makalah evaluasi numerik integral

7/23/2019 Makalah Evaluasi Numerik Integral

http://slidepdf.com/reader/full/makalah-evaluasi-numerik-integral 1/18

INTEGRAL NUMERIK

Integral suatu fungsi adalah operator matematik yang dipresentasikan dalam bentuk:

dx x f I ∫ = b

a

)(

(7.1)

dan merupakan integral suatu fungsi f ( x) terhadap variabel x dengan batas-batas integrasi

adalah dari x = a sampai x = b. Seperti pada ambar 7.1 dan persamaan (7.1)! yang

dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f ( x) dan

sumbu- x! serta antara batas x = a dan x = b. "alam integral analitis! persamaan (7.1) dapat

diselesaikan men#adi:

[ ] )()()()( b

a

b

a

a F b F x F dx x f −==∫

dengan F ( x) adalah integral dari f ( x) sedemikian sehingga F $ ( x) = f ( x).Sebagai %ontoh:

.&)'(

1

)(

1

1

'

'

=

−=

=∫ xdx x

Gambar 7.1. Integral suatu fungsi

Integral numerik dilakukan apabila:

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan se%ara analisis.

) *ungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis! tetapi se%ara numerik

dalam bentuk angka (tabel).

+etode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan

perkiraan. ,itungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh

berdasar data tersedia. entuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang

dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti

pada ambar 7.a! akan dihitung:

dx x f I ∫ = b

a

)(

yang merupakan luasan antara kurve f ( x) dan sumbu- x serta antara x = a dan x = b! bila

nilai f (a) dan f (b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu f 1( x).

"alam gambar tersebut fungsi f ( x) didekati oleh f 1( x)! sehingga integralnya dalam luasan

antara garis f 1( x) dan sumbu- x serta antara x = a dan x = b. idang tersebut merupakan

bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri! yaitu:



+ata kuliah +etode umerik

)()()(

b f a f ab I +

−=

"alam integral numerik! pendekatan tersebut dikenal dengan metode trapesium. "engan

pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir

(ambar 7.)! sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir./pabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b)! maka hanya bisa dibentuk satu trapesium

dan %ara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. 0ika tersedia lebih dari dua data!

maka dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium! dan luas total adalah

#umlah dari trapesium-trapesium yang terbentuk. ara ini dikenal dengan metode

trapesium banyak pias. Seperti pada ambar 7.b! dengan tiga data dapat dibentuk dua

trapesium! dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral

fungsi. ,asil pendekatan ini lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. /pabila

digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik.

*ungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih

tinggi! sehingga kurve yang terbentuk tidak lagi linier! seperti dalam metode trapesium!

tetapi kurve lengkung. Seperti pada ambar 7.%! tiga data yang ada dapat digunakan

untuk membentuk polinomial order tiga. +etode Simpson merupakan metode integral

numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. +etode Simpson

12 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 23 menggunakan

empat titik data (polinomial order tiga). 0arak antara titik data tersebut adalah sama.

Gambar 7.2. Metode integral numerik

7.1 Metode Trapesium

+etode trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik dengan persamaan

polinomial order satu. "alam metode ini kurve lengkung dari fungsi f ( x) digantikan

oleh garis lurus. Seperti pada ambar 7.! luasan bidang di ba4ah fungsi f ( x) antara

nilai x = a dan nilai x = b didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis

lurus yang menghubungkan f (a) dan f (b) dan sumbu- x serta antara x = a dan x = b.

0urusan 5eknik 6lektro niversitas +uhammadiyah Surabaya




8endekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium). +enurut rumus geometri! luas

trapesium adalah lebar kali tinggi rerata! yang berbentuk:

)()()(

b f a f ab I +

−≈(7.)

8ada ambar 7.! penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkungmenyebabkan ter#adinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir.

esarnya kesalahan yang ter#adi dapat diperkirakan dari persamaan berikut:

))(($$1

1ab f E −−= ξ

(7.)

dengan ξ adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b.

8ersamaan (7.) menun#ukkan bah4a apabila fungsi yang diintegralkan adalah linier!

maka metode trapesium akan memberikan nilai eksak karena turunan kedua dari fungsi

linier adalah nol. Sebaliknya untuk fungsi dengan dera#at dua atau lebih! penggunaanmetode trapesium akan memberikan kesalahan.

Gambar 7.3. Metode trapesium

ontoh soal:

unakan metode trapesium satu pias untuk menghitung!.dxe I ∫ =

9

'

Penyelesaian:

entuk integral diatas dapat diselesaikan se%ara analitis:

[ ] [ ] .;&31;'!;'99

'

9

'

=−==∫ = eeedxe I

,itungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (7.):

.1&<!111

)'9(

)()()(

9'

=+

−=+

−≈ eeb f a f

ab I

ntuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik! hasil hitungan numerik

dibandingkan dengan hitungan analitis.

esalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

>.9<!1'7>1'';&31;'!;

1&<!111;&31;'!;t −=×

−=ε





5erlihat bah4a penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat

besar (lebih dari 1'' >).

7.2 Metode Trapesium Dengan anyak ias

"ari %ontoh soal diatas terlihat bah4a pendekatan dengan menggunakan satu pias

(trapesium) menimbulkan kesalahan sangat besar. ntuk mengurangi kesalahan yang

ter#adi maka kurve lengkung didekati oleh se#umlah garis lurus! sehingga terbentuk

banyak pias (ambar 7.9). ?uas bidang adalah #umlah dari luas beberapa pias tersebut.

Semakin ke%il pias yang digunakan! hasil yang didapat men#adi semakin teliti.

"alam ambar 7.9! pan#ang tiap pias adalah sama yaitu ∆ x. /pabila terdapat n pias!

berarti pan#ang masing-masing pias adalah:

n

ab x

−=∆

atas-batas pias diberi notasi:

xo = a! x1! x! @! xn = b

Integral total dapat ditulis dalam bentuk:

∫ ++∫ +∫ =−

n

1n

1

1

'

)()()( dx x f dx x f dx x f I

(7.9)

Gambar 7.!. Metode trapesium dengan banyak pias

Substitusi persamaan (7.) ke dalam persamaan (7.9) akan didapat:

)()(A...

)()(A

)()(A

1nn1'1 −+++

++

+=

x f x f x

x f x f x

x f x f x I

atau

+∑+=

−

=)()()(

An

1n

1ii' x f x f x f

x I

(7.;)

atau

∑++=

−

=

1n

1ii )()()(

A x f b f a f

x I

(7.<)

esarnya kesalahan yang ter#adi pada penggunaan banyak pias adalah:





)($$)(1

Ai

t x f ab x

−−=ε (7.7)

yang merupakan kesalahan order dua. /pabila kesalahan tersebut diperhitungkan dalam

hitungan integral! maka akan didapat hasil yang lebih teliti.

entuk persamaan trapesium dengan memperhitungkan koreksi adalah:

)A()($$)(1

A)()()(

A 91n

1ii xO f ab

x x f b f a f

x I −−−

∑++=

−

=ξ

(7.3)

ntuk kebanyakan fungsi! bentuk f $$(ξ ) dapat didekati oleh:

ab

a f b f f

−

−=

)($)($)($$ ξ

(7.&)

Substitusi persamaan (7.&) ke dalam persamaan (7.3) didapat:

[ ])($)($1

A)()()(

A 1n

1ii a f b f x x f b f a f x I −−

∑++=

−

= (7.1')

entuk persamaan (7.1') disebut dengan persamaan trapesium dengan koreksi u#ung!

karena memperhitungkan koreksi pada u#ung interval a dan b.

+etode trapesium dapat digunakan untuk integral suatu fungsi yang diberikan dalam

bentuk numerik pada interval diskret. oreksi pada u#ung-u#ungnya dapat didekati

dengan mengganti diferensial f $(a) dan f $(b) dengan diferensial beda hingga.

ontoh soal:

unakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias adalah ∆ x = 1 untuk menghitung:

dxe I ∫ =9

'

:

Penyelesaian:

+etode trapesium dengan 9 pias! sehingga pan#ang pias adalah:

.19

'9A =

−=

−=

n

ab x

?uas bidang dihitung dengan persamaan (7.<):

∑++=

−

=

1n

1ii )()()(

A x f b f a f

x I

[ ] .&&1&;'!;7)(

1 19' =++++= eeeee

esalahan relatif terhadap nilai eksak:

>.!3>1'';&31;'!;

&&1&;'!;7;&31;'!;t −=×

−=ε





/pabila digunakan metode trapesium dengan koreksi u#ung! maka integral dihitung

dengan persamaan (7.1'). "alam persamaan tersebut koreksi u#ung mengandung

turunan pertama dari fungsi.

/pabila f ( x) = e! turunan pertamanya adalah f $ = eB sehingga:

[ ])($)($1

A

)()()(

A 1n

1i i a f b f

x

x f b f a f

x

I −−

∑++=

−

=

[ ] )(

1

1)(

1 '919' eeeeeee −−++++=

.;;97!;9<<;1!9&&1&;'!;7 =−=

esalahan relatif terhadap nilai eksak:

>.19!'>1'';&31;'!;

;;97!;;&31;'!;t =×

−=ε

ontoh soal:

"iberikan tabel data berikut:

x ' 1 9

f ( x) 1 & 1&

,itung luasan di ba4ah fungsi f ( x) dan di antara x = ' dan x = 9! dengan menggunakan

metode trapesium dan trapesium dengan koreksi u#ung.

Penyelesaian:

Integral numerik dihitung dengan persamaan (7.<):

[ ] .93)1&&(1

1)()()(

A 1n

1ii =++++=

∑++=

−

= x f b f a f

x I

/pabila digunakan metode trapesium dengan koreksi u#ung! integral dihitung dengan

persamaan (7.1'):

[ ])($)($1

A)()()(

A 1n

1ii a f b f

x x f b f a f

x I −−

∑++=

−

=

5urunan pertama pada u#ung-u#ung dihitung dengan diferensial beda hingga:

.1

1

'1

)'()1()()()'($

1

11 =

−=

−

−=

−

−===

f f

x x

x f x f a x f

.191

1&

9

)()9()()()9($

1nn

1nn

n =−

=−

−=

−

−===

−

− f f

x x

x f x f b x f

[ ] .97193)19(1

1)1&&(1

1=−=−−++++= I





7.3 Metode "impson

"i samping menggunakan rumus trapesium dengan interval yang lebih ke%il! %ara lain

untuk mendapatkan perkiraan yang lebih teliti adalah menggunakan polinomial order

lebih tinggi untuk menghubungkan titik-titik data. +isalnya! apabila terdapat satu titik

tambahan di antara f (a) dan f (b)! maka ketiga titik dapat dihubungkan dengan fungsi

parabola (ambar 7.;a). /pabila terdapat dua titik tambahan dengan #arak yang sama

antara f (a) dan f (b)! maka keempat titik tersebut dapat dihubungkan dengan

polinomial order tiga (ambar 7.;b). Cumus yang dihasilkan oleh integral di ba4ah

polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Gambar 7.#. $turan "impson

1) Aturan Simpson 12

"i dalam aturan Simpson 12 digunakan polinomial order dua (persamaan

parabola) yang melalui titik f ( xi – 1) , f ( xi) dan f ( xi D 1) untuk mendekati fungsi.

Cumus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret 5aylor. ntuk itu! dipandang

bentuk integral berikut ini.

dx x f x I ∫ =

a

)()((7.11)

/pabila bentuk tersebut didiferensialkan terhadap x! akan men#adi:

)()(

)($ x f dx

xdI x I ==

(7.1)

"engan memperhatikan ambar 7.<. dan persamaan (7.1) maka persamaan deret

5aylor adalah:

)($$E

A

)($E

A

)(A)()A()( i

i

iii1i x f

x

x f

x

x f x x I x x I x I +++=+=+

)A()($$$E9

A ;

i

9

xO x f x

++(7.1)

)($$E

A)($

E

A)(A)()A()( i

i

iii1i x f x

x f x

x f x x I x x I x I −+−=−=−

)A()($$$E9

A ;

i

9

xO x f x

−+ (7.19)

8ada ambar 7.<! nilai I ( xi D 1) adalah luasan diba4ah fungsi f ( x) antara batas a dan

xi D 1. Sedangkan nilai I ( xi − 1) adalah luasan antara batas a dan I ( xi − 1). "engan





demikian luasan di ba4ah fungsi antara batas xi − 1 dan xi D 1 yaitu ( Ai)! adalah luasan

I ( xi D 1) dikurangi I ( xi − 1) atau persamaan (7.1) dikurangi persamaan (7.19).

Ai = I ( xi D 1) F I ( xi − 1)

atau

)A()($$

A)(A

;

i

ii xO x f x

x f x A ++=(7.1;)

Gambar 7.% Penurunan metode "impson

ilai f $$( xi) ditulis dalam bentuk diferensial terpusat:

)A(A

)()()()($$

1ii1i

i xO x

x f x f x f x f +

+−= +−

emudian bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan (7.1;). ntuk

memudahkan penulisan! selan#utnya notasi f ( xi) ditulis dalam bentuk f i! sehingga persamaan (7.1;) men#adi:

)A()A(

A)(

AA ;

1ii1iii xO xO x

f f f x

f x A +++−+= +−

atau

)A()9(

A ;

1ii1ii xO f f f x

A +++= +−(7.1<)

8ersamaan (7.1<) dikenal dengan metode Simpson 12. "iberi tambahan nama 12

karena ∆ x dibagi dengan . 8ada pemakaian satu pias!)

ab x

−=∆

! sehingga persamaan (7.1<) dapat ditulis dalam bentuk:

[ ])()(9)(<

i b f c f a f ab

A ++−

=(7.17)

dengan titik c adalah titik tengah antara a dan b.

esalahan pemotongan yang ter#adi dari metode Simpson 12 untuk satu pias

adalah:





)($$$$A&'

1 ;

t ξ ε f x−=

Gleh karena )

ab x

−=∆

! maka:

)($$$$33'

)( ;

t ξ ε f ab −−=

ontoh soal:

,itung ,dxe I ∫ =

9

'

dengan aturan Simpson 12.

Penyelesaian:

"engan menggunakan persamaan (7.17) maka luas bidang adalah:

[ ] .7<&<!;<)9(<

'9)()(9)(

<

9'

i

=++−

=++−

= eeeb f c f a f ab

A

esalahan terhadap nilai eksak:

>.&17!;>1'';&31;'!;

7<&<!;<;&31;'!;t −=×

−=ε

5erlihat bah4a pada pemakaian satu pias! metode Simpson 12 memberikan hasil

lebih baik dari rumus trapesium.

) Aturan Simpson 12 dengan banyak pias

Seperti dalam metode trapesium! metode Simpson dapat diperbaiki denganmembagi luasan dalam se#umlah pias dengan pan#ang interval yang sama (ambar

7.<):

n

ab x

−=∆

dengan n adalah #umlah pias.

Gambar 7.7. Metode "impson dengan banyak pias

?uas total diperoleh dengan men#umlahkan semua pias! seperti pada ambar 7.7.

∫ +++= −

b

a

1n1 ...)( A A Adx x f

(7.13)





"alam metode Simpson ini #umlah interval adalah genap. /pabila persamaan (7.1<)

disubstitusikan ke dalam persamaan (7.13) akan diperoleh:

)9(

A...)9(

A)9(

A)( n1nn

b

a11' f f f

x f f f

x f f f

xdx x f +++∫ ++++++= −−

atau

∫

∑+∑++=−

=

−

=

b

a

n

ii

1n

1ii )()(9)()(

A)( x f x f b f a f

xdx x f

(7.1&)

Seperti pada ambar (7.7)! dalam penggunaan metode Simpson dengan banyak

pias ini #umlah interval adalah genap. 8erkiraan kesalahan yang ter#adi pada aturan

Simpson untuk banyak pias adalah:

$$$$13'

)(9

;

a f n

ab −−=ε

dengan $$$$ f adalah rerata dari turunan keempat untuk setiap interval.

ontoh soal:

,itung ,dxe I ∫ =

9

'

dengan metode Simpson dengan ∆ x = 1.

Penyelesaian:

"engan menggunakan persamaan (7.1&) maka luas bidang adalah:

.3<39<!;H)(9I

1 19'

=++++= eeeee I


.>;!'>1'';&31;'!;

3<39<!;;&31;'!;t =×

−=ε

) Metode Simpson 23

+etode Simpson 23 diturunkan dengan menggunakan persamaan polinomial order

tiga yang melalui empat titik.

dx x f dx x f I ∫ ≈∫ = b

a

b

a

)()(

"engan %ara yang sama pada penurunan aturan Simpson 12! akhirnya diperoleh:

[ ])()()()(3

A1' x f x f x f x f

x I +++=

(7.')

dengan:

ab x

−=∆





8ersamaan (7.') disebut dengan metode Simpson 23 karena ∆ x dikalikan dengan

23. +etode Simpson 23 dapat #uga ditulis dalam bentuk:

[ ]3

)()()()()( 1' x f x f x f x f

ab I +++

−=(7.1)

+etode Simpson 23 mempunyai kesalahan pemotongan sebesar:

)($$$$A3'

t ξ ε f x−=(7.a)

+engingat

ab x

−=∆

! maka:

)($$$$<93'

)( ;

t ξ ε f ab −

−=(7.b)

+etode Simpson 12 biasanya lebih disukai karena men%apai ketelitian order tigadan hanya memerlukan tiga titik! dibandingkan metode Simpson 23 yang

membutuhkan empat titik. "alam pemakaian banyak pias! metode Simpson 12

hanya berlaku untuk #umlah pias genap. /pabila dikehendaki #umlah pias gan#il!

maka dapat digunakan metode trapesium. 5etapi metode ini tidak begitu baik

karena adanya kesalahan yang %ukup besar. ntuk itu kedua metode dapat

digabung! yaitu se#umlah genap pias digunakan metode Simpson 12 sedang pias

sisanya digunakan metode Simpson 23.

ontoh soal:

"engan aturan Simpson 23 hitungdxe I ∫ =

9

'

. ,itung pula integral tersebut dengan

menggunakan gabungan dari metode Simpson 12 dan 23! apabila digunakan ;

pias dengan ∆ x = '!3.

Penyelesaian:

a) Metode Simpson 23 dengan satu pias

Integral dihitung dengan menggunakan persamaan (7.1):

[ ]3

)()()()()( 1' x f x f x f x f

ab I +++

−=

.'77&3!;;3

)()'9(

9<<<7!!1'

=+++

−= eeee

I

esar kesalahan adalah:

.>7<1!>1'';&31;!;

'77&3!;;;&31;'!;t −=×

−=ε

b) Apabila digunakan ; pias! maka data untuk kelima pias tersebut adalah:

f (') = e' = 1 f (!9) = e!9 = 11!'13.

f ('!3) = e'!3 = !;;9 f (!) = e! = 9!;;.





f (1!<) = e1!< = 9!&;' f (9) = e9 = ;9!;&31;.

Integral untuk pias pertama dihitung dengan metode Simpson 12 (persamaan

7.17):

[ ])()(9)(<

i b f c f a f ab

A ++−

=

.&<13!)&;'!9);;9!9(1(<

<!1=+×+= I

5iga pias terakhir digunakan aturan Simpson 23:

[ ]3

)()()()()( 1' x f x f x f x f

ab I +++

−=

.3<;9&!9&3

);&31;!;9);;!9()'13!11(&;'!9(9! =

+×+×+= I

Integral total adalah #umlah dari kedua hasil diatas:.3<37!;3<;9&!9&&<13! =+= I


>.97!'>1'';&31;!;

3<37!;;&31;'!;t −=×

−=ε

7.! Integral Dengan Pan&ang Pias Tidak "ama

eberapa rumus diatas didasarkan pada titik data yang ber#arak sama. "i dalam

prakteknya sering di#umpai suatu keadaan dimana diperlukan pembagian pias dengan

pan#ang tidak sama! seperti terlihat pada ambar 7.3. 8ada kurve yang melengkungdengan ta#am diperlukan #umlah pias yang lebih banyak sehingga pan#ang pias lebih

ke%il dibanding dengan kurve yang relatif datar.

Gambar 7.'. Integral dengan pan&ang pias tidak sama

"i antara beberapa aturan yang telah dibi%arakan! yang dapat digunakan untuk keadaan

ini adalah metode trapesium dengan banyak pias! dan bentuk persamaannya adalah:

)()(A...

)()(A

)()(A

1nn

n1

'1

1

−+++

++

+=

x f x f x

f x f x

x f x f x I

(7.)





dengan ∆ xi = xi F xi F 1.

7.# Metode (uadratur

"i dalam metode trapesium dan Simpson! fungsi yang diintegralkan se%ara numerik

terdiri dari dua bentuk yaitu tabel data atau fungsi. 8ada metode kuadratur! yang akan

dibahas adalah metode auss uadratur! data yang diberikan berupa fungsi.

8ada aturan trapesium dan Simpson! integral didasarkan pada nilai-nilai di u#ung-u#ung

pias. Seperti pada ambar 7.&a! metode trapesium didasarkan pada luasan di ba4ah

garis lurus yang menghubungkan nilai-nilai dari fungsi pada u#ung-u#ung interval

integrasi.

Cumus yang digunakan untuk menghitung luasan adalah:

)()()(

b f a f ab I +

−= (7.9)

dengan a dan b adalah batas integrasi dan (b F a) adalah lebar dari interval integrasi.

arena metode trapesium harus melalui titik-titik u#ung! maka seperti terlihat pada

ambar 7.&a. rumus trapesium memberikan kesalahan %ukup besar.

Gambar 7.). entuk grafik metode trapesium dan Gauss kuadratur

"i dalam metode auss kuadratur dihitung luasan di ba4ah garis lurus yang

menghubungkan dua titik sembarang pada kurve. "engan menetapkan posisi dari

kedua titik tersebut se%ara bebas! maka akan bisa ditentukan garis lurus yang dapat

menyeimbangkan antara kesalahan positif dan negatif! seperti pada ambar 7.&b.

"alam metode trapesium! persamaan integral seperti diberikan oleh persamaan (7.9)

dapat ditulis dalam bentuk:

)()( 1 b f ca f c I += (7.;)

dengan c adalah konstanta. "ari persamaan tersebut akan di%ari koefisien c1 dan c.

Seperti halnya dengan metode trapesium! dalam metode auss uadratur #uga akan

di%ari koefisien-koefisien dari persamaan yang berbentuk:

)()( 11 x f c x f c I += (7.<)





"alam hal ini variabel x1 dan x adalah tidak tetap! dan akan di%ari seperti pada ambar

7.1'. 8ersamaan (7.<) mengandung 9 bilangan tak diketahui! yaitu c1! c! x1! dan x!

sehingga diperlukan 9 persamaan untuk menyelesaikannya.

ntuk itu persamaan (7.<) dianggap harus memenuhi integral dari empat fungsi! yaitu

dari nilai f ( x ) = 1! f ( x ) = x! f ( x ) = x dan f ( x ) = x! sehingga untuk:

∫ +===+=−

1

1

11

11

')()(:)( xc xcdx x x f c x f c x x f (7.7)

∫ +===+=−

1

1

11

11

)()(:)( xc xcdx x x f c x f c x x f

(7.3)

∫ +===+=−

1

11111 ')()(:)( xc xcdx x x f c x f c x x f

(7.&)

∫ +===+=−

1

1

111 1)()(:1)( ccdx x f c x f c x f

(7.')

Sehingga didapat sistem persamaan:

'

11 =+ xc xc B

11 =+ xc xcB '11 =+ xc xc B .1 =+ cc

8enyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah:

c1 = c = 1B x1 =

1−

= F'!;77;'<&B x =

1

= '!;77;'<&.

Substitusi dari hasil tersebut ke dalam persamaan (7.<) menghasilkan:

)

1()

1( f f I +−=

(7.1)

Gambar 7.1*. Integrasi Gauss kuadratur

atas-batas integral dalam persamaan (7.7) hingga persamaan (7.') adalah F1

sampai 1! sehingga lebih memudahkan hitungan dan membuat rumus yang didapat bisa

digunakan se%ara umum. "engan melakukan transformasi batas-batas integrasi yang





lain dapat diubah ke dalam bentuk tersebut. ntuk itu dianggap terdapat hubungan

antara variabel baru xd dan variabel asli x se%ara linier dalam bentuk:

x = a' D a1 xd (7.)

ila batas ba4ah adalah x = a! untuk variabel baru batas tersebut adalah xd = F1. edua

nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (7.)! sehingga diperoleh:

a = a' D a1(F1) (7.)

dan batas baru xd = 1! memberikan:

b = a' D a1(1) (7.9)

8ersamaan (7.) dan (7.9) dapat diselesaikan se%ara simultan dan hasilnya adalah:

'

aba

+=

(7.;)

dan

1

aba

−=

(7.<)

Substitusikan persamaan (7.;) dan (7.<) ke persamaan (7.) menghasilkan:

)()( d xabab x

−++=

(7.7)

"iferensial dari persamaan tersebut menghasilkan:

d dx

ab

dx

−

= (7.3)

8ersamaan (7.7) dan persamaan (7.3) dapat disubstitusikan ke dalam persamaan

yang diintegralkan.

entuk rumus auss uadratur untuk dua titik dapat dikembangkan untuk lebih

banyak titik! yang se%ara umum mempunyai bentuk:

I = c1 f ( x1) D c f ( x) D @ D cn f ( xn) (7.&)

ilai c dan x untuk rumus sampai dengan enam titik diberikan dalam 5abel 7.1.

5abel 7.1. ilai c dan x pada rumus auss kuadratur

+umla, titik (oefisien c -ariabel x

c1 = 1!'''''''''

c = 1!'''''''''

x1 = − '!;77;'<&

x = '!;77;'<&

c1 = '!;;;;;;;;<

c = '!33333333&

c = '!;;;;;;;;<

x1 = − '!779;&<<<&

x = '!'''''''''

x = '!779;&<<<&

9

c1 = '!973;939;

c = '!<;19;1;;

c = '!<;19;1;;

c9 = '!973;939;

x1 = − '!3<11<1

x = − '!&&31'99

x = '!&&31'99

x9 = '!3<11<1





;

c1 = '!<&<33;

c = '!973<3<7'

c = '!;<333333&

c9 = '!973<3<7'

c; = '!<&<33;

x1 = − '!&'<17&39<

x = − '!;39<&1'

x = '!'''''''''

x9 = '!;39<&1'

x; = '!&'<17&39<

<

c1 = '!17199&c = '!<'7<1;7

c = '!9<7&1&;

c9 = '!9<7&1&;

c; = '!<'7<1;7

c< = '!17199&

x1 = − '!&9<&;19 x = − '!<<1'&3<

x = − '!3<1&13<

x9 = '!3<1&13<

x; = '!<<1'&3<

x< = '!&9<&;19

ontoh soal:

,itung integral ,dxe I ∫ =

9

'

dengan menggunakan metode auss kuadratur.

Penyelesaian:

"engan menggunakan persamaan (7.7) untuk a = ' dan b = 9 didapat:

)()( d xabab x

−++=

dd

))'9(()'9( x

x x +=

−++=

5urunan dari persamaan tersebut adalah:

dx = dxd

edua bentuk diatas disubstitusikan ke dalam persamaan asli! sehingga didapat:

∫ ∫ =−

+9

'

1

1d

)( d dxedxe

Cuas kanan dari persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung luasan dengan

metode auss uadratur! dengan memasukkan nilai xd = x1 = F'!;77;'<& dan nilai xd

= x = '!;77;'<&.

ntuk x1 = F'!;77;'<&→ [ ] .<;7;'1!9

));77;'<&!'(( =−×+e

ntuk x = '! ;77;'<&→

[ ]

.3&'&7!9<

);77;'<&!'( =×+

e

?uas total seperti diberikan oleh persamaan (7.'):

I = 9!<;7;'1 D 9<!3&'&7 = ;1!;9&3'.

esalahan:

.>3!>1'';&31;'!;

;9&3'!;1;&31;'!;t =×

−=ε

ontoh soal:





,itung integral ,dxe I ∫ =

9

'

dengan menggunakan metode auss uadratur titik.

Penyelesaian:

ntuk titik persamaan (7.<) men#adi:

)()()( 11 x f c x f c x f c I ++= (%1)

Seperti terlihat dalam 5abel 7.1! untuk titik! koefisien c dan x adalah:

c1 = '!;;;;;;;;<. x1 = −'!779;&<<<&.

c = '!33333333&. x = '!'''''''''.

c = '!;;;;;;;;<. x = '!779;&<<<&.

"ari %ontoh soal sebelumnya didapat persamaan yang telah dikonversi adalah:

∫ ∫ =−

+9

'

1

1d

)(d dxedxe

ntuk x1 = F'!779;&<<<& → .1&1;;9<! ):( 1 =+

e

ntuk x = '!''''''''' → .77311!19 ):( =+

e

ntuk x = '!779;&<<<& → .;7'9&;!<& ):( =+

e

8ersamaan (%1) men#adi:

I = ('!;;;;;;;;< × !1&1;;9<) D ('!33333333& × 19!77311)

D ('!;;;;;;;;< × <&!;7'9&;) = ;!;'93<.

esalahan:

.>1!'>1'';&31;'!;

;'93<!;;&31;'!;t =×

−=ε


makalah evaluasi numerik integral

Documents