problems and solutions of statistical physics

7/25/2019 Problems and Solutions of Statistical Physics

1/13

Problems and Solutions of Statistical Physics

By: Faruk Afero

A. Problems

1. (Reif-1.2! ori"inal #roblem collection from $ecture%

Consider the random walk problem in a one dimension and suppose that the

probability of a single displacement between s and s+d s is given by

w ( s) ds=1

b

s2+b2

ds

Calculate the probability p (x ) dx that the total displacements after N steps lies

between x and x+dx !2. (Reif-1.22! ori"inal #roblem collection from $ecture%

Consider the random walk problem in one dimension, the probability of a

displacement between s and s+ds being

w ( s) ds=(2 2)12 e(sl )

2 /22 ds

After N steps,

a) What is the mean displacement x from the origin?

b) What is the dispersion (xx)2

?

&. ('S-2))2%

emungkinan menemukan sebuah partikel antara x dan x+dx adalah

P (x ) dx=A e|x|dx

engan A dan merupakan konstanta"

a) #un$ukkan bahwa harus positif supaya P (x ) dx mempunyai makna!

b) Carilah hubungan antara A dan supaya P (x ) ternormalisir!

c) %itung x !

d) &ilax2=

1

4 , hitungA dan !

*. (+ri"inal #roblem collection from $ecture%

#in$au osilator harmonis klasik yang terdiri dari massa m dan konstanta pegas k

memiliki energy total '" carilah fungsi kerapatan probabilitas P (x ) , bila


2/13

P (x ) dx merupakan kemungkinan menemukan massa pada interval x dan

x+dx !


3/13

,. ('S-2))2))/2))21000%

(e$umlah besar N partikel terlokalisir berada dala pengaruh medan magnet luar

arah *)" (etiap partikel memiliki spin1

2 " Carilah $umlah keadaan yang dapat

di$angkau accessible state) pada sistem sebagai fungsi +s umlah total spin pada

komponen *)" #entukan nilai +s sehingga $umlah keadaan adalah maksimum!

. ('S-2))&2))*2)1)%

-erhatikan $alan random untuk sebuah partikel dalam satu dimensi" Anggap bahwa

setiap langkah selalu positif dan mempunyai peluang yang sama dalam $angkauan

lb dan l+b dengan b.l" (etelah N langkah hitunglah/

a) -ergeseran rata0rata dari originx

!

b) ispersi(xx)2 !

/. ('S-2))02)),%

#in$auN

0 molekul gas yang tidak berinteraksi berada pada be$ana tertutup dengan

volumeV0 " -erhatikan pada sebarang sub0volume 1 yang ada dalam be$ana

terdapat N molekul" (etiap molekul memiliki peluang yang sama berada dimana sa$a

dalam be$ana, sehingga kemungkinan sebuah molekul berada dalam sub0volume 1

secara sederhana dapat dinyatakan sebagaiV/V0 "

a) %itung $umlah rata0rata N molekul yang berada di 1? Nyatakan $awaban

dalamN

0 ,V0 dan 1"

b) %itunglah dispersi relatif(NN)2/N2 dalam $umlah molekul yang berada

di 1" Nyatakan $awaban dalam N, 1, danV0 "

c) Anggap sub0volume 1 sangat kecil sehingga 2.. V/V0 ..3, hitung

kemungkinan $umlah molekul dalam volume ini antara Ndan N4 dN"

. ('S-2))/2))%


4/13

#in$au problem $alan random dengan p=q dan kita simbolkan m=n1n2

merupakan $umlah pergeserannet) langkah ke kanan" (etelah N langkah hitunglah

harga rata0rata berikut/m , m2 , m3

danm

4

"


5/13

0. (Reif-2.*! ori"inal #roblem collection from lecture%

Consider an isolated system consisting of a large number N of very weakly interacting

locali*ed particles of spin1

2 " 'ach particles has a magnetic moment which

can point either parallel or antiparallel to an applied field %" the energy ' of the

system is then E=(n1n2)H , where n1 is the number of spins aligned

parallel to % andn2 the number of spin aligned antiparallel to %"

a) Consider the energy range between E and E+E where E is very

small compared to ' but is microscopically large so that EH " What is

the total number of states (E) lying in this energy range?

b) Write down an e5pression for ln(E) as a function of '(implify this

e5pression by applying (tirling6s formula)

1). ('S-2))*%

-andang sistem 7 spin Adan A8 diletakkan dalam medan magnet eksternal %" (istem A

terdiri dari N partikel0partikel berspin 9 yang saling berinteraksi secara lemah dan

momen magnetik :" (erupa dengan hal tersebut, maka sistem A8 terdiri dari N8

partikel0partikel berspin 9 dengan momen magnetik :8" edua sistem mula0mula

terisolasi masing0masing dengan energi total bN:% dan b8N8:8%" emudian keduanya

diletakkan dalam kontak termal satu sama lain" Anggap bahwa ;b;..3 dan ;b8;..3

sehingga fungsi keadaan dapat secara sederhana dituliskan sebagai

(E )= 1H2N

e

E 2

2N 2H

2

dan'(E ')= 1 ' H2N '

e

E'2

2N ' '2

H2

a) alam keadaan yang paling mungkin pada keadan keseimbangan akhir,

bagaimana hubungan antara~E sistem A dengan

~E ' sistem A8"

b) &erapa nilai~E sistem pada A"

c) &erapa kalor yang diserap oleh sistem A selama proses dari keadaan awal

sampai mencapai keadaan seimbang dengan sistem A8?

11. ('S-2)))%

Consider an isolated system consisting of a large number of particleN) weakly

interacted and locali*ed" 'ach particle has a magnetic moment : which can pointeither parallel or antiparallel to an applied field %"


6/13

a) n this case, is it possible that # negative?


7/13

engan n 2,3,7,B,,D" an "=#m merupakan frekuensi angular klasik"a) %itunglah energy rata0rata

b) %itunglah dispersi energy

B. Solutions

3" #he >ntegration of this problem can be written as/

$ (#)=

ds e%#s

w ( s)=b

ds e

%#s

s2+b2

E may be evaluated by contour integration"

=or kF2, the integral is evaluated on the path/

&es%d' (%b )=e#b

2%( $ ( #)=e#b

=or k.2,

&es%d (%b)=e#b

2 %( $ (#)=e#b

!)s$ ( #)=e|#|b

-robability is denoted by/

p (x ) dx= 12

d# e%#x

$N(#) dx

p (x ) dx= 12

d# e%#x [e|#|b ]

N

dx

p (x ) dx= 120

d# e%#x

eN#b

dx+ 1

20

d# e%#x

eN#b

dx

p (x ) dx= 120

d# e%#x

eN#b

dx+ 1

20

d# e%#x

eN#b

dx

p (x ) dx=

1

0 d#(e

%#x+e%#x

2

)e

N#b

dx=

1

d#cos #x eN#b

dx


8/13

=rom the table of integration that/

d#cos #x e#a=

a

x2+a2

(o, we got the probability/

p (x ) dx=1

Nbx

2+b2N2dx

Gr, we can use the simple solution from this problem like this/

As we know that/

x=Ns * s=x

N*ds=

1

Ndx

&y substituting this to thew ( s) ds=1

b

s2+b2

ds, we got the simple solution for this

problem as/

p (x ) dx= 1

b

b2+( xN)

2

dx

N= 1

b N2

dx

x2N+b2N2

p (x ) dx=1

Nb

x2+b2N2

dx

7"


9/13

a) x=%

N

-% , tapi karena - %=l , x=%

N

l=N l

b)(xx)2=

%

N

(-%l)2+

%

N

.

N

(-.l) (- %l )

(ince( -%l )=ll=0 ,

the second term is 2 and(xx)2=

%

N

2=N 2

B" P (x ) dx=A e|x|

dx

a) ika K positif

-5) bisa ternormalisasi

ika K negative

-5) tidak dapat ternormalisasi

b) Normalisasi

/

/

|P (x )|dx=1

|P (x )|dx=2A0

/

exdx

20

/

x>0 (|x|=x dan x


10/13

1

e x

dx=2A ()( e x )0/=

2A

(01)=2A

2A0

/

/

/

P(x)dx=2A

=1* A=

1

2

c) +ean value of x can be found by/

x=

xP (x ) dx

P (x )dx

=

xP (x ) dx

engan

P (x )dx=1, x=

xP (x ) dx=0

arena x dan P (x ) keduanya adalah fungsi gan$il maka rata0rata

x=0 "

d) Applied the result of b) we can do the problem/

x2=

x2P (x ) dx=1

4

Ax2

e|x|dx=2A0

x2

ex

dx=1

4

2A {x2(1)ex0/+0

/

( 1)ex2x dx}=142A

{x2

(1

)ex0/2x

2

ex0/+0

/

( 1

2 )ex2dx

}=14

2A {x2(1)ex0/2x2 ex0/ 23ex 0/}=142A ( 23 )=

1

4,den0an A=

1

2

iperoleh/ =122 sehingga A=12 "

" asus osilator harmonic klasik/

X


11/13

iketahui bahwa/

E= p

2

2m+1

2# x

2

an kemungkinan menemukan partikel di x dan x+dx adalah

P (x ) dx=2d2

!

arena kita ingin membentuk persamaan dalam dimensi $arak maka kita harus

mencari terlebih dahulu hubungan antara $arak dan waktu pada persamaan diatas,

v=dx

d2* d2=dx

v

emudian hubungan dt terhadap dx kita subtitusi ke persamaan

p2

2m=E

1

2# x

2

E1

2# x

2

2mp=mv=1

v=E

1

2# x

2

m

2

(ehingga diperoleh/

d2=dx

v=

dx

E1

2# x

2

m2

ika dimasukkan kepersamaan

P (x ) dx=2d2!

P (x ) dx= 2d2!

= 2

2 m#dx

E1

2# x

2

m

2

x


12/13

(ehingga $ika kita dapat lihat antara kedua ruas sudah sama sehingga dapat kita

peroleh

P (x )=2d2

! =

2

2

m

#

1

E

1

2

# x2

m

2

L" iketahui beberapa persamaan/

= N 3

n1 3n2 3

4s=1

2 n11

2 n2*24s=n1n2

N=n1+n2

ika disederhanakan men$adi/

2n1=24s+N

n2=N

24s

sehingga persamaan diatas men$adi/

= N 3

(N2+4s) 3(N24s)3


13/13

ln = ln[ N 3

(N2+4s)3 (N24s)3 ]ln =lnN 3ln(N2+4s)3 ln(N24s) 3

d

d4s=0ln (N2+4s)+ ln (N24s)=0

ln(N2+4s)=ln(N24s)

4s=0

H" engan cara yang serupa seperti nomor 7, kita akan dengan mudah selesaikan

problem ini sebagai berikut/

a) Jata0rata $umlah langkah adalah l

x=%

N

-%=%

N

l=N l

b) ispersi

(xx)2=%

N

(-%l)2+

%

N

.

N

(-.l) (- %l )

( -%l )=ll=0

problems and solutions of statistical physics

Documents