tema5_ca 2010

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  • 8/17/2019 Tema5_CA 2010

    1/30

    1

    Corriente alterna

    1. Generador de corriente alterna. Frecuencia y

    fase. Valores eficaces. Fasores.2. Circuito con resistencia, condensador o bobina.

    Impedancia. (1 hora).

    3. Circuito serie !C. esonancia. "sociaci#n deimpedancias.

    $. esoluci#n circuitos. Aplicación: sintonizaciónde una emisora de radio. (1.% horas).

    %. &otencia en corriente alterna. Aplicación:transformadores (1 hora).

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    2

    Corriente "lterna' "uella cuya intensidad es unafunci#n peri#dica del tiempo.

    )cos()();()( 0   ϕ ω   +=+=   t  I t inT t it i

      *a+a frecuencia ! y C localiadas y no distribuidas -in corrientes de desplaamientos. lementos lineales.

     -e cumple el &. de -uperposici#n.

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    3

    1.Generadores de corriente alterna (C").

    )()(

    cos

    0

      δ ω δ ω ω 

    δ ω θ θ 

    +=+=Φ

    −=

    +==Φ

    t  senV t  sen NBAdt 

    d v

    t  NBA

    *obina con / 0ueltas

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    $

    -e suele eleir δ, desfase inicial # nulo formado por el campo mantico y lanormal a la superficie de la bobina, como π42. 5e esa manera la e6presi#npara la fuera electromotri enerada es'-i δ es cero, entonces 0 7 V8 sen ωt.Si dos magnitudes v e i están en fase quiere decir que ambas crecen ydecrecen simultáneamente y se anulan en los mismos instantes de tiempo.

    t V v   ω cos0=

    n los circuitos, un enerador de c.a. se representa con el s9mbolo'

    Frecuencia y faseCiclo' una re0oluci#n completa de la espira.Periodo: tiempo ue tarda en realiar una re0oluci#n, :Frecuencia:  n;mero de ciclos por seundo, f, siendo f = !", se mide en #ert$,%$. &n &uropa, f = '( %$, en &&)), f = *( %$.

    &n circuitos electr+nico, puede valer del orden de %$, -%$ o %$.

    Frecuencia angular: velocidad angular con que gira el cuadro, su valor es:

    ω = /0!" = /0f y se mide en radianes!s.

    Fase: el producto ωt representa un ángulo en radianes y su valor en un

    instante dado se denomina fase del volta1e aplicado. 2 ωt se le tiene que

    a3adir una fase inicial δ, si es ue la hay.

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    %

    Valores eficaces.

    00 7,02

     I  I 

     I ef     ==2

    0V V ef   =

    Vemos ue i 0ar9an con el tiempo.

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    @

    2. C.". en una resistencia.

    t  I t  R

    V  I 

     IRV 

    t V V V 

     R

    o R

    ω ω 

    ω 

    coscos

    cos

    00 ==

    =

    ==

    :4$

    :42

    3:4$

    :

    8

    04

    2cos   =⋅

    π 

    023cos

    432cos   ==⋅   π π    T 

    V

    V e i estn en fase

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    A

    !a potencia disipada en la 0aria con el tiempo. -u 0alor en un instante es'

    t  R I  R I  P    ω 2202 cos==

    !a potencia media en un periodo es'

     R I  P m2

    02

    1=

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    B

    Circuitos de C"' (a) s#lo inducti0o  (b) s#lo capaciti0o.

    (a) Circuito inducti0o'

    )cos()( 0   t V t V    ω =

    0)(

    )(   =−dt 

    t dI  Lt V 

    dt 

    t dI  Lt V 

      )()cos(0   =ω 

       

       −==

    2cos)( 0

    0   π ω ω ω 

    t  I t  sen L

    V t  I 

     L X 

     L

    V  I    000   ==

    ω 

     L X es la reactancia inducti0a

    o impedancia inducti0a

    V

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    :4$

    :42

    3:4$:

    Como la tensi#n V! en la bobina se hace m6ima antesue la I, se dice ue I est retrasada respecto de latensi#n aplicada en 8D # π42 # un cuarto de periodo,

    :4$, es decir, /E -:/ / F"-.

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    18

    &otencia media cedida por la fuente o disipada por labobina '

    ( )( )[ ]   mmm   t  sen I V t  sen I t V  P    )2(cos 0000   ω ω ω    ==

    l 0alor de 2ωt oscila dos 0eces durante cada ciclo

    y es neati0o la mitad del tiempo y positi0o la otramitad. &or lo tanto, en trmino medio, la potencia mediacedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula,siempre y cuando la resistencia de la misma sea

    despreciable.

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    11

    (b) Circuito capaciti0o'

    )cos()( 0   t V t V    ω =

    C t qt V    )()cos(0   =ω 

    t C V t q   ω cos)( 0=

    t  senC V dt 

    t dq I t  I 

      ω ω 0

    )()(   −===

    )

    2

    cos(0π 

    ω   +=   t  I  I C 

    V

    Volta+e del enerador'

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    12/30

    12

    siendo'C  X 

    V CV  I    0000 1

      ===

    ω 

    ω 

    C  X C 

    ω 

    1= es la reactancia capaciti0a #impedancia capaciti0a.

    -e dice ue la intensidad en elcondensador respecto de latensi#n aplicada adelanta en8D # π42 # un cuarto de

    periodo, :4$, es decir, /E-:/ / F"-.

    :4$

    :42

    3:4$ :

    :ambin se dice ue VC estretrasada respecto a la corriente

    en 8D.

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    13

    Fasores.-on 0ectores iratorios con 0elocidad anular ω en elplano H. -e representan por un m#dulo y un

    arumento, forma polar. :ambin se representanmediante coordenadas cartesianas, forma bin#mica.

    n eneral la corriente en

    un circuito de ca es de laforma' I 7 I8 cos (ωt δ). !aca9da de tensi#n en una es, V 7 I 7 I8 cos (ωt δ).

    l fasor V tiene de m#duloIo y forma un nulo θ con

    el e+e .

    δ δ  ∠≡   0 I e I   j

    o

    δ δ 

    ∠≡   R j

     R   V eV 

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    1$

    !as funciones arm#nicas sen(ωtδ) y cos(ωt δ) se pueden ponercomo fasores y as9 se opera ms rpidamente.

    i (t) 7 I8 cos (ωt δ) en forma fasorial seria un 0ector de m#duloI8 ue forma un nulo δ con el e+e en el instante inicial y ueira con 0elocidad anular ω'

    !a ran 0enta+a de todo ello es ue como todos los fasores irancon la misma ω se puede operar con ellos como si fueran0ectores.

    δ δ  ∠≡≡   00   I e I  I ~   j

    o

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    1%

    Concepto de Impedancia, J

    n eneral la J de un elemento, de una rama o de un circuitocompleto es la relaci#n ue e6iste entre los fasores asociados a la

    tensi#n aplicada y la corriente ue circula por el elemento, rama ocircuito.

    2/

    2/

    0

    0

    0

    0

    0 π 

    π 

    +∠=−∠

    ∠=

     I 

     I 

    V  Z 

     "s9, para una bobina la J 0ale'

    n este caso J no es un fasor ya ue no ira con frecuenciaanular constante ω.

    δ 

    δ 

     j

     j

     j

    e

     I 

    e I 

    eV 

     I ~V ~

     Z    −===0

    0

    0

    0

    0

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    1@

    epresentaci#n de fasores mediante manitudes comple+as.

    y

    6

    J1−= j

    φr 

    J 7 r (cos φ  + sen φ)

    6 7 r cos φy 7 r sen φ

    recurdese tambin la formula de Koi0re' e + φ 7 cos φ  + sen φ

    &or ello, J tambin se e6presa como' J 7 r e + φ 7 r  φ

    -uma y esta' J1 7 61  + y1J2 7 62  + y2

    Z1±Z2=(x1±x2)+(!1±!2)

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    1A

    Kultiplicaci#n y di0isi#n'

    J1 7 61  + y1

    J2 7 62  + y2

    J1 LJ2 7 (61  + y1)L(62  + y2)

      7(6162My1y2)+ (61y2y162)J1 LJ2 7 r 1 e + φ1 L r 2 e + φ2 7 r 1r 2 e +(φ1φ2)

      7r 1 Lr 2 7 r 1r 2φ

    1

    φ2

    φ2φ1

    2

    2

    2

    2

    12212121

    22

    22

    22

    11

    2

    1   )()(

     y x

     x y x y j y y x x

     jy x

     jy x

     jy x

     jy x

     Z 

     Z 

    +−++

    =−−

    ×++

    =

    )(

    2

    1

    2

    1   21

    2

    1φ φ 

    φ 

    φ  −=≡   j j

     j

    er 

    er 

    er 21

    2

    1

    22

    11 φ φ φ 

    φ  −∠=∠∠≡

    f

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    1B

     " partir de ahora siempre ue 0eamos una e6presi#n de la forma'

    t  jt  j j e I ee I t  I t i   ω ω ϕ ϕ ω 000

    ~)cos()(

      ≡⇔+=donde el fasor es'   ϕ ϕ  ∠≡=   000

    ~ I e I  I    j

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    1

    -oluci#n fasorial del circuito con s#lo bobina'

    i5t6 V (t) 7 V8cosωt

    )cos()( 0   ϕ ω   +=   t  I t i donde se desconoce 7 (  y ϕ Forma fasorial de v (t) y de i (t)'

    t  jt  j j

    t  jt  j j

    e I ee I t i

    eV eeV t v

    ω ω ϕ 

    ω ω 

    00

    00

    0

    ~)(

    ~)(

    ====

    ecuaci#n del circuito'

    dt 

    t dI  Lt V 

      )()cos(0   =ω 

    tjtj ωω

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    28

    -oluci#n fasorial'  t  jt  j e I  L jeV    ω ω  ω  00

    ~~ =

    lueo' L L   Z 

     jX 

     L j

    V  I    0000

    ~~~~ ===

    ω  L Z  es la impedancia comple+a inducti0a.

    2/0

    2/

    0

    0

    00

    ~   π π 

    ϕ 

    ω ω 

     j

     j

     j j

    e L

     Le

    eV 

    e I  I 

      −

    ===de esta ;ltima e6presi#n se deduce ue'

     L X 

     L

    V  I    000   ==

    ω y

    2

    π ϕ 

      −=0V    ω 

    0 I    2

    π −

    ω 

    - l i# f i l d l i it #l d d

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    21

    -oluci#n fasorial del circuito con s#lo condensador'

    ∫ ==   idt C C 

    t qt V   1)(

    cos0   ω cuaci#n del circuito'

    t  jt  j e j

     I C 

    eV    ω ω 

    ω 

    1~1~00   =

    C C    Z 

     jX 

    C  j

    V V C  j I    00000

    ~~

    1

    ~~~ =

    −===

    ω 

    ω 

    C C    jX  Z    −= es la impedancia del condensador 

    C  X C  ω 

    1

    =

    : bi b

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    22

    t  j jt  j j

    o   e j

    e I C 

    eeV    ω ϕ ω 

    ω 

    110

    0 =

    5e donde'

    00   CV  I    ω = y  2/0   π ϕ    j j j e jee   ==

    :ambin se obser0a ue'

    es decir, la intensidad adelanta a la tensi#n en 8 D# π42.

    0V    ω 0 I 

    2

    π 

    ω 

       

      

    −= 2cos)(  0   π 

    ω ω  t  L

    t i

    @ Ci it i !C d

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    23

    @. Circuito serie !C con enerador.

     0 (t) 7 V8cosωt 9

    i 5t6 7 7 o cos 5 ω  t ϕ  6

    200

    20

    20   )( C  L R   V V V V    −+=

      

      

      −+=2

    22

    0

    2

    0

    1

     L R I V 

    ω 

    ω 

    VVC

    V!

    V!MVC ϕ

    08

    1

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    2$

    ϕ

    ϕ

    2

    2

    00

    1  

      

      −+

    =

     L R

    V I 

    ω 

    ω   R

    C  L

    V V 

     R

    C  L   ω ω 

    ϕ 

    1

    tan0

    00

    −=

    −=y

       

       −+=

    C  L j R Z 

    ω ω    1

    Ci it !C l l

  • 8/17/2019 Tema5_CA 2010

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    2%

     0 (t) 7 V8cosωt9 C 8 

    Circuito !C paralelo

    C  L   jX  jX  R Z    −++=

      1111

    00 00 ∠=

    ∠=

     R

     R

    V  I  R   2/

    0

    2/

    00 π π 

    −∠==∠

     L L

     L X 

     X 

    V  I 

    2/

    0

    2/

    00

    π π  ∠== −∠∠

    C C C   X 

     X 

     I 

    i

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    2@

     esonancia.

    Cuando ! y C son iuales, la impedancia J tiene su 0alor m9nimoiual a . n este caso la corriente ue atra0iesa el circuito serie

    !C es m6ima y el circuito se dice ue est en resonancia" esdecir" su reactancia es nula.

    Naciendo ! 7 C, resulta ue la frecuencia de resonancia 0ale'

     LC  f  ó

     LC  y

    C  L

    π ω 

    ω ω 

    2

    111 ===

    &ara cualuier circuito la condici#n resonante se obtienecuando la parte comple+a se anula

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    Cur0as de resonancia en un circuito serie !C. "! 0ariar en la e6presi#n I

    7 I(O) se obtiene la cur0a de resonancia, y cuanto menor es ms alto yestrecho es el pico de la cur0a de resonancia. sto es fundamental para eldisePo de circuitos de sintoniaci#n de radio y tele0isi#n.

     "plicaci#n' sintoniaci#n de una emisora de radio.

    &otencia en circ itos de C"

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    2B

    &otencia en circuitos de C".

    -abemos ya ue las bobinas y condensadores no consumenpotencia en un ciclo. &or tanto en un circuito !C solo se

    consume potencia en la resistencia.!a potencia instantnea cedida a la es'

    [ ]   Rt  I  R I  P    202 )cos(   ϕ ω   −==

    y la potencia promedio en un ciclo es'

    [ ]   dt  Rt  I T 

     P T    2

    0  0   )cos(

    1∫    −=   ϕ ω 

    ecordando ue el 0alor medio en un ciclo del cuadrado de unseno o de un coseno es 142, resulta finalmente'

     R I  R I  P  ef  22

    0

    2

    1==

    :ambin podemos poner este resultado en funci#n del factor de

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    29/30

    2

    :ambin podemos poner este resultado en funci#n del factor depotencia del circuito" ue es cos ϕ .

    ϕ!MCJ

    C

    ! J 7 + (! Q C)

     Z 

     R=ϕ cos

     Z 

    V  I    00 =

    ϕ cosef  ef  V  I  P  =

    :ransformadores

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    30/30

    38

     :ransformadores.

    5ispositi0o utiliado para ele0ar o disminuir la tensi#n en uncircuito sin perdida aparente de potencia.

    primario

    secundario

    dt 

    d  N V    111

    Φ=

    dt d  N V    222 Φ=

    -i consideramos ue no e6iste perdida de flu+o mantico, secumple muy apro6imadamente la relaci#n de transformaci#n, esto

    es'

    1

    1

    22   V 

     N 

     N V   = y

    ef  ef  ef  ef   I V  I V  2211   =