prosiding leli supiani

7/24/2019 prosiding leli supiani

1/9

1

MENENTUKAN PANJANG GARIS TINGGI PADA SEGITIGA DENGAN

MENGGUNAKAN KONSEP KESEBANGUNAN

Leli Supiani1*, Mashadi2, Sri Gemawati2

1Mahasiswa Program Studi Magister Matematika2Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau

Kampus Binawidya 28293 Indonesia

*[email protected]

ABSTRAK

Dalam berbagai buku teks pada umumnya menentukan garis tinggi dapat dengan

mudah dilakukan dengan menggunakan dalil phytagoras. Hal ini disebabkankarena untuk garis tinggi, kita senantiasa mempunyai sudut siku-siku. Pada tulisan

ini akan diberikan berbagai alternatif menentukan panjang garis tinggi dengan

menggunakan konsep kesebangunan.

Kata kunci: Garis Tinggi dan Kesebangunan.

1. PENDAHULUAN

Misalkan terdapat segitiga sembarang, apabila garis ditarik dari masing-

masing titik sudut segitiga tegak lurus kesisi hadapannnya maka garis itu disebutgaris tinggi [2,3,5 dan 6]. Garis tinggi tegak lurus dengan sisi didepannya

sehingga garis tinggi membentuk sudut siku-siku terhadap sisi dihadapannya.

Pada pembuktian sebelumnya mencari panjang garis tinggi yang dilakukan

adalah menggunakan dalil phytagoras [8 dan 4].

Garis tinggi merupakan bagian dari garis-garis istimewa yang terdapat dalam

segitiga [2,3,5 dan 6]. Berbagai alternatif pembuktian tentang garis istimewa

banyak kita temukan sebelumnya, Salah satunya seperti yang telah dilakukan oleh

G.W Indika Shamera Amarasinghe yang memaparkan pembuktian tentang garis

bagi dalam jurnalnya yang berjudul On The Standart Lenght Of Angle Bisector

And The Angle Bisector Theorem [7]. Oleh karena itu merujuk pada artikel

tersebut maka penulis akan memberikan berbagai alternatif pula untuk

menentukan panjang garis tinggi menggunakan konsep kesebangunan.

Pembuktian ini akan diperlihatkan pada dua kasus segitiga sembarang yaitu

segitiga lancip dan segitiga tumpul.
mailto:*[email protected]:*[email protected]:*[email protected]


2/9

2

Teorema 1.1 Misalkan kita punya seperti terlihat pada gambar di bawah

ini:

Gambar 1

Misalkan dan sebut dan dan

masing-masing adalah garis tinggi dari titik dan . Dengan

maka berlaku:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2. ALTERNATIF PERTAMA MENURUNKAN RUMUS GARIS TINGGI

DENGAN KESEBANGUNAN

2.1 Kasus Segitiga Lancip

Misalkan pada segitiga di bawah ini, ketiga titik sudut dihubungkan

sehingga terbentuk lingkaran luar, dan dari titik sudut ditarik garis tinggi kesisi

hadapannya yaitu , selain itu pada titik juga ditarik garis tengah atau

diameter lingkaran seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 2

O


3/9

3

Bukti:

Misalkan dan maka:

CAB =CEB (menghadap busur yang sama), CDA =CBE ( siku-siku = ),

maka sehingga

(2.1.1)

Subtitusikan nilai R ke (2.1.1), Dengan demikian didapat rumus garis tinggi yaitu:

( )( )( )

cara yang sama juga dapat dilakukan untuk menentukan panjang dan

2.2

Kasus Segitiga Tumpul

Misalkan tumpul , ketiga titik sudut dihubungkan sehingga

terbentuk lingkaran luar, dan dari titik sudut ditarik garis tinggi kesisi

hadapannya yaitu , selain itu pada titik juga ditarik garis tengah atau

diameter lingkaran seperti terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 3

Bukti:

Misalkan dan maka:

( menghadap busur yang sama), ( siku-siku =

), maka sehingga

(2.1.1)

Subtitusikan nilai R ke (2.1.1) Dengan demikian didapat rumus garis tinggi yaitu:

O


4/9


5/9

5

, (karena HF dan BC paralel) sehingga,

maka

, dengan mensubtitusikan (3.1.3) didapat:

()

(3.1.5)

dengan mensubtitusikan (3.1.3) dan (3.1.4) didapat:

() (3.1.6)

Dengan mensubtitusikan (3.1.6) ke (3.1.5), maka didapat:

(3.1.7)

sehingga ( )( ) Dengan mensubtitusikan

(3.1.7), maka didapat ()()()()

Karena

,

Dengan demikian didapat ()()()

cara yang sama juga dapat

dilakukan untuk menentukan panjang dan

3.2 Kasus Segitiga Tumpul

Misalkan tumpul ditarik garis tinggi dari titik seperti

terlihat pada gambar di bawah ini:

Gambar 5

adalah paralelogram karena dan , jadi

dan sehingga dan , dengan

demikian dan

dan

adalah garis bagi, oleh karena itu:

(

()) (3.2.1)

Karena AF adalah sisi dihadapan garis bagi maka:

(3.2.2)


6/9

6

(karena HF dan BC paralel), sehingga,

maka

dengan mensubtitusikan (2) didapat

(3.2.3) , sehingga, maka

, dengan mensubtitusikan (1) dan (3) didapat:

()

() (3.2.4)


maka

, dengan mensubtitusikan (3.2.3) didapat:

() (3.2.5)

dengan mensubtitusikan (3.2.3) dan (3.2.4) didapat:

() (3.2.6)

Dengan mensubtitusikan Subtitusi (3.6) ke (3.5), maka didapat:

(3.2.7)

sehingga ( )( )

Dengan mensubtitusikan (3.2.7), maka didapat:

()()()()

Karena

, Dengan demikian didapat:

()()()

, cara yang sama juga dapat dilakukan untuk menentukan

panjang dan

4. ALTERNATIF KETIGA MENURUNKAN RUMUS GARIS TINGGI

DENGAN KESEBANGUNAN

4.1 Kasus Segitiga LancipKita masih menggunakan Gambar 4, namun kita akan mencoba menggunakan

cara yang lain.

Bukti:

, sehingga, maka

sehingga didapat:

(4.1.1)

Dengan memperhatikan maka didapat:


7/9

7

sin

(4.1.2)

Dengan mensubtitusikan (4.2) ke (4.1) maka didapat:

sin

(4.1.3)Masih menggunakan maka didapat:

()

(4.1.4)


maka

, dengan mensubtitusikan (4.1.3) maka

dengan mengkuadratkan kedua ruas didapat:

(4.1.5)

Dengan menggunakan persamaan (3.1.1) dan (3.1.3) pada poin 3 maka didapat:

()()()()

Karena

, Dengan demikian didapat,

()()()


panjang dan

4.2 Kasus Segitiga Tumpul

Kita masih menggunakan Gambar 5, namun kita akan mencoba menggunakan

cara yang lain.

Bukti:

, sehingga, maka

sehingga,

(4.2.1)

Dengan memperhatikan

maka didapat:

sin

(4.2.2)

Dengan mensubtitusikan (4.2.2) ke (4.2.1) maka didapat:

sin

(4.2.3)

Masih menggunakan maka didapat:

()

(4.2.4)


8/9

8


maka

, dengan mensubtitusikan (4.2.3) maka

dengan mengkuadratkan kedua ruas didapat:

(4.2.5)

Dengan menggunakan persamaan (3.2.1) dan (3.2.3) pada poin 3 maka didapat:

()()()()

Karena

, Dengan demikian didapat,

()()()


panjang dan

5.

KESIMPULAN

Dalam artikel ini dapat disimpulkan bahwa terdapat tiga cara dalam menentukan

panjang garis tinggi menggunakan konsep kesebangunan yaitu: menggunakan

jari-jari lingkaran luar segitiga dan menarik garis sejajar. Namun, dengan menarik

garis sejajar ini dapat dilakukan dengan dua cara dan kedua cara tersebut sama-

sama menggunakan konsep garis bagi.

6. DAFTAR PUSTAKA

[1]Corral, Michael., Trigonometry,Schoolchraft College, Livonia Michigan, 2009

[2] Down, Moise., Geometri, United States Of America, America, 1964

[3] Hakim, Abdul., Geometri Bidang, Jakarta, 1960.

[4] Jhon, C.Spark, The Phytagorean Theorem Crown Jewel Of Mathematics,

Sparrow-Hawke, USA, 2002

[5] Mashadi,Buku Ajar Geometri, PUSBANGDIK UNRI, Pekanbaru 2012

[6] Mohammad Rahmat, Geometri, Pusat Penerbitan Universitas Terbuka, Jakarta2001.

[7] Shamera, G.W Indika., On The Standart Lengths Of Angle Bisectors and The

Angle Bisector Theorem, Global Journal Of Advanced research On Classical

and Modem Geometries, 2012,

[8] Wirodikromo, Sartono, Matematika Untuk SMU kelas X, Erlangga, Jakarta

2006.


9/9

9

prosiding leli supiani

Documents