materi geometri

7/23/2019 Materi GEOMETRI

http://slidepdf.com/reader/full/materi-geometri 1/18

GEOMETRI

Disusun Oleh

Drs. Supriyono, M.Si.



BINTEK PENINGKATAN KOMPETENSI AKADEMIK MAPEL

MATEMATIKA GURU SMP

PROVINSI JAWA TENGAH

TAHUN 201

AKU BISA

! 2 " !

A#u h$%us&is$

1 2 2 "

P$'$ M$(e)$(i#$

1 2 " * !

W$l$u Te)$n#u &il$n+

2 " 2 1

M$(e)$(i#$ su#$%

Re, - ! i I 2 I .

A/$h '$n I&u#u

! * * I * !

Sl$lu )en'%n+#u

1 2 2 " !

Un(u# (e%us &el$$%

2 " 2 1



S$)$i $#u &is$

1 3e&%u$%i 201 P$# P%i Deli)$

GEOMETRI

I. Segitiga

Definisi : segitiga adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh tiga ruas garis.

Catatan : ruas garis = segmen garis = potongan garis = penggal garis.Jenis Segitiga

a. Menurut besar sudut

i) Segitiga lancipii) Segitiga sikusiku

iii) Segitiga tumpul

Definisi:i) Segitiga lancip adalah!

ii) Segitiga sikusiku adalah!iii) Segitiga tumpul adalah! b. Menurut pan"ang sisi

i) Segitiga samakaki

ii) Segitiga samasisi

iii) Segitiga sebarang

Definisi:

i) Segitiga samakaki adalah!ii) Segitiga samasisi adalah!

iii) Segitiga sebarang adalah!

#arisgaris istime$a pada segitiga

a. #aris tinggi#aris tinggi adalah garis yang ditarik dari titik sudut yang tegak lurus sisi di

depannya. b. #aris berat



#aris berat adalah garis yang ditarik dari titik sudut yang membagi sisi didepannya

men"adi dua sama pan"ang.c. #aris bagi

#aris bagi adalah garis yang ditarik dari titik sudut dan membagi sudut bersangkutan

men"adi dua sama besar.d. #aris sumbu

#aris sumbu adalah garis yang tegak lurus dan di tengahtengah sebuah sisi.

%uas Daerah segitiga & %uas Segitiga )

a) %uas Segitiga '(Cerhatikan gambar berikut*

b) %uas Segitiga '(C = √ s (s−a)( s−b)( s−c)

Bukti :

Jika dalam suatu segitiga yang diketahui hanya segitiga sisi segitiga a+ b+ dan c maka

luas segitiga tersebut adalah:

%uas , = √ s ( s−a ) (s−b ) ( s−c ) + dengan s =1

2 & a-b-c)

(ukti :

erhatikan segitiga paa gambar di samping.'( = c+ (C = a+ 'C = b+ CD = h+ 'D = +

dan (D = c .

erhatikan ,'DC.

(erdasarkan teorema phytagoras+'C/ = CD/ - 'D/

⇔ b/ = h/ - /

⇔ b/ 0 / = h/ !!&1)

erhatikan ,(DC.

(erdasarkan teorema phytagoras+

(C/ = CD/ - (D/

1



⇔ a/ = h/ -&c 0 )/

⇔ a/ 0 &c 0 )/ = h/ .!&/)

Dari persamaan &1) dan &/) diperoleh: b/ 0 / = a/ 0 &c 0 )/

⇔ b/ 0 / = a/ 0 &c/ 0/c - /)

⇔ b/ 0 / = a/ 0 c/ -/c /

⇔ b/ 0 a/ - c/ = /c .!&2)

Dari persamaan &1)

h/ = b/ 0 / &masing 0 masing ruas dikali 3c/)⇔ 3c/ h/ = 3c/ b/ 0 3c/ /

⇔ 3c/ h/ = &/c b 0 /c)&/cb - /c)

⇔

3c/

h/

= &/cb 0 &b/

0 a/

- c/

))&/cb - &b/

0 a/

- c/

))⇔ 3c/ h/ = &a/ 0 & b/ 0 /cb - c/))&&b/ - /bc - c/) 0 a/

⇔ 3c/ h/ = &a/ 0 & b 0 c)/&&b - c)/ 0 a/ )

⇔ 3c/ h/ = & a 0 &b 0 c))&a - &b 0 c))&&b-c) 0 a)&&b-c) - a)

⇔ 3c/ h/ = &a-c 0 b)&a-b 0 c)&b-c 0a)&a-b-c) !..&3)

Misal : /s = a-b-c+ maka dari persamaan &3) diperoleh

3c/ h/ = &/s 0 /b)&/s 0 /c)&/s 0 /a)&/s)

⇔ 3c/ h/ = 14 &s 0 b)&s 0 c)&s 0 a)&s)

⇔ 3c/ h/ = 14 &s)&s 0 a)&s 0 b)&s 0 c)

⇔ c/ h/ = 3 &s)&s 0 a)&s 0 b)&s 0 c)

⇔ c h = √ 4 (s)( s−a)( s−b)(s−c)

⇔ c h = 2√ (s)( s−a)( s−b)(s−c)

⇔ 1

2 c h = √ (s)(s−a)(s−b)( s−c)

⇔ % ∆ ABC = √ (s)(s−a)(s−b)( s−c)

Segitiga '(C dengan pan"ang sisi a+ b+ dan c luasnya adalah:

% ∆ ABC = √ (s)(s−a)(s−b)( s−c) + dengan s =1

2 &a-b-c)



PENTING

Jangan sampai anda bertanya kepada peserta didik anda seperti berikut:

‘’Jika sebuah segitiga dengan masing-masing panjang sisi 10 cm, 7 cm, dan 3 cm,

maka tentukan keliling segitiga tersebut!

Mudahkan !’’

Catatan

Ditin"au dari tempat kedudukan titiktitik+ garis bagi merupakan tempat kedudukan

titiktitik yang ber"arak sama terhadap kakikaki sudut.

(D garis bagi 5 '(C+ sehingga 6 = % dan 6 ⊥ (C serta % ⊥ ('

Latihan Soal

1. Jika segitiga '(C adalah segitiga samakaki dengan '( = 'C. Dari titik sudut (

ditarik garis yang memotong sisi 'C di titik D sedemikian hingga (C = (D = 'D+

maka tentukan besar 5 ' *

/. erhatikan gambar berikut * & (utir soal 78)

Jika , '(C adalah segitiga sikusiku sama kaki dan

sudut siku siku di (+ pan"ang (C = 19 cm+ dan CD

adalah garis bagi+ maka tentukan pan"ang (D*

2. erhatikan gambar berikut*

Jika luas , ; = < cm/+ maka tentukan luas



, '(C *


Jika luas , '(C = 1 satuan

luas+

' =1

2 '(+ ( =2

3

(C dan

'; =1

4 'C + maka

tentukan

%uas , ; *

II. Segiempat

Definisi : segiempat adalah kurva tertutup sederhana yang dibatasi oleh empat ruas garis.

Jenis Segiempat

a) Ja"ar #en"angDefinisi : Ja"ar gen"ang adalah segiempat yang sepasangsepasang sisi berhadapan

se"a"ar.

b) ersegi an"angDefinisi : ersegi pan"ang adalah "a"ar gen"ang yang salah satu sudutnya sikusiku.

c) (elah 6etupat

Definisi : (elah ketupat adalah "a"ar gen"ang yang sisisisinya sama pan"ang.d) ersegi

Definisi : persegi adalah belah ketupat yang salah satu sudutnya sikusiku.

'tau : persegi adalah persegi persegi pan"ang yang sisisisinya sama pan"ang.e) %ayang 0 layang

Definisi : %ayanglayang adalah segiempat yang diagonal pan"angnya merupakan

simeri lipat.f) rapesium

Definisi : rapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisi berhadapan se"a"ar.

%uas Daerah Segiempat

a) Ja"ar #en"angerhatikan gambar "a"ar gen"ang '(CD berikut*



7ntuk menentukan luas "a"ar gen"ang+ kita buat garis pertolongan yakni garis (D+ maka

terbentuklah dua segitiga yang kongruen+ yakni ,'(D dan ,CD(.

Sehingga luas "a"ar gen"ang '(CD = / > %uas , '(D

= / >1

2 '(.t

= '(. t &ditulis alas > tinggi) b) ersegi an"ang

erhatikan gambar berikut*

'(CD adalah persegi pan"ang sehingga '(⊥

'D.

Dapat dipikirkan bah$a "ika '( = a dan 'D = t maka luas '(CD adalah at atauJika '( = p dan 'D = l + maka luas '(CD adalah p > l .

c) (elah 6etupat

erhatikan gambar belah ketupat berikut*

Jelas '( = (C = CD = D'+

'? = C?+ (? = D? dan D? ⊥ 'C+

Maka luas ,'(? =1

4 luas '(CD.

'tau luas '(CD = 3. %uas ,'(?

= 3.1

2 '?. (?



= 3 .1

2 .1

2 'C .1

2 (D

=4

8 'C.(D

=1

2 &'C > (D)

=1

2 diagonal > diagonal

d) ersegi

erhatikan gambar persegi '(CD berikut *

Jelas '( ⊥ 'D+ sehingga

luas persegi '(CD = '( > 'D. Sedangkan 'D = '(+

maka disimpulkan luas persegi '(CD = '( > '(

= '(/.Jika pan"ang '( = s+ maka luas persegi '(CD = s/ atau % persegi = s/.

e) %ayang 0 layang

erhatikan gambar layang 0 layang '(CD berikut*

Jelas (? ⊥ 'C dan (? = D?+ sehingga ,'DC

6ongruen dengan ,'(C.Jadi luas layang 0 layang '(CD

= / luas ,'(C

= /.1

2 . 'C > (?

=1

2 'C > (D

=1

2 &diagonal > diagonal )

f) rapesium

erhatikan gambar trape@ium '(CD berikut*



7ntuk menentukan rumus luas trapesium kita tempuh / cara.

Cara A : kita tarik garis 'C+ sehingga terdapat dua segitiga + yakni ,'DC dan ,'(C.

Jelas luas trape@ium '(CD = luas ,'DC - luas ,'(C

=1

2 DC. t -1

2 '(. t

=1

2 t &DC - '().

Cara AA : 6ita tarik garis dari C BB 'D yang memotong '( di ?+ sehingga terdapat dua

bangun '?CD dan ,?(C.

Jelas luas trape@ium '(CD = luas '?CD - luas , ?(C

= '?. t -1

2 ?(.

=1

2 / '?.t -1

2 ?( . t

=1

2 t &/ '? - ?()

=1

2 t & DC - '? - ?()

=12 t & DC - '()

KESEBANGUNAN

Dua bangun dikatakan sebangun & ∾

)+ "ika

1. Sudut 0 sudut yang bersesuaian sama besar

/. Sisi 0 sisi yang bersesuaian mempunyai perbandingan yang sama.

Khuu untuk !angun egitiga

Dua segitiga dikatakan sebangun "ika memenuhi salah satu syarat di atas. Jadi "ikamemenuh syarat 1+ maka syarat / sebagai akibat dan sebaliknya.

Contoh :




entukan luas daerah yang diarsir*

Selesaian

Jelas ,DC? ∾ ,?# + karena

. . . = . . .

Jadi

DC

CE =

EH

HG 4

5

1 =

4

HG 4 # =

4

5 cm

. . . = . . .

Dari # =4

5 cm+ maka # = . . . cm

6ita tahu bah$a luas daerah yang ditanyakan adalah bangun trapesium. 6ita harus

mencari AJ. 6ita tarik garis dari # memotong perpan"angan JA di 6+ sehingga ,?#

∾ ∆#6A+ karena

. . . = . . .

Jadi. . .

. . . =. . .

. . .

. . . = . . .

Setelah 6A = . . . cm+ maka AJ = . . . cm.

Jadi luas daerah yang ditanyakan = . . .

Latihan Soal




;S "a"ar gen"ang. Jika ditarik garis S memotong diagonal ; di dan memotong

; di 7 serta memotong perpotongan di E sedemikian hingga "ika S = 14 cmdan 7 = F cm+ maka tentukan pan"ang 7E*

/. erhatikan gambar berikut*

'(CD adalah trapesium. Ditarik garis dari CBB'D memotong '( di ?.Ditarik garis dari DBBC( memotong '( di dan memotong C? di #. Jika ditarik

diagonal (D memotong C? di sedemikian hingga "ika DC = 3 cm+ '? = 3 cm+ ?

= / cm+ dan ( = 3 cm+ maka tentukan %,D# : %trap '(CD*2. erhatikan gambar berikut*

'(CD adalah lahan rumput yang berbentuk persegi

dengan pan"ang '( = < m. Seekor kambing diberi talidi lehernya pan"ang tali 3 m+ sedang u"ung tali diikat di

suatu tempat ? + di mana D? = / m. tentukan luas lahan

rumput yang dapat di "angkau oleh kambing*


'(CD persegi dengan pan"ang (C = G m. titik ?+ dan

# masing 0 masing di tengah 0 tengah '(+ 'D dan DC+sedemikian seperti pada gambar+

tentukan luas daerah (?*

G. erhatikan gambar berikut *'(CD persegi dengan '(= / cm+ ? tengah 0 tengah

'D dan tengah 0 tengah '(.

entukan luas daerah ?#*


'(CD persegi pan"ang. '( = 19 cm dan (C = F cm

A B

"#

E.



CD = C? dan C ⊥ D?. entukan pan"ang C *

III. LINGKARAN

Definisi : %ingkaran adalah tempat kedudukan titik 0 titik yang ber"arak samaterhadap sebuah titik tetap.

#ambar :

erhatikan gambar lingkaran berikut*

itik disebut titik pusat lingkaran.

< '(D disebut sudut keliling.

5 (C disebut sudut pusat.

Definisi : 5 pusat = H di depannya

5 keliling =1

2 H di depannya

7ntuk gambar di atas berlaku

< '(D =1

2 H 'D

5 (C = H (C

erhatikan gambar berikut*a)

5 '?( disebut sudut dalam.

(uktikan : 5 '?( =1

2 H '( -1

2 H CD

&5

5 '(C disebut sudut luar.



(uktikan : 5 '(C =1

2 H 'C 1

2

H D?

Keliling Lingka$an

Jika sebuah lingkaran dengan "ari 0 "ari r+ maka kelilingnya = / π

r+ ditulis 6= / π

r+

atau

6 = π d

Contoh :

Jika sebuah lingkaran besar dengan 6 = /G cm+ di dalamnya terdapat 3 lingkaran kecil

yang saling bersinggungan dan bertitik pusat pada garis tengah lingkaran besar.

entukan "umlah keliling dari 3 lingkaran kecil tersebut*

Selesaian :

Jika ke empat lingaran itu memiliki keliling 6 1+6 / + 6 2 dan 6 3+ maka

6 1 = π

d1

6 / = . . .

6 2

= . . .6 3 = . . .

-6 1- 6 / - 6 2 - 6 3 = . . .

Lua Lingka$an

Jika sebuah lingkaran dengan "ari 0 "ari r+ maka luasnya

Contoh :


Di dalam seperempat lingkaran besar dengan "ari 0 "ari 13 cm

terdapat setengah lingkaran kecil yang berdiameter 13 cm.

tentukan luas daerah yang diarsir*

Seleaian :

7ntuk lingkaran besar.

% =



r b & "ari 0 "ari lingkaran besar) = 13 cm

Jadi luas1

4 lingkaran besar =1

4 π

r b/

=1

4

22

7 .13.13

= . . . cm/

7ntuk lingkaran kecil

r k & "ari 0 "ari lingkaran kecil ) = < cm

"adi luas1

2 lingkaran kecil =1

2 π

r k /

=1

2 22

7 . <.<

= . . . cm/

Jadi luas lingkaran yang diarsir = . . .

= . . .

Latihan Soal

erhatikan gambar diba$ah ini*

1.

itung "ari 0 "ari lingkaran kecil*

/.

entukan luas daerah yang diarsir*



2.

Dua lingkaran besar adalah kongruen dengan "ari 0

"ari 1/ cm.

entukan pan"ang "ari 0 "ari lingkaran kecil.

3.

Sebuah lingkaran besar berdiameter '( dengan titik 0

titik 6+ % dan M membagi diameter men"adi 3 bagian

yang sama. entukan berapa bagian daerah yang diarsir.

I%. BANGUN RUANG

Ku!u

Jika sebuah kubus pan"ang rusuk '( = a+ maka

volumenya adalah E = a2.

Lima

%imas dapat dipikirkan "ika sebuah

kubus dibagi men"adi tiga bagian yang sama melalui

garis (D+ ?D+ D dan #D+ sehingga diperoleh tiga

buah limas tegak sebagai berikut.



Asilah &gambarlah) titik 0 titik diba$ah ini*

. . . . . . . . . . . . . + . . . . . . . . . . . . . +

Sehingga volume limas E =1

3 volume kubus

=1

3 a2

=1

3 a/ 0 a

=1

3 & luas alas > tinggi)

Ke$u&ut

6erucut dapat dipikirkan sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran sehingga

volumenya E =1

3 π r / t.

Ta!ung

erhatikan contoh berikut*


Sebuah tabung berisi air &penuh)+ tinggi tabung = 1F cm dan diameter =

4 cm. 6e dalam tabung dimasukkan 2 bola pe"al yang identic dimana

6etiga bola itu menyinggung sisi 0 sisi tabung tentu air dalam tabung ada



yang keluar. entukan sisa air dalam tabung*

materi geometri

Documents