mekstat chap-1 teori kinetika dan transport boltzmann

7/24/2019 Mekstat Chap-1 Teori Kinetika Dan Transport Boltzmann

1/14

2/1/20

Teori Kinetika dan Transport

Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 3 & 4

Distinguishability Asumsi : gas encer sejumlah N dalam volume tertutup V dengan kerapatan

rendah dan temperatur tinggi sehingga berlaku bahwa jarak antar partikel

gas >> ukuran paket gelombang terkait.

Dengan asumsi ini berarti satu partikel dengan yang lain dapat dibedakan.

Jadi : de Broglie


2/14

2/1/20

Definition of Distribution FunctionModel Tumbukan: Tumbukan antar partikel maupun dengan dinding elastik sempurna

Dinding hanya berfungsi sebagai pemantul saja

Target:

Mencari fungsi distribusi partikel sebagai fungsi ruang dan waktu:

f(r,v,t) d3r d3v = jumlah partikel saat t, yang berada dalam volume d3r sekitar r

dan volume d3vsekitar v.

Ruang Fasa : deskripsi keadaan sistem partikel.

Keadaan tiap titik partikel digambarkan oleh posisi r=(x,y,z) dan kecepatan v(vx,

vy, vz)

Ruang fasa partikel 1D Ruang fasa partikel 3D

X

Vx

x

vx

dvxdx

r

V

r

v

d3vd3 r

Definition of Distribution Function Jika dalam ruang dengan Volume V, mengandung N partikel, maka :

Jika partikel terdistribusi merata di seluruh ruang volume, maka f tidak bergantung

r:

Target : diberikan interaksi antar partikel, ingin diturunkan fungsi distribusi f(r,v,t)

dalam kondisi t (kesetimbangan)

Jadi kumpulan N partikel dalam ruang V akan bisa digambarkan sebagai kumpulan

N titik dalam ruang fasa r-vyang berdimensi 6. Pergerakan titik-titik tersebut di ruang fasa berkenaan dengan pergerakan partikel-

partikel N buah di ruang nyata.

Nddtfall

vrvr 33),,(

VNdtf /),( 3 vv


3/14

2/1/20

Kasus : Tak ada tumbukan antar partikel

Misalkan tak ada tumbukan antar partikel:

Maka sebuah partikel yg saat t ada di (r,v) sesaat kemudian t+dt akan berada di

(r+dr, v+dv), atau: (r+vdt, v+adt), dengan a=F/m adalah percepatan dan Fgaya.

Akibatnya:

Semua partikel yg saat t ada di dalam volum d3rd3v, sesaat (t+dt ) kemudian akan

berada di sekitar (r,v) atau (r+vdt, v+adt) dengan volume d3rd3v.

Jika tak ada tumbukan antar partikel maka berlaku:

Karena d3rd3v = d3r d3v, maka

(1)

''),,(),,( 3333 vravvrvrvr dddttdtdtfddtf

),,(),,( dttdtdtftf avvrvr

Kasus : Ada tumbukan antar partikel Jika ada tumbukan antar partikel:

Atau :

(2)

Arti ruas kanan:

Nettobanyaknya partikel yang masuk ke dalam volum d3rd3vkarena tumbukan

yang terjadi antara selang t dan t+dt

Jadi dapat dituliskan sbb:

(3)

Dihitung dengan asumsi:

Tumbukan binary

Tiap terjadi tumbukan tidak kembali ke volume yang sama

dtt

ftfdttdtdtf

coll

),,(),,( vravvr

collt

f

t

fff

vav

dtt

f

coll

dtRRdtt

f

coll

)( 21


4/14

2/1/20

Laju Tumbukan masuk-keluar R1dt d3r d3v =

jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t dan t+dt, yang salah satu partikel

yg bertumbukannya akhirnya memiliki koordinat dalam volume d3r d3v (tumbukan

masuk)

R2dt d3r d3v =

jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t dan t+dt, yang salah satu partikel

yg bertumbukannya awalnya memiliki koordinat dalam volume d3r d3v (tumbukan

keluar )

Tumbukan dan Kerangka Acuan Tumbukan 2 partikel dapat dipandang dalam kerangka Lab atau Pusat Massa (PM),

secara skematik:

V1V1

V2V2

Kerangka Lab Kerangka PM


5/14

2/1/20

Hukum2 Kekekalan dlm tumbukan Tumbukan dalam kerangka Lab : V1 V1 dan V2 V2 Berlaku hukum kekekalan momentum dan energi kinetik:

Definisikan besaran baru:

Dalam besaran baru ini, hukum kekekalan momentum:

Dan sebaliknya, memakai definisi diatas:

2121 '' vvvv 2

2

2

1

2

2

2

1 '' vvvv

12212

1vvuvvV

1221 '''''2

1' vvuvvV

'VV

2/2/ 21 uVvuVv

2/''2/'' 21 uVvuVv

Hukum Kekekalan Energi Hukum kekekalan energi kinetik dlm LAB :

Sehingga:

Sehingga hukum kekekalan energi menjadi :

Artinya:

BESAR kecepatan relatif 1 thd 2 tidak berubah karena tumbukan elastik

sempurna ! Hanya arahnya saja yg berubah.

uVuVvv 22

11 2/

2

2

2

1

2

2

2

1 '' vvvv

uVuVvv 22

22 2/

222

2

2

12

12 uVvv

222

2

2

1 '2

12'' uVvv

22'uu


6/14

2/1/20

Gambaran Geometris Tumbukan Binary Elastik

Sempurna

Tumbukan Elastik dalam Kerangka PM Jika semua kecepatan dinyatakan dalam kerangka PM, atau yang bergerak dengan

kecepatan V = v1+v2 = v1+v2, maka penerapan hukum-hukum kekekalan akan

menghasilkan :

Sebelum tumbukan: v1= - u/2 v2= u/2

Setelah tumbukan : v1= u/2 v2= u/2

Dalam kerangka PM kec masing-masing akan selalu nampak besar sama arah

berlawanan.

V1=-u/2

V2=u/2 V2=u/2

V1=u/2


7/14

2/1/20

Hamburan/Scattering

Peristiwa tumbukan tersebut serupa sekali dengan menganggap satu partikelbergerak dengan kecepatan tertentu ulalu dihambur oleh partikel kedua yg

dianggap diam. Sama dengan yang terjadi dengan hamburan oleh gaya central

(misal di percobaan hamburan Rutherford)

Scattering Cross Section Misal berkas partikel di ruang dengan kecepatan awal uterdistribusi merata di

ruang di hambur oleh gaya central di O.

Definisikan:

I = incidence flux : jumlah partikel dalam berkas yang akan dihambur per

satuan luas persatuan waktu.

Jika () adalah differential cross section, yg didefinisikan sbb:

I () d : banyak partikel persatuan waktu yg terhambur pada arah sudut

d di sekitar

Sudut =(,).Lihat gambar di slide sebelumnya:

I () d = I b db d

Jumlah partikel persatuan waktu yg

dihamburkan pada sudut d sekitar

Jumlah partikel persatuan waktu yg

di berkas incidence yg berada di

sudut d di antara jarak b, b+db

dari sumbu Z


8/14

2/1/20

Perhitungan Laju Hamburan

Asumsi (untuk menghitung : )

1. Hanya ada tumbukan biner

2. Dinding hanya pemantul sempurna

3. Tak ada gaya luar

4. Partikel bergerak randomjadi tak ada korelasi kecepatan dengan posisinya!

Dengan asumsi ini maka:

{f (r,v1,t)d3v1d

3r}*{f (r,v2,t)d3v2d

3r}= jumlah pasangan partikel dalam elemen volum

d3ryg memiliki kecepatan v1dan v2dan disekitarnya.

Perhitungan R2: laju hilangnya partikel

Dalam volume d3r di sekitar rterdapat partikel2 dengan kecepatan v1dan sekitarnya

(d3v1). Selain itu juga terdapat partikel2 dengan kecepatan v2.

Prinsip : densitas (partikel/volum) * kecepatan = arus partikel/luas = part/luas/waktu

collt

f

Perhitungan Laju HamburanDefinisikan : misal seberkas partikel dengan kec v2dan sekitarnya, akan dihambur

oleh partikel dengan kec v1, maka:

I : f (r,v2,t)d3v2 |v1-v2|

: yaitu incidence flux yang memiliki kecepatan v2dan sekitarnya, yg akan

bertumbukan dengan partikel dengan kecepatan v1 di sekitar posisi r.

Total tumbukan berjenis : {v1,v2} {v1,v2} dlm selang dt di volum d3r akan

diberikan oleh:

I()d dt = f (r,v2,t)d3v2 |v1-v2|()d dt

: total partikel yg akan terhambur ke sudut +d , dari berkas datang yg

memiliki kecepatan v2 dan sekitarnyayg dihambur oleh partikel dengan

kecepatan v1.Dimana adalah sudut antara (v2-v1 ) dan (v2-v1)

Tetapi :

R2dt d3rd3v1= jumlah tumbukan yg terjadi dalam selang waktu t, t+dt di dalam

volum d3r sekitar r, dimana salah satu partikel yg bertumbukan memiliki kec v1


9/14

2/1/20

Perhitungan Laju Hamburan

Maka: )(),,(),,(1222

3

12 vvvrvvr tfddtfR

Total arus partikel dengan kecepatan v2yg akan

bertumbukan dengan v1dan terhambur

Total laju tumbukan tumbukan persatuan volum yg

salah satu patikelnya yg ditumbuk memiliki

kecepatannya v1dalam volume d3rdi posisi r

Sekarang tinjau tumbukan tipe {v1,v2} {v1,v2} dengan v1 tertentu.Pandang

partikel dengan kec v1dan seberkas partikel dengan kec v2 yang mendatanginya.

Incident flux diberikan oleh:

I = f (r,v2,t)d3v2 |v2-v1|

Perhitungan Laju HamburanTotal tumbukan jenis tadi yg terjadi selama selang waktu dt adalah:

dtddtf )(''''),',( 1223

2 vvvvr

Selanjutnya dengan mengintegralkan thd seluruh kemungkinan v2 dan

mengalikan dengan arus berkas yg memiliki kec v1di volume d3rsekitar r,

diperoleh total tumbukan persatuan waktu yg terjadi di volum d3rsekitar r, yang

kecepatan akhirnya salah satunya v1

)('''),',('),',(' 1221312131 dtfdtfdddR vvvrvvrvv

Tumbukan tipe {v1,v2} {v1,v2} adalah inverse dari tumbukan {v1,v2} {v1,v2} ,

sehingga berlaku:|v2-v1| = |v2-v1| dan ()=() serta d

3v1d3v2= d

3v1d3v2

Sehingga berlaku juga:

)(),',(),',( 122123

1 dtftfddR vvvrvrv

Dalam notasi tsb : v1 fixed, v1, v2fungsi v1, v2 dan


10/14

2/1/20

Persamaan Transport Boltzmann

Jadi:

Sehingga:

Dimana:

Dan pers. Transport Boltzmann dapat dituliskan sbb:

)(),',(),',( 121223

1 vvvrvrv tftfddR

Total laju tumbukan persatuan volum yg salah satu kecepatan akhir

partikelnya v1yg terjadi dalam volume d3rdi posisi r

21211223

12 '')( ffffddRRt

f

coll

vvv

),',('),,( tfftff kkkk vrvr

21211223

11 '')(1 ffffddfft

vvvav v

Solusi Kesetimbangan Pers Transport BoltzmannSolusi pers transport Boltzmann dalam kesetimbangan = solusi yg tak bergantung

waktu atau solusi saat t tak hingga.

Dalam kesetimbangan maka fungsi distribusi f akan bebas posisi, sehingga f= f0(v,t)

saja. Dengan subscript 0 : setimbang, sehingga dalam kondisi ini:

Atau :

Syarat cukup bagi persamaan ini (dan juga bisa dibuktikan syarat perlu) adalah:

Ternyata solusi kesetimbangan bahkan bebas bentuk ()!

Solusi kesetimbangan ini disebut distribusi Maxwell Boltzmann: f0(v)

00

collt

f

)()()'()'()(0 201020101223

vvvvvvv ffffdd

0)()()'()'( 20102010 vvvv ffff


11/14

2/1/20

Distribusi Maxwell-Bolztmann

Jadi solusi distribusi kecepatan pada kesetimbangan adalah fungsi f(v,t) yg memenuhi:

Trick: ambil logaritmanya, syarat ini menjadi :

ln f0(v1) + ln f0(v2) = ln f0(v1) + ln f0(v2)

Jadi ini semacam hukum kekekalan! Kalau kita bisa menemukan suatu fungsi besaran

fisika X(v) yg bersifat :

X(v1) + X(v2) = X(v1) + X(v2)

Dalam tumbukan, maka memenuhi sebagai solusi yang dicari : ln f0(v) = X(v)

Kalau ternyata ada banyak fungsi besaran Fisika yg memenuhi hal tsb, misalkan fungsi

X1, X2dst, maka tentu saja solusinya bisa lebih umum:

ln f0(v) = X1(v) + X2(v)+ .

Jadi fungsi X1, X2ini adalah besaran yg KEKAL dalam tumbukan.

)()()'()'( 20102010 vvvv ffff

Distribusi Maxwell-BolztmannDalam tumbukan klasik antar partikel yg spinless maka yang berlaku hukum kekekalan

adalah :

Kekekalan momentum (v atau vx, vydan vz)

Kekekalan energi kinetik ( v2)

Jadi solusi yang dicari dalam kasus ini adalah:

ln f0(v) = C1vx+ C2vx+ C3vx+ C4( vx2 + vy

2 + vz2 )+ C5

Atau dengan menyusun ulang suku-sukunya dan menyesuaikan konstantanya:

Atau :

Hasil terakhir ini dikenal sebagai distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann.

Ada dua konstanta skalar C, yg harus ditentukan bersama dengan 1 konstanta

vektor v0.

5

222

40 ')()()()(ln CvvvvvvCf ozzoyyoxx v

5

2

00 '||)(ln Cf vvv 2

0||

0 )( vv

v Cef


12/14

2/1/20

Konstanta-Konstanta Distribusi MB

Dengan distribusi MB:

(1) C

Dapat ditentukan berdasarkan syarat bahwa

Yaitu

(2) V0adalah kecepatan rata-rata

Kecepatan rata-rata adalah :

Perhitungan akan menunjukkan bahwa = v0

(3) PerhitunganTanpa mengurangi generalisasi hasilnya, untuk mempermudah perhitungan, kita

asumsikan v0=0.

Energi rata-rata dihitung menggunakan :

20 ||

0 )( vv

v Cef

VNdf /)( 3

0 vv2/3

V

NC

vv

vvv

v3

0

3

0

)(

)(

df

df

vv

vvv

3

0

3

0

2

)(

)(2/1

df

dfmE


Perhitungan akan menunjukkan bahwa

Untuk penyederhaan notasi, definisikan= yaitu energi rata-rata 1 partikel, makafungsi distribusi MB adalah:

(4) Menghitung tekanan gas

Model :

dalam selang waktut, jumlah partikel ygmengenai dinding luas A kanan adalah:

= (vxt) A f(v)

4

3mE

2

4

32/3

4

3)(

vm

em

nf

v

L= vxt

v

V`x

A


13/14

2/1/20


Tiap kali mengenai dinding A, 1 partikel tsb akan bertumbukan elastik sempurna

sehingga memberikan impuls ke dinding sebesar: px= 2m Vx = F t

Jadi gaya total yang diterima dinding tsb adalah:

Dan tekanannya adalah P = F/A:

atau

vv 3

)(2 dfAvmvF xx

vv 32 )(2 dfvmAF x

zyx

vvv

x

v

x dvdvdvevmCdevmCP zyx

2222 232 22

v

V

N

P 3

2

3

2

NPV


Hubungan energi dengan temperatur

Secara eksperimen, untuk gas ideal diperoleh hubungan PV = N kT

Dengan k: konstanta Boltzmann.

Sehingga berlaku bahwa 2/3 N = N kT atau energi kinetik rata-rata 1 partikeladalah :

= 3/2 kT

Dengan definisi ini maka fungsi distribusi MB dapat dituliskan sbb:

Dengan n= N/V : rapat partikel.

Secara umum, jika V0 0, maka :

2

2

2/3

2)(

vkT

m

ekT

m

nf

v

20 ||

2

2/3

2)(

vv

v

kT

m

ekT

mnf


14/14

2/1/20

Distribusi Maxwell Boltzmann

2

2

2/3

2)(

v

kT

m

ekTmnf

v

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

v

Series1

Series2

T1

T2

T2 >T1

mekstat chap-1 teori kinetika dan transport boltzmann

Documents