matematika ekonomi-1.ppt
TRANSCRIPT
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 1/54
MATEMATIKA EKONOMI
Marlina Ekawaty
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 2/54
SAP Matematika Ekonomi Temuke
Materi Rujukan
1 Matematika Ekonomi & Model Ekonomi C (1.2)
2-4 Fungi & !ene"a#ann$a dalam Ekonomi%Ek. Mik"o% emand' u##l$' #"oduki' ot'"e*enueEk. Mak"o% Konumi' ta+ungan' in*etai'
im#o"t' #a,ak
(1.2' )' (1.1' 1./' 1.'2.2)
0- Analii Keeim+angan tatikEk. Mik"o% keeim+angan #aa" 1'2 +a"ang'eek #a,ak te"3ada# keeim+angan #aa"% t'' "' E!'Ek. Mak"o% keeim+angan !enda#atannaional' ke+. !aa" +a"ang & uang (I-5M)
C (2)' ()
6-11 e"e*ati ungi ede"3ana & #ene"a#ann$adalam Ekonomi% a*e"age' ma"ginal'elatiita dan o#timai
(7'6)' (4)
12-1/ Integ"al & #ene"a#ann$a dalam Ekonomi%
mena"i ungi aal' u"#lu konumen'u" lu "oduen
(11)' ()
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 3/54
Bu u Ru u an &PenilaianBuku Rujukan:
C3iang' Al#3a C (1674). Fundamental Methods ofmathematical Economics. / ed. Ne9 :o"k% M;"a9-<ill(C)
umai"$ (1666). Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi. 2 ed. :og$aka"ta% !FE =;M ()
a>ue' Ian (288/). Mathematics for Economics andBusiness. 4 ed. 5ondon% !"entie <all ()
Kalangi' . . (2880). Matematika Ekonomi & ini. uku 1& 2. aka"ta% alem+a Em#at.
Penilaian: !a"tii#ai Kl (10?) @ uiB (10?)@ Tuga(28?) @ =T (20?) @ =A (20?)
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 4/54
Matematika & ModelEkonomio Matematika Ekonomi
Matk ad ilmu daa" lua gunan$a di#akai dl+an$ak +idang ilmu unt muda3 mema3ami &me"umukan teo"iDkaeda3 Matematika ekonomi%analii ekonomi dg #endekatan matemati' dimana
dl mengungka#k ide2 ek-n$a digunakan im+ol(+a3aa) matematika
+ena" " ekonomi & " matemati
Tidak +e"+eda dg #endekatan non matemati
(*e"+al' g"a)Matematika ekonomi dan Ekonomet"ika +e"kaitan e"at'ama2 +e"daa" #d teo"i ekonomi. Ekonomet"ika adanalii ekonomi unt mengu,i teo"i ekonomi dg data
em#i"ik. <u+ungan *a"ia+el dlm teo"i ek din$atakan "matemati' kemd data em#i"ik *a"2 t+ diu,i dg tatitik
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 5/54
oModel Ekonomi- Mekanime ek angat kom#lek #e"iti9a ek $g te",adi
me"# 3ail inte"aki $g "umit d" +an$ak *a" at #e"iti9a eklain #e"lu a3am ,eni & #e"ilaku *a" $g mendaa"i uatu#e"iti9a te"+ata #d #e"iti9a te"tentu & *a"ia+el2#enting teo"i ekonomi ad a+t"aki d" dunia n$ata ek.
- Model ekonomi ad a"a mengungka#k teo"i ek ,ika
+e"+entuk matematik di+angun d" +e+e"a#a #e"amaan.!e"amaan men,elak 3u+ungan *a"2 & aumi $gdi#akai. =nu" d" model matematika +iaan$a%
variabel euatu $g nilain$a +e"u+a32' din$atakan dlim+ol2% !' :' ' C' ' I'... a" eGogen dan endogen
konstanta euatu $g nilain$a tidak +e"u+a3. Koeienad kontanta $g diga+ung dg *a".
parameter kontanta $g +e"u#a *a"ia+el (kontanta#a"amete")% a!' +:' H
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 6/54
Persamaan dalam Ekonomi
1) Persamaan Defnisi
me"# identita d" uatu keamaan $g mem#un$aia"ti ama' mial% :-C' TCFC@C' 551@52
2) Persamaan Perilaku
men$atakan 3u+ungan anta" *a"ia+el' te",adi
3u+ungan ungional% uatu *a" +e"u+a3 aki+at#e"u+a3an *a" lain Menun,ukkan landaan teo"i &aumi $g digunakan' mial% TC188@0 dan TC78@²
/) Kondisi Keseimbanankondii $g te",adi ,k ada uatu $a"at $g di#enu3i'
mial% keeim+angan #aa" 3an$a te",adi ,k ama dengan . Keeim+angan #enda#atannaional te",adi ,k A ama dengan A
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 7/54
!"#$%• <im#unan ad kum#ulan d" e,umla3 o+,ek (anggota%
+ilangan' o"ang' +enda' H). Ca"a #en$a,ian% enume"aidan kaeda3' mial% adala3 0 +ilangan 1' 2' /' 4' 0.
a.Enume"ai % J1'2'/'4'0
+. Kaeda3 % JGL 8G atau JGL 1G0
• Anggota uatu 3im# +ia +e"u#a #aangan u"ut dan
#aangan tidak u"utAJ1'2 J4'0
AGCJ(1'4)' (1'0)'(2'4)'(2'0)
• etia# 3u+ungan #aangan u"ut d" nilai G dan $
mendaa"i uatu 3u+ungan anta"a G dan $ ,k Gdiketa3ui mk +ea"n$a $ + diketa3ui. AJ(G'$)L$2G (1'2)' (8'8)' (-1'-2)' H
J(G'$)L$G (1'1)' (1'8)'(1'-1)'(2'2)' (2'1)' H
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 8/54
lanjutan $ $2G $ $G !ada $2G' untuk etia# nilai
G dida#at atu nilai $ $ang euai $ ungid" G $(G)
G G
!"#$% me"u#akan 3im#unan #aangan u"ut (G'$) dimana etia# nilai Gmenentukan +ea"n$a nilai G
- "elai $g tidak mem#un$ai 2 #aangan u"ut dg unu" #e"tama $gama
- atu"an dimana 3im#unan G (dae"a3 ungi' *a". +e+a)dit"ano"maik (di#etakan) dlm 3im#unan $(,angkauan' "ange' *a". te"gantung)
- uatu +entuk 3u+ungan matemati $g men$atakan 3u+ungankete"gantungan atu *a". dengan *a". lain
'E#% !"#$%%
Al,a+a" i"aional - "aional . #angkat %
. #olinomial %
Non al,a+a" . ek#onen % -. loga"itma %
- . t"igonomet"i % $in 0G - . 3i#e"+olik % $a"o 2G
n
n
o
o xa xa xa xa y ++++= ...2
2
1
1
xn y = x y n log=
n x y =
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 9/54
!"#$% (#E)R ad ungi #olinomial dimana #angkat te"tinggi d" *a".
+e+an$a adala3 atu & digam+a"kan +g ga"i lu"u
entuk ek#liit % :a@+P ' : *a". te"gantung' P *a". +e+a
a kontanta' +koeien
- im#liit % :-+Pa atau :-+P-a8 <u+ungan anta" *a". dili3at d" . ek#liit +ukan .
im#liit. " . ek#liit d#t dili3at +agaimana : akan+e"u+a3 ,k P +e"u+a3 dili3at d" tanda koeienn$a
- !oiti (+Q8) P mem# #enga"u3 ea"a3 t3d :' ,k P naikmk : akan naik' dan e+alikn$a
- Negati (+8) P mem# #enga"u3 +e"la9anan a"a3 t3d :' ,k P naik mk : akan tu"un' dan e+alikn$a
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 10/54
lanjutan
Mial% :0*2P . ek#liit' . im#liitn$a ad :+2P0 atau
:+2P-08 iat 3u+ungan ant P dg : ad #oiti atauea"a3 +ukan negati' a"tin$a ,k P mengalami kenaikanmk +ea"n$a : ,g akan naik P/ maka :11' ,k P4maka :1/
Rumu mena"i ungi linea"%
Conto3%
1) #ada aat 3a"ga +" 1888 konumen meminta 288 &
ketika 3a"gan$a 1288 diminta e+an$ak 18. Tentukan%ungi +"' !1488 dS ' oS' !oS' ku"*a +"
2) #ada aat 3a"ga +" 1888 #"oduen mena9a"kan +"e+an$ak 08. k 3a"gan$a naik 188 ,umla3 +" $gdita9a"kan naik 18. Tentukan% ungi +"' !1488
S' !oS' ku"*a +"
X
X X
Y
Y Y
X X
X X
Y Y
Y Y
∆
−=
∆
−→
−
−=
−
− 11
12
1
12
1
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 11/54
lan,utan%
/) !d aat digunakan 0 tenaga ke",a di3ailkan 08 +a"angdan 47 +a"ang ,k digunakan 7 tenaga ke",a. Tentukan%
ungi #"oduki' 518 T!S' ku"*a #"oduki
4) !ada aat di3ailkan 0 u+ dikelua"kan +ia$a total 288 dan ,k +" $g di3ailkna naik 0 u+' di#e"lukan tam+a3an +ia$atotal 188. Tentukan% ungi +ia$an$a' 28 FC' C'
TCS' ku"*a +ia$a
0) <a"ga #e" unit +a"ang 2888' tentukan% ungi #ene"imaan'188 TRS' ku"*a #ene"imaan
) !d #enda#atan 1888 #engelua"an konumi 688. etia#kenaikan #enda#atan 188' konumi naik 78. Tentukan%
:2888 C'S' 1888 :S' ku"*a konumi &ta+ungan
) #d #enda#atan 1888 di+a$a" #a,ak 118 dan 218 #d#enda#atan 2888. Tentukan ungi #a,ak' #e"amaan#enda#a tan di#oi+le ,k #em+a$a"an t"ane" 08'
+ea"n$a konumi' #a,ak dan ta+ungan #d #enda#atan0888
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 12/54
lan,utan%7) #ada aat tingkat +unga 18?' #engelua"an in*etai
4888' teta#i menu"un men,adi 2888 aat tingkat +unga
meningkat 2?. Tentu kan% +ea"n$a in*etai aat +unga12?' +ea"n$a tk +unga $g memoti*ai in*eto"+e"in*etai' in*etai te"+ea" $g dilakukan in*eto"
6) #d aat #enda#atan 1888' dilakukan im#o" 188 dan aat#en da#atan naik 188 im#o" naik 18. Tentukan% ungi dan
ku"*a im#o"' +ea"n$a im#o" aat #enda#atan 288818) Konumen A mengalokaikan 1888 untuk mem+eli
+a"ang G dan $' $g maing2 +e"3a"ga 188 dan 288. Tentukan #e"a maan ga"i angga"ann$a' +an$akn$a G $g+ia di+eli ,k mem+eli 2 unit +a"ang $' ku"*a +udget line
2. !"oduen mengangga"kan dana 2888 unt meng3ailkan+a"ang $g meme"lukan 2 in#ut K dan 5 $ang 3a"gan$a288 dan 120. Te"ntukan% #e"amaan iootn$a'+an$akn$a in#ut 5 digunakan ,k in#ut K 0 unit' ku"*aioot
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 13/54
PE#ER)P)# dalam EK,#,M
!"#$% DEM)#D
Ad . $g menun,ukkan ,umla3 +" () $g dimintakonumen #d +e"+agai tk3a"ga (!)
entuk% d(!)' +8
! (8'!o)
(o'8)
Mial% #ada aat 3a"ga +" 1888konumen meminta 288 &ketika 3a"gan$a 1288 dimintae+an$ak 18. Tentukan%ungi +"' !1488 dS 'oS' !oS' ku"*a +"
!"#$% %"PP(-
ad . $g menun,ukk ,umla3+" () $g dita9a"kan#"oduen #d +e"+agai tk3a"ga (!)
entuk% (!)' +Q8
!
(8'!o)
Mial% #ada aat 3a"ga +" 1888#"oduen mena9a"kan +"e+an$ak 08. k 3a"gan$a naik188 ,umla3 +" $g dita9a"kannaik 18. Tentukan% ungi +"'!1488 S' !oS' ku"*a
+"
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 14/54
lanjutan
!"#$% PR,D"K%ad . $g menun,ukkan ,umla3
+" (out#ut' ' T!) $gdi#"oduki #"oduen #d+e"+agai ,umla3 in#ut(K'5'M'H) $g digunakan
Fungi% T!(K'5'M'H)' dgatu in#ut T!(5)' +Q8 T!+5 8 8
Q8 Q8
5
Mial% !d aat digunakan 0 tenagake",a di3ailkan 08 +a"ang dan 47+a"ang ,k digunakan 7 tenagake",a. Tentukan% ungi #"oduki'518 T!S' ku"*a #"oduki
!"#$% B)-) ./,%T0• ad . $g menun,ukkan
+ea"n$a +ia$a (C'TC) $gdikelua"kan #d +e"+agai
,umla3 +a"ang (out#ut' ) $gdi3ailkan Fungi% TCFC@C' FCk'
C()' +Q8 C
TC
C
FC
Mial% !ada aat di3ailkan 0 u+dikelua"kan +ia$a total 288 dan ,k+" $g di3ailkna naik 0 u+'di#e"lukan tam+a3an +ia$a total188. Tentukan% ungi +ia$an$a'28 FC' C' TCS' ku"*a +ia$a
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 15/54
lanjutan!"#$% RE1E#"E
• ad . $g menun,ukan
+ea"n$a #ene"imaan total(TR) d" 3ail #en,ualan #d+e"+agai ,umla3 +" () $gte",ual
• Fungi% TR!. ' !()
TR().()' +Q88 8 R
TR
Q8 Q8
• Mial% <a"ga #e" unit +a"ang2888' tentukan% ungi#ene"imaan' 188 TRS'ku"*a #ene"imaan
)#$$)R)#
• me"# #e"amaan denii ttg
alokai angga"an $g dimilikikonumen atau #"oduen
• !enggunaan angga"an +agi%
- konumen% unt mem+eli +" $gdi#e"lukan (+a"ang G dan $) +udget line % MG.!G @ $.!$
- !"oduen% unt mem+eli in#ut$g di#e"lukan (in#ut K dan 5) ioot% MK.!k @5.!lK."@5.9
$ K
MD!$ MD!k
+udget lineioot
MD!$ $MD!l 5
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 16/54
lanjutanMisal
1. Konumen A
mengalokaikan 1888 untukmem+eli +a"ang G dan $' $gmaing2 +e"3a"ga 188 dan288. Tentukan #e"a maanga"i angga"ann$a'
+an$akn$a G $g +ia di+eli ,kmem+eli 2 unit +a"ang $'ku"*a +udget line
2. !"oduen mengangga"kandana 2888 unt meng3ailkan
+a"ang $g meme"lukan 2in#ut K dan 5 $ang 3a"gan$a288 dan 120. Te"ntukan%#e"amaan iootn$a'+an$akn$a in#ut 5 digunakan
,k in#ut K 0 unit' ku"*a ioot
!2 K,#%"M% & T)B"#$)#
• ad . $g menun,ukkan +ea"n$a
#engelua"an konumi (C) atauta+ungan ()#d +e"+agai tingkat#enda#atan (:)
• Fungi% C(:)a@+:' dimana% :C@ C'
:C@
:a@+:@
:-+:a@ -a@(1-+): Ca@+:
Ca@+: -a@(1-+):
a 8 -a 8
Qa Q8 Q-a Q8 -a@(1-+):
!d #enda#atan 1888 #engelua"ankonumi 688. etia# kenaikan#enda#atan 188' konumi naik 78. Tentukan% :2888 C'S' 1888
:S' ku"*a konumi & ta+ungan
:
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 17/54
lanjutan
!"#$% P)')K • Ad . $g menun,ukkan
+ea"n$a #a,ak $g dikelua"kan(T) #d +e"+agai tk #enda#atan(:)
• Fungi% T(:)To@t: T
TTo@t:
To 8 TTo@t:
QTo Q8
:
Mial% #d #enda#atan 1888
di+a$a" #a,ak 118 dan 218 #d#enda#atan 2888. Tentukan%
a. ungi #a,ak
+. #e"amaan #enda#atandi#oi+le ,k #em+a$a"an
t"ane" 08
PE#D)P)T)# D%P,%B(E
• ad #enda#atan +e"i3 $g
ia# di+elan,akan (:d)
• Fungi% :d:-T@T" 'dimana%
T #a,ak $g dikelua"kan
T" #em+a$a"ant"ane"
. +ea"n$a konumi'
#a,ak dan ta+ungan #d#enda#atan 0888
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 18/54
lanjutan!"#$% #1E%T)%
• ad . $g menun,ukkan +ea"n$a
#e ngelua"an in*etai (I) #d+e"+agai tk +unga (i)
• Fungi% I(i)a@+i ' aQ8 ' +8 a 8 i
a Q8 io
Io I
• Mial% #ada aat tingkat +unga18?' #engelua"an in*etai 4888'teta#i menu"un men,adi 2888
aat tingkat +unga meningkat2?. Tentu kan% +ea"n$a in*etaiaat +unga 10?' +ea"n$a tk+unga $g memoti *ai in*eto"+e"in*etai' in*etai te"+ea"$g dilakukan in*eto"
!"#$% MP,RT• ad . $g menun,ukkan +ea"n$a
#engelua"an im#o" (konumiunt +a"ang d" nega"a lain'M)#d +e"+agai tk #enda#atan (:)
• Fungi% M(:) a@+: 'a8'8+1
a 8 M
Qa Q8
aQ8
a8
:
•
Mial% #d aat #enda#atan 1888'dilakukan im#o" 188 dan aat #enda#atan naik 188 im#o" naik 18.
Tentukan% ungi dan ku"*a im#o"'+ea"n$a im#o" aat #enda#atan2888
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 19/54
Kone# !enting dalam Ekonomi• : (P)' : de#endent *a"ia+le
P inde#endent *a"ia+le → ungi Ek#liit' ungi im#liit% :-(P)8F. ek#liit% :0@2P ' . im#liitn$a% :-2P0 atau :-2P-
08iat 3u+ungan anta" *a"ia+le dili3at d" . ek#liit
da"i tanda koeienn$a. Tanda @ a"tin$a ,k P naik'maka : akan naik
• A*e"age ungi% AF :DP → +ea"n$a : untuk etia#P
•
Ma"ginal ungi% MF :U d:DdP' dP1→ +ea"n$a#e"u+a3an : ,ika P +e"u+a3 atu unit• Elatiita ungi% EF ?d:D?dP → +ea"n$a
#e"entae #e"u+a3an : ,ika P +e"u+a3 atu #e"en• O#timai% : o#timum ,ika :U8 dan :UUQ8
(minimum)' 8 (makimum)' 8 (titik +alik)
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 20/54
DERE1)T!
Kalkulu ad alat analii matemati ttg #e"u+a3an #enting dlm3am#i" emua a+ang il#e te"mauk ilmu Ekonomi. Mial%
!em+agian% a. diVe"enial mena"i la,u #e"u+a3an uatu ungi
+. integ"al mena"i ungi $g la,u #e"u+a3ann$adiketa3ui
aa" d" kalkulu adala3 limit
(imit dr suatu Baris ' Wuatu +ilangankeil #oiti
“ Suatu bilangan a disebut limit dr suatu besaran variabel x, bila
dlm perubahan ttt, x mendekati a sehingga mulai dg saat ttt hargamutlak dr selisih x-a menjadi dan tetap kecil tanpa batas!, "aitu
lebih kecil dr bilangan positif tertentu# mial% G 2 (3a"ga G mendekati +ilangan 2 dan G tidak akan ama dg 2)
• elii3 3a"ga mutlak%
• 1.60' 1.660' 1.6660' H ' 1.66H60
Mial W 8.888881 #ada n
8.8888880 8.888881
ε <−= a xa x ,lim
n1
59
47
35
23 2,...,,,,,1 −
05...00.0295...99.1
005.02995.1
05.0295.1
=−
=−
=−
0000005.029999995.1 =−
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 21/54
(imit dari suatu !unsi
5imit ungi (G) untuk G mendekati a adala3 5 % ,ika Gte"u mene"u +e"u+a3 mendekati a' mk
nilai ungi akan +e"u+a3 #ula mendekati 5
Mial% G 2 $aitu
2.1' 2.81' 2.881' H ' 2@
(G)G² yaitu
4.41, 4.0401, 4.004001, … ,
4 adala3 limit G da"i GX untuk G mendekati 2 limit ungi GX untuk G mendekati 2 adala34
• Kaeda3 5imit
n
147
35
23 2,...,,,,1 −
( )n101
211649
925
49 )2(,...,,,,1
n−
( )2
10
12 n+
4lim 2
2=
→
x x
[ ]
[ ]
[ ] 0)(lim,)(lim
)(limlim
)(lim).(lim)().(lim
)(lim)(lim)()(lim
tan,lim
0,lim
)(
)( ≠=
=
±=±
==
>=
→→
→
→
→→→
→→→
→
→
x g x g
x f
x g x f x g x f
x g x f x g x f
takonsk k k
na x
a xa x
a x
x g
x f
a x
a xa xa x
a xa xa x
a x
nn
a x
L x f a x
=→
)(lim
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 22/54
Mial%
Kuosien Di3erensi Fungi ede"3ana :(P)
P +e"u+a3 e+ea" YP :@Y:(P@YP)
kuoien die"eni % tingkat #e"u+a3an "ata2 *a".te"gantung : te"3ada# *a". +e+a
Mial%
X
X f X X f
X Y
∆
−∆+
∆
∆ = )()(
[ ]
[ ]
1055)5(limlim
568.72).2.21(lim).21(lim).21(lim
122.21lim2lim1limlim)21(lim)21(lim
55lim
82lim
5)5(lim
)5)(5(lim
)5(lim
)25(lim
)5(
)25(
5
323
2
2
2
32
2
323
2
2
22
3
2
2
2
32
2
2
33
2
5
5
5
2
52
=+=+===
−=−=−=−=−
=+−=+−=+−=+−
=
==
→−
−+
−
−
−
−
→
→→→
→→→→→→
→
→
→
→
→
→ x
x x x x
x x x x x x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x x
x x x x x x
x
x
x
x
x
x
x x
x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x y y
x x y
x
x x x x
x
y
∆++==
+−∆++∆+∆+=∆
∆++∆+∆+=∆++∆+=∆+
+=
∆
∆+∆+∆
∆
∆
32
)3(33)(2
33)(2)(3)(
3
3)(2
222
222
2
2
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 23/54
Di4erensiasi & Derevati3
iVe"eniai me"# #"oe #enu"unan uatu ungi #"oe #ena"ikan limit te"3ada# kuoien die"eni untuk
#e"u+a3an *a". +e+a $g mendekati nol dan 3ailn$aadala3 de"e*ati (tu"unan)
Mial% :PX@/P Kaeda3 iVe"eniai%
5ati3an
dx
xdf
dx
dy
x
x f x x f
x x
y
x fx x f y )()()(
00)(''limlim ======
∆
−∆+
→∆∆
∆
→∆
32)32(lim'0
+=∆++==→∆
x x x y x
dx
dy
[ ]
dydx
dxdu
du
dy
dx
dy
uuvvu
vu
nn
dx
dy
x g f y x g uu f y
y y
uvvu yvu y
vu y x f v x f uvu y
ytakonsk k y
nx y x y
1)7
)(')(),()6
')5
'.'.'.)4
''')(),(,)3
0'tan,)2
')1
2'.'.
1
=
=→=→==
=→=
+=→=
±=→==±=
=→==
=→=
−
−
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 24/54
Derevati3 Tinkat Tini
a"i ungi $(G) +ia di#e"ole3%
a.e"e*ati #e"tama +.e"e*ati kedua
.e"e*ati ketiga ' dan ete"un$a
de"e*ati ke-n adala3 de"e*ati ke-(n-1) ditu"unkan lagi
Mial% tentukan de"e*ati #e"tama # keem#at da"i :/PZ-4PX@P-0
dx
dy
y ='
dx
dy y
''' =
dx
dy y
''''' =
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 25/54
!ene"a#an dalam Ekonomi!unsi - 5 )verae Marinal Elastisitas
emand ! (!) Ed?dD?d!
u##l$ ! (!) E?dD?d!
!"oduki ' T! 5 T! (5)
A!T!D5 M!dT!Dd5 E#?dT!D?d5
Cot TC TC() ACTCD MCdTCDd
Re*enue TR TR() ARTRD!
MRdTRDd
=tilit$ T= P T=(P) A=T=DP M=dT=DdP
Conum#tion
C : C(:) A!CCD: M!CdCDd :
a*ing : (:) A!D: M!dDd :
Im#o"t M : M(:) A!MMD: M!MdMDd
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 26/54
Penerapan Derevati3 dlm
Ekonomi•
uatu ungi din$atakan dg :(P)+e"a"ti +ea"n$a : te"gantung #d+ea"n$a P' ,k P +e"u+a3 mk : akan+e"u+a3
• e+e"a#a kone# $ang +e"kaitan dgungi t+ dan de"e*ati adala3%
1.A*e"age ("ata-"ata)
2.Ma"ginal
/.Elatiita
4.O#timai
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 27/54
A*e"age )!6-75 → m$nunu""an
$#a&nya * untu" #$tia% +, #& g&a-i# m$&u%a"an
"$mi&ingan titi" '& 0 $2 2
$1 1
8 G1 G2
$4 4
$/ /
8 G/ G4
5 - )!
G1 $1 AF1$1DG1
G2 $2 AF2$2DG2
Kemi"ingan titik 2 d" 8le+i3 tegak d"# titik 1 →/2 /1
G/ $/ AF/$/DG/
G4 $4 AF4$4DG4Kemi"ingan titik 4 d" 8le+i3 data" d"# titik / →/3 /4
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 28/54
ma"ginal → M!6d-7d58 d569→m$nunu""an $#a&nya %$&uaan *" + $&ua
1 unit, #& g&a-i# m$&% "$mi&ingan titi" %' "u&a
$2 2
$1 1
8 G1 G2
$4 4
$/ /
8
G/ G4
5 - M!
G1 $1 MF1d:1DdP1
G2 $2 MF2d:2DdP2
Kemi"ingan di titik 2 amadengan di titik 1 → /2 /1
G/ $/ MF/d:/DdP/
G4 $4 MF4d:4DdP4
Kemi"ingan di titik / le+i3tegak d"# titik 4 → /3 /4
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 29/54
Elatiita & O#timai
E()%T%T)%EF ?d:D?dP
d:DdP.PD:MFDAF
menun,ukkan +ea"n$a#e"entae #e"u+a3an :' ,k P +e"u+a3 1#e"en.
EF-2' a"tin$a ,ika P naik1?' maka +ea"n$a :akan tu"un 2?
,PTM)%Fungi :(P) akan
mena#ai o#timal dg$a"at%
:Ud:DdP8
eni o#timai minimal ,k :UUQ8 (A)
makimal ,k :UU8 ()
titik +alik ,k :UU8 (C)
C
A
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 30/54
Mial%1. Fungi #"oduki uatu +a"ang% T!65X-5Z' tentukan%
a. Fungi A! dan M!
+. !ada aat digu+akan 2 tenaga ke",a' +e"a#a T!' A! dan M!S. ;am+a"kan ku"*a T!' A! dan M!
d. e"a#a T! makimalS
e. !ada aat dia#ai A! makimal' +e"a#a elatiita #"oduki d"tenaga ke",aS
2. Fungi ke#uaan mengkonumi +a"ang P ditun,ukkan T=68P-0PX' tentukan%
a. Fungi A= dan M=
+. ika dikonumi 0 unit +a"ang P' +e"a#a T=' A= dan M=S
. ;am+a"kan ku"*a T=' A= dan M=
d. e"a#a T= makimalS/. Fungi #e"mintaan dan #ena9a"an uatu +a"ang adala3 !10-
dan #/@8'0. !eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e" unit (t)dan meng3a"a#kan total #a,ak $ang makimal' +e"a#a%
a. !a,ak #e" unit $ang di+e+ankan !eme"inta3
+. Elatiita 3a"ga u##l$n$a #ada aat ituS
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 31/54
5an,utan%4. Fungi #e"mintaan $g di3ada#i ole3 #e"ua3aan ditun,ukkan dg
!1888-2 dg ungi +ia$a TCZ-06X@1/10@2888'tentukan%
a. Fungi TR' AR dan MR
+. e"a#a TR makimalS
. ;am+a"kan ku"*a TR' AR dan MR
d. !d aat ,umla3 +a"ang $ang diminta 0' +e"a#a elatiita 3a"ga
#e"mintaann$aSe. Fungi AC' AC' AFC' MC
. !ada aat AC minimal' +e"a#a 3a"ga ,ual +a"angS
g. Aga" di#e"ole3 la+a makimal' +e"a#a 3a"ga ,ual +a"angS
3. ika !eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e" unit 480' +e"a#a
+ea"n$a la+a #e"ua3aan dan total #a,ak $g dite"ima!eme"inta3S
i. e"a#a #a,ak #e" unit (t) e+aikn$a diteta#kan !eme"inta33gmenda#atkan #ee"imaan #a,ak total $g makimal &#e"u3aan da#at la+a m akimalS
A li i K i + t ti
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 32/54
Analii Keeim+angan tati Keeim+angan (e>uili+"ium) ad uunan titik2 $g di#ili3
d" *a"ia+el2 $g +e"3u+ungan atu ama lainn$a
edemikian "u#a 3g tidak ada #e"u+a3an #d model $gdi+uat.
- Model $g di+uat tidak memaukkan emua *a"ia+el →E>3an$a +e"laku untuk *a"ia+el2 t+. k ditam+a3kan *a".lain e> tidak +e"laku lagi
- =ntuk mena#ai #oii e>' *a"2 t+ emuan$a 3a"udiam (tidak +e"u+a3) elama ada *a" $g +e"u+a3 *a"lain ,g akan +e"u+a3' elama itu +elum ada e>
- Keadaan diam #d aat e> 3an$a didaa"kan #d kekuatan
inte"nal model' kekuatan di lua" model diangga# teta#(#a"amete" dan *a" eGogen diangga# kontan)
e> $g di#e"ole3 #d uatu aat ttt +ia +e"u+a3' e> $gdi#e"ole3 #d aat ttt 3an$a +e"laku agi "on'i#i ttt →
keseimbangan statik
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 33/54
!d aat e> te"a#ai emua *a"ia+el dlmmodel dlm keadaan tidak +e"u+a3'+e"a#a +ea"n$a *a"ia+el #d aat e>SKeseimbanan Pasar 9Baran
E> te",adi ,k →'# atau
'#
$ E
$ $ → # ' → $$##
$ → ' # → "$#$imangan $ → ' # → $$##
Keseimbanan Pasar Baran
E> te",adi ,k →
a&ang
1→ +'+#, +'-(%,:) +#-(%,:)
2 →*'*#, *'-(%,:)
*#-(%,:)
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 34/54
lan,utan%Titik Pulan Pokok
.Break Even Point8 BEP0; TR < T!, ; %&o-it
TR Q TC [ Q 8Q\
TR TC [ 8\
TR TC [ 8\
#"odu en tidak menda#atkeuntungan ,uga tidakmengalami ke"ugian (E!)
TR TC
\ ,umla3 +a"angminimal $g 3a"u di#"oduki aga"#"oduen tidak mengalami
ke"ugian (E!)
Keseimbanan Pendapatan#asional .Pasar Baran0
Te",adi #ada aat →
C@I@;@(P-M) :
Keeim+angan di !aa"a"ang & !aa" =angE> di #aa" +a"ang% :C@I@;@(P]M)
#aa" uang% MMd
k 51 @ 52
I 5M
"e
8 \
Mi l
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 35/54
Mial%1. !ada aat 3a"ga +a"ang 1888 konumen meminta 288 u+ dan
#"oduen mena9a"kan 08 u+. ika 3a"ga naik 188 ,umla3+a"ang $g dita9a"kan naik 18. !ada 3a"ga 1288 diminta +a"ang
e+an$ak 18. ika ungi #e"mintaan dan #ena9a"an adala3linea"' tentukan%
a. umla3 +a"ang te"+an$ak $g diminta konumen
+. !ada 3a"ga +a"ang +e"a#a' ada konumen $g meminta +a"ang
. !ada 3a"ga #aa" +e"a#a' ada #"oduen $g mena9a"kan +a"angke #aa"
d. <a"ga dan ,umla3 +a"ang keeim+angan
e. !ada 3a"ga 1288' a#a $g te",adi
2. →+10<4%=2: →+<6=6%
*9<3:=4% *<3=7:
!a&ila a&ga 'an "uantita# "$#$imangan untu" a&ang 1 'an a&ang 23. >iaya t$ta% %$&u#aaan #$%atu a'ala 200 'an iaya a&ia$lnya 100. ?i"a a&ga
ual %$& unit #$%atu a'ala 100, t$ntu"an@
a. >$&a%a unit #$%atu yg 'ia#il"an aga& %$&u#aaan ti'a" &ugi
. ?i"a 'iingin"an laa 10.000, $&a%a unit a&ang yg a&u# t$&ual
. Tunu""an #$a&a g&a-i# %o#i#i >A
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 36/54
lan,utan4. !e"ekonomian uatu nega"a mem#un$ai kondii e+agai
+e"ikut%
[email protected]:d ;1888 [email protected]: P88
I088-1888" M8'1:d
engan tingkat +unga 18?' tentukan +e"a#a #enda#atannaional' konumi' in*etai' im#o"t dan #a,ak keeim+angan
0. Kondii #e"ekonomian nega"a AAA adala3%
C088@8'7: Md18888@8'4:-28888"
I2888-0888" M6888
a. agaimana ungi dan ku"*a I dan 5M
+. e"a#a #enda#atan naional dan tingkat +unga keeim+angan$g men,amin te",adin$a keeim+angan di #aa" +a"ang dan#aa" uang
E3ek Pembebanan Pajak
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 37/54
E3ek Pembebanan Pajakter;adap Keseimbanan
Pasar
!a,ak $g dikenakan t3d +a"ang $g di#"oduki akan menaikkan+ia$a #"oduki +agi #"oduen' ug elan,utn$a akan menaikkan3a"ga untuk e,umla3 +a"ang $g ama +agi konumen.
\
1808
1888
0 18 10
entuk g"ak d" kolom 1 dan 2 adala3 ku"*a u##l$ . kkemudian !eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e" unit (t)e+ea" 08' mk ,umla3 +a"ang $g ama tidak akan dita9a"kan#ada 3a"ga $g lama (#) teta#i #ada 3a"ga lama ditam+a3#a,ak (#\). k kolom 2 dan 4 digam+a"kan di#e"ole3 ku"*a
u##l$ \ → $m$anan %aa" t' a&ang yg 'i%&o'u"#i a"an m$ngg$#$&"u&a u%%ly "$ ata# B $&a&ti aCa -ung#i #u%%ly uga $&ua
p <s t P=
188812881488
01810
080808
180812081408
Pajak per "nit .t0
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 38/54
Pajak per "nit .t0 t adala3 #a,ak $g dikenakan ama untuk etia# unit +a"ang
t
!t Et !e E
!o
t e
!e"u+a3an ungi u##l$e+elum t % !() atau (!)
etela3 t % !()@t atau (!-t)
#enga"u3 t te"3ada# ! ea"a langung (menaikkan !)'#enga"u3n$a te"3ada# ea"a tidak langung teta#i melalui !.
Mial% !eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e" unit 08' tentukan%a. e"a#a 3a"ga dan kuantita keeim+angan etela3 #a,ak
+. e"a#a #a,ak #e" unit $ang ditanggung konumen
. e"a#a #a,ak totak $g ditanggung #"oduen
d. e"a#a #ene"imaan #"oduen etela3 #a,ak
e. e"a#a #a,ak total $g dite"ima !eme"inta3
Pajak per unit y ditanun ole;:Konumen
tK!t-!e → TDtD.t(t<$)t
!"oduen
t!!e-!o→ Tt.t($<o)t
!a,ak total → Tt.t(tK@t!)tTK@T!
%ubsidi per "nit .s0
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 39/54
%ubsidi per "nit .s0 adala3 u+idi $g di+e"ikan ama untuk etia# unit +a"ang
!1
!e E
! E
e
!e"u+a3an ungi u##l$
e+elum % !() atau (!)
etela3 % !()- atau (!@)
#enga"u3 te"3ada# ! ea"a langung (menu"unkan !)'#enga"u3n$a te"3ada# ea"a tidak langung teta#i melalui !.
Mial% !eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e" unit 08' tentukan%
a. e"a#a 3a"ga dan kuantita keeim+angan etela3 u+idiS
+. e"a#a u+idi total $g dite"ima konumenS
. e"a#a u+idi #e" unit $g dite"ima #"oduenS
d. e"a#a u+idi total $g di+e"ikan !eme"inta3S
%ubsidi per unit y diterima ole;:
Konumen
K!e-!→D#D.#($<#)#
!"oduen !!1-!e→#.#(1<$)#
u+idi Total →#.#(#D=#)#D=
Pajak Persentase .r0
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 40/54
Pajak Persentase .r0 " adala3 #a,ak $g dikenakan ea"a #e"entati te"3ada#
3a"ga ,ual +a"ang. g " $g ama #a,ak uangn$a akan+e"+eda ,k 3a"ga +a"ang #e" unitn$a +e"+eda.
"
!"E"
!e
!2 !2
E
" e
!e"u+a3an ungi u##l$
e+elum % !() atau (!)etela3 " % !(1@")() atau (!)D(1@")
#enga"u3 te"3ada# ! ea"a langung (menaikkan !)'#enga"u3n$a te"3ada# ea"a tidak langung teta#imelalui !.
P <s r Pajak"an
P=
18881288
1488
018
10
18?18?
18?
188128
148
11881/28
1048
Pajak uan dr pajakpersentase6t6r2P6r.Pr79*r06r2Pr7.9*r0
Konume
n
tK!"-!e→TDtD.&(&<$)&
!"oduen t!!e-!2→Tt.& 2<2 &
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 41/54
!unsi %upply
!eme"inta3 mem+e+ankan #a,ak #e"entae 18?'tentukan%
a. e"a#a 3a"ga dan kuantita keeim+angan etela3 #a,ak#e"entae
+. e"a#a #a,ak uang $g ditanggung #"oduen
. e"a#a #a,ak totak $ang dite"ima !eme"inta3
%ebelumt8s8r
t6>? s6@? r69?A
!@28'0!-/ !@2@088'0(!-08)-/
!@2-/88'0(!@/8)-/
!(1@18?)(@2)(8'0!-/)D(1@18?)
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 42/54
Integ"al
nteral Tidak Tentu
adala3 integ"al uatu ungidimana nilai P tidak
ditentukan Me"# ke+alikan d" de"e*ati
^(P)dP F(P) @ k'kkontanta $g mem# nilai+e"a#a#un' te"gantung #d
ungi !ene"a#an% mena"i ungi
aal (total) dgmenginteg"alkan
tu"unann$a
Penerapan:
T^M!.d5' k8
TC ^MC.d' kFC
TR ^MR.d' k8
C ^M!C.d:' kCo
^M!.d:' ko-Co
T= ^M=.dP' k8 M ^M!M.d:' k8
T ^M!T.d:' kTo
C 3
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 43/54
Conto3%
1) MC/X-117@1/10 ' FC2888. 0 ACS
2) MR1888-4 TR maGS/) M!175-/5X -- 50 Elatiita #"oduki S
4) M=68-18P P0 A=S
0) M!8'2 ' Co188 . :1888 ' C S
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 44/54
lan,utan%nteral Tertentu adala3 integ"al uatu
ungi dimana nilaiPn$a te"tentu(mem#un$ai +ata-
+ata) !ene"a#an% mena"i
lua a"ea $g te"letakanta"a ku"*a :(P) &
um+u 3o"iBontal P'dlm uatu "entangan9ila$a3 $g di+ataiole3 Pa dan P+
Penerapan:
92%urplus Konsumen
2%urplus Produsen
Po%
Pe
P9
[ ] )()()().( a F b F X F dX X f b
a
b
a
−==∫
t l T t t
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 45/54
nteral Tertentu%urplus Konsumen
adala3 u"#lu (keuntunganle+i3) $g dinikmati ole3+e+e"a#a konumen ka"enae+ena"n$a me"eka maumem+eli dg 3a"ga di ata!e.
!o
!e
!18 e
%urplus Produsen
Adala3 u"#lu (keuntunganle+i3) $g dinikmati ole3+e+e"a#a #"oduen ka"enae+ena"n$a me"eka maumen,ual +a"angn$a di+a9a3 3a"ga keeim+angan
(!e)
Mial% 3itungla3 u"#lukonumen dan #"oduenuntuk ungi dan %
0!-/8 dan 8-4!
∫
∫
=
−=
Po
Pe
Qe
dP P f Sk
Qe PedQQ f Sk
).(
.).(0
∫
∫
=
−=
Pe
P
Qe
dP P f Sp
dQQ f Qe PeSp
1
0
).(
).(.
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 46/54
5ati3an%
Fungi #e"mintaan !20-X dan ungi#ena9a"an !-21. <itungla3u"#lu konumen dan u"#lu
#"oduenn$a
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 47/54
e"e*ati Fungi Multi*a"ia+el
Fungi multi*a"ia+el% ungi dimana ,umla3 *a"ia+el
+e+an$a le+i3 da"i 1' mial%• Teo"i #e"mintaan +a"ang% Pd(!G' !$' :' T)
• Teo"i #"oduki% T!(K' 5' T' Te' H)
F Multi*a" :(A' ' C) +e"a"ti +ea"n$a : te"gantung#ada +ea"n$a A' dan C. ika A +e"u+a3' mk : akan+e"u+a3' ,k +e"u+a3 mk : akan +e"u+a3' ,k C +e"u+a3mk : akan +e"u+a3. Atau ,k ga+unga 2 atau / *a"ia+el+e+a +e"u+a3 mk : akan +e"u+a3. Maala3n$a ad+agaimana kita ta3u +3 #e"u+a3an : $g te",adi 3an$a
die+a+kan ka"ena #e"u+a3an A a,a' +ukan atau CS!ada aat A +e"u+a3 3a"u di,aga +3 dan C teta#(tidak +e"u+a3). <al ini dlm +a3aa ekonomi die+utceteris paribus (akto" lain $g mem#enga"u3i akto"$g di+a3a tidak +e"u+a3Dteta#) & me"u#akan +a3aan
de"e*ati #a"ial
Derevati3 Parsial
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 48/54
Derevati3 Parsial ad de"e*ati . multi*a" dg mengangga# 3an$a ada 1 *a". +e+a $g
+ena"-+ena" +e"u+a3 (*a"ia+el) edang *a". +e+a $g lain teta# (tidak+e"u+a3).
a"i . multi*a" :(A' ' C) +ia di#e"ole3%
• e"e*ati #a"ial ungi te"3ada#% orde pertama
3an$a A $g +e"u+a3' dan C teta#
3an$a $g +e"u+a3' A dan C teta#
3an$a C $g +e"u+a3' A dan teta#
• e"e*ati #a"ial o"de le+i3 tinggi% orde ketiga
orde kedua
→=∂
∂= fA
A
Y A
→=∂
∂= fB
B
Y B
→=∂
∂= fC
C
Y C
C
fA
fAC C
C
fAB fABC
B
fAB fABB
A
fAB fABA
B
fA fAB B
C
fAA fAAC
B
fAA fAAB
A
fAA fAAA
A
fA fAA A
∂
∂==
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=→
∂
∂==
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=→
∂
∂==
,,
,,
Di4erential Parsial & Total
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 49/54
Di4erential Parsial & Total
iVe"enial #a"ial ungi te"3ada#%
iVe"enial
total ungi
Mial% :PE=5F²<4+²F<6+F²=8F<7 → a&i '$&$ati- %a&#ial
* o&'$ G, GG B GGG #$&ta 'i--$&$n#ial %a&#ial 'an totalnya
t$&a'a% P dan _.
fC fC dC C
Y C
dB fBdB BY B
dA fAdA A
Y A
..
..
..
=∂
∂=
=∂∂=
=∂
∂=
dC fC dB fBdA fAdY
dC
C
Y dB
B
Y dA
A
Y dY
...
...
++=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
Penerapan ! Multivariabel
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 50/54
Penerapan !2 Multivariabel da"i -63.58C0 +ia di#e"ole3)1ER)$E !"#$%
• A*e"age ungi : da"i P
+ea"n$a : untuketia# P dg _ teta#
• A*e"age ungi : da"i _
+ea"n$a : untuk
etia# _ dg P teta#
M)R$#)( !"#$%
• Ma"ginal ungi : da"i P
+ea"n$a#e"u+a3an : ,k P +e"u+a3
1 unit' dg _ teta#• Ma"ginal ungi : da"i _
+ea"n$a #e"u+a3an : ,k_ +e"u+a3 1 unit' dg Pteta#
→= X
Y Ax
→=
Z
Y Az
→=∂
∂= fX
X
Y Mx
→=∂
∂= fZ
Z
Y Mz
,PTM)%
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 51/54
lan,utan%E()%T%T)%
•Elatiita ungi : da"i P
+ea"n$a #e"entae #e"u+a3an : ,k P +e"u+a3 1?' dg _ teta#
• Elatiita ungi : da"i _
+ea"n$a #e"entae #e"u+a3an : ,k P +e"u+a3 1?' dg _ teta#
,PTM)%
O#timai #d . multi*a" meli#uti%
a.O#t. tan#a kendala
G8' B8 dan GG.BB-GBXQ8
GG dan BB Q 8 minimal
8 makimal
+. O#t. dengan kendala
• #e"amaan
•!e"tidakamaan
metode 5ag"ange%
- Teta#kan tu,uan & kendala
-N$atakan . kendala dlm +entukim#liit
-uat ungi 5ag"ange%
G8' B8 dan GG.BB-GBXQ8
GG dan BB Q 8 minimal
8 makimal
→=∂
∂=
∂
∂=
Ax
Mx
Y
X
X
Y
X
Y Ex .
H
H
→=∂
∂=
∂
∂=
Az
Mz
Y
Z
Z
Y
Z
Y Ez .
H
H
I),(J),( k z x g z x f F −−= λ
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 52/54
lan,utan
• O#timai #d . multi*a" meli#uti%
a.O#t. tan#a kendala . la+a untuk#"oduki 2 +a"ang' #"oduki dg 2 in#ut'
#"oduen $g melakukan dik"iminai 3a"ga+.O#t. dengan kendala
• #e"amaan
•
!e"tidakamaan metode 5ag"ange% keeim+angan
konumen dan keeim+angan #"oduen
Misal:
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 53/54
Misal:1. Fungi #"oduki +a"ang% ' tentukan%
a. ungi A!K' A!5' M!K dan M!5
+. #ada aat K50' +e"a#a T!' A!K' A!5' M!K dan M!5
. elatiita #"oduki da"i in#ut K dan 5
2. !e"ua3aan A mem#"oduki 2 +a"ang $ang di,ual dg3a"ga 1888 untuk +a"ang 1 dan 788 untuk +a"ang 2. ika
+ia$a total $g dikelua"kan adala3 TC21X@212@2X' +e"a#a +ea"n$a la+a makimal $g di#e"ole3S
/. !e"ua3aan mono#oli meng3ailkan 2 +a"ang dg +ia$atotal TCG`@2`@/X. ika #e"mintaan +a"ang 1adala3 !`/-/` dan +a"ang 2 adala3 !48-0 '
+e"a#a 3a"ga ,ual +a"ang 1 dan 2 aga" di#e"ole3 la+amakimalS
4. Fungi #"oduki +a"ang% 18-2(K-0)X-4(5-4)X. e"a#ain#ut K dan 5 digunakan aga" di#e"ole3 la+a makimalS
4,06,05 L K P =
lanjutan
7/23/2019 MATEMATIKA EKONOMI-1.ppt
http://slidepdf.com/reader/full/matematika-ekonomi-1ppt 54/54
lanjutan0. !e"ua3aan Anda meng3ailkan +a"ang $g di,ual di 2
#aa" $aitu a dan + dg ungi #e"mintaan di #aa" a%
!a78-0a dan #aa" +% !+178-28!+. ika ungi+ia$an$a TC08@28(a@+)' +e"a#a 3a"ga ,ual+a"ang di #aa" a dan #aa" + aga" la+an$a makimalS
. Ke#uaan udi da"i mengkonumi +a"ang P dan :%
T=4P:-PX-/:X. agaimana udi mengalokaikan#enda#atann$a 40 ,ika 3a"ga #e" unit +a"ang P dan :adala3 2 dan / e3ingga di#e"ole3 utilit$ makimalS
. Fungi #"oduki +a"ang% T!/K@05@K5. ika 3a"gain#ut K dan 5 adala3 / dan ' +e"a#a +ia$a minimal
untuk meng3ailkan 14. +a"angS7. Fungi #e"mintaan +a"ang 1 ditun,ukkan dengan
`188-!`@8'0!@8'880: !ada 3a"ga+a"ang 1 18' 3a"ga +a"ang 2 28' dan #enda#atan18888' tentukan elatiita 3a"ga' iat 3u+ungan