గణత

రఖగణత తరకకం

వధయరథ కరదపక

CLIx (2018)

The Connected Learning Initiative (CLIx) is a technology enabled initiative at scale for high school students. The initiative was seeded by Tata Trusts, Mumbai and is led by Tata Institute of Social Sciences, Mumbai and Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA USA. CLIx offers a scalable and sustainable model of open education, to meet the educational needs of students and teachers. The initiative has won UNESCO’s prestigious 2017 King Hamad Bin Isa Al-Khalifa Prize, for the Use of Information and Communication Technology (ICT) in the field of Education.

CLIx incorporates thoughtful pedagogical design and leverages contemporary technology and online capabilities. Resources for students are in the areas of Mathematics, Sciences, Communicative English and Digital Literacy, designed to be interactive, foster collaboration and integrate values and 21st century skills. These are being offered to students of government secondary schools in Chhattisgarh, Mizoram, Rajasthan and Telangana in their regional languages and also released as Open Educational Resources (OERs).

Teacher Professional Development is available through professional communities of practice and the blended Post Graduate Certificate in Reflective Teaching with ICT. Through research and collaborations, CLIx seeks to nurture a vibrant ecosystem of partnerships and innovation to improve schooling for underserved communities.

Collaborators:Centre for Education Research & Practice – Jaipur, Department of Education, Mizoram University – Aizawl, Eklavya – Bhopal, Homi Bhabha Centre for Science Education, TIFR - Mumbai, National Institute of Advanced Studies – Bengaluru, State Council of Educational Research and Training (SCERT) of Telangana – Hyderabad, Tata Class Edge – Mumbai, Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics - Pune, Govt. of Chhattisgarh, Govt. of Mizoram, Govt. of Rajasthan and Govt. of Telangana.

Any questions or suggestions or queries may be sent to us at:contact@clix.tiss.edu

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

An initiative seeded by

TISS/CEI&AR/CLIx/SHb/M/GR/t/06Apr’18/03

గణత

రఖగణత తరకకం

వధరక కరదపక

ఈ హండబుక చ ందనద:

పరు:…………………………………………………………………………… క స:…………………………………………………………………………… వభగం:…………………………………………………………………………

వశయ షూచక మడూూల: రఖగణత తరకకం Attributions మడల అవలకనం రఖగణత తరకకం – భగం 1 యూనట 1: ఆకహరంయకభఴన నుఠం 1.1: ఆకరంఅంటఏమట……………………………………………………………………………………………1 యూనట 2: ఆకహరహలనువశలషంచడంమరకయువఴరకంచటం నుఠం 2.1: ఆకరలనఽవశలషంచడం………………………………………………………………………………………2 *నుఠం 2.2: ఆకరలనఽవవరకంచటం యూనట 3: ఆకహరహలనునరవచంచటంమరకయుఴరగకరకంచడం *నుఠం 3.1: ఆకరలనఽవరగకరకంచడం నుఠం 3.2: ఆకరలనఽనరవచంచటం…………………………………………………………………………………….4 నుఠం 3.3: పరతయకచతురుుజలనఽనరవచంచటం………………………………………………………………………...5 నుఠం 3.4: చతురసలయకపరతయకలకషణలు……………………………………………………………………..8 రఖగణత తరకకం – భగం 2 యూనట 1: లకషణ -ఆధరకతతరం నుఠం 1.1: పరతయకచతురుుజలమధసంబంధలు………………………………………………………………………12 నుఠం 1.2: సంబంధలనఽసచంచటం…………………………………………………………………………….......12 నుఠం 1.3: నరవచనలనఽచరకచంచటం యూనట 2: ఋజుఴులఆఴవూకతనుఅరధంచషుకఴడం నుఠం 2.1: మధ-బందఽవుఅనవవషణలు………………………………………………………………………………20 నుఠం 2.2: కణలముతతమునయమము……………………………………………………………….................22 నుఠం 2.3: ఋజువులఆవశకత………………………………………………….…………………………………..23 నుఠం 2.4: ఒకఋజువునఽవర యడం……………………………………………………….………………………...25 నుఠం 2.5: నరూపంచటంమరకయుఖండ ంచటం…………………………………………………………................26

*గమనక: పరయగతమక చరలు లన నుఠలు ఈ హండబుకల చయరచబడలదఽ

Special Thanks

To the students and teachers of all the schools where we piloted our modules.

To all the teachers; copyeditors; Rajasthan and Telangana team for their time and effort in the revalidation of content.

CLIx subject team Amit Dhakulkar Arati Bapat Arindam Bose Bindu Thirumalai Jayashree Subramanian Jeenath Rahaman Ruchi S. Kumar Saurabh Khanna Saurabh Thakur Sayali Chougale Suchismita Srinivas Sumegh Paltiwale Vijay Wani Shweta Naik(Consultant) Academic mentor Aaloka Kanhare K. Subramaniam Academic support Archana Correa Arnab Kumar Ray Jaya Mahale Jayashree Anand Samir Dhurde Shikha Takker Tuba Khan

Editors Arindam Bose Bindu Thirumalai Ruchi S. Kumar Suchismita Srinivas Copy editors Aparna Tulpule Venkatanarayanan Ganapathi

Translators Amrit Upadhyay Dilip Tanwar Dr K. Sharma Dr. Srinivas Chennuri Hari Mishra Jitender Kumar Pramod Pathak Praveen Allamsetti Ravi Kant

Production team Dhammaratna Jawale Jaya Mahale Jayashree Anand Sheetal Suresh

Video development support Gitanjali Somanathan Manoj Bhandare Shiva Thorat

Voice over Arindam Bose Ruchi S. Kumar Suarabh Thakur Suchismita Srinivas

Platform development Brandon Muramatsu Cole Shaw Harshit Agarwal Jeff Merriman Kathleen McMahon Kedar Aitawdekar Keerthi K.R.D. Kirky DeLong Mrunal Nachankar Nagarjuna G. Padmini Sampath Prachi Bhatia Rachana Katkam Ramjee Swaminathan Sadaqat Mulla Satej Shende Sumegh Paltiwale Saurabh Bharswadkar

Tool development Ashwin Nagappa Kedar Aitawdekar Mrunal Nachankar Prachi Bhatia Rachana Katkam Sadaqat Mulla Saurabh Bharswadkar Tanvi Domadia Tejas Shah

Platform design Aditya Dipankar

Platform content authoring Ashirwad Wakade Raju Sambari Roshan Gajbhiye Saurabh Thakur Sumegh Paltiwale Vijay Wani

Publication team Rachna Ramesh Kumar Sunita Badrinarayan Usha Iyengar

Cover design and formatting Ramesh Khade

మడూూల అఴలకనం

రఖగణత తరకకం మడూూల గురకంచ రఖగణత తరకకం మడల (భగలు I మరకయు II) 8 మరకయు 9 వ తరగత వదరు ల తరకక సమరయ లనఽ అభవదయ చయయడనక రూను ందంచబడ ంద. రఖగణత తరకకం మడల ముతతం 5 యూనటల ఉనయ, ఇద వదరుయ లు (2డ ) ఆకరలనఽ అరయం చయసఽకలవడనక , గుణలు మరకయు వట లకషణల పరంగ ఆకరలనఽ గురకంచ బలంగ వశలషంచడనక, చరకచంచడనక మరకయు వదడనక ఉపయగపడబతుంద. ఈ మడల వదరు లకు, పరతయక చతురుుజలనఽ వట పరతయక లకషణలనఽ ఆధరంగ వవధ నరవచనలనఽ అభవదయ చయసందఽకు సహయపడబతుంద. రఖగణత తరకకం నురట I నఽండ ముందఽకు వళడం దవర, నురట II వదరు లకు వవధ రకల న చతురుుజలప సంబంధత అవగహననఽ అభవదయ చయయడనక మరకయు గణతంల పరమణల అవసరన అరం చయసఽకలవడనక సహయపడబతుంద. ను యస కవడ అనవ డ జటల గమ ఆడబతునపుుడబ రఖగణత ఆకరల లకషణల గురకంచ లతుగ ఆలచంచడంల సహయపడటనక రూను ందంచబడ ంద. LOGO టరకల మరకయు జయజబర , ఉచత మరకయు ఓప న స రట సఫటరట, ఇవవ రఖగణతంల అనవక భవనలనఽ, లకషణలనఽ మరకయు సదయ ంతలనఽ ధవకరకంచయ దశ అనఽభవలనఽ వదరు లకు ఇసఽత ంద. ఈ మడల డ జటల, అలగ కరకలనులనఽ కయగక ఉంటలంద మరకయు నరమణతమక అంచనలు ఈ కలరుల భగంగ ఉనయ. డ జటల వవదకప పరత మడల యక నుర రంభ మరకయు ముగకంపుల పర మరకయు ను స అస స మంటల ఉనయ. పరసఽత త రషరం మరకయు NCERT సలబస క అనఽగుణంగ ఈ కలరు రూను ందంచబడ ంద మరకయు ఈ కలరుల రూను ందంచన చరలనఽ వదరు ల ఆలచన మరకయు తరకక సమరయ ల అభవదయప దష ప టడం దవర తయరుచయసరు. సరవరట ఆధరకత నమూన ఉపయగకంచ నుఠశల కంపయటరట లబల గణత మడల ఇనటల చయయబడ య. ఈ ుషతకం ఎల ఉయగకంచయ? ఈ పుసతకంల ఉన మడల యక కన కరకలనులు CLIx ను టరమల ఉన ఇతర వటత కయప (తరగతల చరచలు నులగ న) ఉపయగకంచయ ఉంద. కరకలనులనఽ మరకయు వరగషకషటకు సంబంధంచన ఈ పరయగలు రఖగణత ఆకరలనఽ నవరుచకలవటనక మరకయు ఏకకరకంచడనక సహయం చయసత య మరకయు డ జటల చరలత సర న శలణల ఉపయగకంచయటటల చయసత ద. వదరు లు ఈ వరుుకల లద నటలుకల అందంచన పరదయశంల పరశలనఽ ఎదఽరకవచఽచ మరకయు వటన ఉనుధయులత మరకయు సహచరులత చరకచంచగలరు. CLIx వవదక డ జటల డయట మరకయు వరుుక కంట ంట ర ండ ంటన ఉపయగకంచఽకునవ ఒక డ జటల వవదక. వవదకల నటలుక, చరచ మరకయు గలరగ వంట లకషణలనఽ కయగక ఉంద, వదరు లు తమ పరతసుందనలనఽ, వఖనలనఽ, వరుసగ వరక పనన అను డ చయయవచఽచ.

రఖగణత తరకకం

భగం 1

1

యూనట 1: ఆకహరంయకభఴన

పహఠం 1.1: ఆకహరం అంట ఏమట కహరూకలం 1 - అగకులలత ఆకహరహలు మ షమూసంల న చయండ. మకు అగకులల (ఉయగకంచబడన) ఒక సట మరకయు సకల వహలవ గట లు అఴషరడతయ. కహరూము 1: అగకపులలు మరకయు వలవ గట లనఽ ఉపయగకంచ ఒక తరభుజం, ఒక చతురసరం మరకయు పంచభుజన చయయండ .

కహరూము 2: చతురసరం ల ఈ చరలు (పటకల పరన) చయపటండ మరకయు మ సమూహంల చరకచంచండ . ఆకరంల మరుులు ఏమ న ఉనయ లవ అనవద గమనంచండ .

చరూ ఆకహరం మరుత ంద? అల ఎందుకన మరు అనుకుంటునరు? 1. నవల/డ స మద ఆకరన మరచటం

2. నవల/డ స మద ఆకరన తరపుటం

3. నవల/డ స మద ఆకరం దశ కదయంచటం

4. ఆకరం యక వతరక శర లనఽ నకడం

కహరూము 3: పంచభుజ యక వతరక శర లప నకడనక పరయతంచండ . అద ఆకరన మరుచతుంద? ఇపుుడబ అదయ పనన తరభుజం త చయయడనక పరయతంచండ . అద ఆకరన మరుచతుంద? వసతరణ కరము 1: ంచభుజ ఆకహరం మరచటం/తపటం (ముకలు చయకుండ లద జయంటను తరఴకుండన) దవరహ వల నన

వరవరు ఆకహరహలను రూప ంద ంచడనక రయతంచండ. ముఖూంగహ, ఈ కరంద వ చయడనక రయతంచండ ● సరకగ ర ండబ సమన భుజలనఽ కయగకన ఒక తరభుజం ● నలుగు భూజలు కయగకన ఒక బహుభుజ ● ఒక నకషతర ఆకరం

వషతరణ కహరూము 2: మూడబ వపుల వవరవరు ను డవులనఽ కయగక ఉన ఒక తరభుజన రూను ందంచడనక పరయతంచండ . దనక అవసరపడయ అగకపులల కనస సంఖ ఎంతయ ఉంటలంద?

2

పహఠం 2.1: ఆకహరహలను వశలషంచడం ఈ నుఠం ల, వదరు లు డ జటల గమ "ను యస కవడ" - మషన 1 డ జటల వవదకప ఆడబతరు. గమ యక ఈ మషన

ధరమల-ఆధరకత తరకక పనఽల దవర ఆకరలనఽ అరం చయసఽకలవడనక వదరు లకు సహయపడబతుంద. కహరూకలం 1 – ఆకహరహల రకహలు కరంద కృతూలను ఴూకతగతంగహ చస తరువహత మ షమూసంల చరకచంచండ. కహరూం 1: కరంద ఆకహరహలనంట లద లకషణలను గురకంచ 1-2 ంకుత లుల వహర యండ.

కహరూం 2: కంద స టల పరత ఒకదనల ఇవవబడ న ర ండబ ఆకరలనఽ గమనంచండ . ర ండ ంట మధ మరు కనఽగనగయగకనన సరూపతలు మరకయు వభదలనఽ కనఽగన వట జబతనఽ తయరు చయయండ . ముదట స ట కలసం ఒక ఉదహరణ ఇవవబడబతుంద.

సట షరూతలు వభదలు

1) ర ండ ంటలన 4 భుజలు కలవు 2) ర ండ ంటల 2 జతల సమంతర భుజలు కలవు

1) ముదట ఆకరంల లంబ కలణలు ఉనయ ర ండవ ఆకరం ల లవు.

యూనట 2: ఆకహరహలనువశలషంచడంమరకయువఴరకంచటం

3

కహరూము 3: కంద ఆకరల సమదయన పరకశయంచండ . వట లకషణల ఆధరంగ, మరు వలయనన వధలుగ వటన ర ండబ గూ పులుగ వవరుపరచండ . టబుల ల ఒక ఉదహరణ ఇవవబడ ంద.

లకషణం షరళ ఈ ఆకహరహలు కయగక ఉనయ. ఈ ఆకహరహలు కయగక లఴు సరకగ 4 భుజలు కలవు 2, 4, 5, 6, 7, 8 1, 3, 9, 10

వషతరణ కహరూము 1: కంద వటల 'అన భుజలు సమనం' లకషణం కయగకన 3 వవధ ఆకరలనఽ గగయండ . 'అన వపుల సమనం ' అనవద మరు ను ందయ ఆకరలన ఒకవధంగ ఉండయ ఒక మరం.. వట మధ గల ఒక వతసం ఏమట?

వషతరణ కహరూము 2: ఈ ర ండబ లకషణలనఽ కయగక ఉండయ ఒక ఆకరన గగయండ : i) 5 భుజలు ఖచచతంగ ii) 2 లంబ కలణలు ఖచచతంగ వషతరణ కహరూం 3: ఈ లకషణలనంటన కయగక ఉండయ ఒక ఆకరన గగయండ : i) 4 భుజలు ఖచచతంగ

ii) 2 లంబ కలణలు ఖచచతంగ

ii) 1 జత సమంతర భుజలు ఖచచతంగ

కహరూకలం 2.2 - ప యషు కహవడ మశన 1

దయచయస ఈ నుఠన CLIx పహ టరంప చడండ ఈ నుఠం ల వదరుయ లు "ను యస కవడ" - మషన 2 ఆడబతరు, ఆకరల వవరణల పనఽలు దవర ధరమల-ఆధరకత

అవగహననఽ బలపరకచ వదరు లకు వదరు లకు సహయపడబతుంద. వయహతమక ఆలచననఽ అభవదయ చయయటనక

కూడ మషన సహయపడబతుంద.

4

యూనట 3: ఆకహరహలనునరవచంచటంమరకయుఴరగకరకంచడం

పహఠం 3.1: ఆకహరహలనుఴరగకరకంచడం దయచయస ఈ నుఠన CLIx పహ టరంప చడండ ఈ నుఠం ల, వదరుయ లు "ను యస కవడ" - మషన 3 ఆడబతరు. ఈ మషన ధరమల-ఆధరకత వరగకరణ, తరకకం మరకయు అనధకరకక మనహయంపు పనఽలల నమగం చయసఽత ంద.

పహఠం 3.2: ఆకహరహలనునరవచంచటం రూకలం 1 - ఒక చత రుుజ అంట ఏమట?

కరంద కృతూన వదూరుధ లందరూ ఒకకకరకగహ చస, దనన మ మ మ షమూహల చరకచంచండ.

కహరూం 1 – ఆకరల సముదయన చడండ మరకయు వట లకషణల ఆధరంగ ఏవవవ చతురూూ జులు కవు ఏవవవ పరకశయంచ కంద పటకల నమలదఽ చయయండ .

ఇపుుడబ, ఈ కంద పటకనఽ పయరకంచండ

ఇవ చత రుుజులు ఇవ చత రుుజులు కహఴు

పరత ఆకరనక, అద ఒక చతురుుజ అవుతుందన లద కదన మరు ఎందఽకు అనఽకుంటలనరక చరకచంచండ . ఇపుుడబ కంద దనన పయరకంచండ . ప కతం వల నకు అరయమమ ందయమటంట ఒక చతురుుజ అనవద

________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________

5

పహఠం 3.3: రతూక చత రుుజలను నరవచంచటం

కహరూకలం 1 - దరఘచత రసహర లను నరకమంచడం దయచయస ఈ కరకలపం న CLIx ను టరంప చడండ

ఈ నుఠం ల, వదరుయ లు "టరకల లగక" నఽ పరతయక చతురుుజలు నరకమంచడనక, గురకతంచడనక మరకయు నరవచంచడనక

ఉపయగకసత రు. కృతూం 3.5 - రతూక చత రుుజలను గురకతంచండ. కరంద కృతూన వడవడగహ చస, తరువహత మ షమూసం ల చరకచంచండ.

కహరూం 1: ఆకరల సముదయన చడండ . వటల ఏవ సమంతర చతురుుజల మరకయు ఏవ కవ కమకరకంచండ . పటకనఽ నంపండ .

ఇవ షమంతర చత రుుజులు ఇవ షమంతర చత రుుజులు కహఴు

సమంతర చతురుుజలు కన ఆకరలకు అవ ఎందఽకు కవ వవరకంచండ . దన ఆధరంగ, ఒక సమంతర చతురుుజ నరవచనన మ మటల వర యండ . నవనఽ అనఽకలవటమమటంట, ఒక సమంతర చతురుుజం అనవద

_________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

6

కహరూం 2: ఆకరల సముదయన చడండ . వటన ఏవ దరఘచతురసర లు మరకయు ఏవ కవ కమకరకంచండ . పటకనఽ నంపండ .

ఇవ దరఘచతురసర లు ఇవ దరఘచతురసర లు కవు

దన ఆధరంగ, ఒక దరఘ చతురసరం యక మ నరవచనన వర యండ . నవనఽ అనఽకలవటమమటంట ఒక దరఘ చతురసరం అనవద

________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

7

కహరూం 3: ఆకరల సముదయన చడండ . వటల ఏవ (సమ చతురుుజలు) మరకయు ఏవ కవ కమకరకంచండ .

ఇపుుడబ, పటకనఽ నంపండ .

ఇవ రహంబస లు (షమ చత రుుజలు) ఇవ రహంబస లు (షమ చత రుుజలు కహఴు)

దన ఆధరంగ, ఒక రంబస యక నరవచనన మ మటల వర యండ . నవనఽ అనఽకలవటమమటంట, ఒక రంబస అనవద

______________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________

8

కహరూం 4: ఆకరల సముదయన చడండ . వటల ఏవ చతురసర ల మరకయు ఏవ కవ కమకరకంచండ . పటకనఽ నంపండ .

ఇవ చత రసహర లు ఇవ చత రసహర లు కహఴు

దన ఆధరంగ, ఒక చతురసరం యక నరవచనన మ మటల వర యండ . నవనఽ అనఽకలవటమమటంట ఒక చతురసరం అనవద ______________________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________

పహఠం 3.4 రతూక చత రుుజల యక ధరహమలు కహరూకలం 1 - లకషణల జబతలు తయరుచయుట కరంద కహరహూన వడవడగహ చస, తరువహత మ షమూసం ల చరకచంచండ. కహరూం 1a: ఇకడ సమంతర చతురుుజల కు కన ఉదహరణలు ఇవవబడ య. డట పపరట ప ర ండబ లద అంత కంట ఎకువ సమంతర చతురుుజల ఉదహరణలుగ గగయండ . (మ సమంతర చతురుుజలు ఇపుటక ఇవవబడ న వటక భనంగ ఉనయ? అనద నరయ రకంచఽకలండ !)

కరం 1b: బ. ఈ షమంతర చత రుుజలు ఒకదనకకకట ఏవధంగహ భనంగహ ఉనయనద వహర యండ _______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

9

కహరూం 2: కరం 1 లన సమంతర చతురుుజలనఽ గమనంచండ మరకయు మరు వలయనన లకషణలనఽ జబత రూపంల వర యండ , (గురుత ంచఽకలండ లకషణలు అన ఉదహరణలకు వరకతంచయల ఉండయ!)

షమంతర చత రుుజల లకషణలు భుజనక షంబంధ ంచన ధరహమలు కణనక షంబంధ ంచన ధరహమలు కరహ ల ధరహమలు

కహరూం 3a: ఇకడ దరఘచతురసర ల యక కన ఉదహరణలు ఇవవబడ య. డట పపరట ప ర ండబ లద అంత కంట ఎకువ దరఘచతురసర ల ఉదహరణలుగ గగయండ . (మ దరఘచతురసర లు ఇపుటక ఇవవబడ న వటక భనంగ ఉనయ? అనద నరయ రకంచఽకలండ !)

కహరూం 3b బ. ఈ దరఘచతురసర లు ఒకదనకకట ఏవధంగ భనంగ ఉనయనవద వర యండ _______________________________________________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

కహరూం 4: కరం 3 లన దరఘచతురసర లనఽ గమనంచండ మరకయు మరు వలయనన ధరమలనఽ జబత రూపంల వర యండ , (గురుత ంచఽకలండ ధరమలు అన ఉదహరణలకు వరకతంచయల ఉండయ!)

దరఘచత రసహర ల లకషణలు భుజనక షంబంధ ంచన ధరహమలు కణనక షంబంధ ంచన ధరహమలు కరహ ల (Diagonals) ధరహమలు

10

కహరూం 5a: ఇకడ రంబస (సమ చతురుుజం) కు కన ఉదహరణలు ఇవవబడ య. డట పపరట ప ర ండబ లద అంత కంట ఎకువ రంబస (సమ చతురుుజం) లనఽ ఉదహరణలుగ గగయండ . (మ రంబస (సమ చతురుుజం) లు ఇపుటక ఇవవబడ న వటక భనంగ ఉనయ? అనద నరయ రకంచఽకలండ !)

కహరూం 5b: బ. ఈ రంబస (సమ చతురుుజం) లు ఒకదనకకట ఏవధంగ భనంగ ఉనయనవద వర యండ

_______________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________

కహరూం 6: కరం 5 లన రంబస (సమ చతురుుజం) లనఽ గమనంచండ మరకయు మరు ఎన వలయతయ అన లకషణల జబత నఽ తయరుచయయండ , గురుత ంచఽకలండ లకషణలు అన ఉదహరణలకు వరకతంచయల ఉండయ !

వవధ రహంబస లల ఉన ఉమమడ లకషణలు భుజనక సంబంధంచన లకషణలు కలణనక సంబంధంచన లకషణలు కర ల (Diagonals) లకషణలు

కహరూం 7a: ఇకడ చతురసర లకు కన ఉదహరణలు ఇవవబడ య. డట పపరట ప ర ండబ లద అంత కంట ఎకువ చతురసర ల ఉదహరణలుగ గగయండ . (మ చతురసర లు ఇపుటక ఇవవబడ న వటక భనంగ ఉనయ? అనద నరయ రకంచఽకలండ !)

11

కహరూం 7b: ఈ చతురసర లు ఒకదనకకట ఏవధంగ భనంగ ఉనయనవద వర యండ ______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

కహరూం 8: కరం 7 లన చతురసర లనఽ గమనంచండ మరకయు మరు వలయనన లకషణలనఽ జబత రూపంల వర యండ , (గురుత ంచఽకలండ లకషణలు అన ఉదహరణలకు వరకతంచయల ఉండయ!)

ల లకషణలు భుజనక షంబంధ ంచన

లకషణలు కణనక షంబంధ ంచన లకషణలు కరహ ల (Diagonals) లకషణలు

రఖగణత తరకకం – భగం 2

12

యూనట 1: లకషణ –ఆధరకతతరం పఠం 1.1: పరతయక చతురభుజల మధ సంబంధలు కరకలపం 1 - ప యసు కడ మషన 4 దయచస ఈ తృఠతు CLIx ప టపరంప చూడండ ఈ కరయకలపం ల, వదయయరధు లు "తృ యస కడ" - మషన 4 ను ఆడుతయరధ. ఈ మషన యకక ఆటల, సమంతర చతురధుజలు, రహంబసుు , దరఘ చతురసలు మరయు చతురసలు మధయ కరమనుగతగ కు స-సంబంధయలప చరచను తృరంభంచటతుక ఉదశంచబడంద,

కరకలపం 2 – లకషణ సమతన రూప ంద ంచటం కరంద పనన వకగతంగ చయస ఆ మ సమూహం ల చరకచంచండ‘ కరం 1: కరంద లకషణయల పటటకను అధయయనం చయండ. ఒకవళ సంబంధత ఆకరంత ఇచచచన లకషణం కయగ ఉంట ఒక స ల ల టటక (�) మరకక ను ఉంచండ.కయగ లకతృ త స ల ను ఖళగ ఴదలయండ.

పఠం 1.2: సంబంధలను సూచంచటం కరకలపం 1 – సంబంధలను సూచంచటం 1 కరంద కరనన వడవడగ చయస, తరభవత మ సమూహం ల చరకచంచండ.

కరం 1: కరంద ఆకరలలతు సంబంధత సంఖయలను కరంద ఇఴబడన వన చచతం ల తగన స నంల వయండ. కతు మ కరకు ఉదయహరణగ చయబడనవ.

ముదట వరభస మ కరకు ఉదహరణగ చయయబడంద .

లకషణలు చతురసరం

దరఘచతురసరం

సమంతర చతురభుజం

రంబస సమ

చతురభుజం 1

4 రఖ ఖండయలల ఏరపడ సంఴృత ఆకరం ✓ ✓ ✓ ✓ 2 ఎదురదురధ భుజల జతలు సమన తృ డఴు కయగ ఉంటయ 3 ఎదురదురధ భుజల జతలు సమంతరంగ ఉంటయ

4 ఎదురదురధ కణయలు సరసమనం ఉంటయ

5 కర లు (Diagonals) పరసపరం ఖండంచుకుంటయ

6 అతు కణయలు లంబ కణయలు మరయు సమనం

7 ఆసన కణయలు సమనం 8 కర లు సమన తృ డఴును కయగ ఉంటయ

9 ఆసన భుజలు సమన తృ డఴులను కయగ ఉంటయ

10 అతు 4 భుజలు అతూ సమన తృ డఴులను కయగ ఉంటయ

11 కర లు పరసపరం లంబంగ ఉంటయ

13

కరం 2: కరంద ఆకరలలతు సంబంధత సంఖయలను కరంద ఇఴబడన వన చచతం ల తగన స నంల వయండ.

కరం 3: కరంద ఆకరలలతు సంబంధత సంఖయలను కరంద ఇఴబడన వన చచతం ల తగన స నంల వయండ. కతు మ కరకు

ఉదయహరణగ చయబడనవ.

కరం 4: కరంద ఆకరలలతు సంబంధత సంఖయలను కరంద ఇఴబడన వన చచతం ల తగన స నంల ఉంచండ.

14

కరం 5-8: కరంద వన చతర లు, ట పు 1 , ట పు 2 మరకయు ట పు 3 ఇవబడ య.

కరం 5 : కరంద రండు గరర పుల ఆకరలను గమతుంచండ.

గరర పు - 1 : కతూసం 4 సరళ భుజలు గరర పు - 2 : 4 సరళ భుజలు కనయ తకుకఴ.

a. ఈ రండు లకషణయలను బటట ఆకరల సముదయయతు ఴరగకరంచడయతుక సరయత న (గరర పు-1, గరర పు-2, గరర పు-3) ఏమ ఉంట ంద. మ ఎంపకను తురూపంచండ. కరంద ఇఴబడన సలంల గగయండ. b. ఇపుపడు మరధ ఎంచుకున వన చచతంలతు ఆకరలను ఴరగకరంచండ. (సరన స నంల సంఖయ లను వయండ. కతు మ కరకు ఉదయహరణగ చయబడనవ.)

కరం 6: ఆకరల యకక రండు సమరహలను పరగణ ంచండ:

సమరహం 1: అతు భుజలు సమనంగ కలవ సమరహం 2: కతూసం 1 లంబ కణయతు కయగ ఉనవ

a. ఈ రండు లకషణయలను బటట ఆకరల సముదయయతు ఴరగకరంచడయతుక సరయతన వన గరర పు (గరర పు 1, 2 లదయ 3) ఏమ

ఉంట ంద? మ ఎంపకను తురూపంచండ. కరంద ఇఴబడన సలంల దయతుతు గగయండ. b. ఇపుపడు మరధ ఎంచుకున వన చచతం లతు ఆకరలను ఴరగకరంచండ. (సరన స నంల సంఖయలను వయండ. కతు మ

కరకు ఉదయహరణగ చయబడనవ)

15

కరం 7: ఆకరల యకక రండు సమరహలను పరగణ ంచండ.

గరర పు - 1 : కతూసం ఒక జత ఎదురదురధ భుజలు సమంతరం. గరర పు - 2 : ఏ ఒకక జత భుజలు సమంతరం కఴు.

a. ఈ రండు లకషణయలను బటట ఆకరల సముదయయతు ఴరగకరంచడయతుక సరయనయ వన చచతం గరర పు-1, 2 , 3 ఏమ ఉంట ంద? మ ఎంపకను తురూపంచండ. కరంద ఇఴబడన సలంల దయతుతు గగయండ. b. ఇపుపడు మరధ ఎంచుకున వన చచతం లతు ఆకరలను ఴరగకరంచచ (సరన స నంల సంఖయలను వయండ.)

కరం 8: ఈ కరంద లకషణయలను పరగణ ంచండ.

కతూసం 3 సరళ భుజలు ఖచచచతంగ 4 సరళ భుజలు

a. ఈ రండు లకషణయలను బటట ఆకరల సముదయయతు ఴరగకరంచడయతుక సరయనయ వన చచతం (గరర పు-1, 2 లదయ 3) ఏమ ఉంట ంద? మ ఎంపకను తురూపంచండ. కరంద ఇఴబడన సలంల దయతుతు గగయండ. b. ఇపుపడు మరధ ఎంచుకున వన చచతం లతు ఆకరలను ఴరగకరంచండ.

16

కరకలపం 2 – సంబంధలను సూచంచటం 2 కరం 1: కరందవటటల ఏవ సమంతర చతురధుజలు మరయు చతురధుజలను సరగ సూచచసు నయయ? (మరధ అవ ఎల ఒకదయతుత ఒకటట ముడఴడ ఉనయయనద చూడటతుక చతురధుజలు మరయు సమంతర చతురధుజలు మరయు వటట లకషణయల తురచనయతు ఉపయగంచయలనుకఴచుచ.)

కరం 2 : ఈ కరంద వటటల ఏవ సమంతర చతురధుజలను మరయు దరఘచతురసలను సరగ సూచచసు నయయ (మరధ అవ ఎల ఒకదయతుత ఒకటట ముడపడ ఉనయయనద చూడటతుక సమంతర చతురధుజలు మరయు దరఘచతురసల వటట లకషణయల తురచనయలను ఉపయగంచఴచుచ).

కరం 3: కరయం 2 ఆధయరంగ, కరంద పఴచనయలల ఏద సరనద? మరయు ఎందుకు?

ఎ) అతు సమంతర చతురధుజలు దరఘ చతురసల బ) అతు దరఘ చతురసలు సమంతర చతురధుజల స) కతు దరఘ చతురసలు సమంతర చతురధుజలుగ ఉంటయ (మరయు కతు కఴు). డ) ఏ సమంతర చతురధుజం దరఘ చతురసం కదు.

17

కరం 4 : కరంద వటటల ఏవ దరఘచతురసలు మరయు చతురసలను సరగ సూచచసు నయయ (మరధ అవ ఎల ఒకదయతుత ఒకటట ముడపడ ఉనయయనద చూడటతుక చతురధుజలు మరయు సమంతర చతురసలు వటట లకషణయల తురచనయలను ఉపయగంచఴచుచ).

కరం 5 : కరంద వటటల ఏవ సమంతర చతురధుజలు మరయు రంబస లు (సమచతురధుజలు) సరగ సూచచసు నయయ? ఎందుకు? (మరధ సమంతర చతురధుజం మరయు రంబస లు (సమచతురధుజలు) వటట లకషణయల తురచనయలను ఉపయగంచఴచుచ).

కరం 6: కరయం 4 ఆధయరంగ కరంద వకయలు ఏవ సర అయనవ. a. అతు సమంతర చతురధుజలు రంబస లు (సమచతురధుజలు) b. అతు రంబస లు (సమచతురధుజలు) సమంతర చతురధుజలు c. కతు రంబస లు (సమచతురధుజలు) సమంతర చతురధుజలు (కతు కఴు) d. ఏ సమంతర చతురధుజం రంబస కదు (సమంతర చతురధుజం)

18

కరం 7: కరందవటటల ఏవ రంబస లును మరయు చతురసలను సరగ సూచచసు నయయ? (మరధ అవ ఎల ఒకదయతుత ఒకటట ముడపడ ఉనయయనద చూడటతుక రంబస లు మరయు చతురసలు వటట లకషణయల తురచనయలను ఉపయగంచఴచుచ.)

దతు ఆధయరంగ వకయతు పూర చయటతుక సరన పదయలు ఎంచుకండ. i) ____________ రంబస లు చతురసలు____________.

(అతు / కతు) (అఴుతయయ / అఴఴు) ii) _____________ చతురసలు రంబస లు ____________

(అతు / కతు) (అఴుతయయ / అఴఴు)

కరం 8: కరంద వటటల ఏవ దరఘచతురసలు మరయు రంబస లు (సమచతురధుజలు)? ఎందుకు? (మరధ అవ ఎల ఒకదయతుత ఒకటట ముడపడ ఉనయయనద చూడటతుక దరఘచతురసలు మరయు రంబస లు (సమచతురధుజలు) వటట లకషణయల తురచనయలను ఉపయగంచఴచుచ.

19

కరం 9: ప కరయలల ఎంపక చయబడన సూచనలను ఉపయగసూ ఒక కరమంల చతురధుజలు, సమంతర చతురధుజలు, రంబస లు, దరఘ చతురసలు మరయు చతురసలను సూచచంచండ. ఒక దరఘ చతురసం ఉపయగంచచ చతురధుజలను (సమచతురధుజలను) సూచచంచండ మరయు మగయన చతురధుజలను సూచచంచడయతుక తగన వన చచతయలను ఉపయగంచండ.

పఠం 1.3: నరచనలనుచరకచంచటం దయచస ఈ తృఠతు CLIx ప టపరం చూడండ

ఈ తృఠం ల, వదయయరధ లు వవధ చతురధుజల తురచనయల గురంచచ చరచస రధ మరయు వన రఖచచతయలను ఉపయగంచచ చతురధుజల మధయ సంబంధయతు సూచచసు ంద.

20

యూనట 2: ఋజువులఆవశకతనుఅరధంచయసుకవడం పఠం 2.1: మధ-బందువు అనవషణలు కరకలపం 1 -మధ-బందువు అనవషణలు కరంద కరం వడవడగ పన చయస, తరభవత మ సమూహం త చరకచంచండ.

కరం 1: కరంద డయట పపరక మద వవధ రకల న చతురసలను గగయండ. ఇపుపడు ఒక కత చతురధుజతు సృషంచటతుక ఈ చతురసలతుంటట (కరమపదుతల) యకక భుజల మధయ-బందుఴులను కలపండ. ముదటట దయతుతు ఒక ఉదయహరణగ చూపంచటం జరగంద .

ఏరపడన పత కత చతురధుజతు గమతుంచచ కరంద దయతుతు పూర చయండ: చతురసం యకక మధయ-బందుఴులను కలపగ ఴచచచన చతురధుజ ఒక___________________________.

కరం 2: ఉదయహరణకు మనం ఒక దరఘ చతురస భుజల మధయ-బందుఴులను అద తరహల కయతృమ అనుకుందయం. ఏ ఆకరం మరధ తృ ందగలరతు అనుకుంట నయరధ? దయతుతు గురంచచ ఆలచచంచండ, మరయు మ అభతృయలను ఇకకడ వయబుచచండ: ఈ చతురధుజ ________________________________ భుజల మధయ-బందుఴులను కలపటం ఴలన ఏరపడన ఒక ___________________________ కరం 3: ఇపుడు కరంద డట పర మద వభనన దరఘ చతురసర లు గస భుజల మధ-బందువులను కలపటం దర మ అభపర యలను నరధ రకంచుకండ.

21

కరయం 4: కరయం 3 ఆధయరంగ మ అభతృయలు సరయతనవనయ? ఒకవళ కకతృ త, వటటతు మరధ ఎల సఴరస రధ? ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ కరం 5: ఇపుపడు ఇతర పతయక చతురధుజలు - రంబస మరయు సమంతర చతురధుజం - ప మ అభతృయలను వయబుచచండ మరయు వటటతు తురు రంచండ. ఇఴబడన సలంల మ మ పతతృదనలను వయండ మరయు తురు రణ కరకు డయట గరడ ను ఉపయగంచండ. పతతృదన 1 ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ పతతృదన 2 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

కరం 6: ఇంతకు ముందు చసన 5 కరయలలతు మ అభతృయలను తసుకుంటూ, ఏదతూ ఒక చతురధుజ యకక భుజల మధయ-బందుఴులను కలపటం దయర ఏరపడన ఆకరం ప మ అభతృయలను వయబుచచండ. __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ ఆలచంచవలసన అంశలు: అతు చతురధుజ లకు ఇద ఴరసు ందయ? మకు ఎల తలుసు? ఇకకడ మ వదనను వఴరంచండ. అఴసరపడత కరంద డయట గరడ ను ఉపయగంచండ.

22

వసరణ కరం 1: వలయత, ఒక సమంతర చతురధుజం కతు ఒక ఆకరంలతు భుజల మధయ-బందుఴులను కలుపుతూ, ఒక చతురధుజతు గగయండ. ఒకవళ ఆల సధయం కకతృ త, ఎందుకు అనద వఴరంచండ? _________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________

పఠం 2.2: కణల ముతము లకషణం ఈ తృఠం ల, "జయజబ" అపు కషన వదయయరధ లు చతురధుజల మరయు ఇతర బహృభుజల యకక కణ కూడక ధరమం

వశలుషంచడయతుక మరయు ధృవకరంచడయతుక ఉపయగస రధ. కరకలపం 1 - చతురభుజం యక కణల ముతము లకషణం కరంద కరం వడవడగ పన చయస, తరభవత మ సమూహం త చరకచంచండ.

కరం 1: క ABCD చతురధుజం గగస దయతు (అంతరత) కణయలను కలఴండ. వటటతు కరంద పటటకల నమదు చయండ.

∠ A ∠ B ∠ C ∠ D కణయలతుంటట (అంతరత) ముతం

కరం 2: మ తరగత లతు ఇతరధల చతురధుజలత మ వటటతు సరతృ లచండ. a. అవ ఇవ ఒకల కతుపసు నయయ? b. మరధ అతు చతురధుజల నమరనయ / కరమబదుతను గమతుంచయర? పరగశలనను ఒక పతతృదన రూపంల వయండ:

______________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

కరం 3: కరం 2 ల గమతుంచచన నమరనయను చూడండ. a. ఈ నమరనయ అతు చతురధుజలకు ఴరసు ందతు అనుకుంట నయర? b. ఎందుకు లదయ ఎందుకు కదు?

______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

కరం 4: ఒక చతురధుజం గగస దయతు కర లల ఒకదయతుతు కలపండ. కలఴకుండయ, మరధ ఈ చతురధుజ అంతరత కణయల ముతం ఎంత అతు చపపగలర? మ కరణయలను వయండ. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ వసరరణ కరం 1: అతు సమంతర చతురధుజలకు ఈ లకషణం (అంతరత కణయల ముతం) ఴరసు ందతు మరధ అనుకుంట నయర? ఎందుకు లదయ ఎందుకు కదు? ______________________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________

23

పఠం 2.3: ఋజువులఆవశకత కరకలపం 1 – ఋజువు ఆవశకత కరంద కరం వడవడగ పన చయస, తరభవత మ సమూహం త చరకచంచండ.

కరం 1: ఴృతం ప గల 2 పతయక బందుఴులను కలపండ. ఴృతం ఎతు పతయక భగలలతుక వభజంచబడంద గమతుంచండ.

ఴృతం ప గల బందుఴుల సంఖయ: _____ వభజత భగల సంఖయ: _____

కరం 2: ఇపుపడు మరక ఴృతం గగయండ. దయతుప 3 వభన బందుఴులను మరకక చయండ. వలయనతు బందుఴుల జతలను కలపండ. ఴృతం ఎతు పతయక భగలుగ వభజంచబడంద?

● ఴృతం ప గల బందుఴుల సంఖయ_________: ● వభజత భగల సంఖయ: _____________

24

కరం 3: ఒక ఴృతం ప 4 వభన బందుఴులను మరకక చయండ, వలయనతు బందుఴుల జతలను కలపండ. ఴృతం లతు వభజత (పతయక) భగల సంఖయను గమతుంచండ. మరక ఴృతయ తు తసుకుతు, 5 వలకషణ బందుఴులత మరల ఇలగ చయండ.

వృతం నలుగు బందువుల కసం

● ఴృతం ప గల బందుఴుల సంఖయ: _____ ● వభజత భగల సంఖయ: _____

వృతం ఐదు బందువుల కసం

● ఴృతం ప గల బందుఴుల సంఖయ: _____ ● వభజత భగల సంఖయ: ____

కరం 4: ఇపుపడు కరంద పటటకల 1-3 కరయల నుండ ఏరపరచుకున మ పరశలనలను నమదు చయండ. వృతం గల బందువుల

సంఖ 2 3 4 5

వభజత భగల సంఖ

కరం 5: మరధ గమతుంచచన నమరనయ ఏమటట? దయతు వయండ. (మరధ ఴృతం ప తసుకున బందుఴుల సంఖయ మరయు ఴృతం వభజంచబడటం ఴలన ఏరపడన వభజత భగల సంఖయ మధయ సంబంధం గురంచచ ఒక దయతుతు 'తుయమం' రూపంల వయఴచుచ.) _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

కరం 6: ఴృతం ప తసుకున బందుఴుల ఏదతూ సంఖయ మ 'తుయమం' కు ఴరసు నదతు మరధ అనుకుంట నయర? ఎందుకు లదయ ఎందుకు కదు?

_________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

కరం 7: కరందవ తసుకఴడం దయర మ 'తుయమం' ను ధృవకరంచండ: i) ఒక ఴృతం ప 1 బందుఴు వభజత భగల సంఖయ: __________

ii) ఒక ఴృతం ప 6 బందుఴులు వభజత భగల సంఖయ: ___________

25

కరం 8: మ తుయమం ఴరసు ందయ? దతు ఆధయరంగ, మరధ కరయం 7 కరకు మ సపందనను మరచలనుకుంట నయర? ఒకవళ మరచటటుయత, ఇకకడ కత సపందనను ఉంచండ. _________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________

ఆలచంచవలసన అంశం ఒక పతతృదనను తురూపంచడయతుక ఎతు ఉదయహరణలు 'తగనవ' అతు మరధ అనుకుంట నయరధ? _________________________________________________________________________________________________________ ఒక పతతృదనను ఖండంచటతుక ఎతు ఉదయహరణలు 'తగనవ' అతు మరధ అనుకుంట నయరధ?

_________________________________________________________________________________________________________

పఠం 2.4: క ఋజువును వర యడం

కరకలపం 1 - చతురభుజల మధ-బందువు ఫయతనన ఋజువుచయయటం కరం 1: చతరంల, ABCD చతురభుజ మధ-బందువులను కలపడం వలన PQRS ఏరడుతుంద . ఆ PQRS క సమంతర చతురభుజం అన నరూంచండ.

(సూచన: మధయ-బందువు సదద ంత ఫయతనన ఉపయగకంచండ - క తరభుజం యక ర ండు భుజల మధ-బందువులను కయ రఖ మూడవ భుజనక మరకయు దనల సగనక సమంతరంగ ఉంట ంద .)

26

పఠం 2.5: నరూంచటం మరకయు ఖండంచటం కరకలపం 1 - నజమ న మరకయు తపుడు పరకటనలు మ సమూహంల వట పన చయస అపుడు తరగత గద క పరకషరనన అంద ంచండ. మ పరకషరనక పన చయయటనక అంద ంచబడన సథలనన ఉపయగకంచండ. కరం 1: పత పకటనను పరశయంచచ అద తుజమ నదయ లదయ ఒక తపుపడు పకటనయ అనద తయయజయండ. పత సందరుంలను, మ సమధయనయతుక కరణయలను వదకండ. మ సమధయనయతుక మదతు తుఴడయతుక అందంచబడన సలంల మరధ వయఴచుచ, రఖచచతయలు, పటటకలు ముదల నవ గగయఴచుచ.

1. మరధ ఒక పూర సంఖయను రటటంపు చస, మరధ ఒక సర సంఖయను తృ ందుతయరధ తుజం అబదుం

2. మరధ 2 బస సంఖయలను కూడత, మకు ఒక సర సంఖయ ఴసు ంద.

తుజం అబదుం

3. మరధ 2 బస సంఖయలను గుణ స, మకు ఒక సర సంఖయ ఴసు ంద. తుజం అబదుం

27

4. మరధ ఒక పూర సంఖయకు 1 తు జడంచచత మకు 1.000.000.000.000.000.000.000 కంట తకుకవనయ ఏదతూ ఒక సంఖయ ఴసు ంద. తుజం అబదుం

5. ఒక సమంతర చతురధుజం ల ఒక జత ఆ సన భుజలు సమనమ త, అద ఒక దరఘ చతురసం అఴుతుంద. తుజం అబదుం

6. ఒక సమంతర చతురధుజం ల కతూసం ఒక లంబ కణం ఉంట, అద ఒక దరఘ చతురసం అఴుతుంద. తుజం అబదుం

28

7. ఒక చతురధుజం ల ఒక జత ఎదురదురధ భుజలు సమనంగ ఉండ మరక జత సమంతరంగ ఉంట, అపుపడు అద ఒక సమంతర చతురధుజం అఴుతుంద. తుజం అబదుం

8. ఒక చతురధుజంల సమనంగ మరయు సమంతరంగ ఉండ ఴయతరక భుజల ఒక జత ఉంట, అపుపడు అద ఒక సమంతర చతురధుజం అఴుతుంద. తుజం అబదుం

Centre for Education, Innovation and Action ResearchTata Institute of Social Sciences

V.N.Purav Marg, Deonar,Mumbai – 400088, India

Phone: +91 – 22- 25525002/3/4www.clix.tiss.edu