ಲ ೇಖಕರು ಮತ್ುು ಪ್ರಕಾಶನ
ಎ ವಿ ಗ ೋವಿಿಂದ ರಾವ್
ಸರಸವತೇಪ್ುರಂ, ಮೈಸೂರು
ಮುದ್ರರಸಬಹುದಾದ ಉಚಿತ್ ಪಿಡಿಎಫ್ ಆವೃತುಗಾಗಿ ಸಂಪ್ರ್ಕಿಸಿ
ಪರಿವಿಡಿ. ೧. ವಿಷಯ ಪರವಕೇಶಕ್ಕೆ ಮುನ್ನ ೨. ಸಂಕಲನ್ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನ್ ೩. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ಲೇಲಾವ್ತೇ ಗರಂಥದಲಿ ಹಕೇಳಿರುವ್ ವಿಧಾನ್ಗಳು ೪. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ವಕೇದಗಣಿತ್ ಗರಂಥದಲಿ ಉಲಕಿೇಖವಾಗಿರುವ್ ವಿಧಾನ್ಗಳು ೫. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ವಕೇದಗಣಿತ್ ಗರಂಥದಲಿ ಉಲಕಿೇಖವಾಗಿರುವ್ ನಿರ್ದಿಷಟ ಸನಿನವಕೇಶಗಳಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷಟ ವಿಧಾನ್ಗಳು ೬ ಸಂಖ್ಕಯಗಳ ವ್ಗಿ ಲಕಕ್ಕೆಸುವಿಕ್ಕ ೭ ಸಂಖ್ಕಯಗಳ ಘನ್ ಲಕಕ್ಕೆಸುವಿಕ್ಕ. ೮ ಭಾಗಾಕ್ಾರ
೯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಕ ಂರ್ದಗಕ – - – - -
೧೦. ವ್ಗಿಮೂಲ
೧೧ . ವ್ಗಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವಿಕ್ಕ ಮತ್ುು ಗುಣಾಕ್ಾರ ಕ್ಕರಯೆಗಳಲಿ ದವಂದವ-ಯೇಗದ ಉಪಯೇಗ
೧೨. ಘನ್ಮೂಲಗಳು ೧೩. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್ಕಯಯನ್ುನ ಪತ್ಕು ಹಚ್ುುವ್ುದು ೧೪. ಭಾಸೆರಾಾಾಯಿರ ಲೇಲಾವ್ತೇಯಲಿರುವ್ ಕ್ಕಲವ್ು ಗಣಿತೇಯ ಸಮಸ್ಕಯಗಳು
೪
೭
೧೦
೧೪
೧೭
೨೪
೨೯
೩೨
೫೪
೬೭
೮೦
೮೮
೯೧
೯೭
4
೧. ವಿಷಯ ಪ್ರವಕೇಶಕ್ಕೆ ಮುನ್ನ
ನನನ ಉದ್ದೇಶ: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವ್ಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಕಾರ – ಈ ನಾಲುು ಗಣಿತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕಲಿಯಲು ನಾವ್ು ಪ್ಾಾಥಮಿಕ ಶಿಕ್ಷಣದಲಿಿ ನಾನಾ ಕಸರತ್ುುಗಳನುನ ಮಾಡಿದ್ದೇವ್. ಈ ಕಸರತ್ುುಗಳ್ಲಿವ್ನನನ ನಾವ್ು ಬ್ರಾಟಿಷ್ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವ್ಸ್್ೆಯಂದ ಆಮದು ಮಾಡಿಕ್ನಂಡಿದ್ದೇವ್. ಈ ಕಸರತ್ುುಗಳ ಪರಿಣಾಮವೇ ಏನ್ನೇ ಗಣಿತ್ ವಿಷಯಕ್ು ನಾವ್ು (ಅರ್ಾಾತ್ ಕಲಿಯುವ್ವ್ರು ಮತ್ುು ಕಲಿಸುವ್ವ್ರು) ‘ಬಲು ಕ್ಲಿಷಟ ವಿಷಯ’ ಎಂಬ ಹಣ್ಪಟಿಟಯನುನ ಲಗತುಸಿದ್ದೇವ್. ವಾಸುವ್ವಾಗಿ, ಈ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಲು ನಾವ್ು ಅನುಸರಿಸುತುರುವ್ ತ್ಂತ್ಾಗಳಲಿಿ ದ್ನೇಷವಿರುವ್ುದರಿಂದ ಬಲು ಸುಲಭದ ಕಾಯಾವ್ು ಕ್ಲಿಷಟದಾದಗಿ ಪರಿವ್ತ್ಾನ್ ಆಗಿದ್. ನಾವ್ು ನಮಮ ಪ್ಾಾಚೇನರು ಅನುಸರಿಸುತುದದ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಅಳವ್ಡಿಸಿಕ್ನಂಡರ್ ಈ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಳವ್ುದು ಬಲು ಸುಲಭ. ಗಣಿತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡರ್ ನಮಮ ದ್ೈನಂದಿನ ವ್ಯವ್ಹಾರಗಳನುನ ಸುಸನತ್ಾವಾಗಿ ನಿವ್ಾಹಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗ್, ಕುಶಲತ್ ಅಂದರ್ೇನು? ‘ನಿದಿಾಷಟ ಕಾಯಾವ್ನುನ ಸುಲಭವಾಗಿಯನ ವ್ೇಗವಾಗಿಯನ ನಿಖರವಾಗಿಯನ ಮಾಡುವ್ ಸ್ಾಮಥಯಾವ್ೇ ಆ ಕಾಯಾದಲಿ ಿಕುಶಲತ್’. ಯಾವ್ುದ್ೇ ಕುಶಲತ್ ಕರಗತ್ವಾಗಬ್ೇಕಾದರ್ ಅಥಾವಾದ ತ್ತಾುಾಧಾರಿತ್ ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಅನಿವಾಯಾ. ಕುರುಡು ಅಥವ್ ಯಾಂತಾಕ ಅಭಾಯಸ ನಿಷರಯೇಜಕ. ನಿೇವ್ು ಗಣಿತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುತ್ುದ್ ಪುಸುಕ.
ನನನ ಆಕರ ಗಾಂಥಗಳಳ: ಈ ಲ್ೇಖನ ಮಾಲಿಕ್ಯನುನ ಬರ್ಯಲು ನಾನು ಪಾಮುಖವಾಗಿ ಎರಡು ಆಕರ ಗಾಂಥಗಳ ನ್ರವ್ು ಪಡ್ದಿದ್ದೇನ್. ಅವ್ುಗಳ ಕುರಿತಾದ ಸಂಕ್ಷಿಪು ಮಾಹಿತ ಇಂತದ್: ಭಾಸುರಾಚಾಯಾ ಎಂದ್ೇ ಖ್ಾಯತ್ರಾಗಿರುವ್ ೨ ನ್ೇ ಭಾಸುರ (೧೧೧೪-೧೧೮೫) ಸಂಸೃತ್ದಲಿಿ ರಚಸಿದ (೧೧೫೦) ಸಿದಾಧಂತ್ ಶಿರ್ನೇಮಣಿ ಗಾಂಥದ ಮೊದಲನ್ಯ ಭಾಗ ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’. ಇದರ ಹ್ಸರನುನ ನಿೇವ್ು ಕ್ೇಳಿರುವ್ ಸ್ಾಧ್ಯತ್ ಇದ್. ಭಾರತ್ದಾದಯಂತ್ ಸುಮಾರು ೫೦೦ ವ್ಷಾ ಕಾಲ ಉತ್ುಮ ಪಠ್ಯಪುಸುಕ ಎಂಬ ಹ್ಗಗಳಿಕ್ಗ್ ಪ್ಾತ್ಾವಾಗಿದದ ಈ ಭಾಗ ನನನ ಮೊದಲನ್ಯ ಆಕರ ಗಾಂಥ. ವಿದಾಯರ್ಥಾಯನುನ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಲ್ನೇಸುಗ ನಿೇಡಿರುವ್ ಲ್ಕುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಹ್ಚಿನವ್ು ‘ಓ ಲಿೇಲಾವ್ತ’ ಎಂದು ಆರಂಭವಾಗಿರುವ್ುದರಿಂದ ಗಾಂಥಕ್ು ಈ ಹ್ಸರು (ಈ ಕುರಿತಾದ ದಂತ್ಕರ್್ಗಳೂ ಇವ್) . ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ನಲಿಿ ಅಂಕಗಣಿತ್ದ ವಿಭಿನನ ವಿಷಯಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ೩೪ ಅಧಾಯಯಗಳಿವ್. ಈ ಅಧಾಯಯಗಳಲಿಿ ಒಟ್ುಟ ೨೭೯ ಶ್್ ಿೇಕಗಳಿವ್. ಕ್ಲಾಷ್ಾಾಜಿ ಶಂಕರ ಪಟ್ವ್ಧ್ಾನ್, ಸ್್ನೇಮಶ್ೇಖರ ಅಮೃತ್ ನ್ೈಂಪಲಿಿ ಮತ್ುು ಶಾಯಮಲಾಲ್ ಸಿಂಗ್ ಇವ್ರು ಮನಲ ಶ್್ ಿೇಕದ್ನಂದಿಗ್ ಅದರ ಇಂಗಿಷಿ್ ಭಾವಾನುವಾದವ್ನುನ ಟಿಪಪಣಿಸಹಿತ್ವಾಗಿ ಒದಗಿಸಿರುವ್ ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ (೨೦೦೧) ನನನ ಮೊದಲನ್ಯ ಆಕರ ಗಾಂಥ. ಪುರಿಯ ಶಿಾೇ ಗ್ನೇವ್ಧ್ಾನ ಮಠ್ದ ಶಿಾೇ ಶಿಾೇ ಶಿಾೇ ಜಗದುಗರು ಶಂಕರಾಚಾಯಾರ ಸ್ಾೆನವ್ನನಲಂಕರಿಸಿದದ (೧೯೨೫-೧೯೬೦) ಮೇಧಾವಿಗಳಳ ಸ್ಾಾಮಿ ಶಿಾೇ ಭಾರತೇ ಕೃಷಾ ತೇಥಾರು (೧೮೮೪-೧೯೬೦). ಕ್ೇವ್ಲ ಇಪಪತ್ುು ವ್ಷಾ ವ್ಯಸಿಿನಲಿಿ ಸಂಸೃತ್, ತ್ತ್ಾಶಾಸರ, ವಿಜ್ಞಾನ, ಗಣಿತ್, ಇತಹಾಸ ಇವ್ೇ ಮೊದಲಾದ ಏಳಳ ವಿಭಿನನ ವಿಷಯಗಳಲಿ ಿಏಕಕಾಲದಲಿ ಿಸ್ಾನತ್ಕ್ನೇತ್ುರ ಪದವಿಗಳನುನ ಗಳಿಸಿದದಲಿದ್, ಈ ಎಲಾಿ ಪರಿೇಕ್ಷ್ಗಳಲಿಿಯನ ಪಾಥಮ ಸ್ಾೆನ ಪಡ್ದವ್ರು ಇವ್ರಾಗಿದದರು. ಅಥವ್ಾ ವ್ೇದದ ಪರಿಶಿಷಠವಂದರಲಿಿ ಹುದುಗಿ ಕುಳಿತದದ ವ್ೇದ ಗಣಿತ್ವ್ನುನ ಹ್ನರತ್ಗ್ಯ ಬ್ೇಕ್ಂಬುದು ಅವ್ರ ಬಯಕ್ಯಾಗಿತ್ುು. ೧೯೧೧ ನ್ೇ ಇಸವಿಯಲಿಿ ಶೃಂಗ್ೇರಿಯ ಶಿಾೇ ಶಾರದಾ ಫೇಠ್ದ ಶಿಾೇ ಶಿಾೇ ಶಿಾೇ ಜಗದುಗರು ಶಂಕರಾಚಾಯಾ ಸಚಿದಾನಂದ ಶಿವಾಭಿನವ್ ನೃಸಿಂಹ ಭಾರತ ಸ್ಾಾಮಿಗಳವ್ರ ದಿವಾಯಶಿವಾಾದಗಳೂ್ಂದಿಗ್ ಮುಂದಿನ ಎಂಟ್ು ವ್ಷಾಗಳಲಿಿ ನಿರಂತ್ರ ಅದಯಯನದಲಿಿ ತ್ಮಮನುನ
5
ತ್ನಡಗಿಸಿಕ್ನಂಡದದಲಿದ್ ಶೃಂಗ್ೇರಿಯ ಹತುರದ ಅರಣಯಗಳಲಿಿ ದಾಯನ, ಬಾಹಮ ಸ್ಾದನ, ಯೇಗ ಸ್ಾದನ ಗಳಲಿ ಿತ್ಮಮನುನ ತ್ನಡಗಿಸಿಕ್ನಂಡರು. ಈ ಸಮಯದಲಿಿ ಆದಾಯತಮಕವಾಗಿ ಆತ್ಮ ಜ್ಞಾನವ್ನನವ್ರು ಪಡ್ದುಕ್ನಂಡರು ಎಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್. ಈ ಎಲಿ ಸ್ಾಧ್ನ್ಗಳ ಬಲದಿಂದ ಹದಿನಾರು ಸಂಪುಟ್ಗಳಲಿಿ ವ್ೇದ ಗಣಿತ್ವ್ನುನ ಸಂಗಾಹಿಸಿ ಬರ್ದುದಾಗಿ ಅವ್ರ್ೇ ಹ್ೇಳಿಕ್ನಂಡಿದಾದರ್. ಈ ಎಲಾಿ ಸಂಪುಟ್ಗಳ ಹಸುಪಾತಗಳಳ ಪುರಿಯಲಿ ಿಸ್ಾಾಮಿಗಳವ್ರ ಆಪು ಶಿಶಯರ್ನೇವ್ಾರ ಮನ್ಯಲಿಿರಿಸಿದಾದಗ ೧೯೫೬ರಲಿ ಿ ದುರದೃಷಟ ವ್ಶಾತ್ ಬ್ಂಕ್ಲಗ್ ಆಹುತಯಾಯತ್ಂದು ನಂಬಲಾಗಿದ್. ಅವ್ರ ಜಿೇವ್ನದ ಕ್ನನ್ಯ ಕ್ಲ ದಿನಗಳಲಿಿ ತ್ಮಮ ನ್ನಪಿನಾಳದಿಂದ ಕ್ದಕ್ಲ ತ್ಗ್ದ ಮಾಹಿತಯನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಕ್ೇವ್ಲ ಆರು ವಾರಗಳಲಿಿ ಒಂದು ಸಂಪುಟ್ದ ಕರಡನುನ ರಚಸಿದರಂತ್. ಇದನುನ ೧೯೬೫ರಲಿ ಿ“ವ್ೇದಗಣಿತ್”ವ್ಂಬ ಹ್ಸರಿನಲಿ ಿವಾರಣಾಸಿಯ ಮೊೇತಲಾಲ್ ಬನಾರಸಿದಾಸ್ ಪುಸುಕ ಪಾಕಾಶಕರು ಪಾಕಟಿಸಿದರು (೧೯೬೫). ಈ ಗಾಂಥದಲಿಿ ಸ್ಾಾಮಿಗಳಳ ಆವಿಷುರಿಸಿದ ಗಣಿತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ೧೬ ಸನತ್ಾಗಳೂ ಅವ್ುಗಳ ಉಪಸನತ್ಾಗಳನುನ ಆಧ್ರಿಸಿದ ೩೭ ಅಧಾಯಯಗಳಿವ್.ಇದರ ೧೯೮೬ರ ಮರುಮುದಾಣದ ಪಾತ ನನನ ಎರಡನ್ಯ ಆಕರ ಗಾಂಥ. ಈ ಗಾಂಥಗಳಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಕ್ಲವ್ು ಕುತ್ನಹಲಜನಕ ಮಾಹಿತ: ಈ ಲ್ೇಖನ ಮಾಲಿಕ್ಯಲಿ ಿ ಗಣಿತ್ದ ಮನಲಭನತ್ ಕ್ಲಾಯೆಗಳಲಿಿ ಕುಶಲತ್ ಗಳಿಸಿಕ್ನಳಳಲು ಎಷುು ಮಾಹಿತ ಬ್ೇಕ್ನೇ ಆಷಟನುನ ಮಾತ್ಾ ಆಯುದ ಒದಗಿಸುತುದ್ದೇನ್. ಅಂದಮಾತ್ಾಕ್ು ಪ್ಾಾಚೇನರಿಗ್ ಅಷುಟ ಮಾತ್ಾ ತಳಿದಿತ್ುು ಎಂದು ಅರ್್ೈಾಸಕನಡದು. ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್, ಜ್ಾಯಮಿತ ಇವ್ೇ ಮೊದಲಾದ ಗಣಿತ್ದ ಶಾಖ್್ಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮಾಹಿತಯನ ಇದ್. ನಮಮ ಪ್ಾಾಚೇನರು ಎಷುಟ ಪ್ಾಾಜ್ಞರಾಗಿದದರು ಎಂಬುದನುನ ತಳಿಸಲ್ನೇಸುಗ ಕ್ಲವ್ೇ ಕ್ಲವ್ನುನ ಮಾತ್ಾ ಇಲಿಿ ಉಲ್ಿೇಖಿಸುತುದ್ದೇನ್.
ಸ್ಾಾಮಿ ಶಿಾೇ ಭಾರತೇ ಕೃಷಾ ತೇಥಾರು ಆವಿಷುರಿಸಿದವ್ು ಎಂದು ಹ್ೇಳಲಾಗಿರುವ್ (ಪುಸುಕದ ಸಂಪ್ಾದಕರು ಹಿೇಗ್ ಹ್ೇಳಿದಾದರ್ಯೆೇ ವಿನಾ ಶಿಾೇಗಳವ್ರು ಸನತ್ಾಗಳ ಪಟಿಟ ತ್ಯಾರಿಸಿಲಿ) ೧೬ ಸನತ್ಾಗಳೂ ಅವ್ುಗಳ ಉಪಸನತ್ಾಗಳಳ ವಾಸುವ್ವಾಗಿ ಕಾಯಾವಿಧಾನವ್ನುನ ನ್ನಪಿನಲಿಿಟ್ುಟಕ್ನಳಳಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುವ್ ಸಮರಣ್ಯ ಸನತ್ಾಗಳಳ ಎಂದನ ಇವ್ನುನ ಕಂಠ್ಸೆ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಳವ್ುದು ಅನಗತ್ಯ ಎಂದನ ನನನ ಅಭಿಪ್ಾಾಯ. ಉದಾಹರಣ್ ಸಹಿತ್ ವಿವ್ರಿಸದ್ೇ ಇದದರ್ ಇವ್ುಗಳ ಉಪಯೇಗ ಅಥಾವಾಗದಿರುವ್ುದನ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಗಳಿಸಲು ಇವ್ುಗಳ ಶಾಬ್ರದಕ ಜ್ಞಾನ ಅನಗತ್ಯವಾಗಿರುವ್ುದನ ಇದಕ್ು ಕಾರಣ. ಎಂದ್ೇ, ೧೬ ಸುತ್ಾಗಳನುನ ಮಾತ್ಾ ಇಲಿ ಿಉಲ್ಿೇಖಿಸುತುದ್ದೇನ್.
೧
ಏಕಾಧಿಕ್ೇನ ಪೂವ್ೇಾಣ (ಹಿಂದಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ) ೯
ಚ್ಲನಕಲನಾಭಯಮ್ (ಭಿನನತ್ಗಳಳ ಮತ್ುು ಏಕರನಪತ್ಗಳಳ)
೨
ನಿಖಿಲಂ ನವ್ತ್ಶಿರಮಂ ದಶತ್ಃ (ಎಲಿವ್ೂ ೯ ರಿಂದ ಮತ್ುು ಕ್ನನ್ಯದುದ ಹತ್ುರಿಂದ) ೧೦
ಯಾವ್ದನನಮ್ (ಅದರಲಿ ಿ ಕ್ನರತ್ ಎಷ್ಟಟದ್ಯೇ)
೩
ಊಧ್್ಾ ತಯಾಗಾಯಾಮ್ (ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ುು ಅಡುವಾಗಿ) ೧೧ ವ್ಯಷ್ಟಟಸಮಷ್ಟಟಃ (ಬ್ರಡಿ ಮತ್ುು ಇಡಿ)
೪
ಪರಾವ್ತ್ಯಾ ಯೇಜಯೆೇತ್ (ವಿಪಯಾಯಸು ಮತ್ುು ಸರಿಹ್ನಂದಿಸು) ೧೨
ಶ್ೇಷ್ಾಣಯಂಕ್ೇನ ಚ್ರಮೇಣ (ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಶ್ೇಷ)
೫ ಶ್ನಯಂ ಸ್ಾಮಯಸಮುಚ್ಿಯೆೇ (ಮೊತ್ು ೧೩ ಸ್್ನೇಪ್ಾನಂತ್ಯದಾಯಮನಯಂತ್ಯಮ್
6
ಒಂದ್ೇ ಆಗಿದಾದಗ ಆ ಮೊತ್ು ಸ್್ನನ್ನ ಆಗಿರುತ್ುದ್)
(ಕಟ್ಟಕಡ್ಯದುದ ಮತ್ುು ಅದರ ಹಿಂದಿನದದರ ಎರಡರಷುಟ)
೬
(ಆನುರನಪ್್ಯೇ) ಶ್ನಯಮನಯತ್ (ಒಂದು ನಿಷಪತುಯಲಿ ಿ ಇದದರ್ ಇನ್ನನಂದು ಸ್್ನನ್ನ ಆಗಿರುತ್ುದ್) ೧೪
ಏಕನನಯನ್ೇನ ಪೂವ್ೇಾಣ (ಹಿಂದಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಕಡಿಮ)
೭
ಸಂಕಲನವ್ಯವ್ಕಲನಾಭಯಮ್ (ಸಂಕಲನದಿಂದ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನದಿಂದ) ೧೫
ಗುಣಿತ್ಸಮುಚ್ಿಯಃ ಮೊತ್ುದ ಗುಣಲಬಧ ಗುಣಲಬಧದ ಮೊತ್ುಕ್ು ಸಮ)
೮
ಪೂರಣಾಪೂರಣಾಭಯಮ್ (ಪೂಣಾಗ್ನಳಿಸುವ್ುದರಿಂದ ಅಥವ್ ಅಪೂಣಾಗ್ನಳಿಸುವ್ುದರಿಂದ) ೧೬
ಗುಣಕಸಮುಚ್ಿಯಃ (ಮೊತ್ುದ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳಳ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳ ಮೊತ್ುಕ್ು ಸಮ)
‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ಯ ಎರಡನ್ೇ ಅಧಾಯಯದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಎರಡನ್ಯ ಶ್್ ಿೇಕ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಉಪಯುಕು ಮಾಹಿತ ನಿೇಡುತ್ುದ್. ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಉಲ್ಿಖಿಸಿರುವ್ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ ಸನಚ್ಕ ಹ್ಸರುಗಳಳ ಇಂದು ಬಳಕ್ಯಲಿಿ ಇಲಿವಾದರನ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ು ಸರಿದಂತ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸ್ಾನೆಬ್ಲ್ಯಲಿಿ ಆಗುವ್ ಹ್ಚ್ಿಳದ ವಿವ್ರಣ್ಯನುನ ಇಂದನ ಹಾಗ್ಯೆೇ ನಿೇಡಬಹುದು. ಶ್್ ಿೇಕ ಇಂತದ್: ಏಕದಶಶತ್ಸಹಸ್ಾಾಯುತ್ಲಕ್ಷಪಾಯುತ್ಕ್ನೇಟ್ಯಃ ಕಾಮಶಃ ಅಬುಾದಮಬಜಂ ಖವ್ಾನಿಖವ್ಾಮಹಾಪದಮಶಂಕವ್ಸುಸ್ಾಮತ್
ಜಲಧಿಶಾಿಂತ್ಯಂ ಮಧ್ಯಂ ಪರಾಧ್ಾಮಿತ ದಶಗುಣ್ನೇತ್ುರಂ ಸಂಜ್ಞಾಃ ಸಂಖ್ಾಯಯಾಃ ಸ್ಾೆನಾನಾಂ ವ್ಯವಾಹಾರಾಥಾ ಕೃತಾಃ ಪೂವ್ಾಃ
ಈ ಶ್್ ೇಿಕದಲಿರಿುವ್ ಮಾಹಿತಯನುನ ಕ್ನೇಷಟಕ ರನಪದಲಿ ಿ ಒದಗಿಸಿದ್ದೇನ್. ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ು ಸರಿದಂತ್ ಪಾತೇ ಸ್ಾೆನದ ಬ್ಲ್ ಹಿಂದಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ೧೦ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚಿರುವ್ುದನನನ (ಈಗಲನ ಇದು ಬದಲಾಗಿಲಿ) ೧೮ ಸ್ಾೆನಗಳಳ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ಲುಗ್ನಳಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಹ್ಸರುಗಳಳ ಇರುವ್ುದನನನ ಗಮನಿಸಿ. ಇದು ತ್ನನ ಸೃಷ್ಟಟಯಲ,ಿ
ಪೂವಿಾಕರಿಂದ ಬಂದ ಜ್ಞಾನ ಇದು ಎಂದು ಹ್ೇಳಿರುವ್ುದನನನ ಗಮನಿಸಿ.
ಖವ್ಾ ಅಬಜ ಅಬುಾದ ಕ್ನೇಟಿ ಪಾಯುತ್ ಲಕ್ಷ ಅಯುತ್ ಸಹಸಾ
ಶತ್ ದಶ ಏಕ
೧೦೧೦ ೧೦೯ ೧೦೮ ೧೦೭ ೧೦೬ ೧೦೫ ೧೦೪ ೧೦೩ ೧೦೨ ೧೦ ೧
ಪರಾಧ್ಾ ಮಧ್ಯ ಅಂತ್ ಜಲಧಿ ಶಂಕು ಮಹಾಪದಮ ನಿಖವ್ಾ
೧೦೧೭ ೧೦೧೬ ೧೦೧೫ ೧೦೧೪ ೧೦೧೩ ೧೦೧೨ ೧೦೧೧
7
೨. ಸಂಕಲನ್ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನ್
‘ವ್ೇದಿಕ್ ಮಾಯತ್ ಮಾಯಟಿಕ್ಿ’ನಲಿಿ ಈ ಕುಶಲತ್ಗಳ ಕುರಿತಾದ ವಿವ್ರಣ್ಗಳಿಲಿ. ವ್ಯವ್ಕಲನಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ೧೦ ರ ಅಪವ್ತ್ಯಾದಿಂದ (ಉದಾ: ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦೦ —-) ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದಾಗ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ಲರುಹಾದಿಯಂದನುನ ‘ವ್ೇದಗಣಿತ್’ದಲಿಿ ಉಲ್ಿೇಖಿಸಿದ್. ಈ ಗಣಿತ್ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಮಾಡಲು ಈಗ ನಾವ್ು ಅನುಸರಿಸುತುರುವ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗಿಂತ್ ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನಗಳಳ ಇಲಿದಿರುವ್ುದು ಇದಕ್ು ಕಾರಣವಿರಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನಗಳಳ ನಮಮ ಪುರಾತ್ನರಿಗನ ತಳಿದಿದದವ್ು. ಇವ್ು ಪ್ಾಶಾಿತ್ಯರ ಕ್ನಡುಗ್ ಅಲ.ಿ ಇತುೇಚ್ಗ್ ‘ಸಿಪೇಡ್ ಮಾಯತಾಾಟಿಕ್ಿ’, ‘ಮಂಟ್ಲ್ ಅರಿತಾಾಟಿಕ್ಿ’ ಎಂಬ ಹ್ಸರಿನಲಿಿ ಹಣ ಸಂಪ್ಾದನ್ಗಾಗಿ ಒದಗಿಸುತುರುವ್ ಪಠ್ಯಕಾಮದಲಿಿ ತಾವ್ು ಸನಚಸುತುರುವ್ ಕ್ಲರುಹಾದಿಗಳಿಗನ ‘ವ್ೇದಗಣಿತ್’ದ ಹಣ್ಪಟಿಟ ತ್ಗುಲಿಸಿ ಮಾರಾಟ್ ಮಾಡುತುದಾದರ್. ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ಯಲಿಿ ಸಂಕಲನ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನದ ವಿವ್ರಣ್ಗ್ ಮಿೇಸಲಾಗಿರುವ್ ೩ ನ್ಯ ಅಧಾಯಯದಲಿ ಿ ಈ ಕುರಿತಾಗಿ ‘ಅಥ ಸಂಕಲಿತ್-ವ್ಯವ್ಕಲಿತ್ಯೇಃ ಕರಣಸನತ್ಾಂ ವ್ೃತಾುಧ್ಾಮ್’ (ಅಧ್ಾ ಪದಯಪಂಕ್ಲುಯಲಿಿ ಸಂಕಲನ -ವ್ಯವ್ಕಲನ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಸನತ್ಾ ಈಗ), ಎಂದು ಘನೇಷ್ಟಸಿದ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಒಂದು ಪಂಕ್ಲುಯ ಸನತ್ಾದ್ನಂದಿಗ್ [(ಸನತ್ಾಮ್) ಕಾಯಾಃಕಾಮಾದುತ್ುರಮತ್ನೇಥವಾಙ್ುಯೇಗ್ನೇ ಯರ್ಾ ಸ್ಾೆನಕಮಂತ್ರಂ] ಒಂದು ಪರಿೇಕ್ಷಾ ಪಾಶ್ನ ನಿೇಡಿ ಅಧಾಯಯ ಸಮಾಪಿುಗ್ನಳಿಸಿದಾದರ್. ಸಂಕಲನ ಅಥವ್
ವ್ಯವ್ಕಲನವ್ನುನ ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ು ಅಥವ್ ತ್ದಿಾರುದಧವಾಗಿ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯ ಪಾಕಾರ ಮಾಡಬ್ೇಕು ಎಂಬುದು ಈ ಸನತ್ಾದ ತರುಳಳ. ಶಾಲ್ಗಳಲಿ ಿ ಸ್ಾಮಾನಯವಾಗಿ ಈ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಬಲದಿಂದ ಎಡಮುಖವಾಗಿ ಮಾಡುವ್ುದನುನ ಕಲಿಸುತಾುರ್.
ಉದಾಹರಣ್ಗ್ ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಪರಿೇಕ್ಷಾಪಾಶ್ನಯನ್ನೇ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಳೂ್ ಳೇಣ. ಅದರ ಭಾವಾನುವಾದ ಇಂತದ್: ‘ಬುದಿಧವ್ಂತ್ ಬಾಲ್ ಲಿೇಲಾವ್ತಯೆೇ, ಸಂಕಲನ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನದಲಿ ಿ ನಿೇನು ಕುಶಲಿಯಾಗಿದದರ್ ೨, ೫, ೩೨,
೧೯೩, ೧೮, ೧೦, ೧೦೦ ಇವ್ುಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೧೦,೦೦೦ ದಿಂದ ಕಳ್ದರ್ ಫಲಿತಾಂಶವ್ೇನು ಎಂಬುದನುನ ನನಗ್ ಹ್ೇಳಳ’
ಇಂಥ ಸಂಕಲನದ/ವ್ಯವ್ಕಲನದ ಲ್ಕು ಮಾಡಲು ನಮಗ್ ಹ್ೇಳಿಕ್ನಟ್ಟದುದ ಹಿೇಗ್ (ಇದಕ್ು ಕ್ಲರುಹಾದಿ ಇಲಿ):
ಹಂತ್ ೧: ಮೊತ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನ್ನನಂದನುನ ಒಂದ್ೇ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯುಳಳ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಒಂದ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿರುವ್ಂತ್ ಬರ್ಯರಿ. ಕ್ನನ್ಯ ಸಂಖ್್ಯಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಡುಗ್ರ್ಯಂದನುನ ಎಳ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೨: ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ. ಲಭಿಸುವ್ ಮೊತ್ು ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಕಮಿಮ ಇದದರ್ ಅದನನನ ೧೦ ಅಥವ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಆಗಿದದರ್ ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯನನನ ಲ್ಕುದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ನ್ೇರದಲಿ ಿಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದು ಮೊತ್ುದ ದಶಸ್ಾನೆದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಲ್ಕುದ ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿಗ್ ಒಯುದ ಮೇಲಗಡ್ ಬರ್ಯರಿ.
8
ಹಂತ್ ೩: ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸುವಾಗ ಹಿೇಗ್ ಸ್ಾಲಿಗ್ ಸ್್ೇಪಾಡ್ಯಾದ ಅಂಕ್ಲಯನನನ ಸ್್ೇರಿಸಿಕ್ನಂಡು ಕನಡಿಸಬ್ೇಕು. ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ತಾಾನುಸ್ಾರ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು.
ಹಂತ್ ೪, ೫, ----: ಈ ರಿೇತಯಲಿಿ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸ್ಾೆನದ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಮೊತ್ು ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಕಮಿಮ ಇದದರ್ ಅದನನನ ೧೦ ಅಥವ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಆಗಿದದರ್ ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯನನನ ಲ್ಕುದ ಆಯಾ ಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ನ್ೇರದಲಿಿ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದು ಮೊತ್ುದ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಲ್ಕುದ ಮುಂದಿನ ಸ್ಾೆನದಲಿರಿುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿಗ್ ಒಯುದ ಮೇಲಗಡ್ ಬರ್ಯುವ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಎಲಿ ಸ್ಾನೆಗಳಿಗನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ವಿಸುರಿಸಿ.
ವ್ಯವ್ಕಲನದ ಲ್ಕುವಾಗಿದದರ್, ಯಾವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕ್ನೇ ಅದನುನ ಮೊದಲನ ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಬರ್ದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯಬ್ೇಕು. ಬರ್ಯುವಾಗ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಒಂದ್ೇ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರಬ್ೇಕು. ಏಕಸ್ಾೆನದ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಎಲ ಿನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿ ಿಮೇಲಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಕ್ಳಗಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಕಳ್ದು ಲಭಿಸಿದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಅದ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು. ಮೇಲಿನ ಅಂಕ್ಲ ಕ್ಳಗಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ಮೇಲಿನ ಅಂಕ್ಲಗ್ ೧೦ ಕನಡಿಸಿದ ಬಳಿಕ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕು ಮತ್ುು ಮುಂದಿನ ಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇದದ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ೧ ಕಳ್ದು ತ್ದನಂತ್ರ ಕಳ್ಯುವ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು.
ವ್ಯವ್ಕಲನಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ೧೦ ರ ಅಪವ್ತ್ಯಾದಿಂದ (ಉದಾ: ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦೦ —-)
ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದಾಗ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ಕ್ಲರುಹಾದಿಯಂದನುನ ‘ವ್ೇದಗಣಿತ್’ದಲಿ ಿಉಲ್ಿೇಖಿಸಿದ್ ಎಂದು ಈ ಮುನನವ್ೇ ಹ್ೇಳಿದ್ದೇನಲಿವ್?. ತ್ತ್ಿಂಬಧಿತ್ ಸನತ್ಾ ಇಂತದ್: ‘ಎಲಿವ್ೂ ಒಂಭತ್ುರಿಂದ
9
ಕ್ನನ್ಯದುದ ಹತ್ುರಿಂದ’. ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ೧೦ ರಿಂದಲನ ಉಳಿದ ಪಾತೇಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ೯ ರಿಂದಲನ ಕಳ್ಯರಿ ಎಂದು ಈ ಸನತ್ಾವ್ನುನ ಅರ್್ೈಾಸಬ್ೇಕು.
ಉದಾಹರಣ್: ೧೦೦೦೦ ದಿಂದ ೫೭೯೨ ಅನುನ ಕಳ್ಯರಿ.
ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೨. ಅದನುನ ೧೦ ರಿಂದ ಕಳ್ದು ಉಳಿದ ಪಾತೇ ಅಂಕ್ಲಯನನನ ೯ ರಿಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಅರ್ಾಾತ್, ೯-೫, ೯-೭, ೯-೯, ೧೦-೨. ಉತ್ುರ: ೪೨೦೮.
ಅಕಸ್ಾಮತ್, ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೦ ಆಗಿದದರ್, ಉತ್ುರದಲಿಿಯನ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ೦ ಬರ್ದು ಮುಂದಿನ ಸ್ಾೆನದಿಂದ ಸನತ್ಾ ಅನಾಯಸಿ (ಈಗಾಗಲ್ೇ ಮಾಡಿ ತ್ನೇರಿಸಿರುವ್ ೧೦೦೦೦ - ೩೬೦ ಇದಕ್ು ಉದಾಹರಣ್). ೦ ಇಂದ ೦ ಯನುನ ಕಳ್ಯಲು ಸ್ಾಧ್ಯ ಮತ್ುು ಕಳ್ದರ್ ಏನು ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ಎಂಬುದು ನಿಮಗ್ ತಳಿದಿದ್ಯಲಿವ್ೇ?
ಈ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ು ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯ ಪಾಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಅಂದಿದಾದರ್ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು. ವ್ೃತುಪರ ‘ಮಂಟ್ಲ್ ಮಾಯತಾಾಟಿಕ್ಿ’ ನಿಪುಣರು ಮಾಡುವ್ುದು ಇದನ್ನೇ! ಹ್ೇಗ್? ಈ ಮುನನ ಮಾಡಿದ ಸಂಕಲನ ಮತ್ುು ವ್ಯವ್ಕಲನ ಲ್ಕುವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ತಳಿಯೇಣ. ಸಂಕಲನ ಲ್ಕು ಇಂತದ್ಯಲಿವ್ೇ?
ಮೊದಲು ಶತ್ಸ್ಾೆನದಲಿರಿುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಕನಡಿಸಿಕ್ನಳಿಳ – ಒಂದು ನನರು ಕನಡಿಸು ಒಂದು ನನರು, ಇನನನರು. ತ್ದನಂತ್ರ ಆ ಅಂತಮ ಮೊತ್ುಕ್ು ದಶ ಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಒಂದ್ನಂದಾಗಿ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಕನಡಿಸುತಾು ಮುಂದುವ್ರಿಯರಿ – ಇನನನರು ಕನಡಿಸು ಮನವ್ತ್ುು = ಇನನನರಮನವ್ತ್ುು. ಇನನನರಮನವ್ತ್ುು ಕನಡಿಸು ತ್ನಂಭತ್ುು = ಮುನನನರ ಇಪಪತ್ುು. ಮುನನನರಿಪಪತ್ುು ಕನಡಿಸು ಹತ್ುು = ಮುನನನರಮನವ್ತ್ುು. ಮುನನನರಮನವ್ತ್ುು ಕನಡಿಸು ಹತ್ುು = ಮುನನನರನಲುವ್ತ್ುು. ಮುನನನರಮನವ್ತ್ುು ಕನಡಿಸು ಸ್್ನನ್ನ = ಮುನನನರನಲುವ್ತ್ುು. ತ್ದನಂತ್ರ ಅಂತಮ ಮೊತ್ುಕ್ು ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಒಂದ್ನಂದಾಗಿ ಕನಡಿಸಿ – ಮುನನನರನಲುವ್ತ್ುು ಕನಡಿಸು ಎರಡು = ಮುನನನರನಲುವ್ತ್ುರಡು. ಮುನನನರನಲುವ್ತ್ುರಡು ಕನಡಿಸು ಐದು = ಮುನನನರನಲವ್ತ್ುೇಳಳ. ಮುನನನರನಲವ್ತ್ುೇಳಳ ಕನಡಿಸು ಎರಡು = ಮುನನನರನಲವ್ತ್ನುಂಭತ್ುು. ಮುನನನರನಲವ್ತ್ನುಂಭತ್ುು ಕನಡಿಸು ಮನರು = ಮುನನನರ್ೈವ್ತ್ುರಡು. ಮುನನನರ್ೈವ್ತ್ುರಡು ಕನಡಿಸು ಎಂಟ್ು = ಮುನನನರ ಅರುವ್ತ್ುು. ಮುನನನರ ಅರುವ್ತ್ುು ಕನಡಿಸು ಸ್್ನನ್ನ ಕನಡಿಸು ಸ್್ನನ್ನ = ಮುನನನರ ಅರುವ್ತ್ುು. ಉತ್ುರ = ೩೬೦.
ವ್ಯವ್ಕಲನ ಲ್ಕು ಇಂತದ್ಯಲಿವ್?
ಹತ್ುುಸ್ಾವಿರದಿಂದ ಮುನನನರು ಕಳ್ದರ್ ಒಂಭತ್ುುಸ್ಾವಿರದಏಳಳನನರು, ಒಂಭತ್ುುಸ್ಾವಿರದ ಏಳಳನನರರಿಂದ ಅರುವ್ತ್ುು ಕಳ್ದರ್ ಒಂಭತ್ುುಸ್ಾವಿರದ ಆರುನನರನಲವ್ತ್ುು, ಒಂಭತ್ುುಸ್ಾವಿರದ ಆರುನನರನಲವ್ತ್ುರಿಂದ ಸ್್ನನ್ನ ಕಳದರ್ ಒಂಭತ್ುುಸ್ಾವಿರದ ಆರುನನರನಲವ್ತ್ುು. ಉತ್ುರ = ೬೪೦
10
ಈ ವ್ರ್ಗ್ ನಿೇವ್ು ಈ ವಿಧಾನ ಅಭಾಯಸ ಮಾಡದ್ೇ ಇದದದದರಿಂದ ಕಷಟವ್ಂದು ಅನಿನಸುವ್ ಸ್ಾಧ್ಯತ್ ಇದ್. ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿ ನ್ನೇಡಿ, ಪುಟ್ಟ ಲ್ಕುಗಳನುನ ಕಾಗದ ಪ್್ನಿಿಲ್ ಇಲಿದ್ಯೆೇ, ಕಾಯಲುಕುಯಲ್ೇಟ್ರ್ ಇಲಿದ್ಯೆೇ ನಿೇವ್ೇ ಮಾಡಬಲಿಿರಿ.
ಅಭಾಯಸ ರನಪದಲಿ ಿ ಸ್ಾಧ್ನ್ ಮಾಡದ್ೇ ಇದದರ್ ಯಾವ್ ಕುಶಲತ್ಯನ ಸಿದಿಧಸದು ಎಂಬುದು ನಿಮಗ್ ಗ್ನತುದ್ ಎಂದು ನಂಬುತ್ುೇನ್. ನಾವ್ು ಈ ವ್ರ್ಗ್ ಕಲಿತ್ದದರಿಂದ ಈ ತ್ಂತ್ಾ (ಕ್ನನ್ಯದದನುನ ಹ್ನರತ್ುಪಡಿಸಿ) ಭಿನನವಾಗಿಲಿ ಎಂದು ನಿರಾಶರಾಗಬ್ೇಡಿ. ಈ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಹ್ೇಗ್ ಕಲಿಯಬ್ೇಕ್ಂಬುದು ನಮಮ ಪೂವಿಾಕರಿಗ್ ತಳಿದಿತ್ುು. ಇವ್ು ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಅಥವ್ ಪ್ಾಶಾಿತ್ಯರ ಕ್ನಡುಗ್ಗಳಲಿ ಎಂಬುದನುನ ತಳಿದು ಹ್ಮಮ ಪಡಿ.
ಮುಂದ್ ನಮಮ ಪೂವಿಾಕರ ಪಾತಭ್ಗ್ ತ್ಲ್ದನಗುವ್ಂತ್ ಮಾಡಬಲಿ ಗುಣಾಕಾರ ಸಂಬಂಧಿತ್ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಪರಿಚ್ಯಸುತ್ುೇನ್.
೩. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ಲೇಲಾವ್ತೇ ಗರಂಥದಲಿ ಹಕೇಳಿರುವ್ ವಿಧಾನ್ಗಳು
ನಮಮ ಶಾಲ್ಗಳಲಿ ಿ ಗುಣಾಕಾರ ವಿವಿಧ್ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೨ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಕಲಿಸುತುದಾದರ್. ಲ್ಕು ಎಂಥದ್ದೇ ಆಗಿರಲಿ ಆ ವಿಧಾನಗಳನ್ನೇ ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕು ಅನುನವ್ುದು ಸರಿ ಅಲಿ. ವಾಸುವ್ವಾಗಿ, ಗುಣಕದ ಸಾರನಪವ್ನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ವಿಧಾನ ಆಯೆು ಮಾಡಬ್ೇಕು. ಹಿೇಗ್ ಮಾಡದ್ೇ ಇರುವ್ುದ್ೇ ಗಣಿತ್ವ್ು ಒಂದು ಕ್ಲಷಿಟ ವಿಷಯ ಎಂಬ ಭಾವ್ನ್ ಮನಡಲು ಕಾರಣ. ಈ ಲ್ೇಖನದಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ೇ ಎರಡನುನ ಮಾತ್ಾ ಶಾಲ್ಗಳಲಿಿ ಕಲಿಸುತುದಾದರ್.
‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ಯ ನಾಲುನ್ಯ ಅಧಾಯಯದಲಿಿ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಎರಡನವ್ರ್ ಪದಯಪಂಕ್ಲುಗಳಲಿಿ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಭಿನನ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಸನಚಸಿದಾದರ್. ಗುಣಕದ ಲಕ್ಷಣವ್ನುನ ಮತ್ುು ಗುಣಿಸುವ್ವ್ರ ಸ್ಾಮಥಯಾ ಆಧ್ರಿಸಿ ವಿಧಾನ ಆಯೆು ಮಾಡಬ್ೇಕು ಎಂಬುದಾಗಿ ಇದನುನ ಅರ್್ೈಾಸಬ್ೇಕು, ಇದು ನನನ ಅಭಿಮತ್. ಈಗ ಆ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ.
ವಿಧಾನ ೧, ನ್ೇರ ವಿಧಾನ: ಇದು ಎಲಿರಿಗನ ಸುಪರಿಚತ್ವಾಗಿರುವ್ ‘ನ್ೇರ ವಿಧಾನ’. ಗುಣಕ ೧ ರಿಂದ ೯ ರ ತ್ನಕದ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರನ ಈ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸುವ್ುದ್ೇ ಉತ್ುಮ ಅನುನವ್ುದು ನನನ ಅಭಿಮತ್. ೧ ರಿಂದ ೧೦ ರ ತ್ನಕದ ಮಗಿಗ ಕ್ನೇಷಟಕಗಳಳ ಕಂಠ್ಸೆವಾಗಿದದರ್ ಸ್ಾಕು. ಇದು ಸಂತ್ನೇಷದ ಸುದಿದಯಲಿವ್?
ಈಗಿನಂತ್ ೧ ರಿಂದ ೨೦ ರ ತ್ನಕದ ಮಗಿಗಕ್ನೇಷಟಕಗಳನುನ ಕಂಠ್ಸೆ ಮಾಡುವ್ುದಕ್ಲುಂತ್ ಇದು ಸುಲಭವ್ಲಿವ್? ಈ ವಿಧಾನದ ವಿವ್ರಣ್ ಅನಗತ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇನ್. ಎಂದ್ೇ, ಒಂದು ಉದಾಹರಣ್ ನಿೇಡಿ ಮುಂದುವ್ರಿಯುತ್ುೇನ್.
11
ವಿಧಾನ ೨, ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ ವಿಧಾನ: ಇದು ಇನ್ನನಂದು ಸುಪರಿಚತ್ ವಿಧಾನ. ಗುಣಕದಲಿಿ ಎರಡು ಅಥವ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದಾದಗ ಈ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಅನುಸರಿಸುವ್ಂತ್ ಶಾಲ್ಗಳಲಿ ಿ ಕಲಿಸುತುದಾದರ್. ಈ ವಿಧಾನದ ವಿವ್ರಣ್ಯನ ಅನಗತ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದ್ದೇನ್. ಎಂದ್ೇ, ಎರಡು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ನಿೇಡಿ ಮುಂದುವ್ರಿಯುತ್ುೇನ್.
೧ ನ್ಯ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ ಮೊದಲು ಗುಣಕದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೬ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗುಣಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗಿನಿಂದ ಬರ್ಯಲಾರಂಭಿಸಿದದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಗುಣಕದ ದಶ ಸ್ಾೆನದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗುಣಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗಿನಿಂದ ಬರ್ಯಲಾರಂಭಿಸಿದದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಈ ಎರಡನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕುಸಿರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ?
೨ ನ್ಯ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ ಮೊದಲು ಗುಣಕದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೩ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗುಣಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗಿನಿಂದ ಬರ್ಯಲಾರಂಭಿಸಿದದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಗುಣಕದ ದಶ ಸ್ಾೆನದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗುಣಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗಿನಿಂದ ಬರ್ಯಲಾರಂಭಿಸಿದದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಗುಣಕದ ಶತ್ ಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೮ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗುಣಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಶತ್ಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗಿನಿಂದ ಬರ್ಯಲಾರಂಭಿಸಿದದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಈ ಮನರನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕುಸಿರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ?
ಈ ರಿೇತ ಮಾಡುವ್ುದು ಏಕ್ಂಬುದನುನ ನಿೇವ್ು ವಿವ್ರಿಸಬಲಿಿರಾದರ್, ನಿೇವ್ು ಗಣಿತ್ ಕ್ನೇವಿದರು! ವಿವ್ರಿಸಲಾಗದಿದದರ್ ತ್ನಂದರ್ ಇಲಿ. ಮುಂದಿನ ವಿಧಾನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿದರ್ ಉತ್ುರ ಹ್ನಳ್ಯುವ್ ಸ್ಾಧ್ಯತ್ ಇದ್. ವಿಧಾನ ೩, ವಿಭಾಗಿಸುವ್ ವಿಧಾನ: ವಿಧಾನ ೨ ಕಷಟ ಅನಿನಸಿದದರ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕು ಅನಿನಸಿದರ್ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಇದು ಒಂದನ್ಯದುದ. ಈ ವಿಧಾನದಲಿ ಿನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ಗುಣಕವ್ನುನ ನಮಗ್ ಅನುಕನಲವಾಗುವ್ಷುಟ ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ಉದಾ: ಗುಣಕ ೨೬ = ೨೦ + ೬, ಗುಣಕ ೮೨೩ = ೮೦೦ + ೨೦ + ೩ (ಹಿೇಗ್ಯೆೇ ವಿಭಜಿಸಬ್ೇಕ್ಂಬ ನಿಯಮವಿಲಿ. ೨೬ ಅನುನ ೯ + ೯ + ೮ ಎಂದಾಗಲಿ
12
ಅಥವ್ ಬ್ೇರ್ ರಿೇತಯಲಿಿ ಆಗಲಿ ವಿಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರನ ಈ ಮೊದಲು ಸನಚಸಿದಂತ್ ವಿಭಾಗಿಸಿದರ್ ಗುಣಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ುದ್). ಗುಣಯವ್ನುನ ಪಾತೇ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಪಾತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಒಂದ್ೇ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯುಳಳ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಒಂದ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಬರುವ್ಂತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ನಂದು ಬರ್ಯರಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಎಲ ಿಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ೧೦ ರ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳಿಂದ (ಉದಾ: ೨೦, ೭೦, ೧೦೦ ಇತಾಯದಿ) ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಬಲು ಸುಲಭ ಎಂಬುದು ನ್ನಪಿನಲಿಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣ್ಗ್ ಗುಣಯದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಹಾಗ್ಯೆೇ ಬರ್ದು ಅದರ ಮುಂದ್ ಒಂದು ಸ್್ನನ್ನ ಸ್್ೇರಿಸಿದರ್ ೧೦ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತ್ಯನ ಎರಡು ಸ್್ನನ್ನಗಳನುನ ಲಗತುಸಿದರ್ ೧೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತ್ಯನ ಆಗುತ್ುದಲವಿ್ೇ. ೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸ ಬ್ೇಕಾದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ಮುಂದ್ ೧ ಸ್್ನನ್ನಯನನನ ೮೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಾದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ೮ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ಮುಂದ್ ೨ ಸ್್ನನ್ನಗಳನನನ ಲಗತುಸಿದರ್ ಸ್ಾಕು!
ವಿಧಾನ ೩, ಅಪವ್ತ್ಾನ ವಿಧಾನ: ಗುಣಕಕ್ು ಇರುವ್ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳನುನ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದು ಸ್ಾಧ್ಯವ್ೇ ಎಂಬುದನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಉದಾಹರಣ್: ೧೨೫ = ೫ x ೫ x ೫. ೭೨ = ೬ x ೬ x ೨. ೯೪ = ೪೭ x ೨. ಆ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳಿಂದ ಗುಣಯವ್ನುನ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಸುಲಭವ್ೇ ಎಂಬುದನನನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಸುಲಭ ಅನಿನಸಿದರ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಪವ್ತ್ಾನದಿಂದ ಗುಣಯವ್ನುನ ಗುಣಿಸಿ. ಈ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಎರಡನ್ೇ ಅಪವ್ತ್ಾನದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇಂತ್ು, ಪಾತೇ ಬಾರಿ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಮುಂದಿನ ಅಪವ್ತ್ಾನದಿಂದ ಗುಣಿಸುತಾು ಮುಂದುವ್ರಿದರ್ ಕ್ನನ್ಯ ಬಾರಿ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಗುಣಲಬಧವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧ. ವಿಭಾಗಿಸುವ್ ವಿಧಾನಕ್ಲುಂತ್ ಈ ಅಪವ್ತ್ಾನ ವಿಧಾನ ಸುಲಭ ಅನಿನಸುವ್ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿಿ ಇದನುನ ಆಯೆು ಮಾಡಿ.
13
ವಿಭಾಗಿಸುವ್ ವಿಧಾನಕ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ನಿೇಡಿ ವಿವ್ರಿಸುವಾಗ ‘೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸ ಬ್ೇಕಾದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ಮುಂದ್ ೧ ಸ್್ನನ್ನಯನನನ ೮೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಾದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ೮ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ಮುಂದ್ ೨ ಸ್್ನನ್ನಗಳನನನ ಲಗತುಸಿದರ್ ಸ್ಾಕು’ ಅಂದದುದ ಏಕ್ ಎಂಬುದನುನ ಈಗ ಊಹಿಸಬಲಿಿರಾ? ೨೦ = ೨ x ೧೦, ೮೦೦ = ೮ x ೧೦೦. ೧೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಅಂದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ಅದು ಇರುವ್ಂತ್ಯೆೇ ಬರ್ದು ಒಂದು ಸ್್ನನ್ನಯನನನ ೧೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಅಂದರ್ ಗುಣಯವ್ನುನ ಅದು ಇರುವ್ಂತ್ಯೆೇ ಬರ್ದು ಎರಡು ಸ್್ನನ್ನಗಳನನನ ಮುಂದ್ ಲಗತುಸಿದರ್ ಸ್ಾಕಲಿವ್ೇ? ಅಂದ ಮೇಲ್ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಗುಣಲಬಧದ ಮುಂದ್ ಒಂದು ಸ್್ನನ್ನ ಲಗತುಸಿದರ್ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ೧೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಂತ್ ಆಗುತ್ುದಲಿವ್ೇ?
ವಿಧಾನ ೩, ಸಂಕಲನ ಅಥವ್ ವ್ಯವ್ಕಲನ ವಿಧಾನ: ಗುಣಕವ್ು ೧೦ ಮತ್ುು ೧೦೦ ರ ನಡುವ್ ಇರುವ್ ೧೦ ರ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಸಮಿೇಪದ ಸಂಖ್್ಯ ಅಥವ್ ೧೦೦, ೧೦೦೦, ೧೦೦೦೦ ಮುಂತಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಸಮಿೇಪದ ಸಂಖ್್ಯ ಆಗಿದಾದಗ ಸುಲಭವಾಗಿ ಗುಣಿಸಲು ಈ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಆಯೆು ಮಾಡಬಹುದು ಎಂಬುದು ನನನ ಅಭಿಮತ್. ಈ ವಿಧಾನವ್ನುನ ರನಪ್ಾಂತ್ರಿಸಿದ ವಿಭಾಗಿಸುವ್ ವಿಧಾನ ಎಂದು ಹ್ಸರಿಸಿಲನಬಹುದು. ಈ ಮುಂದಿ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ
ಉದಾಹರಣ್ ೧: ೧೨೪ x ೧೮. ಗುಣಕ ೧೮ = ೨೦-೨. ಗುಣಯವ್ನುನ ೨೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನ್ಯ ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ಎರಡನ್ಯದನುನ ಕಳ್ಯರಿ. ೧೨೪ x ೨೦ = ೨೪೮೦
೧೨೪ x ೨ = ೨೪೮
೧೨೪ x ೧೮ = ೨೨೩೨
ಉದಾಹರಣ್ ೨: ೧೨೪ x ೭೨
ಗುಣಕ ೭೨ = ೭೦+೨. ಗುಣಯವ್ನುನ ೭೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನ್ಯ ಗುಣಲಬಧಕ್ು ಎರಡನ್ಯದನುನ ಕನಡಿಸಿ. ೧೨೪ x ೭೦ = ೮೬೮೦
೧೨೪ x ೨ = ೨೪೮
೧೨೪ x ೭೨ = ೮೯೨೮
14
ಉದಾಹರಣ್ ೩: ೧೨೪ x ೯೯೮
ಗುಣಕ ೯೯೮ = ೧೦೦೦-೨. ಗುಣಯವ್ನುನ ೧೦೦೦ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಮೊದಲನ್ಯ ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ಎರಡನ್ಯದನುನ ಕಳ್ಯರಿ. ೧೨೪ x ೧೦೦೦ = ೧೨೪೦೦೦
೧೨೪ x ೨ = ೨೪೮
೧೨೪ x ೯೯೮ = ೧೨೩೭೫೨
ಗಮನಿಸಿ: ವಿಭಾಗಿಸುವಿಕ್ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಕಳ್ಯುವಿಕ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಇಲಿವ್ೇ ಇಲಿ, ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವ್ಕಲನ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಸಂಕಲನ ಅಥವ್ ವ್ಯವ್ಕಲನದ ಸಂದಭ್ನೇಾಚತ್ ಬಳಕ್ ಇದ್. ಗುಣಕವ್ು ಮನರು ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಳಳ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಆಗಿದದರ್ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವ್ಕಲನ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಅನಾಯಸಲಾಗುವ್ುದಿಲಿ. ಉದಾಹರಣ್ಗ್ ಗುಣಕ ೩೯೧ ಆಗಿದದರ್ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವ್ಕಲನ ವಿಧಾನದಲಿ ಿ ೩೯೧=೩೯೦+೧ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸ ಬ್ೇಕು. ೩೯ ರಿಂದ ಗುಣಯವ್ನುನ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಇನ್ನನಂದು ಪಾತ್ಯೇಕ ಸಮಸ್್ಯ ಆಗುತ್ುದ್. ಈಗ ನಿೇವ್ೇ ಹ್ೇಳಿ, ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ಗಮನದಲಿಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಗುಣಿಸುವ್ ವಿಧಾನ ಆಯೆು ಮಾಡಿದರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ಲಿಷಟ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಅನಿನಸುತ್ುದ್ಯೆೇ? ‘ಖಂಡಿತ್ ಇಲ’ಿ ಎಂದ್ೇ ಉತ್ುರ ನಿೇಡುವಿರಿ ಎಂಬ ಭರವ್ಸ್್ ನನಗಿರುವ್ುದರಿಂದ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ನಿೇಡಿದ ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ನಿಮಗ್ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್. ಈ ಮುನನ ವಿವ್ರಿಸಿದ ಎಲ ಿವಿಧಾನಗಳನನನ ಒಂದ್ನಂದಾಗಿ ಉಪಯೇಗಿಸಿ ಪಾಯತನಸಿದರ್ ಒಳ ಳ್ಯದು ಎಂಬ ಸನಚ್ನ್ಯಂದಿಗ್. ಜಿಂಕ್ಮರಿಯ ಸುಂದರ ಚ್ಂಚ್ಲ ಕಣುಾಗಳಂಥ ಕಣುಾಗಳಳಳಳ ಲಿೇಲಾವ್ತಯೆೇ ಗುಣಾಕಾರದ ಈ ಎಲಿ ವಿಧಾನಗಳನುನ ನಿೇನು ಚ್ನಾನಗಿ ತಳಿದುಕ್ನಂಡಿದದರ್ ೧೩೫ ಅನುನ ೧೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ಗುಣಲಬಧವ್ಷುಟ ಮತ್ುು ಅದನುನ ೧೨ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ಲಭಯವಾಗುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?
ಇನನನ ಸುಲಭದ ಅಚ್ಿರಿ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ತಳಿಯಬ್ೇಕ್ೇ? ಮುಂದ್ ಓದಿ
೪. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ವಕೇದಗಣಿತ್ ಗರಂಥದಲಿ ಉಲಕೇಿಖವಾಗಿರುವ್ ವಿಧಾನ್ಗಳು
ಶಿಾೇ ಭಾರತೇ ಕೃಷಾ ತೇಥಾರು ರಚಸಿದ ‘ವ್ೇದಗಣಿತ್’ ಪುಸುಕದಲಿಿ ಉಲ್ಿೇಖಿಸಿರುವ್ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಧಾನಗಳಳ ಆಳವಾದ ಗಣಿತೇಯ ಜ್ಞಾನ ಉಳಳವ್ರು ರನಪಿಸಿದಾದರ್ ಅನುನವ್ದರಲಿಿ ಸಂಶಯ ಇಲವಿಾದರನ ವ್ೇದ ಕಾಲದಲಿ ಿಇದು ತಳಿದಿತ್ುಂಬುದಕ್ು ಪಾಬಲ ಪುರಾವ್ಗಳಿಲ.ಿ ಅದ್ೇನ್ೇ ಇರಲಿ ಸನಚತ್ ವಿಧಾನಗಳ ಉಪಯುಕುತ್ಯನನನ ಅವ್ು ಗಣಿತ್ಶಾಸ್ಾರಧಾರಿತ್ವಾಗಿರುವ್ುದನನನ ಯಾರನ ಅಲಿಗಳ್ಯುವ್ಂತಲ.ಿ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಂದಲನ ಈ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಹ್ನರಸ್್ಳ್ಯಬಹುದು. ಈ ಲ್ೇಖನದಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ಲವ್ು ಲ್ೇಖನಗಳಲಿ ಿ ಈ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಪರಿಚ್ಯಸುತ್ುೇನ್. ಅಂದ ಹಾಗ್ ‘ಸಿಪೇಡ್ ಮಾಯತಾಾಟಿಕ್ಿ’ ‘ಮಂಟ್ಲ್ ಮಾಯತಾಾಟಿಕ್ಿ’ ‘ವ್ೇದಿಕ್ ಮಾಯತಾಾಟಿಕ್ಿ’ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಲಿಿ ಶುಲು ವಿಧಿಸಿ ತ್ರಬ್ೇತ ನಿೇಡುವ್ ಸಂಸ್್ುಗಳಳ/ವ್ಯಕ್ಲುಗಳಳ ಇವ್ನ್ನೇ ಕಲಿಸುತಾುರ್.[ಗಮನಿಸಿ: ಪದಗಳಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸುವಾಗ ಇಡಿೇ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಬಲು ಉದದದಾದಗಿ ತ್ನೇರಿದರನ ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್, ಶಿಕ್ಷಕರ ಮುಖ್್ೇನ ಕಲಿತ್ರ್ ಬಲು ಪುಟ್ಟದಾಗಿರುವ್ಂತ್ ತ್ನೇರುತ್ುದ್. ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ಲ್ಕಾುಚಾರಗಳನುನ ಪೂರಣವಾಗಿ ಅಥವ್ ಭಾಗಶಃ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಿ ನ್ೇರವಾಗಿ ಉತ್ುರ ಬರಯಬಹುದು] ‘ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ುು ಅಡುವಾಗಿ’ ವಿಧಾನ: ಬಲು ಕುತ್ನಹಲಕಾರಿಯಾದ ಈ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ ನ್ರವಿನಿಂದ ಕಲಿಯುವ್ುದು ಸುಲಭ. ಈ ಲ್ೇಖನದಲಿಿ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಳಳಳತುದ್ದೇನ್. ತ್ದನಂತ್ರ ೩/೪/೫/— ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳಿಗ್ ಈ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ವಿಸುರಿಸ್್ನೇಣ.
15
ಉದಾಹರಣ್ ೧: ೮೬ x ೩೭ = ?
ಹಂತ್ ೧: ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳನುನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯನುನ ಗಮನದಲಿ ಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನ್ನನಂದನುನ ಬರ್ದು ಕ್ಳಗ್ ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳನುನ ಅದಲುಬದಲು ಮಾಡಿದರನ ಗುಣಲಬಧ ಬದಲಾಗದ್ೇ ಇರುವ್ುದರಿಂದ (೮೬ x ೩೭ = ೩೭ x ೮೬, ಈ ತ್ತ್ಾವ್ನುನ ಹಿಂದಿನ ಕಂತನಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸಿದ ವಿಧಾನಗಳಿಗನ ಅನಾಯಸಬಹುದು) ಯಾವ್ುದನುನ ಬ್ೇಕಾದರನ ಮೇಲ್ ಬರ್ಯಬಹುದು.
ಹಂತ್ ೨: ಎರಡನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗುಣಿಸಿ (ಉದಾ: ೬ x ೭) ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ (ಉದಾ:೪೨) ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಗುಣಲಬಧದಲಿಿ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದದರ್ ಚತ್ಾದಲಿ ಿತ್ನೇರಿಸಿದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ. ಬರ್ದದದರ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಒಂದು ಪುಟ್ಟ ಲಂಬರ್ೇಖ್್ ಎಳ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೩: ಮೇಲ್ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧಕ್ು (ಉದಾ: ೮ x ೭ = ೫೬) ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಮೇಲ್ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ (ಉದಾ: ೩ x ೬ = ೧೮) ಕನಡಿಸಿ (ಉದಾ: ೫೬+೧೮= ೭೪) ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಮೊದಲು ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಈ ಮುನನವ್ೇ ತಳಿಸಿದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರಬ್ೇಕಾದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಪಡ್ಯಬಹುದು
ಹಂತ್ ೪: ಎರಡನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗುಣಿಸಿ (ಉದಾ: ೮ x ೩ = ೨೪) ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೫: ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಬರ್ಯುವ್ ಹಂತ್ ಇದು. (ಅ) ಹಂತ್ ೨ ನಲಿ ಿಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಒಂದ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಇದದರ್ ಅದ್ೇ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ (ಉದಾ: ೪೨) ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ (ಉದಾ: ೨) ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಇದನುನ ಮೊದಲು ಬರ್ಯರಿ. (ಆ) ದಶಸ್ಾನೆದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ (ಉದಾ: ೪, ಅಂಕ್ಲ ಇಲಿದ್ೇ ಇದದರ್ ೦ ಇದ್ ಎಂದು ಕಲಿಪಸಿಕ್ನಳಿಳ) ಹಂತ್ ೩ ನಲಿ ಿಪಡ್ದ ಸಂಖ್್ಯಗ್ (ಉದಾ: ೭೪) ಸ್್ೇರಿಸಿ (ಉದಾ: ೭೪ + ೪ = ೭೮). ಇಂತ್ು ಪಡ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಒಂದ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಇದದರ್ ಅದ್ೇ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ (ಉದಾ: ೮) ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಇದನುನ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ. (ಇ) ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ (ಉದಾ: ೭, ಅಂಕ್ಲ ಇಲಿದ್ೇ ಇದದರ್ ೦ ಇದ್ ಎಂದು ಕಲಿಪಸಿಕ್ನಳಿಳ) ಹಂತ್ ೪ ನಲಿ ಿಪಡ್ದ ಸಂಖ್್ಯಗ್ (ಉದಾ: ೨೪) ಸ್್ೇರಿಸಿ (ಉದಾ: ೨೪ + ೭ = ೩೧). ಇಂತ್ು ಪಡ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧದ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಇಂತ್ು ಮಾಡಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಂತಮ ಗುಣಲಬಧ (ಉದಾ: ೩೧೮೨).
16
ಈ ಹಂತ್ಗಳನುನ ಮನ್ನೇಗತ್ವಾಗುವ್ಷುಟ ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದ ಬಳಿಕ ಅವ್ನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಿ ಅಥವ್ ಭಾಗಶಃ ಮನಸಿಿನಲಿಿ ಭಾಗಶಃ ಒಂದು ಕಾಗದದ ಚ್ನರಿನಲಿಿ ಬರ್ದುಕ್ನಂಡು ನ್ೇರವಾಗಿ ಉತ್ುರ ಬರ್ಯುವ್ುದು ಸ್ಾಧ್ಯ. (ನಾನು ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಬಲ್.ಿ ನಿೇವ್ೂ ಮಾಡಬಲಿಿರಿ, ತ್ುಸು ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್. ಆಗದಿದದರ್ ಚಂತ್ ಬ್ೇಡ, ಒಂದ್ಡ್ ಅಗತ್ಯವಿದದದದನುನ ಬರ್ದುಕ್ನಂಡು ಮಾಡಿ) ಇದಕ್ನುಂದು ಉದಾಹರಣ್ ನ್ನೇಡಿ:
ಈ ಮುಂದ್ ಇನನನ ಕ್ಲವ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಉತ್ುರದ್ನಂದಿಗ್ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್. ಅವ್ನುನ ನಿೇವ್ೇ ಸಾತ್ಃ ಮಾಡಿ ನ್ನೇಡಿ.
ಈ ತ್ಂತ್ಾದ ಹಿಂದಿನ ಮಮಾವ್ೇನ್ಂಬುದರ ವಿವ್ರಣ್ ಶಿಾೇಸ್ಾಮಾನಯನಿಗ್ ಬ್ೇಡವಾದರನ ಗಣಿತ್ಕ್ನೇವಿದರಿಗಾಗಿ ವಿವ್ರಣ್ರಹಿತ್ವಾದ ಅತೇ ಸಂಕ್ಷಿಪು ಸುಳಿವ್ು ಕ್ನಡುತುದ್ದೇನ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
17
೫. ಗುಣಾಕ್ಾರ, ವಕೇದಗಣಿತ್ ಗರಂಥದಲಿ ಉಲಕೇಿಖವಾಗಿರುವ್ ನಿರ್ದಿಷಟ ಸನಿನವಕೇಶಗಳಲಿ ಬಳಸಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷಟ ವಿಧಾನ್ಗಳು
‘ಹಿಂದಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ’ ವಿಧಾನ: * ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ು ೧೦ ಆಗಿದುದ * ಗುಣಯದ ಇತ್ರ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ೇ್ ಗುಣಕದ ಇತ್ರ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿಯನ ಇದಾದಗ ಮಾತ್ಾ ಈ ವಿಧಾನ ಉಪಯೇಗಿಸಬಹುದು. ಉದಾ: ೬೩ x ೬೭, ೮೨ x ೮೮, ೩೦೪ x ೩೦೬
ಇಂಥ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಇದಕನು ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ವಿಧಾನದಲಿಿಯನ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿಯನ ಗುಣಿಸಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಅನುಸರಿಸ ಬ್ೇಕಾದ ತ್ಂತ್ಾ ಇಂತದ್: * ಗುಣಿಸ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ನಂದರಂತ್ ಬರ್ದು ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಒಂದ್ೇ ಸ್ಾನೆಬ್ಲ್ಯುಳಳ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರಲಿ. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ:
* ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗುಣಿಸಿ. ಗುಣಲಬಧದಲಿ ಿ ಒಂದ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಇದದರ್ ಅದರ ಎಡಗಡ್ ‘೦’
ಲಗತುಸಿಯನ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಇರುವ್ಂತ್ಯೆೇ ಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ.
* ಉಳಿದ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಒಂದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಆ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಮತ್ುು ಅದಕ್ು ೧ ಕನಡಿಸಿದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿದದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಎಡ ಪಕುದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಇಂತ್ು ದ್ನರ್ತ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧ. ನಿೇಡಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿ ಿಮನರರಲಿ ಿತ್ಂತ್ಾವ್ನನನ ಸನಚಸಿದ್. ಆನಂತ್ರದ ಮನರರಲಿ ಿನ್ೇರವಾಗಿ ಉತ್ುರ ಬರ್ದಿದ್. ನಿೇವ್ು ಸಾತ್ಂತ್ಾವಾಗಿ ಆ ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯಬಲಿಿರಾ ಎಂಬುದನುನ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ. ೩ ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಗುಣಿಸುವಾಗ ೩ನ್ಯ ಹಂತ್ದಲಿ ಿ ಗುಣಾಕಾರದ ಇನ್ನನಂದು ಉಪಸಮಸ್್ಯ ಸೃಷ್ಟಟಯಾಗುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
ಗಣಿತ್ ಕ್ನೇವಿದರು ಈ ತ್ಂತ್ಾದ ಮಮಾ ತಳಿಯಲಿ ಎಂದು ಅಗತ್ಯವಿರುವ್ ಸುಳಿವ್ುಗಳನುನ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್
18
ಅನುರನಪವಾಗಿಸುವಿಕ್ ವಿಧಾನ: ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳ್ರಡನ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦, ಮುಂತಾದವ್ುಗಳ ಅಥವ್ ಅವ್ುಗಳ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳ ಸಮಿೇಪದ ಸಂಖ್್ಯಗಳಾಗಿದಾದಗ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಅನಾಯಸಬಹುದು. ಸಮಿೇಪ ಅಂದರ್ೇನು ಎಂಬುದನುನ ನಿಮಮ ವಿವ್ೇಚ್ನ್ಗ್ ಬ್ರಡುತ್ುೇನ್. ತ್ಂತ್ಾ ಅಥಾವಾದ ಬಳಿಕ ನಿೇವ್ೇ ತೇಮಾಾನಿಸಿ. ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ವ್ರಿಗ್ + x + = +, – x – = +, – x + = – ಇಷುಟ ತಳಿದಿರಬ್ೇಕು. ೧೦ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳ ಸಮಿೇಪದಲಿಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ೇ್ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಳ ಆಗಿರುವ್ಂಥ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಮೊದಲು ಆಯೆು ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಳತ್ುೇನ್. ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳ ಸಮಿೇಪವಿರುವ್ ಮನರು ಅಥವ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಮುಂದ್ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ. ಉದಾ: ೧೨ x ೧೪, ೩೮ x ೪೩, ೭೯ x ೭೮, ೨೩ x ೨೪, ೫೨ x ೪೭, ೯೨ x ೯೩,
ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಅನಾಯಸಲು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: * ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಳ ೧೦ ಸಂಖ್್ಯಯ ಯಾವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ (ಉದಾ: ೨೦, ೩೦, ೪೦, ೫೦, ೬೦ ,೭೦, ೮೦ ೯೦, ೧೦೦) ಸಮಿೇಪದಲಿಿ ಇವ್ ಎಂಬುದನನನ ಮತ್ುು ಆ ಸಂಖ್್ಯ ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಇದ್ ಎಂಬುದನನನ ತೇಮಾಾನಿಸಿ ನ್ನಪಿನಲಿಿಟ್ುಟಕ್ನಳಿಳ.
ಉದಾಹರಣ್ಯ ಕಾಮ ಸಂಖ್್ಯ
ಉದಾಹರಣ್ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಳ ೧೦ ಸಂಖ್್ಯಯ ಯಾವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಸಮಿೇಪದಲಿಿದ್
ಆ ಅಪವ್ತ್ಯಾ ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಇದ್ (ವಿವ್ರಣ್)
೧ ೧೨x೧೪ ೧೦ ೧ (೧೦=೧೦x೧) ೨ ೩೮x೪೩ ೪೦ ೪ (೪೦=೧೦x೪) ೩ ೭೯x೭೮ ೮೦ ೮ (೮೦=೧೦x೮) ೪ ೨೩x೨೪ ೨೦ ೨ (೨೦=೧೦x೨) ೫ ೫೨x೪೭ ೫೦ ೫ (೫೦=೧೦x೫) ೬ ೯೨x೯೩ ೯೦ ೯ (೯೦=೧೦x೯)
* ಈ ಮೊದಲಿನ ವಿಧಾನಗಳಲಿ ಿ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳನುನ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನ್ನನಂದನುನ ಬರ್ದು ಕ್ಳಗ್ ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ತ್ಂತ್ಾ ಮನ್ನೇಗತ್ವಾಗುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿತ್ನೇರಿಸಿದಂತ್
19
ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಎಡ ಭಾಗದ ಮೇಲುುದಿಯಲಿಿ ಅವ್ು ೧೦ ಸಂಖ್್ಯಯ ಯಾವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಸಮಿೇಪದಲಿಿದ್ ಎಂಬುದನುನ ಬರ್ದು ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದು ಗ್ರ್ ಎಳ್ಯುವ್ುದು ಒಳ ಳ್ಯದು.
ನಿೇವ್ು ಆಯೆು ಮಾಡಿದ ಅಪವ್ತ್ಯಾಕ್ಲುಂತ್ ಗುಣಯ ಎಷುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಥವ್ ಎಷುಟ ಕಮಿಮ ಇದ್ ಎಂಬುದನುನ
ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಗುಣಯದ ನ್ೇರದಲಿಿಯೆೇ ಲಂಬರ್ೇಖ್್ಯ ಬಲ ಪಕುದಲಿಿ ಸಂದಭ್ನೇಾಚತ್ವಾಗಿ ‘+’ ಅಥವ್ ‘-‘ಚಹ್ನ ಲಗತುಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಅಂತ್ಯೆೇ ಗುಣಕ ಎಷುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಥವ್ ಎಷುಟ ಕಮಿಮ ಇದ್ ಎಂಬುದನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಗುಣಯದ ನ್ೇರದಲಿಿಯೆೇ ಲಂಬರ್ೇಖ್್ಯ ಬಲ ಪಕುದಲಿ ಿ ಸಂದಭ್ನೇಾಚತ್ವಾಗಿ ‘+’ ಅಥವ್ ‘-‘ಚಹ್ನ ಲಗತುಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಯಾವ್ ಚಹ್ನಯನುನ ಲಗತುಸದ್ೇ ಬರ್ದರ್ + ಇದ್ ಎಂದು ಅರ್್ೈಾಸುವ್ುದು ವಾಡಿಕ್.
* ಲಂಬರ್ೇಖ್್ಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ + ಅಥವ್ – ಚಹ್ನಯುತ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ನಿಯಮಾನುಸರ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಅವ್ುಗಳ ನ್ೇರದಲಿಿ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಗುಣಲಬಧವ್ು + ಚಹ್ನಯುತ್ವಾಗಿದಾದಗ,
ಗುಣಲಬಧವ್ು – ಚಹ್ನಯುತ್ವಾಗಿದಾದಗ ಬರ್ಯುವ್ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿ ಿ ತ್ನೇರಿಸಿದ್. ಅದನುನ ಗಮನಿಸಲು ಮರ್ಯದಿರಿ.
* ಗುಣಯದ ಎದುರು ಇರುವ್ ಚಹ್ನಯುತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಗುಣಕಕ್ು ಅಥವ್ ಗುಣಕದ ಎದುರು ಇರುವ್ ಚಹ್ನಯುತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಗುಣಯಕ್ು ಚಹ್ನಯನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಕನಡಿಸಿ ಅಥವ್ ಕಳ್ದು ಗುಣಯ ಗುಣಕಗಳ ನ್ೇರದಲಿಿ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ.
20
* ಆರಂಭದಲಿಿ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಳ ೧೦ ಸಂಖ್್ಯಯ ಯಾವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಸಮಿೇಪದಲಿಿ ಇವ್ ಎಂಬುದನನನ ಮತ್ುು ಆ ಸಂಖ್್ಯ ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಇದ್ ಎಂಬುದನನನ ತೇಮಾಾನಿಸಿ ನ್ನಪಿನಲಿಿಟ್ುಟಕ್ನಂಡಿದಿದೇರಲಿವ್? ‘೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಇದ್’ ಎಂಬುದನುನ ಸನಚಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಗುಣಿಸಿ ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಮೊದಲು ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲ. ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಹ್ನರತ್ುಪಡಿಸಿ ಮಿಕುಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿ ಹ್ಚ್ುಿಕಮಿಮ ಈ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುತ್ುವ್.
* ಇಂತ್ು ಪಡ್ದ ನನತ್ನ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ೧೦ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಇದು ಆಧಾರವಾಗಿ ೧೦ ಅಥವ್ ಅದರ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳನುನ ಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಿಗ್ ಮಾತ್ಾ ಅನಾಯವಾಗುತ್ುದ್) ಲಂಬರ್ೇಖ್್ಯ ಬಲ ಪಕುದಲಿಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅದರ ಚಹ್ನಯನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಕನಡಿಸಿ ಅಥವ್ ಕಳ್ದರ್ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧ.
ಮೇಲ್ನನೇಟ್ಕ್ು ತಾಾಸದಾಯಕ ಅನಿನಸಬಹುದಾದ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ತ್ುಸು ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್ ಬಲು ಸುಭ ಅನಿನಸಲಾರಂಭಿಸುತ್ುದ್. ಪಾಯತನಸಿ ನ್ನೇಡಿ. ಕಷಟ ಅನಿನಸಿದರ್ ಚಂತ್ ಬ್ೇಡ, ಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾಗಳಲಿ ಿಯುಕುವಾದದದನುನ ಪಾಯೇಗಿಸಿ. ಈ ತ್ಂತ್ಾದ ಸ್್ೈದಾಧಂತಕ ರಹಸಯ ಏನು ಎಂಬ ಕುತ್ನಹಲ ಇರುವ್ ಗಣಿತ್ಕ್ನೇವಿದರಿಗಾಗಿ ಮುದ್ ಸಂಕ್ಷಿಪು ಸುಳಿವ್ು ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
21
‘ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ುು ಅಡುವಾಗಿ’ ವಿಧಾನದಿಂದ ಮನರು ಅಥವ್ ಅದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ತಳಿಯಲು ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ಅಭಯಸಿಸಿ
ಇವ್ಲಿ ಬಲು ಸಂಕ್ಲೇಣಾ ಅನಿನಸುತ್ುದ್ಯೆೇ? ತೇಮಾಾನಿಸುವ್ ಮುನನ ನಿೇವ್ು ಗಮನಿಸ ಬ್ೇಕಾದ ಅಂಶವಂದು ಇಂತದ್: ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವ್ಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ, ಭಾಗಾಕಾರ ಮುಂತಾದ ಗಣಿತ್ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ, ಅವ್ು ಎಷ್್ಟೇ ಕ್ಲಿಷಟವಾದವ್ು ಆಗಿರಲಿ, ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಅಥವ್ ಬರ್ದು ಮಾಡಬ್ೇಕಾಗಿದದ ಕಾಲದಲಿ ಿ ಇವ್ನುನ ನಮಮ ಪೂವಿಾಕರು ಈ
22
‘ಕ್ಲರುಹಾದಿ’ಗಳನುನ ಆವಿಷುರಿಸಿದರು ಎಂಬುದನುನ ಮರ್ಯಕನಡದು. ಈ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಕ್ಷಣಾಧ್ಾದಲಿಿ ಮಾಡಬಲ ಿಗಣಕಗಳಳ ಇಂದು ಇವ್ಯಾದದರಿಂದ ಈ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಅನಾಯಸಿ ಅವ್ನುನ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಅನಿವಾಯಾತ್ ಇಲ.ಿ ಆದದರಿಂದ ದ್ೈನಂದಿನ ವ್ಯವ್ಹಾರಕ್ು ಎಷುಟ ಅಗತ್ಯವೇ ಅಷುಟ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡಿದುದ ಮಿಕುವ್ುಗಳ ಕುರಿತ್ು ಸ್್ೈದಾಧಂತಕ ತಳಿವ್ಳಿಕ್ ಗಳಿಸಿದದರ್ ಸ್ಾಕ್ಂಬುದು ನನನ ಅಭಿಮತ್. ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಲಿ ಿತ್ಲಾ ಮನರು ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ ಗುಣಾಕಾರ ಭಾಗಾಕಾರಗಳನುನ ನಾವ್ು ಮಾಡುವ್ುದು ವಿರಳವಾದದರಿಂದಲನ ಮಾಡಲ್ೇಬ್ೇಕಾದ ಅನಿವಾಯಾತ್ ಉಂಟಾದಾಗ ಲಭಯವಿರುವ್ ಪುಟ್ಟ ಗಣಕಗಳನುನ ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ುದು ಸುಲಭವಾದದರಿಂದಲನ ಅವ್ುಗಳನುನ ವಿವ್ರವಾಗಿ ವ್ಣಿಾಸುವ್ ಗ್ನೇಜಿಗ್ ಹ್ನೇಗುವ್ುದಕ್ು ಬದಲಾಗಿ ಸನಚ್ಯವಾಗಿ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ ಮುಖ್್ೇನ ತಳಿಸುತ್ುೇನ್. ಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ತ್ಾವ್ನುನ ಗಾಹಿಸಿ ಜಿೇಣಿಾಸಿಕ್ನಂಡರ್ ಮುಂದ್ ಸಂದಭಾಾನುಸ್ಾರ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮಾಪ್ಾಾಟ್ುಗಳನುನ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡು ಪಾಯೇಗಿಸುವ್ುದು ಕಷಟವಾಗಲಾರದು.
ತ್ಲಾ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಿದಾದಗ ಕಾಮಿಸಿದ ಹಂತ್ಗಳಿಗಿಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಸಂಖ್್ಯಯ ಹಂತ್ಗಳನುನ ಈ ಬಾರಿ ಕಾಮಿಸಬ್ೇಕಾದದದನುನ ನಿೇವ್ು ಗಮನಿಸಿರಬಹುದು. ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಲಿಿ ತ್ಲಾ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಹ್ಚಿದಂತ್ಲಿ ಅದಕುನುಗುಣವಾಗಿ ಕಾಮಿಸಬ್ೇಕಾದ ಹಂತ್ಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯನ ಹ್ಚ್ುಿತ್ುದ್. ಇವ್ರಡರ ನಡುವ್ಣ ಸಂಬಂಧ್ದ ಸನೆಲ ಪರಿಚ್ಯ ಮಾಡುತ್ುದ್ ಈ ಕ್ನೇಷಟಕ:
ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ೨ ೩ ೪ ೫
ಹಂತ್ಗಳ ಸಂಖ್್ಯ (ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯುವ್ ಅಂತಮ ಹಂತ್ ಬ್ರಟ್ುಟ) ೩ ೫ ೭ ೯
ಇದನುನ ಪುಷ್ಟಟೇಕರಿಸಲ್ನೇಸುಗ ತ್ಲಾ ನಾಲುು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ತ್ಲಾ ಮನರು ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಿದಾದಗ ‘ಹಿಂದಿನದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ’ ವಿಧಾನ ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ತಳಿಯಲು ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಅಭಯಸಿಸಿ
23
ತ್ಲಾ ಮನರು ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಅಥವ್ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳ ಸಮಿೇಪವಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳನುನ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಾಗಿದಾದಗ ಅನುರನಪವಾಗಿಸುವಿಕ್ ವಿಧಾನದಲಿ ಿಮಾಡಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕಾದ ಮಾಪ್ಾಾಟ್ುಗಳ ೇ್ನು ಎಂಬುದನುನ ತಳಿಯಲು ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಆಧಾರ ೧೦ ಆಗಿದಾದಗ ೧೦ ರಿಂದಲನ, ೧೦೦ ಆಗಿದಾದಗ ೧೦೦ ರಿಂದಲನ ಲಂಬರ್ೇಖ್್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯಲ್ನೇಸುಗ ಗುಣಿಸಿದದನುನ ನಿೇವ್ು ಗಮನಿಸಿದಿದೇರಿ. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾದ ಆಧಾರ ೧೦೦೦ ಆಗಿದದರ್ ೧೦೦೦ ದಿಂದ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಲಿವ್?
ಇಂದು ಈ ಎಲಿ ತ್ಂತ್ಾಗಳ ಉಪಯುಕುತ್ಯ ಕುರಿತ್ು ತೇಮಾಾನಿಸುವ್ ಮುನನ ನಿೇವ್ು ಕ್ಲವ್ು ಅಂಶಗಳನುನಮಲುಕು ಹಾಕುವ್ುದು ಒಳ ಳ್ಯದು. ಅವ್ು ಇಂತವ್:
ಗಣಿತೇಯ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳಿಗ್ ಒಳಪಡಿಸಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಎಷ್್ಟೇ ದ್ನಡುವ್ು ಆಗಿದದರನ ಕ್ಷಣಾಧ್ಾದಲಿ ಿ ಅವ್ನುನ ಮಾಡಬಲಿ ಮಾಂತಾಕ ವಿಧಾನ ನಮಮ ಪೂವಿಾಕರ ಹತುರ ಇರಲಿಲಿ. ಇಂದಿನಂತ್ ಗಣಕಯಂತ್ಾಗಳಳ ಇಲದಿಿದದ ಆ ಕಾಲದಲಿ ಿ ಗಣಿತ್ಶಾಸ್್ನರೇಕು ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅನುಕನಲವಾಗುವ್ಂತ್ ತ್ಮಮದ್ೇ ಆದ ಕ್ಲರುಹಾದಿಗಳನುನ ಅವ್ರು ಆವಿಷುರಿಸಿದಂತ್ ತ್ನೇರುತ್ುದ್. ಇಲಿ ಿ ಒಂದು ಕ್ಲರುಹಾದಿ ಇಲ,ಿ ಅನ್ೇಕವಿವ್ ಎಂಬುದು ಗಮನಾಹಾ ವಿಷಯ. ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಗಣಿತೇಯ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ, ಗಣಿತೇಯ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳ
24
ಸಾರನಪ ಇವ್ನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಲಭಯವಿದದ ಕ್ಲರುಹಾದಿಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯುಕುವಾದದದನುನ ಆಯೆುಮಾಡಬ್ೇಕು. ಶಾಸರಜ್ಞಾನ ಇಲಿದವ್ರನ ಈ ಕ್ಲರುಹಾದಿಗಳನುನ ಯಾಂತಾಕವಾಗಿ ಅನುಸರಿಸಿದರನ ಸಮಸ್್ಯಗ್ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ುರ ದ್ನರ್ಯುವ್ುದರಿಂದ ಶಾಸರಜ್ಞಾನ ಇಲಿದವ್ರಿಗ್, ವಿಶ್ೇಷವಾಗಿ ಗಣಕಗಳ ನ್ರವ್ು ಇಲಿದ್ ಅತ್ಯಂತ್ ಸರಳ ಲ್ಕಾುಚಾರಗಳನನನ ಮಾಡಲಾಗದ ಸಿೆತ ತ್ಲುಪಿರುವ್ ಇಂದಿನ ಅನ್ೇಕರಿಗ್ ಇವ್ು ‘ಅದುಯತ್’ ಅನಿನಸುವ್ುದರಲಿ ಿಆಶಿಯಾವಿಲಿ. ಇಂದಿನವ್ರ ಈ ಮನಸಿೆತಯ ಲಾಭ ಪಡ್ದು ಪೂವಿಾಕರು ಆವಿಷುರಿಸಿದದ ಗಣಿತೇಯ ಕ್ಲರುಹಾದಿಗಳನುನ ಕಲಿಯುವ್ುದರಿಂದ ಆಗುವ್ ‘ಕಲಿಪತ್ ಲಾಭಗಳ’ ವ್ಣಾರಂಜಿತ್ ವ್ಣಾನ್ ನಿೇಡಿ ಅವ್ನುನ ಕಲಿಸುವ್ುದನ್ನೇ ಜಿೇವ್ನ್ನೇಪ್ಾಯವಾಗಿ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡವ್ರ ಸಂಖ್್ಯಯನ ಬಲು ದ್ನಡುದಿರುವ್ಂತ್ ತ್ನೇರುತ್ುದ್. ಗಣಕಗಳಳ ಲಭಯವಿಲಿದ್ೇ ಇದದರನ ಲ್ಕುಗಳನುನ ಮಾಡಲು ಈ ತ್ಂತ್ಾಗಳಳ ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುವ್ುದರಿಂದ ಿ ವ್ನುನ ಕಲಿಯುವ್ದು ಒಳ ಳ್ಯದು ಎಂಬ ನಂಬ್ರಕ್ ನನನದು. ಭಾರತ್ದ ಮೇಲ್ ಧಾಳಿ ಮಾಡಿದ ಪರಕ್ಲೇಯರು ಇಲಿಿನ ಜ್ಞಾನಸಂಚ್ಯವ್ನನನ ಶಿಕ್ಷಣ ವ್ಯವ್ಸ್್ೆಯನನನ ಜ್ಞಾನಸಂಚ್ಯಮಾಡುತುದದವ್ರನನನ ವ್ಯವ್ಸಿತೆ್ವಾಗಿ ನಾಶಪಡಿಸಿದದರಿಂದ ಪೂವಿಾಕರ ಜ್ಞಾನಸಂಚ್ಯ ಮುಂದಿನ ಪಿೇಳಿಗ್ಗ್ ವ್ಗಾಾವ್ಣ್ ಆಗಲನ ಇಲ,ಿ ವಿಕಸಿಸಲನ ಇಲಿ. ಒಂದುವ್ೇಳ ್ಆಗಿದಿದದದರ್ ವಿಶಾಸಮುದಾಯದಲಿಿ ಭಾರತ್ವ್ನುನ ಮಿೇರಿಸಬಲಿ ರಾಷರ ಇರುತ್ುಲ್ೇ ಇರಲಿಲಿ ಎಂಬುದು ನನನ ಖ್ಾಸಗಿ ಅಭಿಪ್ಾಾಯ.
೬ ಸಂಖ್ಕಯಗಳ ವ್ಗಿ ಲಕಕ್ಕೆಸುವಿಕ್ಕ
ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಗುಣಲಬಧವ್ೇ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾ. ಅಂದ ಮೇಲ್, ಸಂಖ್್ಯಯ ಸಾರನಪವ್ನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ‘ಲಿೇಲಾವ್ತೇ’ನಲಿಿ ಅಥವ್ ‘ವ್ೇದಗಣಿತ್’ದಲಿಿ ಸನಚಸಿದ ಗುಣಾಕಾರದ ತ್ಂತ್ಾಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯುಕುವಾದದದನುನ ಆಯುದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾ. ವಿಷಯ ಇಷ್್ಟೇ ಆಗಿದದರ್ ಈ ಲ್ೇಖನ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾಗಿಯೆೇ ಇರಲಿಲಿ. ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ವ್ಗಾ ಲ್ಕ್ಲುಸಲು ನ್ರವಾಗುವ್ ಮನರು ವಿಶಿಷಟ ಕುತ್ನಹಲಕಾರಿೇ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ತಳಿಸಿದಾದರ್. ಅವ್ುಗಳನುನ ಈ ಲ್ೇಖನದಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸುತ್ುೇನ್. ವಿಧಾನ ೧: ಮೇಲ್ನನೇಟ್ಕ್ು ಸುದಿೇರ್ಾವಾದ ವಿಧಾನದಂತ್ ಗ್ನೇಚ್ರಿಸುವ್ ಇದು ವಾಸುವ್ವಾಗಿ ಅತ್ಯಂತ್ ಸರಳವಾದದುದ ಮತ್ುು ಸಂಖ್್ಯ ಎಷ್್ಟೇ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರನ ವ್ೇಗವಾಗಿ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದಾದದುದ, ಬಲು ಜ್ಾಗರನಕತ್ಯಂದ ಅಭಯಸಿಸಿದರ್. ಎಂದ್ೇ, ನಿೇಡಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಬಲು ಜ್ಾಗರನಕತ್ಯಂದ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ನಿಮಗ,
ಅಥಾವಾಗಲಿ ಎಂಬುದಕ್ನುೇಸುರ ಅಡುಗ್ರ್ಗಳನನನ ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಗಳನನನ ಎಳ್ದಿದ್. ತ್ಂತ್ಾ ಕರಗತ್ವಾದ ನಂತ್ರ ಅವ್ುಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲಿ. ಹಂತ್ ೧: ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಬರ್ದು, ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿಿ ಸನಚಸಿದಂತ್ ಅಡು ಮತ್ುು ನಿೇಟ್ ಗ್ರ್ಗಳನುನ ಎಳ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೨: ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದ ತ್ುಟ್ಟತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ವ್ಗಾದ ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯು ಆ ಅಂಕ್ಲಯ ಮೇಲ್ ಅದ್ೇ ನ್ೇರದಲಿ ಿಇರುವ್ಂತ್ ಬರ್ಯರಿ.
25
ಹಂತ್ ೩: ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದ ತ್ುಟ್ಟತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಎರಡರಷಟರಿಂದ ತ್ದನಂತ್ರದ ಪಾತೇ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯು ಆಯಾ ಅಂಕ್ಲಯ ಮೇಲ್ ಅದದ್ೇ ನ್ೇರದಲಿಿ ಇರುವ್ಂತ್ ಬ್ೇರ್ ಬ್ೇರ್ ಅಡು ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೪: ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಮೊದಲು ಬರ್ದಿದದ ಅಡುಸ್ಾಲಿನ ಕ್ಳಗಿನ ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ಸ್ಾೆನಾಂತ್ರಿಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದ ತ್ುಟ್ಟತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲ. ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಗ್ ಅನಾಯಸುವ್ಂತ್ ಹಂತ್ ೨ ಮತ್ುು ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಪುನರಾವ್ತಾಸಿ.
ಹಂತ್ ೫: ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಎರಡನ್ೇ ಬಾರಿ ಬರ್ದಿದದ ಅಡುಸ್ಾಲಿನ ಕ್ಳಗಿನ ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಇನನನ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ಸ್ಾೆನಾಂತ್ರಿಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದ ತ್ುಟ್ಟತ್ುದಿಯ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲ (ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ). ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಗ್ ಅನಾಯಸುವ್ಂತ್ ಹಂತ್ ೨ ಮತ್ುು ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಪುನರಾವ್ತಾಸಿ.
26
ಉದಾಹರಣ್ ೧ ರಲಿ ಿಹಂತ್ ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಂಕ್ಲಗಳ ೇ್ ಇಲಿದಿರುವ್ುದರಿಂದ ಇದ್ೇ ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯುವ್ ಹಂತ್ದ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ವ್ೂ ಆಗಿದ್. ಎಂದ್ೇ ಈ ಹಂತ್ದ ನಂತ್ರ ಕ್ನನ್ಯ ಹಂತ್ದ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಜರಗಿಸಬ್ೇಕು. ಉದಾಹರಣ್ ೨ ರಲಿಿ ಹಂತ್ ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಜರಗಿಸಿ.
ಹಂತ್ ೬: ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಮನರನ್ೇ ಬಾರಿ ಬರ್ದಿದದ ಅಡುಸ್ಾಲಿನ ಕ್ಳಗಿನ ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇನನನ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ಸ್ಾೆನಾಂತ್ರಿಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದ ತ್ುಟ್ಟತ್ುದಿಯ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲ (ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ). ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಗ್ ಅನಾಯಸುವ್ಂತ್ ಹಂತ್ ೨ ಮತ್ುು ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಪುನರಾವ್ತಾಸಿ. ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಸಂಪುಣಾವಾಗಿ ಪುನರಾವ್ತಾಸಿದ ಬಳಿಕ ಕ್ಳಗಿನ ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇನನನ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ಸ್ಾೆನಾಂತ್ರಿಸಿ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಬರ್ಯುವಿಕ್, ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕ್ಲದದಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಹ್ನಡ್ದು ಹಾಕುವಿಕ್, ಹಂತ್ ೨ ಮತ್ುು ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಜರಗಿಸುವಿಕ್ ಇವ್ನುನ ಹಂತ್ ೩ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಂಕ್ಲಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲ ಿಅನುನವ್ ತ್ನಕ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು
27
ಅಂತಮ ಹಂತ್: ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲು ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯಯ ಒಂದು ಸ್ಾೆನವ್ನುನ ಪಾತನಿಧಿಸುತ್ುದ್ (ಬಲತ್ುದಿಯ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲು ಏಕಸ್ಾೆನವ್ನುನ, ಅದರ ಹಿಂದಿನದುದ ದಶಸ್ಾನೆವ್ನುನ —–). ಸಂಕಲನ ನಿಯಮಾನುಸ್ಾರ ಬಲತ್ುದಿಯ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಿಂದಾರಂಭಿಸಿ ಪಾತೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾ ಸಂಖ್್ಯ.
ವಿಧಾನ ೨
28
ಇರುವ್ಂತ್ಯೆೇ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ತ್ುಸು ಕಷಟ ಅನಿನಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಗುಣಿಸಿ ವ್ಗಾ ಲ್ಕ್ಲುಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸ ಬಹುದಾಗಿದದರ್ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗಿಸಿ. ಸುಲಭವಾಗಿ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಗುಣಿಸಿ ವ್ಗಾ ಲ್ಕ್ಲುಸಬಹುದಾದ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿ, ಪಾತೇ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬರ್ದಿಟ್ುಟಕ್ನಳಿಳ. ಎರಡನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಎರಡರಷಟನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ, ನಿೇವ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿದ ಮನರನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಮೊತ್ುವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾ ಸಂಖ್್ಯ. ಉದಾಹರಣ್ ೧: ೩೦೭೨ = ?
೩೦೭ = ೩೦೦ + ೭
೩೦೦೨ = ೯೦೦೦೦
೭೨ = ೪೯
೨ x ೩೦೦ x ೭ = ೪೨೦೦
ಮೊತ್ು = ೯೪೨೪೯
ಉದಾಹರಣ್ ೨: ೧೦೦೨೫೨ = ?
೧೦೦೨೫ = ೧೦೦೦೦ + ೨೫
೧೦೦೦೦೨ = ೧೦೦೦೦೦೦೦೦
೨೫೨ = ೬೨೫
೨ x೧೦೦೦೦ x ೨೫ = ೫೦೦೦೦೦
ಮೊತ್ು = ೧೦೦೫೦೦೬೨೫
ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಹಂತ್ಗಳನುನ ಬರ್ಯುವ್ುದನುನ ಸಂಕ್ಷ್ೇಪಿಸಿ ಇಂತ್ನ ಬರ್ಯ ಬಹುದು.
ವಿಧಾನ ೩
ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಗುಣಿಸಿ ವ್ಗಾ ಹ್ೇಳಬಹುದಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಅಥವ್ ಅದರಿಂದ ಕಳ್ದರ್ ೧೦೦ ರ ಒಳಗಿನ ೧೦ ರ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳಳ, ಅಥವ್ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳ ಅಪವ್ತ್ಯಾಗಳಳ ಲಭಿಸುವ್ಂತದದರ್ ಈ ವಿಧಾನ ಉತ್ುಮ. ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಅನುಕನಲಕರವಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕನಡಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಅದ್ೇ ಅನುಕನಲಕರವಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕಳ್ದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧಕ್ು ಅನುಕನಲಕರವಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾ,
ಉದಾಹರಣ್ ೧: ೪೯೭೨=?
೪೯೭ + ೩ = ೫೦೦. ೪೯೭ – ೩ = ೪೯೪
೫೦೦ x ೪೯೪ = ೨೪೭೦೦೦, ೩೨ = ೯
29
೨೪೭೦೦೦ = ೯ = ೨೪೭೦೦೯
ಉದಾಹರಣ್ ೨: ೨೦೨೫೨=?
೨೦೨೫-೨೫=೨೦೦೦, ೨೦೨೫+೨೫=೨೦೫೦
೨೦೦೦ x ೨೦೫೦ = ೪೧೦೦೦೦೦, ೨೫೨=೬೨೫
೪೧೦೦೦೦೦+೨೫= ೪೧೦೦೬೨೫
ಗಣಿತ್ ಕ್ನೇವಿದರ ಕುತ್ನಹಲ ತ್ಣಿಸಲ್ನೇಸುಗ ಈ ಮಾಹಿತ: ವಿಧಾನ ೧ – (a+b+c+—)2 ಅಧಾರಿತ್
ವಿಧಾನ ೨ – (a+b)2 ಅಧಾರಿತ್
ವಿಧಾನ ೨ – (a+b)(a-b) ಅಧಾರಿತ್
ಈ ವಿಧಾನಗಳಳ ಮನ್ನೇಗತ್ವಾಗಿವ್ಯೆೇ ಇಲಿವ್ೇ ಎಂಬುದನುನ ನಿೇವ್ೇ ನಿಧ್ಾರಿಸಿಕ್ನಳಳಲ್ನೇಸುಗ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ನಿೇಡಿರುವ್ ಸಮಸ್್ಯ ಇಂತದ್:
“ಓ ಸಖನ್ೇ, ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ್ ವಿಧಾನ ನಿನಗ್ ತಳಿದಿದದರ್ ೯, ೧೪, ೨೯೭, ೧೦೦೫ ಇವ್ುಗಳ ವ್ಗಾ ಎಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಹ್ೇಳಳ”
೭ ಸಂಖ್ಕಯಗಳ ಘನ್ ಲಕಕ್ಕೆಸುವಿಕ್ಕ.
ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿ ಿ ಮತ್ುು ವ್ೇದ ಗಣಿತ್ದಲಿ ಿ ನಿರನಪಿಸಿರುವ್ ಸುಲಭ ಗುಣಾಕಾರದ ವಿಧಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯುಕುವಾದವ್ನುನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಗಾ ಲ್ಕ್ಲುಸಲು ಹ್ೇಗ್ ಉಪಯೇಗಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ನಿಮಗ್ ಮನ್ನೇಗತ್ವಾಗಿದದರ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ರ್ನ ಲ್ಕ್ಲುಸುವಿಕ್ಯ ಸುಲಭ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಳವ್ುದ್ೇನನ ಕಷಟವಾಗಲಾರದು. ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಪುನಃ ಅದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ. ಅರ್ಾಾತ್, (ಸಂಖ್್ಯ)೩= (ಸಂಖ್್ಯ)೨ x ಸಂಖ್್ಯ = ಸಂಖ್್ಯ x ಸಂಖ್್ಯ x ಸಂಖ್್ಯ.
ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಮೊದಲು ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ.
ವಿಧಾನ ೧
ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ (ಉದಾಹರಣ್: ೫೬) ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: (೧) ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ರ್ನವ್ನುನ ಮೊದಲು ಬರ್ಯರಿ. (೨) ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾ ಮತ್ುು ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗುಣಿಸಿ. ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧದ ೩ ರಷಟನುನ ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ತ್ಳಿಳ ಬರ್ಯರಿ. (೩) ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾಗಳನುನ ಗುಣಿಸಿ. ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧದ ೩ ರಷಟನುನ ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನನನ ಒಂದು ಸ್ಾನೆ ಬಲಕ್ು ತ್ಳಿಳ ಬರ್ಯರಿ. (೪) ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನನನ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ತ್ಳಿಳ ಬಲ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ರ್ನವ್ನುನ ಬರ್ಯುರಿ. (೫) ಈ ಎಲಿವ್ುಗಳ ಮೊತ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ. ಅದ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ರ್ನ.
30
ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್ ಬರ್ಯ ಬ್ೇಕಾದದದರ ಪರಿಮಾಣವ್ನುನ ಕಡಿಮ ಮಾಡುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದರ ಸುಳಿವ್ು ಮುಂದಿದ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ -
ಮನರು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಯನುನ ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಮೇಲ್ ತಳಿಸಿದ ೫ ಹಂತ್ಗಳನುನ ನಿವ್ಾಹಿಸಿ. ಪಾತೇ ಹಂತ್ದ ಉತ್ುರಗಳನುನ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ನಂದು ಬರ್ಯುವಾಗ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಎಷುಟ ಸ್ಾನೆ ಬಲಕ್ು ತ್ಳಿಳದ್ ಮತ್ುು ಏಕ್ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ
ಹಂತ್ಗಳನುನ ಬರ್ಯುವ್ುದರ ಸಂಕ್ಲಪು ರನಪ ಇಂತದ್:
31
ನಾಲುು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಯನುನ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲ ಎಂದನ ತ್ದನಂತ್ರದ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಯನುನ ಇನ್ನನಂದು ಅಂಕ್ಲ ಎಂದನ ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಮೇಲ್ ತಳಿಸಿದ ೫ ಹಂತ್ಗಳನುನ ನಿವ್ಾಹಿಸಿ. ೨, ೩ ಮತ್ುು ೪ ನ್ೇ ಹಂತ್ಗಳಲಿಿ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಬಲಕ್ು ತ್ಳಳಳವ್ುದಕ್ು ಬದಲಾಗಿ ೨ ಸ್ಾೆನಗಳಷುಟ ತ್ಳಿಳರಿ
ಹಂತ್ಗಳನುನ ಬರ್ಯುವ್ುದರ ಸಂಕ್ಲಪು ರನಪ ಇಂತದ್:
ಸಂಕ್ಷಿಪು ರನಪಗಳಳ ಕಾಯಾ ನಿವ್ಾಹಣ್ಯ ವ್ೇಗ ಹ್ಚಿಸಲು ಸಹಕಾರಿ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿ ಿ
ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ುದು ಈ ಸಂಕ್ಷಿಪು ರನಪವ್ನುನ.
ವಿಧಾನ ೨
(೧) ರ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅನುಕನಲಕರವಾದ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ
(೨) ಪಾತೇ ವಿಭಾಗದ ರ್ನ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯರಿ
(೩) ರ್ನಗಳ ಮೊತ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ
(೪) ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ,
(೫) ಸಂಖ್್ಯಯ ಮನರರಷಟನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ
(೬) ವಿಭಾಗಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮನರರಷಟರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ
(೭) ಹಂತ್ (೬) ರಲಿ ಿ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧಕ್ು ಹಂತ್ (೩) ರಲಿ ಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದದ ರ್ನಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ರ್ನ
32
ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿ ಿಇರುವ್ ಪರಿಕ್ಷಾಪಾಶ್ನಯಂದಿಗ್ ಈ ಕಂತ್ನುನ ಮುಕಾುಯಗ್ನಳಿಸುತ್ುೇನ್ “ಮಿತ್ಾನ್ೇ, ಸಂಖ್್ಯಯ ರ್ನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಿಕ್ಯ ಕುರಿತಾದ ನಿನನ ಗಾಹಿಕ್ ಆಳವಾದುದಾಗಿದದರ್ ೯, ೨೭, ಮತ್ುು ೧೨೭ ಈ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ರ್ನವ್ನುನ ನನಗ್ ತಳಿಸು”
ತಳಿಸುವಿರಲಿವ್?
೮ ಭಾಗಾಕ್ಾರ
ವ್ೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡಬಲಿ ತ್ಂತ್ಾಗಳಿವ್ಯೆೇ? ಈ ಮುಂದ್ ಇಂಥ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಪರಿಚ್ಯಸುತ್ುೇನ್. ಅವ್ು ಎಷಟರಮಟಿಟಗ್ ಉಪಯುಕು ಎಂಬುದನುನ ನಿೇವ್ೇ ತೇಮಾಾನಿಸಿ. ಗಣಿತ್ದ ಮನಲಭನತ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ಯ ಮನರನುನ, ಅರ್ಾಾತ್ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವ್ಕಲನ ಮತ್ುು ಗುಣಾಕಾರಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡವ್ರಿಗ್ ಭಾಗಾಕಾರದ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಕಲಿಯುವ್ುದು ಕಷಟವ್ಲ,ಿ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳದವ್ರಿಗ್? . ನಮಮ ದ್ೈನಂದಿನ ಜಿೇವ್ನದಲಿಿ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಿಂತ್ ದ್ನಡು ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಬ್ೇಕಾದ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಳ ಉದಯವಿಸುವ್ುದು ಬಲು ಅಪರನಪವಾದದರಿಂದ ನನನ ಲ್ೇಖನಗಳಲಿಿ ೧, ೨, ೩ ಅಂಕ್ಲಗಗಳಳಳಳ ಬಾಜಕ ಇರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಮಾತ್ಾ ಕ್ನಡುತ್ುೇನ್. ಉಳಿದವ್ಕನು ಈ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಅನಾಯಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ನ್ನಪಿನಲಿಿ ಇರಲಿ.
ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರ ಲಿೇಲಾವ್ತೇ ಗಾಂಥದ ೫ ನ್ಯ ಅಧಾಯಯದ ಒಂದು ಪದಯಪಂಕ್ಲು ಎರಡು ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಉಲ್ಿೇಖಿಸಿದ್. ಮೊದಲನ್ಯದು ನಾವ್ಲಿರನ ಶಾಲ್ಯಲಿ ಿಕಲಿತ್ ವಿಧಾನ. ಇದನುನ ಪುನಃ ವಿವ್ರಿಸುವ್ ಅಗತ್ಯವಿಲ ಿಎಂದು ನಂಬ್ರದ್ದೇನ್. ಎರಡನ್ಯದು ಭಾಗಾಕಾರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಸರಳಿೇಕರಿಸುವ್ುದರಿಂದ (ಗಮನಿಸಿ: ವ್ೇಗವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಅಲಿ) ಉಲ್ಿೇಖ್ಾಹಾ. ಭಾಜಕ ಮತ್ುು ಭಾಜಯಕ್ು ಉಭಯ ಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳಳ ಇವ್ಯೆೇ ಎಂಬುದನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
33
ಇದದರ್ ಅವ್ುಗಳನುನ ಭಾಜಯ ಮತ್ುು ಭಾಜಕಗಳಲಿಿ ರದುದಪಡಿಸಿ. ಭಾಜಕದಲಿಿ ರದಾದಗದ್ೇ ಉಳಿದ ಅಪವ್ತ್ಾನದಿಂದ ಭಾಜಯದಲಿ ಿ ರದಾದಗದ್ೇ ಉಳಿದ ಅಪವ್ತ್ಾನವ್ನುನ ನಿೇವ್ು ಶಾಲ್ಯಲಿಿ ಕಲಿತ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಭಾಗಲಬಧ ಪಡ್ಯರಿ
ವಿಭಜನಿೇಯತ್ಯ ಪರಿೇಕ್ಷ್ಗಳ ಅರಿವ್ು ನಿಮಗ್ ಇದದರ್ ಉಭಯಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳನುನ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದು ಕಷಟವಾಗುವ್ುದಿಲಿ. ೧ ರಿಂದ ೧೧ ರ ವ್ರ್ಗಿನ ಸಂಖ್್ಯಗಳಿಂದ ಶ್ೇಷ ಉಳಿಯದಂತ್ ಭಾಗಿಸಲು ಸ್ಾಧ್ಯವ್ೇ ಎಂಬುದನುನ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ಸಂಕ್ಷಿಪುವಾಗಿ ತಳಿಸುತುದ್ದೇನ್. (ನಂತ್ರದ ಸಂಖ್್ಯಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ಯನ ಪರಿೇಕ್ಷ್ಗಳಳ ಇವ್ಯಾದರನ ಇಲಿ ಿತಳಿಸಿಲ)ಿ ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಿಳ. (೧) ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿಸಮಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳ್ಲಿವ್ನನನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೧೨೮ ಅನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು, ೧೨೯ ಅನುನ ಆಗುವ್ುದಿಲಿ) (೨) ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೧೨೧೧೨೩, ೧+೨+೧+೧+೨+೩=೧೨. ೧೨ ಅನುನ ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದದರಿಂದ ೧೨೧೧೨೩ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) (೩) ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾೆನಗಳಲಿರಿುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೩೫೮೯೧೨. ೧೨ ಅನುನ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದದರಿಂದ ೩೫೮೯೧೨ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (೪) ೫ ಅಥವ್ ೦ ಇಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಎಲ ಿಸಂಖ್್ಯಗಳನನನ ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (೫) ೨ ಮತ್ುು ೩ ಈ ಎರಡನ ಸಂಖ್್ಯಗಳಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್್ಯಗಳ್ಲಿವ್ನನನ ೬ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (೬) ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯ ಎರಡರಷಟನುನ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೪೨೭. ೭ ರ ಎರಡರಷುಟ=೧೪. ೪೨-೧೪=೨೮. ೨೮ ಅನುನ ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದದರಿಂದ ೪೨೭ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (೭) ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕ, ದಶ ಮತ್ುು ಶತ್ ಸ್ಾೆನದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೨೯೩೯೮೪, ೯೮೪ ಅನುನ ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಆದದರಿಂದ ೨೯೩೯೮೪ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) (೮) ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೩ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (ಉದಾ: ೪೩೭೮೫. ೪+೩+೭+೮+೫=೨೭. ೨೭ ಅನುನ ೯ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದದರಿಂದ ೪೩೭೮೫ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು) (೯) ೦ ಇಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಎಲಿ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ೧೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. (೧೦) ಏಕಸ್ಾೆನದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಪಯಾಾಯ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುದಿಂದ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಕಳ್ದರ್ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೧೧ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದರ್ ಸಂಖ್್ಯಯನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು.
34
(ಉದಾ: ೫೪೮೫೭. ೭+೮+೫=೨೦, ೫+೪=೯. ೨೦-೯=೧೧. ಇದನುನ ೧೧ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದಾದದದರಿಂದ ೫೪೮೫೭ ಅನನನ ಭಾಗಿಸಬಹುದು). ವ್ೇದಗಣಿತ್ ಉಲ್ಿೇಖಿಸುವ್ ತ್ಂತ್ಾಗಳಳ ಮುಂದಿನ ಕಂತನಿಂದ–
ವ್ೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಿಸುವ್ುದಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ೩ ವಿಧಾನ/ತ್ಂತ್ಾಗಳ ಉಲ್ಿೇಖವಿದ್. ಯಾವ್ುದ್ೇ ವಿಧಾನದಿಂದ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಭಾಗಾಕಾರದ ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದರನ ಭಾಜಕದ ಸಾರನಪವ್ನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಆಯೆು ಮಾಡಿದರ್ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಸ್ಾಧ್ಯ. ಮೇಲ್ನನೇಟ್ಕ್ು ‘ವಿಚತ್ಾ’ ಅನಿನಸಬಹುದಾದ ಈ ಎಲ ಿ ವಿಧಾನಗಳನನನ ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್ದ ನ್ರವಿನಿಂದ ಸರಿಯಾದವ್ು ಎಂದು ಸ್ಾಬ್ರೇತ್ುಗ್ನಳಿಸಬಹುದು.
ವಿಧಾನ ೧, ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ುು ಅಡುವಾಗಿ ವಿಧಾನ: ನ್ೇರ ಭಾಗಾಕಾರ ಎಂದು ಉಲ್ೇಿಖಿತ್ವಾಗಿರುವ್ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಾಜಕದ ಸಾರನಪ ಏನ್ೇ ಇದದರನ ನಾವ್ು ಶಾಲ್ಗಳಲಿಿ ಕಲಿತ್ದದಕ್ಲುಂತ್ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು, ಅವ್ಶಯವಿದದರ್ ಎಷುಟ ಬ್ೇಕ್ನೇ ಅಷುಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿಗ್ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬಧ ಪಡ್ಯಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನದಲಿಯಿನ ಭಾಗಾಕಾರ ಕ್ಲಾಯೆಯ ಸಂಕ್ಲೇಣಾತ್ ಮತ್ುು ಕ್ಲಿಷಟತ್ಯ ಮಟ್ಟ ಭಾಜಕ ಮತ್ುು ಭಾಜಯಗಳ ಸಾರನಪವ್ನುನ ಆಧ್ರಿಸಿರುತ್ುದ್. ಈ ಹಿಂದ್ ಹ್ೇಳಿದಂತ್ ೨ ಮತ್ುು ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಭಾಜಕಗಳನುನ ಈ ಲ್ೇಖನದಲಿಿ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಳಳಳತ್ುೇನ್, ಅದಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡು ಭಾಜಕ ಇರುವ್ ಭಾಗಾಕಾರಗಳನುನ ನಾವ್ು ದ್ೈನಂದಿನ ವ್ಯವ್ಹಾರಗಳಲಿಿ ಮಾಡುವ್ುದು ಬಲು ಅಪರನಪ ಎಂಬ ಕಾರಣಕಾುಗಿ.
ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಜರಗಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾದ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕು. ಈ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ಯ ಪರಿಚ್ಯ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಲ್ನೇಸುಗ ಮುಂದಿನ ೩ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಭಾಜಕದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ‘ಆಧಾರ ಮತ್ುು ಧ್್ಜ್ಾಂಕ’ ಎಂಬ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುವ್ುದು ಮೊದಲು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಕಾಯಾ. ಸ್್ೈದಾಧಂತಕವಾಗಿ ಈ ಎರಡು ಭಾಗಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ ಭಾಗದಲಿಿ ಬ್ೇಕಾದರನ ಎಷನಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬಹುದು. ವಾಸುವ್ದಲಿಿ ಆಧಾರದಲಿಿ ಒಂದು ಅಥವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಯನನನ ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿಿ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳನನನ ಇಡುವ್ುದು ವಾಡಿಕ್ (ಏಕ್ ಎಂಬುದು ಅನುಭವ್ದಿಂದ ನಿಮಗ್ೇ ತಳಿಯುತ್ುದ್. ಉದಾಹರಣ್ಗಳನನನ ಸನಕ್ಷಮವಾಗಿ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ). ತ್ದನಂತ್ರ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿ ಿ ತ್ನೇರಿಸಿದ ರಿೇತಯಲಿಿ ಭಾಜಕ ಮತ್ುು ಭಾಜಯಗಳನುನ ಬರ್ಯರಿ ಮತ್ುು ನಿೇಟ್ ಹಾಗನ ಅಡುಗ್ರ್ಗಳನುನ ಎಳ್ಯರಿ. ನಿೇಟ್ ಗ್ರ್ಯು ಭಾಜಯವ್ನುನ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿಿ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಿವ್ಯೇ ಅಷ್್ಟೇ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಗ್ರ್ಯ ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿ ಇರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಭಾಗಿಸಿದರ್ ಎಷುಟ ಶ್ೇಷ ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗ ಇದು. ಒಂದು ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಭಾಗಗಳ ವಿವ್ರಣ್ ಇದ್.
35
ಒಂದು ಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಧ್್ಜ್ಾಂಕದ ಸಂಖ್್ಯ ಇದಾದಗ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ಮೊದಲು ಅಭಯಸಿಸ್್ನೇಣ. ಇಂಥ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿಿ ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ.
ಭಾಜಯದ ಎಡ ತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಮೊದಲನ್ೇ ೧ ಅಥವ್ ೨ ಅಥವ್ ೩ —– ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗರಿಷಠ ಭಾಗಲಬಧ ಬರುವ್ಂತ್ ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅದರ ನ್ೇರದಲಿಿಯೆೇ ಬರ್ದು ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಪ್ಾಶಾಾದಲಿಿ ತ್ುಸು ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಇವ್ನುನ ಒಗನಗಡಿಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಬ್ೇಕು.
ತ್ದನಂತ್ರ ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ಮೊದಲನ್ಯ ಭಾಗಲಬಧ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿ ಿಪಡ್ದ ಭಾಜಯದ ಒಗನಗಡಿತ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಉತ್ುರವ್ನುನ ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಲಭಿಸುವ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷಗಳನುನ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಬರ್ದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ.
ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಇರುವ್ ಭಾಜಯದ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಮುಗಿಯುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ.
ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಭಾಗಲಬಧ. ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಬಲಭಾಗ ಶ್ೇಷ ಎಷುಟ ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗ ಎಂದು ಈಗಾಗಲ್ೇ ಹ್ೇಳಿದ್ಯಷ್್ಟ. ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ಈಗ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
36
ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿಇರುವ್ ಭಾಜಯ ಮತ್ುು ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ದ್ನರ್ತ್ ಶ್ೇಷ ಎರಡನನನ ಒಗನಗಡಿಸಿ ಪರಿಗಣಿಸಬ್ೇಕು. ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಪ್ಾಶಿಾದಲಿ ಿಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗಿರುವ್ ಭಾಗಲಬಧದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಇದರಿಂದ ಕಳ್ದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಶ್ೇಷ.
ಭಾಜಕ ಭಾಜಯವ್ನುನ ಶ್ೇಷ ಉಳಿಯದಂತ್ ಭಾಗಿಸುವ್ಂತದದರ್? ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ
ಅಂದ ಹಾಗ್, ಶ್ೇಷ ಎಷುಟ ಅನುನವ್ುದನುನ ಬರ್ಯುವ್ುದಕ್ು ಬದಲಾಗಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿಗ್ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲನ ಈ ವಿಧಾನ ಉಪಯೇಗಿಸಬಹುದು. ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿಬರ್ದಿದದ ಬಾಜಯದ ಅಂಕ್ಲಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಎಷುಟ ಸ್್ನನ್ನಗಳನುನ ಬ್ೇಕಾದರನ ಸ್್ೇರಿಸಿ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬಹುದಾದದರಿಂದ ಇದು ಸ್ಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯಲಿಿ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಎಲಿ ಲ್ಕಾುಚಾರಗಳನನನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಬಲಿ ಸ್ಾಮಥಯಾ ನಿಮಗಿದದರ್ ಭಾಗಲಬಧವ್ನನನ ಶ್ೇಷವ್ನನನ ನ್ೇರವಾಗಿ ಬರ್ಯಬಹುದು. (ಈ ಕುಶಲತ್ಯನುನ ಹಣ ಗಳಿಸಲು ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ವ್ರು ಮಾಡುವ್ುದು ಇದನ್ನೇ. ಎಲವಿ್ನನನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡುವ್ುದು ಕಷಟ ಅನಿನಸಿದರ್ ಎಷುಟ ಸ್ಾಧ್ಯವೇ ಅಷಟನುನ ಮಾಡಿ. ಬರ್ದು ಮಾಡಬ್ೇಕು ಅನಿನಸಿದದನುನ ಪಾತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಮಾಡಿ. ತ್ುಸು ಸಂಕ್ಲೇಣಾ ಲ್ಕುಗಳತ್ು ಈಗ ಗಮನ ಹರಿಸ್್ನೇಣ ಈಗ ವಿವ್ರಿಸಿದ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯಲಿ ಿ ಅಡಕವಾಗಿದದ “ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ಮೊದಲನ್ಯ ಭಾಗಲಬಧ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಪಡ್ದ ಭಾಜಯದ ಒಗನಗಡಿತ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ” ಹಂತ್ದತ್ು ಇನ್ನನಮಮ
37
ಗಮನ ಹರಿಸ್್ನೇಣ. ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ಮೊದಲನ್ಯ ಭಾಗಲಬಧ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ು ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಪಡ್ದ ಭಾಜಯದ ಒಗನಗಡಿತ್ ಸಂಖ್್ಯಗಿಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ಮಾಡುವ್ುದ್ೇನು? ಈ ಸಮಸ್್ಯಯ ಅರಿವ್ು ನಿಮಗಾಗಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುತ್ುದ್ ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ.
ಈ ಪರಿಸಿೆತಯನುನ ‘ಒಯುಯವಿಕ್’ಯ ನ್ರವಿನಿಂದ ನಿಭಾಯಸಬ್ೇಕು. ಅರ್ಾಾತ್, ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸಮಸ್್ಯ ಹುಟ್ುಟಹಾಕ್ಲದ ಶ್ೇಷದ ನಿಕಟ್ಪೂವ್ಾ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಕ್ನರತ್ಯನುನ ನಿವಾರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ್ಷುಟ ಮೌಲಯ ಉಳಳ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕಳ್ದು, ಆ ಮೌಲಯವ್ನುನ ಪಾತನಿಧಿಸುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಶ್ೇಷಕ್ು ಕನಡಿಸಬ್ೇಕು. ಭಾಗಲಬಧದ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ‘೧’ ಕಳ್ದರ್ ‘೧ x ಆ ಅಂಕ್ಲಯ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ x ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯ’ಯಷುಟ ಮೌಲಯವ್ನುನ ಕಳ್ದಂತ್ ಎಂಬುದನುನ ಮರ್ಯಕನಡದು.
ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ಯದದನುನ ನಿೇಡಿರುವ್ ವಿವ್ರಣ್ಗಳ ಸಹಿತ್ ಅಧ್ಯಯಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ವಿವ್ರಣಾರಹಿತ್ವಾಗಿರುವ್ ಎರಡನ್ಯದದನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ
ಅಗತ್ಯವಿದಾದಗಲ್ಲ ಿ ಕನಿಷಟ ಎಷುಟ ಬ್ೇಕ್ನೇ ಅಷಟನುನ (೧/೨/೩/—-) ಒಯುದ ಭಾಗಿಸುವಿಕ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು.
38
ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ವಿವ್ರಣಾರಹಿತ್ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ, ಕ್ಲವ್ಡ್ ೨ ಒಯದರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿ ಿಒಂದು ಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಕ್ಲವ್ು ಭಾಗಾಕಾರ ಲ್ಕುಗಳ ವಿವ್ರಣಾರಹಿತ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ, ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ, ಎರಡು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿಗ್ ಸರಿಯಾಗಿರುವ್ ಭಾಗಲಬಧ –
ಈ ಎರಡನ ರಿೇತಯ ಉತ್ುರಗಳನುನ ನಿೇಡಿದ್. ಯಾವ್ ಸಂದಭಾದಲಿಿ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯ ಮುಂದುವ್ರಿಕ್ಯನುನ ನಿಲಿಸಿಿದ್ ಎಂಬುದನನನ ಕ್ಲವ್ಡ್ ೨ ಒಯದರುವ್ುದನನನ ಗಮನಿಸಿ.
39
ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿ ಿ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಿದಾದಗ ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ಈಗ ನ್ನೇಡ್ನೇಣ.
ಇದುವ್ರ್ಗ್ ನಾವ್ು ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಂಡಿದದ ಲ್ಕುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧-೨ ಬ್ರಟ್ುಟ ಮಿಕು ಎಲಿವ್ುಗಳಲಿಿ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಭಾಜಕಗಳಿದದವ್ು. ಎಂದ್ೇ, ಅವ್ನುನ ತ್ಲಾ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲಯುಳಳ ಆಧಾರ ಮತ್ುು ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದಿತ್ುು. ಎಂದ್ೇ ಮುಂದಿನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯಲಿಿ ಉಪಯೇಗಿಸುತುದದ ಭಾಜಕ/ಗುಣಕ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲಯದಾದಗಿರುತುತ್ುು. ತ್ತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮಾಡಬ್ೇಕಾಗುತುದದ ಗುಣಾಕಾರ ಭಾಗಾಕಾರಗಳಳ ಬಲು ಸರಳವಾದವ್ು ಆಗಿರುತುದದವ್ು. ಭಾಜಕದಲಿ ಿ ೩ ಅಥವ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿದುದ ೧ ಅಂಕ್ಲಗಿಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯ ಮಾಡಿದರ್ ಮುಂದ್ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಭಾಗಾಕಾರಗಳಳ ಕ್ಲಿಷಟವಾಗುವ್ ಸಂಭವ್ನಿೇಯತ್ ಹ್ಚ್ುಿ. ಇಂಥ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿ ಿ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು? ಇಂಥ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿಿ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಭಾಜಕ ಇರುವ್ ಭಾಗಾಕಾರದ ಲ್ಕುವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ವಿವ್ರಿಸುತ್ುೇನ್.
ಹಂತ್ ೧: ಭಾಜಕವ್ನುನ ೧ ಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಆಧಾರ ಮತ್ುು ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ ಧ್್ಜ್ಾಂಕವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಈ ಹಿಂದ್ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಲ್ಕುವ್ನುನ ಬರ್ಯರಿ. ನಿೇಟ್ ಗ್ರ್ಯ ಬಲ ಭಾಗದಲಿಿ, ಅರ್ಾಾತ್ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿ ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿಿ ಇರುವ್ಷ್್ಟೇ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ುದನುನ ಖ್ಾತ್ರಿ ಪಡಿಸಿಕ್ನಳಿಳ.
ಹಂತ್ ೨: ಈ ಹಿಂದ್ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಜಯದ ಆವ್ಶಯಕತ್ಗ್ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಮೊದಲಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗನ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಸಮಿೇಪದಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಇವ್ನುನ ಒಗನಗಡಿಸಿ ಓದಬ್ೇಕು.
40
ಹಂತ್ ೩: ಧ್್ಜ್ಾಂಕದಲಿ ಿ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ. ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಪಡ್ದಿದದ ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಗುಣಿಸಿ. ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಭಾಜಯದಲಿನಿ ಶ್ೇಷಸಹಿತ್ವಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಲಭಿಸಿದ ಉತ್ುರವ್ನುನ ಆಧಾರ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗನ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಸಮಿೇಪ ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿತ್ುಸು ಕ್ಳಗ್ಯನ ಬರ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೪: ಈ ತ್ನಕ ಮಾಡಿದ ಕ್ಲಾಯೆಗಳಿಗಿಂತ್ ತ್ುಸು ಭಿನನವಾದದನುನ ಮಾಡುವ್ ಹಂತ್ ಇದು, ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಭಾಗಲಬಧಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಈ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಬಲಗಡ್ ಇರುವ್ುದನುನ ಧ್್ಜ್ಾಂಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯಂದಲನ ಎಡಗಡ್ ಇರುವ್ುದನುನ ಬಲ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯಂದಲನ ಗುಣಿಸಿ (ಇಂತ್ು ಗುಣಿಸುವ್ುದಕ್ು ಅಡುಗುಣಾಕಾರ ಅನನಬಹುದು) ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ. ಈ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಶ್ೇಷಯುತ್ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಉತ್ುರವ್ನುನ ಆಧಾರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಈ ಹಿಂದಿನಂತ್ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗನ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಸಮಿೇಪದಲಿಿಯನ ಬರ್ಯರಿ. ಹಂತ್ ೫: ಈಗ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಭಾಗಲಬಧದ ಬಾಗದಲಿಿ ೩ ಇರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಎಡತ್ುದಿಯ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನಿಲಾಕ್ಷಿಸಿ ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳನನನ ಧ್್ಜ್ಾಂಕದ ಅಂಕ್ಲಗಳನನನ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿ ಿಮಾಡಿದಂತ್ ‘ಅಡುಗುಣಾಕಾರ’ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸಿ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ. ಈ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಶ್ೇಷಯುತ್ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಕಳ್ಯರಿ. ಉತ್ುರವ್ನುನ ಆಧಾರದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಈ ಹಿಂದಿನಂತ್ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗನ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಸಮಿೇಪದಲಿಿಯನ ಬರ್ಯರಿ. ಭಾಜಯದಲಿಿ ಇರುವ್ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಮುಗಿಯುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ. ಪಾತೇ ಬಾರಿ ಧ್್ಜ್ಾಂಕದ್ನಂದಿಗ್ ಅಡುಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಭಾಗಲಬಧದ ಬಲತ್ುದಿಯ ಕ್ನನ್ಯ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ಮರ್ಯದಿರಿ.
41
ಹಂತ್ ೬.: ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ರನಪದಲಿಿ ಪಡ್ಯುವ್ ಹಂತ್ ಇದು. ನಿದಿಾಷಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿಗ್ ಸರಿಯಾಗಿ ಭಾಗಲಬಧ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದರ್ ಈ ಹಿಂದ್ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಸ್ಾೆನಕ್ಲುಂತ್ ೧ ಸ್ಾೆನ ಹ್ಚ್ುಿ ಸ್ಾೆನದ ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಕ್ಲ ದ್ನರ್ಯುವ್ ತ್ನಕ ಭಾಜಯಕ್ು ಸ್್ನನ್ನಗಳನುನ ಸ್್ೇರಿಸುತುದುದ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು. ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿಗ್ ಬದಲಾಗಿ ಶ್ೇಷ ಎಷ್್ಟಂಬುದು ತಳಿದರ್ ಸ್ಾಕು ಎಂದಾದರ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನನನ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ತ್ನೇರಿಸಿದ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
‘ಒಯುಯವಿಕ್’ ಕ್ಲಾಯೆಯನ ಇರುವ್ ಕ್ಲವ್ು ವಿವ್ರಣಾರಹಿತ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್. ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
42
ಇನನನ ಹ್ಚಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಭಾಜಕವಿದದರನ ಈ ವಿಧಾನದಿಂದ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಭಾಗಕಾರ ಮಾಡಬಹುದು. ದ್ೈನಂದಿನ ವ್ಯವ್ಹಾರಗಳಲಿ ಿ ಅಂಥ ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡುವ್ ಸಂದಭಾ ವಿರಳಾತವಿರಳ. ಎಂದ್ೇ, ಅವ್ುಗಳನುನ ವಿವ್ರಿಸಿಲ.ಿ
ವಿಧಾನ ೨: ಭಾಜಕವ್ು ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಿಗಿಂತ್ ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮೌಲಯದ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದಾದಗ ಅನುಸರಿಸಬಹುದಾದ ವಿಧಾನ: ‘ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮೌಲಯದ’ ಅಂದರ್ೇನು ಅನುನವ್ುದನುನ ಅನುಭವ್ದಿಂದ ನಿೇವ್ೇ ಪತ್ು ಹಚ್ುಿವ್ುದು ಒಳ ಳ್ಯದು. ನಾನು ಇಂತ್ನನಲು ಕಾರಣ ಏನು ಎಂಬುದು ಮುಂದ್ ನಾನು ನಿೇಡುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಿಂದ ನಿಮಗ್ೇ ಹ್ನಳ್ಯುತ್ುದ್. ಮೊದಲು ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮೌಲಯದ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಅನನಬಹುದಾದ ೯, ೮, ೭ ಭಾಜಕಗಳಳ ಆಗಿರುವ್ ಲ್ಕುಗಳ ನ್ರವಿನಿಂದ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ಪರಿಚ್ಯಸುತ್ುೇನ್.
* ಭಾಜಕ ೧೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಕಮಿಮ ಇದ್ ಎಂಬುದನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಇದನುನ ಭಾಜಕದ ೧೦ ರ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಭಾಜಕ, ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ಭಾಜಯಗಳನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಸನಚಸಿದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ, ಒಂದು ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ ಎಳ್ದು ಭಾಜಯವ್ನುನ ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿರುವ್ುದನನನ ಭಾಜಕದಲಿಿ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದ್ಯೇ ಅಷ್್ಟೇ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ುದನನನ ಗಮನಿಸಿ. ಭಾಗಾಕಾರ ಮಾಡಿದಾಗ ಎಷುಟ ಶ್ೇಷ ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗ ಇದು ಎಂಬುದು ನಿಮಗ್
43
ತಳಿದಿದ್. ಬಾಜಯ ಇರುವ್ ಅಡುಸ್ಾಲಿನ ಅಡಿಯಲಿಿ ಇನನನ ಒಂದು ಅಡು ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬರ್ಯಲು ಅವ್ಶಯವಿರುವ್ಷುಟ ಸೆಳಾವ್ಕಾಶ ಬ್ರಟ್ುಟ ಅಡುಗ್ರಯನುನ ಎಳ್ಯರಿ
ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಅಡಿಯಲಿಿ ‘೦’ ಬರ್ಯರಿ.
ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ನಿೇವ್ು ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಅದನುನ ಪೂರಕಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಡಿಯಲಿ ಿ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ಗುಣಲಬಧ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯ ಆಗಿದದರ್ ಹ್ೇಗ್ ಬರ್ಯಬ್ೇಕ್ಂಬುದನುನ ಕ್ನನ್ಯ ಉದಾಹರಣ್ಯ ನ್ರವಿನಿಂದ ಗಾಹಿಸಿ.
44
* ಈಗ ಭಾಜಯದ ಎರಡನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಗ್ ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಪಡ್ದಿದದ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಕನಡಿಸಿ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿ. ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಈಗಾಗಲ್ೇ ವಿವ್ರಿಸಿದ ರಿೇತಯಲಿಿ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಗುಣಲಬಧ ಬರ್ಯುವ್ ತ್ನಕ ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ.
ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗ ಭತಾ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಹಂತ್ ಇದು. ಭಾಜಯದ ಬಲತ್ುದಿಯ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿದದ ಒಟಾಟರ್ ಗುಣಲಬಧದ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿ. ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಅಂತ್ಯೆೇ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿರಿುವ್ ಭಾಜಯದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಯನುನ ಗಮನದಲಿಿಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಬರ್ಯರಿ. ಇದನುನ ಬರ್ಯುವ್ ವಿಧಾನ ಇತ್ರ ಹಂತ್ಗಳಲಿ ಿಬರ್ದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಭಿನನವಾಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
45
ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ. ಇದು ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ಚಕು ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರ್ ಹಾಗ್ಯೆೇ ಇಟ್ುಟಕ್ನಳಿಳ. ಅದ್ೇ ಶ್ೇಷ. ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ವಿೇಕ್ಷಣ್ಯ ನ್ರವಿನಿಂದ ಅಥವ್ ಅದನುನ ಭಾಜಕದಿಂದ ಪುನಃ ಭಾಗಿಸುವ್ುದರ ಮನಲಕ ಅಗತ್ಯವಿರುವ್ಷಟನುನ ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಏಕಸ್ಾೆನಕ್ು ಒಯಯಬ್ೇಕು. ಇಂತ್ು ‘೧’’ ಒಯದರ್ ಶ್ೇಷದಭಾಗದಲಿಿ ಇದದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಜಕದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕಳ್ದು ಉಳಿದದುದ ನಿಜವಾದ ಶ್ೇಷ. ಅರ್ಾಾತ್, ಎಷಟನುನ ಒಯುಯತುೇರ್ನೇ ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಮತ್ುು ಭಾಜಕಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ಮರ್ಯಕನಡದು.
ಶ್ೇಷವ್ನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ ಆದ ಬಳಿಕ ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ವಿಭಿನನ ಅಡುಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಗಳನುನ ಗಮನದಲಿ ಿಇಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಕನಡಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧ ಪಡ್ಯರಿ.
46
ಈ ಕ್ಲಾಯೆಗಳ್ಲವಿ್ನನನ ಅಥವ್ ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸ್ಾಧ್ಯವಿರುವ್ಷಟನುನ ನಿೇವ್ು ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಬಲಿಿರಾದರ್ ಅತ್ುಯತ್ುಮ.
ಭಾಜಕ ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಿಗಿಂತ್ ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮೌಲಯದ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದಾದಗ ಈ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಅಳವ್ಡಿಸಿಕ್ನಳಳಳವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ಈಗ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ. ಭಾಜಕವ್ು ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಿಗಿಂತ್ ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮೌಲಯದ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದಾದಗ ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಮಾಟಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕಾದ ಬದಲಾವ್ಣ್ಗಳ ೇ್ನು ಎಂಬುದನುನ ಇಲಿಿ ನಿೇಡಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿದರ್ ತಳಿಯುತ್ುದ್. ಎಂದ್ೇ ವಿವ್ರಣ್ಯನುನ ಸಂಕ್ಷ್ೇಪಿಸಿ ಹ್ಚ್ುಿ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್:
ಈ ಹಿಂದಿನಂತ್ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕು. ಭಾಜಕವ್ು ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯ ಆಗಿದದರ್ ೧೦೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಅಥವ್ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯ ಆಗಿದದಲಿಿ ೧೦೦೦ ಕ್ಲುಂತ್ ಎಷುಟ ಕಮಿಮ ಇದ್ ಎಂಬುದನುನ, ಅರ್ಾಾತ್ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಸನಚಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನನನ, ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಗನ ಭಾಜಕದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಗನ ಇರುವ್ ಸಂಬಂಧ್ವ್ನನನ ಗಮನಿಸಿ.
47
* ಈ ಹಿಂದ್ಯೆೇ ವಿವ್ರಿಸಿದಂತ್ ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ‘೦’ ಬರ್ಯರಿ. ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ನಿೇವ್ು ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಅದನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಭಾಜಯದಲಿರಿುವ್ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಗುಣಲಬಧದಲಿಿ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಈ ಹಿಂದ್ ಸನಚಸಿದದ ಕಾಮದಲಿಿಯೆೇ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು.
* ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ವ್ನುನ ಯಶಸಿಾಯಾಗಿ ದಾಟಿದವ್ರಿಗ್ ಈ ಮನರರ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರನ ಸನಿನವ್ೇಶ ಎದುರಾಗಬಹುದು:
(೧) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದಲಿಿ ಇದದದ್ದೇ ಒಂದು ಆಂಕ್ಲ. ಮುಂದ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು?
ಇದಕ್ು ಉತ್ುರ – ಪಾತೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ ಪಡ್ಯರಿ.
(೨) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದಲಿ ಿ ಇದದದ್ದೇ ಎರಡು ಆಂಕ್ಲಗಳಳ. ಆದದರಿಂದ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಏನು ಬರ್ಯಬ್ೇಕ್ಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಬ್ೇಕು. ಇದಕಾುಗಿ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ
48
ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದ ಮೊದಲನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಅದರ ಮುಂದ್ ಒಂದು ‘೦’ ಸ್್ೇರಿಸಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು. ಈ ಗುಣಲಬಧದಲಿ ಿ ಇರುವ್ಷನಟ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಅಂತ್ಯೆೇ ಅಲಿಿಯೆೇ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು. ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದ ಎರಡನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು. ತ್ದನಂತ್ರ ಪಾತೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ ಪಡ್ಯರಿ. ಶ್ೇಷವ್ು ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕ್ಂಬುದು ತಳಿದಿದ್ಯಷ್್ಟ?
(೩) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಎರಡಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದದರ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಬರ್ಯರಿ. ಭಾಜಯದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ು ಮತ್ುು ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಶ್ೇಷಬರ್ಯುವ್ ಭಾಗದಲಿ ಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾಗುವ್ುದರಿಂದ ಅಲಿಿ ಬರ್ಯುವಾಗ ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕಾದ ನಿಯಮಗಳನುನ ಮರ್ಯಬ್ೇಡಿ (ಇದನುನ ಈ ಹಿಂದಿನ ಅಂಶದಲಿ ಿತಳಿಸಿದ್).
49
ವಿಧಾನ ೩: ಭಾಜಕವ್ು ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಿಗಿಂತ್ ತ್ುಸು ಹ್ಚ್ುಿ ಮೌಲಯದ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದಾದಗ ಈ ವಿಧಾನದಲಿ ಿ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕಾದ ಬದಲಾವ್ಣ್ಗಳ ೇ್ನು ಎಂಬುದನುನ ಇಲಿಿ ನಿೇಡಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿದರ್ ತಳಿಯುತ್ುದ್. ಆದರನ ಋಣ ಚಹ್ನಯುತ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳೂ್ಂದಿಗ್ ವ್ಯವ್ಹರಿಸಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ುದರಿಂದ ತ್ುಸು ಹ್ಚ್ುಿ ಅನನಬಹುದಾದಷುಟ ವಿವ್ರಣ್ ಸಹಿತ್ವಾದ ಉದಾಹರಣ್ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್. ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಮೊದಲು ಭಾಜಕ ೧೦, ೧೦೦, ೧೦೦೦ ಮುಂತಾದವ್ುಗಳಿಗಿಂತ್ ಎಷುಟ ಹ್ಚಾಿಗಿದ್ ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ ಅದನುನ ಬರ್ದುಕ್ನಳಳಬ್ೇಕಾದ ವಿಧಾನ ಗಮನಿಸಿ.
ಹಂತ್ ೧: ಅಗತ್ಯವಾದ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಿಳ
50
ಹಂತ್ ೨: ಈ ಹಿಂದ್ಯೆೇ ವಿವ್ರಿಸಿದಂತ್ ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ‘೦’ ಬರ್ಯರಿ. ಭಾಜಯದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ನಿೇವ್ು ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಅದನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಭಾಜಯದಲಿರಿುವ್ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಗುಣಲಬಧದಲಿಿ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಈ ಹಿಂದ್ ಸನಚಸಿದದ ಕಾಮದಲಿಿಯೆೇ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಇರುವ್ುದರಿಂದ ಗುಣಿಸುವಾಗಲನ ಕನಡಿಸುವಾಗಲನ ಎಚ್ಿರಿಕ್ ಅಗತ್ಯ.
51
ಹಂತ್ ೩: ಹಂತ್ ೨ ಅನುನ ಯಶಸಿಾಯಾಗಿ ದಾಟಿದವ್ರಿಗ್ ಈ ಮನರರ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರನ ಸನಿನವ್ೇಶ ಎದುರಾಗಬಹುದು: (೧) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಇರುವ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದಲಿಿ ಇದದದ್ದೇ ಒಂದು ಆಂಕ್ಲ. ಮುಂದ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು? ಇದಕ್ು ಉತ್ುರ – ಪಾತೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿರಿುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ ಪಡ್ಯರಿ.
(೨) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದಲಿ ಿ ಇದದದ್ದೇ ಎರಡು ಆಂಕ್ಲಗಳಳ. ಆದದರಿಂದ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಏನು ಬರ್ಯಬ್ೇಕ್ಂಬುದನುನ
52
ನಿಧ್ಾರಿಸಬ್ೇಕು. ಇದಕಾುಗಿ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಶ್ೇಷ ನಿಧ್ಾರಿಸುವ್ ಭಾಗದಲಿಿ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಿವ್ ಎಂಬುದನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಯಾವ್ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಅದರ ಮುಂದ್ ಎಷುಟ ‘೦’ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಬ್ೇಕು. (ಉದಾ: ಮನರು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಮೊದಲನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಅದರ ಮುಂದ್ ಎರಡು ‘೦’
ಗಳನನನ ಎರಡನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವಾಗ ಒಂದು ‘೦’ಯನನನ ಸ್್ೇರಿಸಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು) ಈ ಗುಣಲಬಧದಲಿಿ ಇರುವ್ಷನಟ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಅಂತ್ಯೆೇ ಅಲಿಿಯೆೇ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು.. ತ್ದನಂತ್ರ ಪಾತೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿರಿುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕನಡಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ ಪಡ್ಯರಿ. ಶ್ೇಷವ್ು ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ಅಥವ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕ್ಂಬುದು ತಳಿದಿದ್ಯಷ್್ಟ?
(೩) ನಿೇಟ್ಗ್ರ್ಯ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಎರಡಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದದರ್ ಭಾಜಯದ ಭಾಗದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ುದಿಂದ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಭಾಜಯದ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಕ್ಳಗ್ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಬರ್ಯರಿ. ಭಾಜಯದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಮೊತ್ು ಮತ್ುು ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಶ್ೇಷಬರ್ಯುವ್ ಭಾಗದಲಿ ಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾಗುವ್ುದರಿಂದ ಅಲಿಿ ಬರ್ಯುವಾಗ ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕಾದ ನಿಯಮಗಳನುನ ಮರ್ಯಬ್ೇಡಿ (ಇದನುನ ಈ ಹಿಂದ್ಯೆೇ ತಳಿಸಿದ್).
53
ಅಂಕಗಣಿತ್ಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಲಿೇಲಾವ್ತೇ ಮತ್ುು ವ್ೇದಗಣಿತ್ ಇವ್ುಗಳಲಿಿ ಗಣಿತೇಯ ಮನಲಭನತ್ ಕ್ಲಾಯೆಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಸನಚಸಿರುವ್ ವಿಧಾನಗಳನುನ ಪರಿಚ್ಯಸಿದ್ದೇನ್. ಇವ್ನುನ ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡು ಸ್ಾಧ್ಯವಿರುವ್ಷುಟ ಹ್ಚ್ುಿ ಲ್ಕುಗಳನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಮಾಡಲು ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್ ವ್ೇಗವಾಗಿಯನ ನಿಖರವಾಗಿಯನ ಲ್ಕುಗಳನುನ ಮಾಡಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಾಗುತ್ುದ್.
54
ಈ ವ್ರ್ಗ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ಮಾಹಿತಯಷ್್ಟೇ ಅಲಿದ್ ನಿತ್ಯ ಜಿೇವ್ನದಲಿಿ ಉಪಯೇಗಿಸಬಹುದಾದ ಇನನನ ಕ್ಲವ್ು ಮಾಹಿತ ಈ ಪುಸುಕಗಳಲಿಿ ಇದ್. ಮುಂದ್ ಅವ್ನುನ ಪರಿಚ್ಯಸುವ್ ಪಾಯತ್ನ ಮಾಡುತ್ುೇನ್.
೯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಕ ಂರ್ದಗಕ – - – - -
ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವ್ಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ುು ಭಾಗಕಾರ – ಈ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಭಿನನರಾಶಿಗಳಿಗ್ ಅನಾಯಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್? ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರ ಲಿೇಲಾವ್ತೇ ಗಾಂಥದ ೧೦, ೧೧, ೧೨, ಮತ್ುು ೧೩ ನ್ೇ ಅಧಾಯಯಗಳಲಿಿ ಈ ಕುರಿತ್ು ಬಲು ಸುಲಭವಾದ ವಿಧಾನಗಳ ವಿವ್ರಣ್ ಇದ್. ಮಿಶಾ ಭಿನನರಾಶಿಯಾಗಿದದರ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಾಗದ ಛ್ೇದದಿಂದ ಪೂಣಾಾಂಕವ್ನುನ ಗುಣಿಸಿ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧ ಮತ್ುು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಅಂಶವಾಗಿಯನ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಾಗದ ಛ್ೇದವ್ನ್ನೇ ಛ್ೇದವಾಗಿಯನ ಉಳಳ ಸರಳ ಭಿನನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವ್ತಾಸಿ ಮುಂದುವ್ರಿಯಬ್ೇಕು. ಸಮಸ್್ಯಯಲಿ ಿ ಪೂಣಾಾಂಕ, ಭಿನನರಾಶಿ ಇವ್ರಡನ ಇದದರ್ ಪೂಣಾಾಂಕವ್ನುನ ಅಂಶದಲಿಯಿನ ‘೧’ಅನುನ ಛ್ೇದದಲಿಿಯನ ಇಟ್ುಟ ಪೂಣಾಾಂಕವ್ನುನ ಭಿನನರಾಶಿಯಾಗಿ ಪರಿವ್ತಾಸಿ ಮುಂದುವ್ರಿಯಬ್ೇಕು. ಈ ಮುಂದ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ:
(೧) ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವ್ಕಲನ: ಕನಡಿಸಬ್ೇಕಾದ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಛ್ೇದಗಳಳ ಒಂದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ಂತ್ ಮಾಡುವ್ುದು ಮೊದಲನ್ೇ ಕಾಯಾ. ಮೊದಲನ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ುು ಛ್ೇದಗಳನುನ ಎರಡನ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದದಿಂದಲನ ಎರಡನ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ುು ಛ್ೇದಗಳನುನ ಮೊದಲನ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದದಿಂದಲನ ಗುಣಿಸಿದರ್ ಛ್ೇದಗಳಳ ಸಮನಾಗುತ್ುವ್. ಛ್ೇದಗಳಿಗ್ ಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನವಿದದರ್ ಅದರಿಂದ ಪಾತೇ ಛ್ೇದವ್ನನನ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುವ್ ಭಾಗಲಬಧಗಳನುನ ಮಾತ್ಾ ಛ್ೇದಗಳ್ಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಈ ಕ್ಲಾಯೆೇ ಮಾಡಿದರನ ಛ್ೇದಗಳಳ ಸಮವಾಗುತ್ುವ್. ತ್ದನಂತ್ರ ಅಂಶಗಳನುನ ಸಂಕಲನ/ವ್ಯವ್ಕಲನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸಿ ದ್ನರ್ತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅಂಶದಲಿಿಯನ ಸ್ಾಮಾನಯ ಛ್ೇದವ್ನುನ ಛ್ೇದದಲಿಿಯನ ಇಟ್ುಟ ಅವ್ುಗಳಲಿ ಿಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನವಿದದರ್ ಅದನುನ ರದುದಪಡಿಸಿದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ುದ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಉತ್ುರ. ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ತ್ಮಮ ಗಾಂಥದಲಿ ಿ ಅವ್ರದ್ೇ ಆದ ವಿಶಿಷಟ ಶ್ೈಲಿಯಲಿಿ ಕ್ೇಳಿದ ಪಾಶ್ನಯನ್ನೇ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
55
(೨) ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ುು ಭಾಗಾಹಾರ: ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಾದ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಅಂಶವಾಗಿಯನ ಛ್ೇದಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಛ್ೇದವಾಗಿಯನ ಉಳಳ ಭಿನನರಾಶಿಯೆೇ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕಾದ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಗುಣಲಬಧ. ಈ ಗುಣಲಬಧದ ಅಂಶ ಮತ್ುು ಛ್ೇದಗಳಿಗ್ ಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನವಿದದರ್ ಅದನುನ ರದುದ ಪಡಿಸಬ್ೇಕು.
ಭಾಗಾಹಾರದಲಿಿ ಭಾಜಕದ ಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ವ್ುಯತ್ುರಮದಿಂದ ಭಾಜಯ ಸ್ಾೆನದಲಿಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯನುನ ಗುಣಿಸಿದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯೆೇ ಭಾಗಲಬಧ. ಈ ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಶ ಮತ್ುು ಛ್ೇದಗಳಿಗ್ ಸ್ಾಮಾನಯ ಅಪವ್ತ್ಾನವಿದದರ್ ಅದನುನ ರದುದ ಪಡಿಸಬ್ೇಕು.
56
(೩) ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಿನನರಾಶಿ: ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಿನನರಾಶಿಯನ ಭಿನನರಾಶಿಯೆೇ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಯಾವ್ುದ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಾಗವ್ನುನ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಗ್ೇ ಕನಡಿಸಬ್ೇಕಾದರ್ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಮತ್ುು ಅದರ ಭಾಗದ ಛ್ೇದಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಉತ್ುರದ ಛ್ೇದದಲಿ ಿ ಬರ್ಯರಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಭಾಗದ ಅಂಶ ಮತ್ುು ಛ್ೇದಗಳ ಮೊತ್ು ಮತ್ುು ಭಿನನರಾಶಿಯ ಅಂಶಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಉತ್ುರದ ಅಂಶದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ತ್ಂತ್ಾದಲಿಿ ಯುಕು ಬದಲಾವ್ಣ್ ಮಾಡಿ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಭಾಗವ್ನುನ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಯಂದ ಕಳ್ಯಲನಬಹುದು.
(೪) ಭಿನನರಾಶಿಗಳನುನ ದಶಮಾಂಶಗಳ ರನಪದಲಿಿಯನ ಬರ್ಯಬಹುದ್ಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗ್ ತಳಿದಿದ್ ಎಂದು ನಂಬ್ರದ್ದೇನ್. ಉದಾ.: ೧/೨ = ೦.೫, ೧/೪ = ೦.೨೫. ಈ ಕುರಿತಾಗಿ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ಇರುವ್ ಕುತ್ನಹಲಜನಕ ಮಾಹಿತಯನುನ ಈಗ ವಿವ್ರಿಸುತ್ುೇನ್.
(ಅ) ೨, ೫ ಈ ಎರಡನ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಅಥವ್ ಇವ್ರಡರ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರ್ನಂದು ಛ್ೇದದ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳಾಗಿದದರ್ ಮಾತ್ಾ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಯನುನ ಅಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ರನಪದಲಿಿ ಬರ್ಯಲು ಸ್ಾಧ್ಯ.
57
(ಆ) ೨, ೫ ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಕನಿಷಠಪಕ್ಷ ಒಂದಾದರನ ಛ್ೇದದ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಒಂದು ಅಪವ್ತ್ಾನ ಆಗಿದದರ್ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಯನುನ ಅಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ಮತ್ುು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ್ರಡನ ಮಿಶಾವಾಗಿರುವ್ ದಶಮಾಂಶಗಳ ರನಪದಲಿ ಿಬರ್ಯಲು ಸ್ಾಧ್ಯ.
(ಇ) ೨, ೫ ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಒಂದು ಛ್ೇದದ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಒಂದು ಅಪವ್ತ್ಾನ ಆಗಿರದ್ೇ ಇದದರ್, ಅರ್ಾಾತ್ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳ್ಲಿವ್ೂ ೩, ೭, ೧೧ ಇವ್ೇ ಮೊದಲಾದ ಅವಿಭಾಜಯ ಸಂಖ್್ಯಗಳಾಗಿದದರ್ ಆ ಭಿನನರಾಶಿಯು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿರುತ್ುದ್.
(ಈ) ಅಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದದಲಿಿ ಎಷುಟ ಅಪವ್ತ್ಾನಗಳಿರುತ್ುವ್ಯೇ ಅಷುಟ ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳಿರುತ್ುವ್.
(ಉ) ೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ್ ಅಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವ್ತಾಸಬಹುದಾದ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಛ್ೇದದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ದಶಮಾಂಶ ಸ್ಾೆನಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಗುಣಲಬಧದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯು ೦ ಆಗಿರುತ್ುದ್.
58
(ಊ) ೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿವ್ತಾಸಬಹುದಾದ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಛ್ೇದದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಗುಣಲಬಧದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ೯ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಛ್ೇದ ೨೩ ಆಗಿದದರ್ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾಗಿರುತ್ುದ್ಂದು ಭವಿಷಯ ನುಡಿಯಬಲಿಿರಾ?
(ಋ) ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನುನ ಪತ್ುಹಚ್ಿಲು ನ್ೇರ ಭಾಗಾಹಾರವ್ನುನ ಹ್ನರತ್ುಪಡಿಸಿ ಬ್ೇರ್ ಸುಲಭ ಮಾಗ್ನೇಾಪ್ಾಯಗಳಿವ್ಯೆೇ? ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ಕ್ಲವ್ು ಇಂಥ ಉಪ್ಾಯಗಳ ಉಲ್ಿೇಖವಿದ್. ಅವ್ನುನ ಒಂದ್ನಂದಾಗಿ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ. ಭಿನನರಾಶಿಯ ಸಾರನಪವ್ನಾನಧ್ರಿಸಿ ತ್ಂತ್ಾ ಆಯೆು ಮಾಡುವ್ುದನುನ ರನಢಿಸಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕು.
ಪ್ುನ್ರಾವ್ತ್ಿಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ುನ ಲಕಕ್ಕೆಸುವ್ುದು. ತ್ಂತ್ರ ೧
ಈ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ಅಭಯಸಿಸಲು ಭಿನನರಾಶಿ ೧/೭ ಮತ್ುು ೧/೧೩ ಅನುನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಾಗಿ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಳೂ್ ಳೇಣ. ೧/೩ = .೩೩೩೩೩೩—. ೧/೯ = .೧೧೧೧೧೧— ಮತ್ುು ೧/೧೧ = .೦೯೦೯೦೯೦ ಆದುದರಿಂದ ಅವ್ುಗಳನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಲು ಸುಲಭದ ಮಾಗ್ನೇಾಪ್ಾಯಗಳ ಅಗತ್ಯವಿಲವಿಾದದರಿಂದ ಅವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಳಳಳತುಲಿ. ನ್ೇರ ಭಾಗಾಹಾರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಈ ಭಿನನರಾಶಿಗಳನುನ ಒಳಪಡಿಸಿದಾಗ ಪಾತೇ ಹಂತ್ದಲಿಿ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಶ್ೇಷಗಳನುನ ಗಮನಿಸಿ (ಅವ್ು ಕ್ಂಪು ಬಣಾದಲಿವಿ್). ಮೊದಲನ್ೇ ಹಂತ್ದಲಿಿ ದ್ನರ್ತ್ ಶ್ೇಷ ೧. ಅದ್ೇ ಶ್ೇಷ ಪುನಃ ದ್ನರ್ಯುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಭಾಗಾಹಾರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿದಿದ್. ತ್ದನಂತ್ರ ಮುಂದುವ್ರಿಸುವ್ ಅಗತ್ಯ ಏಕ್ಲಲಿ ಎಂಬುದನುನ ನಿೇವ್ೇ ಊಹಿಸಬಹುದು.
59
೧/೭ ಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೧ ಅನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿ ಇಂತದ್: ೩, ೨, ೬, ೪, ೫, ೧. ಅಂಶ ೧ ಆಗಿರುವ್ ಎಲ ಿ ಭಿನನರಾಶಿಗಳಲಿಿಯನ ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೧ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಎಂದ್ೇ ಅದನುನ ಸರಣಿಯಲಿ ಿಸ್್ೇರಿಸಿಲಿ. ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೧, ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೩. ಇವ್ರಡರ ಅನುಪ್ಾತ್ ೧:೩. ಅರ್ಾಾತ್, ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷದ ೩ ರಷುಟ ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷವಿದ್. ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೩, ಅದರ ಮನರರಷುಟ ೯. ಇದು ೭ ಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದು. ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡು ಶ್ೇಷ ಇರಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಿಲ.ಿ ೯ ರಿಂದ ೭ ಅನುನ ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳ್ದರ್ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ೨. ಇದ್ೇ ನಮಮ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಎರಡನ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಇದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಈಗ ಮುಂದುವ್ರಿಸ್್ನೇಣ. ೨ ರ ಮನರರಷುಟ ಅಂದರ್ ೬. ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೩ ನ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಇದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ೬ ರ ಮನರರಷುಟ ಅಂದರ್ ೧೮. ಇದು ೭ ಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದು. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನುನ ಎರಡು ಬಾರಿ ಕಳ್ದರ್ ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ೪. ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೪ ನ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಇದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ೪ ರ ೩ ರಷುಟ ಅಂದರ್ ೧೨. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನುನ ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳ್ದರ್ ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ೫. ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ೫ ನ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಇದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ ೫ ರ ೩ ರಷುಟ ಅಂದರ್ ೧೫. ಇದರಿಂದ ೭ ಅನುನ ಒಂದು ಬಾರಿ ಕಳ್ದರ್ ಉಳಿಯುತ್ುದ್ ೧. ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯ ಕ್ನನ್ಯ ಸಂಖ್್ಯ ಇದ್ೇ ಆಗಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಶ್ೇಷ ೧ ದ್ನರ್ತ್ ಬಳಿಕ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸುವ್ ಆವ್ಶಯಕತ್ ಇಲಿ ಎಂದು ಈಗಾಗಲ್ೇ ಹ್ೇಳಿದ್ಯಷ್್ಟ?
ಮೊೇದಲನ್ಯ ಶ್ೇಷ ೧ ಅಗಿರುವ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನನರಾಶಿಗಳಲಿ ಿ ಎರಡನ್ಯ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಲ್ಕುಹಾಕ್ಲದರ್ ತಳಿಯುತ್ುದ್ ೨ ಮತ್ುು ೧ ನ್ೇ ಶ್ೇಷಗಳ ನಡುವಿನ ಅನುಪ್ಾತ್. ಇದು ತಳಿದರ್ ಮುಂದಿನ ಶ್ೇಷಗಳನುನ ನ್ೇರ ಭಾಗಾಹಾರ ಮಾಡದ್ಯೆೇ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಲ್ಕುಹಾಕಬಹುದು. ನಿಜವಾದ ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲನ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿ ಬರ್ಯರಿ. ಅದನುನ ಅನುಪ್ಾತ್ ಸನಚೇಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಗುಣಲಬಧ ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರ್ ಅದರಿಂದ ಭಾಜಕವ್ನುನ ಅವ್ಶಯವಿರುವ್ಷುಟ ಸಲ ಕಳ್ದು ಮುಂದಿನ ನಿಜವಾದ ಶ್ೇಷ ಪಡ್ಯರಿ. ಶ್ೇಷ ೧ ದ್ನರ್ಯುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ. ನಮಗ್ ಬ್ೇಕಾದದುದ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ೇ್ ವಿನಾ ಈ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲಿ. ಈ ಸರಣಿಯಂದ ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನುನ ಪಡ್ಯಬಹುದು. ಅದಕಾುಗಿ ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ಛ್ೇದದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ [ನ್ನೇಡಿ (ಊ)]. ಈ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಪಾತೇ ಶ್ೇಷದ [ಅಥವ್ ಶ್ೇಷದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ] ಗುಣಲಬಧದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಬರ್ಯರಿ. ಅವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಳ. ೧/೭ ಕ್ು ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಛ್ೇದದಲಿ ಿ ಇರುವ್ುದು ಒಂದ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಾದದರಿಂದ ಅದ್ೇ ಛ್ೇದದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ೭ ಆಗಿರಲ್ೇ ಬ್ೇಕು. ಎಂದ್ೇ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯಲಿಿರುವ್
60
ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ೭ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯಬ್ೇಕು. ಇಂತ್ು ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸರಣಿಯ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಉತ್ುರ. ನಮಗ್ ದ್ನರ್ತರುವ್ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿ: ೩, ೨, ೬, ೪, ೫, ೧
ಆದದರಿಂದ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಳ: ೧, ೪, ೨, ೮, ೫, ೭
ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಉತ್ುರ: .೧೪೨೮೫೭ ನ್ೇರಭಾಗಾಹಾರದಿಂದ ಪಡ್ದದನದ ಇದ್ೇ. ೧/೧೩ ಮತ್ುು ೧/೩೧ ಭಿನನರಾಶಿಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಶ್ೇಷಗಳ ಸರಣಿಯನುನ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗದಿಂದ ನ್ೇರವಾಗಿ ಪಡ್ಯೇಣ.
ತ್ಂತ್ಾವ್ೇನ್ನೇ ಚ್ನಾನಗಿದ್. ಆದರ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಅಂಶ ೧ ಆಗಿರದ್ೇ ಇದದರ್ ಮಾಡುವ್ುದ್ೇನು?
ಪ್ುನ್ರಾವ್ತ್ಿಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ುನ ಲಕಕ್ಕೆಸುವ್ುದು. ತ್ಂತ್ರ ೨
ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದ ೧ ಆಗಿರದ್ೇ ಇದಾದಗ ಈಗ ತಾನ್ೇ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾದಲಿಿ ಮಾಡಿಕ್ನಳಳಬ್ೇಕಾದ ಬದಲಾವ್ಣ್ಗಳನುನ ಈಗ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ. ೧ ಅಂಶವಾಗಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಗಳಲಿಿ ಛ್ೇದದಿಂದ ಭಾಗಿಸುವಾಗ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೧ ಆಗಿರುವ್ುದರಿಂದ ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಅದನುನ ಗುಣಕವಾಗಿರಿಸಿಕ್ನಂಡು ಇತ್ರ ಶ್ೇಷಗಳನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸುತುದ್ದವ್ು. ೧ ಅನುನ ಹ್ನರತ್ುಪಡಿಸಿ ಬ್ೇರ್ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಅಂಶವಾಗಿದದರ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ ೧ ಆಗಿರುವ್ುದಿಲ.ಿ ಆದದರಿಂದ ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷವ್ನುನ ಗುಣಕವಾಗಿರಿಸಿಕ್ನಳಳಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಾಗದಿರುವ್ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಳ ಉದಯವಿಸುತ್ುವ್.
ಉದಾ ೧: ೩/೭, ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ: ೩. ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷ: ೩೦/೭: ೨. ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷಕನು ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷಕನು ಇರುವ್ ಅನುಪ್ಾತ್: ೨:೩. ಆದದರಿಂದ ಇತ್ರ ಶ್ೇಷಗಳನುನ ಪಡ್ಯಲು ಉಪಯೇಗಿಸಬ್ೇಕಾದ ಗುಣಕ: ೨/೩.
ಉದಾ ೨: ೪/೧೩. ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷ: ೪. ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷ: ೪೦/೧೩: ೧. ಎರಡನ್ೇ ಶ್ೇಷಕನು ಮೊದಲನ್ೇ ಶ್ೇಷಕನು ಇರುವ್ ಅನುಪ್ಾತ್: ೧:೪. ಆದದರಿಂದ ಇತ್ರ ಶ್ೇಷಗಳನುನ ಪಡ್ಯಲು ಉಪಯೇಗಿಸಬ್ೇಕಾದ ಗುಣಕ: ೧/೪.
61
ಈ ಎರಡನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿ ಿ ಗುಣಕಗಳಳ ಪೂಣಾಾಂಕಗಳಲಿ. ಇಂಥ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿಿ (೧) ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶವಾಗಿ ಪರಿವ್ತಾಸಬ್ೇಕಾದ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಅಂಶವ್ನುನ ೧ ಎಂದಿಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ಉತ್ುರ ಪತ್ುಹಚಿ, ಅದನುನ ನಿಜವಾದ ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ (೨) ಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗದಲಿಿ ಒಂದು ಹಂತ್ದಲಿ ಿಏಕ್ೈಕ ಹ್ನಂದಾಣಿಕ್ಯನುನ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡು ಉಳಿದಂತ್ ಯಾವ್ ಬದಲಾವ್ಣ್ಯನನನ ಮಾಡದ್ಯೆೇ ಉತ್ುರ ಪಡ್ಯಬಹುದು.
ಮೊದಲನ್ೇ ವಿಧಾನಕ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ:
ಅಂಶದಲಿಿ ಬಲು ದ್ನಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಇದದರ್ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಇನ್ನನಂದು ಸಮಸ್್ಯ ಆಗುವ್ುದ್ೇ ಈ ವಿಧಾನದ ದ್ನೇಷ. ಇದರ ಅರಿವ್ು ಮನಡಿಸಲ್ನೇಸುಗ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಎರಡನ್ೇ ವಿಧಾನಕ್ು ವಿವ್ರಣ್ ಸಹಿತ್ವಾದ ಉದಾಹರಣ್:
62
ಈ ಮುಂದ್ ನಕ್ಷಾತ್ಮಕ ವಿವ್ರಣ್ಯಂದಿಗ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ಇನನನ ಕ್ಲವ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
63
ಈ ವಿವ್ರಣ್ ಮುಗಿಸುವ್ ಮುನನ ಕ್ಲವ್ು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಲಿ ಿ ಕಂಡುಬರುವ್ ಎರಡು ಕುತ್ನಹಲಜನಕ ಲಕ್ಷಣಗಳನುನ ಗಮನಿಸಿ
(೧) ಕ್ಲವ್ು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನುನ ಎರಡು ಸಮಪ್ಾಲುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಒಂದರ ಕ್ಳಗ್ನಂದರಂತ್ ಬರ್ದು ಕನಡಿಸಿದರ್ ಮೊತ್ುದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳೂ ೯ ಆಗಿರುತ್ುವ್. ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ
(೨) ೧/೭ ರ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೨ ನ್ೇ ಕನಿಷಠ ಅಂಕ್ಲಯಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಇತ್ರ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬರ್ದರ್ ಅದು ೨/೭ ರ ರನಪ್ಾಂತ್ರವ್ೂ, ೩ ನ್ೇ ಕನಿಷಠ ಅಂಕ್ಲಯಂದಾರಂಭಿಸಿ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಇತ್ರ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬರ್ದರ್ ಅದು ೩/೭ ರ ರನಪ್ಾಂತ್ರವ್ೂ ೪ ನ್ೇ
64
ಕನಿಷಠ ಅಂಕ್ಲಯಂದಾರಂಭಿಸಿದರ್ ೪/೭ ರ ರನಪ್ಾಂತ್ರವ್ೂ ೫ ನ್ೇ ಕನಿಷಠ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಆರಂಭಿಸಿದರ್ ೫/೭ ರ ರನಪ್ಾಂತ್ರವ್ೂ ೬ ನ್ೇ ಕನಿಷಠ ಅಂಕ್ಲಯಂದಾರಂಭಿಸಿದರ್ ೬/೭ ರ ರನಪ್ಾಂತ್ರವ್ೂ ಆಗಿರುತ್ುದ್! ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ
ಪ್ುನ್ರಾವ್ತ್ಿಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ುನ ಲಕಕ್ಕೆಸುವ್ುದು. ತ್ಂತ್ರ ೩
೯ ರಿಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಛ್ೇದಗಳಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ವಿಶಿಷಟತ್ಗಳನುನ ಈಗ ಪರಿಶಿೇಲಿಸ್್ನೇಣ.
ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದದಲಿರಿುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೯ ಇದದರ್ ಅದನುನ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಾಗಿ ರನಪ್ಾಂತ್ರಿಸಲು ಈ ಹಿಂದಿನ ಕಂತನಲಿಿ ಸನಚಸಿದದ ತ್ಂತ್ಾಕ್ಲುಂತ್ ಸುಲಭವಾದ ತ್ಂತ್ಾದ ಉಲ್ೇಿಖವಿದ್ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿ.ಿ ಅದನುನ ಈಗ ತಳಿಯೇಣ. ಈ ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯಾಂಶ ವಿವ್ರಿಸುವಾಗ ನಿೇಡಿದದ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಇನ್ನನಮಮ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಪುನರಾವ್ತ್ಾನ್ಯಾಗುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವಾಗಲನ ಛ್ೇದದಲಿಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಒಂದು ಕಳ್ದರ್ ಸಿಕುುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಮಿೇರುವ್ುದಿಲಿ! ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಸಮಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿರುವ್ ಬಹು ಸಂದಭಾಗಳಲಿ ಿಮೊದಲಿನ ಅಧ್ಾದಷುಟ ಅಥವ್ ಕ್ನನ್ಯ ಅಧ್ಾದಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿದರ್ ಉಳಿದದದನುನ ದಿೇರ್ಾ ಲ್ೇಕಾುಚಾರ ಮಾಡದ್ಯೆೇ ಬರ್ಯಬಹುದು! ಈ ಅಂಶಗಳ ಪಾಯೇಜನವ್ನುನ ಈಗ ವಿವ್ರಿಸುವ್ ತ್ಂತ್ಾ ಪಡ್ದುಕ್ನಂಡಿದ್.
೧/೧೯ ಭಿನನರಾಶಿಯನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿಟ್ುಟಕ್ನಂಡು ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ಅಥಾಮಾಡಿಕ್ನಳೂ್ ಳೇಣ.
೧ ಅಂಶ ಆಗಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ಗುಣಲಬಧ ೯ ಆಗಿರಲ್ೇ ಬ್ೇಕಾದದರಿಂದ ಛ್ೇದದಲಿಿ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ೯ ಆಗಿರುವ್ ಎಲಿ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಲಿ ಿಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ೧ ಆಗಿರಲ್ೇ ಬ್ೇಕು. ಎಂದ್ೇ, ಮೊದಲು ೧ ಅನುನ ಬರ್ದು ತ್ದನಂತ್ರ ಅದರ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಬರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದು ಈ ತ್ಂತ್ಾದ ವ್ೈಶಿಷಟಾ. ಪತ್ುಹಚ್ಿಬ್ೇಕಾದ ಒಟ್ುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಅಧ್ಾದಷಟನುನ ಪತ್ುಹಚಿದದನುನ ತಳಿಯಲು ವಿಧಾನ ರನಪಿಸಿರುವ್ುದು ಇನ್ನನಂದು ವ್ೈಶಿಷಟಾ. ಈ ಹಿನ್ನಲ್ ಮಾಹಿತಯಂದಿಗ್ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ವಿವ್ರಣ್ಸಹಿತ್ವಾದ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಹಂತ್ ೧: ಛ್ೇದ ೧೯ ಆಗಿರುವ್ುದರಿಂದ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಸರಣಿಯಲಿ ಿ೧೯-೧=೧೮ ಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಿಲ.ಿ ಎಂದ್ೇ, ಉತ್ುರ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸೆಳದ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ೧ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬರ್ಯರಿ.
65
ಹಂತ್ ೨: ಛ್ೇದದಲಿ ಿ೯ರ ಹಿಂದ್ ಎಡಭಾಗದಲಿ ಿಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ೧ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಲಭಿಸುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಉತ್ುರ ಬರ್ಯುವ್ ಸೆಳದಲಿಿ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಎಡತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಗುಣಿಸಿ, ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಆ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಹಾಲಿ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಛ್ೇದದಲಿಿ ೯ ರ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ೧. ೧+೧=೨. ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಎಡತ್ುದಿಯಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಬ್ೇಕು. ಹಾಲಿ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧x೨=೨. ೨ ಅನುನ ೧ ರ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕು.
ಹಂತ್ ೩: ಉತ್ುರದ ಭಾಗದಲಿ ಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯು (ಛ್ೇದ-ಅಂಶ) ಕ್ು ಸಮನಾಗುವ್ ತ್ನಕ (ಹಾಲಿ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೯-೧=೧೮) ಹಂತ್ ೨ ರ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ. ಆ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಬರ್ಯಬ್ೇಡಿ. ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಒಂದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇದದರ್ ನಿಭಾಯಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ಅಧ್ಯಯಸಿ ತಳಿಯರಿ.
ಹಂತ್ ೪: ನಿೇವ್ು ಆವಿಷುರಿಸಿದ ಪಾತೇ ಅಂಕ್ಲಯ ಮೇಲಾಯಗದಲಿ ಿಅದಕ್ು ಎಷಟನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ೯ ಆಗುತ್ುದ್ನೇ ಆ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬರ್ಯರಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಉತ್ುರವ್ನುನ ಸ್ಾಂಪಾದಾಯಕ ಕಾಮದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ
ಈ ಒಟಾಟರ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ನಕ್ಷಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಈ ಮುಂದಿನಂತ್ಯನ ಬರ್ಯಬಹುದು
66
ಈ ಹಿಂದಿನ ತ್ಂತ್ಾಕ್ು ಹ್ನೇಲಿಸಿದಾಗ ಇದು ಅತೇ ಸುಲಭದುದ ಅನಿನಸುತ್ುದಲಿವ್ೇ?
ಇಂಥ ಲ್ಕುಗಳನುನ ನಿತ್ಯ ಜಿೇವ್ನದಲಿ ಿ ಮಾಡಲ್ೇ ಬ್ೇಕಾದ ಸನಿನವ್ೇಶಗಳಳ ವಿರಳಾತವಿರಳವಾದದರಿಂದ ಕ್ಲವ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಹ್ಚ್ುಿ ವಿವ್ರಣ್ ನಿೇಡದ್ೇ ಒದಗಿಸಿದ್ದೇನ್. ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಪ್ುನ್ರಾವ್ತ್ಿಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನ್ುನ ಲಕಕ್ಕೆಸುವ್ುದು. ತ್ಂತ್ರ ೪
೯ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಛ್ೇದ ಮತ್ುು ಅಂಶ ೧ ಇರುವ್ ಮಾಮನಲು ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳನುನ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ ಸರಳ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ೯ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳದ ಮಾಮನಲು ಭಿನನರಾಶಿಗಳಿಗ್ ಅನಾಯಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ ಮತ್ುು ಛ್ೇದ ೧ ಇರುವ್ುದಕ್ು ಬದಲಾಗಿ ಬ್ೇರ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕ್ಂಬುದನುನ ಈಗ ತಳಿಯೇಣ.
ಮೊದಲು ಅಂಶ ೧ ಆಗಿರುವ್ ೯ ಇಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳದ ಛ್ೇದ ಇರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಗಳನುನ ಅಧ್ಯಯಸ್್ನೇಣ.
ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ:
ನಿಮಗ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದವ್ನುನ ಯಾವ್ ಪೂಣಾಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ಅದು ೯ ರಲಿಿ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಛ್ೇದವಾಗುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ಪತ್ುಹಚಿ.
ಆ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಅಂಶ ಛ್ೇದಗಳ್ರಡನನನ ಗುಣಿಸಿ. ಈ ಕ್ಲಾಯೆಯಂದ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಮೌಲಯ ಬದಲಾಗುವ್ುದಿಲಿ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
ಉದಾ: ೧/೭=೭/೪೯. ೧/೧೧=೯/೯೯. ೧/೧೩=೩/೩೯. ಮೊದಲು ನಿಮಗ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ಭಿನನರಾಶಿಯನುನ ಆಧ್ರಿಸಿಯೆೇ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶದ
ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ನಿೇವ್ು ಸೃಷ್ಟಟಸಿದ ತ್ತ್ಿಮ ಭಿನನರಾಶಿಯ ನ್ರವಿನಿಂದ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶದ
ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಪತ್ು ಹಚ್ಿಲು ಉಪಯೇಗಿಸ ಬ್ೇಕಾದ ಗುಣಕ ಮತ್ುು ಅಧ್ಾದನರ ಕಾಮಿಸಿದದನುನ ಗುರುತಸಲು ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ ಗುಣಲಬಧಗಳನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ.
ಈ ಹಿಂದಿನಂತ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶ ಪತ್ುಹಚಿ.
67
ನಿಮಗ್ ನಿೇಡಿದ ಭಿನನರಾಶಿಯಲಿ ಿ ಅಂಶದಲಿಿ ೧ ರ ಬದಲಾಗಿ ಬ್ೇರ್ ಸಂಖ್್ಯ ಇದದರ್ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಗುರುತಸುವ್ ವಿಧಾನವ್ನುನ ತ್ುಸು ಬದಲಿಸ ಬ್ೇಕು. ಮೊದಲು ನಿಮಗ್ ನಿೇಡಿದ ಭಿನನರಾಶಿಯ ಛ್ೇದ ೧ ಆಗಿದಿದದದರ್ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶದ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾಗಿರುತುತ್ುು ಎಂಬುದನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಿ, ಅದನುನ ಹಾಲಿ ಅಂಶದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಸಂಖ್್ಯ. ಇದರಲಿ ಿ ಒಂದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಷುು ಅಂಕ್ಲಗಳಿದದರ್, ಏಕಸ್ಾೆನವ್ನುನ ಪುನರಾವ್ತ್ಾಕ ದಶಮಾಂಶಗಳ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಬರ್ದು ಉಳಿದವ್ನುನ ನಂತ್ರದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನಿಧ್ಾರಿಸಲು ಒಯಯಬ್ೇಕು, ಈ ಒಂದು ವ್ಯತಾಯಸದ್ನಂದಿಗ್ ಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ಹಂತ್ಗಳನುನ ಯರ್ಾವ್ತಾುಗಿ ಅನುಸರಿಸಿ.
ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ಭಿನನರಾಶಿಗಳ ಕುರಿತಾಗಿ ಇನನನ ಹ್ಚಿನ ಮಾಹಿತ ಇದ್ಯಾದರನ ಅದರ ಆವ್ಶಯಕತ್ ಶಿಾೇಸ್ಾಮಾನಯನಿಗ್ ಇಲಿ ಎಂಬುದು ನನನ ಅನಿಸಿಕ್. ಎಂದ್ೇ ಅವ್ುಗಳನುನ ವಿವ್ರಿಸುವ್ ಗ್ನೇಜಿಗ್ ಹ್ನೇಗುವ್ುದಿಲಿ.
೧೦. ವ್ಗಿಮೂಲ
ವ್ಗಾಮನಲಗಳ ಕುರಿತಾಗಿ ತಳಿದಿರಬ್ೇಕಾದ ವಿಷಯಗಳಳ:
68
(೧) ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಬಲಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಡಭಾಗದತ್ು ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದರ್ ಎಷುಟ ವಿಭಾಗಗಳಳ ಲಭಿಸುತ್ುವ್ಯೇ ಅಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿಇರುತ್ುವ್. ಸಂಖ್್ಯ ಬ್ಸಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರ್ ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಲಿಿ ಒಂದ್ೇ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲ ಇರುತ್ುದ್. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ: √೮೪೧: √೮‘೪೧. ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨
√೫೭೭೬: √೫೭‘೭೬. ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨
(೨) ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾಮನಲವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ: √೮೪೧: √೮‘೪೧. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೪, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೨. ಇದು ೮೪೧ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. √೫೭೭೬: √೫೭‘೭೬. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೪೯, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೭. ಇದು ೫೭೭೬ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. (೨) ೧, ೪, ೯, ೧೬, ೨೫, ೩೬, ೪೯, ೬೪, ೮೧ ಮತ್ುು ೧೦೦ ಇವ್ು ಮೊದಲಿನ ೧೦ ನ್ೈಜ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಗಾಗಳಳ. ಅಂದ ಮೇಲ್ ೨, ೩, ೭ ಮತ್ುು ೮ ಈ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳಿಗ್ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಮನಲಗಳಳ ಇಲಿ. ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧ ಇದದರ್ ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೧ ಅಥವ್ ೯, ೪ ಇದದರ್ ೨ ಅಥವ್ ೮, ೫ ಇದದರ್ ೫, ೬ ಇದದರ್ ೪ ಅಥವ್ ೬, ೯ ಇದದರ್ ೩ ಅಥವ್ ೭, ೦ ಇದದರ್ ೦ ಇರುತ್ುದ್. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ: ೨, ೩, ೭ ಮತ್ುು ೮ ಈ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಅಂತ್ಯಗ್ನಳಳಳವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ: ೧೪೨,೬೪೩, ೫೨೭,೧೦೮
√೮೪೧: ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧ ಅಥವ್ ೯ ಇರುತ್ುದ್. √೫೭೭೬: ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೬ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೪ ಅಥವ್ ೬ ಇರುತ್ುದ್. (೩) ಬ್ಸ ಸಂಖ್್ಯಯ ೦ ಗಳನುನ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಉಳಳ ಸಂಖ್್ಯ, ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೬ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಸಮ ಅಂಕ್ಲ ಉಳಳ ಸಂಖ್್ಯ, ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೬ ಇಲದಿಿರುವ್ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಬ್ಸ ಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯ, ಏಕ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಂಡಾಗ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಮಸಂಖ್್ಯ –
ಇವ್ಕ್ು ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಮನಲಗಳಿಲಿ. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಳ: ಬ್ಸ ಸಂಖ್್ಯಯ ೦ ಗಳನುನ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಉಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ: ೪೯೦, ೩೨೦೦೦
ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೬ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾನೆದಲಿಿ ಸಮ ಅಂಕ್ಲ ಉಳಳ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ: ೫೪೬, ೬೮೬
ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೬ ಇಲಿದಿರುವ್ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾನೆದಲಿಿ ಬ್ಸ ಅಂಕ್ಲ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ: ೬೩೪, ೯೫೨, ೮೭೪
ಏಕ ಮತ್ುು ದಶಸ್ಾನೆಗಳಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಜಂಟಿಯಾಗಿ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಂಡಾಗ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗದ ಸಮಸಂಖ್್ಯಗಳಳ: ೬೩೪, ೮೭೪
ಈ ಲಕ್ಷಣಗಳನುನ ಆಧ್ರಿಸಿ ೨, ೩ ಅಥವ್ ೪ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಗಳ ವ್ಗಾಮನಲಗಳನುನ ನಿಖರವಾಗಿ ಅಂದಾಜಿಸಲನ ಸ್ಾಧ್ಯ. ಕಂಡುಹಿಡಿದ ವ್ಗಾಮನಲ ಸರಿಯಾದದ್ದೇ ಅಲಿವ್ೇ ಎಂಬುದನುನ ವಿೇಕ್ಷಣ್ಯಂದ ಊಹಿಸಲನ ಸ್ಾಧ್ಯ. ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ತಳಿಯಲು ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಅಧ್ಯಯಸಿ.
69
√೮೪೧=√೮‘೪೧: ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨. ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೧ ಅಥವ್ ೯ ಇರುತ್ುದ್. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೪, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೨. ಇದು ೮೪೧ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. ಅಂದ ಮೇಲ್ √೮೪೧= ೨೧ ಅಥವ್ ೨೯. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸರಿಯಾದ ವ್ಗಾಮನಲ ಯಾವ್ುದ್ಂಬುದನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ. (೨೧x೨೧=?, ೨೯x೨೯=?). √೮೪೧= ೨೯. √೪೪೧=√೪‘೪೧: ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨. ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೧ ಅಥವ್ ೯ ಇರುತ್ುದ್. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೪, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೨. ಇದು ೪೪೧ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. ಅಂದ ಮೇಲ್ √೪೪೧= ೨೧ ಅಥವ್ ೨೯. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸರಿಯಾದ ವ್ಗಾಮನಲ ಯಾವ್ುದ್ಂಬುದನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ. (೨೧x೨೧=?, ೨೯x೨೯=?). √೪೪೧= ೨೧. √೧೪೪೪= √೧೪‘೪೪: ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨. ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೪ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೨ ಅಥವ್ ೮ ಇರುತ್ುದ್. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೯, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೩. ಇದು ೧೪೪೪ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. ಅಂದ ಮೇಲ್ √೧೪೪೪= ೩೨ ಅಥವ್ ೩೮. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸರಿಯಾದ ವ್ಗಾಮನಲ ಯಾವ್ುದ್ಂಬುದನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ. (೩೨x೩೨=?, ೩೮x೩೮=?). √೧೪೪೪= ೩೮.
√೫೭೭೬= √೫೭‘೭೬: ವಿಭಾಗಳಳ: ೨, ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ:೨. ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೬ ಇದ್. ವ್ಗಾಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ೪ ಅಥವ್ ೬ ಇರುತ್ುದ್. ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾಸಂಖ್್ಯ: ೪೯, ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲ: ೭. ಇದು ೫೭೭೬ ರ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎಡತ್ುದಿಯ ಅಂಕ್ಲ. ಅಂದ ಮೇಲ್ √೫೭೭೬= ೭೪ ಅಥವ್ ೭೬. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಸರಿಯಾದ ವ್ಗಾಮನಲ ಯಾವ್ುದ್ಂಬುದನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ. (೭೪x೭೪=?, ೭೬x೭೬=?). √೫೭೭೬= ೭೬.
ಈಗಷ್್ಟೇ ಒದಗಿಸಿದ ಮಾಹಿತಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಇನನನ ಒಂದು ಅಂಶದತ್ು ನಿಮಮ ಗಮನ ಸ್್ಳ್ಯಬಯಸುತ್ುೇನ್. ಅಲಿ ಿ ನಿೇಡಿದ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ್ಲಿವ್ೂ ಪೂಣಾಾಂಕಗಳಾಗಿದದವ್ು. ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ದಶಮಾಂಶಗಳೂ ಇದದರ್ ಅಥವ್ ಸಂಖ್್ಯ ಪೂತಾಯಾಗಿ ದಶಮಾಂಶವ್ೇ ಆಗಿದದರ್ ಏನು ಮಾಡಬ್ೇಕು? ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗಿಸಬ್ೇಕು
ಅದನುನ ತಳಿಯುವ್ ಮುನನ ಈ ಮುಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ ಮಾಡುವ್ ಕುಶಲತ್ ಬ್ಳ್ಸಿಕ್ನಳಿಳ.
ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಇರುವ್ ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ಎಡಪ್ಾಶಾಾದಲಿ ಿಬಲಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಡಭಾಗದತ್ು ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ, ಬಲಪ್ಾಶಾಾದಲಿ ಿಎಡಭಾಗದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಬಲಭಾಗದತ್ು ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಜ್್ನೇಡಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ. ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ಎಡಪ್ಾಶಾಾದಲಿಿ ಬ್ಸ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬಹುದಾದರನ ಬಲಪ್ಾಶಾಾದಲಿಿ ಸಮಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿಯೆೇ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬ್ೇಕು. ಇಲಿದ್ೇ ಇದದರ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ವ್ಗಾಮನಲ ಇರುವ್ ಸ್ಾಧ್ಯತ್ ಇಲಿ. ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ನಂತ್ರ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುತ್ುವೇ ಅದರ ಅಧ್ಾದಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ಇರಬ್ೇಕಾದದುದ ಕಡಾುಯವಾದದರಿಂದ ಈ ಕಾಮ. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
70
ಉದಾಹರಣ್ ೧: √೧೪೪.೦೪ = √೧‘೪೪.೦೪‘ ಉದಾಹರಣ್ ೨: √೩೨೪.೬೧ = √೩‘೨೪.೬೧‘ ಉದಾಹರಣ್ ೩: √೬೭೨೪.೪ = √‘೬೭‘೨೪.೪೦‘ ಉದಾಹರಣ್ ೪: √.೦೧=೧, √.೨೫=.೫, √.೦೦೨೫=.೦೫
ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ತ್ಂತ್ಾ ಹಂತ್ ೧: ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಪೂವೇಾಕು ವಿಧಾನದಲಿಿ ಎರಡ್ರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತ್ುಗಳನುನ ಮಾಡಿ. ಉದಾಹರಣ್ ೧: √೧೫೧೫೩೬೧=√‘೧೫‘೫೩‘೬೧
ಉದಾಹರಣ್ ೨: √೨೬೨೨೪೬೪೧ = √‘೬೨‘೪೬‘೪೧ ಉದಾಹರಣ್ ೩: √.೧೮೬೭೧೦೪೧ = √.೧೮‘೬೭‘೧೦‘೪೧‘ ಉದಾಹರಣ್ ೪: √೭೧೪೩.೬೩೦೪ = √‘೭೧’೪೩.೬೩‘೦೪‘
ಹಂತ್ ೨: ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷಠ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚಿ ಆ ಗುಂಪಿನ ಕ್ಳಗ್ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ಗನುಗುಣವಾಗಿ ಬರ್ಯರಿ. ನ್ೇರ ಭಾಗಹಾರದಲಿಿ ಮಾಡುವ್ಂತ್ ಕಳ್ದು ಲಭಿಸಿದದನುನ ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ದು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಕಳ್ದ ವ್ಗಾದ ವ್ಗಾಮನಲವ್ನುನ ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯ ನಂತ್ರ ತ್ನೇರಿಸಿದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ (ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವ್ನುನ ಬರ್ಯಬ್ೇಕ್ಲಲಿ, ಇನುನ ಮುಂದಕ್ು ಅದು ಎದುರಾದಲಿಿ ನಿಲಾಕ್ಷಿಸಿ, ಏಕ್ ಎಂಬುದು ಕ್ನನ್ಯ ಹಂತ್ದಲಿ ಿ ತಳಿಯುತ್ುದ್, ಇದು ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಸನಚಸುವ್ ಚಹ್ನ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಆದದರಿಂದ ಅಲಿಿ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯ ಭಾಗಲಬಧದ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಾಗುತ್ುದ್ ಎಂಬುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ?. ಪಕುದಲಿಿ ಮನಲ, ಪಂಕ್ಲು ಎಂಬ ಶಿರ್ನೇನಾಮವ್ುಳಳ ಎರಡು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಸೃಷ್ಟಟಸಿ. ಮನಲ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಭಾಗಲಬಧದ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬರ್ಯರಿ. ಅದರ ಎರಡರಷಟನುನ ಪಂಕ್ಲು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ದ ಭಾಜಕ.
ಹಂತ್ ೩: ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನ್ೇರ ಭಾಗಹಾರದಲಿ ಿಮಾಡುವ್ಂತ್ ಕ್ಳಕ್ು ಒಯುದ ತ್ನೇರಿಸಿದಂತ್ ಬರ್ಯರಿ. ಇಂತ್ು ದ್ನರ್ತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಪಂಕ್ಲುಯಲಿಿ ಇರುವ್
71
ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷ ಕಂಡುಹಿಡಿಯರಿ, ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನ್ೇರ ಭಾಗಹಾರದಲಿ ಿಮಾಡುವ್ಂತ್ ಶ್ೇಷದ ಪಕುದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೪: ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ಮನಲ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಈ ಹಿಂದ್ಯೆೇ ಬರ್ದಿದದ ಅಂಕ್ಲಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ಭಾಗಲಬಧವ್ೇ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎರಡನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ. ಇದರ ಎರಡರಷಟನುನ ಪಂಕ್ಲು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದದದರ ಕ್ಳಗ್ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಮುಂದ್ ತ್ಳಿಳ ಬರ್ಯರಿ (ಈ ಕ್ಲಾಯೆಯ ಗಾಹಿಕ್ ಸುಲಭವಾಗಲಿ ಎಂದು ಎಡತ್ುದಿಯಲಿ ಿಒಂದು ೦ ಲಗತುಸಿದ್. ಅಭಾಯಸವಾದ ಬಳಿಕ ಇದನುನ ಲಗತುಸಬ್ೇಕ್ಲಲಿ)
ಹಂತ್ ೫: ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನ್ೇರ ಭಾಗಹಾರದಲಿ ಿಮಾಡುವ್ಂತ್ ಶ್ೇಷದ ಪಕುದಲಿಿ ಬರ್ದು ಉಂಟಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ವ್ಗಾಮನಲದ ಎರಡನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಕಳ್ಯರಿ. ಉಳಿದ ಶ್ೇಷದ ಪಕುದಲಿ ಿ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬರ್ಯರಿ. ಪಂಕ್ಲು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಇರುವ್ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ದು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಇದು ಮುಂದಿನ ಭಾಜಕ.
72
ಹಂತ್ ೬: ಈ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಭಾಜಕವಾಗಿಸಿ ಶ್ೇಷ ಮತ್ುು ಮನರನ್ೇ ಭಾಗಲಬಧ ಪಡ್ಯರಿ. ಇದ್ೇ ವ್ಗಾಮನಲದ ೩ ನ್ಯ ಅಂಕ್ಲ. ಈ ಹಿಂದ್ ಮಾಡಿದಂತ್ ಇದನುನ ಮನಲ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿಯನ ಇದರ ಎರಡರಷಟನುನ ಪಂಕ್ಲುನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಹಿಂದಿನ ಮೊತ್ುದ ಕ್ಳಗ್ ಒಂದು ಸ್ಾೆನ ಮುಂದ್ ತ್ಳಿಳ ಬರ್ಯರಿ.
ಹಂತ್ ೭:
ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಮುಗಿಯುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ಹಂತ್ ೫ ಮತ್ುು ೬ ಅನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿ. ಸಂಖ್್ಯ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವಾಗಿದದರ್ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಕ್ಳಕ್ು ಇಳಿಸಿದ ನಂತ್ರ ಶ್ೇಷ ೦ ಆಗುತ್ುದ್.
73
ಕ್ನನ್ಯ ಹಂತ್: ಮನಲ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕ್ಳಕ್ು ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ಬರ್ದರ್ ಉಂಟಾಗುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾಮನಲ. ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದು ಹಾಕುವ್ ಅಗತ್ಯವಿದದರ್ ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ: ವ್ಗಾಮನಲದಲಿ ಿ ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ನಂತ್ರ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ (ವ್ಗಾದಲಿ ಿ ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ನಂತ್ರ ಎಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಿವ್ಯೇ ಅದರ ಅಧ್ಾದಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ನಂತ್ರ ಇರಬ್ೇಕು) ಯುಕು ಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ಅದನುನ ಸ್್ೇರಿಸಿ. ಪಂಕ್ಲು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂತಮ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರನ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಉತ್ುರ ದ್ನರ್ಯುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
74
ಕ್ಲವ್ು ಸಂದಭಾಗಳಲಿ ಿ ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಇನ್ನನಂದನುನ ಕಳ್ಯುವಾಗ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಉತ್ುರವಾಗಬಹುದು. ಕ್ಲವ್ು ಸಂದಭಾಗಳಲಿಿ ನಿಮಗ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವಾಗಿರದ್ೇ ಇರಬಹುದು. ಅಂಥ ಸಂದಭಾಗಳಲಿಿ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ್ದೇನು ಎಂಬ ಮಾಹಿತ ಮುಂದಿನ ಕಂತನಲಿ.ಿ
ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ನಿೇವ್ು ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡಿದಿದೇರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ುೇನ್. ಅದನುನ ಪುನಃ ಮನಃಪಟ್ಲದಲಿ ಿ ಮನಡಿಸಿಕ್ನಳಳಲ್ನೇಸುಗ ಈ ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗಿಸುವಾಗ ಕ್ಲವ್ು ತ್ನಡಕುಗಳಳ ಉಂಟಾಗಬಹುದು. ಅವ್ುಗಳನನನ ಮತ್ುು ಅವ್ನುನ ನಿವಾರಿಸಿಕ್ನಳಳಳವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನನನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ ನ್ರವಿನಿಂದ ವಿವ್ರಿಸುತ್ುೇನ್. ಈ ಮುಂದ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಎರಡು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಸನಕ್ಷಮವಾಗಿ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ಕ್ಲವ್ು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಕ್ಂಪು ಬಣಾದಲಿಿ ಬರ್ದಿರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಏಕ್ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
75
ಮೊದಲನ್ೇ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ ೪೯ ಅನುನ ೪ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ೧೦ ಭಾಗಲಬಧವ್ೂ ೯ ಶ್ೇಷವ್ೂ ಲಭಿಸಬ್ೇಕಲಿವ್ೇ? ಆದರ್ ಇಲಿ ಿಬಾಗಲಬಧ ೯, ಶ್ೇಷ ೧೩ ಎಂದು ನಮನದಿಸಿದ್. ಇದಕ್ು ಎರಡು ಕಾರಣಗಳಿವ್ ;
ಮೊದಲನ್ಯದಾಗಿ ಬಾಗಾಹಾರದ ಲ್ಕುಗಳಲಿ ಿ ಭಾಜಕದಿಂದ ಒಂದು ಬಾರಿ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧದ ಗರಿಷಠ ಮೌಲಯ ೯ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಇಲಿ ಿ ಆ ಗರಿಷಠ ಮಿತಯನುನ ಮಿೇರಿದ ಭಾಗಲಬಧ ಲಭಿಸುತುರುವ್ುದರಿಂದ ಅದನುನ ಬಲವ್ಂತ್ವಾಗಿ ೯ ಕ್ು ಮಿತಗ್ನಳಿಸಿದ್. ತ್ತ್ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಶ್ೇಷ ೧೩ ಭಾಜಕಕ್ಲುಂತ್ ದ್ನಡುದಾಗಿದ್. ಎರಡನ್ಯದಾಗಿ, ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ೧೦ ಎಂದು ನಮನದಿಸಿದದರ್ ಏನಾಗುತುತ್ುು? ಶ್ೇಷ ೯ ಆಗಿ, ಮುಂದಿನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ೯೪ ಆಗುತುತ್ುು. ಅದರಿಂದ ೧೦ ರ ವ್ಗಾವ್ನುನ, ಅರ್ಾಾತ್ ೧೦೦ ಅನುನ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾಗುತುತ್ುು. ೯೪-೧೦೦ ! ಇಂತ್ು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್್ಯ ಉತ್ಪತು ಆಗುವ್ುದನನನ ಬಾಗಲಬಧವ್ನುನ ೯ ಕ್ು ಮಿತಗ್ನಳಿಸಿದುದ ತ್ಪಿಪಸಿತ್ು. ಎರಡನ್ೇ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ನಿೇವ್ೇ ವಿಶ್ಿೇಷ್ಟಸಿ. ನ್ನಪಿಡಿ: ಯಾವ್ುದ್ೇ ಹಂತ್ದಲಿ ಿಭಾಗಲಬಧ ೯ ಅನುನ ಮಿೇರುವ್ಂತದದರ್ ಅದನುನ ೯ ಕ್ುೇ ಮಿತಗ್ನಳಿಸಿ. ಪುನಃ ಮುಂದ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಬ್ೇರ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಅವ್ುಗಳಲಿಿಯನ ಕ್ಂಪು ಬಣಾದಲಿಿ ಬರ್ದಿರುವ್ ಭಾಗಲಬಧ ಮತ್ುು ಶ್ೇಷಗಳಳ ಇರುವ್ುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಏಕ್ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ.
ಮೊದಲನ್ೇ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ೫೦ ಅನುನ ೬ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ೮ ಎಂದನ (ಇದು ೯ ಕ್ಲುಂತ್ ಕಮಿಮ ಇದದರನ) ಶ್ೇಷವ್ನುನ ೨ ಎಂದನ ಏಕ್ ಬರ್ದಿಲ.ಿ ಒಂದು ವ್ೇಳ ್ಅಂತ್ು ಬರ್ದಿದದರ್ ಮುಂದಿನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯಲಿಿ ೨೪ ಇಂದ ೬೪ ಅನುನ (೮ ರ ವ್ಗಾ) ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾಗುತುತ್ುು! ಭಾಗಲಬಧದ ಮೌಲಯವ್ನುನ ಒಂದು ಇಳಿಸಿದದರಿಂದ ಈ
76
ತ್ನಡಕು ನಿವಾರಣ್ ಆಯತ್ು. ಎರಡನ್ೇ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ನಿೇವ್ೇ ವಿಶ್ಿೇಷ್ಟಸಿ. ನ್ನಪಿಡಿ: ಯಾವ್ದ್ೇ ಹಂತ್ದಲಿ ಿಕಳ್ಯುವಾಗ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್್ಯ ದ್ನರ್ಯುವ್ಂತದದರ್ ಅದನುನ ತ್ಪಿಪಸಲ್ನೇಸುಗ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಭಾಗಲಬಧದ ಮೌಲಯವ್ನುನ ಕನಿಷಠ ಎಷುಟ ಕಮಿಮ ಮಾಡಬ್ೇಕ್ನೇ ಅಷುಟ ಕಮಿಮ ಮಾಡಬ್ೇಕು (ಅದು ೧, ೨ — ಹಿೇಗ್ ಎಷನಟ ಆಗಿರಬಹುದು). ಪುನಃ ಮುಂದ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಎರಡು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಗಮನಿಸಿ. ಭಾಸುರಾಚಾಯಾ ಪಾತಪ್ಾದಿತ್ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ಪಾಯೇಗಿಸಿದಾಗ ಒಂದನ್ಯ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಮುಗಿದರನ ಶ್ೇಷ ೦ ಆಗಿಲಿ! ಎರಡನ್ೇ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಮುಗಿದ ನಂತ್ರ ೦ ಗಳನುನ ಲಗತುಸುತಾು ಮುಂದುವ್ರಿದರನ ಶ್ೇಷ ೦ ಆಗುವ್ ಲಕ್ಷಣ ಗ್ನೇಚ್ರಿಸದಿರುವ್ುದನನನ ಗಮನಿಸಿ.
ಇಂತಾದರ್ ಏನು ಅಥಾ? ಉತ್ುರವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿಿಯೆೇ ನಮನದಿಸಿದ್. ಅಂದ ಹಾಗ್ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಸಂಖ್್ಯ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವ್ೇ ಅಲಿವ್ೇ ಅನುನವ್ುದನುನ ಪತ್ು ಹಚ್ಿಲು ಪರಿೇಕ್ಷ್ಗಳಿವ್ಯಲಿವ್ೇ? ಅವ್ನುನ ಉಪಯೇಗಿಸಿದರ್ ಇಷುಟ ಶಾಮ ಪಡುವ್ುದು ತ್ಪುಪತ್ುದ್. ಕ್ನನ್ಯದಾಗಿ, ಈ ತ್ನಕ ವಿವ್ರಿಸಿದಂತ್ ಮನಲ ಮತ್ುು ಪಂಕ್ಲು ಕ್ನೇಷಟಕವ್ನುನ ಬರ್ಯದ್ಯನ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಯಲು ಸ್ಾಧ್ಯ, ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ತ್ಿಂಬಂಧಿತ್ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ನಿೇವ್ು ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡುವ್ಷುಟ ಪರಿಣತಯನುನ ಅಭಾಯಸಮುಖ್್ೇನ ಗಳಿಸಿದರ್. ಮುಂದ್ ೨ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಗಾಮನಲಗಳನುನ ನ್ೇರವಾಗಿ ನಿೇಡಿದ್. ಅವ್ು ಸರಿಯೆೇ ಎಂಬುದನುನ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ೮೧೩೭೮೪೪೧ ರ ವ್ಗಾಮನಲ = ೯೦೨೧
೬೯೯೦೬೩೨೧ ರ ವ್ಗಾಮನಲ = ೮೩೬೧
ಈಗ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ವಿಧಾನ ತಳಿಯೇಣ. ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ವಿಧಾನ ತಳಿಯುವ್ ಮುನನ ‘ದಾಂದಾ -ಯೇಗ’
ಎಂದು ಉಲ್ಿೇಖಿಸಿರುವ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯನುನ ತಳಿಯಲ್ೇಬ್ೇಕು. ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತ್ ಜ್್ನೇಡುಸಂಖ್್ಯ ಅನನಬಹುದಾದ ವಿಶಿಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಪಡ್ಯುವ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ಇದು. ಈ ಮುಂದಿನ ವಿವ್ರಣ್ಯನುನ ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಿಳ. * ಒಂದು ಅಂಕ್ಲಯುಳಳ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ೇ ಆಗಿರುತ್ುದ್. ಉದಾಹರಣ್: ೮ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೮೨ = ೬೪. ೨ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨೨ = ೪. * ಸಮಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರ್ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದನರದಲಿಿರುವ್ ಪಾತಯಂದು ಜ್್ನೇಡಿ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಎರಡರಷಟರ ಮೊತ್ು ಆ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ.
77
ಉದಾಹರಣ್ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದನರದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಒಂದ್ೇ ಬಣಾದಲಿಿವ್): ೪೮ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೪ x ೮ = ೬೪. ೩೫ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೩ x ೫ = ೩೦. ೧೨೩೪ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = (೨ x ೧ x ೪) + (೨ x ೨ x ೩) = ೨೦. ೫೩೫೦ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = (೨ x ೫ x ೦) + (೨ x ೩ x ೫) = ೩೦. ೩೨೪೦೩೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = (೨ x ೩ x ೬) + (೨ x ೨ x ೩) + (೨ x ೪ x ೦) = ೪೮. * ಬ್ಸಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಾಗಿದದರ್ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾ ಮತ್ುು ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದನರದಲಿಿರುವ್ ಪಾತಯಂದು ಜ್್ನೇಡಿ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಎರಡರಷಟರ ಮೊತ್ು ಆ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ. ಉದಾಹರಣ್ (ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸಮದನರದಲಿಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಒಂದ್ೇ ಬಣಾದಲಿಿವ್): ೧೨೩ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = (೨೨) + (೨ x ೧ x ೩) = ೧೦. ೧೨೩೪೫ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = (೩೨) + (೨ x ೧ x ೫) + (೨ x ೨ x ೪) =
೩೫. ಈ ಪೂವ್ಾಸಿದಧತ್ಯಂದಿಗ್ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿ ಿ ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ್ ವಿಧಾನವ್ನುನ ಅಧ್ಯಯಸಲು ಆರಂಭಿಸಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗ್ ಈ ವಿಧಾನದಲಿಿಯನ ಹಿಂದ್ ಸನಚಸಿದದಂತ್ ಕ್ಲವ್ು ವಿಶ್ೇಷ ಸಂದಭಾಗಳಲಿಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ ೯ ಕ್ು ಮಿತಗ್ನಳಿಸಬ್ೇಕಾಗುತ್ುದ್, ಕ್ಲವ್ು ಸಲ ಕಮಿಮ ಮಾಡಲನ ಬ್ೇಕಾಗುತ್ುದ್. ನಿಮಮ ಅನುಕನಲಕಾುಗಿ ಒಂದು ಸುದಿೇರ್ಾ ವಿವ್ರಣ್ ಸಹಿತ್ವಾದ ಉದಾಹರಣ್ಯನುನ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್, ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. (೧) ಈ ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದ ಆರಂಭದಲಿಿ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಎರಡ್ರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತ್ುಗಳನುನ ಮಾಡಿ.
(೨) ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಮೊದಲನ್ೇ ಗುಂಪನುನ ಬರ್ದು ಅದರ ಮುಂದ್ನಂದು ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನ ಹಾಕ್ಲ. ತ್ದನಂತ್ರ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ತ್ುಸು ಹರಡಿ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ಅಡುಸ್ಾಲಿನ ಕ್ಳಗ್ ಇನನನ ೪ ಅಡುಸ್ಾಲು ಬರ್ಯುವ್ಷುಟ ಸೆಳ ಖ್ಾಲಿ ಬ್ರಟ್ುಟ ಒಂದು ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ಪರಿಹರಿಸುವ್ ವಿಭಿನನ ಹಂತ್ಗಳಲಿ ಿಲಭಿಸುವ್ ಭಾಗಲಬಧಗಳ ೇ್ ಈ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ಯುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ. ಇವ್ೇ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ವ್ಗಾಮನಲದ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ. ದಾಂದಾ ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಲು ಉಪಯೇಗಿಸಬ್ೇಕಾದ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇವ್ೇ ಆಗಿವ್.
(೩) ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಾಾತ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷಠ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚಿ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಇದನ ೧). ಅದರ ವ್ಗಾಮನಲವ್ನುನ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿಇದನ ೧) ಆ ಗುಂಪಿನ ನ್ೇರದಲಿಿಯೆೇ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದು ಅದರ ಮುಂದ್ನಂದು ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನ ಲಗತುಸಿ. ಈ ಅಂಕ್ಲ ಅಂತಮ ಉತ್ುರದ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯಾಗಿದದರನ ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ಗಳಲಿ ಿ ದಾಂದಾ-ಯೇಗವ್ನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಲು ಇದನುನ ಉಪಯೇಗಿಸಕನಡದು ಎಂಬುದನುನ ಸನಚಸಲು ಈ ಚಹ್ನ ಲಗತುಸಿದ್. ಇಂತ್ು ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎರಡರಷಟನುನ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಇದು
78
೨) ಅತ್ಯಂತ್ ಮೇಲಿನ ಅಡುಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡಭಾಗದಲಿಿ ಭಾಜಕ ಚಹ್ನ ಲಗತುಸಿ ಬರ್ಯರಿ. ಈ ಸಮಸ್್ಯಯ ಎಲಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ಗಳಲಿ ಿಇದ್ೇ ಭಾಜಕ. ಆರಂಭದಲಿಿಯೆೇ ಎಡ ತ್ುದಿಯ ಗುಂಪಿನಿಂದ, ಅರ್ಾಾತ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಎಡಭಾಗದಲಿರಿುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷಠ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚಿದುದ ಸರಿಯಷ್್ಟ. ಅದನುನ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಕಳ್ದು ಉಳಿದ ಶ್ೇಷವ್ನುನ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿಇದು ೦) ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಬಾಗದಲಿಿ ಇರುವ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಪಕುದಲಿಿ ತ್ುಸು ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಇದರ ಮುಂದ್ ಮೊದಲನ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಲಗತುಸಿದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಮುಂದಿನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿಇದು ೦೫). ಈ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ದ ಸನೆಲ ಭಾಜಯ.
(೪) ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗವ್ನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ, ಸನೆಲ ಭಾಜಯದ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಯಾವ್ ಅಂಕ್ಲಯನ ಇಲಿವಾದದರಿಂದ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ೦. ಎಲಿ ಸಮಸ್್ಯಗಳಲಿಿಯನ ಇದು ಮಾತ್ಾ ೦ ಯೆೇ ಆಗಿರುತ್ುದ್). ಹಿಂದಿನಹಂತ್ದಲಿಿ ದ್ನರ್ತ್ ಸನಲೆ ಭಾಜಯದಿಂದ ಈ ದಾಂದಾ ಯೇಗವ್ನುನ ಕಳ್ದು ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅದ್ೇ ನ್ೇರದಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಇದ್ೇ ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ ೦೫-೦೦=೦೫), ಈ ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯವ್ನುನ ಭಾಜಕದಿಂದ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೨) ಭಾಗಿಸಿ ಭಾಗಲಬಧವ್ನುನ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೨) ಅದ್ೇ ನ್ೇರದಲಿ ಿಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಅಭಾಯಸವಾಗುವ್ ವ್ರ್ಗ್ ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯುವ್ುದು ಒಳ ಳ್ಯದು (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ೦೪). ಶ್ೇಷವ್ನುನ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧) ಸಮಸ್್ಯಯ ಮುಂದಿನ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡ ಪಕುದಲಿಿ ತ್ುಸು ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ಯರಿ. ಇದರಿಂದ ಉಂಟಾದ ಸಂಖ್್ಯಯೆೇ (ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೧) ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ದ ಸನೆಲ ಭಾಜಯ .
ಸಮಸ್್ಯಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಎಲಿ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡುವ್ ತ್ನಕ ಈ ಹಂತ್ವ್ನುನ ಪುನರಾವ್ತಾಸಿ. ಪುನರಾವ್ತ್ಾನ್ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯ ಸಂಕ್ಷಿಪು ವಿವ್ರಣ್ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್ ಅಧ್ಯಯಸಿ. (೫) * ಸನೆಲ ಭಾಜಯ = ೧೧, ದಾಂದಾ-ಯೇಗ (ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿ ಿಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಂದ ಇದನುನ ಲ್ಕ್ಲುಸ ಬ್ೇಕು. ಹಾಲಿ ಅಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ:೨. ಆದದರಿಂದ) = ೨೨ = ೪. ನಿವ್ಾಳ
79
ಭಾಜಯ = ೧೧-೪ = ೭.. ಇದನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೩, ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದದುದ ೬, ಶ್ೇಷ ೧. ಈ ಮಾಹಿತಯನುನ ದಾಖಲಿಸಿದ ಸೆಳಗಳನುನ ಗಮನಿಸಿ. * ಸನೆಲ ಭಾಜಯ = ೧೫, ದಾಂದಾ-ಯೇಗ (ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಹಾಲಿ
ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ:೨, ೩. ಆದದರಿಂದ ೨೩ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ) = ೨ x ೨ x ೩ = ೧೨. ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯ = ೧೫-೧೨ = ೩.. ಇದನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೧, ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದದುದ ೨, ಶ್ೇಷ ೧. * ಸನೆಲ ಭಾಜಯ = ೧೩, ದಾಂದಾ-ಯೇಗ (ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಹಾಲಿ
ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ:೨, ೩, ೧ . ಆದದರಿಂದ ೨೩೧ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ) = (೨ x ೨ x ೧) + ೩೨ = ೧೩. ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯ = ೧೩-೧೩ = ೦. ಇದನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೦, ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದದುದ ೦, ಶ್ೇಷ ೦. * ಸನೆಲ ಭಾಜಯ = ೦೬, ದಾಂದಾ-ಯೇಗ (ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಹಾಲಿ
ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ:೨, ೩, ೧, ೦. ಆದದರಿಂದ ೨೩೧೦ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೧) = ೬. ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯ = ೦೬-೬ = ೦.. ಇದನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೦, ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದದುದ ೦, ಶ್ೇಷ ೦. * ಸನೆಲ ಭಾಜಯ = ೦೧, ದಾಂದಾ-ಯೇಗ (ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯ ಬಲಭಾಗದಲಿಿ ಹಾಲಿ
ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ:೨, ೩, ೧, ೦, ೦. ಆದದರಿಂದ ೨೩೧೦೦ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ) = (೨ x ೨ x ೦) + (೨ x ೩ x ೦) + ೧೨ = ೧. ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯ = ೦೧-೧ = ೦.. ಇದನುನ ೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೦, ನಿವ್ಾಳ ಭಾಜಯದಿಂದ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾದದುದ ೦, ಶ್ೇಷ ೦. ಗಮನಿಸಿ: ಸಮಸ್್ಯಯ ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸಿದ ನಂತ್ರ ಉಳಿಯುವ್ ಶ್ೇಷ ೦. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಸಮಸ್್ಯಯ ಸಂಖ್್ಯ ಒಂದು ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾ.
(೬) ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಅಪೂಣಾ ವಿರಾಮ ಚಹ್ನಯನುನ ಅಳಿಸಿದರ್ ಅಂತಮವಾಗಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇವ್ು: ೧೨೩೧೦೦. ಆರಂಭದಲಿಿ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಎರಡ್ರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲು ವಿಭಾಜಕ ಗುರುತ್ುಗಳನುನ ಮಾಡಿದುದ ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಆಗ ಲಭಿಸಿದ ವಿಭಾಗಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯಷ್್ುೇ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ಇರಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನ ನಿಮಗ್ ತಳಿದಿದ್. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಈಗ ನಾವ್ು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ವ್ಗಾಮನಲದಲಿಿ ೪ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬ್ೇಕು. ನಮಗ್ ಲಭಿಸಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ (ಅಂತ್ಯದಲಿಿ ಇರುವ್ ‘೦’ ಗಳನನನ ಲ್ಕುಹಾಕ್ಲ) ೬, ಅರ್ಾಾತ್ ಇರಬ್ೇಕಾದದಕ್ಲುಂತ್ ೨ ಹ್ಚ್ುಿ! ಇದಕ್ು ಪರಿಹಾರ ಇಂತದ್: ಎಡತ್ುದಿಯಂದ ೪ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಆದ ನಂತ್ರ ಒಂದು ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದು ಹಾಕ್ಲ. ೧೨೩೧.೦೦ ಆಯತ್ಲಿವ್ೇ? ದಶಮಾಂಶ ಬ್ರಂದುವಿನ ನಂತ್ರ ಕ್ೇವ್ಲ ‘೦’ಗಳಳ ಮಾತ್ಾ ಇದದರ್ ಅವ್ಲಿವ್ನನನ ನಿಲಾಕ್ಷಿಸಬಹುದು ಎಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗ್ ತಳಿದ್ೇ ಇದ್. ಅಂದ ಮೇಲಕ ಅಪಕೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಿಮೂಲ = ೧೨೩೧.
80
ಈ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಯಲಿಿ ಮಾಡಬ್ೇಕಾದ ಕ್ಲಾಯೆಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಅಧಿಕ ಅನಿನಸಿತ್ೇ? ಅವ್ು ಯಾತಾಕವಾಗುವ್ಷಟರ ಮಟಿಟಗ್ ಅಭಾಯಸ ಮಾಡಿದರ್ ಹಾಗನಿನಸುವ್ುದಿಲ.ಿ ನಿಧಾನವಾಗಿ ದಾಖಲಿಸ ಬ್ೇಕಾದ ಅಡುಸ್ಾಲುಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕಮಿಮ ಮಾಡಿ. ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯ ಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಅಡುಸ್ಾಲು, ಶ್ೇಷಗಳಳ ಇರುವ್ ಅಡುಸ್ಾಲು ಮತ್ುು ಭಾಗಲಬಧದ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ ಅಡುಸ್ಾಲು ಈ ಮನರು ಅಡುಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಮಾತ್ಾ ಬರ್ದರ್ ಸ್ಾಕು ಅನುನವ್ಷಟರ ಮಟಿಟಗ್ ಅಭಾಯಸಮಾಡಿ. ನಿಮಗ್ ನ್ರವ್ು ನಿೇಡಲ್ನೇಸುಗ ಮುಂದ್ ಅನ್ೇಕ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಒದಗಿಸುತುದ್ದೇನ್. ಭಾಗಲಬಧದಲಿಿ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ನಿಜವಾಗಿ ಇರಬ್ೇಕಾದದಕ್ಲುಂತ್ ತ್ುಸು ಕಮಿಮ ಮಾಡಿ ಬರ್ಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂದಭಾ ಉದಯವಿಸಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳೂ ಇವ್. ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ.
ಅಂದ ಹಾಗ್ ಇಲಿ ಿ ನಿೇಡಿರುವ್ ಎಲ ಿ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನ್ನೇ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ತ್ಂತ್ಾ ವಿವ್ರಿಸುವಾಗಲನ ಉದಾಹರಣ್ಗಳಾಗಿ ನಿೇಡಿದ್ದ. ಎರಡನ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ತ್ುಲನ್ ಮಾಡಿ ನಿಮಗ್ ಸುಲಭ ಅನಿನಸಿದದನುನ ನಿೇವ್ು ಉಪಯೇಗಿಸಿ. ಈಗಷ್್ಟೇ ಪರಿಚ್ಯಸಿದ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಪರಿಕಲಪನ್ಯ ಇನನಷುಟ ಕುತ್ನಹಲಜನಕ ಉಪಯೇಗಗಳನುನ ಈಗ ನ್ನೇಡ್ನೇಣ
೧೧ . ವ್ಗಿ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವಿಕ್ಕ ಮತ್ುು ಗುಣಾಕ್ಾರ ಕ್ಕರಯೆಗಳಲಿ ದವಂದವ-ಯೇಗದ ಉಪ್ಯೇಗ
ಈ ಹಿಂದ್ಯೆೇ ವಿವ್ರಿಸಿದ ವಿಧಾನದಲಿಿ ಗುಣಾಕಾರಮಾಡಲು ಹಾಗನ ವ್ಗಾ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯುವ್ ಸಮಸ್್ಯಗಳಲಿ ಿದಾಂದಾ-ಯೇಗವ್ನುನ ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ತಳಿಯೇಣ. ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ್ುದು ಅಂದರ್ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯಂದಲ್ೇ ಗುಣಿಸುವ್ುದು ಎಂಬ ವಿಷಯ ನಿಮಗ್ ತಳಿದ್ೇ ಇದ್. ದಾಂದಾ-ಯೇಗವ್ನುನ ಉಪಯೇಗಿಸಿ ಎಷ್್ಟೇ ದ್ನಡು ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿಯನ ವ್ೇಗವಾಗಿಯನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನೇಡರ್ ಸ್ಾಮಾನಯ ಗುಣಾಕಾರ ಕ್ಲಾಯೆಯನನನ ಸುಲಭವಾಗಿಯನ ವ್ೇಗವಾಗಿಯನ ಮಾಡುವ್ುದನನನ ಕಲಿಯಬಹುದು. ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಪರಿಕಲಪನ್ಯನುನ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹ್ೇಗ್ ಉಪಯೇಗಿಸಬ್ೇಕು ಎಂಬುದನುನ ಒಂದ ಉದಾಹರಣ್ಯಂದಿಗ್ ವಿವ್ರಿಸುತ್ುೇನ್. ಜ್ಾಗರನಕತ್ಯಂದ ಅಧ್ಯಯಸಿ. ೧೨೩೪೫೬ ಆರು ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಈ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಳೂ್ ಳೇಣ. ಸಮಸ್್ಯ: ೧೨೩೪೫೬೨ =?. ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾದಲಿಿ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಎರಡರಷುಟ ಅಥವ್ ಎರಡರಷಟಕ್ಲುಂತ್ ಒಂದು ಕಮಿಮ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುತ್ುವ್ಲಿವ್? ಅಂದ ಮೇಲ್ ಈ ಅಂಕ್ಲಯ ವ್ಗಾದಲಿ ಿ೧೨ ಅಥವ್ ೧೧ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬ್ೇಕು. ಏಕ ಸ್ಾೆನದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಎಲಿ ೧೧ ಅಥವ್ ೧೨ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿ ಿಇರಬ್ೇಕಾದ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪತ್ು ಹಚ್ಿಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುತ್ುದ್ ದಾಂದಾ-ಯೇಗದ ಪರಿಕಲಪನ್. ಇದಕ್ು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ:
81
(೧) ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಬರ್ದು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಸ್ಾಕಷುಟ ದ್ನಡುದಾದ ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ಆ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಉತ್ುರದ ೧೧ ಸ್ಾೆನಗಳನುನ ಭತಾಮಾಡಲು ೧೧ ಅಂಕಣಗಳನುನ ರಚಸಿ. ಪಾತೇ ಅಂಕಣ ಸುಮಾರು ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯ ಬರ್ಯುವ್ಷುಟ ದ್ನಡುದಾಗಿರಲಿ.
(೨) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕಣದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೬ ರ ದಾಂದಾಯೇಗ = ೬೨ = ೩೬.
(೩) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೫೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೫ x ೬ = ೬೦
(೪) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿಇರುವ್ ಮನರು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಮನರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿ ಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೪೫೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೫೨ + ೨ x ೪ x ೬ = ೭೩
(೫) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ನಾಲುು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ನಾಲುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೩೪೫೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೩ x ೬ + ೨ x ೪ x ೫ = ೭೬
(೬) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಐದು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಐದನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೨೩೪೫೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೪೨ + ೨ x ೨ x ೬ + ೨ x ೩ x ೫ = ೭೦
(೭) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಆರು ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಆರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೨೩೪೫೬ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೧ x ೬ + ೨ x ೨ x ೫ + ೨ x ೩ x ೪ = ೫೬
82
ಗಮನಿಸಿ: ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿ ಹಂತ್ದಿಂದ ಹಂತ್ಕ್ು ‘ಒಂದು’ ಹ್ಚ್ುಿತುದದದದನುನ ಗಮನಿಸಿದಿದೇರಿ ಎಂದು ನಂಬುತ್ುೇನ್. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಇನುನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲಿ. ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ ಆದರನ ಇದ್ೇ ಕಾಮ ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕು. ಇನುನ ಸಂಖ್್ಯಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲ ಿಅನುನವ್ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದರ್ ಒಟ್ುಟ ಹಂತ್ಗಳ ಅಧ್ಾ ಭಾಗ ಮುಗಿದಿದ್ ಎಂದಥಾ. ಈ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದ ನಂತ್ರ ಬಲತ್ುದಿಯಂದ ಹಂತ್ದಿಂದ ಹಂತ್ಕ್ು ಒಂದ್ನಂದ್ೇ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ುಗಳಳ ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬರ್ಯುವ್ುದನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು. (೮) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ು ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಏಳನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೨೩೪೫ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೩೨ + ೨ x ೧ x ೫ + ೨ x ೨ x ೪ = ೩೫
(೯) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ು ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಎಂಟ್ನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೨೩೪ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೧ x ೪ + ೨ x ೨ x ೩ = ೨೦
(೧೦) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಮನರು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ು ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಒಂಭತ್ುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೨೩ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨೨ + ೨ x ೧ x ೩ = ೧೦
(೧೧) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ನಾಲುು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ು ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಹತ್ುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿ ಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧೨ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೨ x ೧ x ೨ = ೪
(೧೨) ಸಂಖ್್ಯಯ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಐದು ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ು ಉಂಟ್ುಮಾಡುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಹನ್ನನಂದನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೧ ರ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ = ೧೨ = ೧
83
ಗಮನಿಸಿ: ಈ ವ್ರ್ಗ್ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಒಂದು ಅಂಕ್ಲ ಕಮಿಮ ಮಾಡಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ಕ್ು ಸ್ಾಗಲು ಇನುನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲಿ. ಅರ್ಾಾತ್, ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಬರ್ಯುವ್ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದ್ದೇವ್. (೧೩) ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ವ್ಗಾದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಅದನುನ ಒಂದ್ಡ್ ಬರ್ಯರಿ. ಆದನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ನುನ ಬಲತ್ುದಿಯಂದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಕನಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ವ್ಗಾದ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ. ಅದನುನ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಪಕುದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಅದನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ನುನ ಮನರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಕನಡಿಸಿ. ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ವ್ಗಾದ ಶತ್ಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಎಡಪಕುದಲಿಿ ಅದನುನ ಬರ್ಯರಿ. ಇದ್ೇ ರಿೇತ ವ್ಗಾದ ಇತ್ರ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನನನ ಪತ್ುಹಚಿ ಬರ್ಯರಿ.
ಇನನನ ಕ್ಲವ್ು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿದಿದ್. ಸರಿಯೆೇ? ನಿೇವ್ೇ ಪರಿೇಕ್ಷಿಸಿ ನ್ನೇಡಿ.
ಈಗ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ಗುಣಾಕಾರದಲಿಿ ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ ವಿಧಾನ ತಳಿಯೇಣ.
ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದರ್ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಆ ಸಂಖ್್ಯಯಂದಲ್ೇ ಗುಣಿಸ ಬ್ೇಕು ಎಂಬುದು ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಅಂದ ಮೇಲ್ ವ್ಗಾ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಬಲು ಉಪಯುಕುವಾದ ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಪರಿಕಲಪನ್ ಸ್ಾಮಾನಯ ಗುಣಾಕಾರಕನು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡಲ್ೇ ಬ್ೇಕಲಿವ್ೇ?
ಈ ಹಿಂದ್ ಗುಣಾಕಾರಕ್ು ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಇನ್ನನಮಮ ಸನಕ್ಷಮವಾಗಿ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿ. ದಾಂದಾ-ಯೇಗ ಪರಿಕಲಪನ್ಯ ರನಪ್ಾಂತ್ರದಂತ್ ಗ್ನೇಚ್ರಿಸುವ್ುದಿಲಿವ್ೇ? ತ್ಂತ್ಾ ನ್ನಪಿಟ್ುಟಕ್ನಳಳಲು ಹ್ೇಗ್ ಈ ಪರಿಕಲಪನ್ ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ನ್ನೇಡ್ನೇಣ. ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿಈ ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದದ ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾವ್ನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ್ ಹಂತ್ಗಳನುನ ತ್ುಸು ಬದಲಿಸಿ ಮಾಮನಲು ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಡಲು ಉಪಯೇಗಿಸುವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ಸನಚಸಿದ್ದೇನ್. ಹಿಂದ್ ವಿವ್ರಿಸಿದದ ಹಂತ್ಗಳೂ್ಂದಿಗ್ ಹ್ನೇಲಿಸಿ ನ್ನೇಡಿಕ್ನಳಳಳತಾು ಜ್ಾಗರನಕತ್ಯಂದ ಅಭಯಸಿಸಿ. ೩೪೪೫೬೮ x ೮೭೯೦೧೨ =? ಇದನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಇಟ್ುಟಕ್ನಳೂ್ ಳೇಣ. ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಲಿಿ ತ್ಲಾ ಆರು ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ (ಒಂದು ವ್ೇಳ ್ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಒಂದ್ೇ ಆಗಿರದಿದದರ್ ಕಮಿಮ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡತ್ುದಿಯಲಿ ಿಅವ್ಶಯವಿರುವ್ಷುಟ ಸ್್ನನ್ನಗಳನುನ ಲಗತುಸಿ ಸಮ ಮಾಡಿಕ್ನಳಿಳ). ಉತ್ುರದಲಿಿ ೧೦ ಅಥವ್ ೧೧ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ಇರಬ್ೇಕಲಿವ್ೇ? ಈ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿೇವ್ು ಮಾಡಬ್ೇಕಾದದುದ ಇಷುಟ:
84
(೧) ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರನ ಒಂದನುನ ಬರ್ದು ಅದರ ಕ್ಳಗ್ ಇನ್ನನಂದನುನ ಬರ್ಯರಿ. ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಸ್ಾೆನಬ್ಲ್ ಒಂದ್ೇ ಆಗಿರಬ್ೇಕು. ಕ್ಳಗ್ ಬರ್ದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಕ್ಳಗ್. ದ್ನಡುದಾದ ಅಡುಗ್ರ್ ಎಳ್ಯರಿ. ಆ ಅಡುಗ್ರ್ಯ ಕ್ಳಗ್ ಉತ್ುರದ ೧೧ ಸ್ಾೆನಗಳನುನ ಭತಾಮಾಡಲು ೧೧ ಅಂಕಣಗಳನುನ ರಚಸಿ. ಪಾತೇ ಅಂಕಣ ಸುಮಾರು ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಳಳಳ ಸಂಖ್್ಯ ಬರ್ಯುವ್ಷುಟ ದ್ನಡುದಾಗಿರಲಿ.
(೨) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೮ x ೨ =೧೬.
(೩) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಎರಡು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವ್ುದಾದರನ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಇನ್ನನಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯ ಗುಣಲಬಧ ಮತ್ುು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೬ x ೨ + ೮ x ೧ = ೨೦.
(೪) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಮನರು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಮನರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ (ಆಯದ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ೧. ೨ — ಎಂದು ಯಾವ್ ತ್ುದಿಯಂದ ಎಣಿಸಿದರನ ತ್ನಂದರ್ ಇಲಿ) ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಮಧ್ಯದ
ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಈ ಮನರನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಮನರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೫ x ೨ + ೦ x ೮ + ೬ x ೧ = ೧೬.
(೫) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿ ಇರುವ್ ನಾಲುು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ನಾಲುನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಇವ್ುಗಳ
85
ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಎರಡನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಮನರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಈ ನಾಲನು ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ನಾಲುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೪ x ೨ + ೮ x ೯ + ೦ x ೫ + ೫ x ೧ = ೮೫.
(೬) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಐದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಾಾತ್ ಮನರನ್ೇ) ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಒಂದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಐದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಎರಡನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ನಾಲುನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿ ಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಇಂತ್ು ದ್ನರ್ತ್ ಐದನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಐದನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೫ x ೦ + ೪ x ೨ + ೮ x ೭ + ೪ x ೧ + ೬ x ೯ = ೧೨೨
(೭) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಆರು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಒಂದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಆರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿ ಿಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಎರಡನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಐದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಮನರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ನಾಲುನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. . ಇಂತ್ು ದ್ನರ್ತ್ ಆರನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಆರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೩ x ೨ + ೮ x ೮ + ೪ x ೧ + ೬ x ೭ + ೪ x ೦ + ೫ x ೯ = ೧೬೧
86
ಗಮನಿಸಿ: ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಆಯುದಕ್ನಳಳಳತುರುವ್ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳ ಸಂಖ್್ಯ ಹಂತ್ದಿಂದ ಹಂತ್ಕ್ು ‘ಒಂದು’ ಹ್ಚ್ುಿತುದದದದನುನ ಗಮನಿಸಿದಿದೇರಿ ಎಂದು ನಂಬುತ್ುೇನ್. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಇನುನ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲ.ಿ ಗುಣಯ ಮತ್ುು ಗುಣಕಗಳಳ ಎಷ್್ಟೇ ದ್ನಡುದಾಗಿದದರನ ಚಕುದಾಗಿದದರನ ಇದ್ೇ ಕಾಮ ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕು. ಇನುನ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲ ಿಅನುನವ್ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದರ್ ಒಟ್ುಟ ಹಂತ್ಗಳ ಅಧ್ಾ ಭಾಗ ಮುಗಿದಿದ್ ಎಂದಥಾ. ಈ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದ ನಂತ್ರ ಬಲತ್ುದಿಯಂದ ಹಂತ್ದಿಂದ ಹಂತ್ಕ್ು ಒಂದ್ನಂದ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ುಗಳನುನ ಪಾಕ್ಲಾಯೆಗ್ ಒಳಪಡಿಸುವ್ುದನುನ ಮುಂದುವ್ರಿಸಬ್ೇಕು.
(೮) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದ ಐದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮಧ್ಯದ (ಅರ್ಾಾತ್ ಮನರನ್ೇ) ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಒಂದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಐದನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ
ಎರಡನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ನಾಲುನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಇಂತ್ು ದ್ನರ್ತ್ ಐದನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಏಳನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿ ಿಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿ ಿ೪ x ೯ + ೩ x ೧ + ೮ x ೬ + ೪ x ೦ + ೫ x ೭ = ೧೨೨
(೯) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಎರಡು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದ ನಾಲುು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮೊದಲನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ನಾಲುನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಎರಡನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಮನರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಆ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳಲಿ ಿ ಉಳಿದಿರುವ್ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಈ ನಾಲನು ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಎಂಟ್ನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೩ x ೦ + ೮ x ೫ + ೪ x ೭ + ೪ x ೯ = ೧೦೪.
(೧೦) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿ ಿಇರುವ್ ಮನರು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದ ಮನರು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಇವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಮಧ್ಯದ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ಮೊದಲನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಮನರನ್ೇ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿಿ ಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ
87
ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಉಳಿದ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧವ್ನನನ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ. ಈ ಮನರನ ಗುಣಲಬಧಗಳ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಒಂಭತ್ುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೪ x ೭ + ೩ x ೯ + ೪ x ೮ = ೮೭.
(೧೧) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ನಾಲುು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದ ಎರಡು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಯಾವ್ುದಾದರನ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿ ಮೇಲ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ ಮತ್ುು ಇನ್ನನಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲಿನಲಿ ಿಕ್ಳಗ್ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯ ಗುಣಲಬಧ ಮತ್ುು ಉಳಿದ ಎರಡು ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಮೊತ್ು ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯಂದ ಹತ್ುನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೩ x ೭ + ೪ x ೮ = ೫೩
(೧೨) ಸಂಖ್್ಯಗಳ ಬಲತ್ುದಿಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಐದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲನುನ ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅದರಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಣಲಬಧ ಲ್ಕ್ಲುಸಿ ಬಲ ತ್ುದಿಯ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ೩ x ೮ =೨೪. ಗಮನಿಸಿ: ಈ ವ್ರ್ಗ್ ಮಾಡುತುದದಂತ್ ಒಂದು ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲು ಕಮಿಮ ಮಾಡಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ್ಕ್ು ಸ್ಾಗಲು ಇನುನ ನಿೇಟ್ಸ್ಾಲುಗಳ ೇ್ ಉಳಿದಿಲ.ಿ ಅರ್ಾಾತ್, ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ಬರ್ಯುವ್ ಹಂತ್ ತ್ಲುಪಿದ್ದೇವ್.
(೧೩) ಬಲತ್ುದಿಯ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಅದನುನ ಒಂದ್ಡ್ ಬರ್ಯರಿ. ಆದನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ನುನ ಬಲತ್ುದಿಯಂದ ಎರಡನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಕನಡಿಸಿ. ಈ ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ಗುಣಲಬಧದ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ. ಅದನುನ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯ ಎಡಪಕುದಲಿಿ ಬರ್ಯರಿ. ಅದನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ ಉಳಿದವ್ನುನ ಮನರನ್ೇ ಅಂಕಣದಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಕನಡಿಸಿ. ಮೊತ್ುದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಯೆೇ ಗುಣಲಬಧದ ಶತ್ಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲ. ಈಗಾಗಲ್ೇ ಬರ್ದಿರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಎಡಪಕುದಲಿಿ ಅದನುನ ಬರ್ಯರಿ. ಇದ್ೇ ರಿೇತ ಗುಣಲಬಧದ ಇತ್ರ ಸ್ಾೆನಗಳಲಿಿ ಇರುವ್ ಅಂಕ್ಲಗಳನನನ ಪತ್ುಹಚಿ ಬರ್ಯರಿ. ನಮಮ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ಗುಣಲಬಧ ೩೦೨೮೭೯೪೦೬೮೧೬.
88
೧೨. ಘನ್ಮೂಲಗಳು
ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿ ಿ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನಮನಲಗಳನುನ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನದ ವಿೇಕ್ಷಣ್ಯಂದಲ್ೇ ಹ್ೇಳಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡುವ್ ಮಾಹಿತ ಇದ್.. ಈ ಕುಶಲತ್ ಸಿದಿಧಸಬ್ೇಕಾದರ್ ರ್ನಮನಲಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಕ್ಲವ್ು ತ್ಥಯಗಳನುನ ನಿೇವ್ು ತಳಿದಿರಲ್ೇ ಬ್ೇಕು. ಅವ್ು ಇಂತವ್: ೧. ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಅದರ ಬಲತ್ುದಿಯಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಗುಂಪುಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿದರ್ ಎಷುಟ ವಿಭಾಗಗಳಾಗುತ್ುದ್ಯೇ ಅಷುಟ ಅಂಕ್ಲಗಳಳ ರ್ನಮನಲದಲಿಿ ಇರುತ್ುವ್.
೨. ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೧, ೪, ೫, ೬, ೯. ಮತ್ುು ೦ ಈ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರನ ಇದದರ್ ಅದರ ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿಯನ ಅದ್ೇ ಅಂಕ್ಲ ಇರುತ್ುದ್. ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿಿ ೨, ೩, ೭ ಮತ್ುು,೮ ಈ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಯಾವ್ುದಾದರನ ಇದದರ್ ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿ ಆ ಅಂಕ್ಲಯ ಹತ್ುರ ಪೂರಕ ಸಂಖ್್ಯ (೮/೭/೩/೨) ಇರುತ್ುದ್.
೩. ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂಖ್್ಯಯ ಎಡತ್ುದಿಯ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕಳ್ಯಬಹುದಾದ ಗರಿಷಠ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನದ ರ್ನಮನಲವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ರ್ನಮನಲದ ಆರಂಭಿಕ ಅಂಕ್ಲಯಾಗಿರುತ್ುದ್.
89
ಈ ತ್ಥಯಗಳ ನ್ರವಿನಿಂದ ೨ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನಮನಲಗಳನುನ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನದ ವಿೇಕ್ಷಣ್ಯಂದಲ್ೇ ಹ್ೇಳಳವ್ುದು ಬಲು ಸುಲಭವ್ಲಿವ್ೇ?
೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಪರಿಪೂಣಾ ರ್ನಮನಲಗಳ ಮೊದಲನ್ೇ ಮತ್ುು ಕ್ನನ್ಯ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಈ ಹಿಂದಿನಂತ್ ವಿೇಕ್ಷಣ್ಯಂದಲನ ನಡುವ್ಣ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಮಾನಸಿಕವಾಗಿಯೆೇ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದನ ಸ್ಾಧ್ಯ. ಇದಕ್ು ನಿಮಗ್ ತಳಿದಿರಬ್ೇಕಾದ ನಾಲುನ್ೇ ತ್ಥಯ ಇಂತದ್: (೪) ೩( ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ)೨ ಮತ್ುು ನಡುವ್ಣ ಅಂಕ್ಲ ಇವ್ುಗಳ ಗುಣಲಬಧದ ಏಕಸ್ಾೆನದಲಿ ಿರ್ನದಿಂದ ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಕಳ್ದಾಗ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯಾಗಿರುತ್ುದ್. ಅರ್ಾಾತ್, ೩( ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ)೨ಯನುನ ಯಾವ್ ಅಂಕ್ಲಯಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ರ್ನದಿಂದ ರ್ನಮನಲದ ಏಕಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಕಳ್ದಾಗ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ದಶಸ್ಾೆನದ ಅಂಕ್ಲ ದ್ನರ್ಯುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ಪತ್ುರಹಚಿದರ್ ರ್ನಮನಲದ ನಡುವ್ಣ ಅಂಕ್ಲಯನುನ ಪತ್ುಹಚಿದಂತ್. ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿರುವ್ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಅಧ್ಯಯಸಿ ಮನ್ನೇಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಳಿಳ.
ರ್ನಮನಲ ವಿಶ್ೇಷತ್ಃ ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಿಗಿಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಇರುವ್ ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬ್ೇಕಾದ ಸಂದಭಾಗಳಳ ದ್ೈನಂದಿನ ಜಿೇವ್ನದಲಿ ಿ ಉದಯವಿಸುವ್ುದು ಬಲು ಅಪರನಪ. ಆದರನ ಕುತ್ನಹಲ ತ್ಣಿಸಲ್ನೇಸುಗ ಎಲ ಿಸಂದಭಾಗಳಲಿಿ ಪಾಯೇಗಿಸಬಹುದಾದ ತ್ಂತ್ಾಗಳ ಪರಿಚ್ಯ ಮುಂದ್ ಇದ್.
ಮುಂದಿನ ಉದಾಹರಣ್ಯಲಿಿ ವ್ೇದಗಣಿತ್ದಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ವಿಧಾನದಲಿಿ ರ್ನಮನಲದಲಿ ಿ ೪ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ಎರಡು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್, ನಿಧಾನವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯಸಿ. ೩ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಸರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾದ ವಿಸುರಣ್ ಇದು ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ೪, ೫ —ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದ್ೇ ತ್ಂತ್ಾವ್ನುನ ವಿಸುರಿಸಬಹುದು. ಹ್ೇಗ್ ಎಂಬುದನುನ ತಳಿಯಲು ೩
90
ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ರ್ನಮನಲ ಮತ್ುು ೪ ಅಂಕ್ಲಗಳಿರುವ್ ರ್ನಮನಲ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅನುಸರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾಗಳನುನ ಹ್ನೇಲಿಸಿ ನ್ನೇಡಿ.
ಪಟಿಟ ಮಾಡಿದ ಬಹುತ್ೇಕ ಕ್ಲಾಯೆಗಳನುನ ಮನಸಿಿನಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡುವ್ುದನುನ ಕಲಿತ್ವ್ರು ಈ ಲ್ಕುಗಳನುನ ಮಾಡಿದುದ ಇಂತ್ು ಗ್ನೇಚ್ರಿಸಬಹುದು:
91
ರ್ನಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿಿ ವಿವ್ರಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗದ ೩ ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಕ್ನಟಿಟದ್ದೇನ್. ಬಣಾದಲಿಿ ಬರ್ದ ಅಂಕ್ಲಗಳನುನ ಗಮನವಿಟ್ುಟ ಪರಿಶಿೇಲಿಸಿದರ್ ತ್ಂತ್ಾ ಅಥಾವಾಗುತ್ುದ್. ವ್ಗಾಮನಲ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಲು ಪಾಯೇಗಿಸಿದ ತ್ಂತ್ಾದ ವಿಸುರಣ್ ಇದು.
ಮನಲಭನತ್ ಗಣಿತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳಲಿಿ ಪಾಭುತ್ಾ ಸ್ಾಧಿಸಲು ಆವ್ಶಯಕ ಎಂದು ನಾನು ತಳಿದಿರುವ್ ವಿಷಯಗಳ ವಿವ್ರಣ್ಯನುನ ಇಲಿಿಗ್ ಮುಗಿಸುತುದ್ದೇನ್. ಮುಂದ್ ಇನುನ ಅತ್ಯವ್ಶಯಕ ಅನನಲಾಗದಿದದರನ ತಳಿದಿದದರ್ ಉಪಯುಕು ಅನನಬಹುದಾದ ಕ್ಲವ್ು ಮಾಹಿತ ಒದಗಿಸುತ್ುೇನ್.
೧೩. ಒಂದು ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್ಕಯಯನ್ುನ ಪ್ತ್ಕು ಹಚ್ುುವ್ುದು
ಊಹಿಸಿಕ್ಕೂಳುುವಿಕ್ಕ ವಿಧಾನ್ (ಆಧ್ುನಿಕ ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಸರಳ ಸಮಿೇಕರಣ ಆಧಾರಿತ್ ವಿಶಿಷಟ ನಮನನ್ಯ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಪರಿಹರಿಸುವ್ ಒಂದು ವಿಧಾನ)
‘ಒಂದು ಗುಂಪಿನಲಿಿದದ ಆನ್ಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧/೨ ದಷುಟ ಮತ್ುು ೧/೨ ದ ೧/೩ ರಷುಟ ಆನ್ಗಳಳ ಗುಹ್ಯಂದರ್ನಳಕ್ು ಹ್ನೇದವ್ು. ೧/೬ ರಷುಟ ಮತ್ುು ೧/೬ ರ ೧/೭ ರಷುಟ ನದಿಯಲಿಿ ನಿೇರು ಕುಡಿಯುತುದದವ್ು. ೧/೮ ರಷುಟ ಮತ್ುು ೧/೮ ರ ೧/೯ ರಷುಟ ಆನ್ಗಳಳ ತಾವ್ರ್ ಹನಗಳಳ ತ್ುಂಬ್ರದದ ಕ್ನಳದಲಿಿ ಆಟ್ವಾಡುತುದದವ್ು. ಗುಂಪಿನ ಸಿರೇಲ್ನೇಲ ರಾಜ ಆನ್ ಮನರು ಹ್ಣಾಾನ್ಗಳೂ್ಂದಿಗ್ ಇದದಲಿಿಯೆೇ ಉಳಿದಿದದ. ಸನಿನವ್ೇಶ ಇಂತದಾದಗ ಗುಂಪಿನಲಿಿದದ ಆನ್ಗಳ್ಷ್್ಟಂದು ಹ್ೇಳಬಲಿಿರಾ?’
ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್ದ ಹ್ಸರ್ೇ ಕ್ೇಳದವ್ರ ಮುಂದ್ ಇಂಥದ್ನದಂದು ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ಇಟ್ಟರ್ ಅದನುನ ಅವ್ರು ಪರಿಹರಿಸಬಲಿರ್ೇ? ಪರಿಹರಿಸಬಲಿರು, ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರ ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯನುನ ಅಧ್ಯಯಸಿದದರ್. ಈ ಸಮಸ್್ಯ ಆ
92
ಪುಸುಕದ ೧೭ ನ್ೇ ಅಧಾಯಯದಲಿಿ ಇರುವ್ುದರ ಭಾವಾನುವಾದ. ಇಂಥ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಪರಿಹರಿಸುವ್ ಸುಲಭ್ನೇಪ್ಾಯವ್ನುನ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಒಂದು ದಿಾಪದಿ ಶ್್ ಿೇಕದಲಿಿ ತಳಿಸಿದಾದರ್. ಅದು ಇಂತದ್:
‘ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಪತ್ುಹಚ್ಿಬ್ೇಕಾದರ್ ನಿಮಗ್ ಅನುಕನಲ ಅನಿನಸಿದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯ ಎಂದು ಕಲಿಪಸಿಕ್ನಂಡು ಸಮಸ್್ಯಯಲಿಿ ಹ್ೇಳಿದ ಕಮಾಗಳನುನ ಹ್ೇಳಿದ ಕಾಮದಲಿಿಯೆೇ ಮಾಡಿ. ತ್ದನಂತ್ರ ನಿೇವ್ು ಕಲಿಪಸಿಕ್ನಂಡ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಸಮಸ್್ಯಯಲಿಿ ಉತ್ುರ ರನಪದಲಿಿ ಕ್ನಟಿಟರುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ನಿೇವ್ು ಕಲಿಪಸಿಕ್ನಂಡ ಸಂಖ್್ಯಯ ಮೇಲ್ ಸಮಸ್್ಯಯಲಿಿ ಹ್ೇಳಿದ ಕಮಾಗಳನುನ ಮಾಡಿದದರಿಂದ ಲಭಿಸಿದ ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸುವ್ ಭಾಗಲಬಧವ್ೇ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯ’ ಅಂದಹಾಗ್, ಮನಲಭನತ್ ಗಣಿೇತೇಯ ಕುಶಲತ್ಗಳನುನ ನಿೇವ್ು ಕರಗತ್ ಮಾಡಿಕ್ನಂಡಿದದರ್ ಭಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಸನಚಸಿದ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ಪತ್ುಹಚ್ಿಬ್ೇಕಾದ ಒಂದು ವಿಶಿಷಟ ರಿೇತಯ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಬಲುಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲಿರಿಿ. ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಭಾಗವ್ನುನ ಅಥವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾವ್ನುನ ಕನಡಿಸಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಅಥವ್ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಸಮಸ್್ಯಗಳಲಿ ಿ ಮಾತ್ಾ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗಿಸಬಹುದು. ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿಿ ಈ ಮೊದಲ್ೇ ಉಲ್ಿೇಖಿಸಿದ ಸಮಸ್್ಯ ಮತ್ುು ಇನನನ ಏಳಳ ಅಂಥದ್ದೇ ಸಮಸ್್ಯಗಳಿವ್. ಅವ್ುಗಳನ್ನೇ ಈ ತ್ಂತ್ಾ ಪಾಯೇಗ ವಿವ್ರಿಸಲು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನಾನಗಿ ಉಪಯೇಗಿಸುತ್ುೇನ್.
ಸಮಸ್್ಯ ೧: ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯಂದನುನ ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಲಭಿಸಿದ ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ಅದರ ೧/೩ ರಷಟನುನ ಕಳ್ದರ್ ದ್ನರ್ಯುವ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೧೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದ್ನರಕ್ಲದ ಭಾಗಲಬಧಕ್ು ಆರಂಭದಲಿಿ ಇದದ ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ೧/೨ ದಷಟನನನ ೧/೩ ರಷಟನನನ ೧/೪ ರಷಟನನನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ೬೮ ಆಗುತ್ುದ್. ಆರಂಭದಲಿಿ ಇದದ ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?
ಸಮಸ್್ಯ ೨: ಲ್ೇಖನದ ಆರಂಭದಲಿಿ ಪಿೇಠಿಕ್ಯಾಗಿ ನಿೇಡಿದ ಸಮಸ್್ಯ.
93
ಸಮಸ್್ಯ ೩: ತಾವ್ರ್ ಹನವ್ುಗಳ ಜ್್ನಂಪ್್ಯಂದರಲಿಿ ಇದದ ಹನವ್ುಗಳ ೧/೩ ರಷಟನುನ ಶಿವ್ನಿಗನ, ೧/೫ ರಷಟನುನ ವಿಷುಾವಿಗನ ೧/೬ ರಷಟನುನ ಸನಯಾನಿಗನ ೧/೪ ರಷಟನುನ ಇಷಟದ್ೇವ್ತ್ಗನ ಅಪಿಾಸಿ ಉಳಿದ ೬ ಹನವ್ುಗಳನುನ ಗುರುವಿಗ್ ಅಪಿಾಸಲಾಯತ್ು. ಜ್್ನಂಪ್್ಯಲಿಿ ಎಷುಟ ತಾವ್ರ್ ಹನವ್ುಗಳಿದದವ್ು ಅನುನವ್ುದನುನ ವ್ೇಗವಾಗಿ ಪತ್ುಹಚ್ುಿ.
ಸಮಸ್್ಯ ೪: ದಂಪತಗಳಳ ಸರಸಸಲಾಿಪದಲಿ ಿ ನಿರತ್ರಾಗಿದಾದಗ ಪತನಯ ಮುತುನ ಹಾರ ತ್ುಂಡಾಯತ್ು. ಇದದ ಮುತ್ುುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧/೩ ರಷುಟ ನ್ಲಕ್ು ಬ್ರತ್ುು, ೧/೫ ರಷುಟ ಹಾಸಿಗ್ಯ ಅಡಿಯಲಿಿ ಸ್್ೇರಿಕ್ನಂಡಿತ್ು, ಪತನಯು ಹಾಸಿಗ್ಯಂದ ೧/೬ ರಷಟನನನ ಪತ ೧/೧೦ ರಷನನೂ ಸಂಗಾಹಿಸಿದರು. ಹಾರದ ದಾರದಲಿ ಿ ೬ ಮುತ್ುುಗಳಳ ಉಳಿದಿದದವ್ು. ಹಾರದಲಿಿ ಒಟ್ುಟ ಎಷುಟ ಮುತ್ುುಗಳಿದದವ್ು ಎಂಬುದನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿ.
94
ಸಮಸ್್ಯ ೫: ಆಭರಣ ಮಾಡಿಸಿಕ್ನಳಳಲ್ನೇಸುಗ ಪ್್ಾೇಮಿಯಬಬ ತ್ನನ ಭಾವಿೇ ವ್ಧ್ುವಿಗ್ ಸಾಲಪ ಅನರ್ಯಾ ರತ್ನಗಳನುನ ಕ್ನಟ್ಟನು. ಅವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧/೮ ರಷಟನುನ ಹಣ್ಯನುನ ಅಲಂಕರಿಸುವ್ ಆಭರಣಕಾುಗಿ ವಿನಿಯೇಗಿಸಿದಳಳ. ಉಳಿದದದರ ೩/೭ ರಷಟರಲಿಿ ಒಂದು ಹಾರ ಮಾಡಿಸಿದಳಳ. ಉಳಿದದದರ ಅಧ್ಾದಷಟರಿಂದ ತ್ನೇಳಬಂದಿಗಳನುನ ಮಾಡಿಸಿದಳಳ. ಉಳಿದದದರ ಮುಕಾುಲು ಭಾಗವ್ನುನ ಕ್ಲರುಗಂಟ್ಗಳಿಂದ ಕನಡಿದ ಸ್್ನಂಟ್ದ ಪಟಿಟ ಮಾಡಿಸಲು ಉಪಯೇಗಿಸಿದಳಳ. ಉಳಿದ ೧೬ ರತ್ನಗಳಿಂದ ತ್ನನ ಕ್ೇಶರಾಶಿಯನನಲಂಕರಿಸಿದಳಳ. ಹಾಗಾದರ್, ಆರಂಭದಲಿ ಿಅವ್ಳಿಗ್ ಸಿಕ್ಲುದದ ರತ್ನಗಳ್ಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಥಟ್ಟನ್ ಹ್ೇಳಳ.
ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಭಾಗವ್ನುನ ಅಥವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾವ್ನುನ ಕನಡಿಸಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಅಥವ್ ಕಳ್ಯ ಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಸಮಸ್್ಯಗಳಲಿಿ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಊಹಿಸಿಕ್ನಳಳಳವಿಕ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪತ್ುಹಚ್ುಿವ್ುದು ಹ್ೇಗ್ಂಬುದನುನ ಈಗ ನಿೇವ್ು ತಳಿದಿರುವ್ುದರಿಂದ ಮುಂದಿನ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಲಿರಿಿ ಎಂದು ನಂಬ್ರದ್ದೇನ್.
95
ಸಮಸ್್ಯ ೬: ಓ ಮಿತ್ಾನ್ೇ, ಜ್್ೇನುಗನಡ್ನಂದರಲಿ ಿ ಇದದ ಜ್್ೇನುನ್ನಣಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧/೬ ರಷುಟ ಪ್ಾಟ್ಲಿ ಹನವ್ುಗಳತ್ುವ್ೂ ೧/೩ ರಷುಟ ಕದಂಬ ಮರದತ್ುವ್ೂ ೧/೪ ರಷುಟ ಮಾವಿನ ಮರದತ್ುವ್ೂ ೧/೫ ರಷುಟ ಅರಳಿದ ಚ್ಂಪಕ ಹನವ್ುಗಳಿರುವ್ ಮರದತ್ುವ್ೂ ೧/೩೦ ರಷುಟ ರವಿಕ್ಲರಣಗಳಿಂದ ಅರಳಿದ ತಾವ್ರ್ಗಳತ್ುವ್ೂ ಹ್ನೇದವ್ು. ಒಂದ್ೇ ಒಂದು ಜ್್ೇನುನ್ನಣ ಅತುಂದಿತ್ು ಹಾರಾಡುತುದದರ್ ಗನಡಿನಲಿಿದದ ಜ್್ೇನುನ್ನಣಗಳ್ಷುಟ?
ಸಮಸ್್ಯ ೭: ಒಬಬ ಯಾತಾಕನು ತ್ನನ ಹತುರವಿದದ ಹಣದ ಅಧ್ಾದಷಟನುನ ಪಾಯಾಗದಲಿಿ ಬಾಾಹಮಣರಿಗ್ ದಾನ ಮಾಡಿದನು. ಉಳಿದಿದದ ಹಣದ ೨/೯ ರಷಟನುನ ಕಾಶಿಯಲಿ ಿ ವ್ಯಯಸಿದನು. ಉಳಿದ ಹಣದ ಕಾಲು ಭಾಗವ್ನುನ ಸುಂಕವಾಗಿ ಕ್ನಟ್ಟನು. ಉಳಿದ ಹಣದ ೬/೧೦ ರಷಟನುನ ಗಯಾದಲಿ ಿ ವ್ಯಯಸಿದನು. ಅಂತಮವಾಗಿ ಮನ್ಗ್ ಹಿಂದಿರುಗಿದಾಗ ಅವ್ನ ಹತುರ ೬೩ ರನಪ್ಾಯಗಳಳ ಉಳಿದಿದದವ್ು, ಹಾಗಿದದರ್ ಅವ್ನು ಎಷುಟ ಹಣ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಂಡು ಹ್ನೇಗಿದದ?
(ವಿ ಸನ. ಪಾತೇ ಹಂತ್ದಲಿಿಯನ ‘ಉಳಿದಿದದ ಹಣದ’ ಎಂದಿರುವ್ುದನುನ ಗಮನಿಸಿ, ‘ಹಿಂದಿನ ಹಂತ್ದಲಿಿ ಖಚ್ುಾ ಮಾಡಿದ ನಂತ್ರ ಉಳಿದ ಹಣ’ ಎಂದು ಇದನುನ ಅರ್್ೈಾಸಿ ಅದಕ್ು ತ್ಕುಂತ್ ಗಣಿತ್ ಕಮಾ ಮಾಡಬ್ೇಕು. ಉದಾಹರಣ್ಗಳಲಿಿ ಇಂಥದನದ ಒಂದಿದ್. ಮನಲ ಲ್ಕುದಲಿಿ ರನಪ್ಾಯ ಎಂಬ ಪದದ ಬದಲು ಅಂದು ಚಾಲಿುಯಲಿಿದದ ಹಣದ ಹ್ಸರಿದ್) ಸಮಸ್್ಯ ೮: ಓ ಹರಿಣಾಕ್ಷಿಯೆೇ, ಜ್್ೇನುಗನಡ್ನಂದರಲಿ ಿ ಇದದ ಜ್್ೇನುನ್ನಣಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ೧/೫ ರಷುಟ ಕದಂಬ ಮರದತ್ುವ್ೂ ೧/೩ ರಷುಟ ಶಿಲಿೇಂದಾ ಮರದತ್ುವ್ೂ ಹ್ನೇದವ್ು. (೧/೩ – ೧/೫) x ೩ ರಷುಟ ಕುಟ್ಜ ಮರದ ಸುತ್ು ಹಾರಾಡುತುದದವ್ು. ೧ ಜ್್ೇನುನ್ನಣ ಮಾತ್ಾ ಕ್ೇತ್ಕ್ಲೇ ಮತ್ುು ಮಾಲತೇ ಬಳಿಳಗಳಳ ಹ್ನರಸನಸುತುದದ ಸುವಾಸನಯಂದ ಿಾಕಷ್ಟಾತ್ವಾಗಿ ಅತುಂದಿತ್ು ಹಾರಾಡುತುತ್ುು. ಗನಡಿನಲಿಿದದ ಜ್್ೇನುನ್ನಣಗಳ್ಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿ?
ಹಿಮುುಖ ಪ್ರಕ್ಕರಯಾ ವಿಧಾನ್ (ಆಧ್ುನಿಕ ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಸರಳ ಸಮಿೇಕರಣ ಆಧಾರಿತ್ ವಿಶಿಷಟ ನಮನನ್ಯ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಪರಿಹರಿಸುವ್ ಇನ್ನನಂದು ವಿಧಾನ) ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯ ಭಾಗವ್ನುನ ಅಥವ್ ಅಪವ್ತ್ಯಾವ್ನುನ ಕನಡಿಸಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಅಥವ್ ಕಳ್ಯಬ್ೇಕಾಗಿರುವ್ ಸಮಸ್್ಯಗಳಲಿಿ ಮಾತ್ಾ ‘ಊಹಿಸುವಿಕ್’ ವಿಧಾನದಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ್ ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ಕಂಡು ಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಅರ್ಾಾತ್, ಆ ವಿಧಾನದಿಂದ ಈ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿರುವ್ಂಥ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಪರಿಹರಿಸಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಿಲಿ (ನಿೇವ್ೇ ಪಾಯತನಸಿ ನ್ನೇಡಿ). ‘ಒಂದು ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ಐದರಷಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳ್ದು ಉಳಿದದದನುನ ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ೨೯ ಭಾಗಲಬಧ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಎಂದಾದರ್ ಆ ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯ ಎಷುಟ?’
ಇಂಥ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ಪರಿಹರಿಸಲು ಅನುಸರಿಸಬ್ೇಕಾದ ವಿಧಾನವ್ೇ ಬಾಸುರಾಚಾಯಾರು ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯ ೧೬ ನ್ೇ ಅಧಾಯಯದಲಿ ಿ ವಿವ್ರಿಸಿರುವ್ ‘ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯಾ’ ವಿಧಾನ. ಈ ಎರಡನ ವಿಧಾನಗಳಲಿ ಿ ಸಮಸ್್ಯಯಲಿ ಿಅಂತಮ ಉತ್ುರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯ ಇರುತ್ುದ್ ಎಂಬುದನುನ ಗಮನಿಸಿ. ‘ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯಾ’ ವಿಧಾನದ ತರುಳನುನ ಕ್ಲವ್ು ಸರಳ ಉದಾಹರಣ್ಗಳ ನ್ರವಿನಿಂದ ಕಲಿಯುವ್ುದು ಸುಲಭ. ಉದಾಹರಣ್ ೧: ‘ಒಂದು ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ಐದರಷಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳ್ದು ಉಳಿದದದನುನ ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ೨೯ ಭಾಗಲಬಧ ಲಭಿಸುತ್ುದ್ ಎಂದಾದರ್ ಆ ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯ ಎಷುಟ?’
‘ಉಳಿದದದನುನ ೫ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ೨೯ ಭಾಗಲಬಧ ಲಭಿಸುತ್ುದ್’ ಎಂದಾದರ್ ೨೯ ಅನುನ ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದರ್ ‘ಉಳಿದದುದ’ ದ್ನರಕಬ್ೇಕು. ಅರ್ಾಾತ್, ‘ಉಳಿದದುದ’ = ೨೯ x ೫ = ೧೪೫. ‘ಒಂದು ನಿದಿಾಷಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ಐದರಷಟರಿಂದ ೧೫ ಕಳ್ದರ್ ಉಳಿದದುದ ದ್ನರಕುತ್ುದ್’ ಎಂದಾದರ್ ‘ಉಳಿದದದಕ್ು’ ೧೫ ಕನಡಿಸಿದರ್ ‘ಸಂಖ್್ಯಯ
96
ಐದರಷುಟ’ ದ್ನರಕಬ್ೇಕು. ಅರ್ಾಾತ್, ೧೪೫+೧೫ = ೧೬೦, ಇದು ‘ಸಂಖ್್ಯಯ ಐದರಷುಟ’ ಆಗಿರಬ್ೇಕು. ಆದದರಿಂದ ಇದನುನ ಐದರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ಸಂಖ್್ಯ ದ್ನರಕಬ್ೇಕು. ಅರ್ಾಾತ್, ೧೬೦/೫ = ೩೨. ಉದಾಹರಣ್ ೨: ‘ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೧೨ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ೮ ಕಳ್ದರ್ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ುದ್. ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?’
‘ಗುಣಲಬಧದಿಂದ ೮ ಕಳ್ದರ್ ೪೦ ಉಳಿಯುತ್ುದ್’ ಅಂದರ್ ೪೦ ಕ್ು ೮ ಕನಡಿಸಿದರ್ ಗುಣಲಬಧ ದ್ನರಕಬ್ೇಕಷ್್ಟ?
ಅರ್ಾಾತ್, ೪೦+೮=೪೮ – ಇದು ಉಲ್ೇಿಖಿತ್ ಗುಣಲಬಧ. ಈ ಗುಣಲಬಧ ದ್ನರಕ್ಲದುದ ಹ್ೇಗ್? ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೧೨ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿದದರಿಂದ. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಗುಣಲಬಧವ್ನುನ ೧೨ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದರ್ ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಭಾಗಲಬಧವಾಗ ಬ್ೇಕು. ಅರ್ಾಾತ್, ೪೮/೧೨=೪. ಆ ಸಂಖ್್ಯ ೪ ಆಗಿರಲ್ೇ ಬ್ೇಕು. ಇಲಿಿ ಮಾಡಿದ್ದೇನು? ಸಮಸ್್ಯಯಲಿಿ ತಳಿಸಿರುವ್ ಗಣಿತೇಯ ಕಮಾಗಳ ತ್ದಿಾರುದಧ ಕಮಾಗಳನುನ ಸಮಸ್್ಯಯಲಿ ಿನಿೇಡಿದದ ಅಂತಮ ಉತ್ುರದಿಂದ ಆರಂಭಿಸಿ ಹಿಮುಮಖವಾಗಿ ಮಾಡಿದುದ ಸರಿಯಷ್್ಟ? ಇದ್ೇ ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯಾ ವಿಧಾನ. ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯಾ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದ ಸಮಸ್್ಯಗಳ ಕ್ಲವ್ು ಉದಾಹರಣ್ಗಳನುನ ಮುಂದ್ ನಿೇಡಿದ್ದೇನ್, ಜ್ಾಗರನಕತ್ಯಂದ ಅಧ್ಯಯಸಿ. ಸಮಸ್್ಯ ೧: ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಗ್ ೧೦ ಕನಡಿಸಿ ದ್ನರಕ್ಲದ ಮೊತ್ುದ ೨/೫ ರಷಟರಿಂದ ೪ ಕಳ್ದಾಗ ೧೨ ದ್ನರಕ್ಲತ್ು. ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?
೧೨ +೪ = ೧೬ (ಇದು ಮೊತ್ುದ ೨/೫ ರಷುಟ) ೧೬ x (೫/೨) = ೪೦ (ಇದು ಮೊತ್ು) ೪೦ - ೧೦ = ೩೦ (ಇದು ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಸಂಖ್್ಯ)
ಸಮಸ್್ಯ ೨: ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೫ ಇಂದ ಗುಣಿಸಿ ಗುಣಲಬಧದ ೩/೫ ರಷಟಕ್ು ೧೫ ಕನಡಿಸಿದ್. ಈ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೮ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಭಾಗಲಬಧ ೩ ಆದರ್, ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?
೩ x ೮ = ೨೪ (ಇದು ಮೊತ್ು) ೨೪ - ೧೫ = ೯ ( ಇದು ಗುಣಲಬಧದ ೩/೫ ರಷುಟ) ೯ x (೫/೩) = ೧೫ (ಇದು ಗುಣಲಬಧ) ೧೫/೫ = ೩ (ಇದು ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಸಂಖ್್ಯ)
ಈ ಮುಂದಿನ ಸಮಸ್್ಯಯನುನ ನಿೇವ್ೇ ಪರಿಹರಿಸಿ.
ಸಮಸ್್ಯ ೩: ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯನುನ ೩ ಇಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯತ್ು. ಗುಣಲಬಧಕ್ು ಅದರ ೩/೪ ರಷಟನುನ ಕನಡಿಸಲಾಯತ್ು. ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೭ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಿ ದ್ನರಕ್ಲದ ಭಾಗಲಬಧದಿಂದ ಅದರ ೧/೩ ರಷಟನುನ ಕಳ್ಯಲಾಯತ್ು. ಉಳಿದದದರ ವ್ಗಾದಿಂದ ೫೨ ಅನುನ ಕಳ್ದು ಉಳಿದದದರ ವ್ಗಾಮನಲಕ್ು ೮ ಕನಡಿಸಲಾಯತ್ು. ಅಂತಮವಾಗಿ, ದ್ನರಕ್ಲದ ಮೊತ್ುವ್ನುನ ೧೦ ಇಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿ ೨ ಭಾಗಲಬಧ ದ್ನರಕ್ಲತ್ು. ಓ ಚ್ಂಚ್ಲ ಕಣುಾಗಳಳಳಳ ಬಾಲ್ಯೆೇ, ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ ನಿನಗ್ ತಳಿದಿದದರ್ ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದ್ಂಬುದನುನ ನನಗ್ ಹ್ೇಳಳ. ಮುಂದಿನ ಎರಡು ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ‘ಊಹಿಸುವಿಕ್’ ಮತ್ುು ‘ಹಿಮುಮಖ ಪಾಕ್ಲಾಯೆ’ - ಈ ಎರಡನ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು. ನಿೇವ್ೇ ಪರಿಹರಿಸಿ ನ್ನೇಡಿ.
97
ಸಮಸ್್ಯ ೪: ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಗ್ ಅದರ ೩/೮ ರಷಟನುನ ಕನಡಿಸಿದರ್ ೩೩ ಲಭಿಸುತ್ುದ್. ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು
ಸಮಸ್್ಯ ೫: ಒಂದು ಸಂಖ್್ಯಯಂದ ಅದರ ೩/೮ ರಷಟನುನ ಕಳ್ದರ್ ೧೫ ಲಭಿಸುತ್ುದ್. ಆ ಸಂಖ್್ಯ ಯಾವ್ುದು?
ನಮಮ ಪುರಾತ್ನರ ಗಣಿೇತೇಯ ಸ್ಾಮಥಯಾದ ಅಲಪಸಾಲಪ ಪರಿಚ್ಯ ಈಗ ನಿಮಗಾಗಿದ್ಯೆಂದು ನಂಬುತ್ುೇನ್. ಲಿೇಲಾವ್ತೇ, ವ್ೇದಗಣಿತ್, ಆಯಾಭಟಿೇಯ ಮೊದಲಾದ ಗಾಂಥಗಳಲಿ ಿ ಆಧ್ುನಿಕ ಬ್ೇಜಗಣಿತ್, ಜ್ಾಯಮಿತ,
ಖಗ್ನೇಲಶಾಸರ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಅನ್ೇಕ ಪರಿಕಲಪನ್ಗಳ ವಿವ್ರಣ್ ಇರುವ್ುದ್ೇ ನಾನು ‘ಅಲಪಸಾಲಪ’ ಎನನಲು ಕಾರಣ.
ಈ ಪುಸುಕಕ್ು ಹಿನುನಡಿಯಾಗಿ ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಕ್ಲವ್ು ಕುತ್ನಹಲಕಾರಿೇ ಸಮಸ್್ಯಗಳ ಯಾದಿಯನುನ ಮುಂದ್ ನಿೇಡುತುದ್ದೇನ್.
೧೪. ಭಾಸೆರಾಚಾಯಿರ ಲೇಲಾವ್ತೇಯಲಿರುವ್ ಕ್ಕಲವ್ು ಗಣಿತೇಯ ಸಮಸ್ಕಯಗಳು
ನಮಮ ಪುರಾತ್ನರು ಪ್ಾಶಾಿತ್ಯರಿಗಿಂತ್ ಗಣಿತಾಧ್ಯಯನದಲಿ ಿ ಎಷ್್ನಟೇ ಮುಂದಿದದರು ಎಂಬುದನನನ ಪ್ಾಶಾಿತ್ಯರು ಆವಿಷುರಿಸಿದರು ಅನನಲಾಗಿರುವ್ ಅನ್ೇಕ ಗಣಿತೇಯ ತ್ತ್ಾಗಳಳ ಅವ್ರಿಗ್ ಬಲುಹಿಂದ್ಯೆೇ ತಳಿದಿತ್ುು ಅನುನವ್ುದನುನ ಸ್ಾಬ್ರೇತ್ುಪಡಿಸುವ್ುದಷ್್ಟೇ ನನನ ಉದ್ದೇಶ. ಈ ಪುಸುಕದಲಿಿ ಈಗಾಗಲ್ೇ ಅನ್ೇಕವ್ನುನ ಉದಾಹರಣ್ಯಾಗಿ ಉಪಯೇಗಿಸಿಕ್ನಂಡಿದ್ದೇನ್. ನನನ ಉದ್ದೇಶ ಈಡ್ೇರಲು ನ್ರವಾಗಬಲ ಿಕ್ಲವ್ು (ಎಲಿವ್ನನನ ಅಲಿ) ಸಮಸ್್ಯಗಳನನನ ಅವ್ುಗಳ ಉತ್ುರಗಳನನನ ಅವ್ಶಯವಿರುವ್ಲಿ ಿ ಅವ್ನುನ ಪರಿಹರಿಸಲು ನ್ರವ್ು ನಿೇಡಬಹುದಾದ ಸುಳಿವ್ುಗಳನನನ ಕ್ನಡುತುದ್ದೇನ್. ಗಣಿತಾಸಕುರಿಗ್ ಇವ್ು ಉಪಯುಕುವಾಗಬಹುದು. ಅಂದ ಹಾಗ್ ಸಮಸ್್ಯಗಳನುನ ನಿರನಪಿಸುವಾಗ ಮನಲದಲಿಿದದ ಕ್ಲವ್ು ಪದಗಳಿಗ್ ಬದಲಾಗಿ ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಸಮಾನಾಥಾಕಗಳನುನ ಉಪಯೇಗಿಸಿದ್ದೇನ್. ಮನಲದಲಿಿ ಸಮಸ್್ಯಗಳಳ ಸಂಸೃತ್ ದಿಾಪದಿಗಳ ರನಪದಲಿಿ ಇರುವ್ುದಷ್್ಠೇ ಅಲಿದ್ ಕ್ಲವ್ು ಸಂದಭಾಗಳಲಿಿ ಪಾತೇಕಗಳನನನ ಒಳಗ್ನಂಡಿರುವ್ುದರಿಂದ ಸಂಸೃತ್ ಪಂಡಿತ್ರಿಗ್ ಮಾತ್ಾ ಅಥಾವಾಗುವ್ಂತ್ ಇರುವ್ುದ್ೇ ಇದಕ್ು ಕಾರಣ.
(೧) ಓ ಗಣಿೇತ್ಜ್ಞನ್ೇ, ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಯತಾಯಸ ೮, ಅವ್ುಗಳ ವ್ಗಾಗಳ ವ್ಯತಾಯಸ ೪೦೦. ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ ಯಾವ್ುವ್ು ಎಂಬುದನುನ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೨೯, ೨೧)
(೨) ಯಾವ್ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳ ವ್ಗಾಗಳ ವ್ಯತಾಯಸದಿಂದ ಅಥವ್ ಮೊತ್ುದಿಂದ ೧ ಕಳ್ದರ್ ಪರಿಪೂಣಾ ವ್ಗಾವ್ೇ ದ್ನರಕುತ್ುದ್ನೇ ಆ ಎರಡು ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿ. ಓ ಮಿತ್ಾನ್ೇ, ಆರು ಬ್ರೇಜಗಣಿತೇಯ ವಿಧಾನಗಳನುನ ತಳಿದ ಬುದಿಧವ್ಂತ್ ಗಣಿತ್ಜ್ಞರನ ಈ ಸಮಸ್್ಯ ಪರಿಹರಿಸಲು ತ್ಡಬಡಾಯಸುತಾುರ್. (ಉ: ಒಂದಕ್ಲುಂತ್ ಹ್ಚ್ುಿ ಉತ್ುರಗಳಿವ್. ಉದಾ: ೩/೨ ಮತ್ುು ೧. ೭/೨ ಮತ್ುು ೫೭/೮. ೯/೪ ಮತ್ುು ೧. ೯ ಮತ್ುು ೮. ೧೨೯ ಮತ್ುು ೬೪. ಸುಳಿವ್ು: ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಪಡ್ಯಲು ಆಧ್ುನಿಕ ಬ್ರೇಜಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಇರುವ್ ಸ್ಾವ್ಾತಾಕ ಸನತ್ಾಗಳಳ: x = ನಿಮಗ್ ಇಷಟವಾದ ಯಾವ್ುದ್ೇ ಸಂಖ್್ಯ, a ಮತ್ುು b ಗಳಳ ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಸಂಖ್್ಯಗಳಳ. a = (8x2 –
1)/2x, b = (a2/2) + 1 ಈ ಸನತ್ಾವ್ನುನ ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಂದಲ್ೇ ಪಡ್ದಿದ್ದೇನ್)
(೩) ಮೊೇಡ ಕವಿಯತ್ನಡಗಿದಾಗ ಒಂದು ಹಿಂಡಿನಲಿಿದದ ಹಂಸಗಳ ಒಟ್ುಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ವ್ಗಾಮನಲದ ೧೦ ರಷುಟ ಹಂಸಗಳಳ ಮಾನಸಸರ್ನೇವ್ರಕ್ು ತ್ರಳಿದವ್ು. ಒಟ್ುಟ ಸಂಖ್್ಯಯ ೧/೮ ರಷುಟ ಹಂಸಗಳಳ ದಾಸವಾಳದ ವ್ನಕ್ು ಹಾರಿಹ್ನೇದವ್ು. ಉಳಿದ ಮನರು ಪಾಣಯ ಜ್್ನೇಡಿಗಳಳ ನಿೇರಿನಲಿ ಿ ಆಟ್ವಾಡುತುದದವ್ು. ಓ ಬಾಲ್ಯೆೇ,
98
ಸುಂದರವಾದ ತಾವ್ರ್ಗಳಿದದ ಆ ಕ್ನಳದಲಿಿ ಒಟ್ುಟ ಎಷುಟ ಹಂಸಗಳಿದದವ್ು? (ಉ: ೧೪೪. ಸುಳಿವ್ು: ವ್ಗಾಸಮಿೇಕರಣ ಹಾಕ್ಲ ಪರಿಹರಿಸಬ್ೇಕು) (೪) ಯುದಧದಲಿ ಿ ಕ್ನೇಪೇದಿಾಕುನಾದ ಅಜುಾನನು ಕಣಾನುನ ಕ್ನಲಿಲ್ನೇಸುಗ ಕ್ಲವ್ು ಬಾಣಗಳನುನ ಪಾಯೇಗಿಸಿದನು. ಪಾಯೇಗಿಸಿದ ಒಟ್ುಟ ಬಾಣಗಳ ಅಧ್ಾದಷಟರಿಂದ ಕಣಾನ ಎಲ ಿಬಾಣಗಳನುನ ನಾಶಪಡಿಸಿದನು. ಪಾಯೇಗಿಸಿದ ಒಟ್ುಟ ಬಾಣಗಳ ವ್ಗಾಮನಲದ ೪ ರಷಟರಿಂದ ಕಣಾನ ಎಲಿ ಕುದುರ್ಗಳನುನ ಕ್ನಂದನು. ೬ ಬಾಣಗಳಿಂದ ಅವ್ನ ಈಟಿಯನುನ ನಾಶಪಡಿಸಿದನು. ರಥದ ಶಿಖರವ್ನುನ, ಧ್್ಜವ್ನುನ ಮತ್ುು ಕಣಾನ ಬ್ರಲಿನುನ ತ್ಲಾ ಒಂದ್ನಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಧ್್ಂಸಗ್ನಳಿಸಿದನು. ಕ್ನನ್ಗ್ ಒಂದು ಬಾಣದಿಂದ ಕಣಾನ ತ್ಲ್ಯನುನ ಕತ್ುರಿಸಿ ಹಾಕ್ಲದನು. ಅಜುಾನನು ಪಾಯೇಗಿಸಿದ ಒಟ್ುಟ ಬಾಣಗಳ್ಷುಟ? (ಉ: ೧೦೦. ಸುಳಿವ್ು: ವ್ಗಾಸಮಿೇಕರಣ ಹಾಕ್ಲ ಪರಿಹರಿಸಬ್ೇಕು)
(೫) ೨ ೧/೨ (ಎರಡನವ್ರ್) ಪಲ ಕುಂಕುಮದ ಬ್ಲ್ ೩/೭ ನಿಷು. ಓ ನಿಷ್ಾಾತ್ ವಾಯಪ್ಾರಿಯೆೇ ೯ ನಿಷುಗಳಿಗ್ ಎಷುಟ ಕುಂಕುಮ ಕ್ನಳಳಬಹುದ್ಂಬುದನುನ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೫೨ ೧/೨ ಪಲ. ಅಂದು ಚಾಲಿುಯಲಿಿದದ ಅಳತ್ಯ ಏಕಮಾನಗಳಿವ್ು. ಸುಳಿವ್ು: ತ್ೈರಾಶಿಯ ಲ್ಕು )
(೬) ೨ ವ್ಷಾಕಾಲ ನ್ನಗ ಹ್ನತುದದ ಎತುನ ಬ್ಲ್ ೪ ನಿಷು ಆಗಿದದರ್ ೬ ವ್ಷಾಕಾಲ ನ್ನಗ ಹ್ನತುದದ ಎತುನ ಬ್ಲ್ ಎಷುಟ? (ಉ: ೧ ೧/೩ ನಿಷು. ಸುಳಿವ್ು: ವಿಲ್ನೇಮಾನುಪ್ಾತ್ದ ಲ್ಕು)
(೭) ೧೦೦ ನಿಷುಗಳಿಗ್ ೪/೩ ತಂಗಳಿಗ್ ೫ ೧/೫ ಬಡಿು ಆದರ್ ೬೨ ೧/೨ ನಿಷುಗಳಿಗ್ ೩ ೧/೫ ತಂಗಳಿಗ್ ಬಡಿು ಎಷ್ಾಟಗುತ್ುದ್? (ಉ: ೭ ೪/೫ ನಿಷು. ಸುಳಿವ್ು: ಪಂಚ್ರಾಶಿಯ ಲ್ಕು)
(೮) ತ್ಲಾ ೩ ಹಸು x ೮ ಹಸು ಅಳತ್ಯ ಬಹುವ್ಣಿೇಾಯ ಕಸನತ ಕ್ಲಸಮಾಡಿದ ಬಟ್ಟಯ ೮ ತ್ುಂಡುಗಳಳ ೧೦೦ ನಿಷುಗಳಿಗ್ ದ್ನರಕುತ್ುವ್. ಓ ವಾಯಪ್ಾರಿಯೆೇ, ನಿೇನು ವಾಯಪ್ಾರದಲಿ ಿನಿಷ್ಾಾತ್ನಾಗಿದದರ್ ೩ ೧/೨ ಹಸು x ೧/೨ ಹಸು ಅಳತ್ಯ ತ್ುಂಡಿನ ಬ್ಲ್ ಎಷ್್ಟಂದು ಬ್ೇಗನ್ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೧೭೫/೧೯೨ ನಿಷು. ಸುಳಿವ್ು: ಸಪುರಾಶಿಯ ಲ್ಕು)
(೯) ತ್ಲಾ ೧೪ ಹಸು x ೧೬ ಅಂಗುಲ x ೧೨ ಅಂಗುಲ ಅಳತ್ಯ ಮರದ ೩೦ ಹಲಗ್ಗಳ ಬ್ಲ್ ೧೦೦ ನಿಷುಗಳಳ. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಓ ಮಿತ್ಾನ್ೇ ತ್ಲಾ ೧೦ ಹಸು x ೧೨ ಅಂಗುಲ x ೮ ಅಂಗುಲ ಅಳತ್ಯ ಮರದ ೩೦ ಹಲಗ್ಗಳ ಬ್ಲ್ ಎಷುಟ? (ಉ: ೧೬ ೨/೩ ನಿಷು. ಸುಳಿವ್ು: ನವ್ರಾಶಿಯ ಲ್ಕು)
(೧೦) ಹಿಂದಿನ ಲ್ಕುದಲಿಿ ನಮನದಿಸಿದ ಮೊದಲನ್ೇ ಗುಂಪಿನ ಹಲಗ್ಗಳನುನ ೧ ಕ್ನಾೇಶ ದನರ ಸ್ಾಗಿಸಲು ೮ ದಾಮಮಗಳಷಟ್ು ಹಣಬ್ೇಕು. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಎರಡನ್ೇ ಗುಂಪಿನ ಹಲಗ್ಗಳನುನ ೬ ಕ್ನಾೇಶ ದನರ ಸ್ಾಗಿಸಲು ಎಷುಟ ಹಣ ವ್ಚ್ಿವಾಗುತ್ುದ್? (ಉ: ೮ ದಾಮಮ. ಸುಳಿವ್ು: ಏಕಾದಶರಾಶಿಯ ಲ್ಕು)
(೧೧) ೯೪ ನಿಷುಗಳನುನ ಮನರು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಿ ಒಂದು ಭಾಗವ್ನುನ ತಂಗಳಿಗ್ ಶ್ೇಕಡ ೫ ರ ದರದಲಿ ಿ೭ ತಂಗಳಿಗ್, ಒಂದು ಭಾಗವ್ನುನ ತಂಗಳಿಗ್ ಶ್ೇಕಡ ೩ ರ ದರದಲಿಿ ೧೦ ತಂಗಳಿಗ್, ಒಂದು ಭಾಗವ್ನುನ ತಂಗಳಿಗ್ ಶ್ೇಕಡ ೪ ರ ದರದಲಿ ಿ ೫ ತಂಗಳಿಗ್ ಸ್ಾಲವಾಗಿ ಕ್ನಡಲಾಯತ್ು. ಅವ್ಧಿಯ ಅಂತ್ಯದಲಿ ಿ ಎಲ ಿ ಭಾಗಗಳಿಂದ ಲಭಿಸಿದ ಬಡಿುಗಳೂ ಸಮವಾಗಿದದವ್ು. ಪಾತೇ ಭಾಗದ ಮೊಬಲಗು ಎಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿ. (ಉ: ಅಸಲು ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ೨೪, ೨೮ ಮತ್ುು ೪೨ ನಿಷುಗಳಳ. ಸುಳಿವ್ು: ಸರಳ ಬಡಿು)
99
(೧೨) ಮನರು ದಿನಸಿ ವಾಯಪ್ಾರಿಗಳಳ ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ೫೧, ೬೮ ಮತ್ುು ೮೫ ನಿಷುಗಳ ಬಂಡವಾಳ ಹಾಕ್ಲ ವಾಯಪ್ಾರ ಆರಂಭಿಸಿದರು. ಬಲು ಕುಶಲತ್ಯಂದ ತ್ಮಮ ಸಂಪತ್ುನುನ ೩೦೦ ನಿಷುಗಳಿಗ್ ವ್ೃದಿಧಸಿದರು. ಇದರಲಿ ಿಪಾತಯಬಬರ ಪ್ಾಲು ಎಷುಟ? (ಉ: ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ೭೫, ೧೦೦ ಮತ್ುು ೧೨೫ ನಿಷುಗಳಳ. ಸುಳಿವ್ು: ಪ್ಾಲುಗಾರಿಕ್)
(೧೩) ೪ ತ್ನರ್ಗಳಳ ಕ್ನಳವಂದಕ್ು ನಿೇರುಣಿಸುತುವ್. ಒಂದ್ೇ ತ್ನರ್ ನಿೇರುಣಿಸುವ್ಂತ್ ಇದಿದದದರ್ ಕ್ನಳವ್ನುನ ತ್ುಂಬಲು ೧ ನ್ೇ ತ್ನರ್ ೧ ದಿನವ್ನನನ, ೨ ನ್ೇಯದುದ ೧/೨ ದಿನವ್ನನನ, ೩ ನ್ೇಯದುದ ೧/೩ ದಿನವ್ನನನ ೪ ನ್ೇಯದುದ ೧/೬ ದಿನವ್ನನನ ತ್ಗ್ದುಕ್ನಳಳಳತುತ್ುು. ಎಲ ಿತ್ನರ್ಗಳೂ ಏಕಕಾಲದಲಿ ಿನಿೇರುಣಿಸಿದರ್ ಕ್ನಳ ತ್ುಂಬಲು ಎಷುಟ ಸಮಯ ಬ್ೇಕು? (ಉ: ೧/೧೨ ದಿನ)
(೧೪) ಓ ಮಿತ್ಾನ್ೇ, ೧೬ ವ್ಣಾದ (ಕಾಯರಟ್ ನ) ಮತ್ುು ೧೦ ವ್ಣಾದ (ಕಾಯರಟ್ ನ) ಚನನದ ಎರಡು ಗುಂಡುಗಳನುನ ಕರಗಿಸಿ ಮಿಶಾಮಾಡಿದಾಗ ೧೨ ವ್ಣಾದ (ಕಾಯರಟ್ ನ) ಚನನ ಲಭಿಸಿತ್ು. ಮೊದಲು ಇದದ ಚನನದ ಗುಂಡುಗಳ ತ್ಲಾ ತ್ನಕ ಎಷುಟ? (ಉ: ತ್ನಕಗಳಳ ೧:೨ ಅನುಪ್ಾತ್ದಲಿಿ ಇತ್ುು) (೧೫) ಒಬಬ ರಾಜನ ಸುಂದರವಾದ ಅರಮನ್ಗ್ ೮ ಬಾಗಿಲುಗಳಳ ಇದದವ್ು. ಅವ್ುಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಎಷುಟ ಬಾಗಲುಗಳನಾನದರನ ಯಾವ್ ಬಾಗಿಲುಗಳನಾನದರನ ತ್ರ್ದು ಅಪ್್ೇಕ್ಷಿತ್ ಪಾಮಾಣದಲಿ ಿತಾಜ್ಾ ಗಾಳಿ ಬ್ರೇಸುವ್ಂತ್ ಮಾಡಬಹುದಿತ್ುು. ಎಷುಟ ವಿಧ್ಗಳಲಿಿ ಈ ಬಾಗಿಲುಗಳನುನ ತ್ರ್ಯಲು ಸ್ಾಧ್ಯ? (ಉ: ಅನುಕಾಮವಾಗಿ ೧, ೮, ೨೮,
೫೬, ೭೦, ೫೬, ೨೮, ೮, ೧. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದಲಿಿ ಇಂಥ ಸಮಸ್್ಯಗಳಳ ಸಂಯೇಜನ್ಗಳಳ (ಕಾಂಬ್ರನ್ೇಶನ್ಿ) ಶಿೇಷ್ಟಾಕ್ಯ ಅಡಿಯಲಿಿ ಇರುತ್ುವ್)
(೧೬) ಒಬಬ ಸಜಜನನು ಒಂದನ್ೇ ದಿನ ೪ ದಾಮಮಗಳನುನ (ಅಂದು ಚಾಲಿುಯಲಿ ಿಇದದ ನಾಣಯ) ದಾನವಾಗಿ ಒಬಬನಿಗ್ ಕ್ನಟ್ಟನು. ಪಾತೇ ದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕ್ನಟ್ಟದದಕ್ಲುಂತ್ ೫ ದಾಮಮ ಹ್ಚಿಸಿ ದಾನ ಕ್ನಡುವ್ುದನುನ ೧೫ ದಿನಗಳ ಕಾಲ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿದನು. ಒಟ್ಟ ಎಷುಟ ಮೊಬಲಗನುನ ಆತ್ ದಾನವಾಗಿ ಕ್ನಟ್ಟನು? (ಉ: ೫೮೫ ದಾಮಮ. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಇದು ಅಂಕಗಣಿತೇಯ ಶ್ಾೇಢಿಯ ಲ್ಕು)
(೧೭) ಒಬಬ ಸಜಜನನು ಒಂದನ್ೇ ದಿನ ೨ ಕೌರಿಗಳನನನ (ಅಂದು ಚಾಲಿುಯಲಿ ಿ ಇದದ ನಾಣಯ) ತ್ದನಂತ್ರದ ದಿನಗಳಲಿಿ ಪಾತೇ ದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನ ಕ್ನಟ್ಟದದಕ್ಲುಂತ್ ೨ ಪಟ್ುಟ ಹ್ಚಿಸಿ ದಾನ ಕ್ನಡುವ್ುದನುನ ೧ ತಂಗಳ ಕಾಲ ಮುಂದುವ್ರಿಸಿದನು. ಒಟ್ಟ ಎಷುಟ ಮೊಬಲಗನುನ ಆತ್ ದಾನವಾಗಿ ಕ್ನಟ್ಟನು? (ಉ: ೨೧೪೭೪೮೩೬೪೬ ಕೌರಿ. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಇದು ಜ್ಾಯಮಿತೇಯ ಶ್ಾೇಢಿಯ ಲ್ಕು)
(೧೮) ಸಮತ್ಟಾಟದ ನ್ಲದ ಮೇಲ್ ನಿಲಿಸಿಿದದ ೩೨ ಹಸು ಎತ್ುರದ ಬ್ರದಿರಿನ ಕಂಬವ್ು ಬಲವಾದ ಗಾಳಿ ಬ್ರೇಸಿದದರಿಂದ ಮುರಿದು ಬಾಗಿದ ಭಾಗದ ತ್ುದಿ ಕಂಬದ ಬುಡದಿಂದ ೧೬ ಹಸು ದನರದಲಿಿ ನ್ಲವ್ನುನ ಮುಟಿಟತ್ು. ಅಂದ ಮೇಲ್ ಓ ಗಣಿತ್ಜ್ಞನ್ೇ ಎಷುಟ ಎತ್ುರದಲಿ ಿ ಆ ಕಂಭ ಮುರಿಯತ್ು ಎಂಬುದನುನ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೧೨ ಹಸು. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪ್್ೈರ್ಾಗ್ನರಸ್ ಪಾಮೇಯ)
(೧೯) ೯ ಹಸು ಎತ್ುರದ ಕಂಬವಂದರ ಮೇಲ್ ಸ್ಾಕ್ಲದ ನವಿಲ್ನಂದು ಕುಳಿತತ್ುು. ಕಂಬದ ಬುಡದಲಿಿದದ ಪಟ್ರ್ಯತ್ು ಹಾವಂದು ಬರುತುತ್ುು. ಹಾವ್ು ಕಂಬದಿಂದ ೨೭ ಹಸು ದನರದಲಿಿ ಇದಾದಗ ಅದನುನ ನವಿಲು ನ್ನೇಡಿತ್ು. ಹಾವ್ು ಎಷುಟ ವ್ೇಗದಲಿಿ ಹಾವ್ು ಚ್ಲಿಸುತುತ್ನುೇ ಅಷ್್ಟೇ ವ್ೇಗದಲಿಿ ನವಿಲು ಹಾರಿಬಂದು ಕಂಬದಿಂದ
100
ತ್ುಸುದನರದಲಿಿಯೆೇ ಅದನುನ ಹಿಡಿಯತ್ು. ಆ ದನರ ಎಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಬ್ೇಗನ್ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೧೫ ಹಸು. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪ್್ೈರ್ಾಗ್ನರಸ್ ಪಾಮೇಯ)
(೨೦) ಕ್ನಳವಂದರಲಿಿ ಕ್ನಕುರ್ಗಳೂ ಬಾತ್ುಕ್ನೇಳಿಗಳೂ ಬಹುಸಂಖ್್ಯಯಲಿಿದದವ್ು. ಆ ಕ್ನಳದಲಿಿ ನಿೇರಿನ ಮೇಲಮಟ್ಟದಿಂದ ೧/೨ ಹಸು ಎತ್ುರದಲಿಿ ಗ್ನೇಚ್ರಿಸುತುದದ ತಾವ್ರ್ಯಂದು ಗಾಳಿ ಬ್ರೇಸಿದದರಿಂದ ಕಾಂಡ ನಿೇರಿನ ಮಲಮಟ್ಟದಿಂದ ಮೇಲ್ದದ ಸೆಳದಿಂದ ೨ ಹಸು ದನರದಲಿಿ ನಿೇರಿನಲಿಿ ಮುಳಳಗಿತ್ು. ಓ ಗಣಿತ್ಜ್ಞನ್ೇ ನಿೇರಿನ ಿಾಳವ್ಷ್್ಟಂಬುದನುನ ಬ್ೇಗನ್ ಹ್ೇಳಳ. (ಉ: ೪ ೧/೪ ಹಸು. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪ್್ೈರ್ಾಗ್ನರಸ್ ಪಾಮೇಯ)
(೨೧) ೧೫ ಹಸು ಮತ್ುು ೧೦ ಹಸು ಎತ್ುರವಿರುವ್ ಎರಡು ಕಂಬಗಳಿವ್. ಪಾತೇ ಕಂಬದ ತ್ುದಿಯಂದ ಇನ್ನನಂದು ಕಂಬದ ಬುಡಕ್ು ದಾರಗಳನುನ ಬ್ರಗಿಯಾಗಿಎಳ್ದು ಕಟಿಟದ್. ಎರಡು ದಾರಗಳಳ ಒಂದನ್ನನಂದು ದಾಟ್ುವ್ ಬ್ರಂದು ನ್ಲದಿಂದ ಎಷುಟ ಎತ್ುರದಲಿಿ ಇದ್ ಎಂಬುದನುನ ಕಂಡುಹಿಡಿ, (ಉ: ೬ ಹಸು. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪ್್ೈರ್ಾಗ್ನರಸ್ ಪಾಮೇಯ)
(೨೨) ಮನಖಾನ್ನಬಬ ೨, ೬, ೩, ೧೨ ಉದದದ ಬಾಹುಗಳಳಳಳ ಚ್ತ್ುಭುಾಜ ಇದ್ಯೆಂದ್ನೇ ೩, ೬, ೯ ಉದದದ ಬಾಹುಗಳಳಳಳ ತಾಭುಜವಿದ್ಯೆಂದ್ನೇ ಹ್ೇಳಿದರ್ ಅಂತರಲು ಸ್ಾಧ್ಯವಿಲಿವ್ಂಬುದನುನ ಅವ್ನಿಗ್ ಹ್ೇಗ್ ವಿವ್ರಿಸುವಿರಿ. (ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಯನಕಿ್ಲಡಿಯನ್ ಜ್ಾಯಮಿತ)
(೨೩) ಪ್ಾದ ೧೪, ಮೇಲಾಯಗದ ಭುಜ ೯, ೧೨ ಮತ್ುು ೧೩ ಅಳತ್ಯ ಎರಡು ಪ್ಾಶಾಾಭುಜಗಳಳ ಮತ್ುು ಎತ್ುರ ೧೨ ಆಗಿರುವ್ ಚ್ತ್ುಭುಾಜದ ವಿಸಿುೇಣಾವ್ಷುಟ? (ಉ: ೧೩೮: ಸುಳಿವ್ು: ಆಕೃತಯನುನ ಆಯತ್ ಮತ್ುು ತಾಕ್ನೇನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು)
(೨೪) ವಾಯಸ ೭ ಆಗಿರುವ್ ಚ್ಕಾಾಕಾರದ ಬ್ರಲ್ಿಯ ವಿಸಿುೇಣಾವ್ಷುಟ? ೭ ವಾಯಸವ್ುಳಳ ಗುಂಡ್ನಂದರ ಮೇಲ್ೈಯನುನ ಆವ್ರಿಸಿರುವ್ ಬಲ್ಯ ವಿಸಿುೇಣಾವ್ಷುಟ? ಅದರ ಗಾತ್ಾ (ರ್ನಫಲ) ಎಷುಟ? ಓ ಬುದಿಧವ್ಂತ್ ಮಿತ್ಾನ್ೇ, ನಿೇನು ನಿಷುಲಮಷ ಮನಸಿಿನ ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯನುನ ಚ್ನಾನಗಿ ತಳಿದಿದದರ್ ಉತ್ುರಿಸು. (ಉ: ೭೭/೨ ಚ್ ಅ. ೧೫೪ ಚ್ ಅ. ೧೭೯ ೨/೩ ರ್ ಅ. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಕ್ಷ್ೇತ್ಾಗಣಿತ್)
(೨೫) ‘೦’ ಯಂದನುನ ಬ್ರಟ್ುಟ, ೧ ರಿಂದ ೯ ರ ವ್ರ್ಗಿನ ಅಂಕ್ಲಗಳ ಪ್್ೈಕ್ಲ ಒಂದು ಸಲಕ್ು ಆರನುನ ಉಪಯೇಗಿಸಿ ಎಷುಟ ಸಂಖ್್ಯಗಳನುನ ಬರ್ಯಬಹುದು? (ಉ: ೬೦೪೮೦. ಸುಳಿವ್ು: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿ ಿಕಾಮಯೇಜನ್ ಸಂಬಂಧಿತ್ ಲ್ಕು)
ಇಷ್್ಟೇ ಅಲಿದ್ ಲಿೇಲಾವ್ತೇಯಲಿಿ ಇನನನ ಅನ್ೇಕ ವಿಷಯಗಳಿಗ್ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ವಿವ್ರಣ್ಗಳೂ ಸನತ್ಾಗಳೂ ಲ್ಕುಗಳೂ ಇವ್. (ಉದಾ: ಆಧ್ುನಿಕ ಗಣಿತ್ದ ಪರಿಭಾಷ್್ಯಲಿಿ ಪ್ಾಯಸಕಲ್ ನ ತಾಭುಜ, ಡ್ೈಫ್ೇನ್ಟೈನ್ ಸಮಿೇಕರಣಗಳಳ ಇತಾಯದಿ). ಒಬಬ ಗಣಿತ್ಜ್ಞನ ಒಂದು ಕೃತಯಲಿಿ ಇಷುಟ ಜ್ಞಾನಸಂಪತ್ುು ಇದ್ ಎಣದಾದರ್ ಎಲ ಿಪುರಾತ್ನ ಗಣಿತ್ಜ್ಞರ ಕೃತಗಳಲಿಿ ಇರಬಹುದಾದ ಜ್ಞಾನಸಂಪತುನ ಪಾಮಾಣ ಊಹಿಸಿಕ್ನಳಿಳ.
