tak

hingga.

Bandingkan dengan barisanan = (1)n+1.{an} sudah jelas divergen, sehingga deret tersebut divergen.Namun, terdapat perbedaan pandangan tentang deret tersebut. Kita dapat memandang deret tersebut

sebagai berikut:

(1 1) + (1 1) +...= 0atau kita juga dapat memandang deret tersebut sebagai berikut:

1 (1 + 1) (1 + 1) ...= 1

Karena jumlah deret tersebut tak tentu, maka kita dapat simpulkan deret tersebut divergen. Ilustrasi ini

dapat menjelaskan teorema berikut.

Teorema Pengelompokan Suku dalam Deret Tak HinggaSuku-suku sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokkan dengan cara apapun. Deret yang baruakan konvergen dan sama seperti deret yang semula.

..Soal Latihan

. Selidiki kekonvergenan deret

k=1

k 5k+ 2

.

. Tunjukkan bahwa deret

k=11

2kdivergen.

. Hitunglah jumlah deret

k=1

2k

(2k+ 1 1)(2k 1) .

. Deret PositifDalam subbab ini, kita akan diberikan beberapa teorema untuk menguji konvergensi suatu deret positif.

..Uji Jumlah Terbatas

Teorema Uji Jumlah TerbatasSuatu deret

k=1

ak yang sukunya tak negatif akan konvergen jika dan hanya jika jumlah parsialnya

terbatas di atas.

Uji jumlah terbatas adalah pengembangan dari teorema barisan monotonik di subbab sebelumnya. Sehingga

pembuktian dari uji tersebut mengikuti pembuktian teorema barisan monotonik.

..Uji Integral

Operasi sigma dan operasi integral sering disamakan karena sifatnya yang mirip. Hanya saja operasi sigma

dilakukan untuk hal-hal diskrit sedangkan integral diterapkan pada hal-hal kontinu. Sifat konvergensidari operasi sigma dan operasi integral sama sehingga kita dapat melakukan uji integral untuk mengecek

konvergensi suatu deret.


30/88


Teorema Uji IntegralMisalkanffungsi yang kontinu, positif, dan tidak naik pada interval [1, ). Misalkan pulaak =f(k)untuk semua bilangan positifk . Deret tak hingga

k=1ak konvergen jika dan hanya jika integral tak

wajar1

f(x)dx konvergen.

Kesimpulannya, deret

k=1

f(k)dan

1

f(x)dxakan konvergen dan divergen bersama-sama.

Contoh Soal. Uji deret-p. Diketahui deretk=1

1

kp = 1 +

1

2p+

1

3p+.... Tunjukkan bahwa deret

tersebut divergen untukp 1dan konvergen untukk >1.Solusi. Dengan menggunakan uji integral, kita dapatkan integral tak wajar:

1

1

xpdx= lim

t

t1

xp dx

untukp = 1:

limt

t1

xp dx= t1p 1

1 pKonvergen untukp >1 dan divergen untukp 1. Deret tersebut divergen untuk p 1.

..Uji Banding Biasa

Secara logika, bila suatu deret konvergen, maka deret yang suku-sukunya lebih kecil dari deret konvergen

tersebut akan konvergen pula. Hal ini yang mendasari adanya uji banding berikut:

Teorema Uji Banding BiasaMisalkan0 an bnuntukn N.


31/88


. Jika

bnkonvergen maka

anjuga konvergen.

. Jika

andivergen maka

bnjuga divergen.

Contoh Soal. Selidiki kekonvergenan n=1

n5n2 4 .

Solusi. Perhatikan ketaksamaan berikut:

n

5n2 4 > n

5n2 =

1

5.

1

n

Kita sudah mengetahui bahwa

1n

divergen (deret harmonik), sehingga menurut uji banding, deret yang

kita punya juga divergen.

..Uji Banding Limit

Terkadang uji banding biasa membutuhkan kita untuk mencari ketaksamaan yang tepat sehingga ujitersebut berhasil. Salah satu uji lainnya adalah sebagai berikut:

Teorema Uji Banding LimitMisalkan0 andan 0 > bnserta:

limn

anbn

=L

Jika0 < L


32/88


..Strategi Pengujian Konvergensi Deret Positif

Untuk menguji deret positif, kita lihat barisannya. Misalkan deret tersebut

an:

. Jika limn

an= 0, simpulkan melalui Uji Suku ke-n bahwa deret tersebut divergen.

. Jikaanmemuatn!,rn, ataunn, gunakan Uji Rasio.

. Jikaan memuat pangkat konstann, gunakan Uji Banding Limit. Jikaan berupa ekspresi rasionaldalam n, gunakan uji tersebut dengan bn sebagai rasio dari suku-suku awal dari pembilang danpenyebut.

. Jika uji-uji di atas belum berhasil, cobalah Uji Integral, Uji Banding Biasa, atau Uji Jumlah Terbatas.

. Beberapa deret membutuhkan manipulasi aljabar terlebih dahulu sebelum diselidiki kekonvergenan-

nya.

..Soal Latihan

. Selidiki kekonvergenan

n=2

1n2 1 .


n=1

3n+ 1

n3 4 .


n=1

n!

n100.


n=1

n2 + 1

3n .


n=1

52n

n! .

. Deret Ganti Tanda

Gambar .: Ilustrasi Geometri Deret

Ganti Tanda

Setelah kita mengetahui berbagai uji untuk deret tak negatif, sekarang

mari kita lihat berbagai variasi dari deret, salah satunya adalah deret

ganti tanda. Untuk menguji kekonvergenan deret ganti tanda, sebagian

besar uji yang digunakan adalah uji yang sudah kita pelajari sebelumnya,

namun dengan penambahan notasi nilai mutlak di dalamnya.

..Uji Deret Ganti Tanda

Ilustrasi yang jelas terlihat di gambar.menunjukkan bahwa deret ganti

tanda akan konvergen ke satu titik apabila S dan S lama kelamaanberada pada satu titik untukn .Perhatikan bahwa suku-suku genap terbatas di atas, maka dia konvergen

dengan jumlahS. Hal yang sama terjadi pada suku-suku ganjil yangterbatas di bawah, dia konvergen dengan jumlahS.Perhatikan juga bahwaS danS berada di antara Sn danSn+1 untuksemuan, sehingga:

|S S| |Sn+1 Sn| =an+1Sehingga pada saat lim

nan+1= 0ketikaS

=S, sehingga deret tersebut konvergen ke satu nilai, sebutlah

S. Kita dapat gunakan persamaan di atas untuk menaksir nilaiSdi suku ke-n.


33/88


Teorema Uji Deret Ganti TandaMisalkana1 a2+ a3+ a4+ ... adalah deret ganti tanda dengan an > an+1 > 0. Jika lim

nan = 0,

maka deret tersebut konvergen.

Galat yang dibuat dengan menggunakan jumlahn suku pertamaSnuntuk menghampiri jumlah deret

Stidak lebih besar daripadaan+1.

Dari terorema tersebut, kita dapatkan syarat konvergensi suatu deret ganti tanda:

an 0untuk setiapn. anmonoton turun. lim

nan= 0.

..Konvergensi Deret Ganti Tanda

Berbeda dengan deret positif, kita tidak bisa mengatakan bahwa deret berganti tanda itu konvergen.Konvergensi deret ganti tanda dibagi menjadi dua: konvergen mutlak dan konvergen bersyarat.

Definisi Konvergensi Deret Ganti Tanda

undinamakan konvergen mutlak jika |un| konvergen. undinamakan konvergen bersyarat jika unkonvergen tetapi |un| divergen.

Kita mempunyai dua uji konvergensi untuk membantu kita menentukan kecenderungan suatu deret

ganti tanda, yaitu: uji konvergensi mutlak, dan uji rasio mutlak.

Teorema Uji Konvergensi MutlakJika

|un| konvergen, maka un konvergen.Bukti. Misalkanvn=un+ |un|, sehingga:un=vn |un|. Menurut uji banding biasa, kita dapatkan

0

vn

2

|un

|. Hal tersebut membuat kita mendapatkan persamaan un= vn |

un

|konvergen.

Uji deret lainnya yang mengadopsi uji deret positif yang sebelumnya adalah uji rasio mutlak.

Teorema Uji Rasio MutlakMisal

anderet tak nol dan misalkan:

limn

|an+1|an

=

Jika 1, deret tersebut divergen. Jika = 1, uji tidak memberikan hasil apapun.


34/88


Konvergen secara mutlak tentunya jauh lebih baik bila dibandingkan konvergen bersyarat. Berikut ada

teorema tentang konvergen mutlak:

Teorema Teorema Pengaturan DeretDeret yang konvergen mutlak dapat diatur tanpa mempengaruhi jumlah dari deret tersebut.

..Soal Latihan


n=1

(1)n+1 nn2 + 1

.


n=1

n sin

1

n

.

. Selidiki kekonvergenan deret harmonik ganti tanda.

. Deret PangkatKita sudah melihat dan menguji beberapa kekonvergenan deret dengan deret konstanta. Namun pertanyaan

apa yang akan muncul jika deret yang kita punya berbentuk sebagai fungsi dari satu peubah? Pasti kita

akan bertanya untuk nilai berapakah deret tersebut konvergen dan berapakah fungsi jumlahnya ketika

deret tersebut konvergen. Kita definisikan deret pangkat dengan bentuk umum sebagai berikut:

n=0

anxn =a0+a1x+a2x

2 +...

..Himpunan KonvergensiKita sudah mengetahui pada saat SMA bahwa deret geometri tak hingga S(x) = a

1x konvergen jika1< x


35/88


Semua himpunan bilangan real.Deret pangkat

anx

n selalu konvergen mutlak di dalam himpunan kekonvergenan.

Bentuk lain dari deret pangkat tersebut adalah mengubah fungsix menjadi(x

a). Sehingga bentuk

umum yang didapat adalah:

n=0

an(x a)n =a0+a1(x a) +a2(x a)2 +...

Teorema pada deret pangkat masih berlaku dalam bentuk (x a)...Soal Latihan

. Tentukan himpunan konvergensi dari deret

n=1

(x+ 1)n

n! .

. Tentukan himpunan konvergensi dari deret1 + (x+ 2) +(x+ 2)2

2! +

(x+ 2)3

3! +....

. Tentukan himpunan konvergensi dari deret

n=1

1.2.3...n

1.3.5...(2n+ 1)x2n+1.

. Operasi pada Deret PangkatSetelah kita melihat bagaimanax dapat mempengaruhi konvergensi pada deret pangkat, kita sekarangmelihat bagaimana jika suatu deret pangkat dikenakan operasi yang sudah kita kenal sebelumnya, seperti

integral, turunan, dan operasi aljabar. Melalui berbagai macam operasi, kita akan dapatkan hampiran deret

dari berbagai fungsi transenden.

..Diferensial dan Integral Deret Pangkat

Operasi kalkulus pada deret pangkat diberikan dengan teorema berikut:

Teorema Operasi Kalkulus pada Deret PangkatMisalkanS(x)adalah deret pangkat dalam sebuah interval Isebagai berikut:

S(x) =

n=0

anxn =a0+a1x+a2x

2 +a3x3 +...

Maka, jikax berada pada selangI:

. Turunan deret pangkat

S(x) =n=0

Dx(anxn) =

n=0

nanxn1 =a1+ 2a2x+ 3a3x2 +...

. Integral deret pangkat

x0

S(t)dt= n=0

x0

antn dt= n=0

ann+ 1

xn+1 =a0x+12

a1x2 +13

a2x3 +14

a3x4 +...


36/88


Teorema mengatakan bahwaSdapat didiferensialkan dan diintegralkan. Dengan teorema, kita dapatmenurunkan berbagai hampiran deret dari berbagai fungsi.

Contoh Soal. Tentukan rumus deret tak hingga dariln(1 +x).Solusi.

x0

1

1 tdt= x

0 1dt+ x0 t dt+

x0 t

2

dt+...

=x+x2

2 +

x3

3 +...

= ln(1 x)

Jika kita gantikanxdengan xdan kita kalikan dengan 1sehingga kita peroleh rumus deret tak hinggauntuk fungsiln(1 +x):

ln(1 +x) =x x2

2 +

x3

3x

4

4 +...

Contoh Soal. Tentukan rumus dari deretS(x) = 1 +x+ x22! + x33! +....Solusi. Kita coba menurunkan deret tersebut.

S(x) = 1 +x+x2

2! +

x3

3! +...

Setelah diturunkan, kita mendapat informasi bahwa S(x) = S(x). Ingat kembali bahwa fungsi yangmemiliki turunan sama dengan fungsi itu sendiri adalah fungsi eksponen. Jadi fungsi tersebut adalahex.Kita bisa mencoba mengintegralkan deret tersebut untuk meyakinkan kita.

..Operasi Aljabar Deret Pangkat

Operasi aljabar pada deret tak hingga pun dapat diterapkan, seperti penjumlahan deret, pengurangan deret,perkalian deret, pembagian deret, bahkan komposisi deret. Untuk operasi dasar aljabar, kita cukup melihat

deret tak hingga sebagai polinom saja, dan lakukan operasi tersebut hingga orde yang diperlukan. Untuk

komposisi deret, lihat contoh berikut:

Contoh Soal. Tentukan rumus deret tak hingga dariex2 .Solusi. Kita mengetahui dari contoh soal bahwa:

ex = 1 +x+x2

2! +

x3

3! +...

Kita hanya melakukan substitusixdenganx2 sehingga:

ex2

= 1 +x2 +x4

2! +

x6

3! +...

..Soal Latihan

. Tentukan fungsi yang memenuhi deret1 + x2 +x4 +x6 +x8 +....

. Tentukan suku pertama deret tak hingga dari fungsi t

0

arctan t

t dt.

. Tentukan deret tak hingga dari fungsiarctan(ex 1).


37/88


. Deret Taylor dan Deret MaclaurinSetelah kita mempelajari tentang berbagai deret pangkat dan operasi yang dapat digunakannya, kita tentu

ingin mengetahui deret tak hingga dari fungsi-fungsi transenden lainnya, seperti sin xdancos x. Apakahkita dapat membuat deret pangkat untuk fungsi tersebut dix? Atau bahkan(x a)? Kita dapat misalkanadac0,c1,c2, ... yang memenuhi:

f(x) =c0+c1(x a) +c2(x a)2 +c3(x a)3 +...

Jika kita substitusikanx= a untuk mencari nilai kostanta, kita dapatkan:

c0=f(a),c1 = f(a),c2 =

f(a)2!

, sampai dengancn= f(n)(a)

n! .

Teorema Teorema KetunggalanJikafmemenuhi:

f(x) =c0+c1(x a) +c2(x a)2 +c3(x a)3 +...untuk semuaxyang berada pada selang di sekitara, maka:

cn=f(n)(a)

n!

Teorema tersebut mengatakan bahwa hanya ada satu deret pangkat (x a)untuk merepresentasikansatu fungsi. Maka dari itu teorema tersebut dikenal sebagai teorema ketunggalan. Representasi fungsi

dalam deret pangkat(x a)disebut Deret Taylor. Jikaa = 0, kita sebut Deret Maclaurin...Konvergensi Deret Taylor

Kita tahu bahwa bentuk umum dari Deret Taylor adalah:

f(x) =c0+c1(x a) +c2(x a)2 +c3(x a)3 +...

Ada satu istilah lagi yag harus kita ketahui terlebih dahulu yaitusuku sisa. Kedua teorema berikut akan

menjelaskan lebih lanjut mengenai Deret Taylor dan suku sisa.

Teorema Suku Sisa Deret TaylorMisalkanf(x)suatu fungsi dengan turunan ke-(n + 1)nya ada untuk setiapxdi selang terbukaIyangmemuata. Maka untuk setiapxdalamI:

f(x) =f(a) +f(a)(x a) + f(a)2!

(x a)2 +...+ f(n)(a)

n! (x a)n +Rn(x)

dengan suku sisaRn(x)didefinisikan oleh rumus:

Rn(x) =f(n+1)(c)

(n+ 1)!(x a)n+1

denganc berada di antarax dana.

Teorema mengatakan bahwa kita dapat menghampiri suatu nilai fungsi dengan Deret Taylor orde ter-tentu. Jelas hasilnya tidak persis sama ketika kita menghitung fungsi tersebut secara langsung dikarenakan

adanya suku sisa. Kita akan kembangkan teorema tersebut:


38/88


Teorema Teorema TaylorMisalkanf(x)fungsi dengan semua orde turunan di sebuah interval(a r, a+r). Deret Taylor:

f(a) =f(a)(x a) + f(a)2!

+f(a)

3! +...

merepresentasikan nilai fungsif(x)pada selang(a r, a+r)jika dan hanya jika:

limn

Rn(x) = 0

di manaRn(x)didefinisikan sebagai suku sisa:

Rn(x) =f(n+1)(c)

(n+ 1)!(x a)n+1

denganc barada pada selang(a

r, a+r).

..Deret Maclaurin

Perhatikan bahwa untuk Deret Maclaurin, teorema akan seperti berikut:

f(0) +f(0) +f(0)

2! x2 +

f(0)3!

x3 +...

Contoh Soal. Tentukan Deret Maclaurin untuk fungsisin xdan buktikan bahwa deret tersebutmerepresentasikansin xuntuk setiapx.Solusi. Kita lihat beberapa turunan darisin xdi sekitar titikx= 0.

f(x) = sin x f(0) = 0f(x) = cos x f(0) = 1

f(x) = sin x f(0) = 0f(x) = cos x f(0) = 1

f(4)(x) = sin x f(4)(0) = 0

dan seterusnya. Sehingga didapat:

sin x= x x3

3! +

x5

5! x

7

7! +..

Sekarang, akan dibuktikan bahwa deret tersebut benar untuk setiap xdengan meninjau suku sisa:

limn

Rn(x) = limn

f(n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1

Kita tahu bahwa turunan dari sin x hanyalah berkisar antara sin x atau cos x, atau kita dapat tulissebagai |f(n+1)(x)| = | cos x| atau |f(n+1)(x)| = | sin x|. Sehingga kita dapatkan:

|Rn(x)| |x|n+1

(n+ 1)!

Kita dapatkan limn

xn

n!

= 0untuk setiapx (verifikasi!), sehingga kita dapat simpulkan bahwa limit dari

suku sisa tersebut bernilai nol. Hal yang kita lakukan pada contoh soal dapat kita terapkan ke berbagai persamaan lainnya. Berikut

tabel mengenai Deret Maclaurin penting:


39/88


No. Fungsi Deret Maclaurin Syarat

. 1

1 x 1 +x+x2 +x3 +x4 +... 1< x


40/88

BabIrisan Kerucut dan Koordinat Polar

Dalam bab ini, kita akan mempelajari berbagai macam irisan kerucut, serta kita akan mengenali persamaan

baru, yaitu persamaan parametrik.

Gambar.: Beberapa Irisan Kerucut

. Irisan Kerucut

..Irisan Kerucut

Bayangkan ada dua buah kerucut yang disusun

seperti jam pasir. Lalu, kita "potong" kerucut terse-

but dengan potongan yang berbeda-beda seperti

pada gambar..

Pada permukaan untuk memotong kerucut terse-

but, sebutlah l adalah garis direktriksdan F kitasebuttitik fokus. Ambillah titikPsembarang, makakita definisikaneksentrisitassebagai perbandingan

panjang titikPke titikFdengan titikPke titikL.Lebih jelasnya, lihat gambar ..

|P F| =e|P L|

Gambar.: Irisan Kerucut beserta Eksentrisitasnya

Kita mempunyai tiga jenis irisan kerucut:

parabola(e = 1), elips(0 < e < 1), danhiperbola(e >1).


41/88


..Parabola

Irisan kerucut pertama yang akan kita bahas adalah

parabola. Sesuai dengan ciri khasnya (e = 1),parabola memiliki persamaan eksentrisitas:

|P F

|=

|P L

|Misalkan kita memilikiF(p, 0)dan garis diretriksx= p, kita gunakan persamaan jarak sehingga didapat:

Gambar.: Parabola

(x p)2 + (y 0)2 =

(x+p2) + (y y)2

(.)

y2 = 4px (.)

Persamaan (4.2) menunjukkan bentuk umumpersamaan parabola yang sudah kita kenal sebelum-

nya.

..Elips dan Hiperbola

Bagaimana jika e= 1? Misalkan titik fokusnyaF(c, 0), titikA(a, 0), titikA(a, 0), dan garis dire-triksx= k dengana,c, dankbilangan positif. Jelasbahwa A harus berada pada titikFdan garisx = k .Penyusunan titik dan garis tersebut dapat dilihat

pada gambar..

Gambar.: Penyusunan Titik dan Garis

Dengan menggunakan rumus eksentrisitas pada

kasus

(bagian atas gambar

.

), didapat:

a c= e(k a) =ek ea (.)

Serta dengan menggunakan rumus eksentrisitas

pada kasus (bagian bawah gambar.), didapat:

c a= e(a k) =ea ek (.)

Jika kita kalikan persamaan (4.4) dengan1,maka kita akan dapatkan persamaan(4.3). Selanjut-

nya, kita gunakan kembali persamaan eksentrisitasuntuk titikA(a, 0)dan F(c, 0)dan garisx = kdidapat:

a +c= e(k+a) =ek +ea (.)

Gambar.: Ilustrasi0 < e asehinggaF terdapat pada sebelah kiriA dan

garis direktriksx= k terdapat pada sebelah kananA. Begitu pula sebaliknya untuke > 1. Sehinggakita dapatkan bentuk seperti pada gambar ..


42/88


Sekarang misalkan titikP(x, y)adalah titik sem-barang pada kedua irisan kerucut tersebut. Maka

La

e, y

adalah proyeksi pada garis diretriks.

(x ae)2 +y2 =ex

a

e2

(.)

x2 2aex+a2e2 +y2 =e2

x2 2ae

x+a2

e2

(.)

(1 e2)x2 +y2 =a2(1 e2) (.)x2

a2+

y2

a2(1 e2)= 1 (.)

sehingga kita dapatkan bentuk umum elips:

x2

a2+

y2

b2 = 1

dan hiperbola:x2

a2 y

2

b2 = 1

dengana danb berturut-turut menyatakanjari-jari mayordan jari-jari minor.

Gambar.: Elips dan Hiperbola

..Soal Latihan

. Tentukan koordinat titik fokus dan garis diretriks dari parabola6y 2x2 = 0. Sketsa grafiknya.. Tentukan persamaan elips dengan titik fokus(6, 0)dan eksentrisitas 2

3.

. Tentukan persamaan hiperbola dengan asimptot2x 4y = 0dan titik(8, 0).

. Persamaan Parametrik Kurva dalam BidangTerkadang untuk mendefinisikan suatu fungsi yang cukup rumit, kita cukup kesulitan untuk mendefinisikan

persamaan Cartesius yang memenuhi. Maka dari itu, kita dapat gunakan variabel bantu yang menyatakan

koordinat x dan y, misalkan t. Hal tersebut yang kita sebut denganpersamaan parameter.

..Parametrisasi Kurva

Kurva dalam bidang dapat kita definisikan sebagai fungsi parameter:

x= f(t), , y= g(t), t Idenganfdang kontinu dalam selangI. BiasanyaIadalah selang tertutup[a, b]dantkita sebut sebagai

parameter. Dalam kasus tersebut, makaP(f(a), g(a)) disebut titik awal danQ(f(b), g(b)) disebut titikakhir.

Ada berbagai macam istilah kurva yang dibentuk oleh fungsi parameter.


43/88


Kurva dikatakantertutupjika titik awal sama dengan titik akhir. Kurva dikatakansederhanajika setiap titik hanya dilewati satu kali saja.

Dari persamaan parameter, kita dapat mengidentifikasi kurva dengan mengeliminasi parameter tersebut.

Contoh Soal. Eliminasi parameterx= t2 + 2tdan y =t 3di interval 2 t 3.Solusi. Dari persamaan kedua, kita dapatkant = y + 3. Substitusi ke persamaan kita dapatkan:

x= (y+ 3)2 + 2(y+ 3) =y2 + 8y+ 15 x+ 1 = (y+ 4)2

Sehingga persamaan tersebut adalah persamaan parabola terbuka ke kanan (verifikasi).

Namun, apa guna dari intervalt di contoh soal ? interval tersebut menyatakan orientasidari grafiktersebut. Sebagai analogi, bayangkantadalah waktu dan kita sedang mengendarai mobil mulai titik awalhingga titik akhir. Orientasiyang dimaksud adalah arah mobil kita berjalan.

..Sikloida

Ketika kita membahas fungsi parametrik, kita akan membahas suatu grafik unik, yaitu sikloid. Sikloid

secara umum didefinisikan sebagaikurva jejakdari sebuah titik jika sebuah lingkaran "digelindingkan"sepanjang sumbu-X. Perhatikan gambar..:

Gambar.: Sikloid

Persamaan parametrik dari sikloid tersebut adalah:

x= a(t sin t) y= a(1 cos t) t >0

(verifikasi)

..Kalkulus Parametrik

Dalam persamaan parameter, kalkulus parametrik (seperti limit, turunan, dan integral) terhadap parameter

tdilakukan dengan melakukan operasi kalkulus tersebut per komponen parameter. Namun, untuk mencariturunan fungsiy terhadapx dengan parametert, kita gunakan teorema tersebut:

Teorema Turunan Fungsi ParametrikMisalkanf(t)dan g(t)dapat diturunkan denganf(t) = 0dalam selanga < t < b. Maka kita dapatdefinisikan turunany terhadapx dengan persamaan parametrikx= f(t)dan y =g(t)sebagai:

dy

dx=

dy/dt

dx/dt

..Soal Latihan. Tentukan bentuk kurva beserta ciri khasnya dari persamaan parametrikx= 4t 2,y = 2t, dengan

0 t 3.


44/88


. Tentukan dy

dx tanpa mengeliminasi parameter dari persamaan parameter x =

2

1 +t2 dan y =

2

t(1 +t2)dengant = 0.

. Hitunglah luas daerah yang dibentuk oleh sikloida darix = 0sampaix= 2a.

. Sistem Koordinat PolarKita jelas sudah familiar dengan sistem koordinat Cartesius dengan parameterx dany. Namun, apa yangterjadi ketika parameternya kita ubah menjadir dan? Nah, sistem koordinat tersebut yang kita sebutsebagaiSistem Koordinat Polar.

..Sistem Koordinat Cartesius dan Polar

Pada dasarnya, perubahan sistem koordinat sebenarnya hanya mengubah sudut pandang saja. Bentuk dari

sistem koordinat polar dapat dilihat pada gambar..

Gambar.: Sistem Koordinat Polar

Persamaan yang "menjembatani" sistem koordinat Cartesius dengan sistem koordinat Polar adalah bentuk

umum lingkaran dan persamaan parametriknya. Berikut persamaan yang digunakan untuk mengubah

kedua sistem koordinat tersebut.

Cartesius Polar

x r cos y r sin

x2 +y2 r2

arctany

x

Contoh Soal. Tentukan persamaan polar dari lingkaran berjari-jariaberpusat di(0, 0).

Solusi. Kita tahu sebelumnya bahwa persamaan kartesius untuk kasus tersebut adalah:

x2 +y2 =a2

Kita gantikan dengan koordinat polar menjadi:

r2 cos2 +r2 sin2 = a2

Karenacos2 + sin2 = 1sehingga:r2 =a2 r= a

karenaa >0.


45/88


..Beberapa Persamaan Polar Umum

Kita dapat definisikan berbagai bentuk umum persamaan yang ada di sistem koordinat Cartesius sebagai

berikut:

Gambar.: Beberapa Persamaan Polar Umum

..Soal Latihan

Ubah persamaan polar tersebut ke dalam persamaan Cartesius dan gambarkan persamaan berikut! Bila

persamaan membentuk irisan kerucut, tentukan eksentrisitasnya!

. r= 3

sin .

. r= 4cos .

. r=

4

2 + 2 cos( /3) .


46/88

BabGeometri dalam Dimensi Tiga

Gambar .: Pembagian

Oktan pada Ruang Tiga

Kita sudah mengenal berbagai macam bentuk bidang datar di bab sebelumnya,

hingga tinjauan segi kalkulusnya, seperti luas daerah di bawah kurva, dan lain-lain.Dalam bab ini, kita akan meninjau sistem koordinat Cartesius berdimensi tiga,

khususnya dari segi vektor serta garis dan bidang singgung. Setelah itu, kita akan

melihat beberapa bentuk umum persamaan permukaan di ruang.

. Sistem Koordinat Kartesius dan Vektor

..Sistem Kartesius di Ruang Tiga

Kita definisikan persamaan jarak pada ruang tiga terlebih dahulu. Misalkan

P1(x1, y1, z1)dan P2(x2, y2, z2)maka jarak dari titikP1ke titikP2adalah:

|P1P2| =

(x2 x1)2 + (y2 y1)2 + (z2 z1)2Selanjutnya, kita akan lihat persamaan umum dari bidang di ruang tiga:

Ax+By +Cz= 0 A,B,C= 0Lalu persamaan untuk bola berjari-jarir dan berpusat di(a,b,c)adalah:

(x a)2 + (y b)2 + (z c)2 =r2

Persamaan umum tersebut hanya sebagian kecil dari persamaan permukaan di ruang tiga. Kita akan

mempelajarinya lebih detail di subbab ...

..Vektor

...Sifat Vektor

Kita akan sedikit mengulang apa yang sudah kita pelajari pada saat SMA.Vektoradalah salah satu jenis

besaran yang menunjukkan besaran dan arah. Sifat-sifat aljabar vektor adalah sebagai berikut:

Teorema Sifat Aljabar VektorUntuk setiap vektor u , v, dan w dan skalara danb, berlaku sifat-sifat berikut:

.u + v = v + u. (u + v) + w = u + (v + w ).u + 0 = 0 + u = u.u + (u ) = 0. a(bu ) = (ab)u

. a(u + v) =au +av

. (a +b)u =au +bu

. 1u = u.au = |a| u


47/88


Selanjutnya kita definisikan vektor satuan yaitu vektor yang mempunyai panjang 1. Vektro satuanseringkali digunakan untuk menentukan arah vektor lainnya.

Vektor satuan u dinotasikan dengan u. Beberapa vektor satuan umum antara lain:

i= (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0) k= (0, 0, 1)

Perkalian dalam vektor dibagi menjadi dua, yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross

product).

...Hasil Kali Titik

Ingat kembali bahwa hasil kali titik dari dua buah vektor u = (u1, u2)dan v = (v1, v2)di R2 adalah:u

v =u1v1+u2v2

Perhatikan bahwa hasil kali titik vektor akan bernilai skalar.

Berikut sifat-sifat dari hasil kali titik:

Teorema Sifat Hasil Kali TitikJika u , v, dan w adalah vektor danc skalar, maka:

.u v = v u. c(u v) = (cu ) v.u u = u 2

.u (v + w ) = u v + u w

.0 u = 0

Kita dapatkan satu sifat baru dari hasil kali titik yang berhubungan dengan panjang vektornya.

Teorema Hasil Kali Titik dengan Panjang VektorJika adalah sudut tak negatif terkecil di antara vektor tak nol u dan v, maka:

u v = u v cos

Dari teorema tersebut, kita mendapat sifat baru dari hasil kali titik.

Teorema Hasil Kali Titik dari Dua Vektor Tegak LurusDua vektor u dan v akan tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya bernilai 0.Vektor yang saling tegak lurus disebut jugaortogonal.

...Hasil Kali Silang

Berbeda dengan hasil kali titik pada vektor, hasil kali silang pada vektor memberikan keluaran berupa

vektor. Ingat kembali, misalkan vektor u dan v di R3, maka hasil kali silangnya adalah:u v = (u2v3 u3v2, u3v1 u1v3, u1v2 u2v1)


48/88


atau dalam bentuk determinan:

u v =

i j ku1 u2 u3v1 v2 v3

Adapun beberapa sifat dari hasil kali silang sebagai berikut:

Teorema Sifat Hasil Kali SilangMisal u dan v vektor dan adalah sudut apit dari kedua vektor tersebut, maka:

.u (u v) = 0 =v(u v), dengankata lain, u v tegak lurus dengan u danv.

.u v = u u sin . Sehinggau v =0 jika dan hanya jikau danv sejajar.

.u v = (v u )

.u (v + w ) = (u v) + (u w ). k(u v) = (ku ) v

.u 0 = 0 u = 0. (

u

v)

w =u

(v

w )

.u (v w ) = (u w )v (u v)w

..Soal Latihan

. Sketsa grafik permukaan3x+ 4z= 12.

. Tunjukkan vektor a = (1, 1, 1), b = (1, 1, 0), c = (1, 1, 2)saling ortogonal.

. Tentukan semua vektor yang sejajar dengan vektor a = (

2, 5,

2), dan

b = (3,

2, 4).

. Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Kurvilinier

Fungsi bernilai vektor (biasanya dinotasikanF(t)) mempunyai input berupa skalar dan output berupa

vektor. Sama seperti fungsi skalar yang sudah kita pelajari sebelumnya, fungsi bernilai vektor dapat

dikenakan operasi-operasi aljabar dan kalkulus dasar.

..Kalkulus Fungsi Bernilai Vektor

...Limit Fungsi Bernilai Vektor

Kita definisikan limit bernilai vektor sebagai berikut:

Definisi Limit Fungsi Bernilai Vektorlimtc

F(t) =

L berarti untuk setiap >0 (tidak peduli seberapa kecilnya), ada >0 sehingga:

0< |t c| < F(t) L <

Namun, untuk mencari limit dari fungsi bernilai vektor, kita dapat pergunakan teorema .


49/88


Teorema Limit Fungsi Bernilai VektorMisal

F =f(t)i + g(t)j+ h(t)k.

Fpunya limit dicjika dan hanya jika fungsif,g, danhpunya limit

dic. Dalam kasus ini:

limtc

F(t) = lim

tcf(t) i + lim

tcg(t) j+ lim

tch(t) k

Inti dari teorema adalah, kita dapat menghitung limit fungsi bernilai vektor dengan menghitung limit

dari tiap komponen vektor tersebut di titik yang kita ingin hitung limitnya.

Perlu diketahui bahwa sifat-sifat limit masih berlaku dalam fungsi bernilai vektor.

...Turunan Fungsi Bernilai Vektor

Jika kita dapat mendefinisikan limit dari suatu fungsi bernilai vektor, maka kita jelas dapat mendefin-

isikan turunan dari fungsi bernilai vektor (karena turunan fungsi berasal dari limit). Sehingga kita dapat

menggunakan teorema untuk perhitungan turunan fungsi bernilai vektor.

Teorema Turunan Fungsi Bernilai VektorMisal

F =f(t)i + g(t)j+ h(t)k.

Fpunya turunan dicjika dan hanya jika fungsif,g, danhpunya

turunan dic. Dalam kasus ini:

F(t) =f(t)i +g(t)j+h(t)k

Perlu diketahui bahwa sifat-sifat turunan masih berlaku dalam fungsi bernilai vektor.

...Integral Fungsi Bernilai Vektor

Jika turunan sudah terdefinisi pada fungsi bernilai vektor, maka jelas bahwa anti-turunannya dapat kita

definisikan pula dalam fungsi bernilai vektor.

Teorema Integral Fungsi Bernilai VektorMisal

F =f(t)i + g(t)j+ h(t)k. Integral tak tentu dan integral tentu dari

F(t)berturut-turut adalah:

F(t)dt=

f(t)dt

i +

g(t)dt

j+

h(t)dt

k

ba

F(t)dt=

ba

f(t)dt

i +

ba

g(t)dt

j+

ba

h(t)dt

k

Contoh Soal. Tentukan turunan dan integral tak tentu dari fungsi bernilai vektorF(t) =t2i +

etj 2k!Solusi. Turunan dari

F(t)adalah:

F(t) = 2ti etjSedangkan integral dari

F(t)adalah:

F(t)dt=

t3

3 +C1

i (et +C2)j (2t+C3)k


50/88


..Gerak Kurvilinier

Salah satu aplikasi dari fungsi bernilai vektor adalah gerak kurvilinier. Gerak kurvilinier sebenarnya sudah

kita kenal pada saat kita belajar Fisika saat SMA. Posisi, kecepatan, percepatan, dan lainnya adalah elemen

penting dari gerak kurvilinier.

DIberikan persamaan parametrikx= f(t),y =g(t), danz=h(t). Persamaan posisi dari sebuah partikelpada saattadalah: r(t) =f(t)i +g(t)j+h(t)kMungkin kita sudah dapat menebak persamaan kecepatan dan percepatan pada saat t dari partikel

tersebut didefinisikan oleh:

v(t) = ddt

r(t) = ddt

f(t)i + d

dtg(t)j+

d

dth(t)k

a(t) = ddt

v(t) = d2

dt2r(t) = d

2

dt2f(t)i +

d2

dt2g(t)j+

d2

dt2h(t)k

Perlu diperhatikan bahwa persamaan-persamaan yang sudah diberikan adalah besaran vektor. Besaranskalar dari r(t)dapat kita sebut sebagai jarak tempuhpartikel tersebut, dinotasikan r(t)|. Kita defin-isikan jugakelajuansebagai besaran skalar dari kecepatan, dinotasikan v(t)|. Dengan notasi yang sudahdiberikan, yang tidak lain adalahpanjang vektornya, maka persamaan r(t)| dan v(t)| tak lain adalah:

r(t)| =

(f(t))2 + (g(t))2 + (h(t))2

v(t)| =

(f(t))2 + (g(t))2 + (h(t))2

..Soal Latihan

. Daerah definisi dari fungsi bernilai vektor adalahirisandari semua daerah definisi fungsi tiap-tiap

komponennya. Tentukan daerah definisi dari:r(t) = ln(t 1)i + 20 tj

. Tentukan kelajuan, kecepatan, dan percepatan dari fungsi posisi berikut pada saatt= 0:

r(t) =ti + (t 1)2j+ (t 3)3k

. Tunjukkan bahwa r(t)| konstan jika dan hanya jika r r(t) = 0.

. Garis Singgung di Ruang

..Persamaan Simetrik

Kita kembali ke persamaan parametrik. Kita ketahui sebelumnya bahwa persamaan parameter untuk garis

yang mempunyaivektor arahv adalah: r = r 0+tvBila kita tuliskanr = (x,y,z) danr 0 = (x0, y0, z0) serta vektor arahnyav = (a,b,c), maka kitadefinisikan bilangana,b, dancsebagaibilangan arahdari garis r.

Jika kita ubah persamaan parametrik tiap-tiap komponen pada garis ke dalam fungsitdan didapat:

x x0a

=y y0

b =

z z0c

Persamaan tersebut yang kita sebut sebagaipersamaan simetrik. Persamaan tersebut mengatakan bahwa

perpotongan dari bidangx x0

a =

y y0b

dengany y0

b =

z z0c

adalah garis r . Perhatikan ilustrasipada gambar.di halaman selanjutnya.


51/88


Contoh Soal. Tentukan persamaan simetrik dari garis perpotongan dengan bidang2x y 5z=14dan 4x+ 5y+ 4z= 28.Solusi.Akan dicari terlebih dahulu dua titik pada garis. Untukx = 0kita dapatkan SPL y 5z= 14dan5y + 4z= 28dan didapat solusi(0, 4, 2). Dengan cara yang sama kita misalkany = 0sehingga didapattitik(3, 0, 4). Sebuah vektor yang sejajar dengan garis yang akan dicari adalah:

(3 0, 0 4, 4 2) = (3, 4, 2)Sehingga persamaan simetrik yang didapat adalah:

x 33

= y

4=z 4

2

Alternatif cara: kita gunakan cross productdari vektor normal pada kedua bidang. Setelah itu kita cari

kembali satu titik lainnya. Hasil kali silang dari kedua vektor normal pada bidang menyatakan vektor arah

pada garis yang kita ingin cari, sedangkan titik lainnya berfungsi sebagai titik awal pada garis tersebut.

Sehingga kita bisa dapatkan persamaan simetriknya menggunakan informasi yang kita sudah ketahui.

..Garis Singgung terhadap Kurva

Misalkan kita diberikan vektor posisi:

r(t) =f(t)i +g(t)j+h(t)kMaka kita definisikan garis singgung s terhadap kurva r di titikP(x0, y0, z0)sebagai:

s =P+ v tdengan vektor arah v merukapanturunandari r(t).

Gambar.: Ilustrasi Persamaan Simetrik

..Soal Latihan. Tentukan persamaan simetrik dari garis

yanga melewati titik (2, 4, 5) dan sejajardengan bidang 3x+ y 2z = 5 dan tegaklurus dengan garis:

x+ 8

2 =

y 53

=z 1

1. Tentukan persamaan simetrik dan garis

singgung pada kurva:

r(t) = 2 cos ti + 6 sin tj+tksaatt =

3.

. Diberikan kurva r(t) = 2ti + t2j + (1 t2)k.a) Tunjukkan bahwa kurva tersebut berada pada sebuah bidang. Tentukan pula bidangnya.

b) Di manakah garis singgung kurva saatt = 2berpotongan dengan bidang-xy?

. Permukaan di RuangSubbab ini adalah pengantar untuk melaju ke bab selanjutnya, yaitu tentang turunan dua peubah atau lebih.

Kita sebelumnya sudah mengetahui bahwa fungsi dengan dua peubah atau lebih menghasilkan dimensiyang lebih tinggi dalam bentuk nyatanya. Sebagai contoh, fungsi dengan dua peubah akan menghasilkan

sebuah permukaan di R3. Dalam subbab ini, kita akan membahas beberapa bentuk umum persamaan

permukaan di ruang berikut perpotongannya dalam berbagai bidang.


52/88


..Elipsoida

Bentuk umum x2

a2+

y2

b2 +

z2

c2 = 1

Gambar

Perpotongan

bidang-xy

Elips

Perpotongan

bidang-xz

Elips

Perpotongan

bidang-yz

Elips

Perpotongan

bidang sejajar-xy

Elips, titik, atau him-

punan kosong

Perpotongan

bidang sejajar-xz


punan kosong

Perpotongan

bidang sejajar-yz


punan kosong

..Hiperboloida Berdaun Satu

Bentuk umum x2

a2+

y2

b2 z

2

c2 = 1

Gambar

Perpotongan

bidang-xy

Elips

Perpotongan

bidang-xz

Hiperbola

Perpotongan

bidang-yz

Hiperbola

Perpotongan

bidang sejajar-xy

Elips

Perpotongan

bidang sejajar-xz

Hiperbola

Perpotongan

bida

116866_catatan kuliah matematika iia

Documents