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2

गणित क महत वपिण सतरो की सची

चाल, दरी और समय

• चाल = दरी/ समय

• समय = दरी / चाल

• दरी = (चाल * समय)

• दरी = दर x समय

• दर = दरी/ समय

• किमी/घट (km/h) स मीटर/सि ड (m/sec) म पररवरत ित िरना: x km/hr=x∗(5/18) m/sec

• मीटर/सि ड (m/sec) स किमी/सि ड (km/h) म पररवरत ित िरना: x m/sec= X*(18/5) km/h

• यदद A और B िी चाल िा अनपात a : b ह, तो उनि दवारा समान दरी तय िरन म ललए गए समय िा अनपात :1/a : 1/b या b:a

• माना एि आदमी एि रनश‍ चत दरी x किमी/घट िी चाल स और समान दरी y किमी/घट िी चाल स तय िरता ह। तो, परी यातरा ि दौरान औसत चाल :- 2xy/(x + y)

• जब चाल रनयत होती ह तो वस त दवारा तय िी गई दरी ललए गए समय ि समानपाती होती ह। अराित; यदद Sa=Sb तब Da/Db = Ta/Tb

• जब समय रनयत होता ह तो चाल तय िी गई दरी ि समानपाती होती ह। अराित; यदद Ta=Tb तो Sa/Sb=Da/Db

• जब दरी रनयत होती ह तो चाल ललए गए समय ि व यत‍क रमानपाती होती ह। अराित यदद चाल म वदधि होती ह तो दरी तय िरन म ललया गया समय घट जाता ह। अराित; यदद Da=Db तो Sa/Sb=Tb/Ta

• यदद दी गई चाल हरात‍क मि शरणी या HP म हो, तो ललया गया समय समातर शरणी या AP म होगा।

• यदद चाल AP म दी गई हो, तो समय HP म होगा।

• यदद दो वस तए चाल a और b स समान ददशा म गरत िर रही हो तो सापकष चाल |a-b| होगी।

• यदद दो वस तए चाल a और b स ववपरीत ददशा म गरत िर रही हो तो सापकष चाल (a+b) होगी।

लाभ एव हानि

• रय मल य वह मल य होता ह शजस पर वस त खरीदी जाती ह शजस C.P. ललखा जाता ह।

• ववरय मल य वह मल य होता ह शजस पर वस त बची जाती ह, शजस S.P. ललखा जाता ह।

• यदद ववरय मल य रय मल य स बडा हो, तो लाभ होता ह।

• लाभ = SP – CP

• % लाभ = लाभ/(C P)×100

• S P = (100+ %लाभ )/100 ×C P

• C P = 100/(100+ %लाभ)×S P

• यदद िल रय मल य रता ि ववरय मल य स अधिि ह तो उस हारन होती ह।

• हारन = C P – S P

• % हारन = हारन/(C P)×100

• S P = (100- % हारन)/100×C P

• C P = 100/(100- % हारन)×S P

• लाभ और हारन रय मल य पर आ िाररत होत ह। (i) पररतशत लाभ या हारन िो जञात िरन ि ललए, लाभ या हारन िी म रय मलय स भाग द और इस 100 स गणा िर। (ii) जब रय मल य और पररतशत हारन दी गई हो तो हारन और ववरय मलय जञात िरन ि ललए, रय मल य म पररतशत स गणा िर और गणनफल िो रय मल य म घटाए।

• छट = अकित मल य (M P) – ववरय मल य (S P) • छट %, D% = (छट) / (M P) ×100

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परनतशत

• यदद हम पररतशत िो लभन न म पररवरत ित िर तो इसम 100 स भाग दग।

• यदद हम लभन न िो पररतशत म पररवरत ित िर तो इसम 100 स गणा िरग।

• यदद वस त िा मल य R% बढ जाए, तो उपभोग म िमी होगी ताकि व यय म वदधि न हो: [R/ (100 +

R)] x 100%

• यदद किसी वस त ि मल य म R% िी िमी हो जाए, तो उपभोग म वदधि होगी ताकि व यय म िमी न हो: [R/ (100 - R)] x 100%

• माना एि शहर िी जनसख या अभी P ह और मान ल कि यह पररत वरि R% िी दर स बढती ह, तो: 1. n वरि बाद जनसख या= P(1 + R/100)n

2. n वरि पहल जनसख या =P/(1 + R/100)n

• माना एि मशीन िा वतिमान मल य P ह। माल लीशजए इसि मल य म R% वावरिि दर स अवमल यन होता ह। तो: 1. n वरि बाद मशीन िा मल य = P(1 - R/100)n

2. n वरि पहल मशीन िा मल य = P/[(1 - R/100)]n

3. यदद A, B स R% अधिि हो, तो B, A स िम होगा = [R/ (100 + R)] x 100%

4. यदद A, B स R% िम हो, तो B, A स अधिि होगा = [R/ (100 - R)] x 100%

नोट: x% और y% ि दो रलमि पररवरत िनो ि ललए, िल पररवरत िन= {x + y +xy/100}%

औसत

सतर:

• औसत: = (परकषणो िा योग/ परकषणो िी सख या) • यदद एि व यश‍ त िी एि रनश‍ चत दरी x किमी/घट

िी चाल स और समान दरी y किमी/घट िी चाल स तय िरता हो, तो परी यातरा ि दौरान औसत चाल-

• यदद एि व यश‍ त A किमी x किमी/घट िी चाल स और B किमी y किमी/घट िी चाल स और C किमी z किमी/घट िी चाल स तय िरता हो, तो परी यातरा तय िरन म औसत चाल-

जब िोई व यश‍ त समह छोडता ह और िोई अन य व यश‍ त उसि स रान पर समह म शालमल होता ह, तो-

• यदद औसत आय म वदधि हो, तो नए व यश‍ त िी आय= अलग हए व यश‍ त िी आय + (औसत म वदधि × व यश‍ तयो िी िल सख या)

• यदद औसत आय म िमी हो, तो नए व यश‍ त िी आय= अलग हए व यश‍ त िी आय - (औसत म िमी × व यश‍ तयो िी िल सख या)

• जब एि व यश‍ त समह म शालमल हो- औसत म वदधि िी शस ररत म, नए सदस य िी आय= पराना औसत + (औसत म वदधि × नए सदस य सदहत सदस यो िी सख या)

• जब एि व यश‍ त समह म शालमल हो- औसत म िमी िी शस ररत म, नए सदस य िी आय= पराना औसत - (औसत म िमी × नए सदस य सदहत सदस यो िी सख या)

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• समातर शरणी म दो शस ररतया होती ह एि जब पदो िी सख या ववरम होती ह और दसरी जब पदो िी सख या सम होती ह।

(i) जब पदो िी सख या ववरम होती ह तो औसत मध य िा पद होता ह।

(i) जब पदो िी सख या सम होती ह तो औसत मध य ि दो पदो िा औसत होता ह। बीजगणित

• •

• यदद तब

साझदारी P1: P2 = C1×T1: C2×T2

यहा, P1 = साझदार 1 िा लाभ

C1 = साझदार 1 िी पजी T1 = वह समय शजसि ललए साझदार 1 न अपनी पजी रनवश िी P2 = साझदार 2 िा लाभ

C2 = साझदार 2 िी पजी T2 = वह समय शजसि ललए साझदार 2 न अपनी पजी रनवश िी

समय, कायण और मजदरी 1. ददनो स िायि:

• यदद A किसी िायि िो n ददनो म परा िर सिता हो, तब A िा n ददनो िा िायि =1/n

• ददनो िी सख या = िल िायि / 1 ददन म किया गया िायि

• िायि स ददन: यदद A िा 1 ददन िा िायि =1/n तो A िायि िो n ददनो म परा िर सिता ह।

2. आदमी और िायि ि बीच सबि

• अधिि आदमी ------- अधिि िायि -------> िर सित ह।

• िम आदमी ------- िम िायि -------> िर सित ह।

3. िायि और समय ि बीच सबि

• अधिि िायि -------- लत ह------> अधिि समय

• िम िायि -------- लत ह------> िम समय

4. आदमी और समय ि बीच सबि

• अधिि आदमी ------- िर सित ह -------> िम समय म

• िम आदमी ------- िर सित ह -------> अधिि समय म

5. यदद M1 व यश‍ त W1 िायि D1 ददनो म िरत हो और M2 व यश‍ त W2 िायि D2 ददनो म िरत हो, तो

6. यदद M1 व यश‍ त W1 िायि D1 ददनो ि h1 घटो म िर सित हो और M2 व यश‍ त W2 िायि D2 ददनो ि h2 घटो म िर सित हो, तो

7. यदद A किसी िायि िो ‘x’ ददनो म और B उसी िायि िो ‘y’ ददनो म परा िर सिता हो, तो िायि समाप त िरन म ललया गया समय, यदद A और B सार लमलिर िायि िर-

8. यदद A किसी िायि िो ‘x’ ददनो म और A + B उसी िायि िो ‘y’ ददनो म परा िर सिता हो, तो िायि समाप त िरन म ललया गया समय, यदद B अिल िायि िर-

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आयत का पररमाप, कषतरफल और आयति

एि चार भजाओ वाली आिरत जो समातर रखाओ ि दो यग म स बनी हो और चार समिोण हो; ववशर रप स: शजसम एि रखा यग म दसर रखा यग म स लबा हो:

एि आयत ि वविणि एि दसर िो समदववभाशजत िरत ह और बराबर होत ह। आयत िा कषतरफल = लबाई x चौडाई = l x b

या आयत िा कषतरफल= यदद एि भजा (l) और वविणि (d) ददया गया हो:

या आयत िा कषतरफल = यदद पररमाप (P) और

वविणि (d) ददया गया हो: आयत िा पररमाप (P) = 2 (लबाई + चौडाई) = 2 (l + b).

या आयत िा पररमाप = यदद एि भजा (l) और वविणि (d) ददया गया हो।

वगण एि चार भजाओ वाली आिरत जो चार सीिी भजाओ स बनी होती ह शजनिी लबाई समान होती ह और चार समिोण होत ह।

एि वगि ि वविणि बराबर होत ह और एि दसर िो 900 पर समदववभाशजत िरत ह।

वगि िा कषतरफल (a)

एि वगि िा पररमाप (P)

= 4a, अराित 4 x भजा

एि वगि ि वविणि िी लबाई (d)

वत त

एि वत‍क त एि बबद दवारा तय किया गया वह मागि ह शजसम बबद ि पर िी एि शस रर बबद स रनयत दरी समान होती ह।

शस रर बबद ि दर और रनयत दरी बतरज या िहलाती ह।

(a) वत‍क त िी पररधि या पररमाप =

जहा r वत‍क त िी बतरज या और d वत‍क त िा व यास ह।

(b) वत‍क त िा कषतरफल

(बतरज या)

(पररधि)

पररधि x बतरज या

(c) वत‍क त िी बतरज या =

रखा-खड:

रखा-खड दो बतरज याओ और उनि बीच एि चाप स रघरी आिरत ह।

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यहा AOB ए ि रखा खड ह। चाप AB िी लबाई = 2πrΘ/360°

रखाखड ACBO िा कषतरफल =1/2[चाप AB ×बतरज या] =πr×r×Θ/360°

वलय या वत ताकार पथ:

R=बाहय बतरज या r=आतररि बतरज या

कषतरफल=π(R2-r2)

पररमाप=2π(R+r)

समचतभणज

सतचतभिज वह चतभिज होता ह शजसिी सभी भजाए समान होती ह।

एि समचतभिज ि वविणि एि दसर िो 900 ि िोण पर दववभाशजत िरत ह। एि समचतभिज िा कषतरफल (a)

= a * h अराित आिार * ऊचाई

वविणो िा गणनफल

यदद d22

यदद d22

एि समचतभिज िा पररमाप (P)

= 4a, अराित 4 x भजा

जहा d1 और d2 दो वविणि ह।

एि समचतभिज िी भजा (a)

समातर चतभणज

वह चतभिज शजसम सम मख भजाए समान और समातर होती ह समातर चतभिज िहलाता ह।

एि समातर चतभिज िा कषतरफल (a) = आिार × समातर भजाओ ि बीच िी दरी = b × h

एि समातर चतभिज िा कषतरफल (a)

जाह a और b आसन न भजाए ह, d दोनो भजाओ िो जोडन वाल वविणि िी लबाई और

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एि समातर चतभिज म, वविणि ि वगो िा योगफल = 2

(दो आसन न भजाओ ि वगो िा योगफल)

अराित,

एि समातर चतभिज िा पररमाप (P)= 2 (a+b),

जहा a और b समातर चतभिज िी आसन न भजाए ह।

समलब चतभणज (Trapezoid)

एि समलब चतभिज चार भजाओ वाली 2-आयामी जयालमतीय आिरत ह, शजसम िम स िम दो भजाए समानातर होती ह। समानातर भजाओ िो आिार िहा जाता ह, जबकि अनय भजाओ िो legs िहा जाता ह। शबद 'टरपशियम', शजसस हम शबद टरपिॉइड लमला, 1500 ि दशि स अगरजी भारा म उपयोग किया गया ह और इसिा लदटन अरि 'छोटी मज' स ह।’

समलब चतभिज िा कषतरफल (a)

1/2 x (समातर भजाओ िा योग) x समातर भजाओ ि बीच लबवत दरी

i.e.,

एक आयत क मध य म दौडि का रास ता:

X रास त िी चौडाई ह

रास त िा कषतरफल = (l+b-x)x

पररमाप = 2(l+b-2x)

बाहरी रास ता

कषतरफल=(l+b+2x)2x

पररमाप =4(l+b+2x)

आतररक रास ता कषतरफल=(l+b-2x)2x

पररमाप =4(l+b-2x)

• यदद दवव-आयामी आिरत िी भजाओ म X% िा पररवतिन होता ह तो इसिा पररमाप भी X% पररवरत ित होगा।

• यदद चतभिज िी सभी भजाए X% पररवरत ित होती हो, तो इसि वविणि भी X% पररवरत ि होग।

• r बतरज या वाल एि अििवत‍क त म बनाए जा सिन वाल बड स बड बतरभज िा कषतरफल r2. होता ह।

• r बतरज या वाल एि वत‍क तािार पदहए दवारा d दरी तय िरन म लगाए गए च‍ िरो िी सख या =d/2πr

• यदद एि आयत िी लबाई और चौडाई म x% और y% िी वदधि हो तो आयत ि कषतरफल म वदधि-

(x+y+xy/100)%

• यदद एि आयत िी लबाई और चौडाई म x% और y% िी िमी हो तो आयत ि कषतरफल म िमी:

(x+y-xy/100)%

• यदद एि आयत िी लबाई म x% िी वदधि हो, तो आयत िा कषतरफल समान बनाए रखन ि ललए इसिी चौडाई म होन वाली िमी (100x/100+x)% होगी।

• यदद दवव-आयामी आिरत िी भजाओ म x% िा पररवतिन हो, तो इसि कषतरफल म होन वाला पररवतिन:

x(2+x/100)%

जहा x= वदधि होन पर िनात‍क मि और िमी होन पर ऋणात‍क मि।

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घि

s = भजा आयतन: V = s3

वरपष ठ िा कषतरफल = 4s2

सपणि पष ठ िा कषतरफल: S = 6s2

वविणि (d) = s√3

घिाभ

घनाभ िा आयतन: लबाई x चौडाई x ऊचाई

सपणि पष ठ िा कषतरफल= 2 ( lb + bh + hl)

लबवत तीय बलि

बलन िा आयतन = π r^2 h

वरपष ठ िा कषतरफल (LSA या CSA) = 2π r h

सपणि पष ठ िा कषतरफल = TSA = 2 π r (r + h)

लब वत तीय शक

L2 = r2 + h2

शि िा आयतन = 1/3 π r2 h

वरपष ठ िा कषतरफल (CSA)= π r l

सपणि पष ठ िा कषतरफल = TSA = πr(r + l )

शक निन िक

r = ऊपर िी बतरज या, R = आिार िी बतरज या, h = ऊचाई, s = रतरछी ऊचाई

आयतन: V = π/ 3 (r2 + rR + R2)h

सपणि पष ठ िा कषतरफल: S = πs(R + r) + πr2 + πR2

गोला

r = बतरज या आयतन: V = 4/3 πr3

सपणि पष ठ िा कषतरफल: S = 4π2

अरणगोला

अििगोल िा आयतन = 2/3 π r3

वर पष ठ िा कषतरफल (CSA) = 2 π r2

सपणि पष ठ िा कषतरफल = TSA = 3 π r2

परपरज म

आयतन = आिार िा कषतरफल x ऊचाई

वकरपष ठ का कषतरफल = आरार का पररमाप x ऊचाई

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परपराममड

समिोण वपरालमड िा आयतन = (1/3) × आिार िा कषतरफल

× ऊचाई

एि समिोण वपरालमड ि पाश‍ विि फलिो िा कषतरफल =

(1/2) × आिार िा पररमाप x रतरछी ऊचाई

एि समिोण वपरालमड ि सपणि पष ठ िा कषतरफल = पाश‍ विि फलिो िा कषतरफल + आिार िा कषतरफल