matriks universitas

7/23/2019 Matriks Universitas

1/86

Modul V

Aljabar Matriks

5.1.Kegunaan Matriks

Didalam mencari hubungan antara variable-variabel baik didalam biologi,

pertanian, peternakan, ekonomi mapun dalam ilmu lainnya, sering harus dipecahkan

suatu persoalan yang terdiri dari dua atau lebih persamaan. Bahkan disuatu Negara

yang telah maju, terutama didalam penggunaan alat berhitung otomatis yang

modern/computer tidak jarang didalam menemukan model matematika nya harus

memecahkan suatu system persamaan dengan ratusan variable yang harus dicari

nilainya, sehingga harus dihitung nilai-nilai parameter atau koefisien-koefisien yang

juga ratusan jumlahnya.

Matriks pada dasarnya merupakan alat ampuh didalam pemecahan persoalan-

persoalan tersebut diatas dan memudahkan didalam pembuatan analisis-analisis yang

mencakup hubungan antara variable-variabel. Didalam statistika tidak jarang dijumpai

penggunaan matriks untuk memecahkan regresi berganda, juga didalam memecahkan

persoalan linear programming, matriks memegang peranan penting terutama sebagai

landasan yang kuat untuk memahami pengertian pemecahan dasar metode impleks

dan sebagainya. !tulah sebagian saja daripada alas an-alasan pokok mengapa harus

dipelajari matriks secara mendalam. "engetahuan tentang Matriks merupakan syarat

pokok untuk bisa memahami teori atau analisis ekonomi modern yang berisfat

kuantitatif missal ekonometri, linear programming, dan sebagainya. "erlu ditekankan

disini bah#a Matriks bukan monopoli daripada matematika dan statistika saja, akan

tetapi bisa juga diterapkan didalam bidang kimia, fisika, pendidikan, psikologi dan

ekonomi serta ilmu social-sosial lainnya.

5.2.Definisi Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang disusun menurut baris dan

kolom atau lajur sehingga berbentuk segiempat panjang dimana panjang dan lebarnya

ditunjukan oleh banyaknya kolom dari baris. $ngka-angka tadi disebut elemen-

Aljabar Matriks 110


2/86

elemen. $pabila suatu matriks $ terdiri m baris dan n kolom, maka matriks bisa

ditulis %

$ m&n

$ m&n

mnmm

n

m

aaa

aaa

aaa

.........

.......

.......

'(

''''(

('((

$m&n) * aij+

i ) (,',..m

j ) (,',..n

aij merupakan elemen matriks $ dari baris i dan kolom j, i dan j dinamakan indeks.

$

'-'''(

(-('((

aaa

aaa

m ) ' $'&

n )

m ) n ) '

B&'-'-(

'''(

('((

aa

aa

aa

&'

01

'2

3-

Aljabar Matriks 111


3/86

"enyajian matriks dalam bentuk matriks akan lebih menghemat biaya, dalam statistika

khususnya $nalisis 4arians *$nava+ penyajian datanya selalu disajikan dalam bentuk

matriks.

5.3. Vektor

4ektor merupakan sebuah matriks yang berukuran berordo (&m atau n&(,

sehingga terjadi vektor baris dan vektor kolom.

4ektor berukuran (&m atau n&(, sehingga terjadi vektor baris dan vektor kolom.

4ektor kolom diberi notasi 4

Vektor baris diberi notasi V`

4

nk

k

k

'

(

45 * 4(, 4',..4m+

n & ( ( & m

Dengan demikian sebuah matriks *aij+ dapat disebut sebagai susunan vektor baris dan

vektor kolom.

Bila m ) n ) ( maka disebut kalar

ontoh % * 3 + * a + * k + .dan seterusnya maka disebut kalar

5.4.Beberapa Macam Bentuk Matriks yang Khas

(. Matriks Segi ( bujur sangkar ) adalah matriks yang memiliki kolom dan

baris yang sama banyaknya. Bila banyaknya kolom ) m dan banyaknya baris

) n, maka m ) n.

Aljabar Matriks 112


4/86

ontoh %

12-

(62

'(6(

'. Matriks Setangkup (simetris)adalah matriks yang baris ke i dan kolom ke j

mempunyai nilai yang sama dengan unsur yang terletak pada baris ke j dan

kolom ke i atau apabila matriks tersebut menunjukan matriks segi/bujur

sangkar dan bila $ ) $5.

Contoh :

2(63

(6-2

32(

. Matriks Diagonal adalah matriks setangkup yang unsur-unsur nya samabernilai nol, kecuali diagonal utamanya.

Contoh :

2666

6366

66-6

666(

2. Matriks Skalaradalah matriks diagonal yang unsur 7 unsur nya bernilai sama

pada diagonal utamanya.

Aljabar Matriks 113


5/86

Contoh :

-666

6-66

66-6

666-

3. Matriks identitasadalah matriks sekalar yang unsur 7 unsur nya pada diagonal

utamanya bernilai satu disebut matriks !.

Contoh :

(666

6(66

66(6

666(

!2

(66

6(6

(6(

!

1. Matriks Tanda adalah matriks diagonal yang unsur 7 unsur pada diagonal

utamanya bernilai 8( dan -(.

Contoh :

$&

+

+

(66

6(6

66(

B2&2

(6666(66

66(6

666(

0. Matriks Miring Selangkup adalah matriks yang unsur 7 unsur diagonal

utamanya bernilai nol sedangkan bagi unsur diluar diagonal utamanya berlaku

hubungan aij) aji.

Contoh :

Aljabar Matriks 114


6/86

$&

61-16'

-'6

B2&26309

362-

026(

9-(6

:. Aljabar Segitiga Atasadalah matriks segi yang unsur 7 unsur diatas diagonal

utamanya bernilai nol.

Contoh :

$&

1--

62'66(

B2&213'3

62-1

66(2

666'

9. Matriks Segitiga Bawahadalah matriks melalui unsur-unsur diba#ah diagonal

utamanya bernilai nol.

Contoh : $&

266

'(6

0-'

(6. Matriks Tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak

daripada jumlah kolomnya.

Contoh :

Aljabar Matriks 115


7/86

:3

31

6-

'2

2(60

-:3

912

32-

'2-2 xx BA

((. Matriks Dataradalah matriks yang memiliki kolom lebih banyak daripada

jumlah barisnya.

Contoh :

02(3

6':-2'xA

('. Matriks noladalah matriks yang unsur 7 unsurnya bernilai nol.

Contoh :

666

666

666

--xC

Aljabar Matriks 116


8/86

(. Matriks satu noladalah matriks yang unsur 7 unsurnya bernilai satu atau nol.

Contoh :

6(6

66(

((6

6(66((

-'-- xx BA

(2. Matriks Jadalah matriks yang semua unsur 7 unsur bernilai satu

Contoh :

((((

((((

((((

((((

22xA

(3. Matriks Sekatanadalah matriks yang dipisah 7 pisahkan *disekat+ menjadi

bagian 7 bagian yang lebih kecil. Bagian ini dapat berupa matriks, vektor dan

skalar.

Contoh :

230:

01(-

2'(6

A

Aljabar Matriks 117


9/86

etelah disekat matriks $ dapat ditulis %

+2*

0

2

+3,0,:*1(-

'(6

''('

'(((

'''(

('((

AA

AA

AAAAA

dimana

5.5. Kesamaan Dua Buah Matriks

Dua buah matriks $ dan B dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya

berdimensi sama, sedangkan setiap unsur juga berindeks sama dan bernilai sama.

Contoh :

Aljabar Matriks 118


10/86

'''(

('((

'(

('((

''02

'(

cc

cc

b

bb

a$pabila ketiga matriks dikatakan sama, maka haruslah %

a(() b(() c(( a(') b(') c('a'() b'() c'( a'') b'') c''

;adi % b(() c(() (

b(') c(') '

a'') c'') 0

b'() c'( )2

"engertian kesamaan duabuah matriks tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan

persamaan matriks.

Contoh :


11/86

=

2((6'

2('yx

en!elesaian :

Berhubung kedua matriks tersebut sama maka elemen 7 elemen yang setitik sama,

sehingga% x = 2

2y = 10 y = 5

"atihan Soal #

(.

a. arilah nilai & danyyang memenuhi

=

+

(

3

3

'

y

x

Aljabar Matriks 120


12/86

=

+

=

+

=

3:'-

3'-.

'

9

3

('.

(':1

('.

yxyxd

y

xc

yxb

'.


13/86

.


14/86

6-32

-3'-

(2-'

.

6(6(

66(6

(66(

.

366

636

663

.

603

063

336

.

066

1'6

(2-

.

(601

32-

'6(

2-'

.

!ed

cba

Aljabar Matriks 123


15/86

3.


16/86

+

+

yx

yx

yx

yxc

ba

3'

'-

-

1'

.

26

'1

3(

'-.:

1

'

-.

Aljabar Matriks 125


17/86

'. arilah nilaixdanyyang memenuhi

=

+

=

+

1:

1('

2-

(

'

3'

.

'

(2

2

:

1

-.

y

x

y

x

b

y

xa

Aljabar Matriks 126


18/86

. Diketahui matriks

'-(6

(62(': BA

arilah % a. '$ b. -$ $. $B d. B$ e. $pakah $B)B$

2. arilah matriks "'&'yang memenuhi %

Aljabar Matriks 127


19/86

=

=

=

=

('

:2

'

(

.3-

('

-

(

.

632

-'.('(6

:1'.

"d"c

aaaaaa"b"a

3. Diketahui

2-' .'2

3-AdanAACari#a$A

1. Diketahui

Aljabar Matriks 128


20/86

2(

'-

'-

6(

1(

'2 CBA

arilah $ B, B dan tunjukkan bah#a

*$B+ ) $ *B+ $$') $'$,

$ *B8+ ) $B 8 $ $B B$

0. =itunglah nilai determinan berikut dari matriks berikut %

'(63

3'('

'-(6

2-'(

.

'(6

3'(

2-'

. ba

:. =itunglah nilai determinan dari matriks berikut dengan metode sarrus%

Aljabar Matriks 129


21/86

16'2(-

3'2

A

"atihan Soal ###

1% 4x1+ x2= 1

2x1 3x2= &1'

2% 4x1+ 2x2= 10

2x1 3x2= &1'

3% 2x1+ 5x2= (

3x1 2x2= 4

4% 12x1+ x2= 14

8x1 & 5x2= &2

5% 13x1+ 15x2= 212x2+ 1'x2= 5

6% x1+ x2 = 18

3x1 2x2= 1(

5.6.Penjumlahan Matriks

Definisi % ;ika $ ) *aij+ dan B ) *bij+ adalah suatu matriks, maka jumlah $8B adalah

matriks m&n ) *ij+ dimana aij8 bij) ij

Misal %

Aljabar Matriks 130


22/86

iterde!inistidak=

+

=

+

:

-

2-

''

-3

1(

('

-(

2-

-'

5.6.1. Sifat-Sifat Jumlah

"andang Mm&n ) kumpulan semua matriks berukuran m & n.

Aljabar Matriks 131


23/86

6+*%,.3

6,6.2

,,+*+*.-

,.'

,.(

=+

=+

++=++

+=+

+

AAmakaAmatriksada)A

)AAAse$in**ano#+ns+rnyasem+ayan*matriksyait+)atriksAda

)CBACBACBA

)BAABBA

)BA)BA

mxn

mxn

mxn

mxn

mxnmxn

5.7.Pengurangan Matriks

"engurangan matriks didefinisikan dari penjumlahan matriks.

Definisi % $ 7 B ) $ 8 *-B+ dimana $, B sejenis

Misal %

=

+

=

''

-(

''

-(

2-

(-

''

-(

2-

(-

Aljabar Matriks 132


24/86

5.8.Perkalian Matriks

erkalian Matriks dengan sebuah skalar

"erkalian * "enggandaan+ matriks dengan sebuah bilangan *skalar+

Definisi % ;ika $ ) *aij+m&ndan k suatu skalar *bilangan riil+ maka k $ ) * k aij+m&n.

Misal %

=

=

9-

(:1

-(

1'

-

kdkc

kbka

dc

bak

Aljabar Matriks 133


25/86

Si%at & Si%at erkalian Dengan Bilangan 'ealSkalar

AA

AA

AAA

BABA

)Adanri##)A mxnmxn

==

+=+

+=+

(.3

+*+*.2

+*.-

+*.'

.(

erkalian Dua Buah Matriks

;ika matriks $ ) * aij+m&n

B ) * bij+m&n

Maka $ & B ) ) * ij+m&r

i ) (, ', ..m j ) (, ', .r

=

=

n

k

k,i,i, baC(

Matriks $B hanya terdefinisi jika dan hanya jika kolom dari matriks $ ) banyaknya

baris pada matriks B.

Misal %

Aljabar Matriks 134


26/86

=

++++=

=

'6(-(60

+2*-+'*2+-*-+(*2+2*'+'*(+-*'+(*(

2-

'(

-2

'(

2-'(

-2'(

AB

BA

Aljabar Matriks 135


27/86

Si%at & Si%at erkalian Matriks

(. ;ika $ ) * aib+

B ) * bik+ maka *$B+ ) $ *B+

) * kj +

'. ;ika $ ) * aik +m&n

B ) * bkj+n&r maka $ *B8+ ) $B 8 $

) * kj+n&r

. ;ika $ dan B masing 7 masing matriks m&n dan matriks n&r maka %

* $ 8 B + ) $ 8 B

2. ;ika $ matriks m&n dan B matriks n&r

ABBAmaka- +*+*+*, =

5.9.Penggandaan Awal Dan Penggandaan Akhir

;ika matriks $ digandakan dengan matriks B sehingga terdapat $B, maka $

disebut pengganda a#al dan B disebut pengganda akhir. "erlu diketahui bah#a

penggandaan $ terhadap B sehingga didapatkan $B belum tentu sama hasilnya jika

merupakan pengganda a#al $ sehingga diperoleh matriks B$.

S!arat enggandaan

Dua buah matriks dapat digandakan jika dan hanya jika saling menengggang.

"engertian menenggang dapat disebut sebagai berikut %

$m&n dan Bp&? , dikatakan menengggang jika n ) p. Dalam hal ini yang perlu

diperhatikan adalah jumlah lajur * kolom + pada matriks $ * pengganda a#al +

haruslah sama dengan jumlah baris pada matriks B * pengganda akhir +.

ontoh %$'&, B&' dapat digandakan karena n ) p )

$2&', B'&' dapat digandakan karena n ) p ) '

$9&3, B3&( dapat digandakan karena n ) p ) 3

$&', B&' tidak dapat digandakan * tidak terdefinisi + karena n p

$m&n & Bn&? ) m&? Menenggang

@kuran Matriks

Aljabar Matriks 136


28/86

Se$ara Terperin$i ers!aratan enggandaan ab

(. Matriks 7 matriks harus mempunyai ukuran yang sesuai untuk definisi matriks

'. =asil penggandaan dua buah matriks mempunyai baris yang sama dengan

matriks pengganda a#al dan banyak lajur/kolom yang sam dengan pengganda

akhir.

. ;!ka matriks $ dan B berukuran sedemikian rupa hingga hingga $B dan B$

keduanya terdefinisi umumnya $B B$. ;adi penggandaan matriks 7 matriks

tersebut tidak komulatif, kecuali pada bentuk khusus.

2. "enggandaan matriks bersifat tertutup yaitu hasil penggandaan ' buah matriks

adalah matriks. $kan tetapi kecuali untuk matriks segi hasil penggandaan

bukanlah matriks yang berukuran sama dengan pengganda #al dan pengganda

akhir.

3. "enggandaan matriks memenuhi kaidah assosiasi terhadap penggandaan.

$ * B + ) $B * +

1. "enggandaan matriks memenuhi kaidah 7 kaidah penyebaran * distributif +.

$ * B 8 + ) $B 8 $ * kaidah penyebaran lini terhadap penggandaan melalui

penjumlahan +

* $ 8 B + ) $ 8 B * kaidah penyebaran kanan terhadap penggandaan melalui

penjumlahan +.

Si%at & Si%at enggandaan *ang "ain

(. "ada umumnya penggandaan ' buah matriks $ dan B terdapat ketentuan

bah#a

$B B$.

'. "enggandaan beberapa matriks adalah asosiatif.

$B ) * $B+ ) $ * B +5. ifat distributive

a."enggandaan dengan skalar

c * $ 8 B + ) c$ 8 cB

b."enggandaan matriks dengan matriks

$ * B 8 + ) $B 8 $

) B$ 8 $

2. "enggandaan dengan matriks identitas

Aljabar Matriks 137


29/86

!$ ) $! ) $

ontoh %

Aljabar Matriks 138


30/86

=

=

6(

((

6(

(6

(6

((

6(

(6

(6

((

AB

BA

Aljabar Matriks 139


31/86

$B B$

5.10.Putaran (Transpose) Suatu Matriks

Definisi % "utaran dari matriks $ ditulis $A, adalah suatu matriks yang

didapat dengan mengubah baris matriks $ menjadi kolom atau sebaliknya.

Dengan demikian suatu matriks $m&n ) * aij+mndapat disusun suatu matriks baru $Am&n

) *aij+m&n dengan aijA ) aji. Dengan perkataan lain matriks $A dinamakan putaran atau

transpose $.

Contoh%

Aljabar Matriks 140


32/86

3-

6'

2(

B362

-'(

B

'--'

--'-(-

-'''('

-('(((

--

---'-(

'-'''(

(-('((

--

xx

xx

BB

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

Beberapa kaidah mengenai putaran matriks

(. * $A + ) $

'. * $ 8 B +A ) $A 8 BA

. * $B +A ) BA$

2. * $ B +A ) A BA $A

Aljabar Matriks 141


33/86

utaran suatu matriks diagonal adalah matriks diagonal itu sendiri

-66

6'6662

B

-66

6'6662..

Contoh% * $ 8 B +A ) $A 8 B C

Aljabar Matriks 142


34/86

=+

=+

(60(

'1-

1'-

+B*

(6'1

01'(--

3''

--(

6'(

362

2-(

(('

BA

BA

BA

Aljabar Matriks 143


35/86

=

+

=+

(60(

'1-

1'-

3-6

'-'

'((

32(

6-(

2('

BBBA

Contoh% * $B +A ) BA$A

Aljabar Matriks 144


36/86

=

=

(2('3

B

'3(:(2

'9(9('

:93

3''

--(

6'(

362

2-(

(('

3''

--(

6'(

362

2-(

(('

AB

BA

Aljabar Matriks 145


37/86

5.11. Teras Suatu Matriks


38/86

diperhatikan apabila dilakukan penjumlahan atau perkalian *penggandaan+. Matriks

yang dibagi-bagi tersebut dinamakan "artisi Matriks *Matriks ekatan+.

Aljabar Matriks 147


39/86

,,,'''(('((

222-

-2--''

2'2(

-'-('(

'2'-

(2(-('

'''(

('((((

'''(

('((

222-2'2(

-2---'-(

'2'-'''(

(2(-('((

/+bmatriksdiseb+tAAAA

aa

aaA

aa

aaA

aa

aaA

aa

aaA

AA

AA

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

=

Aljabar Matriks 148


40/86

;adi "artisi Matriks *Matriks ekatan+ merupakan matriks dimana elemen 7

elemennya berupa matriks dengan ukuran kecil.

5.12.1 Penjumlahan Dan Penggandaan Dengan Matriks Sekatan

(Matriks Partisi)

@ntuk bisa menjumlahkan dan menggandakan matriks dengan

mempergunakan sekatan matriks maka persyaratan penjumlahan dan penggandaan

untuk matriks biasa berlaku juga dalam hal ini, oleh karena jenis matriks ini juga

terdiri elemen 7 elemen, hanya bedanya dengan matriks biasa adalah elemen 7

elemennya terdiri dari matriks 7 matriks yang lebih kecil jumlah baris dan kolomnya*lajurnya+ / sub matriks. ;adi jelas bah#a sub matriks ini harus onfortable baik untuk

penjumlahan maupun untuk penggandaan, $pabila matriks $ dan B yang dibagi-bagi

sebagai berikut %

n,

miBABAmaka

BBB

BBB

BBB

B

AAA

AAA

AAA

A

i,i,

mnmm

n

n

mnmm

n

n

,........',(

,.......',(+*

'(

''''(

(('((

'(

''''(

(('((

=

=+=+

Contoh :

Aljabar Matriks 149


41/86

=

++++=+

=

=

'23

'133-3

('2

''-

2('

('(

62'

('-

'''''('(

('('((((

'''(

('((

'''(

('((

BABA

BABABA

BB

BBB

AAAAA

Aljabar Matriks 150


42/86

5.13.Penggandaan Dua Buah Matriks Sekalar

;ika matriks $m&ndan Bn&?dapat disekat menjadi anak matriks-anak matriks

yang saling menenggang antara sesamanya, maka penggandaan matriks $B tidak lain

dari penggandaan anak matriks-anak matriks yang berfungsi sebagai unsur 7 unsur

dalam matriks sekatan.

$m&n. Bn&? ) m&?

Menenggang

Contoh :

-'-(

'''(

('((

'-'''(

(-('((

BB

BB

BB

BAAA

AAAA

$'& B&'

++++

++++

-''-''''(''(-('-'(''(('(

-'(-''('('((-((-'(('((((

BABABABABABA

BABABABABABA

AB

Aljabar Matriks 151


43/86

-'(-''('('((-((-'(('((((

-'-(

'''(

('((

(-('((

*

+*

BABABABABABAAB

BBBB

BB

BAAAA

++++=

=

Contoh :

Aljabar Matriks 152


44/86

+

+

+

+

=

(6

3

'(

(

(3

-

((

3

:0

(

(2

-

(6((

'(:0

(3(2

(2'

3(-

AB

BA

Aljabar Matriks 153


45/86

5.14. Determinan

Determinan hanya menyangkut matriks bujur sangkar yang

berukuran/berorde n&n. Determinan sebuah matriks bujur sangkar $ ditulis dengan

symbol A atau det$.

Definisi %

;ika $ matriks berukuran '&' yaitu

dc

baAx'' maka determinan $ didefinikan sebagai

berikut 02'3-

32

'-==

= xxAAbcadA

Se$ara umum ditulis

nr,i

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

A ....'(

'(

''''(

(('((

==

ang tidak lain daripada penjumlahan dari n > permutasi bilangan 7 bilangan

(, ', , n


46/86

k,i aaaaaaaaa

aaa

A -'(

---'-(

'-'''(

(-('((

==

Banyaknya formulasi i, j, k adalah > ) (.'. ) 1

i ) ( j ) ' k )

-'(

-('

'-(

'(-

(-'

('-

=

=

=

=

=

=

k,ii,

ki,,ik

,kiik

,ikki,

i,k,k

i,kk,i

Jadi Determinann!a :

a(( a'' a - a((a'a'7 a('a'(a8 a('a'a(8 a(a'(a'7 a(a''a(

'(-'(--('-('--''((

-'-'-(

'-'''(

(-('((

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

+++

+

+

+

'--'((--'(('-(''(-

---'-(

'-'''(

(-('((

aaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

ontoh %

Aljabar Matriks 155


47/86

-91

3':

02(

-91

3':

02(

+

+

+

A

-91

3':

02(

(.'. 8 :.9.0 8 1.3.2 - 0.'.1 - 3.9.( 7 .:.2 1 362 ('6 -:2 - 23 - 91

16 -''3

del $ ) A ) 16 7 ''3 ) 263


48/86

266+(6+*(+*3+*:*(

(66666

6(666

66366

666:6

6666(

:6+(6+*:*(

(666

6:6

66(

26(62(66

62

==

==

==

00

BB

xAA

Aljabar Matriks 157


49/86

2(+2*((3-62'

66(

2+(+*2*((66326

-'(

==

==

..

/e*iti*a)atriksCC

'. ;ika unsur 7 unsur ( baris atau kolom tertentu suatu matriks segi $p&pdigambarkan

dengan skalar maka determinan matriks baru akan sama del $, sedangkan jika

semua unsur matriks $p&pdigambarkan dengan skalar maka determinan matriks

baru menjadi pdel $ ) p A .

:6

(666

6:6

66(

-- =

AAx

+alikan unsur & unsur baris , dengan skalar C - .

Aljabar Matriks 158


50/86

AB

BBx

'+:6*'

(16(6666:6

66'

--

==

=

+alikan semua unsur dengan skalar C - .

A

11

-

-

'+:6*'

+:6*:

126

+'6+*(1*'

'666

6(1666'

==

=

=

=

. ;ika dua baris atau dua kolom suatu matriks segi dipertukarkan tempatnya maka maka

determinannya berubah. ;ika asalnya positif berubah menjadi negative atau

sebaliknya.

'+-*'+2*(2-'( ==

AA

Tukar baris , dan . sehingga :

Aljabar Matriks 159


51/86

2+3*'+1*(

13

'(

2+1*(+3*'

31

('

'+(*2+'*-'(

2-

==

==

==

..

CC

BB

2. ;ika ada dua kolom dan dua baris bersamaan suatu matriks segi maka nilai determinan

matriks tersebut adalah nol.

Aljabar Matriks 160


52/86

6+-'-'*-+(1(1*'+(1(1*'

::

22-

2:

'2'

2:

'2'

2::

'22

-''

611

''

=+=

+=

=

B

B

AA

3. ;ika unsur 7 unsur suatu matriks atau kolom suatu matriks segi umumnya nol maka

determinan matriks itu juga nol.

Aljabar Matriks 161


53/86

6

262

:6'

(66(

6(:(6

66

=

=

BB

AA

1. ;ika setiap constituent dari suatu kolom atau baris terdiri ' suku, maka determinannya

merupakan jumlah dari dua determinan yang terbentuk.

$pabila

''

((

baba

a(, b(, a', b' disebut constituents Gdan a(b'dan a'b(disebut element G

2+1*(3'31

('

==xAA

Aljabar Matriks 162


54/86

'(6(((-('2-3-3

+-*(+(*3+-*(+(*33-

((

3-

((

3-((

3-((

3--(((

31('

+++

=+=

+=+=

+

=

++=

Bmaka

B

Aljabar Matriks 163


55/86

0. "utaran sebuah matriks $ akan mempunyai determinan yang sama dengan matriks$

'1+-*'+:*2B:-'2B

'1+'*-+:*2:'-2

==

==

AA"+taran

AA

:. Nilai suatu determinan tidak berubah, jika pada unsur-unsur sebatang baris atau

kolom ditambahkan atau dikurangkan dengan suatu konstanta yang merupakan

perkalian dari unsur 7 unsur baris atau kolom yang berkaitan.

Aljabar Matriks 164


56/86

.2:-':6+:*2+(6*:

(2

('

(6:

2:

2:31(62+(2*2+(-*:

(('(-(2

2:

2:+1*:+9*:

91

2:

dstA

barisditamba$kebarisA

A

bariska#iditamba$kebarisA

AA

===

===

==

9. Nilai determinan adalah nol jika terdapat dua baris antar ' kolom yang unsur 7

unsurnya sebanding.

Aljabar Matriks 165


57/86

'%('

(

(''

'2'

('(

(-2

6

999((101:1

(--13

9:0:(632-'(

6

((((((

-6(:(6(

(((-((9(6'

-6(:(6(

-''6(6--((9(6'

-6(:(6(

=

=

=

=

=

=

kebaris2ada+ns+r

+ns+rberbandin*kebaris2ada+ns+r3ns+rA

barisbarisBaris

BB

A

A

Aljabar Matriks 166


58/86

6(16(1

+'1*2+'2'2*'+'2:*(

''

(-2

:'

('-'

:'

('((

6

2%(-(

:''

('(-

2'(

=+=+=

+==

=

B

B

keko#om2adaberbandin*kebaris2ada+ns+r3ns+rB

5.14.2 Determinan Khusus

(. $pabila ! merupakan matriks identitas maka del ! atau 4 ) (

(+(+*(*(

(66

6(6

66(

==

4

Aljabar Matriks 167


59/86

'. $pabila matriks = adalah ortogonal maka del = atau 5 ) (

. $pabila matriks D merupakan matriks diagonal dengan elemen dii, i ) (, ',

..n maka del D atau n

n

i

ii dddd. ...... ''(((

==

=

2. $pabila matriks < merupakan matriks segitiga dengan elemen 7 elemen

diagonal utama tii , i ) (, ',n maka del < atau

=

==n

i

nnii tttt6(

''(( ........

5.15.Metode Sarrus

$turan sarrus untuk matriks berordo & Determinan matriks $& dapat

dicari dengan cara menambahkan dua buah vector baris pertama dan

memperbanyakkan elemen 7 elemen menurut tanda panah. "emberian tanda positif

dan negatif sesuai aturan diatas.

---'-(

'-'''(

(-('((

---'-(

'-'''(

(-('((

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

a(( a(' a(a'( a'' a'a( a' aa(( a(' a(a'( a'' a'

'(('--((-''--(''(-'-('-((--''(--''(( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++=

ontoh %

Aljabar Matriks 168


60/86

2(-

36'

('2

2(-

36'

('2

2 ' (

' 6 3

( 2

2 ' (

' 6 3

2

(1'66-6'6

+'+*'*2+2+*(*3+-+*6*(+3+*'*-+(+*(*'+2+*6*2

=

++=

++=A

5.16. Mencari Determinan Dengan Menggunakan

Kofaktor

De%inisi :

Ealau dari matriks kuadrat $ dengan n baris dan n kolom kita hilangkan baris ke i dan

kolom ke j, maka determinan dari matriks kuadrat dengan *n-(+ baris dan

(

(

n

m

kolom yaitu sisa matriks yang tinggal disebut minor matriks dengan elemen a ij dan

Aljabar Matriks 169


61/86

diberi symbol i,A apabila pada setiap minor kita tambahkan tanda 8 atau 7 sebagai

tanda pada determinan dan kemudian kita beri symbol ( ) i,,iA

+( maka kita

peroleh apa yang kita sebut kofaktor dari elemen aijdan biasanya diberi symbol Eij

.;adi jelasnya kofaktor adalah %

i,

,i

i, A7 += +(* ini berarti bah#a setiap elemen mempunyai kofaktor sendiri 7

sendiri.

Dalil % Nilai determinan dari matriks $ sama dengan penjumlahan dan hasil kali

semua elemen dari suatu baris / kolom dari matriks $ tersebut dengan kofaktor masing

7 masing.

Matriks kofaktor ditulis %

nnnn

n

n

777

777

777

7

'(

''''(

(('((

*(+. Dari baris matriks $

inn

nnnn

n

n

7a7a7aAAde#

aaa

aaa

aaa

A

(('('((((

'(

''''(

(('((

......+++==

atau nn7a7a7aA '''''''('( ........... +++=

atau nnnnnnnn 7a7a7aA +++= ............''((

ni7aA it

n

t

it ,......',((

===

Aljabar Matriks 170


62/86

*'+. Dari kolom *Fajur+

Dengan menggunakan elemen 7 elemen dari kolom

(('('((((( ........... nn 7a7a7aAAde# +++==

n,7aA

7a7a7aA

7a7a7aA

t,

n

t

t,

nnnnnnnn

nn

,......',(

..........

..........

(

''((

''''''('('

==

+++=+++=

=

5.17. Cara Mencari Minor Dan Kofaktor

"erhatikan del $ dari matriks $& %

---'-(

'-'''(

(-('((

aaa

aaa

aaa

maka %

Aljabar Matriks 171


63/86

Minor

-(

'-''

(-('

-(

('

---'

(-('

'(

((

---'

'-''

((

Aaa

aaa

Aaa

aaa

A

aa

aaa

==

==

==

Minor

-'

'-'(

(-((

-'

(-

---(

(-((

''

('---(

'-'(

('

A

aa

aaa

A

aa

aaa

Aaa

aa

a

=

=

=

=

=

=

Aljabar Matriks 172


64/86

Minor

--

'''(

('((

--

'-

-'-(

('((

'-

(--'-(

'''(

(-

A

aa

aaa

A

aa

aaa

Aaa

aa

a

=

=

=

=

=

=

ecara umum minor elemen aijdapat ditulis i,A yaitu suatu determinan berorde *n-

(+ & *n-(+ yang diperoleh dengan menghapuskan baris dan kolom yang menyangkut

elemen aijEofaktor Eij) *-(+i8j i,A

Contoh :

ari determinan dari matriks

('-

'(3

2'(

A

Dengan mempergunakan baris ,

Aljabar Matriks 173


65/86

{ }

{ }

{ }

0':'-+0*2+(*'+-*(

0-(6+(*'-

(3+(*

(13+(*(-

'3+(*

-2(+(*('

'(+(*

(-(-('('((((

2-(

(-

-'(

('

'((

((

=++=++=

++=

===

===

===

+

+

+

7a7a7aA

7

7

7

Dengan mempergunakan kolom ke .

Aljabar Matriks 174


66/86

{ }

{ }

'06-6-+6*-+1*3+-*(

622+(*'(

2'+(*

1:'+(*('

2'+(*

+*-

2(-

-(

-('

'(

((

-(-('('(((((

=++=++=

===

===

=

++=

+

+

A

7

7

di$it+n*te#a$7

7a7a7aA

5.18. Invers ( Kebalikan ) Matriks

Definisi%

;ika $ ) *aij+ dan B ) * bij+ adalah matriks segi berordo *berukuran+ m & n, ! n adalah

matriks identitas berordo m & n, sedemikian hingga $B ) B$ ) ! n, maka B disebut

!nvers matriks $ * dan $ tersebut !nvers matriks B +.

;ika matriks $ mempunyai invers, maka kita katakan $ adalah Matriks non singular,

sedangkan jika $ tidak mempunyai invers, maka matriks $ disebut singular. !nvers

matriks $ ditulis dengan notasi $-(.

$turan untuk menentukan invers matriks $ atau $A adalah %

$-() Aad,AAad,

Ade#(( =

$dj ) $djoint

Dengan %

(. A adalah determinan matriks $ dan A H 6.

'. $dj adalah $djoint matriks $ yaitu transpose dari matriks yang elemen-elemennya

merupakan kefaktor-faktoran elemen-elemen A .

Aljabar Matriks 175


67/86

Dengan memperhatikan aturan diatas, langkah-langkah yang diperlukan untuk

menentukan invers suatu matriks $ ) *aij+ adalah sebagai berikut %

(. Menentukan determinan $ atau A

'. Menetukan nilai kofaktor dari semua elemen A , kij untuk setiap i dan j.

. Menghitung nilai dari A

2. Membentuk matriks, misalnya matriks B yang elemen-elemennya adalah hasil

langkah no.', jadi B ) * bij+ dengan bij) kijuntuk semua cA dan j.

3. Menentukan matriks adj $ ) BA, yaitu adjoint $

1. Menentukan $A menggunakan aturan

Aad,

A

A ((=

!nvers Matriks Berordo * berukuran + '&'

;ika $

dc

ba

dc

baA=

) ad 7 bc

aa)7

cc)7

bb)7

dd)7

===

===

===

===

+

+

+

+

''

''

''

('

'(

('

'(

('

'(

((

((

((

+(*

+(*

+(*

+(*

Aljabar Matriks 176


68/86

==

=

=

=

ac

bd

bcadAad,

AA

ac

bd

ab

cd

77

77Aad,

(((

((

'''(

('((

Contoh%

(. $

'-

3: A ) &' 7 3& ) (

Aljabar Matriks 177


69/86

$-()

=

:-3'

:-3'

((

'. B

-3

'2 '+3+*'*+-*2 ==B

B-()

=

'/

(/

23

'-

'

(

'

3

'

-

Aljabar Matriks 178


70/86

.

(''

'6'

(((

(-(-('('(((( 7C7C7CC ++=

Aljabar Matriks 179


71/86

('(('((+(*+(*

-+'(*('

((+(*+(*

26+2*''

6'+2*+(*

'+2'*('

''+(*+(*

2('

'6+(*+(*

2''

''''

-

'(

('

'(

2

(-

2(

(-

-

('

'(

('

'

((

((

((

==

==

=+=

==

==

==

==

==

=

==

+

+

+

+

+

)7

)7

)7

)7

)7

Aljabar Matriks 180


72/86

''66'

((+(*+(*

6+''*''

((+(*+(*

'6'

'6

((+(*+(*

6+''*''

((

+(*+(*

1

--

--

--

3

-'

'-

-'

2

-(

(-

-(

3

'-

-'

'-

==

==

==

==

==

==

==

==

+

+

+

+

)7

)7

)7

)7

Aljabar Matriks 181


73/86

=

=

=++=

==

=

(''

6/(

(/('

'22

6('

--2

'

(

'+2*(+'*(+2*(

'22

6('

'-2

B

B

'6'

2(-

2'2

'

(

'

(

(C

C

7Cad,

7Cad,7

5.18.1.Sifat-Sifat Matriks Invers(. !-( ) !

'. $$-( ) $-( $ ) !

. *$-(+-() $

Aljabar Matriks 182


74/86

2. *$B+-() B-($-( ,dengan syarat matriks $ dan B adalah non singular

3. *$B+-() -(B-($-(

1. *$r+-() *$-(+r

0. AA

((=

:. $pabila D merupakan sebuah matriks diagonal dengan elemen-elemen

diagonalnya d((*i ) (, ', ..n+ dan D

6 maka D-( ) ((

(

d

5.18.2.Sistem Persamaan Linear I

uatu system persamaan linear dengan dua variable, misalnya %

ax1+ bx2=

ax1+ bx2=

Dapat ditulis dalam bentuk matriks%

=

8

2

x

x

dc

ba

'

(

$'&' I'&( '&(

$&)

Contoh% elesaikan system persamaan berikut %

Aljabar Matriks

/ - A0, *

183


75/86

2x1+ 3x2 = '

x1& x2= 1

"enyelesaian %

=

(

0

((

-'

'

(

x

x

$ I

I ) $-(

Aljabar Matriks 184


76/86

'3

(6

3

-

3

0+(*3

-+0*3

(

(

0

3'

3(

3-3(

3

'

3

(

3

-

3

(

'(

-(

3

(

'(

-(

+-*(+(*'

(

(

(

'

(

(

(

x

x

x

x

A

A

==

+=+=

=

=

=

=

Aljabar Matriks 185


77/86

Soal "atihan

elesaikan persamaan linear berikut %

1% 4x1+ x2= 1

2x1 3x2= &1'

2% 4x1+ 2x2 = 10

2x1 3x2= &1'

3% 2x1+ 5x2 = (

3x1 2x2= (

4% 12x1+ x2 = 14

8x1 & 5x2= & 2

5% 13x1+ 15x2 = 2

12x1+ 1'x2= 5

6% x1+ x2= 18

3x1 & 2x2= 1(

5.18.3.Sistem Persamaan Linear II

, Suatu sistem persamaan linear dengan . 1ariabel

ax1+ bx2=

cx1+ dx2=

Aljabar Matriks 186


78/86

=

=

=

=

8

2

dc

ba

x

x

cAccxA

cAx8

2xxdcba

(

'

(

(

'

(

Misal %2x1+ 3x2= '

Aljabar Matriks 187


79/86

x1& x2= 1

Aljabar Matriks 188


80/86

Aad,A

A

Aad,

A

x

x

==

=

==

=

'(

-(

3

((

'(

-(

3+(*-+(*'

(

0

((

-'

(

'

(

Aljabar Matriks 189


81/86

Dalam bentuk matriks

Aljabar Matriks 190


82/86

c

c

aaa

aaa

x

x

cAA

c

c

c

x

x

x

aaa

aaa

aaa

n

n

nxnxnxn

nnnnnn

n

n

'

(

(

''''(

(('((

'

(

((

'

(

'

(

'(

''''(

(('((

=

=

Aljabar Matriks 191


83/86

5.19. Metode Cramer

ramer berhasil menemukan suatu metode matriks bagi penyelesaian persamaan

linear secara simultan yang kemudian dikenal dengan kaidah cramer

$n&n. &n&() cn&(

/n0,- A0,

n2n $ n2,

A

xx

Axx

A

xx

n

n =

=

=

'

'

(

(

Bisa dijabarkan sebagai berikut %

Aljabar Matriks 192


84/86

nnn

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

nnnn

n

n

caa

caacaa

aaa

aaa

aaa

aca

aca

aca

x

aaa

aaa

aaa

aac

aac

aac

x

'(

''''(

(('((

'(

''''(

(('((

(

'''(

((((

'

'(

''''(

(('((

'

''''

(('(

(

==

Aljabar Matriks 193


85/86

Misal :

x1+ x2 & x3= 6

3x1 + 4x2+ 2x3= & 2

2x1+ 5x2+ x3 = 0

cxAx

x

x

=

6

'

1

(3'

'2-

(((

-

'

(

5.20. Metode Sarrus

Aljabar Matriks 194


86/86

0'

(36

'2'

((1

-1

(3'

'2-

(((

( =

=

=

=

x

A

6-16

'-1

0'

(22

63'

'2-

1((

6

(6'

''-

(1(

'

(

-

'

==

=

=

==

=

=

x

x

x

x

matriks universitas

Documents