平成 24 年度 佐野日大高校 SSH特別授業
折り紙と作図 (2012.5.15)
市原 一裕 日本大学文理学部
11.. 作図
中学校第1学年
線分の垂直二等分線,角の二等分線
⇒やってみよう! 作図ソフト「シンデレラ」
2. 作図の歴史
! 古代エジプト (測量・建築のため)
直角の作図
(辺の比3:4:5の三角形の利用)
! メソポタミア
三平方の定理,円周率の近似値
学問としての「作図」
古代ギリシャで発展!
! ターレス (B.C.624-546 頃)!!初めての論理的な「証明」!
! ユークリッド (B.C. 365-275 頃)!!初めての幾何学の本「原論」!!(実際には,総合数学書).!!形式:定義・公理・定理.!!正三・四・五・六角形の作図
3. 作図問題と代数学
作図問題を 代数学(Algebra) で研究!
⇔ 「方程式」の利用!
どのような点が作図できるか!
どのような長さを実現できるか!
ただし、定規とコンパスのみを使う。
正五角形は作図可能 である。
紀元前(2500年前)から知られている
正17角形は作図可能 である。
1796年に証明(およそ2000年ぶり)
C.F.ガウス(1777-1855)
正17角形は作図可能証明(1796)
実際に作図の手順を与えた訳ではない
作図可能であることを代数的に証明
作図可能性
[ガウスが示したこと]
定規とコンパスによる作図で表せるのは! 二次方程式を繰り返し解いて得られる!!範囲の数だけ!
例えば
正p角形 (pは素数) が作図可能であるための必要十分条件は、ある t に対して
の形となることである。 122 +=t
p
作図可能な正 p 角形は、
無限にたくさんあるか?
それとも、有限個しかないか?
(ただし p を素数とする)
わからない(現在でも未解決)
三大作図問題は不可能!
ワンツェル(1837)
角の3等分・立方体倍積
リンデマン(1882)
円積問題(πの超越数性)
4. 折り紙と作図問題
「定規とコンパス」だけでは不可能な作図
⇒ 他の方法ではどうだろうか??
実は
「折り紙」では実現可能!!! (1980.阿部 恒)
では実際に折ってみましょう.
折り紙の公理系
藤田文章(物理学者) 1989年,第1回「折り紙の科学国際会議」 (イタリア,フェラーラ)
「折り紙の公理」発表
「折紙の新しい可能性を偏見なく発見する」
⇒ 「折り紙」の科学的研究の発展へ!
近年の発展 (2)
第3回!折り紙の科学・数理・教育に
関する国際会議!(2001,アメリカ・モントレー)!アメリカのNGO団体!「origami USA」スポンサー!
論文集⇒!
さいごに
定規とコンパスによる「作図」にも,
数学者たちによる長い研究の歴史が
秘められている.
教材として,また玩具として,広く親し
まれている日本の伝統技「折り紙」.
もっと知って活用してください.
みなさんが知っている学校の「数学」は「数学」という広い世界のほんの一部
「数学」は長く深い歴史をもち,しかし,まだまだ未完成で活発に研究されている
さらに「数学」は単なる学問としてだけでなく,「文化」「芸術」としてみることもできる