pengantar teori ukuran dan integral lebesgue.pdf

Upload: kholidanisa1

Post on 14-Feb-2018

327 views

Category:

Documents


9 download

TRANSCRIPT

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    1/44

    PENGANTAR TEORI UKURAN

    DAN INTEGRAL LEBESGUE

    Disusun oleh :Kholida Khoirunnisa

    12/331359/PA/14622

    Program Studi S1 MatematikaJurusan Matematika

    Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

    Universitas Gadjah Mada

    2015

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    2/44

    DAFTAR LAMBANG

    xA : xanggota AAX : A himpunan bagian (subset) atau sama dengan XN

    : himpunan semua asliR : himpunan semua bilangan real

    R : himpunan semua bilangan real digabung{, }A : koleksi semua himpunan terukur- di himpunan XM : koleksi semua himpunan terukur-m di himpunan R

    infA : batas bawah terbesar himpunan A

    sup A : batas atas terkecil himpunan A

    : akhir suatu bukti

    : akhir suatu contoh

    : menujuni=1

    ai : penjumlahana1+a2+ +anni=1

    ai : gabungana1 a2 anpq : jika pmaka q

    : jika dan hanya jika

    i

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    3/44

    DAFTAR ISI

    I HIMPUNAN TERUKUR 1

    1.1. Ukuran Luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Himpunan terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    II ALJABAR HIMPUNAN 6

    2.1. Aljabar Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2. Aljabar- Himpunan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.3. Ruang Ukuran Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    III FUNGSI TERUKUR 14

    3.1. Fungsi Terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.2. Konsep Almost Everywheredan Nearly Everywhere . . . . . . . . . . . . 18

    3.3. Fungsi Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    IV INTEGRAL LEBESGUE 24

    4.1. Integral Fungsi Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3. Integral Fungsi Terukur dan Nonnegatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4.4. Integral Fungsi Terukur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4.6. Convergence in Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    ii

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    4/44

    BAB I

    HIMPUNAN TERUKUR

    1.1. Ukuran Luar

    Definisi 1.1. MisalkanX=. Fungsi : 2X R yang mempunyai sifat-sifat :

    1. (A)0 untuk setiap A2X

    2. () = 0

    3. JikaA, B2X

    danAB , maka

    (A)

    (B)

    4. Jika{An} 2X maka

    n=1

    An

    n=1

    (An)

    disebut ukuran luar (outer measure) padaX. (Catatan : R = R {, })

    Contoh 1.1. Untuk memperjelas pemahaman dari Definisi 1.1, perhatikan contoh berikut.

    Diambil X = R. 2R merupakan koleksi semua himpunan bagian di dalam R. Fungsim : 2R R dengan definisi

    m(A) = inf

    i=1

    l(Ii)|Ai=1

    Ii dan Ii selang terbuka

    dengan l(Ii) merupakan panjang interval Ii, merupakan ukuran luar pada R.

    Bukti. Ambil sebarang A, B 2R. Cukup dibuktikan bahwa m memenuhi keempatsifat pada Definisi 1.1.

    1. Panjang intervalIibernilai non negatif, maka jumlahannya juga non negatif. Lebih

    lanjut, infimumnya juga bernilai non negatif. Diperoleh bahwa m(A)0

    2. 2R. Menurut sifat pertama, m()0. Andaikan m()> 0, tentu ada selangterbuka (a, b) sehingga (a, b). Tetapi mengingat A untuk setiap A R,maka (, ) untuk setiap bilangan real >0. Jadi,

    m() = inf>0

    {l(, )}= inf

    >0{2}

    = 0

    Terjadi kontradiksi, maka pengandaian diingkar. Jadi, m() = 0

    3. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus.

    1

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    5/44

    (a) Jika m(B) =, maka jelasm(A)m(B) =. Bukti Selesai.(b) Jika m(B) 0, terdapat barisan selang terbuka{Ii} sehinggaB i=1 Ii dan

    i=1

    l(Ii)< m(B) + (1.1)

    Karena AB , tentu A i=1 Ii, yang berakibatm

    (A)i=1

    l(Ii) (1.2)

    Dari (1.1) dan (1.2), diperoleh

    m(A)< m(B) +

    Dengan kata lain, m(A)m(B)

    Jadi, terbukti bahwa jika A, B2R dan AB , maka (A)(B)

    4. Pembuktian ini dibagi menjadi 2 kasus :

    (a) Jika terdapatn N sehingga m(Ai) =, makan=1

    m(An) =. Didapat

    m

    n=1

    An

    n=1

    m(An) =. Bukti selesai.

    (b) Jikan N, m(An)

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    6/44

    Oleh karena itu,

    m

    n=1

    An

    n=1

    k=1

    l (Ink)

    0 terdapat himpunan terbukaO sehinggaEO dan(O E)<

    3. >0 terdapat himpunan tertutup F sehinggaF E dan(E F)<

    Bukti.

    1. Dari 1 ke 2.

    DiketahuiE terukur-. Oleh karena itu, diambil sebarang > 0, maka terdapat

    barisan selang terbuka{Ik} sehingga

    Ek=1

    Ik

    11

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    15/44

    dan

    k=1

    (Ik)< (E) +

    k=1

    (Ik) (E)<

    DiambilO=k=1 Ik. Maka O merupakan himpunan terbuka dan O terukur-

    Diperhatikan bahwa O=E (O E) dan = E (O E). Jadi, Edan O Esaling asing, sehingga

    (E (O E)) =(E) +(O E)(O) =(E) +(O

    E)

    (O E) =(O) (E)

    Berdasarkan Akibat 2.1 yang pertama,

    (O) =

    k=1

    Ik

    k=1

    (Ik)

    Diperoleh

    (O E)k=1

    (Ik) (E)

    (O E)

    Terbukti.

    2. Dari 2 ke 3,

    Oleh karena E terukur-

    , maka EC

    juga terukur-

    . Menurut 2, >0 terdapathimpunan terbuka O sehingga EC O dan (O EC)< .DipilihF =OC, maka Fmerupakan himpunan tertutup dan

    E F=E FC =E O= O E=O EC

    Jadi, (E F) =(O EC)< . Terbukti.

    3. Dari 3 ke 1,

    Diketahui >0 terdapat himpunan tertutup F sehinggaF Edan(E F) } A

    2.

    {x

    E

    |f(x)

    } A3.{xE|f(x)< } A

    4.{xE|f(x)} ABukti. Karena himpunan (i) dan (ii) saling komplemen di E, seperti halnya himpunan

    (iii) dan (iv), dan komplemen suatu himpunan terukur adalah terukur, maka (i) dan (ii)

    ekuivalen, seperti halnya (iii) dan (iv). Jadi, cukup ditunjukkan bahwa (ii)(iii).

    1. Akan dibuktikan (ii)(iii). Diperhatikan

    {xE|f(x)< }=n=1

    {xE|f(x) 1n}

    Karena 1n R, maka{x E|f(x) 1

    n terukur-. Lebih lanjut, gabun-

    gannya terukur-. Jadi,{xE|f(x)< } terukur-.

    2. Akan dibuktikan (iii)(ii). Diperhatikan

    {xE|f(x)}=n=1{xE|f(x)< +

    1

    n}

    Karena + 1n R, maka{xE|f(x)< + 1

    n terukur-. Lebih lanjut, irisannya

    terukur-. Jadi,{xE|f(x)} terukur-.

    Berdasarkan teorema di atas, didefinisikan fungsi terukur pada himpunan terukur E.

    Definisi 3.1. Fungsi f : X R dikatakan terukur pada E A jika salah satu dari

    pernyataan di dalam teorema di atas terpenuhi.

    Akibat 3.1. Jikax E A, f(x) = untuk suatu R, makaf terukur padaE.

    14

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    18/44

    Bukti. Ambil sebarang R. Diperhatikan

    {xE|f(x)> }=

    E ,jika

    ,jika >

    Masing-masing Edanmerupakan himpunan terukur-. Jadi, ffungsi terukur.

    Teorema 3.2. Jika fungsif, g terukur pada himpunan terukur- E, maka

    1. Untuk setiap R, f terukur padaE A.

    2. f+g terukur padaE.

    3. f2 terukur padaE.

    4. f g terukur padaE.

    Bukti.

    1. Akan dibuktikanfterukur pada E.

    (a) Jika = 0, maka (f)(x) = 0 untuk setiap xE. Fungsifmenjadi fungsikonstan. Menurut akibat 3.1 di atas, maka fterukur pada E.

    (b) Jika >0. Ambil sebarang R, maka

    {xE|(f)(x)> }={xE|f(x)>

    }

    Karena R, maka himpunan{x E|(f)(x) > } terukur. Jadi, f

    terukur pada E.

    (c) Jika }={xE|f(x)<

    }

    Karena R, maka himpunan{x E|(f)(x) < } terukur. Jadi, fterukur pada E.

    Jadi, fterukur pada E.

    2. Akan dibuktikanf+g terukur pada E,

    {xE|(f+g)(x)> }={xE|f(x)> g(x)}

    Karena x

    E

    Xdan

    R, makaf(x),

    g(x)

    R. Di antara kedua bilangan

    real tersebut, pasti terdapat bilangan rasional r Q, yaitu

    g(x)< r < f(x)

    15

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    19/44

    Didapat

    {xE|(f+g)(x)> }={xE|f(x)> g(x)}=

    {x

    E

    |

    g(x)< r < f(x)

    }={xE|f(x)> r g(x)> r}={xE|f(x)> r} {xE|g(x)> r}

    Masing-masing{x E|f(x) > r} dan{x E|g(x) > r} terukur-, maka{xE|(f+g)(x)> } terukur-. Jadi, f+g fungsi terukur.

    3. Akan dibuktikanf2 terukur pada E. Diperhatikan

    {xE|f2(x)> }={xE|f(x)> f(x) } {xE|f(x)} dan{x E|f(x) } terukur. Jadi, f2 terukur pada E.

    4. Akan dibuktikanf g terukur pada E. Diperhatikan

    f g=

    1

    2 ((f+g)2

    f2

    g2

    )

    Oleh karena masing-masing f+ g, f2 dan g2 terukur-, maka f g juga terukur-.

    Jadi, f g terukur pada E.

    Teorema 3.3. Diketahuifn fungsi terukur pada himpunan terukur- E,n N. Untuk

    setiap x

    R, fungsi-fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

    1. maxkn fk(x) = max{f1(x), f2(x), , fn(x)}

    2. minkn fk(x) = min{f1(x), f2(x), , fn(x)}

    3. supkn fk(x) = sup{fn(x), fn+1(x), }

    4. infkn fk(x) = inf{fn(x), fn+1(x), }

    5. lim fk(x) = infn1supkn fk(x)

    6. lim fk(x) = supn1infkn fk(x)

    merupakan fungsi terukur padaE.

    16

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    20/44

    Bukti.

    1. Untuk maxkn fk,

    {x

    E|

    maxkn

    fk(x)> }

    ={

    x

    E|

    max{

    f1(x), f2(x),

    , fn(x)}

    > }

    ={xE|f1(x)> f2(x)> fn(x)> }

    =n

    k=1

    {xE|fk(x)> }

    Karena masing-masing{x E|fk(x) > } terukur-, maka gabungannya jugaterukur-. Jadi, maxkn fk terukur pada E.

    2. Untuk minkn fk,

    {xE| minkn

    fk(x)> }={xE| min{f1(x), f2(x), , fn(x)}> }

    ={xE|f1(x)> f2(x)> fn(x)> }

    =n

    k=1

    {xE|fk(x)> }

    Karena masing-masing {xE|fk(x)> } terukur-, maka irisannya juga terukur-. Jadi, minkn fk terukur pada E.

    3. Untuk supkn fk(x),

    {xE| supkn

    fk(x)> }={xE| sup{fn(x), fn+1(x), }> }

    ={xE|fn(x)> fn+1(x)> }

    =k=n

    {xE|fk(x)> }

    Karena masing-masing{

    x

    E|fk(x) >

    } terukur-, maka gabungannya juga

    terukur-. Jadi, supkn fk terukur pada E.

    4. Untuk infkn fk(x),

    {xE| infkn

    fk(x)< }={xE| inf{fn(x), fn+1(x), }< }

    ={xE|fn(x)< fn+1(x)< }

    =

    k=n{xE|fk(x)< }

    Karena masing-masing{x E|fk(x) < } terukur-, maka gabungannya jugaterukur-. Jadi, infkn fk terukur pada E.

    17

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    21/44

    5. Untuk lim fk(x) = infn1supkn fk(x),

    {xE| lim fk(x)> }={xE| infn1

    supkn

    fk(x)> }

    =

    n=1

    k=1

    {xE|fk(x)> }

    Karena masing-masing{xE|fk(x)> } terukur-, maka gabungan dan irisan-nya juga terukur-. Jadi, lim fk terukur pada E.

    6. Untuk lim fk(x) = supn1infkn fk(x),

    {xE| lim fk(x)< }={xE| supn1

    infkn

    fk(x)< }

    =n=1

    k=1

    {xE|fk(x)< }

    Karena masing-masing{xE|fk(x)< } terukur-, maka gabungan dan irisan-nya juga terukur-. Jadi, lim fk terukur pada E.

    3.2. Konsep Almost Everywhere dan Nearly EverywhereDefinisi 3.2. Suatu pernyataan P(x) dikatakan berlaku/benar hampir di mana-mana

    (h.d) atau almost everywhere (a.e) pada himpunan terukur- E, jika terdapat A Esehingga(A) = 0 danP(x) berlaku benar untuk setiap xE A.

    Contoh 3.1. Diberikan f : [a, b] R

    f(x) =

    1 , x[a, b] irasional0 , x

    [a, b] rasional

    Diambil A =koleksi semua bilangan rasional di dalam [a, b], maka m(A) = 0. Lebih

    lanjut, f(x) = 1 untuk setiapx[a, b] A. Jadi, pernyataanf(x) = 1 dikatakan hampirdi mana-mana pada [a, b].

    Definisi 3.3. Suatu pernyataan P(x) dikatakan berlaku/benar nyaris di mana-mana

    (n.d) atau nearly everywhere (a.e) pada himpunan terukur- E, jika terdapat A EsehinggaP(x) berlaku benar untuk setiap xE A.

    Terlihat bahwa definisi nearly everywherelebih lemah daripada almost everywhere.

    Teorema 3.4. Jika pernyataanf(x) =g(x) almost everywhere pada himpunan terukur-

    padaE danf terukur padaE, makag terukur padaE.

    18

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    22/44

    Bukti. Karena f(x) =g(x) h.d pada E, maka terdapat AE sehingga (A) = 0 danf(x) =g(x) untuk setiap xE A. Diperhatikan

    {xE|g(x)> }={xE A|g(x)> } + {xA|g(x)> }={xE A|f(x)> } {xE|f(x)=g(x)}

    Karena (A) = 0 maka ({xE|f(x)=g(x)}) = 0, maka{xE|g(x)> } terukur-. Jadi, g terukur pada E.

    3.3. Fungsi Sederhana

    Definisi 3.4. DiberikanEX. FungsiE :X R dengan rumus

    E(x) =

    1 , xE0 , x /E

    disebut fungsi karakteristik (characteristic function) padaE.

    Teorema 3.5. JikaEX terukur-, makaE merupakan fungsi terukur padaX.Bukti. Ambil sebarang

    R,

    1. Jika

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    23/44

    disebut fungsi sederhana (simple function) padaE.

    Teorema 3.6. Jikadan masing-masing fungsi sederhana, maka, + dan juga fungsi sederhana.

    Bukti. Katakan =

    mk=1 ckEk dan =

    nj=1 djFj dengan E=

    mk=1

    Ek =

    nj=1

    Fj.

    Dibentuk Akj=Ek Fj . Diperolehn

    j=1

    Akj =n

    j=1

    (Ek Fj) =Ekn

    j=1

    Fj =Ek E=Ek

    m

    k=1Akj =

    m

    k=1(Ek Fj) =Fj

    m

    k=1Fj =Fj E=Fj

    maka

    1.

    = mk=1

    ckEk =mk=1

    (ck)Ek

    Karena ck R, maka merupakan fungsi sederhana.

    2.

    + =

    mk=1

    ckEk+

    nj=1

    djFj

    =mk=1

    cknj=1Akj+n

    j=1

    djmk=1Akj

    =mk=1

    nj=1

    (ck+dj)nj=1Akjmk=1Akj

    merupakan fungsi sederhana.

    3.

    =mk=1

    ckEk

    nj=1

    djFj

    =mk=1

    cknj=1Akj

    nj=1

    djmk=1Akj

    =

    mk=1

    nj=1(ck dj)

    nj=1Akj

    mk=1Akj

    20

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    24/44

    merupakan fungsi sederhana.

    Teorema 3.7. E Xmerupakan himpunan terukur-

    . Untuk setiap n N didefin-isikan fungsi terukur padaE , fn : X R. Jika{fn} almost everywhere konvergen kesuatu fungsif, makaffungsi terukur padaE.

    Bukti. Berdasarkan definisi almost everywhere, dapat dianggap bahwa{fn} konvergenkef pada E. Dengan kata lain,xE >0nx N sehinggaknx berlaku

    |fk(x) f(x)|<

    Oleh karena

    {fk

    }fungsi terukur- maka himpunan

    {x

    E

    |fk(x) <

    1n

    } terukur-

    untuk setiap R. Didapat

    {xE|f(x)< }=n=k

    k=1

    {fk(x)< 1n}

    merupakan himpunan terukur-. Jadi, f fungsi terukur pada E.

    Akibat 3.2. Fungsi f : X R terukur pada himpunan terukur- E jika dan hanya

    jika ada barisan fungsi sederhana{n} padaEyang konvergen kef almost everywherepadaE.

    Bukti.

    1.Syarat cukup jelas terpenuhi, berdasarkan Teorema 3.7

    2. Dibentuk komponen-komponen

    En={xE|f(x)f(x) 12n

    }

    fterukur pada E, sehingga En terukur-.

    Dibentuk

    Ei ={xE|i 12n

    f(x) 12n

    }untuki1, maka Ei terukur-.Tulis ci=

    i12n

    dan di= i2n

    , maka di ci= 1n . Dibentuk fungsi-fungsi sederhana

    n= 1

    2

    nEn+

    2n

    i=1

    ciEi

    n= 1

    2nEn+

    2ni=1

    diEi

    21

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    25/44

    Terlihat bahwa n(x)f(x)psin(x) dan

    n(x)n+1(x)f(x)n+1(x)n(x) (3.1)n(x)

    n(x) =

    1

    2n

    (3.2)

    Berdasarkan hasil (3.1) dan (3.2) diperoleh bahwa barisan fungsi sederhana naik

    monoton{n} dan barisan fungsi sederhana turun monoton{n} yang konvergenkefh.d pada E.

    Jadi, barisan fungsi sederhana{n}dengan n= n n2

    konvergen kefpadaE.

    Akibat 3.3. Jika fungsif :X R terukur pada himpunan terukur- E maka >0terdapat fungsi sederhana sehingga

    |f(x) (x)|<

    almost everywhere padaE.

    Bukti. Berdasarkan bukti teorema sebelumnya,

    n(x)f(x)n(x)

    n(x) n(x) = 12n

    Didapat

    n(x) fn(x) 12n

    fn(x) (x) 12n

    Diambil sebarang > 0, menurut Archimedean properties, terdapat bilangan asli n0

    sehingga1

    2n0<

    Diambil= n0 atau = n0, didapat

    (x) f(x) =n0(x) f(x) 1

    2n0<

    f(x) (x) =f(x) n0(x) 1

    2n0<

    22

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    26/44

    Jadi,

    |f(x) (x)|< Terbukti.

    Teorema 3.8. Jika =n

    k=1 kEk fungsi sederhana pada E =n

    k=1 Ek maka ada

    fungsi sederhana =m

    i=1 iFi padaE =m

    i=1 Fi sehingga Fi Fj = untuk i= j,dan

    =

    Bukti. Diambil{1, 2, . . . , m} {1, 2, . . . , n} dengan i= j untuk i= j danFi ={xE|(x) =i}. Diperoleh =

    mi=1 iFi

    Definisi 3.6. Fungsi sederhana =m

    i=1 iFi denganFi Fj =untuki=j disebutFungsi Sederhana bentuk Kanonik

    23

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    27/44

    BAB IV

    INTEGRAL LEBESGUE

    4.1. Integral Fungsi Sederhana

    Definisi 4.1. Diberikan=ni=1

    iEi fungsi sederhana berbentuk kanonik.

    E

    =n

    i=1i

    (Ei)

    disebut integral fungsi sederhana pada E. Lebih lanjut, jikaE

    berhingga, maka

    dikatakan terintegral Lebesgue.

    Teorema 4.1. Diberikan=ni=1

    iEi fungsi sederhana kanonik padaE. JikaAEterukur-, maka

    A

    =ni=1

    i(A Ei)

    Bukti.

    A= A E

    A= A

    ni=1

    Ei

    A=ni=1

    A Ei

    Karena =ni=1

    iEi , maka

    A =ni=1

    iEiA

    merupakan fungsi sederhana pada A.

    Sehingga

    A =n

    i=1 i(A Ei)

    24

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    28/44

    Akibat 4.1. Jika fungsi sederhana kanonik terintegral pada E, maka terintegral

    padaAEyang terukur-

    Teorema 4.2. =n

    i=1

    iEi dan =m

    j=1

    jFj fungsi sederhana kanonik padaE dan

    a R, maka1.E

    = E

    2.E

    (+) =E

    +E

    3. Jika0, makaE

    0

    4. Jika, makaE

    E

    Bukti.

    1.

    E

    a=ni=1

    ai(Ei)

    =ani=1

    i(Ei)

    =a

    E

    2. Diperhatikan bahwa + =ni=1

    iEi+mj=1

    jFj . DibentukAij =Ei Fj. Ambilsebarang i ,j,k,l, dengan 1 1, k n dan 1 j, l m, maka Aij Alk =(Ei Fj) (Ek Fl) = =.

    +=mj=1

    ni=1

    (i+j)Aij

    =

    mj=1

    ni=1

    iAij+

    mj=1

    ni=1

    jAij

    Didapat

    E

    (+) =mj=1

    ni=1

    i(Ei Fj) +

    mj=1

    ni=1

    j(Ei Fj)

    =

    n

    i=1 i

    (Ei) +

    m

    j=1 j

    (Fj)

    =

    E

    +

    E

    25

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    29/44

    3. Jika0, maka=ni=1

    iEi0, didapat

    E

    =n

    i=1

    i(Ei)

    0

    4. Diketahui, artinya0. Menurut teorema poin 3, didapatE

    0.Selanjutnya menurut teorema poin 1 dan 2, didapat

    0E

    0E

    E

    E

    E

    4.2. Integral Fungsi Terukur dan Terbatas

    Teorema 4.3. DiketahuiE X dengan Xhimpunan terukur. Fungsif : X Rterbatas h.d padaE. Fungsif terukur padaEjika dan hanya jika

    sup

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    30/44

    Dibentuk fungsi sederhana

    n(x) =ni=1

    ciEi(x)

    n(x) =ni=1

    diEi(x)

    Jadi jelas bahwa

    b(x)f(x)n(x)dan

    n(x)

    n(x)

    di

    ci

    Diperoleh

    0E

    n E

    n=ni=1

    (di ci)(Ei)

    = 1

    n(M m)

    ni=1

    (Ei)

    = 1

    n(M m)(E)

    Untukn diperoleh

    limn

    1

    n(M m)(E) = 0

    limn

    E

    n E

    n = 0

    Dengan kata lain, >0n0 sehingga untuk setiap nn0 benar bahwaE

    n E

    n<

    Karena{n} naik monoton dan{n} turun monoton, dapat diambil kesimpulan

    supnf

    E

    n= inff

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    31/44

    Diketahui fterbatas h.d pada Edan

    supf

    E

    = inff

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    32/44

    1.E

    f=E

    f

    2.E

    (f+g) =E

    f+E

    g

    3. Jikaf

    0, makaEf

    0

    4. Jikaf g, makaE

    f E

    g

    5. Jikaaf(x)b h.d padaE, maka

    a (E)E

    f b (E)

    Bukti.

    1. Untuk

    0 maka

    , didapat

    E

    f= supf

    E

    = supf

    E

    =

    E

    f

    Untuk

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    33/44

    Sedangkan

    E

    (f+g) = inf f+g

    E

    = inf f+g1+2E1+2

    = inf f+g1+2

    E

    1+

    E

    2

    inff1

    E

    1+ infg2

    E

    2

    =

    E

    f+

    E

    g

    Jadi terbukti bahwa

    E(f+g) =

    Ef+

    Eg

    3. Karenaf(x)0 h.d padaE, maka terdapat fungsi sederhana sedemikian hingga0f h.d pada E. Jadi

    E

    f= inff

    0

    4. Karena f g h.d pada E, maka g(x) f(x)0 h.d pada E. Didapat

    E

    g f 0 danE

    g f=E

    g+ (f) =E

    g+

    E

    (f) =E

    g E

    fDiperoleh

    E

    g E

    f 0

    sehingga E

    gE

    f

    5. Dibentuk fungsi sederhana aE dan bE serta = aE dan = bE. Karena

    af(x)b maka

    E

    Ef

    E

    E

    aEE

    f

    E

    bE

    a

    E

    EbE

    f

    E

    E

    a(E)E

    f b(E)

    Teorema 4.6. Jikaf fungsi terukur dan terbatas h.d padaEdan ada himpunan terukur-

    DEsehingga(D)

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    34/44

    padaE.

    Bukti. KarenaE=D (ED) danD (ED) = serta(D)

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    35/44

    Jadi, fterintegral Lebesgue.

    4.4. Integral Fungsi Terukur

    Diketahuiffungsi kontinu pada himpunan terukur- E. Didefinisikan fungsif+ dan

    f sebagai berikut

    f+(x) =

    f(x) , f(x)00 , f(x)< 0

    f(x) =

    f(x) , f(x)00 , f(x)> 0

    Jadi diperoleh f+

    dan f

    fungsi terukur dan nonnegatif pada Edan f=f+

    f

    serta|f|= f+ +f.

    Definisi 4.4. Jikaffungsi terukur pada himpunan terukur- Emaka nilai

    E

    f=

    E

    f+ +

    E

    f

    disebut integral Lebesgue fungsif padaE. JikaE

    f

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    36/44

    1. Untuk0 maka f= (f)+ (f), diperolehE

    f=

    E

    (f)+ (f)

    =E(f)

    +

    E(f)=(

    E

    (f)+ E

    (f))

    =

    E

    f

    Untuk

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    37/44

    3. Diketahuif g maka

    f+ f g+ gf+ +g

    f +g+

    E

    f+ +g E

    f +g+E

    f+ +

    E

    g E

    f +

    E

    g+E

    f+ E

    f E

    g+ E

    gE

    fE

    g

    4. Diperhatikan f=f+

    f

    , makaAB

    f=

    AB

    f+ E

    f

    =

    A

    f+ +

    B

    f+ (A

    f +

    B

    f)

    = (

    A

    f+ A

    f) + (

    B

    f+ B

    f)

    =

    A

    f+

    B

    f

    4.5. Teorema Kekonvergenan Integral Lebesgue

    1. Teorema Kekonvergenan Integral Fungsi Terukur dan Terbatas

    Teorema 4.11. Diketahui(E)

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    38/44

    {fn} terukur dan terbatas pada E serta konvergen ke f h.d pada E, maka >0=

    4M dann0 N sehinggann0 berlaku

    |f(x) fn(x)|< 2(E)

    xE A. Dan

    |E

    fE

    fn|=|E

    f fn|

    E

    |f fn|

    =

    EA

    |f fn| +A

    |f fn|

    EA

    2(E)+A |f| + A |fn|

    <

    2(E)(E A) +M (A) +M (A)

    <

    2(E)(E) +M (A) +M (A)

    2+M

    4M +M

    4M =

    2. Teorema Kekonvergenan Fungsi Terukur dan Nonnegatif (Lemma Fatom)

    Teorema 4.12. Jika ,{fn}barisan fungsi terukur dan nonnegatif padaEhimpunanterukur dan{fn} konvergen kef padaE, makafterintegral Lebesgue dan

    E

    f limE

    fn = sup inf

    E

    fn

    Bukti. Berdasarkan yang diketahui, ada fungsi terukur dan terbatas h pada Esehingga h(x) f(x) h.d pada E. Dibentukhn(x) = min{h(x), fn(x)} x E,maka

    hn(x)h(x)fn(x)

    sehingga E

    h = limn

    E

    hn limn

    E

    fn

    Selanjutnya E

    f= suphf

    E

    hlim n E

    fn

    35

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    39/44

    3. Teorema Kekonvergenan Monoton

    Teorema 4.13. Jika

    {fn

    }barisan fungsi terukur dan nonnegatif serta naik mono-

    ton pada himpunan terukur- Edan konvergen kefh.d padaEmaka

    E

    f= lim

    E

    fn

    Bukti. Berdasarkan Lemma Fatom 4.12, diperolehE

    f lim E

    fn. Selanjutnya

    karena{fn} naik monoton dan konvergen ke f maka fn(x) fn+1(x) f(x) h.dpada E. Sehingga didapat

    limEfn Ef. Diperoleh

    lim

    E

    fnE

    f limE

    fn

    Akan tetapi mengingat limE

    fnlimE

    fn, maka

    lim

    E

    fn=limE

    fn=

    E

    f

    4. Teorema Kekonvergenan Lebesgue

    Teorema 4.14. Diketahui barisan fungsi terukur{fn} pada himpunan terukur-Edan fungsi terintegral Lebesgueg padaE. Jika{fn} konvergen ke suatu fungsifpadaE dan|fn(x)| g(x) h.d padaEmakaf terintegral Lebesgue padaE dan

    Ef = limnEfnBukti. Diperhatikan bahwa

    (a) Karena{fn} barisan fungsi terukur pada Edan konvergen h.d ke f pada E,maka fterukur pada Edan|f(x)| g(x)

    (b) Karena|f(x)| g(x) h.d padaEdan g terintegral Lebesgue maka fn terinte-gral Lebesgue

    (c) Karenafn terintegral Lebesgue maka fterintegral Lebesgue.

    Selanjutnya diperhatikan bahwa

    |fn(x)g(x)

    36

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    40/44

    g(x)fn(x)g(x)diperolehg(x) fn(x)0 dan fn(x) +g(x)0.

    (a) Diketahui g(x)

    fn(x)

    0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-

    genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperolehE

    g f limE

    g fnE

    g E

    fE

    g+ lim

    E

    fnE

    g E

    fE

    g limE

    fn

    Ef limEfnE

    f limE

    fn

    (b) Diketahui g(x) +fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh

    Eg+f lim Eg+fnE

    g+E

    fE

    g+ limE

    fnE

    f limE

    fn

    Dari hasil kesimpulan di atas, didapat

    limE

    fn Ef lim Efn

    Selanjutnya karena selalu berlaku

    lim

    E

    fnlimE

    fn

    maka limE

    fn= limE

    fn=E

    f. Jadi,

    E

    f = limn

    E

    fn

    37

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    41/44

    5. Generalisasi Teorema kekonvergenan Lebesgue

    Teorema 4.15. Diketahui barisan fungsi terukur{fn} pada himpunan terukur- E dan barisan fungsi terintegral Lebesgue{gn} yang konvergen ke suatu fungsi

    terintegral Lebesgue pada E. Jika{fn} konvergen ke suatu fungsi f pada E dan|fn(x)| gn(x) h.d padaEmakaf terintegral Lebesgue padaE danE

    f = limn

    E

    fn

    Bukti. Diperhatikan bahwa

    (a) Karena{fn} barisan fungsi terukur pada Edan konvergen h.d ke f pada E,maka fterukur pada Edan|f(x)| gn(x)

    (b) Karena|f(x)| gn(x) h.d pada Edan{gn} konvergen ke suatu fungsi terin-tegral Lebesgue sebut g pada Emaka fn terintegral Lebesgue.

    (c) Karenafn terintegral Lebesgue maka fterintegral Lebesgue.

    Selanjutnya diperhatikan bahwa

    |fn(x)gn(x)

    gn(x)

    fn(x)

    gn(x)

    diperolehgn(x) fn(x)0 dan fn(x) +gn(x)0.

    (a) Diketahuign(x) fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh

    E

    g f limE

    gn fn

    Eg

    Ef lim

    Egn+ lim E

    fnE

    g E

    f limE

    gn limE

    fnE

    g E

    f

    E

    g limE

    fnE

    f limE

    fn

    (b) Diketahuign(x) + fn(x)0. Menurut Lemma Fatom dan Teorema Kekonver-

    38

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    42/44

    genan fungsi terukur dan nonnegatif, diperoleh

    E

    g+f limE

    gn+fn

    Eg+

    Ef lim

    Egn+ lim

    Efn

    E

    g+

    E

    fE

    g+ lim

    E

    fnE

    f limE

    fn

    Dari hasil kesimpulan di atas, didapat

    limE

    fnE

    f limE

    fn

    Selanjutnya karena selalu berlaku

    lim

    E

    fnlimE

    fn

    maka limE

    fn= limE

    fn=E

    f. Jadi,

    E

    f = limn

    E

    fn

    4.6. Convergence in Measure

    Definisi 4.5. Diberikan E himpunan terukur-. Barisan fungsi terukur{fn} pada Edikatakan konvergen in measure ke fungsi f pada E jika untuk setiap bilangan > 0

    terdapatn0 N sehinggann0 berlaku

    {xE| |fn(x) f(x)| }<

    Teorema 4.16. Diberikan E himpunan terukur-. Jika barisan fungsi terukur{fn}konvergen in measure kef h.d padaE, maka ada barisan bagian{fnk} yang konvergenkefh.d padaE.

    Bukti. Ambil sebarang bilangan asli n, karena {fn} konvergenin measurepadaE, maka

    {xE| |fn(x) f(x)| 12n

    }< 12n

    39

  • 7/23/2019 Pengantar Teori Ukuran dan Integral Lebesgue.pdf

    43/44

    Selanjutnya dibentuk

    En={xE| |fn(x) f(x)| 12n

    }

    maka (En)< 12n

    .

    Jika x /En maka|fn(x) f(x)|< 1

    2n yang berarti limn fn(x) =f(x)x /E.Jika x /A = n=1k=n Ek diperoleh limn fn(x) =f(x) pada E A, dengan

    (A) =

    n=1

    k=n

    Ek

    k=n

    Ek

    k=n

    (Ek)