VI

118

C. Metode Umum untuk Penentuan Tanggapan Deformasi

1. Diagram Defleksi dan Kurva Elastis

Akibat adanya gangguan terhadap struktur, baik karena pembebanan, perubahan suhu, kesalahan fabrikasi, atau penurunan tumpuan; maka struktur dapat mengalami defleksi (yang merupakan bentuk tanggapan deformasi). Defleksi harus dibatasi agar struktur tidak mengalami retak ataupun getaran yang berlebih. Yang lebih penting, defleksi pada titik-titik tertentu harus dihitung pada penganalisaan struktur statis tak tentu.

Analisa defleksi yang dibahas disini hanya untuk bahan yang masih bersifat elastis linier, sehingga jika beban dihilangkan maka struktur akan kembali ke posisi awal.

Sebelum kemiringan atau pergeseran suatu titik pada balok dihitung, perlu dibuat sketsa atau diagram bentuk struktur yang terbebani agar dapat menggambarkan hasil perhitungan dan memeriksa hasil tersebut. Diagram defleksi ini menjelaskan bentuk kurva elastis titik-titik yang menggambarkan posisi pusat berat penampang suatu batang. Untuk menggambar kurva elastis haruslah diketahui batasan-batasan defleksi dan kemiringan yang terjadi pada masing-masing jenis perletakan, sebagaimana ditunjukkan Gambar 5.4 berikut.

= 0

= ada

(a) perletakan rol

= 0

= ada

(b) perletakan sendi

= 0

= 0

(c ) perletakan jepit

1

2

(d) sambungan terhubung jepit

o

1

2

(e) sambungan terhubung sendi

Gambar 5.4 Ketentuan Kemiringan Kurva Elastis untuk Berbagai Jenis Perletakan

Sehingga bila suatu balok atau kerangka kaku yang dibebani, berdasar batasan-batasan di atas, akan menunjukkan bentuk terdefleksinya sebagai berikut.

Gambar 5.5 Balok dan Kerangka Kaku yang Terdefleksi

Jika kurva elastis sulit dibuat, dapat dibantu dengan menggambar diagram momen untuk balok atau kerangka kaku tersebut, dengan menggunakan konvensi tanda momen yang sudah diketahui.

Gambar 5.6 Membuat Kurva Elastis dengan Bantuan Diagram Momen

(b)Diagram Momen

P1

A

B

P2

(a) Pembebanan Balok

P1

Titik infleksi

(c) Kurva elastis

M+

M+

-M

-M

(d) Perjanjian Tanda Momen

2. Teori Balok Elastis

Pada bab ini akan dibahas dua persamaan diferensial yang penting yang menghubungkan momen internalpada suatu balok dengan defleksi dan kemiringan kurva elastisnya. Perhatikan gambar berikut.

Misalkan balok AB adalah balok yang mengalami momen lentur. Balok terdefleksi dari posisi ACB menjadi ADB yang merupakan bentuk lengkungan lingkaran. Jika L adalah panjang balok AB, M adalah momen lentur, R: jari-jari kelengkungan, I: momen inersia penampang balok, E: modulus elastisitas material balok, y: defleksi balok dan adalah kemiringan kurva.

Dari bentuk geometri lingkaran, didapatkan

O

R

2

L

2

L

C

A

B

D

y

Gambar 5.7 Kurva Kelengkungan Balok yang Melentur

E

2

L

2

L

AC CB = EC CDatau

(

)

y

y

R

L

L

-

=

2

2

2

Sehingga

2

2

2

4

y

Ry

L

-

=

. Jika dianggap nilai y2 dapat diabaikan, maka

Ry

L

2

4

2

=

atau

R

L

y

8

2

=

Sebagaimana diketahui, pada suatu balok yang dibebani berlaku hubungan:

R

E

I

M

=

atau

M

EI

R

=

.

Masukkan nilai ini ke dalam persamaan

R

L

y

8

2

=

, sehingga didapatkan nilai defleksi

EI

ML

M

EI

L

y

8

8

2

2

=

=

.

Dari bentuk geometri lingkaran, didapatkan bahwa kemiringan balok di titik A atau B adalah sudut AOC. Sehingga

R

L

OA

AC

2

sin

=

=

q

Jika sudut sangat kecil maka sin akan bernilai sama dengan . Sehingga

R

L

2

=

q

radian. Karena

M

EI

R

=

, maka nilai kemiringan kurva adalah:

EI

M

M

EI

L

R

L

2

2

2

=

=

=

q

radian.

Selain dua persamaan di atas, terdapat satu hal yang penting dalam penentuan kelengkungan kurva balok terdefleksi. Yaitu hubungan antara kemiringan, defleksi dan jari-jari kelengkungan.

Untuk mempermudah penjelasan mengenai hal tersebut, perhatikan gambar berikut.

C

R

Q

ds

P

dy

dx

+ d

X

Y

O

d

Gambar 5.8 Kurva Kelengkungan Suatau Bagian Balok yang Melentur

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa: sudut PCQ = d dan ds = R d

(panjang busur lingkaran = jari-jari sudut juring lingkaran).

y

y

d

dx

d

ds

R

=

=

(dengan menganggap ds =dx)

atau

dx

d

R

y

=

1

.Jika x dan y adalah koordinat titik P maka

dx

dy

=

y

tan

. Bila adalah sudut yang sangat kecil, maka nilai tan = , maka didapatkan:

dx

dy

=

y

. Dengan melakukan penurunan persamaan tersebut terhadap x maka:

x

d

y

d

dx

d

2

2

=

y

. Dan karena

dx

d

R

y

=

1

maka

x

d

y

d

dx

d

R

2

2

1

=

=

y

Sebelumnya telah diketahui hubungan

R

E

I

M

=

atau

R

EI

M

1

=

. Dengan memasukkan nilai

x

d

y

d

R

2

2

1

=

maka

x

d

y

d

EI

M

2

2

=

Terdapat banyak metode untuk menentukan kemiringan dan defleksi di sebarang titik pada suatu balok yang dibebani. Di sini akan dibahas empat metode yang terkelompokkan menjadi dua golongan, yaitu metode energi kerja (work energy method) dan metode geometri (geometric method). Metode energi kerja meliputi metode beban satuan (unit load method) dan metode turunan parsial (teorema Castigliano). Sedangkan metode geometri mencakup metode bidang momen (momen area method) dan metode balok padanan/balok knjugasi (conjugate beam).

3. Metode Beban Satuan

a) Penurunan Rumus Dasar

Metode balok padanan sering juga disebut dengan metode kerja virtual (semu). Dikembangkan oleh John Bernoulli pada tahun 1717, metode ini diturunkan berdasarkan Hukum Kekekakalan Energi yang menyatakan bahwa usaha yang di-

lakukan oleh semua gaya luar yang bekerja pada struktur, Ue, diubah menjadi energi dalam (energi tegangan), Ui, yang dihasilkan bila struktur berubah bentuk (deformasi). Jika batas elastis tidak terlampaui maka energi tegangan elastis akan mengembalikan struktur ke keadaan semula bila beban dilepaskan. Sehingga Hukum Kekekalan Energi dapat dapat dinyatakan secara matematika sebagai:

Ue = Ui

Jika sebuah gaya P mengalami pergeseran dx pada arah yang sama dengan gaya tersebut, usaha yang dilakukan adalah dUe = F dx. Jika pergeseran totalnya adalah x maka usaha menjadi:

=

x

e

Fdx

U

0

Sekarang perhatikan efek yang diakibatkan oleh sebuag gaya aksial yang diberikan di ujung batang seperti ditunjukkan pada Gambar 5.9-a berikut. Karena besar F meningkat secara berangsur-angsur dari nol ke suatu nilai pembatas F = P, defleksi akhir batang menjadi . Jika material memiliki respon elastis linier, kemudian F = (P/) x. Masukkan ke dalam persamaan

=

x

e

Fdx

U

0

, dan mengintegrasikan dari 0 ke , kita dapatkan

Ue = F

yang merupakan luas segitiga yang diarsir.

Sekarang anggap bahwa gaya P telah diberikan ke batang dan gaya lainnya F kini diberikan (Gambar 5.9-b), maka batang terdefleksi lagi sebesar . Usaha yang dilakukan P bila batang mengalami defleksi lanjutan adalah menjadi:

Ue = P

Disini usaha menyatakan luas persegi panjang yang diarsir pada Gambar 5.9-b.

Kesimpulannya adalah jika sebuah gaya P diberikan ke batang, diikuti dengan penambahan gaya F, usaha luar total yang dilakukan oleh kedua gaya digambarkan dengan luas segitiga ACE pada Gambar 5.9-b. Luas segi tiga ABG menyatakan menyatakan usaha P yang mengakibatkan pergeseran , luas segi tiga BCD menyatakan usaha F karena gaya ini mengakibatkan suatu pergeseran , dan terakhir luas persegi panjang yang diarsir BDEG menyatakan usaha tambahan

yang dilakukan P bila adalah pergeseran yang dilakukan oleh F.

F

P

F

x

(a)

F

P

P

F

x

F+P

A

B

C

D

E

G

(b)

Gambar 5.9 Grafik Hubungan Gaya dan Pergeseran

Kaidah dasar mengenai kesesuaian usaha luar dan energi dalam seperti diuraikan di atas menjadi dasar untuk memahami penurunan rumus dasar Metode Beban Satuan berikut.

Dimisalkan ingin diketahui besarnya lendutan vertikal di titik C (C) pada balok sederhana AB berikut. Balok memikul beban W1,W2 dan W3 (Gambar 5.10-b). Beban-beban luar tersebut akan menimbulkan gaya-gaya dalam di dalam balok. Diantara gaya-gaya dalam tersebut adalah gaya tekan (F) di sebarang serat (misal serat OP) yang luas penampang tegaknya adalah dA. Akibat gaya tekan sebesar F, serat OP berkurang panjangnya sebesar dL. Beban-beban luar yang bekerja pada batang AB juga akan meyebabkan terjadinya lendutan di sepanjang balok, seperti 1 akibat W1, 2 akibat W2 dan 3 akibat W3. Usaha luar total yang dikerjakan pada balok jika beban bekerja secara berangsur adalah: W11 + W22 + W33.

Energi dalam total yang tersimpan dalam balok adalah

F dL

Sesuai Hukum Kekekalan Energi, usaha luar total yang dikerjakan pada balok sama dengan energi dalam total yang tersimpan dalam balok, maka:

Garis netral

dx

O

P

F

F

dL

1

1

C

2

1 kN

2

3

3

C

A

B

(a)

Garis netral

dx

O

P

F

F

dL

1

1

C

2

2

3

3

C

A

B

W1

W2

W3

(b)

Garis netral

1

1+ 1

C

2 + 2

1 kN

2

3 + 3

3

C + C

A

B

W1

W2

W3

( c)

Gambar 5.10 Penurunan Rumus Dasar Metode Beban Satuan

W11 + W22 + W33 = F dL

Jika pada balok AB yang sama mula-mula suatu beban 1 kN dikerjakan secara berangsur-angsur di titik C (Gambar 5.10-a), akan mengakibatkan lendutan C di titik C, 1 di titik 1, 2 di titik 2 dan 3 di titik 3. Jika beban W1, W2 dan W3 ditambahkan secara berangsur pada balok yang sedang memikul beban satuan di C tersebut (Gambar 5.10-b), lendutannya akan menjadi C + C di C, 1 + 1 di titik 1, 2 + 2 di titik 2, dan 3 + 3 di titik 3 (Gambar 5.10-c). Ketika mula-mula beban satuan di C dikerjakan, hubungan antara usaha luar dan energi dalam adalah:

(1) (C) = u dL

dengan u adalah tegangan tekan di sebarang serat OP seluas dA akibat beban satuan dan dl adalah pemendekan total serat tersebut.

Bila beban W1, W2, W3 ditambahkan secara berangsur, usaha luar tambahan yang dikerjakannya pada balok adalah:

W11 + W22 + W33 + (1) (C)

karena beban konstan 1 kN telah bekerja pada balok sebelum C terjadi. Sedangkan beban W1, W2, W3 bekerja secara berangsur pada balok seiring dengan pertambahan lendutan 1, 2, 3. Energi dalam tambahan yang tersimpan dalam balok adalah:

F dL + u dL

Maka usaha luar total yang dikerjakan pada balok menjadi

(1) (C) + W11 + W22 + W33 + (1) (C)

Sedangkan energi dalam totalnya adalah

u dL + F dL + u dL

Dengan menggunakan kembali Hukum Kekekalan Energi, maka

(1) (C)+ W11 + W22 + W33 + (1.C)= u dL + F dL + u dL

Setelah diselesaikan, didapat persamaan:

(1) (C) = u dL

Inilah rumus dasar Metode Beban Satuan yang dapat diterapkan untuk mencari kemiringan atau lendutan di sembarang titik pada balok, kerangka kaku atau rangka batang. Baik perubahan panjang (dL) terjadi karena bekerjanya beban, perubahan suhu atau kesalahan pembuatan.

b) Penerapan pada Lendutan Balok

Misalnya akan dihitung besarnya lendutan di sebuah titik, misalnya titik C pada balok Gambar 5.10. Beban satuan sebesar 1 kN dikerjakan di titik C pada balok AB yang tidak dibebani (Gambar 5.10-a). Jika M adalah momen lentur pada serat OP dalam Gambar 5.10-b, m adalah momen lentur pada serat OP pada Gambar 5.10-a dan panjang semula serat OP adalah dx. Maka u dalam Gambar 5.10-a adalaha:

dA

I

y

m

u

.

=

dan dL pada Gambar 5.10-b adalah

dx

EI

y

M

dL

.

=

.

Sehingga (1) (C) = u dL

=

dx

EI

y

m

dA

I

y

m

.

.

=

=

=

L

L

L

A

A

EI

Mmdx

dA

y

EI

Mmdx

EI

dx

dA

Mmy

0

0

0

0

2

2

0

2

2

.

Jika m dipandang sebagai perbandingan antara momen lentur akibat sembarang beban di C dengan beban itu sendiri, maka m hanya memiliki satuan dimensional panjang dan persaman di atas dapat ditulis menjadi:

=

D

L

C

dx

EI

m

M

0

.

Persamaan tersebut merupakan rumuss kerja yang diterapkan untuk memperoleh lendutan balok statis tertentu di sembarang titik akibat pembebanan yang bersangkutan.

Guna mempermudah memahami penerapan Metode Beban Satuan dalam menentukan besarnya defleksi di sembarang titik, berikut ini diuraikan langkah-langkah perhitungan yang harus dilakukan.

Tentukan reaksi perletakan akibat beban luar

Terapkan beban 1 satuan pada titik dimana defleksi (

D

) ditanyakan

Hitung reaksi perletakan akibat penerapan beban 1 satuan tersebut

Bagilah bentangan menurut ketidakmenerusannya (akibat adanya beban atau perubahan kekakuan = EI). Tentukan titik pangkal x, dengan ketentuan titik pangkal x dimulai dari titik dengan nilai momen sama dengan nol.

Hitung M, yaitu momen akibat beban luar; dan m , yakni momen akibat penerapan beban satu satuan.

Buat tabel hasil perhitungan

Lakukan proses pengintegralan

=

D

L

dx

EI

m

M

0

.

Jika dari hasil perhitungan didapatkan nilai defleksi () adalah positif, berarti lendutan yang terjadi ke arah bawah (searah dengan arah penerapan beban satuan). Dan sebaliknya, jika nilai bertanda negatif, defleksi yang terjadi ke arah atas.

q per jarak satuan

A

B

C

C

L

L

EI konstan

Gambar 5.11 Contoh Soal Penentuan Defleksi Balok Sederhana dengan Metode Beban Satuan

Contoh Soal 5-2

Dengan Metode Beban Satuan, tentukan defleksi di titik C pada balok sederhana berikut.

Penyelesaian

1.Tentukan reaksi perletakan akibat beban luar

MB = 0

RA. L q. L = 0 RA = q L

MB = 0

RB. L q. L = 0 RB = q L

2.Terapkan beban 1 satuan di titik C

3.Hitung reaksi perletakan akibat penerapan beban 1 satuan tersebut

MB = 0

RA.L (1)( L) = 0 RA = kN = RB

4.Bentang AB dibagi menjadi dua bagian, yaitu AC dan BC. Titik pangkal x dimulai dari A dan B

5.Menghitung ekspresi M: pada bentang AC = bentang BC = qL.x qx2

Menghitung ekspresi m: pada bentang AC = bentang BC = x

6.Tabel perhitungan

Bentang

Titik Pangkal

Batas (m)

M (kNm)

m (m)

AC

A

L

qL.x qx2

x

BC

B

L

qL.x qx2

x

q per jarak satuan

A

B

L

qL

qL

(a) Reaksi Perletakan akibat Beban Luar

A

B

L

kN

(b) Reaksi Perletakan akibat Beban 1 Satuan

1 kN

kN

C

L

(c) Penentuan Titik Pangkal x

L

qL

qL

L

kN

kN

x

x

Gambar 5.12 Langkah Penyelesaian Metode Beban Satuan untuk Penentuan Defleksi

7.Proses perhitungan

=

D

L

C

dx

EI

m

M

0

.

-

+

-

=

D

L

L

C

dx

EI

x

qx

qLx

dx

EI

x

qx

qLx

2

/

1

0

2

2

/

1

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

-

=

-

=

256

1

96

1

2

4

.

4

3

.

4

2

2

/

1

0

4

3

EI

qL

qx

qLx

EI

L

EI

qL

384

5

4

=

ke bawah

c) Penerapan pada Kemiringan Balok

Kemiringan di sembarang titik pada balok didefinisikan sebagai fungsi garis singgung atau sudut (dalam radian) antara sumbu balok semula dengan garis singgung di titik yang bersangkutan pada kurva elastis. Sudut ini dapat dianggap sebagai putaran garis singgung (rotation of tangent) kurva elastis. Atau putaran penampang tegak balok, asalkan garis singgung tersebut salalu tegak lurus pada penampang tegak yang bersangkutan. Tetapi kaidah ini tidak tepat bila lendutan akibat gaya geser ikut diperhitungkan.

Untuk menentukan kemiringan C di sembarang titik C pada balok dengan Metode Beban Satuan, persamaan

=

D

L

C

dx

EI

m

M

0

.

diselaraskan menjadi:

=

L

C

dx

EI

m

M

0

.

q

dengan m adalah momen lentur akibat momen satuan di C. Jika hasil yang diperoleh dari persamaan di atas bernilai positif, putaran garis singgung yang bersangkutan searah dengan putaran momen satuan di C tersebut.

Untuk mempermudah memahami penerapan Metode Beban Satuan dalam menentukan besarnya kemiringan di sembarang titik, berikut ini diuraikan langkah-langkah perhitungan yang harus dilakukan.

Tentukan reaksi perletakan akibat beban luar

Terapkan momen 1 satuan di titik dimana kemiringan () ditanyakan

Hitung reaksi perletakan akibat penerapan momen 1 satuan tersebut

Bagilah bentangan menurut ketidakmenerusannya (akibat adanya beban atau perubahan kekakuan = EI). Tentukan titik pangkal x, dengan ketentuan titik pangkal x dimulai dari titik dengan nilai momen sama dengan nol.

Hitung M, yaitu momen akibat beban luar; dan m , yakni momen akibat penerapan momen satu satuan.

Buat tabel hasil perhitungan

Lakukan proses pengintegralan

=

L

C

dx

EI

m

M

0

.

q

q per satuan panjang

A

B

L

EI konstan

Gambar 5.13 Contoh Soal Penentuan Kemiringan Balok Sederhana dengan Metode Beban Satuan

A

B

Jika dari hasil perhitungan didapatkan hasil bernilai positif, maka putaran garis singgung searah dengan putaran momen satu satuan. Jika hasil perhitungan bernilai negatif maka putaran garis singgung berlawanan dengan arah momen satu satuan.

Contoh Soal 5-3

Dengan Metode Beban Satuan, tentukan kemiringan A (= B) balok sederhana berikut.

Penyelesaian

1.Tentukan reaksi perletakan akibat beban luar

MB = 0

RA. L q. L = 0 RA = q L

MB = 0

RB. L q. L = 0 RB = q L

2.Terapkan momen 1 satuan di titik A (karena rotasi yang ditanyakan adalah yang terjadi di titik A)

3.Hitung reaksi perletakan akibat penerapan momen 1 satuan tersebut.

MB = 0

RA.L + 1 = 0RA =

L

1

-

dan RB =

L

1

4.Karena pembebanan menerus sepanjang bentang dan tidak terdapat perbedaan kekakuan (EI konstan) maka bentang tidak perlu dibagi menjadi beberapa bagian. Untuk mempermudah mengekspresikan m, akan lebih singkat jika x diukur dari titik B ke kiri.

5.Menghitung ekspresi M = qL.x qx2

Menghitung ekspresi m =

L

1

x

6.Tidak diperlukan tabel, karena hanya ada satu persamaan untuk seluruh bentang.

7.Proses perhitungan

=

L

A

dx

EI

m

M

0

.

q

L

L

A

L

x

x

EI

q

dx

EI

x

L

qx

qLx

0

0

4

3

2

4

2

1

3

.

2

1

1

2

1

2

1

-

=

-

=

q

EI

qL

EI

qL

24

8

1

6

1

3

3

=

-

=

searah putaran jarum jam

EI

qL

B

24

3

=

q

berlawanan arah putaran jarum jam

(c) Penentuan Titik Pangkal x

qL

qL

L

L

1

kN

x

Gambar 5.14 Langkah Penyelesaian Metode Beban Satuan untuk Penentuan Kemiringan

q per jarak satuan

A

B

L

qL

qL

(a) Reaksi Perletakan akibat Beban Luar

A

B

L

L

1

kN

(b) Reaksi Perletakan akibat Momen 1 Satuan

1 kNm

L

1

kN

L

1

kN

L

1

L

1

L

1

L

1