Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.wordpress.com1 Ringkasan Materi dan Contoh Soal 1.Pengertian a). Limit kanan dan limit kiri *) L x fa x+) ( lim , artinya bilamana x mendekati a dari kanan, maka nilai f (x) mendekati L. *) L x fa x) ( lim , artinya bilamana x mendekati a dari kiri, maka nilai f (x) mendekati L. b). Definisi limit L x fa x) ( lim(ada)+) ( lim x fa xL x fa x) ( lim

Soal-soal: 1. 2. Jika( )'> +3 ; 23 ; 2x jk xx jk xx fmaka1 2 3 2 lim ) ( lim3 3 + + x x fx x dan ( ) 5 3 2 2 lim ) ( lim3 3 ++ x x fx x sehingga) ( lim3x fx tak ada (limit kirilimit kanan) 3. Jika( )' +< 2 ; 32 ; 1 42x jk xx jk xx fmaka7 1 8 1 2 . 4 1 4 lim ) ( lim2 2 x x fx x dan 7 3 4 3 2 3 lim ) ( lim2 22 2 + + +++ x x fx x sehingga7 ) ( lim2x fx 2.Nilai Limit Fungsi Aljabar Menentukan nilai limit) ( lim x fa x dengan cara: a). Subtitusi, jika diperoleh bentuk tak tentu (00), maka dilakukan: b). Faktorisasi, atau c). Perkalian dengan sekawan vUntuk) ( lim x fa x dengan subtitusi Jika f (a) = c maka) ( lim x fa x= c Jika f (a) = 0c maka) ( lim x fa x=Jika f (a) = c0 maka) ( lim x fa x= Jika f (a) = 00 maka dilakukan cara b). atau cara c). a L x y f(x) kiri kanan 2 5 4 3 x y f(x) Dari gambar diperoleh: 1).3 ) ( lim2x fx dan3 ) ( lim2+x fx maka3 ) ( lim2x fx 2).3 ) ( lim5x fx dan4 ) ( lim5+x fx , limit kiri dan limit kanan tidak sama maka) ( lim5x fxTidak Ada 2 Soal-soal: 1).( ) 9 6 15 6 3 . 5 6 5 lim3 xx 2). 22122126 151 36 ) 3 ( 516 5lim3 + + xxx 3).0402 22 222lim2 ++xxx 4). 006 2 . 5 22 26 52lim2 22+ + x xxx BTT, maka ( )( ) ( )1113 2131lim3 22lim6 52lim2 222 + x x xxx xxx x x 5). ( )006 5 12 3 16 ) 1 ( 5 ) 1 (2 ) 1 ( 3 16 52 3lim22221 ++ + + + + x xx xxBTT, maka ( )( )( )( )( )( ) 71716 12 162lim6 12 1lim6 52 3lim1 1221 + + ++ + + + xxx xx xx xx xx x x 6). 000 . 7 0 . 20 . 3 0 . 5 07 23 5lim22 322 30+ + x xx x xx BTT, maka ( )( )( )( ) 230 . 7 23 0 . 5 07 23 5lim7 23 5lim7 23 5lim202022 30+ + + + xx xx xx x xx xx x xx x x 7). 002 21 8 321 4 3lim2+ + xxx BTT, maka ( )( )( )( )( )( )( )( )( )32643 341 2 . 4 341 4 34lim1 4 3 22 4lim1 4 3 24 8lim1 4 3 21 4 9lim1 4 31 4 321 4 3lim21 4 3lim22 22 2 2 ++ ++ ++ + + + + + + + ++ ++ + xx xxx xxx xxxxxxxxxx xx x x 8). 003 21 2 2lim3 +x xx xx BTT, maka ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )535 23 25 53 31 3 . 2 2 33 3 3 . 21 2 23 2lim3 1 2 23 2 3lim) ( 3 2 1 2 23 2 3lim3 23 2.1 2 2 3 23lim1 2 2 3 23lim1 2 2 3 2) 1 2 ( ) 2 (lim1 2 21 2 2.3 21 2 2lim3 21 2 2lim3333333 3 ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + + + + + + + + + + + + + + + + + + x xx xx x xx x xx x x xx x xx xx xx x x xxx x x xxx x x xx xx xx xx xx xx xx xxxxxxxx x Dikali sekawan pembilang Dikali sekawan penyebut3 Menentukan nilai limit) ( lim x fx dengan cara: a). Subtitusi. b). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ) maka masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT). c). Jika diperoleh bentuk tak tentu ( ) maka dikalikan bentuk sekawannya kemudian masing2 pembilang dan penyebut dibagi dengan variabel pangkat tertinggi (VPT). vUntuk) ( lim x fx dengan subtitusi Jika ) (x fc maka) ( lim x fx = Jika ) (x fc maka) ( lim x fx = 0 Jika ) (x f maka dilakukan dengan cara b). Jika ) (x f maka gunakan cara c). Soal-soal: 1). + + 9 . 2 9 2 lim xx 2).061616lim2 2+ + xx 3).96 96 lim x 4). + 1 32lim2x xxx BTT maka 0300 0 301lim1lim 3 lim2lim1 132lim1 32lim1 32lim2 22 2 2222 + + + + + xxxxxxx xxxxxxx xxx x xxx x x 5). + 1 32lim22x xxx BTT, maka 320 0 321lim1lim 3 lim2 lim1 132lim1 32lim1 32lim2 22 2 222222 + + + + + xxxxx xxxxxxx xxx x xxx x x 6).( ) + + 2 7 4 1 5 4 lim2 2x x x xx BTT, maka Catatan: 1)0 ; 0 lim > nxknx 2)0 ; lim > n kxnx 3); lim k kx k konstanta Lihat Teorema Limit VariabelPangkatTertinggi(VPT) adalah 2x ,makapembilangdan penyebut dibagi dengan 2x4 ( )( )( )( )( ) ( )34124 2120 0 4 0 0 40 122 741 54312lim2 7 4 1 5 43 12lim2 7 4 1 5 43 12lim2 7 4 1 5 42 7 4 1 5 4lim2 7 4 1 5 42 7 4 1 5 42 7 4 1 5 4 lim2 7 4 1 5 4 lim2 22 2 222 2 222 22 22 22 22 22 22 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + xxxxxx xxxxx xxxxx xxx x x xxx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xx x x xxxxxxx Beberapa Kesimpulan untuk limit tak hingga: Jika ......) (11+ ++ +n mn nqx pxbx axx fmaka mnx xpxaxx f lim ) ( lim'> < 1 ; 11 ; 01 ; 1x jkx jkx jkx f , tentukan: a.( ) x fx 1lim ,b.( ) x fx+ 1lim , c.( ) x fx 1lim . 5.Ditentukan( )'< p dan a < p 153.( ) x x x xx+ + + 2 22 1 lim154.( ) 9 5 1 6 4 lim2 2+ + x x x xx 155.( )( ) ( ) 9 2 2 1 2 lim2+ + x x x xx 156.( ) x x xx3 5 4 lim2 2 157.( ) 12 3 5 2 lim2 2+ + x x x xx 158.( )( ) ( ) 1 7 5 1 3 lim2+ + + x x x xx 159.( )( ) ( ) 1 7 3 4 5 3 lim2+ + x x x xx 160.( ) 1 7 4 lim2 x x xx 161.( ) ( ) 8 7 4 2 lim2+ + x x xx 162.( ) 9 5 lim2 + x x xx 163.( ) ( )( ) ( ) 3 3 3 lim + + x x xx 164.( ) 4 5 3 3 lim2+ + x x xx 165.( ) 4 5 6 lim2 + + x x xx 166.( ) 3 2 1 lim2 x xx 167.( ) ( ) 3 2 5 3 4 lim2 + x x xx 168.( ) ( ) 5 3 4 9 lim2+ + x x xx 169.( ) 5 3 2 lim2+ x xx 170.( ) 8 2 3 lim2 2+ x x xx 171.,_

+ 5 2 3 4 3 lim x x x xx 172.( ) 1 5 4 1 3 4 lim2 4 2 4+ + + x x x xx 173.( ) 8 4 lim3 3+ x xx 174.( ) ( ) x x xx + 2 lim2 175.

,_

+ 23 4lim2x xx 176. 23 3 2limxx x xx+ ** 177. x xx x xx22 3 263lim+ ** D. Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: 178.x xxcos 5 sin lim2+ 179.( ) x xxcot . 2 sin lim0 180.,_

+xx xxsin 3cos 56sinlim2 181. xxx2coslim0 182. xxxcos5lim0+ 183. xxx5 sin2 tanlim0 184. xxx53 sinlim0 185. xx xx3 sin5 sinlim20 186. x xxx2 sin 3 sin21tanlim20 187. xxx220sin2lim 188. ( )22033 sinlimxxx 189. x xxx2 sec2 tanlim0 190. 2cos2sinlim0x xxx 191. xxxcos2lim0 192. 2202 sinlimxxx 193. 203 cos coslimxx xx 194. xx xx4 sin 3 sinlim0+ 195. xxx2 cos 1lim0 196. 2022 cos 1limxxx 197. ( )x xxx3 sin2 sinlim2 220+ 198. x x xx x xx2 cos 3 sin 26 3 tan 4 sinlim23 20+ 199. a xa xa xcos coslim200. xx xxcos 13 cos coslim0 201. xxx42 coslim4 202. xxx sin 1coslim24 203. x xxxsincos 1lim0 204.( ) x xxtan sec lim2 205. 30tan sinlimxx xx 206.( ) x xx2 cot lim0 207. xxx tan1lim1 208. xxx2 cos1 tanlim4 209. ( ) 1 tan2 coslim4 x xxx 210. 9 2 32 sinlim0+ xxx 211. xxx 1 14 sinlim0 212. ( )22 sinlim2xxx 213. ( )xxxsinlim214. ( ) ( )3 21 sin 1 3lim21 + +x xx xx 215. ( )32 1 sinlim3 +xxx 216. xxx2sin 1lim2 217. xxxsectan 2lim2 218. 2053 tan . 2 tanlimxx xx 219. xxxsin 1cos 1lim0++ 220. xxxcos 12 cos 1lim0 221. xx xxsin3lim20+ 222. xxx21cos 12lim220 223. 3042 cos . 3 sin 3 sinlimxx x xx 224. ( ) ( )( )222222 sin 6 5lim + x xx x xx 225. ( )x x xx xx2 36 sin 1lim2 320+ + 226. x xx xx3 cos 42 sin 8 sinlim0+ 227. 9 2 32 sinlim0+ xxx 228.

,_

x xx xx3 sin 8 sin2 sin 5 sinlim0 229.

,_

x xx xxsin 2 sintan 2 tanlim0 230.

,_

xxx4tan 1lim4 231.,_

x xxx sin4 cos 1lim2 232.,_

xxxcos) sin(coslim2 233. 41sin coslim41xx xx 234. xx xx 2 sin 1cos sinlim21 235. ( )11 sinlim21xxx 236. xxx cos2 cos 1lim21+ 237. ( )( ) a x a xa xa x2 2 sin3lim + 238. ( ) ) 1 tan() 1 (lim22 31 + + + x a xax x a xx 239. +xxxcos 1lim240. ( )( ) x xx xxsec 3 1 tancos 1 2 sinlim0++ 241. ( ) x xx xx3 cos 13 sin 2 2 sin 3lim0 242. x xxx2 tan 2 sinlim30 243. 30sin tanlimxx xx 244. ( )9 63 cos 1lim23+ ++ x xxx 245. x xx x x xx3 sin sin 318 sin 10 sin 6 sin 2 sinlim0 + + 246.

,_

,_

+ y xyxyxy xy xtan tan 1 1tan tanlim** E. Tentukan, jika ada, titik-titik yang menyebabkan fungsi-fungsi berikut tidak kontinu: 247.( )x xxx f+221 248.( )13 232+ +xx xx f249.( )23 5 222 + x xx xx f250.( )10 3122 ++x xxx f251.( )11 22+ +x xxx f252.( )'