Download - Bab 8 Elastis Dua Dimensi
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
1/14
BAB VIII. ELASTISITAS DUA DIMENSI
Teori elastisitas yang telah di bahas pada bab sebelumnya berhubungan dengan
kondisi tegangan dalam bodi elastisitas tiga dimensi. Kasus khusus tentang
permasalahan dua dimensi akan dibahas dalam bab ini. Pembahasan dibatasi pada
elemen segitiga karena integralnya dapat di evaluasi relative mudah. Matriks
elemen untuk elemen segiempat dan semua elemen berorder lebih akan dievaluasi
dengan teknik integral numeric pada bab X.
8.1 plane Stress dan plane Strain
Reduksi dari permasalahan tiga dimensi ke permasalahan dua dimensi dapat
terjadi melalui dua kondisi, yaitu kondisi plane stress dan kondisi plane strain.
8.1.1 Plane Stress
Kondisi plane stress dikatakan ada jika bidi elastic adalah sangat tipis dan tidak
ada pembebanan pada arah kordinat parallel terhadap ketebalan. Komponen-
komponen tegangan berhubungan dengan arah ketebalan, !!, , !"dan , !y adalah
sangat kecil sehingga diasumsikan sama dengan nol, jika ada pembebanan pada
permukaan "-y #gambar $.%&
'ubstitusikan harga-harga nol untuk !!, , !" dan , !y kedalam #(.%&
menunjukan komponen-komponen yang tidak nol adalah !!, , !" dan , !y.
)ector tegangan dapat ditulis sebagai
#$.%&
'ubstitusikan harga-harga tegangan nol kedalam hokum *ook + /01
+menggunakan #(.(& untuk /01 menunjukan bah2a
# $.3&
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
2/14
Regangan normal. !! adalah tidak nol, dan regangan ini dapat dihitung, jika ""
dan yydiketahui.
4ambar $.%. bodi tipis dalam kondisi plane stress
5ua regangan geser berhubungan dengan aksis-! juga sama dengan nol, sehingga
vector regangan adalah
#$.6&
)ector regangan total menjadi
#$.7&
'ementara
#$.8&
Matrik /51, yang menghubungkan + dan +untuk plane stress, diperoleh
dengan meghilangkan baris dan kolom tiga, lima, dan enam dari #(.(& dan
menginvers sisa matriks 6"6. *ubungan 9inal
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
3/14
#$.:&
8.1.2 Plane Strain
Kondisi plane strain terjadi jika sebuah bodi tidak bebas berekpansi pada arah
tegak lurus terhadap permukaan beban. ;ika kita asumsikan bah2a gaya-gaya
bekerja pada permukaan x-y, maka simpangan pada arah-z, adalah nol dan
simpangan udan v hanya sebagai 9ungsi " dan y saja. *al ini menyebabkan e !!, e"!,
dan ey!sama dengan nol.
'ubstitusikan harga-harga nol tersebut, maka vector regangan menjadi
#$.(&
#$.$&
5an
#$.
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
4/14
#$.%%&
Matriks /51 dapat diperoleh dari #:.$& dengan menghilangkan baris dan
kolom tiga, lima, enam.
#$.%3&
5imana
#$.%6&
8.2. Persamaan-Persamaan Simpangan
>da dua simpangan belum diketahui dalam permasalahan elastisitas dua dimensi,
yaitu udan v. 'impangan parallel terhadap aksis-!, 2 adalah nol jika kondisinya
plane strain dan sebagai 9ungsi u dan v jika kondisinya plane stress. 'impangan u
dan v di modelkan sebagai elemen kontinum dengan mende9enisikan komponnen
dua simpangan pada setiap titik nodal #gambar $.3&
Model paling sederhana unntuk u dan v adalah menggunakan variasi
linier unntuk setiap simpangan adalah elemen. 'impangan hori!ontal u didekati
dengan
#$.%6&
'edangkan komponen vertical v di2akili oleh
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
5/14
#$.%7&
4ambar $.3. simpangan-simpangan titik nodal untuk elemen segitiga linier elastic
5alam setiap persamaan, ?i,?j, dan ?k adalah 9ungsi-9ungsi interpolasi
dikembangkan dalam bab @@@ dan diberikan oleh #6.$&, #6.tau
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
6/14
#$.%(&
5imana /?1 adalah matriks 3": mengandung 9ungsi-9ungsi interpolasi dan
+A#e&mengandung simpangan-simpangan titik nodal elemen.
*ubungan tegangan-regangan tiga dimensi #(.%3& tereduksi menjadi
#$.%$&
Karena 2 adalah nol dan u dan v tidak merupakan 9ungsi !. substitusikan #$.%6&
kedalam #$.%$&, kemudian dide9erensialkan, diperoleh
#$.%
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
7/14
#$.3%&
Persamaan #$.3%& mende9enisikan matriks gradient 6":, /B1 untuk elemen
segitiga. ;umlah baris melampui dimensi dari permasalahan karena memang ada
tiga komponnen simpangan yang belum diketahui dalam permasalahan dua
dimensi.
8. Matri-Matris Elemen
Matriks kekakuan elemen diberikan oleh #(.6=&
#$.33&
5imana /B1 dide9enisikan dengan #$.3%& dan /51 dengan #$.:& atau #$.%3&. @ntegral
ini siap dievaluasi karena /B1 dan /51 terdiri dari ungkapan-ungkapan konstan.
*asilnya adalah
#$.36&
5imana t adalah tebal elemen dan A adalah luasan elemen. *asil kali matriks
/B1T/51/B1 dapat dilakukan dengan computer. *arga t digunakan dalam #$.36&
adalah tebal sesungguhnya untuk kondisiplane stressdan sama dengan satu untuk
kondisiplane strain
)ector gaya elemen di berikan dalam #(.6%& setelah mengabaikan gaya
bodi, C dan tegangan permukaan p!. sedangkan dua komponen yang lain eksis
dalam permasalahan dua dimensi. *asil persamaan adalah
#$.37&
5imana /?1 dide9inisikan oleh #$.%(&
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
8/14
@ntegral pertama dalam #$.37& mudah dievaluasi karena matriks-
matriksnya hanya mengandung koe9isien-koe9isien konstan. *asil integral adalah
#$.38&
Perkalian matriks relative mudah dievaluasi, tetapi prosedur terbaik adalah
dilakukan dengan computer. 0atatan perkalian bah2a /B1T /51 juga terjadi dalam
/k#e&1, #$.36&, sehinga ini dapat di evaluasi dalam 5D-loop yang sama.
@ntegral volume melibatkan gaya-gaya bodi adalah mudah dievaluasi jika
9ungsi-9ungsi interpolasi diganti dengan eEuivalen koordinat luasannya. @ntegral
gaya bodi adalah
#$.3:&
@ntegral #$.37& yang melibatkan tegangan permukaan p"dan pyharus diintegrasi
sepanjang sisi elemen. 0atatan bah2a dF tdl3, sehingga integral menjadi
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
9/14
#$.3(&
5imana G adalah panjang sisi. @ntegral #$.3(& mempunnyai tiga harga sisi yang
berbeda, yang meliputi sisi ij, jk, ik. >sumsikan bah2a tegangan-tegangan
permukaan bekerja pada sisi ij, #$.3(& menjadi
#$.3$&
>kan tetapi,Nkadalah nol sepanjang sisi ij. 5engan menggunakan 9akta ini dan
substitusikan koordinat luasan untuk 9ungsi-9ungsi interpolasi, menghasilkan
#$.3
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
10/14
#$.6=&
Masing-masing untuk sisijkdanik.
Perlu diperhatikan bah2a p" dan pyadalah positi9 jika diarahkan pada
arah-arah koordinat positi9. >rah-arah positi9 ditunjukan dalam gambar $.6
4ambar $.6. >rah-arah tegangan permukaan positi9.
!"nt"# il$strasi
*itunglah matriks kekakuan elemen dan vector gaya termal untuk elemen plane
stress ditunjukan dalam gambar $.7. elemen mengalami kenaikan temperature
%=o0.
Matriks kekakuan elemen diberikan oleh #$.36& sebagai /k#e&1 t>/B1T
/51 /B1. 4radien matriks /B1 adalah
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
11/14
4ambar $.7. Hlemen elastic segitiga
5imana > #6& #3& I 3 6 cm3dan
'ubstitusi memberikan
*ukum *ooke dalam matriks /51, #$.:& adalah
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
12/14
Hvaluasi /k#e&1 dapat dimulai dengan mengevaluasi /B1T/51 karena
perkalian ini juga terjadi saat mengevaluasi vector gaya termal.
)ector gaya termal diberikan oleh #$.38& adalah + ft(e)
/B1T/51+Tt> .
vector regangan adalah
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
13/14
4unaka perkalian /B1T/51 sebelumnya, di peroleh
8.%. Tegangan- Tegangan Elemen
*asil yang di perlukan dalam permasalahan elastisitas adalah komponen-
komponen tegangan bekerja pada bodi. Komponen-komponen tegangan dalam
suatu elemen dapat dihitung, sekali simpangan-simpangan titik nodal elemen
diketahui. Komponen-komponen tegangan diberikan oleh #(.67& menggunakanvector-vektor +,+, +T seperti di de9enisikan pada a2al bab ini.
!"nt"# Il$strasi
*itunglah komponen-komponen tegangan untuk elemen dalam gambar $.7 jika
simpangan titik nodal adalah
Komponen-komponen tegangan diberikan oleh + /51/B1+A#e&-+T.
5engan menggunakan /B1,/51, dan +T pada contoh ilustrasi yang berhubungan
dengan gambar $.7, di peroleh
-
7/25/2019 Bab 8 Elastis Dua Dimensi
14/14
5an
Komponen-komponen tegangan adalah
Komponen-komponen tegangan adalah konstan dalam elemen linier.
*arga ini diasumsikan pada titik pusat elemen segitiga. *arga-harga yang konstan
ini merupakan kelemahan dari elemen linier.