matematika teknik (pendahuluan)

7/24/2019 Matematika Teknik (pendahuluan)

1/28

MATEMATIKA TEKNIK

Pertemuan 1


2/28

Review

Fungsi

Secara mudah, fungsi dapat dipandang sebagai aturan yang menghubungkan

input dan output. Input yang diberikan akan dilewatkan ke sebuah blok fungsi, dan

menghasilkan output sesuai dengan karakteristik blok fungsi. Hal ini dapat

diilustrasikan sebagai berikut :

Hubungan antara input, output, dan blok fungsi


3/28

Review

Sebuah fungsi pengali input dua kali akan menghasilkan nilai output dua

kali dari nilai input. fungsi tersebut apabila dituliskan secara matematis

adalah sebagai berikut : f :x2x

atau ditulis secara lebih kompak

f (x) 2x

Input suatu fungsi disebut sebagai argumen. Pada fungsif (x) 2x ,

yang menjadi argumen adalah x. Jika x diganti dengan nilai 3, maka :

f(3) 2.3 6, dengan nilai argumen adalah 3.


4/28

Review

Sebuah fungsi dapat digambarkan secara grafik dengan memakai

kordinat kartesius. Fungsif (x) 2x dapat digambarkan dengan

menguji nilaif (x) untuk beberapa nilai x sebagai berikut.

x = 2, f (x) = 4

x = 1, f (x) = 2

x = 0, f (x) = 0

x = -1, f (x) = -2

x = -2, f (x) = -4dst...

koordinat kartesius fungsif (x) 2x


5/28

Review

VariabelPada fungsi y =f (x) = 2x , x dan y dapat memiliki kemungkinan sejumlah nilai

tertentu, sehingga x dan y dinamakan sebagai variabel. x adalah variabelindependent(variabelbebas) dan y adalah variabel dependent(variabel tak

bebas), mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel x.

pada contoh b dan c terlihat bahwa pada persamaan differensial, variabel

dependent-nya adalah variabel dalam bentuk turunannya


6/28

Review


7/28

ReviewAturan pada operasi turunan

Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka :


8/28

Contoh

1.

2.

3.


9/28

Tugas

Gunakan metode aturan ke-5:

1.

2.


10/28

Review

Proses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan

turunan/derivatif. Suatu fungsi f(x) dapat kita turunkan menjadi :

d(fx)

dx

Apabila kita ingin mencari suatu fungsi f(x) dariturunan/derivatif-nya, maka dinamakan : integral

Integral


11/28

Review


12/28

Review


13/28

ReviewSifat pada operasi integral


14/28

Contoh

Temukan fungsi y jika :

T


15/28

Tugas

y

y

y

1.

2.

3.


16/28

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial/PD adalah persamaan yang di

dalamnya berisi turunan (derivative atau differential) satu atau

lebih variabel.

Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial:


17/28


Persamaan diferensial sangat penting di dalam matematikauntuk rekayasa sebab banyak hukum dan hubungan fisikmuncul secara matematis dalam bentuk persamaan diferensiaPersamaan diferensial (disingkat PD) diklasifikasikan dalam dkelas yaitu biasa dan parsial.

Persamaan Diferensial Biasa (ordinary differential equation) disingkat

PDB adalah suatu persamaan diferensial yang hanya mempunyai satu

variabel bebas. Jikay(x) adalah suatu fungsi satu variabel, makaxdinamakan variabelbebas dany dinamakan variabel tak bebas. Persamaa

(1), (2), (3) adalah contoh PDB.


18/28


Persamaan Diferensial Parsial (disingkat PDP) adalahsuatu persamaan diferensial yang mempunyai dua ataulebih variabel bebas. Persamaan (4) adalah contoh PDP

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh turunantertinggi dalam persamaan tersebut, contoh:


19/28


Derajat (degree) dari suatu persamaan diferensial adalah

pangkat tertinggi dari turunan tertinggi suatu

persamaan diferensial, contoh:

Syarat tambahan pada persamaan diferensial, untuk satu

nilai variabel bebas yang mempunyai satu atau lebih nilaisyarat disebut syarat awal (i n i t i a l c o n d i t i o n s ). PD dengan

syarat awal dikatakan sebagai suatu masalah nilai awal(initial-value problem). Jika syarat yang diberikan pada PDlebih dari satu nilai variabel bebas, disebut syarat batas danmerupakan PD dengan masalah nilai batas (boundary-value

problem).


20/28


adalah PD dengan masalah nilai awal karena duasyarat pada x yang samayaitu x=2

adalah PD dengan masalah nilai batas karena dua syaratpada x yang berbeda yaitu x=1 dan x=2


21/28

Linieritas dan Homogenitas

b k f l


22/28

Pembentukan Persamaan DiferensialSecara matematis, persamaan diferensial muncul jikaada konstanta sembarang dieliminasikan dari suatufungsi tertentu yang diberikan.

Contoh: Bentuklah persamaan diferensial dari fungsi berikut

Penyelesaian:dari fungsi yang diberikan (soal) sembarang A adalah:

sehingga

S l i P l i PDB


23/28

Solusi Penyelesaian PDB


24/28


25/28

Solusi Penyelesaian PDB


26/28

Contoh


27/28

Contoh


28/28

Tugas

1.

2.

matematika teknik (pendahuluan)

Documents