Download - 3 momentum.pdf

7/21/2019 3 momentum.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/3-momentumpdf 1/29

• Tujuan Pembelajaran UmumSetelah membaca modul mahasiswa memahami

penggunaan atau penerapan persamaan

momentum untuk aliran saluran terbuka.

• Tujuan Pembelajaran Khusus

Setelah membaca modul dan menyelesaikansoal-soal pelatihan mahasiswa dapatmenyelesaikan kegunaan persamaan

momentum.



Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa momentum dari

aliran melalui suatu penampang saluran sama dengan

jumlah gaya–gaya yang bekerja pada elemen aliran yangditinjau. Ambil suatu volume kontrol aliran seperti pada

gambar berikut ini :

Gambar 2.23. Sket penerapan prinsip momentum untuk suatu aliran

saluran terbuka

2

Gsinθ

Pf

Gθ

P1

P2

Datum

1

Z

2

z

1L

y



Kembali digunakan Hukum Newton :

K = m . a (2.24)

Untuk aliran dalam saluran terbuka berpenampang

persegi empat dengan kemiringan kecil Persamaan

Newton tersebut dapat diuraikan sebagai berikut :

Gambar 2.24. Sket penampang saluran dari Gb. 2.23.berbentuk persegi empat

B

y



Dari gambar 2.23 dapat dinyatakan jumlah gaya–gaya yang bekerja di arah aliran yaitu :

K = P1 - P2 + G sin θ - Pf (2.25)

Dari hukum hidrostatika diketahui bahwa(lihat gambar 2.23) :

P1 = ½ ρ g y12 B (2.26)

P2 = ½ ρ g y12 B (2.27)



Komponen berat cairan aliran di arah aliran :

( ) θ ρ θ sin2

sin 21 L y y BgG +=

( ) L

z z 21

sin

−

=θ (2.29)

(2.28)

Gaya geser yang bekerja sepanjang aliran adalah :

'2

''

..

21

0

0

f f

f f f

f f f

f

f

h y y

Bg p

hh Bgh Ag p

LiO Rg LOi Rg p

i RgT

LOT P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

==

==

=

=

ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ

(2.30)



( ) ( )

t

V V

V V

y y

t Bg y

y y

Bg

L y y

Bg B yg B yg

f

21

21

2121

212

2

2

1

22

sin2

2121

−

+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +

−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++−

β ρ ρ

θ ρ ρ ρ

( )t

V V a 12 −= β

Dengan menggabungkan persamaan (2.26 s/d2.31 ke dalam persamaan 2.25) didapat

persamaan sebagai berikut :

t t Qm ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +==∀=

2

yy B

2

VV 2121 ρ ρ ρ

Besarnya massa aliran adalah :

Percepatan aliran adalah : (2.31)



( )

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )2

1

2

221

2121212121

2

1

2

221

21

21

212

2

2

1

21

'212121

2

'22

2121

V V y yg

h y y z z y y y y y y

V V g

y y

h y y

z z y y

y y

f

f

−+=

+−−+++−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ +−−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ++−

β

β

( )

2

1

2

22121

' V V g

h z z y y f

−=−−++ β

'22

2

222

2

111 f h

gV y z

gV y z +++=++ β β

atau

dibagi ρ g B persamaan tersebut menjadi :

dibagi ½ (y1 + y2) persamaan tersebut menjadi :

(2.32)



Persamaan tersebut tampak seperti persamaan

energi, hanya saja koefisien pembagian yangdigunakan adalah β bukan α, dan tinggi

kehilangan energi adalah hf ' = kehilangan energi

eksternal yang disebabkan oleh gaya–gaya

yang bekerja dari dinding dan dasar saluran

pada cairan. c

Dalam aliran seragam dimana gaya–gaya

permukaan yang bekerja sama dengan jumlahperedaman energi maka perbedaan antara hf

dan hf ' tidak terjadi.



Penerapan persamaan momentum pada suatu

aliran dalam saluran prismatis lurus, horisontaldan pada jarak pendek, menghasilkan

persamaan sebagai berikut :

Gambar 2.25. Sket saluran prismatis lurus horisontal dan

berpenampang persegi empat

y

B

1 2

P

1

P

2

L

Y

1

Y

2

G



( )112221 sin V V

g

yQPGPP f β β θ −=−++

22222

22

1111

2

11

2121

2121

A zg B y yg B ygP

A zg B y yg B ygP

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

===

===

( )112221 00 V V g

yQ

A zg A zg β β ρ ρ −=−+−

dimana :

= jarak titik berat ke dasar saluran

Persamaan momentum di arah aliran :

Karena terletak horizontal : sin θ = 0

Karena yang ditinjau jarak yang pendekPf = 0 ( kecil sekali sehingga dapat diabaikan)

(2.33)

zDengan besaran – besaran tersebut diatas maka

persamaan (2.33) menjadi :



A z

gA

Q A z

gA

Q

gA

Q

gA

Q

A

Q

A

Q

g

Q A z A z

A 2

2

2

1

2

1

2

2

2

1221

+=+

−=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −=−

F A zgA

Q=+

2

dibagi ρ g atau γ, dan apabila β1 = β2 = 1 maka

persamaan tersebut menjadi :

(2.34)

(2.35)

Apabila :



maka persamaan (2.34) dapat dinyatakan sebagai

berikut :F1 = F2 (2.36)

Persamaan (2.35) menunjukkan bahwa F

merupakan fungsi dari y ( F = f(y) ), sehingga dapat

dibuat suatu lengkung hubungan antara F dan y.

Untuk memperjelas hal ini dapat dilihat pada contohsoal sebagai berikut :



Contoh soal 2.6

(a) Buat suatu kurva hubungan antara y dan F untuk

suatu aliran saluran terbuka berpenampang

persegi empat dengan lebar = 6 m dan

Q = 5,4 m3/det.

Disamping itu buat pula kurva hubungan antaray dan E.

Letakkan dua gambar tersebut pada satu

halaman sehingga dapat dilihat persamaan dan

perbedaan antara dua kurva tersebut.



(b) Tentukan besarnya kedalaman kritis yc.

(c) Apabila kedalaman air awal adalah y1 = 0,40yc. berapa besar kedalaman urutannya y2

dengan menggunakan cara aljabar dan

dengan kurva tersebut pada soal a)

(d) Perbedaan y1 dan y2 membentuk suatuloncatan air maka hitung besarnya kehilangan

energi akibat loncatan tersebut.



(a) Perhitungan harga E dan harga F untuk berbagai

kedalaman air dari 0,10 m sampai dengan 1,00 m

dilakukan dengan membuat tabel sebagai berikut :

Tabel 2.4. Perhitungan harga E dan harga Fcontoh soal 2.5

y A = b y V = Q/A V2 /2g E zA Q2 /gA F

0,100,200,300,400,500,600,700,800,90

1,00

0,601,201,802,403,003,604,204,805,40

6,00

9,004,503,002,251,801,501,191,1251,00

0,90

4,1281,0320,4590,2580,1650,1150,0720,0650,051

0,041

4,2281,2320,7590,6580,6650,7150,7720,8560,951

1,041

0,030,120,270,480,751,081,471,922,43

3,00

4,9542,4471,6511,2390,9910,8260,7080,6190,550

0,495

4,9842,5971,9211,7191,7411,9062,1782,5392,980

3,495

H E d F k i h di l d



Harga E dan F untuk setiap harga y diplot padakertas milimeter dengan hasil seperti pada

gambar 2.26.

Gambar 2.26. Hubungan antara lengkung energi spesifik(a) dan gaya spesifik (b)

0,5 1,0 1,5 1,0 2,02,75

2

0,5

y1 = 0,18

y2 = 0,87

1,0

y

E (m)

y

F (m³)4,03,0

1,0

0,5

E2 = 0,924 E1 = 1,454

Loncatan Air

1



(b)Menentukan besarnya kedalaman kritis yc :

(1) Dari kurva seperti pada gambar (hasil

perhitungan pada pertanyaan a) didapat harga

yc = 0,44 m (titik pada E dan F minimum).

(2) Dengan cara aljabar Untuk saluran berpenampang persegi empat

diketahui ;

Ac = B yc Vc =ccc y

qByqB

A Q ==

2

D

g2

V 2

= Aliran kritis :



Untuk saluran berpenampang persegi empat :

D = y berarti untuk aliran kritis ;

( )3

2

c

c

2

c

g

q

y................2

y

g2

y /q==

det90,000,6

40,5

2m

B

Qq

=

==

( )

m

yc

44,0

81,9

9,03

2

=

=



(c) Apabila kedalaman air awal y1 = 0,40 yc = 0,40 x

0,45 m = 0,18 m.

Maka untuk mencari kedalaman urutannya

(sequent depth) digunakan persamaan gaya

spesifik : F1 = F2

849,2

0972,0752,2

18,062

18,0

18,0681,9

4,5 2

11

1

2

=+=

××+××

=+ A zgA

Q

22

2

2

2 62681,9

4,5849,2 y

y

yF ×+×==

0615,0950,0 2

3

2 =+− y y



mg

V y E 924,0054,087,0

)87,06(81,92

4,587,0

2 2

22

222 =+=

××+=+=

mg

V y E 454,1274,118,0

)18,06(81,92

4,518,0

2 2

22

111 =+=

××+=+=

mmm E E E 529,0924,0454,121 =−=−=Δ

Dengan cara coba-coba didapat harga y2 = 0,865 m

Dengan menggunakan kurva y vs E dan y vs F

didapat y2 = 0,87 m

Selanjutnya diambil y2 = 0,87 m

(d) D i k d Gb 2 26 did t h



(d) Dari kurva pada Gb 2.26 didapat harga

ΔE = E1 – E2 = 0,530 m

Dari kurva hubungan antara F dan y yangditunjukkan dalam soal 2.5a dapat dilihatbahwa untuk satu harga F didapat dua harga yyaitu y1 dan y2 yang merupakan kedalamanurutan (sequent depth), kecuali pada harga Fminimum yang hanya mempunyai satu hargay, atau dapat dikatakan bahwa y1 = y2 = yc .Untuk membuktikan bahwa untuk F minimum,

y = yc diperlukan penurunan sebagai berikut :

( ) 0dy

Azd

dy

dA

gA

Q

dA

dF

QF

2

2

2

=+−=

+= A zgA



Gambar 2.27. Penampang saluran berbentuk sembarang

dA dy

z

T

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa T =dy

dA

U t k b h k d l d b h ( )d



Untuk perubahan kedalaman dy perubahan

( )

( ) A zdy

T dy z A

atau

A zdy

dyT dy z A

−

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

2

:2

2

( ) A zd

Apabila diferensial tingkat tinggi (dy2) dianggap

sama dengan nol:

( ) dy A A zd =

dalam static moment dari luas penampang basah

terhadap permukaan air adalah :

hi dF dAQ2



sehingga : Ady

dF +−=

dy

dA

gA

Q2

2

0dy

dF=

2

:

0dy

dA

gA

Q

2

2

2

2

2

2

D

g

V

DT

A

g

V

AgA

T Q

atau

A

=

==

=

=+−Jadi :

yang berarti pada harga F minimum aliran adalah

aliran kritis.

F minimum apabila



y1

y2

Sisi miring

APRON

1.Suatu pelimpah amabang pendek seperti pada

gambar 2.28 terletak pada suatu saluran

berpenampang persegi empat

Gambar 2.28. Suatu pelimpah ambang pendek

Aliran pada sisi miring pelimpah merupakan



Aliran pada sisi miring pelimpah merupakanaliran super kritis. Tinggi permukaan air disaluran hilir sedemikian sehingga alirannyasubkritis.Perubahan kedalaman air dari y1 = 1,00 m key2 = 1,50 m menyebabkan adanya loncatan air.

Dengan menggunakan persamaan momentumhitung besarnya debit tiap satuan lebar (q) dandebit aliran (Q).

2. Untuk menstabilkan loncatan air tersebut pada

soal 1 pada apron dipasang suatu ambangsehingga debit aliran q = 10 m2/det dan

kedalaman awal dari loncatan air y1 = 1,50 m dan

kedalaman urutannya y2 = 2,50 m.

Dengan menggunakan persamaan momentum



Gambar 2.29. Suatu pelimpah pada apronnya dipasangsuatu ambang

y1

y2

Sisi miring

AMBANG

Dengan menggunakan persamaan momentum

hitung tekanan pada muka ambang dalam KN/m.



• Penerapan Hukum Momemtum dapatditurunkan persamaan gaya spesifik F yang

merupakan fungsi dari kedalaman aliran.

• Karena gaya spesifik meruapakan fungsi darikedalaman aliran (F = f(y)) maka dapat

digambarkan suatu kurva hubungan antarakedalaman air dan gaya spesifik.

• Dari kurva F vs y tersebut dapat dilihat bahwauntuk satu harga F terdapat dua harga y. Dalam

hal ini kedalaman y2 merupakan kedalaman

urutan (sequence depth) dari kedalaman y1 darisuatu loncatan air.



• Kedalaman air dimanaharga F minimummenunjukkan angkayang sama antara y

1dan y2 (y1 = y2)kedalaman ini disebut

kedalaman kritis.

• Apabila untuk suatudebit aliran tertentudalam suatu saluran

prismatis kurva “energispesifik” dan kurva gaya

“gaya spesifik”disandingkan akan

dapat digunakan untukmenentukan besarnyakehilangan energi darisuatu loncatan air yang

terjadi di salurantersebut.

Download - 3 momentum.pdf

Top Related