bab8-panas dan distribusi molekul

7/22/2019 Bab8-Panas Dan Distribusi Molekul

1/22

PANAS DAN DISTRIBUSIMOLEKUL

DISTRIBUSI KECEPATANMOLEKUL GAS

2 JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE SATU ARAHDengan adanya panas, molekul gas bergerak ke segala arah dan dari pergerakan ini, kitamencari distribusi kecepatan molekul itu pada arah pergerakan tersebut. Besar kecepatanpergerakan molekul bermacam-macam, demikianjuga arahnya. Dengan perantaraan sistemkoordinat, kita dapat menguraikan yektor kecepatan ini ke dalam komponen, ~an seting-kat demi setingkat kita memperhatikan pergerakan dari satu arah hingga seluruh arah.Pada sistem koordinat kartesius, yektor kecepatan molekul v dapat diuraikan kedalam ketiga komponennya masing-masing yx yy dan yz sehingga

y2 = y2 + y2 + y2 291)y zBagi tiap kecepatan terdapat bermacam-macam jumlah molekul, demikian juga bagi

komponen kecepatan itu. Penentuan jumlah molekul bagi tiap kecepatan merupakaripersoalan distribusi kecepatan molekul.Salah seorang yang mencoba menentukan distribusi kecepatan ini adalah James

Clerk Maxwell, dan hasil penentuannya dikenal sebagai distribusi axwell Di samping184


2/22

Maxwell, pada waktu dulu, terdapat juga distribusi lainnya, namun menurut Boltzmannbahwa pada dasamya distribusi Maxwell adalah satu-satunya distribusi yang stabil ka-rena bentuk distribusi lainnya itu selalu hampir pasti dapat berubah oleh tubrukan se-hingga mendekati bentuk distribusi Maxwell. Belakangan setelah teori mengenai dis-tribusi berkembang, kita mengenal lagi distribusi melalui mekanika statistik atau statis-tik kuantum yang lebih baik lagi.

Gambar 64Daerah komponen kecepatan mo eku antara v dan v + dv , v danx x x yv + dv serta v dan v + dvy y z z zDi sini kita akan melihat dulu distribusi komponen) kecepatan pada satu arah, yakni

arah sumbu koordinat. Pandanglah suatu daerah kecepatan seperti pada gambar 64 dandaerah kecepatan ini meliputi perubahan kecepatan dvx dv y dan dvz yang terdiri darimolekul yang mempunyai komponen kecepatan terletak di antara

v dan v + dvx x xv dan v + dvy y yv dan v + dvz z zMisalkan dari seluruh jumlah molekul N, terdapat sejumlah dNyXm olekul dengan

komponen kecepatan antara vx dan vx + dvx itu. Demikian juga sejumlah dNyy d an dNyzmo1ekul yang mempunyai komponen kecepatan antara vy dan vy + dv y serta antara vz danv + dv.z z

Pada setiap arah kecepatan dengan kecepatan yang berbeda-beda, terdapat jumlahmolekul yang berbeda-beda pula, sehingga jumlah molekul dengan komponen kecepatanke tiap arah merupakan fungsi dari kecepatan bersangkutan, yaknif v ), f v ), dan f v )x y z

yang disebut fungsi distribusi atau fungsi probabilitas

185


3/22

Jadi bagi N molekul, diperolehdNyx =N f v) dvxdNy = N f v ) dvy y ydNyz = N fey) dvz 292)

Hubungan ini menunjukkan jUffilah molekul pada tiap-tiap arah bagi komponenkecepatan antara Vx dan Vx + dvx vy dan vy + dvy serta Vz dan Vz + dvz

22 JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE DUA ARAHTelah kita lihat jumlah molekul untuk suatu daerah kecepatan bagi tiap arah. Namunmolekul dapat mempunyai komponen kecepatan sekaligus ke dua arah yang sesuai dengandaerah kecepatan pada arah bersangkutan.Jumlah molekul yang mempunyai komponen kecepatan ke dua arah, misalkan arahX dan Y, Pada daerah kecepatan antara v dan v + dv serta v dan v + dv dapatx x x y y yditentukan dengan memandang molekul dv x yang sekaligus mempunyai komponen padadaerah kecepatan dv . Bagian ini merupakan fungsi dari kecepatan v , sehingga dariy y 292), diperolehmolekuldengankomponenkecepatanpada daerahkecepatandvx yangsekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dv , sebagai

d2N y Y = dN y f v) dvxy x y ydemikian juga

d2NyyyZ= dNvy fey) dvz 293)d2Nyzyx= dNvz f v) dvx

Dan melalui substitusi dari 292), diperolehd2Ny Y = N f v ) f v ) dv dvxy x y x yd2NyyyZ= N f vy) f v) dvy dvz 294)d2Nyzyx= N fey) fey) dvzdvx

Ini merupakan fungsi dari kedua daerah kecepatan yang bersangkutan.

23 JUMLAH MOLEKUL BERKECEPATAN KE TIGA ARAHSeperti keadaan tersebut di muka, dari jumlah molekul yang mempunyai komponenkecepatan pada daerah kecepatan dvx dan dvy dapat ditentukan bagian jumlah molekulkomponen kecepatan yang sekaligus pada ketiga daerah kecepatan dvx dvy dan dvz

Bagian ini yakni dar d2NyXYyekaligus mempunyai komponen pada daerah kecepatandvz dari d2NyyyZsekaligus berkomponen kecepatna pada daerah kecepatan dvx dan darid2Nyzyx y ang sekaligus mempunyai komponen kecepatan pada daerah kecepatan dvyadalah masing-masing

186


4/22

d3N = d2N fv ) dvYxYyYz YxYy z zd3NyXYYYZd2Nyyy, f v) dvxd3Ny Y Y = d2Ny Y f v) dvzxy zx y y

Substitusi dari 294), rnernberikan harga sarna bagi ketiga hasil ini, yaknid3NyXYyyZN f v) f v) f v) dvx dvy+ dvz 295)

Bila disubstitusikanf = f v ) f v ) f v )x y z

diperoleh dari 295), bentukd3NyXYyyZ = N fdv x dv y dv z

297)Temyata di sini bahwa f dv z dvy dv z rnerupakan bagian dari seluruh rnolekul yangrnernpunyai kornponen kecepatan sekaligus pada daerah kecepatan dv , dv , dan dv ,Y sehingga jika bagian ini diintegrasikan, akan diperoleh jurnlah keseluruhannya,yakni

JfJ {d dv dv = 1x y zatau dari 297)

JfJ N f dv dv dv = N JfJ f dv dv dv =Nx y z x y z298)

Jadi jurnlah rnolekul pada seluruh kornponen bagi seluruh kecepatan rnernberikanseluruh jurnlah rnolekul itu.

124 FUNGSI DISTRIBUSI ATAU FUNGSI PROBABILITASDistribusi rnolekul bagi tiap daerah kecepatan dapat ditentukan dari 297) apabila fungsidistribusi atau fungsi probabilitas telah diketahui bentuknya. Oleh karena itu, ingin kitatentukan bentuk fungsi ini terlebih dahulu dan juga hubungannya dengan panas.

Sejalan dengan rapat rnolekul pada 231), kita dapat rnendefinisikan rapat kecepatan.

atau11= dv dv dvx y z

=Nf

11= N f v ) f v ) f v )x y z 299)Perubahan rapat kecepatan atau diferensial total dari rapat kecepatan selanjutnyaadalah

db d11 d11d11= - dv + -.dv + - dvdV x dV y dV Zx y z 300)

187


5/22

- -- -

Diferensial dari 299) rnenurut ketentuan pada 300) rnernberikan,dll =N f v ) f v ) f v) dvx y z x+ N f v ) f v ) f v) dvx y z y+ N f v ) f v ) f v ) dv 301)y z z

dengan tanda aksen rnasing-rnasing sebagai turunan terhadap v , v dan v.. x y zDi sarnping diferensial atau perubahan pada rapat kecepatan kita dapat juga rnenen-tukan diferensial atau perubahan pada besaran kecepatan, dari 291), yakniv dv = v dv + v dv + v dvx x y y z z 302)

Hubungan 301) dan 302) berlaku bagi tiap perubahan pada daerah kecepatan sertabesaran kecepatan itu yakni seperti penggeseran ternpat pada gambar 64.

Gambar 6Daerah kecepatan molekul antara v dan v + dv

Penggeseran daerah kecepatan ini berlaku urnurn dan bleh karenanya seperti padagambar 65, kita dapat rnenggeserkannya juga sepanjang daerah konsentris dari koordinatkecepatan itu. Ini berarti kita berpindah sepanjang daerah kecepatan yang sarna harganyaatau perubahan harga besaran kecepatan dv = 0, dan dari 302) diperoleh

v dv + v dv + v dv = 0x x y y z z 303)Kita tidak rnernpunyai pilihan arah kecepatan serta rapat kecepatan bagi arah

kecepatan, sehingga arah kecepatan adalah seragarn dan bagi arah kecepatan ini denganharga kecepatan yang sarna, rapat kecepatan juga sarna. Jadi perpindahan sepanjangdaerah kecepatan yang sarna, yakni daerah kecepatan yang konsentris, perubahan rapatkecepatan dll = 0, sehingga dari 301),

N f v ) f v ) f v ) dvx y z x+ N f v ) f v ) f v ) dvx y z y+ N f v ) f v ) f v) =< 0 304)y z

188


6/22

atau setelah disusun rnernberikanf v ) f v ) f v )x dv +~dv +~dv =0f v ) x f v ) Y f v ) zx Y z

305)

Perpindahan pada daerah kecepatan dengan harga kecepatan serta rapat kecepatanyang sarna adalah salah satu hal dalam penggeseran pada daerah kecepatan, sehinggaperpindahan ini juga dapat rnernberikan hasil bagi bentuk fungsi distribusi. Jadi bentukfungsi distribusi dapat ditentukan dari salah satu corak perpindahan dalarn kecepatan,juga untuk harga dan rapat kecepatan yang sarna, yakni dari 303) dan 305).

Ketiga variabel dvx dvy dan dvz pada 303) dan 305) dapat bebas tak bergantungansatu sarna lainnya tetapi dapat juga bergantungan. Oleh sebab itu baik kita selesaikan 303) dan 305) dengan metoda agrange yakni rnengalikan suatu faktor A pada 303),sehingga

AV dv + AV dv + Av dv = 0x x y y z zPenjurnlahan dengan 305) niernberikan

f v ) f v ){ ~ + Av } dv + { ---2... + AVf v ) x x f v ) yx yf v)+ { ~ + AV } dv = 0f v ) z zz

} dvy

306)Harga A dapat dipilih sehingga dapat dicarikan suatu harga A, dengan ketentuan

f v )~+AV =0f VA) xf v ) f v )

{ ~ + Av } dv + { :.. + Av } dv = 0f v ) x y f v ) z zy z

307)dan sisanya

Dari tiga variabel, dua di antaranya selalu dapat diarnbil bebas, sehingga kita dapatrnengambil dvy dan dv z yang bebas dan oleh karenanya, diperoleh

308)

Bentuk 307) dan 308) setelah disusun, rnernberikand f v )x = _ A v dvx x

f v)

189

f v) +AV =0f v) yyf vz) +AV =0erta f v) z


7/22

d f v )yf v)y

d fey)f vz)

= - A. v dvy y 309)= - A. v dvz z

Apabila persarnaan petarna dari 309) diintegrasikan, kita peroleh f v ) + a = - 1/2 A. v 2x x

dengan a sebagai konstanta integrasi. Dengan jalan sarna dapat diperoleh bentukfungsi lainnya dari 309) itu. Bentuk ini dapat ditulis dalarn bentuk eksponensial,_1/ h2f v ) = a e 2 x

- /1..V2f v ) = a e 2 y 310)y_1/ 1..V2f v ) = a e 2 zz

Dengan rnenggunakan substitusi 32 = 1/2 A.

ke dalarn 310) diperoleh- 32v2f v ) = a e xx

_~2V2f v ) = a e YY_~2V2f v ) = a e Z

311 )

Jadi bentuk kornponen fungsi distribusi atau fungsi probabilitas adalah fungsieksponensial dari kecepatan.Selanjutnya dari 296), diperoleh fungsi distribusi secara keseluruhan, yakni_ f.U 2 + v2 + v2)f = f v ) f v ) f v ) = a3 e I- x Y Zx Y Z

dan dari 291)

312)Fungsi distribusi ini rnerupakan fungsi distribusi Maxwell, dan dengan fungsi inidapat ditentukan distribusi kecepatan rnolekul rnenurut Maxwell. Dari 299) diperolehrapat kecepatan,

9


8/22

_~2V211 =N ex3 e

dengan bentuk grafik seperti pada gambar 66Distribusi jumlah molekul untuk daerah kecepatan oleh karenanya menjadid3Ny Y Y = 11dv dv dvxyz x y z

atau dengan substitusi dari 313 ,_~2V2d3N = N ex3e dv dv dvYxYyYz x Y z

314

315Dengan mengetahui harga parameter ex dan ~, distribusi kecepatan molekul untuk

daerah kecepatan yang ditentukan dapat dihitung. Parameter ini tentunya bergantungkepada keadaan molekul terutama temperaturnya.

Gambar 66Rapat kecepatan molekul terhadap kecepatan pada daerah kecepatan dv dv dvy z

25 DISTRIBUSI KECEPATAN MAXWELL DAN PARAMETERFUNGSI DISTRIBUSI

Untuk memperoleh harga fungsi distribusi, perlu ditentukan bentuk dan sifat dari keduaparameter exdan ~.Guna penentuan ini, kita memandang suatu distribusi molekul yangmempunyai banyak macam kecepatan dengan memindahkan vektor kecepatan ke suatutitik. Ujung vektor kecepatan ini berbentuk bola konsentris, dan kita pandang suatudaerah kecepatan antara v dan v + dv seperti pada gambar 65. Jumlah molekul untukdaerah kecepatan ini adalah sesuai dengan 314 , untuk kulit bola,dNy = 11. 41tv2dv

Dari 313 diperoleh _~2V2dN = 4 tNex3v2 e dvy 316dan dikenal sebagai distribusi Maxwell

Jadi rapat perubahan kecepatan oleh karenanya adalah-WV2

11y= 41tN ex3v2e 317

191


9/22

denganbentukgrafiksepertipadagambar67. RapatperubahankecepatanantaravI danvI + dv aalah sarna dengan luas yang diarsir pada gambar 67 tersebut, dan jumlahseluruh kecepatan, yakni juga jumlah seluruh molekul, adalah sarna dengan seluruh luasdi bawah lengkungan rapat kecepatan.

Gambar 67Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepagan dv

Karena harga kecepatan itu terbentang dari harga yang sangat kecil sarnpai hargayang sangat besar, maka sebagai limit kecepatan secara teoretis kita ambil dari 0 sampai00, sehingga

00N=JdN o v

atau00 _~2V2N =41tN a3 Jv2 e dvo

sehingga00 -Wv241t a3 Jv2 e dv = 1o

Menurut perhitungan integrasi diketahui bahwa00 -Wv2 1Jv2 e dv = J to 4 ~3

sehingga substitusi ke dalam 318 memberikan~a= J tMasukkan ke dalam 316 diperoleh

4N _~2V2dN = - A3v2 e dvv J t p

Menurut ketentuan kecepatan rata-rata pada 237 , diperolehJv dNvv=

318

319

320

321

N192


10/22

atau 4 133 00 -J32V2V = - f V3 e dv J t 0

Perhitungan integral definit memberikan00 -J32v2 1f v3 e dv = -o 2134

sehingga kecepatan rata-rata menjadi2v=13 J1t

dan selanjutnya harga parameter menjadi3 113=-- J1tV2 1dan a=--=-1t v

(322)

(323)

(324)

merupakan fungsi kecepatan rata-rata dari molekul.

126. PENGARUH PANAS PADA ISTRI USI KECEPATANMOLEKULPergerakan molekul. seperti telah dibicarakan di muka, disebabkan oleh panas, sehinggadengan demikian parameter fungsi distribusi berhubungan pula dengan panas atautemperatur. Oleh sebab itu akan kita carikan di sini hubungan antara parameter itudengan temperatur serta juga hubungan antara kecepatan molekul dengan temperatur.a Hubungan parameterdengan v

Hubungan ini telah kita bicarakan yakni melalui perhitungan yang memberikan hasilseperti pada (324)b Hubungan parameter dengan velDengan definisi kecepatan efektif pada (238) kita peroleh dari (321),

V : ~V ~ ItV:dN.atau193


11/22

v =efDari perhitungan integrasi diketahui bahwa

00 -WV2 J..J1tf V4 e dv =-o 8 ~3 325sehingga melalui substitusi diperoleh

1 3v =-~-ef ~ 2 326

Jadi dari 326 dan 320 parameter fungsi distribusi dapat dinyatakan dengankecepatan efektif yakni,

dan~=~~~vef 2a=~~~

vef 21t

327

c ubungan kecepatan efektif dengan tempeaturHubungan kecepatan efektif dengan temperatur telah kita bicarakan di muka yakniseperti pada 259 , _I 3 kTv =-v-ef m

dengan m sebagai massa molekul.d ubungan parameterdengan temperatur

Dari hubunganantara parameterdengankecepatanefektif, kita dapat menentukanhubunganparameterdengan temperaturmelaluisubstitusi 327 , yang memberikana=~ m21tkT

328~=~ m2kTHarga parameter berkurang pada kenaikan temperatur.

194


12/22

e. Hubungan kecepatan rata ratadengan temperaturTelah kita ketahuihubunganantaraparameterdengankecepatanrata-ratadan jugadengantemperatur,sehinggadari padanya,yaknidari (324) dan (328),diperoleh

v= 8kT1tm (329)Ternyata juga bahwa harga kecepatan rata-rata berbeda dengan kecepatan efektif.

-orGambar 68

Distribusi kecepatan bagi kecepatan dengan probabilitas tersebar kecepatan ratarata dan kecepatan efektif.

f. Kecepatan dengan jumlah molekul maksimumBagi setiap kecepatan, terdapat sejumlah molekul tertentu, tetapi jumlah molekul iniberlain-lainan untuk kecepatan yang berbeda-beda.Pada tempeatur tertentu, kita mempunyai kecepatan yang dilakukan oleh jumlah

molekul yang terbanyak atau jumlah molekul maksimum, vNm seperti pada gambar 68.vNmni berlain-lainan pada temperatur yang berlain-lainan dan oleh karenanya kita cobamenentukan di sini hubungan vNmdengan temperatur.Dari (321), vNmdapat ditentukan dengan syaratd(d N )~=Odvatau

(330)Dari hubungan ini dapat juga kita tentukan hubungan parameter tersebut dengan

vNmini, yakni

~=~ vNm(331 )

195


13/22

g. Perbandinganjenis kecepatanBandingkanhasil dari ketiga jenis kecepatan ini, dari 331 , 329 , dan 259 ,

yakniVNm= J 2 kTmv = J8 kT1tmv _ J 3 kTer- -

mmaka dipero1eh perbandingan sebagai berikut :_ 2_1

vNm: v : ver = 1 : ..J1t : ~3/2= 1Hal ini dapat juga dilihat pada gambar 68.Dari hasil dari a sampai g telah kita lihat hubungan yang erat antara distribusimolekul dengan kecepatan serta temperatur, dan daripadanya kita mengetahui pengaruh

panas pada distribusi molekul gas.Melalui substitusi 328 ke dalam 317 kita peroleh secara langsung pengaruh tem-peratur untuk rapat perubahan kecepatan molekul,mv2

1,128 : 1,224 332

--333

Makin tinggi temperatur makin kecil harga rapat kecepatan molekul terutama bagikecepatan yang kecil. Secara ilustratif, pada gambar 69, terlukis rapat perubahan kece-patan molekul terhadap kecepatan molekul itu bagi bermacam-macam temperatur.

Gambar 69Rapat perubahan kecepatan Maxwell pada daerah kecepatan dv

untuk bermacam macam temperatur.

196


14/22

JALAN DEDAS MOLEKUL127 JUMLAH TUDRUKAN RATA RATA DAN JALAN DEDAS

RATA RATA PADA MOLEKUL STAT ISMolekul atau atom bergerak dengan bermacam-macam kecepatan ke segala arah. Olehsebab itu dapat kita pahami bahwa molekul atau atom dalam pergerakannya akan salingbertubrukan satu dan lainnya. Tubrukan ini makin sering apabila pergerakan molekulmakin hebat yakni jika temperaturnya makin tinggi. Kita akan berusaha menentukanjumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu.Di antara dua tubrukan molekul berjalan lurus dan jalan antara kedua tubrukan yangberturut-turut ini disebut jalan bebas. Sesuai dengan tubrukan berturut-turut yang terjadisecara tak teratur jalan bebas juga mempunyai panjang yang bermacam-macam. Panjangrata-rata dari jalan bebas ini disebutjalan bebas rata rataUntuk menentukan jumlah tubrukan rata-rata ini kita memandang pergerakan suatumolekul dan untuk memudahkan penentuannya akan kita anggap semua molekullainnyakecuali molekul ini adaltili diam dan tersebar merata dalam ruang. Anggapan molekulstatis tentunya tidak sesutai dengan kenyataan sehingga hasilnya pun tidak akan cocokdengan keadaan sesungguhnya tetapi perhitungan teoretis ini telah memberikan dasarperhitungan atau penentuan jumlah tubrukan serta jalan bebas rata-ratanya.

a bGambar 70

a Jarak terdekat pusat ke pusat dari dua molekulb Jarak yang sama tetapi dengan menganggap salah satu molekul sebagai

titik pada pusatnyaPandanglah suatu molekul A dengan daerah pengaruh berbentuk bola berdiameter crdan molekul lainnya hanya dapat mendekatinya sampai jarak pusat ke pusat sebesar cr.Seperti pada penentuan kovolume b dari molekul gas sejati kita dapat menganggap

molekul lain B mengecil sehingga merupakan titik tetap pada pusatnya dan untukkompensasi molekul A dianggap membesar sehingga merupakan bola dengan jari-jari crseperti pada gambar 70aMolekul A ini bergerak di antara molekul B yang statis sehingga dalam waktu tjalan molekul A merupakan sHinder dengan panjang V tjika kecepatan gerak molekul Aadalah V.

197


15/22

Volume sHinder ini adalahV = 1tcr2v t

dan semua molekul B statis yang berada dalarn sHinder ini akan ditubruk, sehinggadalam waktu t itu akan terjadi tubrukan sebanyak molekul B tersebut. Apabila rapatmolekul adalah p, maka jumlah tubrukan dalarn waktu t adalah

pV = 1tpvcr2 tJumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya adalah

z = 1tpcr2v 334)Jalan bebas rata-rata adalah jalan rata-rata antara dua tubrukan yang berturut-turut.Dalarn satu satuan waktu molekul A menempuh jalan sepanjang v dan melakukan ztubrukan, sehingga panjang jalan rata-rata antara dua tubrukan berturut-turut adalah

v 1A=-=-Z 1tpcr2 335)Jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan rapat molekul. Makin jarangmolekul makin besar jalan bebas rata-rata atau makin bebas molekul bergerak dan

sebaliknya.

128 JUMLAH TUDRUKAN RATA RATA DAN JALAN DEDASRATA RATA PAD A MOLEKUL DERKECEPATAN TETAP

Molekul sebenarnya semuanya bergerak, sehingga anggapan bahwa semua molekul Badalah statis tidak sesuai dengan hasil sesungguhnya. Untuk mendekati keadaansesungguhnya, kita membuat pendekatan dengan menganggap bahwa semua molekulmempunyai kecepatan sarna dan tetap. Dengan anggapan ini pada tahun 1857, sebelumdistribusi Maxwell ada, Clausius menentukan jumlah tubrukan dan jalan bebas rata-rata.

Gambar 71Kecepatan relatif an tara dua mo eku dengan

kecepatan sarna dan tetap

198


16/22

Dengan semua molekul berkecepatan tetap dan sarna, maka dalarn penentuan jumlahtubrukan dan jalan bebas rata-rata kita perlu menggantikan kecepatan molekul pada334) dan 335) dengan kecepatan relatif vr di antara molekul itu. Kecepatan relatif inibergantung kepada sudut antara kedua kecepatan bersangkutan, seperti pada g m r 71,sehingga vrmempunyai bennacam-macam harga. Apabila sudut antara kedua kecepatanadalah e, maka

ev = v2 + v2 - 2v2 cos e = 2 v sin -r 2 336)

Kecepatan relatif v rata-rata dapat ditentukan dengan menentukan harga rata-ratae rdari faktorsin-. Harga rata-rata f e, q pada koordinat bola, dengan satu satuan jari-2jari diperoleh melalui mengalikan fungsi ini dengan suatu elemen luas dA seperti pada

234), mengintegrasikan untuk bola, dan membagikannya dengan seluruh luas bola, yakni

f e,qr= ~, TXf e, q sin e de dq>4x 0 0eBagi sin - diperoleh oleh karenanya, harga rata-rata,2

e I j ~x esin-)r = - J sin - sin e de dq>2 4x 0 0 2dan setelah dihitung diperoleh selanjutnya,

esin_) =2/2 r 3atau kecepatan relatif rata-rata

V =4/ Vr 3 337)Jadi jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu pada molekul yang berkecepatansarna dan tetap, menurut Clausius, dapat ditentukan dengan memasukkan harga 337) kedalarn 334),

338)sedangkan jalan bebas rata-rata menurut Clausius, diperoleh dengan substitusi 337) kedalarn 335), yakni

199


17/22

339)

Jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu oleh karenanya bertambah dengan faktor4/3dan jalan bebas rata-rata berkurang dengan faktor 3/4,

129 JUMLAH TUBRUKAN RARA RATA DAN JALAN BEBASRATA RATA MENURUT MAXWELL

Telah kita ketahui di muka bahwa menurut Boltzmann distribusi kecepatan molekul yangstabil adalah distribusi kecepatan menurut Maxwell. Oleh sebab itu kita dapat menen-tukan jumlah tubrukan rata-rata per satuan waktu serta jalan bebas rata-rata molekulmenurut distribusi kecepatan Maxwell ini.Perhitungan tidak kita l~ukan di sini, tetapi menurut perhitungan, diperoleh jumlahtubrukan antar-molekul per satuan waktu, sebesar

z =1tpcr2V 2 340)sedikit lebih besar dari ketentuan Clausius.

Jalan bebas rata-ratanya dengan demikian menjadi sebesar1A= 341)1tpcr2 2sedikit lebih kecil dari hasil Clausius.

Dibandingkan dengan jalan bebas rata-rata Clausius, perbedaan jalan bebas rata-rataMaxwell adalah

lebih besar, bagi jalan bebas rata-rata Clausius.Di samping penentuan jalan bebas rata-rata ini termasuk jalan bebas rata-rata menurutClausius dan Maxwell masih dikenal juga jalan bebas lainnya seperti menurut Tait dansebagainya lagi.

130 GAS KNUDSEN DAN GAS BIASAApabila jalan bebas rata-rata antar-molekul ini ditinjau untuk gas, maka besar kecilnyajalan bebas rata-rata bergantung kepada rapat molekul gas bersangkutan, sehingga den-gan jalan bebas rata-rata ini kita dapat menentukan kehampaan suatu ruang yang berisigas.

200


18/22

Bagi gas biasa dalam bejana dengan tekanan biasa yakni sekitar 1 atm. jalan bebasrata-rata molekul adalah kecil dan akan lebih kecillagi jika dibandingkan terhadap ukurantabung bersangkutan. Jumlah tubrukan antara-molekul dengan sendirinya akan lebih besardaripada jumlah tubrukan antara molekul dan dinding ruang. Gas dalam keadaan demikiandisebut gas biasaDengan memompa ke luar gas dari dalam bejana itu, rapat molekul gas itu akanberkurang dan akibatnya jalan bebas rata-rata bertambah, kesemuanya bergantung jugakepada kehampaan ruang itu. Apabila bejana cukup hampanya, maka jalan bebas rata-rata molekul akan bertambah bahkan akan jauh lebih besar daripada ukuran ruangnya.Dengan sendirinya jumlah tubrukan antara molekul dengan dinding akan lebih besardaripada jumlah tubrukan antar-molekul. Gas dalam keadaan demikian disebut gasKnudsen

Gas Knudsen akan berpengaruh pada sifat gas berhubung dengan letak molekul yangberjauhan itu. Perjalanan molekul dalam hal ini praktis tidak terganggu oleh molekul-molekullain. lonisasi pun selanjutnya akan terjadi pada gas Knudsen seperti pada halnyaTubular Lamp T.L.), tabung hampa, dan lain-lainnya.

DISTRIBUSI JALAN BEBAS 3 DISTRIBUSI JALAN BEBAS MOLEKULKita telah membicarakan jalan bebas rata-rata dari molekul, maka kini sejalan denganadanya kecepatan rata-rata dan distribusi kecepatan molekul, kita ingin pula mengetahuidistribusi jalan bebas ini. Pada distribusi jalan bebas ini kita ingin mengetahui frekuensiterjadinya jalan bebas tertentu, baik secara simultan oleh banyak molekul pada suatu saat momen) ataupun oleh suatu molekul dalam suatu jangka waktu tertentu. Keduanya inimemberikan hasil yang sama, dan untuk penguaraian, kita menggunakan sejumlah molekulpada suatu saat momen).

Pandanglah dan ikutilah dari mula pergerakan suatu jumlah molekul s.ebanyakNodalam suatu kelompok. Karena tubrukan yang terjadi, molekul itu akan berangsur-angsurmeninggalkan kelompok. Makin besar jalan bebas suatu molekul makin jauh molekultersebut tetap berada di dalam kelompok.Anggaplah pada suatu saat setelah kelompok ini menempuh jalanx jumlah molekulyang masih tertinggal dalam kelompok adalah N. Pada jalan dx selanjutnya misalkanterdapat dN molekul yang mengalami tubrukan dan meninggalkan kelompok. Ini berartibahwa ada sejumlah dN molekul yang mempunyai jalan bebas yang panjangnya terletakdi antara x dan x + dxHarga dN ini bergantung kepada jumlah molekul N dandx serta kemungkinan atauprobabilitas tubrukan pada molekul itu, Pt. Karena dN merupakan pengurangan molekuldari kelompok, maka

dN = - Pt N dx 342)201


19/22

dengan tanda negatif. Integrasi memberikanIn N = - PI x + konstanta

Karena untuk x =0 jumlah molekul adalah No maka konstanta integrasi dapat diten-tukan, dan setelah disubstitusikan diperoleh-PxN = N e I 343)

atau setelah dimasukkan ke dalam 342),-PIXdN = - PN e dxI 0 344)

Jumlah IdNladalah jumlah molekul yang mempunyai jalan bebas yang terletak antarax dan x + x atau juga banyaknya jalan bebas yang terletak antara x dan x + xJalan bebas rata-rata oleh karenanya, adalahf X dNA= No

dan karena jalan bebas mempunyai bermaeam-maeam harga dari keeil sampai besarmaka seeara teoretis kita mengambillimit dari 0 sampai00, sehinggar -Px-PIN x e I dxo 0A= Noyakni 1A=- PI 345)

Jadi jalan bebas rata-rata berbanding terbalik dengan probabilitas tubrukan. Makinbesar jalan bebas makin keeil kesempatan bertubrukan dan sebaliknya.Substitusi 345) ke dalam 343) memberikanx

N = N eo 346)sedangkan jumlah jalan bebas yang terletak antara x dan x + xmenurut 344) menjadi

xNo Adx 347)N = --e AJumlah jalan bebas atau distribusi jalan bebas oleh karenanya bergantung kepadadaerah jalan bebas yang kita pandang.

202


20/22

32 BEBERAPA ONTOHDISTRIBUSI JALAN BEBASSebagaigambaranakankita lihat di sini jumlah jalan bebasuntuk daerahjalan bebastertentudalamrangkadistribusijalan bebasini. Jumlahjalan bebasbergantungkepadadaerah jalan bebas, yang kita pandang. Jika (347) kita lukiskan sebagai fungsi jalanbebas akan kita peroleh hasil seperti pada gambar 72, yakni suatu bentuk eksponensial.Bagi suatu daerah dx dari jalan bebas itu, jumlah bebas merupakan luas yang terarsirpada gambar 72 tersebut.

814

Gambar 7Distribusi jalan bebas dan jumlah jalanbebas bagi suatu daerah jalan bebas

antara Xl dan Xl + dx

Misalkan kita ingin menentukan jumlah jalan bebas yang terletak di antara Xl danx2 maka menurut (347), jumlah tersebut

Demikian juga apabila kita ingin mengetahui jumlah jalan bebas yang lebih besardari suatu haiga L maka dengan (347) diperolehX

N= -~re A-dxA- L

203

XN 0 A-N= 1__j2e dxA- XlX2 Xl- --A- A-

yakni N = N (e -e )atau persentasenya adalah

X2 Xl- --N A- A--=(e -e ) . 100N 0

----


21/22

yakni sebanyak LAN =N eo

atau dalam persentase, diperolehLA-=eNo 100

Dan dengan jalan sarna kita dapat menentukan distribusi jalan bebas bagi daerahjalan bebas lainnya.

MEKANIKA STATISTIK133 STATISTIK MAXWELL BOLTZMANNCara lain untuk menentukan distribusi molekul adalah melalui statistik dan bidang inidisebut mekanika statistik Temyata bahwa mekanika statistik memberikan keterangandan juga hasil yang lebih baik daripada metoda yang telah kita pergunakan.Di antara statistik dikenal suatu statistik yang agak klasik yakni statistik MaxwellBoltzmann Pada statistik ini, dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yaknitiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yangdimaksudkan ini disebut ruang fasa Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi kedalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel

Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah distribusi molekul menurut sel.Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebutstatus makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu secara individu) dalamtiap statusmakro disebut status mikro dari sistem. Kemudianjumlah statusmikro terhadapstatus makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamikDalam metoda statistik ini dilakukan penentuan probabilitas termodinamik danselanjutnya ditentukan pula hubungan dari probabilitas termodinamik dengan masalahtenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh jumlah molekul dalam sel. Penggunaanstatistik Maxwell-Boltzmann dapat menerangkan antara lain soal panas jenis.

4


22/22

134 STATISTIK KUANTUM DENGAN STATISTIK BOSEEINSTEIN DAN FERMI DIRAC

Statistik Maxwell Boltzmann masih juga memberikan hasil yang kurang sesuai denganhasil percobaan. Juga dalam hal adanya elektron atau aliran elektron statistik inimemasukkan pengaruh yang besar dari pergerakan elektron bebas ke dalam penentuanpanas jenis konduktor tetapi menurut eksperimen pergerakan elektron tidak mempunyaipengaruh demikian. Kesulitan pengaruh pergerakan elektron bebas dapat diatasi denganstatistik kuantum. Statistik kuantum mempegunakan teori kuantum yakni satuan tenagayang terkecil atau kelipatannya dan dalam teori kuantum tenaga memang dianggapterdiri atas bagian yang disJcritdengan bagian terkecil disebut kuantum Perbedaan statistikini dengan statistik Maxwell Boltzmann terletak pada penentuan jumlah status mikrobagi status makro tertentu.Statistik kuantum yang terkenal antara lain adalah statistik Bose Einstein Menyerupai statistik Maxwell Boltzmann statistik ini juga mempergunakan enam dimensi ruangfasa hanya di sini tidak dipergunakan kecepatan melainkan dimensi momentum. Statistik Bose Einstein juga belum dapat memecahkan peristiwa pergerakan elektron denganmemuaskan.

Selain statistik Bose Einstein berkenaan dengan elektron bebas dalam zat kitamengenal juga statistik Fermi Dirac Dari statistik ini sedikit berbeda dengan keduastatistik di muka dapat ditentukan bagian panas jenis yang disebabkan oleh pergerakanelektron bebas. Temyata berbeda dengan hasil dari kedua jenis statistik di muka padastatistik ini diketahui bahwa bagian panas jenis karena pergerakan elektron bebas adalahsangat kecil dan ini kira kira sesuai dengan percobaan. Statistik Fermi Dirac dapatmenerangkan hal mengenai tak berpengaruhnya pergerakan elektron pada panas jeniskonduktor sungguhpun konduktor mengandung banyak elektron bebas.Di sini tidak dibicarakan 1ebihlanjut mengenai mekanika statistik dan hal hal tersebut di muka hanyalah sekedar gambaran saja.

SO L S OL1. Suatu ruang hampa dengan suatu lobang keSil seluas A dimasukkan ke dalam suatu

bejana berisi gas dengan tekanan p pada temperatur T. Jika berat molekul gas adalahM tentukan jumlah molekul gas yang masuk ke dalam ruang itu satu jam kemudian.Tentukan juga setelah itu tekanan dalam ruang jika volume ruang adalah V.2. Tentukan persentase jalan bebas yang lebih besar dari 10.000 kali diameter molekulpada tekanan p dan temperatur T.

205

bab8-panas dan distribusi molekul

Documents