unit pelajaran 10 nombor kompleks

7/21/2019 Unit Pelajaran 10 Nombor Kompleks

1/23

Unit 10 Nombor Kompleks |271

UNIT PELAJARAN 10

NOMBOR KOMPLEKS

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Mengenal pasti dan membezakan nombor khayalan dan nombor kompleks.

2.

Melakukan operasi terhadap nombor kompleks.

3. Menyatakan konjugat nombor kompleks dan melakukan operasi; penambahan,

pengurangan, pendaraban dan pembahagian (operasi yang melibatkan

konjugat).

4. Menyelesaikan persamaan yang melibatkan nombor kompleks.

.


2/23

Matematik Asas|272

PENGENALAN

ernahkah anda berhadapan dengan persamaan seperti x22x + 5, yang mempunyai

punca kuasa dua nombor negatif? Kewujudan nombor kompleks adalah sangat

penting dalam bidang kejuruteraan, hidrodinamik dan aerodinamik, di mana

persamaan seperti ini selalu timbul dan memerlukan penyelesaian yang bukan

sahaja melibatkan nombor nyata tetapi juga nombor khayalan. Contoh persamaan kuadratik yang

tidak mempunyai punca nyata ialah seperti berikut:

2

162

2

4(1)(5)42x .

Euler telah memperkenalkan nombor-nombor khayalan pada 1748 M. Mari kita lihat pada nombor-

nombor seperti 4 dan 8 . Nombor-nombor ini dengan mudahnya boleh ditulis jika kita

wujudkan satu nombor di mana nilai kuasa duanya ialah -1. Inilah yang dinamakan nombor khayalan.

P

Layari Laman Web berikut untuk mengetahui mengenai nombor kompleks:

http://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.html

http://www.purplemath.com/modules/complex.htm
http://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.htmlhttp://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.htmlhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.purplemath.com/modules/complex.htmhttp://www.mathforum.org/dr.math/faq.imag.num.html


3/23


10.1 NOMBOR KHAYALAN DAN NOMBOR KOMPLEKS

a) Nombor Khayalan

Takrif

i 2= 1 atau i = 1

Kuasa bagi iboleh diungkapkan dalam sebutan 1 dan juga I, seperti di bawah:

i2=1

i3= i2 (i) =i

i4= i2( i2) = (1)(1) = 1

i5= i4( i) = (1)(i) = i

Kuasa dua nombor nyata ialah satu nombor positif.

22= 4 (3)2= 9

Tetapi jika

1x2

Maka 1x

Tiada nombor nyata yang memenuhi persamaan di atas . Maka, 1 bukan nombor nyata.

Contoh 10.1


4/23

Matematik Asas|274

2i14)14(4

Takrif 1

Nombor khayalan adalah dalam nombor dalam bentuk ai atau ia,

di mana a ialah nombor nyata.

3i, i, i2

i0= 1)1( 0

i2=1

i3= i2i= -1i=i

i4= i2i2=1 1 = 1

Hasil tambah dan hasil tolak nombor khayalan menghasilkan nombor khayalan.

9i+ 6i= 15i, 9i4i= 5i (memberikan nombor khayalan)

Hasil darab dan hasil bahagi nombor khayalan menghasilkan nombor nyata.

Contoh 10.2

Contoh 10.3

Cuba cipta satu jadual

pendaraban untuk i agar

anda boleh gunakan nanti.

Contoh 10.4


5/23


i 4n= 1

i4n+3= i

i 4n+1= i

i 4n+2= i

3i 2i= 6i2= 6(1) = 6.

42i

8i

b) Kitaran Nombor Khayalan

Perhatikan untuk integer positif n, boleh diringkaskan dalam bentuk kitaran seperti berikut:

Kepentingan nombor khayalan adalah untuk mencari pensifar bagi polinomial, khasnya

persamaan kuadratik berikut:

ax2+ bx + c = 0

Di mana punca-puncanya ialah:2a

4acbib-x

2

Apabila b2< 4ac

Contoh 10.5

(menghasilkan nombor nyata)


6/23

Matematik Asas|276

Sebagai contoh , persamaan( x - 2 )2=1 tidak mempunyai punca nyata kerana tiada nombor nyata

yang kuasa dua nombor tersebut bersamaan dengan 1 . Tetapi dengan memperkenalkan i= 1 ,

maka x = 2 i adalah penyelesaiannya.

i17 = i16+i = (i2)8 i

= (-1)8 i = i

Cari semua punca bagi persamaan x2 + 2x + 5 = 0

Penyelesaian:

Diberi persamaan x2+ 2x + 5 = 0

Maka, a = 1, b = 2, c = 5, dan menggunakan2a

4acbbx

2

, maka

2

162

2(1)

4(1)(5)42x

Penyelesaian ini boleh ditulis dalam bentuk

2i1

2

4i2

2

16i2

Contoh 10.6

Contoh 10.7


7/23


Takrif 2

Nombor Kompleks, ( C ) ialah nombor berbentuk a + bi, di mana a, b adalah nombor nyata

dan i = 1.

Kes-kes khas untuk a + bi.

i) Apabila b = 0, a + bi nombor nyata..

ii) Apabila a = 0, a + bi nombor khayalan.

iii)

Apabila a = 0, b = 0, a + bi nombor kompleks sifar.

a + bi = 0 a = 0 and b = 0

iv) Apabila a + bi = c + di a=c, b=d

Jika diberi nombor kompleks z = a + bi, bahagian nombor nyatanya ialah N(z) = a dan

Bahagian nombor khayalannya ialah Kha(z) = b

Ny(z) = a

Kha(z) = b

Diberi z1 = 2 + (3y + 1)i = 2x + 7iand z2 = 2x+7i dengan z1 = z2.

Cari nilai x dan y.

Penyelesaian:

Diberi z1 = z2

2 + (3y +1)i = 2x + 7i

2x = 2 dan 3y + 1 = 7

x = 1 dan y = 2

Contoh 10.8


8/23

Matematik Asas|278

Takrif 3

Bagi nombor kompleks, z = a + bi ,konjugat z ditandakan dengan z* atau z dan ditakrifkan

sebagai z*= z= abi.

Setiap nombor kompleks mempunyai pasangan konjugatnya. Misalnya z1=2+3i, z*=2-3idan z2=33i ,

z2*=3 + 3i.

10.2 OPERASI ALJABAR NOMBOR KOMPLEKS

Operasi Huraian Contoh

Penambahan z+w = (a + bi)+(cdi)

= (a + c) + (b + d)i

(3 + 4i) + (3i)

= (3 + 3)+ (41)i

= 6 + 3i

Penolakan z-w = (a + bi)(c + di)

= (ac)(bd)i

(43i)(23i)

= (42) +(3 + 3)i

= 6

Pendaraban z(w) = (a + bi)(c + di)

= (ac + bd)+(bc +

ad)i

(2 + i)(33i)

= 6(3) + (36)i

= 93i

Pembahagian

w

z

w

z .*w

*z

i2

i1

i2

i1 .i2

i2

=5

3i1

Contoh 10.9


9/23


a) Penambahan dan Penolakan

i) (2 + 3i) + (3i)

= 2 + 3 + (3ii)

= 5 + 2i

ii) (5 + 4i)(2 + 3i)

= (52) + (4i3i)

= 3 + i

b) Pendaraban

(2 + 3i)(42i) = 8 + 12i4i6i2 = 8 + 6 + 8i = 14 + 8i

(2 + 4i)(24i) = 4 + 8i8i16i2

= 20 (nombor nyata)

(a + bi)(abi) = a2+ b2

c) Pembahagian

22

2

11

i3ii3

i1

i1

i1

i3

i1

i3

22i4 = 2i

Bagaimana dengan

penolakan? Adakah ianya

memenuhi sifat tutupan?

Bincangkan.

Darab dengan konjugat

penyebut untuk

menisbahkan penyebut.

Contoh 10.10

Penambahan nombor

kompleks mematuhi

sifat tutupan

penambahan, Kenapa?


10/23

Matematik Asas|280

10.3 KESAMAAN DUA NOMBOR KOMPLEKS

Jika z1= z2 maka (z1) = Re (z2) dan Im (z1) = Im (z2) bermaksud nilai nyata z1= nyata z2dan

nilai khayalan z1= khayalan z2.

Diberi a + bi= c + di

maka (ac) = 0 dan bd = 0

a = c b = d

Jika z1 = 2x3ydan z2= 4 6dan z1= z 2 , carikan nilai x dan y.

Penyelesaian:

Diberi z1= z2maka 2x3y= 4 6

2x = 4 dan 3y = 6

x = 2 3y = 6

y = 2

1. Selesaikan persamaan (x + yi)(3i) = 1 + 2idi mana x dan y adalah nombor nyata.

2. Jika (a + bi)(2i) = i dengan a dan b sebagai nombor nyata, tentukan nilai a dan b.

Re = real dan Im = Imaginary

= khayalan. Simbol ini boleh

juga digunakan

Contoh 10.11

Contoh 10.12

Contoh 10.13


11/23


Penyelesaian:

1. (x + yi)(3i) = 1 + 2i

3x + 3yixiyi2= 1 + 2i

3x + y + (3yx)i= 1 + 2i

3x + y = 1 (1)

x + 3y = 2 (2)

x (2) dengan 3, -3x + 9y = 6 (3)

(1) + (3) 10y = 7 y10

7

Masukkan nilai y (2), maka

10

1

10

212-x

2. (a + bi)(2 i) =i

2aai + 2bibi2= i

2aai + 2bi + b = i

2a + b + (2ba)i = i

Samakan bahagian nyata;

2a + b = 0 (1)

Samakan bahagian khayalan;

2ba = 1 (2)

Daripada (2),

a = 2b1 (3)

kerana i 2= -1

Samakan bahagian

nombor nyata dan

nombor khayalan untuk

menghasilkan (1) dan (2).


12/23

Matematik Asas|282

Gantikan (3) dalam (1);

2(2b1) + b = 0

4b2 + b = 0

5b2 = 0

5b = 2 b =5

2

Gantikan b =5

2 dalam (3);

511

541

522a

Cari punca kuasa bagi nombor kompleks 3 + 4i di mana x dan y adalah nombor nyata.

Penyelesaian:

Katakan,

iyx4i3

2yi)(x4i3

2y2xyix4i3 2

Oleh itu,

3yx 22 (1)

42xy (2)

Daripada (2);x

2y (3)

Contoh 10.14


13/23


Latihan Formatif 10.1

Masukkan (3) dalam (1) 3x

2x

2

2

3x

4x

2

2 24 3x4x

043xx 24

01)4)(xx 22(

4x2 1x2 (tidak memberi nilai nyata)

2x

Bilax= 2 Bilax=2

y= 1 y= 1

Oleh itu, i)24i3 (

1. Lengkapkan bagi semua yang berikut:

a) (3 + 2i)3 b))2)(44-(3

)3)(2-(1

ii

ii c) (x + yi)(25i) = (1 + 5i)

d) (2 + i)(x +3i) = (1i)

2. Jika z1= 3 + 5idan z2 = 23i, maka tentukan

a) z1+ z2 b) z1z2 c) z1z2 d)2

1

z

z

3. Cari punca kuasa dua bagi nombor kompleks 6 + 8i.

Anda juga boleh

gantikan y = x2


14/23

Matematik Asas|284

4. Dapatkan nilai x dan y jika (x + iy)(3iy) = 1 + 2i).

5.

Lengkapkan setiap yang berikut dalam sebutan a + bi

a) 323722 c) (1 + i)4

b) 5 i(1 + 3i)(2 +i) d)ii 34

10

43

5

6. Cari punca kuasa dua bagi nombor kompleks:

a)

724 i b) 1 + 3 i c) 2120 i

Takrif 4

Sifat konjugat bagi z , w , C

i) (z*)* = z

ii) z* + w* = (z + w)*

iii) (zw)* = (z*)(w*)

iv) z* = z z R

10.4 GAMBARAJAH ARGAND

Nombor kompleks boleh diwakili secara geometri

dalam koordinat Cartesian dengan menggunakan

dua paksi iaitu paksi x (paksi nyata) dan paksi y

(paksi khayalan). Kedua-dua paksi ini membentuk

satah kompleks yang dinamakan Gambarajah Argand.

Khayalan z (Kh z)

iy

x + iy

x

Nyata z (Ny z)

P

O


15/23


Penerangan Gambarajah Argand

a) Titik P(x,y)menggambarkan nombor kompleks z = x + iy

b)

Modulus z ialah panjang OP atau r,ditandakan sebagai | z| dan adalah sentiasa positif.

c) Hujah z ditandakan sebagai Hujah (z), ialah sudut yang dilalui dari ke OP. Nilainya dalam

julat < < dan dinamakan nilai prinsipal.

d) Dalam Gambarajah Argand di bawah, x =r kos ;y = rsin

Maka, z = x + iy= r(kos + sin )

r = |z| = 22 yx

= hujah(z) = tan-1(x

y)

e) Bentuk r (kos + i sin ) dipangil bentuk kutub (r, )

atau Bentuk Modulus Hujah bagi nombor kompleks.

f) Nombor kompleks z = x + iy boleh diwakili secara geometri oleh satu titik P dengan koordinat

Cartesian (x,y).

g) Panjang rditentukan dengan menggunakan Teorem Phitagoras: r = |z| =22 yx

h) Nilai ini r, disebut Modulus bagi nombor kompleks z dan ditandakan seperti:

|z| =22 yx

i) Dengan menggunakan hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Cartesian, diperolehi

nilai x dan y:

x = r kos , y = r sin

-y

Kh z

Ny zx

(x,-y)

P(x,y)

ry


16/23

Matematik Asas|286

j) Nombor kompleks z = x + iy boleh ditulis semula dalam bentuk

z = r (kos + i sin )

k) Nilai hujah z memenuhi syarat di bawah dan disebut nilai Prinsipal Hujah (huj z)

180o < huj z 2, maka

(r (kos + isin ))n= rn (kos n + i sin ) Rumus De Moivre

Sekiranya vektor z (yang mewakili nombor kompleks)

Pada sukuan I ; = tan-1x

y

Pada sukuan II ; = tan-1x

y+ 180o

Pada sukuan III ; = tan-1x

y180o

Pada sukuan IV ; = tan-1x

y


17/23


Cari modulus dan hujah bagi nombor-nombor kompleks berikut;

a) 2 + i b) 54i c) 4 + 2i d) 1 - i 3

Penyelesaian:

a) z1 = 2 + i

|z1|= 122

= 5

Hujah z1= tan-12

1= 26.6 (pada sukuan I)

b) z2= 54 i

|z2| = 22 4)5 (

= 41

Hujah z2= tan-15

4z = = 38.6 (pada sukuan IV)

c) z3= 4 + 2 i

|z3| = 20416

tan -14

2= 26.6 (pada sukuan II)

Hujah z3= 180 26.6 = 153.4

d) z4 =1i 3

|z4| = 31 = 2

tan-11

3= 60 (pada sukuan III)

Hujah z4= 60 180 =120

(5,-4)-4

(-4,2) 2

Contoh 10.15

2

1

5


18/23

Matematik Asas|288

Diberi z1= 3 + i dan z2= 23i, cari;

a) 2 z1z2 b) z1z2 c)1

2

z

z

Penyelesaian:

a) )() ii 322(3z2z 21 = ii 3226 = i54

b) 221 3296323zz iiiii ))(( = 1)3(76 i = 376 i = i79

c)1

2

z

z =

i

i

3

32.

i

i

3

3=

1)(9

1)(3926 iii=

10

113 i

Tentukan pewakilan kutub bagi:

a) z = i322 b) z = i55

Penyelesaian:

a) Nilai modulus bagi z ialah:

z = 322 I = 4124

Nilai prinsipal bagi hujah z ialah;

= huj z = tan-12

32= 60, maka perwakilan kutub z ialah

i322 = 4 (kos 60 + i sin 60)

Contoh 10.16

Contoh 10.17

60

2

(2 , 32 )

4


19/23


b) Nilai modulus bagi z ialah:

z = 55 I = 252x25502525

Nilai prinsipal bagi hujah z ialah;

= huj z = tan-15

5+ 180 = 135, maka perwakilan kutub z ialah

i55 = 4 (kos 135 + i sin 135)

Sila layari laman sesawang berikut untuk mengetahui lebih lanjut

mengenai Teorem De Moivre

1. Dapatkan modulus dan hujah bagi

a) 32i b) (1 + i)(4 + 5i)

c) (32i)2 d)i

i

73

5

2. Jika z1= 3 + 4i, z2= 23idan z3= 2i,ungkapkan dalam sebutan x+ yi.

a) (z1+ z2* )

2 b)

3

1

z1z

1 c)

i2

21

z1

zz

2. Jika z = 1i dan w = 2 + i,ungkapkan dalam sebutan x + yi.

a) (w*)* b) z* + w* c) z*w* d)*w

z

4. Nyatakan yang berikut dalam bentuk a + b

a)i23

1 b)

i1

3- c)

i

i

5

23 -

5. Cari nilai bagi a dan b dalam setiap persamaan berikut.

a) a + b + (ab) = 6 + 4 b) a + 2b + (ab) = 9

(-5,5) 5

45

-5



20/23

Matematik Asas|290

RUMUSAN

1. Nombor khayalanadalah dalam nombor dalam bentuk ai atau ia, di mana a ialah nombor

nyata dan i

2

= 1 atau i = .

2. Hasil tambah dan hasil tolaknombor khayalan menghasilkan nombor khayalan.

3. Hasil darab dan hasil bahagi nombor khayalan menghasilkan nombor nyata.

4. Hasil tambah nombor nyata dan nombor khayalanmenghasilkan nombor kompleks.

5. Nombor Kompleks, ( C ) ialah nombor berbentuk a + bi , di mana a, b adalah nombor

nyata dan i = 1.

6. Maka, jika diberi nombor kompleks z = a + bi, bahagian nombor nyatanya ialah N(z) = a dan

Bahagian nombor khayalannya ialah Kha(z) = b

Ny(z) = a Kha(z) = b

7. Bagi nombor kompleks, z = a + bi ,konjugat zditandakan dengan z* or z dan ditakrifkan

sebagai z*= z= abi.

8. Jika z1= z2 maka (z1) = Re (z2) dan Im (z1) = Im (z2)bermaksud nilai nyata z1= nyata z2

dan nilai khayalan z1= khayalan z2.

9. Sifat konjugat bagi z , w , C

i) (z*)* = z ii) z* + w* = (z + w)*

iii) (zw)* = (z*)(w*) iv) z* = z z R

10. Nombor kompleks boleh diwakili secara geometri dalam koordinat Cartesian yang dinamakan

Gambarajah Argand.

11. Teorem De Moivredigunakan dalam pengiraan yang melibatkan nombor kompleks kuasa

melebihi dua. Jika Zn di mana n >2, maka (r (kos + isin ))n= rn (kos n + i sin )

KATA KUNCI

Nombor Kompleks, Gambarajah Argand, nilai prinsipal, nombor khayalan, hujah, modulus.


21/23


1. Diberi bahawa z = 2 + 3, ungkapkan setiap yang berikut dalam bentuk a + b.

(a) (z)(z + 1) (b)z

z

-1

2. Cari nilai-nilai nyata x dan y yang memenuhi persamaan iii

32

y

-1

2x

3. Jika z = 12, nyatakan z + 1 dalam bentuk a + b.

4. Tentukan modulus dan hujah bagi setiap nombor kompleks berikut:

a) 6 + 8 b) 3 c) 2 + 2 d)2

3

2

1i

5. Cari modulus dan hujah untuk i) z1 + z2 ii) z1z2 untuk setiap kes.

a) z 1 = 1 + 2; z 2 = 2 + b) z 1 = 32; z 2 = 1 +

6. Nyatakan yang berikut dalam bentuk r(kos + sin ).

a) 1 + 2 b) 3 c) i3

7. Jika z 2 =i

i

1

1

z

z1 dan z 3 =i

i

2

2

z

z1 buktikan bahawa z1z3 = 1

8. Tunjukkan bahawa punca-punca persamaan z 416 = 0 diwakil dalam Gambarajah Argand

oleh empat bucu suatu segi empat sama.

9. Jika z= 3 + i , ungkapkan berikut dalam bentuk a + ib, di mana a, b R.

i) (z + 2i)(z 1) ii) 21 z

z

10. Cari nilai punca kuasa bagi nombor kompleks 3 + 4i dalam bentuka + ib.

Latihan Sumatif


22/23

Matematik Asas|292

RUJUKAN

Marzita Puteh. 2010. Foundation Mathematics. Tanjong Malim: Penerbit Universiti Pendidikan Sultan Idris.

Marzita Puteh. 2002. Matematik PermulaanSiri 1.Kuala Lumpur: Prentice Hall.

Marzita Puteh. 2002. Matematik Permulaan Siri 2. Kuala Lumpur: Prentice Hall.

McGregor, C. 1994. Fundamentals of University Mathematics: Albion Publishing, Chichester.

JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


1. a) 46i9 b)50

79 i c)

29

2315i d)

5

31 i

2. a) 5 + 2i b) 21 + i c) 1 + 8i d)13

21 i

3. ( 222 i ), 26.57

4. x =10

1 y =

10

7

5. a) i224 b) 5i35 c)4 d) 527

950-1025 i

6. a) ( 3i)4 b) ( )i232

1 c) ( )2i5


1. a) ; 33.7o(sukuan I) b) 5; -53.1o(sukuan II)

c) 13; -67.3o(sukuan II) d) 0.97; -78.1o (sukuan II)

2. a) i7024 b)10

311 i c)

50

336 i

3. a) i2 b) 3 c) i21 d)5

2 i

4. a)13

23 i b)

2

33 i c) )( i1

13

1

5. a) a = 5, b =1 b) a =3, b = 3


23/23


JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a) i12 b)10

311 i

2. x = 2; y = 5 3. i22

4. a) 10; 53.1o (sukuan I) b) 3; 71.6o(sukuan I)

c) ; 45o (sukuan II) d) 1; 60o (sukuan I)

5. a) 18 ; 45o (sukuan I) b) 5 ; 26.6o (sukuan II)

6. a) 5 b) 10

c) 2

9. i) i93 ii)85

1127 i

10. )i(2

unit pelajaran 10 nombor kompleks

Documents