平成 24 年度 佐野日大高校 SSH特別授業

折り紙と作図 (2012.5.15)

市原　一裕 日本大学文理学部

11.. 作図

中学校第1学年

線分の垂直二等分線，角の二等分線

　　⇒やってみよう!　　　　作図ソフト「シンデレラ」

ほかに．．．

2. 作図の歴史

!  古代エジプト　（測量・建築のため）

直角の作図

（辺の比３：４：５の三角形の利用）

!  メソポタミア

三平方の定理，円周率の近似値

学問としての「作図」

古代ギリシャで発展!

!  ターレス （B.C.624-546 頃）!!初めての論理的な「証明」!

!  ユークリッド （B.C. 365-275 頃）!!初めての幾何学の本「原論」!!（実際には，総合数学書）．!!形式：定義・公理・定理．!!正三・四・五・六角形の作図

ギリシャの三大作図問題

3. 作図問題と代数学

作図問題を　代数学（Algebra） で研究!

⇔ 「方程式」の利用!

 どのような点が作図できるか!

 どのような長さを実現できるか!

ただし、定規とコンパスのみを使う。

正五角形は作図可能 である。

紀元前（２５００年前）から知られている

正七角形は作図可能 でない。

正五角形は作図可能 である。

正13角形は作図可能 でない。

正17角形は作図可能 である。

１７９６年に証明（およそ２０００年ぶり）

C.F.ガウス（1777-1855）

 正１７角形は作図可能証明（１７９６）

 実際に作図の手順を与えた訳ではない

 作図可能であることを代数的に証明

作図可能性

 ［ガウスが示したこと］

定規とコンパスによる作図で表せるのは!　　二次方程式を繰り返し解いて得られる!!範囲の数だけ！

 例えば

正p角形 (pは素数) が作図可能であるための必要十分条件は、ある t に対して

の形となることである。 122 +=t

p

作図可能な正 p 角形は、

無限にたくさんあるか？

それとも、有限個しかないか？

　　　 (ただし p を素数とする)　

わからない（現在でも未解決）

三大作図問題は不可能！

 ワンツェル（1837）

角の３等分・立方体倍積

 リンデマン（1882）

円積問題（πの超越数性）

4. 折り紙と作図問題

 「定規とコンパス」だけでは不可能な作図

⇒　他の方法ではどうだろうか？？

実は

「折り紙」では実現可能！！！ （1980．阿部 恒）

では実際に折ってみましょう．

角の３等分

折り紙の公理系

 藤田文章（物理学者） 1989年，第1回「折り紙の科学国際会議」 （イタリア，フェラーラ）

「折り紙の公理」発表

「折紙の新しい可能性を偏見なく発見する」

⇒　「折り紙」の科学的研究の発展へ！

近年の発展　（１）

近年の発展　（２）

第3回!折り紙の科学・数理・教育に

関する国際会議!（2001，アメリカ・モントレー）!アメリカのNGO団体!「origami USA」スポンサー!

論文集⇒!

さいごに

  定規とコンパスによる「作図」にも，　　

数学者たちによる長い研究の歴史が

秘められている．

  教材として，また玩具として，広く親し

まれている日本の伝統技「折り紙」．

もっと知って活用してください．

 みなさんが知っている学校の「数学」は「数学」という広い世界のほんの一部

 「数学」は長く深い歴史をもち，しかし，まだまだ未完成で活発に研究されている

 さらに「数学」は単なる学問としてだけでなく，「文化」「芸術」としてみることもできる