7/24/2019 Bab 1-3(1)

1/22

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar BelakangAljabar abstrak kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang

mempelajari Struktur Aljabar semacam grup, gelanggang atau ring, ideal,

lapangan dan lainnya yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.

Jika dalam grup membicarakan tentang satu himpunan dan satu operasi

maka dalam gelanggang membicarakan tentang satu himpunan dengan

dua operasi yaitu tambah (+ dan kali (!, serta lapangan yang

membicarakan tentang dua himpunan dan dua operasi.Setiap dua anggota dalam gelanggang tersebut perkaliannya

bersifat komutatif maka gelanggang tersebut disebut gelanggang

komutatif. Jika terdapat salah satu anggota dari gelanggang tersebut yang

perkaliannya tidak komutatif maka gelanggang tersebut disebut

gelanggang tak komutatif. "re (#$$% telah memperkenalkan gelanggang

polinom miring yang merupakan pengembangan dari pembahasan

gelanggang. &elanggang polinom miring berisi himpunan polinom-polinom

dengan aturan perkaliannya bersifat tak komutatif. 'ontohnya gelanggang

polinom miring atas bilangan real adalah himpunan polinom-polinom

anxn+an1x

n1++a2x2+ax+a0 dimana x adalah ariabel yang tak

diketahui danaiR dengan aturan perkalian xa=(a )x+(a) untuk

7/24/2019 Bab 1-3(1)

2/22

2

semuaaiR , dimana adalah suatu endomorfisma dan

adalah -deriatif.

)alam disertasi Amir *amal Amir (## mengatakan baha secara

garis besar peneliti gelanggang polinom miring dapat dibagi ke dalam tiga

kelompok. *elompok pertama adalah kelompok peneliti yang

mengembangkan kelas gelanggang polinom miring menjadi kelas

gelanggang yang lebih besar. *elompok kedua adalah kelompok peneliti

yang menggunakan gelanggang polinom miring dalam dunia aplikasi.

Sedangkan kelompok yang ketiga adalah kelompok peneliti yang meneliti

struktur gelanggang polinom miring dengan berbagai macam gelanggang

tumpuan. )alam disertasinya Amir *amal Amir berada pada kelompok

yang ketiga dengan gelangganng tumpuan pada daerah dedekind.Sebagian besar penelitian yang dilakukan oleh Amir *amal Amir

selanjutnya adalah gelanggang polinom miring dengan gelanggang

tumpuan yang komutatif. )alam beberapa penelitiannya Amir *amal Amir

juga telah menemukan bentuk pusat dan ideal dari gelanggang polinom

miring dengan gelanggang tumpuan komutatif. al inilah yang melatar

belakangi penulis tesis melanjutkan penelitian yang telah dilakukan oleh

Amir *amal Amir mengenai gelanggang polinom miring dengan

gelanggang tumpuan yang tidak komutatif.

/uaternion adalah salah satu contoh standar gelanggang yang

tidak komutatif (John 0raleigh, %. /uaternion ditemukan oleh amilton

sehingga untuk menghargai jasanya 1uaternion dilambangkan dengan

7/24/2019 Bab 1-3(1)

3/22

3

H . /uaternion merupakan perluasan dari bilangan kompleks untuk

aljabar empat dimensi.

2enelitian yang telah dilakukan oleh Amir *amar Amir menemukan

bentuk pusat dan ideal dari gelanggang polinom miring dengan

gelanggang biasa berbeda, sehingga bentuk pusat dan ideal gelanggang

polinom miring pada gelanggang yang tak komutatif khususnya 1uaternion

juga pasti berbeda. 3ntuk itu, penulis akan mengkaji bentuk pusat dan

ideal gelanggang polinom miring atas 1uaternion.

B. Rumusan Masalah

4agaimanakah bentuk pusat dan ideal gelanggang polinom miring

atas 1uaternion5

C. Tujuan Penelitian

6ujuan penelitian ini adalah untuk menemukan bentuk pusat dan

ideal gelanggang polinom miring atas 1uaternion.

D. Manfaat Penelitian

2enelitian ini dapat memberikan kontribusi dalam perkembangan

bidang ilmu matematika khususnya aljabar.

7/24/2019 Bab 1-3(1)

4/22

4

E. istematika PenulisanSistematika dan struktur bagian utama tesis ini terdiri atas7

4A4 8 29:)A3;3A:A. ;atar 4elakang Masalah4.

7/24/2019 Bab 1-3(1)

5/22

5

BAB II

TIN!AUAN PUTA"A

A. #elanggang P$lin$m Miring%. #elanggang

Struktur aljabar yang paling umum dengan dua operasi biner

disebut dengan gelanggang. (John 0raleigh, %

Definisi &.% #elanggang

Sebuah gelanggang [R ,+ , ] adalah sebuah himpunan

R dengan dua operasi biner, penjumlahan (+), dan perkalian

7/24/2019 Bab 1-3(1)

6/22

6

(), yang didenisikan pada R , yang a, b, ! R

memenuhi aksioma"aksioma beriku# $

a% a+bR ,a , bR

b. a+b=b+a , a , b ,R

c. a+(b+c )=(a+b )+c a , b , cR

d% 0R ,aR ,0+a=a+0 , selanju#nya & disebu#

dengan elemen ne#ral dari R

e% aR ,aR ,a+ (a )=0 , selanju#nya a disebu#

in'ers dari penjumlahan

f. a bR , a ,bR

g. a (b c )= (a b ) c ,a , b , cR

h. a (b+c )=( a b )+( a c ) , dan (a+b ) c=( a c )+ (b c ) , a , b , cR

enuru# aksioma 1 5, maka sebuah gelanggang haruslah

merupakan grup abelian (komu#a#i*) #erhadap operasi

penjumlahan%

ika un#uk se#iap aR , #erdapa# 1R , sehingga a 1=1 a=a %

Selanju#nya R disebu# gelanggang dengan elemen sa#uan dan

1 disebu# elemen sa#uan di R .

pabila di R juga berlaku a b=b a , a , bR maka R

dinamakan gelanggang komu#a#i*% (-rihandoko, 2&&.)

Contoh 2.1

7/24/2019 Bab 1-3(1)

7/22

/

0impunan bilangan real R dengan operasi penjumlahan (+)

dan perkalian ( ) memben#uk gelanggang% an karena di R

juga berlaku a b=b a , a , bR , maka R juga merupakan

gelanggang komu#a#i*%

&. H$m$m$rfisma

omomorfisma adalah hubungan pemetaan, berikut pemaparan

definisi homomorfisma.

Definisi &.& H$m$m$rfisma #ru'

MisalkanG , dan

(G , ) adalah masing-masing grup. Suatu fungsi

:G G ' dinamakan fungsi homomorf atau suatu homomorfisma jika

(ab )= (a ) (b) , a ,bG. (John 0raleigh, %

C$nt$h &.&

G B himpunan bilangan rasional dengan operasi +. G B himpunan

bilangan riil tanpa nol dengan operasi . 2emetaan 7 GGadalah (x

B x, untuk setiapxG. Apakah suatu homomorfisma5

Maka akan dibuktikan baha

(x+y )= (x ) (y)

7/24/2019 Bab 1-3(1)

8/22

2 (x+y ) 2x 2y

*arena tidak sama, maka bukan merupakan homomorfisma grup.

Definisi &.( H$m$m$rfisma #elanggang

Misalnya R dan R ' merupakan gelanggang. 2emetaan :R R '

merupakan homomorfisma gelanggang jika a , bR berlaku

a. (a+b )= ( a )+(b)

b. (ab )= (a ) (b) . (John, 0raleigh %

C$nt$h &.(

MisalkanR

danR '

merupakan gelanggang. *emudian diberikan

pemetaan

:R R '

dengan aturan

(a )=2a. Akan ditunjukkan

pmetaan

adalah suatu homomorfisma gelanggang.

Misalkan diambil a , bR . Akan ditunjukkan baha a , bR berlaku

a. (a+b )= ( a )+(b)

b.

(ab )= (a ) (b)

Sehingga 7

a. (a+b )= ( a )+ (b )

(a+b )=2 (a+b )=2a+2b

(a )+ (b )=2a+2b

Jadi terbukti (a+b )= ( a )+ (b )

7/24/2019 Bab 1-3(1)

9/22

.

b. (ab )= (a ) (b)

(ab )=2 (ab)=2ab

(a ) (b )=2a 2b=4 b

)apat disimpulkan baha (ab ) (a ) (b) .

*arena (ab ) (a ) (b) maka :R R ' untuk (a )=2a bukan

merupakan homomorfisma gelanggang.

(. En)$m$rfisma

Definisi &.* En)$m$rfisma #ru'

Suatu homomorfisma grup

dikatakan endomorfisma jika

adalah

fungsi yang memetakan dari Gke Gsendiri. (Amir *amal Amir, dkk.

C$nt$h &.*

Misalkan Z adalah himpunan bilangan bulat dan bersama dengan

operasi penjumlahan biasa membentuk suatu grup. *emudian terdapat

pemetaan : C yang didefinisikan oleh (x )=n x , nN . Akan

ditunjukkan baha adalah suatu endomorfisma grup.

Misalkan diambil , akan ditunjukkan (a+b)= ( a )+(b) .

sehingga, (a )=na

(b )=nb

7/24/2019 Bab 1-3(1)

10/22

1&

selanjutnya (a+b )=n (a+b )=na+nb , a , bZ ,

dan (a )+ (b )=na+nb , a ,bZ .

Jadi terbukti baha (a+b )= ( a )+(b)

.

Definisi &.+ En)$m$rfisma #elanggang

Suatu homomorfisma gelanggang dikatakan endomorfisma apabila

memetakan gelanggang R ke dirinya sendiri. (Amir *amal Amir, dkk

*. Pusat #elanggang

Definisi &., Pusat )ari #elanggang

MisalkanR

adalah suatu gelanggang. 2usat dari gelanggangR

disimbol dengan Z(R) didefinisikan seperti7

Z(R )= {rRrx=xr ,xR } . (Amir *amal Amir

C$nt$h &.+

Sebuah gelanggang R adalah komutatif jika dan hanya jika Z(R )=R .

Jadi, setiap anggota gelanggang komutatif adalah pusat gelanggang.

+. I)eal #elanggang

Definisi &.- I)eal #elanggang

7/24/2019 Bab 1-3(1)

11/22

11

Sebuah sub gelanggang I dari gelanggang R disebut ideal dari R

jikaarI dan

raI ,aI , rR .

Jika I adalah ideal dalamR

maka perkalian elemen I

dengan elemen R harus menghasilkan sebuah elemen di I . (

7/24/2019 Bab 1-3(1)

12/22

12

memperkenalkan suatu gelanggang polinom tidak komutatif, yang

selanjutnya dikenal dengan gelanggang polinom miring. 4erikut diberikan

pengertian lengkap gelanggang polinom miring.

Definisi &. #elanggang P$lin$m Miring

MisalkanR adalah suatu gelanggang dengan identitas # , adalah

suatu endomorfisma dari R , dan adalah suatu-deriatif, yaitu7

a. adalah suatu endomorfisma pada R , dengan R sebagai

grup penjumlahan.

b. ) ) ,( ()( + () untuk setiap , R .

&elanggang polinom miring atas R dengan ariabel adalah

gelanggang7 7[ 78 ) {( + 9 + & : R ; dengan

+ ), < () ( R . Suatu elemen dari gelanggang

polinom miring 78[ mempunyai bentuk kanonikp=

i=0

r

aixi

, +

=&, 1, >;, R , 1, 2, > , . (McConn el & Robs on, 1 98 )

C$nt$h &.-

Misalkan ! adalah ? yang merupakan himpunan bilangan kompleks

sedangkan adalah suatu endomorfisma pada ? yang didefinisikan

7/24/2019 Bab 1-3(1)

13/22

13

sebagai + ) @( , untuk setiap + ? , dan adalah

suatu "deriatif yang didefinisikan sebagai ) ( + , untuk setiap

? + % &elanggang polinom miring ? 8[", adalah salah satu

contoh gelanggang polinom miring.

Misalkan terdapat dua polinom f(x )=(4+5 i )x dan g (x )=(26 i )x

f(x ) g (x )=[(4+5 i )x ] [(26 i )x ]

(4+5i )[x (26 i)]x (sifat asosiatif perkalian

(4+5i )[(26 i )x+(26 i )]x (sifat perkalian gelanggang

polinom miring

(4+5i )[(2+6 i )x+(6 )]x

(4+5i ) (2+6 i )x2+(4+5i ) (6 )x (s #$% '#s #b #$ *e nl %- %n )

[(830 )+ (24+10 ) i ]x2+ (2430 i )x

(22+34 i)x2+ (2430 i )x

g (x ) f(x )=[(26 i)x ] [(4+5 i )x ]

(26 i )[x (4+5 i)]x (sifat asosiatif perkalian

(26 i )[(4+5 i )x+(4+5i )]x (sifat perkalian gelanggang

polinom miring

(26 i )[(45 i)x+ (5)]x

7/24/2019 Bab 1-3(1)

14/22

14

(26 i ) (45 i)x2+ (26 i ) (5 )x (s #$% '#s #b #$ *e nl %- %n )

[(830 )(24+10 ) i ]x2+(1030i )x

(2234 i )x2+ (1030 i )x .

*arena f(x ) g (x) g (x ) f(x ) kita dapat menyimpulkan baha perkalian

gelanggang polinom miring tidak bersifat komutatif.

B. Alja/ar 0uaterni$n

Menurut Shoemake (D aljabar 1uaternion diciptakan oleh

amilton pada tahun #E>% dan dinotasikan dengan H untuk

menghormatinya yang merupakan perluasan bilangan kompleks untuk

aljabar empat dimensi (=).

%. Definisi 1uaterni$n

/uaternion merupakan kombinasi linear skalar real dan tiga satuan

imajiner ortogonal (dilambangkan dengan i 2 j dan dengan

koefisien real yang dapat dituliskan sebagai

H={!=!0+i !

1+j !

2+ !

3|!0 ,!1 , !2 , !3R } (.#

7/24/2019 Bab 1-3(1)

15/22

7/24/2019 Bab 1-3(1)

16/22

16

2enjumlahan dua buah 1uaternion tersebut adalah

a+b= (a0+b0)+ ( a1+b1 ) i+ (a2+b2) j+ (a3+b3)

a

[0+b0 ,(a1+b1 , a2+b2, a3+b3)]

a

[0+b0 , ( a1 ,a2, a3 )+ (b1 , b2 ,b3 )]

[a

0+b

0, a+b]

[a0 , a ]+[b0, b ] . (.>

2erkalian dua buah 1uaternion adalah

ab=[a0 , a] [b0 , b ]

a

(0+a1i+a2j+a3)(b0+b1 i+b2j+b3 )

a0(b0+b1 i+b2j+b3 )+a1 i(b0+b1 i+b2j+b3 )+a2j (b0+b1 i+b2j+b3 )+a3 (b0+b1i+b2j+b3

a

aa

a

(3b0 +a3 b1 i+a3 b2j+a3b3 )(2b0j+a2b1ji+a2 b2jj+a2b3j)+

( 1b0 i+a1b1i2

+a1 b2ij+a1 b3 i)+(0b0+a0 b1i+a0b2j+a0 b3 )+

a0

b0+a

0b1

i+a0

b2j+a

0b3

+a1

b0

ia1

b1+a

1b2

a1

b3j+a

2b0ja

2b1

a2

b2+a

2b3

i+a3

b0

+a3

7/24/2019 Bab 1-3(1)

17/22

1/

a

(1

b1

+a2b2+a3 b3)+a

0b0

(

a0

b1+a

1b0+a

2b3a

3b2 i+(a0b2a1 b3+a2b0+a3 b1 )j+(a0 b3+a1 b2a2 b1+a3 b0)

a

(1b2a2b1)

a0

b0a b+a

0(b1i+b2j+b3 )+b0(a1 i+a2j+a3 )+( a2 b3a3b2)i+(a1 b3+a3 b1 )j+

a0 b0a b+a0 b+b0 a+a b

a0

b0a b , a

0b+b

0a+a b

F. (.?

)imana a b adalah perkalian titik yang didefinisikan sebagai berikut7

a b=(a1

, a2

, a3) (b1 , b2 ,b3 )

(a1 b1 , a2 b2 , a3b3 )=a1b1+a2b2+a3 b3 . (.D

a b adalah perkalian silang yang didefinisikan sebagai berikut

a b=|

i j

a1

a2

a3

b1

b2

b3

|=|a2 a3b2 b3|i|a1 a3b1 b3|j+|a1 a2b1 b2|

7/24/2019 Bab 1-3(1)

18/22

1

a

a

a(1b2a2 b1)

(1b3a3b1)j+(2b3a3 b2) i

a

aa

(1b2a2 b1)(1b3+a3 b1)j+

(2b3a3 b2) i+

. (.E

/. "$njugat )ari 0uaterni$n

*onjugat suatu 1uaternion memiliki nilai negatif pada bagian

imaginernya. Misalnya diberikan 1uaterniona=a

0+i a

1+j a

2+ a

3H

,

maka konjugat dari 1uaternion tersebut didefinisikan sebagai berikut7

a= a

0+i a

1+j a

2+ a

3=a

0i a

1j a

2 a

3 . (.$

Adapun bentuk 1uaternion pada persamaan (.% adalah7

a=a

0+a

a=a0a

. (.#

4erdasarkan (.? perkalian 1uaternion a dengan konjugatnya

dapat dituliskan sebagai berikut 7

a a=a0

a0a . a+a

0(a)+a

0a+a (a)

a02+a1

2+a22+a3

2

. (.##

7/24/2019 Bab 1-3(1)

19/22

1.

5. N$rm )ari 0uaterni$n

:orm dari 1uaternion diperoleh dari modulus perkalian 1uaternion

a dengan konjugatnya a , berdasarkan persamaan (.# diperoleh

norm dari 1uaternion aH

|a|=a a=a02+a

1

2+a2

2+a3

2

. (.#%

). In6ers )ari 0uaterni$n

)engan menggunakan konjugat (.# dan modulus 1uaternion

a (.#>, maka diperoleh iners dariaH $ {0 }

didefinisikan sebagai

a1=

a

|a|2 . (.#=

C. #elanggang P$lin$m Miring atas 0uaterni$n

&elanggang polinom miring atas 1uaternion dengan ariabel tak

diketahui x adalah gelanggang yang terdiri dari polinom-polinom

sebagai berikut 7

! (x )=!nxn+!n1x

n1++!2x2+!1x+!0

dengan!iH atau

!i=!0+!1i+!2j+!3 dengan!0

, !1

, !2

, !3R

.

7/24/2019 Bab 1-3(1)

20/22

2&

BAB III

MET4DE PENELITIAN

A. Ran5angan Penelitian2enelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut 7

%. Inisiasi;angkah aal dari penelitian ini adalah inisiasi. Gang dimaksud

inisiasi disini adalah persiapan. 2ersiapan mengenai referensi-referensi

yang dibutuhkan untuk penelitian ini.

&. I)entifikasi masalah8dentifikasi masalah dilakukan untuk memastikan fokus masalah

dari penelitian.

(. tu)i 'ustakaStudi pustaka ini dilakukan terhadap referensi-referensi penelitian

yang berkaitan dengan penelitian sebagai tahap melengkapi pengetahuan

dasar peneliti untuk keperluan pelaksanaan penelitian.

*. Penelitian2enelitian yang dilakukan adalah pengolahan teori pustaka untuk

mendapatkan

(endomorfisma dari

%

kemudian dicari bentuk

pusat dan ideal dari%[x , ] .

+. "esim'ulanSetelah meleati beberapa tahap penelitian, hasil yang diperoleh

tentunya akan disimpulkan berdasarkan rumusan masalah dan tujuan

penelitian.

7/24/2019 Bab 1-3(1)

21/22

Anisiasi

Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang biasa

Aden#ikasi masalah

Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang polinom miring dengan gelanggang komu#a#i*

Ben#uk pusa# dan ideal gelanggang polinom miring a#as Cua#ernion

Desimpulan

Ben#uk endomorsma pada

21

;angkah-langkah kerja dalam penelitian ini dapat digambarkan dalam satu

diagram alur berikut7

7/24/2019 Bab 1-3(1)

22/22

22

&ambar # ;angkah-langkah kerja penelitian

B. L$kasi )an 7aktu Penelitian;okasi penelitian ini bertempat di kota Makassar 2ropinsi Sulaesi

Selatan, khususnya di 2erpustakaan 2ascasarjana 0M82A 3niersitas

asanuddin. 2enelitian ini dilaksanakan mulai bulan Maret sampai Juni

#>.