bag_2 fungsi & limit_revised

7/23/2019 Bag_2 Fungsi & Limit_revised

http://slidepdf.com/reader/full/bag2-fungsi-limitrevised 1/23

Bagian 2Matriks dan Determinan

Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian2 Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenisfungsi dalam matematika dan operasi yang digunakan. Pada bagian Limitakan mempelajari konsep dasar mengenai limit, cara menghitung nilai limit,dan penggunaan limit untuk fungsi trigonometri. edangkan pada bagiankontinuitas akan dipelajari tentang kontinuitas berbagai macam fungsi dalampenggambarannya pada sebuah grafik.

Fungsi dan limit merupakan konsep dasar dalam kalkulus. Pada bagianselanjutnya, yaitu !ifferensial dan "ntegral, #nda akan mengerti bagaimanalimit memegang peranan penting dalam menjelaskan suatu konsepmatematika. $ntuk itu perlu penguasaan yang baik untuk bagian 2 ini.

%ompetensi yang diharapkan setelah menyelesaikan bagian 2 Fungsi danLimit adalah #nda diharapkan mampu &'. Melakukan operasi fungsi, meliputi penjumlahan, perkalian,

pengurangan, dan pembagian2. Menghitung komposisi fungsi(. Melukiskan grafik fungsi pada bidang koordinat kartesius). Menerapkan ) teknik perhitungan limit untuk berbagai macam fungsi

*. Menghitung kontinuitas fungsi

2.1 Pendahuluan

Matriks adalah susunan bilangan +riil atau komplek dalam persegi panjang

yang dibatasi oleh tanda kurung siku atau tanda kurung biasa.

/ontoh &

[ ] aaa ; dc

ba ;

4

0 ;

035

842321

−

ordo matriks adalah banyak susunan bilangan hori0ontal dan 1ertikal. suatu

matriks dikatakan ber-ordo ( ) jika matriks tersebut mempunyai ( baris

garis hori0ontal dan ) kolom garis 1ertikal

/ontoh &

lk ji

hgf e

dc ba

⇒ matriks berordo ( baris ) kolom atau matriks ( )

Notasi matriks

Matematika Teknik 3\Matriks dan Determinan 13



Masing-masing elemen suatu matriks memiliki tempat yang dapat ditentukan

dengan menggunakan sistem 2 indeks. "ndeks pertama menyatakan baris dan

"ndeks kedua menyatakan kolom. 3ika ada matrik # 4 [ ] maka elemen a((

menunjukkan elemen yang terletak pada baris yang ketiga dan kolom ketiga.

Bilangan m dan n dikatakan sebagai unsur entri dari matriks # atau elemen

matriks #. 5aris horisontal disebut sebagai baris atau 1ektor baris

!engan demikian suatu matriks # berikut

# 4

44333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

dapat dinyatakan dengan 6 a ij 7 atau 6 amn 7 atau 6 a 7

atau # saja

erupa dengan itu, matriks B 4

3

2

1

x

x

x

dapat dinyatakan dengan 6 i 7 atau 6 7

atau 8 saja.

Kesamaan Matriks!ua matriks # 4 6 a jk 7 dan B 4 6 b jk 7 dikatakan sama jika dan hanya jika # B

mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama serta mempunyai unsur-unsur

yang bersesuaian dengan letak yang sama pula. %edua matriks harus

mempunyai orde yang sama

/ontoh &

232221

131211

aaa

aaa 4

732

5611 kedua matriks tersebut dikatakan

sama

Maka & a'' 4 '', a2' 4 2 dan seterusnya

!emikian demikian, jika 6 aij 7 4 6 ij 7, maka aij 4 ij untuk semua harga i dan j.

Jenis Matriks

Matriks Bujursangkar

Matriks bujursangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom

sama atau dengan kata lain matriks tersebut adalah matriks yang berorde m

m.




/ontoh &

475

782

521

matriks bujur sangkar 6 a ij 7 disebut simetrik jika a ij 4 a ji, yaitu

matriks tersebut simetris terhadap diagonal utamanya. diagonal utama adalah

diagonal yang membuat unsur a'' , a22 , a(( dan seterusnya atau aii .Perhatikan

bah9a disini berlaku # 4 #:. Matriks bujur sangkar 6 aij 7 disebut +anti simetris,

jika aij 4 - aij seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut.

/ontoh &

−−

−

095

902

520

Matriks !iagonal

Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua unsurnya sama

dengan nol kecuali unsur yang terletak pada diagonal utamanya.

/ontoh &

400

030

001

Matriks satuan

Matriks adalah matrik bujur sangkar yang semua unsur pada diagonal

utamanya sama dengan ' satu sedangkan unsur lainnya sama dengan nol.

/ontoh &

100

010

001

atau

10

01 matriks satuan dinyatakan dengan "

idenstitas

ifat penting untuk matriks " adalah & # 4

697

831

425

dan " 4

100

010

001

maka

# . " 4

697

831

425




erupa dengan itu, jika bentuknya perkalian ".# diperoleh #." 4 ".# jadi sifat

matriks satuan " sangat mirip dengan bilangan satu dalam ilmu hitungan

aljabar biasa.

Matriks ;ol

adalah martriks yang semua unsurnya sama dengan nol

contoh &

000

000

000

sering dinyatakan dengan < atau cukup < nol saja

jika #.B 4 <, kita tidak dapat menarik kesimpulan bah9a # 4 < atau B 4 <,

karena jika # 4

−

−

936

312 , B 4

−

42

64

91

jika #.B 4

=

−+−+−++−+−+−++

00

00

)36()18(54)18(126

)12()6(18)6(42

maka jelas bah9a # . B 4 <, tetapi # ≠ < dan B ≠ <

Matriks egi :igaMatriks segitiga adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur atau elemen

yang letaknya diba9ah atau diatas diagonal utama sama denga nol. 3ika

elemen nol terletak diba9ah diagonal utama → matriks segitiga atas. 3ika

elemen nol terletak diatas diagonal utama → matriks segitiga ba9ah

contoh &

315

021

004

700

420

612

matriks . diba9ah Matriks . diatas

Matriks imetri

adalah matriks bjur sangkar yang memenuhi sifat #: 4 #. jika #: 4 -# maka #

disebut materiks tak simetri

/ontoh &

# 4

−−

−

173

705

352

B 4

051

532

121




Matriks tak simetri Matriks simetri

Latihan Soal 2.1etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatihdiri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir yang benar. elamat berlatih...===

'. :entukan domain dan range dari fungsi x y =

2. :entukan selang domain dari fungsi)43(

12 −−

= x x

y

(. :entukan selang domain dan range yang mungkin dari fungsi

)472(

12 −−

= x x

y

). :entukan domain dan range dari fungsi 22−= x y

2.2 Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Martriks

#gar dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan, maka kedua matriks

tersebut harus memiliki orde yang sama. 3umlah atau selisih dari kedua

matriks tersebut dapt diperoleh dengan menambahkan atau mengurangkan

elemen yang bersesuaian.

/ontoh &

=

+++

+++=

+

11118

12105

475635

938214

453

981

765

324

−−

=

−−−−−−−

=

−

−

1367

1123

)5(810429

1127536

5102

173

849

1256

ifat penjumlahan matriksa # > B 4 B > #

b u > 1 > 9 4 u > 1 > 9

c # > < 4 #

d # > -# 4 <

Perkalian Matriks

#. Perkalian kalar




Perkalian sebuah matriks # dengan sebuah bilangan skalar, k akan

menghasilkan sebuah matriks baru, B yang unsur-unsurnya diperoleh dengan

mengalikan # dengan k → k.# 4 B

/ontoh &

)

=

28424

20812

716

523

ecara umum 4 k 6 aij 7 4 6 k.aij 7

Perkalian skalar dapat pula dinyatakan dengan mengeluarkan suatu faktor

yang sama dari setiap unsur.

B. Perkalian !ua Matriks

!ua buah matriks dapat dikalikan satu terhadap lainnya jika banyaknya kolon

dalam matriks yang pertama sama dengan banyaknya baris dalam matriks

yang kedua.

/ontoh&

# 4 6 aij 7 4

232221

131211

aaa

aaa dan B 4 6 bi 7 4

3

2

1

b

b

b

Maka a.b 4

232221

131211

aaa

aaa.

3

2

1

b

b

b

4

++++

323222121

313212111

...

...

bababa

bababa

3ika matriks # 4

132

674 dan matriks B 4

9

5

8

2 ( ( 'Maka perkalian matriks # dan matriks B adalah

# . B 4

=

++++

40

121

91516

543532

Perhatikan bah9a perkalian matriks ordo 2 ( dengan matriks orde ( '

akan menghasilkan matriks berorde 2 '

?rde 2 ( . orde ( ' → orde 2 '

ama




ecara umum, perkalian matriks orde L m dengan matriks m n akan

menghasilkan matriks berorde L n . Perhatikan bah9a dalam perkalian

dua buah matriks # . B ≠ B . #, yaitu perkalian matriks non komutatif. $rutan

faktor dalam perkalian matriks sangatlah penting

3ika # 4

13

47

25

dan B 4

− 632

429

Maka #.B 4

++−+

++−+++−+

61236)2(29

24281214)8(63

1220610)4(45

,

B.# 4

++−++−

++++612)4(1821)10(

4818121445

ifat perkalian matriks

a k#.B 4 k #.B 4 # kB

b # B/ 4 #B /

c # > B / 4 #/ > B/

d / # > B 4 /# > /B

Tranpose Matriks

:ranpose matriks adalah jika baris dan kolom suatu matriks dipertukarkan,

yaitu baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom

kedua, baris ketiga menjadi kolom ketiga dan seterusnya. Matriks yang baru

terbentuk disebut +tranpose dari matriks semula. 3ika matriks semula adalah

matriks #, maka tranposenya dinyatakan dengan # atau #:

/ontoh &

3ika # 4

52

97

64

, maka #: 4

596

274 ordo # ( 2 → #: 2 (


'. Lakukan operasi terhadap fungsi 2)( += x x f dan 2)( += x x g




2. Berdasarkan soal ', lakukan operasi terhadap fungsi 2)( += x x g dan2)( += x x f

(. Berdasarkan fungsi yang diberikan dalam soal no. ', lakukan operasikomposisi fungsi.). Berdasarkan soal no. ', carilah nilai f yang mungkin untuk nilai 4 2,

4 ), dan 4 @*. Berdasarkan soal no. (, carilan nilai hasil komposisi fungsi jika diberikan

nilai 4 2, 4 ), dan 4 @

2.3 Grafik Fungsi

5rafik sebuah fungsi f pada bidang A y didefinisikan sebagai lukisan

persamaan y 4 f pada bidang tersebut./ontoh 2.)5ambarkan grafik fungsi y 4 > 2 dan grafik fungsi y 4

ranslasi

/ontoh 2.*!iberikan fungsi y 4 f 4 2.

Fungsi a9al f 4 2 jika ditambahkan konstanta 2 pada f menjadi fungsibaru f4 2 > 2.




Fungsi a9al f 4 2 , ditambahkan konstanta 2 pada menjadi fungsi baruf 4 > 22

!efleksi

/ontoh 2.@!iberikan fungsi y 4 f 4 √

3ika diberikan fungsi a9al f 4 C, maka perkalian f dengan A' membuat

fungsi baru f4 -C.

:ranslasi dan refleksi dinamakan transformasi kaku karena operasi tersebuttidak merubah bentuk grafik hanya merubah letak grafik. #da operasi yangdisebut operasi skala yang merubah bentuk dari grafik, terutama untukpersamaan-persamaan fungsi trigonometri.

"#i Garis $ertikal

ebuah kur1a dalam bidang A y adalah grafik fungsi y 4 f untuk beberapafungsi f jika dan hanya jika tidak ada garis 1ertikal yang memotong kur1a

tersebut lebih dari ' kali.




$ji garis 1ertikal terutama untuk menentukan apakah fungsi masih tetap sama jika dilakukan penulisan dalam bentuk yang lain./ontoh 2.D

"#i Garis %ori&ontal

ebuah kur1a dalam bidang - y adalah grafik fungsi 4 gy untuk beberapafungsi gy jika dan hanya jika tidak ada garis hori0ontal yang memotongkur1a tersebut lebih dari ' kali.

eperti halnya uji garis 1ertikal, uji garis hori0ontal digunakan untuk melihatapakah fungsi masih tetap sama jika ditulis dalam bentuk yang lain. /ontohberikut akan menjelaskan kepada #nda, bagaimana uji garis hori0ontaldigunakan untuk melihat fungsi tetap sama atau tidak jika ditulis dalam bentukyang lain.

/ontoh 2.E





'. Lukiskan grafik fungsi y 4 ( dan gambarkan fungsi tersebut jikaditranslasikan sejauh 4 2

2. ama dengan soal satu, tapi ditranslasikan sejauh 4 )

2.' Limit (Pendahuluan)

!ua masalah dasar yang dipelajari dalam Calculus adalah garis singgung danluas. !alam geometri bidang, sebuah garis disebut garis singgung padalingkaran jika garis tersebut bertemu lingkaran hanya pada satu titik gambar a. Bagaimanapun pengertian ini tidak memuaskan untuk kur1a-kur1a yanglain. Pada gambar b garis bertemu kur1a tepat satu titik tapi bukan garissinggung. Pada gambar c garis bertemu lebih dari satu titik.

Garis singgung se*agai limit

a b c




$ntuk mendefinisikan konsep sebuah garis singgung yang dipakai dalampenerapannya di kur1a atau lingkaran kita harus memandang pengertian garissinggung dengan cara lain.

#nggap sebuah titik P pada kur1a di bidang A y. 3ika adalah sembarangtitik pada kur1a yang berbeda dengan P, garis yang menghubungkan P dan disebut garis potong (secant line) untuk kur1a tersebut. Gal ini menandakanbah9a jika kita memindahkan titik sepanjang kur1a menuju P, garis potongkita anggap menjadi garis singgung pada titik P.

Luas se*agai Limit.

Luas dari beberapa bidang dapat dihitung dengan membagi lagi bidangtersebut dalam bilangan tertentu beberapa segiempat atau segitiga lalumenjumlahkannya.

%ita dapat menghitung luas di ba9ah kur1a dengan cara membagi denganbeberapaHbanyak segiempat. elain itu jika kita mengulang prosespenggunaan segiempat lebih banyak lagi akan cenderung untuk mengisi

kekosongan di ba9ah kur1a dan perkiraan kita akan mendekati luas eksak diba9ah kur1a sebagai suatu nilai limit.




+otasi limit

Situasi matematika Notasi Cara membaca

;ilai f mendekati l' dimana didekati dari sisi kanan

Limit f 4 l'I o

>Limit f sama dengan l' dimana menuju dari sisikanan

;ilai f mendekati l2 dimana didekati dari sisi kiri

Limit f 4 l2I o

ALimit f sama dengan l2 dimana menuju dari sisikiri

;ilai f mendekati l dimana didekati dari sisi kiri dan sisi kanan

Limit f 4 Limit f 4 lI > I A

Limit f 4 lI o

Limit f sama dengan l2 dimana menuju

Beberapa contoh berikut ini akan menambah pengertian akan limit.

/ontoh 2.J

f(x) =2

42

−

−

x

x

Nilai x Nilai f(x) Nilai x Nilai f(x)

<,< 2,< 2,< ?

<,* 2,* 2,<<<' ),<<<'',< (,< 2,<<' ),<<'',* (,* 2,<' ),<'',@ (,@ 2,' ),'',D (,D 2,* ),*',E (,E (,< *,<',J (,J (,* *,*

',JJ (,JJ',JJJ (,JJJ

',JJJJ (,JJJJ




/ontoh 2.'<

f 4 in

x

π

Nilai x (radian Nilai !(x

' in K 4 <<,' in '< K 4 <<,<' in '<< K 4 <<,<<' in '<<< K 4 <<,<<<' in '<<<<K 4 <............. .........................-' in A K 4 <-<,' in A '<K 4 <-<,<' in A '<<K 4 <-<,<<' in A '<<<K 4 <-<,<<<' in A '<<<<K 4 <

Latihan Soal 2.'etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatihdiri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir yang benar. elamat berlatih...===

'. $ntuk grafik fungsi y 4 f seperti pada gambar, tentukan&

a. )(lim3

x f x −→

b. )(lim3

x f x +→

c. )(lim3

x f x→ d. )3( f

e. )(lim x f x ≈−→ f. )(lim x f

x ≈+→

2. $ntuk grafik fungsi berikut, tentukan&

a. )(lim2

x x

φ −−→

b. )(lim4

x x

φ +→

c. )(lim4

x x

φ →

d. )4(φ

e. )(lim x x

φ ≈−→

f. )(lim x x

φ ≈+→

2., eknik Perhitungan Limit




Pada bagian sebelumnya kita telah mempelajari bagaimana interpretasi limitterhadap sebuah grafik. Pada bagian ini kita akan menentukan nilai limitsebuah fungsi berdasarkan rumus langsung.

Dasar- dasar limit

lim k 4 k lim 4 aI a I a

lim k 4 k lim 4 > ≈I > ≈ I > ≈

lim k 4 k lim 4 - ≈ I - ≈ I - ≈

:eorema &!iberikan limit yang berlaku untuk &lim lim lim lima a- >≈ -≈

3ika l'4 lim f dan l2 4 lim g ada, maka &a. lim 6f > g74lim f > lim g 4 l'>l2

b. lim 6f - g74lim f - lim g 4 l'-l2

c. lim 6f . g74lim f . lim g 4 l'.l2


limit k = k

x a

limit k = k

x

limit k = k

x !



d. lim)(

)(

x g

x f 4

)(lim

)(lim

x g

x f 4

2

1

l

l , jika l2 <

e. lim n√f 4 n√lim f 4 n√l', asal l'N<, jika n genap.

/ontoh 2.'':entukan lim 2-)>(

I*

Penyelesaian&lim 2 - ) >( 4 lim 2 - lim ) > lim (I* I* I* I*

4 *2

-).*>(4 E

Bentuk Limit #da beberapa bentuk limit yang kita kenal, yaitu &

1. Limit Polynominal $ntuk sembarang fungsi polynominal berbentuk &

P4/<> /'> /22> ..... > /nn dan sembarang bilangan real a, maka&

Lim P4/<> /'> /22> ..... > /nn 4 Pa

→a2. Limit berbentuk l/x

Lim 'H-a4 >O lim 'H-a4 <Ia> I>O

Lim 'H-a4 -O lim 'H-a4 <Ia> I-O

3. Limit Polynominal berbentuk x→+~ atau x→-~

lim n 4 >O n 4 ',2,(,...I>O

lim n 4 >O n 4 2,),@,...I-O

lim n 4 -O n 4 ',(,*,...I-O

lim 'Hn 4lim 'Hn 4 <I>O I>O

lim 'Hn 4lim 'Hn 4 <I-O I-O

lim /<> /'> /22> ..... > /nn 4 lim /nn




I>O I>O

Lim /<> /'> /22> ..... > /nn 4 lim /nn

I-O I-O

4. Limit un!si "asional berbentuk x→a

#. Limit un!si "asional berbentuk x→+~ atau x→-~

Latihan Soal 2.,etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatihdiri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir yang benar. elamat berlatih...===

'. Gitung52lim x

x ≈+→

2. Gitung52lim x

x ≈−→

(. Gitung67lim x

x−

≈+→

). Gitung67lim x

x−

≈−→

2.- Limit (Pendekatan ang Le*ih eliti)Pada bagian a9al telah dibicarakan limit secara tidak formal yang diartikansebagai &

lim !(x " #x$a

untuk menyatakan bah9a nilai f mendekati L selama mendekati a darikedua sisi tetapi berlainan dengan a.

Bagaimana pun kata !(a mendekati # dan x mendekati a hanyalah instuisitanpa defenisi limit tersebut menjadi tepat. :ujuan kita adalah membuatdefinisi limit tersebut menjadi tepat. %arena konsep tentang limit adalah rumit,maka definisi tentang limit akan dikembangkan dalam tahap-tahap denganpertama-tama memberikan dua defenisi pendahuluan tentang limit. Masing-masing sangat berguna yang akan menjadi gagasan dasar limit.

$ntuk mengarah pada definisi yang tepat tentang limit pandanglah fungsi fyang grafiknya terlukis sebagai berikut &




%ita memang sengaja meletakkan tanda pada grafik pada 4 a untukmenegaskan bah9a fungsi f tidak perlu didefinisikan pada titik dalamdiskusi selanjutnya. $ntuk grafik fungsi pada gambar kita mengerti limitmemberikan kesan bah9a f mendekati " pada mendekati a. "nimemberikan pengertian bah9a jika memilih bilangan positif sembarang, kitanamakan dan membangun sebuah inter1al terbuka pada sumbu yang

memperpanjang nilai di atas dan di ba9ah ' gambar b. Lalu nilai f akan jatuh terbatas dalam inter1al ' A , ' > dimana mendekati a dari keduasisi.

De$inisi %&al Pertama

Misalkan f terdefinisi untuk setiap dalam inter1al terbuka yang terdapatbilangan a dengan pengecualian yang mungkin bah9a f tidak bolehterdefinisi pada a, kita akan menyatakan &

Lim f 4 'Ia

3ika diberikan sembarang bilangan N < kita dapat menemukan sebuahinter1al terbuka ,' sedemikian sehingga terdapat titik a yang mana fmemenuhi &

' A Q f Q ' > ............................... '

untuk setiap dalam inter1al ,', kemungkinan pengecualian pada 4 a.Gal tersebut berarti bah9a berlaku untuk &

,a $ a, .......................................... 2

De$inisi %&al 'edua

Misalkan f terdefenisi untuk setiap dalam inter1ak terbuka yang terdapatbilangan a dengan pengcualian yang mungkin bah9a f tidak bolehterdefinisi sebagai a, kita akan menyatakan &

Lim f 4 'Ia

3ika diberikan sembarang bilangan N < kita dapat menemukan sebuahbilangan R N < sedemikian sehingga f memenuhi &

' A Q f Q ' > ................................................... (

Persamaan ', 2, ( kita nyatakan &6 f - ' 7 Q




< Q 6-a7 Q R

De$inisi Limit

Misalkan f terdefinisi untuk setiap dalam inter1al terbuka yang terdapatbilangan a dengan pengecualian yang mungkin bah9a f tidak bolehterdefinisi pada a, kita akan menyatakan &

Lim f 4 'Ia

3ika diberikan sembarang bilangan N < kita dapat menemukan sebuahbilangan R N < sedemikian sehingga f memenuhi&

6 f - ' 7 Q jika memenuhi < Q 6-a7 Q R

/ontoh 2.'2

Buktikan bah9a 21

lim2"1

=→ x x

Penyelesaian&

3ika diberikan nilai ε N <, maka ada nilai δ N < sehingga berlaku

ε <− 2)"1( x jika δ <−< 2"10 x

21

21 "2"2)2"1)("2(2)"1( −=−=−=− x x x x x x x

#tau

ε <− 2

1

"2 x x jikaδ <−<

2"10 x

Latihan Soal 2.-etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatihdiri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir himpunan penyelesaian yangbenar. elamat berlatih...===

'. Buktikan bah9a 153lim5

=→

x x

2. Buktikan bah9a 22lim 2

1=

→

x x

(. Buktikan bah9a 3)72(lim2

−=−→

x x

2./ 0ontinuitas

ebuah fungsi f dikatakan kontinu pada titik /, jika kondisi berikutsemuanya terpenuhi.




'. f terdefenisi pada /

2. Lim f ada

I/(. Lim f 4 f/

I/

3ika satu atau lebih kondisi dalam definisi tidak dipenuhi maka f dikatakandiskontinu di / dan / dinamakan titik diskontinu fungsi f. 3ika f kontinudisemua titik pada inter1al terbuka a,b maka f dikatakan kontinu padaa,b. ebuah fungsi yang kontinu pada - S, > S dikatakan kontinu di setiaptempat.

/ontoh 2.'(

elidikilah apakah fungsi f 42

)4(

2

−−

x x kontinu pada titik 4 2

Penyelesaian&

)22(

)42()2(

2

−−

= f 4 tidak terdefinisi

4)2(

)2)(2(lim)(lim

22=

−+−

=→→ x

x x x f

x x

)(lim)2(2

x f f x→

≠ , jadi fungsi f diskontinu pada titik 2.

'ontinuitas un!si Polynominal :eorema & jika f dan g kontinu di /, maka &a. f > g adalah kontinu di /b. f A g adalah kontinu di /c. f . g adalah kontinu di /d. f H g adalah kontinu di / jika g <

'ontinuitas un!si "asional :eorema '&ebuah fungsi rasional adalah kontinu disembarang nilai kecuali pada titik

dimana penyebutnya bernilai <.

:eorema 2 &Misalkan limit berlaku untuk limit A limit berikut &lim lim lim lim limI/ I/> I/- I>S I- S3ika limit g 4' dan jika fungsif kontinu di ', maka lim fg 4 f',

:eorema ( &3ika fungsi g kontinu di titik / dan f kontinu di titik g/ maka fungsi komposisifog kontinu di /.

'ontinuitas un!si Dari 'iri 'e 'anan




!efinisi ' &ebuah fungsi dikatakan kontinu dari kiri ke kanan pada titik / dan dikatakankontinu dari kanan pada titik / jika kondisi berikut dipenuhi &

'. ;ilai f pada / ada2. lim f ada lim f ada

I/- I/>

(. lim f 4 f/ lim f 4 f/I/- I/>

!efinisi 2 &ebuah fungsi f dikatakan kontinu pada inter1al tertutup 6a,b7 jika kondisiberikut terpenuhi &'. f kontinu pada a,b2. f kontinu dari kanan di a(. f kontinu dari kiri di b

/ontoh 2.')elidiki apakah fungsi f 4 )9(

2 x− kontinu pada selang 6-(,(7

Penyelesaian&'. lim f 4 lim CJ A 2 I/ I/

4 Clim J A 2

I/4 CJ A 24 f/

2. lim f 4 lim CJ A 2 I/ I(-

4 Clim J A 2 I(-

4 CJ A -(24 < 4 f(

(. lim f 4 lim CJ A 2

I/ I(>

4 Clim J A 2 I(>

4 CJ A (24 < 4 f-(

!ari penyelesaian di atas langkah ' sampai ( dapat disimpulkan bah9afungsi f kontinu pada selang 6-(, (7.

Latihan Soal 2./etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatih

diri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir yang benar. elamat berlatih...===




$ntuk soal ' dan 2, carilah titik dimana fungsi f diskontinu, jika ada

'. 1)( 2 += x

x x f

2.

>+

≤+=

4.....#.........16

7

4.....#.........32)(

x x

x x x f

(. /arilah nilai a dan b sehingga fungsi

≥

<≤+

<+

=

2..............3

21.....

1............1

)(

x x

xbax

x x

x f kontinu

2. Limit dan 0ontinuitas Fungsi rigonometri

Limit dan kontinuitas dapat digunakan untuk fungsi trigonometri. Pengerjaan

sama seperti perhitungan limit. Pengetahuan tambahan yang perlu diingat

kembali adalah persamaan identitas fungsi trigonometri.

/ontoh 2.'*Gitunglah limit sin / > h untuk nilai h mendekati <.

Penyelesaianlim in / > h 4 lim in /. /os h > /os /. in hhI< hI<

4 lim in /. /os h > lim /os /. in h hI< hI<

4 in /. lim /os h > /os /.lim in h hI< hI<

4 in / ' > /os / <

4 in /

/ontoh 2.'@

Gitung x

x

x

ta$lim

0→

Penyelesaian&

11.1c%&

1.

&i$lim

ta$lim

00==

=

→→ x x

x

x

x

x x

/ontoh 2.'D

Gitung x

x

x 5&i$

3&i$lim

0→




Penyelesaian&

5

3

1.5

1.3

5

5&i$.5

33&i$.3

lim5&i$

3&i$lim

5&i$

3&i$lim

000====

→→→

x

x x x

x

x x

x

x

x

x x x

Latihan Soal 2.etelah #nda selesai mempelajari materi di atas, kini saatnya untuk melatihdiri mengerjakan soal-soal berikut. Buatlah penyelesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja9aban akhir himpunan penyelesaian yangbenar. elamat berlatih...===

$ntuk soal ' dan 2, carilah titik diskontinu fungsi jika ada

'. x y c%&=2. x y &ec=

bag_2 fungsi & limit_revised

Documents