kalkulus - 01 sistem bilangan real

7/23/2019 Kalkulus - 01 Sistem Bilangan Real

http://slidepdf.com/reader/full/kalkulus-01-sistem-bilangan-real 1/33

Sistem Bilangan Riil



2

Sistem bilangan

N : bilangan

asli

Z : bilangan bulatQ : bilangan rasional

R : bilangan real

N :

1,2,3,….

Z :…,-2,-1,0,1,2,..

0,,, ≠∈= b Z bab

aq

Q :

Irasional Q R ∪=

π ,3,2

Contoh Bil rasional



3

!aris bilangan

0 1

Setia" bilangan real mem"un#ai "osisi "a$a suatu garis #ang $isebut

$engan garis bilangan%real&

-3

2

π

'im"unan bagian $ari garis bilangan $isebut selang

Selang



(

Selang

'im"unan selang{ }a x x < ( )a,∞−

{ }a x x ≤ ( ]a,∞−

{ }b xa x << ( )ba,

{ }b xa x ≤≤ [ ]ba,

{ }b x x > ( )∞,b

{ }b x x ≥ [ )∞,b

{ }ℜ∈ x x ( )∞∞,

)enis-*enis selang

!ra+i

a

a

a b

a b

b

b



Si+atsi+at bilangan real

Si+at-si+at urutan :/riotomi

)ia $an # a$alah suatu bilangan, maa "asti berlau

salah satu $ari # atau # atau #4etransiti+an

)ia # $an # 5 maa 5

6eralian

7isalan 5 bilangan "ositi+ $an # maa 5 #5,se$angan bila 5 bilangan negati+, maa 5 #5



8

Pertidaksamaan

6erti$asamaan satu 9ariabel a$alahsuatu bentu al*abar $engan satu 9ariabel#ang $ihubungan $engan relasi urutan.

Bentu umum "erti$asamaan :

$engan %&, B%&, ;%&, <%& a$alah suuban#a %"olinom& $an B%& = 0, <%& = 0

( )

( )

( )

( ) x E

x D

x B

x A<



>

Pertidaksamaan

7en#elesaian suatu "erti$asamaan a$alah

men?ari semua him"unan bilangan real #ang

membuat "erti$asamaan berlau. 'im"unan

bilangan real ini $isebut *uga 'im"unan6en#elesaian %'6&

Cara menentuan '6 :

1. Bentu "erti$asamaan $iubah men*a$i : , $engan ?ara :0

)(

)(<

xQ

x P



@

Pertidaksamaan

Ruas iri atau ruas anan $inolan

7en#amaan "en#ebut $an men#e$erhanaan

bentu "embilangn#a

2. ;i?ari titi-titi "eme?ah $ari "embilang $an"en#ebut $engan ?ara 6%& $an Q%& $iuraian

men*a$i +ator-+ator linier $anA atau ua$rat

3. !ambaran titi-titi "eme?ah tersebut "a$a

garis bilangan, emu$ian tentuan tan$a %, -&"erti$asamaan $i setia" selang bagian #ang

mun?ul



Contoh :

/entuan 'im"unan 6en#elesaian

53213 ≥−≥ x

352313 +≥≥+ x

8216 ≥≥ x

48 ≥≥ x

84 ≤≤ x

[ ]8,4'" ( @

1



10

Contoh :


8462 ≤−<− x

248 ≤−<− x

248 −≥> x

842 <≤− x

22

1

<≤− x

−= 2,

2

1

22

1−

'"

2



11

Contoh :


0352 2 <−− x x

( )( ) 0312 <−+ x x

/iti 6eme?ah %/6& :21−= x $an 3= x

3

--

21−

3

'"

− 3,

2

1



12

Contoh :


637642 +≤−≤− x x x

x x 7642 −≤− 6376 +≤− x x$an

4672

+≤+ x x $an 6637

+−≤−− x x

(

109 ≤ x 010 ≤− x$an

9

10≤ x 010 ≥ x$an

9

10≤ x $an 0≥ x



13

'" [ )∞∩

∞− ,0

9

10,

09

10

;ari gambar tersebut $a"at $isim"ulan :

'"

9

10,0



1(

Contoh :


13

2

1

1

−<

+ x x

0

13

2

1

1<

−

−

+ x x( ) ( )

( ) ( ) 0

131

2213<

−++−−

x x

x x

.

( )( ) 0

1313 <−+ − x x

x

/6 : -1,3

1− , 3

3

--

-1

--

3

1−

'" ( )

−∪−∞− 3,

3

11,



1

Contoh :


x

x

x

x

+≤

−+

32

1

032

1

≤+−−

+ x

x

x

x

( ) ( ) ( )

( )( ) 0

32

231≤

+−−−++

x x

x x x x

( ) ( ) 0

32

322 2

≤+−++

x x

x x

8.



18

Dntu "embilang 322 2 ++ x x mem"un#ai nilai

;isriminan %;& 0, sehingga nilain#a selalu

"ositi+, )a$i /6 : 2,-3

6embilang ti$a menghasilan titi "eme?ah.

-3 2

-- --

( ) ( )∞∪−∞ ,23,'"



1>

Pertidaksamaan nilai mutlak

Nilai mutla x %E xE& $i$e+inisian sebagai

*ara x $ari titi "usat "a$a garis bilangan,

sehingga *ara selalu bernilai "ositi+.

;e+inisi nilai mutla :

<−

≥

= 0,

0,

x x

x x

x



1@

Pertidaksamaan nilai mutlak

Si+at-si+at nilai mutla:

y

x

y

x

=

2 x x =

a xaaa x ≤≤−↔≥≤ 0,

a xaa x ≥↔≥≥ 0, atau a x −≤↔≤ y x

22 y x ≤

8. 4etasamaan segitiga

y x y x +≤+

1

2

3

(

y x y x −≥−



1

Contoh : 7enentuan 'im"unan

6en#elesaian

41 <<⇔ x

Contoh :

352 <− x

4ita bisa menggunaan si+at e-2.

3523 <−<−⇔ x

53235 +<<−⇔ x

822 <<⇔ x

'" ( )4,11 (

1.



20


6en#elesaian

( ) ( ) 0422 <−−⇔ x x

352 <− x2.

4ita bisa *uga menggunaan si+at e-(,

arena ruas iri mau"un anan e$uan#a "ositi+.

( ) 952 2 <−⇔ x

925204 2 <+−⇔ x x016204 2 <+−⇔ x x

08102 2 <+−⇔ x x

/6 : 1, (

1 (

--

'" ( )4,1



21


6en#elesaian "ae $e+inisi

5432 +≥+ x x3.

4ita bisa menggunaan si+at (

( ) ( ) 22 5432 +≥+⇔ x x

2540169124 22 ++≥++⇔ x x x x

0162812 2 ≥−−−⇔ x x

0473 2 ≥++⇔ x x

3

4−/6 : , -1



22


6en#elesaian

'" ( ]1,,

3

4−∞−∩

∞−

)ia $igambar "a$a garis bilangan :

-13

4−

--



23


6en#elesaian

272

≥+ x

272

≥+⇔ x

272

−≤+ x

52

−≥⇔ x9

2−≤

x

10−≥⇔ x 18−≤ x

[ ) ( ]18,,10 −∞−∪∞−

(.

atau

atau

atau

'"

-1@ -10



2(


6en#elesaian

<−

≥−

=− 22

22

2 x x

x x

x

−<−−

−≥+=+

11

111

x x

x x x

)a$i ita mem"un#ai 3 inter9al :

-1 2

( )1,−∞− [ )2,1− [ )∞,2

. 2123 −≥+−− x x

4ita $e+inisian $ahulu :



2


6en#elesaian

1−< x ( )1,−∞−

2123 −≥+−− x x

( ) ( ) 2123 −≥−−−−⇔ x x

2136 −≥++−⇔ x x

227 −≥−⇔ x

92 −≥−⇔ x

92 ≤⇔ x

2

9≤⇔ x

∞−

2

9,

. Dntu inter9al atau

atau



28


6en#elesaian

( )1,2

9, −∞−∩

∞−

29-1

)a$i '"1

;ari gambar garis bilangan tersebut $a"at $isim"ulan

bahFa hasil irisan e$ua inter9al tersebut a$alah ( )1,−∞−

sehingga '"1 ( )1,−∞−



2>


6en#elesaian

21 <≤− x [ )2,1−. Dntu inter9al atau

2123 −≥+−− x x

( ) ( ) 2123 −≥+−−⇔ x x

2136 −≥−−−⇔ x x

245 −≥−⇔ x

74 −≥−⇔ x

74 ≤⇔ x

4

7≤⇔ x

∞−

4

7,atau



2@


6en#elesaian

)a$i '"2 [ )2,14

7, −∩

∞−

-1 24

7


bahFa hasil irisan $ua inter9al tersebut a$alah

−

4

7,1

sehingga '"2

−

4

7,1



2


6en#elesaian

2≥ x [ )∞,22123 −≥+−− x x

( ) ( ) 2123

−≥+−−⇔ x x

2163 −≥−−−⇔ x x

272 −≥−⇔ x

52 ≥⇔ x

. Dntu inter9al atau

2

5≥⇔ x

∞,2

5 atau



30


6en#elesaian

)a$i '"3 [ )∞∩

∞ ,2,25

22

5


bahFa hasil irisan $ua inter9al tersebut a$alah

∞,25

sehingga

'"3

∞,2

5



31

'" 3Hp2Hp1Hp ∪∪

( )

∞∪

−∪−∞−= ,2

5

4

7,11,Hp

Dntu lebih mem"ermu$ah, masing-masing inter9al

$igambaran $alam sebuah garis bilangan


6en#elesaian



32


6en#elesaian

)a$i '"

∞∪

∞− ,

2

5

4

7,

47

25-1

47 2

5-1

47

25-1



33

Soal Gatihan

5432 +≥+ x x

22212 ≥+++ x x

Cari him"unan "en#elesaian $ari "erti$asamaan

3232 ≤−+− x x

1

2

3

x x

x−≥

−+

124

2

(

3

122 +

+≤

− x

x

x

x

23 ≤+ x x8

kalkulus - 01 sistem bilangan real

Documents