matematika komputasi 6 himpunan

7/23/2019 Matematika Komputasi 6 Himpunan

1/35

HIMPUNANMuhammad Aminul Akbar


2/35

Defnisi.Himpunan (set) adalah kumpulan

objek-objek yang berbeda.Objek di dalam himpunan disebut

elemen, unsur, atau anggota.


3/35

Cara Penyajian Himunan

!. "numerasi #menuliskan semua elemen himunan diantara dua

kurung kura$al. %iasanya untuk himunan terbatasdan tidak terlalu besar

Himpunan empat bilangan asli pertama:A = {1, 2, 3, 4}.Himpunan lima bilangan genap positif pertama: = {4, !, ",

1#}.$ = {ku%&ng, a, Am&r, 1#, paku}

' = { a, b, {a, b, %}, {a, %} }$ = {a, {a}, {{a}} }( = { {} }Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, !2, !1, 0, 1, 2,

}.


4/35

&eanggotaan

"A * merupakan anggota h&mpunan A+ #A * bukan merupakan anggota h&mpunan A.

Contoh '. Misalkan#

A = {1, 2, 3, 4}, ' = { a, b, {a, b, %}, {a, %} }( = {{}}maka

$ "A{a, b, %} "'% #'{} " ({} # '


5/35

2. Simbol-simbol Baku

P ( himunan bilangan bulat ositi) ( * !, ', +,...

N ( himunan bilangan alami -natural ( * !, ',

... / ( himunan bilangan bulat ( * ..., 0', 0!, 1, !,', ...

2 ( himunan bilangan rasional3 ( himunan bilangan riil

C ( himunan bilangan komleksHimpunan %ang uni&ersal: semesta, disimbolkan

dengan U.'ontoh: isalkan ) * {1, 2, $, +, } danA adalah

h&mpunan bag&an dar& , dengan A = {1, 3, }.


6/35

3. Notasi PembentukHimpunan

Notasi: { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

| : dimana , sedemikian sehingga

, : dan

Contoh :

A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih

keil dari !

A " { x | x bilangan bulat positif lebih keil dari!} atau A " { x | x " #, x $ ! }%

yang eki&alen dengan A " {', (, ), *}


7/35

Diagram Venn

en%ajikan Himpunan se-ara grasisalkan ) * {1, 2, , /, },

A = {1, 2, 3, } dan = {2, , !, "}.


8/35

&A3DINA4I5A6

umlah elemen di dalamA d&sebutkardinal dari himpunan A.

otasi: nA) atau /A/

= { / merupakan b&langan pr&maleb&h ke%&l dar& 2# }, atau = {2, 3, , 0,

11, 13, 10, 1} maka // = " = {ku%&ng, a, Am&r, 1#, paku}, maka /

/ = A = {a, {a}, {{a}} }, maka /A/ = 3


9/35

Himunan kosong -null set)

Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan

kosong (null set).Notasi : atau { }

E = { x x ! x }" maka n(E) = 0# = { orang $ndonesia %ang pernah ke bulan }" maka

n(#) = 0

himpunan {{ }} dapat &uga ditulis sebagai {}himpunan {{ }" {{ }} } dapat &uga ditulis sebagai {" {} } {} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu

elemen %aitu himpunan kosong.


10/35

Himunan %agian -Subset)

Himpunan 3 dikatakan himpunanbagian dari himpunan 4 jika dan

han%a jika setiap elemen 3merupakan elemen dari 4.5alam hal ini, 4 dikatakan superset

dari 3.otasi: 3 7 4


11/35

{ '" " } {'" " " *" +}7 {'" " } {'" " }7 N , - 7 7 7

/ntuk poin (a) dan (b) teorema ' " Adan disebut

improper subset atau himpunan bagian tak sebenarn%a


12/35

3 7 4 berbeda dengan 3 8 4 3 8 4 digunakan jika ingin

men%atakan himpunan 3 bagian dari4 tetapi 3 9 4.3 adalah himpunan bagian

sebenarn%a (proper subset dari 4.'ontoh: {1} dan {2, $} adalahproper subset dari {1, 2, $}

3 7 4 : digunakan jika ingin

men%atakan bah;a 3 adalah


13/35

Himunan yang 6ama

3 * 4 jika dan han%a jika setiapelemen 3 merupakan elemen 4 dan

sebalikn%a setiap elemen 4merupakan elemen 3.3 * 4 jika 3 adalah himpunan bagian

dari 4 dan 4 adalah himpunanbagian dari 3. ika tidak demikian,maka 3 9 4.

otasi : 3 * 4 3 7 4 dan 4 7 3


14/35

ika 3 * { $, , , } dan 4 * {, $, }, maka3 * 4

ika 3 * { $, , , } dan 4 * {$, }, maka 3

9 4)ntuk tiga buah himpunan, 3, 4, dan ' berlaku

aksioma berikut: 3 * 3

4 * 4 ' * 'jika 3 * 4, maka 4 * 3jika 3 * 4 dan 4 * ', maka 3 * '


15/35

Himunan yang "ki7alen

Himunan A dikatakan eki7alendengan himunan % jika dan

hanya jika kardinal dari keduahimunan tersebut sama.Notasi # A 8 %Contoh # Misalkan A ( * !, +, 9,

: dan % ( * a, b, ;, d , maka A8 % sebab


16/35

Himunan 6aling 4eas

Dua himunan A dan %dikatakan saling leas -disjoint

jika keduanya tidak memilikielemen yang sama.Notasi # A >> %Diagram ?enn# UA%

Contoh . @ika A ( * < B P,

dan % ( * !1, '1, +1, ... ,


17/35

Himunan &uasa

Himunan kuasa -o$er set dari himunan Aadalah suatu himunan yang elemennyameruakan semua himunan bagian dari A,

termasuk himunan kosong dan himunan Asendiri.Notasi # P-A atau 'A@ika


18/35

Ferasi 5erhada Himunan

? > @ 3 dan > @ 4 }

ika 3 * {2, +, A, , 10} dan 4 * {+, 10, 1+,1}, maka 3 = 4 * {+, 10}

ika 3 * { $, , B } dan 4 * { !2, A }, maka 3= 4 *C. 3rtin%a: 3 DD 4


19/35

Eabungan (unionotasi : 3 F 4 * { > ? > @ 3 atau > @ 4 }

ika 3 * { 2, , } dan 4 * { /, , 22 },maka3 F 4 * { 2, , /, , 22 }

3 F C* 3


20/35

Gomplemen (-omplement


21/35

= himpunan semua mobil buatan dalam negeri1 = himpunan semua mobil impor = himpunan semua mobil %ang dibuat sebelum tahun '2203 = himpunan semua mobil %ang nilai &ualn%a kurang dari -p '00 &utaE = himpunan semua mobil milik mahasis4a uni5ersitas tertentu

#ern%ataan diba4ah ini dapat dinotasikan : 6mobil mahasis4a di uni5ersitas ini produksi dalam negeri atau

diimpor dari luar negeri7 (E =) F(E =1) atau E =( F1)

6semua mobil produksi dalam negeri %ang dibuat sebelum tahun '220%ang nilai &ualn%a kurang dari -p '00 &uta7 = =3

6semua mobil impor buatan setelah tahun '220 mempun%ai nilai &ual

lebih dari -p '00 &uta7


22/35


23/35


24/35

8ika dan 1 merupakan himpunan berhingga maka x1 = 1

8ika = dan 1 = maka x1 = 1x =


25/35

Hukum0hukum Himunan

5isebut juga hukum aljabarhimpunan


26/35


27/35

9entukan :

:

:

3 = 43 ) 4 1


28/35


29/35


30/35


31/35


32/35

5alam suatu kelas terdapat +/sis;a, setelah di-atat terdapat $

anak senang berolahraga, $A anaksenang memba-a, dan orang anaktidak senang berolahraga maupunmemba-a. 4an%ak anak %angsenang berolahraga dan senangmemba-a adalah


33/35

n(* +/ I n(O* $ I n(*$A I n(J * (Kidak senang keduan%a

5itan%a : n(O=a;ab :n( *( n(O L n( ! n(O= L

n(J

+/ * ($ L $A ! n(O= L +/ M * /+ ! n(O=+2 * /+ ! n(O=n(O= * /+ M +2 * $2.


34/35

'ontoh lagi: 5ari 1$0 anak, suka pop0, suka klasik +0, dan suka ro-k /0.

uka pop dan klasik 2+, suka klasikro-k 2$, dan suka pop ro-k 2.4erapakah %ang suka ketigan%aN


35/35

1$0 * (0 L +0 L /0 ! (2+ L 2$ L2 L

1$0 * 1B0 ! / L 1$0 * 11 L * 1 (elesai.

matematika komputasi 6 himpunan

Documents