4 - aplikasi turunan.pdf

19
7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 1/19  Koko Martono – FMIPA - ITB 001 Masalah laju terkait melibatkan dua peubah  x dan  y yang terikat secara implisit, keduanya merupakan fungsi dari peubah ketiga . Setelah persa- maan yang mengaitkan  x dan  y diperoleh, jika diketahui laju perubahan  x terhadap , maka dapat ditentukan laju perubahan y terhadap . Dalam menyelesaikan masalah laju terkait, lakukan langkah berikut.  Buatlah sketsa gambar situasinya bilamana membantu.  Identifikasi  semua   peubah  yang  relevan,  termasuk  laju   perubahan  yang diketahui dan yang akan ditentukan.  Tentukan suatu persamaan yang mengaitkan peubahnya dan tentukan turunannya terhadap peubah ketiga secara implisit.  Tentukan laju perubahan yang akan dicari. Contoh Sebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding yang tegak lu- rus lantai horisontal. Jika saat ujung tangga 4 meter dari lantai laju meluncur ujung tangga pada dinding 1 m/det, tentukan laju meluncur tangga pada lantai. dinding dy dt   y m tangga  x m  permukaan lantai Misalkan saat  jarak ujung tangga ke lantai adalah  y m dan jarak ujung tangga ke dinding adalah  x m, yang ber- ubah terhadap waktu. Karena panjang tangga 5 m, maka 2 2 25  x y + =  2 2 0 dy dx dt dt   x y + =  Dengan data y = 4 m, x = 3 m, dan 1 dy dt  = -  m/det diperoleh 23 24(1) 0 dx dt ◊ ◊ + ◊ ◊ - = , sehingga 4 3 dx dt  =  m/det. dx dt  

Upload: estykusumawardhany

Post on 19-Feb-2018

266 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 1/19

  Koko Martono – FMIPA - ITB 

001 

Masalah laju terkait melibatkan dua peubah x dan y yang terikat secaraimplisit, keduanya merupakan fungsi dari peubah ketiga t . Setelah persa-maan yang mengaitkan x dan y diperoleh, jika diketahui laju perubahan

 x terhadap t , maka dapat ditentukan laju perubahan y terhadap t .

Dalam menyelesaikan masalah laju terkait, lakukan langkah berikut. Buatlah sketsa gambar situasinya bilamana membantu.

 Identifikasi semua  peubah yang relevan, termasuk  laju  perubahan yangdiketahui dan yang akan ditentukan.

 Tentukan suatu persamaan yang mengaitkan peubahnya dan tentukanturunannya terhadap peubah ketiga secara implisit.

 Tentukan laju perubahan yang akan dicari.

Contoh  Sebuah tangga panjangnya 5 m bersandar pada dinding yang tegak lu-rus lantai horisontal. Jika saat ujung tangga 4 meter dari lantai laju meluncur

ujung tangga pada dinding 1 m/det, tentukan laju meluncur tangga pada lantai.dinding

dy

dt  

 y m

tangga

 x m permukaan lantai

Misalkan saat t  jarak ujung tangga ke lantai adalah  y mdan jarak ujung tangga ke dinding adalah x m, yang ber-ubah terhadap waktu. Karena panjang tangga 5 m, maka

2 2 25 x y+ =  

2 2 0dydx

dt dt   x y+ =  

Dengan data y = 4 m, x = 3 m, dan 1dy

dt   = -  m/det diperoleh

2 3 2 4 ( 1) 0dx

dt ◊ ◊ + ◊ ◊ - = , sehingga

43

dx

dt   =  m/det.

dx

dt  

Page 2: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 2/19

 APL  TUR

002

Contoh  Seorang berdiri di atas bangunan tepi pantai mengawasi perahu motor

yang bergerak ke arah pantai tepat di bawahnya dengan sebuah teropong. Jikatinggi teropong 25 m di atas permukaan laut dan perahu mendekat dengan laju2 m/det, tentukan laju perubahan sudut teropong saat perahu 25 m dari pantai.

teropong

25 m

 pantai

 x m

Misalkan saat t  jarak perahu ke pantai adalah x m dan sudut antara teropong dengan garis ver-tikal adalah q  rad.

Akan ditentukan d 

dt 

q  saat x = 25 m dan 

dx

dt  = -2

m/det ( x berkurang seiring waktu)

Dari25

tan x

q  =  diperoleh 2 125

secd dx

dt dt  

q q    = .

Karena untuk x = 25 m diperoleh1

4q p =  rad,

maka sec2q  = 2.

Dengan data 2sec 2q  =  dan 

dx

dt  = -2 m/det diperoleh

125

2 ( 2)d 

dt 

q = - , sehingga

125

0,04d 

dt 

q = - = -  rad/det. (q  berkurang seiring waktu) 

Contoh  Sebuah kerucut lingkaran tegak terbalik jari-jarinya 10 cm dan tinggi-nya 20 cm  penuh  berisi air. Jika  puncaknya dilubangi sehingga air keluar denganlaju 5 cc/det, tentukan laju turunnya permukaan air saat tinggi air 5 cm dari atas.

  10 cm

20 cmh

r  dV 

dt   = -5 cc/det

Misalkan saat t  tinggi  permukaan air   pada kerucutadalah h = h(t ) cm dan jari-jarinya adalah r  = r (t )

cm, maka volume airnya adalah1 2

3V r hp =  cc.

Akan ditentukan dh

dt 

 untuk h = 15 cm dan dV 

dt 

  = -5

cc/det (V  berkurang seiring waktu).

Dari1020

h =  diperoleh

1

2r h= , sehingga volume

airnya adalah ( )21 1 1 3

3 3 12V h h hp p = = . Akibatnya

1 12 2

12 43

dV dh dh

dt dt dt  h hp p = ◊ = .

Dengan data h = 15 cm dandV 

dt   = -5 cc/det diperoleh

2

4 4 4

225 45( 5) 0,03

dh dV  

dt dt  h   p p p    ◊= ◊ = - = - = -  cc/det (h berkurang seiring waktu)

 

 q  

dx

dt  l   a u  t 

Page 3: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 3/19

 APL  TUR

003

Titik Kritis, Kemonotonan, dan Titik Ekstrim 

 Fungsi y   f  ( x) kontinu pada selang terbuka I  

Tanda  f   ( x)  Nilai  f  ( x)  Fungsi  f   Contoh

 positif (+)  membesarmonoton

naik

negatif (-)  mengecilmonoton

turun

maksimum  maksimummutlak   kurva f   bukan lokal

maksimum ekstrimlokal

 bukan bukan

ekstrim titik kritisminimumlokal

minimum mutlak

c1  c2  c3  c4  c5  c6  c7  c8  c9   x 

Titik Kritis  Fungsi y =  f  ( x) mencapai titik kritis di c pada selang terbu-

ka I  jika f  ¢(c) = 0 (titik stasioner) atau f  ¢(c) tidak ada.

 Ekstrim Lokal   Fungsi y =  f  ( x) yang daerah asalnya D mencapai

  maksimum lokal  di c Œ  D jika terdapat selang terbuka  I  yang memuatc sehingga f  ( x) £  f  (c) "  x Œ  I ;

  minimum lokal  di c Œ  D  jika terdapat selang terbuka I  yang memuat c 

sehingga f  ( x) ≥  f  (c) "  x Œ  I .

Jika fungsi f  mencapai ekstrim lokal di c dan f  ¢(c) ada, maka f  ¢(c) = 0.

 Ekstrim Mutlak (Global )  Fungsi y =  f  ( x) yang daerah asalnya D men-

capai   maksimum mutlak di c Œ  D jika f  ( x) £  f  (c) "  x Œ  D;

  minimum mutlak di c Œ  D  jika  f  ( x) ≥  f  (c) "  x Œ  D.

Jika f  kontinu pada [a,b], maka f  mencapai ekstrim mutlak pada [a,b].

Page 4: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 4/19

 APL  TUR

004

 KemonotonanFungsi  Untuk fungsi y =  f  ( x) yang kontinu pada selang I ,

  f   monoton naik pada I  jika "u, v Œ  I  berlaku u < v fi  f  (u) <  f  (v);  f   monoton tak turun pada I  jika "u, v Œ  I  berlaku u < v fi  f  (u) £  f  (v);

  f   monoton turun pada I  jika "u, v Œ  I  berlaku u < v fi  f  (u) >  f  (v);

  f   monoton tak naik pada I  jika "u, v Œ  I  berlaku u < v fi  f  (u) ≥  f  (v).

 Ilustrasi Fungsi Monoton 

 y

 y =  x3 

0  x

 f  ( x) =  x3 monoton 

naik  pada   

 y

 y = 2 x

 y =  x + |  x |

 y = 0  0  x

 f  ( x) =  x + |  x | monoton tak turun pada   

 y

 y = - x3 

0  x

 f  ( x) = - x3 monoton turun pada   

 y

 y =  x - |  x |

 y = 0  0  x

 y = -2 x 

 f  ( x) =  x - |  x | monoton tak naik  pada   

Uji Turunan untuk Kemonotonan dan Titik Ekstrim 

Uji Turunan Pertama untuk Kemonotonan Untuk fungsi y =  f  ( x) yang kontinu pada selang terbuka I , 

  jika ( ) 0 f x   >¢  pada I , maka fungsi f  monoton naik pada I ;

  jika ( ) 0 f x   <¢  pada I , maka fungsi f  monoton turun pada I .

Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal   Untuk fungsi y =  f  ( x) yang

kontinu pada selang terbuka I  dan memuat titik kritis c,  jika ( ) 0 f x   >¢  untuk x < c dan ( ) 0 f x   <¢  untuk x > c, maka fungsi f  men-

capai maksimum lokal di c.

  jika ( ) 0 f x   <¢  untuk x < c dan ( ) 0 f x   >¢  untuk x > c, maka fungsi f  men-

capai minimum lokal di c.

Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Lokal   Untuk fungsi y =  f  ( x) yangterdiferensialkan pada selang terbuka I  dan memuat titik stasioner c,

  jika ( ) 0 f c   <¢¢ , maka fungsi f  mencapai maksimum lokal di c.  jika ( ) 0 f c   >¢¢ , maka fungsi f  mencapai minimum lokal di c.

Page 5: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 5/19

 APL  TUR

005

 Fungsi y   f  ( x) kontinu pada selang terbuka I  

Tes Tanda Jenis Titik Kritis

 f  ¢( x) + + +  − − − 

 f  naik   c   f  turun   x 

 Maksimum Lokal di Titik ( c,  f  ( c)) 

Tanda f  ¢( x) berubah dari (+) ke (-) di sekitar c 

 f  ¢( x) − − −  + + + 

 f  turun  c   f  naik    x 

 Minimum Lokal di Titik ( c,  f  ( c)) 

Tanda f  ¢( x) berubah dari (-) ke (+) di sekitar c 

 f  ¢( x) + + +  + + + 

 f  naik  

 f  naik  

 x 

Titik ( c,  f  ( c))  Bukan Ekstrim Lokal  

Tanda f  ¢( x) berubah dari (+) ke (+) di sekitar c 

 f  ¢( x) − − −  − − − 

 f  turun  c   f  turun   x 

Titik ( c,  f  ( c))  Bukan Ekstrim Lokal  

Tanda f  ¢( x) berubah dari (-) ke (-) di sekitar c 

Tanda f   ( c) di Sekitar Titik Kritis 

Garis singgung horisontal di titik stasioner:  ( ) 0 f c   =¢  

 y

maks.lokal f   ( ) 0 f c  =¢  

 f  naik f  trn

( ) f x¢   + + +0- - - 

0 c   x

Maksimum Lokaldi Titik (c,  f  (c)) 

 y

 f  trn

 f  naik f   ( ) 0 f c  =¢  

min.lokal( ) f x¢   - - -0+ + + 

0 c   x

Minimum Lokaldi Titik (c,  f  (c)) 

 y f  naik( ) 0 f c  =¢  

 bukan f  naik  eks.lokal 

( ) f x¢   + + +0+ + + 

0 c   x

Titik (c,  f  (c)) BukanEkstrim Lokal

 y f  trn

( ) 0 f c  =¢  

 bukan  f  trn eks.lokal 

( ) f x¢   - - -0- - - 

0 c   x 

Titik (c,  f  (c)) BukanEkstrim Lokal

Garis singgung vertikal di titik kritis:  ( ) f c   = ±•¢  

 y

maks.lokal

 f  naik f    f  trn

( ) f x¢   + + +Ø- - - 

0 c   x

Maksimum Lokaldi Titik (c,  f  (c)) 

 y

 f  naik f  trn

 f  

min lokal( ) f x¢   - - -Ø+ + + 

0 c   x

Minimum Lokaldi Titik (c,  f  (c)) 

 y

 f  naik

 bukan f   eks.lokal f  naik

( ) f x¢   + + +Ø+ + + 

0 c   x

Titik (c,  f  (c)) BukanEkstrim Lokal

 y

 f  trn bukan

eks. lokal f  trn  f  

( ) f x¢   - - -Ø- - - 

0 c   x

Titik (c,  f  (c)) BukanEkstrim Lokal

 f  (c)

 f  (c)

 f  (c) f  (c)

 f  (c) ( ) f c   =±•¢  

 f  (c)( ) f c   =± •¢

 f  (c)

( ) f c   =± •¢

 f  (c)

( ) f c   =±•¢

Page 6: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 6/19

 APL  TUR

006

Garis singgung di titik kritis tidak ada:  ( ) ( ) f c f c- +π¢ ¢  

 y

maks.lokal

 f  naik f    f  trn

( ) f x¢   + + +Ø- - - 

0 c   x

Maksimum Lokaldi titik (c,  f  (c)) 

 y f  naik

 f  trn f  

min lokal( ) f x¢   + + +Ø- - - 

0 c   x

Minimum Lokaldi titik (c,  f  (c)) 

 y f  naik

 bukan f   eks.lokal f  naik

( ) f x¢   + + +Ø+ + + 

0 c   x

Titik (c,  f  (c)) bukanEkstrim Lokal

 y f  trn 

 bukan f   eks.lokal

 f  trn

( ) f x¢   - - -Ø- - - 

0 c   x

Titik (c,  f  (c)) bukanEkstrim Lokal

Contoh Masalah Ekstrim

Contoh  Untuk fungsi f  ( x) =  x3

 - 3 x, (a) tentukan semua titik stasionernya,(b) tentukan selang kemonotonannya, (c) tentukan semua titik ekstrim lo-kal dan jenisnya, (d) gambarkan kurva f  dan kurva turunannya.

(d) Kurva f  dan f  ¢:2( ) 3 3 3( 1)( 1) f x x x x= - = + -¢  

 f  ¢( x)

-1 1  x 

 f  ( x)

 x

3( ) 3 f x x x= -  

(a) Turunan pertama dari fungsi f  adalah 2( ) 3 3 3( 1)( 1) f x x x x= - = + -¢  

Dari ( ) 0 f x   =¢  diperoleh x = -1 dan x = 1, de-ngan f  (-1) = 2 dan f  (1) = -2. Jadi titik stasio-

ner dari fungsi f  adalah (-1,2) dan (1,-2).

(b) Selang kemonotonan fungsi f  ditentukan darites tanda ( ) f x¢  berikut. 

(-•,-1) (-1,1) (1,•)

 f  ′( x) + + + + + 0 − − − − − 0 + + + + + 

-1 1  x

 f  naik  f  turun  f  naik

maksimum minimum (lokal) 

Fungsi f  monoton naik pada selang (-•,-1)

dan selang (1,•). Fungsi f  monoton turun pa-

da selang (-1,1).

(c) Fungsi f  mencapai maksimum di -1 dan mi-

nimum di 1, dengan titik maksimum (-1,2)dan titik minimum (1,-2).

 f  (c) ( )† f c¢  

 f  (c)( )† f c¢

 f  (c)( )† f c¢

 -1 0 1

 y =  f  ¢( x)

-3

-2

2

 y =  f  ( x)

-1 0 1

 f  (c)( )† f c¢

Page 7: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 7/19

 APL  TUR

007

 Kecekungan dan Titik Belok 

 Fungsi y   f  ( x) terdiferensialkan pada selang terbuka I  

Tanda  f  ≤( x)  Fungsi  f    Fungsi  f   Contoh

 positif (+) monoton

naik

cekung

ke atas

negatif (-) monoton

turuncekung

ke bawah

 KecekunganFungsi  Untuk fungsi y =  f  ( x) yang terdiferensialkan pada

selang I ,   f   cekung ke atas pada I  jika fungsi f  ¢ monoton naik pada I ; 

  f   cekung  ke  bawah  pada  I   jika fungsi  f  ¢ monoton turun  pada  I .

 Ilustrasi Kecekungan Fungsi 

 y

 y =  x2 

0  x

 f  ( x) =  x2 cekung ke

atas pada   

 y

0 x

 y = - x2 

 f  ( x) = - x2 cekung ke bawah pada   

 y

 y =  x3 

0  x

 f  ( x) =  x3 cekung ke atas

 pada (0,•) dan cekung

ke bawah pada (-•,0)

 y

 y =  x1/3 

0  x

 f  ( x) =  x1/3

 cekung ke bawah pada (0,•) dan

cekung ke atas pada(-•,0)

  f  ( x) =  x2 cekung ke atas pada   karena f  ¢( x) = 2 x monoton naik pada  .

  f  ( x) = - x2 cekung ke bawah pada   karena f  ¢( x) = -2 x monoton turun pada   

  f  ( x) =  x3 cekung ke atas pada (0,•) dan cekung ke bawah pada (-•,0) karena

 f  ¢( x) = 3 x2 monoton naik pada (0,•) dan monoton turun pada (-•,0).

  f  ( x) =  x1/3

 cekung ke bawah pada (0,•) dan cekung ke atas pada (-•,0) karena f  ¢( x) =  1

3 x

-2/3 monoton turun pada (0,•) dan monoton naik pada (-•,0).

Page 8: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 8/19

 APL  TUR

008

Titik Belok  Fungsi y =  f  ( x) mencapai titik belok di c Œ  D f  jika di sekitar

c  terjadi perubahan kecekungan dari  f . Titik beloknya adalah (c,  f   (c)). Kondisinya adalah fungsi y =  f  ( x) terdiferensialkan pada selang terbuka I  yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. ( ( ) f c  = ±•¢  atau tak ada) 

 Ilustrasi  Fungsi f  ( x) =  x3 mencapai titik belok di 0 karena f  cekung ke

atas untuk x > 0 dan f  cekung ke bawah untuk x < 0. 

Uji Turunan untuk Kecekungan dan Titik Belok 

Uji Turunan Kedua untuk Kecekungan Untuk fungsi y =  f  ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I , 

  jika ( ) 0 f x   >¢¢  pada I , maka fungsi f  cekung ke atas pada I ;

  jika ( ) 0 f x   <¢¢  pada I , maka fungsi f  cekung ke bawah pada I .

Uji Turunan Kedua untuk Titik Belok  Untuk  fungsi  y =  f  ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I , jika

fungsi f  mencapai titik belok di c Œ  I  dan ( ) f c¢¢  ada, maka ( ) 0 f c   =¢¢ .

 Untuk  fungsi  y =  f  ( x) yang terdiferensialkan pada selang terbuka I , jika( ) 0 f c   =¢¢  dan di sekitar c terjadi perubahan kecekungan dari fungsi f ,

maka fungsi f  mencapai titik belok di c.

Uji Turunan  Ketiga untuk Titik Belok  Untuk  fungsi  y =  f  ( x) yang mem- punyai turunan kedua  pada selang terbuka  I  yang memuat c,  jika ( ) 0 f c  =¢¢  

dan ( ) 0 f c   π¢¢¢ , maka fungsi f  mencapai titik belok di c.

Contoh  Untuk fungsi f  ( x) =  22

1

 x

 x+

, tentukan selang kecekungan dan semua

titik beloknya. 

Turunan pertama dan kedua dari fungsi f  adalah

( ) f x   =¢  2

2 2

2(1 )

(1 )

 x

 x

-

+  dan ( ) f x   =¢¢  

2 3

4 ( 3)( 3)

(1 )

 x x x

 x

+ -

- - - - - - -  0  + + + + + + +  0 - - - - -  - - 0  + + + + + + + 

 f  ckg ke bwh  3-   f  ckg ke ats  0  f  ckg ke bwh 3   f  ckg ke ats 

Fungsi f  cekung ke bawah pada  ( , 3)-• - dan (0, 3) , cekung ke atas  pada

( 3,0)-  dan  ( 3, ),•  dengan titik belok 123, 3 ,( )- - (0,0), dan 

123, 3 .( )  

Page 9: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 9/19

 APL  TUR

009

Grafik fungsi kontinu digambarkan berdasarkan informasi selang kemono-tonan, semua titik  ekstrim lokal  beserta  jenisnya, selang kecekungan, semuatitik belok, semua asimtot, dan beberapa titik lain yang diperlukan.

Contoh  Gambarkan grafik fungsi f  ( x) = 2 /3 5/35 x x- .

Fungsi f  kontinu pada

 (jelaskan mengapa!).Turunan pertama dan kedua dari fungsi f  adalah

10 5 51/ 3 2 /3 1/ 3

3 3 3( ) ( 2), 0 f x x x x x x- -= - = - - π¢ ,

( )2/3 5/3

1/32/ 3

0 0 0

( ) (0) 5 50

(0) lim lim lim x x x

 f x f   x x

 x x  x f x

Æ Æ Æ

-   --

= = = - = ±•¢  

(limit kiri di 0 adalah -• dan limit kanan di 0 adalah •)10 10 104/3 1/3 4 /3

9 9 9( ) ( 1), 0 f x x x x x x

- - -= - - = - + π¢¢ ; (0) f  ¢¢  tidak ada.

Titik kritis dari fungsi f  tercapai jika ( ) 0 f x  =¢  atau ( ) f x¢  tidak ada, yang

menghasilkan x = 0 dengan f  (0) = 0 dan x = 2 dengan f  (2) = 33 4 ª 4,76.

Titik kritis dari fungsi f  ¢ tercapai jika ( ) 0 f x  =¢¢  atau ( ) f x¢¢  tidak ada,

yang menghasilkan x = -1 dengan f  (-1) = 6 dan x = 0 dengan f  (0) = 0.

Tanda ( ) f x¢ :min lokal maks lokal

- - - - - - - - - - -  + + + + + +  0 - - -  f  turun 0   f  naik 2  f  turun

Tanda ( ) f x¢¢ :titik belok    bukan 

titik belok

+ + + + + + + 0 - - -  - - - - - - - - - - - 

 f  ckg ke ats -1  f  ckg 0   f  ckg ke bwhke bwh

 y

 f  

(-1,6)  63(2,3 4)  

 f  

-2 -1 0 (0,0)  2 5 6  x

Page 10: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 10/19

 APL  TUR

010

Contoh  Gambarkan grafik fungsi f  ( x) = 

2( 1) x

 x

+.

Fungsi f  kontinu pada {0}- . (jelaskan mengapa!).

Fungsi f  dapat ditulis sebagai f  ( x) = 

2 2( 1) 2 1 12

 x  x x

 x x x x

+   + += = + + .

Turunan pertama dan kedua dari fungsi f  adalah2

2 2 2

( 1)( 1)1 1( ) 1

 x x x

 x x x f x

  + --= - = =¢   dan 3

2( )

 x f x   =¢¢ , x π 0.

Titik kritis dari fungsi f  tercapai jika ( ) 0 f x  =¢  atau ( ) f x¢  tidak ada,

yang menghasilkan x = -1 dengan f  (-1) = 0 dan x = 1 dengan f  (1) = 4.

Tanda ( ) f x¢ :

maks lokal min lokal

+ + + + + 0 - - - - -  - - - - - 0 + + + + + 

 f  naik -1  f   turun 0   f  turun 1  f  naik

Tanda ( ) f x¢¢ :- - - - - - - - - -  + + + + + + + + + + 

 f  cekung ke bawah 0  f  cekung ke atas

 Asimtot Tegak  Karena2

0

( 1)lim

 x

 x

 x-Æ

+= -•  dan

2

0

( 1)lim

 x

 x

 x+Æ

+= •  

maka sumbu y adalah asimtot tegak da-ri kurva f .

 y

 x

 Asimtot Miring  Garis y = ax + b asimtot miring dari kurva f  jika untuk

 x Æ • atau x Æ -• berlaku f  ( x) Æ ax + b. Karena( ) f x b

 x xaÆ +  dengan

0b x

 Æ  untuk x Æ±•, maka( )

lim x

 f x x

aÆ ±•

=  (untuk a = 0 diperoleh asimtot

datar). Dari f  ( x) Æ ax + b dan a tertentu diperoleh ( )lim ( ) x

b f x axÆ ±•

= - .

Untuk contoh ini,2( 1)

lim 1 x

 x

 x

a

Æ ±•

+= =  dan

( )

1lim 2 2 x  x

b

Æ ±•

= + = , sehingga

garis y =  x + 2 adalah asimtot miring dari kurva f . 

7

6  f  

5

4

3 as miring2

1-4 -3 -2 -1

0 1 2 3 4 f   -1

-2

as tegak

Page 11: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 11/19

 APL  TUR

011

Teorema  Turunan di titik ekstrim lokal  Jika fungsi f  mencapai ekstrim lokal di c dan ( ) f c¢  ada, maka ( ) 0 f c   =¢ .

Bukti  Untuk kasus maksimum lokal: (untuk minimum lokal serupa) Jika f  mencapai maksimum lokal di c, maka f  ( x) £  f  (c) di sekitar c.

( ) ( )

( ) ( )

  ( ) ( ) 0dan 0 ( ) ( ) lim 0( ) 0

( ) ( ) 0dan 0 ( ) ( ) lim 0 x c

 x c

 f x f c

 x c f x f c

 x c

 f x f c x c f c f c

 f c f x f c x c f c f c

-

+

-

---

¸- £ - < fi = = ≥¢ ¢

Ô fi =¢˝- £ - > fi = = £¢ ¢   Ô

˛

 y

( ) 0 f c   =¢  

 f

 f  (a) f  (b)

0 a  c  b   x

Teorema Rolle  Jika fungsi f  kontinu pada [a,b],terdiferensialkan pada (a,b), dan f  (a) =  f  (b), maka

terdapat c Œ (a,b) sehingga ( ) 0 f c  =¢ .kontinu pada [ , ]ada pada ( , ) ( , ) ( ) 0

( ) ( )

 f a b f a b c a b f c

 f a f b

Ôfi $ Œ ' =¢ ¢˝

=   Ô

.

Bukti  Jika fungsi  f  konstan  pada [a,b], maka ( ) 0 f x   =¢   pada [a,b],  jadi $ c Œ (a,b)

' ( ) 0 f c   =¢ . Karena fungsi f  kontinu pada [a,b], maka f  mencapai ekstrim mutlak

 pada [a,b]. Karena f  (a) =  f  (b) dan f  tidak konstan pada [a,b], maka maksimum

atau minimumnya tak tercapai di ujung selang. Jadi $ c Œ (a,b) sehingga f  men-capai ekstrim di c. Karena f  terdiferensialkan di c, maka  ( ) 0 f c   =¢ . 

 y

( ) f c¢  

 f  (b)  f  

 f  (a)

0 a  c   x  b   x

Teorema Nilai Rata-rata (TNR)  Jika fungsi f  kon-

tinu pada [a,b], terdiferensialkan pada (a,b), maka

terdapat c Œ (a,b) sehingga( ) ( )

( ) f b f a

b a f c

  --

=¢ .

} ( ) ( )kontinu pada [ , ]( , ) ( )

ada pada ( , ) f b f a

b a

 f a bc a b f c

 f a b

--

fi $ Œ ' =¢¢

.

Bukti  Definisikan  ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

 f b f a

b aS x f x x a f a

--

= - - + . Karena S  kontinu pada

[a,b], terdiferensialkan pada (a,b), dan S (a) =

 S (b) =

 0, maka$

 c Œ

 (a,b) sehingga( ) ( )( ) ( ) 0

 f b f a

b aS c f c

  --

= - =¢ ¢ . (Teorema Rolle) Akibatnya( ) ( )

( ) f b f a

b a f c

  --

=¢ . 

S ( x)

 f  (b) -  f  (a)

b - a 

Page 12: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 12/19

 APL  TUR

012

 Aplikasi Teorema Nilai Rata-rata 

Jika 2( ) 1 , f x x= -  tentukan nilai c yang memenuhi TNR pada selang [0,1].

 y

11

22  

01

2 2   1  x

Karena f  kontinu pada [0,1] dan terdiferensialkan pada

(0,1), maka menurut TNR $ c Œ (0,1) (1) (0)1 0

( ) f f 

 f c  -

-' =¢ .

Dari sini diperoleh2

0 11 01

1c

c

- ---

  = = - . Selesaikan per-

samaan ini, diperoleh2

1c c= - , sehingga1

2 2c = .

Buktikan untuk setiap bilangan real x dan y berlaku | sin  x - sin  y | £ |  x -  y |.

Untuk x =  y sifat ini secara otomatis berlaku. Karena itu andaikan x π  y,

maka terdapat dua kemungkinan, yaitu x <  y, atau x >  y.

Buatlah selang [ x, y] bila x <  y dan selang [ y, x] bila x >  y. Pada setiap se-

lang ini buatlah fungsi f  

( x

) = 

sin  x

, maka fungsi f 

 memenuhi kondisiTNR

 dan ( ) cos f x x=¢ . Akibatnya, $ c Œ [ x, y] (atau [ y, x]) sehingga

( ) ( ) sin sin( )

 f x f y x y

 x y x y f c

  - -- -

= =¢ .

Dari sini diperolehsin sin

| cos | 1 x y

 x yc

--

  = £ , sehingga terbuktilah

| sin  x - sin  y | £ |  x -  y | " x, y Œ .

Jika fungsi f  terdiferensialkan pada selang I  dan ( ) 0 f x x I > " Œ¢ , buktikan f  monoton naik pada I .

Akan dibuktikan f  monoton naik pada I  dengan menunjukkan " u, v Œ  I  

 berlaku u < v fi  f  (u) <  f  (v).

Karena f  kontinu pada selang [u,v] dan terdiferensialkan pada (u,v), ma-

ka menurut TNR $ c Œ (u,v) '( ) ( )

( ) f v f u

v u f c

  --

=¢ .

Dari informasi pada masalah ini diketahui 

( ) 0 f c  >¢  dan v - u > 0. Akibat-nya f  (v) -  f  (u) > 0, sehingga terbuktilah f  (u) <  f  (v).  

( )1

22 1 f    = -¢  

Page 13: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 13/19

 APL  TUR

013

Dalam pemecahan soal cerita yang terkait dengan menentukan maksimumatau minimum, cobalah beberapa langkah berikut ini.

Gambarkan masalahnya beserta peubah untuk besaran yang terlibat.Tuliskan fungsi Q yang akan dicari maksimum/minimum mutlaknya.Gunakan kondisi yang diberikan agar Q menjadi fungsi satu peubah.Tentukan titik kritis dari Q dan tentukan maksimum atau minimumnya.Dalam kasus ekstrimnya tunggal, maka ekstrim ini akan menjadi maksi-mum atau minimum mutlak dari Q.

Contoh  Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan

alas  persegi. Jika luas permukaan kotak ditetapkan 432 cm2, tentukan ukur-an yang mempunyai volume terbesar.

 x

 y

 y 

 x 

Misalkan alas kotak adalah  x cm dan tingginya  y cm, maka volume kotak adalah

V  =  x2 y cm2 

Karena luas permukaan kotaknya 432 cm2, maka

 x2

 + 4 xy = 432

Untuk menentukan maksimum dari V , buatlah V  menjadi fungsi satu pe-

ubah. Dari x2 + 4 xy = 432 diperoleh 4 xy = 432 - x

2, sehingga108

4 x

 x y = - .

 Gantikan hasil ini ke V  =  x2

 y, diperoleh ( )12 3

4

1084 108 x

 xV x x x= - = - .

Turunan pertama dan kedua dari V  adalah3 2

4108V x= -¢  dan

3

2V x= -¢¢ .

Titik stasioner dari V :3 2

4108 0V x= - =¢  fi 

3 2

4108 x   =  fi  x = 12, dengan

nilai y yang terkait adalah108 1212 4

6 y = - = .

Karena (12) 0V    =¢ , (12) 18 0V    = - <¢ , dan ekstrimnya tunggal, maka V  

mencapai maksimum mutlak di x = 12. Kesimpulan  Ukuran kotak: 12 ¥ 12 ¥ 6 cm dengan volume 864 cm3.

 y x

Page 14: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 14/19

 APL  TUR

014

Contoh  Tentukan jarak terdekat dari titik A(0,3) ke parabol P: x =  y2.

Misalkan titik Q( x, y) pada parabol P jaraknyaterdekat ke titik A(0,3), maka

2 2( 3) j AQ x y= = + - .

Karena  x =  y2, maka  j dapat ditulis sebagai fung-

si satu peubah,

4 2 4 2( ) ( 3) 6 9 j y y y y y y= + - = + - + .

Titik stasioner dari j: Dari3 3 2

4 2 4 2 4 2

4 2 6 2 3 ( 1)(2 2 3)

2 6 9 6 9 6 9( ) 0

 y y y y y y y

 y y y y y y y y y j y

  + - + - - + +

+ - + + - + + - += = = =¢  

diperoleh  y = 1 karena (2 y2 + 2 y + 3) definit positif. Karena y < 1 fi  0, j  <¢  

 y > 1 fi  0 j   >¢ , dan ekstrimnya tunggal, maka j mencapai minimum mut-

lak di y = 1 dengan x yang terkait adalah x = 1.

 Kesimpulan  Jarak terdekat dari (0,3) ke P: x =  y2

 adalah j(1) =  5 .tembok 20 m

tembok pagar10 m

 y

 x 

Contoh  Sebuah kebun berbentuk persegi panjangakan dipagari seperti pada gambar. Bagian pojokkebun berupa tembok siku-siku sepanjang 20 me-ter dan 10 meter tak perlu dipagari. Jika tersedia40 meter pagar, tentukan luas minimum dan mak-simum kebun yang dapat dipagari.

Jika ukuran kebun adalah x ¥  y meter, maka x +  y + ( x - 20) + ( y - 10) = 40.

Akibatnya 2 x + 2 y = 70, sehingga y = 35 -  x.

Dari x ≥ 20 dan y = 35 -  x ≥ 10 diperoleh 20 £  x £ 25. Luas kebun adalah

 L( x) =  x(35 -  x) = 35 x -  x2, 20 £  x £ 25.

Karena ( ) 35 2 0 L x x= - <¢  untuk 20 £  x £ 25, maka L monoton turun pa-

da selang [20,25], sehingga titik kritisnya adalah  x = 20 dengan L = 300

dan x = 25 dengan L 

= 250. ( Ekstrim mutlak pada selang tutup) Jadi luas minimum dan maksimum kebun adalah 250 m2 dan 300 m2.

 y 

3  A

2  x =  y2 

1 Q( x, y)

0 1 2 3 4 5  x

-1

-2

kebun

Page 15: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 15/19

 APL  TUR

015

 Metode Bagi Dua Metode Newton Metode Titik Tetap

 y

 y =  f  ( x)[a3,b3]

r  0 a1  m1  m2  b1   x

[a2,b2]

[a1,b1]

 y

 y =  f  ( x)( x1,  f  ( x1))

r  0  x4  x3  x2  x1   x

 y

 y =  f  ( x) 

 y =  x 

0  x2  x4   x3  x1   x

 Metode Bagi Dua dan Metode Newton Akan ditentukan x yang memenuhi f  ( x) = 0 dalam kasus fungsi f  kontinu

 pada selang I  dan terdapat a1, b1 Œ  I  sehingga f  (a1) f  (b1) < 0. 

Teorema nilai antara untuk fungsi kontinu menjamin terdapat r  Œ (a1,b1)

sehingga f  (r ) = 0. Kedua metode ini dirancang untuk mencari r . 

 Metode Bagi Dua

 Prinsip Algoritma

Hitunglah f  (m1), m1 = 12 (a1 + b1).

Jika f  (m1) = 0, proses selesai.

Jika f  (m1) dan f  (a1) (atau f  (b1)) ber- beda tanda, lihat selang [a

1,m

1] atau

[m1,b1].

Jika f  (m1) dan f  (b1) berbeda tanda,gantilah [m1,b1] dengan [a2,b2] danulangi proses sebelumnya.

Pada [an,bn] tetapkan mn = 12 (an + bn),

 panjang selangnya hn = 12  (bn - an).

Hitunglah f  (mn), jika f  (mn) = 0, pro-

ses dihentikan.Tetapkan hn+1 = 

12 hn.

Jika f  (mn) < 0, ambil mn+1 = mn + hn+1.

 Jika f  (mn) > 0, ambil mn+1 = mn - hn+1.

 Metode Newton

Mulai dengan x1 Œ  I  dengan garis singgung di x1: y -  f  ( x1) =  f  ¢( x1)( x -  x1).

 Garis ini memotong sumbu x di x2. Dari 0 -  f  ( x1) =  f  ¢( x1)( x2 -  x1) dipero-

leh 1

12 1

( )( )

 f x

 f x x x

¢= - . Secara umum kita mempunyai 1

( )( )

n

nn n

 f x

 f x x x+ ¢

= - .

Page 16: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 16/19

 APL  TUR

016

 Metode Titik Tetap  Akan ditentukan  x yang memenuhi  f  ( x) = 0 dengan  f  ( x) 

=  x - g( x), sehingga solusi r  memenuhi g(r ) = r . Untuk ini mulailah dari x1,dilanjutkan x2 = g( x1), x3 = g( x2), º , xn+1 = g( xn), dengan harapan diperoleh

 xn yang mendekati r  untuk n yang membesar tanpa batas.

Jika g kontinu pada [a,b] dan g( x) Œ [a,b], maka g mempunyai paling se-dikit satu titik tetap r  pada [a,b].

Jika g terdiferensialkan dan $  M  > 0 ' | ( )| 1g x M £ <¢  "  x Œ [a,b], maka r  

tunggal dan xn+1 = g( xn), x1 Œ [a,b] menghasilkan xn Æ r  untuk nÆ •.

Contoh  Tentukan akar persamaan  3( ) 3 5 0 f x x x= - - = .

 Metode bagi dua  Karena f  (2) = -3 dan f  (3) = 14, maka 2 < r  < 3. Gunakan

a1 = 2, b1 = 3, m1 = 2,5, h1 = 0,5, dan seterusnya, diperoleh r  = 2,2790188.

n hn  mn   f  (mn) n hn  mn   f  (mn)

1 0,5 2,5 3,125 13 0,00001221 2,2789307 −0,00111

2 0,25 2,25 −0,359 14 0,00000611 2,2789918 −0,00034

3 0,125 2,375 1,271 15 0,00000306 2,2790224 0,00005

4 0,0625 2,3125 0,429 16 0,00000153 2,2790071−

0,000155 0,03125 2,28125 0,02811 17 0,00000077 2,2790148 −0,00005

6 0,015625 2,265625 −0,16729 18 0,00000039 2,2790187 −0,000001

7 0,0078125 2,2734375 −0,07011 19 0,00000020 2,2790207 0,000024

8 0,00039063 2,2773438 −0,02106 20 0,00000010 2,2790197 0,000011

9 0,00019532 2,2792969 0,00350 21 0,00000005 2,2790192 0,00000510 0,00009766 2,2783203 −0,00878 22 0,00000003 2,2790189 0,0000014

11 0,00004883 2,2788086 −0,00264 23 0,00000002 2,2790187 −0,0000011

12 0,00002442 2,2790528 0,00043 24 0,00000001 2,2790188 0,0000001

 Metode Newton  Karena2

( ) 3 3 f x x= -¢ , maka

3 3

2 213 5 2 5

3 3 3 3n n

n n

nn n

 x x  x

 x x x x+

- -   +

- -= - = .

Dari sini, x1 = 2,5; x2 = 2,3; x3 = 2,2793; x4 = 2,2790188, dan x5 = 2,2790188.

Contoh  Tentukan akar persamaan 2( ) 2 1 0 f x x x= - + = .

n xn  n xn 

1 2,0 7 1,8350896

2 1,8612097 8 1,8350871

3 1,8392994 9 1,8350868

4 1,8257680 10 1,83508675 1,8351969 11 1,8350867

 Metode titik tetap  Akarnya di antara 1 dan 2.

Dari 

2 2 1 x x= +  diperoleh 

1/ 22 1 ,( ) x x= ± +  

sehingga 1/ 2 1/ 4

1

2 1 2( 1)( )n n n

 x x x+  = + = + .

Mulai x1 = 2, diperoleh solusi ª 1,8350867. 6 1,8351045 12 1,8350867

Page 17: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 17/19

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 1A – 2009/2010

Pokok Bahasan: Aplikasi Turunan

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda. 

No. Pernyataan Jawab

1. Fungsi f  ( x) = |  x2 - 2 x | mempunyai lebih dari satu titik kritis. B S 

2. Jika x = c adalah titik stasioner dari y =  f  ( x), maka kurva f  mencapai ekstrim di c. B S 

3. Jika kurva y =  f  ( x) mencapai maksimum lokal di x = c, maka f  ¢(c) = 0. B S 

4. Jika fungsi y =  f  ( x) kontinu pada selang [a,b], maka $ c Œ [a,b] ' ( ) maks ( ).a x b

 f c f x£ £

=   B S 

5. Jika f  ¢(c) tidak ada, maka kurva y =  f  ( x) tidak mungkin mencapai ekstrim di x = c. B S 

6. Jika f  ¢( x) ada pada selang I  yang memuat c dan f  ( x) >  f  (c) +  f  ¢(c)( x - c) " x Œ  I , ma-ka fungsi f  cekung ke atas pada selang I . B S 

7. Jika f  ¢( x) ada pada   dan f  ≤(c) = 0, maka (c,  f  (c)) adalah titik belok kurva y =  f  ( x). B S 

8. Pernyataan | sin x | £ |  x | " x Œ  dapat dibuktikan dengan teorema nilai rata-rata. B S 

9. Jika n bilangan ganjil positif, maka kurva f  ( x) =  xn mencapai titik belok di x = 0. B S 

10. Terdapat kurva y =  f  ( x) yang mencapai titik belok di c Œ  D f  tetapi f  ¢(c) tidak ada. B S 

Soal yang Terkait dengan Kemonotonan, Ekstr im, Kecekungan, dan Titik Belok  

11.Jika turunan dari y =  f  ( x) adalah f  ¢( x) = ( x - 1)2

( x - 2), tentukan (a) selang kemonotonan dan ti-tik ekstrim dari kurva f  beserta jenisnya dan (b) selang kecekungan dan titik belok dari kurva f .

12.Tentukan semua titik ekstrim dan titik belok dari kurva 2

22( 1)

1( ) , .

 x

 x f x x

++

= Œ  

13.Jika fungsi f  ( x) = ax3 + bx

2 mencapai titik belok di (1,2), tentukan konstanta a dan b. 

14.Jika fungsi ( ) b x

 f x a x= +  mencapai titik belok di (1,4), tentukan konstanta a dan b. 

15.Jika kurva f  ( x) = ax3 + bx

2 + cx mencapai titik belok di (1,2) dan persamaan garis singgung di ti-

tik beloknya y = -2 x + 4, tentukan konstanta a, b, dan c. 

16.Jika kurva f  ( x) = ax3 + bx

2 + cx + d  mencapai ekstrim lokal di (0,3) dan titik belok di (1,-1), ten-

tukan konstanta a, b, c, dan d . 17.Tentukan selang di mana kurva f  ( x) = 3 x2 +  x |  x | cekung ke atas.

Soal yang Terkait dengan Grafik Fungsi Kontinu 

Untuk soal 18 sampai dengan 23, pada setiap fungsi f  yang diberikan;(a) daerah asalnya,(b) selang kemonotonan dan semua titik ekstrim lokal beserta jenisnya,(c) selang kecekungan dan semua titik beloknya,(d) sketsa grafiknya setelah menentukan asimtotnya bilamana ada.

18. f  ( x)=

 3 x

4

 -

 4 x

3

  19. f  ( x)=

 3 x

5

 -

 5 x

3

 20.

2

2

1

1( )

 x

 x f x

  -

+=  

21. ( ) 1 f x x x= - -   22. f  ( x) = sin  x + cos  x, 0 £  x £ 2p   23.3

22

1( )  x

 x f x

-=  

Page 18: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 18/19

Soal yang Terkait dengan Masalah Ekstrim untuk Soal Cerita 

24.Pada daerah D yang dibatasi kurva y = 27 -  x2 dan sumbu x dibuat persegi panjang dengan alas pada sumbu x dan dua titik sudut lain pada kurva, tentukan luas persegi panjang yang terbesar.  

25.Talang air akan dibuat dari lembaran seng dengan lebar 30 cm dengan cara melipatnya menjadi

tiga bagian sama panjang. Jikaq 

  adalah sudut antara dinding talang dengan bidang horisontal,tentukan q  agar talang dapat menampung sebanyak mungkin air. 

26.Sebuah kotak antik dengan alas persegi (bujur sangkar) dibuat agar volumnya 2 dm3. Jika biaya pembuatan bidang alas dan atas kotak Rp 100 per cm2 serta biaya bidang sisinya Rp 50 per cm2,tentukan ukuran kotak yang biaya pembuatannya paling murah dan biaya termurahnya. 

27.Tentukan titik pada hiperbol x2 -  y2 = 2 yang jaraknya terdekat ke titik (0,1).

28.Dalam sebuah kerucut lingkaran tegak berjari-jari R dan tinggi T  dibuat tabung dengan lingkaran bawah pada bidang alas kerucut dan lingkaran atas pada selimut kerucut. Tentukan tinggi tabungyang volumnya paling besar. 

Kunci Jawaban 

1. B 2. S 3. S 4. B 5. S 6. B 7. S 8. B 9. S 10. B  11. (a) kurva f  turun untuk x < 2, naik untuk x > 2,

ttk min di x = 2 (b) ckg ke ats pada (-•,1) dan pada  ( )53,• , ke bwh pada  ( )5

31, , ttk blk di x = 1 dan 53   12. ttk

min (-1,0) dan ttk maks (1,4), ttk blk (0,2), ( 3,2 3), dan ( 3,2 3)- - +   13. a = -1. b = 3 14. a = 3, b = 1

15. a = 4, b = -10, dan c = 10 16. a = 2, b = -6, c = 0, dan d  = 3 17. (-•,•) 18.  D f  = (-•,•),  f  naik pada

(1,•),  f  turun pada (-•,0) dan pada (0,1), ttk min (1,-1);  f  ckg ke ats pada (-•,0) dan pada ( )23 ,• , ke bwh

 pada ( )230, , ttk blk (0,0) dan ( )162

3 27,-   19.  D f  = (-•,•),  f  naik pada (-•,-1) dan pada (1,•),  f  turun pada

(-1,0) dan pada (0,1), ttk min (1,-2) dan ttk maks (-1,2);  f  ckg ke ats pada

( )

2

2

,0-  dan pada

( )

2

2

, ,• ke bwh

 pada ( )22,- -• dan pada ( )2

20, , ttk blk  ( )2 7 22 8,-  dan  ( )2 7 2

2 8,-   20.  D f  = (-•,•),  f  naik pada (-•,0),

 f  turun pada (0,•), ttk maks (0,1);  f  ckg ke ats pada ( )33,- -•  dan pada ( )3

3 ,• , ke bwh pada ( )3 33 3,- , ttk

 blk ( )3 13 2,- dan ( )3 1

3 2, , as datar y = -1 21.  D f  = (1,•),  f  naik pada ( )54 ,• ,  f  turun pada ( )5

41, , ttk min ( )5 34 4, , 

 f  ckg ke ats pada D f   22.  D f  = (-•,•),  f  naik pada ( )40,p   dan pada ( )54 ,2p 

p  ,  f  turun pada ( )54 4,p p  , ttk maks

(   )4, 2 ,p  ttk min (   )54 , 2p  - ;  f  ckg ke ats pada ( )3 7

4 4,p p  , ke bwh pada ( )340,   p  dan pada ( )7

4 ,2p p  , ttk blk ( )3

4 ,0p   

dan ( )7

4

,0p    23.  D f  = (-•,•) - {-1,1},  f  naik pada ( ), 3- -•  dan pada ( )3,• ,  f  turun pada ( )3, 1- - ,

(-1,0), (0,1), dan (   )1, 3 ; ttk maks ( )3, 3 3- - , ttk min (   )3,3 3 ;  f  ckg ke ats pada (-1,0) dan pada (1,•),

ke bwh pada (-•,-1) dan (0,1), ttk blk (0,0); as tegak x = -1 dan x = 1, as miring y = 2 x.

 y

0  x

(1,-1)

 f  ( x) = 3 x4

 - 4 x3

 

 y

(-1,2)

0  x

(1,-2)

 f  ( x) = 3 x5

 - 5 x3

 

 y

(0,1)

-1 0 1  x

-1

2

21

1( )

 x

 x f x

  -

+=  

 y

(1,1)

0  x

( ) 1 f x x x= - -  

 y

0 p /4 5p /4 2p   x

 f  ( x) = sin  x + cos  x 

 y

 y = 2 x

-1 0 1  x

3

22 1( )  x x f x -=  

24. 108 25. q  = 60∞  26. 10 ¥ 10 ¥ 20 cm dan Rp 60 ribu 27.  ( )3 12 2,±   28. tinggi tabung =  1

3.T   

Page 19: 4 - Aplikasi Turunan.pdf

7/23/2019 4 - Aplikasi Turunan.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/4-aplikasi-turunanpdf 19/19