आपलया समाटमाफोनवररीि diksha app द्...

188

Upload: others

Post on 03-Mar-2021

17 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n
Page 2: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

अनचछद ५१ क

मलभत कततवछ – परतछक भारती नागररकाचछ हछ कततव असछल की तानछ –

(क) परतयक नागरिकानय सविधानाचय पालन किािय. सविधानातील आदरााचा, िाषटरधिज ििाषटरगीताचा आदि किािा.

(ख) सिातताचा चळिळीला परयिणा दयणाऱा आदरााचय पालन किािय.

(ग) दयराचय सािवभौमति, एकता ि अखडति सिवषित ठयिणासाठी परतनरील असािय.

(घ) आपला दयराचय िषिण किािय, दयराची सयिा किािी.

(ङ) सिव परकािचय भयद विसरन एकोपा िाढिािा ि बधतिाची भािना जोपासािी.ससरिाचा परवतषयला कमीपणा आणतील अरा परथाचा ताग किािा.

(च) आपला सवमशर ससककतीचा िािराचय जतन किािय.

(छ) नसवगवक पावििणाचय जतन किािय. सजीि पराणाबददल दाबदी बाळगािी.

(ज) िजावनक दषी, मानितािाद आवण वजजासितती अगी बाळगािी.

(झ) सािवजवनक मालमततयचय जतन किािय. विसयचा ताग किािा.

(ञ) दयराची उततिोतति परगती िोणासाठी वसतिगत ि सामविक काावत उचचतिाचीपातळी गाठणाचा परतन किािा.

(ट) ६ तय १४ िोगटातीलआपला पालाना पालकानी वरषिणाचा सधी उपलबधकरनदावात.

भारताचछ सविधानभाग ४ क

नागररकाची मलभत कततवछ

Page 3: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द वार पाठयपसतकाचया पशहलया पषठावररीि Q. R. Code द वार शडशजटि पाठयपसतक व परतयक पाठामधय असिलया Q. R. Code द वार तया पाठासबशधत अधययन अधयापनासाठरी उपयक दकशावय साशहतय उपिबध होईि.

शासन णनिमिय करिाक ः अभयास-२११६/(पर.कर.४३/१६) एसडी-४ णदनाक २५.४.२०१६ अनिय सथापनकरणयात आललया सिनिय सणितीचया णदनाक २९.१२.२०१७ रोजीचया बठकीिधय ह पाठयपसतक

सन २०१८-१९ या शकषणिक िषामिपासन णनधामिररत करणयास िानयता दणयात आली आह.

Page 4: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n
Page 5: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n
Page 6: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n
Page 7: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

परसतावनता

विदयारथी वितयाानो,दहयािीचया िरयागात तिच सियारत!रवित भयार I आवि रवित भयार II ही पसतक यािरथी तमहयाालया अभयासयाची आहत.रवित भयार I िध बीजरवित, आलख, अरगावनोजन ि सयााखकी ही ि कत आहत.

तमहयाालया यािरथी नििीपयत ओळख करन वदललया घटकयााचयाच रोडया अविक अभयास करयाचया आह. अरगावनोजनयात GST या नवया करपरियालीची ओळख करन वदली आह. जर निया भयार, सत वकिया उपोजन आह, तर सलभ सपषीकरि वदल आह. परतक परकरियात निनयाची सोडिलली उदयाहरि, सरयाियासयाठी उदयाहरि आहतच, वििया परजयाियान विदयारयायसयाठी कयाही आवहयानयातिक परशन तयारयाावकत करन वदल आहत. कयाही विदयारयायनया दहयािीनातर रवितयाचया अभयास करयाचया नसलया, तरी रवितयातील िलभत साकलपनया तयाानया सिजयावयात, इतर कतयात कयाि करतयानया आिशक त रवित ियापरतया याि, अस जयान तयाानया या पसतकयातन विळल. ‘अविक ियावहतीसयाठी’ या िीरगाकयाखयाली वदललया िजकर, जया विदयारयायनया दहयािीनातरही रवितयाचया अभयास करन तयात परयािीण विळिणयाची इचया आह, तयाानया उपोरी पडल, महिन अिया विदयारयायनी तो जरर अभयासयािया. सरळ पसतक एकदया तरी ियाचन ि सिजन घयाि.

ॲपचया ियाधियातन क. आर. कोडद ियार परतक पयाठयासाबािी अविक उपकत दक -शयाव सयावहत आपियाास उपलबि होईल. तयाचया अभयासयासयाठी वनखशचत उपोर होईल.

दहयािीची परीकया िहतियाची ियानली जयात. या रोषीचया तयाि न घतया चयाारलया अभयास करन िनयासयारख ि विळिणयासयाठी तमहयाालया िभचया!

(डॉ.सननलमगर)पण सचतालकनिनताक:१८ मारच २०१८, गढीपाडवा िहयारयाषटर रयाज पयाठयपसतक वनविगाती ि भतारीयसौरनिनताक: २७ फालगन १९३९ अभयासकरि सािोिन िाडळ, पि.

Page 8: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

परथम पसतकाच सखोि वाचन करन त समजन घयाव. शवशवध घटकाच सपषरीकर व सताचा पडताळा घ या महतवाचया गोषीसाठरी कतीचरी मदत घयावरी.

परातयशकषकातनहरी मलयमापन करायच आह. तयासाठरीहरी कतरी वापरता यतात. शवदारयााना सवतत शवचार करणयास उततजन दाव. एखाद उदाहर वगळा, परत तककशद ध पद धतरीन सोडवाऱया शवदारयााना खास शाबासकी दावरी.

णशकषकासाठी सचना

इयतता १० िी गणित भाग I अभयासकरिातन खालील कषिता णिदारयाािधय णिकणसत होतील.

कषतर घटक कषिता णिधान1. सखयाजञान 1.1 अकगशतरी शढरी · अकगशतरी शढरीचा उपयोग करन उदाहर सोडवता य .

· भशवषयातरीि एखादरी गोष साधय करणयासाठरी टपपयाटपपयान शनयोजन करता य.

2. बीजगणित 2.1 वगमासमरीकर

2.2 दोन चिातरीि रषरीय समरीकर

· वयवहारातरीि जया समसया वगमासमरीकराचया रपात वयक करता यतात, तयाचरी उकि शोधता य.

· शाबबदक उदाहराचरी उकि काढणयासाठरी शकतरी चिाचा वापर करावा िागि हा शनमाय घता य.

· शाबबदक उदाहराच रपातर दोन चिामधरीि समरीकरात करन उकि काढता य .

3. वयािहाररक गणित

3.1 अथमाशनयोजन · बचत, गतवक या बाबीचरी समज शनमामा हो.

· उदोग, वयवसायातरीि अथमावयवहाराचरी तोडओळख हो.

4. साचखयकी ि सभावयता

4.1 सभावयता4.2 आिख व कदररीय परवततरीचरी पररमा

· खळ, मतदान इतयादरी कषतात सभावयतचा उपयोग करता य .

· शवशशष परकारचरी माशहतरी गोळा कलयावर तयाच आिख रपात/शचतरपात परशतरप करणयासाठरी शवशशष आिखाचरी शनवड करता य.

· वगगीकत सामगरी शदलयावर मधय, मधयक, बहिक काढता य .

Page 9: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

परातयशकषकाचरी यादरी (नमना)

1. आिख कागदावर X-अकषािा शकवा Y-अकषािा समातर रषा काढन तया रषवररीि कोतयाहरी चार शबदच शनददशक शिहा. शनददशकावरन रषच समरीकर कस तयार होत त शिहा.

[समातर रषऐवजरी आरभशबदतन जााऱया शकवा X व Y अकषाना छदाऱया रषा घतलया तररी चािि.]

2. कोतरीहरी दोन अकी सखया मनात ठरवा. तरी उघड न करता ओळखणयासाठरी कोड तयार करा. सखयचया अकामधरीि दोन बशजक सबध तयार करा व कोड सोडवन दाखवा.

[वररीि परातयशकषक तरीन अकी सखयसाठरीहरी करता यईि.]

3. कोतयाहरी खादपदाथामाचया पाशकटावररीि घटकाचरी माशहतरी वाचा व तरी माशहतरी दाखवारा वततािख काढा. उदाहराथमा, शबबसकटाचया पडावररीि कबबोदक, परशथन, जरीवनसतव, इतयादरी घटकाचा तका पाहा. तो शकतरी वजनासाठरी शदिा आह ह पाहा. तयावरन वजनाच शवतर दाखवारा वततािख काढा. तयासाठरी कबबोदक, बसनगध, परशथन व इतर अस घटकाच चार भाग करता यतरीि.

4. शशकषकानरी शदििरी वारवारता शवतर साररी सगकावर Excel sheet मधय तयार करा. तया साररीवरन वारवारता बहभज व सतभािख Excel मधय तयार करा.

5. एक फासा दहा वळा फकन शमळािलया शनषपततरी नोदव व तयाचरी साररी तयार कर.

6. शशकषकानरी शदिि जरीएसटरी वयवहाराच करबरीजक पाहा. तयातरीि सवमा बाबीचरी नोद करा. तयातरीि कर आकाररीच परत गन करन दाखवा व सवमा गन बरोबर असलयाचरी खातरी करा.

7. शशकषकानरी साशगतिलया पशहलया n करमवार नसशगमाक सखयाचरी बररीज करणयासाठरी शदििरी कतरी करन पाहा. उदाहराथमा, 1 पासन 4 पयातचया नसशगमाक सखयाचरी बररीज करणयासाठरी 4 ´ 5 चा एक चौकटीचा कागद

घया व आकतरीत दाखवलयापरमा कापन घया. (यथ n = 4 आह.) तयावरन Sn = n n( )+12

या सताचा पडताळा घया.

Sn = n n( )+12

\ S4 = 4 4 1

2

( )+ =

4 5

2

´ =

20

2 = 10

8. एका काडामावर पढचया बाजस a = 6 व मागचया बाजस a = -6 शिहा. तसच ददसऱया काडामाचया एकका पषठभागावर b = -3 व b = 7 अस शिहा. तयावरन (a + b) व (ab) चया वगवगळा शकमतरी तयार होतरीि. तया शकमतरी वापरन वगमासमरीकर तयार करा.

12 34 5 67 8 9 10

4

5

[टरीप : यथ a = 1 व d = 1 आह. जासत सखया घऊन, a व d या सखया बदिन; तसच सम शकवा शवषम सखयाचया बरजसाठरी तसच नसशगमाक सखयाचया घनाचया बरजसाठरी अशा कतरी करता यतरीि.]

Page 10: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

अनकरिणिका

परकरि पषठ

1. दोन चलातील रषीय सिीकरि ............................ 1 त 29

2. िगमिसिीकरि ............................................. 30 त 54

3. अकगणित शढी .......................................... 55 त 80

4. अथमिणनयोजन .............................................. 81 त 112

5. सभावयता ................................................. 113 त 128

6. साचखयकी ................................................. 129 त 168

· उततरसची ................................................. 169 त 176

Page 11: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

1

· दोन चिातरीि रषरीय समरीकर सोडवणयाचया पदधतरी - आिख पदधत, करमरचरी पदधत.

· दोन चिातरीि रषरीय समरीकरात रपातर करणयाजोगरी समरीकर.

· एकसामशयक समरीकराच उपयोजन.

जरा आठिया.

दोन चलातील रषीय सिीकरि (Linear equation in two variables)

जया समरीकरामधय दोन चि वापरिरी जातात आश चि असिलया परतयक पदाचरी कोटरी 1 असत तया समरीकरािा दोन चिातरीि रषरीय समरीकर अस महतात, ह आप मागरीि इयततत अभयासि आह.

ax + by + c = 0 ह दोन चिातरीि रषरीय समरीकराच सामानयरप आह. यथ a, b, c या वासतव सखया असन a आश b ह एकाच वळरी शनय नसतात हहरी आपलयािा माहरीत आह.

उदा. 3x = 4y - 12 या समरीकराच 3x - 4y + 12 = 0 ह सामानयरप आह.

कती : खािरीि साररी पमा करा.

करमाक समरीकर दोन चिातरीि रषरीय समरीकर आह की नाहरी? 1 4m + 3n = 12 आह.2 3x2 - 7y = 13

3 2 x - 5 y = 16

4 0x + 6y - 3 = 0

5 0.3x + 0y -36 = 0

6

4 54

x y+ =

7 4xy - 5y - 8 = 0

1 दोन चलातील रषीय सिीकरि

चला, णशकया.

Page 12: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

2

एकसािणयक रषीय सिीकरि (Simultaneous linear equations)

जवहा आप दोन चिातरीि दोन रषरीय समरीकराचा एकाच वळरी शवचार करता तवहा तया समरीकराना एकसामशयक समरीकर महतात.

मागरीि इयततत एका चिाचा िोप करन समरीकर सोडवणयाचया पदधतीचा अभयास आप किा अाह. तयाचरी थोडकयात उजळरी कर उदा. (1) खािरीि एकसामशयक समरीकर सोडवा.

5x - 3y = 8; 3x + y = 2

उकल :

रीत I : 5x - 3y = 8. . . (I)

3x + y = 2 . . . (II)

समरीकर (II) चया दोनहरी बाजना 3 न ग

9x + 3y = 6 . . . (III)

5x - 3y = 8 . . . (I)

आता समरीकर (I) व (III) याचरी बररीज कर.

5x - 3y = 8

9x + 3y = 6

14x = 14

\ x = 1

x = 1 हरी शकमत समरीकर (II) मधय ठव.

3x + y = 2

\ 3 1 + y = 2

\ 3 + y = 2

\ y = -1

x = 1, y = -1 हरी उकि आह.

हरीच उकि (x, y) = (1, -1) अशरीहरी शिशहतात.

रीत (II)

5x - 3y = 8. . . (I)

3x + y = 2 . . . (II)

समरीकर (II) वरन y या चिाचरी शकमत x

या चिाचया रपात शिह.

y = 2 - 3x . . . (III)

आता y चरी हरी शकमत समरीकर (I) मधय

ठव.

5x - 3y = 8

\ 5x - 3(2 - 3x) = 8

\ 5x - 6 + 9x = 8

\ 14x - 6 = 8

\ 14x = 8 + 6

\ 14x = 14

\ x = 1

x = 1 हरी शकमत समरीकर (III) मधय ठव.

y = 2 - 3x \ y = 2 - 3 1 \ y = 2 - 3

\ y = -1

x = 1, y = -1 हरी उकि आह.

+

Page 13: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

3

उदा. (2) सोडिा: 3x + 2y = 29; 5x - y = 18

उकल : 3x + 2y = 29. . . (I) आश 5x - y = 18 . . . (II)

शदििरी समरीकर y या चिाचा िोप करन सोडव. तयासाठरी खािरीि चौकटीत योगय सखया शिहा.

समरीकर (II) िा 2 न गन

\ 5x ´ - y ´ = 18 ´ \ 10x - 2y = . . . (III)

समरीकर (I) मधय समरीकर (III) शमळव.

3x + 2y = 29

+ - =

= \ x =

x = 5 हरी शकमत समरीकर (I) मधय ठव.

3x + 2y = 29

\ 3 ´ + 2y = 29

\ + 2y = 29

\ 2y = 29 -

\ 2y = \ y =

(x, y) = ( , ) हरी उकि आह.

उदा. (3) 15x + 17y = 21; 17x + 15y = 11

उकल : 15x + 17y = 21. . . (I)

17x + 15y = 11 . . . (II)

या दोन समरीकरात x आश y याचया सहगकाचरी अदिाबदि आह. अशा परकारचरी एकसामशयक

समरीकर सोडवताना तया दोनहरी समरीकराचरी बररीज आश वजाबाकी घतिरी असता दोन नवरीन सोपरी

समरीकर शमळतात. तरी समरीकर सोडवन समरीकराचरी उकि सहज शमळत.

समरीकर (I) व समरीकर (II) याचरी बररीज करन,

15x + 17y = 21

17x + 15y = 11

32x + 32y = 32

+

Page 14: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

4

समरीकराचया दोनहरी बाजस 32 न भागन

x + y = 1 . . . (III)

समरीकर (I) मधन समरीकर (II) वजा कर.

15x + 17y = 21

17x + 15y = 11

-2x + 2y = 10

समरीकराचया दोनहरी बाजस 2 न भागन,

-x + y = 5 . . . (IV)

समरीकर (III) व समरीकर (IV) याचरी बररीज कर.

x + y = 1

-x + y = 5

\ 2y = 6 \ y = 3

y = 3 हरी शकमत समरीकर (III) मधय ठव.

x + y = 1

\ x + 3 = 1

\ x = 1 - 3 \ x = -2

(x, y) = (-2, 3) हरी समरीकराचरी उकि आह.

- - -

सरािसच 1.11. खािरीि कतरी प मा करन एकसामशयक समरीकर सोडवा.

5x + 3y = 9 ----- (I)

-

+

+

2x - 3y = 12 ----- (II)

समरी. (I) व समरी. (II) याचरी बररीज कर.

5x + 3y = 9

2x - 3y = 12

x =

x = x =

x = 3 समरी.(I) मधय ठव.

5 ´ + 3y = 9

3y = 9 -

3y =

y = 3 y =

(x, y) = ( , ) हरी समरीकराचरी उकि आह.

Page 15: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

5

2. खािरीि एकसामशयक समरीकर सोडवा.

(1) 3a + 5b = 26; a + 5b = 22 (2) x + 7y = 10; 3x - 2y = 7

(3) 2x - 3y = 9; 2x + y = 13 (4) 5m - 3n = 19; m - 6n = -7

(5) 5x + 2y = -3; x + 5y = 4 (6) 13

10

3x y+ = ; 2

1

4

11

4x y+ =

(7) 99x + 101y = 499; 101x + 99y = 501

(8) 49x - 57y = 172; 57x - 49y = 252

जरा आठिया.

दोन चलातील रषीय सिीकरिाचा आलख (Graph of a linear equation in two variables)

मागरीि इयततत, दोन चिातरीि रषरीय समरीकराचा आिख हरी एक सरळ रषा असत अस आप अभयासि आह. जरी करशमत जोडरी शदिलया समरीकराच समाधान करत तरी जोडरी तया समरीकराचरी उकि असत. तसच तरी करशमत जोडरी तया समरीकराचया आिखावररीि एक शबद दशमावत.

उदाहरि 2x - y = 4 या समरीकराचा आिख काढा. उकल : 2x - y = 4 या समरीकराचा आिख काढणयासाठरी (x, y) चया 4 करशमत जोडा शमळव.

x 0 2 3 -1y -4 0 2 -6

(x, y) (0, -4) (2, 0) (3, 2) (-1, -6)

करशमत जोडा शमळवताना साररीत दाखवलयापरमा x व y याचरी शनय हरी शकमत घ सोईच असत.

परमा दोनहरी अकषावर 1 समरी = 1 एकक

-1 1

1

2

2

3 4 5 6 7 8 90

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

X'

Y'

X

Y

(3, 2)

(2, 0)

(0, -4)

(-1, -6)

Page 16: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

6

दोन चिातरीि रषरीय समरीकराचा आिख काढताना खािरीि पायऱया धयानात घया.

रषा शनबशचत होणयासाठरी दोन शबद परस असतात, परत तयापकी एका शबदच शनददशक काढताना चक झािरी, तर रषाहरी चकत. तरीन शबदच शनददशक काढताना एका शबदच शनददशक चकि, तर तरीन शबद एका रषत यार नाहरीत, तयावरन कोतयातररी एकाच शनददशक चकि आहत ह िकषात यईि, प नमकया कोतया शबदच शनददशक चकि आहत, ह शोधायिा वळ िागि. चार शबदच शनददशक काढताना जर एका शबदच शनददशक चकि, तर तो वगळता इतर तरीन शबद एकरषरीय यतरीि. तयामळ चक िगच िकषात यईि. महन चार शबदच शनददशक ठरव शहताच असत.

0x + y = 2 ह समरीकर सोईसाठरी y = 2 अस शिशहतात. या समरीकराचा आिख X- अकषािा समातर असतो. कार x शनददशक कोताहरी घतिा तररी परतयक शबदचा y शनददशक 2 हाच यतो.

x 1 4 -3y 2 2 2

(x, y) (1, 2) (4, 2) (-3, 2)

तसच x + 0y = 2 ह समरीकर x = 2 अस शिशहतात व तयाचा आिख Y- अकषािा समातर असतो.

-1-1

-3

-3

-2

-2

-4

-4

-5 1

1

0 2

2

3

3

4

4

6 5 7 (2,-1)

(1,2) (-3,2)

(2,-3)

(2,3)

(2,1)

y = 2

x =

2

(4,2)

X

Y परमा दोनहरी अकषावर 1 समरी = 1 एकक

शदिलया समरीकरासाठरी शकमान 4 करशमत जोडा (शबदच शनददशक) शोधा

आिख कागदावर X- अकष व Y- अकष शनबशचत करन शबद सथापन करा.

सवमा शबद एकरषरीय यतरीि. तया शबदतन जााररी रषा काढा.

Page 17: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

7

एकसािणयक सिीकरि सोडिणयाची आलख पदधत (Solution of simultaneous equations by Graphical method)

उदा. x + y = 4 आश 2x - y = 2 या समरीकराच आिख काढन तयाच शनररीकष कर.

x + y = 4x -1 4 1 6y 5 0 3 -2

(x, y) (-1, 5) (4, 0) (1, 3) (6,-2)

2x - y = 2x 0 1 3 -1y -2 0 4 -4

(x, y) (0, -2) (1, 0) (3, 4) (-1,-4)

आिखावररीि परतयक शबद तया आिखाचया समरीकराच समाधान करतो. दोनहरी रषा परसपराना (2, 2) या शबदत छदतात.महन (2, 2) हरी करशमत जोडरी, महजच x = 2 आश y = 2 या शकमतरी, x + y = 4 आश 2x - y = 2 या दोनहरी समरीकराच समाधान करतात. चिाचया जया शकमतीनरी शदिलया एकसामशयक समरीकराच समाधान होत, तया शकमतरी महज तया समरीकराचरी उकि असत. x + y = 4 आश 2x - y = 2 या एकसामशयक समरीकराचरी उकि x = 2 आश y = 2 आह.

हरी समरीकर शनरसन पदधतरीन सोडवन या उकिरीचा पडताळा घऊ. x + y = 4 . . . (I) 2x - y = 2 . . . (II) समरीकर (I) व (II) याचरी बररीज करन, 3x = 6 \ x = 2

समरीकर (I) मधय x = 2 हरी शकमत ठव. x + y = 4 \ 2 + y = 4 \ y = 2

2x -

y =

2

x + y = 4

-1 1

1

2

(2,2)

(3,4)

(-1,5)

(1,0) (4,0)

(-1,-4)

(1,3)

(0,-2) (6,-2)

2

3 4 5 60

-1

-2

-2

3

-3

4

-4

5

-5

X'

Y'

X

Y परमा दोनहरी अकषावर 1 समरी = 1 एकक

जािन घऊया.

Page 18: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

8

कती I : x - y = 1; 5x - 3y = 1 हरी एकसामशयक समरीकर आिख पदधतरीन सोडवणयासाठरी खािरी शदिलया सारणया पमा करन शनददशक शमळवा.

x - y = 1x 0 3y 0 -3

(x, y)

5x - 3y = 1x 2 -4y 8 -2

(x, y)

· एकाच शनददशक पदधतरीवर वररीि शनददशकानसार शबद सथापन करा. · समरीकराच आिख काढा. · रषाचया छदनशबदच शनददशक वाचा. तयावरन एकसामशयक समरीकराचरी उकि शिहा.

कती II : वर शदििरी एकसामशयक समरीकर शनरसन पदधतरीन सोडवन, आिखावरन शमळािलया उकिरीचा पडताळा घया.

णिचार कया.

5x - 3y = 1 चा आिख काढणयासाठरी खािरीि साररीत काहरी शनददशक काढन शदि आहत, त पाहा.

x 0 1

51 -2

y -1

30 4

3-11

3

(x, y) (0, -1

3) ( 1

5, 0) (1, 4

3) (-2, -

11

3)

· शबद सथापन करणयासाठरी ह शनददशक सोईच आहत का?· शनददशक शोधताना कोतरी काळजरी घयावरी, महज शबद सथापन कर सोप होईि?

सरािसच 1.21. खािरीि एकसामशयक समरीकर आिखान सोडवणयासाठरी साररी पमा करा. x + y = 3 ; x - y = 4

x + y = 3x 3y 5 3

(x, y) (3, 0) (0, 3)

x - y = 4x -1 0y 0 -4

(x, y) (0, -4)

2. खािरीि एकसामशयक समरीकर आिखान सोडवा. (1) x + y = 6 ; x - y = 4 (2) x + y = 5 ; x - y = 3 (3) x + y = 0 ; 2x - y = 9 (4) 3x - y = 2 ; 2x - y = 3 (5) 3x - 4y = -7 ; 5x - 2y = 0 (6)2x - 3y = 4 ; 3y - x = 4ê

Page 19: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

9

चला, चचामि कया.

x + 2y = 4 ; 3x + 6y = 12 हरी एकसामशयक समरीकर शदििरी आहत, तरी आिख पदधतरीन सोडवणयासाठरी शनबशचत किलया काहरी करशमत जोडा खािरीिपरमा आहत.

x + 2y = 4x -2 0 2y 3 2 1

(x, y) (-2, 3) (0, 2) (2, 1)

3x + 6y = 12x -4 1 8y 4 1.5 -2

(x, y) (-4, 4) (1, 1.5) (8, -2)

या करशमत जोडा सथापन करन काढििा आिख खािरी शदिा आह. तयाच शनररीकष करा आश शदिलया परशनावर चचामा करा.

(1) वररीि दोनहरी समरीकराच आिख एकच आहत का शभन आहत? (2) x + 2y = 4 आश 3x + 6y = 12 या एकसामशयक समरीकराचया उकिरी कोतया?

तया शकतरी आहत? (3) वररीि दोनहरी समरीकरातरीि x च सहगक, y च सहगक आश बसथरपद यामधय कोता

सबध शदसन यतो? (4) दोन चिातरीि दोन रषरीय समरीकर शदिरी असता तया समरीकराच आिख हरी एकच रषा कवहा

असत ह कस ओळखता यईि?

x + 2y = 4

3x + 6y = 12

-1 1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7 80

-1

-2

-2

-3-4

परमा दोनहरी अकषावर 1 समरी = 1 एकक

X

Y

(0,2)(1,1.5)

(2,1)

(-2,3)

(8,-2)

(-4,4)

Page 20: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

10

आतया ददसर उदयािर पयाह.

x - 2y = 4 आह 2x - 4y = 12 या सीकरयाच आलख वरीलपरयाच एकयाच हनददशकपदधतीवर

कयाढया. आलखयाच हनरीकष करया. x - 2y = 4; 2x - 4y = 12 या एकसयाहक सीकरयाचया

उकलीचया हवचयार करया. x आह y च सिग क, तसच बसथरपद याचयातील सबियाचया हवचयार करन हनषकषट

कयाढया.

जारन घऊया.

ननशचयक (Determinant)

a b c d िया चयार घरकयाचया हनशचक आि. यात (a, b), (c, d) या आिवया ओळी

आित, तसच ac

,

bd

ि दोन (उभ) सतभ आित. या हनशचकयाची कोरी 2 आि, कयार परतक

ओळीत व सतभयात 2 घरक आित. िया हनशचक एकया सखसयाठी हलहिलया ियातो. ती सखया ad-bc

असत.

मिि a b c d

= ad-bc

ad-bc िी a b c d या हनशचकयाची हकत आि.

हनशचकयानया नयाव दणयासयाठी सवटसयाियारप A, B, C, D, ......... अशी इगिी कहपरल अकषर वयापरतयात.

ÒÒÒ सोडवलल उिाहरर ÒÒÒउिाहरर खयालील हनशचकयाचया हकती कयाढया.

(1) A = 5 3 7 9 (2) N =

-8 -3 2 4 (3) B =

2 3 9

2 3 3

ICT Tools or Links

Geogebra software चया दतीन X-अकष, Y-अकष कयाढया. हवहवि एकसयाहक सीकरयाच आलख कयाढन तयाचया उकली तपयासया.

Page 21: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

11

उकल :

(1) A = 5 3 7 9 = (5 ´ 9) - (3 ´ 7) = 45 - 21 = 24

(2) N = -8 -3 2 4 = [(-8) ´ (4)] - [(-3 ) ´ 2] = -32 - (-6)

= -32 + 6 = -26

(3) B = 2 3 9

2 3 3 = [2 3 ´ 3 3 ] - [2 ´ 9] = 18 - 18 = 0

जािन घऊया.

णनशचयक पदधती (करिरची पदधती)Determinant method (Crammer's Method)

शदििरी एकसामशयक समरीकर सोपया पदधतरीन व कमरीत कमरी जागा वापरन शनशचयकाचया साहाययान सोडवता यतात. यािाच एकसामशयक समरीकर सोडवणयाचरी शनशचयक पदधतरी महतात. हरी पदधतरी गशबयि करमर या बसवस गशतजान शोधन काढिरी महन या पदधतरीिा करमरचरी पदधतरी असहरी महतात. या पद धतरीत शदििरी एकसामशयक समरीकर a1x + b1 y = c1 आश a2x + b2 y = c2 अशरी शिशहतात.

समजा, a1x + b1 y = c1 . . . (I)

आश a2x + b2 y = c2 . . . (II)

यथ a1, b1, c1 व a2, b2, c2 या वासतव सखया आहत.

आप हरी एकसामशयक समरीकर शनरसन पद धतरीन सोडव.

समरीकर (I) िा b2 न गन

a1 b2 x + b1 b2 y = c1 b2 . . . (III)

समरीकर (II) िा b1 न गन

a2 b1 x + b2 b1 y = c2 b1 . . . (IV)

Page 22: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

12

समरीकर (III) मधन (IV) वजा करन a1 b2 x + b1 b2 y  = c1 b2

a2 b1 x + b2 b1 y  = c2 b1

(a1 b2 - a2 b1) x = c1 b2- c2 b1

x = c1 b2- c2 b1

a1 b2 - a2 b1

. . . (V)

तयाचपरमा x च शनरसन करन, y = a1 c2- a2 c1

a1 b2 - a2 b1

. . . (VI)

वररीि उकिीमधरीि c1 b2- c2 b1, a1 b2 - a2 b1, a1 c2- a2 c1 या राशरी िकषात ठवणयासाठरी

अाश थोडा जागत वयवबसथत शिशहणयासाठरी शनशचयकाचया रपात शिह.

खािरीि समरीकरातरीि सहगक व बसथरपद पाहा.

a1 x + b1 y = c1 यथ

aa1

2

,

bb1

2

,

cc1

2

ह तरीन सतभ शमळतात.

आश a2 x + b2 y = c2

समरीकर (V) व समरीकर (VI) मधरीि x व y याचया शकमतरी शनशचयकाचया रपात शिह.

x = c1 b2- c2 b1

a1 b2 - a2 b1

=

c1 b1

c2 b2

a1 b1

a2 b2

आश y = a1 c2- a2 c1

a1 b2 - a2 b1

=

a1 c1

a2 c2

a1 b1

a2 b2

, (a1 b2 - a2 b1) ¹ 0

िकषात ठवणयासाठरी a1 b1

a2 b2 = D ,

c1 b1

c2 b2 = Dx ,

a1 c1

a2 c2 = Dy अस शिह.

महज थोडकयात x = DxD व y =

Dy

D

D, Dx, Dy ह शनशचयक शिशहणयास aa1

2

,

bb1

2

,

cc1

2

या सतभाचा करम िकषात ठवा.

-- - -

Page 23: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

13

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

y D मधय बसथरपदाचा cc1

2

हा सतभ वगळिा आह.

y Dxसाठरी D मधरीि aa1

2

हा x चया सहगकाचा सतभ वगळिा आह. तयाजागरी बसथर पदाचा

सतभ घतिा आह.

y Dy साठरी D मधरीि bb1

2

हा y चया सहगकाचा सतभ वगळिा आह. तयाजागरी बसथर पदाचा

सतभ घतिा आह.

ह लकषात ठिया.

करमरचरी पदधतरी वापरन एकसामशयक समरीकर सोडवणयाचरी ररीत

शदििरी समरीकर ax + by = c या सवरपात शिहा.

D, Dx व Dy या शनशचयकाचया शकमतरी काढा.

x = DxD व y =

Dy

D

यानसार x व y चया शकमतरी काढा.

गणयल करिर (Gabriel Cramer)

(31 जि, 1704 त 4 जानवाररी, 1752)

या बसवस गशतजाचा जनम शजशनवहा यथ झािा. गशत शवषयात त बािपापासनच अशतशय परवरी होत. वयाचया अठरावया वषगी तयाना डॉकटरट हरी पदवरी शमळािरी. त शजशनवहा यथ पराधयापक होत.

या समरीकरापासन aa1

2

,

bb1

2

,

cc1

2

ह तरीन सतभ शमळतात.आश

Page 24: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

14

ÒÒÒ  सोडिलल उदाहरि ÒÒÒउदा. करमरचया पदधतरीन खािरीि एकसामशयक समरीकर सोडवा. 5x + 3y = -11 ; 2x + 4y = -10उकल : शदििरी समरीकर 5x + 3y = -11 2x + 4y = -10

D = 5 3 2 4 = (5 ´ 4) - (2 ´ 3) = 20 - 6 = 14

Dx = -11 3 -10 4 = (-11) ´ 4 - (-10) ´ 3 = -44 -(-30)

= -44 + 30 = -14

Dy = 5 -11 2 -10 = 5 ´ (-10) - 2 ´ (-11) = -50 -(-22)

= -50 + 22 = -28

x = DxD = -14

14 = -1 y =

Dy

D= -28

14 = -2

\ (x, y) = (-1, -2) हरी शदिलया एकसामशयक समरीकराचरी उकि आह.

कती 1 : शनशचयक पदधतरीन शदििरी एकसामशयक समरीकर सोडवणयासाठरी खािरीि चौकटरी पमा करा.

y + 2x - 19 = 0 ; 2x - 3y + 3 = 0

उकल : शदििरी समरीकर ax + by = c या सवरपात शिह.

2x + y = 19

2x - 3y = -3

D = 2 -3 = ´ (-3) - 2 ´ ( ) = - ( )

= - =

Dx = 19 -3

= 19 ´ ( ) - ( ) ´ ( ) = -

=

Page 25: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

15

Dy = 19 2 = [( ) ´ ( )] - [( ) ´ ( )]

= - =

x = DxD y =

Dy

D

\ x = = y = =

\ (x, y) = ( , ) हरी शदिलया एकसामशयक समरीकराचरी उकि आह.

कती 2 : खािरीि कतरी प मा करा.

\ (x, y) = ( , ) हरी उकि आह.

3x-2y=3

वररीि समरीकराचया शनशचयकाचया शकमतरी

करमरचया पदधतरीनसार उकि यत.

D = = Dx = = Dy = =

2x+y=16

x = = y = =

Page 26: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

16

सरािसच 1.3

णिचार कया.

y जर, D = 0 असि, तर उकिरीच सवरप काय असि?

y सामाईक उकि शकय नसि, तर तया समरीकराचया रषाच सवरप काय असि?

1. 3 2 4 5 = 3 ´ - ´ 4 = - 8 =

2. खािरीि शनशचयकाचया शकमतरी काढा.

(1) -1 7 2 4 (2)

5 3 -7 0 (3)

73

53

32

12

3. खािरीि एकसामशयक समरीकर करमरचया पद धतरीन सोडवा.

(1) 3x - 4y = 10 ; 4x + 3y = 5 (2) 4x + 3y - 4 = 0 ; 6x = 8 - 5y (3) x + 2y = -1 ; 2x - 3y = 12 (4) 6x - 4y = -12 ; 8x - 3y = -2

(5) 4m + 6n = 54 ; 3m + 2n = 28 (6) 2x + 3y = 2 ; x - y2 =

12

दोन चलातील रषीय सिीकरिात पातर करणयाजोगी सिीकरि ः(Equations reducible to a pair of linear equations in two variables)

कती : खािरीि साररी पमा करा.

समरीकर चिाचरी सखया रषरीय आह की नाहरी. 3x - 4

y = 8 2 नाहरी

61x - +

32y - = 0

72 1x + + 132y + = 014x y+ +

3x y- = 5

जािन घऊया.

Page 27: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

17

णिचार कया.

वररीि साररीत दोन चिातरीि काहरी समरीकर शदिरी आहत. तरी रषरीय नाहरीत; परत तया समरीकराच रषरीय समरीकरात रपातर करता यईि का?

ह लकषात ठिया.

शदिलया चिामधय योगय तो बदि करन आप नवरीन चिाचरी शनशममातरी कर शकतो. हरी नवरीन चि वापरन तच समरीकर रषरीय समरीकराचया रपात शिशहता यत. कोतयाहरी mn अशा अपााकाचा छद शनय अस शकत नाहरी ह शवसर नका.

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा.(1) सोडवा : 4x +

5y = 7;

3x +

4y = 5

उकल : 4x +

5y = 7;

3x +

4y = 5

4 1x

+ 5

1y

= 7 . . . (I)

3 1x

+ 4

1y

= 5 . . . (II)

समरीकर (I) व (II) मधय 1x

= m व

1y

= n मानलयास खािरीि समरीकर शमळतात.

4m + 5n = 7 . . . (III) 3m + 4n = 5 . . . (IV)

हरी समरीकर सोडवन,

m = 3, n = -1 हरी उकि शमळत.

आता, m = 1x \ 3 =

1x \ x =

1

3

तसच, n = 1y \ -1 =

1y \ y = -1

\ (x, y) = (1

3, -1) हरी शदिलया एकसामशयक समरीकराचरी उकि आह.

Page 28: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

18

उदा.(2) सोडवा : 4

x y- + 1

x y+ = 3 ; 2

x y- - 3

x y+ = 5

उकल : 4

x y- + 1

x y+ = 3 ; 2

x y- - 3

x y+ = 5

41

x y−

+ 1

1x y+

= 3 . . . (I)

21

x y−

- 3

1x y+

= 5 . . . (II)

समरीकर (I) व (II) मधय 1

x y−

= a व

1x y+

= b ठवन पढरीि समरीकर शमळतात.

4a + b = 3 . . . (III)

2a - 3b = 5 . . . (IV)

समरीकर (III) व (IV) सोडवन a = 1 आश b = -1 या उकिरी शमळतात.

प a = 1x y−

व b = 1

x y+

1x y−

= 1 व

1x y+

= -1

x - y = 1 . . . (V) x + y = -1 . . . (VI) समरीकर (V) व समरीकर (VI) सोडवन x = 0 आश y = -1 या उकिरी शमळतात.

\ (x, y) = (0, -1) हरी शदिलया समरीकराचरी उकि आह.

णिचार कया

वररीि उदाहरामधय रपातररत करन आििरी एकसामशयक समरीकर शनरसन पदधतरीन

सोडविरी आहत. तरी समरीकर करमरचया पदधतरीन शकवा आिख पदधतरीन सोडविरी

असता तयाच उकिरी शमळतरीि का त करन पाहा.

Page 29: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

19

कती : चौकटरीतरीि समरीकराचरी उकि काढणयासाठरी खािरीि कतरी करा.

11x

= m व 1

2y − = n ठवन,

5

1x - +

1

2y - = 2 ; 6

1x - - 3

2y - = 1

समरीकर सोडवन,

m = व n =

m व n चया शकमतरी ठवन शमळाररी समरीकर

11x

= 1

3 समरीकर सोडवन,

x = व y =

\ (x, y) = ( , ) हरी शदिलया एकसामशयक समरीकराचरी उकि आह.

सरािसच 1.4

1. खािरीि एकसामशयक समरीकर सोडवा.

(1)

(2) 10 24

15 52

x y x y x y x y++

−=

+−

−= −;

(3) 27

2

31

385

31

2

27

389

x y x y−+

+=

−+

+=;

(4) 1

3

1

3

3

4

1

2 3

1

2 3

1

8x y x y x y x y++

−=

+−

−= −;

( ) ( )

नवरी समरीकर 6m - 3n = 1

2 315

8 577

x y x y− = + =;

Page 30: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

20

जािन घऊया.

एकसािणयक सिीकरिाच उपयोजन Application of simultaneous equations

कती : पढ चौकटीचया खािरी काहरी अटरी शदलया आहत. तयावरन शमळाररी समरीकर सबशधत चौकटीत शिहा.

उदा. (1) एका आयताचरी पररशमतरी 40 समरी आह. आयताचरी िाबरी हरी रदरीचया ददपटरीपकषा 2 समरीन जासत आह, तर आयताचरी िाबरी व रदरी काढा.

उकल : समजा, आयताचरी िाबरी x समरी व रदरी y समरी आह.

पशहलया अटरीनसार -

2(x + y) = 40

x + y = 20 . . . (I)

ददसऱया अटरीनसार -

x = 2y + 2

\ x - 2y = 2 . . . (II)

समरीकर (I) व (II) शनशचयक पदधतरीन सोडव.

x + y = 20

x - 2y = 2

साथमाकच वय साकषरीचया वयाचया ददपटरीपकषा 8 वषाानरी कमरी आह.

साथमाक व साकषरी याचया आजचया वयाचरी बररीज 25 वषद आह.

4 वषाापवगी साकषरीच वय

साथमाकपकषा 3 वषाानरी कमरी होत.

माझ आजच वय x वषद आह.

माझ आजच वय y वषद आह.

मरी साथमाक.

मरी साकषरी

Page 31: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

21

D = 1 1 1 -2 = [1 ´ (-2)] - (1 ´ 1) = -2 - 1 = -3

Dx = 20 1 2 -2 = [20 ´ (-2)] - (1 ´ 2) = -40 - 2 = -42

Dy = 1 20 1 2 = (1 ´ 2) - (20 ´ 1) = 2 - 20 = -18

x = Dx

D व y =

Dy

D

\ x = - 42

- 3 व y =

--18

3

\ x = 14 व y = 6

\ आयताचरी िाबरी 14 समरी व रदरी 6 समरी आह.

तर मरी शवकिलया परतयक परकारचया घडाळाचरी शकमत शकतरी?

पशहलया शदवसाचरी शवकरी

काट असििरी घडाळ = 11

शडशजटि घडाळ = 6

मिा शमळाि 4330 र.

ददसऱया शदवसाचरी शवकरी

काट असििरी घडाळ = 22

शडशजटि घडाळ = 5

मिा शमळाि 7330 र.

माझयाकड काहरी काट असििरी आश काहरी शडशजटि घडाळ आहत. तरी मरी सवितरीचया दरात शवकार आह.

सि ! सि !! सि !!! फक दोनच शदवसउदा. (2)

Page 32: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

22

उकल : समजा, काट असिलया एका घडाळाचरी शकमत = x र.

व एका शडशजटि घडाळाचरी शकमत = y र.

पशहलया अटरीनसार,

11x + 6y = 4330 . . . (I)

ददसऱया अटरीनसार,

22x + 5y = 7330 . . . (II)

समरीकर (I) िा 2 न ग न,

22x + 12y = 8660 . . . (III)

समरीकर (II) मधन समरीकर (III) वजा कर.

22x + 5y = 7330

22x + 12y = 8660

-7y = -1330

\ y = 190

y = 190 हरी शकमत समरीकर (I) मधय ठव.

11x + 6y = 4330

\ 11x + 6(190) = 4330

\ 11x + 1140 = 4330

\ 11x = 3190 \ x = 290

\ काट असिलया एका घडाळाचरी शकमत 290 र. व

एका शडशजटि घडाळाचरी शकमत 190 र. आह.

-- - -

Page 33: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

23

उदा. (3)

उकल : समजा, नावचा सथ पाणयातरीि वग = x शकमरी/तास, व परवाहाचा वग = y शकमरी/तास

\ नावचा परवाहाचया शदशन वग = (x + y) शकमरी/तास

नावचा परवाहाचया शवरदध शदशन वग = (x - y) शकमरी/तास

अतर = वग ´ वळ \ वळ = अतरवग

नाविा परवाहाचया शवरदध शदशन 16 शकमरी जाणयास िागारा वळ = 16

x y- तास

नाविा परवाहाचया शदशन 24 शकमरी जाणयास िागारा वळ = 24

x y+ तास

पशहलया अटरीनसार,

16

x y- +

24

x y+ = 6 . . . (I)

ददसऱया अटरीनसार,

36

x y- + 48

x y+ = 13 . . . (II)

समरीकर (I) व (II) मधय 1x y-

= m व 1

x y+ = n ठवन खािरीि दोन समरीकर शमळतात.

16m + 24n = 6 . . . (III)

36m + 48n = 13 . . . (IV)

सागा बर! नावचा सथ पाणयातरीि वग व परवाहाचा वग शकतरी?

एक नाव 6 तासात परवाहाचया शवरदध शदशन 16 शकमरी व परवाहाचया शदशन 24 शकमरी जात.

तरीच नाव 13 तासात परवाहाचया शवरदध शदशन 36 शकमरी आश परवाहाचया शदशन 48 शकमरी जात.

Page 34: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

24

समरीकर (III) व (IV) सोडवन m = 1

4, n =

1

12

m व n चया शकमतरी पनहा ठवन खािरीि समरीकर शमळतात.

x - y = 4 . . . (V)

x + y = 12 . . . (VI)

समरीकर (V) व (VI) सोडविरी असता x = 8, y = 4 या शकमतरी शमळतात. \ नावचा सथ पाणयातरीि वग = 8 शकमरी/तास आश परवाहाचा वग = 4 शकमरी/तास

उदा. (4) काहरी रककम काहरी मिाना सारखरी वाटिरी. जर 10 मि जासत असतरी तर परतयकास 2 रपय कमरी शमळाि असत आश जर 15 मि कमरी असतरी तर परतयकी 6 रपय जासत शमळाि असत, तर एक रककम शकतरी होतरी? तरी रककम शकतरी मिाना वाटिरी?

उकल : मिाचरी सखया x मान व परतयकािा शमळाििरी रककम y रपय मान. \ एक xy रपय वाटि. पशहलया अटरीनसार, (x + 10) (y - 2) = xy \ xy - 2x + 10y - 20 = xy \ - 2x + 10y = 20 \ - x + 5y = 10 . . . (I) ददसऱया अटरीनसार, (x - 15) (y + 6) = xy \ xy + 6x - 15y - 90 = xy \ 6x - 15y = 90 \ 2x - 5y = 30 . . . (II) समरीकर (I) मधय समरीकर (II) शमळव. - x + 5y = 10 2x - 5y = 30

x = 40

x = 40 हरी शकमत समरीकर (I) मधय ठव.

-x + 5y = 10

\ -40 + 5y = 10

\ 5y = 50

+

Page 35: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

25

\ y = 10 एक रककम = xy = 40 ´ 10 = 400 र. \ 40 मिाना 400 रपय सारख वाटि. उदा. (5) एक तरीन अकी सखया शतचया अकाचया बरजचया 17 पट आह. तया सखयत 198 शमळवलयास

तच अक उिटा करमान असििरी सखया शमळत, तसच एकक व शतक सथानचया अकाचरी बररीज हरी मधलया अकापकषा 1 न कमरी आह, तर तरी तरीन अकी सखया शोधा.

उकल : शतकसथानचा अक x मान व एककसथानचा अक y मान. दशक सथानचा (मधिा) अक = टोकाचया अकाचया बरजपकषा 1 न मोठा.

शतक दशक एककx x + y + 1 y

\ तरीन अकी सखया = 100x + 10(x + y + 1) + y = 100x + 10x + 10y + 10 + y = 110x + 11y + 10 या सखयतरीि अकाचरी बररीज = x + (x + y + 1) + y = 2x + 2y + 1 \ पशहलया अटरीनसार, तरीन अकी सखया = 17 ´ (अकाचरी बररीज) \ 110x + 11y + 10 = 17 ´ (2x + 2y + 1) \ 110x + 11y + 10 = 34x + 34y + 17 \ 76x - 23y = 7 . . . (I) शदिलया सखयतरीि अक उिटा करमान शिहन शमळाररी नवरी सखया = 100y + 10(x + y + 1) + x = 110y + 11x + 10 शदििरी सखया = 110x + 11y + 10 शदिलया ददसऱया अटरीनसार, शदििरी सखया + 198 = अक उिट करमान माडन शमळाििरी सखया. \ 110x + 11y + 10 + 198 = 110y + 11x + 10 \ 99x - 99y = -198 \ x - y = -2 महजच x = y - 2 . . . (II) समरीकर (II) मधय शमळाििरी x चरी शकमत समरीकर (I) मधय ठवन, \ 76(y - 2) - 23y = 7

\ 76y - 152 - 23y = 7

53y = 159

Page 36: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

26

\ y = 3 \ एकक सथानचा अक = 3

y = 3 हरी शकमत समरीकर (II) मधय ठव.

x = y - 2

\ x = 3 - 2 = 1 \ x = 1 \ शतक सथानचा अक = 1 दशक सथानचा अक = मधिा अक = x + y + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 \ शदििरी तरीन अकी सखया = 153.

सरािसच 1.5

1. दोन सखयामधरीि फरक 3 असन मोठया सखयचरी शतपपट आश िहान सखयचरी ददपपट याचरी बररीज 19 आह. तर तया सखया शोधा.

2. कतरी प मा करा.

3. वशडिाचया वयामधय मिाचया वयाचरी ददपपट शमळवलयास बररीज 70 यत आश मिाचया वयामधय वशडिाचया वयाचरी ददपपट शमळवलयास बररीज 95 यत. तर दोघाचरी वय काढा.

4. एका अपााकाचा छद हा अशाचया ददपटरीपकषा 4 न मोठा आह. जर अश आश छद दोनहरी 6 न कमरी कि तर छद हा अशाचया 12 पट होतो, तर तो अपााक काढा.

5. 10 टनाचरी कषमता असाऱया मािवाह टटरकमधय A आश B अशा दोन शवशशष वजनाचया पटा भरिलया आहत. जर A परकारचया 150 पटा व B परकारचया 100 पटा भरलया तर टटरकचरी 10 टनाचरी कषमता पमा होत. जर A परकारचया 260 पटा भरलया तर तो टटरक तयाचया 10 टनाचया प मा कषमतन भरणयास B परकारचया 40 पटा िागतात. तर परतयक परकारचया पटरीच वजन शकतरी?

6. शवशािन 1900 शकमरी परवासापकी काहरी अतर बसन तर उरिि अतर शवमानान प मा कि. बसचा सरासररी वग 60 शकमरी दर तास आह, तर शवमानाचा सरासररी वग 700 शकमरी/तास आह. जर हा परवास तयान 5 तासात पमा किा असि तर शवशािन बसन शकतरी शकमरी परवास किा?

मरी आयत आह.

माझ कषतफळ व पररशमतरी काढा.

x + 4

4x-y

2x + y + 8

2yx अाश y चया शकमतरी काढा.

ê

Page 37: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

27

1. खािरीि परशनासाठरी शदिलया पयामायापकी अचक पयामाय शनवडा. (1) 4x + 5y = 19 चा आिख काढणयासाठरी x = 1 असताना y चरी शकमत शकतरी? (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) -3 (2) x व y हरी चि असिलया एकसामशयक समरीकरासाठरी जर Dx = 49, Dy = -63 व

D = 7 असि तर x = शकतरी? (A) 7 (B) -7 (C)

1

7 (D)

-17

(3) 5 3 -7 -4 या शनशचयकाचरी शकमत शकतरी?

(A) -1 (B) -41 (C) 41 (D) 1 (4) x + y = 3 ; 3x - 2y - 4 = 0 हरी एकसामशयक समरीकर सोडवणयासाठरी D चरी

शकमत शकतरी? (A) 5 (B) 1 (C) -5 (D) -1 (5) ax + by = c ; व mx + ny = d या एकसामशयक समरीकरामधय जर

an ¹ bm तर शदिलया समरीकराना - (A) एकच उकि असि. (B) उकि नसि. (C) असखय उकिरी असतरीि. (D) फक दोन उकिरी असतरीि.2. 2x - 6y = 3 या समरीकराचा आिख काढणयासाठरी खािरीि साररी पमा करा.

x -5

y 0

(x, y)

3. खािरीि एकसामशयक समरीकर आिख पदधतरीन सोडवा. (1) 2x + 3y = 12 ; x - y = 1 (2) x - 3y = 1 ; 3x - 2y + 4 = 0 (3) 5x - 6y + 30 = 0 ; 5x + 4y - 20 = 0 (4) 3x - y - 2 = 0 ; 2x + y = 8 (5) 3x + y = 10 ; x - y = 24. खािरीि शनशचयकाचया शकमतरी काढा. (1) 4 3

2 7 (2) 5 -2

-3 1 (3) 3 -1

1 4

सकीिमि परशनसगरह 1

Page 38: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

28

5. खालील एकसामयिक समीकरण करमरचिा पदधतीन सोडवा. (1) 6x - 3y = -10 ; 3x + 5y - 8 = 0

(2) 4m - 2n = -4 ; 4m + 3n = 16

(3) 3x - 2y = 5

2 ; 1

3x + 3y = -

4

3

(4) 7x + 3y = 15 ; 12y - 5x = 39

(5) x y x y x y+ −=

+ −=

−82 3

34

2 14

6. खालील एकसामयिक समीकरण सोडवा.

(1) 2 2

3

1

6

3 20

x y x y+ = + =; (2)

7

2 1

13

227

13

2 1

7

233

x y x y++

+=

++

+=;

(3) 148 231 527 231 148 610

x y xy x y xy+ = + =; (4)

7 25

8 715

x yxy

x yxy

− = + =;

(5) 1

2 3 4

1

5 2 3

1

4

5

3 4

2

2 3

3

2( ) ( );

( ) ( )x y x y x y x y++

−=

+−

−= −

7. खालील शाबदिक उदिाहरण सोडवा. (1) एक दिोन अकी सखिा व यतचिा अकाची अदिलाबदिल करन िणारी सखिा िाची बरीज 143

आह, जर यदिललिा सखितील एकक सानचा अक हा दिशक सानचिा अकापका 3 न मोठा असल तर यदिलली मळची सखिा कोणती? उततर काढणिासाठी खालील कती पणण करा.

समजा एकक सानचा अक = x दिशक सानचा अक = y \ मळ सखिा = y + x अकाची अदिलाबदिल करन यमळणारी सखिा = x + y पयहलिा अटीवरन, दिोन अकी सखिा + अकाची अदिलाबदिल करन यमळणारी सखिा = 143

 10y + x + = 143 x + y = 143 x + y = . . . . . (I) दिसऱिा अटीवरन, एकक सानचा अक = दिशक सानचा अक + 3

 x = + 3 x - y = 3 . . . . . (II)

Page 39: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

29

(I) व (II) याची बरीज करन,2x = \ x = 8

x = 8 समीकरण (I) मधय ठवन,x + y = 138 + = 13

\ y = मळ सखया = 10 y + x

= + 8 = 58(2) काताबाईनी दकानातन दीड ककलो चहा व पाच ककलो साखरआणली. दकानात जाऊन यणयासाठी

तयाना 50 रपय ररकाभाड दाव लागल. यासाठी तयाच एकण 700 रपय खचच झाल. नतरतयाना अस समजल, की या वसत ऑनलाइनऑडचर नोदवन तयाच दरान घरपोच कमळतात. पढीलमकहनयात तयानी 2 ककलोगरम चहा व 7 ककलोगरम साखरऑनलाइन मागवली, तवहा तयाचा 880रपय खचच झाला. तर चहा आकण साखर याचा परकतककलोगरम दर काढा.

(3)

समीकरण सोडवन उततर कलहा.

100 रपयाचया नोटाची सखया 50 रपयाचया नोटाची सखया (4) मनीषा आकण सकवता याचया आजचया वयाची बरीज 31 वषष आह. 3 वषाापववी मनीषाच वय

सकवताचया तया वळचया वयाचया चौपट होत, तर तया दोघीची आजची वय काढा.(5)एका कारखानयातील कशल आकण अकशल कामगाराचया रोजगाराच गणोततर 5:3 आह. एका

कशल आकण एका अकशल कामगाराचा एका कदवसाचा एकण रोजगार 720 रपय आह. तरपरतयक कशल कामगाराचा आकण अकशल कामगाराचा रोजगार काढा.

(6)एका सरळ रसतयावर Aआकण B ही दोन कठकाण आहत. तयातील अतर 30 ककमी आह. हमीदमोटारसायकलन A पासन B चया कदशन जाणयास कनघतो. तयाच वळी जोसफ मोटारसायकलनB पासन A चया कदशन जाणयास कनघतो. त दोघ 20 कमकनटातएकमकाना भटतात. जोसफ जर तयाच वळी कनघन कवरदध कदशनगला असता, तर तयाला हमीद तीन तासानी भटला असता, तरपरतयकाचा परवासाचा वग ककती होता?

आनदन कतला नोटाचयासखयाचीअदलाबदलकरन पस कदल असत तर ती रककम 500रपयानी कमी झाली असती.

अनषकाला आनदन वरील नोटाचयारपात कदलली रककम 2500 रपयआह.- - - - - - - समीकरण I - - - - - - - समीकरण II

अनषकाजवळील 100 रपयाचया नोटा x व 50 रपयाचया नोटा y .

ê

ê

rrr

Page 40: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

30

· वगमासमरीकर : ओळख · वगमासमरीकर सोडवणयाचया पदधतरी

· वगमासमरीकराचया मळाच सवरप · मळ व सहगक यातरीि सबध

· वगमासमरीकराच उपयोजन

जरा आठिया.

शवदाथगी शमतानो, इयतता नववरीमधय आप बहपदरी शशकिो आहोत. यामधय बहपदरीच कोटरीवरन होार परकार आप अभयासि. एका चिातरीि जया बहपदरीचरी कोटरी एक असत, शतिा रषरीय बहपदरी आश शजचरी कोटरी दोन असत, शतिा वगमा बहपदरी महतात.

कती : खािरीि बहपदीच रषरीय बहपदरी आश वगमा बहपदरी अस वगगीकर करा.

5x + 9, x2 + 3x -5, 3x - 7, 3x2 - 5x, 5x2

रषरीय बहपदरी वगमा बहपदरी

आप आता वगमा बहपदरीचरी शकमत 0 घऊन ज समरीकर शमळत तयाचा अभयास कर. अशा समरीकरािा वगमासमरीकर महतात. आप दनशदन जरीवनात अनक वळा या वगमासमरीकराचा वापर करतो. उदाहरि : सकतन 200 चौमरी कषतफळाचा एक आयताकतरी भखड खरदरी किा. भखडाचरी िाबरी हरी तयाचया रदरीपकषा 10 मरीटर जासत होतरी, तर तया भखडाचरी िाबरी व रदरी शकतरी होतरी?

समजा भखडाचरी रदरी x मरीटर आह.

\ िाबरी = (x + 10) मरीटर आयताकतरी भखडाच कषतफळ = िाबरी ´ रदरी

\ 200 = (x + 10) ´ x \ 200 = x2 + 10 x महजच x2 + 10x = 200

\ x2 + 10x - 200 = 0

चला, णशकया.

2 िगमिसिीकरि

Page 41: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

31

िगमिसिीकरिाच सािानय प (Standard form of quadratic equation)

आता x2 + 10x - 200 = 0 ह वगमासमरीकर सोडवन आप भखडाचरी रदरी व िाबरी ठरव शकतो. वगमासमरीकर कस सोडवायच याचा आप अभयास कर.

जरा आठिया.

जािन घऊया.

जया एका चिातरीि समरीकरात सवमा घाताक पमा सखया असन चिाचा मोठयात मोठा घाताक 2 असतो, त वगमासमरीकर असत.

त सामानय रपात ax2 + bx + c = 0 अस शिशहता यत. ax2 + bx + c = 0, यामधय a, b व c वासतव सखया असन a हरी शनयतर सखया असत. ax2 + bx + c = 0 या सवरपातरीि समरीकरास वगमासमरीकराच सामानय रप महतात. कती : खािरीि तका पमा करा.

वगमासमरीकर सामानय रप a b cx2 - 4 = 0 x2 + 0 x - 4 = 0 1 0 -4

y2 = 2y - 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x2 + 2x = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÒÒÒ   सोडिलली उदाहरिÒÒÒ   उदा. (1) खािरीिपकी कोतरी समरीकर वगमासमरीकर आहत त ठरवा. (1) 3x2 - 5x + 3 = 0 (2) 9y2 + 5= 0 (3) m3 - 5m2 + 4 = 0 (4) (l + 2) (l - 5) = 0उकल : (1) 3x2 - 5x + 3 = 0 यामधय x ह एकच चि असन चिाचा सवाात मोठा घाताक 2 आह. \ ह समरीकर वगमासमरीकर आह.

कती : x2 + 3x -5, 3x2 - 5x, 5x2; या बहपदरी घाताकरपात शिहन तयातरीि पदाचया सहगकाच

शनररीकष करन त ररकामया चौकटीत योगय परकार शिहा. x2 + 3x -5 , 3x2 - 5x + 0 , 5x2 + 0x + 0

Ê x2 च सहगक अनकरम 1 , 3 व 5 आहत. महजच 0 नाहरीत.

Ê x च सहगक अनकरम 3, व आहत.

Ê बसथरपद अनकरम , व आहत.

यथ ददसऱया व शतसऱया बहपदरीमधय बसथरपद 0 आह.

Page 42: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

32

(2) 9y2 + 5= 0 यामधय चि असन चिाचा सवाात मोठा घाताक आह.

\ ह समरीकर वगमासमरीकर .

(3) m3 - 5m2 + 4 = 0 यामधय एकच चि असि तररी चिाचा सवाात मोठा घाताक 2 नाहरी.

\ ह समरीकर वगमासमरीकर . (4) (l + 2) (l - 5) = 0

\ l (l - 5) + 2 (l - 5) = 0

\ l2 - 5l + 2l - 10 = 0

\ l2 - 3l - 10 = 0 यामधय ह एकच चि असन चिाचा सवाात मोठा घाताक आह.

\ शदिि समरीकर वगमासमरीकर .

जािन घऊया.

िगमिसिीकरिाची िळ (उकली) (Roots of a quadratic equation)

आप आधरीचया वगामात पाशहि आह की x चरी a हरी शकमत घऊन बहपदरीचरी शकमत शनय यत असि, तर

(x-a) हा तया बहपदरीचा अवयव असतो महज p(x) हरी बहपदरी असि आश p(a) = 0 असि तर (x-a) हा

p(x) चा अवयव असतो. या बसथतरीत a हरी p(x) = 0 चरी एक उकि आह शकवा a ह p(x) = 0 च एक मळ आह

अस महतात. उदाहराथमा,

x2 + 5x - 6 या बहपदरीत x = -6 ठवन,

x2 + 5x - 6 = (-6)2 + 5 ´ (-6) - 6

= 36 - 30 - 6 = 0

\ x = -6 हरी x2 + 5x - 6 या समरीकराचरी एक

उकि अाह, महजच -6 ह x2 + 5x - 6 = 0

या समरीकराच एक मळ आह.

x2 + 5x - 6 या बहपदरीत x = 2 ठवन,

x2 + 5x - 6 = 22 + 5 ´ 2 - 6

= 4 + 10 - 6

= 8 ¹ 0 \ x = 2 हरी x2 + 5x - 6 = 0 या

समरीकराचरी उकि नाहरी.

ÒÒÒ  सोडिलल उदाहरि ÒÒÒ

उदा. 2x2 - 7x + 6 = 0 या समरीकराचया (i) x = 3

2 आश (ii) x = -2 या उकिरी आहत का ह ठरवा.

उकल: (i) 2x2 - 7x + 6 या बहपदरीत x = 3

2 हरी शकमत ठवन बहपदरीचरी शकमत काढ.

2x2 - 7x + 6 = 2 3

2

2

- 7

3

2

+ 6

।।।।।।।।।।।।।

Page 43: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

33

(1) ax2 + bx + c = 0 ह वगमासमरीकराच सामानय रप असत. यात a, b व c वासतव सखया

असन a हरी शनयतर सखया असत

(2) चिाचया जया शकमतीनरी वगमासमरीकराचया दोनहरी बाज समान होतात, (महजच वगमासमरीकराच समाधान होत) तया शकमतीना वगमासमरीकराचया उकिरी शकवा वगमासमरीकराचरी मळ महतात.

= 2 ´ 94

- 212 + 6

= 92 -

212 +

122 = 0

\ या समरीकराचरी x = 32 हरी एक उकि आह.

(ii) 2x2 - 7x + 6 या बहपदरीत x = -2 हरी शकमत ठवन बहपदरीचरी शकमत काढ.

2x2 - 7x + 6 = 2(-2)2 - 7(-2) + 6

= 2 ´ 4 + 14 + 6

= 28 ¹ 0

\ x = -2 हरी 2x2 - 7x + 6 या समरीकराचरी उकि नाहरी.

कती : जर x = 5 ह kx2 - 14x - 5 = 0 या समरीकराच एक मळ असि, तर k चरी शकमत काढणयासाठरी

खािरीि कतरी पमा करा.

उकल : kx2 - 14x - 5 = 0 या वगमासमरीकराच एक मळ आह.

\ x = हरी शकमत वररीि वगमासमरीकरात ठव.

\ k - 14 - 5 = 0

\ 25k - 70 - 5 = 0

\ 25k - = 0

\ 25k =

\ k = = 3

ह लकषात ठिया.

2

Page 44: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

34

सरािसच 2.11. कोतरीहरी दोन वगमासमरीकर शिहा.

2. खािरीि समरीकरापकी वगमासमरीकर कोतरी त ठरवा.

(1) x2 + 5 x - 2 = 0 (2) y2 = 5 y - 10 (3) y2 + 1y

= 2

(4) x + 1x

= -2 (5) (m + 2) (m - 5) = 0 (6) m3 + 3 m2 -2 = 3 m3

3. खािरीि समरीकर ax2 + bx + c = 0 या सवरपात शिहा. परतयकातरीि a, b, c याचया शकमतरी ठरवा.

(1) 2y =10 - y2 (2) (x - 1)2 = 2 x + 3 (3) x2 + 5x = -(3 - x) (4) 3m2 = 2 m2 - 9 (5) p (3 + 6p) = -5 (6) x2 - 9 = 13

4. वगमासमरीकरासमोर शदिलया चिाचया शकमतरी तया समरीकराचरी मळ आहत की नाहरी त ठरवा.

(1) x2 + 4x - 5 = 0 , x = 1, -1 (2) 2m2 - 5m = 0 , m = 2, 5

2

5. जर x = 3 ह k x2 - 10 x + 3 = 0 या समरीकराच एक मळ असि तर k चरी शकमत शकतरी?

6. 5m2 + 2m + k = 0 या वगमासमरीकराच एक मळ -75

असि तर k चरी शकमत काढणयासाठरी खािरीि कतरी

पमा करा.

उकल : 5m2 + 2m + k = 0 या वगमासमरीकराच एक मळ आह.

\ m = वररीि वगमासमरीकरात ठव.

\ 5 ´ + 2 ´ + k = 0

\ + + k = 0

\ + k = 0

\ k =

आप मागरीि वषगी बहपदरी या परकरात x2 - 4x - 5, 2m2 - 5m, a2 - 25 अशा वगमाबहपदीच अवयव पाडणयाचया पदधतरी अभयासलया आहत. खािरीि कतरी करन तयाचरी उजळरी करया.

कती : खािरीि वगमाबहपदीच अवयव पाडा.

(1) x2 - 4 x - 5 (2) 2m2 - 5 m (3) a2 - 25

= x2 - 5 x + 1x - 5 = . . . . . . = a2 - 52

= x (. . . .) +1(. . . .) = (. . . .) (. . . .)

= (. . . .) (. . . .)

जरा आठिया.

2

Page 45: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

35

अियि पदधतीन िगमिसिीकरिाची िळ काढि

(Solution of a quadratic equation by factorisation)

आप चिािा वगवगळा शकमतरी दऊन वगमासमरीकराचरी मळ ठरविरी, परत हरी खप वळ िागाररी पदधत आह. महन आप या भागात वगमासमरीकराचरी मळ अवयव पदधतरीन काढणयाचा अभयास करार आहोत.

x2 - 4 x - 5 = (x - 5) (x + 1)

यथ (x - 5) व (x + 1) ह वगमाबहपदरी x2 - 4 x - 5 च दोन रषरीय अवयव आहत. महन x2 - 4 x - 5

या वगमाबहपदरीपासन शमळार x2 - 4 x - 5 = 0 ह वगमासमरीकर खािरीिपरमा शिशहता यईि.

(x - 5) (x + 1) = 0

जर दोन सखयाचा गिाकार शनय असल, तर तया दोन सखयापकी णकिान एक सखया शनय असत.

\ x - 5 = 0 शकवा x + 1 = 0

\ x = 5 शकवा x = -1

\ शदिलया वगमासमरीकराचरी मळ 5 आश -1 आहत. ह उदाहर सोडवताना आप परथम वगमाबहपदरीच दोन रषरीय अवयव शमळवि. या ररीतरीिा वगमासमरीकर सोडवणयाचरी अवयव पदधत अस मह.

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒउदा. खािरीि वगमासमरीकर अवयव पदधतरीन सोडवा.

(1) m2 - 14 m + 13 = 0 (2) 3x2 - x - 10 = 0

(3) 3y2 = 15 y (4) x2 = 3 (5) 6 3 x2 + 7x = 3

(1) m2 - 14 m + 13 = 0

\ m2 - 13 m - 1m + 13 = 0

\ m (m - 13) -1 (m - 13) = 0

\ (m - 13) (m - 1) = 0

\ m - 13 = 0 शकवा m - 1 = 0

\ m = 13 शकवा m = 1

\ शदिलया वगमासमरीकराचरी मळ 13 आश 1 आहत.

(2) 3x2 - x - 10 = 0

\ 3x2 - 6x + 5x - 10 = 0 \ 3x (x - 2) +5 (x - 2) = 0 \ (3x + 5) (x - 2) = 0 \ 3x + 5 = 0 शकवा x - 2 = 0

\ x = -5

3 शकवा x = 2

\ शदिलया वगमासमरीकराचरी मळ - 53

आश 2 आहत.

जािन घऊया.

Page 46: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

36

सरािसच 2.2

(3) 3y2 = 15 y

\ 3y2 - 15 y = 0

\ 3y (y - 5) = 0

\ 3y = 0 शकवा y - 5 = 0

\ y = 0 शकवा y = 5

\ वगमासमरीकराचरी मळ 0 आश 5 आहत.

(4) x2 = 3

\ x2 - 3 = 0

\ x2 - ( 3 )2 = 0

\ (x + 3 ) (x - 3 ) = 0

\x + 3 = 0 शकवा x - 3 = 0

\ x = - 3 शकवा x = 3

\ शदिलया वगमासमरीकराचरी मळ - 3 आश 3

(5) 6 3 x2 + 7x = 3

\ 6 3 x2 + 7x - 3 = 0

\ 6 3 x2 + 9x - 2x - 3 = 0

\3 3 x(2x + 3 ) -1 (2x + 3 ) = 0

\ (2x + 3 ) (3 3 x - 1) = 0

\2x + 3 = 0 शकवा 3 3 x - 1 = 0

\ 2x = - 3 शकवा 3 3 x = 1

\ x = - 3

2 शकवा x =

1

3 3

\ वगमासमरीकराचरी मळ - 3

2 आश

1

3 3

1. खािरीि वगमासमरीकर अवयव पदधतरीन सोडवा.

(1) x2 - 15 x + 54 = 0 (2) x2 + x - 20 = 0 (3) 2y2 + 27 y + 13 = 0

(4) 5m2 = 22 m + 15 (5) 2x2 - 2 x + 1

2 = 0 (6) 6x -

2x = 1

(7) 2 x2 + 7 x + 5 2 = 0 ह वगमासमरीकर अवयवपदधतरीन सोडवणयासाठरी खािरीि कतरी पमा करा.

उकल (7) 2 x2 + 7 x + 5 2 = 0

\ 2 x2 + + + 5 2 = 0

\ x(. . . . .) + 2 (. . . . .) = 0

9 = 3 3 ´ 3

6 3 ´- 3 = -18 -18

9 -2

Page 47: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

37

\ (. . . . .)(x + 2 ) = 0

\ (. . . . .) = 0 शकवा (x + 2 ) = 0

\ x = शकवा x = - 2

\ वगमासमरीकराचरी मळ आश - 2

(8) 3x2 - 2 6 x + 2 = 0 (9) 2m (m - 24) = 50

(10) 25m2 = 9 (11) 7m2 = 21m (12) m2 - 11 = 0

जािन घऊया.

पिमि िगमि पदधतीन िगमिसिीकरि सोडिि (Solution of a quadratic equation by completing the square)

शशकषक : x2 + 10 x + 2 = 0 ह वगमासमरीकर आह की नाहरी?

योगश : हो सर. कार त ax2 + bx + c = 0 या रपात आह. यथ x या चिाचा जासतरीत जासत घाताक 2 आह.

a चरी शकमत शनय नाहरी.

शशकषक : ह समरीकर तमहािा सोडवता यईि का?

वषामा : नाहरी सर. कार 2 या सखयच अस अवयव नाहरी सागता यत, की जयाचरी बररीज 10 यईि.

शशकषक : महनच अशरी उदाहर सोडवणयासाठरी वगळरी ररीत वापरावरी िागत. हरी ररीत समजन घऊ.

x2 + 10 x या राशरीत योगय पद शमळवन एक पमा वगमाराशरी शमळव.

जर x2 + 10 x + k = (x + a)2

तर x2 + 10 x + k = x2 + 2ax + a2

\ सहगकाचरी तिना करन, 10 = 2a आश k = a2

\ a = 5 अाश महन k = a2 = (5)2 = 25

आता, x2 + 10 x + 2 = (x + 5)2 - 25 + 2 = (x + 5)2 - 23

x2 + 10 x + 2 = 0 ह समरीकर आता तमहरी सोडव शकाि का?

रहाना : हो सर, समरीकराचरी डावरी बाज दोन वगााचया वजाबाकीचया रपात आलयान शतच अवयव काढता यतरीि.

(x + 5)2 - ( 23 )2= 0

\ (x + 5 + 23 )(x + 5 - 23 ) = 0

\ x + 5 + 23 = 0 शकवा x + 5 - 23 = 0

\ x = - 5 - 23 शकवा x = - 5 + 23

ê

Page 48: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

38

हमरीद : सर, उकिरी काढणयाचरी जराशरी वगळरी ररीत मिा सचिरी आह.

(x + 5)2 - ( 23 )2= 0

\ (x + 5)2 = ( 23 )2

\ x + 5 = 23 शकवा x + 5 = - 23

\ x = - 5 + 23 शकवा x = - 5 - 23

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) सोडवा : 5x2 - 4x - 3 = 0

उकल : समरीकरातरीि वगमाराशरीच रपातर, दोन वगााचया वजाबाकीचया रपात आणयासाठरी x2 चा सहगक 1

कर सोईच होईि. महन शदिलया समरीकरािा 5 न भागन,

x2 - 45

x - 35

= 0

आता जर x2 - 45

x + k = (x - a)2 तर x2 - 45

x + k = x2 - 2ax + a2.

x2 - 45

x चरी तिना x2 - 2ax शरी करन,

- 2 ax = - 45

x \ a = 1

2 ´ 4

5 = 2

5

\ k = a2 = 2

5

2

= 4

25

आता, x2 - 4

5 x - 3

5 = 0

\ x2 - 4

5 x + 4

25 - 4

25 - 35

= 0

\ x −

2

5

2

- ( 425

+ 35

) = 0

\ x −

2

5

2

- (19

25) = 0

\ x −

2

5

2

= ( 1925

)

\ x - 2

5 = 19

5 शकवा x -

2

5 = - 19

5

\ x = 2

5 + 19

5 शकवा x =

2

5 - 19

5

\ x = 2 19

5

+ शकवा x = 2 19

5

-

\ वगमासमरीकराचरी मळ 2 19

5

+ आश 2 19

5

-

समरीकर x2 + b x + c = 0 या रपात

असत, तवहा

x2 + bx + b2

2

-

b2

2

+ c = 0

या रपात,

महजच x b+

2

2

= b2

2

- c या

रपात शिशहता यत.

Page 49: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

39

उदा. (2) सोडवा : x2 + 8x - 48 = 0

रीत I : पमा वगमा पदधतरी

x2 + 8x - 48 = 0

\ x2 + 8x + 16 - 16 - 48 = 0

\ (x + 4)2 - 64 = 0

\ (x + 4)2 = 64

\ x + 4 = 8 शकवा x + 4 = -8

\ x = 4 शकवा x = - 12

\ वगमासमरीकराचरी मळ 4 आश -12.

रीत II : अवयव पदधतरी

x2 + 8x - 48 = 0

\ x2 + 12x - 4x - 48 = 0

\ x (x + 12) - 4(x + 12) = 0

\ (x + 12) (x - 4) = 0

\ x + 12 = 0 शकवा x - 4 = 0

\ x = -12 शकवा x = 4

सरािसच 2.3खािरीि वगमासमरीकर पमा वगमा पदधतरीन सोडवा.

(1) x2 + x - 20 = 0 (2) x2 + 2 x - 5 = 0 (3) m2 - 5 m = -3

(4) 9y2 - 12 y + 2 = 0 (5) 2y2 + 9y + 10 = 0 (6) 5x2 = 4x +7

जािन घऊया.

िगमिसिीकरि सोडिणयाच सतर (Formula for solving a quadratic equation)

ax2 + bx + c या राशरीिा a न भागन ( \ a ¹ 0) x2 + ba x + c

a हरी राशरी शमळत.

x2 + ba x + c

a हरी राशरी दोन वगााचया वजाबाकीचया रपात माडन x2 + ba x + c

a = 0 या समरीकराचया,

महजच ax2 + bx + c = 0 या समरीकराचया सामानय उकिरी शकवा मळ शमळवता यतात. ax2 + bx + c = 0 . . . (I)

x2 + ba x + c

a = 0 . . . . . दोनहरी बाजना a न भागन,

\ x2 + ba x +

ba2

2

-

ba2

2

+

ca = 0

\ x ba

+

2

2

- ba

2

24 + c

a = 0

Page 50: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

40

\ x ba

+

2

2

- b aca

2

2

4

4

- = 0 \ x ba

+

2

2

= b aca

2

2

4

4

-

\ x ba

+2 =

b aca

2

2

4

4

- हकवया x b

a+

2 = -b ac

a

2

2

4

4

-

\ x = -ba2 +

b aca

2

2

4

4

- हकवया x = -

ba2 -

b aca

2

2

4

4

-

\ x = − + −b b ac

a

2 42 हकवया x =

− − − aca

2 42

b b

या उकली थोिकयात x = − ± −b b aca

2 4

2 अशया हलहितयात आह तया a (अलफया), b (बीरया) या

अकषरयानी दशटवतयात. \ a = − + −b b ac

a

2 42 आह b =

− − − aca

2 42

b b . . . . . . . . . . (I)

ax2 + bx + c = 0 या सीकरयातील a, b, c याचया हकती − ± −b b aca

2 4

2 या रयाशीत हलहन

रयाशीलया सोप रप हदल, करी सीकरयाचया उकली हळतयात. मिन x = − ± −b b aca

2 4

2 यालया वगटसीकर

सोिवणयाच सत मितयात. या दोन उकलीपकरी कोतीिी उकल कोतयािी अकषरयान दयाखवली तरी चयालत

हवियान (I) ऐविी a = आह b = − + −b b ac

a

2 42 असिी यानतया त.

a = − ac

a

2 42

b b तर a > b, a = तर a < b ि धयानयात ठवया.

ÒÒÒ  सोडवलली उिाहरर ÒÒÒ

सतयाचया उपोग करन खयालील वगटसीकर सोिवया.

उिा.(1) m2 - 14 m + 13 = 0

उकल : m2 - 14 m + 13 = 0 ची

ax2 + bx + c = 0 शी तलनया करन,

a = 1, b = -14, c = 13,

\ b2 - 4 ac = (-14)2 - 4 ´ 1 ´ 13

= 196 -52

= 144

m = − ± −b b aca

2 4

2

= − − ±×

( )14 144

2 1

= 14 12

2

±

\ m = 14 12

2

+ हकवया m = 14 12

2

-

\ m = 26

2 हकवया m =

22

\ m = 13 हकवया m = 1

\ वगटसीकरयाची ळ 13 आह 1 आित.

- - -b b aca

2 4

2

- - -b b aca

2 4

2

− +

Page 51: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

41

उदा. (2) x2 + 10 x + 2 = 0उकल: x2 + 10 x + 2 = 0 चरी

ax2 + bx + c = 0 शरी तिना करन, a = 1, b = 10, c = 2,

\ b2 - 4 ac = (10)2 - 4 ´ 1 ´ 2

= 100 - 8

= 92

x   = − ± −b b aca

2 4

2

 = − ±

×10 92

2 1

  = − ± ×10 4 23

2

= − ±10 2 23

2

= 2 5 23

2

( )− ±

\ x = -5 ± 23

\ x = − +5 23 शकवा x = - -5 23

\ वगमासमरीकराचरी मळ − +5 23 अाश - -5 23

उदा. (3) x2 - 2x - 3 = 0

उकल: ax2 + bx + c = 0 शरी तिना करन,

a = 1, b = -2, c = -3,

\ b2 - 4 ac = (-2)2 - 4 ´ 1 ´ (-3) = 4 + 12 = 16

\ x = − − +( )2 16

2 शकवा x = - - -( )2 16

2

= 2 42+ शकवा

2 4

2-

= 3 शकवा -1

Page 52: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

42

अधिक माधितीसाठी : x2 - 2x - 3 = 0 हच वरगसमीकरण खाली आलखान सोडवल आह, त समजन घा.

x2 - 2x - 3 = 0 महणजच x2 = 2x + 3

x चा जा ककमतीनी x2 = 2x + 3 ा समीकरणाच समाधान होईल, ता ककमती ा समीकरणाचा उकली

असणार. y = x2 = 2x + 3 मान. y = x2 आकण y = 2x + 3 ा समीकरणाच आलख काढ.

y = x2 x 3 2 1 0 -1 -2 -3y 9 4 1 0 1 4 9

y = 2x + 3

x -1 0 1 -2y 1 3 5 -1

ह आलख परसपराना (-1, 1)

आकण (3, 9) ा किदत छदतात.

\ x2 = 2x + 3 ा समीकरणाचा,

महणजच x2 - 2x - 3 = 0 चा

उकली x = -1 ककवा x = 3 ा

आहत.

सोितचा आकतीत y = x2 आकण

y = 2x + 3 ा समीकरणाच आलख

काढल आहत. ताचा छदनकिदवरन

x2 = 2x + 3 ा समीकरणाचा,

महणजच x2 - 2x - 3 = 0 चा

उकली कशा कमळतात, ह समजन

घा.

9

8

7

6

5

10

4

3

2

1

0-1

-2

1 2 3 4-1-2-3-4

(1, 1) (-1, 1)

(3, 9)

(2, 4)

(-3, 9)

(-2, 4)

Page 53: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

43

उदा. (4) 25x2 + 30x + 9 = 0

उकल: 25x2 + 30x + 9 = 0 चरी

ax2 + bx + c = 0 शरी तिना करन, a = 25, b = 30, c = 9,

\ b2 - 4 ac = (30)2 - 4 ´ 25 ´ 9

= 900 - 900 = 0

x = − ± −b b aca

2 4

2

= − ±×30 0

2 25

\ x = − +30 0

50 शकवा x =

- -30 0

50

\ x = -30

50 शकवा x = -

30

50

\ x = - 3

5 शकवा x = -

3

5

िकषात घया, की 25x2 + 30x + 9 = 0 या

समरीकराचरी दोनहरी मळ समान आहत.

तसच 25x2 + 30x + 9 = 0.

महजच (5x + 3)2 = 0 ह धयानात घया.

उदा. (5) x2 + x + 5 = 0

उकल: x2 + x + 5 = 0 चरी

ax2 + bx + c = 0 शरी तिना करन, a = 1, b = 1, c = 5,

\ b2 - 4 ac = (1)2 - 4 ´ 1 ´ 5

= 1 - 20

= -19

x = − ± −b b aca

2 4

2

= − ± −

×1 19

2 1

= − ± −1 19

2

परत -19 हरी वासतव सखया नाहरी. महन शदिलया

वगमासमरीकराचरी मळ वासतव सखया नाहरीत.

1. खािरीि वगमासमरीकराचरी सामानय रपाशरी तिना करन a, b, c चया शकमतरी शिहा.

(1) x2 - 7x + 5 = 0 (2) 2m2 = 5m - 5 (3) y2 = 7y2. खािरीि वगमासमरीकर सताचा वापर करन सोडवा.

(1) x2 + 6x + 5 = 0 (2) x2 - 3x - 2 = 0 (3) 3m2 + 2m - 7 = 0

(4) 5m2 - 4m - 2 = 0 (5) y2 + 13

y = 2 (6) 5x2 + 13x + 8 = 0

सरािसच 2.4

कती : 2x2 + 13x + 15 = 0 ह वगमासमरीकर अवयवपदधतरी, पमा वगमापदधतरी व वगमासताचा वापर

करन सोडवा. उततर सारखरीच यतात याचा पडताळा घया.

Page 54: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

44

3. x2 + 2 3 x + 3 = 0 ह वगरसमीकरण साचा वापर कन खालील वाह आकतीत िदललया मािहतीचया

आधार सोडवा.

उकल :

जाणन घऊया.

वगरसमीकरणाचया मळाच सवप (Nature of roots of a quadratic equation)

वगरसमीकरण ax2 + bx + c = 0 ची मळ x = − ± −b b aca

2 4

2 अशी असतात, ह आपण अभयासल

आह.

(1) जर b2 - 4ac = 0 असल, तर x = − ±ba0

2 ∴ x =

− +ba0

2 िकवा x =

− −ba0

2

∴ वगरसमीकरणाची मळ वासतव व समान असतात.

(2) जर b2 - 4ac > 0 असल, तर x = − ± −b b aca

2 4

2

महणजच x = − + −b b ac

a

2 42 आिण x =

− − −b b aca

2 42

∴ वगरसमीकरणाची मळ वासतव व असमान असतात.

(3) जर b2 - 4ac < 0 असल तर x = − ± −b b aca

2 4

2 या वासतव सखया नसतात, महणजच वगरसमीकरणाची

मळ वासतव नसतात.

वगरसमीकरण ax2 + bx + c = 0 चया मळाच सवप b2 - 4ac चया िकमतीवन िनशचत होत.

महणन b2 - 4ac ला वगरसमीकरणाचा िववचक (discriminant) महणतात. तो ∆ (डलटा) या िचनहान

दशरवतात. (∆ ह ीक अकषर आह.)

x2 + 2 3 x + 3 = 0 चीax2 + bx + c = 0 शी तलना कन a,b,c चया िकमती ठरवा.

b2 - 4ac चीिकमत काढा.

सामधय िकमती घालन उकल काढा.

वगरसमीकरण सोडवणयाच स िलहा.

कती : खाली िदललया मािहतीवन रकामया जागा भरा. िववचकाची िकमत मळाच सवप

(1)

(2)

(3)

50

-30

0

Page 55: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

45

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒउदा. (1) x2 + 10x - 7 = 0 या वगमासमरीकरामधय शववचकाचरी शकमत काढा. उकल : x2 + 10x - 7 = 0 चरी तिना ax2 + bx + c = 0 शरी करन, a = 1, b = 10 , c = -7 , \ b2 - 4 ac = 102 - 4 ´ 1 ´ (-7)

= 100 + 28

= 128 उदा. (2) शववचकावरन वगमासमरीकराचया मळाच सवरप ठरवा.

(i) 2x2 - 5x + 7 = 0

उकल : 2x2 - 5x + 7 = 0 चरी तिना

ax2 + bx + c = 0 शरी करन,

a = 2, b = -5 , c = 7

\ b2 - 4 ac = (-5)2 - 4 ´ 2 ´ 7 \ D = 25 - 56 = -31

\ b2 - 4 ac < 0

\ वगमासमरीकराचरी मळ वासतव सखया नाहरीत.

(ii) x2 + 2x - 9 = 0

उकल : x2 + 2x - 9 = 0 चरी तिना

ax2 + bx + c = 0 शरी करन,

a = , b = 2, c =

\ b2 - 4 ac = 22 - 4 ´ ´ \ D = 4 + = 40

\ b2 - 4 ac > 0

\ वगमासमरीकराचरी मळ वासतव व असमान आहत.

(iii) 3 x2 + 2 3 x + 3 = 0

उकल : 3 x2 + 2 3 x + 3 = 0 चरी तिना

ax2 + bx + c = 0 शरी करन,

यथ a = 3 , b = 2 3 , c = 3 ,

\ b2 - 4 ac = (2 3 )2 - 4 ´ 3 ´ 3 = 4 ´ 3 - 4 ´ 3 = 12 - 12

= 0

\ वगमासमरीकराचरी मळ वासतव व समान आहत.

Page 56: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

46

जारन घऊया.

वगणसमीकरराची मळ आनर सहगरक याचयामरील सबर

(Relation between roots and coefficients of a quadratic equation)

िर ax2 + bx + c = 0 या वगटसीकरयाची a व b ळ असतील तरतसच

a ´ b = − + −b b aca

2 42 ´

− − − aca

2 42

b b

= − + −( )× − − −( )b b ac b b ac

a

2 2

2

4 4

4

= b b ac

a

2 2

2

4

4

− −( )

= 4

4 2

aca

= ca

\a b = ca

कती : खयाली हदललया चौकरीत ोग सखया भरया. 10x2 + 10x + 1 = 0 कररतया a + b = आह

a ´ b =

ÒÒÒ  सोडवलली उिाहरर ÒÒÒ

उिा. (1) a आह b िी 2x2 + 6x - 5 = 0 या वगटसीकरयाची ळ आित, तर a + b आह a ´ b चया

हकती कयाढया. उकल : 2x2 + 6x - 5 = 0 ची तलनया ax2 + bx + c = 0 शी करन,

\ a = 2, b = 6 , c = -5

\ a + b = -ba = -

6

2 = -3

आह a ´ b = ca =

-52

a + b = − + −b b aca

2 42 +

− − − aca

2 42

b b

= − + − − − −b b ac b b aca

2 24 4

2

= - 22

ba

\ a + b = - ba

Page 57: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

47

उदा. (2) x2 - 13x + k = 0 या वगमासमरीकराचया मळामधरीि फरक 7 आह, तर k चरी शकमत काढा. उकल : x2 - 13x + k = 0 चरी तिना ax2 + bx + c = 0 शरी तिना करन,

a = 1, b = -13 , c = k समजा, a आश b हरी शदिलया वगमासमरीकराचरी मळ आहत आश a > b गहरीत धरन

a + b = -ba = -

( )-131

= 13 . . . (I)

परत a - b = 7 . . . . . . . . . . (शदि आह) (II)

2 a = 20 . . . . . . . . (समरीकर (I) व (II) याचरी बररीज करन)

\ a = 10

\ 10 + b = 13 . . . . . . ( (I) वरन)

\ b = 13 - 10

\ b = 3

परत a ´ b = ca

\ 10 ´ 3 = k1

\ k = 30

उदा. (3) a आश b हरी x2 + 5x - 1 = 0 या वगमासमरीकराचरी मळ आहत, तर

(i) a3 + b3 (ii) a2 + b2 चया शकमतरी काढा.

उकल : x2 + 5x - 1 = 0

यथ a = 1, b = 5 , c = -1

a + b = -ba =

-51

= -5

a ´ b = ca =

-11 = -1

(i) a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab (a + b)

= (-5)3 - 3 (-1) (-5)

= -125 - 15

a3 + b3 = -140

(ii) a2 + b2 = (a+ b)2 - 2ab

= (-5)2 - 2 ´ (-1)

= 25 + 2

a2 + b2 = 27

Page 58: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

48

जािन घऊया.

िळ णदली असता िगमिसिीकरि णिळिि (To obtain a quadratic equation having given roots)

समजा, a आश b हरी x या चिातरीि वगमासमरीकराचरी मळ आहत. \ x = a शकवा x = b

\ x - a = 0 शकवा x - b = 0

\ (x - a)(x - b) = 0

\ x2 - a x - b x + ab = 0

\ x2 - (a + b) x + ab = 0

महजच a आश b हरी मळ असार वगमासमरीकर

x2 - (मळाचरी बररीज) x + मळाचा गाकार = 0 या सतान शमळवता यईि.

कती (I) : मळाचरी बररीज 10 आश मळाचा गाकार 9 असार वगमासमरीकर शिहा.

वगमासमरीकर x2 - x + =

कती (II) : a = 2 आश b = 5 हरी मळ असार वगमासमरीकर कोत?

x2_ ( + ) x + ´ = 0 अस शिशहता यत.

महजच x2 _ x + = 0

या समरीकरािा कोतयाहरी शनयतर सखयन गलयास शमळाऱया समरीकराचरी मळ a आश b हरीच असतात, ह धयानात घया.

       ÒÒÒ  सोडिलल उदाहरि ÒÒÒ

उदा. जया वगमासमरीकराचरी मळ -3 व -7 आहत अस वगमासमरीकर तयार करा.

उकल : समजा a = -3 आश b = -7

\ a + b = (-3) + (-7) = -10 आश a´b = (-3) ´ (-7) = 21

\ शमळार वगमासमरीकर, x2 - (a + b) x + ab = 0

\ x2 -(-10) x + 21 = 0

\ x2 +10x + 21 = 0

Page 59: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

49

ह लकषात ठवया.

(1) ax2 + bx + c = 0 या वगटसीकरयाची ळ a आह b असतील, तर

(i) a = − + −b b ac

a

2 42 आह b =

− − − aca

2 42

b b

(ii) a + b = -ba आह a ´ b =

ca

(2) ax2 + bx + c = 0 या वगटसीकरयाचया ळयाच सवरप b2 - 4ac या रयाशीचया हकतीवर अवलबन

असत. मिन या रयाशीलया हववचक (discriminant) मितयात. हववचक D या गीक अकषरयान दशटवतयात.

(3) िर D = 0 असल, तर वगटसीकरयाची दोनिी ळ सयान वयासतवसखया असतयात.

िर D > 0 असल, तर वगटसीकरयाची ळ हभनन वयासतवसखया असतयात.

िर D < 0 असल, तर वगटसीकरयाची ळ वयासतवसखया नसतयात.

(4) जयाची ळ a व b असतयात, त वगटसीकर x2 - (a + b) x + ab = 0 असत.

सरावसच 2.5 1. खयालील ररकयामया चौकरी भरया.

(1)

(2)

(3) िर a व b िी खयालील वगटसीकरयाची ळ असतील, तर

a + b = . . . . .

a ´ b = . . . . .2x2 - 4x - 3 = 0

2. खयालील वगटसीकरयासयाठी हववचकयाची हकत कयाढया.

(1) x2 + 7x - 1 = 0 (2) 2y2 - 5y + 10 = 0 (3) 2 x2 + 4x + 2 2 = 0

3. हववचकयाचया हकतीवरन खयालील वगटसीकरयाचया ळयाच सवरप ठरवया.

(1) x2 - 4x + 4 = 0 (2) 2y2 - 7y + 2 = 0 (3) m2 + 2m + 9 = 0

वगटसीकर ax2 + bx + c = 0 ळयाच सवरपb2 - 4 ac = 5

b2 - 4 ac = -5

ळयाची बरीि = -7 वगटसीकर . . . . . . . . . ळयाचया गयाकयार = 5

Page 60: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

50

4. जया वरगसमीकरणयाची मळ खयालीलपरमयाण आहत अशी वरगसमीकरण तयार करया.

(1) 0 व 4 (2) 3 व -10 (3) 1

2, - 12

(4) 2 5− , 2 5+

5. x2 - 4kx + k + 3 = 0 या वरगसमीकरणयाचया मळयाची बरीज ही तयाचया रणयाकयारयाचया दपपट आह, तर k ची ककमत कयाढया.

6. जर a आकण b ही y2 - 2y - 7 = 0 या वरगसमीकरणयाची मळ असतील, तर (1) a2 + b2 (2) a3 + b3 चया ककमती कयाढया.

7. खयालील परतक वरगसमीकरणयाची मळ वयासतव व समयान असतील तर k ची ककमत कयाढया.

(1) 3y2 + ky + 12 = 0 (2) kx (x - 2) + 6 = 0

जाणन घऊया.

वरगसमीकरणाच उपयोजन (Application of quadratic equation)

दनकदन जीवनयातील अनक बयाबीची उकल करणयासयाठी वरगसमीकरण उपोरी पडतयात. हीच बयाब आपण या भयारयात अभयासणयार आहोत.

उदा. (1) कतवसया थील शी. रतनयाकररयाव याचया शतयातील कयाटकोन चौकोनयाकती कयादयाचयाळीचया तळयाची लयाबी ही रदीपकया 7 मीटर जयासत आह, आकण कणग हया लयाबीपकया 1 मीटर जयासत आह. तर तया कयादयाचयाळीचया तळयाची लयाबी आकण रदी कयाढया.

उकल : समजया, कयाटकोन चौकोनयाकती कयादयाचयाळीचया तळयाची रदी x मीटर आह. \ लयाबी = (x + 7) मीटर, कणग = x + 7 + 1 = (x + 8) मीटर पयाथयारोरसच परम वयापरन, x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2

x2 + x2 + 14x + 49 = x2 + 16x + 64 \ x2 + 14x - 16x + 49 - 64 = 0 \ x2 - 2x -15 = 0 \ x2 - 5x + 3x - 15 = 0 \ x(x - 5) +3 (x - 5) = 0 \ (x - 5) (x + 3) = 0 \ x - 5 = 0 ककवया x + 3 = 0 \ x = 5 ककवया x = -3 परत रदी ऋण नसत. \ x ¹ -3

\ x = 5 आकण x + 7 = 5 + 7 = 12

\ कयादयाचयाळीचया तळयाची लयाबी 12 मीटर आकण रदी 5 मीटर.

कादाचाळ

«

«

Page 61: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

51

उदा. (2) एक आगगाडरी एकसमान वगान (चािरीन) 360 शकमरी अतर जात; परत शतचा वग ताशरी 5 शकमरीन वाढवलयास शतिा तवढच अतर जाणयासाठरी 48 शमशनट कमरी िागतात, तर गाडरीचा सरवातरीचा वग काढा.

उकल : समजा, आगगाडरीचा सरवातरीचा वग ताशरी x शकमरी आह.

\ वग वाढवलयानतर गाडरीचा ताशरी वग (x +5) शकमरी असि .

360 शकमरी अतर कापणयासाठरी िागारा सरवातरीचा वळ = अतरवग = 360

x तास.

वग वाढवलयावर तच अतर जाणयासाठरी िागारा वळ = 3605x +

शदिलया अटरीनसार,

3605x +

= 360x

- 4860

- - - - - ( \ 48 शमशनट = 4860

तास)

\ 360

x - 3605x +

= 4860

\ 1x - 1

5x + = 48

60 360´ - - - - - (दोनहरी बाजना 360 न भागन)

\ x xx x+ −+

5

5

4

5 360( )

\ 5

5

1

5 902x x+=

×

\ 5

5

1

4502x x+=

\ x2 + 5x = 2250

\ x2 + 5x - 2250 = 0

\ x2 + 50x - 45x - 2250 = 0

\ x(x + 50) -45 (x + 50) = 0

\ (x + 50) (x - 45) = 0

\ x + 50 = 0 शकवा x - 45 = 0

\ x = -50 शकवा x = 45

परत वग ऋ नसतो. \ x ¹ -50

\ x = 45

\ आगगाडरीचा सरवातरीचा वग ताशरी 45 शकमरी.

-2250

+50 -45

Page 62: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

52

1. परगतीचया 2 वरयाापववीचया आणि 3 वरयाानतरचया वयाचया गियाकयार 84 आह, तर णतच आजच व कयाढया.

2. दोन करमयागत सम नसणगगिक सखयाचया वगयागिची बरीज 244 आह, तर तया सखया शोधया.

3. शी. मधसदन याचया सतयाबयागत आडवया रयागतील झयाडयाची सखया, उभया रयागतील झयाडयाचया सखपकया 5 न अणधक आह. जर सतयाबयागत एकि 150 झयाड असतील तर आडवया तसच उभया रयागतील झयाडयाची सखया णकती? खयालील परवयाहआकतीचया आधयार उदयाहरि सोडवया.

4. णववक, हया णकशोरपकया 5 वरयाानी मोठया असन तयाचया वयाचया गियाकयार वसतयाची बरीज 16

आह, तर तयाची आजची व कयाढया.

5. स शलया गणितयाचया पणहलया चयाचिीत णमळयाललया गियापकया दसऱया चयाचिीत 10 गि अणधक णमळयाल. दसऱया चयाचिीतील गियाची 5 पट ही पणहलया चयाचिीतील गियाचया वगयागिइतकी आह, तर तयाच पणहलया चयाचिीतील गि णकती?

6. शी. कयासम याचया मयातीची भयाडी बनवणयाचया कटीर उदोग आह. त दररोज ठरयावीक सखएवढी भयाडी तयार करतयात. परतक भयाडयाच णनणमगिणतमल, तयार कललया भयाडयाचया सखची 10 पट अणधक 40 र. असत. जर एकया णदवसयातील भयाडयाच णनणमगिणतमल 600 रप असल, तर परतक भयाडयाच णनणमगिणतमल व एकया णदवसयात बनवललया भयाडयाची सखया कयाढया.

7. एकया नदीत, बोटीन परवयाहयाचया णवरदध 36 णकमी जयाऊन परत तयाच जयागी णयास परतीकलया 8 तयास लयागतयात. बोटीचया सथ पयाणयातील वग तयाशी 12 णकमी असलयास नदीचया परवयाहयाचया वग कयाढया.

8. णपटलया एक कयाम करणयासयाठी णनशपकया 6 णदवस अणधक लयागतयात. दोघयानी णमळन कयाम कलयास त कयाम पिगि करणयासयाठी तयानया 4 णदवस लयागतयात. तर त कयाम एकटयानच पिगि करणयास परतकयास णकती णदवस लयागतील?

9. 460 या सखलया एकया नसणगगिक सखन भयागलयास भयागयाकयार भयाजकयाचया 5 पटीपकया 6 न अणधक त असन बयाकी 1 त. तर भयागयाकयार व भयाजक णकती?

10.

çç

सरावसच 2.6

आडवया रयागतील झयाड णकती ?

समजया, उभया रयागतील झयाड x

उभया रयागतील झयाड णकती ?

आडवया रयागतील झयाड = . . . . .

x ची णकमत कयाढया.

एकि झयाड = . . . .

वगगिसमीकरि तयार करया.

बयाजचया समलब ¨ABCD मध AB || CD असन तयाच कतफळ 33 चौसमी आह, तर आकतीतील णदललया मयाणहतीवरन चौकोनयाचया चयारही बयाजची लयाबी खयालील कती पिगि करन कयाढया.

«

«

«

«

« A

C

B

D M

(x - 4) (x - 2)

(2x + 1)

x

çç

||

Page 63: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

53

सकीिमि परशनसगरह 2

उकल : ¨ABCD समिब चौकोन आह. AB || CD

A (¨ABCD) = 12

(AB + CD) ´

\ 33 = 12

(x + 2x + 1) ´

\ = (3x + 1) ´

\ 3x2 + - = 0

\ 3x (. . . .) +10(. . . .) = 0

\ (3x +10)(----) = 0

\ (3x +10) = 0 शकवा = 0

\ x = -103

शकवा x =

परत िाबरी ऋ नसत.

\ x ¹ -103

\ x =

AB = ---, CD = ---, AD = BC = ---

1. खािरीि परशनाचया उततराचा अचक पयामाय शनवडा.

(1) खािरीिपकी कोत वगमासमरीकर आह?

(A) 5x

- 3 = x2 (B) x (x + 5) = 2 (C) n - 1 = 2n (D) 12x

(x + 2) = x (2) खािरीिपकी कोत वगमासमरीकर नाहरी?

(A) x2 + 4x = 11 + x2 (B) x2 = 4x (C) 5x2 = 90 (D) 2x - x2 = x2 + 5

(3) x2 + kx + k = 0 चरी मळ वासतव व समान असतरीि, तर k चरी शकमत खािरीिपकी कोतरी?

(A) 0 (B) 4 (C) 0 शकवा 4 (D) 2

(4) 2 x2 - 5x + 2 = 0 कररता शववचकाचरी शकमत खािरीिपकी कोतरी?

(A) -5 (B) 17 (C) 2 (D) 2 2 - 5

(5) खािरीिपकी कोतया समरीकराचरी मळ 3 व 5 आहत?

(A) x2 - 15x + 8 = 0 (B) x2 - 8x + 15 = 0

(C) x2 + 3x + 5 = 0 (D) x2 + 8x - 15 = 0

(6) खािरीिपकी कोतया समरीकराचया मळाचरी बररीज -5 आह?

(A) 3x2 - 15x + 3 = 0 (B) x2 - 5x + 3 = 0

(C) x2 + 3x - 5 = 0 (D) 3x2 + 15x + 3 = 0

(7) 5 m2 - 5 m + 5 = 0 िा खािरीिपकी कोत शवधान िाग पडत?

(A) वासतव व असमान मळ (B) वासतव व समान मळ

(C) मळ वासतव सखया नाहरीत. (D) तरीन मळ. (8) x2 + mx - 5 = 0 या वगमासमरीकराच एक मळ 2 असि, तर m चरी शकमत खािरीिपकी कोतरी? (A) -2 (B) - 1

2 (C)

1

2 (D) 2

Page 64: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

54

2. खालीलपकी कोणती समीकरण वरगसमीकरण आहत?(1) m2 + 2m + 11 = 0 (2) x2 - 2x + 5 = x2 (3) (x + 2)2 = 2x2

3. खालीलपकी परतक समीकरणाचा वववचकाची वकमत काढा.(1) 2y2 - y + 2 = 0 (2) 5m2 - m = 0 (3) 5 x2 - x - 5 = 0

4. 2x2 + kx - 2 = 0 ा वरगसमीकरणाच एक मळ -2 आह, तर k ची वकमत वकती?5. अस वरगसमीकरण तार करा, की जाची मळ खालीलपरमाण आहत.

(1) 10 आवण -10 (2) 1-3 5 आवण 1+3 5 (3) 0 आवण 76. खाली विलला वरगसमीकरणाचा मळाच सवरप ठरवा.

(1) 3x2 - 5x + 7 = 0 (2) 3 x2 + 2 x - 2 3 = 0 (3) m2 - 2m +1 = 07. खालील वरगसमीकरण सोडवा.

(1) 1

5x + = 12x

(x ¹ 0, x + 5 ¹ 0) (2) x2 - 310

x - 110

= 0 (3) (2x + 3)2 = 25

(4) m2 + 5m + 5 = 0 (5) 5m2 + 2m + 1 = 0 (6) x2 - 4x - 3 = 0

8. (m - 12)x2 + 2(m - 12) x + 2 = 0 ा वरगसमीकरणाची मळ वासतव व समान असतील तर m ची वकमतकाढा.

9. एका वरगसमीकरणाचा िोन मळाची बरीज 5 आवण ताचा घनाची बरीज 35 आह, तर त वरगसमीकरण कोणत?

10. अस वरगसमीकरण तार करा की जाची मळ 2x2 + 2(p + q) x + p2 + q2 = 0 ा समीकरणाचा मळाचाबरजचा वरग व वजाबाकीचा वरग असतील.

11. मकिजवळ साररपका 50 रप अविक आहत. ताचाजवळील रकमाचा रणाकार 15000 असल, तर परतकाजवळील रककम वकती?

12. िोन सखाचा वराामिील फरक 120 आह. लहान सखचा वरग हा मोठा सखचा िपटीइतका आह, तर ता सखाशोिा.

13. रजनाला वाढविवसावनवमतत 540 सती काही ववदारााना समान वाटाची आहत. जर 30 ववदारथी जासत असत तरपरतकाला 3 सती कमी वमळाली असती, तर ववदारााची सखा काढा.

14. तळवल रील शतकरी शी विनश ाचा आताकती शताची लाबी ही रिीचा िपटीपका 10 मीटरन अविक आह.तानी ता शतात पावसाच पाणी पनरगरणासाठी शताचा रिीचा

1

3 पट बाज असणाऱा चौरसाकती शततळाची

वनवमगती कली. तवहा मळ शताच कतफळ ह शततळाचा कतफळाचा 20 पट होत, तर ता शताची लाबी आवण रिीतसच शततळाचा बाजची लाबी काढा.

15. एक टाकी िोन नळाचा साहायान 2 तासात पणग ररत. तातील फकत लहान नळान

टाकी ररणास लारणारा वळ, फकत मोठा नळान टाकी ररणास लारणाऱा

वळापका 3 तास जासत असतो. तर परतक नळान ती टाकी ररणास वकती वळ लारतो? rrr

ê

Page 65: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

55

3 अकगणिती शढी

· करणिका · अकगणिती शढीतील n ि पद · अकगणिती शढी · अकगणिती शढीतील n पदाची बरीज

जािन घऊया.

करणिका (Sequence)

आप 1, 2, 3, 4, . . . या सखया करमान शिशहतो. हरी सखयाचरी माशिका आह. या माशिकतरीि कोतरीहरी

सखया शकतवया सथानावर आह ह आप साग शकतो. जस 13 हरी सखया 13 वया करमाकावर आह. सखयाचरी ददसररी

माशिका 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, . . . पाहा. या सखया शवशशष करमान शिशहलया आहत. यथ 16 = 42 हरी

सखया चौरया करमाकावर, तर 25 = 52 हरी सखया 5 वया सथानावर आह. 49 = 72 हरी सखया सातवया सथानावर

आह. महज याहरी माशिकत कोतरीहरी सखया शकतवया सथानावर आह, ह सागता यत.

नसशगमाक सखयाचयापरमा शवशशष करमान माडिलया सखयाचया समहािा करणिका महतात.

करशमकमधय शवशशष सथानावर शवशशष सखया शिशहिरी जात. तया सखया a1, a2, a3, a4 . . ., an अशा

करमान दशमावलया की a1 हरी पशहिरी, a2 हरी ददसररी, . . . यापरमा an हरी n वरी सखया आह ह सपष होत. सखयाचरी

करशमका f1, f2, f3, . . . अशा अकषरानरीदखरीि दशमाविरी जात. शतचयात शनबशचत करमान सखया शिशहलया आहत ह

समजत. एखादा वगामातरीि मि कवायतरीसाठरी मदानावर गलयावर एका ओळरीत उभरी राहतात. तयाचा करम ठरििा असतो, तवहा तयाचरी करशमका तयार होत. काहरी करशमकामधय शवशशष आकशतबध असतो ह आप अनभवि आह.

कती : पढरीि आकशतबध पमा करा.

आकशतबध

वतमाळाचरी

सखया 1 3 5 7

चला, णशकया.

Page 66: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

56

आकशतबध DD D DD

DDD D D DDD

DDDD D D D DDDD

शतकोाचरी

सखया

5 8 11

सखयाच तयार झािि आकशतबध पाहा. आधरीचया सखयवरन पढरीि सखया शमळवणयाचा शनयम शोधा. या

शनयमावरन पढचया सगळा सखया शिशहता यतात.

सखयाचरी पढरीि माशिका पाहा. 2, 11, -6, 0, 5, -37, 8, 2, 61

यथ a1 = 2, a2 = 11, a3 = -6, . . . हरी सखयाचरी यादरीदखरीि करशमका आह, परत शवशशष पद तया

सथानावर का आहत ह सागता यत नाहरी, तसच करमवार पदातरीि सबधहरी शनबशचतप सागता यत नाहरी.

साधारप जया करशमकमधय पढच पद ठरवता यईि असा शनयम असतो, अशा करशमका शवचारात घतलया

जातात.

उदा. (1) 4, 8, 12, 16, . . . (2) 2, 4, 8, 16, 32, . . .

(3) 15

, 110

, 115

, 120

, . . .

करणिकतील पद (Terms in a sequence)

करशमकतरीि करमवार पद t1, t2, t3, . . . tn . . .या परकारहरी दशमावतात. सामानयप करशमका हरी tn अशरी

शिशहतात. करशमका अनत असि, तर परतयक धन पााक n, याचयाशरी शनगशडत अशरी एक सखया आह अस गहरीत

धरि जात.

कती I : खािरीि करशमका पाहा. यातरीि पदाच करमाक t1, t2, t3 . . . न दाखवा.

(1) 9, 15, 21, 27, . . . यथ t1= 9, t2= 15, t3= 21, . . .

(2) 7, 7, 7, 7, . . . यथ t1= 7, t2= , t3= , . . .

(3) -2, -6, -10, -14, . . . यथ t1= -2, t2= , t3= , . . .

कती II : खािरी काहरी करशमका शदलया आहत. तयाचया पदामधय काहरी शनयम आढळतो का त पाहा. दोन

करशमकामधरीि सामय शोधा. करशमकाचया पदामधय काहरी शनयम आढळतो का ह पाहणयासाठरी पढ शदििरी माडरी पाहा आश पढरीि

पानावररीि ररकामया चौकटरी भरा. (1) 1, 4, 7, 10, 13, . . . (2) 6, 12, 18, 24, . . . (3) 3, 3, 3, 3, . . . (4) 4, 16, 64, . . . (5) -1, -1.5, -2, -2.5, . . . (6) 13, 23, 33, 43, . . .

Page 67: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

57

या करशमकामधरीि सबध शोध. तयासाठरी कििा शवचार पाह.

(1) 1 4 7 10 , . . .

1+3 4+3 7+3 10+3

(2) 6 12 18 24 , . . .

6 + 6 12 + 6 18 + 6

(3) 3 3 3 3 . . .

3 + 0 3 + 0 3 + 0

(4) 4 16 64 , . . .

4 ´ 4 16 ´ 4 64 ´ 4 ´ 4 ´ 4

(5) -1 -1.5 -2 -2.5 . . .

(-1)+(-0.5) -1.5 +(-0.5) -2 + (-0.5) -2.5 + (-0.5)

(6) 13, 23, 33, . . .

यथ करशमका (1), (2), (3), (5) याचयामधय आधरीचया पदात ठराशवक सखया शमळवन पढच पद शमळत, ह

सामय आह. या परकारचया करशमकाना अकगशतरी शढरी महतात.

वररीि (4) हरी करशमका अकगशतरी शढरी नाहरी. या करशमकमधय आधरीचया पदािा ठरावरीक सखयन ग न पढच

पद शमळत. या परकारचया करशमकाना भशमतरी शढरी (Geometric Progression) महतात.

वररीि (6) हरी करशमका अकगशतरी शढरी नाहरी, तसच भशमतरी शढरीहरी नाहरी.

यावषगी आप अकगशतरी शढरीचा अभयास करार आहोत.

अकगणिती शढी (Arithmetic Progression)

खािरी काहरी करशमका शदलया आहत. परतयक करशमकतरीि पढरीि तरीन पद शिहा.

(1) 100, 70, 40, 10, . . . (2) -7, -4, -1, 2, . . . (3) 4, 4, 4, . . .

Page 68: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

58

शदिलया करशमकामधरीि पढरीि पद काढणयासाठरी काय कि त पाहा.

(1) 100 70 40 10 . . .

100+(-30) 70+(-30) 40+(-30) 10+(-30) (-20)+(-30)

(2) -7 -4 -1 2 . . .

-7+3 -4+3 -1+3 2+3 5+3

(3) 4 4 4 4 4 . . .

4 + 0 4 + 0 4 + 0 4 + 0

वररीि सखयाचया परतयक यादरीतरीि परतयक पद आधरीचया पदात शवशशष सखया शमळवन तयार झाि आह. दोन

करमागत पदामधरीि फरक बसथर आह.

उदा. (1) मधरीि फरक ऋ, (2) मधरीि फरक धन आश (3) मधरीि फरक 0 आह.

करमागत पदामधरीि फरक बसथर असि तर तयािा सािानय फरक णकिा सािाईक फरक (Common

difference) महतात. हा फरक d या अकषरान दशमावतात.

शदिलया करशमकतरीि कोतयाहरी दोन करमागत पदामधरीि फरक (tn +1- tn) बसथर असि तर तया करशमकस

अकगशतरी शढरी महतात. अशा शढरीत tn +1- tn = d हा सामानय फरक असतो.

अकगशतरी शढरीच पशहि पद a आश सामानय फरक d असि,

तर t1 = a , t2= a + d , t3= (a + d) + d = a + 2d

पशहि पद a आश सामानय फरक d असििरी अकगशतरी शढरी

a, (a + d), (a + 2d), (a + 3d), . . . . . हरी असत.

अकगशतरी शढरीसबधरी काहरी उदाहर पाह.

उदा. (1) अररफान दर मशहनयािा 100 रपयाचरी बचत किरी. एका वषामातरीि परतयक मशहनाअखरचरी एक बचत

खािरीिपरमा असि.

मशहना I II III IV V VI VII VIII IX X XI XIIबचत ` 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

परतयक मशहनयातरीि एक बचत दाखवाऱया सखया अकगशतरी शढरीत आहत.

शतसर पदददसर पदपशहि पद

-50

5

-20

8

Page 69: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

59

(1) जर करशमकमधय (tn +1- tn) हा फरक बसथर असि तर तया करशमकिा अकगशतरी शढरी महतात.

(2) अकगशतरी शढरीचया दोन करमागत पदामधरीि बसथर फरक d या अकषरान दशमावतात.

(3) d हा फरक धन, ऋ शकवा शनय अस शकतो.

(4) अकगशतरी शढरीतरीि पशहि पद a, आश सामानय फरक d असि तर तया शढरीतरीि पद a, (a + d), (a + 2d), . . . अशरी असतात.

(2) परवन शमताकडन 10000 रपय उसन घति आश दरमहा 1000 रपय यापरमा फडायच ठरि, तर परतयक

मशहनयात फडायचरी राशहििरी रककम खािरीिपरमा असि. मशहना कर. 1 2 3 4 5 ... ... ... ...

फडायचरी राशहििरी

रककम `10,000 9,000 8,000 7,000 ... ... 2,000 1,000 0

(3) 5 चा पाढा, महज 5 न शवभाजय सखया पाहा.

5, 10, 15, 20, . . . 50, 55, 60, . . . . . हरी अकगशतरी शढरी आह.

वररीि (1) व (2) या अकगशतरी शढरी सात आहत. तर (3) हरी अकगशतरी शढरी अनत शढरी आह.

कती : सात अकगशतरी शढरीच एक आश अनत अकगशतरी शढरीच एक उदाहर शिहा.

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) खािरीिपकी कोतरी करशमका अकगशतरी शढरी आह ह ओळखा. जर असि तर शतचरी पढरीि दोन पद काढा. (i) 5, 12, 19, 26, . . . (ii) 2, -2, -6, -10, . . . (iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . (iv) 3

2, 12

, - 12

, . . . उकल : (i) 5, 12, 19, 26, . . . या करशमकत, पशहि पद = t1= 5, t2= 12, t3= 19, . . . t2- t1= 12 - 5 = 7 t3- t2= 19 - 12 = 7 यथ पशहि पद = 5 व सामानय फरक = d = 7 आह. तो बसथर आह. \ हरी करशमका अकगशतरी शढरी आह. या शढरीतरीि पढरीि दोन पद. 26 + 7 = 33, 33 + 7 = 40.

यथ 33 व 40 हरी शदिलया शढरीतरीि पढरीि दोन पद आहत.

ह लकषात ठिया.

Page 70: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

60

(ii) 2, -2, -6, -10, . . . या करशमकत,

t1= 2, t2= -2, t3= -6, t4= -10 . . .

t2- t1= -2 - 2 = -4

t3- t2= -6 - (-2) = -6 + 2 = -4

t4- t3= -10 - (-6) = -10 + 6 = -4

यावरन परतयक दोन करमागत पदामधरीि फरक, महज tn +1 - tn = -4 आह. \ d = -4 हा सामाईक फरक

आह. तो बसथर आह. \ हरी अकगशतरी शढरी आह.

या शढरीतरीि पढरीि दोन पद (-10) + (-4) = -14 आश (-14) + (-4) = -18 हरी आहत.

(iii) 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . या करशमकत,

t1= 1, t2= 1, t3= 2, t4= 2, t5= 3, t6= 3 . . .

t2- t1= 1 - 1 = 0 , t3- t2= 2 - 1 = 1

t4- t3= 2 - 2 = 0 , t3- t2 ¹ t2- t1

या करशमकतरीि िगतचया दोन पदामधरीि फरक बसथर नाहरी. \ शदििरी करशमका अकगशतरी शढरी नाहरी.

(iv) 32

, 12

, - 12

, - 32

, . . . या करशमकत,

t1= 32

, t2= 12

, t3= - 12

, t4= - 32

t2- t1= 12

- 32

= -22 = -1

t3- t2= - 12

- 12

= -22 = -1

t4- t3= - 32

- (- 12

) = - 32

+ 12

= -22 = -1

यथ सामानय फरक d = -1 हा बसथर आह.

\ शदििरी करशमका अकगशतरी शढरी आह.

यातरीि पढरीि दोन पद शोध.

- 32

- 1 = -5

2, -

5

2 - 1 = -

7

2

\ पढरीि दोन पद -5

2 व -

7

2 आहत.

Page 71: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

61

उदा. (2) पशहि पद a व सामानय फरक d खािरी शदि आहत. तयानसार पशहिरी चार पद काढन अकगशतरी शढरी शिहा. (i) a = -3, d = 4 (ii) a = 200, d = 7

(iii) a = -1, d = - 12

(iv) a = 8, d = -5

उकल : (i) a = -3, d = 4 यावरन,

a = t1= -3

t2= t1+ d = -3 + 4 = 1

t3= t2+ d = 1 + 4 = 5

t4= t3+ d = 5 + 4 = 9

\ अकगशतरी शढरी -3, 1, 5, 9, . . .

(ii) a = 200, d = 7

a = t1= 200

t2= t1+ d = 200 + 7 = 207

t3= t2+ d = 207 + 7 = 214

t4= t3+ d = 214 + 7 = 221

\ अकगशतरी शढरी 200, 207, 214, 221, . .

(iii) a = -1, d = - 12

a = t1= -1

t2= t1+ d = -1 + (- 12

) = - 32

t3= t2+ d = - 32

+ (- 12

) = -4

2 = -2

t4= t3+ d = -2+ (- 12

)

= -2 - 12

= -5

2

\अकगशतरी शढरी -1, - 32

, -2, -5

2, . . .

(iv) a = 8, d = -5

a = t1= 8

t2= t1+ d = 8 + (-5 ) = 3

t3= t2+ d = 3 + (-5 ) = -2

t4= t3+ d = -2 + (-5 ) = -7

\अकगशतरी शढरी 8, 3, -2, -7, . . .

1. खािरीिपकी कोतया करशमका अकगशतरी शढरी आहत? जया अकगशतरी शढरी असतरीि, तयातरीि परतयकीचा

सामाईक फरक काढा.

(1) 2, 4, 6, 8, . . . (2) 2, 52

, 3, 72

, . . . (3) -10, -6, -2, 2, . . .

(4) 0.3, 0.33, .0333, . . . (5) 0, -4, -8, -12, . . . (6) -1

5, -1

5, -1

5, . . .

(7) 3, 3 + 2 , 3 + 2 2 , 3 + 3 2 , . . . (8) 127, 132, 137, . . .

2. जर अकगशतरी शढरीच पशहि पद a व सामानय फरक d असि तर अकगशतरी शढरी शिहा.

(1) a = 10, d = 5 (2) a = -3, d = 0 (3) a = -7, d = 12

(4) a = -1.25, d = 3 (5) a = 6, d = -3 (6) a = -19, d = -4

सरािसच 3.1

Page 72: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

62

3. खािरीि परतयक अकगशतरी शढरीसाठरी पशहि पद आश सामानय फरक काढा.

(1) 5, 1, -3, -7, . . . (2) 0.6, 0.9, 1.2, 1.5, . . .

(3) 127, 135, 143, 151, . . . (4) 14

, 34

, 54

, 74

, . . .

जािन घऊया.

अकगणिती शढीच n ि पद (nth term of an A. P.)

5, 8, 11, 14, . . . या करशमकत दोन करमागत पदामधरीि फरक 3 आह महन हरी करशमका अकगशतरी शढरी

आह.

यात पशहि पद 5 आह. 5 मधय 3 शमळवलयावर 8 ह ददसर पद शमळत. या परकार 100 व पद शमळवणयासाठरी

काय कराव िागि?

पशहि पद ददसर पद शतसर पद . . .

सखया 5, 5 + 3 = 8, 8 + 3 = 11, . . .

या पदधतरीन 100 वया पदापयात जाणयासाठरी खप वळ िागि. यासाठरी एखाद सत शमळत का त पाह.

5 8 11 14 . . . . . . . . . . . .

5 5 + 1 ´ 3 5 + 2 ´ 3 5 + 3 ´ 3 . . . 5 + (n - 1)

´ 3

5 + n ´ 3 . . .

पशहिपद t1

ददसरपदt2

शतसरपदt3

चौथपदt4

. . . n व पद

tn

n + 1 व पद

tn+1

. . .

सामानयप; t1, t2, t3, . . . या अकगशतरी शढरीतरीि पशहि पद a आश साधार फरक d असि, तर

t1= a

t2= t1+ d = a + d = a + (2 - 1) d t3= t2+ d = a + d + d = a + 2d = a + (3 - 1)d t4= t3+ d = a + 2d + d = a + 3d = a + (4 - 1)d

· 5, 8, 11, 14, . . . हरी अकगशतरी शढरी अाह का? जर असि तर शतच 100 व पद कोत असि? या शढरीत 92 हरी सखया असि का? 61 हरी सखया असि का?

णिचार कया .

Page 73: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

63

tn= a + (n - 1) d ह सत शमळत.

आता या सताचा उपयोग करन 5, 8, 11, 14, . . . या अकगशतरी शढरीच 100 व पद काढ. यथ a = 5

आश d = 3 आह.

tn= a +(n - 1)d \ t100= 5 +(100 - 1) ´ 3 = 5 + 99 ´ 3 = 5 + 297

 = 302

या अकगशतरी शढरीच 100 व पद 302 आह. आता 61 हरी सखया या शढरीत आह का? याच उततर शमळवणयासाठरी हच सत वापर.

tn= a +(n - 1)d

tn= 5 +(n - 1) ´ 3

जर 61 ह n व पद महज tnअसि, तर

61 = 5 + 3n - 3

= 3n + 2

\ 3n = 59

\ n = 593

परत n हरी नसशगमाक सखया नाहरी.

\ 61 हरी सखया या शढरीत नाहरी.

कबरीरचरी आई तयाचया परतयक वाढशदवसािा तयाचया उचरीचरी नोद करत. तो 1 वषामाचा झािा तवहा तयाचरी उचरी

70 समरी होतरी. 2 वषााचा झािा तवहा तो 80 समरी उच होता, 3 वषााचा झािा तवहा तयाचरी उचरी 90 समरी

झािरी. तयाचरी मरीरामावशरी दहावरीत शशकत होतरी. तरी महािरी, ‘कबरीरचरी उचरी दरवषगी अकगशत शरीत वाढत

अस शदसत आह.’ त गहरीत धरन शतन कबरीर 15 वषााचा होऊन दहावरीत गिा, की तयाचरी उचरी शकतरी असि

त मोजि. शतिा आशचयामाचा धकका बसिा. तमहरीहरी कबरीरचरी उचरी अकगशतरी शरीत वाढत ह गहरीत धरन

तो 15 वषााचा झालयावर तयाचरी उचरी शकतरी असि त शोधा.

णिचार कया.

Page 74: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

64

उदा. (1) खािरीि अकगशतरी शढरीसाठरी tnकाढा

व तयावरन तया शढरीच 30 व पद काढा.

3, 8, 13, 18, . . .

उकल : शदििरी अकगशतरी शढरी 3, 8, 13, 18, . . .

यथ t1= 3, t2= 8, t3= 13, t4= 18, . . .

d = t2- t1= 8 - 3 = 5, n = 30

आपास माहरीत आह की tn= a +(n - 1)d \ tn= 3 +(n - 1) ´ 5 \ a = 3, d = 5

\ tn= 3 +5n - 5

\ tn= 5n - 2

\ 30 व पद = t30= 5 ´ 30 - 2

= 150 - 2 = 148

उदा. (2) खािरीि अकगशतरी शढरीच शकतव पद 560

आह?

2, 11, 20, 29, . . .

उकल : शदििरी अकगशतरी शढरी 2, 11, 20, 29, . .

यथ a = 2, d = 11 - 2 = 9

या शढरीच n व पद 560 आह. tn= 560

tn= a +(n- 1)d

\ 560 = 2 +(n - 1) ´ 9

= 2 + 9n - 9

\ 9n = 567

\ n = 5679

= 63

\ शदिलया अकगशतरी शढरीच 63 व पद 560 आह.

उदा. (3) शदििरी करशमका 5, 11, 17, 23, . . आह. या करशमकत 301 हरी सखया आह का? उकल : 5, 11, 17, 23, . . . या करशमकत t1= 5, t2= 11, t3= 17, t4= 23, . . . t2- t1= 11 - 5 = 6 t3- t2= 17 - 11 = 6 \ हरी करशमका अकगशतरी शढरी आह. या शढरीच पशहि पद a = 5 आश d = 6 जर 301 ह n व पद असि, तर tn= a +(n - 1)d = 301 \ 301 = 5 +(n - 1) ´ 6 = 5 +6n - 6 \ 6n = 301 + 1 = 302

\ n = 302

6, हा धन प ााक नाहरी.

यावरन शदिलया करशमकत 301 हरी सखया असार नाहरी.

ÒÒÒ सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (4) 4 न भाग जााऱया दोन अकी सखया शकतरी

असतरीि?

उकल : 4 न भाग जााऱया दोन अकी सखयाचरी यादरी

12, 16, 20, 24, . . . 96 हरी आह.

अशा सखया शकतरी आहत त काढ.

tn= 96, a = 12, d = 4, n = ?

\ सतावरन,

96 = 12 +(n - 1) ´ 4

= 12 + 4n - 4

\ 4n = 88

\ n = 22

\ 4 न भाग जााऱया दोन अकी सखया 22

आहत.

Page 75: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

65

उदा. (5) जर एका अकगशतरी शढरीच 10 व पद 25 आश 18 व पद 41 असि तर तया शढरीच 38 व पद शोधा.

तसच, n व पद 99 असि तर n चरी शकमत काढा.

उकल : शदिलया अकगशतरी शढरीमधय t10= 25 व t18= 41 आह.

आपलयािा माहरीत आह की, tn= a +(n - 1)d \ t10= a + (10 - 1) d \ 25 = a + 9d . . . . . . . . . (I)

तसच t18 = a + (18 - 1) d \ 41 = a + 17d . . . . . . . . . (II)

25 = a + 9d . . . . . . . . . (I) वरन.

a = 25 - 9d. हरी शकमत समरीकर II मधय ठव.

समरीकर (II) a + 17d = 41 आह.

\ 25 - 9d + 17d = 41

\ 8d = 41 - 25 = 16

\ d = 2

d = 2 हरी शकमत समरीकर I मधय ठवन.

a + 9d = 25

\ a + 9 ´ 2 = 25

\ a + 18 = 25

\ a = 7

n व पद 99 असि तर n चरी शकमत काढायचरी आह.

tn= a +(n - 1)d

99 = 7 + (n - 1) ´ 2

99 = 7 + 2n - 2

99 = 5 + 2n \ 2n = 94

\ n = 47

\ शदिलया शढरीच 38 व पद 81 आह आश 99 ह 47 व पद आह.

आता, tn= a +(n - 1)d \ t38 = 7 + (38 - 1) ´ 2

 = 7 + 37 ´ 2  = 7 + 74

 = 81

Page 76: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

66

1. खािरी शदिलया अकगशतरी शढरीवरन चौकटीत योगय सखया शिहा.

(1) 1, 8, 15, 22, . . .

यथ a = , t1= , t2= , t3= , . . .

t2- t1= - =

t3- t2= - = \ d =

(2) 3, 6, 9, 12, . . .

यथ t1= , t2= , t3= , t4= , . . .

t2- t1= , t3- t2= \ d =

(3) -3, -8, -13, -18, . . .

यथ t1= , t2= , t3= , t4= , . . .

t2- t1= , t3- t2= \ a = , d =

(4) 70, 60, 50, 40, . . .

यथ t1= , t2= , t3= , . . .

\ a = , d =

2. खािरीि करशमका अकगशतरी शढरी आह का त ठरवा; असि तर तया शढरीच शवसाव पद काढा.

-12, -5, 2, 9, 16, 23, 30, . . .

3. शदििरी अकगशतरी शढरी 12, 16, 20, 24, . . . आह. या शढरीच 24 व पद काढा.

4. खािरीि अकगशतरी शढरीच 19 व पद काढा.

7, 13, 19, 25, . . .

5. खािरीि अकगशतरी शढरीच 27 व पद काढा.

9, 4, -1, -6, -11, . . .

6. तरीन अकी नसशगमाक सखयासमहात 5 न भाग जााऱया सखया शकतरी आहत त शोधा.

7. एका अकगशतरी शढरीच 11 व पद 16 आश 21 व पद 29 आह, तर तया शढरीच 41 व पद काढा.

8. 11, 8, 5, 2, . . . या अकगशतरी शढरीत -151 हरी सखया शकतव पद असि?

9. 10 पासन 250 पयातचया नसशगमाक सखयापकी शकतरी सखया 4 न शवभाजय आहत?

10. एका अकगशतरी शढरीच 17 व पद 10 वया पदापकषा 7 न जासत आह तर, सामानय फरक काढा.

सरािसच 3.2

Page 77: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

67

चतर णशणकषका

एक होता राजा. तयान यशवतराज व गरीतादवरी या आपलया मिाना घोडसवाररी शशकवणयासाठरी अनकरम तारा व

मरीरा या शशशकषकाचरी नमक किरी. तया दोघीना वषमाभरासाठरी शकतरी पगार दावा याबददि शवचारि.

तारा महािरी, ‘‘मिा पशहलया मशहनयाचा पगार 100 मोहरा दावा व नतर पढरीि परतयक मशहनयात 100

मोहराचरी वाढ दावरी. मरीरा महािरी, ‘‘मिा पशहलया मशहनयात 10 मोहरा पगार दावा आश नतर पढरीि परतयक

मशहनयािा आधरीचया मशहनयाचया पगाराचया ददपपट पगार शमळावा.’’

महाराजानरी त मानय कि. तरीन मशहनयानतर यशवतराज आपलया बशहरीिा महाि, ‘‘माझरी शशशकषका तझया

शशशकषकपकषा जासत हशार वाटत, शतन जासत पगार माशगतिा आह.’’ गरीतादवरी महािरी, ‘‘मिा परथम तसच वाटि.

महन मरी मरीराताईना शवचारिसदधा, ‘तमहरी कमरी पगार का माशगतिा?’, तर हसन तयानरी साशगति की ‘आठ

मशहनयानतर गमत शदसि, त पाहा.’ मरी आठवया मशहनयाचा पगार काढन पाशहिा. त सदधा काढन पाहा.’’

मशहन 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12ताराचा पगार

100 200 300 400 500 600 700 800 900 - - -

मरीराचा पगार

10 20 40 80 160 320 640 1280 2560 - - -

तमहरी हरी साररी प मा करा.

ताराचा पगार 100, 200, 300, 400, . . . हरी अकगशतरी शढरी आह. आि का िकषात?

t1= 100, t2= 200, t3= 300,. . . t2- t1= 100 = d हा सामानय फरक 100 आह.

मरीराचा पगार 10, 20, 40, 80, . . . हरी अकगशतरी शढरी नाहरी. कार 20 - 10 = 10, 40 - 20 = 20,

80 - 40 = 40 महज करमवार सखयातरीि फरक बसथर नाहरी.

मात या शढरीत परतयक पद आधरीचया पदाचया ददपपट होत जात.

यथ tt2

1

= 2010

= 2, tt3

2

= 40

20 = 2,

tt4

3 = 80

40 = 2

\ ttn

n

+1 , महजच पढच पद व आधरीच पद याच गोततर, समान आह. या परकारचया शढरीिा भशमतरीय शढरी

महतात. ttn

n

+1 गोततर 1 पकषा जासत असि, तर भशमतरीय शढरी हरी अकगशतरी शढरीपकषा वगान वाढत जात ह अनभवा.

जर ह गोततर 1 पकषा कमरी असि तर तरी शढरी कशरी बदित जात ह अनभवा.

आप यापकी फक अकगशतरी शढरीचा अभयास करार आहोत. अकगशतरी शढरीतरीि n व पद कस काढायच ह आप पाशहि आह. आता पशहलया n पदाचरी बररीज कशरी काढायचरी ह आप पाहार आहोत.

Page 78: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

68

झटकन बरीज

तरीनश वषाापवगीचरी गोष आह. जममानरीमधय बयटनर (Buttner) नावाचया गरजीचरी एकशशकषकी शाळा होतरी. तया गरजीना जोहान माशटमान बाटदिस हा एकमात मदतनरीस होता. तयाच काम महज मिाना मळाकषर शशकव व तयाना िखणया करन द. बयटनर मात अतयत कडक शशसतरीच होत. बयटनर गरजीना एक काम प मा करायच होत. वगामातरीि मि दगा कर नय महन तयाना कामात गतवायिा हव, यासाठरी तयानरी मिाना आकडमोड करायिा सागायच अस ठरवि. तयानरी मिाना साशगति, 1 त 100 सखया पाटरीवर शिहा व तयाचरी बररीज करा. गरजीनरी तयाच काम सर कि. मिानरी सखया शिहायिा सरवात किरी. पाचच शमशनटात एक पाटरी पािथरी पडलयाचा आवाज आिा. तयानरी कािमा गाऊसकड पाशहि आश शवचारि, ‘‘ह काय? मरी तिा 1 त 100 सखया शिहायिा सागन तयाचरी बररीजहरी करायिा साशगतिरी आह, पाटरी पािथरी का टाकिरीस? तिा काहरीच करायच नाहरी का?’’ कािमा गाऊस महािा, ‘‘मरी बररीज किरी आह.’’गरजरी महाि, ‘‘काय? इतकया झटकन बररीज झािरीच कशरी? सखयाहरी शिशहलया नसतरीि. उततर शकतरी आि? कािमा गाऊस महािा, ‘‘पाच हजार पनास.’’गरजरी आशचयमाचशकत झाि व महाि, ‘‘कस काढि उततर?’’कािमा गाऊसचरी झटकन बररीज करणयाचरी पदधतरी:सिग करमान सखया 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

उिट करमान सखया 100 99 98 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . .1बररीज 101 101 101 101 101 परतयक जोडरीतरीि सखयाचरी बररीज 101 यत. हरी बररीज 100 वळा आिरी महन 100 ´ 101 हा ग ाकार किा. तो 10100 आिा. यथ 1 त 100 सखया दोनदा शवचारात घतलया. महन 10100 चया शनमम कि. त 5050 आि. महन 1, 2, 3, . . . , 100 या सखयाचरी बररीज 5050 आह. गरजीनरी तयािा शाबासकी शदिरी. आता गाऊस याचरी बररीज करणयाचरी कपरी वापरन अकगशतरी शढरीचया n पदाचरी बररीज काढणयाच सत शमळव.

जोहान फडररच कालमि गाऊस30 एशपरि 1777 - 23 फबवाररी 1855. कािमा गाऊस ह थोर जममान गशतज होत. तयाचा जनम बॉडन सवाईक यथ एका अशशशकषत कटबात झािा. बयटनर याचया शाळत तयान आपलया बदधरीचरी च क दाखविरी. तयानतर बयटनर याचा मदतनरीस जोहान माशटमान बाटदिस याचरी गाऊसशरी मतरी झािरी. दोघानरी शमळन बरीजगशतावर एक पसतक परशसदध कि. बाटदिसन गाऊसचरी असामानय बदधरी अनकाचया नजरिा आन शदिरी.

+ + + + +

Page 79: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

69

जािन घऊया.

अकगणिती शढीतील पणहलया n पदाची बरीज (Sum of first n terms of an A. P.)

अकगशतरी शढरी a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . a +(n - 1)d

या शढरीत a ह पशहि पद आह आश d हा सामानय फरक आह. या शढरीतरीि पशहलया n पदाचरी बररीज Sn न

दाखव.

Sn = [a] + [a + d] + . . . + [a+(n-2)d] + [a+(n-1)d]

हरी पद उिट करमान माडन,

Sn = [a+(n-1)d] + [a+(n-2)d] + . . . + [a + d ] + [a]

बररीज करन,

2Sn = [a+a+(n-1)d] + [a + d+a+(n-2)d]+ . . . + [a+(n-2)d+ a + d]+ [a+(n-1)d+a]

2Sn = [2a+(n-1)d] + [2a+(n-1)d] + . . . + [2a+(n-1)d] . . . n वळा.

2Sn = n [2a+(n-1)d]

Sn = n2 [2a+(n-1)d] शकवा Sn = na+

n n( )-12

d

उदाहरिाथमि, 14, 16, 18, . . . या अकगशतरी शढरीचया पशहलया 100 पदाचरी बररीज काढ.

यथ a = 14, d = 2, n = 100

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

\ S100 = 100

2 [2 ´ 14+(100-1) ´ 2]

= 50 [28 + 198]

= 50 ´ 226 = 11,300

\ शदिलया शढरीचया पशहलया 100 पदाचरी बररीज 11,300

शदिलया अकगशतरी शढरीच पशहि पद a आश सामानय फरक d असि, तर

tn = a+(n-1)d

Sn = n2 [2a+(n-1)d] = na+

n n( )-12

d

ह लकषात ठिया.

Page 80: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

70

अकगशतरी शढरीचया पशहलया n पदाचया बरजच अजन एक सत शमळव.

a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . [a +(n - 1)d] या अकगशतरी शढरीतरीि

पशहि पद = t1 = a आह आश n व पद [a +(n - 1)d] आह.

आता Sn = n2 [a+a+(n-1)d]

\ Sn = n2 [t1 + tn] =

n2 [पशहि पद + शवटच पद]

ÒÒÒ सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) पशहलया n नसशगमाक सखयाचरी बररीज करा.

उकल : पशहलया n नसशगमाक सखया 1, 2, 3, . . . , n.

यथ a = 1, d = 1, n व पद = n

Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + n

Sn = n2 [पशहि पद + शवटच पद]

= n2 [1 + n] =

n n( )+12

\ पशहलया n नसशगमाक सखयाचरी बररीज n n( )+12

असत.

उदा. (2) पशहलया n सम नसशगमाक सखयाचरी बररीज करा.

उकल : पशहलया n सम नसशगमाक सखया 2, 4, 6, 8, . . . , 2n.

t1 = पशहि पद = 2 , tn = शवटच पद = 2n

रीत I

Sn = n2 [t1 + tn]

= n2 [2 + 2n]

= n2 ´ 2 (1 + n)

= n (1+ n)

= n (n+1)

रीत II

Sn = 2 + 4 + 6 . . . + 2n

= 2(1 + 2 + 3 + . . . . + n)

= 2 1

2

[ ( )]n n +

= n (1+ n)

= n (n+1)

रीत III

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

= n2 [2 ´ 2+(n-1)2]

= n2 [4+2n-2]

= n2 [2 + 2n]

= n2 ´ 2 (1 + n)

= n (1 + n) = n (n+1) \ पशहलया n सम नसशगमाक सखयाचरी बररीज n (n+1) असत.

Page 81: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

71

उदा. (3) पशहलया n शवषम नसशगमाक सखयाचरी बररीज काढा.

उकल : पशहलया n शवषम नसशगमाक सखया.

1, 3, 5, 7, . . . , (2n - 1).

a = t1 = 1 आश tn = (2n - 1), d = 2

रीत I

Sn =n2 [t1 + tn]

= n2 [1 + (2n - 1)]

= n2 [1 + 2n - 1]

= n2 ´ 2n

= n2

रीत II

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

= n2 [2 ´ 1 +(n-1) ´ 2]

= n2 [2 + 2n - 2]

= n2 ´ 2n

= n2

रीत III

Sn = 1 + 3 + . . . +(2n-1)

= (1 + 2 + 3 + . . . + 2n)

- (2 + 4 + 6 + . . . + 2n)

= 2 2 1

2

n n( )+ - 2 1

2

n n( )+

= (2n2+ n) - (n2+ n)

= n2

\ पशहलया n शवषम नसशगमाक सखयाचरी बररीज n2 असत.

उदा. (4) 1 पासन 150 पयातचया सवमा शवषम सखयाचरी बररीज करा.

उकल : 1 पासन 150 पयातचया सवमा शवषम सखया 1, 3, 5, 7, . . . , 149.

हरी अकगशतरी शढरी आह.

यथ a = 1 आश d = 2, परथम 1 त 150 पयात शवषम सखया शकतरी त काढ. महज n चरी शकमत काढ.

tn= a +(n - 1)d 149 = 1 +(n - 1)2 \ 149 = 1 + 2n - 2

\ n = 75

आता 1 + 3 + 5 + . . . + 149 या 75 सखयाचरी बररीज कर. a = 1 आश d = 2, n = 75

रीत I Sn = n2 [2a+(n-1)d]

Sn =

Sn = ´

Sn =

रीत II Sn = n2 [t1 + tn]

Sn = 752

[1 + 149]

Sn = ´

Sn =

Page 82: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

72

सरािसच 3.31. एका अकगशतरी शढरीच पशहि पद 6 व सामानय फरक 3 आह तर S27 काढा.

a = 6, d = 3, S27 = ?

Sn = n2 [ + (n-1) d]

S27 = 272

[12 + (27-1) ]

= 272

´

= 27 ´ 45 =

2. पशहलया 123 सम नसशगमाक सखयाचरी बररीज काढा. 3.1 व 350 यामधरीि सवमा सम सखयाचरी बररीज काढा. 4. एका अकगशतरी शढरीच 19 व पद 52 आश 38 व पद 128 आह, तर शतचया पशहलया 56 पदाचरी बररीज काढा. 5. 1 व 140 याचया दरमयान, 4 न भाग जााऱया नसशगमाक सखयाचरी बररीज शकतरी आह, ह काढणयासाठरी खािरीि कतरी

पमा करा. 1 व 140 चया दरमयान असिलया 4 न भाग जााऱया सखया

4, 8, . . . . . . . . , 136

या एक शकतरी सखया? \ n =

a = , d = , tn=

tn= a+(n-1)d

136 = + (n - 1) ´

n = Sn = n2 [2a+(n-1)d]

S = 2 [ ] =

1 व 140 याचया दरमयानचया 4 न भाग जााऱया सखयाचरी बररीज =

6. एका अकगशतरी शढरीचया पशहलया 55 पदाचरी बररीज 3300 आह, तर शतच 28 व पद काढा.ê

Page 83: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

73

7. एका अकगशतरी शढरीतरीि तरीन करमागत पदाचरी बररीज 27 व तयाचा गाकार 504 आह, तर तरी पद शोधा. (तरीन करमागत पद a - d , a, a + d माना.)

8. एका अकगशतरी शढरीतरीि चार करमागत पदाचरी बररीज 12 आह. तसच तया चार करमागत पदापकी शतसऱया व चौरया पदाचरी बररीज 14 आह, तर तरी चार पद काढा.

(चार करमागत पद a - d , a, a + d, a + 2d माना.)

9. एका अकगशतरी शढरीच नवव पद शनय आह, तर 29 व पद ह 19 वया पदाचया ददपपट अाह ह दाखवा.

जािन घऊया.

अकगणिती शढीच उपयोजन (Applications of A. P.)

उदा. (1) शमकसर तयार कराऱया एका कपनरीन शतसऱया वषगी 600 शमकसर तयार कि आश सातवया वषगी 700 शमकसर तयार कि. दरवषगी तयार होाऱया शमकसरचया सखयतरीि वाढ ठरावरीक असि तर पढरीि सखया काढा. (i) पशहलया वषगीच उतपादन (ii) 10 वया वषगीच उतपादन (iii) पशहलया सात वषाातरीि एक उतपादन.

उकल : कपनरी तयार करत असिलया शमकसरचरी सखयतरीि वाढ दरवषगी ठरावरीक असत. यावरन िागोपाठचया वषामातरीि उतपादन या सखया अकगशतरी शढरीत आहत. कपनरीन (i) n वया वषामात tn शमकसर तयार कि आहत अस मान. शदिलया माशहतरीवरन,

t3 = 600, t7 = 700

आपलयािा माहरीत आह की tn= a+(n-1)d

t3= a+(3-1)d = 600 = a+2d .......... (I) t7= a+(7-1)d = a+6d = 700 .......... (II)

a+2d = 600 \ a = 600 - 2d हरी शकमत समरीकर (II) मधय ठवन,

600 - 2d + 6d = 700

4d = 100 \ d = 25

a+2d = 600 \ a + 2 ´ 25 = 600

a + 50 = 600 \ a = 550 \ पशहलया वषामातरीि उतपादन 550 शमकसर होत. (ii) tn= a+(n-1)d

t10= 550+(10-1) ´ 25 = 550 + 225 = 775

\10 वया वषामातरीि उतपादन 775 शमकसर होत.

ê

ê

ê

Page 84: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

74

(iii) पशहलया 7 वषाातरीि उतपादन काढणयासाठरी Sn च सत वापर.

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

\ S7 = 7

2 [1100 + 150] =

7

2 [1250] = 7 ´ 625 = 4375

\ पशहलया 7 वषाात 4375 शमकसरच उतपादन कि.

उदा. (2) उसन घतिलया 3,25,000 रपयाचरी फड करणयासाठरी अजय शमामा पशहलया मशहनयात 30500 रपय भरतात. तयानतर तयाना दरमहा आधरीचया मशहनयात भरिलया रकमपकषा 1500 रपय कमरी भराव िागतात. तर उसन घतिलया रकमचरी फड प मा होणयासाठरी तयाना शकतरी मशहन िागतरीि?

उकल : उसन पस पमा फडणयासाठरी n मशहन िागतरीि अस मान. 30,500 मधन दरमहा र. 1500 कमरी दायच आहत.

\ 30,500; 30,500 - 1500; 30,500 - 2 ´ 1500, . . . हरी दय रकमाचरी करशमका अकगशतरी शढरी आह.

पशहि पद = a = 30500, d = -1500 उसनरी घतििरी रककम = Sn = 3,25,000

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

3,25,000 = n2 [2 ´ 30500+(n-1) ´(-1500)]

= n2 [2 ´ 30500 - 1500n + 1500]

3,25,000 = 30500n - 750n2 +750n \ 750n2 -31250n + 325000 = 0

\ 3n2 -125n + 1300 = 0 . . . . . (दोनहरी बाजना 250 न भाग.)

\ 3n2 -60n - 65n + 1300 = 0

\ 3n(n-20) -65 (n-20) = 0

\ (n - 20) (3n - 65) = 0

\ n - 20 = 0, शकवा 3n - 65 = 0

n = 20 शकवा n = 65

3 = 21

2

3

n हा अकगशतरी शढरीतरीि पदाचा करमाक असलयान n हरी नसशगमाक सखया आह.

\ n ¹ 653

\ n = 20(शकवा, 20 मशहनयानतर S20 = 3,25,000 महन तवहा सवमा उसनरी रककम फडिरी जाईि. नतरचया काळाचा शवचार करणयाचरी गरज नाहरी.) \उसन घतिलया रकमचरी फड प मा होणयासाठरी तयाना 20 मशहन िागतरीि.

Page 85: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

75

उदा. (3) अनवर दर मशहनयािा ठरावरीक रकमचरी बचत करतो. पशहलया मशहनयात तो 200 र. बचत करतो. ददसऱया

मशहनयात 250 र. बचत करतो. शतसऱया मशहनयात 300 र. बचत करतो. तर 1000 रपय बचत शकतवया

मशहनयात होईि? तया मशहनयात तयाचरी एक शकतरी बचत झािरी असि?

उकल : पशहलया मशहनयातरीि बचत 200 र. ; ददसऱया मशहनयातरीि बचत 250 र.; . . .

यापरमा दरमहा होाररी बचत 200, 250, 300, . . . हरी अकगशतरी शढरी आह.

यथ a = 200, d = 50, tnच सत वापरन परथम n काढ व तयावरन Sn काढ.

tn= a+(n-1)d

= 200 +(n-1)50

= 200 + 50n - 50

\ 1000 = 150 + 50n

150 + 50n = 1000

50n = 1000 - 150

50n = 850

\ n = 17

1000 र. बचत 17 वया मशहनयात होईि.

17 मशहनयात एक बचत शकतरी त शोध.

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

= 17

2 [2 ´ 200+(17-1) ´ 50]

= 17

2 [400 + 800]

= 17

2 [1200]

= 17 ´ 600

= 10200

17 मशहनयात एक बचत 10,200 र.

Page 86: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

76

उदा. (4) आकतीत दाखवलापरमाण एका रषवर A कदरबिद घऊन 0.5 समी बरिजच P1 ह अरधवतधळ काढल. त

उकल : A, B, A, B, . . . ा करमान कदर घऊन काढलल अरधपररघ अनकरम P1, P2, P3, . . . मान. पबहला

अरधवतधळाची बरिजा 0.5 समी आह. दसऱा अरधवतधळाची बरिजा 1.0 समी आह, . . . ापरमाण माबहती

बदली आह. ावरन P1, P2, P3, . . . P13 काढ.

पबहला अरधपररघाची लािी = P1 = p r1 = p ´ 1

2 = p

2

P2 = p r2 = p ´ 1 = p

P3 = p r3 = p ´ 1.5 = 3

2p

P1, P2, P3, . . . ह अरधपररघ, महणज 1

2 p, 1 p, 3

2p, . . . ा सखा अकगबणती शढीत आहत.

थ a = 1

2 p, d =

1

2 p, ावरन S13 काढ.

Sn = n2 [2a+(n-1)d]

S13= 13

2 [2 ´ p

2 +(13-1) ´ p2 ]

= 13

2 [p + 6 p]

= 13

2 ´ 7 p

= 13

2 ´ 7 ´ 22

7

= 143 समी.

\13 अरधवतधळानी तार झालला वकराची एकण लािी 143 समी. असल.

A B

हा रषला B बिदत छदत. आता B कदरबिद घऊन 1 समी बरिजच

P2 ह अरधवतधळ रषचा दसऱा िाजला काढल.

आता पनहा A कदर घऊन 1.5 समी बरिजच अरधवतधळ P3 काढल.

अशा परकार A आबण B कदर घऊन अनकरम 0.5 समी, 1 समी,

1.5 समी, 2 समी, अशा बरिजाची अरधवतधळ काढलामळ एक

वलाकार आकती तार होत, तर अशा परकार 13 अरधवतधळानी

तार झालला वकराची एकण लािी बकती असल?

(p = 22

7 घा. )

P1

P2

P3

Page 87: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

77

उदा. (5) एका गावात 2010 सािरी 4000 िोक साकषर होत. हरी सखया दरवषगी 400 न वाढत. तर 2020 सािरी

शकतरी िोक साकषर असतरीि?

उकल : वषमा 2010 2011 2012 ... 2020

साकषर िोक 4000 4400 4800 ...

a = 4000, d = 400 n = 11

tn= a+(n-1)d

= 4000 + (11-1)400

= 4000 + 4000

= 8000

2020 सािरी 8000 िोक साकषर असतरीि.

उदा. (6) शरीमतरी शख याना 2015 सािरी वाशषमाक पगार 1,80,000 र. शमळि अशरी नोकररी शमळािरी.

ऑशफसन तयाना दरवषगी 10,000 रपय वाढ दायच कबि कि. तर शकतवया वषगी तयाचा वाशषमाक पगार

2,50,000 रपय होईि?

उकल :

वषमा पशहि वषमा(2015)

ददसर वषमा(2016)

शतसर वषमा(2017)

...

पगार रपय [1,80,000] [1,80,000 + 10,000] ... a = 1,80,000, d = 10,000 n = ? tn= 2,50,000 रपय.

tn= a+(n-1)d 2,50,000 = 1,80,000 + (n-1) ´ 10,000

(n-1) ´ 10000 = 70,000

n-1 = 7

n = 8

\ 8 वया वषगी तयाचा वाशषमाक पगार 2,50,000 रपय होईि.

Page 88: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

78

1. साशनकान 1 जान. 2016 िा ठरवि की तया शदवशरी ` 10, ददसऱया शदवशरी ` 11 शतसऱया शदवशरी ` 12 अशा परकार बचत करत रहायच. तर 31 शडसबर 2016 पयात शतचरी एक बचत शकतरी झािरी?

2. एका गहसथान 8000 रपय कजामाऊ घति आश तयावर 1360 रपय वयाज दणयाच कबि कि. परतयक हपा आधरीचया हपतयापकषा 40 रपय कमरी दऊन सवमा रककम 12 माशसक हपतयात भरिरी, तर तयान शदििा पशहिा व शवटचा हपा शकतरी होता?

3. सशचनन राषटररीय बचत परमापतामधय पशहलया वषगी 5000 रपय , ददसऱया वषगी 7000 रपय, शतसऱया वषगी 9000 रपय यापरमा रककम गतविरी, तर तयाचरी 12 वषाातरीि एक गतवक शकतरी?

4. एका नाटगहात खचयााचया एक 27 रागा आहत. पशहलया रागत 20 खचयामा आहत, ददसऱया रागत 22 खचयामा शतसऱया रागत 24 खचयामा यापरमा सवमा खचयााचरी माडरी आह. तर 15 वया रागत एक शकतरी खचयामा असतरीि आश नाटगहात एक शकतरी खचयामा असतरीि?

5. कारशगि यथ एका आठवडातरीि सोमवार त शशनवार या शदवसाचया तापमानाचरी नोद किरी. तया नोदरी अकगशतरी शढरीत आहत अस आढळि. सोमवार व शशनवारचया तापमानाचरी बररीज मगळवार व शशनवारचया तापमानाचया बरजपकषा 5° सबलसयसन जासत आह. जर बधवारच तापमान -30° सबलसयस असि तर परतयक शदवसाच तापमान काढा.

6. जागशतक पयामावर शदनाशनशमतत शतकोाकतरी भखडावर वकषारोपाचा कायमाकरम आयोशजत करणयात आिा. पशहलया ओळरीत एक झाड ददसऱया ओळरीत दोन झाड, शतसऱया ओळरीत तरीन यापरमा 25 ओळीत झाड िाविरी, तर एक शकतरी झाड िाविरी?

सकीिमि परशनसगरह 3

सरािसच 3.4

1. खािरी शदिलया उपपरशनाचरी पयामायरी उततर शदिरी आहत. तयापकी अचक पयामाय शनवडा.

(1) -10, -6, -2, 2, . . . हरी करशमका ....

(A) अकगशतरी शढरी आह, कार d = -16 (B) अकगशतरी शढरी आह कार d = 4

(C) अकगशतरी शढरी आह, कार d = -4 (D) अकगशतरी शढरी नाहरी.

(2) जयाच पशहि पद -2 आह आश सामानय फरक हरी -2 आह अशा अकगशतरी शढरीतरीि पशहिरी चार पद ..... आहत.

(A) -2, 0, 2, 4 (B) -2, 4, -8, 16

(C) -2, -4, -6, -8 (D) -2, -4, -8, -16

(3) पशहलया 30 नसशगमाक सखयाचरी बररीज खािरीिपकी कोतरी?

(A) 464 (B) 465 (C) 462 (D) 461

Page 89: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

79

(4) शदिलया अकगशतरी शढरीच t7 = 4, d = -4 तर a = . . .

(A) 6 (B) 7 (C) 20 (D) 28

(5) एका अकगशतरी शढरीसाठरी a = 3.5, d = 0, तर tn = . . .

(A) 0 (B) 3.5 (C) 103.5 (D) 104.5

(6) एका अकगशतरी शढरीचरी पशहिरी दोन पद -3, 4 आहत. तर 21 व पद . . . आह.

(A) -143 (B) 143 (C) 137 (D) 17

(7) जर एका अकगशतरी शढरीसाठरी d = 5 तर t18 - t13 = . . .

(A) 5 (B) 20 (C) 25 (D) 30

(8) 3 चया पशहलया पाच पटीचरी बररीज . . . आह.

(A) 45 (B) 55 (C) 15 (D) 75

(9) 15, 10, 5, . . . या अकगशतरी शढरीचया पशहलया 10 पदाचरी बररीज . . . आाह.

(A) -75 (B) -125 (C) 75 (D) 125

(10) एका अकगशतरी शढरीच पशहि पद 1 असन n व पद 20 आह. जर Sn = 399 आह, तर n = . . .

(A) 42 (B) 38 (C) 21 (D) 19

2. -11, -8, -5, . . . , 49 या अकगशतरी शढरीच शवटन चौथ पद काढा.

3. एका अकगशतरी शढरीच 10 व पद 46 आह. 5 वया व 7 वया पदाचरी बररीज 52 आह. तर तरी शढरी काढा.

4. जया अकगशतरी शढरीच 4 थ पद -15, 9 व पद -30 Amho, तया शढरीतरीि पशहलया 10 पदाचरी बररीज काढा.

5. दोन अकगशतरी शढरी 9, 7, 5, . . . आश 24, 21, 18, . . . . अशा शदलया आहत. जर या दोन अकगशतरी

शढरीच n व पद समान असि तर n चरी शकमत काढा आश त n व पद काढा.

6. जर एका अकगशतरी शढरीचया शतसऱया व आठवया पदाचरी बररीज 7 असि आश सातवया व 14 वया पदाचरी

बररीज -3 असि तर 10 व पद काढा.

7. एका अकगशतरी शढरीच पशहि पद -5 आश शवटच पद 45 आह. जर तया सवमा पदाचरी बररीज 120 असि तर तरी

शकतरी पद असतरीि आश तयाचा सामाईक फरक शकतरी असि?

8. 1 त n नसशगमाक सखयाचरी बररीज 36 आह. तर n चरी शकमत काढा.

Page 90: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

80

9. 207 या सखययचय तीन भाग असय करा की तया सखया अकगणिती शयढीत असतील व लहान दोन भागाचा गिाकार

4623 असयल.

10. एका अकगणिती शयढीत 37 पदय आहयत. सवाात मधयावर असलयलया तीन पदाची बयरीज 225 आहय आणि शयवटचया

तीन पदाची बयरीज 429 आहय तर अकगणिती शयढी णलहा.

11. जया अकगणिती शयढीचय पणहलय पद a आहय. दसरय पद b आहय आणि शयवटचय पद c आहय. तर तया शयढीतील सवव

पदाची बयरीज (a + c)(b + c - 2a)2(b - a)

एवढी आहय हय दाखवा.

12. जर अकगणिती शयढीतील पणहलया p पदाची बयरीज ही पणहलया q पदाचया बयरजयबरोबर असयल तर तयाचया पणहलया

(p + q) पदाची बयरीज शनय असतय हय दाखवा. (p ¹ q)

13. अकगणिती शयढीचया m वया पदाची m पट ही n वया पदाचया n पटीबरोबर असयल तर तयाचय (m + n) वय पद

शनय असतय हय दाखवा. (m ¹ n)

14. 1000 रपयाची रककम 10% सरळवयाज दरानय गतवली, तर परतययक वरावचया शयवटी णमळिाऱया वयाजाची रककम

अकगणितीय शयढी होईल का हय तपासा. ती अकगणितीय शयढी होत असयल तर 20 वराानतर णमळिाऱया वयाजाची

रककम काढा. तयासाठी खालील कती पिव करा.

सरळवयाज = P R N´ ´100

1 वरावनतर णमळिारय सरळवयाज = 1000 10 1

100

´ ´ =

2 वराानतर णमळिारय सरळवयाज = 1000 10 2

100

´ ´ =

3 वराानतर णमळिारय सरळवयाज =

100 = 300

अशा परकारय 4, 5, 6 वराानतर णमळिारय वयाज अनकरमय 400, , असयल.

या सखययवरन d = , आणि a =

20 वराानतर णमळिारय सरळवयाज,

tn= a+(n-1)d t20= +(20-1)

t20=

20 वराानतर णमळिारय एकि वयाज =

rrr

Page 91: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

81

चला, चचामि कया.

शशशकषका : शवदाथगी शमतानो, आपलया दशात वयापारासाठरी कोतरी करपरािरी चाि आह?अायष ः आपलया दशात ‘जरीएसटरी’ महज वसत व सवा कर हरी करपरािरी चाि आह. शशशकषका ः छान! तयाबददि तमहािा काय काय माहरीत आह?अयान : GST महज Goods and Service Tax. आयशा : सपमा दशात एकच करपरािरी अमिात आिरी आह. शशशकषका : बरोबर. पवगी शवशवध राजयात वगवगळ कर वगवगळा वळरी दाव िागत होत. पवगीचया करापकी कोत

कर वसत व सवा करामधय अतभमात करणयात आि आहत, त खािरीि शचत पाहन सागा.शफीक : उतपादन शलक, सरीमा शलक, वहरट, करमक कर, कदररीय शवकरी कर, सवा कर, जकात इतयादरी. शशशकषका : ह सवमा कर रदद करन आता फक वसत व सवा हा एकच कर वसत व सवाचया खरदरी-शवकरीवर आकारिा

जातो. महन महतात ‘एक दश, एक कर, एक बाजार’. हरी करपरािरी 1 जि 2017 पासन अमिात आिरी.

· जरीएसटरी ओळख · कर बरीजक (टरकस इनवहॉइस) · जरीएसटरी गन व इनपट टरकस करडरीट · शअसमा, मयचयअि फड व SIP

उतपादन शलक(एकसाइज डटरी)

करमक कर

मलयवशधमात कर (वहरट)

सवा कर

सरीमा शलक (कसटम डटरी)

कदररीय अशधभार व उपकर

वसत व सवा कर(जरीएसटरी)

ऐषाराम कर

जकातशवशष सरीमा शलक

SAD

अशधकच सरीमा शलकCVD

कदररीय शवकरी कर (CST)

चला, णशकया.

4 अथमिणनयोजन

Page 92: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

82

करबरीजक (Tax Invoice)

वद : आमहािा या शबिात काहरी नव शबद शदसतात. तयाच अथमा सागा. शशशकषका : CGST आश SGST ह GST च दोन भाग आहत. CGST महज (Central Goods and

Services Tax) महज कदरीय िसत ि सिा कर, हा कदर सरकारकड जमा होतो. SGST महज (State Goods & Services Tax) राजय िसत ि सिा कर. हा राजय सरकारकड जमा होतो.

ररया : वरचया उजवया कोपऱयात अक व अकषराचरी खप मोठरी राग शदसत त काय आह? शशशकषका : हा जरीएस शटन महज वयापाऱयाचा ओळख करमाक आह. (GSTIN - GST Identification

Number). जया वयापाऱयाचरी मागरीि आशथमाक वषामातरीि उिाढाि 20 िाख रपयापकषा जासत असत, तयाना हा करमाक घ बधनकारक असत. PAN मधय जशरी 10 अकाकषर असतात, तशरी परतयक वयापाऱयािा शदिलया GSTIN मधय 15 अकाकषर असतात. या 15 अकामधयच तया वयापाऱयाचा 10 अकाकषराचा PAN समाशवष असतो.

उदाहराथमा, 27 A B C D E 1 2 3 4 H 1 Z 5 (शवटरी अक शकवा अकषर यापकी एक असत.) 10 अकाकषररी PAN

एका नोदरीसाठरी 1 अकसवाासाठरी समान(बाय डरीफॉलट)

चक सम शडशजटराजयाचा 2 अकी

सकताक (चक सम शडशजट महज GST चया वबसाइटवर GSTIN टाकिा, की हा नबर वध आह की नाहरी, ह समजत.)

जािन घऊया.

िसत खरदीचा टकस इनवहलॉईस (निना)

SUPPLIER : A to Z SWEET MART GSTIN :27ABCDE1234H1Z5 143, Shivaji Rasta, Mumbai : 400001 Maharashtra Mob. No. 92636 92111 email : [email protected] Invoice No. GST/110 Invoice Date: 31-Jul-2017

S.No.

HSN code

Name of

Product

Rate Quantity TaxableAmount

CGST

Rate Tax

SGST

Rate Tax

Total

Rs.1 210690 पढ र.400

पर. शक.500 गरम 200.00 2.5% 5.00 2.5% 5.00 210.00

2 210691 चॉकिट र. 80 1 बार 80.00 14% 11.20 14% 11.20 102.403 2105 आइसकरीम र.200 1 परक

(500 गरम)200.00 9% 18.00 9% 18.00 236.00

4 1905 बड र. 35 1 परक 35.00 0% 0.00 0% 0.00 35.005 210690 िोरी र.500

पर. शक.250 गरम 125.00 6% 7.50 6% 7.50 140.00

एकि रपय 41.70 41.70 723.40

‘27’ हा महाराषटराचा राजय सकताक (State Code) आह. 27 या सकताकावरन या वयापाऱयाचरी नोदरी महाराषटरात झािरी आह, ह समजत.

Page 93: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

83

जनरी : बरीजकात HSN कोड हा शबद दखरीि आह. शशशकषका: HSN कोड महज तया वसतचा वगगीकरातरीि शवशशष करमाक असतो. कर बरीजकामधय तयाचा

अतभामाव करायिा हवा असतो. HSN महज Harmonized System of Nomenclature. जोसफ : कर बरीजकात ददकानाच नाव, पतता, ताररीख, बरीजक करमाक, मोबाइि नबर व इ-मि आयडरीसदधा

आह. शशशकषका : आता या बरीजकात वसत व सवाकराचरी आकाररी कशरी किरी आह त पाह. तयासाठरी पढरीि

वाकयातरीि ररकामया चौकटरी भरा. बरीजकात पढाचा भाव 400 र. परशतशकिो आह. अधामा शकिोगरम पढ घति आहत. महन तयाचरी शकमत 200 र. आह.

Ê पढावर कदराचा कर 2.5% दरान रपय, तसच राजयाचया कर दरान 5 रपय.

Ê यावरन, पढावररीि वसत-सवा कराचा दर 2.5%+2.5% = 5% व एक कर 10 रपय.

Ê यापरमा चॉकिटवर वसत-सवा कराचा एक दर % महन तयावररीि एक कर रपय.

Ê आइसकरीमवर वसत सवा कराचा एक दर % आह. महन आइसकरीमचरी शकमत रपय.

Ê िोणयावर कदराचा दर % व राजयाचा दर % शमळन वसत-सवा कराचा दर %

आह.

आशदतय : बडवर कराचा दर 0% आह. तसच परतयक वसतवर कदर व राजयाचा कर दर समान आह.

शननाद : वसतपरमा कराच दर वगवगळ आहत, जस 0%, 5%, 12%, 18% व 28%.

शशशकषका : परतयक वसतवररीि कराचा दर शासन शनबशचत करत. आता एका सवा बरीजकाचाहरी नमना पाह.

शदिलया माशहतरीवरन ररकामया जागा भरन सवाबरीजक पमा करा.

सवा परवलयाचा टरकस इनवहॉइस (नमना)

आहार सोनरी, खड णशिापर, पि Invoice No. 58Mob. No. 7588580000 email - [email protected]

GSTIN : 27 AAAAA5555B1ZA Invoice Date : 25-Dec-2017S A Code

(SAC)Food items Qty Rate

(in Rs.)Taxable amount

CGST SGST

9963 Coffee 1 20 20.00 2.5% 0.50 र. 2.5% . . . 9963 Masala Tea 1 10 10.00 . . . . . . . 2.5% . . . 9963 Masala Dosa 2 60 . . . . 2.5% . . . . . . . . .

Total . . . . . . . . . Grand Total = -------- रपय

शशशकषका : वसत व सवा या दोनहरी शबिाच नरीट शनररीकष करन दोनहरी शबिाचया कोडमधरीि फरक शोधा बर.

Page 94: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

84

परटटररीक : वसतशबिावर HSN कोड शदिा आह, तर उपाहारगहाचया शबिावर SAC कोड शदसतो आह. शशशकषका : SAC महज सवाचया वगगीकरातरीि शवशशष करमाक असतो. तयास SAC - Service

Accounting Code महतात. खािरीि साररीत काहरी वसत, सवा आश तयावररीि कराच दर नमनयादाखि शदि आहत.

अ.कर. परकार कराचा दर वसत व सवा परकार I शनयाधाररत

(Nil rated)

0% िसत - अनधानयासह जरीवनावशयक वसत, भाजरीपािा, फळ, दध, मरीठ मातरीचरी भाडरी इतयादरी. सिा - धमामादाय ससथाच उपकरम, पाणयाचरी वाहतक, रसत व पिाचा वापर, शशकष व आरोगय सवा, सावमाजशनक वाचनािय, शतरीसबधरी सवा इतयादरी.

II शनमन दर 5% िसत - सामानय वापरातरीि वसत - जस- LPG शसशिडर, चहा, ति, मध, फोजन भाजया, िवग, शमररी, मसाि, शमठाई इतयादरी. सिा - रलव वाहतक, बस वाहतक, टरकसरी सवा, शवमान वाहतक (इकॉनॉमरी कास), हॉटलसमधय खादपदाथमा व पय परव, इतयादरी.

III परमा दर (सतर I)

12% िसत - गाहकोपयोगरी वसत - िोरी, तप, सकामवा, भाजया व फळापासन तयार किि िोचरी, मराबा, जरम, जिरी, चटणया, मोबाइि इतयादरी. सिा - छपाईसाठरी काम, गसट हाउस, बाधकाम वयवसायाशरी शनगशडत सवा इतयादरी.

IV परमा दर (सतर II)

18%(मोठया परमाात वसत व सवाचा

समावश)

िसत - माबमाि, गरनाईट, परफयमस, धातचया वसत, सगक, शपरटर, मॉनरीटर, CCTV इतयादरी. सिा - कररअर सबवहमासस, आऊटडोअर कटररग, सककस, नाटक, परदशमान, शसनमा, चिन शवशनमय सवा, शअर खरदरी-शवकरीवररीि दिािरीचरी सवा इतयादरी.

V उचचतम दर 28% िसत - ऐषारामाचया वसत, मोटर सायकि पाटमा स, िकझररी कार, पान मसािा, वहरकयम करीनर, शडश वॉशर AC यशनट, वॉशशग मशरीन, तबाख उतपादन, शरीतपय इतयादरी. सिा - पचताराशकत हॉटि शनवास वयवसथा, ॲमयझमट पाकक, वॉटर पाकक, थरीम पाकक, कसरीनो, रसकोसमा, IPL सारख खळ, शवमान वाहतक (शबझनस कास) इतयादरी.

सदभमा : www.cbec.gov.in (Central Board of Excise & Customs) चरी वबसाइट. या वयशतररक 0% त 5% चया दरमयान कोतया वसतवर जरीएसटरी आह त शोधा.

टीप : - ह परकर शिशहणयाचया वळरी शासनान ठरविि जरीएसटरीच परकार व दर घति आहत. तयात बदि होऊ शकता. वरीज, पटटरोि, डरीझि इतयादरी जरीएसटरीचया ककषत नाहरीत.

Page 95: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

85

कती I : तमहािा िागाऱया शकमान दहा वसतचरी यादरी तयार करा व तयावर जरीएसटरीचा दर शकतरी आह त शदििरी यादरी, वततपत, इटरनट, जरीएसटरीवररीि पसतक शकवा वसत खरदरीचया शबिावरन शोधन शिहा. शमताबरोबर हरी माशहतरी पडताळन पाहा.

वसत जरीएसटरीचा दर वसत जरीएसटरीचा दर1.सकचबक2.कपासपटरी3.- - - -- 4.- - - - -5.- - - - -

6. - - - -- 7.- - - - -8. - - - - -9. - - - - -10. - - - - -

कती II : कतरी I परमा शकमान दहा शवशवध सवा(जस - रलव व एस.टरी.बस बकीग सवा इतयादरी) शमळवणयासाठरी जरीएसटरीच दर शोधा शकवा सवा परवलयाचरी शबि शमळवा. तयावरन खािरीिपरमा तका प मा करा.

सवा जरीएसटरीचा दर सवा जरीएसटरीचा दर1.रलव बकीग2.कररअर सबवहमास3.- - - -- 4.- - - - -5.- - - - -

6. - - - -- 7.- - - - -8. - - - - -9. - - - - -10. - - - - -

कती III : खािरीि तका पाहा व आखरी वसत व सवा कोड शोधन शिहा. सवा SAC GST चा दर वसत HSN Code GST चा दर

रलव वाहतक सवा 996511 -- डिकस पट 3208 28%शवमान वाहतक सवा (इकॉनॉमरी) 996411 -- बॉिबरीग 84821011 28%

चिन शवशनमय सवा 997157 -- सपरीडोमरीटर 8714 28%बोकर सवा 997152 -- बटाट 0701 0%

टरकसरी सबवहमास 996423 -- -- -- --5-सटार हॉटि सवा -- -- -- -- --

-- -- -- -- -- --कती IV : कोतयाहरी 5 वसत व 5 सवासाठरी HSN व SAC तका तयार करा. तया तकतयामधय वसत व सवाचरी शचत शचकटवा. तया वसत व सवासाठरी GST च दर शोधन शिहा. टीप : िसत ि सिािरील दर तसच HSN, SAC कोडिरील कती इतयादी िाणहतीसाठी आहत. ह पाठ करणयाची गरज नाही.उपकरि : तमहरी शवशवध परकारचरी शबि शमळवा. जस वसत परवठा शबि, सवा परविरी असलयाचरी शबि इतयादरी. तया शबिाचा जरीएसटरीचया सदभामात वगवगळा दबषकोनातन अभयास करा व वगामात चचामा करा.:

Page 96: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

86

ÒÒÒ सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) आरतरी गरस एजनसरीन ` 545 करपात शकमतरीचा एक LPG शसशिडर गाहकास शवकिा. जरीएसटरीचा दर 5% आह, तर गाहकास शदिलया करबरीजकात कदराचा व राजयाचा कर शकतरी रपय असि? गाहकास एक शकतरी रपय दाव िागतरीि? आरतरी गरस एजनसरीिा एक शकतरी वसत सवा कर भरावा िागि?

उकल : जरीएसटरी कराचा दर = 5% \ सरीजरीएसटरीचा दर 2.5%, व एसजरीएसटरीचा दर = 2.5%.

सरीजरीएसटरी = 2 5

100

. ´ 545 = 13.625 = 13.63 रपय

\ एसजरीएसटरी = सरीजरीएसटरी = 13.63 रपय गाहकास दावरी िागाररी एक रककम = करपात शकमत + कदराचा कर + राजयाचा कर

= 545 + 13.63 + 13.63 = 572.26 रपय

आरतरी गरस एजनसरीिा कदराचा कर = 13.63 रपय व राजयाचा कर = 13.63 रपय भरावा िागि. महज एक वसत सवा-कर 27.26 रपय भरावा िागि.

उदा. (2) कररअर सवा द ाऱया एका एजटन एक पासमाि नाशशकहन नागपरिा पाठवणयासाठरी गाहकाकडन एक 590 रपय घति. तयात 500 रपय करपात शकमतरीवर कदराचा कर 45 रपय व राजयाचा कर 45 रपय आह, तर या वयवहारात आकारििा वसत सवा कराचा दर काढा.

उकल : एक वसत व सवा कर = कदराचा कर + राजयाचा कर = 45 + 45 = 90 रपय.

\ वसत सवा कराचा दर = 90

500 ´ 100 = 18%

कररीअर सवा दाऱया एजनटन वसत सवा कराचा दर 18% आकारिा.

उदा. (3) शरीकर यानरी 50,000 रपय छापरीि शकमतरीचा िरपटॉप शवकत घणयाच ठरवि. ददकानदारान या शकमतरीवर तयाना 10% सट शदिरी. िरपटॉपवर वसत सवा कराचा दर 18% आह, तर ददकानदारान आकारििा कदराचा कर व राजयाचा कर काढा. शरीकर याना हा िरपटॉप शकतरी रपयाना शमळािा?

उकल : यथ परथम सट काढ. तरी शदिलया शकमतरीतन वजा कर व उरिलया रकमवर 18% दरान वसत व सवा कराचरी आकाररी कर. सट = 50,000 रपयावर 10% = 5,000 रपय

\ िरपटॉपचरी करपात शकमत = 50,000 - 5,000 = 45,000 रपय.

\ 18% जरीएसटरी दरान कदराचा कर = 9%

45,000 रपयावर 9% कदराचा कर = 9

100 ´ 45000 = 4050 रपय.

\ राजयाचा कर = 4050 रपय.

\ िरपटॉपचरी एक शकमत = 45000 + 4050 + 4050 = 53,100 रपय. उततर ः शरीकरिा िरपटॉप 53,100 रपयास शमळािा.

Page 97: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

87

टीप : करपात शकमत महज जया शकमतरीवर कर आकारिा जातो तरी शकमत. बरीजक मलय महज करासह शदििरी एक शकमत. उदाहरात नमद कि नसि तर शवकरीचरी शकमत करपात आह अस समजाव. जवढा कदराचा कर असतो तवढाच राजयाचा कर असतो.

सरािसच 4.1

1. ‘पावन मशडकलस’ औषधाचा परवठा करतात. तयाचया ददकानातरीि काहरी औषधावर GST चा दर 12% आह, तर CGST व SGST चा दर शकतरी असि?

2. एका वसतवररीि CGST चा दर 9% असि तर SGST चा दर शकतरी? तसच GST चा दर शकतरी?

3. ‘मससमा ररयि पट’ न परतयकी ` 2800 करपात शकमतरीच िसटर पटच 2 डब शवकि. GST चा दर 28% असलयास कर बरीजकात CGST व SGST शकतरी रपय आकारिा असि?

4. एका ररसटवॉच बलटचरी करपात शकमत 586 रपय आह. GST चा दर 18% आह. तर, गाहकािा तो बलट शकतरी रपयास शमळि?

5. खळणयातरीि एका ररमोट कनटटरोि कारचरी जरीएसटरी करासह एक शकमत 1770 रपय आह. जरीएसटरीचा दर 18% आह, तर तया कारचरी करपात शकमत, तयावररीि CGST व SGST च गन करा.

6. ‘टरीपटॉप इिकटटरॉशनकस’न एका कपनरीिा दरीड टनाचा व करासह 51,200 रपय शकमतरीचा एअरकशडशनर परविा. एअरकशडशनर वररीि CGST चा दर 14% आकारिा. तर कर बरीजकात खािरीि बाबरी शकतरी दशमावलया असतरीि त काढा.

(1) SGST चा दर (2) एसरीवररीि GST चा दर (3) एसरीचरी करपात शकमत

(4) GST चरी एक रककम (5) CGST चरी रककम (6) SGST चरी रककम

7. परसादन ‘महाराषटर इिकटटरॉशनकस गड स’मधन 40,000 रपय छापरीि शकमतरीच वॉशशग मशरीन शवकत घति. तयावर ददकानदारान 5% सट शदिरी. जरीएसटरीचा दर 28% आह. तर परसादिा त वॉशशग मशरीन शकतरी रपयास शमळाि? कर बरीजकात सरीजरीएसटरी व एसजरीएसटरी शकतरी रपय असि त काढा.

जािन घऊया.

वयवसाय साखळरीतरीि जरी. एस. टरी. (G.S.T. in trading chain)

उतपादक घाऊक वयापाररीशकवा शवतरक

शकरकोळ वयापाररी गाहक

वयवसाय साखळरी (Trading Chain)

Page 98: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

88

वयवसाय साखळरीत जरीएसटरी कशापरकार आकारतात व शासनाकड जमा करतात त एका उदाहरान पाहया.

उदाहरि. : समजा, एका उतपादकान घाऊक वयापाऱयास एक घडाळ नफयासह 200 रपयाना शवकि. घाऊक वयापाऱयान शकरकोळ वयापाऱयास 300 रपयाना व शकरकोळ वयापाऱयान गाहकास त घडाळ 400 रपयाना शवकि. GST चा दर 12% आह. तर उतपादक, घाऊक व शकरकोळ वयापाररी खािरीिपरमा कराचरी वजावट घऊन उरििा टरकस कसा भरतात त खािरीि ओघतकतयावरन अभयासा.

सपषीकरि : उतपादकाकडन घडाळ गाहकाकड पोहोचपयात तरीन वयवहार होतात. परतयक वयवहारात झाििरी

कर आकाररी, जमा झाििा कर राजयशासनािा आश कदरशासनािा कसा पाहोचतो, ह खािरीि ओघतकतयात दाखवि आह. तयाचरी सपमा साररी पढ दाखविरी आह.

वररीि वयवहारात तरीन वगवगळ आशथमाक वयवहार एकाच राजयात झाि आहत. तयाचया परतयकाचया कर

बरीजकातरीि GST चरी आकाररी समजणयासाठरी थोडकयात खािरी शदिरी आह.

उतपादक घाऊक वयापाररी

शकरकोळ वयापाररी

गाहकÙ

24

24 36 48

36-24=12 48-36=12

200 च 12% 300 च 12% 400 च 12%

GST GST GST200 र. 300 र. 400 र.

घडाळ घडाळ घडाळI II III

कर बरीजक I मधरीि GST आकाररी

घडाळाचरी शकमत = ` 200CGST 6% = ` 12SGST 6% = ` 12एक शकमत = 224

उतपादकाच कर बरीजक

कर बरीजक II मधरीि GST आकाररी

घडाळाचरी शकमत = ` 300CGST 6% = ` 18SGST 6% = ` 18 एक शकमत = ` 336

घाऊक वयापाऱयाच कर बरीजक(B2B)

कर बरीजक III मधरीि GST आकाररी

घडाळाचरी शकमत = ` 400CGST 6% = ` 24SGST 6% = ` 24 एक शकमत = ` 448

शकरकोळ वयापाऱयाच कर बरीजक(B2C)(B2B)

CGST24

SGST24

एक GST = 48

Page 99: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

89

ह लकषात ठिया.

दोन GSTIN धारक वयापाऱयामधरीि झािलया वयवहारास Business to Business थोडकयात B2B महतात.

वसतच उतपादन झालयापासन तरी गाहकापयात पोहोचत, तया साखळरीतरीि अशतम कडरीतरीि वयवहारास

Business to Consumer थोडकयात B2C महतात.

या वयवसाय साखळरीतरीि परतयक वयापाऱयान भरिलया GST च शववर खािरीिपरमा आह. CGST SGST एक GST

y उतपादकान ` 12 + ` 12 = ` 24 भरिा.

y घाऊक वयापाऱयान ` 6 + ` 6 = ` 12 भरिा.

y शकरकोळ वयापाऱयान ` 6 + ` 6 = ` 12 भरिा.

एक भरा ` 24 + ` 24 = ` 48

टीप : ह तमचया िकषात आि का? परतयक वयापाऱयान आपापलया सतरावर गोळा किलया करामधन,

खरदरीचया वळरी शदििा कर वळता करन घऊन (इनपट टरकस करशडट) दय GST चा भरा किा. शवटरी

गाहकास त घडाळ 448 रपयाना शमळाि. तयातरीि 48 रपय हा शनववळ कर वर दाखवलयापरमा

अपरतयकषप गाहकानच भरिा. महन GST हा अपरतयकष कर (Indirect Tax) आह. तयापवगी घाऊक

व शकरकोळ वयापाऱयानरी तयाचया खरदरीवर भरििा कर तयाना परत शमळतो.

खरदीचया िळी णदललया कराची िजािट (ITC - इनपट टकस करणडट णनणिष कराची जिा)

वसतच उतपादन कलयापासन तरी वापराऱया गाहकाकड पोहोचपयात मधलया परतयक वयवहारात GST

आकारिा जातो. वसत शवकताना वयापाऱयान गोळा कििा कर महज आऊटपट टरकस. तयाच वयापाऱयान

वसतखरदरीचया वळरी शदििा कर महजच इनपट टरकस. हा वयापाररी तयान गोळा किलया करातन शदिलया

कराचरी वजावट घतो तयािा इनपट टरकस करशडट महतात.

\ दय GST = आऊटपट टरकस - इनपट टरकस करशडट (ITC)

थोडकयात शासनाकड कराचा भरा करताना साखळरीतरीि परतयक वयापाररी तयान खरदरीचया वळरी शदििा

कर, शवकरीचया वळरी गोळा किलया करामधन वजा करन उरििा कर भरतो.

Page 100: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

90

ÒÒÒ सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) शरी रोशहत ह शकरकोळ वयापाररी आहत. तयानरी वसतचया खरदरीचया वळरी 6500 रपय जरीएसटरी शदिा व शवकरी करन 8000 रपय जरीएसटरी गोळा किा, तर (i) इनपट टरकस व आऊटपट टरकस शकतरी? (ii) शरी. रोशहत याना इनपट टरकस करशडट शकतरी रपय शमळि? (iii) तयानरी दय असििा जरीएसटरी काढा.

(iv) कदराचा व राजयाचा दय कर काढा.

उकल : शरी. रोशहत याचा दय कर महज शासनाकड भरायचा कर.

(i) शवकरीचया वळरी घतििा (आऊटपट टरकस) = 8000 रपय

(ii) खरदरीचया वळरी शदििा (इनपट टरकस) = 6500 रपय

महजच इनपट टरकस करशडट (ITC) = 6500 रपय

(iii) दय कर = शवकरीचया वळरी घतििा कर (आऊटपट टरकस) - इनपट टरकस करशडट (ITC)

= 8000 - 6500 = 1500 रपय

(iv) \ कदराचा दय कर = 15002

= 750 रपय आश राजयाचा दय कर = 750 रपय.

उदा. (2) मससमा जय कशमकलसन 8000 रपयाचा करपात शकमतरीचा शिबविड सोप खरदरी किा व गाहकािा तो 10000 रपय या करपात शकमतरीिा शवकिा. GST चा दर 18% आह, तर मससमा जय कशमकलसचा कदराचा दय कर व राजयाचा दय कर काढा.

उकल : खरदरीचया वळरी शदििा कर (इनपट टरकस) = 8000 रपयाचया खरदरीवर 18% दरान भरििा कर

= 18100

´ 8000

= 1440 रपय

\ ITC = 1440 रपय

आऊटपट टरकस = शवकरीचया वळरी गाहकाकडन गोळा कििा कर

= 18100

´ 10000

= 1800 रपय

दय कर = आऊटपट टरकस - ITC

= 1800 - 1440 = 360 रपय

म. जय कशमकलसचा कदराचा दय कर = 180 रपय आश राजयाचा दय कर = 180 रपय

उदा. (3) म. जय कशमकलसन 8000 रपयाचा (करासह शकमत) शिबविड सोप खरदरी किा व गाहकािा 10,000 रपयाना (करासह शकमत) शवकिा. तर जय कशमकलसचा दय कदराचा दय कर व राजयाचा दय कर काढा. यथ कराचा दर 18% आह.

उकल : यथ वसतचया शकमतरी करासशहत शदिलया आहत त धयानात घया.

Page 101: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

91

वसतचरी करासह शकमत = करपात शकमत + कर

शिबविड सोपचरी करपात शकमत 100 रपय असि तर, करासह शकमत 118 रपय होत.

करासह शकमत

करपात शकमत ह गोततर बसथर आह.

118 रपय एक शकमतरीसाठरी जर 100 रपय करपात शकमत तर 8000 रपय एक शकमतरीसाठरी, x रपय करपात शकमत मान.

\ x

8000 = 100118

\ x = 8000

118 ´ 100 = 6779.66 रपय

\ खरदरीचया वळरी भरििा GST = 8000 - 6779.66

\ इनपट टरकस = 1220.34 रपय. \ ITC = 1220.34 रपय.

तयाचपरमा 10,000 र. एक शकमतरीसाठरी, y रपय करपात शकमत मान.

\ y10000

= 100118

\ y = 10 00 000

118

, , = 8474.58 रपय

\ शवकरीचया वळरी गोळा कििा कर (आऊटपट टरकस) = 10000.00 - 8474.58 = 1525.42 रपय

\ दय कर = गोळा कििा कर - वजावटरीचरी रककम = 1525.42 - 1220.34 = 305.08 रपय \ कदराचा दय कर = राजयाचा दय कर = 305.08 ¸ 2 = 152.54 रपय उततर : जय कशमकलसचा कदराचा दय कर व राजयाचा दय कर परतयकी 152.54 रपय आह.

टीप : उदा. 2 व 3 काळजरीपवमाक अभयासा. वयवहारात तमहािा या दोनहरी परकारचरी कर बरीजक पाहायिा शमळतात, महन ददकानदारान वसतचरी छापरीि शकमत करासह शदिरी आह का छापरीि शकमतरीवर कर आकारार आह, ह समजन घया व तयानतर खरदरी करा.

ICT Tools or Links

ठरावरीक तारखपयात कराचा भरा करन तयानतर शदिलया तारखचया आत करशववर पत (GST Returns) दाखि कर आवशयक असत. या सवमा गोषरी आता ‘ऑनिाइन’ करता यतात. www.gst.gov.in या वबसाइटवर सवमा शववरपतक तमहािा पाहता यतरीि. (जरीएसटरी शववरपत तयार करणयासाठरी ऑफिाइन यटरीशिटरीसदधा वापरता यत.)

Page 102: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

92

उदा. (4) एका सायकि उतपादकान, घाऊक वयापाऱयािा 4000 रपय करपात शकमतरीन सायकि शवकिरी. घाऊक

वयापाऱयान तरी सायकि 4800 रपय करपात शकमतरीन ददकानदारािा शवकिरी व ददकानदारान तरी सायकि

5200 रपय करपात शकमतरीन गाहकास शवकिरी. GST चा दर 12% होता, तर शवकरीचया परतयक

टपपयावर दय असारा CGST व SGST काढणयासाठरी खािरीि कतरी पमा करा.

उकल : वयवसाय साखळरी

उतपादकान शवकरीचया वळरी गोळा कििा कर = 4000 च 12%= . . . ´ . . .. . . =

उतपादकाचा दय कर = 480 रपय.

घाऊक वयापाऱयान शवकरीचया वळरी गोळा कििा कर = 4800 च 12% = 576 रपय

\ घाऊक वयापाऱयाचा दय कर = घाऊक वयापाऱयान गोळा कििा कर - तयान घतििरी वजावट

= 576 - 480

= 96 रपय

ददकानदारान शवकरीचया वळरी गोळा कििा कर = 5200 च 12% =

\ ददकानदाराचा दय GST = ददकानदारान गोळा कििा कर - ददकानदारान घतििरी वजावट

= -

=

वयवसाय साखळरीत GST चा भरा कलयाच शववर :

वयकरी दय GST दय CGST दय SGST

उतपादक ` 480 ` 240 `

घाऊक वयापाररी ` 96 ` `

ददकानदार ` ` `

एक ` ` `

` 4800 ` 520012% 12%

` 400012%

Page 103: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

93

y समजा, एका वयापाऱयाचा जि मशहनयातरीि गोळा कििा कर व वजावटरीचरी रककम समान आह, तर दय कर शकतरी यईि?

y समजा, एका वयापाऱयान गोळा कििा जि मशहनयातरीि कर, तयाचया वजावटरीचया रकमपकषा कमरी आह. अशा वळस करगना कशरी होत?

सरािसच 4.2

1. चतना सटोअसमान 01 जि 2017 त 31 जि 2017 या कािावधरीत किलया खरदरीवर 1,00,500 रपय जरीएसटरी शदिा व शवकरीवर 1,22,500 रपय जरीएसटरी गोळा किा. तर सदर कािावधरीत चतना सटोअसमािा भरावा िागारा दय जरीएसटरी काढा.

2. नझमा या जरीएसटरी कायदा अतगमात नोदरीकत ददकानाचया मािकी आहत. तयानरी खरदरीवर एक जरीएसटरी12,500 रपय शदिा होता व शवकरीवर एक जरीएसटरी 14,750 रपय गोळा किा आह, तर तयाना शकतरी रपय इनपट टरकस करशडट शमळि व तयाचा दय जरीएसटरी काढा.

3. अमरीर एनटरपराइझन चॉकिट सॉसचया बाटलया खरदरी करताना 3800 रपय जरीएसटरी भरिा आश तया अकबररी बदसमािा शवकताना 4100 रपय जरीएसटरी गोळा किा. मयक फड कॉनमारन अकबररी बदसमाकडन तया बाटलया 4500 रपय जरीएसटरी दऊन शवकत घतलया, तर परतयक वयवहारात दय जरीएसटरी काढा. तयावरन परतयकािा भरावा िागारा कदराचा दय कर (CGST) व राजयाचा दय कर (SGST) काढा.

4. चदरीगढ ह सघराजय आह. यथरीि मशिक गरस एजनसरीन काहरी गरस टाकया 24,500 रपयाना खरदरी कलया व तथरीि गाहकाना 26,500 रपयाना शवकलया. या वयवहारात 5% दरान दय असििा एक जरीएसटरी काढा व तयावरन कदराचा दय कर (CGST) व सघराजयाचा दय कर (UTGST) काढा. (सघराजयात SGST ऐवजरी UTGST असतो.)

5. म. बयटरी परॉडकट सन 6000 रपयावर 18% दरान जरीएसटरी दऊन सदयमा परसाधनाचरी खरदरी किरी आश एकाच गाहकास तरी सवमा 10,000 रपयाना शवकिरी. तर या वयवहारासाठरीच म. बयटरी परॉडकट सन तयार किलया करबरीजकात कदराचरी व राजयाचरी (CGST व SGST) दय असाररी वसत व सवा कराचरी रककम शकतरी दाखविरी असि त काढा.

6. खािरी शदिलया माशहतरीवरन ददकानदार त गाहक (B2C) यासाठरीच करबरीजक (Tax Invoice) तयार करा.

नाव, पतता, ताररीख इतयादरी तमचया पसतरीनसार घया.

परवठादार : म. - - -- - पतता - - - - - राजय - - - - - ताररीख

इनवहॉइस करमाक - - - - - GSTIN - - - - - - -

वसतचा तपशरीि : मोबाइि बरटररीचा दर - ` 200 1 नग GST चा दर 12% HSN 8507,

हडफोनचा दर - ` 750 1 नग GST चा दर 18% HSN 8518,

समजा, एका वयापाऱयाचा जि मशहनयातरीि गोळा कििा कर व

णिचार कया.

Page 104: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

94

7. खािरी शदिलया माशहतरीवरन एका वयापाऱयाच ददसऱया वयापाऱयासाठरीच (B2B) टरकस इनवहॉइस तयार करा. नाव, पतता, ताररीख इतयादरी तमचया पसतरीनसार घया. परवठादार - नाव, पतता, राजय, GSTIN, शबि करमाक व ताररीख. परापकतामा - नाव, पतता, राजय, GSTIN. वसतचा तपशरीि ः (1) पबनसि बॉकस 100, HSN 3924, दर 20 र., GST 12%, (2) शजग सॉ पझलस 50, HSN 9503, दर 100 र., GST 12%

अणधक िाणहतीसाठी

आपसिळ योजना (Composition Scheme)जया वयकरीचया वयवसायाचरी उिाढाि मागरीि आशथमाक वषामामधय 1.5 कोटरी रपयापकषा कमरी आह तयाचयासाठरी आपसमळ योजना (Composition Scheme) आह. या योजनअतगमात करदात शासनान शनबशचत किलया दरान करभरा करतात.

आपसिळ योजनतील कराच दर (GST rates for composition Scheme)

अन. कर. परवठादार जरीएसटरीचा दर (CGST + SGST)

1.

2.

उपाहारगह

उतपादक व शवकरत

5%

1%

2.5% + 2.5%

0.5% + 0.5%

आपसिळ योजनतील वयापाऱयासाठी णनयि ः

· आपसमळ योजनतरीि वयापाऱयास गाहकाकडन कोताहरी कर गोळा करता य ार नाहरी महन या योजनतरीि वयापाररी करबरीजक दऊ शकार नाहरी. तयानरी परवठयाच शबि (Bill of supply) दायच आह.· वयापाऱयान दर 3 मशहनयानरी वर शदिलया साररीनसार शासनाकड शवकरीवररीि कराचा भरा करायचा असतो. · या योजनतरीि वयापाररी ददसऱया राजयात शवकरी कर शकार नाहरी; परत तो ददसऱया राजयातन खरदरी कर शकि. · या योजनतरीि वयापाऱयाना खरदरीवररीि (शनशवष) कराचरी वजावट महजच (ITC) िाभ शमळार नाहरी. · या योजनतरीि वयापाऱयाना आपलया ददकानाचया पाटरीवर ‘आपसमळ योजनतरीि वयापाररी’ (Composition taxable person) अस शिहायच आह. · या योजनतरीि वयापाऱयान परवठा शबिावर (Bill of supply) ठळक अकषरात ‘आपसमळ योजनतरीि वयापाररी शवकरीवर कर आकारणयास अपात’ (Composition taxable person not eligible to collect tax on supplies) अस छापायच आह.

Page 105: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

95

GST

UTG

ST

- U

nion

Ter

ritor

yG

STSG

ST

- St

ate G

ST

CGST

- Central GST

2 13

Composition

Scheme

CGST + SGST

IGST - Inter State

1. CGST-SGST (UTGST): एका राजात खरदी-विकरीच विहार करणाऱा वापाऱाासाठी.

2. आपसमळ योजना (composition Scheme) :

जााची उलाढाल 20 लाखाापासन 1.5 कोटी रपाापयत आह अशा वापाऱााना ा ोजनचा लाभ घता तो. तााना SGST ि CGST िगळा दरान दािा लागतो.

3. IGST :

आातरराजी (Inter State) विहार करणाऱा वापाऱाासाठी.

GST ची ठळक वशिषट (Features of GST)

· विविध अपरतकष कर सापषात. · िसत ि सिााबददलच िाद सापषात.· वापाऱाासाठी राजवनहा नोदणी. · GSTIN असणाऱा वापाऱााना विहाराचा विससथित नोदी ठिन िळिर GST चा भरणा करािा लागतो. · विहारात पारदशशकता.· साधी ि समजणास सोपी करपरणाली. · कराािर कर भराि लागत नाहीत. तामळ िसत ि सिााचा वकमती आिाकात.· िसत ि सिााची आातरराषटी बाजारपठशी तलना महणन गणिततत िाढ.· ‘मक इन इाविा’ला गती.· ही करपरणाली तातरजान आधाररत कलामळ तिररत वनणश घणास मदत.· िसत ि सिा कर हा दहरी मॉिल (Dual model) आह. महणज कदर ि राजासाठी एकाच िळी समान कर आकारला जातो.

वसत व सवा कराचया अरग यणार कर

Page 106: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

96

अणधक िाणहतीसाठी

एकाचतिक िसत ि सिा कर - IGST (Integrated GST)जया वळरी शवकरीचा वयवहार दोन राजयामधय होतो (Inter state) तया वळरी जो जरीएसटरी आकारिा जातो तयास एकशतत वसत व सवा कर (IGST) महतात व तो प माप कदर सरकारकड भरिा जातो. एका राजयातरीि वयापाऱयान ददसऱया राजयातरीि वयापाऱयाकडन वसत खरदरी कलया व आपलया राजयात शवकलया, तर तयान IGST महन भरिलया कराचरी वजावट (ITC) कशरी घता यत ह पाह. उदाहरिाथमि ः वयापाररी M (महाराषटरातरीि) यानरी 20,000 रपयाच सकटरच सट भाग वयापाररी P (पजाबमधरीि) याचयाकडन शवकत घति. तया वळरी 28% दरान 5600 रपय एकाबतमक वसत व सवा कर (IGST) वयापाररी P याना शदिा. M न ह सवमा सट भाग यथरीि सथाशनक गाहकास 25,000 रपयास शवकि. तया वळरी 28% दरान 7000 रपय जरीएसटरी गोळा किा.

GST 7000 रपय = CGST 3500 रपय + SGST 3500 रपय गाहकाकडन गोळा कि. आता शासनाकड कराचा भरिा करताना 5600 रपयाची िजािट ITC कशी घतात त पाहा.

टरीप : IGST च करशडट घताना परथम त IGST साठरी, तयानतर CGST साठरी व उरिि करशडट SGST साठरी घतात. यथ M याचया शवकरीचया वयवहारात IGST नाहरी महन आधरी CGST साठरी करशडट घयायच व उरिि SGST साठरी करशडट घयायच.

\ दय CGST = 3500 - 3500 = 0 रपयमहज 5600 रपयापकी 3500 रपय करशडट घऊन झाि. उरिि 5600 - 3500 = 2100 रपयाच करशडट SGST साठरी घता यईि. \ दय SGST = 3500 - 2100 = 1400 रपय

‘M’ याना 1400 रपय SGST भरािा लागल.

िकषात घया, की वयापाररी M याना खरदरीचया वळरी शदिलया 5600 रपयाचरी पमा वजावट (ITC) शमळािरी. (महजच इनपट टरकसच प मा करशडट शमळाि.)

खरदरीचया वळरी शदििा कर (ITC) गोळा कििा कर (Output Liability)

IGST च करशडट घताना (` 5600)

ITC असा घतात

IGST साठरी वापरि.

CGST साठरी वापरि.

SGST साठरी वापरि. (महन ` 1400 SGST भरावा िागि.)

परथम (` 0)नतर (` 3500)

शवटरी उरिि (` 2100)

Page 107: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

97

जरा आठिया.

आप मागरीि वषगी बचत व गतवकीच महतव जान घति आह. तयानसार ज शकय असि त तमहरी अमिात आायिा सरवातहरी किरी असि. कार नहमरी शनरोगरी राहणयासाठरी जशा आरोगयाचया सवयरी अगरी बाावया िागतात, तसच आशथमाक आरोगयासाठरी बचत व गतवकीचरी सवय िावावरी िागत. सधया गतवकीचया परकारात एवढ वशवधय आह की तयाचा अभयास व अनभव दोनहरी अस महतवाच ठरत.

चला, चचामि कया.

शवता एका कपनरीत नोकररी करत. या मशहनयापासन शतचा पगार 5% वाढिा व पढरीि मशहनयात बोनसहरी शमळार महन तरी पगारातरीि हरी वाढरीव रककम योगय शठकारी गतवणयाचा शवचार करत. शतचरी मतरी नहा आशथमाक सलागाराकड नोकररी करत महन तरी गतवकीबाबत आपलया मशतरीिा योगय सला दऊ शकत. नहा सागत, ‘आपलया गतवकीत शवशवधता अस सवाात महतवाच असत. जरीवन शवमा, आरोगय शवमा, सवत:च घर अस, बकत एफ.डरी. व ररकररग खात अस या सवााचा शवचार करावा.’ शवता महत, ‘माझा शवमा आह व बकत एफ.डरी. प किलया आहत शशवाय पगारातन परॉशवहडट फड कपात चािच आह तर अजन कोकोत मागमा आहत?’ नहा सागत, ‘‘सधया शअसमा, मयचयअि फड (MF), शडबचसमा, बॉनड इतयादीमधय गतवक कराऱयाचरी सखया वाढिरी आह. तसच एस.आय.परी करणयाकडहरी िोकाचा कि वाढिा आह. तिा आता परतयक मशहनयात एक ठरावरीक रककम जासत शमळार आह, महन शनयशमत आवतगी गतवक योजनत (SIP - Systematic Investment Plan) त दरमहा ठरावरीक रककम ठव शकतस.’’

अस सवाद आप शठकशठकारी ऐकतो व तयाबददि अचक माशहतरी अस ‘बहजन शहताय, बहजन सखाय’ असत.

या परकरात आप शअसमा, मयचयअि फड, SIP याबददि माशहतरी शमळवार आहोत.

शपगरी बकबचत

गतवकीच मागमा

मयचयअि फड

शडबचसमा

बॉनडस

सथावर मािमततामदत ठव

ररकररग खात

शवशवध परकारच शवम

शअसमा

भशवषय शनवामाह शनधरी

दाशगन

Page 108: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

98

जािन घऊया.

शअसमि (Shares)

वयकरीच सवत:च ददकान अस महज ददकानाचरी मािकी (परोपरायटरशरीप) अस. दोन-चार वयकरी एकत यऊन वयापार कर महज भागरीदाररी (पाटमानरशरीप), यासाठरी भाडवि कमरी िागत, परत एखादरी कपनरी, उदोग शकवा कारखाना सर करायचा असि तर मोठया भाडविाचरी गरज असत. ह भाडवि समाजाकडन उभ कराव िागत.

कारखाना शकवा कपनरी सर करणयासाठरी इचछक असिलया वयकरी एकत यतात व समाजाकडन भाडवि उभ करन कपनरी सथापन करतात. भारतरीय कपनरी कायदा 1956 नसार कपनरीचरी नोदरी होत. कपनरी सथापन कराऱया वयकीना कपनरीच परितमिक (परिोटसमि) महतात व अशरी कपनरी महजच मयामाशदत (पबबिक शिशमटड) कपनरी होय.

कपनरी सर करणयासाठरी जवढा पसा िागार आह तयास भाडिल महतात. या भाडविाच िहान िहान समान भाग करतात. ह भाग साधारप ` 1, ` 2, ` 5, ` 10 शकवा ` 100 इतयादरी शकमतरीच असतात. या परतयक भागािा शअर महतात. ह शअर शवकन कपनरीसाठरी भाडवि उभ कि जात.

शअर (Share) : कपनरीचया भाग भाडविातरीि एक भाग महज एक शअर. शअर सशटमाशफकट (share certificate) वर एका शअरचरी शकमत, शअसमाचरी सखया, अनकरमाक इतयादरी छापिि असत.

भागधारक णकिा शअरधारक -(Share holder) : कपनरीच शअर शवकत घाररी वयकरी तया कपनरीचरी भागधारक महजच शअरधारक होत. भागधारक हा तयाचयाकड असिलया शअसमाचया परमाात तया कपनरीचा मािक असतो.

सटलॉक एकसचज (Stock Exchange) : जथ शअसमाचरी खरदरी-शवकरी होत. तयास शअरबाजार (‘सटॉक एकसचज’ शकवा ‘सटारक माककट’ शकवा इबविटरी माककट, कशपटि माककट शकवा शअर माककट) महतात. समाजाकडन भाडवि उभ करन सर कििरी, महजच पबबिक शिशमटड कपनरी शअरबाजारात सचरीबदध (listed company) अस आवशयक असत. दशमिनी णकित (Face Value - FV) : कपनरीचया शअर सशटमाशफकटवर छापििरी एका शअरचरी शकमत महज शअरचरी दशमानरी शकमत (FV) होय. बाजारभाि (Market Value - MV) : जया शकमतरीन शअरबाजारात शअसमाचरी खरदरी-शवकरी होत तया शकमतरीिा तया शअरचा बाजारभाव (MV) महतात. कपनरी सथापन झालयावर जर शतचरी कामशगररी अपकषपकषा चागिरी झािरी तर तया शअरचरी िागिी बाजारात वाढत जात. शअसमाचरी सखया तर ठरावरीक असत. महज परिठा वाढ शकत नाहरी, महन तया कपनरीचया शअसमाच भाव वाढायिा िागतात. याउिट जर कपनरीचरी कामशगररी खािाविरी तर शअसमाच भाव उतरतात. हा चढ-उतार अनकरम , या शचनहानरी दाखवतात. या चढ-उताराचा परराम महन बाजारपठतरीि शनददशाक वाढतो शकवा कमरी होतो.

Page 109: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

99

शअर बाजारात शअसमाच भाव परतयक कषरी बदित असतात. लाभाश (Dividend) : कपनरीिा आशथमाक वषामात झािलया नफयाच वाटप शअसमाचया सखयनसार

भागधारकाना कि जात. भागधारकाना शमळारा नफयाचा भाग (िाभाचा अश) महजच िाभाश होय.

कपनरीचरी कामशगररी चागिरी होत गिरी की पयामायान कपनरीचरी मािमतताहरी वाढत जात महन शअसमावररीि िाभाशहरी चागिा शमळतो.

शअरधारकािा शमळािलया िाभाशावर आयकर भरावा िागत नाहरी.

ह लकषात ठिया.

शअरचा बाजारभाव शकतरीहरी कमरी-जासत झािा असिा तररी वषामाअखर घोशषत िाभाश हा नहमरी शअसमाचया सखयचया परमाात (दशमानरी शकमतरीवर) शमळतो.

अणधक िाणहतीसाठी :

मबईतरीि िबई शअर बाजार (बलॉमब सटलॉक एकसचज BSE) व राषटरीय शअर बाजार (नशनल सटलॉक एकसचज NSE) ह भारतातरीि दोन मखय शअर बाजार आहत. मबई शअर बाजार हा आशशयातरीि सवाात जना व राषटररीय शअर बाजार हा भारतातरीि सवाात मोठा शअर बाजार आह.

शअर बाजारामधरीि चढ-उतार समजणयासाठरी SENSEX (सनसकस) व NIFTY (शनफटरी) अस दोन मखय शनददशाक (Index) आहत. SENSEX = SENSitive + indEX या दोन शबदानरी तयार झािा आह. BSE न 1-1-1986 मधय SENSEX दायचरी सरवात किरी. सवाात जासत भाग-भाडवि असिलया नामाशकत व परसथाशपत अशा 30 कपनयाचया भावातरीि चढ-उतारानसार SENSEX ठरतो.

‘शनफटरी’ हा शबद तयाचया नावापरमा दोन शबदानरी बनिा आह. NIFTY = NSE + FIFTY.

शनफटरी हा NSE मधरीि सवाात उततम कामशगररी कराऱया 50 कपनयावरन ठरतो.

ICT Tools or Links

SEBI चया वबसाइटिा भट दा, तसच मबई शअर बाजार, राषटररीय शअर बाजार व दरदशमानवररीि चरनलस शकवा नटवररीि शअरबाजाराचरी माशहतरी दार बवहशडओ पाहा व शअरबाजार समजन घया. शअरमधरीि भावाचा चढ-उतार दरदशमानवर सतत दाखविा जातो, तो पाहा. सामानयप वरचरी परी मबई शअर बाजारातरीि व खािचरी परी राषटररीय शअर बाजारातरीि शअसमाच बाजारभाव दाखवतात. शअसमाचरी बक वहरलय (Book Value) महज काय याचरी माशहतरी शमळवा.

Page 110: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

100

दशमिनी णकित ि बाजारभाि तलना (Comparison of FV and MV) :

(1) जर बाजारभाव > दशमानरी शकमत असि, तर तो शअर अशधमलयावर (share is at premium) आह अस महतात.

(2) जर बाजारभाव = दशमानरी शकमत असि, तर तो शअर सममलयावर आह (share is at par) अस महतात.

(3) जर बाजारभाव < दशमानरी शकमत असि, तर तो शअर अवमलयावर आह (share is at discount) अस महतात.

उदाहराथमा (1) समजा, शअरचरी दशमानरी शकमत = 10 रपय व बाजारभाव = 15 रपय असि, तर हा शअर 15 - 10 = 5 रपय अशधमलयावर महजच पररीशमयमवर आह. (2) समजा, शअरचरी दशमानरी शकमत = 10 रपय व बाजारभाव = 10 रपय असि, तर हा शअर 10 - 10 = 0. महज तो शअर सममलयावर महजच ॲट पार आह. (3) समजा, शअरचरी दशमानरी शकमत = 10 रपय व बाजारभाव = 7 रपय असि, तर हा शअर

10 - 7 = 3 रपय अवमलयावर आह महजच तो शडसकाऊटवर आह.

एकि गतििक (Sum invested) : शअसमाचया खरदरीसाठरी िागििरी एक रककम महज एक गतवक.

एक गतवक = शअसमाचरी सखया ´ एका शअरचा बाजारभाव

उदा. 100 रपय दशमानरी शकमत असििा एक शअर 120 रपय बाजारभावान खरदरी किा, तर अस 50 शअसमा

घणयासाठरी शकतरी रपय गतवक करावरी िागि?

उकल : एक गतवक = शअसमाचरी सखया ´ एका शअरचा बाजारभाव

= 50 ´ 120 = 6000 रपय

शअसमििरील परतावयाचा दर (Rate of Return) :

आप शअसमामधय गतवििरी रककम कािातरान शकतरी परतावा दत, ह समज खप महतवाच असत.

खािरीि उदाहरावरन ह समजन घया.

उदा. (1) शरीयशन 100 रपय दशमानरी शकमत असारा एक शअर बाजारभाव 120 रपय होता तवहा शवकत घतिा.

तयावर तयािा कपनरीन 15% िाभाश शदिा, तर गतवकीवर शमळािलया परतावयाचा दर काढा.

उकल : दशमानरी शकमत = 100 रपय बाजारभाव = 120 रपय िाभाश = 15% परशतशअर परतावयाचा दर x% मान.

यथ िकषात घया, की 120 रपय गतवि की 15 रपय शमळतात.

\ 15120 100

=x

\ x = 15 100120

25

2

×= = 12.5%

उततर : शरीयशिा परतावयाचा दर 12.5% शमळािा.

जर, 120 : 15तर, 100 : x

Page 111: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

101

उदा. (2) दशमानरी शकमत = 100 रपय अशधमलय = 65 रपय तर तया शअरचा बाजारभाव काढा.

उकल : बाजारभाव = दशमानरी शकमत + अशधमलय = 100 + 65 = 165 रपय

\ शअरचा बाजारभाव 165 रपय परशतशअर

उदा. (3) खािरीि तका योगय सखया शकवा शबद शिहन पमा करा.

उकल : (i) 10 + 7 = 17 रपय, (ii) अवमलय 25 - 16 = 9 रपय, (iii) 5 रपय.

उदा. (4) नरीिभाईन खािरीिपरमा शअसमामधय गतवक किरी, तर तयान एक शकतरी गतवक किरी?

कपनरी A : 350 शअसमा, दशमानरी शकमत = 10 रपय परशतशअर अशधमलय = 7 रपय

कपनरी B : 2750 शअसमा, दशमानरी शकमत = 5 रपय बाजारभाव = 4 रपय

कपनरी C : 50 शअसमा, दशमानरी शकमत = 100 रपय बाजारभाव = 150 रपय

उकल : कपनरी A : अशधमलय = 7 रपय महन बाजारभाव = दशमानरी शकमत + अशधमलय

= 10 + 7 = 17 रपय

\ कपनरी A मधरीि गतवक = शअसमाचरी सखया ´ बाजारभाव = 350 ´ 17 = 5950 रपय

कपनरी B : दशमानरी शकमत = 5 रपय, बाजारभाव = 4 रपय

\ कपनरी B मधरीि गतवक = शअसमाचरी सखया ´ बाजारभाव = 2750 ´ 4 = 11,000 रपय

कपनरी C : दशमानरी शकमत = 100 रपय, बाजारभाव = 150 रपय

\ कपनरी C मधरीि गतवक = शअसमाचरी सखया ´ बाजारभाव = 50 ´ 150 = 7500 रपय

उततर : नरीिभाईन शतनहरी कपनयामधय कििरी एक गतवक = 5950 + 11000 + 7500 = 24,450 रपय

उदा. (5) बसमतान 12,000 रपय गतवन 10 रपय दशमानरी शकमतरीच शअसमा 2 रपय अशधमलयान घति, तर शतिा शकतरी शअसमा शमळतरीि ह काढणयासाठरी खािरीि कतरी पमा करा.

उकल : दशमानरी शकमत = 10 रपय, अशधमलय = 2 रपय. \ बाजारभाव = दशमानरी शकमत + = + =

\ शअसमाचरी सखया = एक गतवक

बाजारभाव =

12000 = शअसमा

उततर : बसमतािा शअसमा शमळतरीि.

उदा. कर. दशमिनी णकित िलयपरकार बाजारभाि(i) ` 10 अशधमलय ` 7(ii) ` 25 ` 16 (iii) सममलय ` 5

Page 112: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

102

उदा. (6) 10 रपय दशमानरी शकमतरीच 50 शअसमा 25 रपय बाजारभावान शवकत घति. तयावर कपनरीन 30% िाभाश घोशषत किा, तर (1) एक गतवक (2) शमळाििा िाभाश व

(3) गतवकीवररीि परतावयाचा दर काढा.

उकल : शअरचरी दशमानरी शकमत = 10 रपय बाजारभाव = 25 रपय, शअसमाचरी सखया = 50.

\ एक गतवक 25 ´ 50 =1250 रपय

िाभाश = 10 ´ 30

100= 3 रपय परशतशअर

\ 50 शअरवररीि एक िाभाश = 50 ´ 3 =150 रपय

\ परतावयाचा दर = शमळाििा एक िाभाश

एक गतवक ´ 100

= 150

1250 ´ 100 = 12%

उततर : (1) एक गतवक 1250 रपय (2) 50 शअसमावर शमळाििा िाभाश 150 रपय

(3) गतवकीवर परतावयाचा दर 12%.

1. पढरीि तका योगय सखया शकवा शबद शिहन प मा करा.

उदा. कर. दशमिनी णकित िलयपरकार बाजारभाि(1) 100 र. सममलय . . . (2) . . . अशधमलय = 500 र. 575 र.(3) 10 र. . . . 5 र.

2. बाजारभाव 80 रपय होता तवहा अमोिन 100 रपय दशमानरी शकमतरीच 50 शअसमा शवकत घति. तयावषगी कपनरीन 20% िाभाश शदिा, तर गतवकीवर शमळाििा परतावयाचा दर काढा.

3. जोसफ यानरी खािरीिपरमा शअसमामधय गतवक किरी, तर तयानरी कििरी एक गतवक काढा. कपनरी A : दशमानरी शकमत 2 रपय आश अशधमलय 18 रपय असिि 200 शअसमा. कपनरी B : बाजारभाव 500 रपय असिि 45 शअसमा. कपनरी C : बाजारभाव 10,540 रपय असारा 1 शअर

4. शरीमतरी दशपाड यानरी 20,000 रपय गतवन 5 रपय दशमानरी शकमतरीच शअसमा 20 रपय अशधमलय दऊन घति, तर तयाना शकतरी शअसमा शमळतरीि?

5. शरी. शाशतिाि यानरी 100 रपय दशमानरी शकमतरीच 150 शअसमा 120 रपय या बाजारभावान खरदरी कि. नतर 7%

िाभाश कपनरीन शदिा. गतवकीवररीि परतावयाचा दर शकतरी?

सरािसच 4.3

Page 113: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

103

6. खािरीिपकी कोतरी गतवक फायदशरीर आह? दोनहरी कपनरीचया शअसमाचरी दशमानरी शकमत समान आह. कपनरी A साठरी बाजारभाव 80 रपय असन िाभाश 16% आश कपनरी B साठरी बाजारभाव 120

रपय असन िाभाश 20% आह.

ICT Tools or Links

कोतयाहरी पाच कपनयाचया शअसमाचरी दशमानरी शकमत व बाजारभाव इटरनटवरन शकवा अनय सरोतावरन शोधा व तयाचा जोडसतभािख काढा व तिना करा. (शकय असलयास , अस दोनहरी परकारच शअसमा घया.)

जािन घऊया.

शअसमिचया खरदी-णिकरीिर दलाली आणि कर (Brokerage and taxes on share trading)

दलाली (Brokerage) : शअसमाचरी खरदरी-शवकरी खाजगरी ररीतरीन करता यत नाहरी. तरी शअरबाजारातरीि अशधकत वयकरी शकवा ससथाकडन किरी जात. तयाना ‘शअर दलाल’ (Share Broker) महतात. दिािामाफकत शअसमाचरी खरदरी करताना व शवकरी करताना बाजारभावावर जया दरान दिाि रककम घतो, शतिा ‘दलाली’ महतात. महज शअसमा शवकारा व खरदरी करारा दोघहरी दिािरी दतात.

उदा (1) समजा, 100 र. दशमानरी शकमतरीचया शअरचा बाजारभाव 150 रपय आह. दिािरीचा दर 0.5% आह. अस 100 शअर शवकत घताना शकतरी रककम दावरी िागि? अस 100 शअर शवकि तर शकतरी रककम शमळि?

ह शअर खरदी करताना -एका शअरचरी खरदरी शकमत = बाजारभाव + दिािरी = 150 रपय + 150 रपयाच 0.5% = 150 + 0.75 \ एका शअरचरी खरदरीचरी शकमत = 150.75 रपय अस 100 शअसमा खरदरी कि तर एक गतवक 100 ´ 150.75 = 15075 रपय यात 15000 रपयाच शअसमा + 75 रपय दिािरी आह.

ह शअर णिकताना -एका शअरचरी शवकरी शकमत = बाजारभाव - दिािरी = 150 रपय - 150 रपयाच 0.5% = 150 - 0.75\ एका शअरचरी शवकरी शकमत = 149.25 रपय \ 100 शअसमाचरी शवकरी शकमत = 149.25 ´ 100 = 14925 रपय\ 100 शअसमा शवकि तर 14925 रपय शमळतरीि.

Page 114: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

104

ह लकषात घया.

· दिािरी नहमरी शअसमाचया बाजारभावावर आकारिरी जात. · शअर खरदरी-शवकरीचया शववरात दिािरी व कर धरन शअरचरी शकमत ठरविरी जात.

उपकरि I : तमचया भागातरीि शअर दिािरी सवा दाऱया वयकरी शकवा ससथचरी माशहतरी शमळवा व त आकारत असिलया दिािरीचया दराचरी माशहतरी घया व तिना करा.

उपकरि II : डरी-मरट खात (Demat A/c) व टटरशडग खातयाच शववरपत (सटटमट) शमळवा. तयात कोकोतया बाबीचा समावश असतो तयाचरी माशहतरी नटवरन/दिािाचरी भट घऊन/वडरीिधाऱयाकडन शमळवा. शमताबरोबर चचामा करा.

अणधक िाणहतीसाठी : परतयक शअर दिाि सबरी (SEBI - Securities and Exchange Board of

India) कायदा 1992 अतगमात नोदरीकत असतो व तयावर सबरी च शनयत असत.

शअसमा, बॉड स, मयचयअि फड इतयादीचरी नोद ठवणयासाठरी डरी-मरट खात व तयाचरी खरदरी-शवकरी करणयासाठरी

टटरशडग खात (Dematerialized Account, Trading Account) उघड आवशयक असत. हरी खातरी

बकत शकवा शअर दिािाकड उघडता यतात. DP महज Depository Participants महतात. या DPs

NSDL व CDSL या दोन Depositaries चया अधरीन असतात. डरी-मरट खातयात शअसमाचया खरदरी-शवकरीचा

शहशोब ठविा जातो. ह बकचया खातयासारखच असत. शवकिि शअसमा खचामाचया बाजिा (Debit) नोदि

जातात. खरदरी किि शअसमा जमचया बाजिा (Credit) नोदि जातात. तयाच शववरपत (statement)

मागरी कलयास शमळत. यासाठरी ठरावरीक शलक भराव िागत. या खातयात तमच शअसमा इिकटटरॉशनक फॉममामधय

जमा राहतात. या दोनहरी खातयाना तमचया बकच सवहीग खात जोडाव िाागत. शअसमाचया खरदरीचया वळरी

िागार पस गरजनसार तयातन टटरशडग खातयात वगमा करता यतात. तसच शवकरीनतर शमळािि पस तयात जमा

होतात. शअर दिाि व बका या सवमा गोषीसाठरी इचछक वयकीना मागमादशमान करतात.

जािन घऊया.

दलालीिर िसत ि सिा कर (GST on brokerage services)

शअर दिाि तयाचया खातदाराचया वतरीन शअसमाचरी खरदरी-शवकरी करन दणयाचरी सवा परवतात. दिािरी सववररीि कराचा दर 18% आह. तयाचा SAC करमाक शोधा.

टीप :- वसत व सवा करावयशतररक गाहकाचया सरशकषततसाठरी शअसमाचया खरदरी-शवकरीवर आखरी काहरी अलप दराच कर आहत. उदा.शसकयररीटरी टटररनझरकशन टरकस (STT), SEBI शलक, सटप डटरी इतयादरी. तयाचा

Page 115: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

105

आप यथ शवचार करार नाहरी. फक बोकरजवररीि वसत सवा कराचा शवचार करार आहोत.

उदा. (2) समजा, उदाहर 1 नसार, एका वयकरीन 15075 र. शअसमाचया खरदरीसाठरी शदि. या रकमत 75 रपय दिािरी आह, तर तयाना 75 रपयावर 18% दरान शकतरी कर दावा िागि, तो काढा व तयाच शववरपत तयार करा.

उकि : 18% दरान 75 रपयावर GST = 18

100´ 75

= 13.50 रपय

शअर खरदरीच शववरपत (B महज खरदरी कि.)

शअसमाचरी सखया

शअसमाचा बाजारभाव

शअरचरी दशमानरी शकमत

दिािरी0.5%

दिािरीवर 9% CGST

दिािरीवर 9% SGST

शअसमाचरी एक खरदरी शकमत

100(B) 150 रपय 15000 रपय 75 रपय 6.75 रपय 6.75 रपय 15088.50 रपय

उदा. (3) बशरीरखान यानरी 40 र. बाजारभावाच 100 शअसमा खरदरी कि. दिािरीचा दर 0.5% व दिािरीवर वसत सवा कराचा दर 18% आह, तर तयाना 100 शअसमासाठरी एक खचमा शकतरी करावा िागि?

उकल : 100 शअसमाचरी बाजारभावानसार शकमत 40 ´ 100 = 4000 रपय

एका शअरवररीि दिािरी = 0 5

100

.´ 40 = 0.20 रपय

\ एका शअरचरी खरदरी शकमत = बाजारभाव + दिािरी

= 40 + 0.20 = 40.20 रपय

\ 100 शअसमाचरी खरदरीचरी शकमत = 40.20 ´ 100 = 4020 रपय

100 शअसमावररीि दिािरी 0.20 ´ 100 = 20 रपय

\ वसत सवा कर = 18

100 ´ 20

= 3.60 रपय

उततर : बशरीरखान याना 100 शअसमा खरदरीसाठरी आििा एक खचमा

= 4020 + 3.60 = 4023.60 रपय

उदा. (4) पकजरावानरी 1,25,295 रपय गतवन 10 रपय दशमानरी शकमतरीच, बाजारभाव 125 रपय असताना 100 शअर शवकत घति. या वयवहारात दिािरीचा दर 0.2% व दिािरीवर 18% GST शदिा, तर (1) शकतरी शअसमा शवकत घति? (2) एक शकतरी दिािरी शदिरी? (3) या वयवहारात वसत सवा कर शकतरी शदिा?

उकल : गतवक = 1,25,295 रपय, बाजारभाव = 125 रपय, दिािरी = 0.2%, कराचा दर = 18%.

एका शअरवर दिािरी = 125 ´ 0 2

100

.= 0.25 रपय

Page 116: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

106

एका शअरचया दिािरीवर कर = 0.25 च 18% = 0.045 रपय

\ एका शअरचरी खरदरीचरी शकमत = बाजारभाव + दिािरी + कर

= 125 + 0.25 + 0.045 = 125.295 रपय

\ शअसमाचरी सखया = 125295

125 295.= 1000

एक दिािरी = परशतशअर दिािरी ´ शअसमाचरी सखया

\ = 0.25 ´ 1000 = 250 रपय

एक कर = 1000 ´ 0.045 = 45 रपय

उततर (1) 1000 शअसमा शवकत घति. (2) दिािरी 250 रपय शदिरी. (3) दिािरीवर कर 45 रपय शदिा.

उदा. (5) नशिनरीताईनरी 10 रपय दशमानरी शकमतरीचया शअरचा बाजारभाव 60 रपय असताना 6024 रपय गतवि. तयावर 60% िाभाश शमळालयानतर 50 रपय बाजारभावान सवमा शअसमा शवकन टाकि. परतयक वयवहारात 0.4% दिािरी शदिरी. तर या वयवहारात तयाना झाििा नफा शकवा तोटा शकतरी ह काढणयासाठरी खािरीि चौकटरी भरा.

उकल : यथ कराचा दर शदििा नाहरी महन शअसमाचया खरदरी-शवकरीचया वळरी कराचा शवचार कििा नाहरी.

10 र. दशमानरी शकमतरीचा शअर 60 रपयाना खरदरी किा.

परशतशअर दिािरी = 0 4

100

.´ 60 = रपय

\ एका शअरचरी शकमत = 60 + 0.24 = रपय

\ 6024 रपयाना 6024

60 24. = 100 शअसमा खरदरी कि.

10 रपय दशमानरी शकमतरीच शअसमा 50 रपय बाजारभावान शवकि.

\ परशतशअर दिािरी = 0 4

100

. ´ 50 = 0.20 रपय

\ एका शअरचरी शवकरी शकमत = 50 - 0.20 = रपय

\ 100 शअसमाचरी शवकरी शकमत = 100 ´ 49.80 = रपय

िाभाश 60% शमळािा.

\ 1 शअरवररीि िाभाश = 60

100 ´ 10 = 6 रपय

\ 100 शअरवररीि िाभाश = 6 ´ 100 = रपय

\ नशिनरीताईना शअर शवकरीच व िाभाशाच एक उतपन = + = 5580 रपय

परत नशिनरीताईनरी कििरी गतवक = 6024 रपय होतरी.

\ नशिनरीताईना झाििा तोटा = - = रपय

उततर : नशिनरीताईना या खरदरी-शवकरीचया वयवहारात 444 रपय तोटा झािा.

Page 117: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

107

कती : उदाहरण 5 मधय खरदी- िवचया वळी Xbmcrdarc कर 18% दरान िदला असल तर तोटा िकती होईल तो काढा. तमच उततर 451.92 पय यत का याचा पडताळा घया.

जाणन घऊया.

मयचयअल फड (Mutual Fund - MF)

शअसरचा अभयास करताना आपण पािहल, क कपनी सथापन करणयासाठी इचछक वयी एक यतात आिण समाजाचा सहभाग घऊन मोठ भाडवल उभ करतात. कपनीची कामिगरी सरस ठरली तर या सवर शअरधारकाना तयाचा फायदा होतो. तयाना लाभाश िमळतो. शअसरच बाजारभाव वाढतात महणन लाभ होतो. कपनीच भाडवल वाढत. पयारयान दशाचया गतीला हातभार लागतो. थोडकयात समाजशासाच तव आह. ‘Together we can progress’, परत तयक नाणयाला दोन बाज असतात. शअसरमधय फायदा होणयाऐवजी कधी कधी तोटाही होऊ शकतो. हा तोटा कमी करता यईल का? गतवणकदारासाठी ही जोखीम कमी करता यत का? होय. तयासाठी आजकाल बतक लोक मयचयअल फडात गतवणक करतात.

मयचयअल फड महणज अनक गतवणकदाराच पस एक गोळा कन उभी कलली रम. ती रम एकाच कारचया शअसरमधय न गतवता गतवणकचया िविवध कारात गतवली जात महणज जोखीम कमी होत व एकण लाभाश सवर गतवणकदारामधय िवभागला जातो. मयचयअल फडामधय गतवणक कशी करावी? तयात परतावा कसा िमळतो? िकती कालावधीसाठी गतवणक करावी? तयातील िविवध कार कोणत? अशा अनक शनाची सिवसतर उततर आिथरक सागार दऊ शकतात.

Investments in Mutual Funds are subject to Market risks. Read all scheme related documents carefully. ह वाकय तमही बऱयाचदा ऐकल असल िकवा वाचल असल. तयाचा अथर नीट समजन घया. िचत सगी मयचयअल फडामधय कललया गतवणकवर नफयाएवजी तोटा होतो आिण तो गतवणकदाराना सोसावा लागतो.

मयचयअल फड महणज तजजञ वयावसाियक लोकाार िनमारण करणयात आलली फड योजना. या तजजञाना AMC महणज ‘असट मनजमट कपनी’ महणतात. त बाजाराचा अदाज घऊन इचछक लोकाच पस वगवगा योजनात [जस, इटी फड (शअसर), डबट फड (िडबचसर बाड स इतयादी.) अथवा दोनहचा बलनस फड] गतवणकदाराचया सचननसार गतवतात.

आपण शअरबाजारात पस गतवल क शअसर िमळतात, तस मयचयअल फडात पस गतवल क ‘यिनट स’ िमळतात.

ितयिनट जो बाजारभाव असल तयाला तया यिनटच न मालमतता मलय (Net asset value - NAV) महणतात.

एका यिनटच न मलय × यिनट सची सखया = मयचयअल फड योजनच एकण गतवणक मलय.

Page 118: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

108

टीप : शअसमाचया भावापरमा मयचयअि फडातरीि यशनट सच नकमलय प सतत बदित राहत. गरज असि तवहा ह यशनट स शवकता यतात.

राषटररीयकत बक असो वा भारतरीय पोसट सवा असो तयातरीि गतवक हरी जासत सरशकषत असत. मात या गतवकीतन शमळारा परतावा सहसा महागाईचा योगय सामना करणयास अपरा पडतो. ह िकषात घति पाशहज, की योगय ररीतरीन गतवििा पसासदधा पसा शनमामा कर शकतो. तयासाठरी हव असत त पशाच शनयोजन महजच अथमाशनयोजन. (Financial Planning)

सारासार शवचार करता गतवकीच योगय वळरी योगय शनमाय घ महतवाच असत. तयाचा शनयशमत अभयास करणयाचरी सवय असावरी िागत.

णनयणित आितती गतििक योजना (SIP -Systematic Investment Plan)

समजा, आपलयािा मयचयअि फडात एकदम मोठया रकमचरी गतवक कर शकय नसि, तर आप छोटा हपतयात दरमहा गतवक कर शकतो. जस शकमान 500 रपय दरमहासदधा मयचयअि फडात गतव शकतो. अशा परकार शनयशमतररीतया माशसक शकवा तमाशसक गतवक करता यत. या योजनमळ बचतरीचरी शशसत िागत व भशवषयातरीि आशथमाक उद शदष सहज गाठता यतात. हरी योजनासदधा दरीघमा मदतरीसाठरी फायदशरीर ठर शकत. तयाच कार शअर बाजारातरीि चढ-उताराचा या योजनमधरीि गतवकीवर परराम कमरी होतो. कमरीत कमरी 3 त 5 वषद, शकय असलयास 10-15 वषाासाठरी या योजनत गतवक कलयास उततम.

मयचयअल फडाच फायद

· अनभवरी, तजज फड मरनजसमा · गतवकीत वशवधय (diversifications of funds)

· पारदशमाकता - गतवकीत परशरी सरशकषतता. · तरिता - पाशहज तवहा शवकरीचरी सोय.

· मयामाशदत जोखरीम · अलप व दरीघमा मदतरीच फायद शमळतात.

· काहरी ठरावरीक फडातरीि (ELSS) मधरीि गतवकीवर आयकर किम 80C खािरी वजावट शमळत.

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरिÒÒÒ  

उदा. (1) मयचअि फड योजनच बाजारमलय 200 कोटरी रपय असन कपनरीन 8 कोटरी यशनट स किरी असतरीि, तर एका यशनटच नक मािमतता मलय काढा.

उकल : एका यशनटच नक मािमतता मलय = 200 कोटरी रपय / 8 कोटरी यशनट स = 25 रपय परशतयशनट.

उदा. (2) उदा. 1 मधरीि कपनरीत समजा तमहरी र. 10,000 चरी गतवक किरी तर तमहािा शकतरी यशनट स शमळतरीि?

उकल : यशनट सचरी सखया = कििरी गतवक / एका यशनटच नक मलय = 10,000/25 = 400 यशनट स शमळतरीि.

Page 119: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

109

1. एका शअरचा बाजारभाव 200 रपय आह. तो खरदरी करताना 0.3% दिािरी शदिरी, तर या शअरचरी खरदरीचरी शकमत शकतरी ?

2. एका शअरचा बाजारभाव 1000 रपय असताना तो शअर शवकिा, व तयावर 0.1% दिािरी शदिरी, तर शवकरीनतर शमळाररी रककम शकतरी ?

3. खािरीि शअर खरदरी-शवकरीचया शववरपतातरीि ररकामया जागा भरा. (B - शवकत घति, S - शवकि)

शअसमाचरी सखया

शअसमाचा बाजारभाव

शअसमाचरी शकमत

दिािरीचा दर 0.2%

दिािरीवर CGST 9%

दिािरीवर SGST 9%

शअसमाचरी एक शकमत

100 B 45 र.75 S 200 र.

4. शरीमतरी दसाई यानरी 100 रपय दशमानरी शकमतरीच शअसमा, बाजारभाव 50 रपय असताना शवकि तवहा तयाना 4988.20 रपय शमळाि. दिािरीचा दर 0.2% व दिािरीवररीि जरीएसटरीचा दर 18% आह, तर तयानरी शकतरी शअसमा शवकि त काढा.

5. शमसटर डरीसोझा यानरी 50 रपय दशमानरी शकमतरीच 200 शअसमा 100 रपय अशधमलयावर खरदरी कि. तयावर कपनरीन 50% िाभाश शदिा. िाभाश शमळालयावर तयातरीि 100 शअसमा 10 रपय अवमलयान शवकि व उरिि शअसमा 75 रपय अशधमलयान शवकि. परतयक वयवहारात 20 रपय दिािरी शदिरी, तर तयाना या वयवहारात नफा झािा का तोटा ? शकतरी रपय ?

सकीिमि परशनसगरह 4 A

सरािसच 4.4

1. खािरीि परशनासाठरी उततराचा अचक पयामाय शनवडा. (1) जरीवनावशयक वसतवररीि वसत व सवा कराचा दर . . . आह. (A) 5% (B) 12% (C) 0% (D) 18% (2) एकाच राजयातरीि वयापारात कदर शासनाकडन . . . आकारिा जातो. (A) IGST (B) CGST (C) SGST (D) UTGST (3) आपलया दशात . . . . या तारखपासन वसत व सवा कर हरी करपरािरी अमिात आिरी. (A) 31 माचमा 2017 (B) 1 एशपरि 2017 (C) 1 जानवाररी 2017 (D) 1 जि 2017 (4) सटरीिचया भाडावररीि वसत व सवा कराचा दर 18% आह, तर तयावर राजय वसत सवा कराचा दर

. . . आकारणयात यतो. (A) 18% (B) 9% (C) 36% (D) 0.9% (5) GSTIN मधय एक . . . अकाकषर असतात. (A) 15 (B) 10 (C) 16 (D) 9

Page 120: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

110

(6) जवहा एखादा नोदरीकत वयापाररी ददसऱया नोदरीकत वयापाऱयास वसत शवकतो तवहा तयािा GST अतगमात . . . . वयवहार महतात.

(A) BB (B) B2B (C) BC (D) B2C2. 25,000 रपय शकमतरीचया एका वसतवर वयापाऱयान 10% सट दऊन उरिलया रकमवर 28% GST

आकारिा. तर एक शबि शकतरी रपयाच असि? तयात CGST व SGST शरीषमाकाखािरी शकतरी रककम असायिा हवरी?

3. एका तयार कपडाचया ददकानात 1000 रपय शकमतरीचया डटरसवर 5% सट दऊन उरिलया रकमवर 5% GST िावन तो शवकिा, तर तो गाहकािा शकतरी रपयाना पडि?

4. सरत, गजरातमधरीि एका वयापाऱयान 2.5 िाख करपात शकमतरीच सतरी कपड राजकोट, गजरात यथरीि वयापाऱयािा शवकि, तर या वयवहारात राजकोटमधरीि वयापाऱयािा 5% दरान शकतरी रपय जरीएसटरी दावा िागि?

5. शरीमतरी मलहोता यानरी 85,000 रपय करपात शकमतरीच सोिार ऊजामा सच शवकत घति व 90,000 रपयाना शवकि. वसत व सवा कराचा दर 5% असलयास तयाना या वयवहारात शकतरी रपयाचरी वजावट (ITC) व शकतरी रपय कर भरावा िागि?

6. Z-शसकयररटरी सबवहमासस दाऱया कपनरीन 64,500 रपय करपात शकमतरीचरी सवा परविरी. वसत सवा कराचा दर 18% आह. या शसकयररटरी सबवहमासस परवणयासाठरी कपनरीन िॉनडटररी सबवहमासस व यशनफॉममास इतयादरी बाबीवर एक 1550 रपय वसत सवा कर भरिा आह, तर या कपनरीचा (इनपट टरकस करशडट) ITC शकतरी? तयावरन दय सरीजरीएसटरी व दय एसजरीएसटरी काढा.

7. एका वयापाऱयान पोिरीस शनयत ककषासाठरी वसत सवा करासह 84,000 रपय शकमतरीच वॉकीटॉकी सच परवि. वसत सवा कराचा दर 12% असलयास तयान आकारिलया करातरीि कदररीय जरीएसटरी व राजय जरीएसटरी काढा. वॉकीटॉकी सचाचरी करपात शकमत काढा.

8. एका ठोक वयापाऱयान 1,50,000 रपय करपात शकमतरीच शवदत साशहतय खरदरी कि. त सवमा साशहतय शकरकोळ वयापाऱयास 1,80,000 रपय करपात शकमतरीिा शवकि. शकरकोळ वयापाऱयान त सवमा साशहतय गाहकािा 2,20,000 रपय करपात शकमतरीिा शवकि, तर 18% दरान(1)ठोक व शकरकोळ शवकरीचया करबरीजकातरीि कराचरी आकाररी करा.(2)ठोक वयापाऱयाचा तसच शकरकोळ वयापाऱयाचा दय सरीजरीएसटरी व दय एसजरीएसटरी काढा.

9. अणा पाटरीि (ठा, महाराषटर) यानरी 14,000 र. करपात शकमतरीचा एक वहरकयम करीनर वसई (मबई) यथरीि एका वयापाऱयास 28% GST दरान शवकिा. वसईतरीि वयापाऱयान गाहकास तो वहरकयम करीनर 16,800 र. करपात शकमतरीस शवकिा. तर या वयवहारातरीि खािरीि शकमतरी काढा.

(1) अणा पाटिानरी शदिलया कर बरीजकातरीि कदराचा व राजयाचा कर शकतरी रपय दाखविा असि? (2) वसईचया वयापाऱयान गाहकास कदराचा व राजयाचा शकतरी कर आकारिा असि? (3) वसईचया वयापाऱयासाठरी शासनाकड करभरा करताना कदराचा दय कर व राजयाचा दय कर शकतरी यईि त

काढा.

ê

ê

Page 121: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

111

सकीिमि परशनसगरह 4 B

10. खािरीि एका वसतचया शवतर वयवसाय साखळरीतरीि कर बरीजक A, B, C मधरीि वसत व सवा कराचया आकाररीच गन करा. GST दर 12% आह.

उतपादक शवतरक ररटिर गाहक

(1) उतपादकान, शवतरकान व शकरकोळ वयापाऱयान (ररटिरन) शासनाकड शकतरी रपय वसत व सवा कर कोतया शरीषमाकाखािरी भरिा ह दाखवार शववरपतक तयार करा.

(2) अतत: गाहकास तरी वसत शकतरी रपयाना पडि?

(3) या साखळरीतरीि B2B व B2C बरीजक कोतरी त शिहा.

1. खािरीि परतयक परशनासाठरी अचक पयामाय शनवडा.

(1) दशमानरी शकमत 100 रपय असिलया शअरचा बाजारभाव 75 रपय आह. तर खािरीिपकी कोत वाकय योगय आह?

(A) हा शअर 175 रपय अशधमलयावर आह. (B) हा शअर 25 रपय अवमलयावर आह.

(C) हा शअर 25 रपय अशधमलयावर आह. (D) हा शअर 75 अवमलयावर आह.

(2) 50% िाभाश घोशषत किलया कपनरीचया 10 रपय दशमानरी शकमतरीचया एका शअरवर शकतरी िाभाश शमळि?

(A) 50 रपय (B) 5 रपय (C) 500 रपय (D) 100 रपय

(3) एका मयचयअि फडाच एका यशनटच नक मलय 10.65 रपय असि तर 500 यशनट सचया खरदरीसाठरी िागाररी रककम शकतरी रपय असि?

(A) 5325 (B) 5235 (C) 532500 (D) 53250

(4) दिािरीवर वसत व सवा कराचा दर . . . आह.

(A) 5% (B) 12% (C) 18% (D) 28%

(5) शअसमा शवकत घताना एका शअरचरी शकमत काढणयासाठरी बाजारभाव, दिािरी व GST याचरी ....

(A) बररीज करावरी िागत. (B) वजाबाकी करावरी िागत.

(C) गाकार करावा िागतो. (D) भागाकार करावा िागतो.

2. 100 रपय दशमानरी शकमतरीचा शअर 30 रपय अशधमलयावर खरदरी किा. दिािरीचा दर 0.3% आह, तर एका शअरचरी खरदरीचरी शकमत काढा.

ê

करपात शकमत र. 5000

कर बरीजक I कर बरीजक II कर बरीजक III

करपात शकमत र. 6000

करपात शकमत र. 6500

?

Page 122: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

112

3. परशातन 100 रपय दशशनी किमतीच 50 शअर 180 रपय बाजारभावान खरदी िल. तयावर िपनीन 40% लाभाशकदला, तर परशातचया गतवणिीवरील परतावयाचा दर िाढा.

4. जर 100 रपय दशशनी किमतीच 300 शअरश 30 रपय अवमलयावर कविल, तर किती रपय कमळतील?

5. 100 दशशनी किमतीचया व 120 रपय बाजारभावाचया शअरशमधय 60,000 रपय गतवल, तर किती शअरश कमळतील?

6. शीमती मीता अगरवाल यानी 100 रपय बाजारभावान 10,200 रपयाच शअरश खरदी िल. तयापिी 60 शअरश 125 रपय बाजारभावान कविल व उरलल शअरश 90 रपय बाजारभावान कविल. परतयि वळी दलाली 0.1%दरान कदली, तर या वयवहारात तयाना फायदा झाला िी तोटा? किती रपय?

7. शअर बाजारात 100 रपय दशशनी किमतीच दोन िपनयाच शअरश खालीलपरमाण बाजारभाव व लाभाशाचया दरान आहत, तर िोणतया िपनीतील गतवणि फायदशीर होईल ह रिारण कलहा.(1) िपनी A - 132 रपय 12% (2) िपनी B - 144 रपय 16%

8. शी.आकदतय रघवी यानी 100 रपय दशशनी किमतीच शअरश 50 रपय बाजारभाव अरताना 50118रपय गतवन खरदी िल. या वयवहारात तयानी 0.2% दलाली कदली. दलालीवर 18% दरान GSTकदला, तर तयाना 50118 रपयात किती शअरश कमळतील?

9. शी. बाटलीवाला यानी एिा कदवरात एिण 30,350 रपय किमतीचया शअरशची कवकी िली व69,650 रपय किमतीचया शअरशची खरदी िली. तया कदवशीचया एिण खरदी-कवकीवर 0.1% दरान दलाली व दलालीवर 18% वसत व रवा िर कदला. तर या वयवहारात दलाली आकण वसत व रवा िरावरील एिण खचश िाढा.

10. शीमती अरणा ठककर यानी एिा िपनीच 100 रपय दशशनी किमतीच 100 शअरश 1200 रपय बाजारभावान कवित घतल. परकतशअर 0.3% दलाली व दलालीवर 18% GST कदला, तर

(1) शअरशराठी एिण गतवणि किती रपय िली? (2) गतवणिीवर दलाली किती कदली?

(3) दलालीवरील जीएरटी िाढा.

(4) 100 शअरशराठी एिण किती रपय खचश झाल?

11. शीमती अनघा दोशी यानी 100 रपय दशशनी किमतीच 660 रपय बाजारभावाच 22 शअरश घतल.तर तयानी एिण किती रपय गतवणि िली? तया शअरशवरती 20% लाभाश घतलयावर 650 रपय बाजारभावान त कविल. परतयि वयवहारात 0.1% दलाली कदली, तर या वयवहारात तयाना कितीटकक नफा किवा तोटा झाला तो िाढा. (उततर जवळचया पणाािात कलहा.)

ê

ê

ê

ê

rrr

Page 123: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

113

5 सभावयता

चला, चचामि कया.

शशकषक : शवदाथगी शमतहो, आपलया वगामातरीि शवदाशथमासखयएवढा शचठठया या खोकयात ठवलया आहत. परतयकान एक शचरी उचिावरी. शचठठयावर वगवगळा वनसपतीचरी नाव शिशहिरी आहत. कोतयाहरी दोन शचठठयावर एकाच वनसपतरीच नाव शदसार नाहरी. ‘तळस’ या वनसपतरीचरी शचरी कोािा शमळत त पाह. सवमाज हजररी करमाकापरमा रागत उभ रहा. शवटचरी शचरी उचिपयात कोरीहरी शचरी उघडन पहायचरी नाहरी.

अरा : सर, रागत मरी पशहलयादा आह, प मरी पशहलयादा शचरी उचिार नाहरी कार एवढा सवमा शचठठयातन, तरी शचरी मिाच यईि याचरी शकयता फार कमरी आह.

झररीना : सर, रागत मरी सवाात शवटरी आह, मरी शवटरी शचरी उचिार नाहरी कार ‘तळस’ ह नाव असििरी शचरी बहधा मरी उचिणयापवगीच उचििरी गिरी असि.

थोडकयात पशहलया व शवटचया शवदारयााना वाटत आह, की तयाना तळस ह नाव असििरी शचरी शमळणयाचरी शकयता फार कमरी आह. वररीि सवादामधय शकयता कमरी शकवा जासत असणयाचा शवचार झािा आह.

शकयता वतमावणयासबधरी आप दनशदन सभाषात पढरीि शबदहरी वापरतो. · सभवतः · बहतक · अशकय · शनबशचत · जवळपास · 50 - 50 भशवषयातरीि शकयताशवषयरीचरी खािरीि शवधान पाहा. · बहतक आजपासन पाऊस पडि. · महागाई वाढणयाचा सभव खप आह. · भारतािा पढरीि शकरकट सामनयात हरव अशकय आह. · शनबशचतच मिा परथम शरी शमळार. · बािकािा वळवर पोशिओच डोस शदि, तर तयािा पोशिओ होणयाचा सभव नसतो.

· सभावयता ः ओळख · यादबचछक परयोग व शनषपततरी · नमना अवकाश व घटना · घटनचरी सभावयता

चला, णशकया.

Page 124: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

114

सोबतचया शचतात शकरकटचया सामनयासाठरी नाफक चाि आह. तयामधय कोकोतया शकयता आहत?

शकवा

महजच, नाफकीचरी फशित असतात.

कती 1 : एक ना वगामातरीि परतयकान एकदा फकन पाहा. तमहािा काय आढळि? (शशकषक फळावर खािरीि तका तयार करतात व तो भरन घतात.)

शकयता छाप (H ) काटा ( T)शवदाथगी सखया . . . . . .

कती 2 : आता, परतयकान त ना दोनदा फकन पाहा. कोकोतया शकयता आहत?

शकयता H H HT TH TTशवदाथगी सखया

कती 3 : तमचयाजवळ असारा फासा एकदाच फका, वरचया पषठभागावर शटब यणयाचया कोकोतया शकयता आहत याचा शवचार करा.

हरी परतयक शकयता महज फासा फकणयाच एक - एक सभावय फशित आह.

जािन घऊया.

याचचछक परयोग (Random Experiment) जया परयोगात सवमा सभावय फशित अगोदर माहरीत असतात, प तयापकी कोतयाहरी फशिताबददि शनबशचत भाकीत आप कर शकत नाहरी, सवमा फशित सतय असणयाचरी शकयता समान असत, अशा परयोगािा ‘यादबचछक परयोग’ अस महतात. उदाहराथमा ना फक, फासा फक, 1 त 50 सखया शिशहिलया काडााचया सचातन एक काडमा काढ, खळातरीि पतयाचया योगय ररीतरीन शपसिलया पतयामधन एक पतता काढ इतयादरी.

· ··

· · ·· · ·

· ·· ·

· ·· ·

· · · ·

Page 125: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

115

A

A

A

A

णनषपतती (Outcome)

यादबचछक परयोगाचया फशितािा ‘शनषपततरी’ महतात. उदाहराथमा, (1) एक ना फक या यादबचछक परयोगाचया दोनच शनषपततरी आहत. छाप (H) शकवा काटा (T) (2) एक फासा फक या यादबचछक परयोगात तयाचया 6 पषठभागावर असाऱया शटबाचया सखयवरन

6 शनषपततरी शकय आहत. 1 शकवा 2 शकवा 3 शकवा 4 शकवा 5 शकवा 6

(3) 1 त 50 सखया शिशहिलया काडााचया सचातन एक काडमा काढ, या परयोगात 50 शनषपततरी शकय आहत.

(4) योगय ररीतरीन शपसिलया खळातरीि पतयामधन एक पतता काढ या यादबचछक परयोगात 52 पतत असतात, त खािरीिपरमा दाखवि आहत.

एक पतत 52

26 िाि पतत 26 काळ पतत

13 बदाम पतत 13 चौकट पतत 13 शकिवर पतत 13 इबसपक पतत

इबसपकएकका

बदामएकका

शकिवरएकका

चौकटएकका

पतयाचया कटमधय चौकट, बदाम, शकिवर आश इबसपक अस चार सच असतात. परतयक सचात राजा, रारी, गिाम, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 आश एकका अस 13 पतत असतात. राजा, रारी, गिाम याना शचतयक पतत महतात. परतयक कटमधय राजाचया शचताच चार, रारीचया शचताच चार आश गिामाचया शचताच चार अस 12 शचतयक पतत असतात.

सिसभावय णनषपतती (Equally likely outcomes)

जर आप एक फासा फकिा, तर फाशाचया वरचया पषठभागावर 1, 2, 3, 4, 5, 6 यापकी एक सखया शमळणयाचरी शकयता समान असत. महजच तया समसभावय शनषपततरी असतात. तथाशप, जर फासा असा असि की शवशशष अकच वरचया पषठभागावर वारवार शमळतो तर तो फासा असमतोि (biased) असतो. अशा बाबतरीत शनषपततरी समसभावय नसतात. यापढ आप यादबचछक परयोगात वापरिलया बाबरी या समतोि (fair शकवा unbiased) आहत, अस गहरीत धरार आहोत.

Page 126: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

116

सरािसच 5.1

शदिलया शनषपततीपकी कोतरीहरी शनषपततरी पराधानय करमान शमळत नसि शकवा सवमा शनषपततीचरी समान शकयता

असि, तर तया समसभावय शनषपततरी आहत अस महतात. उदा. जर आप एक ना फकि तर छाप शकवा काटा

शमळणयाचरी शनषपततरी समसभावय असत. तसच 1 त 6 सखया शवशवध पषठावर असारा फासा फकिा तर तयातरीि

कोताहरी एक अक वरचया पषठावर यणयाचरी शकयता तपासा. यथ सगळा शनषपततरी समसभावय आहत.

1. खािरीि परतयक बाबतरीत, शकतरी शकयता आहत?

(1) वशनतािा महाराषटरातरीि खािरीि परकषरीय शठकााचरी माशहतरी आह. तयातरीि एका शठकारी म मशहनयाचया सरीत तरी जाार आह.

अशजठा, महाबळशवर, िोार सरोवर, ताडोबा अभयारणय, आबोिरी, रायगड, माथरान, आनदवन.

(2) एका आठवडातरीि वार यादबचछक पद धतरीन शनवडायचा आह.

(3) पतयाचया कटमधन एक पतता यादबचछक पद धतरीन शनवडायचा आह.

(4) परतयक काडामावर एक सखया यापरमा 10 पासन 20 पयातचया

सखया शिशहलया आहत. तयातन एक काडमा यादबचछक पदधतरीन शनवडायच आह.

णिचार कया.

खािरीि परयोगापकी कोतया परयोगात अपशकषत शनषपततरी शमळणयाचरी शकयता जासत आह?

(1) एक फासा टाकन 1 शमळ.

(2) एक ना फकन छाप शमळ.

जािन घऊया.

निना अिकाश (Sample Space)

यादबचछक परयोगात, शकय असाऱया सवमा शनषपततीचया सचािा नमना अवकाश महतात.

नमना अवकाश ‘S’ शकवा ‘Ω’ (ह गरीक अकषर असन उचचार ओमगा आह.) या शचनहान सचाचया सवरपात दशमावतात. नमना अवकाशातरीि परतयक घटकािा ‘नमना घटक’ महतात. नमना अवकाश ‘S’ मधरीि एक घटकाचरी सखया n(S) न दशमावतात. जर n(S) सात असि तर तयािा सात नमना अवकाश महतात. सात नमना अवकाशाचरी काहरी उदाहर पढरीि साररीत शदििरी आहत.

Page 127: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

117

अ.कर.

यादबचछक परयोग नमना अवकाश नमना घटकाचरी सखया

1 एक ना फक S = H, T n(S) = 22 दोन नारी फक S = HH, HT, TH, TT n(S) =

3 तरीन नारी फक S = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT n(S) = 8

4 एक फासा टाक S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) =

5 दोन फास टाक S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

n(S) = 36

6 1 त 25 सखया शिशहिलया काडााचया सचातन एक काडमा काढ.

S = 1, 2, 3, 4, .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .., 25 n(S) =

7 योगय ररीतरीन शपसिलया बावन पतयाचया कट मधन एक पतता काढ.

चौकट : एकका, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, गिाम, रारी, राजाइबसपक : एकका, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, गिाम, रारी, राजाबदाम : एकका, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, गिाम, रारी, राजाशकिवर : एकका, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, गिाम, रारी, राजा

n(S) = 52

ह लकषात ठिया.

(i) एक ना दोनदा फक शकवा दोन नारी एकाच वळरी फक या दोनहरी यादबचछक परयोगात नमना अवकाश सारखाच असतो. हच तरीन नाणयाचया बाबतीतहरी सतय असत. (ii) एक फासा दोनदा फक शकवा दोन फास एकाच वळरी फक या दोनहीसाठरी नमना अवकाश सारखाच असतो.

सरािसच 5.21. खािरीि परतयक परयोगासाठरी नमना अवकाश ‘S’ व तयातरीि नमना घटकाचरी सखया n(S) शिहा. (1) एक फासा व एक ना एकाच वळरी फक (2) 2, 3, 5 या अकापासन, अकाचरी पनरावततरी न करता, दोन अकी सखया तयार कर.

Page 128: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

118

M T W T F S S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 1718 19 20 21 22 23 2425 26 27 28 29 30 31

MARCH - 2019

2. सहा रगाचया तबकडरीवररीि बा शफरवलयावर तो कोतया रगावर बसथर होतो ह पाह.

4. दोन मिग (B1, B2) व दोन मिरी (G1, G2) याचयातन दोघाचरी एक रसता सरकषा सशमतरी बनवायचरी आह. तर यासाठरी नमना अवकाश शिशहणयासाठरी खािरीि कतरी पमा करा.

(1) दोन मिाचरी सशमतरी = (2) दोन मिीचरी सशमतरी =

(3) एक मिगा व एक मिगरी यानरी शमळन तयार होाररी सशमतरी =

(4) \ नमना अवकाश = ..., ..., ..., ..., ..., ...

जािन घऊया.

घटना (Event) शवशशष अट पमा कराऱया शनषपततरीिा अपशकषत शनषपततरी (favourable outcome) महतात. नमना अवकाश शदिा असि तर अपशकषत शनषपततीचया सचािा ‘घटना’ महतात. घटना हा नमना अवकाशाचा उपसच असतो. या घटना इगजरीतरीि पशहलया शिशपतरीि A, B, C, D यासारखया अकषरानरी दशमावतात. उदा. दोन नारी फकिरी असता समजा A हरी घटना, कमरीत कमरी एक काटा शमळणयाचरी आह. यथ अपशकषत शनषपततरी खािरीिपरमा, A = TT, TH, HT घटना A मधरीि घटकाचरी सखया n(A) न दशमावतात. यथ n(A) = 3

अणधक िाणहतीसाठी घटनच परकार (i) शनबशचत घटना (Certain event) (iv) परक घटना (Complement of an event) (ii) अशकय घटना (Impossible event) (v) परसपर अपवजगी घटना (Mutually exclusive event) (iii) एकघटकी घटना (Simple event) (vi) सवमासमावशरी घटना (Exhaustive event)

3. वषमा 2019 चया माचमा मशहनयातरीि 5 चया पटरीत याऱया तारखचा वार शमळव. (सोबतच किडरच पान पाहा.)

B1 G1

िािकशररी

शपवळा

शनळा

शहरवा

जाभळा

Page 129: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

119

ÒÒÒ सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) दोन नारी एकाच वळरी फक या परयोगासाठरी नमना अवकाश ‘S’ शिहा. तयातरीि नमना घटकाचरी सखया n(S) शिहा. या परयोगासबधरी खािरीि घटना सच सवरपात शिहा आश तयातरीि नमना घटकाचरी सखया शिहा.

(i) घटना A साठरी अट, कमरीत कमरी एक छाप शमळणयाचरी आह.

(ii) घटना B साठरी अट, एकच छाप शमळणयाचरी आह.

(iii) घटना C साठरी अट, जासतरीत जासत एक काटा शमळणयाचरी आह.

(iv) घटना D साठरी अट, एकहरी छाप न शमळणयाचरी आह.

उकल ः दोन नारी एकाच वळरी फकिरी असता,

S = HH, HT, TH, TT n(S) = 4

(i) घटना A साठरी अट, कमरीत कमरी एक छाप शमळणयाचरी आह.

A = HH, HT, TH n(A) = 3

(ii) घटना B साठरी अट, एकच छाप शमळणयाचरी आह.

B = HT, TH n(B) = 2

(iii) घटना C साठरी अट, जासतरीत जासत एक काटा शमळणयाचरी आह.

C = HH, HT, TH n(C) = 3

(iv) घटना D साठरी अट, एकहरी छाप न शमळणयाचरी आह.

D = TT n(D) = 1

उदा. (2) एका शपशवरीत 50 काडद आहत. परतयक काडामावर 1 त 50 यापकी एक सखया शिशहिरी आह. तयातन कोतहरी एक काडमा यादबचछक पद धतरीन काढि तर नमना अवकाश ‘S’ शिहा.

घटना A, B व तयातरीि नमना घटकाचरी सखया शिहा.

(i) घटना A साठरी अट, काडामावररीि सखयिा 6 न भाग जा, हरी आह.

(ii) घटना B साठरी अट, काडामावरचरी सखया पमा वगमा अस, हरी आह.

उकल ः नमना अवकाश, S = 1, 2, 3, . . ., 49, 50 n(S) = 50

(i) घटना A साठरी अट, काडामावररीि सखयिा 6 न भाग जा हरी आह.

A = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, n(A) = 8

(ii) घटना B साठरी अट, काडामावरचरी सखया पमा वगमा अस हरी आह.

B = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, n(B) = 7

Page 130: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

120

उिा. (3) 3 ल व 2 ली यातन दोन हवदयारयााची ñdÀN>Vm सहती खयालील अरीपरया बनवयाची आि. ननया

अवकयाश ‘S’ व ननया घरकयाची सखया हलिया. तसच खयालील घरनया सच सवरपयात हलिया आह ननया

घरकयाची सखया हलिया.

(i) घरनया A सयाठी अर, सहतीत कीत की एक लगी अस, िी आि.

(ii) घरनया B सयाठी अर, सहतीत एक लगया व एक लगी अस, िी आि.

(iii) घरनया C सयाठी अर, सहतीत फकत लग अस, िी आि.

(iv) घरनया D सयाठी अर, सहतीत ियासतीत ियासत एक लगी अस, िी आि.

उकल ः सिया, B1, B2, B3 ि तीन लग व G1, G2 या दोन ली आित.

या लया-लीतन दोन सभयासदयाची सवचछतया सहती बनवयाची आि.

S = B1B2, B1B3, B2B3, B1G1, B1G2, B2G1, B2G2, B3G1, B3G2, G1G2 n(S) = 10

(i) घरनया A सयाठी अर सहतीत कीत की एक लगी अस िी आि.

A = B1G1, B1G2, B2G1, B2G2, B3G1, B3G2, G1G2 n(A) = 7

(ii) घरनया B सयाठी अर सहतीत एक लगया व एक लगी अस िी आि.

B = B1G1, B1G2, B2G1, B2G2, B3G1, B3G2 n(B) = 6

(iii) घरनया C सयाठी अर सहतीत फकत लग अस िी आि.

C = B1B2, B1B3, B2B3 n(C) = 3

(iv) घरनया D सयाठी अर सहतीत ियासतीत ियासत एक लगी अस िी आि.

D = B1B2, B1B3, B2B3, B1G1, B1G2, B2G1, B2G2, B3G1, B3G2 n(D) = 9

उिा. (4) दोन फयास फकल असतया ननया अवकयाश ‘S’ व ननया अवकयाशयातील घरकयाची सखया n(S) हलिया.

खयालील अरी प ट करयारी घरनया सच सवरपयात हलिया आह तयातील ननया घरकयाची सखया हलिया.

(i) वरचया पषभयागयावर याऱया अकयाची बरीि ळ सखया असल.

(ii) वरचया पषभयागयावर याऱया अकयाची बरीि 5 चया परीत आि.

(iii) वरचया पषभयागयावर याऱया अकयाची बरीि 25 आि.

(iv) पहिलया फयाशयावर हळयाललया अक ददसऱया फयाशयावरील अकयापकषया लियान आि.

Page 131: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

121

उकल ः नमना अवकाश,

S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),

(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),

(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),

(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) n(S) = 36

(i) समजा, वरचया पषठभागावर याऱया अकाचरी बररीज मळ सखया अस, हरी घटना E चरी अट आह.

E = (1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2), (5, 6), (6, 1), (6, 5) n(E) = 15

(ii) वरचया पषठभागावर य ाऱया अकाचरी बररीज 5 चया पटरीत अस, हरी घटना F चरी अट आह.

F = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (4, 6), (5, 5), (6, 4) n(F) = 7

(iii) घटना G साठरी अट वरचया पषठभागावर याऱया अकाचरी बररीज 25 अस, हरी आह.

G = = f n (G) = 0

(iv) घटना H साठरी अट पशहलया फाशावर शमळाििा अक ददसऱया फाशावररीि अकापकषा िहान अस हरी आह.

H = (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),

(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6) n(H) = 15 सरािसच 5.3

1. खािरीि परतयक परयोगासाठरी नमना अवकाश ‘S’ तयातरीि नमना घटकाचरी सखया n(S) तसच घटना A, B, C सच सवरपात शिहा आश n(A), n(B) आश n(C) शिहा.

(1) एक फासा टाकिा असता,

घटना A साठरी अट, वरचया पषठभागावर सम सखया शमळ अशरी आह.

घटना B साठरी अट, वरचया पषठभागावर शवषम सखया शमळ अशरी आह.

घटना C साठरी अट, वरचया पषठभागावर मळ सखया शमळ अशरी आह.

(2) दोन फास एकाच वळरी टाकि असता,

घटना A साठरी अट, वरचया पषठभागावररीि अकाचरी बररीज 6 चया पटरीत अस अशरी आह.

घटना B साठरी अट, वरचया पषठभागावररीि अकाचरी बररीज कमरीत कमरी 10 अस अशरी आह.

घटना C साठरी अट, दोनहरी फाशावररीि अक समान अस अशरी आह.

Page 132: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

122

(3) तरीन नारी एकाच वळरी फकिरी असता,

घटना A साठरी अट, कमरीत कमरी दोन छाप शमळ अशरी आह.

घटना B साठरी अट, एकहरी छाप न शमळ अशरी आह

घटना C साठरी अट, ददसऱया नाणयावर छाप शमळ अशरी आह.

(4) अकाचरी पनरावततरी न करता 0, 1, 2, 3, 4, 5 या अकापासन दोन अकी सखया तयार कलया आहत.

घटना A साठरी अट, तयार झाििरी सखया सम सखया शमळ अशरी आह.

घटना B साठरी अट, तयार झाििरी सखया 3 न भाग जााररी अस अशरी आह.

घटना C साठरी अट, तयार झाििरी सखया 50 पकषा मोठरी अस अशरी आह.

(5) तरीन परष व दोन बसतया याचयातन दोघाचरी ‘पयामावर सशमतरी’ बनवायचरी आह.

घटना A साठरी अट, सशमतरीत कमरीत कमरी एक सतरी असावरी अशरी आह.

घटना B साठरी अट, सशमतरीत एक परष व एक सतरी असावरी अशरी आह.

घटना C साठरी अट, सशमतरीत एकहरी सतरी नसावरी अशरी आह.

(6) एक ना व एक फासा एकाच वळरी फकि.

घटना A साठरी अट, छाप आश शवषम सखया शमळ अशरी आह .

घटना B साठरी अट, H शकवा T आश समसखया शमळ अशरी आह.

घटना C साठरी अट, फाशावररीि सखया 7 पकषा मोठरी आश नाणयावर काटा शमळ अशरी आह.

जािन घऊया.

घटनची सभावयता (Probability of an event)

एक सोपा परयोग शवचारात घऊ. एका शपशवरीत समान आकाराच चार चड आहत. तयातरीि तरीन चड पाढर व चौथा चड काळा आह. डोळ शमटन तयातरीि एक चड काढायचा आह.

काढििा चड पाढरा असणयाचरी शकयता जासत आह, ह सहज कळत.

गणिती भाषत एखादा अपणकषत घटनची शकयता दशमिििाऱया सखयला सभावयता अस महितात. ती पढील सतर िापन सखयन णकिा शतिानात दशमिितात.

एखादा यादबचछक परयोगासाठरी नमना अवकाश S असि आश A हरी तया परयोगासबधरी अपशकषत घटना असि, तर तया घटनचरी सभावयता ‘P(A)’ अशरी दशमावतात आश पढरीि सतान ठरवतात.

P(A) = घटना ‘A’ मधरीि नमना घटकाचरी सखया

नमना अवकाशातरीि एक घटकाचरी सखया =

n(A)n(S)

Page 133: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

123

वररीि परयोगात, ‘उचिििा चड पाढरा अस’ हरी घटना A असि, तर n(A) = 3, कार पाढर चड तरीन आहत आश एक चड चार असलयान n(S) = 4

\ उचिििा चड पाढरा अस, याचरी सभावयता P(A) = n(A)n(S)

= 34

तसच‘उचिििा चड काळा अस’ हरी घटना B असि, तर n(B) = 1 \ P(B) = n(B)n(S)

= 14

ÒÒÒ   सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) एक ना फकि असता, खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा.

(i) छाप शमळ. (ii) काटा शमळ.

उकल ः समजा, ‘S’ नमना अवकाश आह.

S = H, T n(S) = 2

(i) समजा, घटना A साठरी अट छाप शमळणयाचरी आह.

A = H n(A) = 1

P(A) = n(A)n(S)

= 12

(ii) समजा, घटना B साठरी अट काटा शमळणयाचरी आह.

B = T n(B) = 1

P(B) = n(B)n(S)

= 12

उदा. (2) एक फासा टाकिा असता खािरीि परतयक अट पमा कराऱया घटनचरी सभावयता काढा. (i) वरचया पषठभागावर मळ सखया शमळ. (ii) वरचया पषठभागावर शमळाििरी सखया सम अस. उकल ः समजा, ‘S’ नमना अवकाश आह. S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6 (i) घटना A ः वरचया पषठभागावर मळ सखया शमळ.

A = 2, 3, 5 n(A) = 3

P(A) = n(A)n(S)

P(A) = 36

= 12

Page 134: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

124

(ii) घटना B ः वरचया पषठभागावर सम सखया शमळ. B = 2, 4, 6 n(B) = 3

P(B) = n(B)n(S)

P(B) = 36

= 12

उदा. (3) योगय ररीतरीन शपसिलया 52 पतयाचया कटमधन एक पतता काढिा, तर खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा. (i) तो पतता िाि अस. (ii) तो पतता शचतयक अस. उकल ः समजा, ‘S’ नमना अवकाश आह. \ n(S) = 52 (i) घटना A ः काढििा पतता िाि अस. एक िाि पतत = 13 चौकट पतत + 13 बदाम पतत

n(A) = 26

P(A) = n(A)n(S)

=2652

= 12

(ii) घटना B ः काढििा पतता शचतयक अस. कटमधय राजा, रारी आश गिाम ह शचतयक पतत असतात. एक 12 शचतयक पतत असतात. \ n(B) = 12

P(B) = n(B)n(S)

=1252

= 3

13

उदा. (4) एका खोकयात 5 सटटरॉबररीचरी, 6 कॉफीचरी व 2 पपरशमटचरी चॉकिट स आहत.तया खोकयातन एक चॉकिट काढि, तर - (i) काढिि चॉकिट कॉफीच अस, आश

(ii) काढिि चॉकिट पपरशमटच अस याचरी सभावयता काढा.उकल ः समजा ‘S’ नमना अवकाश आह. \ n(S) = 5 + 6 + 2 = 13

घटना A ः काढिि चॉकिट कॉफीच अस घटना B ः काढिि चॉकिट पपरशमटच अस

n(A) = 6 n(B) = 2

P(A) = n(A)n(S)

P(B) = n(B)n(S)

P(A) = 6

13 P(B) =

213

Page 135: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

125

ह लकषात ठवया.

• सभावयता सागताना िकवा िलिहताना अपणाकाचा िकवा शतमानाचा वापर कला जातो. • कोणतयाही घटनची सभावयता ही 0 त 1 िकवा 0% त 100% असत. g_Om, KQ>Zm E Agoc, Va 0 ≤ P(E) ≤ 1 िकवा 0 % ≤ P(E) ≤ 100 %

उदा. 14

ही सभावयता 25% अशी िलिहता यत. • पाठाचया सवातीला वगारतील मलाना वनसपतचया नावाचया िचठठया उचलायला सािगतल,

तया वळी तळस ह नाव असलली िची िवाथयारला िमळणयाचया सभावयतचा िवचार कला. एकाच िचीवर तळस ह नाव आह. जर 40 िवाथ तयक एक िची उचलणार असतील

तर तयकाला तळस ह नाव िलिहलली िची यणयाची सभावयता 1

40 आह. पिहलयान, तसच

मधय कोणीही िकवा शवटी िची उचलणाऱयाला ती िची िमळणयाची सभावयता तवढीच आह.

सरावसच 5.4

1. दोन नाणी फकली असता खालील घटनाची सभावयता काढा. (1) कमीत कमी एक छाप िमळण. (2) एकही छाप न िमळण.

2. दोन फास एकाच वळी टाकल असता खालील घटनाची सभावयता काढा. (1) पभागावरील अकाची बरीज कमीत कमी 10 असण. (2) पभागावरील अकाची बरीज 33 असण. (3) पिहलया फाशावरील अक दसऱया फाशावरील अकापकषा मोठा असण.

3. एका पटीत 15 ितिकट आहत. तयक ितकटावर 1 त 15 पक एक सखया िलिहलली आह. तया पटीतन एक ितकट याचछक पद धतीन काढल तर ितिकटावरची सखया ही

(1) सम सखया असण. (2) सखया 5 चया पटीत असण, या घटनoची सभावयता काढा.

4. अकाची पनरावतती न करता 2, 3, 5, 7, 9 या अकापासन दोन अक सखया तयार कली, तर खालील घटनाची सभावयता काढा.

(1) ती सखया िवषम असल. (2) ती सखया 5 चया पटीत असल.

5. योगय रीतीन िपसललया 52 पयाचया कटमधन एक पतता काढला तर खालील घटनाची सभावयता काढा. (1) एा िमळण. (2) इसपक पतता िमळण.

Page 136: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

126

सकीिमि परशनसगरह - 51. खािरीि परतयक परशनासाठरी अचक पयामाय शनवडा.

(1) खािरीि पयामायापकी कोतरी सभावयता अस शकार नाहरी?

(A) 23

(B) 1.5 (C) 15 % D) 0.7

(2) एक फासा फकिा तर वरचया पषठभागावर 3 पकषा कमरी सखया यणयाचरी सभावयता ..... असत.

(A) 16

(B) 13

(C) 12

D) 0

(3) 1 त 100 यामधन शनवडििरी सखया मळ सखया असणयाचरी सभावयता . . . . . असि.

(A) 15

(B) 625

(C) 14

D) 1350

(4) परतयक काडामावर एक सखया, यापरमा 1 त 40 या सखया शिशहििरी 40 काडद एका शपशवरीत आहत. तयापकी एक काडमा उचिि असता तया काडामावरचरी सखया 5 चया पटरीत असणयाचरी सभावयता ..... असि.

(A) 15

(B) 35

(C) 45

D) 13

(5) जर n(A) = 2, P(A) = 15

, तर n(S) = ?

(A) 10 (B) 5

2 (C) 2

5 D) 1

3

2. बासकटबॉि खळाड जॉन, वसरीम व आकाश एका ठरावरीक जागवरन बासकटमधय बॉि टाकणयाचा सराव करत होत. बासकटमधय बॉि पडणयाचरी जॉनचरी सभावयता 4

5, वसरीमचरी 0.83 व आकाशचरी 58% आह, तर

कोाचरी सभावयता सवाात जासत आह?3. एका हॉकी सघात 6 बचाव करार, 4 आकरमक व एक गोिरकषक अस खळाड आहत. यादबचछक पद धतरीन

तयातरीि एक खळाड सघनायक महन शनवडायचा आह. तर खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा. (1) गोिरकषक हा सघनायक अस. (2) बचाव करारा खळाड सघनायक अस. 4. जोसफन एका टोपरीत परतयक काडामावर इगजरी वमामाितरीि एक अकषर यापरमा सवमा अकषराचरी 26 काडद ठविरी

आहत. तयातन अकषराच एक काडमा यादबचछक पद धतरीन काढायच आह, तर काढिि अकषर सवर असणयाचरी सभावयता काढा.

5. फगवािा 2 िाि, 3 शनळ आश 4 शहरव अशा रगरीत फगयातरीि एक फगा परािरीिा यादबचछक पद धतरीन द ार आह. तर खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा.

(1) शमळाििा फगा िाि अस. (2) शमळाििा फगा शनळा अस. (3) शमळाििा फगा शहरवा अस.

Page 137: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

127

6. एका खोकयात 5 िाि पन, 8 शनळरी पन आश 3 शहरवरी पन आहत. यादबचछक पद धतरीन ऋतजािा एक पन काढायच आह. तर काढिि पन शनळ असणयाचरी सभावयता काढा.

7. एका फाशाचरी सहा पषठ खािरीिपरमा आहत.

A

B

C

D

E

A

हा फासा एकदाच टाकिा तर पढरीि घटनाचरी सभावयता काढा.

(1) वरचया पषठभागावर ‘A’ शमळ. (2) वरचया पषठभागावर ‘D’ शमळ.

8. एका खोकयात 30 शतशकट आहत. परतयक शतशकटावर 1 त 30 पकी एकच सखया शिशहिरी आह. तयातन कोतहरी एक शतकीट यादबचछक पद धतरीन काढि तर खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा.

(1) शतशकटावररीि सखया शवषम अस. (2) शतशकटावररीि सखया पमा वगमा अस.

77 मरी

50 मरी

1 23

456

7

8

9. एका बागचरी िाबरी व रदरी अनकरम 77 मरी व 50 मरी आह. बागत 14 मरीटर वयासाच तळ आह. बागजवळरीि इमारतरीचया गचचरीवर वाळत घातििा टॉवि वाऱयामळ उडन बागत पडिा. तर तो बागतरीि तळात पडिा असणयाचरी सभावयता काढा.

10. सधरीचया एका खळामधय 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 यापकी एका अकावर बा बसथरावतो आश तया समसभावय शनषपततरी आहत. खािरीि घटनाचरी सभावयता काढा.

(1) तो बा 8 या अकावर बसथराव.

(2) तो बा शवषम अकावर बसथराव.

(3) बाान दशमावििरी सखया 2 पकषा मोठरी अस.

(4) बाान दशमावििरी सखया 9 पकषा िहान अस.

11. परतयक काडामावर एक यापरमा 0 त 5 या प ााक सखया शिहन तयार कििरी सहा काडद खोकयात ठविरी आहत. तर खािरीि परतयक घटनचरी सभावयता काढा.

(1) काढिलया काडामावररीि सखया हरी नसशगमाक सखया अस.

(2) काढिलया काडामावररीि सखया 1 पकषा िहान अस.

(3) काढिलया काडामावररीि सखया हरी पमा सखया अस.

(4) काढिलया काडामावररीि सखया 5 पकषा मोठरी अस.

Page 138: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

128

12. एका बगत 3 लाल, 3 पाढर व 3 िहरव चड आहत. बगतन 1 चड याचछक पतीन काढला असता खालीलतयक घटनची सभावयता काढा.

(1) काढलला चड लाल असण. (2) काढलला चड लाल नसण.

(3) काढलला चड लाल िकवा पाढरा असण.

13. तयक काडारवर एक यामाण mathematics या शबदातील सवर अकषर िलिहली आिण ती काड पालथी ठवली.तयातन एक काडर उचललयास त अकषर ‘m’ असणयाची सभावयता काढा.

14. एका शाळतील 200 िवाथयापक 135 िवाथयाना कबी हा खळ आवडतो व इतराना हा खळ आवडतनाही. सवर िवाथयातन 1 िवाथ िनवडला तर तयाला कबी हा खळ आवडत नसणयाची सभावयता काढा.

15. 0, 1, 2, 3, 4 यापक अक घऊन दोन अक सखया तयार करायची आह. अकाची पनरावतती कलली चाललतर खालील घटनाची सभावयता काढा.

(1) ती सखया मळ असण. (2) ती सखया 4 चया पटीत असण.

(3) ती सखया 11 चया पटीत असण.

16. एका फाशाचया पभागावर 0, 1, 2, 3, 4, 5, या सखया आहत. हा फासा दोनदा फकला, तर वरचया पावरिमळाललया सखयाचा गणाकार शनय असणयाची सभावयता काढा.

17. खालील कती करा -कती I : तमचया वगारचा एकण पट n(S) =वगारतील चशमा वापरणाऱया िवाथयाची सखया n(A) =सवर िवाथयामधन चशमा घालणारा एक िवाथ याचछक पतीन िनवडणयाची सभावयता P(A) =सवर िवाथयामधन चशमा न घालणारा एक िवाथ याचछक पतीन िनवडणयाची सभावयता P(B) =कती II : नमना अवकाश सवत: ठरवन खालील चौकटी भरा.

नमना अवकाश

S = A =

n(S) = n(A) =

P(A) = =

घटना A साठी अट ‘सम सखया िमळण’ ही आह.

Page 139: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

129

6 साचखयकी

मानवरी जरीवनात साबखयकी अनक शाखात उपयक ठरत जस, शतरी, अथमाशासत, वाशजय, औषधशासत वनसपशतशासत, जवततजान, भौशतकशासत, रसायनशासत, शशकषशासत, समाजशासत, वयवसथापन इतयादरी. एखादा परयोगानतर शमळाऱया शनषपततीचया अनक शकयता असतात. जवहा तयाचरी शकयता तपासायचरी असत, तवहा मोठया परमाावर परयोग करन, सवमा बाबतीत वयवबसथत नोदरी कलया जातात. या नोदीचा उपयोग करन शवशवध शनषपततीचया सभावयता तपासता यतात. यासाठरी सखयाशासतात महजच साबखयकीत शनयम तयार कि आहत.

फाचनसस गालटन (1822-1911) या शबशटश शासतजान सखयाशासतात मिभत काम कि. त परशनाविरी तयार करन शतच वाटप अनक िोकामधय करत असत व तरी भरन दणयास शवनतरी करत असत. या ररीतरीन खप िोकाचरी माशहतरी गोळा करन तयाचरी पवमापरीशठका, आशथमाक बसथतरी, आवडरी-शनवडरी, आरोगय इतयादीचरी मोठया परमाावर नोद करत असत. वगवगळा िोकाचया बोटाच ठस वगवगळ असतात ह माहरीत झाि होत. गालटन यानरी अनक िोकाचया बोटाच ठस तपासन तयाच वगगीकर करणयाचरी पदधत ठरविरी. सखयाशासताचा उपयोग करन दोन वगळा वयकीचया बोटाच ठस सारख असणयाचरी शकयता जवळपास शनय असत ह दाखवि. तयामळ बोटाचया ठशावरन एखादा वयकरीचरी ओळख पटव शकय झाि. गनहगाराना शोधणयासाठरी हरी पदधत नयायाियातहरी मानय झािरी. पराणयाचया व मानवाचया अनवशशासतात तयानरी खप काम कि.

जरा आठिया.

सवदकषातन शमळािलया साबखयक सामगरीमधय सवमासाधारप एक गधममा आढळतो, तो महज सवमा परापाक एका शवशशष परापाकाभोवतरी शकवा तयाचया आसपास कशदरत होणयाचरी परवततरी. हा शवशशष परापाक तया समहाचरी पराशतशनशधक सखया असत. या सखयिा ‘कदररीय परवततरीच पररमा’ महतात.

अवगगीकत साररीसाठरी, मधय, मधयक व बहिक या पररमााचा अभयास आप यापवगी किा आह.

· कदरीय परिततीची पररिाि - िगतीकत िारिारता सारिीिन िधय, िधयक, बलक.· साचखयक िाणहतीच आलखाार सादरीकरि - आयतालख, िारिारता बभज, िततालख.

चला, णशकया.

फाचनसस गालटन

Page 140: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

130

परातयणकषक 1 : तमचया वगामातरीि सवमा मिाचरी उचरी मोजन सशटमरीटरमधय नोदवा. आपलयािा अस आढळत, की अनक मिाचरी उचरी हरी एखादा शवशशष सखयभोवतरी शकवा तयाचया आसपास कशदरत झाििरी असत.

परातयणकषक 2 : शपपळाचया झाडाखािरी पडििरी पान गोळा करा. परतयक शवदारयामािा एकक पान दा. आपापलया पानाचरी िाबरी दठापासन टोकापयात मोजा व नोदवा. सवमा शनररीकष (परापाक) नोदवलयावर आपलया अस िकषात यईि, की एका शवशशष सखयभोवतरी हरी शनररीकष कशदरत झाििरी आहत.

आता अाप साबखयक सामगरीचया कदररीय परवततीचया पररमााचा ‘मधय’, ‘मधयक’ व ‘बहिक’ याचा अशधक अभयास करार आहोत. तयासाठरी तयातरीि पररभाषा आश शचनह याचरी माशहतरी करन घऊ.

साबखयक सामगरीचा मधय = सवमा परापाकाचरी बररीज

एक परापाक =

xii

N

=∑

1

N (यथ xi हा i वा परापाक आह.)

मधय X न दशमावतात आश तरी शदिलया सामगरीचरी सरासररी असत.

X =

xii

N

=∑

1

Nजािन घऊया.

िगतीकत िारिारता णितरि सारिीिन िधय (Mean from grouped frequency distribution)

जवहा परापाकाचरी सखया मोठरी असत तवहा वररीि सतात सवमा सखया शिहन बररीज कर शजशकररीच होत. तयासाठरी आप अनय काहरी पदधतीचा वापर करतो.

कधरी कधरी मोठया परमाात किलया परयोगाचरी सामगरी वगगीकत साररीत शदििरी असत. अशा वळरी साबखयक माशहतरी तपासणयाचया सखयाचा मधय अचक काढता यत नाहरी, महन तयाचया जवळपासचरी सखया काढणयाचरी शकवा अदाज मधय काढणयाचरी ररीत अभयास.

सरळ पदधती (Direct method)

आता आप वगगीकत साबखयक माशहतरीचा मधय काढणयाचरी ररीत उदाहरान अभयास.

उदा. : खािरीि साररीत एक काम पमा करणयास परतयक कामगारािा िागाऱया वळच वारवारता शवतर शदि आह, तयावरन त काम पमा करणयास एका कामगारास िागाऱया वळचा मधय काढा.

परतयकािा काम पमा करणयास िागििा वळ (तास) 15-19 20-24 25-29 30-34 35-39कामगाराचरी सखया 10 15 12 8 5

Page 141: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

131

वगमा

(वळ तासात)

वगमामधय

xi

वारवारता (कामगाराचरी

सखया)

fi

वगमामधय वारवारता

xi fi

15-19

20-24

25-29

30-34

35-39

17

22

27

32

37

10

15

12

8

5

170

330

324

256

185

एक å fi = 50 å xi fi = 1265

उकल :

(1) साररीत दाखवलयापरमा उभ सतभ घति.

(2) पशहलया सतभात वगमा शिशहि.

(3) ददसऱया सतभात वगमामधय xi शिशहिा.

(4) शतसऱया सतभात तया वगामातरीि

कामगाराचरी वारवारता (fi) शिशहिरी.

(5) चौरया सतभात परतयक वगामासाठरी

(xi ´ fi) हा ग ाकार शिशहिा.

(6) नतर i

N

=∑

1xi fi शिशहि.

(7) सत वापरन मधय काढिा.

मधय = X = å xi fi

N = 1265

50 = 25.3

\ å fi = N

एका कामगारास काम पमा करणयास िागाऱया वळचा मधय = 25.3 तास (अदाज)

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) खािरीि साररीत 50 शवदारयााचया चाचरी पररीकषचया गाचरी टककवाररी शदिरी आह. तयावरन ग ाचया टककवाररीचा मधय काढा.

गाचरी टककवाररी 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100शवदाथगी सखया 3 7 15 20 5

उकल : पायऱयाचया आधार खािरीि साररी तयार किरी.

वगमा (गाचरी टककवाररी)

वगमामधय xi

वारवारता (शवदाथगी सखया)

fi

वगमामधय वारवारताxi fi

0-2020-4040-6060-80

80-100

1030507090

37

15205

30 210 7501400 450

एक N = å fi = 50 å xi fi = 2840

X = å xi fiå fi

= 284050

= 56.8 \ ग ाचया टककवाररीचा मधय = 56.8

Page 142: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

132

उदा. (2) मागरीि उनहाळात महाराषटरातरीि 30 शहरातरीि एका शदवसाच कमाि तापमान °C मधय खािरीि साररीत शदि आह, तयावरन कमाि तापमानाचा मधय काढा.

कमाि तापमान 24-28 28-32 32-36 36-40 40-44

शहराचरी सखया 4 5 7 8 6

उकल :

वगमा (तापमान °C)

वगमामधय

xi

वारवारता (शहराचरी सखया) fi

वगमामधय ´ वारवारता

xi fi24-28

28-32

32-36

36-40

40-44

26

30

34

38

42

4

5

7

8

6

104

150

238

304

252

एक N = å fi = 30 å xi fi = 1048

मधय = X = å xi fiå fi

= 1048

30 = 34.9 °C

गहीतिधय पदधती (Assumed mean method)

सोडविलया वररीि उदाहरावरन आपलया िकषात यत, की कधरीकधरी xi fi हा गाकार खप मोठरी सखया यत. तयामळ सरळ पदधतरीन मधय काढ थोड कठरी होत. तयासाठरी आप आखरी एक पदधत ‘गहरीतमधय पदधतरी’ जान घऊ. या पदधतरीन मधय काढताना िहान सखयाचरी बररीज व भागाकार कलयामळ काम सोप होत.

उदाहराथमा, 40, 42, 43, 45, 47, 48 ह परापाक आहत. याचा मधय काढायचा आह.

या उदाहरातरीि सखयाच शनररीकष कलयास आपलया अस िकषात यत, की या सामगरीचा मधय 40 पकषा जासत आह महन आप 40 हरी सखया मधय मान. हा गहरीतमधय आह. 40-40 = 0, 42 - 40 = 2, 43-40 = 3, 45-40 = 5, 47 - 40 = 7, 48 - 40 = 8 ह फरक पाहा. तयाना शवचिन महतात. तयाचा मधय काढ. तो 40 या मानिलया गहरीतमधयात शमळवलयास आपलयािा या सामगरीचा मधय शमळतो.

महजच, मधय = गहरीतमधय + गहरीतमधयापासनचया शवचिनाचा मधय

X = 40 + 0 2 3 5 7 8

6

+ + + + +

= 40 +

25

6 = 40 + 4 1

6 = 44 1

6

Page 143: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

133

गहरीतमधयासाठरी A, गहरीतमधयापासनचया शवचिनासाठरी d आश शवचिनाचया मधयासाठरी d हरी शचनह

मानन X = A + d ह सत शमळत.

हच उदाहर आप गहरीतमधय 43 घऊन करन पाह. परतयक परापाकातन 43 वजा करन वजाबाकी,

महजच गहरीतमधयापासनच शवचिन शमळव.

40 - 43 = -3, 42 - 43 = -1, 43 - 43 = 0, 45 - 43 = 2, 47 - 43 = 4, 48 - 43 = 5

गहरीतमधयापासनचया शवचिनाचरी बररीज = -3 -1 + 0 + 2 + 4 + 5 = 7

आता X = A + d

= 43 + 76

(यथ एक शवचिन 6 आहत.)

= 43 + 1 16

= 44 16

आपलया िकषात यत, की यापरमा गहरीतमधय वापरन उदाहर सोडवलयास आकडमोड कमरी होत. तसच

परापाकातरीि शकवा सोईचरी अनय कोतरीहरी सखया गहरीतमधय मानिरी तररी सामगरीचा मधय बदित नाहरी.

आता अाप शदिलया वारवारता साररीसाठरी हरी पदधत कशरी वापरता यत ह एका उदाहरान अभयास.

उदा. : 100 भाजरी शवकरतयाचरी रोजचया शवकरीचरी वारवारता साररी खािरी शदिरी आह. गहरीतमधय पदधतरीन दनशदन

शवकरीचा मधय काढा.

दनशदन शवकरी रपय 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000शवकरतयाचरी सखया 15 20 35 30

उकल : गहरीतमधय A = 2250 घऊ. di = xi - A ह शवचिन आह.

वगमा दनशदन शवकरी (रपय)

वगमामधय xi

di = xi- A= xi- 2250

वारवारता (शवकरतयाचरी सखया )

fi

वारवारता ´ शवचिनfi di

1000-1500

1500-2000

2000-2500

2500-3000

1250

1750

2250 A

2750

-1000

-500

0

500

15

20

35

30

-15000

-10000

0

15000एक N = å fi = 100 å fi di = -10000

Page 144: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

134

पायऱया वापरन साररी तयार किरी.

(1) गहरीतमधय A = 2250 घतिा. (साधारप जासतरीत जासत वारवारता असाऱया वगामाचा वगमामधय हा गहरीतमधय मानतात. )

(2) शवकरीच वगमा पशहलया सतभात शिशहि.

(3) ददसऱया सतभात वगमामधय शिशहि.

(4) शतसऱया सतभात di = xi- A = xi- 2250 चया शकमतरी शिशहलया.

(5) चौरया सतभात परतयक वगामातरीि शवकरतयाचरी सखया शिशहिरी व बररीज å fi शिशहिरी.

(6) पाचवया सतभात (fi ´ di ) ह गाकार करन तयाचरी बररीज å fi di किरी.

सत वापरन आता d व X काढिा.

d = å fi di

å fi

= -10000

100 = -100 \ मधय X = A + d = 2250 - 100 = 2150

दनशदन शवकरीचा मधय = 2150 रपय आह.

कती : हच उदाहर सरळ पदधतरीन सोडवा.

ÒÒÒ  सोडिलल उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) खािरीि साररीत एका वयावसाशयकाकडरीि 50 कामगाराचया दनशदन पगाराच वारवारता शवतर शदि

आह. तयावरन एका कामगाराचया दशनक पगाराचा मधय, गहरीतमधय पदधतरीन काढा.

दशनक पगार (रपय) 200-240 240-280 280-320 320-360 360-400

कामगाराचरी सखया (वारवारता) 5 10 15 12 8

उकल : गहरीतमधय A = 300 मान.

वगमा (पगार रपय)

वगमामधय xi

di = xi- Adi= xi-300

वारवारता (कामगार सखया)

fi

वारवारता ´ शवचिनfi di

200-240240-280280-320320-360360-400

220260

300 A340380

-80-40

04080

51015128

-400-400

0480640

एक å fi = 50 å fi di = 320

Page 145: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

135

= å fi di

å fi

= 320

50 = 6.4

मधय, X = A +

= 300 + 6.4

= 306.40

कामगाराचया दशनक पगाराचा मधय = 306.40 रपय आह.

िधयपरिाि णिचलन पदधती (Step deviation method)

आप मधय काढणयाचया सरळ पदधतरी व गहरीतमधय पदधतरी याचा अभयास किा. अशधक सिभतन मधय

काढणयाचरी आखरी एक पदधत उदाहरातन अभयास.

• परथम A हा गहरीतमधय वजा करन di चा सतभ तयार कर.

• सवमा di चा मसाशव g हा सहज शमळत असि तर ui = dgi याचा सतभ तयार कर.

• सवमा ui या सखयाचा मधय u हा काढ.

• X = A + u g या सतान मधय काढ

उदाहरि ः 100 कटबानरी आरोगयशवमयासाठरी गतवििरी वाशषमाक रककम वारवारता साररीत शदिरी आह. मधय-

परमा शवचिन पदधतरीन कटबाचया वाशषमाक गतवकीचा मधय काढा.

परतयक कटबाचरी शवमयाचरी रककम

(रपय) 800-1200 1200-1600 1600-2000 2000-2400 2400-2800 2800-3200

कटबाचरी सखया 3 15 20 25 30 7

उकल : A = 2200 मान, सवमा di पाहन g = 400 आह.

d

d

Page 146: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

136

वगमा शवमयाचरी रककम(रपय)

वगमामधय

xi

di = xi- A

= xi- 2200ui =

dgi

वारवारता (कटबाचरी सखया)

fifi ui

800-1200

1200-1600

1600-2000

2000-2400

2400-2800

2800-3200

1000

1400

1800

2200 A

2600

3000

-1200

-800

-400

0

400

800

-3

-2

-1

0

1

2

3

15

20

25

30

7

-9

-30

-20

0

30

14

एक å fi = 100 å fi ui = -15

वररीि साररी पढरीि पायऱयाचया आधार किरी.

(1) साररीचया पशहलया सतभात शवमयाचया गतवकीच वगमा शिशहि.

(2) ददसऱया सतभात वगमामधय xi शिशहिा.

(3) शतसऱया सतभात di = xi- A याचया शकमतरी शिशहलया.

(4) di या सवमा शकमतीचा मसाशव 400 आह. महन g = 400 घतिा. चौरया सतभात

ui = dgi =

di

400 या शकमतरी शिशहलया.

(5) पाचवया सतभात परतयक वगामाचरी वारवारता (कटबाचरी सखया) शिशहिरी.

(6) सहावया सतभात fi ´ ui हा गाकार परतयक वगामासाठरी शिशहिा.

ui चा मधय खािरीि सतान काढिा.

u = å fi ui

å fi

= -15100

= -0.15

X = A + u g

= 2200 + (-0.15) (400)

= 2200 + (-60.00)

= 2200 - 60 = 2140

\ कटबाचया शवमयाचया वाशषमाक गतवकीचा मधय 2140 रपय आह.

कती : सरळ पदधतरीन, गहरीतमधय पदधतरीन वररीि उदाहर सोडवा. कोतयाहरी पदधतरीन काढििा मधय सारखाच असतो ह अनभवा.

Page 147: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

137

ÒÒÒ  सोडिलल उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) शाळतरीि 50 शवदारयाानरी परगसतासाठरी जमविलया शनधीचरी वारवारता साररी शदिरी आह. तयावरन जमा

किलया शनधीचा मधय काढा.

शनधरी(रपय)

0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500 2500-3000

शवदाथगी 2 4 24 18 1 1

िगतचया वगामात खप कमरी परापाक असि, तर तयाचा शमळन एक वगमा कर सोईच असत. या उदाहरात

0 - 500 व 500 - 1000 याचा एक वगमा आश 2000 - 2500 व 2500 - 3000 याचा एक वगमा किा.

शनधरी (रपय) 0-1000 1000-1500 1500-2000 2000-3000 शवदाथगी 6 24 18 2

उकल : A = 1250 मान, सवमा di अभयासन g = 250 घऊ.

वगमा शनधरी (रपय)

वगमामधय xi

di = xi- A= xi- 1250

ui = dgi

वारवारता fi fi ui

0-1000 500 -750 -3 6 -18

1000-1500 1250 A 0 0 24 01500 - 2000 1750 500 2 18 362000-3000 2500 1250 5 2 10

एक å fi = 50 å fi ui = 28

u = å fi ui

å fi

= 2850

= 0.56,

u g = 0.56 ´ 250 = 140

X = A + g u = 1250 + 140 = 1390

\ जमा किलया नरीधीचा मधय 1390 रपय आह.

कती -

1. हच उदाहर सरळ पदधतरीन सोडवा.

2. वररीि उदाहरात काढििा मधय गहरीतमधय पदधतरीन काढन पडताळन पाहा.

3. A = 1750 घऊन वररीि पदधतरीन उदाहर सोडवा.

Page 148: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

138

सरािसच 6.11. इयतता 10 वरीचया 50 शवदारयाानरी रोजचया अभयासासाठरी वयतरीत किि तास व शवदाथगी सखया याचरी वारवारता

शवतर साररी शदििरी आह. तयावरन शवदारयाानरी अभयासासाठरी शदिलया वळचा मधय सरळ पदधतरीन काढा.

वळ (तास) 0-2 2-4 4-6 6-8 8-10शवदाथगी सखया 7 18 12 10 3

2. एका महामागामावररीि टोिनाकयावर सकाळरी 6 त सधयाकाळरी 6 या वळत जमा होारा कर (रपयात) व वाहनसखया याचरी वारवारता साररी शदिरी आह. तयावरन जमा होाऱया कराच ‘गहरीतमधय’ पदधतरीन मधय काढा.

जमा कर (रपय) 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800वाहन सखया 80 110 120 70 40

3. एका शदवशरी दध शवकरी कदरावरन 50 गाहकाना शवतररत किलया ददधाचरी वारवारता शवतर साररी शदििरी आह.तयावरन शवतररत किलया ददधाचा मधय सरळ पदधतरीन काढा.

दध शवतर (िरीटर) 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6गाहक सखया 17 13 10 7 3

4. काहरी बागाइतदाराचया सतयाचया उतपनाचरी वारवारता शवतर साररी शदिरी आह. तयावरन उतपनाचा मधय, ‘गहरीतमधय’ पदधतरीन काढा.

उतपन (हजार रपय) 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50बागाइतदाराचरी सखया 20 25 15 10 10

5. एका कपनरीतरीि 120 कममाचाऱयाकडन ददषकाळगसतासाठरी जमा किलया शनधरीचरी वारवारता शवतर साररी शदिरी आह. कममाचाऱयाचया जमा शनधरीच मधय, ‘मधय परमा शवचिन’ पदधतरीन काढा.

शनधरी (रपय) 0-500 500-1000 1000-1500 1500-2000 2000-2500कममाचाररी सखया 35 28 32 15 10

6. एका कारखानयातरीि 150 कामगाराचरी सापाशहक पगाराचरी वारवारता शवतर साररी शदिरी आह. तयावरन कामगाराचया सापाशहक पगाराचा मधय, ‘मधयपरमा शवचिन’ पदधतरीन काढा.

सापाशहक पगार रपय 1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000कामगाराचरी सखया 25 45 50 30

Page 149: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

139

जरा आठिया.

शवजान परदशमानात भाग घणयासाठरी एका शाळतन दोन शवदाथगी व दोन शवदाशथमानरी दोन शदवसासाठरी वगळा शहरात गि होत. तयाना आपि सधयाकाळच जव कोठ घयाव ह ठरवायच होत. कामाचया जागपासन एक शकिोमरीटर अतराचया आत भोजन दाररी दहा हॉटलस होतरी. तयाच जवाच दर रपयात, चढतया करमान खािरीिपरमा होत.

40, 45, 60, 65, 70, 80, 90, 100 आश 500

सवमा हॉटिातरीि जवाचरी सरासररी शकमत 1130

10= 113 र. होतरी.

शवदारयाानरी कोतया हॉटिात जव घणयाच ठरवि असाव? 500 रपय दराच जव दार हॉटि सोडन इतर सवमा हॉटिाचा दर 113 र. पकषा कमरी होता. शवदारयाानरी मधयम दराच हॉटि शनवडायच ठरवि. पशहलया शदवशरी 70 र. दराच व ददसऱया शदवशरी 80 र. दराच जव घति.

काहरी वळा परापाकाचया सरासररीपकषा तयाचा मधयक वापरिा जातो याच ह उदाहर आह.

मागरीि इयततत अवगगीकत सामगरीसाठरी ‘मधयक’ हरी सकलपना आप अभयासिरी आह.

y शदिलया सामगरीतरीि सखया चढतया शकवा उतरतया करमान माडलया असता, माडरीतरीि मधयभागरी याऱया सखयिा सामगरीचा मधयक महतात.

y मधयक हा शदिलया सामगरीच दोन समान भागात शवभाजन करतो. महजच शदिलया सामगरीसाठरी मधयकाचया वर आश खािरी दोनहरी बाजना समान परापाक असतात.

y शदिि परापाक k1 ≤ k2 ≤ k3 . . . . . ≤ kn अशा ररीतरीन शिशहतात.

y सामगरीतरीि परापाक शवषम असताना n +12

वा परापाक सामगरीचा मधयक असतो, कार k n+12

चया आधरी n -12

इतक परापाक व तयानतरहरी n -12

इतक परापाक असतात. n = 2m + 1 घऊन ह पडताळा.

y सामगरीतरीि परापाक n हा सम असताना सामगरीचा मधयक हा मधयावररीि दोन सखयाचरी सरासररी असतो. कार k n

2 चया आधरी व k n+2

2

चया नतर परतयकी n - 22 परापाक असतात. n = 2m घऊन ह पडताळा.

y महजच n2 वरी सखया व n + 2

2 वरी सखया याचरी सरासररी घतलयावर याररी सखया हरी तया सामगरीचा मधयक असत.

उदा. (1) 32, 33, 38, 40, 43, 48, 50 या परापाकाचया माडरीत चौथरी सखया मधयावर यत, महन शदिलया सामगरीचा मधयक = 40

उदा. (2) 61, 62, 65, 66, 68, 70, 74, 75 यथ परापाकाचरी सखया 8 महज सम आह, महन चौथरी व पाचवरी अशा दोन सखया मधयावर आहत, तया 66 व 68 या आहत. महन शदिलया सामगरीचा मधयक = 66 68

2

+ = 67

Page 150: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

140

जािन घऊया.

िगतीकत िारिारता णितरि सारिीिन िधयक (Median from grouped frequency distribution)

परापाकाचरी सखया मोठरी असत, तवहा अशा परकार माडरी करन मधयक काढ शजशकररीच होत. महन आता आप वगगीकत वारवारता शवतराच अदाज मधयक काढणयाचरी ररीत उदाहराचया साहाययान अभयास.

उदा. 6, 8, 10.4, 11, 15.5, 12, 18 या परापाकाचरी वगगीकत साररी पढ शदिरी आह.

वगमा ताळाचया खा वारवारता6-10 ।। 211-15 ।। 2

16-20 । 1

पशहलया साररीत 10.4 व 15.5 ह दोन परापाक समाशवष करता आि नाहरीत. कार या सखया 6-10, 11-15, 16-20 यापकी कोतयाच वगामात समाशवष होत नाहरीत.

अशा वळरी वगमा सिग करन घतात ह आपलयािा माहरीत आह.

या साररीत खािचरी वगमामयामादा 0.5 न कमरी व वरचरी वगमामयामादा 0.5 न वाढविरी असता, शमळाििरी ददसररी

शवतर साररी तयार होईि. यथ 15.5 हा परापाक 15.5 - 20.5 या वगामात समाशवष होईि.

वगगीकराचरी पद धत बदििरी तर वारवारता बदि शकत ह वररीि सारीवरन िकषात यत.

ह लकषात ठिया.

वररीि सारीत 6-10 या वगामाचा मधय = 6 10

2

+ = 16

2 = 8;

तसच 5.5-10.5 या वगामाचा मधय = 5 5 10 5

2

. .+ = 16

2 = 8.

महज वगााचरी रचना वगळा पदधतरीन किरी तररी वगमामधय बदित नाहरी ह िकषात घया.

सोडिलल उदाहरि

इयतता 10 वरीचया सराव पररीकषत पराप किलया 100 शवदारयााचया गाचरी वारवारता साररी पढ शदिरी

आह. शवदारयााचया गाच मधयक काढा.

पररीकषतरीि ग 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100शवदाथगी सखया 4 20 30 40 6

वगमा ताळाचया खा वारवारता5.5-10.5 ।।। 3

10.5-15.5 ।। 2

15.5-20.5 ।। 2

Page 151: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

141

उकल : N = 100

N2 = 50 महन 50 वरी सखया हा अदाज मधयक असार. यासाठरी 50 वरी सखया कोतया वगामात यत,

ह आपलयािा शोधाव िागि. ‘वरचया वगमामयामादपकषा कमरी’ परकारचया सशचत वारवारता साररीवरन ह

शोधता यईि. तयासाठरी आप वररीि वारवारता साररीवरन ‘पकषा कमरी’ सशचत वारवारता शवतर साररी

तयार कर.

वगमा (शवदारयााच ग )

वारवारता शवदाथगी सखया

fi

सशचत वारवारता (पकषा कमरी)

cf

0-20 4 4

20-40 20 24

40-60 30 54

60-80 40 94

80-100 6 100

या साररीवरन,

yN2 = 50 या करमाकाचा परापाक 40-60 या वगामात आह. जया वगामामधय मधयक यतो, तया वगामािा

िधयकिगमि महतात. यथ 40 - 60 हा मधयकवगमा आह.

y 40-60 या वगामाचरी खािचरी मयामादा 40 आह व वारवारता 30 आह.

y पशहलया 50 परापाकापकी सरवातरीच 24 परापाक ह 40 पकषा कमरी आहत. उरिि 50 - 24 = 26

परापाक (40 - 60) या वगामात आहत. तयातरीि 50 वया परापाकाचा अदाज पढरीिपरमा करतात.

y या वगामातरीि एक 30 पकी 26 परापाक 50 वया परापाकापयात आहत व वगाातर 20 आह महन

50 वा परापाक, 40 पकषा 2630

´ 20 न मोठा आह अस मानतात.

तो अदाज 40 + 2630

´ 20 = 40 + 523

= 571

3 आह.

\ मधयक = 571

3

Page 152: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

142

y सतरपान ह आप खािरीिपरमा शिह शकतो.

मधयक = L + N cf

fh2

×

या सतात L = मधयकवगामाचरी खािचरी सरीमा, N = एक वारवारता

h = मधयक वगामाच वगाातर, f = मधयक वगामाचरी वारवारता

cf = मधयक वगामाचया आधरीचया वगामाचरी सशचत वारवारता.

वररीि उदाहरात; N2 = 50, cf = 24, h = 20, f = 30, L = 40,

मधयक = L + N cf

fh2

× . . . . . . (सत)

= 40 + 50 24

30

´ 20

= 40 + 26 20

30

´

= 40 + 17 13

= 571

3

ह लकषात ठिया.

Ê मधयक काढणयासाठरी शदिि वगमा सिग नसतरीि तर त सिग करन घयाव िागतात.

Ê परापाकाचरी सखया खप मोठरी असताना चढतया करमान परतयक परापाक शिशह अवघड

असत. महन सामगरीचरी माडरी वगगीकत सवरपात करतात. अशा वगगीकत सामगरीचा मधयक

अचक काढ शकय नसत, परत अदाज मधयक काढणयासाठरी पढरीि सत वापरतात.

मधयक = L + N cf

fh2

×

Page 153: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

143

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

उदा. (1) सावमाजशनक वाहतक सवचया 60 बससनरी एका शदवसात कापिलया अतराचरी वारवारता साररी

शदिरी आह. बससनरी एका शदवसात कापिलया अतराचा मधयक काढा.

दनशदन कापिि अतर (शकमरी) 200-209 210-219 220-229 230-239 240-249बससचरी सखया 4 14 26 10 6

उकल : साररीत शदिि वगमा सिग नाहरीत,

एका वगामाचरी वरचरी मयामादा व पढरीि वगामाचरी खािरीि मयामादा यातरीि फरक 1 आह.

\ 1 ¸ 2 = 0.5 हरी शकमत परतयक वगामाचया खािचया मयामादतन वजा कर आश वरचया

वगमामयामादत शमळवन वगमासरीमा ठरव. तयानसार वगमा सिग कर व नवरी साररी शिह.

नतर तयात ‘पकषा कमरी’चा सशचत वारवारतचा सतभ तयार कर.

शदिि वगमा सिग किि वगमावारवारता

fi

सशचत वारवारता पकषा कमरी

200-209 199.5-209.5 4 4210-219 209.5-219.5 14 18 ® cf220-229 219.5-229.5 26 ® f 44230-239 229.5-239.5 10 54240-249 239.5-249.5 6 60

यथ एक वारवारता = Sfi = N = 60 \ N2 = 30. \ मधयक हा अदाज 30 वा परापाक.

पशहि 18 परापाक 219.5 पकषा कमरी व उरिि, 30 - 18 = 12 परापाक 219.5 - 229.5

या वगामात आहत. महन हा मधयकवगमा आह.

219.5-229.5 या वगामाचरी सशचत वारवारता 44 आह.

सतामधय,

L = मधयक वगामाचरी खािचरी मयामादा = 219.5, h = मधयक वगामाच वगाातर = 10

cf = मधयक वगामाचया आधरीचया वगामाचरी सशचत वारवारता = 18,

f = मधयक वगामाचरी वारवारता = 26

मधयक = L + N cf

fh2

×

Page 154: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

144

\ मधयक = 219.5+ 30 18

2610

×

= 219.5 + 12 10

26

×

= 219.50 + 4.62

= 224.12

बससचया दनशदन अतराच मधयक = 224.12 शकिोमरीटर

उदा.(2) खािरीि साररीत एका शदवशरी एका वसतसगहाियािा भट दाऱया वयकीचरी वय शदििरी आहत.

तयावरन वयकीचया वयाच मधयक काढा.

वय (वषद) वयकीचरी सखया10 पकषा कमरी 320 पकषा कमरी 1030 पकषा कमरी 2240 पकषा कमरी 4050 पकषा कमरी 5460 पकषा कमरी 71

उकल : यथ पकषा कमरी सशचत वारवारता शवतर शदिि आह. परथमतः या सवमा वगााचया खऱया वगमामयामादा

शमळवावया िागतरीि. आपलयािा माहरीत आह, की ‘पकषा कमरी’ सशचत वारवारता हरी वगामाचया

वरचया वगमामयामादशरी शनगशडत असत. पशहलया वगामाचरी वरचरी मयामादा 10 आह. कोाहरी वयकरीच

वय धन सखया असत महन पशहिा वगमा 0-10 असा असि. ददसऱया वगामाचरी वरचरी मयामादा 20

आह, महन ददसरा वगमा 10-20 होईि. अशा परकार वगाातर 10 घऊन करमान वगमा तयार कि.

यापरमा शवटचा वगमा 50-60 झािा. अशा परकार आपलयािा खािरीिपरमा वगमा शिशहता यतात.

वय वषद वगमावयकीचरी सखया

वारवारतासशचत वारवारता

पकषा कमरी10 पकषा कमरी 0-10 3 320 पकषा कमरी 10-20 10 - 3 = 7 1030 पकषा कमरी 20-30 22 - 10 = 12 22 ® cf40 पकषा कमरी 30-40 40 - 22 = 18 ® f 4050 पकषा कमरी 40-50 54 - 40 = 14 5460 पकषा कमरी 50-60 71 - 54 = 17 71

Page 155: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

145

सरावसच 6.2

यथ N = 71 \ N2 = 35.5 आणि h = 10

35.5 ही सखयया 30-40 यया वरयागात आह. महिन हया मधयकवरगा आह. तययाआधीचयया वरयागाची सणचत

वयारवयारतया 22 आह, महिन cf = 22, L = 30, f = 18.

मधयक = L + N cf

fh2

×

= 30 + (35.5-22) 1018

= 30 + (13.5) 1018

= 30 + 7.5

= 37.5

\ भट दियाऱयया वयकतीचयया वययाच मधयक = 37.5 वरष

1. खयालील सयारिीत एकया सॉफटवअर कपनीतील दनणदन कयामयाच तयास व तवढया वळ कयाम करियाऱयया

कमगाचयाऱययाची सखयया णदली आह. तययावरन कपनीतील कमगाचयाऱययाचयया दनणदन कयामयाचयया तयासयाच मधयक

कयाढया.

दनणदन कयामयाच तयास 8-10 10-12 12-14 14-16कमगाचयाऱययाची सखयया 150 500 300 50

2. एकया आमरयाईतील आबययाची झयाड व परतयक झयाडयापयासन णमळयाललयया आबययाची सखयया ययाच वयारवयारतया

णवतरि णदल आह. तययावरन णदललयया सयामगीच मधयक कयाढया.

आबययाची सखयया 50-100 100-150 150-200 200-250 250-300झयाडयाची सखयया 33 30 90 80 17

3. मबई-पि दरतरतीमयारयागाचयया वयाहतकीच णनयतरि करियाऱयया पोलीस चौकीवर कललयया सवषकषियात

पढीलपरमयाि णनरीकषि आढळली. णदललयया नोदतीच मधयक कयाढया.

वयाहनयाची रती(णकमी/तयास)

60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89

वयाहनयाची सखयया 10 34 55 85 10 6

Page 156: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

146

4. शवशवध कारखानयामधय उतपादन होाऱया शदवयाचरी सखया खािरीि साररीत शदिरी आह. तयावरन

शदवयाचया उतपादनाचा मधयक काढा.

शदवयाचरी सखया (हजार)

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

कारखानयाचरीसखया

12 35 20 15 8 7 8

जािन घऊया.

िगतीकत िारिारता णितरिािन बलक (Mode from grouped frequency distribution)

शदिलया परापाकात जासतरीत जासत वळा यारा परापाक महज तया समहाचा बहिक असतो ह

आप जातो.

उदाहराथमा, एखादरी ददचाकी उतपादक कपनरी शवशवध रगामधय ददचाकी गाडा तयार करत. कोतया रगाचया

गाडाचरी पसतरी सवामाशधक आह ह जान घणयासाठरी तया कपनरीिा रगाच बहिक माहरीत अस आवशयक

असत. तयाचपरमा शवशवध उतपादन असाऱया एखादा कपनरीिा सवामाशधक मागरी कोतया उतपादनासाठरी

आह ह जान घणयाचरी आवशयकता वाटि. अशा वळरी तया उतपादनाचा बहिक काढावा िागि.

आप अवगगीकत वारवारता साररीवरन बहिक कसा काढायचा ह पाशहि आह.

आता आप वगगीकत वारवारता शवतरावरन अदाज बहिक कसा काढायचा त अभयास.

तयासाठरी पढरीि सत वापरतात.

बहिक = L f ff f f

+−

− −

1 0

1 0 22 ´ h

वररीि सतात, L = बहिकीय वगामाचरी खािचरी मयामादा

f1 = बहिकीय वगामाचरी वारवारता

f0 = बहिकीय वगामाचया आधरीचया वगामाचरी वारवारता

f2 = बहिकीय वगामाचया पढचया वगामाचरी वारवारता

h = बहिकीय वगामाच वगाातर

ह सत वापरन अदाज बहिक कसा काढतात, ह उदाहरावरन अभयास.

Page 157: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

147

ÒÒÒ   सोडिलली उदाहरि ÒÒÒउदा.(1) खािरीि वारवारता शवतर साररीत करीडागावर खळायिा याऱया मिाचरी सखया व तयाच

वयोगट शदि आहत. तयावरन करीडागावर खळाऱया मिाचया वयाच बहिक काढा.

मिाचा वयोगट (वषद) 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16

मिाचरी सखया 43 58 ® f0 70 ® f1 42 ® f2 27

वररीि साररीवरन अस िकषात यत, की 10-12 या वयोगटातरीि शवदाथगी सखया सवाात जासत

आह, महजच 10-12 हा बहिकीय वगमा आह.

उकल : यथ f1 = 70, आश 10-12 हा बहिकीय वगमा.

\ शदिलया उदाहरात,

L = बहिकीय वगामाचरी खािचरी मयामादा = 10

h = बहिकीय वगामाच वगाातर = 2

f1 = बहिकीय वगामाचरी वारवारता = 70

f0 = बहिकीय वगामाचया आधरीचया वगामाचरी वारवारता = 58

f2 = बहिकीय वगामाचया पढचया वगामाचरी वारवारता = 42

बहिक = L f ff f f

+−

− −

1 0

1 0 22 ´ h

= 10 + 70 58

2 70 58 42

−− −

( )´ 2

= 10 + 12

140 100−

´ 2

= 10 + 12

40

´ 2

= 10 + 2440

= 10 + 0.6

= 10.6

\ करीडागावर खळाऱया मिाचया वयाच बहिक = 10.6 वषद

Page 158: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

148

उदा. (2) खािरीि वारवारता शवतर साररीत एका पटटरोिपपावर पटटरोि भराऱया वाहनाचरी सखया आश

वाहनामधय भरिि पटटरोि याचरी माशहतरी शदिरी आह. तयावरन वाहनात भरिलया पटटरोिचया

आकारमानाच बहिक काढा.

भरिि पटटरोि (िरीटर) 1-3 4-6 7-9 10-12 13-15

वाहनाचरी सखया 33 40 27 18 12

उकल : यथ शदिि वगमा सिग नाहरीत. त आप सिग करन घऊ आश वारवारता साररी तयार कर.

वगमा सिग किि वगमा वारवारता

1-3 0.5-3.5 33 ® f0

4-6 3.5-6.5 40 ® f1

7-9 6.5-9.5 27 ® f2

10-12 9.5-12.5 18

13-15 12.5-15.5 12

यथ f1 = बहिकीय वगामाचरी वारवारता = 40, बहिकीय वगमा 3.5-6.5

बहिक = L f ff f f

+−

− −

1 0

1 0 22 ´ h

बहिक = 3.5 + 40 33

2 40 33 27

−− −

( ) ´ h

= 3.5 + 7

80 60−

´ 3

= 3.5 + 2120

= 3.5 + 1.05

= 4.55

\ वाहनात भरिलया पटटरोिचया आकारमानाचा बहिक = 4.55 िरीटर

Page 159: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

149

सरािसच 6.3

1. एका दध सकिन कदरावर शतकऱयाकडन सकशित किि दध व िरकटोमरीटरन मोजिि ददधातरीि (फटच) बसनगधाशाच परमा शदि आह. तयावरन ददधातरीि बसनगधाशाचया परमााच बहिक काढा.

ददधातरीि बसनगधाश (%) 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7

सकशित दध (िरीटर) 30 70 80 60 20

2. काहरी कटबाचा माशसक वरीजवापर पढरीि वगगीकत वारवारता साररीत शदिा आह. तयावरन वरीजवापराच बहिक काढा.

वरीजवापर (यशनट) 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120

कटबाचरी सखया 13 50 70 100 80 17

3. चहाचया 100 हॉटिाना परविि दध व हॉटिाचरी सखया याचरी वगगीकत वारवारता साररी शदिरी आह. तयावरन परविलया ददधाच बहिक काढा.

दध (िरीटर) 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13

हॉटिाचरी सखया 7 5 15 20 35 18

4. खािरीि वारवारता शवतर साररीत 200 रगाचरी वय आश उपचार घाऱया रगाचरी एका आठवडातरीि

सखया शदिरी आह. तयावरन रगाचया वयाच बहिक काढा

वय (वषद) 5 पकषा कमरी 5-9 10-14 15-19 20-24 25-29

रगसखया 38 32 50 36 24 20

कती :-

· तमचया वगामातरीि 20 मिाचया वजनाचा मधय काढा.

· तमचया वगामातरीि मिाचया शटााचया मापाचा बहिक काढा.

· वगामातरीि परतयक शवदारयामान आपलया नाडरीच एका शमशनटात पडार ठोक मोजावत व तयाचरी नोद करावरी. या नोदीचरी साररी करा व तयावरन नाडरीचया ठोकयाचा बहिक काढा.

· वगामातरीि परतयक शवदारयामाचया उचरीचरी नोद करा. तया नोदीच वगगीकर करा. उचरीचा मधयक काढा.

Page 160: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

150

खळाड

धावा

ह लकषात ठिया.

आप कदररीय परवततरीचया मधय, मधयक व बहिक या पररमााचा अभयास किा. कदररीय परवततरीच कोत पररमा शनवडायच ह ठरवणयासाठरी, त शनवडणयासाठरीचा हत आपलयािा सपषप माहरीत अस आवशयक असत. समजा, एका शाळतरीि 10 वरी चया पाच तकडापकी कोतरी तकडरी अतगमात पररीकषत जासत सरस आह ह ठरवणयासाठरी तया परतयक तकडरीचा अतगमात पररीकषतरीि गाचा ‘मधय’ काढावा िागि. एखादा वगामातरीि मिाच तयाचया पररीकषतरीि गावरन दोन गट करायच असतरीि, तर तया वगामातरीि मिाचया गाचा ‘मधयक’ ह पररमा शनवडाव िागि. खड तयार कराऱया एखादा बचत गटािा कोतया रगाचया खडना सवामाशधक मागरी आह ह शोधायच असि, तर कदररीय परवततरीच ‘बहिक’ ह पररमा शनवडाव िागि.

साबखयक माशहतरीचा मधय, मधयक, बहिक यावरन शकवा माशहतरीच शवशिष करन तयाचा उपयोग काहरी शवशशष शनषकषमा शमळवणयासाठरी होतो.

साबखयक माशहतरी सशकषप रपात सादर करणयाचरी एक पदधत महज साररीचया रपात सामगरी माड ह आपलयािा माहरीत आह, परत साररीचया रपात असलयामळ तयावरन काहरी बाबरी झटकन िकषात यत नाहरीत. सामानय मासाना तया समजणयासाठरी, महजच सवमासामानय िोकाच िकष सामगरीतरीि महतवाचया बाबीकड वधणयासाठरी, तया माशहतरीच सादररीकर वगळा परकार करता यईि का असा शवचार कर. उदाहराथमा, अथमासकलपातरीि बाबरी, खळातरीि माशहतरी इतयादरी.

उधाररी व इतर दाशयतव

कदररीय परायोशजत योजना

H °$mnmo

कदररीय योजना

वयाज फडसरकष

इतर खचमाकर आश शलकात

राजयाचा शहससाशवतत आयोग व इतर हसतातर

आयकरसरीमा शलक

कर शभन रवहनयऋ शभन जमा

भाडविसवा कर व इतर कर

कदररीय उतपादन शलक

रपया यतो कसा?

रपया जातो कसा?

अथमासाहायय

साचखयक सािगरीच णचतरप सादरीकरि (Pictorial representation of statistical data)

Page 161: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

151

सािगरीच सादरीकरि (Presentation of data)

शचतरप व आिखरप सादररीकर ह सामगरीचा अथमाबोध होणयासाठरी वापरि जाार िकषवधरी परकार आहत.

सामगरी सादररीकराचया शवशवध पदधतरी दशमावाररी शाखाकतरी (tree chart) खािरी दाखविरी आह.

सामगरी सादररीकर

साररीकर शचतरप पदधतरी आिख पदधतरी

अवगगीकत वगगीकत सतभािख वततािख रषािख

साधा जोड शवभाशजत शतमान आयतािख वारवारता बहभज

मागरीि इयततामधय आप यापकी काहरी पदधतीचा व आिखाचा अभयास किा आह. आता आप आयतािख, वारवारता बहभज व वततािख याचया साहाययान सामगरीच परशतरप कस करायच त पाह.

फलॉरनस नाइणटगल (1820-1910) या थोर सतरीिा उतकष व धययशनषठ पररचाररका महन ओळखि जात. H«$sशमयन यदधातरीि जखमरी सशनकाचरी शशषा करन तयानरी अनकाच परा वाचवि. सखयाशासतात दखरीि फॉरनस नाइशटगि यानरी पायाभत काम कि आह. अनक सशनकाचरी अवसथा, तयाचयावर किि उपचार व तयाचा उपयोग या सवााचरी वयवबसथत नोद करन तयानरी महतवाच शनषकषमा काढि. सशनकाचया मतयना तयाचया जखमापकषा टायफॉइड, कॉिरा यासारख रोग जासत काररीभत होत. तयाचरी कार पररसराचरी असवचछता, शपणयाच असवचछ पारी, रगाना दाटरीवाटरीन राहायिा िाग हरी, होतरी. हरी कारमरीमासा चटकन धयानात यावरी महन फॉरनस यानरी पायचाटमासारख आिख तयार कि. योगय उपचार आश सवचछतच शनयम पाळन तयानरी सशनकाचा मतयदर खप कमरी करन दाखविा. शहराच आरोगय राखणयासाठरी, वयवबसथत मिशनससार करार डटरनज आश शपणयासाठरी सवााना शदध पारी आवशयक आह, ह तयाच शनररीकष नगरपाशिकाना पटि. अनक शनररीकषाचरी कििरी उततम नोद, साबखयकीचया आधार शवशवासाहमा शनषकषमा काढणयास मदत करत, ह तयाचया कामावरन शदसि.

Page 162: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

152

जारन घऊया.

आयतालख : Histogram आतयालख व तो कयाढणयाची रीत आप एकया उदयािरयान सिन घऊ.

उिा : खयालील सयारीत हवहवि कपनयाचया मचअल फियाच एकया हनरच नकत यालततया ल (Net asset

value) हदल आि.

तयावरन आतयालख कयाढया.

नकत यालततया ल (रप) (NAV) 8-9 10-11 12-13 14-15 16-17

å¶wÀ¶wAb फियाची सखया 20 40 30 25 15

उकल : वरील सयारीसयाठी हदलल वगट सलग नयािीत. त सवटपरथ सलग करन घऊ.

सलग कलल वगट 7.5-9.5 9.5-11.5 11.5-13.5 13.5-15.5 15.5-17.5वयारवयारतया 20 40 30 25 15

आयतालख काढणयाची कती

1. वगट सलग नसलयास त सलग करन घयावत. अशया वगयाानया वहिटत वगट (extended class intervals) मितयात.

2. ि वहिटत वगट X- अकषयावर ोग परया घऊन दशटवया.

3. Y- अकषयावर वयारवयारतया ोग परया घऊन दशटवया.

4. X- अकषयावर परतक वहिटत वगट िया पयाया घऊन तयावर आत कयाढया. आतयाची उची सगत वयारवयारतयाएवढी घया.

आकती 6.1

5101520253035

40

7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5

वयारव

यारतया

वगट

परया X-अकष :1 सी = 2 रपY-अकष : 1 सी = 5 फि

X

Y

X¢ Y¢

Page 163: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

153

सरािसच 6.4

लकषात घया.

X-अकषावर अारभशबद आश पशहिा वगमा याचयामधय ‘ ’ अशरी ख आह. (या खस अकषसकोच,

krink mark, अस महतात.) याचा अथमा आरभशबदपासन पशहलया वगामापयात कोतरीहरी शनररीकष नाहरीत. तयामळ

X- अकषाचरी घडरी घातलयासारखरी हरी ख आह. आवशयकतनसार Y- अकषावरहरी हरी ख वापरतात. तयामळ योगय

आकाराचा आिख काढता यतो.

1. पढरीि सामगरी आयतािखादार दशमावा.

शवदारयााचरी उचरी (समरी.) 135-140 140-145 145-150 150-155शवदाथगी सखया 4 12 16 8

2. खािरीि साररीत जवाररीच एकररी उतपन शदि आह. तयावरन आयतािख काढा.

एकररी उतपन (बविटि) 2-3 4-5 6-7 8-9 10-11शतकऱयाचरी सखया 30 50 55 40 20

3. खािरीि साररीत 210 कटबाचरी वाशषमाक गतवक शदिरी आह. तयावरन आयतािख काढा.

गतवक (हजार रपय)

10-15 15-20 20-25 25-30 30-35

कटबाचरी सखया 30 50 60 55 15

4. खािरीि साररीत शवदारयाानरी पररीकषचया तयाररीसाठरी शदििा वळ दशमाविा आह. तयावरन आयतािख काढा.

वळ (शमशनटात) 60-80 80-100 100-120 120-140 140-160शवदाथगी सखया 14 20 24 22 16

जािन घऊया.

िारिारता बभज (Frequency polygon)

वारवारता साररीतरीि माशहतरी शवशवध परकार दशमावता यत. आप आयतािखाचा अभयास किा आह. ददसरा

परकार ‘वारवारता बहभज’ हा आह.

वारवारता बहभज काढणयाचया दोन पदधतीचा अभयास कर.

(1) आयतािखाचया मदतरीन (2) आयतािख न वापरता.

(1) आयतािखाचया मदतरीन वारवारता बहभज काढणयाचरी ररीत समजन घणयासाठरी आप आकतरी 6.1 मधय दाखविलया आयतािखाचाच उपयोग कर.

Page 164: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

154

1. आतयालखयातील परतक आतयाचया वरचया बयािचया धहबद दशटवया.

2. पहिलया आतयाचया आिी शन उचीचया आत आि अस यानया व तयाचया धहबद दशटवया. तसच शवरचया आतयानतर एक शन उचीचया आत यानन तयाचयािी धहबदवर ख करया. ि हबद X- अकषयावर तील.

3. सवट धहबद कयान सरळ रघयानी िोिया.

तयार झयालली बहदसत आकती मििच वयारवयारतया बहभि िो.

(2) आतयालख न कयाढतया, वयारवयारतया बहभि कयाढणयासयाठी हबदच हनददशक कस ठरवतयात ि खयालील सयारीवरन सिन घया.

वगट सलग वगट वगटध वयारवयारतया हबदच हनददशक6 - 7 5.5 - 7.5 6.5 0 (6.5, 0)8 - 9 7.5 - 9.5 8.5 20 (8.5, 20)

10 - 11 9.5 - 11.5 10.5 40 (10.5, 40)12 -13 11.5 - 13.5 12.5 30 (12.5, 30)14 - 15 13.5 - 15.5 14.5 25 (14.5, 25)16 - 17 15.5 - 17.5 16.5 15 (16.5, 15)18 - 19 17.5 - 19.5 18.5 0 (18.5, 0)

सयारीतील पयाचवया सतभयातील हनददशकयाशी सगत हबद आलख कयागदयावर सथयापन करतयात. त कयान िोिल, करी

वयारवयारतया बहभि हळतो. िया बहभि आकती 6.3 ध दयाखवलया आि. तयाच हनरीकष करया.

25

10

30

15

20

35

40

5

7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5

वयारव

यारतया (

म. फ

ियाची

सख

या)

आकती 6.2वगट (नकत यालततयाल)

परया X-अकष :1 सी = 2 रपY-अकष : 1 सी = 5 फि

X

Y

X¢ Y¢0

Page 165: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

155

उदा. (1) सोबतचया आकतरीत दाखविलया वारवारता

बहभजाचया आधार पढरीि परशनाचरी उततर

शिहा.

(1) 50-60 या वगामाचरी वारवारता शिहा.

(2) जया वगामाचरी वारवारता 14 आह असा वगमा शिहा.

(3) वगमामधय 55 असििा वगमा शिहा.

(4) सवामाशधक वारवारता असििा वगमा शिहा.

(5) शनय वारवारता असार वगमा शिहा.

10 20 30 40 50 60 70 80

6

10

12

8

4

0

2

22

20

16

14

18

(15, 8)

(25, 14)

(35, 20)

(55, 10)

(45, 16)

वारव

ारता

वगमा आकतरी 6.4

आकतरी 6.3

5

10

25

35

15

20

30

40

6.5 18.514.5 16.512.510.58.5

(8.5, 20)

(10.5, 40)

(12.5, 30)

(16.5, 15)

(14.5, 25)

वारव

ारता

(मय.

फडा

चरी स

खया)

वगमामधय (नक मािमततामलय)

परमा X-अकष :1 समरी = 2 रपयाY-अकष : 1 समरी = 5 फड

परमा X-अकष :1 समरी = 10Y-अकष :1 समरी = 2

0

XY¢X¢

Y

XX¢

Y

ÒÒÒ  सोडिलली उदाहरि ÒÒÒ

Page 166: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

156

उकल :

(1) वरगमधय X- अकषावर दरगवल आहत. x- निददरक 55 असललयषा निदचषा, (50-60 यषा वरषागचषा मधय 55 आह.)

y- निददरक 10 आह, महणि 50-60 यषा वरषागची वषारवषारतषा 10 आह.

(2) वषारवषारतषा Y- अकषावर दरगवलयषा आहत. y- निददरक 14 असललयषा निदचषा x- निददरक 25 आह.

Y-अकषावर 14 यषा वषारवषारतची खण पषाहषा. 25 हषा 20-30 यषा वरषागचषा मधय आह. महणि वषारवषारतषा

14 असणषारषा वरग 20-30 आह. (3) 55 हषा मधय असललषा वरग 50-60 आह.

(4) वषारवषारतषा Y-अकषावर दरगवली आह. िहभजषावर y- निददरकषाची सवषागनिक नकमत 20 आह. तयषाचषा

सरत x- निददरक 35 आह. वरगमधय 35 असणषारषा वरग 30-40 आह. महणि 30-40 यषा वरषागची वषारवषारतषा

सवषागनिक आह. (5) रनय वषारवषारतषा असणषार वरग 0-10 आनण 60-70 ह आहत.

उदा. (2) खषालील सषारणीत मलषाच वजि व मलषाची सखयषा नदलली आह. यषा सषामगीवरि वषारवषारतषा िहभज कषाढषा.

मलषाच वजि (नकगर) 18-19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-24मलषाची सखयषा 4 13 15 19 17 6

वषारवषारतषा िहभज कषाढणयषासषाठी आवशयक निदसह खषालील सषारणी तयषार कर व वषारवषारतषा िहभज कषाढ.

वरग 18-19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-24वरगमधय 18.5 19.5 20.5 21.5 22.5 23.5वषारवषारतषा 4 13 15 19 17 6

निदच निददरक

(18.5, 4) (19.5,13) (20.5,15) (21.5,19) (22.5,17) (23.5,6)

वरगमधय (वजि - नकगर)

वषारव

षारतषा

(मलषा

ची स

खयषा)

18.517.5 19.5 20.5 21.5 22.5 23.5 24.5

आकती 6.5

परमषाण X-अक :2 समी = 1नकगरY-अक : 1 समी = 4 मल

XY¢

Y

Page 167: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

157

(1) जासतरीत जासत शवदाथगी कोतया वगामात आहत?

(2) शनय वारवारता असार वगमा शिहा.

(3) 50 शवदाथगी सखया असाऱया वगामाचा मधय शकतरी?

(4) वगमामधय 85 असाऱया वगामाचरी खािचरी व वरचरी वगमामयामादा शिहा.

(5) 80-90 ग शमळवार शवदाथगी शकतरी?

सरािसच 6.5

2. खािरीि सामगरीसाठरी वारवारता बहभज काढा.

वरीज शबि (रपय) 0-200 200-400 400-600 600-800 800-1000कटब 240 300 450 350 160

3. एका पररीकषचया शनकािाचया टककवाररीच वगमा आश तया वगाात असाररी शवदाथगी सखया खािरीि साररीत

शदिरी आह. या साररीवरन वारवारता बहभज काढा.

शनकाि (टकक) 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100शवदाथगी सखया 7 33 45 65 47 18 5

10

20 30 40 50 60 70 80 90

40

50

60

30

20 (35, 20)

(45, 40)

(55, 50)

(65, 60)

(75, 35)

(85, 15)

शवद

ाथगी

आकतरी 6.6

XY¢X¢

Y परमा X-अकष :1 समरी = 10 गY-अकष : 1 समरी =10 शवदाथगी

100

1. खािरीि बहभजाच शनररीकष करन पढरीि परशनाचरी उततर शिहा.

Page 168: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

158

िततालख (Pie diagram) मागरीि इयततामधय आप भगोि व शवजान या शवषयामधय खािरीि आिख पाशहि आहत.अशा आिखाना

वततािख महतात.

परवरीवररीि जमरीन व पारी याच परमा हवतरीि शवशवध घटकाच परमा

वततािखात साबखयक सामगरी सपमा वततात महजच वतमाळात दशमाविरी जात. सामगरीतरीि वगवगळ घटक परमाबदध वतमाळपाकळानरी तयात दशमाविि असतात.

आकतरी 6.8 मधय वतमाळकदर O असिलया वतमाळाचया OA व OB या शतजया आहत.

∠AOB हा कदररीय कोन आह.

O - AXB हा छायाशकत भाग महजच वतमाळपाकळरी (sector of a circle) आह.

आकतरी 6.7

71%

29%जमरीन

पारी78%

21%

1%

नायटटरोजन

ऑबकसजनइतर वाय

O

BA

Xआकतरी 6.8

जरा आठिया.

Page 169: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

159

इयतता 10 वरीतरीि 120 मिाना ‘तमचा आवडता खळ कोता’, हा परशन शवचारिा. शमळाििरी माशहतरी वततािखान दशमाविरी अाह.

कोता खळ सवामाशधक आवडरीचा आह?

शकतरी टकक मिाना खो-खो आवडतो?

कबडरी आवडाररी मि शकतरी टकक?

िततालखाच िाचन Reading of Pie diagram

वततािखावरन दबषकषपातच माशहतरी कशरी शमळत, ह खािरीि उदाहरावरन समजन घया.

यासारखया परशनाचरी उततर आपलयािा एका दबषकषपात या वततािखावरन शमळतात.

आखरी एक वततािख पाहा.

सोबतचया आकतरीतरीि वततािख एका शाळचया वाशषमाक अथमाशनयोजनाचा आह. या वततािखावरन आपलयािा अस समजत, की

y 45% रककम शकषशक साशहतयासाठरी राखन ठविरी आह.

y 35% रककम खळाचया साशहतयासाठरी दशमाविरी आह.

y 10% रककम सवचछतचया साशहतयासाठरी ठविरी आह.

y 10% रककम पयामावर रकषासाठरी ठवििरी आह.

अशा परकार वततािखातन आपलयािा एका दबषकषपात माशहतरी शमळत.

आता आप वततािखाचरी अशधक माशहतरी घऊ.

अनक वळा वततािखादार शदििरी शवशवध परकारचरी माशहतरी आप वततपतातन पाहतो, जस वाशषमाक अदाजपतक, ऑशिशपक सपधाामधरीि शवशवध दशाचरी कामशगररी, दशाचा पसा यतो कसा व जातो कसा इतयादरी.

तयासाठरी आप माशहतरी कशरी शोधायचरी ह उदाहरावरन समजन घऊ.

शकषशक साशहतय

खळ

सवचछतापयामावर

आकतरी 6.10

टशनस

हॉकी

कबडरी

शकरकट

खोखो

आकतरी 6.9

जािन घऊया.

Page 170: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

160

निना उदाहरि :

एका सवदकषात शमळाििरी कायमाकशि वयकीचरी वगमावाररी खािरीि वततािखात दाखविरी आह. जर उतपादन कषतात कायमारत असिलया वयकरी 4500 असतरीि तर पढरीि परशनाचरी उततर शिहा.

(i) सवमा कषतातरीि एक कायमाकशि वयकरी शकतरी अाहत?

(ii) बाधकाम कषतातरीि कायमाकशि वयकीचरी सखया शकतरी?

(iii) कषरी कषतातरीि कायमाकशि वयकरी शकतरी?

(iv) उतपादन व बाधकाम कषतातरीि कशि वयकीचया सखयातरीि फरक शकतरी?

उकल : (i) समजा, सवमा कषतातरीि एक कायमाकशि वयकीचरी सखया x आह.

\ x वयकीसाठरीचा कदररीय कोन = 360°

उतपादन कषतातरीि कायमाकशि वयकीसाठरीचा कदररीय कोन = उतपादन कषतातरीि वयकरी

एक वयकरी ´ 360

90 = 4500x

´ 360

\ x = 18000

\ सवमा कषतातरीि कायमाकशि वयकरी = 18000.

(ii) बाधकाम कषतासाठरी कदररीय कोन 72° दाखविा आह.

72 = बाधकाम कषतातरीि वयकरी 18000

´ 360

\ बाधकाम कषतातरीि वयकरी = 72 18000

360

´

   = 3600

(iii) कषरी कषतासाठरी कदररीय कोन = 24° आह.

24 = कषरी कषतातरीि वयकरी

एक कायमाकशि वयकरी ´ 360

24 = कषरी कषतातरीि वयकरी

18000 ´ 360

\ कषरी कषतातरीि वयकरी = 24 18000

360

´

= 1200

उतपादन

अनय

बाधकाम

कषरी

आकतरी 6.11

हॉटि

Page 171: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

161

(iv) उतपयादन व बयािकया या कषतयातील कदरी कोनयातील फरक = 90° - 72° = 18°.

\ कदरी कोनयातील फरक = दोन कषतयातील वकतीचया सखयातील फरक

एक कयाटकशल वकती ´ 360

18 = दोन कषतयातील वकतीचया सखयातील फरक

18000 ´ 360

उतपयादन व बयािकया या कषतयातील कशल वकतीचया सखयातील फरक = 18 18000

360

´

= 900

ह लकषात ठवया.

y सयागीतील परतक घरक तयाचयाशी हनगहित वतटळपयाकळीन दयाखवललया असतया.

y वतटळपयाकळीचया कदरी कोनयाच याप तया हवहशष KQ>H§$mÀ¶m Zmo§Xr§चया परयायात असत.

y कदरी कोनयाच याप (q) = हनगहित घरकयातील सखयाएक घरकयातील सखया ´ 360

y ोग हतजच वतटळ कयाढयाव. परतक घरकयातील सखचया परयायात कदरी कोन घऊन वतटळयाच

पयाकळयात हवभयािन कलल असत.

जारन घऊया.

वततालख काढर (To draw Pie diagram)

कयाढललया वततयालखयावरन याहिती कशी वयाचयाची ि आप पयाहिल. आतया वततयालख कसया कयाढतयात, त पयाह.

1. वततयालख कयाढतयानया सपट वतटळयाची हवभयागी परयाबदध वतटळपयाकळयात करतयात.

2. परतक घरकयाशी सबहित वतटळपयाकळीचया कदरी कोनयाच याप खयालील सतयान कयाढतयात.

वतटळपयाकळीचया कदरी कोनयाच याप q =तया घरकयातील सखया

सवट घरकयातील एक सखया ´ 360

ोग हतजच वतटळ कयाढन, सयागीत िवढ घरक आित तवढया वतटळपयाकळयात वतटळयाच हवभयािन करतयात.

वततयालख कयाढणयाची कती खयालील उदयािरयातन सियावन घऊ.

Page 172: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

162

ÒÒÒ सोडवलली उदाहरण ÒÒÒउदा. (1) एका दकानात दचाकीचा खरदीसाठी रगाची पसती खालीलपरमाण होती. ही माहहती वततालखान दरशवणासाठी परतक घटक दरशवणाऱा वतशळपाकळीचा कदी कोनाच माप ठरवा. उकल : दचाकीची एकण मागणी 36 आह.तापकी 10 दचाकी पाढऱा रगाचा आहत.

रग दचाकीची मागणी वतशळपाकळीचा कदी कोन

पाढरा

काळा

हनळा

राखाडी

लाल

10

9

6

7

4

10

36 ´ 360 = 100°9

36 ´ 360 = 90°

60°

70°

40°एकण 36 360°

\पाढऱा दचाकी दरशवणाऱा वतशळपाकळीचा कदी कोनाच माप

= पाढऱा दचाकीची सखादचाकीची एकण सखा

´ 360 = 10

36 ´ 360 = 100

ापरमाणच इतर रगाचा दचाकीरी सगत वतशळपाकळाचा कदी कोनाची माप काढन सारणीत दरशवली आहत.

वीजपरवठा EH$H$ कदी कोनाच मापकारखान

घरगती

रसत

दकान

कााशल

अन

24

14

7

5

6

4

24

60 ´ 360 = 144°

14

60 ´ 360 = 84°

7

60 ´ 360 = 42°

5

60 ´ 360 = 30°

6

60 ´ 360 = 36°

4

60 ´ 360 = 24°

एकण 60 360°

उकल : एकण वीजपरवठा 60 हजार एकक आह. तावरन कदी कोनाची माप काढन सारणीत दाखव.

उदा (2) एका गावात हवहवध सानाना दररोज होणारा वीजपरवठा खालील सारणीत दरशवला आह ा माहहतीचा वतालख काढा.

सान कारखान घर रसत दकान कााशल अनवीजपरवठा (हजार एकक) 24 14 7 5 6 4

आकती 6.12

घरगती

कारखानरसत

दकान

कााशल अन

Page 173: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

163

सरािसच 6.6

वततािख काढणयाचया पायऱया :

(1) परथम आकतरीमधय दाखवलयापरमा वतमाळ काढन एक शतजया काढिरी. नतर साररीत काढन घतिलया कदररीय

कोनाचया मापाचया वतमाळपाकळा एकापाठोपाठ एक (144°,84°, 42°, 30°, 36°, व 24°) यापरमा

घडाळाचया काटाचया शदशन काढलया. (वतमाळपाकळा एकाच शदशन एकापढ एक काढताना तयाचा करम

बदििा तररी चाितो.)

(2) परतयक पाकळरीत सबशधत घटक नोदवि.

कती :

एका कटबाचा शवशवध बाबीवर होारा माशसक खचमा शदििा आह, तयावरन कदररीय कोनाचरी माप काढन वततािख

काढा.

शवशवध बाबरी परशतशत खचमा कदररीय कोनाच माप

अन

कपड

घरभाड

शशकष

इतर खचमा

40

20

15

20

05

40

100 ´ 360 =

´ =

´ =

´ =

´ =

एक 100 360°

1. एका रकदान शशशबरात शवशवध वयोगटातरीि 200 वयकीनरी किि रकदान शदि आह. तयावरन वततािख काढा.

वयोगट (वषद) 20-25 25-30 30-35 35-40वयकीचरी सखया 80 60 35 25

2. एका शवदारयामान शवशवध शवषयात 100 पकी शमळविि ग शदि आहत. हरी माशहतरी वततािखादार दाखवा.

शवषय इगजरी मराठरी शवजान गशत सा. शासत शहदरीग 50 70 80 90 60 50

Page 174: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

164

3. वकषारोप कायमाकरमातगमात शाळतरीि वगवगळा इयततातरीि शवदारयाानरी िाविलया झाडाचरी सखया खािरीि साररीत शदििरी आह. हरी माशहतरी वततािखादार दाखवा.

इयतता 5 वरी 6 वरी 7 वरी 8 वरी 9 वरी 10 वरीझाडाचरी सखया 40 50 75 50 70 75

4. एका फळशवकरतयाकड आिलया शवशवध फळाचया मागरीचरी टककवाररी खािरीि साररीत शदिरी आह. या माशहतरीचा वततािख काढा.

फळ आबा मोसबरी सफरचद शचक सतरीमागरीचरी टककवाररी 30 15 25 20 10

5. एका गावातरीि शवशवध वयावसाशयकाच परमा दशमावारा वततािख आकतरी 6.13 मधय शदिा आह. तयावरन खािरीि परशनाचरी उततर शिहा.

6. एका कटबाचया वाशषमाक गतवकीचा वततािख सोबतचया आकतरीत शदिा आह. तयावरन पढरीि परशनाचरी उततर शिहा.

(1) शअरमधय गतवििरी रककम र. 2000 असलयास एक गतवक शकतरी? (2) बकतरीि ठवीचरी रककम शकतरी? (3) मयचयअि फडापकषा सथावर मािमततत शकतरी रककम जासत गतविरी? (4) पोसटातरीि गतवक शकतरी?

1. बहपयामायरी परशनाचरी उततर शदिलया पयामायातन शोधन शिहा.

(1) शवशवध रकगटाचया वयकीच रकगटानसार वगगीकर वततािखात दाखवायच आह. O- रकगट असाऱया वयकरी 40% असलयास O- रकगट असाऱया वयकीसाठरी वततािखातरीि कदररीय कोन शकतरी घयावा?

(A) 114° (B) 140° (C) 104° (D) 144°

(1) एक वयावसाशयकाचरी सखया 10000

असलयास बाधकाम कषतात शकतरी वयावसाशयक

आहत? (2) परशासन कषतात शकतरी वयावसाशयक

कायमारत आहत? (3) उतपादन कषतात शकतरी टकक

वयावसाशयक आहत?

सकीिमि परशनसगरह 6

शअसमा

मयचयअि फड

पोसट

बकतरीि ठव

सथावरमािमतता

आकतरी 6.14

वरीज

कषरी अनपरशासन

उतपादनहॉटि

बाधकाम

आकतरी 6.13

Page 175: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

165

(2) इमारतरीचया बाधकामाच शवशवध खचमा वततािखादार दाखवि असता, शसमटचा खचमा 75° चया कदररीय कोनान दाखविा आह. शसमटचा खचमा र. 45,000 असलयास, इमारतरीचया बाधकामाचा एक खचमा शकतरी रपय ?

(A) 2,16,000 (B) 3,60,000 (C) 4,50,000 (D) 7,50,000

(3) वगगीकत वारवारता साररीतरीि सशचत वारवारतचा उपयोग . . . . . काढणयासाठरी होतो.

(A) मधय (B) मधयक (C) बहिक (D) यापकी सवमा

(4) वगगीकत वारवारता साररीतरीि सामगरीचा मधय काढणयासाठरीचया पढरीि सतात X = A + å fi ui

å fi

´g मधय ui = . . .

(A) xi + A

g (B) (xi - A) (C) xi - A

g (D) A - xi

g

(5)

वररीि सामगरीसाठरी कारचया परशतिरीटर कापिलया अतराच मधयक . . . . . या वगामात आह.

(A) 12-14 (B) 14-16 (C) 16-18 (D) 18-20

(6)

वररीि वारवारता साररीतरीि सामगरीसाठरी वारवारता बहभज काढायचा आह. 4-6 या वगामातरीि शवदाथगी दशमावणयासाठरीचया शबदच शनददशक . . . आह.

(A) (4, 8) 0 (B) (3, 5) (C) (5, 8) (D) (8, 4)

2. एका दराकषाचया मोसमात बागाईतदाam§Zm शमळािलया उतपनाचरी वगगीकत वारवारता साररी खािरी शदिरी आह. तयावरन उतपनाचा मधय काढा.

उतपन (हजार रपय)

20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80

बागाईतदार 10 11 15 16 18 14

3. खािरीि वगगीकत वारवारता साररीत एका बकन शततळासाठरी उपिबध करन शदिि कजमा शदि आह, तर बकन शदिलया रकमचा मधय काढा.

कजमा (हजार रपय) 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90शततळाचरी सखया 13 20 24 36 7

परशतिरीटर कापिि अतर (शकमरी) 12-14 14-16 16-18 18-20कारचरी सखया 11 12 20 7

परतयक शवदारयामान िावििरी झाड 1-3 4-6 7-9 10-12शवदाथगी सखया 7 8 6 4

Page 176: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

166

4. एका कारखानयातरीि 120 कामगाराचया आठवडाचया पगाराचरी वगगीकत वारवारता शवतर साररी खािरी शदिरी

आह. तयावरन कामगाराचया आठवडाचया पगाराचा मधय काढा.

आठवडाचा पगार (रपय)

0-2000 2000-4000 4000-6000 6000-8000

कामगाराचरी सखया 15 35 50 20

5. खािरीि वगगीकत वारवारता साररीत 50 परगसताचया कटबाना शदिलया मदतरीचरी रककम शदिरी आह. तयावरन

मदतरीचया रकमचा मधय काढा.

मदतरीचरी रककम (हजार रपय) 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100कटबाचरी सखया 7 13 20 6 4

6. खािरीि वगगीकत वारवारता साररीत सावमाजशनक बस सवचया 250 बससनरी एका शदवसात कापिि अतर शदि

आह. तयावरन एका शदवसात कापिलया अतराच मधयक काढा.

अतर (शकिोमरीटर) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250बसचरी सखया 40 60 80 50 20

7. एका जनरि सटोअरमधरीि शवशवध वसतचया शकमतरी व तया वसतचरी मागरी याचरी वगगीकत वारवारता साररी शदिरी

आह. तयावरन शकमतरीचा मधयक काढा.

शकमत (रपय) 20 पकषा कमरी 20-40 40-60 60-80 80-100वसतचरी सखया 140 100 80 60 20

8. खािरीि वगगीकत वारवारता शवतर साररीत एका शमठाईचया ददकानातरीि शवशवध वजनाचया शमठाईचरी मागरी

शदिरी आह. तयावरन वजनाचया मागरीच बहिक काढा.

शमठाईच वजन (गरम) 0-250 250-500 500-750 750-1000 1000-1250गाहक सखया 10 60 25 20 15

9. खािरीि वारवारता शवतरासाठरी आयतािख काढा.

वरीजवापर (यशनट)

50-70 70-90 90-110 110-130 130-150 150-170

कटबाचरी सखया 150 400 460 540 600 350

Page 177: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

167

10. एका हातमाग कारखानयात मजराना एक साडरी बनवणयास िागार शदवस आश मजराचरी सखया याचरी वगगीकत

वारवारता साररी शदिरी आह. या सामगरीसाठरी वारवारता बहभज काढा.

शदवस 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20मजराचरी सखया 5 16 30 40 35 14

11. एका वगामातरीि शवदारयााना शवजानाचा परयोग करणयासाठरी िागिलया वळचरी वगगीकत वारवारता शवतर साररी शदिरी आह. या माशहतरीसाठरी आयतािख काढन वारवारता बहभज काढा.

परयोगासाठरी िागििा वळ (शमशनट)

20-22 22-24 24-26 26-28 28-30 30-32

शवदारयााचरी सखया 8 16 22 18 14 12

12. खािरीि वगगीकत वारवारता साररीसाठरी वारवारता बहभज काढा.

रकदातयाच वय (वषद)

20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

रकदातयाचरी सखया

38 46 35 24 15 12

13. खािरीि साररीत 150 गावातरीि पावसाचरी वाशषमाक सरासररी शदिरी आह. तयासाठरी वारवारता बहभज काढा.

सरासररी पाऊस

(सशटमरीटर)

0-20 20-40 40-60 60-80 80-100

गावाचरी सखया 14 12 36 48 40

14. सकाळरी 8 त 10 या वळत शहरातरीि एका चौकातरीि शसगनिवरन पढ जााऱया शवशवध वाहनाचया सखयाचरी शतमान शजाररीि वततािखात शदिरी आहत.

(1) परतयक परकारचया वाहनासाठरीचया कदररीय कोनाच माप काढा.

(2) ददचाकीचरी सखया 1200 असलयास वाहनाचरी एक सखया शकतरी?

15. खािरीि तकतयात धवशनपरदष शनमामा करार घटक शदि आहत. तयासाठरी वततािख काढा.

बाधकाम रहदाररी शवमान उडा औदोशगक रलवचया गाडा10% 50% 9% 20% 11%

कार

टमपो

बसररकषा

ददचाकी

आकतरी 6.15

Page 178: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

168

16. एका सरवकषणातील शालय वरदारयााची वरवरध खळातीलआरड जाणणयासाठी कललया सरवकषणात विळाललीिाविती शजारील रततालखात दाखरली आि. एकण वरदारथी सखया 1000 असलयास,

(1) वरिकट आरडणार वरदारथी वकती?

(2) फटबॉल िा खळ वकती वरदारयााना आरडतो?

(3) अनय खळाना पसती दणार वरदारथी वकती?

वरिकट फटबॉल

िॉकी

अनय

कबडी

खो-खो

आकती 6.16

17. एका गारातील आरोगय कदात 180 सतरियाची तपासणी झाली. तयातील 50 सतरियाच वििोगलोबीन किी िोत,10 सतरियाना िोतीवबदचा रिास िोता, 25 सतरियाना शरसनाच वरकार िोत. उरललया सतरिया वनरोगी िोतया. िीिाविती दशशरणारा रततालख काढा.

18. रनीकरणाचया परकलपात एका शाळतील वरदारयाानी पयाशररण वदनावनवितत 120 झाड लारली. तयाची िावितीखालील सारणीत वदली आि. िी िाविती दशशरणारा रततालख काढा.

झाडाची नार करज बिडा अजशन बकळ कडवनबझाडाची सखया 20 28 24 22 26

rrr

Page 179: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

169

उततरसची1. दोन चलातील रषीय सिीकरि

सरािसच 1.12. (1) (2, 4) (2) (3, 1) (3) (6,1) (4) (5, 2) (5) (-1, 1) (6) (1, 3) (7) (3, 2) (8) (7, 3)

सरािसच 1.21. (1)

x 3 -2 0y 0 5 3

(x, y) (3, 0) (-2, 5) (0, 3)

(2)x 4 -1 0y 0 -5 -4

(x, y) (4, 0) (-1,-5) (0,-4)2. (1) (5, 1) (2) (4, 1) (3) (3, -3) (4) (-1, -5) (5) (1, 2.5) (6) (8, 4)

सरािसच 1.3

1. 3 2 4 5 = 3 ´ 5 - 2 ´ 4 = 15 - 8 = 7

2. (1) -18 (2) 21 (3) -43

3. (1) (2, -1) (2) (-2, 4) (3) (3, -2) (4) (2, 6) (5) (6, 5) (6) (58 ,

14 )

सरािसच 1.4

1. (1) (19 , 1) (2) (3, 2) (3) (

52 , -2) (4) (1, 1)

सरािसच 1.51. तया सखया 5 आश 2 2. x = 12, y = 8 कषतफळ = 640 चौ. एकक, पररशमतरी = 112 एकक

3. मिाच वय 15 वषद, वशडिाच वय 40 वषद 4. 718

5. A = 30 शकगर, B = 55 शकगर 6. 150 शकमरी.

सकीिमि परशनसगरह 11. (1) B (2) A (3) D (4) C (5) A2.

x -532

y -136 0

(x, y) (-5, -136 ) (

32 , 0)

Page 180: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

170

3. (1) (3, 2) (2) (-2, -1) (3) (0, 5) (4) (2, 4) (5) (3, 1)

4. (1) 22 (2) -1 (3) 13

5. (1) (- 23

, 2) (2) (1, 4) (3) (12 , -

12 ) (4) (

711 ,

11633 ) (5) (2, 6)

6. (1) (6, -4) (2) (-14 , -1) (3) (1, 2) (4) (1, 1) (5) (2, 1)

7. (2) चहाचा दर `300 परशत शकगर. साखरचा दर ` 40 परशत शकगर. (3) `100 चया नोटाचरी सखया 20 `50 चया नोटाचरी सखया 10 (4) मनरीषाच आजच वय 23 वषद सशवताच आजच वय 8 वषद

(5) कशि कामगाराचा रोजगार 450 र. अकशि कामगाराचा रोजगार 270 र. (6) हमरीदचा वग 50 शकमरी/तास जोसफचा वग 40 शकमरी/तास

2. िगमिसिीकरि

सरािसच 2.11. m2 + 5m + 3 = 0 , y2 - 3 = 0 (यासारखरी कोतरीहरी) 2. (1), (2), (4), (5) हरी वगमासमरीकर आहत. 3. (1) y2 + 2y - 10 = 0, a = 1, b = 2, c = -10 (2) x2 - 4x - 2 = 0, a = 1, b = -4, c = -2 (3) x2 + 4x + 3 = 0, a = 1, b = 4, c = 3 (4) m2 + 0m + 9 = 0, a = 1, b = 0, c = 9 (5) 6p2 + 3p + 5 = 0 , a = 6, b = 3, c = 5 (6) x2 + 0x - 22 = 0 , a = 1, b = 0, c = -22

4. (1) 1 आह, -1 नाहरी. (2) 52 आह, 2 नाहरी.

5. k = 3 6. k = -7

सरािसच 2.2

1. (1) 9, 6 (2) -5, 4 (3) -13, -12 (4) 5, -

35

(5) 12 ,

12 (6) 2

3, -12 (7) -

52 , - 2 (8)

23 ,

23

(9) 25, -1 (10) -35 ,

35 (11) 0, 3 (12) - 11 , 11

Page 181: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

171

सरावसच 2.3

1. (1) 4,-5 (2) ( 6 -1), (- 6 -1) (3) 13 5

2

+ , − +13 5

2

(4) 2 2

3

+,− +2 2

3 (5) -2, -

5

2 (6)

2 39

5

+, 2 39

5

सरावसच 2.4

1. (1) 1, -7, 5 (2) 2, -5, 5 (3) 1, -7, 0

2. (1) -1, -5 (2) 3 17

2

+, 3 17

2

− (3)

− +1 22

3,

− −1 22

3

(4) 2 14

5

+, 2 14

5

− (5)

− +1 73

6,

− −1 73

6 (6) -1, -

8

5

3. - 3 ,- 3

सरावसच 2.5

1. (1)5असतानामळभिननवासतवसखाआहत.,-5असतानामळवासतवसखानाहीत.

(2) x2 + 7x + 5 = 0 (3) a + b = 2, a ´ b = -3

22. (1) 53 (2) -55 (3) 0

3. (1)वासतववसमान. (2)वासतववअसमान. (3)वासतवसखानाहीत.4. (1) x2 - 4x = 0 (2) x2 + 7x - 30 = 0

(3) x2 - 1

4 = 0 (4) x2 - 4x - 1 = 0

5. k = 3 6. (1) 18 (2) 50 7. (1)k=12भिवाk=-12(2)k=6

सरावसच 2.6

1. 9वरष 2.10व12 3.उभारागत10वआडवारागत15.4. भिशोरचआजचव10वरषवभवविचआजचव15वरष5. 10गण 6.िाडाचीसखा6वपरतििाडाचभनभममितीमल100रप.7. 6भिमी/तास 8.भनशला6भिवसवभपटला12भिवस.9. िाजि=9,िागािार=51 10.AB=7समी,CD=15समी,AD=BC=5समी.

सकीरण परशनसगरह 21. (1)B(2)A(3)C(4)B(5)B(6)D(7)C(8)C2. (1)व(3)वगमिसमीिरणआहत.

Page 182: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

172

3. (1) -15 (2) 1 (3) 214. k = 3 5. (1) x2 - 100 = 0 (2) x2 - 2x - 44 = 0 (3) x2 - 7x = 06. (1) वासतव सखया नाहरीत. (2) वासतव व असमान. (3) वासतव व समान.

7. (1) 1 212

+ , 1 212

- (2)

12 , -

15 (3) 1, -4

(4) − +5 52 ,

- -5 52 (5) मळ वासतव सखया नाहरीत. (6) (2 + 7 ), (2 - 7 )

8. m = 14 9. x2 - 5x + 6 = 0 10. x2 - 4pqx - (p2 - q2)2 = 011. सागरजवळ 100 रपय व मकदजवळ 150 रपय. 12. 12 आश 24 शकवा 12 आश - 24 13. शवदारयााचरी सखया 6014. रदरी 45 मरी. िाबरी 100 मरी, शततळाचरी बाज 15 मरी. 15. मोठया नळासाठरी 3 तास व िहान नळासाठरी 6 तास.

3. अकगणिती शढी

सरािसच 3.1

1. (1) आह, d = 2 (2) आह. d = 12 (3) आह, d = 4 (4) नाहरी.

(5) आह, d = -4 (6) आह, d = 0 (7) आह, d = 2 (8) आह, d = 52. (1) 10, 15, 20, 25, . . . (2) -3, -3, -3, -3, . . . (3) -7, -6.5, -6, -5.5, . . (4) -1.25, 1.75, 4.75, 7.75, . . .(5) 6, 3, 0, -3 . . . (6) -19, -23, -27, -31

3. (1) a = 5, d = -4 (2) a = 0.6, d = 0.3 (3) a = 127, d = 8 (4) a = 14 , d =

12

सरािसच 3.21. (1) d = 7 (2) d = 3 (3) a = -3, d = -5 (4) a = 70, d = -102. आह. 121 3. 104 4. 115 5. -121 6. 180 7. 55 8. 55 व 9. 60 10. 1

सरािसच 3.31. 1215 2. 15252 3. 30450 5. 5040 5. 2380 6. 60 7. 4, 9, 14 शकवा 14, 9, 4 8. -3, 1, 5, 9

सरािसच 3.41. 70455 रपय 2. पशहिा हपा 1000 रपय, शवटचा हपा 560 रपय. 3. 1,92,000 रपय 4. 48, 1242 5. -20°, -25°,-30°,-35°,-40°,-45° 6. 325

सकीिमि परशनसगरह 31. (1) B (2) C (3) B (4) D (5) B (6) C (7) C (8) A (9) A (10) B2. 40 3. 1, 6, 11, . . . 4. -195 5. 16, -21 6. -1 7. 6, 108. 8 9. 67, 69, 71 10.3, 7, 11, ..... 147. 14. 2000 रपय.

Page 183: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

173

4. अथमिणनयोजन

सरािसच 4.11. CGST 6%, SGST 6% 2. SGST 9%, GST 18%3. CGST ` 784 व SGST ` 784 4. तो बलट गाहकािा 691.48 रपयाना शमळि. 5. खळणयातरीि कारचरी करपात शकमत ` 1500 तयावर CGST ` 135 SGST ` 135 6. (1) SGST चा दर 14% (2) एसरीवररीि GST चा दर 28% (3) एसरीचरी करपात शकमत 40,000 र. (4) GST चरी एक रककम 11,200 र. (5) CGST 5600 र. (6) SGST 5600 र. 7. परसादिा त वॉशशग मशरीन 48,640 रपयाना शमळि व शबिावर CGST 5320 र. व

SGST 5320 र.

सरािसच 4.21. चतना सटोअसमािा 22,000 र. दय जरीएसटरी आह. 2. नझमा याना ` 12,500 च इनपट टरकस करशडट शमळि. तयाचा दय जरीएसटरी ` 2250.3. अमरीर एनटरपराइझचा दय जरीएसटरी 300 र. तयातरीि कदराचा दय कर 150 र. व राजयाचा दय कर 150 र. अकबररी बदसमाचा दय जरीएसटरी 400 र. तयातरीि कदराचा दय कर 200 र. व राजयाचा दय कर 200 र.4. दय जरीएसटरी ` 100, CGST ` 50, UTGST ` 50. 5. CGST = SGST = ` 900

सरािसच 4.31. (1) बाजारभाव 100 रपय (2) दशमानरी शकमत 75 रपय (3) अवमलय 5 रपय. 2. 25% 3. 37,040 रपय 4. 800 शअसमा 5. परतावयाचा दर 5.83% 6. कपनरी A मधरीि गतवक फायदशरीर आह.

सरािसच 4.41. 200.60 रपय 2. 999 रपय3.

शअसमाचरी सखया

शअसमाचा बाजारभाव

शअसमाचरी शकमत

दिािरीचा दर 0.2%

दिािरीवर CGST 9%

दिािरीवर SGST 9%

शअसमाचरी एक शकमत

100 B ` 45 ` 4500 ` 9 ` 0.81 ` 0.81 ` 4510.62 75 S ` 200 `15000 ` 30 ` 2.70 ` 2.70 ` 14964.60

4. 100 शअसमा शवकि. 5. तोटा 8560 रपय.

सकीिमि परशनसगरह 4A

1. (1) C (2) B (3) D (4) B (5) A (6) B

2. एक शबि 28,800 र. सरीजरीएसटरी 3150 र. एसजरीएसटरी 3150 र.

Page 184: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

174

3. ` 997.50 4. ` 12,500 5. ` 4250 ITC दय कर ` 250

6. ITC ` 1550 कदराचा कर ` 5030, दय एसजरीएसटरी 5030 रपय.

7. करपात शकमत ` 75,000, कदराचा कर ` 4500, राजयाचा कर ` 4500

8.(1) ठोक वयापाऱयाचया करबरीजकात सरीजरीएसटरी 16200 रपय; एसजरीएसटरी 16200 रपय.

शकरकोळ वयापाऱयाचया करबरीजकात सरीजरीएसटरी 19,800 रपय; एसजरीएसटरी 19,800 रपय.

(2) ठोक वयापाररी: दय कर (CGST) 2700 व (SGST) 2700,

शकरकोळ वयापाररी: दय कर (CGST) 3600 व (SGST) 3600

9. (1) अणा पाटिानरी शदिलया करबरीजकात सरीजरीएसटरी ` 1960, एसजरीएसटरी ` 1960

(2) वसईचया वयापाऱयान गाहकास आकारििा सरीजरीएसटरी ` 2352 व एसजरीएसटरी ` 2352

(3) वसईचया वयापाऱयाचा दय सरीजरीएसटरी ` 392 व दय एसजरीएसटरी ` 392 10. (1)

(2) अतत: गाहकास तरी वसत 7280 रपयाना शमळि. (3) उतपादक त शवतरक B2B, शवतरक त शकरकोळ वयापाररी B2B, शकरकोळ वयापाररी त गाहक B2C

सकीिमि परशनसगरह 4B 1. (1) B (2) B (3) A (4) C (5) A2. ` 130.39 3. 22.2% 4. 21,000 रपय शमळतरीि. 5. 500 शअसमा शमळतरीि. 6. नफा 1058.52 रपय 7. कपनरी B कार परतावा जासत.8. 1000 शअसमा शमळतरीि. 9. 118 रपय. 10. (1) 1,20,000 रपय (2) 360 रपय (3) 64.80 रपय (4) 120424.80 रपय. 11. 1% नफा

5. सभावयता

सरािसच 5.1 1. (1) 8 (2) 7 (3) 52 (4) 11

सरािसच 5.21. (1) S = 1H, 1T, 2H, 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T n(S) = 12

वयकरी दय सरीजरीएसटरी (`) दय एसजरीएसटरी (`) दय जरीएसटरी(`)उतपादक 300 300 600शवतरक 360-300 =60 60 120

शकरकोळ वयापाररी 390-360 = 30 30 60एक कर 390 390 780

Page 185: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

175

(2) S = 23, 25, 32, 35, 52, 53 n(S) = 62. S = लाल, जाभळा, कशरी, पिवळा, पिळा, पिरवा n(S) = 63. S = मगळवार, रपववार, शकरवार, बधवार, सोमवार, शपिवार n(S) = 64. (1) B1B2 (2) G1G2 (3) B1G1 B2G1 B1G2 B2G2 (4) S = B1B2, B1G1, B1G2, B2G1, B2G2, G1G2,

सरावसच 5.31. (1) S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6 A = 2, 4, 6 n(A) = 3, B = 1, 3, 5 n(B) = 3, C = 2, 3, 5 n(C) = 3 (2) S = (1,1), . . ., (1, 6), (2,1), . . ., (2, 6), (3, 1), . . .,(3, 6), (4, 1), . . .,(4,6),(5, 1), . . .,(5, 6),(6, 1), . . .,(6, 6) n(S) = 36 A = (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) (6, 6) n(A) = 6 B = (4, 6) (5, 5) (5, 6) (6, 4) (6, 5) (6, 6) n(B) = 6 C = (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6) n(C) = 6 (3) S = HHH, HHT, HTT, HTH, THT, TTH, THH, TTT n(S) = 8 A = HHH, HHT, HTH, THH n(A) = 4 B = TTT n(B) = 1 C = HHH, HHT, THH, THT n(C) = 4 (4) S = 10, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 23, 24, 25, 30, 31, 32, 34, 35, 40, 41, 42, 43,

45, 50, 51, 52, 53, 54 n(S) = 25 A = 10, 12, 14, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 42, 50, 52, 54 n(A) = 13 B = 12, 15, 21, 24, 30, 42, 45, 51, 54 n(B) = 9 C = 51, 52, 53, 54 n(C) = 4 (5) S = M1M2, M1M3, M1F1, M1F2, M2M3, M2F1, M2F2, M3F1, M3F2, F1F2

n(S) = 10 A = M1F1, M1F2, M2F1, M2F2, M3F1, M3F2, F1F2 n(A) = 7 B = M1F1, M1F2, M2F1, M2F2, M3F1, M3F2 n(B) = 6 C = M1M2, M1M3, M2M3 n(C) = 3 (6) S = H1, H2, H3, H4, H5, H6 T1, T2, T3, T4, T5, T6 n(S) = 12 A = H1, H3, H5 n(A) = 3 B = H2, H4, H6, T2, T4, T6 n(B) = 6 C = n(C) = 0

सरावसच 5.4

1. (1) 3

4, (2)

1

4 2. (1)

1

6 (2) 0 (3)

5

12

Page 186: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

176

3. (1) 715 (2)

15 4. (1)

45 (2)

15 5. (1)

113 (2)

14

सकीिमि परशनसगरह - 5

1. (1) B (2) B (3) C (4) A (5) A 2. वसरीमचरी 3. (1) 111 (2)

611

4. 526

5. (1) 29 (2)

13 (3)

49 6.

12 7. (1)

13 (2)

16

8. (1) 12 (2)

16 9.

125 10. (1)

18 (2)

12 (3)

34 (4) 1

11. (1) 56 (2)

16 (3) 1 (4) 0 12. (1)

13 (2)

23 (3)

23 13.

211

14. 1340 15. (1)

310 (2)

310 (3)

15 16.

1136

6. साचखयकी

सरािसच 6.1(1) 4.36 तास (2) 521.43 र. (3) 2.82 िरीटर (4) 35310 रपय (5) 985 रपय शकवा 987.5 रपय. (6) 3070 र. शकवा 3066.67 रपय.

सरािसच 6.2(1) 11.4 तास (2) 184.4 महजच अदाज 184 आब (3) 74.558 » 75 वाहन (4) 52.75 » 53 शदव

सरािसच 6.3

1. 4.33 िरीटर 2. 72 यशनट 3. 9.94 िरीटर 4. 12.31 वषद

सरावसच 6.5

1. (1) 60-70 (2) 20-30 व 90-100 (3) 55 (4) 80 व 90 (5) 15

सरािसच 6.65. (1) 2000 (2) 1000 (3) 25% 6. (1) 12000 रपय (2) 3000 रपय (3) 2000 रपय (4) 1000 रपय.

सकीिमि परशनसगरह 61. (1) D (2) A (3) B (4) C (5) C (6) C2. 52,500 रपय 3. 65,400 रपय 4. 4250 रपय5. 72,400 रपय 6. 223.13 शकमरी. 7. 32 रपय 8. 397.06 गरम14. (1) कार - 108°, टमपो - 43°, बस - 29°, ररकषा - 36°, ददचाकी - 144° (2) वाहनाचरी एक सखया - 300016. (1) शकरकट आवडार - 225, (2) फटबॉि आवडार - 175 (3) अनय खळ आवडार - 200.

Page 187: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n

इयतता १० वी पतातयकषिक पससकतागकि (भताग I व भताग II)

मराठी माधयम

मलय५४ रपय

पतातयकषिक नोदवहता पताठयपसक मडळताचयता कवभतागीय भताडतारतामधयय कवकरीसताठी उपलबध आहय.

(१) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, सनापती बापट मागग, पण ४११००४, २५६५९४६५ (२) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, पी - ४१, औदोरगक वसाित, मबई-बगलोर मिामागागवर, सकाळ कायागलयासमोर, कोलिापर ४१६१२२ २४६८५७६ (३) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, १० उदोग नगर, एस. विी. रोड, गोरगाव, पशचिम मबई ४०० ०६२ २८७७१८४२ (४) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, रसडको पलॉट न. १४, डबलय सकटर १२, वावजा रोड, नय पनवल, रज. रायगड, पनवल ४१० २०६ २७४६२६४६५ (५) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, लखानगर जवळ, पलॉट न. २४, ‘माघ’ सकटर, रसडको, नवीन मबई-आगा रोड, नारशक ४२२००९ २३९१५११ (६) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, एम आय डी सी शड करमाक २ व ३, रलव सटशनजवळ, औरगाबाद ४३१ ००१ २३३२१७१ (७) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, रवीदरनाथ टागोर सायनस कलॉलजसमोर, मिाराजा बाग रोड, नागपर ४४० ००१ २५४७७१६/२५२३०७८ (८) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, पलॉट न, एर ९१, एम आय डी सी, लातर ४१३५३१ २२०९३० (९) मिाराषटर राजय पाठयपसतक भाडार व रवतरण कदर, शाकतल कलॉलनी, विी. एम. विी. कलॉलजमाग, अमरावती ४४४ ६०४ २५३०९६५

• शासनमानय अभयासकरम व पाठयपसतकावर आधाररत.

• मलयमापन योजननसार सवग पाठावर आधाररत पातयरषिकाचिा समावश.

• रवरवध कती, रचित, आकतया इतयादीनी यकत.

• आशयावर आधाररत कािी उदािरणाचिा समावश.

• कतीयकत उदािरणाचिा समावश.• सरावासाठी अरधकचि पन व

उततर रलखाणासाठी सवतत जागा

पाठयपसतक मडळ, बालभारती मारफत इयतता १ ली त १२ वी ई-लरनिग सारितय (Audio-Visual) उपलबध... • शजारील Q.R.Code सककन करन ई-लरनिग सारितय

मागणीसाठी नोदणी करा.• Google play store वरन ebalbharati app डाऊनलोड

करन ई लरनिग सारितयासाठी मागणी नोदवा. www.ebalbharati.in, www.balbharati.inebalbharati

Page 188: आपलया समाटमाफोनवररीि DIKSHA App द् ...cart.ebalbharati.in/BalBooks/pdfs/1001000608.pdfnn() +1 2 य स त च पडत ळ घय . S n