mekstat chap-1 teori kinetika dan transport boltzmann
Post on 22-Feb-2018
284 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
1/14
2/1/20
Teori Kinetika dan Transport
Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 3 & 4
Distinguishability Asumsi : gas encer sejumlah N dalam volume tertutup V dengan kerapatan
rendah dan temperatur tinggi sehingga berlaku bahwa jarak antar partikel
gas >> ukuran paket gelombang terkait.
Dengan asumsi ini berarti satu partikel dengan yang lain dapat dibedakan.
Jadi : de Broglie
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
2/14
2/1/20
Definition of Distribution FunctionModel Tumbukan: Tumbukan antar partikel maupun dengan dinding elastik sempurna
Dinding hanya berfungsi sebagai pemantul saja
Target:
Mencari fungsi distribusi partikel sebagai fungsi ruang dan waktu:
f(r,v,t) d3r d3v = jumlah partikel saat t, yang berada dalam volume d3r sekitar r
dan volume d3vsekitar v.
Ruang Fasa : deskripsi keadaan sistem partikel.
Keadaan tiap titik partikel digambarkan oleh posisi r=(x,y,z) dan kecepatan v(vx,
vy, vz)
Ruang fasa partikel 1D Ruang fasa partikel 3D
X
Vx
x
vx
dvxdx
r
V
r
v
d3vd3 r
Definition of Distribution Function Jika dalam ruang dengan Volume V, mengandung N partikel, maka :
Jika partikel terdistribusi merata di seluruh ruang volume, maka f tidak bergantung
r:
Target : diberikan interaksi antar partikel, ingin diturunkan fungsi distribusi f(r,v,t)
dalam kondisi t (kesetimbangan)
Jadi kumpulan N partikel dalam ruang V akan bisa digambarkan sebagai kumpulan
N titik dalam ruang fasa r-vyang berdimensi 6. Pergerakan titik-titik tersebut di ruang fasa berkenaan dengan pergerakan partikel-
partikel N buah di ruang nyata.
Nddtfall
vrvr 33),,(
VNdtf /),( 3 vv
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
3/14
2/1/20
Kasus : Tak ada tumbukan antar partikel
Misalkan tak ada tumbukan antar partikel:
Maka sebuah partikel yg saat t ada di (r,v) sesaat kemudian t+dt akan berada di
(r+dr, v+dv), atau: (r+vdt, v+adt), dengan a=F/m adalah percepatan dan Fgaya.
Akibatnya:
Semua partikel yg saat t ada di dalam volum d3rd3v, sesaat (t+dt ) kemudian akan
berada di sekitar (r,v) atau (r+vdt, v+adt) dengan volume d3rd3v.
Jika tak ada tumbukan antar partikel maka berlaku:
Karena d3rd3v = d3r d3v, maka
(1)
''),,(),,( 3333 vravvrvrvr dddttdtdtfddtf
),,(),,( dttdtdtftf avvrvr
Kasus : Ada tumbukan antar partikel Jika ada tumbukan antar partikel:
Atau :
(2)
Arti ruas kanan:
Nettobanyaknya partikel yang masuk ke dalam volum d3rd3vkarena tumbukan
yang terjadi antara selang t dan t+dt
Jadi dapat dituliskan sbb:
(3)
Dihitung dengan asumsi:
Tumbukan binary
Tiap terjadi tumbukan tidak kembali ke volume yang sama
dtt
ftfdttdtdtf
coll
),,(),,( vravvr
collt
f
t
fff
vav
dtt
f
coll
dtRRdtt
f
coll
)( 21
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
4/14
2/1/20
Laju Tumbukan masuk-keluar R1dt d3r d3v =
jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t dan t+dt, yang salah satu partikel
yg bertumbukannya akhirnya memiliki koordinat dalam volume d3r d3v (tumbukan
masuk)
R2dt d3r d3v =
jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t dan t+dt, yang salah satu partikel
yg bertumbukannya awalnya memiliki koordinat dalam volume d3r d3v (tumbukan
keluar )
Tumbukan dan Kerangka Acuan Tumbukan 2 partikel dapat dipandang dalam kerangka Lab atau Pusat Massa (PM),
secara skematik:
V1V1
V2V2
Kerangka Lab Kerangka PM
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
5/14
2/1/20
Hukum2 Kekekalan dlm tumbukan Tumbukan dalam kerangka Lab : V1 V1 dan V2 V2 Berlaku hukum kekekalan momentum dan energi kinetik:
Definisikan besaran baru:
Dalam besaran baru ini, hukum kekekalan momentum:
Dan sebaliknya, memakai definisi diatas:
2121 '' vvvv 2
2
2
1
2
2
2
1 '' vvvv
12212
1vvuvvV
1221 '''''2
1' vvuvvV
'VV
2/2/ 21 uVvuVv
2/''2/'' 21 uVvuVv
Hukum Kekekalan Energi Hukum kekekalan energi kinetik dlm LAB :
Sehingga:
Sehingga hukum kekekalan energi menjadi :
Artinya:
BESAR kecepatan relatif 1 thd 2 tidak berubah karena tumbukan elastik
sempurna ! Hanya arahnya saja yg berubah.
uVuVvv 22
11 2/
2
2
2
1
2
2
2
1 '' vvvv
uVuVvv 22
22 2/
222
2
2
12
12 uVvv
222
2
2
1 '2
12'' uVvv
22'uu
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
6/14
2/1/20
Gambaran Geometris Tumbukan Binary Elastik
Sempurna
Tumbukan Elastik dalam Kerangka PM Jika semua kecepatan dinyatakan dalam kerangka PM, atau yang bergerak dengan
kecepatan V = v1+v2 = v1+v2, maka penerapan hukum-hukum kekekalan akan
menghasilkan :
Sebelum tumbukan: v1= - u/2 v2= u/2
Setelah tumbukan : v1= u/2 v2= u/2
Dalam kerangka PM kec masing-masing akan selalu nampak besar sama arah
berlawanan.
V1=-u/2
V2=u/2 V2=u/2
V1=u/2
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
7/14
2/1/20
Hamburan/Scattering
Peristiwa tumbukan tersebut serupa sekali dengan menganggap satu partikelbergerak dengan kecepatan tertentu ulalu dihambur oleh partikel kedua yg
dianggap diam. Sama dengan yang terjadi dengan hamburan oleh gaya central
(misal di percobaan hamburan Rutherford)
Scattering Cross Section Misal berkas partikel di ruang dengan kecepatan awal uterdistribusi merata di
ruang di hambur oleh gaya central di O.
Definisikan:
I = incidence flux : jumlah partikel dalam berkas yang akan dihambur per
satuan luas persatuan waktu.
Jika () adalah differential cross section, yg didefinisikan sbb:
I () d : banyak partikel persatuan waktu yg terhambur pada arah sudut
d di sekitar
Sudut =(,).Lihat gambar di slide sebelumnya:
I () d = I b db d
Jumlah partikel persatuan waktu yg
dihamburkan pada sudut d sekitar
Jumlah partikel persatuan waktu yg
di berkas incidence yg berada di
sudut d di antara jarak b, b+db
dari sumbu Z
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
8/14
2/1/20
Perhitungan Laju Hamburan
Asumsi (untuk menghitung : )
1. Hanya ada tumbukan biner
2. Dinding hanya pemantul sempurna
3. Tak ada gaya luar
4. Partikel bergerak randomjadi tak ada korelasi kecepatan dengan posisinya!
Dengan asumsi ini maka:
{f (r,v1,t)d3v1d
3r}*{f (r,v2,t)d3v2d
3r}= jumlah pasangan partikel dalam elemen volum
d3ryg memiliki kecepatan v1dan v2dan disekitarnya.
Perhitungan R2: laju hilangnya partikel
Dalam volume d3r di sekitar rterdapat partikel2 dengan kecepatan v1dan sekitarnya
(d3v1). Selain itu juga terdapat partikel2 dengan kecepatan v2.
Prinsip : densitas (partikel/volum) * kecepatan = arus partikel/luas = part/luas/waktu
collt
f
Perhitungan Laju HamburanDefinisikan : misal seberkas partikel dengan kec v2dan sekitarnya, akan dihambur
oleh partikel dengan kec v1, maka:
I : f (r,v2,t)d3v2 |v1-v2|
: yaitu incidence flux yang memiliki kecepatan v2dan sekitarnya, yg akan
bertumbukan dengan partikel dengan kecepatan v1 di sekitar posisi r.
Total tumbukan berjenis : {v1,v2} {v1,v2} dlm selang dt di volum d3r akan
diberikan oleh:
I()d dt = f (r,v2,t)d3v2 |v1-v2|()d dt
: total partikel yg akan terhambur ke sudut +d , dari berkas datang yg
memiliki kecepatan v2 dan sekitarnyayg dihambur oleh partikel dengan
kecepatan v1.Dimana adalah sudut antara (v2-v1 ) dan (v2-v1)
Tetapi :
R2dt d3rd3v1= jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t, t+dt di dalam
volum d3r sekitar r, dimana salah satu partikel yg bertumbukan memiliki kec v1
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
9/14
2/1/20
Perhitungan Laju Hamburan
Maka: )(),,(),,(1222
3
12 vvvrvvr tfddtfR
Total arus partikel dengan kecepatan v2yg akan
bertumbukan dengan v1dan terhambur
Total laju tumbukan tumbukan persatuan volum yg
salah satu patikelnya yg ditumbuk memiliki
kecepatannya v1dalam volume d3rdi posisi r
Sekarang tinjau tumbukan tipe {v1,v2} {v1,v2} dengan v1 tertentu.Pandang
partikel dengan kec v1dan seberkas partikel dengan kec v2 yang mendatanginya.
Incident flux diberikan oleh:
I = f (r,v2,t)d3v2 |v2-v1|
Perhitungan Laju HamburanTotal tumbukan jenis tadi yg terjadi selama selang waktu dt adalah:
dtddtf )(''''),',( 1223
2 vvvvr
Selanjutnya dengan mengintegralkan thd seluruh kemungkinan v2 dan
mengalikan dengan arus berkas yg memiliki kec v1di volume d3rsekitar r,
diperoleh total tumbukan persatuan waktu yg terjadi di volum d3rsekitar r, yang
kecepatan akhirnya salah satunya v1
)('''),',('),',(' 1221312131 dtfdtfdddR vvvrvvrvv
Tumbukan tipe {v1,v2} {v1,v2} adalah inverse dari tumbukan {v1,v2} {v1,v2} ,
sehingga berlaku:|v2-v1| = |v2-v1| dan ()=() serta d
3v1d3v2= d
3v1d3v2
Sehingga berlaku juga:
)(),',(),',( 122123
1 dtftfddR vvvrvrv
Dalam notasi tsb : v1 fixed, v1, v2fungsi v1, v2 dan
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
10/14
2/1/20
Persamaan Transport Boltzmann
Jadi:
Sehingga:
Dimana:
Dan pers. Transport Boltzmann dapat dituliskan sbb:
)(),',(),',( 121223
1 vvvrvrv tftfddR
Total laju tumbukan persatuan volum yg salah satu kecepatan akhir
partikelnya v1yg terjadi dalam volume d3rdi posisi r
21211223
12 '')( ffffddRRt
f
coll
vvv
),',('),,( tfftff kkkk vrvr
21211223
11 '')(1 ffffddfft
vvvav v
Solusi Kesetimbangan Pers Transport BoltzmannSolusi pers transport Boltzmann dalam kesetimbangan = solusi yg tak bergantung
waktu atau solusi saat t tak hingga.
Dalam kesetimbangan maka fungsi distribusi f akan bebas posisi, sehingga f= f0(v,t)
saja. Dengan subscript 0 : setimbang, sehingga dalam kondisi ini:
Atau :
Syarat cukup bagi persamaan ini (dan juga bisa dibuktikan syarat perlu) adalah:
Ternyata solusi kesetimbangan bahkan bebas bentuk ()!
Solusi kesetimbangan ini disebut distribusi Maxwell Boltzmann: f0(v)
00
collt
f
)()()'()'()(0 201020101223
vvvvvvv ffffdd
0)()()'()'( 20102010 vvvv ffff
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
11/14
2/1/20
Distribusi Maxwell-Bolztmann
Jadi solusi distribusi kecepatan pada kesetimbangan adalah fungsi f(v,t) yg memenuhi:
Trick: ambil logaritmanya, syarat ini menjadi :
ln f0(v1) + ln f0(v2) = ln f0(v1) + ln f0(v2)
Jadi ini semacam hukum kekekalan! Kalau kita bisa menemukan suatu fungsi besaran
fisika X(v) yg bersifat :
X(v1) + X(v2) = X(v1) + X(v2)
Dalam tumbukan, maka memenuhi sebagai solusi yang dicari : ln f0(v) = X(v)
Kalau ternyata ada banyak fungsi besaran Fisika yg memenuhi hal tsb, misalkan fungsi
X1, X2dst, maka tentu saja solusinya bisa lebih umum:
ln f0(v) = X1(v) + X2(v)+ .
Jadi fungsi X1, X2ini adalah besaran yg KEKAL dalam tumbukan.
)()()'()'( 20102010 vvvv ffff
Distribusi Maxwell-BolztmannDalam tumbukan klasik antar partikel yg spinless maka yang berlaku hukum kekekalan
adalah :
Kekekalan momentum (v atau vx, vydan vz)
Kekekalan energi kinetik ( v2)
Jadi solusi yang dicari dalam kasus ini adalah:
ln f0(v) = C1vx+ C2vx+ C3vx+ C4( vx2 + vy
2 + vz2 )+ C5
Atau dengan menyusun ulang suku-sukunya dan menyesuaikan konstantanya:
Atau :
Hasil terakhir ini dikenal sebagai distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann.
Ada dua konstanta skalar C, yg harus ditentukan bersama dengan 1 konstanta
vektor v0.
5
222
40 ')()()()(ln CvvvvvvCf ozzoyyoxx v
5
2
00 '||)(ln Cf vvv 2
0||
0 )( vv
v Cef
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
12/14
2/1/20
Konstanta-Konstanta Distribusi MB
Dengan distribusi MB:
(1) C
Dapat ditentukan berdasarkan syarat bahwa
Yaitu
(2) V0adalah kecepatan rata-rata
Kecepatan rata-rata adalah :
Perhitungan akan menunjukkan bahwa = v0
(3) PerhitunganTanpa mengurangi generalisasi hasilnya, untuk mempermudah perhitungan, kita
asumsikan v0=0.
Energi rata-rata dihitung menggunakan :
20 ||
0 )( vv
v Cef
VNdf /)( 3
0 vv2/3
V
NC
vv
vvv
v3
0
3
0
)(
)(
df
df
vv
vvv
3
0
3
0
2
)(
)(2/1
df
dfmE
Konstanta-Konstanta Distribusi MB
Perhitungan akan menunjukkan bahwa
Untuk penyederhaan notasi, definisikan= yaitu energi rata-rata 1 partikel, makafungsi distribusi MB adalah:
(4) Menghitung tekanan gas
Model :
dalam selang waktut, jumlah partikel ygmengenai dinding luas A kanan adalah:
= (vxt) A f(v)
4
3mE
2
4
32/3
4
3)(
vm
em
nf
v
L= vxt
v
V`x
A
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
13/14
2/1/20
Konstanta-Konstanta Distribusi MB
Tiap kali mengenai dinding A, 1 partikel tsb akan bertumbukan elastik sempurna
sehingga memberikan impuls ke dinding sebesar: px= 2m Vx = F t
Jadi gaya total yang diterima dinding tsb adalah:
Dan tekanannya adalah P = F/A:
atau
vv 3
)(2 dfAvmvF xx
vv 32 )(2 dfvmAF x
zyx
vvv
x
v
x dvdvdvevmCdevmCP zyx
2222 232 22
v
V
N
P 3
2
3
2
NPV
Konstanta-Konstanta Distribusi MB
Hubungan energi dengan temperatur
Secara eksperimen, untuk gas ideal diperoleh hubungan PV = N kT
Dengan k: konstanta Boltzmann.
Sehingga berlaku bahwa 2/3 N = N kT atau energi kinetik rata-rata 1 partikeladalah :
= 3/2 kT
Dengan definisi ini maka fungsi distribusi MB dapat dituliskan sbb:
Dengan n= N/V : rapat partikel.
Secara umum, jika V0 0, maka :
2
2
2/3
2)(
vkT
m
ekT
m
nf
v
20 ||
2
2/3
2)(
vv
v
kT
m
ekT
mnf
-
7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann
14/14
2/1/20
Distribusi Maxwell Boltzmann
2
2
2/3
2)(
v
kT
m
ekTmnf
v
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
v
Series1
Series2
T1
T2
T2 >T1
top related