07_persamaan differensial biasa

7/24/2019 07_Persamaan Differensial Biasa

1/23

FI5080

Fisika Matematik

Persamaan Differensial Biasa


2/23

Persamaan Differensial

Fenomena fisis umumnya dinyatakan dalam bentuk

perubahan suatu besaran terhadap besaran lain (mis:

posisi terhadap waktu; posisi terhadap ruang; dlsb)

Persamaan yang menyatakan hubungan antaraperubahan suatu besaran dengan besaran lain

dinamakan persamaan differensial

Persamaan differensial biasasingle variable

Persamaan differensial parsialmulti variable


3/23

Solusi Persamaan Differensial

Yang dimaksud adalah bentuk persamaan

matematik yang memenuhi persamaan

differensial yang dimaksud

Contoh utk PDB

Solusinya

bentuk umumnya


4/23

Orde Persamaan Differensial

Mengindikasikan turunan tertinggi yang

muncul dalam persamaan differensial

Orde satu

Orde dua


5/23

Persamaan Differensial Linier

PD linier mempunyai bentuk:

Contoh yang tidak linier:


6/23

Penyelesaian PDB linier Orde 1

Cara yang umum digunakan:

Pemisahan persamaan

Persamaan Bernoulli

Persamaan Eksak

Persamaan Homogen


7/23

Pemisahan Persamaan

Kemudian kedua ruas diintegralkan

Diperoleh solusi umum PDB


8/23

Solusi PDB Orde 1

Bentuk umum PDB linier orde 1 adalah sbb.

Solusinya adalah

Secara umum P dan Q adalah

fungsi dari x

C adalah konstanta integrasi


9/23

Persamaan Bernoulli

PDB yang berbentuk disebut

persamaan Bernoulli. Meskipun bukan PDB

linier tapi dapat dibuat menjadi linier dengan

subsitusi variabel

Gunakan variabel baru

PDB tersebut menjadi berbentuk Persamaandifferensial linier

dalam z, dapat

diselesaikan dengan.

Diperoleh solusi dalam

bentuk z. Solusi y

diperoleh dengansubstitusi balik


10/23

Persamaan Eksak

Persamaan differensial yang berbentuk

disebut sebagai persamaan eksak jika

Dapat dinyatakan

Solusinya

Seringkali

persamaan non-

eksak dapat

diubah menjadipersamaan eksak


11/23

Persamaan Homogen

Fungsi homogen berderajat n adalah fungsi yang

dapat dituliskan dalam bentuk

Persamaan homogen adalah yang berbentuk

Dapat dituliskan menjadi

P dan Q fungsi

homogen yang

berderajat sama

n menyatakan derajat

fungsi homogen

Solusinya dapat diperoleh dengan mengubah variabel


12/23

PDB Linier Orde 2

Ruas kanan sama dengan nol

Ruas kanan tidak sama dengan nol

Fungsi polinom

Fungsi eksponensial

Fungsi harmonik

Fungsi gabungan


13/23

PDB Linier Orde 2 Ruas Kanan Nol

Bentuk:


14/23


Cari akar-akar karakteristik


15/23


Prinsip superposisi:

Superposisi dari dua buah solusi juga merupakan

solusi suatu persamaan differensial

PDB orde 2 jika akar-akar karakteristiknya

tunggal (b = a)

di mana


16/23

PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol

Dapat diselesaikan dengan succesive integration

namun seringkali tidak mudah dan prosesnya lama

(panjang)

Cara lain dengan mencari fungsi komplementer (yc)dan solusi partikular (yp)


17/23

PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol

Solusi umumnya dapat diperoleh dengan

Fungsi komplementer (yc) diperoleh dari solusiPDB tersebut jika ruas kanannya sama dengan

nol

Bentuk solusi partikular tergantung pada

bentuk fungsi yang di ruas kanan F(x)


18/23

PDB Orde 2 Ruas Kanan Tidak Nol:

Eksponensial

Untuk bentuk fungsi eksponensial yang berbentuk

dengan K adalah konstanta

Solusi partikular yang dapat dicoba adalah berbentuk

Solusi partikular disubstitusi ke persamaandifferensial untuk memperoleh konstanta Cp, ingat

bahwa ini bukanlah konstanta umum PDB tersebut

axKexF )(

ax

pp eCy


19/23


Fungsi Harmonik

Jika ruas kanan berbentuk fungsi harmonik

misalnya atau

Solusi partikular yang dapat dicoba adalah

eksponensial berbentuk

kemudian dipilih bagian real atau imajinernya

(disesuaikan dengan sinus atau cosinus)

xk sin xk cos

xike


20/23


Perkalian Polinom dan Eksponensial

Misalnya

Solusi partikular yang dapat dicoba


21/23


Gabungan


22/23

Transformasi Laplace

Salah satu bentuk transformasi integral

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk

mencari solusi persamaan differensial (dengan

syarat tertentu)


23/23

Transformasi Laplace

07_persamaan differensial biasa

Documents