kelompok 1 surya winda ediitt1

7/24/2019 Kelompok 1 Surya Winda Ediitt1

1/16

1.1 Latar belakang

Dalam kehidupan sehari-hari tentu semua orang mengenal gitar. Jika senar gitar dipetik maka senar gitar

akan bergetar dan mengalunkan suara melodi yang begitu indah. Apabila senar gitar tersebut tidak terus dipetik

maka lama kelamaan senar gitar akan berhenti bergetar. Hal yang sama tidak hanya terjadi pada gitar saja tetapi

pada semua benda yang digetarkan. Begitu juga hal yang sama terjadi pada sebuah ayunan bandul. Ayunan bisa

bergetar atau berayun-ayunjika didorong. Jika ayunan tidak lagi didorong maka ayunan tersebut akan berhenti

berayun. Demikian juga dengan pegas. Pegas akan berhenti bergetar jika kita tidak terus menerus

menggetarkannya. Sangat banyak contoh lainnya yang dapat kita temukan dalam kehidupan kita sehari-hari.

Dunia kita ini penuh dengan benda-benda yang bergerak. Gerak-gerak tersebut dapat kita kelompokan menjadi

dua yaitu gerak di sekitar suatu tempat dan gerak yang berpindah dari suatu tempat ke tempat lain.

!ntuk gerak yang berada di sekitar suatu tempat dalam kehidupan sehari-hari seperti pada ayunan

bandul dan getaran senar. Sedangkan gerak yang berpindah dari suatu tempat ke tempat lain contohnya seperti

bola yang ditendang oleh pemain sepak bola dan gelombang laut yang bergerak menuju pantai. Sering kita

jumpai suatu gejala yang mempunyai si"at kedua-duanya kita dapat menyatakan sebagai gerak di sekitar suatu

tempat atau gerak yang berpindah dari suatu tempat ke tempat lain bergantung pada sudut pandang kita. Seperti

pada contoh gelombang laut bergerak menjalar ke arah pantai tetapi seekor itik yang sedang berenang ataupun

perahu yang berada di pantai tersebut akan bergerak naik turun tanpa gerak menjalar ke arah pantai. Gerak

bolak-balik seperti seekor itik atau perahu itu disebut dengan gerak osilasi. Gelombang merupakan gejala

gangguan dari suatu sumber yang merambat ke ruang sekitarnya dengan sumber gangguannya berupa sistem

yang berosilasi. Jadi pemahaman tentang osilasi merupakan pengetahuan dasar untuk memahami lebih lanjut

tentang gelombang. Gelombang yang terjadi dapat bersi"at satu dimensi #misalnya gelombang pada tali$ dua

dimensi #misalnya gelombang permukaan air dan selaput tipis$ atau bersi"at tiga dimensi #misalnya gelombang

elektromagnet gelombang laut gelombang selinder gelombang bola dan gelombang gempa bumi$.

Pada Bab ini akan di bahas mengenai osilasi sebagai salah satu sumber gelombang. !ntuk lebih

memudahkan dalam analisisnya sumber gangguan ini disajikan pula dalam bentuk kompleks. Pembahasan

akan dibatasi pada sistem osilator sederhana.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Gerak Harmonik dan Sifat-Sifatnya

Gerak periodik merupakan suatu gerak yang terjadi secara berulang dalam selang %aktu yang sama

sehingga gerak ini disebut juga sebagai gerak harmonik& harmonis. Apabila suatu partikel melakukan gerak

periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak osilasi&getaran. Dalam kehidupan sehari-hari

gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena adanya pengaruh gaya gesekan. Sama

halnya ketika kita memainkan gitar senar gitar tersebut akan berhenti bergetar apabila kita menghentikanpetikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan secara berulang. Hal ini disebabkan

karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan benda-benda tersebut berhenti berosilasi. Si"at osilasi

yang dinyatakan dengan persamaan $cos#$# += tAtx selalu dihasilkan dari dua si"at intrinsik besaran

'


2/16

"isika yang cenderung saling berla%anan yakni gaya pemulih #return force$ dan inersia. Gaya pemulih selalu

ingin mengembalikan gangguanxmenjadi nol. (nersia mela%an setiap perubahan gangguan tersebut terhadap

%aktudt

dx.

Bagaimana osilasi dapat terjadi pada sistem dapat ditinjau dari sebuah pegas yang dipasang horisontal

di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda bermassa m. )assa benda diabaikan demikian juga

dengan gaya gesekan sehingga benda meluncur pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Pada kedaan ini

benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang #lihat gambar '$.

Gambar '

Apabila benda ditarik ke kanan sejauh *x#pegas diregangkan$ pegas akan memberikan gaya pemulih

pada benda tersebut yang arahnya ke kiri sehingga benda kembali ke posisi setimbangnya #gambar +$.

Gambar +

Sebaliknya jika benda ditekan ke kiri sejauh -x pegas juga memberikan gaya pemulih untuk

mengembalikan benda tersebut ke kanan sehingga benda kembali ke posisi setimbang #gambar ,$.

Gambar ,

Besar gaya pemulih ternyata berbanding lurus dengan simpangan xdari pegas yang direntangkan

atau ditekan dari posisi setimbang #posisi setimbang ketikax /$. Secara matematis ditulis0

-kx1111111111111111111111111.#'$

Persamaan ini sering dikenal sebagai hukum hooke dan dicetuskan oleh 2obert Hooke di mana k

adalah konstanta danxadalah simpangan. !ntuk meregangkan pegas sejauh x kita akan memberikan gaya luar

pada pegas yang besarnya sama dengan * kx. Pegas dapat bergerak jika terlebih dahulu diberikan gaya

luar.

+


3/16

Jika pegas diregangkan sampai jarak x A kemudian dilepaskan pegas menarik benda kembali ke

posisi setimbang #x /$. 3etika mele%ati posisi setimbang benda bergerak dengan laju yang tinggi karena

telah diberi percepatan oleh gaya pemulih pegas. 3etika bergerak pada posisi setimbang gaya pegas / tetapi

laju benda maksimum.

3arena laju benda maksimum maka benda terus bergerak ke kiri. Gaya pemulih pegas kembali

memperlambat gerakan benda sehingga laju benda perlahan-lahan menurun dan benda berhenti sejenak ketika

berada pada x -A. Pada titik ini laju benda / tetapi gaya pegas bernilai maksimum di mana arahnya

menuju ke kanan #menuju posisi setimbang$.

Benda tersebut bergerak kembali ke kanan menuju titik setimbang karena ditarik oleh gaya pemulih

pegas tadi. Gerakan benda ke kanan dan ke kiri berulang secara periodik dan simetris antaraxAdanx -A.

,

Gambar 4

Gambar 5

Gambar 6

Gambar 7


4/16

Besaran "isika pada Gerak Harmonik Sederhana pada pegas pada dasarnya sama dengan ayunan

sederhana yakni terdapat periode "rekuensi dan amplitudo. Jarak xdari posisi setimbang disebut simpangan.

Simpangan maksimum alias jarak terbesar dari titik setimbang disebut amplitudo #A$. Satu getaran Gerak

Harmonik Sederhana pada pegas adalah gerak bolak balik lengkap dari titik a%al dan kembali ke titik yang

sama. )isalnya jika benda diregangkan ke kanan maka benda bergerak mulai dari titik x / menuju titikx

A kembali lagi ke titikx / lalu bergerak menuju titikx -A dan kembali ke titikx /.

2.2 Sitem !ilai "engan Sat# "era$at %ebebaan

Suatu sistem osilasi seperti bandul benda pada pegas dan rangkaian seri 89 persamaan geraknya

setiap %aktu dapat dinyatakan secara lengkap dengan satu besaran "isika tertentu. Sistem yang demikian dapat

disebut mempunyai satu derajat kebebasan. Sebagai contoh persamaan gerak bandul dapat dinyatakan dengan

sudut yang terbentuk antara tali dengan garis :ertikal. Persamaan gerak pada pegas dinyatakan dengan

simpangannya terhadap titik setimbang. Dan persamaan gerak rangkaian listrik 89 dinyatakan dengan arus

atau muatan di dalam kapasitor. !ntuk semua sistem dengan satu derajat kebebasan kita akan lihat bah%a

persamaan perpindahan dari keadaan seimbang mempunyai bentuk sederhana yang bergantung pada %aktu

yaitu0

$cos#$# += tAtx ..............................................................................#+$

DenganA, ,dan adalah konstanta sedangkan tadalah :ariabel %aktu. Atau dalam bentuk komplek

dapat dinyatakan sebagai berikut;

Persamaan di atas hanya berlaku perpindahan yang dekat dari posisi kesetimbangannya yang dikenal

dengan osilasi harmonis sederhana.


5/16

3etika gaya pemulih berbanding lurus dengan perpindahan dari posisi kesetimbangan sebagaimana

diberikan oleh persamaan -kx osilasi yang terjadi disebut gerak harmonik sederhana #GHS$. Percepatan

m

F

dt

xda ==

+

+

dari suatu benda dalam GHS diberikan oleh

x

m

k

dt

xd=

+

+

11111111111111111111111.#,$

tanda minus berarti percepatan dan perpindahan selalu memiliki tanda berla%anan. Suatu benda yang

mengalami gerak harmonik sederhana disebut sebuah osilator harmonik.

Osilator Pegas Elastis

Gambar = >silator pegas

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya ketika suatu sistem osilasi terdiri dari satu pegas dengan

konstanta pegas k dan satu benda bermassa m yang terletak di atas bidang datar licin tanpa gesekan kemudian

diberi simpangan sedikit ke kanan lalu dilepaskan maka sistem berosilasi dengan keadaan umumnya seperti

pada gambar #=$. Gaya yang bekerja pada benda adalah0

kxF = dimana $# /xx mengungkapkan simpangan terhadap kedudukan setimbang. Berdasarkan

hukum ((


6/16

$#$#+

+

txm

ktx

dt

d = dimana ( ) += tAtx cos$# maka0

( ) += tAdt

dtx

dt

dcos$#

+

+

+

+

111111111111.1.1...1.#6$

Persamaan diatas diturunkan dua kali sehingga 0

( ) += tAdtd

txdt

d

cos$# +

+

+

+

( )

( )

+=

+=

tA

tAdt

d

cos

sin

+

1111111111. #7$

sedangkan 0

( ) += tAm

ktx

m

kcos$#

sehingga persamaan menjadi 0

( ) ( )

( ) ( )

+=+

+=+

=

tAm

ktA

tAm

ktA

txm

ktx

dt

d

coscos

coscos

$#$#

+

+

+

+

1111111111.#=$

Dari persamaan diatas terlihat bah%a 0

m

k=+ ataum

k=

Dengan0

"rekuensi sudut karakteristik bagi osilator bersangkutan +f

+=A amplitudo osilasi

fm

k

==

+

'+

"rekuensi osilasi

k

mT

f +' == periode osilasi

( ) +t "asa dari gerakan harmonik

tetapan "asa

Persamaan simpangan atau perpindahan dari suatu keadaan setimbang mempunyai bentuk sederhana

yang bergantung pada %aktu yaitu $cos#$# += tAtx . )aka kecepatan osilasi yang bersangkutan adalah

$#$sin# ++ txAtA

dt

dxv =+== 11111111111#?$

Dan percepatan diberikan dengan persamaan

$cos#$# +++

+

+=== tAtxdt

xda 111111111111.#'/$

6


7/16

Bandul Sederhana

9ontoh gerak osilasi #getaran$ yang sering dijumpai yaitu gerak osilasi pendulum #bandul$. Bandul

sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil bermassa m yang digantungkan pada ujung tali

sebagaimana tampak pada gambar di ba%ah. Dalam menganalisis gerakan bandul sederhana gaya gesekan

udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relati" terhadap bola.

Gambar ?. Gerak osilasi bandul matematis

Gambar di atas memperlihatkan bandul sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang 8 dan bola

pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg)dan gaya tegangan

tali @. Gaya berat memiliki komponen mg cos yang searah tali dan mg sin yang tegak lurus tali. Bandul

berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin . 3arena tidak ada gaya gesekan udara maka bandul

melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo p sama.

Hubungan antara panjang busur dengan sudut dinyatakan dengan persamaan0

x = L 1111111111111..111.1. #''$

Dimana sudut adalah perbandingan antara jarak linearxdengan jari-jari lingkaran #r$ jika dinyatakan dalam

satuan radian. 3arena lintasan bandul tidak berupa garis lurus melainkan berupa lingkaran maka digunakan

pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah panjang taliL.

Syarat sebuah benda melakukan Gerak Harmonik Sederhana adalah apabila gaya pemulih sebanding

dengan simpangannya. Apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangan atau sudut maka pendulum

melakukan Gerak Harmonik Sederhana.Gaya pemulih yang bekerja pada pendulum secara matematis ditulis 0

sinmgF = 1111111111111111111. #'+$

@anda negati" menunjukkan bah%a gaya mempunyai arah yang berla%anan dengan simpangan sudut .

Berdasarkan persamaan ini tampak bah%a gaya pemulih sebanding dengan sin ,bukan dengan 3arena gaya

pemulih berbanding lurus dengan sin , maka gerakan tersebut !ukanmerupakan Gerak Harmonik

Sederhana. Alasannya jika sudut kecil maka panjang busurx(x = L )hampir sama dengan panjangL sin

(garis "utus#"utus "ada ara$ $orisonta%). Dengan demikian untuk sudut yang kecil lebih baik gunakan

pendekatan 0

sin

sehingga persamaan gaya pemulih menjadi0

7


8/16

mgmgF = sin

3arenaL

xLx == maka persamaan di atas menjadi0

L

xmgF = atau x

L

mgF = 111111111111 111..#',$

Persamaan ini sesuai dengan hukum Hooke kxF = dimana konstanta gaya e"ekti" adalahL

mgk= sehingga0

L

g

m

Lmg

m

k ===

)aka hubungan "rekuensi dan periode bandul yaitu0

L

gf

+

'

+==

g

L

fT +

'==

Berdasarkan persamaan di atas tampak bah%a periode dan "rekuensi getaran pendulum sederhana

bergantung pada panjang tali dan percepatan gra:itasi. 3arena percepatan gra:itasi bernilai tetap maka periode

sepenuhnya hanya bergantung pada panjang tali #8$. Dengan kata lain periode dan "rekuensi pendulum tidak

bergantung pada massa beban alias bola pendulum. Anda dapat dapat membuktikannya dengan mendorong

seorang yang gendut di atas ayunan. Bandingkan dengan seorang anak kecil yang didorong pada ayunan yang

sama.

Rangkaian LC

&am!ar ' angkaian %istrik L*

3ita perhatikan suatu sistem osilasi rangkaian listrik yang terdiri dari satu induktor dengan induktansi 8

dan satu kapasitor dengan kapasitansi 9 seperti gambar #'/$. )ula-mula rangkaian dihubungkan ke suatu

sumber dan setelah terjadi resonansi sumber dilepas.

!ntuk rangkaian listrik 89 yang diperlihatkan pada gambar #'/$ penerapan hukum tegangan 3ircho""

langsung menghasilkan persamaan

/9

C

dt

d(8 = .......................................................................................#'4$

3arenadtd+, = maka persamaan di atas menjadi

Cdt

Cd ++

+

= ........................................................................................#'5$

=


9/16

Dengan89

'=

Hasil serupa dapat diperoleh dengan mende"erensiasi persamaan #'4$ yaitu

((89

'

dt

(d ++

+

=

= ........................................................................#'6$

pemilihan antara kedua bentuk ini ditentukan oleh syarat a%al yang diketahui

B. !ilai 'eredam

Pembahasan pada osilasi harmonis di atas gesekan yang terjadi antara benda pada sistem pegas dengan

lantai ataupun gesekan udara terhadap bandul diabaikan sehingga besarnya gaya gesekan tersebut sebanding

dengan kecepatan gerak benda #v$.

dt

dxf

dtdx!f = ..............................................................................................#'7$

Dengan !adalah konstanta gesekan #redaman$ di mana persamaan gerakannya menjadi0

/+

+

=++dt

dx!kx

dt

xdm ..........................................................................................#'=$

Jika kita gunakan operator de"erensial dimanadt

d= persamaan di atas menjadi sebuah persamaan

karakteristik0

/+

=++ k!m ........................................................................................#'?$

Akar-akar dari persamaan karakteristiknya adalah

m

k

m

!

m

!= ++' $

+#

+

Jika "aktor =m

!

+ maka

+

/

+

+' =

Solusi dari persamaan gerak yang teredam adalah

tte*e*tx +' +'$#

+= ............................................................................#+/$

Dengan mensubstitusi nilai maka

tte*e*tx

$#

+

$#

'

+/

++/

+

$# + +=

$#$# $#

+

$#

'

+/

++/

+ttt

e*e*etx

+= ..............................................#+'$

!ntuk lebih memahami osilasi teredam yang dinyatakan pada persamaan di atas ada beberapa kasus yang dapat

kita kaji mengenai osilasi teredam yaitu0

Pada kasus-ertama, .ika+

/

+


10/16

$#$# titit ee*etx +=

tAetx t cos$# = ...............................................................................#+,$

>silasi dalam kondisi ini dinamakan osilasiteredam kurang #underdam"ed osci%ation$. Jika diperhatikan

pada persamaan terakhir tampaka bah%a osilasi ini memiliki persamaan yang mirip dengan persamaan osilasi

sederhana hanya saja amplitudonya berkurang secara eksponensial terhadap %aktu.

3asus kedua, .ika+

/

+

>> , maka t+

/

+

. Solusi dari persamaan geraknya+= ++

/

'$# e*e*tx

+= +$# /eAtx .....................................................................................#+4$

>silasi semacam ini disebut osilasi teredam lebih #overdam"ed osci%ation$.

3asusketiga ketika+

/

+ = ,sehingga persamaan de"erensial geraknya0 /+

+

=dt

xd.

Penyelesaian dari persamaan de"erensial semacam ini adalah /Attx +=$# dengan A dan B adalah

konstanta. Dengan demikian penyelesaian $#tx merupakan suatu "ungsi eksponensial yang turun dengan

cepat yaitu

te/Attx += $#$# .................................................................................#+5$

Osilasi Teredam Dengan Gaya Pemacu

Pada osilasi teredam dengan gaya pemacu kita bisa memperhatikan osilasi pegas teredam dengan gaya

pemacu. )isalkan gaya pemacu memiliki persamaan $#cos$# / += tFtF maka persamaan geraknya;

$#cos/+

+

+=++ tFkxdt

dx!

dt

xdm .......................................................#+6$

Persamaan ini merupakan persamaan de"erensial yang tidak homogen dimana solusinyya memiliki

bentuk $#$#$# txtxtx k" += dengan $#tx " merupakan solusi pelengkap yaitu solusi persamaan de"erensial

yang homogen; $#txk merupakan solusi khusus.

!ntuk solusi yang homogen telah dibicarakan sebelumnya yang terdiri dari tiga kasus #underdam"ed

overdam"ed dan critica%%0 dam"ed osci%ation$. Sedang solusi khususnya memiliki bentuk0

$#cos$# += tAtxk ......................................................................#+7$

Jadi permasalahannya adalah bagaimana mencari bentuk amplitudo A dan sudut "ase 1. !ntuk

memperoleh kedua bentuk tersebut maka persamaan #+7$ di substitusikan ke persamaan #+6$.

$#sin += tAdt

dx

$#cos++

+

+= tAdt

xd

Sehingga adakn didapat0

( )

( ) /$#sincos+sin$#

$#cossin+cos$#

+

/

++

/

=+

++

+

tA

tm

FA

...........................#+=$

'/


11/16

Dari persamaan ini kita dapat menuliskan dua bentuk persamaan yaitu

-ertama2

( ) /$#cossin+cos$# ++/ =+

+ t

m

FA

( ) /sin+cos$# ++/

=+m

FA

( ) sin+cos$# ++/ += mFA

+=

+$# +++/

mFA .........................................................................#,/$

3edua

( ) /$#sincos+sin$# +/ =+ tA

/cos+sin$# +/ =

$#

+tan

+

/

=

...................................................................................#,'$

2.( Sitem !ilai "#a "era$at %ebebaan ) !ilai Gandeng

9ontoh yang sangat baik dari sistem yang mempunyai dua derajat kebebasan adalah molekul-molekul

dari partikel elementer #khususnya partikel 3 meson yang netral$. !ntuk mempelajari hal ini kita perlu

mekanika kuantum. 9ontoh yang lebih sederhana adalah pendulum gandeng; satu pendulum tergantung di suatu

atap dan pendulum lainnya digantungkan pada massa pendulum pertama; dua pendulum yang digandeng

dengan pegas; tali dengan dua manik-manik #tasbih$ dua pegas yang digandeng serta dua rangkaian 89 yang

tergandeng.

!ntuk merumuskan persamaan gerak sistem ini perlu dua besaran x kita sebut sajax'danx+. Sebagai

contoh pada bandul gandengx'danx+menyatakan posisi masing-masing bandul terhadap garis :ertikal; pada

rangkaian 89 gandeng x' danx+ menyatakan muatan di dalam masing-masing kapasitor atau arus listrik di

dalam rangkaian.

Gerakan umum dari sistem dengan dua derajat kebebasan sangatlah kompleks. )eskipun demikian kita

akan melihat bah%a untuk sistem dua derajat kebebasan dengan persamaannya yang bersi"at linier gerakan

umum tersebut merupakan superposisi dua gerakan harmonis sederhana yang tidak saling bergantungan. Dua

gerakan harmonis sederhana ini kita sebut dengan mode normal atau mode sederhana. Dengan memilih kondisi

a%al yang sesuai #syarat batasx'x+x'&dt danx+&dt$ kita dapat menyatakan sistem berosilasi hanya dalam salah

satu mode saja.

Osilasi Gandeng Pegas

3ita perlihatkan sistem pegas gandeng terdiri dari tiga pegas yang konstanta pegasnya sama yaitu k dan

dua benda yang massanya sama juga yaitu m terletak pada permukaan datar tanpa gesekan seperti pada gambar

''


12/16

#''$. 3emudian salah satu benda kita beri simpangan lalu kita lepaskan lagi sehingga sistem ini berosilasi

keadaannya menjadi seperti pada gambar #'+$

Dari gambar ini dapat kita tuliskan persamaan gerak untuk masing-masing benda sebagai berikut 0

$# '+'+'

+

xxkkxdt

xdm +=

.....................................................................

#,+$

Dan 0

+'++

+

+

$# kxxxkdt

xdm = ....................................................................#,,$

Jumlah kedua persamaan diatas akan menghasilkan 0

$#$#

+'+

+'

+

xxkdt

xxdm +=

+

....................................................................

#,4$

Solusi persamaan ini merupakan osilasi pusat massa sebagai berikut 0

$cos# '''+'+ +=+ tAxxx .................................................................#,5$

Dengan

m

k=' yang dikenal dengan mode l atau mode rendah. Gerak osilasinya ditunjukkan seperti

gambar #',$. @ampak bah%a gerak osilasi pusat massa ini mempunyai "rekuensi yang sama dengan "rekuensi

osilasi pegas tunggal pegas penggandeng hanya ber"ungsi sebagai penyelaras gerak osilasi. Perpindahan

masing-masing benda mempunyai besar dan arah yang sama.

'+

Gambar '' keadaan setimbang

Gambar '+ 3eadaan umum

Gambar '4 gerak osilasi pusat massa


13/16

Selisih kedua persamaan #,+$ dan #,,$ menghasilkan persamaan0

$#,$#

+'+

+'

+

xxkdt

xxdm =

................................................................#,6$

Solusi persamaan ini merupakan osilasi relati:e sebagai berikut 0

$cos# ++++'+ += tAxxx ................................................................#,7$

Denganm

k,+ = yang dikenal dengan mode + atau mode tinggi.

Gerak osilasinya ditunjukkan seperti pada gambar #'5$. pada osilasi relati:e ini "rekuensinya lebih

besar dari osilasi pusat massa perpindahan masing-masing benda mempunyai besar yang sama tapi arahnya

berla%anan.

Gerak osilasi seluruh sistem merupakan superposisi linier dari kedua osilasi harmonik pada persamaan #,4$ dan

#,6$ yaitu 0

$cos#$cos#$# +++''' +++= tAtAtx .............................................#,=$

Sitematika ol#i Sitem "#a "era$at %ebebaan

Bagaimana bila pada osilasi gandeng pegas massanya atau konstanta pegasnya tidak samaE Bagaimana

bila pada osilasi gandeng rangkaian 89 inductor atau kapasitornya tidak samaE dapatkah diselesaikan dengan

cara seperti yang sudah dibicarakan di depanE tentu tidak bisa dalam pasal ini kita akan membicarakan bentuk

umum cara menyelesaikan osilasi gandeng.

@anpa mamandang bentuk "isis dari sistem osilasi misalkan kita mempunyai dua persamaan di""erensial

orde pertama $omogen0sebagai berikut 0

+'+'''+

'

+

xaxadt

xd= ............................................................................#,?$

',

Gambar '5 gerak osilasi relati"


14/16

+++'+'+

+

+

xaxadt

xd= ............................................................................#4/$

3ita asumsikan bah%a osilasi mempunyai satu mode normal artinya kedua derajat kebebasan x'danx+

berosilasi dengan "rekuensi dan tetapan "ase yang sama. )isalkan solusi kedua persamaan di atas adalah

$cos#$# += tAtx nn dengan n0'+..

Substitusi solusi ini ke dalam persamaan #,?;4/$ di atas menghasilkan 0/$# +'+'''

+=++ xaxa ........................................................................#4'$

/$# ++++

'+' =++ xaxa ........................................................................#4+$

Bentuk persamaan ini akan lebih baik bila diungkapkan dalam bentuk matriks sebagai berikut 0

/

+

'

++

+

+'

'+''

+

=

+

+x

x

aa

aa

...........................................................................................#4,$

3arena ruas kanan sama dengan nol maka determinan dari matriks di ruas kiri sama dengan nol.

/.$$.## +''++++

''

+ =++ aaaa

/..$.# +''+++''+

++''

4 =++ aaaaaa

Jadi kita memperoleh persamaan kuadrat dari F+ dan akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan

rumus abc0

$#++ +''+++''

+

++''G

++''++' aaaaaaaa

+

++

=

3ita juga dapat mengungkapkan perbandingan amplitude dari masing-masing mode sebagai berikut 0

!ntuk mode ' 0+'

++

+

'

+

'

a

a

A

A =

!ntuk mode + 0+'

++

+

+

+

'

a

a

A

A =

Superposisi umum dari kedua mode tersebut adalah 0

$cos#$#$cos#$#$# ++mod'''mod'' +++= tAtAtx ee

$cos#$#$cos#$#$# ++mod+''mod++ +++= tAtAtx ee

'4


15/16

2.* Analii !ilai &armoni

Analisis Fourier

ungsi gangguan x#t$ yang periodik dapat diuraikan sebagai superposisi linier dari "ungsi harmonik

sederhana melalui uraian deret ourier sebagai berikut 0

{ }=

++='

/ $sin#$cos#+

'$#

n

nn tn!tnaatx ...........................................#44$

Dengan andan bndisebut koe"isien-koe"isien ourier.

=+

+

$cos#$#+

T

T

n dttntxT

a

.....................................................................#45$

=+

+

$sin#$#+

T

T

n dttntxT

!

.....................................................................#46$

Dengan n /'+,11.danT

+=

!raian ourier pada persamaan #44$ memperlihatkan sederetan osilasi harmonik sederhana dengan

amplitude dan "rekuensi yang tertentu.

!ntuk "ungsi gangguan #t$ yang tidak periodik dapat diuraikan sebagai superposisi linier dari "ungsi

harmonik sederhana melalui trans"ormasi ourier #Fourier Transform$ sebagai berikut0

=

degtx ti$#+

'$#

.................................................................#47$

Dengan

= dtetfg ti

$#+

'$#

Persamaan #47$ menunjukkan bah%a gangguan yang tidak periodik dapat dinyatakan sebagai superposisi

linier dari "ungsi harmonik dalam spektrum F yang kontinu.

Aroksimasi Osilasi !ecil

Selain itu menarik untuk diperhatikan analisis energy potensialnya dari sistem osilasi karena energy

potensial sistem osilasi ini mempunyai bentuk yang khas. !ngkapan gaya pulih dari osilasi harmonis pada

pegas #x$ -kx dapat pula mengungkapkan "ungsi energy potensialnya yaitu0

==x

kxdxxFx4/

+

+

'$.#$#

..................................................................#4=$

Jadi "ungi energy potensial I#x$ yang sebanding denganx+ mengungkapkan gerak osilasi harmonis dari

sistem tersebut.

'5


16/16

Sebaliknya dapat ditunjukkan bah%a setiap sistem dengan "ungsi energy potensial yang berharga

minimum pada suatu titik tertentu #misalnya dix x/$ maka sistem tersebut akan berosilasi di sekitar titikx/

tersebut.

Syarat minimum0

//

==xxdx

d4 dan ./$#

/

+

+

>=xx

dx

x4d

......................................................#4?$

ungsi potensial I#x$ ekspansikan ke dalam deret @aylor untukx x/ maka 0

.....J+

$#$#$#$#

//

+

+/

// +

++=== xxxx dx

4dxx

dx

d4xxx4x4

)engingat persamaan #4?$ maka persamaan terakhir ini dapat dituliskan dalam bentuk 0

/

+

++

//

J+

$#$#$#

xxdx

4dxxx4x4

=

=.......................................................#5/$

!ngkapan ini memperlihatkan ciri serupa dengan persamaan #4=$. Sudah barang tentu uraian ini hanya

berlaku untuk osilasi dengan amplitude kecil di sekitar titik setimbang /.

kelompok 1 surya winda ediitt1

Documents