jurnal matematika vol 1 no 1 januari 2013

7/22/2019 Jurnal Matematika Vol 1 No 1 Januari 2013

1/153


2/153

DAFTAR ISI

Annas Riezki Romadhoni, Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik

Toha Saifudin, pada Data TersensorProgressive Tipe IIEko Tjahjono dengan Menggunakan Algoritma EM (1-10)

Ardi Wahyu Asari, Pendekatan Regresi CoxProporsional

Eko Tjahjono, Hazarddalam Penentuan Faktor Faktor

Sediono yang Berpengaruh terhadap Lama Studi

Mahasiswa S-1 Matematika di Universitas

Airlangga (11-18)

Athoillah, Estimasi Parameter Model Time Series

Sediono, Regression Dengan Noise ARMA(p) dan

Suliyanto ARCH(r)-Mean Menggunakan MetodeMaximum Likelihood (19-28)

Dyah Widiantini, Estimasi Model Regresi Nonparametrik

Suliyanto, Multivariat berdasarkan Estimator

Eko Tjahjono Polinomial Lokal Orde Dua (29-39)

Muh.Harun Ar Rosyid AlgoritmaAnt Colony Optimization (ACO)

Herry Suprajitno, dengan Mutasi danLocal Search Untuk

Miswanto Menyelesaikan Vehicle Routing Problem (40-49)

Muhammad Safiq Ubay, Peramalan HargaSaham Dengan MenggunakanAuli Damayanti, Jaringan Syaraf Tiruan Metode ExtremeHerry Suprajitno Learning Machine (50-56)

Marisa, Genetic AlgorithmUntuk MenyelesaikanHerry Suprajitno, Fuzzy Multi-ObjectiveJob Shop Scheduling Problem (57-66)Auli Damayanti

Michelle Purwagani, GRUP NON-ABELIAN YANG ABELIANInna Kuswandari, SECARA GRAFISYayuk Wahyuni (67-73)

Novita Adelia, Rank MatriksAdjacency dari Graf Nenik Estuningsih ,

Yayuk Wahyuni (74-79)

Siti Maisyaroh, Sifat Jarak pada Ruang MetrikEridani,Miswanto (80-89)


3/153

Umi Lailatul Muyassaroh, Algoritma Particle Swarm Optimization, denganLocal Search (PSO-LS) sebagai MetodeMiswanto Penyelesaian Uncapacitated Facility Location

Problem (UFLP) (90-100)

Wheni Sukokarlinda, Analisis dan Kontrol Optimal padaFatmawati, Model Penyebaran Virus HIV dalam Tubuh Manusia (101-109)Yayuk Wahyuni

Zahrotul Ummah, Estimasi Model Linier Tergeneralisasi GaussianSuliyanto, Berdasarkan Maximum Likelihood Estimator

Sediono Dengan Menggunakan Algoritma Fisher Scoring (110-120)

Ahmad Zuda Kumala Sani, Estimasi Parameter DistribusiExponentiated

Toha Saifudin, Eksponensial Pada Data Tersensor Tipe II

Eko Tjahjono (121-129)

Sandy Fauzi, Estimasi Model Regresi Poisson MenggunakanToha Saifudin, Metode Iteratively Reweighted Least SquareSuliyanto (130-148)


4/153

KATA PENGANTAR

Jurnal Matematika merupakan jurnal yang memuat hasil penelitian mahasiswa, dosen

atau peneliti atau pemerhati dalam bidang matematika dan statistika atau yang berhubungan

dengan kedua bidang tersebut. Jurnal Matematika terbit setahun dua kali dan desember 2012

merupakan terbitan pertama. Pada penerbitan yang pertama ini, jurnal matematika memuat

artikel mahasiswa yang merupakan bagian dari skripsi mahasiswa. Oleh karena itu, pada

penerbitan selanjutnya redaksi mengharapkan dapat menerima artikel dari hasil penelitian

dosen atau peneliti.

Besar harapan kami semoga Jurnal Matematika ini dapat menjadi sarana komunikasi

yang efektif untuk semua pihak yang berkepentingan dalam pengembangan ilmu pengetahuan

khusunya matematika dan statistika.


5/153

Dewan Redaksi

1.Ketua Dewan Redaksi : Dr.Miswanto,M.Si

2.Wakil Dewan Redaksi : Drs.Eko Tjahjono,M.Si

3. Anggota : Dr.Fatmawati,M.Si

Sumilan


6/153

1

Jurnal Matematika-FST Unair 2012

Estimasi Parameter Distribusi Loglogistik pada Data TersensorProgressive

Tipe II dengan Menggunakan Algoritma EM

Annas Riezki Romadhoni, Toha Saifudin, Eko Tjahjono

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga Kampus C

Jl. Mulyorejo, Surabaya

[email protected]

Abstract. The Loglogistic distribution is a commonly used distribution in lifetime data analysis because natural

logarithm of the lifetime variables are logistically distributed. Loglogistic distribution has two parameters, that

are the scale parameter and shape parameter. The main objective of this paper is to get parameter estimatorof the Loglogistic distribution based on Progressive type-II censoring. The method that used in this paper is

Maximum Likelihood method with EM Algorithm. EM Algorithm is consist of two steps, that are E-step and M-

step. E-step requires the algorithm to calculate conditional expectation of log-likelihood function and M-step

calculation to maximize the conditional expectation of log-likelihood function until get a convergen value.

Software that used to get the parameter estimator of the Loglogistic distribution easily is Mathematica. On

natural logarithm case from the time of disintregation of the isolator fluid at 34 kV voltage with sampleobservations and observed failure are given respectively by 19 and 8, then the censored scheme is ={0,0,3,0,3,0,0,5} where = 1,2, , then obtained the estimator value of parameter for is 6,526 and for is1,108.

Keywords : Loglogistic distribution, Progressive Type II Censored, Maximum Likelihood Estimator, EM

Algorithm

1 PendahuluanGlobalisasi ekonomi merupakan suatu keadaan ekonomi dimana kegiatan perekonomian bersifatterbuka tanpa adanya batas-batas wilayah antara daerah yang satu dengan daerah yang lainnya. Hal inimenyebabkan persaingan produk yang diproduksi oleh setiap perusahaan semakin berat. Salah satu

yang menjadi tolak ukur keberhasilan persaingan ini adalah kualitas suatu produk. Untuk mengetahuikualitas suatu produk sebelum dipasarkan kepada konsumen, perlu diadakan suatu penelitian yangberkaitan dengan pengamatan suatu keandalan atau daya tahan hidup komponen. Hal ini dikarenakansangat berguna dalam pengujian tentang bagaimana suatu komponen dapat berfungsi sebagaimanamestinya dalam waktu yang ditentukan.

Analisa data tahan hidup (survival analysis) adalah suatu metode untuk menganalisis data yangberhubungan dengan waktu, mulai dari time origin atau start-pointsampai dengan terjadinya suatu

kejadian khusus atau end-point [1]. Bentuk pengujian data tahan hidup adalah pengujian waktu tahanhidup suatu komponen pada saat digunakan hingga mati atau ketika pasien terjangkit penyakit hinggameninggal. Jika semua benda atau individu diuji sampai terjadinya kematian atau kegagalan makadisebut sampel lengkap. Metode tersebut mempunyai keuntungan yaitu semua komponen dapatteramati. Tetapi metode
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


7/153

2


tersebut juga mempunyai kelemahan diantaranya yaitu waktu yang diperlukan untuk melakukanpenelitian sangat lama dan biaya yang diperlukan sangat besar. Hal ini sangat merugikan bagi suatuinstansi dalam pengadaan penelitian. Untuk itu, perlu dilakukan penyensoran data agar lebih efisiendari segi waktu dan biaya.

Dalam statistika, ada banyak jenis penyensoran yang dapat digunakan untuk mempercepat suatu

penelitian. Pada kesempatan ini penulis menggunakan penyensoran progressive tipe II yang manamerupakan pengembangan dari penyensoran tipe II. Alasan menggunakan jenis penyensoran iniadalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan penelitian relatif lebih cepat, karena dengan cara

mengambil sebagaian data untuk tidak diamati. Hal ini menyebabkan biaya yang dikeluarkan relatif

sedikit. Penyensoran progressive tipe II adalah pengamatan terhadap sampel dengan kegagalanyang diamati dengan syarat 1 bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadikegagalan yang pertama, 1 dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan,sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, 2 unit penelitian yang survive secara acakdikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini berarti = 1 2 1 unit yang survive semua dikeluarkan [5].Untuk menganalisis dan mempresentasikan data uji hidup maka diperlukan suatu distribusi. Sehinggaanalisis terhadap data uji hidup dapat dilakukan secara parametrik. Data yang digunakan dalampenelitian berupa waktu yang bertipe kontinu, sehingga distribusi probabilitas yang digunakan adalahbertipe kontinu. Distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis datatahan hidup karena logaritma natural dari variabel-variabel tahan hidupnya terdistribusi secara logistik

[2].

Berdasarkan uraian di atas, diperlukan suatu metode yang digunakan dalam penarikan kesimpulanmengenai suatu populasi yang biasa disebut inferensi statistik. Salah satu metode yang seringdigunakan adalah Maximum Likelihood. Penyelesaian akhir metode ini umumnya membutuhkaniterasi numerik. Salah satu algoritma yang dapat dipakai adalah algoritma EM. Algoritma EM adalahmetode optimisasi iteratif untuk estimasi Maksimum Likelihood yang berguna dalam permasalahandata yang tidak lengkap. Dalam algoritma EM ini terdapat 2 tahap, yaitu tahap Ekspektasi (tahap E)dan tahap Maksimasi (tahap M).

Berdasarkan permasalahan diatas, maka penulis tertarik untuk melakukan studi jurnal

estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensorprogressive tipe II dengan

menggunakan algoritma EM yang diambil dari jurnal yang berjudul Estimation of

Parameter of The Loglogistic Distribution Based on Progressive Censoring Using The EM

Algorithm[2]. Pada penulisan skripsi ini juga disertakan program untuk mencari estimasi

parameter distribusi Loglogistik menggunakan software Matematica. Selanjutnya dilakukan

penerapan pada data waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34 KV yang didapatkan

dari jurnal yang sama.

2 Distribusi LoglogistikPada [2], distribusi Loglogistik adalah distribusi yang biasa digunakan dalam analisis data tahanhidup karena logaritma dari variabel-variabel tahan hidupnya berdistribusi Logistik. Adapun fungsi

kepadatan peluang (fkp) distribusi Loglogistik dengan parameter skala dan parameter bentuksebagai berikut:


8/153

3


() = 1

1 +

2 > 0, > 0, > 0 (1)

3 Sampel LengkapPada [4], pada sampel lengkap percobaan uji hidup dilakukan sampai semua individu atau bendamengalami kematian atau kegagalan. Adapun fungsi likelihood dari1,2, , adalah :(;) = ( ,)=1 (2)4 SampelProgressive Tipe IIPada [5], penyensoranprogressive tipe II adalah pengamatan terhadap sampel dengan kegagalanyang diamati dengan syarat 1 bilangan bulat, sedemikian sehingga pada saat terjadikegagalan yang pertama, 1 dari unit yang survive secara acak dikeluarkan dari pengamatan,sedangkan pada pengamatan kegagalan yang kedua, 2 unit penelitian yang survive secara acakdikeluarkan lagi. Penelitian ini berhenti pada saat kegagalan diamati dan ini berarti = 1 2 1 unit yang survive semua dikeluarkan.5 Maximum Likelihood EstimatorPada [3], Misalkan

1,

2, ,

merupakan peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik

dengan fungsi kepadatan peluang

(

,

), untuk

. Fungsi kepadatan peluang bersama antara

1,2, , adalah (1,2, ,;) = (1;).(2;). .(;) (3)Jika fungsi kepadatan peluang bersama tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap makadinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan atau ditulis sebagai berikut(;1,2, ,) = (1;).(2;). .(;) (4)dengan .Statistik = (1,2, ,) dinamakan Maximum Likelihood Estimator(MLE) dari bila statistik = (1,2, ,) memaksimumkan (;1,2, ,), .6 Algoritma EMPada [2], algoritma EM merupakan metode yang sangat tepat digunakan dalam menangani masalahmengenai data yang hilang atau dalam hal ini yaitu data tersensor. Misalkan adalah vektor acak datalengkap. Pada data lengkap, = (1:,2:, ,:) memuat data yang teramati =(1:: ,2:: , ,:: ) yang merupakan suatu vektor yang memuat nilai waktu hidup saatterjadinya kegagalan dari pengamatan terhadap sampel dengan kegagalan yang diamati, dan datayang tidak teramati = (1,2, ,) yang merupakan suatu vektor data yang survive


9/153

4


atau dianggap sebagai data tersensor, dimana adalah vektor1 dengan = (1,2, ,)untuk = 1,2,3, ,.Fungsi log likelihood untuk data lengkap dinotasikan (;). Algoritma EM terdiri dari dua tahapyaitu tahap E dan tahap M. Pada tahap E algoritma yang diperlukan yaitu perhitungan ekspektasi

bersyarat

[

(

,

(

))|

=

,

(

+1)]. Tahap berikutnya adalah tahap M (maksimasi) yang digunakan

untuk mendapatkan (+1) dengan cara memaksimumkan ekspektasi log likelihood yang sudahdihitung pada tahap E atau memaksimumkan ekspektasi bersyarat[(,())| = ,(+1)]. (+1)berikutnya diperoleh secara iteratif mengulangi tahap E dan M sampai proses konvergen, dengan menyatakan suatu iterasi.

7 Metode PenelitianMenentukan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor Progressive Tipe IImenggunakan metode Algoritma EM dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Mengasumsikan sampel waktu daya tahan hidup berasal dari distribusi Loglogistik.b. Mentransformasikan distribusi Loglogistik dengan

= ln

,

= ln

dan

=

1 agar

diperoleh distribusi Logistik.c. Menentukan fkp dari distribusi Logistik.(; ,) = 1 + 2 , , +

d. Menentukan fungsi likelihood pada data lengkap dari fkp distribusi Logistik yaitu :(,) =(; ,)=1

e. Mengubah fungsi likelihood menjadi bentuk logaritma natural yaitu

(

,

) = ln

(

,

)

f. Mempartisi ln likelihood data lengkap menjadi data yang teramati dan data yang tidak teramati.g. Menentukan nilai maksimum dari fungsi ln likelihood dengan cara mendiferensialkan secara

parsial terhadap parameter distribusi Loglogistik yaitu (,) = 0 dan (,) = 0h. Tahap Ekspektasi

Menghitung ekspekasi bersyarat dari ln likelihood pada fungsi yaitu fungsi data yang tidakteramati atau tersensorprogressive tipe II.

i. Tahap Maksimasi1) Mendapatkan fungsi ekspektasi bersyarat dari ln-likelihood dengan cara mensubstitusikan

hasil ekspektasi bersyarat dari fungsi ke ekspektasi awal.2) Mendapatkan estimator

dan

dengan cara iterasi menggunakan metodeNewton-Raphson.

j. Mendapatkan estimator distribusi Loglogistik dengan = exp() dan = 1.Membuat algoritma dan program untuk estimasi parameter dari distribusi Loglogistik pada datatersensorprogressive tipe II dengan langkah-langkah sebagai berikut:


10/153

5


a. Menginputkan data lengkap sampel tersensor progressive tipe II dengan struktur yangdinotasikan fungsi = {,}, dimana sebagai inputan data yang teramati.

b. Menginputkan nilai estimator awal () dan () untuk = 0Nilai estimasi awal didapatkan dari MetodeLeast Squares.

1.

Mendapatkan fungsi survival dari distribusi Logistik()2. Mencari ln 1()() = 3. Mendapatkan ln 1()() = ln 1()() + i4. Menggunakan Jumlah Kuadrat Galat (JKG) sehingga diperoleh () dan ()

JKG = i2ni=1 5. Nilai () diperoleh dari perhitungan dengan menggunakan metode Kaplan-Meier.

c. Tahap EkspektasiMenghitung ekspektasi () dengan menggunakan estimator awal () dan () dimana menyatakan iterasi.

d. Tahap MaksimasiMencari dan menghitung estimator (+1) dan (+1) dengan iterasi Newton-Raphson daripersamaan yang didapatkan dari langkah c.e. Jika (+1) () < dan (+1) () < maka iterasi dihentikan dan lanjut ke

langkah f, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka kembali ke langkah c dengan mengganti = + 1.f. Mendapatkan dan sebagai estimator parameter distribusi Logistik.g. Mendapatkan = exp() dan = 1.h. Tampilkan dan sebagai estimator dari parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor

progressive tipe II.

Penerapan estimasi parameter distribusi Loglogistik pada data dengan langkah-langkah sebagaiberikut :a. Menguji data ilustrasi yang digunakan berdistribusi Loglogistik.b. Mengestimasi parameter menggunakan program komputer (dengan bantuan software

Mathematica) berdasarkan algoritma tersebut.c. Menghitung estimasi fungsi survival.8 Hasil dan PembahasanMisalkan 1,2, , adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran yang identik danindependen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan , sehingga dapat ditulis sebagaiberikut:

~

(

,

),

= 1,2,3, ,

Bentuk fkp dari distribusi Loglogistik adalah:

() = 1+ , > 0, > 0, > 0 (5)


11/153

6


Untuk mempermudah proses estimasi, maka pada langkah ini distribusi Loglogistik akan

ditransformasikan menjadi distribusi Logistik dengan = ln , = ln dan = 1. Hasiltransformasi dari (5) menghasilkan fkp distribusi Logistik yaitu:

(

;

,

) =

1+

,

,

+ (6)

Misalkan 1,2, , adalah waktu tahan hidup dari sampel berukuran yang identik danindependen dari distribusi Loglogistik dengan parameter dan , maka1,2, , merupakan lognatural dari waktu tahan hidup yang identik dan independen berdistribusi Logistik dengan parameterdan . Berdasarkan (4) dan fkp distribusi Logistik (6) maka fungsi likelihood dari distribusi Logistikadalah (,;1,2, ,) = ()=1

= exp 1+exp =1 Fungsi ln likelihoodnya adalah sebagai berikut:

(,;) = =1 ln 2 ln 1+ exp =1 Fungsi ln likelihood pada data lengkap dipartisi menjadi data yang teramati yaitu =(1:: ,2:: , ,:: ) dan tidak teramati yaitu = (1,2, ,).(,;) = ln + :: =1 2 ln 1+ exp :: =1

+ =1=1 2 ln 1 + exp =1=1 Untuk mengestimasi parameter dan dengan Maksimum Likelihood, maka fungsi ln likelihooddidiferensialkan secara parsial terhadap parameter dan . Hasilnya dapat diuraikan sebagai berikut: (,;) = + 2 exp

:: 1+exp:: =1 + 2 exp 1+exp 1=1

dan

(,;) = + ::=1 + 2 :: exp::

1+exp:: =1

=1=1 + 2 exp 1+exp =1=1 Langkah berikutnya untuk mendapatkan estimator

dan

adalah dengan membuat kedua fungsi

diferensial tersebut sama dengan nol. Hasilnya adalah sebagai berikut:

2 exp::

1+exp:: =1 exp 1+exp =1=1 = 0 (7)

dan


12/153

7


+ ::R=1 2 :: exp::

1+exp:: =1 + =1=1

2 exp 1+exp =1=1 = 0 (8)Tahap Ekspektasi bertujuan untuk menemukan ekspektasi bersyarat dari data tidak teramati ()dengan syarat data yang diketahui nilainya atau data teramati (::R ) pada persamaan (7) dan (8).Sebelum mencari ekspektasi bersyarat dari persamaan (7) dan (8), maka terlebih dahulu mencari

distribusi bersyarat dari dengan syarat ::R = ::R diketahui. Distribusi bersyarat dapatdiperoleh dengan cara sebagai berikut:

>

:

:

R,

,

=

exp 1+exp:: 1+exp

(9)

Hasil dari ekspektasi bersyarat dengan menggunakan persamaan (9) yaitu:

1)::R ,,= 1+ exp :: ln 1+ exp :: + ln exp ::R exp :: (10)

2)

exp 1+exp

:

:

R ,

,

=

12

exp+2exp::

exp+exp:

:

(11)

3) exp 1+exp ::R ,,= 1+ exp :: 12 :: 1+exp:: +

2:: 2+1+exp:: ::R + ln 1 +

exp :: (12)Tahap Maksimasi yaitu menghitung nilai estimasi dari parameter dengan memaksimalkan nilaiekspektasi dari fungsi ln likelihood yang didapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan

dilakukan iterasi dengan nilai awal () dan () hingga berulang kali sampai didapatkan nilaiparameter yang konvergen. Nilai awal () dan () didapatkan dari Metode Least Squares. Nilai(+1) diperoleh berdasarkan persamaan berikut:2 exp

:: ()() 1+exp:: ()()

=1 = 12 exp()()+2exp::()

exp()()+exp::() =1 (13)


13/153


14/153

9


5. Mendapatkan estimator(+1) dengan cara menyelesaikan persamaan(+1)|(),() =0 menggunakanNewton-Raphson.

6. Mendapatkan estimator (+1) dengan cara menyelesaikan persamaan

(

+1)|

(

+1),

(

)

= 0 menggunakanNewton-Raphson.

7. Jika(+1) () < dan(+1) () < maka iterasi dihentikan dan lanjut kelangkah 8, tapi jika nilai tersebut tidak terpenuhi maka kembali ke langkah 5 denganmengganti = + 1.8. Menampilkan nilai estimator distribusi Logistik yaitu dan .9. Mengubah nilai estimator distribusi Logistik menjadi distribusi Loglogistik dengan =

exp dan = 1.10.Menampilkan nilai estimator distribusi Loglogistik.

Berdasarkan data sampel, diasumsikan bahwa T berdistribusi Loglogistik. Untuk estimasi tersebut,

dalam skripsi ini dilakukan transformasi = ln. Berdasarkan teori Y berdistribusi Logistik,sehingga analisis estimasi dilakukan berdasarkan data yang berdistribusi Logistik. Misalkan

berupa

log natural waktu yang diperlukan untuk menguraikan isolator zat cair yang dilakukan pada voltasesebesar 34 kV [2]. Pengamatan dilakukan terhadap = 19 sampel dan = 8 kegagalan yangdiamati dengan skema penyensoran = {0,0,3,0,3,0,0,5}.Berdasarkan hasil perhitungan dengan program maka diperoleh hasil estimator parameter distribusi

Logistik sebesar = 1,876 dan = 0,903. Sedangkan estimator parameter distribusi Loglogistikdiperoleh hasil sebesar = 6,526 dan = 1,108.9 Simpulan1. Estimator parameter distribusi Loglogistik pada data tersensor progressive tipe II dengan

menggunakan algoritma EM dilakukan melalui iterasi terhadap dua tahap berikut :

Tahap Ekspektasi

(1) ::R ,, = 1+ exp :: ln 1+ exp :: + ln exp ::R exp :: (2) exp 1+exp ::R ,, = 12

exp+2exp:: exp+exp::

(3)

exp 1+exp

:

:

R ,

,

=

1+ exp

::

12

::

1+exp:

:

+

2:: 2+1+exp:: ::R + ln 1+ exp

:: Tahap Maksimasi yaitu memaksimalkan nilai ekspektasi dari fungsi ln likelihood yangdidapatkan pada tahap ekspektasi. Pada tahap ini akan dilakukan iterasi Newton-Raphson untukmenyelesaikan persamaan-persamaan berikut:


15/153

10


2 ex:: ()()

1+ex:: ()() =1 = 12 ex

()()+2ex::() ex()()+ex::()

=1 dan(+1) (+1) + ::R=1 2 :: ()exp::

()() 1+exp:: ()() ()

=1 = 1 +=1exp :: ()() ln 1+ exp :: ()() + ln exp ()() ::R exp :: ()() +2

1+ exp

:: ()

(

)

=112 (+1) :: ()1+exp:: ()() +2:: 2()+()1+exp:: ()()

::R +() ln 1+ exp :: ()()

2.

Program yang dibuat dalam software Matematica menggunakan metode Newton-Raphson.Dalam program terdapat tiga kali iterasiNewton-Raphson untuk mendapatkan nilai estimator.3. Pada penerapan data log natural waktu terurainya isolator zat cair pada tegangan 34kV [2]

diperoleh hasil estimasi parameter skala dan parameter bentuk distribusi Loglogistik padadata tersensorprogressive tipe II masing-masing sebesar 6,526 dan 1,108.

10 Daftar Pustaka[1] Collet, D., 1994, Modelling Survival Data in Medical Research, First Edition, Chapmann dan

Hall, University of Reading, UK.[2] Kus, C. and Kaya, M. F., 2006, Estimation of Parameters of The Loglogistic Distribution

Based on Progressive Censoring Using The EM Algorithm, Vol. 35, No. 2, Hacettep Journalof Mathematics and Statistics, P.203-211.[3] Hogg, R. V. and Craig, A. T., 1995, Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition,

Prentice Hall, Inc, New Jersey.[4] Lawless, J.F., 1982, Statistical Models and Methodes for Life Time Data, John Wiley & Sons,

New York.[5] Wu, S. J., 2002, Estimation of The Parameters of The Weibull Distribution With

Progressively Cencored Data, Vol. 32, No. 2, Jurnal Japan Statistics, P.155-163


16/153


17/153

12


Prestasi Kumulatif) pada semester VI, dan penghasilan orang tua. Pemilihan faktor faktor tersebut

dilakukan berdasarkan pertimbangan ketersediaan data karena mahasiswa yang diteliti saat ini

sudah dinyatakan lulus.

Pada penelitian ini penyusun mencoba mengidentifikasi faktor-faktor yang mempengaruhi lama

studi mahasiswa S1 Matematika Universitas Airlangga dengan regresi Cox proporsional hazard

dengan demikian akan diperoleh analisis survivaltentang kasus tersebut.

2 Metode Penelitian2.1 Sumber DataData yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder tentang lama mahasiswa (dalam

semester) S-1 Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga tahun angkatan

2006 yaitu sebanyak 63 mahasiswa.

2.2 Variabel PenelitianVariabel dependen dalam penelitian ini adalah waktu yang diperlukan oleh mahasiswa dalam

menjalankan studi dari waktu awal studi hingga akhir studi dinyatakan lulus S-1 yang dilambangkan

dengan tdan satuan waktunya adalah semester dengan ketentuan sebagai berikut :

1. Jika seorang mahasiswa dinyatakan lulus sampai dengan semester gasal tahun ajaran 2011/2012maka waktu survival tersebut dinyatakan data terobservasi.

2. Jika masa studinya melebihi semester gasal tahun ajaran 2011/2012 maka dinyatakan datatersensor

Sedangkan variabel prediktornya berupa IPK, asal daerah mahasiswa, jenis kelamin, status asal SMA,

jalur masuk, penghasilan orang tua, dan rata-rata NUN SMA

2.3 Metode AnalisisLangkah-langkah dalam penelitian ini dijabarkan sebagai berikut:

1. Mengetahui faktor faktor yang memenuhi asumsi proporsional hazard dilakukan langkah langkah :

a. melakukan estimasi survivaldari data lama studi mahasiswa S1 Matematika dengan metodeKaplan-Meier,

b. melakukan pemeriksaan asumsi proporsional hazarddengan menggunakan plot ln

ln

(

)

terhadap waktu survival().2. Untuk mengetahui model hubungan faktor faktor yang mempengaruhi waktu survivalmahasiswa S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga dilakukan langkah langkah :

a. melakukan estimasi parameter model Cox proporsional hazard secara terpisah denganlangkah langkah berikut :

i. menentukan estimasi parameter dengan metode maksimum likelihood,ii. menghitung nilai ,

iii. melakukan uji signikansi parameter dengan uji Rasio Likelihood dan seleksi modeldengan metode backward,

iv. menghitung estimasi fungsi hazarddasar dari

yang diperoleh,

b. menyusun model regresi Coxproporsional hazarddari estimasi yang diperoleh,


18/153

13


c. menghitung taksiran fungsi survival dari model yang terbentuk untuk mengetahui peluangmahasiswa S-1 Matematika yang masih studi pada waktu ke t,

d. membuat grafik taksiran fungsi survivaluntuk mengetahui perbandingan peluang mahasiswaS-1 Matematika yang masih studi dari setiap kategori variabel penjelas pada waktu survival(t).

3 Hasil dan Pembahasan3.1 Pemeriksaan Asumsi ProporsionalPemeriksaan asumsi proporsional dilakukan sebelum penentuan model regresi Cox melalui plot

ln ln() terhadap waktu survival(t) untuk setiap faktor, yaitu faktor jenis kelamin, asal daerah,IPK pada semester VI, dan rata rata NUN SMA yang dapat dilihat pada gambar 1.

Gambar 1 Plot ln ln() terhadap waktu lama mahasiswa menyelesaikan studi(t) untuk setiapvariabel

Dari gambar 1 dapat diketahui bahwa variabel penjelas yang diduga masuk dalam modelmenunjukkan seluruh variabel mempunyai bentuk garis yang sejajar pada setiap kategorinya. MenurutKleinbaum dan Klein [6], apabila plot antar kategori dalam satu variabel penjelas terlihat sejajar atau

tidak bersilangan maka asumsi proportional hazard terpenuhi dan variabel penjelas yang bersifat


19/153


20/153


21/153


22/153


23/153


24/153


25/153


26/153

21


a) Mendefinisikan model regresi linier berganda dalam bentuk sistem persamaan regresisebagai berikut : = 0 + 11 + 22 ++ + untuk

= 1, 2, ,

.

b)Membentuk model regresi linier berganda dalam notasi matrik = + dengan

= 1 11 12 11 21 22 1 1 2

2 , =

1 , = 12 dan =

12Vektor error

~ N

,

c) Meminimunkan fungsi = dengan = d)Mendeferensialkan fungsiterhadap dan disamadengankan 0, = 0Sehingga didapat nilai estimator

e) Melakukan uji validitas dan asumsi-asumsi klasik. Jika asumsi-asumsi klasik belum terpenuhimaka dilanjutkan langkah berikutnya untuk memodelkan residualnya.

2) Mendapatkan model Time series regression dengan nois AR(p) terbaik untuk memodelkanresidual dari model regresi linier berganda yang meliputi :

a) Mendefinisikan model Time series regression dengan nois AR(p) terbaik dalam bentuk sistempersamaan regresi sebagai berikut :

1 1t 0 1 t1 2 t2y x x ... x t p t q t c tc v + + += + + + + +

tv ~ N(0,2) dengan t = 1, 2, ..., T

b) Identifikasi model Time series regression dengan nois AR(p) terbaik dengan langkah sebagaiberikut :

i. Plot data time series untuk melihat kestasioneran terhadap mean dan varian.ii. Pendugaan model AR(p) dengan :

1) plot ACF (Autocorrelation Function) untuk identifikasi model MA (Moving Average).2) plot PACF (Partial Autocorrelation Function) untuk identifikasi model AR

(Autoregressive).

c) Estimasi parameter model Time series regresi dengan nois AR(p) dengan menggunakanmetode least square.

d) Diagnostic checking terhadap model dengan :i. uji signifikansi parameter model Time series regresidengan nois AR(p)dengan uji-t.ii. uji kesesuaian model dengan uji asumsi kecukupan model untuk white- noise dengan

uji Ljung-Box. .

iii. Kriteria pemilihan model terbaiknya harus perhatikan AIC, SBC dan MSE dengan nilaiterkecil.

3) Mendapatkan Model Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Meanberdasarkan model Time series regression dengan noise AR(p) terbaik dengan langkah-langkah

berikut :

a) Pendugaan kasus heteroscedasticitydan identifikasi dengan langkah :i. Plot ACF (Autocorrelation Function) kuadrat residual dari model AR(p)terbaik untuk

melihat ke-white noise-an residual kuadrat dan identifikasi model ARCH(r) in mean.


27/153

22


ii. Plot PACF (Partial Autocorrelation Function) kuadrat residual dari model AR(p)

terbaik untuk melihat ke-white noise-an kuadrat residual dan identifikasi model

ARCH(r) in mean.

Jika kuadrat residualnya white noise maka tidak ada kasus heteroscedastic sehingga model

AR(p) yang didapat merupakan model yang terbaik. Tetapi, jika kuadrat residualnya tidak

white noise, berarti diduga ada kasus heteroscedastic sehingga perlu dilakukan langkah

lanjutan sebagai berikut

b)Mendefinisikan Model Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Mean dalambentuk sistem persamaan regresi sebagai berikut :

1 1t 0 1 t1 2 t2y x x ... x t p t q t t c tc v h + + + + += + + + +

20

1

r

t i t i

i

h v =

= +

1| ~ (0, )t t tv F N h dan t = 1, 2, ..., T

c) Estimasi parameter Model Time Series Regression dengan noise ARMA(p) dan ARCH(r)-Meandengan menggunkan metode Maximum Likelihood.

d)Diagnostic checking terhadap model dengan :i. uji signifikansi parameter model ARCH(r)-Mean dengan uji-t.

ii. uji kesesuaian model dengan uji asumsi kecukupan model untuk white- noise

dengan uji Ljung-Box.

e) Uji validitasJika model belum sesuai dan belum valid, maka diulangi mulai langkah a sampai

didapatkan Model Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Mean terbaik.

4. Menerapkan Model Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Mean pada padadata volume dan harga nilai tukar mata uang EURO terhadap USD time frame 30 menit yang

berbentuk ECN (Electronic Cummunication Network) di perusahaan Alpari-US pada tanggal 18

April 2012 20 April 2012 dengan menggunakan software Eviews, dengan langkah-langkah

sebagai berikut :

a) Mendefinisikan variabel respon, yaitu volume nilai tukar mata uang EURO terhadap USDtime frame 30 menit yang berbentuk ECN (Electronic Cummunication Network) di

perusahaan Alpari-US pada tanggal 18 April 2012 sampai 20 April 201.

b)Mengolah data menggunakan software Eviews untuk mengestimasi dan menguji kesesuaianModel Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Mean.

c) Menyimpulkan Model Time Series Regression dengan noise AR(p) dan ARCH(r)-Mean.Hasil dan Pembahasan

Model Time Series Regression yang dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan regresi

sebagai berikut :

= 0 + 11 + 22 ++ + ; = 1,2, , (4.1)


28/153

23


Model regresi (4.1) dapat dinyatakan dalam notasi matrik sebagai berikut :

= + (4.2)Estimasi model regresi (4.2) dengan metode OLS diperoleh dengan meminimumkan fungsi

= , sehingga diperoleh fungsi = ()()= 2+ (4.3)

Syarat cukup agar fungsi (4.3) mempunyai nilai minimum adalah = 0, sehingga diperoleh = + =

= () (4.4)Setelah didapatkan error = maka langkah selanjutnya adalah memodelkan errortersebut dalam bentuk model AR(p). setelah model yang sesuai diperoleh melalui tahap identifikasi,

langkah berikutnya adalah mengestimasi parameter-parameter yang belum diketahui dari model

yang didapatkan. model Time series regression dengan noise AR(2) terbaik dapat ditulis sebagai

berikut:

= 0 + 11 + 22 + 33 + 44 + 11 + 22 + (4.5)

=

(

0+

11+

22+

33+

44+

11+

22) (4.6)

Dengan mengasumsikan ~NID(0,2), maka estimasi model Time Series Regression padapersamaan (4.6) dengan metode least square diperoleh dengan meminimumkan jumlah kuadraterror = 2=1 , sehingga diperoleh fungsi = ( 0 11 22 33 44 11 22)= (4.7)Syarat cukup agar fungsi (4.7) mempunyai nilai minimum adalah turunan pertama terhadap

parameter 0,1,2,3,4,1,2 disamadengankan 0, sehingga diperoleh0 = 2( 0 + 11 + 22 + 33 + 44 11 22)=1 = 01 = 2t1( 0 + 11 + 22 + 33 + 44 11 22) = 0

=1

2 = 2t2( 0 + 11 + 22 + 33 + 44 11 22) = 0=1

3=

2

t3(

0+

11+

22+

33+

44 11 22)

=1= 0


29/153


30/153

25


(|) = (2)1/2 2=1 (4.14)fungsi Likelihooddari PDF bersama diatas adalah

ln(|) = ln (2)1/

2 2=1 (4.15)= 2 ln(2) 12 ln + =1 (4.16)

ln (|) = 2 ln(2) 12 (ln[0 + 112 ] + 1+ ( 0 11 =122 33 44 0 + 112 11 2t2)2)Untuk mencari nilai estimasi ,,, pada fungsi Likelihood persamaan (4.16) maka

persamaan (4.16) diturunkan terhadap parameter

,

,

,

(ln ()) = 12 1+ 2( 0 11 22 33 44 0 + 112 =111 2t2) = 0(ln ()) = 12 1+ 2t1 0 11 22 33 44 =10 + 112 11 2t2 = 0(ln ()) = 12 1+ 2t2( 0 11 22 33 44 =10 + 112 11 2t2) = 0(ln ()) = 12 1+ 2t3( 0 11 22 33 44 =10 + 112 11 2t2) = 0

(

ln (

))

=

12 1+ 2t4( 0 11 22 33 44 =10 + 112 11 2t2) = 0(ln ()) = 12 1+ 2t1( 0 11 22 33 44 =10 + 112 11 2t2) = 0


31/153


32/153


33/153

28


signifikansi parameter dan uji validasi model melalui nilai AIC, SBC, MSE dan kenormalan residual,

diperoleh bahwa Model Time Series Regression dengan noise AR(2) dan ARCH(1)-Mean adalah model

terbaik.

Daftar Pustaka

[1] BIS (Bank for International Settlements) Triennial Central Bank Survey, 2010, Foreign exchangeand derivatives market activity in April 2010, Switzerland

[2] Bollerslev, T., Engle, R.F.,Nelson, D.B., 1986,ARCH Models, Amsterdam, North Holland.[3] Box, G.E.P. and Cox, D.R., 1964,An Analysis Transformation, J. Roy.Stat.Soc.[4] Box, G.E.P., dan Jenkins, G. M., 1976, Forecasting and Control, Holden day, San Francisco.[5] Chen, Y.T., dan Kuan, C.M., 2003, A Generalized Jarque-Berra Test of Conditional Normalitas,

Intitue for Social Sciences and Philosopy, Academica sinica, Taipei, Taiwan

[6] Cryer, D., Jonathan., 1986, Time Series Analysis, University of IOWA.[7] Draper, N.R., and Smith, H., 1981, Applied Regression Analysis. 2

nd

Edition John Wiley andSons, Inc. USA. Pp 108-120

[8] Enders, 1995,Applied Econometric Time Series, John Willey & Sons. Inc, Canada.[9] Engle, R.F., 1982,Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance

of U.K. inflation. Econometrica, 50, 987 - 1008.

[10] Engle R.F., D.M. Lilien and R.P. Robins, 1987, Estimating time varying risk premium in the termstructure : The ARCH-M model, Econometrica, 55, 391-407.

[11] Everitt, S.B. 1994.A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman and Hall, London.[12] Fox, J., 2002, Time-Series Regression and Generalized Least Squares. Appendix to An R and S-

PLUS Companion to Applied Regression.

[13] Hogg, R. V and Craig, A. T, 1995, Introduction to Mathematical Statistics, Fifth Edition,Prentice-Hall, Inc. New Jersey.

[14] Jarque, C.M. and Bera, A.K., 1987, a test for normality of observations and regressionresiduals, international statistical review, vol :55

[15] Levinson, Mark, 2005, The Economist Guide to the Financial Markets, Pine Street, London[16] Lo, Michael S., 2003, Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedastic Time Series

Models, Simon Fraser University.

[17] Makidrakis, S., Wheelwright, S. and McGee,V. 1983. Forecasting: Methods and Application,Second Edition, John Willey and Sons, New York.

[18] Suhartono, 2003, Analisis Time Series Model ARIMA (Metode Box-Jenkins), Institut TeknologiSepuluh Nopember Surabaya, Surabaya.

[19] Spiegl, R.M., 1992, Scaums Outline Series Theory and Problem of Statistic, Metric Edition, MCRAW-HILL Book Company, Singapore[20] Tsay, S., Ruey, 2002, Analysis of Financial Time Series, John Willey & Sons. Inc, Chapman andHall, New York.

[21] Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis, Univariate and Multivariate. Method Second Edition.New York: Pearson Education.

[22] Wei, W.S. 1990. Time Series Analysis. Addison Wesley Publishing Company, San Juan.


34/153

29


Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat berdasarkan Estimator Polinomial

Lokal Orde DuaDyah Widiantini, Suliyanto, Eko Tjahjono

[email protected]

Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga

Abstract. The purpose of this Skripsiis to estimate multivariate nonparametric regression model based on

second order local polynomial estimator. Estimation of multivariate nonparametric regression model is

obtained in explicit form from function bandwidth and fixed point arbitrary , so that estimation can bedone with choose optimal bandwidth which minimized Generalized Cross Validation(GCV). Furtehermore, we

explain the confidence level (1

)100% for mean of estimation of multivariate nonparametric regression

model.

In this case, we used data of babys weight in 2006 at Rumah Sakit Haji Surabaya. There are thirty observations

where the response variable is weight of baby in kilogram and predictor variables are babys height in meter

and head circumference of baby in meter. The results of multivariate nonparametric regression model in data

of babys weight with confidence level 95% for mean of estimation babys weight on first observation is

8.286 2,(1) 9.349, on second observation is 10.673 2,(2) 12.426, then on thirtyobservation is 8.538 2,(30) 9.695, with an optimal bandwidth value for1 is 1.1 and2 is 0.3. For compatibility of the result multivariate nonparametric regression is obtained MSE =0.992158139962808 and error random

~

(3.93603 , 1.02637).

Keywords: multivariate nonparametric regression, second order local polynomial estimator, generalized

cross validation

6 PendahuluanAnalisis regresi digunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel atau lebih, terutama untuk

menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, atau untuk

mengetahui pengaruh dari beberapa variabel prediktor terhadap variabel respon dalam suatu

fenomena yang kompleks.

Dalam analisis regresi terdapat dua macam pendekatan, yaitu pendekatan parametrik dan

pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan ketika sudah ada asumsi terhadap

bentuk fungsi regresi berdasarkan teori atau pengalaman masa lalu. Sedangkan pendekatan

nonparametrik tidak terikat oleh asumsi bentuk fungsi regresi tertentu. Dalam kasus nyata

hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor seringkali tidak diketahui bentuk fungsi

regresinya. Oleh karena itu pendekatan regresi nonparametrik banyak sekali digunakan. Estimasi

regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan teknik smoothing tertentu.

Ada beberapa teknik smoothing yang digunakan dalam regresi nonparametrik yang memuat satuvariabel prediktor, diantaranya adalah Histogram, Estimator Kernel, Estimator Spline, Estimator
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


35/153


36/153

31


() = 1 , < < , > 0 (1)8 Fungsi Kernel MultivariatPada [4], diasumsikan

= (

1, ,

)

adalah vektor random berdimensi-d. Misalkan

menyatakan banyaknya pengamatan untuk setiap variabel random1, , maka pengamatanke-idari setiap dvariabel random dinyatakan dalam vektor : = 12 , = 1,2, , (2)

dengan adalah pengamatan ke-ipada variabel random.Fungsi kernel untuk nilai bandwidth yang berbeda dapat dinotasikan sebagai berikut :

() = 1det()[1] (3)dengan = (1, 2, , ) , maka berakibat1 = 1 , 1 , , 1.Fungsi kernel multivariat dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (3), yaitu : = 1det()1

=1 1

1 12 2 =

1

,

, ,

= 1 = 1=1 (4)

Persamaan (4) di atas merupakan fungsi kernel multivariat.

9 PemilihanBandwidth OptimalBandwidth merupakan pengontrol keseimbangan antara kemulusan fungsi dan kesesuaian fungsi

terhadap data. Jika besar maka estimasi fungsi yang diperoleh akan semakin mulus, sedangkan jika kecil maka estimasi fungsi yang diperoleh akan semakin kasar atau fungsi-fungsi menjadi semakinfluktuatif. Oleh karena itu dalam memilih nilai optimal sangat penting agar estimator yangdiperoleh juga optimal. Suatu kriteria untuk akan dibatasi pada kelas estimator linier. Ini berartiuntuk setiap ada matriks() berukuran sehingga:() = (,) (5)

Salah satu metode untuk mendapatkan optimal adalah dengan menggunakan metode GeneralizedCross Validation (GCV) yang dirumuskan sebagai berikut :

(, ) = (,)([(,)]) (6)


37/153

32


dengan(,) = 1 ( ())2=1 .10 Estimator Polinomial Lokal Orde DuaPada [4], dalam model regresi nonparametrik multivariat, fungsi () akan diestimasi denganestimator polinomial lokal orde dua. Fungsi () dapat dihampiri dengan deret Taylor multivariatorde dua di sekitar = (1, 2, , ) sebagai berikut:() () + () + 12() (7)

Estimator polinomial lokal orde dua adalah nilai () yang meminimumkan fungsi : = 2=1 ( ) (8)

dengan ( ) adalah fungsi kernel multivariat.11 Pertumbuhan BalitaPada [3], cara pengukuran status gizi di masyarakat yang paling sering digunakan adalah

antropometri gizi. Dewasa ini dalam program gizi masyarakat, penentuan status gizi balita pun

menggunakan metode antropometri sebagai cara untuk menilai status gizi. Pengukuran

antropometri ada dua tipe yaitu pertumbuhan dan ukuran komposisi tubuh. Penilaian pertumbuhan

merupakan komponen esensial dalam surveilan kesehatan anak karena hampir setiap masalah yang

berkaitan dengan fisiologi, interpersonal, dan domain sosial dapat memberikan efek yang buruk

pada pertumbuhan anak.

Antropometri sebagai indikator status gizi dapat dilakukan dengan mengukur beberapa parameter.

Parameter adalah ukuran tunggal dari tubuh manusia, antara lain umur, berat badan, tinggi badan,

lingkar kepala, lingkar lengan, lingkar dada, dan tebal lemak bawah kulit.

Ukuran komposisi tubuh balita yang paling sering diukur di posyandu adalah berat badan. Ada

beberapa faktor yang mempengaruhi berat badan balita, antara lain umur, tinggi badan, dan lingkar

kepala. Pertumbuhan balita dikatakan baik jika berat badannya seimbang dengan umur, tinggi

badan, dan lingkar kepalanya.

12 Metode PenelitianMengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde

dua dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Langkah 1.


38/153

33


Mengasumsikan sebagai fungsi respon sebanyak pengamatan dan =(1,2, ,) dengan1,2, , sebagai variabel prediktor sebanyak , memenuhi modelregresi nonparametrik multivariat = () + ; = 1,2, , , dengan () adalah fungsiregresi multivariat yang tidak diketahui bentuknya.

Langkah 2.

Melakukan hampiran terhadap fungsi ()menggunakan pendekatan polinomial lokal orde dua disekitar , yaitu sebagai berikut :() () + () + 12()dengan

() = (

1

)

(

)

(

2 )

(

)

( )() , = 11

1 ,() = (

1

)

(

)(

1

)

(

2 )

(

)(

2 )

( )()( )Langkah 3.

Menyatakan elemen-elemen dari vektor() sebagai berikut :() = 0() + 1()(1 ) ++ ()( ) + 11()(1 )2 ++()( )2 + 12()(1 )(2 ) + 13()(1 )(3 ) + + 1,(),1 ( )

dengan,

0(

) =

(

),

1(

) =

(

)

,

2(

) =

(

)

, ,

(

) =

(

)

,

11(

) =

(

)

,

22() = () , ,() = () ,12() = () ,13() = () , ,1,() = ()Langkah 4.

Meminimumkan fungsi terhadap vektor parameter () : = (,)dengan

(,) = (1 ), ,( )Langkah 5.Mendapatkan estimator (). bagi vektor parameter ().Langkah 6.

Mendapatkan estimasi model regresi nonparametrik multivariat, yaitu :2,() = ()Langkah 7.

Mengestimasi vektor dari erorrandom , yaitu :

=

2,

(

)

Langkah 8.Memperoleh estimasi bagi 2, yaitu :


39/153

34


2 = Kemudian menghitung nilai 2,() , sehingga estimasi bagi 2,() adalah2 2

,

(

)

=

2(

,

)

(

,

)

Langkah 9.

Menentukan distribusi dari variabel random, yaitu :

= 2,()()(2,()) ; = 1,2, ,Langkah 10.

Menentukan nilai

2.

Langkah 11.

Mendapatkan selang kepercayaan bagi model regresi nonparametrik multivariat pada pengamatan

ke-, yaitu :2,() 2 (2,()) < 2,() < 2,() + 2 (2,())Selanjutnya menerapkan model regresi nonparametrik multivariat data berat badan balita pada

Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 menggunakan program dalam software Minitab dan S-

PLUS 2000 dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Menginputkan data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 yangmemenuhi asumsi model regresi nonparametrik multivariat dengan berat badan balita sebagai

variabel respon, tinggi badan balita sebagai variabel prediktor pertama dan lingkar kepala balita

sebagai variabel prediktor kedua.

b. Membuat scatterplot antara variabel respon terhadap masing-masing variabel prediktor dalamsoftware Minitab.

c. Membuat algoritma dan program dalam software S-PLUS 2000.d. Mengestimasi model regresi data berat badan balita.

13 Hasil dan PembahasanDiasumsikan data pengamatan berpasangan { , } , = 1,2, , dengan adalah variabel responke i dan = (1,2, ,) adalah variabel prediktor multivariat ke-i memenuhi model regresinonparametrik multivariat, yaitu : = () + ; = 1,2, , () () + () + 12()Jika nilai() pada persamaan (1) disubstitusikan ke dalam persamaan (3), diperoleh : = 0() + 1()(1 ) ++ ()( ) + 11()(1 )2 ++

(

)(

)2 +

12(

)(

1 )(

2 ) +

+

1,

(

)

,

1

(

) +

(9)

Persamaan (9) jika dinotasikan dalam notasi matrik akan menjadi :


40/153

35


= ()() + (10)Estimasi model regresi pada persamaan berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua diperoleh

dengan meminimumkan fungsi :

=

2

=1 (

) (11)

dengan ( ) = 1 =1 Jika dinotasikan dalam bentuk matriks, persamaan (11) dapat ditulis :

= (,) (12)dengan

(,) = ( ), ,( )Untuk memperoleh (), maka minimumkan fungsi regresi dengan cara menghitung () = 0,diperoleh : = (,)

= ()()(,)( ()(()= ( ()())((,) (,)()())=

(

,

)

(

,

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

,

)

+

(

)

(

)

(,)()()= (,) 2()()(,) + ()()(,)()()

Syarat cukup agar fungsi pada persamaan (12) mencapai minimum adalah () = , sehinggadiperoleh :

() = =

2

(

)

(

,

)

+ 2

(

)

(

,

)

(

)

(

)

2()(,)()() = 2()(,)()(,)()() = ()(,)Sehingga diperoleh nilai () :() = ()(,)()1()(,) (13)Syarat perlu agar fungsi pada persamaan (12) mencapai minimum adalah :() = ()()= 2()(,)()


41/153

36


adalah definit positif.

Substitusikan persamaan (13) ke dalam persamaan (10), sehingga didapatkan :

=

(

)

(

) =

(

,

)

(14)

dengan

(,) = ()(()(,)())1()(,)Sehingga, estimator polinomial lokal orde dua untuk pengamatan ke- i dapat dituliskan sebagai

berikut :2,() = (,) (15)dengan(,) adalah baris ke- dari matrik(,).Selanjutnya, fungsi

2,

(

) akan diestimasi dengan menentukan selang kepercayaanbagi rata-rata

2,() dengan terlebih dahuluvektor dari erorrandompada persamaan (10) diestimasi oleh : = 2,()Dari persamaan (14) diperoleh estimasi bagi 2adalah :2 = Selanjutnya akan dihitung nilai varians dari2,():

2,

(

)

=

(

,

)

(

)

(

,

)

= (,)2(,)= 2(,)(,) (16)

Estimasi bagi 2,() pada persamaan (16) adalah :2 2,() = 2(,)(,) (17)Diketahui bahwa vektor random

~

(

(

),

2). Maka,

~

(

(

),

2), sehingga kombinasi

linier dari persamaan (15) diperoleh 2,() ~ 2,() , 2 2,() . Akibatnyavariabel random =,() ,(),() ~(0,1). Selang kepercayaan (1 ) 100% bagi 2,() adalah sebagai berikut :2,() 2 ,() < 2,() < 2,() + 2 ,()Data yang digunakan untuk penerapan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan

estimator polinomial lokal orde dua ini adalah data sekunder yang diambil dari [5], yaitu data berat


42/153

37


badan balita di Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006. Variabel respon pada data adalah berat

badan balita sedangkan variabel prediktor pertama adalah tinggi badan balita dan variabel prediktor

kedua adalah lingkar kepala balita. Pada data ini diambil jumlah pengamatan sebanyak 30.

Untuk mendapatkan estimator model regresi nonparametrik multivariat yang menunjukkan

seberapa besar pengaruh tinggi badan balita dan lingkar kepala balita terhadap berat badan balita,

langkah yang dilakukan adalah menentukan model hubungan antara variabel respon dengan variabel

prediktor secara serentak dengan menggunakan pendekatan estimator polinomial lokal orde dua.

Gambaran awal tentang data dapat dilakukan dengan membuat scatterplot antara berat badan

balita dengan tinggi badan balita dan berat badan balita dengan lingkar kepala balita, dengan

menggunakan software Minitab, sebagai berikut :

Gambar 1 Plot data awal berat badan balita terhadap tinggi badan balita

Gambar 2 Plot data awal berat balita terhadap lingkar kepala balita

Nilai bandwidth(h) optimal untuk tiap prediktor pada masing-masing pengamatan ditentukan oleh

kriteria GCV dengan menggunakan program pada software S-PLUS 2000. Nilai bandwidth (h) optimal

pada untuk variabel prediktor tinggi badan balita sebesar 1.1 dan untuk variabel prediktor lingkarkepala balita sebesar 0.3, diperoleh nilai minimum GCV sebesar 1.550223.


43/153

38


Nilai bandwidth (h) optimal akan digunakan untuk mencari nilai 2,() pada tiap pengamatan.Dengan menggunakan program pada software S- PLUS 2000, diperoleh nilai estimasi model regresi

nonparametrik multivariat pada setiap pengamatan dengan Mean Square Error (MSE) sebesar

0.992158139962808.

Selanjutnya, dilakukan uji normalitas pada eror dengan menggunakan uji One sample Kolmogorov-

Smirnovpada software S-PLUS 2000. Berdasarkan uji tersebut, diperoleh nilai p-value sebesar 0.5.

Dengan nilai sebesar 5%, maka dapat disimpulkan bahwa eror berdistribusi normal.Plot selang kepercayaan 95% bagi rata-rata berat badan balita akan digambarkan melalui software

Minitab 14 sebagai berikut :

Gambar 3 Plot selang kepercayaan bagi rata-rata berat badan balita

Berdasarkan Gambar 3 di atas, diperoleh hasil estimasi selang kepercayaan 95% bagi rata-rata berat

badan balita pada pengamatan ke-1 adalah 8.286 2,(1) 9.349, padapengamatan ke-2 sebesar 10.673 2,(2) 12.426, sampai pada pengamatan ke-30 yaitusebesar 8.538

2,

(

30)

9.695.

14 Simpulan4. Hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat dengan menggunakan estimator

polinomial lokal orde dua adalah :2,() = (,)dengan(,) = ()(()(,)())1()(,)

5. Penerapan data dalam model regresi nonparametrik multivariat adalah data berat badan balitapada Rumah Sakit Haji pada tahun 2006 sebanyak 30 pengamatan dengan variabel respon ()adalah berat badan balita dalam satuan kilogram dan kedua variabel prediktornya adalah tinggi


44/153


45/153

40


AlgoritmaAnt Colony Optimization (ACO) dengan Mutasi dan Local Search

Untuk Menyelesaikan Vehicle Routing Problem

Muhammad Harun Ar Rosyid, Herry Suprajitno, Miswanto

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas AirlanggaKampus C, Jl. Mulyorejo, Surabaya

[email protected]

Abstract. Vehicle routing problem (VRP) is one of the transportation problem that can be described as a set of

vehicles that start and end its journey to serve a customer at a facility called a depot, with every customer has

a demand or request, and all of the vehicle has same capacity and maximum total distance of vehicle. The

thesis aims to determine the optimal route for a number of vehicles as the solution of the problem of vehiclerouting problem using Ant Colony Optimization (ACO) algorithm with mutation and local search process that

furthermore called by Improved Ant Colony Optimization (IACO) algorithm. IACO algorithm is ant colony

optimization (ant algorithm) which coupled with the process of mutation and local search to improve

solutions. Ant colony optimization algorithm is an algorithm that mimics the behavior of ants in search of food

by finding the shortest route starts from the nest to the food place. IACO algorithm includes five basic

processes, namely the process of initialization parameters, construction of the route, the process of mutation,

local search, and update the pheromone. Mutation process used is a reciprocal exchange, and the local search

process used is a local search 2-opt exchange. Data from some of the problems of vehicle routing problem that

has many variations on the customer, vehicle capacity, and maximum total distance of vehicle implemented on

IACO. Programs created with the Java programming language and use the NetBeans IDE 7.0 software for

implementing the solution in the search algorithm IACO. Based on the comparison of results for different

parameter values, the smaller the value of alpha, rho, and the constant Q, and the greater the value of beta

produces a better solution.

Keywords: IACO Algorithm, Ant Colony Optimization, Vehicle Routing Problem, Mutations, Local Search.

16 PendahuluanPerancangan sistem distribusi yang efektif dapat menghasilkan penghematan biaya pengeluaran

yang cukup signifikan bagi perusahaan. Potensi penghematan biaya dapat dihasilkan dari distribusiproduk ke beberapa lokasi customer yang dikombinasikan ke dalam beberapa rute. Masalah

pengoperasian dan perencanaan yang berhubungan dengan pendistribusian barang dipengaruhi

oleh beberapa faktor seperti jangkauan area, biaya pengangkutan dan waktu yang diperlukan untuk

pengangkutan. Permasalahan pendistribusian barang tersebut bertujuan meminimalkan beberapa

sasaran pendistribusian dengan mengambil asumsi untuk semua rute, kendaraan harus berangkat

dan kembali pada pusat fasilitas[4].

Permasalahan untuk meminimalkan rute pendistribusian barang dengan keterbatasan kapasitaskendaraan biasanya disebut dengan Vehicle Routing Problem (VRP). VRP adalah suatu nama umum


46/153

41


yang diberikan kepada suatu permasalahan dengan satu set rute untuk sejumlah armada angkut

atau kendaraan yang berangkat dan kembali ke suatu tempat yang dinamakan dengan depot, yang

harus disebarkan untuk melayani beberapa pelanggan.

Masalah vehicle routing termasuk dalam permasalahan NP-hard (Non Polynomial Hardness), yaitu

suatu permasalahan yang membutuhkan komputasi yang lama dalam mencari penyelesaian masalah

yang optimal sehingga diperlukan metode pencarian yang efektif untuk menyelesaikan

permasalahan tersebut. Pada umumnya solusi masalah vehicle routing diperoleh dengan metode

heuristik, yaitu metode yang digunakan untuk mencari solusi melalui semua kemungkinan yang ada,

tetapi dalam pencariannya tidak bisa dijamin akan ditemukan solusi yang terbaik, sehingga metode

ini biasanya disebut dengan metode perkiraan. Metode heuristik yang digunakan diantaranya

Metode Saving, Algoritma Sweep ([4]&[6]), Algoritma Genetika, danAnt Colony Optimization (ACO).

Jika dengan memisalkan depot pusat sebagai sarang dan customer sebagai makanan, maka VRP

sangat mirip dengan perilaku pencarian makanan (food-seeking) oleh koloni semut yang terjadi di

alam. Hal ini membuat pengkodean ACO untuk VRP cukup sederhana. Pada studi yang dilakukan

oleh [3] menunjukkan sebuah algoritma hybrid ant system dengan menggunakan prosedur local

search 2-opt exchange dan algoritma saving untuk VRP yang mampu memperbaiki kualitas dari

solusi awal yang diperoleh dari algoritma semut. Dalam ACO, 2-opt exchange digunakan untuk

memperbaiki solusi dalam rute-rute yang telah ditemukan oleh masing-masing kendaraan.

Pada jurnal ini akan dibahas masalah vehicle routing yang bertujuan menentukan rute yang optimal

untuk sejumlah kendaraan yang akan beroperasi mendistribusikan barang ke sejumlah pelanggan.

Rute yang terbentuk diharapkan menghasilkan total jarak yang minimum sehingga akan menghemat

biaya transportasi untuk pendistribusian barang. Dari uraian di atas, penulis tertarik untuk

menyelesaikan masalah vehicle routing menggunakan algoritma Ant Colony Optimization (ACO)

dengan mutasi dan local search, yang selanjutnya disebut dengan algoritma Improved Ant Colony

Optimization (IACO). Algoritma IACO adalah algoritma yang dibentuk dengan menambahkan proses

mutasi dan local search sebelum proses update pheromone ke dalam algoritma ACO. Dengan adanya

proses mutasi dan local search, algoritma IACO mempunyai kelebihan, yaitu mampu menemukan

solusi optimal dari solusi awal yang terbentuk pada proses konstruksi rute.

17 Vehicle Routing ProblemVehicle routing problem berkaitan dengan penentuan rute optimal untuk permasalahan lebih dari

satu kendaraan (vehicle) dengan kapasitas tertentu untuk mengunjungi sejumlah pelanggan dengan

permintaannya masing-masing. Rute yang terbentuk harus dimulai dan diakhiri di suatu tempat yang

disebut depot. Setiap pelanggan dikunjungi hanya satu kali dan total permintaan semua pelanggan

dalam satu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang melayani rute tersebut.


47/153


48/153


49/153


50/153

45


Langkah 2 Tukar posisi dari kedua kota atau customeryang terpilih pada langkah 1.

Probabilitas mutasi yang digunakan oleh [2]adalah sebagai berikut:

pm(t)=pmmin+pmmaxpmmin1t

T (12)

dimana pm

(t) adalah probabilitas mutasi pada iterasi ke-t, pmmin adalah tingkat probabilitas mutasi

terendah yang didefinisikan dengan persamaanpmmin =

1

ncdengan nc adalah jumlah semua pelanggan

(kota), pmmax adalah tingkat probabilitas mutasi tertinggi yang didefinisikan dengan persamaan

pmmax =

1

nvdengan nv adalah jumlah rute yang terbentuk pada solusi, tadalah iterasi saat ini, dan T

adalah iterasi maksimum yang diberikan.

20 Local SearchLocal search adalah metode untuk mengidentifikasi sebuah solusi dari suatu permasalahan dengan

mempertimbangkan solusi-solusi potensial yang tersedia sampai ditemukan satu solusi yang

memenuhi kriteria [8].

Metode yang dipakai dalam proses local search adalah metode 2-opt. metode 2-opt merupakan

salah satu metode local search yang mengeliminasi arc / jalur yang bersilangan pada suatu rute

tunggal dengan cara mengambil 2 jalur lalu menghubungkan kembali keempat vertex / lokasi

pelanggan yang berdekatan.

Gambar 1. Contoh metode 2-opt

Contoh metode 2-opt dapat dilihat pada Gambar 2.3. Pada gambar tersebut, pelanggan i+1 yangdilayani setelah pelanggan i diubah menjadi pelanggan yang dilayani setelah pelanggan j+1,

sedangkan pelanggan setelah j+1 yaitu j dilayani setelah pelanggan i+1. Hal ini dilakukan dengan

mengganti sisi (i, i+1) dan (j+1,j) berturut-turut dengan sisi (i,j+1) dan (i+1,j).

21 AlgoritmaImproved Ant Colony Optimization (IACO)Algoritma IACO adalah algoritma ACO yang telah dimodifikasi dengan menyertakan proses mutasi

dan local search sebelum proses update pheromone [2].

Prosedur algoritma IACO:


51/153

46


a. Inisialisasi.Menentukan jumlah kendaraan atau semut (K), jumlah pelanggan atau kota (N), jarak

tempuh maksimum kendaraan (E), kapasitas maksimum kendaraan (W), pengendali

intensitas jejak semut (), pengendali visibilitas jarak kota i ke kota j (), konstantapengontrol kecepatan penguapan jejak semut (), konstanta Q, feromon awal (awal), jarak

setiap pelanggan (dij), permintaan setiap pelanggan (qi), dan total iterasi (T).

b. Konstruksi rute.Masing-masing semut memilih kota tujuan dengan mengacu pada perhitungan

probabilitas pij(k). Nilai probabilitas pij(k) dikomulatifkan, setelah itu dibangkitkan satu nilai

random riil antara 0 sampai dengan 1. Cek nilai random berada pada area komulatif p ij(k)

mana. Pilihlah kota tujuan dengan mengacu pada indeks kota dari p ij(k) komulatif yang

terpilih. Total demand dari kota-kota pada tiap rute tidak boleh melebihi kapasitas

kendaraan, dan total jarak rute tidak boleh melebihi total jarak maksimal kendaraan.

c. Cek nilai_random Pm(t).Pilih dua rute dengan total jarak terbesar. Bangkitkan nilai random riil antara 0 sampai

dengan 1 pada setiap kota di dua rute terpilih. Jika pada setiap rute terdapat kota dengan

nilai random Pm(t), maka lakukan proses mutasi, dan jika tidak ada, lakukan proses local

search.

d. Proses mutasi.Pilih dua kota berbeda dengan nilai random Pm(t) pada dua rute terpilih dilangkah c.

Kemudian tukar posisi kedua kota tersebut. Cek total jarak rute dan total demand setelah

penukaran posisi kota. Jika total jarak rute dan total demandtidak melebihi constraint, maka

lanjutkan ke proses local search, dan jika melebihi constraint, maka clearsolusi dari mutasi

dan lanjutkan ke proses local search dengan mengacu pada solusi konstruksi rute.

e. Proses local search.Tukar posisi kota yang terpilih dengan kota-kota pada rute yang baru. Cek total jarak

rute dan total demand. Pilih susunan rute dengan total jarak terkecil.

f. Update pheromone.Proses update pheromone dilakukan setelah proses local search. Proses ini bertujuan

untuk mengurangi jumlah pheromone pada semua link seperti proses evaporasi atau

penguapan pheromone, dan untuk memastikan bahwa tidak ada satu jalur yang menjadi

terlalu dominan.

g. Mengulang proses.Jika iterasi sama dengan T maka iterasi berhenti dan mendapatkan solusi terbaik dari

semua iterasi. Apabila belum tercapai, kembali melakukan langkah b.

Berikutflowchartdari algoritma IACO:


52/153

47


Gambar 2. Flowchart algoritma IACO

22 Hasil dan PembahasanData yang digunakan diambil dari [1]. Solusi didapatkan dengan menggunakan program yang

menerapkan algoritma improved ant colony optimization (IACO) yang disusun dalam bahasa

pemrograman java.

Dilakukan perbandingan parameter. Data yang digunakan adalah data P01 dan P05. Berikut hasil

perhitungan total jarak semua rute yang didapatkan pada masing masing permasalahan dengan

parameter yang berbeda, yaitu berdasarkan alpha, betha, rho, dan konstanta Q. Pada perbandingan

ini, data P01 menggunakan parameter diantaranya jumlah semut atau kendaraan = 5, jumlah kota

atau pelanggan = 50, jarak tempuh maksimum kendaraan = 0, kapasitas kendaraan = 160,

pheromone awal = 0,1, dan total iterasi = 1000. Sedangkan untuk data P05 menggunakan parameter

diantaranya jumlah semut atau kendaraan = 20, jumlah kota atau pelanggan = 199, jarak tempuh

maksimum kendaraan = 0, kapasitas kendaraan = 200,pheromone awal = 0,1, dan total iterasi = 250.

Jika jarak tempuh maksimum kendaraan = 0, maka berarti dalam pemilihan kota yang akan dilayani

hanya mengacu pada batasan kapasitas kendaraan, dan jauh pendeknya jarak tidak

dipermasalahkan.

Tabel 1 Total jarak semua rute dengan pembanding alpha


53/153


54/153


55/153


56/153

51


b. Sinyal dikirimkan diantara neuron-neuron melalui penghubung-penghubung.c. Penghubung antarneuron memiliki bobot yang akan memperkuat atau memperlemah

sinyal.

d. Untuk menentukan keluaran (output), setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi yangdikenakan pada penjumlahan masukan (input) yang diterima. Besarnya outputiniselanjutnya dibandingkan dengan suatu batas ambang.

3. MetodeExtreme Learning Machine (ELM)Metode pelatihan ELM adalah salah satu metode pelatihan yang baru di JST dan termasuk

metode pelatihan terawasi. ELM ditemukan oleh Huang (2004).Huang (2004), berpendapat bahwa

metode-metode JST yang telah ada sebelumnya memiliki kelemahan-kelemahan terutama dalam hallaju pembelajaran (learning speed). Huang (2004) menambahkan bahwa alasan utama mengapa JSTmempunyai learning speed yang rendah adalah karena semua parameter pada jaringan ditentukansecara iteratif dengan menggunakan suatu metode pembelajaran. Parameter yang dimaksud adalahbobot input dan bias yang menghubungkan antara layer satu dengan layer yang lain.

Pada metode ELM, bobot input dan bias mula-mula ditentukan secara random. Setelah itu, untukmencari bobot akhir dapat dilakukan perhitungan secara analitis yaitu dengan menggunakan Moore-Penrose Generalized Invers. Matriks yang digunakan dalam perhitungan bobot akhir adalah matriksyang beranggotakan jumlahan atau keluaran dari masing-masing input ke layer tersembunyi. Sehinggamenurut Huang (2004), ELM memiliki learning speed yang cepat dan mampu menghasilkan goodgeneralization performance. Standar SLFNs dengan jumlah input nodes sebanyak L dan fungsiaktivasi G(x) dapat digambarkan secara matematis sebagai berikut :

Y = L=1 .(, , b) (1)Dimana :

j = 1,2,...,jumlah input.

i = 1,2,,jumlah hidden.i= Merupakan vektor bobot yang yang menghubungkan antara lapisan hidden ke-i dan lapisanoutput.aj = Merupakan vektor bobot yang yang menghubungkan antara lapisan inputke-j dan lapisan hiddenke-i.

Xj = Lapisan inputyang terdiri darij jumlah input.bi = Merupakan vektor bobot bias pada lapisan hidden ke i.

Sedangkan output dari lapisan hiddenlayeryang teraktivasi dapat dituliskan sebagai berikut :

(

,

,

) =

.

+

=1 (2)

Untuk jumlah input sebanyak n buah dan jumlah hidden sebanyak L buah, dapat disusun sebuah

matriks H yang berisi hasil keluaran dari hidden layer yang berukuran n x L. Persamaan yang

terbentuk adalah sebagai berikut :

H = G(a1, b1, x1) G(aL, bL, x1) G(a1, b1, xn) G(aL, bL, xn) (3)

Sehingga persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut :


57/153

52


Y = H (4)

Pada ELM, bobot inputdan bias ditentukan secara acak. Dan bobot outputdiperoleh dari Persamaan

5 sebagai berikut :

= H+

Y (5)

dengan H+

adalah matrikspseudoinverse dari matriks H.

4. Algoritma Jaringan Syaraf ELMA. Proses Training Data1. Inisialisasi bobot dan bias

Inisialisasi bobot dan bias menggunakan angka acak.

2.

Hitung keluaran unit outputKeluaran outputdihitung dengan menggunakan Persamaan (1).

3. Hitung Mean Square Error(MSE).MSE =

1n Tj Yj2nj=1 (6)4. Periksa kondisi pemberhentian

Iterasi yang ada pada training akan berhenti jika MSE < MSE MAX yang telah ditentukan

atau epoch = epoch maksimal yang diinginkan.

5. Simpan bobot dan bias optimal.

B. Proses Testing Data Training1. Hitung keluaran unit outputmenggunakan persamaan 1.

Data training yang sebenarnya akan dibandingkan dengan data nilai dari outputtesting

data training

2. Hitung MSE menggunakan persamaan 6.

C. Uji Validasi1.

Masukkan data validasiData validasi adalah data sisa hasil dari total data sebenarnya dikurangi dengan data

yang digunakan pada training.

2. Masukkan bobot dan bias optimal dari proses Training data.

3. Melakukan prosesfeedforward, yakni menghitung keluaran unit output.4. Melakukan peramalan data

Peramalan dilakukan dengan memasukkan bobot dan bias ke dalam pola data yang

terakhir.

5. Melakukan Denormalisasi data, denormalisasi dilakukan agar data yang diperolehselama proses dalam JST kembali ke data yang sebenarnya.


58/153


59/153

54


Gambar 4.

Grafik uji

validasi

untuk

peramalan

data

saham

harian

Dari

Gambar 4

diatas

dapat

disimpulkan bahwa output jaringan syaraf ELM mampu mengenali pola data validasi dengan baik.

Pada Tabel 1 berikut adalah hasil peramalan saham dengan jaringan Syaraf ELM pada 5 perusahaan

terkemuka di Indonesia.

Tabel 1. Hasil Peramalan saham pada 5 buah perusahaan

NO.Nama

Perusahaan

MSE

Training

MSE

Validasi

Nilai

Peramalan

Nilai

Sebenarnya

Selisih

(%)

1PT.BANK

MANDIRI0,0001897775 0,00056 7043 6750 4.340

2PT.SEMEN

GRESIK0,0001348025 0,002 10591 10900 2.834

3 PT.ASTRA INT. 0,0000975781 0,00033 65937 64000 3.026


60/153

55


4 PT.PGN 0,0006399139 0,00008 3795 3650 3.972

5 PT.INDOFOOD 0,0001275912 0,00053 4818 4700 2.510

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa besarnya kesalahan atau error yang dihasilkan oleh

jaringan syaraf ELM cukup kecil. Hal ini ditunjukkan dengan besarnya selisih antara harga peramalan

dengan data aslinya yang cenderung kecil.

6. KESIMPULAN

Hasil yang diperoleh dengan menggunakan jaringan syaraf ELM terbukti mampu mengenali pola baik

data training dan data validasi. Peramalan data harga saham menggunakan metode jaringan syaraf

tiruan metode Extreme Learning Machine dapat digunakan sebagai alat bantu pembuat keputusan

dalam berinvestasi.

DAFTAR PUSTAKA

1. Agustina, I, 2010, Penerapan Metode Extreme Learning Machine untuk Peramalan Permintaan,Skripsi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

2. Eliyani, 2007, Peramalan harga saham perusahaan menggunakan Artificial Neural Network danAkaike Information Criterion, Seminar Nasional Aplikasi Teknologi Informasi, Yogyakarta

3. El-sebakhy, 2008, Extreme Learning Machine as a New Framework in Predicting MaterialProperties: Methodology and Comparison, International Association for Computer Methods and

Advances in Geomechanics (IACMAG), India

4. Huang, G. B., Zhu, Q. Y., Siew, C. K., 2006, Extreme learning machine: Theory and application,Neurocomputing, 70, 489-501

5. Iman, N. , 2008, Kiat-kiat membiakkan uang di masa sulit, Elex Media Komputindo, Jakarta6. Kusumadewi, S., 2003,Artificial intellegence (teknik dan aplikasi), Graha ilmu, Yogyakarta.7. Lesmana, A., 2007, Penggunaan jaringan syaraf tiruan metode backpropagation untuk

memprediksi harga saham, Skripsi, Universitas Gunadarma Jakarta

8. Manurung, A. H., 2010, Wealht Management, Kompas Gramedia, Jakarta9. Nachrowi, N. J. 2004, Teknik Pengambilan Keputusan, Grasindo, Jakarta10.Purnomo, R., S., dan Hariani, I. , 2010, Buku Pintar Hukum Bisnis Pasar Modal, Transmedia

Pustaka, Jakarta

11.Rojas, R., 1997, Neural Network : A Systematic Introduction , Springer-Verlag, Berlin12.Setiawan, W., 2008, Peramalan harga saham dengan algoritma backpropagation, Konferensi

Nasional Sistem dan Informatika, Bali

13.Siang, J.J, 2005, Jaringan Syaraf Tiruan & Pemrogramannya Menggunakan Matlab, PenerbitAndi, Yogyakarta

14.Situmorang, P., dkk., 2010,Jurus-jurus Berinvstasi Saham, Trans Media Pustaka, Jakarta15.Syamsir, H., 2004, Solusi Investasi Bursa Saham, Elex Media Komputindo, Jakarta


61/153


62/153

57


Genetic AlgorithmUntuk Menyelesaikan Fuzzy Multi-ObjectiveJob Shop

Scheduling Problem

Marisa, Herry Suprajitno, Auli Damayanti

Departemen Matematika, Fakultas Sains dan TeknologiUniversitas Airlangga

Kampus C, Jl. Mulyorejo, Surabaya 600115

[email protected]

Abstrack. Job Shop Scheduling Problems (JSSP) is a scheduling problem containing of n jobs and mmachines which each job consists of several operations performed by different machines. Generally,

many factors influence the JSSP, but in the real world, the uncertainty factors such as delays in the

working process and the duration of the operation give effects in determining the schedule. To

overcome these uncertainties, fuzzy number are used for processing time and due date. The purpose of

this skripsi is to solved Fuzzy Multi-Objective (Agreement Index (AI) and Completion Time) JSSP

(FMOJSSP) by using Genetic Algorithm (GA). The steps of GA are to generating the initial chromosomes

based on the degree of similarity between individuals, evaluation, tournament selection, crossover and

mutation. The program made is implemented on three datas (problems) of size 66 and the best results

for mean of AI, minimum of AI and maximum of completion time for Problem 1 respectively are

0,96186; 0,79422 and (65,0; 87,0; 110,0), for Problem 2 respectively are 0,99227; 0,97460 and (60,0;

83,0; 99,0), for Problem 3 respectively are 0,84864; 0,69231 and (28,0; 38,0; 49,0). Three numbers of

completion time sequentially showing the fastest completion time, the normal completion time and

completion time of late.

Keywords : Fuzzy Multi-ObjectiveJSSP, Degree of Similarity, Genetic Algorithm, Agreement Index.

1.Pendahuluan

Pada saat ini, perkembangan ilmu dan teknologi banyak mempengaruhi perkembangan dunia

industri dan manufacturing, hal ini berdampak pada persaingan industri. Dalam menghadapi

persaingan tersebut diperlukan strategi dalam menentukan penempatan urutanjob sehingga waktu

yang diperlukan menjadi efisien. Dengan waktu yang efisien tersebut diharapkan industri dapat

mengurangi pengeluaran biaya produksi serta dapat memenuhi kebutuhaan konsumen tepat waktu.

Salah satu permasalahan penjadwalan yaituJob Shop Scheduling Problem (JSSP).

Dalam JSSP terdapat m mesin dan njob yang akan dijadwalkan. Masing-masing job terdiri dari

beberapa operasi yang dilaksanakan oleh mesin yang berbeda dan masing-masing job memiliki

urutan mesin tersendiri.

Dalam proses penjadwalan ada beberapa faktor ketidakpastian seperti keterlambatan proses

pengerjaan, dan lamanya proses pengoperasian yang ikut berpengaruh. Untuk mengatasi

ketidakpastian tersebut, maka digunakan bilangan fuzzy yaitu Triangular Fuzzy Number untuk

processing time dan Trapezoidal Fuzzy Number untuk duedate. Bilangan tersebut nantinya akan

digunakan untuk menghitung waktu penyelesaian masing-masing job di keseluruhan mesin


63/153

58


(Completion time). Setelah completion time didapatkan maka akan diperhitungkan kesesuaian antara

waktu penyelesaian tiap-tiapjob tersebut dengan due date yang disebut denganAgreement Index.

Makalah ini menggabungkan penelitian yang telah dilakukan oleh Sakawa yang menggunakan

derajat kesamaan dalam membangkitkan individu awal dengan penelitian yang dilakukan oleh Lei

yang menggunakan seleksi turnamen dalam pemilihan induk, sedangkan crossoverdan mutasi yang

digunakan yaitu Partial Schedule Exchange Crossover dan Swap Mutation. Dengan menggunakan

Fuzzy Processing Time dan Fuzzy Due Date, penyelesaian JSSPmenggunakan Multiobjective Genetic

Algorithm akan diperkenalkan lebih lanjut. Pada skripsi ini fungsi objektif yang digunakan tidak hanya

memaksimalkan minimum Agreement Index (AI) tetapi juga memaksimalkan rata-rata Agreement

Indexdan meminimunkan maksimum Completion time.

2.Job Shop Scheduling Problem

Dalam [1] dijelaskan bahwa secara umum, sebuah permasalahan job shop scheduling dirumuskan

sebagai berikut. Misalkan terdapat n job JidenganJiadalahjob ke-i(i=1,2,..,n) yang diproses pada

m mesin Mrdengan Mradalah mesin ke-r(r=1,2,..,m) dan dimisalkan pula operasi dari job Jipada

mesin Mradalah Oi,j,rdimana{1,2,,m} adalah posisi operasi urutan mesin pada masing-masingjob. Atau dapat diartikan bahwa Oi,j,rmenunjukkan operasi ke-jpadajob Ji yang diproses pada mesin

r.

Dalam JSSP digunakan beberapa definisi dan notasi yang dijelaskan dalam [2]:

a. Waktu pemrosesan (Processing Time ataupij)Merupakan panjang waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan masing-masing operasi job

termasuk waktu untuk mengatur (set up) mesin dan waktu untuk memindahkanjob pada mesin.

b. Waktu tenggat (Duedate atau di,)Merupakan waktu ideal dimanajob ke-i harus sudah diselesaikan.


64/153

59


c. Waktu penyelesaian (Completion Time atau Ci)Merupakan waktu dimanajob ke-i selesai diproses.

d. Makespan (Cmax)Merupakan total waktu proses seluruhjob.

3. Fuzzy

Jika diterjemahkan menurut kamus, fuzzy dapat diartikan sebagai sesuatu yang tidak jelas atau

buram yang menggambarkan ketidakpastian. Penjelasan tentang definisi dasar dan operasi yang

digunakan diambil dari [1], [3], [4], [5], dan [6].

Sebuah himpunanX yang merupakan himpunan semesta pada himpunan fuzzyA dinyatakan dengan

sebuah Fungsi Keanggotaan (membership function), ][xA yang menunjukkan pemetaan masing-

masing titikxXke dalam sebuah nilai real pada interval antara 0 dan 1 dan disebut sebagai derajat

keanggotaan (degree of membership). Nilai ][xA menyatakan fungsi keanggotaan dari x pada

himpunanA. Sehingga, semakin dekat nilai ][xA ke nilai 1, maka semakin tinggi nilai keanggotaan

darixdiA. Secara lebih jelas himpunan fuzzy A dinotasikan sebagai berikut :

}|),{( XxxxA A = ][


65/153

60


Triangular Fuzzy Number (TFN) adalah himpunan fuzzy yang memiliki tiga titik a,b,c ditunjukkan

pada Gambar 1. Dan fungsi keanggotaannya adalah :

Gambar 1

Trapezoidal Fuzzy Number adalah himpunan fuzzy yang mempunyai empat titik yaitu a, b, c, dseperti ditunjukkan pada Gambar 2. Dan fungsi keanggotaannya adalah :

Gambar 2

Dalam himpunan fuzzy ada beberapa operasiyang sering digunakan antara lain:

a. Operator AND yang digunakan untuk menghubungkan operasi interseksi pada himpunan.])[],[min( xx BABA =

b. Operator OR yang digunakan untuk menghubungkan operasi union pada himpunan.])[],[max( xx BABA =

c. Operator NOT yang digunakan untuk menghubungkan operasi komplemen pada himpunan.

][1' xAA =

Misalkan ),,(~ 321

aaaA = dan ),,(~ 321

bbbB = merupakan dua TFN, maka operasi yang dapat

digunakan pada bilangan fuzzy tersebut adalah :

1. ),,(),,(),,(~~ 332211321321 babababbbaaaBA +++=+=+ Operasi ini akan digunakan untuk menghitung waktu penyelesaian operasi.

2. ),,(),,(),,(~~ 332211321321 babababbbaaaBA =

0

1,

][x

Derajat

keanggotaa

a b c

=

cxbbc

xc

bxaab

axcxax

x

;

;

;0

][

=

dxc

cd

xdcxb

bxaab

axdxax

x

;

;1

;

;0

][

0

][ x

Derajat

keanggotaan

Domaina b c

1

d


66/153


67/153


68/153

63


3.Partial schedule selanjutnya dari parent 2 harus dimulai dan diakhiri dengan job yang samadenganjob awal dan akhir padapartial schedule 1, sehingga diperolehpartial schedule 2.

4.Menukar posisipartial schedule 1 kedalamparent2danpartial schedule 2 kedalamparent1.5.Hasil dari pertukaranpartial schedule biasanya akan menyebabkan jumlah gen yang tidak sesuai,

sehingga harus dicari kelebihan dan kekuranga gen pada masing-masing anak hasil crossover.

6.Menghapus kelebihan gen dan menambah kekurangan gen pada masing-masing anak hasilcrossoverdengan memperhatikan urutan operasijob pada parentpembentukpartial schedule.

Sedangkanmutasi yang digunakan adalah Swap Mutation yaitu dengan memilih dua posisi gen induk

secara acak kemudian menukar gen pada kedua posisi tersebut.

Secara umum langkah-langkah dalam algoritma genetika yaitu :

1. [Mulai] Membangkitkan populasi secara random sebanyak n individu (solusi feasible daripermasalahan)

2. [Fitness] Menilai keandalan setiap individu dalam populasi.3. [Populasi baru] Membentuk populasi baru lewat pengulangan pengoperasian operator genetik

berikut sampai populasi baru lengkap.

a. [Seleksi] Memilih induk dari populasi sesuai dengan nilai keandalannya (keandalan yang lebihbaik, lebih berpeluang untuk terpilih).

b. [Crossover] Dengan suatu laju crossover, crossover induk untuk membentuk anak (individubaru). Jika tidak ada crossoveryang dilaksanakan, anak merupakan copian yang sama dengan

induknya.

c. [Mutasi] Menggunakan suatu probabilitas, mutasi induk pada masing-masing sifat (lokus =posisi dalam kromosom).

4. [Mengganti] Menggunakan populasi yang baru dibentuk untuk menjalankan algoritma lebihlanjut.

5. [Menguji] Jika sudah mencapai n iterasi atau optimal, berhenti dan diperoleh solusi terbaik daripopulasi ini. Jika tidak maka kembali ke langkah 2 sampai diperoleh solusi terbaik dari populasi

ini.

5.Fuzzy Multi-Objective JSSP (FMOJSSP)

Penjelasan tentang definisi dasar FMOJSSP diambil dari [1]. Pada penyelesaian JSSP digunakan

Triangular Fuzzy Number (TFN) yang dilambangkan dengan bentuk triplet ),,(~ 321 aaaA = . Untuk

mencar

jurnal matematika vol 1 no 1 januari 2013

Documents