algebra lineal

ESCUELAPOLITÉCNICA

NACIONAL

EJERCICIOS DE

ALGEBRA LINEAL

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PRIMERA PRUEBA DE ALGEBRA LINEAL

Quito, 28 Abril 1998

-Sean las matrices A,B, y C de orden n:

a) Si A2=I y C=12

( A+ I ), demuestre que C2=C

b) Si A2=A y B=2 A−I , demuestre que B2=I

-Hallar el valor del siguiente determinante. Simplifique el resultado

|A|=|y1y1'y1' 'y2y2'

y2' '

y3y3'

y3' '|

Si Y 1=cos x+2 sen x Y 2=cos x Y 3=sen x

-Sea

B = ( a 1 1a a a−1

−a a−2 a+3 )a) Para que valores de a, la matriz B es invertible?b) Calcule la inversa de matriz B (en función de a), cuando sea inversible.

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Quito, Diciembre del 2000

-Dada la matriz A=( 2−1−10 21)

Calcular: a) Una matriz R escalonada reducida por filas equivalente a A

b) Una matriz P tal que R=PA

-Sea A=(2 22 0)

Calcular: a) p ( λ )=|2− λ 22 − λ|

b) p(A)

- Calcular |1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3|

- Dada la matriz

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A=( 1 −1 00 1 −1

−1 0 λ )a) Para qué valores de λ ; ¿A es inversible?

b) Para los valores del literal a, calcule la inversa de A.




Quito, 29 de Mayo del 2001

- Dada la matriz A=( 1 −1−2 3 )

Calcular la matriz R escalonada reducida por filas equivalente a A y una matriz P, tal que, R=PA

- La sucesión de operaciones elementales que aparece a continuación nos lleva a la matriz A3 x3 a la identidad I. Calcule la matriz A y su inversa A−1.

1) F1−2F2 2) F2+2 F3 3) 13F3 4) F1+2 F3 5) F3+F1

- Dada la matriz A=( 2 0 00 2 0

−1 0 2) Calcular An Justifique su respuesta.

- Calcular el valor del Siguiente determinante:

|A|=|ab−tabab…ab

abab−tab…ab

…………ab

ababab…ab−t

|

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- Dada la matriz A=(1 λλ 1)

a) ¿Para que valores de λ, la matriz A es inversible?b) Cuando sea inversible, calcular la inversa, usando la matriz adjunta de A

- Si A es nilpotente de orden n, entonces |A|=0?. Justifique

- Si A2=A entonces, (AB−ABA )2=0?. Justifique



PRIEMERA PRUEBA DE ALGEBRA LINEAL

Quito, 31 de Octubre de 2001

- Dada la matriz A=(a bc d) Calcular A2−Traza (A ) A+det (A) I 2x 2.

- Sean A y B dos matrices cuadradas. Prueben que si AB=A y BA=B, entonces

At es una matriz idempotente.

- Demostrar que si B=PDP−1, entonces (∀n∈Ν ): Bn=P DnP−1

- Dada las matrices P=(−2 1 01 2 30 1 1) y D=(2 0 0

0 2 10 0 2)

4.1 Verifique que la matriz P es inversible y hallar P−1

4.2 Hallar la matriz A=PDP−1

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4.3 Calcular Dn

4.4 Calcular An

- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales

( λ+1 ) x+ y+z=1

x+( λ+1 ) y+z=1

x+ y+( λ+1 ) z=1




Quito, 28 de abril de 1998

- Calcular: |A|=|aaaaaa

aaa

−a−a−a

aa

−a−aa

−a

a−a−aa

−aa

a−aa

−aaa

a−aaaa

−a|

-Dado el siguiente sistema de ecuaciones, Calcular: ( λ+1 ) x+ y+z=1

x+( λ+1 ) y+z=1

x+ y+( λ+1 ) z=1

a) ¿Para qué valores de λ el sistema tiene solución única? Hallar la solución.

b) ¿Para qué valores de λ existen infinitas soluciones? Hallar la solución.

c) ¿Para qué valores de λ el sistema no tiene solución?

-Resolver:

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1

3

a) Si sobre la matriz A3 x3 se realizan las siguientes operaciones elementales:

i) F1+2 F2

ii) F3−4 F1

iii) F2+2 F1

y se obtiene la matriz identidad, hallar A−1.

b) Dada la matriz A=(1 01 0), hallar p (A )=A10+4 A7−5 A4+10 A+ I

c) Sea A=( 1 2− λ 4)

i) ¿Para qué valores de λ, A es inversible?

ii) Calcular la inversa cuando exista.




Quito, 5 de Noviembre de 1997

-Dada las matrices A=( 1 −1 22 0 1

−1 −1 0) y A .B=( 2 1 −13 1 1

−1 1 1 )a) Determine: A−1

b) Calcular B

-Sea la matriz A de orden n (impar), antisimétrica (A=−At)

a) Pruebe que el det (A)=0

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1

b) Si A=(0 −a −ba 0 −cb c 0 ),

Sin desarrollar el determinante de A pruebe que det (A)=0

-Sea el sistema de ecuaciones lineales:

x− y−2 z=3

2 x+ y−6 z=−1

x−2 y−z=5

−x+2 y+αz=−2

a) Cuando el sistema tiene única solución. Hallar la solución.b) Cuando el sistema tenga infinitas soluciones. Hallar las soluciones.c) Cuando el sistema no tenga solución.

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EXAMEN FINAL DE ALGEBRA LINEAL

Quito, 21 Julio 1999

-Utilizando propiedades de los determinantes, demostrar que:

|1 0 a a2

0 1 b b2

1 0 c c2

0 1 d d2|=(a−c ) (b−d ) (a−b+c−d )

-Dado el s.e.v. W 1={(a −ab a−b) ∕ a , b∈R } del e.v. de las matrices reales de orden

2. Hallar:

a. Una base B ortonormal de W

b. Un s.e.v. W 2 de M 2 tal que M 2 = W 1+W 2

c. Una base B2 ortonormal de M 2 tal que B1 B2

a. Existe una f ∈ L(P₂ ( t ) ,R3)tal que:

N ( f ) = ⟨ {1+t ,1−t ² }⟩ y Img( f ) = ⟨ {(1,−1,2)}⟩

(Justifique). En caso afirmativo, hallar:

b. [ f ]CB, donde B={1+ t ,1−t 2 ,1+t+ t2 } es base de P₂ ( t )

c. Utilizar el resultado de la parte (b), para hallar f explícitamente.

-Dada la matriz A=[ f ]BB=(1 2 −2

2 1 −22 2 3 ) donde f ∈ L(P₂ ( t ) ,P₂ (t )) y

B={1−t , t 2,1 }

a. Hallar los valores y los vectores (polinomios) propios de ƒ.b. En caso de que la matriz A es diagonalizable, escriba la matriz D diagonal y

la matriz P inversible tal que D=P−1 AP . Sabiendo que An=PD nP−1,

hallar An.

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-Dada la recta L :2x− y=4en el sistema de referencia

R1=(O1=|23 ; B1={(21) ,(−12 )}) Dado el punto P=|−3−2 en el sistema de referencia canónico.

Determinar la distancia de P a L.




Quito, 03 Marzo 2000

a) En el e.v. (R3 , R ,+, .); B= {(1 ,0 ,1 ) , (12 ,−45 ,63 ) , (0 ,123 ,−234 ) } linealmente

independiente, calcular la capsula de B

b) En el e.v. (M 2x 2 ,R ,+ ,. ), ¿B={(1 10 0) ,(0 0

0 0) ,(0 −11 0 )} es base del e.v. M 2x 1?

Justifique.c) Sea ƒ: V →W una aplicación lineal biyectiva, ¿Si ʎ es un valor propio de ƒ

entonces ʎ= 0? Justifique.

d) Sea f :R3→P3(t), una aplicación lineal. ¿Si N ( f )={0v }, entonces ƒ es

sobreyectiva?. Justifique.

e) Sea (V ,R ,+ , . ) un espacio vectorial sobre el cual se ha definido un producto

interno (/). ¿Si u+v y u−v son ortogonales entonces |u|=|v|?

-Sea ƒ una aplicación lineal tal que [ƒ ]BB=( 1 −1 00 1 0

−1 0 1); donde B= {1 ,1+t , t 2 } y

S= {(1,1,0 ) , (0,1,1 ) , (−1,0,0 ) } Son bases ordenadas de los e.v. P2(t) y R3 respectivamente:

a) Probar que f es biyectiva.

b) Calcular [ f−1 ]C2C1; donde C1 y C2 son las bases canonícas de R3 y P2(t)

respectivamente.

c) Calcular f−1 explicitamente.

d) Calcular los siguientes s.e.v: N ( f ) , N (f −1 ) , Img ( f ) , Img ( f−1 ). Diga las

respectivas dimensiones.

-Sea f :P2 ( t )→P2 ( t ) una aplicación lineal.

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a+at+c t 2→f (a+at+c t 2 )=a t2+bt+c

a) Calcular los valores y vectores propios de f .

b) Dar una base ortonormal B de P1(t) tal que [ f ]BB=D diagonal.

c) Hallar un matriz P tal que PDPt=[ f ]CC.

-Dado el sistema de referencia R=(O1 , B1 ) del espacio afín (R2 , R2 ,+ , . ), donde

O1=| 1−1 y B1={(1 ,−1 ) , (1,0 ) }. Calcular la distancia del punto P=|−13 a la recta

[ L ]R={x=−2−ty=1+t




-Dada la matriz A=(a bc d) Calcular: A2−tr (A ) A+det (A) I2 x2 25 Julio 2000

-Sean A y B dos matrices cuadradas. Pruebe que: si AB=A y BA=B entonces At

es idempotente.

-Hallar los valores de m∈R tal que

B= {(1 ,m ,m,m ) , (m ,1 ,m ,m) , (m,m ,1 ,m ) , (m,m ,m ,1 ) }

Sea linealmente independiente.

-Sea B= {(1,0,1 ) , (1 ,−2 ,−1 ) , (3 ,−2,1 ) } R3, calcular la capsula de B.

-Sea W 1={(a bc d )| a−b+d=0

a−c−d=0a−2b+c+d=0 } un s.e.v. del e.v. (M 2x 2 ,R ,+ ,.)

c) Calcular una base B para W 1.d) Calcular un W 2 tal que M 2x 2=W 1W 2

-A partir de la base B= {2−t ,1−t 2 ,1+t−t 2 } dar una base ortonormal para el

espacio vectorial (P2 ( t ) , R ,+, .) usando el producto interno (

p(t )|q (t ) ¿=a0b0+a1b1+a2b2 donde p (t )=a0+a1t+a2 t2 y

q (t )=b0+b1 t+b2t2

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-Dada la funcion f :M 2 x2→M 2x 2 donde B=( 1 −1−1 1 )

A→f (A )=AB

a) ¿f es una aplicación lineal?b) Si f es una aplicación lineal, dar la dimensión del núcleo y la imagen de f .

Justifique.

-¿Existe una aplicación lineal de P2(t) en P2(t) tal que:

f (1 )=34+ 14t, f ( t )=2

3t+ 13t 2, f ( t2 )= 1

4+ 14t+ 12t 2 Si existe la aplicación lineal f

a) Calcular los valores y vectores propios de fb) ¿Existe una base B, tal que [ f ]B

B sea diagonal? Si existe dar la base B y la [ f ]BB

-Calcular la distancia del punto P=| 1−1 a la recta L cuya ecuación general en el

sistema de referencia R=(O1 ,B1) es y−2x+3=0

Donde O1=| 2−1 y B1={(11) ,(−10 )}ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL



07 Marzo 2001

Dada la matriz A=( 3 4−2 −3) Determinar An.

Sea W={(a ,b , c )∈R3/a+b−c=0 }. Hallar una base ortonormal B de W y

una base S ortonormal de R3 tal que B S.

Sea¿¿ donde B={(101),(001) ,(−110 )}.

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Hallar [ f ]BS donde S={(110) ,(101) ,(011)}.

Sea f ∈ L(R3 ,R3) tal que [ f ]CB=(2 1 14 −2 22 1 1) donde B={(101),( 01−1) ,(100)}.

Hallar los valores propios de f , y una base ortogonal (si existe) de R3 formada

por vectores propios de f .

Sea L :2x+ y=3 en el sistema de referencia R={O1=23 ,B1={( 1−1) ,(11)}}. Hallar d (P .L ) en el sistema canonico, si [P ]C=

2−3 .




08 Julio 2001

-Dados W 1= {( x , y , z ) / y−z=0} y W 2={( x , y , z ) /x= y−z } dos s.e.v. del e.v.

(R¿¿3 , R ,+, .)¿, hallar W 1∩W 2.

-Si W={(a bc d )/a+d=b+c} un s.e.v. del e.v. (M 2x 2 ,R ,+ ,. ), usando el p.i.

usual del e.v., halle una base ortonormal para W.

-Si W={ p ( x )∈P2 [ x ] / p ( x )=p(x+1)} un s.e.v. del e.v. (P [ x ] ,R ,+ , .) con el

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p.i. definido por ( p ( x )/q ( x ))=∫0

1

p ( x )q ( x )dx , hallar W ortogonal.

-Sea B={(1 00 1) ,(0 −1

1 0 ) ,( 0 0−1 1),(−1 1

0 0)} una base de (M 2x 2 ,R ,+ ,.),

Hallar las coordenadas del vector ( 1 2−1 2) con respecto a la base B.

-Hallar una aplicación lineal f :R2→W donde W={( x , y , z )/x− y+ z=0}.

-Dada f :R3→R3

( x , y , z )→ ( x− y+z , x+ y+z , x−3 y+z )

Hallar una base para el núcleo y la imagen de f .

-Determinar una aplicación lineal f ∈ L(R3 ,P2 ( t )), tal que la matriz asociada a

f respecto a las bases canonícas es (1 −1 01 0 10 −1 1).

-Dada [ f ]SB=(−1 0 1

0 1 11 −1 0) donde B={(110),(101) ,(011)}

y S y S' bases de R3, hallar [ f ]S 'C



EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL

15 Agosto 2001

-Sea la matriz A=(2 −4 02 1 13 −2 1)

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Hallar: a) adj (A )

b) |A|

c) A−1 (cuando exista)

-Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

{(2a+2 ) x+ (a−1 ) y+(a+3 ) z=−2(a−1 ) y−(a−1 ) z=02x+ y−z=−1

d) Cuando el sistema tiene única solución. Hallar la solución.e) Cuando el sistema tenga infinitas soluciones. Hallar las soluciones.f) Cuando el sistema no tenga solución.

-Sea W 1={(a bc d )∈M2 /b=c ˄b+c=d } y W 2=⟨{(1 0

0 1) ,(0 11 −1) ,(−1 1

−1 2)}⟩a) Hallar una base para W 1∩W 2.

b) A partir de la base hallada en el literal a) completar una base para el e.v.

(M 2 ,R ,+ ,. ).c) A partir de la base hallada en el literal b) hallar una base ortonormal para el e.v.

(M 2 ,R ,+ ,. ).

-Dada la aplicación lineal f ∈ L(R2 ,P2 (t )) donde B1={(1 ,−1 ) , (1,1 ) } y

B2={1−t ,2 ,1+t−t 2 }, bases de R2 ,P2( t) respectivamente.

Determinar: a) f

b) [ f ]B2B1

c) [ Id ]B2B1

d) ¿ f es biyectiva?



EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL

Agosto del 2001

-Dada la función f :R2→P1(x)

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(a ,b )→f (a ,b )=(a−b )+ (b−2a ) xi) Demostrar que f es una aplicación lineal.ii) Calcular el núcleo y la imagen de f .iii) ¿f es inyectiva, es sobreyectiva?

i) ¿Existe una aplicación lineal de P2(x ) en R3 tal que:

f (1+x2 )=(1,1,2 ) , f ( x+x2 )= (0,1,2 ) , f (1+x )=(1 ,−1,1)?

ii) Si existe la aplicación lineal, expresarla en forma explícita.

-Dada la aplicación lineal f :P1 ( x )→P1 ( x )

(a+bx )→f (a+bx )=(2a−b )+(a+2b ) xY las bases ordenada B={1−x ,2+x }i) Calcular [ f ]B

B

ii) Usando la matriz de cambio de base, calcular [ f ]BC

-Si [ f ]BC=(−2 −2

1 0 ) Calcular la imagen del vector V=(−1,1), usando la matriz

asociada.

La base ordenada B={ (2+3x ,−1+4 x ) }

-Dada la matriz A=(3 −1 12 0 −23 −3 1 )

i) Calcular el polinomio característico de A. ii) ¿A es diagonalizable?

iii) Si lo es calcular una base en la cual la matriz asociada sea diagonal.

iv) Calcular la matriz diagonal D y la matriz P, tal que, D=P−1 AP.

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