aljabar boolean.ppt
TRANSCRIPT
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 1/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1
Aljabar Boolean
Bahan Kuliah
IF2151 Matematika Diskrit
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 2/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2
Definisi Aljabar Boolean
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 3/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
1. Closure! "i# a $ b ∈ B
"ii# a ⋅ b ∈ B
2. Identitas! "i# a $ % & a
"ii# a ⋅ 1 & a
. Komutatif! "i# a $ b & b $ a
"ii# a ⋅ b & b . a
'. Distributif!"i# a ⋅ "b $ c# & "a ⋅ b# $ "a ⋅ c#
"ii# a $ "b ⋅ c# & "a $ b# ⋅ "a $ c#
5. Kom(lemen1! "i# a $ a) & 1
"ii# a ⋅ a) & %
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 4/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '
*ntuk mem(un+ai sebuah aljabar Boolean,
harus di(erlihatkan!
1. -lemenelemen him(unan B,2. Kaidah o(erasi untuk o(erator biner dan
o(erator uner,
. Memenuhi (ostulat untin0ton.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 5/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean duanilai!
B & %, 1
o(erator biner, $ dan ⋅ o(erator uner, )
Kaidah untuk o(erator biner dan o(erator uner!
a b a ⋅ b a b a $ b a a)
% % % % % % % 1
% 1 % % 1 1 1 %1 % % 1 % 1
1 1 1 1 1 1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 6/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3
4ek a(akah memenuhi (ostulat untin0ton!
1. Closure ! jelas berlaku
2. Identitas! jelas berlaku karena dari tabel da(at kita lihat baha!
"i# % $ 1 & 1 $ % & 1"ii# 1 ⋅ % & % ⋅ 1 & %
. Komutatif! jelas berlaku den0an melihat simetri tabel o(erator
biner.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 7/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6
'. Distributif! "i# a ⋅ "b $ c# & "a ⋅ b# $ "a ⋅ c# da(at ditunjukkan
benar dari tabel o(erator biner di atas den0an membentuk tabelkebenaran!
a
b c b $ c a ⋅ "b $ c# a ⋅ b a ⋅ c "a ⋅ b# $ "a ⋅ c#
% % % % % % % %
% % 1 1 % % % %
% 1 % 1 % % % %
% 1 1 1 % % % %
1 % % % % % % %1 % 1 1 1 % 1 1
1 1 % 1 1 1 % 1
1 1 1 1 1 1 1 1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 8/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 7
"ii# ukum distributif a $ "b ⋅ c# & "a $ b# ⋅ "a $ c# da(at
ditunjukkan benar den0an membuat tabel kebenaran den0an8ara +an0 sama se(erti "i#.
5. Kom(lemen! jelas berlaku karena 9abel 6. mem(erlihatkan
baha!
"i# a $ a: & 1, karena % $ %)& % $ 1 & 1 dan 1 $ 1)& 1 $ % & 1"ii# a ⋅ a & %, karena % ⋅ %)& % ⋅ 1 & % dan 1 ⋅ 1) & 1 ⋅ % & %
Karena kelima (ostulat untin0ton di(enuhi, maka terbukti baha
& %, 1 bersamasama den0an o(erator biner $ dan ⋅ o(erator
kom(lemen : meru(akan aljabar Boolean.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 9/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ;
Ekspresi Boolean
• Misalkan " B, $, ⋅, )# adalah sebuah aljabar Boolean. <uatu
eks(resi Boolean dalam " B, $, ⋅, )# adalah!
"i# setia( elemen di dalam B,"ii# setia( (eubah,
"iii# jika e1 dan e2 adalah eks(resi Boolean, maka e1 $ e2, e1 ⋅ e2, e1) adalah eks(resi Boolean
4ontoh! %
1
a
b
a $ b
a ⋅ b
a)⋅ "b $ c#
a ⋅ b) $ a ⋅ b ⋅ c) $ b), dan seba0ain+a
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 10/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1%
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
• 4ontoh! a)⋅ "b $ c#
jika a & %, b & 1, dan c & %, maka hasil e=aluasi eks(resi!
%)⋅ "1 $ %# & 1 ⋅ 1 & 1
• Dua eks(resi Boolean dikatakan ekivalen "dilamban0kan
den0an :&)# jika keduan+a mem(un+ai nilai +an0 sama untuksetia( (emberian nilainilai ke(ada n (eubah.
4ontoh!a ⋅ "b $ c# & "a . b# $ "a ⋅ c#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 11/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 11
Contoh. >erlihatkan baha a $ a)b & a $ b .
>en+elesaian!
a b a) a)b a $ a)b a $ b
% % 1 % % %
% 1 1 1 1 1
1 % % % 1 1
1 1 % % 1 1
• >erjanjian! tanda titik "⋅# da(at dihilan0kan dari (enulisan
eks(resi Boolean, ke8uali jika ada (enekanan!
"i# a"b $ c# & ab $ ac "ii# a $ bc & "a $ b# "a $ c#
"iii# a ⋅ % , bukan a%
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 12/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 12
Prinsip Dualitas
• Misalkan S adalah kesamaan "identity# di dalam aljabar
Boolean +an0 melibatkan o(erator $, ⋅, dan kom(lemen,
maka jika (ern+ataan S ? di(eroleh den0an 8ara men00anti
⋅ den0an $
$ den0an ⋅ % den0an 1
1 den0an %
dan membiarkan o(erator kom(lemen teta( a(a adan+a,
maka kesamaan S ? ju0a benar. S ? disebut seba0ai dual dariS .
Contoh.
"i# "a ⋅ 1#"% $ a)# & % dualn+a "a $ %# $ "1 ⋅ a)# & 1
"ii# a"a: $ b# & ab dualn+a a $ a:b & a $ b
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 13/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1
Hukum-hukum Aljabar Boolean1. ukum identitas!
"i# a $ % & a
"ii# a ⋅ 1 & a
2. ukum idem(oten!
"i# a $ a & a
"ii# a ⋅ a & a
. ukum kom(lemen!
"i# a $ a) & 1"ii# aa) & %
'. ukum dominansi!
"i# a ⋅ % & %
"ii# a $ 1 & 1
5. ukum in=olusi!
"i# "a)#) & a
3. ukum (en+era(an!
"i# a $ ab & a
"ii# a"a $ b# & a
6. ukum komutatif!
"i# a $ b & b $ a
"ii# ab & ba
7. ukum asosiatif!
"i# a $ "b $ c# & "a $ b# $ c
"ii# a "b c# & "a b# c
;. ukum distributif!"i# a $ "b c# & "a $ b# "a $ c#
"ii# a "b $ c# & a b $ a c
1%. ukum De Mor0an!"i# "a $ b#) & a)b)
"ii# "ab#) & a) $ b)
11. ukum %/1
"i# %) & 1
"ii# 1) & %
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 14/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1'
Contoh 7.3. Buktikan "i# a $ a)b & a $ b dan "ii# a"a) $ b# & ab
>en+elesaian!
"i# a $ a)b & "a $ ab# $ a)b ">en+era(an#
& a $ "ab $ a)b# "Asosiatif#& a $ "a $ a)#b "Distributif#
& a $ 1 • b "Kom(lemen#
& a $ b "Identitas#
"ii# adalah dual dari "i#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 15/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 15
Funsi Boolean
• Funsi Boolean "disebut ju0a fun0si biner# adalah (emetaan
dari Bn ke B melalui eks(resi Boolean, kita menuliskann+a
seba0ai
f ! Bn → B
+an0 dalam hal ini Bn adalah him(unan +an0 beran00otakan
(asan0an terurut 0andan "ordered n-tuple# di dalam daerah
asal B.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 16/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 13
• <etia( eks(resi Boolean tidak lain meru(akan fun0si
Boolean.
• Misalkan sebuah fun0si Boolean adalah
f " x, y, z # & xyz $ x) y $ y) z
Fun0si f memetakan nilainilai (asan0an terurut 0anda
" x, y, z # ke him(unan %, 1.
4ontohn+a, "1, %, 1# +an0 berarti x & 1, y & %, dan z & 1
sehin00a f"1, %, 1# & 1 ⋅ % ⋅ 1 $ 1) ⋅ % $ %)⋅ 1 & % $ % $ 1 & 1 .
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 17/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 16
Contoh. 4ontoh8ontoh fun0si Boolean +an0 lain!
1. f " x# & x
2. f " x, y# & x) y $ xy)$ y)
. f " x, y# & x) y)
'. f " x, y# & " x $ y#)
5. f " x, y, z # & xyz )
• <etia( (eubah di dalam fun0si Boolean, termasuk dalam
bentuk kom(lemenn+a, disebut literal.
4ontoh! Fun0si h" x, y, z # & xyz ) (ada 8ontoh di atas terdiridari buah literal, +aitu x, +, dan z ).
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 18/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 17
Contoh. Diketahui fun0si Booelan f " x, y, z # & xy z ), n+atakan h
dalam tabel kebenaran.
>en+elesaian!
x y z f " x, y, z # & xy z )
%
%%
%
1
1
1
1
%
%1
1
%
%
1
1
%
1%
1
%
1
%
1
%
%%
%
%
%
1
%
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 19/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1;
!omplemen Funsi
1. 4ara (ertama! men00unakan hukum De Mor0an
/ukum De Mor0an untuk dua buah (eubah, x1 dan x2, adalah
Contoh. Misalkan f " x, y, z # & x" y) z ) $ yz #, maka f )" x, y, z # & " x" y) z ) $ yz ##)
& x) $ " y) z ) $ yz #)
& x) $ " y) z )#) " yz #)
& x) $ " y $ z # " y) $ z )#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 20/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2%
2. 4ara kedua! men00unakan (rinsi( dualitas.
9entukan dual dari eks(resi Boolean +an0 mere(resentasikan f ,lalu kom(lemenkan setia( literal di dalam dual tersebut.
Contoh. Misalkan f " x, y, z # & x" y) z ) $ yz #, maka
dual dari f ! x $ " y) $ z )# " y $ z #
kom(lemenkan tia( literaln+a! x) $ " y $ z # " y) $ z )# & f )
@adi, f :" x, y, z # & x) $ " y $ z #" y) $ z )#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 21/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 21
Bentuk !anonik
• Ada dua ma8am bentuk kanonik!
1. >enjumlahan dari hasil kali " sum-of-product atau <>#2. >erkalian dari hasil jumlah " product-of-sum atau ><#
4ontoh! 1. f " x, y, z # & x) y) z $ xy) z ) $ xyz <>
<etia( suku "term# disebut minterm
2. g " x, y, z # & " x $ y $ z #" x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#
" x) $ y $ z )#" x) $ y) $ z #
><
<etia( suku "term# disebut maxterm
• <etia( minterm/maxterm men0andun0 literal len0ka(
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 22/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 22
Minterm Maxterm
x y <uku amban0 <uku amban0
%%
1
1
%1
%
1
x) y) x) y
xy)
x y
m% m1
m2
m
x $ y x $ y)
x) $ y
x) $ y)
M % M 1
M 2 M
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 23/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2
Minterm Maxterm
x y z <uku amban0 <uku amban0
%
%
%
%1
1
11
%
%
1
1%
%
11
%
1
%
1%
1
%1
x) y) z )
x) y) z
x: y z )
x) y z x y) z )
x y) z
x y z ) x y z
m%
m1
m2
m
m'
m5
m3 m6
x $ y $ z
x $ y $ z )
x $ y)$ z
x $ y)$ z ) x)$ y $ z
x)$ y $ z )
x)$ y)$ z x)$ y)$ z )
M %
M 1
M 2 M M '
M 5
M 3 M 6
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 24/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2'
Contoh 7."#. C+atakan tabel kebenaran di baah ini dalam bentuk
kanonik <> dan ><.
$abel 7."#
x y z f " x, y, z #
%
%%
%
1
1
11
%
%1
1
%
%
11
%
1%
1
%
1
%1
%
1%
%
1
%
%1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 25/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 25
>en+elesaian!
"a# <>Kombinasi nilainilai (eubah +an0 men0hasilkan nilai fun0si
sama den0an 1 adalah %%1, 1%%, dan 111, maka fun0si
Booleann+a dalam bentuk kanonik <> adalah
f " x, y, z # & x) y) z $ xy) z ) $ xyz
atau "den0an men00unakan lamban0 minterm#,
" x, y, z # & m1 $ m' $ m6 & ∑ "1, ', 6#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 26/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 23
"b# ><Kombinasi nilainilai (eubah +an0 men0hasilkan nilai fun0si
sama den0an % adalah %%%, %1%, %11, 1%1, dan 11%, maka
fun0si Booleann+a dalam bentuk kanonik >< adalah
f " x, y, z # & " x $ y $ z #" x $ y)$ z #" x $ y)$ z )#" x)$ y $ z )#" x)$ y)$ z #
atau dalam bentuk lain,
" x, y, z # & M % M
2 M
M
5 M
3 & ∏"%, 2, , 5, 3#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 27/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 26
Contoh 7."". C+atakan fun0si Boolean f " x, y, z # & x $ y) z dalam
bentuk kanonik <> dan ><.
>en+elesaian!
"a# <>
x & x" y $ y)#
& xy $ xy)
& xy " z $ z )# $ xy)" z $ z )#
& xyz $ xyz ) $ xy) z $ xy) z )
y) z & y) z " x $ x)#
& +)E $ )+)E
@adi f " x, y, z # & x $ y) z & xyz $ xyz ) $ xy) z $ xy) z ) $ xy) z $ x) y) z
& x) y) z $ xy) z ) $ xy) z $ xyz ) $ xyz
atau f " x, y, z # & m1 $ m' $ m5 $ m3 $ m6 & Σ "1,',5,3,6#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 28/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 27
"b# ><
f " x, y, z # & x $ y) z
& " x $ y)#" x $ z #
x $ y) & x $ y) $ zz )
& " x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#
x $ z & x $ z $ yy)& " x $ y $ z #" x $ y) $ z #
@adi, f " x, y, z # & " x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#" x $ y $ z #" x $ y) $ z #
& " x $ y $ z #" x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#
atau f " x, y, z # & M % M 2 M & ∏"%, 2, #
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 29/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2;
!onversi Antar Bentuk !anonik
Misalkan f " x, y, E# & Σ "1, ', 5, 3, 6#
dan f )adalah fun0si kom(lemen dari f ,
f )" x, y, z # & Σ "%, 2, # & m%$ m2 $ m
Den0an men00unakan hukum De Mor0an, kita da(at mem(eroleh
fun0si f dalam bentuk ><!
f )" x, y, z # & " f )" x, y, z ##) & "m% $ m2 $ m#)
& m%) . m2) . m)
& " x) y) z )#) " x) y z’ #) " x) y z #)
& " x $ y $ z # " x $ y) $ z # " x $ y) $ E)#& M % M 2 M
& ∏ "%,2,#
@adi, f " x, y, E# & Σ "1, ', 5, 3, 6# & ∏ "%,2,#.
Kesim(ulan! m j) & M j
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 30/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit %
Contoh. C+atakan
f " x, y, z #& ∏ "%, 2, ', 5# dan g "w, x, +, E# & Σ"1, 2, 5, 3, 1%, 15#
dalam bentuk <>.
>en+elesaian! f " x, y, E# & Σ "1, , 3, 6#
g "w, x, y, z #& ∏ "%, , ', 6, 7, ;, 11, 12, 1, 1'#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 31/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1
Contoh. 4arilah bentuk kanonik <> dan >< dari f " x, y, z # & y) $
y $ x)+E)>en+elesaian!
"a# <>
f " x, y, E# & y) $ xy $ x) yz )& y) " x $ x)# " z $ z )# $ xy " z $ z )# $ x) yz )
& " xy) $ x) y)# " z $ z )# $ xyz $ xyz ) $ x) yz )& xy) z $ xy) z ) $ x) y) z $ x) y) z ) $ xyz $ xyz ) $ x) yz )
atau f " x, y, E# & m%$ m1 $ m2$ m'$ m5$ m3$ m6
"b# >< f " x, y, E# & M & x $ y) $ z )
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 32/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 2
Bentuk Baku
9idak harus men0andun0 literal +an0 len0ka(.
4ontohn+a,
f " x, y, z # & y) $ xy $ x) yz "bentuk baku <>
f " x, y, z # & x" y) $ z #" x) $ y $ z )# "bentuk baku
><#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 33/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit
Aplikasi Aljabar Boolean
". %arinan Pensaklaran & Switching Network '
<aklar! objek +an0 mem(un+ai dua buah keadaan! buka dan tutu(.
9i0a bentuk 0erban0 (alin0 sederhana!
1. a x b
Output b han+a ada jika dan han+a jika x dibuka ⇒ x
2. a x y b
Output b han+a ada jika dan han+a jika x dan y dibuka ⇒ xy
. a x
c
b y
Output c han+a ada jika dan han+a jika x atau y dibuka ⇒ x $ y
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 34/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '
4ontoh ran0kaian (ensaklaran (ada ran0kaian listrik!
1. <aklar dalam hubun0an <-RI! lo0ika ACD
am(u
B
∞ <umber te0an0an
2. <aklar dalam hubun0an >ARA-! lo0ika R
am(u
B
∞ <umber 9e0an0an
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 35/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5
(. )ankaian *oika
Gerban0 ACD Gerban0 R Gerban0 C9 "in!erter #
y
x xy
y
x x" y x# x
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 36/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3
Contoh. C+atakan fun0si f " x, y, z # & xy $ x) y ke dalam ran0kaianlo0ika.
@aab! "a# 4ara (ertama
x#
x
y xy
x
y x#y
xy"x#y
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 37/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6
"b# 4ara kedua
"8# 4ara keti0a
x#
xy
x y
x#y
xy"x #y
x H
x y x
y
x H y
x y"x H y
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 38/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 7
Gerban0 turunan
Gerban0 CACD Gerban0 R
Gerban0 CR Gerban0 CR
x
y" xy #H
x
y" x"y #H
x
y$ x y
x
y$" x y #H
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 39/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ;
x H
y H x H y H
eki=alen den0an x
y " x"y #H
x H
y H
x H $ y H eki=alen den0an
x
y" x y #H
x
y" x $ y #H eki=alen den0an
x
y" x $ y #H
x $ y
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 40/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '%
Pen+e,erhanaan Funsi Boolean
Contoh. f " x, y# & x) y $ xy) $ y)
disederhanakan menjadi
f " x, y# & x) $ y)
>en+ederhanaan fun0si Boolean da(at dilakukan den0an 8ara!
1. <e8ara aljabar
2. Men00unakan >eta Karnau0h
. Men00unakan metode Juine M8 4luske+ "metode 9abulasi#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 41/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '1
". Pen+e,erhanaan eara Aljabar
Contoh!
1. f " x, y# & x $ x) y
& " x $ x)#" x $ y#
& 1 ⋅ " x $ y #
& x $ y
2. f " x, y, z # & x) y) z $ x) yz $ xy)
& x) z " y) $ y# $ xy)
& x) z $ xz )
. f " x, y, z # & xy $ x) z $ yz & xy $ x) z $ yz " x $ x)#
& xy $ x) z $ xyz $ x) yz
& xy"1 $ z # $ x) z "1 $ y# & xy $ x) z
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 42/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '2
(. Peta !arnauh
a. $eta %arnaugh dengan dua peubah y
% 1
m% m1 x % x) y) x) y
m2 m 1 xy) xy
b. $eta dengan tiga peubah
yz%% %1 11 1%
m% m1 m m2 x % x) y) z ) x) y) z x) yz x) yz )
m' m5 m6 m3 1 xy) z ) xy) z xyz xyz )
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 43/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, 0ambarkan >eta Karnau0h.
x y z f " x, y, z #
% % % %
% % 1 %
% 1 % 1
% 1 1 %
1 % % %
1 % 1 %
1 1 % 1
1 1 1 1
yz%% %1 11 1%
x % % % % 1
1 % % 1 1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 44/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ''
b. $eta dengan empat peubah
yz%% %1 11 1%
m% m1 m m2 wx %% w) x) y) z ) w) x) y) z w) x) yz w) x) yz )
m' m5 m6 m3 %1 w) xy) z ) w) xy) z w) xyz w) xyz )
m12 m1 m15 m1' 11 wxy) z ) wxy) z wxyz wxyz )
m7 m; m11 m1% 1% wx) y) z ) wx) y) z wx) yz wx) yz )
C h Dib ik b l k b b k > K h
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 45/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '5
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, 0ambarkan >eta Karnau0h.
w x y z f "w, x, y, z #
% % % % %% % % 1 1
% % 1 % %
% % 1 1 %% 1 % % %% 1 % 1 %
% 1 1 % 1% 1 1 1 1
1 % % % %1 % % 1 %1 % 1 % %
1 % 1 1 %
1 1 % % %1 1 % 1 %
1 1 1 % 11 1 1 1 %
yz%% %1 11 1%
wx %% % 1 % 1
%1 % % 1 1
11 % % % 1
1% % % % %
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 46/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '3
$eknik /inimisasi Funsi Boolean ,enan Peta !arnauh
1. $asangan! dua buah 1 +an0 bertetan00a
yz%% %1 "1 "%
wx %% % % % %
%1 % % % %
"" % % 1 1
1% % % % %
Sebelum disederhana&an! f "w, x, y, z # & wxyz $ wxyz )
'asil $enyederhanaan! f "w, x, y, z # & wxy
Bukti se8ara aljabar!
f "w, x, y, z # & wxyz $ wxyz )
& wxy" z $ z )#
& wxy"1#
& wxy
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 47/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '6
2. %uad ! em(at buah 1 +an0 bertetan00a
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % % % %
"" 1 1 1 1
1% % % % %
Sebelum disederhana&an! f "w, x, y, z # & wxy) z ) $ wxy) z $ wxyz $ wxyz )
'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & wx
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 48/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '7
Bukti se8ara aljabar!
f "w, x, y, z # & wxy) $ wxy& wx" z ) $ z #
& wx"1#
& wx
yz
%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % % % %
11 1 1 1 1
1% % % % %
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 49/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ';
4ontoh lain!
yz#% #1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % % % %
"1 1 1 % %
"% 1 1 % %
<ebelum disederhanakan! f "w, x, y, z # & wxy) z ) $ wxy) z $ wx) y) z ) $ wx) y)E
'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & wy)
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 50/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5%
. O&tet ! dela(an buah 1 +an0 bertetan00a
yz
%% %1 11 1%wx %%
% % % %
%1% % % %
"11 1 1 1
"% 1 1 1 1
Sebelum disederhana&an! f "a, b, c, d # & wxy) z ) $ wxy) z $ wxyz $ wxyz ) $
wx) y) z ) $ wx) y) z $ wx) yz $ wx) yz )
'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & w
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 51/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 51
Bukti se8ara aljabar!
f "w, x, y, z # & wy) $ wy
& w" y) $ y#& w
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % % % %
11 1 1 1 1
1% 1 1 1 1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 52/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 52
Contoh 0."(. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam
>eta Karnau0h. <ederhanakan fun0si Boolean +an0 bersesuaian sesederhana
mun0kin.
yz
%% %1 11 1%
wx %% % 1 1 1
%1 % % % 1
11 1 1 % 1
1% 1 1 % 1
@aab! "lihat >eta Karnau0h# f "w, x, y, z # & wy) $ yz ) $ w) x) z
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 53/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5
Contoh 0."3. Minimisasi fun0si Boolean +an0 bersesuaian den0an >eta
Karnau0h di baah ini.
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % 1 % %
11 1 1 1 1
1% 1 1 1 1
@aab! "lihat >eta Karnau0h# f "w, x, y, z # & w $ xy) z
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 54/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5'
@ika (en+elesaian 4ontoh 5.1 adalah se(erti di baah ini!
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % 1 % %
11 1 1 1 1
1% 1 1 1 1
maka fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah
f "w, x, y, z # & w $ w) xy) z "jumlah literal & 5#
+an0 tern+ata masih belum sederhana dibandin0kan f "w, x, y, z # & w $ xy) z
"jumlah literal & '#.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 55/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 55
Contoh 0."1. ">en00ulun0an/rolling # <ederhanakan fun0si Boolean +an0
bersesuaian den0an >eta Karnau0h di baah ini.
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 1 % % 1
11 1 % % 1
1% % % % %
@aab! f "w, x, y, z # & xy) z ) $ xyz ) && belum sederhana
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 56/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 53
>en+elesaian +an0 lebih minimal!
yz%# %1 11 1#
wx %% % % % %
%" 1 % % 1
1" 1 % % 1
1% % % % %
f "w, x, y, z # & xz ) &&&K lebih sederhana
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 57/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 56
Contoh 0."". <ederhanakan fun0si Boolean f " x, y, z # & x) yz $ xy) z ) $ xyz $
xyz ).
@aab!
>eta Karnau0h untuk fun0si tersebut adalah!
yz%% %1 11 1%
x % 1
1 1 1 1
asil (en+ederhanaan! f " x, y, z # & yz $ xz )
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 58/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 57
Contoh 0."0! "Kelom(ok berlebihan# <ederhanakan fun0si Boolean +an0
bersesuaian den0an >eta Karnau0h di baah ini.
yz
%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % 1 % %
11 % 1 1 %
1% % % 1 %
@aab! f "w, x, y, z # & xy) z $ wxz $ wyz → masih belum sederhana.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 59/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 5;
>en+elesaian +an0 lebih minimal!
yz%% %1 11 1%
wx %% % % % %
%1 % 1 % %
11 % 1 1 %
1% % % 1 %
f "w, x, y, z # & xy) z $ wyz &&& lebih sederhana
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 60/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3%
Contoh 0."2. <ederhanakan fun0si Boolean +an0 bersesuaian den0an >eta
Karnau0h di baah ini.
cd%% %1 11 1%
ab %% % % % %
%1 % % 1 %
11 1 1 1 1
1% % 1 1 1
@aab! "lihat >eta Karnau0h di atas# f "a, b, c, d # & ab $ ad $ ac $ bcd
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 61/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 31
Contoh 0."7. Minimisasi fun0si Boolean f " x, y, z # & x) z $ x) y $ xy) z $ yz
@aab!
x’z & x) z " y $ y)# & x) yz $ x) y) z
x) y & x) y" z $ z )# & x) yz $ x) yz ) yz & yz " x $ x)# & xyz $ x) yz
f " x, y, z # & x) z $ x) y $ xy) z $ yz
& x) yz $ x) y) z $ x) yz $ x) yz ) $ xy) z $ xyz $ x) yz
& x) yz $ x) y) z $ x) yz ) $ xyz $ xy) z
>eta Karnau0h untuk fun0si tersebut adalah!
yz%% %1 11 1%
x % % 1 1 1
1 % 1 1 %
asil (en+ederhanaan! f " x, y, z # & z $ x) yz )
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 62/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 32
>eta Karnau0h untuk lima (eubah
%%% %%1 %11 %1% 11% 111 1%1 1%%
%% m% m1 m m2 m3 m6 m5 m'
%1 m7 m; m11 m1% m1' m15 m1 m12
11 m2' m25 m26 m23 m% m1 m2; m27
1% m13 m16 m1; m17 m22 m2 m21 m2%
Garis (en8erminan
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 63/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3
Contoh 0.(". "4ontoh (en00unaan >eta 5 (eubah# 4arilah fun0si sederhana
dari f "!, w, x, y, z # & Σ "%, 2, ', 3, ;, 11, 1, 15, 16, 21, 25, 26, 2;, 1#
@aab!
>eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!
xyz
%%
%
%%
1
%1
1
%1
%
11
%
11
1
1%
1
1%
%
!w
%%
1 1 1 1
%1 1 1 1 1
11 1 1 1 1
1% 1 1
@adi f "!, w, x, y, z # & wz $ !)w) z ) $ !y) z
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 64/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3'
Kondisi (on’t care
$abel 0."2
w x y z desimal
%%
%%
%
%
%
%1
1
1
1
11
1
1
%%
%%
1
1
1
1%
%
%
%
11
1
1
%%
11
%
%
1
1%
%
1
1
%%
1
1
%1
%1
%
1
%
1%
1
%
1
%1
%
1
%1
2
'
5
3
67
;
don’t care
don’t care
don’t caredon’t care
don’t care
don’t care
C t h 0 (0 Dib ik 9 b l 5 16 Mi i i i f i f d h
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 65/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 35
Contoh 0.(0. Diberikan 9abel 5.16. Minimisasi fun0si f sesederhana
mun0kin.
$abel 0."7
a b c d f "a, b, c, d #%%
%%
%%
%%1
111
1
11
1
%%
%%
11
11%
%%%
1
11
1
%%
11
%%
11%
%11
%
%1
1
%1
%1
%1
%1%
1%1
%
1%
1
1%
%1
11
%1
)
) )
) )
) ) )
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 66/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 33
@aab! >eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!
cd%% %1 11 1%
ab
%%
1 % 1 %
%1 1 1 1 %
11 ) ) ) )
1% ) % ) )
asil (en+ederhanaan! f "a, b, c, d # & bd $ c)d ) $ cd
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 67/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 36
Contoh 0.(2. Minimisasi fun0si Boolean f " x, y, z # & x) yz $ x) yz ) $ xy) z ) $
y) z . Gambarkan ran0kaian lo0ikan+a.
@aab! Ran0kaian lo0ika fun0si f " x, y, z # sebelum diminimisasikan adalahse(erti di baah ini!
x y z
x H yz
x H yz H
xy H z H
xy H z
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 68/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 37
Minimisasi den0an >eta Karnau0h adalah seba0ai berikut!
yz%% %1 11 1%
x % % % 1 1
1 1 1 % %
asil minimisasi adalah f " x, y, z # & x) y $ xy).
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 69/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 3;
Contoh 0.(. Berba0ai sistem di0ital men00unakan kode binary coded
decimal "B4D#. Diberikan 9abel 5.1; untuk kon=ersi B4D ke kode *xcess
seba0ai berikut!
$abel 0."4
Masukan B4D Keluaran kode *xcess
w x y z f 1"w, x, y, z # f 2"w, x, y, z # f "w, x, y, z # f '"w, x, y, z #
%
12
'
5
3
6
7;
%
%%
%
%
%
%
%
11
%
%%
%
1
1
1
1
%%
%
%1
1
%
%
1
1
%%
%
1%
1
%
1
%
1
%1
%
%%
%
%
1
1
1
11
%
11
1
1
%
%
%
%1
1
%%
1
1
%
%
1
1%
1
%1
%
1
%
1
%
1%
" # f " #
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 70/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6%
"a# f 1"w, x, y, z # yz%% %1 11 1%
wx %%
%1 1 1 1
11 ) ) ) )
1% 1 1 ) )
f 1"w, x, y, z # & w $ xz $ xy & w $ x" y $ z #
"b# f 2"w, x, y, z # yz%% %1 11 1%
wx %% 1 1 1
%1 1
11 ) ) ) )
1% 1 ) )
f 2"w, x, y, z # & xy) z ) $ x) z $ x) y & xy) z ) $ x)" y $ z #
"8# f"w x y z#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 71/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 61
"8# f "w, x, y, z # yz%% %1 11 1%
wx %% 1 1
%1 1 1
11 ) ) ) )
1% 1 ) )
f "w, x, y, z # & y) z ) $ yz
"d# f '"w, x, y, z #
yz%% %1 11 1%
wx %% 1 1
%1 1 1
11 ) ) )
1% 1 ) )
f '"w, x, y, z # & z )
x y zw
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 72/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 62
x y zw
f
f '
f 2
f 1
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 73/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6
Contoh 7.13
Minimisasi fun0si Boolean berikut "hasil (en+ederhanaan
dalam bentuk baku <> dan bentuk baku ><#!
f "w, x, y, z # & Σ "1, , 6, 11, 15#
den0an kondisi don’t care adalah d "w, x, y, z # & Σ "%, 2, 5#
> l i
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 74/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6'
>en+elesaian!
>eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!
% % % 1 1 1 1 %
% %
% 1
1 1
1 %
) 1 1 )
% ) 1 %
% % 1
% % 1 %
%
y z
w x
asil (en+ederhanaan dalam bentuk <>
f "w, x, y, z # & yz $ w) z "<># "0aris (enuh#
dan bentuk baku >< adalah
f "w, x, y, z # & z "w) $ y# "><# "0aris (utus2#
M t d Q i
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 75/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 65
Metode Quine-
McCluskey Metode >eat Karnau0h tidak man0kus untuk
jumlah (eubah 3 "ukuran (eta semakin besar#.
Metode (eta Karnau0h lebih sulit di(ro0ram
den0an kom(uter karena di(erlukan (en0amatan=isual untuk men0identifikasi minterm-minterm
+an0 akan dikelom(okkan.
Metode alternatif adalah metode JuineM84luske+ . Metode ini mudah di(ro0ram.
Contoh 7 12
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 76/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 63
Contoh 7.12
<ederhanakan fun0si Boolean f "w, x, y, z # & Σ "%, 1, 2, 7, 1%, 11, 1', 15#.
>en+elesaian!"i# an0kah 1 sam(ai 5!
"a# "b# "8#
term w x y z term w x y z term w x y z
% % % % % √ %,1 % % % %,2,7,1% % %
%,2 % % % √ %,7,2,1% % %
1 % % % 1 √ %,7 % % % √
2 % % 1 % √ 1%,11,1',15 1 1
7 1 % % % √ 2,1% % 1 % √ 1%,1',11,15 1 1
7,1% 1 % % √
1% 1 % 1 % √
1%,11 1 % 1 √
11 1 % 1 1 √ 1%,1' 1 1 % √
1' 1 1 1 % √
11,15 1 1 1 √ 15 1 1 1 1 √ 1',15 1 1 1 √
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 77/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 66
"i# an0kah 3 dan 6!
minterm
Bentuk (rima % 1 2 7 1% 11 1' 15
√ %,1 × ×
√ %,2,7,1% × × × ×
√ 1%,11,1',15 × × × ×
? ? ? ? ? ?
√ √ √ √ √ √ √ √
Bentuk (rima +an0 ter(ilih adalah!
%,1 +an0 bersesuaian den0an term w) x) y
%, 2, 7, 1% +an0 bersesuaian den0an term x) z )
1%, 11, 1', 15 +an0 bersesuaian den0an term wy
<emua bentuk (rima di atas sudah men8aku( semua minterm dari fun0si Boolean semula. Den0an
demikian, fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah f "w, x, y, z # & w) x) y) $ x) z ) $ wy.
Contoh 7 17
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 78/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 67
Contoh 7.17
<ederhanakan fun0si Boolean f "w, x, y, z # & Σ "1,',3,6,7,;,1%,11,15#
>en+elesaian!
"i# an0kah 1 sam(ai 5!
"a# "b# "8#
term w x y z term w x y z term w x y z
1 % % % 1 √ 1,; % % 1 7,;,1%,11 1 %
' % 1 % % √ ',3 % 1 % 7,1%,;,11 1 %
7 1 % % % √ 7,; 1 % % √ 7,1% 1 % % √
3 % 1 1 % √
; 1 % % 1 √ 3,6 % 1 1
1% 1 % 1 % √ ;,11 1 % 1 √
1%,1 1 1 % 1 √
6 % 1 1 1 √
11 1 % 1 1 √ 6,15 1 1 1
11,15 1 1 115 1 1 1 1 √
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 79/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 6;
"i# an0kah 3 dan 6
minterm
Bentuk (rima 1 ' 3 6 7 ; 1% 11 15
√ 1,; × ×
√ ',3 × ×
3,6 × ×
6,15 × ×
11,15 × ×
√ 7,;,1%,11 × × × ×
? ? ? ?
√ √ √ √ √ √ √
<am(ai taha( ini, masih ada dua minterm +an0 belum ter8aku( dalam bentuk (rima ter(ilih, +aitu 6 dan 15.
Bentuk (rima +an0 tersisa "tidak ter(ilih# adalah "3,6#, "6,15#, dan "11, 15#. Dari keti0a kandidat ini, kita (ilih bentuk (rima "6,15# karena bentuk (rima ini men8aku(minterm 6 dan 15 sekali0us.
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 80/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 7%
minterm
Bentuk (rima 1 ' 3 6 7 ; 1% 11 15
√ 1,; × ×
√ ',3 × ×
3,6 × ×
√ 6,15 × ×
11,15 × ×
√ 7,;,1%,11 × × × ×
? ? ? ?
√ √ √ √ √ √ √ √ √
<ekaran0, semua minterm sudah ter8aku( dalam bentuk (rima ter(ilih. Bentuk (rima +an0 ter(ilih adalah!
1,; +an0 bersesuaian den0an term x) y) z
',3 +an0 bersesuaian den0an term w) xz )6,15 +an0 bersesuaian den0an term xyz
7,;,1%,11 +an0 bersesuaian den0an term wx)
Den0an demikian, fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah f "w, x, y, z # & x) y) z $ w) xz ) $ xyz $ wx).
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 81/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 71
atihan soal
1. Im(lementasikan fun0si f " x, y, z # & Σ "%, 3# dan
han+a den0an 0erban0 CACD saja.
2. Gunakan >eta Karnau0h untuk meran8an0
ran0kaian lo0ika +an0 da(at menentukana(akah sebuah an0ka desimal +an0
dire(resentasikan dalam bit biner meru(akan
bilan0an 0ena( atau bukan "+aitu, memberikan
nilai 1 jika 0ena( dan % jika tidak#.
<ebuah instruksi dalam sebuah (ro0ram adalah
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 82/83
Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 72
. <ebuah instruksi dalam sebuah (ro0ram adalah
if A > B then writeln(A) else
writeln(B);
Cilai dan B +an0 dibandin0kan masin0masin0
(anjan0n+a dua bit "misalkan a1a2 dan b1b2#."a# Buatlah ran0kaian lo0ika "+an0 sudah disederhanakan
tentun+a# +an0 men0hasilkan keluaran 1 jika B atau
% jika tidak.
"b# Gambarkan kembali ran0kaian lo0ikan+a jika han+amen00unakan 0erban0 ++( saja "(etunjuk! 0unakan
hukum de Mor0an#
7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 83/83
5. Buatlah ran0kaian lo0ika +an0 menerima
masukan duabit dan men0hasilkan
keluaran beru(a kudrat dari masukan.
<eba0ai 8ontoh, jika masukann+a 11 "
dalam sistem desimal#, maka keluarann+a
adalah 1%%1 "; dalam sistem desimal#.