alin 07 - transformasi linear

7/23/2019 Alin 07 - Transformasi Linear

1/35

28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223

3 SKSSilabus :Bab I Matriks dan Operasinya

Bab II Determinan Matriks

Bab III Sistem Persamaan Linear

Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang

Bab V Ruang Vektor

Bab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi Linear

Bab VIII Ruang Eigen


2/35


VII Transformasi Linear

Sub pokok BahasanDefinisi Transformasi Linear

Matriks Transformasi

Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear

Grafika Komputer

Penyederhanaan Model Matematisdan lain lain


3/35


Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : VW

dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Vba , R

( )=+ baT.1 ( ) ( )bTaT +

( )=aT .2 ( )aT


4/35


Contoh :

Tunjukan bahwa T : R2R3, dimana

merupakan tranformasi linear.

Jawab :Ambil unsur sembarang di R2,

Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

=

y

x

yx

yxT

,2

1

=

u

uu

2

2

1R

v

vv

=

( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+

Rumus Transformasi


5/35


Terbukti bahwa

( )=+ vuT

+

2

1

2

1

v

v

u

uT

( ) ( )

( )

++

++=

22

11

2211

vu

vu

vuvu

( ) ( )

+

++

=22

11

2211

vu

vu

vuvu

+

=2

1

21

2

1

21

v

v

vv

u

u

uu

( ) ( ) ( )vuvuT +=+


6/35


(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi,Tmerupakan transformasi linear.

RRu dan2

( )

=

2

1

u

u

u

=

2

1

21

u

u

uu

( )

( )

( )

=

2

1

21

u

u

uu

=

2

1

21

u

u

uu

( )u=


7/35


Contoh 2 :

Misalkan T merupakan suatu transformasi

dari M2x2ke R yang didefinisikan oleh

T(A) =det(A), untuk setiapAM2x2,Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiapR berlaku

det (A) =

22

43

21

xMaa

aa

A

=

43

21

det aa

aa

( ) )det(243212 Aaaaa ==


8/35


Perhatikan bahwadet(A) det(A)

JadiTbukan transformasi linier.

Contoh 3 :

DiketahuiT: P2 (Polinom orde-2)R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear

b. Tentukan

=++

ca

bacxbxaT )( 2

)1( 2xxT ++

2

1 2 3p u u x u x= + + 2

1 2 3q v v x v x= + +

Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,


9/35

28/11/15 10:14 MA-1223 Aljabar Linear

Sehingga

Perhatikan bahwa

p q+ = ( ) ( ) ( ) 2332211 xvuxvuvu +++++

( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 2 2 3 3T p q T u v u v x u v x+ = + + + + +

( ) ( )

( ) ( )

++++

=3311

2211

vuvu

vuvu

( ) ( )( ) ( )

++=

3131

2121

vvuu

vvuu

+

=31

21

31

21

vv

vv

uu

uu

( ) ( )2321

2

321 xvxvvTxuxuuT +++++=


10/35


Ambil unsur sembarang P2,

danR, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2

1 2 3p u u x u x= + +

( ) ( )2

321 xuxuuTuT ++=

( )

( )

=31

21

uu

uu

( )

( )

=31

21

uu

uu

=31

21

uu

uu

( )2

321 xuxuuT ++=


11/35


b.

Suatu transformasi linearT:VWdapatdirepresentasikan dalam bentuk :

A dinamakan matriks transformasi dariT.

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linearT: R2R3didefinisikan oleh :

=++ )1( 2xxT

=

0

0

11

11

( ) uAuT = uuntuk setiap V.

=

y

x

yx

y

x


12/35


Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2R3adalah

Jika T : Rn

Rm

merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalahm x n

=

=

yx

yx

yx

y

x

1001

11

=10

01

11

A


13/35


dimana

{ }21 ,vv=32

: RR

( ) ( )ii uv =

( )

( ) 222

111

uvvT

uvvT

====

[ ] [ ] 2321222123 xxx uuvv = [ ]21 vv

[ ][ ] 12121

= vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektorVdan

merupakan transformasi linear

untuk setiapi= 1,2.

SehinggaJadi

basis bagiVmaka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :


14/35


=

=

=

10

0

,1

1

0

,1

1

1

321 vvv

1

3: PR

( ) iii pvAvT ==

xppxp 2;1;1 321 ===

2

1

1

dan

Contoh 3 :Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiapi= 1,2,3.

Tentukan :Matrix transformasi

Jika


15/35


[ ] [ ] [ ]

==

==

==2

02;

0

11;

1

111

32 BBB xppxp

3,2,1, == iii pv

=

201

011

111

011

001

1

111

011

001

201

011

=

Jawab :

efinisikan :

Karena

Maka

atau


16/35


100

010

001

111

011

001

101

011

001

110

010

001

~

110

011

001

100

010

001

~

=

=221

010

110

011

001

201

011

221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah


17/35


=

2

1

1

2

1

1

=

=

1

1

2

1

1

221

010

211

1x

B

+=

ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

( )x+=

12

11

C th


18/35


{ }22 1,,1 xxxxx +++

[ ]

=+

2

1

0

1 xT [ ]

=+

0

2

12xxT [ ]

=+

0

1

2

1 2xxT

( )21 xxT +

Contoh:

Jika T : P2R3adalah transformasi

lineardimana

Tentukan

!

Diketahui basis dari polinom orde duaadalah

"una#an

$efinisi

Memban%un

b


19/35


Jawab :

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis

bagi polinom orde 2maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenissehingga diperoleh SPL

dengan solusik1=0 ,k2= 2, dan k3= 1.

1

1

1

32

321

31

=

=+=+

kk

kkk

kk

( ) ( ) ( )23

2

21

2111 xxkxxkxkxx +++++=+


20/35


Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

( ) ( ) ( ) ( )222 12101 xxTxxTxTxxT +++++=+

+

=

0

1

2

0

2

1

2

=

0

5

4

( ) ( ) ( ) ( )( )222 112101 xxxxxTxxT +++++=+

( ) ( ) ( )222 112101 xxxxxxx +++++=+


21/35


Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V W merupakan transformasi linear

Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W

dinamakan kernel T

notasiker(T).

atau

Contoh 5 :

Trans. Linear T : P2R2

Perhatikan bahwa

maka

( ){ }0|)( == uTVuTKer

=++ca

bacxbxaT )( 2

=++ )1( 2xxT = 00

1111

)(1 2

TKerxx ++

2


22/35


Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal

transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai

vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : VW adalah transformasi linear

makaKer(T) merupakan subruang dari VBukti :

Ambil sembarang danRiil)(, TKerba

)(21 2 TKerxx ++

01

1)21(

2

=++ xxT


23/35


1. Karena setiap

artinya setiap

makaKer(T)V

2. Perhatikan bahwa

artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) { }

3. Karena dan Ker(T)VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya

Jadi

)(TKera( ) 0sehingga = aTVa

)(0 TKer( ) 000 == AT

)(, TKerba

Vba +( ) 000 =+=+=+ bTaTbaT

( )Tba ker+


24/35


karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : VW adalah transformasi linear maka

Ker(T) merupakansubruangdari ruang vektor V

KarenaKer(T) merupakan subruang

Basis Ker(T).

VaTKera maka)(Karena4.

)(TKera

( ) ( ) 00=== aTaT


25/35


c

b

a

T

( ) ( ) ( ) 022 2

=+++++=

xcbaxcabacb

a

T

Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 P

2

engan

Jawab :Perhatikan

ahwa :

=(a+b) + (2ac)x+ (2a+b+c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan

(T)


26/35


=

+++

0

0

0

2

2

cba

cb

ba

=

cb

a

T =

++

+

cbacb

ba

22

112120

011

cb

a

Iniemberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

=112

120011

A


27/35


~

0

0

0

112

120

011

0

0

0

110

120

011

0

0

0

2/100

2/110

2/101

~

00

0

100010

001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { }

dan nulitasnya adalah nol.


28/35


1

1

0

,

1

2

1

,

2

0

1

222 2121 xx,xx,x ++++

Perhatikan hasil OBEmaka basis ruang kolom dari matriks Adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehinggarank(dimensi basis R(t)) = 3


29/35


++

=

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R4

3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dannulitasnya

Jaw


30/35


Jawab :

++

=

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

=

d

c

b

a

21112100

0011

=2111

21000011

A

Jadi


31/35


( ) ( ) 4,0 R

d

c

ba

vvAvT

===

0000

2100

0011

~

2111

2100

0011

~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari


32/35


0=vA

+

=

0,,

21

1

0

0

0

0

1

1

tsts

d

c

b

a

d

c

b

a

21

1

0

0

,

0

0

1

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2


33/35


+=

ca

ba

c

ba

T2

[ ] 242 xxxT +=+ [ ] 222731 xxxT +=+

[ ]xT 3

Latihan

1. Suatu transformasi T :32

didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansiT:P1P2diberikan

h :d

anTentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi

linear


34/35


=

1

1

3

2

1T

=

1

2

1

5

3T

3

1T

(Untuk no. 3 5)

Suatu transformasi linear, T :R2R3

Yang diilustrasikan sebagai

berikut :dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !


35/35

28/11/15 10:14 MA 1223 Aljabar Linear 35

=

1221

1321

1121

A

+=

caba

c

b

a

T 2

7. Misalkan T :32didefinisikaneh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)beserta dimensinya !

6. Tentukanrankdannulitasmatriks Transformasi :

alin 07 - transformasi linear

Documents