distribusi tegangan i

Upload: ramousriefqy

Post on 10-Feb-2018

247 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    1/30

    BAB VIDISTRIBUSI TE,GANGANDIDALAM TANAH

    6.l PENDAHULUANHitungan tegangan-tegangan yang terjadi di dalam tanah bergunauntuk analisis tegangan-regangan (stress-strain) dan penurunan(settlement). Sifat-sifat tegangan-regangan dan penurunan bergantungpada sifat tanah bila mengalami pembebanan. Dalam hitungan

    tegangan di dalam tanah, tanah dianggap bersifat elastis, homogen,isotropis, dan terdapat hubungan linier antara tegangan dan regangan.

    Tegangan yang terjadi di dalam massa tanah dapat disebabkanoleh beban yang bekerja di permukaan atau oleh beban akibat beratsendiri tanah. Tegangan yang berasal dari beban di permukaan tanahberkurang bila kedalaman bertambah. Sebaliknya, tegangan yangberasal dari berat sendiri tanah bertambah bila kedalamannyabertambah.

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    2/30

    Dalam Persamaan (6.1), bila pembebanan yang mengakibatkanpenurunan, terjadi pada kondisi tanpa drainasi (undrained), ataup"rrruru, tedadi pada volume konstan, maka AVIV = 0' Dalamkondisi ini, angka Poisson lt = 0,5. Jika pembebanan menyebabkanperubahan volume (seperti contohnya penumnan akibat proseskonsolidasi) sehingga AVIV> 0, maka lt

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    3/30

    Teori Boussinesq (1885) untuk tambahan tegangan vertikal akibatbeban titik dianalisis dengan meninjau sistem tegangan pada koordinatsilinder (Gambar 6.1). Dalam teori ini tambahan tegangan vertikal(Ao,) pada suatu titik A di dalam tanah akibat beban titik 0 dipermukaan dinyatakan oleh persamaan:oo.=#ft;1" (6.2)Tambahan tegangan mendatar dalam arah radial :

    n6'=Q( -3'2-z-'--. =l-'\ ."=l fu'"2"[ ,2 + z21st2 ,, + r, + r(r, + rr)t,, )Tambahan tegangan mendatar arah tangensial :Lo,= - 9 1r-rur(----:-- 2n' '[(r' * ,')t'' J ,uo,,'+r'+,(r'+r')'''

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    4/30

    Jarck &ti puffil tuban, r (m)

    1m2n3m

    Gambar 6.lb Distribusi tegangan akibat beban titik Q.Tegangan geser:

    + r')t'' (6.s)Bila p = 0,50, maka suku persamaan kedua dari Persamaan (6'3)sama dengan nol, dan pada Persamaan (6.4), nilai oe = 0. Jika faktorpengaruh untuk beban titik untuk teori Boussinesq didefinisikansebagai:

    2r[,=Q2nxrz

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    5/30

    -0 0.5 1.0 1.5 2.O 2.5 3.Orlz

    Gambar 62 Faktor pengaruh untuk beban titik didasarkan teori Boussittesq(lil dan teori Westergaard (I) (Ta:tlor, 1948).Intensitas tambahan tegangan vertikal (Ao,) akibat beban titlk Qpada kedalaman tertentu diperlihatkan secara skematis dengan garispatah-patah dalam Gambar 6.Lb. Jika titik-titik dengan tambahan

    tegangan yang sama dihubungkan, maka akan dihasilkan gelembungtegangan Qtressure bulb) atau isobar tegangan, seperti yangditunjukkan sebagai garis-garis penuh. Dalam satu kurva gelembungtegangan Ao, bernilai sama.

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    6/30

    Penyelesaian:

    Itzlg-- -+- - a-- -.-----

    Gambar C6.1.(a) Untuk menentukan tegangan vertikal akibat tiap beban, perludihitung lebih dulu nilai rlz sebelum menentukan 1. Tegangan vertikaldihitung dengan persamaan :

    Lo,= +rBzPenyelesaian selanjutnya dilakukan dalam Tabel C6.1. Teganganyang ditinjau adalah pada kedalarn t z=2,5 m.Tabel C6.1.

    z=2.5m khl

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    7/30

    Beban kolom 3: Q = 320 kNTitik t rlz. In Ao, (kN/m2)I

    2-1

    642

    2,41,60,8

    0,0040,0200,139

    0,21,07,r

    Tegangan vertikal akibat beban kolom pada sembarang titik adalah:Titik 1; Ao, = 14,2 + 3,6 + 0,2 =18,0 kN/mz2; Lo, =2,I + 12,2 + 1,0 = 15,3 kN/m'?3; Lo, = 0,4 + 3,6 +'7,1 = 11,1 kN/m2(b)Tekanan overburden pada kedalaman 2,5 m:

    oz- 4a= 2,5 x 18 = 45 kN/m2Tegangan total akibat kolom dan tekanan overburden, adalah jurnlahdari Ao, dari masing-masing titik dengan tekanan overburden padakedalaman z=2,5 m, yaitu:Titik 1; oz(total) =45 + 18,0 = 63,0 kN/m22; o.(total) = 45 + 15,3 = 60,3 kN/m23; o,(total) = 45 + 11,1 = 56,1 kN/m2

    Karena hitungan tegangan dengan menggunakan teori Boussinesqmengabaikan berat tanahnya sendiri, untuk menghitung teganganvertikal yang sebenarnya terjadi di dalam tanah, tegangan akibat

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    8/30

    r= 1rn

    z (m)

    o= 1000 kN Aoz (kN/rrf)'I23

    Gambar C6.2.Tabel C6.2

    z(m)r=0m r=Lm

    oo. =4P x0,478zftN/m2)

    rlz Is 1000Lo- = , xl,zGN/m10,0

    0,5 t912 i,o 00,009 036,0084,00

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    9/30

    Penyelesaian:Faktor pengaruh 16 =

    Contoh soal6.3:Akibat pengaruh beban titik sebesar 2000 kN di permukaan tanah,gambarkan garis yang menunjukkan tempat kedudukan titiktitikdengan tegangan vertikal yang sama dengan Lo,= 4 kN/m2.

    Dengan nilai z yang divariasikan, dapat dihitung faktor pengaruh Is.Dari nilai 16 lang telah dihitung, dapat ditentukan rilai rlz, denganmenggunakan grafik Gambar 6.2 ataa dengan cara menghitungnya.Untuk contoh ini, nilai r/z diperoleh dari Persamaan (6.6). Hasilnyadapat dilihat pada Tabel C6.3. Selanjutnya, hubungan nllai z dara rdapat digambarkan.Perhatikan, pada r = 0, di mana garis tegangan memotong sumbu-2,nilai 1a = 0,478. Pada kondisi ini:z = (500 xo,478)r/2 = I5,4 m di bawah muka tanah.Tabel C6.3

    Kedalaman (z)(m) Is r/zr

    (m)0,51,0

    0,00050,0023,752,84

    1,882,84

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    10/30

    Q = 2000 kN24 6

    Ao, = 4 kN/#

    Gambar C6.3.6.2.2Beban Garis

    Tambahan tegangan akibat beban garis Q per satuan panjang(Gambar 6.3) pada sembarang titik di dalam tanah dinyatakan olehpersamaan-persarnaan berikut ini,

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    11/30

    Lo*= 2Q -x'z - 'n 1x' + z')'Tegangan geser:

    6.2.3 Beban Terbagi Rata Berbentuk Lajur MemanjangTambahan tegangan pada titik A di dalam tanah akibat bebanfondasi fleksibel terbagi rata q yang berbentuk lajur memanjang(Gambar 6.4) di permukaan dinyatakan oleh persamaan-persamaanberikut ini.

    Tambahan tegangan vertikal pada arah sumbu-z:

    Lo,= L(a+ sinacos2p)ltTambahan tegangan mendatar arah sumbu-x:

    Ao* = L(o -sincvcos2p)?tTegangan geser:

    (6.11)

    (6.e)

    (6.10)

    (6.t2)

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    12/30

    Iz1

    Gambar 6.4 Tambahan tegangan akibat terbagi rata berbentuk laiurmemanjang fleksibel.

    Fonhsi tajur mctunjng F S -,1 F- I -l Fo.ldesi tuiharrykarirrrrrrq rrrrrrrdo ,a4, -3E-----9--

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    13/30

    Contoh soal6.4:Sebuah fondasi berbentuk lajur memanjang dengan lebar 2 metermendukung beban terbagi rata sebesar 250 kN/m'. Fondasi terletakpada lapisan pasir jenuh dengan |,ut = 19,81 kNi# dan Ko = 0,40.Tentukan besarnya tegangan vertikal efektif dan tegangan arahmendatar efektif pada titik di kedalaman 3 m di bawah pusat fondasi,sebelum dan sesudah pembebanan (lihat GambarC6.4).Penyelesaian:

    B--2ml#lg = 250 kNh2

    m.a.t

    K"= O,4.ya= 19,81 kN/ni

    Gambar C6.4.Sebelum pembebanan, tegangan akibat berat tanahnya sendiri, adalah

    o,' = z n( = z({rrr-Y*) = 3 x (19,81 - 9,8 1) = 30 kN/m2

    OzIIai+fi'

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    14/30

    Ao* = L(o -sinacos 2B)7E250- -1U,643-0,60x I) =3,4kN/m'z1tJadi, tegangan efektif yang terjadi pada a = 3 m akibat beban terbagirata dan berat tanah adalah:

    6,' = 30 + 99 = 129 kN/m2o*' = 12 * 3,4 = 15,4 kN/m2

    6.2.4Beban Terbagi Rata Berbentuk Empat Persegi PanjangTambahan tegangan vertikal akibat beban terbagi rata berbentuk

    empat persegi panjang fleksibel, dengan ukuran panjang L danlebar B(Gambar 6.6), dapat dihitung dengan menggunakan persamaan yangdiperoleh dari hasil penjabaran teori Boussinesq, sebagai berikut:,/ E=n ,-_-----a

    v

    it,,..'I

    rata berbentuk empatambar 6.6 Tegangan di bawah beban terbagi

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    15/30

    0.6 r 2 34 6 8tOo.8 o.8

    m=B/zn=uzm dan n dapat ditukarkan

    o.ot 0.02 0.04 0.1 0.0.2 0.3

    / 0.1

    0.140.r2

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    16/30

    tegangan verlikal di bawah titik X dan titik I (Gambar 6.8). Untuk inidapat dilakukan cara sebagai berikut:Lo r@) = Lo r(xrnD I Lo 4xrca a A,o 4xcDn) + Lo rlxctrlLo rrr, - Lo r(r,ur) * Lo r(rron - Lo rr,o*, - Lo ,rrrr,

    L

    J-_-_---_ic'JGambar 6.8 Hitungan tambahan tegangan vertikal disembarang titik akibatbeban terbagi rata empat persegi panjang.Contoh soal6,5:Fondasi empat persegi panjang dengan ukuran 3m x 4m mengalamipembebanan terbagi rata sebesar 120 kN/m2(Gambar C6.5).(a) Hitung tambahan tegangan akibat beban fondasi pada sudut luasan

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    17/30

    Penyelesainn:(a) B =3mL =4m

    z =2mm = B/Z=312=1,5n =Uz =412=2Dari diagram pada Gambar 6.7, diperoleh I = 0,222Lo, = qI =I20x0,222=26,64kJ:{lfif(&) Untuk menentukan tambahan tegangan vertikal di pusat beban,luasan fondasi dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Dengandemikian, ukuran masing-masing luasan adalah 1,5 m x 2 m.B =1,5mL =2mz =2mm =B/Z=1,512=0,75n =Uz =212=l

    Dengan menggunakan diagram pada Gambar 6.7, diperoleh 1=o,157Jadi, tambahan tegangan di pusat luasan fondasi:

    Lo.- - 4xqxI= 4 x l20x 0,157 = 7 5,4kN/m'z

    Contoh soal6.6:

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    18/30

    G gm 6mGambar C6.6.

    Tabel C6.4Luasan L(m) m=Uz B(m) n=B/z T Lo. =qlftN/m2)ABCDADEFAFGH

    6JJ

    422

    4,54,53,0

    332

    0,24540,23750,2325

    24,5423,7523,25

    Tambahan tegangan vertikal total di A, pada z = 1,5 m adalah:Lo ,ro, total = 24,54 + 23,75 + 23,25 = 71,54 kN/m2

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    19/30

    Penyelesaian:Air--------r kj-------1--------r tIIIt'II 3m

    3mcf

    l( -t( -l< | rl3m 3m 3mGambar C6.7.(a) Dengan memperhatikan Gambar C6.7, jumlahkan tegangan

    vertikal yang terjadi pada tiap-tiap bagiannya.L6 ,G)total = Lor(ojud- Lor(ojnh- Lor(tird* Loru.iahHitunglah keempat faktor pengaruh untuk keempat luasantersebut pada kedalaman 3 m. Perhatikan bahwa pada hitungan diatas, tegangan pada luasan Aidh perht ditambahkan karena luasanini telah dikurangi 2 kali, sebagai bagian dari luasan Ajah danAicg.

    d reIIIIIII

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    20/30

    Tambahan tegangan vertikal total di titikA, pada z= 3 m adalah:Lo,

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    21/30

    IIIIl2 a",I

    Gambar 6.9 Tegangan di bawah beban terbagi rata berbentuk lingkaran.Karena dA = r d0 dr, integrasi Persamaan (6.16)persamaan tegangan di bawah pusat beban terbagilingkaran, sebagai berikut:

    lt+ (r I z)')'''

    akan diperolehrata berbentuk

    (6.t7)(6.18)

    dengan:

    '= ['- l+ (r I z)')'''Nilai faktor pengaruh / untuk tambahan tegangan vertikal dibawah beban terbagi rata berbentuk lingkaran, dapat ditentukan

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    22/30

    Faktor pengaruh, I (dalam peFen)8 ro N 30 /O50m 80 100

    @ffi'Lls

    Gambar 6.L0 Faktor pengaruh I untuk tegangan vertikal di bawah pusatbeban terbagi rata berbentuk lingknran tleksibel (Foster danAhlvin, 1954).

    .lmlrTrlN dlanrot 4 m

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    23/30

    Penyelesaian:(a) Tambahan tegangan vertikal di pusat tangki pada kedalaman 2 m:z =2m

    r =412=2mx =Qz/r =212= Ix/r =ODari Gambar 6.10, diperoleh I = 64 Vo = 0,64Jadi, Ao. = qI = L20 x 0,64 ='76,8kN/m'z(b) Tambahan tegangan vertikal di tepi tangki, pada kedalaman2m:z =2mr =2mx =2mzlr =212= Lxlr =212= |Dari Gambar 6.L0 diperoleh I = 0,33Jadi, L,o ,= qI = 120 x 0,33 = 39,6 kN/m2.

    6.2.6 Beban Terbagi Rata Berbentuk Segi Tiga Memanjang TakTerhinggaPada Gambar 6.11 diperlihatkan suatu beban terbagi ratamemanjang tak terhingga fleksibel berbentuk segi tiga dengan lebar2b. Beban bertambah dari nol sampai q pada potongan melintangnya.Untuk elemen selebar dz, beban per satuan panjang adalah (ql2b)s ds.

    yang pada titik A

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    24/30

    Hitungan tambahan tegangan vertikal terjadididasarkan pada teori beban garis, yaitu dengan substitusi nilai(ql2b)s.ds untuk 4 dan (-r-s) untuk x dalam Persamaan (6.8) sampai(6.10). Penyelesaian dari Persamaan (6.8) sampai (6.10)' untuk bebanterbagi rata berbentuk segi tiga, akan memberikan persamaan-persamaan sebagai berikut ini.

    Untuk tambahan tegangan arah vertikal:Ao- = 3-( o-sinzd)2n\b ) (6.1e)

    Untuk tambahan tegangan mendatar arah sumbu-x:

    o"**(;a -2,3031r.r#+ s, zal rc.20)Tegangan geser:

    ,* = *(r+cos2d -;") (6.2r)dengan:

    S - Yzlebar alas penampang segi tigaq = tinggi timbunan x berat volume tanah timbunand,5 = sudut yang ditunjukkan pada Gambar 6.11 dalam radian. q+(bla)q(ur+ar)

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    25/30

    Tegangan pada titikA akibat beban pada Gambar 6.12c adalah:(u \rI Lq l:a, (6.23)\a )17Jadi, tambahan tegangan vertikal tegangan vertikal akibat bebanGambar 6.12a adalah:/(Lo - = L( { : I(a, + a2) -Lorl ru.rol- zl.l. a ) a )atau

    L,o_ =qldengan

    ,= ({"*u},*, * u)-Lar)"[L a )' a')_t,(f, al)= -.111-,-l I""Itr r))Nilai-nilai faktor pengaruh untuk berbagaidiperoleh dalam Gambar 6.13.

    7t (6.22)

    (6.2s),

    (6.26)macam a/z dan b/z dapat

    alx

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    26/30

    0.90.060.10 0.2 0.4 0.6 t.o 23456810.0

    040

    0.35,

    0.30

    0.25

    0.20

    0.15

    0,t0

    0.50

    0.45

    0.40

    0.35

    0.30

    0.25

    JJJJJJJJJT.UO.2O2 3 4 56 810.0o = v lhmun.n15l+.--+F-b-+lffii

    I(l5 I=qil0.05L

    Penyelesaian:

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    27/30

    D-3n

    IItAlIII8l

    Gambar C6.9.(a) Tambahan tegangan vertikal di titik A pada kedalaman z = 2 m.

    Dihitung lebih dulu, q = yh = 2O x3 = 60 kN/m2Untuk b=3ma=2x3m=6mTambahan tegangan vertikal untuk z = 2 m (titik A),

    a/z= 612 = 3b/z=312= 1,5

    Dari Gambar 6.13, untuk setengah tampang timbunan diperoleh 1

    Contoh soal6.L0:

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    28/30

    Suatu timbunan mempunyai tampang seperti yang ditunjukkan dalamGambar C6.10. Berat volume basah tanah timbunan 16 = 19 kN/m3,dan tanah dasar dianggap homogen dengan berat volume basah 1to = 29kN/m3. Hitunglah tambahan tegangan di titik A dan B pada z = 5 m,dan hitung pula tegangan total akibat tekanan overburden dan bebantimbunannya. Dianggap air tanah terletak pada kedalaman takterhingga.Penyelesaian:

    IE= 20 kN/rd,-6mht-.12,5m iIII

    II,aA

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    29/30

    b/z = 2,515 -- 0,5a/z=515=IDari Gambar 6.13 diperoleh I =O,397Lo ,(ftrn) = qI = 95 x 0,397 = 37 ,72 kN/mzUntuk hasan gcdh:z=5 ma= 5m

    b =7,5 ma/z=515=lb/z =7,515 = I,5Dari Gambar 6.13 diperoleh I =O,478Lo ,@"an) = qI =95 x0,478 = 45,41kN/m2

    Jadi, tambahan tegangan di titikA, adalahLo ,ro) = 37,72 + 45,41= 83,13 kN/m2(ii) Hitungan tegangan pada titikB:

    Dari Gambar 6.13 diperoleh I =0,455

  • 7/22/2019 Distribusi Tegangan I

    30/30

    Lo ,ro*, = qI =95 x 0,455 = 43,23 kN/m'zJadi, tambahan tegangan di titik B, adalahLorsl = 47,5 - 43,23 = 4,27 151*

    (c) Hitungan tegangan total di titikA dan B.Tegangan total akibat beban timbunan dan beban tanahnyasendiri (tekanan overburden) diperoleh dengan menjumlahkantambahan tegangan vertikal akibat beban timbunan dan tekananoverburden.

    oz(totnt)= L'orlo -dengano r= tekanan overburden

    = Zl= 5 x20 kN/m3 = 100 kN/m2Jadi,o z(totot) di A = 83,13 + 100 = 183,13 kN/m'zo zQotat) di B = 4,27 + lA0 = 1C/,,27 kN/m2