muh1g3/ matriks dan ruang vektor · b. tulis 1 + 2 റ= akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga...

39
Ruang Vektor MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5

Upload: duongkhue

Post on 04-Mar-2019

240 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Ruang Vektor

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

TIM DOSEN

5

Page 2: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Sub Pokok Bahasan

• Ruang Vektor Umum

• Subruang

• Basis dan Dimensi

Beberapa Aplikasi Ruang Vektor

• Beberapa metode optimasi

• Sistem Kontrol

• Operation Research

• dan lain-lain

2 4/15/2017

Ruang Vektor

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 3: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Misalkan 𝑢, റ𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 dan 𝑘, 𝑙 ∈ 𝑅

𝑉 dinamakan ruang vektor jika memenuhi aksioma:

untuk setiap 𝑢, റ𝑣 ∈ 𝑉 maka 𝑢 + റ𝑣 ∈ 𝑉(𝑉 tertutup terhadap operasi penjumlahan)

𝑢 + റ𝑣 = റ𝑣 + 𝑢

𝑢 + ( റ𝑣 + 𝑤)=(𝑢 + റ𝑣) + 𝑤

Terdapat 0 ∈ 𝑉 sehingga untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑉 berlaku 𝑢 + 0

= 0 + 𝑢 = 𝑢

3 4/15/2017

Ruang Vektor Umum

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 4: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑉 terdapat −𝑢 sehingga

𝑢 + (−𝑢) =(−𝑢 + 𝑢) = 0

untuk setiap 𝑢 ∈ 𝑉 dan 𝑘 ∈ 𝑅 maka 𝑘𝑢 ∈ 𝑉(𝑉 tertutup terhadap operasi perkalian dengan scalar)

𝑘(𝑢 + റ𝑣)=𝑘𝑢 + 𝑘 റ𝑣

𝑘 + 𝑙 𝑢 = 𝑘𝑢 + 𝑙𝑢

𝑘 𝑙𝑢 = 𝑙 𝑘𝑢 = (𝑘𝑙)𝑢

1𝑢 = 𝑢

4 4/15/2017

Ruang Vektor Umum_2

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 5: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Contoh :

• Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi

penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).

Notasi : 𝑅𝑛(Ruang Euclides orde 𝑛)

• Himpunan matriks berukuran 𝑚 × 𝑛dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian

matriks dengan skalar),

Notasi : 𝑀𝑚×𝑛(Ruang Matriks 𝑚 × 𝑛)

• Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : 𝑃𝑛(Ruang Polinom orde n)

5 4/15/2017

Contoh Ruang Vektor:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 6: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Operasi-operasi pada ruang vektor Euclides:

– Penjumlahan𝑢 + റ𝑣 = (𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2, … , 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛)

– Perkalian dengan scalar Riil sebarang 𝑘𝑘𝑢 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛)

– Perkalian titik (Euclidean inner product)𝑢 ∙ റ𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑛𝑣𝑛

Panjang vektor didefiniskan oleh:

𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑢12 = 𝑢1

2 + 𝑢22 +⋯+ 𝑢𝑛

2

Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh:

𝑑 𝑢 , റ𝑣 = 𝑢 − റ𝑣 = 𝑢1 − 𝑣12 + 𝑢2 − 𝑣2

2 +⋯+ 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛2

6 4/15/2017

Ruang Euclides orde 𝒏

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 7: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Diketahui 𝑢 = (1, 1, 2, 3) dan റ𝑣 = 2,2,1,1Tentukan panjang masing-masing vektor dan jarak antarakedua vektor tersebut

7 4/15/2017

Contoh:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Panjang vektor:

𝑢 = 𝑢 ∙ 𝑢12 = 12 + 12 + 22 + 32 = 15

റ𝑣 = റ𝑣 ∙ റ𝑣12 = 22 + 22 + 12 + 12 = 10

Jarak antar kedua vektor:

𝑑 𝑢 − റ𝑣 = 𝑢 − റ𝑣 = (1 − 2)2+(1 − 2)2+(2 − 1)2+(3 − 1)2

= −1 2 + −1 2 + 1 2 + 2 2 = 7

Jawab:

Page 8: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Misal 𝑊 merupakan subhimpunan dari sebuahruang vektor 𝑉𝑊 dinamakan subruang (subspace) 𝑉 jika 𝑊 juga

merupakan ruang vektor yang tertutup terhadapoperasi penjumlahan dan perkalian dengan scalar.

Syarat 𝑊 disebut subruang dari 𝑉 adalah:

– 𝑊 ≠

– 𝑊 ⊆ 𝑉

– Jika 𝑢, റ𝑣 ∈ 𝑊 maka 𝑢 + റ𝑣 ∈ 𝑊

– Jika 𝑢 ∈ 𝑊 dan 𝑘 ∈ 𝑅 maka k𝑢 ∈ 𝑊

8 4/15/2017

SubRuang

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 9: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Tunjukan bahwa himpunan 𝑊 yang berisi semua matriksorde 2 × 2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nolmerupakan subruang dari ruang vektor matriks 2 × 2

9 4/15/2017

Contoh 1:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

𝑂 =0 00 0

∈ 𝑊 maka 𝑊 ≠ {}

Jelas bahwa 𝑊 ⊆ 𝑉

Jawab:

Page 10: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

10 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Ambil sembarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑊 maka

Perhatikan bahwa:

𝐴 + 𝐵 =0 𝑎1𝑎2 0

+0 𝑏1𝑏2 0

= +0 𝑎1 + 𝑏1

𝑎2 + 𝑏2 0

Ini menunjukan bahwa 𝐴 + 𝐵 ∈ 𝑊

Ambil sembarang matriks 𝐴 ∈ 𝑊 dan 𝑘 ∈ 𝑅𝑖𝑖𝑙 maka

𝑘𝐴 = 𝑘0 𝑎1𝑎2 0

∈ 𝑊

Ini menunjukan bahwa 𝑘𝐴 ∈ 𝑊

Jadi, 𝑊 merupakan subruang dari 𝑀2×2

Page 11: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua

matriks orde 2x2 yang determinannya nol

merupakan subruang dari ruang vektor 𝑀2×2

11 4/15/2017

Contoh 2:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Ambil sembarang matriks 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑊. Dimana dipilih 𝑎 ≠± 𝑏:

𝐴 =𝑎 𝑏0 0

, jelas bahwa det 𝐴 = 0

𝐵 =0 0𝑏 𝑎

, jelas bahwa det 𝐵 = 0

Jawab:

Page 12: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Perhatikan bahwa:

𝐴 + 𝐵 =𝑎 𝑏𝑏 𝑎

Karena 𝑎 ≠ 𝑏

Maka det 𝐴 + 𝐵 = 𝑎2 − 𝑏2 ≠ 0

Jadi 𝐷 bukan merupakan subruang Matriksberukuran 2 × 2 karena tidak tertutup terhadap

operasi penjumlahan

12 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 13: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Sebuah vektor 𝑢 dinamakan kombinasi linear darivektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, …, 𝑣𝑛Jika vektor 𝑢 tersebut dapat dinyatakan dalam

bentuk:𝑢 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 +⋯+ 𝑘𝑛𝑣𝑛

dimana 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛adalah skalar Riil

13 4/15/2017

Kombinasi Linear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 14: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Misal 𝑢 = (2,4,0) dan റ𝑣 = (1,−1,3) adalah vektor-vektor di 𝑅3.Apakah vektor berikut merupakan kombinasilinear dari vektor-vektor di atas

– റ𝑎 = (4,2,6)

– 𝑏 = (1,5,6)

– റ𝑐 = (0,0,0)

14 4/15/2017

Contoh:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 15: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

a. Tulis 𝑘1𝑢 + 𝑘2 റ𝑣 = റ𝑎

Akan diperiksa apakah ada 𝑘1, 𝑘2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi

𝑘1

240

+ 𝑘2

1−13

=426

Persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagaiberikut:

2 14 −10 3

𝑘1𝑘2

=426

menggunakan OBE diperoleh:2 14 −10 3

2−66

~…~1 00 10 0

120

Dengan demikian റ𝑎 merupakan kombinasi linear dari vektor 𝑢 dan റ𝑣 atauറ𝑎 = 𝑢 + 2 റ𝑣

15 4/15/2017

Jawab:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 16: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

b. Tulis 𝑘1𝑢 + 𝑘2 റ𝑣 = 𝑏Akan diperiksa apakah ada 𝑘1, 𝑘2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi

𝑘1

240

+ 𝑘2

1−13

=156

Persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks sebagaiberikut:

2 14 −10 3

𝑘1𝑘2

=156

menggunakan OBE diperoleh:2 14 −10 3

156~…~

1 00 10 0

1−19

Baris terakhir pada matriks ini menunjukan bahwa SPL tersebut tidakkonsisten(tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai 𝑘1 dan 𝑘2 yang

memenuhi persamaan tersebut. Oleh karena itu, 𝑏 tidak dapat dinyatakansebagai kombinasi linear dari 𝑢 dan റ𝑣

16 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 17: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

c. Dengan memilih 𝑘1 = 0 dan 𝑘2 = 0 maka 𝑘1𝑢 + 𝑘2 റ𝑣 = റ𝑐

17 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Vektor nolmerupakankombinasi linear dari vektorapapun

Page 18: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Himpunan vektor𝑆 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛

dikatakan membangun suatu ruang vektor 𝑉 jika setiapvektor pada 𝑉 selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasilinear dari vektor-vektor di S.

Contoh:

Tentukan apakah

𝑣1 = 1,1,2 ,

𝑣2 = 1,0,1 , dan

𝑣3 = (2,1,3)

Membangun 𝑅3

18 4/15/2017

Membangun Suatu Ruang Vektor

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 19: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Ambil sembarang vektor di 𝑅3, misalkan

𝑢 =

𝑢1𝑢2𝑢3

Tulis:𝑢 = 𝑘1𝑣1 + 𝑘2𝑣2 + 𝑘3𝑣3

Dalam bentuk perkalian matriks, persamaantersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

1 1 21 0 12 1 3

𝑘1𝑘2𝑘3

=

𝑢1𝑢2𝑢3

19 4/15/2017

Jawab:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 20: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Syarat agar 𝑢 dapat dikatakan kombinasi linear 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3adalah SPL tersebut harus mempunyai solusi.

Dengan OBE diperoleh:1 1 20 −1 −10 0 0

𝑢1𝑢2 − 𝑢1

𝑢3 − 𝑢1 − 𝑢2

Agar SPL itu konsisten haruslah 𝑢3 − 𝑢2 − 𝑢1 = 0

Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang(unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat)

Dengan demikian vektor-vektor tersebut tidak membangun 𝑅3

20 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 21: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Misalkan 𝑆 = 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛 adalah himpunan vektordiruang vektor 𝑉. 𝑆 dikatakan bebas linear(linearly independent) jika kombinasi linear:

𝑘1𝑢1 + 𝑘2𝑢2 +⋯+ 𝑘𝑛𝑢𝑛 = 0

Hanya dipenuhi oleh𝑘1 = 0, 𝑘2 = 0,… , 𝑘𝑛 = 0

21 4/15/2017

Vektor Bebas Linear

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 22: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Diketahui 𝑢 = −1,3,2 dan റ𝑎 = 1,1,−1 . Apakah 𝑢dan റ𝑎 saling bebas linear di 𝑅3

22 4/15/2017

Contoh:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tulis

𝑘1𝑢 + 𝑘2 റ𝑎 = 0

Atau−1 13 12 −1

𝑘1𝑘2

=000

Jawab:

Page 23: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Menggunakan OBE dapat diperoleh:−1 13 12 −1

000~…~

1 00 10 0

000

Dengan demikian diperoleh:

𝑘1 = 0 dan 𝑘2 = 0

Ini berarti 𝑢 d𝑎𝑛 റ𝑎 saling bebas linear

23 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 24: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Contoh:

Misalkan

റ𝑎 =−132

, 𝑏 =11−1

, റ𝑐 =2−6−4

Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear

Jawab:

Tulis 0 = 𝑘1 റ𝑎 + 𝑘2𝑏 + 𝑘3 റ𝑐

Atau

−1 1 23 1 −62 −1 4

𝑘1𝑘2𝑘3

=000

24 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 25: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Dengan OBE diperoleh:1 −1 −20 4 00 1 0

~…~1 −1 −20 1 00 0 0

Ini menunjukan bahwa

𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 solusi tidak trivial (𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 tidak selalu 0)

Jadi

റ𝑎, 𝑏, റ𝑐 adalah vektor-vektor yang bergantung linear

25 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 26: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Jika 𝑉 adalah sembarang ruang vektor dan 𝑆 ={𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} merupakan himpunan berhingga darivektor-vektor di 𝑉, maka 𝑆 dinamakan basis bagi𝑉 jika kedua syarat berikut dipenuhi:

– 𝑆 membangun 𝑉

– 𝑆 bebas linear

26 4/15/2017

Basis

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 27: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut:

𝑀 =3 63 −6

,0 −1−1 0

,0 −8

−12 −4,1 0−1 2

Merupakan basis bagi matriks berukuran 2 × 2

27 4/15/2017

Contoh:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Tulis kombinasi linear:

𝑘13 63 −6

+ 𝑘20 −1−1 0

+ 𝑘30 −8

−12 −4+ 𝑘4

1 0−1 2

=𝑎 𝑏𝑐 𝑑

Atau3𝑘1 + 𝑘4 6𝑘1 − 𝑘2 − 8𝑘3

3𝑘1 − 𝑘2 − 12𝑘3 − 𝑘4 −6𝑘1 − 4𝑘3 + 2𝑘4=

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

Jawab:

Page 28: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL:

363−6

0−1−10

0−8−12−4

10−12

𝑘1𝑘2𝑘3𝑘4

=

𝑎𝑏𝑐𝑑

Determinan matriks koefisien = 48 determinan matrikskoefisiennya tidak sama dengan 0 maka

- Ketika 𝑎 = 0, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0, 𝑑 = 0, SPL Homogen punya solusitrivial yaitu k1=0, k2=0, k3=0, k4=0 (bebas linear)

- SPL memiliki solusi untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑅 (membangun)

Jadi, M bebas linear.

28 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 29: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Karena 𝑀 bebas linear dan membangun𝑀2×2 maka 𝑀 merupakan basis bagi 𝑀2×2.

Ingat, basis untuk setiap ruang vektor adalahtidak tunggal

Contoh:

Untuk ruang vektor 𝑀2×2, himpunan matriks1 00 1

,0 10 0

,0 01 0

,0 00 1

juga merupakan basisnya

29 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 30: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Perhatikan matriks berikut:

𝐴 =−111

−222

−132

1−1−1

30 4/15/2017

Dimensi

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 31: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Dengan melakukan OBE diperoleh100

200

010

−100

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE100

200

010

−100

Berdasarkan satu utama dari matriks 𝐴. Maka matriks 𝐴mempunyai basis ruang kolom yaitu:

−111

,−132

31 4/15/2017

Page 32: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Jika 𝐴 ditransposkan terlebih dahulu dan dilakukan OBE pada 𝐴𝑡, maka diperoleh

1000

0100

−1/21/200

Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE1000

0100

−1/21/200

Berdasarkan satu utama dari matriks 𝐴. Maka Matriks 𝐴 tersebutmempunyai basis ruang baris:

−1−2−11

,

123−1

32 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 33: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

“Dimensi basis ruang baris-ruang kolom dinamakan rank”

33 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Jadi rank dari matriks A adalah 2.

Basis Ruang Kolom

Basis Ruang Baris

Basis Ruang Solusi?

Page 34: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Diberikan SPL homogen:2𝑝 + 𝑞 − 2𝑟 − 2𝑠 = 0𝑝 − 𝑞 + 2𝑟 − 𝑠 = 0

−𝑝 + 2𝑞 − 4𝑟 + 𝑠 = 03𝑝 − 3𝑠 = 0

Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas:

34 4/15/2017

Contoh:

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

SPL dapat ditulis dalam bentuk:21−13

1−120

−22−40

−2−11−3

0000

Jawab:

Page 35: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Dengan melakukan OBE diperoleh1000

0100

0−200

−1000

0000

Solusi SPL Homogen tersebut adalah𝑝𝑞𝑟𝑠

= 𝑎

1001

+ 𝑏

0210

Dimana 𝑎, 𝑏 merupakan parameter

35 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 36: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah:1001

,

0210

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

36 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 37: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Nyatakan matriks6 30 8

Sebagai kombinasi linear dari matriks berikut:

1 2−1 3

, 0 12 4

, dan4 −20 −2

Periksa apakah himpunan berikut bebas linear!

– 6 − 𝑥2, 6 + 𝑥 + 4𝑥2

– {1 + 3𝑥 + 3𝑥2, 𝑥 + 4𝑥2, 5 + 6𝑥 + 3𝑥2, 7 + 2𝑥 − 𝑥2}

Periksa apakah himpunan 𝐴 = {6 − 𝑥2, 6 + 𝑥 + 4𝑥2}membangun polinom orde 2?

37 4/15/2017

Latihan

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 38: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagipolinom orde 2

– 4 + 6𝑥 + 𝑥2, −1 + 4𝑥 + 2𝑥2, 5 + 2𝑥 − 𝑥2

– {−4 + 𝑥 + 3𝑥2, 6 + 5𝑥 + 2𝑥2, 8 + 4𝑥 + 𝑥2}

Misalkan𝐽 = 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

Merupakan himpunan bagian dari ruang vektor polinom ordedua

Periksa apakah 𝐽 merupakan subruang dari ruang vektorPolinom orde dua

Jika ya, tentukan basisnya

38 4/15/2017 MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

Page 39: MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR · b. Tulis 1 + 2 റ= Akan diperiksa apakah ada 1, 2 sehingga kesamaan tersebut dipenuhi 1 2 4 0 + 2 1 −1 3 = 1 5 6 Persamaan diatas dapat dituliskan

THANK YOU