2932 april matematika banjar1

7/24/2019 2932 April Matematika Banjar1

1/9

Reduksi Rank pada Matriks-Matriks Tertentu

E. Apriliani, B. Ari Sanjaya

September 6, 2007

Abstract. Dekomposisi nilai singular (Singular Value Decomposition -SVD) adalah suatu metode untuk menuliskan suatu matriks dalam bentukperkalian antara matriks diagonal yang berisi nilai-nilai singularnya ( D ),dengan matriks yang berisi vector-vektor singular yang bersesuaian (U danV). Suatu matriks setelah dituliskan dalam matriks diagonal nilai singulardan matriks vector singularnya dapat dilakukan reduksi rank pada matriksdiagonal nilai singularnya. Reduksi rank ini bermanfaat untuk mengurangiwaktu komputasi suatu algoritma yang membutuhkan perkalian matriks.Pada penelitian ini akan dilakukan reduksi rank untuk beberapa matriks ter-tentu. Matriks A yang dikaji berupa matriks diagonal, matriks tridiagonaldan full matriks. Akan dikaji kaitan antara reduksi rank dan tingkat akurasipenyelesaian serta waktu komputasi. Simulasi dilakukan dengan bantuanMatlab.

Key-words: reduksi rank, dekomposisi nilai singular, sistem persamaanlinear

1 Pendahuluan

Perkalian dua buah matriks atau lebih sering sekali dilakukan pada penyelesa-ian masalah-masalah dalam bidang matematika maupun penerapan matem-

atika. Untuk matriks ukuran besar, perkalian matriks membutuhkan waktukomputasi yang cukup lama. Oleh karena itu perlu suatu metode untuk men-gurangi waktu komputasi tersebut, salah satunya dengan melakukan reduksirank suatu matriks yang telah didekomposisi.

Dekomposisi nilai singular (Singular Value Decomposition-SVD) meru-pakan metode dekomposisi yang sering dilakukan. Pada metode ini suatumatriks dituliskan dalam bentuk perkalian antara matriks diagonal yangberisi nilai-nilai singularnya ( D ), dengan matriks yang berisi vector-vektor

Jurusan Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Indonesia

1


2/9

singular yang bersesuaian (U dan V). Reduksi rank dilakukan pada matriks

diagonal nilai singularnya. Reduksi rank ini bermanfaat untuk mengurangiwaktu komputasi suatu algoritma yang membutuhkan perkalian matriks.

Pada penelitian ini dilakukan reduksi rank untuk beberapa matriks ter-tentu. Matriks A yang dikaji berupa matriks diagonal, matriks tridiago-nal. Akan dikaji kaitan antara reduksi rank dan tingkat akurasi penyelesaianserta waktu komputasi. Simulasi dilakukan dengan bantuan Matlab. Se-dangkan penerapan reduksi rank pada sistem persamaan linear belum dapatdilakukan, masih memerlukan kajian lebih lanjut.

2 Dekomposisi Nilai SingularKeberadaan dari dekomposisi nilai singular (Singular Value Decomposition-SVD) suatu matriks dinyatakan oleh teorema berikut.Teorema 1 Jika Amn suatu matriks real maka terdapat matriks-matriksortogonal

U= [u1,...,um] Rmm

danV = [v1,...,vn] R

nn

sedemikian hingga

UTAV =diag(1,...,p) Rmn

dengan p= min{m, n},dan 1 2 ... p0

Teorema tersebut juga menyatakan bahwa matriks Amn dapat diny-atakan sebagai dekomposisi matriks yaitu matriks U, D dan V. Matriks Dmerupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya berupa nilai-nilaisingular matriksA, sedangkan matriksUdan V merupakan matriks-matriksyang kolom-kolomnya berupa vektor singular kiri dan vektor singular kanandari matriks Auntuk nilai singular yang bersesuaian.

3 Reduksi Rank Suatu Matriks

Reduksi rank merupakan salah satu cara untuk mengurangi waktu komputasisuatu perkalian matriks. Misalkan diberikan matriks realAmn, reduksi rankdari matriks tersebut dapat dilakukan dengan cara berikut:

2


3/9

1. Lakukan dekomposisi nilai singular dari matriksA [U,D,V] =svd(A),

artinyaA= U DVT, denganDadalah matriks diagonal yang berisi nilaisingular dari matriks A, sedangkan U, V matriks-matriks yang berisivektor-vektor singular dari A yang berkaitan dengan nilai singularnya.

2. Reduksi rank dilakukan pada matriks diagonal D. Misalnya matriksD berukuranq qadalah reduksi dari matriks D, didefinisikan D =D(1 : q, 1 : q) dengan q < min{n, m}. Matriks A = UD(V)T

merupakan matriks reduksi rank dari matriks A. Misalkan

D=

1 0 ... 0 00 2 0 ... 0. . . ... .

. . ... q .

. . . ... p0 0 ... 0 0

dengan 1 2 ... q ... p 0, maka

Dqq =

1 0 ... 0 00 2 0 ... 0. . . ... .

. . ... . .. . . ... .

0 0 ... 0 q

Umq =

u11 u12 ... u

1q1 u

1q

u21 u22 ... u

2q1 u

2q

. . ... . .

. . ... . .

. . ... . .

um1 um2 ... u

mq1 u

mq

Vmq =

v1

1 v1

2 . .. v1

q1 v1

q

v21 v22 . .. v

2q1 v

2q

. . ... . .

. . ... . .

. . ... . .

vm1 vm2 ... v

mq1 v

mq

Sehingga matriksA merupakan matriks yang berukuranm ndenganrank q.

3


4/9

Pada Golub[1] telah ditunjukkan norm selisih dari matriks tereduksi dan

matriks awalnya sebagaimana teorema berikut:Teorema 2

Misalkan diberikan [U,D,V] = svd(A). Jika k < n = rank(A) dan Ak =ki=1iuiv

Ti maka ||AAk||= k+1.

Pada penelitian ini didefinisikan, suatu matriks dikatakan dapat direduksijika matriks tereduksi tersebut mempunyai rank q, dengan q < 2

3min{m, n}

dan ||AA||||A||


5/9

25 30 35 40 45 500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Kesalahan Relatif dari Reduksi

Jumlah Rank

NilaiKesalahan

Figure 1: Kesalahan Relatif Reduksi Rank Full Matriks

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30Nilai Singular Matriks A

Nilai Singular ke

BesarNilaiSingular

Figure 2: Nilai Singular Untuk Full Matriks

Untuk matriks A yang singular atau beukan matriks bujur sangkarmaka harus dicari pseudo-invers dari matriks A terlebih dahulu.

Dengan melakukan reduksi rank A = UD(V)T maka harus dicaripseudo-invers dari A terlebih dahulu sebelum dikalikan denganb.

5


6/9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5


Nilai Singular ke

BesarNilaiSingular

Figure 3: Nilai Singular Matriks Diagonal

25 30 35 40 45 500

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07


Jumlah Rank

NilaiKesalahan

Figure 4: Kesalahan Relatif Reduksi Rank Matriks Diagonal

5 Kesimpulan

Berdasarkan kajian teori dan hasil simulasi diperoleh kesimpulan sebagaiberikut:

1. Reduksi Rank dapat dilakukan dengan kesalahan relatif yang kecil jikanilai singular mempunyai loncatan nilai antara q keq+1

6


7/9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Nilai Singular ke

BesarNilaiSingular

Figure 5: Nilai Singular Matriks Tridiagonal

25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Jumlah Rank

NilaiKesalahan

Figure 6: Kesalahan Relatif Reduksi rank Matriks Tridiagonal elemen DiagonalNol

2. Untuk matriks diagonal reduksi rank akan memberikan kesalahan re-latif yang lebih besar

3. Penerapan reduksi rank pada masalah sistem persamaan linear masihdiperlukan kajian dan simulasi lebih lanjut.

7


8/9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30


Nilai Singular ke

BesarNilaiSingular

Figure 7: Nilai Singular Matriks Tridiagonal elemen Diagonal Nol

25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Jumlah Rank

NilaiKesalahan

Figure 8: Kesalahan Relatif Reduksi rank Matriks Tridiagonal Simetri

Daftar Pustaka

[1] Golub, G.H. and Van Loan, C.F.,1989, Matrix Computation,The JohnsHopskins University Press

[2] Apriliani, E.,2001,The Application of the Modified RRSQRT Filter onOne Dimensional Shallow Water Problem; Proc ITB,Vol34,no 1.

8


9/9

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


Nilai Singular ke

BesarNilaiSingular

Figure 9: Nilai Singular Matriks Tridiagonal Simetri

25 30 35 40 45 500

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


Jumlah Rank

NilaiKesalahan

Figure 10: Kesalahan Relatif Reduksi rank Matriks Tridiagonal

9

2932 april matematika banjar1

Documents