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UNIOESTE  –  Universidade Estadual do Oeste do Paraná 

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

Curso de Engenharia Civil

TRABALHO T3 –  CONCRETO ARMADO ILajes e Escada

Anna Cláudia FischerEduardo Rigo

Jhenniffer Rodrigues Vicente

Lucas Decarli Bottega

Miguel Henrique Santos Jacoby

Odair Scapini Coutinho Junior  

CASCAVEL

2014

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RESUMO

O dimensionamento de lajes e escadas faz parte do Projeto Estrutural de uma edificação, que é

concebido para que a estrutura atenda a todas as necessidades para as quais ela será construída,satisfazendo questões de segurança, condições de utilização, condições econômicas, estética,questões ambientais, condições construtivas e restrições legais. Na realização deste trabalho, buscou-se dimensionar as lajes e escada de um pavimento de uso residencial, em conformidadecom critérios estabelecidos pela NBR 6118:2014, até a etapa de determinação das ações atuantes.Primeiramente, fez-se uma análise da planta baixa do pavimento escolhido, enumerando as lajes.Posteriormente, seguiu-se o roteiro proposto para a realização do dimensionamento, mediante ouso de tabelas de cálculo. Para a escada, do tipo L conforme verificação realizada, odimensionamento foi realizado conforme todos os procedimentos de cálculo propostos,considerando dimensões que garantam segurança e conforto aos usuários. Os detalhamentos evalores de ações e momentos foram demonstrados em pranchas do AUTOCAD, de acordo com os

exemplos disponibilizados.

Palavras-chave: Concreto armado; Dimensionamento; Laje; Escada. 

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1 INTRODUÇÃO

1.1  Lajes Maciças

Lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas dimensões muito maiores que

a terceira, sendo esta denominada espessura. A principal função das lajes é receber os

carregamentos atuantes no andar, provenientes do uso da construção (pessoas, móveis e

equipamentos), e transferi-los para os apoios (PINHEIRO; MUZARDO; SANTOS, 2010).

O pavimento de uma edificação, que é um elemento estrutural de superfície, pode ser

 projetado com elementos pré-moldados ou moldados no local. O pavimento moldado no local

 pode ser composto por uma única laje (maciça ou nervurada), sem vigas, ou por um conjunto delajes, maciças ou nervuradas, apoiadas em vigas. O presente trabalho abordará apenas o segundo

caso, ou seja, pavimento composto por lajes maciças de concreto armado apoiadas em vigas.

Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem suas reações em todas as

vigas de contorno. A partir disso, há melhor aproveitamento das vigas do pavimento, pois todas

elas, dependendo apenas dos vãos, podem ter cargas da mesma ordem de grandeza (BUENO,

2008).

 No projeto de lajes, a primeira etapa consiste em determinar os vãos livres, os vãosteóricos e a relação entre os vãos teóricos. A etapa seguinte consiste em identificar os tipos de

vínculo de suas bordas, que podem ser basicamente classificados em borda livre, borda

simplesmente apoiada e borda engastada. Posteriormente, determinam-se as espessuras da laje e o

cobrimento das armaduras conforme especificações da NBR 6118:2014. Após, identifica-se os

esforços atuantes, considerando ações, reações de apoio e momentos fletores, para então

dimensionar as armaduras e realizar a verificação de flechas e cisalhamento.

Este trabalho apresenta o projeto de lajes do pavimento de uma edificação residencial,desenvolvendo o roteiro proposto até a etapa de determinação dos esforços atuantes.

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1.2  Escadas

As escadas são elementos importantes em qualquer edificação, pois tornam possível a

movimentação vertical de pessoas em um edifício.

Para que gerem conforto e segurança aos usuários, devem ser projetadas de acordo com

especificações ditadas por normas. O tipo e forma a ser utilizado é de suma importância pois

 pode gerar uma maior ou menor facilidade de construção, racionalização e economia; deve

também ser adequada às dimensões e cargas de uma edificação. Por isso, é necessário realizar o

estudo das armações, apoios e patamares de acordo com os diferentes tipos de escadas existentes.

Este trabalho apresenta o projeto de escada do pavimento de uma edificação residencial,

desenvolvendo o dimensionamento conforme roteiro proposto pela apostila da disciplina.

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MATERIAIS E MÉTODOS

Características do Pavimento

O pavimento utilizado para o dimensionamento das lajes e escada é de uso residencial,

 possui 119,60 m² de área total e 2,80 m de pé direito. É composto por uma suíte, dois quartos,

uma cozinha, uma sala e um banheiro comum (Figura 01). No total, foram enumeradas nove

lajes, conforme Figura 02.

Figura 01: Planta baixa do pavimento  Figura 02: Enumeração das lajes 

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Procedimentos de Cálculo

Para o desenvolvimento dos procedimentos, utilizou-se concreto de classe C25, aço CA-

50 e classe de agressividade ambiental II (urbana). Os dimensionamentos foram realizados com

 base na norma NBR 6118:2014, que rege os projetos de estruturas de concreto, sejam elas de

edifícios, pontes, obras hidráulicas, portos ou aeroportos, etc.

Os cálculos foram efetuados com o auxílio do software  Ftool   para verificação de

momentos e de planilhas do  Excel   para o desenvolvimento das fórmulas necessárias. Os

detalhamentos foram anexados em pranchas feitas no  AUTOCAD. Os procedimentos adotados,

que diferem para lajes e para escadas, são descritos nos itens a seguir.

  Lajes

Para o projeto de lajes, a primeira etapa consistiu em determinar os vãos livres (l 0), os

vãos teóricos (l ) e a relação entre os vãos teóricos. Vão livre é definido como a distância livre

entre as faces dos apoios. Já o vão teórico é a distância entre os centros dos apoios em lajes

engastadas ou apoiadas e o comprimento da extremidade até o centro do apoio em lajes em

 balanço. Conhecidos os vãos teóricos, considera-se l  x o menor vão, l  y o maior e λ = l  y /l  x. O valorde λ é utilizado para a classificação:

  λ ≤ 2 = laje armada em duas direções; 

  λ  > 2 = laje armada em uma direção;

o  Lajes armadas em duas direções:

As lajes armadas em duas direções são aquelas as quais as armaduras nos dois sentidos da

laje (x e y) serão calculadas para resistir os momentos fletores solicitados. Ou seja, será armada

 para conter momentos solicitantes nas duas direções da laje em questão.

o  Lajes armadas em uma direção:

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As lajes armadas em uma direção, são aquelas as quais ignora-se um sentido da laje para

dimensionamento –  no caso, o lado maior –  e apenas será dimensionada para suprir os momentos

do menor vão. Ou seja, os momentos provocados pelo maior vão são desconsiderados devido o

fato de serem relativamente pequenos, sendo então, armada somente na direção do menor vãoonde o momento fletor é de maior magnitude.

Figura 03: Esquema de lajes armadas em uma ou duas direções

A etapa seguinte do projeto das lajes foi identificar os tipos de vínculo de suas bordas,

considerando a existência de, basicamente, três tipos: borda livre, borda simplesmente apoiada e borda engastada.

Figura 04: Representação dos tipos de apoio

A borda livre  caracteriza-se pela ausência de apoio, apresentando, portando,deslocamentos verticais. A borda simplesmente apoiada  impede que haja deslocamentos

verticais, mas não impede rotações. Nas bordas engastadas, também as rotações são impedidas.

Este é o caso, por exemplo, de lajes que apresentam continuidade. A figura 05 apresenta os casos

de vinculação das lajes, conforme tabelas de dimensionamento.

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Figura 05: Casos de vinculação das lajes

Para o dimensionamento, considerou-se as bordas livres, apoiadas ou engastadas, com o

mesmo tipo de vínculo ao longo de toda a extensão dessas bordas. Nos casos em que houve dois

tipos de vinculação em uma mesma borda, utilizou-se o critério da figura 06 para determinação

do vínculo:

Figura 06: Critério para bordas com uma parte engastada e outra parte apoiada

 Na próxima etapa do projeto, foi determinado o cobrimento nominal e realizado o pré-

dimensionamento para determinar a altura útil e a espessura da laje.

O cobrimento nominal foi obtido em tabela (figura 07) extraída da norma NBR

6118:2014, considerando a classe de agressividade ambiental II, estipulada anteriormente.

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Figura 07: Cobrimento nominal

A altura útil d (em cm) foi estimada por meio da expressão:

d = (2,5 –  0,1 n) l*/100

Sendo n o número de bordas engastadas e l* o menor valor entre l  x e 0,7l  y.

Posteriormente, determinou-se os esforços atuantes nas lajes, considerando ações, reações

de apoio e momentos fletores.

As ações foram determinadas de acordo com as normas NBR 6120 e NBR 6118.

Considerou-se que nas lajes atuam, além do seu peso próprio, pesos de revestimentos de piso e de

forro, peso de paredes divisórias e cargas de uso. Na avaliação do peso próprio, admitiu-se o peso

específico de 25 kN/m³ para o concreto armado. As demais cargas foram encontradas em tabelas

disponíveis na apostila.

A determinação das reações de apoio foi realizada mediante o uso das Tabelas de Lajes.

Tais tabelas, baseadas no Processo das Áreas, fornecem coeficientes adimensionais (vx, v’x, vy,

v’y), a partir das condições de apoio e da relação λ = l  y /l  x com os quais se calculam as reações,

dadas por:

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O fator de multiplicação depende de l  x e é o mesmo para todos os casos.

O cálculo dos momentos fletores foi realizado também mediante o uso de tabelas,

semelhante ao apresentado para as reações de apoio. Os coeficientes tabelados (µx, µ’x, µy, µ’y)

são adimensionais, sendo os momentos fletores por unidade de largura dados pelas expressões:

mx, m’x → momentos fletores na direção do vão l  x

my, m’y → momentos fletores na direção do vão l  y.

 Na compatibilização dos momentos negativos, foi utilizado o critério usual de adotar o

maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do maior. Foram analisados os momentos

 positivos para verificar se a correção não tendia a diminuir o valor desses, ignorando a redução

em caso de diminuição e realizando a correção em caso de acréscimo. No caso de diminuição de

um lado e acréscimo do outro, ignorou-se a diminuição e considerou-se somente o acréscimo.

  Escada

Para obtenção de uma escada confortável, foi verificada a relação: s + 2e = 60cm a 64 cm

(Figura 08), onde s representa o valor do “passo” e e representa o valor do “espelho”, ou seja, a

altura do degrau. Impõe-se também que a altura livre (hl ) seja no mínimo igual a 2,10 m. Sendo l v 

o desnível a vencer com a escada, l h o seu desenvolvimento horizontal e n o número de degraus,

tem-se:

e = l v /n ; lh = s(n-1) 

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Figura 08: Recomendações para algumas dimensões das escadas

Após as dimensões, determinou-se as ações atuantes na escada, que são consideradas

verticais por m² de projeção horizontal.

O peso próprio foi calculado com a espessura média hm, e com o peso específico do

concreto igual a 25 kN/m³. Para a força uniformemente distribuída de revestimento inferior

(forro), somada à de piso, usam-se valores no intervalo de 0,8 kN/m² a 1,2 kN/m², dependendo dotipo de material utilizado.

Os valores mínimos para as ações de uso, especificadas pela NBR 6120:1980 são:

  Escadas com acesso público: 3,0 kN/m²;

  Escadas sem acesso público: 2,5 kN/m².

Após o cálculo da carga total nos trechos inclinados e no patamar, determina-se as reações

de apoio e os momentos fletores. A escada dimensionada é do tipo L com vigas em todo ocontorno externo. As reações de apoio foram calculadas pelo processo das áreas e os mementos

fletores obtidos nas tabelas indicadas.

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RESULTADOS E DISCUSSÃO

1.  Lajes

O dimensionamento das nove lajes do pavimento foi realizado conforme procedimentos

descritos anteriormente. A figura 09 representa as vinculações de cada laje, analisadas

separadamente.

Figura 09: Representação das vinculações das lajes

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1.1  Vinculações

1.1.1   Laje L1

Percebe-se que a laje L1 será engastada na L2, pelo fato de terem portes semelhantes. Os

demais bordos serão considerados apenas apoiados, visto que as lajes L3 e L5 são muito menores

que a laje em questão.A borda externa é considerada apoiada.

1.1.2   Laje L2

A laje L2 terá engaste na interface com a laje L1 e será apenas apoiada na interface com a

laje L5. Porém, analisando com a regra do terço (Figura 06) e a figura abaixo:

Figura 10: Disposição da laje L2 

Podemos afirmar que a parte engastada de L2 (370 cm) é maior que 2/3 de Ly (aprox. 323,33

cm). Logo, em fatores de cálculo, este lado será considerado totalmente engastado.

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1.1.7   Laje L7:

A laje L7 apresentará engastamento entre as interfaces com a L6 e a L9, visto que essas

duas últimas são de extensão superior à laje em questão. Na interface com a L5 é considerada

apoiada, visto que a área de influência da L5 sobre a L7 é muito pequena. O bordo externo é

considerado apoiado.

1.1.8  Laje L8:

A laje L8, por ser de menor extensão que as lajes L4 e L9, será considerada engastada nas

lajes anteriores. Nos bordos externos, será considerada apenas apoiada.

1.1.9  Laje L9:

Percebendo que as lajes L5, L7 e L8, mesmo sendo de mesma espessura, são de menor

dimensão, considera-se que as bordas da Laje L9 com relação à essas são apenas apoiadas, pois

caso houvesse engastamento entre elas, haveria o surgimento de momentos de extensão superior

ao normal. Já nas bordas exteriores, considera-se apenas apoiada nas vigas que a sustentam.

1.2  Tipo de armação

Utilizando a seguinte classificação, já descrita anteriormente:

  λ  ≤ 2, a laje será armada em duas direções 

  λ  > 2, a laje será armada em uma direção.

É possível determinar que as lajes L3, L5 e L7 serão armadas em uma direção e as lajesL1, L2, L4, L6, L8 e L9 serão armadas nas duas direções.

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1.3  Planilhas e considerações de cálculo 

O cobrimento nominal utilizado para as lajes foi de 25 mm, conforme critério estabelecido

na figura 07.

A espessura foi calculada individualmente para cada laje. Porém, como no caso mais

extremo utilizou-se uma espessura de 12 cm, esse valor foi padronizado para as demais lajes por

disposições construtivas.

As seguintes planilhas, elaboradas no  Excel , apresentam os dados utilizados para o

dimensionamento, como dimensões dos vãos, espessura, tipo de vinculação, bem como os valores

das ações atuantes, reações de apoio e momentos fletores.

Unidades(cm)

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9

l  x   370 355 165 355 115 355 165 210 345

l y   470 485 355 540 705 425 355 220 470

0,7 l y   329 339,5 248,5 378 493,5 297,5 248,5 154 329

l* 329 339,5 165 355 115 297,5 165 154 329

n (adm) 1 2 2 0 4 1 2 2 0

dest  7,90 7,81 3,80 8,88 2,42 7,14 3,80 3,54 8,23

hest  10,40 10,31 6,30 11,38 4,92 9,64 6,30 6,04 10,73

h 12 12 12 12 12 12 12 12 12

Caso 2A 3 4B 1 6 2A 4B 3 1

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Lajes L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9

Características

Tipo 2A 3 4B 1 6 2A 4B 3 1

l  x  (m) 370 355 165 355 115 355 165 210 345

l y  (m) 470 485 355 540 705 425 355 220 470

l y  /l  x   1,27 1,37 2,15 1,52 6,13 1,20 2,15 1,05 1,36

 Ações(kN/m²)

Peso Próprio 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Piso +Revestimento

1 1 1 1 1 1 1 1 1

Divisórias 1 1 1 1 1 1 1 1 1

g 5 5 5 5 5 5 5 5 5

q 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5

p 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5

Reaçõesde Apoio(kN/m²)

vx  2,38 2,78 - 3,33 - 2,2 - 2,27 3,21

v’x  - 4,08 5 - 5 - 5 3,32 -

vy  2,95 2,17 1,44 2,5 - 2,91 1,44 2,17 2,5

v’y  4,32 3,17 - - 2,5 4,27 - 3,17 -

r x  5,72 6,41 - 7,68 - 5,08 - 3,10 7,20

r’x  - 9,41 5,36 - 3,74 - 5,36 4,53 -

r y  7,09 5,01 1,54 5,77 - 6,71 1,54 2,96 5,61r’y  10,39 7,31 - - 1,87 9,85 - 4,33 -

Lajes L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9

MomentosFletores(kNm/m)

ux  5,09 4,42 4,17 7,72 4,17 4,35 4,17 2,94 7,1

u’x  - 9,93 8,33 - 8,33 - 8,33 7,43 -

uy 3,92 2,39 0,76 3,89 0,96 3,86 0,76 2,68 4

u’y  10,41 7,94 - - 5,72 9,88 - 7,18 -

Lajes L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9

MomentosFletores(kNm/m)

mx  4,53 3,62 0,74 6,32 0,36 3,56 0,74 0,84 5,49

m’x  - 8,13 1,47 - 0,72 - 1,47 2,13 -

my  3,49 1,96 0,13 3,19 0,08 3,16 0,13 0,77 3,09

m’y  9,26 6,50 - - 0,49 8,09 - 2,06 -

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Logo, escolhe-se o maior valor que é 8,70 kN.m/m

  Laje L2 e Laje L6

A laje L6 possui no engaste o momento negativo de valor 6,50 kN.m/m e a L2,

8,09kN.m/m. Realiza-se, portanto, os seguintes cálculos:

Logo, escolhe-se o maior valor que é 7,30kN.m/m

1.4.3 Momentos positivos que aumentaram o seu valor devido à redução do momento fletor

negativo

 Nesse caso, ao compatibilizar o momento fletor entre as lajes “L1 e L2” e “L2 e L6”, os

momentos negativos respectivos às lajes L1 e L6 reduziram de valor, ocasionando o aumento do

valor dos momentos fletores my1 e mx6.

  Momento my1:

Para sua correção, realiza-se os seguintes cálculos:

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  Momento mx6:

Para sua correção, realiza-se os seguintes cálculos:

Caso haja um aumento no momento negativo (como ocorreu com a L2), que ocasiona a

diminuição dos momentos positivos dessa laje, não altera-se os valores dos momentos positivos.

2.  Escada

O dimensionamento da escada foi realizado conforme procedimentos descritos

anteriormente. Os cálculos efetivos são apresentados abaixo.

  Seja α o ângulo de inclinação da escada, obtido em função das dimensões dos degraus; 

  Seja h a espessura da laje sob os degraus da escada;

Cálculo de hm 

Cos α = a/raiz(a²+e²)= 30/(raiz(30²+17.5²) = 0,864

h1= h/ Cos α = 12 / 0.864 = 13,89 cm

hm= h1 + e/2 = 13.89 + 17.5/2 = 22.64 = 22,70 cm

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Cargas no patamar

Peso próprio: (25 KN/m³) x 0,12m = 3.0 kN/m²

Revestimento: 1,0 KN/m²

Carga permanente = 4.0 kN/m²

Carga acidental = 2.5 kN/m² (para escadas sem acesso ao público)

Carga patamar total = 6.5 kN/m²

Cargas no trecho inclinado

Peso próprio: (25 KN/m³) x 0.227= 5.68 kN/m²

Revestimento: 1,0 KN/m²

*Não foi necessária a inclusão do parapeito pois a escada é cercada por paredes.

Carga permanente = 6.68 kN/m²

Carga acidental = 2.5 kN/m² (para escadas sem acesso ao público)

Carga trecho total = 9.18 kN/m².

A escada é apoiada em vigas no andar inferior e superior, e também na viga VE.

Como a escada é em L, o lance inferior está apoiado na viga do andar inferior e na viga

VE, juntamente com o patamar.

O lance superior está apoiado na viga do andar superior e no patamar, sendo que o

 patamar encontra-se apoiado na viga VE.

Cargas consideradas para o lance superior:

Carga patamar total = 6.5 kN/m²

Carga trecho superior total = 9.18 kN/m²

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DMF para lance superior:

DEC para lance superior:

Cargas consideradas para o lance in feri or:

Como o lance superior está apoiado no patamar então metade da carga distribuída pelo

vão superior da escada é transmitida ao patamar.

9.18 KN/m² x (2.28 m/2) = 10.47 KN/m²

Portanto a carga total do patamar é composta pela parcela do vão superior (10.47 KN/m²)e também o peso próprio e a carga acidental do patamar (6.5 kN/m²).

Carga patamar total = 10.47 KN/m² + 6.5 kN/m² = 16.97 KN/m²

Carga trecho inferior total = 9.18 kN/m²

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DMF para lance inferior:

DEC para lance inferior:

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CONCLUSÃO

O dimensionamento das lajes e escada foi realizado apenas até a determinação dos

esforços atuantes. Após essa etapa, poderia ser realizado o dimensionamento das armaduras, que

 para as lajes é obtido da mesma forma que para vigas, por metro linear, e para as escadas pode ser

dimensionado longitudinalmente ou transversalmente. Poderia, ainda, ser realizada a verificação

de flechas, considerando a existência de fissuras, momento de inércia, flechas imediata, diferida e

total, e os valores limites.

A realização de todas as análises e cálculos necessários ao dimensionamento estrutural

garante que as questões de segurança, conforto, utilização, estética e de restrições legais da

edificação sejam atendidas da forma mais eficaz possível.

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REFERÊNCIAS

BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de Vigas de Concreto Armado ao Esforço Cortante. 69 p. 2004. Disponível em http://www.fec.unicamp.br/~almeida/ec802/Vigas/UNESP_Bauru/.Acesso em 12 jun. 2014.

BUENO, Luiz Otávio Silva. Cálculo e dimensionamento de lajes e comparação entre asferramentas disponíveis. 2008. 66 f. TCC (Graduação) - Curso de Engenharia Civil,Universidade Anhembi Morumbi, São Paulo, 2008. Disponível em:. Acesso em: 20 set. 2014.

PINHEIRO, L. M. Fundamentos do concreto e projeto de edifícios. 2003. Disponível em

http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/Textos/. Acesso em 12 jun. 2014.

 ______. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.