tema5_ca 2010
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Corriente alterna
1. Generador de corriente alterna. Frecuencia y
fase. Valores eficaces. Fasores.2. Circuito con resistencia, condensador o bobina.
Impedancia. (1 hora).
3. Circuito serie !C. esonancia. "sociaci#n deimpedancias.
$. esoluci#n circuitos. Aplicación: sintonizaciónde una emisora de radio. (1.% horas).
%. &otencia en corriente alterna. Aplicación:transformadores (1 hora).
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Corriente "lterna' "uella cuya intensidad es unafunci#n peri#dica del tiempo.
)cos()();()( 0 ϕ ω +=+= t I t inT t it i
*a+a frecuencia ! y C localiadas y no distribuidas -in corrientes de desplaamientos. lementos lineales.
-e cumple el &. de -uperposici#n.
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1.Generadores de corriente alterna (C").
)()(
cos
0
δ ω δ ω ω
δ ω θ θ
+=+=Φ
−=
+==Φ
t senV t sen NBAdt
d v
t NBA
*obina con / 0ueltas
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$
-e suele eleir δ, desfase inicial # nulo formado por el campo mantico y lanormal a la superficie de la bobina, como π42. 5e esa manera la e6presi#npara la fuera electromotri enerada es'-i δ es cero, entonces 0 7 V8 sen ωt.Si dos magnitudes v e i están en fase quiere decir que ambas crecen ydecrecen simultáneamente y se anulan en los mismos instantes de tiempo.
t V v ω cos0=
n los circuitos, un enerador de c.a. se representa con el s9mbolo'
Frecuencia y faseCiclo' una re0oluci#n completa de la espira.Periodo: tiempo ue tarda en realiar una re0oluci#n, :Frecuencia: n;mero de ciclos por seundo, f, siendo f = !", se mide en #ert$,%$. &n &uropa, f = '( %$, en &&)), f = *( %$.
&n circuitos electr+nico, puede valer del orden de %$, -%$ o %$.
Frecuencia angular: velocidad angular con que gira el cuadro, su valor es:
ω = /0!" = /0f y se mide en radianes!s.
Fase: el producto ωt representa un ángulo en radianes y su valor en un
instante dado se denomina fase del volta1e aplicado. 2 ωt se le tiene que
a3adir una fase inicial δ, si es ue la hay.
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%
Valores eficaces.
00 7,02
I I
I ef ==2
0V V ef =
Vemos ue i 0ar9an con el tiempo.
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@
2. C.". en una resistencia.
t I t R
V I
IRV
t V V V
R
o R
ω ω
ω
coscos
cos
00 ==
=
==
:4$
:42
3:4$
:
8
04
2cos =⋅
T
T
π
023cos
432cos ==⋅ π π T
T
V
V e i estn en fase
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A
!a potencia disipada en la 0aria con el tiempo. -u 0alor en un instante es'
t R I R I P ω 2202 cos==
!a potencia media en un periodo es'
R I P m2
02
1=
-
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B
Circuitos de C"' (a) s#lo inducti0o (b) s#lo capaciti0o.
(a) Circuito inducti0o'
)cos()( 0 t V t V ω =
0)(
)( =−dt
t dI Lt V
dt
t dI Lt V
)()cos(0 =ω
−==
2cos)( 0
0 π ω ω ω
t I t sen L
V t I
L X
V
L
V I 000 ==
ω
L X es la reactancia inducti0a
o impedancia inducti0a
V
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:4$
:42
3:4$:
Como la tensi#n V! en la bobina se hace m6ima antesue la I, se dice ue I est retrasada respecto de latensi#n aplicada en 8D # π42 # un cuarto de periodo,
:4$, es decir, /E -:/ / F"-.
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&otencia media cedida por la fuente o disipada por labobina '
( )( )[ ] mmm t sen I V t sen I t V P )2(cos 0000 ω ω ω ==
l 0alor de 2ωt oscila dos 0eces durante cada ciclo
y es neati0o la mitad del tiempo y positi0o la otramitad. &or lo tanto, en trmino medio, la potencia mediacedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula,siempre y cuando la resistencia de la misma sea
despreciable.
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(b) Circuito capaciti0o'
)cos()( 0 t V t V ω =
C t qt V )()cos(0 =ω
t C V t q ω cos)( 0=
t senC V dt
t dq I t I
C
ω ω 0
)()( −===
)
2
cos(0π
ω += t I I C
V
Volta+e del enerador'
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siendo'C X
V
C
V CV I 0000 1
===
ω
ω
C X C
ω
1= es la reactancia capaciti0a #impedancia capaciti0a.
-e dice ue la intensidad en elcondensador respecto de latensi#n aplicada adelanta en8D # π42 # un cuarto de
periodo, :4$, es decir, /E-:/ / F"-.
:4$
:42
3:4$ :
:ambin se dice ue VC estretrasada respecto a la corriente
en 8D.
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Fasores.-on 0ectores iratorios con 0elocidad anular ω en elplano H. -e representan por un m#dulo y un
arumento, forma polar. :ambin se representanmediante coordenadas cartesianas, forma bin#mica.
n eneral la corriente en
un circuito de ca es de laforma' I 7 I8 cos (ωt δ). !aca9da de tensi#n en una es, V 7 I 7 I8 cos (ωt δ).
l fasor V tiene de m#duloIo y forma un nulo θ con
el e+e .
δ δ ∠≡ 0 I e I j
o
δ δ
∠≡ R j
R V eV
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1$
!as funciones arm#nicas sen(ωtδ) y cos(ωt δ) se pueden ponercomo fasores y as9 se opera ms rpidamente.
i (t) 7 I8 cos (ωt δ) en forma fasorial seria un 0ector de m#duloI8 ue forma un nulo δ con el e+e en el instante inicial y ueira con 0elocidad anular ω'
!a ran 0enta+a de todo ello es ue como todos los fasores irancon la misma ω se puede operar con ellos como si fueran0ectores.
δ δ ∠≡≡ 00 I e I I ~ j
o
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1%
Concepto de Impedancia, J
n eneral la J de un elemento, de una rama o de un circuitocompleto es la relaci#n ue e6iste entre los fasores asociados a la
tensi#n aplicada y la corriente ue circula por el elemento, rama ocircuito.
2/
2/
0
0
0
0
0 π
π
+∠=−∠
∠=
I
V
I
V Z
"s9, para una bobina la J 0ale'
n este caso J no es un fasor ya ue no ira con frecuenciaanular constante ω.
δ
δ
j
j
j
e
I
V
e I
eV
I ~V ~
Z −===0
0
0
0
0
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1@
epresentaci#n de fasores mediante manitudes comple+as.
y
6
J1−= j
φr
J 7 r (cos φ + sen φ)
6 7 r cos φy 7 r sen φ
recurdese tambin la formula de Koi0re' e + φ 7 cos φ + sen φ
&or ello, J tambin se e6presa como' J 7 r e + φ 7 r φ
-uma y esta' J1 7 61 + y1J2 7 62 + y2
Z1±Z2=(x1±x2)+(!1±!2)
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Kultiplicaci#n y di0isi#n'
J1 7 61 + y1
J2 7 62 + y2
J1 LJ2 7 (61 + y1)L(62 + y2)
7(6162My1y2)+ (61y2y162)J1 LJ2 7 r 1 e + φ1 L r 2 e + φ2 7 r 1r 2 e +(φ1φ2)
7r 1 Lr 2 7 r 1r 2φ
1
φ2
φ2φ1
2
2
2
2
12212121
22
22
22
11
2
1 )()(
y x
x y x y j y y x x
jy x
jy x
jy x
jy x
Z
Z
+−++
=−−
×++
=
)(
2
1
2
1 21
2
1φ φ
φ
φ −=≡ j j
j
er
r
er
er 21
2
1
22
11 φ φ φ
φ −∠=∠∠≡
r
r
r
r
f
-
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1B
" partir de ahora siempre ue 0eamos una e6presi#n de la forma'
t jt j j e I ee I t I t i ω ω ϕ ϕ ω 000
~)cos()(
≡⇔+=donde el fasor es' ϕ ϕ ∠≡= 000
~ I e I I j
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-oluci#n fasorial del circuito con s#lo bobina'
i5t6 V (t) 7 V8cosωt
)cos()( 0 ϕ ω += t I t i donde se desconoce 7 ( y ϕ Forma fasorial de v (t) y de i (t)'
t jt j j
t jt j j
e I ee I t i
eV eeV t v
ω ω ϕ
ω ω
00
00
0
~)(
~)(
====
ecuaci#n del circuito'
dt
t dI Lt V
)()cos(0 =ω
tjtj ωω
-
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-oluci#n fasorial' t jt j e I L jeV ω ω ω 00
~~ =
lueo' L L Z
V
jX
V
L j
V I 0000
~~~~ ===
ω L Z es la impedancia comple+a inducti0a.
2/0
2/
0
0
00
~ π π
ϕ
ω ω
j
j
j j
e L
V
Le
eV
e I I
−
===de esta ;ltima e6presi#n se deduce ue'
L X
V
L
V I 000 ==
ω y
2
π ϕ
−=0V ω
0 I 2
π −
ω
- l i# f i l d l i it #l d d
-
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-oluci#n fasorial del circuito con s#lo condensador'
∫ == idt C C
t qt V 1)(
cos0 ω cuaci#n del circuito'
t jt j e j
I C
eV ω ω
ω
1~1~00 =
C C Z
V
jX
V
C j
V V C j I 00000
~~
1
~~~ =
−===
ω
ω
C C jX Z −= es la impedancia del condensador
C X C ω
1
=
: bi b
-
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t j jt j j
o e j
e I C
eeV ω ϕ ω
ω
110
0 =
5e donde'
00 CV I ω = y 2/0 π ϕ j j j e jee ==
:ambin se obser0a ue'
es decir, la intensidad adelanta a la tensi#n en 8 D# π42.
0V ω 0 I
2
π
ω
−= 2cos)( 0 π
ω ω t L
V
t i
@ Ci it i !C d
-
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@. Circuito serie !C con enerador.
8
0 (t) 7 V8cosωt 9
C
i 5t6 7 7 o cos 5 ω t ϕ 6
200
20
20 )( C L R V V V V −+=
−+=2
22
0
2
0
1
C
L R I V
ω
ω
VVC
V!
V!MVC ϕ
08
1
-
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2$
ϕ
ϕ
2
2
00
1
−+
=
C
L R
V I
ω
ω R
C L
V
V V
R
C L ω ω
ϕ
1
tan0
00
−=
−=y
−+=
C L j R Z
ω ω 1
Ci it !C l l
-
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0 (t) 7 V8cosωt9 C 8
Circuito !C paralelo
C L jX jX R Z −++=
1111
00 00 ∠=
∠=
R
V
R
V I R 2/
0
2/
00 π π
−∠==∠
∠
L L
L X
V
X
V I
2/
0
2/
00
π π ∠== −∠∠
C C C X
V
X
V
I
i
-
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2@
esonancia.
Cuando ! y C son iuales, la impedancia J tiene su 0alor m9nimoiual a . n este caso la corriente ue atra0iesa el circuito serie
!C es m6ima y el circuito se dice ue est en resonancia" esdecir" su reactancia es nula.
Naciendo ! 7 C, resulta ue la frecuencia de resonancia 0ale'
LC f ó
LC y
C L
π ω
ω ω
2
111 ===
&ara cualuier circuito la condici#n resonante se obtienecuando la parte comple+a se anula
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Cur0as de resonancia en un circuito serie !C. "! 0ariar en la e6presi#n I
7 I(O) se obtiene la cur0a de resonancia, y cuanto menor es ms alto yestrecho es el pico de la cur0a de resonancia. sto es fundamental para eldisePo de circuitos de sintoniaci#n de radio y tele0isi#n.
"plicaci#n' sintoniaci#n de una emisora de radio.
&otencia en circ itos de C"
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&otencia en circuitos de C".
-abemos ya ue las bobinas y condensadores no consumenpotencia en un ciclo. &or tanto en un circuito !C solo se
consume potencia en la resistencia.!a potencia instantnea cedida a la es'
[ ] Rt I R I P 202 )cos( ϕ ω −==
y la potencia promedio en un ciclo es'
[ ] dt Rt I T
P T 2
0 0 )cos(
1∫ −= ϕ ω
ecordando ue el 0alor medio en un ciclo del cuadrado de unseno o de un coseno es 142, resulta finalmente'
R I R I P ef 22
0
2
1==
:ambin podemos poner este resultado en funci#n del factor de
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:ambin podemos poner este resultado en funci#n del factor depotencia del circuito" ue es cos ϕ .
ϕ!MCJ
C
! J 7 + (! Q C)
Z
R=ϕ cos
Z
V I 00 =
ϕ cosef ef V I P =
:ransformadores
-
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:ransformadores.
5ispositi0o utiliado para ele0ar o disminuir la tensi#n en uncircuito sin perdida aparente de potencia.
primario
secundario
dt
d N V 111
Φ=
dt d N V 222 Φ=
-i consideramos ue no e6iste perdida de flu+o mantico, secumple muy apro6imadamente la relaci#n de transformaci#n, esto
es'
1
1
22 V
N
N V = y
ef ef ef ef I V I V 2211 =