aturan-trapesium uty
TRANSCRIPT
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 1/10
Penggunaan Aturan Trapezoidal (Aturan
Trapesium), dan Aturan Simpson Sebagai
Hampiran Dalam Integral Tentu
Fendi Al Fauzi
15 Desember 212
11 Pengantar
Persoalan !ang melibat"an integral dalam "al"ulus ada "alan!a tida" #an!a
per$soalan !ang muda#$muda# sa%a& 'ntu" ungsi$ungsi !ang rumit ada"ala
n!a "ita a"an "esulitan dalam mengintegral"ann!a& Sebagai onto#
1 2
2 sin(*) 1
e * d*+ d*+ 1 os(*)d* *
sangat sulit "ita integral"an& -a#"an dengan menerap"an teorema Fundamental
.al"ulus dasar .edua "ita mung"in a"an "erepotan dengan ungsi$ungsi diatas&
Pada#al integral pertama sangat penting dalam bidang statisti"a dan integral "e$
dua sangat penting dalam bidang opti"& A"an tetapi bu"an berarti integral tersebut
tida" dapat "ita selesai"an& Pen!elesaian integral diatas adala# dengan
mengguna"$an solusi #ampiran berupa pengintegralan seara numeri"&
/i"a !ang "ita ba#as adala# pengintegralan seara numeri", ma"a #asiln!a a"an
ber$upa ang"a& Solusi dalam pengintegralan numeri" a"an berupa #ampiran&
0aman!a #ampiran berarti a"an ada error (galat)& 0amun semua "esala#an
(galat) dapat "ita "ontrol untu" mendapat"an #asil !ang mende"ati nilai e"sa"&
12 Aturan Trapezoidal (Aturan Trapesium)
Pada "esempatan "ali ini sa!a ingin memba#as tentang aturan Trapesium& /i"a
pada "ulia# "al"ulus "ita suda# meng#ampiri integral dengan aturan integral ie$
1
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 2/10
mann, ma"a se"arang "ita a"an menoba dengan aturan trapezoidal&
Pada aturan ini, ungsi (*) pada a+ b3 dibagi dalam beberapa selang ( n)& Per#a$
ti"an gambar beri"ut4
.ita ta#u ba#a integral dari suatu ungsi adala# luas daera# pada ungsi tersebut
!ang dibatasi ole# selang pengintegralan& 6ambar diatas menun%u""an ba#a
ungsi (*) di #ampiri dengan luasan trapesium& /adi meng#itung integral ungsi (*)
dengan batas a+ b3 adala# %umla# dari luas trapesium&
.ita %uga "eta#ui ba#a rumus dari luas trapesium adala# 7 8 #2 ( 9 d)&
umus luas ini a"an membantu "ita untu" menari luas pada gambar pertama&
.arena a
8
*
dan
b
8
*
n ma"a luas sebua# trapesium pada gambar diatas adala#
# A
i8
2 ((*
i 1) 9
(*
i))
'ntu" lebi# a"urat, ma"a "ita #arus memperban!a" trapesium dalam ungsi
terse$but se#ingga luas seluru#n!a adala#
Atotal 8 A1 9 A2 9 9 An
2
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 3/10
Dengan
A1 8
#
((*) 9 (*1))2
A2 8#
((*1) 9 (*2))2
&
An 8
#
((*n 1) 9 (*n))2
Se#ingga "ita dapat men!impul"an ba#a
ab (*)d*
8 A1 9 A2 9 9 An
a
b # # #
(*)d* 8 ((*) 9 (*1)) 9 ((*1) 9 (*2)) 9 9 ((*n 1) 9 (*n))2 2 2
Se#ingga #asil diatas dapat "ita seder#ana"an men%adi
a
b #(*)d*
(*) 9 2(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 1) 9 (*n)32# n 1
:(*) 9 2 (*i) 9 (*n)
;2
81
<i
Dengan # 8
Se"arang "ita a"an mengu%i oba aturan ini dengan integral !ang "ita
"eta#ui nilai e"sa"n!a&
1& Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal dengan n 8 = #ampirila# nilai
2 *
2d*
Pen!elesaian4
.arena n 8 =+ ma"a # 8 2 8 1 8 + 25 = >
?
b a
n
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 4/10
i*
i (*i)
i i (*i)
1
1 ,25 ,@25 2 ,125
2 ,5 ,25 2 ,5? ,A5 ,5@25 2 1,125
> 1, 1, 2 2
5 1,25 1,5@25 2 ?,125
@ 1,5 2,25 2 >,5
1,A5 ?,@25 2 @,125
= 2, >, 1 >
/umla# 21,5
/adi
2 + 25
*2d* 8 (21+ 5)2
8 + 125 (21+ 5)
8 2+ @=5
/i"a "ita banding"an dengan nilai e"sa"n!a !aitu
2 *? 2*
2d* 8
?
=
8 ?8 2+ @@@@@@@@A
.esala#an pada aturan Trapezoidal Bn din!ata"an dengan
Bn 8 (b a
2)?
()
12n
dengan adala# suatu titi" tenga# diantara a dan b4
/i"a dibanding"an dengan nilai e"sa"n!a ma"a masi# terdapat perbedaan !ang
u$"up signi"an& Se#ingga "ita a"an menoba berali# pada aturan selan%utn!a&
>
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 5/10
13 Codi"asi Aturan Trapezoidal
Aturan Trapezoidal diatas dapat dimodi"asi sebagai beri"ut&
b
(b)
(a)3 #
2(*)d* T
a 12
#
(* ) 9 2(*) 9 2(* ) 9 9 2(*) 9 (*
)3
(b)
(a)3 #
2
2n 1 12
1 2 n
Se"arang "ita a"an menoba mengapli"asi"ann!a dalam onto# diatas&
1& Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal !ang dimodi"asi dengan n 8 = #am$
pirila# nilai
2 *2d*
Pen!elesaian4 2 1
.arena n 8 =+ ma"a # 8 8 8 + 25= >
i*
i (*i)
i i (*i)
1
1 ,25 ,@25 2 ,125
2 ,5 ,25 2 ,5
? ,A5 ,5@25 2 1,125
> 1, 1, 2 2
5 1,25 1,5@25 2 ?,125
@ 1,5 2,25 2 >,5
1,A5 ?,@25 2 @,125
= 2, >, 1 >
/umla# 21,5
/adi
T 8
+ 25 (21+ 5)
2
8 + 125 (21+ 5)
T 8 2+ @=5
Selan%utn!a (*) 8 2* )
() 8 dan
(2) 8 > ma"a
(b)
(a)3 #
2
8
(> )(+ 25)2
8
>(+ @25) 8 + 2=??
1212 12
5
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 6/10
Se#ingga
2 *
2d* 2+ @=A5 + 2=??
2+ @@@@@
#asiln!a sama dengan nilai e"sa"&
14 Aturan Simpson (Paraboli")
/i"a pada aturan Trapezoidal, "ura (*) di#ampiri dengan ruas$ruas garis& .ali
ini "ita a"an menoba meng#ampirin!a dengan ruas$ruas parabola dengan partisi
(pembagian) selang a+ b3 men%adi n subselang dengan pan%ang # 8 (b a)
n & A"an teta$pipada #ampiran "ali ini n #arusla# bilangan genap& .emudian "ita menoo""an
ruas$ruas parabola dengan titi"$titi" !ang ada di de"atn!a& per#ati"an gambar&
Dengan mengguna"an rumus luas sebagai beri"ut
@
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 7/10
ma"a a"an menuntun "ita pada sebua# #ampiran !ang disebut Aturan
-araboli (Paraboli ule)& Aturan ini disebut %uga Aturan Simpson berdasar"an
nama a#li matemati"aan Inggris, T#omas Simpson (11$1@1)&
b#
a (*)d* (*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?
2& Dengan mengguna"an aturan Paraboli dengan n 8 = #ampirila# nilai
2 *2d*
Pen!elesaian4 2 1
.arena n 8 =+ ma"a # 8 8 8 + 25=>
i*
i (*i))
i i (*i)
1
1 ,25 ,@25 > ,25
2 ,5 ,25 2 ,5
? ,A5 ,5@25 > 2,25
> 1, 1, 2 2
5 1,25 1,5@25>
@,25@ 1,5 2,25 2 >,5
1,A5 ?,@25 > 12,25
= 2, >, 1 >
/umla# ?2
/adi,
1 + 25
*2d* (?2)?+ =???????(?2)
2+ @@@@@@@@
7uar biasa& Hasiln!a sama dengan nilai e"sa"& .esala#an pada aturan Paraboli"
adala#
(b a)5
B
n
8 (>) ()
1=n>
dengan (>)
(*) adala# turunan "eempat dan adala# suatu titi" tenga# diantaraa dan b4
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 8/10
Dari "esala#an diatas dapat "ita simpul"an ba#a %i"a turunan "eempat dari
ungsi (*) bernilai ma"a "ita a"an mendapat"an nilai e"sa"&
15 Eonto# Soal Terapan
Setela# "ita mempela%ari "edua metode diatas ma"a "ini saatn!a "ita
apli"asi"an dalam memea#"an masala# integral&
1. 6una"an aturan Trapezoidal dan aturan Paraboli" untu" meng#ampiri
luas daera# di pinggir danau seperti pada gambar beri"ut& Dengan satuan
!ang diguna"an adala# "a"i (eet)&
Pen!elesaian 4
Dengan aturan trapezoidal muda# sa%a "ita mendapat"an #ampiran luas
da$nau tersebut&
A#
(*) 9 2(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 1) 9 (*n)32
12 5 9 2(1) 9 2(@) 9 2(>5) 9 2(>5) 9 2(52) 9 2(5) 9 2(@) 9
53 5 1>3
A >5
/adi, Dengan mengguna"an aturan Trapezoidal 7uas Danau tersebutadala# >5 "a"i2
Dengan aturan Paraboli" "ita dapat"an
=
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 9/10
A
#
(*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?
1? 5 9 >(1) 9 2(@) 9 >(>5) 9 2(>5) 9 >(52) 9 2(5) 9 >(@) 9
531
?(1?)
>5@@+ @@@@
/adi, Dengan mengguna"an aturan Paraboli" 7uas Danau tersebutadala# >5@@,@@@ "a"i2
2. 6una"an aturan Paraboli" untu" meng#ampiri %umla# air !ang diperlu"an
untu" mengisi "olam renang !ang mempun!ai bentu" seperti pada gambar
dibaa#& dengan "edalaman @ "a"i& Satuan !ang diguna"an adala# "a"i&
Pen!elesaian4
Dengan aturan Paraboli" "ita dapat"an
A
#
(*) 9 >(*1) 9 2(*2) 9 9 2(*n 2) 9 >(*n 1) 9 (*n)3?
?? 2? 9 >(2>) 9 2(2?) 9 >(21) 9 2(1=) 9 >(15) 9 2(12) 9 >(11) 9 2(1) 9 >(=)
9 3 >@5
7uas "olam renang tersebut adala# >@5 "a"i 2& /umla# air !ang diperlu"an
untu" mengisi "olam tersebut adala#
1V 8 7"olam "edalaman
2V 8 >@5 @ 8
2
7/21/2019 aturan-trapesium uty
http://slidepdf.com/reader/full/aturan-trapesium-uty 10/10
%adi, /umla# air !ang diperlu"an untu" mengisi "olam tersebut adala#2 "a"i?
Sumber 4
1& Purell, Garberg, igdon& 2& Ealulus t#& Prentie Hall&
1