Download - Matriks Universitas
-
7/23/2019 Matriks Universitas
1/86
Modul V
Aljabar Matriks
5.1.Kegunaan Matriks
Didalam mencari hubungan antara variable-variabel baik didalam biologi,
pertanian, peternakan, ekonomi mapun dalam ilmu lainnya, sering harus dipecahkan
suatu persoalan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan. Bahkan disuatu Negara
yang telah maju, terutama didalam penggunaan alat berhitung otomatis yang
modern/computer tidak jarang didalam menemukan model matematika nya harus
memecahkan suatu system persamaan dengan ratusan variable yang harus dicari
nilainya, sehingga harus dihitung nilai-nilai parameter atau koefisien-koefisien yang
juga ratusan jumlahnya.
Matriks pada dasarnya merupakan alat ampuh didalam pemecahan persoalan-
persoalan tersebut diatas dan memudahkan didalam pembuatan analisis-analisis yang
mencakup hubungan antara variable-variabel. Didalam statistika tidak jarang dijumpai
penggunaan matriks untuk memecahkan regresi berganda, juga didalam memecahkan
persoalan linear programming, matriks memegang peranan penting terutama sebagai
landasan yang kuat untuk memahami pengertian pemecahan dasar metode impleks
dan sebagainya. !tulah sebagian saja daripada alas an-alasan pokok mengapa harus
dipelajari matriks secara mendalam. "engetahuan tentang Matriks merupakan syarat
pokok untuk bisa memahami teori atau analisis ekonomi modern yang berisfat
kuantitatif missal ekonometri, linear programming, dan sebagainya. "erlu ditekankan
disini bah#a Matriks bukan monopoli daripada matematika dan statistika saja, akan
tetapi bisa juga diterapkan didalam bidang kimia, fisika, pendidikan, psikologi dan
ekonomi serta ilmu social-sosial lainnya.
5.2.Definisi Matriks
Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang disusun menurut baris dan
kolom atau lajur sehingga berbentuk segiempat panjang dimana panjang dan lebarnya
ditunjukan oleh banyaknya kolom dari baris. $ngka-angka tadi disebut elemen-
Aljabar Matriks 110
-
7/23/2019 Matriks Universitas
2/86
elemen. $pabila suatu matriks $ terdiri m baris dan n kolom, maka matriks bisa
ditulis %
$ m&n
$ m&n
mnmm
n
m
aaa
aaa
aaa
.........
.......
.......
'(
''''(
('((
$m&n) * aij+
i ) (,',..m
j ) (,',..n
aij merupakan elemen matriks $ dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan indeks.
$
'-'''(
(-('((
aaa
aaa
m ) ' $'&
n )
m ) n ) '
B&'-'-(
'''(
('((
aa
aa
aa
&'
01
'2
3-
Aljabar Matriks 111
-
7/23/2019 Matriks Universitas
3/86
"enyajian matriks dalam bentuk matriks akan lebih menghemat biaya, dalam statistika
khususnya $nalisis 4arians *$nava+ penyajian datanya selalu disajikan dalam bentuk
matriks.
5.3. Vektor
4ektor merupakan sebuah matriks yang berukuran berordo (&m atau n&(,
sehingga terjadi vektor baris dan vektor kolom.
4ektor berukuran (&m atau n&(, sehingga terjadi vektor baris dan vektor kolom.
4ektor kolom diberi notasi 4
Vektor baris diberi notasi V`
4
nk
k
k
'
(
45 * 4(, 4',..4m+
n & ( ( & m
Dengan demikian sebuah matriks *aij+ dapat disebut sebagai susunan vektor baris dan
vektor kolom.
Bila m ) n ) ( maka disebut kalar
ontoh % * 3 + * a + * k + .dan seterusnya maka disebut kalar
5.4.Beberapa Macam Bentuk Matriks yang Khas
(. Matriks Segi ( bujur sangkar ) adalah matriks yang memiliki kolom dan
baris yang sama banyaknya. Bila banyaknya kolom ) m dan banyaknya baris
) n, maka m ) n.
Aljabar Matriks 112
-
7/23/2019 Matriks Universitas
4/86
ontoh %
12-
(62
'(6(
'. Matriks Setangkup (simetris)adalah matriks yang baris ke i dan kolom ke j
mempunyai nilai yang sama dengan unsur yang terletak pada baris ke j dan
kolom ke i atau apabila matriks tersebut menunjukan matriks segi/bujur
sangkar dan bila $ ) $5.
Contoh :
2(63
(6-2
32(
. Matriks Diagonal adalah matriks setangkup yang unsur-unsur nya samabernilai nol, kecuali diagonal utamanya.
Contoh :
2666
6366
66-6
666(
2. Matriks Skalaradalah matriks diagonal yang unsur 7 unsur nya bernilai sama
pada diagonal utamanya.
Aljabar Matriks 113
-
7/23/2019 Matriks Universitas
5/86
Contoh :
-666
6-66
66-6
666-
3. Matriks identitasadalah matriks sekalar yang unsur 7 unsur nya pada diagonal
utamanya bernilai satu disebut matriks !.
Contoh :
(666
6(66
66(6
666(
!2
(66
6(6
(6(
!
1. Matriks Tanda adalah matriks diagonal yang unsur 7 unsur pada diagonal
utamanya bernilai 8( dan -(.
Contoh :
$&
+
+
(66
6(6
66(
B2&2
(6666(66
66(6
666(
0. Matriks Miring Selangkup adalah matriks yang unsur 7 unsur diagonal
utamanya bernilai nol sedangkan bagi unsur diluar diagonal utamanya berlaku
hubungan aij) aji.
Contoh :
Aljabar Matriks 114
-
7/23/2019 Matriks Universitas
6/86
$&
61-16'
-'6
B2&26309
362-
026(
9-(6
:. Aljabar Segitiga Atasadalah matriks segi yang unsur 7 unsur diatas diagonal
utamanya bernilai nol.
Contoh :
$&
1--
62'66(
B2&213'3
62-1
66(2
666'
9. Matriks Segitiga Bawahadalah matriks melalui unsur-unsur diba#ah diagonal
utamanya bernilai nol.
Contoh : $&
266
'(6
0-'
(6. Matriks Tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak
daripada jumlah kolomnya.
Contoh :
Aljabar Matriks 115
-
7/23/2019 Matriks Universitas
7/86
:3
31
6-
'2
2(60
-:3
912
32-
'2-2 xx BA
((. Matriks Dataradalah matriks yang memiliki kolom lebih banyak daripada
jumlah barisnya.
Contoh :
02(3
6':-2'xA
('. Matriks noladalah matriks yang unsur 7 unsurnya bernilai nol.
Contoh :
666
666
666
--xC
Aljabar Matriks 116
-
7/23/2019 Matriks Universitas
8/86
(. Matriks satu noladalah matriks yang unsur 7 unsurnya bernilai satu atau nol.
Contoh :
6(6
66(
((6
6(66((
-'-- xx BA
(2. Matriks Jadalah matriks yang semua unsur 7 unsur bernilai satu
Contoh :
((((
((((
((((
((((
22xA
(3. Matriks Sekatanadalah matriks yang dipisah 7 pisahkan *disekat+ menjadi
bagian 7 bagian yang lebih kecil. Bagian ini dapat berupa matriks, vektor dan
skalar.
Contoh :
230:
01(-
2'(6
A
Aljabar Matriks 117
-
7/23/2019 Matriks Universitas
9/86
etelah disekat matriks $ dapat ditulis %
+2*
0
2
+3,0,:*1(-
'(6
''('
'(((
'''(
('((
AA
AA
AAAAA
dimana
5.5. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua buah matriks $ dan B dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya
berdimensi sama, sedangkan setiap unsur juga berindeks sama dan bernilai sama.
Contoh :
Aljabar Matriks 118
-
7/23/2019 Matriks Universitas
10/86
'''(
('((
'(
('((
''02
'(
cc
cc
b
bb
a$pabila ketiga matriks dikatakan sama, maka haruslah %
a(() b(() c(( a(') b(') c('a'() b'() c'( a'') b'') c''
;adi % b(() c(() (
b(') c(') '
a'') c'') 0
b'() c'( )2
"engertian kesamaan duabuah matriks tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan matriks.
Contoh :
-
7/23/2019 Matriks Universitas
11/86
=
2((6'
2('yx
en!elesaian :
Berhubung kedua matriks tersebut sama maka elemen 7 elemen yang setitik sama,
sehingga% x = 2
2y = 10 y = 5
"atihan Soal #
(.
a. arilah nilai & danyyang memenuhi
=
+
(
3
3
'
y
x
Aljabar Matriks 120
-
7/23/2019 Matriks Universitas
12/86
=
+
=
+
=
3:'-
3'-.
'
9
3
('.
(':1
('.
yxyxd
y
xc
yxb
'.
-
7/23/2019 Matriks Universitas
13/86
.
-
7/23/2019 Matriks Universitas
14/86
6-32
-3'-
(2-'
.
6(6(
66(6
(66(
.
366
636
663
.
603
063
336
.
066
1'6
(2-
.
(601
32-
'6(
2-'
.
!ed
cba
Aljabar Matriks 123
-
7/23/2019 Matriks Universitas
15/86
3.
-
7/23/2019 Matriks Universitas
16/86
+
+
yx
yx
yx
yxc
ba
3'
'-
-
1'
.
26
'1
3(
'-.:
1
'
-.
Aljabar Matriks 125
-
7/23/2019 Matriks Universitas
17/86
'. arilah nilaixdanyyang memenuhi
=
+
=
+
1:
1('
2-
(
'
3'
.
'
(2
2
:
1
-.
y
x
y
x
b
y
xa
Aljabar Matriks 126
-
7/23/2019 Matriks Universitas
18/86
. Diketahui matriks
'-(6
(62(': BA
arilah % a. '$ b. -$ $. $B d. B$ e. $pakah $B)B$
2. arilah matriks "'&'yang memenuhi %
Aljabar Matriks 127
-
7/23/2019 Matriks Universitas
19/86
=
=
=
=
('
:2
'
(
.3-
('
-
(
.
632
-'.('(6
:1'.
"d"c
aaaaaa"b"a
3. Diketahui
2-' .'2
3-AdanAACari#a$A
1. Diketahui
Aljabar Matriks 128
-
7/23/2019 Matriks Universitas
20/86
2(
'-
'-
6(
1(
'2 CBA
arilah $ B, B dan tunjukkan bah#a
*$B+ ) $ *B+ $$') $'$,
$ *B8+ ) $B 8 $ $B B$
0. =itunglah nilai determinan berikut dari matriks berikut %
'(63
3'('
'-(6
2-'(
.
'(6
3'(
2-'
. ba
:. =itunglah nilai determinan dari matriks berikut dengan metode sarrus%
Aljabar Matriks 129
-
7/23/2019 Matriks Universitas
21/86
16'2(-
3'2
A
"atihan Soal ###
1% 4x1+ x2= 1
2x1 3x2= &1'
2% 4x1+ 2x2= 10
2x1 3x2= &1'
3% 2x1+ 5x2= (
3x1 2x2= 4
4% 12x1+ x2= 14
8x1 & 5x2= &2
5% 13x1+ 15x2= 212x2+ 1'x2= 5
6% x1+ x2 = 18
3x1 2x2= 1(
5.6.Penjumlahan Matriks
Definisi % ;ika $ ) *aij+ dan B ) *bij+ adalah suatu matriks, maka jumlah $8B adalah
matriks m&n ) *ij+ dimana aij8 bij) ij
Misal %
Aljabar Matriks 130
-
7/23/2019 Matriks Universitas
22/86
iterde!inistidak=
+
=
+
:
-
2-
''
-3
1(
('
-(
2-
-'
5.6.1. Sifat-Sifat Jumlah
"andang Mm&n ) kumpulan semua matriks berukuran m & n.
Aljabar Matriks 131
-
7/23/2019 Matriks Universitas
23/86
6+*%,.3
6,6.2
,,+*+*.-
,.'
,.(
=+
=+
++=++
+=+
+
AAmakaAmatriksada)A
)AAAse$in**ano#+ns+rnyasem+ayan*matriksyait+)atriksAda
)CBACBACBA
)BAABBA
)BA)BA
mxn
mxn
mxn
mxn
mxnmxn
5.7.Pengurangan Matriks
"engurangan matriks didefinisikan dari penjumlahan matriks.
Definisi % $ 7 B ) $ 8 *-B+ dimana $, B sejenis
Misal %
=
+
=
''
-(
''
-(
2-
(-
''
-(
2-
(-
Aljabar Matriks 132
-
7/23/2019 Matriks Universitas
24/86
5.8.Perkalian Matriks
erkalian Matriks dengan sebuah skalar
"erkalian * "enggandaan+ matriks dengan sebuah bilangan *skalar+
Definisi % ;ika $ ) *aij+m&ndan k suatu skalar *bilangan riil+ maka k $ ) * k aij+m&n.
Misal %
=
=
9-
(:1
-(
1'
-
kdkc
kbka
dc
bak
Aljabar Matriks 133
-
7/23/2019 Matriks Universitas
25/86
Si%at & Si%at erkalian Dengan Bilangan 'ealSkalar
AA
AA
AAA
BABA
)Adanri##)A mxnmxn
==
+=+
+=+
(.3
+*+*.2
+*.-
+*.'
.(
erkalian Dua Buah Matriks
;ika matriks $ ) * aij+m&n
B ) * bij+m&n
Maka $ & B ) ) * ij+m&r
i ) (, ', ..m j ) (, ', .r
=
=
n
k
k,i,i, baC(
Matriks $B hanya terdefinisi jika dan hanya jika kolom dari matriks $ ) banyaknya
baris pada matriks B.
Misal %
Aljabar Matriks 134
-
7/23/2019 Matriks Universitas
26/86
=
++++=
=
'6(-(60
+2*-+'*2+-*-+(*2+2*'+'*(+-*'+(*(
2-
'(
-2
'(
2-'(
-2'(
AB
BA
Aljabar Matriks 135
-
7/23/2019 Matriks Universitas
27/86
Si%at & Si%at erkalian Matriks
(. ;ika $ ) * aib+
B ) * bik+ maka *$B+ ) $ *B+
) * kj +
'. ;ika $ ) * aik +m&n
B ) * bkj+n&r maka $ *B8+ ) $B 8 $
) * kj+n&r
. ;ika $ dan B masing 7 masing matriks m&n dan matriks n&r maka %
* $ 8 B + ) $ 8 B
2. ;ika $ matriks m&n dan B matriks n&r
ABBAmaka- +*+*+*, =
5.9.Penggandaan Awal Dan Penggandaan Akhir
;ika matriks $ digandakan dengan matriks B sehingga terdapat $B, maka $
disebut pengganda a#al dan B disebut pengganda akhir. "erlu diketahui bah#a
penggandaan $ terhadap B sehingga didapatkan $B belum tentu sama hasilnya jika
merupakan pengganda a#al $ sehingga diperoleh matriks B$.
S!arat enggandaan
Dua buah matriks dapat digandakan jika dan hanya jika saling menengggang.
"engertian menenggang dapat disebut sebagai berikut %
$m&n dan Bp&? , dikatakan menengggang jika n ) p. Dalam hal ini yang perlu
diperhatikan adalah jumlah lajur * kolom + pada matriks $ * pengganda a#al +
haruslah sama dengan jumlah baris pada matriks B * pengganda akhir +.
ontoh %$'&, B&' dapat digandakan karena n ) p )
$2&', B'&' dapat digandakan karena n ) p ) '
$9&3, B3&( dapat digandakan karena n ) p ) 3
$&', B&' tidak dapat digandakan * tidak terdefinisi + karena n p
$m&n & Bn&? ) m&? Menenggang
@kuran Matriks
Aljabar Matriks 136
-
7/23/2019 Matriks Universitas
28/86
Se$ara Terperin$i ers!aratan enggandaan ab
(. Matriks 7 matriks harus mempunyai ukuran yang sesuai untuk definisi matriks
'. =asil penggandaan dua buah matriks mempunyai baris yang sama dengan
matriks pengganda a#al dan banyak lajur/kolom yang sam dengan pengganda
akhir.
. ;!ka matriks $ dan B berukuran sedemikian rupa hingga hingga $B dan B$
keduanya terdefinisi umumnya $B B$. ;adi penggandaan matriks 7 matriks
tersebut tidak komulatif, kecuali pada bentuk khusus.
2. "enggandaan matriks bersifat tertutup yaitu hasil penggandaan ' buah matriks
adalah matriks. $kan tetapi kecuali untuk matriks segi hasil penggandaan
bukanlah matriks yang berukuran sama dengan pengganda #al dan pengganda
akhir.
3. "enggandaan matriks memenuhi kaidah assosiasi terhadap penggandaan.
$ * B + ) $B * +
1. "enggandaan matriks memenuhi kaidah 7 kaidah penyebaran * distributif +.
$ * B 8 + ) $B 8 $ * kaidah penyebaran lini terhadap penggandaan melalui
penjumlahan +
* $ 8 B + ) $ 8 B * kaidah penyebaran kanan terhadap penggandaan melalui
penjumlahan +.
Si%at & Si%at enggandaan *ang "ain
(. "ada umumnya penggandaan ' buah matriks $ dan B terdapat ketentuan
bah#a
$B B$.
'. "enggandaan beberapa matriks adalah asosiatif.
$B ) * $B+ ) $ * B +5. ifat distributive
a."enggandaan dengan skalar
c * $ 8 B + ) c$ 8 cB
b."enggandaan matriks dengan matriks
$ * B 8 + ) $B 8 $
) B$ 8 $
2. "enggandaan dengan matriks identitas
Aljabar Matriks 137
-
7/23/2019 Matriks Universitas
29/86
!$ ) $! ) $
ontoh %
Aljabar Matriks 138
-
7/23/2019 Matriks Universitas
30/86
=
=
6(
((
6(
(6
(6
((
6(
(6
(6
((
AB
BA
Aljabar Matriks 139
-
7/23/2019 Matriks Universitas
31/86
$B B$
5.10.Putaran (Transpose) Suatu Matriks
Definisi % "utaran dari matriks $ ditulis $A, adalah suatu matriks yang
didapat dengan mengubah baris matriks $ menjadi kolom atau sebaliknya.
Dengan demikian suatu matriks $m&n ) * aij+mndapat disusun suatu matriks baru $Am&n
) *aij+m&n dengan aijA ) aji. Dengan perkataan lain matriks $A dinamakan putaran atau
transpose $.
Contoh%
Aljabar Matriks 140
-
7/23/2019 Matriks Universitas
32/86
3-
6'
2(
B362
-'(
B
'--'
--'-(-
-'''('
-('(((
--
---'-(
'-'''(
(-('((
--
xx
xx
BB
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
Beberapa kaidah mengenai putaran matriks
(. * $A + ) $
'. * $ 8 B +A ) $A 8 BA
. * $B +A ) BA$
2. * $ B +A ) A BA $A
Aljabar Matriks 141
-
7/23/2019 Matriks Universitas
33/86
utaran suatu matriks diagonal adalah matriks diagonal itu sendiri
-66
6'6662
B
-66
6'6662..
Contoh% * $ 8 B +A ) $A 8 B C
Aljabar Matriks 142
-
7/23/2019 Matriks Universitas
34/86
=+
=+
(60(
'1-
1'-
+B*
(6'1
01'(--
3''
--(
6'(
362
2-(
(('
BA
BA
BA
Aljabar Matriks 143
-
7/23/2019 Matriks Universitas
35/86
=
+
=+
(60(
'1-
1'-
3-6
'-'
'((
32(
6-(
2('
BBBA
Contoh% * $B +A ) BA$A
Aljabar Matriks 144
-
7/23/2019 Matriks Universitas
36/86
=
=
(2('3
B
'3(:(2
'9(9('
:93
3''
--(
6'(
362
2-(
(('
3''
--(
6'(
362
2-(
(('
AB
BA
Aljabar Matriks 145
-
7/23/2019 Matriks Universitas
37/86
5.11. Teras Suatu Matriks
-
7/23/2019 Matriks Universitas
38/86
diperhatikan apabila dilakukan penjumlahan atau perkalian *penggandaan+. Matriks
yang dibagi-bagi tersebut dinamakan "artisi Matriks *Matriks ekatan+.
Aljabar Matriks 147
-
7/23/2019 Matriks Universitas
39/86
,,,'''(('((
222-
-2--''
2'2(
-'-('(
'2'-
(2(-('
'''(
('((((
'''(
('((
222-2'2(
-2---'-(
'2'-'''(
(2(-('((
/+bmatriksdiseb+tAAAA
aa
aaA
aa
aaA
aa
aaA
aa
aaA
AA
AA
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
=
Aljabar Matriks 148
-
7/23/2019 Matriks Universitas
40/86
;adi "artisi Matriks *Matriks ekatan+ merupakan matriks dimana elemen 7
elemennya berupa matriks dengan ukuran kecil.
5.12.1 Penjumlahan Dan Penggandaan Dengan Matriks Sekatan
(Matriks Partisi)
@ntuk bisa menjumlahkan dan menggandakan matriks dengan
mempergunakan sekatan matriks maka persyaratan penjumlahan dan penggandaan
untuk matriks biasa berlaku juga dalam hal ini, oleh karena jenis matriks ini juga
terdiri elemen 7 elemen, hanya bedanya dengan matriks biasa adalah elemen 7
elemennya terdiri dari matriks 7 matriks yang lebih kecil jumlah baris dan kolomnya*lajurnya+ / sub matriks. ;adi jelas bah#a sub matriks ini harus onfortable baik untuk
penjumlahan maupun untuk penggandaan, $pabila matriks $ dan B yang dibagi-bagi
sebagai berikut %
n,
miBABAmaka
BBB
BBB
BBB
B
AAA
AAA
AAA
A
i,i,
mnmm
n
n
mnmm
n
n
,........',(
,.......',(+*
'(
''''(
(('((
'(
''''(
(('((
=
=+=+
Contoh :
Aljabar Matriks 149
-
7/23/2019 Matriks Universitas
41/86
=
++++=+
=
=
'23
'133-3
('2
''-
2('
('(
62'
('-
'''''('(
('('((((
'''(
('((
'''(
('((
BABA
BABABA
BB
BBB
AAAAA
Aljabar Matriks 150
-
7/23/2019 Matriks Universitas
42/86
5.13.Penggandaan Dua Buah Matriks Sekalar
;ika matriks $m&ndan Bn&?dapat disekat menjadi anak matriks-anak matriks
yang saling menenggang antara sesamanya, maka penggandaan matriks $B tidak lain
dari penggandaan anak matriks-anak matriks yang berfungsi sebagai unsur 7 unsur
dalam matriks sekatan.
$m&n. Bn&? ) m&?
Menenggang
Contoh :
-'-(
'''(
('((
'-'''(
(-('((
BB
BB
BB
BAAA
AAAA
$'& B&'
++++
++++
-''-''''(''(-('-'(''(('(
-'(-''('('((-((-'(('((((
BABABABABABA
BABABABABABA
AB
Aljabar Matriks 151
-
7/23/2019 Matriks Universitas
43/86
-'(-''('('((-((-'(('((((
-'-(
'''(
('((
(-('((
*
+*
BABABABABABAAB
BBBB
BB
BAAAA
++++=
=
Contoh :
Aljabar Matriks 152
-
7/23/2019 Matriks Universitas
44/86
+
+
+
+
=
(6
3
'(
(
(3
-
((
3
:0
(
(2
-
(6((
'(:0
(3(2
(2'
3(-
AB
BA
Aljabar Matriks 153
-
7/23/2019 Matriks Universitas
45/86
5.14. Determinan
Determinan hanya menyangkut matriks bujur sangkar yang
berukuran/berorde n&n. Determinan sebuah matriks bujur sangkar $ ditulis dengan
symbol A atau det$.
Definisi %
;ika $ matriks berukuran '&' yaitu
dc
baAx'' maka determinan $ didefinikan sebagai
berikut 02'3-
32
'-==
= xxAAbcadA
Se$ara umum ditulis
nr,i
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
A ....'(
'(
''''(
(('((
==
ang tidak lain daripada penjumlahan dari n > permutasi bilangan 7 bilangan
(, ', , n
-
7/23/2019 Matriks Universitas
46/86
k,i aaaaaaaaa
aaa
A -'(
---'-(
'-'''(
(-('((
==
Banyaknya formulasi i, j, k adalah > ) (.'. ) 1
i ) ( j ) ' k )
-'(
-('
'-(
'(-
(-'
('-
=
=
=
=
=
=
k,ii,
ki,,ik
,kiik
,ikki,
i,k,k
i,kk,i
Jadi Determinann!a :
a(( a'' a - a((a'a'7 a('a'(a8 a('a'a(8 a(a'(a'7 a(a''a(
'(-'(--('-('--''((
-'-'-(
'-'''(
(-('((
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
+++
+
+
+
'--'((--'(('-(''(-
---'-(
'-'''(
(-('((
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
ontoh %
Aljabar Matriks 155
-
7/23/2019 Matriks Universitas
47/86
-91
3':
02(
-91
3':
02(
+
+
+
A
-91
3':
02(
(.'. 8 :.9.0 8 1.3.2 - 0.'.1 - 3.9.( 7 .:.2 1 362 ('6 -:2 - 23 - 91
16 -''3
del $ ) A ) 16 7 ''3 ) 263
-
7/23/2019 Matriks Universitas
48/86
266+(6+*(+*3+*:*(
(66666
6(666
66366
666:6
6666(
:6+(6+*:*(
(666
6:6
66(
26(62(66
62
==
==
==
00
BB
xAA
Aljabar Matriks 157
-
7/23/2019 Matriks Universitas
49/86
2(+2*((3-62'
66(
2+(+*2*((66326
-'(
==
==
..
/e*iti*a)atriksCC
'. ;ika unsur 7 unsur ( baris atau kolom tertentu suatu matriks segi $p&pdigambarkan
dengan skalar maka determinan matriks baru akan sama del $, sedangkan jika
semua unsur matriks $p&pdigambarkan dengan skalar maka determinan matriks
baru menjadi pdel $ ) p A .
:6
(666
6:6
66(
-- =
AAx
+alikan unsur & unsur baris , dengan skalar C - .
Aljabar Matriks 158
-
7/23/2019 Matriks Universitas
50/86
AB
BBx
'+:6*'
(16(6666:6
66'
--
==
=
+alikan semua unsur dengan skalar C - .
A
11
-
-
'+:6*'
+:6*:
126
+'6+*(1*'
'666
6(1666'
==
=
=
=
. ;ika dua baris atau dua kolom suatu matriks segi dipertukarkan tempatnya maka maka
determinannya berubah. ;ika asalnya positif berubah menjadi negative atau
sebaliknya.
'+-*'+2*(2-'( ==
AA
Tukar baris , dan . sehingga :
Aljabar Matriks 159
-
7/23/2019 Matriks Universitas
51/86
2+3*'+1*(
13
'(
2+1*(+3*'
31
('
'+(*2+'*-'(
2-
==
==
==
..
CC
BB
2. ;ika ada dua kolom dan dua baris bersamaan suatu matriks segi maka nilai determinan
matriks tersebut adalah nol.
Aljabar Matriks 160
-
7/23/2019 Matriks Universitas
52/86
6+-'-'*-+(1(1*'+(1(1*'
::
22-
2:
'2'
2:
'2'
2::
'22
-''
611
''
=+=
+=
=
B
B
AA
3. ;ika unsur 7 unsur suatu matriks atau kolom suatu matriks segi umumnya nol maka
determinan matriks itu juga nol.
Aljabar Matriks 161
-
7/23/2019 Matriks Universitas
53/86
6
262
:6'
(66(
6(:(6
66
=
=
BB
AA
1. ;ika setiap constituent dari suatu kolom atau baris terdiri ' suku, maka determinannya
merupakan jumlah dari dua determinan yang terbentuk.
$pabila
''
((
baba
a(, b(, a', b' disebut constituents Gdan a(b'dan a'b(disebut element G
2+1*(3'31
('
==xAA
Aljabar Matriks 162
-
7/23/2019 Matriks Universitas
54/86
'(6(((-('2-3-3
+-*(+(*3+-*(+(*33-
((
3-
((
3-((
3-((
3--(((
31('
+++
=+=
+=+=
+
=
++=
Bmaka
B
Aljabar Matriks 163
-
7/23/2019 Matriks Universitas
55/86
0. "utaran sebuah matriks $ akan mempunyai determinan yang sama dengan matriks$
'1+-*'+:*2B:-'2B
'1+'*-+:*2:'-2
==
==
AA"+taran
AA
:. Nilai suatu determinan tidak berubah, jika pada unsur-unsur sebatang baris atau
kolom ditambahkan atau dikurangkan dengan suatu konstanta yang merupakan
perkalian dari unsur 7 unsur baris atau kolom yang berkaitan.
Aljabar Matriks 164
-
7/23/2019 Matriks Universitas
56/86
.2:-':6+:*2+(6*:
(2
('
(6:
2:
2:31(62+(2*2+(-*:
(('(-(2
2:
2:+1*:+9*:
91
2:
dstA
barisditamba$kebarisA
A
bariska#iditamba$kebarisA
AA
===
===
==
9. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris antar ' kolom yang unsur 7
unsurnya sebanding.
Aljabar Matriks 165
-
7/23/2019 Matriks Universitas
57/86
'%('
(
(''
'2'
('(
(-2
6
999((101:1
(--13
9:0:(632-'(
6
((((((
-6(:(6(
(((-((9(6'
-6(:(6(
-''6(6--((9(6'
-6(:(6(
=
=
=
=
=
=
kebaris2ada+ns+r
+ns+rberbandin*kebaris2ada+ns+r3ns+rA
barisbarisBaris
BB
A
A
Aljabar Matriks 166
-
7/23/2019 Matriks Universitas
58/86
6(16(1
+'1*2+'2'2*'+'2:*(
''
(-2
:'
('-'
:'
('((
6
2%(-(
:''
('(-
2'(
=+=+=
+==
=
B
B
keko#om2adaberbandin*kebaris2ada+ns+r3ns+rB
5.14.2 Determinan Khusus
(. $pabila ! merupakan matriks identitas maka del ! atau 4 ) (
(+(+*(*(
(66
6(6
66(
==
4
Aljabar Matriks 167
-
7/23/2019 Matriks Universitas
59/86
'. $pabila matriks = adalah ortogonal maka del = atau 5 ) (
. $pabila matriks D merupakan matriks diagonal dengan elemen dii, i ) (, ',
..n maka del D atau n
n
i
ii dddd. ...... ''(((
==
=
2. $pabila matriks < merupakan matriks segitiga dengan elemen 7 elemen
diagonal utama tii , i ) (, ',n maka del < atau
=
==n
i
nnii tttt6(
''(( ........
5.15.Metode Sarrus
$turan sarrus untuk matriks berordo & Determinan matriks $& dapat
dicari dengan cara menambahkan dua buah vector baris pertama dan
memperbanyakkan elemen 7 elemen menurut tanda panah. "emberian tanda positif
dan negatif sesuai aturan diatas.
---'-(
'-'''(
(-('((
---'-(
'-'''(
(-('((
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
a(( a(' a(a'( a'' a'a( a' aa(( a(' a(a'( a'' a'
'(('--((-''--(''(-'-('-((--''(--''(( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=
ontoh %
Aljabar Matriks 168
-
7/23/2019 Matriks Universitas
60/86
2(-
36'
('2
2(-
36'
('2
2 ' (
' 6 3
( 2
2 ' (
' 6 3
2
(1'66-6'6
+'+*'*2+2+*(*3+-+*6*(+3+*'*-+(+*(*'+2+*6*2
=
++=
++=A
5.16. Mencari Determinan Dengan Menggunakan
Kofaktor
De%inisi :
Ealau dari matriks kuadrat $ dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke i dan
kolom ke j, maka determinan dari matriks kuadrat dengan *n-(+ baris dan
(
(
n
m
kolom yaitu sisa matriks yang tinggal disebut minor matriks dengan elemen a ij dan
Aljabar Matriks 169
-
7/23/2019 Matriks Universitas
61/86
diberi symbol i,A apabila pada setiap minor kita tambahkan tanda 8 atau 7 sebagai
tanda pada determinan dan kemudian kita beri symbol ( ) i,,iA
+( maka kita
peroleh apa yang kita sebut kofaktor dari elemen aijdan biasanya diberi symbol Eij
.;adi jelasnya kofaktor adalah %
i,
,i
i, A7 += +(* ini berarti bah#a setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri 7
sendiri.
Dalil % Nilai determinan dari matriks $ sama dengan penjumlahan dan hasil kali
semua elemen dari suatu baris / kolom dari matriks $ tersebut dengan kofaktor masing
7 masing.
Matriks kofaktor ditulis %
nnnn
n
n
777
777
777
7
'(
''''(
(('((
*(+. Dari baris matriks $
inn
nnnn
n
n
7a7a7aAAde#
aaa
aaa
aaa
A
(('('((((
'(
''''(
(('((
......+++==
atau nn7a7a7aA '''''''('( ........... +++=
atau nnnnnnnn 7a7a7aA +++= ............''((
ni7aA it
n
t
it ,......',((
===
Aljabar Matriks 170
-
7/23/2019 Matriks Universitas
62/86
*'+. Dari kolom *Fajur+
Dengan menggunakan elemen 7 elemen dari kolom
(('('((((( ........... nn 7a7a7aAAde# +++==
n,7aA
7a7a7aA
7a7a7aA
t,
n
t
t,
nnnnnnnn
nn
,......',(
..........
..........
(
''((
''''''('('
==
+++=+++=
=
5.17. Cara Mencari Minor Dan Kofaktor
"erhatikan del $ dari matriks $& %
---'-(
'-'''(
(-('((
aaa
aaa
aaa
maka %
Aljabar Matriks 171
-
7/23/2019 Matriks Universitas
63/86
Minor
-(
'-''
(-('
-(
('
---'
(-('
'(
((
---'
'-''
((
Aaa
aaa
Aaa
aaa
A
aa
aaa
==
==
==
Minor
-'
'-'(
(-((
-'
(-
---(
(-((
''
('---(
'-'(
('
A
aa
aaa
A
aa
aaa
Aaa
aa
a
=
=
=
=
=
=
Aljabar Matriks 172
-
7/23/2019 Matriks Universitas
64/86
Minor
--
'''(
('((
--
'-
-'-(
('((
'-
(--'-(
'''(
(-
A
aa
aaa
A
aa
aaa
Aaa
aa
a
=
=
=
=
=
=
ecara umum minor elemen aijdapat ditulis i,A yaitu suatu determinan berorde *n-
(+ & *n-(+ yang diperoleh dengan menghapuskan baris dan kolom yang menyangkut
elemen aijEofaktor Eij) *-(+i8j i,A
Contoh :
ari determinan dari matriks
('-
'(3
2'(
A
Dengan mempergunakan baris ,
Aljabar Matriks 173
-
7/23/2019 Matriks Universitas
65/86
{ }
{ }
{ }
0':'-+0*2+(*'+-*(
0-(6+(*'-
(3+(*
(13+(*(-
'3+(*
-2(+(*('
'(+(*
(-(-('('((((
2-(
(-
-'(
('
'((
((
=++=++=
++=
===
===
===
+
+
+
7a7a7aA
7
7
7
Dengan mempergunakan kolom ke .
Aljabar Matriks 174
-
7/23/2019 Matriks Universitas
66/86
{ }
{ }
'06-6-+6*-+1*3+-*(
622+(*'(
2'+(*
1:'+(*('
2'+(*
+*-
2(-
-(
-('
'(
((
-(-('('(((((
=++=++=
===
===
=
++=
+
+
A
7
7
di$it+n*te#a$7
7a7a7aA
5.18. Invers ( Kebalikan ) Matriks
Definisi%
;ika $ ) *aij+ dan B ) * bij+ adalah matriks segi berordo *berukuran+ m & n, ! n adalah
matriks identitas berordo m & n, sedemikian hingga $B ) B$ ) ! n, maka B disebut
!nvers matriks $ * dan $ tersebut !nvers matriks B +.
;ika matriks $ mempunyai invers, maka kita katakan $ adalah Matriks non singular,
sedangkan jika $ tidak mempunyai invers, maka matriks $ disebut singular. !nvers
matriks $ ditulis dengan notasi $-(.
$turan untuk menentukan invers matriks $ atau $A adalah %
$-() Aad,AAad,
Ade#(( =
$dj ) $djoint
Dengan %
(. A adalah determinan matriks $ dan A H 6.
'. $dj adalah $djoint matriks $ yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya
merupakan kefaktor-faktoran elemen-elemen A .
Aljabar Matriks 175
-
7/23/2019 Matriks Universitas
67/86
Dengan memperhatikan aturan diatas, langkah-langkah yang diperlukan untuk
menentukan invers suatu matriks $ ) *aij+ adalah sebagai berikut %
(. Menentukan determinan $ atau A
'. Menetukan nilai kofaktor dari semua elemen A , kij untuk setiap i dan j.
. Menghitung nilai dari A
2. Membentuk matriks, misalnya matriks B yang elemen-elemennya adalah hasil
langkah no.', jadi B ) * bij+ dengan bij) kijuntuk semua cA dan j.
3. Menentukan matriks adj $ ) BA, yaitu adjoint $
1. Menentukan $A menggunakan aturan
Aad,
A
A ((=
!nvers Matriks Berordo * berukuran + '&'
;ika $
dc
ba
dc
baA=
) ad 7 bc
aa)7
cc)7
bb)7
dd)7
===
===
===
===
+
+
+
+
''
''
''
('
'(
('
'(
('
'(
((
((
((
+(*
+(*
+(*
+(*
Aljabar Matriks 176
-
7/23/2019 Matriks Universitas
68/86
==
=
=
=
ac
bd
bcadAad,
AA
ac
bd
ab
cd
77
77Aad,
(((
((
'''(
('((
Contoh%
(. $
'-
3: A ) &' 7 3& ) (
Aljabar Matriks 177
-
7/23/2019 Matriks Universitas
69/86
$-()
=
:-3'
:-3'
((
'. B
-3
'2 '+3+*'*+-*2 ==B
B-()
=
'/
(/
23
'-
'
(
'
3
'
-
Aljabar Matriks 178
-
7/23/2019 Matriks Universitas
70/86
.
(''
'6'
(((
(-(-('('(((( 7C7C7CC ++=
Aljabar Matriks 179
-
7/23/2019 Matriks Universitas
71/86
('(('((+(*+(*
-+'(*('
((+(*+(*
26+2*''
6'+2*+(*
'+2'*('
''+(*+(*
2('
'6+(*+(*
2''
''''
-
'(
('
'(
2
(-
2(
(-
-
('
'(
('
'
((
((
((
==
==
=+=
==
==
==
==
==
=
==
+
+
+
+
+
)7
)7
)7
)7
)7
Aljabar Matriks 180
-
7/23/2019 Matriks Universitas
72/86
''66'
((+(*+(*
6+''*''
((+(*+(*
'6'
'6
((+(*+(*
6+''*''
((
+(*+(*
1
--
--
--
3
-'
'-
-'
2
-(
(-
-(
3
'-
-'
'-
==
==
==
==
==
==
==
==
+
+
+
+
)7
)7
)7
)7
Aljabar Matriks 181
-
7/23/2019 Matriks Universitas
73/86
=
=
=++=
==
=
(''
6/(
(/('
'22
6('
--2
'
(
'+2*(+'*(+2*(
'22
6('
'-2
B
B
'6'
2(-
2'2
'
(
'
(
(C
C
7Cad,
7Cad,7
5.18.1.Sifat-Sifat Matriks Invers(. !-( ) !
'. $$-( ) $-( $ ) !
. *$-(+-() $
Aljabar Matriks 182
-
7/23/2019 Matriks Universitas
74/86
2. *$B+-() B-($-( ,dengan syarat matriks $ dan B adalah non singular
3. *$B+-() -(B-($-(
1. *$r+-() *$-(+r
0. AA
((=
:. $pabila D merupakan sebuah matriks diagonal dengan elemen-elemen
diagonalnya d((*i ) (, ', ..n+ dan D
6 maka D-( ) ((
(
d
5.18.2.Sistem Persamaan Linear I
uatu system persamaan linear dengan dua variable, misalnya %
ax1+ bx2=
ax1+ bx2=
Dapat ditulis dalam bentuk matriks%
=
8
2
x
x
dc
ba
'
(
$'&' I'&( '&(
$&)
Contoh% elesaikan system persamaan berikut %
Aljabar Matriks
/ - A0, *
183
-
7/23/2019 Matriks Universitas
75/86
2x1+ 3x2 = '
x1& x2= 1
"enyelesaian %
=
(
0
((
-'
'
(
x
x
$ I
I ) $-(
Aljabar Matriks 184
-
7/23/2019 Matriks Universitas
76/86
'3
(6
3
-
3
0+(*3
-+0*3
(
(
0
3'
3(
3-3(
3
'
3
(
3
-
3
(
'(
-(
3
(
'(
-(
+-*(+(*'
(
(
(
'
(
(
(
x
x
x
x
A
A
==
+=+=
=
=
=
=
Aljabar Matriks 185
-
7/23/2019 Matriks Universitas
77/86
Soal "atihan
elesaikan persamaan linear berikut %
1% 4x1+ x2= 1
2x1 3x2= &1'
2% 4x1+ 2x2 = 10
2x1 3x2= &1'
3% 2x1+ 5x2 = (
3x1 2x2= (
4% 12x1+ x2 = 14
8x1 & 5x2= & 2
5% 13x1+ 15x2 = 2
12x1+ 1'x2= 5
6% x1+ x2= 18
3x1 & 2x2= 1(
5.18.3.Sistem Persamaan Linear II
, Suatu sistem persamaan linear dengan . 1ariabel
ax1+ bx2=
cx1+ dx2=
Aljabar Matriks 186
-
7/23/2019 Matriks Universitas
78/86
=
=
=
=
8
2
dc
ba
x
x
cAccxA
cAx8
2xxdcba
(
'
(
(
'
(
Misal %2x1+ 3x2= '
Aljabar Matriks 187
-
7/23/2019 Matriks Universitas
79/86
x1& x2= 1
Aljabar Matriks 188
-
7/23/2019 Matriks Universitas
80/86
Aad,A
A
Aad,
A
x
x
==
=
==
=
'(
-(
3
((
'(
-(
3+(*-+(*'
(
0
((
-'
(
'
(
Aljabar Matriks 189
-
7/23/2019 Matriks Universitas
81/86
Dalam bentuk matriks
Aljabar Matriks 190
-
7/23/2019 Matriks Universitas
82/86
c
c
aaa
aaa
x
x
cAA
c
c
c
x
x
x
aaa
aaa
aaa
n
n
nxnxnxn
nnnnnn
n
n
'
(
(
''''(
(('((
'
(
((
'
(
'
(
'(
''''(
(('((
=
=
Aljabar Matriks 191
-
7/23/2019 Matriks Universitas
83/86
5.19. Metode Cramer
ramer berhasil menemukan suatu metode matriks bagi penyelesaian persamaan
linear secara simultan yang kemudian dikenal dengan kaidah cramer
$n&n. &n&() cn&(
/n0,- A0,
n2n $ n2,
A
xx
Axx
A
xx
n
n =
=
=
'
'
(
(
Bisa dijabarkan sebagai berikut %
Aljabar Matriks 192
-
7/23/2019 Matriks Universitas
84/86
nnn
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
nnnn
n
n
caa
caacaa
aaa
aaa
aaa
aca
aca
aca
x
aaa
aaa
aaa
aac
aac
aac
x
'(
''''(
(('((
'(
''''(
(('((
(
'''(
((((
'
'(
''''(
(('((
'
''''
(('(
(
==
Aljabar Matriks 193
-
7/23/2019 Matriks Universitas
85/86
Misal :
x1+ x2 & x3= 6
3x1 + 4x2+ 2x3= & 2
2x1+ 5x2+ x3 = 0
cxAx
x
x
=
6
'
1
(3'
'2-
(((
-
'
(
5.20. Metode Sarrus
Aljabar Matriks 194
-
7/23/2019 Matriks Universitas
86/86
0'
(36
'2'
((1
-1
(3'
'2-
(((
( =
=
=
=
x
A
6-16
'-1
0'
(22
63'
'2-
1((
6
(6'
''-
(1(
'
(
-
'
==
=
=
==
=
=
x
x
x
x