bab suplemen tk & bola pdf

14
7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 1/14 PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear, maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. Misalkan ketiga titik itu masing-masing  ( , , ) ,  ( , , ) dan  ( , , ) . Dan misalkan vector-vektor arah bidang itu adalah : = [ − , − , − ] dan  = [ − , − , − ] (1) Untuk sembarang titik  ( , , ) pada bidang V berlaku : = + ,  , ∈ ℜ (2) Tetapi dari gambar tampak pula bahwa = + (3) Subtitusi (2) ke (3) diperoleh = + + (4) atau [ , , ] = [ , , ]+ [ − , − , − ]+ [ − , − , − ] (5) yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik. Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai [ , , ] = [ , , ]+ [ , , ]+ [ , , ] (6) X Y Z P R Q T

Upload: dimasmaendra1213

Post on 18-Feb-2018

255 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 1/14

PERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL

Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear, maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata.

Misalkan ketiga titik itu masing-masing   (   , ,   ),   (   , ,   ) dan   (   , ,   ). Dan misalkan

vector-vektor arah bidang itu adalah :

= [   − , − , −   ] dan   = [   − , − , −   ] (1)

Untuk sembarang titik   (   , ,   ) pada bidang V berlaku :

= + ,   , ∈ ℜ (2)

Tetapi dari gambar tampak pula bahwa

= + (3)

Subtitusi (2) ke (3) diperoleh

= + + (4)

atau

[   , ,   ] = [   , ,   ] +   [   − , − , −   ] +   [   − , − , −   ] (5)

yang merupakan bentuk vector persamaan bidang rata yang melalui tiga titik.

Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai

[   , ,   ] = [   , ,   ] +   [   , ,   ] +   [   , ,   ] (6)

X

Y

Z

P

R

Q

T

Page 2: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 2/14

merupakan  persamaan bidang rata dalam bentuk vector yang melalui titik   (   , ,   ) dengan vector-

vektor arahnya   =  [   , ,   ] dan   = [   , ,   ] .

atau

= + + … … … … … ( )= + + … … … … … . ( )= + + … … … … … . . ( )

(7)

yang disebut sebagai persamaan parameter bidang rata

Jika dan pada persamaan (a) dan (b) di eliminasikan, dengan cara mengalikan pada (a) dan

mengalikan pada (b) kemudian di perkurangkan, diperoleh :

= (   −   )   −(   −   )−

Dengan cara serupa diperoleh

=(   −   )   −(   −   )

Selanjutnya dan di subtitusikan ke (c) :   − = + , diperoleh

(   −   )(   −   ) =[(   −   )   −(   −   ) ]   +[(   −   )   −(   −   ) ]

atau

(   −   )(   −   ) +(   −   )(   −   ) +(   −   )(   −   ) =0 (8)

atau

(   −   ) +   (   −   ) +   (   −   ) =0 (9)

yang merupakan persamaan bidang rata melalui titik (   , ,   ) dengan vector normal [   , ,   ].

Selanjutnya (9) dapat dituliskan sebagai

+ + +(− − − ) = 0

: + + + = 0 (10)

yang merupakan persamaan linier bidang rata

dengan

− = = ;   − = = ;   − = =

dan   = −( + + )

Page 3: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 3/14

= [   , ,   ] disebut vector normal bidang rata V=0, dengan

= [  , ,   ] =   +   + =

=    ×

yang merupakan vector yang tegak lurus pada bidang rata yang dibentuk oleh  dan , yaitu

: + + + = 0

Hal-Hal Khusus

1. Jika   = 0, maka bidang V melalui titik O(0,0,0), sebaliknya

2. jika   ≠ 0, maka bidang   + + + = 0 memotong sumbu X di   ,0,0 , memotong

sumbu Y di   0, ,0 dan memotong sumbu Z di   0,0,

Jika   = 0, bidang V sejajar sumbu X

Jika   = 0, bidang V sejajar sumbu Y

Jika   = 0, bidang V sejajar sumbu Z

Jika   = = 0, bidang V sejajar bidang XOY

Jika   = = 0, bidang V sejajar bidang XOZ

Jika   = = 0, bidang V sejajar bidang YOZ

CATATAN

1. Persamaan bidang rata yang melalui 3 titik   (   , ,   ),   (   , ,   ) dan   (   , ,   )

mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :

− − −− − −

− − −= 0

2. Persamaan bidang rata yang melalui titik   (   , ,   ) dengan vector-vektor arahnya

 = [   , ,   ] dan   = [   , ,   ] , mempunyai persamaan dalam bentuk determinan

− − −

= 0

+ = 3 bidang

sejajar sumbu Z

3

3

Y

X

Z

Page 4: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 4/14

3. Persamaan bidang rata yang melalui 4 titik (   , ,   ), (   , ,   ) , (   , ,   ) ,dan

(   , ,   )mempunyai persamaan dalam bentuk determinan :− − −

− − −− − −

= 0

4. Jarak titik P(x ,y ,z ) ke bidangAx+ By+Cz+D = 0

d = Ax +By +Cz +D

√A +B +C

5. Jarak duabidangsejajar H : ax+by+cz+m= 0 danH : ax+by+cz+n = 0 , dengan

=

Ambil titik P 0,0,z padaH berarti P 0,0,−n

c

 Jarak P 0,0,−n

c  keH :

d =a(0) +b(0) +c −

nc   +m

√a +b +c=

  m−n

√a +b +c

6. Bidang sejajar

H :A x+B y+C z+D = 0H :A x+B y+C z+D = 0

H   ⇈ H   ⟺ A

A  =

B

B  =

C

C

SOAL-SOAL

1. Tentukan persamaan linier bidang rata yang melalui titik-titik   (1,3,−2), (3,1,1) dan

(−1,2,3). Jwb : 7 +16 +6 −43=0

2. Persamaan bidang rata melalui (1,2,3) dan sejajar sumbu Z diantaranya adalah 2 + −4 = 0

3. Bidang rata 2 −3 − = 0adalah melalui titik asal O(0,0,0)

4. Persamaan parameter bidang ratayang melalui titiktitik A(4,3,1), B(-2,3,5) dan C(6,2,5) adalah

= 4−6 +2 , = 3− , = 1+4 +45. Tentukan persamaan linier bidang rata yang memotong OX di P, dimana | | = 2, memotong

OY di Q, dimana | | = 3 dan memotong OZ’ di R, dimana | | = 1

Jwab

Bidang yang dimaksud melalui titik-titik (2,0,0), (0,3,0) dan (0,0,-1) dengan persamaan

−2−2 3 0−2 0 −1

= 0

+ +( )

 =1

Page 5: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 5/14

SUDUT ANTARA DUA BIDANG DATAR

Misalakan bidang rata H:Ax+By+Cz+D=0

dengan vektor normal = [   , ,   ], dan , dan

berturut-turut sudut antara vektor normal dengan

sumbu-sumbu koordinat (yang arahnya ditentukan

oleh vektor-vektor , dan )

Ternyata bahwa :   cos =  .

| |.| |=

| |; cos =

  .

| |.| | =

| |dan cos =

  .

| |.  =

| |

atau [cos cos cos   ] =

[   , ,  ]

| |   = | |, yang merupakan vektor normal satuan yang searah

dengan , juga berarti   + + = 1.

Sudut antara dua bidang rata

Sudut antara bidang rata   : + + + = 0dan bidang rata

: + + + = 0adalah sudut antara vektor-vektor normalnya. Jika adalah sudut yang dibentuk oleh vektor

normal maka

cos =  .

| | | |=

  + +

+ + . + +

Bidang sejajar bidang bila   dan atau , berarti

[   , ,   ] =   [   , ,   ] , dimana   ≠ 0,   ∈ .

Bidang saling tegak lurus bila   tegak lurus ,

berarti   . = 0  ⟹   + + = 0

Contoh 1

Tentukan sudut antara bidang   : 2 + + + 4 = 0dan   : 3 +4 + −10= 0.

Jawab

Vektor-vektor normal masing-masing   = [2,1,1] dan   = [3,4,1], maka

cos =  .

| | | |=

  2.3+1.4+1.1

√2 + 1 + 1 .√3 +4 +1=

  11

√156

Jadi   =√

Contoh 2

Tentukan persamaan bidang rata melalui titik   (1,−2,1) dan sejajar bidang rata   : 2 +3 +

5 −10=0.

Jawab

Vektor normal bidang rata H adalah   = [2,3,5], berarti bidang yang sejajar dengan H

mempunyai vektor normal yang sama, yakni [2,3,5]. Misalkan persamaan linier bidang rata

Page 6: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 6/14

tersebut adalah 2 +3 +5 + = 0. Bidang ini diketahui melalui titik   (1,−2,1), berarti

memenuhi 2(1) +3(−2) +5(1) + = 0, diperoleh   = −1. Jadi persamaan bidang rata yang

melalui titik   (1,−2,1) dan sejajar bidang rata   :2 +3 +5 −10= 0 adalah 2 + 3 +

5 − 1= 0.

Contoh 3

Tentukan persamaan bidang rata melalui titik   (0,0,0) dan titik   (1,2,3) serta tegak lurus

bidang rata   :2 +3 +4 −10= 0

Jawab

Misalkan bidang yang dicari adalah   : + + + = 0

Karena bidang tegak lurus bidang berarti   . = 0

⟹   + + = 0 ⟹ 2 +3 +4 = 0 ......(1)

Diketahui pula bidang melalui O(0,0,0), berarti   = 0 .....(2)

Diketahui pula bidang melalui   (1,2,3), berarti   .1+ .2+ .3 + = 0atau   +2 +3 + = 0 ....(3).

Subtitusi (2) ke (3) diperolah   +2 +3 = 0 ....(4).

Persamaan (2)   2 +3 +4 = 0

Persamaan (4) dikali dua   2 +4 +6 = 0 (-)

− −2 = 0 → = −2 ....(5)

Subtitusi (5) ke (1) diperoleh   2 +3(−2 ) +4 = 0 → = ....(6)

Jadi persamaan bidang   : +(−2 ) + = 0 bagi dengan   (   ≠ 0) diperoleh

−2 + = 0

I. TEMPAT KEDUDUKAN (TK)

Tempat Kedudukan (TK) merupakan himpunan titik-titik yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan.

TK mungkin merupakan : himpunan kosong, sebuah titik, berupa kurva (garis lurus atau

garis lengkung), berupa permukaan (bidang rata, atau bidang lengkung) ataupun seluruh

ruang itu.

Menjalankan titik (   , ,   )

Ambil titik (   , ,   ) sembarang pada TK, kemudian cari hubungan-hubungan antara

, , yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Dengan menjalankan titik

(   , ,   ) ataumenghapus indeks nol dari hubungan-hubungan tersebut diperoleh TK yang

diminta.

Contoh 1.1

Tentukan TK yang berjarak 3 satuan dari bidang XOZ, dan jumlah kuadrat jaraknya ke titik

(1,2,0) dan (−1,−2,0) adalah tetap = 30

Solusi

Page 7: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 7/14

i) Ambil titik   (   , ,   ) pada TK

ii) Berjarak 3 satuan dari bidang XOZ (yaitu bidang   = 0).

Ini berarti :   = 3 atau   = −3 (*)

iii) Jumlah Kuadrat titik P ke titik (1,2,0) dan (−1,−2,0) adalah 30

⟹   + = 30

⟹ [(   −1)   +(   −2)   +(   −0) ] +[(   +1)   +(   +2)   +(   −0) ] = 30

⟺   −2 +1+ −4 +4+ + +2 +1+ +4 +4+ = 30

⟺ 2 + 2 + 2 + 10 = 30⟹   + + = 10 (**)

Dari (*) dan (**), titik P dijalankan, sehingga diperoleh TK :

  = 3atau = −3 ( = 9)

+ + = 10

Atau ditulis dalam notasi himpunan TK : {(   , ,   )|   = 9}⋂{(   , ,   )|   + + = 10}.

Berupa apakah TK ini ? Perpotongan bidang rata dengan bola berbentuk lingkaran ??

II PERSAMAAN BOLA

Permukaan (kulit) bola merupakan TK yang vektor di dalam yang titik awalnya tertentu (pusat bola) dan

panjang yang konstan sebagai jari-jari bola. Atau per,mukaan bola merupakan TK titik-titik di dalam

ruang yang berjarak sama (=Jari-jari) terhadap sebuah titik tertentu (pusat bola).

Persamaan Bola

Misalkan pusat bola adalah   ( , , ) dan

Jari-jari R (Gambar 2.1), maka

= −

= [   − , − , −   ]

=   (   −   )   +(   −   )   +(   −   )

Karena   = , maka

(   −   )   +(   −   )   +(   −   )   =

atau (   −   )   +(   −   )   +(   −  )   =

Gambar 2.1: Bola

(   , ,   )

(   , ,   )

O

Page 8: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 8/14

Dengan menjalankan titik P, diperoleh

(   −   )   +(   −   )   +(   −  )   = (2.1)

yang merupakan persamaan bola berpusat di   ( , , ) dan berjari-jari R.

Persamaan bola yang berpusat dititik asal (0,0,0) dan berjari-jari R adalah :   + + =

Secara umum persamaan bola adalah berbentuk

+ + + + + + = 0

⟺   + + + + + − − − + = 0

⟺   + + + + + = + + − (2.2)

Sehingga pusat bola adalah :   − ,− ,− (2.3)

dan Jari-jari bola adalah :   = + + − ,   > 0 (2.4)

Jika   + + − = 0 maka bola merupakan sebuah titik

Jika   + + − < 0 maka bola merupakan bola khayal

Secara simbolis persamaan bola dapat dituliskan sebagai   = 0yang memiliki 4 parameter (A,B,C dan

D), jadi suatu bola akan tertentu jika diketahui melalui 4 buah titik yang tidak sebidang.

Contoh 2.1

Tentukan pusat dan jari-jari bola :   + + −4 +6 −2 −3 =0

Solusi 

Diketahui   = −4, = 6, = −2dan   = −3, maka

Pusat bola   − ,− ,− = − (−4),− (6),− (−2) = (2,−3,1) dan

Jari-jari bola   = + + − = (−4) + (6) + (−2) −(−3) = √17

Persamaan bola melalui 4 buah titik   (   , ,   ),   (   , ,   ),   (   , ,   ) dan   (   , ,   ) dapat

dihitung melalui persamaan determinan berikut :

Page 9: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 9/14

+ +   1

+ +   1

+ +

+ +

+ +

111

= 0

Contoh 2.2

Tentukan persamaan bola yang melalui titik-titik   (2,0,0),   (0,1,0),   (0,0,1) dan   (0,0,0)

Solusi 

Cara I

Misalkan persamaan bola S=0 adalah :   + + + + + + = 0

Karena bola melalui titik   (2,0,0),maka2 +2 + = 0 ⟹ 4+2 + = 0 (i)

Bola melalui   (0,1,0), maka   1+ + = 0 (ii)

Bola melalui   (0,0,1), maka   1+ + = 0 (iii)

Bola melalui   (0,0,0), maka   = 0 (iv)

Dari persamaan (i) sampai (iv) diperoleh   = −2, = −1, = −1dan D=0, sehingga persamaan bola

yang melalui ke 4 titik tersebut adalah:   + + −2 − − = 0

Cara lain

Gunakan determinan

+ +   1

+ +   1+ +

+ +

+ +

111

= 0   ⟹

+ +   1

2 +0 +0 2   0 0 10 +1 +00 +0 +1

0+0+0

000

100

010

111

= 0

+ +   14 2   0 0 1110

000

100

010

111

= 0  ⟹

+ +4 2   0 011

00

10

01

= 0 ,   − menjadi

Page 10: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 10/14

+ + −4 2   0 01

0

0

0

1

0

0

1

= 0  ⟹+ + −

4 2 0

1 0 1

= 0, − menjadi

+ + − −4 2 00 0 1

= 0 ⟹   + + − −4 2

 = 0

⟹ 2(   + + − −   ) − 4 = 0  ⟹   + + −2 − − = 0

KEDUDUKAN BIDANG RATA DENGAN BOLA

Misalkan suatu bola   = 0berjari-jari R dan sebuah bidang rata   = 0, dengan adalah jarak titik M(pusat bola) ke bidang H, maka

1. Jika   < , maka bidang H memotong bola, perpotongannya berupa lingkaran, Gbr 2.2a

2. Jika   = , maka bidang H menyinggung bola (terdapat sebuah titik persekutuan), Gbr 2.2b

3. Jika   > , maka bidang H tidak memotong bola, Gbr 2.2c

Contoh 2.3

a. Tentukan kedudukan bola S :   + + +2 +6 +8 −10 = 0 terhadap bidang

: + 2 +2 = 0Solusi

Pusat bola adalah   (−1,−3,−4) dan jari-jari bola adalah   = + + −(−10) =6

Ingat persamaan bidangb rata H:   + + + = 0, disisni   = 1, =2, =2, =0, maka

Jarak M ke bidang H :

d =√

  =  ( ) ( ) ( )

√  = = 5

Karena   < , maka bidang H memotong bola , dengan perpotongan berup lingkaran.

b. Dari soal a, Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran tersebut (PR)

HH

=

M

Gbr.2.2a Gbr.2.2cGbr.2.2b

Page 11: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 11/14

Jwb   = √11dan pusat lingkaran   , ,

PERSAMAAN BIDANG SINGGUNG PADA BOLA

Misalkan suatu bola S:   + + + + + + = 0

berpusat di M , dan misalkan   (   , ,   ) suatu titik pada bola.

Pusat bola adalah   − ,− ,− dan titik singgung

adalah   (   , ,   ). Tampak pada gambar bahwa

merupakan vektor normal dari bidang singgung H,

= + , + , + . Sehingga persamaan bidang singgung H adalah

: +   (   −   ) + +   (   −   ) + +   (   −   ) =0

⟺   + + + + + − (   + +   ) + + + = 0 (*)

Karena   (   , ,   ) pada bola maka memenuhi bola

+ + + + + + = 0 (**)

Dari (∗)dan (∗∗) , diperoleh persamaan bidang singgung pada bola, yaitu

+ + +1

2  (   +   ) +

1

2  (   +   ) +

1

2  (   +   ) + = 0

Rumus ini dikenal dengan “Membagi adil”, yaitu menjadi dan menjadi   (   +   )

Contoh 2.4Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik pada bola   + + +2 +4 +6 +8 =0 di

titik   0,0,

Solusi : Diskusi kelas

Subtitusi titik   0,0, pada bola diperoleh   +6 +8 = 0 diperoleh   = −2dan   = −4. Jadi

titik singgung pada bola adalah   (0,0,−2) dan   (0,0,−4). Pers. Bid.singgung...

Kedudukan antara dua bola

Misalakan terdapat dua bola :

= 0pusat

 jari −jaridan

= 0pusat

 jari −jaridan   = (grs sentral)

Maka

(1). Kedua bola tidak berpotongan ⟺   > +

(2). Kedua bola bersinggungan luar   ⟺   = +

(3). Kedua bola berpotongan   ⟺   |   −   | < < +

(4). Kedua bola bersinggungan dalam   ⟺   = |   −   |

(5). Salah satu bola berada dalam bola yang lain   ⟺   < |   −   |

S  S

MM

RR

d

(1)

MM

RR

d(2)

MM

RR

d(3)

Page 12: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 12/14

Soal Latihan1. Selidiki apakah bidang- bidang rata   H :3x−2y+ 4z−2 = 0 danH :6x− 4y+ 8z−3 = 0,

sejajar ? , Jika iya, tentukan jaraknyadansketsa grafiknya.

2. Melalui tiga titik   (   , ,   ) = (1,1,2) ,   (   , ,   ) = (2,3,5) dan   (   , ,   ) = (1,3,7) .

Tentukan persamaan bidang datar dalam bentuk (a) Parameter (b) persamaan linier.

3.   Diberikan bola : + + +6 +4 +2 − 11 = 0dan bidang : +2 +2 = 0.

a. Tentukan kedudukan bidang rata H terhadap bola S

b. Jika seandainya bidang memotong bola tentukan jari-jari dan pusat lingkaran

perpotongannya.4.   Tentukan Tempat Kedudukan (TK) titik-titik yang berjarak 2 satuan dari bidang XOY dan

 jumlah kuadrat jaraknya ke titik-titik (1,0,−2) dan(−1,0,2) adalah konstan=20

5.   Tentukan persamaan bidang singgung di suatu titik 0, ,0 pada bola : + + +

6 − 4 + 2 + 3= 0

6.   Tentukan kedudukan bola : + + −9 = 0 dan

: ( −1) +( +2) + −16= 0

Solusi soal latihan

1.   = = = = = , jadi bidang-bidang   dan saling sejajar.

Untuk menentukan jarak,  Pilih sebarangtitikmisalnya P 0,0,z padaH   ⟹ z = sehingga koordinat

titikP adalah P 0,0, .

 Jarak titik P(x ,y ,z ) ke bidangAx+ By+Cz+D = 0

d =√

 Jadi jarak titikP keH adalah

d =  × ( ). × ( )

( ) ( ) ( )  =

√  =

2. Vektor-vektor arah bidang datar adalah

0

MM

SS

d

(4)

MM

SS

d

(5)

Page 13: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 13/14

(a)   =[   , ,   ] = [   − , − , −   ] = [1,2,3]

= [   , ,   ] = [   − , − , −   ] = [0,2,5]

Persamaan vektorial bidang datar melalui tiga titik P, Q dan R adalah

[ , ,   ] = [   , ,   ] +   [   , ,   ] +   [   , ,   ]

= [1,1,2] +   [1,2,3] +   [0,2,5]

Persamaanbidangdatar dalambentukparameter adalah:

= 1+=1+2 +2=2+3 +5

(b) Vector normal bidang data melalui tiga titik

= [A,B,C] = x y zx y z

= y zy z   + z xz x   + x yx y

[   , ,   ] = x − x y −y z −zx − x y −y z −z

= 2 − 1 3 − 1 5 −21 − 1 3 − 1 7 − 2

= 1 2 30 2 5

= 2 32 5

  − 1 30 5

  + 1 20 2

  =4 −5 +2

Jadi vektor normal bidang rata adalah   = [   , ,   ] = [4,−5,2]

Konstanta D dapat dihitung dari bidang rata :   + + = −

4(1) +(−5)(1) +2(2) = −D ⟹ D =−3

Jadi persamaan bidang rata bentuk linier adalah

Ax+By+Cz+D=0 ⟹ 4x−5y+2z− 3 = 0

3. Persamaan bola   + + + + + + = 0mempunyai

Pusat   − ,− ,− dan jari-jari   = + + −

Jadi pusat bola   (−3,−2,−1) dan jari-jari   = √25=5

Jarak titik   (−3,−2,−1) ke bidang rata   : +2 +2 = 0 adalah

d =  ×( )   ×( )   ×( )

√  = = 3.

a. Karena < , maka bola memotongbidangrata,berupa lingkaranberjari-jari r.

b. Menurut Phytagoras = − → = 25− 9 = 16. Jadi = 4.

Untuk menentukan pusat lingkaran, dibuat garis g melalui pusta bola M dan tegak lurus bidang H. Vektor normal bidang H

adalah [   , ,   ] = [1,2,2], jadi persamaan garis g adalah g: = −3+ , = −2+2 , = −1+2 , yang disubtitusikan ke

dalam

: +2 + 2 = 0 , diperoleh−3+ −2+2 −1+2 = 0 → = . Selanjutnya nilai = disubtitusi ke dalam g,diperoleh = −3+ = , = dan = .

 Jadi pusat lingkaran potong adalah , ,

4. Ambil titik ( , , )

Syarat I, berjarak 2 satuan dari bidang XOY, berarti = 2atau = 2 ……(*)

Syarat II, jumlah kuadrat jarak ke titik-titik (1,0,−2) dan(−1,0,2) adalah konstan=20, berarti   (   −1)   +(   −0)   +(   +2)   +(   +1)   +(   −0)   +(   −2)   = 20

atau2(   + +   ) +10= 20→ + + =5 …. (**)

Dari (*) dan (**) , indeks dijalankan, diperoleh TK 

= 2 = −2 (⟺   = 4)

+ + = 5yang merupakan sebuah lingkaran (irisan bidang rata dan bola, atau dengan notasi himpunan

:{( , , )|   = 4}∩{( , , )|   + + = 5}

Page 14: Bab Suplemen TK & Bola PDF

7/23/2019 Bab Suplemen TK & Bola PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-suplemen-tk-bola-pdf 14/14

5. Titik 0, ,0 pada bola , berarti −4 +3 = 0atau −1 −3 = 0. Jadi titiik-titik singgung pada bola adalah

(0,1,0) dan   (0,3,0)

Dengan sistem bagi adali, persamaan bidang singgung di   (0,1,0) adalah

+ + +3 +3 − 2 −2 + + +3 = 0

1( )+3 −2 −2(1)+ +3=0 atau   − + + 1 =0

Persamaan bidang singgung di   (0,3,0) adalah

+ + +3 +3 −(2 +2   ) + + +3 =0

3 + 3 −(2 +2.3) + + 3 = 0 atau   3 + + − 3 = 0

6.   Bola : + + − 9 = 0 dan : ( − 1) + ( + 2) + − 16 = 0

= (0,0,0)   = (1,−2,0)

= 3 = 4

=   (1−0)   +(−2−0)   +(0−0)   = √5

Karena|   −   | < < |   +   | → 1 < < 7, jadi kedua bola berpotongan.