Download - Mathematics for Economy

7/25/2019 Mathematics for Economy

1/53

MATHEMATICS FOR ECONOMY

BAB XIV

DINAMIKA EKONOMI DAN KALKULUS INTEGRAL

BY

ANDI FITIA NOVITASARI 13114410031

ANDI AMIRAH MUMINATI 1311441029

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAN

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR2016


2/53

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT atas Be!ah" Rah#at" $a% Hi$a&ah'N&a sehi%gga pe%ulis

$apat #e%&elesai!a% #a!alah i%i $e%ga% bai!( )ala# hal i%i" !a#i #e%ulis #a!alah

)i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal sebagai !e+ajiba% !a#i sebagai Mahasis+a(

,ap*a% i%i $ibuat $e%ga% bebagai e-e%si bai! $ai bu!u &a%g Bapa! )*se%

e!*#*%$asi!a%( Selai% itu" !a#i #e%gu.ap!a% tei#a !asih &a%g sebesa'besa%&a !epa$a

piha! &a%g telah #e#ba%tu $ala# pe%&usu%a% lap*a% i%i(

Ka#i #e%&a$ai bah+a #asih ba%&a! !e!ua%ga% &a%g #e%$asa pa$a lap*a% i%i(

Oleh !ae%a itu !a#i #e%gu%$a%g pe#ba.a u%tu! #e#bei!a% saa% seta !iti! &a%g $apat

#e#ba%gu% !a#i( Kiti! !*%stu!ti- $ai pe#ba.a sa%gat !a#i haap!a% u%tu!pe%&e#pu%aa% #a!alah sela%jut%&a(

A!hi !ata se#*ga #a!alah i%i $apat #e#bei!a% #a%-aat bagi !ita se!alia%(

Ma!assa" /0 1a%uai /203

Pe%ulis

0 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


3/53

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( i

)AFTAR ISI((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((ii

PEMBAHASAN (((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((0

0( )i%a#i!a $a% I%tegasi((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((0/( I%tegal I%$e-i%it 5I%tegal Ta! Te%tu6(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((78( I%tegal )e-i%it(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((037( I%tegal Ta! Waja 5I#p*pe I%tegals6((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((/79( Bebeapa Apli!asi I%tegal $ala# E!*%*#i((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((/:3( M*$al petu#buha% )*#a(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((89

)AFTAR P;STAKA ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((80

Hal &a%g #e%ai! a$alah bah+a i%tega% &a%g te#asu! $ala# atua% III a$alah 1/x=x1

"

&a%g #eupa!a% be%tu! !husus $ai -u%gsi pa%g!at xn $e%ga% n=1 ( I%tega% !husus

i%i ti$a! $apat $itei#a $ala# atua% pa%g!at" tetapi se!aa%g $apat $ila!sa%a!a% sepe%uh%&a

#e%uut atua% l*gait#a(



12/53

Sepeti $i%&ata!a%"atua% l*gait#a $ibela!u!a% $e%ga% batasa% x>0 " !ae%a

l*gait#a ti$a! $apat $ila!u!a% u%tu! %ilai x &a%g %*%p*siti-( Suatu -*#ulasi atua% &a%g

lebih u#u#" &a%g $apat #e%ggu%a!a% %ilai x &a%g %egati=e" a$alah

1x

dx=lnx+c 5 x 0

Ya%g juga #e%&iat!a% bah+a ( ddx ) ln|x|=1x " tepat sepeti ( ddx ) lnx=1x (A%$a haus

#e&a!i%!a% $ii A%$a se%$ii bah+a pe%gga%tia% x 5$e%ga% esti!si x>0 6 $e%ga%

x 5$e%ga% esti!si x 0 sa#a se!ali ti$a! #e%ga.au!a% u#us tesebut(

1uga" sebagai #asalah %*tasi" pelu $ipehati!a% bah+a i%tegal 1

xdx !a$a%g'

!a$a%g juga $itulis sebagai dx

x (

Sebagai =aia% $ai Atua% II $a% III" !ita juga #e#pu%&ai $ua atua% bei!ut(

A*(-"! II"

f'(x ) e f(x)dx=e f(x)+c

A*(-"! III"

f'(x )

f(x )dx=ln f(x )+c [ f(x )>0]

Atau f(x )+c

ln [ f(x )0]

A*(-"! O+-")



13/53

Ketiga atua% &a%g $ibei!a% sebelu#%&a #e%gilustasi!a% #a!%a &a%g #e%$asai se#ua

atua%'atua% i%tegasi( Setiap atua% selalu behubu%ga% $e%ga% u#us $ei=ati- tete%tu(

1uga" !*%sta%ta abite selalu $ita#bah!a% $i bela!a%g 5#es!ipu% i%i pelu $ita#bah!a%

lebih la%jut $e%ga% #e%ggu%a!a% !*%$isi batas tete%tu6 u%tu! #e%u%ju!!a% bah+a seluuh

u#pu% -u%gsi pi#iti- $apat #e%i#bul!a% i%tega% tete%tu(

Na#u% aga $apat #e%&elesai!a% i%tega% &a%g lebih u#it" !ita juga haus #e%.ai $ua

atua% *peasi bei!ut i%i &a%g be!e%aa% $e%ga% i%tegal &a%g begu%a(

A*(-"! IV !*+,-"' +!(#'""!

I%tegal pe%ju#laha% $ai seju#lah -u%gsi &a%g tebatas a$alah ju#lah i%tegal $a% -u%gsi'

-u%gsi tesebut( ;%tu! !asus $ua -u%gsi" i%i beati bah+a

[ f(x)+g(x )]dx= f(x)dx+ g (x)dx

Atua% i%i a$alah a!ibat %atual $ai !e%&ataa% bah+a

d

dx[F(x )+G (x )]

A

=d

dxF(x )+

d

dxG (x )

B

=f(x )+g(x )

C

Kae%a A=C " #a!a be$asa!a% 586 !ita $apat #e%ulis

[ f(x)+g(x )]dx=F(x)+G(x)+ c

576

Tetapi" $ai !e%&ataa% bah+a C " #a!a sela%jut%&a

f(x ) dx=F(x )+c1 $a% g (x )dx=G (x )+c2

1a$i !ita $apat #e#pe*leh 5$e%ga% pe%ju#laha%6

f(x ) dx+ g (x ) dx=F(x )+G (x )+c1+c2 596

0/ 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


14/53

Kae%a !*%sta%ta c , c1 , $a% c2 %ilai%&a abite atau se#baa%g" #a!a !ita $apat

#e%etap!a% c=c1+c2 ( Ke#u$ia% sisi !a%a% 576 $a% 596 #e%ja$i sa#a" $a% sebagai

!*%se!ue%si%&a" sisi !ii%&a juga haus sa#a( I%ilah bu!ti atua% IV(

C*%t*h 3 @

Cailah (x3+x+1)dx=(x

4

4+ c1)+(x

2

2+ c2)+(x+c3 )=x

4

4+

x2

2+x+c

)ala# ja+aba% &a%g tea!hi" !ita telah #e%ggabu%g!a% se!aligus !etiga !*%sta%ta &a%g

besubs!ip #e%ja$i !*%sta%ta tu%ggal c (

Sebagai pa!te! u#u" se#ua pe%ju#laha% !*%sta%ta abite $ai i%tegasi &a%g ti#bul

sela#a p*ses bela%gsu%g selalu $apat $igabu%g!a% !e $ala# !*%sta%ta abite tu%ggal pa$a

ja+aba% tea!hi(

C*%t*h @

Cailah (2e2x+ 14x7x2+5 )dx ( )e%ga% atua% I" !ita $apat #e%gi%tegasi!a% $ua su!upe%ju#laha% $ala# i%tega% se.aa tepisah" $a% !e#u$ia% #e%ju#lah!a% hasil%&a( Kae%a

su!u 2e2x

a$alah -*#at f'(x )ef(x) pa$a Atua% IIa" #a!a $e%ga% f(x )=2x "

i%tegal%&a a$alah e2x+c1 ( )e#i!ia% juga" su!u lai%%&a"

14x

(7x2+5) " #e%ga#bil be%tu!

f'(x )/ f(x ) " $e%ga% f(x )=7x

2+5>0 ( 1a$i" #e%uut Atua% IIIa" i%tegal%&a a$alah

ln (7x2+5 )+c2 . Oleh !ae%a itu" !ita $apat #e%ulis!a%



15/53

(2e2x+ 14x7x2+5 )dx=e2x+ ln (7x2+5 )+c

)i #a%a !ita telah #e%ggabu%g!a% c1 $a% c2 !e $ala# satu !*%sta%ta abite c (

A*(-"! V !*+,-"' +-$"'"!

I%tegal k !ali suatu i%tega% 5 #eupa!a% suatu !*%sta%ta a$alah k !ali i%tegal $ai

i%tega% tesebut( )ala# si#b*l $i%&ata!a% sebagai

k f(x ) dx=k f(x ) dx

Hasil $ai atua% i%i" se.aa *peasi*%al" a$alah bah+a !*%sta%ta pe%gali%&a $apat

>$i-a!t*!a%?$ai ta%$a i%tegal( 5Perhatian @ )ala# hal i%i" su!u variabel tidak dapat

difaktorkan atau $i!elua!a%6( ;%tu! #e#bu!ti!a% atua% i%i 5u%tu! !asus $i #a%a k

a$alah bila%ga bulat atau i%tege6" !ita i%gat !e#bali bah+a k !ali f(x) sa#a saja

ati%&a $e%ga% pe%ju#laha% f(x)k !ali *leh !ae%a itu" #e%uut Atua% I

[ f(x )+ f(x )++ f(x )]dx

k suku

k f(x ) dx=

f(x ) dx+ f(x ) dx++ f(x ) dx=k f(x ) dx

k suku

C*%t*h : @

Cailah f(x) dx

( )i si%i k=1 " sehi%gga



16/53

f(x) dx= f(x ) dx

1a$i" i%tegal %egati- $ai suatu -u%gsi a$alah %egati- $ai i%tegal -u%gsi tesebut(

C*%t*h < @

Cailah 2x2

dx ( )e%ga% #e#-a!t*!a% !elua / $a% #e%ggu%a!a% Atua% I" !ita

$apat!a%

2x2dx=2x2dx=2(x3

3+c

1)=23x3+c

C*%t*h 02 @

Cailah 3x2dx ( )ala# !asus i%i" $e%ga% #e#-a!t*!a% !elua !*%sta%ta pe%gali a!a%

$ihasil!a%

3x2dx=3x2 dx=3(x3

3+ c1)=x3+c

Pehati!a% bah+a" bete%ta%ga% $e%ga% .*%t*h te$ahulu" su!u x3

$ala# ja+aba% tea!hi

ti$a! #e#ili!i setiap e!spesi bila%ga% pe.aha% &a%g $isa%$i%g!a% pa$a%&a( Hasil i%i

$isebab!a% !ae%a -a!ta bah+a a%g!a 8 5!*%sta%ta pe%gali $ai i%tega%6 tepat sa#a $e%ga% /

5pa%g!at $ai -u%gsi6 $ita#bah 0( )e%ga% #e%ga.u pa$a atua% pa%g!at 5Atua% I6" !ita lihat

bah+a !*%sta%ta pe%gali (n+1) $ala# !asus sepeti i%i a!a% #e%gabai!a% pe.aha%

1/(n+1)" sehi%gga #e%ghasil!a%

(xn+1+c )sebagai ja+aba%(

Se.aa u#u#" ji!a !ita #e#pu%&ai e!spesi (n+1)xn

sebagai i%tega%"

sesu%gguh%&a !ita ti$a! pelu #e%gelua!a% !*%sta%ta (n+1) $a% !e#u$ia%



17/53

#e%gi%tegasi!a% xn

#elai%!a% !ita bisa la%gsu%g #e%ulis!a% xn+1+c sebagai

ja+aba% &a%g be%a(

C*%t*h 00 @

Cailah (5exx2+ 3x )dx ,(x 0) ( C*%t*h i%i #e%gga#ba!a% Atua% I $a% sebe%a%&a" i%i juga #e%gga#ba!a% tiga atua% &a%g peta#a@

(5ex1x2 +3

x )dx=5ex dxx2 dx+3 1xdx [menurut aturan IV dan V]

(5ex+c1 )(x1

1+c2)+(3 ln|x|+c3 )

5ex+1

x+3 ln|x|+c

Kebe%aa% hasil%&a $apat $ibu!ti!a% lagi $e%ga% $i-ee%siasi(

A*(-"! 5"!, M+'"*$"! S(**()

Se!aa%g !ita a!a% #e#pe!e%al!a% $ua atua% i%tegasi lai% &a%g #e%.*ba u%tu!

#e%&e$eha%a!a% p*ses i%tegasi" bila !ea$aa%%&a #e%gii%!a%" $e%ga% subtitusi =aiable

i%tegasi asli%&a( Apabila =aiable i%tegasi &a%g bau saja $ipe!e%al!a% $apat #e#buat

p*ses i%tegasi lebih #u$ah $aipa$a .aa &a%g la#a" atua%'atua% i%ilah &a%g a!a% $ipa!ai(

A*(-"! VI "*(-"! )(**()

I%tegal

f( u)

(du

dx )teha$ap =aiabel

x

a$alah i%tegal

f(u)teha$ap =aiabel @

f(u )dudx

dx= f( u) du=F(u )+c



18/53

)i #a%a *peasi du a!a% #e%gga%ti!a% *peasi dx

Atua% i%i" &aitu pasa%ga% !al!ulus i%tegal $ai atua% a%tai" bisa $ibu!ti!a% $e%ga%

atua% a%tai itu se%$ii( Be$asa!a% -u%gsi F(u) " $i #a%a u=u (x) " atua% a%tai

#e%&ata!a% bah+a

d

dxF(u)=

d

duF(u )

du

dx=F' (u )

du

dx=f( u )

du

dx

Kae%a f( u )( dudx ) #eupa!a% $ei=ati- F(u) " #a!a $apat $i%&ata!a% $ai 586 bah+ai%tegal 5a%ti $ei=ati-6 &a%g peta#a a!a% #e%ja$i

f(u )dudx

dx=F(u)+c

)ala# !e%&ataa%%%&a" $apat A%$a pehati!a% bah+a hasil i%i juga beasal $ai pembatalan

5canceling6 $ua e!spesi dx pa$a sisi !ii(

C*%t*h 0/ @

Cailah 2x (x2+1 ) dx ( 1a+aba%%&a $apat $ipe*leh $e%ga% telebih $ahulu #e%gali!a%

i%tega% @

2x (x2+1 ) dx= (2x3+2x ) dx=x4

2+x2+c

Tetapi se!aa%g #ai !ita !eja!a% $e%ga% atua% subtitusi( ;#pa#a!a% u=x2+1 ja$i

du

dx=2x " atau dx=

du

2x ( Bila !ita subtitusi!a%dx $e%ga% du /2x a!a% $ihasil!a%



19/53

2x (x2+1) dx=2xu dudx=u du=u

2

2+ c1

1

2(x4

+2x2

+1 )+c1=1

2x4

+x2

+c

)i#a%a c=1

2+c1 ( 1a+aba% &a%g sa#a juga $apat $ipe*leh $e%ga% #e%subtitusi!a%

2x $e%ga% du /dx 5!eti#ba%g dx $e%ga% du /2x (

C*%t*h 08 @

Cailah 6x2(x3+2)99 dx ( I%tega% .*%t*h i%i sulit $i!ali!a%" sehi%gga atua% subtitusi

se!aa%g #e#pu%&ai !ese#pata% &a%g lebih bai! u%tu! #e%u%ju!!a% !ee-e!ti-a%%&a(

;#pa#a!a% u=x3+2 " #a!a

du

dx=3x2 " sehi%gga@

6x2 (x3+2 )99 dx=(2 dudx )u99dx=2u99 du

2

100u

100+c=1

50(x3+2)100+c

C*%t*h 07 @

Cailah 8e2x+3

dx ( Misal!a% u=2x+3 #a!adu

dx=2 " atau dx=

du

2 ( Oleh

!ae%a itu"

8e2x+3 dx= 8eudu2=4 eu du=4 eu+c=4 e2x+3+c

0: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


20/53

Sepeti $itu%ju!!a% *leh .*%t*h'.*%t*h tesebut" atua% i%i a!a% #e#ba%tu apabila

!ita be$asa!a% piliha% &a%g bija!sa%a atas -u%gsi u=u (x) $apat #e%gi%tegasi!a%

i%tega% 5-u%gsi x 6 sebagai hasil !ali $ai f(u) 5-u%gsi $ai u 6 $a% du /dx

5$ei=ati- $ai -u%gsi u &a%g telah !ita pilih6( A!a% tetapi" sepeti $iga#ba!a% *leh $ua

.*%t*h tea!hi" atua% i%i $apat $igu%a!a% juga bila i%tega% a+al $apat $ita%s-*#asi!a% !e

$ala# pe%gali !*%sta%ta f(u)(du/dx ) ( Hal i%i ti$a! a!a% #e#pe%gauhi apli!abilitas%&a

!ae%a pe%gali !*%sta%ta $apat $i-a!t*!a% !e lua $ai ta%$a i%tega%" sehi%gga &a%g tesisa

a$alah i%tega% $ala# be%tu! f(u)(du/dx ) " sepeti &a%g $iis&aat!a% $ala# atua%

subtitusi( Na#u% bila subtitusi =aiabel #e%&ebab!a% pe%gali variabel f(u)(du/dx ) "

!ata!a%lah x !ali &a%g tea!hi" #a!a pe#-a!t*a% ti$a! $apat $ila!sa%a!a%" $a% atua%

i%i ti$a! a!a %a$a gu%a%&a( )ala# !e%&ataa%%&a" ti$a! a$a u#us u#u# &a%g #e#bei!a%

i%tegal hasil !ali $ai $ua -u%gsi $ala# be%tu! i%tegal &a%g tepisah $ai -u%gsi tesebut

!ita juga ti$a! #e#ili!i u#us u#u# &a%g #e#bei!a% i%tegal hasil bagi $ai $ua -u%gsi

$ala# be%tu! i%tegal &a%g tepisah( )i si%i te$apat alasa% #e%gapa i%tegasi" se.aa

!eseluuha%" lebih sulit $aipa$a $i-ee%siasi $a% #e%gapa" $e%ga% i%tega% &a%g u#it" lebih

#u$a u%tu! #e%.ai ja+aba%%&a $ala# tabel u#us i%tegasi &a%g telah $isusu% $a% bu!a%

#e%geja!a% i%tegasi%&a se%$ii(

A*(-"! VII !*+,-") +-&")"-$"! ","!7","!

I%tegal $ai v teha$ap u sa#a $e%ga% uv $i!ua%gi i%tegal u teha$ap v (

v du=uvu dv

I%tisai $ai atua% i%i a$alah u%tu! #e%gga%ti!a% *peasi du $e%ga% *peasi dv (

0< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


21/53

)asa pe#i!ia% $ai hasil i%i elati- se$eha%a( Peta#a" atua% hasil !ali $ai

$i-ee%sial #e#bei!a% !ita

d (uv )=v du+u dv

1i!a i%tegasi!a% !e$ua sisi pesa#aa% 5&aitu" #e%gi%tegasi!a% setiap $i-ee%sial6" !ita

$apat!a% pesa#aa% bau

d (uv )= v du+u dv

Atau uv= v du+u dv

Ke#u$ia% $e%ga% #e%gua%gi u dv $ai !e$ua sisi" hasil%&a a!a% ti#bul sepeti &a%g

$i%&ata!a% $i atas(

C*%t*h 09 @

Cailah x (x+1)1

2 dx ( Ti$a! sepeti .*%t*h 0/ $a% 08" .*%t*h se!aa%g ti$a! $apat $i%ilai

u%tu! je%is subtitusi &a%g $igu%a!a% $ala# atua% I( 5#e%gapaD6 A!a% tetapi" !ita bisa

#e#peti#ba%g!a% i%tegal tete%tu i%i $ala# be%tu! v du $a% #e%ggu%a!a% Atua%

II( ;%tu! tujua% i%i" !ita a!a% #isal!a% v=x " &a%g beati dv=dx " $a% juga #isal!a%

v=2

3(x+1)3 /2 " sehi%gga du=(x+1)

1 /2dx ( 1a$i !ita $apat #e#pe*leh i%tegal

x (x+1)

1

2 dx=

v du=uv

u dv

2

3(x+1)3 /2x 2

3(x+1 )

3

2 dx

/2 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


22/53

2

3(x+1 )

3

2 x 4

15(x+1 )

5

2+c

C*%t*h 03 @

Cailah lnx dx ,(x>0) ( Kita ti$a! $apat #e%ggu%a!a% atua% l*gait#a $i si%i" !ae%a

atua% itu behubu%ga% $e%ga% i%tega% 1/x , bu!a% lnx ( Kita juga ti$a! $apat

#e%ggu%a!a% Atua% I( Tetapi bila !ita #isal!a% v=lnx " &a%g beati dv=( 1x )dx ,

$a% juga u=x " sehi%gga du=dx #a!a pe%gi%tegasia% $apat $ila!sa%a!a% sebagai

be!ut @

lnx dx=v du=uvu dv

x lnx dx=x lnxx+c=x (lnx1 )+c

C*%t*h 0 @

Cailah x ex

dx ( )ala# !asus i%i" !ita #isal!a% saja v=x " $a% u=ex

" sehi%gga

dv=dx $a% du=ex

dx ( )e%ga% #e%gu%a!a% Atua% II" !ita #e#pu%&ai

x ex dx= v du=uv u dv

exx ex dx=exxex+c=ex (x1 )+c

ali$itas atas hasil i%i" sepeti juga .*%t*h'.*%t*h te$ahulu" tet%tu%&a $apat $i.e! !e#bali

$e%ga% .aa $i-ee%siasi(

3. I!*+,-"' D+/!*



23/53

A-* I!*+,-"' D+/!*

Se#ua i%tegal &a%g $isebut!a% $ala# bagia% 2#eupa!a% =aiasi &a%g indefinit@ #asi%g'

#asi%g #eupa!a% -u%gsi =aiabel $a% *leh !ae%a itu" ti$a! #e#pu%&ai %ilai %u#eis $e-i%it(

Se!aa%g" u%tu! i%tegal i%$e-i%it tete%tu $ai -u%gsi !*%ti%u f(x) "

f(x ) dx=F(x )+c

1i!a !ita #e#ilih $ua %ilai x $ala# $*#ai%" !ata!a%lah a $a% b (a


24/53

#e%$apat!a% F(b) $a% F(a) " $a% !e#u$ia% #e%.ai pebe$aa%%&a" sepeti

$itu%ju!!a% pa$a sisi !a%a% $ai 536( A!a% tetapi" sebagai la%g!ah a+al !ita haus #e%.ai

i%tegal i%$e-i%it #es!ipu% !ita bisa#e%gabai!a% !*%sta%tac

" !ae%a !*%sta%tac

i%i

a!a% hila%g $ala# p*ses pe%.aia% &a%g bebe$a(

C*%t*h 0 @

E=aluasilah 1

5

3x2

dx ( Kae%a i%tegal i%$e-i%it a$alah x3+c , #a!a i%tegal $e-i%it i%i

#e#pu%&ai %ilai

1

5

3x2dx=x3|15= (5 )3(1 )3=1251=124

C*%t*h / @

E=aluasilah a

b

kex

dx ( )i si%i" li#it i%tegasi $ibei!a% $ala# si#b*l" !*%se!ue%si%&a hasil

i%tegasi%&a juga $ala# be%tu! si#b*l'si#b*l @

a

b

kex

dx=kex|ba=k(ebea)

C*%t*h 8 @

E=aluasilah 0

4

(

1

1+x+2x

)dx , (x 1 ) . I%tegal i%$e-i%it a$alah

1+x+x2+cln " ja$i

ja+aba%%&a a$alah

0

4

( 11+x+2x )dx=[ ln 1+x+x2 ] 40



25/53

(ln 5+16 )(ln 1+0 )

ln 5+16[karena ln 1=0]

Pe%ti%g u%tu! $isa$ai bah+a li#it i%tegasi a $a% b !e$ua%&a #e%ga.u pa$a

%ilai =aiabel x ( 1i!a !ita gu%a!a% subtitusi te!%i! =aiabel 5Atua% I $a% II6 sela#a

i%tegasi $a% #e#asu!!a% =aiabel u " !ita pelu hati'hati u%tu! tidak #e#peti#ba%g!a%

a $a% b sebagai li#it u ( C*%t*h 7 bei!ut i%i a!a% #e%gga#ba!a% hal i%i(

C*%t*h 7 @

E=aluasilah 1

2

(2x31)2 (6x2) dx . Misal!a% u=2x

31 #a!adu

dx=6x2, atau

du=6x2 dx ( Se!aa%g pehati!a% bah+a" bila x=1,u a!a% #e%ja$i 1 " tetapi bila

x=2,u a!a% #e%ja$i 15 $e%ga% !ata lai%" li#it i%tegasi $ala# be%tu! =aiabel u

a!a% #e%ja$i 1 5ba+ah6 $a% 09 5atas6( Kae%a itu" $e%ga% #e%ulis !e#bali i%tegal

tete%tu $ala# u a!a% #e#bei!a% !ita bu!a% 1

2

u2

du tetapi

1

15

u2

du=1

3u

3|151 =1

3(15313 )=1.1242

3

)e%ga% .aa lai%" peta#a !ita $apat #e%gubah u !e#bali #e%ja$i x $a% !e#u$ia%

#e%ggu%a!a% li#it a+al 0 $a% / u%tu! #e%$apat!a% ja+aba% &a%g i$e%ti.(

[13 u3]u=15u=1=[13 (2x31)3]x=2x=1=13 (15313 )=1.12423



26/53

I!*+,-"' D+/!* )+"," D"+-" & B"8" K(-"

Setiap i%tegal $e-i%it #e#pu%&ai %ilai $e-i%it( Nilai i%i bisa $ii%tepetasi!a% se.aa

ge*#etis sebagai $aeah tete%tu $i ba+ah !u=a tete%tu(

Ga-i! -u%gsi !*%ti%u != f(x) $i ga#ba!a% $ala# 506( 1i!a !ita beusaha u%tu!

#e%gu!u $aeahA 5&a%g $iasi6 &a%g $ibatasi *leh !u=a $a% su#bu x a%taa $ua titi!

a $a% b $ala# $*#ai%" !ita bisa #ela!u!a%%&a $e%ga% .aa bei!ut@ Peta#a !ita bagi

i%te=al [ a , b ] !e $ala# % subi%te=al 5ti$a! pelu sa#a pa%ja%g6( E#pat $i a%taa%&a

$iga#ba!a% $ala# Ga#ba 0(a &aitu" n=4 &a%g peta#a a$alah [x1, x2 ] $a% &a%g

tea!hi" [x4 , x5 ] ( Kae%a #asi%g'#asi%g #e%gga#ba!a% peubaha% $ala# x " !ita

$apat #e%ulis!a%%&a #asi%g'#asi%g sebagai " x1 , , " x4 ( Se!aa%g" pa$a subi%te=al

#ai !ita buat e#pat bl*! e#pat pesegi pa%ja%g se$e#i!ia% upa sehi%gga ti%ggi #asi%g'

#asi%g bl*! sa#a $e%ga% %ilai teti%ggi $ai -u%gsi &a%g $i.apai pa$a bl*! tesebut 5&a%g

!ebetula% $i si%i teja$i pa$a batas sisi !ii tiap



27/53

e#pat pesegi pa%ja%g6( 1a$i bl*! peta#a #e#pu%&ai ti%ggi f(x1) $a% leba " x1 " $a%

se.aa u#u#" bl*! !e # #e#pu%&ai ti%ggi f(x#) $a% leba " x# ( T*tal $aeah A

$ai hi#pu%a% bl*! i%i a$alah ju#lah $ai

A=

#=1

n

f(x # ) " x #(n=4 da$amGambar 1.a)

Na#u% hal i%i sebe%a%&a bukan $aeah $i ba+ah !u=a &a%g !ita .ai" tetapi ha%&a

#eupa!a% ap*!si#asi &a%g sa%gat !asa(

Apa &a%g #e#buat A

#e%&i#pa%g $ai %ilai A &a%g sebe%a%&a a$alah

bagia% bl*! e#pat pesegi pa%ja%g &a%g ti$a! $iasi i%i #e#buat A

#eupa!a%

*=eti#asi $ai A ( A!a% tetapi" bila bagia% &a%g ti$a! $iasi $apat $i.iut!a% besa%&a $a%

$apat $ibuat #e%$e!ati %*l" ap*!si#asi %ilai A

a!a% #e%$e!ati %ilai A &a%g



28/53

sebe%a%&a( HAsil i%i a!a% te+uju$ bila !ita beusaha #ela!u!a% seg#e%tasi i%te=al

[ a , b ] &a%g se#a!i% teliti" sehi%gga %ilai n $i%ai!!a% $a% " x# $ipe!e.il sa#pai ta!

tehi%gga( 1a$i bl*!'bl*! itu a!a% #e%ja$i lebih a#pi%g 5bila lebih ba%&a!6" $a% t*%jpla% $ilua !u=a a!a% hila%g" sepeti $apat $ilihat pa$a ga#ba 0(b( )e%ga% #ela!sa%a!a%%&a teus

!e li#it" *peasi >perampingan? i%i #e%ghasil!a%

limn %

#=1

n

f(x#)" x#=limn %

A=daera& A (7)

)e%ga% s&aat bah+a li#it i%i #e#a%g a$a( 5li#it itu a$a $ala# !asus se!aa%g6( Pesa#aa%

i%i sesu%gguh%&a #eupa!a% $e-i%isi -*#al $ai $aeah $i ba+ah !u=a(

E!spesi pe%ju#laha% $ala# 56 limn %

#=1

n

f(x # ) " x # " ha#pi #iip $e%ga% e!spesi

i%tegal $e-i%it a

b

f(x)dx ( Me#a%g &a%g bela!a%ga% i%i $i$asa!a% pa$a &a%g te$ahulu(

Pe%gga%tia% " x# $e%ga% $i-ee%sial dx $ila!u!a% $e%ga% .aa &a%g sa#a sepeti pa$a

pe#bahasa% !ita sebelu#%&a #e%ge%ai ap*!si#asi $ala# jili$ 0( 1a$i !ita bisa #e%ulis

!e#bali f(x#)" x# #e%ja$i f(x ) dx ( Bagai#a%a $e%ga% ta%$a pe%ju#laha%%&a D N*tasi

#=1

n

#e%gga#ba!a% ju#lah su!u &a%g terbatas 5finite)( Bila !ita #isal!a% n % "

$a% #e%.ai li#it $ai ju#lah itu" %*tasi egula u%tu! *peasi se#a.a# itu aga! !ua%g

pa!tis( 1a$i $ipelu!a% subtitusi &a%g se$eha%a( Subtitusi itu a$alah a

b

, $i #a%a si#b*l

S &a%g $ipepa%ja%g juga #e%u%ju!!a% ju#lah" $a% $i #a%a a $a% b 5sepeti hal%&a

/ 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


29/53

#=1 $a% n 6be-u%gsi u%tu! #e%jelas!a% li#it tee%$ah $a% teti%ggi $ai ju#lah i%i(

Si%g!at%&a" i%tegal $e-i%it a$alah !epe%$e!a% u%tu! li#it e!spesi ju#lah $ala# 56" &aitu"

a

b

f(x ) dx=limn %

#=1

n

f(x# ) " x#=daera& A

1a$i &a%g $i!ata!a% i%tegal $e-i%it 5&a%g $i!e%al sebagai integral eimann6 se!aa%g

#e#pu%&ai !*%*tasi daerah $a% juga !*%*tasi!umlah " !ae%a a

b

a$alah pasa%ga% atau

i#ba%ga% !*%ti%u $ai !*%sep $is!et #=1

n

(

)ala# ga#ba 506" !ita #e%.*ba u%tu! #e%gap*!si#asi!a% $aeah A $e%ga%

#e%gua%gi se.aa siste#atis esti#asi A

&a%g telalu ti%ggi $e%ga% seg#e%tasi i%te=al

[ a , b ] &a%g lebih bai!( ,i#it &a%g $ihasil!a% $ai ju#lah $aeah bl*! itu $isebut integral

atasuatu ap*!si#asi $ai atas( Kita juga $apat #e%gap*!si#asi!a $aeah A $ai ba+ah

$e%ga% #e#be%tu! bl*! e#pat pesegi pa%ja%g &a%g $ibatasi *leh !u=a $a% bu!a% &a%g

#e%*%j*l !elua( T*tal $aeahA

$ai hi#pu%a% bl*! &a%g bau i%i a!a% #e%gesti#asi

A terlalu rendah 5underestimate A6" tetapi begitu seg#e%tasi [ a , b ] #e%ja$i se#a!i%

bai!" #a!a !ita a!a% #e%$apat!a% lagi

A=Alimn %

.,i#it ju#lah $aeah bl*! &a%g tea!hi i%i

$isebut integral bawah 5lower integral6( 1i!a $a% ha%&a ji!a" i%tegal atas $a% i%tegal ba+ah

/: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


30/53

%ilai%&a sa#a" #a!a i%tegal Rei#a%% a

b

f(x ) dx telah $i$e-i%isi!a%" $a% -u%gsi f(x )

$i!ata!a% dapat diintegralkan se.aa eimann( A$a $alil &a%g #e%e%tu!a% $i #a%a -u%gsi

f(x) $apat $ii%tegal!a%( Sesuai $e%ga% $alil $asa !al!ulus" suatu -u%gsi $apat

$ii%tegal!a% $ala# [a ,b ] bila -u%gsi itu !*%ti%u !ita ti$a! pelu #eisau!a% hal i%i(

Hal lai%%&a #u%g!i% juga haus $ipehati!a%( Mes!ipu% $aeah A $ala# ga#ba

506 teleta! seluuh%&a $ala# bagia% &a%g #e%uu% $ai !u=a !=f(x) " #e%&a#a!a%

!*%septual i%tegal $e-i%it $e%ga% suatu $aeah juga =ali$ u%tu! bagia% !u=a &a%g

!e#ii%ga%%&a #e%a%ja!( )ala# !e%&ataa%%&a" !e$ua je%is !e#ii%ga% i%i juga bisa teja$i

se.aa si#ulta% #isal%&a !ita $apat #e%ghitu%g 0

b

f(x ) dx sebagai $aeah $i ba+ah !u=a

$ala# ga#ba 506 $i atas gais b (

Pehati!a% bah+a" ji!a !ita hitu%g $aeah B $ala# ga#ba 5/6 $e%ga% i%tegal

$e-i%it a

b

f(x ) dx " hasil%&a a!a% %egati=e" !ae%a ti%ggi setiap bl*! e#pat pesegi pa%ja%g

&a%g a$a $ala# $aeah i%i a$alah %egati-( I%i #e%i#bul!a% pe%getia% daerah negatif " &aitu

$aeah &a%g teleta! $i bawah su#bu x $a% $i atas !u=a tete%tu( Oleh !ae%a itu" ji!a

!ita tetai! pa$a %ilai %u#eis $a% bu!a% %ilai aljaba $ai $aeah tesebut" !ita a!a%

#e%ga#bil %ilai abs*lut $ai i%tegal $e-i%it &a%g ele=a%( )aeah C=c

d

f(x ) dx " $i lai%

piha! #e#pu%&ai ta%$a p*siti- #es!ipu% teleta! $ala# $aeah %egati- $ai su#bu x i%i

/< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


31/53

!ae%a setiap bl*! e#pat pesegi pa%ja%g #e#pu%&ai ti%ggi &a%g p*siti- $a% juga leba &a%g

p*siti- bila !ita begea! $ai c !e d ( )ai si%i" i#pli!asi%&a a$alah jelas bah+a

petu!aa% $ua li#it i%tegasi" $e%ga% #e#bali! aah pegea!a%" a!a% #e%gubah ta%$a

" x# $a% i%tegal $e-i%it( Bila $iteap!a% pa$a $aeah B " !ita lihat bah+a i%tegal $e-i%it

b

a

f(x ) dx 5$ai b !e a 6 a!a% #e#bei!a% ta%$a %egati- $ai $aeah B i%i a!a%

#e%gu!u %ilai %u#eis $aeah i%i(

B++-"" S/"* !*+-,-"' D+/!*

Pe#bahasa% $ala# peaga- te$ahulu #e%ga%ta !ita pa$a si-at'si-at i%tegal $e-i%it bei!ut(

S/"* 1Petu!aa% li#it i%tegasi #e%gubah ta%$a i%tegal $e-i%it@

a

b

f(x ) dx=a

b

f(x ) dx

I%i $apat $ibu!ti!a% sebagai bei!ut@

a

b

f(x ) dx=F( a )F(b )=[F(b)F(a )]=a

b

f(x ) dx

I%tegal $e-i%it juga #e#ili!i bebeapa si-at lai% &a%g #e%ai!(

S/"* II I%tegal $e-i%it #e#pu%&ai %ilai %*l bila $ua li#it i%tegasi i$e%ti!@

a

a

f(x ) dx=F( a )F( a )=0



32/53

Me%uut i%tepetasi >$aeah?" i%i beati bah+a $aeah 5$i ba+ah !u=a6 $i atas se#baa%g

titi! tu%ggal $ala# $*#ai% %*l( I%i sebagai#a%a #esti%&a" !ae%a $i pu%.a! suatu titi! pa$a

su#bu " !ita ha%&a $apat #e%gga#ba sebuah 5satu $i#e%si6 gais" ti$a! pe%ah bisa 5$ua

$i#e%si6 $aeah(

S/"* III I%tegal $e-i%it $apat $ie!spesi!a% sebagai pe%ju#laha% bila%ga%

tebatas $ai subi%tegal $e-i%it sebagai bei!ut@

a

d

f(x ) dx=a

b

f(x ) dx+b

c

f(x ) dx+c

d

f(x ) dx (a


33/53

S/"* V a

b

kf(x ) dx=ka

b

f(x ) dx

S/"* VI a

b

[f(x )+g (x )]dx=a

b

f(x ) dx+a

b

g (x ) dx

S/"* VII 5pehitu%ga% #e%uut bagia%6 1i!a $i!etahui u56 $a% =56(

vdu=uv| x=bx=a

x=a

x=b

udv

x=a

x=b

E#pat si-at &a%g tea!hi tesebut" &a%g se#ua%&a $ia#bil $ai atua% i%tegasi i%$e-i%ite"

ti$a! #e#elu!a% pe%jelasa% lebih la%jut(

P"!&"!,"! L"! "*") I!*+,-"' I!&+/!*

Kita telah #e#pe!e%al!a% i%tegal $e-i%it $e%ga% .aa #e%&isip!a% $ua li#it i%tegasi pa$a

i%tegal i%$e-i%ite( Se!aa%g !ae%a !ita telah #e%getahu* ati i%tegal $e-i%it" #ai !ita lihat

bagai#a%a !ita $apat #e%ge#bali!a% i%tegal $e-i%it !e i%tegal i%$e-i%ite(

Misal!a% bah+a" $aipa$a #e%etap!a% li#it atas $ai i%tegasi pa$a b" !ita bia!a% li#it atas

i%i #e%ja$i suatu =aiabel" &a%g u%tu! #u$ah%&a $itu%ju!!a% sebagai ( 1a$i" i%tegal a!a%

bebe%tu!(

a

b

f(x ) dx=F(x )F(a)

Ya%g !ae%a se!aa%g #e%ja$i suatu -u%gsi " #e%u%ju!!a% $aeah =aiabel $i ba+ah !u=a

-56( Tetapi !ae%a su!u &a%g tea!hi pa$a sebelah !a%a% #eupa!a% !*%sta%ta" #a!a

i%tegal%&a haus #eupa!a% a%gg*ta seu#pu% $ai -u%gsi pi#iti=e -56" &a%g !ita sebut



34/53

sebelu#b&a sebagai F56L.( 1i!a !ita tetap!a% .'F5a6" #a!a i%tegal $i atas pasti #e%ja$i

i%tegal i%$e-i%it

f(x ) dx (

Oleh !ae%a itu" $ai segi i%i !ita bisa #e%ga%ggap sb*l sa#a ati%&a $e%ga%

a

x

" $e%ga% s&aat &a%g $i#a!su$ $e%ga% =esi tea!hi sb*l l*#it i%tegasi ba+ah $i

hubu%g!a% $e%ga% !*%sta%ta i%tegasi *leh pesa#aa% .'F5a6(

4. I!*+,-"' T"$ :""- I#-%+- I!*+,-"')

Bebeapa i%tegal $i%a#a!a% >ta! +aja?( Kita a!a% #e#bahas%&a se.aa si%g!at $ua je%is $i

a%taa%&a(

I!*+,-") &+!,"! L#* T"$ H!,,"

Bila !ita #e#pu%&ai i%tegal $e-i%it $ala# be%tu!

a

%

f(x ) dx $a% %

b

f(x ) dx

)e%ga% satu li#it i%tegasi ta! hi%gga5i%-i%ite6"!ita %a#a!a% i%tegal'i%tegal tesebut sebagai

i%tegal ta! +aja 5i#p*pe i%tegals6( )ala# !asus i%i" ti$a!lah #u%g!i% u%tu!

#e%ga=aluasi #asi%g'#asi%g i%tegal sebagau(

F(% )F(a) $a% F(b )F(% )

Kae%a % bu!a%lah a%g!a" $a% *leh !ae%a itu" ti$a! $apat $isubtitusi!a% u%tu! $ala#

-u%gsi F56( Oleh !ae%a itu" se!ali lagi !ita haus !e#bali !e !*%sep li#it atau batas(

I%tegal ta! +aja peta#a &a%g $isebut!a% $i atas $apat $i$e-i%isi!a% #e%ja$i li#it

$ai i%tegal lai%%&a 5&a%g +aja6 $a% batas atas $ai i%tegasi &a%g tea!hi .e%$eu%g

#e%ja$i % &aitu@

a

%

f(x ) dx=limb %a

b

f(x ) dx

Bila li#it i%i a$a" i%tegal ta! +aja $i!ata!a% !*%=ege% 5atau #e%uju satu titi!6" $a% p*ses

pe%e%tua% li#it a!a% #e%ghasila% %ilai i%tegal( Bila li#it%&a ti$a! a$a" i%tegal ta! +aja

$i!ata!a% $i=ege 5#e%&eba6 $a% $ala# !e%&ata%%&a ti$a! a$a ati%&a( )e%ga% !ata &a%g

sa#a" !ita $apat #e%$e-i%isi!a%(



35/53

%

b

f(x ) dx= lima %

a

b

f(x ) dx

C*%t*h 0@

E=aluasilah 1

%1

x2dx ( Peta#a !ita pehati!a% bah+a

1

b1

x2dx=

1

x ]b1=1b +1

1a$i" i%tegal &a%g $i!ehe%$a!i a$alah

1

%1

x2dx=limb %1

bdx

x2= limb %(1

b +1)=1

I%tegal ta! +aja i%i a$alah !*%=ege% $a% #e#pu%&ai %ilai 0(

Kae%a e!spesi li#it ti$a! pa!tis u%tu! $itulis" bebeapa *a%g lebih su!a u%tu!

#e%ghila%g!a% %*tasi li#it $a% #e%ulis%&a se.aa se$eha%a

1

%1

x2dx=

1

x ]%1=0+1=1

Walaupu% $itulis!a% $ala# be%tu! i%i" i%tegal ta! +aja #asih a!a% $ii%tepese%tasi!a%

$ala# !*%sep li#it(

Se.aa ga-i!" i%tegal ta! +aja i%i tetap #e#pu%&ai !*%*tasi suatu $aeah( Tetapi !ae%a

li#it li#it atas i%tegasi $iii%!a% u%tu! %ai! $e%ga% %ilai &a%g #a!i% besa $ala# !asus i%i"

batas sisi !a%a% haus $ipeluas se.aa ta! tebatas !ea ah ti#u" sepeti $itu%ju!!a% $ala#

Ga#ba(

Walaupu% $e#i!ia%" !ita $apat #e#peti#ba%g!a% $aeah itu #e#pu%&ai %ilai $e-i%it 5li#it6

sebesa 0

C*%t*h /@

E=aluasilah 1

%dx

x . Sepeti sebelu#%&a"telebih $ahulu !ita $apat!a%



36/53

1

bdx

x=lnx ] b

1=ln bln 1=lnb

Bila !ita #isal!a%

b % ,

!ita #e#pu%&ai

ln b %

( 1a$i i%tegal ta! +aja a$alah$i=ege%(

Ga#ba b #e%u%ju!!a% ga-i! 0 $a% juga $aeah &a%g behubu%ga% $e%ga% i%tegal

tete%tu( Peluasa% !e aah ti#u &a%g ta! tebatas $ai batas sisi !a%a% !ali i%i a!a%

#e%ghasil!a% $aeah &a%g ta! tebatas" #es!ipu% be%tu! ga-i! #e%u%ju!!a% se$i!it

!esa#aa% $e%ga% &a%g a$a pa$a Ga#ba b(

Bagai#a%a bila !e$ua li#it i%tegasi ta! tehi%ggaD Sehi%gga peluasa% la%gsu%g $a% a!a%

#e#bei!a% $e-i%isi

%

%

f(x ) dx=limb +%a %

a

b

f(x ) dx

Se!ali lagi" i%tegal ta! +aja i%i $i!ata!a% !*%=ege% ji!a $a% ha%&a ji!a li#it sepeti $ala#

peta%&aa% tesebut a$a(

I!*+,-"! T"$ T+-!,,"

Mes!ipu% $e%ga% li#it i%tegasi &a%g tebatas" i%tegal tetap $apat bebe%tu! ta! +aja bila

i%tega% #e%ja$i ta! tehi%gga $i #a%a saja $ala# i%te=al i%tegasi a"b( ;%tu!

#e%ge=aluasi i%tegal se#a.a# i%i" !ita se!ali lagi haus #e%ghubu%g!a%%&a $e%ga% !*%sep

li#it(

C*%t*h 8



37/53

E=aluasilah 0

11

xdx ( I%tegal i%i bebe%tu! ti$a! +aja !ae%a" sepeti pa$a Ga#ba b"

i%tega%%&a ta! hi%gga pa$a li#it ba+ah $ai i%tegasi5

1

x

%

bila

+

x 0

6Oleh !ae%a

itu" peta#a'ta#a !ita .ai i%tegal

0

11

xdx=lnx ]1

a=ln 1ln a=lna u%tu! a2

)a% !e#u$ia% #e%ge=aluasi li#it%&a sebagai+

a 0

a

lna 0+

0

11

xdx= lim

a 0+

0

11

xdx=lim

Kae%a li#it i%i ti$a! a!a%a$a 5bilaa %

a 0+, ln " i%tegal tete%tu a$alah $i=ege%(

C*%t*h 7

E=aluasilah 0

9

x1/2

dx Bila+

a 0 I%tega% 1/x Me%ja$i ta! hi%gga" i%tega% i%i

bebe%tu! ti$a! +aja( Se!ali lagi" telebih $ahulu !ita .ai

x1/2

dx= 2x1 /2 ] 9a=62a

0

9

,i#it $ai e!spesi i%i bila+

a 0 a$alah 3'23( 1a$i i%tega% tete%tu a$alah !*%=ege% 5!e

36(



38/53

Situasi i%i $i #a%a i%tega% #e%ja$i ta! hi%gga pa$a li#it atas $ai i%tegasi pesis seupa(

A!a% tetapi" #eupa!a% p*p*si &a%g bebe$a sa#a se!ali bila %ilai i%tega% ta! tehi%gga

teja$i pa$a i%te=al tebu!a 5a"b6 $a% bu!a pa$a a atau b( )ala# !e#u%g!i%a% i%i" !ita pelu

#e#a%-aat!a% a$iti=itas i%tega% $e-i%it $a% #e#isah!a% i%tega% tete%tu &a%g peta#a !e

$ala# subi%tegal( A%ggaplah bah+a -56 % bila x ( $i#a%a p a$alah titi! $ala#

i%te=al 5a"b6 1a$i" $e%ga% si-at a$iti=itas atau pe%ju#laha%" !ita #e#pu%&ai

a

b

f(x)dx=a

(

f(x)dx+b

(

f(x)dx

I%tegal tete%tu $i sisi !ii $apat $ia%ggap sebagai #e%&atu 5!*%=ege%6 ji!a $a% ha%&a ji!a

setiap subi%tegal #e#pu%&ai suatu li#it(

C*%t*h 9

E=aluasilah

1

x3dx=

1

1

I%tega% .e%$eu%g ti$a! tehi%gga bila #e%$e!ati %*l ja$i !ita

haus #e%ulis i%tegal tesebut sebagai pe%ju#laha%

1

x3dx=

1

0

1

x3dx+

0

1

1

x3dx

1

1

5!ata!a%lah ) I1+I2 6

I%tegal I1 " #e%&eba5$i=ege%6" !ae%a

b 0 (12b2+

1

2 )=%b 0

[12 x2] b1= lim 1

b

x3

dx=lim

a 0

lim



39/53

1a$i" $apat segea !ita si#pul!a%" ta%pa haus #e%ge=aluasi I2 bah+a I%tegal%&a

$i=ege%(

8: 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


40/53

; B++-"" A'$") I!*+,-"' &"'"# E$%!%#.

I%tegal $igu%a!a% $ala# a%alisis e!*%*#i $e%ga% bebagai .aa( Kita a!a%

#e%gga#ba!a% bebeapa apli!asi se$eha%a $ala# bagia% se!aa%g $a% !e#u$ia%

#e%u%ju!!a% apli!asi u%tu! #*$el petu#buha% )*#a $ala# Bagia% Sela%jut%&a(D"- F(!,) M"-!"' $+ F(!,) T%*"'

Bila $i!etahui -u%gsi t*tal 5#isal%&a" -u%gsi t*tal bia&a6" p*ses $i-ee%siasi $apat

#e%ghasil!a% -u%gsi #aji%al 5#isal%&a" -u%gsi bia&a #aji%al6( Kae%a p*ses i%tegasi

#eupa!a% !ebali!a% $ai $i-ee%siasi" hal i%i sebali!%&a a!a% #e#u%g!i%!a% !ita u%tu!

#e%.ai -u%gsi t*tal $ai -u%gsi #aji%al tete%tu(

C*%t*h 0

1i!a Bia&a #aji%al 5MC6 suatu peusahaa% #eupa!a% -u%gsi *utput C' (* )=2e0.2* $a%

ji!a bia&a tetap a$alah Cf=90 " Cailah -u%gsi bia&a t*tal C56( )e%ga% #e%gi%tegasi!a%

C56 teha$ap " !ita $apat!a% bah+a

2e0.2* d*=2 10.2

e0.2*+c=10e0.2*+c

Hasil i%i $apat $igu%a!a% sebagai -u%gsi C56 &a%g $ii%gi%!a% !e.uali" #e%gi%gat !*%sta%ta

abite ." ja+aba%%&a ti#bul ta%pa $ite%tu!a%( ;%tu%g%&a" i%-*#asi bah+a Cf=90 )apat

$igu%a!a% sebagai !*%$isi a+al u%tu! #e%etap!a% !*%sta%ta( Bila 2" t*tal bia&a Q ha%&a

a!a% te$ii $ai Cf. Oleh !ae%a itu" $e%ga% #e%etap!a% 2 $ala# hasil .*%t*h 0" !ita

a!a% $apat!a% %ilai


41/53

S a$alah %*l bila pe%$apata% Y a$alah :0" .ailah -u%gsi tabu%ga% S5Y6( Kae%a MPS

#eupa!a% $ei=ati=e $ai -u%gsi S" #asalah%&a se!aa%g a$alah #e%.ai i%tegasi $ai S5Y6

S (+)=(0.30.1+12 )d+=0.3+0.2+

1

2+c

Nilai spesi-i! !*%sta%ta . $apat $ijelas!a% $ai !e%&ataa% bah+a S2 bila Y:0( Mes!ipu%

$i!ata!a% se.aa tegas bah+a hal i%i bu!a%lah !*%$isi a+al 5ti$a! behubu%ga% $e%ga% Y26"

#e%subtitusi!a% i%-*#asi i%i !e $ala# i%tegal sebelu#%&a a!a% #e#ba%tu u%tu!

#e%e%tu!a% .( Kae%a

22(85:06'2(/5


42/53

Pesa#aa% peta#a #eupa!a% suatu i$e%titas &a%g #e%u%ju!!a% si%*%i#itas a%taa i%=estasi

%ett* $a% peta#baha% #*$al( Kae%a I5t6 a$alah $ei=ati=e $ai K5t6" #a!a bealasa% bah+a

K5t6 #eupa!a% i%tegal atau a%ti$ei=ati- $ai I5t6" sepeti $itu%ju!!a% $ala# pesa#aa%

!e$ua( Ta%s-*#asi i%tega% $ala# pesa#aa% &a%g tea!hi juga #u$ah $ipaha#i@ Pealiha%

$ai I !e $K$t a$alah #e%uut $e-i%isi" $a% ta%s-*#asi sela%jut%&a a$alah $e%ga%pe#batala% $ua $i-ee%sial &a%g i$e%ti." &aitu #e%uut atua% substitusi(

Ka$a%g'!a$a%g !*%sep i%=estasi but* $igu%a!a% besa#a $e%ga% i%=estasi %ett* $ala#

#*$el( )e%ga% #e%u%ju!!a% i%=estasi but* $e%ga% Ig $a% i%=estasi %ett* $e%ga% I" !ita

$apat #e%ghubu%g!a%%&a satu sa#a lai% $e%ga% pesa#aa%

Ig=I+-

)i#a%a - #e%gga#ba!a% ti%g!at pe%&usuta% #*$al $a% - ti%g!at i%=estasi

pe%gga%ti 5replacement investment).

C*%t*h 8

Misal!a% aus i%=estasi %ett* $iga#ba!a% $e%ga% pesa#aa% I(t)=3 t1 /2

( $a% pese$iaa%

#*$al a+al" pa$a +a!tu t2" a$alah K526( Beapa jalu +a!tu #*$al KD $e%ga%

#e%gi%tegasi!a% I5t6 teha$ap t" !ita pe*leh

(t)=I(t) dt=3 t1/2dt=2 t3 /2+c

Sela%jut%&a" ji!a t2 $ala# e!spesi pali%g !ii $a% pali%g !a%a%" !ita $apat!a% K526.( *leh

!ae%a itu" jalu +a!tu K a$alah

(t)=2t3/2+(0)

Pehati!a% !esa#aa% $asa a%taa hasil $ala# pesa#aa% $i atas(

K*%sep i%tegal $e-i%it #ulai #asu! hitu%ga% apabila !ita i%gi% #e%$apat!a% ju#lah

pe#be%tu!a% #*$al sela#a bebeapa i%te=al +a!tu 5$a% bu!a% jalu +a!tu K6( Kae%a

I(t) " !ita bisa #e%ulis i%tegal $e-i%it(

a

b

I(t) dt=(t)] ba=(b )(a)

;%tu! #e%u%ju!!a% t*tal a!u#ulasi #*$al sela#a i%te=al +a!tu a"b( Te%tu saja" hal i%i

juga u%tu! #e%u%ju!!a% suatu $aeah $i ba+ah !u=a I5t6( Tetapi haus $ipehati!a% bah+a

$ala# ga-i! -u%gsi K5t6( I%tegal $e-i%it i%i a!a% telihat sebagai suatu jaa! =eti.al'se.aa



43/53

lebih !husus" sebagai pebe$aa% a%taa $ua jaa! =eti.al K5b6 $a% K5a6( 5,ihat ,atiha% 07(8'

76(

;%tu! #elihat lebih jauh pebe$aa% a%taa K5t6 $a% I5t6" #ai !ita te!a%!a% bah+a #*$ul K

a$alah !*%sep pese$iaa%" se$a%g!a% i%=estasi I a$alah !*%sep aus( )e%ga% $e#i!ia%" K5t6

#e%u%ju!!a% ju#lah K &a%g a$a pa$a setiap titi! +a!tu" se#e%taa I5t6 #e#bei!a% !ita

i%-*#asi te%ta%g ti%g!at i%=estasi 5%ett*6 pe tahu% 5atau pe pei*$e +a!tu6 &a%g bela!u

pa$a setiap +a!tu( 1a$i u%tu! #e%ghitu%g ju#lah i%=estasi %ett* &a%g $isetujui 5a!u#ulasi

#*$al6" !ita peta#a haus #e%e%tu!!a% pa%ja%g i%te=al &a%g telibat( Fa!ta i%i $apat juga

$ilihat bila !ita #e%ulis !e#bali i$e%titas $K$t ) I(t) sebagai d ) I (t) " &a%g

#e%&ata!a% bah+a $K" &aitu peta#baha% $ala# K" $i$asa!a% ti$a! ha%&a pa$a I5t6" &aitu

ti%g!at aus" tetapi juga pa$a $t" &aitu +a!tu &a%g belalu( I%i $ibutuh!a% u%tu! #e%e%tu!a%

i%te=al +a!tu $ala# e!spesi%(t)$t &a%g #e#ba+a i%tegal $e-i%it !e $ala# ga#baa%" $a%

#e#bei!a% epese%tasi $aeah $i ba+ah !u=a I5t6' $a% bu!a% K5t6(

C*%t*h 7@

1i!a i%=etasi #eupa!a% aus !*%sta% pa$a I5t60222 5$*lla pe tahu%6" beapa!ah t*tal

i%=estasi %ett*5pe#be%tu!a% #*$al6 sela#a satu tahu%" $ai t2 !etD 1elas" ja+ab%&a a$alah

0(222 I%i $apat $ipe*leh se.aa -*#al sebagai bei!ut@

0

1

I( t) dt=0

1

1.000dt=1.000 t]10=1.000

A%$a $apat #e#bu!ti!a% bah+a ja+aba% &a%g sa#a a!a% $ipe*leh bila tahu% &a%g telibat

a$alah t=1

!e t/

C*%t*h 9@

1i!aI5t6 3 t1 /2

5seibu $*lla pe tahu%6'&aitu suatu aus &a%g ti$a! !*%sta%'apa &a%g a!a%

teja$i $e%ga% pe#be%tu!a% #*$al sela#a i%te=al +a!tu 0"7" &aitu sela#a tahu% !e$ua"

!etiga" $a% !ee#patD 1a+aba%%&a teleta! $ala# i%tegal bei!ut $e-i%it@

1

4

3 t1/2

dt=2 t3 /2 ] 41=162=14

Be$asa!a% .*%t*h te$ahulu" !ita $apat #e%&ata!a% ju#lah a!u#ulasi #*$al sela#a

i%te=al +a!tu 2"t" u%tu! setiap ti%g!at i%=estasi I5t6 $e%ga% i%tegal $e-i%it



44/53

I( t)dt=( t)]t0=(t)(0)

1

4

Ga#ba $iba+ah #e%gilustasi!a% !asus i%te=al +a!tu 2" t0 ( )ipa%$a%g $ai su$ut &a%g

bebe$a" pesa#aa% $i atas #e%ghasil!a% e!spesi u%tu! jalu +a!tu K5t6 sebagai bei!ut@

(t)=(0 )+0

t

I(t)dt

1u#lah K pa$a setiap +a!tu t a$alah #*$al a+al $ita#bah t*tal a!u#ulasi #*$al &a%g telah

a$a(

N'" S+$"-"!, &"- A-() K()

Pe#bahasa% !ita sebelu#%&a te%ta%g pe%$is!*%t*a% $a% %ilai se!aa%g" &a%g $ibatasi pa$a

!asus %ilai #asa $epa% tu%ggal " #e#bei!a% !ita u#us pe%$is!*%t*a%

A50Li6't !asus $is!et

)a% Ae't !asus !*%ti%u

Se!aa%g #isal!a% !ita #e#pu%&ai alia% atau aus %ilai #asa $epa%'&aitu sea%g!aia%

pe%$apata% piuta%g pa$a bebagai +a!tu $a% pe%geluaa% bia&a huta%g pa$a bebagai +a!tu(

Bagai#a%a !ita #e%ghitu%g %ilai se!aa%g $ai seluuh alia% !as atau aus !asD

)ala# !asus $is!et" ji!a !ita $ia%ggap a%g!a pe%$apata% $i #asa #e%$ata%g tese$ia

pa$a a!hi tahu% !e't $a% juga #e%gasu#si!a% su!u bu%ga i pe tahu%" %ilai se!aa%g

Rt#asi%g'#asi%g a!a% teja$i

R050Li6'0 R/50Li6'/ R850Li6'8



45/53

1a$i" t*tal %ilai se!aa%g #eupa!a% ju#lah

t=1

3

t(1+#)3

5 $ala# !asus $i atas a$alah huu- Yu%a%i pi" &a%g #e%u%ju!!a% +a!tu se!aa%g6(Pebe$aa% hal i%i $e%ga% u#us %ilai tu%ggal ha%&a teleta! $ala# pe%gga%tia% $e%ga% Rt

$a% $ala# pe%&isipa% ta%$a

K*%sep pe%ju#laha% teus bela%jut !e !asus aus !as &a%g !*%ti%u" tetapi $ala# !*%te!s

&a%g bela!a%ga% sb*l te%tu%&a haus $ihila%g!a% $a% $iga%ti $e%ga% ta%$ai%tegal $e-i%it( Peti#ba%g!a% alia% pe%$apat &a%g !*%ti%u pa$a ti%!at R5t6 $*lla pe tahu%(

I%i beati bah+a pa$a tt0ti%g!at aus a$alah R5t06 $*lla petahu%" tetapi pa$a +a!tu lai% tt/

ti%g!ata%%&a a!a% #e%ja$i R5t/6 pe tahu% $e%ga% t $ia%ggap sebagai =aiabel !*%ti%&u( Pa$asetiap titi! +a!tu" ju#lah pe%$apat% sela#a i%te=al t"tL$t $apat $itulis sebagai R5t6 $t( Bila

$i$is!*%t*!a% se.aa !*%ti%&u pa$a ti%g!at R pe tahu%" %ilai se!aa%g%&a a!a% #e%ja$i

R5t6e'tBila pe#asalaha%%&a se!aa%g a$alah #e%.ai t*tal %ilai se!aa%g $ai alia% tiga

tahu%" ja+aba% !ita a!a% $ipe*leh $ala# i%tegal $e-i%it bei!ut@

trtdt

0

3

E!spesi i%i" &a%g #eupa!a% =esi !*%ti%&u $ai ju#lah" ha%&a bebe$a $e%ga% u#us %ilai

ti%ggal $ala# pe%gga%tia% $e%ga% R5t6 $a% $ala# pe#bubuha% ta%$a i%tegal $e-i%it

C*%t*h 3

Beapa!ah %ilai se!aa%g $ai aus pe%$apata% !*%ti%u bela%gsu%g sela#a & tahu% pa$a

ti%g!at !*%sta% sebesa ) $*lla pe tahu% $a% $i$is!*%t*!a% pa$a ti%g!at pe tahu%D

Me%uut u#us $i atas

0

!/ e

rtdt=/

0

!ert

dt=/[1

r e

rt

]!0



46/53

1e(r! )

[/r ert] t=!t=0=/r (er!1 )=/r

1a$i tega%tu%g pa$a )" " $a% &( Bila )8(222" 2(23 $a% &8" #isal%&a !ita#e#pe*leh

=30000.06

(1e0.12 )=5000 (10.8869 )=05.655 ap*!si#asi

Nilai biasa%&a selalu p*siti- i%i sesuai $e%ga% p*siti=itas ) $a% seta 1er! (5Bila%ga% e #e#pu%&ai pa%g!at %egai- a!a% selalu #e#bei!a% pe.aha% &a%g p*siti-(

C*%t*h

)ala# pes*ala% pe%&i#pa%a% a%ggu" !ita asu#si!a% bia&a pe%&i#pa%a% a$alah %*l( Asu#si

pe%&e$eha%aa% tesebut $ipelu!a% !ae%a !ita ti$a! #e%getahui .aa u%tu! #e%ghitu%g %ilai

se!aa%g $ai aus bia&a( )e%ga% !eti$a!tahua% i%i" se!aa%g !ita siap u%tu! #e#pesilah!a%

pe%&alu a%ggu u%tu! #e%ge%a!a% bia&a pe%&i#pa%a%(

Misal!a% bai&a pe#belia% $ala# !asus a%ggu seju#lah C" teja$i pa$a saat se!aa%g( Nilai

pe%juala% 5#asa #e%$ata%g6" &a%g be=aiasi #e%uut +a!tu" se.aa u#u# bisa $i%&ata!a%

sebagai 5t6'%ilai se!aa%g%&a #e%ja$i 5t6 ert

Se#e%taa %ilai pe%juala%

#e%gga#ba!a% %ilai #asa $epa% tu%ggal 5ha%&a a$a satu ta%sa!si pe%juala% $ala# !asusa%ggu i%i6" bia&a pe%&i#pa%a% #eupa!a% suatu alia%( )e%ga% asu#si bia&a i%i a$alah

alia% !*%sta% pa$a ti%g!at s $*lla pe tahu%" t*tal %ilai se!aa%g $ai bia&a pe%&i#pa%a%

&a%g teja$i $ala# t tahu% a!a% beju#lah

0

t

s ert

dt=s

r(1ert)

1a$i" %ilai se!aa%g besih" &aitu %ilai &a%g haus $i#a!si#u#!a% *leh pe%&alu'$apat

$i%&ata!a% sebagai

1(t)=v (t) ert sr(1ert)C=[V( t)+

sr]e

rt srC

Ya%g #eupa!a% -u%gsi *bje!ti- $ala# =aiabel piliha% t tu%ggal(



47/53

;%tu! #e#a!si#u#!a% N5t6" %ilai t haus $ipilih se$e#i!ia% upa sehi%gga N5t62(

)ei=ati- peta#a i%i a$alah

1 '(t)=V '(t) ertr

[V( t)+

s

r

]ert

atua% hasil !ali

[V '(t)rV( t)s ]ert

)a% a!a% #e%ja$i %*l ji!a $a% ha%&a ji!a

5t65t6Ls

1a$i" pesa#aa% &a%g tea!hi i%i bisa $ia%ggap sebagai !*%$isi *pti#asi &a%g $ipelu!a%

u%tu! pe#iliha% +a!u pe%juala% t

I%tepestasi e!*%*#i atas !*%$isi i%i se.aa se$eha%a #eupa!a% pe%ulaa% i%tuiti-@

5t6 #e%gga#ba!a% ti%g!at peubaha% %ilai pe%juala%" atau peta#baha% $ala# " bilape%juala% $itu%$a sela#a satu tahu%" se$a%g!a% !e$ua su!u pa$a sisi !a%a% #asi%g'#asi%g

#e%u%ju!!a% peta#baha% bia&a bu%ga $a% bia&a pe%&i#pa%a% &a%g $ia!ibat!a% *leh

pe%u%$aa% pe%juala% se#a.a# itu5pe%$apata% $a% bia&a $ihitu%g pa$a +a!tu t6( 1a$i"

!*%sep #e%&a#a!a% !e$ua sisi bagi !ita ha%&a #eupa!a% >a%ggu la#a $ala# b*t*l bau?"

!ae%a hal i%i #eupa!a% !*%$isi &a%g sa#a saja $ai MCMR $ala# be%tu! &a%g lai%(

N'" )+$"-"!, &"- A-() P+-+!*("'

1i!a aus !as bela%gsu%g sela#a%&a'suatu situasi &a%g $i.*%t*h!a% *leh bu%ga atas *bligasi

pepe%tual atau pe%$apata% atas a!ti=asi #*$al &a%g ta! $apat usa! sepeti ta%ah'%ilai

se!aa%g $ai aus !as a!a% #e%ja$i

0

%

( t)ertdt

Ya%g #eupa!a% i%tegal ta! +aja 5i#p*e i%tegal6

C*%t*h :

Cailah %ilai se!aa%g $ai alia% pe%$apata% pepe%tual &a%g #e%gali pa$a ti%g!at &a%g

seaga# sebesa ) $*lla pe tahu%" bila ti%g!at $is!*%t* !*%ti%u ( Kae%a" $ala#

#e%ge=aluasi i%tegal ta! +aja" !ita .u!up #e%ga#bil li#it i%tegal ta! +aja( Se.aa!husus" !ita $apat #e%ulis

0

%

/ ert

dt=lim! %

0

%

/ ert

dt= lim! %

/

r(1er! )=/

r



48/53

Pehati!a% bah+a paa#ete & 5ju#lah tahu%6 telah hila%g $ai ja+aba% a!hi( Hal i%i #e#a%g

sehaus%&a teja$i" !ae%a $i si%i !ita #e%gha$api aus pepe%tual( Kita bisa #e%ga#ati

bah+a hasil !ita 5%ilai se!aa%gti%g!at aus pe%$apata% $ibagi 56 $is!*%t*6 se.aa tepat

behubu%ga% $e%ga% u#us &a%g lai# $isebut >!apitalisasi? $ai suatu a!ti=a $e%ga% hasil

pepe%tual(

6. M%&"' +-*(#("! D%#"-

)ala# pes*ala% petu#buha% p*pulasi seta pes*ala% pe#be%tu!a% #*$al" tujua%

u#u#%&a a$alah u%tu! #e%gga#ba!a% jalu +a!tu be$asa!a% bebeapa p*la peubaha%

=aiabel tete%tu( )ala# #*$el petu#buha% !lasi! $ai P*-esi )*#a" $i lai% piha!" i$e%&a

a$alah u%tu! #e%e%tu!a% je%is jalu +a!tu &a%g $ipelu!a% u%tu! #e%gatasi%&a bila !*%$isi

e!ulibiu# tete%tu pee!*%*#ia% telah $ipe%uhi(

K+-"!,$" K+-"

)asa pe#i!ia% $ai #*$el )*#a sebagai bei!ut@

0( Setiap peubaha% $ala# ti%g!at aus i%=estasi pe tahu% I5t6 a!a% #e%ghasil!a% $ua pe%gauh

a!a% #e#pe%gauhi pe#i%taa% ageat seta !apasitas p*$u!ti- e!*%*#i(/( Pe%gah pe#i%taa% a!ibat peubaha% $ala# I5t6 be*peasi #elalui p*ses #ultiplie

5pe%gga%$aa%6" &a%g $iasu#si!a% be!eja se!eti!a itu juga( 1a$i !e%ai!a% $ala# I5t6 a!a%

#e%ai!a% ti%g!at aus pe%$apata% pe tahu% Y5t6 sebesa !elipata% $ai peta#baha% $ala#

I5t6( Multiplie a$alah !0s" $i#a%a s #e%u%ju!!a% !e.e%$eu%ga% #e%abu%g #aji%al

tete%tu 5!*%sta%6( )e%ga% asu#si bah+a I5t6 #eupa!a% satu'satu%&a aus pe%geluaa%

5paa#eti.6 &a%g #e#pe%gauhi ti%g!at aus pe%$apata%" !ita !e#u$ia% $apat #e%&ata!a%

bah+a

d+dt=dI

dt1s

8( Kapasitas pe%gauh i%=estasi $iu!u $e%ga% peubaha% ti%g!at *utput p*te%sial e!*%*#i &a%g

#a#pu #e#p*$u!si( )e%ga% #e%gasu#si!a% asi* !apasitas #*$al &a%g !*%sta%"!ita $apat

#e%ulis2

) 3 5suatu !*%sta%ta6

)i#a%a 2 5huu- Yu%a%i !appa6 #e%u%ju!!a% !apasitas atau aus *utput p*te%sial pe

tahu%" $a% 3 5huu- &u%a%i h*6 #e%u%u!!a% asi* !apasitas'#*$al tete%tu( Te%tu saja" i%i

#e%&iat!a% bah+a $e%ga% pese$iaa% #*$al K5t6 pee!*%*#ia% se.aa p*te%sial sa%ggu#

#e%gp*$u!si p*$u! tahu%a%" atau pe%$apata%" sebesa 2 ) 3 K )*lla( Pehati!a% bah+a

$ai 2 ) 3 K 5-u%gsi p*$u!si6" sela%jut%&a d2 ) 3d K )a%



49/53

d2

dt=3

d

dt=3I

)ala# #*$el )*#a" e!uilibiu# $i$e-i%is!a% sebagai situasi $i #a%a !apasitas

p*$u!t*- $igu%a!a% sepe%uh%&a( Oleh !ae%a itu" u%tu! #e%.apai e!uilibiu# $ipelu!a%

pe#i%taa% ageat &a%g tepat sa#a $e%ga% *utput p*te%sial &a%g $apat $ihasil!a% $ala#

suatu tahu% &aitu +=2 A!a% tetapi" bila !ita seja! a+al #ulai $ai situasi e!ulibiu#

pes&aata%%&a a!a% be!ua%g #e%ja$i #e%&ei#ba%g!a% peubaha% !apasitas $a%

pe#i%taa% ageat" &aitu

d+

dt=

d

dt

1alu +a!u i%=estasi I5t6 je%is apa &a%g $apat #e#e%uhi !*%$isi e!ulibiu# i%i pa$a

se#ua +a!tuD

M+!


50/53

3s dt=3st+c2

)e%ga% #e%&ata!a% !e$ua hasil $a% #e%ggabu%g!a% !e$ua !*%sta%ta" !ita $apat!a%

ln|I|=3st+c2

;%tu! #e%$apat!a% |I| $ai ln|I| " !ita #ela!u!a% *peasi &a%g $i!e%al sebagai

>#e%ga#bil a%til*g $ai l% |I| "? &a%g #e%ggu%a!a% !e%&ataa% bah+a elnx=x 1a$i" bila

tiap sisi $ai #e%ja$i e!sp*%e% !*%sta%ta e" !ita $apat!a%

eln|I|=e3st+c

Atau |I|=e3st+ec=A e3st $i#a%a A )e

c

1i!a i%=estasi%&a p*siti-" #a!a% 4I4I" sehi%gga hasil sebelu#%&a #e%ja$i I5t6 A e3st

" $i

#a%a A a$alah abite( ;%tu! #e#bua%g !*%sta%ta abite" !ita #isal!a% t2 $ala#

pesa#aa% I5t6 A e3st

;%tu! #e%$apat!a% I526 A e0=A I%i #e%e%t!a% !*%sta%ta A $a%

#e#u%g!i%!a% !ita u%tu! #e%ge!spesi!a% pe%&elesaia%%&a' jalu i%=estasi &a%g $is&aat!a%

Usebagai

I5t6I526 e3st

)i#a%a I526 #e%u%ju!!a% ti%g!at i%=estasi a+al

Hasil i%i #e#pu%&ai ati e!*%*#i &a%g #e%.e#as!a%( ;%tu! #e%jaga !esei#ba%ga% a%taa

!apasitas $a% pe#i%taa% sepa%ja%g +a!tu" ti%g!at aus i%=estasi haus be!e#ba%g tepat

pa$a ti%g!at e!sp*%e%sial 3s " sepa%ja%g jalu sepeti &a%g $iga#ba!a% $ala# ga#ba

07(3( 1elas" se#a!i% besa laju petu#buha% i%=estasi &a%g $is&aat!a% se#a!i% besa asi*

!apasitas #*$al" atau !e.e%$eu%ga% #e%abu%g #agi%al( Tetapi pa$a setiap ti%g!at" se!ali

%ilai 3 dan s d i!etahui" petu#buha% jalu i%=estasi &a%g $iis&aat!a% #e%ja$i sa%gat !a!u(

R+=%- E&,+

Se!aa%g #e%ja$i ele=a% u%tu! #e%a%&a!a% apa &a%g a!a% teja$i ji!a laju petu#buha%a.tual $a% i%=estasi' !ata!a%a ti%g!at 'bebe$a $ai ti%g!at ps &a%g $iis&aat!a%(

Pe%$e!ata% )*#a a$alah u%tu! #e%$e-i%isi!a% !*e-isie% utilisasi(

7< 4 )i%a#i!a E!*%*#i $a% Kal!ulus I%tegal


51/53

u=limt %

+(t)(t) u0 beati utilitas !apasitas sebelu#%&a

)a% #e%uju!!a% bah+a u=r /3s sehi%gga u ji!a

r

3s $e%ga% !ata lai%" ji!a a$a

!eti$a!sesuaia% a%taa ti%g!at a.tual $a% &a%g $ibutuh!a% r 3 s " a!hi%&a a!a% !ita

$apat!a% 5ji!a t % Bai! !e!ua%ga% !apasitas 5u06 atau !elebiha% !apasitas 5uV06"

tega%tu%g pa$a apa!ah lebih besa atau lebih !e.il $ai 3s

Na#u%" $apat $itu%ju!!a% bah+a !esi#pula% te%ta%g !e!ua%ga% !apasitas $a% !elebiha%

!apasitas be%a'be%a $ipa!ai pa$a setuap +a!tu t" ti$a! ha%&a ji!a t % Kae%a ti%g!at

petu#buha% #e%&ata!a% bah+a

I5t6I526et $a%dI

dt=rI(0)ert

Oleh !ae%a itu" !ita #e#pe*leh

d+

dt=

1

s

dI

dt=

r

sI(0)ert

d2

dt=3I( t)=3I(0)ert

Rasi* a%taa !e$ua $ei=ati=e tesebut(

d+/dtd2/dt

= r

3s

A!a% #e%uju!!a% !epa$a !ita besaa% elati=e $ai pe%gauh pe%.iptaa% pe#i%taa% $a%

pe%gauh pe%ggea! !apasitas $ai i%=estasi pa$a tiap +a!tu t" #e%uut laju petu#buha%



52/53

a.tual ( bila 5ti%g!at a.tual6 #elebihi 3s 5ti%g!at &a%g $ibutuh!a%6" #a!a $Y$t

d2/dt )a% pe%gauh !apasitas( Sebali!%&a bila V 3s " a!a% a$a $e-isie%si $ala#

pe#i%taa% ageat$a% *leh !ae%a itu teja$i !elebiha% !apasitas(

Hal &a%g a%eh te%ta%g !esi#pula% i%i a$alah bah+a i%=estasi se.aa a.tual tu#buh pa$a

ti%g!at &a%g lebih .epat $ai &a%g $ibutuh!a% 5 3s 6" hasil a!hi%&a a!a% beupa

!e!ua%ga% $a% bu!a% !elebiha% !apasitas( I%i sa#a a%eh%&a bila petu#buha% i%=estasi &a%g

sebe%a%&a !ua%g $a% ti%g!at &a%g $ibutuh!a% 5V 3s 6 !ita a!a% #e%gala#i !elebiha%

!apasitas $a% bu!a% !e!ua%ga%( Sesu%gguh%&a" !ae%a hasil &a%g bela+a%a% i%i" bila

se!aa%g !ita pesilah!a% >e%tepe%eu? 5+ias+asta6 u%tu! #e%&esuai!a% laju petu#buha%

a.tual 5&a%g sa#pai se!a%g $ia%ggap sebagai !*%sta%ta6 sesuai $e%ga% situasi !apasitas

bela!u" #a!a biasa%&a #ee!a a!a% #e#buat pe%&esuaia% &a%g salah( )ala# !asus 3s

#isal%&a" !e!ua%ga% !apasitas a!a% #e%$**%g ti%g!at i%=estasi &a%g lebih .epat( Tetapi i%ia!a% beati !e%ai!a% $ala# " !eti#ba%g pe%gua%ga%(K*%se!ue%si%&a" !eti$a!sesuaia% $i

a%taa laju petu#buha% a!a% se#a!i% #e%i%g!at $a% bu!a% be!ua%g#e%uu%(

Kesi#pula%%&a $isi%i a$alah bah+a $e%ga% !*%sta%ta paa#eti. 3 $a% s tete%tu" satu'

satu%&a jala% u%tu! #e%ghi%$ai !e!ua%ga% $a% !elebiha% !apasitas p*$u!ti- a$alah $e%ga%

#e%u%tu% aus i%=estasi se.aa behati'hati sepa%ja%g jalu e!uilbiu# $e%ga% laju

petu#buha% 3s $a% sepeti telah $isa!si!a%" setiap $e=iasi atau pe%&i#pa%ga% $ai

>sisi &a%g taja#? 5>a* e$ge?6 jalu +a!tu a!a% #e%ga!ibat!a% !egagala% u%tu! #e#e%uhi

%*#a utilisasi pe%uh &a%g $iba&a%g!a% *leh )*#a $ala# #*$el i%i" I%i #u%g!i% bu!a%

#eupa!a% haapa% &a%g #e%gge#bia!a%(



53/53

)AFTAR P;STAKA

Chia%g" Alpha C $a% Wai%+ight Ke=i%" /223"&asar"dasar #atematika 'konomi, ilid .

1a!ata@ Ela%gga

Download - Mathematics for Economy

Top Related