bab5_masalah nilai awal persamaan diferensial biasa

7/24/2019 Bab5_Masalah Nilai Awal Persamaan Diferensial Biasa

1/38

FisikaKomputasi i-FST Undana 164

MASALAH NILAI AWAL

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Pada bab ini dibahas tentang persamaan diferensial biasa, ordinary

differential equations(ODE) yang diklasifikasikan kedalam masalah nilai awal

(initial value) dan masalah nilai batas (boundary value), dimana kedua keadaan ini

solusinya dispesifikasi pada waktu awal (initial time).Akan disajikan beberapa metode pendekatan komputasi numerik untuk

menangani permasalahan yang berkaitan dengan persamaan diferensial biasa,

dengan beberapa contoh kasus terapan.

If I hear it, I will forget it . If I see it, I will remember it.

If I do it, I will understand it

(Confucius)

Agar dapat masuk sebagai sprinter 100 m kelas

dunia, dibutuhkan 10 sampai 12 langkah kaki perdetik. Kecepatan luar biasa ini pun bisa diukur

pada robot. Peneliti Jerman dan Skotlandia

berhasil memecahkan rekor dengan sebuah robot

setinggi 23 cm. "RunBot" ini mampu mencapai

3.5 langkah per detik, setara dengan 0.8m per detik.

RunBot merupakan robot berjalan yang dikem-

bangkan dengan tujuan utama melakukan gerakan

sealamiah mungkin. Untuk itu, kendali robot ini

meniru karakteristik syaraf beserta gerakan

refleks manusia. Mesin berjalan ini dilengkapi

dengan beberapa sensor dan hanya terfokusunruk menempatkan kaki di depan kaki lainnya.

Bagaimana persamaan gerak RunBot? Bagimana

pula keadaan batas bisa diimplementasikan ke

sistem robotik? (CHIP 2006)


2/38


5.1. Model Diferensiasi FisikaBanyak hukum-hukum fisika yang sangat pas diformulasikan dalam

bentuk persamaan diferensial. Lebih lanjut, tidak mengherankan bahwa solusi

komputasi numerik dari persamaan-persamaan diferensial menjadi bagian yangumum dalam pemodelan sistem-sistem fisika. Beberapa hukum mendasardiantaranya sebagai berikut:

Hukum FormulasiMatematika

Variabel & Parameter

Hukum Newton IItentang gerak

Hukum PanasFourier

Hukum Faraday

m

F

dt

dv

dx

dTkq '

dt

diLVL

Kecepatan (v), gaya (F) dan massa (m)

Flux panas(q), konduktivitas termal (k)dan temperatur (T)

Tegangan Drop ( LV ), induktansi (L)dan arus (i)

Bentuk umum persamaan diferensial biasa adalah set M pasang persamaan

orde satu,

),( yxfdx

dy (5.1)

dimana x adalah variabel bebas, dan y adalah sebuah set dari M variabel takbebas(f adalah vektor komponen M). Persamaan diferensial orde yang lebih tinggi bisa

dituliskan dalam bentuk persamaan diferensial orde satu.Di dalam mengkaji fenomena fisis, seringkali kita jumpai bentuk

persamaan diferensial sebagai persamaan gerak yang harus dicari solusinya,

misalnya:

02

2

kxdt

dxr

dt

xdm

Solusi analitik persamaan diferensial diatas bisa salah satu dari tiga fungsi berikut:

)sin( 1 ot

tAex , untuk kmr 4

tAetBBx

)( 21 , untuk kmr 4 tt

eCeCx 221

1 , untuk kmr 4 ,

Selanjutnya solusinya dapat digambar dalam bentuk kurva atau data tabel.


3/38


Solusi secara numerik tidak diperoleh dalam bentuk fungsi, melainkan nilai

solusi pada suatu waktu tertentu. Oleh karena itu diperlukan suatu syarat agar

solusi dapat dicari, yaitu berupa nilai awal. Syarat ini diperlukan, secara analisis

solusi suatu persamaan diferensial dapat berbeda-beda karena adanya suatu

konstanta.Gerak 1 dimensi sebuah partikel bermassa m, dibawah pengaruh gaya

sebesar F(z), dituliskan dalam bentuk persamaan orde dua:

)(2

zFdt

zdm (5.2)

Jika momentum didefinisikan sebagai perkalian massa dengan kecepatan,

yang dituliskan sebagai

dt

dzmtp )( (5.3)

maka persamaan (5.2) menjadi dua pasang persamaan orde satu (Hamilton),

m

p

dt

dz dan )(zF

dt

dp (5.4)

Akan dibahas beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa,

dengan penekanan pada masalah nilai awal. Artinya, mencari y(x) yang diberikan

oleh nilai y pada beberapa titik awal, y(x=0)=y0. Kasus atau masalah dalam tipe ini,diantaranya saat memberikan posisi awal dan momentum suatu partikel dan

diharapkan memberikan atau menemukan gerak selanjutnya, menggunakan

persamaan (5.3).

Masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa bisa dituliskan dalambentuk

),()(' tyfty ; 0)0( yy (5.5)dimana f(y,t) adalah fungsi terhadap y dan t, dan persamaan kedua adalah keadaan

awal. Pada persamaan (5.5) turunan pertama terhadap y diberikan sebagai fungsi ydan t, dan akan dicari fungsi y yang tidak diketahui dengan melakukan integrasi

f(y,t).

Banyak contoh untuk masalah nilai awal persamaan diferensial biasa,antara lain:

(a) 1)0(,53)(' yyty

(b) 0)0(,1)(' ytyty

(c) 1)0(,1

1)('

2

y

yty

(d) 0)0(,1)0(,',' zyyzzy Dalam kasus-kasus dimana persamaan sukar diselesaian secara analitis,

lebih mudah menyelesaikannya secara numerik. Untuk ilustrasi kita kutip analisisHanselman-Littlefield untuk kasus Oscilator.


4/38


---------------------------------------------------------------------------------------------------

Contoh 5a1Persamaan diferensial klasik Van der Pol yang mendeskripsikan suatu oscilatormemiliki persamaan gerak sebagai berikut:

0)1(2

2

2

xdt

dxx

dt

xd

Tinjaulah kasus ini dalam Matlab dengan pendekatan numerik seperti persamaan(5.2) menuju (5.4), dimana persamaan diferensial orde tinggi ditulis ulang menjadi

ekuivalensinya di persamaan diferensial orde satu.

SolusiDidefinisikan dua variabel baru dari persamaan diatas,

xy 1

, dandt

dyy

2

maka

21 y

dt

dy

1

2

12 )1( yy

dt

dy

dalam matlab, derivatif dinyatakan dalam vektor kolom, dalam kasus ini disebutyprime, demikian juga y1 dan y2 dalam vektor kolom y.

Program dalam M-file sebagai berikut:

function yprime=vdpol(t,y);%fungsi ini memberikan status derivatif dai persamaan Vander Pol% x''-mu*(1-x^2)*x'+x=0 ('=d/dx, ''=d^2/dx^2)% untuk y(1)=x dan y(2)=x' maka y(1)'=y(2)% y(2('mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)

%memilih 0


5/38


Hasilnya,

s

0 5 10 15 20 25 30-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

sebuah grafik waktu dari penyelesaian secara dinamis.Untuk memperoleh akses pada data, guna membuat grafik bidang fase

yang dalam kasus ini adalah grafik y(2) terhadap y(1), dilakukan:

[t,y]=ode45('vdpol',tspan,yo); plot(y(:,1),y(:,2))

Hasilnya,

Tetapi tujuan kita pada bab ini bukan sesingkat ini tercapai, yang lebih

utama adalah untuk memahami bagaimana kasus-kasus ODE bisa diselesaikan dari

sisi perancangannya, sehingga saintis harus tahu metode dan aspekpemrogramannya.


6/38


Prinsip metode komputasi numerik untuk persamaan diferensial biasa

adalah menentukan solusi pada titik-titik, tn=tn-1+h,dimana h adalah lebar langkah

( atau interval waktu). Ada beberapa pemilahan tipe metode, diantaranya metode

Euler, metode Runge-Kutta, dan metode Predictor-Corrector. Berdasarkan kaku

tidaknya persamaan (stiff equation), ada kategori nonstiff equation, meliputimetode Euler, metode Runge-Kutta dan metode Predictor-Corrector. Sedangkan

kategori stiff equation meliputi metode implisit dan metode transformasieksponensial.

Dengan pertimbangan ragam pemahaman, pada bab ini ditelaah 3 macam

metode berdasarkan tingkatan kasus dan metode yang ditangani yaitu metodeSederhana Euler dan metode Runge-Kutta.

5.2 Metode EulerSecara umum, solusi persamaan diferensial dari persamaan (5.4) didekati

dengan keadaan awal, y(x=0)=y0. Lebih spesifik, sebenarnya bisa dianalisis padanilai y dengan sebarang x, misalnya 1.

Strategi umum pada metode sederhana ini adalah membagi interval [0,1]

menjadi sejumlah N pita, sehingga masing-masing lebar sub-interval adalah h=1/N,

kemudian membangun sebuah formula rekursi terkait yn pada { yn-1, yn-2,}

dimana yn adalah pendekatan pada y(xn=nh). Sebagaimana sebuah rekursi, polaintegrasi selangkah demi langkah pada persamaan diferensial dari x=0 sampai x=1.

Salah satu algoritma metode sederhana adalah metode Euler, dimana

persamaan (5.1) ditinjau pada titik xndengan pendekatan diferensiasi beda maju,seperti yang telah dibahas pada bab IV, sehingga

),()(1 nnnn yxfhO

h

yy (5.6)

sehingga relasi rekursi yn+1yang dinyatakan dalam bentuk ynadalah

)(),( 21 hOyxhfyy nnnn (5.7a)Atau ditulis

),(1 yxhfyy nn (5.7b)

Persamaan ini disebut rumus iterasi Euler. Misalnya suatu persamaan

diferensial biasa kita inginkan nilai solusinya melalui (xo,yo) di xp. Maka yangdilakukan adalah membagi selang antara xodan xpmenjadi n buah pita selebar h,sehingga diperoleh titik-titik xo,x1,x2,,xp.

Dengan pasangan (xo,yo) sebagai titik awal kita cari y1 yang absisnya

x1=x0+h, dengan menggunakan persamaan (5.7b). Selanjutnya dengan pasangan(x1,y1) sebagai titik awal kita cari y2 yang absisnya x2=x1+h. Proses ini berulang

hingga didapatkan yp yang absisnya xp.


7/38


Formula ini memiliki kesalahan lokal ( yang terjadi karena langkah tunggal

dari yn ke yn+1) sebesar O(h2). Kesalahan global yang terjadi dalam mencari y(1)

dengan memberikan sejumlah N langkah integrasi dari x=0 sampai x=1 sebesar N

kali O(h2) O(h). Dengan kata lain, mengingat sifat kesalahan komputasi maka

pemilihan h sangat menentukan hasil perhitungan.

Contoh 5a2Selesaikan set persamaan diferensial biasa berikut dengan metode Sederhana

dengan h=0,005dan h=0,0005 :

,'

,'

yz

zy

0)0(

1)0(

z

y

Solusi

Kalkulasi untuk langkah pertama dengan h=0,0005 ditunjukkan berikut ini.

:0,001t2

:0005,01

;00

t

t

00314,0)1)(0005,0(00157,0112

99999,0)00157,0)(0005,0(1112

00157,0)1)(0005,0(0001

0.1)0)(0005,0(1001

00

10

hyzz

hzyy

hyzz

hzyy

z

y

pada tabel dibawah disajikan hasil perhitungan untuk nilai-nilai t yang dipilihdibandingkan dengan solusi eksak, y=cos(t) dan z=-sin(t).

Eksak h=0,005 h=0,0005 t

y z y z y Z

0.5

1,5 2

3

6 8

0

-1

01

-1

11

-1

0

10

0

00

1,3E-4

-1,02497

-4,01E-41,05058

-1,07682

1,159541,21819

-1,01241

-2,67E-4

1,037705,48E-4

-8,43E-4

1,82E-32,54E-3

2,62E-6

-1,00247

-7,88E-61,00495

-1,00743

1,014911,01994

-1,00123

-5,25E-6

1,003711,05E-5

-1,58E-5

3,19E-54,27E-5

Dari hasil diatas menunjukkan bahwa kesalahan pada y bertambah dengan

pertambahan t, dan sebanding dengan h ( lihat bahwa nilai y untuk t=, 2, 3, 6dan 8: nilai z untuk t tersebut tidak mengikuti trend yang sama, karena ketika z

nol , kesalahan z secara signifikan dipengaruhi oleh pergeseran fase.


8/38


Algoritma Euler

Algoritma dari metode Euler mendefinisikanpendekatan nilai awal untuk

menyelesaikan kasus y=f(t,y) dengan y(a)=y0 pada selang [a,b] melalui proses

komputasi Yk+1 = yk + hf(fk,yk). Flowchart dan Algoritmanya sebagai berikut:

Gambar 5.1 Flowchart Metode Euler

For k = 0 to M-1.Input A,B Y(0) {Nilai awal dan nilai akhir}Input M {Banyaknya langkah}H := [B-A]/M {Lebar langkah}T(0):=A {Variabel awal}

For k = 0 to M-1.{Penyelesaian Euler yk-1}Y(k+1):= Y(k) + H*F(T(k),Y(k))


9/38


T(k+1):= A + H*[k+1]{Penyelesaian komputasi tk-1}

For k = 0 to MPrint T(k), Y(k) {Hasil}

Contoh 5bBuatlah program pendekatan komputasi numerik dengan metode Euler dari

persamaan diferensial dengan keadaan batas berikut,

1)0(,0)0(; yxydx

dy

Carilah solusinya untuk x=2.

Solusi

{$N+1}Program Euler_1;Uses wincrt;Const eps = 1e-3;Var x,x1,x2,y,y1,y2,fx,delx,delt,pita: Double;

n : Integer;BeginClrscr;Writeln;Write('':5,'Titik awal(xo,yo):');Readln(x1,y1);

Write('':5,'Titik akhir(x):');Readln(x2);Writeln;n:=0;delt:=100;Repeat

Beginn:=n+1;pita:=exp(n*Ln(2));delx:=(x2-x1)/pita;x:=x1;

y:=y1;While x


10/38


If n=1 Then Writeln('':5,pita:10:0,'':5,y:15)Else

Begindelt:=y-y2;

Writeln('':5,pita:10:0,'':5,y:15,'':5,delt:15);End;

y2:=y;End;

Until Abs(delt) < eps;Writeln;Writeln('':5,'Nilai fungsi di',x2:15,':','':5,y:15);Gotoxy(65,5); Write('Tekan ');Repeat Until Readkey= #27;End.

Hasil runing memberikan tampilan seperti pada gambar 5.2 di bawah.

Gambar 5.2. Hasil runing program Euler untuk contoh 5b

Terlihat solusi persamaan diferensial di titik x=2 memberikan hasil

7.388154 pada h=16.384 dengan tingkat ketelitian lebih 9.015991e4.. Meskipunmetode Euler kelihatannya cukup baik, tetapi secara umum tidak memuaskan

karena akurasinya rendah.Metode yang lebih tinggi satu klas dari kesederhanaannya bisa didapatkan

dengan menyertakan suku deret Taylor dengan turunan kedua, sehingga

persamaaan (5.7a) menjadi:

)(),('2

1),()( 321 hOyxfhyxhfyhxyy nnnnnnn

(5.8)


11/38


Atau ditulis2

21 )('')(')()( hxfhxfxfhxf (5.9)

Karena kita memiliki),()(' yff maka

),(')('' ff

Tetapi harus diingat bahwa untuk menghitung f(x,y) harus digunakan rumusberantai, yang dapat ditulis:

fy

f

x

f

x

y

y

f

x

fyx

dx

dfy nnn

),("

atau

dx

dyyxfyxfyxf yx ),(),(),('

),(),(),( yxfyxfyxf yx (5.10)

Sehingga sumus iterasinya menjadi:

),('2

1),( 21 yxfhyxhfyy nn

(5.11)

dan disebut iterasi Euler orde dua.Relasi rekursinya memiliki kesalahan lokal O(h

3) dan kesalahan global

O(h), satu tingkat lebih akurat daripada kesalahan pada metode Euler. Metode ini

sangat bermanfaat ketika f diketahui secara analitik dan cukup sederhana untukturunannya.

Contoh 5cBuatlah program pendekatan komputasi numerik dengan metode Euler orde dua

dari persamaan diferensial dengan keadaan batas seperti pada contoh 5.2.

SolusiProgram sama dengan program Euler_1, dengan menambah deklarasi variabel:

Var dx : Double;

dan merubah bagian fungsi sebagai berikut:{---dapat berubah sesuai bentuk fungsi----}

fx:= y;dx:= y;

{---------------------------------------}y:=y+fx*delx+dx*sqr(delx)/2;


12/38


Hasil runing diperlihatkan pada gambar 5.2 dibawah:

Gambar 5.3. Hasil runing program Euler orde dua untuk contoh 5c

Terlihat bahwa metode Euler orde dua lebih baik karena nilai solusi

persamaan diferensial didapatkan cukup pada h=256. Bandingkan dengan metode

Euler orde satu yang membutuhkan h=16384 untuk hasil dan ketelitian yang sama.

5.3 Metode Runge KuttaKekurangan utama dari metode Euler adalah tingkat akurasinya yang

rendah. Keadaan ini membuat kerugian ganda. Untuk mencapai tingginya akurasi

memerlukan h yang sangat kecil, disamping meningkatnya waktu komputasi dan

mengakibatkan terjadinya kesalahan pembulatan (round off error).Pada metode Runge-Kutta, tingkat akurasinya meningkat oleh penggunaan

titik-titik lanjutan pada tiap-tiap langkah interval. Akurasi yang lebih tinggi juga

memberikan implikasi kesalahan berkurang lebih cepat dibanding metode akurasi

tingkat rendah ketika h dikurangi.Tinjau persamaan diferensial biasa dengan nilai batas secara umum

dituliskan

),()(' tyfty ; 0)0( yy (5.19)

untuk menghitung 1ny pada htt nn 1 dengan nilai yn yang diketahui, kita

integrasikan persamaan (5.19) pada interval 1, nn tt sebagai

1

),(1

n

n

t

t

nn dttyfyy (5.20)

dimana dari aturan trapesium pendekatan untuk integral:

1

),(),(2

1),( 11

n

n

t

t

nnnn tyftyfhdttyf (5.21)


13/38


Ada beberapa macam metode Runge-Kutta, tetapi secara umum rumus

iterasinya dapat ditulis dalam bentuk:

),,(1 hyxfyy nnnn (5.22)dimana

mmnn kakakahyxf ...),,( 2211

nn xxh 1 dengan

)11,,1...22,111,1,1(

...

)222121,2(3

)111,1(2

);,(1

kmmmqmkqmkqmynhpmxnhfkm

kqkqynhpxnhfk

kqynhpxnhfk

ynnhfk

Berikut adalah macam metode Runge-Kutta berdasarkan orde:

Runge Kutta

Orde ke-

m ),,( hyxf nn

1ny

Satu

(Iterasi Euler)

1 11),,( kahyxf nn

),(11 nnnn yxhfayy

Dua

(Heun,a2=1/2)

maka a1=1/2

p1=q11=1

(Ralston,a2=2/3)

maka a1=1/3

p1=q11=3/4

(Poligon,a2=1)maka a1=0

p1=q11=1/2

2 2211),,( kakahyxf nn

)],(),(),([

)],(),([

11212

2112

nnnnynnx

nnnnnn

yxfyxfqayxfpah

yxfayfahy

),(

),(

)(

12

1

221

121

1

kyhxhfk

yxhfk

kkyy

nn

nn

nn

(5.23)

),(

),(

)2(

143

43

2

1

2131

1

kyhxhfk

yxhfk

kkyy

nn

nn

nn

(5.24)

),(

),(

121

21

2

1

21

kyhxhfk

yxhfk

ky

nn

nn

nn

(5.25)


14/38


Tiga 3

)2,(

),(

),(

)4(

213

121

21

2

1

32161

1

kkyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

kkkyy

nn

nn

nn

nn

(5.26)

Empat 4

),(

),(

),(

),(

)22(

34

221

21

3

121

21

2

1

432161

1

kyhxhfk

kyhxhfk

kyhxhfk

yxhfk

kkkkyy

nn

nn

nn

nn

nn

(5.27)

Algoritma Runge Kutta

Algoritma dari metode Runge-Kutta orde memiliki pendekatan nilai awal untukmenyelesaikan kasus y=f(t,y) dengan y(a)=y0pada [a,b] melalui proses komputasi

]22[6

43211 kkkkh

yy kk

MASUKAN A,B,Y(0) { Nilai awal dan nilaiakhir }MASUKAN M { Banyaknya langkah }H:= [B-A]/M { Lebar langkah }T(0):= A { Nilai awal }

For J = 0 to M-1T:= T(J) and Y:= Y(J) {Variabel LokalLocal}K1:= H*F(T,Y) {Nilai Fungsi pada tj}K2:= H*F(T+H/2,Y+.5*K1){Nilai Fungsi pada tj+1/2}K3:= H*F(T+H/2,Y+.5*K2) {Nilai Fungsi pada at

tj+1/2}K4:= H*F(T+H,Y+K3) {Nilai Fungsi pada tj+1}

Y(J+1):=Y+[K1+2K2+2K3+K4]/6 {Batas f(t,y)}

T(J+1):=A+H*(J+1) {Nilai Yang Dihasilkan}

For J=0 to M {Hasil}PRINT T(J),Y(J)

Algoritma dan Flowchart yang disertakan disini hanya untuk Runge Kutta

orde empat saja. Dengan flowchart metode Runge-Kutta orde 4 seperti padaGambar 5.4


15/38


Gambar 5.4 Flowchart Metode Runge-Kutta Orde 4

Contoh 5dBuatlah program menggunakan metode Runge Kutta Orde dua dan evaluasi

hasilnya untuk t=10 detik untuk kasus penerjun payung seperti pada contoh 4c,

dengan cara menyelesaikan persamaan diferensial yang terjadi dari hubungan:

dt

tdhtv

)()(

dengan titik awal (0,0) ketika penerjun meninggalkan pesawat.

SolusiProgram berikut menggunakan metode Heun dengan iterasi Runge-Kutta orde dua

pada persamaan (5.23).


16/38


Program RungeKutta2_Heun;Uses wincrt;Const eps = 1e-3;

Type Koef = Array[1..4] of Real;Var k : Koef;

xx,x1,x2,x,yy,y1,y2,y,fx,delx,delt,pita: Real;i, n : Integer;

BeginClrscr;Writeln;Write('':5,'Titik awal(xo,yo):');Readln(x1,y1);Write('':5,'Titik akhir(x):');Readln(x2);Writeln;

n:=0;delt:=100;Repeat

Beginn:=n+1;pita:=exp(n*Ln(2));delx:=(x2-x1)/pita;xx:=x1;yy:=y1;

While xx


17/38


End;If n=1 ThenWriteln('':5,pita:10:0,'':5,yy:15)

Else

Begindelt:=y-y2;

Writeln('':5,pita:10:0,'':5,yy:15,'':5,delt:15);End;

y2:=yy;End;

Until Abs(delt) < eps;Writeln;Writeln('':5,'Nilai fungsi di',x2:15,':','':5,yy:15);Gotoxy(65,5); Write('Tekan ');

Repeat Until Readkey= #27;End.

Ketika program diruning, memberikan solusi sebagai berikut:

Gambar 5.5 Hasil runing program runge-Kutta orde dua untuk contoh 5d

Contoh 5eEvaluasi kasus contoh 5.4 dengan program menggunakan metode Runge-Kutta

orde dua Poligon, metode Runge-Kutta orde tiga dan orde empat !


18/38


Solusi[a] Dari iterasi Poligon metode Runge-Kutta orde Dua pada persamaan (5.25),

maka program dimodifikasi sebagai berikut:

1. Deklarasi Type dan Variabel dari format Real dibawa pada format Double:

Type Koef = Array[1..4] of Double;Var xx,x1,x2,x,yy,y1,y2,y,fx,delx,delt,pita: Double;

2. Implementasi iterasi Poligon dibawah bentuk fungsi ditulis:If i = 1 Then

Beginx:=xx+delx/2;y:=yy+k[i]/2;End;

End;xx:=xx+delx;yy:=yy+k[2];

End;

[b] Berdasarkan formulasi iterasi Runge-Kutta orde tiga yang diberikan olehpersamaan (5.26) maka program contoh 5.4 dimodifikasi sebagai berikut:


2. Implementasi iterasi Runge-Kutta orde tiga, ditulis:

For i:=1 To 3 DoBegin

{--dapat berubah sesuai bentuk fungsi---}fx:=1-exp(-12.5*x/68.1);fx:=fx*9.8*68.1/12.5;

{---------------------------------------}k[i]:= delx*fx;

Case i of1: Begin

x:=xx+delx/2;

y:=yy+k[i]/2;End;2: Begin

x:=xx+delx;y:=yy k[1]+2*k[2];

End;End;xx:=xx+delx;yy:=yy+(k[1]+4*k[2]+k[3])/6;

End;


19/38


[c] Dari formulasi iterasi Runge-Kutta orde empat pada persamaan (5.27), maka

program dimodifikasi sebagai berikut:


2. Implementasi iterasi Runge-Kutta orde empat, ditulis:

For i:=1 To 4 DoBegin

{-- dapat berubah sesuai bentuk fungsi----}fx:=1-exp(-12.5*x/68.1);fx:=fx*9.8*68.1/12.5;

{-----------------------------------------}k[i]:= delx*fx;If i in [1..2] ThenBegin

x:=xx+delx/2;

y:=yy+k[i]/2;EndElseIf i = 3 Then

Beginx:=xx+delx;y:=yy+k[3];

End;End;xx:=xx+delx;yy:=yy+(k[1]+2*(k[2]+k[3])+k[4])/6;

End;

Setelah diruning dari modifikasi program seperti diatas, memberikan solusi

berturut-turut ditampilkan pada Gambar 5.6, 5.7, dan 5.8 sebagai berikut.

Gambar 5.6 Hasil runing program Poligon untuk Runge-Kutta Orde Dua


20/38


Gambar 5.7 Hasil runing program Runge-Kutta Orde Tiga

Gambar 5.8 Hasil runing program Runge-Kutta Orde Empat

Dari 3 metode yang digunakan terlihat metode poligon Runge-Kutta orde

dua membutuhkan pita sejumlah 512, metode Runge-Kutta orde tiga dan orde

empat membutuhkan 16 pita. Artinya, metode Runge-Kutta orde tiga dan empatlebih cepat untuk mendapatkan hasil yang akurat dibanding metode Euler, dan

metode Runge-Kutta orde dua.

Dengan menyertakan suku-suku dengan orde tinggi pada uraian deret

Taylor maka kesalahan karena pemenggalan akan menjadi kecil, tetapi kesalahankaren pembulatan akan semakin besar. Meskipun Runge-Kutta orde tiga hasilnya

sudah jauh lebih cepat dari orde-orde sebelumnya, tetapi yang lazim dipakai adalah

orde ke-empat, yaitu yang menyertakan suku dengan orde empat.Dibanding dengan rumus iterasi Runge-Kutta sebelumnya, pada Runge-

Kutta orde empat bentuknya lebih sederhana karena tampak adanya penjalaran

yang teratur dalam menemukan titik (xn+1,yn+1) dari titik awal (xn,yn).

Contoh 5fSebuah kapasitor yang tidak bermuatan dihubungkan secara seri dengan sebuah

resistor dan baterry, seperti pada Gambar 5.9 (Supriyanto,2008). Diketahui = 12


21/38


volt, C = 5.00 F dan R = 8.00 105 . Saat saklar dihubungkan (t=0), muatanbelum ada (q=0).Hitunglah besar pemuatan q . dari t=0.0 s/d t=1.0 , jika perubahan jumlah muatan

persatuan waktu adalah sebagai berikut:

RC

q

Rdt

dq

(5.28)

Solusi:

Solusi exact persamaan (5.28) adalah

)1()( /RCteksak eCtqq (5.29)

Anda bisa lihat semua suku di ruas kanan persamaan (5.28) tidak mengandung

variabel t. Padahal persamaan-persamaan turunan pada contoh sebelumnyamengandung variabel t.

Gambar 5.9 Rangkaian RC

Apakah persamaan (5.28) tidak bisa diselesaikan dengan metode Runge-Kutta?Belum tentu.

Sekarang, kita coba selesaikan, pertama kita nyatakan

5105.11 xm

dan 25.01

2 C

m

sehingga persamaan (5.28) dimodifikasi menjadi

21)( mqmqfdt

dqii ; ihati


22/38


Jika t0 = 0, maka a = 0, dan pada saat itu (secara fisis) diketahui q0= 0.0. Lalu jika

ditetapkan h = 0.1 maka t1 = 0.1 dan kita bisa mulai menghitung k1 dengan

menggunakan q0 = 0.0 walaupun t1tidak dilibatkan dalam perhitungan ini

)( 01 qhfk

5

5

201

10150.0

))25.0)(0.0()105.1(1.0

)(

x

x

mqmh

lalu menghitung k2

)2

( 102k

qhfk

5

55

21

01

1014813.0

)]25.0)(2

1015.0)0.0(()105.1[(1.0

)])

2

([(

x

xx

mk

qmh

dilanjutkan dengan k3

)2

( 203k

qhfk

5

55

22

01

1014815.0

)]25.0)(2

1014813.0)0.0(()105.1[(1.0

)])2

([(

x

xx

mk

qmh

kemudian k4

)( 304 kqhfk

5

55

2301

1014630.0

)]25.0)(1014815.0)0.0(()105.1[(1.0

)])([(

x

xx

mkqmh

akhirnya diperoleh q1

)22(6

1432101 kkkkqq

5

5

1014814.0

10)14630.0)14815.0(2)14813.0(2150.0(6

10.0

x


23/38


Selanjutnya q2dihitung. Tentu saja pada saat t2, dimana t2= 0,2, namun sekali lagi,

t2tidak terlibat dalam perhitungan ini. Dimulai menghitung k1 kembali

)( 11 qhfk

5

55

211

1014630.0

))25.0)(1014814.0()105.1(1.0

)(

xx

mqmh

lalu menghitung k2

)2

( 112k

qhfk

5

555

21

11

1014447.0

)]25.0)(2

1014630.0)1014814.0(()105.1[(1.0

)])2

([(

x

xxx

mk

qmh

dilanjutkan dengan k3

)2

( 213k

qhfk

5

555

2

2

11

1014449.0

)]25.0)(2

1014447.0)1014814.0(()105.1[(1.0

)])2([(

x

xxx

m

k

qmh

kemudian k4

)( 314 kqhfk

5

555

2311

1014268.0

)]25.0)(1014447.0)1014814.0(()105.1[(1.0

)])([(

x

xxx

mkqmh

akhirnya diperoleh q2

)22(6

1432112 kkkkqq

5

55

1029262.0

10)14268.0)14449.0(2)14447.0(214630.0(6

11014814.0

xx


24/38


Dengan cara yang sama, q3, q4, q5dan seterusnya dapat dihitung.

Langkah hitung diatas kurang efisien, dan berikut ini adalah program dalam matlab

yang dipakai untuk menghitung q

% fungsif.mfunction y=fungsif(q)E=12; % tegangan (volt)R=800000; % hambatan (ohm)C=5e-6; % kapasitansi (farad)m1=E/R;m2=1/(R*C);y=m1-(m2*q);

%Qmuatan.mclear all

clcformat longb=1; % batas akhir intervala=0; % batas awal intervalh=0.1; % interval waktuN=(b-a)/h; % nilai step-sizeq0=0.0; % muatan mula-mulat0=0.0; % waktu awal

% perubahan t sesuai step-size h adalah:for i=1:N

t(i)=a+(i*h);end% solusinya:k1=h*fungsif(q0);k2=h*fungsif(q0+k1/2);k3=h*fungsif(q0+k2/2);k4=h*fungsif(q0+k3);q(1)=q0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);for i=2:N

k=i-1;k1=h*fungsif(q(k));k2=h*fungsif(q(k)+k1/2);k3=h*fungsif(q(k)+k2/2);

k4=h*fungsif(q(k)+k3);q(i)=q(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);endq

Hasil runningHasil running dan perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode

Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.29) adalah

sebagai berikut:


25/38


Hasil dari program memberikan nilai yang sesuai dengan hasil eksaknya. Hal inidapat dilihat pada Gambar 5.10 yang memperlihatkan kurva yang berada pada

lintasan pemuatan q terhadap waktu t yang sama.

Gambar 5.10 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t

Contoh tadi tampaknya dapat memberikan gambaran yang jelas bahwa metode

Runge-Kutta Orde Empat dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengantingkat akurasi yang lebih tinggi dan tidak harus mengandung variabel t.


26/38


::: Studi Kasus Fisika 07:::Sistem Massa Pegas

Sebuah kotak kubus bermassa M=0,5 kg terikat pada ujung bawah sebuahtali tak bermassa. Pada ujung tali atas diikatkan pada tiang diam. Kubus menerima

resistansi R= -B dy/dtndari udara, dimana B adalah konstanta damping (lihatgambar 5.11). persamaan geraknya adalah:

,02

2

kyydt

dBy

dt

dM 0)0(',1)0( yy (5.27)

dimana y adalah perpindahan dari posisi statis, k adalah konstanta pegas sebesar100 kg/det

2, dan B=10 kg/det.

Hitunglah menggunakan metode Runge Kutta orde kedua:

(a)

y(t) untuk 0


27/38


(a) Untuk n=1: t=0,025

5,2)]01(200)50(20[025,0

)])(200)(20[(),,((

125,0)50(025,0)(),,((

5))1(200)0(20(025,0)20020(),,(

0)0(025,0),,(

1010110102

10010102

000001

00001

kylzhtlzkyhgl

lzhtlzkyhfk

yzhtzyhgl

hztzyhfk

75,3)5,25(

2

1

9375.0)125,00(2

1

01

01

zz

yy

untuk n=2: t=0,05

8125,2

))9375.0(200)75,3(20(025,0)20020(),,(

09375,0)75,3(025,0),,(

111111

11112

yzhtzyhgl

hztzyhfk

9375,0)]093750,09375,0(200)8125,275,3(20[025,0

)](200)(20[(),,((

1640625,0)8125,275,3(025,0)(),,((

1111111112

11111112

kylzhtlzkyhgl

lzhtlzkyhfk

625,5)9375,08125,2(2

1

80859.0)1640625,009375,0(2

1

12

12

zz

yy

Program dalam C# include #include #include

/* waktu: ty, z: y, ykount: jumlah langkah antara 2 jalur yang dicetakk, m, b: k, M(massa), B(koefisien damping) */

main(){int kount, n, kstep=0;float bm, k1, k2, km, l1, l2;static float time, k=100.0, m=0.5, b=10.0, z=0.0


28/38


static float y= 1.0, h=0,001;printf( Hasil Komputasi Metode Runge Kutta Orde Kedua

\n);printf( t y z\n);printf( %12.6f %12.5e %12.5e \n, time,

y, z);km= k/m;bm=b/m;for ( n=1; n


29/38


::: Studi Kasus Fisika 08 :::Rangkaian RLC

Sebuah rangkaian ditunjukkan pada gambar 5.12 memiliki induktansi diriL=50H, resistensi R=20 ohm, dan sumber tegangan V=10 volt. Jika saklar ditutup

pada t=0, arus I(t) memenuhi

,)()( EtRItIdt

dL 0)0( I (5.23)

Pada kasus ini kita akan menentukan arus listrik yang mengalir untuk 0 t 10detik menggunakan metode Runge Kutta orde kedua dengan h=0,1

Solusi:

Persamaan (5.23) dituliskan kembali dalam bentuk

),()()( tIfL

EtI

L

RtI

dt

d (5.24)

kemudian metode Runge Kutta orde dua menjadi:

Gambar 5.12 Rangkaian Listrik

)21(2

1

)1(2

1

1 kkII

L

EkInL

Rhk

L

EI

L

Rhk

nn

Komputasi untuk dua langkah diperlihatkan sebagai berikut:

:)1,0(0 tn


30/38


0196,0)0192,002,0(2

1

00)21(2

1

0192,002,0)02,00)(4,0(1,02

02,02,0)0)(4,0(1,01

01

kkII

k

k

:)1,0(0 tn

038431,0)018447,0019216,0(2

10196,0)21(

2

1

018447,002,0)019216,00196,0)(4,0(1,02

019216,02,0)0196,0)(4,0(1,01

12

kkII

k

k

Hasil akhir komputasi (sampai 10 langkah) sebagai berikut:

t(detik) I(amp) t(detik) I(amp)0

12

3

4

5

0

0,16480,2752

0,3493

0,3990

0,4332

6

78

9

10

( )

0,4546

0,46950,4796

0,4863

0,4908

(0,500)

::: Studi Kasus Fisika Khusus :::Getaran Selaras Tergandeng

Dalam berbagai bidang kajian fisika, sering dijumpai dua getaran ataulebih yang membentuk sistem getaran baru yang disebut getaran tergandeng [lihat

5.13]. Jonte Bernhard (1997) menyatakan getaran tergandeng (coupled harmonic

oscillator) sebagai upper level dalam kajian mekanika dan modus vibrasi pada

getaran tergandeng memiliki peranan yang sangat penting di dalam sains danteknik.

Gambar 5.13. Getaran Tergandeng


31/38


Ketika meninjau fenomena fisis getaran tergandeng yang terjadi pada dua

buah titik massa (M) yang keduanya dihubungkan oleh sebuah pegas yang

berfungsi sebagai gaya pemulih harmonik (harmonic restoring force) dan

perpindahan posisi untuk benda pertama dan kedua berturut-turut adalah x1dan x2,

memberikan dua persamaan gerakan, yaitu

- m2

1

2

dt

xd- 0)( 1211 xxCxC (5.25a)

dan

- m2

2

2

dt

xd- 0)( 1222 xxCxC , (5.25b)

dengan C 1 dan C 2 adalah tetapan-tetapan gaya yang bergantung pada panjang

masing-masing pendulum, dengan C 1C 2 , dan C adalah konstanta pegas (Schmid

dkk, 1990 dan Arafah, 2001).Wospakrik (1993) menyebutnya sebagai fenomena fisika yang terumuskan

sebagai turunan atau derivatif besaran sistem terhadap variabel bebas yang

bersangkutan, dan Soegeng (1993) menyatakan sebagian besar persoalan ini sangatrumit untuk dipecahkan dan memerlukan pengetahuan mendalam mengenai bidang

yang ditelaah dan matematika lanjut mengenai persamaan diferensial. Secara

analitik kedua persamaan di atas sangat tidak mungkin diselesaikan dengan metodeapapun untuk memberikan suatu solusi pada satu keadaan tertentu kecuali

diperlakukan keadaan khusus menjadi getaran selaras sederhana, yang solusinya

masih berupa fungsi.

Dari kedua persamaan getaran selaras tergandeng (5.25a) dan (5.25b) dapat

dituliskan menjadi:

211

2

1

2

xM

Cx

M

CC

t

x

(5.26a)

22

12

2

2

xM

CCx

M

C

t

x

(5.26b)

jika kita lakukan modifikasi pada bentuk diferensiasi dibawah ini:

11 zt

x

dan 22 zt

x

(5.27)

maka persamaannya menjadi:

2111 x

M

Cx

M

CC

t

z

(5.28a)

22

12 x

M

CCx

M

C

t

z

(5.28b)


32/38


Persamaan (5.25) s/d (5.28) diatas yang akan diimplementasikan dalam metode

Euler, Runge Kutta orde dua, tiga dan empat. Sebagai pembandingnya metode

analitik khusus yang flowchart-nya [lihat 5.14] berikut:

Gambar 5.14 Flowchart Metode Analitik Khusus

Script program dalam TPW1.5 ini memuat metode Euler dan Runge Kutta orde

empat, prosedure untuk Runge Kutta orde dua s/d tiga dipenggal :program osilasi_harmonik_tergandeng;uses wincrt;vark1,l1,m1,n1,k2,l2,m2,n2,k3,l3,m3,n3,k4,l4,m4,n4,M,c,c1,c2,h,t,ta,z1,z2,x1,x2,xx1,xx2,x01,x02,z01,z02:extended;i:integer;osilasi:text;Procedure Analitik_khusus;begint:=0;x1:=x01;x2:=x02;z1:=z01;z2:=z02;writeln(osilasi,'metode analitik untuk keadaan khusus');writeln(osilasi);writeln(osilasi,' t(detik) x1(meter)

x2(meter) ');writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);


33/38


repeatx1:=x01*cos(t*sqrt(c1/M))+z01*sqrt(M/c1)*sin(t*sqrt(c1/M));x2:=x02*cos(t*sqrt(c2/M))+z02*sqrt(M/c2)*sin(t*sqrt(c2/M));t:=t+h;writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);until t>ta;End;procedure Euler;Begint:=0;x1:=x01;x2:=x02;z1:=z01;z2:=z02;writeln(osilasi,'metode Euler');writeln(osilasi);writeln(osilasi,' t(detik) x1(meter) x2(meter) ');writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);

repeatk1:=h*z1;l1:=h*(-(c1+c)*x1/M+c*x2/M);m1:=h*z2;n1:=h*(c*x1/M-(c2+c)*x2/M);x1:=x1+k1;z1:=z1+l1;x2:=x2+m1;z2:=z2+n1;t:=t+h;writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);

until t>ta;End;{ program telah dipenggal disini !!}procedure Runge_Kutta_Orde_Empat;begint:=0;x1:=x01;x2:=x02;z1:=z01;z2:=z02;writeln(osilasi,'metode Runge-Kutta orde 4');writeln(osilasi);writeln(osilasi,'t(detik) x1(meter) x2(meter) ');

writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);repeatk1:=h*z1;l1:=h*(-(c1+c)*x1/M+c*x2/M);m1:=h*z2;n1:=h*(c*x1/M-(c2+c)*x2/M);k2:=h*(z1+l1*0.5);l2:=h*(-(c1+c)*(x1+k1*0.5)/M+c*(x2+m1*0.5)/M);m2:=h*(z2+n1*0.5);n2:=h*(c*(x1+k1*0.5)/M-(c2+c)*(x2+m1*0.5)/M);


34/38


k3:=h*(z1+l2*0.5);l3:=h*(-(c1+c)*(x1+k2*0.5)/M+c*(x2+m2*0.5)/M);m3:=h*(z2+n2*0.5);n3:=h*(c*(x1+k2*0.5)/M-(c2+c)*(x2+m2*0.5)/M);k4:=h*(z1+l3);l4:=h*(-(c1+c)*(x1+k3)/M+c*(x2+m3)/M);m4:=h*(z2+n3);n4:=h*(c*(x1+k3)/M-(c2+c)*(x2+m3)/M);x1:=x1+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;z1:=z1+(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x2:=x2+(m1+2*m2+2*m3+m4)/6;z2:=z2+(n1+2*n2+2*n3+n4)/6;t:=t+h;writeln(osilasi,' ',t:5:4,' ',x1,' ',x2);until t>ta;End;

beginM:=2; c1:=30; c2:=40; c:=0; x01:=4; x02:=5; z01:=0;z02:=40;h:=0.1; ta:=2;{ta = t akhir}assign(osilasi,'fisika.txt');rewrite(osilasi);analitik_khusus;writeln(osilasi);Euler;writeln(osilasi);Runge_Kutta_Orde_Dua;writeln(osilasi);Runge_Kutta_Orde_Tiga;

writeln(osilasi);Runge_Kutta_Orde_Empat;Close(osilasi);End.

Hasil Running

Data hasil running didapatkan untuk analisis kasus yang dilakukan dengancara memvariasikan nilai konstanta pegas (C), besarnya tetapan gaya yang bekerja

pada massa benda pertama (C1), tetapan gaya pada benda kedua (C2), lebar langkah

(h), dan kelajuan awal (Z01).Pada kasus khusus C=0 yang diamati hanya untuk perpindahan pendulumpertama yang tidak diberikan kelajuan awal dan ketika lebar langkah h=0,1. Hasil

yang diperoleh dengan metode Euler jauh menyimpang dari hasil analitiknya,

sedangkan metode Runge-Kutta menunjukan hasil yang mendekati nilaianalitiknya. Keakuratan hasil yang diperoleh bertambah baik dengan bertambahnya

orde metode Runge-Kutta, sehingga metode Runge-Kutta orde empat lebih baik

daripada metode lain yang digunakan. Amati pada Gambar 5.15.


35/38


Gambar 5.15. Simpatetik dengan (M= 2 kg, C1= 30 N/m, C2= 40 N/m,

C= 0 N/m, h= 0.1, Z01= 10 m/s)

Ketika digunakan nilai lebar langkah h=0,001, dan hasil yang diperoleh untuk

setiap metode memberikan nilai yang hampir sama dengan nilai analitiknya.Amati

Gambar 5.16.

Gambar 5.16. Simpatetik dengan (M= 2 kg, C1= 30 N/m,

C2= 40 N/m, C= 0 N/m, h= 0.001)

Pada kopling lemah (C1=C2, C=C1/10), hal ini menyebabkan setiap pendulummemiliki kesempatan yang lebih besar untuk terus bergetar secara bergantian

seperti pada Gambar 5.17.


36/38


Gambar 5.17. Simpatetik dengan Kopling Lemah (M= 2 kg,

C1=C2= 40 N/m, C= 4

Tidak demikian halnya dengan kopling kuat (C1=C2, C=10C1), sehingga

menyebabkan kedua pendulum tidak bisa bergerak bebas sendiri-sendiri seperti

pada Gambar 5.18.

Gambar 5.18 Simpatetik dengan Kopling Kuat (M= 2 kg,C1=C2= 40 N/m, C= 400 N/m )

Hal lain yang terjadi ketika nilai tetapan gaya adalah (M= 2 kg, C 1=C2= 40 N/m,

C= 10 N/m) dan simpangan awal masing-masing pendulum diatur yakni untukpendulum pertama adalah 5m dan untuk pendulum kedua adalah 8m dan t= 5.5 s,

keadaan ini menghasilkan suatu getaran yang harmonis seperti tampak pada

Gambar 5.19. Keadaan ini disebut eigen-oscillation atau swa getaran (Schmid,

1990).


37/38


Gambar 5.19. Simpatetik dengan Kopling Sedang (M= 2 kg,C1=C2= 40 N/m, C= 10 N/m )

Penerapan metode komputasi Euler dan Runge-Kutta orde dua sampai orde empat

memberikan solusi pendekatan numerik yang mendekati nilai analitik untuk h=0.001. Metode Runge-Kutta merupakan metode yang lebih baik ketelitiannya

dibandingkan dengan metode Euler

5.4 SOAL-SOAL

(1) Selesaikan persamaan diferensial biasa berikut dalam 0 t5 menggunakanmetode Euler, dengan h=0.5

),('

3'

,1'

2 yty

eyy

tyy

t

5,0)0(

1)0(

1)0(

y

y

y

(2) Tanki kanonik berisi air dengan ketinggian 0,5m dari dasar. Tanki memiliki

lubang dengan radius 0,02m pada dasarnya. Radius tanki dalam y diberikanoleh r=0,25y, dimana r adalah radius dan y adalah ketinggian yang diukur

dari dasar tanki. Kecepatan air yang mengalir melalui lubang diberikan oleh

v2=2gy dimana g=9,8 m/det2. Menggunakan metode Euler ( gunakan

h=0,001 detik), tentukan berapa menit tanki menjadi kosong.(3) Buatlah program menggunakan metode Euler1 dan evaluasi hasilnya untuk

t=10 detik untuk kasus penerjun payung seperti pada contoh 4.3, dengan cara

menyelesaikan persamaan diferensial yang terjadi dari hubungan:


38/38

dt

tdhtv

)()(

dengan titik awal (0,0) ketika penerjun meninggalkan pesawat.

(4)

Hitunglah y(2) untuk persamaan berikut dengan metode Runge Kutta ordepertama, dengan h=1.

1)0(,'2

yyt

yy

(5) Masalah nilai awal pada persamaan diferensial biasa diberikan oleh

0)0('')0('

1)0(,'''

yy

yyy

Gunakan metode Runge Kutta orde kedua dengan h=0,2, hitunglah y(0,4) dan

y(1).

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Methods for Engineers, McGraw-Hill,

1998

Gear, C. W.,Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations,Prentice-Hall, 1971

Hall, G and J.M Watt, Modern Numerical Methods for Ordinary Differential

Equations, Clarendon Press, 1976Hanselman,D and Littlefield, B, Matlab Bahasa Komputasi Teknis, Penerbit AndiYogyakarta, 2000

Koonin, S.E., Computational Physics, Addison-Wesley Inc, 1986

Mathews, J.H., Numerical Methods for Mathematics, Science and Engineering,Prentice-Hall Inc., 1992

Nakamura, S.,Applied Numerical Methods in C, Prentice-Hall Inc. 1993

Sulaiman,H dan Warsito,A, Kajian Fenomena Fisis Getaran Selaras TergandengDengan Metode Euler dan Runge-Kutta, Fisika FST, 2008

Supriyanto, S,Komputasi untuk Sains dan Teknik, Departemen Fisika UI, 2008

bab5_masalah nilai awal persamaan diferensial biasa

Documents