Partikel dalam Kotak Satu Dimensi

x = L

x = 0

Gerak partikel dalam kotak bisa dispesifikasi dengan mengatakan bahwa gerak terbatas pada gerak sepanjang sumbu x antara x = 0 sampai x =L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Partikel tidak berada diluar kotak sehingga = 0 untuk x 0 dan x L sehingga fungsi gelombang dicari didalam kotak pada x = 0 dan x = L.

Berdasarkan pada rumusan de Broglie = maka pembatasan pada panjang gelombang de Broglie yang datang dari lebar kotak ekuivalen (setara) dengan pembatasan pada momentum partikel atau pembatasan pada energi kinetik. Energi total partikel merupakan jumlah energi kinetik (EK) dan energi potensial (EP) partikel, tetapi dengan mengasumsikan partikel bebas dari medan gaya apa pun, sehingga EP = 0.

kamu harus ingatkan tentang persamaan Schrodinger:

Next step:

karena V(x) = V = 0 untuk daerah 0 < x < L, maka:

misalkan maka:

Persamaan ini punya dua solusi loh, ingat tentang Persamaan Kuadrat dalam matematika yak hehehe

SOLUSI PERTAMA adalah:

dengan mengintegralkan ruas kiri dan ruas kanan maka:

misalkan ec = A = konstanta, maka diperoleh:

SOLUSI KEDUA:

kamu lakukan dengan cara yang sama seperti pada solusi pertama yak nanti kamu akan dapat hasil:

dimana B = konstanta.

Jadi, fungsi gelombang di daerah I adalah:

(1)

dengan :

Solusi umum dari persamaan (1) telah diketahui dengan baik dan dituliskan sebagai berikut:

(x) = D sin k1x + C cos k1x .. (2)

(ingat bilangan kompleks biar dapat hasilnya)

Solusi ini dibatasi oleh syarat batas yang penting yaitu = 0 untuk x = 0 dan x = L (Gambar 1). Syarat batas di x = 0 memberikan hubungan:

(0) = 0 = 0 + C (1) . (3)

yang berarti C = 0. Oleh karena itu dituliskan menjadi:

(x) = D sin k1x . (4)

Syarat batas di x = L adalah:

(L) = D sin k1L = 0 . (5)

Hal ini akan diperoleh jika dipenuhi nilai:

k1L = nn = 1, 2, 3,

k1 = . (6)

Dari hubungan persamaan k1 dan persamaan (6) diperoleh hubungan ungkapan tingkat energi partikel dalam kotak, yaitu:

En = = n2E1 (7)

dengan E1 = (8)

Berdasarkan persamaan (8) jelas bahwa energi partikel yang terperangkap dalam kotak tidak dapat memiliki energi yang sembarang seperti pada partikel bebas. Energi partikel dalam kotak merupakan kuadrat bilangan bulat dikalikan energi terendah. Nilai diskrit yang definit hanya diperbolehkan untuk keadaan tereksitasi dari sebuah partikel dalam kotak dan hal ini sangat berlawanan dengan dunia makroskopik di mana semua nilai energi diperbolehkan. Tingkat energi untuk sebuah sistem makroskopik dapat ditinjau sebagai hal yang kontinyu disebabkan oleh nilai m dan L yang sangat besar.

Persamaan (8) adalah formula untuk tingkat-tingkat energi dari sebuah partikel yang berada dalam sebuah kotak satu dimensi. Munculnya tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit adalah sebuah konsekuensi dari kuantisasi energi. Tingkat energi yang terkuantisasi diklasifikasikan dengan bilangan bulat positif n. Bilangan-bilangan ini merepresentasikan keadaan terkuantisasi dan disebut sebagai bilangan kuantum.

Fungsi gelombang sebuah partikel dalam kotak yang berenergi En adalah

(x) n (x) = A sin x (9)

Konstanta A ditentukan melalui proses normalisasi, yaitu bahwa partikel berada dalam kotak, sehingga:

Dengan demikian fungsi gelombang ternormalisasi untuk partikel yang terperangkap dalam kotak berukuran L adalah:

n (x) = sin x (10)

dan keadaan dasarnya adalah:

n (x) = sin x .(11)

Simple khaannnnn hehehehecayoooooo!!!