dokumen.tips geometri transformasi rotasi 55bd34460a60c

7/24/2019 Dokumen.tips Geometri Transformasi Rotasi 55bd34460a60c

1/39

BAB I

ROTASI

A. Pengertian Rotasi

Rotasi (perputaran) merupakan suatu transformasi yang memasangkan

titik ke himpunan titik lainnya dengan cara memutar. Atau dengan kata lain rotasi

adalah peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung

dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar yang tertentu dengan arah

searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan gambar

berubah.Pada transformasi rotasi terlihat bahwa titik atau bangun bayangan

kongruen dengan bangun semula, maka rotasi memiliki sifat transformasi isometri

seperti translasi dan refleksi. Pada transformasi isometri, jarak merupakan besaran

yang tidak berubah (inverian).

Rotasi (perputaran) ditentukan oleh

!. "itik pusat rotasi

#. $esar sudut rotasi

%. Arah sudut rotasi

Apabila arah perputaran searah dengan arah jarum jam, maka

dipandang sebagai sudut yang negatif. &ebaliknya apabila arah perputaran

berlawanan dengan arah jarum jam maka dipandang sebagai sudut yang

positif.

Pada gambar dibawah ini titik P disebut dengan pusat rotasi dan

disebut jarak perputaran.

$

+

A'

+

P A $

Gambar 1.1 Arah Rotasi

!


2/39

+

B. Rotasi Berpusat di Titik O(0, 0

ari gambar disamping diketahui bahwa

*P + *P' + r y' P'(', y')

ari *-P

cos rx = y P(, y)

+ r cos

sin ry =

y + r sin * '

Gambar 1.! Rotasi di titik O (0, 0

/aka dari *-'P'

' + r cos ( + ) y' + r sin( + )

' + r ( sinsincoscos ) y' + r ( cossincossin + )

' + r sinsincoscos r y' + r cossincossin r+

' + cos y sin y' + sin0 y cos

engan memperhatikan uraian tersebut, dapat dikatakan bahwa rotasi

berpusat di *(1, 1) sebesar akan memetakan titik P(, y) ke titik P'(', y') dengan

"# $ " %os & sin $ " sin' & %os

2ontoh &oal

"entukan bayangan titik P (34, 5) dirotasikan 671terhadap titik pusat * (1,

1) jika

a. $erlawanan arah dengan jarum jam

b. &earah dengan jarum jamPenyelesaian

a. ' + cos y sin

+ 34 cos 6718 5 sin 671

+ 34

##

!35

##

!

+ 36 # 3 % #

+ 39 #

#


3/39

y' + sin0 y cos

+ 34 sin 6710 5 cos 671

+ 34

#

#

!

0 5

#

#

!

+ 36 # 0 % #

+ 3 #

P (34, 5) :1, 671; P'(39 # , 3 # )

b. ' + cos y sin

+ 34 cos (3671) 8 5 sin (3671)

+ 34

#

#

!35

#

#

!

+ 36 # 0 % #

+ 3 #

y' + sin0 y cos

+ 34 sin (3671) 0 5 cos (3671)

+ 34

#

#

!0 5

##

!

+ 6 # 0 % # + 9 #

P (34, 5) :1, 3671; P'(3 # , 9 # )

$erikut ini beberapa kemungkinan untuk nilai khusus dari

!.


4/39

7.


5/39

Penyelesaian y

P(, y) 1=1R P'(3y, )

P(%, %) 1=1R P'(3%, %) P'(3%, %) % P(%, %)

=11

3% 1 %

atriks &ang Bersesuaian /engan Rotasi di Titik O(0, 0

iketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik * (1, 1) adalah

' + cos y sin

y' + sin0 y cos

/aka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu

=

y

x

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

2ontoh &oal

"itik A (6, !) dirotasikan terhadap titik * (1, 1) sejauh =1 1berlawanan arah

putaran jam. "entukanlah bayangan titik A>

Penyelesaian y

7


6/39

6A'(3!, 6)

A(6, !)

=11

=

y

x

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

=

!6

=1cos

=1sin

=1sin

=1cos((

1

1

1

y

x

5


7/39

3! 6

=

!

6

1

!

!

1

(

(

y

x

=

6

!

(

(

y

x

A (6, !) 1=1R A' (3!, 6)

. Rotasi Berpusat di Titik A(a,b

Perhatikan gambar di bawah ini

P'(', y')

y'

(y3b)

y + P(, y)

9


8/39

b A(a, b)

(3a)

* a '

Gambar 1. Rotasi A (a,b

ari gambar di atas diketahui

AP + AP' + r

ari A-P

cos ( )

r

x

=

( 3 a) + r cos

sin ( )

r

by =

(y 3 b) + r sin

/aka dari A-'P'

' 8 a + r cos ( )+

' 8 a + r( ) sin.sincos.cos

' 8 a + sin.sincos.cos rr

' + a 0 ( 3 a) cos 3 (y 3 b) sin

y' 8 b + r sin ( )+

y' 8 b + r( ) sin.coscos.sin +

y' 8 b + sin.coscos.sin rr +

y' + b 0 ( 3 a) sin0 (y 3 b) cos

engan memperhatikan uraian diatas, dapat dikatakan bahwa rotasi

berpusat di A(a, b) sebesar akan memetakan titik P(, y) ke titik P'(', y')

dengan

' + a 0 ( 3 a) cos 3 (y 3 b) sin

y' + b 0 ( 3 a) sin0 (y 3 b) cos

$erikut ini kemungkinan untuk nilai khusus dari jika dirotasikan pada

titik A (a, b)

!.


9/39

y

?'(6, 9)

' + a 0 ( 3 a) cos 3 (y 3 b) sin

' + a 0 ( 3 a) cos 1=1 3 (y 3 b) sin 1=1

' + a 0 (1) 3 (y 3 b) .!

' + a 0 b 8y

y' + b 0 ( 3 a) sin0 (y 3 b) cos

y' + b 0 ( 3 a) sin 1=1 0 (y 3 b) cos 1=1

y' + b 0 ( 3 a) .! 01

y' + 3a 0 b 0

&ehingga P(, y) 1=1R P'(a 0 b 8y, 3a 0 b 0 )

engan cara yang sama diperoleh

#.


10/39

!

3# 6 7

?(3#, %)

3=11%

@(6, 7)

5

7

9

%

@'(5, !)

/'(7, #)

/(%, 6)

# A(+, !

1

atriks &ang Bersesuaian /engan Rotasi di Titik A(a, b

iketahui bahwa rotasi yang berpusat di titik A(a, b) adalah

' + a 0 ( 3 a) cos 3 (y 3 b) sin

y' + b 0 ( 3 a) sin0 (y 3 b) cos

/aka dapat dibuat matriks yang bersesuaian yaitu

!1


11/39

+

=

by

ax

b

a

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

2ontoh &oal

!. iketahui garis P dengan P(#, 3%) dan (%, #) dirotasikan sejauh !411

berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi A(3!, !). "entukan P''>

Penyelesaian

3


12/39

+

=

by

ax

b

a

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

!#


13/39

+

+

=

!%

!#

!41cos

!41sin

!41sin

!41cos

!

!

1

1

1

1

y

x

+

+

1

!

!

!

6

%

!

1

!%


14/39

+

=

+

7

6

6

%

!

!

P(#, 3%) 1=1R P'(36, 7)

3


15/39

+

+

=

!#

!%

!41cos

!41sin

!41sin

!41cos

!

!

1

1

1

1

y

x

+

+

1

!

!

!

!

6

!

1

!7


16/39

%#

3%P(#, 3%)

P'(36, 7)

'(37, 1)

37

7

+

=

+

1

7

!

6

!

!

(%, #) 1=1

R P'(37, 1)

y

A =11

1

!5

(%, #)


17/39

#. "entukan persamaan bayangan garis # 8 y 0 !1 + 1 dengan pusat (3#, 6)

dirotasikan sebesar#

.

Penyelesaian

2ara B

/atriks transformasi dari#

+ 3=11+

!

1

1

!

# 8 y 0 !1 + 1

/isalkan + 1 1!1# =+ yx y + 1 1!1# =+ yx

1 8 y 0!1 + 1 # 8 1 0 !1 + 1

3 y + 3!1 # + 3!1

y + !1 +

7#

!1=

Cadi titik A (1, !1) dan titik $ (37, 1)

3 "ititk A (1, !1) dirotasikan terhadap#

.

!9


18/39

+

=

by

ax

b

a

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

!4


19/39

+

+

=

6!1

#1

)=1cos(

)=1sin(

)=1sin(

)=1cos(

6

#

1

1

1

1

y

x

+

+

!

1

6

#

5

#

1

!

!=


20/39

+

=

+

#

6

#

5

6

#

P(1, !1) 1=1

R P'(6, #)

3 "ititk $ (37, 1) dirotasikan terhadap#

.

#1


21/39

+

=

by

ax

b

a

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

#!


22/39

+

+

=

61

#7

)=1cos(

)=1sin(

)=1sin(

)=1cos(

6

#

1

1

1

1

y

x

+

+

!

1

6

#

6

%

1

!

##


23/39

+

=

+

9

5

%

6

6

#

P(37, 1) 1=1

R P'(35, 9)

Cadi bayangan dari garis # 8 y 0 !1 + 1 adalah

!#

!

!#

!

xx

xx

yy

yy

=

65

6

#9

#

= xy

!1

6

7

#

= xy

3!1(y 8 #) + 7( 8 6)

3!1y 0 #1 + 7 8 #1

7 0 !1y 8 61 + 1

0 #y 8 4 + 1

2ara BB

#%


24/39

+

=

by

ax

b

a

y

x

cos

sin

sin

cos

(

(

#6


25/39

+

+

=

6

#

)=1cos(

)=1sin(

)=1sin(

)=1cos(

6

#

1

1

1

1

y

x

y

x

+

+

!

1

6

#

+

6

#

1

!

y

x

#7


26/39

+

+

=

+

#

5

#

6

6

#

x

y

x

y + y 8 5 y' + 3 0 #

y + ' 0 5 + 3y' 0 #

&ubsitusi ke persamaan garis

# 8 y 0 !1 + 1

#(3y' 0 #) 8 (' 0 5) 0 !1 + 1

3#y' 0 6 8 ' 8 5 0 !1 + 1

3' 8 #y' 0 4 + 1

' 0 #y' 8 4 + 1

/aka bayangan dari garis # 8 y 0 !1 + 1 adalah 0 #y 8 4 + 1

y

!1

# 8 y 0 !1 + 1

0 #y 8 4 + 1

#

#5


27/39

y

35 37 6

BAB II

ROTASI PA/A IRISA2 34R55T

A. Rotasi Pada 6ingkaran

Rotasi pada lingkaran lebih ditekankan pada perotasian, yaitu titik pusat

lingkaran.


28/39

=11

*

37 7

37

#. iketahui persamaan lingkaran #!45## =+ yxyx . "entukanlah

persamaan lingkaran jika dirotasikan sebesar 3!411dengan pusat rotasi A(3

!, !).

Penyelesaian

2ara B

/isalkan pusat lingkaran P(!, y!) dan titik perputaran A(a, b).

#!45## =+ yxyx

( ) ( ) #!45 ## =+ yyxx

( ) ( ) #!!56=% ## =+ yx

( ) ( ) !5=#!6% ## ++=+ yx

( ) ( ) 66% ## =+ yx

Pusat lingkaran P(!, y!) + P(%, 6) dan r + #

P(, y) 1!41

R P'(#a 8 , #b 3 y)

P(%, 6) 1!41

R P'(37, 3#)

/aka persamaan lingkaran yang baru adalah

( ) ( ) ##!#

! ryyxx =+

( ) ( ) 6)#()7( ## =+ yx

( ) ( ) 6#7 ## =+++ yx

666#7!1 ## =+++++ yyxx

6#=6!1 ## =++++ yyxx

#=66!1 ## =+++ yyxx

#76!1## =+++ yxyx

2ara BB

#4


29/39

y

!411

6

%

3#

3!

!

P(, y) 1!41

R P'(#a 8 , #b 3 y)

## xaxxax == y' + #b 3 y # yby =

A(3!, !) # xx = EE(!) A(3!, !) # yy = EE(#)

Persamaan (!) dan (#) disubtitusikan ke persamaan

#!45## =+ yxyx

( ) ( ) ( ) ( ) #!#4#5## ## =+ yxyx

#!4!55!#)(66)(66 ## =+++++++ yxyyxx

#!66!1)()( ## =++++ yxyx

6#!6!1)()( ## =+++ yxyx

#76!1)()( ##

=+++ yxyx

/aka persamaan lingkaran yang baru adalah

#76!1)()( ## =+++ yxyx

#!45## =+ yxyx

37 1

#76!1)()( ## =+++ yxyx

B. Rotasi Pada Parabo7a

Pada parabola rotasi dilakukan pada titik puncak dan titik fokus.


30/39

y

=11

6

#

36

6 4

34

#

( ) 1%#4!56 # =++ xyy

( ) 1!546 # =++ xyy

( ) !546 # =+ xyy

( ) )#(46 # =+ xyy

$ila parabola berpuncak di P(h, k), maka

3 Puncak (#, 36)

3 #6

446. #! ==== ppLL

3 Fokus F(p 0 h, k) + F(6, 36)

3irektris + 3p 0 h + #3# + 1

irotasikan sebesar =11, maka

P(, y) 1=1R P'(3y, )

P(#, 36) 1=1R P'(6, #)

F(6, 36) 1=1R F'(6, 6)

16444# =+ yxx

1%#44# =++ xyy

/aka didapat titik pusat bayangan adalah P'(6, #) dan fokusnya F'(6, 6),

dimana parabola terbuka keatas sehingga persamaan parabolanya adalah

( ) ( )kyphx = 6#

%1


31/39

( ) ( )6#.66 # = yx

( ) ( )646 # = yx

%#4!54# =+ yxx

1%#!544# =++ yxx

16444# =+ yxx

#. iketahui persamaan direktris parabola adalah garis + !, sedangkan

fokus F(%, #). "entukanlah persamaan parabola tersebut dan persamaan

bayangannya setelah dirotasikan sejauh !411dengan pusat rotasi A(3!, 6).

Penyelesaian

3 Fokus F(p 0 h, k) + F(%, #)

p 0 h + %EE(!)

3irektris + 3p 0 h + !

p 0 h + !E..(#)

Persamaan (!) dan (#) dieliminasi

p 0 h + %

p 0 h + !

h + # p 0 h + %

p 0 # + %

p + % 8 # + !

3 Puncak (#, #)

3 6!.66. #! === pLL

3&umbu simetri y + k + #

/aka persamaan parabolanya

( ) ( )hxpky = 6#

( ) ( )#!.6# # = xy

( ) ( )#6# # = xy

4666# =+ xyy

14666# =++ xyy

1!#66# =+ xyy

irotasikan sebesar !411dengan pusat rotasi A(3!, 6), maka

P(, y)1

!41

R P'(#a 8 , #b 3 y)

%!

0


32/39

y

! % 4

# y + #

3637

5

y + 35

6

3!

P(#, #) 1!41R P'(36, 5)

F(%, #) 1!41

R F'(37, 5)

F'(p 0 h, k) + F'(37, 5)

p 0 h + 37

p 0(36) + 37

p + 3706 + 3!

3&umbu simetri y' + k + 5

3irektris + 3p 0 h + 3(3!)3 6 + 3%

+ 3%

1#16!## =+ xyy

!411

1!#66# =+ xyy

+ !

/aka didapat titik pusat bayangan adalah P'(36, 5) dan fokusnya F'(37, 5),

dimana parabola terbuka kekiri sehingga persamaan parabolanya adalah

( ) ( )hxpky = 6#

( ) ( )6!.65 # += xy

( ) ( )665 # += xy

!56%5!## +=+ xyy

1!56%5!## =+ xyy

1#16!## =+ xyy

%#


33/39

. Rotasi Pada 47ips

Perotasian pada elips dilakukan terhadap titik pusat dan titik puncak di

sumbu dan y. Perotasian juga dilakukan terhadap titik fokus.


34/39

/aka persamaan parabolanya adalah

!#

#

#

#

=+a

y

b

x

!7% #

#

#

#

=+ yx

!#7=

##

=+ yx

y

7 A#'

F#' 6

$!%

#911

A# 37 36 F# % $#' 1 $!' % F!6 7 A!

$#3%

F!' 36

37 A!'

#. iketahui persamaan elips !#7

)#(

%5

)#( ##

=

+ yx

dirotasikan sejauh =11

berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi di titik *(1, 1). "entukan

persamaan bayangan dan gambarkanD

Penyelesaian

&umbu mayor terletak di sumbu maka titik puncak dan titik fokus

terletak di sumbu , dimana a G b.

5%5# == aa

7#7# == bb

&umbu mayor #a + #.5 + !#

&umbu minor + #b + #.7 + !1

c + %=#7%575 #### ==== ba

%6


35/39

3Pusat P(h, k) + (#, #)

3Fokus F!(h 0 c, k) + F!(7, #) dan F#(h 8 c, k) + F#(3!, #)

3Puncak A!(h 0 a, k) + A!(4, #) dan A#+ (h 8 a, k) + A#(36, #)

3 "itik pada sumbu minor $!(h, k 0 b) + $!(#, 9)

$#(h, k 3 b) + $#(#, 3%)

irotasikan sebesar =11dengan pusat rotasi *(1, 1), maka

P(, y) 1=1R P'(3y, )

P(#, #) 1=1R P'(3#, #)

F!(7, #) 1=1R F!'(3#, 7)

F#(3!, #)1

=1R F#'(3#, 3!)

A!(4, #) 1=1R A!'(3#, 4)

A#(36, #) 1=1R A#'(3#, 36)

$!(#, 9) 1=1R $!'(39, #)

$#(#, 3%) 1=1R $#'(%, #)

"itik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak

di y, dimana a H b.

/aka persamaan parabolanya adalah

!)()(

#

#

#

#

=

+

a

ky

b

hx

!5

)#(

7

)#(#

#

#

#

=

+ yx

!%5

)#(

#7

)#( ##

=

+ yx

y

A!' 4 $!

9

F!' 7

%7


36/39

$!' A# P' F# # P $#' F! A!

!411

36 3# 3! 1 # % 7 4

3!

3#

3% $#

A#' 36

/. Rotasi Pada 8iperbo7a

Perotasian pada hiperbola sama halnya dengan elips yaitu dilakukan

terhadap titik pusat dan titik puncak di sumbu dan y. Perotasian juga dilakukan

terhadap titik fokusnya, untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut

2ontoh &oal

iketahui persamaan hiperbola !

=!5

##

= yx

dirotasikan sejauh #911

berlawanan dengan arah jarum jam. "entukan bayangan hiperbola dan gambarkan

jika

a. "itik putar di *(1, 1)

b. "itik putar di A(!, 1)

Penyelesaian

?arena a G b, maka titik puncak dan titik fokus terdapat di sumbu ,

sehingga didapat

6!5# == aa

%=# == bb

&umbu mayor #a + #.6 + 4

&umbu minor + #b + #.% + 5

c + 7#7=!5%6 #### ==+=+=+ ba

3Pusat *(1, 1)

3Fokus F!+ (7, 1)dan F#+ (37, 1)

%5


37/39

F!

A# A!F#

$! %

$# 3%

$!'$#'

A#' 6

A! 36

F#'

F!'

#911

3Puncak A!+ (6, 1) dan A#+ (36, 1)

3"itik pada sumbu minor $!(1, %) dan $#(1, 3%)

a. irotasikan sebesar #911dengan pusat rotasi *(1, 1), maka

P(, y) 1#91R P'(y, 3)

P(1, 1) 1#91R P'(1, 1)

F!(7, 1) 1#91R F!'(1, 37)

F#(37, 1) 1#91R F#'(1, 7)

A!(6, 1) 1#91R A!'(1, 36)

A#(36, 1) 1#91R A#'(1, 6)

$!(1, %) 1#91R $!'(%, 1)

$#(1, 3%) 1#91R $#'(3%, 1)

"itik puncak dan titik fokus pada sumbu y sehingga sumbu mayor terletak

di y, dimana a H b.

/aka persamaan hiperbolanya adalah

!#

#

#

#

=a

y

b

x

!6%

#

#

#

#

=yx

7

!!5=

##

= yx

37 36 3% 1 % 6 7

37

b. irotasikan sebesar #911dengan pusat rotasi A(!, 1), maka

P(, y) 1#91R P'(a 8 b 0 y, a 0 b 3)

P(1, 1) 1#91R P'(!, 1)

F!(7, 1) 1#91R F!'(!, 36)

F#(37, 1) 1#91R F#'(!, 5)

%9


38/39

F!A#

A!

F#

$! %

$# 3%A!'

$!'$#'

36

F#'

F!'

#911

7

A!(6, 1) 1#91R A!'(!, 3%)

A#(36, 1) 1#91R A#'(!, 7)

$!(1, %)1

#91R

$!'(6, !)

$#(1, 3%) 1#91R $#'(3#, !)

?arena pusat hiperbola mengalami perubahan dan parabolanya terbuka ke

atas dan ke bawah, dimana a H b.

/aka persamaan hiperbolanya adalah

!#

#

#

#

=a

y

b

x

!6

)1(%

)!(#

#

#

#

= yx

!!5=

)!( ##=

yx 5 F#'

A#'

6

37 36 3% 3# 3! 1 P ! P# % 6 7

3!

4. 3omposisi /ua Rotasi Berurutan &ang Sepusat

Cika titik P(, y) diputar sejauh ! berlawanan arah jarum jam dengan

titik pusat rotasi *(1, 1), diperoleh bayangan P'(', y') yang dilanjutkan dengan

perputaran sejauh # berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi *(1, 1)

yang sama, sehingga diperoleh bayangan P''('', y''). dalam bentuk bagan ditulis

sebagai berikut

%4


39/39

P(, y) !

R P'(', y')

#R P''('', y'')

engan demikian

)cos()sin(

)sin()cos(

#!#!

#!#!

+++=++=

yxy

yxx

y

P''('', y'')

P'(', y')

# #! +

!

* P(, y)

$erdasarkan uraian diatas dapat disimpulkan bahwa dua rotasi berurutan

yang sepusat ekuivalen dengan sebuah rotasi sejauh jumlah masing3masing rotasi

semula terhadap pusat yang sama.

dokumen.tips geometri transformasi rotasi 55bd34460a60c

Documents