Download - Geometri Euclid(1)
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
1/52
Euclid Geometry
BAB I PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Geometri adalah struktur matematika yangmembicarakan unsur dan relasi
yang ada antara unsur tersebut. Titik, garis, bidang, danruang merupakan bendaabstrak yang menjadi unsur dasar geometri.Berdasarkan unsur -unsur inilah,didefinisikan pengertian-pengertian baru atau berdasar
pada pengertian-pengertianbaru sebelumnya.
Dalam geometri didapat juga sifat-sifat pokok, yaitusifat-sifat pertama yang
tidak berdasarkan sifat-sifat yang mendahuluinya yaituaksioma dan posulat.Aksioma adalah suatu pernyataan yang kebenarannyaditerima tanpa melalui
pembuktian.berdasarkan sifat pokok tersebut dapatditurunkan sifat-sifat yangdisebut dengan dalil. Dalil tersebut dapat jugadibentuk berdasarkan dalilsebelumnya. Dalil merupakan sebuah pernyataan yangkebenarannya dapatditerima melalui serangkaian pembuktian.
imbol atau lambang merupakan alat bantuyang mengandung suatupengertian. uatu lambang tertentu digunakan untukmenyatakan hal tertentusedangkan suatu hal tertentu dapat juga disimbolkandengan bermacam-macamlambang. eperti titik dilambangkan dengan hurufkapital misalnya A, B, ! dan
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
2/52
seterusnya, garis dilambangkan dengan huruf kecilmisalnya garis k, l, atau dapat
"""diladen
duaABgar
lambang-lambang yang lainseperti AB yangmenunjukkansegmen AB.
Euclid dengan buku Elemen-nya adalah hasil karya
klasik matematika darijaman purbakala yang paling terkenal, dan jugamenjadi buku teks matematikatertua yang selalu digunakan dunia. edikit yang bisadiketahui tentang Euclid,kecuali fakta bah&a dia hidup di Ale'andria sekitartahun ()) *. +okok
persoalan utama dari karyanya adalah geometri,perbandingan dan teori bilangan.
Telah diperlihatkan bah&a bukti geometrikdengan cara menggambarkan
kesimpulan melalui diagram untuk saat ini dianggaptidak memuaskan. Buktitersebut tidak memenuhi standar sekarang. Di lain pihak,Euclid, yang merupakan
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
3/52
Euclid Geometryahli logika ternama, bergantung sepenuhnya
pada pembuktian menggunakangambar.
+ostulat sejajar Euclid, yakni berupasatu kalimat penting dalam sejarah
kontroersi intelektual, dapat dinyatakansebagai berikut $ ika dua garis dibagi
oleh garis transersal sedemikian sehinggajumlah dua sudut interiornya #sudutdalam% pada sisi transersal adalah kurang dari/) , garis tersebut akan bertemu o
pada sisi transersal tersebut.ejarah pentingnya postulat sejajartersebut didasarkan pada peran
pentingnya dalam teori Euclid. 0leh karenaitu, pertama dimulai dengan
mensketsa teori geometri bidang Euclid.Agar menjadi bukti, penting dilakukan
pemeriksaan terhadap struktur teori ini.+erlakuan yang dilakukan tidak mengikutidetailnya perkembangan Euclid, tetapimenekankan pada ide dasarnya denganmenggunakan istilah yang lebih moderndan juga perlakuan yang cukup sesuaidengan hasil kerjanya yang sekarang,
sehingga banyak dipakai di berbagai bukuajar.
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
4/52
1
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
5/52
Euclid Geometry
BAB II
PEMBAHASAN
A.
GEOMETRI EUCLID
Tidakbanyakorangyang
beruntungmem
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
6/52
pero
lehkemas
yhuranya
nga
badi
se
pert
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
7/52
iEu
clid,ahl
iilmuuk
ur2unani
yang
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
8/52
besa
r.*eski
p
unsemasa
hidu
pnya
tokoh
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
9/52
-tok
ohse
pert
i
3a
poleo
n,*artin
4uthe
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
10/52
r,A
le'ander
yangAgun
g,
jauhl
ebiht
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
11/52
erke
nalketim
bangEucl
idteta
pi
dalam
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
12/52
jan
gka
pan
ja
ngketena
rannya
mungkin mengungguli semua mereka yangdisebut itu.
elain kemasyhurannya, hampir tak adaketerangan terperinci mengenai
kehidupan Euclid yang bisa diketahui.*isalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagaiguru di Ale'andria, *esir, di sekitar tahun()) *, tetapi kapan dia lahir dan
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
13/52
kapan dia &afat betul-betul gelap. Bahkan, kitatidak tahu di benua apa dan dikotaapa dia dilahirkan. *eski dia menulis
beberapa buku dan diantaranya masih ada
yang tertinggal, kedudukannya dalamsejarah terutama terletak pada bukunyayang hebat mengenai ilmu ukur yang bernamaThe Elements.
5ebanyakan teorema yang disajikandalam buku The Elements tidak
ditemukan sendiri oleh Euclid, tetapimerupakan hasil karya matematika&an2unani a&al seperti +ythagoras #dan para
pengikutnya%, 6ippocrates dari !hios,Theaetetus dari Athena, dan Eudo'us dari!nidos. Akan tetapi, secar a umumEuclid dihargai kar ena telah menyusunteorema-teorema ini secara logis, agardapat ditunjukkan #tak dapat disangkal,tidak selalu dengan bukti teliti sepertiyang dituntut matematika modern% bah&acukup mengikuti lima aksioma
sederhana. Euclid juga dihargai karenamemikirkan sejumlah pembuktian jeniusdari teorema-teorema yang telah ditemukansebelumnya, misalnya Teorema 7/ diBuku 8.
(
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
14/52
Euclid GeometryArti penting buku The Elements
tidaklah terletak pada pernyataanrumus-
rumus pribadi yang dilontarkannya. 6ampirsemua teori yang terdapat dalam bukuitu sudah pernah ditulis orang sebelumnya,dan juga sudah dapat dibuktikan
kebenarannya. umbangan Euclid terletakpada cara pengaturan dari bahan-bahandan permasalahan serta formulasinya secaramenyeluruh dalam perencanaan
penyusunan buku. Di sini tersangkut, yangpaling utama, pemilihan dalil-dalilserta perhitungan-perhitungannya, misalnyatentang kemungkinan menarik garislurus diantara dua titik. esudah itu dengan
cermat dan hati-hati dia mengatur dalilsehingga mudah difahami oleh orang-orangsesudahnya. Bilamana perlu, diamenyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan danmengembangkan percobaan-percobaanterhadap permasalahan yang terle&atkan.+erlu dicatat bah&a buku The Elementsselain terutama merupakan
pengembangan dari bidang geometri yangketat, juga di samping itu mengandung
bagian-bagian soal aljabar yang luas berikutteori penjumlahan.
Buku The Elements sudah merupakanbuku pegangan baku lebih dari 1)))
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
15/52
tahun dan tak syak lagi merupakan buku yangpaling sukses yang pernah disusunmanusia. Begitu hebatnya Euclid menyusun
bukunya sehingga dari bentuknya
saja sudah mampu menyisihkan semuabuku yang pernah dibuat orangsebelumnya dan yang tak pernah digubrislagi. Aslinya ditulis dalam bahasa2unani, kemudian buku The Elements ituditerjemahkan ke dalam berbagai
bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 7/1,sekitar () tahun sebelum penemuanmesin cetak oleh Gutenberg. ejak penemuan
mesin itu dicetak dan diterbitkanlahdalam beribu-ribu edisi yang beragam corak.
ebagai alat pelatih logika pikiranmanusia, buku The Elements jauh lebih
berpengaruh ketimbang semua risalahAristoteles tentang logika. Buku itumerupakan contoh yang komplit sekitarstruktur deduktif dan sekaligusmerupakan buah pikir yang menakjubkan dari
semua hasil kreasi otak manusia.Adalah adil jika kita mengatakan
bah&a buku Euclid merupakan faktorpenting bagi pertumbuhan ilmu pengetahuanmodern. 8lmu pengetahuan bukanlahsekedar kumpulan dari pengamatan-
pengamatan yang cermat dan bukan pulasekedar generalisasi yang tajam serta bijak.6asil besar yang direnggut ilmu
7
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
16/52
Euclid Geometrypengetahuan modern berasal dari kombinasiantara kerja penyelidikan empiris dan
percobaan-percobaan di satu pihak, dengananalisa hati-hati dan kesimpulan yang
punya dasar kuat di lain pihak.5ita masih bertanya-tanya apa sebabilmu pengetahuan muncul di Eropa dan
bukan di !ina, tetapi rasanya aman jika kitamenganggap bah&a hal itu bukanlahsemata-mata lantaran soal kebetulan.*emanglah, peranan yang digerakkan olehorang-orang brilian seperti 3e&ton, Galileodan !opernicus mempunyai maknayang teramat penting. Tetapi, tentu ada sebab-musababnya mengapa orang-orangini muncul di Eropa. *ungkin sekali faktor
historis yang paling menonjol apasebab mempengaruhi Eropa dalam segiilmu pengetahuan adalah rasionalisme2unani, bersamaan dengan pengetahuanmatematika yang di&ariskan oleh 2unanikepada Eropa. +atut kiranya dicatat bah&a!ina9meskipun berabad-abad lamanyateknologinya jauh lebih maju ketimbangEropa9tak pernah memiliki struktur
matematika teoritis seperti halnya yangdipunyai Eropa. Tak ada seorangmatematikus !ina pun yang punya hubungandengan Euclid. 0rang-orang !inamenguasai pengetahuan yang bagus tentangilmu geometri praktis, tetapi
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
17/52
pengetahuan geometri mereka tak pernahdirumuskan dalam suatu skema yangmengandung kesimpulan.
Bagi orang-orang Eropa, anggapan
bah&a ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanyaberasal, tampaknya hal yang &ajarkarena mereka punya contoh Euclid yang
berada di belakang mereka. +adaumumnya orang Eropa tidak beranggapangeometrinya Euclid hanyalah sebuahsistem abstrak, melainkan mereka yakin
benar bah&a gagasan Euclid --dan
dengan sendirinya teori euclid-- memangbenar-benar merupakan kenyataan yangsesungguhnya.
+engaruh Euclid terhadap ir 8saac3e&ton sangat kentara sekali, sejak
3e&ton menulis buku tersohornya ThePrincipia dalam bentuk kegeometrian,mirip dengan The Elements . Berbagaiilmu&an mencoba menyamakan diri dengan
Euclid dengan jalan memperlihatkanbagaimana semua kesimpulan mereka secaralogis berasal mula dari asumsi asli. Takkecuali apa yang diperbuat oleh ahlimatematika seperti :ussel, ;hitehead danfilosof pino
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
18/52
Euclid Geometry5ini, para ahli matematika sudah
memaklumi bah&a geometri Euclid,bukan satu-satunya sistem geometri yangmemang jadi pegangan pokok dan teguhserta yang dapat direncanakan pula, mereka
pun maklum bah&a selama =) tahunterakhir banyak orang yang merumuskan
geometri bukan a la Euclid. ebenarnya,sejak teori relatiitas Einstein diterimaorang, para ilmu&an menyadari bah&ageometri Euclid tidaklah selamanya benardalam penerapan masalah cakra&alayang sesungguhnya. +ada kedekatan sekitar>4ubang hitam> dan bintang neutron --misalnya-- dimana gaya berat berada dalamderajat tinggi, geometri Euclid tidak
memberi gambaran yang teliti tentangdunia, ataupun tidak menunjukkan
penjabaran yang tepat mengenai ruangangkasa secara keseluruhan. Tetapi,contoh-contoh ini langka, karena dalam
banyak hal pekerjaan Euclid menyediakankemungkinan perkir aan yang mendekatikenyataan. 5emajuan ilmu pengetahuanmanusia belakangan ini tidak mengurangi
baik hasil upaya intelektual Euclidmaupun dari arti penting kedudukannya dalamsejarah.
The Elements terdiri atas tiga belasbuku. Buku menguraikan proposisi-
proposisi dasar dari geometri bidang datar,
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
19/52
termasuk tiga kasus dalam halkekongruenan segitiga, macam-macamteorema tentang garis-garis sejajar,teorema mengenai jumlah sudut-sudut
dalam sebuah segitiga dan teorema+ythagoras. Buku 1 berkenaan denganaljabar geometris, kar ena kebanyakanteoremanya tidak lebih tentang penafsiranaljabar sederhana. Buku ( menyelidikilingkaran dan sifat-sifatnya, dan termasukteorema tentang tangent dan sudut-sudut yang digambarkan. Buku 7 terkaitsegibanyak beraturan dan lingkaran-
lingkaran yang mengelilinginya. Buku =mengembangkan teori aritmetika tentang
perbandingan. Buku ? menerapkan teoriperbandingan kepada geometri bidangdatar, dan memuat teorema-teorema bilangankembar. Buku @ menguraikan teori
bilangan dasar$ misalnya bilangan prima,faktor persekutuan terbesar, dan lain-lain. Buku / terkait dengan deret geometri.
Buku memuat macam-macamaplikasi dari hasil dua buku sebelumnya,dan memuat teorema-teoremaketakterhinggaan bilangan prima, maupunrumus jumlah deret geometri. Buku )
berusaha menggolongkan besaran yang takdapat dibandingkan #dengan kata lainirasional% menggunakan apa yang disebutmetode keletihanC, suatu rintisan
?
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
20/52
Euclid Geometryintegral kuno. Buku menghitung olumerelatif dari kerucut, piramida, tabung,dan bola menggunakan metode keletihan.Dan akhirnya, buku ( meneliti apayang biasa disebut lima benda padat platonis.
B. STRUKTUR GEOMETRI EUCLID
Asumsi atau postulat yang ada untukgeometri bidang Euclid adalah $
. esuatu akan sama dengan sesuatu atausesuatu yang sama akan sama satu
sama lainnya.1. ika kesamaan ditambahkan dengankesamaan, maka jumlahnya akan sama.(. ika kesamaan dikurangi dari kesamaan,
selisihnya akan sama.7. 5eseluruhan akan lebih besar daripada
bagiannya.=. Bangun geometrik dapat dipindahkantanpa mengubah ukuran atau
bentuknya.?. etiap sudut memiliki bisektor.@. etiap segmen memiliki titik tengah./. Dua titik hanya berada pada satu satunya
garis.. ebarang segmen dapat diperluas olehsuatu segmen yang sama dengan
segmen yang diberikan.). 4ingkaran dapat digambarkan dengansebarang titik pusat dan radius yang
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
21/52
diketahui.. emua sudut siku 9 siku sama besar.
Dari postulat 9 postulat di atas dapatdideduksi sejumlah teorema dasar.
Diantaranya adalah $. udut bertolak belakang sama besar.1. ifat kongruensi segitiga # A, AA, %(. Teorema kesamaan sudut dasar segitigasama kaki dan konersinya7. Eksistensi garis yang tegak lurus padagaris pada titik dari garis tersebut=. Eksistensi garis yang tegak lurus pada
garis yang melalui titik eksternal?. +embuktian suatu sudut yang samadengan sudut dengan titik sudut dan sisi
yang telah diberikan sebelumnya.
@
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
22/52
Euclid Geometry
@. +embentukan segitiga yang kongruendengan segitiga dengan sisi yang sama
pada sisi segitiga yang diketahui.
ekarang akan dibuktikan teoremasudut eksterior, sebagai cara menuju
perkembangan lebih lanjut.
Teorema 1 . Teorema sudut eksterior. uduteksterior segitiga akan lebih besardaripada sudut interior terpencil manapun.
Bukti. *isal AB! adalah segitiga sebarang
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
23/52
dan misalkan D merupakan"""" B! perpanjangan darimelalui !. +ertama akanditunjukkan bah&a sudut
eksteriorA!D lebih besar dari A. misalkan
E merupakan titik tengah A!, dan misalkanBE merupakan perluasan panjangnya melaluiE hingga . *aka AE E! BE
!E # sudut bertolak belakangsama besar %. adi AEB E danAEB
!
E # A %, dan BAE !E # akibat segitigakongruen %. 5arena A!DF
!E # keseluruhan sudut selalu lebih besardari bagiannya %, maka disimpulkan
bah&a A!D F BAE A.""""ntuk
menunjukkan
bah&aA!DFB,
perlua
s H Hmelalui !hingga 6,yang
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
24/52
membentuk B!6. 5emudian tunjukkanbah&a B!6 F B, denganmenggunakan prosedur bagian pertama
pembuktian$ misalkan * merupakan titik
"""" """"" B! A*tengah , perluas panjang melalui *,dan lain-lain. ntuk melengkapi bukti,
perhatikan bah&aB!6 dan A!D merupakansudut bertolak belakangsehingga
sudut tersebut sama besar.+ernyataan A!D F !E
bergantung pada diagramnya.ekarang mudah
melakukan pembuktian beberapa hasil yangcukup penting.
/
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
25/52
Euclid Geometry
Teorema 2 . ika dua garis dibagi olehgaris transersal sehingga membentuk
pasangan sudut interior dalam berseberangan,maka garis tersebut sejajar.
Bukti. 8ngat kembali bah&a dua garis dalambidang yang sama dikatakan sejajarjika garis tersebut tidak bertemu#berpotongan%. *isalkan garis transersal
membagi dua garis l, m pada titik A, Bsehingga membentuk pasangan sudutinterior dalam berseberangan, dan 1,yang sama besar, dan misalkan garis ldan garis m tidak sejajar. *aka garis l dangaris makan
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
26/52
bertemu di titik ! yangmembentuk AB!. ! terletak pada satu sisiAB atau pada sisi yang lainnya.ntuk kasus lainnya, sudut eksterior AB!
sama dengan sudut interior terpencil.#misalkan, jika ! pada sisi AB yang samasebagai 1 maka sudut eksterior
samadengansudutinterior
terpencil1 %.6alinikontradiksidengan
teorema
sebelumnya. 0leh karena itu garis l dan garism sejajar.Akiat 1. Dua garis tegak lurus terhadap garisyang sama pasti sejajar.ebagai akibat langsung akibat adalahAkiat 2 . 6anya ada satu garis yangtegak lurus terhadap garis melalui titik
eksternal.Akiat ! . #Eksistensi garis sejajar%. ikatitik + tidak berada pada garis l, makaakan ada setidaknya satu garis yang melalui +yang sejajar dengan l.
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
27/52
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
28/52
Euclid Geometry
Bukti . Dari + hilangkan garis tegak luruspada garis l yang memiliki kaki di I,dan di +
buatgaris
m yangtegak
lurus
terhadap +I. *aka garis m sejajar dengangaris l menurut akibat .
Teorema !. umlah dua sudut segitiga kurangdari /) . o
Bukti. *isalkan AB! merupakan sebarangsegitiga. Akan ditunjukkan bah&a
A J B K /) . +erluas !B melalui Bhingga ke D. maka ABD merupakan osudut eksterior AB!. Dengan menggunakanteorema , ABD F A, tetapi
ABD /) -B.dengan mensubstitusikan untuk ABD padarelasi pertama, o
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
29/52
maka $/) - B F A, atau /) FA J B. adi, A J B K/) , dan o oo
teorema tersebut terbukti.
Pe"##a"ti Po$tu%at Se&a&ar Eu'%i(
+ostulat sejajar Euclid biasanyadigantikan oleh pernyataan berikut ini $
Hanya ada satu garis sejajar pada garis
yang melalui titik bukan pada garis
tersebut.+ernyatan ini disebut dengan postulat
+layfair. +ostulat ini bisa dihubungkandengan postulat sejajar Euclid karenasebenarnya dua pernyataan ini tidak sama.+ernyataan sebelumnya merupakan
pernyataan tentang garis sejajar, danpernyataan kedua mengenai garis bertemu.
Bahkan kedua pernyataan tersebutmemainkan peran yang sama dalamperkembangan logis geometri. Dikatakanpernyataan ini ekialen secara logis. 6alini berarti bah&a jika pernyataan
pertama dianggap sebagai postulat #bersamadengan semua postulat Euclid kecuali
postulat sejajar%, kemudian pernyataankedua dapat dideduksi sebagai teoremaL
dan konersinya, jika pernyataan keduadianggap sebagai postulat #bersamadengan semua postulat Euclid kecuali postulatsejajar%, maka pernyataan pertama
)
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
30/52
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
31/52
Euclid Geometry
dapat dideduksi sebagai teorema. adi secaralogis, tidak penting dua pernyataanmana yang akan diasumsikan sebagai
postulat dan yang mana yang akandideduksi sebagai suatu teorema.
Eki)a%e"$i Po$tu%at Eu'%i( (a" P%a*+air
Akan dibuktikan ekialensi postulatEuclid dan postulat +layfair.+ertama, dengan mengasumsikan
postulat sejajar Euclid, maka akandideduksi postulat +layfair.
Diketahui garis l dan titik + tidak pada l#gambar 1.=%, maka akan ditunjukkan
bah&a hanya ada satu garis melalui + yangtidak pada l. diketahui bah&a ada garismelalui + yang sejajar dengan l, dandiketahui juga bagaimana caramenggambarnya #akibat (,teorema 1%. Dari +,dihilangkan garis tegak lurus pada l
dengdan padtegak tegak
pada Hgaris m
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
32/52
sejajar garis l.5emudian misalkan gar is n sebaranggaris melalui + yang berbeda dengan
garis m. maka akan ditunjukkan bah&a garis
n bertemu dengan garis l. *isalkan
menunjusudut garis
bertemu H H . *a
bukanmerupakan sudut siku-siku untuk sebaliknya
garis n dan garis m berimpit,berla&anan dengan asumsi. adi atau1 adalah sudut lancip, misalnya yang merupakan sudut lancip.
:ingkasannya, garis l dan garis ndibagi oleh garis transersal sehingga
membentuk sudutlancip dan sudutsiku 9 siku, yang
merupakan sudutinterior
pada sisi yang sama dari garis transersaltersebut. 5arena jumlah sudut tersebutkurang dari /) , postulat sejajar Eucliddapat diaplikasikan dan disimpulkan o
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
33/52
bah&a garis n bertemu dengan garis l .adi garis m hanya satu 9 satunya garis
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
34/52
Euclid Geometry
yang melalui + yang sejajar dengan garis ldan
dideduksikan bah&a postulat+layfair dari postulat sejajar Euclid.
ekarang dengan mengasumsikanpostulat +layfair, akan dideduksipostulat
sejajar Euclid.
Gamar
2.,
*isalkgaris tramembent
dan 1, pasangan sudut interior pada
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
35/52
satu sisi garis transersal yangmemiliki
jumlah sudut kurang dari /) # gambar 1.? %,adalah $ o
#% J1 K /) o
*isalkan (menunjukkan tambahan yangterletak pada sisi berla&anan
H H dari dan 1 # gambar 1.? %, maka$
#1% J ( /) oDari hubungan #%, #1% maka $
#(% 1 K (+ada titik +, bentuk I+: yang samadengan dan yang interior dalam
bererangandengan(. *aka K +Isehingga
H berbedari gam.
H H menurut teorema1, sejajar dengan l .5arenanya menurut
postulat +layfair, mtidak sejajar dengan l. 0leh karena itu, garism dan l bertemu.
eandaingaris
bertemu berla&andari d
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
36/52
1 merupakan sudut eksterior+IE, karenanya 1, katakanlah di titik Emaka
1 F ( , berla&anan dengan #(%. Akibatnya,
pengandaian tadi salah, jadi garis m
HHdan
l
bertemu
padasis
igaris
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
37/52
tran
sersalya
ngmemuat
dan1.
adi
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
38/52
1
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
39/52
Euclid Geometrypostulat sejajar Euclid mengikuti postulat+layfair dan akibatnya dua postulattersebut menjadi ekialen.
C. PERAN POSTULAT SE-A-AR
EUCLID
Dengan mengasumsikan postulatsejajar Euclid berikut ini merupakan
beberapa hasil penting yang dapat dibenarkan $. ika dua garis sejajar dibagi oleh garistransersal, sebarang pasangan sudut
interior dalam berseberangan yangterbentuk akan sama besar.
1. umlah sudut sebarang segitiga adalah/)M.(. isi bertolak belakang dari jajaran genjangadalah sama besar.7. Garis sejajar selalu berjarak sama.=. Eksistensi segi empat dan bujur sangkar.?. Teori luas menggunakan unit persegi.@. Teori segitiga yang sama, yangtermasuk eksistensi bangun dengan ukuran
sebarang yang sama dengan bangun yangdiketahui.
+ostulat sejajar Euclid merupakansumber untuk banyak hasil yangsangat
penting. Tanpa postulat tersebut #atau
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
40/52
ekialennya%, kita tidak akan memiliki teoriluas yang sudah lama dikenal, teori kesamaan,dan teori +ythagoras yang terkenalitu.
!ara dimana Euclid mengaturteoremanya mengimplikasikan bah&a
sesungguhnya Euclid tidak sepenuhnya puasdengan postulat sejajarnya. Euclidmanyatakan hal tersebut di a&al karjanyatetapi pernyataan itu tidak dipakainyasampai akhirnya dia tidak dapat malakukankemajuan tanpa postulat tersebut.Agaknya, Euclid memiliki intuisi bah&a
postulat sejajar tersebut tidak memilikikualitas intuitif ataupun sederhana dari
postulat lainnya. :asa yang demikiandilakukan oleh para ahli geometri dalamselama 1) abad. +ara ahli mencobamendeduksi postulat sejajar dari postulatlainnya, atau menggantikan postulattersebut dengan postulat yang nampaknyalebih pasti.
(
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
41/52
Euclid Geometry
D. TOKOHTOKOH DALAM
PERKEMBANGAN EUCLID
GEOMETR/
Bukti Pro'%u$ te"ta"# Po$tu%at Se&a&ar
Eu'%i(
+rolus #7)-7/=% memberikan buktiCtentang postulat sejajar Euclid yang
kita ringkas sebagai berikut $5ita asumsikan postulat Euclid bukansebagai postulat sejajar. *isalkan +
merupakan titik tidak berada pada garis l#gambar 1.@%. kita bentuk garis m
melal dendigunaka +lurus denI, dan m tegdengan ekarang
anggaplah ada garis lain n melalui + yangyang sejajar dengan l, maka nmembentuk sudut lancip dengan garis +I,yang terletak katakanlah pada sisi
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
42/52
kanan +I . Bagian dari n disebelah kanan titik + seluruhnya termuatdalam daerah
+I yang
dibatasi olehgaris l , mdan .ekarangdimisalkanN adalahsebarangtitik
"""" di
m yangletaknyadisebelahkanantitik +,misalkan N2tegak
lurusdenganl di 2
"""""""" """" N2N2 NO dan misalkangaris tersebut bertemudengan garis n di O.*aka F .
""""NO*isalkan Nmundur di
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
43/52
garism ,makamening
katsecaratidakmenentu,karena
"""" NO setidaknya sama besarnya dengansegmen dari N yang tegak lurus dengan n.
"""" N2 adi juga meningkat secara
tidak menentu. Tetapi jarak antara duagaris sejajar
harus terbatas. 0leh karena itu, akan menjadikontradiksi dan pengandaian salah.adi, m hanya merupakan satu-satunya garisyang melalui + yang sejajar dengangaris l. 5arenanya, postulat +layfair berlaku,dan juga ekialen dengan postulatsejajar Euclid.
7
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
44/52
Euclid GeometryArgumen +rolus tersebut mencakup (
asumsi $a. jika dua garis saling berpotongan, jarak
pada suatu garis dari satu titik kegaris lainnya akan meningkat secara
tak menentu, karena titik tersebut
mundur (menyusut) tak berujung.
b. segmen terpendek yang menghubungkantitik eksternal pada suatu garismerupakan segmen yang tegak lurus.
c. jarak antara dua garis sejajar adalahterbatas.
#a% dan #b% dapat dibenarkan tanpabantuan postulat sejajar Euclid. adi inti
persoalan pembuktian adalah asumsi #c%.
+roclus mengasumsikan #c% sebagaipostulat tambahan. *ari kita sebut sebagaipostulat asumsi +roclus tersembunyi.5emudian bisa dinyatakan$ postulat +roclusekialen dengan postulat sejajar+roclus. +ostulat sejajar Euclidmengimplikasikan bah&a jarak antara garissejajarselalu konstan, dan terbatas. 5onersinya,
melalui argumen +roclus dapatdinyatakan bah&a postulat +roclusmengimplikasikan postulat sejajar Euclid.adi, +roclus menggantikan postulat sejajardengan postulat yang ekialen, dan
bukan menetapkan aliditas postulat sejajar
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
45/52
tersebut.
Per'oaa" Sa''0eri u"tuk
Memerta0a"ka" Po$tu%at Eu'%i(
Girolamo accheri #??@-@((%melakukan studi yang mendalamtentang
geometri dalam buku yang berjudul EuclidesVindicatus, yang diterbitkan di tahunsaat kematiannya. Beliau melakukan
pendekatan terhadap permasalahanpembuktian postulat sejajar Euclid dengan
cara baru yang radikal. +rosedurnyaekialen dengan mengasumsikan bah&a
postulat sejajar Euclid salah, danmenemukan kontradiksi dengan penalaranlogis. 6al ini akan mensahkan postulatsejajar dengan menggunakan prinsip metodetak langsung.
*aksud accheri adalah studi segi empatyang memiliki sisi yang sama
panjang dan tegak lurus dengan sisi ketiga.Tanpa mengasumsikan sebarang
postulat sejajar, beliau melakukan studimendalam tentang segi empat tersebutyang sekarang disebut dengan segi empataccheri. *isalkan AB!D merupakansegi empat accheri dengan AD B! dansudut siku-siku di A, B #gambar 1.)%.
=
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
46/52
Euclid Geometry
accheri membuktikan bah&a ! D dankemudian mempertimbangkan tiga
kemungkinan yang berhubungan dengan sudut! dan D $. hipotesis tentang sudut siku-siku # ! D )M%1. hipotesis tentang sudut tumpul # ! DF )M%
(. hipotesis tentang sudut lancip # ! DK )M%
ika postulat sejajar Euclid diasumsikan,maka hipotesis sudut siku-sikuakan terjadi #karena postulat sejajarmengimplikasikan bah&a jumlah sudutsebarang segi empat adalah (?)M%. Argumen
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
47/52
dasar accheri sebagai berikut$Tunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul
dan hipotesis sudut lancip
keduanya membawa keadaan kontradiksi. Hal
ini akan membentuk hipotesis sudutsikusiku yang eki!alen dengan postulat
sejajar Euclid.
accheri membuktikan menggunakansederetan teorema yang memilikialasan yang tepat, bah&a hipotesis suduttumpul akan menghasilkan kontradiksi.
Beliau mempertimbangkan implikasihipotesis sudut lancip. Di antaranya
ada sejumlah teorema yang tidak umum, duadi antaranya kita nyatakan sebagai
berikut$"umlah sudut sebarang segitiga kurang
dari #$%&.
"ika l dan m merupakan dua garis dalam
bidang, maka salah satu dari
si'at di bawah ini di penuhi
a. l dan m berpotongan, dalam
kasus di mana dua garis tersebutdi!ergen dari titik perpotongan.
b. l dan m tidak berpotongantetapi memiliki garis tegak lurus
yang
sama di mana dua garis
tersebut di!ergen dalam kedua
arah dari
garis tegak lurus yang sama
tersebut.
?
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
48/52
Euclid Geometryc. l dan m tidak brpotongan dan
tidak memiliki garis tegak lurus
yang
sama, di mana dua garis tersebutkon!ergen dalam satu arah
langkah,
dan di!ergen pada arah lainnya.
accheri tidak memandang sebagaikontradiksi, meskipun beliau pikirharus menganggap sebagai kontradiksi dan
bahkan diketahui pada masa sekarangbah&a teori hipotesis sudut lancip accheribebas kontradikisi seperti geometriEuclid.
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
49/52
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
50/52
Euclid GeometryBAB III
PENUTUP
KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang dapat ditarik daripenyusunan makalah ini adalah sebagaiberikut$
. merupakan sistem aksiomatik,dimana semua teorema Geometri Euclid
#>pernyataan yang benar>% diturunkandari bilangan aksioma yang terbatas,artinya hasil-hasil pentingPteorema-teorema tersebut merupakan akibat dari
postulat sejajar.1. +eran postulat sejajar Euclid adalahsebagai sumber untuk banyak hasil
yang sangat penting. Tanpa postulattersebut #atau ekialennya%, kita tidakakan memiliki teori luas yang sudahlama dikenal, teori kesamaan, dan teori+ythagoras yang terkenal. adi postulatsejajar Euclid akan lebih berperanapabila dideduksi dengan postulat
lainnya atau digantikan dengan postulatlainnya yang lebih pasti.
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
51/52
/
-
7/24/2019 Geometri Euclid(1)
52/52