गणणत ककषा 6

DIKSHA एऩ कस डाउनऱोड कर

विकलऩ 1 अऩन मोफाइऱ बराउज़र ऩर dikshagovinapp टाइऩ कर विकलऩ 2 Google Play Store म DIKSHA NCTE ढ ॊढ़ एिॊ डाउनऱोडफटन ऩर

tap कर मोफाइऱ ऩर QR कोड का उऩयोग कर डडजिटऱ विषय िसत कस परापत कर

DIKSHA को ऱाॊच करmdashgt App की समसत अनमतत को सिीकार करmdashgtउऩयोगकताा Profile का चयन कर

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परापत विषय-िसत की स ची स चाही गई विषय-िसत ऩर जलऱक कर

सतर 2019-20

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद छततीसगढ़ रायपर

णनिःशलक णितरण हत

एससीईआरटीछग रायपर

सहयोग

हदय कात दीिान (णिदया भिन उदयपर)

परो परिीन ससकलयर (इगन नई ददलली)

णिशष सहयोग

फल कौल (जाणमया णमणलया इसलाणमया णिणिनई ददलली)

सपादक मणडल

एसडी शमबकर यक चकरिती

मीना शरीमाली

लखक दल

एसडी शमबकर यक चकरिती एमआरसाित

एमएम महता शभा णतिारी दीपाकर भौणमक

जीपीपाडय क पी राि बीक शरीिासति

मीना शरीमाली सजय बोलया दीपक मतरी

सयोजक

यक चकरिती

आिरण पषठ

हमनत अभयकर आणसफ-णभलाई

ल-आऊट णडजाइन

रखराज चौरागड़

फोटोगराफ

ससकणत णिभाग रायपर क सौजनय स

परकाशक

छततीसगढ़ पाठयपसतक णनगम रायपर

मदरक

मददरत पसतको की सखया -

परकाशन िषष - 2019

गणणत का उपयोग मातर एक णिषय क रप म पढ़न तक ही सीणमत नही ह परत अनय णिषयो को

समझन म भी इसकी महतिपणष भणमका ह ककषा छिः म गणणत पढ़न का मखय उददशय वयापीकरण को समझन क

साथ-साथ जयाणमणत की णिणभनन आकणतयो क गणो को जानना ऋणातमक सखया की समझ पदा करना एि

दणनक जीिन स सबणधत पररणसथणतयो म अब तक समझ गए गणणत का उपयोग करना ह

गणणत कोई बतान या समझान का णिषय नही ह गणणत सीखन क णलए सिय क ददमाग म ढााचा बनाना

पड़ता ह यह ढााचा सिय कई परकार की समसयाओ को हल करन स मजबत होता ह

इस पसतक म भी यही परयास दकया गया ह दक गणणत की अिधारणाओ को छातर सिय बना सक तथा

इन अिधारणाओ को िातािरण स जोड़कर जीिन क अनय कषतरो म भी उपयोग कर सक इस उददशय को परापत

करन क णलए छातर पसतक को धयान स पढ़न क साथ-साथ ददय गय सभी दकरयाकलापो को सिय करक उनस

णनषकषष परापत करन का परयास कर तथा दकए गय दकरयाकलापो का णलणखत अणभलख भी रख

गणणत हल करन की णजन परदकरयाओ का हम उपयोग करत ह परायिःउन सभी म एक णिशष पटनष होता ह

इनही पटनो का उपयोग कर गणणत हल करन क नए तरीक भी ढढ़ जा सकत ह इसी करम म िददक गणणत की

कछ णिणधयाा हम इस पाठयपसतक म परसतत कर रह ह आशा ह गणणत क णिदयाथी इसका आनद उठाएाग ककषा-

6 म िददक गणणत की णजन णिणधयो का हम उपयोग करग उस पर काम करन क पहल कछ और चीज सीखनी

पड़गी इनह हमन पररणशषट म रखा ह इनह पहल सीख लना उपयकत होगा

कोई भी पसतक अपन आप म पणष नही होती इस पसतक को समझन म जो भी करठनाइयाा हो उस यदद

पररषद क धयान म लाया जाएगा तो आन िाल ससकरणो म उस सधारा जा सकगा जो परदश क समसत छातरो क

णहत म होगा

सकल णशकषा णिभाग एि राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद छग दवारा णशकषको एि

णिदयारथथयो म दकषता सिधषन हत अणतररकत पाठय ससाधन उपलबध करान की दणषट स Energized Text

Books एक अणभनि परयास ह णजस ऑन लाईन एि ऑफ लाईन (डाउनलोड करन क उपरात) उपयोग दकया

जा सकता ह ETBs का परमख उददशय पाठयिसत क अणतररकत ऑणडयो-िीणडयो एनीमशन फॉरमट म अणधगम

सामगरी सबणधत अभयास परशन एि णशकषको क णलए सदभष सामगरी परदान करना ह

इस पसतक क लखन म हम णिणभनन शासकीय और अशासकीय णिदयालयो क णशकषको णजला परणशकषण

ससथानो महाणिदयालयो क आचायो सिय सिी ससथाओ तथा परमख नागररको का मागषदशषन एि सहयोग णमला

ह हम उनक परणत अपना हारददक आभार वयकत करत ह

हम पनिः राजय क परबदध िगष स णनिदन करत ह दक इस ससकरण को सथायी रप दन क पिष ि इसम

आिशयक सशोधन क सझाि पररषद को अिशय भज णजसस इस पसतक म सधार दकया जा सक

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

पराककथन

गणणत कया ह

गणणत अधययन की िह शाखा ह णजसक अनतगषत मोट तौर पर सखयाओ उनक गणो ि पारसपररक

सबधो क साथ-साथ आस-पास क सथान की समझ को वयिणसथत कर उसम सिाागसमता कोण ि अकन

पररमाण तथा अनय इसी परकार क मापो का अधययन दकया जाता ह इसका उपयोग न किल अधययन-अधयापन

क सभी कषतरो क अधययन म अणनिायष तथा महतिपणष अग होता ह िरन सामानय जीिन म भी इनकी अहम

भणमका ह इसणलए गणणत अधययन-अधयापन म पराथणमक सतर स ही अधययन का अणनिायष अग रहा ह

सामानय तौर पर गणणत सीखन क णलए ठोस िसतओ ि अनभिो स शर करक अमतष णिचारो को समझकर उनक

साथ आग बढ़ना होता ह गणणत णिषय चरण दर चरण बढ़ता ह और इस बढ़न म परतयक सतर पर अिधारणाओ

का और जयादा वयापीकरण होता रहता ह

भाषा ि गणणत सीखन का समबनधतकष णसदध करन का अथष

गणणत सीखन की परदकरया म भाषा का उपयोग बहत महतिपणष ह गणणतीय तको ि धारणाओ को

समझन ि वयकत करन क णलए भाषा आधार ह भाषा गणणतीय अिधारणाओ को कछ हद तक मतष बनान म भी

योगदान करती ह करमबदध तारदककता णिकणसत करना ि उसक उपयोग का आधार भी भाषा ह और यह गणणत

सीखन ि उसक उपयोग क णलए अतयत आिशयक ह गणणत का सबस परमख पहल ह मानयताओ ि धारणाओ क

आधार पर णसदध दकए जा सकन िाल कथनो का एक ढााचा खड़ा करना ि उनका उपयोग करना इस परकार

गणणत को सरणचत करन का आधार तारदककता ह बचचो को इसकी परदकरया स जो गणणत की परकणत का अहम

णहससा ह रबर करिाना आिशयक ह

गणणत की परकणत क अनरप ककषा-6 स 8 क दौरान हम जयादा वयापक और अपकषाकत जयादा अमतष

णिचारो का अधययन शर करग

समह म िसतओ की सखया पराकत सखयाओ की समझ ि उन पर हई सामानय सदकरयाओ स आग बढ़कर

हम सखयाओ का सामानय परणतरपण ि णनयम चर की अिधारणा णसदध करन की धारणा वयापीकत णनयमो

वयिहाररक गणणत आदद क बार म सीखग इसक साथ-साथ हम आकणतयो की रचना परकार ि आकार क बार

म समझग और अपन ही आस-पास ढढ़न का परयास करग इन ककषाओ क दौरान हम आकड़ो को वयिणसथत करक

परसतत करना ि उनस णनषकषष णनकालना भी शर करग

णशकषक क णलए

गणणत णसखान क बार म परमख बात यह ह दक इसम बचचो को सिय समसयाए हल करन का पयाषपत मौका

णमल गणणत बतान ि समझान स नही सीखा जाता िरन समझन स ि अपन ददमाग म ढाच बनान स आग

बढ़ता ह अतिः हम बचचो को समझन ि अपन ददमाग म उसका ढाचा बना लन क मौक दन ि इसका कौशल

णिकणसत करन पर जोर दना चाणहए

गणणत णशकषण

हम जानत ह दक गणणत अधययन क समसत कषतरो तथा णजनदगी क सभी दकरया-कलापो म उपयोग म

आता ह परनत यह उस उपयोग तक सीणमत नही ह यदयणप ठोस अनभिो ि ठोस िसतओ का इसक शर म बहत

महति ह इसम सीखन िाल को करमशिः अमतष णिचारो को समझकर आग बढ़ना होता ह इसस यह सपषट ह दक

गणणत णशकषण का कनदर णबनद गणणतीय अिधारणाओ को णशकषाथी को सिय बनान म मदद दना ह न दक उनह

अिधारणाए बताना अथिा रटाना हम गणणत णशकषण म परमख बात सिाल समझाना नही िरन बचचो को

सिालो को हल करन का बणहचक परयास करन का मौका दना चाणहए

इसणलए उचच पराथणमक सतर क गणणत णशकषण म हम ठोस िसतओ ि अनभिो क माधयम स सीख गए

गणणत का उपयोग करत हए वयापकीकत गणणतीय अिधारणा को बनान म णशकषाथी को मदद दनी चाणहए अतिः

सभी अधयायो क णशकषण म इस बात को रखादकत कर लना चाणहए दक आप अधयाय म कौन स गणणतीय णनयम

ि उसकी वयापकीकत अिधारणा को बनाना चाहत ह इसी गणणतीय णनयम ि अिधारणा को णशकषाथी अपन

आप स बना सक इस बात को धयान म रखकर अभयास का ढााचा ि सिाल बनाना चाणहए अभयास क परशनो म

णशकषाथी को सिय समसयाएा हल करन का पयाषपत मौका णमलना चाणहए

उचच पराथणमक शाला म गणणत णशकषण क सामानय उददशय

1 पराथणमक सतर क जञान का सदढ़ीकरण हो सकगा

2 बचचो म िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी की अिधारणाए णिकणसत करना

3 दणनक जीिन म गणणत क आधार की समझ ि उसका उपयोग करन की कषमता

4 िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी सबधी सरल समसयाओ को हल करन की कषमता का

णिकास

5 रखगणणतीय परशनो को हल करन की दकषता णिकणसत करना परशन क णिणभनन चरणो क आपसी सबधो

एि तारदकक अनमान लगान ि गणणतीय अिधारणा को समझना

6 परारणमभक बीज गणणत क आधार को समझना

7 साणखयकी गराफ णचतर चाटष मॉडल की समझ उनक परयोग की दकषता परापत करना

8 तकष कषमता उपपणतत ि णसदध करन का तरीका पटनष पहचानना

9 समसयाए समझना ि हल करन क साथ-साथ अिधारणाओ क आधार पर नए सिाल और समसयाए

बनाना

10 राषटरीय एकता एकरपता पयाषिरण सरकषा छोट पररिार का आदशष सामाणजक बराईयो को दर करना

समानता सबधी जागरकता णिकणसत करना इन उददशयो को भी धयान म रखत हए गणणत का

पाठयकरम बनाया गया ह

11 ककषा 6 म ऋणातमक सखयाएा चर की अिधारणा ि उनका उपयोग समीकरण सखया समहो की

धारणा ि उनक गण तथा णभनन सखयाओ पर समय लगान की आिशयता ह कयोदक यह आग क गणणत

का आधार ह इसी परकार रखागणणत की धारणा का सदढ़ पररचय इसी ककषा म शर होता ह इन सभी

क णलए पयाषपत अभयास ि मौक चाणहए होग

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

णिषय-सची

1 पराकत सखयाएा 1-3

2 पणष सखयाएा एि पणष सखयाओ पर सदकरयाएा 4-18

3 रखाखणड 19-30

4 पणााक 31-49

5 ितत 50-53

6 गणनखणड एि गणज 54-72

7 णभनन 73-88

8 कोण 89-105

9 णतरभज एि चतभषज 106-127

10 अनपात 128-140

11 चर सखया 141-143

12 बीजीय वयजक 144-147

13 परणतशतता 148-156

14 समीकरण 157-167

15 रखा गणणतीय रचनाएा 168-177

16 कषतरणमणत-1 (कषतरफल) 178-184

17 कषतरणमणत-2 (पररमाप) 185-195

18 समणमणत 196-208

19 साणखयकी 209-217

उततरमाला 218-226

पररणशषट-िददक गणणत की णिणधयाा iviii

गणणत क कषतर म भारत का गौरिशाली योगदान

अब तक आपन भाषा एि गणणत को मखय णिषय क रप म पढ़ा ह गणणत पढ़ात समय आपक मन म यह

णजजञासा अिशय ही उतपनन हई होगी दक इस महतिपणष णिषय का उतथान कस हआ इसक अभयतथान म

भारतिाणसयो का कया योगदान ह

भारत िषष म गणणत क णिकास का इणतहास अतयनत गौरिशाली ह आज समपणष णिशव म शनय पर

आधाररत दाशणमक सथानमान अक पदधणत का णिकास भारत म ही हआ था णसनध सभयता की णलणप को आज

पयषनत पढ़ा नही जा सका परनत हड़पपा ससकणत क पराताणतिक अिशषो स यह पता चलता ह दक उनका गणणत

जञान णिशषकर कषतरणमणत का जञान अतयनत उननत था णसनध सभयता क कषतरणमणत क जञान को आयष भाणषयो न यजञ

क णलए िददयो क णनमाषण म दकया था

जब यरोप म गणणत क शोध क कषतर म अधकार का एक दौर चल रहा था उस समय भारत म आयषभटट

बरहमागपत महािीराचायष भासकराचायष जस कई महान गणणतजञ भारत म गणणत की गौरिशाली परमपरा को

आग बढ़ा रह थ

आयषभटट न िगष िगषमल घन घनमल िगषकषतर णतरभज का कषतरफल ितत का कषतरफल गोल का धनफल

आदद का अनमान लगान का णनयम बनाया उनहोन ितत की पररणध और वयास का अनपात णजस हम (पाई) क

नाम स जानत ह चार दशमलि सथानो तक शदध परापत दकया

बरहमगपत न आयषभटट की परमपरा को आग गढ़ात हए गणणत को और अणधक समदध बनाया बरहमगपत

पहल भारतीय गणणतजञ ह णजनहोन पाटीगणणत (अकगणणत) और बीजगणणत क रप म गणणत को दो भागो म

बाटा एि बीज गणणत म शनय का उपयोग करन िाल ि परथम भारतीय गणणतजञ थ

भारतीय गणणत की गौरिशाली परमपरा को आग बढ़ान म महािीराचायष का बहत बड़ा योगदान ह

उनहोन णभननो को जोड़न तथा घटान क णलए कई णनयम ददए तथा णभननो स सबणधत कई मनोरजक एि रोचक

उदाहरण ददए

भासकराचायष परथम गणणतजञ थ णजनहोन शनय को एक परमालप (अतयनत छोटी) सखया माना तथा यह

कहा दक दकसी सखया को शनय स भाग दन पर अननत परापत होता ह

इस परकार अनकानक भारतीय गणणतजञो न गणणत क णिकास क णलए अतयनत महतिपणष योगदान ददया

णजनक कायो की सराहना समपणष णिशव करता ह

प ाच फल

दननक जीवन म वसतओ को नगनन की अवशयकत पड़ती ही ह

अआय नगनन क कछ ईद हरणो को दख -

1 सध क म त नपत तनद पतत तोड़त ह तथ सध 50-50 तनद पततो की गनिय ा बन न म ईनकी

सह यत करती ह

2 र ध छटटी क ददन सबजी बचन म ऄपन म ा की सह यत करती ह तथ नहस ब दकत ब रखती ह

3 सरश क नपत क डयरी फ मम ह वह रोज़ न सबह-श म ज नवरो की नगनती करत ह तथ दध

क नहस ब रखत ह

आस परक र अप भी परनतददन कइ ब र नगनन क क यम करत ह नीच कछ नचतरो क समह

ददए गए ह ईन नचतरो क समह को अप कय न म दग ईन न मो को नचतरो क नीच ददय गय ब कस म

नलनखए एक क न म हमन नलख ददय ह

दिय कल प 1

ईपरोकत नचतर समह क न म प ाच फल प ाच गद प ाच पनततय ा एव प ाच चशम हो सकत ह आस

परक र नगनती स पर पत सखय दकसी ख स वसत स जड़ी नही ह वह तो एक नवच र य सोच ह आसी सोच को

ऄलग-ऄलग भ ष ओ म नलनखत रप स नभनन-नभनन सकतो दव र दश मय ज त ह जस प ाच को नहनदी म Dagger

ऄगरजी म 5 तथ रोमन म V स दश मय ज त ह परतयक सखय परण ली म परतयक सखय क नलए एक

नननित सकत होत ह

पर चीन क ल म जब मनषय क प स नगनती क सकत नही थ तब भी नगनती क क यम नवनभनन तरीको

स होत थ जस पतथर रखकर बीज रखकर रससी पर ग ठ ब ध कर आतय दद आसी परक र कइ तरीको

1

पर कत सखय

2

स नगनन क क यम दकय ज त थ जब वसतओ को नगन ज त थ तो परतयक वसत क बदल एक पतथर

य एक बीज ऄलग रख ज त थ ऄथव एक ग ठ लग इ ज ती थी आस ही एक-एक सगतत कहत ह

यदद दकसी ककष म 10 मज़ ह तथ 10 मजो क नलए 10 करससय ा ननध मररत ह तो मज़ तथ करससयो

क बीच एक-एक सगतत ह

परतयक मज़ क नलए एक कसी की अवशयकत ह कसी और मज़ म एक-एक सगनत ह

कय अप श ल म बसतो को नगन कर ईपनसथत छ तरो की सखय बत सकत ह

चदक परतयक छ तर स एक बसत सबनधत ह ऄतः छ तर एव बसत क बीच एक-एक सगतत ह आस

परक र दकसी ककष म रख 32 बसतो स यह सोच बनती ह दक ककष म 32 छ तर ईपनसथत ह

अपको गणन करत समय दकन-दकन ऄको की अवशयकत होती ह गणन क ऄक कह ा स पर रभ

होत ह अआय आन परशनो क ईततर ढढ़

गणन करत समय 10 सकतो 1234567890 क ईपयोग दकय ज त ह तथ गणन क

क यम 1 स पर रभ होत ह आनही ऄको को नमल कर सखय एा नलखी ज ती ह

गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह ईनह पर कत सखय (Natural Number) कहत ह

पर कत सखय ओ क समह को N स दश मत ह

ऄथ मत पर कत सखय (N) = 123 अदद

सबस छोटी पर कत सखय 1 ह आन सखय ओ क एक गण यह ह दक हर सखय ऄपन ठीक पहल की

सखय स 1 जय द ह ऄथ मत दकसी पर कत सखय म एक जोड़न पर ऄगली सखय पर पत सखय म 1 जोड़न पर

ईसकी ऄगली सखय पर पत होगी दसर गण यह ह दक सखय ओ की यह एक ऐसी सची ह जो बढ़ती ही

ज ती ह आन दोनो गणो को ईद हरण लकर ज नचए

दिय कल प 2

नीच दी गइ सखय ओ को बढ़त एव घटत िम म नलनखए -

सखय एा बढ़त िम म घटत िम म

151227913314918 912131518273149 493127181513129

98336249107

6778755725

103113131301331

3

द क त न ी स व र ी

ग न ड य ा ग ज र ी

1 गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह

ईनह पर कत सखय एा कहत ह

2 123456 - - - आतय दद सभी पर कत सखय ए ह

3 पर कत सखय ओ क समह को N स वयकत करत ह

ऄथ मत N = 1234 आतय दद

4 सबस छोटी पर कत सखय एक ह

5 पर कत सखय म एक जोड़ कर ऄगली पर कत सखय पर पत की

ज सकती ह

6 सबस बड़ी पर कत सखय नही पर पत की ज सकती ह ऄथ मत

दकसी सखय म एक जोड़कर ऄगली बड़ी सखय पर पत होगी

पर पत सखय म जोड़कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत होती

रहगी

आस अध र पर हम कह सकत ह दक 9lt12lt13lt15lt18lt27lt31lt49

य 49gt31gt27gt18gt15gt13gt12gt9

सोच कर ईततर ढादढ़ए सबस बड़ी पर कत सखय कौनसी होगी

कय दस ल ख स बड़ी कोइ सखय ह दस करोड़ स

तो दफर सबस बड़ी सखय कय होगी

परशन वली 1

1 सबस छोटी पर कत सखय कौनसी ह

2 41600 तथ 41006 म कौन सी सखय बड़ी ह

3 ईपयकत नचहन gt lt य = क परयोग कर ख ली ब कसो म परसत कीनजए -

(i) 45 21 (ii) 543 345

(iii) 15 15 (iv) 5304 5340

(v) 10991 - 10091 (vi) 99876 99786

4 1 स 100 क बीच की सखय एा नलखन क नलए दकतन ब र 9 क परयोग करन पड़त ह

5 च र ऄको की सबस बड़ी पर कत सखय तथ तीन ऄको की सबस छोटी पर कत सखय क

बीच क ऄतर ननक नलए

हमन सीख

4

पणम सखय (Whole Number)

अपन नपछल प ठ म गणन सखय ऄथव पर कत सखय क ब र म पढ़ ह

1234 आतय दद पर कत सखय एा ह कय अप बत सकत ह दक यदद दकसी पर कत सखय म

स ईसी पर कत सखय को घट य ज ए तो शषफल दकतन होग

जस 2 - 2 = 0 5-5 = 0 यह ा 0 (शनय) पर पत हो रह ह कय यह पर कत सखय ह

नही शनय पर कत सखय नही ह परत हम आसकी

अवशयकत ह यदद दकसी पड़ पर प ाच नचनड़य बठी हो और

प ाचो ईड़ ज एा तो पड़ पर बठी नचनड़य ओ की सखय कय

होगी आस परशन क जव ब दन क नलए गणन सखय क स थ-

स थ शनय की भी अवशयकत होगी वह सखय ओ क समह

नजसम गणन सखय क स थ शनय भी श नमल ह पणम सखय

कहल ती ह पणम सखय को W स परदरसशत करत ह ऄथ मत

पणम सखय (W) = 012345 - - - आतय दद

अआय शनय को समझन क परय स कर

1 सगीत क प स 10 र ह ईसन 7 र की कॉपी तथ 3 र क न खरीद तो ईसक प स दकतन

रपय शष बच 10 - 7 = 3 (कॉपी क द म कम दकय )

3 - 3 = 0 (पन क द म कम दकय )

सगीत क प स शनय रपय बच आस 0 नचनह दव र दश मत ह

2 र म की म ा न र म को 5 लडड ददए र म न 2 लडड मोहन को नखल ददय और 3 र म न ख

नलय ऄब र म क प स दकतन लडड बच

3 रहीम क प स 100 पज की एक कॉपी ह नजसम ईसन 80 पज पर गनणत तथ 20 पज पर

नवजञ न क क यम दकय ह ईसकी आस कॉपी म दकतन पज शष बच

पणम सखय ओ को सखय रख पर दश मन

पणम सखय को एक सरल रख पर ददख न क नलए ऄपनी कॉपी म नचतर नस र एक सरल रख

खीनचए नजसम सम न दरी पर कइ नचहन लग हो

2 परण सॊखया एवॊ

परण सॊखया पर सॊकरियाएॉ

नचतर 3

नचतर 2

आसम पर रनभक नबनद को 0 स ददख ए शनय क द ायी ओर क नबनदओ पर िमशः 1234 - - -

आतय दद सखय एा नलख कय सखय रख को दखकर अप बत सकत ह दक कौन-सी सखय बड़ी ह आसक

नलए सोनचए दक दकसी सखय क ब य ओर की सखय ईस सखय स बड़ी होगी य छोटी

पणम सखय ओ क गण

अप ज नत ह दक 012345 आतय दद पणम सखय एा ह अआए आनक गणो क ऄधययन कर-

1) पर कत सखय क सभी गण पणम सखय ओ क नलए भी सही ह

2) सबस छोटी पणम सखय 0 ह

3) सखय रख पर 0 स द नहन ओर िमशः पणम सखय बढ़त िम म ददख यी गयी ह ऄथ मत 0 +1 =

1 1 + 1 = 2 101 + 1 = 102 102 + 1 = 103 103 + 1 = 104 आतय दद

4) सखय रख पर द नहन ओर स ब ाए ओर क िम घटत िम म ह जस 43210

5) सबस बड़ी पणम सखय नही ददख इ ज सकती कयोदक यदद अप कोइ बड़ी स बड़ी सखय सोचत ह

तो ईसम एक जोड़ कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत की ज सकती ह जो ईस सखय की परवती

सखय होगी

6) 50 की पवमवती सखय 49 ह 17 की पवमवती सखय 16 ह कय शनय की भी पवमवती सखय होगी

सखय रख पर सदिय ए

1 पणम सखय ओ क योग -

दिय कल प 1

सखय रख पर 3 + 2 = 5 ददख आए

1 सखय रख बन आए

2 शनय स द नहनी ओर 3 सथ न चल (3 पर पहाच)

3 ऄब 3 स अग दो सथ न चल (कह ा पहा च)

4 आस परक र ऄब शनय स दरी 5 ह ऄतः 3 + 2 = 5 होग

+3 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 पणम सखय ओ क घट न

3 पणम सखय ओ क गण

ऄभय स 21

क अप सवय भी आसी परक र सखय रख बन कर ननमन परशनो की ज च कररए

(i) 4 + 5 (II) 6 + 4 (iii) 5 + 7

ख कय 3 + 4 = 4 + 3 ह सखय रख पर ज नचए

सखय रख पर दकसी बड़ी पणम सखय स छोटी पणम सखय घट इ ज सकती ह यदद सम न पणम

सखय को घट एा तो ऄतर 0 पर पत होत ह अआए आसक नलए एक दिय कल प कर

दिय कल प 2

8 - 5 = 3 को सखय रख पर दश मन

1) एक सखय रख खीनचए

2) 0 स 8 भ ग द यी ओर चल

3) ऄब 8 स 5 भ ग ब यी ओर चल (घट न क नलए ब यी ओर चलग)

4) चदक अप की नसथनत 0 स 3 भ ग द यी ओर ह ऄतः 8 - 5 = 3 होग

सोनचए छोटी सखय स बड़ी सखय घट न पर भी कय हम पणम सखय नमलगी

ऄभय स 22

सखय रख बन कर ननमननलनखत ईद हरणो की ज च कर

(i) 6-2 (ii) 7 - 4 (ii) 8 - 3

सखय रख पर पणम सखय क गण को दश मय ज सकत ह

जस 3 x 4 = 12 य 3 + 3 + 3 + 3 = 12

गण दकसी सखय को ब र-ब र जोड़न की परदिय ह अआए आस सखय रख पर करक दख

4 पणम सखय ओ क भ ग

दिय कल प 4

दिय कल प 3

1) सवमपरथम सखय रख खीनचए

0 स 3-3 क ख न बन कर च र ब र अग बढ़ आस परक र अप 0 स 3 3 स 6 6 स 9 तथ 9 स 12

पर पहचत ह

ऄतः 3 x 4 = 12

ऄभय स 23

1 सखय रख पर ननमननलनखत परशनो को दश मआए

(i) 4 x 3 (ii) 3 x 2 (iii) 0 x 2

(iv) 2 x 3 (v) 3 x 3

कय अप बत सकत ह दक यदद 12 स 3-3 क ख न बन कर दकतनी ब र ब यी ओर चल

दक 0 पर पत हो ज ए आस दिय को करन क नलए अआय एक दिय कल प करत ह

अप ज नत ह दक भ ग ब र-ब र घट न की परदिय ह

ऄतः 12 divide 3 म 12 - 3 = 9 (एक ब र) 12 स 3-3 क ख न बन कर ब यी ओर

9 - 3 = 6 (दो ब र) च र ब र चलन पर शनय पर पहचत ह

6 - 3 = 3 (तीन ब र) ऄतः 12 divide 3 = 4

3 -3 = 0 (च र ब र)

कय अप सखय रख पर दश मकर ज ाच सकत ह दक 8 को 3 स पणमतः भ ग ददय ज सकत ऄथव

नही

ऄभय स 24

1 ननमननलनखत पणम सखय ओ क भ ग सखय रख पर ददख आए

(i) 8 divide 2 (ii) 8 divide 4 (iii) 8 divide 1 (iv) 8 divide 8

सथ नीय म न

गणन क नलए 0123456789 दस ऄको क परयोग दकय ज त ह आस परण ली को

द शनमक परण ली कहत ह द शनमक परण ली म दह इ की सखय क सथ नीय म न आक इ की सखय क

सथ नीय म न क 10 गण सकड़ की सखय क सथ नीय म न दह इ की सखय क सथ नीय म न क 10

गण तथ हज र की सखय क सथ नीय म न सकड़ की सखय क सथ नीय म न क 10 गण ह आसस अग

भी आसी परक र सखय पदधनत म और बड़ी सखय ओ तक पहचत ह

जस 769 = 7 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1

769 म सथ नीय म न िमशः 700 60 और 9 ह -

सथ न सकड़ दह इ आक इ

सथ नीय म न 7 x 100 = 700 6 x 10 = 60 9 x 1 = 9

यही क रण ह दक 769 को 700 + 60 + 9 क नवसत ररत रप स ददख त ह

ईद हरण 1

सखय 4579 म 5 क सथ नीय म न बत आय

हल यह दी गयी सखय 4579 म 5 सकड़ क सथ न पर ह

ऄतः 5 क सथ नीय म न = 5 x 100 = 500

ईद हरण 2

सखय 3214 म सभी ऄको क सथ नीय म न नलखकर आसक सतयत की ज च कीनजए

हल

सखय 3214 म 4 आक इ क सथ न पर ह आसी परक र 1 दह इ 2 सकड़ व 3 हज र क सथ न पर ह

4 क सथ नीय म न = 4 x 1 = 4

1 क सथ नीय म न = 1 x 10 = 10

2 क सथ नीय म न = 2 x 100 = 200

3 क सथ नीय म न = 3 x 1000 = 3000

ज ाच 3214 = 3000 + 200 + 10 + 4 = 3214

ईद हरण 3

393237310 की परवती (अग की) सखय जञ त कीनजए

हल

393237310 की परवती सखय

= 393237310 स 1 ऄनधक

= 393237311

ईद हरण 4

393237310 की पवमवती (पीछ की) सखय जञ त कीनजए

हल

= 393237310 स एक कम

= 393237309

परशन वली 21

1 सबस छोटी पर कत सखय कौन सी ह

2 कौन सी पणम सखय पर कत सखय नही ह

3 वह पणम सखय बत आए जो 5 की पवमवती ह

4 45 की ऄगली तीन िम गत सखय एा नलनखए

5 41608 तथ 41806 म कौन सी सखय बड़ी ह

6 नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय पहच ननए

i सबस छोटी पर कत सखय शनय ह ( )

ii सबस छोटी पणम सखय शनय ह ( )

iii दकसी पर कत सखय म ईसी पर कत सखय को घट न स शषफल शनय नमलत ह ( )

iv 4215 म 2 क सथ नीय म न 200 ह ( )

v 4215 म 2 क ऄदकत म न 2 ह ( )

vi सबस बड़ी पणम सखय नही बत इ ज सकती ह ( )

vii 3857 म 8 हज र क सथ न पर ह ( )

viii 41 एव 50 क बीच 9 पणम सखय एा ह ( )

7 ननमननलनखत सखय ओ की पवमवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 79 (iii) 520 (iv) 1100 (v) 52332

8 ननमननलनखत सखय ओ की परवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 520 (iii) 1100 (iv) 52332

9 छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय नलनखए

10 प ाच ऄको की सबस बड़ी पणम सखय नलनखए

11 प ाच ऄको की सबस बड़ी व छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय क ऄतर जञ त कीनजए

12 ननमननलनखत सखय ओ को बढ़त िम म नलनखए

252 557 18 421 497 731

13 ननमननलनखत सखय ओ को घटत िम म नलनखए

225 458 69 59 617

14 ननमननलनखत म कौन सी सखय स त ल ख प च हज र छः ह

(i) 750006 (ii) 705006 (iii) 7005006 (iv) 750006

15 6 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1 को एक सखय क रप म नलनखए

16 सखय रख पर दश मआय दक नीच ददय गय हल सही ह

(i) a 4 + 3 = 7 b 3 + 4 = 7

c 0 + 2 = 2 d 2 + 0 = 2

e 4 + 3 = 3 + 4 की ज च कर

(ii) a 4 - 3 = 1 b 7 - 4 = 3

c 6 - 2 = 4 d 10 - 5 = 5

e 5 - 2 व 2 - 5 की ज च कर

(iii) a 2 x 3 = 6 b 3 x 2 = 6

c 2 x 5 = 10 d 5 x 2 = 10

(iv) a 6 divide 2 = 3 b 8 divide 4 = 2

अप ज नत ह दक दो पणम सखय ओ क योगफल हमश एक पणम सखय होती ह यह पणम सखय ओ

क योग क नलए सवरक ननयम ह

यदद पणम सखय ओ क गणनफल हमश पणम सखय हो तो पणम सखय एा गण क नलए सवरक ननयम

क प लन करती ह आसी परक र यदद दो पणम सखय ओ क भ गफल सदव पणम सखय हो तो वह भ ग क

नलए तथ यदद दो पणम सखय ओ क ऄतर सदव पणम सखय हो तो वह घट न क नलए सवरक ननयम क

प लन करगी

अआय नीच ददय गय दिय कल प स दख दक पणम सखय एा दकन-दकन सदिय ओ क नलए सवरक

ननयम क प लन करती ह

दिय कल प 5

अपको कछ सखय ओ की स रणी दी गइ ह स रणी म पहली पनकत म नजस परक र सभी ख नो को

भर गय ह ब की पनकतयो को ईसी परक र भररए ि 8 क ब द अप सवय सखय नलखकर पनकत क सभी

ररकत ख नो को भर

भ गफ

ल पणम

सखय

हनही

ह नही ह

पहली पणम

सखय divide

दसरी पणम

सखय

3divide

12

=

गणनफल

पणम सखय

हनही ह

ह

पहली पणम

सखय

x

दसरी पणम

सखय

3x1

2=

36

ऄनतर पणम

सखय हनही

ह

नही ह

पहली पणम

सखय

- दसरी

पणम सखय

3-1

2=

योगफल

पणम

सखय हनही

ह

ह

पहली पणम

सखय

+ दसरी

पणम सखय

3+

12

=1

5

दसरी पणम

स

12

13

0

8

15

1

9

11

पहली

पणम स

3

39

5

0

11

99

27

11

1

ि स

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

पणम सखय एव पणम सखय पर सदिय ए

ईपरोकत स रणी को दखकर बत आए दक दकन-दकन सदिय ओ क पररण म हमश पणम सखय ह एव

दकन-दकन क पररण म हमश पणम सखय नही ह यह भी सोनचए दक आसस कय ननषकषम ननकलत ह

सपषट ह दक दो पणम सखय ओ को यदद जोड़ ज ए तो ईनक योगफल हमश पणम सखय होत ह एव

दो पणम सखय ओ क गणनफल भी सदव पणम सखय होत ह परत दो पणम सखय ओ क ऄतर एव भ गफल

सदव पणम सखय नही होत ह ऄतः पणम सखय ए योग एव गण क नलए सवरक ननयम क प लन करती ह

परत घट न एव भ ग की परदिय क नलए सवरक ननयम क प लन नही करती

योग सदिय की ऄनय नवशषत

म न लीनजए दक तीन नमतर ऄ ब और स ह

पहल ऄ तथ ब नमलत ह और दफर नमलकर व स स नमलत ह ऄथव ब तथ स पहल नमलकर दफर

ऄ स नमल आन दो परक र स नमलन म कय ऄनतर ह कय दोनो नसथनतय सम न ह

दोनो ही नसथनतयो म ऄनत म ऄ ब और स एक स थ नमल रह ह जब दोनो पररनसथनतयो म एक ही

ब त हो तो गनणत म आस ननयम को स हचयम ननयम कहत ह कय स हचयम क ननयम पणम सखय ओ क जोड़

क नलए सतय ह अआय एक ईद हरण दख

म न लीनजए 3 4 5 कोइ तीन पणम सखय एा ह

पहल (3 + 4) क योग कर एव योगफल म 5 जोड़ तो (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 अएग

ऄब 3 म (4 + 5) क योगफल जोड़ तो 3 +(4 + 5) = 3 + 9 = 12 अएग

कय दोनो नसथनतयो म योगफल सम न ह

दिय कल प 6

आसकी ज ाच ननमन सखय ओ क नलए करक दख

1 2 3 4 2 6 7 8

3 0 1 2 4 4 13 17 20

कय घट न की दिय म भी यह सबध ल ग होग

कय (13 - 6) - 5 तर 13 - (6 - 5) होग ज ाच कर

अप प त ह दक घट न म स हचयम क ननयम क प लन नही होत ह

तीन-तीन ईद हरण लकर जोड़ व घट न क नलए स हचयम क ननयम की ज च कर

अभयास 25

1 ररकत खड म ईनचत पणम सखय भररए -

1 (4 + 6) + 5 = 2 4 + (6 + 5) =

3 12 +(6 + ) = 20 4 ( +6) + 2 = 20

5 (8 + 9) + = 25

6 (12 + 8) + = +( 8 + 10)

7 (6 + 2 ) + = + (2 + 3)

गणन दिय क ऄधययन

(1) ननमन दकत त नलक म ररकत खडो को पणम कर

पणम सखय x पणम सखय = गणनफल पणम सखय ह य नही

7 x 9 =

23 x 15 =

0 x 12 =

8 x 12 =

12 x 0 =

कय ऐसी कोइ दो पणम सखय सोच सकत ह नजनक गणनफल पणम सखय नही ह

करियाकऱाप 8

गणन सदिय (x) की सह यत स बॉकस क खडो म ईनचत पणम सखय भररए कछ सव लो क हल

ब कस म पहल सही ददए गय ह

x 0 1 2 3

0 0

1 2

2 2

3 9

िम नवननमय क ननयम

12 x 5 =

ऄब आन सखय ओ क िम बदलकर गण करन पर (

5 x 12 =

कय दोनो नसथनतओ म गणनफल सम न ह

यदद 357 x 486 = 173402 हो तो नबन गण दकए बत आए दक -

486 x 357 =

ऄभय स 26

1 ररकत सथ न भररए -

(i) 87 x 887 = 887 x

(ii) 279 x = 481 x 279

(iii) 303 x 117 = x 303

(iv) x 583 = 583 x 179

स हचयम ननयम की ज ाच

ऄभी अपन दो सखय ओ को गण करन सीख अआय ऄब हम तीन सखय ओ को गण करक दख

25 व 6 तीन सखय ओ को लीनजए आनह ननमन परक र स गण कररए एव गणनफल ब कस म भररए

60

63 पणम सखय

60

P a g e | 14

भ जय भ जक भ गफल एव शषफल

2 x (5 x 6) =

5 x (6 x 2) =

6 x (5 x 2) =

2 x (6 x 5) =

5 x (2 x 6) =

(6 x 2) x 5 =

(2 x 5) x 6 =

(5 x 6) x 2 =

(6 x 5) x 2 =

(2 x 6) x 5 =

(5 x 2) x 6 =

6 x (2 x 5) =

कय सभी ख नो म अए गणनफल ऄलग-ऄलग ह यदद नही तो तीन सखय ओ को हम नवनभनन

तरीको स गण कर सकत ह और ईततर वही अएग यही स हचयम क ननयम कहल त ह आसी परक र अप

भी ऄनय तीन सखय एा लकर आस ननयम की ज च कीनजए

ऄभय स 2 7

1 ननमननलनखत ररकत खणडो की परसत कीनजए -

(i) 4 x (5 x 6) = (4 x ) x 6 (ii) 8 x (4 x 2) = x 2

(iii) 3 x (7 x 5) = (3 x ) x 5 (iv) 2 x (8 x ) = 8 x ( x 4)

(v) 7 x (3 x 5) = 7 x ( x 3)

यह अप पहल की ककष ओ म भी कर चक ह अआए दोहर ल

ईद हरण 1

20 divide 5

5) 20 (4

20

00

यह ा भ जक 5 व भ गफल 4 ह

कय भ जय भ जक व भ गफल म कोइ समबनध ह

20 = 5 X 4

भ जय = भ जक X भ गफल

ईद हरण 2 20 divide 5

भ जय

भ जक 5) 21 (4 भ गफल

- 20

1 शषफल

P a g e | 15

1 नजस सखय म भ ग ददय ज रह ह भ जय कहल त ह (21 भ जय ह )

2 नजस सखय स भ ग ददय ज रह ह भ जक कहल त ह (5 भ जक ह)

3 नजतनी ब र भ ग ज त ह भ गफल कहल त ह (4 भ गफल ह)

4 परदिय क पि त भ जक स छोटी सखय बचती ह ईस शषफल कहत ह 1 शषफल ह

21 = 5 X 4 + 1

ऄब 22 म 5 क भ ग करक दख

5) 22 (4

- 20

2

आसम 5 भ जक 4 भ गफल व 2 शषफल ह भ जय भ जक भ गफल तथ शषफल क बीच प ए

ज न व ल समबनध को ऄपनी कॉपी म नलनखए तथ नीच ददय गए ऄभय स क म धयम स अपक दव र नलख

समबनध की ज ाच कीनजए

ऄभय स 28

भ ग दीनजए -

(i) 48 divide 7 (ii) 36 divide 5 (iii) 78 divide 9

आस परक र अपन जो सबध बन य वह नवभ जयत क सबध क न म स ज न ज त ह और जो ननमन नस र

ह- भ जय = भ जक times भ गफल + शषफल

कय शषफल भ जक स बड़ हो सकत ह

ऄभय स 29

1 नीच ददय गए ररकत सथ नो को भररए -

(i) 8 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(ii) 5 divide 2 म भ गफल = शषफल =

(iii) 6 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(iv) 7 divide 2 म भ गफल = शषफल =

शनय क गण

अआय शनय (0) को ज न -

1 5 + 0 = 5 2 0 + 5 = 5

3 5 - 0 = 5 4 5 x 0 = 0

5 0 x 5 = 0 6 0 divide 5 = 0

7 5 divide 0 = कोइ हल नही

ऄभय स 210

1 ऄब ननमन ररकत सथ नो म ईनचत सखय ए भररए -

(i) 0 + 0 = (ii) 0 - 0 =

(iii) 7 + 0 = (iv) 0 + 7 =

P a g e | 16

(v) 7 - 0 = (vi) 7 x 0 =

(vii) 0 x 7 = (viii) 0 divide 7 =

ईकत ऄभय स स अप शनय rsquorsquo0rsquorsquo क ननमन गण समझ गय होग

1 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स जोड़ ज य तो सखय क म न म कोइ पररवतमन नही होत ह

आसनलए शनय (0) को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह च र ईद हरण सोच कर नलख

2 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स घट य ज य तो भी पणम सखय क म न म कोइ पररवतमन नही

होत ह आसक भी 4 ईद हरण नलख

3 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स गण दकय ज य तो गणनफल शनय rsquorsquo0rsquorsquo ही पर पत होत ह

4 rsquorsquo0rsquorsquo म दकसी भी पणम सखय क भ ग ददय तो भ गफल rsquorsquo0rsquorsquo शनय ही पर पत होत ह

5 divide 0 = शनय को 5 म स ब र-ब र घट न पर 5 ही नमलत ह दकतनी भी ब र हम घट ए कभी

भी सखय नही बदलगी ऄथ मत पणम सखय म शनय क भ ग दन पर कोइ नननित सखय भ गफल क रप म

नही नमलती आसी परक र 0 divide 0 भी पररभ नषत नही ह आस पर ऄपन नशकषक स चच म कर

परशन वली 22

1 मौनखक परशन

1 ननमन परशनो को दी गइ ज नक री क अध र पर नबन गण य योग दकय हल कीनजएः

1 17 x 23 = 391 तो 23 x 17 =

2 15 + 25 = 40 तो 25 + 15 =

3 40 + 0 = 40 तो 0 + 40 =

4 39 x 1 = 39 तो 1 x 39 =

5 a x b = c तो b x a =

2 ननमननलनखत सव लो को ऐस करम म नलखकर योगफल जञ त कीनजए नजसस योग की सदिय

अस न हो ज ए

(i) 23589 + 411 + 1248 (ii) 32 + 2546 + 68 + 544

(iii) 247 + 376 + 153 (iv) 143 + 456 + 857

(v) 32958 + 5000 + 12042

3 दकसी भी र नश म शनय क गण करन स कौन सी पणम सखय पर पत होती ह

4 योग क नलए सवरक ननयम कय ह

5 सदिय ओ क गण क अध र पर ननमननलनखत ख ली सथ नो की परसत कीनजए

(i) 2376 + 4559 = + 2376

(ii) 1 x 0 = 0 x 1 =

(iii) 8 7 6

_ 3

6 7

6 ऐसी कौनसी सखय ह नजसम ईसी सखय क भ ग दन पर वही सखय पर पत होती ह

7 4 ऄको की सबस बड़ी सखय और 1 ऄक की सबस छोटी पणम सखय क गणनफल बत आए

P a g e | 17

8 यदद 76 x 16 = 1216 हो तो 1216 76 = 16 (ब कस म सही म न भररय)

नलनखत परशन

9 रम न 17 पनकतयो म कल 544 पौधो की रोप इ की तो बत आए दक परतयक पनकत म दकतन पौधो की

रोप इ की गइ

10 दकसी शहर म 15 वयनकतयो म स 1 वयनकत सरक री नौकरी करत ह यदद ईस शहर म 1354 वयनकत

सरक री नौकरी करत हो तो शहर की कल जनसखय जञ त कीनजए

11 भ गफल तथ शषफल जञ त कीनजए तथ नवभ जयत क सबध की सतयत की ज ाच कीनजए

(i) 7772 divide 36 (ii) 12425 divide 835 (iii) 92845 divide 300

12 ननमननलनखत म परतयक ररकत सथ न पर ईपयकत ऄक नलनखए

13 मजलत 1800 रपय लकर ब ज र गयी 135 रपय क एक पसम 75 रपय क रम ल व 1200

रपय की कपड़ खरीद बत आए ऄब ईसक प स दकतन रपय बच

14 एक बक म ऄशोक न मगलव र को 4539 रपय जम दकए शननव र को 2556 रपय ननक ल नलए

और दसर सपत ह म दफर 1431 रपय जम दकए तो बत आए दक ईसक ख त म ऄब दकतन रपय

शष ह

15 अदशम नवदय लय क 6 वी ककष म एक नवदय थी क शलक 95 रपय ह यदद छ तरो की कल सखय

335 हो तो कल शलक जञ त कीनजए

16 117 को दो सखय ओ क गणन क रप म वयकत कीनजए नजसम स एक सखय 13 ह

17 ननश न 24 रनडयो 18720 रपय म खरीद एक रनडयो क मलय जञ त कीनजए यदद परतयक क

मलय सम न हो

18 ददए गए ज दइ वगम की तीन-तीन सखय ओ को सीध नतरछ एव अड़ जोड़ कर बत आए

कय परतयक नसथनत म योगफल सम न अत ह

14 1 9

3 8 13

7 15 2

P a g e | 18

1 0 (शनय) एक पणम सखय ह

2 दो पणम सखय ओ क अपस म योग करन स

य गण करन स पणम सखय ही पर पत होती

ह

3 पणम सखय ओ क नलए िमनवननमय क

ननयम योग एव गणन सदिय म ल ग

होत ह जबदक घट न एव भ ग सदिय म

ल ग नही होत

4 पणम सखय ओ क नलए स हचयम ननयम योग

एव गणन सदिय म ल ग होत ह जबदक

घट न एव भ ग सदिय म ल ग नही होत

5 0 को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह

6 1 को गणन ततसमक ऄवयव कहत ह

7 दकसी भी पणम सखय म शनय को जोड़न य घट न पर सखय क म न नही बदलत

8 दकसी भी पणम सखय म 1 क गण कर तो सखय क म न नही बदलत ह

9 यदद दकसी पणम सखय म 0 क गण कर तो ईसक म न शनय हो ज त ह

10 दकसी पणम सखय म 0 स भ ग दन ऄपररभ नषत ह

11 भ जय = भ जक x भ गफल + शषफल

हमन सीख

19 नीच ददए गए ज दइ वगम क ररकत वगो की परसत कीनजए धय न रह मनजक वगम क सतभो पनकतयो

एव नवकणो क योग हर तरह स बर बर होत ह

9 6 13 20

10 12 19

9 11 18 25

15 17 24 26

16 7 14

P a g e | 19

गनणत पढ़त हए अपन पहल भी कइ परक र की अकनतय ा दखी ह जस- वतत नतरभज चतभमज आतय दद

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक वतत बन सकत ह

अप क दव र बन ए गए वतत पर यदद अप पनसल घम एा तो अप प त ह दक-

1 दकसी नबनद स पर रमभ कर अप पनः ईसी नबनद पर पहाच ज त ह

2 दकसी नबनद स पर रमभ कर पनः ईसी नबनद पर पहाचन तक अपको अकनत क दकसी भी भ ग पर दो

ब र चलन नही पड़

ऐसी अकनतय ा नजनम ईपरोकत दोनो नवशषत एा प इ ज ती ह lsquolsquoबनद अकनतlsquolsquo कहल ती ह

ऄब एक और अकनत दनखए-

कय P एक बद अकनत ह

नही कयोदक P क दकसी नबनद स पर रभ कर नबन पनसल ईठ ए ईसी नबनद पर व पस पहाचन क

नलए अपको दकसी न दकसी भ ग स दो ब र गजरन पड़ग

दी गइ अकनतयो म खली तथ बद अकनतयो को पहच ननए तथ यह भी बत आए दक व

सीधी रख ओ वि रख ओ य दोनो परक र की रख ओ स बनी ह

P a g e | 20

नचतर ि बद अकनतखली अकनत दकस परक र की रख ओ स बनी ह

सीधीविदोनो परक र की

3

4

5

6

7

8

9

10

11

खली अकनत वि रख

कय अप ऄपन अस प स ददख इ दन व ली ऐसी अकनतयो की सची बन सकत ह जो सीधी एव वि

रख ओ स नमलकर बनी हो

अपन ऄब तक दो परक र की रख ओ क ईपयोग दकय ह नजसम स एक तो वि रख ह य नजस

हम टढ़ी-मढ़ी रख भी कह सकत ह तथ दसरी सरल रख ह नजसक ब र म अपन नपछली ककष ओ म भी

पढ़ ह अआए सरल रख क ब र म कछ और ज नक री पर पत कर

सरल रख खीचन तो अप सभी को अत ह कय अप बोडम पर एक अड़ी सरल रख खीच सकत

ह यह सरल रख ईतनी ही लमबी होगी नजतन लमब वह बोडम ह नजस पर अपन सरल रख खीची ह

ऄब म न ल दक बोडम की लमब इ दगनी बढ़ दी ज ए तो सरल रख भी दगनी बढ़ इ ज सकती ह यदद बोडम

को अग अग और अग बढ़ त ज एा तो सरल रख भी अग अग और अग बढ़ इ ज सकती ह आस परक र

हम सरल रख को दोनो ओर आतन बढ़ सकत ह दक नजसक कोइ ओर छोर न हो ऄतः सरल रख ऐसी

सीधी रख ह नजसको दोनो ओर दकतन भी बढ़ एा कभी खतम नही होगी

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीच सकत ह

P a g e | 21

यदद खीच सकत ह तो खीचन क तरीक और यदद नही खीच सकत ह तो नही खीच प न क क रण

नलनखए

अपन सरल रख खीचन की कोनशश कर यह प य दक अप ईतनी ही लमबी सीधी रख खीच सकत

ह नजतनी लमबी अपकी कॉपी ह परत सरल रख तो ऐसी रख ह जो कभी खतम ही नही होती आस कॉपी

म खीच तो नही ज सकत कवल सकत क रप म बत य ज सकत ह कय अप ऐस कोइ सझ व द

सकत ह नजसस सरल रख को कॉपी म बन य ज सक

अपक सझ व-

सकत क ईपयोग कर सरल रख खीचन ः

नचतर-12 म एक सरल रख खीची गइ ह नजसक दोनो छोर पर तीर क ननश न लग हए ह

दोनो तरफ तीर क ननश न यह सकत दत ह दक सरल रख क कोइ ऄनतम बबद नही होत वह

सम पत नही होती वह चलती रहती ह

आसी परक र यदद दकसी नसथर नबनद स एक ऐसी सीधी रख खीची ज ए जो एक तरफ बढ़ती ही रह

और कही भी सम पत न हो तो आस दकरण कहत ह ऄपनी कॉपी म दकरण खीनचए तथ दकरण को खीचन क

तरीक भी नलनखए

चदक दकरण एक नननित नबनद स पर रमभ होकर अग-अग और अग बढ़ती ज ती ह आसनलए दकरण

को एक तरफ तीर क ननश न लग कर दश मत ह

ऐसी सीधी रख जो एक बबद स पर रभ होकर एक ही ओर बढ़ती ज ती ह ईस दकरण कहत ह आसकी कोइ

नननित लब इ नही होती ह

अप दननक जीवन म दकरण क ऄनय ईद हरण सोच एव नलख

दिय कल प 1

कय अप ननमननलनखत नचतरो म दकरणो एव सरल रख ओ को पहच न सकत ह

P a g e | 22

दिय कल प 2

नीच अपको और दो नबनद ददए गए ह अप P नबनद स गज़रन व ली दकतनी सरल रख खीच सकत

ह खीच कर दनखए ईसी परक र Q नबनद स दकतनी सरल रख एा खीची ज सकती ह कछ ऐसी रख ए

खीनचए

P Q

नचतर 17

नीच ददए गए परशनो क ईततर दीनजए

पर1 कय अप P नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

-------------------------------------------------------------------------------

पर2 कय अप Q नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

------------------------------------------------------------------------------

पर3 अप ऐसी दकतनी सरल रख एा खीच सकत ह जो P एव Q दोनो नबनदओ स होकर गजरती हो

-------------------------------------------------------------------------------

ईपयमकत दिय कल प स अप यह प त ह दक दकसी एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज

सकती ह परनत दो नबनदओ स होकर म तर एक ही सरल रख खीची ज सकती ह

रख खड

आस नचतर को दख आस बन न म नजन सीधी रख ओ क ईपयोग दकय ज त ह व दकसी एक नननित

नबनद स पर रभ होकर दसरी नननित नबनद पर सम पत होती ह ऐसी रख ओ को रख खड कहत ह आस परक र

रख खड एक सरल रख ऄथव दकरण क एक भ ग ह नजसकी लब इ म पी ज सकती ह

दिय कल प 3

नचतर-18 और 19 को दखकर नीच ददए गए सव लो क जव ब सोनचए-

नचतर 18 म रख खडो की पहच न कर ईनकी सखय जञ त कीनजए सभी रख खणडो क न म भी

नलख

नचतर 18 व 19 म कट न बबदओ की सखय जञ त कीनजए कौन स रख खड दकन कट न बबदओ पर

एक दसर को क टत ह

रख खणड कय ह ऄपन शबदो म नलनखए

P a g e | 23

दिय कल प 4

ऄपनी कॉपी पर दो बबद P और Q बन आय आन

बबदओ को नीच ददय गय नचतर म तीन परक र स नमल कर

ददख य गय ह अप आनह कछ और परक रो स नमल न क

परय स कीनजए

बबद P और Q को कइ तरह स नमल य ज सकत ह परनत रख खड दव र ईनको कवल एक ही

परक र स नमल य ज सकत ह रख खणड दो नबनदओ को नमल न व ली सबस छोटी रख ह

P Q

नचतर 21

मीन कहती ह च स फ तक की सबस कम दरी क म गम रख खड ही ह कय अप सहमत ह कयो

सरख बबद

नीच तल पर नसथत बबदओ को दनखए

नचतर-22 म बबद PQ एव R एक ही दकरण पर नसथत ह आनह सरख बबद कहत ह

नचतर-23 म बबद AB एव C एक ही रख खड पर नसथत नही ह य बबद सरख नही ह कयो

नचतर-24 म बबद XYZ एव L एक ही सरल रख पर नसथत ह कय य सरख बबद ह

रख खडो की तलन

दो रख खड की तलन क ऄथम ह पत करन दक ददए गए रख खडो म कौनस रख खड बड़ ह

(1) ऄवलोकन दव र पत करन

P a g e | 24

नचतर 25 एव 26 म कवल दखकर ही यह बत य ज सकत ह दक CD रख खड AB स तथ RS

रख खणड PQ स बड़ ह ऄथ मत नचतर 25 म CDgtAB तथ नचतर 26 म PQltRS नचतर 27 और 28 म कय

अप बत सकत ह दक आनम स कौन स रख खड बड़ ह अआए आनह न प कर दख

(2) सकल की सह यत स सही म पन

ईपरोकत नचतर 29 म AB रख खड को न पत हए ददख य गय ह

न पन की नवनधः

ऄपनी कॉपी पर एक बबद A बन आए सकल को आस परक र रनखए नजसस दक सकल पर बन lsquo0rsquo क

ननश न बबद A पर अए ऄब दख दक रख क दसर छोर सकल क दकस ननश न तक पहाच रह ह ईपरोकत

नचतर म B सकल पर बन ननश न 5 पर अ रह ह आस परक र हम कह सकत ह दक रख खड AB की लमब इ

5 समी ह

(3) नडव आडर दव र म पन

अपन दख दक सकल की सह यत स हम ईन रख खडो की लब इ न प सकत ह जह ा सकल

सीधी रखी ज सकती ह कय नडबब य नगल स क भीतर क दीव रो क बीच की दरी सकल की सह यत स

न पी ज सकती ह

एक नडव आडर ल ईस नगल स क मह पर रख कर आतन फल ए दक ईसकी नोक नगल स क भीतरी

दीव रो को सपशम कर

ऄब नडव आडर को नबन दब ए नगल स स ब हर ननक लकर सकल पर नचतर-31 क ऄनस र रख तथ

लब इ जञ त कर

नशकषक क नलए यह ा धय न म रख ज ए दक सकल क दकसी भी खड स लब इ न पन पर ईसकी लब इ क

म न म कोइ पररवतमन नही होत दकसी पर न सकल क ईपयोग करत समय शनय स शर न करन की

नसथनत म न प कस पत करग यह चच म छ तरो क स थ कर ऐस म पन क ऄभय स ईनह करन को द

P a g e | 25

दिय कल प 5

ननमन नचतरो म नडव आडर य परक र की सह यत स रख खणडो को न प कर तलन कर परतयक नचतर

क नलए रख खणडो को लमब इ क बढ़त िम म नलख

ननमन रख खडो को सकल एव परक र की सह यत स न नपए एव ईनक म प नलनखए -

दो य दो स ऄनधक रख खडो की लब इ क योग क बर बर की लब इ क रख खड खीचन

(1) एक सरल रख XY खीनचए

(2) परक र को AB रख खड क म प क बर बर फल आए

(3) रख XY पर कोइ बबद P लकर व ईस कनर म नकर AB रख खड क बर बर क च प आस परक र

क रटए दक वह रख XY को Q पर क ट

(4) CD रख खड क बर बर क च प Q को कनर म नकर आस परक र क रटए दक वह XY रख को PQ

ददश म क ट म न दक वह नबनद R ह

P a g e | 26

5) आसी परक र EF रख खड क बर बर क च प R को कनर म नकर रख खड XY पर क रटए वह S

पर कटत ह

कय AB = PQ CD = QR EF = RS ह कयो ऄपनी कॉपी पर नलनखए

(6) PS = PQ+QR+RS

PS = AB+CD+EF

PS की लब इ न नपए PS ही ददए गए रख खडो की लमब इ क योग क बर बर की लमब इ क

रख खणड होग

रख खडो क ऄतर क बर बर रख खड खीचन

1 एक सरल रख XY खीनचए ईस पर कोइ नबनद P नलनजए

2 परक र को बड़ी रख खणड AB क बर बर फल आए

3 P को कनर म नकर AB क बर बर क च प रख XY पर क रटए वह Q पर कटत ह

4 नबनद Q को कनर म नकर CD क बर बर च प P की ददश म रख XY पर क रटए

वह R पर कटत ह कय AB=PQ और CD=QR ह

यदद ह तो कयो ऄपनी कॉपी म नलनखए

यह ा PQ क नवपरीत ददश म च प कयो क ट गय ह योग करत समय च प एक ही ददश म क ट

गय थ क रणो को ऄपनी कॉपी म नलनखए

5 PQ-QR=PR

य AB-CD=PR

PR की लब इ न नपए PR ही ददए गय रख खडो क ऄतर क बर बर क रख खणड होग

सम नतर रख एा

ऄधय नपक न छठी ककष म परतयक नवदय थी को ऄपनी-ऄपनी कॉपी म दो रख ए खीचन को कह

नवदय रसथयो न रख ए कछ आस परक र खीचीः-

P a g e | 27

नचतर 44

अप भी ऄपनी कॉपी पर आसी परक र दो-दो रख ओ क ऄलग-ऄलग यगम बन आए

ऄब नीच ददय गय यगमो को दनखएः

नचतर 45

नचतर 45(i) म रख एा PQ तथ RS बबद O पर क टती ह ऄतः रख एा PQ तथ RS परनतचछदी रख एा

ह और बबद O ईभयननषठ बबद (परनतचछद बबद)ह

नचतर 45(ii) म रख एा AB तथ CD अपस म क ट तो नही रही ह परनत यदद दोनो रख ओ को

अग-पीछ बढ़ य ज ए तो एक दसर को क टगी ऄथ मत नचतर 45(ii) भी नचतर 45(i) की शरणी म ही अएग

ऄथ मत परनतचछदी रख ओ की शरणी म

नचतर 45(iii) म रख एा KL तथ MN न ही अपस म क ट रही ह और न ही बढ़ न पर अपस म एक-

दसर को क टगी हम कस ज च दक य एक दसर को नही क टगी

नचतर 45(iii) की रख ओ को दनखए-

दोनो रख एा KL तथ MN क बीच की लमबवत दरी परतयक बबद पर सम न ह आनह दोनो तरफ

दकतन भी अग कयो न बढ़ एा अप प यग दक आन दोनो क बीच की लमबवत दरी सदव सम न ही रहती ह

P a g e | 28

अप भी नडव आडर की मदद स दोनो रख ओ क बीच की लमबवत दरी न पकर दनखए कय व

सम न ह ऐसी रख एा सम तर रख एा कहल ती ह ऄथ मत सम नतर रख एा बर बर दरी पर रहती ह न तो

व एक दसर क प स अती ह और न ही दर ज ती ह

ऄपनी ककष म बठ-बठ अपक च रो तरफ फली चीज़ो को दनखए ककष क शय मपटट नखड़की

दरव ज़ दीव र अपक जय नमनत-बॉकस मज़ पसतक सकल अदद क दकन रो म अप आस परक र की

रख ओ को महसस कर सक ग जसः

आनम कह ा-कह ा हम सम तर रख खणडो क ईद हरण नमलत ह

अप ऄपनी कॉपी म एक सची बन आए नजसम प च परनतचछदी रख खणडो तथ प च सम तर

रख खडो क ईद हरण हो

परशन वली 3

परशन-1 नीच ददय गय कथन सतय ह ऄथव ऄसतय पहच ननए -

(i) एक नबनद स ऄसखय रख खड खीच ज सकत ह

(ii) दो नबनद स गजरन व ली ऄसखय सरल रख एा खीची ज सकती ह

(iii) रख खड की कवल लमब इ होती ह चौड़ इ नही

(iv) एक रख खड म यदद च र नबनद नलए ज ए तो य सभी नबनद सरख नबनद होत ह

(v) तीन ऄसरख नबनद स ऄनधकतम दो रख खड खीच ज सकत ह

परशन-2 नीच नचतर म कौन स जोड़ परनतचछदी रख ओ क नही ह

P a g e | 29

परशन-3 नीच दी गइ रख ओ क यगम म स परनतचछद करन व ली रख ओ क यगम छ रटए

परशन-4 नीच ददय गए खणडो (ABCDE) म स सरख नबनदओ क समह को नलनखए -

परशन-5 ननमन म प की लमब इ क रख खड खीनचए

6 समी 5 समी 45 समी 23 समी

परशन-6 एक ही सरल रख म 3 समी 5 समी 65 समी क तीन रख खड खीनचए

परशन-7 नीच रख खड ददय गय ह आनकी लमब इ क योग क बर बर रख खड खीनचए

परशन-8 नीच ददय गय रख खड की लमब इ क ऄतर क बर बर रख खड खीनचए

परशन-9 12 समी की लमब इ क रख खड AB खीचकर ईस 3 समी 4 समी 5 समी क तीन रख खड िमशः

ACCD एव DB म नवभ नजत कीनजए तथ ननमन तथयो को सतय नपत कीनजए

1 AD-AC = CB-DB

2 AB-CD = AC + DB

P a g e | 30

परशन-10 आनम स परतयक पररनसथनत म आन नबनदओ स दकतन रख खणड़ खीच ज सकत ह रख खणडो को

खीनचए व ईनकी सखय एा बत आए

हमन कय सीख

1 दकरण क एक पर रनभक बबद होत ह और वह दकसी एक ददश म लग त र बढ़ती रहती ह

2 सरल रख दोनो ददश ओ म लग त र बढ़ती रहती ह

3 रख खड सरल रख क एक नननित भ ग ह नजसक पर रनभक एव ऄनतम नबनद नननित होत ह

तथ रख खड को न प ज सकत ह

4 सरल रख एव दकरण की लब इ को म प नही ज सकत

5 दो रख एा एक दसर को ऄनधकतम एक ही बबद पर क टती ह

6 एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज सकती ह तथ एक बबद स ऄसखय दकरण खीची ज

सकती ह

P a g e | 31

एक ददन ककष क सभी छ तरो न नशकषक स ऄनरोध दकय दक व कोइ खल खलन च हत ह आस पर नशकषक

न ऄपनी सवीकनत दत हए कह lsquolsquoकयो नही अआए अज सखय ओ स सबनधत खल खलrsquorsquo

अप सभी ऄपनी कॉपी म एक ऄक की कोइ सखय नलखकर आस दो स गण कर पर पत गणनफल म

स 12 घट एा और मझ ईततर बत एा -

छ तरो दव र दकए ज न व ल हल की तीन सभ वन एा हो सकती ह

1 ककष क कछ नवदय रसथयो क पररण म फ नतम क सम न अ सकत ह

2 कछ नवदय रसथयो क पररण म कमली क सम न अ सकत ह

3 कछ नवदय रसथयो की समसय मोन क सम न हो सकती ह व सखय को घट सकन म ऄसमथम रह हो

मोन जस ऄनय बचच भी थ ईन सबन कह rsquorsquoहम कय करlsquolsquo

नशकषक न कह lsquolsquoचनलए हम आस समझन क परय स करrsquorsquo lsquolsquoम न

लीनजए दक ऄपन ग व क त ल ब म एक ब ास सीध गड़ हअ ह

त ल ब क एक कीड़ ब ास पर प नी क उपरी सतह स 10 फीट

सीध उपर चढ़त ह आसक ब द वह कीड़ वह स 12 फीट नीच की

ओर अत हrsquorsquo

ऄतः यह सपषट ह दक वह कीड़ प नी की उपरी सतह स 2

फीट नीच ह प नी की सतह को यदद 0 स दश मय ज ए तो नीच क

पम न को कस ददख ए

परत मोन को ऄब भी यह समझ म नही अय की (10-12) दकस ऄक क बर बर होग ईसन कह

lsquolsquoमझ ऄभी भी समझ नही अय दक कय करा rsquorsquo तब नशकषक न प स और पटटी क एक खल नखल य

lsquolsquoहम र प स एक लमबी पटटी ह नजसक बीचो बीच 0 नलख ह 0 क द यी ओर 10 और ब यी ओर 10 ख न

बन ह द ायी ओर क ख नो म (नचतर-2) 1 स 10 तक ऄक नलख ह तथ दो प स ह एक ल ल और दसर

हर

P a g e | 32

आस खल म दो शत हः

पहलीः- फ क गए ल ल प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग लमबी पटटी पर 0 क द यी ओर

ईतन ही ख न चलग

दसरीः- फ क गए हर प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग ईतन ही ख न पटटी पर ब ायी ओर

चलग यह चलन ईस सथ न स पर रभ करग जह ा ल ल प स क क रण द नहन ओर चलकर पहाच थ

खल अरमभ होत हः

सबस पहल प स फ नतम फकती ह फ नतम क ल ल प स पर 5 तथ हर पर 3 नबनद अए शररतम

क ऄनस र फ नतम शनय स द नहन ओर 5 ख न चलगी और 3 ख न व पस अएगी ईसकी नसथनत नीच

नचतर 3 क ऄनस र 2 पर ह-

ऄब कमली दोनो प स फकती ह दोनो ही प सो पर 4 नबनद अए (शतम ऄनस र) कमली की नसथनत

को नीच दश मय गय ह-

ऄनत म र कश दोनो प स फकत ह ईसक ल ल प स पर 2 और हर प स पर 5 नबनद अए शतम क

ऄनस र र कश 2 ख न द ायी ओर चलत ह और वह स व पस मड़ कर 5 ख न ब यी ओर ज त ह वह

ऄपनी नसथनत शनय स तीन ख न ब ाए तरफ प त ह एक ब र दफर बचचो को समझ नही अत की र कश की

नसथनत को कय नलख

परत कमली और कछ ऄनय को कछ कछ समझ म अन लग ह दक शनय क द ायी ओर की सखय एा

िमशः एक-एक बढ़ रही ह द ाय ओर बढ़न क नलए नपछली सखय म 1 जोड़ कर िमशः ऄगली सखय पर पत

करत ह ईसी परक र ब ाय ओर ज न क नलए एक -एक घट कर िमशः पीछ व ली सखय पर पत करत ज त ह

शनय क द नहन ओर की सखय एा िमशः एक-एक जोड़न पर पर पत होती ह और शनय क ब ए ओर की सखय एा

िमशः एक-एक घट न पर पर पत होती ह

P a g e | 33

कय यह ब त अपक समझ म अइ मोन न

कह कय आसक ऄथम यह ह दक शनय क द यी ओर की

सखय एा धन तमक ह और 0 क ब यी ओर की सखय एा

ऊण तमक ह नशकषक न कह lsquolsquoनबलकल ठीक हrsquorsquo यदद

शनय स िमशः एक-एक कम करत ज एा तो 0-1=-1 -

1-1=-2 -2-1=-3 आतय दद सखय एा नमलती ह ऄतः

र कश की नसथनत -3 पर ह कयोदक शनय स ब ायी ओर तीसर ख न क यही म न

होग आस परक र शनय क ब ायी ओर -1-2-3-4-5 आतय दद सखय एा (सभी

ऊण तमक सखय एा) होगी जस-जस ब ायी ओर हम ज एग सखय कम होती ज एगी ऄथ मत जय द बड़ी

ऊण तमक सखय बनती ज एगी

फ नतम कहती ह दक शनय क द यी ओर की सखय य िमशः बढ़ती ज ती ह 1gt0 2gt1 3gt2

4gt3 5gt4 आतय दद और ब एा ओर की सखय कम होती ज एगी ऄथ मत -1lt 0 -2lt-1 -3lt-

2आतय दद

(अप ऊण तमक सखय ओ को समझन क नलए यह खल ककष म व घर पर जरर खल यदद अपको

प स पर पत नही होत ह तो दो रग क क गज लकर दोनो पर 1 स 6 तक की सखय ऄलग-ऄलग नलख कर आस

परक र मोड़ ल दक सखय नजर नही अए ऄब परतयक रग क एक-एक क गज खीच आनही ऄको स शत मनस र

खल खल)

ऄपन ऄनभव क अध र पर नीच दी गयी सखय ओ क बीच बन ब कस म ईनचत नचनह gt(बड़ ) य

(छोट ) lt लग एा

ऐस ही कछ और जोड़ सोच व ऄपन स नथयो को हल करन को द

P a g e | 34

ऊण तमक सखय एा

दिय कल प 1

पवम क ईद हरणो म अपन प य दक नजस परक र धन तमक सखय एा ह ईसी

परक र ऊण तमक सखय एा भी ह आन सखय ओ को श नमल करन स हम कइ नइ

सदिय एा कर प एाग जस 12 म स 14 घट प एग और ईततर को दश म प एाग 3 और

4 जोड़न पर पररण म 7 अत ह यदद जोड़ क परथम ऄक 3 नसथर रख तो ईसम

कौनसी सखय जोड़ दक पररण म िमशः 654321 और 0 पर पत हो आन म नो

को ख ली ब कसो म नलनखए ऐस और भी सव ल सोच व हल कर कय अप सबस

छोटी और सबस बड़ी ऊण तमक सखय क म न बत सकत ह

पण ाक

अप पर कत सखय ओ और पणम सखय ओ स पररनचत ह ईनम यदद ऊण तमक सखय एा जोड़ ल तो

शनय क द ाई ओर पर कत सखय एा ह और ब ायी ओर ऊण तमक सखय एा धन तमक सखय एा ऊण तमक

सखय एा तथ शनय को नमल कर पण ाक बनत ह पण ाक को I य म Z स ददख त ह ऄथ मत

पण ाक (I) = -3-21012345 अदद

नजस परक र सबस बड़ी पणम सखय नही ह ईसी परक र सबस बड़ी पण ाक भी नही ह कय अप सबस

छोटी पण ाक सोच सकत ह

सखय रख पर पण ाक सखय को ननरनपत करन

एक सरल रख खीनचए आस सरल रख पर एक सम न दरी पर कछ नबनद ऄदकत कीनजए आस रख

पर बीच म नसथत दकसी नबनद को शनय नलखकर आसक द नहन ओर धन तमक सखय एा तथ शनय क ब ाय

ओर ऊण तमक सखय एा नलनखए (नचतर-7 क ऄनस र) आस परक र बनी रख सखय रख कहल ती ह

छ य नचतर क म धयम स पण ाको क परदशमन-

यह ा

N = पर कनतक सखय एा

W = पणम सखय एा

I = पण ाक सखय एा

P a g e | 35

ईपरोकत सकतो को दखकर नचतर 8 म पण ाक म श नमल सखय ओ की पहच न कीनजए पणम सखय म कौन-

कौन सी सखय श नमल ह

पण ाको पर की गइ सदिय ओ को सखय रख पर परदरसशत करन

पण ाको को जोड़न -

जब दोनो सखय एा धन तमक हो जस 3 + 5 =

पहल शनय स 3 ऄक धन तमक ददश म दफर वही स 5 ऄक धन तमक ददश म ज न पर 8 पर

पहाचत ह ऄतः 3 + 5 = 8

और जब दोनो सखय एा ऊण तमक हो जस (-2)+(-5)

तो पहल ऊण तमक ददश म 2 ऄक ज त ह दफर वही स 5 ऄक ऊण तमक ददश म और बढ़ तो -7

ऄक पर पहचत ह

ऄथ मत (-2)+(-5) = -7

जब एक सखय धन तमक और दसरी सखय ऊण तमक हो-

जसः (v) 8 +(-5) =

(v)

पहल शनय स 8 ऄक धन तमक ददश म ज एग और दफर वह स व पस 5 ऄक ऊण तमक ददश म

लग शनय स ईस ददश को म लम कर यह ा हम धन तमक ददश म 3 पर पत होत ह ऄथ मत 8+(-5) = 3

(ब) -8 + 5 =

ऊण तमक ददश म 8 ऄक चलकर वह स व पस 5 ऄक शनय की ओर (धन तमक ददश ) म अन पर

ऄनतम नसथनत ऊण तमक ददश म 3 पर ह जो दक -3 ह ऄथ मत -8+5 = -3

आसी परक र अप भी दो-दो पण ाक लकर ईनह जोनड़ए पर पत पररण मो पर नवच र कर

P a g e | 36

आस परक र ईपरोकत ईद हरणो स यह म लम होत ह दक -

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

पण ाको को जोड़न म ईन सभी गणो क प लन होत ह नजनक पणम सखय एा प लन करती ह

1 दो पण ाको क योग एक पण ाक ही होग

2 सभी पण ाको क योग म िम नवननमय ननयम ल ग होत ह

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक सखय होती ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम

ह

4 पण ाको म शनय जोड़न पर ईनक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह

पण ाक सखय ओ क घट न

नजस परक र पणम सखय ओ म घट न की सदिय योग की नवपररत सदिय ह ईसी परक र पण ाक

सखय ओ म घट न की सदिय भी योग की नवपरीत सदिय ह ननमन ईद हरणो पर धय न दीनजए

(v) 14 - 18 = -4

(ब) 5 - 3 = 2

(स) 8 - 4 = 4

घट न की परदिय तो अप ज न चक ह परत यदद कभी 10 स -6 घट न को कह ज त ह तब

परश नी हो सकती ह कयोदक ऊण तमक सखय ओ को कस घट ए वह ठीक स समझ नही अत ह अआए

आस ब त को समझ

अप ज नत ह दक 5 + 0 = 5 8 + 0 = 8 111 + 0 = 111

ऄथ मत दकसी भी सखय म यदद शनय जोड़ ज ए तो योगफल वही रहत ह जो सखय क म न ह

आस तरह शनय को योजय ततसमक कहत ह

P a g e | 37

सोनचए 5 म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (-5)

ऄथ मत 5 + (-5) = 0 (योजय ततसमक)

आसी परक र (-7) म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (+7)

ऄथ मत (-7) + (+7) = 0 (योजय ततसमक)

यह ा (-5) योजय परनतलोम ह 5 क तथ + 7 योजय परनतलोम ह (-7) क

ऄतः दकसी सखय क योजय परनतलोम वह सखय ह नजस ईस सखय क स थ जोड़न पर योजय

ततसमक (शनय) पर पत होत ह

ऄथ मत सखय + सखय क योजय परनतलोम = योजय ततसमक

नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए

सखय सखय क योजय परनतलोम योजय ततसमक

35 + () = 0

-40 + () = 0

-17 + () = 0

-35 + () = 0

-13 + () = 0

पहली सखय म दसरी सखय घट न क ऄथम ह पहली सखय म दसरी सखय क योजय परनतलोम को

जोड़न कय अपको यह ब त ईनचत लगती ह

जस 12 -(5) = 12 +(5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(-5)

ईसी परक र 12-(-5) = 12 +(-5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(+5) = 12 +5 =17

कय अप 10 म स (-6) को घट सकत ह

नीच ददए गए परशनो म घट यी ज न व ली सखय क योजय परनतलोम ननक ल कर हल कीनजएः

1) 3-(-7) 2) 12-(-10) 3) 15-(+7)

4) 7 -(+18) 5) 19-(-7)

उपर ऄभय स क परशनो म अप दख रह ह दक ऊण तमक सखय क ऊण तमक एक धन तमक सखय ह

और धन तमक सखय क ऊण तमक एक ऊण तमक सखय ह

जस - (-3) = +3

य (-1) times (-3) = +3

(-5) times (-3) = + 15

ऄथ मत दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल सदव धन तमक पण ाक होत ह

ऄभय स-41

P a g e | 38

आसी परक र

-(+7) = -7

य (-1) times (+7) = -7

(-5) times (+3) = -15

ऄथ मत एक ऊण तमक पण ाक तथ धन तमक पण ाक क गणनफल सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

घट न की सनकषपत नवनध

जब दकसी सखय को 10 100 1000 अदद स घट न होत ह तो अप सबस बड सथ न क 1 को

ईसस छोटी आक आयो म बदलत ह जस आस ईद हरण म दख -

ईद हरण 1 1 0 0

- 7

हल- यह ा आक इ क शनय स 7 नही घट सकत दह इ म भी शनय ह वह ा स भी अपको कछ नही नमल

सकत अप एक सकड को दस दह आयो म और आनम स एक दह इ को दस आक इ म बदलत ह -

स द आ स द आ

1 0 0 0 9 10 (100 = 90 + 10)

य न एक सकड़ छोटी आक आयो म बदलकर 9 दह इ और 10 आक इ बन ज त ह ऐस म सौ स

छोटी दकसी भी सखय को घट न अपक नलए अस न हो ज त ह

घट आए

स द आ

0 9 10 ( 100 - 7 = 90 + 10 - 7)

- 7 ( = 90 + 3 = 93)

9 3

एक और ईद हरण दख -

ईद हरण 2 1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

हल-

P a g e | 39

ददय ह - दसह ह स द आ

1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

सखय दस हज र को छोटी आक आयो म बदनलए -

दसह ह स द आ

0 9 9 9 10 (10000=9990+10)

- 2 8 7 4

7 1 2 6

ईद हरण 3 1 0 0 0 - 8 7 6

9 9 (10)

- 8 7 6

आन ईद हरणो म अपन दख दक आक इ क ऄक को दस स घट य ज रह ह ब की सभी को नौ स

ऄब अप च ह तो सीध ईततर नलख सकत ह

100 - 23 = (9 - 2) (10 - 3) = 77

100 - 69 = (9 - 6) (10 - 9) = 31

1000 - 512 = (9 - 5) (9 - 1) (10 - 2) = 488

1000 - 32 = (9 - 0) (9 - 3) (10 - 2) = 968

1000 - 8 = 992

10000 - 982 = 9018

10000 - 8374 = 1626

पण ाको क घट न स सबनधत गण

1 दो पण ाको क ऄनतर एक पण ाक होत ह(सवरक गण)

2 पण ाक म स 0 घट न पर ईनक म न नही बदलत

3 परतयक पण ाक क पवमवती एव परवती भी पण ाक होत ह

जस 0 क पवमवती -1 एव -1 क पववती -2 -5 क पवमवती -6 आतय दद तथ -1 क

परवती 0-2 क परवती -1 -6 क परवती -5 आतय दद

P a g e | 40

बीज क क परयोग स जोड़न घट न की ज ाच

तमह पत ही ह दक दकसी सखय क बीज क जञ त करन क नलए ईसक ऄको क योग तब तक करत

ह जब तक एक ऄक व ली सखय न नमल ज ए ऄत म पर पत ऄक ही बीज क होत ह

जस - 45 क बीज क 4 + 5 = 9 ह

और 457 क बीज क 4 + 5 + 7 = 16

16 म दो ऄक ह आसीनलए 1 + 6 = 7

ऄथ मत 457 क बीज क 7 ह

बीज क की सह यत स हम ऄपन बन ए सव लो की ज ाच कर सकत ह

जोड़ की ज ाच

जोड़ क सव लो की ज ाच करन क नलए हम जोड़ी ज न व ली सखय ओ और योगफल क बीज क

जञ त करत ह

यदद सखय ओ क बीज क क योग ईततर क बीज क क बर बर हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण स समझत ह - 453 + 158 = 611

453 क बीज क 3 और 158 क बीज क 5 क योग ईततर 611 क बीज क 8 क बर बर ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आसी परक र ऄपन बन ए हए जोड़ क सव लो क ईततर की ज ाच अप खद ही कर सकत ह

घट न की ज ाच

यदद ईततर क बीज क म घट इ ज न व ली सखय क बीज क जोड़न पर उपर व ली सखय क

बीज क पर पत हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण दख - 587 - 235 = 352

ईततर 352 क बीज क 1 और घटन व ली सखय 235 क बीज क 1 को जोड़न पर 2 पर पत होत ह

587 क बीज क भी 2 ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आस तरीक स ईन परशनो क ईततरो की ज ाच कीनजए नजनह अपन हल दकय ह

P a g e | 41

पण ाको क गण

दिय कल प 1

नीच त नलक म पण ाक सखय ओ क गण करक ददख य गय ह

कछ ररकत सथ न त नलक म ह ईनकी परसत कीनजए -

ि पहली

सखय

दसरी

सखय

पहली सखय x

दसरी सखय

गणनफल ननषकषम

01

02

03

04

05

06

07

08

09

3

-6

-5

3

- 5

-7

-8

15

-17

4

-2

2

-6

-4

2

-12

-13

-19

3x4

(-6) x (-2)

(-5) x (+2)

(+3) x (-6)

+12

+12

-10

-18

दो धन तमक पण ाको क

गणनफल एक धन तमक

पण ाक होत ह

दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल

एक धन तमक

पण ाक होत ह

एक धन तमक पण ाक और एक

ऊण तमक पण ाक क गणनफल एक

ऊण तमक पण ाक होत ह

9 99 999 अदद क गण

एक दो और तीन ऄको व ली दकसी सखय म िमशः 9 99 999 जसी सखय ओ क गण करन पर

हम एक मजद र पटनम नमलत ह अआए कछ ईद हरण दख -

8 x 9 = 72 47 x 99 = 46 53

7 x 9 = 63 78 x 99 = 77 22

5 x 9 = 45

P a g e | 42

अप दख रह ह दक गणय और गणक एक-एक ऄक व ली सखय एा ह पर पत गणनफल म दह इ क ऄक

हर ब र गणय स एक कम ह और दह इ म नमली आस सखय को 9 स घट न पर जो नमल ईस आक इ म रख

गय ह कय यही पटनम दसरी सखय ओ म भी नमलग

दख-

दह इ आक इ द

आ

6 x 9

4 x 9

= (6 - 1)

= (4 - 1)

(9 - 5)

(9 - 3)

= 5

= 3

4

6

= 54 सतय ह

= 36 सतय ह

यदद गणय और गणक दो-दो ऄको की सखय एा हो तो कय होग यह ा हम गणनफल क रप म च र

ऄको की सखय नमलगी (10x99 को छोड़कर)

ह स द आ ह स द आ

10 x 99

= (10 - 1) (99-9)

= 9 9 0

75 x 99

= (75 - 1) (99-74)

= 7

4 2 5

84 x 99 = (84 - 1) (99-83) = 8

3 1 6

आस थोड़ और बढ़ एा -

100 x 999 को हल कर

= 9 9 9 0 0

यदद 100 स बड़ी कोइ भी तीन ऄक व ली सखय ल तो गणनफल 6 ऄको की सखय होगी

दस ह ह स द आ

100 x 999 = (100 - 1)

99

(999 - 99)

999

217 x 999

999 x 999

= (217 - 1)

216

= (999 - 1)

998

(999 - 216)

783

(999 - 998)

001

= 216783

= 998001

P a g e | 43

ऄब थोड़ो सोच य सब कस होत ह

8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 70 + 10 - 8

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

(7 + 1) (10 - 1) = 70 + 10 - 7 - 1

= 70 + 10 - 1 - 7

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

ऄब आन ईद हरणो को धय नपवमक दनखए-

3 x 2 = 6 2 x 1 = 2 4 x 2 = 8 1 x 4 = 4

5 x 3 = 15 2 x 8 = 16 7 x 3 = 21 9 x 9 = 81

उपर क पहल च र ईद हरणो म अप दख रह ह दक आक इ की सखय म आक इ की सखय क गण

करन पर आक इ की सखय ही नमल रही ह नीच क च रो ईद हरणो म भी आक इ म आक इ क गण हअ

और गणनफल म आक इ क स थ - स थ दह इ की भी कोइ सखय नमल रही ह

आसी तरह अप दख सकत ह दक दह इ म आक इ क गण करन पर य तो दह इ और सकड़ य

कवल दह इ की सखय नमलगी

जस 20 x 3 = 60 30 x 1 = 30 10 x 4 = 40

40 x 3 = 120 50 x 5 = 250 30 x 7 = 210

20 य नी दो दह इ म 3 क गण करन पर 60 आक आय ा य नी 6 दह आय ा नमली 4 दह आयो (40)

म 3 क गण करन पर 12 दह आय ा य 1 सकड़ और 2 दह आय ा नमली

यदद आन ब तो क धय न रखत हए गण कर तो गण करन थोड़ सनकषपत हो ज त ह अग कछ

ईद हरणो स हम समझग यह गण कस दकय ज त ह

ईद हरण 1 13 x 12

हल - 13

x 12

चरण - 1 13 आक इ 3 म आक इ 2 क गण दकय

x 12 6 आक आय ा नमली आनह आक इ म नलख

6

P a g e | 44

13

x 12

56

1 3

1 2

13

x 12

156

चरण - 2

पहली सखय की आक इ 3 म दसरी सखय की दह इ 1 क गण दकय 3

दह आय ा नमली दसरी सखय की आक इ 2 म पहली सखय की दह इ 1

क गण दकय 2 दह आय ा नमली कल 5 दह आय ा (3 + 2) नमली आस

दह इ म नलख

(3x1) + (2x1) = 3 + 2 = 5 दह आय ा

चरण - 3

पहली सखय की दह इ 1 म दसरी सखय की 1 दह इ क गण दकय 1

सकड़ नमल आस सकड़ म नलख कल 156 नमल

आन तीनो चरणो को आस तरह दख सकत ह -

स द आ

1 1 3 3

1 1 2 2

1 (3 + 2) 6

1 5 6 = 156

ईद हरण 2 12 x 31 को हल कर

हल

चरण - 1 1 2 आक इ 2 आक इ 1 = 2 आक आय ा

आक इ म नलख

x 3 1

चरण - 2 1 2 आक इ 2 दह इ 3 = 6 दह आय ा

आक इ 1 दह इ 1 = 1 दह आय ा

3 1 योग = 7 दह आय ा

7 2

P a g e | 45

चरण 3 1 2 सकड़ 1x सकड़ 3 = 1x3 = 3 (सकड़ म नलख )

हल नमल 12 x 31 = 372

x 3 1

3 7 2

आन दोनो ईद हरणो म गण करन पर हम ह नसल नही नमल यदद सखय ओ को थोड़ बड़ ल तो

यह नसथनत बनगी

अआए दख -

ईद हरण 3 43 x 12 को हल कर

चरण 1 4 3 आक इ 3 x आक इ 2 = 6 आक आय ा

x 1 2 (आक इ म नलख )

6

चरण 2 4 3 (आक इ 3 x दह इ 1) + (आक इ 2 x दह इ 4)

3 + 8 = 11 दह इ

x 1 2 11 दह इ = 1सकड़ + 1 दह इ

1 6

1 दह इ को दह इ म नलख 1सकड़ ह नसल क रप म अग क

नलए रख

चरण 3 4 3 दह इ x 4 दह इ 1 = 4 सकड़

= + 1 सकड़ (ह नसल क )

x 1 2

5 1 6 योग = 5 सकड़

आस सकड़ म नलख

गणनफल नमल 43 x 12 = 516

ईद हरण 4 हल कीनजए - 76 times 58

चरण 1

7 6 6 x 8 = 48 8 आक इ

4 दह इ (ह नसल क)

x 5 8

8

(4)

P a g e | 46

चरण 2

7 6 (6x5) + (8x7)

30 + 56 = 8 6 दह आय ा

x 5 8 + 4 दह आय ा (ह नसल क)

0 8 9 0 दह आय ा

(9) (4) = 9 सकड़ + 0 दह इ

दह इ म 0 नलख 9 सकड़ (ह नसल की)

चरण 3 7 6 7 x 5 = 3 5 सकड़

+ 9 सकड़ (ह नसल)

x 5 8 4 4 दह आय ा

4 4 0 8 4 हज र और 4 सकड़

(5) (4) आनह आनक सथ नो पर नलख

हल नमल 76 x 58 = 4408

पण ाको म गणन सदिय क गण

1 दो पण ाको क गणनफल सदव एक पण ाक होत ह आस सवरक गण कहत ह

जस- 3 x (-6) = -18 (यह ा 3 एव -6 क गणनफल -18 एक पण ाक सखय ह)

2 पण ाको की गणन सदिय िम-नवननमय ननयम क प लन करती ह

जस- (-7) x 2 = 2 x (-7) = -14

3 परतयक पण ाक म एक क गण करन पर वही पण ाक पर पत होत ह

जस- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

यह ा सखय 1 को गणन-ततसमक ऄवयव कहत ह

4 दकसी पण ाक म ईसक गणन परनतलोम क गण करन पर सदव 1 पर पत होत ह

जस- 5 times 51 =1

यह ा सखय 5 क गणन परनतलोम ह शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव म नही ह

5 शनय क गण - दकसी पण ाक म शनय क गण करन पर गणनफल सदव शनय पर पत होत ह

जस- (-3) x 0 = 0 x (-3) = 0

6 पण ाको क गण पर स हच यम ननयम ल ग होत ह

जस- -3 x (4x5) = (-3x4) x 5

3 x (-20) = (-12) x 5

-60 = -60

P a g e | 47

7 नवतरण गण- पण ाको म गणन सदिय योग सदिय पर नवतरण गण क प लन करती ह

जस- 3times(-4+5) = 3times (-4)+3 times 5

य 3(-4+5) = 3 (-4)+3 times 5

= 12+15

= 3

पण ाको क भ ग

नपछल प ठ म पणम सखय ओ क सदभम म अपन भ ग दन सीख ह पण ाक सखय ओ क गण क

ईद हरण भी हम दख चक ह आनही क अध र पर हम पण ाको क भ ग क ब र म समझ सकत ह

3 times 4 = 12 -5 times 6 = - 30 (-7) times (-2) = 14

12 divide 3 = -30 divide -5 = 14 divide (-2) =

12 divide 4 = 30 divide 6 = 14 divide (-7) =

गणन एव भ ग सदिय एा परसपर नवपरीत सदिय एा ह यह शनय क नलए ल ग नही होत कयोदक

शनय स दकसी भी पण ाक को भ ग नही ददय ज सकत आसी अध र पर उपर ददए कथनो म परशन नचहनो क

सथ न पर सखय एा नलख

पण ाक म भ ग सदिय क गण

1 पण ाको क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3raquo4 म भ गफल पण ाक नही ह

2 परतयक पण ाक म (शनय को छोड़कर )ईसी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

जस- 7 divide 7

3 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म-1 पर पत होत ह

जस- 15 divide (-15)= -1

4 शनय म दकसी भी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल क म न शनय ही रहत ह

जस- 0 divide 16 = -1

5 दकसी पण ाक सखय म शनय स भ ग दन पर भ गफल जञ त नही कर सकत ऄथ मत

4 divide 0 ऄपररभ नषत

परशन वली-4

1 ननमन सखय ओ को सखय रख पर ननरनपत करक पररण म बत आए -

(i) 2 + (-4) (ii) -3 + 5 (iii) (-6) + (-3)

(iv) 6 + 4 + (-2) (v) 4 + (-3) + (-5) (vi) 0 + 3

(vii) 0 + (-5) (viii) 9 + 0 + (-1)

2 योगफल जञ त कीनजए-

(i) 1531 (-503) (ii) -55 -211 (iii) 117 -81

(iv) -18 172

P a g e | 48

3 ननमन म स परतयक ररकत सथ न म gt = य lt क नचहन लग आए नजसस कथन सतय हो-

(i) 8 + (-3) -3 + 8

(ii) -28 + 25 -25 + 28

(iii) -4 + 0 4 + 0

(iv) 0 + 9 9 + 0

(v) 25 + (+25) + 25 - (-25)

(vi) 208 + 53 208 - 53

4 ननमन गणनफल जञ त कीनजए-

(i) (+2) times (3) times (5) (ii) 3 times (-5) times (-6)

(iii) (-4) times 3 times (-2) (iv) (-6) times (-4) times 1

(v) 3 times 0 times (-2) (vi) 2 times (-7) times (-3)

5 ररकत सथ नो की परसत झ = य ढ नलखकर कीनजए -

(i) (2) times (5) (-3) times (5)

(ii) 2 times -4 times -3 8 times 3

(iii) 4 times -3 times -1 28

(iv) (-8) times (-5) 2 times 20

(v) 2 times -3 times 0 0 times -8

(vi) 4 times 5 times (-3) -4 times (+5) times (-3)

(vii) 3 times 8 times (-5) 3 times 8 times (-5)

6 दो पण ाको क योग 69 ह यदद ईनम स एक पण ाक 56 ह तो दसर पण ाक बत आए

7 दो पण ाको क योग 85 ह यदद एक पण ाक -15 ह तो दसर पण ाक जञ त कीनजए

8 ननमन म स परतयक क भ गफल जञ त कीनजए -

(i) 30 divide 2 (ii) 40 divide (-4) (iii) -48 divide 12

(iv) 24 divide 0 (v) -14 divide 1 (vi) 95 divide (-5)

9 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -80 divide = - 20 (ii) 46 divide = -23

(iii) -24 divide = 24 (iv) 12 divide = -1

10 नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए -

(i) 17 (ii) -23 (iii) 68

(iv) -75

11 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -18 + = 0 (ii) 26 + = 0

(iii) 161 + = 0 (iv) -79 + = 0

P a g e | 49

हमन सीख

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक होत ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम ह

4 पण ाक म शनय जोड़न पर ईसक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह शनय को योजय ततसमक

ऄवयव कहत ह

5 पण ाक म 1 क गण करन पर ईसक म न म पररवतमन नही अत ह सखय 1 को गणन ततसमक

कहत ह

6 दकसी धन तमक सखय को दकसी ऊण तमक सखय क स थ गण करन पर गणनफल ऊण तमक

सखय होत ह जस (+1) times (-1) = -1 य (-1) times (+1) = -1

7 ऊण तमक सखय क ऊण तमक सखय क स थ गण होन पर धन तमक सखय पर पत होती ह

जस - (-1) times (-1) = +1

8 दो पण ाको क योग ऄनतर एव गण एक पण ाक होत ह

9 पण ाक स 0 घट न पर ईसक म न नही बदलत

10 परतयक पण ाक की पवमवती एव परवती सखय होती ह

11 दकसी ऊण तमक सखय क योजय परनतलोम धन तमक सखय तथ दकसी धन तमक सखय क योजय

परनतलोम ऊण तमक सखय होती ह

12 पण ाक क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3divide4 म भ गफल पण ाक नही ह

13 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक म ईसी पण ाक क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

14 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म -1 पर पत होत ह

15 शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव नही रखत ह

16 पण ाको क गण -

गण योग सदिय ऄतर सदिय गणन सदिय भ ग सदिय

सवरक radic radic radic times

िमनवननमय radic times radic times

स हच यम radic times radic times

P a g e | 50

नपछली ककष म अपन वतत क ब र म पढ़ ह वतत क अक र को भी अप पहच नत ह जस- चड़ी

रोटी बलग ड़ी क पनहय आतय दद ऄपन च रो ओर प इ ज न व ली ऐसी 10 चीजो क ईद हरण ऄपनी

कॉपी म नलनखए

नीच कछ अकनतय दी गइ ह व वतत ह ऄथव नही ददए गए ररकत सथ न म नलनखएः

दननक जीवन म ईपयोग म अन व ली ऐसी कइ वसतएा ह नजनकी सह यत स अप ऄपनी

कॉपी म वतत बन सकत ह ऐसी कौन-कौनसी वसतएा अप पहच न सकत ह सची बन आए दकनही 3

वसतओ की सह यत स वतत बन आए

नजस वसत की सह यत स अपन वतत बन य ह ईसक दकन र कभी-कभी पणमतः वतत क र न होकर

टढ़ -मढ़ भी हो सकत ह आसनलए पणम वतत बन न क नलए परक र क ईपयोग करत ह

दिय कल प-1

परक र की सह यत स वतत खीचन - ऄपन जय नमनत बॉकस म रखी परक र को लीनजए परक र म

पनसल लग कर ईसको थोड़ स फल आए परक र की नोक को कॉपी क बीचो-बीच रखकर पनसल व ल नसर

को च रो ओर घम आए धय न रह परक र की नोक कॉपी पर ऄपनी जगह स नही हटनी च नहए आस परक र

बनी अकनत वतत कहल ती ह

नजस सथ न पर परक र की नोक अपन रखी थी वह ा पनसल की सह यत स एक बबद बन कर Oनलख यह

नबनद O वतत क कनर ह

P a g e | 51

ऄब वतत पर कइ बबद ABCDE एव F बन कर ननमन दररयो को म प (नचतर-6)

1 OA = 2 OD = 3 OB =

4 OE = 5 OC = 6 OF =

कय ईपरोकत सभी म प एक सम न ह

वतत पर कोइ भी बबद लन पर कय वह यही म प दग

आसी परक र परक र की सह यत स और दो वतत बन कर उपर क पररण मो की ज च कीनजए

अपन वतत बन न सीख नलय ह अआए ऄब वतत क नवनभनन भ गो को ज नन क नलए दिय कल प कर

दिय कल प-2

क गज़ पर परक र की सह यत स वतत बन आए तथ वतत क र अकनत को कची स क ट कर ऄलग

कीनजए आस वतत क र क गज की अकनत को आस परक र मोनड़ए दक एक भ ग दसर भ ग को ढक ल आस

ऄधमवतत क र अकनत को पनः दो बर बर भ गो म मोड़ ऄब आस क गज को खोलकर ईसम बन मोड़ क

ननश नो को पनसल की सह यत स रख दकत कीनजए तथ नीच दी गइ अकनत क ऄनस र न म दकत कर

रख खणड AC और BD की लमब इ म नपय कय व बर बर ह

कट न नबनद O स A तक O स C तक O स B तक और O स D तक की दरी न प कर

दनखए दक ईनकी लमब इ सम न ह य नही

अप दखत ह दक OAOB OC एव OD की लमब इ सम न ह य सभी वत की lsquolsquoनतरजय rsquorsquo ह

दिय कल प-3

ऄपनी कॉपी म परक र की सह यत स एक वतत बन आए वतत क कनर बबद को नचनहनत कीनजए

वतत पर कोइ बबद A लीनजए A को वतत पर नसथत नभनन-नभनन नबनदओ स आस परक र नमल आए दक कम स

कम एक रख खणड कनर स होत हए गजर अपन जो नवनभनन रख खणड खीच ह ईनह न पकर ऄपनी कॉपी म

नलनखए तथ नीच ददए गए परशनो क हल ढदढए-

1 सबस लमबी रख खणड कौन सी ह

2 कय सबस लमबी रख खणड कनर स होकर ज ती ह

3 एक ही वतत म ऐस दकतन सबस लमब रख खणड खीच ज सकत ह

नचतर- 7

नचतर- 8 नचतर- 9 नचतर- 10

नचतर- 11

P a g e | 52

दिय कल प 3 म अपन वतत पर नसथत दो बबदओ को नमल त हए कइ रख खणड खीच होग आनही

रख खणडो को जीव य च पकणम कहत ह सबस बड़ी जीव कनर स होकर ज ती ह वय स कहल ती ह (जस

रख खड AD) चादक कनर स ज न व ली परतयक जीव सबस लमबी जीव ह और अप यह भी ज नत ह दक

दकसी नबनद स ऄसखय रख खणड खीच ज सकत ह आसनलए दकसी वतत म भी ऄसखय वय स खीच ज सकत

ह

दिय कल प-4

ऄपनी कॉपी म ऄलग-ऄलग म प क 3 वतत बन आए तथ ननमन स रणी को पणम कीनजए -

ि स वय स की लमब इ नतरजय की लमब इ वय स divide नतरजय

01

02

03

ईपरोकत दिय कल प म अप प त ह दक दकसी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह ऄथ मत

rsquoनतरजय वय स की अधी होती हrsquo

ऄब वतत क च रो ओर क घर म पकर वतत क पररम प जञ त कर और घर तथ वय स म समबनध

समझ

अप ज नत ह दक दकसी भी बनद अकनत क घर की लमब इ ही ईस अकनत क पररम प ह ऄतः वतत

क पररम प ननक लन क नलए एक पटठ पर वतत बन कर ईस क ट नलनजए आसक दकन र पर पन स एक

ननश न लग आय ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीचकर ईसक एक छोर पर भी ननश न A लग आए

वतत क र पटठ पर बन ननश न को सरल रख पर बन ननश न क उपर रनखए तथ पटठ को एक चककर तब तक

घम आए जब तक दक पटठ पर बन ननश न पनः सरल रख पर न अ ज ए सरल रख पर ननश न B

लग आए

नबनद A और B क बीच की दरी को म नपए यही म प आस वतत क पररम प होग आसी परक र नीच

ददए गए म प की नतरजय क वतत क टकर स रणी को पणम कीनजए -

ि स वतत क पररम प नतरजय की पररम प वतत क वय स पररम प divide वय स

01 35 समी

02 7 समी

03 105 समी

नचतर- 12

P a g e | 53

स रणी म पररम प divide वय स क म न सभी म लगभग सम न ह ऄथ मत परतयक वतत क पररम प तथ

वय स क ऄनप त एक ही (नसथर क) होत ह आस नसथर क को गरीक ऄकषर 120587 (प इ) स दश मत ह तथ आसक

म न लगभग 22

7 य 314 क बर बर होत ह

परशन वली 5

पर1 वतत बन आए

(i) नतरजय = 2 समी (ii) नतरजय = 35 समी

(iii) नतरजय = 42 समी (iv) नतरजय = 5 समी

पर2 वतत बन आए-

(i) वय स = 3 समी (ii) वय स = 6 समी

(iii) वय स = 68 समी (iv) वय स = 74 समी

पर3 32 समी नतरजय क वतत म 64 समी की एक जीव खीनचए

पर4 एक वतत की रचन कीनजए नजसकी सबस बड़ी जीव की लमब इ 8 समी ह

पर5 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो ईसक पररम प कय होग

पर6 ररकत सथ नो की परसत कीनजए

(i) वय स = 2 times

(ii) वतत क दो वय स पर परनतचछद करत ह

(iii) वतत की सबस बड़ी जीव को कहत ह

(iv) वय स वतत क स गजरत ह

(v) वतत की सभी नतरजय य होती ह

(vi) कनर स पररनध क दकसी नबनद को नमल न व ली रख वतत की ह

(vii) वतत म पररनध क दो नबनदओ को नमल न व ली रख को कहत ह

हमन सीख

1 वतत क कनर स वतत पर नसथत नबनद को नमल न व ली रख वतत की नतरजय ह

2 एक ही वतत की नतरजय य सम न होती ह

3 वतत पर नसथत दो नबनदओ को नमल न व ली रख वतत की

जीव कहल ती ह

4 वतत की सबस बड़ी जीव वय स होती ह जो वतत क कनर स

गजरती ह

5 दकसी भी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह

6 वतत क पररम प तथ वय स क ऄनप त सदव नसथर होत ह

आस नसथर क को 120587 कहत ह नजसक म न 22

7 य 314 क लगभग बर बर होत ह

P a g e | 54

पण ाक क प ठ म अपन पढ़ ह दक भ ग की सदिय हमश सवरक ननयम क प लन नही करती ह

ऄथ मत दकसी पण ाक को यदद दकसी ऄनय पण ाक स भ ग ददय ज व तो हमश पण ाक पर पत नही होत

सोचकर बत आय दक 8 म दकन-दकन सखय ओ क भ ग ज त ह और शष नही बचत और 7 म दकस-दकस

क भ ग ज त ह

गणनखड

2 times 5 = 10 म अपन दख दक 2 तथ 5 क भ ग 10 म परी तरह चल ज त ह

दकसी सखय क गणनखड व सखय एा ह जो ईस सखय को परी तरह नवभ नजत कर

10 divide 2 = 5 ऄथ मत 2 तथ 510 क गणनखणड ह

10 divide 5 = 2

दकसी सखय क गणनखड ईस सखय की सभी भ जक सखय एा ह गी

परतयक सखय कम स कम 1 व सवय स ऄवशय नवभ नजत होती ह

जस 12 म 1 क भ ग परी तरह चल ज त ह

12 म 12 क भ ग परी तरह चल ज त ह

कय अप ऐसी कोइ सखय ज नत ह नजसम एक क ऄथव ईसी सखय क भ ग परी तरह नही

ज त हो

भ जय सखय एा

वह सखय नजनम 1 तथ ईसी सखय क ऄनतररकत ऄनय सखय ओ स पर -पर भ ग ददय ज सकत

ह भ जय सखय कहल ती ह

अआए दख 12 म और दकन दकन सखय ओ क भ ग ज त ह

12 = 1 times 12

= 2 times 6

= 3 times 4

= 3 times 2 times 2

12 सखय 1 2 3 4 6 12 स पणमतय नवभ नजत हो ज त ह

ऄतः दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करत ह

P a g e | 55

ऄभ जय सखय एा

वह सखय नजसक गणनखड कवल 1 तथ सवय वही सखय हो ऄभ जय सखय कहल ती ह

जस 13 म कवल 1 एव 13 क पर -पर भ ग ज त ह ऄनय दकसी सखय क नही ऄतः 13 एक

ऄभ जय सखय ह आसी परक र 2 3 5 आतय दद ऄभ जय सखय एा ह

दिय कल प 1

नीच स रणी म कछ सखय ओ सभी गणनखड ददय गय ह शष सखय ओ क सभी गणनखडो को ररकत

सथ नो म नलनखए तथ एक गणनखड दो गणनखडो व ली एव दो स ऄनधक गणनखडो व ली सखय ओ को

ऄलग-ऄलग छ ारटय-

स रणी

सखय सभी गणनखड सखय सभी गणनखड

1 1 6 1623

2 12 7

3 8

4 142 9

5 10

ईपरोकत स रणी म हम तीन परक र की सखय एा ददख इ दती ह -

1 एक गणनखड व ली सखय ऐसी सखय नजसक कवल एक ही गणनखड ह ऐसी सखय 1 ह यह न

तो ऄभ जय सखय ह और न ही भ जय सखय यह एक ऄनदवतीय सखय ह

2 दो गणनखणडो व ली सखय एा 2 3 5 7 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक कवल दो ही गणनखड

होत ह ऄतः यह ऄभ जय सखय एा होगी आस परक र ऄभ जय सखय ओ क पॉच ऄनय ईद हरण

ऄपनी कॉपी म नलनखए

3 दो स ऄनधक गणनखणडो व ली सखय 4 6 8 9 10 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक दो स

ऄनधक गणनखड ह य सभी भ जय सखय एा कहल ती ह

दिय कल प 2

एरटोसथनीज की छलनी भ जय और ऄभ जय सखय ओ को ऄलग-ऄलग छ टन क नलए एरटोसथनीज न एक

तरीक ऄपन य थ आस एरटोसथनीज की छलनी कहत ह

एरटोसथनीज की छलनी

स रणी म 1 स 100 तक की सखय दी गइ ह नीच ददय गय ननदशो क प लन कीनजए-

ननदश

(1) 1 को क ट दीनजए कयोदक 1 ऄभ जय सखय नही ह

P a g e | 56

(2) 2 क च रो ओर एक घर बन दीनजए तथ 2 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक लकीर

स क ट दीनजए जस 468 आतय दद

(3) ऄब ऄगली नबन कटी सखय 3 को घर लग कर 3 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक

लकीर स क ट दीनजए यह ा हमन 2 और 3 स नवभ नजत होन होनी व ली कछ सखय ओ को क ट

ददय ह शष सखय ओ को क ट कर स रणी को पर कीनजए

(4) आसी परक र ऄगली नबन कटी सखय को घररय तथ ईसस नवभ नजत होनी व ली सभी सखय ओ को

क रटए

(5) यह परदिय तब तक दोहर आय जब तक 100 तक की सभी सखय ए कट न ज ए य नघर न ज ए

स रणी

आस परदिय क ब द आस छलनी म घरो क ऄदर की सभी सखय एा ऄभ जय सखय एा ह तथ 1 को

छोड़कर क टी गइ सभी सखय एा भ जय सखय एा ह

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

दिय कल प 3

भ जय और ऄभ जय सखय ओ को तो अपन ज न नलय ह ऄब अआए गणनखणड ननक लन क एक

खल खल

अप ऄपनी क पी म कछ घर बन आए परतयक घर क नीच नचतर नस र म न 1 2 3 4

आतय दद नलनखए और नीच नलख ननदशो क प लन कररए -

ननदश

1 क भ ग नजन सखय ओ म ज त ह ईन सभी घरो म 1 नलनखए

नजन सखय ओ म 2 क भ ग ज त ह ईन घरो म 2 नलनखए

नजन सखय ओ म 3 क भ ग ज त ह ईन घरो म तीन नलनखए

P a g e | 57

आसी परक र अग की सखय एा नलखत ज आए एव ननमननलनखत परशनो क ईततर दीनजए

परशन 1 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर म तर एक सखय ह ईस घर क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 2 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 3 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो स ऄनधक सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न

नलनखए

घर क ऄदर की सभी सखय एा घर क ब हर की सभी सखय ओ क गणनखणड ह व सखय एा नजनक

म तर दो गणनखड (1 एव सवय वह सखय ) होत ह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

सहभ जय सखय एा

अआय 8 और 15 क गणनखडो पर नवच र कर

8 क गणनखड = 1 2 4 8

15 क गणनखड = 1 3 5 15

ईकत दोनो सखय ओ क गणनखणडो को दखन पर यह सपषट होत ह दक कवल 1 ही ह जो 8 और 15

क ईभयननषठ गणनखड ह 1 क ऄनतररकत और कोइ सखय ऐसी नही ह जो 8 और 15 क ईभयननषठ

गणनखड हो ऐसी नसथनत म सखय एा 8 और 15 सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

आसी तरह 9 10 और 49 क गणनखणडो पर नवच र कर

9 क गणनखड = 1 3 9

10 क गणनखड = 1 2 5 10

49 क गणनखड = 1 7 49

ईकत ईद हरण म कवल 1 ही ऐसी सखय ह जो 9 10 और 49 तीनो क ईभयननषठ गणनखड ह

आसक ऄनतररकत और कोइ सखय नही ह जो 9 10 49 सभी क गणनखड हो आसनलए 9 10 और 49 सह

ऄभ जय सखय एा ह

ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखड 1 हो सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 58

(1) 1 स 100 क बीच अन व ली ऄभ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(2) 75 स 100 क बीच अन व ली भ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(3) 70 स 80 क बीच सबस जय द गणनखणड व ली सखय कौन सी ह

(4) कय 12 और 25 सह ऄभ जय सखय एा ह

(5) कय दो िम गत सखय एा सह ऄभ जय सखय एा होगी

सखय ओ क ऄनय परक र

1 सम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत होती ह सम सखय कहल ती ह

जस 2 4 6 8 10 12

2 नवषम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत नही होती ह नवषम सखय कहल ती ह

जस 1 3 5 7 9 11 आतय दद

नीच अपको कछ नवषम सखय एा दी गइ ह ईनम स भ जय और ऄभ जय सखय ओ को छ ाटकर

स रणी म ददए गय सथ न पर नलनखए

41 45 47 53 55 57 63 67 69 71 73 77 81 83 87 89 91 93 95 97 99

स रणी

भ जय सखय एा ऄभ जय सखय एा

कय सभी नवषम सखय एा ऄभ जय होती ह

ऄभ जय गणनखड

अआय दख 42 क ऄभ जय गणनखणड कय होग

42 = 14 times 3 यह 3 ऄभ जय ह

कय 14 भी ऄभ जय ह

नही 14 को 2 times 7 नलख सकत ह

ऄथ मत 42 = 2 times 7 times 3 ऄब यह 2 7 3 सभी ऄभ जय सखय एा ह य 42 क ऄभ जय

गणनखणड ह आनह ऄभ जय गणनखणड कहत ह

6 क ऄभ जय गणनखणड कौन-कौन स ह और भी कछ सखय एा लकर ईनक ऄभ जय गणनखणड

पत कररए

ऄभ जय गणनखड जञ त करन

ऄभ जय गणनखणड कस पत कर कय एक-एक सखय को कइ-कइ ब र भ ग करक दख स म नय

तौर पर नीच ददय तरीक आसतम ल करन स दकसी भी सखय क ऄभ जय गणनखणडो क पत लग सकत

ह दी गइ सखय को सबस पहल 2 स भ ग करक दख यदद सखय 2 स नवभ जय ह तो सखय और दफर

ईसक भ गफलो म तब तक 2 क भ ग दत ह जब तक वह 2 स नवभ जय रहती ह दफर यदद सखय 3 स

ऄभय स

P a g e | 59

नवभ जय ह तो ईस म 3 स ब री-ब री तब तक भ ग दत ह जब तक वह 3 स नवभ जय ह आसी परक र 5 7

11 आतय दद क नलए भी वही परदिय दोहर त ह जब तक की भ गफल 1 पर पत नही हो ज त

ईद हरण 1 अआए 24 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

24 = 2 times 2 times 2 times 3

ऄतः 24 क ऄभ जय गणनखणड 2223 ह

ईद हरण 2 ऄब 30 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

30 = 2 times 3 times 5

ऄतः 30 क ऄभ जय गणनखणड 23 एव 5 ह

1 ननमन सखय ओ क ऄभ जय गणनखणड जञ त कीनजए

(i) 16 (ii) 48 (iii) 60 (iv) 84

ऄभ जय गणनखड ननक लन तो अपन सीख नलय अआए ऄब दकसी सखय क सभी गणनखडो

पर नवच र कर

ईद हरण 3 कय 18 108 क गणनखड ह

परथम नवनध यदद 18 108 क गणनखड हो तो 108 म 18 क भ ग परी तरह चल ज न च नहए

18) 108 (6

- 108

0 ऄतः 108 क एक गणनखड 18 ह

नदवतीय नवनध (i) 18 क ऄभ जय गणनखड ननक नलए

(ii) 108 क ऄभ जय गणनखड पर पत कीनजए

18 = 2 times 3 times 3

108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

चदक 18 क ऄभ जय गणनखडो म श नमल सभी सखय एा 108 क ऄभ जय गणनखडो म भी श नमल

ह आसनलए 108 क गणनखड 18 ह

ईद हरण 4 18 क सभी गणनखड नलनखए

नवनध 1 जस दक अप ज नत ह दक 18 म 1182369 आन सभी सखय ओ क भ ग ददय ज य तो शषफल

शनय (0) रहत ह

2 24

2 12

2 6

3 3

1

2 30

3 15

5 5

1

ऄभय स

P a g e | 60

ऄभय स

ऄतः 1182369 सभी 18 क गणनखणड ऄथव ऄपवतमक ह

गणनखड को ऄपवतमक भी कहत ह

नवनध 2 यह ा 18 क सभी ऄपवतमको को ननमन परक र स भी जञ त दकय ज सकत ह

18 = 1 times 18

18 = 2 times 9

18 = 3 times 6

आस परक र 18 क सभी ऄपवतमक होग 1 2 3 6 9 18

ईद हरण 5 60 क सभी गणनखडो को नलनखए

हल 60 = 1 times 60

= 2 times 30

= 3 times 20

= 4 times 15

= 5 times 12

= 6 times 10

ऄतः 60 क सभी गणनखड 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 होग

1 ननमननलनखत सखय ओ क सभी ऄपवतमक नलनखय

(i) 28 (ii) 36 (iii) 45 (iv) 72

आस नवनध स गणनखड ननक लन म अपको ऄनधक समय लग रह ह अपको नवभ जयत की ज च

क ननयम म लम नही ह नजसक क रण नबन भ ग ददय अप यह नही बत सकत दक दकसी सखय म 3 5

ऄथव 7 आतय दद क भ ग ज एग य नही अआय नवभ जयत पत करन क कछ ननयम सीख

नवभ जयत की ज ाच क ननयम

(1) 2 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक 0 2 4 6 8 हो तो वह सखय 2 स पणमतः नवभ नजत होगी

20 62 34 26 18 2 स नवभ जय ह

21 63 33 35 17 2 स ऄनवभ जय ह

यह ा 18 2 स नवभ जय ह अआए भ ग दकर आसकी ज ाच कर -

2 ) 18 ( 9

-18

0 2 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 61

2 ) 21 ( 10

- 2

01

- 00

1 2 स पणमतः नवभ नजत नही ह

(2) 3 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सभी ऄको क योगफल 3 स नवभ नजत होत ह तो वह सखय तीन स

नवभ नजत होगी

जस 111111 म सभी ऄको क योग 1+1+1+1+1+1 = 6 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

आसी परक र 5112 म सभी ऄको क योग 9 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

412 म सभी ऄको क योग 7 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत नही होगी

(3) 6 स नवभ जयत की ज ाच

यदद कोइ सखय 2 तथ 3 स ऄलग-ऄलग नवभ नजत हो तो वह सखय 6 स भी नवभ नजत होगी

जस 216 2 स नवभ जय ह (आक इ ऄक 6 ह)

216 3 स नवभ जय ह (ऄको क योग 9 ह)

ऄतः यह 6 स भी नवभ जय होगी

आसी परक र 643212 2 स नवभ जय ह (कयोदक आक इ क ऄक 2 ह)

3 स नवभ जय ह (कयोदक ऄको क योग 18 ह)

ऄतः सखय 6 स भी नवभ जय होगी

(4) 9 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क ऄको क योग 9 स नवभ जय हो तो परी सखय भी 9 स नवभ जय होगी

जस 3663 9 स नवभ जय ह कयोदक (ऄको क योग 3+6+6+3 = 18 ह नजसम 9

क भ ग पर -पर ज त ह)

1827 9 स नवभ जय ह (ऄको क योग 18 9 स नवभ जय ह)

1227 9 स नवभ जय नही ह (ऄको क योग 12 9 स नवभ जय नही ह)

(5) 5 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय म आक इ क ऄक 0 ऄथव 5 ह तो वह सखय 5 स नवभ जय होगी

जस 1045 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 5 ह

940 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 0 ह

(6) 10 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक शनय हो तो वह सखय 10 स नवभ जय होगी

जस 1000 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

2130 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

5003 10 स नवभ जय नही ह (आक इ क ऄक 3 ह)

P a g e | 62

(7) 4 स नवभ जयत की ज ाच

जब दकसी सखय क दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 4 स नवभ नजत होती ह ऄथव दह इ व

आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 4 स नवभ नजत होगी

जस - 79412 म दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 12 ह जो दक 4 स नवभ नजत ह ऄतः सखय

79412 4 स नवभ नजत होगी

1300 4 स नवभ नजत ह नजसम दह इ व आक इ क ऄक शनय ह

413 4 स नवभ नजत नही ह कयोदक 13 म 4 क भ ग पर -पर नही ज त ह

(8) 8 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सकड़ दह इ आक इ व ल तीन ऄको की सखय 8 स नवभ नजत हो

य सकड़ दह इ व आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 8 स नवभ जय होगी

31000 8 स नवभ जय ह (आक इ दह इ व सकड़ क ऄक शनय ह)

1816 8 स नवभ जय ह (816 8 स नवभ नजत ह)

12317 8 स नवभ जय नही ह (317 8 स नवभ नजत नही ह)

(9) 7 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क ऄनतम ऄक क दगन कर शष ऄको की सखय स घट आए तथ बची हइ सखय पर पनः

यही परदिय दोहर आय जब तक 1 य 2 ऄक की सखय पर पत नही हो ज ती यदद पर पत सखय 7 स नवभ नजत हो

तो दी गइ सखय भी 7 स नवभ जय होगी

जस 1729 म ऄनतम ऄक 9 ह 9 क दगन = 18

172 - 18 = 154 म ऄनतम ऄक 4 ह 4 क दगन = 8

15 - 8 = 7 ऄनतम ऄक 7 ह ऄतः 7 स नवभ जय ह

कय अप ज नत ह दक 1729 को र म नजन सखय भी कह ज त ह

भ रत क मह न गनणतजञ र म नजन जब आगलड म थ ईस समय वह एक ब र बहत बीम र हो गय

ईनस नमलन आगलड क परो ह डी अए ईनम जो ब तचीत हइ वह आस परक र ह -

र म नजन न पछ - अप कस अए

परो ह डी - टकसी दव र

र म नजन - टकसी क नमबर कय थ

परो ह डी - 1729 कोइ नवशष सखय नही ह

र म नजन - अप गलती पर ह यह सखय बहत रनचकर ह यह एक म तर ऐसी सबस

छोटी सखय ह नजस दो सखय ओ क घनो क योगफल क रप म दो नवनभनन तरीक स नलख ज सकत ह

ऄथ मत 1729 = 13 + 123 = 93 +103

(10) 11 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क नवषम सथ नो क ऄको क योग ननक नलए तथ सम सथ नो क ऄको क योग

ननक नलए यदद नवषम सथ नो क ऄको क योग तथ सम सथ नो क ऄको क योग क ऄतर 0 11 ऄथव

11 क गणज हो तो वह सखय 11 स नवभ नजत होगी

P a g e | 63

ऄभय स

जस 856592 क नवषम सथ नो क ऄको क योग = 8+6+9 = 23

सम सथ नो क ऄको क योग = 5+5+2 = 12

दोनो योगो क ऄतर = 23 -12 = 11

ऄतः सखय 11 स नवभ जय ह

ईद हरण 6

ज ाच कीनजए की कय 805130425 11 स नवभ जय ह

हल सखय 805130425 क

1 नवषम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 8+5+3+4+5 = 25

2 सम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 0+1+0+2 = 3

योग क ऄतर = 25 - 3

= 22 जो 11 स नवभ नजत ह

ऄतः सखय 805130425 भी 11 स नवभ नजत होगी

1 नजस सखय स दी गइ सखय नवभ जय ह ईसम क ननश न लग आय

ि सखय नजनस सखय पणमतः नवभ नजत हो ज ए

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2550 radic radic radic radic radic radic

2 4914

3 9432

4 7332

5 13310

6 872

7 1210

2 27720 दकन-दकन सखय ओ स नवभ जय ह बत आए

3 नीच नलख कथन सतय ह ऄथव ऄसतय बत आए

(i) 78 2 स नवभ नजत हो सकती ह

(ii) 375 म 3 5 व 10 क भ ग पर -पर चल ज त ह

(iii) नजस सखय म आक इ क ऄक 0 हो वह सखय 5 स नवभ नजत होगी

(iv) दकसी सखय क सम सथ नो क ऄको क योग व नवषम सथ नो क ऄको क योग क ऄनतर

यदद 0 हो तो वह सखय 11 स भ जय होगी

(v) सखय 10080 िमशः 23456789 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 64

महततम सम पवतमक (Highest common factor)

दिय कल प 4

नीच 12 फीट लमब तथ 9 फीट चौड़ कमर को न पन क नलय एक लकड़ी क सकल बन न ह ईस

बड स बड़ सकल की लमब इ कय होगी नजसस 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प ज सक

12 फीट की लमब इ अप दकस-दकस म प क

सकल स न प सकत ह

अप प यग 1 2 3 4 6 12 फीट लमबी सकल स

12 फीट की लमब इ न पी ज सकती ह य सभी 12

क गणनखणड ह

ईसी परक र 9 फीट की लमब इ 1 3 और 9

फीट लमब सकल स न पी ज सकती ह य सभी 9 क

गणनखणड ह परनत ऐस बड स बड़ सकल की

अवशयकत ह जो 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प

सक यह 12 और 9 क सबस बड़ ईभयननषठ

गणनखणड ऄथ मत rsquorsquo3rsquorsquo होग

चदक यह सबस बड़ ईभयननषठ गणनखणड (ऄपवतमक) ह आसनलए आस हम महततम सम पवतमक

(HCF) भी कहत ह

अआए ऄपवतमक (गणनखणड) की सह यत स एक स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक जञ त कर

ईद हरण 7

48 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 12 24 48

64 क सभी गणनखड 1 2 4 8 16 32 64

72 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72

ईपरोकत सभी ईभयननषठ गणनखडो पर घर लग आए अप दखग 48 6472 क सम ऄपवतमक 1

2 4 8 ह आनम सबस बड़ ऄपवतमक 8 ह

ऄतः 48 64 72 क म स 8 ह

दो य दो स ऄनधक सखय ओ क समऄपवतमको म स सबस बड़ सम ऄपवतमक ईन सखय ओ क

महततम सम पवतमक (म स) कहल त ह

म स = सबस बड़ सम न गणनखड

म स जञ त करन की नवनधय ा

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स

ईद हरण 8 24 36 60 क म स जञ त कीनजए

P a g e | 65

24 = 2 times 2 times 2 times 3 36 = 2 times 2 times 3 times 3 60 = 2 times 2 times 3 times 5

ऄतः 24 36 60 क ईभयननषठ गणनखड

24 = 2 times 2 times 2 times 3

36 = 2 times 2 times 3 times 3

60 = 2 times 2 times 3 times 5

मस = 2 times 2 times 3 = 12

2 ऄपवतमक नवनध

24 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 8 12 24

36 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 9 12 18 36

60 क ऄपवतमक 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

ऄतः 24 36 60 क समऄपवतमक 1 2 3 4 6 12

सबस बड़ सम ऄपवतमक = 12

म स = 12

3 भ ग नवनध स म स जञ त करन

भ ग नवनध स मस दो तरीक स जञ त दकय ज सकत ह -

परथम नवनध

ईद हरण 9 16 तथ 36 क म स जञ त कीनजए

चरण

1) सबस छोटी ऄभ जय सखय 2 स 16 एव 36 को भ ग दन पर

2) 2 स 8 एव 18 को भ ग दन पर

3) चदक दकसी एक ही ऄभ जय सखय स 4 एव 9 को भ ग दन सभव नही ह

आसनलए नजन ऄभ जय सखय ओ स दी गइ सभी सखय ओ म एक स थ भ ग

ज त ह ईनक गणनफल ही मस होग

16 और 36 क महततम सम पवतमक 2 times 2 = 4

ईद हरण 10 60 90 210 क महततम सम पवतमक भ ग नवनध स जञ त कीनजए

चरण

1) 2 स 60 90 210 को भ ग दन पर

2) 3 स 30 45 105 को भ ग दन पर

2) 5 स 10 15 35 को भ ग दन पर

4) चदक दकसी ऄनय ऄभ जय सखय स 2 3 एव 7 को भ ग दन सभव नही ह

ऄतः 6090210 क मस 2 times 3 times 5 = 30

नदवतीय नवनध

आस नवनध स मस जञ त करन क नलए छोटी सखय क भ ग बड़ी सखय म तब तक दीनजए जब तक

दक शषफल भ जक स छोटी न अ ज ए ऄब भ जक को भ जय व शषफल को भ जक म नकर हल कर यह

P a g e | 66

दिय तब तक करत रनहए जब तक दक शषफल शनय न अ ज ए नजस भ जक स भ ग दन पर शषफल शनय

होग वही मस ह

ईद हरण 11 15 एव 63 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

15) 63 ( 4 3) 15 ( 5

- 60 -15

3 0

ऄतः 15 व 63 क मस 3 ह

ईद हरण 12 वह सबस बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 18 और 55 को भ ग दन पर िमशः 2 और 3

शष बच

हल चदक 18 को भ ग दन पर 2 शष बचत ह ऄतः सखय = 18 - 2 = 16 ह

ईसी परक र दसरी सखय = 55 - 3 = 52 ह

16 और 52 क मस ननक लन पर -

16) 52 ( 3

-48

4) 16 (4

-16

0

16 व 52 क मस 4 पर पत हअ

महततम सम पवतमक की नवषषत ए

अआय महतम सम पवतमक की नवशषत ओ को ईद हरणो क दव र समझ

ईद हरण 13 15 60 क म स ननक नलए

चदक 15 स 60 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 15 तथ 60 क म स 15 होग

ईद हरण 14

12 36 क म स ननक नलए

चदक 12स 36 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 12 तथ 36 क मस 12 होग

ईद हरण 15 20 40 क म स ननक नलए

चदक 20स 40 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 20 तथ 40 क म स 20 होग

ईद हरण 16 15 और 16 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 15 एव 16 क म स 1 होग

आसी परक र 13 और 17 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 13 एव 17 क म स 1 होग

P a g e | 67

आसस यह सपषट होत ह दक -

1) यदद दो सखय ओ म बड़ी सखय छोटी सखय स परी तरह नवभ नजत होती ह तो छोटी सखय दोनो

सखय ओ क म स होगी

2) ऐसी सखय एा नजनक 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखणड नही होत ईन सखय ओ क मस 1

होत ह

परशन वली 61

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 120 204 (ii) 144 198

(iii) 150 140 210 (iv) 108 135162

2 भ ग नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 252 576 (ii) 300 450

(iii) 72 96 144 (iv) 120 300 105

3 दो िम गत सखय ओ क महततम समपवतमक कय होग

4 ननमन स परतयक नभनन को ईसक हर और ऄश म ईनक महततम सम पवतमक स भ ग दकर सरल रप म

नलनखए

(i) 1444 256 (ii) 2211 3025

5 दो छोट टकरो म िमशः 85 और 68 लीटर पटरोल अत ह ईस म पन व ल बतमन की

ऄनधकतम धररत जञ त कीनजए नजसस परतयक टकर क पटरोल पर -पर म प ज सक

6 वह बड़ी स बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 389 436 और 542 को भ ग दन पर िमशः 4 7 और 3

शष बच

7 एक नवदय लय की ककष 6 7 8 म िमशः 220 176 तथ 132 छ तर ह ऄनधक स ऄनधक छ तरो क

समह बन एा जो परतयक ककष म बन सक तथ परतयक समह म छ तरो की सखय सम न हो

8 हमीद क प स 527 सब 646 चीक व 748 सतर ह आनह बर बर-बर बर फलो क ढरो म रखन ह बड़ स

बड़ ढर म दकतन फल होग कल दकतन ढर बनग

9 एक अय तक र कमर की ब हरी लमब इ 122 मी एव चौड़ इ 92 मी ह यदद दीव र की मोट इ 1 मीटर हो

तो ईस बड़ स बड़ सकल की लमब इ जञ त करो जो अतररक भ ग की लमब इ व चौड़ इ को पणमतः न प सक

सकत अतररक लमब इ = 122 - 2 = 120 अतररक चौड़ इ = 92 - 2 = 90

(120 एव 90 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए)

गणज (Multiple)

नपछली ककष ओ म अप न पह ड़ तो पढ़ ही होग पह ड़ क ईपयोग गण करन व भ ग दन म भी अपन

दकय ह

अप ज नत ह दक 7 times 3 = 21 होत ह ऄथ मत 7 व 3 दोनो क एक गणज 21 ह

दो क पह ड़ म जो सखय एा अती ह व सभी दो क गणज ह आसी परक र 132639526578 आतय दद

सभी 13 क गणज होग

दिय कल प 5

नीच कछ सखय एा दी गइ ह ईनक परथम 5 गणजो को ददय गय बॉकस म नलनखए

P a g e | 68

4 क गणज

7 क गणज

12 क गणज

15 क गणज

16 क गणज

20 क गणज

लघतम सम पवतयम (Lowest Common Multiple)

दननक जीवन म हम नमलन व ल कछ ईद हरणो पर चच म कर -

ईद हरण 17 र म फल खरीदन ब ज र गय वह ा दक नद र न ईस दो तरह क कल

बत य पहल तरह क कल 10 रपय क 6 थ व दसरी तरह क 10 रपय क 8 कल थ

र म दस-दस रपय क नोट द कर नबन खदर दकए दोनो तरह क कल सम न सखय म खरीदन च हत ह

बत आए वह दोनो तरह क दकतन कल खरीद सकत ह

हल आसक नलए हम 6 व 8 क गणज नलखग

6 क गणज - 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

8 क गणज - 8 16 24 32 40 48 56 64 72

आसक मतलब यह ह दक पहल तरह क 6121824 कल वह दस-दस रपय क िमशः एक

दो तीन च र नोट दकर नबन खदर दकए खरीद सकत ह

आसी तरह वह दसरी तरह क 81624 कल नबन खदर दकए खरीद सकत ह एक ही

सखय म खरीदन क नलए ईस दोनो म अनी व ली सखय क कल खरीदन होग ऄथ मत 6 व 8 क गणज म

जो सखय सम न ह ईनको लन होग

यह सखय ह 24 48 72

सम न सखय म कल खरीदन क नलए र म 24 48 व 72 कल खरीद सकत ह

अआए एक और ईद हरण दख

ईद हरण 18 एक दक नद र ऄपनी दक न क नलए थोक म पन खरीदन ज त ह ईस दो तरह क पन पसद

अत ह पहल परक र क पन क एक पकट म 12 पन ह तथ दसर परक र क पन क पकट म 15 पन ह थोक

दक नद र पकट खोलकर पन नही बचत ह कय अप बत सकत ह दक ईस कम स कम दकतन पकट

खरीदन च नहए नजसस खरीद गए दोनो परक र क पनो की सखय सम न हो

अआय आस परशन को ननमन स रणी क म धयम स हल कर

स रणी

पकट म पनो

सखय

कल पनो की सखय

1 पकट

म

2 पकट

म

3 पकट

म

4 पकट

म

5 पकट

म

12 12 24 36 48 60

15 15 30 45 60 75

P a g e | 69

आस परक र अप दख रह ह दक 12 पन व ल पकट यदद 5 खरीद ज व तो 60 पन होग और

15 पन व ल पकट यदद 4 खरीद ज व तब 60 पन होग

ईपरोकत परशन को हल करत समय अपन 12 और 15 क गणज ननक ल ह तथ जो ईभयननषठ गणज

सबस छोट ह वही च ह गय ईततर ह

गणज को lsquolsquoऄपवतयमrsquorsquoभी कहत ह आसनलए सबस छोट ईभयननषठ गणज को

लघतम सम ऄपवतयम य लघतम सम पवतयम कहत ह आस सकषप म लस(LCM) भी कहत ह

कय अप 1012 और 15 क सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम पर पत कर

सकत ह

10 क गणज नलनखए =

12 क गणज नलनखए =

15 क गणज नलनखए =

सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम =

नीच दी गइ स रणी म दी गइ सखय ओ क लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए

स रणी

िम सखय सखय एा सखय ओ क गणज य ऄपवतयम लघतम सम पवतयम

1 3 4 6 3 क ऄपवतयम = 3 6912151821242730

5 क ऄपवतयम = 5101520253035404550

6 क ऄपवतयम = 61218243036424854

30

2 4 6 9

3 4 9 12

4 6 1518

आस परक र यह कह सकत ह दक

(1) वह ऄपवतयम जो दी गइ सखय ओ क सबस छोट सम न ऄपवतयम हो दी गइ सखय ओ क लघतम

सम पवतयम कहल त ह

(2) दो य दो स ऄनधक सखय ओ क लस वह छोटी स छोटी सखय ह नजसम दी गइ परतयक सखय क

पर -पर भ ग चल ज त ह

ल स जञ त करन की नवनधय ा

(1) ऄभ जय गणनखड नवनध

ईद हरण 19 16 और 24 क लस जञ त कीनजए

16 = 2 times 2 times 2 times 2 24 = 2 times 2 times 2 times 3

P a g e | 70

(ii) सभी सखय ओ म सबस छोट ऄभ जय गणनखड ल यह गणनखणड दकसी भी सखय

म ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र अय हो ईस ईतनी ब र नलनखए

(iii) ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड को चननए और ईस भी ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र

दकसी सखय म वह अय हो ईतनी ब र नलनखए

(iv) आसी परक र सभी ऄभ जय गणनखडो को नलख कर गण करक लस जञ त दकय

ज त ह

16 = 2 times 2 times 2 times 2

24 = 2 times 2 times 2 times 3

सबस छोट ऄभ जय गणनखड 2 ऄनधकतम 4 ब र 16 म अय ह

ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड 3 ऄनधकतम एक ब र 24 म अय ह

16 और 24 क ल स = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

(2) भ ग नवनध दव र

ईद हरण 20 121624 क ल स जञ त कीनजए

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग एक सखय ओ म ज त ह

3 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

समसत भ जक सखय ओ क गणनफल ही लस ह

1216 और 24 क लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

दो सखय ओ क गणनफल तथ लस एव मस क मधय सबध

ईद हरण 21 म न लीनजए दो सखय एा 12 और 16 ह

अआय दोनो सखय ओ क गण करक दख जह ा परथम सखय 12 व नदवतीय सखय 16 ह

दोनो सखय ओ क गण = परथम सखय times नदवतीय सखय

= 12 times 16

= 192

ऄब दोनो सखय ओ क मस व लस भी जञ त करत ह

म स 2 12 16 लस 2 12 16

2 6 8 2 6 8

3 4 2 3 4

म स = 2 times 2 = 4 2 3 2

3 3 1

1 1

लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

P a g e | 71

ऄथ मत मस times लस = 4 times 48 = 192

दोनो नसथनतयो म गणनफल सम न पर पत होत ह ऄतः यह कह सकत ह दक -

परथम सखय times नदवतीय सखय = म स times ल स

ऄथ मत दो सखय ओ क गणनफल = ईनक मस times ईनक लस

दिय कल प 6

स रणी म दी गइ सखय ओ क लस व मस ननक ल कर उपर ददय गय समबनध की ज ाच कीनजए

स रणी

परथम

सखय

नदवतीय

सखय

म स ल स म स times ल स परथम सखय times नदवतीय सखय

6

4

30

42

108

8

9

36

48

18

2 24 2 times 24 = 48 6 times 8 = 48

अप यह भी प त ह दक दो सखय ओ क मस ईनक लस क एक गणनखणड ह

परशन वली 62

मौनखक परशन

1 दो सखय ओ क म स 2 और ल स 12 ह यदद एक सखय 6 ह तो दसरी सखय

कय होगी

2 दो सखय ओ क गणनफल 338 ह आनक मस एव ल स क गणनफल बत आय

3 2 6 8 क लघतम सम पवतयम बत आए

4 7 और 14 क ल स 7 स बड़ ह य छोट

5 15 और 30 क ल स कय 30 स कम हो सकत ह

नलनखत परशन

1 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (गणनखड नवनध स)

(i) 14 28 (ii) 108 162 (iii) 12 15 45 (iv) 40 36 126

2 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (भ ग नवनध स)

(i) 28 56 (ii) 112 168 (iii) 36 45 72 (iv) 180 184 144

3 55 मीटर लमब एव 22 मीटर चौड़ मद न म वग मक र दररय नबछ नी ह एक ही न प की कम स

कम नबछ इ ज न व ली दररय की सखय जञ त कीनजए (सकत - मस जञ त कर)

4 6 घरटय ा एक स थ बजन पर रभ हइ यदद व िमशः 2 4 6 8 10 12 सक ड क ऄतर ल म

बजती ह तो 30 नमनट म दकतनी ब र आकटठी बजगी (सकत - लस जञ त कर)

5 एक वय प री हर चौथ ददन र यपर ज त ह जबदक दसर वय प री हर 10 व ददन व दोनो यदद 3

जनवरी को एक स थ र यपर गय हो तो ऄगली नतनथ बत आए जब व पनः र यपर म एक स थ

P a g e | 72

पहचग

6 दो सखय एा 24 एव 36 ह यदद ईनक मस 12 हो तो ईनक ल स जञ त कीनजए

7 यदद दो सखय ओ क म स 13 लस 1989 ह यदद ईनम स एक सखय 117 हो तो दसरी सखय

जञ त कीनजए

8 शश क ननतय 465 रपय बच त ह कम स कम दकतन ददनो म वह रपयो की

परी - परी सखय बच सकग

सकत - 465 म 4 र पण ाक म ह ऄतः 65 पस और 100 पस क लघतम सम पवतयम जञ त कर एव

पर पत ल स म 65 पस क भ ग दन पर पणम ददनो की सखय पर पत होगी जो बचत की परी र नश

रपय म वयकत करग

9 कय दो सखय ओ क म स 14 और ल स 204 हो सकत ह ऄपन ईततर क पकष म तकम दीनजए

10 दकसी ददन रतनपर स र यपर की बस 40 नमनट क ऄतर ल स और र यपर स रतनपर की 45

नमनट क ऄतर ल म चलती ह यदद नवपरीत ददश स अन व ली दो बस दकसी नवषष पल स

1015 बज पर तः गजरती ह तो ईसक ब द ईस पल स दो नवपरीत ददश की बस दकस समय

गजरगी

सकत 40 और 45 क ल स 360 नमनट

36060 = 6 घट

1015 + 600 = 1615

1615 - 1200 = 415 श म

हमन सीख

1 दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करती ह

2 दकसी सखय क गणज ईस सखय स पणमतय नवभ नजत होती ह

3 परतयक सखय सवय क गणज एव गणनखड होती ह

4 1 परतयक सखय क गणनखड होत ह जो दक न ऄभ जय ह न ही भ जय

5 कवल 2 ही सम ऄभ जय सखय ह

6 दो य दो स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक बड़ स बड़ ईभयननषठ गणनखड होत ह

7 लघतम सम पवतयम वह छोट स छोट ईभयननषठ गणज होत ह जो दी गइ सभी सखय ओ क गणज ह

8 दो सखय ओ क गणनफल ईनक महततम सम पवतमक तथ लघतम सम पवतयम क गणनफल क बर बर होत ह

9 2 क सभी गणज सम सखय एा कहल ती ह

10 सखय एा जो 2 क गणज नही ह व नवषम सखय एा कहल ती ह

11 दो सखय ओ क म स ईनक ल स क एक गणनखड होत ह

12 सखय ओ क महततम सम पवतमक सखय ओ स बड़ नही हो सकत ह

13 सखय ओ क लघतम सम वतयम सखय ओ स छोट नही हो सकत ह

14 ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखणड (1) होसह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 73

र ज न नपछली ककष ओ म नभनन सखय क ब र म पढ़ रख थ परनत वह आस ब त स परश न थ दक

नभनन सखय ओ की जररत ही कय ह

नचतर 1

तभी डॉली न अव ज लग इ lsquolsquoर ज रनशम और फरीद चलो हम सब रटफीन ख लrsquorsquo

रटफीन खोलन पर ईसम 10 पनड़य ा ननकली ऄब समसय यह अ गइ दक आन च रो क बीच 10

पनड़यो को बर बर-बर बर कस ब ाट ज ए

आसक ब ाटन क नलए डॉली न पहल सबको दो-दो पनड़य ब ाट दी ऄब शष बची दो पनड़यो को च रो

म ब ाटन थ ईसन दोनो पनड़यो को अध-अध नहसस म ब ाट कर च र टकड़ बन य और सभी क बीच ब ाट

ददए आस परक र सभी को दो और अधी पड़ी नमली र ज को ऐस लग दक यह अधी पड़ी ही 1 बट 2 क

बर बर ह ईसन ऄपन 1

2 पड़ी को दफर दो बर बर भ गो म ब ाटकर एक भ ग को ददख कर पछ - यह

नहसस दकतन ह

आस पर फरीद न ऄपन नहसस की अधी पड़ी को भी दो बर बर भ गो म ब ाटकर ऄपनी और र ज

की अधी पड़ी क च रो नहससो को एक स थ जम कर कह यह दखो परी पड़ी बन गइ चादक यह पड़ी च र

बर बर नहससो म ब ाटी हइ ह आसनलए परतयक टकड़ एक पड़ी क चौथ इ नहसस ह य 1 बट 4 ऄथव 1

4

ह दफर र ज न पछ lsquolsquoकय 2 टकड़ क बर बर होगrsquorsquo

P a g e | 74

रनशम न कह ह ा आसी परक र 3 टकड़ 3

4 क बर बर होग और च रो टकड़

4

4 ऄथ मत एक परी पड़ी क

बर बर होग और ऐस 5 टकड़ सव पड़ी ऄथ मत 1 1

4 होग

ऄब र ज सोचन लग जब पड़ी क सम न च र टकड़ो म स तीन टकड़ लन पर 3

4 पर पत होत ह तो

दकसी भी चीज़ क 3

5 पर पत करन क नलए ईस चीज़ क सम न 5 टकड़ो म स 3 टकड़ लन पड़ग

र ज तो कछ-कछ नभनन को समझन लग कय अपन समझ यह ज नन क नलए ऄपन अप को

परख नीच कछ अकनतय ा दी गइ ह आन अकनतयो क नीच नलखी गइ सखय क ऄनस र ईपयकत भ ग को

पनसल स छ य दकत कीनजए

1

2 भ ग

1

2 भ ग

1

2 भ ग

नचतर 2 नचतर 3 नचतर 4

1

3 भ ग

1

3 भ ग

2

6 भ ग

नचतर 5 नचतर 6 नचतर 7

1

4 भ ग

3

4 भ ग

12

16 भ ग

नचतर 8 नचतर 9 नचतर 10

P a g e | 75

1

2 भ ग

7

9 भ ग

3

4 भ ग

नचतर 11 नचतर 12 नचतर 13

3

6 भ ग

1

5 भ ग

2

10 भ ग

नचतर 14 नचतर 15 नचतर 16

आन म कौन-कौन स नभनन कल सथ न क सम न नहसस घर रह ह ईनह त नलक म भररए

नचतर िम क नभनन तमक म न पहल

नचतर क ऄनस र

नभनन तमक म न दसर

नचतर क ऄनस र

ननषकषम

नचतर 5 और 7

13 26 13 = 26

P a g e | 76

ईपरोकत सभी ईद हरणो म यह दख गय ह दक दकसी नभनन क ऄश और हर म यदद एक ही सखय

स गण दकय ज ए ऄथव एक ही सखय स नभनन क ऄश एव हर म भ ग ददय ज ए तो नभनन क म न नही

बदलत ऄथ मत दकसी नभनन को कइ परक र स वयकत दकय ज सकत ह नजनक ईद हरण नीच ददए गए हः-

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

2

3 =

4

6 =

6

9 =

8

12 =

10

15

आस परक र एक ही नभनन को कइ परक र स वयकत करन पर बन नभननो को समतलय नभनन कहत ह

दिय कल प 1

नभनन पर पत समतलय नभनन

2

3 स गण करन पर

3

3 स गण करन पर

4

4 स गण करन पर

5

5 स गण करन पर

6

6 स गण करन पर

2

3

2

3 times

2

2 =

4

14

2

7 times

3

3 =

6

21

2

7 times

4

4 =

8

28

2

7 times

5

5 =

10

35

2

7 times

6

6 =

12

42

3

8

4

5

5

9

4

6

दिय कल प 2

नीच कछ नभनन ददए गए ह ईनक ऄश ऄथव हर म ईनचत सखय नलखकर समतलय नभनन बन आए

(i) 3

5=

30 (ii)

4

7=

12 (iii)

7

9=

35 (iv)

34

51=

2

(v) 26

35=

5 (vi)

37

74=

2 (vii)

10

36=

5 (viii)

27

81=

3

(ix) 30

36=

6 (vi)

3

4=

21 (vii)

4

9=

54 (viii)

11

13=

55

P a g e | 77

उपर अपन समतलय नभनन बन न क कौनस तरीक ऄपन य

दिय कल प 2 (i) म हर क म न 5 ह आस ऐस नभनन म बदलन ह नजसक हर क म न 30 हो यह हम 5

को 6 स गण करन पर पर पत होत ह ऄतः तलय नभनन बन न क नलए ऄश को भी 6 स गण करन पड़ग

ऄथ मत 3

5 times

66 =

18

30

दिय कल प 3

नीच दो-दो नभनन क जोड़ ददए गय ह आन जोड़ो को ऐस तलय नभनन म बदनलए नजनक हर सम न

हो तलय नभनन को दी गइ त नलक म नलनखए

उपर अपन सभी नभनन यगमो को सम न हर व ल नभननो म बदल ह आनह सम न हर नभनन कहत ह

परनत ऄभय स िम क 8 9 10 11 म अपन यह भी प य होग दक यदद दोनो नभननो क हरो क लघतम

सम पवतयम ननक ल कर सम न हर बन य ज य तो नभनन ऄश और हर क सबस सरलतम रप म पर पत होग

P a g e | 78

ईद हरण 1 नभननो क िमण

उपर हम दखत ह दक 1

2 gt

1

3gt

1

4gt

1

5gt

1

6gt

1

7gt

1

8

ऄतः जब नभननो क ऄश सम न हो तो हर क बड़ होन पर नभनन क म न छोट हो ज त ह

ईद हरण 2 1

10 =

P a g e | 79

ऄभय स

ईपरोकत नचतर स यह सपषट होत ह दक

1

10lt

2

10lt

3

410lt

4

10lt

5

10lt

6

10lt

7

10lt

8

10lt

9

10lt

10

10

ददए गए सम न हर व ल नभननो म नजस नभनन क ऄश बड़ हो वह नभनन बड़ होत ह

ऄतः सम न हर नभननो म ऄश क बड़ य छोट होन पर नभनन बड़ य छोट होत ह

यदद हर सम न न हो तो बड़ य छोट नभनन पत करन क नलए सम न हर व ल तलय नभनन बन ए

ज त ह

जस 5

12 और

7

18 म कौन सी नभनन बड़ी ह

12 एव 18 क लघतम सम पवतयम 36 ह

5

12=

5times3

12times3=

15

36

तथ 7

18=

7times2

18times2=

14

36

सम न हर नभनन हए 15

36 और

14

36

ऄतः 15

36gt

14

36 य नी

7

12gt

7

18

नीच कछ नभनन सखय य दी गइ ह ईनह बढ़त हए िम म नलनखए

1 2

3

3

4

4

5 2

7

6

6

7

5

9

3 7

9

11

15

13

18 4

3

7

8

9

5

12 5

11

12

11

13

11

14

अपन नभननो को सम न हर नभननो म बदलकर ईनह बढ़त ऄथव घटत िम म नलखन सीख नलय ह

आसी परक र नभननो को सम न हर बन कर भी जोड़ एव घट य ज त ह

ईद हरण 3 हल कर 3

5+

7

9+

2

3

आन नभननो को जोड़न क नलए हम हर सम न करन होग त दक हम बर बर टकड़ जोड़ सम न हर

बन न क नलए सवमपरथम सभी हरो क लघततम ननक लत ह

3 593

531 लघतम सम पवतयम = 3times5times3 = 45

ऄब सभी नभननो को 45 हर व ली तलय नभनन सखय बन त ह

P a g e | 80

ऄतः सखय एा बनी 27

45

35

45+

30

45

ऄत 3

5 +

7

9+

2

3 =

27

45+

35

45+

30

45 [चदक सभी नभननो क हर सम न ह आसनलए ऄशो को जोड़न पर]

27+35+30

45=

92

45

ईद हरण 4 हल कर 1

3 +

3

5minus

8

12

3 5 और 12 क लघतम सम पवतयम

3 3512

154

ल स = 3 times5times4 = 60

1

3 +

3

5minus

8

12=

20

60+

36

60minus

40

60

20+36minus40

60=

16

60 =

4

15

(सरलतम रप अप ज नत ह दक नभनन क ऄश व हर म एक ही सखय क भ ग दन पर नभनन सखय

क म न म पररवतमन नही होत ह ऄतः यह ा 16

60 म ऄश व हर म 4 क भ ग दकर

4

15 पर पत दकय ह)

ऄभय स - हल कर

उपर परशनो को हल करत समय अपन यह प य ह दक कइ हल ऐस ह जह ा ऄश क म न हर स

P a g e | 81

ऄनधक ह ऐस नभननो को नवषम नभनन ऄथव ऄननचत नभनन कहत ह

जस - 13

9 म ऄश (13) gt हर (9)

ऄतः 13

9 एक ऄननचत नभनन ह आसी परक र

11

10 भी एक ऄननचत नभनन ह

13

9 को 1 +

49 य 1

49 क रप म भी नलख ज सकत ह आस नमशर नभनन कहत ह

जब नभनन क ऄश हर स छोट हो तो ईस ईनचत नभनन कहत ह

जस - 3

9

5

7

101

106 आतय दद

दिय कल प 4

नीच ददए गए नभननो स ईनचत तथ ऄननचत नभननो को पहच न कर ऄननचत नभननो को नमशर नभनन

क रप म नलनखए

नभनन सखय ओ क गण एव भ ग

दो नभननो क जब गण होत ह तब ऄश क ऄश क स थ एव हर क हर क स थ

गण हो ज त ह जस ऄगर हम अध क अध ननक लन हो तो वह 1

2times

1

2 ह आसी तरह

पौन क अध 3

4times

1

2 होग हम यह भी ज नत ह दक अध क अध एक प व होत ह

1

2

क दगन 1 होत ह ऄथ मत हर को हर स और ऄश को ऄश स गण करन पर ईततर पर पत होत ह

जस 3

8times

2

5 times=

3times2

8times5=

6

40=

3

20

अआए भ ग की सदिय को नीच ददए गय ईद हरणो स समझ -

6 divide 3 क मतलब यह हअ दक 6 म 3 दकतनी ब र अत ह ऄब यह सोच दक 1

2 म

1

4 दकतनी ब र

अत ह दोनो सव लो म ईततर 2 ही ह आसी परक र 3

2 म

1

2 तीन ब र अत ह

P a g e | 82

ऄभय स

3 divide 5 = 3

1 divide

5

1=

3

1times

1

5=

3

5

8 divide 9 = 8

1 divide

9

1=

8

1times

1

9=

8

9

आस परक र जब एक नभनन को दसर नभनन स भ ग ददय ज त ह तब भ जक की नभनन सखय ईलट दी

ज ती ह ऄथ मत भ जक क ऄश हर म और हर ऄश म चल ज त ह तथ भ ग क नचनह गण म बदल ज त

ह

ननमन नभननो को हल कर सरलतम रप म नलनखए -

(1) 1

3 divide

5

7 (2)

121

70 divide

11

35

(3) 27

8 divide

81

16 (4)

33

28 divide

11

4

आसी परक र कछ और सव ल बन आए और स नथयो स हल करव आए

सखय ओ क सथ नीय म न (Place Value)

ऄब तक अप सखय ओ स कइ तरह क खल खल चक ह जोड़न घट न गण

करन एव भ ग दन सीख चक ह आस दौर न अपन ऄको क सथ नीय म नो जस आक इ

दह इ सकड़ हज र आतय दद को भली-भ ानत समझ और परख ह अआए ऄको क सथ नीय

म न क ब र म अग कछ और चच म कर

ऄक 3 6 और 8 को िम बदलकर 3 ऄको की दकतनी सखय य बन सकत ह

(i) 368 (ii) 386 (iii) (iv) (v) (vi)

परतयक ब र अप ईनही ऄको (36 और 8) क ईपयोग कर रह ह परनत सखय ओ क म न नभनन-नभनन

कयोहो रह ह ऄपन स नथयो स चच म कर क रण नलनखए-

मरी न हमीद स कह - 368 म 8 क म न 8 ह

386 म 8 क म न 80 ह

836 म 8 क म न 800 ह

आस परक र एक ही ऄक म न ऄलग-ऄलग सथ नो पर ऄलग-ऄलग हो रह ह यदद हम अठ हज र

अठ सौ ऄठय सी (8888) नलख तो ऄक 8 क म न एक सथ न पर 8000 ह एक सथ न पर 800 ह

P a g e | 83

एक सथ न पर 80 ह तथ एक सथ न पर 8 ह

अआय दो सखय ओ 368 और 895 को जोड़ कर दख -

कय आस तरह योग दश मन सही ह

आक इ क ऄको को जोड़न पर 13 दह इ क ऄको को जोड़न पर 15सकड़ क ऄको को जोड़न पर 11 पर पत

हए आस योगफल को सथ नीय म न क अध र पर दख तो 11 सकड़ 15 दह इ 13 आक इ पर पत होत ह

ऄतः आस ननमननलनखत रपो म नलख ज सकत ह-

11 सकड़ + 15 दह इ + 13 आक इ परनत दकसी भी सथ न पर सबस बड़ ऄक 9 ही हो सकत ह कयोदक

10 होन पर ईस सथ न पर कवल 0 रह ज एग और 1 ऄगल सथ न पर जड़न क नलए चल ज एग उपर

ईद हरण म 8 और 5 जोड़न पर 13 आक इ होत ह 13 की सखय म 3 आक इ और 1 दह इ होन क क रण

3 को आक इ क सथ न पर तथ 1 दह इ सथ न पर 6 और 9 क स थ जोड़ ज त ह आस परक र सभी दह इ

क ऄको को जोड़न पर 6 + 9 + 1 = 16 दह इ अय 16 दह इ म 10 दह इ बर बर एक सकड़ होन क

क रण कवल 6 दह इ क सथ न पर नलख ज वग तथ 10 दह इ क 1 सकड़ को सकड़ क ऄको म जोड़

ज यग आसस 3 + 8 + 1 = 12 सकड़ बन ज एग आसी िम म नवच र करन पर 12 सकड़ म 10 सकड़

बर बर 1 हज़ र होत ह आसनलए ईस ऄलग कर सकड़ क सथ न पर कवल 2 लग आस परक र शष बच 10

सकड़ क म न 1 हज र होन क क रण हज़ र क सथ न पर 1 नलख ज यग आस परक र ईपरोकत परशन क

योगफल -

हज र सकड़ दह इ आक इ

1 2 6 3 = 1263

उपर ददए गए ईद हरण की तरह अप ननमननलनखत सखय ओ क योगफल जञ त कीनजए

(1) (2)

(3) (4)

ऄब यह सपषट हो गय दक 10 आक इ = 1 दह इ 10 दह इ = 1 सकड़

10 सकड़ = 1 हज र 10 एक हज र = एक दस हज र और दस दस हज र = 1 ल ख होत ह

P a g e | 84

आसी परक र यदद आसक ईलट चल तो -

आस परदिय म द एा स ब एा बढ़त समय िमशः 10 क गण होत ह आसक ईलटी ददश म चलन

पर िमशः 10-10 क भ ग होत चलत ह ऄब सोच दक आक इ म 10 क भ ग दन पर कय होत ह अप

को य द होग

1 divide 10 = 1

10= 01

आसी परक र आस िम को ज री रख ज ए तो -

ऄतः हम कह सकत ह दक -

नजस परक र द एा स ब एा ज त समय सथ नीय म न दस गण हो ज त ह ईसी परक र ब एा स द एा

अत समय सथ नीय म न 1

10 गण हो ज त ह य 10 व ा भ ग हो ज त ह

अआए आस ननमन ईद हरण स दख -

0325 क सथ नीय म न ननक ल -

य 03 + 002 + 0005 = 0325

P a g e | 85

आसी परक र 0628 = 06 + 002 + 0008

य 0628 = 6

10+

2

100+

8

1000

दिय कल प 5

नीच दी गयी स रणी म सथ नीय म न क ऄको को ईनचत सथ न स भररए

ककष 5वी म हमन लब इ क ब र म ऄधययन दकय ह नजसम हमन सीख हः-

10 नममी = 1 समी

1 नममी = 1

10 समी = 01 समी

100 समी = 1 मी

1 समी = 1

100 मी = 001 मी

1000 मी = 1 दकमी

1 मी = 1

1000 दकमी = 0001 दकमी

ईद हरण 5

रमश एक शहर स दसर शहर की 1505 दकमी की दरी टरन स 657 दकमी बस स तथ शष 900

मी की दरी पदल ही तय करत ह बत आए रमश न कल दकतनी दरी तय की

हलः-

रमश दव र तय की गइ दरीः-

टरन दव र 1505 दकमी

बस दव र 657 दकमी

पदल 900 मी

P a g e | 86

ऄभय स

हम ज नत ह दक

1 मी = 1

1000 दकमी

900 मी = 1

1000 times 900 = 09 दकमी

ऄतः

1505 दकमी

657 दकमी

+ 09 दकमी

= 2171 दकमी

ऄतः रमश न कल 2171 दकमी की दरी तय की

अप ज नत ह

1 रपय =100 पस

1 पस = 1

100 रपय = 001 रपय

ईद हरण 6 यदद 6 पनो की कीमत 72 र ह तो 1 पन की कीमत बत आए

हलः-

जबदक 6 पन की कीमत 71 र ह

तब 1 पन की कीमत = 72

6 र

= 12 रपय

ऄतः 1 पन की कीमत 12 रपय होगी

ईद हरण 7

दकसी ददन दोपहर क समय एक शहर क त पम न 360 सटीगरड थ और र त को दस बज 2850

सटीगरड हो गय बत आए त पम न म दकतनी नगर वट अइ

हलः-

दोपहर क समय त पम न = 360deg सटीगरड

र त क समय त पम न = 285deg सटीगरड

त पम न म नगर वट = 360deg - 285deg

= 75deg सटीगरड

1 एक मीटर कपड़ की कीमत 2475 र ह तो 28 मी कपड़ की कीमत बत आए

2 ऄनज दक नद र स एक पसतक 14360 र म खरीदत ह और वह दक नद र को 500 र दत ह

बत आए दक नद र न ऄनज को दकतन रपय लौट य

3 ऄकषत ऄपन ग ाव ज न क नलय 26 दकमी क र स ज त ह 105 दकमी 500 मी बस स ज त ह

P a g e | 87

और बची हइ दरी 1 दकमी 250 मी को पदल चलकर तय करत ह बत आए वह कल दकतनी दरी

तय करत ह

4 दो शहरो क त पम न िमशः 2050ह सटीगरड और 24ह सटीगरड ह बत आए दोनो शहरो क

त पम न म दकतन ऄतर ह

परशन वली 7

1 नीच ददए गए कथनो म सतय कथनो क अग सतय एव ऄसतय कथनो क अग ऄसतय नलनखए ऄसतय

कथनो को सध र कर नलख

(i) 13

16 और

78

119 तलय नभनन ह

(ii) 33

17 एक ईनचत नभनन ह

(iii) 15

22 और

60

88 तलय नभनन ह

(iv) 23

103 एक ऄननचत नभनन ह

(v) 13

3 को नभनन क रप म 4

1

3 भी नलख ज सकत ह

(vi) 3

2lt

2

3

(vii) -1 lt 01

(viii) 2 x 3 = 6

(ix) 135

1000= 0135 होत ह

(x) 056 x1000 = 56 होत ह

2 ननमन नभननो को घटत िम म नलनखए

(i) 5

6

7

8

8

9 (ii)

1

2

3

4

1

6

7

6

8

12

ननमन सखय ओ को घटत िम म नलनखए

(iii) 0008 08 008 8 8 (iv) 01 0099 00992 0012

3 ननमन नभननो को बढ़त िम म नलनखए

(i) 5

6

9

24

3

2

1

3

5

8 (ii)

1

2

1

4

1

6

1

8

2

15

4 ननमन क म न पर पत कीनजए -

(i) 1

3+

5

8+

3

5+

7

4+

13

6 (ii) 9 - 9 - 09 - 009 - 0009

(iii) 3

4times

7

5times

4

3 divide

28

15 (iv)

13

27times

3

26 divide

1

18

P a g e | 88

(v) 17

6+

19

4+

5

2+

4

3 (vi)

6

7+

13

14minus

9

21

5 ररकत सथ नो को भररए -

(i) 4

5+

helliphellip

30 (ii)

7

5+

helliphellip

55

(iii) 6

7+

helliphellip

42 (iv)

4

9+

helliphellip

18

6 ननमन म स ईनचत व नवषम नभनन को छ ारटए -

17

4

4

5

8

9

16

13

15

16

6

5

3

7

8

5

7 ननमननलनखत क सथ नीय म न जञ त कीनजए

(i) 84323 (ii) 14876 (iii) 87640314

हमन सीख

1 दकसी भी नभनन को ऄनक समतलय नभननो म बदल ज सकत ह आसक नलए नभनन क ऄश व हर को

सम न सखय स गण य भ ग दकय ज त ह

2 नभननो की तलन

(i) यदद नभननो क ऄश बर बर हो तो छोटी हर व ली नभनन बड़ी नभनन होगी

(ii) यदद नभननो क हर बर बर हो तो बड़ ऄश व ली नभनन बड़ी होगी

(iii) नभननो की तलन हर क लघततम सम पवततमक लकर सभी नभननो को सम न हर

नभनन बन कर दकय ज सकत ह

3 नजन नभननो क हर ऄश स छोट हो ईनह नवषम य ऄननचत नभनन कहत ह

4 नजन नभननो क हर ऄश स बड़ हो ईनह ईनचत नभनन कहत ह

5 जब दो नभननो क गण करत ह तब ऄश क ऄश स एव हर क हर स गण हो ज त ह

6 नभनन स भ ग दन म भ जक नभनन सखय ईलट ज ती ह एव भ ग की जगह गणन नचहन लग ज त

ह

P a g e | 89

जबअपदरव ज खोलतऄथव बनदकरतहतोदरव ज ऄलगऄलगनसथनतयोमदीव रकस थऄलग

ऄलगकोणबन त हयददशरीरकोएकसीधीरख म नलऔरह थकोदसरीसीधीरख तोह थकोजस

जसघम तहशरीरकस थह थऄलगऄलगकोणबन त ह

दननकजीवनमऔरकइसथ नोपरभीअपनकोणोकोबनतहएदख हजसघड़ीकीदोसइयोक

बीचबन कोणकचीकीदोभज ओकबीचबन कोणआतय दद

औरकह ाकह ाअपनकोणोकोबनतदख हऄपनीकॉपीमनलनखए

अआएकछईद हरणोकोदखनजनमकोणबनरहह

घड़ी क सभी नचतरो म बड़ी सइ 12 पर ह तथ छोटी सइ की नसथनत ऄलग-ऄलग ह नचतर 1 म दोनो

सइयो क बीच क झक व य घम व कम ह नचतर 2 3 एव 4 म दोनो सइयो क बीच झक वघम व बढ़त

ज त ह आसी परक र कची क ईपयोग करत समय ईसकी दोनो भज ओ क बीच झक व य घम व बदलत

रहत ह नडव आडर की दोनो भज ओ क बीच भी ईपयोग क ऄनस र घम व बदलत ह भोजन करत समय

अपन ऄनभव दकय होग दक कोहनी पर बदलत घम व य झक व क क रण ही ख न थ ली स मह तक

पहचत ह

rsquorsquoदकसी नबनद पर दो भज ओ क बीच बनन व ल ऐस ही घम व य झक व को कोण कहत हlsquolsquo

P a g e | 90

आसी परक र जब दो रख एा ऄथव दकरण एक दसर को क टती ह ऄथव नमलती ह तो ईन रख ओ क

बीच क घम व ऄथव झक व को कोण कहत ह

नीच ददए गए नचतरो म दकस नचतर म कोण बन रह ह और दकस नचतर म कोण नही बन रह ह

ईपरोकत नचतरो म अपन दख दक नचतर 5 म कोण बन रह ह परत नचतर 8 म कोण नही बन रह ह

कयोदक दो भज ओ म स एक सीधी रख नही ह ऄथ मत दो सरल रख ओ ऄथव रख खणडो स ही कोण बन

सकत ह

नशकषक व ऄपन स नथयो क स थ ऄपन असप स क व त वरण व वसतओ म बनन व ल कोणो क

ब र म चच म कर ऄपन अस प स बनन व ल कोणो की सची को और बड़ बन एा

दिय कल प 1

नजस परक र नहनदी क ऄकषर lsquoतरrsquo म तथ ऄगरजी क ऄकषर A म नीच ददख ए ऄनस र कोण बन रह ह

ईसी परक र नहनदी और ऄगरजी क ऄकषरो को नलखकर ईनम बनन व ल कोणो को नचहन दकत कीनजए दकन

ऄकषरो म कोइ भी कोण नही बनत

P a g e | 91

दिय कल प 2

ईपरोकत नचतरो को दख और बत आए दक परतयक म दकतन कोण ह

नचतर कोणो की सखय

(15)

(16)

(17)

ऄब अप कोणो को पहच नन लग ह तथ कोण दकस तरह बनत ह यह भी ज नन लग ह कय अप

बत सकत ह दक एक कोण बनन क नलए कय -कय जररी ह

परतयक कोण म दो भज एा होती ह य दोनो दकसी नबनद पर नमलती ह नजस नबनद पर नमलती ह ईस

कोण क शीषम कहत ह

जस नचतर 18 म कोण AOB को दख OA और OB भज एा ह जो

कोण क शीषा O पर नमलती ह आसम OA की ददश स OB की ददश

ज न म दकतन घम व हअ ह यह कोण AOB बत त ह

कोण को सकत को स दश मत ह

कोणो को ईनक न म स पढ़न

P a g e | 92

नचतर 19 म कोण को PQR य RQP क न म स पढ़त ह य नलखत ह नचतर 20 म कोण को

XYZ य ZYX क न म स पढ़त ह

य द रख- नजस नबनद पर कोण बनत ह ईस शीषम कहत ह शीषम क सथ न नलखत य बोलत समय

हमश बीच म होत ह

आसी परक र नचतर 21 म कोण को ऄ ब स य स ब ऄ पढ़त य नलखत ह

दिय कल प 3

ननमन नचतरो म बन कोणो क न म ददय गय सथ न पर दोनो परक र स नलनखए-

नचतर िम क कोणो क न म

जस- 22 AOB य BOA

23

24

25

26

27

28

P a g e | 93

कोण की म प

दिय कल प 4

दो झ ड़ की सीक य ब ास की कमची लीनजए ईनक एक-एक नसर

को नमल कर ईस पर एक नपन नचतर नस र लग दीनजए अपक कोण बन न

व ल यतर ऄब तय र ह ऄब अप एक सीक को नसथर रखकर दसर सीक को

घम न पर अपको ऄलग-ऄलग म न क कोण नमलग अआए आसकी कछ

नसथनतयो पर नवच र कर -

OB को नसथर रखकर OA को घम त ह जस-जस घम व बढ़त ह तो कोण क म न भी

बढ़त ह य AOB lt AOB lt AOB

कोण बन न व ल यतर स ऄब अप सबस बड़ व सबस छोट कोण बन कर ऄपन ऄधय पक को

बत ए

नीच ददए गए कोणो म स बड़ कोण बत आए

P a g e | 94

कय LMN gt OPQ ह क रण बत आए

ऐसी नसथनत जब दो कोणो को दखकर छोट य बड़ नही बत य ज सक तब हम ऐस कोणो क

म प को च ाद स न प कर पत लग एाग

अप ऄपन च ाद को दख आसक घम वद र सतह पर सम न दरी पर ननश न लग ह आनह नगनकर

पत लग ए दक आस पर कल दकतन ननश न बन ह ऄलग-ऄलग म न क ऄशो को पहच न तथ ईसकी

नसथनत दख

अआए ऄब दकसी एक नननित म प क कोण बन त ह अपन ककष -5 म कोण तो बन य ही होग

कोण बन न क नलए सकल और च ाद की अवशयकत पड़ती ह ऄपन कमप स ब कस म रख च ाद को दनखए

और आसक दकन र तथ आनम बन कल खणडो क ब र म ऄपन कॉपी पर नलनखए

नजस परक र लमब इ न पन क नलए मीटर समी आतय दद आक आयो क ईपयोग दकय ज त ह ईसी

परक र दो रख ओ क बीच कोण को म पन क नलए नजस आक इ क ईपयोग दकय ज त ह ईस lsquolsquoऄशrsquorsquo(0)

कहत ह

जस- 45 ऄश = 45deg

225 ऄश = 225deg

दिय कल प 5

अआय ऄशो क ब र म ज नन क परय स कर ऄपन कॉपी क कोर पनन पर सकल की सह यत स एक

लमबी रख खीनचए तथ आस रख क बीचो बीच च ाद की अध र रख को रनखए च ाद क ब हरी सीम पर

पननसल की सह यत स 0 स 180deg (ऄश) तक नचतर नस र रख खीनचए (नचतर 36)

P a g e | 95

नचतर 37 की तरह च ाद हट न पर वह ा एक ऄधमवतत क अक र बनत ह ऄब च ाद को पवम अध र

रख पर आस परक र रख दक घम वद र छोर नीच की ओर ठीक नवपरीत ददश म रह (नचतर 38) ऄब च ाद क

घम वद र सीम म 0 स 180deg तक पनसल पव मनस र घम एा च ाद हट न पर अपको एक वतत क र रचन

नमलगी (नचतर 39)

आस नचतर क अध र पर ननमन परशनो क ईततर दीनजए

1 एक ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 37) = 180deg

2 दसर ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 38) =

3 दोनो ऄदधमवततो दव र सयकत रप स कनर पर कल बन कोण =

अप प त ह दक पहल 180deg और ब द म 180deg क कोण बन आस परक र 360deg क कोण एक नबनद

पर बनत ह यह नबनद आस परक र बनन व ल वतत क कनर नबनद भी ह

वतत क र क गज़ क टकड़ को क टकर बीच स ऐस मोनड़ए नजसस वतत दो बर बर भ गो म बाट ज ए

अप प एग दक O स होकर एक सरल रख पर पत होती ह नजस पर 180deg क कोण बन ह आस कोण को

सरल कोण भी कहत ह

आसी परक र एक वतत क कनर पर दकतन सरल कोण बन सकत ह

अपन वतत क र क गज़ को दो भ गो म मोड़कर सरल कोण पर पत दकय ह ऄब ईस पनः दो भ गो म

आस परक र मोड़ दक वतत च र बर बर भ गो म बाट ज ए (नीच नचतर नस र)

P a g e | 96

ऄब वतत नबनद O पर च र सम न भ गो म बट गय ह अप बत ए दक नबनद O पर बन च रो कोणो

क म प ऄलग-ऄलग दकतन ऄश क ह

ऄभय स 1

अप ऄपनी कॉपी म नवनभनन न प क 5-5 कोण बन आय ईनह न नपय एव ऄपन स नथयो व ऄधय पक

स ज ाच कर आए

च ाद की सह यत स कोण बन न क नलए सवमपरथम एक सरल रख AB खीचत ह आस सरल रख

क नजस नबनद O पर कोण बन न ह वह च ाद क मधय नबनद को आस परक र रखग दक च ाद क अध र पर

बनी सरल रख और कॉपी पर बनी सरल रख एक सीध म रह ऄब च ाद क 0deg स उपर नलख गए ऄक को

पढ़त चल नजस म प क कोण बन न ह वह ा एक नबनद लग ए म न लीनजए अपको 60deg क कोण बन न

ह तब च ाद क शनय स 60deg तक उपर बढ़ और एक नबनद च लग ए च ाद हट कर आस नबनद को सरल रख

क नबनद स नमल ए ऄब POB = 60deg क बन गय ह

P a g e | 97

दिय कल प 6

अपको कछ रख एा दी गइ ह परतयक रख म ददए हए नबनद पर अप ददए हए म प क (नचतर 44 की

तरह) कोण बन आए

ईपरोकत नचतरो म अपन दकन नबनदओ पर कोण बन य तथ कोणो को दकस ओर स शनय स न पन

शर दकय

एक ब त कय अप ज नत ह दक वयनकत क वय य म क समय स वध न की मर म दोनो एनड़यो क बीच 30deg

क कोण बनन च नहए ऐसी और भी ब त पत कररए

P a g e | 98

दिय कल प 7

नचतर म कोणो क म प तथ भज ओ की लमब इ न पकर दी गइ स रणी म नलनखए तथ नीच नलख

परशनो क ईततर दीनजए

(1) कय COD gt AOF EOFgt COD यदद नही तो कयो नही

(2) कय कोणो क म प भज ओ की लमब इ पर ननभमर ह

(3) दो भज ओ क बीच बन कोणो क ऄनधक य कम होन दकस ब त पर ननभमर करत ह

दिय कल प 8

नचतर 52 म कोण Xdeg व Ydeg क म न च ाद की सह यत स म नपय कय Xdeg = Ydeg ह ऄपनी कॉपी

म नलनखए

P a g e | 99

दिय कल पो स सपषट होत ह दक कोणो क म प कोण बन न व ली भज ओ की लमब इ (च प) पर

ननभमर नही करत कयोदक कोण सरल रख ओ ऄथव दकरणो स नमलकर बन हो सकत ह नजनक नवसत र

ऄसीनमत होत ह दोनो रख एा ऄसखय नबनदओ स नमलकर बनी होती ह ऄतः दो सरल रख ओ क बीच

दकनही दो नबनदओ की दरी कोण की म प नही ह

परशन वली 81

1 कोणो क न म नलनखए -

2 च ाद की सह यत स कोण म प कर नलनखए तथ ऄपन स थी स ईततर क नमल न कररए-

P a g e | 100

3 च ाद की सह यत स ननमन कोण बन ए -

(i) 45deg (ii) 75deg (iii) 90deg (iv) 120deg (v) 155deg

(vi) 210deg

4 6 बज घड़ी की दोनो सइयो (घट एव नमनट) क बीच दकतन कोण बनग

कोणो क परक र

कय अप बत सकत ह दक घड़ी म जब ठीक 12 बज रह हो तो घट और नमनट सइ क बीच दकतन

ऄश क कोण बनत ह

कोण क म प

कय अप बत सकत ह दक 12 घट म दकतनी ब र घड़ी की बड़ी सइ (नमनट) छोटी सइ (घट ) को

ढक लगी

कय अप बत सकत ह जब एक सइ दसरी सइ को ढक लगी तब ईनक बीच झक व दकतन ऄश क

होग

आसी परक र जब एक रख दसरी रख को ढक ल तो ईनक बीच शनय ऄश क कोण बनत ह

ऄब घड़ी म 2 बज कर 45 नमनट की नसथनत को दनखए तथ बत आए दक दोनो सइयो क बीच दकतन ऄश क

कोण बनग

नचतर 54 म AOB = 0deg ऄथ मत OA रख खणड क ठीक उपर OB रख खणड ह नजसस ईनक बीच

क झक व शनय ऄश क ह नचतर 55 म BAO क म न कय होग

P a g e | 101

1 शनय कोण वह कोण नजसक म प 0deg हो शनय कोण कहल त ह

परनत नचतर 55 म OA और OB दोनो रख खणड नवपरीत ददश म ह और नमलकर एक बड़

रख खणड बन रह ह ऐसी नसथनत म AOB = 180deg आस सरल कोण क न म स ज नत ह

(2) सरल कोण वह कोण नजसक म प 180deg हो सरल कोण कहल त ह

(3) नयनकोण वह कोण जो 0deg स बड़ तथ 90deg स छोट हो नयनकोण कहल त ह

(4) समकोण वह कोण नजसकी म प 90deg हो समकोण कहल त ह समकोण म एक भज दसरी भज

पर लमब होती ह

P a g e | 102

(5) ऄनधक कोण एक कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक परनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण कहल त

ह

(6) परनतवती कोण (वहत कोण) वह कोण नजसक म प समकोण 180deg स ऄनधक तथ 360deg स कम

हो परनतवती कोण कहल त ह

(7) समपणम कोण यदद कोइ दकरण ऄपन पर रनमभक नबनद क च रो ओर एक पर चककर लग न क ब द

ऄपन पर रनमभक नसथनत स समप ती हो ज ए तो आस परक र बन कोण समपणम कोण कहल त ह यह

कोण 360deg क होत ह

दिय कल प 9

ननमन कोणो को न पकर दख और ईनक परक रो को ददए गए ब कस म नलख

P a g e | 103

P a g e | 104

परशन वली 82

परशन 1 सतय कथन को छ ारटए ऄसतय को सध र कर नलनखए

(i) सरल कोण 180deg क होत ह

(ii) ऄनधक कोण 180deg स ऄनधक क होत ह

(iii) नयनकोण 90deg क कम क होत ह

(iv) तीन बज घड़ी की घट एव नमनट दोनो सइयो क मधय समकोण बनग

(v) 2

3 समकोण बर बर 60deg क कोण होत ह

(vi) कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक दकनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण ह

(vii) च ाद म कल 180deg क कोणो को दश मय ज त ह

परशन 2 नीच ददए कोणो म स नयनकोण समकोण ऄनधक कोण सरल कोण छ ारटए -

(i) 120deg (ii) 30deg (iii) 90deg

(iv) 180deg (v) 70deg (vi) 105deg

(vii)) 72deg (viii) 36deg (ix) 15deg

(X) 75deg

परशन 3 ननमन कोण-यगमो की तलन कोणो को म प कर कीनजए -

P a g e | 105

हमन सीख

1 दो भज ओ क बीच फल व य झक व को कोण क म प कहत ह

2 दकसी कोण को म पन की आक इ ऄश य नडगरी ह आस दकसी सखय क उपर षहष स दश मय ज त

ह जस - 30deg 45deg 90deg 180deg 360deg

3 एक कोण नजसक म न

0deg हो शनय कोण कहल त ह

0deg और 90deg क बीच हो नयनकोण कहल त ह

90deg क बर बर हो समकोण कहल त ह

90deg और 180deg क बीच हो ऄनधक कोण कहल त ह

180deg हो तो वह सरल कोण कहल त ह

180deg और 360deg क बीच हो परनतवती कोण कहल त ह

360deg हो तो वह समपणम कोण कहल त ह

P a g e | 106

अपन पज सथल पर लगी पत क सवततरत ददवस एव गणततर ददवस म श ल को सज न क नलय

ईपयोग दकय गय तोरण तथ पर ठ जसी ऄनक रचन एा दखी ह आनही स नमलती जलती कछ और

अकनतयो को दख-

1 कमप स ब कस म रख सट सव यर (नचतर 1)

2 क पी क पनन क मड़ हअ भ ग (नचतर 2)

3 नचतर 3 म ददय गय तीनो नबनदओ को रख खणडो दव र नमल न पर बनी अकनत

आन अकनतयो म कय सम नत ह

कय अपन अस-प स आस तरह की और अकनतय ा दखी ह कह ा-कह ा दखी ह नलनखए ऐसी

अकनतय ा नीच ददख ए गए नचतरो म भी ढादढ़एः-

P a g e | 107

अपन आन अकनतयो को दकस अध र पर छ ाट ह

छ ाटी गइ सभी अकनतयो म यह सम नत ह दक आनम तीन भज एा और तीन शीषम ह आसनलय आनह

नतरभज कहत ह

नीच नचतर 17 स 23 तक सभी अकनतय ा तीन भज ओ स बनी हइ ह परनत ईनम स सभी नतरभज

नही ह नतरभज नही होन क क रण पर नवच र कीनजए

P a g e | 108

अपन रख खणड क प ठ म बनद और खली अकनत क ब र म पढ़ ह उपर ददए गय नचतरो म भी

नचतर 18 और 20 बनद अकनतय ा ह ब की सभी खली अकनतय ा ह जो बनद ह ईनम तीन रख खणडो स

तीन कोण भी बन रह ह खली अकनतयो म तीन भज एा तो ह परनत यह तीन भज एा तीन कोण नही बन

रही ह आसनलय तीन रख खणडो स बनी सभी अकनतय ा नतरभज नही ह तीन रख खणडो स बनी बनद

अकनत ही नतरभज ह

दिय कल प 1

नीच परतयक नचतर म तीन-तीन नबनद ददए गए ह कय आन तीन नबनदओ को रख खणड दव र नमल कर अप

नतरभज बन सकत ह

P a g e | 109

ददए गए नचतरो म अपन दख दक जह ा तीनो नबनद एक सरल रख म ह ईनह तीन रख खणडो दव र

नही जोड़ ज सकत ऄतः व नतरभज नही बन रह ह ऄथ मत lsquolsquoतीन ऐस नबनद जो एक सरल रख म न हो

ईनह रख खणडो दव र नमल न पर जो बनद अकनत बनती ह वही नतरभज हrsquorsquo

नतरभज क भ ग

नतरभज ABC म A B और C शीषम ह तथ AB BC और CA भज एा ह ABC BCA और

CAB तीन कोण ह

दिय कल प 2

उपर नचतर म परतयक शीषम पर दो भज एा नमल रही ह और एक कोण बन रह ह नीच ददय गए

नतरभजो म शीषम भज एव कोणो क न म नलनखए -

P a g e | 110

नतरभज क ऄनतःकोण

दकसी नतरभज की तीन भज ओ दव र नघर हए कषतर म जो कोण बनत ह व सभी ऄनतःकोण कहल त

ह नचतर ि 33 34 35 एव 36 म अपन नजतन कोणो क न म नलख ह व सभी ऄनतःकोण ह

दिय कल प 3

ननमन नतरभजो नचतर ि 37 38 39 40 म ऄनतःकोणो को च ाद की सह यत स न पकर ईनक म प

त नलक म भररए तथ ईनक योगफल जञ त कीनजएः-

ईपरोकत त नलक स यह पर पत हो रह ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो क योगफल लगभग 180deg

ह

P a g e | 111

नतरभज क तीनो ऄनतःकोणो क योग 180deg क बर बर होत ह आस नसदध करन क तरीक हम

ऄगली ककष ओ म दखग

दकसी नतरभज म ददय गय दो कोणो क अध र पर तीसर कोणो क म न जञ त कीनजए -

नतरभज क बनहषकोण

तीनो भज ओ स नघर कषतर क ब हर नतरभज की दकसी एक भज को दकसी एक ददश म अग बढ़ न

पर बन कोण बनहषकोण कहल त ह

ईपरोकत नचतरो म परतयक नतरभज की एक भज को D तक बढ़ य गय ह नजसस िमशः ACD

CAD और ABD पर पत होत ह य सभी बनहषकोण ह परतयक बनहषकोण एक ऄतःकोण स जड़ हअ ह

नजस बनहषकोण क समपरक कोण भी कह सकत ह बनहषकोण स जड़ यही ऄतःकोण बनहषकोण क

lsquolsquoननकटसथ ऄतःकोणlsquolsquo कहल त ह जसः-

P a g e | 112

बनहषकोण स जड़ ऄतःकोण ननकटसथ ऄतःकोण कहल त ह और नतरभज क बच हए दो ऄतःकोण दरसथ

ऄतःकोण कहल त ह नचतर 41 म BAC और CBA नचतर 42 म ABC और BCA तथ नचतर 43

म BCA एव CAB दरसथ ऄतःकोण ह

ननमन नचतरो म बनहषकोण एव बनहषकोण क ननकटसथ ऄतःकोणो को छ ारटय यदद दकसी नचतर म

बनहषकोण नही बन रह ह तो कयो

नचतर 45 और 46 म बनहषकोण नही बन रह ह कयोदक QRS और UVW सरल रख एा नही ह

दिय कल प 4

अप ननमन अकनतयो म नतरभज क ननकटसथ ऄतःकोण दरसथ ऄतःकोण एव बनहषकोणो को छ ाटकर

दी गइ त नलक म भररएः-

P a g e | 113

दकसी नतरभज क बनहषकोण तथ ननकटसथ एव दरसथ ऄतःकोणो को अपन पहच न नलय ह अआए

आनही कोणो स समबननधत एक और दिय कल प कर-

दिय कल प 5

ननमन नतरभजो म X Y तथ क म न जञ त कीनजए तथ नीच दी गइ त नलक को पणम

कीनजएः-

P a g e | 114

X तथ Y + Z म कय सबध ह

ईपरोकत त नलक स यह सपषट ह दक नतरभज क दकसी एक बनहषकोण क म न ईसक दरसथ ऄतःकोणो

क म प क योग क बर बर होत ह

नतरभज क वगीकरण

अपन ऄभी तक नवनभनन अकनत क नतरभजो को दख ह भज ओ एव कोणो क अध र पर नतरभज को

ननमन नस र वगीकत दकय ज सकत हः

1 भज ओ क म पो क अध र पर नतरभज क वगीकरणः

(ऄ) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा ऄसम न म प की हो नवषमब ह नतरभज कहल त ह

(ब) वह नतरभज नजस की कोइ भी दो भज एा बर बर म प की हो तथ तीसरी भज ऄलग म प

की हो समनदवब ह नतरभज कहल त ह

(स) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा बर बर म प की हो समब ह नतरभज कहल त ह

ननमननलनखत त नलक म नतरभज की भज ओ क म प ददए गए ह म प क अध र पर नतरभजो क

वगीकरण कीनजए -

ऄभय स

P a g e | 115

दिय कल प 6

ननमन नचतरो म भज ओ को म पकर नतरभजो क वगीकरण कीनजएः-

2 कोणो क अध र पर वगीकरण

(ऄ) नयनकोण नतरभज - नजसक परतयक कोण नयनकोण होत ह

(ब) समकोण नतरभज - नजसक एक कोण समकोण होत ह

(स) ऄनधक कोण नतरभज - नजसक एक कोण ऄनधक कोण होत ह

दिय कल प 7

ददय गए कोणो क म प क अध र पर नतरभजो क वगीकरण कर नीच दी गइ त नलक म नलनखएः

P a g e | 116

दिय कल प 8

ननमननलनखत नचतरो म नतरभज क कोणो को म प कर नतरभज क वगीकरण कोणो क अध र पर

कीनजए एव ररकत सथ नो म नतरभज क परक र नलनखएः-

नवनभनन नतरभज बन कर ईनक कोण व भज एा म प व ईनको ईनक परक र क ऄनस र छ ाट

P a g e | 117

3 कोण एव भज ओ क अध र पर वगीकरण

दिय कल प 9

ननमन नचतरो म अप भज ओ एव कोणो को ऄलग-ऄलग म प कर त नलक म नलख भज एव कोणो

क अध र पर ननमन नतरभजो क वगीकरण कीनजए-

आन पररण मो स ननमननलनखत ननषकषम ननकलत ह-

(1) नवषमब ह नतरभज म तीनो भज ओ क म प ऄलग-ऄलग ह तथ तीनो कोणो क म प भी ऄलग-

ऄलग ह

(2) समनदवब ह नतरभज म दो भज एा और दो कोण बर बर ह

(3) समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर ह

P a g e | 118

दिय कल प 10

नननित म प की सीक लकर नीच ददय गय म पो क अध र पर नतरभज बन ए

8 समी 10 समी एव 12 समी लमबी भज एा

पहल हम 8 समी 10 समी एव 12 समी म प की तीन सीक लत ह तथ सीको क नसर स नसर को

सट कर ननमन परक र स नतरभज बन न क परय स करत ह

अप दख रह ह दक ददय गय म पो स नतरभज बन न सभव ह

उपर समझ ए गए तरीक स ननमन म पो क नतरभज बन आए तथ यह दनखए दक कय सभी नसथनतयो

म नतरभज बन प रह ह यदद नही तो क रण पत लग ए

1 8 समी 10 समी और 12 समी

2 5 समी 9 समी और 3 समी

3 6 समी 8 समी और 9 समी

4 5 समी 7 समी और 12 समी

5 15 समी 5 समी और 12 समी

आनस पर पत ननषकषो क नमल न कर

1 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बनग

2 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स कम हो य बर बर हो तो नतरभज नही बनग

जस ईद हरण 2 और 4 की नसथनत

ईद 2 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 3 समी तर 8 समी सबस बड़ी भज की म प 9

समी स कम होन क क रण नतरभज नही बनत ह

ईद 4 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 7 समी = 12 समी नतरभज की तीसरी भज

की म प 12 समी क बर बर होन क क रण नतरभज नही बनत

P a g e | 119

ऐस नवनभनन म पो क नतरभज बन कर छ तर सवय ज च और ऄपन नमतरो स भी बनव ए

परशन वली 91

पर1 जली न ननमननलनखत कथन नलख आनम स अप सतय एव ऄसतय कथन छ ाट कर

नलनखए ऄसतय कथनो को सध र कर नलनखए

(i) दकसी नतरभज म एक भज शष दो भज ओ क योग स छोटी नही हो सकती

(ii) दकसी नतरभज म तीन भज एा तीन शीषम व तीन ऄतःकोण होत ह

(iii) दकसी नतरभज की एक भज शष दो भज ओ क योग क बर बर होती ह

(iv) दकसी नतरभज क एक कोण ऄनधक कोण होत ह तो नतरभज को ऄनधक कोण

नतरभज कहत ह

(v) दकसी नतरभज म दो कोण 90deg क हो सकत ह

(vi) नयन कोण नतरभज म तीनो कोणो क म प नयनकोण होन जररी नही ह

(vii) नतरभज क दो कोण क म प ददय हो तो तीसर कोण ननक ल ज सकत ह

(viii) समब ह नतरभज म तीनो भज एा बर बर होती ह परनत तीन कोण बर बर नही होत

(ix) समनदवब ह नतरभज म बर बर भज ओ क स मन क कोण बर बर होत ह

(x) समब ह नतरभज सदव नयनकोण नतरभज होत ह

पर2 नतरभज क दो कोण 65deg एव 75deg क ह तो तीसर कोण जञ त कीनजए

पर3 समकोण नतरभज क एक कोण 45deg ह तो दसर कोण क म न जञ त कीनजए

पर4 समब ह नतरभज म परतयक कोण क म प दकतन होत ह

पर5 यदद दकसी नतरभज क एक कोण क म प ऄनय दो कोणो क म पो क योग क बर बर हो तो

कय वह नतरभज समकोण नतरभज होग

पर6 कय ननमननलनखत नसथनतयो म नतरभज की रचन की ज सकती ह - ह य नही म ईततर

दीनजए

(i) यदद दो कोण समकोण हो

(ii) यदद दो कोण ऄनधक कोण हो

(iii) सभी तीनो कोण 60deg क बर बर हो

(iv) सभी कोण 60deg स ऄनधक हो

(v) तीनो कोण नयनकोण हो

(vi) सभी कोण 60deg स कम हो

P a g e | 120

चतभमज

यदद अप च र सीको को ईनक नसरो स अपस म जोड़ कर रख तो कइ परक र की

अकनतय ा बन सकती ह आनम स कछ अकनतय ा ननमन नस र हो सकती हः-

नचतर िम क 71 स 74 तक बनी सभी अकनतय ा खली हइ ह परनत नचतर िम क 75 म बनी अकनत च रो

ओर स नघरी एक बद अकनत ह ऐसी अकनत को चतभमज कह ज त ह आसम च र भज एा होती ह पतग

कबिी क मद न पसतक कॉपी आतय दद चतभमज क ईद हरण ह

rdquoच र भज ओ स नघरी हइ बद अकनत को चतभमज कहत हldquo

चतभमज क ऄग

ननमन दकत नचतर को धय न पवमक दख-

ईपरोकत नचतर म ननमन दकत ब त ददख इ पड़ती ह

(1) AB BC CD व DA चतभमज की च र भज एा ह

(2) दो भज एा जह ा नमलती ह वह नबनद चतभमज क शीषम कहल त ह ABC और D चतभमज क च र

शीषम ह

(3) असनन शीषो को छोड़कर ऄनय शीषो को जोड़न व ल रख खणड नवकणम कहल त ह AC तथ BD

चतभमज क दो नवकणम ह

P a g e | 121

(3) परतयक शीषम पर एक-एक ऄनतः कोण बन रह आस परक र कल च र ऄनतः कोण

BAD ADC DCB व CBA बन ह

दिय कल प 11

नीच ददय नचतरो म भज ओ शीषो तथ ऄनतः कोणो को पहच न कर ईनचत सथ न पर नलनखएः-

चतभमज की सलगन भज एा एव सममख भज एा

सलगन नचतर म चतभमज KLMN म शीषम K पर NK KL

भज एा नमल रही ह ऐसी भज एा सलगन भज एा कहल ती ह

आसी परक र भज एा KL और LM शीषम L पर नमल रही ह

ऄतः KL एव LM सलगन भज एा ह

बत आए आस चतभमज म ऄनय सलगन भज ओ क न म कय ह

P a g e | 122

चतभमज क ऄनतः कोणो क योग

चतभमज ABCD क नवकणम AC ईस दो नतरभजो DAC तथ

ABC म ब ाटत ह

हम ज नत ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो की म पो क योग 180deg होत

ह सपषट ह चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग दोनो नतरभजो क

ऄनत कोणो की म पो क कल योग क बर बर होग

आस परक र चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग

= 180deg + 180deg = 360deg

चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योगफल 360deg य च र समकोण होत ह

चतभमज क परक र

10 समी 5 समी 10 समी 5 समी म प व ली च र सीक लीनजए तथ ईनक नसरो को नमल त

हए नवनभनन अकनतयो व ल चतभमज बन आए -

आन सीको स बनन व ली कछ चतभमज अकनतय ा नीच दी गइ ह

P a g e | 123

ईपरोकत म स नचतर िम क 8283848586 और 87 म चतभमजो की भज एा सम नतर एव बर बर ह य

चतभमज सम नतर चतभमज कहल त ह

ldquoव चतभमज नजनकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त हrdquo

नचतर िम क 82 और 83 ऐस सम नतर चतभमज ह नजनम परतयक कोण 90deg क ह आनह अयत कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत (Rectangle) कहल त हrdquo

नचतर िम क 88 म चतभमज क शीषो A एव C नसथत सलगन भज ओ क यगम बर बर ह ऐस चतभमज

पतग क र चतभमज कहल त ह

ऄब 5 समी लमब इ की च र सीक लकर चतभमज बन आए -

P a g e | 124

ईपरोकत सभी चतभमज ऐस सम नतर चतभमज ह नजनकी सभी भज एा बर बर ह ऐस चतभमजो को

सम चतभमज कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसकी परतयक भज की लमब इ बर बर हो सम चतभमज (Rhombus) कहल त

हrdquo

नचतर िम क 89 म परदरसशत चतभमज क परतयक कोण 900 क ह

ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम (Squre) कहल त ह

ऄब अप च र ऄलग-ऄलग लमब आयो की सीक लकर चतभमज बन आए अपक दव र बन ए गए

चतभमजो म स कछ आस परक र क हो सकत ह

P a g e | 125

नचतर िम क 92 म चतभमज की परतयक भज ऄलग-ऄलग म प की ह तथ सममख भज एा सम नतर

नही ह ऐस चतभमज नवषमब ह चतभमज कहल त ह नचतर कम क 93 एव 94 म चतभमजो की सममख

भज ओ क एक यगम सम नतर ह ऐस चतभमज समलमब चतभमज कहल त ह

दिय कल प 12 (ऄ)

नीच ददय गय नगरड (ज लक) नबनदओ को जोड़कर ननदश नस र चतभमज बन कर न म नलनखए

(1) एक चतभमज नजसकी कोइ भी भज बर बर नही ह तथ कोइ भी यगम सम नतर नही ह

(2) एक चतभमज नजसकी सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर ह

(3) एक चतभमज नजसकी सममख भज एा बर बर एव सम नतर ह

दिय कल प 12 (ब)

ऄपन अस-प स की 5 वसतओ क न म बत आए जो चतभमज अक र की हो

P a g e | 126

परशन वली 92

परशन 1 ख ली सथ न भररए

(i) वह चतभमज नजसकी सभी भज ए अपस म बर बर होकहल त

ह

(ii) वगम क परतयक कोण ऄश क होत ह

(iii) सम नतर चतभमज की सममख भज एाएव सम नतर होती ह

(iv) चतभमज म सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर होत ह

(v) ऐस चतभमज नजसकी सभी भज एा ऄसम न होचतभमज कहल त ह

परशन 2 सतयऄसतय कथन छ रटए

(i) समलमब चतभमज क परतयक कोण 900 क होत ह

(ii) परतयक अयत एक वगम होत ह

(iii) अयत की सममख भज एा बर बर होती ह

(iv) समचतभमज क परतयक कोण सदव समकोण होत ह

(v) कबिी क मद न अयत क र होत ह

हमन सीख

1 नतरभज तीन भज ओ स नघर कषतर ह

2 नतरभज एक बनद अकनत ह यदद तीनो भज एा नमलकर बनद अकनत नही बन ती तो नतरभज नही

बन सकत

3 शीषम भज एव कोण नतरभज क भ ग ह

4 नतरभज म तीन कोण होत ह

5 नतरभज क तीनो ऄतःकोणो क म पो क योग दो समकोण (1800) क बर बर होत ह

6 नतरभज की एक भज बढ़ न पर बन हअ बनहषकोण नतरभज म नसथत दरसथ ऄतःकोणो क म पो क

योग क बर बर होत ह

7 भज ओ की म प क अध र पर नतरभजो को समब ह समनदवब ह तथ नवषमब ह नतरभज म वगीकत

दकय ज त ह

8 कोणो क अध र पर नतरभजो को नयनकोण समकोण तथ ऄनधक कोण नतरभज म वग मीकत दकय

ज त ह

9 नवषमब ह नतरभज क तीनो भज ओ की म प तथ तीनो क णो क म प ऄलग ऄलग होती ह

10 समनदवब ह नतरभज म दो भज एा एव दो कोण बर बर होत ह

11 समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर होत ह

12 नतरभज म दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बन सकत ह

P a g e | 127

13 च र भज ओ स नघरी बद अकनत चतभमज कहल ती ह

14 चतभमज क ऄगो म शीषम भज नवकणम व कोण सनममनलत ह

15 चतभमज क च रो ऄनतःकोणो की म पो क योग 360deg होत ह

16 वह चतभमज नजसकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त ह

17 वह सम तर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत कहल त ह

18 ऐस चतभमज नजसकी भज एा ऄलग-ऄलग म प की हो तथ सममख भज एा सम नतर न हो

नवषमब ह चतभमज कहल त ह

19 ऐस चतभमज नजसकी सममख भज ओ क एक यगम सम नतर हो समलमब चतभमज कहल त ह

20 वह सम नतर चतभमज नजसकी सभी भज एा बर बर हो समचतभमज कहल त ह

21 ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम कहल त ह

22 पतग क र चतभमज म दो असनन भज ओ क यगम बर बर होत ह

P a g e | 128

मोहन और रम सबह कप स दध पीत ह मोहन दो कप दध म तीन चममच शककर ड लत ह रम

एक कप दध म दो चममच शककर ड लती ह दोनो क दध म शककर की तलन कस कर

दननक जीवन म दकसी वसत की खरीदद री करनी हो खल खलन हो य दकनही दो नवकलपो म स

जय द ईपयकत नवकलप चनन हो आन जस सभी क यो म तलन की अवशयकत होती ह कौन सी सबज़ी

बहतर ह द मो म दकतन ऄनतर ह जस ननणमय हम कइ ब र लन पड़त ह एक ईद हरण दनखए - शय म

अल खरीदन ब ज़ र ज त ह एक दक नद र अल की कीमत बत त ह - 20 रपय क तीन दकलो दसर

दक नद र कीमत बत त ह - lsquolsquoप ाच दकलो 30 रपय मlsquolsquo ऄब शय म सोच म पड़ ज त ह दक कौन स

नवकलप बहतर ह ऐसी नसथनतयो म ऄनप त की जररत महसस होती ह कय अपक स मन कभी ऐसी

नसथनत अइ ह जह ा अपको बहतर नवकलप सोचन की जररत पड़ी ऐसी कछ पररनसथनतयो क ब र म

सोनचए एव नलनखए

ऄनप तो को नवनभनन तरीको स वयकत दकय ज त ह ऄनप त को हम rsquo rsquo नचहन स दश मत ह

ईद हरण क नलए एक दक नद र कहत ह दक rsquorsquoआस वषम नबिी दगनी हइlsquolsquo आसक ऄथम यह ननकल

दक आस वषम म नबिी नपछल वषम की ऄपकष दो गनी हइ ऄथ मत आस वषम और नपछल वषम की नबिी क

ऄनप त 2 1 ह

एक और ईद हरण ल - दकसी नवदय लय म परतयक 45 छ तरो पर एक ऄधय नपक ह आसक मतलब

यह हअ दक छ तर ओ तथ ऄधय नपक ओ क ऄनप त 45 1 ह ऄब यदद हम कह दक नवदय लय म 90

छ तर ए ह तो सपषट ह दक नवदय लय म दो ऄधय नपक ए ह ऄथ मत नवदय थी तथ ऄधय नपक क ऄनप त 45

1 य 90 2 ह

रीत न कह दक lsquolsquoनवदय लय म ऄधय नपक सखय तथ छ तर ओ की सखय क ऄनप त 1 45 हrsquorsquo

कय ईसक यह कहन सही ह ऄनप त म हम यह दखन होत ह दक हम दकसकी तलन दकसस कर रह ह

जस - यदद हम ऄधय नपक सखय की तलन छ तर ओ की सखय स करत ह तो ऄनप त होग 1 45 और

यदद हम छ तर ओ की तलन ऄधय नपक स करनी ह तो ऄनप त 45 1 होग ऄब यदद ईस नवदय लय म

कल 5 ऄधय नपक ए ह तो बत आए दक नवदय लय की कल छ तर ओ की सखय दकतनी ह

दिय कल प 1

(1) ननमन कथनो को ऄनप त म नलनखए

(i) दकसी हॉल म परषो की सखय 150 ह तथ मनहल ओ की सखय 100 ह परषो तथ

मनहल ओ की सखय क बीच ऄनप त नलनखए 150 100

(ii) शम मजी की ईमर 40 वषम ह तथ ईनकी पतनी की ईमर 35 वषम ह दोनो की ईमर क बीच क

ऄनप त नलनखए

(2) दकसी ककष म 20 लड़क तथ 25 लड़दकय ा ह ननमन ऄनप त बत आए -

10

ऄनप त

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(i) लड़दकय ा तथ लड़को क बीच

(ii) लड़को तथ लड़दकयो क बीच

(iii) लडदकयो तथ कल नवदय रसथयो क बीच

(iv) लड़को तथ कल नवदय रसथयो क बीच

3 रमश एक घट म 6 दकलोमीटर पदल चलत ह त र 1 घट म 4 दकलोमीटर पदल चलती ह रमश

की गनत तथ त र की गनत क बीच क ऄनप त कय ह

4 र म की अय 30 वषम ह तथ शय म की अय 20 वषम ह र म की अय और शय म की अय क बीच

ऄनप त कय होग

शय म तथ र म की अय क बीच ऄनप त कय होग

एक और ब त पर नवच र कीनजए

यदद एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह तक रह और दसर वषम 120 ददन रह आन दोनो वषो म

वष म क ददनो क ऄनप त कय होग कय अप आस 20 120 नलख सकत ह क रण बत आए

एक और ईद हरण दनखए

र नी ऄपन घर स नवदय लय तक की दरी 50 नमनट म तय करती ह ईम वही दरी 1 घट म तय करती

ह तो र नी दव र नलए गए समय और ईम दव र नलय गय समय क ऄनप त कय होग कय आस हम 50 1

नलख सकत ह आस पर नवच र कीनजए

आसी परक र क और सव ल अप सवय बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आय

दननक जीवन म हम र स मन आस परक र की समसय ए ऄनक ब र अती ह जब हम नभनन न पो की

अपस म तलन करत ह ऐसी नसथनतयो म जह ा सीध-सीध तलन करन सभव नही होत ह वह ा र नशयो को

सम न आक आयो य सम न म तरक म बदलन पड़त ह

वष म क ईद हरण दनखए - एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह क ह और दसर वषम म 120 ददनो क

यह ा हम सम न म तरक म बदलन क नलए 20 सपत ह को ददनो म बदलग जो दक आस परक र होग -

1 सपत ह म 7 ददन

there4 20 सपत ह म 7 times 20 ददन ऄथ मत 140 ददन

ऄब दोनो वषो म वष म क ऄनप त जञ त करन अस न हो गय कयोदक हम र स मन दोनो म तरक

सम न ह ऄथ मत 140 ददन तथ 120 ददन पहल वषम की वष म क ददनो तथ दसर वषम की वष म क ददनो क

ऄनप त हअ 140 120 नजसक सरलतम रप 7 6 ऄब अप र नी तथ ईम दव र नवदय लय ज न म लग समय

क ऄनप त जञ त कीनजए

P a g e | 130

दिय कल प 2

ननमन कथनो को ऄनप त क रप म नलनखए -

(i) पड़ क नचतर की लमब इ 25 समी ह तथ पड़ की लमब इ 13 मीटर ह

(ii) र म को गहक यम करन म 40 नमनट लगत ह तथ शय म को 1 घट लगत ह

(iii) अननद 15 म ह ब द र यपर अय तथ ऄमीन 2 वषम ब द

कछ और ऄसम न म तरक व ल सव ल सवय खोनजए तथ ईनक ऄनप त नलनखए

ऄनप त म नजन दो र नशयो की तलन करत ह ईनह पद कहत ह - पहल पद तथ दसर पद जस

यदद हम rsquoarsquo की तलन rsquobrsquo स कर रह ह तो आस ऄनप त रप म नलखग ab जह ा rsquoarsquo पहल पद ह तथ rsquobrsquo

दसर पद ह और यदद rsquobrsquo की तलन rsquoarsquo स करत ह तो rsquobrsquo पहल पद तथ rsquoarsquo दसर पद होग तथ ईनक

ऄनप त ba होग

एक ऄनय ईद हरण म नीच दश मए गए अयत क नचतर म भज क म प दश मए गए ह-

ईपरोकत नचतरो म अयत (िम क 1) म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह व नचतर िम क 2 क

अयत म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 4 2 ह

यह ा दोनो अयतो क कषतरफल क ऄनप त होग 2 8 य 1 4

अपन भ रत क म ननचतर तो दख होग भ रत जस नवश ल दश को छोट म ननचतर म दश मन कस

सभव ह अप आस पर नवच र कर

दकसी भी म ननचतर क नीच एक पम न (सकल) नलख होत ह 1 समी तर 100 दकमी ऄथ मत 100

दकमी की दरी को म ननचतर म एक समी स दश मय गय ह आस परक र यह भी एक परक र क ऄनप नतक

नचतर ह

ऄथ मत दो र नशयो क बीच तलन क नलए ऄनप त क परयोग दकय ज त ह चदक र नशयो क

अाकड़ बहत बड़ ऄथव बहत छोट हो सकत ह आसनलए तलन म सनवध क नलए ऄनप त को सरल रप म

दश मय ज त ह

ऄनप त क परयोग करन क पहल धय न रख दक र नशयो म सम न आक इ क ईपयोग हो

दिय कल प 3

1 ककष क छ तर एक-एक करक ऄपनी उा च इ जञ त करग

2 छ तर दोनो ह थ फल कर ह थो क नसरो क बीच की दरी क म पन करग

3 परतयक छ तर की उा च इ तथ ईसक दोनो ह थ क नसरो क बीच क दरी क मधय कय सबध पर पत हो

P a g e | 131

रह ह ननषकषम ननक नलए

स रणी परी कीनजए ndash

ऄनप नतक नचतरो म सौदरय बोध

ऄनप त कवल सखय ओ म ही नह ी वरन हम र दननक जीवन स जड़ कइ पहलओ म दखन को

नमलत ह

ईद हरण क नलए - यदद दकसी नचतर म बन वयनकत की ट ग बहत ऄनधक लबी ह य शरीर की तलन

म नसर ऄनधक बड़ ह तो वह वयनकत कस लगग ज नहर ह दक वह कछ ऄटपट लगग आसी परक र म न

लीनजए अपकी ककष की एक दीव र ह नजसकी लमब इ एव चौड़ इ कम ह और ईस छोटी सी दीव र पर एक

बहत बड़ी तसवीर लग रखी ह य दीव र बहत ऄनधक बड़ी ह और ईस पर एक कोन म य बीच म छोटी

सी तसवीर लगी ह एक बहत बड़ फरम ह और ईसम छोट स नचतर लग ह आनम स बहत सी पररनसथनतय

हम ऄटपटी परतीत होगी कयोदक आनम ऄनप त हीनत ह हम री दनषट चीजो क बीच नननित ऄनप त

ढढती ह

नीच कछ ईनचत ऄनप नतक तथ ऄनप तहीन नचतर ददय गय ह आनम स ऐस नचतरो की पहच न

कीनजए नजनम ऄनप त ईनचत लगत ह और सोनचए दक अपन कय दख कर ब की नचतरो को छोड़ ह

ऄथ मत अप ऄपन ईततर क क रण सोनचए

P a g e | 132

दो र नशयो की तलन

नचतर ऄनप नतक ह य नही नवनभनन नहससो क अक रो की तलन पर ननभमर ह ईद हरण क नलए

दरव ज क पलल बहत जय द लमब ह और आसी तरह म नचस की नडबबी लमब इ भी ब की भज ओ की

तलन म बहत ऄनधक ह म नो हम लमब इ और चौड़ इ की तलन करन च हत ह आन दोनो र नशयो की

तलन कइ तरीक स की ज सकती ह व तलन करन क कइ अध र ह सबस सरल तो यह पत करन ह दक

पहली र नश दसरी र नश स दकतनी ऄनधक य दकतनी कम ह आसकी ज नक री कइ परक र स पर पत की ज

सकती ह

1 परीकष म शब न को 40 ऄक तथ रण को 20 ऄक नमल तो रण को शब न स 20 ऄक कम पर पत

हए

2 श ल म 600 छ तरो म स 200 छ तर कम अए तो ईस ददन श ल म 400 छ तर अए

3 दो रख खडो की लमब इ 8 समी एव 4 समी हो तो पहली रख खणड की लमब इ दसर रख खणड स 4

समी ऄनधक ह

4 दकसी दरव ज की उा च इ 8 दफट ह और आसकी चौड़ इ 2 दफट ह तो आसकी उा च इ चौड़ इ स 6 दफट

ऄनधक ह दरव ज क सदभम म उा च इ व चौड़ इ क ऄतर 6 दफट ह बत न स वह दकतन ईपयकत ह

पत नही चलत यदद दकसी दरव ज की उा च इ 18 दफट और चौड़ इ 12 दफट हो तो भी ऄनतर 6

दफट ह जबदक दोनो म बहत ऄतर ह दोनो र नशयो म तलन क एक और अध र हो सकत ह

हम यह भी दख सकत ह दक पहली र नश दसरी र नश क ऄथव दसरी र नश पहली र नश क दकतन

गण ह आसस पहल दरव ज म उा च इ चौड़ इ की तलन म 4 गण ह जबदक दसर म उा च इ

चौड़ इ क डढ़ गण ह

नीच स रणी म भी दो र नश लकर ईनकी तलन की गइ ह

अप दननक जीवन क कछ ईद हरण बत आए नजसम आसी परक र पत करन हो दक एक र नश दसरी

र नश क दकतनी गनी ह अपक कमर की लमब इ 30 फीट एव चौड़ इ 15 फीट ह ऄथ मत कमर की लमब इ

चौड़ इ स दगनी ह आस आस परक र स नलख ज सकत ह ndash

कमर की लमब इ 30 फीट 2

कमर की चौड़ इ 15 फीट 1

ऄथ मत लमब इ चौड़ इ स दगनी ह य कमर की लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह यह भी कह सकत

= = =

P a g e | 133

ह दक चौड़ इ और लमब इ क ऄनप त 1 2 ह

ऄतः ऄनप त पररम ण क अध र पर बन सबध ह

1 50 पसतको एव 10 पसतको क मधय ऄनप त = 50 10 = 5 1

2 र म की ईमर 20 वषम एव शय म की ईमर 30 वषम ह दोनो क ईमर क मधय ऄनप त

= 20 30 = 2 3

3 400 दकलो गह एव 100 दकलो गह क मधय ऄनप त = 400 100 = 4 1

4 र नश a तथ र नश b क मधय ऄनप त = a b

ऄभय स 1

स रणी म नशकषक एव छ तर ऄनप त जञ त करक स रणी पणम कीनजए

ऄनप त क ब र म कछ ब त

1 दो र नशयो a तथ b क मधय ऄनप त को a b स दश मत ह नजसम a पहल तथ b दसर

पद ह ( जह ा a तथ b पणम सखय एा ह )

2 ऄनप त जञ त करत समय एक ही परक र की र नशयो को सम न आक इ स दश मय ज त ह

दिय कल प 4

शली और ईसक पररव र क सदसय एक पड़ क प स खल मद न म खड़ थ शली न परछ आयो को

दख और ईनको न पन लगी ईसन पररव र क परतयक सदसय की परछ इ की लब इ और ईनकी उा च इ को

ननमन नस र त नलक म दश मय ndash

ऄब शली क स मन एक समसय अ गइ पररव र क सदसयो की उा च इ तो ईस म लम थी और ईसन परछ इ

की लब इ न प ली लदकन पड़ की उा च इ नही म प सकी कयोदक पड़ की उा च इ जञ त करन मनशकल थ

कय वह परछ इ दखकर पड़ की उा च इ ननक ल सकती ह अआए दख शली न आस समसय को कस

हल दकय -

P a g e | 134

ईसन त नलक म सखय ओ क बीच एक समबनध दख परतयक वयनकत की उा च इ ईसकी परछ इ स

दगनी ह ईसन सोच दक यदद ईसी सथ न पर सभी सदसयो की उा च इ एव परछ इ की लमब इ क ऄनप त

2 1 ह तो पड़ की उा च इ भी परछ इ की लमब इ की दगनी होगी ईसन आसस पत कर नलय दक पड़ की

उा च इ 430 समी ह

ईद हरण 1

एक वयनकत न 25 रपय ऄपन पतर को एव 36 रपय ऄपनी पतरी को ददय तो ईनको ददए गए रपयो

क ऄनप त जञ त कीनजए

हल पतर क भ ग = 25 रपय

पतरी क भ ग = 36 रपय

पतर क भ ग पतरी क भ ग तर 25 36

ईद हरण 2

एक डड की लब इ 90 समी एव एक ब ास की लमब इ 4 मीटर 50 समी ह तो डड एव ब ास की

लमब इयो क ऄनप त जञ त कीनजए

हल डड की लमब इ = 90 समी

ब ास की लमब इ = 4 मीटर 50 समी

= (400 + 50) समी 1 मीटर = 100 समी

= 450 समी

(यह डड एव ब ास की लमब इ ऄलग-ऄलग आक इ म ह ऄतः एक ही आक इ समी म बदलन

अवशयक ह)

ऄतः डड की लमब इ ब ास की लमब इ = 90 450

= 1 5 (सरलतम रप)

ईद हरण 3

र जश की एक महीन की अमदनी 12500 रपय ह आसम स वह 2500 र की बचत करत ह

ऄनप त जञ त कीनजए

1 र जश की अमदनी और ईसक खचम क बीच

2 र जश की अमदनी और ईसकी बचत क बीच

हल र जश की म नसक अमदनी = 12500 रपय

र जश की म नसक बचत = 2500 रपय

र जश क म नसक खचम = 12500 - 2500 रपय

= 10000 रपय

ऄतः र जश की अमदनी क ईसक खचम स ऄनप त = 12500 10000

= 5 4

र जश की अमदनी क ईसकी बचत स ऄनप त = 12500 2500

= 5 1

P a g e | 135

ईद हरण 4

एक पन क मलय और एक पनसल क मलय क ऄनप त जञ त कीनजए जबदक पनो क मलय 144 र

परनत दजमन एव 10 पनसल क मलय 90 र हो

हल यह सबस पहल एक पन और एक पनसल क मलय जञ त करन होग

एक दजमन य 12 पनो क मलय = 144 र

1 पन क मलय = 144

12 = 12 र

10 पनसल क मलय = 90 र

1 पनसल क मलय = 90

10 = 9र

ऄतः 1 पन क मलय 1 पनसल क मलय = 12

9 =

4

3 = 4 3

ईद हरण 5

छोट एव बमट क बीच 40 टॉफी को 4 1 क ऄनप त म ब ारटए

हल कल भ गो की सखय = 4 + 1 = 5

40 टॉफी को 5 भ गो म ब टन पर 4 नहसस छोट को एव 1 नहसस नमनट को नमलग

ऄतः छोट क नहसस = 40

5 times 4

= 32 टॉफी

और नमनट क नहसस = 40

5 times 1

= 8 टॉफी

ईद हरण 6

ननमननलनखत म पो क ऄनप त जञ त कीनजए -

(ऄ) 5 र तथ 50 पस

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म

हल (ऄ) 5 र तथ 50 पस क ऄनप त -

5 र = 5 times 100 पस = 500 पस

ऄनप त 500

50 =

10

1 = 10 1

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर क ऄनप त

10 मीटर = 10 times 100 समी

ऄनप त = 500

10times100 =

1

2 = 1 2

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म क ऄनप त

8 दकगर = 8 times 1000 गर म = 8000 गर म

ऄनप त = 8000

640 =

25

2 = 25 2

P a g e | 136

परशन वली 101

1 ऄपन अस प स स ननमननलनखत वसतए आकटठी कीनजए ईन वसतओ की लमब इ जञ त कर

लमब इयो क बीच ऄनप त पत कीनजए ऄनप त को सरलतम रप म नलनखए

(i) अलनपन क कील स (ii) कील क पननसल स

(iii) पन क कील स (iv)कील क अलनपन स

(v) अलनपन क पन स (vi) पन क पननसल स

(vii) पननसल क अलनपन स (viii) पन क अलनपन स

2 ननमननलनखत क ऄनप त जञ त कीनजए

(i) 15 नमनट क 1 घट स (ii) 250 गर म क 1 दकलोगर म स

(iii) 15 पस क 1 रपय स (iv) 15 पस क 5 रपय स

(v) 212 समी क 1 मीटर स (vi) 10 मीटर क 25 समी स

(vii) 40 समी क 25 मीटर स

3 ननमन म स परतयक ऄनप त को ईसक सरलतम रप म नलनखए

(i) 150 400 (ii) 85 255

(iii) एक दजमन एक कोरी (iv) 27 57

(v) 24 68 (vi) 250 375

(vii) 65 91 (viii) 25 75

(ix) 50 225 (x) 500 10000

4 नवश ख की व रसषक अमदनी 80000 रपय ह ईसन 5000 रपय अयकर क रप म द ददए ननमन

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) अयकर अय

P a g e | 137

(ii) अय अयकर

5 मनन और बनन न एक दौड़ म भ ग नलय ननध मररत समय म मनन न 210 मीटर की दरी तय की और

ईतन ही समय म बनन न 180 मीटर की दरी तय की मनन और बनन क दव र तय की गइ दरी क

ऄनप त कय होग

6 सतीश एक वजञ ननक क रप म क यम करत ह और ईनकी अय 20000 रपय परनत म ह ह ईनकी

पनतन ऄनीत डॉकटर ह तथ ईसकी अय 15000 रपय परनत म ह ह ननमननलनखत ऄनप तो को जञ त

कीनजए

1 सतीश की अय ऄनीत की अय

2 सतीश की अय ईनकी कल अय

7 एक सकल म कल नवदय रसथयो की सखय 1500 ह ईसम स लड़दकयो की सखय 600 ह लड़को तथ

लड़दकयो की सखय क ऄनप त जञ त कीनजए

8 20 गबब रो को दो बचचो क बीच 2 3 क ऄनप त म ब रटए बत आए दोनो को दकतन-दकतन गबब र

नमल

9 र जश और ज वद न नमलकर एक दक न खोली दक न म र जश न 45000 र तथ ज वद न

36000 र लग ए बत आए र जश और ज वद दव र लग इ पनजयो क मल ऄनप त कय ह

10 दकसी परीकष म 117 परीकष रसथयो म स 65 ऄसफल हो गए तो सफल और ऄसफल परीकष रसथयो की

सखय म कय ऄनप त ह

11 रतन और शील न नमलकर ऄपन च च क बगीच स 18 अम तोड़ दोनो ऄब आस अम को अपस म

ब ाटन च हत ह रतन च हती ह दक ईमर क ऄनप त म अमो को ब टन च नहए ऄब बत आए दक

ऐस ब ाटन पर रतन और शील को दकतन-दकतन अम नमलग जबदक रतन की ईमर 15 वषम तथ

शील की ईमर 12 वषम ह

12 वतमम न म एक नपत तथ पतर की अय 50 वरष एव 20 वषम ह नपत की ईमर तथ पतर की ईमर क

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) वतमम न म नपत पतर की अय क ऄनप त

(ii) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 10 वषम थी

(iii) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 35 वषम थी

(iv) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 40 वषम की होगी

(v) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 75 वषम की होगी

13 र म और शय म की अय क ऄनप त 3 4 ह यदद ईनकी कल अय 21000 र ह तो र म और

शय म की अय बत आए

14 A और C क बीच म नबनद B आस परक र ह दक AB BC = 7 3 क यदद AC = 40 दकमी ह तो

बत आए AB तथ BC क म न दकतन होग

15 मर प स 6 समोस ह आनह म ऄपन नमतरो म ब टन च हत हा यदद

(i) म 1 1 म दो नमतर क मधय ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

P a g e | 138

(ii) म 2 1 3 म तीन नमतरो म ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

ऐदकक नवनध

नीच दी गइ कछ नसथनतयो को दनखए -

1 अप ब ज र ज त ह और दो कॉनपय ा 20 र म खरीदकर ल त ह ऄब यदद अपको और 5 कॉनपयो

की जररत ह तो अपक प स दकतन रपय होन च नहए

2 शय म क सकटर म 2 लीटर पटरोल ह ईस ऄनद ज़ ह दक वह आतन पटरोल स 50 दकलोमीटर की दरी

अर म स तय कर सकत ह यदद ईस 100 दकलोमीटर दर ज न ह तो ईसक सकटर म कम स कम

दकतन पटरोल होन च नहए

3 अप ऄपन जनमददन पर ऄपन दोसतो को तोहफ दन च हत ह अप नखलौन की दक न पर एक

ग ड़ी पसनद करत ह यदद 75 र म 3 ग नड़य ा नमलती ह और अपको 15 ग नड़य ा खरीदनी ह तो

अपक प स दकतन रपय होन च नहए

ईपरोकत नसथनतयो क हल क ब र म सोनचए

पहली नसथनत को दनखए -

दो कॉनपयो की कीमत 20 र ह

तो 1 कॉपी की कीमत होगी = 10 र

ऄब 1 कॉपी की कीमत 10 र ह

तो 5 कॉनपयो की कीमत = 10 times 5 = 50 र

आसी नवनध क ऄनस र ब की दो नसथनतयो को हल कररए

आस परक र क कछ ऄनय सव ल बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आए

जब ऄनक वसतओ क मलय जञ त होन पर एक वसत क मलय जञ त करक व नछत वसतओ क मलय

जञ त दकय ज त ह तो ईस ऐदकक नवध य ऐदकक ननयम कहत ह

दिय कल प 5

ननमन दकत स रणी क ऄवलोकन कीनजए एव ररकत सथ नो की परसत कीनजए

हम दखत ह दक

2 घट म तय की गइ दरी = 8 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 82 = 4 दकमी

5 घट म तय की गइ दरी = 4 times 5 = 20 दकमी

P a g e | 139

यह ा स आदकल क र रलग ड़ी दव र 5 घट म तय की गइ दरी ननक लन क नलए पहल परतयक क

दव र 1 घट म तय की गइ दरी जञ त करनी पड़गी

ईद हरण 7

यदद एक छ तर व स म परनत 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकलो ह तो 30 बचचो क नलए

च वल की दकतनी खपत होगी

हल आस समसय क हल दो चरणो म करग

चरण 1 - सबस पहल जञ त करग 1 बचच क नलए दकतन च वल लगग

जबदक 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकगर ह

आसनलए 1 बचचो क नलए च वल की खपत 2

10 =

1

5 दकगर

चरण 2 - आसम हम 30 बचचो क नलए च वल की खपत जञ त करग

जबदक 1 बचच क नलए च वल की खपत ह 1

5 दकगर

आसनलए 30 बचचो क नलए च वल की खपत 30 times 1

5 = 6 दकगर

ऄतः 30 बचचो क नलए 6 दकगर च वल की खपत होगी

ईद हरण 8

एक हव इ जह ज 5 घट म 4000 दकमी ईड़त ह वह तीन घट म दकतन ईड़ग

हल

पहल चरण म एक घट म हव इ जह ज दव र तय की गइ दरी जञ त की ज एगी तथ दसर चरण म

पछ गए समय (ऄथ मत 3 घट) म दरी दकतनी होगी जञ त की ज एगी

चरण 1- 5 घट म तय की गइ दरी = 4000 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 40005 दकमी = 800 दकमी

चरण 2- 1 घट म तय की गइ दरी = 800 दकमी

3 घट म तय की गइ दरी = 3 times 800 = 2400 दकमी

आस परक र हव इ जह ज 2400 दकमी दरी तय करग

ईद हरण 9

एक मनहल की 15 महीन की बचत 18000 र ह

1 ईसकी स त महीन की बचत कय होगी

2 दकतन महीनो म ईसकी बचत 30000 र होगी

हल

चरण 1- जबदक 15 मनहन की बचत 18000 र ह

आसनलए 1 मनहन की बचत = 1800015 = 1200 रपय

चरण 2- 1 महीन की बचत 1200 र ह

7 मनहन की बचत = 1200 times 7 = 8400 रपय

1200 र की बचत होती ह 1 महीन म

30000 र की बचत होगी 30000times1

1200 = 25 मनहन म

P a g e | 140

परशन वली 102

1 तीन कॉनपयो की कीमत 1650 र ह तो 7 कॉनपयो की कीमत जञ त कीनजए

2 एक क र 3 घटो म 165 दकलोमीटर चलती ह तो वह क र

(i) 440 दकलोमीटर की दरी दकतन समय म तय करगी

(ii) 612 घटो म दकतनी दरी तय करगी

3 72 दकत बो क वज़न 9 दकलोगर म ह

(i) 80 दकत बो क वज़न जञ त कीनजए

(ii) दकतनी दकत बो क वज़न 6 दकलोगर म होग

4 दकसी मज़दर की 25 ददनो की अय 1500 र ह ईसकी 30 ददनो की अय जञ त कीनजए

5 यदद 22 मीटर कपड़ क मलय 704 र ह तो 20 मीटर कपड़ क मलय कय होग

6 स ररणी परी कीनजए

हमन सीख

1 दो सम न र नशयो क ऄनप त यह दश मत ह दक एक र नश दसरी र नश स दकतनी गनी ह

2 दो र नशयो क ऄनप त पर यः ईनक सरलतम रप म वयकत दकय ज त ह जस na nb को a b नलख

ज त ह

3 दी गइ र नशयो स पहल एक र नश क आक इ म न जञ त कर दफर व नछत सखय म र नशयो क म न

जञ त करन की नवनध को ऐदकक नवनध कह ज त ह

दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 -

- 10

- 3000

P a g e | 141

11

चर सखय

अप ऄपन च रो ओर ऐसी कइ चीजो को दखत ह नजनम कछ क म न नसथर होत ह और कछ क म न बदलत

रहत ह जस- दकसी कसी क भ र तो अज कल य कछ ददनो क ब द भी वही रहग परनत जब बीज क

ऄकरण हम दखत ह तो ईसस ननकल पौध की लमब इ धीर-धीर बदलती रहती ह आसी परक र ककष की लमब इ

एव चौड़ इ नसथर ह परनत ब ररश क ददनो म कएा क प नी क सतर एक म ह ब द दकतन बदल ज एग यह नही

बत य ज सकत अप ऄपनी क पी म आस तरह क 5 ईद हरण नलनखए जह ा म न नसथर रहत ह एव 5

ईद हरण ऐस नलनखए जह ा म न बदलत रहत ह

ककष म ईद हरण को कॉपी म नलखत समय ऄन न रोहन स कह दक म तो यह ा नलख गी दक मर

नपत जी की ईमर तो बदल रही ह परनत ईनकी उा च इ नसथर ह रोहन न भी कह दक म यह ा नलखाग दक हम र

खत क रकब च र एकड़ ह परनत ईसम पद होन व ली फसल कभी कम तो कभी जय द होती ह

ईपरोकत ईद हरणो म अपन दख दक कछ म न तो बदल रह ह परनत कछ म न नसथर ह नीच अपको

कछ पररनसथनतय ा दी गइ ह अप अपस म चच म कर ररकत सथ नो म पररनसथनत क ऄनस र म न नसथर ह ऄथव

बदल रह ह नलनखए

दिय कल प - 1

ऄनतम ईद हरण को हल करत समय हमीद न ऄपन स नथयो स कह lsquolsquoयदद अल बड़ होग तो 1 दकगर

म कम अएाग परनत यदद अल छोट होग तो 1 दकगर म जय द अएाग हम तो यह भी नही बत सकत दक एक

थल म अन व ल अलओ की सखय कय होगी ऐस ही कछ कल हम र स थ घर म हअ नपत जी न हम सभी

भ इ - बहनो को चककर म ड ल ददय ईनक रम ल म कछ टॉदफय ा बधी हइ थी ईनहोन पछ lsquolsquoआस रम ल म

दकतनी टॉदफय ा हlsquolsquo हम टॉदफयो की सखय म लम ही नही थी तो कस बत त कय टॉदफयो की सखय बत न

क कोइ तरीक नही ह आस पर र ज न कह दक चलो ऄपनी गनणत नशनकषक स पछ

नशनकषक न बचचो की समसय को सन और एक नइ समसय बचचो क स मन रख दी ईनहोन पछ दक आस

चॉक क नडबब म दकतन चॉक ह बचचो न ऄद ज स ऄलग-ऄलग सखय बत यी - हमीद न 12 र ज न 18 ऄन

न 16 रोहन न 20 आतय दद नशनकषक न कह lsquolsquoआसम स यदद 5 चॉक ननक ल द तो अपक ऄनस र नडबब म

दकतन चॉक बचगlsquolsquo हमीद र ज ऄन और रोहन न नहस ब लग कर सखय िमशः बत य 12-5 = 7 18-5 =

13 16-5 = 11 20-5 = 15

चादक नडबब म चॉक की सखय म लम नही थी आसनलए ईततर ऄलग-ऄलग अए यदद आन सखय तमक

म नो की जगह हम lsquolsquoचॉक की सखय - 5lsquolsquo नलख तो सभी क ईततर एक सम न अ ज एग दकनत आस

परक र नलखन स ब र-ब र चॉक की सखय नलखनी पड़गी कय आस सकषप म नलखन क कोइ तरीक ह

िम क पररनसथनतय ा म न नसथर हबदल रह ह

1 सपत ह म ददनो की सखय

2 म ह जनवरी म ददन क त पम न

3 अपकी ककष म रोज़ अन व ल छ तरो की सखय

4 हॉकी क खल म खलन व ल नखल नड़यो की सखय

5 1 दकलोगर म अल म अलओ की सखय

P a g e | 142

यदद नडबब म चॉक की सखय को हम ldquoचldquo नलख और आसम स 5 चॉक ननक ल द तो नडबब म चॉक की

सखय =च-5 होगी आसी तरह यदद आस नडबब म 3 चॉक ड ल द तो नडबब म चॉक की सखय = च+3 होगी

अआए आस समझन क नलए एक और ईद हरण दख-

टॉफी क पकट म 20 टॉदफय ा ह परनत पकट की कीमत म लम नही ह-

यदद 1 ट फी क मलय 50 पस ह तो पकट क मलय 20 times 050 र = 10 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 1 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 1 र = 20 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 2 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 2 र = 40 रपय होग

आस परक र यह ा पकट क मलय तर 20 times 1 टॉफी क मलय) होग यह ा यदद 1 ट फी क मलय क सथ न

पर हम x र य y र य z र य कोइ भी ऄकषर नलख तो पकट क मलय = 20x र य 20y र य 20z र

होग ऐस ही एक और ईद हरण दखत ह

एक वगम की परतयक भज की लमब इ 2 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 2 आक इ यदद वगम की

परतयक भज की लमब इ 3 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 3 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ 7

आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 7 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ a आक इ ह तो वगम क

पररम प = 4 times a आक इ

उपर क सभी ईद हरणो म अपन दख दक कछ र नशय ा तो नसथर ह जस पकट क मलय 20x र म 20

तो नसथर ह परनत x र ऄथ मत 1 टॉफी क मलय क बदलन पर पकट क मलय बदल ज त ह आसी परक र वगम क

पररम प 4a म 4 नसथर ह परनत भज क म न य a आक इ क बदलन पर वगम क पररम प बदल ज त ह सभी

ईद हरणो को दखन क ब द हमीद न सोच दक सभी बदलन व ल म नो को दकसी ऄकषर दव र नलख ज त ह

आसनलए हम कह सकत ह दक मर नपत जी क रम ल म z टॉफी रही होगी z क म न हम कछ और ज नक री

नमलन पर ही ननक ल सकत ह ऄनयथ नही

आस परक र य बदलन व ली र नशय ा ही चर ह आनक कोइ भी म न हो सकत ह आनह नहनदी ऄथव

ऄगरजी वणमम ल क दकसी भी ऄकषर जस ऄ ब स द य क ख ग घ य a b c य p q r य x y z दव र

नलख ज सकत ह आनही ऄको को चर क य बीज क भी कहत ह

जब भी ऐसी सखय नजसक म न म लम नही ह अती ह तब ईस सखय क सथ न पर बीज ऄक य

चर क क ईपयोग दकय ज त ह आन बीज क य चर को क ईपयोग स परशन हल करन अस न हो ज त ह

आस परक र ऄकगनणत क वय पकीकरण क नलए भी चरो क ईपयोग दकय ज त ह जस

1 दकसी सखय तथ ईसक ब द अन व ली सखय क बीच कय सबध ह 4 क ब द अन व ली सखय कय

ह यह सखय 5 ह ऄथ मत 4+1 आसी परक र 1000 क ब द अन व ली सखय कय ह यह सखय 1001

ह ऄथ मत 1000+1 ऄतः यदद कोइ सखय दी गइ हो तो ईसक ब द व ली सखय दी गइ सखय म 1

जोड़कर पर पत की ज ती ह यदद कोइ सखय x ह तो ईसक ब द अन व ली सखय x+ 1 होगी

2 आसी परक र कय अप दकसी सखय क पहल अन व ली सखय क नलए ननयम बन सकत ह

3 कय अप सम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह 2 4 6 8 आतय दद सम सखय य ह

आन सभी सखय ओ क एक गणनखड 2 ह ऄथ मत दकसी भी पण ाक सखय को 2 स गण कर सम सखय

पर पत की ज सकती ह म न ल दक n कोइ पर कतगणन सखय ह तो 2n एक सम सखय क रप म नलखी

ज सकती ह

P a g e | 143

4 कय अप नवषम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह यदद सखय ओ को दख तो अप यह प त

ह दक सम और नवषम सखय एा एक क ब द एक अती ह ऄथ मत नवषम सम नवषम सम

नवषम जस 1 2 3 4 5 6 7 8 यह ा परतयक सम क पहल व ली सखय नवषम ह

तथ ब द व ली सखय भी नवषम ह अपन आसक पहल सम सखय ओ को 2n स बत य ह दकसी सखय

क पहल अन व ली सखय x- 1 ह तथ ब द म अन व ली सखय x + 1 ह तो दकसी सम सखय ऄथ मत

2n क पहल अन व ली सखय 2 n-1 होगी तथ ब द म अन व ली सखय 2n +1 होगी आस परक र

(2 n-1) य (2n + 1) नवषम सखय क नलए नलख ज सकत ह

नीच दी गइ सखय य कछ ननयमो स जड़ी ह अप आनह द व ा पद क रप म नलनखए ndash

परशन वली 11

परशन 1 ननमननलनखत को सखय ओ ऄकषर सखय ओ तथ मलभत सदिय ओ क नचहनो की सह यत स ददख आए

यह भी बत आए दक परतयक ऄकषर कय बत त ह

(i) एक वतत क वय स ईसकी नतरजय स दोगन ह

(ii) एक अयत क कषतरफल ईसकी लमब इ एव चौड़ इ क गणनफल क बर बर ह

(iii) नविय मलय िय मलय तथ ल भ क योगफल क बर बर होत ह

(iv) दकसी सखय म दसरी सखय को जोड़ गय ह

(v) दकसी सखय म स 7 ननक ल गए

(vi) नमशरधन मलधन तथ बय ज क योगफल क बर बर होत ह

परशन 2 सहीगलत कथन छ ारटए व गलत कथनो को सध र कर नलनखए

(i) सखय a क परवती a + 1 ह

(ii) x क म न पररनसथनत क ऄनस र बदलत रहत ह

(iii) 2n एक नवषम सखय होगी

(iv) m x n दो ऄजञ त सखय ओ क गणनफल ह

(v) चर को को स म नयतः ऄगरजी वणमम ल क छोट ऄकषरो स दश मत ह

हमन सीख

1 जो ऄकषर सखय ओ को दश मन क क म म अत ह ऄकषर सखय कहल त ह

2 य ऄकषर चर क क रप म सखय ओ को ही दश मत ह ऄतः व ईन सभी ननयमो क प लन करत ह जो सखय ओ

दव र की ज ती ह

3 वह र नश नजसक एक नननित सखय तमक म न हो ऄचर र नश कहल ती ह

4 वह र नश नजसक कइ सखय तमक म न हो सकत ह चर र नश कहल ती ह

5 ऄकगनणत म हम एक नननित म न व ली सखय क ईपयोग करत ह जबदक बीजगनणत म ऐस ऄकषरो क परयोग

करत ह नजसक म न एक स ऄनधक हो सकत ह

6 दकसी सखय क बीजीय भ ग चर र नश कहल त ह p = 4a म p और a चर र नश तथ 4 ऄचर र नश ह

P a g e | 144

नपछल प ठ म अपन चर र नशयो क ब र म पढ़ ह आनह चर ऄको य बीज ऄको क रप म दकस

तरह नलखत ह यह भी अप सीख चक ह ऄब अप बदलन व ली ऄथव ऄजञ त म न व ली र नश को चर

ऄक स एव नसथर रहन व ल म नो को नसथर ऄको क दव र बड़ी अस नी स बत सकत ह आस परक र lsquolsquoचर क

एव नसथर क स बन हअ वयजक ही बीजीय वयजक हrsquorsquo नपछल प ठ म अपन जह भी चर क क ईपयोग

दकय ह ईन सभी को बीजीय वयजक भी कह सकत ह

अआए दननक जीवन म बीजीय वयजको क ईपयोग कस होत ह दख

रनज़य की ईमर म लम नही ह ऄब यदद कह ज ए दक 5 वषम पवम रनजय की ईमर कय रही होगी

य 3 वषम ब द रनज़य की ईमर दकतनी होगी आन सभी परशनो क ईततर बीजीय वयजको क रप म ददय ज

सकत ह

यदद रनज़य की ईमर को y वषम स दश मय ज ए तो 5 वषम पहल रनज़य की ईमर y - 5 वषम रही होगी

तथ 3 वषम ब द y + 3 वषम होगी यह y - 5 तथ y + 3 बीजीय वयजक ह अआए बीजीय वयजक क रप

म कछ और गनणतीय समसय ओ को वयकत कर

1 र ध क पर पत क नह क पर पत क स 3 कम ह यदद नह क पर पत क x ह तो र ध क पर पत क x - 3

होग

2 अयत की लमब इ चौड़ इ स 4 आक इ ऄनधक ह यदद अयत की चौड़ इ y आक इ ह तो लमब इ (y

+ 4) आक इ होगी

3 दकसी अयत क र मद न की लमब इ x ह तथ चौड़ इ y ह तो ईस मद न क च रो ओर 1 चककर

लग न म तय की गइ दरी कय होगी एक चककर लग न म तय की गइ दरी p = x + y + x + y

होगी x

y y

x

दिय कल प 1

ननमननलनखत को बीजीय वयजक क रप म नलनखए

1 दकसी सखय क तीन गण

2 दकसी सखय स 6 ऄनधक

3 दकसी सखय स 17 कम

4 दकसी सखय क 5 व भ ग

5 दकसी सखय क दगन स 12 ऄनधक

6 दकसी सखय क स त गण स 3 कम

7 दकसी सखय क च र गण क तीसर भ ग

8 दकसी सखय म ईसी सखय क 7 गण जोड़ ज ए

P a g e | 145

9 दकसी सखय क 5 गण स ईसी सखय क 6 गण घट य ज ए

10 दध क भर नडबब स 5 लीटर दध ननक ल नलय तो दकतन लीटर दध बच

ईपयमकत दिय कल पो म अपन दख दक सभी बीजीय वयजक चर क और नसथर क स नमलकर बन ह

दिय कल प 2

नीच स रणी म चर क तथ नसथर क को ऄलग-ऄलग छ टकर ददए गए सथ न पर नलनखए-

िम क वयजक चर क नसथर क

1 Z Z 1

2 X + 5 X 1 5

3 Y ndash 8

4 3x + 2y

5 2xy ndash 3 X y 2 -3

6 7 ndash 3x

7 33x

8 Y - x

कय उपर स रणी म सभी बीजीय वयजको क पद सम न ह

यह z एव 33x म पद की सखय 1 ह तथ शष कथनो म पदो की सखय 2 ह नजसक ऄथम यह हअ

दक-

दकसी बीजीय वयजक म ऄलग-ऄलग चर क एव नसथर क क बीच नजतन ब र $ ऄथव - नचहन क

ईपयोग होत ह बीजीय वयजक म पदो की सखय ईसस 1 ऄनधक होगी

दिय कल प 3

ननमननलनखत ररकत सथ नो पर बीजीय वयजको क पदो की सखय नलनखए

1 3x + 8 (दो)

2 3 + y ndash 7p ()

3 2x + 3xy + z ()

4 8x ()

5 9 + 3a ndash 3x + b ()

6 5xyz ()

P a g e | 146

अपन चर को एव नसथर को को ज न नलय ह जस 3x + 8y + 7 म x और y तो चर क ह परनत

3 8 और 7 नसथर क ह जस अपन चर क प ठ म दख ह 3x व सतव म x क तीन गण ह ईसी परक र

8लy भी y क 8 गण ह आसक ऄथम यह हअ दक चर क क स थ जो नसथर क ह वह चर क को गण करन

व ल ऄक ह आसनलए हम आस गण क कहत ह ऄतः 3x + 8y + 7 म 3 गण क ह x क 8 गण क ह y क

तथ 7 नसथर क ह आसी परक र 9ab म ab चर क ह तथ 9 ईनक गण क ह

दिय कल प 4

ननमननलनखत बीजीय वयजको क गण क एव चर क को ऄलग कीनजए तथ सम न चर क व ल

वयजको को छ ाटकर ऄलग नलनखए

िम क वयजक गण क चर क

1 8x

2 9py

3 Xyz

4 18ab

5 Yz

6 -1

2 yz

7 3xyz

8 32x

9 -3py

10 -3

5 yz

ईपयमकत दिय कल प म अपन प य दक 8x तथ 32x म चर क क म न x ह ईसी परक र 9py तथ

-3py म चर क क म न py ह xyz तथ 3xyz म चर क क म न xyz ह yz -1

2 yz एव -

3

5 yz म चर क

क म न yz ह आस परक र सम न चर क व ली र नशयो को lsquolsquoसज तीयrsquorsquo चर क व ली र नशय ा कहत ह

सज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न होत ह lsquolsquoसज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

ईनक गण क व ल भ ग ऄलग-ऄलग हो सकत ह

नवज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न न हो ईनह lsquolsquoनवज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

P a g e | 147

दिय कल प 5

ददय गय बीजीय वयजको क सममख स रणी म ददए गए वयजको म स सज तीय चनकर घर लग ए ndash

परशन वली 12

परशन-1 ननमननलनखत वयजको म एक पदीय और नदवपदीय वयजक पहच नकर नलनखए

(i) 3x + 4y (ii) 9+ 3y (iii) 4a ndash 7b

(iv) 5x + 1 (v) a - 30 (vi) 4ab

(vii) abc - 1 (viii) 3xy (ix) ab + bc

(x) a + abc

परशन-2 ननमननलनखत वयजको म स सज तीय वयजक को चननए ndash

5xy7c-4

5119910119911-7bc-

9

4119909119910

2

7119911-2cbc-37pqr

11

131199101199117z9pqr

हमन सीख

1 सखय ओ क सथ न पर परयोग दकय ज न व ल ऄकषर चर र नश कहल त ह आनह बीजीय र नशय ा भी

कहत ह

2 एक सम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को सज तीय पद कहत ह

3 ऄसम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को नवज तीय पद कहत ह

4 चर एव ऄचर ऄथव चर एव चर जब +-x ऄथव divide नचहन स जड़त ह तो ईनह बीजीय वयजक

कहत ह

5 एक पद व ल बीजीय वयजक को एक पदीय वयजक कहत ह

6 दो पद व ल बीजीय वयजको को नदवपदीय वयजक कहत ह

P a g e | 148

ककष म कछ छ तर व छ तर ए अपस म चच म कर रह थ मरी न कह - अज म घर स अ रही थी तो

कपड़ की दक न पर बड़-बड़ ऄकषरो म नलख थ lsquolsquoछट छट छट 10 परनतशतlsquolsquo आसक कय मतलब ह

ऄरण न कह - यदद 100 र क कपड़ खरीद तो ईस पर 10 र की छट नमलगी वह कपड़ 90 र म

नमलग

मरी - यदद 40 र क कपड़ खरीद तो दकतन की छट नमलगी

सलम - 4 र की छट नमलगी ऄथ मत 36 र दन पडग

मरी - परीकष की ऄक सची म भी तो पर पत क क स थ परनतशत ऄक नलख ज त ह

रमश - परनतशत क ईपय ग और कह ा-कह ा होत ह

सलम - चलो नमलकर आसकी सची बन य

सभी छ तर सची बन न म जट गए सोच नवच र कर ईनहोन कछ ईद हरण नलख -

1 परीकष म ऄननल को 93 परनतशत ऄक पर पत हए

2 नपछली व रसषक परीकष म 87 परनतशत छ तर एा एव 76 परनतशत छ तर ईततीणम हए

3 बक जम र नश पर 5 परनतशत व रसषक बय ज दत ह

4 वय प र क कषतर म ल भ तथ ह नन को परनतशत म बत य ज त ह

5 दश क 70 परनतशत लोग ग व म रहत ह

6 ठड क मौसम म नबकन व ल पखो पर 15 परनतशत की छट

चलो हम भी समझ दक परनतशत कय ह और आसकी कय जररत ह

परनतशत की अवशयकत कयो

एक परीकष म ईम को 10 म स 8 ऄक पर पत हए नवनय को 20 ऄक म स 15 ऄक पर पत हए कय

अप बत सकत ह दक दकसको जय द ऄचछ ऄक पर पत हए ह

दोनो क ऄको की तलन करन क नलए दोनो क हर सम न करन होग

ऄथ मत ईम क पर पत क 8

10 =

8times2

10times2 =

16

20 ह

तथ नवनय क पर पत क 15

20 ह

ऄब कयोदक दोनो नभननो क हर सम न ह ऄतः आनकी तलन कर सकत ह

ऄब हम कह सकत ह दक ईम क पर पत क ऄनधक ह ऄथ मत जब भी तलन करनी हो हम दकतन म स

नमल ह ईस बर बर करन होत ह

P a g e | 149

यदद दोनो क पर पत क आस परक र बदल ज एा दक हर 100 हो तो -

ईम क पर पत क 8

10 =

8times10

10times10 =

80

100

चदक 10 म 8 ऄक बर बर ह 100 म 80 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक ईम क पर पत क

80 परनतशत ह

नवनय क पर पत क 15

20=

15times5

20times5 =

75

100

चादक 20 म 15 ऄक बर बर ह 100 म 75 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक नवनय क

पर पत क 75 परनतशत ह

ईम क पर पत क क परनतशत ऄनधक ह

आस परक र उपर ईद हरणो म अपन दख होग दक परनतशत क ऄथम lsquoपरनत सकड lsquo स ह यह अकड़ो

की तलन करन म ईपयोगी ह एक सम न अध र जो हर पररनसथनत म तलन क क म अ सक यह अध र

स म नयतः 100 नलय ज त ह जब पर पत को की तलन 100 क अध र पर की ज ती ह तब ईनक 100 म

स पर पत को को परनत सकड़ कहत ह ऄतः परनतशत म lsquoपरनतrsquo क ऄथम परतयक और lsquoशतrsquo क ऄथम सकड़ स ह

परनतशत क नलए नचनह क परयोग दकय ज त ह

ननमननलनखत त नलक म पर पत को की तलन कर दक दकस ऄनधक ऄक पर पत हए आसक नलए हम

पत करग दक दकसक ऄको क परनतशत ऄनधक ह

सलम क पर पत क क परनतशत सबस ऄनधक ह सोनचए दक यदद हम ऄनय दकसी तरीक स तलन

करन च ह तो कय वह आतन अस न होग

दिय कल प 1

नीच दी गइ त नलक को भररए तथ दखकर बत आए की दकस नवदय लय क परीकष फल जय द

ऄचछ ह आसक नलए भी अप परनतशत ननक लग

P a g e | 150

ईपरोकत दिय कल प स यह सपषट ह दक दो य दो स ऄनधक पररनसथनतयो क बीच तलन परनतशत की

सह यत स बड़ी अस नी स की ज सकती ह

यदद परनतशत 100 क अध र स तलन ह तो कय कभी परनतशत म म न 100 स ऄनधक हो

सकत ह अआए दख

ईद हरण 1

एक ददन सबजी-ब ज र म 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी दसर ददन 750 दकलोगर म

अल की खरीदी की गयी तो बत आय दक अल की खरीदी दकतन परनतशत बढ़ी

चदक पहल ददन 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी

दसर ददन 750 दकलोगर म अल खरीद गय

आस परक र अल की खरीदी म बढ़ोततरी -

= 750 दकगर - 300 दकगर

= 450 दकगर

ऄब 300 दकगर अल की खरीदी म 450 दकगर म बढ़ोततरी हइ ह

there4 1 दक गर म म 450

300 दकगर अल की खरीदी म बढ़ोतरी हइ

ऄतः अल की खरीदी म बढ़ हअ परनतशत

= 450times100

300= 150

कय अप दननक जीवन क ऐस ईद हरण सोच सकत ह जह ा (i) परनतशत 100 स कम (ii) बर बर

और (iii) 100 स ऄनधक ईपयोग म ल य ज त ह

प ाच-प ाच ईद हरण सोच व ऄपन दोसतो को बत ए

P a g e | 151

दिय कल प 2

ननमननलनखत नचतर क दकतन परनतशत भ ग को छ य दकत दकय गय ह तथ छ य दकत भ ग क

नभनन तमक म न कय ह ददए गए ररकत सथ न म नलनखए

जस -

P a g e | 152

नचतर 8

अपन उपर बन नचतरो म परतयक छ य दकत भ ग को परनतशत एव नभनन म बदलकर दख ह

कय परनतशत नभनन क बदल हअ एक रप ह

अआए कछ ईद हरणो को हल करक दख

दिय कल प 3

अपन पवम म सीख ह दक दकसी नभनन क हर यदद 100 हो तो वह नभनन ऄश क परनतशत क

बर बर होत ह ननमननलनखत नभननो को परनतशत म बदनलए

P a g e | 153

दिय कल प 4

नीच कछ परनतशत को नभननो म बदल गय ह शष की परसत कीनजए ndash

नशकषको क नलए (यदद नवदय थी 120783

120784 को परनतशत म बदलन क नलए सीध

120783

120784times 120783120782120782 करत ह तो मल ननयम

समझ त हए ईस वस करन द)

ईपरोकत दिय कल प म अपन दख दक 100 क नभनन रप 1

1 ह

आस परक र 50 क नभनन रप 1

2 ह

ऄतः परनतशत नभनन क ही एक रप ह

ईद हरण 2

एक श ल म 26 जनवरी क ददन कल 200 लडड ल य गय ईनम स 90 लडड छ तरो म ब ाट ददय

गय बच हय लडडओ की सखय जञ त कीनजए

हल परशन नस र

कल लडड तर 200

ब ट गय लडडओ की सखय = 200 क 90

= 200times90

100

ब ाट गए लडड = 180

शष लडड = 200 - 180

= 20 लडड

P a g e | 154

ईद हरण 3

एक ग ाव की जनसखय 10000 ह ईसम 60 मनहल एा 25 परष और शष बचच ह परतयक की

सखय जञ त कीनजए

हल- ग ाव की जनसखय = 10000

चदक 60 मनहल एा ह ऄथ मत 10000 क 60 मनहल एा

there4 मनहल ओ की सखय = 10000times60

100 = 6000

ऄतः मनहल ओ की सखय तर 6000

ऄब चदक 25 परष ह ऄथ मत 10000 क 25

there4 परषो की सखय = 10000times25

100 = 2500

ऄतः परषो की सखय = 2500

बचचो की सखय = 10000 ndash (6000 + 2500)

= 10000 - 8500

= 1500

ईद हरण 4

शय म न एक दक न स 50 रपय की एक पसतक खरीदी दक नद र न ईस 20 परनतशत की छट दी

तो शय म को दकतन रपय दक नद र को दन होग

हल 100 रपय म 20 रपय की छट

there4 1 रपय म 20

100 रपय की छट दत ह

there4 50 रपय म = 50times20

100 = 10 रपय की छट दग

ऄतः शय म को 50 - 10 = 40 रपय दक नद र को दन होग

ईद हरण 5

i 650 रपय क 50 जञ त कीनजए

ii 750 दकगर क 5 जञ त कीनजए

हल

i 650 रपय क 50 = 650times50

100

= 325 रपय

ii 750 दकगर क 5 = 750times5

100 = 375 दकगर

P a g e | 155

ईद हरण 6

धवल को व रसषक परीकष म 500 म स 450 ऄक नमल तथ यश को 900 म स 675 नमल दोनो म

स दकसक परीकष फल ऄचछ ह

परशन नस र ndash

ईपरोकत हल स सपषट ह दक धवल क परीकष फल यश स बहतर ह

परशनो को नयी नवनध य ऄनय नवनध स भी हल करन क परय स कर ऄपनी नवनध पर ऄपन स नथयो

व नशकषक महोदय स चच म कर

परशन वली 13

1 ननमननलनखत को परनतशत म बदनलए

(i) 3

2 (ii)

5

2 (iii)

1

5 (iv)

3

20

2 ननमननलनखत परनतशतो म परतयक को नभनन म वयकत कीनजए

(i) 50 (ii) 15 (iii) 2 (iv) 10

3 360 र क 60 जञ त कीनजए

4 480 दकलोगर म क 15दकतन होग

5 सीत को 500 म स 250 ऄक पर पत हए ईसक पर पत क क परनतशत जञ त कीनजए

6 र म को 10 र की गनणत की पसतक म 10 छट नमलती ह तो वह पसतक ईस दकतन म नमलगी

7 एक श ल म 15 ऄगसत क ददन कल 300 टॉदफय ा ल यी गयी ईनम स 99 टॉदफय ा छ तरो म

ब ाटी गयी बची हइ ट ादफयो की सखय जञ त कीनजए

8 यदद रप को व रसषक परीकष म 600 म स 390 ऄक पर पत होत ह तो ईस दकतन परनतशत ऄक पर पत

हए

9 यदद दकसी रबर को खीचकर दगन लमब कर ददय ज त ह तो लमब इ म वनदध परनतशत जञ त

कीनजए

10 दकसी शहर की कल जनसखय क 40 परष 35 मनहल एा और शष बचच ह यदद बचचो की सखय

18000 हो तो परषो और मनहल ओ की सखय जञ त कीनजए

11 दकसी ग ाव की जनसखय 3000 ह पहल वषम 10 बढ़ती ह एक वषम ब द ईसम 10 की कमी

अती ह तो जनसखय म होन व ली परनतशत बढ़ोतरी य कमी जञ त कीनजए

P a g e | 156

12 एक वयनकत 630 रपय क स म न खरीदत ह दक नद र न ईसस कवल 567 रपय नलए हो तो ईस

वयनकत को दकतन परनतशत की छट नमली

13 दकसी सखय क 75 600 रपय ह तो वह सखय जञ त कीनजए

14 बक म एक वयनकत न 5000 रपय जम कर य कछ वषो क ब द ईस 6000 रपय नमल तो ईसक

धन म दकतन परनतशत की वनदध हइ

15 दकसी ककष की दजम सखय 40 ह आनम 36 लड़क ईततीणम हो गय हो तो ईततीणम एव ऄनततीणम क

परनतशत जञ त कीनजए

16 दकसी ग व म 90 वयनकत स कषर ह यदद ईस ग व की जनसखय 1600 ह तो स कषर एव ननरकषर

की सखय जञ त कीनजए

हमन सीख

1 परनतशत क ऄथम lsquolsquoपरनत सकड़ rsquorsquo स ह

2 परनतशत की सह यत स तलन कर सकत ह

3 परनतशत को नभनन दशमलव तथ ऄनप त म वयकत कर सकत ह एव नभनन दशमलव तथ ऄनप त

को भी परनतशत म वयकत कर सकत ह

P a g e | 157

अप दो सखय ओ की तलन करन क नलए कहत ह दक एक सखय दसरी सखय स बड़ी ह छोटी ह य

सम न ह

दिय कल प 1

नीच तलन पर अध ररत कछ कथन ददए गए ह जो ऄपणम ह ख ली बॉकसो म = gt य lt क नचहन

क ईपयोग कर कथनो को पणम कीनजए -

जस 1 3 + 5 7 2 8 + 7 15

3 4 + 6 11 4 13 + 8 18

5 23 + 7 30

अपन दकस तरह आन नचहनो क ईपयोग दकय ह ऄपन तको क ब र म सोच

यह ा पर दो पकष ददए गए ह ब कस क ब ाय तरफ ब ाय पकष तथ द य तरफ द य ा पकष ह कथनो म 3

+ 5 ब य ा पकष ह चदक यह द य ा पकष 7 स बड़ ह ऄतः 3 + 5 gt 7

नजन कथनो म = नचहन क ईपयोग दकय गय ह ईनह छ ाटकर ऄपनी कॉपी म नलनखए

नजन कथनो को अपन कॉपी म नलख ह ईनह छोड़ ब की ऄसम नत क कथन ह अआए कछ और

कथनो को दख नजनम चर को क ईपयोग दकय गय ह

जस x + 5 = 13 म यदद x = 5 हो तो x क सथ न पर 5 रखन पर ब य ा पकष = 5 + 5 = 10 होत ह

द य ा पकष = 13 ह ऄतः यह कथन सही नही ह ब य ा पकष sup1 द य ा पकष परनत x क सथ न पर 8 रखन पर

दोनो पकष बर बर हो ज त ह और यह कथन सही हो ज त ह

दिय कल प 2

नीच कछ कथन ददए गए ह ईनक स मन ग क म न ददय गय ह ग क ददए गए म न क नलए

कथन सतय ह य ऄसतय बॉकस म नलनखए -

1 x + 3 = 8 यदद x = 5 तो कथन ह

2 x - 2 = 4 यदद x = 7 तो कथन ह

3 x + 2 = 10 यदद x = 8 तो कथन ह

4 7 = 12 - x यदद x = 3 तो कथन ह

5 3 = x - 9 यदद x = 5 तो कथन ह

जो कथन ऄसतय ह कय व ग क दकसी म न क नलए सतय होग यदद ह ा तो परतयक क नलए ग क म न को

ऄपनी कॉपी म नलनखए आस परक र ईपरोकत कथन तभी सतय होग जब दोनो पकष अपस म बर बर होग

ऐस कथन नजनम चर क श नमल हो और दोनो पकष बर बर हो समीकरण कहल त ह ऄथ मत सम नत व ल

gt

सतय

P a g e | 158

व कथन नजनम एक य एक स ऄनधक बीजीय ऄक होत ह rsquorsquoसमीकरणlsquolsquo कहल त ह आसम बर बर क ब यी

ओर क समसत चर और ऄचर पदो को समीकरण क rsquorsquoब य ा पकषlsquolsquo और द य ओर क समसत पदो को

समीकरण क rsquorsquoद य ा पकषlsquolsquo कहत ह

समीकरण कयो

एक ददन नरश न ऄपन स नथयो स एक सव ल पछ दो टोकररयो म ऄमरद रख हए ह दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद ह यदद पहली टोकरी म 8 और ऄमरद रख ददय ज ए तो दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क बर बर ऄमरद हो ज त ह कय अप लोग दोनो टोकररयो म ऄमरदो की सखय

बत सकत हो

नरश क सभी स थी हल सोचन लग परनत ईनह कछ सझ नही रह थ तभी ऄन न बत य दक

पहली टोकरी म 8 तथ दसरी टोकरी म 16 ऄमरद ह नरश न कह दक ईततर तो ठीक ह परनत तमन आस

कस हल दकय

ऄन न बत य - lsquolsquoमन पढ़ ह दक दकसी सखय म यदद ईसी सखय को जोड़ ददय ज ए तो ईस सखय

क दो गण पर पत हो ज त ह चादक पहली टोकरी म रख ऄमरदो म 8 ऄमरद और जोड़न पर ऄमरदो की

सखय दो गणी हो ज ती ह तो वह सखय 16 ही होगी कयोदक 8 म 8 जोड़न पर 16 होत हlsquolsquo

नरश न बत य दक आस एक और तरीक स हल कर सकत ह -

ऄमरद (पहली टोकरी म) + 8 = पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद (दसरी टोकरी म)

8 म 8 जोड़न पर ही दो गण हो सकत ह ऄतः पहली टोकरी म 8 ऄमरद ह एव दसरी टोकरी म

16 ऄमरद ह

तभी फरीद न कह lsquolsquoहमन चर र नश व ल प ठ म पढ़ ह दक जब दकसी सखय क म न म लम

नही ह तो ईस हम कोइ भी चर क म न सकत हrsquorsquo

म न दक पहली टोकरी म x ऄमरद ह

तो दसरी टोकरी म 2 x ऄमरद ह ग

ऄब पहली टोकरी म 8 ऄमरद और नमल न पर ईसम x + 8 ऄमरद हो गए और यह दसरी

टोकरी क ऄमरद क बर बर ह

ऄथ मत x + 8 = 2x

नरश न कह lsquolsquoऄर व ह यह तो एक समीकरण बन गय और यह ा x क म न 8 रखन पर यह कथन

सतय हो ज त ह आसक मतलब यही हअ दक ऄजञ त म न व ल सव ल को समीकरण की सह यत स बड़ी

अस नी स हल दकय ज सकत हlsquolsquo

अपन भी दख दक ऄजञ त र नशयो क म न ननक लन क नलए समीकरण दकस परक र ईपयोगी ह

अआए ऄब हम समीकरण कस बन य ज त ह दख

दसरी टोकरी म

ऄमरद पहली टोकरी

क 2 गण ऄमरद

पहली टोकरी म

ऄमरद

P a g e | 159

समीकरण कस बन ए

एक खल खलत ह अप सब ऄपन मन म ऄपनी-ऄपनी ईमर सोनचए आसम 5 जोड़ दीनजए योगफल

को 2 स गण कर ईसम 10 घट आए जो ऄनतर अय ईसम ऄपनी ईमर को घट दीनजए अपक ईततर ही

अपकी ईमर ह

नरश क हल नशकषक क ननदश ऄन क हल

12 वषम ऄपनी ईमर सोच 11 वषम

12 + 5 = 17 वषम 5 जोनड़य 11 + 5 = 16 वषम

17 times 2 = 34 वषम 2 स गण कीनजए 2 times 16 = 32 वषम

34 - 10 = 24 वषम 10 घट आए 32 - 10 = 22 वषम

24 - 12 = 12 वषम ईमर को घट आए 22 - 11 = 11 वषम

आसी परक र सभी न प य दक ईनहोन जो ऄपनी ईमर सोची थी वही ईततर क रप म अ रही ह यह

कस हअ अआए आस समझ -

म न दक सोची गइ ईमर x वषम ह

ईमर म 5 जोड़ = x + 5

योगफल को 2 स गण दकय 2(x + 5) = 2x + 10

10 घट य 2x + 10 - 10 = 2 x

सोची गयी ईमर को घट य 2 x - x = x

अप वही हल पर पत कर रह ह जो ईमर अपन सोची थी

आस हल को दखत ही र ज न कह lsquolsquoऄब म भी समीकरण बन न क परशन पछ सकत हा दकसी सखय

म 2 क गण कर 5 घट न स 3 अत ह तो समीकरण कय होगी ऄन न ततक ल समीकरण बन य -

rsquorsquoम न दक सखय ग ह 2 क गण करन पर अय 2x आसम 5 घट न पर नमल 2x - 5 जो 3 क बर बर ह

ऄथ मत समीकरण होग -

2x - 5 = 3

ऄन न कह lsquolsquoऄब म तमह एक समीकरण द रही हा तम आस शबद रप म कस बदलोग

समीकरण 7 y - 5 = 9

हमीद न तरत सोच दकसी सखय म 7 क गण करक 5 घट न पर 9 क बर बर ह

ऄब सभी नवदय थी समीकरण बन न और समीकरण को शबद रप म बदलन म ददलचसपी ददख न लग

परशन वली 141

परशन 1 ननमननलनखत म स समीकरण छ टकर नलनखए -

i x - 4 = 10 (vi) 7 = 2x - 5 (x) ly +lx = px

ii x - 4 - 10 (vii) 3x ndash 2x =2x

iii 2y - 3 + 9 (viii) 5

119909= 3

iv 5 (2y ndash 3) = 15

(v) 3 x + 4 (ix) 45 +32z + z

P a g e | 160

परशन 2 ननमननलनखत समीकरणो क ब य ा एव द य ा पकष बत आए -

i x - 5 = 9

ii 2 x - 3 = 7

iii 2y = 9 - y

iv 2y = 6

v 15 = 2a + 5

परशन 3 ननमननलनखत कथन म ऄजञ त सखय y क परयोग करक समीकरण म बदनलए -

i दकसी सखय क दगन म स 3 कम करन पर 17 अत ह

ii दकसी सखय क छठ भ ग 7 ह

iii दकसी सखय एव 5 क ऄनतर 8 ह

iv दकसी सखय म 7 क गण कर 5 घट न स 9 बचत ह

परशन 4 समीकरणो को कथन क रप म नलनखए

i x - 6 = 9

ii 7y - 14 = 0

iii 2119909

3 = 6

iv 119909

2+ 5 = 10

v 38 - 2 x = 4

समीकरण हल करन

अपन दिय कल प 2 म यह दख दक परतयक कथन x क कवल एक म न क नलए ही सतय ह जस-

x + 2 = 4 म यदद x = 7हो तब कथन ऄसतय ह कय दक x क म न 7 रखन पर ब य ा पकष द य

पकष क बर बर नही होत यह x = 2 रखन पर ही सतय होत ह ऄथ मत आस परक र क परतयक समीकरण क

कवल एक ही हल ह

दिय कल प 3

नीच दी गइ स रणी म ग क चर क व ल समीकरण ददए गए ह x क ऄलग-ऄलग म न क नलए आस

समीकरण क दोन पकष सम न ह य ऄसम न ईद हरण क ऄनस र भररए ndash

P a g e | 161

x क नजस म न क नलए समीकरण क दोनो पकष बर बर ह वही समीकरण क हल ह आस नवनध को

तररट एव परय स नवनध कह ज त ह

अआए तर ज क म धयम स समीकरण क कछ गणो को नचनतरत करक दख

नचतर 2 क समीकरण x - 2 = 3 म ब य ा पकष x - 2 ह तथ द य ा पकष 3 ह यह तर ज सतलन की

ऄवसथ म ह ऄब यदद हम तर ज क ब एा पलड म कछ भ र रख तो सतलन ल न क नलए द एा पकष म भी

ईतन ही भ र रखन पड़ग ईसी परक र यदद द एा पकष स कछ भ र ननक ल ल तो सतलन क नलए ब एा पकष

स भी ईतन ही भ र ननक लन पड़ग ऄथ मत यदद दकसी समीकरण क एक पकष म कोइ सदिय की ज ए तो

दसर पकष म भी वही सदिय करनी होगी तभी समीकरण क दोनो पकष बर बर रहग

यह जञ त ह दक ( - 2 ) + ( 2 ) = 0 होत ह ईपरोकत समीकरण म ब एा पकष म यदद 2 जोड़ ददय

ज ए तो x बचग चदक ब एा पकष म दो जड़ रह ह तो समीकरण को सतलन म रखन क नलए द एा पकष म

भी 2 जोड़न पड़ग

ऄथ मत - x - 2 = 3

X - 2 + 2 = 3 + 2

X + [(- 2) + (2)] = 5

x = 5

आसी परक र यदद 7 x = 21 हो

7 म 7 क भ ग ददय ज ए तो 1 पर पत होत ह यदद 7 x म 7 क भ ग द तो x पर पत होग चदक

ब एा पकष म 7 क भ ग ददय ज रह ह तो द एा पकष म भी 7 क भ ग दन पड़ग

ऄथ मत - 7x = 21

7119909

7=

21

7

x = 3

ईद हरणो म अपन सीख दक दकसी समीकरण क दोनो पकषो म यदद कोइ नसथर क जोड़ ददय ज ए

य दकसी नसथर क को घट ददय ज ए ऄथव दकसी नसथर क स गण दकय ज य य भ ग ददय ज ए तो

समीकरण क सतलन म कोइ पररवतमन नही होत

P a g e | 162

दिय कल प 4

नीच दी गयी स रणी म समीकरणो क दोनो पकषो म कय जोड़ घट य गण कर य भ ग द दक चर

क म न पर पत हो ज ए ददए गए ईद हरण क ऄनस र ररकत ख नो को भररए ndash

ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x + 3 = 10

ii 6 = y + 4

iii s + 6 = 15

iv 7 + t = 25

दिय कल प 5

अपन सरल समीकरण (नजसम सदिय एक ही ब र करनी पड़ रही ह) को हल करन सीख नलय

ह अआए ऄब कछ ऐस समीकरण हल कर नजसम दो सदिय करनी पड़ रही ह

P a g e | 163

P a g e | 164

ऄभय स 1

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

(i) 3x + 8 = 20 (ii) 4x + 10 = 30

(iii) 5x - 7 = 8 (iv) 6x - 7 = 11

(v) 3x + 21

7 = 0 (vi) 29 = 7x + 1

(vii) 60 ndash 8x = - 4 (viii) 19x + 7 = 45

समीकरण बन न एव हल करन तो अप भली भ ानत सीख चक ह कछ सखय ओ स समबननधत

समसय ओ को समीकरण क दव र हल कर

ईद हरण 1 दकसी सखय म 5 की वनदध की ज ए तो सखय 20 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल

म न दक वह सखय x ह तो सखय म 5 जोड़न पर = x + 5

समसय ऄनस र

ऄब x + 5 = 20

दोनो पकषो म 5 घट न पर

X + 5 - 5 = 20 - 5

x = 15

सतय पन -

ब य ा पकष = x + 5

= 15 + 5 (x क म न रखन पर)

= 20

= द य ा पकष

ईद हरण 2 दकसी सखय म 6 की कमी करन पर वह सखय 10 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र सखय म 6 की कमी करन पर सखय x - 6 हो ज ती ह जो 10 क बर बर ह

ऄथ मत x - 6 = 10

दोनो पकषो म 6 जोड़न पर x - 6 + 6 = 10 + 6 (यह ा - 6 + 6 = 0 और 10 + 6 = 16)

x = 16

सतय पन - ब य ा पकष = x - 6 = 16 - 6 (x क म न रखन पर)

= 10

= द य ा पकष

ईद हरण 3 दकसी सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र ईस सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह

P a g e | 165

पहल चरण सखय क दो गण = 2 x

दसर चरण 2x म 7 जोड़न पर 2x + 7

तीसर चरण कथन नस र 2 x + 7 = 37

2 x + 7 - 7 = 37 - 7 (दोनो पकषो म 7 घट न पर)

2119909

2 =

30

2

(दोनो पकषो म 2 क भ ग दन पर)

x = 15

सतय पन

ब य ा पकष = 2 x + 7 = 2 times 15 + 7 (x क म न रखन पर)

= 30 + 7

= 37

= द य ा पकष

ईद हरण 4 दकसी सखय क एक नतह इ करन पर वह सखय 11 हो ज ती ह वह सखय जञ त कीनजए

हलः म न दक वह सखय x ह

परशन नस र

आस सखय क एक नतह इ ऄथ मत बर बर ह 11 क

ऄथ मत 119909

3= 11

x क म न ननक लन क नलए समीकरण क ब य पकष क हर स 3 को हट न होग

आसनलए दोनो पकषो म 3 क गण करन पर

119909

3times 3 = 11 times 3

x = 33

सतय पन 33 क एक नतह इ = 33

3= 11

ईद हरण 5 म लती एव ईसक नपत की अय क योग 49 वषम ह यदद म लती की अय 12 वषम हो तो

ईसक नपत की अय जञ त कीनजए

हल म न दक म लती क नपत की अय x वषम ह

परशन नसर म लती की अय 12 वषम ह

दोनो की अय क योग = x + 12

चदक दोनो की अय क योग 49 वषम ह

ऄतः x + 12 = 49

x + 12 - 12 = 49 - 12 (दोनो पकषो म 12 घट न पर)

x + 0 = 37

x = 37

नपत की अय 37 वषम ह

P a g e | 166

सतय पन - नपत की अय एव म लती की अय क योग

= 37 + 12

= 49 वषम

ईद हरण 6 नशव गी क परस म कवल 50 पस क नसकक ह यदद पसम म 25 र हो तो नसकको की सखय जञ त

कीनजए-

हल म न लो दक नसकको की सखय ग ह

परतयक नसकक क मलय = 50 पस 1

2= रपय

x नसकको क मलय = 1

2119909 रपय

ऄतः परशन नस र 1

2 119909 = 25

1

2 119909 x 2 = 25 x 2 (दोनो पकषो म 2 क गण करन पर)

x = 50

ऄतः नशव गी क पसम म 50 पस क 50 नसकक ह

ज ाच 50 नसकको क मलय = 50 x 50

= 2500 पस

= 2500 र

परशन वली 142

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x - 3 = - 4

ii z - 8 = 0

iii 3y = 9

iv 16 = 3y + 7

v 5+ 119909

3 = 7

vi 9z - 7 = 14

2 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए एव ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए -

i 3 (2 + x ) = 12

ii 10 - z = 6

iii 119909

5= 15

iv 7 ndash 4y = 3

3 दकसी सखय क दोगन 10 ह सखय कय होगी

4 दकसी सखय क दगन म 35 जोड़ ज ए तब 85 पर पत होत ह वह सखय कय होगी

5 25 पस क दकतन नसकक 10 र क बर बर होग

P a g e | 167

6 दकसी सखय क अध म स यदद 4 घट य तब 6 पर पत होत ह सखय कय होगी

7 ईम क प स कछ मीटर कपड़ ह ईसम स 2-2 मीटर कपड़ क वह 4 पद बन दती ह ईसक ब द भी

ईसक प स 5 मीटर कपड़ बच रहत ह तब पर रभ म ईसक प स दकतन मीटर कपड़ थ

हमन सीख

दकसी भी समसय को समीकरण क दव र हल करन क नलए ननमननलनखत ब तो पर नवशष धय न

ददय ज न च नहए -

1 समसय को ऄचछी तरह पदढ़ए एव ननध मररत कीनजए दक कौन-कौन सी जञ त र नश एव कौन-कौन

सी ऄजञ त र नश ह

2 ऄजञ त र नश को x y z आतय दद स वयकत कीनजए

3 समसय को एक-एक शबद क ऄनस र जह ा तक सभव हो गनणतीय कथन म पररवरसतत कीनजए

4 व र नशय ा ननध मररत कीनजए जो बर बर हो और ईनस एक ईनचत समीकरण बन आए

5 समीकरण को ऄजञ त र नश क नलए हल कीनजए

6 यह ज ाच कीनजए दक अपक ईततर समसय म दी हइ शतो को सतषट करत ह ऄथव नही

P a g e | 168

सकल क ईपयोग

अप जब कपड़ खरीदन ब ज र ज त ह तो दक नद र ऄकसर एक लोह की छड़ स न प कर कपड़

दत ह अपन भी लमब इ न पन क नलए कइ ब र ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल क ईपयोग दकय ह

ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल को दनखए तथ नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए-

सकल म म पन क नलए दो परक र क पम न होत ह पत कर दक दोनो पम नो की आक इ दकतन-

दकतन छोट खणडो म बटी ह सबस छोट खणड की म प कय ह

सकल क ईपयोग अप समय-समय पर करत रहत ह कय ऄपनी कॉपी पर ऐस तीन रख खणड

खीच सकत ह नजनकी लमब इ िमशः 35 समी 42 समी और 89 समी हो

और भी ऐस नवनभनन म पो क रख खणड खीच

सकल क ईपयोग अप जीवन म कह ा-कह ा करत ह सची बन ए

वतत बन न

वतत बन न क नलए अपन परक र क ईपयोग तो दकय ही होग अप यह भी ज नत ह दक वतत

कय होत ह कौन-सी अकनतय वतत क र ह चनलए अस-प स की वतत क र चीजो की सची बन ल यह

सची अपन पहल भी बन इ होगी आस ब र और लमबी सची बन ए

परक र क ब र म ज नन

(1) एक परक र की दकतनी भज एा होती ह

(2) कय यह भज एा सम न लमब इ की ह

(3) नोकव ली भज क कय ईपयोग ह कय नोक नतरछी होनी च नहए

(4) वतत बन त समय यदद नोक व ली भज ऄपन सथ न स नखसक ज ए

तो कय वतत ठीक बनग

अप परक र की बन वट एव ईपयोग करन क तरीक समझत ह ऄपनी

कॉपी पर 32 समी 47 समी और 51 समी नतरजय क वतत बन ए कछ

और भी वतत ऄपन मन स सोच कर बन ए

जय नमतीय बॉकस क ऄनय ईपकरण

रख खणड क ऄधय य म अपन नडव आडर क ईपयोग भी दकय ह कय अप

बत सकत ह दक परक र और नडव आडर क ईपयोग कय -कय ह

आस परक र अपक जय नमनत बॉकस म एक च ाद भी रख हअ ह आस धय न स

दनखए और ददए गए

P a g e | 169

परशनो क ईततर दीनजए -

(1) च ाद की अकनत कसी ह

(2) च ाद क ऄदधमवतत क रनम भ ग कल दकतन खणडो म बाट ह

(3) कय अप ऄपनी कॉपी पर 47 95 तथ 170 क कोण बन सकत ह

ऄपन जय नमनत बॉकस म रख सकल परक र नडव आडर और च ाद स तो पररनचत हो ही चक ह

कय अपक जय नमनत बॉकस म और कोइ ईपकरण भी ह

जो दो नतरभज कर ईपकरण बच ह ईनह ननक ल कर ऄपनी कॉपी पर रनखए एव परतयक स सट कर

पननसल को आस परक र चल आए दक ईपकरणो की ब हरी अकनत कॉपी पर ईभर अए

दोनो ईपकरणो क परतयक कोण को म नपय

ऄब तो अप समझ ही चक ह दक परतयक नतरभज क र ईपकरण क एक कोण 90ह ह तथ ब की

दोनो कोण एक म 45-45 क ह एव दसर म 30 एव 60 क ह

आन दोनो ईपकरणो को सट सव यर (गननय ) कह ज त ह

अप सट सव यर की सह यत स दकसी रख पर 90ह क कोण बन आए एव च ाद की सह यत स

कोण को म पकर ज ाच कीनजए

यदद सट सव यर स बन य गए कोण क म प ठीक 90ह क नही ह तो दकतन ऄलग ह आस ऄतर

क क रण सोनचए

सट सव यर की सह यत स रचन एा करन

दकसी दी हइ रख खणड पर ऐस नबनद स लमब खीचन जो रख पर नसथत नही हः

PQ कोइ रख खणड ह तथ M आस रख खणड क ब हर कोइ नबनद ह

रचन क पद

1 सकल क आस परक र रनखए दक ईसक एक दकन र PQ ऄनददश रह(नचतर-2)

2 सकल स सट कर सटसव यर की एक लमबवत भज को रनखए धय न रह दक सकल नहल न प य

दसरी भज सकल क लमबवत ह

3 सकल को कसकर दब ए रनहए तथ सटसव यर को सकल स रगड़त हए आस परक र चल आए दक

सटसव यर की दसरी लमबवत भज ददए गए नबनद M को छन लग (नचतर-4)

4 नबनद M को छ रही सटसव यर की भज क ऄनददश रख खणड खीनचए

5 यह ML रख खणड PQ पर लमब होगी

P a g e | 170

सट सव यर और सकल की सह यत स सम नतर रख ए खीचन

अपन यह पढ़ ह दक दो सम नतर रख ओ क बीच की लमबवत दरी हमश सम न होती ह अपन

सट सव यर स दकसी सरल रख पर लमब खीचन सीख नलय ह कय अप सट सव यर और सकल की

सह यत स ऄपनी कॉपी पर दी गइ सरल रख क सम नतर कोइ सरल रख खीच सकत ह परय स करक

दनखए अपन दकस तरीक स सम नतर रख खीची ह वह भी नलनखए

दकसी रख क ब हर नसथत नबनद स आस रख क सम नतर दसरी रख खीचन

रचन क पद -

AB रख क ब हर कोइ नबनद P ह नबनद P स AB क सम नतर एक रख खीचनी ह

1 AB रख क ऄनददश सट सव यर की लमबवत भज ओ म स एक भज को रनखए

2 सटसव यर नहलन न प य ऄब सट सव यर की दसर लमबवत भज क ऄनददश सट कर सकल को

रनखए (नचतर 4)

3 सकल को आस तरह स दब ए रनहए दक वह नहल न प ए

4 सकल स रगड़त हए सटसव यर को ददय गए नबनद की ओर तब तक ल ज आए जब तक दक सटसव यर

की भज नबनद P को छन न लग (धय न रह सकल सरकन न प य)

5 ऄत म सटसव यर को ईसी नबनद पर नसथर रखकर P स होकर सटसव यर की भज क ऄनददश एक

सरल रख खीच यह PS सरल रख AB क सम नतर होगी च ह तो ऄलग-ऄलग जगह पर AB

और PS क बीच की दरी को म प कर ज ाच ल

दकसी रख क सम नतर रख खीचन क ऄथम यह ह दक ईस रख पर एक लमब रख खीचन

तथ लमब रख पर दफर स एक लमब खीचन जस नचतर म दश मय गय ह AB रख पर RQ लमब ह RQ

पर RS दफर स एक लमब ह ऄब AB तथ RS सम नतर ह

P a g e | 171

दकसी दी गइ रख स नननित दरी पर दसरी सम नतर रख खीचन

म न लीनजए AB रख स 6 समी दर एक सम नतर रख खीचन ह

रचन क पद (1) AB रख खीनचए

(2) सटसव यर और सकल क परयोग कर AB पर एक लमब

खीनचए (नचतर 7)

(3) PQ पर कोइ नबनद R आस परक र लीनजए दक Q स R

की दरी 6 समी हो

(4) सटसव यर की सह यत स R पर लमब RS

खीनचए RS ही AB क सम नतर होगी तथ AB स

6 समी की दरी पर होगी

ऄभय स 1

1 3 समी क रख खणड खीचकर ईसस ननमननलनखत दरी पर सम नतर रख खीनचए

(i) 15 समी (ii) 20 समी (iii) 22 समी (vi) 31 समी

परक र और सकल की सह यत स रख खणड क समनदवभ जक खीचन

अआए एक दिय कल प कर -

दिय कल प 1

दकसी म प क एक रख खणड AB खीनचए A नबनद पर परक र रखकर B तक फल आए और A को

कनर म नकर एक वतत खीनचए ऄब आसी न प क एक वतत B को कनर म नकर खीनचए दोनो वतत नजन

नबनदओ पर कटत ह ईनह नचहन दकत कर एव न म दीनजए

ऄब परक र क फल व को कछ कम करक पनः A नबनद पर रखकर

एक वतत तथ B नबनद पर रखकर ईसी न प क दसर वतत खीनचए य दोनो

वतत उपर नीच नजन नबनदओ पर एक दसर को क टत ह ईन नबनदओ को पनः

नचहन दकत कर R एव S न म दीनजए

P a g e | 172

आसी परक र परक र क फल व को कम करत ज आए तथ A एव B नबनदओ स वतत बन त ज आए तथ

सम न न प क वततो क कट न नबनदओ को नचहन दकत करत ज आए नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए -

1 अप वततो को िमशः छोट करत ज रह ह कय दो सम न न प क वतत जो नबनद A एव नबनद B स

खीच ज रह ह हमश एक दसर को क टग यदद नही तो दकस न प तक A और B नबनदओ स खीच

गए वतत एक दसर को क टग

2 अपन जो PQRSTU आतय दद नबनद पर पत की ह कय व सभी समरख ह कय अप

बत सकत ह दक ऐस कयो ह

3 रख AB को रख PQ दकस ऄनप त म क टती ह

4 रख AB रख PQ क स थ दकतन ऄश क कोण बन ती ह

ईपरोकत दिय कल प को हल करत समय अपन प य होग दक जस ही A और B नबनदओ स खीच

गए सम न अक र क वतत की नतरजय रख खणड की लमब इ क अध स कम हो ज ती ह तो व एक दसर को

नही क टत PQRSTU आतय दद सभी नबनद समरख ह एव PQ रख AB रख को समनदवभ नजत

करती ह तथ आन दोनो रख खणड क मधय 90deg क कोण बनत ह

आस परक र अप कह सकत ह दक दकसी दी गइ म प की रख खणड क यदद लमब समनदवभ जक

खीचन ह तो परक र को रख की लमब इ क अध स जय द फल आए तथ रख खणड क पर रनमभक एव

ऄनतम नबनदओ पर परक र रख वतत य वतत खणड बन आए ऄब दोनो वतत य वतत खणडो की जो कट न

नबनदए ह गी ईनह नमल न पर रख क लमब समनदवभ जक पर पत होग

दिय कल प 2

1 ऄपनी कॉपी म A एव B को दो नबनद लीनजए और ईनह नमल आय A B

2 नबनद A पर परक र की नोक रखकर AB रख खणड क अध स ऄनधक म प लकर रख AB क दोनो

ओर म प (वततखणड) बन आय

3 परक र की नोक को ऄब B नबनद पर रखकर ईसी न प स पनः AB क दोनो ओर च प बन आय जो

पवम म बन ए गए च प को क टत ह आनह P एव Q क न म दीनजए

4 ऄब PQ को नमल आए

5 रख खणड PQ AB को नजस नबनद पर क टत ह ईस O क न म दीनजए ऄब AO एव OB क

म प कर दनखए कय AO = OB

6 POB को म नपए कय POB=900आस परक र पर पत रख PQ रख

AB क लमब समनदवभ जक होग

P a g e | 173

परक र की सह यत स ऄलग-ऄलग न प क कोण बन न

दिय कल प 3

1 दकसी भी नतरजय क एक वतत खीचकर ईसक कनर को नचनहनत कीनजए

2 वतत पर कोइ नबनद A लीनजए A पर परक र को रखकर नजस नतरजय क

अपन वतत बन य ह ईसी नतरजय क एक च प वतत पर क रटए

3 नजस नबनद पर च प कट ह ईस नबनद पर परक र को रखकर ईसी नतरजय

क च प पनः क रटए

4 वतत पर च प क टन की आस परदिय को दोहर आए

नीच ददए परशनो क ईततर ढदढए

1 वतत को ईसकी नतरजय क न प व ल दकतन च पो म ब ाट सकत ह

2 कनर स सभी च पो क कट न नबनद को नमल आए दो िम गत कट न नबनदओ दव र कनर क स थ जो

कोण बन य ज रह ह ईनक म प कय ह

3 कय सभी कोण सम न म प क ह

4 यदद सभी कोण सम न म प क ह तो एक कोण क म प कय होग

ईपरोकत दिय कल प क परशनो क ईततर ढढ़त हए अपन प य दक दकसी वतत पर ईसकी नतरजय क

बर बर म प व ल छः च प कट सकत ह िम गत कट न नबनदओ दव र बन य गय परतयक कोण 600 क ह

कय ऄब अप सकल और परक र की सह यत स 600 कोण बन सकत ह

अआए सकल और परक र की सह यत स 600 क कोण बन य-

1 एक रख खणड खीनचए तथ आसक नबनद O पर एक ऐस ऄदधमवतत बन आए जो OA को D पर क टत

ह (नचतर 11)

P a g e | 174

2 D पर परक र को रखकर नजस नतरजय क ऄपन ऄदधमवतत खीच

ह ईसी नतरजय क च प ऄदधमवतत पर कट न बबद M पर पत कीनजए

(नचतर 12)

3 OM को नमल त हए B तक बढ़ आए (नचतर 13)

4 AOB = 600 होग

अपन पहल भी वतत को ईसकी नतरजय क बर बर सम न छः भ गो म ब ाट ह तथ यह भी दख ह

दक परतयक भ ग कनर स 600 क कोण बन त ह उपर अपन एक ब र च प क टकर 600 क कोण पर पत

दकय ह आसी च प को लकर यदद अप एक ब र M नबनद स अग पनः च प क टग तो अपको 1200 क

कोण नमलग तथ तीन ब र क टन पर 180

ऄभय स 2

1 परक र और सकल की सह यत स 1200 क कोण बन आए

कोण क समनदवभ जक खीचन

रचन क पद

1 ABC क नबनद B को कनर म नकर एक च प आस परक र क रटए दक वह AB को D नबनद पर तथ

BC को E नबनद पर क ट (धय न रह दक च प न ही बहत छोटी हो और न ही बहत बड़ी)

2 D को कनर म नकर एक च प बन आए पनः ईसी नतरजय क च प E स आस परक र बन आए दक दोनो

च प एक दसर को R पर क ट (नचतर 16)

3 B को R स नमल त हए अग बढ़ आए

4 रख BR ही ABC क समनदवभ जक ह

ऄभय स 3

1 520 क कोण बन कर ईसक समनदवभ जक खीनचए

2 1700 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए

3 600 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए और न प कर बत आय दक यह कोण

दकतन ऄश क ह

P a g e | 175

ददए गए कोण क बर बर कोण की रचन करन

म न लीनजए AOB ददय हअ ह AOB क बर बर एक दसरी कोण की रचन करनी ह

रचन क पद -

1 QP रख खीनचए Q नबनद पर AOB क बर बर कोण बन न ह

2 परक र को थोड़ स फल कर व O नबनद पर रनखए तथ आस परक र क एक च प क रटय जो OA

और OB दोनो भज ओ को िमशः R एव S पर क टत ह(नचतर 17)

3 आसी न प क च प Q नबनद पर परक र रखकर भी क रटए जो PQ को T पर क टत ह

4 परक र को R पर रखकर S तक फल आए एव ईसी म प क च प T पर रखकर TU क रटए और U

पर पत कीनजए (नचतर 18)

5 QV को नमल त हए R तक अग बढ़ आए

PQV = AOB

ऄभय स 4

1 च ाद की सह यत स 550 क एक कोण बन आए तथ आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

2 च ाद की सह यत स 1200 क कोण बन कर आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

रख खड क ब हर दकसी नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 एक रख AB खीनचए और आसक ब हर नबनद P लीनजए

2 P को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय क एक च प क रटए जो AB को D और E पर क ट (नचतर

20)

3 D और E को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय स दो च प क रटए जो एक दसर को R पर क ट

(नचतर 21) PR को नमल कर बढ़ आए

आस परक र PR AB

P a g e | 176

4 PRAB को Q पर नमलत ह (नचतर 22)

रख खड पर नसथत नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 सवमपरथम एक रख खड AB खीनचए नजस पर नबनद P नचनहनत कीनजए

2 नबनद P पर परक र की नोक रनखए तथ दकसी भी न प की नतरजय लकर रख खड AB पर ऄदधमवतत

क रटए जो दक रख खड AB को दो नबनदओ Q तथ R पर क टत ह (नचतर 24)

3 ऄब R पर परक र रनखए और दकसी भी म प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर की ओर एक च प

क रटए पनः rsquoQrsquo पर परक र रखकर ईसी च प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर ओर एक और

च प क रटए जो अपस म नबनद M पर क टत ह (नचतर 25)

4 नबनद M को P स नमल दीनजए (नचतर 26)

पर पत रख खड PM ही वह लमब रख ह

ऄथ मत PM AB

P a g e | 177

परशन वली 15

1 5 समी क एक रख खड खीनचए आसस 3 समी की दरी पर एक सम नतर रख खीनचए

2 सटसव यर की सह यत स ननमननलनखत कोण की रचन कीनजए

(i) 450 (ii) 600 (iii) 300 (iv) 900 (v) 1200

3 ननमननलनखत न प क रख खड लकर ईसक समनदवभ जन कीनजए

(i) 5 समी (ii) 45 समी (iii) 36 समी (iv) 54 समी

4 परक र व सकल की सह यत स ननमननलनखत कोण बन आय

(i) 600 (ii) 900 (iii) 1200 (iv) 1500

5 परक र व सकल की सह यत स ईपरोकत कोणो क समनदवभ जक कीनजए

6 च ाद की सह यत स ननमननलनखत न प क कोण बन आय एव परक र व सकल की सह यत स ईसक

सम न कोण की रचन कीनजए

(i) 680 (ii) 920 (iii) 1080 (iv) 1260 (v) 1530

P a g e | 178

16

कषतरनमनत-1

कषतरफल

अपन ऄधय य 2 म बनद एव खली अकनतयो को समझ ह दननक जीवन म कइ अकनतयो को दखत रहत

ह ननमननलनखत अकनतयो को धय न स दनखए

नचतर 1

उपर बनी अकनतयो म अकनत क दकसी बबद य छोर स पर रभ कर नबन पनसल ईठ य एव दकसी

नहसस पर दब र चल नबन दफर ईसी बबद य छोर पर पहाच सकत ह यदद पहाच सकत ह तो यह एक बद

अकनत होगी और यदद नही तो यह एक खली अकनत होगी

ऄथ मत बद अकनत क कोइ ऄनतम बबद नही होत

कय अप बत सकत ह दक ननमननलनखत मद नो की अकनतय ा खली ह य बद ह

1 खो - खो क मद न

2 फटब ल क मद न

3 नगलली डड नजस मद न म खल ज त ह वह मद न

4 कबिी खल क मद न

P a g e | 179

5 नबललस नजस कषतर म खल ज त ह वह कषतर

कषतरफल (Area)

सभी बद अकनतयो क ऄदर कछ जगह होती ह आन अकनतयो क ब हर नसथत दकसी बबद स आनक

ऄदर नसथत दकसी बबद तक अकनत की रख को क ट नबन नही ज सकत बद अकनतयो क ऄदर की जगह

ही ईसक कषतर ह कछ अकनतयो म जय द जगह होती ह नजनम जय द जगह होती ह वही बड़ी होती ह

कोइ वसतअकनत समतल पर नजतनी जगह घरती ह वह ईसक कषतरफल कहल त ह

गर फ पपर की सह यत स दकसी अकनत क कषतरफल न पन -

अयत क कषतरफल

ककष 5वी म अपन अयत क ब र म पढ़ होग यह एक चतभमज ह नजसक अमन स मन

की भज बर बर ह तथ परतयक कोण समकोण ह

दिय कल प 1

1 एक अयत ह नजसकी लमब इ 6 समी एव चौड़ इ 3 समी ह परतयक भज पर एक-एक समी की दरी

पर लमब इ तथ चौड़ इ की ओर नचहन लग व

2 अयत को 1 समी times 1 समी क खणडो म ननमन नस र ब ट -

P a g e | 180

दश मए गए नचतर म 1 समी x 1 समी क बन रह वगो को नगननए

वगो की सखय = 18

1 वगम क कषतरफल = 1 वगम समी

18 वगम क कषतरफल = 18 वगम समी

ननषकषम नजतन बड़ अयत होग 1 वगम समी क वगो की सखय ईतनी ही ऄनधक होगी

कषतरफल = 18 वगम समी

= 6 समी times 3 समी य 3 समी times 6 समी

अयत क कषतरफल = लमब इ xचौड़ इ

चदक गण की सदिय िम नवननमय क ननयम क प लन करत ह ऄतः -

अयत क कषतरफल तर चौड़ इ ग लमब इ भी नलख सकत ह

ऄभय स

1 अपकी गनणत की पसतक दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

2 च क क नडबब और शय मपटट दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

3 ऄपन अस-प स की दकनही दो अयत क र वसतओ दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

वगम क कषतरफल

वगम एक नवशष परक र क अयत ह

नजसकी भज ए सम न ह ऄथ मत लमब इ तथ चौड़ इ बर बर ह

4 समी times 4 समी भज व ल वगम को 1 समी times 1 समी व ल वगो म ब ाटन पर ndash

नचतर 7

1 वगम समी = 1 समी times 1 समी

वगम क कषतरफल = वगम खणडो की सखय एा

= 16

P a g e | 181

1 वगमखणड क कषतरफल = 1 वगम समी

16 वगमखणडो क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 4 समी ग 4 समी

वगम क कषतरफल = भज x भज = (भज )2

ईद हरण 1 यदद एक वगम की भज 5 समी ह तो आसक कषतरफल कय होग

नचतर म 5 समी भज क एक वगम ददख य गय ह परतयक भज पर 1-1 समी दरी पर नचहन ऄदकत

कीनजए

ऄब अमन-स मन क सभी नबनदओ को नमल कर अड़ी और खड़ी रख एा खीनचए

आस वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड़ ख नो को नगननय

वगम क कषतरफल = वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड ख नो की सखय

= 25 = 25 times 1 ख न क कषतरफल

= 25 times 1 वगम समी तर 25 वगम समी

ऄतः वगम क कषतरफल = वगम की लमब इ times वगम की चौड़ इ

= भज क वगम

ईद हरण 2 एक अयत की लमब इ 7 समी व चौड़ इ 3 समी ह आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हल यह ा अयत की लमब इ = 7 समी

अयत की चौड़ इ = 3 समी

P a g e | 182

आसनलय अयत क कषतरफल = लमब इ x चौड इ

= 7 समी x 3 समी = 21 समी2 य 21 वगम समी

ईद हरण 3 एक वगम क कषतरफल जञ त कीनजए नजसकी भज 8 समी लमबी ह

हल

ऄतः वगम क कषतरफल = भज x भज

= 8 समी x 8 समी

= 8 समी x 8 समी

= 64 समी2 य 64 वगम समी

परशन वली 16

(1) ननमननलनखत म स बनद अकनतयो को पहच ननय ndash

P a g e | 183

(2) परतयक अयत क कषतरफल जञ त कीनजए लमब इ व चौड़ इ ननमन नस र ह -

(I) लमब इ - 6 समी चौड़ इ - 2 समी

(II) लमब इ - 10 समी चौड़ इ - 1 समी

(III) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 6 समी

(IV) लमब इ - 135 समी चौड़ इ - 10 समी

(3) ननमननलनखत वगो नजनकी भज ननमन नस र ह क कषतरफल जञ त कीनजए -

(I) 6 समी

(II) 12 समी

(III) 13 समी

(IV) 35 समी

P a g e | 184

(4) ननमन अयतो म स परतयक अयत क कषतरफल ईसम परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व

खड़ी रख ओ को खीचकर जञ त कीनजए तथ सतर की सह यत स ऄपन ईततर की ज ाच भी कीनजए

(I) लमब इ - 5 समी चौड़ इ - 4 समी

(II) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 2 समी

(5) एक वगम की भज 6 समी ह आसक परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व खड़ी रख ओ को

खीचकर कषतरफल जञ त कीनजए और परशन (3) क एक स ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए

हमन सीख

1 दकसी समतल पर कोइ वसत नजतन सथ न घरती ह वह ईसक कषतरफल होत ह

2 अयत क कषतरफल = लमब इ ग चौड़ इ

3 वगम क कषतरफल = भज ग भज = (भज )2

4 कषतरफल क म तरक वगम आक इ होत ह

- परायोजना कायण- अपनी सभी ववषयो की पसतको की ऱॊबाई और चौड़ाई नावपए तथा बताइय करक कौन सी पसतक मज़ पर सबस अधिक सथाना घरती ह

P a g e | 185

17

कषतरनमनत-2

पररम प

ननमननलनखत ध ग स बनी अकनतयो को दनखएः-

ईपरोकत नचतरो म यदद A स चलन पर रमभ कर और पर चककर लग कर पनः A पर पहाच तो तय की

गइ दरी अकनत को बन न म ईपयोग दकए गए ध ग की लमब इ क बर बर होगी यही अकनत क घर की भी

लमब इ ह

आसी परक र ध ग स ऄथव त र स नवनभनन अकनतय ा बन कर ईसक घर की लमब इ जञ त की ज

सकती ह आस ही कषतर क पररम प कहत ह

दकसी भी बद अकनत क पथ पर एक चककर लग न क नलए तय की गइ दरी ईस अकनत क पररम प

कहल ती ह

जस अपन दख दक दकसी कषतर की सीम पर एक चककर ही पररम प ह ऄतः दकसी कषतर को त र स

घरन ऄथव च रो ओर ऄह त बन त समय पररम प की अवशयकत पड़ती ह

पररम प (Perimeter)

दननक जीवन म कइ वसतएा ईपयोग म अती ह नजनक अक र वतत क र नतरभज क र अयत क र

होत ह अपन भी आन सभी अक र की वसतओ को दख ह अपकी कॉपी क पनन शतरज क बोडम करम

क बोडम आतय दद अयत क र ह

हम री कॉपी क पनन शतरज क बोडम पसतक शय म पटट अदद सभी अयत क र ह आनम स कछ

अयत क र वसतए वग मक र भी ह ऄपन अस-प स अयत क र वसतए छ रटए और ईनम स ईन अकनतयो

को ऄलग कीनजए जो वग मक र भी ह नीच ददए गए सथ न पर आनकी सची बन आए

P a g e | 186

ऄब आन अकनतयो क दकन रो पर धय न दीनजए और बत आय दक आनम दकतन दकन र ह

यह ा अप दख रह ह दक टबल क दकन रो की सखय 4 ह आसी परक र शतरज बोडम क दकन रो की

सखय भी 4 ह

अआए ऄब कछ अयत क र तलो क पररम प ननक ल

दिय कल प 1

टबल क उपरी तल क दकन रो को सकल की सह यत स न नपय और नलनखय

दकन र AB=helliphelliphelliphelliphellip समी BC=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

CD= helliphelliphelliphellip समी DA=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

ऄब आन सभी दकन रो की लमब इ को जोनड़ए और नलनखए

टबल क च रो दकन रो क योग

= AB + BC + C D + DA= + + + +

= समी

नसफम अयत क र ह वग मक र भी ह

1 अपकी कॉपी क पनन 1 शतरज क बोडम

2 2

3 3

4 4

5 5

P a g e | 187

दिय कल प 2

आसी परक र शतरज बोडम क ब हरी दकन र न नपय और ईनह जोनड़ए

PQ + QR + RS + SP = +++ = समी

दिय कल प 3

नचतर 6 म एक फटब ल खल क मद न P Q R S ददख य गय ह

6वी ककष क एक छ तर गोल रोज़ न सबह 5 बज ईठकर आस फटब ल मद न क दकन र पर एक

चककर लग त ह ऄब बत आय दक गोल रोज़ न दकतन चलत ह

गोल दव र एक चककर म चली गयी कल दरी = PQ की लमब इ + QR की लमब इ + RS की लमब इ

+ SP की लमब इ

आन सभी दिय कल पो (1) (2) और (3) म अपन दख दक अकनत क सभी दकन रो की लमब इ क

योग ईस अकनत क पररम प ह

ननमन अकनतयो क पररम प जञ त कीनजए तथ ररकत सथ न म नलनखए

पररम प =

नचतर - 7

AB + BC + CD + DE + EF + FA

= __ + __ + __ + __ + __ + __

पररम प = समी

P a g e | 188

पररम प =

नचतर क उपर ध ग रख कर

ध ग की लमब इ जञ त कीनजए

वही पररम प होग

पररम प =

ऄभय स 171

1 एक अयत क र बगीच की लमब इ 6 मीटर और चौड़ इ 3 मीटर ह आसम च रो ओर त र क घर

लग न ह तो अवशयक त र की लमब इ जञ त कीनजए

2 एक अयत क र मद न की लमब इ 100 मीटर व चौड़ इ 50 मीटर ह आसक च रो ओर दो चककर

लग न म कल तय की गइ दरी जञ त कीनजए

पररम प कस पत करग- ऄब अपक समझ म अ गय होग दक

अयत क पररम प = ईसक च रो भज ओ की लमब इ क योग

P a g e | 189

ऄब यदद दकसी अयत की लमब इ l आक इ और चौड़ इ b आक इ हो तो

अयत की पररम प = ईसकी च रो भज ओ की लमब इ क योग

= AB की लमब इ + BC की लमब इ + CD की लमब इ +DAकी लमब इ

= 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ

= 119897 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119887 आक इ

= (119897 + 119897) आक इ + (119887 + 119887) आक इ

= 2 119897 आक इ + 2 119887 आक इ

= 2 (119897 + 119887) आक इ

ऄतः 119897 आक इ लमब b आक इ चौड़ अयत की पररम प = 2 (119897 + 119887) आक इ

अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

वगम क पररम प

एक वगम क भज की लमब इ 6 समी ह ईसक पररम प कय होग

वगम क पररम प = वगम क च रो भज ओ की कल लमब इ

= 6 समी + 6 समी + 6 समी + 6 समी

= 4 times 6 समी (6 समी वगम की एक भज )

ऄतः वगम क पररम प = 4 times एक भज की लमब इ

वगम क पररम प = 4 times भज

P a g e | 190

पररम प क म तरक

पररम प दकसी भी बद अकनत क कल घर की लमब इ ह ऄतः आसक म तरक कय होन च नहए

चादक पररम प व सतव म लमब इ ही ह ऄतः आसक म तरक और लमब इ क म तरक एक ही होग

ननमन स रणी म ररकत सथ नो को भररय-

स रणी - 1

िम क अयत की

लमब इ

119897

अयत की

चौड़ इ

119887

अयत क च रो भज ओ

क योग

अयत

की

पररम प

अयतवगम क पररम प

सतर की सह यत स

1 10 समी 5 समी 10 समी + 5समी +

10 समी + 5 समी =

30 समी

30 समी समी 2 (10+5) समी

समी + 5 समी = 2 times 15

समी

= 30 समी

2 5 समी 5 समी 5 समी + 5 समी 5

समी + 5 समी

= 20 समी

20 समी 4 times 5

= 20 समी

3 6 मीटर 4 मीटर

4 7 समी 7 समी

अआए दननक जीवन स समबननधत कछ और ईद हरण दख

ईद हरण 1

एक अयत क र मद न की लमब इ 50 मीटर एव चौड़ इ 25 मीटर ह एक ध वक आसक च रो ओर

10 चककर लग त ह जञ त कीनजए ईसन दकतनी दरी तय की ह

हल यह ा अयत की लमब इ (119897) = 50 मी

अयत की चौड़ इ (119887) = 25 मी

अयत क पररम प = 2 2 ( + b)

= 2 ( 50 मी + 25 मी)

= 150 मी

आस परक र ध वक एक चककर म 150 मीटर दरी तय करत ह

ध वक 10 चककर म 10 times 150 मीटर = 1500 मीटर दरी तय करग

P a g e | 191

22

7

oRr ds pkjksa vksj ds ksjs dh yEckbZ

oRr dk O kl

o`Rr dh ifjfegravek

2 r

ईद हरण 2 यदद एक वगम क पररम प 200 मीटर ह तो आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हलः यह ा पररम प = 200 मीटर

4 times वगम क एक भज की लमब इ = 200 मीटर

वगम क एक भज की लमब इ = मीटर

= 50 मीटर

ऄब वगम क कषतरफल = भज times भज

= 50 मीटर times 50 मीटर

= 2500 वगममीटर य 2500 मीटर2

वतत क पररम प जञ त करन

वतत क प ठ म अपन वतत क च रो ओर क घर ननक लन स सबनधत दिय कल प दकय ह तथ यह

भी दख ह दक वतत क च रो ओर क घर की लमब इ और वतत क वय स क बीच क ऄनप त क बर बर होत

ह जह ा नसथर क ह आस सबध को ननमन नस र नलख सकत ह-

वतत क च रो ओर क घर ही वतत क पररम प ह नजस वतत की

पररनध कहत ह

यदद वतत की नतरजय = r हो तो वय स = 2r होग

ऄतः

य वतत की पररनध = 2r जह ा

वतत की पररनध (C)= 2r

P a g e | 192

ईद हरण 3 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो वतत की पररनध जञ त कीनजए

C = 2r

C = समी

ईद हरण 4 दकसी वतत क एक चककर 1 दकमी क ह ईस वतत की नतरजय कय होगी

C = 2r

1000 = [ 1 दकमी = 1000 मीटर]

7 times 1000 = 2 times 22 times r

r = मी

r = 1509 मी

ऄभय स 172

1 नवनभनन वततो की नतरजय ननमननलनखत ह पररनध की गणन कीनजएः

1 35 समी

2 105 समी

3 175 समी

2 नवनभनन वततो की पररनध की लब इ दी गइ ह नतरजय जञ त कीनजएः

1 500 मी 2 100 मी

3 22 समी 4 11 समी

3 एक पनहए की नतरजय ) मी ह गय रह दकमी दरी तय करन क नलए पनहए को दकतन चककर घमन

होग

2 22 7

744

2 22

7

r

7 1000

2 22

r

1750

11

P a g e | 193

परशन वली 17

(1) ननमन म स बनद अकनतयो को छ ाटकर ईनकी पररम प जञ त कीनजए

(2) ननमन अयतो म स परतयक क पररम प जञ त कीनजए लमब इ चौड़ इ ननमन नस र ह

I लमब इ = 15 समी चौड़ इ = 6 समी

II लमब इ = 12 समी चौड़ इ = 6 समी

III लमब इ = 35 समी चौड़ इ = 25 समी

IV लमब इ = 100 समी चौड़ इ = 50 समी

P a g e | 194

(3) नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय परतयक कथन क स मन ददए गए कोषठक म नलनखए तथ

ऄसतय कथनो को सध र कर कॉपी म नलनखए -

(I) परतयक वगम एक अयत होत ह ( )

(II) परतयक अयत एक वगम होत ह ( )

(III) अयत की परतयक भज समी म म पी गयी हो तो ( )

आसक पररम प मीटर म होग

(IV) अयत क पररम प ईसक च रो भज ओ क योग ( )

क बर बर होत ह

(4) एक वगम की भज 15 समी ह आसक पररम प जञ त कीनजए

(5) एक अयत की लमब इ 20 समी और चौड़ इ 05 मीटर ह तो आसक पररम प समी व मीटर म जञ त

कीनजए

(6) ननमन अकनतयो क न प समी म ददय गय ह ईसक पररम प जञ त कीनजए

P a g e | 195

(7) एक अयत क र मद न की लमब इ 25 मीटर व चौड़ इ 10 मीटर ह आसक दकन र दकन र एक

नखल ड़ी च र चककर पर करत ह ईसन दकतनी दरी तय की ह

हमन सीख

1 पररम प व कषतरफल कवल बद अकनतयो क ही सभव ह

2 बद अकनतय ा वह होती ह जो नबन दहर ए ऄपन पर रनभक नबनद पर सम पत होती ह

3 अयत क कषतरफल = लमब इ times चौड़ इ

4 अयत क कषतरफल = अयत क ऄनतः भ ग क कषतरफल

5 परतयक वगम अयत हो सकत ह परत परतयक अयत वगम नही हो सकत

6 वगम क कषतरफल = (भज )2

7 अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

8 वगम क पररम प = 4 times भज

9 1 वगम मीटर = 1 मीटर times 1 मीटर

= 100 समी times 100 समी = 10000 वगम समी = 10000 समी2

- परायोजना कायण- अपनी का की ऱॊबाई और चौड़ाई माप कर पररमाप ऻात कीजजए

P a g e | 196

18

हम र असप स बहत सी अकनतय ा ह हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो आम रतो और ऄनय

चीज़ो को दखत ह आन सभी म हम सडौलपन व एक परक र की त रतमयत ददखती ह आनम स कइ

अकनतय ा सतनलत ऄनप त म ह कइ ऐसी भी ह जो कइ जगहो म एक सी ददखती ह कइ ऐसी भी ह जो

ऄपन अप म दो एक जसी अकनतयो स नमल कर बनी ददखती ह य सब अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

ददन-परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

य सब अकनतय ा सनदर लगती ह आनकी बन वट म सतनलत ऄनप त ह और समनमनत ह

P a g e | 197

दिय कल प 1

समनमनत ऄकष

दी गइ अकनतयो को दख यदद हम आनम स दकसी एक अकनत को आस तरह मोड़ प ए दक आसक

अध ब य ा भ ग अध द य भ ग स ऄथव अध उपर क भ ग नीच क अध भ ग स पणमतय नमलत

जलत हो तब हम कहग दक अकनत म समनमनत की रख ह ऐस म दोनो अध भ ग एक दसर क परनतनबमब

ह

नचतर 2 (क) दख टटी रख पर मोड़न पर नचतर क दोनो नहसस ठीक एक दसर को ढक लग ऐस ही

ब की नचतरो म भी दख

यदद हम मोड़न व ली रख पर एक समतल दपमण रख द तो भी समनमत अकनतयो म अकनत क एक

भ ग क परनतनबमब दसर भ ग को पणमतय ढ़क लग आन नचतरो म मोड़ (व सतनवक य क लपननक रख )

बन ए व एक दपमण लकर सभी नचतरो म टटी ल आन पर रखकर दख

कय दपमण म ददखी अकनत नचतर क ब की नहसस क सम न ही थी यह दपमण रख अकनत की

समनमनत की रख (य समनमनत ऄकष) कहल ती ह

रोहन क कहन ह दक उपर जो भी अकनतय ा बन ह व सभी समनमत अकनतय ा ह कय अप आसस

सहमत ह कयो

अप भी प ाच समनमत अकनतय ा बन आय और ईनक समनमनत ऄकष खीनचय

दिय कल प 2

समनमत अकनतय ा पहच ननय

नीच दी अकनतयो म स कौन-कौन सी अकनतय ा समनमत ह

P a g e | 198

समनमत अकनतयो को अपन कस पहच न

ऄब ईनक समनमनत ऄकष भी बन ए कय जो अकनतय ा समनमत नही ह

ईनम अप कछ जोड़ कर समनमत अकनतय ा बन सकत ह कोइ एक अकनत

लकर सोचो

समनमत अकनतयो म अकनत क अध भ ग समनमत ऄकष पर दसर अध

भ ग को पणमतय ढाक लत ह

अकनत िम क 3 (ख) समनमत अकनत नही ह दकनत ईसम यदद एक और खमभ जोड़ ददय ज ए तो

दफर नइ अकनत समनमत होगी आसक समनमनत ऄकष कह ा ह ब की अकनतय ा जो समनमत नही ह ईनह भी

आसी परक र समनमत बन ए

दिय कल प 3

कौन स ऄकषर समनमत ह

अप मोट क गज़ क टकड़ म स ABCD Y Z क रप क रटए दो नडबब लकर एक

पर समनमत ह एव दसर पर समनमत नही ह की पची नचपक द

ऄब ABCDको एक-एक करक दनखए पत कर दक कय ईस ऄकषर क अध भ ग समनमत

ऄकष पर शष अध भ ग को परी तरह ढक लत ह य नही

नजस ऄकषर म दोनो भ ग एक दसर को ढक लत ह ईस दकस नडबब म ड लग

समनमत व ल नडबब म कौन-कौन स ऄकषर अए

दकसम जय द ऄकषर ह

यही ऄभय स कखग ह ऄकषर क ट कर भी करो कौन स ऄकषर समनमत नमल

दिय कल प 4

ऐसी भी समनमनत

एक क गज़ लो एव ईस दो सम न भ गो म मोनड़य

एक अध भ ग पर सय ही य रग की कछ बद ड नलए दसर

भ ग को मोड़ कर पहल भ ग पर रखकर दब आए अप कय

दखत ह

कय पर पत अकनत समनमत ह यदद ह ा तो आसकी समनमनत

रख कह ा ह

कय ऐसी कोइ ऄनय रख भी ह जह ा स मोड़न पर दो सम न भ ग पर पत हो सकत होऐस ही कछ

और परनतरपो को बन न क परय स कीनजए

P a g e | 199

अप ऄपनी ककष म ईपलबध वसतओ को दख ईनम समनमत अकनत व ली वसतओ की सची

बन आए जस शय म पटट मज की उपरी सतह अपकी कॉपी अदद-अदद कय पख क पख की अकनत भी

समनमत ह चच म करक ऄपनी सची गरजी को ददख ए परतयक समनमत वसत क नचतर बन कर ईसम

समनमनत रख भी खीनचए

दिय कल प

ऄब आन नचतरो को दनखए -

कय य समनमत ह

अपन ऄपन घर की दीव र य ग ाव क ऄनय घरो की दीव र म बन हए नचतर दख ह ऄपनी कॉपी म

भी ऐस ही नचतर बन आए

कय व नचतर समनमत होत ह ईनक समनमनत ऄकष बन ए

दिय कल प 6

समनमनत पहच ननए

आनम स कौन स नचतर समनमत ह जो समनमत नही ह ईनह समनमत म बदल कर बन ओ

कय अपन कभी रगोली बन इ ह रगोली म ऐसी भी अकनतय ा नमलती ह

P a g e | 200

आनम ऄलग-ऄलग घरो म ऄलग-ऄलग तरह स रग भर ज सकत ह

रग भरन पर यह सनदर लगती ह कय आनम भी कोइ समनमनत ऄकष ह हरक अकनत म दख

कय दकसी अकनत म एक स ऄनधक समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 7

अपक जय नमनत बॉकस म दो सट सव यर म स एक क कोणो

की म प 900 600 और 300 ह ऐस ही दो सम न सट सव यर लीनजए

आनह अपस म नमल कर रनखए और एक पतग जसी बन आए

जस दक नचतर म ददख य गय ह आस अकनत म दकतनी समनमनत

रख एा ह

आसी परक र ऄब दसर परक र क दो सट सव यर (कोणो की

म प 900 450 और 450) लीनजए और पहल की तरह स थ-स थ जोड़

कर रनखए कसी अकनत बनी

आसम दकतनी समनमनत रख एा ह ऐसी और अकनतय ा सोचो नजनम एक स ऄनधक समनमनत

रख एा हो

दिय कल प 8

अयत और समनमनत

एक पोसटक डम लीनजए ईस लमब इ की ओर स मोनड़ए (नचतर 12 क) नजसस दक एक अध

भ ग दसर अध भ ग को पणमतय ढाक ल कय यह मोड़ एक समनमनत की रख ह

ऄपन ईततर क क रण बत ओ

आस खोनलए और पनः एक ब र चौड़ इ की ओर स सम न तरीक स मोनड़ए (नचतर 12 ख)

कय यह दसर मोड़ भी समनमनत की रख ह

कय अपको लगत ह आसम समनमनत की दो ही रख एा ह

उपर सट-सव यर स बन वगम क ब र म दफर स सोचो आसम समनमनत की दकतनी रख ए ह

P a g e | 201

दिय कल प 9

दपमण और समनमनत

नीच एक छ त क नचतर 13 (क)ह नचतर 13 (ख) म छतरी क अध नहसस को समतल दपमण क

स मन खड़ ददख य गय ह दपमण क चमकद र नहसस की ओर स स मन क अध नहसस और ईसक

परनतबबब को धय न स दख कय छतरी क नचतर पर परतीत होत ह

दिय कल प 10

नचतर म अध चहर ह रख AB पर समतल दपमण रखन पर कय चहर पणम परतीत होत ह

AB पणम अकनत क समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 11

ऐसी कौन-कौन सी अकनतय ा ह नजनम समनमनत ऄकष पर समतल दपमण रखन पर दोनो तरफ क

नहसस परनतबबनबत होत ह

आन अकनतयो को दनखए तथ टटी रख ओ पर समतल दपमण की ऐसी नसथनत क पत लग आए

जह रखन पर परनतबबब अकनत और व सतनवक अकनत एक जसी ह

P a g e | 202

परशन वली 181

ननमन अकनतयो म कौन-कौन सी समनमत ह आनम समनमनत ऄकष ढदढ़ए समनमत अकनत म समनमनत ऄकषो

की सखय नलख व समनमनत ऄकष दश मए

वतत म समनमनत ऄकषो की सखय दकतनी ह

वतत ऄपन परतयक वय स क स पकष समनमत ह ऄथ मत दकसी भी

वय स पर स क टन पर दोनो नहसस बर बर होत ह

दिय कल प 12

एक वग मक र क गज़ लो आस एक ब र उपर स नीच एव पनः

एक ब र ब य स द य मोनड़ए ऄब दी गइ अकनत क ऄनस र नडज़ आन बन आए

जस दक ददख य गय ह जो अकनत बन इ गइ ह ईस पर स क रटए और मोड़

खोल कर क गज़ को फल ए

आनम दकतनी समनमनत रख एा ह

P a g e | 203

दिय कल प 13

समनमत रख एा

तीन बॉकस लो तीनो पर क गज़ की नचट चसप कर दो

पहल बॉकस पर एक समनमनत रख दसर पर दो समनमनत रख एा एव

ऄनय पर तीन य तीन स ऄनधक रख य नलख हअ हो

अप ऄपन ABC YZ क टकड़ो को दख एव म लम

कर दक आनम दकतनी समनमनत रख एा ह नजन ABCD म एक

समनमनत रख ह ईस एक क बॉकस म नजनम दो समनमनत रख एा ह

ईनह दो क बॉकस म एव नजनम तीन य ऄनधक समनमनत रख एा ह

ईनह ईस बॉकस म ड ल ऄपन स नथयो स चच म कर

कय ऄब अप बत सकत ह दक सबस जय द समनमनत

रख एा ऄगरजी क दकस ऄकषर म ह ऐस और भी नचतरो व अकनतयो को

आसी परक र समनमनत ऄकष क अध र पर छ रटए

समनमनत और कह ा-कह ा

1 बस म सफर करत वकत रोड स आन (म गम सचक) सकत य नचहन को दखत ह आन रोड स आन म

स व नजनम समनमनत की रख एा होती ह आनह पहच नो एव ऄपनी कॉपी म नलखो

2 पड़ोपनततयोडठल को दखो कय आनम समनमनत की रख एा होती ह

3 कय ददय गय नचतर म समनमनत की रख ह

4 कय त श क पततो म भी समनमनत की रख एा ह दकस पतत म दकतनी समनमनत

रख ह एक ह दो ह तीन ह य ऄनधक ह बत आए

5 खलो क मद नो एव बोडम म भी समनमनत की रख ए होती ह अप ऐस मद नो एव

बोडम की सची बन ए एव ऄधय पक को बत ए

6 सभी परक र क व हनो म भी समनमनत होती ह जस बसटरक

P a g e | 204

क गज़ो दव र बन वट

एक अयत क र रगीन क गज़ लो आस कइ ब र मोनड़ए एव आस नचतर म दी गइ अकनत क

ऄनस र क ट लो ऄब खोल कर दखो

आसको ऄपनी कॉपी पर रखकर आसम नवनभनन रग भर कर दखो कय आन नचतरो म समनमनत

ददख इ दती ह

रगोली

कय अपन कभी तयौह रो क ऄवसर पर घर पर कभी रगोली बन इ ह

कय आनम समनमनत क परयोग होत दख ह आस परक र क नवनभनन रगोली पटनम को क गज़ पर

ईत र कर एक एलबम बन ए

महदी

घरो म मनहल ओ को महदी लग त हए दख ह कय महदी म भी समनमनत होती ह ऄपनी

ककष की लड़दकयो क स थ चच म करो

P a g e | 205

परशन वली 182

पर1 नीच दी गइ अकनतयो म पत लग आए दक कौन सी समनमत ह एव कौन सी ऄसमनमत ह

पर2 ऄपन असप स म नसथत 5 ऄसमनमत अकनतयो क न म नलखो जो आस पसतक म नही अइ हो

पर3 900 क कोण बन आए और ईस पर समनमनत रख खीनचए

पर4 6 cm क एक रख खणड़ खीनचए और ईसक समनमनत ऄकष बन आए

पर5 नीच दी गइ अकनतय ा ऄधरी ह नजनक समनमनत ऄकष PQ ह आनह परी कीनजए

पर6 नीच कछ मड़ी हइ शीट की अकनतय ा दी गइ ह नजनकी तह पर अकनतय ा बन इ गइ ह परतयक म पणम

अकनत की रपरख खीनचए जो नडज आन क क टन क ब द ददख इ दगी

P a g e | 206

पर7 नीच दी गइ अकनतयो को एक च र तह व ल वग ादकत क गज़ पर बन त तो कसी ददखती

सोच कर वसी ही अकनत ऄपनी कॉपी म बन ओ यदद नही सोच प त तो क गज़ क ट कर पत

लग ओ

पर8 1 स 100 तक की सखय ओ म स समनमत सखय एा कौन-कौन सी ह पत लग ओ एव ऄपनी कॉपी म

नलखो

नतरनवमीय अकनतय ा

हम ऄपन दननक जीवन म कछ ऐसी ठोस वसतओ को दखत ह नजनक अक र सप ट नही

होत ह

P a g e | 207

फलक दकन र और शीषम

नतरनवमीय अक रो म हम ईनक फलको दकन रो और शीषो को सरलत स पहच न सकत ह

नचतर 28

ईद हरण क नलए एक घन को लीनजए घन भ की परतयक ईपरी सप ट (अयत क र) सतह एक

फलक ह आसक दो सलगन फलक एक रख खणड म नमलत ह जो घन भ क दकन र कहल त ह घन भ क

तीन सलगन दकन र एक नबनद पर नमलत ह नजस घन भ क शीषम कहत ह

आस परक र एक घन भ म 6 अयत क र फलक 12 दकन र और 8 शीषम होत ह

ऄभय स

1 ईनचत सबध जोनड़ए

(i) शक (i)

(ii) गोल (ii)

(iii) बलन (iii)

(iv) घन (iv)

(v) घन भ (v)

2 ननमन वसतएा दकस अक र की ह -

(i) चॉक क नडबब

(ii) टननस बॉल

(iii) प आप

(iv) जोकर की टोपी

(v) प स

3 दकनही च र वसतओ क न म बत आए जो एक घन भ अक र स नमलती जलती हो

4 दकनही ऐसी तीन वसतओ क न म बत आय जो बलन क अक र स नमलती जलती हो

P a g e | 208

5 नीच दी गयी गइ स रणी म नतरनवमीय अकनतयो क फलक दकन र व शीषो की सखय नलनखए -

हमन सीख

1 हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो को आम रतो को और ऄनय चीज़ो को दखत ह य सब अकनतय ा

समनमत अकनतय ा ह

2 समनमतत स वसतएा सनदर लगती ह

3 ददन परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

4 हम र अस-प स कइ परक र की नतरनवमीय अकनतय ा होती ह आनम स कछ घन घन भ गोल

बलन और शक ह

P a g e | 209

19

स नखयकी

भनमक

श ल म ककष सज वट क क यमिम अयोनजत होन थ ककष 7वी क नवदय थी यह तय नही कर प

रह थ दक ककष क ऄदर दीव रो की पत इ दकस रग स कर इ ज य ईनकी श ल म हलक पील गल बी

हलक हर एव असम नी म तर च र रग ही ईपलबध थ ककष न यक क कहन पर सभी नवदय रसथयो न ऄपन

न म एव पसदीद रग एक पनन पर नलख ददय जो ननमन दकत स रणी म परदरसशत हः-

आन सचन ओ क अध र पर कय अप

यह ननणमय ल सकत ह दक दीव र पर कौन-स

रग स पत इ कर नी ह तभी रीत को एक

तरीक सझ ईसन बोडम पर रगो क न म

नलख तथ परतयक रग को पसद करन व ल

नवदय थी को ऄपनी पसनद क रग क स मन

ऄपन न म नलखन को कह

ऄब सची आस परक र बनीः-

P a g e | 210

चदक हलक पील रग पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय ऄनधक थी आस क रण आसी रग स

पत इ कर न क ननणमय नलय गय

दननक जीवन म कय अपन ननणमय लन क नलए कभी यह तरीक ऄपन य ह

अप ऄपनी ककष म तरम नसक परीकष म परतयक नवषय म 34 स ऄनधक और 34 स कम ऄक पर पत

करन व लो की सची बन आए कय आस अध र पर अप बत सकत ह दक दकस नवषय क परीकष फल सबस

ऄचछ ह और दकस नवषय क सबस खर ब

अाकड़ (Data)

कोइ भी ननणमय लत समय अपको कछ न कछ ज नक ररयो की अवशयकत होती ह आन अवशयक

सखय तमक ज नक ररयो को ही अाकड़ कहत ह

म न अपको ऄपनी ककष क नवदय रसथयो क पढ़न क नलए एक सम च र पतर खरीदन ह अप

कौनस सम च र पतर खरीदग नजस ऄनधक स ऄनधक नवदय थी पढ़न पसद कर यह ननणमय अप कस लग

सभी नवदय रसथयो न एक स रणी तय र की नजसम पसद क सम च र पतर क स मन सभी न ऄपन -

ऄपन न म नलख दफर नजस सम च र पतर को पसनद करन व लो की सखय सव मनधक ह ईस ही खरीदन

क ननणमय नलय गय

जली स रनणयो को ब र-ब र दख रही थी और सोच रही थी दक आन स रनणयो म न म नलखन क

कोइ मतलब ही नही ह हम तो म तर यह नगनन ह दक च ही गइ ज नक री क पकष म दकतन छ तर ह न म न

नलखकर ईसक सथ न पर दकसी सकत क भी ईपयोग दकय ज सकत ह

कय अप जली की सोच स सहमत ह कय ऐस कोइ तरीक सोच सकत ह नजसम न म क सथ न

पर कवल सकत नचनह क ईपयोग करक ही गणन की ज सक

बसत न एक सझ व ददय दक कयो न परतयक न म क सथ न पर एक-एक खड़ी लकीर क ईपयोग

दकय ज ए और ऄनत म सभी खड़ी लकीरो की नगनती कर ली ज ए सभी नवदय थी आसस सहमत थ

ऄननत न कह lsquolsquoचलो हम खलो की लोकनपरयत क िम पत लग वrsquoऄननत न बोडम म 4 खलो क

न म नलख और ऄपन-ऄपन पसद क खल क स मन परतयक नवदय थी को एक खड़ी लकीर खीचन को कह

स रणी कछ आस परक र बनीः-

P a g e | 211

परनत आस परक र की स रणी म जय द खड़ी लकीरो को नगनन म ऄसनवध होती ह आसनलए नजस

परक र स अपन छोटी ककष ओ म नगनती सीखत वकत दस-दस क बणडल बन ए थ ईसी परक र यदद प ाच-प ाच

क बणडल बन ल तो अपको नगनन म अस नी रहगी हम च र खड़ी लकीर खीचकर प ाचव क नलए आन

च रो लकीरो को क टत हए एक नतरछी लकीर (दश मय ऄनस र) खीचत ह जस 5 क नलए-

5 क नलए

19 क नलए

आसस नगनन म सरलत होती ह

ईपरोकत त नलक क ऄनस र दिकट पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय | | | | | | ऄथ मत 7 ह

आस ही ब रमब रत (Frequency) कहत ह परतयक म न क नलए एक खड़ी लकीर खीचन की परदिय को

टली (Tally) लग न कहत ह तथ आस नवनध को टली नवनध (Tally method) दव र अकड़ो क सकलन

(Collection of Data) कहत ह एव आसस पर पत स रणी को ब रमब रत स रणी (Frequency Table)

कहत ह

अप भी आस नवनध क ईपयोग कर ऄपन असप स क अकड़ो को एकनतरत करन क परय स कीनजए

ईद हरण-1 एक ग व क 20 घरो म बचचो की सखय आस परक र हः-

आन अाकड़ो क दव र टली नवनध क परयोग कर ईपयकत ब रमब रत स रणी क ननम मण कीनजए

परतयक घर म बचचो की सखय ईनक नलए टली नचनह तथ ब रमब रत क नलए कॉलम बन त ह तथ

परतयक म न क नलए ईसक स मन टली नचनह लग त ह प ाचव नचनह को सनवध क नलए पर रनभक

च र नचनहो को क टत हए नतरछ लग त ह

आस स रणी म अपन बचचो की सखय क नलए कवल शनय स च र तक क ऄको को ही कयो नलख ह

यदद आस 1 स शर दकय ज त तो कय होत

यदद स रणी म बचचो की 01234567 तक नलखत तो कय होत

P a g e | 212

अाकड़ो क नचतर तमक परदशमन

र जश अज क सम च र पतर पढ़ रह थ नजसम नलख थ ः-

lsquolsquoलड़दकयो न लड़को स ब जी म रीrdquo

आस वषम की 8वी बोडम की परीकष म

लड़दकय ा सभी कषतरो म लड़को स अग रही

र जश नचतरो को दखकर सोचन लग -

lsquolsquoयह तो अकड़ो क परदशमन क ऄचछ तरीक ह

आन नचतरो को दखकर बड़ अस नी स यह समझ

ज सकत ह दक छ तर ओ क परीकष फल छ तरो स

सभी परक र स ऄचछ हrdquo ऐस ही कछ हम जब

पर थमन म ल आन बन कर खड़ होत ह तब दखन

को नमलत ह ल आनो की लमब इ की सह यत स

ककष क छ तर सखय की तलन की ज सकती ह र जश न ऄपन स नथय स कह - lsquolsquoकयो न स रणी-3 म

एकनतरत अाकड़ो की मदद स खलो की लोकनपरयत को नचतर रप म परदरसशत दकय ज एrsquorsquo

स रणी-3 म कल नवदय रसथयो की सखय 16 थी आनम स फटब ल क खल पसद करन व ल 3

दिकट पसद करन व ल 7 वॉलीबॉल पसद करन व ल 1 कबिी पसद करन व ल 5 नवदय थी थ आनह नचतर

रप म दकस परक र परदरसशत दकय ज सकत ह

जली न कह lsquolsquoयदद हम परतयक छ तर क नलए एक नचतर बन ए तो फटब ल क अग 3 नचतर दिकट

क अग 7 नचतर वॉलीबॉल क अग 1 और कबिी क अग 5 नचतर बनग-

फटब ल

दिकट

वॉलीबॉल

कबिी

आसी परक र नचतरो क दव र परदशमन को नचतर अरख (pictograph) कह ज त ह यह अस नी स

समझन योगय होत ह एव नचतरो को दखकर ननषकषम ननक ल ज सकत ह

दणड अरख

नचतर अरख की नवनध स परदशमन म हम बहत स नचतरो को बन न की अवशयकत

होती ह जो कभी-कभी ऄवय वह ररक हो ज ती ह दकनत यदद हम परतयक छ तर क

नलए 1 समी लमब इ लकर यदद दणड बन ए तब अकड़ो क परदशमन म और सरलत

होगी तथ आन दणडो को कषनतज ऄथव ईधव मधर दोनो तरीको स बन य ज सकत ह

P a g e | 213

आन अरखो म दणडो की चौड़ इ सम न रखी गयी ह आन दणड अलखो को दखकर आन खलो की

लोकनपरयत क ऄनद ज अस नी स लग य ज सकत ह ईकत ननरपण म नवदय रसथयो की सखय कम थी

ऄतः परतयक नवदय थी क नलए दणड की लमब इ 1 समी लकर ईस कॉपी म अस नी स दश मय ज सकत ह

दकनत यदद नवदय रसथयो की सखय ऄनधक हो तो ऐसी नसथनत म ईस कॉपी पर कस दश मएग

ऐसी नसथनत म दणडो की उा च इ क ननध मरण करन मखय समसय ह

अआए आस पर नवच र कर-

र जश नजस मोहलल म रहत ह वह 750 परष 660 मनहल ए एव 140 बचच ह हम आस अरख क दव र

परदरसशत करन ह

आन अाकड़ो क दणड क रप म परदरसशत करन क नलए दणडो की उा च इ कय होनी च नहए

यदद हम परतयक वयनकत क नलए 1 समी की उा च इ ल तो परषो क नलए 750 समी मनहल ओ क

नलए 660 समी एव बचचो क नलए 140 समी क दणड बन न होग दकनत आस ऄपन कॉपी म बन न सभव

नही ह

यदद हम परनत 10 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब य दणड िमशः 75 समी 66 समी एव

14 समी क दणड बनग दकनत आस भी हम ऄपनी कॉपी म परदरसशत नही कर सक ग

यदद हम परनत 100 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब दणड की लमब इय ा िमशः 75 समी

66 समी एव 14 समी होगी जो दक अस नी स हम री कॉपी म बन इ ज सकती ह तो अआए दखत ह

दक आस दकस परक र स हम एक दणड नचतर क म धयम स दश मएग-

P a g e | 214

आन अकड़ो को परदरसशत करन म दणड को ईधव मधर बन य गय ह आस ईधव मधर दणड अरख

(Vertical Bar Graph) कहत ह दणडो को हम कषनतज रप म भी परदरसशत कर सकत ह

यदद हम दणडो को कषनतज रप म परदरसशत कर तो ईस कषनतज दणड अरख (Horizontal Bar

Graph) कहग (नचतर-6)

ऄननत क मन म एक परशन ईठ रह थ दक दणड अरख की कय ईपयोनगत ह कयोदक ब रमब रत

स रणी क ऄवलोकन स भी हम वही ज नक री नमल ज ती ह जो दणड अरख स नमलती ह

अआय ऄननत क आस परशन क हल ढढ

नीच वषम 1991 स वषम 2000 तक गहा क ईतप दन क अकड़ ददए गए ह ः-

आन अकड़ो को दणड-अरख दव र आस परक र वयकत कर सकत ह-

P a g e | 215

आस दणड अलख को दखकर कय अप बत सकत ह दक दकस वषम म गहा क ईतप दन सबस कम और

दकस वषम म सबस ऄनधक हअ आसस और कय -कय ज नक ररय अपको नमल सकती ह नलनखए

अप प यग दक वषम 1995 म सबस ऄनधक तथ वषम 1991 म सबस कम गहा क ईतप दन हअ ह

यह भी प त ह दक 1992 एव 1999 दोनो वषो म गह ईतप दन एक सम न हअ ह कय

ब रमब रत स रणी को कवल दखकर ऐस ही ननषकषम ननक ल प यग

यह सपषट ह दक नसफम अकड़ो को दखकर दकसी ननषकषम म पहचन करठन होत ह आसक नलए सभी

ददय गए अकड़ो क सकषम ऄधययन जररी ह जबदक दणड अरख को कवल दखकर ही कह सकत ह दक दकस

वषम ईतप दन सबस ऄनधक और दकस वषम सबस कम हअ ह ऄतः दणड अरख क मखय ल भ यह ह दक आस

एक ब र दखकर ही समझ म अ ज त ह तथ ऄनय अाकड़ो स तलन बड़ी अस नी स की ज सकत ह

परशन वली 19

1 दकसी ककष म 20 छ तरो न गनणत की ज ाच परीकष म 5 म स ननमन ऄक पर पत दकए-

3 2 5 4 0 1 2 3 5

4 1 0 3 2 3 4

आन पर पत को को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

2 1 ऄपरल 2005 स 15 ऄपरल 2005 तक दकसी शहर क ऄनधकतम दननक त पम न नडगरी सनलसयस

म आस परक र रह 378 378 379 380 379 379 380 381 381

382 383 383 382 381 382

परतयक ददन क त पम न को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

3 नीच ददए गए स रणी म ककष 6वी क छ तरो क परीकष फल शरणीव र ददए गए ह आनक ऄवलोकन

कर ददए गए परशनो क ईततर दीनजएः-

P a g e | 216

शरणी छ तरो की सखय

परथम शरणी 12 (क) दकस शरणी क छ तरो की सखय सबस ऄनधक ह

नदवतीय शरणी 14 (ख) परीकष म बठ छ तरो की कल सखय दकतनी थी

ततीय शरणी 10 (ग) कल दकतन छ तर ईततीणम हए

ऄनततीणम 04

4 नीच दी गइ स रणी म दकसी कपनी की 5 वषो की व रसषक अय दी गइ

ह अकड़ो को दड अरख दव र दश मआए-

5

ननमन स रणी ऄलग-ऄलग टीवी सट क खरीदद रो की सचन दती ह आन अकड़ो को दड अरख

क रप दीनजए

6 ननमन स रणी एक नवदय लय की व रसषक परीकष म छ तरो क औसत पर पत को को दश मती ह अकड़ो

को दड अरख दव र परदरसशत कीनजए

P a g e | 217

P a g e | 218

उततर माऱा परशनावऱी 1

1- 1

2- 41600]

3- (i) gt (ii) gt (iii) = (iv) lt

(v) gt (vi) gt

4 20 5- 9899

परशनावऱी 21

1 1 2 0 3 4 4 464748 5 41806

(i) ऄसतय (ii) सतय (iii) सतय (iv) सतय (v) सतय

(vi) सतय (vii) ऄसतय (viii) ऄसतय

7 (i) 24 (ii) 78 (iii) 519 (iv) 1099 (v) 52331

8 (i) 26 (ii) 521 (iii) 1101 (iv) 52333

9 100000 10 99999 11 1

12 18 252421497 557 731

13 617 458 225 69 59

14 (ii)

15 6387

परशनावऱी 22

1 (i) 391 (ii) 40 (iii) 40 (iv) 39 (v) C

2 (i) (23589+411) + 1248=25248 (ii) (32+68) + (2546+544) = 3190

(iii) (247+153) + 376 = 776 (iv) (143+857) + 456= 1456

(v) (32958+12042) + 5000= 50000

3 0 4 दो पणम सखय ओ क योग सदव पणम सखय होत ह 5- (i) 4559 (ii) 0 (iii) 8 7 6

- 2 3 9

6 3 7

6 1 7 0 8 1216 76 = 16 9 32

10 20310

11 (i) भ गफल = 215 शषफल = 32 (ii) भ गफल = 14 शषफल = 735

(iii) भ गफल = 309 शषफल = 145

P a g e | 219

12 (i) 7 3 5 (ii) 4 9 3 1

_ 4 2 9 - 3 0 7 8

3 0 6 1 8 5 3

13 390 14- 3414 15 31825 16 9

17 780

परशनावऱी 3

1 (i) सतय (i) ऄसतय (i) सतय (i) सतय (i) ऄसतय

2 (i) 3 AB व CD (i) RS व PQ (i) SR व TU 4 C एव E

परशनावऱी 4

1 (i) -2 (ii) 2 (iii) -9

(iv) 8 (v) -4 (vi) 3

(vii) -5 (viii) 8

2 (i) 1028 (ii) -266 (iii) 36

(iv) 154

3 (i) = (ii) lt (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) gt

4 (i) 30 (ii) 90 (iii) 24

(iv) 24 (v) 0 (vi) 42

5 (i) gt (ii) = (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) lt

(vii) =

6 13 7 100

8 (i) 15 (ii) -10 (iii) -4

(iv) ऄपररभ नषत (v) 14 (vi) 19

9 (i) 4 (ii) -2 (iii) -1

(iv) -12

10 (i) -17 (ii) 23 (iii) -68

(iv) 75

11 (i) 18 (ii) -26 (iii) -161

(iv) 79

परशनावऱी 5

5 44 समी

6 (i) नतरजय (ii) कनर (iii) वय स

(iv) कनर (v) सम न (vi) नतरजय

(vii) जीव

P a g e | 220

परशनावऱी 61

1- (i) 12 (ii) 18 (iii) 10 (iv) 27

2- (i) 36 (ii) 150 (iii) 24 (iv) 15

3- 1

4- (i) 36164] (ii) 201275 5- 17

6- 11 7- 44 8- 17] 113 ltsj 9- 30

परशनावऱी 62

मौनखक

1 4 2 338 3 24 4 7 स बड़ 5 नही

नलनखत

1- i 28 ii- 324 iii- 180 iv- 2520

2- i 56 ii 1904 iii 360 iv 16560

3 10 4 15 ब र 5 23 जनवरी

6 72 7 221 8 20 ददन

9 नही कयोदक म स सदव ल स क एक गणनखणड होत ह

10 415 स ाय

परशनावऱी 7

1 (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv ऄसतय (v) सतय (vi) ऄसतय

(vii) सतय (viii) ऄसतय (ix) सतय (x) सतय

2- (i) (ii)

(iii) 8 gt 8 gt 08 gt 008 gt 0008 (iv) 01 gt 00992 gt 0099 gt 0012

3- (i) (ii)

4- (i) (ii) 80001 (iii) (iv) 1 (v)

(vi)

5- (i) 24 (ii) 77 (iii) 36 (iv) 8

6 उचित अनचित

परशनावऱी 81

1- (i) AOB (ii) LMN (iii) PQR (iv) STU (v) अ ब स

1

3

9

24

5

8

5

6

3

2

1

8

2

15

1

6

1

4

1

2

8

9

7

8

5

6

7

6

3

4

8

12

1

2

1

6

519

40

15

14

3

4

P a g e | 221

4 180deg

परशनावऱी 82

1 (i) सतय (ii) ऄसतय (iii) सतय (iv) सतय

(v) सतय (vi) सतय (vii) सतय

2 (i) ऄनधक कोण (ii) नयन कोण (iii) समकोण (iv) सरल कोण

(v) नयनकोण (vi) ऄनधक कोण (vii) नयन कोण (viii)नयन कोण

(ix) नयन कोण (x) नयन कोण

परशनावऱी 91

1 (i) ऄसतय (ii) सतय (iii) ऄसतय (iv) सतय (v)ऄसतय

(vi) ऄसतय (vii) सतय (vii) ऄसतय (viii) सतय (ix) सतय

2 400 3 450 4 600 5 ह ा

6 (i) नही (ii) नही (iii) ह (iv) नही (v) ह (vi) नही

परशनावऱी 92

ईततर (1) (i) समचतभमज (ii) 90O (iii) बर बर

(iv) समलमब (v) नवषमब ह चतभमज

ईततर (2) (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv) ऄसतय (v) सतय

परशनावऱी 101

2 (i) 1 4 (ii) 1 4 (iii) 3 20 (iv) 3 100

(v) 21 200 (vi) 40 1 (vii) 4 25

3 (i) 3 8 (ii) 1 3 (iii) 3 5 (iv) 9 19

(v) 6 17 (vi) 2 3 (vii) 5 7 (viii) 1 3

(ix) 2 9 (x) 1 20

4 (i) 1 16 (ii) 16 1

5 7 6

6 (i) 4 3 (iii) 4 7 7- 3 2

8 8 तथ 12 9 5 4 10 4 5

11 रतन को 10 अमशील को 8 अम

P a g e | 222

12 (i) 5 2 (ii) 4 1 (iii) 7 1 (iv) 7 4 (v) 5 3

13 र म को 9000 रपय तथ शय म को 12000 रपय

14 AB = 28 चिमी BC = 12 चिमी 15 (i) परतयि िो 3 (ii) 2 1 3

परशनावऱी 102

1 3850 र 2 (i) 8 घट म (ii) 35750 दकलोमीटर

3 (i) 10 दकलोगर म (ii) 48 दकत ब 4 1800 रपय 5 640 रपय

6 दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 3750

2 100

60 3000

परशनावऱी 11

1 (i) a=2r (ii) A = 1 x b (iii) s = c + p (iv) a + b (v) x - 7

(vi) A = p + c

2 (i) सही (ii) सही (iii)गलत (iv) सही (v) सही

परशनावऱी 12

1 एक पदी- vi viii नदवपदी-i ii iii iv v vii ix एव x

2 5xy एव xy 7c एव 2c yz एव yz

7bc एव bc z एव 7z 37pqr एव 9pqr

परशनावऱी 13

1 (i) 150 (ii) 250 (iii) 20 (iv) 15

2 (i) (ii) (iii) (iv)

3 216 रपय 4 72 दकलोगर म 5 50 6 9 रपय

9

44

5

11

13

2

7

1

2

3

20

1

50

1

10

P a g e | 223

7 3 टॉदफय ा 8 65 9 100

10 परष 28800 मनहल एा 25200 11 1 की कमी

12 10 13 800 14 20 15 ईततीणम 90ए ऄनततीणम 10

16 स कषर 1440 ननरकषर 160

परशनावऱी 141

1 i iv vi vii viii ix व x क समीकरण ह

2 I ब यॉ ा = x ndash 5 द य ा = 9 II ब यॉ ा = 2 x ndash 3 द य ा = 7

III ब य ा = 2y द य ा = 9 ndash y Iv ब यॉ = 2y द य ा = 6

I ब य ा = 15 द य ा = 2a + 5

3 I 2y ndash 3 = 17 II = 7 III y ndash 5 = 8

IV 3y + 11 = 44 V 7y - 5 = 9

4 (i) सखय म स 6 कम करन पर 9 पर पत होत ह

(ii) सखय क 7 गन म स 14 कम करन पर शनय पर पत होत ह

(iii) सखय क दगन म तीन क भ ग दन पर 6 पर पत होत ह ऄथव दकसी सखय

क दो नतह इ 6 पर पत होत ह

(iv) सखय क अध म 5 जोड़न स 10 पर पत होत ह

(v) 38 म स दकसी सखय क दगन कम करन पर 4 पर पत होत ह

परशनावऱी 142

(i) x = -1 (ii) z = 8 (iii) y = 3 (iv) y = 3 (v) x = 6

(vi) z =

2- (i) x= 2 (ii) z = 4 (iii) x = 75 (iv) y = 13 5

4 25

5 40

6 20

7 13 मीटर

y

6

7

3

P a g e | 224

परशनावऱी 16

(1) बनद अकनतय -

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii) (ix)

(2) (a) 12 वगम समी (b) 10 वगम समी

(c) 72 वरग मीटर (d) 135 वगम मीटर

(3) (a) 36 वगम समी (b) 144 वगम समी

(c) 169 वगम समी (d) 1225 वगम समी

(4) (a) 20 वगम समी (b) 24 वगम समी

(5) 36 वगम समी

परशनावऱी 17

1) (i) 12 समी (ii) 12 समी (iv) 6 समी

(vi) 8 समी (vii) 8 समी (viii)15 समी

2) (i) 42 समी (ii) 36 समी

(iii)12 समी (iv) 3 मीटर य 300 समी

3) (i) सतय (ii) ऄसतय (iii)ऄसतय (iv) सतय

4) (i) 60 समी

5) 14 मीटर

6) (i) 8समी (ii) 16समी (iii)32 समी (iv) 24 समी

(v) 20 समी (vi) 13 समी (vii) 18 समी

7) 280 मीटर

उततरमाऱा 181

1

P a g e | 225

उततरमाऱा 182

पर1

पर2 सवयॊ बताओ

पर3 पर4

पर5

पर6

पर7

पर8 3 8 11 13 18 22 33 44 55 66 77 88 99 83 38 80

P a g e | 226

उततरमाऱा 19

परषन 1

परषन 3 (क) नदवतीय शरणी (ख) 40 (ग) 36

P a g e | 227

पररनशषट

वददक गनणत की नवनधय ा

अप पण ाक प ठ क ऄतगमत वददक गनणत की नवनधयो स घट न व गण करन सीखग आस सीखन

क पवम अपको वददक गनणत की कछ पवम ऄवध रण ओ को ज नन अवशयक ह नजनकी चच म यह ा की ज

रही ह -

ऄभी तक अपन जोड़न घट न गण एव भ ग करन सीख नलय ह आन सदिय ओ को

करन की कछ सरल और मजद र नवनधय ा वददक गनणत म भी ह यह ा हम ईन नवनधयो स अपक पररचय

कर एाग आन नवनधयो क ब र म ज नन क पहल अआए ऄको स पररचय कर ल -

ऄक - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 य दस ऄक ह आनही ऄको क परयोग कर सभी सखय एा नलखी

ज ती ह

बीज क - वददक गनणत म 1 स 9 तक क ऄको को बीज क कहत ह दकसी सखय क बीज क जञ त

करन क नलए सखय क ऄको क योग तब तक करत ह जब तक एक ऄक की सखय पर पत न

हो ज ए

ईद हरण क नलए -

35 क बीज क जञ त करन क नलए आसक ऄको को जोड़ग

3 + 5 = 8

ऄतः 35 क बीज क 8 ह

आस परक र ndash

97 क बीज क -

9 + 7 = 16 लदकन 16 म 2 ऄक ह

ऄतः आसक ऄको को भी जोड़ग

1 + 6 = 7

ऄतः 97 क बीज क 7 ह

P a g e | 228

परम नमतर ऄक - नजन 2 ऄको क योग 10 होत ह व अपस म (एक दसर क) परम नमतर कहल त ह

जस - 1 + 9 = 10

ऄतः 1 क परम नमतर 9 ह

और 9 क परम नमतर 1 ह

अआए ऄब थोड़ ऄभय स कर

ऄभय स

1 सखय एा नलखन क नलए कौन-कौन स ऄको क परयोग होत ह

2 नीच नलखी सखय ओ क बीज क बत आए -

(i) 12 (ii) 15 (iii) 17 (iv) 19

(iv) 37 (v) 44 (vi) 56 (vi) 67

(vi) 96 (vi) 183

3 आनक परम नमतर बत आए ndash

(i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5

एक नधकन पवण

एक नधकन पवण क मतलब ह पहल की सखय स एक ऄनधक

जस 2 क एक नधक ह 3 आसी परक र 3 क एक नधक ह 4

कय अप 1 स 9 तक परतयक सखय क एक नधक बत सकत ह

एक नयनन पवण

एक नयनन पवण क ऄथम ह पहल की सखय स एक कम

जस 8 क एक नयनन 7 ह आसी परक र 5 क एक नयनन 4 ह ऄब अप 9 स 1 तक परतयक

सखय क एक नयनन बत आए

P a g e | 229

वददक गनणत की नवनधयो म ऄनक सथ नो पर एक नधकन पवण और एक नयनन पवण क

ईपयोग होत ह

ऄब बत आए

आन सखय ओ को दो ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 22 (ii) 43 (iii) 30 (iv) 58

कभी-कभी सखय क एक स ऄनधक ब र एक नधक ऄथव एक नयन करन की भी

अवशयकत होती ह

जस 12 क एक ब र एक नधक करन पर 13 13 स पनः एक नधक करन पर 14 ऄथ मत 12 स

दो ब र एक नधक करन पर सखय 14 पर पत होती ह

अआए ऄब 12 स ही दो ब र एक नयन करत ह

12 स एक ब र एक नयन करन स 11 नमल 11 स एक ब र एक नयन करन पर 10 नमल

ऄथ मत 12 स दो ब र एक नयन करन पर सखय 10 पर पत होती ह

आन सखय ओ को तीन ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 23 (ii) 15 (iii) 36 (iv) 42

ऄपन मन स सखय एा लकर ईन सखय ओ क एक नधक करन क ऄभय स कीनजए

ऄब बत आए

नीच नलखी सखय ओ को दो ब र एक नयन करन पर कौन-कौन सी सखय पर पत होगी

(i) 16 (ii) 30 (iii) 67 (iv) 75

आनही सखय ओ को 3 एक ब र नयनन करन पर कौन-कौन सी सखय एा नमलगी

ऄपन मन स कछ सखय एा चनकर दो एव तीन ब र एक नयन करन क ऄभय स कीनजए

P a g e | 230

परम नमतर की सह यत स जोड़न

यदद दकसी सखय म 1 2 3 जोड़न हो तो अवशयकत क ऄनस र एक नधक कर जोड़ ज

सकत ह

परनत जब जोड़ ज न व ली दोनो सखय एा 5 स बड़ी हो तब परम नमतर की सह यत स

जोड़न अस न होत ह

अआए आसक एक ईद हरण दख -

9

+ 7

यह ा हम 9 और 7 को जोड़न ह 9 क परम नमतर ऄक 1 ह

ऄतः 7 स 1 लकर 9 म नमल ददय

ऄब 9 + 1 = 10

और 7 स 1 ननक लन पर बच 6

10 म 6 जोड़न पर नमल 16

ऄथ मत 9

+ 7

1 6

आसी परक र परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए-

(i) 7 + 8 (ii) 8 + 6 (ii) 9 + 8 (iv) 6 + 9

आसी परक र 5 स बड़ी दो सखय एा लकर ईनह परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए

P a g e | 231

2

81

45

)1(

27

81

45

)1(

81

45

2

81

45

27

81

45

एक नधक नचहन () लग कर जोड़न

अप ह नसल लग कर जोड़न की नवनध ज नत ह अआए यही स शर करत ह एक ईद हरण ल

ईद हरण 1 हल कीनजए -

आक इ क ऄको को जोड़न पर ( 4+8) 12 पर पत होत ह आस योगफल की आक इ 2

को योगफल क रप म नलखत ह और ह नसल 1 को दह इ क सतमभ म 5 क उपर

नलखत ह

ऄब दह इ क सतमभ क सभी ऄको को जोड़त ह

ह नसल क 1+5 +1=7 आस दह इ क योगफल क रप म नीच नलखत ह

योगफल 72 पर पत होत ह

यदद आक इ क ऄको क जोड़ स नमलन व ल

ह नसल 1 को नबनद क रप म दआ इ क सतमभ म लग ल तो भी योगफल वही पर पत

होग एक ब र दफर आसी जोड़ को दख

आक इ क 4 और 8 क जोड़ 12 नमल

12 क 2 को योगफल क रप म आक इ म नलख और ह नसल 1 को दह इ

क 1 क उपर नबनद क रप म ऄदकत कर आस नबनद को ही एक नधक

नचहन कहत ह

ऄब दह इ क ऄको को जोड़ 5 +(middot)+1 = 7 (middot) को 1 नगन

कल योगफल 72 पर पत हअ

एक और ईद हरण दख

ईद हरण 2 हल कीनजए -

81

45

42

64

P a g e | 232

0

42

64

07

42

64

आक इ क 6 और 4 को जोड़ 6+4=10 नमलग

जोड़ 10 क 0 को योगफल क रप म आक इ क सतमभ म नलख

ह नसल 1 को एक नधक (bull) क रप म 2 क उपर लग एा

ऄब दह इ क जोड़ कर 4 +(bull)+2=7

(bull) को 1 नगन

कल जोड़ 70 पर पत हअ

आस यनकत स तब अस नी होती ह जब सखय एा दो स ऄनधक हो

ईद हरण 3 हल कीनजए -

आक इ क 7 और 8 को जोड़ 15 नमलग

1 को एक नधक नचहन क रप म 4 क उपर ऄदकत कर और 5 को 9 स जोड़ 14

नमलग 14 क 1 को एक नधक नचहन क रप म दह इ क 1 क उपर ऄदकत कर 4

को योगफल क रप म नीच नलख ऄब दह इ क ऄको को जोड़

2+(bull)+4+(bull)+1=9

ईद हरण 4 हल कीनजए -

हल-

91

84

72

91

52

81

P a g e | 233

26

91

52

81

82

57

1 + (bull) + 2 + (bull) + 1 तर 6

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर योग कर-

1 2 3 4 5 6

एक नधक नचहन (bull) लग कर घट न ndash

घट न क ऐस सव ल जह ा सखय ओ क पनसायोजन ( ईध र लन व ल परशन) करन पड़त ह हम

एक नधक नचहन लग कर घट त ह यह ा हम वददक गनणत की एक और ऄवध रण परमनमतर क ईपयोग

करन होत ह (ऐसी दो सखय एा नजनक योग 10 होत हो एक दसर की परमनमतर कहल ती ह जस 3 क

परमनमतर 7 ह और 7 क परमनमतर 3 कयोदक 3+7=10 आसी तरह और 6 और 4 क परमनमतर ह 5 सवय

क परमनमतर ह) अआए एक ईद हरण स घट न की दिय समझत ह

ईद हरण 1 - हल कर

6 स 7 को नही घट सकत 7 क परमनमतर 3 को 6 स जोड़

9 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख और 1 क उपर एक नधक

नचहन (bull) लग एा

ऄब 3 म स (bull) +1 य न 2 घट एा

1 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख हल 19 नमलग

ईद हरण 2 हल कीनजए ndash

63

32

54

83

42

71

82

71

51

91

82

73

63

71

82

71

63

P a g e | 234

5 म 8 नही घट सकत ( 8 क परमनमतर 2 को 5 स जोड़ 7 नमलग )

आस पररण म क रप म नीच नलख

2 क उपर एक नधक नचहन (bull) लग एा

7 म स (bull)+2 य न 3 घट एा

4 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख

हल 47 नमलग

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर घट एा

1 2 3 4 5 6

81

27

91

73

82

04

62

53

82

64

93

86

• 1
• 2 6th Math front page 1-8
• 3 Final Math 6th Unicode book
• 4

एससीईआरटीछग रायपर

सहयोग

हदय कात दीिान (णिदया भिन उदयपर)

परो परिीन ससकलयर (इगन नई ददलली)

णिशष सहयोग

फल कौल (जाणमया णमणलया इसलाणमया णिणिनई ददलली)

सपादक मणडल

एसडी शमबकर यक चकरिती

मीना शरीमाली

लखक दल

एसडी शमबकर यक चकरिती एमआरसाित

एमएम महता शभा णतिारी दीपाकर भौणमक

जीपीपाडय क पी राि बीक शरीिासति

मीना शरीमाली सजय बोलया दीपक मतरी

सयोजक

यक चकरिती

आिरण पषठ

हमनत अभयकर आणसफ-णभलाई

ल-आऊट णडजाइन

रखराज चौरागड़

फोटोगराफ

ससकणत णिभाग रायपर क सौजनय स

परकाशक

छततीसगढ़ पाठयपसतक णनगम रायपर

मदरक

मददरत पसतको की सखया -

परकाशन िषष - 2019

गणणत का उपयोग मातर एक णिषय क रप म पढ़न तक ही सीणमत नही ह परत अनय णिषयो को

समझन म भी इसकी महतिपणष भणमका ह ककषा छिः म गणणत पढ़न का मखय उददशय वयापीकरण को समझन क

साथ-साथ जयाणमणत की णिणभनन आकणतयो क गणो को जानना ऋणातमक सखया की समझ पदा करना एि

दणनक जीिन स सबणधत पररणसथणतयो म अब तक समझ गए गणणत का उपयोग करना ह

गणणत कोई बतान या समझान का णिषय नही ह गणणत सीखन क णलए सिय क ददमाग म ढााचा बनाना

पड़ता ह यह ढााचा सिय कई परकार की समसयाओ को हल करन स मजबत होता ह

इस पसतक म भी यही परयास दकया गया ह दक गणणत की अिधारणाओ को छातर सिय बना सक तथा

इन अिधारणाओ को िातािरण स जोड़कर जीिन क अनय कषतरो म भी उपयोग कर सक इस उददशय को परापत

करन क णलए छातर पसतक को धयान स पढ़न क साथ-साथ ददय गय सभी दकरयाकलापो को सिय करक उनस

णनषकषष परापत करन का परयास कर तथा दकए गय दकरयाकलापो का णलणखत अणभलख भी रख

गणणत हल करन की णजन परदकरयाओ का हम उपयोग करत ह परायिःउन सभी म एक णिशष पटनष होता ह

इनही पटनो का उपयोग कर गणणत हल करन क नए तरीक भी ढढ़ जा सकत ह इसी करम म िददक गणणत की

कछ णिणधयाा हम इस पाठयपसतक म परसतत कर रह ह आशा ह गणणत क णिदयाथी इसका आनद उठाएाग ककषा-

6 म िददक गणणत की णजन णिणधयो का हम उपयोग करग उस पर काम करन क पहल कछ और चीज सीखनी

पड़गी इनह हमन पररणशषट म रखा ह इनह पहल सीख लना उपयकत होगा

कोई भी पसतक अपन आप म पणष नही होती इस पसतक को समझन म जो भी करठनाइयाा हो उस यदद

पररषद क धयान म लाया जाएगा तो आन िाल ससकरणो म उस सधारा जा सकगा जो परदश क समसत छातरो क

णहत म होगा

सकल णशकषा णिभाग एि राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद छग दवारा णशकषको एि

णिदयारथथयो म दकषता सिधषन हत अणतररकत पाठय ससाधन उपलबध करान की दणषट स Energized Text

Books एक अणभनि परयास ह णजस ऑन लाईन एि ऑफ लाईन (डाउनलोड करन क उपरात) उपयोग दकया

जा सकता ह ETBs का परमख उददशय पाठयिसत क अणतररकत ऑणडयो-िीणडयो एनीमशन फॉरमट म अणधगम

सामगरी सबणधत अभयास परशन एि णशकषको क णलए सदभष सामगरी परदान करना ह

इस पसतक क लखन म हम णिणभनन शासकीय और अशासकीय णिदयालयो क णशकषको णजला परणशकषण

ससथानो महाणिदयालयो क आचायो सिय सिी ससथाओ तथा परमख नागररको का मागषदशषन एि सहयोग णमला

ह हम उनक परणत अपना हारददक आभार वयकत करत ह

हम पनिः राजय क परबदध िगष स णनिदन करत ह दक इस ससकरण को सथायी रप दन क पिष ि इसम

आिशयक सशोधन क सझाि पररषद को अिशय भज णजसस इस पसतक म सधार दकया जा सक

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

पराककथन

गणणत कया ह

गणणत अधययन की िह शाखा ह णजसक अनतगषत मोट तौर पर सखयाओ उनक गणो ि पारसपररक

सबधो क साथ-साथ आस-पास क सथान की समझ को वयिणसथत कर उसम सिाागसमता कोण ि अकन

पररमाण तथा अनय इसी परकार क मापो का अधययन दकया जाता ह इसका उपयोग न किल अधययन-अधयापन

क सभी कषतरो क अधययन म अणनिायष तथा महतिपणष अग होता ह िरन सामानय जीिन म भी इनकी अहम

भणमका ह इसणलए गणणत अधययन-अधयापन म पराथणमक सतर स ही अधययन का अणनिायष अग रहा ह

सामानय तौर पर गणणत सीखन क णलए ठोस िसतओ ि अनभिो स शर करक अमतष णिचारो को समझकर उनक

साथ आग बढ़ना होता ह गणणत णिषय चरण दर चरण बढ़ता ह और इस बढ़न म परतयक सतर पर अिधारणाओ

का और जयादा वयापीकरण होता रहता ह

भाषा ि गणणत सीखन का समबनधतकष णसदध करन का अथष

गणणत सीखन की परदकरया म भाषा का उपयोग बहत महतिपणष ह गणणतीय तको ि धारणाओ को

समझन ि वयकत करन क णलए भाषा आधार ह भाषा गणणतीय अिधारणाओ को कछ हद तक मतष बनान म भी

योगदान करती ह करमबदध तारदककता णिकणसत करना ि उसक उपयोग का आधार भी भाषा ह और यह गणणत

सीखन ि उसक उपयोग क णलए अतयत आिशयक ह गणणत का सबस परमख पहल ह मानयताओ ि धारणाओ क

आधार पर णसदध दकए जा सकन िाल कथनो का एक ढााचा खड़ा करना ि उनका उपयोग करना इस परकार

गणणत को सरणचत करन का आधार तारदककता ह बचचो को इसकी परदकरया स जो गणणत की परकणत का अहम

णहससा ह रबर करिाना आिशयक ह

गणणत की परकणत क अनरप ककषा-6 स 8 क दौरान हम जयादा वयापक और अपकषाकत जयादा अमतष

णिचारो का अधययन शर करग

समह म िसतओ की सखया पराकत सखयाओ की समझ ि उन पर हई सामानय सदकरयाओ स आग बढ़कर

हम सखयाओ का सामानय परणतरपण ि णनयम चर की अिधारणा णसदध करन की धारणा वयापीकत णनयमो

वयिहाररक गणणत आदद क बार म सीखग इसक साथ-साथ हम आकणतयो की रचना परकार ि आकार क बार

म समझग और अपन ही आस-पास ढढ़न का परयास करग इन ककषाओ क दौरान हम आकड़ो को वयिणसथत करक

परसतत करना ि उनस णनषकषष णनकालना भी शर करग

णशकषक क णलए

गणणत णसखान क बार म परमख बात यह ह दक इसम बचचो को सिय समसयाए हल करन का पयाषपत मौका

णमल गणणत बतान ि समझान स नही सीखा जाता िरन समझन स ि अपन ददमाग म ढाच बनान स आग

बढ़ता ह अतिः हम बचचो को समझन ि अपन ददमाग म उसका ढाचा बना लन क मौक दन ि इसका कौशल

णिकणसत करन पर जोर दना चाणहए

गणणत णशकषण

हम जानत ह दक गणणत अधययन क समसत कषतरो तथा णजनदगी क सभी दकरया-कलापो म उपयोग म

आता ह परनत यह उस उपयोग तक सीणमत नही ह यदयणप ठोस अनभिो ि ठोस िसतओ का इसक शर म बहत

महति ह इसम सीखन िाल को करमशिः अमतष णिचारो को समझकर आग बढ़ना होता ह इसस यह सपषट ह दक

गणणत णशकषण का कनदर णबनद गणणतीय अिधारणाओ को णशकषाथी को सिय बनान म मदद दना ह न दक उनह

अिधारणाए बताना अथिा रटाना हम गणणत णशकषण म परमख बात सिाल समझाना नही िरन बचचो को

सिालो को हल करन का बणहचक परयास करन का मौका दना चाणहए

इसणलए उचच पराथणमक सतर क गणणत णशकषण म हम ठोस िसतओ ि अनभिो क माधयम स सीख गए

गणणत का उपयोग करत हए वयापकीकत गणणतीय अिधारणा को बनान म णशकषाथी को मदद दनी चाणहए अतिः

सभी अधयायो क णशकषण म इस बात को रखादकत कर लना चाणहए दक आप अधयाय म कौन स गणणतीय णनयम

ि उसकी वयापकीकत अिधारणा को बनाना चाहत ह इसी गणणतीय णनयम ि अिधारणा को णशकषाथी अपन

आप स बना सक इस बात को धयान म रखकर अभयास का ढााचा ि सिाल बनाना चाणहए अभयास क परशनो म

णशकषाथी को सिय समसयाएा हल करन का पयाषपत मौका णमलना चाणहए

उचच पराथणमक शाला म गणणत णशकषण क सामानय उददशय

1 पराथणमक सतर क जञान का सदढ़ीकरण हो सकगा

2 बचचो म िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी की अिधारणाए णिकणसत करना

3 दणनक जीिन म गणणत क आधार की समझ ि उसका उपयोग करन की कषमता

4 िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी सबधी सरल समसयाओ को हल करन की कषमता का

णिकास

5 रखगणणतीय परशनो को हल करन की दकषता णिकणसत करना परशन क णिणभनन चरणो क आपसी सबधो

एि तारदकक अनमान लगान ि गणणतीय अिधारणा को समझना

6 परारणमभक बीज गणणत क आधार को समझना

7 साणखयकी गराफ णचतर चाटष मॉडल की समझ उनक परयोग की दकषता परापत करना

8 तकष कषमता उपपणतत ि णसदध करन का तरीका पटनष पहचानना

9 समसयाए समझना ि हल करन क साथ-साथ अिधारणाओ क आधार पर नए सिाल और समसयाए

बनाना

10 राषटरीय एकता एकरपता पयाषिरण सरकषा छोट पररिार का आदशष सामाणजक बराईयो को दर करना

समानता सबधी जागरकता णिकणसत करना इन उददशयो को भी धयान म रखत हए गणणत का

पाठयकरम बनाया गया ह

11 ककषा 6 म ऋणातमक सखयाएा चर की अिधारणा ि उनका उपयोग समीकरण सखया समहो की

धारणा ि उनक गण तथा णभनन सखयाओ पर समय लगान की आिशयता ह कयोदक यह आग क गणणत

का आधार ह इसी परकार रखागणणत की धारणा का सदढ़ पररचय इसी ककषा म शर होता ह इन सभी

क णलए पयाषपत अभयास ि मौक चाणहए होग

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

णिषय-सची

1 पराकत सखयाएा 1-3

2 पणष सखयाएा एि पणष सखयाओ पर सदकरयाएा 4-18

3 रखाखणड 19-30

4 पणााक 31-49

5 ितत 50-53

6 गणनखणड एि गणज 54-72

7 णभनन 73-88

8 कोण 89-105

9 णतरभज एि चतभषज 106-127

10 अनपात 128-140

11 चर सखया 141-143

12 बीजीय वयजक 144-147

13 परणतशतता 148-156

14 समीकरण 157-167

15 रखा गणणतीय रचनाएा 168-177

16 कषतरणमणत-1 (कषतरफल) 178-184

17 कषतरणमणत-2 (पररमाप) 185-195

18 समणमणत 196-208

19 साणखयकी 209-217

उततरमाला 218-226

पररणशषट-िददक गणणत की णिणधयाा iviii

गणणत क कषतर म भारत का गौरिशाली योगदान

अब तक आपन भाषा एि गणणत को मखय णिषय क रप म पढ़ा ह गणणत पढ़ात समय आपक मन म यह

णजजञासा अिशय ही उतपनन हई होगी दक इस महतिपणष णिषय का उतथान कस हआ इसक अभयतथान म

भारतिाणसयो का कया योगदान ह

भारत िषष म गणणत क णिकास का इणतहास अतयनत गौरिशाली ह आज समपणष णिशव म शनय पर

आधाररत दाशणमक सथानमान अक पदधणत का णिकास भारत म ही हआ था णसनध सभयता की णलणप को आज

पयषनत पढ़ा नही जा सका परनत हड़पपा ससकणत क पराताणतिक अिशषो स यह पता चलता ह दक उनका गणणत

जञान णिशषकर कषतरणमणत का जञान अतयनत उननत था णसनध सभयता क कषतरणमणत क जञान को आयष भाणषयो न यजञ

क णलए िददयो क णनमाषण म दकया था

जब यरोप म गणणत क शोध क कषतर म अधकार का एक दौर चल रहा था उस समय भारत म आयषभटट

बरहमागपत महािीराचायष भासकराचायष जस कई महान गणणतजञ भारत म गणणत की गौरिशाली परमपरा को

आग बढ़ा रह थ

आयषभटट न िगष िगषमल घन घनमल िगषकषतर णतरभज का कषतरफल ितत का कषतरफल गोल का धनफल

आदद का अनमान लगान का णनयम बनाया उनहोन ितत की पररणध और वयास का अनपात णजस हम (पाई) क

नाम स जानत ह चार दशमलि सथानो तक शदध परापत दकया

बरहमगपत न आयषभटट की परमपरा को आग गढ़ात हए गणणत को और अणधक समदध बनाया बरहमगपत

पहल भारतीय गणणतजञ ह णजनहोन पाटीगणणत (अकगणणत) और बीजगणणत क रप म गणणत को दो भागो म

बाटा एि बीज गणणत म शनय का उपयोग करन िाल ि परथम भारतीय गणणतजञ थ

भारतीय गणणत की गौरिशाली परमपरा को आग बढ़ान म महािीराचायष का बहत बड़ा योगदान ह

उनहोन णभननो को जोड़न तथा घटान क णलए कई णनयम ददए तथा णभननो स सबणधत कई मनोरजक एि रोचक

उदाहरण ददए

भासकराचायष परथम गणणतजञ थ णजनहोन शनय को एक परमालप (अतयनत छोटी) सखया माना तथा यह

कहा दक दकसी सखया को शनय स भाग दन पर अननत परापत होता ह

इस परकार अनकानक भारतीय गणणतजञो न गणणत क णिकास क णलए अतयनत महतिपणष योगदान ददया

णजनक कायो की सराहना समपणष णिशव करता ह

प ाच फल

दननक जीवन म वसतओ को नगनन की अवशयकत पड़ती ही ह

अआय नगनन क कछ ईद हरणो को दख -

1 सध क म त नपत तनद पतत तोड़त ह तथ सध 50-50 तनद पततो की गनिय ा बन न म ईनकी

सह यत करती ह

2 र ध छटटी क ददन सबजी बचन म ऄपन म ा की सह यत करती ह तथ नहस ब दकत ब रखती ह

3 सरश क नपत क डयरी फ मम ह वह रोज़ न सबह-श म ज नवरो की नगनती करत ह तथ दध

क नहस ब रखत ह

आस परक र अप भी परनतददन कइ ब र नगनन क क यम करत ह नीच कछ नचतरो क समह

ददए गए ह ईन नचतरो क समह को अप कय न म दग ईन न मो को नचतरो क नीच ददय गय ब कस म

नलनखए एक क न म हमन नलख ददय ह

दिय कल प 1

ईपरोकत नचतर समह क न म प ाच फल प ाच गद प ाच पनततय ा एव प ाच चशम हो सकत ह आस

परक र नगनती स पर पत सखय दकसी ख स वसत स जड़ी नही ह वह तो एक नवच र य सोच ह आसी सोच को

ऄलग-ऄलग भ ष ओ म नलनखत रप स नभनन-नभनन सकतो दव र दश मय ज त ह जस प ाच को नहनदी म Dagger

ऄगरजी म 5 तथ रोमन म V स दश मय ज त ह परतयक सखय परण ली म परतयक सखय क नलए एक

नननित सकत होत ह

पर चीन क ल म जब मनषय क प स नगनती क सकत नही थ तब भी नगनती क क यम नवनभनन तरीको

स होत थ जस पतथर रखकर बीज रखकर रससी पर ग ठ ब ध कर आतय दद आसी परक र कइ तरीको

1

पर कत सखय

2

स नगनन क क यम दकय ज त थ जब वसतओ को नगन ज त थ तो परतयक वसत क बदल एक पतथर

य एक बीज ऄलग रख ज त थ ऄथव एक ग ठ लग इ ज ती थी आस ही एक-एक सगतत कहत ह

यदद दकसी ककष म 10 मज़ ह तथ 10 मजो क नलए 10 करससय ा ननध मररत ह तो मज़ तथ करससयो

क बीच एक-एक सगतत ह

परतयक मज़ क नलए एक कसी की अवशयकत ह कसी और मज़ म एक-एक सगनत ह

कय अप श ल म बसतो को नगन कर ईपनसथत छ तरो की सखय बत सकत ह

चदक परतयक छ तर स एक बसत सबनधत ह ऄतः छ तर एव बसत क बीच एक-एक सगतत ह आस

परक र दकसी ककष म रख 32 बसतो स यह सोच बनती ह दक ककष म 32 छ तर ईपनसथत ह

अपको गणन करत समय दकन-दकन ऄको की अवशयकत होती ह गणन क ऄक कह ा स पर रभ

होत ह अआय आन परशनो क ईततर ढढ़

गणन करत समय 10 सकतो 1234567890 क ईपयोग दकय ज त ह तथ गणन क

क यम 1 स पर रभ होत ह आनही ऄको को नमल कर सखय एा नलखी ज ती ह

गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह ईनह पर कत सखय (Natural Number) कहत ह

पर कत सखय ओ क समह को N स दश मत ह

ऄथ मत पर कत सखय (N) = 123 अदद

सबस छोटी पर कत सखय 1 ह आन सखय ओ क एक गण यह ह दक हर सखय ऄपन ठीक पहल की

सखय स 1 जय द ह ऄथ मत दकसी पर कत सखय म एक जोड़न पर ऄगली सखय पर पत सखय म 1 जोड़न पर

ईसकी ऄगली सखय पर पत होगी दसर गण यह ह दक सखय ओ की यह एक ऐसी सची ह जो बढ़ती ही

ज ती ह आन दोनो गणो को ईद हरण लकर ज नचए

दिय कल प 2

नीच दी गइ सखय ओ को बढ़त एव घटत िम म नलनखए -

सखय एा बढ़त िम म घटत िम म

151227913314918 912131518273149 493127181513129

98336249107

6778755725

103113131301331

3

द क त न ी स व र ी

ग न ड य ा ग ज र ी

1 गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह

ईनह पर कत सखय एा कहत ह

2 123456 - - - आतय दद सभी पर कत सखय ए ह

3 पर कत सखय ओ क समह को N स वयकत करत ह

ऄथ मत N = 1234 आतय दद

4 सबस छोटी पर कत सखय एक ह

5 पर कत सखय म एक जोड़ कर ऄगली पर कत सखय पर पत की

ज सकती ह

6 सबस बड़ी पर कत सखय नही पर पत की ज सकती ह ऄथ मत

दकसी सखय म एक जोड़कर ऄगली बड़ी सखय पर पत होगी

पर पत सखय म जोड़कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत होती

रहगी

आस अध र पर हम कह सकत ह दक 9lt12lt13lt15lt18lt27lt31lt49

य 49gt31gt27gt18gt15gt13gt12gt9

सोच कर ईततर ढादढ़ए सबस बड़ी पर कत सखय कौनसी होगी

कय दस ल ख स बड़ी कोइ सखय ह दस करोड़ स

तो दफर सबस बड़ी सखय कय होगी

परशन वली 1

1 सबस छोटी पर कत सखय कौनसी ह

2 41600 तथ 41006 म कौन सी सखय बड़ी ह

3 ईपयकत नचहन gt lt य = क परयोग कर ख ली ब कसो म परसत कीनजए -

(i) 45 21 (ii) 543 345

(iii) 15 15 (iv) 5304 5340

(v) 10991 - 10091 (vi) 99876 99786

4 1 स 100 क बीच की सखय एा नलखन क नलए दकतन ब र 9 क परयोग करन पड़त ह

5 च र ऄको की सबस बड़ी पर कत सखय तथ तीन ऄको की सबस छोटी पर कत सखय क

बीच क ऄतर ननक नलए

हमन सीख

4

पणम सखय (Whole Number)

अपन नपछल प ठ म गणन सखय ऄथव पर कत सखय क ब र म पढ़ ह

1234 आतय दद पर कत सखय एा ह कय अप बत सकत ह दक यदद दकसी पर कत सखय म

स ईसी पर कत सखय को घट य ज ए तो शषफल दकतन होग

जस 2 - 2 = 0 5-5 = 0 यह ा 0 (शनय) पर पत हो रह ह कय यह पर कत सखय ह

नही शनय पर कत सखय नही ह परत हम आसकी

अवशयकत ह यदद दकसी पड़ पर प ाच नचनड़य बठी हो और

प ाचो ईड़ ज एा तो पड़ पर बठी नचनड़य ओ की सखय कय

होगी आस परशन क जव ब दन क नलए गणन सखय क स थ-

स थ शनय की भी अवशयकत होगी वह सखय ओ क समह

नजसम गणन सखय क स थ शनय भी श नमल ह पणम सखय

कहल ती ह पणम सखय को W स परदरसशत करत ह ऄथ मत

पणम सखय (W) = 012345 - - - आतय दद

अआय शनय को समझन क परय स कर

1 सगीत क प स 10 र ह ईसन 7 र की कॉपी तथ 3 र क न खरीद तो ईसक प स दकतन

रपय शष बच 10 - 7 = 3 (कॉपी क द म कम दकय )

3 - 3 = 0 (पन क द म कम दकय )

सगीत क प स शनय रपय बच आस 0 नचनह दव र दश मत ह

2 र म की म ा न र म को 5 लडड ददए र म न 2 लडड मोहन को नखल ददय और 3 र म न ख

नलय ऄब र म क प स दकतन लडड बच

3 रहीम क प स 100 पज की एक कॉपी ह नजसम ईसन 80 पज पर गनणत तथ 20 पज पर

नवजञ न क क यम दकय ह ईसकी आस कॉपी म दकतन पज शष बच

पणम सखय ओ को सखय रख पर दश मन

पणम सखय को एक सरल रख पर ददख न क नलए ऄपनी कॉपी म नचतर नस र एक सरल रख

खीनचए नजसम सम न दरी पर कइ नचहन लग हो

2 परण सॊखया एवॊ

परण सॊखया पर सॊकरियाएॉ

नचतर 3

नचतर 2

आसम पर रनभक नबनद को 0 स ददख ए शनय क द ायी ओर क नबनदओ पर िमशः 1234 - - -

आतय दद सखय एा नलख कय सखय रख को दखकर अप बत सकत ह दक कौन-सी सखय बड़ी ह आसक

नलए सोनचए दक दकसी सखय क ब य ओर की सखय ईस सखय स बड़ी होगी य छोटी

पणम सखय ओ क गण

अप ज नत ह दक 012345 आतय दद पणम सखय एा ह अआए आनक गणो क ऄधययन कर-

1) पर कत सखय क सभी गण पणम सखय ओ क नलए भी सही ह

2) सबस छोटी पणम सखय 0 ह

3) सखय रख पर 0 स द नहन ओर िमशः पणम सखय बढ़त िम म ददख यी गयी ह ऄथ मत 0 +1 =

1 1 + 1 = 2 101 + 1 = 102 102 + 1 = 103 103 + 1 = 104 आतय दद

4) सखय रख पर द नहन ओर स ब ाए ओर क िम घटत िम म ह जस 43210

5) सबस बड़ी पणम सखय नही ददख इ ज सकती कयोदक यदद अप कोइ बड़ी स बड़ी सखय सोचत ह

तो ईसम एक जोड़ कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत की ज सकती ह जो ईस सखय की परवती

सखय होगी

6) 50 की पवमवती सखय 49 ह 17 की पवमवती सखय 16 ह कय शनय की भी पवमवती सखय होगी

सखय रख पर सदिय ए

1 पणम सखय ओ क योग -

दिय कल प 1

सखय रख पर 3 + 2 = 5 ददख आए

1 सखय रख बन आए

2 शनय स द नहनी ओर 3 सथ न चल (3 पर पहाच)

3 ऄब 3 स अग दो सथ न चल (कह ा पहा च)

4 आस परक र ऄब शनय स दरी 5 ह ऄतः 3 + 2 = 5 होग

+3 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 पणम सखय ओ क घट न

3 पणम सखय ओ क गण

ऄभय स 21

क अप सवय भी आसी परक र सखय रख बन कर ननमन परशनो की ज च कररए

(i) 4 + 5 (II) 6 + 4 (iii) 5 + 7

ख कय 3 + 4 = 4 + 3 ह सखय रख पर ज नचए

सखय रख पर दकसी बड़ी पणम सखय स छोटी पणम सखय घट इ ज सकती ह यदद सम न पणम

सखय को घट एा तो ऄतर 0 पर पत होत ह अआए आसक नलए एक दिय कल प कर

दिय कल प 2

8 - 5 = 3 को सखय रख पर दश मन

1) एक सखय रख खीनचए

2) 0 स 8 भ ग द यी ओर चल

3) ऄब 8 स 5 भ ग ब यी ओर चल (घट न क नलए ब यी ओर चलग)

4) चदक अप की नसथनत 0 स 3 भ ग द यी ओर ह ऄतः 8 - 5 = 3 होग

सोनचए छोटी सखय स बड़ी सखय घट न पर भी कय हम पणम सखय नमलगी

ऄभय स 22

सखय रख बन कर ननमननलनखत ईद हरणो की ज च कर

(i) 6-2 (ii) 7 - 4 (ii) 8 - 3

सखय रख पर पणम सखय क गण को दश मय ज सकत ह

जस 3 x 4 = 12 य 3 + 3 + 3 + 3 = 12

गण दकसी सखय को ब र-ब र जोड़न की परदिय ह अआए आस सखय रख पर करक दख

4 पणम सखय ओ क भ ग

दिय कल प 4

दिय कल प 3

1) सवमपरथम सखय रख खीनचए

0 स 3-3 क ख न बन कर च र ब र अग बढ़ आस परक र अप 0 स 3 3 स 6 6 स 9 तथ 9 स 12

पर पहचत ह

ऄतः 3 x 4 = 12

ऄभय स 23

1 सखय रख पर ननमननलनखत परशनो को दश मआए

(i) 4 x 3 (ii) 3 x 2 (iii) 0 x 2

(iv) 2 x 3 (v) 3 x 3

कय अप बत सकत ह दक यदद 12 स 3-3 क ख न बन कर दकतनी ब र ब यी ओर चल

दक 0 पर पत हो ज ए आस दिय को करन क नलए अआय एक दिय कल प करत ह

अप ज नत ह दक भ ग ब र-ब र घट न की परदिय ह

ऄतः 12 divide 3 म 12 - 3 = 9 (एक ब र) 12 स 3-3 क ख न बन कर ब यी ओर

9 - 3 = 6 (दो ब र) च र ब र चलन पर शनय पर पहचत ह

6 - 3 = 3 (तीन ब र) ऄतः 12 divide 3 = 4

3 -3 = 0 (च र ब र)

कय अप सखय रख पर दश मकर ज ाच सकत ह दक 8 को 3 स पणमतः भ ग ददय ज सकत ऄथव

नही

ऄभय स 24

1 ननमननलनखत पणम सखय ओ क भ ग सखय रख पर ददख आए

(i) 8 divide 2 (ii) 8 divide 4 (iii) 8 divide 1 (iv) 8 divide 8

सथ नीय म न

गणन क नलए 0123456789 दस ऄको क परयोग दकय ज त ह आस परण ली को

द शनमक परण ली कहत ह द शनमक परण ली म दह इ की सखय क सथ नीय म न आक इ की सखय क

सथ नीय म न क 10 गण सकड़ की सखय क सथ नीय म न दह इ की सखय क सथ नीय म न क 10

गण तथ हज र की सखय क सथ नीय म न सकड़ की सखय क सथ नीय म न क 10 गण ह आसस अग

भी आसी परक र सखय पदधनत म और बड़ी सखय ओ तक पहचत ह

जस 769 = 7 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1

769 म सथ नीय म न िमशः 700 60 और 9 ह -

सथ न सकड़ दह इ आक इ

सथ नीय म न 7 x 100 = 700 6 x 10 = 60 9 x 1 = 9

यही क रण ह दक 769 को 700 + 60 + 9 क नवसत ररत रप स ददख त ह

ईद हरण 1

सखय 4579 म 5 क सथ नीय म न बत आय

हल यह दी गयी सखय 4579 म 5 सकड़ क सथ न पर ह

ऄतः 5 क सथ नीय म न = 5 x 100 = 500

ईद हरण 2

सखय 3214 म सभी ऄको क सथ नीय म न नलखकर आसक सतयत की ज च कीनजए

हल

सखय 3214 म 4 आक इ क सथ न पर ह आसी परक र 1 दह इ 2 सकड़ व 3 हज र क सथ न पर ह

4 क सथ नीय म न = 4 x 1 = 4

1 क सथ नीय म न = 1 x 10 = 10

2 क सथ नीय म न = 2 x 100 = 200

3 क सथ नीय म न = 3 x 1000 = 3000

ज ाच 3214 = 3000 + 200 + 10 + 4 = 3214

ईद हरण 3

393237310 की परवती (अग की) सखय जञ त कीनजए

हल

393237310 की परवती सखय

= 393237310 स 1 ऄनधक

= 393237311

ईद हरण 4

393237310 की पवमवती (पीछ की) सखय जञ त कीनजए

हल

= 393237310 स एक कम

= 393237309

परशन वली 21

1 सबस छोटी पर कत सखय कौन सी ह

2 कौन सी पणम सखय पर कत सखय नही ह

3 वह पणम सखय बत आए जो 5 की पवमवती ह

4 45 की ऄगली तीन िम गत सखय एा नलनखए

5 41608 तथ 41806 म कौन सी सखय बड़ी ह

6 नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय पहच ननए

i सबस छोटी पर कत सखय शनय ह ( )

ii सबस छोटी पणम सखय शनय ह ( )

iii दकसी पर कत सखय म ईसी पर कत सखय को घट न स शषफल शनय नमलत ह ( )

iv 4215 म 2 क सथ नीय म न 200 ह ( )

v 4215 म 2 क ऄदकत म न 2 ह ( )

vi सबस बड़ी पणम सखय नही बत इ ज सकती ह ( )

vii 3857 म 8 हज र क सथ न पर ह ( )

viii 41 एव 50 क बीच 9 पणम सखय एा ह ( )

7 ननमननलनखत सखय ओ की पवमवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 79 (iii) 520 (iv) 1100 (v) 52332

8 ननमननलनखत सखय ओ की परवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 520 (iii) 1100 (iv) 52332

9 छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय नलनखए

10 प ाच ऄको की सबस बड़ी पणम सखय नलनखए

11 प ाच ऄको की सबस बड़ी व छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय क ऄतर जञ त कीनजए

12 ननमननलनखत सखय ओ को बढ़त िम म नलनखए

252 557 18 421 497 731

13 ननमननलनखत सखय ओ को घटत िम म नलनखए

225 458 69 59 617

14 ननमननलनखत म कौन सी सखय स त ल ख प च हज र छः ह

(i) 750006 (ii) 705006 (iii) 7005006 (iv) 750006

15 6 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1 को एक सखय क रप म नलनखए

16 सखय रख पर दश मआय दक नीच ददय गय हल सही ह

(i) a 4 + 3 = 7 b 3 + 4 = 7

c 0 + 2 = 2 d 2 + 0 = 2

e 4 + 3 = 3 + 4 की ज च कर

(ii) a 4 - 3 = 1 b 7 - 4 = 3

c 6 - 2 = 4 d 10 - 5 = 5

e 5 - 2 व 2 - 5 की ज च कर

(iii) a 2 x 3 = 6 b 3 x 2 = 6

c 2 x 5 = 10 d 5 x 2 = 10

(iv) a 6 divide 2 = 3 b 8 divide 4 = 2

अप ज नत ह दक दो पणम सखय ओ क योगफल हमश एक पणम सखय होती ह यह पणम सखय ओ

क योग क नलए सवरक ननयम ह

यदद पणम सखय ओ क गणनफल हमश पणम सखय हो तो पणम सखय एा गण क नलए सवरक ननयम

क प लन करती ह आसी परक र यदद दो पणम सखय ओ क भ गफल सदव पणम सखय हो तो वह भ ग क

नलए तथ यदद दो पणम सखय ओ क ऄतर सदव पणम सखय हो तो वह घट न क नलए सवरक ननयम क

प लन करगी

अआय नीच ददय गय दिय कल प स दख दक पणम सखय एा दकन-दकन सदिय ओ क नलए सवरक

ननयम क प लन करती ह

दिय कल प 5

अपको कछ सखय ओ की स रणी दी गइ ह स रणी म पहली पनकत म नजस परक र सभी ख नो को

भर गय ह ब की पनकतयो को ईसी परक र भररए ि 8 क ब द अप सवय सखय नलखकर पनकत क सभी

ररकत ख नो को भर

भ गफ

ल पणम

सखय

हनही

ह नही ह

पहली पणम

सखय divide

दसरी पणम

सखय

3divide

12

=

गणनफल

पणम सखय

हनही ह

ह

पहली पणम

सखय

x

दसरी पणम

सखय

3x1

2=

36

ऄनतर पणम

सखय हनही

ह

नही ह

पहली पणम

सखय

- दसरी

पणम सखय

3-1

2=

योगफल

पणम

सखय हनही

ह

ह

पहली पणम

सखय

+ दसरी

पणम सखय

3+

12

=1

5

दसरी पणम

स

12

13

0

8

15

1

9

11

पहली

पणम स

3

39

5

0

11

99

27

11

1

ि स

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

पणम सखय एव पणम सखय पर सदिय ए

ईपरोकत स रणी को दखकर बत आए दक दकन-दकन सदिय ओ क पररण म हमश पणम सखय ह एव

दकन-दकन क पररण म हमश पणम सखय नही ह यह भी सोनचए दक आसस कय ननषकषम ननकलत ह

सपषट ह दक दो पणम सखय ओ को यदद जोड़ ज ए तो ईनक योगफल हमश पणम सखय होत ह एव

दो पणम सखय ओ क गणनफल भी सदव पणम सखय होत ह परत दो पणम सखय ओ क ऄतर एव भ गफल

सदव पणम सखय नही होत ह ऄतः पणम सखय ए योग एव गण क नलए सवरक ननयम क प लन करती ह

परत घट न एव भ ग की परदिय क नलए सवरक ननयम क प लन नही करती

योग सदिय की ऄनय नवशषत

म न लीनजए दक तीन नमतर ऄ ब और स ह

पहल ऄ तथ ब नमलत ह और दफर नमलकर व स स नमलत ह ऄथव ब तथ स पहल नमलकर दफर

ऄ स नमल आन दो परक र स नमलन म कय ऄनतर ह कय दोनो नसथनतय सम न ह

दोनो ही नसथनतयो म ऄनत म ऄ ब और स एक स थ नमल रह ह जब दोनो पररनसथनतयो म एक ही

ब त हो तो गनणत म आस ननयम को स हचयम ननयम कहत ह कय स हचयम क ननयम पणम सखय ओ क जोड़

क नलए सतय ह अआय एक ईद हरण दख

म न लीनजए 3 4 5 कोइ तीन पणम सखय एा ह

पहल (3 + 4) क योग कर एव योगफल म 5 जोड़ तो (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 अएग

ऄब 3 म (4 + 5) क योगफल जोड़ तो 3 +(4 + 5) = 3 + 9 = 12 अएग

कय दोनो नसथनतयो म योगफल सम न ह

दिय कल प 6

आसकी ज ाच ननमन सखय ओ क नलए करक दख

1 2 3 4 2 6 7 8

3 0 1 2 4 4 13 17 20

कय घट न की दिय म भी यह सबध ल ग होग

कय (13 - 6) - 5 तर 13 - (6 - 5) होग ज ाच कर

अप प त ह दक घट न म स हचयम क ननयम क प लन नही होत ह

तीन-तीन ईद हरण लकर जोड़ व घट न क नलए स हचयम क ननयम की ज च कर

अभयास 25

1 ररकत खड म ईनचत पणम सखय भररए -

1 (4 + 6) + 5 = 2 4 + (6 + 5) =

3 12 +(6 + ) = 20 4 ( +6) + 2 = 20

5 (8 + 9) + = 25

6 (12 + 8) + = +( 8 + 10)

7 (6 + 2 ) + = + (2 + 3)

गणन दिय क ऄधययन

(1) ननमन दकत त नलक म ररकत खडो को पणम कर

पणम सखय x पणम सखय = गणनफल पणम सखय ह य नही

7 x 9 =

23 x 15 =

0 x 12 =

8 x 12 =

12 x 0 =

कय ऐसी कोइ दो पणम सखय सोच सकत ह नजनक गणनफल पणम सखय नही ह

करियाकऱाप 8

गणन सदिय (x) की सह यत स बॉकस क खडो म ईनचत पणम सखय भररए कछ सव लो क हल

ब कस म पहल सही ददए गय ह

x 0 1 2 3

0 0

1 2

2 2

3 9

िम नवननमय क ननयम

12 x 5 =

ऄब आन सखय ओ क िम बदलकर गण करन पर (

5 x 12 =

कय दोनो नसथनतओ म गणनफल सम न ह

यदद 357 x 486 = 173402 हो तो नबन गण दकए बत आए दक -

486 x 357 =

ऄभय स 26

1 ररकत सथ न भररए -

(i) 87 x 887 = 887 x

(ii) 279 x = 481 x 279

(iii) 303 x 117 = x 303

(iv) x 583 = 583 x 179

स हचयम ननयम की ज ाच

ऄभी अपन दो सखय ओ को गण करन सीख अआय ऄब हम तीन सखय ओ को गण करक दख

25 व 6 तीन सखय ओ को लीनजए आनह ननमन परक र स गण कररए एव गणनफल ब कस म भररए

60

63 पणम सखय

60

P a g e | 14

भ जय भ जक भ गफल एव शषफल

2 x (5 x 6) =

5 x (6 x 2) =

6 x (5 x 2) =

2 x (6 x 5) =

5 x (2 x 6) =

(6 x 2) x 5 =

(2 x 5) x 6 =

(5 x 6) x 2 =

(6 x 5) x 2 =

(2 x 6) x 5 =

(5 x 2) x 6 =

6 x (2 x 5) =

कय सभी ख नो म अए गणनफल ऄलग-ऄलग ह यदद नही तो तीन सखय ओ को हम नवनभनन

तरीको स गण कर सकत ह और ईततर वही अएग यही स हचयम क ननयम कहल त ह आसी परक र अप

भी ऄनय तीन सखय एा लकर आस ननयम की ज च कीनजए

ऄभय स 2 7

1 ननमननलनखत ररकत खणडो की परसत कीनजए -

(i) 4 x (5 x 6) = (4 x ) x 6 (ii) 8 x (4 x 2) = x 2

(iii) 3 x (7 x 5) = (3 x ) x 5 (iv) 2 x (8 x ) = 8 x ( x 4)

(v) 7 x (3 x 5) = 7 x ( x 3)

यह अप पहल की ककष ओ म भी कर चक ह अआए दोहर ल

ईद हरण 1

20 divide 5

5) 20 (4

20

00

यह ा भ जक 5 व भ गफल 4 ह

कय भ जय भ जक व भ गफल म कोइ समबनध ह

20 = 5 X 4

भ जय = भ जक X भ गफल

ईद हरण 2 20 divide 5

भ जय

भ जक 5) 21 (4 भ गफल

- 20

1 शषफल

P a g e | 15

1 नजस सखय म भ ग ददय ज रह ह भ जय कहल त ह (21 भ जय ह )

2 नजस सखय स भ ग ददय ज रह ह भ जक कहल त ह (5 भ जक ह)

3 नजतनी ब र भ ग ज त ह भ गफल कहल त ह (4 भ गफल ह)

4 परदिय क पि त भ जक स छोटी सखय बचती ह ईस शषफल कहत ह 1 शषफल ह

21 = 5 X 4 + 1

ऄब 22 म 5 क भ ग करक दख

5) 22 (4

- 20

2

आसम 5 भ जक 4 भ गफल व 2 शषफल ह भ जय भ जक भ गफल तथ शषफल क बीच प ए

ज न व ल समबनध को ऄपनी कॉपी म नलनखए तथ नीच ददय गए ऄभय स क म धयम स अपक दव र नलख

समबनध की ज ाच कीनजए

ऄभय स 28

भ ग दीनजए -

(i) 48 divide 7 (ii) 36 divide 5 (iii) 78 divide 9

आस परक र अपन जो सबध बन य वह नवभ जयत क सबध क न म स ज न ज त ह और जो ननमन नस र

ह- भ जय = भ जक times भ गफल + शषफल

कय शषफल भ जक स बड़ हो सकत ह

ऄभय स 29

1 नीच ददय गए ररकत सथ नो को भररए -

(i) 8 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(ii) 5 divide 2 म भ गफल = शषफल =

(iii) 6 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(iv) 7 divide 2 म भ गफल = शषफल =

शनय क गण

अआय शनय (0) को ज न -

1 5 + 0 = 5 2 0 + 5 = 5

3 5 - 0 = 5 4 5 x 0 = 0

5 0 x 5 = 0 6 0 divide 5 = 0

7 5 divide 0 = कोइ हल नही

ऄभय स 210

1 ऄब ननमन ररकत सथ नो म ईनचत सखय ए भररए -

(i) 0 + 0 = (ii) 0 - 0 =

(iii) 7 + 0 = (iv) 0 + 7 =

P a g e | 16

(v) 7 - 0 = (vi) 7 x 0 =

(vii) 0 x 7 = (viii) 0 divide 7 =

ईकत ऄभय स स अप शनय rsquorsquo0rsquorsquo क ननमन गण समझ गय होग

1 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स जोड़ ज य तो सखय क म न म कोइ पररवतमन नही होत ह

आसनलए शनय (0) को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह च र ईद हरण सोच कर नलख

2 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स घट य ज य तो भी पणम सखय क म न म कोइ पररवतमन नही

होत ह आसक भी 4 ईद हरण नलख

3 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स गण दकय ज य तो गणनफल शनय rsquorsquo0rsquorsquo ही पर पत होत ह

4 rsquorsquo0rsquorsquo म दकसी भी पणम सखय क भ ग ददय तो भ गफल rsquorsquo0rsquorsquo शनय ही पर पत होत ह

5 divide 0 = शनय को 5 म स ब र-ब र घट न पर 5 ही नमलत ह दकतनी भी ब र हम घट ए कभी

भी सखय नही बदलगी ऄथ मत पणम सखय म शनय क भ ग दन पर कोइ नननित सखय भ गफल क रप म

नही नमलती आसी परक र 0 divide 0 भी पररभ नषत नही ह आस पर ऄपन नशकषक स चच म कर

परशन वली 22

1 मौनखक परशन

1 ननमन परशनो को दी गइ ज नक री क अध र पर नबन गण य योग दकय हल कीनजएः

1 17 x 23 = 391 तो 23 x 17 =

2 15 + 25 = 40 तो 25 + 15 =

3 40 + 0 = 40 तो 0 + 40 =

4 39 x 1 = 39 तो 1 x 39 =

5 a x b = c तो b x a =

2 ननमननलनखत सव लो को ऐस करम म नलखकर योगफल जञ त कीनजए नजसस योग की सदिय

अस न हो ज ए

(i) 23589 + 411 + 1248 (ii) 32 + 2546 + 68 + 544

(iii) 247 + 376 + 153 (iv) 143 + 456 + 857

(v) 32958 + 5000 + 12042

3 दकसी भी र नश म शनय क गण करन स कौन सी पणम सखय पर पत होती ह

4 योग क नलए सवरक ननयम कय ह

5 सदिय ओ क गण क अध र पर ननमननलनखत ख ली सथ नो की परसत कीनजए

(i) 2376 + 4559 = + 2376

(ii) 1 x 0 = 0 x 1 =

(iii) 8 7 6

_ 3

6 7

6 ऐसी कौनसी सखय ह नजसम ईसी सखय क भ ग दन पर वही सखय पर पत होती ह

7 4 ऄको की सबस बड़ी सखय और 1 ऄक की सबस छोटी पणम सखय क गणनफल बत आए

P a g e | 17

8 यदद 76 x 16 = 1216 हो तो 1216 76 = 16 (ब कस म सही म न भररय)

नलनखत परशन

9 रम न 17 पनकतयो म कल 544 पौधो की रोप इ की तो बत आए दक परतयक पनकत म दकतन पौधो की

रोप इ की गइ

10 दकसी शहर म 15 वयनकतयो म स 1 वयनकत सरक री नौकरी करत ह यदद ईस शहर म 1354 वयनकत

सरक री नौकरी करत हो तो शहर की कल जनसखय जञ त कीनजए

11 भ गफल तथ शषफल जञ त कीनजए तथ नवभ जयत क सबध की सतयत की ज ाच कीनजए

(i) 7772 divide 36 (ii) 12425 divide 835 (iii) 92845 divide 300

12 ननमननलनखत म परतयक ररकत सथ न पर ईपयकत ऄक नलनखए

13 मजलत 1800 रपय लकर ब ज र गयी 135 रपय क एक पसम 75 रपय क रम ल व 1200

रपय की कपड़ खरीद बत आए ऄब ईसक प स दकतन रपय बच

14 एक बक म ऄशोक न मगलव र को 4539 रपय जम दकए शननव र को 2556 रपय ननक ल नलए

और दसर सपत ह म दफर 1431 रपय जम दकए तो बत आए दक ईसक ख त म ऄब दकतन रपय

शष ह

15 अदशम नवदय लय क 6 वी ककष म एक नवदय थी क शलक 95 रपय ह यदद छ तरो की कल सखय

335 हो तो कल शलक जञ त कीनजए

16 117 को दो सखय ओ क गणन क रप म वयकत कीनजए नजसम स एक सखय 13 ह

17 ननश न 24 रनडयो 18720 रपय म खरीद एक रनडयो क मलय जञ त कीनजए यदद परतयक क

मलय सम न हो

18 ददए गए ज दइ वगम की तीन-तीन सखय ओ को सीध नतरछ एव अड़ जोड़ कर बत आए

कय परतयक नसथनत म योगफल सम न अत ह

14 1 9

3 8 13

7 15 2

P a g e | 18

1 0 (शनय) एक पणम सखय ह

2 दो पणम सखय ओ क अपस म योग करन स

य गण करन स पणम सखय ही पर पत होती

ह

3 पणम सखय ओ क नलए िमनवननमय क

ननयम योग एव गणन सदिय म ल ग

होत ह जबदक घट न एव भ ग सदिय म

ल ग नही होत

4 पणम सखय ओ क नलए स हचयम ननयम योग

एव गणन सदिय म ल ग होत ह जबदक

घट न एव भ ग सदिय म ल ग नही होत

5 0 को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह

6 1 को गणन ततसमक ऄवयव कहत ह

7 दकसी भी पणम सखय म शनय को जोड़न य घट न पर सखय क म न नही बदलत

8 दकसी भी पणम सखय म 1 क गण कर तो सखय क म न नही बदलत ह

9 यदद दकसी पणम सखय म 0 क गण कर तो ईसक म न शनय हो ज त ह

10 दकसी पणम सखय म 0 स भ ग दन ऄपररभ नषत ह

11 भ जय = भ जक x भ गफल + शषफल

हमन सीख

19 नीच ददए गए ज दइ वगम क ररकत वगो की परसत कीनजए धय न रह मनजक वगम क सतभो पनकतयो

एव नवकणो क योग हर तरह स बर बर होत ह

9 6 13 20

10 12 19

9 11 18 25

15 17 24 26

16 7 14

P a g e | 19

गनणत पढ़त हए अपन पहल भी कइ परक र की अकनतय ा दखी ह जस- वतत नतरभज चतभमज आतय दद

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक वतत बन सकत ह

अप क दव र बन ए गए वतत पर यदद अप पनसल घम एा तो अप प त ह दक-

1 दकसी नबनद स पर रमभ कर अप पनः ईसी नबनद पर पहाच ज त ह

2 दकसी नबनद स पर रमभ कर पनः ईसी नबनद पर पहाचन तक अपको अकनत क दकसी भी भ ग पर दो

ब र चलन नही पड़

ऐसी अकनतय ा नजनम ईपरोकत दोनो नवशषत एा प इ ज ती ह lsquolsquoबनद अकनतlsquolsquo कहल ती ह

ऄब एक और अकनत दनखए-

कय P एक बद अकनत ह

नही कयोदक P क दकसी नबनद स पर रभ कर नबन पनसल ईठ ए ईसी नबनद पर व पस पहाचन क

नलए अपको दकसी न दकसी भ ग स दो ब र गजरन पड़ग

दी गइ अकनतयो म खली तथ बद अकनतयो को पहच ननए तथ यह भी बत आए दक व

सीधी रख ओ वि रख ओ य दोनो परक र की रख ओ स बनी ह

P a g e | 20

नचतर ि बद अकनतखली अकनत दकस परक र की रख ओ स बनी ह

सीधीविदोनो परक र की

3

4

5

6

7

8

9

10

11

खली अकनत वि रख

कय अप ऄपन अस प स ददख इ दन व ली ऐसी अकनतयो की सची बन सकत ह जो सीधी एव वि

रख ओ स नमलकर बनी हो

अपन ऄब तक दो परक र की रख ओ क ईपयोग दकय ह नजसम स एक तो वि रख ह य नजस

हम टढ़ी-मढ़ी रख भी कह सकत ह तथ दसरी सरल रख ह नजसक ब र म अपन नपछली ककष ओ म भी

पढ़ ह अआए सरल रख क ब र म कछ और ज नक री पर पत कर

सरल रख खीचन तो अप सभी को अत ह कय अप बोडम पर एक अड़ी सरल रख खीच सकत

ह यह सरल रख ईतनी ही लमबी होगी नजतन लमब वह बोडम ह नजस पर अपन सरल रख खीची ह

ऄब म न ल दक बोडम की लमब इ दगनी बढ़ दी ज ए तो सरल रख भी दगनी बढ़ इ ज सकती ह यदद बोडम

को अग अग और अग बढ़ त ज एा तो सरल रख भी अग अग और अग बढ़ इ ज सकती ह आस परक र

हम सरल रख को दोनो ओर आतन बढ़ सकत ह दक नजसक कोइ ओर छोर न हो ऄतः सरल रख ऐसी

सीधी रख ह नजसको दोनो ओर दकतन भी बढ़ एा कभी खतम नही होगी

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीच सकत ह

P a g e | 21

यदद खीच सकत ह तो खीचन क तरीक और यदद नही खीच सकत ह तो नही खीच प न क क रण

नलनखए

अपन सरल रख खीचन की कोनशश कर यह प य दक अप ईतनी ही लमबी सीधी रख खीच सकत

ह नजतनी लमबी अपकी कॉपी ह परत सरल रख तो ऐसी रख ह जो कभी खतम ही नही होती आस कॉपी

म खीच तो नही ज सकत कवल सकत क रप म बत य ज सकत ह कय अप ऐस कोइ सझ व द

सकत ह नजसस सरल रख को कॉपी म बन य ज सक

अपक सझ व-

सकत क ईपयोग कर सरल रख खीचन ः

नचतर-12 म एक सरल रख खीची गइ ह नजसक दोनो छोर पर तीर क ननश न लग हए ह

दोनो तरफ तीर क ननश न यह सकत दत ह दक सरल रख क कोइ ऄनतम बबद नही होत वह

सम पत नही होती वह चलती रहती ह

आसी परक र यदद दकसी नसथर नबनद स एक ऐसी सीधी रख खीची ज ए जो एक तरफ बढ़ती ही रह

और कही भी सम पत न हो तो आस दकरण कहत ह ऄपनी कॉपी म दकरण खीनचए तथ दकरण को खीचन क

तरीक भी नलनखए

चदक दकरण एक नननित नबनद स पर रमभ होकर अग-अग और अग बढ़ती ज ती ह आसनलए दकरण

को एक तरफ तीर क ननश न लग कर दश मत ह

ऐसी सीधी रख जो एक बबद स पर रभ होकर एक ही ओर बढ़ती ज ती ह ईस दकरण कहत ह आसकी कोइ

नननित लब इ नही होती ह

अप दननक जीवन म दकरण क ऄनय ईद हरण सोच एव नलख

दिय कल प 1

कय अप ननमननलनखत नचतरो म दकरणो एव सरल रख ओ को पहच न सकत ह

P a g e | 22

दिय कल प 2

नीच अपको और दो नबनद ददए गए ह अप P नबनद स गज़रन व ली दकतनी सरल रख खीच सकत

ह खीच कर दनखए ईसी परक र Q नबनद स दकतनी सरल रख एा खीची ज सकती ह कछ ऐसी रख ए

खीनचए

P Q

नचतर 17

नीच ददए गए परशनो क ईततर दीनजए

पर1 कय अप P नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

-------------------------------------------------------------------------------

पर2 कय अप Q नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

------------------------------------------------------------------------------

पर3 अप ऐसी दकतनी सरल रख एा खीच सकत ह जो P एव Q दोनो नबनदओ स होकर गजरती हो

-------------------------------------------------------------------------------

ईपयमकत दिय कल प स अप यह प त ह दक दकसी एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज

सकती ह परनत दो नबनदओ स होकर म तर एक ही सरल रख खीची ज सकती ह

रख खड

आस नचतर को दख आस बन न म नजन सीधी रख ओ क ईपयोग दकय ज त ह व दकसी एक नननित

नबनद स पर रभ होकर दसरी नननित नबनद पर सम पत होती ह ऐसी रख ओ को रख खड कहत ह आस परक र

रख खड एक सरल रख ऄथव दकरण क एक भ ग ह नजसकी लब इ म पी ज सकती ह

दिय कल प 3

नचतर-18 और 19 को दखकर नीच ददए गए सव लो क जव ब सोनचए-

नचतर 18 म रख खडो की पहच न कर ईनकी सखय जञ त कीनजए सभी रख खणडो क न म भी

नलख

नचतर 18 व 19 म कट न बबदओ की सखय जञ त कीनजए कौन स रख खड दकन कट न बबदओ पर

एक दसर को क टत ह

रख खणड कय ह ऄपन शबदो म नलनखए

P a g e | 23

दिय कल प 4

ऄपनी कॉपी पर दो बबद P और Q बन आय आन

बबदओ को नीच ददय गय नचतर म तीन परक र स नमल कर

ददख य गय ह अप आनह कछ और परक रो स नमल न क

परय स कीनजए

बबद P और Q को कइ तरह स नमल य ज सकत ह परनत रख खड दव र ईनको कवल एक ही

परक र स नमल य ज सकत ह रख खणड दो नबनदओ को नमल न व ली सबस छोटी रख ह

P Q

नचतर 21

मीन कहती ह च स फ तक की सबस कम दरी क म गम रख खड ही ह कय अप सहमत ह कयो

सरख बबद

नीच तल पर नसथत बबदओ को दनखए

नचतर-22 म बबद PQ एव R एक ही दकरण पर नसथत ह आनह सरख बबद कहत ह

नचतर-23 म बबद AB एव C एक ही रख खड पर नसथत नही ह य बबद सरख नही ह कयो

नचतर-24 म बबद XYZ एव L एक ही सरल रख पर नसथत ह कय य सरख बबद ह

रख खडो की तलन

दो रख खड की तलन क ऄथम ह पत करन दक ददए गए रख खडो म कौनस रख खड बड़ ह

(1) ऄवलोकन दव र पत करन

P a g e | 24

नचतर 25 एव 26 म कवल दखकर ही यह बत य ज सकत ह दक CD रख खड AB स तथ RS

रख खणड PQ स बड़ ह ऄथ मत नचतर 25 म CDgtAB तथ नचतर 26 म PQltRS नचतर 27 और 28 म कय

अप बत सकत ह दक आनम स कौन स रख खड बड़ ह अआए आनह न प कर दख

(2) सकल की सह यत स सही म पन

ईपरोकत नचतर 29 म AB रख खड को न पत हए ददख य गय ह

न पन की नवनधः

ऄपनी कॉपी पर एक बबद A बन आए सकल को आस परक र रनखए नजसस दक सकल पर बन lsquo0rsquo क

ननश न बबद A पर अए ऄब दख दक रख क दसर छोर सकल क दकस ननश न तक पहाच रह ह ईपरोकत

नचतर म B सकल पर बन ननश न 5 पर अ रह ह आस परक र हम कह सकत ह दक रख खड AB की लमब इ

5 समी ह

(3) नडव आडर दव र म पन

अपन दख दक सकल की सह यत स हम ईन रख खडो की लब इ न प सकत ह जह ा सकल

सीधी रखी ज सकती ह कय नडबब य नगल स क भीतर क दीव रो क बीच की दरी सकल की सह यत स

न पी ज सकती ह

एक नडव आडर ल ईस नगल स क मह पर रख कर आतन फल ए दक ईसकी नोक नगल स क भीतरी

दीव रो को सपशम कर

ऄब नडव आडर को नबन दब ए नगल स स ब हर ननक लकर सकल पर नचतर-31 क ऄनस र रख तथ

लब इ जञ त कर

नशकषक क नलए यह ा धय न म रख ज ए दक सकल क दकसी भी खड स लब इ न पन पर ईसकी लब इ क

म न म कोइ पररवतमन नही होत दकसी पर न सकल क ईपयोग करत समय शनय स शर न करन की

नसथनत म न प कस पत करग यह चच म छ तरो क स थ कर ऐस म पन क ऄभय स ईनह करन को द

P a g e | 25

दिय कल प 5

ननमन नचतरो म नडव आडर य परक र की सह यत स रख खणडो को न प कर तलन कर परतयक नचतर

क नलए रख खणडो को लमब इ क बढ़त िम म नलख

ननमन रख खडो को सकल एव परक र की सह यत स न नपए एव ईनक म प नलनखए -

दो य दो स ऄनधक रख खडो की लब इ क योग क बर बर की लब इ क रख खड खीचन

(1) एक सरल रख XY खीनचए

(2) परक र को AB रख खड क म प क बर बर फल आए

(3) रख XY पर कोइ बबद P लकर व ईस कनर म नकर AB रख खड क बर बर क च प आस परक र

क रटए दक वह रख XY को Q पर क ट

(4) CD रख खड क बर बर क च प Q को कनर म नकर आस परक र क रटए दक वह XY रख को PQ

ददश म क ट म न दक वह नबनद R ह

P a g e | 26

5) आसी परक र EF रख खड क बर बर क च प R को कनर म नकर रख खड XY पर क रटए वह S

पर कटत ह

कय AB = PQ CD = QR EF = RS ह कयो ऄपनी कॉपी पर नलनखए

(6) PS = PQ+QR+RS

PS = AB+CD+EF

PS की लब इ न नपए PS ही ददए गए रख खडो की लमब इ क योग क बर बर की लमब इ क

रख खणड होग

रख खडो क ऄतर क बर बर रख खड खीचन

1 एक सरल रख XY खीनचए ईस पर कोइ नबनद P नलनजए

2 परक र को बड़ी रख खणड AB क बर बर फल आए

3 P को कनर म नकर AB क बर बर क च प रख XY पर क रटए वह Q पर कटत ह

4 नबनद Q को कनर म नकर CD क बर बर च प P की ददश म रख XY पर क रटए

वह R पर कटत ह कय AB=PQ और CD=QR ह

यदद ह तो कयो ऄपनी कॉपी म नलनखए

यह ा PQ क नवपरीत ददश म च प कयो क ट गय ह योग करत समय च प एक ही ददश म क ट

गय थ क रणो को ऄपनी कॉपी म नलनखए

5 PQ-QR=PR

य AB-CD=PR

PR की लब इ न नपए PR ही ददए गय रख खडो क ऄतर क बर बर क रख खणड होग

सम नतर रख एा

ऄधय नपक न छठी ककष म परतयक नवदय थी को ऄपनी-ऄपनी कॉपी म दो रख ए खीचन को कह

नवदय रसथयो न रख ए कछ आस परक र खीचीः-

P a g e | 27

नचतर 44

अप भी ऄपनी कॉपी पर आसी परक र दो-दो रख ओ क ऄलग-ऄलग यगम बन आए

ऄब नीच ददय गय यगमो को दनखएः

नचतर 45

नचतर 45(i) म रख एा PQ तथ RS बबद O पर क टती ह ऄतः रख एा PQ तथ RS परनतचछदी रख एा

ह और बबद O ईभयननषठ बबद (परनतचछद बबद)ह

नचतर 45(ii) म रख एा AB तथ CD अपस म क ट तो नही रही ह परनत यदद दोनो रख ओ को

अग-पीछ बढ़ य ज ए तो एक दसर को क टगी ऄथ मत नचतर 45(ii) भी नचतर 45(i) की शरणी म ही अएग

ऄथ मत परनतचछदी रख ओ की शरणी म

नचतर 45(iii) म रख एा KL तथ MN न ही अपस म क ट रही ह और न ही बढ़ न पर अपस म एक-

दसर को क टगी हम कस ज च दक य एक दसर को नही क टगी

नचतर 45(iii) की रख ओ को दनखए-

दोनो रख एा KL तथ MN क बीच की लमबवत दरी परतयक बबद पर सम न ह आनह दोनो तरफ

दकतन भी अग कयो न बढ़ एा अप प यग दक आन दोनो क बीच की लमबवत दरी सदव सम न ही रहती ह

P a g e | 28

अप भी नडव आडर की मदद स दोनो रख ओ क बीच की लमबवत दरी न पकर दनखए कय व

सम न ह ऐसी रख एा सम तर रख एा कहल ती ह ऄथ मत सम नतर रख एा बर बर दरी पर रहती ह न तो

व एक दसर क प स अती ह और न ही दर ज ती ह

ऄपनी ककष म बठ-बठ अपक च रो तरफ फली चीज़ो को दनखए ककष क शय मपटट नखड़की

दरव ज़ दीव र अपक जय नमनत-बॉकस मज़ पसतक सकल अदद क दकन रो म अप आस परक र की

रख ओ को महसस कर सक ग जसः

आनम कह ा-कह ा हम सम तर रख खणडो क ईद हरण नमलत ह

अप ऄपनी कॉपी म एक सची बन आए नजसम प च परनतचछदी रख खणडो तथ प च सम तर

रख खडो क ईद हरण हो

परशन वली 3

परशन-1 नीच ददय गय कथन सतय ह ऄथव ऄसतय पहच ननए -

(i) एक नबनद स ऄसखय रख खड खीच ज सकत ह

(ii) दो नबनद स गजरन व ली ऄसखय सरल रख एा खीची ज सकती ह

(iii) रख खड की कवल लमब इ होती ह चौड़ इ नही

(iv) एक रख खड म यदद च र नबनद नलए ज ए तो य सभी नबनद सरख नबनद होत ह

(v) तीन ऄसरख नबनद स ऄनधकतम दो रख खड खीच ज सकत ह

परशन-2 नीच नचतर म कौन स जोड़ परनतचछदी रख ओ क नही ह

P a g e | 29

परशन-3 नीच दी गइ रख ओ क यगम म स परनतचछद करन व ली रख ओ क यगम छ रटए

परशन-4 नीच ददय गए खणडो (ABCDE) म स सरख नबनदओ क समह को नलनखए -

परशन-5 ननमन म प की लमब इ क रख खड खीनचए

6 समी 5 समी 45 समी 23 समी

परशन-6 एक ही सरल रख म 3 समी 5 समी 65 समी क तीन रख खड खीनचए

परशन-7 नीच रख खड ददय गय ह आनकी लमब इ क योग क बर बर रख खड खीनचए

परशन-8 नीच ददय गय रख खड की लमब इ क ऄतर क बर बर रख खड खीनचए

परशन-9 12 समी की लमब इ क रख खड AB खीचकर ईस 3 समी 4 समी 5 समी क तीन रख खड िमशः

ACCD एव DB म नवभ नजत कीनजए तथ ननमन तथयो को सतय नपत कीनजए

1 AD-AC = CB-DB

2 AB-CD = AC + DB

P a g e | 30

परशन-10 आनम स परतयक पररनसथनत म आन नबनदओ स दकतन रख खणड़ खीच ज सकत ह रख खणडो को

खीनचए व ईनकी सखय एा बत आए

हमन कय सीख

1 दकरण क एक पर रनभक बबद होत ह और वह दकसी एक ददश म लग त र बढ़ती रहती ह

2 सरल रख दोनो ददश ओ म लग त र बढ़ती रहती ह

3 रख खड सरल रख क एक नननित भ ग ह नजसक पर रनभक एव ऄनतम नबनद नननित होत ह

तथ रख खड को न प ज सकत ह

4 सरल रख एव दकरण की लब इ को म प नही ज सकत

5 दो रख एा एक दसर को ऄनधकतम एक ही बबद पर क टती ह

6 एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज सकती ह तथ एक बबद स ऄसखय दकरण खीची ज

सकती ह

P a g e | 31

एक ददन ककष क सभी छ तरो न नशकषक स ऄनरोध दकय दक व कोइ खल खलन च हत ह आस पर नशकषक

न ऄपनी सवीकनत दत हए कह lsquolsquoकयो नही अआए अज सखय ओ स सबनधत खल खलrsquorsquo

अप सभी ऄपनी कॉपी म एक ऄक की कोइ सखय नलखकर आस दो स गण कर पर पत गणनफल म

स 12 घट एा और मझ ईततर बत एा -

छ तरो दव र दकए ज न व ल हल की तीन सभ वन एा हो सकती ह

1 ककष क कछ नवदय रसथयो क पररण म फ नतम क सम न अ सकत ह

2 कछ नवदय रसथयो क पररण म कमली क सम न अ सकत ह

3 कछ नवदय रसथयो की समसय मोन क सम न हो सकती ह व सखय को घट सकन म ऄसमथम रह हो

मोन जस ऄनय बचच भी थ ईन सबन कह rsquorsquoहम कय करlsquolsquo

नशकषक न कह lsquolsquoचनलए हम आस समझन क परय स करrsquorsquo lsquolsquoम न

लीनजए दक ऄपन ग व क त ल ब म एक ब ास सीध गड़ हअ ह

त ल ब क एक कीड़ ब ास पर प नी क उपरी सतह स 10 फीट

सीध उपर चढ़त ह आसक ब द वह कीड़ वह स 12 फीट नीच की

ओर अत हrsquorsquo

ऄतः यह सपषट ह दक वह कीड़ प नी की उपरी सतह स 2

फीट नीच ह प नी की सतह को यदद 0 स दश मय ज ए तो नीच क

पम न को कस ददख ए

परत मोन को ऄब भी यह समझ म नही अय की (10-12) दकस ऄक क बर बर होग ईसन कह

lsquolsquoमझ ऄभी भी समझ नही अय दक कय करा rsquorsquo तब नशकषक न प स और पटटी क एक खल नखल य

lsquolsquoहम र प स एक लमबी पटटी ह नजसक बीचो बीच 0 नलख ह 0 क द यी ओर 10 और ब यी ओर 10 ख न

बन ह द ायी ओर क ख नो म (नचतर-2) 1 स 10 तक ऄक नलख ह तथ दो प स ह एक ल ल और दसर

हर

P a g e | 32

आस खल म दो शत हः

पहलीः- फ क गए ल ल प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग लमबी पटटी पर 0 क द यी ओर

ईतन ही ख न चलग

दसरीः- फ क गए हर प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग ईतन ही ख न पटटी पर ब ायी ओर

चलग यह चलन ईस सथ न स पर रभ करग जह ा ल ल प स क क रण द नहन ओर चलकर पहाच थ

खल अरमभ होत हः

सबस पहल प स फ नतम फकती ह फ नतम क ल ल प स पर 5 तथ हर पर 3 नबनद अए शररतम

क ऄनस र फ नतम शनय स द नहन ओर 5 ख न चलगी और 3 ख न व पस अएगी ईसकी नसथनत नीच

नचतर 3 क ऄनस र 2 पर ह-

ऄब कमली दोनो प स फकती ह दोनो ही प सो पर 4 नबनद अए (शतम ऄनस र) कमली की नसथनत

को नीच दश मय गय ह-

ऄनत म र कश दोनो प स फकत ह ईसक ल ल प स पर 2 और हर प स पर 5 नबनद अए शतम क

ऄनस र र कश 2 ख न द ायी ओर चलत ह और वह स व पस मड़ कर 5 ख न ब यी ओर ज त ह वह

ऄपनी नसथनत शनय स तीन ख न ब ाए तरफ प त ह एक ब र दफर बचचो को समझ नही अत की र कश की

नसथनत को कय नलख

परत कमली और कछ ऄनय को कछ कछ समझ म अन लग ह दक शनय क द ायी ओर की सखय एा

िमशः एक-एक बढ़ रही ह द ाय ओर बढ़न क नलए नपछली सखय म 1 जोड़ कर िमशः ऄगली सखय पर पत

करत ह ईसी परक र ब ाय ओर ज न क नलए एक -एक घट कर िमशः पीछ व ली सखय पर पत करत ज त ह

शनय क द नहन ओर की सखय एा िमशः एक-एक जोड़न पर पर पत होती ह और शनय क ब ए ओर की सखय एा

िमशः एक-एक घट न पर पर पत होती ह

P a g e | 33

कय यह ब त अपक समझ म अइ मोन न

कह कय आसक ऄथम यह ह दक शनय क द यी ओर की

सखय एा धन तमक ह और 0 क ब यी ओर की सखय एा

ऊण तमक ह नशकषक न कह lsquolsquoनबलकल ठीक हrsquorsquo यदद

शनय स िमशः एक-एक कम करत ज एा तो 0-1=-1 -

1-1=-2 -2-1=-3 आतय दद सखय एा नमलती ह ऄतः

र कश की नसथनत -3 पर ह कयोदक शनय स ब ायी ओर तीसर ख न क यही म न

होग आस परक र शनय क ब ायी ओर -1-2-3-4-5 आतय दद सखय एा (सभी

ऊण तमक सखय एा) होगी जस-जस ब ायी ओर हम ज एग सखय कम होती ज एगी ऄथ मत जय द बड़ी

ऊण तमक सखय बनती ज एगी

फ नतम कहती ह दक शनय क द यी ओर की सखय य िमशः बढ़ती ज ती ह 1gt0 2gt1 3gt2

4gt3 5gt4 आतय दद और ब एा ओर की सखय कम होती ज एगी ऄथ मत -1lt 0 -2lt-1 -3lt-

2आतय दद

(अप ऊण तमक सखय ओ को समझन क नलए यह खल ककष म व घर पर जरर खल यदद अपको

प स पर पत नही होत ह तो दो रग क क गज लकर दोनो पर 1 स 6 तक की सखय ऄलग-ऄलग नलख कर आस

परक र मोड़ ल दक सखय नजर नही अए ऄब परतयक रग क एक-एक क गज खीच आनही ऄको स शत मनस र

खल खल)

ऄपन ऄनभव क अध र पर नीच दी गयी सखय ओ क बीच बन ब कस म ईनचत नचनह gt(बड़ ) य

(छोट ) lt लग एा

ऐस ही कछ और जोड़ सोच व ऄपन स नथयो को हल करन को द

P a g e | 34

ऊण तमक सखय एा

दिय कल प 1

पवम क ईद हरणो म अपन प य दक नजस परक र धन तमक सखय एा ह ईसी

परक र ऊण तमक सखय एा भी ह आन सखय ओ को श नमल करन स हम कइ नइ

सदिय एा कर प एाग जस 12 म स 14 घट प एग और ईततर को दश म प एाग 3 और

4 जोड़न पर पररण म 7 अत ह यदद जोड़ क परथम ऄक 3 नसथर रख तो ईसम

कौनसी सखय जोड़ दक पररण म िमशः 654321 और 0 पर पत हो आन म नो

को ख ली ब कसो म नलनखए ऐस और भी सव ल सोच व हल कर कय अप सबस

छोटी और सबस बड़ी ऊण तमक सखय क म न बत सकत ह

पण ाक

अप पर कत सखय ओ और पणम सखय ओ स पररनचत ह ईनम यदद ऊण तमक सखय एा जोड़ ल तो

शनय क द ाई ओर पर कत सखय एा ह और ब ायी ओर ऊण तमक सखय एा धन तमक सखय एा ऊण तमक

सखय एा तथ शनय को नमल कर पण ाक बनत ह पण ाक को I य म Z स ददख त ह ऄथ मत

पण ाक (I) = -3-21012345 अदद

नजस परक र सबस बड़ी पणम सखय नही ह ईसी परक र सबस बड़ी पण ाक भी नही ह कय अप सबस

छोटी पण ाक सोच सकत ह

सखय रख पर पण ाक सखय को ननरनपत करन

एक सरल रख खीनचए आस सरल रख पर एक सम न दरी पर कछ नबनद ऄदकत कीनजए आस रख

पर बीच म नसथत दकसी नबनद को शनय नलखकर आसक द नहन ओर धन तमक सखय एा तथ शनय क ब ाय

ओर ऊण तमक सखय एा नलनखए (नचतर-7 क ऄनस र) आस परक र बनी रख सखय रख कहल ती ह

छ य नचतर क म धयम स पण ाको क परदशमन-

यह ा

N = पर कनतक सखय एा

W = पणम सखय एा

I = पण ाक सखय एा

P a g e | 35

ईपरोकत सकतो को दखकर नचतर 8 म पण ाक म श नमल सखय ओ की पहच न कीनजए पणम सखय म कौन-

कौन सी सखय श नमल ह

पण ाको पर की गइ सदिय ओ को सखय रख पर परदरसशत करन

पण ाको को जोड़न -

जब दोनो सखय एा धन तमक हो जस 3 + 5 =

पहल शनय स 3 ऄक धन तमक ददश म दफर वही स 5 ऄक धन तमक ददश म ज न पर 8 पर

पहाचत ह ऄतः 3 + 5 = 8

और जब दोनो सखय एा ऊण तमक हो जस (-2)+(-5)

तो पहल ऊण तमक ददश म 2 ऄक ज त ह दफर वही स 5 ऄक ऊण तमक ददश म और बढ़ तो -7

ऄक पर पहचत ह

ऄथ मत (-2)+(-5) = -7

जब एक सखय धन तमक और दसरी सखय ऊण तमक हो-

जसः (v) 8 +(-5) =

(v)

पहल शनय स 8 ऄक धन तमक ददश म ज एग और दफर वह स व पस 5 ऄक ऊण तमक ददश म

लग शनय स ईस ददश को म लम कर यह ा हम धन तमक ददश म 3 पर पत होत ह ऄथ मत 8+(-5) = 3

(ब) -8 + 5 =

ऊण तमक ददश म 8 ऄक चलकर वह स व पस 5 ऄक शनय की ओर (धन तमक ददश ) म अन पर

ऄनतम नसथनत ऊण तमक ददश म 3 पर ह जो दक -3 ह ऄथ मत -8+5 = -3

आसी परक र अप भी दो-दो पण ाक लकर ईनह जोनड़ए पर पत पररण मो पर नवच र कर

P a g e | 36

आस परक र ईपरोकत ईद हरणो स यह म लम होत ह दक -

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

पण ाको को जोड़न म ईन सभी गणो क प लन होत ह नजनक पणम सखय एा प लन करती ह

1 दो पण ाको क योग एक पण ाक ही होग

2 सभी पण ाको क योग म िम नवननमय ननयम ल ग होत ह

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक सखय होती ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम

ह

4 पण ाको म शनय जोड़न पर ईनक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह

पण ाक सखय ओ क घट न

नजस परक र पणम सखय ओ म घट न की सदिय योग की नवपररत सदिय ह ईसी परक र पण ाक

सखय ओ म घट न की सदिय भी योग की नवपरीत सदिय ह ननमन ईद हरणो पर धय न दीनजए

(v) 14 - 18 = -4

(ब) 5 - 3 = 2

(स) 8 - 4 = 4

घट न की परदिय तो अप ज न चक ह परत यदद कभी 10 स -6 घट न को कह ज त ह तब

परश नी हो सकती ह कयोदक ऊण तमक सखय ओ को कस घट ए वह ठीक स समझ नही अत ह अआए

आस ब त को समझ

अप ज नत ह दक 5 + 0 = 5 8 + 0 = 8 111 + 0 = 111

ऄथ मत दकसी भी सखय म यदद शनय जोड़ ज ए तो योगफल वही रहत ह जो सखय क म न ह

आस तरह शनय को योजय ततसमक कहत ह

P a g e | 37

सोनचए 5 म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (-5)

ऄथ मत 5 + (-5) = 0 (योजय ततसमक)

आसी परक र (-7) म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (+7)

ऄथ मत (-7) + (+7) = 0 (योजय ततसमक)

यह ा (-5) योजय परनतलोम ह 5 क तथ + 7 योजय परनतलोम ह (-7) क

ऄतः दकसी सखय क योजय परनतलोम वह सखय ह नजस ईस सखय क स थ जोड़न पर योजय

ततसमक (शनय) पर पत होत ह

ऄथ मत सखय + सखय क योजय परनतलोम = योजय ततसमक

नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए

सखय सखय क योजय परनतलोम योजय ततसमक

35 + () = 0

-40 + () = 0

-17 + () = 0

-35 + () = 0

-13 + () = 0

पहली सखय म दसरी सखय घट न क ऄथम ह पहली सखय म दसरी सखय क योजय परनतलोम को

जोड़न कय अपको यह ब त ईनचत लगती ह

जस 12 -(5) = 12 +(5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(-5)

ईसी परक र 12-(-5) = 12 +(-5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(+5) = 12 +5 =17

कय अप 10 म स (-6) को घट सकत ह

नीच ददए गए परशनो म घट यी ज न व ली सखय क योजय परनतलोम ननक ल कर हल कीनजएः

1) 3-(-7) 2) 12-(-10) 3) 15-(+7)

4) 7 -(+18) 5) 19-(-7)

उपर ऄभय स क परशनो म अप दख रह ह दक ऊण तमक सखय क ऊण तमक एक धन तमक सखय ह

और धन तमक सखय क ऊण तमक एक ऊण तमक सखय ह

जस - (-3) = +3

य (-1) times (-3) = +3

(-5) times (-3) = + 15

ऄथ मत दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल सदव धन तमक पण ाक होत ह

ऄभय स-41

P a g e | 38

आसी परक र

-(+7) = -7

य (-1) times (+7) = -7

(-5) times (+3) = -15

ऄथ मत एक ऊण तमक पण ाक तथ धन तमक पण ाक क गणनफल सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

घट न की सनकषपत नवनध

जब दकसी सखय को 10 100 1000 अदद स घट न होत ह तो अप सबस बड सथ न क 1 को

ईसस छोटी आक आयो म बदलत ह जस आस ईद हरण म दख -

ईद हरण 1 1 0 0

- 7

हल- यह ा आक इ क शनय स 7 नही घट सकत दह इ म भी शनय ह वह ा स भी अपको कछ नही नमल

सकत अप एक सकड को दस दह आयो म और आनम स एक दह इ को दस आक इ म बदलत ह -

स द आ स द आ

1 0 0 0 9 10 (100 = 90 + 10)

य न एक सकड़ छोटी आक आयो म बदलकर 9 दह इ और 10 आक इ बन ज त ह ऐस म सौ स

छोटी दकसी भी सखय को घट न अपक नलए अस न हो ज त ह

घट आए

स द आ

0 9 10 ( 100 - 7 = 90 + 10 - 7)

- 7 ( = 90 + 3 = 93)

9 3

एक और ईद हरण दख -

ईद हरण 2 1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

हल-

P a g e | 39

ददय ह - दसह ह स द आ

1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

सखय दस हज र को छोटी आक आयो म बदनलए -

दसह ह स द आ

0 9 9 9 10 (10000=9990+10)

- 2 8 7 4

7 1 2 6

ईद हरण 3 1 0 0 0 - 8 7 6

9 9 (10)

- 8 7 6

आन ईद हरणो म अपन दख दक आक इ क ऄक को दस स घट य ज रह ह ब की सभी को नौ स

ऄब अप च ह तो सीध ईततर नलख सकत ह

100 - 23 = (9 - 2) (10 - 3) = 77

100 - 69 = (9 - 6) (10 - 9) = 31

1000 - 512 = (9 - 5) (9 - 1) (10 - 2) = 488

1000 - 32 = (9 - 0) (9 - 3) (10 - 2) = 968

1000 - 8 = 992

10000 - 982 = 9018

10000 - 8374 = 1626

पण ाको क घट न स सबनधत गण

1 दो पण ाको क ऄनतर एक पण ाक होत ह(सवरक गण)

2 पण ाक म स 0 घट न पर ईनक म न नही बदलत

3 परतयक पण ाक क पवमवती एव परवती भी पण ाक होत ह

जस 0 क पवमवती -1 एव -1 क पववती -2 -5 क पवमवती -6 आतय दद तथ -1 क

परवती 0-2 क परवती -1 -6 क परवती -5 आतय दद

P a g e | 40

बीज क क परयोग स जोड़न घट न की ज ाच

तमह पत ही ह दक दकसी सखय क बीज क जञ त करन क नलए ईसक ऄको क योग तब तक करत

ह जब तक एक ऄक व ली सखय न नमल ज ए ऄत म पर पत ऄक ही बीज क होत ह

जस - 45 क बीज क 4 + 5 = 9 ह

और 457 क बीज क 4 + 5 + 7 = 16

16 म दो ऄक ह आसीनलए 1 + 6 = 7

ऄथ मत 457 क बीज क 7 ह

बीज क की सह यत स हम ऄपन बन ए सव लो की ज ाच कर सकत ह

जोड़ की ज ाच

जोड़ क सव लो की ज ाच करन क नलए हम जोड़ी ज न व ली सखय ओ और योगफल क बीज क

जञ त करत ह

यदद सखय ओ क बीज क क योग ईततर क बीज क क बर बर हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण स समझत ह - 453 + 158 = 611

453 क बीज क 3 और 158 क बीज क 5 क योग ईततर 611 क बीज क 8 क बर बर ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आसी परक र ऄपन बन ए हए जोड़ क सव लो क ईततर की ज ाच अप खद ही कर सकत ह

घट न की ज ाच

यदद ईततर क बीज क म घट इ ज न व ली सखय क बीज क जोड़न पर उपर व ली सखय क

बीज क पर पत हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण दख - 587 - 235 = 352

ईततर 352 क बीज क 1 और घटन व ली सखय 235 क बीज क 1 को जोड़न पर 2 पर पत होत ह

587 क बीज क भी 2 ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आस तरीक स ईन परशनो क ईततरो की ज ाच कीनजए नजनह अपन हल दकय ह

P a g e | 41

पण ाको क गण

दिय कल प 1

नीच त नलक म पण ाक सखय ओ क गण करक ददख य गय ह

कछ ररकत सथ न त नलक म ह ईनकी परसत कीनजए -

ि पहली

सखय

दसरी

सखय

पहली सखय x

दसरी सखय

गणनफल ननषकषम

01

02

03

04

05

06

07

08

09

3

-6

-5

3

- 5

-7

-8

15

-17

4

-2

2

-6

-4

2

-12

-13

-19

3x4

(-6) x (-2)

(-5) x (+2)

(+3) x (-6)

+12

+12

-10

-18

दो धन तमक पण ाको क

गणनफल एक धन तमक

पण ाक होत ह

दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल

एक धन तमक

पण ाक होत ह

एक धन तमक पण ाक और एक

ऊण तमक पण ाक क गणनफल एक

ऊण तमक पण ाक होत ह

9 99 999 अदद क गण

एक दो और तीन ऄको व ली दकसी सखय म िमशः 9 99 999 जसी सखय ओ क गण करन पर

हम एक मजद र पटनम नमलत ह अआए कछ ईद हरण दख -

8 x 9 = 72 47 x 99 = 46 53

7 x 9 = 63 78 x 99 = 77 22

5 x 9 = 45

P a g e | 42

अप दख रह ह दक गणय और गणक एक-एक ऄक व ली सखय एा ह पर पत गणनफल म दह इ क ऄक

हर ब र गणय स एक कम ह और दह इ म नमली आस सखय को 9 स घट न पर जो नमल ईस आक इ म रख

गय ह कय यही पटनम दसरी सखय ओ म भी नमलग

दख-

दह इ आक इ द

आ

6 x 9

4 x 9

= (6 - 1)

= (4 - 1)

(9 - 5)

(9 - 3)

= 5

= 3

4

6

= 54 सतय ह

= 36 सतय ह

यदद गणय और गणक दो-दो ऄको की सखय एा हो तो कय होग यह ा हम गणनफल क रप म च र

ऄको की सखय नमलगी (10x99 को छोड़कर)

ह स द आ ह स द आ

10 x 99

= (10 - 1) (99-9)

= 9 9 0

75 x 99

= (75 - 1) (99-74)

= 7

4 2 5

84 x 99 = (84 - 1) (99-83) = 8

3 1 6

आस थोड़ और बढ़ एा -

100 x 999 को हल कर

= 9 9 9 0 0

यदद 100 स बड़ी कोइ भी तीन ऄक व ली सखय ल तो गणनफल 6 ऄको की सखय होगी

दस ह ह स द आ

100 x 999 = (100 - 1)

99

(999 - 99)

999

217 x 999

999 x 999

= (217 - 1)

216

= (999 - 1)

998

(999 - 216)

783

(999 - 998)

001

= 216783

= 998001

P a g e | 43

ऄब थोड़ो सोच य सब कस होत ह

8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 70 + 10 - 8

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

(7 + 1) (10 - 1) = 70 + 10 - 7 - 1

= 70 + 10 - 1 - 7

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

ऄब आन ईद हरणो को धय नपवमक दनखए-

3 x 2 = 6 2 x 1 = 2 4 x 2 = 8 1 x 4 = 4

5 x 3 = 15 2 x 8 = 16 7 x 3 = 21 9 x 9 = 81

उपर क पहल च र ईद हरणो म अप दख रह ह दक आक इ की सखय म आक इ की सखय क गण

करन पर आक इ की सखय ही नमल रही ह नीच क च रो ईद हरणो म भी आक इ म आक इ क गण हअ

और गणनफल म आक इ क स थ - स थ दह इ की भी कोइ सखय नमल रही ह

आसी तरह अप दख सकत ह दक दह इ म आक इ क गण करन पर य तो दह इ और सकड़ य

कवल दह इ की सखय नमलगी

जस 20 x 3 = 60 30 x 1 = 30 10 x 4 = 40

40 x 3 = 120 50 x 5 = 250 30 x 7 = 210

20 य नी दो दह इ म 3 क गण करन पर 60 आक आय ा य नी 6 दह आय ा नमली 4 दह आयो (40)

म 3 क गण करन पर 12 दह आय ा य 1 सकड़ और 2 दह आय ा नमली

यदद आन ब तो क धय न रखत हए गण कर तो गण करन थोड़ सनकषपत हो ज त ह अग कछ

ईद हरणो स हम समझग यह गण कस दकय ज त ह

ईद हरण 1 13 x 12

हल - 13

x 12

चरण - 1 13 आक इ 3 म आक इ 2 क गण दकय

x 12 6 आक आय ा नमली आनह आक इ म नलख

6

P a g e | 44

13

x 12

56

1 3

1 2

13

x 12

156

चरण - 2

पहली सखय की आक इ 3 म दसरी सखय की दह इ 1 क गण दकय 3

दह आय ा नमली दसरी सखय की आक इ 2 म पहली सखय की दह इ 1

क गण दकय 2 दह आय ा नमली कल 5 दह आय ा (3 + 2) नमली आस

दह इ म नलख

(3x1) + (2x1) = 3 + 2 = 5 दह आय ा

चरण - 3

पहली सखय की दह इ 1 म दसरी सखय की 1 दह इ क गण दकय 1

सकड़ नमल आस सकड़ म नलख कल 156 नमल

आन तीनो चरणो को आस तरह दख सकत ह -

स द आ

1 1 3 3

1 1 2 2

1 (3 + 2) 6

1 5 6 = 156

ईद हरण 2 12 x 31 को हल कर

हल

चरण - 1 1 2 आक इ 2 आक इ 1 = 2 आक आय ा

आक इ म नलख

x 3 1

चरण - 2 1 2 आक इ 2 दह इ 3 = 6 दह आय ा

आक इ 1 दह इ 1 = 1 दह आय ा

3 1 योग = 7 दह आय ा

7 2

P a g e | 45

चरण 3 1 2 सकड़ 1x सकड़ 3 = 1x3 = 3 (सकड़ म नलख )

हल नमल 12 x 31 = 372

x 3 1

3 7 2

आन दोनो ईद हरणो म गण करन पर हम ह नसल नही नमल यदद सखय ओ को थोड़ बड़ ल तो

यह नसथनत बनगी

अआए दख -

ईद हरण 3 43 x 12 को हल कर

चरण 1 4 3 आक इ 3 x आक इ 2 = 6 आक आय ा

x 1 2 (आक इ म नलख )

6

चरण 2 4 3 (आक इ 3 x दह इ 1) + (आक इ 2 x दह इ 4)

3 + 8 = 11 दह इ

x 1 2 11 दह इ = 1सकड़ + 1 दह इ

1 6

1 दह इ को दह इ म नलख 1सकड़ ह नसल क रप म अग क

नलए रख

चरण 3 4 3 दह इ x 4 दह इ 1 = 4 सकड़

= + 1 सकड़ (ह नसल क )

x 1 2

5 1 6 योग = 5 सकड़

आस सकड़ म नलख

गणनफल नमल 43 x 12 = 516

ईद हरण 4 हल कीनजए - 76 times 58

चरण 1

7 6 6 x 8 = 48 8 आक इ

4 दह इ (ह नसल क)

x 5 8

8

(4)

P a g e | 46

चरण 2

7 6 (6x5) + (8x7)

30 + 56 = 8 6 दह आय ा

x 5 8 + 4 दह आय ा (ह नसल क)

0 8 9 0 दह आय ा

(9) (4) = 9 सकड़ + 0 दह इ

दह इ म 0 नलख 9 सकड़ (ह नसल की)

चरण 3 7 6 7 x 5 = 3 5 सकड़

+ 9 सकड़ (ह नसल)

x 5 8 4 4 दह आय ा

4 4 0 8 4 हज र और 4 सकड़

(5) (4) आनह आनक सथ नो पर नलख

हल नमल 76 x 58 = 4408

पण ाको म गणन सदिय क गण

1 दो पण ाको क गणनफल सदव एक पण ाक होत ह आस सवरक गण कहत ह

जस- 3 x (-6) = -18 (यह ा 3 एव -6 क गणनफल -18 एक पण ाक सखय ह)

2 पण ाको की गणन सदिय िम-नवननमय ननयम क प लन करती ह

जस- (-7) x 2 = 2 x (-7) = -14

3 परतयक पण ाक म एक क गण करन पर वही पण ाक पर पत होत ह

जस- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

यह ा सखय 1 को गणन-ततसमक ऄवयव कहत ह

4 दकसी पण ाक म ईसक गणन परनतलोम क गण करन पर सदव 1 पर पत होत ह

जस- 5 times 51 =1

यह ा सखय 5 क गणन परनतलोम ह शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव म नही ह

5 शनय क गण - दकसी पण ाक म शनय क गण करन पर गणनफल सदव शनय पर पत होत ह

जस- (-3) x 0 = 0 x (-3) = 0

6 पण ाको क गण पर स हच यम ननयम ल ग होत ह

जस- -3 x (4x5) = (-3x4) x 5

3 x (-20) = (-12) x 5

-60 = -60

P a g e | 47

7 नवतरण गण- पण ाको म गणन सदिय योग सदिय पर नवतरण गण क प लन करती ह

जस- 3times(-4+5) = 3times (-4)+3 times 5

य 3(-4+5) = 3 (-4)+3 times 5

= 12+15

= 3

पण ाको क भ ग

नपछल प ठ म पणम सखय ओ क सदभम म अपन भ ग दन सीख ह पण ाक सखय ओ क गण क

ईद हरण भी हम दख चक ह आनही क अध र पर हम पण ाको क भ ग क ब र म समझ सकत ह

3 times 4 = 12 -5 times 6 = - 30 (-7) times (-2) = 14

12 divide 3 = -30 divide -5 = 14 divide (-2) =

12 divide 4 = 30 divide 6 = 14 divide (-7) =

गणन एव भ ग सदिय एा परसपर नवपरीत सदिय एा ह यह शनय क नलए ल ग नही होत कयोदक

शनय स दकसी भी पण ाक को भ ग नही ददय ज सकत आसी अध र पर उपर ददए कथनो म परशन नचहनो क

सथ न पर सखय एा नलख

पण ाक म भ ग सदिय क गण

1 पण ाको क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3raquo4 म भ गफल पण ाक नही ह

2 परतयक पण ाक म (शनय को छोड़कर )ईसी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

जस- 7 divide 7

3 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म-1 पर पत होत ह

जस- 15 divide (-15)= -1

4 शनय म दकसी भी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल क म न शनय ही रहत ह

जस- 0 divide 16 = -1

5 दकसी पण ाक सखय म शनय स भ ग दन पर भ गफल जञ त नही कर सकत ऄथ मत

4 divide 0 ऄपररभ नषत

परशन वली-4

1 ननमन सखय ओ को सखय रख पर ननरनपत करक पररण म बत आए -

(i) 2 + (-4) (ii) -3 + 5 (iii) (-6) + (-3)

(iv) 6 + 4 + (-2) (v) 4 + (-3) + (-5) (vi) 0 + 3

(vii) 0 + (-5) (viii) 9 + 0 + (-1)

2 योगफल जञ त कीनजए-

(i) 1531 (-503) (ii) -55 -211 (iii) 117 -81

(iv) -18 172

P a g e | 48

3 ननमन म स परतयक ररकत सथ न म gt = य lt क नचहन लग आए नजसस कथन सतय हो-

(i) 8 + (-3) -3 + 8

(ii) -28 + 25 -25 + 28

(iii) -4 + 0 4 + 0

(iv) 0 + 9 9 + 0

(v) 25 + (+25) + 25 - (-25)

(vi) 208 + 53 208 - 53

4 ननमन गणनफल जञ त कीनजए-

(i) (+2) times (3) times (5) (ii) 3 times (-5) times (-6)

(iii) (-4) times 3 times (-2) (iv) (-6) times (-4) times 1

(v) 3 times 0 times (-2) (vi) 2 times (-7) times (-3)

5 ररकत सथ नो की परसत झ = य ढ नलखकर कीनजए -

(i) (2) times (5) (-3) times (5)

(ii) 2 times -4 times -3 8 times 3

(iii) 4 times -3 times -1 28

(iv) (-8) times (-5) 2 times 20

(v) 2 times -3 times 0 0 times -8

(vi) 4 times 5 times (-3) -4 times (+5) times (-3)

(vii) 3 times 8 times (-5) 3 times 8 times (-5)

6 दो पण ाको क योग 69 ह यदद ईनम स एक पण ाक 56 ह तो दसर पण ाक बत आए

7 दो पण ाको क योग 85 ह यदद एक पण ाक -15 ह तो दसर पण ाक जञ त कीनजए

8 ननमन म स परतयक क भ गफल जञ त कीनजए -

(i) 30 divide 2 (ii) 40 divide (-4) (iii) -48 divide 12

(iv) 24 divide 0 (v) -14 divide 1 (vi) 95 divide (-5)

9 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -80 divide = - 20 (ii) 46 divide = -23

(iii) -24 divide = 24 (iv) 12 divide = -1

10 नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए -

(i) 17 (ii) -23 (iii) 68

(iv) -75

11 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -18 + = 0 (ii) 26 + = 0

(iii) 161 + = 0 (iv) -79 + = 0

P a g e | 49

हमन सीख

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक होत ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम ह

4 पण ाक म शनय जोड़न पर ईसक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह शनय को योजय ततसमक

ऄवयव कहत ह

5 पण ाक म 1 क गण करन पर ईसक म न म पररवतमन नही अत ह सखय 1 को गणन ततसमक

कहत ह

6 दकसी धन तमक सखय को दकसी ऊण तमक सखय क स थ गण करन पर गणनफल ऊण तमक

सखय होत ह जस (+1) times (-1) = -1 य (-1) times (+1) = -1

7 ऊण तमक सखय क ऊण तमक सखय क स थ गण होन पर धन तमक सखय पर पत होती ह

जस - (-1) times (-1) = +1

8 दो पण ाको क योग ऄनतर एव गण एक पण ाक होत ह

9 पण ाक स 0 घट न पर ईसक म न नही बदलत

10 परतयक पण ाक की पवमवती एव परवती सखय होती ह

11 दकसी ऊण तमक सखय क योजय परनतलोम धन तमक सखय तथ दकसी धन तमक सखय क योजय

परनतलोम ऊण तमक सखय होती ह

12 पण ाक क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3divide4 म भ गफल पण ाक नही ह

13 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक म ईसी पण ाक क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

14 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म -1 पर पत होत ह

15 शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव नही रखत ह

16 पण ाको क गण -

गण योग सदिय ऄतर सदिय गणन सदिय भ ग सदिय

सवरक radic radic radic times

िमनवननमय radic times radic times

स हच यम radic times radic times

P a g e | 50

नपछली ककष म अपन वतत क ब र म पढ़ ह वतत क अक र को भी अप पहच नत ह जस- चड़ी

रोटी बलग ड़ी क पनहय आतय दद ऄपन च रो ओर प इ ज न व ली ऐसी 10 चीजो क ईद हरण ऄपनी

कॉपी म नलनखए

नीच कछ अकनतय दी गइ ह व वतत ह ऄथव नही ददए गए ररकत सथ न म नलनखएः

दननक जीवन म ईपयोग म अन व ली ऐसी कइ वसतएा ह नजनकी सह यत स अप ऄपनी

कॉपी म वतत बन सकत ह ऐसी कौन-कौनसी वसतएा अप पहच न सकत ह सची बन आए दकनही 3

वसतओ की सह यत स वतत बन आए

नजस वसत की सह यत स अपन वतत बन य ह ईसक दकन र कभी-कभी पणमतः वतत क र न होकर

टढ़ -मढ़ भी हो सकत ह आसनलए पणम वतत बन न क नलए परक र क ईपयोग करत ह

दिय कल प-1

परक र की सह यत स वतत खीचन - ऄपन जय नमनत बॉकस म रखी परक र को लीनजए परक र म

पनसल लग कर ईसको थोड़ स फल आए परक र की नोक को कॉपी क बीचो-बीच रखकर पनसल व ल नसर

को च रो ओर घम आए धय न रह परक र की नोक कॉपी पर ऄपनी जगह स नही हटनी च नहए आस परक र

बनी अकनत वतत कहल ती ह

नजस सथ न पर परक र की नोक अपन रखी थी वह ा पनसल की सह यत स एक बबद बन कर Oनलख यह

नबनद O वतत क कनर ह

P a g e | 51

ऄब वतत पर कइ बबद ABCDE एव F बन कर ननमन दररयो को म प (नचतर-6)

1 OA = 2 OD = 3 OB =

4 OE = 5 OC = 6 OF =

कय ईपरोकत सभी म प एक सम न ह

वतत पर कोइ भी बबद लन पर कय वह यही म प दग

आसी परक र परक र की सह यत स और दो वतत बन कर उपर क पररण मो की ज च कीनजए

अपन वतत बन न सीख नलय ह अआए ऄब वतत क नवनभनन भ गो को ज नन क नलए दिय कल प कर

दिय कल प-2

क गज़ पर परक र की सह यत स वतत बन आए तथ वतत क र अकनत को कची स क ट कर ऄलग

कीनजए आस वतत क र क गज की अकनत को आस परक र मोनड़ए दक एक भ ग दसर भ ग को ढक ल आस

ऄधमवतत क र अकनत को पनः दो बर बर भ गो म मोड़ ऄब आस क गज को खोलकर ईसम बन मोड़ क

ननश नो को पनसल की सह यत स रख दकत कीनजए तथ नीच दी गइ अकनत क ऄनस र न म दकत कर

रख खणड AC और BD की लमब इ म नपय कय व बर बर ह

कट न नबनद O स A तक O स C तक O स B तक और O स D तक की दरी न प कर

दनखए दक ईनकी लमब इ सम न ह य नही

अप दखत ह दक OAOB OC एव OD की लमब इ सम न ह य सभी वत की lsquolsquoनतरजय rsquorsquo ह

दिय कल प-3

ऄपनी कॉपी म परक र की सह यत स एक वतत बन आए वतत क कनर बबद को नचनहनत कीनजए

वतत पर कोइ बबद A लीनजए A को वतत पर नसथत नभनन-नभनन नबनदओ स आस परक र नमल आए दक कम स

कम एक रख खणड कनर स होत हए गजर अपन जो नवनभनन रख खणड खीच ह ईनह न पकर ऄपनी कॉपी म

नलनखए तथ नीच ददए गए परशनो क हल ढदढए-

1 सबस लमबी रख खणड कौन सी ह

2 कय सबस लमबी रख खणड कनर स होकर ज ती ह

3 एक ही वतत म ऐस दकतन सबस लमब रख खणड खीच ज सकत ह

नचतर- 7

नचतर- 8 नचतर- 9 नचतर- 10

नचतर- 11

P a g e | 52

दिय कल प 3 म अपन वतत पर नसथत दो बबदओ को नमल त हए कइ रख खणड खीच होग आनही

रख खणडो को जीव य च पकणम कहत ह सबस बड़ी जीव कनर स होकर ज ती ह वय स कहल ती ह (जस

रख खड AD) चादक कनर स ज न व ली परतयक जीव सबस लमबी जीव ह और अप यह भी ज नत ह दक

दकसी नबनद स ऄसखय रख खणड खीच ज सकत ह आसनलए दकसी वतत म भी ऄसखय वय स खीच ज सकत

ह

दिय कल प-4

ऄपनी कॉपी म ऄलग-ऄलग म प क 3 वतत बन आए तथ ननमन स रणी को पणम कीनजए -

ि स वय स की लमब इ नतरजय की लमब इ वय स divide नतरजय

01

02

03

ईपरोकत दिय कल प म अप प त ह दक दकसी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह ऄथ मत

rsquoनतरजय वय स की अधी होती हrsquo

ऄब वतत क च रो ओर क घर म पकर वतत क पररम प जञ त कर और घर तथ वय स म समबनध

समझ

अप ज नत ह दक दकसी भी बनद अकनत क घर की लमब इ ही ईस अकनत क पररम प ह ऄतः वतत

क पररम प ननक लन क नलए एक पटठ पर वतत बन कर ईस क ट नलनजए आसक दकन र पर पन स एक

ननश न लग आय ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीचकर ईसक एक छोर पर भी ननश न A लग आए

वतत क र पटठ पर बन ननश न को सरल रख पर बन ननश न क उपर रनखए तथ पटठ को एक चककर तब तक

घम आए जब तक दक पटठ पर बन ननश न पनः सरल रख पर न अ ज ए सरल रख पर ननश न B

लग आए

नबनद A और B क बीच की दरी को म नपए यही म प आस वतत क पररम प होग आसी परक र नीच

ददए गए म प की नतरजय क वतत क टकर स रणी को पणम कीनजए -

ि स वतत क पररम प नतरजय की पररम प वतत क वय स पररम प divide वय स

01 35 समी

02 7 समी

03 105 समी

नचतर- 12

P a g e | 53

स रणी म पररम प divide वय स क म न सभी म लगभग सम न ह ऄथ मत परतयक वतत क पररम प तथ

वय स क ऄनप त एक ही (नसथर क) होत ह आस नसथर क को गरीक ऄकषर 120587 (प इ) स दश मत ह तथ आसक

म न लगभग 22

7 य 314 क बर बर होत ह

परशन वली 5

पर1 वतत बन आए

(i) नतरजय = 2 समी (ii) नतरजय = 35 समी

(iii) नतरजय = 42 समी (iv) नतरजय = 5 समी

पर2 वतत बन आए-

(i) वय स = 3 समी (ii) वय स = 6 समी

(iii) वय स = 68 समी (iv) वय स = 74 समी

पर3 32 समी नतरजय क वतत म 64 समी की एक जीव खीनचए

पर4 एक वतत की रचन कीनजए नजसकी सबस बड़ी जीव की लमब इ 8 समी ह

पर5 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो ईसक पररम प कय होग

पर6 ररकत सथ नो की परसत कीनजए

(i) वय स = 2 times

(ii) वतत क दो वय स पर परनतचछद करत ह

(iii) वतत की सबस बड़ी जीव को कहत ह

(iv) वय स वतत क स गजरत ह

(v) वतत की सभी नतरजय य होती ह

(vi) कनर स पररनध क दकसी नबनद को नमल न व ली रख वतत की ह

(vii) वतत म पररनध क दो नबनदओ को नमल न व ली रख को कहत ह

हमन सीख

1 वतत क कनर स वतत पर नसथत नबनद को नमल न व ली रख वतत की नतरजय ह

2 एक ही वतत की नतरजय य सम न होती ह

3 वतत पर नसथत दो नबनदओ को नमल न व ली रख वतत की

जीव कहल ती ह

4 वतत की सबस बड़ी जीव वय स होती ह जो वतत क कनर स

गजरती ह

5 दकसी भी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह

6 वतत क पररम प तथ वय स क ऄनप त सदव नसथर होत ह

आस नसथर क को 120587 कहत ह नजसक म न 22

7 य 314 क लगभग बर बर होत ह

P a g e | 54

पण ाक क प ठ म अपन पढ़ ह दक भ ग की सदिय हमश सवरक ननयम क प लन नही करती ह

ऄथ मत दकसी पण ाक को यदद दकसी ऄनय पण ाक स भ ग ददय ज व तो हमश पण ाक पर पत नही होत

सोचकर बत आय दक 8 म दकन-दकन सखय ओ क भ ग ज त ह और शष नही बचत और 7 म दकस-दकस

क भ ग ज त ह

गणनखड

2 times 5 = 10 म अपन दख दक 2 तथ 5 क भ ग 10 म परी तरह चल ज त ह

दकसी सखय क गणनखड व सखय एा ह जो ईस सखय को परी तरह नवभ नजत कर

10 divide 2 = 5 ऄथ मत 2 तथ 510 क गणनखणड ह

10 divide 5 = 2

दकसी सखय क गणनखड ईस सखय की सभी भ जक सखय एा ह गी

परतयक सखय कम स कम 1 व सवय स ऄवशय नवभ नजत होती ह

जस 12 म 1 क भ ग परी तरह चल ज त ह

12 म 12 क भ ग परी तरह चल ज त ह

कय अप ऐसी कोइ सखय ज नत ह नजसम एक क ऄथव ईसी सखय क भ ग परी तरह नही

ज त हो

भ जय सखय एा

वह सखय नजनम 1 तथ ईसी सखय क ऄनतररकत ऄनय सखय ओ स पर -पर भ ग ददय ज सकत

ह भ जय सखय कहल ती ह

अआए दख 12 म और दकन दकन सखय ओ क भ ग ज त ह

12 = 1 times 12

= 2 times 6

= 3 times 4

= 3 times 2 times 2

12 सखय 1 2 3 4 6 12 स पणमतय नवभ नजत हो ज त ह

ऄतः दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करत ह

P a g e | 55

ऄभ जय सखय एा

वह सखय नजसक गणनखड कवल 1 तथ सवय वही सखय हो ऄभ जय सखय कहल ती ह

जस 13 म कवल 1 एव 13 क पर -पर भ ग ज त ह ऄनय दकसी सखय क नही ऄतः 13 एक

ऄभ जय सखय ह आसी परक र 2 3 5 आतय दद ऄभ जय सखय एा ह

दिय कल प 1

नीच स रणी म कछ सखय ओ सभी गणनखड ददय गय ह शष सखय ओ क सभी गणनखडो को ररकत

सथ नो म नलनखए तथ एक गणनखड दो गणनखडो व ली एव दो स ऄनधक गणनखडो व ली सखय ओ को

ऄलग-ऄलग छ ारटय-

स रणी

सखय सभी गणनखड सखय सभी गणनखड

1 1 6 1623

2 12 7

3 8

4 142 9

5 10

ईपरोकत स रणी म हम तीन परक र की सखय एा ददख इ दती ह -

1 एक गणनखड व ली सखय ऐसी सखय नजसक कवल एक ही गणनखड ह ऐसी सखय 1 ह यह न

तो ऄभ जय सखय ह और न ही भ जय सखय यह एक ऄनदवतीय सखय ह

2 दो गणनखणडो व ली सखय एा 2 3 5 7 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक कवल दो ही गणनखड

होत ह ऄतः यह ऄभ जय सखय एा होगी आस परक र ऄभ जय सखय ओ क पॉच ऄनय ईद हरण

ऄपनी कॉपी म नलनखए

3 दो स ऄनधक गणनखणडो व ली सखय 4 6 8 9 10 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक दो स

ऄनधक गणनखड ह य सभी भ जय सखय एा कहल ती ह

दिय कल प 2

एरटोसथनीज की छलनी भ जय और ऄभ जय सखय ओ को ऄलग-ऄलग छ टन क नलए एरटोसथनीज न एक

तरीक ऄपन य थ आस एरटोसथनीज की छलनी कहत ह

एरटोसथनीज की छलनी

स रणी म 1 स 100 तक की सखय दी गइ ह नीच ददय गय ननदशो क प लन कीनजए-

ननदश

(1) 1 को क ट दीनजए कयोदक 1 ऄभ जय सखय नही ह

P a g e | 56

(2) 2 क च रो ओर एक घर बन दीनजए तथ 2 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक लकीर

स क ट दीनजए जस 468 आतय दद

(3) ऄब ऄगली नबन कटी सखय 3 को घर लग कर 3 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक

लकीर स क ट दीनजए यह ा हमन 2 और 3 स नवभ नजत होन होनी व ली कछ सखय ओ को क ट

ददय ह शष सखय ओ को क ट कर स रणी को पर कीनजए

(4) आसी परक र ऄगली नबन कटी सखय को घररय तथ ईसस नवभ नजत होनी व ली सभी सखय ओ को

क रटए

(5) यह परदिय तब तक दोहर आय जब तक 100 तक की सभी सखय ए कट न ज ए य नघर न ज ए

स रणी

आस परदिय क ब द आस छलनी म घरो क ऄदर की सभी सखय एा ऄभ जय सखय एा ह तथ 1 को

छोड़कर क टी गइ सभी सखय एा भ जय सखय एा ह

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

दिय कल प 3

भ जय और ऄभ जय सखय ओ को तो अपन ज न नलय ह ऄब अआए गणनखणड ननक लन क एक

खल खल

अप ऄपनी क पी म कछ घर बन आए परतयक घर क नीच नचतर नस र म न 1 2 3 4

आतय दद नलनखए और नीच नलख ननदशो क प लन कररए -

ननदश

1 क भ ग नजन सखय ओ म ज त ह ईन सभी घरो म 1 नलनखए

नजन सखय ओ म 2 क भ ग ज त ह ईन घरो म 2 नलनखए

नजन सखय ओ म 3 क भ ग ज त ह ईन घरो म तीन नलनखए

P a g e | 57

आसी परक र अग की सखय एा नलखत ज आए एव ननमननलनखत परशनो क ईततर दीनजए

परशन 1 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर म तर एक सखय ह ईस घर क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 2 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 3 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो स ऄनधक सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न

नलनखए

घर क ऄदर की सभी सखय एा घर क ब हर की सभी सखय ओ क गणनखणड ह व सखय एा नजनक

म तर दो गणनखड (1 एव सवय वह सखय ) होत ह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

सहभ जय सखय एा

अआय 8 और 15 क गणनखडो पर नवच र कर

8 क गणनखड = 1 2 4 8

15 क गणनखड = 1 3 5 15

ईकत दोनो सखय ओ क गणनखणडो को दखन पर यह सपषट होत ह दक कवल 1 ही ह जो 8 और 15

क ईभयननषठ गणनखड ह 1 क ऄनतररकत और कोइ सखय ऐसी नही ह जो 8 और 15 क ईभयननषठ

गणनखड हो ऐसी नसथनत म सखय एा 8 और 15 सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

आसी तरह 9 10 और 49 क गणनखणडो पर नवच र कर

9 क गणनखड = 1 3 9

10 क गणनखड = 1 2 5 10

49 क गणनखड = 1 7 49

ईकत ईद हरण म कवल 1 ही ऐसी सखय ह जो 9 10 और 49 तीनो क ईभयननषठ गणनखड ह

आसक ऄनतररकत और कोइ सखय नही ह जो 9 10 49 सभी क गणनखड हो आसनलए 9 10 और 49 सह

ऄभ जय सखय एा ह

ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखड 1 हो सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 58

(1) 1 स 100 क बीच अन व ली ऄभ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(2) 75 स 100 क बीच अन व ली भ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(3) 70 स 80 क बीच सबस जय द गणनखणड व ली सखय कौन सी ह

(4) कय 12 और 25 सह ऄभ जय सखय एा ह

(5) कय दो िम गत सखय एा सह ऄभ जय सखय एा होगी

सखय ओ क ऄनय परक र

1 सम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत होती ह सम सखय कहल ती ह

जस 2 4 6 8 10 12

2 नवषम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत नही होती ह नवषम सखय कहल ती ह

जस 1 3 5 7 9 11 आतय दद

नीच अपको कछ नवषम सखय एा दी गइ ह ईनम स भ जय और ऄभ जय सखय ओ को छ ाटकर

स रणी म ददए गय सथ न पर नलनखए

41 45 47 53 55 57 63 67 69 71 73 77 81 83 87 89 91 93 95 97 99

स रणी

भ जय सखय एा ऄभ जय सखय एा

कय सभी नवषम सखय एा ऄभ जय होती ह

ऄभ जय गणनखड

अआय दख 42 क ऄभ जय गणनखणड कय होग

42 = 14 times 3 यह 3 ऄभ जय ह

कय 14 भी ऄभ जय ह

नही 14 को 2 times 7 नलख सकत ह

ऄथ मत 42 = 2 times 7 times 3 ऄब यह 2 7 3 सभी ऄभ जय सखय एा ह य 42 क ऄभ जय

गणनखणड ह आनह ऄभ जय गणनखणड कहत ह

6 क ऄभ जय गणनखणड कौन-कौन स ह और भी कछ सखय एा लकर ईनक ऄभ जय गणनखणड

पत कररए

ऄभ जय गणनखड जञ त करन

ऄभ जय गणनखणड कस पत कर कय एक-एक सखय को कइ-कइ ब र भ ग करक दख स म नय

तौर पर नीच ददय तरीक आसतम ल करन स दकसी भी सखय क ऄभ जय गणनखणडो क पत लग सकत

ह दी गइ सखय को सबस पहल 2 स भ ग करक दख यदद सखय 2 स नवभ जय ह तो सखय और दफर

ईसक भ गफलो म तब तक 2 क भ ग दत ह जब तक वह 2 स नवभ जय रहती ह दफर यदद सखय 3 स

ऄभय स

P a g e | 59

नवभ जय ह तो ईस म 3 स ब री-ब री तब तक भ ग दत ह जब तक वह 3 स नवभ जय ह आसी परक र 5 7

11 आतय दद क नलए भी वही परदिय दोहर त ह जब तक की भ गफल 1 पर पत नही हो ज त

ईद हरण 1 अआए 24 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

24 = 2 times 2 times 2 times 3

ऄतः 24 क ऄभ जय गणनखणड 2223 ह

ईद हरण 2 ऄब 30 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

30 = 2 times 3 times 5

ऄतः 30 क ऄभ जय गणनखणड 23 एव 5 ह

1 ननमन सखय ओ क ऄभ जय गणनखणड जञ त कीनजए

(i) 16 (ii) 48 (iii) 60 (iv) 84

ऄभ जय गणनखड ननक लन तो अपन सीख नलय अआए ऄब दकसी सखय क सभी गणनखडो

पर नवच र कर

ईद हरण 3 कय 18 108 क गणनखड ह

परथम नवनध यदद 18 108 क गणनखड हो तो 108 म 18 क भ ग परी तरह चल ज न च नहए

18) 108 (6

- 108

0 ऄतः 108 क एक गणनखड 18 ह

नदवतीय नवनध (i) 18 क ऄभ जय गणनखड ननक नलए

(ii) 108 क ऄभ जय गणनखड पर पत कीनजए

18 = 2 times 3 times 3

108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

चदक 18 क ऄभ जय गणनखडो म श नमल सभी सखय एा 108 क ऄभ जय गणनखडो म भी श नमल

ह आसनलए 108 क गणनखड 18 ह

ईद हरण 4 18 क सभी गणनखड नलनखए

नवनध 1 जस दक अप ज नत ह दक 18 म 1182369 आन सभी सखय ओ क भ ग ददय ज य तो शषफल

शनय (0) रहत ह

2 24

2 12

2 6

3 3

1

2 30

3 15

5 5

1

ऄभय स

P a g e | 60

ऄभय स

ऄतः 1182369 सभी 18 क गणनखणड ऄथव ऄपवतमक ह

गणनखड को ऄपवतमक भी कहत ह

नवनध 2 यह ा 18 क सभी ऄपवतमको को ननमन परक र स भी जञ त दकय ज सकत ह

18 = 1 times 18

18 = 2 times 9

18 = 3 times 6

आस परक र 18 क सभी ऄपवतमक होग 1 2 3 6 9 18

ईद हरण 5 60 क सभी गणनखडो को नलनखए

हल 60 = 1 times 60

= 2 times 30

= 3 times 20

= 4 times 15

= 5 times 12

= 6 times 10

ऄतः 60 क सभी गणनखड 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 होग

1 ननमननलनखत सखय ओ क सभी ऄपवतमक नलनखय

(i) 28 (ii) 36 (iii) 45 (iv) 72

आस नवनध स गणनखड ननक लन म अपको ऄनधक समय लग रह ह अपको नवभ जयत की ज च

क ननयम म लम नही ह नजसक क रण नबन भ ग ददय अप यह नही बत सकत दक दकसी सखय म 3 5

ऄथव 7 आतय दद क भ ग ज एग य नही अआय नवभ जयत पत करन क कछ ननयम सीख

नवभ जयत की ज ाच क ननयम

(1) 2 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक 0 2 4 6 8 हो तो वह सखय 2 स पणमतः नवभ नजत होगी

20 62 34 26 18 2 स नवभ जय ह

21 63 33 35 17 2 स ऄनवभ जय ह

यह ा 18 2 स नवभ जय ह अआए भ ग दकर आसकी ज ाच कर -

2 ) 18 ( 9

-18

0 2 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 61

2 ) 21 ( 10

- 2

01

- 00

1 2 स पणमतः नवभ नजत नही ह

(2) 3 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सभी ऄको क योगफल 3 स नवभ नजत होत ह तो वह सखय तीन स

नवभ नजत होगी

जस 111111 म सभी ऄको क योग 1+1+1+1+1+1 = 6 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

आसी परक र 5112 म सभी ऄको क योग 9 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

412 म सभी ऄको क योग 7 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत नही होगी

(3) 6 स नवभ जयत की ज ाच

यदद कोइ सखय 2 तथ 3 स ऄलग-ऄलग नवभ नजत हो तो वह सखय 6 स भी नवभ नजत होगी

जस 216 2 स नवभ जय ह (आक इ ऄक 6 ह)

216 3 स नवभ जय ह (ऄको क योग 9 ह)

ऄतः यह 6 स भी नवभ जय होगी

आसी परक र 643212 2 स नवभ जय ह (कयोदक आक इ क ऄक 2 ह)

3 स नवभ जय ह (कयोदक ऄको क योग 18 ह)

ऄतः सखय 6 स भी नवभ जय होगी

(4) 9 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क ऄको क योग 9 स नवभ जय हो तो परी सखय भी 9 स नवभ जय होगी

जस 3663 9 स नवभ जय ह कयोदक (ऄको क योग 3+6+6+3 = 18 ह नजसम 9

क भ ग पर -पर ज त ह)

1827 9 स नवभ जय ह (ऄको क योग 18 9 स नवभ जय ह)

1227 9 स नवभ जय नही ह (ऄको क योग 12 9 स नवभ जय नही ह)

(5) 5 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय म आक इ क ऄक 0 ऄथव 5 ह तो वह सखय 5 स नवभ जय होगी

जस 1045 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 5 ह

940 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 0 ह

(6) 10 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक शनय हो तो वह सखय 10 स नवभ जय होगी

जस 1000 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

2130 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

5003 10 स नवभ जय नही ह (आक इ क ऄक 3 ह)

P a g e | 62

(7) 4 स नवभ जयत की ज ाच

जब दकसी सखय क दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 4 स नवभ नजत होती ह ऄथव दह इ व

आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 4 स नवभ नजत होगी

जस - 79412 म दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 12 ह जो दक 4 स नवभ नजत ह ऄतः सखय

79412 4 स नवभ नजत होगी

1300 4 स नवभ नजत ह नजसम दह इ व आक इ क ऄक शनय ह

413 4 स नवभ नजत नही ह कयोदक 13 म 4 क भ ग पर -पर नही ज त ह

(8) 8 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सकड़ दह इ आक इ व ल तीन ऄको की सखय 8 स नवभ नजत हो

य सकड़ दह इ व आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 8 स नवभ जय होगी

31000 8 स नवभ जय ह (आक इ दह इ व सकड़ क ऄक शनय ह)

1816 8 स नवभ जय ह (816 8 स नवभ नजत ह)

12317 8 स नवभ जय नही ह (317 8 स नवभ नजत नही ह)

(9) 7 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क ऄनतम ऄक क दगन कर शष ऄको की सखय स घट आए तथ बची हइ सखय पर पनः

यही परदिय दोहर आय जब तक 1 य 2 ऄक की सखय पर पत नही हो ज ती यदद पर पत सखय 7 स नवभ नजत हो

तो दी गइ सखय भी 7 स नवभ जय होगी

जस 1729 म ऄनतम ऄक 9 ह 9 क दगन = 18

172 - 18 = 154 म ऄनतम ऄक 4 ह 4 क दगन = 8

15 - 8 = 7 ऄनतम ऄक 7 ह ऄतः 7 स नवभ जय ह

कय अप ज नत ह दक 1729 को र म नजन सखय भी कह ज त ह

भ रत क मह न गनणतजञ र म नजन जब आगलड म थ ईस समय वह एक ब र बहत बीम र हो गय

ईनस नमलन आगलड क परो ह डी अए ईनम जो ब तचीत हइ वह आस परक र ह -

र म नजन न पछ - अप कस अए

परो ह डी - टकसी दव र

र म नजन - टकसी क नमबर कय थ

परो ह डी - 1729 कोइ नवशष सखय नही ह

र म नजन - अप गलती पर ह यह सखय बहत रनचकर ह यह एक म तर ऐसी सबस

छोटी सखय ह नजस दो सखय ओ क घनो क योगफल क रप म दो नवनभनन तरीक स नलख ज सकत ह

ऄथ मत 1729 = 13 + 123 = 93 +103

(10) 11 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क नवषम सथ नो क ऄको क योग ननक नलए तथ सम सथ नो क ऄको क योग

ननक नलए यदद नवषम सथ नो क ऄको क योग तथ सम सथ नो क ऄको क योग क ऄतर 0 11 ऄथव

11 क गणज हो तो वह सखय 11 स नवभ नजत होगी

P a g e | 63

ऄभय स

जस 856592 क नवषम सथ नो क ऄको क योग = 8+6+9 = 23

सम सथ नो क ऄको क योग = 5+5+2 = 12

दोनो योगो क ऄतर = 23 -12 = 11

ऄतः सखय 11 स नवभ जय ह

ईद हरण 6

ज ाच कीनजए की कय 805130425 11 स नवभ जय ह

हल सखय 805130425 क

1 नवषम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 8+5+3+4+5 = 25

2 सम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 0+1+0+2 = 3

योग क ऄतर = 25 - 3

= 22 जो 11 स नवभ नजत ह

ऄतः सखय 805130425 भी 11 स नवभ नजत होगी

1 नजस सखय स दी गइ सखय नवभ जय ह ईसम क ननश न लग आय

ि सखय नजनस सखय पणमतः नवभ नजत हो ज ए

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2550 radic radic radic radic radic radic

2 4914

3 9432

4 7332

5 13310

6 872

7 1210

2 27720 दकन-दकन सखय ओ स नवभ जय ह बत आए

3 नीच नलख कथन सतय ह ऄथव ऄसतय बत आए

(i) 78 2 स नवभ नजत हो सकती ह

(ii) 375 म 3 5 व 10 क भ ग पर -पर चल ज त ह

(iii) नजस सखय म आक इ क ऄक 0 हो वह सखय 5 स नवभ नजत होगी

(iv) दकसी सखय क सम सथ नो क ऄको क योग व नवषम सथ नो क ऄको क योग क ऄनतर

यदद 0 हो तो वह सखय 11 स भ जय होगी

(v) सखय 10080 िमशः 23456789 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 64

महततम सम पवतमक (Highest common factor)

दिय कल प 4

नीच 12 फीट लमब तथ 9 फीट चौड़ कमर को न पन क नलय एक लकड़ी क सकल बन न ह ईस

बड स बड़ सकल की लमब इ कय होगी नजसस 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प ज सक

12 फीट की लमब इ अप दकस-दकस म प क

सकल स न प सकत ह

अप प यग 1 2 3 4 6 12 फीट लमबी सकल स

12 फीट की लमब इ न पी ज सकती ह य सभी 12

क गणनखणड ह

ईसी परक र 9 फीट की लमब इ 1 3 और 9

फीट लमब सकल स न पी ज सकती ह य सभी 9 क

गणनखणड ह परनत ऐस बड स बड़ सकल की

अवशयकत ह जो 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प

सक यह 12 और 9 क सबस बड़ ईभयननषठ

गणनखणड ऄथ मत rsquorsquo3rsquorsquo होग

चदक यह सबस बड़ ईभयननषठ गणनखणड (ऄपवतमक) ह आसनलए आस हम महततम सम पवतमक

(HCF) भी कहत ह

अआए ऄपवतमक (गणनखणड) की सह यत स एक स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक जञ त कर

ईद हरण 7

48 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 12 24 48

64 क सभी गणनखड 1 2 4 8 16 32 64

72 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72

ईपरोकत सभी ईभयननषठ गणनखडो पर घर लग आए अप दखग 48 6472 क सम ऄपवतमक 1

2 4 8 ह आनम सबस बड़ ऄपवतमक 8 ह

ऄतः 48 64 72 क म स 8 ह

दो य दो स ऄनधक सखय ओ क समऄपवतमको म स सबस बड़ सम ऄपवतमक ईन सखय ओ क

महततम सम पवतमक (म स) कहल त ह

म स = सबस बड़ सम न गणनखड

म स जञ त करन की नवनधय ा

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स

ईद हरण 8 24 36 60 क म स जञ त कीनजए

P a g e | 65

24 = 2 times 2 times 2 times 3 36 = 2 times 2 times 3 times 3 60 = 2 times 2 times 3 times 5

ऄतः 24 36 60 क ईभयननषठ गणनखड

24 = 2 times 2 times 2 times 3

36 = 2 times 2 times 3 times 3

60 = 2 times 2 times 3 times 5

मस = 2 times 2 times 3 = 12

2 ऄपवतमक नवनध

24 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 8 12 24

36 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 9 12 18 36

60 क ऄपवतमक 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

ऄतः 24 36 60 क समऄपवतमक 1 2 3 4 6 12

सबस बड़ सम ऄपवतमक = 12

म स = 12

3 भ ग नवनध स म स जञ त करन

भ ग नवनध स मस दो तरीक स जञ त दकय ज सकत ह -

परथम नवनध

ईद हरण 9 16 तथ 36 क म स जञ त कीनजए

चरण

1) सबस छोटी ऄभ जय सखय 2 स 16 एव 36 को भ ग दन पर

2) 2 स 8 एव 18 को भ ग दन पर

3) चदक दकसी एक ही ऄभ जय सखय स 4 एव 9 को भ ग दन सभव नही ह

आसनलए नजन ऄभ जय सखय ओ स दी गइ सभी सखय ओ म एक स थ भ ग

ज त ह ईनक गणनफल ही मस होग

16 और 36 क महततम सम पवतमक 2 times 2 = 4

ईद हरण 10 60 90 210 क महततम सम पवतमक भ ग नवनध स जञ त कीनजए

चरण

1) 2 स 60 90 210 को भ ग दन पर

2) 3 स 30 45 105 को भ ग दन पर

2) 5 स 10 15 35 को भ ग दन पर

4) चदक दकसी ऄनय ऄभ जय सखय स 2 3 एव 7 को भ ग दन सभव नही ह

ऄतः 6090210 क मस 2 times 3 times 5 = 30

नदवतीय नवनध

आस नवनध स मस जञ त करन क नलए छोटी सखय क भ ग बड़ी सखय म तब तक दीनजए जब तक

दक शषफल भ जक स छोटी न अ ज ए ऄब भ जक को भ जय व शषफल को भ जक म नकर हल कर यह

P a g e | 66

दिय तब तक करत रनहए जब तक दक शषफल शनय न अ ज ए नजस भ जक स भ ग दन पर शषफल शनय

होग वही मस ह

ईद हरण 11 15 एव 63 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

15) 63 ( 4 3) 15 ( 5

- 60 -15

3 0

ऄतः 15 व 63 क मस 3 ह

ईद हरण 12 वह सबस बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 18 और 55 को भ ग दन पर िमशः 2 और 3

शष बच

हल चदक 18 को भ ग दन पर 2 शष बचत ह ऄतः सखय = 18 - 2 = 16 ह

ईसी परक र दसरी सखय = 55 - 3 = 52 ह

16 और 52 क मस ननक लन पर -

16) 52 ( 3

-48

4) 16 (4

-16

0

16 व 52 क मस 4 पर पत हअ

महततम सम पवतमक की नवषषत ए

अआय महतम सम पवतमक की नवशषत ओ को ईद हरणो क दव र समझ

ईद हरण 13 15 60 क म स ननक नलए

चदक 15 स 60 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 15 तथ 60 क म स 15 होग

ईद हरण 14

12 36 क म स ननक नलए

चदक 12स 36 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 12 तथ 36 क मस 12 होग

ईद हरण 15 20 40 क म स ननक नलए

चदक 20स 40 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 20 तथ 40 क म स 20 होग

ईद हरण 16 15 और 16 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 15 एव 16 क म स 1 होग

आसी परक र 13 और 17 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 13 एव 17 क म स 1 होग

P a g e | 67

आसस यह सपषट होत ह दक -

1) यदद दो सखय ओ म बड़ी सखय छोटी सखय स परी तरह नवभ नजत होती ह तो छोटी सखय दोनो

सखय ओ क म स होगी

2) ऐसी सखय एा नजनक 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखणड नही होत ईन सखय ओ क मस 1

होत ह

परशन वली 61

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 120 204 (ii) 144 198

(iii) 150 140 210 (iv) 108 135162

2 भ ग नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 252 576 (ii) 300 450

(iii) 72 96 144 (iv) 120 300 105

3 दो िम गत सखय ओ क महततम समपवतमक कय होग

4 ननमन स परतयक नभनन को ईसक हर और ऄश म ईनक महततम सम पवतमक स भ ग दकर सरल रप म

नलनखए

(i) 1444 256 (ii) 2211 3025

5 दो छोट टकरो म िमशः 85 और 68 लीटर पटरोल अत ह ईस म पन व ल बतमन की

ऄनधकतम धररत जञ त कीनजए नजसस परतयक टकर क पटरोल पर -पर म प ज सक

6 वह बड़ी स बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 389 436 और 542 को भ ग दन पर िमशः 4 7 और 3

शष बच

7 एक नवदय लय की ककष 6 7 8 म िमशः 220 176 तथ 132 छ तर ह ऄनधक स ऄनधक छ तरो क

समह बन एा जो परतयक ककष म बन सक तथ परतयक समह म छ तरो की सखय सम न हो

8 हमीद क प स 527 सब 646 चीक व 748 सतर ह आनह बर बर-बर बर फलो क ढरो म रखन ह बड़ स

बड़ ढर म दकतन फल होग कल दकतन ढर बनग

9 एक अय तक र कमर की ब हरी लमब इ 122 मी एव चौड़ इ 92 मी ह यदद दीव र की मोट इ 1 मीटर हो

तो ईस बड़ स बड़ सकल की लमब इ जञ त करो जो अतररक भ ग की लमब इ व चौड़ इ को पणमतः न प सक

सकत अतररक लमब इ = 122 - 2 = 120 अतररक चौड़ इ = 92 - 2 = 90

(120 एव 90 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए)

गणज (Multiple)

नपछली ककष ओ म अप न पह ड़ तो पढ़ ही होग पह ड़ क ईपयोग गण करन व भ ग दन म भी अपन

दकय ह

अप ज नत ह दक 7 times 3 = 21 होत ह ऄथ मत 7 व 3 दोनो क एक गणज 21 ह

दो क पह ड़ म जो सखय एा अती ह व सभी दो क गणज ह आसी परक र 132639526578 आतय दद

सभी 13 क गणज होग

दिय कल प 5

नीच कछ सखय एा दी गइ ह ईनक परथम 5 गणजो को ददय गय बॉकस म नलनखए

P a g e | 68

4 क गणज

7 क गणज

12 क गणज

15 क गणज

16 क गणज

20 क गणज

लघतम सम पवतयम (Lowest Common Multiple)

दननक जीवन म हम नमलन व ल कछ ईद हरणो पर चच म कर -

ईद हरण 17 र म फल खरीदन ब ज र गय वह ा दक नद र न ईस दो तरह क कल

बत य पहल तरह क कल 10 रपय क 6 थ व दसरी तरह क 10 रपय क 8 कल थ

र म दस-दस रपय क नोट द कर नबन खदर दकए दोनो तरह क कल सम न सखय म खरीदन च हत ह

बत आए वह दोनो तरह क दकतन कल खरीद सकत ह

हल आसक नलए हम 6 व 8 क गणज नलखग

6 क गणज - 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

8 क गणज - 8 16 24 32 40 48 56 64 72

आसक मतलब यह ह दक पहल तरह क 6121824 कल वह दस-दस रपय क िमशः एक

दो तीन च र नोट दकर नबन खदर दकए खरीद सकत ह

आसी तरह वह दसरी तरह क 81624 कल नबन खदर दकए खरीद सकत ह एक ही

सखय म खरीदन क नलए ईस दोनो म अनी व ली सखय क कल खरीदन होग ऄथ मत 6 व 8 क गणज म

जो सखय सम न ह ईनको लन होग

यह सखय ह 24 48 72

सम न सखय म कल खरीदन क नलए र म 24 48 व 72 कल खरीद सकत ह

अआए एक और ईद हरण दख

ईद हरण 18 एक दक नद र ऄपनी दक न क नलए थोक म पन खरीदन ज त ह ईस दो तरह क पन पसद

अत ह पहल परक र क पन क एक पकट म 12 पन ह तथ दसर परक र क पन क पकट म 15 पन ह थोक

दक नद र पकट खोलकर पन नही बचत ह कय अप बत सकत ह दक ईस कम स कम दकतन पकट

खरीदन च नहए नजसस खरीद गए दोनो परक र क पनो की सखय सम न हो

अआय आस परशन को ननमन स रणी क म धयम स हल कर

स रणी

पकट म पनो

सखय

कल पनो की सखय

1 पकट

म

2 पकट

म

3 पकट

म

4 पकट

म

5 पकट

म

12 12 24 36 48 60

15 15 30 45 60 75

P a g e | 69

आस परक र अप दख रह ह दक 12 पन व ल पकट यदद 5 खरीद ज व तो 60 पन होग और

15 पन व ल पकट यदद 4 खरीद ज व तब 60 पन होग

ईपरोकत परशन को हल करत समय अपन 12 और 15 क गणज ननक ल ह तथ जो ईभयननषठ गणज

सबस छोट ह वही च ह गय ईततर ह

गणज को lsquolsquoऄपवतयमrsquorsquoभी कहत ह आसनलए सबस छोट ईभयननषठ गणज को

लघतम सम ऄपवतयम य लघतम सम पवतयम कहत ह आस सकषप म लस(LCM) भी कहत ह

कय अप 1012 और 15 क सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम पर पत कर

सकत ह

10 क गणज नलनखए =

12 क गणज नलनखए =

15 क गणज नलनखए =

सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम =

नीच दी गइ स रणी म दी गइ सखय ओ क लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए

स रणी

िम सखय सखय एा सखय ओ क गणज य ऄपवतयम लघतम सम पवतयम

1 3 4 6 3 क ऄपवतयम = 3 6912151821242730

5 क ऄपवतयम = 5101520253035404550

6 क ऄपवतयम = 61218243036424854

30

2 4 6 9

3 4 9 12

4 6 1518

आस परक र यह कह सकत ह दक

(1) वह ऄपवतयम जो दी गइ सखय ओ क सबस छोट सम न ऄपवतयम हो दी गइ सखय ओ क लघतम

सम पवतयम कहल त ह

(2) दो य दो स ऄनधक सखय ओ क लस वह छोटी स छोटी सखय ह नजसम दी गइ परतयक सखय क

पर -पर भ ग चल ज त ह

ल स जञ त करन की नवनधय ा

(1) ऄभ जय गणनखड नवनध

ईद हरण 19 16 और 24 क लस जञ त कीनजए

16 = 2 times 2 times 2 times 2 24 = 2 times 2 times 2 times 3

P a g e | 70

(ii) सभी सखय ओ म सबस छोट ऄभ जय गणनखड ल यह गणनखणड दकसी भी सखय

म ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र अय हो ईस ईतनी ब र नलनखए

(iii) ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड को चननए और ईस भी ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र

दकसी सखय म वह अय हो ईतनी ब र नलनखए

(iv) आसी परक र सभी ऄभ जय गणनखडो को नलख कर गण करक लस जञ त दकय

ज त ह

16 = 2 times 2 times 2 times 2

24 = 2 times 2 times 2 times 3

सबस छोट ऄभ जय गणनखड 2 ऄनधकतम 4 ब र 16 म अय ह

ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड 3 ऄनधकतम एक ब र 24 म अय ह

16 और 24 क ल स = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

(2) भ ग नवनध दव र

ईद हरण 20 121624 क ल स जञ त कीनजए

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग एक सखय ओ म ज त ह

3 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

समसत भ जक सखय ओ क गणनफल ही लस ह

1216 और 24 क लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

दो सखय ओ क गणनफल तथ लस एव मस क मधय सबध

ईद हरण 21 म न लीनजए दो सखय एा 12 और 16 ह

अआय दोनो सखय ओ क गण करक दख जह ा परथम सखय 12 व नदवतीय सखय 16 ह

दोनो सखय ओ क गण = परथम सखय times नदवतीय सखय

= 12 times 16

= 192

ऄब दोनो सखय ओ क मस व लस भी जञ त करत ह

म स 2 12 16 लस 2 12 16

2 6 8 2 6 8

3 4 2 3 4

म स = 2 times 2 = 4 2 3 2

3 3 1

1 1

लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

P a g e | 71

ऄथ मत मस times लस = 4 times 48 = 192

दोनो नसथनतयो म गणनफल सम न पर पत होत ह ऄतः यह कह सकत ह दक -

परथम सखय times नदवतीय सखय = म स times ल स

ऄथ मत दो सखय ओ क गणनफल = ईनक मस times ईनक लस

दिय कल प 6

स रणी म दी गइ सखय ओ क लस व मस ननक ल कर उपर ददय गय समबनध की ज ाच कीनजए

स रणी

परथम

सखय

नदवतीय

सखय

म स ल स म स times ल स परथम सखय times नदवतीय सखय

6

4

30

42

108

8

9

36

48

18

2 24 2 times 24 = 48 6 times 8 = 48

अप यह भी प त ह दक दो सखय ओ क मस ईनक लस क एक गणनखणड ह

परशन वली 62

मौनखक परशन

1 दो सखय ओ क म स 2 और ल स 12 ह यदद एक सखय 6 ह तो दसरी सखय

कय होगी

2 दो सखय ओ क गणनफल 338 ह आनक मस एव ल स क गणनफल बत आय

3 2 6 8 क लघतम सम पवतयम बत आए

4 7 और 14 क ल स 7 स बड़ ह य छोट

5 15 और 30 क ल स कय 30 स कम हो सकत ह

नलनखत परशन

1 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (गणनखड नवनध स)

(i) 14 28 (ii) 108 162 (iii) 12 15 45 (iv) 40 36 126

2 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (भ ग नवनध स)

(i) 28 56 (ii) 112 168 (iii) 36 45 72 (iv) 180 184 144

3 55 मीटर लमब एव 22 मीटर चौड़ मद न म वग मक र दररय नबछ नी ह एक ही न प की कम स

कम नबछ इ ज न व ली दररय की सखय जञ त कीनजए (सकत - मस जञ त कर)

4 6 घरटय ा एक स थ बजन पर रभ हइ यदद व िमशः 2 4 6 8 10 12 सक ड क ऄतर ल म

बजती ह तो 30 नमनट म दकतनी ब र आकटठी बजगी (सकत - लस जञ त कर)

5 एक वय प री हर चौथ ददन र यपर ज त ह जबदक दसर वय प री हर 10 व ददन व दोनो यदद 3

जनवरी को एक स थ र यपर गय हो तो ऄगली नतनथ बत आए जब व पनः र यपर म एक स थ

P a g e | 72

पहचग

6 दो सखय एा 24 एव 36 ह यदद ईनक मस 12 हो तो ईनक ल स जञ त कीनजए

7 यदद दो सखय ओ क म स 13 लस 1989 ह यदद ईनम स एक सखय 117 हो तो दसरी सखय

जञ त कीनजए

8 शश क ननतय 465 रपय बच त ह कम स कम दकतन ददनो म वह रपयो की

परी - परी सखय बच सकग

सकत - 465 म 4 र पण ाक म ह ऄतः 65 पस और 100 पस क लघतम सम पवतयम जञ त कर एव

पर पत ल स म 65 पस क भ ग दन पर पणम ददनो की सखय पर पत होगी जो बचत की परी र नश

रपय म वयकत करग

9 कय दो सखय ओ क म स 14 और ल स 204 हो सकत ह ऄपन ईततर क पकष म तकम दीनजए

10 दकसी ददन रतनपर स र यपर की बस 40 नमनट क ऄतर ल स और र यपर स रतनपर की 45

नमनट क ऄतर ल म चलती ह यदद नवपरीत ददश स अन व ली दो बस दकसी नवषष पल स

1015 बज पर तः गजरती ह तो ईसक ब द ईस पल स दो नवपरीत ददश की बस दकस समय

गजरगी

सकत 40 और 45 क ल स 360 नमनट

36060 = 6 घट

1015 + 600 = 1615

1615 - 1200 = 415 श म

हमन सीख

1 दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करती ह

2 दकसी सखय क गणज ईस सखय स पणमतय नवभ नजत होती ह

3 परतयक सखय सवय क गणज एव गणनखड होती ह

4 1 परतयक सखय क गणनखड होत ह जो दक न ऄभ जय ह न ही भ जय

5 कवल 2 ही सम ऄभ जय सखय ह

6 दो य दो स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक बड़ स बड़ ईभयननषठ गणनखड होत ह

7 लघतम सम पवतयम वह छोट स छोट ईभयननषठ गणज होत ह जो दी गइ सभी सखय ओ क गणज ह

8 दो सखय ओ क गणनफल ईनक महततम सम पवतमक तथ लघतम सम पवतयम क गणनफल क बर बर होत ह

9 2 क सभी गणज सम सखय एा कहल ती ह

10 सखय एा जो 2 क गणज नही ह व नवषम सखय एा कहल ती ह

11 दो सखय ओ क म स ईनक ल स क एक गणनखड होत ह

12 सखय ओ क महततम सम पवतमक सखय ओ स बड़ नही हो सकत ह

13 सखय ओ क लघतम सम वतयम सखय ओ स छोट नही हो सकत ह

14 ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखणड (1) होसह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 73

र ज न नपछली ककष ओ म नभनन सखय क ब र म पढ़ रख थ परनत वह आस ब त स परश न थ दक

नभनन सखय ओ की जररत ही कय ह

नचतर 1

तभी डॉली न अव ज लग इ lsquolsquoर ज रनशम और फरीद चलो हम सब रटफीन ख लrsquorsquo

रटफीन खोलन पर ईसम 10 पनड़य ा ननकली ऄब समसय यह अ गइ दक आन च रो क बीच 10

पनड़यो को बर बर-बर बर कस ब ाट ज ए

आसक ब ाटन क नलए डॉली न पहल सबको दो-दो पनड़य ब ाट दी ऄब शष बची दो पनड़यो को च रो

म ब ाटन थ ईसन दोनो पनड़यो को अध-अध नहसस म ब ाट कर च र टकड़ बन य और सभी क बीच ब ाट

ददए आस परक र सभी को दो और अधी पड़ी नमली र ज को ऐस लग दक यह अधी पड़ी ही 1 बट 2 क

बर बर ह ईसन ऄपन 1

2 पड़ी को दफर दो बर बर भ गो म ब ाटकर एक भ ग को ददख कर पछ - यह

नहसस दकतन ह

आस पर फरीद न ऄपन नहसस की अधी पड़ी को भी दो बर बर भ गो म ब ाटकर ऄपनी और र ज

की अधी पड़ी क च रो नहससो को एक स थ जम कर कह यह दखो परी पड़ी बन गइ चादक यह पड़ी च र

बर बर नहससो म ब ाटी हइ ह आसनलए परतयक टकड़ एक पड़ी क चौथ इ नहसस ह य 1 बट 4 ऄथव 1

4

ह दफर र ज न पछ lsquolsquoकय 2 टकड़ क बर बर होगrsquorsquo

P a g e | 74

रनशम न कह ह ा आसी परक र 3 टकड़ 3

4 क बर बर होग और च रो टकड़

4

4 ऄथ मत एक परी पड़ी क

बर बर होग और ऐस 5 टकड़ सव पड़ी ऄथ मत 1 1

4 होग

ऄब र ज सोचन लग जब पड़ी क सम न च र टकड़ो म स तीन टकड़ लन पर 3

4 पर पत होत ह तो

दकसी भी चीज़ क 3

5 पर पत करन क नलए ईस चीज़ क सम न 5 टकड़ो म स 3 टकड़ लन पड़ग

र ज तो कछ-कछ नभनन को समझन लग कय अपन समझ यह ज नन क नलए ऄपन अप को

परख नीच कछ अकनतय ा दी गइ ह आन अकनतयो क नीच नलखी गइ सखय क ऄनस र ईपयकत भ ग को

पनसल स छ य दकत कीनजए

1

2 भ ग

1

2 भ ग

1

2 भ ग

नचतर 2 नचतर 3 नचतर 4

1

3 भ ग

1

3 भ ग

2

6 भ ग

नचतर 5 नचतर 6 नचतर 7

1

4 भ ग

3

4 भ ग

12

16 भ ग

नचतर 8 नचतर 9 नचतर 10

P a g e | 75

1

2 भ ग

7

9 भ ग

3

4 भ ग

नचतर 11 नचतर 12 नचतर 13

3

6 भ ग

1

5 भ ग

2

10 भ ग

नचतर 14 नचतर 15 नचतर 16

आन म कौन-कौन स नभनन कल सथ न क सम न नहसस घर रह ह ईनह त नलक म भररए

नचतर िम क नभनन तमक म न पहल

नचतर क ऄनस र

नभनन तमक म न दसर

नचतर क ऄनस र

ननषकषम

नचतर 5 और 7

13 26 13 = 26

P a g e | 76

ईपरोकत सभी ईद हरणो म यह दख गय ह दक दकसी नभनन क ऄश और हर म यदद एक ही सखय

स गण दकय ज ए ऄथव एक ही सखय स नभनन क ऄश एव हर म भ ग ददय ज ए तो नभनन क म न नही

बदलत ऄथ मत दकसी नभनन को कइ परक र स वयकत दकय ज सकत ह नजनक ईद हरण नीच ददए गए हः-

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

2

3 =

4

6 =

6

9 =

8

12 =

10

15

आस परक र एक ही नभनन को कइ परक र स वयकत करन पर बन नभननो को समतलय नभनन कहत ह

दिय कल प 1

नभनन पर पत समतलय नभनन

2

3 स गण करन पर

3

3 स गण करन पर

4

4 स गण करन पर

5

5 स गण करन पर

6

6 स गण करन पर

2

3

2

3 times

2

2 =

4

14

2

7 times

3

3 =

6

21

2

7 times

4

4 =

8

28

2

7 times

5

5 =

10

35

2

7 times

6

6 =

12

42

3

8

4

5

5

9

4

6

दिय कल प 2

नीच कछ नभनन ददए गए ह ईनक ऄश ऄथव हर म ईनचत सखय नलखकर समतलय नभनन बन आए

(i) 3

5=

30 (ii)

4

7=

12 (iii)

7

9=

35 (iv)

34

51=

2

(v) 26

35=

5 (vi)

37

74=

2 (vii)

10

36=

5 (viii)

27

81=

3

(ix) 30

36=

6 (vi)

3

4=

21 (vii)

4

9=

54 (viii)

11

13=

55

P a g e | 77

उपर अपन समतलय नभनन बन न क कौनस तरीक ऄपन य

दिय कल प 2 (i) म हर क म न 5 ह आस ऐस नभनन म बदलन ह नजसक हर क म न 30 हो यह हम 5

को 6 स गण करन पर पर पत होत ह ऄतः तलय नभनन बन न क नलए ऄश को भी 6 स गण करन पड़ग

ऄथ मत 3

5 times

66 =

18

30

दिय कल प 3

नीच दो-दो नभनन क जोड़ ददए गय ह आन जोड़ो को ऐस तलय नभनन म बदनलए नजनक हर सम न

हो तलय नभनन को दी गइ त नलक म नलनखए

उपर अपन सभी नभनन यगमो को सम न हर व ल नभननो म बदल ह आनह सम न हर नभनन कहत ह

परनत ऄभय स िम क 8 9 10 11 म अपन यह भी प य होग दक यदद दोनो नभननो क हरो क लघतम

सम पवतयम ननक ल कर सम न हर बन य ज य तो नभनन ऄश और हर क सबस सरलतम रप म पर पत होग

P a g e | 78

ईद हरण 1 नभननो क िमण

उपर हम दखत ह दक 1

2 gt

1

3gt

1

4gt

1

5gt

1

6gt

1

7gt

1

8

ऄतः जब नभननो क ऄश सम न हो तो हर क बड़ होन पर नभनन क म न छोट हो ज त ह

ईद हरण 2 1

10 =

P a g e | 79

ऄभय स

ईपरोकत नचतर स यह सपषट होत ह दक

1

10lt

2

10lt

3

410lt

4

10lt

5

10lt

6

10lt

7

10lt

8

10lt

9

10lt

10

10

ददए गए सम न हर व ल नभननो म नजस नभनन क ऄश बड़ हो वह नभनन बड़ होत ह

ऄतः सम न हर नभननो म ऄश क बड़ य छोट होन पर नभनन बड़ य छोट होत ह

यदद हर सम न न हो तो बड़ य छोट नभनन पत करन क नलए सम न हर व ल तलय नभनन बन ए

ज त ह

जस 5

12 और

7

18 म कौन सी नभनन बड़ी ह

12 एव 18 क लघतम सम पवतयम 36 ह

5

12=

5times3

12times3=

15

36

तथ 7

18=

7times2

18times2=

14

36

सम न हर नभनन हए 15

36 और

14

36

ऄतः 15

36gt

14

36 य नी

7

12gt

7

18

नीच कछ नभनन सखय य दी गइ ह ईनह बढ़त हए िम म नलनखए

1 2

3

3

4

4

5 2

7

6

6

7

5

9

3 7

9

11

15

13

18 4

3

7

8

9

5

12 5

11

12

11

13

11

14

अपन नभननो को सम न हर नभननो म बदलकर ईनह बढ़त ऄथव घटत िम म नलखन सीख नलय ह

आसी परक र नभननो को सम न हर बन कर भी जोड़ एव घट य ज त ह

ईद हरण 3 हल कर 3

5+

7

9+

2

3

आन नभननो को जोड़न क नलए हम हर सम न करन होग त दक हम बर बर टकड़ जोड़ सम न हर

बन न क नलए सवमपरथम सभी हरो क लघततम ननक लत ह

3 593

531 लघतम सम पवतयम = 3times5times3 = 45

ऄब सभी नभननो को 45 हर व ली तलय नभनन सखय बन त ह

P a g e | 80

ऄतः सखय एा बनी 27

45

35

45+

30

45

ऄत 3

5 +

7

9+

2

3 =

27

45+

35

45+

30

45 [चदक सभी नभननो क हर सम न ह आसनलए ऄशो को जोड़न पर]

27+35+30

45=

92

45

ईद हरण 4 हल कर 1

3 +

3

5minus

8

12

3 5 और 12 क लघतम सम पवतयम

3 3512

154

ल स = 3 times5times4 = 60

1

3 +

3

5minus

8

12=

20

60+

36

60minus

40

60

20+36minus40

60=

16

60 =

4

15

(सरलतम रप अप ज नत ह दक नभनन क ऄश व हर म एक ही सखय क भ ग दन पर नभनन सखय

क म न म पररवतमन नही होत ह ऄतः यह ा 16

60 म ऄश व हर म 4 क भ ग दकर

4

15 पर पत दकय ह)

ऄभय स - हल कर

उपर परशनो को हल करत समय अपन यह प य ह दक कइ हल ऐस ह जह ा ऄश क म न हर स

P a g e | 81

ऄनधक ह ऐस नभननो को नवषम नभनन ऄथव ऄननचत नभनन कहत ह

जस - 13

9 म ऄश (13) gt हर (9)

ऄतः 13

9 एक ऄननचत नभनन ह आसी परक र

11

10 भी एक ऄननचत नभनन ह

13

9 को 1 +

49 य 1

49 क रप म भी नलख ज सकत ह आस नमशर नभनन कहत ह

जब नभनन क ऄश हर स छोट हो तो ईस ईनचत नभनन कहत ह

जस - 3

9

5

7

101

106 आतय दद

दिय कल प 4

नीच ददए गए नभननो स ईनचत तथ ऄननचत नभननो को पहच न कर ऄननचत नभननो को नमशर नभनन

क रप म नलनखए

नभनन सखय ओ क गण एव भ ग

दो नभननो क जब गण होत ह तब ऄश क ऄश क स थ एव हर क हर क स थ

गण हो ज त ह जस ऄगर हम अध क अध ननक लन हो तो वह 1

2times

1

2 ह आसी तरह

पौन क अध 3

4times

1

2 होग हम यह भी ज नत ह दक अध क अध एक प व होत ह

1

2

क दगन 1 होत ह ऄथ मत हर को हर स और ऄश को ऄश स गण करन पर ईततर पर पत होत ह

जस 3

8times

2

5 times=

3times2

8times5=

6

40=

3

20

अआए भ ग की सदिय को नीच ददए गय ईद हरणो स समझ -

6 divide 3 क मतलब यह हअ दक 6 म 3 दकतनी ब र अत ह ऄब यह सोच दक 1

2 म

1

4 दकतनी ब र

अत ह दोनो सव लो म ईततर 2 ही ह आसी परक र 3

2 म

1

2 तीन ब र अत ह

P a g e | 82

ऄभय स

3 divide 5 = 3

1 divide

5

1=

3

1times

1

5=

3

5

8 divide 9 = 8

1 divide

9

1=

8

1times

1

9=

8

9

आस परक र जब एक नभनन को दसर नभनन स भ ग ददय ज त ह तब भ जक की नभनन सखय ईलट दी

ज ती ह ऄथ मत भ जक क ऄश हर म और हर ऄश म चल ज त ह तथ भ ग क नचनह गण म बदल ज त

ह

ननमन नभननो को हल कर सरलतम रप म नलनखए -

(1) 1

3 divide

5

7 (2)

121

70 divide

11

35

(3) 27

8 divide

81

16 (4)

33

28 divide

11

4

आसी परक र कछ और सव ल बन आए और स नथयो स हल करव आए

सखय ओ क सथ नीय म न (Place Value)

ऄब तक अप सखय ओ स कइ तरह क खल खल चक ह जोड़न घट न गण

करन एव भ ग दन सीख चक ह आस दौर न अपन ऄको क सथ नीय म नो जस आक इ

दह इ सकड़ हज र आतय दद को भली-भ ानत समझ और परख ह अआए ऄको क सथ नीय

म न क ब र म अग कछ और चच म कर

ऄक 3 6 और 8 को िम बदलकर 3 ऄको की दकतनी सखय य बन सकत ह

(i) 368 (ii) 386 (iii) (iv) (v) (vi)

परतयक ब र अप ईनही ऄको (36 और 8) क ईपयोग कर रह ह परनत सखय ओ क म न नभनन-नभनन

कयोहो रह ह ऄपन स नथयो स चच म कर क रण नलनखए-

मरी न हमीद स कह - 368 म 8 क म न 8 ह

386 म 8 क म न 80 ह

836 म 8 क म न 800 ह

आस परक र एक ही ऄक म न ऄलग-ऄलग सथ नो पर ऄलग-ऄलग हो रह ह यदद हम अठ हज र

अठ सौ ऄठय सी (8888) नलख तो ऄक 8 क म न एक सथ न पर 8000 ह एक सथ न पर 800 ह

P a g e | 83

एक सथ न पर 80 ह तथ एक सथ न पर 8 ह

अआय दो सखय ओ 368 और 895 को जोड़ कर दख -

कय आस तरह योग दश मन सही ह

आक इ क ऄको को जोड़न पर 13 दह इ क ऄको को जोड़न पर 15सकड़ क ऄको को जोड़न पर 11 पर पत

हए आस योगफल को सथ नीय म न क अध र पर दख तो 11 सकड़ 15 दह इ 13 आक इ पर पत होत ह

ऄतः आस ननमननलनखत रपो म नलख ज सकत ह-

11 सकड़ + 15 दह इ + 13 आक इ परनत दकसी भी सथ न पर सबस बड़ ऄक 9 ही हो सकत ह कयोदक

10 होन पर ईस सथ न पर कवल 0 रह ज एग और 1 ऄगल सथ न पर जड़न क नलए चल ज एग उपर

ईद हरण म 8 और 5 जोड़न पर 13 आक इ होत ह 13 की सखय म 3 आक इ और 1 दह इ होन क क रण

3 को आक इ क सथ न पर तथ 1 दह इ सथ न पर 6 और 9 क स थ जोड़ ज त ह आस परक र सभी दह इ

क ऄको को जोड़न पर 6 + 9 + 1 = 16 दह इ अय 16 दह इ म 10 दह इ बर बर एक सकड़ होन क

क रण कवल 6 दह इ क सथ न पर नलख ज वग तथ 10 दह इ क 1 सकड़ को सकड़ क ऄको म जोड़

ज यग आसस 3 + 8 + 1 = 12 सकड़ बन ज एग आसी िम म नवच र करन पर 12 सकड़ म 10 सकड़

बर बर 1 हज़ र होत ह आसनलए ईस ऄलग कर सकड़ क सथ न पर कवल 2 लग आस परक र शष बच 10

सकड़ क म न 1 हज र होन क क रण हज़ र क सथ न पर 1 नलख ज यग आस परक र ईपरोकत परशन क

योगफल -

हज र सकड़ दह इ आक इ

1 2 6 3 = 1263

उपर ददए गए ईद हरण की तरह अप ननमननलनखत सखय ओ क योगफल जञ त कीनजए

(1) (2)

(3) (4)

ऄब यह सपषट हो गय दक 10 आक इ = 1 दह इ 10 दह इ = 1 सकड़

10 सकड़ = 1 हज र 10 एक हज र = एक दस हज र और दस दस हज र = 1 ल ख होत ह

P a g e | 84

आसी परक र यदद आसक ईलट चल तो -

आस परदिय म द एा स ब एा बढ़त समय िमशः 10 क गण होत ह आसक ईलटी ददश म चलन

पर िमशः 10-10 क भ ग होत चलत ह ऄब सोच दक आक इ म 10 क भ ग दन पर कय होत ह अप

को य द होग

1 divide 10 = 1

10= 01

आसी परक र आस िम को ज री रख ज ए तो -

ऄतः हम कह सकत ह दक -

नजस परक र द एा स ब एा ज त समय सथ नीय म न दस गण हो ज त ह ईसी परक र ब एा स द एा

अत समय सथ नीय म न 1

10 गण हो ज त ह य 10 व ा भ ग हो ज त ह

अआए आस ननमन ईद हरण स दख -

0325 क सथ नीय म न ननक ल -

य 03 + 002 + 0005 = 0325

P a g e | 85

आसी परक र 0628 = 06 + 002 + 0008

य 0628 = 6

10+

2

100+

8

1000

दिय कल प 5

नीच दी गयी स रणी म सथ नीय म न क ऄको को ईनचत सथ न स भररए

ककष 5वी म हमन लब इ क ब र म ऄधययन दकय ह नजसम हमन सीख हः-

10 नममी = 1 समी

1 नममी = 1

10 समी = 01 समी

100 समी = 1 मी

1 समी = 1

100 मी = 001 मी

1000 मी = 1 दकमी

1 मी = 1

1000 दकमी = 0001 दकमी

ईद हरण 5

रमश एक शहर स दसर शहर की 1505 दकमी की दरी टरन स 657 दकमी बस स तथ शष 900

मी की दरी पदल ही तय करत ह बत आए रमश न कल दकतनी दरी तय की

हलः-

रमश दव र तय की गइ दरीः-

टरन दव र 1505 दकमी

बस दव र 657 दकमी

पदल 900 मी

P a g e | 86

ऄभय स

हम ज नत ह दक

1 मी = 1

1000 दकमी

900 मी = 1

1000 times 900 = 09 दकमी

ऄतः

1505 दकमी

657 दकमी

+ 09 दकमी

= 2171 दकमी

ऄतः रमश न कल 2171 दकमी की दरी तय की

अप ज नत ह

1 रपय =100 पस

1 पस = 1

100 रपय = 001 रपय

ईद हरण 6 यदद 6 पनो की कीमत 72 र ह तो 1 पन की कीमत बत आए

हलः-

जबदक 6 पन की कीमत 71 र ह

तब 1 पन की कीमत = 72

6 र

= 12 रपय

ऄतः 1 पन की कीमत 12 रपय होगी

ईद हरण 7

दकसी ददन दोपहर क समय एक शहर क त पम न 360 सटीगरड थ और र त को दस बज 2850

सटीगरड हो गय बत आए त पम न म दकतनी नगर वट अइ

हलः-

दोपहर क समय त पम न = 360deg सटीगरड

र त क समय त पम न = 285deg सटीगरड

त पम न म नगर वट = 360deg - 285deg

= 75deg सटीगरड

1 एक मीटर कपड़ की कीमत 2475 र ह तो 28 मी कपड़ की कीमत बत आए

2 ऄनज दक नद र स एक पसतक 14360 र म खरीदत ह और वह दक नद र को 500 र दत ह

बत आए दक नद र न ऄनज को दकतन रपय लौट य

3 ऄकषत ऄपन ग ाव ज न क नलय 26 दकमी क र स ज त ह 105 दकमी 500 मी बस स ज त ह

P a g e | 87

और बची हइ दरी 1 दकमी 250 मी को पदल चलकर तय करत ह बत आए वह कल दकतनी दरी

तय करत ह

4 दो शहरो क त पम न िमशः 2050ह सटीगरड और 24ह सटीगरड ह बत आए दोनो शहरो क

त पम न म दकतन ऄतर ह

परशन वली 7

1 नीच ददए गए कथनो म सतय कथनो क अग सतय एव ऄसतय कथनो क अग ऄसतय नलनखए ऄसतय

कथनो को सध र कर नलख

(i) 13

16 और

78

119 तलय नभनन ह

(ii) 33

17 एक ईनचत नभनन ह

(iii) 15

22 और

60

88 तलय नभनन ह

(iv) 23

103 एक ऄननचत नभनन ह

(v) 13

3 को नभनन क रप म 4

1

3 भी नलख ज सकत ह

(vi) 3

2lt

2

3

(vii) -1 lt 01

(viii) 2 x 3 = 6

(ix) 135

1000= 0135 होत ह

(x) 056 x1000 = 56 होत ह

2 ननमन नभननो को घटत िम म नलनखए

(i) 5

6

7

8

8

9 (ii)

1

2

3

4

1

6

7

6

8

12

ननमन सखय ओ को घटत िम म नलनखए

(iii) 0008 08 008 8 8 (iv) 01 0099 00992 0012

3 ननमन नभननो को बढ़त िम म नलनखए

(i) 5

6

9

24

3

2

1

3

5

8 (ii)

1

2

1

4

1

6

1

8

2

15

4 ननमन क म न पर पत कीनजए -

(i) 1

3+

5

8+

3

5+

7

4+

13

6 (ii) 9 - 9 - 09 - 009 - 0009

(iii) 3

4times

7

5times

4

3 divide

28

15 (iv)

13

27times

3

26 divide

1

18

P a g e | 88

(v) 17

6+

19

4+

5

2+

4

3 (vi)

6

7+

13

14minus

9

21

5 ररकत सथ नो को भररए -

(i) 4

5+

helliphellip

30 (ii)

7

5+

helliphellip

55

(iii) 6

7+

helliphellip

42 (iv)

4

9+

helliphellip

18

6 ननमन म स ईनचत व नवषम नभनन को छ ारटए -

17

4

4

5

8

9

16

13

15

16

6

5

3

7

8

5

7 ननमननलनखत क सथ नीय म न जञ त कीनजए

(i) 84323 (ii) 14876 (iii) 87640314

हमन सीख

1 दकसी भी नभनन को ऄनक समतलय नभननो म बदल ज सकत ह आसक नलए नभनन क ऄश व हर को

सम न सखय स गण य भ ग दकय ज त ह

2 नभननो की तलन

(i) यदद नभननो क ऄश बर बर हो तो छोटी हर व ली नभनन बड़ी नभनन होगी

(ii) यदद नभननो क हर बर बर हो तो बड़ ऄश व ली नभनन बड़ी होगी

(iii) नभननो की तलन हर क लघततम सम पवततमक लकर सभी नभननो को सम न हर

नभनन बन कर दकय ज सकत ह

3 नजन नभननो क हर ऄश स छोट हो ईनह नवषम य ऄननचत नभनन कहत ह

4 नजन नभननो क हर ऄश स बड़ हो ईनह ईनचत नभनन कहत ह

5 जब दो नभननो क गण करत ह तब ऄश क ऄश स एव हर क हर स गण हो ज त ह

6 नभनन स भ ग दन म भ जक नभनन सखय ईलट ज ती ह एव भ ग की जगह गणन नचहन लग ज त

ह

P a g e | 89

जबअपदरव ज खोलतऄथव बनदकरतहतोदरव ज ऄलगऄलगनसथनतयोमदीव रकस थऄलग

ऄलगकोणबन त हयददशरीरकोएकसीधीरख म नलऔरह थकोदसरीसीधीरख तोह थकोजस

जसघम तहशरीरकस थह थऄलगऄलगकोणबन त ह

दननकजीवनमऔरकइसथ नोपरभीअपनकोणोकोबनतहएदख हजसघड़ीकीदोसइयोक

बीचबन कोणकचीकीदोभज ओकबीचबन कोणआतय दद

औरकह ाकह ाअपनकोणोकोबनतदख हऄपनीकॉपीमनलनखए

अआएकछईद हरणोकोदखनजनमकोणबनरहह

घड़ी क सभी नचतरो म बड़ी सइ 12 पर ह तथ छोटी सइ की नसथनत ऄलग-ऄलग ह नचतर 1 म दोनो

सइयो क बीच क झक व य घम व कम ह नचतर 2 3 एव 4 म दोनो सइयो क बीच झक वघम व बढ़त

ज त ह आसी परक र कची क ईपयोग करत समय ईसकी दोनो भज ओ क बीच झक व य घम व बदलत

रहत ह नडव आडर की दोनो भज ओ क बीच भी ईपयोग क ऄनस र घम व बदलत ह भोजन करत समय

अपन ऄनभव दकय होग दक कोहनी पर बदलत घम व य झक व क क रण ही ख न थ ली स मह तक

पहचत ह

rsquorsquoदकसी नबनद पर दो भज ओ क बीच बनन व ल ऐस ही घम व य झक व को कोण कहत हlsquolsquo

P a g e | 90

आसी परक र जब दो रख एा ऄथव दकरण एक दसर को क टती ह ऄथव नमलती ह तो ईन रख ओ क

बीच क घम व ऄथव झक व को कोण कहत ह

नीच ददए गए नचतरो म दकस नचतर म कोण बन रह ह और दकस नचतर म कोण नही बन रह ह

ईपरोकत नचतरो म अपन दख दक नचतर 5 म कोण बन रह ह परत नचतर 8 म कोण नही बन रह ह

कयोदक दो भज ओ म स एक सीधी रख नही ह ऄथ मत दो सरल रख ओ ऄथव रख खणडो स ही कोण बन

सकत ह

नशकषक व ऄपन स नथयो क स थ ऄपन असप स क व त वरण व वसतओ म बनन व ल कोणो क

ब र म चच म कर ऄपन अस प स बनन व ल कोणो की सची को और बड़ बन एा

दिय कल प 1

नजस परक र नहनदी क ऄकषर lsquoतरrsquo म तथ ऄगरजी क ऄकषर A म नीच ददख ए ऄनस र कोण बन रह ह

ईसी परक र नहनदी और ऄगरजी क ऄकषरो को नलखकर ईनम बनन व ल कोणो को नचहन दकत कीनजए दकन

ऄकषरो म कोइ भी कोण नही बनत

P a g e | 91

दिय कल प 2

ईपरोकत नचतरो को दख और बत आए दक परतयक म दकतन कोण ह

नचतर कोणो की सखय

(15)

(16)

(17)

ऄब अप कोणो को पहच नन लग ह तथ कोण दकस तरह बनत ह यह भी ज नन लग ह कय अप

बत सकत ह दक एक कोण बनन क नलए कय -कय जररी ह

परतयक कोण म दो भज एा होती ह य दोनो दकसी नबनद पर नमलती ह नजस नबनद पर नमलती ह ईस

कोण क शीषम कहत ह

जस नचतर 18 म कोण AOB को दख OA और OB भज एा ह जो

कोण क शीषा O पर नमलती ह आसम OA की ददश स OB की ददश

ज न म दकतन घम व हअ ह यह कोण AOB बत त ह

कोण को सकत को स दश मत ह

कोणो को ईनक न म स पढ़न

P a g e | 92

नचतर 19 म कोण को PQR य RQP क न म स पढ़त ह य नलखत ह नचतर 20 म कोण को

XYZ य ZYX क न म स पढ़त ह

य द रख- नजस नबनद पर कोण बनत ह ईस शीषम कहत ह शीषम क सथ न नलखत य बोलत समय

हमश बीच म होत ह

आसी परक र नचतर 21 म कोण को ऄ ब स य स ब ऄ पढ़त य नलखत ह

दिय कल प 3

ननमन नचतरो म बन कोणो क न म ददय गय सथ न पर दोनो परक र स नलनखए-

नचतर िम क कोणो क न म

जस- 22 AOB य BOA

23

24

25

26

27

28

P a g e | 93

कोण की म प

दिय कल प 4

दो झ ड़ की सीक य ब ास की कमची लीनजए ईनक एक-एक नसर

को नमल कर ईस पर एक नपन नचतर नस र लग दीनजए अपक कोण बन न

व ल यतर ऄब तय र ह ऄब अप एक सीक को नसथर रखकर दसर सीक को

घम न पर अपको ऄलग-ऄलग म न क कोण नमलग अआए आसकी कछ

नसथनतयो पर नवच र कर -

OB को नसथर रखकर OA को घम त ह जस-जस घम व बढ़त ह तो कोण क म न भी

बढ़त ह य AOB lt AOB lt AOB

कोण बन न व ल यतर स ऄब अप सबस बड़ व सबस छोट कोण बन कर ऄपन ऄधय पक को

बत ए

नीच ददए गए कोणो म स बड़ कोण बत आए

P a g e | 94

कय LMN gt OPQ ह क रण बत आए

ऐसी नसथनत जब दो कोणो को दखकर छोट य बड़ नही बत य ज सक तब हम ऐस कोणो क

म प को च ाद स न प कर पत लग एाग

अप ऄपन च ाद को दख आसक घम वद र सतह पर सम न दरी पर ननश न लग ह आनह नगनकर

पत लग ए दक आस पर कल दकतन ननश न बन ह ऄलग-ऄलग म न क ऄशो को पहच न तथ ईसकी

नसथनत दख

अआए ऄब दकसी एक नननित म प क कोण बन त ह अपन ककष -5 म कोण तो बन य ही होग

कोण बन न क नलए सकल और च ाद की अवशयकत पड़ती ह ऄपन कमप स ब कस म रख च ाद को दनखए

और आसक दकन र तथ आनम बन कल खणडो क ब र म ऄपन कॉपी पर नलनखए

नजस परक र लमब इ न पन क नलए मीटर समी आतय दद आक आयो क ईपयोग दकय ज त ह ईसी

परक र दो रख ओ क बीच कोण को म पन क नलए नजस आक इ क ईपयोग दकय ज त ह ईस lsquolsquoऄशrsquorsquo(0)

कहत ह

जस- 45 ऄश = 45deg

225 ऄश = 225deg

दिय कल प 5

अआय ऄशो क ब र म ज नन क परय स कर ऄपन कॉपी क कोर पनन पर सकल की सह यत स एक

लमबी रख खीनचए तथ आस रख क बीचो बीच च ाद की अध र रख को रनखए च ाद क ब हरी सीम पर

पननसल की सह यत स 0 स 180deg (ऄश) तक नचतर नस र रख खीनचए (नचतर 36)

P a g e | 95

नचतर 37 की तरह च ाद हट न पर वह ा एक ऄधमवतत क अक र बनत ह ऄब च ाद को पवम अध र

रख पर आस परक र रख दक घम वद र छोर नीच की ओर ठीक नवपरीत ददश म रह (नचतर 38) ऄब च ाद क

घम वद र सीम म 0 स 180deg तक पनसल पव मनस र घम एा च ाद हट न पर अपको एक वतत क र रचन

नमलगी (नचतर 39)

आस नचतर क अध र पर ननमन परशनो क ईततर दीनजए

1 एक ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 37) = 180deg

2 दसर ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 38) =

3 दोनो ऄदधमवततो दव र सयकत रप स कनर पर कल बन कोण =

अप प त ह दक पहल 180deg और ब द म 180deg क कोण बन आस परक र 360deg क कोण एक नबनद

पर बनत ह यह नबनद आस परक र बनन व ल वतत क कनर नबनद भी ह

वतत क र क गज़ क टकड़ को क टकर बीच स ऐस मोनड़ए नजसस वतत दो बर बर भ गो म बाट ज ए

अप प एग दक O स होकर एक सरल रख पर पत होती ह नजस पर 180deg क कोण बन ह आस कोण को

सरल कोण भी कहत ह

आसी परक र एक वतत क कनर पर दकतन सरल कोण बन सकत ह

अपन वतत क र क गज़ को दो भ गो म मोड़कर सरल कोण पर पत दकय ह ऄब ईस पनः दो भ गो म

आस परक र मोड़ दक वतत च र बर बर भ गो म बाट ज ए (नीच नचतर नस र)

P a g e | 96

ऄब वतत नबनद O पर च र सम न भ गो म बट गय ह अप बत ए दक नबनद O पर बन च रो कोणो

क म प ऄलग-ऄलग दकतन ऄश क ह

ऄभय स 1

अप ऄपनी कॉपी म नवनभनन न प क 5-5 कोण बन आय ईनह न नपय एव ऄपन स नथयो व ऄधय पक

स ज ाच कर आए

च ाद की सह यत स कोण बन न क नलए सवमपरथम एक सरल रख AB खीचत ह आस सरल रख

क नजस नबनद O पर कोण बन न ह वह च ाद क मधय नबनद को आस परक र रखग दक च ाद क अध र पर

बनी सरल रख और कॉपी पर बनी सरल रख एक सीध म रह ऄब च ाद क 0deg स उपर नलख गए ऄक को

पढ़त चल नजस म प क कोण बन न ह वह ा एक नबनद लग ए म न लीनजए अपको 60deg क कोण बन न

ह तब च ाद क शनय स 60deg तक उपर बढ़ और एक नबनद च लग ए च ाद हट कर आस नबनद को सरल रख

क नबनद स नमल ए ऄब POB = 60deg क बन गय ह

P a g e | 97

दिय कल प 6

अपको कछ रख एा दी गइ ह परतयक रख म ददए हए नबनद पर अप ददए हए म प क (नचतर 44 की

तरह) कोण बन आए

ईपरोकत नचतरो म अपन दकन नबनदओ पर कोण बन य तथ कोणो को दकस ओर स शनय स न पन

शर दकय

एक ब त कय अप ज नत ह दक वयनकत क वय य म क समय स वध न की मर म दोनो एनड़यो क बीच 30deg

क कोण बनन च नहए ऐसी और भी ब त पत कररए

P a g e | 98

दिय कल प 7

नचतर म कोणो क म प तथ भज ओ की लमब इ न पकर दी गइ स रणी म नलनखए तथ नीच नलख

परशनो क ईततर दीनजए

(1) कय COD gt AOF EOFgt COD यदद नही तो कयो नही

(2) कय कोणो क म प भज ओ की लमब इ पर ननभमर ह

(3) दो भज ओ क बीच बन कोणो क ऄनधक य कम होन दकस ब त पर ननभमर करत ह

दिय कल प 8

नचतर 52 म कोण Xdeg व Ydeg क म न च ाद की सह यत स म नपय कय Xdeg = Ydeg ह ऄपनी कॉपी

म नलनखए

P a g e | 99

दिय कल पो स सपषट होत ह दक कोणो क म प कोण बन न व ली भज ओ की लमब इ (च प) पर

ननभमर नही करत कयोदक कोण सरल रख ओ ऄथव दकरणो स नमलकर बन हो सकत ह नजनक नवसत र

ऄसीनमत होत ह दोनो रख एा ऄसखय नबनदओ स नमलकर बनी होती ह ऄतः दो सरल रख ओ क बीच

दकनही दो नबनदओ की दरी कोण की म प नही ह

परशन वली 81

1 कोणो क न म नलनखए -

2 च ाद की सह यत स कोण म प कर नलनखए तथ ऄपन स थी स ईततर क नमल न कररए-

P a g e | 100

3 च ाद की सह यत स ननमन कोण बन ए -

(i) 45deg (ii) 75deg (iii) 90deg (iv) 120deg (v) 155deg

(vi) 210deg

4 6 बज घड़ी की दोनो सइयो (घट एव नमनट) क बीच दकतन कोण बनग

कोणो क परक र

कय अप बत सकत ह दक घड़ी म जब ठीक 12 बज रह हो तो घट और नमनट सइ क बीच दकतन

ऄश क कोण बनत ह

कोण क म प

कय अप बत सकत ह दक 12 घट म दकतनी ब र घड़ी की बड़ी सइ (नमनट) छोटी सइ (घट ) को

ढक लगी

कय अप बत सकत ह जब एक सइ दसरी सइ को ढक लगी तब ईनक बीच झक व दकतन ऄश क

होग

आसी परक र जब एक रख दसरी रख को ढक ल तो ईनक बीच शनय ऄश क कोण बनत ह

ऄब घड़ी म 2 बज कर 45 नमनट की नसथनत को दनखए तथ बत आए दक दोनो सइयो क बीच दकतन ऄश क

कोण बनग

नचतर 54 म AOB = 0deg ऄथ मत OA रख खणड क ठीक उपर OB रख खणड ह नजसस ईनक बीच

क झक व शनय ऄश क ह नचतर 55 म BAO क म न कय होग

P a g e | 101

1 शनय कोण वह कोण नजसक म प 0deg हो शनय कोण कहल त ह

परनत नचतर 55 म OA और OB दोनो रख खणड नवपरीत ददश म ह और नमलकर एक बड़

रख खणड बन रह ह ऐसी नसथनत म AOB = 180deg आस सरल कोण क न म स ज नत ह

(2) सरल कोण वह कोण नजसक म प 180deg हो सरल कोण कहल त ह

(3) नयनकोण वह कोण जो 0deg स बड़ तथ 90deg स छोट हो नयनकोण कहल त ह

(4) समकोण वह कोण नजसकी म प 90deg हो समकोण कहल त ह समकोण म एक भज दसरी भज

पर लमब होती ह

P a g e | 102

(5) ऄनधक कोण एक कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक परनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण कहल त

ह

(6) परनतवती कोण (वहत कोण) वह कोण नजसक म प समकोण 180deg स ऄनधक तथ 360deg स कम

हो परनतवती कोण कहल त ह

(7) समपणम कोण यदद कोइ दकरण ऄपन पर रनमभक नबनद क च रो ओर एक पर चककर लग न क ब द

ऄपन पर रनमभक नसथनत स समप ती हो ज ए तो आस परक र बन कोण समपणम कोण कहल त ह यह

कोण 360deg क होत ह

दिय कल प 9

ननमन कोणो को न पकर दख और ईनक परक रो को ददए गए ब कस म नलख

P a g e | 103

P a g e | 104

परशन वली 82

परशन 1 सतय कथन को छ ारटए ऄसतय को सध र कर नलनखए

(i) सरल कोण 180deg क होत ह

(ii) ऄनधक कोण 180deg स ऄनधक क होत ह

(iii) नयनकोण 90deg क कम क होत ह

(iv) तीन बज घड़ी की घट एव नमनट दोनो सइयो क मधय समकोण बनग

(v) 2

3 समकोण बर बर 60deg क कोण होत ह

(vi) कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक दकनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण ह

(vii) च ाद म कल 180deg क कोणो को दश मय ज त ह

परशन 2 नीच ददए कोणो म स नयनकोण समकोण ऄनधक कोण सरल कोण छ ारटए -

(i) 120deg (ii) 30deg (iii) 90deg

(iv) 180deg (v) 70deg (vi) 105deg

(vii)) 72deg (viii) 36deg (ix) 15deg

(X) 75deg

परशन 3 ननमन कोण-यगमो की तलन कोणो को म प कर कीनजए -

P a g e | 105

हमन सीख

1 दो भज ओ क बीच फल व य झक व को कोण क म प कहत ह

2 दकसी कोण को म पन की आक इ ऄश य नडगरी ह आस दकसी सखय क उपर षहष स दश मय ज त

ह जस - 30deg 45deg 90deg 180deg 360deg

3 एक कोण नजसक म न

0deg हो शनय कोण कहल त ह

0deg और 90deg क बीच हो नयनकोण कहल त ह

90deg क बर बर हो समकोण कहल त ह

90deg और 180deg क बीच हो ऄनधक कोण कहल त ह

180deg हो तो वह सरल कोण कहल त ह

180deg और 360deg क बीच हो परनतवती कोण कहल त ह

360deg हो तो वह समपणम कोण कहल त ह

P a g e | 106

अपन पज सथल पर लगी पत क सवततरत ददवस एव गणततर ददवस म श ल को सज न क नलय

ईपयोग दकय गय तोरण तथ पर ठ जसी ऄनक रचन एा दखी ह आनही स नमलती जलती कछ और

अकनतयो को दख-

1 कमप स ब कस म रख सट सव यर (नचतर 1)

2 क पी क पनन क मड़ हअ भ ग (नचतर 2)

3 नचतर 3 म ददय गय तीनो नबनदओ को रख खणडो दव र नमल न पर बनी अकनत

आन अकनतयो म कय सम नत ह

कय अपन अस-प स आस तरह की और अकनतय ा दखी ह कह ा-कह ा दखी ह नलनखए ऐसी

अकनतय ा नीच ददख ए गए नचतरो म भी ढादढ़एः-

P a g e | 107

अपन आन अकनतयो को दकस अध र पर छ ाट ह

छ ाटी गइ सभी अकनतयो म यह सम नत ह दक आनम तीन भज एा और तीन शीषम ह आसनलय आनह

नतरभज कहत ह

नीच नचतर 17 स 23 तक सभी अकनतय ा तीन भज ओ स बनी हइ ह परनत ईनम स सभी नतरभज

नही ह नतरभज नही होन क क रण पर नवच र कीनजए

P a g e | 108

अपन रख खणड क प ठ म बनद और खली अकनत क ब र म पढ़ ह उपर ददए गय नचतरो म भी

नचतर 18 और 20 बनद अकनतय ा ह ब की सभी खली अकनतय ा ह जो बनद ह ईनम तीन रख खणडो स

तीन कोण भी बन रह ह खली अकनतयो म तीन भज एा तो ह परनत यह तीन भज एा तीन कोण नही बन

रही ह आसनलय तीन रख खणडो स बनी सभी अकनतय ा नतरभज नही ह तीन रख खणडो स बनी बनद

अकनत ही नतरभज ह

दिय कल प 1

नीच परतयक नचतर म तीन-तीन नबनद ददए गए ह कय आन तीन नबनदओ को रख खणड दव र नमल कर अप

नतरभज बन सकत ह

P a g e | 109

ददए गए नचतरो म अपन दख दक जह ा तीनो नबनद एक सरल रख म ह ईनह तीन रख खणडो दव र

नही जोड़ ज सकत ऄतः व नतरभज नही बन रह ह ऄथ मत lsquolsquoतीन ऐस नबनद जो एक सरल रख म न हो

ईनह रख खणडो दव र नमल न पर जो बनद अकनत बनती ह वही नतरभज हrsquorsquo

नतरभज क भ ग

नतरभज ABC म A B और C शीषम ह तथ AB BC और CA भज एा ह ABC BCA और

CAB तीन कोण ह

दिय कल प 2

उपर नचतर म परतयक शीषम पर दो भज एा नमल रही ह और एक कोण बन रह ह नीच ददय गए

नतरभजो म शीषम भज एव कोणो क न म नलनखए -

P a g e | 110

नतरभज क ऄनतःकोण

दकसी नतरभज की तीन भज ओ दव र नघर हए कषतर म जो कोण बनत ह व सभी ऄनतःकोण कहल त

ह नचतर ि 33 34 35 एव 36 म अपन नजतन कोणो क न म नलख ह व सभी ऄनतःकोण ह

दिय कल प 3

ननमन नतरभजो नचतर ि 37 38 39 40 म ऄनतःकोणो को च ाद की सह यत स न पकर ईनक म प

त नलक म भररए तथ ईनक योगफल जञ त कीनजएः-

ईपरोकत त नलक स यह पर पत हो रह ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो क योगफल लगभग 180deg

ह

P a g e | 111

नतरभज क तीनो ऄनतःकोणो क योग 180deg क बर बर होत ह आस नसदध करन क तरीक हम

ऄगली ककष ओ म दखग

दकसी नतरभज म ददय गय दो कोणो क अध र पर तीसर कोणो क म न जञ त कीनजए -

नतरभज क बनहषकोण

तीनो भज ओ स नघर कषतर क ब हर नतरभज की दकसी एक भज को दकसी एक ददश म अग बढ़ न

पर बन कोण बनहषकोण कहल त ह

ईपरोकत नचतरो म परतयक नतरभज की एक भज को D तक बढ़ य गय ह नजसस िमशः ACD

CAD और ABD पर पत होत ह य सभी बनहषकोण ह परतयक बनहषकोण एक ऄतःकोण स जड़ हअ ह

नजस बनहषकोण क समपरक कोण भी कह सकत ह बनहषकोण स जड़ यही ऄतःकोण बनहषकोण क

lsquolsquoननकटसथ ऄतःकोणlsquolsquo कहल त ह जसः-

P a g e | 112

बनहषकोण स जड़ ऄतःकोण ननकटसथ ऄतःकोण कहल त ह और नतरभज क बच हए दो ऄतःकोण दरसथ

ऄतःकोण कहल त ह नचतर 41 म BAC और CBA नचतर 42 म ABC और BCA तथ नचतर 43

म BCA एव CAB दरसथ ऄतःकोण ह

ननमन नचतरो म बनहषकोण एव बनहषकोण क ननकटसथ ऄतःकोणो को छ ारटय यदद दकसी नचतर म

बनहषकोण नही बन रह ह तो कयो

नचतर 45 और 46 म बनहषकोण नही बन रह ह कयोदक QRS और UVW सरल रख एा नही ह

दिय कल प 4

अप ननमन अकनतयो म नतरभज क ननकटसथ ऄतःकोण दरसथ ऄतःकोण एव बनहषकोणो को छ ाटकर

दी गइ त नलक म भररएः-

P a g e | 113

दकसी नतरभज क बनहषकोण तथ ननकटसथ एव दरसथ ऄतःकोणो को अपन पहच न नलय ह अआए

आनही कोणो स समबननधत एक और दिय कल प कर-

दिय कल प 5

ननमन नतरभजो म X Y तथ क म न जञ त कीनजए तथ नीच दी गइ त नलक को पणम

कीनजएः-

P a g e | 114

X तथ Y + Z म कय सबध ह

ईपरोकत त नलक स यह सपषट ह दक नतरभज क दकसी एक बनहषकोण क म न ईसक दरसथ ऄतःकोणो

क म प क योग क बर बर होत ह

नतरभज क वगीकरण

अपन ऄभी तक नवनभनन अकनत क नतरभजो को दख ह भज ओ एव कोणो क अध र पर नतरभज को

ननमन नस र वगीकत दकय ज सकत हः

1 भज ओ क म पो क अध र पर नतरभज क वगीकरणः

(ऄ) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा ऄसम न म प की हो नवषमब ह नतरभज कहल त ह

(ब) वह नतरभज नजस की कोइ भी दो भज एा बर बर म प की हो तथ तीसरी भज ऄलग म प

की हो समनदवब ह नतरभज कहल त ह

(स) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा बर बर म प की हो समब ह नतरभज कहल त ह

ननमननलनखत त नलक म नतरभज की भज ओ क म प ददए गए ह म प क अध र पर नतरभजो क

वगीकरण कीनजए -

ऄभय स

P a g e | 115

दिय कल प 6

ननमन नचतरो म भज ओ को म पकर नतरभजो क वगीकरण कीनजएः-

2 कोणो क अध र पर वगीकरण

(ऄ) नयनकोण नतरभज - नजसक परतयक कोण नयनकोण होत ह

(ब) समकोण नतरभज - नजसक एक कोण समकोण होत ह

(स) ऄनधक कोण नतरभज - नजसक एक कोण ऄनधक कोण होत ह

दिय कल प 7

ददय गए कोणो क म प क अध र पर नतरभजो क वगीकरण कर नीच दी गइ त नलक म नलनखएः

P a g e | 116

दिय कल प 8

ननमननलनखत नचतरो म नतरभज क कोणो को म प कर नतरभज क वगीकरण कोणो क अध र पर

कीनजए एव ररकत सथ नो म नतरभज क परक र नलनखएः-

नवनभनन नतरभज बन कर ईनक कोण व भज एा म प व ईनको ईनक परक र क ऄनस र छ ाट

P a g e | 117

3 कोण एव भज ओ क अध र पर वगीकरण

दिय कल प 9

ननमन नचतरो म अप भज ओ एव कोणो को ऄलग-ऄलग म प कर त नलक म नलख भज एव कोणो

क अध र पर ननमन नतरभजो क वगीकरण कीनजए-

आन पररण मो स ननमननलनखत ननषकषम ननकलत ह-

(1) नवषमब ह नतरभज म तीनो भज ओ क म प ऄलग-ऄलग ह तथ तीनो कोणो क म प भी ऄलग-

ऄलग ह

(2) समनदवब ह नतरभज म दो भज एा और दो कोण बर बर ह

(3) समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर ह

P a g e | 118

दिय कल प 10

नननित म प की सीक लकर नीच ददय गय म पो क अध र पर नतरभज बन ए

8 समी 10 समी एव 12 समी लमबी भज एा

पहल हम 8 समी 10 समी एव 12 समी म प की तीन सीक लत ह तथ सीको क नसर स नसर को

सट कर ननमन परक र स नतरभज बन न क परय स करत ह

अप दख रह ह दक ददय गय म पो स नतरभज बन न सभव ह

उपर समझ ए गए तरीक स ननमन म पो क नतरभज बन आए तथ यह दनखए दक कय सभी नसथनतयो

म नतरभज बन प रह ह यदद नही तो क रण पत लग ए

1 8 समी 10 समी और 12 समी

2 5 समी 9 समी और 3 समी

3 6 समी 8 समी और 9 समी

4 5 समी 7 समी और 12 समी

5 15 समी 5 समी और 12 समी

आनस पर पत ननषकषो क नमल न कर

1 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बनग

2 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स कम हो य बर बर हो तो नतरभज नही बनग

जस ईद हरण 2 और 4 की नसथनत

ईद 2 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 3 समी तर 8 समी सबस बड़ी भज की म प 9

समी स कम होन क क रण नतरभज नही बनत ह

ईद 4 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 7 समी = 12 समी नतरभज की तीसरी भज

की म प 12 समी क बर बर होन क क रण नतरभज नही बनत

P a g e | 119

ऐस नवनभनन म पो क नतरभज बन कर छ तर सवय ज च और ऄपन नमतरो स भी बनव ए

परशन वली 91

पर1 जली न ननमननलनखत कथन नलख आनम स अप सतय एव ऄसतय कथन छ ाट कर

नलनखए ऄसतय कथनो को सध र कर नलनखए

(i) दकसी नतरभज म एक भज शष दो भज ओ क योग स छोटी नही हो सकती

(ii) दकसी नतरभज म तीन भज एा तीन शीषम व तीन ऄतःकोण होत ह

(iii) दकसी नतरभज की एक भज शष दो भज ओ क योग क बर बर होती ह

(iv) दकसी नतरभज क एक कोण ऄनधक कोण होत ह तो नतरभज को ऄनधक कोण

नतरभज कहत ह

(v) दकसी नतरभज म दो कोण 90deg क हो सकत ह

(vi) नयन कोण नतरभज म तीनो कोणो क म प नयनकोण होन जररी नही ह

(vii) नतरभज क दो कोण क म प ददय हो तो तीसर कोण ननक ल ज सकत ह

(viii) समब ह नतरभज म तीनो भज एा बर बर होती ह परनत तीन कोण बर बर नही होत

(ix) समनदवब ह नतरभज म बर बर भज ओ क स मन क कोण बर बर होत ह

(x) समब ह नतरभज सदव नयनकोण नतरभज होत ह

पर2 नतरभज क दो कोण 65deg एव 75deg क ह तो तीसर कोण जञ त कीनजए

पर3 समकोण नतरभज क एक कोण 45deg ह तो दसर कोण क म न जञ त कीनजए

पर4 समब ह नतरभज म परतयक कोण क म प दकतन होत ह

पर5 यदद दकसी नतरभज क एक कोण क म प ऄनय दो कोणो क म पो क योग क बर बर हो तो

कय वह नतरभज समकोण नतरभज होग

पर6 कय ननमननलनखत नसथनतयो म नतरभज की रचन की ज सकती ह - ह य नही म ईततर

दीनजए

(i) यदद दो कोण समकोण हो

(ii) यदद दो कोण ऄनधक कोण हो

(iii) सभी तीनो कोण 60deg क बर बर हो

(iv) सभी कोण 60deg स ऄनधक हो

(v) तीनो कोण नयनकोण हो

(vi) सभी कोण 60deg स कम हो

P a g e | 120

चतभमज

यदद अप च र सीको को ईनक नसरो स अपस म जोड़ कर रख तो कइ परक र की

अकनतय ा बन सकती ह आनम स कछ अकनतय ा ननमन नस र हो सकती हः-

नचतर िम क 71 स 74 तक बनी सभी अकनतय ा खली हइ ह परनत नचतर िम क 75 म बनी अकनत च रो

ओर स नघरी एक बद अकनत ह ऐसी अकनत को चतभमज कह ज त ह आसम च र भज एा होती ह पतग

कबिी क मद न पसतक कॉपी आतय दद चतभमज क ईद हरण ह

rdquoच र भज ओ स नघरी हइ बद अकनत को चतभमज कहत हldquo

चतभमज क ऄग

ननमन दकत नचतर को धय न पवमक दख-

ईपरोकत नचतर म ननमन दकत ब त ददख इ पड़ती ह

(1) AB BC CD व DA चतभमज की च र भज एा ह

(2) दो भज एा जह ा नमलती ह वह नबनद चतभमज क शीषम कहल त ह ABC और D चतभमज क च र

शीषम ह

(3) असनन शीषो को छोड़कर ऄनय शीषो को जोड़न व ल रख खणड नवकणम कहल त ह AC तथ BD

चतभमज क दो नवकणम ह

P a g e | 121

(3) परतयक शीषम पर एक-एक ऄनतः कोण बन रह आस परक र कल च र ऄनतः कोण

BAD ADC DCB व CBA बन ह

दिय कल प 11

नीच ददय नचतरो म भज ओ शीषो तथ ऄनतः कोणो को पहच न कर ईनचत सथ न पर नलनखएः-

चतभमज की सलगन भज एा एव सममख भज एा

सलगन नचतर म चतभमज KLMN म शीषम K पर NK KL

भज एा नमल रही ह ऐसी भज एा सलगन भज एा कहल ती ह

आसी परक र भज एा KL और LM शीषम L पर नमल रही ह

ऄतः KL एव LM सलगन भज एा ह

बत आए आस चतभमज म ऄनय सलगन भज ओ क न म कय ह

P a g e | 122

चतभमज क ऄनतः कोणो क योग

चतभमज ABCD क नवकणम AC ईस दो नतरभजो DAC तथ

ABC म ब ाटत ह

हम ज नत ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो की म पो क योग 180deg होत

ह सपषट ह चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग दोनो नतरभजो क

ऄनत कोणो की म पो क कल योग क बर बर होग

आस परक र चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग

= 180deg + 180deg = 360deg

चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योगफल 360deg य च र समकोण होत ह

चतभमज क परक र

10 समी 5 समी 10 समी 5 समी म प व ली च र सीक लीनजए तथ ईनक नसरो को नमल त

हए नवनभनन अकनतयो व ल चतभमज बन आए -

आन सीको स बनन व ली कछ चतभमज अकनतय ा नीच दी गइ ह

P a g e | 123

ईपरोकत म स नचतर िम क 8283848586 और 87 म चतभमजो की भज एा सम नतर एव बर बर ह य

चतभमज सम नतर चतभमज कहल त ह

ldquoव चतभमज नजनकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त हrdquo

नचतर िम क 82 और 83 ऐस सम नतर चतभमज ह नजनम परतयक कोण 90deg क ह आनह अयत कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत (Rectangle) कहल त हrdquo

नचतर िम क 88 म चतभमज क शीषो A एव C नसथत सलगन भज ओ क यगम बर बर ह ऐस चतभमज

पतग क र चतभमज कहल त ह

ऄब 5 समी लमब इ की च र सीक लकर चतभमज बन आए -

P a g e | 124

ईपरोकत सभी चतभमज ऐस सम नतर चतभमज ह नजनकी सभी भज एा बर बर ह ऐस चतभमजो को

सम चतभमज कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसकी परतयक भज की लमब इ बर बर हो सम चतभमज (Rhombus) कहल त

हrdquo

नचतर िम क 89 म परदरसशत चतभमज क परतयक कोण 900 क ह

ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम (Squre) कहल त ह

ऄब अप च र ऄलग-ऄलग लमब आयो की सीक लकर चतभमज बन आए अपक दव र बन ए गए

चतभमजो म स कछ आस परक र क हो सकत ह

P a g e | 125

नचतर िम क 92 म चतभमज की परतयक भज ऄलग-ऄलग म प की ह तथ सममख भज एा सम नतर

नही ह ऐस चतभमज नवषमब ह चतभमज कहल त ह नचतर कम क 93 एव 94 म चतभमजो की सममख

भज ओ क एक यगम सम नतर ह ऐस चतभमज समलमब चतभमज कहल त ह

दिय कल प 12 (ऄ)

नीच ददय गय नगरड (ज लक) नबनदओ को जोड़कर ननदश नस र चतभमज बन कर न म नलनखए

(1) एक चतभमज नजसकी कोइ भी भज बर बर नही ह तथ कोइ भी यगम सम नतर नही ह

(2) एक चतभमज नजसकी सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर ह

(3) एक चतभमज नजसकी सममख भज एा बर बर एव सम नतर ह

दिय कल प 12 (ब)

ऄपन अस-प स की 5 वसतओ क न म बत आए जो चतभमज अक र की हो

P a g e | 126

परशन वली 92

परशन 1 ख ली सथ न भररए

(i) वह चतभमज नजसकी सभी भज ए अपस म बर बर होकहल त

ह

(ii) वगम क परतयक कोण ऄश क होत ह

(iii) सम नतर चतभमज की सममख भज एाएव सम नतर होती ह

(iv) चतभमज म सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर होत ह

(v) ऐस चतभमज नजसकी सभी भज एा ऄसम न होचतभमज कहल त ह

परशन 2 सतयऄसतय कथन छ रटए

(i) समलमब चतभमज क परतयक कोण 900 क होत ह

(ii) परतयक अयत एक वगम होत ह

(iii) अयत की सममख भज एा बर बर होती ह

(iv) समचतभमज क परतयक कोण सदव समकोण होत ह

(v) कबिी क मद न अयत क र होत ह

हमन सीख

1 नतरभज तीन भज ओ स नघर कषतर ह

2 नतरभज एक बनद अकनत ह यदद तीनो भज एा नमलकर बनद अकनत नही बन ती तो नतरभज नही

बन सकत

3 शीषम भज एव कोण नतरभज क भ ग ह

4 नतरभज म तीन कोण होत ह

5 नतरभज क तीनो ऄतःकोणो क म पो क योग दो समकोण (1800) क बर बर होत ह

6 नतरभज की एक भज बढ़ न पर बन हअ बनहषकोण नतरभज म नसथत दरसथ ऄतःकोणो क म पो क

योग क बर बर होत ह

7 भज ओ की म प क अध र पर नतरभजो को समब ह समनदवब ह तथ नवषमब ह नतरभज म वगीकत

दकय ज त ह

8 कोणो क अध र पर नतरभजो को नयनकोण समकोण तथ ऄनधक कोण नतरभज म वग मीकत दकय

ज त ह

9 नवषमब ह नतरभज क तीनो भज ओ की म प तथ तीनो क णो क म प ऄलग ऄलग होती ह

10 समनदवब ह नतरभज म दो भज एा एव दो कोण बर बर होत ह

11 समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर होत ह

12 नतरभज म दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बन सकत ह

P a g e | 127

13 च र भज ओ स नघरी बद अकनत चतभमज कहल ती ह

14 चतभमज क ऄगो म शीषम भज नवकणम व कोण सनममनलत ह

15 चतभमज क च रो ऄनतःकोणो की म पो क योग 360deg होत ह

16 वह चतभमज नजसकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त ह

17 वह सम तर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत कहल त ह

18 ऐस चतभमज नजसकी भज एा ऄलग-ऄलग म प की हो तथ सममख भज एा सम नतर न हो

नवषमब ह चतभमज कहल त ह

19 ऐस चतभमज नजसकी सममख भज ओ क एक यगम सम नतर हो समलमब चतभमज कहल त ह

20 वह सम नतर चतभमज नजसकी सभी भज एा बर बर हो समचतभमज कहल त ह

21 ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम कहल त ह

22 पतग क र चतभमज म दो असनन भज ओ क यगम बर बर होत ह

P a g e | 128

मोहन और रम सबह कप स दध पीत ह मोहन दो कप दध म तीन चममच शककर ड लत ह रम

एक कप दध म दो चममच शककर ड लती ह दोनो क दध म शककर की तलन कस कर

दननक जीवन म दकसी वसत की खरीदद री करनी हो खल खलन हो य दकनही दो नवकलपो म स

जय द ईपयकत नवकलप चनन हो आन जस सभी क यो म तलन की अवशयकत होती ह कौन सी सबज़ी

बहतर ह द मो म दकतन ऄनतर ह जस ननणमय हम कइ ब र लन पड़त ह एक ईद हरण दनखए - शय म

अल खरीदन ब ज़ र ज त ह एक दक नद र अल की कीमत बत त ह - 20 रपय क तीन दकलो दसर

दक नद र कीमत बत त ह - lsquolsquoप ाच दकलो 30 रपय मlsquolsquo ऄब शय म सोच म पड़ ज त ह दक कौन स

नवकलप बहतर ह ऐसी नसथनतयो म ऄनप त की जररत महसस होती ह कय अपक स मन कभी ऐसी

नसथनत अइ ह जह ा अपको बहतर नवकलप सोचन की जररत पड़ी ऐसी कछ पररनसथनतयो क ब र म

सोनचए एव नलनखए

ऄनप तो को नवनभनन तरीको स वयकत दकय ज त ह ऄनप त को हम rsquo rsquo नचहन स दश मत ह

ईद हरण क नलए एक दक नद र कहत ह दक rsquorsquoआस वषम नबिी दगनी हइlsquolsquo आसक ऄथम यह ननकल

दक आस वषम म नबिी नपछल वषम की ऄपकष दो गनी हइ ऄथ मत आस वषम और नपछल वषम की नबिी क

ऄनप त 2 1 ह

एक और ईद हरण ल - दकसी नवदय लय म परतयक 45 छ तरो पर एक ऄधय नपक ह आसक मतलब

यह हअ दक छ तर ओ तथ ऄधय नपक ओ क ऄनप त 45 1 ह ऄब यदद हम कह दक नवदय लय म 90

छ तर ए ह तो सपषट ह दक नवदय लय म दो ऄधय नपक ए ह ऄथ मत नवदय थी तथ ऄधय नपक क ऄनप त 45

1 य 90 2 ह

रीत न कह दक lsquolsquoनवदय लय म ऄधय नपक सखय तथ छ तर ओ की सखय क ऄनप त 1 45 हrsquorsquo

कय ईसक यह कहन सही ह ऄनप त म हम यह दखन होत ह दक हम दकसकी तलन दकसस कर रह ह

जस - यदद हम ऄधय नपक सखय की तलन छ तर ओ की सखय स करत ह तो ऄनप त होग 1 45 और

यदद हम छ तर ओ की तलन ऄधय नपक स करनी ह तो ऄनप त 45 1 होग ऄब यदद ईस नवदय लय म

कल 5 ऄधय नपक ए ह तो बत आए दक नवदय लय की कल छ तर ओ की सखय दकतनी ह

दिय कल प 1

(1) ननमन कथनो को ऄनप त म नलनखए

(i) दकसी हॉल म परषो की सखय 150 ह तथ मनहल ओ की सखय 100 ह परषो तथ

मनहल ओ की सखय क बीच ऄनप त नलनखए 150 100

(ii) शम मजी की ईमर 40 वषम ह तथ ईनकी पतनी की ईमर 35 वषम ह दोनो की ईमर क बीच क

ऄनप त नलनखए

(2) दकसी ककष म 20 लड़क तथ 25 लड़दकय ा ह ननमन ऄनप त बत आए -

10

ऄनप त

P a g e | 129

(i) लड़दकय ा तथ लड़को क बीच

(ii) लड़को तथ लड़दकयो क बीच

(iii) लडदकयो तथ कल नवदय रसथयो क बीच

(iv) लड़को तथ कल नवदय रसथयो क बीच

3 रमश एक घट म 6 दकलोमीटर पदल चलत ह त र 1 घट म 4 दकलोमीटर पदल चलती ह रमश

की गनत तथ त र की गनत क बीच क ऄनप त कय ह

4 र म की अय 30 वषम ह तथ शय म की अय 20 वषम ह र म की अय और शय म की अय क बीच

ऄनप त कय होग

शय म तथ र म की अय क बीच ऄनप त कय होग

एक और ब त पर नवच र कीनजए

यदद एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह तक रह और दसर वषम 120 ददन रह आन दोनो वषो म

वष म क ददनो क ऄनप त कय होग कय अप आस 20 120 नलख सकत ह क रण बत आए

एक और ईद हरण दनखए

र नी ऄपन घर स नवदय लय तक की दरी 50 नमनट म तय करती ह ईम वही दरी 1 घट म तय करती

ह तो र नी दव र नलए गए समय और ईम दव र नलय गय समय क ऄनप त कय होग कय आस हम 50 1

नलख सकत ह आस पर नवच र कीनजए

आसी परक र क और सव ल अप सवय बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आय

दननक जीवन म हम र स मन आस परक र की समसय ए ऄनक ब र अती ह जब हम नभनन न पो की

अपस म तलन करत ह ऐसी नसथनतयो म जह ा सीध-सीध तलन करन सभव नही होत ह वह ा र नशयो को

सम न आक आयो य सम न म तरक म बदलन पड़त ह

वष म क ईद हरण दनखए - एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह क ह और दसर वषम म 120 ददनो क

यह ा हम सम न म तरक म बदलन क नलए 20 सपत ह को ददनो म बदलग जो दक आस परक र होग -

1 सपत ह म 7 ददन

there4 20 सपत ह म 7 times 20 ददन ऄथ मत 140 ददन

ऄब दोनो वषो म वष म क ऄनप त जञ त करन अस न हो गय कयोदक हम र स मन दोनो म तरक

सम न ह ऄथ मत 140 ददन तथ 120 ददन पहल वषम की वष म क ददनो तथ दसर वषम की वष म क ददनो क

ऄनप त हअ 140 120 नजसक सरलतम रप 7 6 ऄब अप र नी तथ ईम दव र नवदय लय ज न म लग समय

क ऄनप त जञ त कीनजए

P a g e | 130

दिय कल प 2

ननमन कथनो को ऄनप त क रप म नलनखए -

(i) पड़ क नचतर की लमब इ 25 समी ह तथ पड़ की लमब इ 13 मीटर ह

(ii) र म को गहक यम करन म 40 नमनट लगत ह तथ शय म को 1 घट लगत ह

(iii) अननद 15 म ह ब द र यपर अय तथ ऄमीन 2 वषम ब द

कछ और ऄसम न म तरक व ल सव ल सवय खोनजए तथ ईनक ऄनप त नलनखए

ऄनप त म नजन दो र नशयो की तलन करत ह ईनह पद कहत ह - पहल पद तथ दसर पद जस

यदद हम rsquoarsquo की तलन rsquobrsquo स कर रह ह तो आस ऄनप त रप म नलखग ab जह ा rsquoarsquo पहल पद ह तथ rsquobrsquo

दसर पद ह और यदद rsquobrsquo की तलन rsquoarsquo स करत ह तो rsquobrsquo पहल पद तथ rsquoarsquo दसर पद होग तथ ईनक

ऄनप त ba होग

एक ऄनय ईद हरण म नीच दश मए गए अयत क नचतर म भज क म प दश मए गए ह-

ईपरोकत नचतरो म अयत (िम क 1) म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह व नचतर िम क 2 क

अयत म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 4 2 ह

यह ा दोनो अयतो क कषतरफल क ऄनप त होग 2 8 य 1 4

अपन भ रत क म ननचतर तो दख होग भ रत जस नवश ल दश को छोट म ननचतर म दश मन कस

सभव ह अप आस पर नवच र कर

दकसी भी म ननचतर क नीच एक पम न (सकल) नलख होत ह 1 समी तर 100 दकमी ऄथ मत 100

दकमी की दरी को म ननचतर म एक समी स दश मय गय ह आस परक र यह भी एक परक र क ऄनप नतक

नचतर ह

ऄथ मत दो र नशयो क बीच तलन क नलए ऄनप त क परयोग दकय ज त ह चदक र नशयो क

अाकड़ बहत बड़ ऄथव बहत छोट हो सकत ह आसनलए तलन म सनवध क नलए ऄनप त को सरल रप म

दश मय ज त ह

ऄनप त क परयोग करन क पहल धय न रख दक र नशयो म सम न आक इ क ईपयोग हो

दिय कल प 3

1 ककष क छ तर एक-एक करक ऄपनी उा च इ जञ त करग

2 छ तर दोनो ह थ फल कर ह थो क नसरो क बीच की दरी क म पन करग

3 परतयक छ तर की उा च इ तथ ईसक दोनो ह थ क नसरो क बीच क दरी क मधय कय सबध पर पत हो

P a g e | 131

रह ह ननषकषम ननक नलए

स रणी परी कीनजए ndash

ऄनप नतक नचतरो म सौदरय बोध

ऄनप त कवल सखय ओ म ही नह ी वरन हम र दननक जीवन स जड़ कइ पहलओ म दखन को

नमलत ह

ईद हरण क नलए - यदद दकसी नचतर म बन वयनकत की ट ग बहत ऄनधक लबी ह य शरीर की तलन

म नसर ऄनधक बड़ ह तो वह वयनकत कस लगग ज नहर ह दक वह कछ ऄटपट लगग आसी परक र म न

लीनजए अपकी ककष की एक दीव र ह नजसकी लमब इ एव चौड़ इ कम ह और ईस छोटी सी दीव र पर एक

बहत बड़ी तसवीर लग रखी ह य दीव र बहत ऄनधक बड़ी ह और ईस पर एक कोन म य बीच म छोटी

सी तसवीर लगी ह एक बहत बड़ फरम ह और ईसम छोट स नचतर लग ह आनम स बहत सी पररनसथनतय

हम ऄटपटी परतीत होगी कयोदक आनम ऄनप त हीनत ह हम री दनषट चीजो क बीच नननित ऄनप त

ढढती ह

नीच कछ ईनचत ऄनप नतक तथ ऄनप तहीन नचतर ददय गय ह आनम स ऐस नचतरो की पहच न

कीनजए नजनम ऄनप त ईनचत लगत ह और सोनचए दक अपन कय दख कर ब की नचतरो को छोड़ ह

ऄथ मत अप ऄपन ईततर क क रण सोनचए

P a g e | 132

दो र नशयो की तलन

नचतर ऄनप नतक ह य नही नवनभनन नहससो क अक रो की तलन पर ननभमर ह ईद हरण क नलए

दरव ज क पलल बहत जय द लमब ह और आसी तरह म नचस की नडबबी लमब इ भी ब की भज ओ की

तलन म बहत ऄनधक ह म नो हम लमब इ और चौड़ इ की तलन करन च हत ह आन दोनो र नशयो की

तलन कइ तरीक स की ज सकती ह व तलन करन क कइ अध र ह सबस सरल तो यह पत करन ह दक

पहली र नश दसरी र नश स दकतनी ऄनधक य दकतनी कम ह आसकी ज नक री कइ परक र स पर पत की ज

सकती ह

1 परीकष म शब न को 40 ऄक तथ रण को 20 ऄक नमल तो रण को शब न स 20 ऄक कम पर पत

हए

2 श ल म 600 छ तरो म स 200 छ तर कम अए तो ईस ददन श ल म 400 छ तर अए

3 दो रख खडो की लमब इ 8 समी एव 4 समी हो तो पहली रख खणड की लमब इ दसर रख खणड स 4

समी ऄनधक ह

4 दकसी दरव ज की उा च इ 8 दफट ह और आसकी चौड़ इ 2 दफट ह तो आसकी उा च इ चौड़ इ स 6 दफट

ऄनधक ह दरव ज क सदभम म उा च इ व चौड़ इ क ऄतर 6 दफट ह बत न स वह दकतन ईपयकत ह

पत नही चलत यदद दकसी दरव ज की उा च इ 18 दफट और चौड़ इ 12 दफट हो तो भी ऄनतर 6

दफट ह जबदक दोनो म बहत ऄतर ह दोनो र नशयो म तलन क एक और अध र हो सकत ह

हम यह भी दख सकत ह दक पहली र नश दसरी र नश क ऄथव दसरी र नश पहली र नश क दकतन

गण ह आसस पहल दरव ज म उा च इ चौड़ इ की तलन म 4 गण ह जबदक दसर म उा च इ

चौड़ इ क डढ़ गण ह

नीच स रणी म भी दो र नश लकर ईनकी तलन की गइ ह

अप दननक जीवन क कछ ईद हरण बत आए नजसम आसी परक र पत करन हो दक एक र नश दसरी

र नश क दकतनी गनी ह अपक कमर की लमब इ 30 फीट एव चौड़ इ 15 फीट ह ऄथ मत कमर की लमब इ

चौड़ इ स दगनी ह आस आस परक र स नलख ज सकत ह ndash

कमर की लमब इ 30 फीट 2

कमर की चौड़ इ 15 फीट 1

ऄथ मत लमब इ चौड़ इ स दगनी ह य कमर की लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह यह भी कह सकत

= = =

P a g e | 133

ह दक चौड़ इ और लमब इ क ऄनप त 1 2 ह

ऄतः ऄनप त पररम ण क अध र पर बन सबध ह

1 50 पसतको एव 10 पसतको क मधय ऄनप त = 50 10 = 5 1

2 र म की ईमर 20 वषम एव शय म की ईमर 30 वषम ह दोनो क ईमर क मधय ऄनप त

= 20 30 = 2 3

3 400 दकलो गह एव 100 दकलो गह क मधय ऄनप त = 400 100 = 4 1

4 र नश a तथ र नश b क मधय ऄनप त = a b

ऄभय स 1

स रणी म नशकषक एव छ तर ऄनप त जञ त करक स रणी पणम कीनजए

ऄनप त क ब र म कछ ब त

1 दो र नशयो a तथ b क मधय ऄनप त को a b स दश मत ह नजसम a पहल तथ b दसर

पद ह ( जह ा a तथ b पणम सखय एा ह )

2 ऄनप त जञ त करत समय एक ही परक र की र नशयो को सम न आक इ स दश मय ज त ह

दिय कल प 4

शली और ईसक पररव र क सदसय एक पड़ क प स खल मद न म खड़ थ शली न परछ आयो को

दख और ईनको न पन लगी ईसन पररव र क परतयक सदसय की परछ इ की लब इ और ईनकी उा च इ को

ननमन नस र त नलक म दश मय ndash

ऄब शली क स मन एक समसय अ गइ पररव र क सदसयो की उा च इ तो ईस म लम थी और ईसन परछ इ

की लब इ न प ली लदकन पड़ की उा च इ नही म प सकी कयोदक पड़ की उा च इ जञ त करन मनशकल थ

कय वह परछ इ दखकर पड़ की उा च इ ननक ल सकती ह अआए दख शली न आस समसय को कस

हल दकय -

P a g e | 134

ईसन त नलक म सखय ओ क बीच एक समबनध दख परतयक वयनकत की उा च इ ईसकी परछ इ स

दगनी ह ईसन सोच दक यदद ईसी सथ न पर सभी सदसयो की उा च इ एव परछ इ की लमब इ क ऄनप त

2 1 ह तो पड़ की उा च इ भी परछ इ की लमब इ की दगनी होगी ईसन आसस पत कर नलय दक पड़ की

उा च इ 430 समी ह

ईद हरण 1

एक वयनकत न 25 रपय ऄपन पतर को एव 36 रपय ऄपनी पतरी को ददय तो ईनको ददए गए रपयो

क ऄनप त जञ त कीनजए

हल पतर क भ ग = 25 रपय

पतरी क भ ग = 36 रपय

पतर क भ ग पतरी क भ ग तर 25 36

ईद हरण 2

एक डड की लब इ 90 समी एव एक ब ास की लमब इ 4 मीटर 50 समी ह तो डड एव ब ास की

लमब इयो क ऄनप त जञ त कीनजए

हल डड की लमब इ = 90 समी

ब ास की लमब इ = 4 मीटर 50 समी

= (400 + 50) समी 1 मीटर = 100 समी

= 450 समी

(यह डड एव ब ास की लमब इ ऄलग-ऄलग आक इ म ह ऄतः एक ही आक इ समी म बदलन

अवशयक ह)

ऄतः डड की लमब इ ब ास की लमब इ = 90 450

= 1 5 (सरलतम रप)

ईद हरण 3

र जश की एक महीन की अमदनी 12500 रपय ह आसम स वह 2500 र की बचत करत ह

ऄनप त जञ त कीनजए

1 र जश की अमदनी और ईसक खचम क बीच

2 र जश की अमदनी और ईसकी बचत क बीच

हल र जश की म नसक अमदनी = 12500 रपय

र जश की म नसक बचत = 2500 रपय

र जश क म नसक खचम = 12500 - 2500 रपय

= 10000 रपय

ऄतः र जश की अमदनी क ईसक खचम स ऄनप त = 12500 10000

= 5 4

र जश की अमदनी क ईसकी बचत स ऄनप त = 12500 2500

= 5 1

P a g e | 135

ईद हरण 4

एक पन क मलय और एक पनसल क मलय क ऄनप त जञ त कीनजए जबदक पनो क मलय 144 र

परनत दजमन एव 10 पनसल क मलय 90 र हो

हल यह सबस पहल एक पन और एक पनसल क मलय जञ त करन होग

एक दजमन य 12 पनो क मलय = 144 र

1 पन क मलय = 144

12 = 12 र

10 पनसल क मलय = 90 र

1 पनसल क मलय = 90

10 = 9र

ऄतः 1 पन क मलय 1 पनसल क मलय = 12

9 =

4

3 = 4 3

ईद हरण 5

छोट एव बमट क बीच 40 टॉफी को 4 1 क ऄनप त म ब ारटए

हल कल भ गो की सखय = 4 + 1 = 5

40 टॉफी को 5 भ गो म ब टन पर 4 नहसस छोट को एव 1 नहसस नमनट को नमलग

ऄतः छोट क नहसस = 40

5 times 4

= 32 टॉफी

और नमनट क नहसस = 40

5 times 1

= 8 टॉफी

ईद हरण 6

ननमननलनखत म पो क ऄनप त जञ त कीनजए -

(ऄ) 5 र तथ 50 पस

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म

हल (ऄ) 5 र तथ 50 पस क ऄनप त -

5 र = 5 times 100 पस = 500 पस

ऄनप त 500

50 =

10

1 = 10 1

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर क ऄनप त

10 मीटर = 10 times 100 समी

ऄनप त = 500

10times100 =

1

2 = 1 2

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म क ऄनप त

8 दकगर = 8 times 1000 गर म = 8000 गर म

ऄनप त = 8000

640 =

25

2 = 25 2

P a g e | 136

परशन वली 101

1 ऄपन अस प स स ननमननलनखत वसतए आकटठी कीनजए ईन वसतओ की लमब इ जञ त कर

लमब इयो क बीच ऄनप त पत कीनजए ऄनप त को सरलतम रप म नलनखए

(i) अलनपन क कील स (ii) कील क पननसल स

(iii) पन क कील स (iv)कील क अलनपन स

(v) अलनपन क पन स (vi) पन क पननसल स

(vii) पननसल क अलनपन स (viii) पन क अलनपन स

2 ननमननलनखत क ऄनप त जञ त कीनजए

(i) 15 नमनट क 1 घट स (ii) 250 गर म क 1 दकलोगर म स

(iii) 15 पस क 1 रपय स (iv) 15 पस क 5 रपय स

(v) 212 समी क 1 मीटर स (vi) 10 मीटर क 25 समी स

(vii) 40 समी क 25 मीटर स

3 ननमन म स परतयक ऄनप त को ईसक सरलतम रप म नलनखए

(i) 150 400 (ii) 85 255

(iii) एक दजमन एक कोरी (iv) 27 57

(v) 24 68 (vi) 250 375

(vii) 65 91 (viii) 25 75

(ix) 50 225 (x) 500 10000

4 नवश ख की व रसषक अमदनी 80000 रपय ह ईसन 5000 रपय अयकर क रप म द ददए ननमन

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) अयकर अय

P a g e | 137

(ii) अय अयकर

5 मनन और बनन न एक दौड़ म भ ग नलय ननध मररत समय म मनन न 210 मीटर की दरी तय की और

ईतन ही समय म बनन न 180 मीटर की दरी तय की मनन और बनन क दव र तय की गइ दरी क

ऄनप त कय होग

6 सतीश एक वजञ ननक क रप म क यम करत ह और ईनकी अय 20000 रपय परनत म ह ह ईनकी

पनतन ऄनीत डॉकटर ह तथ ईसकी अय 15000 रपय परनत म ह ह ननमननलनखत ऄनप तो को जञ त

कीनजए

1 सतीश की अय ऄनीत की अय

2 सतीश की अय ईनकी कल अय

7 एक सकल म कल नवदय रसथयो की सखय 1500 ह ईसम स लड़दकयो की सखय 600 ह लड़को तथ

लड़दकयो की सखय क ऄनप त जञ त कीनजए

8 20 गबब रो को दो बचचो क बीच 2 3 क ऄनप त म ब रटए बत आए दोनो को दकतन-दकतन गबब र

नमल

9 र जश और ज वद न नमलकर एक दक न खोली दक न म र जश न 45000 र तथ ज वद न

36000 र लग ए बत आए र जश और ज वद दव र लग इ पनजयो क मल ऄनप त कय ह

10 दकसी परीकष म 117 परीकष रसथयो म स 65 ऄसफल हो गए तो सफल और ऄसफल परीकष रसथयो की

सखय म कय ऄनप त ह

11 रतन और शील न नमलकर ऄपन च च क बगीच स 18 अम तोड़ दोनो ऄब आस अम को अपस म

ब ाटन च हत ह रतन च हती ह दक ईमर क ऄनप त म अमो को ब टन च नहए ऄब बत आए दक

ऐस ब ाटन पर रतन और शील को दकतन-दकतन अम नमलग जबदक रतन की ईमर 15 वषम तथ

शील की ईमर 12 वषम ह

12 वतमम न म एक नपत तथ पतर की अय 50 वरष एव 20 वषम ह नपत की ईमर तथ पतर की ईमर क

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) वतमम न म नपत पतर की अय क ऄनप त

(ii) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 10 वषम थी

(iii) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 35 वषम थी

(iv) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 40 वषम की होगी

(v) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 75 वषम की होगी

13 र म और शय म की अय क ऄनप त 3 4 ह यदद ईनकी कल अय 21000 र ह तो र म और

शय म की अय बत आए

14 A और C क बीच म नबनद B आस परक र ह दक AB BC = 7 3 क यदद AC = 40 दकमी ह तो

बत आए AB तथ BC क म न दकतन होग

15 मर प स 6 समोस ह आनह म ऄपन नमतरो म ब टन च हत हा यदद

(i) म 1 1 म दो नमतर क मधय ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

P a g e | 138

(ii) म 2 1 3 म तीन नमतरो म ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

ऐदकक नवनध

नीच दी गइ कछ नसथनतयो को दनखए -

1 अप ब ज र ज त ह और दो कॉनपय ा 20 र म खरीदकर ल त ह ऄब यदद अपको और 5 कॉनपयो

की जररत ह तो अपक प स दकतन रपय होन च नहए

2 शय म क सकटर म 2 लीटर पटरोल ह ईस ऄनद ज़ ह दक वह आतन पटरोल स 50 दकलोमीटर की दरी

अर म स तय कर सकत ह यदद ईस 100 दकलोमीटर दर ज न ह तो ईसक सकटर म कम स कम

दकतन पटरोल होन च नहए

3 अप ऄपन जनमददन पर ऄपन दोसतो को तोहफ दन च हत ह अप नखलौन की दक न पर एक

ग ड़ी पसनद करत ह यदद 75 र म 3 ग नड़य ा नमलती ह और अपको 15 ग नड़य ा खरीदनी ह तो

अपक प स दकतन रपय होन च नहए

ईपरोकत नसथनतयो क हल क ब र म सोनचए

पहली नसथनत को दनखए -

दो कॉनपयो की कीमत 20 र ह

तो 1 कॉपी की कीमत होगी = 10 र

ऄब 1 कॉपी की कीमत 10 र ह

तो 5 कॉनपयो की कीमत = 10 times 5 = 50 र

आसी नवनध क ऄनस र ब की दो नसथनतयो को हल कररए

आस परक र क कछ ऄनय सव ल बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आए

जब ऄनक वसतओ क मलय जञ त होन पर एक वसत क मलय जञ त करक व नछत वसतओ क मलय

जञ त दकय ज त ह तो ईस ऐदकक नवध य ऐदकक ननयम कहत ह

दिय कल प 5

ननमन दकत स रणी क ऄवलोकन कीनजए एव ररकत सथ नो की परसत कीनजए

हम दखत ह दक

2 घट म तय की गइ दरी = 8 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 82 = 4 दकमी

5 घट म तय की गइ दरी = 4 times 5 = 20 दकमी

P a g e | 139

यह ा स आदकल क र रलग ड़ी दव र 5 घट म तय की गइ दरी ननक लन क नलए पहल परतयक क

दव र 1 घट म तय की गइ दरी जञ त करनी पड़गी

ईद हरण 7

यदद एक छ तर व स म परनत 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकलो ह तो 30 बचचो क नलए

च वल की दकतनी खपत होगी

हल आस समसय क हल दो चरणो म करग

चरण 1 - सबस पहल जञ त करग 1 बचच क नलए दकतन च वल लगग

जबदक 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकगर ह

आसनलए 1 बचचो क नलए च वल की खपत 2

10 =

1

5 दकगर

चरण 2 - आसम हम 30 बचचो क नलए च वल की खपत जञ त करग

जबदक 1 बचच क नलए च वल की खपत ह 1

5 दकगर

आसनलए 30 बचचो क नलए च वल की खपत 30 times 1

5 = 6 दकगर

ऄतः 30 बचचो क नलए 6 दकगर च वल की खपत होगी

ईद हरण 8

एक हव इ जह ज 5 घट म 4000 दकमी ईड़त ह वह तीन घट म दकतन ईड़ग

हल

पहल चरण म एक घट म हव इ जह ज दव र तय की गइ दरी जञ त की ज एगी तथ दसर चरण म

पछ गए समय (ऄथ मत 3 घट) म दरी दकतनी होगी जञ त की ज एगी

चरण 1- 5 घट म तय की गइ दरी = 4000 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 40005 दकमी = 800 दकमी

चरण 2- 1 घट म तय की गइ दरी = 800 दकमी

3 घट म तय की गइ दरी = 3 times 800 = 2400 दकमी

आस परक र हव इ जह ज 2400 दकमी दरी तय करग

ईद हरण 9

एक मनहल की 15 महीन की बचत 18000 र ह

1 ईसकी स त महीन की बचत कय होगी

2 दकतन महीनो म ईसकी बचत 30000 र होगी

हल

चरण 1- जबदक 15 मनहन की बचत 18000 र ह

आसनलए 1 मनहन की बचत = 1800015 = 1200 रपय

चरण 2- 1 महीन की बचत 1200 र ह

7 मनहन की बचत = 1200 times 7 = 8400 रपय

1200 र की बचत होती ह 1 महीन म

30000 र की बचत होगी 30000times1

1200 = 25 मनहन म

P a g e | 140

परशन वली 102

1 तीन कॉनपयो की कीमत 1650 र ह तो 7 कॉनपयो की कीमत जञ त कीनजए

2 एक क र 3 घटो म 165 दकलोमीटर चलती ह तो वह क र

(i) 440 दकलोमीटर की दरी दकतन समय म तय करगी

(ii) 612 घटो म दकतनी दरी तय करगी

3 72 दकत बो क वज़न 9 दकलोगर म ह

(i) 80 दकत बो क वज़न जञ त कीनजए

(ii) दकतनी दकत बो क वज़न 6 दकलोगर म होग

4 दकसी मज़दर की 25 ददनो की अय 1500 र ह ईसकी 30 ददनो की अय जञ त कीनजए

5 यदद 22 मीटर कपड़ क मलय 704 र ह तो 20 मीटर कपड़ क मलय कय होग

6 स ररणी परी कीनजए

हमन सीख

1 दो सम न र नशयो क ऄनप त यह दश मत ह दक एक र नश दसरी र नश स दकतनी गनी ह

2 दो र नशयो क ऄनप त पर यः ईनक सरलतम रप म वयकत दकय ज त ह जस na nb को a b नलख

ज त ह

3 दी गइ र नशयो स पहल एक र नश क आक इ म न जञ त कर दफर व नछत सखय म र नशयो क म न

जञ त करन की नवनध को ऐदकक नवनध कह ज त ह

दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 -

- 10

- 3000

P a g e | 141

11

चर सखय

अप ऄपन च रो ओर ऐसी कइ चीजो को दखत ह नजनम कछ क म न नसथर होत ह और कछ क म न बदलत

रहत ह जस- दकसी कसी क भ र तो अज कल य कछ ददनो क ब द भी वही रहग परनत जब बीज क

ऄकरण हम दखत ह तो ईसस ननकल पौध की लमब इ धीर-धीर बदलती रहती ह आसी परक र ककष की लमब इ

एव चौड़ इ नसथर ह परनत ब ररश क ददनो म कएा क प नी क सतर एक म ह ब द दकतन बदल ज एग यह नही

बत य ज सकत अप ऄपनी क पी म आस तरह क 5 ईद हरण नलनखए जह ा म न नसथर रहत ह एव 5

ईद हरण ऐस नलनखए जह ा म न बदलत रहत ह

ककष म ईद हरण को कॉपी म नलखत समय ऄन न रोहन स कह दक म तो यह ा नलख गी दक मर

नपत जी की ईमर तो बदल रही ह परनत ईनकी उा च इ नसथर ह रोहन न भी कह दक म यह ा नलखाग दक हम र

खत क रकब च र एकड़ ह परनत ईसम पद होन व ली फसल कभी कम तो कभी जय द होती ह

ईपरोकत ईद हरणो म अपन दख दक कछ म न तो बदल रह ह परनत कछ म न नसथर ह नीच अपको

कछ पररनसथनतय ा दी गइ ह अप अपस म चच म कर ररकत सथ नो म पररनसथनत क ऄनस र म न नसथर ह ऄथव

बदल रह ह नलनखए

दिय कल प - 1

ऄनतम ईद हरण को हल करत समय हमीद न ऄपन स नथयो स कह lsquolsquoयदद अल बड़ होग तो 1 दकगर

म कम अएाग परनत यदद अल छोट होग तो 1 दकगर म जय द अएाग हम तो यह भी नही बत सकत दक एक

थल म अन व ल अलओ की सखय कय होगी ऐस ही कछ कल हम र स थ घर म हअ नपत जी न हम सभी

भ इ - बहनो को चककर म ड ल ददय ईनक रम ल म कछ टॉदफय ा बधी हइ थी ईनहोन पछ lsquolsquoआस रम ल म

दकतनी टॉदफय ा हlsquolsquo हम टॉदफयो की सखय म लम ही नही थी तो कस बत त कय टॉदफयो की सखय बत न

क कोइ तरीक नही ह आस पर र ज न कह दक चलो ऄपनी गनणत नशनकषक स पछ

नशनकषक न बचचो की समसय को सन और एक नइ समसय बचचो क स मन रख दी ईनहोन पछ दक आस

चॉक क नडबब म दकतन चॉक ह बचचो न ऄद ज स ऄलग-ऄलग सखय बत यी - हमीद न 12 र ज न 18 ऄन

न 16 रोहन न 20 आतय दद नशनकषक न कह lsquolsquoआसम स यदद 5 चॉक ननक ल द तो अपक ऄनस र नडबब म

दकतन चॉक बचगlsquolsquo हमीद र ज ऄन और रोहन न नहस ब लग कर सखय िमशः बत य 12-5 = 7 18-5 =

13 16-5 = 11 20-5 = 15

चादक नडबब म चॉक की सखय म लम नही थी आसनलए ईततर ऄलग-ऄलग अए यदद आन सखय तमक

म नो की जगह हम lsquolsquoचॉक की सखय - 5lsquolsquo नलख तो सभी क ईततर एक सम न अ ज एग दकनत आस

परक र नलखन स ब र-ब र चॉक की सखय नलखनी पड़गी कय आस सकषप म नलखन क कोइ तरीक ह

िम क पररनसथनतय ा म न नसथर हबदल रह ह

1 सपत ह म ददनो की सखय

2 म ह जनवरी म ददन क त पम न

3 अपकी ककष म रोज़ अन व ल छ तरो की सखय

4 हॉकी क खल म खलन व ल नखल नड़यो की सखय

5 1 दकलोगर म अल म अलओ की सखय

P a g e | 142

यदद नडबब म चॉक की सखय को हम ldquoचldquo नलख और आसम स 5 चॉक ननक ल द तो नडबब म चॉक की

सखय =च-5 होगी आसी तरह यदद आस नडबब म 3 चॉक ड ल द तो नडबब म चॉक की सखय = च+3 होगी

अआए आस समझन क नलए एक और ईद हरण दख-

टॉफी क पकट म 20 टॉदफय ा ह परनत पकट की कीमत म लम नही ह-

यदद 1 ट फी क मलय 50 पस ह तो पकट क मलय 20 times 050 र = 10 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 1 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 1 र = 20 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 2 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 2 र = 40 रपय होग

आस परक र यह ा पकट क मलय तर 20 times 1 टॉफी क मलय) होग यह ा यदद 1 ट फी क मलय क सथ न

पर हम x र य y र य z र य कोइ भी ऄकषर नलख तो पकट क मलय = 20x र य 20y र य 20z र

होग ऐस ही एक और ईद हरण दखत ह

एक वगम की परतयक भज की लमब इ 2 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 2 आक इ यदद वगम की

परतयक भज की लमब इ 3 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 3 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ 7

आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 7 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ a आक इ ह तो वगम क

पररम प = 4 times a आक इ

उपर क सभी ईद हरणो म अपन दख दक कछ र नशय ा तो नसथर ह जस पकट क मलय 20x र म 20

तो नसथर ह परनत x र ऄथ मत 1 टॉफी क मलय क बदलन पर पकट क मलय बदल ज त ह आसी परक र वगम क

पररम प 4a म 4 नसथर ह परनत भज क म न य a आक इ क बदलन पर वगम क पररम प बदल ज त ह सभी

ईद हरणो को दखन क ब द हमीद न सोच दक सभी बदलन व ल म नो को दकसी ऄकषर दव र नलख ज त ह

आसनलए हम कह सकत ह दक मर नपत जी क रम ल म z टॉफी रही होगी z क म न हम कछ और ज नक री

नमलन पर ही ननक ल सकत ह ऄनयथ नही

आस परक र य बदलन व ली र नशय ा ही चर ह आनक कोइ भी म न हो सकत ह आनह नहनदी ऄथव

ऄगरजी वणमम ल क दकसी भी ऄकषर जस ऄ ब स द य क ख ग घ य a b c य p q r य x y z दव र

नलख ज सकत ह आनही ऄको को चर क य बीज क भी कहत ह

जब भी ऐसी सखय नजसक म न म लम नही ह अती ह तब ईस सखय क सथ न पर बीज ऄक य

चर क क ईपयोग दकय ज त ह आन बीज क य चर को क ईपयोग स परशन हल करन अस न हो ज त ह

आस परक र ऄकगनणत क वय पकीकरण क नलए भी चरो क ईपयोग दकय ज त ह जस

1 दकसी सखय तथ ईसक ब द अन व ली सखय क बीच कय सबध ह 4 क ब द अन व ली सखय कय

ह यह सखय 5 ह ऄथ मत 4+1 आसी परक र 1000 क ब द अन व ली सखय कय ह यह सखय 1001

ह ऄथ मत 1000+1 ऄतः यदद कोइ सखय दी गइ हो तो ईसक ब द व ली सखय दी गइ सखय म 1

जोड़कर पर पत की ज ती ह यदद कोइ सखय x ह तो ईसक ब द अन व ली सखय x+ 1 होगी

2 आसी परक र कय अप दकसी सखय क पहल अन व ली सखय क नलए ननयम बन सकत ह

3 कय अप सम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह 2 4 6 8 आतय दद सम सखय य ह

आन सभी सखय ओ क एक गणनखड 2 ह ऄथ मत दकसी भी पण ाक सखय को 2 स गण कर सम सखय

पर पत की ज सकती ह म न ल दक n कोइ पर कतगणन सखय ह तो 2n एक सम सखय क रप म नलखी

ज सकती ह

P a g e | 143

4 कय अप नवषम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह यदद सखय ओ को दख तो अप यह प त

ह दक सम और नवषम सखय एा एक क ब द एक अती ह ऄथ मत नवषम सम नवषम सम

नवषम जस 1 2 3 4 5 6 7 8 यह ा परतयक सम क पहल व ली सखय नवषम ह

तथ ब द व ली सखय भी नवषम ह अपन आसक पहल सम सखय ओ को 2n स बत य ह दकसी सखय

क पहल अन व ली सखय x- 1 ह तथ ब द म अन व ली सखय x + 1 ह तो दकसी सम सखय ऄथ मत

2n क पहल अन व ली सखय 2 n-1 होगी तथ ब द म अन व ली सखय 2n +1 होगी आस परक र

(2 n-1) य (2n + 1) नवषम सखय क नलए नलख ज सकत ह

नीच दी गइ सखय य कछ ननयमो स जड़ी ह अप आनह द व ा पद क रप म नलनखए ndash

परशन वली 11

परशन 1 ननमननलनखत को सखय ओ ऄकषर सखय ओ तथ मलभत सदिय ओ क नचहनो की सह यत स ददख आए

यह भी बत आए दक परतयक ऄकषर कय बत त ह

(i) एक वतत क वय स ईसकी नतरजय स दोगन ह

(ii) एक अयत क कषतरफल ईसकी लमब इ एव चौड़ इ क गणनफल क बर बर ह

(iii) नविय मलय िय मलय तथ ल भ क योगफल क बर बर होत ह

(iv) दकसी सखय म दसरी सखय को जोड़ गय ह

(v) दकसी सखय म स 7 ननक ल गए

(vi) नमशरधन मलधन तथ बय ज क योगफल क बर बर होत ह

परशन 2 सहीगलत कथन छ ारटए व गलत कथनो को सध र कर नलनखए

(i) सखय a क परवती a + 1 ह

(ii) x क म न पररनसथनत क ऄनस र बदलत रहत ह

(iii) 2n एक नवषम सखय होगी

(iv) m x n दो ऄजञ त सखय ओ क गणनफल ह

(v) चर को को स म नयतः ऄगरजी वणमम ल क छोट ऄकषरो स दश मत ह

हमन सीख

1 जो ऄकषर सखय ओ को दश मन क क म म अत ह ऄकषर सखय कहल त ह

2 य ऄकषर चर क क रप म सखय ओ को ही दश मत ह ऄतः व ईन सभी ननयमो क प लन करत ह जो सखय ओ

दव र की ज ती ह

3 वह र नश नजसक एक नननित सखय तमक म न हो ऄचर र नश कहल ती ह

4 वह र नश नजसक कइ सखय तमक म न हो सकत ह चर र नश कहल ती ह

5 ऄकगनणत म हम एक नननित म न व ली सखय क ईपयोग करत ह जबदक बीजगनणत म ऐस ऄकषरो क परयोग

करत ह नजसक म न एक स ऄनधक हो सकत ह

6 दकसी सखय क बीजीय भ ग चर र नश कहल त ह p = 4a म p और a चर र नश तथ 4 ऄचर र नश ह

P a g e | 144

नपछल प ठ म अपन चर र नशयो क ब र म पढ़ ह आनह चर ऄको य बीज ऄको क रप म दकस

तरह नलखत ह यह भी अप सीख चक ह ऄब अप बदलन व ली ऄथव ऄजञ त म न व ली र नश को चर

ऄक स एव नसथर रहन व ल म नो को नसथर ऄको क दव र बड़ी अस नी स बत सकत ह आस परक र lsquolsquoचर क

एव नसथर क स बन हअ वयजक ही बीजीय वयजक हrsquorsquo नपछल प ठ म अपन जह भी चर क क ईपयोग

दकय ह ईन सभी को बीजीय वयजक भी कह सकत ह

अआए दननक जीवन म बीजीय वयजको क ईपयोग कस होत ह दख

रनज़य की ईमर म लम नही ह ऄब यदद कह ज ए दक 5 वषम पवम रनजय की ईमर कय रही होगी

य 3 वषम ब द रनज़य की ईमर दकतनी होगी आन सभी परशनो क ईततर बीजीय वयजको क रप म ददय ज

सकत ह

यदद रनज़य की ईमर को y वषम स दश मय ज ए तो 5 वषम पहल रनज़य की ईमर y - 5 वषम रही होगी

तथ 3 वषम ब द y + 3 वषम होगी यह y - 5 तथ y + 3 बीजीय वयजक ह अआए बीजीय वयजक क रप

म कछ और गनणतीय समसय ओ को वयकत कर

1 र ध क पर पत क नह क पर पत क स 3 कम ह यदद नह क पर पत क x ह तो र ध क पर पत क x - 3

होग

2 अयत की लमब इ चौड़ इ स 4 आक इ ऄनधक ह यदद अयत की चौड़ इ y आक इ ह तो लमब इ (y

+ 4) आक इ होगी

3 दकसी अयत क र मद न की लमब इ x ह तथ चौड़ इ y ह तो ईस मद न क च रो ओर 1 चककर

लग न म तय की गइ दरी कय होगी एक चककर लग न म तय की गइ दरी p = x + y + x + y

होगी x

y y

x

दिय कल प 1

ननमननलनखत को बीजीय वयजक क रप म नलनखए

1 दकसी सखय क तीन गण

2 दकसी सखय स 6 ऄनधक

3 दकसी सखय स 17 कम

4 दकसी सखय क 5 व भ ग

5 दकसी सखय क दगन स 12 ऄनधक

6 दकसी सखय क स त गण स 3 कम

7 दकसी सखय क च र गण क तीसर भ ग

8 दकसी सखय म ईसी सखय क 7 गण जोड़ ज ए

P a g e | 145

9 दकसी सखय क 5 गण स ईसी सखय क 6 गण घट य ज ए

10 दध क भर नडबब स 5 लीटर दध ननक ल नलय तो दकतन लीटर दध बच

ईपयमकत दिय कल पो म अपन दख दक सभी बीजीय वयजक चर क और नसथर क स नमलकर बन ह

दिय कल प 2

नीच स रणी म चर क तथ नसथर क को ऄलग-ऄलग छ टकर ददए गए सथ न पर नलनखए-

िम क वयजक चर क नसथर क

1 Z Z 1

2 X + 5 X 1 5

3 Y ndash 8

4 3x + 2y

5 2xy ndash 3 X y 2 -3

6 7 ndash 3x

7 33x

8 Y - x

कय उपर स रणी म सभी बीजीय वयजको क पद सम न ह

यह z एव 33x म पद की सखय 1 ह तथ शष कथनो म पदो की सखय 2 ह नजसक ऄथम यह हअ

दक-

दकसी बीजीय वयजक म ऄलग-ऄलग चर क एव नसथर क क बीच नजतन ब र $ ऄथव - नचहन क

ईपयोग होत ह बीजीय वयजक म पदो की सखय ईसस 1 ऄनधक होगी

दिय कल प 3

ननमननलनखत ररकत सथ नो पर बीजीय वयजको क पदो की सखय नलनखए

1 3x + 8 (दो)

2 3 + y ndash 7p ()

3 2x + 3xy + z ()

4 8x ()

5 9 + 3a ndash 3x + b ()

6 5xyz ()

P a g e | 146

अपन चर को एव नसथर को को ज न नलय ह जस 3x + 8y + 7 म x और y तो चर क ह परनत

3 8 और 7 नसथर क ह जस अपन चर क प ठ म दख ह 3x व सतव म x क तीन गण ह ईसी परक र

8लy भी y क 8 गण ह आसक ऄथम यह हअ दक चर क क स थ जो नसथर क ह वह चर क को गण करन

व ल ऄक ह आसनलए हम आस गण क कहत ह ऄतः 3x + 8y + 7 म 3 गण क ह x क 8 गण क ह y क

तथ 7 नसथर क ह आसी परक र 9ab म ab चर क ह तथ 9 ईनक गण क ह

दिय कल प 4

ननमननलनखत बीजीय वयजको क गण क एव चर क को ऄलग कीनजए तथ सम न चर क व ल

वयजको को छ ाटकर ऄलग नलनखए

िम क वयजक गण क चर क

1 8x

2 9py

3 Xyz

4 18ab

5 Yz

6 -1

2 yz

7 3xyz

8 32x

9 -3py

10 -3

5 yz

ईपयमकत दिय कल प म अपन प य दक 8x तथ 32x म चर क क म न x ह ईसी परक र 9py तथ

-3py म चर क क म न py ह xyz तथ 3xyz म चर क क म न xyz ह yz -1

2 yz एव -

3

5 yz म चर क

क म न yz ह आस परक र सम न चर क व ली र नशयो को lsquolsquoसज तीयrsquorsquo चर क व ली र नशय ा कहत ह

सज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न होत ह lsquolsquoसज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

ईनक गण क व ल भ ग ऄलग-ऄलग हो सकत ह

नवज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न न हो ईनह lsquolsquoनवज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

P a g e | 147

दिय कल प 5

ददय गय बीजीय वयजको क सममख स रणी म ददए गए वयजको म स सज तीय चनकर घर लग ए ndash

परशन वली 12

परशन-1 ननमननलनखत वयजको म एक पदीय और नदवपदीय वयजक पहच नकर नलनखए

(i) 3x + 4y (ii) 9+ 3y (iii) 4a ndash 7b

(iv) 5x + 1 (v) a - 30 (vi) 4ab

(vii) abc - 1 (viii) 3xy (ix) ab + bc

(x) a + abc

परशन-2 ननमननलनखत वयजको म स सज तीय वयजक को चननए ndash

5xy7c-4

5119910119911-7bc-

9

4119909119910

2

7119911-2cbc-37pqr

11

131199101199117z9pqr

हमन सीख

1 सखय ओ क सथ न पर परयोग दकय ज न व ल ऄकषर चर र नश कहल त ह आनह बीजीय र नशय ा भी

कहत ह

2 एक सम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को सज तीय पद कहत ह

3 ऄसम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को नवज तीय पद कहत ह

4 चर एव ऄचर ऄथव चर एव चर जब +-x ऄथव divide नचहन स जड़त ह तो ईनह बीजीय वयजक

कहत ह

5 एक पद व ल बीजीय वयजक को एक पदीय वयजक कहत ह

6 दो पद व ल बीजीय वयजको को नदवपदीय वयजक कहत ह

P a g e | 148

ककष म कछ छ तर व छ तर ए अपस म चच म कर रह थ मरी न कह - अज म घर स अ रही थी तो

कपड़ की दक न पर बड़-बड़ ऄकषरो म नलख थ lsquolsquoछट छट छट 10 परनतशतlsquolsquo आसक कय मतलब ह

ऄरण न कह - यदद 100 र क कपड़ खरीद तो ईस पर 10 र की छट नमलगी वह कपड़ 90 र म

नमलग

मरी - यदद 40 र क कपड़ खरीद तो दकतन की छट नमलगी

सलम - 4 र की छट नमलगी ऄथ मत 36 र दन पडग

मरी - परीकष की ऄक सची म भी तो पर पत क क स थ परनतशत ऄक नलख ज त ह

रमश - परनतशत क ईपय ग और कह ा-कह ा होत ह

सलम - चलो नमलकर आसकी सची बन य

सभी छ तर सची बन न म जट गए सोच नवच र कर ईनहोन कछ ईद हरण नलख -

1 परीकष म ऄननल को 93 परनतशत ऄक पर पत हए

2 नपछली व रसषक परीकष म 87 परनतशत छ तर एा एव 76 परनतशत छ तर ईततीणम हए

3 बक जम र नश पर 5 परनतशत व रसषक बय ज दत ह

4 वय प र क कषतर म ल भ तथ ह नन को परनतशत म बत य ज त ह

5 दश क 70 परनतशत लोग ग व म रहत ह

6 ठड क मौसम म नबकन व ल पखो पर 15 परनतशत की छट

चलो हम भी समझ दक परनतशत कय ह और आसकी कय जररत ह

परनतशत की अवशयकत कयो

एक परीकष म ईम को 10 म स 8 ऄक पर पत हए नवनय को 20 ऄक म स 15 ऄक पर पत हए कय

अप बत सकत ह दक दकसको जय द ऄचछ ऄक पर पत हए ह

दोनो क ऄको की तलन करन क नलए दोनो क हर सम न करन होग

ऄथ मत ईम क पर पत क 8

10 =

8times2

10times2 =

16

20 ह

तथ नवनय क पर पत क 15

20 ह

ऄब कयोदक दोनो नभननो क हर सम न ह ऄतः आनकी तलन कर सकत ह

ऄब हम कह सकत ह दक ईम क पर पत क ऄनधक ह ऄथ मत जब भी तलन करनी हो हम दकतन म स

नमल ह ईस बर बर करन होत ह

P a g e | 149

यदद दोनो क पर पत क आस परक र बदल ज एा दक हर 100 हो तो -

ईम क पर पत क 8

10 =

8times10

10times10 =

80

100

चदक 10 म 8 ऄक बर बर ह 100 म 80 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक ईम क पर पत क

80 परनतशत ह

नवनय क पर पत क 15

20=

15times5

20times5 =

75

100

चादक 20 म 15 ऄक बर बर ह 100 म 75 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक नवनय क

पर पत क 75 परनतशत ह

ईम क पर पत क क परनतशत ऄनधक ह

आस परक र उपर ईद हरणो म अपन दख होग दक परनतशत क ऄथम lsquoपरनत सकड lsquo स ह यह अकड़ो

की तलन करन म ईपयोगी ह एक सम न अध र जो हर पररनसथनत म तलन क क म अ सक यह अध र

स म नयतः 100 नलय ज त ह जब पर पत को की तलन 100 क अध र पर की ज ती ह तब ईनक 100 म

स पर पत को को परनत सकड़ कहत ह ऄतः परनतशत म lsquoपरनतrsquo क ऄथम परतयक और lsquoशतrsquo क ऄथम सकड़ स ह

परनतशत क नलए नचनह क परयोग दकय ज त ह

ननमननलनखत त नलक म पर पत को की तलन कर दक दकस ऄनधक ऄक पर पत हए आसक नलए हम

पत करग दक दकसक ऄको क परनतशत ऄनधक ह

सलम क पर पत क क परनतशत सबस ऄनधक ह सोनचए दक यदद हम ऄनय दकसी तरीक स तलन

करन च ह तो कय वह आतन अस न होग

दिय कल प 1

नीच दी गइ त नलक को भररए तथ दखकर बत आए की दकस नवदय लय क परीकष फल जय द

ऄचछ ह आसक नलए भी अप परनतशत ननक लग

P a g e | 150

ईपरोकत दिय कल प स यह सपषट ह दक दो य दो स ऄनधक पररनसथनतयो क बीच तलन परनतशत की

सह यत स बड़ी अस नी स की ज सकती ह

यदद परनतशत 100 क अध र स तलन ह तो कय कभी परनतशत म म न 100 स ऄनधक हो

सकत ह अआए दख

ईद हरण 1

एक ददन सबजी-ब ज र म 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी दसर ददन 750 दकलोगर म

अल की खरीदी की गयी तो बत आय दक अल की खरीदी दकतन परनतशत बढ़ी

चदक पहल ददन 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी

दसर ददन 750 दकलोगर म अल खरीद गय

आस परक र अल की खरीदी म बढ़ोततरी -

= 750 दकगर - 300 दकगर

= 450 दकगर

ऄब 300 दकगर अल की खरीदी म 450 दकगर म बढ़ोततरी हइ ह

there4 1 दक गर म म 450

300 दकगर अल की खरीदी म बढ़ोतरी हइ

ऄतः अल की खरीदी म बढ़ हअ परनतशत

= 450times100

300= 150

कय अप दननक जीवन क ऐस ईद हरण सोच सकत ह जह ा (i) परनतशत 100 स कम (ii) बर बर

और (iii) 100 स ऄनधक ईपयोग म ल य ज त ह

प ाच-प ाच ईद हरण सोच व ऄपन दोसतो को बत ए

P a g e | 151

दिय कल प 2

ननमननलनखत नचतर क दकतन परनतशत भ ग को छ य दकत दकय गय ह तथ छ य दकत भ ग क

नभनन तमक म न कय ह ददए गए ररकत सथ न म नलनखए

जस -

P a g e | 152

नचतर 8

अपन उपर बन नचतरो म परतयक छ य दकत भ ग को परनतशत एव नभनन म बदलकर दख ह

कय परनतशत नभनन क बदल हअ एक रप ह

अआए कछ ईद हरणो को हल करक दख

दिय कल प 3

अपन पवम म सीख ह दक दकसी नभनन क हर यदद 100 हो तो वह नभनन ऄश क परनतशत क

बर बर होत ह ननमननलनखत नभननो को परनतशत म बदनलए

P a g e | 153

दिय कल प 4

नीच कछ परनतशत को नभननो म बदल गय ह शष की परसत कीनजए ndash

नशकषको क नलए (यदद नवदय थी 120783

120784 को परनतशत म बदलन क नलए सीध

120783

120784times 120783120782120782 करत ह तो मल ननयम

समझ त हए ईस वस करन द)

ईपरोकत दिय कल प म अपन दख दक 100 क नभनन रप 1

1 ह

आस परक र 50 क नभनन रप 1

2 ह

ऄतः परनतशत नभनन क ही एक रप ह

ईद हरण 2

एक श ल म 26 जनवरी क ददन कल 200 लडड ल य गय ईनम स 90 लडड छ तरो म ब ाट ददय

गय बच हय लडडओ की सखय जञ त कीनजए

हल परशन नस र

कल लडड तर 200

ब ट गय लडडओ की सखय = 200 क 90

= 200times90

100

ब ाट गए लडड = 180

शष लडड = 200 - 180

= 20 लडड

P a g e | 154

ईद हरण 3

एक ग ाव की जनसखय 10000 ह ईसम 60 मनहल एा 25 परष और शष बचच ह परतयक की

सखय जञ त कीनजए

हल- ग ाव की जनसखय = 10000

चदक 60 मनहल एा ह ऄथ मत 10000 क 60 मनहल एा

there4 मनहल ओ की सखय = 10000times60

100 = 6000

ऄतः मनहल ओ की सखय तर 6000

ऄब चदक 25 परष ह ऄथ मत 10000 क 25

there4 परषो की सखय = 10000times25

100 = 2500

ऄतः परषो की सखय = 2500

बचचो की सखय = 10000 ndash (6000 + 2500)

= 10000 - 8500

= 1500

ईद हरण 4

शय म न एक दक न स 50 रपय की एक पसतक खरीदी दक नद र न ईस 20 परनतशत की छट दी

तो शय म को दकतन रपय दक नद र को दन होग

हल 100 रपय म 20 रपय की छट

there4 1 रपय म 20

100 रपय की छट दत ह

there4 50 रपय म = 50times20

100 = 10 रपय की छट दग

ऄतः शय म को 50 - 10 = 40 रपय दक नद र को दन होग

ईद हरण 5

i 650 रपय क 50 जञ त कीनजए

ii 750 दकगर क 5 जञ त कीनजए

हल

i 650 रपय क 50 = 650times50

100

= 325 रपय

ii 750 दकगर क 5 = 750times5

100 = 375 दकगर

P a g e | 155

ईद हरण 6

धवल को व रसषक परीकष म 500 म स 450 ऄक नमल तथ यश को 900 म स 675 नमल दोनो म

स दकसक परीकष फल ऄचछ ह

परशन नस र ndash

ईपरोकत हल स सपषट ह दक धवल क परीकष फल यश स बहतर ह

परशनो को नयी नवनध य ऄनय नवनध स भी हल करन क परय स कर ऄपनी नवनध पर ऄपन स नथयो

व नशकषक महोदय स चच म कर

परशन वली 13

1 ननमननलनखत को परनतशत म बदनलए

(i) 3

2 (ii)

5

2 (iii)

1

5 (iv)

3

20

2 ननमननलनखत परनतशतो म परतयक को नभनन म वयकत कीनजए

(i) 50 (ii) 15 (iii) 2 (iv) 10

3 360 र क 60 जञ त कीनजए

4 480 दकलोगर म क 15दकतन होग

5 सीत को 500 म स 250 ऄक पर पत हए ईसक पर पत क क परनतशत जञ त कीनजए

6 र म को 10 र की गनणत की पसतक म 10 छट नमलती ह तो वह पसतक ईस दकतन म नमलगी

7 एक श ल म 15 ऄगसत क ददन कल 300 टॉदफय ा ल यी गयी ईनम स 99 टॉदफय ा छ तरो म

ब ाटी गयी बची हइ ट ादफयो की सखय जञ त कीनजए

8 यदद रप को व रसषक परीकष म 600 म स 390 ऄक पर पत होत ह तो ईस दकतन परनतशत ऄक पर पत

हए

9 यदद दकसी रबर को खीचकर दगन लमब कर ददय ज त ह तो लमब इ म वनदध परनतशत जञ त

कीनजए

10 दकसी शहर की कल जनसखय क 40 परष 35 मनहल एा और शष बचच ह यदद बचचो की सखय

18000 हो तो परषो और मनहल ओ की सखय जञ त कीनजए

11 दकसी ग ाव की जनसखय 3000 ह पहल वषम 10 बढ़ती ह एक वषम ब द ईसम 10 की कमी

अती ह तो जनसखय म होन व ली परनतशत बढ़ोतरी य कमी जञ त कीनजए

P a g e | 156

12 एक वयनकत 630 रपय क स म न खरीदत ह दक नद र न ईसस कवल 567 रपय नलए हो तो ईस

वयनकत को दकतन परनतशत की छट नमली

13 दकसी सखय क 75 600 रपय ह तो वह सखय जञ त कीनजए

14 बक म एक वयनकत न 5000 रपय जम कर य कछ वषो क ब द ईस 6000 रपय नमल तो ईसक

धन म दकतन परनतशत की वनदध हइ

15 दकसी ककष की दजम सखय 40 ह आनम 36 लड़क ईततीणम हो गय हो तो ईततीणम एव ऄनततीणम क

परनतशत जञ त कीनजए

16 दकसी ग व म 90 वयनकत स कषर ह यदद ईस ग व की जनसखय 1600 ह तो स कषर एव ननरकषर

की सखय जञ त कीनजए

हमन सीख

1 परनतशत क ऄथम lsquolsquoपरनत सकड़ rsquorsquo स ह

2 परनतशत की सह यत स तलन कर सकत ह

3 परनतशत को नभनन दशमलव तथ ऄनप त म वयकत कर सकत ह एव नभनन दशमलव तथ ऄनप त

को भी परनतशत म वयकत कर सकत ह

P a g e | 157

अप दो सखय ओ की तलन करन क नलए कहत ह दक एक सखय दसरी सखय स बड़ी ह छोटी ह य

सम न ह

दिय कल प 1

नीच तलन पर अध ररत कछ कथन ददए गए ह जो ऄपणम ह ख ली बॉकसो म = gt य lt क नचहन

क ईपयोग कर कथनो को पणम कीनजए -

जस 1 3 + 5 7 2 8 + 7 15

3 4 + 6 11 4 13 + 8 18

5 23 + 7 30

अपन दकस तरह आन नचहनो क ईपयोग दकय ह ऄपन तको क ब र म सोच

यह ा पर दो पकष ददए गए ह ब कस क ब ाय तरफ ब ाय पकष तथ द य तरफ द य ा पकष ह कथनो म 3

+ 5 ब य ा पकष ह चदक यह द य ा पकष 7 स बड़ ह ऄतः 3 + 5 gt 7

नजन कथनो म = नचहन क ईपयोग दकय गय ह ईनह छ ाटकर ऄपनी कॉपी म नलनखए

नजन कथनो को अपन कॉपी म नलख ह ईनह छोड़ ब की ऄसम नत क कथन ह अआए कछ और

कथनो को दख नजनम चर को क ईपयोग दकय गय ह

जस x + 5 = 13 म यदद x = 5 हो तो x क सथ न पर 5 रखन पर ब य ा पकष = 5 + 5 = 10 होत ह

द य ा पकष = 13 ह ऄतः यह कथन सही नही ह ब य ा पकष sup1 द य ा पकष परनत x क सथ न पर 8 रखन पर

दोनो पकष बर बर हो ज त ह और यह कथन सही हो ज त ह

दिय कल प 2

नीच कछ कथन ददए गए ह ईनक स मन ग क म न ददय गय ह ग क ददए गए म न क नलए

कथन सतय ह य ऄसतय बॉकस म नलनखए -

1 x + 3 = 8 यदद x = 5 तो कथन ह

2 x - 2 = 4 यदद x = 7 तो कथन ह

3 x + 2 = 10 यदद x = 8 तो कथन ह

4 7 = 12 - x यदद x = 3 तो कथन ह

5 3 = x - 9 यदद x = 5 तो कथन ह

जो कथन ऄसतय ह कय व ग क दकसी म न क नलए सतय होग यदद ह ा तो परतयक क नलए ग क म न को

ऄपनी कॉपी म नलनखए आस परक र ईपरोकत कथन तभी सतय होग जब दोनो पकष अपस म बर बर होग

ऐस कथन नजनम चर क श नमल हो और दोनो पकष बर बर हो समीकरण कहल त ह ऄथ मत सम नत व ल

gt

सतय

P a g e | 158

व कथन नजनम एक य एक स ऄनधक बीजीय ऄक होत ह rsquorsquoसमीकरणlsquolsquo कहल त ह आसम बर बर क ब यी

ओर क समसत चर और ऄचर पदो को समीकरण क rsquorsquoब य ा पकषlsquolsquo और द य ओर क समसत पदो को

समीकरण क rsquorsquoद य ा पकषlsquolsquo कहत ह

समीकरण कयो

एक ददन नरश न ऄपन स नथयो स एक सव ल पछ दो टोकररयो म ऄमरद रख हए ह दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद ह यदद पहली टोकरी म 8 और ऄमरद रख ददय ज ए तो दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क बर बर ऄमरद हो ज त ह कय अप लोग दोनो टोकररयो म ऄमरदो की सखय

बत सकत हो

नरश क सभी स थी हल सोचन लग परनत ईनह कछ सझ नही रह थ तभी ऄन न बत य दक

पहली टोकरी म 8 तथ दसरी टोकरी म 16 ऄमरद ह नरश न कह दक ईततर तो ठीक ह परनत तमन आस

कस हल दकय

ऄन न बत य - lsquolsquoमन पढ़ ह दक दकसी सखय म यदद ईसी सखय को जोड़ ददय ज ए तो ईस सखय

क दो गण पर पत हो ज त ह चादक पहली टोकरी म रख ऄमरदो म 8 ऄमरद और जोड़न पर ऄमरदो की

सखय दो गणी हो ज ती ह तो वह सखय 16 ही होगी कयोदक 8 म 8 जोड़न पर 16 होत हlsquolsquo

नरश न बत य दक आस एक और तरीक स हल कर सकत ह -

ऄमरद (पहली टोकरी म) + 8 = पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद (दसरी टोकरी म)

8 म 8 जोड़न पर ही दो गण हो सकत ह ऄतः पहली टोकरी म 8 ऄमरद ह एव दसरी टोकरी म

16 ऄमरद ह

तभी फरीद न कह lsquolsquoहमन चर र नश व ल प ठ म पढ़ ह दक जब दकसी सखय क म न म लम

नही ह तो ईस हम कोइ भी चर क म न सकत हrsquorsquo

म न दक पहली टोकरी म x ऄमरद ह

तो दसरी टोकरी म 2 x ऄमरद ह ग

ऄब पहली टोकरी म 8 ऄमरद और नमल न पर ईसम x + 8 ऄमरद हो गए और यह दसरी

टोकरी क ऄमरद क बर बर ह

ऄथ मत x + 8 = 2x

नरश न कह lsquolsquoऄर व ह यह तो एक समीकरण बन गय और यह ा x क म न 8 रखन पर यह कथन

सतय हो ज त ह आसक मतलब यही हअ दक ऄजञ त म न व ल सव ल को समीकरण की सह यत स बड़ी

अस नी स हल दकय ज सकत हlsquolsquo

अपन भी दख दक ऄजञ त र नशयो क म न ननक लन क नलए समीकरण दकस परक र ईपयोगी ह

अआए ऄब हम समीकरण कस बन य ज त ह दख

दसरी टोकरी म

ऄमरद पहली टोकरी

क 2 गण ऄमरद

पहली टोकरी म

ऄमरद

P a g e | 159

समीकरण कस बन ए

एक खल खलत ह अप सब ऄपन मन म ऄपनी-ऄपनी ईमर सोनचए आसम 5 जोड़ दीनजए योगफल

को 2 स गण कर ईसम 10 घट आए जो ऄनतर अय ईसम ऄपनी ईमर को घट दीनजए अपक ईततर ही

अपकी ईमर ह

नरश क हल नशकषक क ननदश ऄन क हल

12 वषम ऄपनी ईमर सोच 11 वषम

12 + 5 = 17 वषम 5 जोनड़य 11 + 5 = 16 वषम

17 times 2 = 34 वषम 2 स गण कीनजए 2 times 16 = 32 वषम

34 - 10 = 24 वषम 10 घट आए 32 - 10 = 22 वषम

24 - 12 = 12 वषम ईमर को घट आए 22 - 11 = 11 वषम

आसी परक र सभी न प य दक ईनहोन जो ऄपनी ईमर सोची थी वही ईततर क रप म अ रही ह यह

कस हअ अआए आस समझ -

म न दक सोची गइ ईमर x वषम ह

ईमर म 5 जोड़ = x + 5

योगफल को 2 स गण दकय 2(x + 5) = 2x + 10

10 घट य 2x + 10 - 10 = 2 x

सोची गयी ईमर को घट य 2 x - x = x

अप वही हल पर पत कर रह ह जो ईमर अपन सोची थी

आस हल को दखत ही र ज न कह lsquolsquoऄब म भी समीकरण बन न क परशन पछ सकत हा दकसी सखय

म 2 क गण कर 5 घट न स 3 अत ह तो समीकरण कय होगी ऄन न ततक ल समीकरण बन य -

rsquorsquoम न दक सखय ग ह 2 क गण करन पर अय 2x आसम 5 घट न पर नमल 2x - 5 जो 3 क बर बर ह

ऄथ मत समीकरण होग -

2x - 5 = 3

ऄन न कह lsquolsquoऄब म तमह एक समीकरण द रही हा तम आस शबद रप म कस बदलोग

समीकरण 7 y - 5 = 9

हमीद न तरत सोच दकसी सखय म 7 क गण करक 5 घट न पर 9 क बर बर ह

ऄब सभी नवदय थी समीकरण बन न और समीकरण को शबद रप म बदलन म ददलचसपी ददख न लग

परशन वली 141

परशन 1 ननमननलनखत म स समीकरण छ टकर नलनखए -

i x - 4 = 10 (vi) 7 = 2x - 5 (x) ly +lx = px

ii x - 4 - 10 (vii) 3x ndash 2x =2x

iii 2y - 3 + 9 (viii) 5

119909= 3

iv 5 (2y ndash 3) = 15

(v) 3 x + 4 (ix) 45 +32z + z

P a g e | 160

परशन 2 ननमननलनखत समीकरणो क ब य ा एव द य ा पकष बत आए -

i x - 5 = 9

ii 2 x - 3 = 7

iii 2y = 9 - y

iv 2y = 6

v 15 = 2a + 5

परशन 3 ननमननलनखत कथन म ऄजञ त सखय y क परयोग करक समीकरण म बदनलए -

i दकसी सखय क दगन म स 3 कम करन पर 17 अत ह

ii दकसी सखय क छठ भ ग 7 ह

iii दकसी सखय एव 5 क ऄनतर 8 ह

iv दकसी सखय म 7 क गण कर 5 घट न स 9 बचत ह

परशन 4 समीकरणो को कथन क रप म नलनखए

i x - 6 = 9

ii 7y - 14 = 0

iii 2119909

3 = 6

iv 119909

2+ 5 = 10

v 38 - 2 x = 4

समीकरण हल करन

अपन दिय कल प 2 म यह दख दक परतयक कथन x क कवल एक म न क नलए ही सतय ह जस-

x + 2 = 4 म यदद x = 7हो तब कथन ऄसतय ह कय दक x क म न 7 रखन पर ब य ा पकष द य

पकष क बर बर नही होत यह x = 2 रखन पर ही सतय होत ह ऄथ मत आस परक र क परतयक समीकरण क

कवल एक ही हल ह

दिय कल प 3

नीच दी गइ स रणी म ग क चर क व ल समीकरण ददए गए ह x क ऄलग-ऄलग म न क नलए आस

समीकरण क दोन पकष सम न ह य ऄसम न ईद हरण क ऄनस र भररए ndash

P a g e | 161

x क नजस म न क नलए समीकरण क दोनो पकष बर बर ह वही समीकरण क हल ह आस नवनध को

तररट एव परय स नवनध कह ज त ह

अआए तर ज क म धयम स समीकरण क कछ गणो को नचनतरत करक दख

नचतर 2 क समीकरण x - 2 = 3 म ब य ा पकष x - 2 ह तथ द य ा पकष 3 ह यह तर ज सतलन की

ऄवसथ म ह ऄब यदद हम तर ज क ब एा पलड म कछ भ र रख तो सतलन ल न क नलए द एा पकष म भी

ईतन ही भ र रखन पड़ग ईसी परक र यदद द एा पकष स कछ भ र ननक ल ल तो सतलन क नलए ब एा पकष

स भी ईतन ही भ र ननक लन पड़ग ऄथ मत यदद दकसी समीकरण क एक पकष म कोइ सदिय की ज ए तो

दसर पकष म भी वही सदिय करनी होगी तभी समीकरण क दोनो पकष बर बर रहग

यह जञ त ह दक ( - 2 ) + ( 2 ) = 0 होत ह ईपरोकत समीकरण म ब एा पकष म यदद 2 जोड़ ददय

ज ए तो x बचग चदक ब एा पकष म दो जड़ रह ह तो समीकरण को सतलन म रखन क नलए द एा पकष म

भी 2 जोड़न पड़ग

ऄथ मत - x - 2 = 3

X - 2 + 2 = 3 + 2

X + [(- 2) + (2)] = 5

x = 5

आसी परक र यदद 7 x = 21 हो

7 म 7 क भ ग ददय ज ए तो 1 पर पत होत ह यदद 7 x म 7 क भ ग द तो x पर पत होग चदक

ब एा पकष म 7 क भ ग ददय ज रह ह तो द एा पकष म भी 7 क भ ग दन पड़ग

ऄथ मत - 7x = 21

7119909

7=

21

7

x = 3

ईद हरणो म अपन सीख दक दकसी समीकरण क दोनो पकषो म यदद कोइ नसथर क जोड़ ददय ज ए

य दकसी नसथर क को घट ददय ज ए ऄथव दकसी नसथर क स गण दकय ज य य भ ग ददय ज ए तो

समीकरण क सतलन म कोइ पररवतमन नही होत

P a g e | 162

दिय कल प 4

नीच दी गयी स रणी म समीकरणो क दोनो पकषो म कय जोड़ घट य गण कर य भ ग द दक चर

क म न पर पत हो ज ए ददए गए ईद हरण क ऄनस र ररकत ख नो को भररए ndash

ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x + 3 = 10

ii 6 = y + 4

iii s + 6 = 15

iv 7 + t = 25

दिय कल प 5

अपन सरल समीकरण (नजसम सदिय एक ही ब र करनी पड़ रही ह) को हल करन सीख नलय

ह अआए ऄब कछ ऐस समीकरण हल कर नजसम दो सदिय करनी पड़ रही ह

P a g e | 163

P a g e | 164

ऄभय स 1

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

(i) 3x + 8 = 20 (ii) 4x + 10 = 30

(iii) 5x - 7 = 8 (iv) 6x - 7 = 11

(v) 3x + 21

7 = 0 (vi) 29 = 7x + 1

(vii) 60 ndash 8x = - 4 (viii) 19x + 7 = 45

समीकरण बन न एव हल करन तो अप भली भ ानत सीख चक ह कछ सखय ओ स समबननधत

समसय ओ को समीकरण क दव र हल कर

ईद हरण 1 दकसी सखय म 5 की वनदध की ज ए तो सखय 20 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल

म न दक वह सखय x ह तो सखय म 5 जोड़न पर = x + 5

समसय ऄनस र

ऄब x + 5 = 20

दोनो पकषो म 5 घट न पर

X + 5 - 5 = 20 - 5

x = 15

सतय पन -

ब य ा पकष = x + 5

= 15 + 5 (x क म न रखन पर)

= 20

= द य ा पकष

ईद हरण 2 दकसी सखय म 6 की कमी करन पर वह सखय 10 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र सखय म 6 की कमी करन पर सखय x - 6 हो ज ती ह जो 10 क बर बर ह

ऄथ मत x - 6 = 10

दोनो पकषो म 6 जोड़न पर x - 6 + 6 = 10 + 6 (यह ा - 6 + 6 = 0 और 10 + 6 = 16)

x = 16

सतय पन - ब य ा पकष = x - 6 = 16 - 6 (x क म न रखन पर)

= 10

= द य ा पकष

ईद हरण 3 दकसी सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र ईस सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह

P a g e | 165

पहल चरण सखय क दो गण = 2 x

दसर चरण 2x म 7 जोड़न पर 2x + 7

तीसर चरण कथन नस र 2 x + 7 = 37

2 x + 7 - 7 = 37 - 7 (दोनो पकषो म 7 घट न पर)

2119909

2 =

30

2

(दोनो पकषो म 2 क भ ग दन पर)

x = 15

सतय पन

ब य ा पकष = 2 x + 7 = 2 times 15 + 7 (x क म न रखन पर)

= 30 + 7

= 37

= द य ा पकष

ईद हरण 4 दकसी सखय क एक नतह इ करन पर वह सखय 11 हो ज ती ह वह सखय जञ त कीनजए

हलः म न दक वह सखय x ह

परशन नस र

आस सखय क एक नतह इ ऄथ मत बर बर ह 11 क

ऄथ मत 119909

3= 11

x क म न ननक लन क नलए समीकरण क ब य पकष क हर स 3 को हट न होग

आसनलए दोनो पकषो म 3 क गण करन पर

119909

3times 3 = 11 times 3

x = 33

सतय पन 33 क एक नतह इ = 33

3= 11

ईद हरण 5 म लती एव ईसक नपत की अय क योग 49 वषम ह यदद म लती की अय 12 वषम हो तो

ईसक नपत की अय जञ त कीनजए

हल म न दक म लती क नपत की अय x वषम ह

परशन नसर म लती की अय 12 वषम ह

दोनो की अय क योग = x + 12

चदक दोनो की अय क योग 49 वषम ह

ऄतः x + 12 = 49

x + 12 - 12 = 49 - 12 (दोनो पकषो म 12 घट न पर)

x + 0 = 37

x = 37

नपत की अय 37 वषम ह

P a g e | 166

सतय पन - नपत की अय एव म लती की अय क योग

= 37 + 12

= 49 वषम

ईद हरण 6 नशव गी क परस म कवल 50 पस क नसकक ह यदद पसम म 25 र हो तो नसकको की सखय जञ त

कीनजए-

हल म न लो दक नसकको की सखय ग ह

परतयक नसकक क मलय = 50 पस 1

2= रपय

x नसकको क मलय = 1

2119909 रपय

ऄतः परशन नस र 1

2 119909 = 25

1

2 119909 x 2 = 25 x 2 (दोनो पकषो म 2 क गण करन पर)

x = 50

ऄतः नशव गी क पसम म 50 पस क 50 नसकक ह

ज ाच 50 नसकको क मलय = 50 x 50

= 2500 पस

= 2500 र

परशन वली 142

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x - 3 = - 4

ii z - 8 = 0

iii 3y = 9

iv 16 = 3y + 7

v 5+ 119909

3 = 7

vi 9z - 7 = 14

2 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए एव ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए -

i 3 (2 + x ) = 12

ii 10 - z = 6

iii 119909

5= 15

iv 7 ndash 4y = 3

3 दकसी सखय क दोगन 10 ह सखय कय होगी

4 दकसी सखय क दगन म 35 जोड़ ज ए तब 85 पर पत होत ह वह सखय कय होगी

5 25 पस क दकतन नसकक 10 र क बर बर होग

P a g e | 167

6 दकसी सखय क अध म स यदद 4 घट य तब 6 पर पत होत ह सखय कय होगी

7 ईम क प स कछ मीटर कपड़ ह ईसम स 2-2 मीटर कपड़ क वह 4 पद बन दती ह ईसक ब द भी

ईसक प स 5 मीटर कपड़ बच रहत ह तब पर रभ म ईसक प स दकतन मीटर कपड़ थ

हमन सीख

दकसी भी समसय को समीकरण क दव र हल करन क नलए ननमननलनखत ब तो पर नवशष धय न

ददय ज न च नहए -

1 समसय को ऄचछी तरह पदढ़ए एव ननध मररत कीनजए दक कौन-कौन सी जञ त र नश एव कौन-कौन

सी ऄजञ त र नश ह

2 ऄजञ त र नश को x y z आतय दद स वयकत कीनजए

3 समसय को एक-एक शबद क ऄनस र जह ा तक सभव हो गनणतीय कथन म पररवरसतत कीनजए

4 व र नशय ा ननध मररत कीनजए जो बर बर हो और ईनस एक ईनचत समीकरण बन आए

5 समीकरण को ऄजञ त र नश क नलए हल कीनजए

6 यह ज ाच कीनजए दक अपक ईततर समसय म दी हइ शतो को सतषट करत ह ऄथव नही

P a g e | 168

सकल क ईपयोग

अप जब कपड़ खरीदन ब ज र ज त ह तो दक नद र ऄकसर एक लोह की छड़ स न प कर कपड़

दत ह अपन भी लमब इ न पन क नलए कइ ब र ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल क ईपयोग दकय ह

ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल को दनखए तथ नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए-

सकल म म पन क नलए दो परक र क पम न होत ह पत कर दक दोनो पम नो की आक इ दकतन-

दकतन छोट खणडो म बटी ह सबस छोट खणड की म प कय ह

सकल क ईपयोग अप समय-समय पर करत रहत ह कय ऄपनी कॉपी पर ऐस तीन रख खणड

खीच सकत ह नजनकी लमब इ िमशः 35 समी 42 समी और 89 समी हो

और भी ऐस नवनभनन म पो क रख खणड खीच

सकल क ईपयोग अप जीवन म कह ा-कह ा करत ह सची बन ए

वतत बन न

वतत बन न क नलए अपन परक र क ईपयोग तो दकय ही होग अप यह भी ज नत ह दक वतत

कय होत ह कौन-सी अकनतय वतत क र ह चनलए अस-प स की वतत क र चीजो की सची बन ल यह

सची अपन पहल भी बन इ होगी आस ब र और लमबी सची बन ए

परक र क ब र म ज नन

(1) एक परक र की दकतनी भज एा होती ह

(2) कय यह भज एा सम न लमब इ की ह

(3) नोकव ली भज क कय ईपयोग ह कय नोक नतरछी होनी च नहए

(4) वतत बन त समय यदद नोक व ली भज ऄपन सथ न स नखसक ज ए

तो कय वतत ठीक बनग

अप परक र की बन वट एव ईपयोग करन क तरीक समझत ह ऄपनी

कॉपी पर 32 समी 47 समी और 51 समी नतरजय क वतत बन ए कछ

और भी वतत ऄपन मन स सोच कर बन ए

जय नमतीय बॉकस क ऄनय ईपकरण

रख खणड क ऄधय य म अपन नडव आडर क ईपयोग भी दकय ह कय अप

बत सकत ह दक परक र और नडव आडर क ईपयोग कय -कय ह

आस परक र अपक जय नमनत बॉकस म एक च ाद भी रख हअ ह आस धय न स

दनखए और ददए गए

P a g e | 169

परशनो क ईततर दीनजए -

(1) च ाद की अकनत कसी ह

(2) च ाद क ऄदधमवतत क रनम भ ग कल दकतन खणडो म बाट ह

(3) कय अप ऄपनी कॉपी पर 47 95 तथ 170 क कोण बन सकत ह

ऄपन जय नमनत बॉकस म रख सकल परक र नडव आडर और च ाद स तो पररनचत हो ही चक ह

कय अपक जय नमनत बॉकस म और कोइ ईपकरण भी ह

जो दो नतरभज कर ईपकरण बच ह ईनह ननक ल कर ऄपनी कॉपी पर रनखए एव परतयक स सट कर

पननसल को आस परक र चल आए दक ईपकरणो की ब हरी अकनत कॉपी पर ईभर अए

दोनो ईपकरणो क परतयक कोण को म नपय

ऄब तो अप समझ ही चक ह दक परतयक नतरभज क र ईपकरण क एक कोण 90ह ह तथ ब की

दोनो कोण एक म 45-45 क ह एव दसर म 30 एव 60 क ह

आन दोनो ईपकरणो को सट सव यर (गननय ) कह ज त ह

अप सट सव यर की सह यत स दकसी रख पर 90ह क कोण बन आए एव च ाद की सह यत स

कोण को म पकर ज ाच कीनजए

यदद सट सव यर स बन य गए कोण क म प ठीक 90ह क नही ह तो दकतन ऄलग ह आस ऄतर

क क रण सोनचए

सट सव यर की सह यत स रचन एा करन

दकसी दी हइ रख खणड पर ऐस नबनद स लमब खीचन जो रख पर नसथत नही हः

PQ कोइ रख खणड ह तथ M आस रख खणड क ब हर कोइ नबनद ह

रचन क पद

1 सकल क आस परक र रनखए दक ईसक एक दकन र PQ ऄनददश रह(नचतर-2)

2 सकल स सट कर सटसव यर की एक लमबवत भज को रनखए धय न रह दक सकल नहल न प य

दसरी भज सकल क लमबवत ह

3 सकल को कसकर दब ए रनहए तथ सटसव यर को सकल स रगड़त हए आस परक र चल आए दक

सटसव यर की दसरी लमबवत भज ददए गए नबनद M को छन लग (नचतर-4)

4 नबनद M को छ रही सटसव यर की भज क ऄनददश रख खणड खीनचए

5 यह ML रख खणड PQ पर लमब होगी

P a g e | 170

सट सव यर और सकल की सह यत स सम नतर रख ए खीचन

अपन यह पढ़ ह दक दो सम नतर रख ओ क बीच की लमबवत दरी हमश सम न होती ह अपन

सट सव यर स दकसी सरल रख पर लमब खीचन सीख नलय ह कय अप सट सव यर और सकल की

सह यत स ऄपनी कॉपी पर दी गइ सरल रख क सम नतर कोइ सरल रख खीच सकत ह परय स करक

दनखए अपन दकस तरीक स सम नतर रख खीची ह वह भी नलनखए

दकसी रख क ब हर नसथत नबनद स आस रख क सम नतर दसरी रख खीचन

रचन क पद -

AB रख क ब हर कोइ नबनद P ह नबनद P स AB क सम नतर एक रख खीचनी ह

1 AB रख क ऄनददश सट सव यर की लमबवत भज ओ म स एक भज को रनखए

2 सटसव यर नहलन न प य ऄब सट सव यर की दसर लमबवत भज क ऄनददश सट कर सकल को

रनखए (नचतर 4)

3 सकल को आस तरह स दब ए रनहए दक वह नहल न प ए

4 सकल स रगड़त हए सटसव यर को ददय गए नबनद की ओर तब तक ल ज आए जब तक दक सटसव यर

की भज नबनद P को छन न लग (धय न रह सकल सरकन न प य)

5 ऄत म सटसव यर को ईसी नबनद पर नसथर रखकर P स होकर सटसव यर की भज क ऄनददश एक

सरल रख खीच यह PS सरल रख AB क सम नतर होगी च ह तो ऄलग-ऄलग जगह पर AB

और PS क बीच की दरी को म प कर ज ाच ल

दकसी रख क सम नतर रख खीचन क ऄथम यह ह दक ईस रख पर एक लमब रख खीचन

तथ लमब रख पर दफर स एक लमब खीचन जस नचतर म दश मय गय ह AB रख पर RQ लमब ह RQ

पर RS दफर स एक लमब ह ऄब AB तथ RS सम नतर ह

P a g e | 171

दकसी दी गइ रख स नननित दरी पर दसरी सम नतर रख खीचन

म न लीनजए AB रख स 6 समी दर एक सम नतर रख खीचन ह

रचन क पद (1) AB रख खीनचए

(2) सटसव यर और सकल क परयोग कर AB पर एक लमब

खीनचए (नचतर 7)

(3) PQ पर कोइ नबनद R आस परक र लीनजए दक Q स R

की दरी 6 समी हो

(4) सटसव यर की सह यत स R पर लमब RS

खीनचए RS ही AB क सम नतर होगी तथ AB स

6 समी की दरी पर होगी

ऄभय स 1

1 3 समी क रख खणड खीचकर ईसस ननमननलनखत दरी पर सम नतर रख खीनचए

(i) 15 समी (ii) 20 समी (iii) 22 समी (vi) 31 समी

परक र और सकल की सह यत स रख खणड क समनदवभ जक खीचन

अआए एक दिय कल प कर -

दिय कल प 1

दकसी म प क एक रख खणड AB खीनचए A नबनद पर परक र रखकर B तक फल आए और A को

कनर म नकर एक वतत खीनचए ऄब आसी न प क एक वतत B को कनर म नकर खीनचए दोनो वतत नजन

नबनदओ पर कटत ह ईनह नचहन दकत कर एव न म दीनजए

ऄब परक र क फल व को कछ कम करक पनः A नबनद पर रखकर

एक वतत तथ B नबनद पर रखकर ईसी न प क दसर वतत खीनचए य दोनो

वतत उपर नीच नजन नबनदओ पर एक दसर को क टत ह ईन नबनदओ को पनः

नचहन दकत कर R एव S न म दीनजए

P a g e | 172

आसी परक र परक र क फल व को कम करत ज आए तथ A एव B नबनदओ स वतत बन त ज आए तथ

सम न न प क वततो क कट न नबनदओ को नचहन दकत करत ज आए नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए -

1 अप वततो को िमशः छोट करत ज रह ह कय दो सम न न प क वतत जो नबनद A एव नबनद B स

खीच ज रह ह हमश एक दसर को क टग यदद नही तो दकस न प तक A और B नबनदओ स खीच

गए वतत एक दसर को क टग

2 अपन जो PQRSTU आतय दद नबनद पर पत की ह कय व सभी समरख ह कय अप

बत सकत ह दक ऐस कयो ह

3 रख AB को रख PQ दकस ऄनप त म क टती ह

4 रख AB रख PQ क स थ दकतन ऄश क कोण बन ती ह

ईपरोकत दिय कल प को हल करत समय अपन प य होग दक जस ही A और B नबनदओ स खीच

गए सम न अक र क वतत की नतरजय रख खणड की लमब इ क अध स कम हो ज ती ह तो व एक दसर को

नही क टत PQRSTU आतय दद सभी नबनद समरख ह एव PQ रख AB रख को समनदवभ नजत

करती ह तथ आन दोनो रख खणड क मधय 90deg क कोण बनत ह

आस परक र अप कह सकत ह दक दकसी दी गइ म प की रख खणड क यदद लमब समनदवभ जक

खीचन ह तो परक र को रख की लमब इ क अध स जय द फल आए तथ रख खणड क पर रनमभक एव

ऄनतम नबनदओ पर परक र रख वतत य वतत खणड बन आए ऄब दोनो वतत य वतत खणडो की जो कट न

नबनदए ह गी ईनह नमल न पर रख क लमब समनदवभ जक पर पत होग

दिय कल प 2

1 ऄपनी कॉपी म A एव B को दो नबनद लीनजए और ईनह नमल आय A B

2 नबनद A पर परक र की नोक रखकर AB रख खणड क अध स ऄनधक म प लकर रख AB क दोनो

ओर म प (वततखणड) बन आय

3 परक र की नोक को ऄब B नबनद पर रखकर ईसी न प स पनः AB क दोनो ओर च प बन आय जो

पवम म बन ए गए च प को क टत ह आनह P एव Q क न म दीनजए

4 ऄब PQ को नमल आए

5 रख खणड PQ AB को नजस नबनद पर क टत ह ईस O क न म दीनजए ऄब AO एव OB क

म प कर दनखए कय AO = OB

6 POB को म नपए कय POB=900आस परक र पर पत रख PQ रख

AB क लमब समनदवभ जक होग

P a g e | 173

परक र की सह यत स ऄलग-ऄलग न प क कोण बन न

दिय कल प 3

1 दकसी भी नतरजय क एक वतत खीचकर ईसक कनर को नचनहनत कीनजए

2 वतत पर कोइ नबनद A लीनजए A पर परक र को रखकर नजस नतरजय क

अपन वतत बन य ह ईसी नतरजय क एक च प वतत पर क रटए

3 नजस नबनद पर च प कट ह ईस नबनद पर परक र को रखकर ईसी नतरजय

क च प पनः क रटए

4 वतत पर च प क टन की आस परदिय को दोहर आए

नीच ददए परशनो क ईततर ढदढए

1 वतत को ईसकी नतरजय क न प व ल दकतन च पो म ब ाट सकत ह

2 कनर स सभी च पो क कट न नबनद को नमल आए दो िम गत कट न नबनदओ दव र कनर क स थ जो

कोण बन य ज रह ह ईनक म प कय ह

3 कय सभी कोण सम न म प क ह

4 यदद सभी कोण सम न म प क ह तो एक कोण क म प कय होग

ईपरोकत दिय कल प क परशनो क ईततर ढढ़त हए अपन प य दक दकसी वतत पर ईसकी नतरजय क

बर बर म प व ल छः च प कट सकत ह िम गत कट न नबनदओ दव र बन य गय परतयक कोण 600 क ह

कय ऄब अप सकल और परक र की सह यत स 600 कोण बन सकत ह

अआए सकल और परक र की सह यत स 600 क कोण बन य-

1 एक रख खणड खीनचए तथ आसक नबनद O पर एक ऐस ऄदधमवतत बन आए जो OA को D पर क टत

ह (नचतर 11)

P a g e | 174

2 D पर परक र को रखकर नजस नतरजय क ऄपन ऄदधमवतत खीच

ह ईसी नतरजय क च प ऄदधमवतत पर कट न बबद M पर पत कीनजए

(नचतर 12)

3 OM को नमल त हए B तक बढ़ आए (नचतर 13)

4 AOB = 600 होग

अपन पहल भी वतत को ईसकी नतरजय क बर बर सम न छः भ गो म ब ाट ह तथ यह भी दख ह

दक परतयक भ ग कनर स 600 क कोण बन त ह उपर अपन एक ब र च प क टकर 600 क कोण पर पत

दकय ह आसी च प को लकर यदद अप एक ब र M नबनद स अग पनः च प क टग तो अपको 1200 क

कोण नमलग तथ तीन ब र क टन पर 180

ऄभय स 2

1 परक र और सकल की सह यत स 1200 क कोण बन आए

कोण क समनदवभ जक खीचन

रचन क पद

1 ABC क नबनद B को कनर म नकर एक च प आस परक र क रटए दक वह AB को D नबनद पर तथ

BC को E नबनद पर क ट (धय न रह दक च प न ही बहत छोटी हो और न ही बहत बड़ी)

2 D को कनर म नकर एक च प बन आए पनः ईसी नतरजय क च प E स आस परक र बन आए दक दोनो

च प एक दसर को R पर क ट (नचतर 16)

3 B को R स नमल त हए अग बढ़ आए

4 रख BR ही ABC क समनदवभ जक ह

ऄभय स 3

1 520 क कोण बन कर ईसक समनदवभ जक खीनचए

2 1700 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए

3 600 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए और न प कर बत आय दक यह कोण

दकतन ऄश क ह

P a g e | 175

ददए गए कोण क बर बर कोण की रचन करन

म न लीनजए AOB ददय हअ ह AOB क बर बर एक दसरी कोण की रचन करनी ह

रचन क पद -

1 QP रख खीनचए Q नबनद पर AOB क बर बर कोण बन न ह

2 परक र को थोड़ स फल कर व O नबनद पर रनखए तथ आस परक र क एक च प क रटय जो OA

और OB दोनो भज ओ को िमशः R एव S पर क टत ह(नचतर 17)

3 आसी न प क च प Q नबनद पर परक र रखकर भी क रटए जो PQ को T पर क टत ह

4 परक र को R पर रखकर S तक फल आए एव ईसी म प क च प T पर रखकर TU क रटए और U

पर पत कीनजए (नचतर 18)

5 QV को नमल त हए R तक अग बढ़ आए

PQV = AOB

ऄभय स 4

1 च ाद की सह यत स 550 क एक कोण बन आए तथ आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

2 च ाद की सह यत स 1200 क कोण बन कर आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

रख खड क ब हर दकसी नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 एक रख AB खीनचए और आसक ब हर नबनद P लीनजए

2 P को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय क एक च प क रटए जो AB को D और E पर क ट (नचतर

20)

3 D और E को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय स दो च प क रटए जो एक दसर को R पर क ट

(नचतर 21) PR को नमल कर बढ़ आए

आस परक र PR AB

P a g e | 176

4 PRAB को Q पर नमलत ह (नचतर 22)

रख खड पर नसथत नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 सवमपरथम एक रख खड AB खीनचए नजस पर नबनद P नचनहनत कीनजए

2 नबनद P पर परक र की नोक रनखए तथ दकसी भी न प की नतरजय लकर रख खड AB पर ऄदधमवतत

क रटए जो दक रख खड AB को दो नबनदओ Q तथ R पर क टत ह (नचतर 24)

3 ऄब R पर परक र रनखए और दकसी भी म प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर की ओर एक च प

क रटए पनः rsquoQrsquo पर परक र रखकर ईसी च प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर ओर एक और

च प क रटए जो अपस म नबनद M पर क टत ह (नचतर 25)

4 नबनद M को P स नमल दीनजए (नचतर 26)

पर पत रख खड PM ही वह लमब रख ह

ऄथ मत PM AB

P a g e | 177

परशन वली 15

1 5 समी क एक रख खड खीनचए आसस 3 समी की दरी पर एक सम नतर रख खीनचए

2 सटसव यर की सह यत स ननमननलनखत कोण की रचन कीनजए

(i) 450 (ii) 600 (iii) 300 (iv) 900 (v) 1200

3 ननमननलनखत न प क रख खड लकर ईसक समनदवभ जन कीनजए

(i) 5 समी (ii) 45 समी (iii) 36 समी (iv) 54 समी

4 परक र व सकल की सह यत स ननमननलनखत कोण बन आय

(i) 600 (ii) 900 (iii) 1200 (iv) 1500

5 परक र व सकल की सह यत स ईपरोकत कोणो क समनदवभ जक कीनजए

6 च ाद की सह यत स ननमननलनखत न प क कोण बन आय एव परक र व सकल की सह यत स ईसक

सम न कोण की रचन कीनजए

(i) 680 (ii) 920 (iii) 1080 (iv) 1260 (v) 1530

P a g e | 178

16

कषतरनमनत-1

कषतरफल

अपन ऄधय य 2 म बनद एव खली अकनतयो को समझ ह दननक जीवन म कइ अकनतयो को दखत रहत

ह ननमननलनखत अकनतयो को धय न स दनखए

नचतर 1

उपर बनी अकनतयो म अकनत क दकसी बबद य छोर स पर रभ कर नबन पनसल ईठ य एव दकसी

नहसस पर दब र चल नबन दफर ईसी बबद य छोर पर पहाच सकत ह यदद पहाच सकत ह तो यह एक बद

अकनत होगी और यदद नही तो यह एक खली अकनत होगी

ऄथ मत बद अकनत क कोइ ऄनतम बबद नही होत

कय अप बत सकत ह दक ननमननलनखत मद नो की अकनतय ा खली ह य बद ह

1 खो - खो क मद न

2 फटब ल क मद न

3 नगलली डड नजस मद न म खल ज त ह वह मद न

4 कबिी खल क मद न

P a g e | 179

5 नबललस नजस कषतर म खल ज त ह वह कषतर

कषतरफल (Area)

सभी बद अकनतयो क ऄदर कछ जगह होती ह आन अकनतयो क ब हर नसथत दकसी बबद स आनक

ऄदर नसथत दकसी बबद तक अकनत की रख को क ट नबन नही ज सकत बद अकनतयो क ऄदर की जगह

ही ईसक कषतर ह कछ अकनतयो म जय द जगह होती ह नजनम जय द जगह होती ह वही बड़ी होती ह

कोइ वसतअकनत समतल पर नजतनी जगह घरती ह वह ईसक कषतरफल कहल त ह

गर फ पपर की सह यत स दकसी अकनत क कषतरफल न पन -

अयत क कषतरफल

ककष 5वी म अपन अयत क ब र म पढ़ होग यह एक चतभमज ह नजसक अमन स मन

की भज बर बर ह तथ परतयक कोण समकोण ह

दिय कल प 1

1 एक अयत ह नजसकी लमब इ 6 समी एव चौड़ इ 3 समी ह परतयक भज पर एक-एक समी की दरी

पर लमब इ तथ चौड़ इ की ओर नचहन लग व

2 अयत को 1 समी times 1 समी क खणडो म ननमन नस र ब ट -

P a g e | 180

दश मए गए नचतर म 1 समी x 1 समी क बन रह वगो को नगननए

वगो की सखय = 18

1 वगम क कषतरफल = 1 वगम समी

18 वगम क कषतरफल = 18 वगम समी

ननषकषम नजतन बड़ अयत होग 1 वगम समी क वगो की सखय ईतनी ही ऄनधक होगी

कषतरफल = 18 वगम समी

= 6 समी times 3 समी य 3 समी times 6 समी

अयत क कषतरफल = लमब इ xचौड़ इ

चदक गण की सदिय िम नवननमय क ननयम क प लन करत ह ऄतः -

अयत क कषतरफल तर चौड़ इ ग लमब इ भी नलख सकत ह

ऄभय स

1 अपकी गनणत की पसतक दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

2 च क क नडबब और शय मपटट दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

3 ऄपन अस-प स की दकनही दो अयत क र वसतओ दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

वगम क कषतरफल

वगम एक नवशष परक र क अयत ह

नजसकी भज ए सम न ह ऄथ मत लमब इ तथ चौड़ इ बर बर ह

4 समी times 4 समी भज व ल वगम को 1 समी times 1 समी व ल वगो म ब ाटन पर ndash

नचतर 7

1 वगम समी = 1 समी times 1 समी

वगम क कषतरफल = वगम खणडो की सखय एा

= 16

P a g e | 181

1 वगमखणड क कषतरफल = 1 वगम समी

16 वगमखणडो क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 4 समी ग 4 समी

वगम क कषतरफल = भज x भज = (भज )2

ईद हरण 1 यदद एक वगम की भज 5 समी ह तो आसक कषतरफल कय होग

नचतर म 5 समी भज क एक वगम ददख य गय ह परतयक भज पर 1-1 समी दरी पर नचहन ऄदकत

कीनजए

ऄब अमन-स मन क सभी नबनदओ को नमल कर अड़ी और खड़ी रख एा खीनचए

आस वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड़ ख नो को नगननय

वगम क कषतरफल = वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड ख नो की सखय

= 25 = 25 times 1 ख न क कषतरफल

= 25 times 1 वगम समी तर 25 वगम समी

ऄतः वगम क कषतरफल = वगम की लमब इ times वगम की चौड़ इ

= भज क वगम

ईद हरण 2 एक अयत की लमब इ 7 समी व चौड़ इ 3 समी ह आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हल यह ा अयत की लमब इ = 7 समी

अयत की चौड़ इ = 3 समी

P a g e | 182

आसनलय अयत क कषतरफल = लमब इ x चौड इ

= 7 समी x 3 समी = 21 समी2 य 21 वगम समी

ईद हरण 3 एक वगम क कषतरफल जञ त कीनजए नजसकी भज 8 समी लमबी ह

हल

ऄतः वगम क कषतरफल = भज x भज

= 8 समी x 8 समी

= 8 समी x 8 समी

= 64 समी2 य 64 वगम समी

परशन वली 16

(1) ननमननलनखत म स बनद अकनतयो को पहच ननय ndash

P a g e | 183

(2) परतयक अयत क कषतरफल जञ त कीनजए लमब इ व चौड़ इ ननमन नस र ह -

(I) लमब इ - 6 समी चौड़ इ - 2 समी

(II) लमब इ - 10 समी चौड़ इ - 1 समी

(III) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 6 समी

(IV) लमब इ - 135 समी चौड़ इ - 10 समी

(3) ननमननलनखत वगो नजनकी भज ननमन नस र ह क कषतरफल जञ त कीनजए -

(I) 6 समी

(II) 12 समी

(III) 13 समी

(IV) 35 समी

P a g e | 184

(4) ननमन अयतो म स परतयक अयत क कषतरफल ईसम परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व

खड़ी रख ओ को खीचकर जञ त कीनजए तथ सतर की सह यत स ऄपन ईततर की ज ाच भी कीनजए

(I) लमब इ - 5 समी चौड़ इ - 4 समी

(II) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 2 समी

(5) एक वगम की भज 6 समी ह आसक परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व खड़ी रख ओ को

खीचकर कषतरफल जञ त कीनजए और परशन (3) क एक स ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए

हमन सीख

1 दकसी समतल पर कोइ वसत नजतन सथ न घरती ह वह ईसक कषतरफल होत ह

2 अयत क कषतरफल = लमब इ ग चौड़ इ

3 वगम क कषतरफल = भज ग भज = (भज )2

4 कषतरफल क म तरक वगम आक इ होत ह

- परायोजना कायण- अपनी सभी ववषयो की पसतको की ऱॊबाई और चौड़ाई नावपए तथा बताइय करक कौन सी पसतक मज़ पर सबस अधिक सथाना घरती ह

P a g e | 185

17

कषतरनमनत-2

पररम प

ननमननलनखत ध ग स बनी अकनतयो को दनखएः-

ईपरोकत नचतरो म यदद A स चलन पर रमभ कर और पर चककर लग कर पनः A पर पहाच तो तय की

गइ दरी अकनत को बन न म ईपयोग दकए गए ध ग की लमब इ क बर बर होगी यही अकनत क घर की भी

लमब इ ह

आसी परक र ध ग स ऄथव त र स नवनभनन अकनतय ा बन कर ईसक घर की लमब इ जञ त की ज

सकती ह आस ही कषतर क पररम प कहत ह

दकसी भी बद अकनत क पथ पर एक चककर लग न क नलए तय की गइ दरी ईस अकनत क पररम प

कहल ती ह

जस अपन दख दक दकसी कषतर की सीम पर एक चककर ही पररम प ह ऄतः दकसी कषतर को त र स

घरन ऄथव च रो ओर ऄह त बन त समय पररम प की अवशयकत पड़ती ह

पररम प (Perimeter)

दननक जीवन म कइ वसतएा ईपयोग म अती ह नजनक अक र वतत क र नतरभज क र अयत क र

होत ह अपन भी आन सभी अक र की वसतओ को दख ह अपकी कॉपी क पनन शतरज क बोडम करम

क बोडम आतय दद अयत क र ह

हम री कॉपी क पनन शतरज क बोडम पसतक शय म पटट अदद सभी अयत क र ह आनम स कछ

अयत क र वसतए वग मक र भी ह ऄपन अस-प स अयत क र वसतए छ रटए और ईनम स ईन अकनतयो

को ऄलग कीनजए जो वग मक र भी ह नीच ददए गए सथ न पर आनकी सची बन आए

P a g e | 186

ऄब आन अकनतयो क दकन रो पर धय न दीनजए और बत आय दक आनम दकतन दकन र ह

यह ा अप दख रह ह दक टबल क दकन रो की सखय 4 ह आसी परक र शतरज बोडम क दकन रो की

सखय भी 4 ह

अआए ऄब कछ अयत क र तलो क पररम प ननक ल

दिय कल प 1

टबल क उपरी तल क दकन रो को सकल की सह यत स न नपय और नलनखय

दकन र AB=helliphelliphelliphelliphellip समी BC=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

CD= helliphelliphelliphellip समी DA=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

ऄब आन सभी दकन रो की लमब इ को जोनड़ए और नलनखए

टबल क च रो दकन रो क योग

= AB + BC + C D + DA= + + + +

= समी

नसफम अयत क र ह वग मक र भी ह

1 अपकी कॉपी क पनन 1 शतरज क बोडम

2 2

3 3

4 4

5 5

P a g e | 187

दिय कल प 2

आसी परक र शतरज बोडम क ब हरी दकन र न नपय और ईनह जोनड़ए

PQ + QR + RS + SP = +++ = समी

दिय कल प 3

नचतर 6 म एक फटब ल खल क मद न P Q R S ददख य गय ह

6वी ककष क एक छ तर गोल रोज़ न सबह 5 बज ईठकर आस फटब ल मद न क दकन र पर एक

चककर लग त ह ऄब बत आय दक गोल रोज़ न दकतन चलत ह

गोल दव र एक चककर म चली गयी कल दरी = PQ की लमब इ + QR की लमब इ + RS की लमब इ

+ SP की लमब इ

आन सभी दिय कल पो (1) (2) और (3) म अपन दख दक अकनत क सभी दकन रो की लमब इ क

योग ईस अकनत क पररम प ह

ननमन अकनतयो क पररम प जञ त कीनजए तथ ररकत सथ न म नलनखए

पररम प =

नचतर - 7

AB + BC + CD + DE + EF + FA

= __ + __ + __ + __ + __ + __

पररम प = समी

P a g e | 188

पररम प =

नचतर क उपर ध ग रख कर

ध ग की लमब इ जञ त कीनजए

वही पररम प होग

पररम प =

ऄभय स 171

1 एक अयत क र बगीच की लमब इ 6 मीटर और चौड़ इ 3 मीटर ह आसम च रो ओर त र क घर

लग न ह तो अवशयक त र की लमब इ जञ त कीनजए

2 एक अयत क र मद न की लमब इ 100 मीटर व चौड़ इ 50 मीटर ह आसक च रो ओर दो चककर

लग न म कल तय की गइ दरी जञ त कीनजए

पररम प कस पत करग- ऄब अपक समझ म अ गय होग दक

अयत क पररम प = ईसक च रो भज ओ की लमब इ क योग

P a g e | 189

ऄब यदद दकसी अयत की लमब इ l आक इ और चौड़ इ b आक इ हो तो

अयत की पररम प = ईसकी च रो भज ओ की लमब इ क योग

= AB की लमब इ + BC की लमब इ + CD की लमब इ +DAकी लमब इ

= 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ

= 119897 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119887 आक इ

= (119897 + 119897) आक इ + (119887 + 119887) आक इ

= 2 119897 आक इ + 2 119887 आक इ

= 2 (119897 + 119887) आक इ

ऄतः 119897 आक इ लमब b आक इ चौड़ अयत की पररम प = 2 (119897 + 119887) आक इ

अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

वगम क पररम प

एक वगम क भज की लमब इ 6 समी ह ईसक पररम प कय होग

वगम क पररम प = वगम क च रो भज ओ की कल लमब इ

= 6 समी + 6 समी + 6 समी + 6 समी

= 4 times 6 समी (6 समी वगम की एक भज )

ऄतः वगम क पररम प = 4 times एक भज की लमब इ

वगम क पररम प = 4 times भज

P a g e | 190

पररम प क म तरक

पररम प दकसी भी बद अकनत क कल घर की लमब इ ह ऄतः आसक म तरक कय होन च नहए

चादक पररम प व सतव म लमब इ ही ह ऄतः आसक म तरक और लमब इ क म तरक एक ही होग

ननमन स रणी म ररकत सथ नो को भररय-

स रणी - 1

िम क अयत की

लमब इ

119897

अयत की

चौड़ इ

119887

अयत क च रो भज ओ

क योग

अयत

की

पररम प

अयतवगम क पररम प

सतर की सह यत स

1 10 समी 5 समी 10 समी + 5समी +

10 समी + 5 समी =

30 समी

30 समी समी 2 (10+5) समी

समी + 5 समी = 2 times 15

समी

= 30 समी

2 5 समी 5 समी 5 समी + 5 समी 5

समी + 5 समी

= 20 समी

20 समी 4 times 5

= 20 समी

3 6 मीटर 4 मीटर

4 7 समी 7 समी

अआए दननक जीवन स समबननधत कछ और ईद हरण दख

ईद हरण 1

एक अयत क र मद न की लमब इ 50 मीटर एव चौड़ इ 25 मीटर ह एक ध वक आसक च रो ओर

10 चककर लग त ह जञ त कीनजए ईसन दकतनी दरी तय की ह

हल यह ा अयत की लमब इ (119897) = 50 मी

अयत की चौड़ इ (119887) = 25 मी

अयत क पररम प = 2 2 ( + b)

= 2 ( 50 मी + 25 मी)

= 150 मी

आस परक र ध वक एक चककर म 150 मीटर दरी तय करत ह

ध वक 10 चककर म 10 times 150 मीटर = 1500 मीटर दरी तय करग

P a g e | 191

22

7

oRr ds pkjksa vksj ds ksjs dh yEckbZ

oRr dk O kl

o`Rr dh ifjfegravek

2 r

ईद हरण 2 यदद एक वगम क पररम प 200 मीटर ह तो आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हलः यह ा पररम प = 200 मीटर

4 times वगम क एक भज की लमब इ = 200 मीटर

वगम क एक भज की लमब इ = मीटर

= 50 मीटर

ऄब वगम क कषतरफल = भज times भज

= 50 मीटर times 50 मीटर

= 2500 वगममीटर य 2500 मीटर2

वतत क पररम प जञ त करन

वतत क प ठ म अपन वतत क च रो ओर क घर ननक लन स सबनधत दिय कल प दकय ह तथ यह

भी दख ह दक वतत क च रो ओर क घर की लमब इ और वतत क वय स क बीच क ऄनप त क बर बर होत

ह जह ा नसथर क ह आस सबध को ननमन नस र नलख सकत ह-

वतत क च रो ओर क घर ही वतत क पररम प ह नजस वतत की

पररनध कहत ह

यदद वतत की नतरजय = r हो तो वय स = 2r होग

ऄतः

य वतत की पररनध = 2r जह ा

वतत की पररनध (C)= 2r

P a g e | 192

ईद हरण 3 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो वतत की पररनध जञ त कीनजए

C = 2r

C = समी

ईद हरण 4 दकसी वतत क एक चककर 1 दकमी क ह ईस वतत की नतरजय कय होगी

C = 2r

1000 = [ 1 दकमी = 1000 मीटर]

7 times 1000 = 2 times 22 times r

r = मी

r = 1509 मी

ऄभय स 172

1 नवनभनन वततो की नतरजय ननमननलनखत ह पररनध की गणन कीनजएः

1 35 समी

2 105 समी

3 175 समी

2 नवनभनन वततो की पररनध की लब इ दी गइ ह नतरजय जञ त कीनजएः

1 500 मी 2 100 मी

3 22 समी 4 11 समी

3 एक पनहए की नतरजय ) मी ह गय रह दकमी दरी तय करन क नलए पनहए को दकतन चककर घमन

होग

2 22 7

744

2 22

7

r

7 1000

2 22

r

1750

11

P a g e | 193

परशन वली 17

(1) ननमन म स बनद अकनतयो को छ ाटकर ईनकी पररम प जञ त कीनजए

(2) ननमन अयतो म स परतयक क पररम प जञ त कीनजए लमब इ चौड़ इ ननमन नस र ह

I लमब इ = 15 समी चौड़ इ = 6 समी

II लमब इ = 12 समी चौड़ इ = 6 समी

III लमब इ = 35 समी चौड़ इ = 25 समी

IV लमब इ = 100 समी चौड़ इ = 50 समी

P a g e | 194

(3) नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय परतयक कथन क स मन ददए गए कोषठक म नलनखए तथ

ऄसतय कथनो को सध र कर कॉपी म नलनखए -

(I) परतयक वगम एक अयत होत ह ( )

(II) परतयक अयत एक वगम होत ह ( )

(III) अयत की परतयक भज समी म म पी गयी हो तो ( )

आसक पररम प मीटर म होग

(IV) अयत क पररम प ईसक च रो भज ओ क योग ( )

क बर बर होत ह

(4) एक वगम की भज 15 समी ह आसक पररम प जञ त कीनजए

(5) एक अयत की लमब इ 20 समी और चौड़ इ 05 मीटर ह तो आसक पररम प समी व मीटर म जञ त

कीनजए

(6) ननमन अकनतयो क न प समी म ददय गय ह ईसक पररम प जञ त कीनजए

P a g e | 195

(7) एक अयत क र मद न की लमब इ 25 मीटर व चौड़ इ 10 मीटर ह आसक दकन र दकन र एक

नखल ड़ी च र चककर पर करत ह ईसन दकतनी दरी तय की ह

हमन सीख

1 पररम प व कषतरफल कवल बद अकनतयो क ही सभव ह

2 बद अकनतय ा वह होती ह जो नबन दहर ए ऄपन पर रनभक नबनद पर सम पत होती ह

3 अयत क कषतरफल = लमब इ times चौड़ इ

4 अयत क कषतरफल = अयत क ऄनतः भ ग क कषतरफल

5 परतयक वगम अयत हो सकत ह परत परतयक अयत वगम नही हो सकत

6 वगम क कषतरफल = (भज )2

7 अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

8 वगम क पररम प = 4 times भज

9 1 वगम मीटर = 1 मीटर times 1 मीटर

= 100 समी times 100 समी = 10000 वगम समी = 10000 समी2

- परायोजना कायण- अपनी का की ऱॊबाई और चौड़ाई माप कर पररमाप ऻात कीजजए

P a g e | 196

18

हम र असप स बहत सी अकनतय ा ह हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो आम रतो और ऄनय

चीज़ो को दखत ह आन सभी म हम सडौलपन व एक परक र की त रतमयत ददखती ह आनम स कइ

अकनतय ा सतनलत ऄनप त म ह कइ ऐसी भी ह जो कइ जगहो म एक सी ददखती ह कइ ऐसी भी ह जो

ऄपन अप म दो एक जसी अकनतयो स नमल कर बनी ददखती ह य सब अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

ददन-परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

य सब अकनतय ा सनदर लगती ह आनकी बन वट म सतनलत ऄनप त ह और समनमनत ह

P a g e | 197

दिय कल प 1

समनमनत ऄकष

दी गइ अकनतयो को दख यदद हम आनम स दकसी एक अकनत को आस तरह मोड़ प ए दक आसक

अध ब य ा भ ग अध द य भ ग स ऄथव अध उपर क भ ग नीच क अध भ ग स पणमतय नमलत

जलत हो तब हम कहग दक अकनत म समनमनत की रख ह ऐस म दोनो अध भ ग एक दसर क परनतनबमब

ह

नचतर 2 (क) दख टटी रख पर मोड़न पर नचतर क दोनो नहसस ठीक एक दसर को ढक लग ऐस ही

ब की नचतरो म भी दख

यदद हम मोड़न व ली रख पर एक समतल दपमण रख द तो भी समनमत अकनतयो म अकनत क एक

भ ग क परनतनबमब दसर भ ग को पणमतय ढ़क लग आन नचतरो म मोड़ (व सतनवक य क लपननक रख )

बन ए व एक दपमण लकर सभी नचतरो म टटी ल आन पर रखकर दख

कय दपमण म ददखी अकनत नचतर क ब की नहसस क सम न ही थी यह दपमण रख अकनत की

समनमनत की रख (य समनमनत ऄकष) कहल ती ह

रोहन क कहन ह दक उपर जो भी अकनतय ा बन ह व सभी समनमत अकनतय ा ह कय अप आसस

सहमत ह कयो

अप भी प ाच समनमत अकनतय ा बन आय और ईनक समनमनत ऄकष खीनचय

दिय कल प 2

समनमत अकनतय ा पहच ननय

नीच दी अकनतयो म स कौन-कौन सी अकनतय ा समनमत ह

P a g e | 198

समनमत अकनतयो को अपन कस पहच न

ऄब ईनक समनमनत ऄकष भी बन ए कय जो अकनतय ा समनमत नही ह

ईनम अप कछ जोड़ कर समनमत अकनतय ा बन सकत ह कोइ एक अकनत

लकर सोचो

समनमत अकनतयो म अकनत क अध भ ग समनमत ऄकष पर दसर अध

भ ग को पणमतय ढाक लत ह

अकनत िम क 3 (ख) समनमत अकनत नही ह दकनत ईसम यदद एक और खमभ जोड़ ददय ज ए तो

दफर नइ अकनत समनमत होगी आसक समनमनत ऄकष कह ा ह ब की अकनतय ा जो समनमत नही ह ईनह भी

आसी परक र समनमत बन ए

दिय कल प 3

कौन स ऄकषर समनमत ह

अप मोट क गज़ क टकड़ म स ABCD Y Z क रप क रटए दो नडबब लकर एक

पर समनमत ह एव दसर पर समनमत नही ह की पची नचपक द

ऄब ABCDको एक-एक करक दनखए पत कर दक कय ईस ऄकषर क अध भ ग समनमत

ऄकष पर शष अध भ ग को परी तरह ढक लत ह य नही

नजस ऄकषर म दोनो भ ग एक दसर को ढक लत ह ईस दकस नडबब म ड लग

समनमत व ल नडबब म कौन-कौन स ऄकषर अए

दकसम जय द ऄकषर ह

यही ऄभय स कखग ह ऄकषर क ट कर भी करो कौन स ऄकषर समनमत नमल

दिय कल प 4

ऐसी भी समनमनत

एक क गज़ लो एव ईस दो सम न भ गो म मोनड़य

एक अध भ ग पर सय ही य रग की कछ बद ड नलए दसर

भ ग को मोड़ कर पहल भ ग पर रखकर दब आए अप कय

दखत ह

कय पर पत अकनत समनमत ह यदद ह ा तो आसकी समनमनत

रख कह ा ह

कय ऐसी कोइ ऄनय रख भी ह जह ा स मोड़न पर दो सम न भ ग पर पत हो सकत होऐस ही कछ

और परनतरपो को बन न क परय स कीनजए

P a g e | 199

अप ऄपनी ककष म ईपलबध वसतओ को दख ईनम समनमत अकनत व ली वसतओ की सची

बन आए जस शय म पटट मज की उपरी सतह अपकी कॉपी अदद-अदद कय पख क पख की अकनत भी

समनमत ह चच म करक ऄपनी सची गरजी को ददख ए परतयक समनमत वसत क नचतर बन कर ईसम

समनमनत रख भी खीनचए

दिय कल प

ऄब आन नचतरो को दनखए -

कय य समनमत ह

अपन ऄपन घर की दीव र य ग ाव क ऄनय घरो की दीव र म बन हए नचतर दख ह ऄपनी कॉपी म

भी ऐस ही नचतर बन आए

कय व नचतर समनमत होत ह ईनक समनमनत ऄकष बन ए

दिय कल प 6

समनमनत पहच ननए

आनम स कौन स नचतर समनमत ह जो समनमत नही ह ईनह समनमत म बदल कर बन ओ

कय अपन कभी रगोली बन इ ह रगोली म ऐसी भी अकनतय ा नमलती ह

P a g e | 200

आनम ऄलग-ऄलग घरो म ऄलग-ऄलग तरह स रग भर ज सकत ह

रग भरन पर यह सनदर लगती ह कय आनम भी कोइ समनमनत ऄकष ह हरक अकनत म दख

कय दकसी अकनत म एक स ऄनधक समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 7

अपक जय नमनत बॉकस म दो सट सव यर म स एक क कोणो

की म प 900 600 और 300 ह ऐस ही दो सम न सट सव यर लीनजए

आनह अपस म नमल कर रनखए और एक पतग जसी बन आए

जस दक नचतर म ददख य गय ह आस अकनत म दकतनी समनमनत

रख एा ह

आसी परक र ऄब दसर परक र क दो सट सव यर (कोणो की

म प 900 450 और 450) लीनजए और पहल की तरह स थ-स थ जोड़

कर रनखए कसी अकनत बनी

आसम दकतनी समनमनत रख एा ह ऐसी और अकनतय ा सोचो नजनम एक स ऄनधक समनमनत

रख एा हो

दिय कल प 8

अयत और समनमनत

एक पोसटक डम लीनजए ईस लमब इ की ओर स मोनड़ए (नचतर 12 क) नजसस दक एक अध

भ ग दसर अध भ ग को पणमतय ढाक ल कय यह मोड़ एक समनमनत की रख ह

ऄपन ईततर क क रण बत ओ

आस खोनलए और पनः एक ब र चौड़ इ की ओर स सम न तरीक स मोनड़ए (नचतर 12 ख)

कय यह दसर मोड़ भी समनमनत की रख ह

कय अपको लगत ह आसम समनमनत की दो ही रख एा ह

उपर सट-सव यर स बन वगम क ब र म दफर स सोचो आसम समनमनत की दकतनी रख ए ह

P a g e | 201

दिय कल प 9

दपमण और समनमनत

नीच एक छ त क नचतर 13 (क)ह नचतर 13 (ख) म छतरी क अध नहसस को समतल दपमण क

स मन खड़ ददख य गय ह दपमण क चमकद र नहसस की ओर स स मन क अध नहसस और ईसक

परनतबबब को धय न स दख कय छतरी क नचतर पर परतीत होत ह

दिय कल प 10

नचतर म अध चहर ह रख AB पर समतल दपमण रखन पर कय चहर पणम परतीत होत ह

AB पणम अकनत क समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 11

ऐसी कौन-कौन सी अकनतय ा ह नजनम समनमनत ऄकष पर समतल दपमण रखन पर दोनो तरफ क

नहसस परनतबबनबत होत ह

आन अकनतयो को दनखए तथ टटी रख ओ पर समतल दपमण की ऐसी नसथनत क पत लग आए

जह रखन पर परनतबबब अकनत और व सतनवक अकनत एक जसी ह

P a g e | 202

परशन वली 181

ननमन अकनतयो म कौन-कौन सी समनमत ह आनम समनमनत ऄकष ढदढ़ए समनमत अकनत म समनमनत ऄकषो

की सखय नलख व समनमनत ऄकष दश मए

वतत म समनमनत ऄकषो की सखय दकतनी ह

वतत ऄपन परतयक वय स क स पकष समनमत ह ऄथ मत दकसी भी

वय स पर स क टन पर दोनो नहसस बर बर होत ह

दिय कल प 12

एक वग मक र क गज़ लो आस एक ब र उपर स नीच एव पनः

एक ब र ब य स द य मोनड़ए ऄब दी गइ अकनत क ऄनस र नडज़ आन बन आए

जस दक ददख य गय ह जो अकनत बन इ गइ ह ईस पर स क रटए और मोड़

खोल कर क गज़ को फल ए

आनम दकतनी समनमनत रख एा ह

P a g e | 203

दिय कल प 13

समनमत रख एा

तीन बॉकस लो तीनो पर क गज़ की नचट चसप कर दो

पहल बॉकस पर एक समनमनत रख दसर पर दो समनमनत रख एा एव

ऄनय पर तीन य तीन स ऄनधक रख य नलख हअ हो

अप ऄपन ABC YZ क टकड़ो को दख एव म लम

कर दक आनम दकतनी समनमनत रख एा ह नजन ABCD म एक

समनमनत रख ह ईस एक क बॉकस म नजनम दो समनमनत रख एा ह

ईनह दो क बॉकस म एव नजनम तीन य ऄनधक समनमनत रख एा ह

ईनह ईस बॉकस म ड ल ऄपन स नथयो स चच म कर

कय ऄब अप बत सकत ह दक सबस जय द समनमनत

रख एा ऄगरजी क दकस ऄकषर म ह ऐस और भी नचतरो व अकनतयो को

आसी परक र समनमनत ऄकष क अध र पर छ रटए

समनमनत और कह ा-कह ा

1 बस म सफर करत वकत रोड स आन (म गम सचक) सकत य नचहन को दखत ह आन रोड स आन म

स व नजनम समनमनत की रख एा होती ह आनह पहच नो एव ऄपनी कॉपी म नलखो

2 पड़ोपनततयोडठल को दखो कय आनम समनमनत की रख एा होती ह

3 कय ददय गय नचतर म समनमनत की रख ह

4 कय त श क पततो म भी समनमनत की रख एा ह दकस पतत म दकतनी समनमनत

रख ह एक ह दो ह तीन ह य ऄनधक ह बत आए

5 खलो क मद नो एव बोडम म भी समनमनत की रख ए होती ह अप ऐस मद नो एव

बोडम की सची बन ए एव ऄधय पक को बत ए

6 सभी परक र क व हनो म भी समनमनत होती ह जस बसटरक

P a g e | 204

क गज़ो दव र बन वट

एक अयत क र रगीन क गज़ लो आस कइ ब र मोनड़ए एव आस नचतर म दी गइ अकनत क

ऄनस र क ट लो ऄब खोल कर दखो

आसको ऄपनी कॉपी पर रखकर आसम नवनभनन रग भर कर दखो कय आन नचतरो म समनमनत

ददख इ दती ह

रगोली

कय अपन कभी तयौह रो क ऄवसर पर घर पर कभी रगोली बन इ ह

कय आनम समनमनत क परयोग होत दख ह आस परक र क नवनभनन रगोली पटनम को क गज़ पर

ईत र कर एक एलबम बन ए

महदी

घरो म मनहल ओ को महदी लग त हए दख ह कय महदी म भी समनमनत होती ह ऄपनी

ककष की लड़दकयो क स थ चच म करो

P a g e | 205

परशन वली 182

पर1 नीच दी गइ अकनतयो म पत लग आए दक कौन सी समनमत ह एव कौन सी ऄसमनमत ह

पर2 ऄपन असप स म नसथत 5 ऄसमनमत अकनतयो क न म नलखो जो आस पसतक म नही अइ हो

पर3 900 क कोण बन आए और ईस पर समनमनत रख खीनचए

पर4 6 cm क एक रख खणड़ खीनचए और ईसक समनमनत ऄकष बन आए

पर5 नीच दी गइ अकनतय ा ऄधरी ह नजनक समनमनत ऄकष PQ ह आनह परी कीनजए

पर6 नीच कछ मड़ी हइ शीट की अकनतय ा दी गइ ह नजनकी तह पर अकनतय ा बन इ गइ ह परतयक म पणम

अकनत की रपरख खीनचए जो नडज आन क क टन क ब द ददख इ दगी

P a g e | 206

पर7 नीच दी गइ अकनतयो को एक च र तह व ल वग ादकत क गज़ पर बन त तो कसी ददखती

सोच कर वसी ही अकनत ऄपनी कॉपी म बन ओ यदद नही सोच प त तो क गज़ क ट कर पत

लग ओ

पर8 1 स 100 तक की सखय ओ म स समनमत सखय एा कौन-कौन सी ह पत लग ओ एव ऄपनी कॉपी म

नलखो

नतरनवमीय अकनतय ा

हम ऄपन दननक जीवन म कछ ऐसी ठोस वसतओ को दखत ह नजनक अक र सप ट नही

होत ह

P a g e | 207

फलक दकन र और शीषम

नतरनवमीय अक रो म हम ईनक फलको दकन रो और शीषो को सरलत स पहच न सकत ह

नचतर 28

ईद हरण क नलए एक घन को लीनजए घन भ की परतयक ईपरी सप ट (अयत क र) सतह एक

फलक ह आसक दो सलगन फलक एक रख खणड म नमलत ह जो घन भ क दकन र कहल त ह घन भ क

तीन सलगन दकन र एक नबनद पर नमलत ह नजस घन भ क शीषम कहत ह

आस परक र एक घन भ म 6 अयत क र फलक 12 दकन र और 8 शीषम होत ह

ऄभय स

1 ईनचत सबध जोनड़ए

(i) शक (i)

(ii) गोल (ii)

(iii) बलन (iii)

(iv) घन (iv)

(v) घन भ (v)

2 ननमन वसतएा दकस अक र की ह -

(i) चॉक क नडबब

(ii) टननस बॉल

(iii) प आप

(iv) जोकर की टोपी

(v) प स

3 दकनही च र वसतओ क न म बत आए जो एक घन भ अक र स नमलती जलती हो

4 दकनही ऐसी तीन वसतओ क न म बत आय जो बलन क अक र स नमलती जलती हो

P a g e | 208

5 नीच दी गयी गइ स रणी म नतरनवमीय अकनतयो क फलक दकन र व शीषो की सखय नलनखए -

हमन सीख

1 हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो को आम रतो को और ऄनय चीज़ो को दखत ह य सब अकनतय ा

समनमत अकनतय ा ह

2 समनमतत स वसतएा सनदर लगती ह

3 ददन परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

4 हम र अस-प स कइ परक र की नतरनवमीय अकनतय ा होती ह आनम स कछ घन घन भ गोल

बलन और शक ह

P a g e | 209

19

स नखयकी

भनमक

श ल म ककष सज वट क क यमिम अयोनजत होन थ ककष 7वी क नवदय थी यह तय नही कर प

रह थ दक ककष क ऄदर दीव रो की पत इ दकस रग स कर इ ज य ईनकी श ल म हलक पील गल बी

हलक हर एव असम नी म तर च र रग ही ईपलबध थ ककष न यक क कहन पर सभी नवदय रसथयो न ऄपन

न म एव पसदीद रग एक पनन पर नलख ददय जो ननमन दकत स रणी म परदरसशत हः-

आन सचन ओ क अध र पर कय अप

यह ननणमय ल सकत ह दक दीव र पर कौन-स

रग स पत इ कर नी ह तभी रीत को एक

तरीक सझ ईसन बोडम पर रगो क न म

नलख तथ परतयक रग को पसद करन व ल

नवदय थी को ऄपनी पसनद क रग क स मन

ऄपन न म नलखन को कह

ऄब सची आस परक र बनीः-

P a g e | 210

चदक हलक पील रग पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय ऄनधक थी आस क रण आसी रग स

पत इ कर न क ननणमय नलय गय

दननक जीवन म कय अपन ननणमय लन क नलए कभी यह तरीक ऄपन य ह

अप ऄपनी ककष म तरम नसक परीकष म परतयक नवषय म 34 स ऄनधक और 34 स कम ऄक पर पत

करन व लो की सची बन आए कय आस अध र पर अप बत सकत ह दक दकस नवषय क परीकष फल सबस

ऄचछ ह और दकस नवषय क सबस खर ब

अाकड़ (Data)

कोइ भी ननणमय लत समय अपको कछ न कछ ज नक ररयो की अवशयकत होती ह आन अवशयक

सखय तमक ज नक ररयो को ही अाकड़ कहत ह

म न अपको ऄपनी ककष क नवदय रसथयो क पढ़न क नलए एक सम च र पतर खरीदन ह अप

कौनस सम च र पतर खरीदग नजस ऄनधक स ऄनधक नवदय थी पढ़न पसद कर यह ननणमय अप कस लग

सभी नवदय रसथयो न एक स रणी तय र की नजसम पसद क सम च र पतर क स मन सभी न ऄपन -

ऄपन न म नलख दफर नजस सम च र पतर को पसनद करन व लो की सखय सव मनधक ह ईस ही खरीदन

क ननणमय नलय गय

जली स रनणयो को ब र-ब र दख रही थी और सोच रही थी दक आन स रनणयो म न म नलखन क

कोइ मतलब ही नही ह हम तो म तर यह नगनन ह दक च ही गइ ज नक री क पकष म दकतन छ तर ह न म न

नलखकर ईसक सथ न पर दकसी सकत क भी ईपयोग दकय ज सकत ह

कय अप जली की सोच स सहमत ह कय ऐस कोइ तरीक सोच सकत ह नजसम न म क सथ न

पर कवल सकत नचनह क ईपयोग करक ही गणन की ज सक

बसत न एक सझ व ददय दक कयो न परतयक न म क सथ न पर एक-एक खड़ी लकीर क ईपयोग

दकय ज ए और ऄनत म सभी खड़ी लकीरो की नगनती कर ली ज ए सभी नवदय थी आसस सहमत थ

ऄननत न कह lsquolsquoचलो हम खलो की लोकनपरयत क िम पत लग वrsquoऄननत न बोडम म 4 खलो क

न म नलख और ऄपन-ऄपन पसद क खल क स मन परतयक नवदय थी को एक खड़ी लकीर खीचन को कह

स रणी कछ आस परक र बनीः-

P a g e | 211

परनत आस परक र की स रणी म जय द खड़ी लकीरो को नगनन म ऄसनवध होती ह आसनलए नजस

परक र स अपन छोटी ककष ओ म नगनती सीखत वकत दस-दस क बणडल बन ए थ ईसी परक र यदद प ाच-प ाच

क बणडल बन ल तो अपको नगनन म अस नी रहगी हम च र खड़ी लकीर खीचकर प ाचव क नलए आन

च रो लकीरो को क टत हए एक नतरछी लकीर (दश मय ऄनस र) खीचत ह जस 5 क नलए-

5 क नलए

19 क नलए

आसस नगनन म सरलत होती ह

ईपरोकत त नलक क ऄनस र दिकट पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय | | | | | | ऄथ मत 7 ह

आस ही ब रमब रत (Frequency) कहत ह परतयक म न क नलए एक खड़ी लकीर खीचन की परदिय को

टली (Tally) लग न कहत ह तथ आस नवनध को टली नवनध (Tally method) दव र अकड़ो क सकलन

(Collection of Data) कहत ह एव आसस पर पत स रणी को ब रमब रत स रणी (Frequency Table)

कहत ह

अप भी आस नवनध क ईपयोग कर ऄपन असप स क अकड़ो को एकनतरत करन क परय स कीनजए

ईद हरण-1 एक ग व क 20 घरो म बचचो की सखय आस परक र हः-

आन अाकड़ो क दव र टली नवनध क परयोग कर ईपयकत ब रमब रत स रणी क ननम मण कीनजए

परतयक घर म बचचो की सखय ईनक नलए टली नचनह तथ ब रमब रत क नलए कॉलम बन त ह तथ

परतयक म न क नलए ईसक स मन टली नचनह लग त ह प ाचव नचनह को सनवध क नलए पर रनभक

च र नचनहो को क टत हए नतरछ लग त ह

आस स रणी म अपन बचचो की सखय क नलए कवल शनय स च र तक क ऄको को ही कयो नलख ह

यदद आस 1 स शर दकय ज त तो कय होत

यदद स रणी म बचचो की 01234567 तक नलखत तो कय होत

P a g e | 212

अाकड़ो क नचतर तमक परदशमन

र जश अज क सम च र पतर पढ़ रह थ नजसम नलख थ ः-

lsquolsquoलड़दकयो न लड़को स ब जी म रीrdquo

आस वषम की 8वी बोडम की परीकष म

लड़दकय ा सभी कषतरो म लड़को स अग रही

र जश नचतरो को दखकर सोचन लग -

lsquolsquoयह तो अकड़ो क परदशमन क ऄचछ तरीक ह

आन नचतरो को दखकर बड़ अस नी स यह समझ

ज सकत ह दक छ तर ओ क परीकष फल छ तरो स

सभी परक र स ऄचछ हrdquo ऐस ही कछ हम जब

पर थमन म ल आन बन कर खड़ होत ह तब दखन

को नमलत ह ल आनो की लमब इ की सह यत स

ककष क छ तर सखय की तलन की ज सकती ह र जश न ऄपन स नथय स कह - lsquolsquoकयो न स रणी-3 म

एकनतरत अाकड़ो की मदद स खलो की लोकनपरयत को नचतर रप म परदरसशत दकय ज एrsquorsquo

स रणी-3 म कल नवदय रसथयो की सखय 16 थी आनम स फटब ल क खल पसद करन व ल 3

दिकट पसद करन व ल 7 वॉलीबॉल पसद करन व ल 1 कबिी पसद करन व ल 5 नवदय थी थ आनह नचतर

रप म दकस परक र परदरसशत दकय ज सकत ह

जली न कह lsquolsquoयदद हम परतयक छ तर क नलए एक नचतर बन ए तो फटब ल क अग 3 नचतर दिकट

क अग 7 नचतर वॉलीबॉल क अग 1 और कबिी क अग 5 नचतर बनग-

फटब ल

दिकट

वॉलीबॉल

कबिी

आसी परक र नचतरो क दव र परदशमन को नचतर अरख (pictograph) कह ज त ह यह अस नी स

समझन योगय होत ह एव नचतरो को दखकर ननषकषम ननक ल ज सकत ह

दणड अरख

नचतर अरख की नवनध स परदशमन म हम बहत स नचतरो को बन न की अवशयकत

होती ह जो कभी-कभी ऄवय वह ररक हो ज ती ह दकनत यदद हम परतयक छ तर क

नलए 1 समी लमब इ लकर यदद दणड बन ए तब अकड़ो क परदशमन म और सरलत

होगी तथ आन दणडो को कषनतज ऄथव ईधव मधर दोनो तरीको स बन य ज सकत ह

P a g e | 213

आन अरखो म दणडो की चौड़ इ सम न रखी गयी ह आन दणड अलखो को दखकर आन खलो की

लोकनपरयत क ऄनद ज अस नी स लग य ज सकत ह ईकत ननरपण म नवदय रसथयो की सखय कम थी

ऄतः परतयक नवदय थी क नलए दणड की लमब इ 1 समी लकर ईस कॉपी म अस नी स दश मय ज सकत ह

दकनत यदद नवदय रसथयो की सखय ऄनधक हो तो ऐसी नसथनत म ईस कॉपी पर कस दश मएग

ऐसी नसथनत म दणडो की उा च इ क ननध मरण करन मखय समसय ह

अआए आस पर नवच र कर-

र जश नजस मोहलल म रहत ह वह 750 परष 660 मनहल ए एव 140 बचच ह हम आस अरख क दव र

परदरसशत करन ह

आन अाकड़ो क दणड क रप म परदरसशत करन क नलए दणडो की उा च इ कय होनी च नहए

यदद हम परतयक वयनकत क नलए 1 समी की उा च इ ल तो परषो क नलए 750 समी मनहल ओ क

नलए 660 समी एव बचचो क नलए 140 समी क दणड बन न होग दकनत आस ऄपन कॉपी म बन न सभव

नही ह

यदद हम परनत 10 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब य दणड िमशः 75 समी 66 समी एव

14 समी क दणड बनग दकनत आस भी हम ऄपनी कॉपी म परदरसशत नही कर सक ग

यदद हम परनत 100 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब दणड की लमब इय ा िमशः 75 समी

66 समी एव 14 समी होगी जो दक अस नी स हम री कॉपी म बन इ ज सकती ह तो अआए दखत ह

दक आस दकस परक र स हम एक दणड नचतर क म धयम स दश मएग-

P a g e | 214

आन अकड़ो को परदरसशत करन म दणड को ईधव मधर बन य गय ह आस ईधव मधर दणड अरख

(Vertical Bar Graph) कहत ह दणडो को हम कषनतज रप म भी परदरसशत कर सकत ह

यदद हम दणडो को कषनतज रप म परदरसशत कर तो ईस कषनतज दणड अरख (Horizontal Bar

Graph) कहग (नचतर-6)

ऄननत क मन म एक परशन ईठ रह थ दक दणड अरख की कय ईपयोनगत ह कयोदक ब रमब रत

स रणी क ऄवलोकन स भी हम वही ज नक री नमल ज ती ह जो दणड अरख स नमलती ह

अआय ऄननत क आस परशन क हल ढढ

नीच वषम 1991 स वषम 2000 तक गहा क ईतप दन क अकड़ ददए गए ह ः-

आन अकड़ो को दणड-अरख दव र आस परक र वयकत कर सकत ह-

P a g e | 215

आस दणड अलख को दखकर कय अप बत सकत ह दक दकस वषम म गहा क ईतप दन सबस कम और

दकस वषम म सबस ऄनधक हअ आसस और कय -कय ज नक ररय अपको नमल सकती ह नलनखए

अप प यग दक वषम 1995 म सबस ऄनधक तथ वषम 1991 म सबस कम गहा क ईतप दन हअ ह

यह भी प त ह दक 1992 एव 1999 दोनो वषो म गह ईतप दन एक सम न हअ ह कय

ब रमब रत स रणी को कवल दखकर ऐस ही ननषकषम ननक ल प यग

यह सपषट ह दक नसफम अकड़ो को दखकर दकसी ननषकषम म पहचन करठन होत ह आसक नलए सभी

ददय गए अकड़ो क सकषम ऄधययन जररी ह जबदक दणड अरख को कवल दखकर ही कह सकत ह दक दकस

वषम ईतप दन सबस ऄनधक और दकस वषम सबस कम हअ ह ऄतः दणड अरख क मखय ल भ यह ह दक आस

एक ब र दखकर ही समझ म अ ज त ह तथ ऄनय अाकड़ो स तलन बड़ी अस नी स की ज सकत ह

परशन वली 19

1 दकसी ककष म 20 छ तरो न गनणत की ज ाच परीकष म 5 म स ननमन ऄक पर पत दकए-

3 2 5 4 0 1 2 3 5

4 1 0 3 2 3 4

आन पर पत को को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

2 1 ऄपरल 2005 स 15 ऄपरल 2005 तक दकसी शहर क ऄनधकतम दननक त पम न नडगरी सनलसयस

म आस परक र रह 378 378 379 380 379 379 380 381 381

382 383 383 382 381 382

परतयक ददन क त पम न को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

3 नीच ददए गए स रणी म ककष 6वी क छ तरो क परीकष फल शरणीव र ददए गए ह आनक ऄवलोकन

कर ददए गए परशनो क ईततर दीनजएः-

P a g e | 216

शरणी छ तरो की सखय

परथम शरणी 12 (क) दकस शरणी क छ तरो की सखय सबस ऄनधक ह

नदवतीय शरणी 14 (ख) परीकष म बठ छ तरो की कल सखय दकतनी थी

ततीय शरणी 10 (ग) कल दकतन छ तर ईततीणम हए

ऄनततीणम 04

4 नीच दी गइ स रणी म दकसी कपनी की 5 वषो की व रसषक अय दी गइ

ह अकड़ो को दड अरख दव र दश मआए-

5

ननमन स रणी ऄलग-ऄलग टीवी सट क खरीदद रो की सचन दती ह आन अकड़ो को दड अरख

क रप दीनजए

6 ननमन स रणी एक नवदय लय की व रसषक परीकष म छ तरो क औसत पर पत को को दश मती ह अकड़ो

को दड अरख दव र परदरसशत कीनजए

P a g e | 217

P a g e | 218

उततर माऱा परशनावऱी 1

1- 1

2- 41600]

3- (i) gt (ii) gt (iii) = (iv) lt

(v) gt (vi) gt

4 20 5- 9899

परशनावऱी 21

1 1 2 0 3 4 4 464748 5 41806

(i) ऄसतय (ii) सतय (iii) सतय (iv) सतय (v) सतय

(vi) सतय (vii) ऄसतय (viii) ऄसतय

7 (i) 24 (ii) 78 (iii) 519 (iv) 1099 (v) 52331

8 (i) 26 (ii) 521 (iii) 1101 (iv) 52333

9 100000 10 99999 11 1

12 18 252421497 557 731

13 617 458 225 69 59

14 (ii)

15 6387

परशनावऱी 22

1 (i) 391 (ii) 40 (iii) 40 (iv) 39 (v) C

2 (i) (23589+411) + 1248=25248 (ii) (32+68) + (2546+544) = 3190

(iii) (247+153) + 376 = 776 (iv) (143+857) + 456= 1456

(v) (32958+12042) + 5000= 50000

3 0 4 दो पणम सखय ओ क योग सदव पणम सखय होत ह 5- (i) 4559 (ii) 0 (iii) 8 7 6

- 2 3 9

6 3 7

6 1 7 0 8 1216 76 = 16 9 32

10 20310

11 (i) भ गफल = 215 शषफल = 32 (ii) भ गफल = 14 शषफल = 735

(iii) भ गफल = 309 शषफल = 145

P a g e | 219

12 (i) 7 3 5 (ii) 4 9 3 1

_ 4 2 9 - 3 0 7 8

3 0 6 1 8 5 3

13 390 14- 3414 15 31825 16 9

17 780

परशनावऱी 3

1 (i) सतय (i) ऄसतय (i) सतय (i) सतय (i) ऄसतय

2 (i) 3 AB व CD (i) RS व PQ (i) SR व TU 4 C एव E

परशनावऱी 4

1 (i) -2 (ii) 2 (iii) -9

(iv) 8 (v) -4 (vi) 3

(vii) -5 (viii) 8

2 (i) 1028 (ii) -266 (iii) 36

(iv) 154

3 (i) = (ii) lt (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) gt

4 (i) 30 (ii) 90 (iii) 24

(iv) 24 (v) 0 (vi) 42

5 (i) gt (ii) = (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) lt

(vii) =

6 13 7 100

8 (i) 15 (ii) -10 (iii) -4

(iv) ऄपररभ नषत (v) 14 (vi) 19

9 (i) 4 (ii) -2 (iii) -1

(iv) -12

10 (i) -17 (ii) 23 (iii) -68

(iv) 75

11 (i) 18 (ii) -26 (iii) -161

(iv) 79

परशनावऱी 5

5 44 समी

6 (i) नतरजय (ii) कनर (iii) वय स

(iv) कनर (v) सम न (vi) नतरजय

(vii) जीव

P a g e | 220

परशनावऱी 61

1- (i) 12 (ii) 18 (iii) 10 (iv) 27

2- (i) 36 (ii) 150 (iii) 24 (iv) 15

3- 1

4- (i) 36164] (ii) 201275 5- 17

6- 11 7- 44 8- 17] 113 ltsj 9- 30

परशनावऱी 62

मौनखक

1 4 2 338 3 24 4 7 स बड़ 5 नही

नलनखत

1- i 28 ii- 324 iii- 180 iv- 2520

2- i 56 ii 1904 iii 360 iv 16560

3 10 4 15 ब र 5 23 जनवरी

6 72 7 221 8 20 ददन

9 नही कयोदक म स सदव ल स क एक गणनखणड होत ह

10 415 स ाय

परशनावऱी 7

1 (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv ऄसतय (v) सतय (vi) ऄसतय

(vii) सतय (viii) ऄसतय (ix) सतय (x) सतय

2- (i) (ii)

(iii) 8 gt 8 gt 08 gt 008 gt 0008 (iv) 01 gt 00992 gt 0099 gt 0012

3- (i) (ii)

4- (i) (ii) 80001 (iii) (iv) 1 (v)

(vi)

5- (i) 24 (ii) 77 (iii) 36 (iv) 8

6 उचित अनचित

परशनावऱी 81

1- (i) AOB (ii) LMN (iii) PQR (iv) STU (v) अ ब स

1

3

9

24

5

8

5

6

3

2

1

8

2

15

1

6

1

4

1

2

8

9

7

8

5

6

7

6

3

4

8

12

1

2

1

6

519

40

15

14

3

4

P a g e | 221

4 180deg

परशनावऱी 82

1 (i) सतय (ii) ऄसतय (iii) सतय (iv) सतय

(v) सतय (vi) सतय (vii) सतय

2 (i) ऄनधक कोण (ii) नयन कोण (iii) समकोण (iv) सरल कोण

(v) नयनकोण (vi) ऄनधक कोण (vii) नयन कोण (viii)नयन कोण

(ix) नयन कोण (x) नयन कोण

परशनावऱी 91

1 (i) ऄसतय (ii) सतय (iii) ऄसतय (iv) सतय (v)ऄसतय

(vi) ऄसतय (vii) सतय (vii) ऄसतय (viii) सतय (ix) सतय

2 400 3 450 4 600 5 ह ा

6 (i) नही (ii) नही (iii) ह (iv) नही (v) ह (vi) नही

परशनावऱी 92

ईततर (1) (i) समचतभमज (ii) 90O (iii) बर बर

(iv) समलमब (v) नवषमब ह चतभमज

ईततर (2) (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv) ऄसतय (v) सतय

परशनावऱी 101

2 (i) 1 4 (ii) 1 4 (iii) 3 20 (iv) 3 100

(v) 21 200 (vi) 40 1 (vii) 4 25

3 (i) 3 8 (ii) 1 3 (iii) 3 5 (iv) 9 19

(v) 6 17 (vi) 2 3 (vii) 5 7 (viii) 1 3

(ix) 2 9 (x) 1 20

4 (i) 1 16 (ii) 16 1

5 7 6

6 (i) 4 3 (iii) 4 7 7- 3 2

8 8 तथ 12 9 5 4 10 4 5

11 रतन को 10 अमशील को 8 अम

P a g e | 222

12 (i) 5 2 (ii) 4 1 (iii) 7 1 (iv) 7 4 (v) 5 3

13 र म को 9000 रपय तथ शय म को 12000 रपय

14 AB = 28 चिमी BC = 12 चिमी 15 (i) परतयि िो 3 (ii) 2 1 3

परशनावऱी 102

1 3850 र 2 (i) 8 घट म (ii) 35750 दकलोमीटर

3 (i) 10 दकलोगर म (ii) 48 दकत ब 4 1800 रपय 5 640 रपय

6 दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 3750

2 100

60 3000

परशनावऱी 11

1 (i) a=2r (ii) A = 1 x b (iii) s = c + p (iv) a + b (v) x - 7

(vi) A = p + c

2 (i) सही (ii) सही (iii)गलत (iv) सही (v) सही

परशनावऱी 12

1 एक पदी- vi viii नदवपदी-i ii iii iv v vii ix एव x

2 5xy एव xy 7c एव 2c yz एव yz

7bc एव bc z एव 7z 37pqr एव 9pqr

परशनावऱी 13

1 (i) 150 (ii) 250 (iii) 20 (iv) 15

2 (i) (ii) (iii) (iv)

3 216 रपय 4 72 दकलोगर म 5 50 6 9 रपय

9

44

5

11

13

2

7

1

2

3

20

1

50

1

10

P a g e | 223

7 3 टॉदफय ा 8 65 9 100

10 परष 28800 मनहल एा 25200 11 1 की कमी

12 10 13 800 14 20 15 ईततीणम 90ए ऄनततीणम 10

16 स कषर 1440 ननरकषर 160

परशनावऱी 141

1 i iv vi vii viii ix व x क समीकरण ह

2 I ब यॉ ा = x ndash 5 द य ा = 9 II ब यॉ ा = 2 x ndash 3 द य ा = 7

III ब य ा = 2y द य ा = 9 ndash y Iv ब यॉ = 2y द य ा = 6

I ब य ा = 15 द य ा = 2a + 5

3 I 2y ndash 3 = 17 II = 7 III y ndash 5 = 8

IV 3y + 11 = 44 V 7y - 5 = 9

4 (i) सखय म स 6 कम करन पर 9 पर पत होत ह

(ii) सखय क 7 गन म स 14 कम करन पर शनय पर पत होत ह

(iii) सखय क दगन म तीन क भ ग दन पर 6 पर पत होत ह ऄथव दकसी सखय

क दो नतह इ 6 पर पत होत ह

(iv) सखय क अध म 5 जोड़न स 10 पर पत होत ह

(v) 38 म स दकसी सखय क दगन कम करन पर 4 पर पत होत ह

परशनावऱी 142

(i) x = -1 (ii) z = 8 (iii) y = 3 (iv) y = 3 (v) x = 6

(vi) z =

2- (i) x= 2 (ii) z = 4 (iii) x = 75 (iv) y = 13 5

4 25

5 40

6 20

7 13 मीटर

y

6

7

3

P a g e | 224

परशनावऱी 16

(1) बनद अकनतय -

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii) (ix)

(2) (a) 12 वगम समी (b) 10 वगम समी

(c) 72 वरग मीटर (d) 135 वगम मीटर

(3) (a) 36 वगम समी (b) 144 वगम समी

(c) 169 वगम समी (d) 1225 वगम समी

(4) (a) 20 वगम समी (b) 24 वगम समी

(5) 36 वगम समी

परशनावऱी 17

1) (i) 12 समी (ii) 12 समी (iv) 6 समी

(vi) 8 समी (vii) 8 समी (viii)15 समी

2) (i) 42 समी (ii) 36 समी

(iii)12 समी (iv) 3 मीटर य 300 समी

3) (i) सतय (ii) ऄसतय (iii)ऄसतय (iv) सतय

4) (i) 60 समी

5) 14 मीटर

6) (i) 8समी (ii) 16समी (iii)32 समी (iv) 24 समी

(v) 20 समी (vi) 13 समी (vii) 18 समी

7) 280 मीटर

उततरमाऱा 181

1

P a g e | 225

उततरमाऱा 182

पर1

पर2 सवयॊ बताओ

पर3 पर4

पर5

पर6

पर7

पर8 3 8 11 13 18 22 33 44 55 66 77 88 99 83 38 80

P a g e | 226

उततरमाऱा 19

परषन 1

परषन 3 (क) नदवतीय शरणी (ख) 40 (ग) 36

P a g e | 227

पररनशषट

वददक गनणत की नवनधय ा

अप पण ाक प ठ क ऄतगमत वददक गनणत की नवनधयो स घट न व गण करन सीखग आस सीखन

क पवम अपको वददक गनणत की कछ पवम ऄवध रण ओ को ज नन अवशयक ह नजनकी चच म यह ा की ज

रही ह -

ऄभी तक अपन जोड़न घट न गण एव भ ग करन सीख नलय ह आन सदिय ओ को

करन की कछ सरल और मजद र नवनधय ा वददक गनणत म भी ह यह ा हम ईन नवनधयो स अपक पररचय

कर एाग आन नवनधयो क ब र म ज नन क पहल अआए ऄको स पररचय कर ल -

ऄक - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 य दस ऄक ह आनही ऄको क परयोग कर सभी सखय एा नलखी

ज ती ह

बीज क - वददक गनणत म 1 स 9 तक क ऄको को बीज क कहत ह दकसी सखय क बीज क जञ त

करन क नलए सखय क ऄको क योग तब तक करत ह जब तक एक ऄक की सखय पर पत न

हो ज ए

ईद हरण क नलए -

35 क बीज क जञ त करन क नलए आसक ऄको को जोड़ग

3 + 5 = 8

ऄतः 35 क बीज क 8 ह

आस परक र ndash

97 क बीज क -

9 + 7 = 16 लदकन 16 म 2 ऄक ह

ऄतः आसक ऄको को भी जोड़ग

1 + 6 = 7

ऄतः 97 क बीज क 7 ह

P a g e | 228

परम नमतर ऄक - नजन 2 ऄको क योग 10 होत ह व अपस म (एक दसर क) परम नमतर कहल त ह

जस - 1 + 9 = 10

ऄतः 1 क परम नमतर 9 ह

और 9 क परम नमतर 1 ह

अआए ऄब थोड़ ऄभय स कर

ऄभय स

1 सखय एा नलखन क नलए कौन-कौन स ऄको क परयोग होत ह

2 नीच नलखी सखय ओ क बीज क बत आए -

(i) 12 (ii) 15 (iii) 17 (iv) 19

(iv) 37 (v) 44 (vi) 56 (vi) 67

(vi) 96 (vi) 183

3 आनक परम नमतर बत आए ndash

(i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5

एक नधकन पवण

एक नधकन पवण क मतलब ह पहल की सखय स एक ऄनधक

जस 2 क एक नधक ह 3 आसी परक र 3 क एक नधक ह 4

कय अप 1 स 9 तक परतयक सखय क एक नधक बत सकत ह

एक नयनन पवण

एक नयनन पवण क ऄथम ह पहल की सखय स एक कम

जस 8 क एक नयनन 7 ह आसी परक र 5 क एक नयनन 4 ह ऄब अप 9 स 1 तक परतयक

सखय क एक नयनन बत आए

P a g e | 229

वददक गनणत की नवनधयो म ऄनक सथ नो पर एक नधकन पवण और एक नयनन पवण क

ईपयोग होत ह

ऄब बत आए

आन सखय ओ को दो ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 22 (ii) 43 (iii) 30 (iv) 58

कभी-कभी सखय क एक स ऄनधक ब र एक नधक ऄथव एक नयन करन की भी

अवशयकत होती ह

जस 12 क एक ब र एक नधक करन पर 13 13 स पनः एक नधक करन पर 14 ऄथ मत 12 स

दो ब र एक नधक करन पर सखय 14 पर पत होती ह

अआए ऄब 12 स ही दो ब र एक नयन करत ह

12 स एक ब र एक नयन करन स 11 नमल 11 स एक ब र एक नयन करन पर 10 नमल

ऄथ मत 12 स दो ब र एक नयन करन पर सखय 10 पर पत होती ह

आन सखय ओ को तीन ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 23 (ii) 15 (iii) 36 (iv) 42

ऄपन मन स सखय एा लकर ईन सखय ओ क एक नधक करन क ऄभय स कीनजए

ऄब बत आए

नीच नलखी सखय ओ को दो ब र एक नयन करन पर कौन-कौन सी सखय पर पत होगी

(i) 16 (ii) 30 (iii) 67 (iv) 75

आनही सखय ओ को 3 एक ब र नयनन करन पर कौन-कौन सी सखय एा नमलगी

ऄपन मन स कछ सखय एा चनकर दो एव तीन ब र एक नयन करन क ऄभय स कीनजए

P a g e | 230

परम नमतर की सह यत स जोड़न

यदद दकसी सखय म 1 2 3 जोड़न हो तो अवशयकत क ऄनस र एक नधक कर जोड़ ज

सकत ह

परनत जब जोड़ ज न व ली दोनो सखय एा 5 स बड़ी हो तब परम नमतर की सह यत स

जोड़न अस न होत ह

अआए आसक एक ईद हरण दख -

9

+ 7

यह ा हम 9 और 7 को जोड़न ह 9 क परम नमतर ऄक 1 ह

ऄतः 7 स 1 लकर 9 म नमल ददय

ऄब 9 + 1 = 10

और 7 स 1 ननक लन पर बच 6

10 म 6 जोड़न पर नमल 16

ऄथ मत 9

+ 7

1 6

आसी परक र परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए-

(i) 7 + 8 (ii) 8 + 6 (ii) 9 + 8 (iv) 6 + 9

आसी परक र 5 स बड़ी दो सखय एा लकर ईनह परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए

P a g e | 231

2

81

45

)1(

27

81

45

)1(

81

45

2

81

45

27

81

45

एक नधक नचहन () लग कर जोड़न

अप ह नसल लग कर जोड़न की नवनध ज नत ह अआए यही स शर करत ह एक ईद हरण ल

ईद हरण 1 हल कीनजए -

आक इ क ऄको को जोड़न पर ( 4+8) 12 पर पत होत ह आस योगफल की आक इ 2

को योगफल क रप म नलखत ह और ह नसल 1 को दह इ क सतमभ म 5 क उपर

नलखत ह

ऄब दह इ क सतमभ क सभी ऄको को जोड़त ह

ह नसल क 1+5 +1=7 आस दह इ क योगफल क रप म नीच नलखत ह

योगफल 72 पर पत होत ह

यदद आक इ क ऄको क जोड़ स नमलन व ल

ह नसल 1 को नबनद क रप म दआ इ क सतमभ म लग ल तो भी योगफल वही पर पत

होग एक ब र दफर आसी जोड़ को दख

आक इ क 4 और 8 क जोड़ 12 नमल

12 क 2 को योगफल क रप म आक इ म नलख और ह नसल 1 को दह इ

क 1 क उपर नबनद क रप म ऄदकत कर आस नबनद को ही एक नधक

नचहन कहत ह

ऄब दह इ क ऄको को जोड़ 5 +(middot)+1 = 7 (middot) को 1 नगन

कल योगफल 72 पर पत हअ

एक और ईद हरण दख

ईद हरण 2 हल कीनजए -

81

45

42

64

P a g e | 232

0

42

64

07

42

64

आक इ क 6 और 4 को जोड़ 6+4=10 नमलग

जोड़ 10 क 0 को योगफल क रप म आक इ क सतमभ म नलख

ह नसल 1 को एक नधक (bull) क रप म 2 क उपर लग एा

ऄब दह इ क जोड़ कर 4 +(bull)+2=7

(bull) को 1 नगन

कल जोड़ 70 पर पत हअ

आस यनकत स तब अस नी होती ह जब सखय एा दो स ऄनधक हो

ईद हरण 3 हल कीनजए -

आक इ क 7 और 8 को जोड़ 15 नमलग

1 को एक नधक नचहन क रप म 4 क उपर ऄदकत कर और 5 को 9 स जोड़ 14

नमलग 14 क 1 को एक नधक नचहन क रप म दह इ क 1 क उपर ऄदकत कर 4

को योगफल क रप म नीच नलख ऄब दह इ क ऄको को जोड़

2+(bull)+4+(bull)+1=9

ईद हरण 4 हल कीनजए -

हल-

91

84

72

91

52

81

P a g e | 233

26

91

52

81

82

57

1 + (bull) + 2 + (bull) + 1 तर 6

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर योग कर-

1 2 3 4 5 6

एक नधक नचहन (bull) लग कर घट न ndash

घट न क ऐस सव ल जह ा सखय ओ क पनसायोजन ( ईध र लन व ल परशन) करन पड़त ह हम

एक नधक नचहन लग कर घट त ह यह ा हम वददक गनणत की एक और ऄवध रण परमनमतर क ईपयोग

करन होत ह (ऐसी दो सखय एा नजनक योग 10 होत हो एक दसर की परमनमतर कहल ती ह जस 3 क

परमनमतर 7 ह और 7 क परमनमतर 3 कयोदक 3+7=10 आसी तरह और 6 और 4 क परमनमतर ह 5 सवय

क परमनमतर ह) अआए एक ईद हरण स घट न की दिय समझत ह

ईद हरण 1 - हल कर

6 स 7 को नही घट सकत 7 क परमनमतर 3 को 6 स जोड़

9 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख और 1 क उपर एक नधक

नचहन (bull) लग एा

ऄब 3 म स (bull) +1 य न 2 घट एा

1 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख हल 19 नमलग

ईद हरण 2 हल कीनजए ndash

63

32

54

83

42

71

82

71

51

91

82

73

63

71

82

71

63

P a g e | 234

5 म 8 नही घट सकत ( 8 क परमनमतर 2 को 5 स जोड़ 7 नमलग )

आस पररण म क रप म नीच नलख

2 क उपर एक नधक नचहन (bull) लग एा

7 म स (bull)+2 य न 3 घट एा

4 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख

हल 47 नमलग

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर घट एा

1 2 3 4 5 6

81

27

91

73

82

04

62

53

82

64

93

86

• 1
• 2 6th Math front page 1-8
• 3 Final Math 6th Unicode book
• 4

गणणत का उपयोग मातर एक णिषय क रप म पढ़न तक ही सीणमत नही ह परत अनय णिषयो को

समझन म भी इसकी महतिपणष भणमका ह ककषा छिः म गणणत पढ़न का मखय उददशय वयापीकरण को समझन क

साथ-साथ जयाणमणत की णिणभनन आकणतयो क गणो को जानना ऋणातमक सखया की समझ पदा करना एि

दणनक जीिन स सबणधत पररणसथणतयो म अब तक समझ गए गणणत का उपयोग करना ह

गणणत कोई बतान या समझान का णिषय नही ह गणणत सीखन क णलए सिय क ददमाग म ढााचा बनाना

पड़ता ह यह ढााचा सिय कई परकार की समसयाओ को हल करन स मजबत होता ह

इस पसतक म भी यही परयास दकया गया ह दक गणणत की अिधारणाओ को छातर सिय बना सक तथा

इन अिधारणाओ को िातािरण स जोड़कर जीिन क अनय कषतरो म भी उपयोग कर सक इस उददशय को परापत

करन क णलए छातर पसतक को धयान स पढ़न क साथ-साथ ददय गय सभी दकरयाकलापो को सिय करक उनस

णनषकषष परापत करन का परयास कर तथा दकए गय दकरयाकलापो का णलणखत अणभलख भी रख

गणणत हल करन की णजन परदकरयाओ का हम उपयोग करत ह परायिःउन सभी म एक णिशष पटनष होता ह

इनही पटनो का उपयोग कर गणणत हल करन क नए तरीक भी ढढ़ जा सकत ह इसी करम म िददक गणणत की

कछ णिणधयाा हम इस पाठयपसतक म परसतत कर रह ह आशा ह गणणत क णिदयाथी इसका आनद उठाएाग ककषा-

6 म िददक गणणत की णजन णिणधयो का हम उपयोग करग उस पर काम करन क पहल कछ और चीज सीखनी

पड़गी इनह हमन पररणशषट म रखा ह इनह पहल सीख लना उपयकत होगा

कोई भी पसतक अपन आप म पणष नही होती इस पसतक को समझन म जो भी करठनाइयाा हो उस यदद

पररषद क धयान म लाया जाएगा तो आन िाल ससकरणो म उस सधारा जा सकगा जो परदश क समसत छातरो क

णहत म होगा

सकल णशकषा णिभाग एि राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद छग दवारा णशकषको एि

णिदयारथथयो म दकषता सिधषन हत अणतररकत पाठय ससाधन उपलबध करान की दणषट स Energized Text

Books एक अणभनि परयास ह णजस ऑन लाईन एि ऑफ लाईन (डाउनलोड करन क उपरात) उपयोग दकया

जा सकता ह ETBs का परमख उददशय पाठयिसत क अणतररकत ऑणडयो-िीणडयो एनीमशन फॉरमट म अणधगम

सामगरी सबणधत अभयास परशन एि णशकषको क णलए सदभष सामगरी परदान करना ह

इस पसतक क लखन म हम णिणभनन शासकीय और अशासकीय णिदयालयो क णशकषको णजला परणशकषण

ससथानो महाणिदयालयो क आचायो सिय सिी ससथाओ तथा परमख नागररको का मागषदशषन एि सहयोग णमला

ह हम उनक परणत अपना हारददक आभार वयकत करत ह

हम पनिः राजय क परबदध िगष स णनिदन करत ह दक इस ससकरण को सथायी रप दन क पिष ि इसम

आिशयक सशोधन क सझाि पररषद को अिशय भज णजसस इस पसतक म सधार दकया जा सक

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

पराककथन

गणणत कया ह

गणणत अधययन की िह शाखा ह णजसक अनतगषत मोट तौर पर सखयाओ उनक गणो ि पारसपररक

सबधो क साथ-साथ आस-पास क सथान की समझ को वयिणसथत कर उसम सिाागसमता कोण ि अकन

पररमाण तथा अनय इसी परकार क मापो का अधययन दकया जाता ह इसका उपयोग न किल अधययन-अधयापन

क सभी कषतरो क अधययन म अणनिायष तथा महतिपणष अग होता ह िरन सामानय जीिन म भी इनकी अहम

भणमका ह इसणलए गणणत अधययन-अधयापन म पराथणमक सतर स ही अधययन का अणनिायष अग रहा ह

सामानय तौर पर गणणत सीखन क णलए ठोस िसतओ ि अनभिो स शर करक अमतष णिचारो को समझकर उनक

साथ आग बढ़ना होता ह गणणत णिषय चरण दर चरण बढ़ता ह और इस बढ़न म परतयक सतर पर अिधारणाओ

का और जयादा वयापीकरण होता रहता ह

भाषा ि गणणत सीखन का समबनधतकष णसदध करन का अथष

गणणत सीखन की परदकरया म भाषा का उपयोग बहत महतिपणष ह गणणतीय तको ि धारणाओ को

समझन ि वयकत करन क णलए भाषा आधार ह भाषा गणणतीय अिधारणाओ को कछ हद तक मतष बनान म भी

योगदान करती ह करमबदध तारदककता णिकणसत करना ि उसक उपयोग का आधार भी भाषा ह और यह गणणत

सीखन ि उसक उपयोग क णलए अतयत आिशयक ह गणणत का सबस परमख पहल ह मानयताओ ि धारणाओ क

आधार पर णसदध दकए जा सकन िाल कथनो का एक ढााचा खड़ा करना ि उनका उपयोग करना इस परकार

गणणत को सरणचत करन का आधार तारदककता ह बचचो को इसकी परदकरया स जो गणणत की परकणत का अहम

णहससा ह रबर करिाना आिशयक ह

गणणत की परकणत क अनरप ककषा-6 स 8 क दौरान हम जयादा वयापक और अपकषाकत जयादा अमतष

णिचारो का अधययन शर करग

समह म िसतओ की सखया पराकत सखयाओ की समझ ि उन पर हई सामानय सदकरयाओ स आग बढ़कर

हम सखयाओ का सामानय परणतरपण ि णनयम चर की अिधारणा णसदध करन की धारणा वयापीकत णनयमो

वयिहाररक गणणत आदद क बार म सीखग इसक साथ-साथ हम आकणतयो की रचना परकार ि आकार क बार

म समझग और अपन ही आस-पास ढढ़न का परयास करग इन ककषाओ क दौरान हम आकड़ो को वयिणसथत करक

परसतत करना ि उनस णनषकषष णनकालना भी शर करग

णशकषक क णलए

गणणत णसखान क बार म परमख बात यह ह दक इसम बचचो को सिय समसयाए हल करन का पयाषपत मौका

णमल गणणत बतान ि समझान स नही सीखा जाता िरन समझन स ि अपन ददमाग म ढाच बनान स आग

बढ़ता ह अतिः हम बचचो को समझन ि अपन ददमाग म उसका ढाचा बना लन क मौक दन ि इसका कौशल

णिकणसत करन पर जोर दना चाणहए

गणणत णशकषण

हम जानत ह दक गणणत अधययन क समसत कषतरो तथा णजनदगी क सभी दकरया-कलापो म उपयोग म

आता ह परनत यह उस उपयोग तक सीणमत नही ह यदयणप ठोस अनभिो ि ठोस िसतओ का इसक शर म बहत

महति ह इसम सीखन िाल को करमशिः अमतष णिचारो को समझकर आग बढ़ना होता ह इसस यह सपषट ह दक

गणणत णशकषण का कनदर णबनद गणणतीय अिधारणाओ को णशकषाथी को सिय बनान म मदद दना ह न दक उनह

अिधारणाए बताना अथिा रटाना हम गणणत णशकषण म परमख बात सिाल समझाना नही िरन बचचो को

सिालो को हल करन का बणहचक परयास करन का मौका दना चाणहए

इसणलए उचच पराथणमक सतर क गणणत णशकषण म हम ठोस िसतओ ि अनभिो क माधयम स सीख गए

गणणत का उपयोग करत हए वयापकीकत गणणतीय अिधारणा को बनान म णशकषाथी को मदद दनी चाणहए अतिः

सभी अधयायो क णशकषण म इस बात को रखादकत कर लना चाणहए दक आप अधयाय म कौन स गणणतीय णनयम

ि उसकी वयापकीकत अिधारणा को बनाना चाहत ह इसी गणणतीय णनयम ि अिधारणा को णशकषाथी अपन

आप स बना सक इस बात को धयान म रखकर अभयास का ढााचा ि सिाल बनाना चाणहए अभयास क परशनो म

णशकषाथी को सिय समसयाएा हल करन का पयाषपत मौका णमलना चाणहए

उचच पराथणमक शाला म गणणत णशकषण क सामानय उददशय

1 पराथणमक सतर क जञान का सदढ़ीकरण हो सकगा

2 बचचो म िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी की अिधारणाए णिकणसत करना

3 दणनक जीिन म गणणत क आधार की समझ ि उसका उपयोग करन की कषमता

4 िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी सबधी सरल समसयाओ को हल करन की कषमता का

णिकास

5 रखगणणतीय परशनो को हल करन की दकषता णिकणसत करना परशन क णिणभनन चरणो क आपसी सबधो

एि तारदकक अनमान लगान ि गणणतीय अिधारणा को समझना

6 परारणमभक बीज गणणत क आधार को समझना

7 साणखयकी गराफ णचतर चाटष मॉडल की समझ उनक परयोग की दकषता परापत करना

8 तकष कषमता उपपणतत ि णसदध करन का तरीका पटनष पहचानना

9 समसयाए समझना ि हल करन क साथ-साथ अिधारणाओ क आधार पर नए सिाल और समसयाए

बनाना

10 राषटरीय एकता एकरपता पयाषिरण सरकषा छोट पररिार का आदशष सामाणजक बराईयो को दर करना

समानता सबधी जागरकता णिकणसत करना इन उददशयो को भी धयान म रखत हए गणणत का

पाठयकरम बनाया गया ह

11 ककषा 6 म ऋणातमक सखयाएा चर की अिधारणा ि उनका उपयोग समीकरण सखया समहो की

धारणा ि उनक गण तथा णभनन सखयाओ पर समय लगान की आिशयता ह कयोदक यह आग क गणणत

का आधार ह इसी परकार रखागणणत की धारणा का सदढ़ पररचय इसी ककषा म शर होता ह इन सभी

क णलए पयाषपत अभयास ि मौक चाणहए होग

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

णिषय-सची

1 पराकत सखयाएा 1-3

2 पणष सखयाएा एि पणष सखयाओ पर सदकरयाएा 4-18

3 रखाखणड 19-30

4 पणााक 31-49

5 ितत 50-53

6 गणनखणड एि गणज 54-72

7 णभनन 73-88

8 कोण 89-105

9 णतरभज एि चतभषज 106-127

10 अनपात 128-140

11 चर सखया 141-143

12 बीजीय वयजक 144-147

13 परणतशतता 148-156

14 समीकरण 157-167

15 रखा गणणतीय रचनाएा 168-177

16 कषतरणमणत-1 (कषतरफल) 178-184

17 कषतरणमणत-2 (पररमाप) 185-195

18 समणमणत 196-208

19 साणखयकी 209-217

उततरमाला 218-226

पररणशषट-िददक गणणत की णिणधयाा iviii

गणणत क कषतर म भारत का गौरिशाली योगदान

अब तक आपन भाषा एि गणणत को मखय णिषय क रप म पढ़ा ह गणणत पढ़ात समय आपक मन म यह

णजजञासा अिशय ही उतपनन हई होगी दक इस महतिपणष णिषय का उतथान कस हआ इसक अभयतथान म

भारतिाणसयो का कया योगदान ह

भारत िषष म गणणत क णिकास का इणतहास अतयनत गौरिशाली ह आज समपणष णिशव म शनय पर

आधाररत दाशणमक सथानमान अक पदधणत का णिकास भारत म ही हआ था णसनध सभयता की णलणप को आज

पयषनत पढ़ा नही जा सका परनत हड़पपा ससकणत क पराताणतिक अिशषो स यह पता चलता ह दक उनका गणणत

जञान णिशषकर कषतरणमणत का जञान अतयनत उननत था णसनध सभयता क कषतरणमणत क जञान को आयष भाणषयो न यजञ

क णलए िददयो क णनमाषण म दकया था

जब यरोप म गणणत क शोध क कषतर म अधकार का एक दौर चल रहा था उस समय भारत म आयषभटट

बरहमागपत महािीराचायष भासकराचायष जस कई महान गणणतजञ भारत म गणणत की गौरिशाली परमपरा को

आग बढ़ा रह थ

आयषभटट न िगष िगषमल घन घनमल िगषकषतर णतरभज का कषतरफल ितत का कषतरफल गोल का धनफल

आदद का अनमान लगान का णनयम बनाया उनहोन ितत की पररणध और वयास का अनपात णजस हम (पाई) क

नाम स जानत ह चार दशमलि सथानो तक शदध परापत दकया

बरहमगपत न आयषभटट की परमपरा को आग गढ़ात हए गणणत को और अणधक समदध बनाया बरहमगपत

पहल भारतीय गणणतजञ ह णजनहोन पाटीगणणत (अकगणणत) और बीजगणणत क रप म गणणत को दो भागो म

बाटा एि बीज गणणत म शनय का उपयोग करन िाल ि परथम भारतीय गणणतजञ थ

भारतीय गणणत की गौरिशाली परमपरा को आग बढ़ान म महािीराचायष का बहत बड़ा योगदान ह

उनहोन णभननो को जोड़न तथा घटान क णलए कई णनयम ददए तथा णभननो स सबणधत कई मनोरजक एि रोचक

उदाहरण ददए

भासकराचायष परथम गणणतजञ थ णजनहोन शनय को एक परमालप (अतयनत छोटी) सखया माना तथा यह

कहा दक दकसी सखया को शनय स भाग दन पर अननत परापत होता ह

इस परकार अनकानक भारतीय गणणतजञो न गणणत क णिकास क णलए अतयनत महतिपणष योगदान ददया

णजनक कायो की सराहना समपणष णिशव करता ह

प ाच फल

दननक जीवन म वसतओ को नगनन की अवशयकत पड़ती ही ह

अआय नगनन क कछ ईद हरणो को दख -

1 सध क म त नपत तनद पतत तोड़त ह तथ सध 50-50 तनद पततो की गनिय ा बन न म ईनकी

सह यत करती ह

2 र ध छटटी क ददन सबजी बचन म ऄपन म ा की सह यत करती ह तथ नहस ब दकत ब रखती ह

3 सरश क नपत क डयरी फ मम ह वह रोज़ न सबह-श म ज नवरो की नगनती करत ह तथ दध

क नहस ब रखत ह

आस परक र अप भी परनतददन कइ ब र नगनन क क यम करत ह नीच कछ नचतरो क समह

ददए गए ह ईन नचतरो क समह को अप कय न म दग ईन न मो को नचतरो क नीच ददय गय ब कस म

नलनखए एक क न म हमन नलख ददय ह

दिय कल प 1

ईपरोकत नचतर समह क न म प ाच फल प ाच गद प ाच पनततय ा एव प ाच चशम हो सकत ह आस

परक र नगनती स पर पत सखय दकसी ख स वसत स जड़ी नही ह वह तो एक नवच र य सोच ह आसी सोच को

ऄलग-ऄलग भ ष ओ म नलनखत रप स नभनन-नभनन सकतो दव र दश मय ज त ह जस प ाच को नहनदी म Dagger

ऄगरजी म 5 तथ रोमन म V स दश मय ज त ह परतयक सखय परण ली म परतयक सखय क नलए एक

नननित सकत होत ह

पर चीन क ल म जब मनषय क प स नगनती क सकत नही थ तब भी नगनती क क यम नवनभनन तरीको

स होत थ जस पतथर रखकर बीज रखकर रससी पर ग ठ ब ध कर आतय दद आसी परक र कइ तरीको

1

पर कत सखय

2

स नगनन क क यम दकय ज त थ जब वसतओ को नगन ज त थ तो परतयक वसत क बदल एक पतथर

य एक बीज ऄलग रख ज त थ ऄथव एक ग ठ लग इ ज ती थी आस ही एक-एक सगतत कहत ह

यदद दकसी ककष म 10 मज़ ह तथ 10 मजो क नलए 10 करससय ा ननध मररत ह तो मज़ तथ करससयो

क बीच एक-एक सगतत ह

परतयक मज़ क नलए एक कसी की अवशयकत ह कसी और मज़ म एक-एक सगनत ह

कय अप श ल म बसतो को नगन कर ईपनसथत छ तरो की सखय बत सकत ह

चदक परतयक छ तर स एक बसत सबनधत ह ऄतः छ तर एव बसत क बीच एक-एक सगतत ह आस

परक र दकसी ककष म रख 32 बसतो स यह सोच बनती ह दक ककष म 32 छ तर ईपनसथत ह

अपको गणन करत समय दकन-दकन ऄको की अवशयकत होती ह गणन क ऄक कह ा स पर रभ

होत ह अआय आन परशनो क ईततर ढढ़

गणन करत समय 10 सकतो 1234567890 क ईपयोग दकय ज त ह तथ गणन क

क यम 1 स पर रभ होत ह आनही ऄको को नमल कर सखय एा नलखी ज ती ह

गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह ईनह पर कत सखय (Natural Number) कहत ह

पर कत सखय ओ क समह को N स दश मत ह

ऄथ मत पर कत सखय (N) = 123 अदद

सबस छोटी पर कत सखय 1 ह आन सखय ओ क एक गण यह ह दक हर सखय ऄपन ठीक पहल की

सखय स 1 जय द ह ऄथ मत दकसी पर कत सखय म एक जोड़न पर ऄगली सखय पर पत सखय म 1 जोड़न पर

ईसकी ऄगली सखय पर पत होगी दसर गण यह ह दक सखय ओ की यह एक ऐसी सची ह जो बढ़ती ही

ज ती ह आन दोनो गणो को ईद हरण लकर ज नचए

दिय कल प 2

नीच दी गइ सखय ओ को बढ़त एव घटत िम म नलनखए -

सखय एा बढ़त िम म घटत िम म

151227913314918 912131518273149 493127181513129

98336249107

6778755725

103113131301331

3

द क त न ी स व र ी

ग न ड य ा ग ज र ी

1 गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह

ईनह पर कत सखय एा कहत ह

2 123456 - - - आतय दद सभी पर कत सखय ए ह

3 पर कत सखय ओ क समह को N स वयकत करत ह

ऄथ मत N = 1234 आतय दद

4 सबस छोटी पर कत सखय एक ह

5 पर कत सखय म एक जोड़ कर ऄगली पर कत सखय पर पत की

ज सकती ह

6 सबस बड़ी पर कत सखय नही पर पत की ज सकती ह ऄथ मत

दकसी सखय म एक जोड़कर ऄगली बड़ी सखय पर पत होगी

पर पत सखय म जोड़कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत होती

रहगी

आस अध र पर हम कह सकत ह दक 9lt12lt13lt15lt18lt27lt31lt49

य 49gt31gt27gt18gt15gt13gt12gt9

सोच कर ईततर ढादढ़ए सबस बड़ी पर कत सखय कौनसी होगी

कय दस ल ख स बड़ी कोइ सखय ह दस करोड़ स

तो दफर सबस बड़ी सखय कय होगी

परशन वली 1

1 सबस छोटी पर कत सखय कौनसी ह

2 41600 तथ 41006 म कौन सी सखय बड़ी ह

3 ईपयकत नचहन gt lt य = क परयोग कर ख ली ब कसो म परसत कीनजए -

(i) 45 21 (ii) 543 345

(iii) 15 15 (iv) 5304 5340

(v) 10991 - 10091 (vi) 99876 99786

4 1 स 100 क बीच की सखय एा नलखन क नलए दकतन ब र 9 क परयोग करन पड़त ह

5 च र ऄको की सबस बड़ी पर कत सखय तथ तीन ऄको की सबस छोटी पर कत सखय क

बीच क ऄतर ननक नलए

हमन सीख

4

पणम सखय (Whole Number)

अपन नपछल प ठ म गणन सखय ऄथव पर कत सखय क ब र म पढ़ ह

1234 आतय दद पर कत सखय एा ह कय अप बत सकत ह दक यदद दकसी पर कत सखय म

स ईसी पर कत सखय को घट य ज ए तो शषफल दकतन होग

जस 2 - 2 = 0 5-5 = 0 यह ा 0 (शनय) पर पत हो रह ह कय यह पर कत सखय ह

नही शनय पर कत सखय नही ह परत हम आसकी

अवशयकत ह यदद दकसी पड़ पर प ाच नचनड़य बठी हो और

प ाचो ईड़ ज एा तो पड़ पर बठी नचनड़य ओ की सखय कय

होगी आस परशन क जव ब दन क नलए गणन सखय क स थ-

स थ शनय की भी अवशयकत होगी वह सखय ओ क समह

नजसम गणन सखय क स थ शनय भी श नमल ह पणम सखय

कहल ती ह पणम सखय को W स परदरसशत करत ह ऄथ मत

पणम सखय (W) = 012345 - - - आतय दद

अआय शनय को समझन क परय स कर

1 सगीत क प स 10 र ह ईसन 7 र की कॉपी तथ 3 र क न खरीद तो ईसक प स दकतन

रपय शष बच 10 - 7 = 3 (कॉपी क द म कम दकय )

3 - 3 = 0 (पन क द म कम दकय )

सगीत क प स शनय रपय बच आस 0 नचनह दव र दश मत ह

2 र म की म ा न र म को 5 लडड ददए र म न 2 लडड मोहन को नखल ददय और 3 र म न ख

नलय ऄब र म क प स दकतन लडड बच

3 रहीम क प स 100 पज की एक कॉपी ह नजसम ईसन 80 पज पर गनणत तथ 20 पज पर

नवजञ न क क यम दकय ह ईसकी आस कॉपी म दकतन पज शष बच

पणम सखय ओ को सखय रख पर दश मन

पणम सखय को एक सरल रख पर ददख न क नलए ऄपनी कॉपी म नचतर नस र एक सरल रख

खीनचए नजसम सम न दरी पर कइ नचहन लग हो

2 परण सॊखया एवॊ

परण सॊखया पर सॊकरियाएॉ

नचतर 3

नचतर 2

आसम पर रनभक नबनद को 0 स ददख ए शनय क द ायी ओर क नबनदओ पर िमशः 1234 - - -

आतय दद सखय एा नलख कय सखय रख को दखकर अप बत सकत ह दक कौन-सी सखय बड़ी ह आसक

नलए सोनचए दक दकसी सखय क ब य ओर की सखय ईस सखय स बड़ी होगी य छोटी

पणम सखय ओ क गण

अप ज नत ह दक 012345 आतय दद पणम सखय एा ह अआए आनक गणो क ऄधययन कर-

1) पर कत सखय क सभी गण पणम सखय ओ क नलए भी सही ह

2) सबस छोटी पणम सखय 0 ह

3) सखय रख पर 0 स द नहन ओर िमशः पणम सखय बढ़त िम म ददख यी गयी ह ऄथ मत 0 +1 =

1 1 + 1 = 2 101 + 1 = 102 102 + 1 = 103 103 + 1 = 104 आतय दद

4) सखय रख पर द नहन ओर स ब ाए ओर क िम घटत िम म ह जस 43210

5) सबस बड़ी पणम सखय नही ददख इ ज सकती कयोदक यदद अप कोइ बड़ी स बड़ी सखय सोचत ह

तो ईसम एक जोड़ कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत की ज सकती ह जो ईस सखय की परवती

सखय होगी

6) 50 की पवमवती सखय 49 ह 17 की पवमवती सखय 16 ह कय शनय की भी पवमवती सखय होगी

सखय रख पर सदिय ए

1 पणम सखय ओ क योग -

दिय कल प 1

सखय रख पर 3 + 2 = 5 ददख आए

1 सखय रख बन आए

2 शनय स द नहनी ओर 3 सथ न चल (3 पर पहाच)

3 ऄब 3 स अग दो सथ न चल (कह ा पहा च)

4 आस परक र ऄब शनय स दरी 5 ह ऄतः 3 + 2 = 5 होग

+3 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 पणम सखय ओ क घट न

3 पणम सखय ओ क गण

ऄभय स 21

क अप सवय भी आसी परक र सखय रख बन कर ननमन परशनो की ज च कररए

(i) 4 + 5 (II) 6 + 4 (iii) 5 + 7

ख कय 3 + 4 = 4 + 3 ह सखय रख पर ज नचए

सखय रख पर दकसी बड़ी पणम सखय स छोटी पणम सखय घट इ ज सकती ह यदद सम न पणम

सखय को घट एा तो ऄतर 0 पर पत होत ह अआए आसक नलए एक दिय कल प कर

दिय कल प 2

8 - 5 = 3 को सखय रख पर दश मन

1) एक सखय रख खीनचए

2) 0 स 8 भ ग द यी ओर चल

3) ऄब 8 स 5 भ ग ब यी ओर चल (घट न क नलए ब यी ओर चलग)

4) चदक अप की नसथनत 0 स 3 भ ग द यी ओर ह ऄतः 8 - 5 = 3 होग

सोनचए छोटी सखय स बड़ी सखय घट न पर भी कय हम पणम सखय नमलगी

ऄभय स 22

सखय रख बन कर ननमननलनखत ईद हरणो की ज च कर

(i) 6-2 (ii) 7 - 4 (ii) 8 - 3

सखय रख पर पणम सखय क गण को दश मय ज सकत ह

जस 3 x 4 = 12 य 3 + 3 + 3 + 3 = 12

गण दकसी सखय को ब र-ब र जोड़न की परदिय ह अआए आस सखय रख पर करक दख

4 पणम सखय ओ क भ ग

दिय कल प 4

दिय कल प 3

1) सवमपरथम सखय रख खीनचए

0 स 3-3 क ख न बन कर च र ब र अग बढ़ आस परक र अप 0 स 3 3 स 6 6 स 9 तथ 9 स 12

पर पहचत ह

ऄतः 3 x 4 = 12

ऄभय स 23

1 सखय रख पर ननमननलनखत परशनो को दश मआए

(i) 4 x 3 (ii) 3 x 2 (iii) 0 x 2

(iv) 2 x 3 (v) 3 x 3

कय अप बत सकत ह दक यदद 12 स 3-3 क ख न बन कर दकतनी ब र ब यी ओर चल

दक 0 पर पत हो ज ए आस दिय को करन क नलए अआय एक दिय कल प करत ह

अप ज नत ह दक भ ग ब र-ब र घट न की परदिय ह

ऄतः 12 divide 3 म 12 - 3 = 9 (एक ब र) 12 स 3-3 क ख न बन कर ब यी ओर

9 - 3 = 6 (दो ब र) च र ब र चलन पर शनय पर पहचत ह

6 - 3 = 3 (तीन ब र) ऄतः 12 divide 3 = 4

3 -3 = 0 (च र ब र)

कय अप सखय रख पर दश मकर ज ाच सकत ह दक 8 को 3 स पणमतः भ ग ददय ज सकत ऄथव

नही

ऄभय स 24

1 ननमननलनखत पणम सखय ओ क भ ग सखय रख पर ददख आए

(i) 8 divide 2 (ii) 8 divide 4 (iii) 8 divide 1 (iv) 8 divide 8

सथ नीय म न

गणन क नलए 0123456789 दस ऄको क परयोग दकय ज त ह आस परण ली को

द शनमक परण ली कहत ह द शनमक परण ली म दह इ की सखय क सथ नीय म न आक इ की सखय क

सथ नीय म न क 10 गण सकड़ की सखय क सथ नीय म न दह इ की सखय क सथ नीय म न क 10

गण तथ हज र की सखय क सथ नीय म न सकड़ की सखय क सथ नीय म न क 10 गण ह आसस अग

भी आसी परक र सखय पदधनत म और बड़ी सखय ओ तक पहचत ह

जस 769 = 7 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1

769 म सथ नीय म न िमशः 700 60 और 9 ह -

सथ न सकड़ दह इ आक इ

सथ नीय म न 7 x 100 = 700 6 x 10 = 60 9 x 1 = 9

यही क रण ह दक 769 को 700 + 60 + 9 क नवसत ररत रप स ददख त ह

ईद हरण 1

सखय 4579 म 5 क सथ नीय म न बत आय

हल यह दी गयी सखय 4579 म 5 सकड़ क सथ न पर ह

ऄतः 5 क सथ नीय म न = 5 x 100 = 500

ईद हरण 2

सखय 3214 म सभी ऄको क सथ नीय म न नलखकर आसक सतयत की ज च कीनजए

हल

सखय 3214 म 4 आक इ क सथ न पर ह आसी परक र 1 दह इ 2 सकड़ व 3 हज र क सथ न पर ह

4 क सथ नीय म न = 4 x 1 = 4

1 क सथ नीय म न = 1 x 10 = 10

2 क सथ नीय म न = 2 x 100 = 200

3 क सथ नीय म न = 3 x 1000 = 3000

ज ाच 3214 = 3000 + 200 + 10 + 4 = 3214

ईद हरण 3

393237310 की परवती (अग की) सखय जञ त कीनजए

हल

393237310 की परवती सखय

= 393237310 स 1 ऄनधक

= 393237311

ईद हरण 4

393237310 की पवमवती (पीछ की) सखय जञ त कीनजए

हल

= 393237310 स एक कम

= 393237309

परशन वली 21

1 सबस छोटी पर कत सखय कौन सी ह

2 कौन सी पणम सखय पर कत सखय नही ह

3 वह पणम सखय बत आए जो 5 की पवमवती ह

4 45 की ऄगली तीन िम गत सखय एा नलनखए

5 41608 तथ 41806 म कौन सी सखय बड़ी ह

6 नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय पहच ननए

i सबस छोटी पर कत सखय शनय ह ( )

ii सबस छोटी पणम सखय शनय ह ( )

iii दकसी पर कत सखय म ईसी पर कत सखय को घट न स शषफल शनय नमलत ह ( )

iv 4215 म 2 क सथ नीय म न 200 ह ( )

v 4215 म 2 क ऄदकत म न 2 ह ( )

vi सबस बड़ी पणम सखय नही बत इ ज सकती ह ( )

vii 3857 म 8 हज र क सथ न पर ह ( )

viii 41 एव 50 क बीच 9 पणम सखय एा ह ( )

7 ननमननलनखत सखय ओ की पवमवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 79 (iii) 520 (iv) 1100 (v) 52332

8 ननमननलनखत सखय ओ की परवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 520 (iii) 1100 (iv) 52332

9 छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय नलनखए

10 प ाच ऄको की सबस बड़ी पणम सखय नलनखए

11 प ाच ऄको की सबस बड़ी व छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय क ऄतर जञ त कीनजए

12 ननमननलनखत सखय ओ को बढ़त िम म नलनखए

252 557 18 421 497 731

13 ननमननलनखत सखय ओ को घटत िम म नलनखए

225 458 69 59 617

14 ननमननलनखत म कौन सी सखय स त ल ख प च हज र छः ह

(i) 750006 (ii) 705006 (iii) 7005006 (iv) 750006

15 6 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1 को एक सखय क रप म नलनखए

16 सखय रख पर दश मआय दक नीच ददय गय हल सही ह

(i) a 4 + 3 = 7 b 3 + 4 = 7

c 0 + 2 = 2 d 2 + 0 = 2

e 4 + 3 = 3 + 4 की ज च कर

(ii) a 4 - 3 = 1 b 7 - 4 = 3

c 6 - 2 = 4 d 10 - 5 = 5

e 5 - 2 व 2 - 5 की ज च कर

(iii) a 2 x 3 = 6 b 3 x 2 = 6

c 2 x 5 = 10 d 5 x 2 = 10

(iv) a 6 divide 2 = 3 b 8 divide 4 = 2

अप ज नत ह दक दो पणम सखय ओ क योगफल हमश एक पणम सखय होती ह यह पणम सखय ओ

क योग क नलए सवरक ननयम ह

यदद पणम सखय ओ क गणनफल हमश पणम सखय हो तो पणम सखय एा गण क नलए सवरक ननयम

क प लन करती ह आसी परक र यदद दो पणम सखय ओ क भ गफल सदव पणम सखय हो तो वह भ ग क

नलए तथ यदद दो पणम सखय ओ क ऄतर सदव पणम सखय हो तो वह घट न क नलए सवरक ननयम क

प लन करगी

अआय नीच ददय गय दिय कल प स दख दक पणम सखय एा दकन-दकन सदिय ओ क नलए सवरक

ननयम क प लन करती ह

दिय कल प 5

अपको कछ सखय ओ की स रणी दी गइ ह स रणी म पहली पनकत म नजस परक र सभी ख नो को

भर गय ह ब की पनकतयो को ईसी परक र भररए ि 8 क ब द अप सवय सखय नलखकर पनकत क सभी

ररकत ख नो को भर

भ गफ

ल पणम

सखय

हनही

ह नही ह

पहली पणम

सखय divide

दसरी पणम

सखय

3divide

12

=

गणनफल

पणम सखय

हनही ह

ह

पहली पणम

सखय

x

दसरी पणम

सखय

3x1

2=

36

ऄनतर पणम

सखय हनही

ह

नही ह

पहली पणम

सखय

- दसरी

पणम सखय

3-1

2=

योगफल

पणम

सखय हनही

ह

ह

पहली पणम

सखय

+ दसरी

पणम सखय

3+

12

=1

5

दसरी पणम

स

12

13

0

8

15

1

9

11

पहली

पणम स

3

39

5

0

11

99

27

11

1

ि स

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

पणम सखय एव पणम सखय पर सदिय ए

ईपरोकत स रणी को दखकर बत आए दक दकन-दकन सदिय ओ क पररण म हमश पणम सखय ह एव

दकन-दकन क पररण म हमश पणम सखय नही ह यह भी सोनचए दक आसस कय ननषकषम ननकलत ह

सपषट ह दक दो पणम सखय ओ को यदद जोड़ ज ए तो ईनक योगफल हमश पणम सखय होत ह एव

दो पणम सखय ओ क गणनफल भी सदव पणम सखय होत ह परत दो पणम सखय ओ क ऄतर एव भ गफल

सदव पणम सखय नही होत ह ऄतः पणम सखय ए योग एव गण क नलए सवरक ननयम क प लन करती ह

परत घट न एव भ ग की परदिय क नलए सवरक ननयम क प लन नही करती

योग सदिय की ऄनय नवशषत

म न लीनजए दक तीन नमतर ऄ ब और स ह

पहल ऄ तथ ब नमलत ह और दफर नमलकर व स स नमलत ह ऄथव ब तथ स पहल नमलकर दफर

ऄ स नमल आन दो परक र स नमलन म कय ऄनतर ह कय दोनो नसथनतय सम न ह

दोनो ही नसथनतयो म ऄनत म ऄ ब और स एक स थ नमल रह ह जब दोनो पररनसथनतयो म एक ही

ब त हो तो गनणत म आस ननयम को स हचयम ननयम कहत ह कय स हचयम क ननयम पणम सखय ओ क जोड़

क नलए सतय ह अआय एक ईद हरण दख

म न लीनजए 3 4 5 कोइ तीन पणम सखय एा ह

पहल (3 + 4) क योग कर एव योगफल म 5 जोड़ तो (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 अएग

ऄब 3 म (4 + 5) क योगफल जोड़ तो 3 +(4 + 5) = 3 + 9 = 12 अएग

कय दोनो नसथनतयो म योगफल सम न ह

दिय कल प 6

आसकी ज ाच ननमन सखय ओ क नलए करक दख

1 2 3 4 2 6 7 8

3 0 1 2 4 4 13 17 20

कय घट न की दिय म भी यह सबध ल ग होग

कय (13 - 6) - 5 तर 13 - (6 - 5) होग ज ाच कर

अप प त ह दक घट न म स हचयम क ननयम क प लन नही होत ह

तीन-तीन ईद हरण लकर जोड़ व घट न क नलए स हचयम क ननयम की ज च कर

अभयास 25

1 ररकत खड म ईनचत पणम सखय भररए -

1 (4 + 6) + 5 = 2 4 + (6 + 5) =

3 12 +(6 + ) = 20 4 ( +6) + 2 = 20

5 (8 + 9) + = 25

6 (12 + 8) + = +( 8 + 10)

7 (6 + 2 ) + = + (2 + 3)

गणन दिय क ऄधययन

(1) ननमन दकत त नलक म ररकत खडो को पणम कर

पणम सखय x पणम सखय = गणनफल पणम सखय ह य नही

7 x 9 =

23 x 15 =

0 x 12 =

8 x 12 =

12 x 0 =

कय ऐसी कोइ दो पणम सखय सोच सकत ह नजनक गणनफल पणम सखय नही ह

करियाकऱाप 8

गणन सदिय (x) की सह यत स बॉकस क खडो म ईनचत पणम सखय भररए कछ सव लो क हल

ब कस म पहल सही ददए गय ह

x 0 1 2 3

0 0

1 2

2 2

3 9

िम नवननमय क ननयम

12 x 5 =

ऄब आन सखय ओ क िम बदलकर गण करन पर (

5 x 12 =

कय दोनो नसथनतओ म गणनफल सम न ह

यदद 357 x 486 = 173402 हो तो नबन गण दकए बत आए दक -

486 x 357 =

ऄभय स 26

1 ररकत सथ न भररए -

(i) 87 x 887 = 887 x

(ii) 279 x = 481 x 279

(iii) 303 x 117 = x 303

(iv) x 583 = 583 x 179

स हचयम ननयम की ज ाच

ऄभी अपन दो सखय ओ को गण करन सीख अआय ऄब हम तीन सखय ओ को गण करक दख

25 व 6 तीन सखय ओ को लीनजए आनह ननमन परक र स गण कररए एव गणनफल ब कस म भररए

60

63 पणम सखय

60

P a g e | 14

भ जय भ जक भ गफल एव शषफल

2 x (5 x 6) =

5 x (6 x 2) =

6 x (5 x 2) =

2 x (6 x 5) =

5 x (2 x 6) =

(6 x 2) x 5 =

(2 x 5) x 6 =

(5 x 6) x 2 =

(6 x 5) x 2 =

(2 x 6) x 5 =

(5 x 2) x 6 =

6 x (2 x 5) =

कय सभी ख नो म अए गणनफल ऄलग-ऄलग ह यदद नही तो तीन सखय ओ को हम नवनभनन

तरीको स गण कर सकत ह और ईततर वही अएग यही स हचयम क ननयम कहल त ह आसी परक र अप

भी ऄनय तीन सखय एा लकर आस ननयम की ज च कीनजए

ऄभय स 2 7

1 ननमननलनखत ररकत खणडो की परसत कीनजए -

(i) 4 x (5 x 6) = (4 x ) x 6 (ii) 8 x (4 x 2) = x 2

(iii) 3 x (7 x 5) = (3 x ) x 5 (iv) 2 x (8 x ) = 8 x ( x 4)

(v) 7 x (3 x 5) = 7 x ( x 3)

यह अप पहल की ककष ओ म भी कर चक ह अआए दोहर ल

ईद हरण 1

20 divide 5

5) 20 (4

20

00

यह ा भ जक 5 व भ गफल 4 ह

कय भ जय भ जक व भ गफल म कोइ समबनध ह

20 = 5 X 4

भ जय = भ जक X भ गफल

ईद हरण 2 20 divide 5

भ जय

भ जक 5) 21 (4 भ गफल

- 20

1 शषफल

P a g e | 15

1 नजस सखय म भ ग ददय ज रह ह भ जय कहल त ह (21 भ जय ह )

2 नजस सखय स भ ग ददय ज रह ह भ जक कहल त ह (5 भ जक ह)

3 नजतनी ब र भ ग ज त ह भ गफल कहल त ह (4 भ गफल ह)

4 परदिय क पि त भ जक स छोटी सखय बचती ह ईस शषफल कहत ह 1 शषफल ह

21 = 5 X 4 + 1

ऄब 22 म 5 क भ ग करक दख

5) 22 (4

- 20

2

आसम 5 भ जक 4 भ गफल व 2 शषफल ह भ जय भ जक भ गफल तथ शषफल क बीच प ए

ज न व ल समबनध को ऄपनी कॉपी म नलनखए तथ नीच ददय गए ऄभय स क म धयम स अपक दव र नलख

समबनध की ज ाच कीनजए

ऄभय स 28

भ ग दीनजए -

(i) 48 divide 7 (ii) 36 divide 5 (iii) 78 divide 9

आस परक र अपन जो सबध बन य वह नवभ जयत क सबध क न म स ज न ज त ह और जो ननमन नस र

ह- भ जय = भ जक times भ गफल + शषफल

कय शषफल भ जक स बड़ हो सकत ह

ऄभय स 29

1 नीच ददय गए ररकत सथ नो को भररए -

(i) 8 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(ii) 5 divide 2 म भ गफल = शषफल =

(iii) 6 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(iv) 7 divide 2 म भ गफल = शषफल =

शनय क गण

अआय शनय (0) को ज न -

1 5 + 0 = 5 2 0 + 5 = 5

3 5 - 0 = 5 4 5 x 0 = 0

5 0 x 5 = 0 6 0 divide 5 = 0

7 5 divide 0 = कोइ हल नही

ऄभय स 210

1 ऄब ननमन ररकत सथ नो म ईनचत सखय ए भररए -

(i) 0 + 0 = (ii) 0 - 0 =

(iii) 7 + 0 = (iv) 0 + 7 =

P a g e | 16

(v) 7 - 0 = (vi) 7 x 0 =

(vii) 0 x 7 = (viii) 0 divide 7 =

ईकत ऄभय स स अप शनय rsquorsquo0rsquorsquo क ननमन गण समझ गय होग

1 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स जोड़ ज य तो सखय क म न म कोइ पररवतमन नही होत ह

आसनलए शनय (0) को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह च र ईद हरण सोच कर नलख

2 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स घट य ज य तो भी पणम सखय क म न म कोइ पररवतमन नही

होत ह आसक भी 4 ईद हरण नलख

3 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स गण दकय ज य तो गणनफल शनय rsquorsquo0rsquorsquo ही पर पत होत ह

4 rsquorsquo0rsquorsquo म दकसी भी पणम सखय क भ ग ददय तो भ गफल rsquorsquo0rsquorsquo शनय ही पर पत होत ह

5 divide 0 = शनय को 5 म स ब र-ब र घट न पर 5 ही नमलत ह दकतनी भी ब र हम घट ए कभी

भी सखय नही बदलगी ऄथ मत पणम सखय म शनय क भ ग दन पर कोइ नननित सखय भ गफल क रप म

नही नमलती आसी परक र 0 divide 0 भी पररभ नषत नही ह आस पर ऄपन नशकषक स चच म कर

परशन वली 22

1 मौनखक परशन

1 ननमन परशनो को दी गइ ज नक री क अध र पर नबन गण य योग दकय हल कीनजएः

1 17 x 23 = 391 तो 23 x 17 =

2 15 + 25 = 40 तो 25 + 15 =

3 40 + 0 = 40 तो 0 + 40 =

4 39 x 1 = 39 तो 1 x 39 =

5 a x b = c तो b x a =

2 ननमननलनखत सव लो को ऐस करम म नलखकर योगफल जञ त कीनजए नजसस योग की सदिय

अस न हो ज ए

(i) 23589 + 411 + 1248 (ii) 32 + 2546 + 68 + 544

(iii) 247 + 376 + 153 (iv) 143 + 456 + 857

(v) 32958 + 5000 + 12042

3 दकसी भी र नश म शनय क गण करन स कौन सी पणम सखय पर पत होती ह

4 योग क नलए सवरक ननयम कय ह

5 सदिय ओ क गण क अध र पर ननमननलनखत ख ली सथ नो की परसत कीनजए

(i) 2376 + 4559 = + 2376

(ii) 1 x 0 = 0 x 1 =

(iii) 8 7 6

_ 3

6 7

6 ऐसी कौनसी सखय ह नजसम ईसी सखय क भ ग दन पर वही सखय पर पत होती ह

7 4 ऄको की सबस बड़ी सखय और 1 ऄक की सबस छोटी पणम सखय क गणनफल बत आए

P a g e | 17

8 यदद 76 x 16 = 1216 हो तो 1216 76 = 16 (ब कस म सही म न भररय)

नलनखत परशन

9 रम न 17 पनकतयो म कल 544 पौधो की रोप इ की तो बत आए दक परतयक पनकत म दकतन पौधो की

रोप इ की गइ

10 दकसी शहर म 15 वयनकतयो म स 1 वयनकत सरक री नौकरी करत ह यदद ईस शहर म 1354 वयनकत

सरक री नौकरी करत हो तो शहर की कल जनसखय जञ त कीनजए

11 भ गफल तथ शषफल जञ त कीनजए तथ नवभ जयत क सबध की सतयत की ज ाच कीनजए

(i) 7772 divide 36 (ii) 12425 divide 835 (iii) 92845 divide 300

12 ननमननलनखत म परतयक ररकत सथ न पर ईपयकत ऄक नलनखए

13 मजलत 1800 रपय लकर ब ज र गयी 135 रपय क एक पसम 75 रपय क रम ल व 1200

रपय की कपड़ खरीद बत आए ऄब ईसक प स दकतन रपय बच

14 एक बक म ऄशोक न मगलव र को 4539 रपय जम दकए शननव र को 2556 रपय ननक ल नलए

और दसर सपत ह म दफर 1431 रपय जम दकए तो बत आए दक ईसक ख त म ऄब दकतन रपय

शष ह

15 अदशम नवदय लय क 6 वी ककष म एक नवदय थी क शलक 95 रपय ह यदद छ तरो की कल सखय

335 हो तो कल शलक जञ त कीनजए

16 117 को दो सखय ओ क गणन क रप म वयकत कीनजए नजसम स एक सखय 13 ह

17 ननश न 24 रनडयो 18720 रपय म खरीद एक रनडयो क मलय जञ त कीनजए यदद परतयक क

मलय सम न हो

18 ददए गए ज दइ वगम की तीन-तीन सखय ओ को सीध नतरछ एव अड़ जोड़ कर बत आए

कय परतयक नसथनत म योगफल सम न अत ह

14 1 9

3 8 13

7 15 2

P a g e | 18

1 0 (शनय) एक पणम सखय ह

2 दो पणम सखय ओ क अपस म योग करन स

य गण करन स पणम सखय ही पर पत होती

ह

3 पणम सखय ओ क नलए िमनवननमय क

ननयम योग एव गणन सदिय म ल ग

होत ह जबदक घट न एव भ ग सदिय म

ल ग नही होत

4 पणम सखय ओ क नलए स हचयम ननयम योग

एव गणन सदिय म ल ग होत ह जबदक

घट न एव भ ग सदिय म ल ग नही होत

5 0 को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह

6 1 को गणन ततसमक ऄवयव कहत ह

7 दकसी भी पणम सखय म शनय को जोड़न य घट न पर सखय क म न नही बदलत

8 दकसी भी पणम सखय म 1 क गण कर तो सखय क म न नही बदलत ह

9 यदद दकसी पणम सखय म 0 क गण कर तो ईसक म न शनय हो ज त ह

10 दकसी पणम सखय म 0 स भ ग दन ऄपररभ नषत ह

11 भ जय = भ जक x भ गफल + शषफल

हमन सीख

19 नीच ददए गए ज दइ वगम क ररकत वगो की परसत कीनजए धय न रह मनजक वगम क सतभो पनकतयो

एव नवकणो क योग हर तरह स बर बर होत ह

9 6 13 20

10 12 19

9 11 18 25

15 17 24 26

16 7 14

P a g e | 19

गनणत पढ़त हए अपन पहल भी कइ परक र की अकनतय ा दखी ह जस- वतत नतरभज चतभमज आतय दद

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक वतत बन सकत ह

अप क दव र बन ए गए वतत पर यदद अप पनसल घम एा तो अप प त ह दक-

1 दकसी नबनद स पर रमभ कर अप पनः ईसी नबनद पर पहाच ज त ह

2 दकसी नबनद स पर रमभ कर पनः ईसी नबनद पर पहाचन तक अपको अकनत क दकसी भी भ ग पर दो

ब र चलन नही पड़

ऐसी अकनतय ा नजनम ईपरोकत दोनो नवशषत एा प इ ज ती ह lsquolsquoबनद अकनतlsquolsquo कहल ती ह

ऄब एक और अकनत दनखए-

कय P एक बद अकनत ह

नही कयोदक P क दकसी नबनद स पर रभ कर नबन पनसल ईठ ए ईसी नबनद पर व पस पहाचन क

नलए अपको दकसी न दकसी भ ग स दो ब र गजरन पड़ग

दी गइ अकनतयो म खली तथ बद अकनतयो को पहच ननए तथ यह भी बत आए दक व

सीधी रख ओ वि रख ओ य दोनो परक र की रख ओ स बनी ह

P a g e | 20

नचतर ि बद अकनतखली अकनत दकस परक र की रख ओ स बनी ह

सीधीविदोनो परक र की

3

4

5

6

7

8

9

10

11

खली अकनत वि रख

कय अप ऄपन अस प स ददख इ दन व ली ऐसी अकनतयो की सची बन सकत ह जो सीधी एव वि

रख ओ स नमलकर बनी हो

अपन ऄब तक दो परक र की रख ओ क ईपयोग दकय ह नजसम स एक तो वि रख ह य नजस

हम टढ़ी-मढ़ी रख भी कह सकत ह तथ दसरी सरल रख ह नजसक ब र म अपन नपछली ककष ओ म भी

पढ़ ह अआए सरल रख क ब र म कछ और ज नक री पर पत कर

सरल रख खीचन तो अप सभी को अत ह कय अप बोडम पर एक अड़ी सरल रख खीच सकत

ह यह सरल रख ईतनी ही लमबी होगी नजतन लमब वह बोडम ह नजस पर अपन सरल रख खीची ह

ऄब म न ल दक बोडम की लमब इ दगनी बढ़ दी ज ए तो सरल रख भी दगनी बढ़ इ ज सकती ह यदद बोडम

को अग अग और अग बढ़ त ज एा तो सरल रख भी अग अग और अग बढ़ इ ज सकती ह आस परक र

हम सरल रख को दोनो ओर आतन बढ़ सकत ह दक नजसक कोइ ओर छोर न हो ऄतः सरल रख ऐसी

सीधी रख ह नजसको दोनो ओर दकतन भी बढ़ एा कभी खतम नही होगी

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीच सकत ह

P a g e | 21

यदद खीच सकत ह तो खीचन क तरीक और यदद नही खीच सकत ह तो नही खीच प न क क रण

नलनखए

अपन सरल रख खीचन की कोनशश कर यह प य दक अप ईतनी ही लमबी सीधी रख खीच सकत

ह नजतनी लमबी अपकी कॉपी ह परत सरल रख तो ऐसी रख ह जो कभी खतम ही नही होती आस कॉपी

म खीच तो नही ज सकत कवल सकत क रप म बत य ज सकत ह कय अप ऐस कोइ सझ व द

सकत ह नजसस सरल रख को कॉपी म बन य ज सक

अपक सझ व-

सकत क ईपयोग कर सरल रख खीचन ः

नचतर-12 म एक सरल रख खीची गइ ह नजसक दोनो छोर पर तीर क ननश न लग हए ह

दोनो तरफ तीर क ननश न यह सकत दत ह दक सरल रख क कोइ ऄनतम बबद नही होत वह

सम पत नही होती वह चलती रहती ह

आसी परक र यदद दकसी नसथर नबनद स एक ऐसी सीधी रख खीची ज ए जो एक तरफ बढ़ती ही रह

और कही भी सम पत न हो तो आस दकरण कहत ह ऄपनी कॉपी म दकरण खीनचए तथ दकरण को खीचन क

तरीक भी नलनखए

चदक दकरण एक नननित नबनद स पर रमभ होकर अग-अग और अग बढ़ती ज ती ह आसनलए दकरण

को एक तरफ तीर क ननश न लग कर दश मत ह

ऐसी सीधी रख जो एक बबद स पर रभ होकर एक ही ओर बढ़ती ज ती ह ईस दकरण कहत ह आसकी कोइ

नननित लब इ नही होती ह

अप दननक जीवन म दकरण क ऄनय ईद हरण सोच एव नलख

दिय कल प 1

कय अप ननमननलनखत नचतरो म दकरणो एव सरल रख ओ को पहच न सकत ह

P a g e | 22

दिय कल प 2

नीच अपको और दो नबनद ददए गए ह अप P नबनद स गज़रन व ली दकतनी सरल रख खीच सकत

ह खीच कर दनखए ईसी परक र Q नबनद स दकतनी सरल रख एा खीची ज सकती ह कछ ऐसी रख ए

खीनचए

P Q

नचतर 17

नीच ददए गए परशनो क ईततर दीनजए

पर1 कय अप P नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

-------------------------------------------------------------------------------

पर2 कय अप Q नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

------------------------------------------------------------------------------

पर3 अप ऐसी दकतनी सरल रख एा खीच सकत ह जो P एव Q दोनो नबनदओ स होकर गजरती हो

-------------------------------------------------------------------------------

ईपयमकत दिय कल प स अप यह प त ह दक दकसी एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज

सकती ह परनत दो नबनदओ स होकर म तर एक ही सरल रख खीची ज सकती ह

रख खड

आस नचतर को दख आस बन न म नजन सीधी रख ओ क ईपयोग दकय ज त ह व दकसी एक नननित

नबनद स पर रभ होकर दसरी नननित नबनद पर सम पत होती ह ऐसी रख ओ को रख खड कहत ह आस परक र

रख खड एक सरल रख ऄथव दकरण क एक भ ग ह नजसकी लब इ म पी ज सकती ह

दिय कल प 3

नचतर-18 और 19 को दखकर नीच ददए गए सव लो क जव ब सोनचए-

नचतर 18 म रख खडो की पहच न कर ईनकी सखय जञ त कीनजए सभी रख खणडो क न म भी

नलख

नचतर 18 व 19 म कट न बबदओ की सखय जञ त कीनजए कौन स रख खड दकन कट न बबदओ पर

एक दसर को क टत ह

रख खणड कय ह ऄपन शबदो म नलनखए

P a g e | 23

दिय कल प 4

ऄपनी कॉपी पर दो बबद P और Q बन आय आन

बबदओ को नीच ददय गय नचतर म तीन परक र स नमल कर

ददख य गय ह अप आनह कछ और परक रो स नमल न क

परय स कीनजए

बबद P और Q को कइ तरह स नमल य ज सकत ह परनत रख खड दव र ईनको कवल एक ही

परक र स नमल य ज सकत ह रख खणड दो नबनदओ को नमल न व ली सबस छोटी रख ह

P Q

नचतर 21

मीन कहती ह च स फ तक की सबस कम दरी क म गम रख खड ही ह कय अप सहमत ह कयो

सरख बबद

नीच तल पर नसथत बबदओ को दनखए

नचतर-22 म बबद PQ एव R एक ही दकरण पर नसथत ह आनह सरख बबद कहत ह

नचतर-23 म बबद AB एव C एक ही रख खड पर नसथत नही ह य बबद सरख नही ह कयो

नचतर-24 म बबद XYZ एव L एक ही सरल रख पर नसथत ह कय य सरख बबद ह

रख खडो की तलन

दो रख खड की तलन क ऄथम ह पत करन दक ददए गए रख खडो म कौनस रख खड बड़ ह

(1) ऄवलोकन दव र पत करन

P a g e | 24

नचतर 25 एव 26 म कवल दखकर ही यह बत य ज सकत ह दक CD रख खड AB स तथ RS

रख खणड PQ स बड़ ह ऄथ मत नचतर 25 म CDgtAB तथ नचतर 26 म PQltRS नचतर 27 और 28 म कय

अप बत सकत ह दक आनम स कौन स रख खड बड़ ह अआए आनह न प कर दख

(2) सकल की सह यत स सही म पन

ईपरोकत नचतर 29 म AB रख खड को न पत हए ददख य गय ह

न पन की नवनधः

ऄपनी कॉपी पर एक बबद A बन आए सकल को आस परक र रनखए नजसस दक सकल पर बन lsquo0rsquo क

ननश न बबद A पर अए ऄब दख दक रख क दसर छोर सकल क दकस ननश न तक पहाच रह ह ईपरोकत

नचतर म B सकल पर बन ननश न 5 पर अ रह ह आस परक र हम कह सकत ह दक रख खड AB की लमब इ

5 समी ह

(3) नडव आडर दव र म पन

अपन दख दक सकल की सह यत स हम ईन रख खडो की लब इ न प सकत ह जह ा सकल

सीधी रखी ज सकती ह कय नडबब य नगल स क भीतर क दीव रो क बीच की दरी सकल की सह यत स

न पी ज सकती ह

एक नडव आडर ल ईस नगल स क मह पर रख कर आतन फल ए दक ईसकी नोक नगल स क भीतरी

दीव रो को सपशम कर

ऄब नडव आडर को नबन दब ए नगल स स ब हर ननक लकर सकल पर नचतर-31 क ऄनस र रख तथ

लब इ जञ त कर

नशकषक क नलए यह ा धय न म रख ज ए दक सकल क दकसी भी खड स लब इ न पन पर ईसकी लब इ क

म न म कोइ पररवतमन नही होत दकसी पर न सकल क ईपयोग करत समय शनय स शर न करन की

नसथनत म न प कस पत करग यह चच म छ तरो क स थ कर ऐस म पन क ऄभय स ईनह करन को द

P a g e | 25

दिय कल प 5

ननमन नचतरो म नडव आडर य परक र की सह यत स रख खणडो को न प कर तलन कर परतयक नचतर

क नलए रख खणडो को लमब इ क बढ़त िम म नलख

ननमन रख खडो को सकल एव परक र की सह यत स न नपए एव ईनक म प नलनखए -

दो य दो स ऄनधक रख खडो की लब इ क योग क बर बर की लब इ क रख खड खीचन

(1) एक सरल रख XY खीनचए

(2) परक र को AB रख खड क म प क बर बर फल आए

(3) रख XY पर कोइ बबद P लकर व ईस कनर म नकर AB रख खड क बर बर क च प आस परक र

क रटए दक वह रख XY को Q पर क ट

(4) CD रख खड क बर बर क च प Q को कनर म नकर आस परक र क रटए दक वह XY रख को PQ

ददश म क ट म न दक वह नबनद R ह

P a g e | 26

5) आसी परक र EF रख खड क बर बर क च प R को कनर म नकर रख खड XY पर क रटए वह S

पर कटत ह

कय AB = PQ CD = QR EF = RS ह कयो ऄपनी कॉपी पर नलनखए

(6) PS = PQ+QR+RS

PS = AB+CD+EF

PS की लब इ न नपए PS ही ददए गए रख खडो की लमब इ क योग क बर बर की लमब इ क

रख खणड होग

रख खडो क ऄतर क बर बर रख खड खीचन

1 एक सरल रख XY खीनचए ईस पर कोइ नबनद P नलनजए

2 परक र को बड़ी रख खणड AB क बर बर फल आए

3 P को कनर म नकर AB क बर बर क च प रख XY पर क रटए वह Q पर कटत ह

4 नबनद Q को कनर म नकर CD क बर बर च प P की ददश म रख XY पर क रटए

वह R पर कटत ह कय AB=PQ और CD=QR ह

यदद ह तो कयो ऄपनी कॉपी म नलनखए

यह ा PQ क नवपरीत ददश म च प कयो क ट गय ह योग करत समय च प एक ही ददश म क ट

गय थ क रणो को ऄपनी कॉपी म नलनखए

5 PQ-QR=PR

य AB-CD=PR

PR की लब इ न नपए PR ही ददए गय रख खडो क ऄतर क बर बर क रख खणड होग

सम नतर रख एा

ऄधय नपक न छठी ककष म परतयक नवदय थी को ऄपनी-ऄपनी कॉपी म दो रख ए खीचन को कह

नवदय रसथयो न रख ए कछ आस परक र खीचीः-

P a g e | 27

नचतर 44

अप भी ऄपनी कॉपी पर आसी परक र दो-दो रख ओ क ऄलग-ऄलग यगम बन आए

ऄब नीच ददय गय यगमो को दनखएः

नचतर 45

नचतर 45(i) म रख एा PQ तथ RS बबद O पर क टती ह ऄतः रख एा PQ तथ RS परनतचछदी रख एा

ह और बबद O ईभयननषठ बबद (परनतचछद बबद)ह

नचतर 45(ii) म रख एा AB तथ CD अपस म क ट तो नही रही ह परनत यदद दोनो रख ओ को

अग-पीछ बढ़ य ज ए तो एक दसर को क टगी ऄथ मत नचतर 45(ii) भी नचतर 45(i) की शरणी म ही अएग

ऄथ मत परनतचछदी रख ओ की शरणी म

नचतर 45(iii) म रख एा KL तथ MN न ही अपस म क ट रही ह और न ही बढ़ न पर अपस म एक-

दसर को क टगी हम कस ज च दक य एक दसर को नही क टगी

नचतर 45(iii) की रख ओ को दनखए-

दोनो रख एा KL तथ MN क बीच की लमबवत दरी परतयक बबद पर सम न ह आनह दोनो तरफ

दकतन भी अग कयो न बढ़ एा अप प यग दक आन दोनो क बीच की लमबवत दरी सदव सम न ही रहती ह

P a g e | 28

अप भी नडव आडर की मदद स दोनो रख ओ क बीच की लमबवत दरी न पकर दनखए कय व

सम न ह ऐसी रख एा सम तर रख एा कहल ती ह ऄथ मत सम नतर रख एा बर बर दरी पर रहती ह न तो

व एक दसर क प स अती ह और न ही दर ज ती ह

ऄपनी ककष म बठ-बठ अपक च रो तरफ फली चीज़ो को दनखए ककष क शय मपटट नखड़की

दरव ज़ दीव र अपक जय नमनत-बॉकस मज़ पसतक सकल अदद क दकन रो म अप आस परक र की

रख ओ को महसस कर सक ग जसः

आनम कह ा-कह ा हम सम तर रख खणडो क ईद हरण नमलत ह

अप ऄपनी कॉपी म एक सची बन आए नजसम प च परनतचछदी रख खणडो तथ प च सम तर

रख खडो क ईद हरण हो

परशन वली 3

परशन-1 नीच ददय गय कथन सतय ह ऄथव ऄसतय पहच ननए -

(i) एक नबनद स ऄसखय रख खड खीच ज सकत ह

(ii) दो नबनद स गजरन व ली ऄसखय सरल रख एा खीची ज सकती ह

(iii) रख खड की कवल लमब इ होती ह चौड़ इ नही

(iv) एक रख खड म यदद च र नबनद नलए ज ए तो य सभी नबनद सरख नबनद होत ह

(v) तीन ऄसरख नबनद स ऄनधकतम दो रख खड खीच ज सकत ह

परशन-2 नीच नचतर म कौन स जोड़ परनतचछदी रख ओ क नही ह

P a g e | 29

परशन-3 नीच दी गइ रख ओ क यगम म स परनतचछद करन व ली रख ओ क यगम छ रटए

परशन-4 नीच ददय गए खणडो (ABCDE) म स सरख नबनदओ क समह को नलनखए -

परशन-5 ननमन म प की लमब इ क रख खड खीनचए

6 समी 5 समी 45 समी 23 समी

परशन-6 एक ही सरल रख म 3 समी 5 समी 65 समी क तीन रख खड खीनचए

परशन-7 नीच रख खड ददय गय ह आनकी लमब इ क योग क बर बर रख खड खीनचए

परशन-8 नीच ददय गय रख खड की लमब इ क ऄतर क बर बर रख खड खीनचए

परशन-9 12 समी की लमब इ क रख खड AB खीचकर ईस 3 समी 4 समी 5 समी क तीन रख खड िमशः

ACCD एव DB म नवभ नजत कीनजए तथ ननमन तथयो को सतय नपत कीनजए

1 AD-AC = CB-DB

2 AB-CD = AC + DB

P a g e | 30

परशन-10 आनम स परतयक पररनसथनत म आन नबनदओ स दकतन रख खणड़ खीच ज सकत ह रख खणडो को

खीनचए व ईनकी सखय एा बत आए

हमन कय सीख

1 दकरण क एक पर रनभक बबद होत ह और वह दकसी एक ददश म लग त र बढ़ती रहती ह

2 सरल रख दोनो ददश ओ म लग त र बढ़ती रहती ह

3 रख खड सरल रख क एक नननित भ ग ह नजसक पर रनभक एव ऄनतम नबनद नननित होत ह

तथ रख खड को न प ज सकत ह

4 सरल रख एव दकरण की लब इ को म प नही ज सकत

5 दो रख एा एक दसर को ऄनधकतम एक ही बबद पर क टती ह

6 एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज सकती ह तथ एक बबद स ऄसखय दकरण खीची ज

सकती ह

P a g e | 31

एक ददन ककष क सभी छ तरो न नशकषक स ऄनरोध दकय दक व कोइ खल खलन च हत ह आस पर नशकषक

न ऄपनी सवीकनत दत हए कह lsquolsquoकयो नही अआए अज सखय ओ स सबनधत खल खलrsquorsquo

अप सभी ऄपनी कॉपी म एक ऄक की कोइ सखय नलखकर आस दो स गण कर पर पत गणनफल म

स 12 घट एा और मझ ईततर बत एा -

छ तरो दव र दकए ज न व ल हल की तीन सभ वन एा हो सकती ह

1 ककष क कछ नवदय रसथयो क पररण म फ नतम क सम न अ सकत ह

2 कछ नवदय रसथयो क पररण म कमली क सम न अ सकत ह

3 कछ नवदय रसथयो की समसय मोन क सम न हो सकती ह व सखय को घट सकन म ऄसमथम रह हो

मोन जस ऄनय बचच भी थ ईन सबन कह rsquorsquoहम कय करlsquolsquo

नशकषक न कह lsquolsquoचनलए हम आस समझन क परय स करrsquorsquo lsquolsquoम न

लीनजए दक ऄपन ग व क त ल ब म एक ब ास सीध गड़ हअ ह

त ल ब क एक कीड़ ब ास पर प नी क उपरी सतह स 10 फीट

सीध उपर चढ़त ह आसक ब द वह कीड़ वह स 12 फीट नीच की

ओर अत हrsquorsquo

ऄतः यह सपषट ह दक वह कीड़ प नी की उपरी सतह स 2

फीट नीच ह प नी की सतह को यदद 0 स दश मय ज ए तो नीच क

पम न को कस ददख ए

परत मोन को ऄब भी यह समझ म नही अय की (10-12) दकस ऄक क बर बर होग ईसन कह

lsquolsquoमझ ऄभी भी समझ नही अय दक कय करा rsquorsquo तब नशकषक न प स और पटटी क एक खल नखल य

lsquolsquoहम र प स एक लमबी पटटी ह नजसक बीचो बीच 0 नलख ह 0 क द यी ओर 10 और ब यी ओर 10 ख न

बन ह द ायी ओर क ख नो म (नचतर-2) 1 स 10 तक ऄक नलख ह तथ दो प स ह एक ल ल और दसर

हर

P a g e | 32

आस खल म दो शत हः

पहलीः- फ क गए ल ल प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग लमबी पटटी पर 0 क द यी ओर

ईतन ही ख न चलग

दसरीः- फ क गए हर प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग ईतन ही ख न पटटी पर ब ायी ओर

चलग यह चलन ईस सथ न स पर रभ करग जह ा ल ल प स क क रण द नहन ओर चलकर पहाच थ

खल अरमभ होत हः

सबस पहल प स फ नतम फकती ह फ नतम क ल ल प स पर 5 तथ हर पर 3 नबनद अए शररतम

क ऄनस र फ नतम शनय स द नहन ओर 5 ख न चलगी और 3 ख न व पस अएगी ईसकी नसथनत नीच

नचतर 3 क ऄनस र 2 पर ह-

ऄब कमली दोनो प स फकती ह दोनो ही प सो पर 4 नबनद अए (शतम ऄनस र) कमली की नसथनत

को नीच दश मय गय ह-

ऄनत म र कश दोनो प स फकत ह ईसक ल ल प स पर 2 और हर प स पर 5 नबनद अए शतम क

ऄनस र र कश 2 ख न द ायी ओर चलत ह और वह स व पस मड़ कर 5 ख न ब यी ओर ज त ह वह

ऄपनी नसथनत शनय स तीन ख न ब ाए तरफ प त ह एक ब र दफर बचचो को समझ नही अत की र कश की

नसथनत को कय नलख

परत कमली और कछ ऄनय को कछ कछ समझ म अन लग ह दक शनय क द ायी ओर की सखय एा

िमशः एक-एक बढ़ रही ह द ाय ओर बढ़न क नलए नपछली सखय म 1 जोड़ कर िमशः ऄगली सखय पर पत

करत ह ईसी परक र ब ाय ओर ज न क नलए एक -एक घट कर िमशः पीछ व ली सखय पर पत करत ज त ह

शनय क द नहन ओर की सखय एा िमशः एक-एक जोड़न पर पर पत होती ह और शनय क ब ए ओर की सखय एा

िमशः एक-एक घट न पर पर पत होती ह

P a g e | 33

कय यह ब त अपक समझ म अइ मोन न

कह कय आसक ऄथम यह ह दक शनय क द यी ओर की

सखय एा धन तमक ह और 0 क ब यी ओर की सखय एा

ऊण तमक ह नशकषक न कह lsquolsquoनबलकल ठीक हrsquorsquo यदद

शनय स िमशः एक-एक कम करत ज एा तो 0-1=-1 -

1-1=-2 -2-1=-3 आतय दद सखय एा नमलती ह ऄतः

र कश की नसथनत -3 पर ह कयोदक शनय स ब ायी ओर तीसर ख न क यही म न

होग आस परक र शनय क ब ायी ओर -1-2-3-4-5 आतय दद सखय एा (सभी

ऊण तमक सखय एा) होगी जस-जस ब ायी ओर हम ज एग सखय कम होती ज एगी ऄथ मत जय द बड़ी

ऊण तमक सखय बनती ज एगी

फ नतम कहती ह दक शनय क द यी ओर की सखय य िमशः बढ़ती ज ती ह 1gt0 2gt1 3gt2

4gt3 5gt4 आतय दद और ब एा ओर की सखय कम होती ज एगी ऄथ मत -1lt 0 -2lt-1 -3lt-

2आतय दद

(अप ऊण तमक सखय ओ को समझन क नलए यह खल ककष म व घर पर जरर खल यदद अपको

प स पर पत नही होत ह तो दो रग क क गज लकर दोनो पर 1 स 6 तक की सखय ऄलग-ऄलग नलख कर आस

परक र मोड़ ल दक सखय नजर नही अए ऄब परतयक रग क एक-एक क गज खीच आनही ऄको स शत मनस र

खल खल)

ऄपन ऄनभव क अध र पर नीच दी गयी सखय ओ क बीच बन ब कस म ईनचत नचनह gt(बड़ ) य

(छोट ) lt लग एा

ऐस ही कछ और जोड़ सोच व ऄपन स नथयो को हल करन को द

P a g e | 34

ऊण तमक सखय एा

दिय कल प 1

पवम क ईद हरणो म अपन प य दक नजस परक र धन तमक सखय एा ह ईसी

परक र ऊण तमक सखय एा भी ह आन सखय ओ को श नमल करन स हम कइ नइ

सदिय एा कर प एाग जस 12 म स 14 घट प एग और ईततर को दश म प एाग 3 और

4 जोड़न पर पररण म 7 अत ह यदद जोड़ क परथम ऄक 3 नसथर रख तो ईसम

कौनसी सखय जोड़ दक पररण म िमशः 654321 और 0 पर पत हो आन म नो

को ख ली ब कसो म नलनखए ऐस और भी सव ल सोच व हल कर कय अप सबस

छोटी और सबस बड़ी ऊण तमक सखय क म न बत सकत ह

पण ाक

अप पर कत सखय ओ और पणम सखय ओ स पररनचत ह ईनम यदद ऊण तमक सखय एा जोड़ ल तो

शनय क द ाई ओर पर कत सखय एा ह और ब ायी ओर ऊण तमक सखय एा धन तमक सखय एा ऊण तमक

सखय एा तथ शनय को नमल कर पण ाक बनत ह पण ाक को I य म Z स ददख त ह ऄथ मत

पण ाक (I) = -3-21012345 अदद

नजस परक र सबस बड़ी पणम सखय नही ह ईसी परक र सबस बड़ी पण ाक भी नही ह कय अप सबस

छोटी पण ाक सोच सकत ह

सखय रख पर पण ाक सखय को ननरनपत करन

एक सरल रख खीनचए आस सरल रख पर एक सम न दरी पर कछ नबनद ऄदकत कीनजए आस रख

पर बीच म नसथत दकसी नबनद को शनय नलखकर आसक द नहन ओर धन तमक सखय एा तथ शनय क ब ाय

ओर ऊण तमक सखय एा नलनखए (नचतर-7 क ऄनस र) आस परक र बनी रख सखय रख कहल ती ह

छ य नचतर क म धयम स पण ाको क परदशमन-

यह ा

N = पर कनतक सखय एा

W = पणम सखय एा

I = पण ाक सखय एा

P a g e | 35

ईपरोकत सकतो को दखकर नचतर 8 म पण ाक म श नमल सखय ओ की पहच न कीनजए पणम सखय म कौन-

कौन सी सखय श नमल ह

पण ाको पर की गइ सदिय ओ को सखय रख पर परदरसशत करन

पण ाको को जोड़न -

जब दोनो सखय एा धन तमक हो जस 3 + 5 =

पहल शनय स 3 ऄक धन तमक ददश म दफर वही स 5 ऄक धन तमक ददश म ज न पर 8 पर

पहाचत ह ऄतः 3 + 5 = 8

और जब दोनो सखय एा ऊण तमक हो जस (-2)+(-5)

तो पहल ऊण तमक ददश म 2 ऄक ज त ह दफर वही स 5 ऄक ऊण तमक ददश म और बढ़ तो -7

ऄक पर पहचत ह

ऄथ मत (-2)+(-5) = -7

जब एक सखय धन तमक और दसरी सखय ऊण तमक हो-

जसः (v) 8 +(-5) =

(v)

पहल शनय स 8 ऄक धन तमक ददश म ज एग और दफर वह स व पस 5 ऄक ऊण तमक ददश म

लग शनय स ईस ददश को म लम कर यह ा हम धन तमक ददश म 3 पर पत होत ह ऄथ मत 8+(-5) = 3

(ब) -8 + 5 =

ऊण तमक ददश म 8 ऄक चलकर वह स व पस 5 ऄक शनय की ओर (धन तमक ददश ) म अन पर

ऄनतम नसथनत ऊण तमक ददश म 3 पर ह जो दक -3 ह ऄथ मत -8+5 = -3

आसी परक र अप भी दो-दो पण ाक लकर ईनह जोनड़ए पर पत पररण मो पर नवच र कर

P a g e | 36

आस परक र ईपरोकत ईद हरणो स यह म लम होत ह दक -

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

पण ाको को जोड़न म ईन सभी गणो क प लन होत ह नजनक पणम सखय एा प लन करती ह

1 दो पण ाको क योग एक पण ाक ही होग

2 सभी पण ाको क योग म िम नवननमय ननयम ल ग होत ह

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक सखय होती ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम

ह

4 पण ाको म शनय जोड़न पर ईनक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह

पण ाक सखय ओ क घट न

नजस परक र पणम सखय ओ म घट न की सदिय योग की नवपररत सदिय ह ईसी परक र पण ाक

सखय ओ म घट न की सदिय भी योग की नवपरीत सदिय ह ननमन ईद हरणो पर धय न दीनजए

(v) 14 - 18 = -4

(ब) 5 - 3 = 2

(स) 8 - 4 = 4

घट न की परदिय तो अप ज न चक ह परत यदद कभी 10 स -6 घट न को कह ज त ह तब

परश नी हो सकती ह कयोदक ऊण तमक सखय ओ को कस घट ए वह ठीक स समझ नही अत ह अआए

आस ब त को समझ

अप ज नत ह दक 5 + 0 = 5 8 + 0 = 8 111 + 0 = 111

ऄथ मत दकसी भी सखय म यदद शनय जोड़ ज ए तो योगफल वही रहत ह जो सखय क म न ह

आस तरह शनय को योजय ततसमक कहत ह

P a g e | 37

सोनचए 5 म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (-5)

ऄथ मत 5 + (-5) = 0 (योजय ततसमक)

आसी परक र (-7) म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (+7)

ऄथ मत (-7) + (+7) = 0 (योजय ततसमक)

यह ा (-5) योजय परनतलोम ह 5 क तथ + 7 योजय परनतलोम ह (-7) क

ऄतः दकसी सखय क योजय परनतलोम वह सखय ह नजस ईस सखय क स थ जोड़न पर योजय

ततसमक (शनय) पर पत होत ह

ऄथ मत सखय + सखय क योजय परनतलोम = योजय ततसमक

नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए

सखय सखय क योजय परनतलोम योजय ततसमक

35 + () = 0

-40 + () = 0

-17 + () = 0

-35 + () = 0

-13 + () = 0

पहली सखय म दसरी सखय घट न क ऄथम ह पहली सखय म दसरी सखय क योजय परनतलोम को

जोड़न कय अपको यह ब त ईनचत लगती ह

जस 12 -(5) = 12 +(5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(-5)

ईसी परक र 12-(-5) = 12 +(-5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(+5) = 12 +5 =17

कय अप 10 म स (-6) को घट सकत ह

नीच ददए गए परशनो म घट यी ज न व ली सखय क योजय परनतलोम ननक ल कर हल कीनजएः

1) 3-(-7) 2) 12-(-10) 3) 15-(+7)

4) 7 -(+18) 5) 19-(-7)

उपर ऄभय स क परशनो म अप दख रह ह दक ऊण तमक सखय क ऊण तमक एक धन तमक सखय ह

और धन तमक सखय क ऊण तमक एक ऊण तमक सखय ह

जस - (-3) = +3

य (-1) times (-3) = +3

(-5) times (-3) = + 15

ऄथ मत दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल सदव धन तमक पण ाक होत ह

ऄभय स-41

P a g e | 38

आसी परक र

-(+7) = -7

य (-1) times (+7) = -7

(-5) times (+3) = -15

ऄथ मत एक ऊण तमक पण ाक तथ धन तमक पण ाक क गणनफल सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

घट न की सनकषपत नवनध

जब दकसी सखय को 10 100 1000 अदद स घट न होत ह तो अप सबस बड सथ न क 1 को

ईसस छोटी आक आयो म बदलत ह जस आस ईद हरण म दख -

ईद हरण 1 1 0 0

- 7

हल- यह ा आक इ क शनय स 7 नही घट सकत दह इ म भी शनय ह वह ा स भी अपको कछ नही नमल

सकत अप एक सकड को दस दह आयो म और आनम स एक दह इ को दस आक इ म बदलत ह -

स द आ स द आ

1 0 0 0 9 10 (100 = 90 + 10)

य न एक सकड़ छोटी आक आयो म बदलकर 9 दह इ और 10 आक इ बन ज त ह ऐस म सौ स

छोटी दकसी भी सखय को घट न अपक नलए अस न हो ज त ह

घट आए

स द आ

0 9 10 ( 100 - 7 = 90 + 10 - 7)

- 7 ( = 90 + 3 = 93)

9 3

एक और ईद हरण दख -

ईद हरण 2 1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

हल-

P a g e | 39

ददय ह - दसह ह स द आ

1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

सखय दस हज र को छोटी आक आयो म बदनलए -

दसह ह स द आ

0 9 9 9 10 (10000=9990+10)

- 2 8 7 4

7 1 2 6

ईद हरण 3 1 0 0 0 - 8 7 6

9 9 (10)

- 8 7 6

आन ईद हरणो म अपन दख दक आक इ क ऄक को दस स घट य ज रह ह ब की सभी को नौ स

ऄब अप च ह तो सीध ईततर नलख सकत ह

100 - 23 = (9 - 2) (10 - 3) = 77

100 - 69 = (9 - 6) (10 - 9) = 31

1000 - 512 = (9 - 5) (9 - 1) (10 - 2) = 488

1000 - 32 = (9 - 0) (9 - 3) (10 - 2) = 968

1000 - 8 = 992

10000 - 982 = 9018

10000 - 8374 = 1626

पण ाको क घट न स सबनधत गण

1 दो पण ाको क ऄनतर एक पण ाक होत ह(सवरक गण)

2 पण ाक म स 0 घट न पर ईनक म न नही बदलत

3 परतयक पण ाक क पवमवती एव परवती भी पण ाक होत ह

जस 0 क पवमवती -1 एव -1 क पववती -2 -5 क पवमवती -6 आतय दद तथ -1 क

परवती 0-2 क परवती -1 -6 क परवती -5 आतय दद

P a g e | 40

बीज क क परयोग स जोड़न घट न की ज ाच

तमह पत ही ह दक दकसी सखय क बीज क जञ त करन क नलए ईसक ऄको क योग तब तक करत

ह जब तक एक ऄक व ली सखय न नमल ज ए ऄत म पर पत ऄक ही बीज क होत ह

जस - 45 क बीज क 4 + 5 = 9 ह

और 457 क बीज क 4 + 5 + 7 = 16

16 म दो ऄक ह आसीनलए 1 + 6 = 7

ऄथ मत 457 क बीज क 7 ह

बीज क की सह यत स हम ऄपन बन ए सव लो की ज ाच कर सकत ह

जोड़ की ज ाच

जोड़ क सव लो की ज ाच करन क नलए हम जोड़ी ज न व ली सखय ओ और योगफल क बीज क

जञ त करत ह

यदद सखय ओ क बीज क क योग ईततर क बीज क क बर बर हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण स समझत ह - 453 + 158 = 611

453 क बीज क 3 और 158 क बीज क 5 क योग ईततर 611 क बीज क 8 क बर बर ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आसी परक र ऄपन बन ए हए जोड़ क सव लो क ईततर की ज ाच अप खद ही कर सकत ह

घट न की ज ाच

यदद ईततर क बीज क म घट इ ज न व ली सखय क बीज क जोड़न पर उपर व ली सखय क

बीज क पर पत हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण दख - 587 - 235 = 352

ईततर 352 क बीज क 1 और घटन व ली सखय 235 क बीज क 1 को जोड़न पर 2 पर पत होत ह

587 क बीज क भी 2 ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आस तरीक स ईन परशनो क ईततरो की ज ाच कीनजए नजनह अपन हल दकय ह

P a g e | 41

पण ाको क गण

दिय कल प 1

नीच त नलक म पण ाक सखय ओ क गण करक ददख य गय ह

कछ ररकत सथ न त नलक म ह ईनकी परसत कीनजए -

ि पहली

सखय

दसरी

सखय

पहली सखय x

दसरी सखय

गणनफल ननषकषम

01

02

03

04

05

06

07

08

09

3

-6

-5

3

- 5

-7

-8

15

-17

4

-2

2

-6

-4

2

-12

-13

-19

3x4

(-6) x (-2)

(-5) x (+2)

(+3) x (-6)

+12

+12

-10

-18

दो धन तमक पण ाको क

गणनफल एक धन तमक

पण ाक होत ह

दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल

एक धन तमक

पण ाक होत ह

एक धन तमक पण ाक और एक

ऊण तमक पण ाक क गणनफल एक

ऊण तमक पण ाक होत ह

9 99 999 अदद क गण

एक दो और तीन ऄको व ली दकसी सखय म िमशः 9 99 999 जसी सखय ओ क गण करन पर

हम एक मजद र पटनम नमलत ह अआए कछ ईद हरण दख -

8 x 9 = 72 47 x 99 = 46 53

7 x 9 = 63 78 x 99 = 77 22

5 x 9 = 45

P a g e | 42

अप दख रह ह दक गणय और गणक एक-एक ऄक व ली सखय एा ह पर पत गणनफल म दह इ क ऄक

हर ब र गणय स एक कम ह और दह इ म नमली आस सखय को 9 स घट न पर जो नमल ईस आक इ म रख

गय ह कय यही पटनम दसरी सखय ओ म भी नमलग

दख-

दह इ आक इ द

आ

6 x 9

4 x 9

= (6 - 1)

= (4 - 1)

(9 - 5)

(9 - 3)

= 5

= 3

4

6

= 54 सतय ह

= 36 सतय ह

यदद गणय और गणक दो-दो ऄको की सखय एा हो तो कय होग यह ा हम गणनफल क रप म च र

ऄको की सखय नमलगी (10x99 को छोड़कर)

ह स द आ ह स द आ

10 x 99

= (10 - 1) (99-9)

= 9 9 0

75 x 99

= (75 - 1) (99-74)

= 7

4 2 5

84 x 99 = (84 - 1) (99-83) = 8

3 1 6

आस थोड़ और बढ़ एा -

100 x 999 को हल कर

= 9 9 9 0 0

यदद 100 स बड़ी कोइ भी तीन ऄक व ली सखय ल तो गणनफल 6 ऄको की सखय होगी

दस ह ह स द आ

100 x 999 = (100 - 1)

99

(999 - 99)

999

217 x 999

999 x 999

= (217 - 1)

216

= (999 - 1)

998

(999 - 216)

783

(999 - 998)

001

= 216783

= 998001

P a g e | 43

ऄब थोड़ो सोच य सब कस होत ह

8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 70 + 10 - 8

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

(7 + 1) (10 - 1) = 70 + 10 - 7 - 1

= 70 + 10 - 1 - 7

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

ऄब आन ईद हरणो को धय नपवमक दनखए-

3 x 2 = 6 2 x 1 = 2 4 x 2 = 8 1 x 4 = 4

5 x 3 = 15 2 x 8 = 16 7 x 3 = 21 9 x 9 = 81

उपर क पहल च र ईद हरणो म अप दख रह ह दक आक इ की सखय म आक इ की सखय क गण

करन पर आक इ की सखय ही नमल रही ह नीच क च रो ईद हरणो म भी आक इ म आक इ क गण हअ

और गणनफल म आक इ क स थ - स थ दह इ की भी कोइ सखय नमल रही ह

आसी तरह अप दख सकत ह दक दह इ म आक इ क गण करन पर य तो दह इ और सकड़ य

कवल दह इ की सखय नमलगी

जस 20 x 3 = 60 30 x 1 = 30 10 x 4 = 40

40 x 3 = 120 50 x 5 = 250 30 x 7 = 210

20 य नी दो दह इ म 3 क गण करन पर 60 आक आय ा य नी 6 दह आय ा नमली 4 दह आयो (40)

म 3 क गण करन पर 12 दह आय ा य 1 सकड़ और 2 दह आय ा नमली

यदद आन ब तो क धय न रखत हए गण कर तो गण करन थोड़ सनकषपत हो ज त ह अग कछ

ईद हरणो स हम समझग यह गण कस दकय ज त ह

ईद हरण 1 13 x 12

हल - 13

x 12

चरण - 1 13 आक इ 3 म आक इ 2 क गण दकय

x 12 6 आक आय ा नमली आनह आक इ म नलख

6

P a g e | 44

13

x 12

56

1 3

1 2

13

x 12

156

चरण - 2

पहली सखय की आक इ 3 म दसरी सखय की दह इ 1 क गण दकय 3

दह आय ा नमली दसरी सखय की आक इ 2 म पहली सखय की दह इ 1

क गण दकय 2 दह आय ा नमली कल 5 दह आय ा (3 + 2) नमली आस

दह इ म नलख

(3x1) + (2x1) = 3 + 2 = 5 दह आय ा

चरण - 3

पहली सखय की दह इ 1 म दसरी सखय की 1 दह इ क गण दकय 1

सकड़ नमल आस सकड़ म नलख कल 156 नमल

आन तीनो चरणो को आस तरह दख सकत ह -

स द आ

1 1 3 3

1 1 2 2

1 (3 + 2) 6

1 5 6 = 156

ईद हरण 2 12 x 31 को हल कर

हल

चरण - 1 1 2 आक इ 2 आक इ 1 = 2 आक आय ा

आक इ म नलख

x 3 1

चरण - 2 1 2 आक इ 2 दह इ 3 = 6 दह आय ा

आक इ 1 दह इ 1 = 1 दह आय ा

3 1 योग = 7 दह आय ा

7 2

P a g e | 45

चरण 3 1 2 सकड़ 1x सकड़ 3 = 1x3 = 3 (सकड़ म नलख )

हल नमल 12 x 31 = 372

x 3 1

3 7 2

आन दोनो ईद हरणो म गण करन पर हम ह नसल नही नमल यदद सखय ओ को थोड़ बड़ ल तो

यह नसथनत बनगी

अआए दख -

ईद हरण 3 43 x 12 को हल कर

चरण 1 4 3 आक इ 3 x आक इ 2 = 6 आक आय ा

x 1 2 (आक इ म नलख )

6

चरण 2 4 3 (आक इ 3 x दह इ 1) + (आक इ 2 x दह इ 4)

3 + 8 = 11 दह इ

x 1 2 11 दह इ = 1सकड़ + 1 दह इ

1 6

1 दह इ को दह इ म नलख 1सकड़ ह नसल क रप म अग क

नलए रख

चरण 3 4 3 दह इ x 4 दह इ 1 = 4 सकड़

= + 1 सकड़ (ह नसल क )

x 1 2

5 1 6 योग = 5 सकड़

आस सकड़ म नलख

गणनफल नमल 43 x 12 = 516

ईद हरण 4 हल कीनजए - 76 times 58

चरण 1

7 6 6 x 8 = 48 8 आक इ

4 दह इ (ह नसल क)

x 5 8

8

(4)

P a g e | 46

चरण 2

7 6 (6x5) + (8x7)

30 + 56 = 8 6 दह आय ा

x 5 8 + 4 दह आय ा (ह नसल क)

0 8 9 0 दह आय ा

(9) (4) = 9 सकड़ + 0 दह इ

दह इ म 0 नलख 9 सकड़ (ह नसल की)

चरण 3 7 6 7 x 5 = 3 5 सकड़

+ 9 सकड़ (ह नसल)

x 5 8 4 4 दह आय ा

4 4 0 8 4 हज र और 4 सकड़

(5) (4) आनह आनक सथ नो पर नलख

हल नमल 76 x 58 = 4408

पण ाको म गणन सदिय क गण

1 दो पण ाको क गणनफल सदव एक पण ाक होत ह आस सवरक गण कहत ह

जस- 3 x (-6) = -18 (यह ा 3 एव -6 क गणनफल -18 एक पण ाक सखय ह)

2 पण ाको की गणन सदिय िम-नवननमय ननयम क प लन करती ह

जस- (-7) x 2 = 2 x (-7) = -14

3 परतयक पण ाक म एक क गण करन पर वही पण ाक पर पत होत ह

जस- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

यह ा सखय 1 को गणन-ततसमक ऄवयव कहत ह

4 दकसी पण ाक म ईसक गणन परनतलोम क गण करन पर सदव 1 पर पत होत ह

जस- 5 times 51 =1

यह ा सखय 5 क गणन परनतलोम ह शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव म नही ह

5 शनय क गण - दकसी पण ाक म शनय क गण करन पर गणनफल सदव शनय पर पत होत ह

जस- (-3) x 0 = 0 x (-3) = 0

6 पण ाको क गण पर स हच यम ननयम ल ग होत ह

जस- -3 x (4x5) = (-3x4) x 5

3 x (-20) = (-12) x 5

-60 = -60

P a g e | 47

7 नवतरण गण- पण ाको म गणन सदिय योग सदिय पर नवतरण गण क प लन करती ह

जस- 3times(-4+5) = 3times (-4)+3 times 5

य 3(-4+5) = 3 (-4)+3 times 5

= 12+15

= 3

पण ाको क भ ग

नपछल प ठ म पणम सखय ओ क सदभम म अपन भ ग दन सीख ह पण ाक सखय ओ क गण क

ईद हरण भी हम दख चक ह आनही क अध र पर हम पण ाको क भ ग क ब र म समझ सकत ह

3 times 4 = 12 -5 times 6 = - 30 (-7) times (-2) = 14

12 divide 3 = -30 divide -5 = 14 divide (-2) =

12 divide 4 = 30 divide 6 = 14 divide (-7) =

गणन एव भ ग सदिय एा परसपर नवपरीत सदिय एा ह यह शनय क नलए ल ग नही होत कयोदक

शनय स दकसी भी पण ाक को भ ग नही ददय ज सकत आसी अध र पर उपर ददए कथनो म परशन नचहनो क

सथ न पर सखय एा नलख

पण ाक म भ ग सदिय क गण

1 पण ाको क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3raquo4 म भ गफल पण ाक नही ह

2 परतयक पण ाक म (शनय को छोड़कर )ईसी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

जस- 7 divide 7

3 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म-1 पर पत होत ह

जस- 15 divide (-15)= -1

4 शनय म दकसी भी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल क म न शनय ही रहत ह

जस- 0 divide 16 = -1

5 दकसी पण ाक सखय म शनय स भ ग दन पर भ गफल जञ त नही कर सकत ऄथ मत

4 divide 0 ऄपररभ नषत

परशन वली-4

1 ननमन सखय ओ को सखय रख पर ननरनपत करक पररण म बत आए -

(i) 2 + (-4) (ii) -3 + 5 (iii) (-6) + (-3)

(iv) 6 + 4 + (-2) (v) 4 + (-3) + (-5) (vi) 0 + 3

(vii) 0 + (-5) (viii) 9 + 0 + (-1)

2 योगफल जञ त कीनजए-

(i) 1531 (-503) (ii) -55 -211 (iii) 117 -81

(iv) -18 172

P a g e | 48

3 ननमन म स परतयक ररकत सथ न म gt = य lt क नचहन लग आए नजसस कथन सतय हो-

(i) 8 + (-3) -3 + 8

(ii) -28 + 25 -25 + 28

(iii) -4 + 0 4 + 0

(iv) 0 + 9 9 + 0

(v) 25 + (+25) + 25 - (-25)

(vi) 208 + 53 208 - 53

4 ननमन गणनफल जञ त कीनजए-

(i) (+2) times (3) times (5) (ii) 3 times (-5) times (-6)

(iii) (-4) times 3 times (-2) (iv) (-6) times (-4) times 1

(v) 3 times 0 times (-2) (vi) 2 times (-7) times (-3)

5 ररकत सथ नो की परसत झ = य ढ नलखकर कीनजए -

(i) (2) times (5) (-3) times (5)

(ii) 2 times -4 times -3 8 times 3

(iii) 4 times -3 times -1 28

(iv) (-8) times (-5) 2 times 20

(v) 2 times -3 times 0 0 times -8

(vi) 4 times 5 times (-3) -4 times (+5) times (-3)

(vii) 3 times 8 times (-5) 3 times 8 times (-5)

6 दो पण ाको क योग 69 ह यदद ईनम स एक पण ाक 56 ह तो दसर पण ाक बत आए

7 दो पण ाको क योग 85 ह यदद एक पण ाक -15 ह तो दसर पण ाक जञ त कीनजए

8 ननमन म स परतयक क भ गफल जञ त कीनजए -

(i) 30 divide 2 (ii) 40 divide (-4) (iii) -48 divide 12

(iv) 24 divide 0 (v) -14 divide 1 (vi) 95 divide (-5)

9 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -80 divide = - 20 (ii) 46 divide = -23

(iii) -24 divide = 24 (iv) 12 divide = -1

10 नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए -

(i) 17 (ii) -23 (iii) 68

(iv) -75

11 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -18 + = 0 (ii) 26 + = 0

(iii) 161 + = 0 (iv) -79 + = 0

P a g e | 49

हमन सीख

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक होत ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम ह

4 पण ाक म शनय जोड़न पर ईसक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह शनय को योजय ततसमक

ऄवयव कहत ह

5 पण ाक म 1 क गण करन पर ईसक म न म पररवतमन नही अत ह सखय 1 को गणन ततसमक

कहत ह

6 दकसी धन तमक सखय को दकसी ऊण तमक सखय क स थ गण करन पर गणनफल ऊण तमक

सखय होत ह जस (+1) times (-1) = -1 य (-1) times (+1) = -1

7 ऊण तमक सखय क ऊण तमक सखय क स थ गण होन पर धन तमक सखय पर पत होती ह

जस - (-1) times (-1) = +1

8 दो पण ाको क योग ऄनतर एव गण एक पण ाक होत ह

9 पण ाक स 0 घट न पर ईसक म न नही बदलत

10 परतयक पण ाक की पवमवती एव परवती सखय होती ह

11 दकसी ऊण तमक सखय क योजय परनतलोम धन तमक सखय तथ दकसी धन तमक सखय क योजय

परनतलोम ऊण तमक सखय होती ह

12 पण ाक क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3divide4 म भ गफल पण ाक नही ह

13 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक म ईसी पण ाक क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

14 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म -1 पर पत होत ह

15 शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव नही रखत ह

16 पण ाको क गण -

गण योग सदिय ऄतर सदिय गणन सदिय भ ग सदिय

सवरक radic radic radic times

िमनवननमय radic times radic times

स हच यम radic times radic times

P a g e | 50

नपछली ककष म अपन वतत क ब र म पढ़ ह वतत क अक र को भी अप पहच नत ह जस- चड़ी

रोटी बलग ड़ी क पनहय आतय दद ऄपन च रो ओर प इ ज न व ली ऐसी 10 चीजो क ईद हरण ऄपनी

कॉपी म नलनखए

नीच कछ अकनतय दी गइ ह व वतत ह ऄथव नही ददए गए ररकत सथ न म नलनखएः

दननक जीवन म ईपयोग म अन व ली ऐसी कइ वसतएा ह नजनकी सह यत स अप ऄपनी

कॉपी म वतत बन सकत ह ऐसी कौन-कौनसी वसतएा अप पहच न सकत ह सची बन आए दकनही 3

वसतओ की सह यत स वतत बन आए

नजस वसत की सह यत स अपन वतत बन य ह ईसक दकन र कभी-कभी पणमतः वतत क र न होकर

टढ़ -मढ़ भी हो सकत ह आसनलए पणम वतत बन न क नलए परक र क ईपयोग करत ह

दिय कल प-1

परक र की सह यत स वतत खीचन - ऄपन जय नमनत बॉकस म रखी परक र को लीनजए परक र म

पनसल लग कर ईसको थोड़ स फल आए परक र की नोक को कॉपी क बीचो-बीच रखकर पनसल व ल नसर

को च रो ओर घम आए धय न रह परक र की नोक कॉपी पर ऄपनी जगह स नही हटनी च नहए आस परक र

बनी अकनत वतत कहल ती ह

नजस सथ न पर परक र की नोक अपन रखी थी वह ा पनसल की सह यत स एक बबद बन कर Oनलख यह

नबनद O वतत क कनर ह

P a g e | 51

ऄब वतत पर कइ बबद ABCDE एव F बन कर ननमन दररयो को म प (नचतर-6)

1 OA = 2 OD = 3 OB =

4 OE = 5 OC = 6 OF =

कय ईपरोकत सभी म प एक सम न ह

वतत पर कोइ भी बबद लन पर कय वह यही म प दग

आसी परक र परक र की सह यत स और दो वतत बन कर उपर क पररण मो की ज च कीनजए

अपन वतत बन न सीख नलय ह अआए ऄब वतत क नवनभनन भ गो को ज नन क नलए दिय कल प कर

दिय कल प-2

क गज़ पर परक र की सह यत स वतत बन आए तथ वतत क र अकनत को कची स क ट कर ऄलग

कीनजए आस वतत क र क गज की अकनत को आस परक र मोनड़ए दक एक भ ग दसर भ ग को ढक ल आस

ऄधमवतत क र अकनत को पनः दो बर बर भ गो म मोड़ ऄब आस क गज को खोलकर ईसम बन मोड़ क

ननश नो को पनसल की सह यत स रख दकत कीनजए तथ नीच दी गइ अकनत क ऄनस र न म दकत कर

रख खणड AC और BD की लमब इ म नपय कय व बर बर ह

कट न नबनद O स A तक O स C तक O स B तक और O स D तक की दरी न प कर

दनखए दक ईनकी लमब इ सम न ह य नही

अप दखत ह दक OAOB OC एव OD की लमब इ सम न ह य सभी वत की lsquolsquoनतरजय rsquorsquo ह

दिय कल प-3

ऄपनी कॉपी म परक र की सह यत स एक वतत बन आए वतत क कनर बबद को नचनहनत कीनजए

वतत पर कोइ बबद A लीनजए A को वतत पर नसथत नभनन-नभनन नबनदओ स आस परक र नमल आए दक कम स

कम एक रख खणड कनर स होत हए गजर अपन जो नवनभनन रख खणड खीच ह ईनह न पकर ऄपनी कॉपी म

नलनखए तथ नीच ददए गए परशनो क हल ढदढए-

1 सबस लमबी रख खणड कौन सी ह

2 कय सबस लमबी रख खणड कनर स होकर ज ती ह

3 एक ही वतत म ऐस दकतन सबस लमब रख खणड खीच ज सकत ह

नचतर- 7

नचतर- 8 नचतर- 9 नचतर- 10

नचतर- 11

P a g e | 52

दिय कल प 3 म अपन वतत पर नसथत दो बबदओ को नमल त हए कइ रख खणड खीच होग आनही

रख खणडो को जीव य च पकणम कहत ह सबस बड़ी जीव कनर स होकर ज ती ह वय स कहल ती ह (जस

रख खड AD) चादक कनर स ज न व ली परतयक जीव सबस लमबी जीव ह और अप यह भी ज नत ह दक

दकसी नबनद स ऄसखय रख खणड खीच ज सकत ह आसनलए दकसी वतत म भी ऄसखय वय स खीच ज सकत

ह

दिय कल प-4

ऄपनी कॉपी म ऄलग-ऄलग म प क 3 वतत बन आए तथ ननमन स रणी को पणम कीनजए -

ि स वय स की लमब इ नतरजय की लमब इ वय स divide नतरजय

01

02

03

ईपरोकत दिय कल प म अप प त ह दक दकसी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह ऄथ मत

rsquoनतरजय वय स की अधी होती हrsquo

ऄब वतत क च रो ओर क घर म पकर वतत क पररम प जञ त कर और घर तथ वय स म समबनध

समझ

अप ज नत ह दक दकसी भी बनद अकनत क घर की लमब इ ही ईस अकनत क पररम प ह ऄतः वतत

क पररम प ननक लन क नलए एक पटठ पर वतत बन कर ईस क ट नलनजए आसक दकन र पर पन स एक

ननश न लग आय ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीचकर ईसक एक छोर पर भी ननश न A लग आए

वतत क र पटठ पर बन ननश न को सरल रख पर बन ननश न क उपर रनखए तथ पटठ को एक चककर तब तक

घम आए जब तक दक पटठ पर बन ननश न पनः सरल रख पर न अ ज ए सरल रख पर ननश न B

लग आए

नबनद A और B क बीच की दरी को म नपए यही म प आस वतत क पररम प होग आसी परक र नीच

ददए गए म प की नतरजय क वतत क टकर स रणी को पणम कीनजए -

ि स वतत क पररम प नतरजय की पररम प वतत क वय स पररम प divide वय स

01 35 समी

02 7 समी

03 105 समी

नचतर- 12

P a g e | 53

स रणी म पररम प divide वय स क म न सभी म लगभग सम न ह ऄथ मत परतयक वतत क पररम प तथ

वय स क ऄनप त एक ही (नसथर क) होत ह आस नसथर क को गरीक ऄकषर 120587 (प इ) स दश मत ह तथ आसक

म न लगभग 22

7 य 314 क बर बर होत ह

परशन वली 5

पर1 वतत बन आए

(i) नतरजय = 2 समी (ii) नतरजय = 35 समी

(iii) नतरजय = 42 समी (iv) नतरजय = 5 समी

पर2 वतत बन आए-

(i) वय स = 3 समी (ii) वय स = 6 समी

(iii) वय स = 68 समी (iv) वय स = 74 समी

पर3 32 समी नतरजय क वतत म 64 समी की एक जीव खीनचए

पर4 एक वतत की रचन कीनजए नजसकी सबस बड़ी जीव की लमब इ 8 समी ह

पर5 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो ईसक पररम प कय होग

पर6 ररकत सथ नो की परसत कीनजए

(i) वय स = 2 times

(ii) वतत क दो वय स पर परनतचछद करत ह

(iii) वतत की सबस बड़ी जीव को कहत ह

(iv) वय स वतत क स गजरत ह

(v) वतत की सभी नतरजय य होती ह

(vi) कनर स पररनध क दकसी नबनद को नमल न व ली रख वतत की ह

(vii) वतत म पररनध क दो नबनदओ को नमल न व ली रख को कहत ह

हमन सीख

1 वतत क कनर स वतत पर नसथत नबनद को नमल न व ली रख वतत की नतरजय ह

2 एक ही वतत की नतरजय य सम न होती ह

3 वतत पर नसथत दो नबनदओ को नमल न व ली रख वतत की

जीव कहल ती ह

4 वतत की सबस बड़ी जीव वय स होती ह जो वतत क कनर स

गजरती ह

5 दकसी भी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह

6 वतत क पररम प तथ वय स क ऄनप त सदव नसथर होत ह

आस नसथर क को 120587 कहत ह नजसक म न 22

7 य 314 क लगभग बर बर होत ह

P a g e | 54

पण ाक क प ठ म अपन पढ़ ह दक भ ग की सदिय हमश सवरक ननयम क प लन नही करती ह

ऄथ मत दकसी पण ाक को यदद दकसी ऄनय पण ाक स भ ग ददय ज व तो हमश पण ाक पर पत नही होत

सोचकर बत आय दक 8 म दकन-दकन सखय ओ क भ ग ज त ह और शष नही बचत और 7 म दकस-दकस

क भ ग ज त ह

गणनखड

2 times 5 = 10 म अपन दख दक 2 तथ 5 क भ ग 10 म परी तरह चल ज त ह

दकसी सखय क गणनखड व सखय एा ह जो ईस सखय को परी तरह नवभ नजत कर

10 divide 2 = 5 ऄथ मत 2 तथ 510 क गणनखणड ह

10 divide 5 = 2

दकसी सखय क गणनखड ईस सखय की सभी भ जक सखय एा ह गी

परतयक सखय कम स कम 1 व सवय स ऄवशय नवभ नजत होती ह

जस 12 म 1 क भ ग परी तरह चल ज त ह

12 म 12 क भ ग परी तरह चल ज त ह

कय अप ऐसी कोइ सखय ज नत ह नजसम एक क ऄथव ईसी सखय क भ ग परी तरह नही

ज त हो

भ जय सखय एा

वह सखय नजनम 1 तथ ईसी सखय क ऄनतररकत ऄनय सखय ओ स पर -पर भ ग ददय ज सकत

ह भ जय सखय कहल ती ह

अआए दख 12 म और दकन दकन सखय ओ क भ ग ज त ह

12 = 1 times 12

= 2 times 6

= 3 times 4

= 3 times 2 times 2

12 सखय 1 2 3 4 6 12 स पणमतय नवभ नजत हो ज त ह

ऄतः दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करत ह

P a g e | 55

ऄभ जय सखय एा

वह सखय नजसक गणनखड कवल 1 तथ सवय वही सखय हो ऄभ जय सखय कहल ती ह

जस 13 म कवल 1 एव 13 क पर -पर भ ग ज त ह ऄनय दकसी सखय क नही ऄतः 13 एक

ऄभ जय सखय ह आसी परक र 2 3 5 आतय दद ऄभ जय सखय एा ह

दिय कल प 1

नीच स रणी म कछ सखय ओ सभी गणनखड ददय गय ह शष सखय ओ क सभी गणनखडो को ररकत

सथ नो म नलनखए तथ एक गणनखड दो गणनखडो व ली एव दो स ऄनधक गणनखडो व ली सखय ओ को

ऄलग-ऄलग छ ारटय-

स रणी

सखय सभी गणनखड सखय सभी गणनखड

1 1 6 1623

2 12 7

3 8

4 142 9

5 10

ईपरोकत स रणी म हम तीन परक र की सखय एा ददख इ दती ह -

1 एक गणनखड व ली सखय ऐसी सखय नजसक कवल एक ही गणनखड ह ऐसी सखय 1 ह यह न

तो ऄभ जय सखय ह और न ही भ जय सखय यह एक ऄनदवतीय सखय ह

2 दो गणनखणडो व ली सखय एा 2 3 5 7 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक कवल दो ही गणनखड

होत ह ऄतः यह ऄभ जय सखय एा होगी आस परक र ऄभ जय सखय ओ क पॉच ऄनय ईद हरण

ऄपनी कॉपी म नलनखए

3 दो स ऄनधक गणनखणडो व ली सखय 4 6 8 9 10 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक दो स

ऄनधक गणनखड ह य सभी भ जय सखय एा कहल ती ह

दिय कल प 2

एरटोसथनीज की छलनी भ जय और ऄभ जय सखय ओ को ऄलग-ऄलग छ टन क नलए एरटोसथनीज न एक

तरीक ऄपन य थ आस एरटोसथनीज की छलनी कहत ह

एरटोसथनीज की छलनी

स रणी म 1 स 100 तक की सखय दी गइ ह नीच ददय गय ननदशो क प लन कीनजए-

ननदश

(1) 1 को क ट दीनजए कयोदक 1 ऄभ जय सखय नही ह

P a g e | 56

(2) 2 क च रो ओर एक घर बन दीनजए तथ 2 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक लकीर

स क ट दीनजए जस 468 आतय दद

(3) ऄब ऄगली नबन कटी सखय 3 को घर लग कर 3 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक

लकीर स क ट दीनजए यह ा हमन 2 और 3 स नवभ नजत होन होनी व ली कछ सखय ओ को क ट

ददय ह शष सखय ओ को क ट कर स रणी को पर कीनजए

(4) आसी परक र ऄगली नबन कटी सखय को घररय तथ ईसस नवभ नजत होनी व ली सभी सखय ओ को

क रटए

(5) यह परदिय तब तक दोहर आय जब तक 100 तक की सभी सखय ए कट न ज ए य नघर न ज ए

स रणी

आस परदिय क ब द आस छलनी म घरो क ऄदर की सभी सखय एा ऄभ जय सखय एा ह तथ 1 को

छोड़कर क टी गइ सभी सखय एा भ जय सखय एा ह

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

दिय कल प 3

भ जय और ऄभ जय सखय ओ को तो अपन ज न नलय ह ऄब अआए गणनखणड ननक लन क एक

खल खल

अप ऄपनी क पी म कछ घर बन आए परतयक घर क नीच नचतर नस र म न 1 2 3 4

आतय दद नलनखए और नीच नलख ननदशो क प लन कररए -

ननदश

1 क भ ग नजन सखय ओ म ज त ह ईन सभी घरो म 1 नलनखए

नजन सखय ओ म 2 क भ ग ज त ह ईन घरो म 2 नलनखए

नजन सखय ओ म 3 क भ ग ज त ह ईन घरो म तीन नलनखए

P a g e | 57

आसी परक र अग की सखय एा नलखत ज आए एव ननमननलनखत परशनो क ईततर दीनजए

परशन 1 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर म तर एक सखय ह ईस घर क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 2 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 3 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो स ऄनधक सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न

नलनखए

घर क ऄदर की सभी सखय एा घर क ब हर की सभी सखय ओ क गणनखणड ह व सखय एा नजनक

म तर दो गणनखड (1 एव सवय वह सखय ) होत ह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

सहभ जय सखय एा

अआय 8 और 15 क गणनखडो पर नवच र कर

8 क गणनखड = 1 2 4 8

15 क गणनखड = 1 3 5 15

ईकत दोनो सखय ओ क गणनखणडो को दखन पर यह सपषट होत ह दक कवल 1 ही ह जो 8 और 15

क ईभयननषठ गणनखड ह 1 क ऄनतररकत और कोइ सखय ऐसी नही ह जो 8 और 15 क ईभयननषठ

गणनखड हो ऐसी नसथनत म सखय एा 8 और 15 सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

आसी तरह 9 10 और 49 क गणनखणडो पर नवच र कर

9 क गणनखड = 1 3 9

10 क गणनखड = 1 2 5 10

49 क गणनखड = 1 7 49

ईकत ईद हरण म कवल 1 ही ऐसी सखय ह जो 9 10 और 49 तीनो क ईभयननषठ गणनखड ह

आसक ऄनतररकत और कोइ सखय नही ह जो 9 10 49 सभी क गणनखड हो आसनलए 9 10 और 49 सह

ऄभ जय सखय एा ह

ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखड 1 हो सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 58

(1) 1 स 100 क बीच अन व ली ऄभ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(2) 75 स 100 क बीच अन व ली भ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(3) 70 स 80 क बीच सबस जय द गणनखणड व ली सखय कौन सी ह

(4) कय 12 और 25 सह ऄभ जय सखय एा ह

(5) कय दो िम गत सखय एा सह ऄभ जय सखय एा होगी

सखय ओ क ऄनय परक र

1 सम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत होती ह सम सखय कहल ती ह

जस 2 4 6 8 10 12

2 नवषम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत नही होती ह नवषम सखय कहल ती ह

जस 1 3 5 7 9 11 आतय दद

नीच अपको कछ नवषम सखय एा दी गइ ह ईनम स भ जय और ऄभ जय सखय ओ को छ ाटकर

स रणी म ददए गय सथ न पर नलनखए

41 45 47 53 55 57 63 67 69 71 73 77 81 83 87 89 91 93 95 97 99

स रणी

भ जय सखय एा ऄभ जय सखय एा

कय सभी नवषम सखय एा ऄभ जय होती ह

ऄभ जय गणनखड

अआय दख 42 क ऄभ जय गणनखणड कय होग

42 = 14 times 3 यह 3 ऄभ जय ह

कय 14 भी ऄभ जय ह

नही 14 को 2 times 7 नलख सकत ह

ऄथ मत 42 = 2 times 7 times 3 ऄब यह 2 7 3 सभी ऄभ जय सखय एा ह य 42 क ऄभ जय

गणनखणड ह आनह ऄभ जय गणनखणड कहत ह

6 क ऄभ जय गणनखणड कौन-कौन स ह और भी कछ सखय एा लकर ईनक ऄभ जय गणनखणड

पत कररए

ऄभ जय गणनखड जञ त करन

ऄभ जय गणनखणड कस पत कर कय एक-एक सखय को कइ-कइ ब र भ ग करक दख स म नय

तौर पर नीच ददय तरीक आसतम ल करन स दकसी भी सखय क ऄभ जय गणनखणडो क पत लग सकत

ह दी गइ सखय को सबस पहल 2 स भ ग करक दख यदद सखय 2 स नवभ जय ह तो सखय और दफर

ईसक भ गफलो म तब तक 2 क भ ग दत ह जब तक वह 2 स नवभ जय रहती ह दफर यदद सखय 3 स

ऄभय स

P a g e | 59

नवभ जय ह तो ईस म 3 स ब री-ब री तब तक भ ग दत ह जब तक वह 3 स नवभ जय ह आसी परक र 5 7

11 आतय दद क नलए भी वही परदिय दोहर त ह जब तक की भ गफल 1 पर पत नही हो ज त

ईद हरण 1 अआए 24 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

24 = 2 times 2 times 2 times 3

ऄतः 24 क ऄभ जय गणनखणड 2223 ह

ईद हरण 2 ऄब 30 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

30 = 2 times 3 times 5

ऄतः 30 क ऄभ जय गणनखणड 23 एव 5 ह

1 ननमन सखय ओ क ऄभ जय गणनखणड जञ त कीनजए

(i) 16 (ii) 48 (iii) 60 (iv) 84

ऄभ जय गणनखड ननक लन तो अपन सीख नलय अआए ऄब दकसी सखय क सभी गणनखडो

पर नवच र कर

ईद हरण 3 कय 18 108 क गणनखड ह

परथम नवनध यदद 18 108 क गणनखड हो तो 108 म 18 क भ ग परी तरह चल ज न च नहए

18) 108 (6

- 108

0 ऄतः 108 क एक गणनखड 18 ह

नदवतीय नवनध (i) 18 क ऄभ जय गणनखड ननक नलए

(ii) 108 क ऄभ जय गणनखड पर पत कीनजए

18 = 2 times 3 times 3

108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

चदक 18 क ऄभ जय गणनखडो म श नमल सभी सखय एा 108 क ऄभ जय गणनखडो म भी श नमल

ह आसनलए 108 क गणनखड 18 ह

ईद हरण 4 18 क सभी गणनखड नलनखए

नवनध 1 जस दक अप ज नत ह दक 18 म 1182369 आन सभी सखय ओ क भ ग ददय ज य तो शषफल

शनय (0) रहत ह

2 24

2 12

2 6

3 3

1

2 30

3 15

5 5

1

ऄभय स

P a g e | 60

ऄभय स

ऄतः 1182369 सभी 18 क गणनखणड ऄथव ऄपवतमक ह

गणनखड को ऄपवतमक भी कहत ह

नवनध 2 यह ा 18 क सभी ऄपवतमको को ननमन परक र स भी जञ त दकय ज सकत ह

18 = 1 times 18

18 = 2 times 9

18 = 3 times 6

आस परक र 18 क सभी ऄपवतमक होग 1 2 3 6 9 18

ईद हरण 5 60 क सभी गणनखडो को नलनखए

हल 60 = 1 times 60

= 2 times 30

= 3 times 20

= 4 times 15

= 5 times 12

= 6 times 10

ऄतः 60 क सभी गणनखड 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 होग

1 ननमननलनखत सखय ओ क सभी ऄपवतमक नलनखय

(i) 28 (ii) 36 (iii) 45 (iv) 72

आस नवनध स गणनखड ननक लन म अपको ऄनधक समय लग रह ह अपको नवभ जयत की ज च

क ननयम म लम नही ह नजसक क रण नबन भ ग ददय अप यह नही बत सकत दक दकसी सखय म 3 5

ऄथव 7 आतय दद क भ ग ज एग य नही अआय नवभ जयत पत करन क कछ ननयम सीख

नवभ जयत की ज ाच क ननयम

(1) 2 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक 0 2 4 6 8 हो तो वह सखय 2 स पणमतः नवभ नजत होगी

20 62 34 26 18 2 स नवभ जय ह

21 63 33 35 17 2 स ऄनवभ जय ह

यह ा 18 2 स नवभ जय ह अआए भ ग दकर आसकी ज ाच कर -

2 ) 18 ( 9

-18

0 2 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 61

2 ) 21 ( 10

- 2

01

- 00

1 2 स पणमतः नवभ नजत नही ह

(2) 3 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सभी ऄको क योगफल 3 स नवभ नजत होत ह तो वह सखय तीन स

नवभ नजत होगी

जस 111111 म सभी ऄको क योग 1+1+1+1+1+1 = 6 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

आसी परक र 5112 म सभी ऄको क योग 9 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

412 म सभी ऄको क योग 7 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत नही होगी

(3) 6 स नवभ जयत की ज ाच

यदद कोइ सखय 2 तथ 3 स ऄलग-ऄलग नवभ नजत हो तो वह सखय 6 स भी नवभ नजत होगी

जस 216 2 स नवभ जय ह (आक इ ऄक 6 ह)

216 3 स नवभ जय ह (ऄको क योग 9 ह)

ऄतः यह 6 स भी नवभ जय होगी

आसी परक र 643212 2 स नवभ जय ह (कयोदक आक इ क ऄक 2 ह)

3 स नवभ जय ह (कयोदक ऄको क योग 18 ह)

ऄतः सखय 6 स भी नवभ जय होगी

(4) 9 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क ऄको क योग 9 स नवभ जय हो तो परी सखय भी 9 स नवभ जय होगी

जस 3663 9 स नवभ जय ह कयोदक (ऄको क योग 3+6+6+3 = 18 ह नजसम 9

क भ ग पर -पर ज त ह)

1827 9 स नवभ जय ह (ऄको क योग 18 9 स नवभ जय ह)

1227 9 स नवभ जय नही ह (ऄको क योग 12 9 स नवभ जय नही ह)

(5) 5 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय म आक इ क ऄक 0 ऄथव 5 ह तो वह सखय 5 स नवभ जय होगी

जस 1045 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 5 ह

940 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 0 ह

(6) 10 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक शनय हो तो वह सखय 10 स नवभ जय होगी

जस 1000 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

2130 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

5003 10 स नवभ जय नही ह (आक इ क ऄक 3 ह)

P a g e | 62

(7) 4 स नवभ जयत की ज ाच

जब दकसी सखय क दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 4 स नवभ नजत होती ह ऄथव दह इ व

आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 4 स नवभ नजत होगी

जस - 79412 म दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 12 ह जो दक 4 स नवभ नजत ह ऄतः सखय

79412 4 स नवभ नजत होगी

1300 4 स नवभ नजत ह नजसम दह इ व आक इ क ऄक शनय ह

413 4 स नवभ नजत नही ह कयोदक 13 म 4 क भ ग पर -पर नही ज त ह

(8) 8 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सकड़ दह इ आक इ व ल तीन ऄको की सखय 8 स नवभ नजत हो

य सकड़ दह इ व आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 8 स नवभ जय होगी

31000 8 स नवभ जय ह (आक इ दह इ व सकड़ क ऄक शनय ह)

1816 8 स नवभ जय ह (816 8 स नवभ नजत ह)

12317 8 स नवभ जय नही ह (317 8 स नवभ नजत नही ह)

(9) 7 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क ऄनतम ऄक क दगन कर शष ऄको की सखय स घट आए तथ बची हइ सखय पर पनः

यही परदिय दोहर आय जब तक 1 य 2 ऄक की सखय पर पत नही हो ज ती यदद पर पत सखय 7 स नवभ नजत हो

तो दी गइ सखय भी 7 स नवभ जय होगी

जस 1729 म ऄनतम ऄक 9 ह 9 क दगन = 18

172 - 18 = 154 म ऄनतम ऄक 4 ह 4 क दगन = 8

15 - 8 = 7 ऄनतम ऄक 7 ह ऄतः 7 स नवभ जय ह

कय अप ज नत ह दक 1729 को र म नजन सखय भी कह ज त ह

भ रत क मह न गनणतजञ र म नजन जब आगलड म थ ईस समय वह एक ब र बहत बीम र हो गय

ईनस नमलन आगलड क परो ह डी अए ईनम जो ब तचीत हइ वह आस परक र ह -

र म नजन न पछ - अप कस अए

परो ह डी - टकसी दव र

र म नजन - टकसी क नमबर कय थ

परो ह डी - 1729 कोइ नवशष सखय नही ह

र म नजन - अप गलती पर ह यह सखय बहत रनचकर ह यह एक म तर ऐसी सबस

छोटी सखय ह नजस दो सखय ओ क घनो क योगफल क रप म दो नवनभनन तरीक स नलख ज सकत ह

ऄथ मत 1729 = 13 + 123 = 93 +103

(10) 11 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क नवषम सथ नो क ऄको क योग ननक नलए तथ सम सथ नो क ऄको क योग

ननक नलए यदद नवषम सथ नो क ऄको क योग तथ सम सथ नो क ऄको क योग क ऄतर 0 11 ऄथव

11 क गणज हो तो वह सखय 11 स नवभ नजत होगी

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ऄभय स

जस 856592 क नवषम सथ नो क ऄको क योग = 8+6+9 = 23

सम सथ नो क ऄको क योग = 5+5+2 = 12

दोनो योगो क ऄतर = 23 -12 = 11

ऄतः सखय 11 स नवभ जय ह

ईद हरण 6

ज ाच कीनजए की कय 805130425 11 स नवभ जय ह

हल सखय 805130425 क

1 नवषम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 8+5+3+4+5 = 25

2 सम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 0+1+0+2 = 3

योग क ऄतर = 25 - 3

= 22 जो 11 स नवभ नजत ह

ऄतः सखय 805130425 भी 11 स नवभ नजत होगी

1 नजस सखय स दी गइ सखय नवभ जय ह ईसम क ननश न लग आय

ि सखय नजनस सखय पणमतः नवभ नजत हो ज ए

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2550 radic radic radic radic radic radic

2 4914

3 9432

4 7332

5 13310

6 872

7 1210

2 27720 दकन-दकन सखय ओ स नवभ जय ह बत आए

3 नीच नलख कथन सतय ह ऄथव ऄसतय बत आए

(i) 78 2 स नवभ नजत हो सकती ह

(ii) 375 म 3 5 व 10 क भ ग पर -पर चल ज त ह

(iii) नजस सखय म आक इ क ऄक 0 हो वह सखय 5 स नवभ नजत होगी

(iv) दकसी सखय क सम सथ नो क ऄको क योग व नवषम सथ नो क ऄको क योग क ऄनतर

यदद 0 हो तो वह सखय 11 स भ जय होगी

(v) सखय 10080 िमशः 23456789 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 64

महततम सम पवतमक (Highest common factor)

दिय कल प 4

नीच 12 फीट लमब तथ 9 फीट चौड़ कमर को न पन क नलय एक लकड़ी क सकल बन न ह ईस

बड स बड़ सकल की लमब इ कय होगी नजसस 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प ज सक

12 फीट की लमब इ अप दकस-दकस म प क

सकल स न प सकत ह

अप प यग 1 2 3 4 6 12 फीट लमबी सकल स

12 फीट की लमब इ न पी ज सकती ह य सभी 12

क गणनखणड ह

ईसी परक र 9 फीट की लमब इ 1 3 और 9

फीट लमब सकल स न पी ज सकती ह य सभी 9 क

गणनखणड ह परनत ऐस बड स बड़ सकल की

अवशयकत ह जो 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प

सक यह 12 और 9 क सबस बड़ ईभयननषठ

गणनखणड ऄथ मत rsquorsquo3rsquorsquo होग

चदक यह सबस बड़ ईभयननषठ गणनखणड (ऄपवतमक) ह आसनलए आस हम महततम सम पवतमक

(HCF) भी कहत ह

अआए ऄपवतमक (गणनखणड) की सह यत स एक स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक जञ त कर

ईद हरण 7

48 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 12 24 48

64 क सभी गणनखड 1 2 4 8 16 32 64

72 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72

ईपरोकत सभी ईभयननषठ गणनखडो पर घर लग आए अप दखग 48 6472 क सम ऄपवतमक 1

2 4 8 ह आनम सबस बड़ ऄपवतमक 8 ह

ऄतः 48 64 72 क म स 8 ह

दो य दो स ऄनधक सखय ओ क समऄपवतमको म स सबस बड़ सम ऄपवतमक ईन सखय ओ क

महततम सम पवतमक (म स) कहल त ह

म स = सबस बड़ सम न गणनखड

म स जञ त करन की नवनधय ा

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स

ईद हरण 8 24 36 60 क म स जञ त कीनजए

P a g e | 65

24 = 2 times 2 times 2 times 3 36 = 2 times 2 times 3 times 3 60 = 2 times 2 times 3 times 5

ऄतः 24 36 60 क ईभयननषठ गणनखड

24 = 2 times 2 times 2 times 3

36 = 2 times 2 times 3 times 3

60 = 2 times 2 times 3 times 5

मस = 2 times 2 times 3 = 12

2 ऄपवतमक नवनध

24 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 8 12 24

36 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 9 12 18 36

60 क ऄपवतमक 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

ऄतः 24 36 60 क समऄपवतमक 1 2 3 4 6 12

सबस बड़ सम ऄपवतमक = 12

म स = 12

3 भ ग नवनध स म स जञ त करन

भ ग नवनध स मस दो तरीक स जञ त दकय ज सकत ह -

परथम नवनध

ईद हरण 9 16 तथ 36 क म स जञ त कीनजए

चरण

1) सबस छोटी ऄभ जय सखय 2 स 16 एव 36 को भ ग दन पर

2) 2 स 8 एव 18 को भ ग दन पर

3) चदक दकसी एक ही ऄभ जय सखय स 4 एव 9 को भ ग दन सभव नही ह

आसनलए नजन ऄभ जय सखय ओ स दी गइ सभी सखय ओ म एक स थ भ ग

ज त ह ईनक गणनफल ही मस होग

16 और 36 क महततम सम पवतमक 2 times 2 = 4

ईद हरण 10 60 90 210 क महततम सम पवतमक भ ग नवनध स जञ त कीनजए

चरण

1) 2 स 60 90 210 को भ ग दन पर

2) 3 स 30 45 105 को भ ग दन पर

2) 5 स 10 15 35 को भ ग दन पर

4) चदक दकसी ऄनय ऄभ जय सखय स 2 3 एव 7 को भ ग दन सभव नही ह

ऄतः 6090210 क मस 2 times 3 times 5 = 30

नदवतीय नवनध

आस नवनध स मस जञ त करन क नलए छोटी सखय क भ ग बड़ी सखय म तब तक दीनजए जब तक

दक शषफल भ जक स छोटी न अ ज ए ऄब भ जक को भ जय व शषफल को भ जक म नकर हल कर यह

P a g e | 66

दिय तब तक करत रनहए जब तक दक शषफल शनय न अ ज ए नजस भ जक स भ ग दन पर शषफल शनय

होग वही मस ह

ईद हरण 11 15 एव 63 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

15) 63 ( 4 3) 15 ( 5

- 60 -15

3 0

ऄतः 15 व 63 क मस 3 ह

ईद हरण 12 वह सबस बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 18 और 55 को भ ग दन पर िमशः 2 और 3

शष बच

हल चदक 18 को भ ग दन पर 2 शष बचत ह ऄतः सखय = 18 - 2 = 16 ह

ईसी परक र दसरी सखय = 55 - 3 = 52 ह

16 और 52 क मस ननक लन पर -

16) 52 ( 3

-48

4) 16 (4

-16

0

16 व 52 क मस 4 पर पत हअ

महततम सम पवतमक की नवषषत ए

अआय महतम सम पवतमक की नवशषत ओ को ईद हरणो क दव र समझ

ईद हरण 13 15 60 क म स ननक नलए

चदक 15 स 60 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 15 तथ 60 क म स 15 होग

ईद हरण 14

12 36 क म स ननक नलए

चदक 12स 36 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 12 तथ 36 क मस 12 होग

ईद हरण 15 20 40 क म स ननक नलए

चदक 20स 40 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 20 तथ 40 क म स 20 होग

ईद हरण 16 15 और 16 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 15 एव 16 क म स 1 होग

आसी परक र 13 और 17 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 13 एव 17 क म स 1 होग

P a g e | 67

आसस यह सपषट होत ह दक -

1) यदद दो सखय ओ म बड़ी सखय छोटी सखय स परी तरह नवभ नजत होती ह तो छोटी सखय दोनो

सखय ओ क म स होगी

2) ऐसी सखय एा नजनक 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखणड नही होत ईन सखय ओ क मस 1

होत ह

परशन वली 61

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 120 204 (ii) 144 198

(iii) 150 140 210 (iv) 108 135162

2 भ ग नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 252 576 (ii) 300 450

(iii) 72 96 144 (iv) 120 300 105

3 दो िम गत सखय ओ क महततम समपवतमक कय होग

4 ननमन स परतयक नभनन को ईसक हर और ऄश म ईनक महततम सम पवतमक स भ ग दकर सरल रप म

नलनखए

(i) 1444 256 (ii) 2211 3025

5 दो छोट टकरो म िमशः 85 और 68 लीटर पटरोल अत ह ईस म पन व ल बतमन की

ऄनधकतम धररत जञ त कीनजए नजसस परतयक टकर क पटरोल पर -पर म प ज सक

6 वह बड़ी स बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 389 436 और 542 को भ ग दन पर िमशः 4 7 और 3

शष बच

7 एक नवदय लय की ककष 6 7 8 म िमशः 220 176 तथ 132 छ तर ह ऄनधक स ऄनधक छ तरो क

समह बन एा जो परतयक ककष म बन सक तथ परतयक समह म छ तरो की सखय सम न हो

8 हमीद क प स 527 सब 646 चीक व 748 सतर ह आनह बर बर-बर बर फलो क ढरो म रखन ह बड़ स

बड़ ढर म दकतन फल होग कल दकतन ढर बनग

9 एक अय तक र कमर की ब हरी लमब इ 122 मी एव चौड़ इ 92 मी ह यदद दीव र की मोट इ 1 मीटर हो

तो ईस बड़ स बड़ सकल की लमब इ जञ त करो जो अतररक भ ग की लमब इ व चौड़ इ को पणमतः न प सक

सकत अतररक लमब इ = 122 - 2 = 120 अतररक चौड़ इ = 92 - 2 = 90

(120 एव 90 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए)

गणज (Multiple)

नपछली ककष ओ म अप न पह ड़ तो पढ़ ही होग पह ड़ क ईपयोग गण करन व भ ग दन म भी अपन

दकय ह

अप ज नत ह दक 7 times 3 = 21 होत ह ऄथ मत 7 व 3 दोनो क एक गणज 21 ह

दो क पह ड़ म जो सखय एा अती ह व सभी दो क गणज ह आसी परक र 132639526578 आतय दद

सभी 13 क गणज होग

दिय कल प 5

नीच कछ सखय एा दी गइ ह ईनक परथम 5 गणजो को ददय गय बॉकस म नलनखए

P a g e | 68

4 क गणज

7 क गणज

12 क गणज

15 क गणज

16 क गणज

20 क गणज

लघतम सम पवतयम (Lowest Common Multiple)

दननक जीवन म हम नमलन व ल कछ ईद हरणो पर चच म कर -

ईद हरण 17 र म फल खरीदन ब ज र गय वह ा दक नद र न ईस दो तरह क कल

बत य पहल तरह क कल 10 रपय क 6 थ व दसरी तरह क 10 रपय क 8 कल थ

र म दस-दस रपय क नोट द कर नबन खदर दकए दोनो तरह क कल सम न सखय म खरीदन च हत ह

बत आए वह दोनो तरह क दकतन कल खरीद सकत ह

हल आसक नलए हम 6 व 8 क गणज नलखग

6 क गणज - 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

8 क गणज - 8 16 24 32 40 48 56 64 72

आसक मतलब यह ह दक पहल तरह क 6121824 कल वह दस-दस रपय क िमशः एक

दो तीन च र नोट दकर नबन खदर दकए खरीद सकत ह

आसी तरह वह दसरी तरह क 81624 कल नबन खदर दकए खरीद सकत ह एक ही

सखय म खरीदन क नलए ईस दोनो म अनी व ली सखय क कल खरीदन होग ऄथ मत 6 व 8 क गणज म

जो सखय सम न ह ईनको लन होग

यह सखय ह 24 48 72

सम न सखय म कल खरीदन क नलए र म 24 48 व 72 कल खरीद सकत ह

अआए एक और ईद हरण दख

ईद हरण 18 एक दक नद र ऄपनी दक न क नलए थोक म पन खरीदन ज त ह ईस दो तरह क पन पसद

अत ह पहल परक र क पन क एक पकट म 12 पन ह तथ दसर परक र क पन क पकट म 15 पन ह थोक

दक नद र पकट खोलकर पन नही बचत ह कय अप बत सकत ह दक ईस कम स कम दकतन पकट

खरीदन च नहए नजसस खरीद गए दोनो परक र क पनो की सखय सम न हो

अआय आस परशन को ननमन स रणी क म धयम स हल कर

स रणी

पकट म पनो

सखय

कल पनो की सखय

1 पकट

म

2 पकट

म

3 पकट

म

4 पकट

म

5 पकट

म

12 12 24 36 48 60

15 15 30 45 60 75

P a g e | 69

आस परक र अप दख रह ह दक 12 पन व ल पकट यदद 5 खरीद ज व तो 60 पन होग और

15 पन व ल पकट यदद 4 खरीद ज व तब 60 पन होग

ईपरोकत परशन को हल करत समय अपन 12 और 15 क गणज ननक ल ह तथ जो ईभयननषठ गणज

सबस छोट ह वही च ह गय ईततर ह

गणज को lsquolsquoऄपवतयमrsquorsquoभी कहत ह आसनलए सबस छोट ईभयननषठ गणज को

लघतम सम ऄपवतयम य लघतम सम पवतयम कहत ह आस सकषप म लस(LCM) भी कहत ह

कय अप 1012 और 15 क सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम पर पत कर

सकत ह

10 क गणज नलनखए =

12 क गणज नलनखए =

15 क गणज नलनखए =

सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम =

नीच दी गइ स रणी म दी गइ सखय ओ क लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए

स रणी

िम सखय सखय एा सखय ओ क गणज य ऄपवतयम लघतम सम पवतयम

1 3 4 6 3 क ऄपवतयम = 3 6912151821242730

5 क ऄपवतयम = 5101520253035404550

6 क ऄपवतयम = 61218243036424854

30

2 4 6 9

3 4 9 12

4 6 1518

आस परक र यह कह सकत ह दक

(1) वह ऄपवतयम जो दी गइ सखय ओ क सबस छोट सम न ऄपवतयम हो दी गइ सखय ओ क लघतम

सम पवतयम कहल त ह

(2) दो य दो स ऄनधक सखय ओ क लस वह छोटी स छोटी सखय ह नजसम दी गइ परतयक सखय क

पर -पर भ ग चल ज त ह

ल स जञ त करन की नवनधय ा

(1) ऄभ जय गणनखड नवनध

ईद हरण 19 16 और 24 क लस जञ त कीनजए

16 = 2 times 2 times 2 times 2 24 = 2 times 2 times 2 times 3

P a g e | 70

(ii) सभी सखय ओ म सबस छोट ऄभ जय गणनखड ल यह गणनखणड दकसी भी सखय

म ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र अय हो ईस ईतनी ब र नलनखए

(iii) ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड को चननए और ईस भी ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र

दकसी सखय म वह अय हो ईतनी ब र नलनखए

(iv) आसी परक र सभी ऄभ जय गणनखडो को नलख कर गण करक लस जञ त दकय

ज त ह

16 = 2 times 2 times 2 times 2

24 = 2 times 2 times 2 times 3

सबस छोट ऄभ जय गणनखड 2 ऄनधकतम 4 ब र 16 म अय ह

ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड 3 ऄनधकतम एक ब र 24 म अय ह

16 और 24 क ल स = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

(2) भ ग नवनध दव र

ईद हरण 20 121624 क ल स जञ त कीनजए

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग एक सखय ओ म ज त ह

3 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

समसत भ जक सखय ओ क गणनफल ही लस ह

1216 और 24 क लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

दो सखय ओ क गणनफल तथ लस एव मस क मधय सबध

ईद हरण 21 म न लीनजए दो सखय एा 12 और 16 ह

अआय दोनो सखय ओ क गण करक दख जह ा परथम सखय 12 व नदवतीय सखय 16 ह

दोनो सखय ओ क गण = परथम सखय times नदवतीय सखय

= 12 times 16

= 192

ऄब दोनो सखय ओ क मस व लस भी जञ त करत ह

म स 2 12 16 लस 2 12 16

2 6 8 2 6 8

3 4 2 3 4

म स = 2 times 2 = 4 2 3 2

3 3 1

1 1

लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

P a g e | 71

ऄथ मत मस times लस = 4 times 48 = 192

दोनो नसथनतयो म गणनफल सम न पर पत होत ह ऄतः यह कह सकत ह दक -

परथम सखय times नदवतीय सखय = म स times ल स

ऄथ मत दो सखय ओ क गणनफल = ईनक मस times ईनक लस

दिय कल प 6

स रणी म दी गइ सखय ओ क लस व मस ननक ल कर उपर ददय गय समबनध की ज ाच कीनजए

स रणी

परथम

सखय

नदवतीय

सखय

म स ल स म स times ल स परथम सखय times नदवतीय सखय

6

4

30

42

108

8

9

36

48

18

2 24 2 times 24 = 48 6 times 8 = 48

अप यह भी प त ह दक दो सखय ओ क मस ईनक लस क एक गणनखणड ह

परशन वली 62

मौनखक परशन

1 दो सखय ओ क म स 2 और ल स 12 ह यदद एक सखय 6 ह तो दसरी सखय

कय होगी

2 दो सखय ओ क गणनफल 338 ह आनक मस एव ल स क गणनफल बत आय

3 2 6 8 क लघतम सम पवतयम बत आए

4 7 और 14 क ल स 7 स बड़ ह य छोट

5 15 और 30 क ल स कय 30 स कम हो सकत ह

नलनखत परशन

1 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (गणनखड नवनध स)

(i) 14 28 (ii) 108 162 (iii) 12 15 45 (iv) 40 36 126

2 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (भ ग नवनध स)

(i) 28 56 (ii) 112 168 (iii) 36 45 72 (iv) 180 184 144

3 55 मीटर लमब एव 22 मीटर चौड़ मद न म वग मक र दररय नबछ नी ह एक ही न प की कम स

कम नबछ इ ज न व ली दररय की सखय जञ त कीनजए (सकत - मस जञ त कर)

4 6 घरटय ा एक स थ बजन पर रभ हइ यदद व िमशः 2 4 6 8 10 12 सक ड क ऄतर ल म

बजती ह तो 30 नमनट म दकतनी ब र आकटठी बजगी (सकत - लस जञ त कर)

5 एक वय प री हर चौथ ददन र यपर ज त ह जबदक दसर वय प री हर 10 व ददन व दोनो यदद 3

जनवरी को एक स थ र यपर गय हो तो ऄगली नतनथ बत आए जब व पनः र यपर म एक स थ

P a g e | 72

पहचग

6 दो सखय एा 24 एव 36 ह यदद ईनक मस 12 हो तो ईनक ल स जञ त कीनजए

7 यदद दो सखय ओ क म स 13 लस 1989 ह यदद ईनम स एक सखय 117 हो तो दसरी सखय

जञ त कीनजए

8 शश क ननतय 465 रपय बच त ह कम स कम दकतन ददनो म वह रपयो की

परी - परी सखय बच सकग

सकत - 465 म 4 र पण ाक म ह ऄतः 65 पस और 100 पस क लघतम सम पवतयम जञ त कर एव

पर पत ल स म 65 पस क भ ग दन पर पणम ददनो की सखय पर पत होगी जो बचत की परी र नश

रपय म वयकत करग

9 कय दो सखय ओ क म स 14 और ल स 204 हो सकत ह ऄपन ईततर क पकष म तकम दीनजए

10 दकसी ददन रतनपर स र यपर की बस 40 नमनट क ऄतर ल स और र यपर स रतनपर की 45

नमनट क ऄतर ल म चलती ह यदद नवपरीत ददश स अन व ली दो बस दकसी नवषष पल स

1015 बज पर तः गजरती ह तो ईसक ब द ईस पल स दो नवपरीत ददश की बस दकस समय

गजरगी

सकत 40 और 45 क ल स 360 नमनट

36060 = 6 घट

1015 + 600 = 1615

1615 - 1200 = 415 श म

हमन सीख

1 दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करती ह

2 दकसी सखय क गणज ईस सखय स पणमतय नवभ नजत होती ह

3 परतयक सखय सवय क गणज एव गणनखड होती ह

4 1 परतयक सखय क गणनखड होत ह जो दक न ऄभ जय ह न ही भ जय

5 कवल 2 ही सम ऄभ जय सखय ह

6 दो य दो स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक बड़ स बड़ ईभयननषठ गणनखड होत ह

7 लघतम सम पवतयम वह छोट स छोट ईभयननषठ गणज होत ह जो दी गइ सभी सखय ओ क गणज ह

8 दो सखय ओ क गणनफल ईनक महततम सम पवतमक तथ लघतम सम पवतयम क गणनफल क बर बर होत ह

9 2 क सभी गणज सम सखय एा कहल ती ह

10 सखय एा जो 2 क गणज नही ह व नवषम सखय एा कहल ती ह

11 दो सखय ओ क म स ईनक ल स क एक गणनखड होत ह

12 सखय ओ क महततम सम पवतमक सखय ओ स बड़ नही हो सकत ह

13 सखय ओ क लघतम सम वतयम सखय ओ स छोट नही हो सकत ह

14 ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखणड (1) होसह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 73

र ज न नपछली ककष ओ म नभनन सखय क ब र म पढ़ रख थ परनत वह आस ब त स परश न थ दक

नभनन सखय ओ की जररत ही कय ह

नचतर 1

तभी डॉली न अव ज लग इ lsquolsquoर ज रनशम और फरीद चलो हम सब रटफीन ख लrsquorsquo

रटफीन खोलन पर ईसम 10 पनड़य ा ननकली ऄब समसय यह अ गइ दक आन च रो क बीच 10

पनड़यो को बर बर-बर बर कस ब ाट ज ए

आसक ब ाटन क नलए डॉली न पहल सबको दो-दो पनड़य ब ाट दी ऄब शष बची दो पनड़यो को च रो

म ब ाटन थ ईसन दोनो पनड़यो को अध-अध नहसस म ब ाट कर च र टकड़ बन य और सभी क बीच ब ाट

ददए आस परक र सभी को दो और अधी पड़ी नमली र ज को ऐस लग दक यह अधी पड़ी ही 1 बट 2 क

बर बर ह ईसन ऄपन 1

2 पड़ी को दफर दो बर बर भ गो म ब ाटकर एक भ ग को ददख कर पछ - यह

नहसस दकतन ह

आस पर फरीद न ऄपन नहसस की अधी पड़ी को भी दो बर बर भ गो म ब ाटकर ऄपनी और र ज

की अधी पड़ी क च रो नहससो को एक स थ जम कर कह यह दखो परी पड़ी बन गइ चादक यह पड़ी च र

बर बर नहससो म ब ाटी हइ ह आसनलए परतयक टकड़ एक पड़ी क चौथ इ नहसस ह य 1 बट 4 ऄथव 1

4

ह दफर र ज न पछ lsquolsquoकय 2 टकड़ क बर बर होगrsquorsquo

P a g e | 74

रनशम न कह ह ा आसी परक र 3 टकड़ 3

4 क बर बर होग और च रो टकड़

4

4 ऄथ मत एक परी पड़ी क

बर बर होग और ऐस 5 टकड़ सव पड़ी ऄथ मत 1 1

4 होग

ऄब र ज सोचन लग जब पड़ी क सम न च र टकड़ो म स तीन टकड़ लन पर 3

4 पर पत होत ह तो

दकसी भी चीज़ क 3

5 पर पत करन क नलए ईस चीज़ क सम न 5 टकड़ो म स 3 टकड़ लन पड़ग

र ज तो कछ-कछ नभनन को समझन लग कय अपन समझ यह ज नन क नलए ऄपन अप को

परख नीच कछ अकनतय ा दी गइ ह आन अकनतयो क नीच नलखी गइ सखय क ऄनस र ईपयकत भ ग को

पनसल स छ य दकत कीनजए

1

2 भ ग

1

2 भ ग

1

2 भ ग

नचतर 2 नचतर 3 नचतर 4

1

3 भ ग

1

3 भ ग

2

6 भ ग

नचतर 5 नचतर 6 नचतर 7

1

4 भ ग

3

4 भ ग

12

16 भ ग

नचतर 8 नचतर 9 नचतर 10

P a g e | 75

1

2 भ ग

7

9 भ ग

3

4 भ ग

नचतर 11 नचतर 12 नचतर 13

3

6 भ ग

1

5 भ ग

2

10 भ ग

नचतर 14 नचतर 15 नचतर 16

आन म कौन-कौन स नभनन कल सथ न क सम न नहसस घर रह ह ईनह त नलक म भररए

नचतर िम क नभनन तमक म न पहल

नचतर क ऄनस र

नभनन तमक म न दसर

नचतर क ऄनस र

ननषकषम

नचतर 5 और 7

13 26 13 = 26

P a g e | 76

ईपरोकत सभी ईद हरणो म यह दख गय ह दक दकसी नभनन क ऄश और हर म यदद एक ही सखय

स गण दकय ज ए ऄथव एक ही सखय स नभनन क ऄश एव हर म भ ग ददय ज ए तो नभनन क म न नही

बदलत ऄथ मत दकसी नभनन को कइ परक र स वयकत दकय ज सकत ह नजनक ईद हरण नीच ददए गए हः-

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

2

3 =

4

6 =

6

9 =

8

12 =

10

15

आस परक र एक ही नभनन को कइ परक र स वयकत करन पर बन नभननो को समतलय नभनन कहत ह

दिय कल प 1

नभनन पर पत समतलय नभनन

2

3 स गण करन पर

3

3 स गण करन पर

4

4 स गण करन पर

5

5 स गण करन पर

6

6 स गण करन पर

2

3

2

3 times

2

2 =

4

14

2

7 times

3

3 =

6

21

2

7 times

4

4 =

8

28

2

7 times

5

5 =

10

35

2

7 times

6

6 =

12

42

3

8

4

5

5

9

4

6

दिय कल प 2

नीच कछ नभनन ददए गए ह ईनक ऄश ऄथव हर म ईनचत सखय नलखकर समतलय नभनन बन आए

(i) 3

5=

30 (ii)

4

7=

12 (iii)

7

9=

35 (iv)

34

51=

2

(v) 26

35=

5 (vi)

37

74=

2 (vii)

10

36=

5 (viii)

27

81=

3

(ix) 30

36=

6 (vi)

3

4=

21 (vii)

4

9=

54 (viii)

11

13=

55

P a g e | 77

उपर अपन समतलय नभनन बन न क कौनस तरीक ऄपन य

दिय कल प 2 (i) म हर क म न 5 ह आस ऐस नभनन म बदलन ह नजसक हर क म न 30 हो यह हम 5

को 6 स गण करन पर पर पत होत ह ऄतः तलय नभनन बन न क नलए ऄश को भी 6 स गण करन पड़ग

ऄथ मत 3

5 times

66 =

18

30

दिय कल प 3

नीच दो-दो नभनन क जोड़ ददए गय ह आन जोड़ो को ऐस तलय नभनन म बदनलए नजनक हर सम न

हो तलय नभनन को दी गइ त नलक म नलनखए

उपर अपन सभी नभनन यगमो को सम न हर व ल नभननो म बदल ह आनह सम न हर नभनन कहत ह

परनत ऄभय स िम क 8 9 10 11 म अपन यह भी प य होग दक यदद दोनो नभननो क हरो क लघतम

सम पवतयम ननक ल कर सम न हर बन य ज य तो नभनन ऄश और हर क सबस सरलतम रप म पर पत होग

P a g e | 78

ईद हरण 1 नभननो क िमण

उपर हम दखत ह दक 1

2 gt

1

3gt

1

4gt

1

5gt

1

6gt

1

7gt

1

8

ऄतः जब नभननो क ऄश सम न हो तो हर क बड़ होन पर नभनन क म न छोट हो ज त ह

ईद हरण 2 1

10 =

P a g e | 79

ऄभय स

ईपरोकत नचतर स यह सपषट होत ह दक

1

10lt

2

10lt

3

410lt

4

10lt

5

10lt

6

10lt

7

10lt

8

10lt

9

10lt

10

10

ददए गए सम न हर व ल नभननो म नजस नभनन क ऄश बड़ हो वह नभनन बड़ होत ह

ऄतः सम न हर नभननो म ऄश क बड़ य छोट होन पर नभनन बड़ य छोट होत ह

यदद हर सम न न हो तो बड़ य छोट नभनन पत करन क नलए सम न हर व ल तलय नभनन बन ए

ज त ह

जस 5

12 और

7

18 म कौन सी नभनन बड़ी ह

12 एव 18 क लघतम सम पवतयम 36 ह

5

12=

5times3

12times3=

15

36

तथ 7

18=

7times2

18times2=

14

36

सम न हर नभनन हए 15

36 और

14

36

ऄतः 15

36gt

14

36 य नी

7

12gt

7

18

नीच कछ नभनन सखय य दी गइ ह ईनह बढ़त हए िम म नलनखए

1 2

3

3

4

4

5 2

7

6

6

7

5

9

3 7

9

11

15

13

18 4

3

7

8

9

5

12 5

11

12

11

13

11

14

अपन नभननो को सम न हर नभननो म बदलकर ईनह बढ़त ऄथव घटत िम म नलखन सीख नलय ह

आसी परक र नभननो को सम न हर बन कर भी जोड़ एव घट य ज त ह

ईद हरण 3 हल कर 3

5+

7

9+

2

3

आन नभननो को जोड़न क नलए हम हर सम न करन होग त दक हम बर बर टकड़ जोड़ सम न हर

बन न क नलए सवमपरथम सभी हरो क लघततम ननक लत ह

3 593

531 लघतम सम पवतयम = 3times5times3 = 45

ऄब सभी नभननो को 45 हर व ली तलय नभनन सखय बन त ह

P a g e | 80

ऄतः सखय एा बनी 27

45

35

45+

30

45

ऄत 3

5 +

7

9+

2

3 =

27

45+

35

45+

30

45 [चदक सभी नभननो क हर सम न ह आसनलए ऄशो को जोड़न पर]

27+35+30

45=

92

45

ईद हरण 4 हल कर 1

3 +

3

5minus

8

12

3 5 और 12 क लघतम सम पवतयम

3 3512

154

ल स = 3 times5times4 = 60

1

3 +

3

5minus

8

12=

20

60+

36

60minus

40

60

20+36minus40

60=

16

60 =

4

15

(सरलतम रप अप ज नत ह दक नभनन क ऄश व हर म एक ही सखय क भ ग दन पर नभनन सखय

क म न म पररवतमन नही होत ह ऄतः यह ा 16

60 म ऄश व हर म 4 क भ ग दकर

4

15 पर पत दकय ह)

ऄभय स - हल कर

उपर परशनो को हल करत समय अपन यह प य ह दक कइ हल ऐस ह जह ा ऄश क म न हर स

P a g e | 81

ऄनधक ह ऐस नभननो को नवषम नभनन ऄथव ऄननचत नभनन कहत ह

जस - 13

9 म ऄश (13) gt हर (9)

ऄतः 13

9 एक ऄननचत नभनन ह आसी परक र

11

10 भी एक ऄननचत नभनन ह

13

9 को 1 +

49 य 1

49 क रप म भी नलख ज सकत ह आस नमशर नभनन कहत ह

जब नभनन क ऄश हर स छोट हो तो ईस ईनचत नभनन कहत ह

जस - 3

9

5

7

101

106 आतय दद

दिय कल प 4

नीच ददए गए नभननो स ईनचत तथ ऄननचत नभननो को पहच न कर ऄननचत नभननो को नमशर नभनन

क रप म नलनखए

नभनन सखय ओ क गण एव भ ग

दो नभननो क जब गण होत ह तब ऄश क ऄश क स थ एव हर क हर क स थ

गण हो ज त ह जस ऄगर हम अध क अध ननक लन हो तो वह 1

2times

1

2 ह आसी तरह

पौन क अध 3

4times

1

2 होग हम यह भी ज नत ह दक अध क अध एक प व होत ह

1

2

क दगन 1 होत ह ऄथ मत हर को हर स और ऄश को ऄश स गण करन पर ईततर पर पत होत ह

जस 3

8times

2

5 times=

3times2

8times5=

6

40=

3

20

अआए भ ग की सदिय को नीच ददए गय ईद हरणो स समझ -

6 divide 3 क मतलब यह हअ दक 6 म 3 दकतनी ब र अत ह ऄब यह सोच दक 1

2 म

1

4 दकतनी ब र

अत ह दोनो सव लो म ईततर 2 ही ह आसी परक र 3

2 म

1

2 तीन ब र अत ह

P a g e | 82

ऄभय स

3 divide 5 = 3

1 divide

5

1=

3

1times

1

5=

3

5

8 divide 9 = 8

1 divide

9

1=

8

1times

1

9=

8

9

आस परक र जब एक नभनन को दसर नभनन स भ ग ददय ज त ह तब भ जक की नभनन सखय ईलट दी

ज ती ह ऄथ मत भ जक क ऄश हर म और हर ऄश म चल ज त ह तथ भ ग क नचनह गण म बदल ज त

ह

ननमन नभननो को हल कर सरलतम रप म नलनखए -

(1) 1

3 divide

5

7 (2)

121

70 divide

11

35

(3) 27

8 divide

81

16 (4)

33

28 divide

11

4

आसी परक र कछ और सव ल बन आए और स नथयो स हल करव आए

सखय ओ क सथ नीय म न (Place Value)

ऄब तक अप सखय ओ स कइ तरह क खल खल चक ह जोड़न घट न गण

करन एव भ ग दन सीख चक ह आस दौर न अपन ऄको क सथ नीय म नो जस आक इ

दह इ सकड़ हज र आतय दद को भली-भ ानत समझ और परख ह अआए ऄको क सथ नीय

म न क ब र म अग कछ और चच म कर

ऄक 3 6 और 8 को िम बदलकर 3 ऄको की दकतनी सखय य बन सकत ह

(i) 368 (ii) 386 (iii) (iv) (v) (vi)

परतयक ब र अप ईनही ऄको (36 और 8) क ईपयोग कर रह ह परनत सखय ओ क म न नभनन-नभनन

कयोहो रह ह ऄपन स नथयो स चच म कर क रण नलनखए-

मरी न हमीद स कह - 368 म 8 क म न 8 ह

386 म 8 क म न 80 ह

836 म 8 क म न 800 ह

आस परक र एक ही ऄक म न ऄलग-ऄलग सथ नो पर ऄलग-ऄलग हो रह ह यदद हम अठ हज र

अठ सौ ऄठय सी (8888) नलख तो ऄक 8 क म न एक सथ न पर 8000 ह एक सथ न पर 800 ह

P a g e | 83

एक सथ न पर 80 ह तथ एक सथ न पर 8 ह

अआय दो सखय ओ 368 और 895 को जोड़ कर दख -

कय आस तरह योग दश मन सही ह

आक इ क ऄको को जोड़न पर 13 दह इ क ऄको को जोड़न पर 15सकड़ क ऄको को जोड़न पर 11 पर पत

हए आस योगफल को सथ नीय म न क अध र पर दख तो 11 सकड़ 15 दह इ 13 आक इ पर पत होत ह

ऄतः आस ननमननलनखत रपो म नलख ज सकत ह-

11 सकड़ + 15 दह इ + 13 आक इ परनत दकसी भी सथ न पर सबस बड़ ऄक 9 ही हो सकत ह कयोदक

10 होन पर ईस सथ न पर कवल 0 रह ज एग और 1 ऄगल सथ न पर जड़न क नलए चल ज एग उपर

ईद हरण म 8 और 5 जोड़न पर 13 आक इ होत ह 13 की सखय म 3 आक इ और 1 दह इ होन क क रण

3 को आक इ क सथ न पर तथ 1 दह इ सथ न पर 6 और 9 क स थ जोड़ ज त ह आस परक र सभी दह इ

क ऄको को जोड़न पर 6 + 9 + 1 = 16 दह इ अय 16 दह इ म 10 दह इ बर बर एक सकड़ होन क

क रण कवल 6 दह इ क सथ न पर नलख ज वग तथ 10 दह इ क 1 सकड़ को सकड़ क ऄको म जोड़

ज यग आसस 3 + 8 + 1 = 12 सकड़ बन ज एग आसी िम म नवच र करन पर 12 सकड़ म 10 सकड़

बर बर 1 हज़ र होत ह आसनलए ईस ऄलग कर सकड़ क सथ न पर कवल 2 लग आस परक र शष बच 10

सकड़ क म न 1 हज र होन क क रण हज़ र क सथ न पर 1 नलख ज यग आस परक र ईपरोकत परशन क

योगफल -

हज र सकड़ दह इ आक इ

1 2 6 3 = 1263

उपर ददए गए ईद हरण की तरह अप ननमननलनखत सखय ओ क योगफल जञ त कीनजए

(1) (2)

(3) (4)

ऄब यह सपषट हो गय दक 10 आक इ = 1 दह इ 10 दह इ = 1 सकड़

10 सकड़ = 1 हज र 10 एक हज र = एक दस हज र और दस दस हज र = 1 ल ख होत ह

P a g e | 84

आसी परक र यदद आसक ईलट चल तो -

आस परदिय म द एा स ब एा बढ़त समय िमशः 10 क गण होत ह आसक ईलटी ददश म चलन

पर िमशः 10-10 क भ ग होत चलत ह ऄब सोच दक आक इ म 10 क भ ग दन पर कय होत ह अप

को य द होग

1 divide 10 = 1

10= 01

आसी परक र आस िम को ज री रख ज ए तो -

ऄतः हम कह सकत ह दक -

नजस परक र द एा स ब एा ज त समय सथ नीय म न दस गण हो ज त ह ईसी परक र ब एा स द एा

अत समय सथ नीय म न 1

10 गण हो ज त ह य 10 व ा भ ग हो ज त ह

अआए आस ननमन ईद हरण स दख -

0325 क सथ नीय म न ननक ल -

य 03 + 002 + 0005 = 0325

P a g e | 85

आसी परक र 0628 = 06 + 002 + 0008

य 0628 = 6

10+

2

100+

8

1000

दिय कल प 5

नीच दी गयी स रणी म सथ नीय म न क ऄको को ईनचत सथ न स भररए

ककष 5वी म हमन लब इ क ब र म ऄधययन दकय ह नजसम हमन सीख हः-

10 नममी = 1 समी

1 नममी = 1

10 समी = 01 समी

100 समी = 1 मी

1 समी = 1

100 मी = 001 मी

1000 मी = 1 दकमी

1 मी = 1

1000 दकमी = 0001 दकमी

ईद हरण 5

रमश एक शहर स दसर शहर की 1505 दकमी की दरी टरन स 657 दकमी बस स तथ शष 900

मी की दरी पदल ही तय करत ह बत आए रमश न कल दकतनी दरी तय की

हलः-

रमश दव र तय की गइ दरीः-

टरन दव र 1505 दकमी

बस दव र 657 दकमी

पदल 900 मी

P a g e | 86

ऄभय स

हम ज नत ह दक

1 मी = 1

1000 दकमी

900 मी = 1

1000 times 900 = 09 दकमी

ऄतः

1505 दकमी

657 दकमी

+ 09 दकमी

= 2171 दकमी

ऄतः रमश न कल 2171 दकमी की दरी तय की

अप ज नत ह

1 रपय =100 पस

1 पस = 1

100 रपय = 001 रपय

ईद हरण 6 यदद 6 पनो की कीमत 72 र ह तो 1 पन की कीमत बत आए

हलः-

जबदक 6 पन की कीमत 71 र ह

तब 1 पन की कीमत = 72

6 र

= 12 रपय

ऄतः 1 पन की कीमत 12 रपय होगी

ईद हरण 7

दकसी ददन दोपहर क समय एक शहर क त पम न 360 सटीगरड थ और र त को दस बज 2850

सटीगरड हो गय बत आए त पम न म दकतनी नगर वट अइ

हलः-

दोपहर क समय त पम न = 360deg सटीगरड

र त क समय त पम न = 285deg सटीगरड

त पम न म नगर वट = 360deg - 285deg

= 75deg सटीगरड

1 एक मीटर कपड़ की कीमत 2475 र ह तो 28 मी कपड़ की कीमत बत आए

2 ऄनज दक नद र स एक पसतक 14360 र म खरीदत ह और वह दक नद र को 500 र दत ह

बत आए दक नद र न ऄनज को दकतन रपय लौट य

3 ऄकषत ऄपन ग ाव ज न क नलय 26 दकमी क र स ज त ह 105 दकमी 500 मी बस स ज त ह

P a g e | 87

और बची हइ दरी 1 दकमी 250 मी को पदल चलकर तय करत ह बत आए वह कल दकतनी दरी

तय करत ह

4 दो शहरो क त पम न िमशः 2050ह सटीगरड और 24ह सटीगरड ह बत आए दोनो शहरो क

त पम न म दकतन ऄतर ह

परशन वली 7

1 नीच ददए गए कथनो म सतय कथनो क अग सतय एव ऄसतय कथनो क अग ऄसतय नलनखए ऄसतय

कथनो को सध र कर नलख

(i) 13

16 और

78

119 तलय नभनन ह

(ii) 33

17 एक ईनचत नभनन ह

(iii) 15

22 और

60

88 तलय नभनन ह

(iv) 23

103 एक ऄननचत नभनन ह

(v) 13

3 को नभनन क रप म 4

1

3 भी नलख ज सकत ह

(vi) 3

2lt

2

3

(vii) -1 lt 01

(viii) 2 x 3 = 6

(ix) 135

1000= 0135 होत ह

(x) 056 x1000 = 56 होत ह

2 ननमन नभननो को घटत िम म नलनखए

(i) 5

6

7

8

8

9 (ii)

1

2

3

4

1

6

7

6

8

12

ननमन सखय ओ को घटत िम म नलनखए

(iii) 0008 08 008 8 8 (iv) 01 0099 00992 0012

3 ननमन नभननो को बढ़त िम म नलनखए

(i) 5

6

9

24

3

2

1

3

5

8 (ii)

1

2

1

4

1

6

1

8

2

15

4 ननमन क म न पर पत कीनजए -

(i) 1

3+

5

8+

3

5+

7

4+

13

6 (ii) 9 - 9 - 09 - 009 - 0009

(iii) 3

4times

7

5times

4

3 divide

28

15 (iv)

13

27times

3

26 divide

1

18

P a g e | 88

(v) 17

6+

19

4+

5

2+

4

3 (vi)

6

7+

13

14minus

9

21

5 ररकत सथ नो को भररए -

(i) 4

5+

helliphellip

30 (ii)

7

5+

helliphellip

55

(iii) 6

7+

helliphellip

42 (iv)

4

9+

helliphellip

18

6 ननमन म स ईनचत व नवषम नभनन को छ ारटए -

17

4

4

5

8

9

16

13

15

16

6

5

3

7

8

5

7 ननमननलनखत क सथ नीय म न जञ त कीनजए

(i) 84323 (ii) 14876 (iii) 87640314

हमन सीख

1 दकसी भी नभनन को ऄनक समतलय नभननो म बदल ज सकत ह आसक नलए नभनन क ऄश व हर को

सम न सखय स गण य भ ग दकय ज त ह

2 नभननो की तलन

(i) यदद नभननो क ऄश बर बर हो तो छोटी हर व ली नभनन बड़ी नभनन होगी

(ii) यदद नभननो क हर बर बर हो तो बड़ ऄश व ली नभनन बड़ी होगी

(iii) नभननो की तलन हर क लघततम सम पवततमक लकर सभी नभननो को सम न हर

नभनन बन कर दकय ज सकत ह

3 नजन नभननो क हर ऄश स छोट हो ईनह नवषम य ऄननचत नभनन कहत ह

4 नजन नभननो क हर ऄश स बड़ हो ईनह ईनचत नभनन कहत ह

5 जब दो नभननो क गण करत ह तब ऄश क ऄश स एव हर क हर स गण हो ज त ह

6 नभनन स भ ग दन म भ जक नभनन सखय ईलट ज ती ह एव भ ग की जगह गणन नचहन लग ज त

ह

P a g e | 89

जबअपदरव ज खोलतऄथव बनदकरतहतोदरव ज ऄलगऄलगनसथनतयोमदीव रकस थऄलग

ऄलगकोणबन त हयददशरीरकोएकसीधीरख म नलऔरह थकोदसरीसीधीरख तोह थकोजस

जसघम तहशरीरकस थह थऄलगऄलगकोणबन त ह

दननकजीवनमऔरकइसथ नोपरभीअपनकोणोकोबनतहएदख हजसघड़ीकीदोसइयोक

बीचबन कोणकचीकीदोभज ओकबीचबन कोणआतय दद

औरकह ाकह ाअपनकोणोकोबनतदख हऄपनीकॉपीमनलनखए

अआएकछईद हरणोकोदखनजनमकोणबनरहह

घड़ी क सभी नचतरो म बड़ी सइ 12 पर ह तथ छोटी सइ की नसथनत ऄलग-ऄलग ह नचतर 1 म दोनो

सइयो क बीच क झक व य घम व कम ह नचतर 2 3 एव 4 म दोनो सइयो क बीच झक वघम व बढ़त

ज त ह आसी परक र कची क ईपयोग करत समय ईसकी दोनो भज ओ क बीच झक व य घम व बदलत

रहत ह नडव आडर की दोनो भज ओ क बीच भी ईपयोग क ऄनस र घम व बदलत ह भोजन करत समय

अपन ऄनभव दकय होग दक कोहनी पर बदलत घम व य झक व क क रण ही ख न थ ली स मह तक

पहचत ह

rsquorsquoदकसी नबनद पर दो भज ओ क बीच बनन व ल ऐस ही घम व य झक व को कोण कहत हlsquolsquo

P a g e | 90

आसी परक र जब दो रख एा ऄथव दकरण एक दसर को क टती ह ऄथव नमलती ह तो ईन रख ओ क

बीच क घम व ऄथव झक व को कोण कहत ह

नीच ददए गए नचतरो म दकस नचतर म कोण बन रह ह और दकस नचतर म कोण नही बन रह ह

ईपरोकत नचतरो म अपन दख दक नचतर 5 म कोण बन रह ह परत नचतर 8 म कोण नही बन रह ह

कयोदक दो भज ओ म स एक सीधी रख नही ह ऄथ मत दो सरल रख ओ ऄथव रख खणडो स ही कोण बन

सकत ह

नशकषक व ऄपन स नथयो क स थ ऄपन असप स क व त वरण व वसतओ म बनन व ल कोणो क

ब र म चच म कर ऄपन अस प स बनन व ल कोणो की सची को और बड़ बन एा

दिय कल प 1

नजस परक र नहनदी क ऄकषर lsquoतरrsquo म तथ ऄगरजी क ऄकषर A म नीच ददख ए ऄनस र कोण बन रह ह

ईसी परक र नहनदी और ऄगरजी क ऄकषरो को नलखकर ईनम बनन व ल कोणो को नचहन दकत कीनजए दकन

ऄकषरो म कोइ भी कोण नही बनत

P a g e | 91

दिय कल प 2

ईपरोकत नचतरो को दख और बत आए दक परतयक म दकतन कोण ह

नचतर कोणो की सखय

(15)

(16)

(17)

ऄब अप कोणो को पहच नन लग ह तथ कोण दकस तरह बनत ह यह भी ज नन लग ह कय अप

बत सकत ह दक एक कोण बनन क नलए कय -कय जररी ह

परतयक कोण म दो भज एा होती ह य दोनो दकसी नबनद पर नमलती ह नजस नबनद पर नमलती ह ईस

कोण क शीषम कहत ह

जस नचतर 18 म कोण AOB को दख OA और OB भज एा ह जो

कोण क शीषा O पर नमलती ह आसम OA की ददश स OB की ददश

ज न म दकतन घम व हअ ह यह कोण AOB बत त ह

कोण को सकत को स दश मत ह

कोणो को ईनक न म स पढ़न

P a g e | 92

नचतर 19 म कोण को PQR य RQP क न म स पढ़त ह य नलखत ह नचतर 20 म कोण को

XYZ य ZYX क न म स पढ़त ह

य द रख- नजस नबनद पर कोण बनत ह ईस शीषम कहत ह शीषम क सथ न नलखत य बोलत समय

हमश बीच म होत ह

आसी परक र नचतर 21 म कोण को ऄ ब स य स ब ऄ पढ़त य नलखत ह

दिय कल प 3

ननमन नचतरो म बन कोणो क न म ददय गय सथ न पर दोनो परक र स नलनखए-

नचतर िम क कोणो क न म

जस- 22 AOB य BOA

23

24

25

26

27

28

P a g e | 93

कोण की म प

दिय कल प 4

दो झ ड़ की सीक य ब ास की कमची लीनजए ईनक एक-एक नसर

को नमल कर ईस पर एक नपन नचतर नस र लग दीनजए अपक कोण बन न

व ल यतर ऄब तय र ह ऄब अप एक सीक को नसथर रखकर दसर सीक को

घम न पर अपको ऄलग-ऄलग म न क कोण नमलग अआए आसकी कछ

नसथनतयो पर नवच र कर -

OB को नसथर रखकर OA को घम त ह जस-जस घम व बढ़त ह तो कोण क म न भी

बढ़त ह य AOB lt AOB lt AOB

कोण बन न व ल यतर स ऄब अप सबस बड़ व सबस छोट कोण बन कर ऄपन ऄधय पक को

बत ए

नीच ददए गए कोणो म स बड़ कोण बत आए

P a g e | 94

कय LMN gt OPQ ह क रण बत आए

ऐसी नसथनत जब दो कोणो को दखकर छोट य बड़ नही बत य ज सक तब हम ऐस कोणो क

म प को च ाद स न प कर पत लग एाग

अप ऄपन च ाद को दख आसक घम वद र सतह पर सम न दरी पर ननश न लग ह आनह नगनकर

पत लग ए दक आस पर कल दकतन ननश न बन ह ऄलग-ऄलग म न क ऄशो को पहच न तथ ईसकी

नसथनत दख

अआए ऄब दकसी एक नननित म प क कोण बन त ह अपन ककष -5 म कोण तो बन य ही होग

कोण बन न क नलए सकल और च ाद की अवशयकत पड़ती ह ऄपन कमप स ब कस म रख च ाद को दनखए

और आसक दकन र तथ आनम बन कल खणडो क ब र म ऄपन कॉपी पर नलनखए

नजस परक र लमब इ न पन क नलए मीटर समी आतय दद आक आयो क ईपयोग दकय ज त ह ईसी

परक र दो रख ओ क बीच कोण को म पन क नलए नजस आक इ क ईपयोग दकय ज त ह ईस lsquolsquoऄशrsquorsquo(0)

कहत ह

जस- 45 ऄश = 45deg

225 ऄश = 225deg

दिय कल प 5

अआय ऄशो क ब र म ज नन क परय स कर ऄपन कॉपी क कोर पनन पर सकल की सह यत स एक

लमबी रख खीनचए तथ आस रख क बीचो बीच च ाद की अध र रख को रनखए च ाद क ब हरी सीम पर

पननसल की सह यत स 0 स 180deg (ऄश) तक नचतर नस र रख खीनचए (नचतर 36)

P a g e | 95

नचतर 37 की तरह च ाद हट न पर वह ा एक ऄधमवतत क अक र बनत ह ऄब च ाद को पवम अध र

रख पर आस परक र रख दक घम वद र छोर नीच की ओर ठीक नवपरीत ददश म रह (नचतर 38) ऄब च ाद क

घम वद र सीम म 0 स 180deg तक पनसल पव मनस र घम एा च ाद हट न पर अपको एक वतत क र रचन

नमलगी (नचतर 39)

आस नचतर क अध र पर ननमन परशनो क ईततर दीनजए

1 एक ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 37) = 180deg

2 दसर ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 38) =

3 दोनो ऄदधमवततो दव र सयकत रप स कनर पर कल बन कोण =

अप प त ह दक पहल 180deg और ब द म 180deg क कोण बन आस परक र 360deg क कोण एक नबनद

पर बनत ह यह नबनद आस परक र बनन व ल वतत क कनर नबनद भी ह

वतत क र क गज़ क टकड़ को क टकर बीच स ऐस मोनड़ए नजसस वतत दो बर बर भ गो म बाट ज ए

अप प एग दक O स होकर एक सरल रख पर पत होती ह नजस पर 180deg क कोण बन ह आस कोण को

सरल कोण भी कहत ह

आसी परक र एक वतत क कनर पर दकतन सरल कोण बन सकत ह

अपन वतत क र क गज़ को दो भ गो म मोड़कर सरल कोण पर पत दकय ह ऄब ईस पनः दो भ गो म

आस परक र मोड़ दक वतत च र बर बर भ गो म बाट ज ए (नीच नचतर नस र)

P a g e | 96

ऄब वतत नबनद O पर च र सम न भ गो म बट गय ह अप बत ए दक नबनद O पर बन च रो कोणो

क म प ऄलग-ऄलग दकतन ऄश क ह

ऄभय स 1

अप ऄपनी कॉपी म नवनभनन न प क 5-5 कोण बन आय ईनह न नपय एव ऄपन स नथयो व ऄधय पक

स ज ाच कर आए

च ाद की सह यत स कोण बन न क नलए सवमपरथम एक सरल रख AB खीचत ह आस सरल रख

क नजस नबनद O पर कोण बन न ह वह च ाद क मधय नबनद को आस परक र रखग दक च ाद क अध र पर

बनी सरल रख और कॉपी पर बनी सरल रख एक सीध म रह ऄब च ाद क 0deg स उपर नलख गए ऄक को

पढ़त चल नजस म प क कोण बन न ह वह ा एक नबनद लग ए म न लीनजए अपको 60deg क कोण बन न

ह तब च ाद क शनय स 60deg तक उपर बढ़ और एक नबनद च लग ए च ाद हट कर आस नबनद को सरल रख

क नबनद स नमल ए ऄब POB = 60deg क बन गय ह

P a g e | 97

दिय कल प 6

अपको कछ रख एा दी गइ ह परतयक रख म ददए हए नबनद पर अप ददए हए म प क (नचतर 44 की

तरह) कोण बन आए

ईपरोकत नचतरो म अपन दकन नबनदओ पर कोण बन य तथ कोणो को दकस ओर स शनय स न पन

शर दकय

एक ब त कय अप ज नत ह दक वयनकत क वय य म क समय स वध न की मर म दोनो एनड़यो क बीच 30deg

क कोण बनन च नहए ऐसी और भी ब त पत कररए

P a g e | 98

दिय कल प 7

नचतर म कोणो क म प तथ भज ओ की लमब इ न पकर दी गइ स रणी म नलनखए तथ नीच नलख

परशनो क ईततर दीनजए

(1) कय COD gt AOF EOFgt COD यदद नही तो कयो नही

(2) कय कोणो क म प भज ओ की लमब इ पर ननभमर ह

(3) दो भज ओ क बीच बन कोणो क ऄनधक य कम होन दकस ब त पर ननभमर करत ह

दिय कल प 8

नचतर 52 म कोण Xdeg व Ydeg क म न च ाद की सह यत स म नपय कय Xdeg = Ydeg ह ऄपनी कॉपी

म नलनखए

P a g e | 99

दिय कल पो स सपषट होत ह दक कोणो क म प कोण बन न व ली भज ओ की लमब इ (च प) पर

ननभमर नही करत कयोदक कोण सरल रख ओ ऄथव दकरणो स नमलकर बन हो सकत ह नजनक नवसत र

ऄसीनमत होत ह दोनो रख एा ऄसखय नबनदओ स नमलकर बनी होती ह ऄतः दो सरल रख ओ क बीच

दकनही दो नबनदओ की दरी कोण की म प नही ह

परशन वली 81

1 कोणो क न म नलनखए -

2 च ाद की सह यत स कोण म प कर नलनखए तथ ऄपन स थी स ईततर क नमल न कररए-

P a g e | 100

3 च ाद की सह यत स ननमन कोण बन ए -

(i) 45deg (ii) 75deg (iii) 90deg (iv) 120deg (v) 155deg

(vi) 210deg

4 6 बज घड़ी की दोनो सइयो (घट एव नमनट) क बीच दकतन कोण बनग

कोणो क परक र

कय अप बत सकत ह दक घड़ी म जब ठीक 12 बज रह हो तो घट और नमनट सइ क बीच दकतन

ऄश क कोण बनत ह

कोण क म प

कय अप बत सकत ह दक 12 घट म दकतनी ब र घड़ी की बड़ी सइ (नमनट) छोटी सइ (घट ) को

ढक लगी

कय अप बत सकत ह जब एक सइ दसरी सइ को ढक लगी तब ईनक बीच झक व दकतन ऄश क

होग

आसी परक र जब एक रख दसरी रख को ढक ल तो ईनक बीच शनय ऄश क कोण बनत ह

ऄब घड़ी म 2 बज कर 45 नमनट की नसथनत को दनखए तथ बत आए दक दोनो सइयो क बीच दकतन ऄश क

कोण बनग

नचतर 54 म AOB = 0deg ऄथ मत OA रख खणड क ठीक उपर OB रख खणड ह नजसस ईनक बीच

क झक व शनय ऄश क ह नचतर 55 म BAO क म न कय होग

P a g e | 101

1 शनय कोण वह कोण नजसक म प 0deg हो शनय कोण कहल त ह

परनत नचतर 55 म OA और OB दोनो रख खणड नवपरीत ददश म ह और नमलकर एक बड़

रख खणड बन रह ह ऐसी नसथनत म AOB = 180deg आस सरल कोण क न म स ज नत ह

(2) सरल कोण वह कोण नजसक म प 180deg हो सरल कोण कहल त ह

(3) नयनकोण वह कोण जो 0deg स बड़ तथ 90deg स छोट हो नयनकोण कहल त ह

(4) समकोण वह कोण नजसकी म प 90deg हो समकोण कहल त ह समकोण म एक भज दसरी भज

पर लमब होती ह

P a g e | 102

(5) ऄनधक कोण एक कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक परनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण कहल त

ह

(6) परनतवती कोण (वहत कोण) वह कोण नजसक म प समकोण 180deg स ऄनधक तथ 360deg स कम

हो परनतवती कोण कहल त ह

(7) समपणम कोण यदद कोइ दकरण ऄपन पर रनमभक नबनद क च रो ओर एक पर चककर लग न क ब द

ऄपन पर रनमभक नसथनत स समप ती हो ज ए तो आस परक र बन कोण समपणम कोण कहल त ह यह

कोण 360deg क होत ह

दिय कल प 9

ननमन कोणो को न पकर दख और ईनक परक रो को ददए गए ब कस म नलख

P a g e | 103

P a g e | 104

परशन वली 82

परशन 1 सतय कथन को छ ारटए ऄसतय को सध र कर नलनखए

(i) सरल कोण 180deg क होत ह

(ii) ऄनधक कोण 180deg स ऄनधक क होत ह

(iii) नयनकोण 90deg क कम क होत ह

(iv) तीन बज घड़ी की घट एव नमनट दोनो सइयो क मधय समकोण बनग

(v) 2

3 समकोण बर बर 60deg क कोण होत ह

(vi) कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक दकनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण ह

(vii) च ाद म कल 180deg क कोणो को दश मय ज त ह

परशन 2 नीच ददए कोणो म स नयनकोण समकोण ऄनधक कोण सरल कोण छ ारटए -

(i) 120deg (ii) 30deg (iii) 90deg

(iv) 180deg (v) 70deg (vi) 105deg

(vii)) 72deg (viii) 36deg (ix) 15deg

(X) 75deg

परशन 3 ननमन कोण-यगमो की तलन कोणो को म प कर कीनजए -

P a g e | 105

हमन सीख

1 दो भज ओ क बीच फल व य झक व को कोण क म प कहत ह

2 दकसी कोण को म पन की आक इ ऄश य नडगरी ह आस दकसी सखय क उपर षहष स दश मय ज त

ह जस - 30deg 45deg 90deg 180deg 360deg

3 एक कोण नजसक म न

0deg हो शनय कोण कहल त ह

0deg और 90deg क बीच हो नयनकोण कहल त ह

90deg क बर बर हो समकोण कहल त ह

90deg और 180deg क बीच हो ऄनधक कोण कहल त ह

180deg हो तो वह सरल कोण कहल त ह

180deg और 360deg क बीच हो परनतवती कोण कहल त ह

360deg हो तो वह समपणम कोण कहल त ह

P a g e | 106

अपन पज सथल पर लगी पत क सवततरत ददवस एव गणततर ददवस म श ल को सज न क नलय

ईपयोग दकय गय तोरण तथ पर ठ जसी ऄनक रचन एा दखी ह आनही स नमलती जलती कछ और

अकनतयो को दख-

1 कमप स ब कस म रख सट सव यर (नचतर 1)

2 क पी क पनन क मड़ हअ भ ग (नचतर 2)

3 नचतर 3 म ददय गय तीनो नबनदओ को रख खणडो दव र नमल न पर बनी अकनत

आन अकनतयो म कय सम नत ह

कय अपन अस-प स आस तरह की और अकनतय ा दखी ह कह ा-कह ा दखी ह नलनखए ऐसी

अकनतय ा नीच ददख ए गए नचतरो म भी ढादढ़एः-

P a g e | 107

अपन आन अकनतयो को दकस अध र पर छ ाट ह

छ ाटी गइ सभी अकनतयो म यह सम नत ह दक आनम तीन भज एा और तीन शीषम ह आसनलय आनह

नतरभज कहत ह

नीच नचतर 17 स 23 तक सभी अकनतय ा तीन भज ओ स बनी हइ ह परनत ईनम स सभी नतरभज

नही ह नतरभज नही होन क क रण पर नवच र कीनजए

P a g e | 108

अपन रख खणड क प ठ म बनद और खली अकनत क ब र म पढ़ ह उपर ददए गय नचतरो म भी

नचतर 18 और 20 बनद अकनतय ा ह ब की सभी खली अकनतय ा ह जो बनद ह ईनम तीन रख खणडो स

तीन कोण भी बन रह ह खली अकनतयो म तीन भज एा तो ह परनत यह तीन भज एा तीन कोण नही बन

रही ह आसनलय तीन रख खणडो स बनी सभी अकनतय ा नतरभज नही ह तीन रख खणडो स बनी बनद

अकनत ही नतरभज ह

दिय कल प 1

नीच परतयक नचतर म तीन-तीन नबनद ददए गए ह कय आन तीन नबनदओ को रख खणड दव र नमल कर अप

नतरभज बन सकत ह

P a g e | 109

ददए गए नचतरो म अपन दख दक जह ा तीनो नबनद एक सरल रख म ह ईनह तीन रख खणडो दव र

नही जोड़ ज सकत ऄतः व नतरभज नही बन रह ह ऄथ मत lsquolsquoतीन ऐस नबनद जो एक सरल रख म न हो

ईनह रख खणडो दव र नमल न पर जो बनद अकनत बनती ह वही नतरभज हrsquorsquo

नतरभज क भ ग

नतरभज ABC म A B और C शीषम ह तथ AB BC और CA भज एा ह ABC BCA और

CAB तीन कोण ह

दिय कल प 2

उपर नचतर म परतयक शीषम पर दो भज एा नमल रही ह और एक कोण बन रह ह नीच ददय गए

नतरभजो म शीषम भज एव कोणो क न म नलनखए -

P a g e | 110

नतरभज क ऄनतःकोण

दकसी नतरभज की तीन भज ओ दव र नघर हए कषतर म जो कोण बनत ह व सभी ऄनतःकोण कहल त

ह नचतर ि 33 34 35 एव 36 म अपन नजतन कोणो क न म नलख ह व सभी ऄनतःकोण ह

दिय कल प 3

ननमन नतरभजो नचतर ि 37 38 39 40 म ऄनतःकोणो को च ाद की सह यत स न पकर ईनक म प

त नलक म भररए तथ ईनक योगफल जञ त कीनजएः-

ईपरोकत त नलक स यह पर पत हो रह ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो क योगफल लगभग 180deg

ह

P a g e | 111

नतरभज क तीनो ऄनतःकोणो क योग 180deg क बर बर होत ह आस नसदध करन क तरीक हम

ऄगली ककष ओ म दखग

दकसी नतरभज म ददय गय दो कोणो क अध र पर तीसर कोणो क म न जञ त कीनजए -

नतरभज क बनहषकोण

तीनो भज ओ स नघर कषतर क ब हर नतरभज की दकसी एक भज को दकसी एक ददश म अग बढ़ न

पर बन कोण बनहषकोण कहल त ह

ईपरोकत नचतरो म परतयक नतरभज की एक भज को D तक बढ़ य गय ह नजसस िमशः ACD

CAD और ABD पर पत होत ह य सभी बनहषकोण ह परतयक बनहषकोण एक ऄतःकोण स जड़ हअ ह

नजस बनहषकोण क समपरक कोण भी कह सकत ह बनहषकोण स जड़ यही ऄतःकोण बनहषकोण क

lsquolsquoननकटसथ ऄतःकोणlsquolsquo कहल त ह जसः-

P a g e | 112

बनहषकोण स जड़ ऄतःकोण ननकटसथ ऄतःकोण कहल त ह और नतरभज क बच हए दो ऄतःकोण दरसथ

ऄतःकोण कहल त ह नचतर 41 म BAC और CBA नचतर 42 म ABC और BCA तथ नचतर 43

म BCA एव CAB दरसथ ऄतःकोण ह

ननमन नचतरो म बनहषकोण एव बनहषकोण क ननकटसथ ऄतःकोणो को छ ारटय यदद दकसी नचतर म

बनहषकोण नही बन रह ह तो कयो

नचतर 45 और 46 म बनहषकोण नही बन रह ह कयोदक QRS और UVW सरल रख एा नही ह

दिय कल प 4

अप ननमन अकनतयो म नतरभज क ननकटसथ ऄतःकोण दरसथ ऄतःकोण एव बनहषकोणो को छ ाटकर

दी गइ त नलक म भररएः-

P a g e | 113

दकसी नतरभज क बनहषकोण तथ ननकटसथ एव दरसथ ऄतःकोणो को अपन पहच न नलय ह अआए

आनही कोणो स समबननधत एक और दिय कल प कर-

दिय कल प 5

ननमन नतरभजो म X Y तथ क म न जञ त कीनजए तथ नीच दी गइ त नलक को पणम

कीनजएः-

P a g e | 114

X तथ Y + Z म कय सबध ह

ईपरोकत त नलक स यह सपषट ह दक नतरभज क दकसी एक बनहषकोण क म न ईसक दरसथ ऄतःकोणो

क म प क योग क बर बर होत ह

नतरभज क वगीकरण

अपन ऄभी तक नवनभनन अकनत क नतरभजो को दख ह भज ओ एव कोणो क अध र पर नतरभज को

ननमन नस र वगीकत दकय ज सकत हः

1 भज ओ क म पो क अध र पर नतरभज क वगीकरणः

(ऄ) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा ऄसम न म प की हो नवषमब ह नतरभज कहल त ह

(ब) वह नतरभज नजस की कोइ भी दो भज एा बर बर म प की हो तथ तीसरी भज ऄलग म प

की हो समनदवब ह नतरभज कहल त ह

(स) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा बर बर म प की हो समब ह नतरभज कहल त ह

ननमननलनखत त नलक म नतरभज की भज ओ क म प ददए गए ह म प क अध र पर नतरभजो क

वगीकरण कीनजए -

ऄभय स

P a g e | 115

दिय कल प 6

ननमन नचतरो म भज ओ को म पकर नतरभजो क वगीकरण कीनजएः-

2 कोणो क अध र पर वगीकरण

(ऄ) नयनकोण नतरभज - नजसक परतयक कोण नयनकोण होत ह

(ब) समकोण नतरभज - नजसक एक कोण समकोण होत ह

(स) ऄनधक कोण नतरभज - नजसक एक कोण ऄनधक कोण होत ह

दिय कल प 7

ददय गए कोणो क म प क अध र पर नतरभजो क वगीकरण कर नीच दी गइ त नलक म नलनखएः

P a g e | 116

दिय कल प 8

ननमननलनखत नचतरो म नतरभज क कोणो को म प कर नतरभज क वगीकरण कोणो क अध र पर

कीनजए एव ररकत सथ नो म नतरभज क परक र नलनखएः-

नवनभनन नतरभज बन कर ईनक कोण व भज एा म प व ईनको ईनक परक र क ऄनस र छ ाट

P a g e | 117

3 कोण एव भज ओ क अध र पर वगीकरण

दिय कल प 9

ननमन नचतरो म अप भज ओ एव कोणो को ऄलग-ऄलग म प कर त नलक म नलख भज एव कोणो

क अध र पर ननमन नतरभजो क वगीकरण कीनजए-

आन पररण मो स ननमननलनखत ननषकषम ननकलत ह-

(1) नवषमब ह नतरभज म तीनो भज ओ क म प ऄलग-ऄलग ह तथ तीनो कोणो क म प भी ऄलग-

ऄलग ह

(2) समनदवब ह नतरभज म दो भज एा और दो कोण बर बर ह

(3) समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर ह

P a g e | 118

दिय कल प 10

नननित म प की सीक लकर नीच ददय गय म पो क अध र पर नतरभज बन ए

8 समी 10 समी एव 12 समी लमबी भज एा

पहल हम 8 समी 10 समी एव 12 समी म प की तीन सीक लत ह तथ सीको क नसर स नसर को

सट कर ननमन परक र स नतरभज बन न क परय स करत ह

अप दख रह ह दक ददय गय म पो स नतरभज बन न सभव ह

उपर समझ ए गए तरीक स ननमन म पो क नतरभज बन आए तथ यह दनखए दक कय सभी नसथनतयो

म नतरभज बन प रह ह यदद नही तो क रण पत लग ए

1 8 समी 10 समी और 12 समी

2 5 समी 9 समी और 3 समी

3 6 समी 8 समी और 9 समी

4 5 समी 7 समी और 12 समी

5 15 समी 5 समी और 12 समी

आनस पर पत ननषकषो क नमल न कर

1 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बनग

2 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स कम हो य बर बर हो तो नतरभज नही बनग

जस ईद हरण 2 और 4 की नसथनत

ईद 2 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 3 समी तर 8 समी सबस बड़ी भज की म प 9

समी स कम होन क क रण नतरभज नही बनत ह

ईद 4 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 7 समी = 12 समी नतरभज की तीसरी भज

की म प 12 समी क बर बर होन क क रण नतरभज नही बनत

P a g e | 119

ऐस नवनभनन म पो क नतरभज बन कर छ तर सवय ज च और ऄपन नमतरो स भी बनव ए

परशन वली 91

पर1 जली न ननमननलनखत कथन नलख आनम स अप सतय एव ऄसतय कथन छ ाट कर

नलनखए ऄसतय कथनो को सध र कर नलनखए

(i) दकसी नतरभज म एक भज शष दो भज ओ क योग स छोटी नही हो सकती

(ii) दकसी नतरभज म तीन भज एा तीन शीषम व तीन ऄतःकोण होत ह

(iii) दकसी नतरभज की एक भज शष दो भज ओ क योग क बर बर होती ह

(iv) दकसी नतरभज क एक कोण ऄनधक कोण होत ह तो नतरभज को ऄनधक कोण

नतरभज कहत ह

(v) दकसी नतरभज म दो कोण 90deg क हो सकत ह

(vi) नयन कोण नतरभज म तीनो कोणो क म प नयनकोण होन जररी नही ह

(vii) नतरभज क दो कोण क म प ददय हो तो तीसर कोण ननक ल ज सकत ह

(viii) समब ह नतरभज म तीनो भज एा बर बर होती ह परनत तीन कोण बर बर नही होत

(ix) समनदवब ह नतरभज म बर बर भज ओ क स मन क कोण बर बर होत ह

(x) समब ह नतरभज सदव नयनकोण नतरभज होत ह

पर2 नतरभज क दो कोण 65deg एव 75deg क ह तो तीसर कोण जञ त कीनजए

पर3 समकोण नतरभज क एक कोण 45deg ह तो दसर कोण क म न जञ त कीनजए

पर4 समब ह नतरभज म परतयक कोण क म प दकतन होत ह

पर5 यदद दकसी नतरभज क एक कोण क म प ऄनय दो कोणो क म पो क योग क बर बर हो तो

कय वह नतरभज समकोण नतरभज होग

पर6 कय ननमननलनखत नसथनतयो म नतरभज की रचन की ज सकती ह - ह य नही म ईततर

दीनजए

(i) यदद दो कोण समकोण हो

(ii) यदद दो कोण ऄनधक कोण हो

(iii) सभी तीनो कोण 60deg क बर बर हो

(iv) सभी कोण 60deg स ऄनधक हो

(v) तीनो कोण नयनकोण हो

(vi) सभी कोण 60deg स कम हो

P a g e | 120

चतभमज

यदद अप च र सीको को ईनक नसरो स अपस म जोड़ कर रख तो कइ परक र की

अकनतय ा बन सकती ह आनम स कछ अकनतय ा ननमन नस र हो सकती हः-

नचतर िम क 71 स 74 तक बनी सभी अकनतय ा खली हइ ह परनत नचतर िम क 75 म बनी अकनत च रो

ओर स नघरी एक बद अकनत ह ऐसी अकनत को चतभमज कह ज त ह आसम च र भज एा होती ह पतग

कबिी क मद न पसतक कॉपी आतय दद चतभमज क ईद हरण ह

rdquoच र भज ओ स नघरी हइ बद अकनत को चतभमज कहत हldquo

चतभमज क ऄग

ननमन दकत नचतर को धय न पवमक दख-

ईपरोकत नचतर म ननमन दकत ब त ददख इ पड़ती ह

(1) AB BC CD व DA चतभमज की च र भज एा ह

(2) दो भज एा जह ा नमलती ह वह नबनद चतभमज क शीषम कहल त ह ABC और D चतभमज क च र

शीषम ह

(3) असनन शीषो को छोड़कर ऄनय शीषो को जोड़न व ल रख खणड नवकणम कहल त ह AC तथ BD

चतभमज क दो नवकणम ह

P a g e | 121

(3) परतयक शीषम पर एक-एक ऄनतः कोण बन रह आस परक र कल च र ऄनतः कोण

BAD ADC DCB व CBA बन ह

दिय कल प 11

नीच ददय नचतरो म भज ओ शीषो तथ ऄनतः कोणो को पहच न कर ईनचत सथ न पर नलनखएः-

चतभमज की सलगन भज एा एव सममख भज एा

सलगन नचतर म चतभमज KLMN म शीषम K पर NK KL

भज एा नमल रही ह ऐसी भज एा सलगन भज एा कहल ती ह

आसी परक र भज एा KL और LM शीषम L पर नमल रही ह

ऄतः KL एव LM सलगन भज एा ह

बत आए आस चतभमज म ऄनय सलगन भज ओ क न म कय ह

P a g e | 122

चतभमज क ऄनतः कोणो क योग

चतभमज ABCD क नवकणम AC ईस दो नतरभजो DAC तथ

ABC म ब ाटत ह

हम ज नत ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो की म पो क योग 180deg होत

ह सपषट ह चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग दोनो नतरभजो क

ऄनत कोणो की म पो क कल योग क बर बर होग

आस परक र चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग

= 180deg + 180deg = 360deg

चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योगफल 360deg य च र समकोण होत ह

चतभमज क परक र

10 समी 5 समी 10 समी 5 समी म प व ली च र सीक लीनजए तथ ईनक नसरो को नमल त

हए नवनभनन अकनतयो व ल चतभमज बन आए -

आन सीको स बनन व ली कछ चतभमज अकनतय ा नीच दी गइ ह

P a g e | 123

ईपरोकत म स नचतर िम क 8283848586 और 87 म चतभमजो की भज एा सम नतर एव बर बर ह य

चतभमज सम नतर चतभमज कहल त ह

ldquoव चतभमज नजनकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त हrdquo

नचतर िम क 82 और 83 ऐस सम नतर चतभमज ह नजनम परतयक कोण 90deg क ह आनह अयत कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत (Rectangle) कहल त हrdquo

नचतर िम क 88 म चतभमज क शीषो A एव C नसथत सलगन भज ओ क यगम बर बर ह ऐस चतभमज

पतग क र चतभमज कहल त ह

ऄब 5 समी लमब इ की च र सीक लकर चतभमज बन आए -

P a g e | 124

ईपरोकत सभी चतभमज ऐस सम नतर चतभमज ह नजनकी सभी भज एा बर बर ह ऐस चतभमजो को

सम चतभमज कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसकी परतयक भज की लमब इ बर बर हो सम चतभमज (Rhombus) कहल त

हrdquo

नचतर िम क 89 म परदरसशत चतभमज क परतयक कोण 900 क ह

ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम (Squre) कहल त ह

ऄब अप च र ऄलग-ऄलग लमब आयो की सीक लकर चतभमज बन आए अपक दव र बन ए गए

चतभमजो म स कछ आस परक र क हो सकत ह

P a g e | 125

नचतर िम क 92 म चतभमज की परतयक भज ऄलग-ऄलग म प की ह तथ सममख भज एा सम नतर

नही ह ऐस चतभमज नवषमब ह चतभमज कहल त ह नचतर कम क 93 एव 94 म चतभमजो की सममख

भज ओ क एक यगम सम नतर ह ऐस चतभमज समलमब चतभमज कहल त ह

दिय कल प 12 (ऄ)

नीच ददय गय नगरड (ज लक) नबनदओ को जोड़कर ननदश नस र चतभमज बन कर न म नलनखए

(1) एक चतभमज नजसकी कोइ भी भज बर बर नही ह तथ कोइ भी यगम सम नतर नही ह

(2) एक चतभमज नजसकी सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर ह

(3) एक चतभमज नजसकी सममख भज एा बर बर एव सम नतर ह

दिय कल प 12 (ब)

ऄपन अस-प स की 5 वसतओ क न म बत आए जो चतभमज अक र की हो

P a g e | 126

परशन वली 92

परशन 1 ख ली सथ न भररए

(i) वह चतभमज नजसकी सभी भज ए अपस म बर बर होकहल त

ह

(ii) वगम क परतयक कोण ऄश क होत ह

(iii) सम नतर चतभमज की सममख भज एाएव सम नतर होती ह

(iv) चतभमज म सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर होत ह

(v) ऐस चतभमज नजसकी सभी भज एा ऄसम न होचतभमज कहल त ह

परशन 2 सतयऄसतय कथन छ रटए

(i) समलमब चतभमज क परतयक कोण 900 क होत ह

(ii) परतयक अयत एक वगम होत ह

(iii) अयत की सममख भज एा बर बर होती ह

(iv) समचतभमज क परतयक कोण सदव समकोण होत ह

(v) कबिी क मद न अयत क र होत ह

हमन सीख

1 नतरभज तीन भज ओ स नघर कषतर ह

2 नतरभज एक बनद अकनत ह यदद तीनो भज एा नमलकर बनद अकनत नही बन ती तो नतरभज नही

बन सकत

3 शीषम भज एव कोण नतरभज क भ ग ह

4 नतरभज म तीन कोण होत ह

5 नतरभज क तीनो ऄतःकोणो क म पो क योग दो समकोण (1800) क बर बर होत ह

6 नतरभज की एक भज बढ़ न पर बन हअ बनहषकोण नतरभज म नसथत दरसथ ऄतःकोणो क म पो क

योग क बर बर होत ह

7 भज ओ की म प क अध र पर नतरभजो को समब ह समनदवब ह तथ नवषमब ह नतरभज म वगीकत

दकय ज त ह

8 कोणो क अध र पर नतरभजो को नयनकोण समकोण तथ ऄनधक कोण नतरभज म वग मीकत दकय

ज त ह

9 नवषमब ह नतरभज क तीनो भज ओ की म प तथ तीनो क णो क म प ऄलग ऄलग होती ह

10 समनदवब ह नतरभज म दो भज एा एव दो कोण बर बर होत ह

11 समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर होत ह

12 नतरभज म दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बन सकत ह

P a g e | 127

13 च र भज ओ स नघरी बद अकनत चतभमज कहल ती ह

14 चतभमज क ऄगो म शीषम भज नवकणम व कोण सनममनलत ह

15 चतभमज क च रो ऄनतःकोणो की म पो क योग 360deg होत ह

16 वह चतभमज नजसकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त ह

17 वह सम तर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत कहल त ह

18 ऐस चतभमज नजसकी भज एा ऄलग-ऄलग म प की हो तथ सममख भज एा सम नतर न हो

नवषमब ह चतभमज कहल त ह

19 ऐस चतभमज नजसकी सममख भज ओ क एक यगम सम नतर हो समलमब चतभमज कहल त ह

20 वह सम नतर चतभमज नजसकी सभी भज एा बर बर हो समचतभमज कहल त ह

21 ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम कहल त ह

22 पतग क र चतभमज म दो असनन भज ओ क यगम बर बर होत ह

P a g e | 128

मोहन और रम सबह कप स दध पीत ह मोहन दो कप दध म तीन चममच शककर ड लत ह रम

एक कप दध म दो चममच शककर ड लती ह दोनो क दध म शककर की तलन कस कर

दननक जीवन म दकसी वसत की खरीदद री करनी हो खल खलन हो य दकनही दो नवकलपो म स

जय द ईपयकत नवकलप चनन हो आन जस सभी क यो म तलन की अवशयकत होती ह कौन सी सबज़ी

बहतर ह द मो म दकतन ऄनतर ह जस ननणमय हम कइ ब र लन पड़त ह एक ईद हरण दनखए - शय म

अल खरीदन ब ज़ र ज त ह एक दक नद र अल की कीमत बत त ह - 20 रपय क तीन दकलो दसर

दक नद र कीमत बत त ह - lsquolsquoप ाच दकलो 30 रपय मlsquolsquo ऄब शय म सोच म पड़ ज त ह दक कौन स

नवकलप बहतर ह ऐसी नसथनतयो म ऄनप त की जररत महसस होती ह कय अपक स मन कभी ऐसी

नसथनत अइ ह जह ा अपको बहतर नवकलप सोचन की जररत पड़ी ऐसी कछ पररनसथनतयो क ब र म

सोनचए एव नलनखए

ऄनप तो को नवनभनन तरीको स वयकत दकय ज त ह ऄनप त को हम rsquo rsquo नचहन स दश मत ह

ईद हरण क नलए एक दक नद र कहत ह दक rsquorsquoआस वषम नबिी दगनी हइlsquolsquo आसक ऄथम यह ननकल

दक आस वषम म नबिी नपछल वषम की ऄपकष दो गनी हइ ऄथ मत आस वषम और नपछल वषम की नबिी क

ऄनप त 2 1 ह

एक और ईद हरण ल - दकसी नवदय लय म परतयक 45 छ तरो पर एक ऄधय नपक ह आसक मतलब

यह हअ दक छ तर ओ तथ ऄधय नपक ओ क ऄनप त 45 1 ह ऄब यदद हम कह दक नवदय लय म 90

छ तर ए ह तो सपषट ह दक नवदय लय म दो ऄधय नपक ए ह ऄथ मत नवदय थी तथ ऄधय नपक क ऄनप त 45

1 य 90 2 ह

रीत न कह दक lsquolsquoनवदय लय म ऄधय नपक सखय तथ छ तर ओ की सखय क ऄनप त 1 45 हrsquorsquo

कय ईसक यह कहन सही ह ऄनप त म हम यह दखन होत ह दक हम दकसकी तलन दकसस कर रह ह

जस - यदद हम ऄधय नपक सखय की तलन छ तर ओ की सखय स करत ह तो ऄनप त होग 1 45 और

यदद हम छ तर ओ की तलन ऄधय नपक स करनी ह तो ऄनप त 45 1 होग ऄब यदद ईस नवदय लय म

कल 5 ऄधय नपक ए ह तो बत आए दक नवदय लय की कल छ तर ओ की सखय दकतनी ह

दिय कल प 1

(1) ननमन कथनो को ऄनप त म नलनखए

(i) दकसी हॉल म परषो की सखय 150 ह तथ मनहल ओ की सखय 100 ह परषो तथ

मनहल ओ की सखय क बीच ऄनप त नलनखए 150 100

(ii) शम मजी की ईमर 40 वषम ह तथ ईनकी पतनी की ईमर 35 वषम ह दोनो की ईमर क बीच क

ऄनप त नलनखए

(2) दकसी ककष म 20 लड़क तथ 25 लड़दकय ा ह ननमन ऄनप त बत आए -

10

ऄनप त

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(i) लड़दकय ा तथ लड़को क बीच

(ii) लड़को तथ लड़दकयो क बीच

(iii) लडदकयो तथ कल नवदय रसथयो क बीच

(iv) लड़को तथ कल नवदय रसथयो क बीच

3 रमश एक घट म 6 दकलोमीटर पदल चलत ह त र 1 घट म 4 दकलोमीटर पदल चलती ह रमश

की गनत तथ त र की गनत क बीच क ऄनप त कय ह

4 र म की अय 30 वषम ह तथ शय म की अय 20 वषम ह र म की अय और शय म की अय क बीच

ऄनप त कय होग

शय म तथ र म की अय क बीच ऄनप त कय होग

एक और ब त पर नवच र कीनजए

यदद एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह तक रह और दसर वषम 120 ददन रह आन दोनो वषो म

वष म क ददनो क ऄनप त कय होग कय अप आस 20 120 नलख सकत ह क रण बत आए

एक और ईद हरण दनखए

र नी ऄपन घर स नवदय लय तक की दरी 50 नमनट म तय करती ह ईम वही दरी 1 घट म तय करती

ह तो र नी दव र नलए गए समय और ईम दव र नलय गय समय क ऄनप त कय होग कय आस हम 50 1

नलख सकत ह आस पर नवच र कीनजए

आसी परक र क और सव ल अप सवय बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आय

दननक जीवन म हम र स मन आस परक र की समसय ए ऄनक ब र अती ह जब हम नभनन न पो की

अपस म तलन करत ह ऐसी नसथनतयो म जह ा सीध-सीध तलन करन सभव नही होत ह वह ा र नशयो को

सम न आक आयो य सम न म तरक म बदलन पड़त ह

वष म क ईद हरण दनखए - एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह क ह और दसर वषम म 120 ददनो क

यह ा हम सम न म तरक म बदलन क नलए 20 सपत ह को ददनो म बदलग जो दक आस परक र होग -

1 सपत ह म 7 ददन

there4 20 सपत ह म 7 times 20 ददन ऄथ मत 140 ददन

ऄब दोनो वषो म वष म क ऄनप त जञ त करन अस न हो गय कयोदक हम र स मन दोनो म तरक

सम न ह ऄथ मत 140 ददन तथ 120 ददन पहल वषम की वष म क ददनो तथ दसर वषम की वष म क ददनो क

ऄनप त हअ 140 120 नजसक सरलतम रप 7 6 ऄब अप र नी तथ ईम दव र नवदय लय ज न म लग समय

क ऄनप त जञ त कीनजए

P a g e | 130

दिय कल प 2

ननमन कथनो को ऄनप त क रप म नलनखए -

(i) पड़ क नचतर की लमब इ 25 समी ह तथ पड़ की लमब इ 13 मीटर ह

(ii) र म को गहक यम करन म 40 नमनट लगत ह तथ शय म को 1 घट लगत ह

(iii) अननद 15 म ह ब द र यपर अय तथ ऄमीन 2 वषम ब द

कछ और ऄसम न म तरक व ल सव ल सवय खोनजए तथ ईनक ऄनप त नलनखए

ऄनप त म नजन दो र नशयो की तलन करत ह ईनह पद कहत ह - पहल पद तथ दसर पद जस

यदद हम rsquoarsquo की तलन rsquobrsquo स कर रह ह तो आस ऄनप त रप म नलखग ab जह ा rsquoarsquo पहल पद ह तथ rsquobrsquo

दसर पद ह और यदद rsquobrsquo की तलन rsquoarsquo स करत ह तो rsquobrsquo पहल पद तथ rsquoarsquo दसर पद होग तथ ईनक

ऄनप त ba होग

एक ऄनय ईद हरण म नीच दश मए गए अयत क नचतर म भज क म प दश मए गए ह-

ईपरोकत नचतरो म अयत (िम क 1) म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह व नचतर िम क 2 क

अयत म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 4 2 ह

यह ा दोनो अयतो क कषतरफल क ऄनप त होग 2 8 य 1 4

अपन भ रत क म ननचतर तो दख होग भ रत जस नवश ल दश को छोट म ननचतर म दश मन कस

सभव ह अप आस पर नवच र कर

दकसी भी म ननचतर क नीच एक पम न (सकल) नलख होत ह 1 समी तर 100 दकमी ऄथ मत 100

दकमी की दरी को म ननचतर म एक समी स दश मय गय ह आस परक र यह भी एक परक र क ऄनप नतक

नचतर ह

ऄथ मत दो र नशयो क बीच तलन क नलए ऄनप त क परयोग दकय ज त ह चदक र नशयो क

अाकड़ बहत बड़ ऄथव बहत छोट हो सकत ह आसनलए तलन म सनवध क नलए ऄनप त को सरल रप म

दश मय ज त ह

ऄनप त क परयोग करन क पहल धय न रख दक र नशयो म सम न आक इ क ईपयोग हो

दिय कल प 3

1 ककष क छ तर एक-एक करक ऄपनी उा च इ जञ त करग

2 छ तर दोनो ह थ फल कर ह थो क नसरो क बीच की दरी क म पन करग

3 परतयक छ तर की उा च इ तथ ईसक दोनो ह थ क नसरो क बीच क दरी क मधय कय सबध पर पत हो

P a g e | 131

रह ह ननषकषम ननक नलए

स रणी परी कीनजए ndash

ऄनप नतक नचतरो म सौदरय बोध

ऄनप त कवल सखय ओ म ही नह ी वरन हम र दननक जीवन स जड़ कइ पहलओ म दखन को

नमलत ह

ईद हरण क नलए - यदद दकसी नचतर म बन वयनकत की ट ग बहत ऄनधक लबी ह य शरीर की तलन

म नसर ऄनधक बड़ ह तो वह वयनकत कस लगग ज नहर ह दक वह कछ ऄटपट लगग आसी परक र म न

लीनजए अपकी ककष की एक दीव र ह नजसकी लमब इ एव चौड़ इ कम ह और ईस छोटी सी दीव र पर एक

बहत बड़ी तसवीर लग रखी ह य दीव र बहत ऄनधक बड़ी ह और ईस पर एक कोन म य बीच म छोटी

सी तसवीर लगी ह एक बहत बड़ फरम ह और ईसम छोट स नचतर लग ह आनम स बहत सी पररनसथनतय

हम ऄटपटी परतीत होगी कयोदक आनम ऄनप त हीनत ह हम री दनषट चीजो क बीच नननित ऄनप त

ढढती ह

नीच कछ ईनचत ऄनप नतक तथ ऄनप तहीन नचतर ददय गय ह आनम स ऐस नचतरो की पहच न

कीनजए नजनम ऄनप त ईनचत लगत ह और सोनचए दक अपन कय दख कर ब की नचतरो को छोड़ ह

ऄथ मत अप ऄपन ईततर क क रण सोनचए

P a g e | 132

दो र नशयो की तलन

नचतर ऄनप नतक ह य नही नवनभनन नहससो क अक रो की तलन पर ननभमर ह ईद हरण क नलए

दरव ज क पलल बहत जय द लमब ह और आसी तरह म नचस की नडबबी लमब इ भी ब की भज ओ की

तलन म बहत ऄनधक ह म नो हम लमब इ और चौड़ इ की तलन करन च हत ह आन दोनो र नशयो की

तलन कइ तरीक स की ज सकती ह व तलन करन क कइ अध र ह सबस सरल तो यह पत करन ह दक

पहली र नश दसरी र नश स दकतनी ऄनधक य दकतनी कम ह आसकी ज नक री कइ परक र स पर पत की ज

सकती ह

1 परीकष म शब न को 40 ऄक तथ रण को 20 ऄक नमल तो रण को शब न स 20 ऄक कम पर पत

हए

2 श ल म 600 छ तरो म स 200 छ तर कम अए तो ईस ददन श ल म 400 छ तर अए

3 दो रख खडो की लमब इ 8 समी एव 4 समी हो तो पहली रख खणड की लमब इ दसर रख खणड स 4

समी ऄनधक ह

4 दकसी दरव ज की उा च इ 8 दफट ह और आसकी चौड़ इ 2 दफट ह तो आसकी उा च इ चौड़ इ स 6 दफट

ऄनधक ह दरव ज क सदभम म उा च इ व चौड़ इ क ऄतर 6 दफट ह बत न स वह दकतन ईपयकत ह

पत नही चलत यदद दकसी दरव ज की उा च इ 18 दफट और चौड़ इ 12 दफट हो तो भी ऄनतर 6

दफट ह जबदक दोनो म बहत ऄतर ह दोनो र नशयो म तलन क एक और अध र हो सकत ह

हम यह भी दख सकत ह दक पहली र नश दसरी र नश क ऄथव दसरी र नश पहली र नश क दकतन

गण ह आसस पहल दरव ज म उा च इ चौड़ इ की तलन म 4 गण ह जबदक दसर म उा च इ

चौड़ इ क डढ़ गण ह

नीच स रणी म भी दो र नश लकर ईनकी तलन की गइ ह

अप दननक जीवन क कछ ईद हरण बत आए नजसम आसी परक र पत करन हो दक एक र नश दसरी

र नश क दकतनी गनी ह अपक कमर की लमब इ 30 फीट एव चौड़ इ 15 फीट ह ऄथ मत कमर की लमब इ

चौड़ इ स दगनी ह आस आस परक र स नलख ज सकत ह ndash

कमर की लमब इ 30 फीट 2

कमर की चौड़ इ 15 फीट 1

ऄथ मत लमब इ चौड़ इ स दगनी ह य कमर की लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह यह भी कह सकत

= = =

P a g e | 133

ह दक चौड़ इ और लमब इ क ऄनप त 1 2 ह

ऄतः ऄनप त पररम ण क अध र पर बन सबध ह

1 50 पसतको एव 10 पसतको क मधय ऄनप त = 50 10 = 5 1

2 र म की ईमर 20 वषम एव शय म की ईमर 30 वषम ह दोनो क ईमर क मधय ऄनप त

= 20 30 = 2 3

3 400 दकलो गह एव 100 दकलो गह क मधय ऄनप त = 400 100 = 4 1

4 र नश a तथ र नश b क मधय ऄनप त = a b

ऄभय स 1

स रणी म नशकषक एव छ तर ऄनप त जञ त करक स रणी पणम कीनजए

ऄनप त क ब र म कछ ब त

1 दो र नशयो a तथ b क मधय ऄनप त को a b स दश मत ह नजसम a पहल तथ b दसर

पद ह ( जह ा a तथ b पणम सखय एा ह )

2 ऄनप त जञ त करत समय एक ही परक र की र नशयो को सम न आक इ स दश मय ज त ह

दिय कल प 4

शली और ईसक पररव र क सदसय एक पड़ क प स खल मद न म खड़ थ शली न परछ आयो को

दख और ईनको न पन लगी ईसन पररव र क परतयक सदसय की परछ इ की लब इ और ईनकी उा च इ को

ननमन नस र त नलक म दश मय ndash

ऄब शली क स मन एक समसय अ गइ पररव र क सदसयो की उा च इ तो ईस म लम थी और ईसन परछ इ

की लब इ न प ली लदकन पड़ की उा च इ नही म प सकी कयोदक पड़ की उा च इ जञ त करन मनशकल थ

कय वह परछ इ दखकर पड़ की उा च इ ननक ल सकती ह अआए दख शली न आस समसय को कस

हल दकय -

P a g e | 134

ईसन त नलक म सखय ओ क बीच एक समबनध दख परतयक वयनकत की उा च इ ईसकी परछ इ स

दगनी ह ईसन सोच दक यदद ईसी सथ न पर सभी सदसयो की उा च इ एव परछ इ की लमब इ क ऄनप त

2 1 ह तो पड़ की उा च इ भी परछ इ की लमब इ की दगनी होगी ईसन आसस पत कर नलय दक पड़ की

उा च इ 430 समी ह

ईद हरण 1

एक वयनकत न 25 रपय ऄपन पतर को एव 36 रपय ऄपनी पतरी को ददय तो ईनको ददए गए रपयो

क ऄनप त जञ त कीनजए

हल पतर क भ ग = 25 रपय

पतरी क भ ग = 36 रपय

पतर क भ ग पतरी क भ ग तर 25 36

ईद हरण 2

एक डड की लब इ 90 समी एव एक ब ास की लमब इ 4 मीटर 50 समी ह तो डड एव ब ास की

लमब इयो क ऄनप त जञ त कीनजए

हल डड की लमब इ = 90 समी

ब ास की लमब इ = 4 मीटर 50 समी

= (400 + 50) समी 1 मीटर = 100 समी

= 450 समी

(यह डड एव ब ास की लमब इ ऄलग-ऄलग आक इ म ह ऄतः एक ही आक इ समी म बदलन

अवशयक ह)

ऄतः डड की लमब इ ब ास की लमब इ = 90 450

= 1 5 (सरलतम रप)

ईद हरण 3

र जश की एक महीन की अमदनी 12500 रपय ह आसम स वह 2500 र की बचत करत ह

ऄनप त जञ त कीनजए

1 र जश की अमदनी और ईसक खचम क बीच

2 र जश की अमदनी और ईसकी बचत क बीच

हल र जश की म नसक अमदनी = 12500 रपय

र जश की म नसक बचत = 2500 रपय

र जश क म नसक खचम = 12500 - 2500 रपय

= 10000 रपय

ऄतः र जश की अमदनी क ईसक खचम स ऄनप त = 12500 10000

= 5 4

र जश की अमदनी क ईसकी बचत स ऄनप त = 12500 2500

= 5 1

P a g e | 135

ईद हरण 4

एक पन क मलय और एक पनसल क मलय क ऄनप त जञ त कीनजए जबदक पनो क मलय 144 र

परनत दजमन एव 10 पनसल क मलय 90 र हो

हल यह सबस पहल एक पन और एक पनसल क मलय जञ त करन होग

एक दजमन य 12 पनो क मलय = 144 र

1 पन क मलय = 144

12 = 12 र

10 पनसल क मलय = 90 र

1 पनसल क मलय = 90

10 = 9र

ऄतः 1 पन क मलय 1 पनसल क मलय = 12

9 =

4

3 = 4 3

ईद हरण 5

छोट एव बमट क बीच 40 टॉफी को 4 1 क ऄनप त म ब ारटए

हल कल भ गो की सखय = 4 + 1 = 5

40 टॉफी को 5 भ गो म ब टन पर 4 नहसस छोट को एव 1 नहसस नमनट को नमलग

ऄतः छोट क नहसस = 40

5 times 4

= 32 टॉफी

और नमनट क नहसस = 40

5 times 1

= 8 टॉफी

ईद हरण 6

ननमननलनखत म पो क ऄनप त जञ त कीनजए -

(ऄ) 5 र तथ 50 पस

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म

हल (ऄ) 5 र तथ 50 पस क ऄनप त -

5 र = 5 times 100 पस = 500 पस

ऄनप त 500

50 =

10

1 = 10 1

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर क ऄनप त

10 मीटर = 10 times 100 समी

ऄनप त = 500

10times100 =

1

2 = 1 2

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म क ऄनप त

8 दकगर = 8 times 1000 गर म = 8000 गर म

ऄनप त = 8000

640 =

25

2 = 25 2

P a g e | 136

परशन वली 101

1 ऄपन अस प स स ननमननलनखत वसतए आकटठी कीनजए ईन वसतओ की लमब इ जञ त कर

लमब इयो क बीच ऄनप त पत कीनजए ऄनप त को सरलतम रप म नलनखए

(i) अलनपन क कील स (ii) कील क पननसल स

(iii) पन क कील स (iv)कील क अलनपन स

(v) अलनपन क पन स (vi) पन क पननसल स

(vii) पननसल क अलनपन स (viii) पन क अलनपन स

2 ननमननलनखत क ऄनप त जञ त कीनजए

(i) 15 नमनट क 1 घट स (ii) 250 गर म क 1 दकलोगर म स

(iii) 15 पस क 1 रपय स (iv) 15 पस क 5 रपय स

(v) 212 समी क 1 मीटर स (vi) 10 मीटर क 25 समी स

(vii) 40 समी क 25 मीटर स

3 ननमन म स परतयक ऄनप त को ईसक सरलतम रप म नलनखए

(i) 150 400 (ii) 85 255

(iii) एक दजमन एक कोरी (iv) 27 57

(v) 24 68 (vi) 250 375

(vii) 65 91 (viii) 25 75

(ix) 50 225 (x) 500 10000

4 नवश ख की व रसषक अमदनी 80000 रपय ह ईसन 5000 रपय अयकर क रप म द ददए ननमन

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) अयकर अय

P a g e | 137

(ii) अय अयकर

5 मनन और बनन न एक दौड़ म भ ग नलय ननध मररत समय म मनन न 210 मीटर की दरी तय की और

ईतन ही समय म बनन न 180 मीटर की दरी तय की मनन और बनन क दव र तय की गइ दरी क

ऄनप त कय होग

6 सतीश एक वजञ ननक क रप म क यम करत ह और ईनकी अय 20000 रपय परनत म ह ह ईनकी

पनतन ऄनीत डॉकटर ह तथ ईसकी अय 15000 रपय परनत म ह ह ननमननलनखत ऄनप तो को जञ त

कीनजए

1 सतीश की अय ऄनीत की अय

2 सतीश की अय ईनकी कल अय

7 एक सकल म कल नवदय रसथयो की सखय 1500 ह ईसम स लड़दकयो की सखय 600 ह लड़को तथ

लड़दकयो की सखय क ऄनप त जञ त कीनजए

8 20 गबब रो को दो बचचो क बीच 2 3 क ऄनप त म ब रटए बत आए दोनो को दकतन-दकतन गबब र

नमल

9 र जश और ज वद न नमलकर एक दक न खोली दक न म र जश न 45000 र तथ ज वद न

36000 र लग ए बत आए र जश और ज वद दव र लग इ पनजयो क मल ऄनप त कय ह

10 दकसी परीकष म 117 परीकष रसथयो म स 65 ऄसफल हो गए तो सफल और ऄसफल परीकष रसथयो की

सखय म कय ऄनप त ह

11 रतन और शील न नमलकर ऄपन च च क बगीच स 18 अम तोड़ दोनो ऄब आस अम को अपस म

ब ाटन च हत ह रतन च हती ह दक ईमर क ऄनप त म अमो को ब टन च नहए ऄब बत आए दक

ऐस ब ाटन पर रतन और शील को दकतन-दकतन अम नमलग जबदक रतन की ईमर 15 वषम तथ

शील की ईमर 12 वषम ह

12 वतमम न म एक नपत तथ पतर की अय 50 वरष एव 20 वषम ह नपत की ईमर तथ पतर की ईमर क

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) वतमम न म नपत पतर की अय क ऄनप त

(ii) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 10 वषम थी

(iii) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 35 वषम थी

(iv) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 40 वषम की होगी

(v) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 75 वषम की होगी

13 र म और शय म की अय क ऄनप त 3 4 ह यदद ईनकी कल अय 21000 र ह तो र म और

शय म की अय बत आए

14 A और C क बीच म नबनद B आस परक र ह दक AB BC = 7 3 क यदद AC = 40 दकमी ह तो

बत आए AB तथ BC क म न दकतन होग

15 मर प स 6 समोस ह आनह म ऄपन नमतरो म ब टन च हत हा यदद

(i) म 1 1 म दो नमतर क मधय ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

P a g e | 138

(ii) म 2 1 3 म तीन नमतरो म ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

ऐदकक नवनध

नीच दी गइ कछ नसथनतयो को दनखए -

1 अप ब ज र ज त ह और दो कॉनपय ा 20 र म खरीदकर ल त ह ऄब यदद अपको और 5 कॉनपयो

की जररत ह तो अपक प स दकतन रपय होन च नहए

2 शय म क सकटर म 2 लीटर पटरोल ह ईस ऄनद ज़ ह दक वह आतन पटरोल स 50 दकलोमीटर की दरी

अर म स तय कर सकत ह यदद ईस 100 दकलोमीटर दर ज न ह तो ईसक सकटर म कम स कम

दकतन पटरोल होन च नहए

3 अप ऄपन जनमददन पर ऄपन दोसतो को तोहफ दन च हत ह अप नखलौन की दक न पर एक

ग ड़ी पसनद करत ह यदद 75 र म 3 ग नड़य ा नमलती ह और अपको 15 ग नड़य ा खरीदनी ह तो

अपक प स दकतन रपय होन च नहए

ईपरोकत नसथनतयो क हल क ब र म सोनचए

पहली नसथनत को दनखए -

दो कॉनपयो की कीमत 20 र ह

तो 1 कॉपी की कीमत होगी = 10 र

ऄब 1 कॉपी की कीमत 10 र ह

तो 5 कॉनपयो की कीमत = 10 times 5 = 50 र

आसी नवनध क ऄनस र ब की दो नसथनतयो को हल कररए

आस परक र क कछ ऄनय सव ल बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आए

जब ऄनक वसतओ क मलय जञ त होन पर एक वसत क मलय जञ त करक व नछत वसतओ क मलय

जञ त दकय ज त ह तो ईस ऐदकक नवध य ऐदकक ननयम कहत ह

दिय कल प 5

ननमन दकत स रणी क ऄवलोकन कीनजए एव ररकत सथ नो की परसत कीनजए

हम दखत ह दक

2 घट म तय की गइ दरी = 8 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 82 = 4 दकमी

5 घट म तय की गइ दरी = 4 times 5 = 20 दकमी

P a g e | 139

यह ा स आदकल क र रलग ड़ी दव र 5 घट म तय की गइ दरी ननक लन क नलए पहल परतयक क

दव र 1 घट म तय की गइ दरी जञ त करनी पड़गी

ईद हरण 7

यदद एक छ तर व स म परनत 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकलो ह तो 30 बचचो क नलए

च वल की दकतनी खपत होगी

हल आस समसय क हल दो चरणो म करग

चरण 1 - सबस पहल जञ त करग 1 बचच क नलए दकतन च वल लगग

जबदक 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकगर ह

आसनलए 1 बचचो क नलए च वल की खपत 2

10 =

1

5 दकगर

चरण 2 - आसम हम 30 बचचो क नलए च वल की खपत जञ त करग

जबदक 1 बचच क नलए च वल की खपत ह 1

5 दकगर

आसनलए 30 बचचो क नलए च वल की खपत 30 times 1

5 = 6 दकगर

ऄतः 30 बचचो क नलए 6 दकगर च वल की खपत होगी

ईद हरण 8

एक हव इ जह ज 5 घट म 4000 दकमी ईड़त ह वह तीन घट म दकतन ईड़ग

हल

पहल चरण म एक घट म हव इ जह ज दव र तय की गइ दरी जञ त की ज एगी तथ दसर चरण म

पछ गए समय (ऄथ मत 3 घट) म दरी दकतनी होगी जञ त की ज एगी

चरण 1- 5 घट म तय की गइ दरी = 4000 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 40005 दकमी = 800 दकमी

चरण 2- 1 घट म तय की गइ दरी = 800 दकमी

3 घट म तय की गइ दरी = 3 times 800 = 2400 दकमी

आस परक र हव इ जह ज 2400 दकमी दरी तय करग

ईद हरण 9

एक मनहल की 15 महीन की बचत 18000 र ह

1 ईसकी स त महीन की बचत कय होगी

2 दकतन महीनो म ईसकी बचत 30000 र होगी

हल

चरण 1- जबदक 15 मनहन की बचत 18000 र ह

आसनलए 1 मनहन की बचत = 1800015 = 1200 रपय

चरण 2- 1 महीन की बचत 1200 र ह

7 मनहन की बचत = 1200 times 7 = 8400 रपय

1200 र की बचत होती ह 1 महीन म

30000 र की बचत होगी 30000times1

1200 = 25 मनहन म

P a g e | 140

परशन वली 102

1 तीन कॉनपयो की कीमत 1650 र ह तो 7 कॉनपयो की कीमत जञ त कीनजए

2 एक क र 3 घटो म 165 दकलोमीटर चलती ह तो वह क र

(i) 440 दकलोमीटर की दरी दकतन समय म तय करगी

(ii) 612 घटो म दकतनी दरी तय करगी

3 72 दकत बो क वज़न 9 दकलोगर म ह

(i) 80 दकत बो क वज़न जञ त कीनजए

(ii) दकतनी दकत बो क वज़न 6 दकलोगर म होग

4 दकसी मज़दर की 25 ददनो की अय 1500 र ह ईसकी 30 ददनो की अय जञ त कीनजए

5 यदद 22 मीटर कपड़ क मलय 704 र ह तो 20 मीटर कपड़ क मलय कय होग

6 स ररणी परी कीनजए

हमन सीख

1 दो सम न र नशयो क ऄनप त यह दश मत ह दक एक र नश दसरी र नश स दकतनी गनी ह

2 दो र नशयो क ऄनप त पर यः ईनक सरलतम रप म वयकत दकय ज त ह जस na nb को a b नलख

ज त ह

3 दी गइ र नशयो स पहल एक र नश क आक इ म न जञ त कर दफर व नछत सखय म र नशयो क म न

जञ त करन की नवनध को ऐदकक नवनध कह ज त ह

दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 -

- 10

- 3000

P a g e | 141

11

चर सखय

अप ऄपन च रो ओर ऐसी कइ चीजो को दखत ह नजनम कछ क म न नसथर होत ह और कछ क म न बदलत

रहत ह जस- दकसी कसी क भ र तो अज कल य कछ ददनो क ब द भी वही रहग परनत जब बीज क

ऄकरण हम दखत ह तो ईसस ननकल पौध की लमब इ धीर-धीर बदलती रहती ह आसी परक र ककष की लमब इ

एव चौड़ इ नसथर ह परनत ब ररश क ददनो म कएा क प नी क सतर एक म ह ब द दकतन बदल ज एग यह नही

बत य ज सकत अप ऄपनी क पी म आस तरह क 5 ईद हरण नलनखए जह ा म न नसथर रहत ह एव 5

ईद हरण ऐस नलनखए जह ा म न बदलत रहत ह

ककष म ईद हरण को कॉपी म नलखत समय ऄन न रोहन स कह दक म तो यह ा नलख गी दक मर

नपत जी की ईमर तो बदल रही ह परनत ईनकी उा च इ नसथर ह रोहन न भी कह दक म यह ा नलखाग दक हम र

खत क रकब च र एकड़ ह परनत ईसम पद होन व ली फसल कभी कम तो कभी जय द होती ह

ईपरोकत ईद हरणो म अपन दख दक कछ म न तो बदल रह ह परनत कछ म न नसथर ह नीच अपको

कछ पररनसथनतय ा दी गइ ह अप अपस म चच म कर ररकत सथ नो म पररनसथनत क ऄनस र म न नसथर ह ऄथव

बदल रह ह नलनखए

दिय कल प - 1

ऄनतम ईद हरण को हल करत समय हमीद न ऄपन स नथयो स कह lsquolsquoयदद अल बड़ होग तो 1 दकगर

म कम अएाग परनत यदद अल छोट होग तो 1 दकगर म जय द अएाग हम तो यह भी नही बत सकत दक एक

थल म अन व ल अलओ की सखय कय होगी ऐस ही कछ कल हम र स थ घर म हअ नपत जी न हम सभी

भ इ - बहनो को चककर म ड ल ददय ईनक रम ल म कछ टॉदफय ा बधी हइ थी ईनहोन पछ lsquolsquoआस रम ल म

दकतनी टॉदफय ा हlsquolsquo हम टॉदफयो की सखय म लम ही नही थी तो कस बत त कय टॉदफयो की सखय बत न

क कोइ तरीक नही ह आस पर र ज न कह दक चलो ऄपनी गनणत नशनकषक स पछ

नशनकषक न बचचो की समसय को सन और एक नइ समसय बचचो क स मन रख दी ईनहोन पछ दक आस

चॉक क नडबब म दकतन चॉक ह बचचो न ऄद ज स ऄलग-ऄलग सखय बत यी - हमीद न 12 र ज न 18 ऄन

न 16 रोहन न 20 आतय दद नशनकषक न कह lsquolsquoआसम स यदद 5 चॉक ननक ल द तो अपक ऄनस र नडबब म

दकतन चॉक बचगlsquolsquo हमीद र ज ऄन और रोहन न नहस ब लग कर सखय िमशः बत य 12-5 = 7 18-5 =

13 16-5 = 11 20-5 = 15

चादक नडबब म चॉक की सखय म लम नही थी आसनलए ईततर ऄलग-ऄलग अए यदद आन सखय तमक

म नो की जगह हम lsquolsquoचॉक की सखय - 5lsquolsquo नलख तो सभी क ईततर एक सम न अ ज एग दकनत आस

परक र नलखन स ब र-ब र चॉक की सखय नलखनी पड़गी कय आस सकषप म नलखन क कोइ तरीक ह

िम क पररनसथनतय ा म न नसथर हबदल रह ह

1 सपत ह म ददनो की सखय

2 म ह जनवरी म ददन क त पम न

3 अपकी ककष म रोज़ अन व ल छ तरो की सखय

4 हॉकी क खल म खलन व ल नखल नड़यो की सखय

5 1 दकलोगर म अल म अलओ की सखय

P a g e | 142

यदद नडबब म चॉक की सखय को हम ldquoचldquo नलख और आसम स 5 चॉक ननक ल द तो नडबब म चॉक की

सखय =च-5 होगी आसी तरह यदद आस नडबब म 3 चॉक ड ल द तो नडबब म चॉक की सखय = च+3 होगी

अआए आस समझन क नलए एक और ईद हरण दख-

टॉफी क पकट म 20 टॉदफय ा ह परनत पकट की कीमत म लम नही ह-

यदद 1 ट फी क मलय 50 पस ह तो पकट क मलय 20 times 050 र = 10 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 1 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 1 र = 20 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 2 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 2 र = 40 रपय होग

आस परक र यह ा पकट क मलय तर 20 times 1 टॉफी क मलय) होग यह ा यदद 1 ट फी क मलय क सथ न

पर हम x र य y र य z र य कोइ भी ऄकषर नलख तो पकट क मलय = 20x र य 20y र य 20z र

होग ऐस ही एक और ईद हरण दखत ह

एक वगम की परतयक भज की लमब इ 2 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 2 आक इ यदद वगम की

परतयक भज की लमब इ 3 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 3 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ 7

आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 7 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ a आक इ ह तो वगम क

पररम प = 4 times a आक इ

उपर क सभी ईद हरणो म अपन दख दक कछ र नशय ा तो नसथर ह जस पकट क मलय 20x र म 20

तो नसथर ह परनत x र ऄथ मत 1 टॉफी क मलय क बदलन पर पकट क मलय बदल ज त ह आसी परक र वगम क

पररम प 4a म 4 नसथर ह परनत भज क म न य a आक इ क बदलन पर वगम क पररम प बदल ज त ह सभी

ईद हरणो को दखन क ब द हमीद न सोच दक सभी बदलन व ल म नो को दकसी ऄकषर दव र नलख ज त ह

आसनलए हम कह सकत ह दक मर नपत जी क रम ल म z टॉफी रही होगी z क म न हम कछ और ज नक री

नमलन पर ही ननक ल सकत ह ऄनयथ नही

आस परक र य बदलन व ली र नशय ा ही चर ह आनक कोइ भी म न हो सकत ह आनह नहनदी ऄथव

ऄगरजी वणमम ल क दकसी भी ऄकषर जस ऄ ब स द य क ख ग घ य a b c य p q r य x y z दव र

नलख ज सकत ह आनही ऄको को चर क य बीज क भी कहत ह

जब भी ऐसी सखय नजसक म न म लम नही ह अती ह तब ईस सखय क सथ न पर बीज ऄक य

चर क क ईपयोग दकय ज त ह आन बीज क य चर को क ईपयोग स परशन हल करन अस न हो ज त ह

आस परक र ऄकगनणत क वय पकीकरण क नलए भी चरो क ईपयोग दकय ज त ह जस

1 दकसी सखय तथ ईसक ब द अन व ली सखय क बीच कय सबध ह 4 क ब द अन व ली सखय कय

ह यह सखय 5 ह ऄथ मत 4+1 आसी परक र 1000 क ब द अन व ली सखय कय ह यह सखय 1001

ह ऄथ मत 1000+1 ऄतः यदद कोइ सखय दी गइ हो तो ईसक ब द व ली सखय दी गइ सखय म 1

जोड़कर पर पत की ज ती ह यदद कोइ सखय x ह तो ईसक ब द अन व ली सखय x+ 1 होगी

2 आसी परक र कय अप दकसी सखय क पहल अन व ली सखय क नलए ननयम बन सकत ह

3 कय अप सम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह 2 4 6 8 आतय दद सम सखय य ह

आन सभी सखय ओ क एक गणनखड 2 ह ऄथ मत दकसी भी पण ाक सखय को 2 स गण कर सम सखय

पर पत की ज सकती ह म न ल दक n कोइ पर कतगणन सखय ह तो 2n एक सम सखय क रप म नलखी

ज सकती ह

P a g e | 143

4 कय अप नवषम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह यदद सखय ओ को दख तो अप यह प त

ह दक सम और नवषम सखय एा एक क ब द एक अती ह ऄथ मत नवषम सम नवषम सम

नवषम जस 1 2 3 4 5 6 7 8 यह ा परतयक सम क पहल व ली सखय नवषम ह

तथ ब द व ली सखय भी नवषम ह अपन आसक पहल सम सखय ओ को 2n स बत य ह दकसी सखय

क पहल अन व ली सखय x- 1 ह तथ ब द म अन व ली सखय x + 1 ह तो दकसी सम सखय ऄथ मत

2n क पहल अन व ली सखय 2 n-1 होगी तथ ब द म अन व ली सखय 2n +1 होगी आस परक र

(2 n-1) य (2n + 1) नवषम सखय क नलए नलख ज सकत ह

नीच दी गइ सखय य कछ ननयमो स जड़ी ह अप आनह द व ा पद क रप म नलनखए ndash

परशन वली 11

परशन 1 ननमननलनखत को सखय ओ ऄकषर सखय ओ तथ मलभत सदिय ओ क नचहनो की सह यत स ददख आए

यह भी बत आए दक परतयक ऄकषर कय बत त ह

(i) एक वतत क वय स ईसकी नतरजय स दोगन ह

(ii) एक अयत क कषतरफल ईसकी लमब इ एव चौड़ इ क गणनफल क बर बर ह

(iii) नविय मलय िय मलय तथ ल भ क योगफल क बर बर होत ह

(iv) दकसी सखय म दसरी सखय को जोड़ गय ह

(v) दकसी सखय म स 7 ननक ल गए

(vi) नमशरधन मलधन तथ बय ज क योगफल क बर बर होत ह

परशन 2 सहीगलत कथन छ ारटए व गलत कथनो को सध र कर नलनखए

(i) सखय a क परवती a + 1 ह

(ii) x क म न पररनसथनत क ऄनस र बदलत रहत ह

(iii) 2n एक नवषम सखय होगी

(iv) m x n दो ऄजञ त सखय ओ क गणनफल ह

(v) चर को को स म नयतः ऄगरजी वणमम ल क छोट ऄकषरो स दश मत ह

हमन सीख

1 जो ऄकषर सखय ओ को दश मन क क म म अत ह ऄकषर सखय कहल त ह

2 य ऄकषर चर क क रप म सखय ओ को ही दश मत ह ऄतः व ईन सभी ननयमो क प लन करत ह जो सखय ओ

दव र की ज ती ह

3 वह र नश नजसक एक नननित सखय तमक म न हो ऄचर र नश कहल ती ह

4 वह र नश नजसक कइ सखय तमक म न हो सकत ह चर र नश कहल ती ह

5 ऄकगनणत म हम एक नननित म न व ली सखय क ईपयोग करत ह जबदक बीजगनणत म ऐस ऄकषरो क परयोग

करत ह नजसक म न एक स ऄनधक हो सकत ह

6 दकसी सखय क बीजीय भ ग चर र नश कहल त ह p = 4a म p और a चर र नश तथ 4 ऄचर र नश ह

P a g e | 144

नपछल प ठ म अपन चर र नशयो क ब र म पढ़ ह आनह चर ऄको य बीज ऄको क रप म दकस

तरह नलखत ह यह भी अप सीख चक ह ऄब अप बदलन व ली ऄथव ऄजञ त म न व ली र नश को चर

ऄक स एव नसथर रहन व ल म नो को नसथर ऄको क दव र बड़ी अस नी स बत सकत ह आस परक र lsquolsquoचर क

एव नसथर क स बन हअ वयजक ही बीजीय वयजक हrsquorsquo नपछल प ठ म अपन जह भी चर क क ईपयोग

दकय ह ईन सभी को बीजीय वयजक भी कह सकत ह

अआए दननक जीवन म बीजीय वयजको क ईपयोग कस होत ह दख

रनज़य की ईमर म लम नही ह ऄब यदद कह ज ए दक 5 वषम पवम रनजय की ईमर कय रही होगी

य 3 वषम ब द रनज़य की ईमर दकतनी होगी आन सभी परशनो क ईततर बीजीय वयजको क रप म ददय ज

सकत ह

यदद रनज़य की ईमर को y वषम स दश मय ज ए तो 5 वषम पहल रनज़य की ईमर y - 5 वषम रही होगी

तथ 3 वषम ब द y + 3 वषम होगी यह y - 5 तथ y + 3 बीजीय वयजक ह अआए बीजीय वयजक क रप

म कछ और गनणतीय समसय ओ को वयकत कर

1 र ध क पर पत क नह क पर पत क स 3 कम ह यदद नह क पर पत क x ह तो र ध क पर पत क x - 3

होग

2 अयत की लमब इ चौड़ इ स 4 आक इ ऄनधक ह यदद अयत की चौड़ इ y आक इ ह तो लमब इ (y

+ 4) आक इ होगी

3 दकसी अयत क र मद न की लमब इ x ह तथ चौड़ इ y ह तो ईस मद न क च रो ओर 1 चककर

लग न म तय की गइ दरी कय होगी एक चककर लग न म तय की गइ दरी p = x + y + x + y

होगी x

y y

x

दिय कल प 1

ननमननलनखत को बीजीय वयजक क रप म नलनखए

1 दकसी सखय क तीन गण

2 दकसी सखय स 6 ऄनधक

3 दकसी सखय स 17 कम

4 दकसी सखय क 5 व भ ग

5 दकसी सखय क दगन स 12 ऄनधक

6 दकसी सखय क स त गण स 3 कम

7 दकसी सखय क च र गण क तीसर भ ग

8 दकसी सखय म ईसी सखय क 7 गण जोड़ ज ए

P a g e | 145

9 दकसी सखय क 5 गण स ईसी सखय क 6 गण घट य ज ए

10 दध क भर नडबब स 5 लीटर दध ननक ल नलय तो दकतन लीटर दध बच

ईपयमकत दिय कल पो म अपन दख दक सभी बीजीय वयजक चर क और नसथर क स नमलकर बन ह

दिय कल प 2

नीच स रणी म चर क तथ नसथर क को ऄलग-ऄलग छ टकर ददए गए सथ न पर नलनखए-

िम क वयजक चर क नसथर क

1 Z Z 1

2 X + 5 X 1 5

3 Y ndash 8

4 3x + 2y

5 2xy ndash 3 X y 2 -3

6 7 ndash 3x

7 33x

8 Y - x

कय उपर स रणी म सभी बीजीय वयजको क पद सम न ह

यह z एव 33x म पद की सखय 1 ह तथ शष कथनो म पदो की सखय 2 ह नजसक ऄथम यह हअ

दक-

दकसी बीजीय वयजक म ऄलग-ऄलग चर क एव नसथर क क बीच नजतन ब र $ ऄथव - नचहन क

ईपयोग होत ह बीजीय वयजक म पदो की सखय ईसस 1 ऄनधक होगी

दिय कल प 3

ननमननलनखत ररकत सथ नो पर बीजीय वयजको क पदो की सखय नलनखए

1 3x + 8 (दो)

2 3 + y ndash 7p ()

3 2x + 3xy + z ()

4 8x ()

5 9 + 3a ndash 3x + b ()

6 5xyz ()

P a g e | 146

अपन चर को एव नसथर को को ज न नलय ह जस 3x + 8y + 7 म x और y तो चर क ह परनत

3 8 और 7 नसथर क ह जस अपन चर क प ठ म दख ह 3x व सतव म x क तीन गण ह ईसी परक र

8लy भी y क 8 गण ह आसक ऄथम यह हअ दक चर क क स थ जो नसथर क ह वह चर क को गण करन

व ल ऄक ह आसनलए हम आस गण क कहत ह ऄतः 3x + 8y + 7 म 3 गण क ह x क 8 गण क ह y क

तथ 7 नसथर क ह आसी परक र 9ab म ab चर क ह तथ 9 ईनक गण क ह

दिय कल प 4

ननमननलनखत बीजीय वयजको क गण क एव चर क को ऄलग कीनजए तथ सम न चर क व ल

वयजको को छ ाटकर ऄलग नलनखए

िम क वयजक गण क चर क

1 8x

2 9py

3 Xyz

4 18ab

5 Yz

6 -1

2 yz

7 3xyz

8 32x

9 -3py

10 -3

5 yz

ईपयमकत दिय कल प म अपन प य दक 8x तथ 32x म चर क क म न x ह ईसी परक र 9py तथ

-3py म चर क क म न py ह xyz तथ 3xyz म चर क क म न xyz ह yz -1

2 yz एव -

3

5 yz म चर क

क म न yz ह आस परक र सम न चर क व ली र नशयो को lsquolsquoसज तीयrsquorsquo चर क व ली र नशय ा कहत ह

सज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न होत ह lsquolsquoसज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

ईनक गण क व ल भ ग ऄलग-ऄलग हो सकत ह

नवज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न न हो ईनह lsquolsquoनवज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

P a g e | 147

दिय कल प 5

ददय गय बीजीय वयजको क सममख स रणी म ददए गए वयजको म स सज तीय चनकर घर लग ए ndash

परशन वली 12

परशन-1 ननमननलनखत वयजको म एक पदीय और नदवपदीय वयजक पहच नकर नलनखए

(i) 3x + 4y (ii) 9+ 3y (iii) 4a ndash 7b

(iv) 5x + 1 (v) a - 30 (vi) 4ab

(vii) abc - 1 (viii) 3xy (ix) ab + bc

(x) a + abc

परशन-2 ननमननलनखत वयजको म स सज तीय वयजक को चननए ndash

5xy7c-4

5119910119911-7bc-

9

4119909119910

2

7119911-2cbc-37pqr

11

131199101199117z9pqr

हमन सीख

1 सखय ओ क सथ न पर परयोग दकय ज न व ल ऄकषर चर र नश कहल त ह आनह बीजीय र नशय ा भी

कहत ह

2 एक सम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को सज तीय पद कहत ह

3 ऄसम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को नवज तीय पद कहत ह

4 चर एव ऄचर ऄथव चर एव चर जब +-x ऄथव divide नचहन स जड़त ह तो ईनह बीजीय वयजक

कहत ह

5 एक पद व ल बीजीय वयजक को एक पदीय वयजक कहत ह

6 दो पद व ल बीजीय वयजको को नदवपदीय वयजक कहत ह

P a g e | 148

ककष म कछ छ तर व छ तर ए अपस म चच म कर रह थ मरी न कह - अज म घर स अ रही थी तो

कपड़ की दक न पर बड़-बड़ ऄकषरो म नलख थ lsquolsquoछट छट छट 10 परनतशतlsquolsquo आसक कय मतलब ह

ऄरण न कह - यदद 100 र क कपड़ खरीद तो ईस पर 10 र की छट नमलगी वह कपड़ 90 र म

नमलग

मरी - यदद 40 र क कपड़ खरीद तो दकतन की छट नमलगी

सलम - 4 र की छट नमलगी ऄथ मत 36 र दन पडग

मरी - परीकष की ऄक सची म भी तो पर पत क क स थ परनतशत ऄक नलख ज त ह

रमश - परनतशत क ईपय ग और कह ा-कह ा होत ह

सलम - चलो नमलकर आसकी सची बन य

सभी छ तर सची बन न म जट गए सोच नवच र कर ईनहोन कछ ईद हरण नलख -

1 परीकष म ऄननल को 93 परनतशत ऄक पर पत हए

2 नपछली व रसषक परीकष म 87 परनतशत छ तर एा एव 76 परनतशत छ तर ईततीणम हए

3 बक जम र नश पर 5 परनतशत व रसषक बय ज दत ह

4 वय प र क कषतर म ल भ तथ ह नन को परनतशत म बत य ज त ह

5 दश क 70 परनतशत लोग ग व म रहत ह

6 ठड क मौसम म नबकन व ल पखो पर 15 परनतशत की छट

चलो हम भी समझ दक परनतशत कय ह और आसकी कय जररत ह

परनतशत की अवशयकत कयो

एक परीकष म ईम को 10 म स 8 ऄक पर पत हए नवनय को 20 ऄक म स 15 ऄक पर पत हए कय

अप बत सकत ह दक दकसको जय द ऄचछ ऄक पर पत हए ह

दोनो क ऄको की तलन करन क नलए दोनो क हर सम न करन होग

ऄथ मत ईम क पर पत क 8

10 =

8times2

10times2 =

16

20 ह

तथ नवनय क पर पत क 15

20 ह

ऄब कयोदक दोनो नभननो क हर सम न ह ऄतः आनकी तलन कर सकत ह

ऄब हम कह सकत ह दक ईम क पर पत क ऄनधक ह ऄथ मत जब भी तलन करनी हो हम दकतन म स

नमल ह ईस बर बर करन होत ह

P a g e | 149

यदद दोनो क पर पत क आस परक र बदल ज एा दक हर 100 हो तो -

ईम क पर पत क 8

10 =

8times10

10times10 =

80

100

चदक 10 म 8 ऄक बर बर ह 100 म 80 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक ईम क पर पत क

80 परनतशत ह

नवनय क पर पत क 15

20=

15times5

20times5 =

75

100

चादक 20 म 15 ऄक बर बर ह 100 म 75 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक नवनय क

पर पत क 75 परनतशत ह

ईम क पर पत क क परनतशत ऄनधक ह

आस परक र उपर ईद हरणो म अपन दख होग दक परनतशत क ऄथम lsquoपरनत सकड lsquo स ह यह अकड़ो

की तलन करन म ईपयोगी ह एक सम न अध र जो हर पररनसथनत म तलन क क म अ सक यह अध र

स म नयतः 100 नलय ज त ह जब पर पत को की तलन 100 क अध र पर की ज ती ह तब ईनक 100 म

स पर पत को को परनत सकड़ कहत ह ऄतः परनतशत म lsquoपरनतrsquo क ऄथम परतयक और lsquoशतrsquo क ऄथम सकड़ स ह

परनतशत क नलए नचनह क परयोग दकय ज त ह

ननमननलनखत त नलक म पर पत को की तलन कर दक दकस ऄनधक ऄक पर पत हए आसक नलए हम

पत करग दक दकसक ऄको क परनतशत ऄनधक ह

सलम क पर पत क क परनतशत सबस ऄनधक ह सोनचए दक यदद हम ऄनय दकसी तरीक स तलन

करन च ह तो कय वह आतन अस न होग

दिय कल प 1

नीच दी गइ त नलक को भररए तथ दखकर बत आए की दकस नवदय लय क परीकष फल जय द

ऄचछ ह आसक नलए भी अप परनतशत ननक लग

P a g e | 150

ईपरोकत दिय कल प स यह सपषट ह दक दो य दो स ऄनधक पररनसथनतयो क बीच तलन परनतशत की

सह यत स बड़ी अस नी स की ज सकती ह

यदद परनतशत 100 क अध र स तलन ह तो कय कभी परनतशत म म न 100 स ऄनधक हो

सकत ह अआए दख

ईद हरण 1

एक ददन सबजी-ब ज र म 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी दसर ददन 750 दकलोगर म

अल की खरीदी की गयी तो बत आय दक अल की खरीदी दकतन परनतशत बढ़ी

चदक पहल ददन 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी

दसर ददन 750 दकलोगर म अल खरीद गय

आस परक र अल की खरीदी म बढ़ोततरी -

= 750 दकगर - 300 दकगर

= 450 दकगर

ऄब 300 दकगर अल की खरीदी म 450 दकगर म बढ़ोततरी हइ ह

there4 1 दक गर म म 450

300 दकगर अल की खरीदी म बढ़ोतरी हइ

ऄतः अल की खरीदी म बढ़ हअ परनतशत

= 450times100

300= 150

कय अप दननक जीवन क ऐस ईद हरण सोच सकत ह जह ा (i) परनतशत 100 स कम (ii) बर बर

और (iii) 100 स ऄनधक ईपयोग म ल य ज त ह

प ाच-प ाच ईद हरण सोच व ऄपन दोसतो को बत ए

P a g e | 151

दिय कल प 2

ननमननलनखत नचतर क दकतन परनतशत भ ग को छ य दकत दकय गय ह तथ छ य दकत भ ग क

नभनन तमक म न कय ह ददए गए ररकत सथ न म नलनखए

जस -

P a g e | 152

नचतर 8

अपन उपर बन नचतरो म परतयक छ य दकत भ ग को परनतशत एव नभनन म बदलकर दख ह

कय परनतशत नभनन क बदल हअ एक रप ह

अआए कछ ईद हरणो को हल करक दख

दिय कल प 3

अपन पवम म सीख ह दक दकसी नभनन क हर यदद 100 हो तो वह नभनन ऄश क परनतशत क

बर बर होत ह ननमननलनखत नभननो को परनतशत म बदनलए

P a g e | 153

दिय कल प 4

नीच कछ परनतशत को नभननो म बदल गय ह शष की परसत कीनजए ndash

नशकषको क नलए (यदद नवदय थी 120783

120784 को परनतशत म बदलन क नलए सीध

120783

120784times 120783120782120782 करत ह तो मल ननयम

समझ त हए ईस वस करन द)

ईपरोकत दिय कल प म अपन दख दक 100 क नभनन रप 1

1 ह

आस परक र 50 क नभनन रप 1

2 ह

ऄतः परनतशत नभनन क ही एक रप ह

ईद हरण 2

एक श ल म 26 जनवरी क ददन कल 200 लडड ल य गय ईनम स 90 लडड छ तरो म ब ाट ददय

गय बच हय लडडओ की सखय जञ त कीनजए

हल परशन नस र

कल लडड तर 200

ब ट गय लडडओ की सखय = 200 क 90

= 200times90

100

ब ाट गए लडड = 180

शष लडड = 200 - 180

= 20 लडड

P a g e | 154

ईद हरण 3

एक ग ाव की जनसखय 10000 ह ईसम 60 मनहल एा 25 परष और शष बचच ह परतयक की

सखय जञ त कीनजए

हल- ग ाव की जनसखय = 10000

चदक 60 मनहल एा ह ऄथ मत 10000 क 60 मनहल एा

there4 मनहल ओ की सखय = 10000times60

100 = 6000

ऄतः मनहल ओ की सखय तर 6000

ऄब चदक 25 परष ह ऄथ मत 10000 क 25

there4 परषो की सखय = 10000times25

100 = 2500

ऄतः परषो की सखय = 2500

बचचो की सखय = 10000 ndash (6000 + 2500)

= 10000 - 8500

= 1500

ईद हरण 4

शय म न एक दक न स 50 रपय की एक पसतक खरीदी दक नद र न ईस 20 परनतशत की छट दी

तो शय म को दकतन रपय दक नद र को दन होग

हल 100 रपय म 20 रपय की छट

there4 1 रपय म 20

100 रपय की छट दत ह

there4 50 रपय म = 50times20

100 = 10 रपय की छट दग

ऄतः शय म को 50 - 10 = 40 रपय दक नद र को दन होग

ईद हरण 5

i 650 रपय क 50 जञ त कीनजए

ii 750 दकगर क 5 जञ त कीनजए

हल

i 650 रपय क 50 = 650times50

100

= 325 रपय

ii 750 दकगर क 5 = 750times5

100 = 375 दकगर

P a g e | 155

ईद हरण 6

धवल को व रसषक परीकष म 500 म स 450 ऄक नमल तथ यश को 900 म स 675 नमल दोनो म

स दकसक परीकष फल ऄचछ ह

परशन नस र ndash

ईपरोकत हल स सपषट ह दक धवल क परीकष फल यश स बहतर ह

परशनो को नयी नवनध य ऄनय नवनध स भी हल करन क परय स कर ऄपनी नवनध पर ऄपन स नथयो

व नशकषक महोदय स चच म कर

परशन वली 13

1 ननमननलनखत को परनतशत म बदनलए

(i) 3

2 (ii)

5

2 (iii)

1

5 (iv)

3

20

2 ननमननलनखत परनतशतो म परतयक को नभनन म वयकत कीनजए

(i) 50 (ii) 15 (iii) 2 (iv) 10

3 360 र क 60 जञ त कीनजए

4 480 दकलोगर म क 15दकतन होग

5 सीत को 500 म स 250 ऄक पर पत हए ईसक पर पत क क परनतशत जञ त कीनजए

6 र म को 10 र की गनणत की पसतक म 10 छट नमलती ह तो वह पसतक ईस दकतन म नमलगी

7 एक श ल म 15 ऄगसत क ददन कल 300 टॉदफय ा ल यी गयी ईनम स 99 टॉदफय ा छ तरो म

ब ाटी गयी बची हइ ट ादफयो की सखय जञ त कीनजए

8 यदद रप को व रसषक परीकष म 600 म स 390 ऄक पर पत होत ह तो ईस दकतन परनतशत ऄक पर पत

हए

9 यदद दकसी रबर को खीचकर दगन लमब कर ददय ज त ह तो लमब इ म वनदध परनतशत जञ त

कीनजए

10 दकसी शहर की कल जनसखय क 40 परष 35 मनहल एा और शष बचच ह यदद बचचो की सखय

18000 हो तो परषो और मनहल ओ की सखय जञ त कीनजए

11 दकसी ग ाव की जनसखय 3000 ह पहल वषम 10 बढ़ती ह एक वषम ब द ईसम 10 की कमी

अती ह तो जनसखय म होन व ली परनतशत बढ़ोतरी य कमी जञ त कीनजए

P a g e | 156

12 एक वयनकत 630 रपय क स म न खरीदत ह दक नद र न ईसस कवल 567 रपय नलए हो तो ईस

वयनकत को दकतन परनतशत की छट नमली

13 दकसी सखय क 75 600 रपय ह तो वह सखय जञ त कीनजए

14 बक म एक वयनकत न 5000 रपय जम कर य कछ वषो क ब द ईस 6000 रपय नमल तो ईसक

धन म दकतन परनतशत की वनदध हइ

15 दकसी ककष की दजम सखय 40 ह आनम 36 लड़क ईततीणम हो गय हो तो ईततीणम एव ऄनततीणम क

परनतशत जञ त कीनजए

16 दकसी ग व म 90 वयनकत स कषर ह यदद ईस ग व की जनसखय 1600 ह तो स कषर एव ननरकषर

की सखय जञ त कीनजए

हमन सीख

1 परनतशत क ऄथम lsquolsquoपरनत सकड़ rsquorsquo स ह

2 परनतशत की सह यत स तलन कर सकत ह

3 परनतशत को नभनन दशमलव तथ ऄनप त म वयकत कर सकत ह एव नभनन दशमलव तथ ऄनप त

को भी परनतशत म वयकत कर सकत ह

P a g e | 157

अप दो सखय ओ की तलन करन क नलए कहत ह दक एक सखय दसरी सखय स बड़ी ह छोटी ह य

सम न ह

दिय कल प 1

नीच तलन पर अध ररत कछ कथन ददए गए ह जो ऄपणम ह ख ली बॉकसो म = gt य lt क नचहन

क ईपयोग कर कथनो को पणम कीनजए -

जस 1 3 + 5 7 2 8 + 7 15

3 4 + 6 11 4 13 + 8 18

5 23 + 7 30

अपन दकस तरह आन नचहनो क ईपयोग दकय ह ऄपन तको क ब र म सोच

यह ा पर दो पकष ददए गए ह ब कस क ब ाय तरफ ब ाय पकष तथ द य तरफ द य ा पकष ह कथनो म 3

+ 5 ब य ा पकष ह चदक यह द य ा पकष 7 स बड़ ह ऄतः 3 + 5 gt 7

नजन कथनो म = नचहन क ईपयोग दकय गय ह ईनह छ ाटकर ऄपनी कॉपी म नलनखए

नजन कथनो को अपन कॉपी म नलख ह ईनह छोड़ ब की ऄसम नत क कथन ह अआए कछ और

कथनो को दख नजनम चर को क ईपयोग दकय गय ह

जस x + 5 = 13 म यदद x = 5 हो तो x क सथ न पर 5 रखन पर ब य ा पकष = 5 + 5 = 10 होत ह

द य ा पकष = 13 ह ऄतः यह कथन सही नही ह ब य ा पकष sup1 द य ा पकष परनत x क सथ न पर 8 रखन पर

दोनो पकष बर बर हो ज त ह और यह कथन सही हो ज त ह

दिय कल प 2

नीच कछ कथन ददए गए ह ईनक स मन ग क म न ददय गय ह ग क ददए गए म न क नलए

कथन सतय ह य ऄसतय बॉकस म नलनखए -

1 x + 3 = 8 यदद x = 5 तो कथन ह

2 x - 2 = 4 यदद x = 7 तो कथन ह

3 x + 2 = 10 यदद x = 8 तो कथन ह

4 7 = 12 - x यदद x = 3 तो कथन ह

5 3 = x - 9 यदद x = 5 तो कथन ह

जो कथन ऄसतय ह कय व ग क दकसी म न क नलए सतय होग यदद ह ा तो परतयक क नलए ग क म न को

ऄपनी कॉपी म नलनखए आस परक र ईपरोकत कथन तभी सतय होग जब दोनो पकष अपस म बर बर होग

ऐस कथन नजनम चर क श नमल हो और दोनो पकष बर बर हो समीकरण कहल त ह ऄथ मत सम नत व ल

gt

सतय

P a g e | 158

व कथन नजनम एक य एक स ऄनधक बीजीय ऄक होत ह rsquorsquoसमीकरणlsquolsquo कहल त ह आसम बर बर क ब यी

ओर क समसत चर और ऄचर पदो को समीकरण क rsquorsquoब य ा पकषlsquolsquo और द य ओर क समसत पदो को

समीकरण क rsquorsquoद य ा पकषlsquolsquo कहत ह

समीकरण कयो

एक ददन नरश न ऄपन स नथयो स एक सव ल पछ दो टोकररयो म ऄमरद रख हए ह दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद ह यदद पहली टोकरी म 8 और ऄमरद रख ददय ज ए तो दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क बर बर ऄमरद हो ज त ह कय अप लोग दोनो टोकररयो म ऄमरदो की सखय

बत सकत हो

नरश क सभी स थी हल सोचन लग परनत ईनह कछ सझ नही रह थ तभी ऄन न बत य दक

पहली टोकरी म 8 तथ दसरी टोकरी म 16 ऄमरद ह नरश न कह दक ईततर तो ठीक ह परनत तमन आस

कस हल दकय

ऄन न बत य - lsquolsquoमन पढ़ ह दक दकसी सखय म यदद ईसी सखय को जोड़ ददय ज ए तो ईस सखय

क दो गण पर पत हो ज त ह चादक पहली टोकरी म रख ऄमरदो म 8 ऄमरद और जोड़न पर ऄमरदो की

सखय दो गणी हो ज ती ह तो वह सखय 16 ही होगी कयोदक 8 म 8 जोड़न पर 16 होत हlsquolsquo

नरश न बत य दक आस एक और तरीक स हल कर सकत ह -

ऄमरद (पहली टोकरी म) + 8 = पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद (दसरी टोकरी म)

8 म 8 जोड़न पर ही दो गण हो सकत ह ऄतः पहली टोकरी म 8 ऄमरद ह एव दसरी टोकरी म

16 ऄमरद ह

तभी फरीद न कह lsquolsquoहमन चर र नश व ल प ठ म पढ़ ह दक जब दकसी सखय क म न म लम

नही ह तो ईस हम कोइ भी चर क म न सकत हrsquorsquo

म न दक पहली टोकरी म x ऄमरद ह

तो दसरी टोकरी म 2 x ऄमरद ह ग

ऄब पहली टोकरी म 8 ऄमरद और नमल न पर ईसम x + 8 ऄमरद हो गए और यह दसरी

टोकरी क ऄमरद क बर बर ह

ऄथ मत x + 8 = 2x

नरश न कह lsquolsquoऄर व ह यह तो एक समीकरण बन गय और यह ा x क म न 8 रखन पर यह कथन

सतय हो ज त ह आसक मतलब यही हअ दक ऄजञ त म न व ल सव ल को समीकरण की सह यत स बड़ी

अस नी स हल दकय ज सकत हlsquolsquo

अपन भी दख दक ऄजञ त र नशयो क म न ननक लन क नलए समीकरण दकस परक र ईपयोगी ह

अआए ऄब हम समीकरण कस बन य ज त ह दख

दसरी टोकरी म

ऄमरद पहली टोकरी

क 2 गण ऄमरद

पहली टोकरी म

ऄमरद

P a g e | 159

समीकरण कस बन ए

एक खल खलत ह अप सब ऄपन मन म ऄपनी-ऄपनी ईमर सोनचए आसम 5 जोड़ दीनजए योगफल

को 2 स गण कर ईसम 10 घट आए जो ऄनतर अय ईसम ऄपनी ईमर को घट दीनजए अपक ईततर ही

अपकी ईमर ह

नरश क हल नशकषक क ननदश ऄन क हल

12 वषम ऄपनी ईमर सोच 11 वषम

12 + 5 = 17 वषम 5 जोनड़य 11 + 5 = 16 वषम

17 times 2 = 34 वषम 2 स गण कीनजए 2 times 16 = 32 वषम

34 - 10 = 24 वषम 10 घट आए 32 - 10 = 22 वषम

24 - 12 = 12 वषम ईमर को घट आए 22 - 11 = 11 वषम

आसी परक र सभी न प य दक ईनहोन जो ऄपनी ईमर सोची थी वही ईततर क रप म अ रही ह यह

कस हअ अआए आस समझ -

म न दक सोची गइ ईमर x वषम ह

ईमर म 5 जोड़ = x + 5

योगफल को 2 स गण दकय 2(x + 5) = 2x + 10

10 घट य 2x + 10 - 10 = 2 x

सोची गयी ईमर को घट य 2 x - x = x

अप वही हल पर पत कर रह ह जो ईमर अपन सोची थी

आस हल को दखत ही र ज न कह lsquolsquoऄब म भी समीकरण बन न क परशन पछ सकत हा दकसी सखय

म 2 क गण कर 5 घट न स 3 अत ह तो समीकरण कय होगी ऄन न ततक ल समीकरण बन य -

rsquorsquoम न दक सखय ग ह 2 क गण करन पर अय 2x आसम 5 घट न पर नमल 2x - 5 जो 3 क बर बर ह

ऄथ मत समीकरण होग -

2x - 5 = 3

ऄन न कह lsquolsquoऄब म तमह एक समीकरण द रही हा तम आस शबद रप म कस बदलोग

समीकरण 7 y - 5 = 9

हमीद न तरत सोच दकसी सखय म 7 क गण करक 5 घट न पर 9 क बर बर ह

ऄब सभी नवदय थी समीकरण बन न और समीकरण को शबद रप म बदलन म ददलचसपी ददख न लग

परशन वली 141

परशन 1 ननमननलनखत म स समीकरण छ टकर नलनखए -

i x - 4 = 10 (vi) 7 = 2x - 5 (x) ly +lx = px

ii x - 4 - 10 (vii) 3x ndash 2x =2x

iii 2y - 3 + 9 (viii) 5

119909= 3

iv 5 (2y ndash 3) = 15

(v) 3 x + 4 (ix) 45 +32z + z

P a g e | 160

परशन 2 ननमननलनखत समीकरणो क ब य ा एव द य ा पकष बत आए -

i x - 5 = 9

ii 2 x - 3 = 7

iii 2y = 9 - y

iv 2y = 6

v 15 = 2a + 5

परशन 3 ननमननलनखत कथन म ऄजञ त सखय y क परयोग करक समीकरण म बदनलए -

i दकसी सखय क दगन म स 3 कम करन पर 17 अत ह

ii दकसी सखय क छठ भ ग 7 ह

iii दकसी सखय एव 5 क ऄनतर 8 ह

iv दकसी सखय म 7 क गण कर 5 घट न स 9 बचत ह

परशन 4 समीकरणो को कथन क रप म नलनखए

i x - 6 = 9

ii 7y - 14 = 0

iii 2119909

3 = 6

iv 119909

2+ 5 = 10

v 38 - 2 x = 4

समीकरण हल करन

अपन दिय कल प 2 म यह दख दक परतयक कथन x क कवल एक म न क नलए ही सतय ह जस-

x + 2 = 4 म यदद x = 7हो तब कथन ऄसतय ह कय दक x क म न 7 रखन पर ब य ा पकष द य

पकष क बर बर नही होत यह x = 2 रखन पर ही सतय होत ह ऄथ मत आस परक र क परतयक समीकरण क

कवल एक ही हल ह

दिय कल प 3

नीच दी गइ स रणी म ग क चर क व ल समीकरण ददए गए ह x क ऄलग-ऄलग म न क नलए आस

समीकरण क दोन पकष सम न ह य ऄसम न ईद हरण क ऄनस र भररए ndash

P a g e | 161

x क नजस म न क नलए समीकरण क दोनो पकष बर बर ह वही समीकरण क हल ह आस नवनध को

तररट एव परय स नवनध कह ज त ह

अआए तर ज क म धयम स समीकरण क कछ गणो को नचनतरत करक दख

नचतर 2 क समीकरण x - 2 = 3 म ब य ा पकष x - 2 ह तथ द य ा पकष 3 ह यह तर ज सतलन की

ऄवसथ म ह ऄब यदद हम तर ज क ब एा पलड म कछ भ र रख तो सतलन ल न क नलए द एा पकष म भी

ईतन ही भ र रखन पड़ग ईसी परक र यदद द एा पकष स कछ भ र ननक ल ल तो सतलन क नलए ब एा पकष

स भी ईतन ही भ र ननक लन पड़ग ऄथ मत यदद दकसी समीकरण क एक पकष म कोइ सदिय की ज ए तो

दसर पकष म भी वही सदिय करनी होगी तभी समीकरण क दोनो पकष बर बर रहग

यह जञ त ह दक ( - 2 ) + ( 2 ) = 0 होत ह ईपरोकत समीकरण म ब एा पकष म यदद 2 जोड़ ददय

ज ए तो x बचग चदक ब एा पकष म दो जड़ रह ह तो समीकरण को सतलन म रखन क नलए द एा पकष म

भी 2 जोड़न पड़ग

ऄथ मत - x - 2 = 3

X - 2 + 2 = 3 + 2

X + [(- 2) + (2)] = 5

x = 5

आसी परक र यदद 7 x = 21 हो

7 म 7 क भ ग ददय ज ए तो 1 पर पत होत ह यदद 7 x म 7 क भ ग द तो x पर पत होग चदक

ब एा पकष म 7 क भ ग ददय ज रह ह तो द एा पकष म भी 7 क भ ग दन पड़ग

ऄथ मत - 7x = 21

7119909

7=

21

7

x = 3

ईद हरणो म अपन सीख दक दकसी समीकरण क दोनो पकषो म यदद कोइ नसथर क जोड़ ददय ज ए

य दकसी नसथर क को घट ददय ज ए ऄथव दकसी नसथर क स गण दकय ज य य भ ग ददय ज ए तो

समीकरण क सतलन म कोइ पररवतमन नही होत

P a g e | 162

दिय कल प 4

नीच दी गयी स रणी म समीकरणो क दोनो पकषो म कय जोड़ घट य गण कर य भ ग द दक चर

क म न पर पत हो ज ए ददए गए ईद हरण क ऄनस र ररकत ख नो को भररए ndash

ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x + 3 = 10

ii 6 = y + 4

iii s + 6 = 15

iv 7 + t = 25

दिय कल प 5

अपन सरल समीकरण (नजसम सदिय एक ही ब र करनी पड़ रही ह) को हल करन सीख नलय

ह अआए ऄब कछ ऐस समीकरण हल कर नजसम दो सदिय करनी पड़ रही ह

P a g e | 163

P a g e | 164

ऄभय स 1

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

(i) 3x + 8 = 20 (ii) 4x + 10 = 30

(iii) 5x - 7 = 8 (iv) 6x - 7 = 11

(v) 3x + 21

7 = 0 (vi) 29 = 7x + 1

(vii) 60 ndash 8x = - 4 (viii) 19x + 7 = 45

समीकरण बन न एव हल करन तो अप भली भ ानत सीख चक ह कछ सखय ओ स समबननधत

समसय ओ को समीकरण क दव र हल कर

ईद हरण 1 दकसी सखय म 5 की वनदध की ज ए तो सखय 20 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल

म न दक वह सखय x ह तो सखय म 5 जोड़न पर = x + 5

समसय ऄनस र

ऄब x + 5 = 20

दोनो पकषो म 5 घट न पर

X + 5 - 5 = 20 - 5

x = 15

सतय पन -

ब य ा पकष = x + 5

= 15 + 5 (x क म न रखन पर)

= 20

= द य ा पकष

ईद हरण 2 दकसी सखय म 6 की कमी करन पर वह सखय 10 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र सखय म 6 की कमी करन पर सखय x - 6 हो ज ती ह जो 10 क बर बर ह

ऄथ मत x - 6 = 10

दोनो पकषो म 6 जोड़न पर x - 6 + 6 = 10 + 6 (यह ा - 6 + 6 = 0 और 10 + 6 = 16)

x = 16

सतय पन - ब य ा पकष = x - 6 = 16 - 6 (x क म न रखन पर)

= 10

= द य ा पकष

ईद हरण 3 दकसी सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र ईस सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह

P a g e | 165

पहल चरण सखय क दो गण = 2 x

दसर चरण 2x म 7 जोड़न पर 2x + 7

तीसर चरण कथन नस र 2 x + 7 = 37

2 x + 7 - 7 = 37 - 7 (दोनो पकषो म 7 घट न पर)

2119909

2 =

30

2

(दोनो पकषो म 2 क भ ग दन पर)

x = 15

सतय पन

ब य ा पकष = 2 x + 7 = 2 times 15 + 7 (x क म न रखन पर)

= 30 + 7

= 37

= द य ा पकष

ईद हरण 4 दकसी सखय क एक नतह इ करन पर वह सखय 11 हो ज ती ह वह सखय जञ त कीनजए

हलः म न दक वह सखय x ह

परशन नस र

आस सखय क एक नतह इ ऄथ मत बर बर ह 11 क

ऄथ मत 119909

3= 11

x क म न ननक लन क नलए समीकरण क ब य पकष क हर स 3 को हट न होग

आसनलए दोनो पकषो म 3 क गण करन पर

119909

3times 3 = 11 times 3

x = 33

सतय पन 33 क एक नतह इ = 33

3= 11

ईद हरण 5 म लती एव ईसक नपत की अय क योग 49 वषम ह यदद म लती की अय 12 वषम हो तो

ईसक नपत की अय जञ त कीनजए

हल म न दक म लती क नपत की अय x वषम ह

परशन नसर म लती की अय 12 वषम ह

दोनो की अय क योग = x + 12

चदक दोनो की अय क योग 49 वषम ह

ऄतः x + 12 = 49

x + 12 - 12 = 49 - 12 (दोनो पकषो म 12 घट न पर)

x + 0 = 37

x = 37

नपत की अय 37 वषम ह

P a g e | 166

सतय पन - नपत की अय एव म लती की अय क योग

= 37 + 12

= 49 वषम

ईद हरण 6 नशव गी क परस म कवल 50 पस क नसकक ह यदद पसम म 25 र हो तो नसकको की सखय जञ त

कीनजए-

हल म न लो दक नसकको की सखय ग ह

परतयक नसकक क मलय = 50 पस 1

2= रपय

x नसकको क मलय = 1

2119909 रपय

ऄतः परशन नस र 1

2 119909 = 25

1

2 119909 x 2 = 25 x 2 (दोनो पकषो म 2 क गण करन पर)

x = 50

ऄतः नशव गी क पसम म 50 पस क 50 नसकक ह

ज ाच 50 नसकको क मलय = 50 x 50

= 2500 पस

= 2500 र

परशन वली 142

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x - 3 = - 4

ii z - 8 = 0

iii 3y = 9

iv 16 = 3y + 7

v 5+ 119909

3 = 7

vi 9z - 7 = 14

2 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए एव ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए -

i 3 (2 + x ) = 12

ii 10 - z = 6

iii 119909

5= 15

iv 7 ndash 4y = 3

3 दकसी सखय क दोगन 10 ह सखय कय होगी

4 दकसी सखय क दगन म 35 जोड़ ज ए तब 85 पर पत होत ह वह सखय कय होगी

5 25 पस क दकतन नसकक 10 र क बर बर होग

P a g e | 167

6 दकसी सखय क अध म स यदद 4 घट य तब 6 पर पत होत ह सखय कय होगी

7 ईम क प स कछ मीटर कपड़ ह ईसम स 2-2 मीटर कपड़ क वह 4 पद बन दती ह ईसक ब द भी

ईसक प स 5 मीटर कपड़ बच रहत ह तब पर रभ म ईसक प स दकतन मीटर कपड़ थ

हमन सीख

दकसी भी समसय को समीकरण क दव र हल करन क नलए ननमननलनखत ब तो पर नवशष धय न

ददय ज न च नहए -

1 समसय को ऄचछी तरह पदढ़ए एव ननध मररत कीनजए दक कौन-कौन सी जञ त र नश एव कौन-कौन

सी ऄजञ त र नश ह

2 ऄजञ त र नश को x y z आतय दद स वयकत कीनजए

3 समसय को एक-एक शबद क ऄनस र जह ा तक सभव हो गनणतीय कथन म पररवरसतत कीनजए

4 व र नशय ा ननध मररत कीनजए जो बर बर हो और ईनस एक ईनचत समीकरण बन आए

5 समीकरण को ऄजञ त र नश क नलए हल कीनजए

6 यह ज ाच कीनजए दक अपक ईततर समसय म दी हइ शतो को सतषट करत ह ऄथव नही

P a g e | 168

सकल क ईपयोग

अप जब कपड़ खरीदन ब ज र ज त ह तो दक नद र ऄकसर एक लोह की छड़ स न प कर कपड़

दत ह अपन भी लमब इ न पन क नलए कइ ब र ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल क ईपयोग दकय ह

ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल को दनखए तथ नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए-

सकल म म पन क नलए दो परक र क पम न होत ह पत कर दक दोनो पम नो की आक इ दकतन-

दकतन छोट खणडो म बटी ह सबस छोट खणड की म प कय ह

सकल क ईपयोग अप समय-समय पर करत रहत ह कय ऄपनी कॉपी पर ऐस तीन रख खणड

खीच सकत ह नजनकी लमब इ िमशः 35 समी 42 समी और 89 समी हो

और भी ऐस नवनभनन म पो क रख खणड खीच

सकल क ईपयोग अप जीवन म कह ा-कह ा करत ह सची बन ए

वतत बन न

वतत बन न क नलए अपन परक र क ईपयोग तो दकय ही होग अप यह भी ज नत ह दक वतत

कय होत ह कौन-सी अकनतय वतत क र ह चनलए अस-प स की वतत क र चीजो की सची बन ल यह

सची अपन पहल भी बन इ होगी आस ब र और लमबी सची बन ए

परक र क ब र म ज नन

(1) एक परक र की दकतनी भज एा होती ह

(2) कय यह भज एा सम न लमब इ की ह

(3) नोकव ली भज क कय ईपयोग ह कय नोक नतरछी होनी च नहए

(4) वतत बन त समय यदद नोक व ली भज ऄपन सथ न स नखसक ज ए

तो कय वतत ठीक बनग

अप परक र की बन वट एव ईपयोग करन क तरीक समझत ह ऄपनी

कॉपी पर 32 समी 47 समी और 51 समी नतरजय क वतत बन ए कछ

और भी वतत ऄपन मन स सोच कर बन ए

जय नमतीय बॉकस क ऄनय ईपकरण

रख खणड क ऄधय य म अपन नडव आडर क ईपयोग भी दकय ह कय अप

बत सकत ह दक परक र और नडव आडर क ईपयोग कय -कय ह

आस परक र अपक जय नमनत बॉकस म एक च ाद भी रख हअ ह आस धय न स

दनखए और ददए गए

P a g e | 169

परशनो क ईततर दीनजए -

(1) च ाद की अकनत कसी ह

(2) च ाद क ऄदधमवतत क रनम भ ग कल दकतन खणडो म बाट ह

(3) कय अप ऄपनी कॉपी पर 47 95 तथ 170 क कोण बन सकत ह

ऄपन जय नमनत बॉकस म रख सकल परक र नडव आडर और च ाद स तो पररनचत हो ही चक ह

कय अपक जय नमनत बॉकस म और कोइ ईपकरण भी ह

जो दो नतरभज कर ईपकरण बच ह ईनह ननक ल कर ऄपनी कॉपी पर रनखए एव परतयक स सट कर

पननसल को आस परक र चल आए दक ईपकरणो की ब हरी अकनत कॉपी पर ईभर अए

दोनो ईपकरणो क परतयक कोण को म नपय

ऄब तो अप समझ ही चक ह दक परतयक नतरभज क र ईपकरण क एक कोण 90ह ह तथ ब की

दोनो कोण एक म 45-45 क ह एव दसर म 30 एव 60 क ह

आन दोनो ईपकरणो को सट सव यर (गननय ) कह ज त ह

अप सट सव यर की सह यत स दकसी रख पर 90ह क कोण बन आए एव च ाद की सह यत स

कोण को म पकर ज ाच कीनजए

यदद सट सव यर स बन य गए कोण क म प ठीक 90ह क नही ह तो दकतन ऄलग ह आस ऄतर

क क रण सोनचए

सट सव यर की सह यत स रचन एा करन

दकसी दी हइ रख खणड पर ऐस नबनद स लमब खीचन जो रख पर नसथत नही हः

PQ कोइ रख खणड ह तथ M आस रख खणड क ब हर कोइ नबनद ह

रचन क पद

1 सकल क आस परक र रनखए दक ईसक एक दकन र PQ ऄनददश रह(नचतर-2)

2 सकल स सट कर सटसव यर की एक लमबवत भज को रनखए धय न रह दक सकल नहल न प य

दसरी भज सकल क लमबवत ह

3 सकल को कसकर दब ए रनहए तथ सटसव यर को सकल स रगड़त हए आस परक र चल आए दक

सटसव यर की दसरी लमबवत भज ददए गए नबनद M को छन लग (नचतर-4)

4 नबनद M को छ रही सटसव यर की भज क ऄनददश रख खणड खीनचए

5 यह ML रख खणड PQ पर लमब होगी

P a g e | 170

सट सव यर और सकल की सह यत स सम नतर रख ए खीचन

अपन यह पढ़ ह दक दो सम नतर रख ओ क बीच की लमबवत दरी हमश सम न होती ह अपन

सट सव यर स दकसी सरल रख पर लमब खीचन सीख नलय ह कय अप सट सव यर और सकल की

सह यत स ऄपनी कॉपी पर दी गइ सरल रख क सम नतर कोइ सरल रख खीच सकत ह परय स करक

दनखए अपन दकस तरीक स सम नतर रख खीची ह वह भी नलनखए

दकसी रख क ब हर नसथत नबनद स आस रख क सम नतर दसरी रख खीचन

रचन क पद -

AB रख क ब हर कोइ नबनद P ह नबनद P स AB क सम नतर एक रख खीचनी ह

1 AB रख क ऄनददश सट सव यर की लमबवत भज ओ म स एक भज को रनखए

2 सटसव यर नहलन न प य ऄब सट सव यर की दसर लमबवत भज क ऄनददश सट कर सकल को

रनखए (नचतर 4)

3 सकल को आस तरह स दब ए रनहए दक वह नहल न प ए

4 सकल स रगड़त हए सटसव यर को ददय गए नबनद की ओर तब तक ल ज आए जब तक दक सटसव यर

की भज नबनद P को छन न लग (धय न रह सकल सरकन न प य)

5 ऄत म सटसव यर को ईसी नबनद पर नसथर रखकर P स होकर सटसव यर की भज क ऄनददश एक

सरल रख खीच यह PS सरल रख AB क सम नतर होगी च ह तो ऄलग-ऄलग जगह पर AB

और PS क बीच की दरी को म प कर ज ाच ल

दकसी रख क सम नतर रख खीचन क ऄथम यह ह दक ईस रख पर एक लमब रख खीचन

तथ लमब रख पर दफर स एक लमब खीचन जस नचतर म दश मय गय ह AB रख पर RQ लमब ह RQ

पर RS दफर स एक लमब ह ऄब AB तथ RS सम नतर ह

P a g e | 171

दकसी दी गइ रख स नननित दरी पर दसरी सम नतर रख खीचन

म न लीनजए AB रख स 6 समी दर एक सम नतर रख खीचन ह

रचन क पद (1) AB रख खीनचए

(2) सटसव यर और सकल क परयोग कर AB पर एक लमब

खीनचए (नचतर 7)

(3) PQ पर कोइ नबनद R आस परक र लीनजए दक Q स R

की दरी 6 समी हो

(4) सटसव यर की सह यत स R पर लमब RS

खीनचए RS ही AB क सम नतर होगी तथ AB स

6 समी की दरी पर होगी

ऄभय स 1

1 3 समी क रख खणड खीचकर ईसस ननमननलनखत दरी पर सम नतर रख खीनचए

(i) 15 समी (ii) 20 समी (iii) 22 समी (vi) 31 समी

परक र और सकल की सह यत स रख खणड क समनदवभ जक खीचन

अआए एक दिय कल प कर -

दिय कल प 1

दकसी म प क एक रख खणड AB खीनचए A नबनद पर परक र रखकर B तक फल आए और A को

कनर म नकर एक वतत खीनचए ऄब आसी न प क एक वतत B को कनर म नकर खीनचए दोनो वतत नजन

नबनदओ पर कटत ह ईनह नचहन दकत कर एव न म दीनजए

ऄब परक र क फल व को कछ कम करक पनः A नबनद पर रखकर

एक वतत तथ B नबनद पर रखकर ईसी न प क दसर वतत खीनचए य दोनो

वतत उपर नीच नजन नबनदओ पर एक दसर को क टत ह ईन नबनदओ को पनः

नचहन दकत कर R एव S न म दीनजए

P a g e | 172

आसी परक र परक र क फल व को कम करत ज आए तथ A एव B नबनदओ स वतत बन त ज आए तथ

सम न न प क वततो क कट न नबनदओ को नचहन दकत करत ज आए नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए -

1 अप वततो को िमशः छोट करत ज रह ह कय दो सम न न प क वतत जो नबनद A एव नबनद B स

खीच ज रह ह हमश एक दसर को क टग यदद नही तो दकस न प तक A और B नबनदओ स खीच

गए वतत एक दसर को क टग

2 अपन जो PQRSTU आतय दद नबनद पर पत की ह कय व सभी समरख ह कय अप

बत सकत ह दक ऐस कयो ह

3 रख AB को रख PQ दकस ऄनप त म क टती ह

4 रख AB रख PQ क स थ दकतन ऄश क कोण बन ती ह

ईपरोकत दिय कल प को हल करत समय अपन प य होग दक जस ही A और B नबनदओ स खीच

गए सम न अक र क वतत की नतरजय रख खणड की लमब इ क अध स कम हो ज ती ह तो व एक दसर को

नही क टत PQRSTU आतय दद सभी नबनद समरख ह एव PQ रख AB रख को समनदवभ नजत

करती ह तथ आन दोनो रख खणड क मधय 90deg क कोण बनत ह

आस परक र अप कह सकत ह दक दकसी दी गइ म प की रख खणड क यदद लमब समनदवभ जक

खीचन ह तो परक र को रख की लमब इ क अध स जय द फल आए तथ रख खणड क पर रनमभक एव

ऄनतम नबनदओ पर परक र रख वतत य वतत खणड बन आए ऄब दोनो वतत य वतत खणडो की जो कट न

नबनदए ह गी ईनह नमल न पर रख क लमब समनदवभ जक पर पत होग

दिय कल प 2

1 ऄपनी कॉपी म A एव B को दो नबनद लीनजए और ईनह नमल आय A B

2 नबनद A पर परक र की नोक रखकर AB रख खणड क अध स ऄनधक म प लकर रख AB क दोनो

ओर म प (वततखणड) बन आय

3 परक र की नोक को ऄब B नबनद पर रखकर ईसी न प स पनः AB क दोनो ओर च प बन आय जो

पवम म बन ए गए च प को क टत ह आनह P एव Q क न म दीनजए

4 ऄब PQ को नमल आए

5 रख खणड PQ AB को नजस नबनद पर क टत ह ईस O क न म दीनजए ऄब AO एव OB क

म प कर दनखए कय AO = OB

6 POB को म नपए कय POB=900आस परक र पर पत रख PQ रख

AB क लमब समनदवभ जक होग

P a g e | 173

परक र की सह यत स ऄलग-ऄलग न प क कोण बन न

दिय कल प 3

1 दकसी भी नतरजय क एक वतत खीचकर ईसक कनर को नचनहनत कीनजए

2 वतत पर कोइ नबनद A लीनजए A पर परक र को रखकर नजस नतरजय क

अपन वतत बन य ह ईसी नतरजय क एक च प वतत पर क रटए

3 नजस नबनद पर च प कट ह ईस नबनद पर परक र को रखकर ईसी नतरजय

क च प पनः क रटए

4 वतत पर च प क टन की आस परदिय को दोहर आए

नीच ददए परशनो क ईततर ढदढए

1 वतत को ईसकी नतरजय क न प व ल दकतन च पो म ब ाट सकत ह

2 कनर स सभी च पो क कट न नबनद को नमल आए दो िम गत कट न नबनदओ दव र कनर क स थ जो

कोण बन य ज रह ह ईनक म प कय ह

3 कय सभी कोण सम न म प क ह

4 यदद सभी कोण सम न म प क ह तो एक कोण क म प कय होग

ईपरोकत दिय कल प क परशनो क ईततर ढढ़त हए अपन प य दक दकसी वतत पर ईसकी नतरजय क

बर बर म प व ल छः च प कट सकत ह िम गत कट न नबनदओ दव र बन य गय परतयक कोण 600 क ह

कय ऄब अप सकल और परक र की सह यत स 600 कोण बन सकत ह

अआए सकल और परक र की सह यत स 600 क कोण बन य-

1 एक रख खणड खीनचए तथ आसक नबनद O पर एक ऐस ऄदधमवतत बन आए जो OA को D पर क टत

ह (नचतर 11)

P a g e | 174

2 D पर परक र को रखकर नजस नतरजय क ऄपन ऄदधमवतत खीच

ह ईसी नतरजय क च प ऄदधमवतत पर कट न बबद M पर पत कीनजए

(नचतर 12)

3 OM को नमल त हए B तक बढ़ आए (नचतर 13)

4 AOB = 600 होग

अपन पहल भी वतत को ईसकी नतरजय क बर बर सम न छः भ गो म ब ाट ह तथ यह भी दख ह

दक परतयक भ ग कनर स 600 क कोण बन त ह उपर अपन एक ब र च प क टकर 600 क कोण पर पत

दकय ह आसी च प को लकर यदद अप एक ब र M नबनद स अग पनः च प क टग तो अपको 1200 क

कोण नमलग तथ तीन ब र क टन पर 180

ऄभय स 2

1 परक र और सकल की सह यत स 1200 क कोण बन आए

कोण क समनदवभ जक खीचन

रचन क पद

1 ABC क नबनद B को कनर म नकर एक च प आस परक र क रटए दक वह AB को D नबनद पर तथ

BC को E नबनद पर क ट (धय न रह दक च प न ही बहत छोटी हो और न ही बहत बड़ी)

2 D को कनर म नकर एक च प बन आए पनः ईसी नतरजय क च प E स आस परक र बन आए दक दोनो

च प एक दसर को R पर क ट (नचतर 16)

3 B को R स नमल त हए अग बढ़ आए

4 रख BR ही ABC क समनदवभ जक ह

ऄभय स 3

1 520 क कोण बन कर ईसक समनदवभ जक खीनचए

2 1700 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए

3 600 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए और न प कर बत आय दक यह कोण

दकतन ऄश क ह

P a g e | 175

ददए गए कोण क बर बर कोण की रचन करन

म न लीनजए AOB ददय हअ ह AOB क बर बर एक दसरी कोण की रचन करनी ह

रचन क पद -

1 QP रख खीनचए Q नबनद पर AOB क बर बर कोण बन न ह

2 परक र को थोड़ स फल कर व O नबनद पर रनखए तथ आस परक र क एक च प क रटय जो OA

और OB दोनो भज ओ को िमशः R एव S पर क टत ह(नचतर 17)

3 आसी न प क च प Q नबनद पर परक र रखकर भी क रटए जो PQ को T पर क टत ह

4 परक र को R पर रखकर S तक फल आए एव ईसी म प क च प T पर रखकर TU क रटए और U

पर पत कीनजए (नचतर 18)

5 QV को नमल त हए R तक अग बढ़ आए

PQV = AOB

ऄभय स 4

1 च ाद की सह यत स 550 क एक कोण बन आए तथ आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

2 च ाद की सह यत स 1200 क कोण बन कर आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

रख खड क ब हर दकसी नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 एक रख AB खीनचए और आसक ब हर नबनद P लीनजए

2 P को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय क एक च प क रटए जो AB को D और E पर क ट (नचतर

20)

3 D और E को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय स दो च प क रटए जो एक दसर को R पर क ट

(नचतर 21) PR को नमल कर बढ़ आए

आस परक र PR AB

P a g e | 176

4 PRAB को Q पर नमलत ह (नचतर 22)

रख खड पर नसथत नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 सवमपरथम एक रख खड AB खीनचए नजस पर नबनद P नचनहनत कीनजए

2 नबनद P पर परक र की नोक रनखए तथ दकसी भी न प की नतरजय लकर रख खड AB पर ऄदधमवतत

क रटए जो दक रख खड AB को दो नबनदओ Q तथ R पर क टत ह (नचतर 24)

3 ऄब R पर परक र रनखए और दकसी भी म प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर की ओर एक च प

क रटए पनः rsquoQrsquo पर परक र रखकर ईसी च प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर ओर एक और

च प क रटए जो अपस म नबनद M पर क टत ह (नचतर 25)

4 नबनद M को P स नमल दीनजए (नचतर 26)

पर पत रख खड PM ही वह लमब रख ह

ऄथ मत PM AB

P a g e | 177

परशन वली 15

1 5 समी क एक रख खड खीनचए आसस 3 समी की दरी पर एक सम नतर रख खीनचए

2 सटसव यर की सह यत स ननमननलनखत कोण की रचन कीनजए

(i) 450 (ii) 600 (iii) 300 (iv) 900 (v) 1200

3 ननमननलनखत न प क रख खड लकर ईसक समनदवभ जन कीनजए

(i) 5 समी (ii) 45 समी (iii) 36 समी (iv) 54 समी

4 परक र व सकल की सह यत स ननमननलनखत कोण बन आय

(i) 600 (ii) 900 (iii) 1200 (iv) 1500

5 परक र व सकल की सह यत स ईपरोकत कोणो क समनदवभ जक कीनजए

6 च ाद की सह यत स ननमननलनखत न प क कोण बन आय एव परक र व सकल की सह यत स ईसक

सम न कोण की रचन कीनजए

(i) 680 (ii) 920 (iii) 1080 (iv) 1260 (v) 1530

P a g e | 178

16

कषतरनमनत-1

कषतरफल

अपन ऄधय य 2 म बनद एव खली अकनतयो को समझ ह दननक जीवन म कइ अकनतयो को दखत रहत

ह ननमननलनखत अकनतयो को धय न स दनखए

नचतर 1

उपर बनी अकनतयो म अकनत क दकसी बबद य छोर स पर रभ कर नबन पनसल ईठ य एव दकसी

नहसस पर दब र चल नबन दफर ईसी बबद य छोर पर पहाच सकत ह यदद पहाच सकत ह तो यह एक बद

अकनत होगी और यदद नही तो यह एक खली अकनत होगी

ऄथ मत बद अकनत क कोइ ऄनतम बबद नही होत

कय अप बत सकत ह दक ननमननलनखत मद नो की अकनतय ा खली ह य बद ह

1 खो - खो क मद न

2 फटब ल क मद न

3 नगलली डड नजस मद न म खल ज त ह वह मद न

4 कबिी खल क मद न

P a g e | 179

5 नबललस नजस कषतर म खल ज त ह वह कषतर

कषतरफल (Area)

सभी बद अकनतयो क ऄदर कछ जगह होती ह आन अकनतयो क ब हर नसथत दकसी बबद स आनक

ऄदर नसथत दकसी बबद तक अकनत की रख को क ट नबन नही ज सकत बद अकनतयो क ऄदर की जगह

ही ईसक कषतर ह कछ अकनतयो म जय द जगह होती ह नजनम जय द जगह होती ह वही बड़ी होती ह

कोइ वसतअकनत समतल पर नजतनी जगह घरती ह वह ईसक कषतरफल कहल त ह

गर फ पपर की सह यत स दकसी अकनत क कषतरफल न पन -

अयत क कषतरफल

ककष 5वी म अपन अयत क ब र म पढ़ होग यह एक चतभमज ह नजसक अमन स मन

की भज बर बर ह तथ परतयक कोण समकोण ह

दिय कल प 1

1 एक अयत ह नजसकी लमब इ 6 समी एव चौड़ इ 3 समी ह परतयक भज पर एक-एक समी की दरी

पर लमब इ तथ चौड़ इ की ओर नचहन लग व

2 अयत को 1 समी times 1 समी क खणडो म ननमन नस र ब ट -

P a g e | 180

दश मए गए नचतर म 1 समी x 1 समी क बन रह वगो को नगननए

वगो की सखय = 18

1 वगम क कषतरफल = 1 वगम समी

18 वगम क कषतरफल = 18 वगम समी

ननषकषम नजतन बड़ अयत होग 1 वगम समी क वगो की सखय ईतनी ही ऄनधक होगी

कषतरफल = 18 वगम समी

= 6 समी times 3 समी य 3 समी times 6 समी

अयत क कषतरफल = लमब इ xचौड़ इ

चदक गण की सदिय िम नवननमय क ननयम क प लन करत ह ऄतः -

अयत क कषतरफल तर चौड़ इ ग लमब इ भी नलख सकत ह

ऄभय स

1 अपकी गनणत की पसतक दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

2 च क क नडबब और शय मपटट दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

3 ऄपन अस-प स की दकनही दो अयत क र वसतओ दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

वगम क कषतरफल

वगम एक नवशष परक र क अयत ह

नजसकी भज ए सम न ह ऄथ मत लमब इ तथ चौड़ इ बर बर ह

4 समी times 4 समी भज व ल वगम को 1 समी times 1 समी व ल वगो म ब ाटन पर ndash

नचतर 7

1 वगम समी = 1 समी times 1 समी

वगम क कषतरफल = वगम खणडो की सखय एा

= 16

P a g e | 181

1 वगमखणड क कषतरफल = 1 वगम समी

16 वगमखणडो क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 4 समी ग 4 समी

वगम क कषतरफल = भज x भज = (भज )2

ईद हरण 1 यदद एक वगम की भज 5 समी ह तो आसक कषतरफल कय होग

नचतर म 5 समी भज क एक वगम ददख य गय ह परतयक भज पर 1-1 समी दरी पर नचहन ऄदकत

कीनजए

ऄब अमन-स मन क सभी नबनदओ को नमल कर अड़ी और खड़ी रख एा खीनचए

आस वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड़ ख नो को नगननय

वगम क कषतरफल = वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड ख नो की सखय

= 25 = 25 times 1 ख न क कषतरफल

= 25 times 1 वगम समी तर 25 वगम समी

ऄतः वगम क कषतरफल = वगम की लमब इ times वगम की चौड़ इ

= भज क वगम

ईद हरण 2 एक अयत की लमब इ 7 समी व चौड़ इ 3 समी ह आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हल यह ा अयत की लमब इ = 7 समी

अयत की चौड़ इ = 3 समी

P a g e | 182

आसनलय अयत क कषतरफल = लमब इ x चौड इ

= 7 समी x 3 समी = 21 समी2 य 21 वगम समी

ईद हरण 3 एक वगम क कषतरफल जञ त कीनजए नजसकी भज 8 समी लमबी ह

हल

ऄतः वगम क कषतरफल = भज x भज

= 8 समी x 8 समी

= 8 समी x 8 समी

= 64 समी2 य 64 वगम समी

परशन वली 16

(1) ननमननलनखत म स बनद अकनतयो को पहच ननय ndash

P a g e | 183

(2) परतयक अयत क कषतरफल जञ त कीनजए लमब इ व चौड़ इ ननमन नस र ह -

(I) लमब इ - 6 समी चौड़ इ - 2 समी

(II) लमब इ - 10 समी चौड़ इ - 1 समी

(III) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 6 समी

(IV) लमब इ - 135 समी चौड़ इ - 10 समी

(3) ननमननलनखत वगो नजनकी भज ननमन नस र ह क कषतरफल जञ त कीनजए -

(I) 6 समी

(II) 12 समी

(III) 13 समी

(IV) 35 समी

P a g e | 184

(4) ननमन अयतो म स परतयक अयत क कषतरफल ईसम परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व

खड़ी रख ओ को खीचकर जञ त कीनजए तथ सतर की सह यत स ऄपन ईततर की ज ाच भी कीनजए

(I) लमब इ - 5 समी चौड़ इ - 4 समी

(II) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 2 समी

(5) एक वगम की भज 6 समी ह आसक परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व खड़ी रख ओ को

खीचकर कषतरफल जञ त कीनजए और परशन (3) क एक स ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए

हमन सीख

1 दकसी समतल पर कोइ वसत नजतन सथ न घरती ह वह ईसक कषतरफल होत ह

2 अयत क कषतरफल = लमब इ ग चौड़ इ

3 वगम क कषतरफल = भज ग भज = (भज )2

4 कषतरफल क म तरक वगम आक इ होत ह

- परायोजना कायण- अपनी सभी ववषयो की पसतको की ऱॊबाई और चौड़ाई नावपए तथा बताइय करक कौन सी पसतक मज़ पर सबस अधिक सथाना घरती ह

P a g e | 185

17

कषतरनमनत-2

पररम प

ननमननलनखत ध ग स बनी अकनतयो को दनखएः-

ईपरोकत नचतरो म यदद A स चलन पर रमभ कर और पर चककर लग कर पनः A पर पहाच तो तय की

गइ दरी अकनत को बन न म ईपयोग दकए गए ध ग की लमब इ क बर बर होगी यही अकनत क घर की भी

लमब इ ह

आसी परक र ध ग स ऄथव त र स नवनभनन अकनतय ा बन कर ईसक घर की लमब इ जञ त की ज

सकती ह आस ही कषतर क पररम प कहत ह

दकसी भी बद अकनत क पथ पर एक चककर लग न क नलए तय की गइ दरी ईस अकनत क पररम प

कहल ती ह

जस अपन दख दक दकसी कषतर की सीम पर एक चककर ही पररम प ह ऄतः दकसी कषतर को त र स

घरन ऄथव च रो ओर ऄह त बन त समय पररम प की अवशयकत पड़ती ह

पररम प (Perimeter)

दननक जीवन म कइ वसतएा ईपयोग म अती ह नजनक अक र वतत क र नतरभज क र अयत क र

होत ह अपन भी आन सभी अक र की वसतओ को दख ह अपकी कॉपी क पनन शतरज क बोडम करम

क बोडम आतय दद अयत क र ह

हम री कॉपी क पनन शतरज क बोडम पसतक शय म पटट अदद सभी अयत क र ह आनम स कछ

अयत क र वसतए वग मक र भी ह ऄपन अस-प स अयत क र वसतए छ रटए और ईनम स ईन अकनतयो

को ऄलग कीनजए जो वग मक र भी ह नीच ददए गए सथ न पर आनकी सची बन आए

P a g e | 186

ऄब आन अकनतयो क दकन रो पर धय न दीनजए और बत आय दक आनम दकतन दकन र ह

यह ा अप दख रह ह दक टबल क दकन रो की सखय 4 ह आसी परक र शतरज बोडम क दकन रो की

सखय भी 4 ह

अआए ऄब कछ अयत क र तलो क पररम प ननक ल

दिय कल प 1

टबल क उपरी तल क दकन रो को सकल की सह यत स न नपय और नलनखय

दकन र AB=helliphelliphelliphelliphellip समी BC=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

CD= helliphelliphelliphellip समी DA=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

ऄब आन सभी दकन रो की लमब इ को जोनड़ए और नलनखए

टबल क च रो दकन रो क योग

= AB + BC + C D + DA= + + + +

= समी

नसफम अयत क र ह वग मक र भी ह

1 अपकी कॉपी क पनन 1 शतरज क बोडम

2 2

3 3

4 4

5 5

P a g e | 187

दिय कल प 2

आसी परक र शतरज बोडम क ब हरी दकन र न नपय और ईनह जोनड़ए

PQ + QR + RS + SP = +++ = समी

दिय कल प 3

नचतर 6 म एक फटब ल खल क मद न P Q R S ददख य गय ह

6वी ककष क एक छ तर गोल रोज़ न सबह 5 बज ईठकर आस फटब ल मद न क दकन र पर एक

चककर लग त ह ऄब बत आय दक गोल रोज़ न दकतन चलत ह

गोल दव र एक चककर म चली गयी कल दरी = PQ की लमब इ + QR की लमब इ + RS की लमब इ

+ SP की लमब इ

आन सभी दिय कल पो (1) (2) और (3) म अपन दख दक अकनत क सभी दकन रो की लमब इ क

योग ईस अकनत क पररम प ह

ननमन अकनतयो क पररम प जञ त कीनजए तथ ररकत सथ न म नलनखए

पररम प =

नचतर - 7

AB + BC + CD + DE + EF + FA

= __ + __ + __ + __ + __ + __

पररम प = समी

P a g e | 188

पररम प =

नचतर क उपर ध ग रख कर

ध ग की लमब इ जञ त कीनजए

वही पररम प होग

पररम प =

ऄभय स 171

1 एक अयत क र बगीच की लमब इ 6 मीटर और चौड़ इ 3 मीटर ह आसम च रो ओर त र क घर

लग न ह तो अवशयक त र की लमब इ जञ त कीनजए

2 एक अयत क र मद न की लमब इ 100 मीटर व चौड़ इ 50 मीटर ह आसक च रो ओर दो चककर

लग न म कल तय की गइ दरी जञ त कीनजए

पररम प कस पत करग- ऄब अपक समझ म अ गय होग दक

अयत क पररम प = ईसक च रो भज ओ की लमब इ क योग

P a g e | 189

ऄब यदद दकसी अयत की लमब इ l आक इ और चौड़ इ b आक इ हो तो

अयत की पररम प = ईसकी च रो भज ओ की लमब इ क योग

= AB की लमब इ + BC की लमब इ + CD की लमब इ +DAकी लमब इ

= 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ

= 119897 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119887 आक इ

= (119897 + 119897) आक इ + (119887 + 119887) आक इ

= 2 119897 आक इ + 2 119887 आक इ

= 2 (119897 + 119887) आक इ

ऄतः 119897 आक इ लमब b आक इ चौड़ अयत की पररम प = 2 (119897 + 119887) आक इ

अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

वगम क पररम प

एक वगम क भज की लमब इ 6 समी ह ईसक पररम प कय होग

वगम क पररम प = वगम क च रो भज ओ की कल लमब इ

= 6 समी + 6 समी + 6 समी + 6 समी

= 4 times 6 समी (6 समी वगम की एक भज )

ऄतः वगम क पररम प = 4 times एक भज की लमब इ

वगम क पररम प = 4 times भज

P a g e | 190

पररम प क म तरक

पररम प दकसी भी बद अकनत क कल घर की लमब इ ह ऄतः आसक म तरक कय होन च नहए

चादक पररम प व सतव म लमब इ ही ह ऄतः आसक म तरक और लमब इ क म तरक एक ही होग

ननमन स रणी म ररकत सथ नो को भररय-

स रणी - 1

िम क अयत की

लमब इ

119897

अयत की

चौड़ इ

119887

अयत क च रो भज ओ

क योग

अयत

की

पररम प

अयतवगम क पररम प

सतर की सह यत स

1 10 समी 5 समी 10 समी + 5समी +

10 समी + 5 समी =

30 समी

30 समी समी 2 (10+5) समी

समी + 5 समी = 2 times 15

समी

= 30 समी

2 5 समी 5 समी 5 समी + 5 समी 5

समी + 5 समी

= 20 समी

20 समी 4 times 5

= 20 समी

3 6 मीटर 4 मीटर

4 7 समी 7 समी

अआए दननक जीवन स समबननधत कछ और ईद हरण दख

ईद हरण 1

एक अयत क र मद न की लमब इ 50 मीटर एव चौड़ इ 25 मीटर ह एक ध वक आसक च रो ओर

10 चककर लग त ह जञ त कीनजए ईसन दकतनी दरी तय की ह

हल यह ा अयत की लमब इ (119897) = 50 मी

अयत की चौड़ इ (119887) = 25 मी

अयत क पररम प = 2 2 ( + b)

= 2 ( 50 मी + 25 मी)

= 150 मी

आस परक र ध वक एक चककर म 150 मीटर दरी तय करत ह

ध वक 10 चककर म 10 times 150 मीटर = 1500 मीटर दरी तय करग

P a g e | 191

22

7

oRr ds pkjksa vksj ds ksjs dh yEckbZ

oRr dk O kl

o`Rr dh ifjfegravek

2 r

ईद हरण 2 यदद एक वगम क पररम प 200 मीटर ह तो आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हलः यह ा पररम प = 200 मीटर

4 times वगम क एक भज की लमब इ = 200 मीटर

वगम क एक भज की लमब इ = मीटर

= 50 मीटर

ऄब वगम क कषतरफल = भज times भज

= 50 मीटर times 50 मीटर

= 2500 वगममीटर य 2500 मीटर2

वतत क पररम प जञ त करन

वतत क प ठ म अपन वतत क च रो ओर क घर ननक लन स सबनधत दिय कल प दकय ह तथ यह

भी दख ह दक वतत क च रो ओर क घर की लमब इ और वतत क वय स क बीच क ऄनप त क बर बर होत

ह जह ा नसथर क ह आस सबध को ननमन नस र नलख सकत ह-

वतत क च रो ओर क घर ही वतत क पररम प ह नजस वतत की

पररनध कहत ह

यदद वतत की नतरजय = r हो तो वय स = 2r होग

ऄतः

य वतत की पररनध = 2r जह ा

वतत की पररनध (C)= 2r

P a g e | 192

ईद हरण 3 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो वतत की पररनध जञ त कीनजए

C = 2r

C = समी

ईद हरण 4 दकसी वतत क एक चककर 1 दकमी क ह ईस वतत की नतरजय कय होगी

C = 2r

1000 = [ 1 दकमी = 1000 मीटर]

7 times 1000 = 2 times 22 times r

r = मी

r = 1509 मी

ऄभय स 172

1 नवनभनन वततो की नतरजय ननमननलनखत ह पररनध की गणन कीनजएः

1 35 समी

2 105 समी

3 175 समी

2 नवनभनन वततो की पररनध की लब इ दी गइ ह नतरजय जञ त कीनजएः

1 500 मी 2 100 मी

3 22 समी 4 11 समी

3 एक पनहए की नतरजय ) मी ह गय रह दकमी दरी तय करन क नलए पनहए को दकतन चककर घमन

होग

2 22 7

744

2 22

7

r

7 1000

2 22

r

1750

11

P a g e | 193

परशन वली 17

(1) ननमन म स बनद अकनतयो को छ ाटकर ईनकी पररम प जञ त कीनजए

(2) ननमन अयतो म स परतयक क पररम प जञ त कीनजए लमब इ चौड़ इ ननमन नस र ह

I लमब इ = 15 समी चौड़ इ = 6 समी

II लमब इ = 12 समी चौड़ इ = 6 समी

III लमब इ = 35 समी चौड़ इ = 25 समी

IV लमब इ = 100 समी चौड़ इ = 50 समी

P a g e | 194

(3) नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय परतयक कथन क स मन ददए गए कोषठक म नलनखए तथ

ऄसतय कथनो को सध र कर कॉपी म नलनखए -

(I) परतयक वगम एक अयत होत ह ( )

(II) परतयक अयत एक वगम होत ह ( )

(III) अयत की परतयक भज समी म म पी गयी हो तो ( )

आसक पररम प मीटर म होग

(IV) अयत क पररम प ईसक च रो भज ओ क योग ( )

क बर बर होत ह

(4) एक वगम की भज 15 समी ह आसक पररम प जञ त कीनजए

(5) एक अयत की लमब इ 20 समी और चौड़ इ 05 मीटर ह तो आसक पररम प समी व मीटर म जञ त

कीनजए

(6) ननमन अकनतयो क न प समी म ददय गय ह ईसक पररम प जञ त कीनजए

P a g e | 195

(7) एक अयत क र मद न की लमब इ 25 मीटर व चौड़ इ 10 मीटर ह आसक दकन र दकन र एक

नखल ड़ी च र चककर पर करत ह ईसन दकतनी दरी तय की ह

हमन सीख

1 पररम प व कषतरफल कवल बद अकनतयो क ही सभव ह

2 बद अकनतय ा वह होती ह जो नबन दहर ए ऄपन पर रनभक नबनद पर सम पत होती ह

3 अयत क कषतरफल = लमब इ times चौड़ इ

4 अयत क कषतरफल = अयत क ऄनतः भ ग क कषतरफल

5 परतयक वगम अयत हो सकत ह परत परतयक अयत वगम नही हो सकत

6 वगम क कषतरफल = (भज )2

7 अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

8 वगम क पररम प = 4 times भज

9 1 वगम मीटर = 1 मीटर times 1 मीटर

= 100 समी times 100 समी = 10000 वगम समी = 10000 समी2

- परायोजना कायण- अपनी का की ऱॊबाई और चौड़ाई माप कर पररमाप ऻात कीजजए

P a g e | 196

18

हम र असप स बहत सी अकनतय ा ह हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो आम रतो और ऄनय

चीज़ो को दखत ह आन सभी म हम सडौलपन व एक परक र की त रतमयत ददखती ह आनम स कइ

अकनतय ा सतनलत ऄनप त म ह कइ ऐसी भी ह जो कइ जगहो म एक सी ददखती ह कइ ऐसी भी ह जो

ऄपन अप म दो एक जसी अकनतयो स नमल कर बनी ददखती ह य सब अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

ददन-परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

य सब अकनतय ा सनदर लगती ह आनकी बन वट म सतनलत ऄनप त ह और समनमनत ह

P a g e | 197

दिय कल प 1

समनमनत ऄकष

दी गइ अकनतयो को दख यदद हम आनम स दकसी एक अकनत को आस तरह मोड़ प ए दक आसक

अध ब य ा भ ग अध द य भ ग स ऄथव अध उपर क भ ग नीच क अध भ ग स पणमतय नमलत

जलत हो तब हम कहग दक अकनत म समनमनत की रख ह ऐस म दोनो अध भ ग एक दसर क परनतनबमब

ह

नचतर 2 (क) दख टटी रख पर मोड़न पर नचतर क दोनो नहसस ठीक एक दसर को ढक लग ऐस ही

ब की नचतरो म भी दख

यदद हम मोड़न व ली रख पर एक समतल दपमण रख द तो भी समनमत अकनतयो म अकनत क एक

भ ग क परनतनबमब दसर भ ग को पणमतय ढ़क लग आन नचतरो म मोड़ (व सतनवक य क लपननक रख )

बन ए व एक दपमण लकर सभी नचतरो म टटी ल आन पर रखकर दख

कय दपमण म ददखी अकनत नचतर क ब की नहसस क सम न ही थी यह दपमण रख अकनत की

समनमनत की रख (य समनमनत ऄकष) कहल ती ह

रोहन क कहन ह दक उपर जो भी अकनतय ा बन ह व सभी समनमत अकनतय ा ह कय अप आसस

सहमत ह कयो

अप भी प ाच समनमत अकनतय ा बन आय और ईनक समनमनत ऄकष खीनचय

दिय कल प 2

समनमत अकनतय ा पहच ननय

नीच दी अकनतयो म स कौन-कौन सी अकनतय ा समनमत ह

P a g e | 198

समनमत अकनतयो को अपन कस पहच न

ऄब ईनक समनमनत ऄकष भी बन ए कय जो अकनतय ा समनमत नही ह

ईनम अप कछ जोड़ कर समनमत अकनतय ा बन सकत ह कोइ एक अकनत

लकर सोचो

समनमत अकनतयो म अकनत क अध भ ग समनमत ऄकष पर दसर अध

भ ग को पणमतय ढाक लत ह

अकनत िम क 3 (ख) समनमत अकनत नही ह दकनत ईसम यदद एक और खमभ जोड़ ददय ज ए तो

दफर नइ अकनत समनमत होगी आसक समनमनत ऄकष कह ा ह ब की अकनतय ा जो समनमत नही ह ईनह भी

आसी परक र समनमत बन ए

दिय कल प 3

कौन स ऄकषर समनमत ह

अप मोट क गज़ क टकड़ म स ABCD Y Z क रप क रटए दो नडबब लकर एक

पर समनमत ह एव दसर पर समनमत नही ह की पची नचपक द

ऄब ABCDको एक-एक करक दनखए पत कर दक कय ईस ऄकषर क अध भ ग समनमत

ऄकष पर शष अध भ ग को परी तरह ढक लत ह य नही

नजस ऄकषर म दोनो भ ग एक दसर को ढक लत ह ईस दकस नडबब म ड लग

समनमत व ल नडबब म कौन-कौन स ऄकषर अए

दकसम जय द ऄकषर ह

यही ऄभय स कखग ह ऄकषर क ट कर भी करो कौन स ऄकषर समनमत नमल

दिय कल प 4

ऐसी भी समनमनत

एक क गज़ लो एव ईस दो सम न भ गो म मोनड़य

एक अध भ ग पर सय ही य रग की कछ बद ड नलए दसर

भ ग को मोड़ कर पहल भ ग पर रखकर दब आए अप कय

दखत ह

कय पर पत अकनत समनमत ह यदद ह ा तो आसकी समनमनत

रख कह ा ह

कय ऐसी कोइ ऄनय रख भी ह जह ा स मोड़न पर दो सम न भ ग पर पत हो सकत होऐस ही कछ

और परनतरपो को बन न क परय स कीनजए

P a g e | 199

अप ऄपनी ककष म ईपलबध वसतओ को दख ईनम समनमत अकनत व ली वसतओ की सची

बन आए जस शय म पटट मज की उपरी सतह अपकी कॉपी अदद-अदद कय पख क पख की अकनत भी

समनमत ह चच म करक ऄपनी सची गरजी को ददख ए परतयक समनमत वसत क नचतर बन कर ईसम

समनमनत रख भी खीनचए

दिय कल प

ऄब आन नचतरो को दनखए -

कय य समनमत ह

अपन ऄपन घर की दीव र य ग ाव क ऄनय घरो की दीव र म बन हए नचतर दख ह ऄपनी कॉपी म

भी ऐस ही नचतर बन आए

कय व नचतर समनमत होत ह ईनक समनमनत ऄकष बन ए

दिय कल प 6

समनमनत पहच ननए

आनम स कौन स नचतर समनमत ह जो समनमत नही ह ईनह समनमत म बदल कर बन ओ

कय अपन कभी रगोली बन इ ह रगोली म ऐसी भी अकनतय ा नमलती ह

P a g e | 200

आनम ऄलग-ऄलग घरो म ऄलग-ऄलग तरह स रग भर ज सकत ह

रग भरन पर यह सनदर लगती ह कय आनम भी कोइ समनमनत ऄकष ह हरक अकनत म दख

कय दकसी अकनत म एक स ऄनधक समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 7

अपक जय नमनत बॉकस म दो सट सव यर म स एक क कोणो

की म प 900 600 और 300 ह ऐस ही दो सम न सट सव यर लीनजए

आनह अपस म नमल कर रनखए और एक पतग जसी बन आए

जस दक नचतर म ददख य गय ह आस अकनत म दकतनी समनमनत

रख एा ह

आसी परक र ऄब दसर परक र क दो सट सव यर (कोणो की

म प 900 450 और 450) लीनजए और पहल की तरह स थ-स थ जोड़

कर रनखए कसी अकनत बनी

आसम दकतनी समनमनत रख एा ह ऐसी और अकनतय ा सोचो नजनम एक स ऄनधक समनमनत

रख एा हो

दिय कल प 8

अयत और समनमनत

एक पोसटक डम लीनजए ईस लमब इ की ओर स मोनड़ए (नचतर 12 क) नजसस दक एक अध

भ ग दसर अध भ ग को पणमतय ढाक ल कय यह मोड़ एक समनमनत की रख ह

ऄपन ईततर क क रण बत ओ

आस खोनलए और पनः एक ब र चौड़ इ की ओर स सम न तरीक स मोनड़ए (नचतर 12 ख)

कय यह दसर मोड़ भी समनमनत की रख ह

कय अपको लगत ह आसम समनमनत की दो ही रख एा ह

उपर सट-सव यर स बन वगम क ब र म दफर स सोचो आसम समनमनत की दकतनी रख ए ह

P a g e | 201

दिय कल प 9

दपमण और समनमनत

नीच एक छ त क नचतर 13 (क)ह नचतर 13 (ख) म छतरी क अध नहसस को समतल दपमण क

स मन खड़ ददख य गय ह दपमण क चमकद र नहसस की ओर स स मन क अध नहसस और ईसक

परनतबबब को धय न स दख कय छतरी क नचतर पर परतीत होत ह

दिय कल प 10

नचतर म अध चहर ह रख AB पर समतल दपमण रखन पर कय चहर पणम परतीत होत ह

AB पणम अकनत क समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 11

ऐसी कौन-कौन सी अकनतय ा ह नजनम समनमनत ऄकष पर समतल दपमण रखन पर दोनो तरफ क

नहसस परनतबबनबत होत ह

आन अकनतयो को दनखए तथ टटी रख ओ पर समतल दपमण की ऐसी नसथनत क पत लग आए

जह रखन पर परनतबबब अकनत और व सतनवक अकनत एक जसी ह

P a g e | 202

परशन वली 181

ननमन अकनतयो म कौन-कौन सी समनमत ह आनम समनमनत ऄकष ढदढ़ए समनमत अकनत म समनमनत ऄकषो

की सखय नलख व समनमनत ऄकष दश मए

वतत म समनमनत ऄकषो की सखय दकतनी ह

वतत ऄपन परतयक वय स क स पकष समनमत ह ऄथ मत दकसी भी

वय स पर स क टन पर दोनो नहसस बर बर होत ह

दिय कल प 12

एक वग मक र क गज़ लो आस एक ब र उपर स नीच एव पनः

एक ब र ब य स द य मोनड़ए ऄब दी गइ अकनत क ऄनस र नडज़ आन बन आए

जस दक ददख य गय ह जो अकनत बन इ गइ ह ईस पर स क रटए और मोड़

खोल कर क गज़ को फल ए

आनम दकतनी समनमनत रख एा ह

P a g e | 203

दिय कल प 13

समनमत रख एा

तीन बॉकस लो तीनो पर क गज़ की नचट चसप कर दो

पहल बॉकस पर एक समनमनत रख दसर पर दो समनमनत रख एा एव

ऄनय पर तीन य तीन स ऄनधक रख य नलख हअ हो

अप ऄपन ABC YZ क टकड़ो को दख एव म लम

कर दक आनम दकतनी समनमनत रख एा ह नजन ABCD म एक

समनमनत रख ह ईस एक क बॉकस म नजनम दो समनमनत रख एा ह

ईनह दो क बॉकस म एव नजनम तीन य ऄनधक समनमनत रख एा ह

ईनह ईस बॉकस म ड ल ऄपन स नथयो स चच म कर

कय ऄब अप बत सकत ह दक सबस जय द समनमनत

रख एा ऄगरजी क दकस ऄकषर म ह ऐस और भी नचतरो व अकनतयो को

आसी परक र समनमनत ऄकष क अध र पर छ रटए

समनमनत और कह ा-कह ा

1 बस म सफर करत वकत रोड स आन (म गम सचक) सकत य नचहन को दखत ह आन रोड स आन म

स व नजनम समनमनत की रख एा होती ह आनह पहच नो एव ऄपनी कॉपी म नलखो

2 पड़ोपनततयोडठल को दखो कय आनम समनमनत की रख एा होती ह

3 कय ददय गय नचतर म समनमनत की रख ह

4 कय त श क पततो म भी समनमनत की रख एा ह दकस पतत म दकतनी समनमनत

रख ह एक ह दो ह तीन ह य ऄनधक ह बत आए

5 खलो क मद नो एव बोडम म भी समनमनत की रख ए होती ह अप ऐस मद नो एव

बोडम की सची बन ए एव ऄधय पक को बत ए

6 सभी परक र क व हनो म भी समनमनत होती ह जस बसटरक

P a g e | 204

क गज़ो दव र बन वट

एक अयत क र रगीन क गज़ लो आस कइ ब र मोनड़ए एव आस नचतर म दी गइ अकनत क

ऄनस र क ट लो ऄब खोल कर दखो

आसको ऄपनी कॉपी पर रखकर आसम नवनभनन रग भर कर दखो कय आन नचतरो म समनमनत

ददख इ दती ह

रगोली

कय अपन कभी तयौह रो क ऄवसर पर घर पर कभी रगोली बन इ ह

कय आनम समनमनत क परयोग होत दख ह आस परक र क नवनभनन रगोली पटनम को क गज़ पर

ईत र कर एक एलबम बन ए

महदी

घरो म मनहल ओ को महदी लग त हए दख ह कय महदी म भी समनमनत होती ह ऄपनी

ककष की लड़दकयो क स थ चच म करो

P a g e | 205

परशन वली 182

पर1 नीच दी गइ अकनतयो म पत लग आए दक कौन सी समनमत ह एव कौन सी ऄसमनमत ह

पर2 ऄपन असप स म नसथत 5 ऄसमनमत अकनतयो क न म नलखो जो आस पसतक म नही अइ हो

पर3 900 क कोण बन आए और ईस पर समनमनत रख खीनचए

पर4 6 cm क एक रख खणड़ खीनचए और ईसक समनमनत ऄकष बन आए

पर5 नीच दी गइ अकनतय ा ऄधरी ह नजनक समनमनत ऄकष PQ ह आनह परी कीनजए

पर6 नीच कछ मड़ी हइ शीट की अकनतय ा दी गइ ह नजनकी तह पर अकनतय ा बन इ गइ ह परतयक म पणम

अकनत की रपरख खीनचए जो नडज आन क क टन क ब द ददख इ दगी

P a g e | 206

पर7 नीच दी गइ अकनतयो को एक च र तह व ल वग ादकत क गज़ पर बन त तो कसी ददखती

सोच कर वसी ही अकनत ऄपनी कॉपी म बन ओ यदद नही सोच प त तो क गज़ क ट कर पत

लग ओ

पर8 1 स 100 तक की सखय ओ म स समनमत सखय एा कौन-कौन सी ह पत लग ओ एव ऄपनी कॉपी म

नलखो

नतरनवमीय अकनतय ा

हम ऄपन दननक जीवन म कछ ऐसी ठोस वसतओ को दखत ह नजनक अक र सप ट नही

होत ह

P a g e | 207

फलक दकन र और शीषम

नतरनवमीय अक रो म हम ईनक फलको दकन रो और शीषो को सरलत स पहच न सकत ह

नचतर 28

ईद हरण क नलए एक घन को लीनजए घन भ की परतयक ईपरी सप ट (अयत क र) सतह एक

फलक ह आसक दो सलगन फलक एक रख खणड म नमलत ह जो घन भ क दकन र कहल त ह घन भ क

तीन सलगन दकन र एक नबनद पर नमलत ह नजस घन भ क शीषम कहत ह

आस परक र एक घन भ म 6 अयत क र फलक 12 दकन र और 8 शीषम होत ह

ऄभय स

1 ईनचत सबध जोनड़ए

(i) शक (i)

(ii) गोल (ii)

(iii) बलन (iii)

(iv) घन (iv)

(v) घन भ (v)

2 ननमन वसतएा दकस अक र की ह -

(i) चॉक क नडबब

(ii) टननस बॉल

(iii) प आप

(iv) जोकर की टोपी

(v) प स

3 दकनही च र वसतओ क न म बत आए जो एक घन भ अक र स नमलती जलती हो

4 दकनही ऐसी तीन वसतओ क न म बत आय जो बलन क अक र स नमलती जलती हो

P a g e | 208

5 नीच दी गयी गइ स रणी म नतरनवमीय अकनतयो क फलक दकन र व शीषो की सखय नलनखए -

हमन सीख

1 हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो को आम रतो को और ऄनय चीज़ो को दखत ह य सब अकनतय ा

समनमत अकनतय ा ह

2 समनमतत स वसतएा सनदर लगती ह

3 ददन परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

4 हम र अस-प स कइ परक र की नतरनवमीय अकनतय ा होती ह आनम स कछ घन घन भ गोल

बलन और शक ह

P a g e | 209

19

स नखयकी

भनमक

श ल म ककष सज वट क क यमिम अयोनजत होन थ ककष 7वी क नवदय थी यह तय नही कर प

रह थ दक ककष क ऄदर दीव रो की पत इ दकस रग स कर इ ज य ईनकी श ल म हलक पील गल बी

हलक हर एव असम नी म तर च र रग ही ईपलबध थ ककष न यक क कहन पर सभी नवदय रसथयो न ऄपन

न म एव पसदीद रग एक पनन पर नलख ददय जो ननमन दकत स रणी म परदरसशत हः-

आन सचन ओ क अध र पर कय अप

यह ननणमय ल सकत ह दक दीव र पर कौन-स

रग स पत इ कर नी ह तभी रीत को एक

तरीक सझ ईसन बोडम पर रगो क न म

नलख तथ परतयक रग को पसद करन व ल

नवदय थी को ऄपनी पसनद क रग क स मन

ऄपन न म नलखन को कह

ऄब सची आस परक र बनीः-

P a g e | 210

चदक हलक पील रग पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय ऄनधक थी आस क रण आसी रग स

पत इ कर न क ननणमय नलय गय

दननक जीवन म कय अपन ननणमय लन क नलए कभी यह तरीक ऄपन य ह

अप ऄपनी ककष म तरम नसक परीकष म परतयक नवषय म 34 स ऄनधक और 34 स कम ऄक पर पत

करन व लो की सची बन आए कय आस अध र पर अप बत सकत ह दक दकस नवषय क परीकष फल सबस

ऄचछ ह और दकस नवषय क सबस खर ब

अाकड़ (Data)

कोइ भी ननणमय लत समय अपको कछ न कछ ज नक ररयो की अवशयकत होती ह आन अवशयक

सखय तमक ज नक ररयो को ही अाकड़ कहत ह

म न अपको ऄपनी ककष क नवदय रसथयो क पढ़न क नलए एक सम च र पतर खरीदन ह अप

कौनस सम च र पतर खरीदग नजस ऄनधक स ऄनधक नवदय थी पढ़न पसद कर यह ननणमय अप कस लग

सभी नवदय रसथयो न एक स रणी तय र की नजसम पसद क सम च र पतर क स मन सभी न ऄपन -

ऄपन न म नलख दफर नजस सम च र पतर को पसनद करन व लो की सखय सव मनधक ह ईस ही खरीदन

क ननणमय नलय गय

जली स रनणयो को ब र-ब र दख रही थी और सोच रही थी दक आन स रनणयो म न म नलखन क

कोइ मतलब ही नही ह हम तो म तर यह नगनन ह दक च ही गइ ज नक री क पकष म दकतन छ तर ह न म न

नलखकर ईसक सथ न पर दकसी सकत क भी ईपयोग दकय ज सकत ह

कय अप जली की सोच स सहमत ह कय ऐस कोइ तरीक सोच सकत ह नजसम न म क सथ न

पर कवल सकत नचनह क ईपयोग करक ही गणन की ज सक

बसत न एक सझ व ददय दक कयो न परतयक न म क सथ न पर एक-एक खड़ी लकीर क ईपयोग

दकय ज ए और ऄनत म सभी खड़ी लकीरो की नगनती कर ली ज ए सभी नवदय थी आसस सहमत थ

ऄननत न कह lsquolsquoचलो हम खलो की लोकनपरयत क िम पत लग वrsquoऄननत न बोडम म 4 खलो क

न म नलख और ऄपन-ऄपन पसद क खल क स मन परतयक नवदय थी को एक खड़ी लकीर खीचन को कह

स रणी कछ आस परक र बनीः-

P a g e | 211

परनत आस परक र की स रणी म जय द खड़ी लकीरो को नगनन म ऄसनवध होती ह आसनलए नजस

परक र स अपन छोटी ककष ओ म नगनती सीखत वकत दस-दस क बणडल बन ए थ ईसी परक र यदद प ाच-प ाच

क बणडल बन ल तो अपको नगनन म अस नी रहगी हम च र खड़ी लकीर खीचकर प ाचव क नलए आन

च रो लकीरो को क टत हए एक नतरछी लकीर (दश मय ऄनस र) खीचत ह जस 5 क नलए-

5 क नलए

19 क नलए

आसस नगनन म सरलत होती ह

ईपरोकत त नलक क ऄनस र दिकट पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय | | | | | | ऄथ मत 7 ह

आस ही ब रमब रत (Frequency) कहत ह परतयक म न क नलए एक खड़ी लकीर खीचन की परदिय को

टली (Tally) लग न कहत ह तथ आस नवनध को टली नवनध (Tally method) दव र अकड़ो क सकलन

(Collection of Data) कहत ह एव आसस पर पत स रणी को ब रमब रत स रणी (Frequency Table)

कहत ह

अप भी आस नवनध क ईपयोग कर ऄपन असप स क अकड़ो को एकनतरत करन क परय स कीनजए

ईद हरण-1 एक ग व क 20 घरो म बचचो की सखय आस परक र हः-

आन अाकड़ो क दव र टली नवनध क परयोग कर ईपयकत ब रमब रत स रणी क ननम मण कीनजए

परतयक घर म बचचो की सखय ईनक नलए टली नचनह तथ ब रमब रत क नलए कॉलम बन त ह तथ

परतयक म न क नलए ईसक स मन टली नचनह लग त ह प ाचव नचनह को सनवध क नलए पर रनभक

च र नचनहो को क टत हए नतरछ लग त ह

आस स रणी म अपन बचचो की सखय क नलए कवल शनय स च र तक क ऄको को ही कयो नलख ह

यदद आस 1 स शर दकय ज त तो कय होत

यदद स रणी म बचचो की 01234567 तक नलखत तो कय होत

P a g e | 212

अाकड़ो क नचतर तमक परदशमन

र जश अज क सम च र पतर पढ़ रह थ नजसम नलख थ ः-

lsquolsquoलड़दकयो न लड़को स ब जी म रीrdquo

आस वषम की 8वी बोडम की परीकष म

लड़दकय ा सभी कषतरो म लड़को स अग रही

र जश नचतरो को दखकर सोचन लग -

lsquolsquoयह तो अकड़ो क परदशमन क ऄचछ तरीक ह

आन नचतरो को दखकर बड़ अस नी स यह समझ

ज सकत ह दक छ तर ओ क परीकष फल छ तरो स

सभी परक र स ऄचछ हrdquo ऐस ही कछ हम जब

पर थमन म ल आन बन कर खड़ होत ह तब दखन

को नमलत ह ल आनो की लमब इ की सह यत स

ककष क छ तर सखय की तलन की ज सकती ह र जश न ऄपन स नथय स कह - lsquolsquoकयो न स रणी-3 म

एकनतरत अाकड़ो की मदद स खलो की लोकनपरयत को नचतर रप म परदरसशत दकय ज एrsquorsquo

स रणी-3 म कल नवदय रसथयो की सखय 16 थी आनम स फटब ल क खल पसद करन व ल 3

दिकट पसद करन व ल 7 वॉलीबॉल पसद करन व ल 1 कबिी पसद करन व ल 5 नवदय थी थ आनह नचतर

रप म दकस परक र परदरसशत दकय ज सकत ह

जली न कह lsquolsquoयदद हम परतयक छ तर क नलए एक नचतर बन ए तो फटब ल क अग 3 नचतर दिकट

क अग 7 नचतर वॉलीबॉल क अग 1 और कबिी क अग 5 नचतर बनग-

फटब ल

दिकट

वॉलीबॉल

कबिी

आसी परक र नचतरो क दव र परदशमन को नचतर अरख (pictograph) कह ज त ह यह अस नी स

समझन योगय होत ह एव नचतरो को दखकर ननषकषम ननक ल ज सकत ह

दणड अरख

नचतर अरख की नवनध स परदशमन म हम बहत स नचतरो को बन न की अवशयकत

होती ह जो कभी-कभी ऄवय वह ररक हो ज ती ह दकनत यदद हम परतयक छ तर क

नलए 1 समी लमब इ लकर यदद दणड बन ए तब अकड़ो क परदशमन म और सरलत

होगी तथ आन दणडो को कषनतज ऄथव ईधव मधर दोनो तरीको स बन य ज सकत ह

P a g e | 213

आन अरखो म दणडो की चौड़ इ सम न रखी गयी ह आन दणड अलखो को दखकर आन खलो की

लोकनपरयत क ऄनद ज अस नी स लग य ज सकत ह ईकत ननरपण म नवदय रसथयो की सखय कम थी

ऄतः परतयक नवदय थी क नलए दणड की लमब इ 1 समी लकर ईस कॉपी म अस नी स दश मय ज सकत ह

दकनत यदद नवदय रसथयो की सखय ऄनधक हो तो ऐसी नसथनत म ईस कॉपी पर कस दश मएग

ऐसी नसथनत म दणडो की उा च इ क ननध मरण करन मखय समसय ह

अआए आस पर नवच र कर-

र जश नजस मोहलल म रहत ह वह 750 परष 660 मनहल ए एव 140 बचच ह हम आस अरख क दव र

परदरसशत करन ह

आन अाकड़ो क दणड क रप म परदरसशत करन क नलए दणडो की उा च इ कय होनी च नहए

यदद हम परतयक वयनकत क नलए 1 समी की उा च इ ल तो परषो क नलए 750 समी मनहल ओ क

नलए 660 समी एव बचचो क नलए 140 समी क दणड बन न होग दकनत आस ऄपन कॉपी म बन न सभव

नही ह

यदद हम परनत 10 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब य दणड िमशः 75 समी 66 समी एव

14 समी क दणड बनग दकनत आस भी हम ऄपनी कॉपी म परदरसशत नही कर सक ग

यदद हम परनत 100 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब दणड की लमब इय ा िमशः 75 समी

66 समी एव 14 समी होगी जो दक अस नी स हम री कॉपी म बन इ ज सकती ह तो अआए दखत ह

दक आस दकस परक र स हम एक दणड नचतर क म धयम स दश मएग-

P a g e | 214

आन अकड़ो को परदरसशत करन म दणड को ईधव मधर बन य गय ह आस ईधव मधर दणड अरख

(Vertical Bar Graph) कहत ह दणडो को हम कषनतज रप म भी परदरसशत कर सकत ह

यदद हम दणडो को कषनतज रप म परदरसशत कर तो ईस कषनतज दणड अरख (Horizontal Bar

Graph) कहग (नचतर-6)

ऄननत क मन म एक परशन ईठ रह थ दक दणड अरख की कय ईपयोनगत ह कयोदक ब रमब रत

स रणी क ऄवलोकन स भी हम वही ज नक री नमल ज ती ह जो दणड अरख स नमलती ह

अआय ऄननत क आस परशन क हल ढढ

नीच वषम 1991 स वषम 2000 तक गहा क ईतप दन क अकड़ ददए गए ह ः-

आन अकड़ो को दणड-अरख दव र आस परक र वयकत कर सकत ह-

P a g e | 215

आस दणड अलख को दखकर कय अप बत सकत ह दक दकस वषम म गहा क ईतप दन सबस कम और

दकस वषम म सबस ऄनधक हअ आसस और कय -कय ज नक ररय अपको नमल सकती ह नलनखए

अप प यग दक वषम 1995 म सबस ऄनधक तथ वषम 1991 म सबस कम गहा क ईतप दन हअ ह

यह भी प त ह दक 1992 एव 1999 दोनो वषो म गह ईतप दन एक सम न हअ ह कय

ब रमब रत स रणी को कवल दखकर ऐस ही ननषकषम ननक ल प यग

यह सपषट ह दक नसफम अकड़ो को दखकर दकसी ननषकषम म पहचन करठन होत ह आसक नलए सभी

ददय गए अकड़ो क सकषम ऄधययन जररी ह जबदक दणड अरख को कवल दखकर ही कह सकत ह दक दकस

वषम ईतप दन सबस ऄनधक और दकस वषम सबस कम हअ ह ऄतः दणड अरख क मखय ल भ यह ह दक आस

एक ब र दखकर ही समझ म अ ज त ह तथ ऄनय अाकड़ो स तलन बड़ी अस नी स की ज सकत ह

परशन वली 19

1 दकसी ककष म 20 छ तरो न गनणत की ज ाच परीकष म 5 म स ननमन ऄक पर पत दकए-

3 2 5 4 0 1 2 3 5

4 1 0 3 2 3 4

आन पर पत को को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

2 1 ऄपरल 2005 स 15 ऄपरल 2005 तक दकसी शहर क ऄनधकतम दननक त पम न नडगरी सनलसयस

म आस परक र रह 378 378 379 380 379 379 380 381 381

382 383 383 382 381 382

परतयक ददन क त पम न को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

3 नीच ददए गए स रणी म ककष 6वी क छ तरो क परीकष फल शरणीव र ददए गए ह आनक ऄवलोकन

कर ददए गए परशनो क ईततर दीनजएः-

P a g e | 216

शरणी छ तरो की सखय

परथम शरणी 12 (क) दकस शरणी क छ तरो की सखय सबस ऄनधक ह

नदवतीय शरणी 14 (ख) परीकष म बठ छ तरो की कल सखय दकतनी थी

ततीय शरणी 10 (ग) कल दकतन छ तर ईततीणम हए

ऄनततीणम 04

4 नीच दी गइ स रणी म दकसी कपनी की 5 वषो की व रसषक अय दी गइ

ह अकड़ो को दड अरख दव र दश मआए-

5

ननमन स रणी ऄलग-ऄलग टीवी सट क खरीदद रो की सचन दती ह आन अकड़ो को दड अरख

क रप दीनजए

6 ननमन स रणी एक नवदय लय की व रसषक परीकष म छ तरो क औसत पर पत को को दश मती ह अकड़ो

को दड अरख दव र परदरसशत कीनजए

P a g e | 217

P a g e | 218

उततर माऱा परशनावऱी 1

1- 1

2- 41600]

3- (i) gt (ii) gt (iii) = (iv) lt

(v) gt (vi) gt

4 20 5- 9899

परशनावऱी 21

1 1 2 0 3 4 4 464748 5 41806

(i) ऄसतय (ii) सतय (iii) सतय (iv) सतय (v) सतय

(vi) सतय (vii) ऄसतय (viii) ऄसतय

7 (i) 24 (ii) 78 (iii) 519 (iv) 1099 (v) 52331

8 (i) 26 (ii) 521 (iii) 1101 (iv) 52333

9 100000 10 99999 11 1

12 18 252421497 557 731

13 617 458 225 69 59

14 (ii)

15 6387

परशनावऱी 22

1 (i) 391 (ii) 40 (iii) 40 (iv) 39 (v) C

2 (i) (23589+411) + 1248=25248 (ii) (32+68) + (2546+544) = 3190

(iii) (247+153) + 376 = 776 (iv) (143+857) + 456= 1456

(v) (32958+12042) + 5000= 50000

3 0 4 दो पणम सखय ओ क योग सदव पणम सखय होत ह 5- (i) 4559 (ii) 0 (iii) 8 7 6

- 2 3 9

6 3 7

6 1 7 0 8 1216 76 = 16 9 32

10 20310

11 (i) भ गफल = 215 शषफल = 32 (ii) भ गफल = 14 शषफल = 735

(iii) भ गफल = 309 शषफल = 145

P a g e | 219

12 (i) 7 3 5 (ii) 4 9 3 1

_ 4 2 9 - 3 0 7 8

3 0 6 1 8 5 3

13 390 14- 3414 15 31825 16 9

17 780

परशनावऱी 3

1 (i) सतय (i) ऄसतय (i) सतय (i) सतय (i) ऄसतय

2 (i) 3 AB व CD (i) RS व PQ (i) SR व TU 4 C एव E

परशनावऱी 4

1 (i) -2 (ii) 2 (iii) -9

(iv) 8 (v) -4 (vi) 3

(vii) -5 (viii) 8

2 (i) 1028 (ii) -266 (iii) 36

(iv) 154

3 (i) = (ii) lt (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) gt

4 (i) 30 (ii) 90 (iii) 24

(iv) 24 (v) 0 (vi) 42

5 (i) gt (ii) = (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) lt

(vii) =

6 13 7 100

8 (i) 15 (ii) -10 (iii) -4

(iv) ऄपररभ नषत (v) 14 (vi) 19

9 (i) 4 (ii) -2 (iii) -1

(iv) -12

10 (i) -17 (ii) 23 (iii) -68

(iv) 75

11 (i) 18 (ii) -26 (iii) -161

(iv) 79

परशनावऱी 5

5 44 समी

6 (i) नतरजय (ii) कनर (iii) वय स

(iv) कनर (v) सम न (vi) नतरजय

(vii) जीव

P a g e | 220

परशनावऱी 61

1- (i) 12 (ii) 18 (iii) 10 (iv) 27

2- (i) 36 (ii) 150 (iii) 24 (iv) 15

3- 1

4- (i) 36164] (ii) 201275 5- 17

6- 11 7- 44 8- 17] 113 ltsj 9- 30

परशनावऱी 62

मौनखक

1 4 2 338 3 24 4 7 स बड़ 5 नही

नलनखत

1- i 28 ii- 324 iii- 180 iv- 2520

2- i 56 ii 1904 iii 360 iv 16560

3 10 4 15 ब र 5 23 जनवरी

6 72 7 221 8 20 ददन

9 नही कयोदक म स सदव ल स क एक गणनखणड होत ह

10 415 स ाय

परशनावऱी 7

1 (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv ऄसतय (v) सतय (vi) ऄसतय

(vii) सतय (viii) ऄसतय (ix) सतय (x) सतय

2- (i) (ii)

(iii) 8 gt 8 gt 08 gt 008 gt 0008 (iv) 01 gt 00992 gt 0099 gt 0012

3- (i) (ii)

4- (i) (ii) 80001 (iii) (iv) 1 (v)

(vi)

5- (i) 24 (ii) 77 (iii) 36 (iv) 8

6 उचित अनचित

परशनावऱी 81

1- (i) AOB (ii) LMN (iii) PQR (iv) STU (v) अ ब स

1

3

9

24

5

8

5

6

3

2

1

8

2

15

1

6

1

4

1

2

8

9

7

8

5

6

7

6

3

4

8

12

1

2

1

6

519

40

15

14

3

4

P a g e | 221

4 180deg

परशनावऱी 82

1 (i) सतय (ii) ऄसतय (iii) सतय (iv) सतय

(v) सतय (vi) सतय (vii) सतय

2 (i) ऄनधक कोण (ii) नयन कोण (iii) समकोण (iv) सरल कोण

(v) नयनकोण (vi) ऄनधक कोण (vii) नयन कोण (viii)नयन कोण

(ix) नयन कोण (x) नयन कोण

परशनावऱी 91

1 (i) ऄसतय (ii) सतय (iii) ऄसतय (iv) सतय (v)ऄसतय

(vi) ऄसतय (vii) सतय (vii) ऄसतय (viii) सतय (ix) सतय

2 400 3 450 4 600 5 ह ा

6 (i) नही (ii) नही (iii) ह (iv) नही (v) ह (vi) नही

परशनावऱी 92

ईततर (1) (i) समचतभमज (ii) 90O (iii) बर बर

(iv) समलमब (v) नवषमब ह चतभमज

ईततर (2) (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv) ऄसतय (v) सतय

परशनावऱी 101

2 (i) 1 4 (ii) 1 4 (iii) 3 20 (iv) 3 100

(v) 21 200 (vi) 40 1 (vii) 4 25

3 (i) 3 8 (ii) 1 3 (iii) 3 5 (iv) 9 19

(v) 6 17 (vi) 2 3 (vii) 5 7 (viii) 1 3

(ix) 2 9 (x) 1 20

4 (i) 1 16 (ii) 16 1

5 7 6

6 (i) 4 3 (iii) 4 7 7- 3 2

8 8 तथ 12 9 5 4 10 4 5

11 रतन को 10 अमशील को 8 अम

P a g e | 222

12 (i) 5 2 (ii) 4 1 (iii) 7 1 (iv) 7 4 (v) 5 3

13 र म को 9000 रपय तथ शय म को 12000 रपय

14 AB = 28 चिमी BC = 12 चिमी 15 (i) परतयि िो 3 (ii) 2 1 3

परशनावऱी 102

1 3850 र 2 (i) 8 घट म (ii) 35750 दकलोमीटर

3 (i) 10 दकलोगर म (ii) 48 दकत ब 4 1800 रपय 5 640 रपय

6 दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 3750

2 100

60 3000

परशनावऱी 11

1 (i) a=2r (ii) A = 1 x b (iii) s = c + p (iv) a + b (v) x - 7

(vi) A = p + c

2 (i) सही (ii) सही (iii)गलत (iv) सही (v) सही

परशनावऱी 12

1 एक पदी- vi viii नदवपदी-i ii iii iv v vii ix एव x

2 5xy एव xy 7c एव 2c yz एव yz

7bc एव bc z एव 7z 37pqr एव 9pqr

परशनावऱी 13

1 (i) 150 (ii) 250 (iii) 20 (iv) 15

2 (i) (ii) (iii) (iv)

3 216 रपय 4 72 दकलोगर म 5 50 6 9 रपय

9

44

5

11

13

2

7

1

2

3

20

1

50

1

10

P a g e | 223

7 3 टॉदफय ा 8 65 9 100

10 परष 28800 मनहल एा 25200 11 1 की कमी

12 10 13 800 14 20 15 ईततीणम 90ए ऄनततीणम 10

16 स कषर 1440 ननरकषर 160

परशनावऱी 141

1 i iv vi vii viii ix व x क समीकरण ह

2 I ब यॉ ा = x ndash 5 द य ा = 9 II ब यॉ ा = 2 x ndash 3 द य ा = 7

III ब य ा = 2y द य ा = 9 ndash y Iv ब यॉ = 2y द य ा = 6

I ब य ा = 15 द य ा = 2a + 5

3 I 2y ndash 3 = 17 II = 7 III y ndash 5 = 8

IV 3y + 11 = 44 V 7y - 5 = 9

4 (i) सखय म स 6 कम करन पर 9 पर पत होत ह

(ii) सखय क 7 गन म स 14 कम करन पर शनय पर पत होत ह

(iii) सखय क दगन म तीन क भ ग दन पर 6 पर पत होत ह ऄथव दकसी सखय

क दो नतह इ 6 पर पत होत ह

(iv) सखय क अध म 5 जोड़न स 10 पर पत होत ह

(v) 38 म स दकसी सखय क दगन कम करन पर 4 पर पत होत ह

परशनावऱी 142

(i) x = -1 (ii) z = 8 (iii) y = 3 (iv) y = 3 (v) x = 6

(vi) z =

2- (i) x= 2 (ii) z = 4 (iii) x = 75 (iv) y = 13 5

4 25

5 40

6 20

7 13 मीटर

y

6

7

3

P a g e | 224

परशनावऱी 16

(1) बनद अकनतय -

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii) (ix)

(2) (a) 12 वगम समी (b) 10 वगम समी

(c) 72 वरग मीटर (d) 135 वगम मीटर

(3) (a) 36 वगम समी (b) 144 वगम समी

(c) 169 वगम समी (d) 1225 वगम समी

(4) (a) 20 वगम समी (b) 24 वगम समी

(5) 36 वगम समी

परशनावऱी 17

1) (i) 12 समी (ii) 12 समी (iv) 6 समी

(vi) 8 समी (vii) 8 समी (viii)15 समी

2) (i) 42 समी (ii) 36 समी

(iii)12 समी (iv) 3 मीटर य 300 समी

3) (i) सतय (ii) ऄसतय (iii)ऄसतय (iv) सतय

4) (i) 60 समी

5) 14 मीटर

6) (i) 8समी (ii) 16समी (iii)32 समी (iv) 24 समी

(v) 20 समी (vi) 13 समी (vii) 18 समी

7) 280 मीटर

उततरमाऱा 181

1

P a g e | 225

उततरमाऱा 182

पर1

पर2 सवयॊ बताओ

पर3 पर4

पर5

पर6

पर7

पर8 3 8 11 13 18 22 33 44 55 66 77 88 99 83 38 80

P a g e | 226

उततरमाऱा 19

परषन 1

परषन 3 (क) नदवतीय शरणी (ख) 40 (ग) 36

P a g e | 227

पररनशषट

वददक गनणत की नवनधय ा

अप पण ाक प ठ क ऄतगमत वददक गनणत की नवनधयो स घट न व गण करन सीखग आस सीखन

क पवम अपको वददक गनणत की कछ पवम ऄवध रण ओ को ज नन अवशयक ह नजनकी चच म यह ा की ज

रही ह -

ऄभी तक अपन जोड़न घट न गण एव भ ग करन सीख नलय ह आन सदिय ओ को

करन की कछ सरल और मजद र नवनधय ा वददक गनणत म भी ह यह ा हम ईन नवनधयो स अपक पररचय

कर एाग आन नवनधयो क ब र म ज नन क पहल अआए ऄको स पररचय कर ल -

ऄक - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 य दस ऄक ह आनही ऄको क परयोग कर सभी सखय एा नलखी

ज ती ह

बीज क - वददक गनणत म 1 स 9 तक क ऄको को बीज क कहत ह दकसी सखय क बीज क जञ त

करन क नलए सखय क ऄको क योग तब तक करत ह जब तक एक ऄक की सखय पर पत न

हो ज ए

ईद हरण क नलए -

35 क बीज क जञ त करन क नलए आसक ऄको को जोड़ग

3 + 5 = 8

ऄतः 35 क बीज क 8 ह

आस परक र ndash

97 क बीज क -

9 + 7 = 16 लदकन 16 म 2 ऄक ह

ऄतः आसक ऄको को भी जोड़ग

1 + 6 = 7

ऄतः 97 क बीज क 7 ह

P a g e | 228

परम नमतर ऄक - नजन 2 ऄको क योग 10 होत ह व अपस म (एक दसर क) परम नमतर कहल त ह

जस - 1 + 9 = 10

ऄतः 1 क परम नमतर 9 ह

और 9 क परम नमतर 1 ह

अआए ऄब थोड़ ऄभय स कर

ऄभय स

1 सखय एा नलखन क नलए कौन-कौन स ऄको क परयोग होत ह

2 नीच नलखी सखय ओ क बीज क बत आए -

(i) 12 (ii) 15 (iii) 17 (iv) 19

(iv) 37 (v) 44 (vi) 56 (vi) 67

(vi) 96 (vi) 183

3 आनक परम नमतर बत आए ndash

(i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5

एक नधकन पवण

एक नधकन पवण क मतलब ह पहल की सखय स एक ऄनधक

जस 2 क एक नधक ह 3 आसी परक र 3 क एक नधक ह 4

कय अप 1 स 9 तक परतयक सखय क एक नधक बत सकत ह

एक नयनन पवण

एक नयनन पवण क ऄथम ह पहल की सखय स एक कम

जस 8 क एक नयनन 7 ह आसी परक र 5 क एक नयनन 4 ह ऄब अप 9 स 1 तक परतयक

सखय क एक नयनन बत आए

P a g e | 229

वददक गनणत की नवनधयो म ऄनक सथ नो पर एक नधकन पवण और एक नयनन पवण क

ईपयोग होत ह

ऄब बत आए

आन सखय ओ को दो ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 22 (ii) 43 (iii) 30 (iv) 58

कभी-कभी सखय क एक स ऄनधक ब र एक नधक ऄथव एक नयन करन की भी

अवशयकत होती ह

जस 12 क एक ब र एक नधक करन पर 13 13 स पनः एक नधक करन पर 14 ऄथ मत 12 स

दो ब र एक नधक करन पर सखय 14 पर पत होती ह

अआए ऄब 12 स ही दो ब र एक नयन करत ह

12 स एक ब र एक नयन करन स 11 नमल 11 स एक ब र एक नयन करन पर 10 नमल

ऄथ मत 12 स दो ब र एक नयन करन पर सखय 10 पर पत होती ह

आन सखय ओ को तीन ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 23 (ii) 15 (iii) 36 (iv) 42

ऄपन मन स सखय एा लकर ईन सखय ओ क एक नधक करन क ऄभय स कीनजए

ऄब बत आए

नीच नलखी सखय ओ को दो ब र एक नयन करन पर कौन-कौन सी सखय पर पत होगी

(i) 16 (ii) 30 (iii) 67 (iv) 75

आनही सखय ओ को 3 एक ब र नयनन करन पर कौन-कौन सी सखय एा नमलगी

ऄपन मन स कछ सखय एा चनकर दो एव तीन ब र एक नयन करन क ऄभय स कीनजए

P a g e | 230

परम नमतर की सह यत स जोड़न

यदद दकसी सखय म 1 2 3 जोड़न हो तो अवशयकत क ऄनस र एक नधक कर जोड़ ज

सकत ह

परनत जब जोड़ ज न व ली दोनो सखय एा 5 स बड़ी हो तब परम नमतर की सह यत स

जोड़न अस न होत ह

अआए आसक एक ईद हरण दख -

9

+ 7

यह ा हम 9 और 7 को जोड़न ह 9 क परम नमतर ऄक 1 ह

ऄतः 7 स 1 लकर 9 म नमल ददय

ऄब 9 + 1 = 10

और 7 स 1 ननक लन पर बच 6

10 म 6 जोड़न पर नमल 16

ऄथ मत 9

+ 7

1 6

आसी परक र परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए-

(i) 7 + 8 (ii) 8 + 6 (ii) 9 + 8 (iv) 6 + 9

आसी परक र 5 स बड़ी दो सखय एा लकर ईनह परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए

P a g e | 231

2

81

45

)1(

27

81

45

)1(

81

45

2

81

45

27

81

45

एक नधक नचहन () लग कर जोड़न

अप ह नसल लग कर जोड़न की नवनध ज नत ह अआए यही स शर करत ह एक ईद हरण ल

ईद हरण 1 हल कीनजए -

आक इ क ऄको को जोड़न पर ( 4+8) 12 पर पत होत ह आस योगफल की आक इ 2

को योगफल क रप म नलखत ह और ह नसल 1 को दह इ क सतमभ म 5 क उपर

नलखत ह

ऄब दह इ क सतमभ क सभी ऄको को जोड़त ह

ह नसल क 1+5 +1=7 आस दह इ क योगफल क रप म नीच नलखत ह

योगफल 72 पर पत होत ह

यदद आक इ क ऄको क जोड़ स नमलन व ल

ह नसल 1 को नबनद क रप म दआ इ क सतमभ म लग ल तो भी योगफल वही पर पत

होग एक ब र दफर आसी जोड़ को दख

आक इ क 4 और 8 क जोड़ 12 नमल

12 क 2 को योगफल क रप म आक इ म नलख और ह नसल 1 को दह इ

क 1 क उपर नबनद क रप म ऄदकत कर आस नबनद को ही एक नधक

नचहन कहत ह

ऄब दह इ क ऄको को जोड़ 5 +(middot)+1 = 7 (middot) को 1 नगन

कल योगफल 72 पर पत हअ

एक और ईद हरण दख

ईद हरण 2 हल कीनजए -

81

45

42

64

P a g e | 232

0

42

64

07

42

64

आक इ क 6 और 4 को जोड़ 6+4=10 नमलग

जोड़ 10 क 0 को योगफल क रप म आक इ क सतमभ म नलख

ह नसल 1 को एक नधक (bull) क रप म 2 क उपर लग एा

ऄब दह इ क जोड़ कर 4 +(bull)+2=7

(bull) को 1 नगन

कल जोड़ 70 पर पत हअ

आस यनकत स तब अस नी होती ह जब सखय एा दो स ऄनधक हो

ईद हरण 3 हल कीनजए -

आक इ क 7 और 8 को जोड़ 15 नमलग

1 को एक नधक नचहन क रप म 4 क उपर ऄदकत कर और 5 को 9 स जोड़ 14

नमलग 14 क 1 को एक नधक नचहन क रप म दह इ क 1 क उपर ऄदकत कर 4

को योगफल क रप म नीच नलख ऄब दह इ क ऄको को जोड़

2+(bull)+4+(bull)+1=9

ईद हरण 4 हल कीनजए -

हल-

91

84

72

91

52

81

P a g e | 233

26

91

52

81

82

57

1 + (bull) + 2 + (bull) + 1 तर 6

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर योग कर-

1 2 3 4 5 6

एक नधक नचहन (bull) लग कर घट न ndash

घट न क ऐस सव ल जह ा सखय ओ क पनसायोजन ( ईध र लन व ल परशन) करन पड़त ह हम

एक नधक नचहन लग कर घट त ह यह ा हम वददक गनणत की एक और ऄवध रण परमनमतर क ईपयोग

करन होत ह (ऐसी दो सखय एा नजनक योग 10 होत हो एक दसर की परमनमतर कहल ती ह जस 3 क

परमनमतर 7 ह और 7 क परमनमतर 3 कयोदक 3+7=10 आसी तरह और 6 और 4 क परमनमतर ह 5 सवय

क परमनमतर ह) अआए एक ईद हरण स घट न की दिय समझत ह

ईद हरण 1 - हल कर

6 स 7 को नही घट सकत 7 क परमनमतर 3 को 6 स जोड़

9 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख और 1 क उपर एक नधक

नचहन (bull) लग एा

ऄब 3 म स (bull) +1 य न 2 घट एा

1 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख हल 19 नमलग

ईद हरण 2 हल कीनजए ndash

63

32

54

83

42

71

82

71

51

91

82

73

63

71

82

71

63

P a g e | 234

5 म 8 नही घट सकत ( 8 क परमनमतर 2 को 5 स जोड़ 7 नमलग )

आस पररण म क रप म नीच नलख

2 क उपर एक नधक नचहन (bull) लग एा

7 म स (bull)+2 य न 3 घट एा

4 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख

हल 47 नमलग

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर घट एा

1 2 3 4 5 6

81

27

91

73

82

04

62

53

82

64

93

86

• 1
• 2 6th Math front page 1-8
• 3 Final Math 6th Unicode book
• 4

गणणत कया ह

गणणत अधययन की िह शाखा ह णजसक अनतगषत मोट तौर पर सखयाओ उनक गणो ि पारसपररक

सबधो क साथ-साथ आस-पास क सथान की समझ को वयिणसथत कर उसम सिाागसमता कोण ि अकन

पररमाण तथा अनय इसी परकार क मापो का अधययन दकया जाता ह इसका उपयोग न किल अधययन-अधयापन

क सभी कषतरो क अधययन म अणनिायष तथा महतिपणष अग होता ह िरन सामानय जीिन म भी इनकी अहम

भणमका ह इसणलए गणणत अधययन-अधयापन म पराथणमक सतर स ही अधययन का अणनिायष अग रहा ह

सामानय तौर पर गणणत सीखन क णलए ठोस िसतओ ि अनभिो स शर करक अमतष णिचारो को समझकर उनक

साथ आग बढ़ना होता ह गणणत णिषय चरण दर चरण बढ़ता ह और इस बढ़न म परतयक सतर पर अिधारणाओ

का और जयादा वयापीकरण होता रहता ह

भाषा ि गणणत सीखन का समबनधतकष णसदध करन का अथष

गणणत सीखन की परदकरया म भाषा का उपयोग बहत महतिपणष ह गणणतीय तको ि धारणाओ को

समझन ि वयकत करन क णलए भाषा आधार ह भाषा गणणतीय अिधारणाओ को कछ हद तक मतष बनान म भी

योगदान करती ह करमबदध तारदककता णिकणसत करना ि उसक उपयोग का आधार भी भाषा ह और यह गणणत

सीखन ि उसक उपयोग क णलए अतयत आिशयक ह गणणत का सबस परमख पहल ह मानयताओ ि धारणाओ क

आधार पर णसदध दकए जा सकन िाल कथनो का एक ढााचा खड़ा करना ि उनका उपयोग करना इस परकार

गणणत को सरणचत करन का आधार तारदककता ह बचचो को इसकी परदकरया स जो गणणत की परकणत का अहम

णहससा ह रबर करिाना आिशयक ह

गणणत की परकणत क अनरप ककषा-6 स 8 क दौरान हम जयादा वयापक और अपकषाकत जयादा अमतष

णिचारो का अधययन शर करग

समह म िसतओ की सखया पराकत सखयाओ की समझ ि उन पर हई सामानय सदकरयाओ स आग बढ़कर

हम सखयाओ का सामानय परणतरपण ि णनयम चर की अिधारणा णसदध करन की धारणा वयापीकत णनयमो

वयिहाररक गणणत आदद क बार म सीखग इसक साथ-साथ हम आकणतयो की रचना परकार ि आकार क बार

म समझग और अपन ही आस-पास ढढ़न का परयास करग इन ककषाओ क दौरान हम आकड़ो को वयिणसथत करक

परसतत करना ि उनस णनषकषष णनकालना भी शर करग

णशकषक क णलए

गणणत णसखान क बार म परमख बात यह ह दक इसम बचचो को सिय समसयाए हल करन का पयाषपत मौका

णमल गणणत बतान ि समझान स नही सीखा जाता िरन समझन स ि अपन ददमाग म ढाच बनान स आग

बढ़ता ह अतिः हम बचचो को समझन ि अपन ददमाग म उसका ढाचा बना लन क मौक दन ि इसका कौशल

णिकणसत करन पर जोर दना चाणहए

गणणत णशकषण

हम जानत ह दक गणणत अधययन क समसत कषतरो तथा णजनदगी क सभी दकरया-कलापो म उपयोग म

आता ह परनत यह उस उपयोग तक सीणमत नही ह यदयणप ठोस अनभिो ि ठोस िसतओ का इसक शर म बहत

महति ह इसम सीखन िाल को करमशिः अमतष णिचारो को समझकर आग बढ़ना होता ह इसस यह सपषट ह दक

गणणत णशकषण का कनदर णबनद गणणतीय अिधारणाओ को णशकषाथी को सिय बनान म मदद दना ह न दक उनह

अिधारणाए बताना अथिा रटाना हम गणणत णशकषण म परमख बात सिाल समझाना नही िरन बचचो को

सिालो को हल करन का बणहचक परयास करन का मौका दना चाणहए

इसणलए उचच पराथणमक सतर क गणणत णशकषण म हम ठोस िसतओ ि अनभिो क माधयम स सीख गए

गणणत का उपयोग करत हए वयापकीकत गणणतीय अिधारणा को बनान म णशकषाथी को मदद दनी चाणहए अतिः

सभी अधयायो क णशकषण म इस बात को रखादकत कर लना चाणहए दक आप अधयाय म कौन स गणणतीय णनयम

ि उसकी वयापकीकत अिधारणा को बनाना चाहत ह इसी गणणतीय णनयम ि अिधारणा को णशकषाथी अपन

आप स बना सक इस बात को धयान म रखकर अभयास का ढााचा ि सिाल बनाना चाणहए अभयास क परशनो म

णशकषाथी को सिय समसयाएा हल करन का पयाषपत मौका णमलना चाणहए

उचच पराथणमक शाला म गणणत णशकषण क सामानय उददशय

1 पराथणमक सतर क जञान का सदढ़ीकरण हो सकगा

2 बचचो म िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी की अिधारणाए णिकणसत करना

3 दणनक जीिन म गणणत क आधार की समझ ि उसका उपयोग करन की कषमता

4 िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी सबधी सरल समसयाओ को हल करन की कषमता का

णिकास

5 रखगणणतीय परशनो को हल करन की दकषता णिकणसत करना परशन क णिणभनन चरणो क आपसी सबधो

एि तारदकक अनमान लगान ि गणणतीय अिधारणा को समझना

6 परारणमभक बीज गणणत क आधार को समझना

7 साणखयकी गराफ णचतर चाटष मॉडल की समझ उनक परयोग की दकषता परापत करना

8 तकष कषमता उपपणतत ि णसदध करन का तरीका पटनष पहचानना

9 समसयाए समझना ि हल करन क साथ-साथ अिधारणाओ क आधार पर नए सिाल और समसयाए

बनाना

10 राषटरीय एकता एकरपता पयाषिरण सरकषा छोट पररिार का आदशष सामाणजक बराईयो को दर करना

समानता सबधी जागरकता णिकणसत करना इन उददशयो को भी धयान म रखत हए गणणत का

पाठयकरम बनाया गया ह

11 ककषा 6 म ऋणातमक सखयाएा चर की अिधारणा ि उनका उपयोग समीकरण सखया समहो की

धारणा ि उनक गण तथा णभनन सखयाओ पर समय लगान की आिशयता ह कयोदक यह आग क गणणत

का आधार ह इसी परकार रखागणणत की धारणा का सदढ़ पररचय इसी ककषा म शर होता ह इन सभी

क णलए पयाषपत अभयास ि मौक चाणहए होग

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

णिषय-सची

1 पराकत सखयाएा 1-3

2 पणष सखयाएा एि पणष सखयाओ पर सदकरयाएा 4-18

3 रखाखणड 19-30

4 पणााक 31-49

5 ितत 50-53

6 गणनखणड एि गणज 54-72

7 णभनन 73-88

8 कोण 89-105

9 णतरभज एि चतभषज 106-127

10 अनपात 128-140

11 चर सखया 141-143

12 बीजीय वयजक 144-147

13 परणतशतता 148-156

14 समीकरण 157-167

15 रखा गणणतीय रचनाएा 168-177

16 कषतरणमणत-1 (कषतरफल) 178-184

17 कषतरणमणत-2 (पररमाप) 185-195

18 समणमणत 196-208

19 साणखयकी 209-217

उततरमाला 218-226

पररणशषट-िददक गणणत की णिणधयाा iviii

गणणत क कषतर म भारत का गौरिशाली योगदान

अब तक आपन भाषा एि गणणत को मखय णिषय क रप म पढ़ा ह गणणत पढ़ात समय आपक मन म यह

णजजञासा अिशय ही उतपनन हई होगी दक इस महतिपणष णिषय का उतथान कस हआ इसक अभयतथान म

भारतिाणसयो का कया योगदान ह

भारत िषष म गणणत क णिकास का इणतहास अतयनत गौरिशाली ह आज समपणष णिशव म शनय पर

आधाररत दाशणमक सथानमान अक पदधणत का णिकास भारत म ही हआ था णसनध सभयता की णलणप को आज

पयषनत पढ़ा नही जा सका परनत हड़पपा ससकणत क पराताणतिक अिशषो स यह पता चलता ह दक उनका गणणत

जञान णिशषकर कषतरणमणत का जञान अतयनत उननत था णसनध सभयता क कषतरणमणत क जञान को आयष भाणषयो न यजञ

क णलए िददयो क णनमाषण म दकया था

जब यरोप म गणणत क शोध क कषतर म अधकार का एक दौर चल रहा था उस समय भारत म आयषभटट

बरहमागपत महािीराचायष भासकराचायष जस कई महान गणणतजञ भारत म गणणत की गौरिशाली परमपरा को

आग बढ़ा रह थ

आयषभटट न िगष िगषमल घन घनमल िगषकषतर णतरभज का कषतरफल ितत का कषतरफल गोल का धनफल

आदद का अनमान लगान का णनयम बनाया उनहोन ितत की पररणध और वयास का अनपात णजस हम (पाई) क

नाम स जानत ह चार दशमलि सथानो तक शदध परापत दकया

बरहमगपत न आयषभटट की परमपरा को आग गढ़ात हए गणणत को और अणधक समदध बनाया बरहमगपत

पहल भारतीय गणणतजञ ह णजनहोन पाटीगणणत (अकगणणत) और बीजगणणत क रप म गणणत को दो भागो म

बाटा एि बीज गणणत म शनय का उपयोग करन िाल ि परथम भारतीय गणणतजञ थ

भारतीय गणणत की गौरिशाली परमपरा को आग बढ़ान म महािीराचायष का बहत बड़ा योगदान ह

उनहोन णभननो को जोड़न तथा घटान क णलए कई णनयम ददए तथा णभननो स सबणधत कई मनोरजक एि रोचक

उदाहरण ददए

भासकराचायष परथम गणणतजञ थ णजनहोन शनय को एक परमालप (अतयनत छोटी) सखया माना तथा यह

कहा दक दकसी सखया को शनय स भाग दन पर अननत परापत होता ह

इस परकार अनकानक भारतीय गणणतजञो न गणणत क णिकास क णलए अतयनत महतिपणष योगदान ददया

णजनक कायो की सराहना समपणष णिशव करता ह

प ाच फल

दननक जीवन म वसतओ को नगनन की अवशयकत पड़ती ही ह

अआय नगनन क कछ ईद हरणो को दख -

1 सध क म त नपत तनद पतत तोड़त ह तथ सध 50-50 तनद पततो की गनिय ा बन न म ईनकी

सह यत करती ह

2 र ध छटटी क ददन सबजी बचन म ऄपन म ा की सह यत करती ह तथ नहस ब दकत ब रखती ह

3 सरश क नपत क डयरी फ मम ह वह रोज़ न सबह-श म ज नवरो की नगनती करत ह तथ दध

क नहस ब रखत ह

आस परक र अप भी परनतददन कइ ब र नगनन क क यम करत ह नीच कछ नचतरो क समह

ददए गए ह ईन नचतरो क समह को अप कय न म दग ईन न मो को नचतरो क नीच ददय गय ब कस म

नलनखए एक क न म हमन नलख ददय ह

दिय कल प 1

ईपरोकत नचतर समह क न म प ाच फल प ाच गद प ाच पनततय ा एव प ाच चशम हो सकत ह आस

परक र नगनती स पर पत सखय दकसी ख स वसत स जड़ी नही ह वह तो एक नवच र य सोच ह आसी सोच को

ऄलग-ऄलग भ ष ओ म नलनखत रप स नभनन-नभनन सकतो दव र दश मय ज त ह जस प ाच को नहनदी म Dagger

ऄगरजी म 5 तथ रोमन म V स दश मय ज त ह परतयक सखय परण ली म परतयक सखय क नलए एक

नननित सकत होत ह

पर चीन क ल म जब मनषय क प स नगनती क सकत नही थ तब भी नगनती क क यम नवनभनन तरीको

स होत थ जस पतथर रखकर बीज रखकर रससी पर ग ठ ब ध कर आतय दद आसी परक र कइ तरीको

1

पर कत सखय

2

स नगनन क क यम दकय ज त थ जब वसतओ को नगन ज त थ तो परतयक वसत क बदल एक पतथर

य एक बीज ऄलग रख ज त थ ऄथव एक ग ठ लग इ ज ती थी आस ही एक-एक सगतत कहत ह

यदद दकसी ककष म 10 मज़ ह तथ 10 मजो क नलए 10 करससय ा ननध मररत ह तो मज़ तथ करससयो

क बीच एक-एक सगतत ह

परतयक मज़ क नलए एक कसी की अवशयकत ह कसी और मज़ म एक-एक सगनत ह

कय अप श ल म बसतो को नगन कर ईपनसथत छ तरो की सखय बत सकत ह

चदक परतयक छ तर स एक बसत सबनधत ह ऄतः छ तर एव बसत क बीच एक-एक सगतत ह आस

परक र दकसी ककष म रख 32 बसतो स यह सोच बनती ह दक ककष म 32 छ तर ईपनसथत ह

अपको गणन करत समय दकन-दकन ऄको की अवशयकत होती ह गणन क ऄक कह ा स पर रभ

होत ह अआय आन परशनो क ईततर ढढ़

गणन करत समय 10 सकतो 1234567890 क ईपयोग दकय ज त ह तथ गणन क

क यम 1 स पर रभ होत ह आनही ऄको को नमल कर सखय एा नलखी ज ती ह

गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह ईनह पर कत सखय (Natural Number) कहत ह

पर कत सखय ओ क समह को N स दश मत ह

ऄथ मत पर कत सखय (N) = 123 अदद

सबस छोटी पर कत सखय 1 ह आन सखय ओ क एक गण यह ह दक हर सखय ऄपन ठीक पहल की

सखय स 1 जय द ह ऄथ मत दकसी पर कत सखय म एक जोड़न पर ऄगली सखय पर पत सखय म 1 जोड़न पर

ईसकी ऄगली सखय पर पत होगी दसर गण यह ह दक सखय ओ की यह एक ऐसी सची ह जो बढ़ती ही

ज ती ह आन दोनो गणो को ईद हरण लकर ज नचए

दिय कल प 2

नीच दी गइ सखय ओ को बढ़त एव घटत िम म नलनखए -

सखय एा बढ़त िम म घटत िम म

151227913314918 912131518273149 493127181513129

98336249107

6778755725

103113131301331

3

द क त न ी स व र ी

ग न ड य ा ग ज र ी

1 गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह

ईनह पर कत सखय एा कहत ह

2 123456 - - - आतय दद सभी पर कत सखय ए ह

3 पर कत सखय ओ क समह को N स वयकत करत ह

ऄथ मत N = 1234 आतय दद

4 सबस छोटी पर कत सखय एक ह

5 पर कत सखय म एक जोड़ कर ऄगली पर कत सखय पर पत की

ज सकती ह

6 सबस बड़ी पर कत सखय नही पर पत की ज सकती ह ऄथ मत

दकसी सखय म एक जोड़कर ऄगली बड़ी सखय पर पत होगी

पर पत सखय म जोड़कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत होती

रहगी

आस अध र पर हम कह सकत ह दक 9lt12lt13lt15lt18lt27lt31lt49

य 49gt31gt27gt18gt15gt13gt12gt9

सोच कर ईततर ढादढ़ए सबस बड़ी पर कत सखय कौनसी होगी

कय दस ल ख स बड़ी कोइ सखय ह दस करोड़ स

तो दफर सबस बड़ी सखय कय होगी

परशन वली 1

1 सबस छोटी पर कत सखय कौनसी ह

2 41600 तथ 41006 म कौन सी सखय बड़ी ह

3 ईपयकत नचहन gt lt य = क परयोग कर ख ली ब कसो म परसत कीनजए -

(i) 45 21 (ii) 543 345

(iii) 15 15 (iv) 5304 5340

(v) 10991 - 10091 (vi) 99876 99786

4 1 स 100 क बीच की सखय एा नलखन क नलए दकतन ब र 9 क परयोग करन पड़त ह

5 च र ऄको की सबस बड़ी पर कत सखय तथ तीन ऄको की सबस छोटी पर कत सखय क

बीच क ऄतर ननक नलए

हमन सीख

4

पणम सखय (Whole Number)

अपन नपछल प ठ म गणन सखय ऄथव पर कत सखय क ब र म पढ़ ह

1234 आतय दद पर कत सखय एा ह कय अप बत सकत ह दक यदद दकसी पर कत सखय म

स ईसी पर कत सखय को घट य ज ए तो शषफल दकतन होग

जस 2 - 2 = 0 5-5 = 0 यह ा 0 (शनय) पर पत हो रह ह कय यह पर कत सखय ह

नही शनय पर कत सखय नही ह परत हम आसकी

अवशयकत ह यदद दकसी पड़ पर प ाच नचनड़य बठी हो और

प ाचो ईड़ ज एा तो पड़ पर बठी नचनड़य ओ की सखय कय

होगी आस परशन क जव ब दन क नलए गणन सखय क स थ-

स थ शनय की भी अवशयकत होगी वह सखय ओ क समह

नजसम गणन सखय क स थ शनय भी श नमल ह पणम सखय

कहल ती ह पणम सखय को W स परदरसशत करत ह ऄथ मत

पणम सखय (W) = 012345 - - - आतय दद

अआय शनय को समझन क परय स कर

1 सगीत क प स 10 र ह ईसन 7 र की कॉपी तथ 3 र क न खरीद तो ईसक प स दकतन

रपय शष बच 10 - 7 = 3 (कॉपी क द म कम दकय )

3 - 3 = 0 (पन क द म कम दकय )

सगीत क प स शनय रपय बच आस 0 नचनह दव र दश मत ह

2 र म की म ा न र म को 5 लडड ददए र म न 2 लडड मोहन को नखल ददय और 3 र म न ख

नलय ऄब र म क प स दकतन लडड बच

3 रहीम क प स 100 पज की एक कॉपी ह नजसम ईसन 80 पज पर गनणत तथ 20 पज पर

नवजञ न क क यम दकय ह ईसकी आस कॉपी म दकतन पज शष बच

पणम सखय ओ को सखय रख पर दश मन

पणम सखय को एक सरल रख पर ददख न क नलए ऄपनी कॉपी म नचतर नस र एक सरल रख

खीनचए नजसम सम न दरी पर कइ नचहन लग हो

2 परण सॊखया एवॊ

परण सॊखया पर सॊकरियाएॉ

नचतर 3

नचतर 2

आसम पर रनभक नबनद को 0 स ददख ए शनय क द ायी ओर क नबनदओ पर िमशः 1234 - - -

आतय दद सखय एा नलख कय सखय रख को दखकर अप बत सकत ह दक कौन-सी सखय बड़ी ह आसक

नलए सोनचए दक दकसी सखय क ब य ओर की सखय ईस सखय स बड़ी होगी य छोटी

पणम सखय ओ क गण

अप ज नत ह दक 012345 आतय दद पणम सखय एा ह अआए आनक गणो क ऄधययन कर-

1) पर कत सखय क सभी गण पणम सखय ओ क नलए भी सही ह

2) सबस छोटी पणम सखय 0 ह

3) सखय रख पर 0 स द नहन ओर िमशः पणम सखय बढ़त िम म ददख यी गयी ह ऄथ मत 0 +1 =

1 1 + 1 = 2 101 + 1 = 102 102 + 1 = 103 103 + 1 = 104 आतय दद

4) सखय रख पर द नहन ओर स ब ाए ओर क िम घटत िम म ह जस 43210

5) सबस बड़ी पणम सखय नही ददख इ ज सकती कयोदक यदद अप कोइ बड़ी स बड़ी सखय सोचत ह

तो ईसम एक जोड़ कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत की ज सकती ह जो ईस सखय की परवती

सखय होगी

6) 50 की पवमवती सखय 49 ह 17 की पवमवती सखय 16 ह कय शनय की भी पवमवती सखय होगी

सखय रख पर सदिय ए

1 पणम सखय ओ क योग -

दिय कल प 1

सखय रख पर 3 + 2 = 5 ददख आए

1 सखय रख बन आए

2 शनय स द नहनी ओर 3 सथ न चल (3 पर पहाच)

3 ऄब 3 स अग दो सथ न चल (कह ा पहा च)

4 आस परक र ऄब शनय स दरी 5 ह ऄतः 3 + 2 = 5 होग

+3 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 पणम सखय ओ क घट न

3 पणम सखय ओ क गण

ऄभय स 21

क अप सवय भी आसी परक र सखय रख बन कर ननमन परशनो की ज च कररए

(i) 4 + 5 (II) 6 + 4 (iii) 5 + 7

ख कय 3 + 4 = 4 + 3 ह सखय रख पर ज नचए

सखय रख पर दकसी बड़ी पणम सखय स छोटी पणम सखय घट इ ज सकती ह यदद सम न पणम

सखय को घट एा तो ऄतर 0 पर पत होत ह अआए आसक नलए एक दिय कल प कर

दिय कल प 2

8 - 5 = 3 को सखय रख पर दश मन

1) एक सखय रख खीनचए

2) 0 स 8 भ ग द यी ओर चल

3) ऄब 8 स 5 भ ग ब यी ओर चल (घट न क नलए ब यी ओर चलग)

4) चदक अप की नसथनत 0 स 3 भ ग द यी ओर ह ऄतः 8 - 5 = 3 होग

सोनचए छोटी सखय स बड़ी सखय घट न पर भी कय हम पणम सखय नमलगी

ऄभय स 22

सखय रख बन कर ननमननलनखत ईद हरणो की ज च कर

(i) 6-2 (ii) 7 - 4 (ii) 8 - 3

सखय रख पर पणम सखय क गण को दश मय ज सकत ह

जस 3 x 4 = 12 य 3 + 3 + 3 + 3 = 12

गण दकसी सखय को ब र-ब र जोड़न की परदिय ह अआए आस सखय रख पर करक दख

4 पणम सखय ओ क भ ग

दिय कल प 4

दिय कल प 3

1) सवमपरथम सखय रख खीनचए

0 स 3-3 क ख न बन कर च र ब र अग बढ़ आस परक र अप 0 स 3 3 स 6 6 स 9 तथ 9 स 12

पर पहचत ह

ऄतः 3 x 4 = 12

ऄभय स 23

1 सखय रख पर ननमननलनखत परशनो को दश मआए

(i) 4 x 3 (ii) 3 x 2 (iii) 0 x 2

(iv) 2 x 3 (v) 3 x 3

कय अप बत सकत ह दक यदद 12 स 3-3 क ख न बन कर दकतनी ब र ब यी ओर चल

दक 0 पर पत हो ज ए आस दिय को करन क नलए अआय एक दिय कल प करत ह

अप ज नत ह दक भ ग ब र-ब र घट न की परदिय ह

ऄतः 12 divide 3 म 12 - 3 = 9 (एक ब र) 12 स 3-3 क ख न बन कर ब यी ओर

9 - 3 = 6 (दो ब र) च र ब र चलन पर शनय पर पहचत ह

6 - 3 = 3 (तीन ब र) ऄतः 12 divide 3 = 4

3 -3 = 0 (च र ब र)

कय अप सखय रख पर दश मकर ज ाच सकत ह दक 8 को 3 स पणमतः भ ग ददय ज सकत ऄथव

नही

ऄभय स 24

1 ननमननलनखत पणम सखय ओ क भ ग सखय रख पर ददख आए

(i) 8 divide 2 (ii) 8 divide 4 (iii) 8 divide 1 (iv) 8 divide 8

सथ नीय म न

गणन क नलए 0123456789 दस ऄको क परयोग दकय ज त ह आस परण ली को

द शनमक परण ली कहत ह द शनमक परण ली म दह इ की सखय क सथ नीय म न आक इ की सखय क

सथ नीय म न क 10 गण सकड़ की सखय क सथ नीय म न दह इ की सखय क सथ नीय म न क 10

गण तथ हज र की सखय क सथ नीय म न सकड़ की सखय क सथ नीय म न क 10 गण ह आसस अग

भी आसी परक र सखय पदधनत म और बड़ी सखय ओ तक पहचत ह

जस 769 = 7 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1

769 म सथ नीय म न िमशः 700 60 और 9 ह -

सथ न सकड़ दह इ आक इ

सथ नीय म न 7 x 100 = 700 6 x 10 = 60 9 x 1 = 9

यही क रण ह दक 769 को 700 + 60 + 9 क नवसत ररत रप स ददख त ह

ईद हरण 1

सखय 4579 म 5 क सथ नीय म न बत आय

हल यह दी गयी सखय 4579 म 5 सकड़ क सथ न पर ह

ऄतः 5 क सथ नीय म न = 5 x 100 = 500

ईद हरण 2

सखय 3214 म सभी ऄको क सथ नीय म न नलखकर आसक सतयत की ज च कीनजए

हल

सखय 3214 म 4 आक इ क सथ न पर ह आसी परक र 1 दह इ 2 सकड़ व 3 हज र क सथ न पर ह

4 क सथ नीय म न = 4 x 1 = 4

1 क सथ नीय म न = 1 x 10 = 10

2 क सथ नीय म न = 2 x 100 = 200

3 क सथ नीय म न = 3 x 1000 = 3000

ज ाच 3214 = 3000 + 200 + 10 + 4 = 3214

ईद हरण 3

393237310 की परवती (अग की) सखय जञ त कीनजए

हल

393237310 की परवती सखय

= 393237310 स 1 ऄनधक

= 393237311

ईद हरण 4

393237310 की पवमवती (पीछ की) सखय जञ त कीनजए

हल

= 393237310 स एक कम

= 393237309

परशन वली 21

1 सबस छोटी पर कत सखय कौन सी ह

2 कौन सी पणम सखय पर कत सखय नही ह

3 वह पणम सखय बत आए जो 5 की पवमवती ह

4 45 की ऄगली तीन िम गत सखय एा नलनखए

5 41608 तथ 41806 म कौन सी सखय बड़ी ह

6 नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय पहच ननए

i सबस छोटी पर कत सखय शनय ह ( )

ii सबस छोटी पणम सखय शनय ह ( )

iii दकसी पर कत सखय म ईसी पर कत सखय को घट न स शषफल शनय नमलत ह ( )

iv 4215 म 2 क सथ नीय म न 200 ह ( )

v 4215 म 2 क ऄदकत म न 2 ह ( )

vi सबस बड़ी पणम सखय नही बत इ ज सकती ह ( )

vii 3857 म 8 हज र क सथ न पर ह ( )

viii 41 एव 50 क बीच 9 पणम सखय एा ह ( )

7 ननमननलनखत सखय ओ की पवमवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 79 (iii) 520 (iv) 1100 (v) 52332

8 ननमननलनखत सखय ओ की परवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 520 (iii) 1100 (iv) 52332

9 छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय नलनखए

10 प ाच ऄको की सबस बड़ी पणम सखय नलनखए

11 प ाच ऄको की सबस बड़ी व छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय क ऄतर जञ त कीनजए

12 ननमननलनखत सखय ओ को बढ़त िम म नलनखए

252 557 18 421 497 731

13 ननमननलनखत सखय ओ को घटत िम म नलनखए

225 458 69 59 617

14 ननमननलनखत म कौन सी सखय स त ल ख प च हज र छः ह

(i) 750006 (ii) 705006 (iii) 7005006 (iv) 750006

15 6 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1 को एक सखय क रप म नलनखए

16 सखय रख पर दश मआय दक नीच ददय गय हल सही ह

(i) a 4 + 3 = 7 b 3 + 4 = 7

c 0 + 2 = 2 d 2 + 0 = 2

e 4 + 3 = 3 + 4 की ज च कर

(ii) a 4 - 3 = 1 b 7 - 4 = 3

c 6 - 2 = 4 d 10 - 5 = 5

e 5 - 2 व 2 - 5 की ज च कर

(iii) a 2 x 3 = 6 b 3 x 2 = 6

c 2 x 5 = 10 d 5 x 2 = 10

(iv) a 6 divide 2 = 3 b 8 divide 4 = 2

अप ज नत ह दक दो पणम सखय ओ क योगफल हमश एक पणम सखय होती ह यह पणम सखय ओ

क योग क नलए सवरक ननयम ह

यदद पणम सखय ओ क गणनफल हमश पणम सखय हो तो पणम सखय एा गण क नलए सवरक ननयम

क प लन करती ह आसी परक र यदद दो पणम सखय ओ क भ गफल सदव पणम सखय हो तो वह भ ग क

नलए तथ यदद दो पणम सखय ओ क ऄतर सदव पणम सखय हो तो वह घट न क नलए सवरक ननयम क

प लन करगी

अआय नीच ददय गय दिय कल प स दख दक पणम सखय एा दकन-दकन सदिय ओ क नलए सवरक

ननयम क प लन करती ह

दिय कल प 5

अपको कछ सखय ओ की स रणी दी गइ ह स रणी म पहली पनकत म नजस परक र सभी ख नो को

भर गय ह ब की पनकतयो को ईसी परक र भररए ि 8 क ब द अप सवय सखय नलखकर पनकत क सभी

ररकत ख नो को भर

भ गफ

ल पणम

सखय

हनही

ह नही ह

पहली पणम

सखय divide

दसरी पणम

सखय

3divide

12

=

गणनफल

पणम सखय

हनही ह

ह

पहली पणम

सखय

x

दसरी पणम

सखय

3x1

2=

36

ऄनतर पणम

सखय हनही

ह

नही ह

पहली पणम

सखय

- दसरी

पणम सखय

3-1

2=

योगफल

पणम

सखय हनही

ह

ह

पहली पणम

सखय

+ दसरी

पणम सखय

3+

12

=1

5

दसरी पणम

स

12

13

0

8

15

1

9

11

पहली

पणम स

3

39

5

0

11

99

27

11

1

ि स

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

पणम सखय एव पणम सखय पर सदिय ए

ईपरोकत स रणी को दखकर बत आए दक दकन-दकन सदिय ओ क पररण म हमश पणम सखय ह एव

दकन-दकन क पररण म हमश पणम सखय नही ह यह भी सोनचए दक आसस कय ननषकषम ननकलत ह

सपषट ह दक दो पणम सखय ओ को यदद जोड़ ज ए तो ईनक योगफल हमश पणम सखय होत ह एव

दो पणम सखय ओ क गणनफल भी सदव पणम सखय होत ह परत दो पणम सखय ओ क ऄतर एव भ गफल

सदव पणम सखय नही होत ह ऄतः पणम सखय ए योग एव गण क नलए सवरक ननयम क प लन करती ह

परत घट न एव भ ग की परदिय क नलए सवरक ननयम क प लन नही करती

योग सदिय की ऄनय नवशषत

म न लीनजए दक तीन नमतर ऄ ब और स ह

पहल ऄ तथ ब नमलत ह और दफर नमलकर व स स नमलत ह ऄथव ब तथ स पहल नमलकर दफर

ऄ स नमल आन दो परक र स नमलन म कय ऄनतर ह कय दोनो नसथनतय सम न ह

दोनो ही नसथनतयो म ऄनत म ऄ ब और स एक स थ नमल रह ह जब दोनो पररनसथनतयो म एक ही

ब त हो तो गनणत म आस ननयम को स हचयम ननयम कहत ह कय स हचयम क ननयम पणम सखय ओ क जोड़

क नलए सतय ह अआय एक ईद हरण दख

म न लीनजए 3 4 5 कोइ तीन पणम सखय एा ह

पहल (3 + 4) क योग कर एव योगफल म 5 जोड़ तो (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 अएग

ऄब 3 म (4 + 5) क योगफल जोड़ तो 3 +(4 + 5) = 3 + 9 = 12 अएग

कय दोनो नसथनतयो म योगफल सम न ह

दिय कल प 6

आसकी ज ाच ननमन सखय ओ क नलए करक दख

1 2 3 4 2 6 7 8

3 0 1 2 4 4 13 17 20

कय घट न की दिय म भी यह सबध ल ग होग

कय (13 - 6) - 5 तर 13 - (6 - 5) होग ज ाच कर

अप प त ह दक घट न म स हचयम क ननयम क प लन नही होत ह

तीन-तीन ईद हरण लकर जोड़ व घट न क नलए स हचयम क ननयम की ज च कर

अभयास 25

1 ररकत खड म ईनचत पणम सखय भररए -

1 (4 + 6) + 5 = 2 4 + (6 + 5) =

3 12 +(6 + ) = 20 4 ( +6) + 2 = 20

5 (8 + 9) + = 25

6 (12 + 8) + = +( 8 + 10)

7 (6 + 2 ) + = + (2 + 3)

गणन दिय क ऄधययन

(1) ननमन दकत त नलक म ररकत खडो को पणम कर

पणम सखय x पणम सखय = गणनफल पणम सखय ह य नही

7 x 9 =

23 x 15 =

0 x 12 =

8 x 12 =

12 x 0 =

कय ऐसी कोइ दो पणम सखय सोच सकत ह नजनक गणनफल पणम सखय नही ह

करियाकऱाप 8

गणन सदिय (x) की सह यत स बॉकस क खडो म ईनचत पणम सखय भररए कछ सव लो क हल

ब कस म पहल सही ददए गय ह

x 0 1 2 3

0 0

1 2

2 2

3 9

िम नवननमय क ननयम

12 x 5 =

ऄब आन सखय ओ क िम बदलकर गण करन पर (

5 x 12 =

कय दोनो नसथनतओ म गणनफल सम न ह

यदद 357 x 486 = 173402 हो तो नबन गण दकए बत आए दक -

486 x 357 =

ऄभय स 26

1 ररकत सथ न भररए -

(i) 87 x 887 = 887 x

(ii) 279 x = 481 x 279

(iii) 303 x 117 = x 303

(iv) x 583 = 583 x 179

स हचयम ननयम की ज ाच

ऄभी अपन दो सखय ओ को गण करन सीख अआय ऄब हम तीन सखय ओ को गण करक दख

25 व 6 तीन सखय ओ को लीनजए आनह ननमन परक र स गण कररए एव गणनफल ब कस म भररए

60

63 पणम सखय

60

P a g e | 14

भ जय भ जक भ गफल एव शषफल

2 x (5 x 6) =

5 x (6 x 2) =

6 x (5 x 2) =

2 x (6 x 5) =

5 x (2 x 6) =

(6 x 2) x 5 =

(2 x 5) x 6 =

(5 x 6) x 2 =

(6 x 5) x 2 =

(2 x 6) x 5 =

(5 x 2) x 6 =

6 x (2 x 5) =

कय सभी ख नो म अए गणनफल ऄलग-ऄलग ह यदद नही तो तीन सखय ओ को हम नवनभनन

तरीको स गण कर सकत ह और ईततर वही अएग यही स हचयम क ननयम कहल त ह आसी परक र अप

भी ऄनय तीन सखय एा लकर आस ननयम की ज च कीनजए

ऄभय स 2 7

1 ननमननलनखत ररकत खणडो की परसत कीनजए -

(i) 4 x (5 x 6) = (4 x ) x 6 (ii) 8 x (4 x 2) = x 2

(iii) 3 x (7 x 5) = (3 x ) x 5 (iv) 2 x (8 x ) = 8 x ( x 4)

(v) 7 x (3 x 5) = 7 x ( x 3)

यह अप पहल की ककष ओ म भी कर चक ह अआए दोहर ल

ईद हरण 1

20 divide 5

5) 20 (4

20

00

यह ा भ जक 5 व भ गफल 4 ह

कय भ जय भ जक व भ गफल म कोइ समबनध ह

20 = 5 X 4

भ जय = भ जक X भ गफल

ईद हरण 2 20 divide 5

भ जय

भ जक 5) 21 (4 भ गफल

- 20

1 शषफल

P a g e | 15

1 नजस सखय म भ ग ददय ज रह ह भ जय कहल त ह (21 भ जय ह )

2 नजस सखय स भ ग ददय ज रह ह भ जक कहल त ह (5 भ जक ह)

3 नजतनी ब र भ ग ज त ह भ गफल कहल त ह (4 भ गफल ह)

4 परदिय क पि त भ जक स छोटी सखय बचती ह ईस शषफल कहत ह 1 शषफल ह

21 = 5 X 4 + 1

ऄब 22 म 5 क भ ग करक दख

5) 22 (4

- 20

2

आसम 5 भ जक 4 भ गफल व 2 शषफल ह भ जय भ जक भ गफल तथ शषफल क बीच प ए

ज न व ल समबनध को ऄपनी कॉपी म नलनखए तथ नीच ददय गए ऄभय स क म धयम स अपक दव र नलख

समबनध की ज ाच कीनजए

ऄभय स 28

भ ग दीनजए -

(i) 48 divide 7 (ii) 36 divide 5 (iii) 78 divide 9

आस परक र अपन जो सबध बन य वह नवभ जयत क सबध क न म स ज न ज त ह और जो ननमन नस र

ह- भ जय = भ जक times भ गफल + शषफल

कय शषफल भ जक स बड़ हो सकत ह

ऄभय स 29

1 नीच ददय गए ररकत सथ नो को भररए -

(i) 8 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(ii) 5 divide 2 म भ गफल = शषफल =

(iii) 6 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(iv) 7 divide 2 म भ गफल = शषफल =

शनय क गण

अआय शनय (0) को ज न -

1 5 + 0 = 5 2 0 + 5 = 5

3 5 - 0 = 5 4 5 x 0 = 0

5 0 x 5 = 0 6 0 divide 5 = 0

7 5 divide 0 = कोइ हल नही

ऄभय स 210

1 ऄब ननमन ररकत सथ नो म ईनचत सखय ए भररए -

(i) 0 + 0 = (ii) 0 - 0 =

(iii) 7 + 0 = (iv) 0 + 7 =

P a g e | 16

(v) 7 - 0 = (vi) 7 x 0 =

(vii) 0 x 7 = (viii) 0 divide 7 =

ईकत ऄभय स स अप शनय rsquorsquo0rsquorsquo क ननमन गण समझ गय होग

1 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स जोड़ ज य तो सखय क म न म कोइ पररवतमन नही होत ह

आसनलए शनय (0) को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह च र ईद हरण सोच कर नलख

2 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स घट य ज य तो भी पणम सखय क म न म कोइ पररवतमन नही

होत ह आसक भी 4 ईद हरण नलख

3 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स गण दकय ज य तो गणनफल शनय rsquorsquo0rsquorsquo ही पर पत होत ह

4 rsquorsquo0rsquorsquo म दकसी भी पणम सखय क भ ग ददय तो भ गफल rsquorsquo0rsquorsquo शनय ही पर पत होत ह

5 divide 0 = शनय को 5 म स ब र-ब र घट न पर 5 ही नमलत ह दकतनी भी ब र हम घट ए कभी

भी सखय नही बदलगी ऄथ मत पणम सखय म शनय क भ ग दन पर कोइ नननित सखय भ गफल क रप म

नही नमलती आसी परक र 0 divide 0 भी पररभ नषत नही ह आस पर ऄपन नशकषक स चच म कर

परशन वली 22

1 मौनखक परशन

1 ननमन परशनो को दी गइ ज नक री क अध र पर नबन गण य योग दकय हल कीनजएः

1 17 x 23 = 391 तो 23 x 17 =

2 15 + 25 = 40 तो 25 + 15 =

3 40 + 0 = 40 तो 0 + 40 =

4 39 x 1 = 39 तो 1 x 39 =

5 a x b = c तो b x a =

2 ननमननलनखत सव लो को ऐस करम म नलखकर योगफल जञ त कीनजए नजसस योग की सदिय

अस न हो ज ए

(i) 23589 + 411 + 1248 (ii) 32 + 2546 + 68 + 544

(iii) 247 + 376 + 153 (iv) 143 + 456 + 857

(v) 32958 + 5000 + 12042

3 दकसी भी र नश म शनय क गण करन स कौन सी पणम सखय पर पत होती ह

4 योग क नलए सवरक ननयम कय ह

5 सदिय ओ क गण क अध र पर ननमननलनखत ख ली सथ नो की परसत कीनजए

(i) 2376 + 4559 = + 2376

(ii) 1 x 0 = 0 x 1 =

(iii) 8 7 6

_ 3

6 7

6 ऐसी कौनसी सखय ह नजसम ईसी सखय क भ ग दन पर वही सखय पर पत होती ह

7 4 ऄको की सबस बड़ी सखय और 1 ऄक की सबस छोटी पणम सखय क गणनफल बत आए

P a g e | 17

8 यदद 76 x 16 = 1216 हो तो 1216 76 = 16 (ब कस म सही म न भररय)

नलनखत परशन

9 रम न 17 पनकतयो म कल 544 पौधो की रोप इ की तो बत आए दक परतयक पनकत म दकतन पौधो की

रोप इ की गइ

10 दकसी शहर म 15 वयनकतयो म स 1 वयनकत सरक री नौकरी करत ह यदद ईस शहर म 1354 वयनकत

सरक री नौकरी करत हो तो शहर की कल जनसखय जञ त कीनजए

11 भ गफल तथ शषफल जञ त कीनजए तथ नवभ जयत क सबध की सतयत की ज ाच कीनजए

(i) 7772 divide 36 (ii) 12425 divide 835 (iii) 92845 divide 300

12 ननमननलनखत म परतयक ररकत सथ न पर ईपयकत ऄक नलनखए

13 मजलत 1800 रपय लकर ब ज र गयी 135 रपय क एक पसम 75 रपय क रम ल व 1200

रपय की कपड़ खरीद बत आए ऄब ईसक प स दकतन रपय बच

14 एक बक म ऄशोक न मगलव र को 4539 रपय जम दकए शननव र को 2556 रपय ननक ल नलए

और दसर सपत ह म दफर 1431 रपय जम दकए तो बत आए दक ईसक ख त म ऄब दकतन रपय

शष ह

15 अदशम नवदय लय क 6 वी ककष म एक नवदय थी क शलक 95 रपय ह यदद छ तरो की कल सखय

335 हो तो कल शलक जञ त कीनजए

16 117 को दो सखय ओ क गणन क रप म वयकत कीनजए नजसम स एक सखय 13 ह

17 ननश न 24 रनडयो 18720 रपय म खरीद एक रनडयो क मलय जञ त कीनजए यदद परतयक क

मलय सम न हो

18 ददए गए ज दइ वगम की तीन-तीन सखय ओ को सीध नतरछ एव अड़ जोड़ कर बत आए

कय परतयक नसथनत म योगफल सम न अत ह

14 1 9

3 8 13

7 15 2

P a g e | 18

1 0 (शनय) एक पणम सखय ह

2 दो पणम सखय ओ क अपस म योग करन स

य गण करन स पणम सखय ही पर पत होती

ह

3 पणम सखय ओ क नलए िमनवननमय क

ननयम योग एव गणन सदिय म ल ग

होत ह जबदक घट न एव भ ग सदिय म

ल ग नही होत

4 पणम सखय ओ क नलए स हचयम ननयम योग

एव गणन सदिय म ल ग होत ह जबदक

घट न एव भ ग सदिय म ल ग नही होत

5 0 को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह

6 1 को गणन ततसमक ऄवयव कहत ह

7 दकसी भी पणम सखय म शनय को जोड़न य घट न पर सखय क म न नही बदलत

8 दकसी भी पणम सखय म 1 क गण कर तो सखय क म न नही बदलत ह

9 यदद दकसी पणम सखय म 0 क गण कर तो ईसक म न शनय हो ज त ह

10 दकसी पणम सखय म 0 स भ ग दन ऄपररभ नषत ह

11 भ जय = भ जक x भ गफल + शषफल

हमन सीख

19 नीच ददए गए ज दइ वगम क ररकत वगो की परसत कीनजए धय न रह मनजक वगम क सतभो पनकतयो

एव नवकणो क योग हर तरह स बर बर होत ह

9 6 13 20

10 12 19

9 11 18 25

15 17 24 26

16 7 14

P a g e | 19

गनणत पढ़त हए अपन पहल भी कइ परक र की अकनतय ा दखी ह जस- वतत नतरभज चतभमज आतय दद

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक वतत बन सकत ह

अप क दव र बन ए गए वतत पर यदद अप पनसल घम एा तो अप प त ह दक-

1 दकसी नबनद स पर रमभ कर अप पनः ईसी नबनद पर पहाच ज त ह

2 दकसी नबनद स पर रमभ कर पनः ईसी नबनद पर पहाचन तक अपको अकनत क दकसी भी भ ग पर दो

ब र चलन नही पड़

ऐसी अकनतय ा नजनम ईपरोकत दोनो नवशषत एा प इ ज ती ह lsquolsquoबनद अकनतlsquolsquo कहल ती ह

ऄब एक और अकनत दनखए-

कय P एक बद अकनत ह

नही कयोदक P क दकसी नबनद स पर रभ कर नबन पनसल ईठ ए ईसी नबनद पर व पस पहाचन क

नलए अपको दकसी न दकसी भ ग स दो ब र गजरन पड़ग

दी गइ अकनतयो म खली तथ बद अकनतयो को पहच ननए तथ यह भी बत आए दक व

सीधी रख ओ वि रख ओ य दोनो परक र की रख ओ स बनी ह

P a g e | 20

नचतर ि बद अकनतखली अकनत दकस परक र की रख ओ स बनी ह

सीधीविदोनो परक र की

3

4

5

6

7

8

9

10

11

खली अकनत वि रख

कय अप ऄपन अस प स ददख इ दन व ली ऐसी अकनतयो की सची बन सकत ह जो सीधी एव वि

रख ओ स नमलकर बनी हो

अपन ऄब तक दो परक र की रख ओ क ईपयोग दकय ह नजसम स एक तो वि रख ह य नजस

हम टढ़ी-मढ़ी रख भी कह सकत ह तथ दसरी सरल रख ह नजसक ब र म अपन नपछली ककष ओ म भी

पढ़ ह अआए सरल रख क ब र म कछ और ज नक री पर पत कर

सरल रख खीचन तो अप सभी को अत ह कय अप बोडम पर एक अड़ी सरल रख खीच सकत

ह यह सरल रख ईतनी ही लमबी होगी नजतन लमब वह बोडम ह नजस पर अपन सरल रख खीची ह

ऄब म न ल दक बोडम की लमब इ दगनी बढ़ दी ज ए तो सरल रख भी दगनी बढ़ इ ज सकती ह यदद बोडम

को अग अग और अग बढ़ त ज एा तो सरल रख भी अग अग और अग बढ़ इ ज सकती ह आस परक र

हम सरल रख को दोनो ओर आतन बढ़ सकत ह दक नजसक कोइ ओर छोर न हो ऄतः सरल रख ऐसी

सीधी रख ह नजसको दोनो ओर दकतन भी बढ़ एा कभी खतम नही होगी

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीच सकत ह

P a g e | 21

यदद खीच सकत ह तो खीचन क तरीक और यदद नही खीच सकत ह तो नही खीच प न क क रण

नलनखए

अपन सरल रख खीचन की कोनशश कर यह प य दक अप ईतनी ही लमबी सीधी रख खीच सकत

ह नजतनी लमबी अपकी कॉपी ह परत सरल रख तो ऐसी रख ह जो कभी खतम ही नही होती आस कॉपी

म खीच तो नही ज सकत कवल सकत क रप म बत य ज सकत ह कय अप ऐस कोइ सझ व द

सकत ह नजसस सरल रख को कॉपी म बन य ज सक

अपक सझ व-

सकत क ईपयोग कर सरल रख खीचन ः

नचतर-12 म एक सरल रख खीची गइ ह नजसक दोनो छोर पर तीर क ननश न लग हए ह

दोनो तरफ तीर क ननश न यह सकत दत ह दक सरल रख क कोइ ऄनतम बबद नही होत वह

सम पत नही होती वह चलती रहती ह

आसी परक र यदद दकसी नसथर नबनद स एक ऐसी सीधी रख खीची ज ए जो एक तरफ बढ़ती ही रह

और कही भी सम पत न हो तो आस दकरण कहत ह ऄपनी कॉपी म दकरण खीनचए तथ दकरण को खीचन क

तरीक भी नलनखए

चदक दकरण एक नननित नबनद स पर रमभ होकर अग-अग और अग बढ़ती ज ती ह आसनलए दकरण

को एक तरफ तीर क ननश न लग कर दश मत ह

ऐसी सीधी रख जो एक बबद स पर रभ होकर एक ही ओर बढ़ती ज ती ह ईस दकरण कहत ह आसकी कोइ

नननित लब इ नही होती ह

अप दननक जीवन म दकरण क ऄनय ईद हरण सोच एव नलख

दिय कल प 1

कय अप ननमननलनखत नचतरो म दकरणो एव सरल रख ओ को पहच न सकत ह

P a g e | 22

दिय कल प 2

नीच अपको और दो नबनद ददए गए ह अप P नबनद स गज़रन व ली दकतनी सरल रख खीच सकत

ह खीच कर दनखए ईसी परक र Q नबनद स दकतनी सरल रख एा खीची ज सकती ह कछ ऐसी रख ए

खीनचए

P Q

नचतर 17

नीच ददए गए परशनो क ईततर दीनजए

पर1 कय अप P नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

-------------------------------------------------------------------------------

पर2 कय अप Q नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

------------------------------------------------------------------------------

पर3 अप ऐसी दकतनी सरल रख एा खीच सकत ह जो P एव Q दोनो नबनदओ स होकर गजरती हो

-------------------------------------------------------------------------------

ईपयमकत दिय कल प स अप यह प त ह दक दकसी एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज

सकती ह परनत दो नबनदओ स होकर म तर एक ही सरल रख खीची ज सकती ह

रख खड

आस नचतर को दख आस बन न म नजन सीधी रख ओ क ईपयोग दकय ज त ह व दकसी एक नननित

नबनद स पर रभ होकर दसरी नननित नबनद पर सम पत होती ह ऐसी रख ओ को रख खड कहत ह आस परक र

रख खड एक सरल रख ऄथव दकरण क एक भ ग ह नजसकी लब इ म पी ज सकती ह

दिय कल प 3

नचतर-18 और 19 को दखकर नीच ददए गए सव लो क जव ब सोनचए-

नचतर 18 म रख खडो की पहच न कर ईनकी सखय जञ त कीनजए सभी रख खणडो क न म भी

नलख

नचतर 18 व 19 म कट न बबदओ की सखय जञ त कीनजए कौन स रख खड दकन कट न बबदओ पर

एक दसर को क टत ह

रख खणड कय ह ऄपन शबदो म नलनखए

P a g e | 23

दिय कल प 4

ऄपनी कॉपी पर दो बबद P और Q बन आय आन

बबदओ को नीच ददय गय नचतर म तीन परक र स नमल कर

ददख य गय ह अप आनह कछ और परक रो स नमल न क

परय स कीनजए

बबद P और Q को कइ तरह स नमल य ज सकत ह परनत रख खड दव र ईनको कवल एक ही

परक र स नमल य ज सकत ह रख खणड दो नबनदओ को नमल न व ली सबस छोटी रख ह

P Q

नचतर 21

मीन कहती ह च स फ तक की सबस कम दरी क म गम रख खड ही ह कय अप सहमत ह कयो

सरख बबद

नीच तल पर नसथत बबदओ को दनखए

नचतर-22 म बबद PQ एव R एक ही दकरण पर नसथत ह आनह सरख बबद कहत ह

नचतर-23 म बबद AB एव C एक ही रख खड पर नसथत नही ह य बबद सरख नही ह कयो

नचतर-24 म बबद XYZ एव L एक ही सरल रख पर नसथत ह कय य सरख बबद ह

रख खडो की तलन

दो रख खड की तलन क ऄथम ह पत करन दक ददए गए रख खडो म कौनस रख खड बड़ ह

(1) ऄवलोकन दव र पत करन

P a g e | 24

नचतर 25 एव 26 म कवल दखकर ही यह बत य ज सकत ह दक CD रख खड AB स तथ RS

रख खणड PQ स बड़ ह ऄथ मत नचतर 25 म CDgtAB तथ नचतर 26 म PQltRS नचतर 27 और 28 म कय

अप बत सकत ह दक आनम स कौन स रख खड बड़ ह अआए आनह न प कर दख

(2) सकल की सह यत स सही म पन

ईपरोकत नचतर 29 म AB रख खड को न पत हए ददख य गय ह

न पन की नवनधः

ऄपनी कॉपी पर एक बबद A बन आए सकल को आस परक र रनखए नजसस दक सकल पर बन lsquo0rsquo क

ननश न बबद A पर अए ऄब दख दक रख क दसर छोर सकल क दकस ननश न तक पहाच रह ह ईपरोकत

नचतर म B सकल पर बन ननश न 5 पर अ रह ह आस परक र हम कह सकत ह दक रख खड AB की लमब इ

5 समी ह

(3) नडव आडर दव र म पन

अपन दख दक सकल की सह यत स हम ईन रख खडो की लब इ न प सकत ह जह ा सकल

सीधी रखी ज सकती ह कय नडबब य नगल स क भीतर क दीव रो क बीच की दरी सकल की सह यत स

न पी ज सकती ह

एक नडव आडर ल ईस नगल स क मह पर रख कर आतन फल ए दक ईसकी नोक नगल स क भीतरी

दीव रो को सपशम कर

ऄब नडव आडर को नबन दब ए नगल स स ब हर ननक लकर सकल पर नचतर-31 क ऄनस र रख तथ

लब इ जञ त कर

नशकषक क नलए यह ा धय न म रख ज ए दक सकल क दकसी भी खड स लब इ न पन पर ईसकी लब इ क

म न म कोइ पररवतमन नही होत दकसी पर न सकल क ईपयोग करत समय शनय स शर न करन की

नसथनत म न प कस पत करग यह चच म छ तरो क स थ कर ऐस म पन क ऄभय स ईनह करन को द

P a g e | 25

दिय कल प 5

ननमन नचतरो म नडव आडर य परक र की सह यत स रख खणडो को न प कर तलन कर परतयक नचतर

क नलए रख खणडो को लमब इ क बढ़त िम म नलख

ननमन रख खडो को सकल एव परक र की सह यत स न नपए एव ईनक म प नलनखए -

दो य दो स ऄनधक रख खडो की लब इ क योग क बर बर की लब इ क रख खड खीचन

(1) एक सरल रख XY खीनचए

(2) परक र को AB रख खड क म प क बर बर फल आए

(3) रख XY पर कोइ बबद P लकर व ईस कनर म नकर AB रख खड क बर बर क च प आस परक र

क रटए दक वह रख XY को Q पर क ट

(4) CD रख खड क बर बर क च प Q को कनर म नकर आस परक र क रटए दक वह XY रख को PQ

ददश म क ट म न दक वह नबनद R ह

P a g e | 26

5) आसी परक र EF रख खड क बर बर क च प R को कनर म नकर रख खड XY पर क रटए वह S

पर कटत ह

कय AB = PQ CD = QR EF = RS ह कयो ऄपनी कॉपी पर नलनखए

(6) PS = PQ+QR+RS

PS = AB+CD+EF

PS की लब इ न नपए PS ही ददए गए रख खडो की लमब इ क योग क बर बर की लमब इ क

रख खणड होग

रख खडो क ऄतर क बर बर रख खड खीचन

1 एक सरल रख XY खीनचए ईस पर कोइ नबनद P नलनजए

2 परक र को बड़ी रख खणड AB क बर बर फल आए

3 P को कनर म नकर AB क बर बर क च प रख XY पर क रटए वह Q पर कटत ह

4 नबनद Q को कनर म नकर CD क बर बर च प P की ददश म रख XY पर क रटए

वह R पर कटत ह कय AB=PQ और CD=QR ह

यदद ह तो कयो ऄपनी कॉपी म नलनखए

यह ा PQ क नवपरीत ददश म च प कयो क ट गय ह योग करत समय च प एक ही ददश म क ट

गय थ क रणो को ऄपनी कॉपी म नलनखए

5 PQ-QR=PR

य AB-CD=PR

PR की लब इ न नपए PR ही ददए गय रख खडो क ऄतर क बर बर क रख खणड होग

सम नतर रख एा

ऄधय नपक न छठी ककष म परतयक नवदय थी को ऄपनी-ऄपनी कॉपी म दो रख ए खीचन को कह

नवदय रसथयो न रख ए कछ आस परक र खीचीः-

P a g e | 27

नचतर 44

अप भी ऄपनी कॉपी पर आसी परक र दो-दो रख ओ क ऄलग-ऄलग यगम बन आए

ऄब नीच ददय गय यगमो को दनखएः

नचतर 45

नचतर 45(i) म रख एा PQ तथ RS बबद O पर क टती ह ऄतः रख एा PQ तथ RS परनतचछदी रख एा

ह और बबद O ईभयननषठ बबद (परनतचछद बबद)ह

नचतर 45(ii) म रख एा AB तथ CD अपस म क ट तो नही रही ह परनत यदद दोनो रख ओ को

अग-पीछ बढ़ य ज ए तो एक दसर को क टगी ऄथ मत नचतर 45(ii) भी नचतर 45(i) की शरणी म ही अएग

ऄथ मत परनतचछदी रख ओ की शरणी म

नचतर 45(iii) म रख एा KL तथ MN न ही अपस म क ट रही ह और न ही बढ़ न पर अपस म एक-

दसर को क टगी हम कस ज च दक य एक दसर को नही क टगी

नचतर 45(iii) की रख ओ को दनखए-

दोनो रख एा KL तथ MN क बीच की लमबवत दरी परतयक बबद पर सम न ह आनह दोनो तरफ

दकतन भी अग कयो न बढ़ एा अप प यग दक आन दोनो क बीच की लमबवत दरी सदव सम न ही रहती ह

P a g e | 28

अप भी नडव आडर की मदद स दोनो रख ओ क बीच की लमबवत दरी न पकर दनखए कय व

सम न ह ऐसी रख एा सम तर रख एा कहल ती ह ऄथ मत सम नतर रख एा बर बर दरी पर रहती ह न तो

व एक दसर क प स अती ह और न ही दर ज ती ह

ऄपनी ककष म बठ-बठ अपक च रो तरफ फली चीज़ो को दनखए ककष क शय मपटट नखड़की

दरव ज़ दीव र अपक जय नमनत-बॉकस मज़ पसतक सकल अदद क दकन रो म अप आस परक र की

रख ओ को महसस कर सक ग जसः

आनम कह ा-कह ा हम सम तर रख खणडो क ईद हरण नमलत ह

अप ऄपनी कॉपी म एक सची बन आए नजसम प च परनतचछदी रख खणडो तथ प च सम तर

रख खडो क ईद हरण हो

परशन वली 3

परशन-1 नीच ददय गय कथन सतय ह ऄथव ऄसतय पहच ननए -

(i) एक नबनद स ऄसखय रख खड खीच ज सकत ह

(ii) दो नबनद स गजरन व ली ऄसखय सरल रख एा खीची ज सकती ह

(iii) रख खड की कवल लमब इ होती ह चौड़ इ नही

(iv) एक रख खड म यदद च र नबनद नलए ज ए तो य सभी नबनद सरख नबनद होत ह

(v) तीन ऄसरख नबनद स ऄनधकतम दो रख खड खीच ज सकत ह

परशन-2 नीच नचतर म कौन स जोड़ परनतचछदी रख ओ क नही ह

P a g e | 29

परशन-3 नीच दी गइ रख ओ क यगम म स परनतचछद करन व ली रख ओ क यगम छ रटए

परशन-4 नीच ददय गए खणडो (ABCDE) म स सरख नबनदओ क समह को नलनखए -

परशन-5 ननमन म प की लमब इ क रख खड खीनचए

6 समी 5 समी 45 समी 23 समी

परशन-6 एक ही सरल रख म 3 समी 5 समी 65 समी क तीन रख खड खीनचए

परशन-7 नीच रख खड ददय गय ह आनकी लमब इ क योग क बर बर रख खड खीनचए

परशन-8 नीच ददय गय रख खड की लमब इ क ऄतर क बर बर रख खड खीनचए

परशन-9 12 समी की लमब इ क रख खड AB खीचकर ईस 3 समी 4 समी 5 समी क तीन रख खड िमशः

ACCD एव DB म नवभ नजत कीनजए तथ ननमन तथयो को सतय नपत कीनजए

1 AD-AC = CB-DB

2 AB-CD = AC + DB

P a g e | 30

परशन-10 आनम स परतयक पररनसथनत म आन नबनदओ स दकतन रख खणड़ खीच ज सकत ह रख खणडो को

खीनचए व ईनकी सखय एा बत आए

हमन कय सीख

1 दकरण क एक पर रनभक बबद होत ह और वह दकसी एक ददश म लग त र बढ़ती रहती ह

2 सरल रख दोनो ददश ओ म लग त र बढ़ती रहती ह

3 रख खड सरल रख क एक नननित भ ग ह नजसक पर रनभक एव ऄनतम नबनद नननित होत ह

तथ रख खड को न प ज सकत ह

4 सरल रख एव दकरण की लब इ को म प नही ज सकत

5 दो रख एा एक दसर को ऄनधकतम एक ही बबद पर क टती ह

6 एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज सकती ह तथ एक बबद स ऄसखय दकरण खीची ज

सकती ह

P a g e | 31

एक ददन ककष क सभी छ तरो न नशकषक स ऄनरोध दकय दक व कोइ खल खलन च हत ह आस पर नशकषक

न ऄपनी सवीकनत दत हए कह lsquolsquoकयो नही अआए अज सखय ओ स सबनधत खल खलrsquorsquo

अप सभी ऄपनी कॉपी म एक ऄक की कोइ सखय नलखकर आस दो स गण कर पर पत गणनफल म

स 12 घट एा और मझ ईततर बत एा -

छ तरो दव र दकए ज न व ल हल की तीन सभ वन एा हो सकती ह

1 ककष क कछ नवदय रसथयो क पररण म फ नतम क सम न अ सकत ह

2 कछ नवदय रसथयो क पररण म कमली क सम न अ सकत ह

3 कछ नवदय रसथयो की समसय मोन क सम न हो सकती ह व सखय को घट सकन म ऄसमथम रह हो

मोन जस ऄनय बचच भी थ ईन सबन कह rsquorsquoहम कय करlsquolsquo

नशकषक न कह lsquolsquoचनलए हम आस समझन क परय स करrsquorsquo lsquolsquoम न

लीनजए दक ऄपन ग व क त ल ब म एक ब ास सीध गड़ हअ ह

त ल ब क एक कीड़ ब ास पर प नी क उपरी सतह स 10 फीट

सीध उपर चढ़त ह आसक ब द वह कीड़ वह स 12 फीट नीच की

ओर अत हrsquorsquo

ऄतः यह सपषट ह दक वह कीड़ प नी की उपरी सतह स 2

फीट नीच ह प नी की सतह को यदद 0 स दश मय ज ए तो नीच क

पम न को कस ददख ए

परत मोन को ऄब भी यह समझ म नही अय की (10-12) दकस ऄक क बर बर होग ईसन कह

lsquolsquoमझ ऄभी भी समझ नही अय दक कय करा rsquorsquo तब नशकषक न प स और पटटी क एक खल नखल य

lsquolsquoहम र प स एक लमबी पटटी ह नजसक बीचो बीच 0 नलख ह 0 क द यी ओर 10 और ब यी ओर 10 ख न

बन ह द ायी ओर क ख नो म (नचतर-2) 1 स 10 तक ऄक नलख ह तथ दो प स ह एक ल ल और दसर

हर

P a g e | 32

आस खल म दो शत हः

पहलीः- फ क गए ल ल प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग लमबी पटटी पर 0 क द यी ओर

ईतन ही ख न चलग

दसरीः- फ क गए हर प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग ईतन ही ख न पटटी पर ब ायी ओर

चलग यह चलन ईस सथ न स पर रभ करग जह ा ल ल प स क क रण द नहन ओर चलकर पहाच थ

खल अरमभ होत हः

सबस पहल प स फ नतम फकती ह फ नतम क ल ल प स पर 5 तथ हर पर 3 नबनद अए शररतम

क ऄनस र फ नतम शनय स द नहन ओर 5 ख न चलगी और 3 ख न व पस अएगी ईसकी नसथनत नीच

नचतर 3 क ऄनस र 2 पर ह-

ऄब कमली दोनो प स फकती ह दोनो ही प सो पर 4 नबनद अए (शतम ऄनस र) कमली की नसथनत

को नीच दश मय गय ह-

ऄनत म र कश दोनो प स फकत ह ईसक ल ल प स पर 2 और हर प स पर 5 नबनद अए शतम क

ऄनस र र कश 2 ख न द ायी ओर चलत ह और वह स व पस मड़ कर 5 ख न ब यी ओर ज त ह वह

ऄपनी नसथनत शनय स तीन ख न ब ाए तरफ प त ह एक ब र दफर बचचो को समझ नही अत की र कश की

नसथनत को कय नलख

परत कमली और कछ ऄनय को कछ कछ समझ म अन लग ह दक शनय क द ायी ओर की सखय एा

िमशः एक-एक बढ़ रही ह द ाय ओर बढ़न क नलए नपछली सखय म 1 जोड़ कर िमशः ऄगली सखय पर पत

करत ह ईसी परक र ब ाय ओर ज न क नलए एक -एक घट कर िमशः पीछ व ली सखय पर पत करत ज त ह

शनय क द नहन ओर की सखय एा िमशः एक-एक जोड़न पर पर पत होती ह और शनय क ब ए ओर की सखय एा

िमशः एक-एक घट न पर पर पत होती ह

P a g e | 33

कय यह ब त अपक समझ म अइ मोन न

कह कय आसक ऄथम यह ह दक शनय क द यी ओर की

सखय एा धन तमक ह और 0 क ब यी ओर की सखय एा

ऊण तमक ह नशकषक न कह lsquolsquoनबलकल ठीक हrsquorsquo यदद

शनय स िमशः एक-एक कम करत ज एा तो 0-1=-1 -

1-1=-2 -2-1=-3 आतय दद सखय एा नमलती ह ऄतः

र कश की नसथनत -3 पर ह कयोदक शनय स ब ायी ओर तीसर ख न क यही म न

होग आस परक र शनय क ब ायी ओर -1-2-3-4-5 आतय दद सखय एा (सभी

ऊण तमक सखय एा) होगी जस-जस ब ायी ओर हम ज एग सखय कम होती ज एगी ऄथ मत जय द बड़ी

ऊण तमक सखय बनती ज एगी

फ नतम कहती ह दक शनय क द यी ओर की सखय य िमशः बढ़ती ज ती ह 1gt0 2gt1 3gt2

4gt3 5gt4 आतय दद और ब एा ओर की सखय कम होती ज एगी ऄथ मत -1lt 0 -2lt-1 -3lt-

2आतय दद

(अप ऊण तमक सखय ओ को समझन क नलए यह खल ककष म व घर पर जरर खल यदद अपको

प स पर पत नही होत ह तो दो रग क क गज लकर दोनो पर 1 स 6 तक की सखय ऄलग-ऄलग नलख कर आस

परक र मोड़ ल दक सखय नजर नही अए ऄब परतयक रग क एक-एक क गज खीच आनही ऄको स शत मनस र

खल खल)

ऄपन ऄनभव क अध र पर नीच दी गयी सखय ओ क बीच बन ब कस म ईनचत नचनह gt(बड़ ) य

(छोट ) lt लग एा

ऐस ही कछ और जोड़ सोच व ऄपन स नथयो को हल करन को द

P a g e | 34

ऊण तमक सखय एा

दिय कल प 1

पवम क ईद हरणो म अपन प य दक नजस परक र धन तमक सखय एा ह ईसी

परक र ऊण तमक सखय एा भी ह आन सखय ओ को श नमल करन स हम कइ नइ

सदिय एा कर प एाग जस 12 म स 14 घट प एग और ईततर को दश म प एाग 3 और

4 जोड़न पर पररण म 7 अत ह यदद जोड़ क परथम ऄक 3 नसथर रख तो ईसम

कौनसी सखय जोड़ दक पररण म िमशः 654321 और 0 पर पत हो आन म नो

को ख ली ब कसो म नलनखए ऐस और भी सव ल सोच व हल कर कय अप सबस

छोटी और सबस बड़ी ऊण तमक सखय क म न बत सकत ह

पण ाक

अप पर कत सखय ओ और पणम सखय ओ स पररनचत ह ईनम यदद ऊण तमक सखय एा जोड़ ल तो

शनय क द ाई ओर पर कत सखय एा ह और ब ायी ओर ऊण तमक सखय एा धन तमक सखय एा ऊण तमक

सखय एा तथ शनय को नमल कर पण ाक बनत ह पण ाक को I य म Z स ददख त ह ऄथ मत

पण ाक (I) = -3-21012345 अदद

नजस परक र सबस बड़ी पणम सखय नही ह ईसी परक र सबस बड़ी पण ाक भी नही ह कय अप सबस

छोटी पण ाक सोच सकत ह

सखय रख पर पण ाक सखय को ननरनपत करन

एक सरल रख खीनचए आस सरल रख पर एक सम न दरी पर कछ नबनद ऄदकत कीनजए आस रख

पर बीच म नसथत दकसी नबनद को शनय नलखकर आसक द नहन ओर धन तमक सखय एा तथ शनय क ब ाय

ओर ऊण तमक सखय एा नलनखए (नचतर-7 क ऄनस र) आस परक र बनी रख सखय रख कहल ती ह

छ य नचतर क म धयम स पण ाको क परदशमन-

यह ा

N = पर कनतक सखय एा

W = पणम सखय एा

I = पण ाक सखय एा

P a g e | 35

ईपरोकत सकतो को दखकर नचतर 8 म पण ाक म श नमल सखय ओ की पहच न कीनजए पणम सखय म कौन-

कौन सी सखय श नमल ह

पण ाको पर की गइ सदिय ओ को सखय रख पर परदरसशत करन

पण ाको को जोड़न -

जब दोनो सखय एा धन तमक हो जस 3 + 5 =

पहल शनय स 3 ऄक धन तमक ददश म दफर वही स 5 ऄक धन तमक ददश म ज न पर 8 पर

पहाचत ह ऄतः 3 + 5 = 8

और जब दोनो सखय एा ऊण तमक हो जस (-2)+(-5)

तो पहल ऊण तमक ददश म 2 ऄक ज त ह दफर वही स 5 ऄक ऊण तमक ददश म और बढ़ तो -7

ऄक पर पहचत ह

ऄथ मत (-2)+(-5) = -7

जब एक सखय धन तमक और दसरी सखय ऊण तमक हो-

जसः (v) 8 +(-5) =

(v)

पहल शनय स 8 ऄक धन तमक ददश म ज एग और दफर वह स व पस 5 ऄक ऊण तमक ददश म

लग शनय स ईस ददश को म लम कर यह ा हम धन तमक ददश म 3 पर पत होत ह ऄथ मत 8+(-5) = 3

(ब) -8 + 5 =

ऊण तमक ददश म 8 ऄक चलकर वह स व पस 5 ऄक शनय की ओर (धन तमक ददश ) म अन पर

ऄनतम नसथनत ऊण तमक ददश म 3 पर ह जो दक -3 ह ऄथ मत -8+5 = -3

आसी परक र अप भी दो-दो पण ाक लकर ईनह जोनड़ए पर पत पररण मो पर नवच र कर

P a g e | 36

आस परक र ईपरोकत ईद हरणो स यह म लम होत ह दक -

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

पण ाको को जोड़न म ईन सभी गणो क प लन होत ह नजनक पणम सखय एा प लन करती ह

1 दो पण ाको क योग एक पण ाक ही होग

2 सभी पण ाको क योग म िम नवननमय ननयम ल ग होत ह

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक सखय होती ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम

ह

4 पण ाको म शनय जोड़न पर ईनक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह

पण ाक सखय ओ क घट न

नजस परक र पणम सखय ओ म घट न की सदिय योग की नवपररत सदिय ह ईसी परक र पण ाक

सखय ओ म घट न की सदिय भी योग की नवपरीत सदिय ह ननमन ईद हरणो पर धय न दीनजए

(v) 14 - 18 = -4

(ब) 5 - 3 = 2

(स) 8 - 4 = 4

घट न की परदिय तो अप ज न चक ह परत यदद कभी 10 स -6 घट न को कह ज त ह तब

परश नी हो सकती ह कयोदक ऊण तमक सखय ओ को कस घट ए वह ठीक स समझ नही अत ह अआए

आस ब त को समझ

अप ज नत ह दक 5 + 0 = 5 8 + 0 = 8 111 + 0 = 111

ऄथ मत दकसी भी सखय म यदद शनय जोड़ ज ए तो योगफल वही रहत ह जो सखय क म न ह

आस तरह शनय को योजय ततसमक कहत ह

P a g e | 37

सोनचए 5 म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (-5)

ऄथ मत 5 + (-5) = 0 (योजय ततसमक)

आसी परक र (-7) म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (+7)

ऄथ मत (-7) + (+7) = 0 (योजय ततसमक)

यह ा (-5) योजय परनतलोम ह 5 क तथ + 7 योजय परनतलोम ह (-7) क

ऄतः दकसी सखय क योजय परनतलोम वह सखय ह नजस ईस सखय क स थ जोड़न पर योजय

ततसमक (शनय) पर पत होत ह

ऄथ मत सखय + सखय क योजय परनतलोम = योजय ततसमक

नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए

सखय सखय क योजय परनतलोम योजय ततसमक

35 + () = 0

-40 + () = 0

-17 + () = 0

-35 + () = 0

-13 + () = 0

पहली सखय म दसरी सखय घट न क ऄथम ह पहली सखय म दसरी सखय क योजय परनतलोम को

जोड़न कय अपको यह ब त ईनचत लगती ह

जस 12 -(5) = 12 +(5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(-5)

ईसी परक र 12-(-5) = 12 +(-5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(+5) = 12 +5 =17

कय अप 10 म स (-6) को घट सकत ह

नीच ददए गए परशनो म घट यी ज न व ली सखय क योजय परनतलोम ननक ल कर हल कीनजएः

1) 3-(-7) 2) 12-(-10) 3) 15-(+7)

4) 7 -(+18) 5) 19-(-7)

उपर ऄभय स क परशनो म अप दख रह ह दक ऊण तमक सखय क ऊण तमक एक धन तमक सखय ह

और धन तमक सखय क ऊण तमक एक ऊण तमक सखय ह

जस - (-3) = +3

य (-1) times (-3) = +3

(-5) times (-3) = + 15

ऄथ मत दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल सदव धन तमक पण ाक होत ह

ऄभय स-41

P a g e | 38

आसी परक र

-(+7) = -7

य (-1) times (+7) = -7

(-5) times (+3) = -15

ऄथ मत एक ऊण तमक पण ाक तथ धन तमक पण ाक क गणनफल सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

घट न की सनकषपत नवनध

जब दकसी सखय को 10 100 1000 अदद स घट न होत ह तो अप सबस बड सथ न क 1 को

ईसस छोटी आक आयो म बदलत ह जस आस ईद हरण म दख -

ईद हरण 1 1 0 0

- 7

हल- यह ा आक इ क शनय स 7 नही घट सकत दह इ म भी शनय ह वह ा स भी अपको कछ नही नमल

सकत अप एक सकड को दस दह आयो म और आनम स एक दह इ को दस आक इ म बदलत ह -

स द आ स द आ

1 0 0 0 9 10 (100 = 90 + 10)

य न एक सकड़ छोटी आक आयो म बदलकर 9 दह इ और 10 आक इ बन ज त ह ऐस म सौ स

छोटी दकसी भी सखय को घट न अपक नलए अस न हो ज त ह

घट आए

स द आ

0 9 10 ( 100 - 7 = 90 + 10 - 7)

- 7 ( = 90 + 3 = 93)

9 3

एक और ईद हरण दख -

ईद हरण 2 1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

हल-

P a g e | 39

ददय ह - दसह ह स द आ

1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

सखय दस हज र को छोटी आक आयो म बदनलए -

दसह ह स द आ

0 9 9 9 10 (10000=9990+10)

- 2 8 7 4

7 1 2 6

ईद हरण 3 1 0 0 0 - 8 7 6

9 9 (10)

- 8 7 6

आन ईद हरणो म अपन दख दक आक इ क ऄक को दस स घट य ज रह ह ब की सभी को नौ स

ऄब अप च ह तो सीध ईततर नलख सकत ह

100 - 23 = (9 - 2) (10 - 3) = 77

100 - 69 = (9 - 6) (10 - 9) = 31

1000 - 512 = (9 - 5) (9 - 1) (10 - 2) = 488

1000 - 32 = (9 - 0) (9 - 3) (10 - 2) = 968

1000 - 8 = 992

10000 - 982 = 9018

10000 - 8374 = 1626

पण ाको क घट न स सबनधत गण

1 दो पण ाको क ऄनतर एक पण ाक होत ह(सवरक गण)

2 पण ाक म स 0 घट न पर ईनक म न नही बदलत

3 परतयक पण ाक क पवमवती एव परवती भी पण ाक होत ह

जस 0 क पवमवती -1 एव -1 क पववती -2 -5 क पवमवती -6 आतय दद तथ -1 क

परवती 0-2 क परवती -1 -6 क परवती -5 आतय दद

P a g e | 40

बीज क क परयोग स जोड़न घट न की ज ाच

तमह पत ही ह दक दकसी सखय क बीज क जञ त करन क नलए ईसक ऄको क योग तब तक करत

ह जब तक एक ऄक व ली सखय न नमल ज ए ऄत म पर पत ऄक ही बीज क होत ह

जस - 45 क बीज क 4 + 5 = 9 ह

और 457 क बीज क 4 + 5 + 7 = 16

16 म दो ऄक ह आसीनलए 1 + 6 = 7

ऄथ मत 457 क बीज क 7 ह

बीज क की सह यत स हम ऄपन बन ए सव लो की ज ाच कर सकत ह

जोड़ की ज ाच

जोड़ क सव लो की ज ाच करन क नलए हम जोड़ी ज न व ली सखय ओ और योगफल क बीज क

जञ त करत ह

यदद सखय ओ क बीज क क योग ईततर क बीज क क बर बर हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण स समझत ह - 453 + 158 = 611

453 क बीज क 3 और 158 क बीज क 5 क योग ईततर 611 क बीज क 8 क बर बर ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आसी परक र ऄपन बन ए हए जोड़ क सव लो क ईततर की ज ाच अप खद ही कर सकत ह

घट न की ज ाच

यदद ईततर क बीज क म घट इ ज न व ली सखय क बीज क जोड़न पर उपर व ली सखय क

बीज क पर पत हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण दख - 587 - 235 = 352

ईततर 352 क बीज क 1 और घटन व ली सखय 235 क बीज क 1 को जोड़न पर 2 पर पत होत ह

587 क बीज क भी 2 ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आस तरीक स ईन परशनो क ईततरो की ज ाच कीनजए नजनह अपन हल दकय ह

P a g e | 41

पण ाको क गण

दिय कल प 1

नीच त नलक म पण ाक सखय ओ क गण करक ददख य गय ह

कछ ररकत सथ न त नलक म ह ईनकी परसत कीनजए -

ि पहली

सखय

दसरी

सखय

पहली सखय x

दसरी सखय

गणनफल ननषकषम

01

02

03

04

05

06

07

08

09

3

-6

-5

3

- 5

-7

-8

15

-17

4

-2

2

-6

-4

2

-12

-13

-19

3x4

(-6) x (-2)

(-5) x (+2)

(+3) x (-6)

+12

+12

-10

-18

दो धन तमक पण ाको क

गणनफल एक धन तमक

पण ाक होत ह

दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल

एक धन तमक

पण ाक होत ह

एक धन तमक पण ाक और एक

ऊण तमक पण ाक क गणनफल एक

ऊण तमक पण ाक होत ह

9 99 999 अदद क गण

एक दो और तीन ऄको व ली दकसी सखय म िमशः 9 99 999 जसी सखय ओ क गण करन पर

हम एक मजद र पटनम नमलत ह अआए कछ ईद हरण दख -

8 x 9 = 72 47 x 99 = 46 53

7 x 9 = 63 78 x 99 = 77 22

5 x 9 = 45

P a g e | 42

अप दख रह ह दक गणय और गणक एक-एक ऄक व ली सखय एा ह पर पत गणनफल म दह इ क ऄक

हर ब र गणय स एक कम ह और दह इ म नमली आस सखय को 9 स घट न पर जो नमल ईस आक इ म रख

गय ह कय यही पटनम दसरी सखय ओ म भी नमलग

दख-

दह इ आक इ द

आ

6 x 9

4 x 9

= (6 - 1)

= (4 - 1)

(9 - 5)

(9 - 3)

= 5

= 3

4

6

= 54 सतय ह

= 36 सतय ह

यदद गणय और गणक दो-दो ऄको की सखय एा हो तो कय होग यह ा हम गणनफल क रप म च र

ऄको की सखय नमलगी (10x99 को छोड़कर)

ह स द आ ह स द आ

10 x 99

= (10 - 1) (99-9)

= 9 9 0

75 x 99

= (75 - 1) (99-74)

= 7

4 2 5

84 x 99 = (84 - 1) (99-83) = 8

3 1 6

आस थोड़ और बढ़ एा -

100 x 999 को हल कर

= 9 9 9 0 0

यदद 100 स बड़ी कोइ भी तीन ऄक व ली सखय ल तो गणनफल 6 ऄको की सखय होगी

दस ह ह स द आ

100 x 999 = (100 - 1)

99

(999 - 99)

999

217 x 999

999 x 999

= (217 - 1)

216

= (999 - 1)

998

(999 - 216)

783

(999 - 998)

001

= 216783

= 998001

P a g e | 43

ऄब थोड़ो सोच य सब कस होत ह

8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 70 + 10 - 8

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

(7 + 1) (10 - 1) = 70 + 10 - 7 - 1

= 70 + 10 - 1 - 7

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

ऄब आन ईद हरणो को धय नपवमक दनखए-

3 x 2 = 6 2 x 1 = 2 4 x 2 = 8 1 x 4 = 4

5 x 3 = 15 2 x 8 = 16 7 x 3 = 21 9 x 9 = 81

उपर क पहल च र ईद हरणो म अप दख रह ह दक आक इ की सखय म आक इ की सखय क गण

करन पर आक इ की सखय ही नमल रही ह नीच क च रो ईद हरणो म भी आक इ म आक इ क गण हअ

और गणनफल म आक इ क स थ - स थ दह इ की भी कोइ सखय नमल रही ह

आसी तरह अप दख सकत ह दक दह इ म आक इ क गण करन पर य तो दह इ और सकड़ य

कवल दह इ की सखय नमलगी

जस 20 x 3 = 60 30 x 1 = 30 10 x 4 = 40

40 x 3 = 120 50 x 5 = 250 30 x 7 = 210

20 य नी दो दह इ म 3 क गण करन पर 60 आक आय ा य नी 6 दह आय ा नमली 4 दह आयो (40)

म 3 क गण करन पर 12 दह आय ा य 1 सकड़ और 2 दह आय ा नमली

यदद आन ब तो क धय न रखत हए गण कर तो गण करन थोड़ सनकषपत हो ज त ह अग कछ

ईद हरणो स हम समझग यह गण कस दकय ज त ह

ईद हरण 1 13 x 12

हल - 13

x 12

चरण - 1 13 आक इ 3 म आक इ 2 क गण दकय

x 12 6 आक आय ा नमली आनह आक इ म नलख

6

P a g e | 44

13

x 12

56

1 3

1 2

13

x 12

156

चरण - 2

पहली सखय की आक इ 3 म दसरी सखय की दह इ 1 क गण दकय 3

दह आय ा नमली दसरी सखय की आक इ 2 म पहली सखय की दह इ 1

क गण दकय 2 दह आय ा नमली कल 5 दह आय ा (3 + 2) नमली आस

दह इ म नलख

(3x1) + (2x1) = 3 + 2 = 5 दह आय ा

चरण - 3

पहली सखय की दह इ 1 म दसरी सखय की 1 दह इ क गण दकय 1

सकड़ नमल आस सकड़ म नलख कल 156 नमल

आन तीनो चरणो को आस तरह दख सकत ह -

स द आ

1 1 3 3

1 1 2 2

1 (3 + 2) 6

1 5 6 = 156

ईद हरण 2 12 x 31 को हल कर

हल

चरण - 1 1 2 आक इ 2 आक इ 1 = 2 आक आय ा

आक इ म नलख

x 3 1

चरण - 2 1 2 आक इ 2 दह इ 3 = 6 दह आय ा

आक इ 1 दह इ 1 = 1 दह आय ा

3 1 योग = 7 दह आय ा

7 2

P a g e | 45

चरण 3 1 2 सकड़ 1x सकड़ 3 = 1x3 = 3 (सकड़ म नलख )

हल नमल 12 x 31 = 372

x 3 1

3 7 2

आन दोनो ईद हरणो म गण करन पर हम ह नसल नही नमल यदद सखय ओ को थोड़ बड़ ल तो

यह नसथनत बनगी

अआए दख -

ईद हरण 3 43 x 12 को हल कर

चरण 1 4 3 आक इ 3 x आक इ 2 = 6 आक आय ा

x 1 2 (आक इ म नलख )

6

चरण 2 4 3 (आक इ 3 x दह इ 1) + (आक इ 2 x दह इ 4)

3 + 8 = 11 दह इ

x 1 2 11 दह इ = 1सकड़ + 1 दह इ

1 6

1 दह इ को दह इ म नलख 1सकड़ ह नसल क रप म अग क

नलए रख

चरण 3 4 3 दह इ x 4 दह इ 1 = 4 सकड़

= + 1 सकड़ (ह नसल क )

x 1 2

5 1 6 योग = 5 सकड़

आस सकड़ म नलख

गणनफल नमल 43 x 12 = 516

ईद हरण 4 हल कीनजए - 76 times 58

चरण 1

7 6 6 x 8 = 48 8 आक इ

4 दह इ (ह नसल क)

x 5 8

8

(4)

P a g e | 46

चरण 2

7 6 (6x5) + (8x7)

30 + 56 = 8 6 दह आय ा

x 5 8 + 4 दह आय ा (ह नसल क)

0 8 9 0 दह आय ा

(9) (4) = 9 सकड़ + 0 दह इ

दह इ म 0 नलख 9 सकड़ (ह नसल की)

चरण 3 7 6 7 x 5 = 3 5 सकड़

+ 9 सकड़ (ह नसल)

x 5 8 4 4 दह आय ा

4 4 0 8 4 हज र और 4 सकड़

(5) (4) आनह आनक सथ नो पर नलख

हल नमल 76 x 58 = 4408

पण ाको म गणन सदिय क गण

1 दो पण ाको क गणनफल सदव एक पण ाक होत ह आस सवरक गण कहत ह

जस- 3 x (-6) = -18 (यह ा 3 एव -6 क गणनफल -18 एक पण ाक सखय ह)

2 पण ाको की गणन सदिय िम-नवननमय ननयम क प लन करती ह

जस- (-7) x 2 = 2 x (-7) = -14

3 परतयक पण ाक म एक क गण करन पर वही पण ाक पर पत होत ह

जस- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

यह ा सखय 1 को गणन-ततसमक ऄवयव कहत ह

4 दकसी पण ाक म ईसक गणन परनतलोम क गण करन पर सदव 1 पर पत होत ह

जस- 5 times 51 =1

यह ा सखय 5 क गणन परनतलोम ह शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव म नही ह

5 शनय क गण - दकसी पण ाक म शनय क गण करन पर गणनफल सदव शनय पर पत होत ह

जस- (-3) x 0 = 0 x (-3) = 0

6 पण ाको क गण पर स हच यम ननयम ल ग होत ह

जस- -3 x (4x5) = (-3x4) x 5

3 x (-20) = (-12) x 5

-60 = -60

P a g e | 47

7 नवतरण गण- पण ाको म गणन सदिय योग सदिय पर नवतरण गण क प लन करती ह

जस- 3times(-4+5) = 3times (-4)+3 times 5

य 3(-4+5) = 3 (-4)+3 times 5

= 12+15

= 3

पण ाको क भ ग

नपछल प ठ म पणम सखय ओ क सदभम म अपन भ ग दन सीख ह पण ाक सखय ओ क गण क

ईद हरण भी हम दख चक ह आनही क अध र पर हम पण ाको क भ ग क ब र म समझ सकत ह

3 times 4 = 12 -5 times 6 = - 30 (-7) times (-2) = 14

12 divide 3 = -30 divide -5 = 14 divide (-2) =

12 divide 4 = 30 divide 6 = 14 divide (-7) =

गणन एव भ ग सदिय एा परसपर नवपरीत सदिय एा ह यह शनय क नलए ल ग नही होत कयोदक

शनय स दकसी भी पण ाक को भ ग नही ददय ज सकत आसी अध र पर उपर ददए कथनो म परशन नचहनो क

सथ न पर सखय एा नलख

पण ाक म भ ग सदिय क गण

1 पण ाको क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3raquo4 म भ गफल पण ाक नही ह

2 परतयक पण ाक म (शनय को छोड़कर )ईसी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

जस- 7 divide 7

3 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म-1 पर पत होत ह

जस- 15 divide (-15)= -1

4 शनय म दकसी भी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल क म न शनय ही रहत ह

जस- 0 divide 16 = -1

5 दकसी पण ाक सखय म शनय स भ ग दन पर भ गफल जञ त नही कर सकत ऄथ मत

4 divide 0 ऄपररभ नषत

परशन वली-4

1 ननमन सखय ओ को सखय रख पर ननरनपत करक पररण म बत आए -

(i) 2 + (-4) (ii) -3 + 5 (iii) (-6) + (-3)

(iv) 6 + 4 + (-2) (v) 4 + (-3) + (-5) (vi) 0 + 3

(vii) 0 + (-5) (viii) 9 + 0 + (-1)

2 योगफल जञ त कीनजए-

(i) 1531 (-503) (ii) -55 -211 (iii) 117 -81

(iv) -18 172

P a g e | 48

3 ननमन म स परतयक ररकत सथ न म gt = य lt क नचहन लग आए नजसस कथन सतय हो-

(i) 8 + (-3) -3 + 8

(ii) -28 + 25 -25 + 28

(iii) -4 + 0 4 + 0

(iv) 0 + 9 9 + 0

(v) 25 + (+25) + 25 - (-25)

(vi) 208 + 53 208 - 53

4 ननमन गणनफल जञ त कीनजए-

(i) (+2) times (3) times (5) (ii) 3 times (-5) times (-6)

(iii) (-4) times 3 times (-2) (iv) (-6) times (-4) times 1

(v) 3 times 0 times (-2) (vi) 2 times (-7) times (-3)

5 ररकत सथ नो की परसत झ = य ढ नलखकर कीनजए -

(i) (2) times (5) (-3) times (5)

(ii) 2 times -4 times -3 8 times 3

(iii) 4 times -3 times -1 28

(iv) (-8) times (-5) 2 times 20

(v) 2 times -3 times 0 0 times -8

(vi) 4 times 5 times (-3) -4 times (+5) times (-3)

(vii) 3 times 8 times (-5) 3 times 8 times (-5)

6 दो पण ाको क योग 69 ह यदद ईनम स एक पण ाक 56 ह तो दसर पण ाक बत आए

7 दो पण ाको क योग 85 ह यदद एक पण ाक -15 ह तो दसर पण ाक जञ त कीनजए

8 ननमन म स परतयक क भ गफल जञ त कीनजए -

(i) 30 divide 2 (ii) 40 divide (-4) (iii) -48 divide 12

(iv) 24 divide 0 (v) -14 divide 1 (vi) 95 divide (-5)

9 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -80 divide = - 20 (ii) 46 divide = -23

(iii) -24 divide = 24 (iv) 12 divide = -1

10 नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए -

(i) 17 (ii) -23 (iii) 68

(iv) -75

11 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -18 + = 0 (ii) 26 + = 0

(iii) 161 + = 0 (iv) -79 + = 0

P a g e | 49

हमन सीख

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक होत ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम ह

4 पण ाक म शनय जोड़न पर ईसक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह शनय को योजय ततसमक

ऄवयव कहत ह

5 पण ाक म 1 क गण करन पर ईसक म न म पररवतमन नही अत ह सखय 1 को गणन ततसमक

कहत ह

6 दकसी धन तमक सखय को दकसी ऊण तमक सखय क स थ गण करन पर गणनफल ऊण तमक

सखय होत ह जस (+1) times (-1) = -1 य (-1) times (+1) = -1

7 ऊण तमक सखय क ऊण तमक सखय क स थ गण होन पर धन तमक सखय पर पत होती ह

जस - (-1) times (-1) = +1

8 दो पण ाको क योग ऄनतर एव गण एक पण ाक होत ह

9 पण ाक स 0 घट न पर ईसक म न नही बदलत

10 परतयक पण ाक की पवमवती एव परवती सखय होती ह

11 दकसी ऊण तमक सखय क योजय परनतलोम धन तमक सखय तथ दकसी धन तमक सखय क योजय

परनतलोम ऊण तमक सखय होती ह

12 पण ाक क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3divide4 म भ गफल पण ाक नही ह

13 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक म ईसी पण ाक क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

14 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म -1 पर पत होत ह

15 शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव नही रखत ह

16 पण ाको क गण -

गण योग सदिय ऄतर सदिय गणन सदिय भ ग सदिय

सवरक radic radic radic times

िमनवननमय radic times radic times

स हच यम radic times radic times

P a g e | 50

नपछली ककष म अपन वतत क ब र म पढ़ ह वतत क अक र को भी अप पहच नत ह जस- चड़ी

रोटी बलग ड़ी क पनहय आतय दद ऄपन च रो ओर प इ ज न व ली ऐसी 10 चीजो क ईद हरण ऄपनी

कॉपी म नलनखए

नीच कछ अकनतय दी गइ ह व वतत ह ऄथव नही ददए गए ररकत सथ न म नलनखएः

दननक जीवन म ईपयोग म अन व ली ऐसी कइ वसतएा ह नजनकी सह यत स अप ऄपनी

कॉपी म वतत बन सकत ह ऐसी कौन-कौनसी वसतएा अप पहच न सकत ह सची बन आए दकनही 3

वसतओ की सह यत स वतत बन आए

नजस वसत की सह यत स अपन वतत बन य ह ईसक दकन र कभी-कभी पणमतः वतत क र न होकर

टढ़ -मढ़ भी हो सकत ह आसनलए पणम वतत बन न क नलए परक र क ईपयोग करत ह

दिय कल प-1

परक र की सह यत स वतत खीचन - ऄपन जय नमनत बॉकस म रखी परक र को लीनजए परक र म

पनसल लग कर ईसको थोड़ स फल आए परक र की नोक को कॉपी क बीचो-बीच रखकर पनसल व ल नसर

को च रो ओर घम आए धय न रह परक र की नोक कॉपी पर ऄपनी जगह स नही हटनी च नहए आस परक र

बनी अकनत वतत कहल ती ह

नजस सथ न पर परक र की नोक अपन रखी थी वह ा पनसल की सह यत स एक बबद बन कर Oनलख यह

नबनद O वतत क कनर ह

P a g e | 51

ऄब वतत पर कइ बबद ABCDE एव F बन कर ननमन दररयो को म प (नचतर-6)

1 OA = 2 OD = 3 OB =

4 OE = 5 OC = 6 OF =

कय ईपरोकत सभी म प एक सम न ह

वतत पर कोइ भी बबद लन पर कय वह यही म प दग

आसी परक र परक र की सह यत स और दो वतत बन कर उपर क पररण मो की ज च कीनजए

अपन वतत बन न सीख नलय ह अआए ऄब वतत क नवनभनन भ गो को ज नन क नलए दिय कल प कर

दिय कल प-2

क गज़ पर परक र की सह यत स वतत बन आए तथ वतत क र अकनत को कची स क ट कर ऄलग

कीनजए आस वतत क र क गज की अकनत को आस परक र मोनड़ए दक एक भ ग दसर भ ग को ढक ल आस

ऄधमवतत क र अकनत को पनः दो बर बर भ गो म मोड़ ऄब आस क गज को खोलकर ईसम बन मोड़ क

ननश नो को पनसल की सह यत स रख दकत कीनजए तथ नीच दी गइ अकनत क ऄनस र न म दकत कर

रख खणड AC और BD की लमब इ म नपय कय व बर बर ह

कट न नबनद O स A तक O स C तक O स B तक और O स D तक की दरी न प कर

दनखए दक ईनकी लमब इ सम न ह य नही

अप दखत ह दक OAOB OC एव OD की लमब इ सम न ह य सभी वत की lsquolsquoनतरजय rsquorsquo ह

दिय कल प-3

ऄपनी कॉपी म परक र की सह यत स एक वतत बन आए वतत क कनर बबद को नचनहनत कीनजए

वतत पर कोइ बबद A लीनजए A को वतत पर नसथत नभनन-नभनन नबनदओ स आस परक र नमल आए दक कम स

कम एक रख खणड कनर स होत हए गजर अपन जो नवनभनन रख खणड खीच ह ईनह न पकर ऄपनी कॉपी म

नलनखए तथ नीच ददए गए परशनो क हल ढदढए-

1 सबस लमबी रख खणड कौन सी ह

2 कय सबस लमबी रख खणड कनर स होकर ज ती ह

3 एक ही वतत म ऐस दकतन सबस लमब रख खणड खीच ज सकत ह

नचतर- 7

नचतर- 8 नचतर- 9 नचतर- 10

नचतर- 11

P a g e | 52

दिय कल प 3 म अपन वतत पर नसथत दो बबदओ को नमल त हए कइ रख खणड खीच होग आनही

रख खणडो को जीव य च पकणम कहत ह सबस बड़ी जीव कनर स होकर ज ती ह वय स कहल ती ह (जस

रख खड AD) चादक कनर स ज न व ली परतयक जीव सबस लमबी जीव ह और अप यह भी ज नत ह दक

दकसी नबनद स ऄसखय रख खणड खीच ज सकत ह आसनलए दकसी वतत म भी ऄसखय वय स खीच ज सकत

ह

दिय कल प-4

ऄपनी कॉपी म ऄलग-ऄलग म प क 3 वतत बन आए तथ ननमन स रणी को पणम कीनजए -

ि स वय स की लमब इ नतरजय की लमब इ वय स divide नतरजय

01

02

03

ईपरोकत दिय कल प म अप प त ह दक दकसी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह ऄथ मत

rsquoनतरजय वय स की अधी होती हrsquo

ऄब वतत क च रो ओर क घर म पकर वतत क पररम प जञ त कर और घर तथ वय स म समबनध

समझ

अप ज नत ह दक दकसी भी बनद अकनत क घर की लमब इ ही ईस अकनत क पररम प ह ऄतः वतत

क पररम प ननक लन क नलए एक पटठ पर वतत बन कर ईस क ट नलनजए आसक दकन र पर पन स एक

ननश न लग आय ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीचकर ईसक एक छोर पर भी ननश न A लग आए

वतत क र पटठ पर बन ननश न को सरल रख पर बन ननश न क उपर रनखए तथ पटठ को एक चककर तब तक

घम आए जब तक दक पटठ पर बन ननश न पनः सरल रख पर न अ ज ए सरल रख पर ननश न B

लग आए

नबनद A और B क बीच की दरी को म नपए यही म प आस वतत क पररम प होग आसी परक र नीच

ददए गए म प की नतरजय क वतत क टकर स रणी को पणम कीनजए -

ि स वतत क पररम प नतरजय की पररम प वतत क वय स पररम प divide वय स

01 35 समी

02 7 समी

03 105 समी

नचतर- 12

P a g e | 53

स रणी म पररम प divide वय स क म न सभी म लगभग सम न ह ऄथ मत परतयक वतत क पररम प तथ

वय स क ऄनप त एक ही (नसथर क) होत ह आस नसथर क को गरीक ऄकषर 120587 (प इ) स दश मत ह तथ आसक

म न लगभग 22

7 य 314 क बर बर होत ह

परशन वली 5

पर1 वतत बन आए

(i) नतरजय = 2 समी (ii) नतरजय = 35 समी

(iii) नतरजय = 42 समी (iv) नतरजय = 5 समी

पर2 वतत बन आए-

(i) वय स = 3 समी (ii) वय स = 6 समी

(iii) वय स = 68 समी (iv) वय स = 74 समी

पर3 32 समी नतरजय क वतत म 64 समी की एक जीव खीनचए

पर4 एक वतत की रचन कीनजए नजसकी सबस बड़ी जीव की लमब इ 8 समी ह

पर5 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो ईसक पररम प कय होग

पर6 ररकत सथ नो की परसत कीनजए

(i) वय स = 2 times

(ii) वतत क दो वय स पर परनतचछद करत ह

(iii) वतत की सबस बड़ी जीव को कहत ह

(iv) वय स वतत क स गजरत ह

(v) वतत की सभी नतरजय य होती ह

(vi) कनर स पररनध क दकसी नबनद को नमल न व ली रख वतत की ह

(vii) वतत म पररनध क दो नबनदओ को नमल न व ली रख को कहत ह

हमन सीख

1 वतत क कनर स वतत पर नसथत नबनद को नमल न व ली रख वतत की नतरजय ह

2 एक ही वतत की नतरजय य सम न होती ह

3 वतत पर नसथत दो नबनदओ को नमल न व ली रख वतत की

जीव कहल ती ह

4 वतत की सबस बड़ी जीव वय स होती ह जो वतत क कनर स

गजरती ह

5 दकसी भी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह

6 वतत क पररम प तथ वय स क ऄनप त सदव नसथर होत ह

आस नसथर क को 120587 कहत ह नजसक म न 22

7 य 314 क लगभग बर बर होत ह

P a g e | 54

पण ाक क प ठ म अपन पढ़ ह दक भ ग की सदिय हमश सवरक ननयम क प लन नही करती ह

ऄथ मत दकसी पण ाक को यदद दकसी ऄनय पण ाक स भ ग ददय ज व तो हमश पण ाक पर पत नही होत

सोचकर बत आय दक 8 म दकन-दकन सखय ओ क भ ग ज त ह और शष नही बचत और 7 म दकस-दकस

क भ ग ज त ह

गणनखड

2 times 5 = 10 म अपन दख दक 2 तथ 5 क भ ग 10 म परी तरह चल ज त ह

दकसी सखय क गणनखड व सखय एा ह जो ईस सखय को परी तरह नवभ नजत कर

10 divide 2 = 5 ऄथ मत 2 तथ 510 क गणनखणड ह

10 divide 5 = 2

दकसी सखय क गणनखड ईस सखय की सभी भ जक सखय एा ह गी

परतयक सखय कम स कम 1 व सवय स ऄवशय नवभ नजत होती ह

जस 12 म 1 क भ ग परी तरह चल ज त ह

12 म 12 क भ ग परी तरह चल ज त ह

कय अप ऐसी कोइ सखय ज नत ह नजसम एक क ऄथव ईसी सखय क भ ग परी तरह नही

ज त हो

भ जय सखय एा

वह सखय नजनम 1 तथ ईसी सखय क ऄनतररकत ऄनय सखय ओ स पर -पर भ ग ददय ज सकत

ह भ जय सखय कहल ती ह

अआए दख 12 म और दकन दकन सखय ओ क भ ग ज त ह

12 = 1 times 12

= 2 times 6

= 3 times 4

= 3 times 2 times 2

12 सखय 1 2 3 4 6 12 स पणमतय नवभ नजत हो ज त ह

ऄतः दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करत ह

P a g e | 55

ऄभ जय सखय एा

वह सखय नजसक गणनखड कवल 1 तथ सवय वही सखय हो ऄभ जय सखय कहल ती ह

जस 13 म कवल 1 एव 13 क पर -पर भ ग ज त ह ऄनय दकसी सखय क नही ऄतः 13 एक

ऄभ जय सखय ह आसी परक र 2 3 5 आतय दद ऄभ जय सखय एा ह

दिय कल प 1

नीच स रणी म कछ सखय ओ सभी गणनखड ददय गय ह शष सखय ओ क सभी गणनखडो को ररकत

सथ नो म नलनखए तथ एक गणनखड दो गणनखडो व ली एव दो स ऄनधक गणनखडो व ली सखय ओ को

ऄलग-ऄलग छ ारटय-

स रणी

सखय सभी गणनखड सखय सभी गणनखड

1 1 6 1623

2 12 7

3 8

4 142 9

5 10

ईपरोकत स रणी म हम तीन परक र की सखय एा ददख इ दती ह -

1 एक गणनखड व ली सखय ऐसी सखय नजसक कवल एक ही गणनखड ह ऐसी सखय 1 ह यह न

तो ऄभ जय सखय ह और न ही भ जय सखय यह एक ऄनदवतीय सखय ह

2 दो गणनखणडो व ली सखय एा 2 3 5 7 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक कवल दो ही गणनखड

होत ह ऄतः यह ऄभ जय सखय एा होगी आस परक र ऄभ जय सखय ओ क पॉच ऄनय ईद हरण

ऄपनी कॉपी म नलनखए

3 दो स ऄनधक गणनखणडो व ली सखय 4 6 8 9 10 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक दो स

ऄनधक गणनखड ह य सभी भ जय सखय एा कहल ती ह

दिय कल प 2

एरटोसथनीज की छलनी भ जय और ऄभ जय सखय ओ को ऄलग-ऄलग छ टन क नलए एरटोसथनीज न एक

तरीक ऄपन य थ आस एरटोसथनीज की छलनी कहत ह

एरटोसथनीज की छलनी

स रणी म 1 स 100 तक की सखय दी गइ ह नीच ददय गय ननदशो क प लन कीनजए-

ननदश

(1) 1 को क ट दीनजए कयोदक 1 ऄभ जय सखय नही ह

P a g e | 56

(2) 2 क च रो ओर एक घर बन दीनजए तथ 2 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक लकीर

स क ट दीनजए जस 468 आतय दद

(3) ऄब ऄगली नबन कटी सखय 3 को घर लग कर 3 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक

लकीर स क ट दीनजए यह ा हमन 2 और 3 स नवभ नजत होन होनी व ली कछ सखय ओ को क ट

ददय ह शष सखय ओ को क ट कर स रणी को पर कीनजए

(4) आसी परक र ऄगली नबन कटी सखय को घररय तथ ईसस नवभ नजत होनी व ली सभी सखय ओ को

क रटए

(5) यह परदिय तब तक दोहर आय जब तक 100 तक की सभी सखय ए कट न ज ए य नघर न ज ए

स रणी

आस परदिय क ब द आस छलनी म घरो क ऄदर की सभी सखय एा ऄभ जय सखय एा ह तथ 1 को

छोड़कर क टी गइ सभी सखय एा भ जय सखय एा ह

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

दिय कल प 3

भ जय और ऄभ जय सखय ओ को तो अपन ज न नलय ह ऄब अआए गणनखणड ननक लन क एक

खल खल

अप ऄपनी क पी म कछ घर बन आए परतयक घर क नीच नचतर नस र म न 1 2 3 4

आतय दद नलनखए और नीच नलख ननदशो क प लन कररए -

ननदश

1 क भ ग नजन सखय ओ म ज त ह ईन सभी घरो म 1 नलनखए

नजन सखय ओ म 2 क भ ग ज त ह ईन घरो म 2 नलनखए

नजन सखय ओ म 3 क भ ग ज त ह ईन घरो म तीन नलनखए

P a g e | 57

आसी परक र अग की सखय एा नलखत ज आए एव ननमननलनखत परशनो क ईततर दीनजए

परशन 1 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर म तर एक सखय ह ईस घर क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 2 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 3 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो स ऄनधक सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न

नलनखए

घर क ऄदर की सभी सखय एा घर क ब हर की सभी सखय ओ क गणनखणड ह व सखय एा नजनक

म तर दो गणनखड (1 एव सवय वह सखय ) होत ह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

सहभ जय सखय एा

अआय 8 और 15 क गणनखडो पर नवच र कर

8 क गणनखड = 1 2 4 8

15 क गणनखड = 1 3 5 15

ईकत दोनो सखय ओ क गणनखणडो को दखन पर यह सपषट होत ह दक कवल 1 ही ह जो 8 और 15

क ईभयननषठ गणनखड ह 1 क ऄनतररकत और कोइ सखय ऐसी नही ह जो 8 और 15 क ईभयननषठ

गणनखड हो ऐसी नसथनत म सखय एा 8 और 15 सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

आसी तरह 9 10 और 49 क गणनखणडो पर नवच र कर

9 क गणनखड = 1 3 9

10 क गणनखड = 1 2 5 10

49 क गणनखड = 1 7 49

ईकत ईद हरण म कवल 1 ही ऐसी सखय ह जो 9 10 और 49 तीनो क ईभयननषठ गणनखड ह

आसक ऄनतररकत और कोइ सखय नही ह जो 9 10 49 सभी क गणनखड हो आसनलए 9 10 और 49 सह

ऄभ जय सखय एा ह

ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखड 1 हो सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 58

(1) 1 स 100 क बीच अन व ली ऄभ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(2) 75 स 100 क बीच अन व ली भ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(3) 70 स 80 क बीच सबस जय द गणनखणड व ली सखय कौन सी ह

(4) कय 12 और 25 सह ऄभ जय सखय एा ह

(5) कय दो िम गत सखय एा सह ऄभ जय सखय एा होगी

सखय ओ क ऄनय परक र

1 सम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत होती ह सम सखय कहल ती ह

जस 2 4 6 8 10 12

2 नवषम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत नही होती ह नवषम सखय कहल ती ह

जस 1 3 5 7 9 11 आतय दद

नीच अपको कछ नवषम सखय एा दी गइ ह ईनम स भ जय और ऄभ जय सखय ओ को छ ाटकर

स रणी म ददए गय सथ न पर नलनखए

41 45 47 53 55 57 63 67 69 71 73 77 81 83 87 89 91 93 95 97 99

स रणी

भ जय सखय एा ऄभ जय सखय एा

कय सभी नवषम सखय एा ऄभ जय होती ह

ऄभ जय गणनखड

अआय दख 42 क ऄभ जय गणनखणड कय होग

42 = 14 times 3 यह 3 ऄभ जय ह

कय 14 भी ऄभ जय ह

नही 14 को 2 times 7 नलख सकत ह

ऄथ मत 42 = 2 times 7 times 3 ऄब यह 2 7 3 सभी ऄभ जय सखय एा ह य 42 क ऄभ जय

गणनखणड ह आनह ऄभ जय गणनखणड कहत ह

6 क ऄभ जय गणनखणड कौन-कौन स ह और भी कछ सखय एा लकर ईनक ऄभ जय गणनखणड

पत कररए

ऄभ जय गणनखड जञ त करन

ऄभ जय गणनखणड कस पत कर कय एक-एक सखय को कइ-कइ ब र भ ग करक दख स म नय

तौर पर नीच ददय तरीक आसतम ल करन स दकसी भी सखय क ऄभ जय गणनखणडो क पत लग सकत

ह दी गइ सखय को सबस पहल 2 स भ ग करक दख यदद सखय 2 स नवभ जय ह तो सखय और दफर

ईसक भ गफलो म तब तक 2 क भ ग दत ह जब तक वह 2 स नवभ जय रहती ह दफर यदद सखय 3 स

ऄभय स

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नवभ जय ह तो ईस म 3 स ब री-ब री तब तक भ ग दत ह जब तक वह 3 स नवभ जय ह आसी परक र 5 7

11 आतय दद क नलए भी वही परदिय दोहर त ह जब तक की भ गफल 1 पर पत नही हो ज त

ईद हरण 1 अआए 24 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

24 = 2 times 2 times 2 times 3

ऄतः 24 क ऄभ जय गणनखणड 2223 ह

ईद हरण 2 ऄब 30 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

30 = 2 times 3 times 5

ऄतः 30 क ऄभ जय गणनखणड 23 एव 5 ह

1 ननमन सखय ओ क ऄभ जय गणनखणड जञ त कीनजए

(i) 16 (ii) 48 (iii) 60 (iv) 84

ऄभ जय गणनखड ननक लन तो अपन सीख नलय अआए ऄब दकसी सखय क सभी गणनखडो

पर नवच र कर

ईद हरण 3 कय 18 108 क गणनखड ह

परथम नवनध यदद 18 108 क गणनखड हो तो 108 म 18 क भ ग परी तरह चल ज न च नहए

18) 108 (6

- 108

0 ऄतः 108 क एक गणनखड 18 ह

नदवतीय नवनध (i) 18 क ऄभ जय गणनखड ननक नलए

(ii) 108 क ऄभ जय गणनखड पर पत कीनजए

18 = 2 times 3 times 3

108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

चदक 18 क ऄभ जय गणनखडो म श नमल सभी सखय एा 108 क ऄभ जय गणनखडो म भी श नमल

ह आसनलए 108 क गणनखड 18 ह

ईद हरण 4 18 क सभी गणनखड नलनखए

नवनध 1 जस दक अप ज नत ह दक 18 म 1182369 आन सभी सखय ओ क भ ग ददय ज य तो शषफल

शनय (0) रहत ह

2 24

2 12

2 6

3 3

1

2 30

3 15

5 5

1

ऄभय स

P a g e | 60

ऄभय स

ऄतः 1182369 सभी 18 क गणनखणड ऄथव ऄपवतमक ह

गणनखड को ऄपवतमक भी कहत ह

नवनध 2 यह ा 18 क सभी ऄपवतमको को ननमन परक र स भी जञ त दकय ज सकत ह

18 = 1 times 18

18 = 2 times 9

18 = 3 times 6

आस परक र 18 क सभी ऄपवतमक होग 1 2 3 6 9 18

ईद हरण 5 60 क सभी गणनखडो को नलनखए

हल 60 = 1 times 60

= 2 times 30

= 3 times 20

= 4 times 15

= 5 times 12

= 6 times 10

ऄतः 60 क सभी गणनखड 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 होग

1 ननमननलनखत सखय ओ क सभी ऄपवतमक नलनखय

(i) 28 (ii) 36 (iii) 45 (iv) 72

आस नवनध स गणनखड ननक लन म अपको ऄनधक समय लग रह ह अपको नवभ जयत की ज च

क ननयम म लम नही ह नजसक क रण नबन भ ग ददय अप यह नही बत सकत दक दकसी सखय म 3 5

ऄथव 7 आतय दद क भ ग ज एग य नही अआय नवभ जयत पत करन क कछ ननयम सीख

नवभ जयत की ज ाच क ननयम

(1) 2 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक 0 2 4 6 8 हो तो वह सखय 2 स पणमतः नवभ नजत होगी

20 62 34 26 18 2 स नवभ जय ह

21 63 33 35 17 2 स ऄनवभ जय ह

यह ा 18 2 स नवभ जय ह अआए भ ग दकर आसकी ज ाच कर -

2 ) 18 ( 9

-18

0 2 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 61

2 ) 21 ( 10

- 2

01

- 00

1 2 स पणमतः नवभ नजत नही ह

(2) 3 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सभी ऄको क योगफल 3 स नवभ नजत होत ह तो वह सखय तीन स

नवभ नजत होगी

जस 111111 म सभी ऄको क योग 1+1+1+1+1+1 = 6 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

आसी परक र 5112 म सभी ऄको क योग 9 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

412 म सभी ऄको क योग 7 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत नही होगी

(3) 6 स नवभ जयत की ज ाच

यदद कोइ सखय 2 तथ 3 स ऄलग-ऄलग नवभ नजत हो तो वह सखय 6 स भी नवभ नजत होगी

जस 216 2 स नवभ जय ह (आक इ ऄक 6 ह)

216 3 स नवभ जय ह (ऄको क योग 9 ह)

ऄतः यह 6 स भी नवभ जय होगी

आसी परक र 643212 2 स नवभ जय ह (कयोदक आक इ क ऄक 2 ह)

3 स नवभ जय ह (कयोदक ऄको क योग 18 ह)

ऄतः सखय 6 स भी नवभ जय होगी

(4) 9 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क ऄको क योग 9 स नवभ जय हो तो परी सखय भी 9 स नवभ जय होगी

जस 3663 9 स नवभ जय ह कयोदक (ऄको क योग 3+6+6+3 = 18 ह नजसम 9

क भ ग पर -पर ज त ह)

1827 9 स नवभ जय ह (ऄको क योग 18 9 स नवभ जय ह)

1227 9 स नवभ जय नही ह (ऄको क योग 12 9 स नवभ जय नही ह)

(5) 5 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय म आक इ क ऄक 0 ऄथव 5 ह तो वह सखय 5 स नवभ जय होगी

जस 1045 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 5 ह

940 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 0 ह

(6) 10 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक शनय हो तो वह सखय 10 स नवभ जय होगी

जस 1000 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

2130 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

5003 10 स नवभ जय नही ह (आक इ क ऄक 3 ह)

P a g e | 62

(7) 4 स नवभ जयत की ज ाच

जब दकसी सखय क दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 4 स नवभ नजत होती ह ऄथव दह इ व

आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 4 स नवभ नजत होगी

जस - 79412 म दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 12 ह जो दक 4 स नवभ नजत ह ऄतः सखय

79412 4 स नवभ नजत होगी

1300 4 स नवभ नजत ह नजसम दह इ व आक इ क ऄक शनय ह

413 4 स नवभ नजत नही ह कयोदक 13 म 4 क भ ग पर -पर नही ज त ह

(8) 8 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सकड़ दह इ आक इ व ल तीन ऄको की सखय 8 स नवभ नजत हो

य सकड़ दह इ व आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 8 स नवभ जय होगी

31000 8 स नवभ जय ह (आक इ दह इ व सकड़ क ऄक शनय ह)

1816 8 स नवभ जय ह (816 8 स नवभ नजत ह)

12317 8 स नवभ जय नही ह (317 8 स नवभ नजत नही ह)

(9) 7 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क ऄनतम ऄक क दगन कर शष ऄको की सखय स घट आए तथ बची हइ सखय पर पनः

यही परदिय दोहर आय जब तक 1 य 2 ऄक की सखय पर पत नही हो ज ती यदद पर पत सखय 7 स नवभ नजत हो

तो दी गइ सखय भी 7 स नवभ जय होगी

जस 1729 म ऄनतम ऄक 9 ह 9 क दगन = 18

172 - 18 = 154 म ऄनतम ऄक 4 ह 4 क दगन = 8

15 - 8 = 7 ऄनतम ऄक 7 ह ऄतः 7 स नवभ जय ह

कय अप ज नत ह दक 1729 को र म नजन सखय भी कह ज त ह

भ रत क मह न गनणतजञ र म नजन जब आगलड म थ ईस समय वह एक ब र बहत बीम र हो गय

ईनस नमलन आगलड क परो ह डी अए ईनम जो ब तचीत हइ वह आस परक र ह -

र म नजन न पछ - अप कस अए

परो ह डी - टकसी दव र

र म नजन - टकसी क नमबर कय थ

परो ह डी - 1729 कोइ नवशष सखय नही ह

र म नजन - अप गलती पर ह यह सखय बहत रनचकर ह यह एक म तर ऐसी सबस

छोटी सखय ह नजस दो सखय ओ क घनो क योगफल क रप म दो नवनभनन तरीक स नलख ज सकत ह

ऄथ मत 1729 = 13 + 123 = 93 +103

(10) 11 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क नवषम सथ नो क ऄको क योग ननक नलए तथ सम सथ नो क ऄको क योग

ननक नलए यदद नवषम सथ नो क ऄको क योग तथ सम सथ नो क ऄको क योग क ऄतर 0 11 ऄथव

11 क गणज हो तो वह सखय 11 स नवभ नजत होगी

P a g e | 63

ऄभय स

जस 856592 क नवषम सथ नो क ऄको क योग = 8+6+9 = 23

सम सथ नो क ऄको क योग = 5+5+2 = 12

दोनो योगो क ऄतर = 23 -12 = 11

ऄतः सखय 11 स नवभ जय ह

ईद हरण 6

ज ाच कीनजए की कय 805130425 11 स नवभ जय ह

हल सखय 805130425 क

1 नवषम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 8+5+3+4+5 = 25

2 सम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 0+1+0+2 = 3

योग क ऄतर = 25 - 3

= 22 जो 11 स नवभ नजत ह

ऄतः सखय 805130425 भी 11 स नवभ नजत होगी

1 नजस सखय स दी गइ सखय नवभ जय ह ईसम क ननश न लग आय

ि सखय नजनस सखय पणमतः नवभ नजत हो ज ए

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2550 radic radic radic radic radic radic

2 4914

3 9432

4 7332

5 13310

6 872

7 1210

2 27720 दकन-दकन सखय ओ स नवभ जय ह बत आए

3 नीच नलख कथन सतय ह ऄथव ऄसतय बत आए

(i) 78 2 स नवभ नजत हो सकती ह

(ii) 375 म 3 5 व 10 क भ ग पर -पर चल ज त ह

(iii) नजस सखय म आक इ क ऄक 0 हो वह सखय 5 स नवभ नजत होगी

(iv) दकसी सखय क सम सथ नो क ऄको क योग व नवषम सथ नो क ऄको क योग क ऄनतर

यदद 0 हो तो वह सखय 11 स भ जय होगी

(v) सखय 10080 िमशः 23456789 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 64

महततम सम पवतमक (Highest common factor)

दिय कल प 4

नीच 12 फीट लमब तथ 9 फीट चौड़ कमर को न पन क नलय एक लकड़ी क सकल बन न ह ईस

बड स बड़ सकल की लमब इ कय होगी नजसस 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प ज सक

12 फीट की लमब इ अप दकस-दकस म प क

सकल स न प सकत ह

अप प यग 1 2 3 4 6 12 फीट लमबी सकल स

12 फीट की लमब इ न पी ज सकती ह य सभी 12

क गणनखणड ह

ईसी परक र 9 फीट की लमब इ 1 3 और 9

फीट लमब सकल स न पी ज सकती ह य सभी 9 क

गणनखणड ह परनत ऐस बड स बड़ सकल की

अवशयकत ह जो 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प

सक यह 12 और 9 क सबस बड़ ईभयननषठ

गणनखणड ऄथ मत rsquorsquo3rsquorsquo होग

चदक यह सबस बड़ ईभयननषठ गणनखणड (ऄपवतमक) ह आसनलए आस हम महततम सम पवतमक

(HCF) भी कहत ह

अआए ऄपवतमक (गणनखणड) की सह यत स एक स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक जञ त कर

ईद हरण 7

48 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 12 24 48

64 क सभी गणनखड 1 2 4 8 16 32 64

72 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72

ईपरोकत सभी ईभयननषठ गणनखडो पर घर लग आए अप दखग 48 6472 क सम ऄपवतमक 1

2 4 8 ह आनम सबस बड़ ऄपवतमक 8 ह

ऄतः 48 64 72 क म स 8 ह

दो य दो स ऄनधक सखय ओ क समऄपवतमको म स सबस बड़ सम ऄपवतमक ईन सखय ओ क

महततम सम पवतमक (म स) कहल त ह

म स = सबस बड़ सम न गणनखड

म स जञ त करन की नवनधय ा

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स

ईद हरण 8 24 36 60 क म स जञ त कीनजए

P a g e | 65

24 = 2 times 2 times 2 times 3 36 = 2 times 2 times 3 times 3 60 = 2 times 2 times 3 times 5

ऄतः 24 36 60 क ईभयननषठ गणनखड

24 = 2 times 2 times 2 times 3

36 = 2 times 2 times 3 times 3

60 = 2 times 2 times 3 times 5

मस = 2 times 2 times 3 = 12

2 ऄपवतमक नवनध

24 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 8 12 24

36 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 9 12 18 36

60 क ऄपवतमक 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

ऄतः 24 36 60 क समऄपवतमक 1 2 3 4 6 12

सबस बड़ सम ऄपवतमक = 12

म स = 12

3 भ ग नवनध स म स जञ त करन

भ ग नवनध स मस दो तरीक स जञ त दकय ज सकत ह -

परथम नवनध

ईद हरण 9 16 तथ 36 क म स जञ त कीनजए

चरण

1) सबस छोटी ऄभ जय सखय 2 स 16 एव 36 को भ ग दन पर

2) 2 स 8 एव 18 को भ ग दन पर

3) चदक दकसी एक ही ऄभ जय सखय स 4 एव 9 को भ ग दन सभव नही ह

आसनलए नजन ऄभ जय सखय ओ स दी गइ सभी सखय ओ म एक स थ भ ग

ज त ह ईनक गणनफल ही मस होग

16 और 36 क महततम सम पवतमक 2 times 2 = 4

ईद हरण 10 60 90 210 क महततम सम पवतमक भ ग नवनध स जञ त कीनजए

चरण

1) 2 स 60 90 210 को भ ग दन पर

2) 3 स 30 45 105 को भ ग दन पर

2) 5 स 10 15 35 को भ ग दन पर

4) चदक दकसी ऄनय ऄभ जय सखय स 2 3 एव 7 को भ ग दन सभव नही ह

ऄतः 6090210 क मस 2 times 3 times 5 = 30

नदवतीय नवनध

आस नवनध स मस जञ त करन क नलए छोटी सखय क भ ग बड़ी सखय म तब तक दीनजए जब तक

दक शषफल भ जक स छोटी न अ ज ए ऄब भ जक को भ जय व शषफल को भ जक म नकर हल कर यह

P a g e | 66

दिय तब तक करत रनहए जब तक दक शषफल शनय न अ ज ए नजस भ जक स भ ग दन पर शषफल शनय

होग वही मस ह

ईद हरण 11 15 एव 63 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

15) 63 ( 4 3) 15 ( 5

- 60 -15

3 0

ऄतः 15 व 63 क मस 3 ह

ईद हरण 12 वह सबस बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 18 और 55 को भ ग दन पर िमशः 2 और 3

शष बच

हल चदक 18 को भ ग दन पर 2 शष बचत ह ऄतः सखय = 18 - 2 = 16 ह

ईसी परक र दसरी सखय = 55 - 3 = 52 ह

16 और 52 क मस ननक लन पर -

16) 52 ( 3

-48

4) 16 (4

-16

0

16 व 52 क मस 4 पर पत हअ

महततम सम पवतमक की नवषषत ए

अआय महतम सम पवतमक की नवशषत ओ को ईद हरणो क दव र समझ

ईद हरण 13 15 60 क म स ननक नलए

चदक 15 स 60 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 15 तथ 60 क म स 15 होग

ईद हरण 14

12 36 क म स ननक नलए

चदक 12स 36 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 12 तथ 36 क मस 12 होग

ईद हरण 15 20 40 क म स ननक नलए

चदक 20स 40 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 20 तथ 40 क म स 20 होग

ईद हरण 16 15 और 16 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 15 एव 16 क म स 1 होग

आसी परक र 13 और 17 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 13 एव 17 क म स 1 होग

P a g e | 67

आसस यह सपषट होत ह दक -

1) यदद दो सखय ओ म बड़ी सखय छोटी सखय स परी तरह नवभ नजत होती ह तो छोटी सखय दोनो

सखय ओ क म स होगी

2) ऐसी सखय एा नजनक 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखणड नही होत ईन सखय ओ क मस 1

होत ह

परशन वली 61

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 120 204 (ii) 144 198

(iii) 150 140 210 (iv) 108 135162

2 भ ग नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 252 576 (ii) 300 450

(iii) 72 96 144 (iv) 120 300 105

3 दो िम गत सखय ओ क महततम समपवतमक कय होग

4 ननमन स परतयक नभनन को ईसक हर और ऄश म ईनक महततम सम पवतमक स भ ग दकर सरल रप म

नलनखए

(i) 1444 256 (ii) 2211 3025

5 दो छोट टकरो म िमशः 85 और 68 लीटर पटरोल अत ह ईस म पन व ल बतमन की

ऄनधकतम धररत जञ त कीनजए नजसस परतयक टकर क पटरोल पर -पर म प ज सक

6 वह बड़ी स बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 389 436 और 542 को भ ग दन पर िमशः 4 7 और 3

शष बच

7 एक नवदय लय की ककष 6 7 8 म िमशः 220 176 तथ 132 छ तर ह ऄनधक स ऄनधक छ तरो क

समह बन एा जो परतयक ककष म बन सक तथ परतयक समह म छ तरो की सखय सम न हो

8 हमीद क प स 527 सब 646 चीक व 748 सतर ह आनह बर बर-बर बर फलो क ढरो म रखन ह बड़ स

बड़ ढर म दकतन फल होग कल दकतन ढर बनग

9 एक अय तक र कमर की ब हरी लमब इ 122 मी एव चौड़ इ 92 मी ह यदद दीव र की मोट इ 1 मीटर हो

तो ईस बड़ स बड़ सकल की लमब इ जञ त करो जो अतररक भ ग की लमब इ व चौड़ इ को पणमतः न प सक

सकत अतररक लमब इ = 122 - 2 = 120 अतररक चौड़ इ = 92 - 2 = 90

(120 एव 90 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए)

गणज (Multiple)

नपछली ककष ओ म अप न पह ड़ तो पढ़ ही होग पह ड़ क ईपयोग गण करन व भ ग दन म भी अपन

दकय ह

अप ज नत ह दक 7 times 3 = 21 होत ह ऄथ मत 7 व 3 दोनो क एक गणज 21 ह

दो क पह ड़ म जो सखय एा अती ह व सभी दो क गणज ह आसी परक र 132639526578 आतय दद

सभी 13 क गणज होग

दिय कल प 5

नीच कछ सखय एा दी गइ ह ईनक परथम 5 गणजो को ददय गय बॉकस म नलनखए

P a g e | 68

4 क गणज

7 क गणज

12 क गणज

15 क गणज

16 क गणज

20 क गणज

लघतम सम पवतयम (Lowest Common Multiple)

दननक जीवन म हम नमलन व ल कछ ईद हरणो पर चच म कर -

ईद हरण 17 र म फल खरीदन ब ज र गय वह ा दक नद र न ईस दो तरह क कल

बत य पहल तरह क कल 10 रपय क 6 थ व दसरी तरह क 10 रपय क 8 कल थ

र म दस-दस रपय क नोट द कर नबन खदर दकए दोनो तरह क कल सम न सखय म खरीदन च हत ह

बत आए वह दोनो तरह क दकतन कल खरीद सकत ह

हल आसक नलए हम 6 व 8 क गणज नलखग

6 क गणज - 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

8 क गणज - 8 16 24 32 40 48 56 64 72

आसक मतलब यह ह दक पहल तरह क 6121824 कल वह दस-दस रपय क िमशः एक

दो तीन च र नोट दकर नबन खदर दकए खरीद सकत ह

आसी तरह वह दसरी तरह क 81624 कल नबन खदर दकए खरीद सकत ह एक ही

सखय म खरीदन क नलए ईस दोनो म अनी व ली सखय क कल खरीदन होग ऄथ मत 6 व 8 क गणज म

जो सखय सम न ह ईनको लन होग

यह सखय ह 24 48 72

सम न सखय म कल खरीदन क नलए र म 24 48 व 72 कल खरीद सकत ह

अआए एक और ईद हरण दख

ईद हरण 18 एक दक नद र ऄपनी दक न क नलए थोक म पन खरीदन ज त ह ईस दो तरह क पन पसद

अत ह पहल परक र क पन क एक पकट म 12 पन ह तथ दसर परक र क पन क पकट म 15 पन ह थोक

दक नद र पकट खोलकर पन नही बचत ह कय अप बत सकत ह दक ईस कम स कम दकतन पकट

खरीदन च नहए नजसस खरीद गए दोनो परक र क पनो की सखय सम न हो

अआय आस परशन को ननमन स रणी क म धयम स हल कर

स रणी

पकट म पनो

सखय

कल पनो की सखय

1 पकट

म

2 पकट

म

3 पकट

म

4 पकट

म

5 पकट

म

12 12 24 36 48 60

15 15 30 45 60 75

P a g e | 69

आस परक र अप दख रह ह दक 12 पन व ल पकट यदद 5 खरीद ज व तो 60 पन होग और

15 पन व ल पकट यदद 4 खरीद ज व तब 60 पन होग

ईपरोकत परशन को हल करत समय अपन 12 और 15 क गणज ननक ल ह तथ जो ईभयननषठ गणज

सबस छोट ह वही च ह गय ईततर ह

गणज को lsquolsquoऄपवतयमrsquorsquoभी कहत ह आसनलए सबस छोट ईभयननषठ गणज को

लघतम सम ऄपवतयम य लघतम सम पवतयम कहत ह आस सकषप म लस(LCM) भी कहत ह

कय अप 1012 और 15 क सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम पर पत कर

सकत ह

10 क गणज नलनखए =

12 क गणज नलनखए =

15 क गणज नलनखए =

सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम =

नीच दी गइ स रणी म दी गइ सखय ओ क लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए

स रणी

िम सखय सखय एा सखय ओ क गणज य ऄपवतयम लघतम सम पवतयम

1 3 4 6 3 क ऄपवतयम = 3 6912151821242730

5 क ऄपवतयम = 5101520253035404550

6 क ऄपवतयम = 61218243036424854

30

2 4 6 9

3 4 9 12

4 6 1518

आस परक र यह कह सकत ह दक

(1) वह ऄपवतयम जो दी गइ सखय ओ क सबस छोट सम न ऄपवतयम हो दी गइ सखय ओ क लघतम

सम पवतयम कहल त ह

(2) दो य दो स ऄनधक सखय ओ क लस वह छोटी स छोटी सखय ह नजसम दी गइ परतयक सखय क

पर -पर भ ग चल ज त ह

ल स जञ त करन की नवनधय ा

(1) ऄभ जय गणनखड नवनध

ईद हरण 19 16 और 24 क लस जञ त कीनजए

16 = 2 times 2 times 2 times 2 24 = 2 times 2 times 2 times 3

P a g e | 70

(ii) सभी सखय ओ म सबस छोट ऄभ जय गणनखड ल यह गणनखणड दकसी भी सखय

म ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र अय हो ईस ईतनी ब र नलनखए

(iii) ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड को चननए और ईस भी ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र

दकसी सखय म वह अय हो ईतनी ब र नलनखए

(iv) आसी परक र सभी ऄभ जय गणनखडो को नलख कर गण करक लस जञ त दकय

ज त ह

16 = 2 times 2 times 2 times 2

24 = 2 times 2 times 2 times 3

सबस छोट ऄभ जय गणनखड 2 ऄनधकतम 4 ब र 16 म अय ह

ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड 3 ऄनधकतम एक ब र 24 म अय ह

16 और 24 क ल स = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

(2) भ ग नवनध दव र

ईद हरण 20 121624 क ल स जञ त कीनजए

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग एक सखय ओ म ज त ह

3 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

समसत भ जक सखय ओ क गणनफल ही लस ह

1216 और 24 क लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

दो सखय ओ क गणनफल तथ लस एव मस क मधय सबध

ईद हरण 21 म न लीनजए दो सखय एा 12 और 16 ह

अआय दोनो सखय ओ क गण करक दख जह ा परथम सखय 12 व नदवतीय सखय 16 ह

दोनो सखय ओ क गण = परथम सखय times नदवतीय सखय

= 12 times 16

= 192

ऄब दोनो सखय ओ क मस व लस भी जञ त करत ह

म स 2 12 16 लस 2 12 16

2 6 8 2 6 8

3 4 2 3 4

म स = 2 times 2 = 4 2 3 2

3 3 1

1 1

लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

P a g e | 71

ऄथ मत मस times लस = 4 times 48 = 192

दोनो नसथनतयो म गणनफल सम न पर पत होत ह ऄतः यह कह सकत ह दक -

परथम सखय times नदवतीय सखय = म स times ल स

ऄथ मत दो सखय ओ क गणनफल = ईनक मस times ईनक लस

दिय कल प 6

स रणी म दी गइ सखय ओ क लस व मस ननक ल कर उपर ददय गय समबनध की ज ाच कीनजए

स रणी

परथम

सखय

नदवतीय

सखय

म स ल स म स times ल स परथम सखय times नदवतीय सखय

6

4

30

42

108

8

9

36

48

18

2 24 2 times 24 = 48 6 times 8 = 48

अप यह भी प त ह दक दो सखय ओ क मस ईनक लस क एक गणनखणड ह

परशन वली 62

मौनखक परशन

1 दो सखय ओ क म स 2 और ल स 12 ह यदद एक सखय 6 ह तो दसरी सखय

कय होगी

2 दो सखय ओ क गणनफल 338 ह आनक मस एव ल स क गणनफल बत आय

3 2 6 8 क लघतम सम पवतयम बत आए

4 7 और 14 क ल स 7 स बड़ ह य छोट

5 15 और 30 क ल स कय 30 स कम हो सकत ह

नलनखत परशन

1 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (गणनखड नवनध स)

(i) 14 28 (ii) 108 162 (iii) 12 15 45 (iv) 40 36 126

2 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (भ ग नवनध स)

(i) 28 56 (ii) 112 168 (iii) 36 45 72 (iv) 180 184 144

3 55 मीटर लमब एव 22 मीटर चौड़ मद न म वग मक र दररय नबछ नी ह एक ही न प की कम स

कम नबछ इ ज न व ली दररय की सखय जञ त कीनजए (सकत - मस जञ त कर)

4 6 घरटय ा एक स थ बजन पर रभ हइ यदद व िमशः 2 4 6 8 10 12 सक ड क ऄतर ल म

बजती ह तो 30 नमनट म दकतनी ब र आकटठी बजगी (सकत - लस जञ त कर)

5 एक वय प री हर चौथ ददन र यपर ज त ह जबदक दसर वय प री हर 10 व ददन व दोनो यदद 3

जनवरी को एक स थ र यपर गय हो तो ऄगली नतनथ बत आए जब व पनः र यपर म एक स थ

P a g e | 72

पहचग

6 दो सखय एा 24 एव 36 ह यदद ईनक मस 12 हो तो ईनक ल स जञ त कीनजए

7 यदद दो सखय ओ क म स 13 लस 1989 ह यदद ईनम स एक सखय 117 हो तो दसरी सखय

जञ त कीनजए

8 शश क ननतय 465 रपय बच त ह कम स कम दकतन ददनो म वह रपयो की

परी - परी सखय बच सकग

सकत - 465 म 4 र पण ाक म ह ऄतः 65 पस और 100 पस क लघतम सम पवतयम जञ त कर एव

पर पत ल स म 65 पस क भ ग दन पर पणम ददनो की सखय पर पत होगी जो बचत की परी र नश

रपय म वयकत करग

9 कय दो सखय ओ क म स 14 और ल स 204 हो सकत ह ऄपन ईततर क पकष म तकम दीनजए

10 दकसी ददन रतनपर स र यपर की बस 40 नमनट क ऄतर ल स और र यपर स रतनपर की 45

नमनट क ऄतर ल म चलती ह यदद नवपरीत ददश स अन व ली दो बस दकसी नवषष पल स

1015 बज पर तः गजरती ह तो ईसक ब द ईस पल स दो नवपरीत ददश की बस दकस समय

गजरगी

सकत 40 और 45 क ल स 360 नमनट

36060 = 6 घट

1015 + 600 = 1615

1615 - 1200 = 415 श म

हमन सीख

1 दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करती ह

2 दकसी सखय क गणज ईस सखय स पणमतय नवभ नजत होती ह

3 परतयक सखय सवय क गणज एव गणनखड होती ह

4 1 परतयक सखय क गणनखड होत ह जो दक न ऄभ जय ह न ही भ जय

5 कवल 2 ही सम ऄभ जय सखय ह

6 दो य दो स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक बड़ स बड़ ईभयननषठ गणनखड होत ह

7 लघतम सम पवतयम वह छोट स छोट ईभयननषठ गणज होत ह जो दी गइ सभी सखय ओ क गणज ह

8 दो सखय ओ क गणनफल ईनक महततम सम पवतमक तथ लघतम सम पवतयम क गणनफल क बर बर होत ह

9 2 क सभी गणज सम सखय एा कहल ती ह

10 सखय एा जो 2 क गणज नही ह व नवषम सखय एा कहल ती ह

11 दो सखय ओ क म स ईनक ल स क एक गणनखड होत ह

12 सखय ओ क महततम सम पवतमक सखय ओ स बड़ नही हो सकत ह

13 सखय ओ क लघतम सम वतयम सखय ओ स छोट नही हो सकत ह

14 ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखणड (1) होसह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 73

र ज न नपछली ककष ओ म नभनन सखय क ब र म पढ़ रख थ परनत वह आस ब त स परश न थ दक

नभनन सखय ओ की जररत ही कय ह

नचतर 1

तभी डॉली न अव ज लग इ lsquolsquoर ज रनशम और फरीद चलो हम सब रटफीन ख लrsquorsquo

रटफीन खोलन पर ईसम 10 पनड़य ा ननकली ऄब समसय यह अ गइ दक आन च रो क बीच 10

पनड़यो को बर बर-बर बर कस ब ाट ज ए

आसक ब ाटन क नलए डॉली न पहल सबको दो-दो पनड़य ब ाट दी ऄब शष बची दो पनड़यो को च रो

म ब ाटन थ ईसन दोनो पनड़यो को अध-अध नहसस म ब ाट कर च र टकड़ बन य और सभी क बीच ब ाट

ददए आस परक र सभी को दो और अधी पड़ी नमली र ज को ऐस लग दक यह अधी पड़ी ही 1 बट 2 क

बर बर ह ईसन ऄपन 1

2 पड़ी को दफर दो बर बर भ गो म ब ाटकर एक भ ग को ददख कर पछ - यह

नहसस दकतन ह

आस पर फरीद न ऄपन नहसस की अधी पड़ी को भी दो बर बर भ गो म ब ाटकर ऄपनी और र ज

की अधी पड़ी क च रो नहससो को एक स थ जम कर कह यह दखो परी पड़ी बन गइ चादक यह पड़ी च र

बर बर नहससो म ब ाटी हइ ह आसनलए परतयक टकड़ एक पड़ी क चौथ इ नहसस ह य 1 बट 4 ऄथव 1

4

ह दफर र ज न पछ lsquolsquoकय 2 टकड़ क बर बर होगrsquorsquo

P a g e | 74

रनशम न कह ह ा आसी परक र 3 टकड़ 3

4 क बर बर होग और च रो टकड़

4

4 ऄथ मत एक परी पड़ी क

बर बर होग और ऐस 5 टकड़ सव पड़ी ऄथ मत 1 1

4 होग

ऄब र ज सोचन लग जब पड़ी क सम न च र टकड़ो म स तीन टकड़ लन पर 3

4 पर पत होत ह तो

दकसी भी चीज़ क 3

5 पर पत करन क नलए ईस चीज़ क सम न 5 टकड़ो म स 3 टकड़ लन पड़ग

र ज तो कछ-कछ नभनन को समझन लग कय अपन समझ यह ज नन क नलए ऄपन अप को

परख नीच कछ अकनतय ा दी गइ ह आन अकनतयो क नीच नलखी गइ सखय क ऄनस र ईपयकत भ ग को

पनसल स छ य दकत कीनजए

1

2 भ ग

1

2 भ ग

1

2 भ ग

नचतर 2 नचतर 3 नचतर 4

1

3 भ ग

1

3 भ ग

2

6 भ ग

नचतर 5 नचतर 6 नचतर 7

1

4 भ ग

3

4 भ ग

12

16 भ ग

नचतर 8 नचतर 9 नचतर 10

P a g e | 75

1

2 भ ग

7

9 भ ग

3

4 भ ग

नचतर 11 नचतर 12 नचतर 13

3

6 भ ग

1

5 भ ग

2

10 भ ग

नचतर 14 नचतर 15 नचतर 16

आन म कौन-कौन स नभनन कल सथ न क सम न नहसस घर रह ह ईनह त नलक म भररए

नचतर िम क नभनन तमक म न पहल

नचतर क ऄनस र

नभनन तमक म न दसर

नचतर क ऄनस र

ननषकषम

नचतर 5 और 7

13 26 13 = 26

P a g e | 76

ईपरोकत सभी ईद हरणो म यह दख गय ह दक दकसी नभनन क ऄश और हर म यदद एक ही सखय

स गण दकय ज ए ऄथव एक ही सखय स नभनन क ऄश एव हर म भ ग ददय ज ए तो नभनन क म न नही

बदलत ऄथ मत दकसी नभनन को कइ परक र स वयकत दकय ज सकत ह नजनक ईद हरण नीच ददए गए हः-

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

2

3 =

4

6 =

6

9 =

8

12 =

10

15

आस परक र एक ही नभनन को कइ परक र स वयकत करन पर बन नभननो को समतलय नभनन कहत ह

दिय कल प 1

नभनन पर पत समतलय नभनन

2

3 स गण करन पर

3

3 स गण करन पर

4

4 स गण करन पर

5

5 स गण करन पर

6

6 स गण करन पर

2

3

2

3 times

2

2 =

4

14

2

7 times

3

3 =

6

21

2

7 times

4

4 =

8

28

2

7 times

5

5 =

10

35

2

7 times

6

6 =

12

42

3

8

4

5

5

9

4

6

दिय कल प 2

नीच कछ नभनन ददए गए ह ईनक ऄश ऄथव हर म ईनचत सखय नलखकर समतलय नभनन बन आए

(i) 3

5=

30 (ii)

4

7=

12 (iii)

7

9=

35 (iv)

34

51=

2

(v) 26

35=

5 (vi)

37

74=

2 (vii)

10

36=

5 (viii)

27

81=

3

(ix) 30

36=

6 (vi)

3

4=

21 (vii)

4

9=

54 (viii)

11

13=

55

P a g e | 77

उपर अपन समतलय नभनन बन न क कौनस तरीक ऄपन य

दिय कल प 2 (i) म हर क म न 5 ह आस ऐस नभनन म बदलन ह नजसक हर क म न 30 हो यह हम 5

को 6 स गण करन पर पर पत होत ह ऄतः तलय नभनन बन न क नलए ऄश को भी 6 स गण करन पड़ग

ऄथ मत 3

5 times

66 =

18

30

दिय कल प 3

नीच दो-दो नभनन क जोड़ ददए गय ह आन जोड़ो को ऐस तलय नभनन म बदनलए नजनक हर सम न

हो तलय नभनन को दी गइ त नलक म नलनखए

उपर अपन सभी नभनन यगमो को सम न हर व ल नभननो म बदल ह आनह सम न हर नभनन कहत ह

परनत ऄभय स िम क 8 9 10 11 म अपन यह भी प य होग दक यदद दोनो नभननो क हरो क लघतम

सम पवतयम ननक ल कर सम न हर बन य ज य तो नभनन ऄश और हर क सबस सरलतम रप म पर पत होग

P a g e | 78

ईद हरण 1 नभननो क िमण

उपर हम दखत ह दक 1

2 gt

1

3gt

1

4gt

1

5gt

1

6gt

1

7gt

1

8

ऄतः जब नभननो क ऄश सम न हो तो हर क बड़ होन पर नभनन क म न छोट हो ज त ह

ईद हरण 2 1

10 =

P a g e | 79

ऄभय स

ईपरोकत नचतर स यह सपषट होत ह दक

1

10lt

2

10lt

3

410lt

4

10lt

5

10lt

6

10lt

7

10lt

8

10lt

9

10lt

10

10

ददए गए सम न हर व ल नभननो म नजस नभनन क ऄश बड़ हो वह नभनन बड़ होत ह

ऄतः सम न हर नभननो म ऄश क बड़ य छोट होन पर नभनन बड़ य छोट होत ह

यदद हर सम न न हो तो बड़ य छोट नभनन पत करन क नलए सम न हर व ल तलय नभनन बन ए

ज त ह

जस 5

12 और

7

18 म कौन सी नभनन बड़ी ह

12 एव 18 क लघतम सम पवतयम 36 ह

5

12=

5times3

12times3=

15

36

तथ 7

18=

7times2

18times2=

14

36

सम न हर नभनन हए 15

36 और

14

36

ऄतः 15

36gt

14

36 य नी

7

12gt

7

18

नीच कछ नभनन सखय य दी गइ ह ईनह बढ़त हए िम म नलनखए

1 2

3

3

4

4

5 2

7

6

6

7

5

9

3 7

9

11

15

13

18 4

3

7

8

9

5

12 5

11

12

11

13

11

14

अपन नभननो को सम न हर नभननो म बदलकर ईनह बढ़त ऄथव घटत िम म नलखन सीख नलय ह

आसी परक र नभननो को सम न हर बन कर भी जोड़ एव घट य ज त ह

ईद हरण 3 हल कर 3

5+

7

9+

2

3

आन नभननो को जोड़न क नलए हम हर सम न करन होग त दक हम बर बर टकड़ जोड़ सम न हर

बन न क नलए सवमपरथम सभी हरो क लघततम ननक लत ह

3 593

531 लघतम सम पवतयम = 3times5times3 = 45

ऄब सभी नभननो को 45 हर व ली तलय नभनन सखय बन त ह

P a g e | 80

ऄतः सखय एा बनी 27

45

35

45+

30

45

ऄत 3

5 +

7

9+

2

3 =

27

45+

35

45+

30

45 [चदक सभी नभननो क हर सम न ह आसनलए ऄशो को जोड़न पर]

27+35+30

45=

92

45

ईद हरण 4 हल कर 1

3 +

3

5minus

8

12

3 5 और 12 क लघतम सम पवतयम

3 3512

154

ल स = 3 times5times4 = 60

1

3 +

3

5minus

8

12=

20

60+

36

60minus

40

60

20+36minus40

60=

16

60 =

4

15

(सरलतम रप अप ज नत ह दक नभनन क ऄश व हर म एक ही सखय क भ ग दन पर नभनन सखय

क म न म पररवतमन नही होत ह ऄतः यह ा 16

60 म ऄश व हर म 4 क भ ग दकर

4

15 पर पत दकय ह)

ऄभय स - हल कर

उपर परशनो को हल करत समय अपन यह प य ह दक कइ हल ऐस ह जह ा ऄश क म न हर स

P a g e | 81

ऄनधक ह ऐस नभननो को नवषम नभनन ऄथव ऄननचत नभनन कहत ह

जस - 13

9 म ऄश (13) gt हर (9)

ऄतः 13

9 एक ऄननचत नभनन ह आसी परक र

11

10 भी एक ऄननचत नभनन ह

13

9 को 1 +

49 य 1

49 क रप म भी नलख ज सकत ह आस नमशर नभनन कहत ह

जब नभनन क ऄश हर स छोट हो तो ईस ईनचत नभनन कहत ह

जस - 3

9

5

7

101

106 आतय दद

दिय कल प 4

नीच ददए गए नभननो स ईनचत तथ ऄननचत नभननो को पहच न कर ऄननचत नभननो को नमशर नभनन

क रप म नलनखए

नभनन सखय ओ क गण एव भ ग

दो नभननो क जब गण होत ह तब ऄश क ऄश क स थ एव हर क हर क स थ

गण हो ज त ह जस ऄगर हम अध क अध ननक लन हो तो वह 1

2times

1

2 ह आसी तरह

पौन क अध 3

4times

1

2 होग हम यह भी ज नत ह दक अध क अध एक प व होत ह

1

2

क दगन 1 होत ह ऄथ मत हर को हर स और ऄश को ऄश स गण करन पर ईततर पर पत होत ह

जस 3

8times

2

5 times=

3times2

8times5=

6

40=

3

20

अआए भ ग की सदिय को नीच ददए गय ईद हरणो स समझ -

6 divide 3 क मतलब यह हअ दक 6 म 3 दकतनी ब र अत ह ऄब यह सोच दक 1

2 म

1

4 दकतनी ब र

अत ह दोनो सव लो म ईततर 2 ही ह आसी परक र 3

2 म

1

2 तीन ब र अत ह

P a g e | 82

ऄभय स

3 divide 5 = 3

1 divide

5

1=

3

1times

1

5=

3

5

8 divide 9 = 8

1 divide

9

1=

8

1times

1

9=

8

9

आस परक र जब एक नभनन को दसर नभनन स भ ग ददय ज त ह तब भ जक की नभनन सखय ईलट दी

ज ती ह ऄथ मत भ जक क ऄश हर म और हर ऄश म चल ज त ह तथ भ ग क नचनह गण म बदल ज त

ह

ननमन नभननो को हल कर सरलतम रप म नलनखए -

(1) 1

3 divide

5

7 (2)

121

70 divide

11

35

(3) 27

8 divide

81

16 (4)

33

28 divide

11

4

आसी परक र कछ और सव ल बन आए और स नथयो स हल करव आए

सखय ओ क सथ नीय म न (Place Value)

ऄब तक अप सखय ओ स कइ तरह क खल खल चक ह जोड़न घट न गण

करन एव भ ग दन सीख चक ह आस दौर न अपन ऄको क सथ नीय म नो जस आक इ

दह इ सकड़ हज र आतय दद को भली-भ ानत समझ और परख ह अआए ऄको क सथ नीय

म न क ब र म अग कछ और चच म कर

ऄक 3 6 और 8 को िम बदलकर 3 ऄको की दकतनी सखय य बन सकत ह

(i) 368 (ii) 386 (iii) (iv) (v) (vi)

परतयक ब र अप ईनही ऄको (36 और 8) क ईपयोग कर रह ह परनत सखय ओ क म न नभनन-नभनन

कयोहो रह ह ऄपन स नथयो स चच म कर क रण नलनखए-

मरी न हमीद स कह - 368 म 8 क म न 8 ह

386 म 8 क म न 80 ह

836 म 8 क म न 800 ह

आस परक र एक ही ऄक म न ऄलग-ऄलग सथ नो पर ऄलग-ऄलग हो रह ह यदद हम अठ हज र

अठ सौ ऄठय सी (8888) नलख तो ऄक 8 क म न एक सथ न पर 8000 ह एक सथ न पर 800 ह

P a g e | 83

एक सथ न पर 80 ह तथ एक सथ न पर 8 ह

अआय दो सखय ओ 368 और 895 को जोड़ कर दख -

कय आस तरह योग दश मन सही ह

आक इ क ऄको को जोड़न पर 13 दह इ क ऄको को जोड़न पर 15सकड़ क ऄको को जोड़न पर 11 पर पत

हए आस योगफल को सथ नीय म न क अध र पर दख तो 11 सकड़ 15 दह इ 13 आक इ पर पत होत ह

ऄतः आस ननमननलनखत रपो म नलख ज सकत ह-

11 सकड़ + 15 दह इ + 13 आक इ परनत दकसी भी सथ न पर सबस बड़ ऄक 9 ही हो सकत ह कयोदक

10 होन पर ईस सथ न पर कवल 0 रह ज एग और 1 ऄगल सथ न पर जड़न क नलए चल ज एग उपर

ईद हरण म 8 और 5 जोड़न पर 13 आक इ होत ह 13 की सखय म 3 आक इ और 1 दह इ होन क क रण

3 को आक इ क सथ न पर तथ 1 दह इ सथ न पर 6 और 9 क स थ जोड़ ज त ह आस परक र सभी दह इ

क ऄको को जोड़न पर 6 + 9 + 1 = 16 दह इ अय 16 दह इ म 10 दह इ बर बर एक सकड़ होन क

क रण कवल 6 दह इ क सथ न पर नलख ज वग तथ 10 दह इ क 1 सकड़ को सकड़ क ऄको म जोड़

ज यग आसस 3 + 8 + 1 = 12 सकड़ बन ज एग आसी िम म नवच र करन पर 12 सकड़ म 10 सकड़

बर बर 1 हज़ र होत ह आसनलए ईस ऄलग कर सकड़ क सथ न पर कवल 2 लग आस परक र शष बच 10

सकड़ क म न 1 हज र होन क क रण हज़ र क सथ न पर 1 नलख ज यग आस परक र ईपरोकत परशन क

योगफल -

हज र सकड़ दह इ आक इ

1 2 6 3 = 1263

उपर ददए गए ईद हरण की तरह अप ननमननलनखत सखय ओ क योगफल जञ त कीनजए

(1) (2)

(3) (4)

ऄब यह सपषट हो गय दक 10 आक इ = 1 दह इ 10 दह इ = 1 सकड़

10 सकड़ = 1 हज र 10 एक हज र = एक दस हज र और दस दस हज र = 1 ल ख होत ह

P a g e | 84

आसी परक र यदद आसक ईलट चल तो -

आस परदिय म द एा स ब एा बढ़त समय िमशः 10 क गण होत ह आसक ईलटी ददश म चलन

पर िमशः 10-10 क भ ग होत चलत ह ऄब सोच दक आक इ म 10 क भ ग दन पर कय होत ह अप

को य द होग

1 divide 10 = 1

10= 01

आसी परक र आस िम को ज री रख ज ए तो -

ऄतः हम कह सकत ह दक -

नजस परक र द एा स ब एा ज त समय सथ नीय म न दस गण हो ज त ह ईसी परक र ब एा स द एा

अत समय सथ नीय म न 1

10 गण हो ज त ह य 10 व ा भ ग हो ज त ह

अआए आस ननमन ईद हरण स दख -

0325 क सथ नीय म न ननक ल -

य 03 + 002 + 0005 = 0325

P a g e | 85

आसी परक र 0628 = 06 + 002 + 0008

य 0628 = 6

10+

2

100+

8

1000

दिय कल प 5

नीच दी गयी स रणी म सथ नीय म न क ऄको को ईनचत सथ न स भररए

ककष 5वी म हमन लब इ क ब र म ऄधययन दकय ह नजसम हमन सीख हः-

10 नममी = 1 समी

1 नममी = 1

10 समी = 01 समी

100 समी = 1 मी

1 समी = 1

100 मी = 001 मी

1000 मी = 1 दकमी

1 मी = 1

1000 दकमी = 0001 दकमी

ईद हरण 5

रमश एक शहर स दसर शहर की 1505 दकमी की दरी टरन स 657 दकमी बस स तथ शष 900

मी की दरी पदल ही तय करत ह बत आए रमश न कल दकतनी दरी तय की

हलः-

रमश दव र तय की गइ दरीः-

टरन दव र 1505 दकमी

बस दव र 657 दकमी

पदल 900 मी

P a g e | 86

ऄभय स

हम ज नत ह दक

1 मी = 1

1000 दकमी

900 मी = 1

1000 times 900 = 09 दकमी

ऄतः

1505 दकमी

657 दकमी

+ 09 दकमी

= 2171 दकमी

ऄतः रमश न कल 2171 दकमी की दरी तय की

अप ज नत ह

1 रपय =100 पस

1 पस = 1

100 रपय = 001 रपय

ईद हरण 6 यदद 6 पनो की कीमत 72 र ह तो 1 पन की कीमत बत आए

हलः-

जबदक 6 पन की कीमत 71 र ह

तब 1 पन की कीमत = 72

6 र

= 12 रपय

ऄतः 1 पन की कीमत 12 रपय होगी

ईद हरण 7

दकसी ददन दोपहर क समय एक शहर क त पम न 360 सटीगरड थ और र त को दस बज 2850

सटीगरड हो गय बत आए त पम न म दकतनी नगर वट अइ

हलः-

दोपहर क समय त पम न = 360deg सटीगरड

र त क समय त पम न = 285deg सटीगरड

त पम न म नगर वट = 360deg - 285deg

= 75deg सटीगरड

1 एक मीटर कपड़ की कीमत 2475 र ह तो 28 मी कपड़ की कीमत बत आए

2 ऄनज दक नद र स एक पसतक 14360 र म खरीदत ह और वह दक नद र को 500 र दत ह

बत आए दक नद र न ऄनज को दकतन रपय लौट य

3 ऄकषत ऄपन ग ाव ज न क नलय 26 दकमी क र स ज त ह 105 दकमी 500 मी बस स ज त ह

P a g e | 87

और बची हइ दरी 1 दकमी 250 मी को पदल चलकर तय करत ह बत आए वह कल दकतनी दरी

तय करत ह

4 दो शहरो क त पम न िमशः 2050ह सटीगरड और 24ह सटीगरड ह बत आए दोनो शहरो क

त पम न म दकतन ऄतर ह

परशन वली 7

1 नीच ददए गए कथनो म सतय कथनो क अग सतय एव ऄसतय कथनो क अग ऄसतय नलनखए ऄसतय

कथनो को सध र कर नलख

(i) 13

16 और

78

119 तलय नभनन ह

(ii) 33

17 एक ईनचत नभनन ह

(iii) 15

22 और

60

88 तलय नभनन ह

(iv) 23

103 एक ऄननचत नभनन ह

(v) 13

3 को नभनन क रप म 4

1

3 भी नलख ज सकत ह

(vi) 3

2lt

2

3

(vii) -1 lt 01

(viii) 2 x 3 = 6

(ix) 135

1000= 0135 होत ह

(x) 056 x1000 = 56 होत ह

2 ननमन नभननो को घटत िम म नलनखए

(i) 5

6

7

8

8

9 (ii)

1

2

3

4

1

6

7

6

8

12

ननमन सखय ओ को घटत िम म नलनखए

(iii) 0008 08 008 8 8 (iv) 01 0099 00992 0012

3 ननमन नभननो को बढ़त िम म नलनखए

(i) 5

6

9

24

3

2

1

3

5

8 (ii)

1

2

1

4

1

6

1

8

2

15

4 ननमन क म न पर पत कीनजए -

(i) 1

3+

5

8+

3

5+

7

4+

13

6 (ii) 9 - 9 - 09 - 009 - 0009

(iii) 3

4times

7

5times

4

3 divide

28

15 (iv)

13

27times

3

26 divide

1

18

P a g e | 88

(v) 17

6+

19

4+

5

2+

4

3 (vi)

6

7+

13

14minus

9

21

5 ररकत सथ नो को भररए -

(i) 4

5+

helliphellip

30 (ii)

7

5+

helliphellip

55

(iii) 6

7+

helliphellip

42 (iv)

4

9+

helliphellip

18

6 ननमन म स ईनचत व नवषम नभनन को छ ारटए -

17

4

4

5

8

9

16

13

15

16

6

5

3

7

8

5

7 ननमननलनखत क सथ नीय म न जञ त कीनजए

(i) 84323 (ii) 14876 (iii) 87640314

हमन सीख

1 दकसी भी नभनन को ऄनक समतलय नभननो म बदल ज सकत ह आसक नलए नभनन क ऄश व हर को

सम न सखय स गण य भ ग दकय ज त ह

2 नभननो की तलन

(i) यदद नभननो क ऄश बर बर हो तो छोटी हर व ली नभनन बड़ी नभनन होगी

(ii) यदद नभननो क हर बर बर हो तो बड़ ऄश व ली नभनन बड़ी होगी

(iii) नभननो की तलन हर क लघततम सम पवततमक लकर सभी नभननो को सम न हर

नभनन बन कर दकय ज सकत ह

3 नजन नभननो क हर ऄश स छोट हो ईनह नवषम य ऄननचत नभनन कहत ह

4 नजन नभननो क हर ऄश स बड़ हो ईनह ईनचत नभनन कहत ह

5 जब दो नभननो क गण करत ह तब ऄश क ऄश स एव हर क हर स गण हो ज त ह

6 नभनन स भ ग दन म भ जक नभनन सखय ईलट ज ती ह एव भ ग की जगह गणन नचहन लग ज त

ह

P a g e | 89

जबअपदरव ज खोलतऄथव बनदकरतहतोदरव ज ऄलगऄलगनसथनतयोमदीव रकस थऄलग

ऄलगकोणबन त हयददशरीरकोएकसीधीरख म नलऔरह थकोदसरीसीधीरख तोह थकोजस

जसघम तहशरीरकस थह थऄलगऄलगकोणबन त ह

दननकजीवनमऔरकइसथ नोपरभीअपनकोणोकोबनतहएदख हजसघड़ीकीदोसइयोक

बीचबन कोणकचीकीदोभज ओकबीचबन कोणआतय दद

औरकह ाकह ाअपनकोणोकोबनतदख हऄपनीकॉपीमनलनखए

अआएकछईद हरणोकोदखनजनमकोणबनरहह

घड़ी क सभी नचतरो म बड़ी सइ 12 पर ह तथ छोटी सइ की नसथनत ऄलग-ऄलग ह नचतर 1 म दोनो

सइयो क बीच क झक व य घम व कम ह नचतर 2 3 एव 4 म दोनो सइयो क बीच झक वघम व बढ़त

ज त ह आसी परक र कची क ईपयोग करत समय ईसकी दोनो भज ओ क बीच झक व य घम व बदलत

रहत ह नडव आडर की दोनो भज ओ क बीच भी ईपयोग क ऄनस र घम व बदलत ह भोजन करत समय

अपन ऄनभव दकय होग दक कोहनी पर बदलत घम व य झक व क क रण ही ख न थ ली स मह तक

पहचत ह

rsquorsquoदकसी नबनद पर दो भज ओ क बीच बनन व ल ऐस ही घम व य झक व को कोण कहत हlsquolsquo

P a g e | 90

आसी परक र जब दो रख एा ऄथव दकरण एक दसर को क टती ह ऄथव नमलती ह तो ईन रख ओ क

बीच क घम व ऄथव झक व को कोण कहत ह

नीच ददए गए नचतरो म दकस नचतर म कोण बन रह ह और दकस नचतर म कोण नही बन रह ह

ईपरोकत नचतरो म अपन दख दक नचतर 5 म कोण बन रह ह परत नचतर 8 म कोण नही बन रह ह

कयोदक दो भज ओ म स एक सीधी रख नही ह ऄथ मत दो सरल रख ओ ऄथव रख खणडो स ही कोण बन

सकत ह

नशकषक व ऄपन स नथयो क स थ ऄपन असप स क व त वरण व वसतओ म बनन व ल कोणो क

ब र म चच म कर ऄपन अस प स बनन व ल कोणो की सची को और बड़ बन एा

दिय कल प 1

नजस परक र नहनदी क ऄकषर lsquoतरrsquo म तथ ऄगरजी क ऄकषर A म नीच ददख ए ऄनस र कोण बन रह ह

ईसी परक र नहनदी और ऄगरजी क ऄकषरो को नलखकर ईनम बनन व ल कोणो को नचहन दकत कीनजए दकन

ऄकषरो म कोइ भी कोण नही बनत

P a g e | 91

दिय कल प 2

ईपरोकत नचतरो को दख और बत आए दक परतयक म दकतन कोण ह

नचतर कोणो की सखय

(15)

(16)

(17)

ऄब अप कोणो को पहच नन लग ह तथ कोण दकस तरह बनत ह यह भी ज नन लग ह कय अप

बत सकत ह दक एक कोण बनन क नलए कय -कय जररी ह

परतयक कोण म दो भज एा होती ह य दोनो दकसी नबनद पर नमलती ह नजस नबनद पर नमलती ह ईस

कोण क शीषम कहत ह

जस नचतर 18 म कोण AOB को दख OA और OB भज एा ह जो

कोण क शीषा O पर नमलती ह आसम OA की ददश स OB की ददश

ज न म दकतन घम व हअ ह यह कोण AOB बत त ह

कोण को सकत को स दश मत ह

कोणो को ईनक न म स पढ़न

P a g e | 92

नचतर 19 म कोण को PQR य RQP क न म स पढ़त ह य नलखत ह नचतर 20 म कोण को

XYZ य ZYX क न म स पढ़त ह

य द रख- नजस नबनद पर कोण बनत ह ईस शीषम कहत ह शीषम क सथ न नलखत य बोलत समय

हमश बीच म होत ह

आसी परक र नचतर 21 म कोण को ऄ ब स य स ब ऄ पढ़त य नलखत ह

दिय कल प 3

ननमन नचतरो म बन कोणो क न म ददय गय सथ न पर दोनो परक र स नलनखए-

नचतर िम क कोणो क न म

जस- 22 AOB य BOA

23

24

25

26

27

28

P a g e | 93

कोण की म प

दिय कल प 4

दो झ ड़ की सीक य ब ास की कमची लीनजए ईनक एक-एक नसर

को नमल कर ईस पर एक नपन नचतर नस र लग दीनजए अपक कोण बन न

व ल यतर ऄब तय र ह ऄब अप एक सीक को नसथर रखकर दसर सीक को

घम न पर अपको ऄलग-ऄलग म न क कोण नमलग अआए आसकी कछ

नसथनतयो पर नवच र कर -

OB को नसथर रखकर OA को घम त ह जस-जस घम व बढ़त ह तो कोण क म न भी

बढ़त ह य AOB lt AOB lt AOB

कोण बन न व ल यतर स ऄब अप सबस बड़ व सबस छोट कोण बन कर ऄपन ऄधय पक को

बत ए

नीच ददए गए कोणो म स बड़ कोण बत आए

P a g e | 94

कय LMN gt OPQ ह क रण बत आए

ऐसी नसथनत जब दो कोणो को दखकर छोट य बड़ नही बत य ज सक तब हम ऐस कोणो क

म प को च ाद स न प कर पत लग एाग

अप ऄपन च ाद को दख आसक घम वद र सतह पर सम न दरी पर ननश न लग ह आनह नगनकर

पत लग ए दक आस पर कल दकतन ननश न बन ह ऄलग-ऄलग म न क ऄशो को पहच न तथ ईसकी

नसथनत दख

अआए ऄब दकसी एक नननित म प क कोण बन त ह अपन ककष -5 म कोण तो बन य ही होग

कोण बन न क नलए सकल और च ाद की अवशयकत पड़ती ह ऄपन कमप स ब कस म रख च ाद को दनखए

और आसक दकन र तथ आनम बन कल खणडो क ब र म ऄपन कॉपी पर नलनखए

नजस परक र लमब इ न पन क नलए मीटर समी आतय दद आक आयो क ईपयोग दकय ज त ह ईसी

परक र दो रख ओ क बीच कोण को म पन क नलए नजस आक इ क ईपयोग दकय ज त ह ईस lsquolsquoऄशrsquorsquo(0)

कहत ह

जस- 45 ऄश = 45deg

225 ऄश = 225deg

दिय कल प 5

अआय ऄशो क ब र म ज नन क परय स कर ऄपन कॉपी क कोर पनन पर सकल की सह यत स एक

लमबी रख खीनचए तथ आस रख क बीचो बीच च ाद की अध र रख को रनखए च ाद क ब हरी सीम पर

पननसल की सह यत स 0 स 180deg (ऄश) तक नचतर नस र रख खीनचए (नचतर 36)

P a g e | 95

नचतर 37 की तरह च ाद हट न पर वह ा एक ऄधमवतत क अक र बनत ह ऄब च ाद को पवम अध र

रख पर आस परक र रख दक घम वद र छोर नीच की ओर ठीक नवपरीत ददश म रह (नचतर 38) ऄब च ाद क

घम वद र सीम म 0 स 180deg तक पनसल पव मनस र घम एा च ाद हट न पर अपको एक वतत क र रचन

नमलगी (नचतर 39)

आस नचतर क अध र पर ननमन परशनो क ईततर दीनजए

1 एक ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 37) = 180deg

2 दसर ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 38) =

3 दोनो ऄदधमवततो दव र सयकत रप स कनर पर कल बन कोण =

अप प त ह दक पहल 180deg और ब द म 180deg क कोण बन आस परक र 360deg क कोण एक नबनद

पर बनत ह यह नबनद आस परक र बनन व ल वतत क कनर नबनद भी ह

वतत क र क गज़ क टकड़ को क टकर बीच स ऐस मोनड़ए नजसस वतत दो बर बर भ गो म बाट ज ए

अप प एग दक O स होकर एक सरल रख पर पत होती ह नजस पर 180deg क कोण बन ह आस कोण को

सरल कोण भी कहत ह

आसी परक र एक वतत क कनर पर दकतन सरल कोण बन सकत ह

अपन वतत क र क गज़ को दो भ गो म मोड़कर सरल कोण पर पत दकय ह ऄब ईस पनः दो भ गो म

आस परक र मोड़ दक वतत च र बर बर भ गो म बाट ज ए (नीच नचतर नस र)

P a g e | 96

ऄब वतत नबनद O पर च र सम न भ गो म बट गय ह अप बत ए दक नबनद O पर बन च रो कोणो

क म प ऄलग-ऄलग दकतन ऄश क ह

ऄभय स 1

अप ऄपनी कॉपी म नवनभनन न प क 5-5 कोण बन आय ईनह न नपय एव ऄपन स नथयो व ऄधय पक

स ज ाच कर आए

च ाद की सह यत स कोण बन न क नलए सवमपरथम एक सरल रख AB खीचत ह आस सरल रख

क नजस नबनद O पर कोण बन न ह वह च ाद क मधय नबनद को आस परक र रखग दक च ाद क अध र पर

बनी सरल रख और कॉपी पर बनी सरल रख एक सीध म रह ऄब च ाद क 0deg स उपर नलख गए ऄक को

पढ़त चल नजस म प क कोण बन न ह वह ा एक नबनद लग ए म न लीनजए अपको 60deg क कोण बन न

ह तब च ाद क शनय स 60deg तक उपर बढ़ और एक नबनद च लग ए च ाद हट कर आस नबनद को सरल रख

क नबनद स नमल ए ऄब POB = 60deg क बन गय ह

P a g e | 97

दिय कल प 6

अपको कछ रख एा दी गइ ह परतयक रख म ददए हए नबनद पर अप ददए हए म प क (नचतर 44 की

तरह) कोण बन आए

ईपरोकत नचतरो म अपन दकन नबनदओ पर कोण बन य तथ कोणो को दकस ओर स शनय स न पन

शर दकय

एक ब त कय अप ज नत ह दक वयनकत क वय य म क समय स वध न की मर म दोनो एनड़यो क बीच 30deg

क कोण बनन च नहए ऐसी और भी ब त पत कररए

P a g e | 98

दिय कल प 7

नचतर म कोणो क म प तथ भज ओ की लमब इ न पकर दी गइ स रणी म नलनखए तथ नीच नलख

परशनो क ईततर दीनजए

(1) कय COD gt AOF EOFgt COD यदद नही तो कयो नही

(2) कय कोणो क म प भज ओ की लमब इ पर ननभमर ह

(3) दो भज ओ क बीच बन कोणो क ऄनधक य कम होन दकस ब त पर ननभमर करत ह

दिय कल प 8

नचतर 52 म कोण Xdeg व Ydeg क म न च ाद की सह यत स म नपय कय Xdeg = Ydeg ह ऄपनी कॉपी

म नलनखए

P a g e | 99

दिय कल पो स सपषट होत ह दक कोणो क म प कोण बन न व ली भज ओ की लमब इ (च प) पर

ननभमर नही करत कयोदक कोण सरल रख ओ ऄथव दकरणो स नमलकर बन हो सकत ह नजनक नवसत र

ऄसीनमत होत ह दोनो रख एा ऄसखय नबनदओ स नमलकर बनी होती ह ऄतः दो सरल रख ओ क बीच

दकनही दो नबनदओ की दरी कोण की म प नही ह

परशन वली 81

1 कोणो क न म नलनखए -

2 च ाद की सह यत स कोण म प कर नलनखए तथ ऄपन स थी स ईततर क नमल न कररए-

P a g e | 100

3 च ाद की सह यत स ननमन कोण बन ए -

(i) 45deg (ii) 75deg (iii) 90deg (iv) 120deg (v) 155deg

(vi) 210deg

4 6 बज घड़ी की दोनो सइयो (घट एव नमनट) क बीच दकतन कोण बनग

कोणो क परक र

कय अप बत सकत ह दक घड़ी म जब ठीक 12 बज रह हो तो घट और नमनट सइ क बीच दकतन

ऄश क कोण बनत ह

कोण क म प

कय अप बत सकत ह दक 12 घट म दकतनी ब र घड़ी की बड़ी सइ (नमनट) छोटी सइ (घट ) को

ढक लगी

कय अप बत सकत ह जब एक सइ दसरी सइ को ढक लगी तब ईनक बीच झक व दकतन ऄश क

होग

आसी परक र जब एक रख दसरी रख को ढक ल तो ईनक बीच शनय ऄश क कोण बनत ह

ऄब घड़ी म 2 बज कर 45 नमनट की नसथनत को दनखए तथ बत आए दक दोनो सइयो क बीच दकतन ऄश क

कोण बनग

नचतर 54 म AOB = 0deg ऄथ मत OA रख खणड क ठीक उपर OB रख खणड ह नजसस ईनक बीच

क झक व शनय ऄश क ह नचतर 55 म BAO क म न कय होग

P a g e | 101

1 शनय कोण वह कोण नजसक म प 0deg हो शनय कोण कहल त ह

परनत नचतर 55 म OA और OB दोनो रख खणड नवपरीत ददश म ह और नमलकर एक बड़

रख खणड बन रह ह ऐसी नसथनत म AOB = 180deg आस सरल कोण क न म स ज नत ह

(2) सरल कोण वह कोण नजसक म प 180deg हो सरल कोण कहल त ह

(3) नयनकोण वह कोण जो 0deg स बड़ तथ 90deg स छोट हो नयनकोण कहल त ह

(4) समकोण वह कोण नजसकी म प 90deg हो समकोण कहल त ह समकोण म एक भज दसरी भज

पर लमब होती ह

P a g e | 102

(5) ऄनधक कोण एक कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक परनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण कहल त

ह

(6) परनतवती कोण (वहत कोण) वह कोण नजसक म प समकोण 180deg स ऄनधक तथ 360deg स कम

हो परनतवती कोण कहल त ह

(7) समपणम कोण यदद कोइ दकरण ऄपन पर रनमभक नबनद क च रो ओर एक पर चककर लग न क ब द

ऄपन पर रनमभक नसथनत स समप ती हो ज ए तो आस परक र बन कोण समपणम कोण कहल त ह यह

कोण 360deg क होत ह

दिय कल प 9

ननमन कोणो को न पकर दख और ईनक परक रो को ददए गए ब कस म नलख

P a g e | 103

P a g e | 104

परशन वली 82

परशन 1 सतय कथन को छ ारटए ऄसतय को सध र कर नलनखए

(i) सरल कोण 180deg क होत ह

(ii) ऄनधक कोण 180deg स ऄनधक क होत ह

(iii) नयनकोण 90deg क कम क होत ह

(iv) तीन बज घड़ी की घट एव नमनट दोनो सइयो क मधय समकोण बनग

(v) 2

3 समकोण बर बर 60deg क कोण होत ह

(vi) कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक दकनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण ह

(vii) च ाद म कल 180deg क कोणो को दश मय ज त ह

परशन 2 नीच ददए कोणो म स नयनकोण समकोण ऄनधक कोण सरल कोण छ ारटए -

(i) 120deg (ii) 30deg (iii) 90deg

(iv) 180deg (v) 70deg (vi) 105deg

(vii)) 72deg (viii) 36deg (ix) 15deg

(X) 75deg

परशन 3 ननमन कोण-यगमो की तलन कोणो को म प कर कीनजए -

P a g e | 105

हमन सीख

1 दो भज ओ क बीच फल व य झक व को कोण क म प कहत ह

2 दकसी कोण को म पन की आक इ ऄश य नडगरी ह आस दकसी सखय क उपर षहष स दश मय ज त

ह जस - 30deg 45deg 90deg 180deg 360deg

3 एक कोण नजसक म न

0deg हो शनय कोण कहल त ह

0deg और 90deg क बीच हो नयनकोण कहल त ह

90deg क बर बर हो समकोण कहल त ह

90deg और 180deg क बीच हो ऄनधक कोण कहल त ह

180deg हो तो वह सरल कोण कहल त ह

180deg और 360deg क बीच हो परनतवती कोण कहल त ह

360deg हो तो वह समपणम कोण कहल त ह

P a g e | 106

अपन पज सथल पर लगी पत क सवततरत ददवस एव गणततर ददवस म श ल को सज न क नलय

ईपयोग दकय गय तोरण तथ पर ठ जसी ऄनक रचन एा दखी ह आनही स नमलती जलती कछ और

अकनतयो को दख-

1 कमप स ब कस म रख सट सव यर (नचतर 1)

2 क पी क पनन क मड़ हअ भ ग (नचतर 2)

3 नचतर 3 म ददय गय तीनो नबनदओ को रख खणडो दव र नमल न पर बनी अकनत

आन अकनतयो म कय सम नत ह

कय अपन अस-प स आस तरह की और अकनतय ा दखी ह कह ा-कह ा दखी ह नलनखए ऐसी

अकनतय ा नीच ददख ए गए नचतरो म भी ढादढ़एः-

P a g e | 107

अपन आन अकनतयो को दकस अध र पर छ ाट ह

छ ाटी गइ सभी अकनतयो म यह सम नत ह दक आनम तीन भज एा और तीन शीषम ह आसनलय आनह

नतरभज कहत ह

नीच नचतर 17 स 23 तक सभी अकनतय ा तीन भज ओ स बनी हइ ह परनत ईनम स सभी नतरभज

नही ह नतरभज नही होन क क रण पर नवच र कीनजए

P a g e | 108

अपन रख खणड क प ठ म बनद और खली अकनत क ब र म पढ़ ह उपर ददए गय नचतरो म भी

नचतर 18 और 20 बनद अकनतय ा ह ब की सभी खली अकनतय ा ह जो बनद ह ईनम तीन रख खणडो स

तीन कोण भी बन रह ह खली अकनतयो म तीन भज एा तो ह परनत यह तीन भज एा तीन कोण नही बन

रही ह आसनलय तीन रख खणडो स बनी सभी अकनतय ा नतरभज नही ह तीन रख खणडो स बनी बनद

अकनत ही नतरभज ह

दिय कल प 1

नीच परतयक नचतर म तीन-तीन नबनद ददए गए ह कय आन तीन नबनदओ को रख खणड दव र नमल कर अप

नतरभज बन सकत ह

P a g e | 109

ददए गए नचतरो म अपन दख दक जह ा तीनो नबनद एक सरल रख म ह ईनह तीन रख खणडो दव र

नही जोड़ ज सकत ऄतः व नतरभज नही बन रह ह ऄथ मत lsquolsquoतीन ऐस नबनद जो एक सरल रख म न हो

ईनह रख खणडो दव र नमल न पर जो बनद अकनत बनती ह वही नतरभज हrsquorsquo

नतरभज क भ ग

नतरभज ABC म A B और C शीषम ह तथ AB BC और CA भज एा ह ABC BCA और

CAB तीन कोण ह

दिय कल प 2

उपर नचतर म परतयक शीषम पर दो भज एा नमल रही ह और एक कोण बन रह ह नीच ददय गए

नतरभजो म शीषम भज एव कोणो क न म नलनखए -

P a g e | 110

नतरभज क ऄनतःकोण

दकसी नतरभज की तीन भज ओ दव र नघर हए कषतर म जो कोण बनत ह व सभी ऄनतःकोण कहल त

ह नचतर ि 33 34 35 एव 36 म अपन नजतन कोणो क न म नलख ह व सभी ऄनतःकोण ह

दिय कल प 3

ननमन नतरभजो नचतर ि 37 38 39 40 म ऄनतःकोणो को च ाद की सह यत स न पकर ईनक म प

त नलक म भररए तथ ईनक योगफल जञ त कीनजएः-

ईपरोकत त नलक स यह पर पत हो रह ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो क योगफल लगभग 180deg

ह

P a g e | 111

नतरभज क तीनो ऄनतःकोणो क योग 180deg क बर बर होत ह आस नसदध करन क तरीक हम

ऄगली ककष ओ म दखग

दकसी नतरभज म ददय गय दो कोणो क अध र पर तीसर कोणो क म न जञ त कीनजए -

नतरभज क बनहषकोण

तीनो भज ओ स नघर कषतर क ब हर नतरभज की दकसी एक भज को दकसी एक ददश म अग बढ़ न

पर बन कोण बनहषकोण कहल त ह

ईपरोकत नचतरो म परतयक नतरभज की एक भज को D तक बढ़ य गय ह नजसस िमशः ACD

CAD और ABD पर पत होत ह य सभी बनहषकोण ह परतयक बनहषकोण एक ऄतःकोण स जड़ हअ ह

नजस बनहषकोण क समपरक कोण भी कह सकत ह बनहषकोण स जड़ यही ऄतःकोण बनहषकोण क

lsquolsquoननकटसथ ऄतःकोणlsquolsquo कहल त ह जसः-

P a g e | 112

बनहषकोण स जड़ ऄतःकोण ननकटसथ ऄतःकोण कहल त ह और नतरभज क बच हए दो ऄतःकोण दरसथ

ऄतःकोण कहल त ह नचतर 41 म BAC और CBA नचतर 42 म ABC और BCA तथ नचतर 43

म BCA एव CAB दरसथ ऄतःकोण ह

ननमन नचतरो म बनहषकोण एव बनहषकोण क ननकटसथ ऄतःकोणो को छ ारटय यदद दकसी नचतर म

बनहषकोण नही बन रह ह तो कयो

नचतर 45 और 46 म बनहषकोण नही बन रह ह कयोदक QRS और UVW सरल रख एा नही ह

दिय कल प 4

अप ननमन अकनतयो म नतरभज क ननकटसथ ऄतःकोण दरसथ ऄतःकोण एव बनहषकोणो को छ ाटकर

दी गइ त नलक म भररएः-

P a g e | 113

दकसी नतरभज क बनहषकोण तथ ननकटसथ एव दरसथ ऄतःकोणो को अपन पहच न नलय ह अआए

आनही कोणो स समबननधत एक और दिय कल प कर-

दिय कल प 5

ननमन नतरभजो म X Y तथ क म न जञ त कीनजए तथ नीच दी गइ त नलक को पणम

कीनजएः-

P a g e | 114

X तथ Y + Z म कय सबध ह

ईपरोकत त नलक स यह सपषट ह दक नतरभज क दकसी एक बनहषकोण क म न ईसक दरसथ ऄतःकोणो

क म प क योग क बर बर होत ह

नतरभज क वगीकरण

अपन ऄभी तक नवनभनन अकनत क नतरभजो को दख ह भज ओ एव कोणो क अध र पर नतरभज को

ननमन नस र वगीकत दकय ज सकत हः

1 भज ओ क म पो क अध र पर नतरभज क वगीकरणः

(ऄ) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा ऄसम न म प की हो नवषमब ह नतरभज कहल त ह

(ब) वह नतरभज नजस की कोइ भी दो भज एा बर बर म प की हो तथ तीसरी भज ऄलग म प

की हो समनदवब ह नतरभज कहल त ह

(स) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा बर बर म प की हो समब ह नतरभज कहल त ह

ननमननलनखत त नलक म नतरभज की भज ओ क म प ददए गए ह म प क अध र पर नतरभजो क

वगीकरण कीनजए -

ऄभय स

P a g e | 115

दिय कल प 6

ननमन नचतरो म भज ओ को म पकर नतरभजो क वगीकरण कीनजएः-

2 कोणो क अध र पर वगीकरण

(ऄ) नयनकोण नतरभज - नजसक परतयक कोण नयनकोण होत ह

(ब) समकोण नतरभज - नजसक एक कोण समकोण होत ह

(स) ऄनधक कोण नतरभज - नजसक एक कोण ऄनधक कोण होत ह

दिय कल प 7

ददय गए कोणो क म प क अध र पर नतरभजो क वगीकरण कर नीच दी गइ त नलक म नलनखएः

P a g e | 116

दिय कल प 8

ननमननलनखत नचतरो म नतरभज क कोणो को म प कर नतरभज क वगीकरण कोणो क अध र पर

कीनजए एव ररकत सथ नो म नतरभज क परक र नलनखएः-

नवनभनन नतरभज बन कर ईनक कोण व भज एा म प व ईनको ईनक परक र क ऄनस र छ ाट

P a g e | 117

3 कोण एव भज ओ क अध र पर वगीकरण

दिय कल प 9

ननमन नचतरो म अप भज ओ एव कोणो को ऄलग-ऄलग म प कर त नलक म नलख भज एव कोणो

क अध र पर ननमन नतरभजो क वगीकरण कीनजए-

आन पररण मो स ननमननलनखत ननषकषम ननकलत ह-

(1) नवषमब ह नतरभज म तीनो भज ओ क म प ऄलग-ऄलग ह तथ तीनो कोणो क म प भी ऄलग-

ऄलग ह

(2) समनदवब ह नतरभज म दो भज एा और दो कोण बर बर ह

(3) समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर ह

P a g e | 118

दिय कल प 10

नननित म प की सीक लकर नीच ददय गय म पो क अध र पर नतरभज बन ए

8 समी 10 समी एव 12 समी लमबी भज एा

पहल हम 8 समी 10 समी एव 12 समी म प की तीन सीक लत ह तथ सीको क नसर स नसर को

सट कर ननमन परक र स नतरभज बन न क परय स करत ह

अप दख रह ह दक ददय गय म पो स नतरभज बन न सभव ह

उपर समझ ए गए तरीक स ननमन म पो क नतरभज बन आए तथ यह दनखए दक कय सभी नसथनतयो

म नतरभज बन प रह ह यदद नही तो क रण पत लग ए

1 8 समी 10 समी और 12 समी

2 5 समी 9 समी और 3 समी

3 6 समी 8 समी और 9 समी

4 5 समी 7 समी और 12 समी

5 15 समी 5 समी और 12 समी

आनस पर पत ननषकषो क नमल न कर

1 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बनग

2 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स कम हो य बर बर हो तो नतरभज नही बनग

जस ईद हरण 2 और 4 की नसथनत

ईद 2 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 3 समी तर 8 समी सबस बड़ी भज की म प 9

समी स कम होन क क रण नतरभज नही बनत ह

ईद 4 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 7 समी = 12 समी नतरभज की तीसरी भज

की म प 12 समी क बर बर होन क क रण नतरभज नही बनत

P a g e | 119

ऐस नवनभनन म पो क नतरभज बन कर छ तर सवय ज च और ऄपन नमतरो स भी बनव ए

परशन वली 91

पर1 जली न ननमननलनखत कथन नलख आनम स अप सतय एव ऄसतय कथन छ ाट कर

नलनखए ऄसतय कथनो को सध र कर नलनखए

(i) दकसी नतरभज म एक भज शष दो भज ओ क योग स छोटी नही हो सकती

(ii) दकसी नतरभज म तीन भज एा तीन शीषम व तीन ऄतःकोण होत ह

(iii) दकसी नतरभज की एक भज शष दो भज ओ क योग क बर बर होती ह

(iv) दकसी नतरभज क एक कोण ऄनधक कोण होत ह तो नतरभज को ऄनधक कोण

नतरभज कहत ह

(v) दकसी नतरभज म दो कोण 90deg क हो सकत ह

(vi) नयन कोण नतरभज म तीनो कोणो क म प नयनकोण होन जररी नही ह

(vii) नतरभज क दो कोण क म प ददय हो तो तीसर कोण ननक ल ज सकत ह

(viii) समब ह नतरभज म तीनो भज एा बर बर होती ह परनत तीन कोण बर बर नही होत

(ix) समनदवब ह नतरभज म बर बर भज ओ क स मन क कोण बर बर होत ह

(x) समब ह नतरभज सदव नयनकोण नतरभज होत ह

पर2 नतरभज क दो कोण 65deg एव 75deg क ह तो तीसर कोण जञ त कीनजए

पर3 समकोण नतरभज क एक कोण 45deg ह तो दसर कोण क म न जञ त कीनजए

पर4 समब ह नतरभज म परतयक कोण क म प दकतन होत ह

पर5 यदद दकसी नतरभज क एक कोण क म प ऄनय दो कोणो क म पो क योग क बर बर हो तो

कय वह नतरभज समकोण नतरभज होग

पर6 कय ननमननलनखत नसथनतयो म नतरभज की रचन की ज सकती ह - ह य नही म ईततर

दीनजए

(i) यदद दो कोण समकोण हो

(ii) यदद दो कोण ऄनधक कोण हो

(iii) सभी तीनो कोण 60deg क बर बर हो

(iv) सभी कोण 60deg स ऄनधक हो

(v) तीनो कोण नयनकोण हो

(vi) सभी कोण 60deg स कम हो

P a g e | 120

चतभमज

यदद अप च र सीको को ईनक नसरो स अपस म जोड़ कर रख तो कइ परक र की

अकनतय ा बन सकती ह आनम स कछ अकनतय ा ननमन नस र हो सकती हः-

नचतर िम क 71 स 74 तक बनी सभी अकनतय ा खली हइ ह परनत नचतर िम क 75 म बनी अकनत च रो

ओर स नघरी एक बद अकनत ह ऐसी अकनत को चतभमज कह ज त ह आसम च र भज एा होती ह पतग

कबिी क मद न पसतक कॉपी आतय दद चतभमज क ईद हरण ह

rdquoच र भज ओ स नघरी हइ बद अकनत को चतभमज कहत हldquo

चतभमज क ऄग

ननमन दकत नचतर को धय न पवमक दख-

ईपरोकत नचतर म ननमन दकत ब त ददख इ पड़ती ह

(1) AB BC CD व DA चतभमज की च र भज एा ह

(2) दो भज एा जह ा नमलती ह वह नबनद चतभमज क शीषम कहल त ह ABC और D चतभमज क च र

शीषम ह

(3) असनन शीषो को छोड़कर ऄनय शीषो को जोड़न व ल रख खणड नवकणम कहल त ह AC तथ BD

चतभमज क दो नवकणम ह

P a g e | 121

(3) परतयक शीषम पर एक-एक ऄनतः कोण बन रह आस परक र कल च र ऄनतः कोण

BAD ADC DCB व CBA बन ह

दिय कल प 11

नीच ददय नचतरो म भज ओ शीषो तथ ऄनतः कोणो को पहच न कर ईनचत सथ न पर नलनखएः-

चतभमज की सलगन भज एा एव सममख भज एा

सलगन नचतर म चतभमज KLMN म शीषम K पर NK KL

भज एा नमल रही ह ऐसी भज एा सलगन भज एा कहल ती ह

आसी परक र भज एा KL और LM शीषम L पर नमल रही ह

ऄतः KL एव LM सलगन भज एा ह

बत आए आस चतभमज म ऄनय सलगन भज ओ क न म कय ह

P a g e | 122

चतभमज क ऄनतः कोणो क योग

चतभमज ABCD क नवकणम AC ईस दो नतरभजो DAC तथ

ABC म ब ाटत ह

हम ज नत ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो की म पो क योग 180deg होत

ह सपषट ह चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग दोनो नतरभजो क

ऄनत कोणो की म पो क कल योग क बर बर होग

आस परक र चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग

= 180deg + 180deg = 360deg

चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योगफल 360deg य च र समकोण होत ह

चतभमज क परक र

10 समी 5 समी 10 समी 5 समी म प व ली च र सीक लीनजए तथ ईनक नसरो को नमल त

हए नवनभनन अकनतयो व ल चतभमज बन आए -

आन सीको स बनन व ली कछ चतभमज अकनतय ा नीच दी गइ ह

P a g e | 123

ईपरोकत म स नचतर िम क 8283848586 और 87 म चतभमजो की भज एा सम नतर एव बर बर ह य

चतभमज सम नतर चतभमज कहल त ह

ldquoव चतभमज नजनकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त हrdquo

नचतर िम क 82 और 83 ऐस सम नतर चतभमज ह नजनम परतयक कोण 90deg क ह आनह अयत कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत (Rectangle) कहल त हrdquo

नचतर िम क 88 म चतभमज क शीषो A एव C नसथत सलगन भज ओ क यगम बर बर ह ऐस चतभमज

पतग क र चतभमज कहल त ह

ऄब 5 समी लमब इ की च र सीक लकर चतभमज बन आए -

P a g e | 124

ईपरोकत सभी चतभमज ऐस सम नतर चतभमज ह नजनकी सभी भज एा बर बर ह ऐस चतभमजो को

सम चतभमज कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसकी परतयक भज की लमब इ बर बर हो सम चतभमज (Rhombus) कहल त

हrdquo

नचतर िम क 89 म परदरसशत चतभमज क परतयक कोण 900 क ह

ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम (Squre) कहल त ह

ऄब अप च र ऄलग-ऄलग लमब आयो की सीक लकर चतभमज बन आए अपक दव र बन ए गए

चतभमजो म स कछ आस परक र क हो सकत ह

P a g e | 125

नचतर िम क 92 म चतभमज की परतयक भज ऄलग-ऄलग म प की ह तथ सममख भज एा सम नतर

नही ह ऐस चतभमज नवषमब ह चतभमज कहल त ह नचतर कम क 93 एव 94 म चतभमजो की सममख

भज ओ क एक यगम सम नतर ह ऐस चतभमज समलमब चतभमज कहल त ह

दिय कल प 12 (ऄ)

नीच ददय गय नगरड (ज लक) नबनदओ को जोड़कर ननदश नस र चतभमज बन कर न म नलनखए

(1) एक चतभमज नजसकी कोइ भी भज बर बर नही ह तथ कोइ भी यगम सम नतर नही ह

(2) एक चतभमज नजसकी सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर ह

(3) एक चतभमज नजसकी सममख भज एा बर बर एव सम नतर ह

दिय कल प 12 (ब)

ऄपन अस-प स की 5 वसतओ क न म बत आए जो चतभमज अक र की हो

P a g e | 126

परशन वली 92

परशन 1 ख ली सथ न भररए

(i) वह चतभमज नजसकी सभी भज ए अपस म बर बर होकहल त

ह

(ii) वगम क परतयक कोण ऄश क होत ह

(iii) सम नतर चतभमज की सममख भज एाएव सम नतर होती ह

(iv) चतभमज म सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर होत ह

(v) ऐस चतभमज नजसकी सभी भज एा ऄसम न होचतभमज कहल त ह

परशन 2 सतयऄसतय कथन छ रटए

(i) समलमब चतभमज क परतयक कोण 900 क होत ह

(ii) परतयक अयत एक वगम होत ह

(iii) अयत की सममख भज एा बर बर होती ह

(iv) समचतभमज क परतयक कोण सदव समकोण होत ह

(v) कबिी क मद न अयत क र होत ह

हमन सीख

1 नतरभज तीन भज ओ स नघर कषतर ह

2 नतरभज एक बनद अकनत ह यदद तीनो भज एा नमलकर बनद अकनत नही बन ती तो नतरभज नही

बन सकत

3 शीषम भज एव कोण नतरभज क भ ग ह

4 नतरभज म तीन कोण होत ह

5 नतरभज क तीनो ऄतःकोणो क म पो क योग दो समकोण (1800) क बर बर होत ह

6 नतरभज की एक भज बढ़ न पर बन हअ बनहषकोण नतरभज म नसथत दरसथ ऄतःकोणो क म पो क

योग क बर बर होत ह

7 भज ओ की म प क अध र पर नतरभजो को समब ह समनदवब ह तथ नवषमब ह नतरभज म वगीकत

दकय ज त ह

8 कोणो क अध र पर नतरभजो को नयनकोण समकोण तथ ऄनधक कोण नतरभज म वग मीकत दकय

ज त ह

9 नवषमब ह नतरभज क तीनो भज ओ की म प तथ तीनो क णो क म प ऄलग ऄलग होती ह

10 समनदवब ह नतरभज म दो भज एा एव दो कोण बर बर होत ह

11 समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर होत ह

12 नतरभज म दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बन सकत ह

P a g e | 127

13 च र भज ओ स नघरी बद अकनत चतभमज कहल ती ह

14 चतभमज क ऄगो म शीषम भज नवकणम व कोण सनममनलत ह

15 चतभमज क च रो ऄनतःकोणो की म पो क योग 360deg होत ह

16 वह चतभमज नजसकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त ह

17 वह सम तर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत कहल त ह

18 ऐस चतभमज नजसकी भज एा ऄलग-ऄलग म प की हो तथ सममख भज एा सम नतर न हो

नवषमब ह चतभमज कहल त ह

19 ऐस चतभमज नजसकी सममख भज ओ क एक यगम सम नतर हो समलमब चतभमज कहल त ह

20 वह सम नतर चतभमज नजसकी सभी भज एा बर बर हो समचतभमज कहल त ह

21 ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम कहल त ह

22 पतग क र चतभमज म दो असनन भज ओ क यगम बर बर होत ह

P a g e | 128

मोहन और रम सबह कप स दध पीत ह मोहन दो कप दध म तीन चममच शककर ड लत ह रम

एक कप दध म दो चममच शककर ड लती ह दोनो क दध म शककर की तलन कस कर

दननक जीवन म दकसी वसत की खरीदद री करनी हो खल खलन हो य दकनही दो नवकलपो म स

जय द ईपयकत नवकलप चनन हो आन जस सभी क यो म तलन की अवशयकत होती ह कौन सी सबज़ी

बहतर ह द मो म दकतन ऄनतर ह जस ननणमय हम कइ ब र लन पड़त ह एक ईद हरण दनखए - शय म

अल खरीदन ब ज़ र ज त ह एक दक नद र अल की कीमत बत त ह - 20 रपय क तीन दकलो दसर

दक नद र कीमत बत त ह - lsquolsquoप ाच दकलो 30 रपय मlsquolsquo ऄब शय म सोच म पड़ ज त ह दक कौन स

नवकलप बहतर ह ऐसी नसथनतयो म ऄनप त की जररत महसस होती ह कय अपक स मन कभी ऐसी

नसथनत अइ ह जह ा अपको बहतर नवकलप सोचन की जररत पड़ी ऐसी कछ पररनसथनतयो क ब र म

सोनचए एव नलनखए

ऄनप तो को नवनभनन तरीको स वयकत दकय ज त ह ऄनप त को हम rsquo rsquo नचहन स दश मत ह

ईद हरण क नलए एक दक नद र कहत ह दक rsquorsquoआस वषम नबिी दगनी हइlsquolsquo आसक ऄथम यह ननकल

दक आस वषम म नबिी नपछल वषम की ऄपकष दो गनी हइ ऄथ मत आस वषम और नपछल वषम की नबिी क

ऄनप त 2 1 ह

एक और ईद हरण ल - दकसी नवदय लय म परतयक 45 छ तरो पर एक ऄधय नपक ह आसक मतलब

यह हअ दक छ तर ओ तथ ऄधय नपक ओ क ऄनप त 45 1 ह ऄब यदद हम कह दक नवदय लय म 90

छ तर ए ह तो सपषट ह दक नवदय लय म दो ऄधय नपक ए ह ऄथ मत नवदय थी तथ ऄधय नपक क ऄनप त 45

1 य 90 2 ह

रीत न कह दक lsquolsquoनवदय लय म ऄधय नपक सखय तथ छ तर ओ की सखय क ऄनप त 1 45 हrsquorsquo

कय ईसक यह कहन सही ह ऄनप त म हम यह दखन होत ह दक हम दकसकी तलन दकसस कर रह ह

जस - यदद हम ऄधय नपक सखय की तलन छ तर ओ की सखय स करत ह तो ऄनप त होग 1 45 और

यदद हम छ तर ओ की तलन ऄधय नपक स करनी ह तो ऄनप त 45 1 होग ऄब यदद ईस नवदय लय म

कल 5 ऄधय नपक ए ह तो बत आए दक नवदय लय की कल छ तर ओ की सखय दकतनी ह

दिय कल प 1

(1) ननमन कथनो को ऄनप त म नलनखए

(i) दकसी हॉल म परषो की सखय 150 ह तथ मनहल ओ की सखय 100 ह परषो तथ

मनहल ओ की सखय क बीच ऄनप त नलनखए 150 100

(ii) शम मजी की ईमर 40 वषम ह तथ ईनकी पतनी की ईमर 35 वषम ह दोनो की ईमर क बीच क

ऄनप त नलनखए

(2) दकसी ककष म 20 लड़क तथ 25 लड़दकय ा ह ननमन ऄनप त बत आए -

10

ऄनप त

P a g e | 129

(i) लड़दकय ा तथ लड़को क बीच

(ii) लड़को तथ लड़दकयो क बीच

(iii) लडदकयो तथ कल नवदय रसथयो क बीच

(iv) लड़को तथ कल नवदय रसथयो क बीच

3 रमश एक घट म 6 दकलोमीटर पदल चलत ह त र 1 घट म 4 दकलोमीटर पदल चलती ह रमश

की गनत तथ त र की गनत क बीच क ऄनप त कय ह

4 र म की अय 30 वषम ह तथ शय म की अय 20 वषम ह र म की अय और शय म की अय क बीच

ऄनप त कय होग

शय म तथ र म की अय क बीच ऄनप त कय होग

एक और ब त पर नवच र कीनजए

यदद एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह तक रह और दसर वषम 120 ददन रह आन दोनो वषो म

वष म क ददनो क ऄनप त कय होग कय अप आस 20 120 नलख सकत ह क रण बत आए

एक और ईद हरण दनखए

र नी ऄपन घर स नवदय लय तक की दरी 50 नमनट म तय करती ह ईम वही दरी 1 घट म तय करती

ह तो र नी दव र नलए गए समय और ईम दव र नलय गय समय क ऄनप त कय होग कय आस हम 50 1

नलख सकत ह आस पर नवच र कीनजए

आसी परक र क और सव ल अप सवय बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आय

दननक जीवन म हम र स मन आस परक र की समसय ए ऄनक ब र अती ह जब हम नभनन न पो की

अपस म तलन करत ह ऐसी नसथनतयो म जह ा सीध-सीध तलन करन सभव नही होत ह वह ा र नशयो को

सम न आक आयो य सम न म तरक म बदलन पड़त ह

वष म क ईद हरण दनखए - एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह क ह और दसर वषम म 120 ददनो क

यह ा हम सम न म तरक म बदलन क नलए 20 सपत ह को ददनो म बदलग जो दक आस परक र होग -

1 सपत ह म 7 ददन

there4 20 सपत ह म 7 times 20 ददन ऄथ मत 140 ददन

ऄब दोनो वषो म वष म क ऄनप त जञ त करन अस न हो गय कयोदक हम र स मन दोनो म तरक

सम न ह ऄथ मत 140 ददन तथ 120 ददन पहल वषम की वष म क ददनो तथ दसर वषम की वष म क ददनो क

ऄनप त हअ 140 120 नजसक सरलतम रप 7 6 ऄब अप र नी तथ ईम दव र नवदय लय ज न म लग समय

क ऄनप त जञ त कीनजए

P a g e | 130

दिय कल प 2

ननमन कथनो को ऄनप त क रप म नलनखए -

(i) पड़ क नचतर की लमब इ 25 समी ह तथ पड़ की लमब इ 13 मीटर ह

(ii) र म को गहक यम करन म 40 नमनट लगत ह तथ शय म को 1 घट लगत ह

(iii) अननद 15 म ह ब द र यपर अय तथ ऄमीन 2 वषम ब द

कछ और ऄसम न म तरक व ल सव ल सवय खोनजए तथ ईनक ऄनप त नलनखए

ऄनप त म नजन दो र नशयो की तलन करत ह ईनह पद कहत ह - पहल पद तथ दसर पद जस

यदद हम rsquoarsquo की तलन rsquobrsquo स कर रह ह तो आस ऄनप त रप म नलखग ab जह ा rsquoarsquo पहल पद ह तथ rsquobrsquo

दसर पद ह और यदद rsquobrsquo की तलन rsquoarsquo स करत ह तो rsquobrsquo पहल पद तथ rsquoarsquo दसर पद होग तथ ईनक

ऄनप त ba होग

एक ऄनय ईद हरण म नीच दश मए गए अयत क नचतर म भज क म प दश मए गए ह-

ईपरोकत नचतरो म अयत (िम क 1) म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह व नचतर िम क 2 क

अयत म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 4 2 ह

यह ा दोनो अयतो क कषतरफल क ऄनप त होग 2 8 य 1 4

अपन भ रत क म ननचतर तो दख होग भ रत जस नवश ल दश को छोट म ननचतर म दश मन कस

सभव ह अप आस पर नवच र कर

दकसी भी म ननचतर क नीच एक पम न (सकल) नलख होत ह 1 समी तर 100 दकमी ऄथ मत 100

दकमी की दरी को म ननचतर म एक समी स दश मय गय ह आस परक र यह भी एक परक र क ऄनप नतक

नचतर ह

ऄथ मत दो र नशयो क बीच तलन क नलए ऄनप त क परयोग दकय ज त ह चदक र नशयो क

अाकड़ बहत बड़ ऄथव बहत छोट हो सकत ह आसनलए तलन म सनवध क नलए ऄनप त को सरल रप म

दश मय ज त ह

ऄनप त क परयोग करन क पहल धय न रख दक र नशयो म सम न आक इ क ईपयोग हो

दिय कल प 3

1 ककष क छ तर एक-एक करक ऄपनी उा च इ जञ त करग

2 छ तर दोनो ह थ फल कर ह थो क नसरो क बीच की दरी क म पन करग

3 परतयक छ तर की उा च इ तथ ईसक दोनो ह थ क नसरो क बीच क दरी क मधय कय सबध पर पत हो

P a g e | 131

रह ह ननषकषम ननक नलए

स रणी परी कीनजए ndash

ऄनप नतक नचतरो म सौदरय बोध

ऄनप त कवल सखय ओ म ही नह ी वरन हम र दननक जीवन स जड़ कइ पहलओ म दखन को

नमलत ह

ईद हरण क नलए - यदद दकसी नचतर म बन वयनकत की ट ग बहत ऄनधक लबी ह य शरीर की तलन

म नसर ऄनधक बड़ ह तो वह वयनकत कस लगग ज नहर ह दक वह कछ ऄटपट लगग आसी परक र म न

लीनजए अपकी ककष की एक दीव र ह नजसकी लमब इ एव चौड़ इ कम ह और ईस छोटी सी दीव र पर एक

बहत बड़ी तसवीर लग रखी ह य दीव र बहत ऄनधक बड़ी ह और ईस पर एक कोन म य बीच म छोटी

सी तसवीर लगी ह एक बहत बड़ फरम ह और ईसम छोट स नचतर लग ह आनम स बहत सी पररनसथनतय

हम ऄटपटी परतीत होगी कयोदक आनम ऄनप त हीनत ह हम री दनषट चीजो क बीच नननित ऄनप त

ढढती ह

नीच कछ ईनचत ऄनप नतक तथ ऄनप तहीन नचतर ददय गय ह आनम स ऐस नचतरो की पहच न

कीनजए नजनम ऄनप त ईनचत लगत ह और सोनचए दक अपन कय दख कर ब की नचतरो को छोड़ ह

ऄथ मत अप ऄपन ईततर क क रण सोनचए

P a g e | 132

दो र नशयो की तलन

नचतर ऄनप नतक ह य नही नवनभनन नहससो क अक रो की तलन पर ननभमर ह ईद हरण क नलए

दरव ज क पलल बहत जय द लमब ह और आसी तरह म नचस की नडबबी लमब इ भी ब की भज ओ की

तलन म बहत ऄनधक ह म नो हम लमब इ और चौड़ इ की तलन करन च हत ह आन दोनो र नशयो की

तलन कइ तरीक स की ज सकती ह व तलन करन क कइ अध र ह सबस सरल तो यह पत करन ह दक

पहली र नश दसरी र नश स दकतनी ऄनधक य दकतनी कम ह आसकी ज नक री कइ परक र स पर पत की ज

सकती ह

1 परीकष म शब न को 40 ऄक तथ रण को 20 ऄक नमल तो रण को शब न स 20 ऄक कम पर पत

हए

2 श ल म 600 छ तरो म स 200 छ तर कम अए तो ईस ददन श ल म 400 छ तर अए

3 दो रख खडो की लमब इ 8 समी एव 4 समी हो तो पहली रख खणड की लमब इ दसर रख खणड स 4

समी ऄनधक ह

4 दकसी दरव ज की उा च इ 8 दफट ह और आसकी चौड़ इ 2 दफट ह तो आसकी उा च इ चौड़ इ स 6 दफट

ऄनधक ह दरव ज क सदभम म उा च इ व चौड़ इ क ऄतर 6 दफट ह बत न स वह दकतन ईपयकत ह

पत नही चलत यदद दकसी दरव ज की उा च इ 18 दफट और चौड़ इ 12 दफट हो तो भी ऄनतर 6

दफट ह जबदक दोनो म बहत ऄतर ह दोनो र नशयो म तलन क एक और अध र हो सकत ह

हम यह भी दख सकत ह दक पहली र नश दसरी र नश क ऄथव दसरी र नश पहली र नश क दकतन

गण ह आसस पहल दरव ज म उा च इ चौड़ इ की तलन म 4 गण ह जबदक दसर म उा च इ

चौड़ इ क डढ़ गण ह

नीच स रणी म भी दो र नश लकर ईनकी तलन की गइ ह

अप दननक जीवन क कछ ईद हरण बत आए नजसम आसी परक र पत करन हो दक एक र नश दसरी

र नश क दकतनी गनी ह अपक कमर की लमब इ 30 फीट एव चौड़ इ 15 फीट ह ऄथ मत कमर की लमब इ

चौड़ इ स दगनी ह आस आस परक र स नलख ज सकत ह ndash

कमर की लमब इ 30 फीट 2

कमर की चौड़ इ 15 फीट 1

ऄथ मत लमब इ चौड़ इ स दगनी ह य कमर की लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह यह भी कह सकत

= = =

P a g e | 133

ह दक चौड़ इ और लमब इ क ऄनप त 1 2 ह

ऄतः ऄनप त पररम ण क अध र पर बन सबध ह

1 50 पसतको एव 10 पसतको क मधय ऄनप त = 50 10 = 5 1

2 र म की ईमर 20 वषम एव शय म की ईमर 30 वषम ह दोनो क ईमर क मधय ऄनप त

= 20 30 = 2 3

3 400 दकलो गह एव 100 दकलो गह क मधय ऄनप त = 400 100 = 4 1

4 र नश a तथ र नश b क मधय ऄनप त = a b

ऄभय स 1

स रणी म नशकषक एव छ तर ऄनप त जञ त करक स रणी पणम कीनजए

ऄनप त क ब र म कछ ब त

1 दो र नशयो a तथ b क मधय ऄनप त को a b स दश मत ह नजसम a पहल तथ b दसर

पद ह ( जह ा a तथ b पणम सखय एा ह )

2 ऄनप त जञ त करत समय एक ही परक र की र नशयो को सम न आक इ स दश मय ज त ह

दिय कल प 4

शली और ईसक पररव र क सदसय एक पड़ क प स खल मद न म खड़ थ शली न परछ आयो को

दख और ईनको न पन लगी ईसन पररव र क परतयक सदसय की परछ इ की लब इ और ईनकी उा च इ को

ननमन नस र त नलक म दश मय ndash

ऄब शली क स मन एक समसय अ गइ पररव र क सदसयो की उा च इ तो ईस म लम थी और ईसन परछ इ

की लब इ न प ली लदकन पड़ की उा च इ नही म प सकी कयोदक पड़ की उा च इ जञ त करन मनशकल थ

कय वह परछ इ दखकर पड़ की उा च इ ननक ल सकती ह अआए दख शली न आस समसय को कस

हल दकय -

P a g e | 134

ईसन त नलक म सखय ओ क बीच एक समबनध दख परतयक वयनकत की उा च इ ईसकी परछ इ स

दगनी ह ईसन सोच दक यदद ईसी सथ न पर सभी सदसयो की उा च इ एव परछ इ की लमब इ क ऄनप त

2 1 ह तो पड़ की उा च इ भी परछ इ की लमब इ की दगनी होगी ईसन आसस पत कर नलय दक पड़ की

उा च इ 430 समी ह

ईद हरण 1

एक वयनकत न 25 रपय ऄपन पतर को एव 36 रपय ऄपनी पतरी को ददय तो ईनको ददए गए रपयो

क ऄनप त जञ त कीनजए

हल पतर क भ ग = 25 रपय

पतरी क भ ग = 36 रपय

पतर क भ ग पतरी क भ ग तर 25 36

ईद हरण 2

एक डड की लब इ 90 समी एव एक ब ास की लमब इ 4 मीटर 50 समी ह तो डड एव ब ास की

लमब इयो क ऄनप त जञ त कीनजए

हल डड की लमब इ = 90 समी

ब ास की लमब इ = 4 मीटर 50 समी

= (400 + 50) समी 1 मीटर = 100 समी

= 450 समी

(यह डड एव ब ास की लमब इ ऄलग-ऄलग आक इ म ह ऄतः एक ही आक इ समी म बदलन

अवशयक ह)

ऄतः डड की लमब इ ब ास की लमब इ = 90 450

= 1 5 (सरलतम रप)

ईद हरण 3

र जश की एक महीन की अमदनी 12500 रपय ह आसम स वह 2500 र की बचत करत ह

ऄनप त जञ त कीनजए

1 र जश की अमदनी और ईसक खचम क बीच

2 र जश की अमदनी और ईसकी बचत क बीच

हल र जश की म नसक अमदनी = 12500 रपय

र जश की म नसक बचत = 2500 रपय

र जश क म नसक खचम = 12500 - 2500 रपय

= 10000 रपय

ऄतः र जश की अमदनी क ईसक खचम स ऄनप त = 12500 10000

= 5 4

र जश की अमदनी क ईसकी बचत स ऄनप त = 12500 2500

= 5 1

P a g e | 135

ईद हरण 4

एक पन क मलय और एक पनसल क मलय क ऄनप त जञ त कीनजए जबदक पनो क मलय 144 र

परनत दजमन एव 10 पनसल क मलय 90 र हो

हल यह सबस पहल एक पन और एक पनसल क मलय जञ त करन होग

एक दजमन य 12 पनो क मलय = 144 र

1 पन क मलय = 144

12 = 12 र

10 पनसल क मलय = 90 र

1 पनसल क मलय = 90

10 = 9र

ऄतः 1 पन क मलय 1 पनसल क मलय = 12

9 =

4

3 = 4 3

ईद हरण 5

छोट एव बमट क बीच 40 टॉफी को 4 1 क ऄनप त म ब ारटए

हल कल भ गो की सखय = 4 + 1 = 5

40 टॉफी को 5 भ गो म ब टन पर 4 नहसस छोट को एव 1 नहसस नमनट को नमलग

ऄतः छोट क नहसस = 40

5 times 4

= 32 टॉफी

और नमनट क नहसस = 40

5 times 1

= 8 टॉफी

ईद हरण 6

ननमननलनखत म पो क ऄनप त जञ त कीनजए -

(ऄ) 5 र तथ 50 पस

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म

हल (ऄ) 5 र तथ 50 पस क ऄनप त -

5 र = 5 times 100 पस = 500 पस

ऄनप त 500

50 =

10

1 = 10 1

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर क ऄनप त

10 मीटर = 10 times 100 समी

ऄनप त = 500

10times100 =

1

2 = 1 2

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म क ऄनप त

8 दकगर = 8 times 1000 गर म = 8000 गर म

ऄनप त = 8000

640 =

25

2 = 25 2

P a g e | 136

परशन वली 101

1 ऄपन अस प स स ननमननलनखत वसतए आकटठी कीनजए ईन वसतओ की लमब इ जञ त कर

लमब इयो क बीच ऄनप त पत कीनजए ऄनप त को सरलतम रप म नलनखए

(i) अलनपन क कील स (ii) कील क पननसल स

(iii) पन क कील स (iv)कील क अलनपन स

(v) अलनपन क पन स (vi) पन क पननसल स

(vii) पननसल क अलनपन स (viii) पन क अलनपन स

2 ननमननलनखत क ऄनप त जञ त कीनजए

(i) 15 नमनट क 1 घट स (ii) 250 गर म क 1 दकलोगर म स

(iii) 15 पस क 1 रपय स (iv) 15 पस क 5 रपय स

(v) 212 समी क 1 मीटर स (vi) 10 मीटर क 25 समी स

(vii) 40 समी क 25 मीटर स

3 ननमन म स परतयक ऄनप त को ईसक सरलतम रप म नलनखए

(i) 150 400 (ii) 85 255

(iii) एक दजमन एक कोरी (iv) 27 57

(v) 24 68 (vi) 250 375

(vii) 65 91 (viii) 25 75

(ix) 50 225 (x) 500 10000

4 नवश ख की व रसषक अमदनी 80000 रपय ह ईसन 5000 रपय अयकर क रप म द ददए ननमन

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) अयकर अय

P a g e | 137

(ii) अय अयकर

5 मनन और बनन न एक दौड़ म भ ग नलय ननध मररत समय म मनन न 210 मीटर की दरी तय की और

ईतन ही समय म बनन न 180 मीटर की दरी तय की मनन और बनन क दव र तय की गइ दरी क

ऄनप त कय होग

6 सतीश एक वजञ ननक क रप म क यम करत ह और ईनकी अय 20000 रपय परनत म ह ह ईनकी

पनतन ऄनीत डॉकटर ह तथ ईसकी अय 15000 रपय परनत म ह ह ननमननलनखत ऄनप तो को जञ त

कीनजए

1 सतीश की अय ऄनीत की अय

2 सतीश की अय ईनकी कल अय

7 एक सकल म कल नवदय रसथयो की सखय 1500 ह ईसम स लड़दकयो की सखय 600 ह लड़को तथ

लड़दकयो की सखय क ऄनप त जञ त कीनजए

8 20 गबब रो को दो बचचो क बीच 2 3 क ऄनप त म ब रटए बत आए दोनो को दकतन-दकतन गबब र

नमल

9 र जश और ज वद न नमलकर एक दक न खोली दक न म र जश न 45000 र तथ ज वद न

36000 र लग ए बत आए र जश और ज वद दव र लग इ पनजयो क मल ऄनप त कय ह

10 दकसी परीकष म 117 परीकष रसथयो म स 65 ऄसफल हो गए तो सफल और ऄसफल परीकष रसथयो की

सखय म कय ऄनप त ह

11 रतन और शील न नमलकर ऄपन च च क बगीच स 18 अम तोड़ दोनो ऄब आस अम को अपस म

ब ाटन च हत ह रतन च हती ह दक ईमर क ऄनप त म अमो को ब टन च नहए ऄब बत आए दक

ऐस ब ाटन पर रतन और शील को दकतन-दकतन अम नमलग जबदक रतन की ईमर 15 वषम तथ

शील की ईमर 12 वषम ह

12 वतमम न म एक नपत तथ पतर की अय 50 वरष एव 20 वषम ह नपत की ईमर तथ पतर की ईमर क

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) वतमम न म नपत पतर की अय क ऄनप त

(ii) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 10 वषम थी

(iii) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 35 वषम थी

(iv) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 40 वषम की होगी

(v) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 75 वषम की होगी

13 र म और शय म की अय क ऄनप त 3 4 ह यदद ईनकी कल अय 21000 र ह तो र म और

शय म की अय बत आए

14 A और C क बीच म नबनद B आस परक र ह दक AB BC = 7 3 क यदद AC = 40 दकमी ह तो

बत आए AB तथ BC क म न दकतन होग

15 मर प स 6 समोस ह आनह म ऄपन नमतरो म ब टन च हत हा यदद

(i) म 1 1 म दो नमतर क मधय ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

P a g e | 138

(ii) म 2 1 3 म तीन नमतरो म ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

ऐदकक नवनध

नीच दी गइ कछ नसथनतयो को दनखए -

1 अप ब ज र ज त ह और दो कॉनपय ा 20 र म खरीदकर ल त ह ऄब यदद अपको और 5 कॉनपयो

की जररत ह तो अपक प स दकतन रपय होन च नहए

2 शय म क सकटर म 2 लीटर पटरोल ह ईस ऄनद ज़ ह दक वह आतन पटरोल स 50 दकलोमीटर की दरी

अर म स तय कर सकत ह यदद ईस 100 दकलोमीटर दर ज न ह तो ईसक सकटर म कम स कम

दकतन पटरोल होन च नहए

3 अप ऄपन जनमददन पर ऄपन दोसतो को तोहफ दन च हत ह अप नखलौन की दक न पर एक

ग ड़ी पसनद करत ह यदद 75 र म 3 ग नड़य ा नमलती ह और अपको 15 ग नड़य ा खरीदनी ह तो

अपक प स दकतन रपय होन च नहए

ईपरोकत नसथनतयो क हल क ब र म सोनचए

पहली नसथनत को दनखए -

दो कॉनपयो की कीमत 20 र ह

तो 1 कॉपी की कीमत होगी = 10 र

ऄब 1 कॉपी की कीमत 10 र ह

तो 5 कॉनपयो की कीमत = 10 times 5 = 50 र

आसी नवनध क ऄनस र ब की दो नसथनतयो को हल कररए

आस परक र क कछ ऄनय सव ल बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आए

जब ऄनक वसतओ क मलय जञ त होन पर एक वसत क मलय जञ त करक व नछत वसतओ क मलय

जञ त दकय ज त ह तो ईस ऐदकक नवध य ऐदकक ननयम कहत ह

दिय कल प 5

ननमन दकत स रणी क ऄवलोकन कीनजए एव ररकत सथ नो की परसत कीनजए

हम दखत ह दक

2 घट म तय की गइ दरी = 8 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 82 = 4 दकमी

5 घट म तय की गइ दरी = 4 times 5 = 20 दकमी

P a g e | 139

यह ा स आदकल क र रलग ड़ी दव र 5 घट म तय की गइ दरी ननक लन क नलए पहल परतयक क

दव र 1 घट म तय की गइ दरी जञ त करनी पड़गी

ईद हरण 7

यदद एक छ तर व स म परनत 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकलो ह तो 30 बचचो क नलए

च वल की दकतनी खपत होगी

हल आस समसय क हल दो चरणो म करग

चरण 1 - सबस पहल जञ त करग 1 बचच क नलए दकतन च वल लगग

जबदक 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकगर ह

आसनलए 1 बचचो क नलए च वल की खपत 2

10 =

1

5 दकगर

चरण 2 - आसम हम 30 बचचो क नलए च वल की खपत जञ त करग

जबदक 1 बचच क नलए च वल की खपत ह 1

5 दकगर

आसनलए 30 बचचो क नलए च वल की खपत 30 times 1

5 = 6 दकगर

ऄतः 30 बचचो क नलए 6 दकगर च वल की खपत होगी

ईद हरण 8

एक हव इ जह ज 5 घट म 4000 दकमी ईड़त ह वह तीन घट म दकतन ईड़ग

हल

पहल चरण म एक घट म हव इ जह ज दव र तय की गइ दरी जञ त की ज एगी तथ दसर चरण म

पछ गए समय (ऄथ मत 3 घट) म दरी दकतनी होगी जञ त की ज एगी

चरण 1- 5 घट म तय की गइ दरी = 4000 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 40005 दकमी = 800 दकमी

चरण 2- 1 घट म तय की गइ दरी = 800 दकमी

3 घट म तय की गइ दरी = 3 times 800 = 2400 दकमी

आस परक र हव इ जह ज 2400 दकमी दरी तय करग

ईद हरण 9

एक मनहल की 15 महीन की बचत 18000 र ह

1 ईसकी स त महीन की बचत कय होगी

2 दकतन महीनो म ईसकी बचत 30000 र होगी

हल

चरण 1- जबदक 15 मनहन की बचत 18000 र ह

आसनलए 1 मनहन की बचत = 1800015 = 1200 रपय

चरण 2- 1 महीन की बचत 1200 र ह

7 मनहन की बचत = 1200 times 7 = 8400 रपय

1200 र की बचत होती ह 1 महीन म

30000 र की बचत होगी 30000times1

1200 = 25 मनहन म

P a g e | 140

परशन वली 102

1 तीन कॉनपयो की कीमत 1650 र ह तो 7 कॉनपयो की कीमत जञ त कीनजए

2 एक क र 3 घटो म 165 दकलोमीटर चलती ह तो वह क र

(i) 440 दकलोमीटर की दरी दकतन समय म तय करगी

(ii) 612 घटो म दकतनी दरी तय करगी

3 72 दकत बो क वज़न 9 दकलोगर म ह

(i) 80 दकत बो क वज़न जञ त कीनजए

(ii) दकतनी दकत बो क वज़न 6 दकलोगर म होग

4 दकसी मज़दर की 25 ददनो की अय 1500 र ह ईसकी 30 ददनो की अय जञ त कीनजए

5 यदद 22 मीटर कपड़ क मलय 704 र ह तो 20 मीटर कपड़ क मलय कय होग

6 स ररणी परी कीनजए

हमन सीख

1 दो सम न र नशयो क ऄनप त यह दश मत ह दक एक र नश दसरी र नश स दकतनी गनी ह

2 दो र नशयो क ऄनप त पर यः ईनक सरलतम रप म वयकत दकय ज त ह जस na nb को a b नलख

ज त ह

3 दी गइ र नशयो स पहल एक र नश क आक इ म न जञ त कर दफर व नछत सखय म र नशयो क म न

जञ त करन की नवनध को ऐदकक नवनध कह ज त ह

दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 -

- 10

- 3000

P a g e | 141

11

चर सखय

अप ऄपन च रो ओर ऐसी कइ चीजो को दखत ह नजनम कछ क म न नसथर होत ह और कछ क म न बदलत

रहत ह जस- दकसी कसी क भ र तो अज कल य कछ ददनो क ब द भी वही रहग परनत जब बीज क

ऄकरण हम दखत ह तो ईसस ननकल पौध की लमब इ धीर-धीर बदलती रहती ह आसी परक र ककष की लमब इ

एव चौड़ इ नसथर ह परनत ब ररश क ददनो म कएा क प नी क सतर एक म ह ब द दकतन बदल ज एग यह नही

बत य ज सकत अप ऄपनी क पी म आस तरह क 5 ईद हरण नलनखए जह ा म न नसथर रहत ह एव 5

ईद हरण ऐस नलनखए जह ा म न बदलत रहत ह

ककष म ईद हरण को कॉपी म नलखत समय ऄन न रोहन स कह दक म तो यह ा नलख गी दक मर

नपत जी की ईमर तो बदल रही ह परनत ईनकी उा च इ नसथर ह रोहन न भी कह दक म यह ा नलखाग दक हम र

खत क रकब च र एकड़ ह परनत ईसम पद होन व ली फसल कभी कम तो कभी जय द होती ह

ईपरोकत ईद हरणो म अपन दख दक कछ म न तो बदल रह ह परनत कछ म न नसथर ह नीच अपको

कछ पररनसथनतय ा दी गइ ह अप अपस म चच म कर ररकत सथ नो म पररनसथनत क ऄनस र म न नसथर ह ऄथव

बदल रह ह नलनखए

दिय कल प - 1

ऄनतम ईद हरण को हल करत समय हमीद न ऄपन स नथयो स कह lsquolsquoयदद अल बड़ होग तो 1 दकगर

म कम अएाग परनत यदद अल छोट होग तो 1 दकगर म जय द अएाग हम तो यह भी नही बत सकत दक एक

थल म अन व ल अलओ की सखय कय होगी ऐस ही कछ कल हम र स थ घर म हअ नपत जी न हम सभी

भ इ - बहनो को चककर म ड ल ददय ईनक रम ल म कछ टॉदफय ा बधी हइ थी ईनहोन पछ lsquolsquoआस रम ल म

दकतनी टॉदफय ा हlsquolsquo हम टॉदफयो की सखय म लम ही नही थी तो कस बत त कय टॉदफयो की सखय बत न

क कोइ तरीक नही ह आस पर र ज न कह दक चलो ऄपनी गनणत नशनकषक स पछ

नशनकषक न बचचो की समसय को सन और एक नइ समसय बचचो क स मन रख दी ईनहोन पछ दक आस

चॉक क नडबब म दकतन चॉक ह बचचो न ऄद ज स ऄलग-ऄलग सखय बत यी - हमीद न 12 र ज न 18 ऄन

न 16 रोहन न 20 आतय दद नशनकषक न कह lsquolsquoआसम स यदद 5 चॉक ननक ल द तो अपक ऄनस र नडबब म

दकतन चॉक बचगlsquolsquo हमीद र ज ऄन और रोहन न नहस ब लग कर सखय िमशः बत य 12-5 = 7 18-5 =

13 16-5 = 11 20-5 = 15

चादक नडबब म चॉक की सखय म लम नही थी आसनलए ईततर ऄलग-ऄलग अए यदद आन सखय तमक

म नो की जगह हम lsquolsquoचॉक की सखय - 5lsquolsquo नलख तो सभी क ईततर एक सम न अ ज एग दकनत आस

परक र नलखन स ब र-ब र चॉक की सखय नलखनी पड़गी कय आस सकषप म नलखन क कोइ तरीक ह

िम क पररनसथनतय ा म न नसथर हबदल रह ह

1 सपत ह म ददनो की सखय

2 म ह जनवरी म ददन क त पम न

3 अपकी ककष म रोज़ अन व ल छ तरो की सखय

4 हॉकी क खल म खलन व ल नखल नड़यो की सखय

5 1 दकलोगर म अल म अलओ की सखय

P a g e | 142

यदद नडबब म चॉक की सखय को हम ldquoचldquo नलख और आसम स 5 चॉक ननक ल द तो नडबब म चॉक की

सखय =च-5 होगी आसी तरह यदद आस नडबब म 3 चॉक ड ल द तो नडबब म चॉक की सखय = च+3 होगी

अआए आस समझन क नलए एक और ईद हरण दख-

टॉफी क पकट म 20 टॉदफय ा ह परनत पकट की कीमत म लम नही ह-

यदद 1 ट फी क मलय 50 पस ह तो पकट क मलय 20 times 050 र = 10 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 1 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 1 र = 20 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 2 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 2 र = 40 रपय होग

आस परक र यह ा पकट क मलय तर 20 times 1 टॉफी क मलय) होग यह ा यदद 1 ट फी क मलय क सथ न

पर हम x र य y र य z र य कोइ भी ऄकषर नलख तो पकट क मलय = 20x र य 20y र य 20z र

होग ऐस ही एक और ईद हरण दखत ह

एक वगम की परतयक भज की लमब इ 2 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 2 आक इ यदद वगम की

परतयक भज की लमब इ 3 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 3 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ 7

आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 7 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ a आक इ ह तो वगम क

पररम प = 4 times a आक इ

उपर क सभी ईद हरणो म अपन दख दक कछ र नशय ा तो नसथर ह जस पकट क मलय 20x र म 20

तो नसथर ह परनत x र ऄथ मत 1 टॉफी क मलय क बदलन पर पकट क मलय बदल ज त ह आसी परक र वगम क

पररम प 4a म 4 नसथर ह परनत भज क म न य a आक इ क बदलन पर वगम क पररम प बदल ज त ह सभी

ईद हरणो को दखन क ब द हमीद न सोच दक सभी बदलन व ल म नो को दकसी ऄकषर दव र नलख ज त ह

आसनलए हम कह सकत ह दक मर नपत जी क रम ल म z टॉफी रही होगी z क म न हम कछ और ज नक री

नमलन पर ही ननक ल सकत ह ऄनयथ नही

आस परक र य बदलन व ली र नशय ा ही चर ह आनक कोइ भी म न हो सकत ह आनह नहनदी ऄथव

ऄगरजी वणमम ल क दकसी भी ऄकषर जस ऄ ब स द य क ख ग घ य a b c य p q r य x y z दव र

नलख ज सकत ह आनही ऄको को चर क य बीज क भी कहत ह

जब भी ऐसी सखय नजसक म न म लम नही ह अती ह तब ईस सखय क सथ न पर बीज ऄक य

चर क क ईपयोग दकय ज त ह आन बीज क य चर को क ईपयोग स परशन हल करन अस न हो ज त ह

आस परक र ऄकगनणत क वय पकीकरण क नलए भी चरो क ईपयोग दकय ज त ह जस

1 दकसी सखय तथ ईसक ब द अन व ली सखय क बीच कय सबध ह 4 क ब द अन व ली सखय कय

ह यह सखय 5 ह ऄथ मत 4+1 आसी परक र 1000 क ब द अन व ली सखय कय ह यह सखय 1001

ह ऄथ मत 1000+1 ऄतः यदद कोइ सखय दी गइ हो तो ईसक ब द व ली सखय दी गइ सखय म 1

जोड़कर पर पत की ज ती ह यदद कोइ सखय x ह तो ईसक ब द अन व ली सखय x+ 1 होगी

2 आसी परक र कय अप दकसी सखय क पहल अन व ली सखय क नलए ननयम बन सकत ह

3 कय अप सम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह 2 4 6 8 आतय दद सम सखय य ह

आन सभी सखय ओ क एक गणनखड 2 ह ऄथ मत दकसी भी पण ाक सखय को 2 स गण कर सम सखय

पर पत की ज सकती ह म न ल दक n कोइ पर कतगणन सखय ह तो 2n एक सम सखय क रप म नलखी

ज सकती ह

P a g e | 143

4 कय अप नवषम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह यदद सखय ओ को दख तो अप यह प त

ह दक सम और नवषम सखय एा एक क ब द एक अती ह ऄथ मत नवषम सम नवषम सम

नवषम जस 1 2 3 4 5 6 7 8 यह ा परतयक सम क पहल व ली सखय नवषम ह

तथ ब द व ली सखय भी नवषम ह अपन आसक पहल सम सखय ओ को 2n स बत य ह दकसी सखय

क पहल अन व ली सखय x- 1 ह तथ ब द म अन व ली सखय x + 1 ह तो दकसी सम सखय ऄथ मत

2n क पहल अन व ली सखय 2 n-1 होगी तथ ब द म अन व ली सखय 2n +1 होगी आस परक र

(2 n-1) य (2n + 1) नवषम सखय क नलए नलख ज सकत ह

नीच दी गइ सखय य कछ ननयमो स जड़ी ह अप आनह द व ा पद क रप म नलनखए ndash

परशन वली 11

परशन 1 ननमननलनखत को सखय ओ ऄकषर सखय ओ तथ मलभत सदिय ओ क नचहनो की सह यत स ददख आए

यह भी बत आए दक परतयक ऄकषर कय बत त ह

(i) एक वतत क वय स ईसकी नतरजय स दोगन ह

(ii) एक अयत क कषतरफल ईसकी लमब इ एव चौड़ इ क गणनफल क बर बर ह

(iii) नविय मलय िय मलय तथ ल भ क योगफल क बर बर होत ह

(iv) दकसी सखय म दसरी सखय को जोड़ गय ह

(v) दकसी सखय म स 7 ननक ल गए

(vi) नमशरधन मलधन तथ बय ज क योगफल क बर बर होत ह

परशन 2 सहीगलत कथन छ ारटए व गलत कथनो को सध र कर नलनखए

(i) सखय a क परवती a + 1 ह

(ii) x क म न पररनसथनत क ऄनस र बदलत रहत ह

(iii) 2n एक नवषम सखय होगी

(iv) m x n दो ऄजञ त सखय ओ क गणनफल ह

(v) चर को को स म नयतः ऄगरजी वणमम ल क छोट ऄकषरो स दश मत ह

हमन सीख

1 जो ऄकषर सखय ओ को दश मन क क म म अत ह ऄकषर सखय कहल त ह

2 य ऄकषर चर क क रप म सखय ओ को ही दश मत ह ऄतः व ईन सभी ननयमो क प लन करत ह जो सखय ओ

दव र की ज ती ह

3 वह र नश नजसक एक नननित सखय तमक म न हो ऄचर र नश कहल ती ह

4 वह र नश नजसक कइ सखय तमक म न हो सकत ह चर र नश कहल ती ह

5 ऄकगनणत म हम एक नननित म न व ली सखय क ईपयोग करत ह जबदक बीजगनणत म ऐस ऄकषरो क परयोग

करत ह नजसक म न एक स ऄनधक हो सकत ह

6 दकसी सखय क बीजीय भ ग चर र नश कहल त ह p = 4a म p और a चर र नश तथ 4 ऄचर र नश ह

P a g e | 144

नपछल प ठ म अपन चर र नशयो क ब र म पढ़ ह आनह चर ऄको य बीज ऄको क रप म दकस

तरह नलखत ह यह भी अप सीख चक ह ऄब अप बदलन व ली ऄथव ऄजञ त म न व ली र नश को चर

ऄक स एव नसथर रहन व ल म नो को नसथर ऄको क दव र बड़ी अस नी स बत सकत ह आस परक र lsquolsquoचर क

एव नसथर क स बन हअ वयजक ही बीजीय वयजक हrsquorsquo नपछल प ठ म अपन जह भी चर क क ईपयोग

दकय ह ईन सभी को बीजीय वयजक भी कह सकत ह

अआए दननक जीवन म बीजीय वयजको क ईपयोग कस होत ह दख

रनज़य की ईमर म लम नही ह ऄब यदद कह ज ए दक 5 वषम पवम रनजय की ईमर कय रही होगी

य 3 वषम ब द रनज़य की ईमर दकतनी होगी आन सभी परशनो क ईततर बीजीय वयजको क रप म ददय ज

सकत ह

यदद रनज़य की ईमर को y वषम स दश मय ज ए तो 5 वषम पहल रनज़य की ईमर y - 5 वषम रही होगी

तथ 3 वषम ब द y + 3 वषम होगी यह y - 5 तथ y + 3 बीजीय वयजक ह अआए बीजीय वयजक क रप

म कछ और गनणतीय समसय ओ को वयकत कर

1 र ध क पर पत क नह क पर पत क स 3 कम ह यदद नह क पर पत क x ह तो र ध क पर पत क x - 3

होग

2 अयत की लमब इ चौड़ इ स 4 आक इ ऄनधक ह यदद अयत की चौड़ इ y आक इ ह तो लमब इ (y

+ 4) आक इ होगी

3 दकसी अयत क र मद न की लमब इ x ह तथ चौड़ इ y ह तो ईस मद न क च रो ओर 1 चककर

लग न म तय की गइ दरी कय होगी एक चककर लग न म तय की गइ दरी p = x + y + x + y

होगी x

y y

x

दिय कल प 1

ननमननलनखत को बीजीय वयजक क रप म नलनखए

1 दकसी सखय क तीन गण

2 दकसी सखय स 6 ऄनधक

3 दकसी सखय स 17 कम

4 दकसी सखय क 5 व भ ग

5 दकसी सखय क दगन स 12 ऄनधक

6 दकसी सखय क स त गण स 3 कम

7 दकसी सखय क च र गण क तीसर भ ग

8 दकसी सखय म ईसी सखय क 7 गण जोड़ ज ए

P a g e | 145

9 दकसी सखय क 5 गण स ईसी सखय क 6 गण घट य ज ए

10 दध क भर नडबब स 5 लीटर दध ननक ल नलय तो दकतन लीटर दध बच

ईपयमकत दिय कल पो म अपन दख दक सभी बीजीय वयजक चर क और नसथर क स नमलकर बन ह

दिय कल प 2

नीच स रणी म चर क तथ नसथर क को ऄलग-ऄलग छ टकर ददए गए सथ न पर नलनखए-

िम क वयजक चर क नसथर क

1 Z Z 1

2 X + 5 X 1 5

3 Y ndash 8

4 3x + 2y

5 2xy ndash 3 X y 2 -3

6 7 ndash 3x

7 33x

8 Y - x

कय उपर स रणी म सभी बीजीय वयजको क पद सम न ह

यह z एव 33x म पद की सखय 1 ह तथ शष कथनो म पदो की सखय 2 ह नजसक ऄथम यह हअ

दक-

दकसी बीजीय वयजक म ऄलग-ऄलग चर क एव नसथर क क बीच नजतन ब र $ ऄथव - नचहन क

ईपयोग होत ह बीजीय वयजक म पदो की सखय ईसस 1 ऄनधक होगी

दिय कल प 3

ननमननलनखत ररकत सथ नो पर बीजीय वयजको क पदो की सखय नलनखए

1 3x + 8 (दो)

2 3 + y ndash 7p ()

3 2x + 3xy + z ()

4 8x ()

5 9 + 3a ndash 3x + b ()

6 5xyz ()

P a g e | 146

अपन चर को एव नसथर को को ज न नलय ह जस 3x + 8y + 7 म x और y तो चर क ह परनत

3 8 और 7 नसथर क ह जस अपन चर क प ठ म दख ह 3x व सतव म x क तीन गण ह ईसी परक र

8लy भी y क 8 गण ह आसक ऄथम यह हअ दक चर क क स थ जो नसथर क ह वह चर क को गण करन

व ल ऄक ह आसनलए हम आस गण क कहत ह ऄतः 3x + 8y + 7 म 3 गण क ह x क 8 गण क ह y क

तथ 7 नसथर क ह आसी परक र 9ab म ab चर क ह तथ 9 ईनक गण क ह

दिय कल प 4

ननमननलनखत बीजीय वयजको क गण क एव चर क को ऄलग कीनजए तथ सम न चर क व ल

वयजको को छ ाटकर ऄलग नलनखए

िम क वयजक गण क चर क

1 8x

2 9py

3 Xyz

4 18ab

5 Yz

6 -1

2 yz

7 3xyz

8 32x

9 -3py

10 -3

5 yz

ईपयमकत दिय कल प म अपन प य दक 8x तथ 32x म चर क क म न x ह ईसी परक र 9py तथ

-3py म चर क क म न py ह xyz तथ 3xyz म चर क क म न xyz ह yz -1

2 yz एव -

3

5 yz म चर क

क म न yz ह आस परक र सम न चर क व ली र नशयो को lsquolsquoसज तीयrsquorsquo चर क व ली र नशय ा कहत ह

सज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न होत ह lsquolsquoसज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

ईनक गण क व ल भ ग ऄलग-ऄलग हो सकत ह

नवज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न न हो ईनह lsquolsquoनवज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

P a g e | 147

दिय कल प 5

ददय गय बीजीय वयजको क सममख स रणी म ददए गए वयजको म स सज तीय चनकर घर लग ए ndash

परशन वली 12

परशन-1 ननमननलनखत वयजको म एक पदीय और नदवपदीय वयजक पहच नकर नलनखए

(i) 3x + 4y (ii) 9+ 3y (iii) 4a ndash 7b

(iv) 5x + 1 (v) a - 30 (vi) 4ab

(vii) abc - 1 (viii) 3xy (ix) ab + bc

(x) a + abc

परशन-2 ननमननलनखत वयजको म स सज तीय वयजक को चननए ndash

5xy7c-4

5119910119911-7bc-

9

4119909119910

2

7119911-2cbc-37pqr

11

131199101199117z9pqr

हमन सीख

1 सखय ओ क सथ न पर परयोग दकय ज न व ल ऄकषर चर र नश कहल त ह आनह बीजीय र नशय ा भी

कहत ह

2 एक सम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को सज तीय पद कहत ह

3 ऄसम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को नवज तीय पद कहत ह

4 चर एव ऄचर ऄथव चर एव चर जब +-x ऄथव divide नचहन स जड़त ह तो ईनह बीजीय वयजक

कहत ह

5 एक पद व ल बीजीय वयजक को एक पदीय वयजक कहत ह

6 दो पद व ल बीजीय वयजको को नदवपदीय वयजक कहत ह

P a g e | 148

ककष म कछ छ तर व छ तर ए अपस म चच म कर रह थ मरी न कह - अज म घर स अ रही थी तो

कपड़ की दक न पर बड़-बड़ ऄकषरो म नलख थ lsquolsquoछट छट छट 10 परनतशतlsquolsquo आसक कय मतलब ह

ऄरण न कह - यदद 100 र क कपड़ खरीद तो ईस पर 10 र की छट नमलगी वह कपड़ 90 र म

नमलग

मरी - यदद 40 र क कपड़ खरीद तो दकतन की छट नमलगी

सलम - 4 र की छट नमलगी ऄथ मत 36 र दन पडग

मरी - परीकष की ऄक सची म भी तो पर पत क क स थ परनतशत ऄक नलख ज त ह

रमश - परनतशत क ईपय ग और कह ा-कह ा होत ह

सलम - चलो नमलकर आसकी सची बन य

सभी छ तर सची बन न म जट गए सोच नवच र कर ईनहोन कछ ईद हरण नलख -

1 परीकष म ऄननल को 93 परनतशत ऄक पर पत हए

2 नपछली व रसषक परीकष म 87 परनतशत छ तर एा एव 76 परनतशत छ तर ईततीणम हए

3 बक जम र नश पर 5 परनतशत व रसषक बय ज दत ह

4 वय प र क कषतर म ल भ तथ ह नन को परनतशत म बत य ज त ह

5 दश क 70 परनतशत लोग ग व म रहत ह

6 ठड क मौसम म नबकन व ल पखो पर 15 परनतशत की छट

चलो हम भी समझ दक परनतशत कय ह और आसकी कय जररत ह

परनतशत की अवशयकत कयो

एक परीकष म ईम को 10 म स 8 ऄक पर पत हए नवनय को 20 ऄक म स 15 ऄक पर पत हए कय

अप बत सकत ह दक दकसको जय द ऄचछ ऄक पर पत हए ह

दोनो क ऄको की तलन करन क नलए दोनो क हर सम न करन होग

ऄथ मत ईम क पर पत क 8

10 =

8times2

10times2 =

16

20 ह

तथ नवनय क पर पत क 15

20 ह

ऄब कयोदक दोनो नभननो क हर सम न ह ऄतः आनकी तलन कर सकत ह

ऄब हम कह सकत ह दक ईम क पर पत क ऄनधक ह ऄथ मत जब भी तलन करनी हो हम दकतन म स

नमल ह ईस बर बर करन होत ह

P a g e | 149

यदद दोनो क पर पत क आस परक र बदल ज एा दक हर 100 हो तो -

ईम क पर पत क 8

10 =

8times10

10times10 =

80

100

चदक 10 म 8 ऄक बर बर ह 100 म 80 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक ईम क पर पत क

80 परनतशत ह

नवनय क पर पत क 15

20=

15times5

20times5 =

75

100

चादक 20 म 15 ऄक बर बर ह 100 म 75 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक नवनय क

पर पत क 75 परनतशत ह

ईम क पर पत क क परनतशत ऄनधक ह

आस परक र उपर ईद हरणो म अपन दख होग दक परनतशत क ऄथम lsquoपरनत सकड lsquo स ह यह अकड़ो

की तलन करन म ईपयोगी ह एक सम न अध र जो हर पररनसथनत म तलन क क म अ सक यह अध र

स म नयतः 100 नलय ज त ह जब पर पत को की तलन 100 क अध र पर की ज ती ह तब ईनक 100 म

स पर पत को को परनत सकड़ कहत ह ऄतः परनतशत म lsquoपरनतrsquo क ऄथम परतयक और lsquoशतrsquo क ऄथम सकड़ स ह

परनतशत क नलए नचनह क परयोग दकय ज त ह

ननमननलनखत त नलक म पर पत को की तलन कर दक दकस ऄनधक ऄक पर पत हए आसक नलए हम

पत करग दक दकसक ऄको क परनतशत ऄनधक ह

सलम क पर पत क क परनतशत सबस ऄनधक ह सोनचए दक यदद हम ऄनय दकसी तरीक स तलन

करन च ह तो कय वह आतन अस न होग

दिय कल प 1

नीच दी गइ त नलक को भररए तथ दखकर बत आए की दकस नवदय लय क परीकष फल जय द

ऄचछ ह आसक नलए भी अप परनतशत ननक लग

P a g e | 150

ईपरोकत दिय कल प स यह सपषट ह दक दो य दो स ऄनधक पररनसथनतयो क बीच तलन परनतशत की

सह यत स बड़ी अस नी स की ज सकती ह

यदद परनतशत 100 क अध र स तलन ह तो कय कभी परनतशत म म न 100 स ऄनधक हो

सकत ह अआए दख

ईद हरण 1

एक ददन सबजी-ब ज र म 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी दसर ददन 750 दकलोगर म

अल की खरीदी की गयी तो बत आय दक अल की खरीदी दकतन परनतशत बढ़ी

चदक पहल ददन 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी

दसर ददन 750 दकलोगर म अल खरीद गय

आस परक र अल की खरीदी म बढ़ोततरी -

= 750 दकगर - 300 दकगर

= 450 दकगर

ऄब 300 दकगर अल की खरीदी म 450 दकगर म बढ़ोततरी हइ ह

there4 1 दक गर म म 450

300 दकगर अल की खरीदी म बढ़ोतरी हइ

ऄतः अल की खरीदी म बढ़ हअ परनतशत

= 450times100

300= 150

कय अप दननक जीवन क ऐस ईद हरण सोच सकत ह जह ा (i) परनतशत 100 स कम (ii) बर बर

और (iii) 100 स ऄनधक ईपयोग म ल य ज त ह

प ाच-प ाच ईद हरण सोच व ऄपन दोसतो को बत ए

P a g e | 151

दिय कल प 2

ननमननलनखत नचतर क दकतन परनतशत भ ग को छ य दकत दकय गय ह तथ छ य दकत भ ग क

नभनन तमक म न कय ह ददए गए ररकत सथ न म नलनखए

जस -

P a g e | 152

नचतर 8

अपन उपर बन नचतरो म परतयक छ य दकत भ ग को परनतशत एव नभनन म बदलकर दख ह

कय परनतशत नभनन क बदल हअ एक रप ह

अआए कछ ईद हरणो को हल करक दख

दिय कल प 3

अपन पवम म सीख ह दक दकसी नभनन क हर यदद 100 हो तो वह नभनन ऄश क परनतशत क

बर बर होत ह ननमननलनखत नभननो को परनतशत म बदनलए

P a g e | 153

दिय कल प 4

नीच कछ परनतशत को नभननो म बदल गय ह शष की परसत कीनजए ndash

नशकषको क नलए (यदद नवदय थी 120783

120784 को परनतशत म बदलन क नलए सीध

120783

120784times 120783120782120782 करत ह तो मल ननयम

समझ त हए ईस वस करन द)

ईपरोकत दिय कल प म अपन दख दक 100 क नभनन रप 1

1 ह

आस परक र 50 क नभनन रप 1

2 ह

ऄतः परनतशत नभनन क ही एक रप ह

ईद हरण 2

एक श ल म 26 जनवरी क ददन कल 200 लडड ल य गय ईनम स 90 लडड छ तरो म ब ाट ददय

गय बच हय लडडओ की सखय जञ त कीनजए

हल परशन नस र

कल लडड तर 200

ब ट गय लडडओ की सखय = 200 क 90

= 200times90

100

ब ाट गए लडड = 180

शष लडड = 200 - 180

= 20 लडड

P a g e | 154

ईद हरण 3

एक ग ाव की जनसखय 10000 ह ईसम 60 मनहल एा 25 परष और शष बचच ह परतयक की

सखय जञ त कीनजए

हल- ग ाव की जनसखय = 10000

चदक 60 मनहल एा ह ऄथ मत 10000 क 60 मनहल एा

there4 मनहल ओ की सखय = 10000times60

100 = 6000

ऄतः मनहल ओ की सखय तर 6000

ऄब चदक 25 परष ह ऄथ मत 10000 क 25

there4 परषो की सखय = 10000times25

100 = 2500

ऄतः परषो की सखय = 2500

बचचो की सखय = 10000 ndash (6000 + 2500)

= 10000 - 8500

= 1500

ईद हरण 4

शय म न एक दक न स 50 रपय की एक पसतक खरीदी दक नद र न ईस 20 परनतशत की छट दी

तो शय म को दकतन रपय दक नद र को दन होग

हल 100 रपय म 20 रपय की छट

there4 1 रपय म 20

100 रपय की छट दत ह

there4 50 रपय म = 50times20

100 = 10 रपय की छट दग

ऄतः शय म को 50 - 10 = 40 रपय दक नद र को दन होग

ईद हरण 5

i 650 रपय क 50 जञ त कीनजए

ii 750 दकगर क 5 जञ त कीनजए

हल

i 650 रपय क 50 = 650times50

100

= 325 रपय

ii 750 दकगर क 5 = 750times5

100 = 375 दकगर

P a g e | 155

ईद हरण 6

धवल को व रसषक परीकष म 500 म स 450 ऄक नमल तथ यश को 900 म स 675 नमल दोनो म

स दकसक परीकष फल ऄचछ ह

परशन नस र ndash

ईपरोकत हल स सपषट ह दक धवल क परीकष फल यश स बहतर ह

परशनो को नयी नवनध य ऄनय नवनध स भी हल करन क परय स कर ऄपनी नवनध पर ऄपन स नथयो

व नशकषक महोदय स चच म कर

परशन वली 13

1 ननमननलनखत को परनतशत म बदनलए

(i) 3

2 (ii)

5

2 (iii)

1

5 (iv)

3

20

2 ननमननलनखत परनतशतो म परतयक को नभनन म वयकत कीनजए

(i) 50 (ii) 15 (iii) 2 (iv) 10

3 360 र क 60 जञ त कीनजए

4 480 दकलोगर म क 15दकतन होग

5 सीत को 500 म स 250 ऄक पर पत हए ईसक पर पत क क परनतशत जञ त कीनजए

6 र म को 10 र की गनणत की पसतक म 10 छट नमलती ह तो वह पसतक ईस दकतन म नमलगी

7 एक श ल म 15 ऄगसत क ददन कल 300 टॉदफय ा ल यी गयी ईनम स 99 टॉदफय ा छ तरो म

ब ाटी गयी बची हइ ट ादफयो की सखय जञ त कीनजए

8 यदद रप को व रसषक परीकष म 600 म स 390 ऄक पर पत होत ह तो ईस दकतन परनतशत ऄक पर पत

हए

9 यदद दकसी रबर को खीचकर दगन लमब कर ददय ज त ह तो लमब इ म वनदध परनतशत जञ त

कीनजए

10 दकसी शहर की कल जनसखय क 40 परष 35 मनहल एा और शष बचच ह यदद बचचो की सखय

18000 हो तो परषो और मनहल ओ की सखय जञ त कीनजए

11 दकसी ग ाव की जनसखय 3000 ह पहल वषम 10 बढ़ती ह एक वषम ब द ईसम 10 की कमी

अती ह तो जनसखय म होन व ली परनतशत बढ़ोतरी य कमी जञ त कीनजए

P a g e | 156

12 एक वयनकत 630 रपय क स म न खरीदत ह दक नद र न ईसस कवल 567 रपय नलए हो तो ईस

वयनकत को दकतन परनतशत की छट नमली

13 दकसी सखय क 75 600 रपय ह तो वह सखय जञ त कीनजए

14 बक म एक वयनकत न 5000 रपय जम कर य कछ वषो क ब द ईस 6000 रपय नमल तो ईसक

धन म दकतन परनतशत की वनदध हइ

15 दकसी ककष की दजम सखय 40 ह आनम 36 लड़क ईततीणम हो गय हो तो ईततीणम एव ऄनततीणम क

परनतशत जञ त कीनजए

16 दकसी ग व म 90 वयनकत स कषर ह यदद ईस ग व की जनसखय 1600 ह तो स कषर एव ननरकषर

की सखय जञ त कीनजए

हमन सीख

1 परनतशत क ऄथम lsquolsquoपरनत सकड़ rsquorsquo स ह

2 परनतशत की सह यत स तलन कर सकत ह

3 परनतशत को नभनन दशमलव तथ ऄनप त म वयकत कर सकत ह एव नभनन दशमलव तथ ऄनप त

को भी परनतशत म वयकत कर सकत ह

P a g e | 157

अप दो सखय ओ की तलन करन क नलए कहत ह दक एक सखय दसरी सखय स बड़ी ह छोटी ह य

सम न ह

दिय कल प 1

नीच तलन पर अध ररत कछ कथन ददए गए ह जो ऄपणम ह ख ली बॉकसो म = gt य lt क नचहन

क ईपयोग कर कथनो को पणम कीनजए -

जस 1 3 + 5 7 2 8 + 7 15

3 4 + 6 11 4 13 + 8 18

5 23 + 7 30

अपन दकस तरह आन नचहनो क ईपयोग दकय ह ऄपन तको क ब र म सोच

यह ा पर दो पकष ददए गए ह ब कस क ब ाय तरफ ब ाय पकष तथ द य तरफ द य ा पकष ह कथनो म 3

+ 5 ब य ा पकष ह चदक यह द य ा पकष 7 स बड़ ह ऄतः 3 + 5 gt 7

नजन कथनो म = नचहन क ईपयोग दकय गय ह ईनह छ ाटकर ऄपनी कॉपी म नलनखए

नजन कथनो को अपन कॉपी म नलख ह ईनह छोड़ ब की ऄसम नत क कथन ह अआए कछ और

कथनो को दख नजनम चर को क ईपयोग दकय गय ह

जस x + 5 = 13 म यदद x = 5 हो तो x क सथ न पर 5 रखन पर ब य ा पकष = 5 + 5 = 10 होत ह

द य ा पकष = 13 ह ऄतः यह कथन सही नही ह ब य ा पकष sup1 द य ा पकष परनत x क सथ न पर 8 रखन पर

दोनो पकष बर बर हो ज त ह और यह कथन सही हो ज त ह

दिय कल प 2

नीच कछ कथन ददए गए ह ईनक स मन ग क म न ददय गय ह ग क ददए गए म न क नलए

कथन सतय ह य ऄसतय बॉकस म नलनखए -

1 x + 3 = 8 यदद x = 5 तो कथन ह

2 x - 2 = 4 यदद x = 7 तो कथन ह

3 x + 2 = 10 यदद x = 8 तो कथन ह

4 7 = 12 - x यदद x = 3 तो कथन ह

5 3 = x - 9 यदद x = 5 तो कथन ह

जो कथन ऄसतय ह कय व ग क दकसी म न क नलए सतय होग यदद ह ा तो परतयक क नलए ग क म न को

ऄपनी कॉपी म नलनखए आस परक र ईपरोकत कथन तभी सतय होग जब दोनो पकष अपस म बर बर होग

ऐस कथन नजनम चर क श नमल हो और दोनो पकष बर बर हो समीकरण कहल त ह ऄथ मत सम नत व ल

gt

सतय

P a g e | 158

व कथन नजनम एक य एक स ऄनधक बीजीय ऄक होत ह rsquorsquoसमीकरणlsquolsquo कहल त ह आसम बर बर क ब यी

ओर क समसत चर और ऄचर पदो को समीकरण क rsquorsquoब य ा पकषlsquolsquo और द य ओर क समसत पदो को

समीकरण क rsquorsquoद य ा पकषlsquolsquo कहत ह

समीकरण कयो

एक ददन नरश न ऄपन स नथयो स एक सव ल पछ दो टोकररयो म ऄमरद रख हए ह दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद ह यदद पहली टोकरी म 8 और ऄमरद रख ददय ज ए तो दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क बर बर ऄमरद हो ज त ह कय अप लोग दोनो टोकररयो म ऄमरदो की सखय

बत सकत हो

नरश क सभी स थी हल सोचन लग परनत ईनह कछ सझ नही रह थ तभी ऄन न बत य दक

पहली टोकरी म 8 तथ दसरी टोकरी म 16 ऄमरद ह नरश न कह दक ईततर तो ठीक ह परनत तमन आस

कस हल दकय

ऄन न बत य - lsquolsquoमन पढ़ ह दक दकसी सखय म यदद ईसी सखय को जोड़ ददय ज ए तो ईस सखय

क दो गण पर पत हो ज त ह चादक पहली टोकरी म रख ऄमरदो म 8 ऄमरद और जोड़न पर ऄमरदो की

सखय दो गणी हो ज ती ह तो वह सखय 16 ही होगी कयोदक 8 म 8 जोड़न पर 16 होत हlsquolsquo

नरश न बत य दक आस एक और तरीक स हल कर सकत ह -

ऄमरद (पहली टोकरी म) + 8 = पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद (दसरी टोकरी म)

8 म 8 जोड़न पर ही दो गण हो सकत ह ऄतः पहली टोकरी म 8 ऄमरद ह एव दसरी टोकरी म

16 ऄमरद ह

तभी फरीद न कह lsquolsquoहमन चर र नश व ल प ठ म पढ़ ह दक जब दकसी सखय क म न म लम

नही ह तो ईस हम कोइ भी चर क म न सकत हrsquorsquo

म न दक पहली टोकरी म x ऄमरद ह

तो दसरी टोकरी म 2 x ऄमरद ह ग

ऄब पहली टोकरी म 8 ऄमरद और नमल न पर ईसम x + 8 ऄमरद हो गए और यह दसरी

टोकरी क ऄमरद क बर बर ह

ऄथ मत x + 8 = 2x

नरश न कह lsquolsquoऄर व ह यह तो एक समीकरण बन गय और यह ा x क म न 8 रखन पर यह कथन

सतय हो ज त ह आसक मतलब यही हअ दक ऄजञ त म न व ल सव ल को समीकरण की सह यत स बड़ी

अस नी स हल दकय ज सकत हlsquolsquo

अपन भी दख दक ऄजञ त र नशयो क म न ननक लन क नलए समीकरण दकस परक र ईपयोगी ह

अआए ऄब हम समीकरण कस बन य ज त ह दख

दसरी टोकरी म

ऄमरद पहली टोकरी

क 2 गण ऄमरद

पहली टोकरी म

ऄमरद

P a g e | 159

समीकरण कस बन ए

एक खल खलत ह अप सब ऄपन मन म ऄपनी-ऄपनी ईमर सोनचए आसम 5 जोड़ दीनजए योगफल

को 2 स गण कर ईसम 10 घट आए जो ऄनतर अय ईसम ऄपनी ईमर को घट दीनजए अपक ईततर ही

अपकी ईमर ह

नरश क हल नशकषक क ननदश ऄन क हल

12 वषम ऄपनी ईमर सोच 11 वषम

12 + 5 = 17 वषम 5 जोनड़य 11 + 5 = 16 वषम

17 times 2 = 34 वषम 2 स गण कीनजए 2 times 16 = 32 वषम

34 - 10 = 24 वषम 10 घट आए 32 - 10 = 22 वषम

24 - 12 = 12 वषम ईमर को घट आए 22 - 11 = 11 वषम

आसी परक र सभी न प य दक ईनहोन जो ऄपनी ईमर सोची थी वही ईततर क रप म अ रही ह यह

कस हअ अआए आस समझ -

म न दक सोची गइ ईमर x वषम ह

ईमर म 5 जोड़ = x + 5

योगफल को 2 स गण दकय 2(x + 5) = 2x + 10

10 घट य 2x + 10 - 10 = 2 x

सोची गयी ईमर को घट य 2 x - x = x

अप वही हल पर पत कर रह ह जो ईमर अपन सोची थी

आस हल को दखत ही र ज न कह lsquolsquoऄब म भी समीकरण बन न क परशन पछ सकत हा दकसी सखय

म 2 क गण कर 5 घट न स 3 अत ह तो समीकरण कय होगी ऄन न ततक ल समीकरण बन य -

rsquorsquoम न दक सखय ग ह 2 क गण करन पर अय 2x आसम 5 घट न पर नमल 2x - 5 जो 3 क बर बर ह

ऄथ मत समीकरण होग -

2x - 5 = 3

ऄन न कह lsquolsquoऄब म तमह एक समीकरण द रही हा तम आस शबद रप म कस बदलोग

समीकरण 7 y - 5 = 9

हमीद न तरत सोच दकसी सखय म 7 क गण करक 5 घट न पर 9 क बर बर ह

ऄब सभी नवदय थी समीकरण बन न और समीकरण को शबद रप म बदलन म ददलचसपी ददख न लग

परशन वली 141

परशन 1 ननमननलनखत म स समीकरण छ टकर नलनखए -

i x - 4 = 10 (vi) 7 = 2x - 5 (x) ly +lx = px

ii x - 4 - 10 (vii) 3x ndash 2x =2x

iii 2y - 3 + 9 (viii) 5

119909= 3

iv 5 (2y ndash 3) = 15

(v) 3 x + 4 (ix) 45 +32z + z

P a g e | 160

परशन 2 ननमननलनखत समीकरणो क ब य ा एव द य ा पकष बत आए -

i x - 5 = 9

ii 2 x - 3 = 7

iii 2y = 9 - y

iv 2y = 6

v 15 = 2a + 5

परशन 3 ननमननलनखत कथन म ऄजञ त सखय y क परयोग करक समीकरण म बदनलए -

i दकसी सखय क दगन म स 3 कम करन पर 17 अत ह

ii दकसी सखय क छठ भ ग 7 ह

iii दकसी सखय एव 5 क ऄनतर 8 ह

iv दकसी सखय म 7 क गण कर 5 घट न स 9 बचत ह

परशन 4 समीकरणो को कथन क रप म नलनखए

i x - 6 = 9

ii 7y - 14 = 0

iii 2119909

3 = 6

iv 119909

2+ 5 = 10

v 38 - 2 x = 4

समीकरण हल करन

अपन दिय कल प 2 म यह दख दक परतयक कथन x क कवल एक म न क नलए ही सतय ह जस-

x + 2 = 4 म यदद x = 7हो तब कथन ऄसतय ह कय दक x क म न 7 रखन पर ब य ा पकष द य

पकष क बर बर नही होत यह x = 2 रखन पर ही सतय होत ह ऄथ मत आस परक र क परतयक समीकरण क

कवल एक ही हल ह

दिय कल प 3

नीच दी गइ स रणी म ग क चर क व ल समीकरण ददए गए ह x क ऄलग-ऄलग म न क नलए आस

समीकरण क दोन पकष सम न ह य ऄसम न ईद हरण क ऄनस र भररए ndash

P a g e | 161

x क नजस म न क नलए समीकरण क दोनो पकष बर बर ह वही समीकरण क हल ह आस नवनध को

तररट एव परय स नवनध कह ज त ह

अआए तर ज क म धयम स समीकरण क कछ गणो को नचनतरत करक दख

नचतर 2 क समीकरण x - 2 = 3 म ब य ा पकष x - 2 ह तथ द य ा पकष 3 ह यह तर ज सतलन की

ऄवसथ म ह ऄब यदद हम तर ज क ब एा पलड म कछ भ र रख तो सतलन ल न क नलए द एा पकष म भी

ईतन ही भ र रखन पड़ग ईसी परक र यदद द एा पकष स कछ भ र ननक ल ल तो सतलन क नलए ब एा पकष

स भी ईतन ही भ र ननक लन पड़ग ऄथ मत यदद दकसी समीकरण क एक पकष म कोइ सदिय की ज ए तो

दसर पकष म भी वही सदिय करनी होगी तभी समीकरण क दोनो पकष बर बर रहग

यह जञ त ह दक ( - 2 ) + ( 2 ) = 0 होत ह ईपरोकत समीकरण म ब एा पकष म यदद 2 जोड़ ददय

ज ए तो x बचग चदक ब एा पकष म दो जड़ रह ह तो समीकरण को सतलन म रखन क नलए द एा पकष म

भी 2 जोड़न पड़ग

ऄथ मत - x - 2 = 3

X - 2 + 2 = 3 + 2

X + [(- 2) + (2)] = 5

x = 5

आसी परक र यदद 7 x = 21 हो

7 म 7 क भ ग ददय ज ए तो 1 पर पत होत ह यदद 7 x म 7 क भ ग द तो x पर पत होग चदक

ब एा पकष म 7 क भ ग ददय ज रह ह तो द एा पकष म भी 7 क भ ग दन पड़ग

ऄथ मत - 7x = 21

7119909

7=

21

7

x = 3

ईद हरणो म अपन सीख दक दकसी समीकरण क दोनो पकषो म यदद कोइ नसथर क जोड़ ददय ज ए

य दकसी नसथर क को घट ददय ज ए ऄथव दकसी नसथर क स गण दकय ज य य भ ग ददय ज ए तो

समीकरण क सतलन म कोइ पररवतमन नही होत

P a g e | 162

दिय कल प 4

नीच दी गयी स रणी म समीकरणो क दोनो पकषो म कय जोड़ घट य गण कर य भ ग द दक चर

क म न पर पत हो ज ए ददए गए ईद हरण क ऄनस र ररकत ख नो को भररए ndash

ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x + 3 = 10

ii 6 = y + 4

iii s + 6 = 15

iv 7 + t = 25

दिय कल प 5

अपन सरल समीकरण (नजसम सदिय एक ही ब र करनी पड़ रही ह) को हल करन सीख नलय

ह अआए ऄब कछ ऐस समीकरण हल कर नजसम दो सदिय करनी पड़ रही ह

P a g e | 163

P a g e | 164

ऄभय स 1

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

(i) 3x + 8 = 20 (ii) 4x + 10 = 30

(iii) 5x - 7 = 8 (iv) 6x - 7 = 11

(v) 3x + 21

7 = 0 (vi) 29 = 7x + 1

(vii) 60 ndash 8x = - 4 (viii) 19x + 7 = 45

समीकरण बन न एव हल करन तो अप भली भ ानत सीख चक ह कछ सखय ओ स समबननधत

समसय ओ को समीकरण क दव र हल कर

ईद हरण 1 दकसी सखय म 5 की वनदध की ज ए तो सखय 20 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल

म न दक वह सखय x ह तो सखय म 5 जोड़न पर = x + 5

समसय ऄनस र

ऄब x + 5 = 20

दोनो पकषो म 5 घट न पर

X + 5 - 5 = 20 - 5

x = 15

सतय पन -

ब य ा पकष = x + 5

= 15 + 5 (x क म न रखन पर)

= 20

= द य ा पकष

ईद हरण 2 दकसी सखय म 6 की कमी करन पर वह सखय 10 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र सखय म 6 की कमी करन पर सखय x - 6 हो ज ती ह जो 10 क बर बर ह

ऄथ मत x - 6 = 10

दोनो पकषो म 6 जोड़न पर x - 6 + 6 = 10 + 6 (यह ा - 6 + 6 = 0 और 10 + 6 = 16)

x = 16

सतय पन - ब य ा पकष = x - 6 = 16 - 6 (x क म न रखन पर)

= 10

= द य ा पकष

ईद हरण 3 दकसी सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र ईस सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह

P a g e | 165

पहल चरण सखय क दो गण = 2 x

दसर चरण 2x म 7 जोड़न पर 2x + 7

तीसर चरण कथन नस र 2 x + 7 = 37

2 x + 7 - 7 = 37 - 7 (दोनो पकषो म 7 घट न पर)

2119909

2 =

30

2

(दोनो पकषो म 2 क भ ग दन पर)

x = 15

सतय पन

ब य ा पकष = 2 x + 7 = 2 times 15 + 7 (x क म न रखन पर)

= 30 + 7

= 37

= द य ा पकष

ईद हरण 4 दकसी सखय क एक नतह इ करन पर वह सखय 11 हो ज ती ह वह सखय जञ त कीनजए

हलः म न दक वह सखय x ह

परशन नस र

आस सखय क एक नतह इ ऄथ मत बर बर ह 11 क

ऄथ मत 119909

3= 11

x क म न ननक लन क नलए समीकरण क ब य पकष क हर स 3 को हट न होग

आसनलए दोनो पकषो म 3 क गण करन पर

119909

3times 3 = 11 times 3

x = 33

सतय पन 33 क एक नतह इ = 33

3= 11

ईद हरण 5 म लती एव ईसक नपत की अय क योग 49 वषम ह यदद म लती की अय 12 वषम हो तो

ईसक नपत की अय जञ त कीनजए

हल म न दक म लती क नपत की अय x वषम ह

परशन नसर म लती की अय 12 वषम ह

दोनो की अय क योग = x + 12

चदक दोनो की अय क योग 49 वषम ह

ऄतः x + 12 = 49

x + 12 - 12 = 49 - 12 (दोनो पकषो म 12 घट न पर)

x + 0 = 37

x = 37

नपत की अय 37 वषम ह

P a g e | 166

सतय पन - नपत की अय एव म लती की अय क योग

= 37 + 12

= 49 वषम

ईद हरण 6 नशव गी क परस म कवल 50 पस क नसकक ह यदद पसम म 25 र हो तो नसकको की सखय जञ त

कीनजए-

हल म न लो दक नसकको की सखय ग ह

परतयक नसकक क मलय = 50 पस 1

2= रपय

x नसकको क मलय = 1

2119909 रपय

ऄतः परशन नस र 1

2 119909 = 25

1

2 119909 x 2 = 25 x 2 (दोनो पकषो म 2 क गण करन पर)

x = 50

ऄतः नशव गी क पसम म 50 पस क 50 नसकक ह

ज ाच 50 नसकको क मलय = 50 x 50

= 2500 पस

= 2500 र

परशन वली 142

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x - 3 = - 4

ii z - 8 = 0

iii 3y = 9

iv 16 = 3y + 7

v 5+ 119909

3 = 7

vi 9z - 7 = 14

2 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए एव ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए -

i 3 (2 + x ) = 12

ii 10 - z = 6

iii 119909

5= 15

iv 7 ndash 4y = 3

3 दकसी सखय क दोगन 10 ह सखय कय होगी

4 दकसी सखय क दगन म 35 जोड़ ज ए तब 85 पर पत होत ह वह सखय कय होगी

5 25 पस क दकतन नसकक 10 र क बर बर होग

P a g e | 167

6 दकसी सखय क अध म स यदद 4 घट य तब 6 पर पत होत ह सखय कय होगी

7 ईम क प स कछ मीटर कपड़ ह ईसम स 2-2 मीटर कपड़ क वह 4 पद बन दती ह ईसक ब द भी

ईसक प स 5 मीटर कपड़ बच रहत ह तब पर रभ म ईसक प स दकतन मीटर कपड़ थ

हमन सीख

दकसी भी समसय को समीकरण क दव र हल करन क नलए ननमननलनखत ब तो पर नवशष धय न

ददय ज न च नहए -

1 समसय को ऄचछी तरह पदढ़ए एव ननध मररत कीनजए दक कौन-कौन सी जञ त र नश एव कौन-कौन

सी ऄजञ त र नश ह

2 ऄजञ त र नश को x y z आतय दद स वयकत कीनजए

3 समसय को एक-एक शबद क ऄनस र जह ा तक सभव हो गनणतीय कथन म पररवरसतत कीनजए

4 व र नशय ा ननध मररत कीनजए जो बर बर हो और ईनस एक ईनचत समीकरण बन आए

5 समीकरण को ऄजञ त र नश क नलए हल कीनजए

6 यह ज ाच कीनजए दक अपक ईततर समसय म दी हइ शतो को सतषट करत ह ऄथव नही

P a g e | 168

सकल क ईपयोग

अप जब कपड़ खरीदन ब ज र ज त ह तो दक नद र ऄकसर एक लोह की छड़ स न प कर कपड़

दत ह अपन भी लमब इ न पन क नलए कइ ब र ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल क ईपयोग दकय ह

ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल को दनखए तथ नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए-

सकल म म पन क नलए दो परक र क पम न होत ह पत कर दक दोनो पम नो की आक इ दकतन-

दकतन छोट खणडो म बटी ह सबस छोट खणड की म प कय ह

सकल क ईपयोग अप समय-समय पर करत रहत ह कय ऄपनी कॉपी पर ऐस तीन रख खणड

खीच सकत ह नजनकी लमब इ िमशः 35 समी 42 समी और 89 समी हो

और भी ऐस नवनभनन म पो क रख खणड खीच

सकल क ईपयोग अप जीवन म कह ा-कह ा करत ह सची बन ए

वतत बन न

वतत बन न क नलए अपन परक र क ईपयोग तो दकय ही होग अप यह भी ज नत ह दक वतत

कय होत ह कौन-सी अकनतय वतत क र ह चनलए अस-प स की वतत क र चीजो की सची बन ल यह

सची अपन पहल भी बन इ होगी आस ब र और लमबी सची बन ए

परक र क ब र म ज नन

(1) एक परक र की दकतनी भज एा होती ह

(2) कय यह भज एा सम न लमब इ की ह

(3) नोकव ली भज क कय ईपयोग ह कय नोक नतरछी होनी च नहए

(4) वतत बन त समय यदद नोक व ली भज ऄपन सथ न स नखसक ज ए

तो कय वतत ठीक बनग

अप परक र की बन वट एव ईपयोग करन क तरीक समझत ह ऄपनी

कॉपी पर 32 समी 47 समी और 51 समी नतरजय क वतत बन ए कछ

और भी वतत ऄपन मन स सोच कर बन ए

जय नमतीय बॉकस क ऄनय ईपकरण

रख खणड क ऄधय य म अपन नडव आडर क ईपयोग भी दकय ह कय अप

बत सकत ह दक परक र और नडव आडर क ईपयोग कय -कय ह

आस परक र अपक जय नमनत बॉकस म एक च ाद भी रख हअ ह आस धय न स

दनखए और ददए गए

P a g e | 169

परशनो क ईततर दीनजए -

(1) च ाद की अकनत कसी ह

(2) च ाद क ऄदधमवतत क रनम भ ग कल दकतन खणडो म बाट ह

(3) कय अप ऄपनी कॉपी पर 47 95 तथ 170 क कोण बन सकत ह

ऄपन जय नमनत बॉकस म रख सकल परक र नडव आडर और च ाद स तो पररनचत हो ही चक ह

कय अपक जय नमनत बॉकस म और कोइ ईपकरण भी ह

जो दो नतरभज कर ईपकरण बच ह ईनह ननक ल कर ऄपनी कॉपी पर रनखए एव परतयक स सट कर

पननसल को आस परक र चल आए दक ईपकरणो की ब हरी अकनत कॉपी पर ईभर अए

दोनो ईपकरणो क परतयक कोण को म नपय

ऄब तो अप समझ ही चक ह दक परतयक नतरभज क र ईपकरण क एक कोण 90ह ह तथ ब की

दोनो कोण एक म 45-45 क ह एव दसर म 30 एव 60 क ह

आन दोनो ईपकरणो को सट सव यर (गननय ) कह ज त ह

अप सट सव यर की सह यत स दकसी रख पर 90ह क कोण बन आए एव च ाद की सह यत स

कोण को म पकर ज ाच कीनजए

यदद सट सव यर स बन य गए कोण क म प ठीक 90ह क नही ह तो दकतन ऄलग ह आस ऄतर

क क रण सोनचए

सट सव यर की सह यत स रचन एा करन

दकसी दी हइ रख खणड पर ऐस नबनद स लमब खीचन जो रख पर नसथत नही हः

PQ कोइ रख खणड ह तथ M आस रख खणड क ब हर कोइ नबनद ह

रचन क पद

1 सकल क आस परक र रनखए दक ईसक एक दकन र PQ ऄनददश रह(नचतर-2)

2 सकल स सट कर सटसव यर की एक लमबवत भज को रनखए धय न रह दक सकल नहल न प य

दसरी भज सकल क लमबवत ह

3 सकल को कसकर दब ए रनहए तथ सटसव यर को सकल स रगड़त हए आस परक र चल आए दक

सटसव यर की दसरी लमबवत भज ददए गए नबनद M को छन लग (नचतर-4)

4 नबनद M को छ रही सटसव यर की भज क ऄनददश रख खणड खीनचए

5 यह ML रख खणड PQ पर लमब होगी

P a g e | 170

सट सव यर और सकल की सह यत स सम नतर रख ए खीचन

अपन यह पढ़ ह दक दो सम नतर रख ओ क बीच की लमबवत दरी हमश सम न होती ह अपन

सट सव यर स दकसी सरल रख पर लमब खीचन सीख नलय ह कय अप सट सव यर और सकल की

सह यत स ऄपनी कॉपी पर दी गइ सरल रख क सम नतर कोइ सरल रख खीच सकत ह परय स करक

दनखए अपन दकस तरीक स सम नतर रख खीची ह वह भी नलनखए

दकसी रख क ब हर नसथत नबनद स आस रख क सम नतर दसरी रख खीचन

रचन क पद -

AB रख क ब हर कोइ नबनद P ह नबनद P स AB क सम नतर एक रख खीचनी ह

1 AB रख क ऄनददश सट सव यर की लमबवत भज ओ म स एक भज को रनखए

2 सटसव यर नहलन न प य ऄब सट सव यर की दसर लमबवत भज क ऄनददश सट कर सकल को

रनखए (नचतर 4)

3 सकल को आस तरह स दब ए रनहए दक वह नहल न प ए

4 सकल स रगड़त हए सटसव यर को ददय गए नबनद की ओर तब तक ल ज आए जब तक दक सटसव यर

की भज नबनद P को छन न लग (धय न रह सकल सरकन न प य)

5 ऄत म सटसव यर को ईसी नबनद पर नसथर रखकर P स होकर सटसव यर की भज क ऄनददश एक

सरल रख खीच यह PS सरल रख AB क सम नतर होगी च ह तो ऄलग-ऄलग जगह पर AB

और PS क बीच की दरी को म प कर ज ाच ल

दकसी रख क सम नतर रख खीचन क ऄथम यह ह दक ईस रख पर एक लमब रख खीचन

तथ लमब रख पर दफर स एक लमब खीचन जस नचतर म दश मय गय ह AB रख पर RQ लमब ह RQ

पर RS दफर स एक लमब ह ऄब AB तथ RS सम नतर ह

P a g e | 171

दकसी दी गइ रख स नननित दरी पर दसरी सम नतर रख खीचन

म न लीनजए AB रख स 6 समी दर एक सम नतर रख खीचन ह

रचन क पद (1) AB रख खीनचए

(2) सटसव यर और सकल क परयोग कर AB पर एक लमब

खीनचए (नचतर 7)

(3) PQ पर कोइ नबनद R आस परक र लीनजए दक Q स R

की दरी 6 समी हो

(4) सटसव यर की सह यत स R पर लमब RS

खीनचए RS ही AB क सम नतर होगी तथ AB स

6 समी की दरी पर होगी

ऄभय स 1

1 3 समी क रख खणड खीचकर ईसस ननमननलनखत दरी पर सम नतर रख खीनचए

(i) 15 समी (ii) 20 समी (iii) 22 समी (vi) 31 समी

परक र और सकल की सह यत स रख खणड क समनदवभ जक खीचन

अआए एक दिय कल प कर -

दिय कल प 1

दकसी म प क एक रख खणड AB खीनचए A नबनद पर परक र रखकर B तक फल आए और A को

कनर म नकर एक वतत खीनचए ऄब आसी न प क एक वतत B को कनर म नकर खीनचए दोनो वतत नजन

नबनदओ पर कटत ह ईनह नचहन दकत कर एव न म दीनजए

ऄब परक र क फल व को कछ कम करक पनः A नबनद पर रखकर

एक वतत तथ B नबनद पर रखकर ईसी न प क दसर वतत खीनचए य दोनो

वतत उपर नीच नजन नबनदओ पर एक दसर को क टत ह ईन नबनदओ को पनः

नचहन दकत कर R एव S न म दीनजए

P a g e | 172

आसी परक र परक र क फल व को कम करत ज आए तथ A एव B नबनदओ स वतत बन त ज आए तथ

सम न न प क वततो क कट न नबनदओ को नचहन दकत करत ज आए नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए -

1 अप वततो को िमशः छोट करत ज रह ह कय दो सम न न प क वतत जो नबनद A एव नबनद B स

खीच ज रह ह हमश एक दसर को क टग यदद नही तो दकस न प तक A और B नबनदओ स खीच

गए वतत एक दसर को क टग

2 अपन जो PQRSTU आतय दद नबनद पर पत की ह कय व सभी समरख ह कय अप

बत सकत ह दक ऐस कयो ह

3 रख AB को रख PQ दकस ऄनप त म क टती ह

4 रख AB रख PQ क स थ दकतन ऄश क कोण बन ती ह

ईपरोकत दिय कल प को हल करत समय अपन प य होग दक जस ही A और B नबनदओ स खीच

गए सम न अक र क वतत की नतरजय रख खणड की लमब इ क अध स कम हो ज ती ह तो व एक दसर को

नही क टत PQRSTU आतय दद सभी नबनद समरख ह एव PQ रख AB रख को समनदवभ नजत

करती ह तथ आन दोनो रख खणड क मधय 90deg क कोण बनत ह

आस परक र अप कह सकत ह दक दकसी दी गइ म प की रख खणड क यदद लमब समनदवभ जक

खीचन ह तो परक र को रख की लमब इ क अध स जय द फल आए तथ रख खणड क पर रनमभक एव

ऄनतम नबनदओ पर परक र रख वतत य वतत खणड बन आए ऄब दोनो वतत य वतत खणडो की जो कट न

नबनदए ह गी ईनह नमल न पर रख क लमब समनदवभ जक पर पत होग

दिय कल प 2

1 ऄपनी कॉपी म A एव B को दो नबनद लीनजए और ईनह नमल आय A B

2 नबनद A पर परक र की नोक रखकर AB रख खणड क अध स ऄनधक म प लकर रख AB क दोनो

ओर म प (वततखणड) बन आय

3 परक र की नोक को ऄब B नबनद पर रखकर ईसी न प स पनः AB क दोनो ओर च प बन आय जो

पवम म बन ए गए च प को क टत ह आनह P एव Q क न म दीनजए

4 ऄब PQ को नमल आए

5 रख खणड PQ AB को नजस नबनद पर क टत ह ईस O क न म दीनजए ऄब AO एव OB क

म प कर दनखए कय AO = OB

6 POB को म नपए कय POB=900आस परक र पर पत रख PQ रख

AB क लमब समनदवभ जक होग

P a g e | 173

परक र की सह यत स ऄलग-ऄलग न प क कोण बन न

दिय कल प 3

1 दकसी भी नतरजय क एक वतत खीचकर ईसक कनर को नचनहनत कीनजए

2 वतत पर कोइ नबनद A लीनजए A पर परक र को रखकर नजस नतरजय क

अपन वतत बन य ह ईसी नतरजय क एक च प वतत पर क रटए

3 नजस नबनद पर च प कट ह ईस नबनद पर परक र को रखकर ईसी नतरजय

क च प पनः क रटए

4 वतत पर च प क टन की आस परदिय को दोहर आए

नीच ददए परशनो क ईततर ढदढए

1 वतत को ईसकी नतरजय क न प व ल दकतन च पो म ब ाट सकत ह

2 कनर स सभी च पो क कट न नबनद को नमल आए दो िम गत कट न नबनदओ दव र कनर क स थ जो

कोण बन य ज रह ह ईनक म प कय ह

3 कय सभी कोण सम न म प क ह

4 यदद सभी कोण सम न म प क ह तो एक कोण क म प कय होग

ईपरोकत दिय कल प क परशनो क ईततर ढढ़त हए अपन प य दक दकसी वतत पर ईसकी नतरजय क

बर बर म प व ल छः च प कट सकत ह िम गत कट न नबनदओ दव र बन य गय परतयक कोण 600 क ह

कय ऄब अप सकल और परक र की सह यत स 600 कोण बन सकत ह

अआए सकल और परक र की सह यत स 600 क कोण बन य-

1 एक रख खणड खीनचए तथ आसक नबनद O पर एक ऐस ऄदधमवतत बन आए जो OA को D पर क टत

ह (नचतर 11)

P a g e | 174

2 D पर परक र को रखकर नजस नतरजय क ऄपन ऄदधमवतत खीच

ह ईसी नतरजय क च प ऄदधमवतत पर कट न बबद M पर पत कीनजए

(नचतर 12)

3 OM को नमल त हए B तक बढ़ आए (नचतर 13)

4 AOB = 600 होग

अपन पहल भी वतत को ईसकी नतरजय क बर बर सम न छः भ गो म ब ाट ह तथ यह भी दख ह

दक परतयक भ ग कनर स 600 क कोण बन त ह उपर अपन एक ब र च प क टकर 600 क कोण पर पत

दकय ह आसी च प को लकर यदद अप एक ब र M नबनद स अग पनः च प क टग तो अपको 1200 क

कोण नमलग तथ तीन ब र क टन पर 180

ऄभय स 2

1 परक र और सकल की सह यत स 1200 क कोण बन आए

कोण क समनदवभ जक खीचन

रचन क पद

1 ABC क नबनद B को कनर म नकर एक च प आस परक र क रटए दक वह AB को D नबनद पर तथ

BC को E नबनद पर क ट (धय न रह दक च प न ही बहत छोटी हो और न ही बहत बड़ी)

2 D को कनर म नकर एक च प बन आए पनः ईसी नतरजय क च प E स आस परक र बन आए दक दोनो

च प एक दसर को R पर क ट (नचतर 16)

3 B को R स नमल त हए अग बढ़ आए

4 रख BR ही ABC क समनदवभ जक ह

ऄभय स 3

1 520 क कोण बन कर ईसक समनदवभ जक खीनचए

2 1700 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए

3 600 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए और न प कर बत आय दक यह कोण

दकतन ऄश क ह

P a g e | 175

ददए गए कोण क बर बर कोण की रचन करन

म न लीनजए AOB ददय हअ ह AOB क बर बर एक दसरी कोण की रचन करनी ह

रचन क पद -

1 QP रख खीनचए Q नबनद पर AOB क बर बर कोण बन न ह

2 परक र को थोड़ स फल कर व O नबनद पर रनखए तथ आस परक र क एक च प क रटय जो OA

और OB दोनो भज ओ को िमशः R एव S पर क टत ह(नचतर 17)

3 आसी न प क च प Q नबनद पर परक र रखकर भी क रटए जो PQ को T पर क टत ह

4 परक र को R पर रखकर S तक फल आए एव ईसी म प क च प T पर रखकर TU क रटए और U

पर पत कीनजए (नचतर 18)

5 QV को नमल त हए R तक अग बढ़ आए

PQV = AOB

ऄभय स 4

1 च ाद की सह यत स 550 क एक कोण बन आए तथ आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

2 च ाद की सह यत स 1200 क कोण बन कर आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

रख खड क ब हर दकसी नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 एक रख AB खीनचए और आसक ब हर नबनद P लीनजए

2 P को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय क एक च प क रटए जो AB को D और E पर क ट (नचतर

20)

3 D और E को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय स दो च प क रटए जो एक दसर को R पर क ट

(नचतर 21) PR को नमल कर बढ़ आए

आस परक र PR AB

P a g e | 176

4 PRAB को Q पर नमलत ह (नचतर 22)

रख खड पर नसथत नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 सवमपरथम एक रख खड AB खीनचए नजस पर नबनद P नचनहनत कीनजए

2 नबनद P पर परक र की नोक रनखए तथ दकसी भी न प की नतरजय लकर रख खड AB पर ऄदधमवतत

क रटए जो दक रख खड AB को दो नबनदओ Q तथ R पर क टत ह (नचतर 24)

3 ऄब R पर परक र रनखए और दकसी भी म प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर की ओर एक च प

क रटए पनः rsquoQrsquo पर परक र रखकर ईसी च प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर ओर एक और

च प क रटए जो अपस म नबनद M पर क टत ह (नचतर 25)

4 नबनद M को P स नमल दीनजए (नचतर 26)

पर पत रख खड PM ही वह लमब रख ह

ऄथ मत PM AB

P a g e | 177

परशन वली 15

1 5 समी क एक रख खड खीनचए आसस 3 समी की दरी पर एक सम नतर रख खीनचए

2 सटसव यर की सह यत स ननमननलनखत कोण की रचन कीनजए

(i) 450 (ii) 600 (iii) 300 (iv) 900 (v) 1200

3 ननमननलनखत न प क रख खड लकर ईसक समनदवभ जन कीनजए

(i) 5 समी (ii) 45 समी (iii) 36 समी (iv) 54 समी

4 परक र व सकल की सह यत स ननमननलनखत कोण बन आय

(i) 600 (ii) 900 (iii) 1200 (iv) 1500

5 परक र व सकल की सह यत स ईपरोकत कोणो क समनदवभ जक कीनजए

6 च ाद की सह यत स ननमननलनखत न प क कोण बन आय एव परक र व सकल की सह यत स ईसक

सम न कोण की रचन कीनजए

(i) 680 (ii) 920 (iii) 1080 (iv) 1260 (v) 1530

P a g e | 178

16

कषतरनमनत-1

कषतरफल

अपन ऄधय य 2 म बनद एव खली अकनतयो को समझ ह दननक जीवन म कइ अकनतयो को दखत रहत

ह ननमननलनखत अकनतयो को धय न स दनखए

नचतर 1

उपर बनी अकनतयो म अकनत क दकसी बबद य छोर स पर रभ कर नबन पनसल ईठ य एव दकसी

नहसस पर दब र चल नबन दफर ईसी बबद य छोर पर पहाच सकत ह यदद पहाच सकत ह तो यह एक बद

अकनत होगी और यदद नही तो यह एक खली अकनत होगी

ऄथ मत बद अकनत क कोइ ऄनतम बबद नही होत

कय अप बत सकत ह दक ननमननलनखत मद नो की अकनतय ा खली ह य बद ह

1 खो - खो क मद न

2 फटब ल क मद न

3 नगलली डड नजस मद न म खल ज त ह वह मद न

4 कबिी खल क मद न

P a g e | 179

5 नबललस नजस कषतर म खल ज त ह वह कषतर

कषतरफल (Area)

सभी बद अकनतयो क ऄदर कछ जगह होती ह आन अकनतयो क ब हर नसथत दकसी बबद स आनक

ऄदर नसथत दकसी बबद तक अकनत की रख को क ट नबन नही ज सकत बद अकनतयो क ऄदर की जगह

ही ईसक कषतर ह कछ अकनतयो म जय द जगह होती ह नजनम जय द जगह होती ह वही बड़ी होती ह

कोइ वसतअकनत समतल पर नजतनी जगह घरती ह वह ईसक कषतरफल कहल त ह

गर फ पपर की सह यत स दकसी अकनत क कषतरफल न पन -

अयत क कषतरफल

ककष 5वी म अपन अयत क ब र म पढ़ होग यह एक चतभमज ह नजसक अमन स मन

की भज बर बर ह तथ परतयक कोण समकोण ह

दिय कल प 1

1 एक अयत ह नजसकी लमब इ 6 समी एव चौड़ इ 3 समी ह परतयक भज पर एक-एक समी की दरी

पर लमब इ तथ चौड़ इ की ओर नचहन लग व

2 अयत को 1 समी times 1 समी क खणडो म ननमन नस र ब ट -

P a g e | 180

दश मए गए नचतर म 1 समी x 1 समी क बन रह वगो को नगननए

वगो की सखय = 18

1 वगम क कषतरफल = 1 वगम समी

18 वगम क कषतरफल = 18 वगम समी

ननषकषम नजतन बड़ अयत होग 1 वगम समी क वगो की सखय ईतनी ही ऄनधक होगी

कषतरफल = 18 वगम समी

= 6 समी times 3 समी य 3 समी times 6 समी

अयत क कषतरफल = लमब इ xचौड़ इ

चदक गण की सदिय िम नवननमय क ननयम क प लन करत ह ऄतः -

अयत क कषतरफल तर चौड़ इ ग लमब इ भी नलख सकत ह

ऄभय स

1 अपकी गनणत की पसतक दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

2 च क क नडबब और शय मपटट दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

3 ऄपन अस-प स की दकनही दो अयत क र वसतओ दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

वगम क कषतरफल

वगम एक नवशष परक र क अयत ह

नजसकी भज ए सम न ह ऄथ मत लमब इ तथ चौड़ इ बर बर ह

4 समी times 4 समी भज व ल वगम को 1 समी times 1 समी व ल वगो म ब ाटन पर ndash

नचतर 7

1 वगम समी = 1 समी times 1 समी

वगम क कषतरफल = वगम खणडो की सखय एा

= 16

P a g e | 181

1 वगमखणड क कषतरफल = 1 वगम समी

16 वगमखणडो क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 4 समी ग 4 समी

वगम क कषतरफल = भज x भज = (भज )2

ईद हरण 1 यदद एक वगम की भज 5 समी ह तो आसक कषतरफल कय होग

नचतर म 5 समी भज क एक वगम ददख य गय ह परतयक भज पर 1-1 समी दरी पर नचहन ऄदकत

कीनजए

ऄब अमन-स मन क सभी नबनदओ को नमल कर अड़ी और खड़ी रख एा खीनचए

आस वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड़ ख नो को नगननय

वगम क कषतरफल = वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड ख नो की सखय

= 25 = 25 times 1 ख न क कषतरफल

= 25 times 1 वगम समी तर 25 वगम समी

ऄतः वगम क कषतरफल = वगम की लमब इ times वगम की चौड़ इ

= भज क वगम

ईद हरण 2 एक अयत की लमब इ 7 समी व चौड़ इ 3 समी ह आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हल यह ा अयत की लमब इ = 7 समी

अयत की चौड़ इ = 3 समी

P a g e | 182

आसनलय अयत क कषतरफल = लमब इ x चौड इ

= 7 समी x 3 समी = 21 समी2 य 21 वगम समी

ईद हरण 3 एक वगम क कषतरफल जञ त कीनजए नजसकी भज 8 समी लमबी ह

हल

ऄतः वगम क कषतरफल = भज x भज

= 8 समी x 8 समी

= 8 समी x 8 समी

= 64 समी2 य 64 वगम समी

परशन वली 16

(1) ननमननलनखत म स बनद अकनतयो को पहच ननय ndash

P a g e | 183

(2) परतयक अयत क कषतरफल जञ त कीनजए लमब इ व चौड़ इ ननमन नस र ह -

(I) लमब इ - 6 समी चौड़ इ - 2 समी

(II) लमब इ - 10 समी चौड़ इ - 1 समी

(III) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 6 समी

(IV) लमब इ - 135 समी चौड़ इ - 10 समी

(3) ननमननलनखत वगो नजनकी भज ननमन नस र ह क कषतरफल जञ त कीनजए -

(I) 6 समी

(II) 12 समी

(III) 13 समी

(IV) 35 समी

P a g e | 184

(4) ननमन अयतो म स परतयक अयत क कषतरफल ईसम परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व

खड़ी रख ओ को खीचकर जञ त कीनजए तथ सतर की सह यत स ऄपन ईततर की ज ाच भी कीनजए

(I) लमब इ - 5 समी चौड़ इ - 4 समी

(II) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 2 समी

(5) एक वगम की भज 6 समी ह आसक परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व खड़ी रख ओ को

खीचकर कषतरफल जञ त कीनजए और परशन (3) क एक स ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए

हमन सीख

1 दकसी समतल पर कोइ वसत नजतन सथ न घरती ह वह ईसक कषतरफल होत ह

2 अयत क कषतरफल = लमब इ ग चौड़ इ

3 वगम क कषतरफल = भज ग भज = (भज )2

4 कषतरफल क म तरक वगम आक इ होत ह

- परायोजना कायण- अपनी सभी ववषयो की पसतको की ऱॊबाई और चौड़ाई नावपए तथा बताइय करक कौन सी पसतक मज़ पर सबस अधिक सथाना घरती ह

P a g e | 185

17

कषतरनमनत-2

पररम प

ननमननलनखत ध ग स बनी अकनतयो को दनखएः-

ईपरोकत नचतरो म यदद A स चलन पर रमभ कर और पर चककर लग कर पनः A पर पहाच तो तय की

गइ दरी अकनत को बन न म ईपयोग दकए गए ध ग की लमब इ क बर बर होगी यही अकनत क घर की भी

लमब इ ह

आसी परक र ध ग स ऄथव त र स नवनभनन अकनतय ा बन कर ईसक घर की लमब इ जञ त की ज

सकती ह आस ही कषतर क पररम प कहत ह

दकसी भी बद अकनत क पथ पर एक चककर लग न क नलए तय की गइ दरी ईस अकनत क पररम प

कहल ती ह

जस अपन दख दक दकसी कषतर की सीम पर एक चककर ही पररम प ह ऄतः दकसी कषतर को त र स

घरन ऄथव च रो ओर ऄह त बन त समय पररम प की अवशयकत पड़ती ह

पररम प (Perimeter)

दननक जीवन म कइ वसतएा ईपयोग म अती ह नजनक अक र वतत क र नतरभज क र अयत क र

होत ह अपन भी आन सभी अक र की वसतओ को दख ह अपकी कॉपी क पनन शतरज क बोडम करम

क बोडम आतय दद अयत क र ह

हम री कॉपी क पनन शतरज क बोडम पसतक शय म पटट अदद सभी अयत क र ह आनम स कछ

अयत क र वसतए वग मक र भी ह ऄपन अस-प स अयत क र वसतए छ रटए और ईनम स ईन अकनतयो

को ऄलग कीनजए जो वग मक र भी ह नीच ददए गए सथ न पर आनकी सची बन आए

P a g e | 186

ऄब आन अकनतयो क दकन रो पर धय न दीनजए और बत आय दक आनम दकतन दकन र ह

यह ा अप दख रह ह दक टबल क दकन रो की सखय 4 ह आसी परक र शतरज बोडम क दकन रो की

सखय भी 4 ह

अआए ऄब कछ अयत क र तलो क पररम प ननक ल

दिय कल प 1

टबल क उपरी तल क दकन रो को सकल की सह यत स न नपय और नलनखय

दकन र AB=helliphelliphelliphelliphellip समी BC=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

CD= helliphelliphelliphellip समी DA=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

ऄब आन सभी दकन रो की लमब इ को जोनड़ए और नलनखए

टबल क च रो दकन रो क योग

= AB + BC + C D + DA= + + + +

= समी

नसफम अयत क र ह वग मक र भी ह

1 अपकी कॉपी क पनन 1 शतरज क बोडम

2 2

3 3

4 4

5 5

P a g e | 187

दिय कल प 2

आसी परक र शतरज बोडम क ब हरी दकन र न नपय और ईनह जोनड़ए

PQ + QR + RS + SP = +++ = समी

दिय कल प 3

नचतर 6 म एक फटब ल खल क मद न P Q R S ददख य गय ह

6वी ककष क एक छ तर गोल रोज़ न सबह 5 बज ईठकर आस फटब ल मद न क दकन र पर एक

चककर लग त ह ऄब बत आय दक गोल रोज़ न दकतन चलत ह

गोल दव र एक चककर म चली गयी कल दरी = PQ की लमब इ + QR की लमब इ + RS की लमब इ

+ SP की लमब इ

आन सभी दिय कल पो (1) (2) और (3) म अपन दख दक अकनत क सभी दकन रो की लमब इ क

योग ईस अकनत क पररम प ह

ननमन अकनतयो क पररम प जञ त कीनजए तथ ररकत सथ न म नलनखए

पररम प =

नचतर - 7

AB + BC + CD + DE + EF + FA

= __ + __ + __ + __ + __ + __

पररम प = समी

P a g e | 188

पररम प =

नचतर क उपर ध ग रख कर

ध ग की लमब इ जञ त कीनजए

वही पररम प होग

पररम प =

ऄभय स 171

1 एक अयत क र बगीच की लमब इ 6 मीटर और चौड़ इ 3 मीटर ह आसम च रो ओर त र क घर

लग न ह तो अवशयक त र की लमब इ जञ त कीनजए

2 एक अयत क र मद न की लमब इ 100 मीटर व चौड़ इ 50 मीटर ह आसक च रो ओर दो चककर

लग न म कल तय की गइ दरी जञ त कीनजए

पररम प कस पत करग- ऄब अपक समझ म अ गय होग दक

अयत क पररम प = ईसक च रो भज ओ की लमब इ क योग

P a g e | 189

ऄब यदद दकसी अयत की लमब इ l आक इ और चौड़ इ b आक इ हो तो

अयत की पररम प = ईसकी च रो भज ओ की लमब इ क योग

= AB की लमब इ + BC की लमब इ + CD की लमब इ +DAकी लमब इ

= 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ

= 119897 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119887 आक इ

= (119897 + 119897) आक इ + (119887 + 119887) आक इ

= 2 119897 आक इ + 2 119887 आक इ

= 2 (119897 + 119887) आक इ

ऄतः 119897 आक इ लमब b आक इ चौड़ अयत की पररम प = 2 (119897 + 119887) आक इ

अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

वगम क पररम प

एक वगम क भज की लमब इ 6 समी ह ईसक पररम प कय होग

वगम क पररम प = वगम क च रो भज ओ की कल लमब इ

= 6 समी + 6 समी + 6 समी + 6 समी

= 4 times 6 समी (6 समी वगम की एक भज )

ऄतः वगम क पररम प = 4 times एक भज की लमब इ

वगम क पररम प = 4 times भज

P a g e | 190

पररम प क म तरक

पररम प दकसी भी बद अकनत क कल घर की लमब इ ह ऄतः आसक म तरक कय होन च नहए

चादक पररम प व सतव म लमब इ ही ह ऄतः आसक म तरक और लमब इ क म तरक एक ही होग

ननमन स रणी म ररकत सथ नो को भररय-

स रणी - 1

िम क अयत की

लमब इ

119897

अयत की

चौड़ इ

119887

अयत क च रो भज ओ

क योग

अयत

की

पररम प

अयतवगम क पररम प

सतर की सह यत स

1 10 समी 5 समी 10 समी + 5समी +

10 समी + 5 समी =

30 समी

30 समी समी 2 (10+5) समी

समी + 5 समी = 2 times 15

समी

= 30 समी

2 5 समी 5 समी 5 समी + 5 समी 5

समी + 5 समी

= 20 समी

20 समी 4 times 5

= 20 समी

3 6 मीटर 4 मीटर

4 7 समी 7 समी

अआए दननक जीवन स समबननधत कछ और ईद हरण दख

ईद हरण 1

एक अयत क र मद न की लमब इ 50 मीटर एव चौड़ इ 25 मीटर ह एक ध वक आसक च रो ओर

10 चककर लग त ह जञ त कीनजए ईसन दकतनी दरी तय की ह

हल यह ा अयत की लमब इ (119897) = 50 मी

अयत की चौड़ इ (119887) = 25 मी

अयत क पररम प = 2 2 ( + b)

= 2 ( 50 मी + 25 मी)

= 150 मी

आस परक र ध वक एक चककर म 150 मीटर दरी तय करत ह

ध वक 10 चककर म 10 times 150 मीटर = 1500 मीटर दरी तय करग

P a g e | 191

22

7

oRr ds pkjksa vksj ds ksjs dh yEckbZ

oRr dk O kl

o`Rr dh ifjfegravek

2 r

ईद हरण 2 यदद एक वगम क पररम प 200 मीटर ह तो आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हलः यह ा पररम प = 200 मीटर

4 times वगम क एक भज की लमब इ = 200 मीटर

वगम क एक भज की लमब इ = मीटर

= 50 मीटर

ऄब वगम क कषतरफल = भज times भज

= 50 मीटर times 50 मीटर

= 2500 वगममीटर य 2500 मीटर2

वतत क पररम प जञ त करन

वतत क प ठ म अपन वतत क च रो ओर क घर ननक लन स सबनधत दिय कल प दकय ह तथ यह

भी दख ह दक वतत क च रो ओर क घर की लमब इ और वतत क वय स क बीच क ऄनप त क बर बर होत

ह जह ा नसथर क ह आस सबध को ननमन नस र नलख सकत ह-

वतत क च रो ओर क घर ही वतत क पररम प ह नजस वतत की

पररनध कहत ह

यदद वतत की नतरजय = r हो तो वय स = 2r होग

ऄतः

य वतत की पररनध = 2r जह ा

वतत की पररनध (C)= 2r

P a g e | 192

ईद हरण 3 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो वतत की पररनध जञ त कीनजए

C = 2r

C = समी

ईद हरण 4 दकसी वतत क एक चककर 1 दकमी क ह ईस वतत की नतरजय कय होगी

C = 2r

1000 = [ 1 दकमी = 1000 मीटर]

7 times 1000 = 2 times 22 times r

r = मी

r = 1509 मी

ऄभय स 172

1 नवनभनन वततो की नतरजय ननमननलनखत ह पररनध की गणन कीनजएः

1 35 समी

2 105 समी

3 175 समी

2 नवनभनन वततो की पररनध की लब इ दी गइ ह नतरजय जञ त कीनजएः

1 500 मी 2 100 मी

3 22 समी 4 11 समी

3 एक पनहए की नतरजय ) मी ह गय रह दकमी दरी तय करन क नलए पनहए को दकतन चककर घमन

होग

2 22 7

744

2 22

7

r

7 1000

2 22

r

1750

11

P a g e | 193

परशन वली 17

(1) ननमन म स बनद अकनतयो को छ ाटकर ईनकी पररम प जञ त कीनजए

(2) ननमन अयतो म स परतयक क पररम प जञ त कीनजए लमब इ चौड़ इ ननमन नस र ह

I लमब इ = 15 समी चौड़ इ = 6 समी

II लमब इ = 12 समी चौड़ इ = 6 समी

III लमब इ = 35 समी चौड़ इ = 25 समी

IV लमब इ = 100 समी चौड़ इ = 50 समी

P a g e | 194

(3) नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय परतयक कथन क स मन ददए गए कोषठक म नलनखए तथ

ऄसतय कथनो को सध र कर कॉपी म नलनखए -

(I) परतयक वगम एक अयत होत ह ( )

(II) परतयक अयत एक वगम होत ह ( )

(III) अयत की परतयक भज समी म म पी गयी हो तो ( )

आसक पररम प मीटर म होग

(IV) अयत क पररम प ईसक च रो भज ओ क योग ( )

क बर बर होत ह

(4) एक वगम की भज 15 समी ह आसक पररम प जञ त कीनजए

(5) एक अयत की लमब इ 20 समी और चौड़ इ 05 मीटर ह तो आसक पररम प समी व मीटर म जञ त

कीनजए

(6) ननमन अकनतयो क न प समी म ददय गय ह ईसक पररम प जञ त कीनजए

P a g e | 195

(7) एक अयत क र मद न की लमब इ 25 मीटर व चौड़ इ 10 मीटर ह आसक दकन र दकन र एक

नखल ड़ी च र चककर पर करत ह ईसन दकतनी दरी तय की ह

हमन सीख

1 पररम प व कषतरफल कवल बद अकनतयो क ही सभव ह

2 बद अकनतय ा वह होती ह जो नबन दहर ए ऄपन पर रनभक नबनद पर सम पत होती ह

3 अयत क कषतरफल = लमब इ times चौड़ इ

4 अयत क कषतरफल = अयत क ऄनतः भ ग क कषतरफल

5 परतयक वगम अयत हो सकत ह परत परतयक अयत वगम नही हो सकत

6 वगम क कषतरफल = (भज )2

7 अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

8 वगम क पररम प = 4 times भज

9 1 वगम मीटर = 1 मीटर times 1 मीटर

= 100 समी times 100 समी = 10000 वगम समी = 10000 समी2

- परायोजना कायण- अपनी का की ऱॊबाई और चौड़ाई माप कर पररमाप ऻात कीजजए

P a g e | 196

18

हम र असप स बहत सी अकनतय ा ह हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो आम रतो और ऄनय

चीज़ो को दखत ह आन सभी म हम सडौलपन व एक परक र की त रतमयत ददखती ह आनम स कइ

अकनतय ा सतनलत ऄनप त म ह कइ ऐसी भी ह जो कइ जगहो म एक सी ददखती ह कइ ऐसी भी ह जो

ऄपन अप म दो एक जसी अकनतयो स नमल कर बनी ददखती ह य सब अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

ददन-परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

य सब अकनतय ा सनदर लगती ह आनकी बन वट म सतनलत ऄनप त ह और समनमनत ह

P a g e | 197

दिय कल प 1

समनमनत ऄकष

दी गइ अकनतयो को दख यदद हम आनम स दकसी एक अकनत को आस तरह मोड़ प ए दक आसक

अध ब य ा भ ग अध द य भ ग स ऄथव अध उपर क भ ग नीच क अध भ ग स पणमतय नमलत

जलत हो तब हम कहग दक अकनत म समनमनत की रख ह ऐस म दोनो अध भ ग एक दसर क परनतनबमब

ह

नचतर 2 (क) दख टटी रख पर मोड़न पर नचतर क दोनो नहसस ठीक एक दसर को ढक लग ऐस ही

ब की नचतरो म भी दख

यदद हम मोड़न व ली रख पर एक समतल दपमण रख द तो भी समनमत अकनतयो म अकनत क एक

भ ग क परनतनबमब दसर भ ग को पणमतय ढ़क लग आन नचतरो म मोड़ (व सतनवक य क लपननक रख )

बन ए व एक दपमण लकर सभी नचतरो म टटी ल आन पर रखकर दख

कय दपमण म ददखी अकनत नचतर क ब की नहसस क सम न ही थी यह दपमण रख अकनत की

समनमनत की रख (य समनमनत ऄकष) कहल ती ह

रोहन क कहन ह दक उपर जो भी अकनतय ा बन ह व सभी समनमत अकनतय ा ह कय अप आसस

सहमत ह कयो

अप भी प ाच समनमत अकनतय ा बन आय और ईनक समनमनत ऄकष खीनचय

दिय कल प 2

समनमत अकनतय ा पहच ननय

नीच दी अकनतयो म स कौन-कौन सी अकनतय ा समनमत ह

P a g e | 198

समनमत अकनतयो को अपन कस पहच न

ऄब ईनक समनमनत ऄकष भी बन ए कय जो अकनतय ा समनमत नही ह

ईनम अप कछ जोड़ कर समनमत अकनतय ा बन सकत ह कोइ एक अकनत

लकर सोचो

समनमत अकनतयो म अकनत क अध भ ग समनमत ऄकष पर दसर अध

भ ग को पणमतय ढाक लत ह

अकनत िम क 3 (ख) समनमत अकनत नही ह दकनत ईसम यदद एक और खमभ जोड़ ददय ज ए तो

दफर नइ अकनत समनमत होगी आसक समनमनत ऄकष कह ा ह ब की अकनतय ा जो समनमत नही ह ईनह भी

आसी परक र समनमत बन ए

दिय कल प 3

कौन स ऄकषर समनमत ह

अप मोट क गज़ क टकड़ म स ABCD Y Z क रप क रटए दो नडबब लकर एक

पर समनमत ह एव दसर पर समनमत नही ह की पची नचपक द

ऄब ABCDको एक-एक करक दनखए पत कर दक कय ईस ऄकषर क अध भ ग समनमत

ऄकष पर शष अध भ ग को परी तरह ढक लत ह य नही

नजस ऄकषर म दोनो भ ग एक दसर को ढक लत ह ईस दकस नडबब म ड लग

समनमत व ल नडबब म कौन-कौन स ऄकषर अए

दकसम जय द ऄकषर ह

यही ऄभय स कखग ह ऄकषर क ट कर भी करो कौन स ऄकषर समनमत नमल

दिय कल प 4

ऐसी भी समनमनत

एक क गज़ लो एव ईस दो सम न भ गो म मोनड़य

एक अध भ ग पर सय ही य रग की कछ बद ड नलए दसर

भ ग को मोड़ कर पहल भ ग पर रखकर दब आए अप कय

दखत ह

कय पर पत अकनत समनमत ह यदद ह ा तो आसकी समनमनत

रख कह ा ह

कय ऐसी कोइ ऄनय रख भी ह जह ा स मोड़न पर दो सम न भ ग पर पत हो सकत होऐस ही कछ

और परनतरपो को बन न क परय स कीनजए

P a g e | 199

अप ऄपनी ककष म ईपलबध वसतओ को दख ईनम समनमत अकनत व ली वसतओ की सची

बन आए जस शय म पटट मज की उपरी सतह अपकी कॉपी अदद-अदद कय पख क पख की अकनत भी

समनमत ह चच म करक ऄपनी सची गरजी को ददख ए परतयक समनमत वसत क नचतर बन कर ईसम

समनमनत रख भी खीनचए

दिय कल प

ऄब आन नचतरो को दनखए -

कय य समनमत ह

अपन ऄपन घर की दीव र य ग ाव क ऄनय घरो की दीव र म बन हए नचतर दख ह ऄपनी कॉपी म

भी ऐस ही नचतर बन आए

कय व नचतर समनमत होत ह ईनक समनमनत ऄकष बन ए

दिय कल प 6

समनमनत पहच ननए

आनम स कौन स नचतर समनमत ह जो समनमत नही ह ईनह समनमत म बदल कर बन ओ

कय अपन कभी रगोली बन इ ह रगोली म ऐसी भी अकनतय ा नमलती ह

P a g e | 200

आनम ऄलग-ऄलग घरो म ऄलग-ऄलग तरह स रग भर ज सकत ह

रग भरन पर यह सनदर लगती ह कय आनम भी कोइ समनमनत ऄकष ह हरक अकनत म दख

कय दकसी अकनत म एक स ऄनधक समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 7

अपक जय नमनत बॉकस म दो सट सव यर म स एक क कोणो

की म प 900 600 और 300 ह ऐस ही दो सम न सट सव यर लीनजए

आनह अपस म नमल कर रनखए और एक पतग जसी बन आए

जस दक नचतर म ददख य गय ह आस अकनत म दकतनी समनमनत

रख एा ह

आसी परक र ऄब दसर परक र क दो सट सव यर (कोणो की

म प 900 450 और 450) लीनजए और पहल की तरह स थ-स थ जोड़

कर रनखए कसी अकनत बनी

आसम दकतनी समनमनत रख एा ह ऐसी और अकनतय ा सोचो नजनम एक स ऄनधक समनमनत

रख एा हो

दिय कल प 8

अयत और समनमनत

एक पोसटक डम लीनजए ईस लमब इ की ओर स मोनड़ए (नचतर 12 क) नजसस दक एक अध

भ ग दसर अध भ ग को पणमतय ढाक ल कय यह मोड़ एक समनमनत की रख ह

ऄपन ईततर क क रण बत ओ

आस खोनलए और पनः एक ब र चौड़ इ की ओर स सम न तरीक स मोनड़ए (नचतर 12 ख)

कय यह दसर मोड़ भी समनमनत की रख ह

कय अपको लगत ह आसम समनमनत की दो ही रख एा ह

उपर सट-सव यर स बन वगम क ब र म दफर स सोचो आसम समनमनत की दकतनी रख ए ह

P a g e | 201

दिय कल प 9

दपमण और समनमनत

नीच एक छ त क नचतर 13 (क)ह नचतर 13 (ख) म छतरी क अध नहसस को समतल दपमण क

स मन खड़ ददख य गय ह दपमण क चमकद र नहसस की ओर स स मन क अध नहसस और ईसक

परनतबबब को धय न स दख कय छतरी क नचतर पर परतीत होत ह

दिय कल प 10

नचतर म अध चहर ह रख AB पर समतल दपमण रखन पर कय चहर पणम परतीत होत ह

AB पणम अकनत क समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 11

ऐसी कौन-कौन सी अकनतय ा ह नजनम समनमनत ऄकष पर समतल दपमण रखन पर दोनो तरफ क

नहसस परनतबबनबत होत ह

आन अकनतयो को दनखए तथ टटी रख ओ पर समतल दपमण की ऐसी नसथनत क पत लग आए

जह रखन पर परनतबबब अकनत और व सतनवक अकनत एक जसी ह

P a g e | 202

परशन वली 181

ननमन अकनतयो म कौन-कौन सी समनमत ह आनम समनमनत ऄकष ढदढ़ए समनमत अकनत म समनमनत ऄकषो

की सखय नलख व समनमनत ऄकष दश मए

वतत म समनमनत ऄकषो की सखय दकतनी ह

वतत ऄपन परतयक वय स क स पकष समनमत ह ऄथ मत दकसी भी

वय स पर स क टन पर दोनो नहसस बर बर होत ह

दिय कल प 12

एक वग मक र क गज़ लो आस एक ब र उपर स नीच एव पनः

एक ब र ब य स द य मोनड़ए ऄब दी गइ अकनत क ऄनस र नडज़ आन बन आए

जस दक ददख य गय ह जो अकनत बन इ गइ ह ईस पर स क रटए और मोड़

खोल कर क गज़ को फल ए

आनम दकतनी समनमनत रख एा ह

P a g e | 203

दिय कल प 13

समनमत रख एा

तीन बॉकस लो तीनो पर क गज़ की नचट चसप कर दो

पहल बॉकस पर एक समनमनत रख दसर पर दो समनमनत रख एा एव

ऄनय पर तीन य तीन स ऄनधक रख य नलख हअ हो

अप ऄपन ABC YZ क टकड़ो को दख एव म लम

कर दक आनम दकतनी समनमनत रख एा ह नजन ABCD म एक

समनमनत रख ह ईस एक क बॉकस म नजनम दो समनमनत रख एा ह

ईनह दो क बॉकस म एव नजनम तीन य ऄनधक समनमनत रख एा ह

ईनह ईस बॉकस म ड ल ऄपन स नथयो स चच म कर

कय ऄब अप बत सकत ह दक सबस जय द समनमनत

रख एा ऄगरजी क दकस ऄकषर म ह ऐस और भी नचतरो व अकनतयो को

आसी परक र समनमनत ऄकष क अध र पर छ रटए

समनमनत और कह ा-कह ा

1 बस म सफर करत वकत रोड स आन (म गम सचक) सकत य नचहन को दखत ह आन रोड स आन म

स व नजनम समनमनत की रख एा होती ह आनह पहच नो एव ऄपनी कॉपी म नलखो

2 पड़ोपनततयोडठल को दखो कय आनम समनमनत की रख एा होती ह

3 कय ददय गय नचतर म समनमनत की रख ह

4 कय त श क पततो म भी समनमनत की रख एा ह दकस पतत म दकतनी समनमनत

रख ह एक ह दो ह तीन ह य ऄनधक ह बत आए

5 खलो क मद नो एव बोडम म भी समनमनत की रख ए होती ह अप ऐस मद नो एव

बोडम की सची बन ए एव ऄधय पक को बत ए

6 सभी परक र क व हनो म भी समनमनत होती ह जस बसटरक

P a g e | 204

क गज़ो दव र बन वट

एक अयत क र रगीन क गज़ लो आस कइ ब र मोनड़ए एव आस नचतर म दी गइ अकनत क

ऄनस र क ट लो ऄब खोल कर दखो

आसको ऄपनी कॉपी पर रखकर आसम नवनभनन रग भर कर दखो कय आन नचतरो म समनमनत

ददख इ दती ह

रगोली

कय अपन कभी तयौह रो क ऄवसर पर घर पर कभी रगोली बन इ ह

कय आनम समनमनत क परयोग होत दख ह आस परक र क नवनभनन रगोली पटनम को क गज़ पर

ईत र कर एक एलबम बन ए

महदी

घरो म मनहल ओ को महदी लग त हए दख ह कय महदी म भी समनमनत होती ह ऄपनी

ककष की लड़दकयो क स थ चच म करो

P a g e | 205

परशन वली 182

पर1 नीच दी गइ अकनतयो म पत लग आए दक कौन सी समनमत ह एव कौन सी ऄसमनमत ह

पर2 ऄपन असप स म नसथत 5 ऄसमनमत अकनतयो क न म नलखो जो आस पसतक म नही अइ हो

पर3 900 क कोण बन आए और ईस पर समनमनत रख खीनचए

पर4 6 cm क एक रख खणड़ खीनचए और ईसक समनमनत ऄकष बन आए

पर5 नीच दी गइ अकनतय ा ऄधरी ह नजनक समनमनत ऄकष PQ ह आनह परी कीनजए

पर6 नीच कछ मड़ी हइ शीट की अकनतय ा दी गइ ह नजनकी तह पर अकनतय ा बन इ गइ ह परतयक म पणम

अकनत की रपरख खीनचए जो नडज आन क क टन क ब द ददख इ दगी

P a g e | 206

पर7 नीच दी गइ अकनतयो को एक च र तह व ल वग ादकत क गज़ पर बन त तो कसी ददखती

सोच कर वसी ही अकनत ऄपनी कॉपी म बन ओ यदद नही सोच प त तो क गज़ क ट कर पत

लग ओ

पर8 1 स 100 तक की सखय ओ म स समनमत सखय एा कौन-कौन सी ह पत लग ओ एव ऄपनी कॉपी म

नलखो

नतरनवमीय अकनतय ा

हम ऄपन दननक जीवन म कछ ऐसी ठोस वसतओ को दखत ह नजनक अक र सप ट नही

होत ह

P a g e | 207

फलक दकन र और शीषम

नतरनवमीय अक रो म हम ईनक फलको दकन रो और शीषो को सरलत स पहच न सकत ह

नचतर 28

ईद हरण क नलए एक घन को लीनजए घन भ की परतयक ईपरी सप ट (अयत क र) सतह एक

फलक ह आसक दो सलगन फलक एक रख खणड म नमलत ह जो घन भ क दकन र कहल त ह घन भ क

तीन सलगन दकन र एक नबनद पर नमलत ह नजस घन भ क शीषम कहत ह

आस परक र एक घन भ म 6 अयत क र फलक 12 दकन र और 8 शीषम होत ह

ऄभय स

1 ईनचत सबध जोनड़ए

(i) शक (i)

(ii) गोल (ii)

(iii) बलन (iii)

(iv) घन (iv)

(v) घन भ (v)

2 ननमन वसतएा दकस अक र की ह -

(i) चॉक क नडबब

(ii) टननस बॉल

(iii) प आप

(iv) जोकर की टोपी

(v) प स

3 दकनही च र वसतओ क न म बत आए जो एक घन भ अक र स नमलती जलती हो

4 दकनही ऐसी तीन वसतओ क न म बत आय जो बलन क अक र स नमलती जलती हो

P a g e | 208

5 नीच दी गयी गइ स रणी म नतरनवमीय अकनतयो क फलक दकन र व शीषो की सखय नलनखए -

हमन सीख

1 हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो को आम रतो को और ऄनय चीज़ो को दखत ह य सब अकनतय ा

समनमत अकनतय ा ह

2 समनमतत स वसतएा सनदर लगती ह

3 ददन परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

4 हम र अस-प स कइ परक र की नतरनवमीय अकनतय ा होती ह आनम स कछ घन घन भ गोल

बलन और शक ह

P a g e | 209

19

स नखयकी

भनमक

श ल म ककष सज वट क क यमिम अयोनजत होन थ ककष 7वी क नवदय थी यह तय नही कर प

रह थ दक ककष क ऄदर दीव रो की पत इ दकस रग स कर इ ज य ईनकी श ल म हलक पील गल बी

हलक हर एव असम नी म तर च र रग ही ईपलबध थ ककष न यक क कहन पर सभी नवदय रसथयो न ऄपन

न म एव पसदीद रग एक पनन पर नलख ददय जो ननमन दकत स रणी म परदरसशत हः-

आन सचन ओ क अध र पर कय अप

यह ननणमय ल सकत ह दक दीव र पर कौन-स

रग स पत इ कर नी ह तभी रीत को एक

तरीक सझ ईसन बोडम पर रगो क न म

नलख तथ परतयक रग को पसद करन व ल

नवदय थी को ऄपनी पसनद क रग क स मन

ऄपन न म नलखन को कह

ऄब सची आस परक र बनीः-

P a g e | 210

चदक हलक पील रग पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय ऄनधक थी आस क रण आसी रग स

पत इ कर न क ननणमय नलय गय

दननक जीवन म कय अपन ननणमय लन क नलए कभी यह तरीक ऄपन य ह

अप ऄपनी ककष म तरम नसक परीकष म परतयक नवषय म 34 स ऄनधक और 34 स कम ऄक पर पत

करन व लो की सची बन आए कय आस अध र पर अप बत सकत ह दक दकस नवषय क परीकष फल सबस

ऄचछ ह और दकस नवषय क सबस खर ब

अाकड़ (Data)

कोइ भी ननणमय लत समय अपको कछ न कछ ज नक ररयो की अवशयकत होती ह आन अवशयक

सखय तमक ज नक ररयो को ही अाकड़ कहत ह

म न अपको ऄपनी ककष क नवदय रसथयो क पढ़न क नलए एक सम च र पतर खरीदन ह अप

कौनस सम च र पतर खरीदग नजस ऄनधक स ऄनधक नवदय थी पढ़न पसद कर यह ननणमय अप कस लग

सभी नवदय रसथयो न एक स रणी तय र की नजसम पसद क सम च र पतर क स मन सभी न ऄपन -

ऄपन न म नलख दफर नजस सम च र पतर को पसनद करन व लो की सखय सव मनधक ह ईस ही खरीदन

क ननणमय नलय गय

जली स रनणयो को ब र-ब र दख रही थी और सोच रही थी दक आन स रनणयो म न म नलखन क

कोइ मतलब ही नही ह हम तो म तर यह नगनन ह दक च ही गइ ज नक री क पकष म दकतन छ तर ह न म न

नलखकर ईसक सथ न पर दकसी सकत क भी ईपयोग दकय ज सकत ह

कय अप जली की सोच स सहमत ह कय ऐस कोइ तरीक सोच सकत ह नजसम न म क सथ न

पर कवल सकत नचनह क ईपयोग करक ही गणन की ज सक

बसत न एक सझ व ददय दक कयो न परतयक न म क सथ न पर एक-एक खड़ी लकीर क ईपयोग

दकय ज ए और ऄनत म सभी खड़ी लकीरो की नगनती कर ली ज ए सभी नवदय थी आसस सहमत थ

ऄननत न कह lsquolsquoचलो हम खलो की लोकनपरयत क िम पत लग वrsquoऄननत न बोडम म 4 खलो क

न म नलख और ऄपन-ऄपन पसद क खल क स मन परतयक नवदय थी को एक खड़ी लकीर खीचन को कह

स रणी कछ आस परक र बनीः-

P a g e | 211

परनत आस परक र की स रणी म जय द खड़ी लकीरो को नगनन म ऄसनवध होती ह आसनलए नजस

परक र स अपन छोटी ककष ओ म नगनती सीखत वकत दस-दस क बणडल बन ए थ ईसी परक र यदद प ाच-प ाच

क बणडल बन ल तो अपको नगनन म अस नी रहगी हम च र खड़ी लकीर खीचकर प ाचव क नलए आन

च रो लकीरो को क टत हए एक नतरछी लकीर (दश मय ऄनस र) खीचत ह जस 5 क नलए-

5 क नलए

19 क नलए

आसस नगनन म सरलत होती ह

ईपरोकत त नलक क ऄनस र दिकट पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय | | | | | | ऄथ मत 7 ह

आस ही ब रमब रत (Frequency) कहत ह परतयक म न क नलए एक खड़ी लकीर खीचन की परदिय को

टली (Tally) लग न कहत ह तथ आस नवनध को टली नवनध (Tally method) दव र अकड़ो क सकलन

(Collection of Data) कहत ह एव आसस पर पत स रणी को ब रमब रत स रणी (Frequency Table)

कहत ह

अप भी आस नवनध क ईपयोग कर ऄपन असप स क अकड़ो को एकनतरत करन क परय स कीनजए

ईद हरण-1 एक ग व क 20 घरो म बचचो की सखय आस परक र हः-

आन अाकड़ो क दव र टली नवनध क परयोग कर ईपयकत ब रमब रत स रणी क ननम मण कीनजए

परतयक घर म बचचो की सखय ईनक नलए टली नचनह तथ ब रमब रत क नलए कॉलम बन त ह तथ

परतयक म न क नलए ईसक स मन टली नचनह लग त ह प ाचव नचनह को सनवध क नलए पर रनभक

च र नचनहो को क टत हए नतरछ लग त ह

आस स रणी म अपन बचचो की सखय क नलए कवल शनय स च र तक क ऄको को ही कयो नलख ह

यदद आस 1 स शर दकय ज त तो कय होत

यदद स रणी म बचचो की 01234567 तक नलखत तो कय होत

P a g e | 212

अाकड़ो क नचतर तमक परदशमन

र जश अज क सम च र पतर पढ़ रह थ नजसम नलख थ ः-

lsquolsquoलड़दकयो न लड़को स ब जी म रीrdquo

आस वषम की 8वी बोडम की परीकष म

लड़दकय ा सभी कषतरो म लड़को स अग रही

र जश नचतरो को दखकर सोचन लग -

lsquolsquoयह तो अकड़ो क परदशमन क ऄचछ तरीक ह

आन नचतरो को दखकर बड़ अस नी स यह समझ

ज सकत ह दक छ तर ओ क परीकष फल छ तरो स

सभी परक र स ऄचछ हrdquo ऐस ही कछ हम जब

पर थमन म ल आन बन कर खड़ होत ह तब दखन

को नमलत ह ल आनो की लमब इ की सह यत स

ककष क छ तर सखय की तलन की ज सकती ह र जश न ऄपन स नथय स कह - lsquolsquoकयो न स रणी-3 म

एकनतरत अाकड़ो की मदद स खलो की लोकनपरयत को नचतर रप म परदरसशत दकय ज एrsquorsquo

स रणी-3 म कल नवदय रसथयो की सखय 16 थी आनम स फटब ल क खल पसद करन व ल 3

दिकट पसद करन व ल 7 वॉलीबॉल पसद करन व ल 1 कबिी पसद करन व ल 5 नवदय थी थ आनह नचतर

रप म दकस परक र परदरसशत दकय ज सकत ह

जली न कह lsquolsquoयदद हम परतयक छ तर क नलए एक नचतर बन ए तो फटब ल क अग 3 नचतर दिकट

क अग 7 नचतर वॉलीबॉल क अग 1 और कबिी क अग 5 नचतर बनग-

फटब ल

दिकट

वॉलीबॉल

कबिी

आसी परक र नचतरो क दव र परदशमन को नचतर अरख (pictograph) कह ज त ह यह अस नी स

समझन योगय होत ह एव नचतरो को दखकर ननषकषम ननक ल ज सकत ह

दणड अरख

नचतर अरख की नवनध स परदशमन म हम बहत स नचतरो को बन न की अवशयकत

होती ह जो कभी-कभी ऄवय वह ररक हो ज ती ह दकनत यदद हम परतयक छ तर क

नलए 1 समी लमब इ लकर यदद दणड बन ए तब अकड़ो क परदशमन म और सरलत

होगी तथ आन दणडो को कषनतज ऄथव ईधव मधर दोनो तरीको स बन य ज सकत ह

P a g e | 213

आन अरखो म दणडो की चौड़ इ सम न रखी गयी ह आन दणड अलखो को दखकर आन खलो की

लोकनपरयत क ऄनद ज अस नी स लग य ज सकत ह ईकत ननरपण म नवदय रसथयो की सखय कम थी

ऄतः परतयक नवदय थी क नलए दणड की लमब इ 1 समी लकर ईस कॉपी म अस नी स दश मय ज सकत ह

दकनत यदद नवदय रसथयो की सखय ऄनधक हो तो ऐसी नसथनत म ईस कॉपी पर कस दश मएग

ऐसी नसथनत म दणडो की उा च इ क ननध मरण करन मखय समसय ह

अआए आस पर नवच र कर-

र जश नजस मोहलल म रहत ह वह 750 परष 660 मनहल ए एव 140 बचच ह हम आस अरख क दव र

परदरसशत करन ह

आन अाकड़ो क दणड क रप म परदरसशत करन क नलए दणडो की उा च इ कय होनी च नहए

यदद हम परतयक वयनकत क नलए 1 समी की उा च इ ल तो परषो क नलए 750 समी मनहल ओ क

नलए 660 समी एव बचचो क नलए 140 समी क दणड बन न होग दकनत आस ऄपन कॉपी म बन न सभव

नही ह

यदद हम परनत 10 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब य दणड िमशः 75 समी 66 समी एव

14 समी क दणड बनग दकनत आस भी हम ऄपनी कॉपी म परदरसशत नही कर सक ग

यदद हम परनत 100 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब दणड की लमब इय ा िमशः 75 समी

66 समी एव 14 समी होगी जो दक अस नी स हम री कॉपी म बन इ ज सकती ह तो अआए दखत ह

दक आस दकस परक र स हम एक दणड नचतर क म धयम स दश मएग-

P a g e | 214

आन अकड़ो को परदरसशत करन म दणड को ईधव मधर बन य गय ह आस ईधव मधर दणड अरख

(Vertical Bar Graph) कहत ह दणडो को हम कषनतज रप म भी परदरसशत कर सकत ह

यदद हम दणडो को कषनतज रप म परदरसशत कर तो ईस कषनतज दणड अरख (Horizontal Bar

Graph) कहग (नचतर-6)

ऄननत क मन म एक परशन ईठ रह थ दक दणड अरख की कय ईपयोनगत ह कयोदक ब रमब रत

स रणी क ऄवलोकन स भी हम वही ज नक री नमल ज ती ह जो दणड अरख स नमलती ह

अआय ऄननत क आस परशन क हल ढढ

नीच वषम 1991 स वषम 2000 तक गहा क ईतप दन क अकड़ ददए गए ह ः-

आन अकड़ो को दणड-अरख दव र आस परक र वयकत कर सकत ह-

P a g e | 215

आस दणड अलख को दखकर कय अप बत सकत ह दक दकस वषम म गहा क ईतप दन सबस कम और

दकस वषम म सबस ऄनधक हअ आसस और कय -कय ज नक ररय अपको नमल सकती ह नलनखए

अप प यग दक वषम 1995 म सबस ऄनधक तथ वषम 1991 म सबस कम गहा क ईतप दन हअ ह

यह भी प त ह दक 1992 एव 1999 दोनो वषो म गह ईतप दन एक सम न हअ ह कय

ब रमब रत स रणी को कवल दखकर ऐस ही ननषकषम ननक ल प यग

यह सपषट ह दक नसफम अकड़ो को दखकर दकसी ननषकषम म पहचन करठन होत ह आसक नलए सभी

ददय गए अकड़ो क सकषम ऄधययन जररी ह जबदक दणड अरख को कवल दखकर ही कह सकत ह दक दकस

वषम ईतप दन सबस ऄनधक और दकस वषम सबस कम हअ ह ऄतः दणड अरख क मखय ल भ यह ह दक आस

एक ब र दखकर ही समझ म अ ज त ह तथ ऄनय अाकड़ो स तलन बड़ी अस नी स की ज सकत ह

परशन वली 19

1 दकसी ककष म 20 छ तरो न गनणत की ज ाच परीकष म 5 म स ननमन ऄक पर पत दकए-

3 2 5 4 0 1 2 3 5

4 1 0 3 2 3 4

आन पर पत को को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

2 1 ऄपरल 2005 स 15 ऄपरल 2005 तक दकसी शहर क ऄनधकतम दननक त पम न नडगरी सनलसयस

म आस परक र रह 378 378 379 380 379 379 380 381 381

382 383 383 382 381 382

परतयक ददन क त पम न को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

3 नीच ददए गए स रणी म ककष 6वी क छ तरो क परीकष फल शरणीव र ददए गए ह आनक ऄवलोकन

कर ददए गए परशनो क ईततर दीनजएः-

P a g e | 216

शरणी छ तरो की सखय

परथम शरणी 12 (क) दकस शरणी क छ तरो की सखय सबस ऄनधक ह

नदवतीय शरणी 14 (ख) परीकष म बठ छ तरो की कल सखय दकतनी थी

ततीय शरणी 10 (ग) कल दकतन छ तर ईततीणम हए

ऄनततीणम 04

4 नीच दी गइ स रणी म दकसी कपनी की 5 वषो की व रसषक अय दी गइ

ह अकड़ो को दड अरख दव र दश मआए-

5

ननमन स रणी ऄलग-ऄलग टीवी सट क खरीदद रो की सचन दती ह आन अकड़ो को दड अरख

क रप दीनजए

6 ननमन स रणी एक नवदय लय की व रसषक परीकष म छ तरो क औसत पर पत को को दश मती ह अकड़ो

को दड अरख दव र परदरसशत कीनजए

P a g e | 217

P a g e | 218

उततर माऱा परशनावऱी 1

1- 1

2- 41600]

3- (i) gt (ii) gt (iii) = (iv) lt

(v) gt (vi) gt

4 20 5- 9899

परशनावऱी 21

1 1 2 0 3 4 4 464748 5 41806

(i) ऄसतय (ii) सतय (iii) सतय (iv) सतय (v) सतय

(vi) सतय (vii) ऄसतय (viii) ऄसतय

7 (i) 24 (ii) 78 (iii) 519 (iv) 1099 (v) 52331

8 (i) 26 (ii) 521 (iii) 1101 (iv) 52333

9 100000 10 99999 11 1

12 18 252421497 557 731

13 617 458 225 69 59

14 (ii)

15 6387

परशनावऱी 22

1 (i) 391 (ii) 40 (iii) 40 (iv) 39 (v) C

2 (i) (23589+411) + 1248=25248 (ii) (32+68) + (2546+544) = 3190

(iii) (247+153) + 376 = 776 (iv) (143+857) + 456= 1456

(v) (32958+12042) + 5000= 50000

3 0 4 दो पणम सखय ओ क योग सदव पणम सखय होत ह 5- (i) 4559 (ii) 0 (iii) 8 7 6

- 2 3 9

6 3 7

6 1 7 0 8 1216 76 = 16 9 32

10 20310

11 (i) भ गफल = 215 शषफल = 32 (ii) भ गफल = 14 शषफल = 735

(iii) भ गफल = 309 शषफल = 145

P a g e | 219

12 (i) 7 3 5 (ii) 4 9 3 1

_ 4 2 9 - 3 0 7 8

3 0 6 1 8 5 3

13 390 14- 3414 15 31825 16 9

17 780

परशनावऱी 3

1 (i) सतय (i) ऄसतय (i) सतय (i) सतय (i) ऄसतय

2 (i) 3 AB व CD (i) RS व PQ (i) SR व TU 4 C एव E

परशनावऱी 4

1 (i) -2 (ii) 2 (iii) -9

(iv) 8 (v) -4 (vi) 3

(vii) -5 (viii) 8

2 (i) 1028 (ii) -266 (iii) 36

(iv) 154

3 (i) = (ii) lt (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) gt

4 (i) 30 (ii) 90 (iii) 24

(iv) 24 (v) 0 (vi) 42

5 (i) gt (ii) = (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) lt

(vii) =

6 13 7 100

8 (i) 15 (ii) -10 (iii) -4

(iv) ऄपररभ नषत (v) 14 (vi) 19

9 (i) 4 (ii) -2 (iii) -1

(iv) -12

10 (i) -17 (ii) 23 (iii) -68

(iv) 75

11 (i) 18 (ii) -26 (iii) -161

(iv) 79

परशनावऱी 5

5 44 समी

6 (i) नतरजय (ii) कनर (iii) वय स

(iv) कनर (v) सम न (vi) नतरजय

(vii) जीव

P a g e | 220

परशनावऱी 61

1- (i) 12 (ii) 18 (iii) 10 (iv) 27

2- (i) 36 (ii) 150 (iii) 24 (iv) 15

3- 1

4- (i) 36164] (ii) 201275 5- 17

6- 11 7- 44 8- 17] 113 ltsj 9- 30

परशनावऱी 62

मौनखक

1 4 2 338 3 24 4 7 स बड़ 5 नही

नलनखत

1- i 28 ii- 324 iii- 180 iv- 2520

2- i 56 ii 1904 iii 360 iv 16560

3 10 4 15 ब र 5 23 जनवरी

6 72 7 221 8 20 ददन

9 नही कयोदक म स सदव ल स क एक गणनखणड होत ह

10 415 स ाय

परशनावऱी 7

1 (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv ऄसतय (v) सतय (vi) ऄसतय

(vii) सतय (viii) ऄसतय (ix) सतय (x) सतय

2- (i) (ii)

(iii) 8 gt 8 gt 08 gt 008 gt 0008 (iv) 01 gt 00992 gt 0099 gt 0012

3- (i) (ii)

4- (i) (ii) 80001 (iii) (iv) 1 (v)

(vi)

5- (i) 24 (ii) 77 (iii) 36 (iv) 8

6 उचित अनचित

परशनावऱी 81

1- (i) AOB (ii) LMN (iii) PQR (iv) STU (v) अ ब स

1

3

9

24

5

8

5

6

3

2

1

8

2

15

1

6

1

4

1

2

8

9

7

8

5

6

7

6

3

4

8

12

1

2

1

6

519

40

15

14

3

4

P a g e | 221

4 180deg

परशनावऱी 82

1 (i) सतय (ii) ऄसतय (iii) सतय (iv) सतय

(v) सतय (vi) सतय (vii) सतय

2 (i) ऄनधक कोण (ii) नयन कोण (iii) समकोण (iv) सरल कोण

(v) नयनकोण (vi) ऄनधक कोण (vii) नयन कोण (viii)नयन कोण

(ix) नयन कोण (x) नयन कोण

परशनावऱी 91

1 (i) ऄसतय (ii) सतय (iii) ऄसतय (iv) सतय (v)ऄसतय

(vi) ऄसतय (vii) सतय (vii) ऄसतय (viii) सतय (ix) सतय

2 400 3 450 4 600 5 ह ा

6 (i) नही (ii) नही (iii) ह (iv) नही (v) ह (vi) नही

परशनावऱी 92

ईततर (1) (i) समचतभमज (ii) 90O (iii) बर बर

(iv) समलमब (v) नवषमब ह चतभमज

ईततर (2) (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv) ऄसतय (v) सतय

परशनावऱी 101

2 (i) 1 4 (ii) 1 4 (iii) 3 20 (iv) 3 100

(v) 21 200 (vi) 40 1 (vii) 4 25

3 (i) 3 8 (ii) 1 3 (iii) 3 5 (iv) 9 19

(v) 6 17 (vi) 2 3 (vii) 5 7 (viii) 1 3

(ix) 2 9 (x) 1 20

4 (i) 1 16 (ii) 16 1

5 7 6

6 (i) 4 3 (iii) 4 7 7- 3 2

8 8 तथ 12 9 5 4 10 4 5

11 रतन को 10 अमशील को 8 अम

P a g e | 222

12 (i) 5 2 (ii) 4 1 (iii) 7 1 (iv) 7 4 (v) 5 3

13 र म को 9000 रपय तथ शय म को 12000 रपय

14 AB = 28 चिमी BC = 12 चिमी 15 (i) परतयि िो 3 (ii) 2 1 3

परशनावऱी 102

1 3850 र 2 (i) 8 घट म (ii) 35750 दकलोमीटर

3 (i) 10 दकलोगर म (ii) 48 दकत ब 4 1800 रपय 5 640 रपय

6 दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 3750

2 100

60 3000

परशनावऱी 11

1 (i) a=2r (ii) A = 1 x b (iii) s = c + p (iv) a + b (v) x - 7

(vi) A = p + c

2 (i) सही (ii) सही (iii)गलत (iv) सही (v) सही

परशनावऱी 12

1 एक पदी- vi viii नदवपदी-i ii iii iv v vii ix एव x

2 5xy एव xy 7c एव 2c yz एव yz

7bc एव bc z एव 7z 37pqr एव 9pqr

परशनावऱी 13

1 (i) 150 (ii) 250 (iii) 20 (iv) 15

2 (i) (ii) (iii) (iv)

3 216 रपय 4 72 दकलोगर म 5 50 6 9 रपय

9

44

5

11

13

2

7

1

2

3

20

1

50

1

10

P a g e | 223

7 3 टॉदफय ा 8 65 9 100

10 परष 28800 मनहल एा 25200 11 1 की कमी

12 10 13 800 14 20 15 ईततीणम 90ए ऄनततीणम 10

16 स कषर 1440 ननरकषर 160

परशनावऱी 141

1 i iv vi vii viii ix व x क समीकरण ह

2 I ब यॉ ा = x ndash 5 द य ा = 9 II ब यॉ ा = 2 x ndash 3 द य ा = 7

III ब य ा = 2y द य ा = 9 ndash y Iv ब यॉ = 2y द य ा = 6

I ब य ा = 15 द य ा = 2a + 5

3 I 2y ndash 3 = 17 II = 7 III y ndash 5 = 8

IV 3y + 11 = 44 V 7y - 5 = 9

4 (i) सखय म स 6 कम करन पर 9 पर पत होत ह

(ii) सखय क 7 गन म स 14 कम करन पर शनय पर पत होत ह

(iii) सखय क दगन म तीन क भ ग दन पर 6 पर पत होत ह ऄथव दकसी सखय

क दो नतह इ 6 पर पत होत ह

(iv) सखय क अध म 5 जोड़न स 10 पर पत होत ह

(v) 38 म स दकसी सखय क दगन कम करन पर 4 पर पत होत ह

परशनावऱी 142

(i) x = -1 (ii) z = 8 (iii) y = 3 (iv) y = 3 (v) x = 6

(vi) z =

2- (i) x= 2 (ii) z = 4 (iii) x = 75 (iv) y = 13 5

4 25

5 40

6 20

7 13 मीटर

y

6

7

3

P a g e | 224

परशनावऱी 16

(1) बनद अकनतय -

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii) (ix)

(2) (a) 12 वगम समी (b) 10 वगम समी

(c) 72 वरग मीटर (d) 135 वगम मीटर

(3) (a) 36 वगम समी (b) 144 वगम समी

(c) 169 वगम समी (d) 1225 वगम समी

(4) (a) 20 वगम समी (b) 24 वगम समी

(5) 36 वगम समी

परशनावऱी 17

1) (i) 12 समी (ii) 12 समी (iv) 6 समी

(vi) 8 समी (vii) 8 समी (viii)15 समी

2) (i) 42 समी (ii) 36 समी

(iii)12 समी (iv) 3 मीटर य 300 समी

3) (i) सतय (ii) ऄसतय (iii)ऄसतय (iv) सतय

4) (i) 60 समी

5) 14 मीटर

6) (i) 8समी (ii) 16समी (iii)32 समी (iv) 24 समी

(v) 20 समी (vi) 13 समी (vii) 18 समी

7) 280 मीटर

उततरमाऱा 181

1

P a g e | 225

उततरमाऱा 182

पर1

पर2 सवयॊ बताओ

पर3 पर4

पर5

पर6

पर7

पर8 3 8 11 13 18 22 33 44 55 66 77 88 99 83 38 80

P a g e | 226

उततरमाऱा 19

परषन 1

परषन 3 (क) नदवतीय शरणी (ख) 40 (ग) 36

P a g e | 227

पररनशषट

वददक गनणत की नवनधय ा

अप पण ाक प ठ क ऄतगमत वददक गनणत की नवनधयो स घट न व गण करन सीखग आस सीखन

क पवम अपको वददक गनणत की कछ पवम ऄवध रण ओ को ज नन अवशयक ह नजनकी चच म यह ा की ज

रही ह -

ऄभी तक अपन जोड़न घट न गण एव भ ग करन सीख नलय ह आन सदिय ओ को

करन की कछ सरल और मजद र नवनधय ा वददक गनणत म भी ह यह ा हम ईन नवनधयो स अपक पररचय

कर एाग आन नवनधयो क ब र म ज नन क पहल अआए ऄको स पररचय कर ल -

ऄक - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 य दस ऄक ह आनही ऄको क परयोग कर सभी सखय एा नलखी

ज ती ह

बीज क - वददक गनणत म 1 स 9 तक क ऄको को बीज क कहत ह दकसी सखय क बीज क जञ त

करन क नलए सखय क ऄको क योग तब तक करत ह जब तक एक ऄक की सखय पर पत न

हो ज ए

ईद हरण क नलए -

35 क बीज क जञ त करन क नलए आसक ऄको को जोड़ग

3 + 5 = 8

ऄतः 35 क बीज क 8 ह

आस परक र ndash

97 क बीज क -

9 + 7 = 16 लदकन 16 म 2 ऄक ह

ऄतः आसक ऄको को भी जोड़ग

1 + 6 = 7

ऄतः 97 क बीज क 7 ह

P a g e | 228

परम नमतर ऄक - नजन 2 ऄको क योग 10 होत ह व अपस म (एक दसर क) परम नमतर कहल त ह

जस - 1 + 9 = 10

ऄतः 1 क परम नमतर 9 ह

और 9 क परम नमतर 1 ह

अआए ऄब थोड़ ऄभय स कर

ऄभय स

1 सखय एा नलखन क नलए कौन-कौन स ऄको क परयोग होत ह

2 नीच नलखी सखय ओ क बीज क बत आए -

(i) 12 (ii) 15 (iii) 17 (iv) 19

(iv) 37 (v) 44 (vi) 56 (vi) 67

(vi) 96 (vi) 183

3 आनक परम नमतर बत आए ndash

(i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5

एक नधकन पवण

एक नधकन पवण क मतलब ह पहल की सखय स एक ऄनधक

जस 2 क एक नधक ह 3 आसी परक र 3 क एक नधक ह 4

कय अप 1 स 9 तक परतयक सखय क एक नधक बत सकत ह

एक नयनन पवण

एक नयनन पवण क ऄथम ह पहल की सखय स एक कम

जस 8 क एक नयनन 7 ह आसी परक र 5 क एक नयनन 4 ह ऄब अप 9 स 1 तक परतयक

सखय क एक नयनन बत आए

P a g e | 229

वददक गनणत की नवनधयो म ऄनक सथ नो पर एक नधकन पवण और एक नयनन पवण क

ईपयोग होत ह

ऄब बत आए

आन सखय ओ को दो ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 22 (ii) 43 (iii) 30 (iv) 58

कभी-कभी सखय क एक स ऄनधक ब र एक नधक ऄथव एक नयन करन की भी

अवशयकत होती ह

जस 12 क एक ब र एक नधक करन पर 13 13 स पनः एक नधक करन पर 14 ऄथ मत 12 स

दो ब र एक नधक करन पर सखय 14 पर पत होती ह

अआए ऄब 12 स ही दो ब र एक नयन करत ह

12 स एक ब र एक नयन करन स 11 नमल 11 स एक ब र एक नयन करन पर 10 नमल

ऄथ मत 12 स दो ब र एक नयन करन पर सखय 10 पर पत होती ह

आन सखय ओ को तीन ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 23 (ii) 15 (iii) 36 (iv) 42

ऄपन मन स सखय एा लकर ईन सखय ओ क एक नधक करन क ऄभय स कीनजए

ऄब बत आए

नीच नलखी सखय ओ को दो ब र एक नयन करन पर कौन-कौन सी सखय पर पत होगी

(i) 16 (ii) 30 (iii) 67 (iv) 75

आनही सखय ओ को 3 एक ब र नयनन करन पर कौन-कौन सी सखय एा नमलगी

ऄपन मन स कछ सखय एा चनकर दो एव तीन ब र एक नयन करन क ऄभय स कीनजए

P a g e | 230

परम नमतर की सह यत स जोड़न

यदद दकसी सखय म 1 2 3 जोड़न हो तो अवशयकत क ऄनस र एक नधक कर जोड़ ज

सकत ह

परनत जब जोड़ ज न व ली दोनो सखय एा 5 स बड़ी हो तब परम नमतर की सह यत स

जोड़न अस न होत ह

अआए आसक एक ईद हरण दख -

9

+ 7

यह ा हम 9 और 7 को जोड़न ह 9 क परम नमतर ऄक 1 ह

ऄतः 7 स 1 लकर 9 म नमल ददय

ऄब 9 + 1 = 10

और 7 स 1 ननक लन पर बच 6

10 म 6 जोड़न पर नमल 16

ऄथ मत 9

+ 7

1 6

आसी परक र परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए-

(i) 7 + 8 (ii) 8 + 6 (ii) 9 + 8 (iv) 6 + 9

आसी परक र 5 स बड़ी दो सखय एा लकर ईनह परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए

P a g e | 231

2

81

45

)1(

27

81

45

)1(

81

45

2

81

45

27

81

45

एक नधक नचहन () लग कर जोड़न

अप ह नसल लग कर जोड़न की नवनध ज नत ह अआए यही स शर करत ह एक ईद हरण ल

ईद हरण 1 हल कीनजए -

आक इ क ऄको को जोड़न पर ( 4+8) 12 पर पत होत ह आस योगफल की आक इ 2

को योगफल क रप म नलखत ह और ह नसल 1 को दह इ क सतमभ म 5 क उपर

नलखत ह

ऄब दह इ क सतमभ क सभी ऄको को जोड़त ह

ह नसल क 1+5 +1=7 आस दह इ क योगफल क रप म नीच नलखत ह

योगफल 72 पर पत होत ह

यदद आक इ क ऄको क जोड़ स नमलन व ल

ह नसल 1 को नबनद क रप म दआ इ क सतमभ म लग ल तो भी योगफल वही पर पत

होग एक ब र दफर आसी जोड़ को दख

आक इ क 4 और 8 क जोड़ 12 नमल

12 क 2 को योगफल क रप म आक इ म नलख और ह नसल 1 को दह इ

क 1 क उपर नबनद क रप म ऄदकत कर आस नबनद को ही एक नधक

नचहन कहत ह

ऄब दह इ क ऄको को जोड़ 5 +(middot)+1 = 7 (middot) को 1 नगन

कल योगफल 72 पर पत हअ

एक और ईद हरण दख

ईद हरण 2 हल कीनजए -

81

45

42

64

P a g e | 232

0

42

64

07

42

64

आक इ क 6 और 4 को जोड़ 6+4=10 नमलग

जोड़ 10 क 0 को योगफल क रप म आक इ क सतमभ म नलख

ह नसल 1 को एक नधक (bull) क रप म 2 क उपर लग एा

ऄब दह इ क जोड़ कर 4 +(bull)+2=7

(bull) को 1 नगन

कल जोड़ 70 पर पत हअ

आस यनकत स तब अस नी होती ह जब सखय एा दो स ऄनधक हो

ईद हरण 3 हल कीनजए -

आक इ क 7 और 8 को जोड़ 15 नमलग

1 को एक नधक नचहन क रप म 4 क उपर ऄदकत कर और 5 को 9 स जोड़ 14

नमलग 14 क 1 को एक नधक नचहन क रप म दह इ क 1 क उपर ऄदकत कर 4

को योगफल क रप म नीच नलख ऄब दह इ क ऄको को जोड़

2+(bull)+4+(bull)+1=9

ईद हरण 4 हल कीनजए -

हल-

91

84

72

91

52

81

P a g e | 233

26

91

52

81

82

57

1 + (bull) + 2 + (bull) + 1 तर 6

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर योग कर-

1 2 3 4 5 6

एक नधक नचहन (bull) लग कर घट न ndash

घट न क ऐस सव ल जह ा सखय ओ क पनसायोजन ( ईध र लन व ल परशन) करन पड़त ह हम

एक नधक नचहन लग कर घट त ह यह ा हम वददक गनणत की एक और ऄवध रण परमनमतर क ईपयोग

करन होत ह (ऐसी दो सखय एा नजनक योग 10 होत हो एक दसर की परमनमतर कहल ती ह जस 3 क

परमनमतर 7 ह और 7 क परमनमतर 3 कयोदक 3+7=10 आसी तरह और 6 और 4 क परमनमतर ह 5 सवय

क परमनमतर ह) अआए एक ईद हरण स घट न की दिय समझत ह

ईद हरण 1 - हल कर

6 स 7 को नही घट सकत 7 क परमनमतर 3 को 6 स जोड़

9 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख और 1 क उपर एक नधक

नचहन (bull) लग एा

ऄब 3 म स (bull) +1 य न 2 घट एा

1 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख हल 19 नमलग

ईद हरण 2 हल कीनजए ndash

63

32

54

83

42

71

82

71

51

91

82

73

63

71

82

71

63

P a g e | 234

5 म 8 नही घट सकत ( 8 क परमनमतर 2 को 5 स जोड़ 7 नमलग )

आस पररण म क रप म नीच नलख

2 क उपर एक नधक नचहन (bull) लग एा

7 म स (bull)+2 य न 3 घट एा

4 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख

हल 47 नमलग

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर घट एा

1 2 3 4 5 6

81

27

91

73

82

04

62

53

82

64

93

86

• 1
• 2 6th Math front page 1-8
• 3 Final Math 6th Unicode book
• 4

गणणत णसखान क बार म परमख बात यह ह दक इसम बचचो को सिय समसयाए हल करन का पयाषपत मौका

णमल गणणत बतान ि समझान स नही सीखा जाता िरन समझन स ि अपन ददमाग म ढाच बनान स आग

बढ़ता ह अतिः हम बचचो को समझन ि अपन ददमाग म उसका ढाचा बना लन क मौक दन ि इसका कौशल

णिकणसत करन पर जोर दना चाणहए

गणणत णशकषण

हम जानत ह दक गणणत अधययन क समसत कषतरो तथा णजनदगी क सभी दकरया-कलापो म उपयोग म

आता ह परनत यह उस उपयोग तक सीणमत नही ह यदयणप ठोस अनभिो ि ठोस िसतओ का इसक शर म बहत

महति ह इसम सीखन िाल को करमशिः अमतष णिचारो को समझकर आग बढ़ना होता ह इसस यह सपषट ह दक

गणणत णशकषण का कनदर णबनद गणणतीय अिधारणाओ को णशकषाथी को सिय बनान म मदद दना ह न दक उनह

अिधारणाए बताना अथिा रटाना हम गणणत णशकषण म परमख बात सिाल समझाना नही िरन बचचो को

सिालो को हल करन का बणहचक परयास करन का मौका दना चाणहए

इसणलए उचच पराथणमक सतर क गणणत णशकषण म हम ठोस िसतओ ि अनभिो क माधयम स सीख गए

गणणत का उपयोग करत हए वयापकीकत गणणतीय अिधारणा को बनान म णशकषाथी को मदद दनी चाणहए अतिः

सभी अधयायो क णशकषण म इस बात को रखादकत कर लना चाणहए दक आप अधयाय म कौन स गणणतीय णनयम

ि उसकी वयापकीकत अिधारणा को बनाना चाहत ह इसी गणणतीय णनयम ि अिधारणा को णशकषाथी अपन

आप स बना सक इस बात को धयान म रखकर अभयास का ढााचा ि सिाल बनाना चाणहए अभयास क परशनो म

णशकषाथी को सिय समसयाएा हल करन का पयाषपत मौका णमलना चाणहए

उचच पराथणमक शाला म गणणत णशकषण क सामानय उददशय

1 पराथणमक सतर क जञान का सदढ़ीकरण हो सकगा

2 बचचो म िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी की अिधारणाए णिकणसत करना

3 दणनक जीिन म गणणत क आधार की समझ ि उसका उपयोग करन की कषमता

4 िाणणजय गणणत कषतरणमणत परारणमभक साणखयकी सबधी सरल समसयाओ को हल करन की कषमता का

णिकास

5 रखगणणतीय परशनो को हल करन की दकषता णिकणसत करना परशन क णिणभनन चरणो क आपसी सबधो

एि तारदकक अनमान लगान ि गणणतीय अिधारणा को समझना

6 परारणमभक बीज गणणत क आधार को समझना

7 साणखयकी गराफ णचतर चाटष मॉडल की समझ उनक परयोग की दकषता परापत करना

8 तकष कषमता उपपणतत ि णसदध करन का तरीका पटनष पहचानना

9 समसयाए समझना ि हल करन क साथ-साथ अिधारणाओ क आधार पर नए सिाल और समसयाए

बनाना

10 राषटरीय एकता एकरपता पयाषिरण सरकषा छोट पररिार का आदशष सामाणजक बराईयो को दर करना

समानता सबधी जागरकता णिकणसत करना इन उददशयो को भी धयान म रखत हए गणणत का

पाठयकरम बनाया गया ह

11 ककषा 6 म ऋणातमक सखयाएा चर की अिधारणा ि उनका उपयोग समीकरण सखया समहो की

धारणा ि उनक गण तथा णभनन सखयाओ पर समय लगान की आिशयता ह कयोदक यह आग क गणणत

का आधार ह इसी परकार रखागणणत की धारणा का सदढ़ पररचय इसी ककषा म शर होता ह इन सभी

क णलए पयाषपत अभयास ि मौक चाणहए होग

सचालक

राजय शणकषक अनसधान और परणशकषण पररषद

छततीसगढ़ रायपर

णिषय-सची

1 पराकत सखयाएा 1-3

2 पणष सखयाएा एि पणष सखयाओ पर सदकरयाएा 4-18

3 रखाखणड 19-30

4 पणााक 31-49

5 ितत 50-53

6 गणनखणड एि गणज 54-72

7 णभनन 73-88

8 कोण 89-105

9 णतरभज एि चतभषज 106-127

10 अनपात 128-140

11 चर सखया 141-143

12 बीजीय वयजक 144-147

13 परणतशतता 148-156

14 समीकरण 157-167

15 रखा गणणतीय रचनाएा 168-177

16 कषतरणमणत-1 (कषतरफल) 178-184

17 कषतरणमणत-2 (पररमाप) 185-195

18 समणमणत 196-208

19 साणखयकी 209-217

उततरमाला 218-226

पररणशषट-िददक गणणत की णिणधयाा iviii

गणणत क कषतर म भारत का गौरिशाली योगदान

अब तक आपन भाषा एि गणणत को मखय णिषय क रप म पढ़ा ह गणणत पढ़ात समय आपक मन म यह

णजजञासा अिशय ही उतपनन हई होगी दक इस महतिपणष णिषय का उतथान कस हआ इसक अभयतथान म

भारतिाणसयो का कया योगदान ह

भारत िषष म गणणत क णिकास का इणतहास अतयनत गौरिशाली ह आज समपणष णिशव म शनय पर

आधाररत दाशणमक सथानमान अक पदधणत का णिकास भारत म ही हआ था णसनध सभयता की णलणप को आज

पयषनत पढ़ा नही जा सका परनत हड़पपा ससकणत क पराताणतिक अिशषो स यह पता चलता ह दक उनका गणणत

जञान णिशषकर कषतरणमणत का जञान अतयनत उननत था णसनध सभयता क कषतरणमणत क जञान को आयष भाणषयो न यजञ

क णलए िददयो क णनमाषण म दकया था

जब यरोप म गणणत क शोध क कषतर म अधकार का एक दौर चल रहा था उस समय भारत म आयषभटट

बरहमागपत महािीराचायष भासकराचायष जस कई महान गणणतजञ भारत म गणणत की गौरिशाली परमपरा को

आग बढ़ा रह थ

आयषभटट न िगष िगषमल घन घनमल िगषकषतर णतरभज का कषतरफल ितत का कषतरफल गोल का धनफल

आदद का अनमान लगान का णनयम बनाया उनहोन ितत की पररणध और वयास का अनपात णजस हम (पाई) क

नाम स जानत ह चार दशमलि सथानो तक शदध परापत दकया

बरहमगपत न आयषभटट की परमपरा को आग गढ़ात हए गणणत को और अणधक समदध बनाया बरहमगपत

पहल भारतीय गणणतजञ ह णजनहोन पाटीगणणत (अकगणणत) और बीजगणणत क रप म गणणत को दो भागो म

बाटा एि बीज गणणत म शनय का उपयोग करन िाल ि परथम भारतीय गणणतजञ थ

भारतीय गणणत की गौरिशाली परमपरा को आग बढ़ान म महािीराचायष का बहत बड़ा योगदान ह

उनहोन णभननो को जोड़न तथा घटान क णलए कई णनयम ददए तथा णभननो स सबणधत कई मनोरजक एि रोचक

उदाहरण ददए

भासकराचायष परथम गणणतजञ थ णजनहोन शनय को एक परमालप (अतयनत छोटी) सखया माना तथा यह

कहा दक दकसी सखया को शनय स भाग दन पर अननत परापत होता ह

इस परकार अनकानक भारतीय गणणतजञो न गणणत क णिकास क णलए अतयनत महतिपणष योगदान ददया

णजनक कायो की सराहना समपणष णिशव करता ह

प ाच फल

दननक जीवन म वसतओ को नगनन की अवशयकत पड़ती ही ह

अआय नगनन क कछ ईद हरणो को दख -

1 सध क म त नपत तनद पतत तोड़त ह तथ सध 50-50 तनद पततो की गनिय ा बन न म ईनकी

सह यत करती ह

2 र ध छटटी क ददन सबजी बचन म ऄपन म ा की सह यत करती ह तथ नहस ब दकत ब रखती ह

3 सरश क नपत क डयरी फ मम ह वह रोज़ न सबह-श म ज नवरो की नगनती करत ह तथ दध

क नहस ब रखत ह

आस परक र अप भी परनतददन कइ ब र नगनन क क यम करत ह नीच कछ नचतरो क समह

ददए गए ह ईन नचतरो क समह को अप कय न म दग ईन न मो को नचतरो क नीच ददय गय ब कस म

नलनखए एक क न म हमन नलख ददय ह

दिय कल प 1

ईपरोकत नचतर समह क न म प ाच फल प ाच गद प ाच पनततय ा एव प ाच चशम हो सकत ह आस

परक र नगनती स पर पत सखय दकसी ख स वसत स जड़ी नही ह वह तो एक नवच र य सोच ह आसी सोच को

ऄलग-ऄलग भ ष ओ म नलनखत रप स नभनन-नभनन सकतो दव र दश मय ज त ह जस प ाच को नहनदी म Dagger

ऄगरजी म 5 तथ रोमन म V स दश मय ज त ह परतयक सखय परण ली म परतयक सखय क नलए एक

नननित सकत होत ह

पर चीन क ल म जब मनषय क प स नगनती क सकत नही थ तब भी नगनती क क यम नवनभनन तरीको

स होत थ जस पतथर रखकर बीज रखकर रससी पर ग ठ ब ध कर आतय दद आसी परक र कइ तरीको

1

पर कत सखय

2

स नगनन क क यम दकय ज त थ जब वसतओ को नगन ज त थ तो परतयक वसत क बदल एक पतथर

य एक बीज ऄलग रख ज त थ ऄथव एक ग ठ लग इ ज ती थी आस ही एक-एक सगतत कहत ह

यदद दकसी ककष म 10 मज़ ह तथ 10 मजो क नलए 10 करससय ा ननध मररत ह तो मज़ तथ करससयो

क बीच एक-एक सगतत ह

परतयक मज़ क नलए एक कसी की अवशयकत ह कसी और मज़ म एक-एक सगनत ह

कय अप श ल म बसतो को नगन कर ईपनसथत छ तरो की सखय बत सकत ह

चदक परतयक छ तर स एक बसत सबनधत ह ऄतः छ तर एव बसत क बीच एक-एक सगतत ह आस

परक र दकसी ककष म रख 32 बसतो स यह सोच बनती ह दक ककष म 32 छ तर ईपनसथत ह

अपको गणन करत समय दकन-दकन ऄको की अवशयकत होती ह गणन क ऄक कह ा स पर रभ

होत ह अआय आन परशनो क ईततर ढढ़

गणन करत समय 10 सकतो 1234567890 क ईपयोग दकय ज त ह तथ गणन क

क यम 1 स पर रभ होत ह आनही ऄको को नमल कर सखय एा नलखी ज ती ह

गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह ईनह पर कत सखय (Natural Number) कहत ह

पर कत सखय ओ क समह को N स दश मत ह

ऄथ मत पर कत सखय (N) = 123 अदद

सबस छोटी पर कत सखय 1 ह आन सखय ओ क एक गण यह ह दक हर सखय ऄपन ठीक पहल की

सखय स 1 जय द ह ऄथ मत दकसी पर कत सखय म एक जोड़न पर ऄगली सखय पर पत सखय म 1 जोड़न पर

ईसकी ऄगली सखय पर पत होगी दसर गण यह ह दक सखय ओ की यह एक ऐसी सची ह जो बढ़ती ही

ज ती ह आन दोनो गणो को ईद हरण लकर ज नचए

दिय कल प 2

नीच दी गइ सखय ओ को बढ़त एव घटत िम म नलनखए -

सखय एा बढ़त िम म घटत िम म

151227913314918 912131518273149 493127181513129

98336249107

6778755725

103113131301331

3

द क त न ी स व र ी

ग न ड य ा ग ज र ी

1 गणन क नलए नजन सखय ओ क ईपयोग दकय ज त ह

ईनह पर कत सखय एा कहत ह

2 123456 - - - आतय दद सभी पर कत सखय ए ह

3 पर कत सखय ओ क समह को N स वयकत करत ह

ऄथ मत N = 1234 आतय दद

4 सबस छोटी पर कत सखय एक ह

5 पर कत सखय म एक जोड़ कर ऄगली पर कत सखय पर पत की

ज सकती ह

6 सबस बड़ी पर कत सखय नही पर पत की ज सकती ह ऄथ मत

दकसी सखय म एक जोड़कर ऄगली बड़ी सखय पर पत होगी

पर पत सखय म जोड़कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत होती

रहगी

आस अध र पर हम कह सकत ह दक 9lt12lt13lt15lt18lt27lt31lt49

य 49gt31gt27gt18gt15gt13gt12gt9

सोच कर ईततर ढादढ़ए सबस बड़ी पर कत सखय कौनसी होगी

कय दस ल ख स बड़ी कोइ सखय ह दस करोड़ स

तो दफर सबस बड़ी सखय कय होगी

परशन वली 1

1 सबस छोटी पर कत सखय कौनसी ह

2 41600 तथ 41006 म कौन सी सखय बड़ी ह

3 ईपयकत नचहन gt lt य = क परयोग कर ख ली ब कसो म परसत कीनजए -

(i) 45 21 (ii) 543 345

(iii) 15 15 (iv) 5304 5340

(v) 10991 - 10091 (vi) 99876 99786

4 1 स 100 क बीच की सखय एा नलखन क नलए दकतन ब र 9 क परयोग करन पड़त ह

5 च र ऄको की सबस बड़ी पर कत सखय तथ तीन ऄको की सबस छोटी पर कत सखय क

बीच क ऄतर ननक नलए

हमन सीख

4

पणम सखय (Whole Number)

अपन नपछल प ठ म गणन सखय ऄथव पर कत सखय क ब र म पढ़ ह

1234 आतय दद पर कत सखय एा ह कय अप बत सकत ह दक यदद दकसी पर कत सखय म

स ईसी पर कत सखय को घट य ज ए तो शषफल दकतन होग

जस 2 - 2 = 0 5-5 = 0 यह ा 0 (शनय) पर पत हो रह ह कय यह पर कत सखय ह

नही शनय पर कत सखय नही ह परत हम आसकी

अवशयकत ह यदद दकसी पड़ पर प ाच नचनड़य बठी हो और

प ाचो ईड़ ज एा तो पड़ पर बठी नचनड़य ओ की सखय कय

होगी आस परशन क जव ब दन क नलए गणन सखय क स थ-

स थ शनय की भी अवशयकत होगी वह सखय ओ क समह

नजसम गणन सखय क स थ शनय भी श नमल ह पणम सखय

कहल ती ह पणम सखय को W स परदरसशत करत ह ऄथ मत

पणम सखय (W) = 012345 - - - आतय दद

अआय शनय को समझन क परय स कर

1 सगीत क प स 10 र ह ईसन 7 र की कॉपी तथ 3 र क न खरीद तो ईसक प स दकतन

रपय शष बच 10 - 7 = 3 (कॉपी क द म कम दकय )

3 - 3 = 0 (पन क द म कम दकय )

सगीत क प स शनय रपय बच आस 0 नचनह दव र दश मत ह

2 र म की म ा न र म को 5 लडड ददए र म न 2 लडड मोहन को नखल ददय और 3 र म न ख

नलय ऄब र म क प स दकतन लडड बच

3 रहीम क प स 100 पज की एक कॉपी ह नजसम ईसन 80 पज पर गनणत तथ 20 पज पर

नवजञ न क क यम दकय ह ईसकी आस कॉपी म दकतन पज शष बच

पणम सखय ओ को सखय रख पर दश मन

पणम सखय को एक सरल रख पर ददख न क नलए ऄपनी कॉपी म नचतर नस र एक सरल रख

खीनचए नजसम सम न दरी पर कइ नचहन लग हो

2 परण सॊखया एवॊ

परण सॊखया पर सॊकरियाएॉ

नचतर 3

नचतर 2

आसम पर रनभक नबनद को 0 स ददख ए शनय क द ायी ओर क नबनदओ पर िमशः 1234 - - -

आतय दद सखय एा नलख कय सखय रख को दखकर अप बत सकत ह दक कौन-सी सखय बड़ी ह आसक

नलए सोनचए दक दकसी सखय क ब य ओर की सखय ईस सखय स बड़ी होगी य छोटी

पणम सखय ओ क गण

अप ज नत ह दक 012345 आतय दद पणम सखय एा ह अआए आनक गणो क ऄधययन कर-

1) पर कत सखय क सभी गण पणम सखय ओ क नलए भी सही ह

2) सबस छोटी पणम सखय 0 ह

3) सखय रख पर 0 स द नहन ओर िमशः पणम सखय बढ़त िम म ददख यी गयी ह ऄथ मत 0 +1 =

1 1 + 1 = 2 101 + 1 = 102 102 + 1 = 103 103 + 1 = 104 आतय दद

4) सखय रख पर द नहन ओर स ब ाए ओर क िम घटत िम म ह जस 43210

5) सबस बड़ी पणम सखय नही ददख इ ज सकती कयोदक यदद अप कोइ बड़ी स बड़ी सखय सोचत ह

तो ईसम एक जोड़ कर ईसकी ऄगली बड़ी सखय पर पत की ज सकती ह जो ईस सखय की परवती

सखय होगी

6) 50 की पवमवती सखय 49 ह 17 की पवमवती सखय 16 ह कय शनय की भी पवमवती सखय होगी

सखय रख पर सदिय ए

1 पणम सखय ओ क योग -

दिय कल प 1

सखय रख पर 3 + 2 = 5 ददख आए

1 सखय रख बन आए

2 शनय स द नहनी ओर 3 सथ न चल (3 पर पहाच)

3 ऄब 3 स अग दो सथ न चल (कह ा पहा च)

4 आस परक र ऄब शनय स दरी 5 ह ऄतः 3 + 2 = 5 होग

+3 +2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 पणम सखय ओ क घट न

3 पणम सखय ओ क गण

ऄभय स 21

क अप सवय भी आसी परक र सखय रख बन कर ननमन परशनो की ज च कररए

(i) 4 + 5 (II) 6 + 4 (iii) 5 + 7

ख कय 3 + 4 = 4 + 3 ह सखय रख पर ज नचए

सखय रख पर दकसी बड़ी पणम सखय स छोटी पणम सखय घट इ ज सकती ह यदद सम न पणम

सखय को घट एा तो ऄतर 0 पर पत होत ह अआए आसक नलए एक दिय कल प कर

दिय कल प 2

8 - 5 = 3 को सखय रख पर दश मन

1) एक सखय रख खीनचए

2) 0 स 8 भ ग द यी ओर चल

3) ऄब 8 स 5 भ ग ब यी ओर चल (घट न क नलए ब यी ओर चलग)

4) चदक अप की नसथनत 0 स 3 भ ग द यी ओर ह ऄतः 8 - 5 = 3 होग

सोनचए छोटी सखय स बड़ी सखय घट न पर भी कय हम पणम सखय नमलगी

ऄभय स 22

सखय रख बन कर ननमननलनखत ईद हरणो की ज च कर

(i) 6-2 (ii) 7 - 4 (ii) 8 - 3

सखय रख पर पणम सखय क गण को दश मय ज सकत ह

जस 3 x 4 = 12 य 3 + 3 + 3 + 3 = 12

गण दकसी सखय को ब र-ब र जोड़न की परदिय ह अआए आस सखय रख पर करक दख

4 पणम सखय ओ क भ ग

दिय कल प 4

दिय कल प 3

1) सवमपरथम सखय रख खीनचए

0 स 3-3 क ख न बन कर च र ब र अग बढ़ आस परक र अप 0 स 3 3 स 6 6 स 9 तथ 9 स 12

पर पहचत ह

ऄतः 3 x 4 = 12

ऄभय स 23

1 सखय रख पर ननमननलनखत परशनो को दश मआए

(i) 4 x 3 (ii) 3 x 2 (iii) 0 x 2

(iv) 2 x 3 (v) 3 x 3

कय अप बत सकत ह दक यदद 12 स 3-3 क ख न बन कर दकतनी ब र ब यी ओर चल

दक 0 पर पत हो ज ए आस दिय को करन क नलए अआय एक दिय कल प करत ह

अप ज नत ह दक भ ग ब र-ब र घट न की परदिय ह

ऄतः 12 divide 3 म 12 - 3 = 9 (एक ब र) 12 स 3-3 क ख न बन कर ब यी ओर

9 - 3 = 6 (दो ब र) च र ब र चलन पर शनय पर पहचत ह

6 - 3 = 3 (तीन ब र) ऄतः 12 divide 3 = 4

3 -3 = 0 (च र ब र)

कय अप सखय रख पर दश मकर ज ाच सकत ह दक 8 को 3 स पणमतः भ ग ददय ज सकत ऄथव

नही

ऄभय स 24

1 ननमननलनखत पणम सखय ओ क भ ग सखय रख पर ददख आए

(i) 8 divide 2 (ii) 8 divide 4 (iii) 8 divide 1 (iv) 8 divide 8

सथ नीय म न

गणन क नलए 0123456789 दस ऄको क परयोग दकय ज त ह आस परण ली को

द शनमक परण ली कहत ह द शनमक परण ली म दह इ की सखय क सथ नीय म न आक इ की सखय क

सथ नीय म न क 10 गण सकड़ की सखय क सथ नीय म न दह इ की सखय क सथ नीय म न क 10

गण तथ हज र की सखय क सथ नीय म न सकड़ की सखय क सथ नीय म न क 10 गण ह आसस अग

भी आसी परक र सखय पदधनत म और बड़ी सखय ओ तक पहचत ह

जस 769 = 7 x 100 + 6 x 10 + 9 x 1

769 म सथ नीय म न िमशः 700 60 और 9 ह -

सथ न सकड़ दह इ आक इ

सथ नीय म न 7 x 100 = 700 6 x 10 = 60 9 x 1 = 9

यही क रण ह दक 769 को 700 + 60 + 9 क नवसत ररत रप स ददख त ह

ईद हरण 1

सखय 4579 म 5 क सथ नीय म न बत आय

हल यह दी गयी सखय 4579 म 5 सकड़ क सथ न पर ह

ऄतः 5 क सथ नीय म न = 5 x 100 = 500

ईद हरण 2

सखय 3214 म सभी ऄको क सथ नीय म न नलखकर आसक सतयत की ज च कीनजए

हल

सखय 3214 म 4 आक इ क सथ न पर ह आसी परक र 1 दह इ 2 सकड़ व 3 हज र क सथ न पर ह

4 क सथ नीय म न = 4 x 1 = 4

1 क सथ नीय म न = 1 x 10 = 10

2 क सथ नीय म न = 2 x 100 = 200

3 क सथ नीय म न = 3 x 1000 = 3000

ज ाच 3214 = 3000 + 200 + 10 + 4 = 3214

ईद हरण 3

393237310 की परवती (अग की) सखय जञ त कीनजए

हल

393237310 की परवती सखय

= 393237310 स 1 ऄनधक

= 393237311

ईद हरण 4

393237310 की पवमवती (पीछ की) सखय जञ त कीनजए

हल

= 393237310 स एक कम

= 393237309

परशन वली 21

1 सबस छोटी पर कत सखय कौन सी ह

2 कौन सी पणम सखय पर कत सखय नही ह

3 वह पणम सखय बत आए जो 5 की पवमवती ह

4 45 की ऄगली तीन िम गत सखय एा नलनखए

5 41608 तथ 41806 म कौन सी सखय बड़ी ह

6 नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय पहच ननए

i सबस छोटी पर कत सखय शनय ह ( )

ii सबस छोटी पणम सखय शनय ह ( )

iii दकसी पर कत सखय म ईसी पर कत सखय को घट न स शषफल शनय नमलत ह ( )

iv 4215 म 2 क सथ नीय म न 200 ह ( )

v 4215 म 2 क ऄदकत म न 2 ह ( )

vi सबस बड़ी पणम सखय नही बत इ ज सकती ह ( )

vii 3857 म 8 हज र क सथ न पर ह ( )

viii 41 एव 50 क बीच 9 पणम सखय एा ह ( )

7 ननमननलनखत सखय ओ की पवमवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 79 (iii) 520 (iv) 1100 (v) 52332

8 ननमननलनखत सखय ओ की परवती सखय एा नलनखए -

(i) 25 (ii) 520 (iii) 1100 (iv) 52332

9 छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय नलनखए

10 प ाच ऄको की सबस बड़ी पणम सखय नलनखए

11 प ाच ऄको की सबस बड़ी व छः ऄको की सबस छोटी पणम सखय क ऄतर जञ त कीनजए

12 ननमननलनखत सखय ओ को बढ़त िम म नलनखए

252 557 18 421 497 731

13 ननमननलनखत सखय ओ को घटत िम म नलनखए

225 458 69 59 617

14 ननमननलनखत म कौन सी सखय स त ल ख प च हज र छः ह

(i) 750006 (ii) 705006 (iii) 7005006 (iv) 750006

15 6 x 1000 + 3 x 100 + 8 x 10 + 7 x 1 को एक सखय क रप म नलनखए

16 सखय रख पर दश मआय दक नीच ददय गय हल सही ह

(i) a 4 + 3 = 7 b 3 + 4 = 7

c 0 + 2 = 2 d 2 + 0 = 2

e 4 + 3 = 3 + 4 की ज च कर

(ii) a 4 - 3 = 1 b 7 - 4 = 3

c 6 - 2 = 4 d 10 - 5 = 5

e 5 - 2 व 2 - 5 की ज च कर

(iii) a 2 x 3 = 6 b 3 x 2 = 6

c 2 x 5 = 10 d 5 x 2 = 10

(iv) a 6 divide 2 = 3 b 8 divide 4 = 2

अप ज नत ह दक दो पणम सखय ओ क योगफल हमश एक पणम सखय होती ह यह पणम सखय ओ

क योग क नलए सवरक ननयम ह

यदद पणम सखय ओ क गणनफल हमश पणम सखय हो तो पणम सखय एा गण क नलए सवरक ननयम

क प लन करती ह आसी परक र यदद दो पणम सखय ओ क भ गफल सदव पणम सखय हो तो वह भ ग क

नलए तथ यदद दो पणम सखय ओ क ऄतर सदव पणम सखय हो तो वह घट न क नलए सवरक ननयम क

प लन करगी

अआय नीच ददय गय दिय कल प स दख दक पणम सखय एा दकन-दकन सदिय ओ क नलए सवरक

ननयम क प लन करती ह

दिय कल प 5

अपको कछ सखय ओ की स रणी दी गइ ह स रणी म पहली पनकत म नजस परक र सभी ख नो को

भर गय ह ब की पनकतयो को ईसी परक र भररए ि 8 क ब द अप सवय सखय नलखकर पनकत क सभी

ररकत ख नो को भर

भ गफ

ल पणम

सखय

हनही

ह नही ह

पहली पणम

सखय divide

दसरी पणम

सखय

3divide

12

=

गणनफल

पणम सखय

हनही ह

ह

पहली पणम

सखय

x

दसरी पणम

सखय

3x1

2=

36

ऄनतर पणम

सखय हनही

ह

नही ह

पहली पणम

सखय

- दसरी

पणम सखय

3-1

2=

योगफल

पणम

सखय हनही

ह

ह

पहली पणम

सखय

+ दसरी

पणम सखय

3+

12

=1

5

दसरी पणम

स

12

13

0

8

15

1

9

11

पहली

पणम स

3

39

5

0

11

99

27

11

1

ि स

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

पणम सखय एव पणम सखय पर सदिय ए

ईपरोकत स रणी को दखकर बत आए दक दकन-दकन सदिय ओ क पररण म हमश पणम सखय ह एव

दकन-दकन क पररण म हमश पणम सखय नही ह यह भी सोनचए दक आसस कय ननषकषम ननकलत ह

सपषट ह दक दो पणम सखय ओ को यदद जोड़ ज ए तो ईनक योगफल हमश पणम सखय होत ह एव

दो पणम सखय ओ क गणनफल भी सदव पणम सखय होत ह परत दो पणम सखय ओ क ऄतर एव भ गफल

सदव पणम सखय नही होत ह ऄतः पणम सखय ए योग एव गण क नलए सवरक ननयम क प लन करती ह

परत घट न एव भ ग की परदिय क नलए सवरक ननयम क प लन नही करती

योग सदिय की ऄनय नवशषत

म न लीनजए दक तीन नमतर ऄ ब और स ह

पहल ऄ तथ ब नमलत ह और दफर नमलकर व स स नमलत ह ऄथव ब तथ स पहल नमलकर दफर

ऄ स नमल आन दो परक र स नमलन म कय ऄनतर ह कय दोनो नसथनतय सम न ह

दोनो ही नसथनतयो म ऄनत म ऄ ब और स एक स थ नमल रह ह जब दोनो पररनसथनतयो म एक ही

ब त हो तो गनणत म आस ननयम को स हचयम ननयम कहत ह कय स हचयम क ननयम पणम सखय ओ क जोड़

क नलए सतय ह अआय एक ईद हरण दख

म न लीनजए 3 4 5 कोइ तीन पणम सखय एा ह

पहल (3 + 4) क योग कर एव योगफल म 5 जोड़ तो (3 + 4) + 5 = 7 + 5 = 12 अएग

ऄब 3 म (4 + 5) क योगफल जोड़ तो 3 +(4 + 5) = 3 + 9 = 12 अएग

कय दोनो नसथनतयो म योगफल सम न ह

दिय कल प 6

आसकी ज ाच ननमन सखय ओ क नलए करक दख

1 2 3 4 2 6 7 8

3 0 1 2 4 4 13 17 20

कय घट न की दिय म भी यह सबध ल ग होग

कय (13 - 6) - 5 तर 13 - (6 - 5) होग ज ाच कर

अप प त ह दक घट न म स हचयम क ननयम क प लन नही होत ह

तीन-तीन ईद हरण लकर जोड़ व घट न क नलए स हचयम क ननयम की ज च कर

अभयास 25

1 ररकत खड म ईनचत पणम सखय भररए -

1 (4 + 6) + 5 = 2 4 + (6 + 5) =

3 12 +(6 + ) = 20 4 ( +6) + 2 = 20

5 (8 + 9) + = 25

6 (12 + 8) + = +( 8 + 10)

7 (6 + 2 ) + = + (2 + 3)

गणन दिय क ऄधययन

(1) ननमन दकत त नलक म ररकत खडो को पणम कर

पणम सखय x पणम सखय = गणनफल पणम सखय ह य नही

7 x 9 =

23 x 15 =

0 x 12 =

8 x 12 =

12 x 0 =

कय ऐसी कोइ दो पणम सखय सोच सकत ह नजनक गणनफल पणम सखय नही ह

करियाकऱाप 8

गणन सदिय (x) की सह यत स बॉकस क खडो म ईनचत पणम सखय भररए कछ सव लो क हल

ब कस म पहल सही ददए गय ह

x 0 1 2 3

0 0

1 2

2 2

3 9

िम नवननमय क ननयम

12 x 5 =

ऄब आन सखय ओ क िम बदलकर गण करन पर (

5 x 12 =

कय दोनो नसथनतओ म गणनफल सम न ह

यदद 357 x 486 = 173402 हो तो नबन गण दकए बत आए दक -

486 x 357 =

ऄभय स 26

1 ररकत सथ न भररए -

(i) 87 x 887 = 887 x

(ii) 279 x = 481 x 279

(iii) 303 x 117 = x 303

(iv) x 583 = 583 x 179

स हचयम ननयम की ज ाच

ऄभी अपन दो सखय ओ को गण करन सीख अआय ऄब हम तीन सखय ओ को गण करक दख

25 व 6 तीन सखय ओ को लीनजए आनह ननमन परक र स गण कररए एव गणनफल ब कस म भररए

60

63 पणम सखय

60

P a g e | 14

भ जय भ जक भ गफल एव शषफल

2 x (5 x 6) =

5 x (6 x 2) =

6 x (5 x 2) =

2 x (6 x 5) =

5 x (2 x 6) =

(6 x 2) x 5 =

(2 x 5) x 6 =

(5 x 6) x 2 =

(6 x 5) x 2 =

(2 x 6) x 5 =

(5 x 2) x 6 =

6 x (2 x 5) =

कय सभी ख नो म अए गणनफल ऄलग-ऄलग ह यदद नही तो तीन सखय ओ को हम नवनभनन

तरीको स गण कर सकत ह और ईततर वही अएग यही स हचयम क ननयम कहल त ह आसी परक र अप

भी ऄनय तीन सखय एा लकर आस ननयम की ज च कीनजए

ऄभय स 2 7

1 ननमननलनखत ररकत खणडो की परसत कीनजए -

(i) 4 x (5 x 6) = (4 x ) x 6 (ii) 8 x (4 x 2) = x 2

(iii) 3 x (7 x 5) = (3 x ) x 5 (iv) 2 x (8 x ) = 8 x ( x 4)

(v) 7 x (3 x 5) = 7 x ( x 3)

यह अप पहल की ककष ओ म भी कर चक ह अआए दोहर ल

ईद हरण 1

20 divide 5

5) 20 (4

20

00

यह ा भ जक 5 व भ गफल 4 ह

कय भ जय भ जक व भ गफल म कोइ समबनध ह

20 = 5 X 4

भ जय = भ जक X भ गफल

ईद हरण 2 20 divide 5

भ जय

भ जक 5) 21 (4 भ गफल

- 20

1 शषफल

P a g e | 15

1 नजस सखय म भ ग ददय ज रह ह भ जय कहल त ह (21 भ जय ह )

2 नजस सखय स भ ग ददय ज रह ह भ जक कहल त ह (5 भ जक ह)

3 नजतनी ब र भ ग ज त ह भ गफल कहल त ह (4 भ गफल ह)

4 परदिय क पि त भ जक स छोटी सखय बचती ह ईस शषफल कहत ह 1 शषफल ह

21 = 5 X 4 + 1

ऄब 22 म 5 क भ ग करक दख

5) 22 (4

- 20

2

आसम 5 भ जक 4 भ गफल व 2 शषफल ह भ जय भ जक भ गफल तथ शषफल क बीच प ए

ज न व ल समबनध को ऄपनी कॉपी म नलनखए तथ नीच ददय गए ऄभय स क म धयम स अपक दव र नलख

समबनध की ज ाच कीनजए

ऄभय स 28

भ ग दीनजए -

(i) 48 divide 7 (ii) 36 divide 5 (iii) 78 divide 9

आस परक र अपन जो सबध बन य वह नवभ जयत क सबध क न म स ज न ज त ह और जो ननमन नस र

ह- भ जय = भ जक times भ गफल + शषफल

कय शषफल भ जक स बड़ हो सकत ह

ऄभय स 29

1 नीच ददय गए ररकत सथ नो को भररए -

(i) 8 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(ii) 5 divide 2 म भ गफल = शषफल =

(iii) 6 divide 4 म भ गफल = शषफल =

(iv) 7 divide 2 म भ गफल = शषफल =

शनय क गण

अआय शनय (0) को ज न -

1 5 + 0 = 5 2 0 + 5 = 5

3 5 - 0 = 5 4 5 x 0 = 0

5 0 x 5 = 0 6 0 divide 5 = 0

7 5 divide 0 = कोइ हल नही

ऄभय स 210

1 ऄब ननमन ररकत सथ नो म ईनचत सखय ए भररए -

(i) 0 + 0 = (ii) 0 - 0 =

(iii) 7 + 0 = (iv) 0 + 7 =

P a g e | 16

(v) 7 - 0 = (vi) 7 x 0 =

(vii) 0 x 7 = (viii) 0 divide 7 =

ईकत ऄभय स स अप शनय rsquorsquo0rsquorsquo क ननमन गण समझ गय होग

1 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स जोड़ ज य तो सखय क म न म कोइ पररवतमन नही होत ह

आसनलए शनय (0) को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह च र ईद हरण सोच कर नलख

2 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स घट य ज य तो भी पणम सखय क म न म कोइ पररवतमन नही

होत ह आसक भी 4 ईद हरण नलख

3 rsquorsquo0rsquorsquo को दकसी भी पणम सखय स गण दकय ज य तो गणनफल शनय rsquorsquo0rsquorsquo ही पर पत होत ह

4 rsquorsquo0rsquorsquo म दकसी भी पणम सखय क भ ग ददय तो भ गफल rsquorsquo0rsquorsquo शनय ही पर पत होत ह

5 divide 0 = शनय को 5 म स ब र-ब र घट न पर 5 ही नमलत ह दकतनी भी ब र हम घट ए कभी

भी सखय नही बदलगी ऄथ मत पणम सखय म शनय क भ ग दन पर कोइ नननित सखय भ गफल क रप म

नही नमलती आसी परक र 0 divide 0 भी पररभ नषत नही ह आस पर ऄपन नशकषक स चच म कर

परशन वली 22

1 मौनखक परशन

1 ननमन परशनो को दी गइ ज नक री क अध र पर नबन गण य योग दकय हल कीनजएः

1 17 x 23 = 391 तो 23 x 17 =

2 15 + 25 = 40 तो 25 + 15 =

3 40 + 0 = 40 तो 0 + 40 =

4 39 x 1 = 39 तो 1 x 39 =

5 a x b = c तो b x a =

2 ननमननलनखत सव लो को ऐस करम म नलखकर योगफल जञ त कीनजए नजसस योग की सदिय

अस न हो ज ए

(i) 23589 + 411 + 1248 (ii) 32 + 2546 + 68 + 544

(iii) 247 + 376 + 153 (iv) 143 + 456 + 857

(v) 32958 + 5000 + 12042

3 दकसी भी र नश म शनय क गण करन स कौन सी पणम सखय पर पत होती ह

4 योग क नलए सवरक ननयम कय ह

5 सदिय ओ क गण क अध र पर ननमननलनखत ख ली सथ नो की परसत कीनजए

(i) 2376 + 4559 = + 2376

(ii) 1 x 0 = 0 x 1 =

(iii) 8 7 6

_ 3

6 7

6 ऐसी कौनसी सखय ह नजसम ईसी सखय क भ ग दन पर वही सखय पर पत होती ह

7 4 ऄको की सबस बड़ी सखय और 1 ऄक की सबस छोटी पणम सखय क गणनफल बत आए

P a g e | 17

8 यदद 76 x 16 = 1216 हो तो 1216 76 = 16 (ब कस म सही म न भररय)

नलनखत परशन

9 रम न 17 पनकतयो म कल 544 पौधो की रोप इ की तो बत आए दक परतयक पनकत म दकतन पौधो की

रोप इ की गइ

10 दकसी शहर म 15 वयनकतयो म स 1 वयनकत सरक री नौकरी करत ह यदद ईस शहर म 1354 वयनकत

सरक री नौकरी करत हो तो शहर की कल जनसखय जञ त कीनजए

11 भ गफल तथ शषफल जञ त कीनजए तथ नवभ जयत क सबध की सतयत की ज ाच कीनजए

(i) 7772 divide 36 (ii) 12425 divide 835 (iii) 92845 divide 300

12 ननमननलनखत म परतयक ररकत सथ न पर ईपयकत ऄक नलनखए

13 मजलत 1800 रपय लकर ब ज र गयी 135 रपय क एक पसम 75 रपय क रम ल व 1200

रपय की कपड़ खरीद बत आए ऄब ईसक प स दकतन रपय बच

14 एक बक म ऄशोक न मगलव र को 4539 रपय जम दकए शननव र को 2556 रपय ननक ल नलए

और दसर सपत ह म दफर 1431 रपय जम दकए तो बत आए दक ईसक ख त म ऄब दकतन रपय

शष ह

15 अदशम नवदय लय क 6 वी ककष म एक नवदय थी क शलक 95 रपय ह यदद छ तरो की कल सखय

335 हो तो कल शलक जञ त कीनजए

16 117 को दो सखय ओ क गणन क रप म वयकत कीनजए नजसम स एक सखय 13 ह

17 ननश न 24 रनडयो 18720 रपय म खरीद एक रनडयो क मलय जञ त कीनजए यदद परतयक क

मलय सम न हो

18 ददए गए ज दइ वगम की तीन-तीन सखय ओ को सीध नतरछ एव अड़ जोड़ कर बत आए

कय परतयक नसथनत म योगफल सम न अत ह

14 1 9

3 8 13

7 15 2

P a g e | 18

1 0 (शनय) एक पणम सखय ह

2 दो पणम सखय ओ क अपस म योग करन स

य गण करन स पणम सखय ही पर पत होती

ह

3 पणम सखय ओ क नलए िमनवननमय क

ननयम योग एव गणन सदिय म ल ग

होत ह जबदक घट न एव भ ग सदिय म

ल ग नही होत

4 पणम सखय ओ क नलए स हचयम ननयम योग

एव गणन सदिय म ल ग होत ह जबदक

घट न एव भ ग सदिय म ल ग नही होत

5 0 को योजय ततसमक ऄवयव कहत ह

6 1 को गणन ततसमक ऄवयव कहत ह

7 दकसी भी पणम सखय म शनय को जोड़न य घट न पर सखय क म न नही बदलत

8 दकसी भी पणम सखय म 1 क गण कर तो सखय क म न नही बदलत ह

9 यदद दकसी पणम सखय म 0 क गण कर तो ईसक म न शनय हो ज त ह

10 दकसी पणम सखय म 0 स भ ग दन ऄपररभ नषत ह

11 भ जय = भ जक x भ गफल + शषफल

हमन सीख

19 नीच ददए गए ज दइ वगम क ररकत वगो की परसत कीनजए धय न रह मनजक वगम क सतभो पनकतयो

एव नवकणो क योग हर तरह स बर बर होत ह

9 6 13 20

10 12 19

9 11 18 25

15 17 24 26

16 7 14

P a g e | 19

गनणत पढ़त हए अपन पहल भी कइ परक र की अकनतय ा दखी ह जस- वतत नतरभज चतभमज आतय दद

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक वतत बन सकत ह

अप क दव र बन ए गए वतत पर यदद अप पनसल घम एा तो अप प त ह दक-

1 दकसी नबनद स पर रमभ कर अप पनः ईसी नबनद पर पहाच ज त ह

2 दकसी नबनद स पर रमभ कर पनः ईसी नबनद पर पहाचन तक अपको अकनत क दकसी भी भ ग पर दो

ब र चलन नही पड़

ऐसी अकनतय ा नजनम ईपरोकत दोनो नवशषत एा प इ ज ती ह lsquolsquoबनद अकनतlsquolsquo कहल ती ह

ऄब एक और अकनत दनखए-

कय P एक बद अकनत ह

नही कयोदक P क दकसी नबनद स पर रभ कर नबन पनसल ईठ ए ईसी नबनद पर व पस पहाचन क

नलए अपको दकसी न दकसी भ ग स दो ब र गजरन पड़ग

दी गइ अकनतयो म खली तथ बद अकनतयो को पहच ननए तथ यह भी बत आए दक व

सीधी रख ओ वि रख ओ य दोनो परक र की रख ओ स बनी ह

P a g e | 20

नचतर ि बद अकनतखली अकनत दकस परक र की रख ओ स बनी ह

सीधीविदोनो परक र की

3

4

5

6

7

8

9

10

11

खली अकनत वि रख

कय अप ऄपन अस प स ददख इ दन व ली ऐसी अकनतयो की सची बन सकत ह जो सीधी एव वि

रख ओ स नमलकर बनी हो

अपन ऄब तक दो परक र की रख ओ क ईपयोग दकय ह नजसम स एक तो वि रख ह य नजस

हम टढ़ी-मढ़ी रख भी कह सकत ह तथ दसरी सरल रख ह नजसक ब र म अपन नपछली ककष ओ म भी

पढ़ ह अआए सरल रख क ब र म कछ और ज नक री पर पत कर

सरल रख खीचन तो अप सभी को अत ह कय अप बोडम पर एक अड़ी सरल रख खीच सकत

ह यह सरल रख ईतनी ही लमबी होगी नजतन लमब वह बोडम ह नजस पर अपन सरल रख खीची ह

ऄब म न ल दक बोडम की लमब इ दगनी बढ़ दी ज ए तो सरल रख भी दगनी बढ़ इ ज सकती ह यदद बोडम

को अग अग और अग बढ़ त ज एा तो सरल रख भी अग अग और अग बढ़ इ ज सकती ह आस परक र

हम सरल रख को दोनो ओर आतन बढ़ सकत ह दक नजसक कोइ ओर छोर न हो ऄतः सरल रख ऐसी

सीधी रख ह नजसको दोनो ओर दकतन भी बढ़ एा कभी खतम नही होगी

कय अप ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीच सकत ह

P a g e | 21

यदद खीच सकत ह तो खीचन क तरीक और यदद नही खीच सकत ह तो नही खीच प न क क रण

नलनखए

अपन सरल रख खीचन की कोनशश कर यह प य दक अप ईतनी ही लमबी सीधी रख खीच सकत

ह नजतनी लमबी अपकी कॉपी ह परत सरल रख तो ऐसी रख ह जो कभी खतम ही नही होती आस कॉपी

म खीच तो नही ज सकत कवल सकत क रप म बत य ज सकत ह कय अप ऐस कोइ सझ व द

सकत ह नजसस सरल रख को कॉपी म बन य ज सक

अपक सझ व-

सकत क ईपयोग कर सरल रख खीचन ः

नचतर-12 म एक सरल रख खीची गइ ह नजसक दोनो छोर पर तीर क ननश न लग हए ह

दोनो तरफ तीर क ननश न यह सकत दत ह दक सरल रख क कोइ ऄनतम बबद नही होत वह

सम पत नही होती वह चलती रहती ह

आसी परक र यदद दकसी नसथर नबनद स एक ऐसी सीधी रख खीची ज ए जो एक तरफ बढ़ती ही रह

और कही भी सम पत न हो तो आस दकरण कहत ह ऄपनी कॉपी म दकरण खीनचए तथ दकरण को खीचन क

तरीक भी नलनखए

चदक दकरण एक नननित नबनद स पर रमभ होकर अग-अग और अग बढ़ती ज ती ह आसनलए दकरण

को एक तरफ तीर क ननश न लग कर दश मत ह

ऐसी सीधी रख जो एक बबद स पर रभ होकर एक ही ओर बढ़ती ज ती ह ईस दकरण कहत ह आसकी कोइ

नननित लब इ नही होती ह

अप दननक जीवन म दकरण क ऄनय ईद हरण सोच एव नलख

दिय कल प 1

कय अप ननमननलनखत नचतरो म दकरणो एव सरल रख ओ को पहच न सकत ह

P a g e | 22

दिय कल प 2

नीच अपको और दो नबनद ददए गए ह अप P नबनद स गज़रन व ली दकतनी सरल रख खीच सकत

ह खीच कर दनखए ईसी परक र Q नबनद स दकतनी सरल रख एा खीची ज सकती ह कछ ऐसी रख ए

खीनचए

P Q

नचतर 17

नीच ददए गए परशनो क ईततर दीनजए

पर1 कय अप P नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

-------------------------------------------------------------------------------

पर2 कय अप Q नबनद स खीची गइ सरल रख ओ को नगन सकत ह

------------------------------------------------------------------------------

पर3 अप ऐसी दकतनी सरल रख एा खीच सकत ह जो P एव Q दोनो नबनदओ स होकर गजरती हो

-------------------------------------------------------------------------------

ईपयमकत दिय कल प स अप यह प त ह दक दकसी एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज

सकती ह परनत दो नबनदओ स होकर म तर एक ही सरल रख खीची ज सकती ह

रख खड

आस नचतर को दख आस बन न म नजन सीधी रख ओ क ईपयोग दकय ज त ह व दकसी एक नननित

नबनद स पर रभ होकर दसरी नननित नबनद पर सम पत होती ह ऐसी रख ओ को रख खड कहत ह आस परक र

रख खड एक सरल रख ऄथव दकरण क एक भ ग ह नजसकी लब इ म पी ज सकती ह

दिय कल प 3

नचतर-18 और 19 को दखकर नीच ददए गए सव लो क जव ब सोनचए-

नचतर 18 म रख खडो की पहच न कर ईनकी सखय जञ त कीनजए सभी रख खणडो क न म भी

नलख

नचतर 18 व 19 म कट न बबदओ की सखय जञ त कीनजए कौन स रख खड दकन कट न बबदओ पर

एक दसर को क टत ह

रख खणड कय ह ऄपन शबदो म नलनखए

P a g e | 23

दिय कल प 4

ऄपनी कॉपी पर दो बबद P और Q बन आय आन

बबदओ को नीच ददय गय नचतर म तीन परक र स नमल कर

ददख य गय ह अप आनह कछ और परक रो स नमल न क

परय स कीनजए

बबद P और Q को कइ तरह स नमल य ज सकत ह परनत रख खड दव र ईनको कवल एक ही

परक र स नमल य ज सकत ह रख खणड दो नबनदओ को नमल न व ली सबस छोटी रख ह

P Q

नचतर 21

मीन कहती ह च स फ तक की सबस कम दरी क म गम रख खड ही ह कय अप सहमत ह कयो

सरख बबद

नीच तल पर नसथत बबदओ को दनखए

नचतर-22 म बबद PQ एव R एक ही दकरण पर नसथत ह आनह सरख बबद कहत ह

नचतर-23 म बबद AB एव C एक ही रख खड पर नसथत नही ह य बबद सरख नही ह कयो

नचतर-24 म बबद XYZ एव L एक ही सरल रख पर नसथत ह कय य सरख बबद ह

रख खडो की तलन

दो रख खड की तलन क ऄथम ह पत करन दक ददए गए रख खडो म कौनस रख खड बड़ ह

(1) ऄवलोकन दव र पत करन

P a g e | 24

नचतर 25 एव 26 म कवल दखकर ही यह बत य ज सकत ह दक CD रख खड AB स तथ RS

रख खणड PQ स बड़ ह ऄथ मत नचतर 25 म CDgtAB तथ नचतर 26 म PQltRS नचतर 27 और 28 म कय

अप बत सकत ह दक आनम स कौन स रख खड बड़ ह अआए आनह न प कर दख

(2) सकल की सह यत स सही म पन

ईपरोकत नचतर 29 म AB रख खड को न पत हए ददख य गय ह

न पन की नवनधः

ऄपनी कॉपी पर एक बबद A बन आए सकल को आस परक र रनखए नजसस दक सकल पर बन lsquo0rsquo क

ननश न बबद A पर अए ऄब दख दक रख क दसर छोर सकल क दकस ननश न तक पहाच रह ह ईपरोकत

नचतर म B सकल पर बन ननश न 5 पर अ रह ह आस परक र हम कह सकत ह दक रख खड AB की लमब इ

5 समी ह

(3) नडव आडर दव र म पन

अपन दख दक सकल की सह यत स हम ईन रख खडो की लब इ न प सकत ह जह ा सकल

सीधी रखी ज सकती ह कय नडबब य नगल स क भीतर क दीव रो क बीच की दरी सकल की सह यत स

न पी ज सकती ह

एक नडव आडर ल ईस नगल स क मह पर रख कर आतन फल ए दक ईसकी नोक नगल स क भीतरी

दीव रो को सपशम कर

ऄब नडव आडर को नबन दब ए नगल स स ब हर ननक लकर सकल पर नचतर-31 क ऄनस र रख तथ

लब इ जञ त कर

नशकषक क नलए यह ा धय न म रख ज ए दक सकल क दकसी भी खड स लब इ न पन पर ईसकी लब इ क

म न म कोइ पररवतमन नही होत दकसी पर न सकल क ईपयोग करत समय शनय स शर न करन की

नसथनत म न प कस पत करग यह चच म छ तरो क स थ कर ऐस म पन क ऄभय स ईनह करन को द

P a g e | 25

दिय कल प 5

ननमन नचतरो म नडव आडर य परक र की सह यत स रख खणडो को न प कर तलन कर परतयक नचतर

क नलए रख खणडो को लमब इ क बढ़त िम म नलख

ननमन रख खडो को सकल एव परक र की सह यत स न नपए एव ईनक म प नलनखए -

दो य दो स ऄनधक रख खडो की लब इ क योग क बर बर की लब इ क रख खड खीचन

(1) एक सरल रख XY खीनचए

(2) परक र को AB रख खड क म प क बर बर फल आए

(3) रख XY पर कोइ बबद P लकर व ईस कनर म नकर AB रख खड क बर बर क च प आस परक र

क रटए दक वह रख XY को Q पर क ट

(4) CD रख खड क बर बर क च प Q को कनर म नकर आस परक र क रटए दक वह XY रख को PQ

ददश म क ट म न दक वह नबनद R ह

P a g e | 26

5) आसी परक र EF रख खड क बर बर क च प R को कनर म नकर रख खड XY पर क रटए वह S

पर कटत ह

कय AB = PQ CD = QR EF = RS ह कयो ऄपनी कॉपी पर नलनखए

(6) PS = PQ+QR+RS

PS = AB+CD+EF

PS की लब इ न नपए PS ही ददए गए रख खडो की लमब इ क योग क बर बर की लमब इ क

रख खणड होग

रख खडो क ऄतर क बर बर रख खड खीचन

1 एक सरल रख XY खीनचए ईस पर कोइ नबनद P नलनजए

2 परक र को बड़ी रख खणड AB क बर बर फल आए

3 P को कनर म नकर AB क बर बर क च प रख XY पर क रटए वह Q पर कटत ह

4 नबनद Q को कनर म नकर CD क बर बर च प P की ददश म रख XY पर क रटए

वह R पर कटत ह कय AB=PQ और CD=QR ह

यदद ह तो कयो ऄपनी कॉपी म नलनखए

यह ा PQ क नवपरीत ददश म च प कयो क ट गय ह योग करत समय च प एक ही ददश म क ट

गय थ क रणो को ऄपनी कॉपी म नलनखए

5 PQ-QR=PR

य AB-CD=PR

PR की लब इ न नपए PR ही ददए गय रख खडो क ऄतर क बर बर क रख खणड होग

सम नतर रख एा

ऄधय नपक न छठी ककष म परतयक नवदय थी को ऄपनी-ऄपनी कॉपी म दो रख ए खीचन को कह

नवदय रसथयो न रख ए कछ आस परक र खीचीः-

P a g e | 27

नचतर 44

अप भी ऄपनी कॉपी पर आसी परक र दो-दो रख ओ क ऄलग-ऄलग यगम बन आए

ऄब नीच ददय गय यगमो को दनखएः

नचतर 45

नचतर 45(i) म रख एा PQ तथ RS बबद O पर क टती ह ऄतः रख एा PQ तथ RS परनतचछदी रख एा

ह और बबद O ईभयननषठ बबद (परनतचछद बबद)ह

नचतर 45(ii) म रख एा AB तथ CD अपस म क ट तो नही रही ह परनत यदद दोनो रख ओ को

अग-पीछ बढ़ य ज ए तो एक दसर को क टगी ऄथ मत नचतर 45(ii) भी नचतर 45(i) की शरणी म ही अएग

ऄथ मत परनतचछदी रख ओ की शरणी म

नचतर 45(iii) म रख एा KL तथ MN न ही अपस म क ट रही ह और न ही बढ़ न पर अपस म एक-

दसर को क टगी हम कस ज च दक य एक दसर को नही क टगी

नचतर 45(iii) की रख ओ को दनखए-

दोनो रख एा KL तथ MN क बीच की लमबवत दरी परतयक बबद पर सम न ह आनह दोनो तरफ

दकतन भी अग कयो न बढ़ एा अप प यग दक आन दोनो क बीच की लमबवत दरी सदव सम न ही रहती ह

P a g e | 28

अप भी नडव आडर की मदद स दोनो रख ओ क बीच की लमबवत दरी न पकर दनखए कय व

सम न ह ऐसी रख एा सम तर रख एा कहल ती ह ऄथ मत सम नतर रख एा बर बर दरी पर रहती ह न तो

व एक दसर क प स अती ह और न ही दर ज ती ह

ऄपनी ककष म बठ-बठ अपक च रो तरफ फली चीज़ो को दनखए ककष क शय मपटट नखड़की

दरव ज़ दीव र अपक जय नमनत-बॉकस मज़ पसतक सकल अदद क दकन रो म अप आस परक र की

रख ओ को महसस कर सक ग जसः

आनम कह ा-कह ा हम सम तर रख खणडो क ईद हरण नमलत ह

अप ऄपनी कॉपी म एक सची बन आए नजसम प च परनतचछदी रख खणडो तथ प च सम तर

रख खडो क ईद हरण हो

परशन वली 3

परशन-1 नीच ददय गय कथन सतय ह ऄथव ऄसतय पहच ननए -

(i) एक नबनद स ऄसखय रख खड खीच ज सकत ह

(ii) दो नबनद स गजरन व ली ऄसखय सरल रख एा खीची ज सकती ह

(iii) रख खड की कवल लमब इ होती ह चौड़ इ नही

(iv) एक रख खड म यदद च र नबनद नलए ज ए तो य सभी नबनद सरख नबनद होत ह

(v) तीन ऄसरख नबनद स ऄनधकतम दो रख खड खीच ज सकत ह

परशन-2 नीच नचतर म कौन स जोड़ परनतचछदी रख ओ क नही ह

P a g e | 29

परशन-3 नीच दी गइ रख ओ क यगम म स परनतचछद करन व ली रख ओ क यगम छ रटए

परशन-4 नीच ददय गए खणडो (ABCDE) म स सरख नबनदओ क समह को नलनखए -

परशन-5 ननमन म प की लमब इ क रख खड खीनचए

6 समी 5 समी 45 समी 23 समी

परशन-6 एक ही सरल रख म 3 समी 5 समी 65 समी क तीन रख खड खीनचए

परशन-7 नीच रख खड ददय गय ह आनकी लमब इ क योग क बर बर रख खड खीनचए

परशन-8 नीच ददय गय रख खड की लमब इ क ऄतर क बर बर रख खड खीनचए

परशन-9 12 समी की लमब इ क रख खड AB खीचकर ईस 3 समी 4 समी 5 समी क तीन रख खड िमशः

ACCD एव DB म नवभ नजत कीनजए तथ ननमन तथयो को सतय नपत कीनजए

1 AD-AC = CB-DB

2 AB-CD = AC + DB

P a g e | 30

परशन-10 आनम स परतयक पररनसथनत म आन नबनदओ स दकतन रख खणड़ खीच ज सकत ह रख खणडो को

खीनचए व ईनकी सखय एा बत आए

हमन कय सीख

1 दकरण क एक पर रनभक बबद होत ह और वह दकसी एक ददश म लग त र बढ़ती रहती ह

2 सरल रख दोनो ददश ओ म लग त र बढ़ती रहती ह

3 रख खड सरल रख क एक नननित भ ग ह नजसक पर रनभक एव ऄनतम नबनद नननित होत ह

तथ रख खड को न प ज सकत ह

4 सरल रख एव दकरण की लब इ को म प नही ज सकत

5 दो रख एा एक दसर को ऄनधकतम एक ही बबद पर क टती ह

6 एक नबनद स होकर ऄसखय रख एा खीची ज सकती ह तथ एक बबद स ऄसखय दकरण खीची ज

सकती ह

P a g e | 31

एक ददन ककष क सभी छ तरो न नशकषक स ऄनरोध दकय दक व कोइ खल खलन च हत ह आस पर नशकषक

न ऄपनी सवीकनत दत हए कह lsquolsquoकयो नही अआए अज सखय ओ स सबनधत खल खलrsquorsquo

अप सभी ऄपनी कॉपी म एक ऄक की कोइ सखय नलखकर आस दो स गण कर पर पत गणनफल म

स 12 घट एा और मझ ईततर बत एा -

छ तरो दव र दकए ज न व ल हल की तीन सभ वन एा हो सकती ह

1 ककष क कछ नवदय रसथयो क पररण म फ नतम क सम न अ सकत ह

2 कछ नवदय रसथयो क पररण म कमली क सम न अ सकत ह

3 कछ नवदय रसथयो की समसय मोन क सम न हो सकती ह व सखय को घट सकन म ऄसमथम रह हो

मोन जस ऄनय बचच भी थ ईन सबन कह rsquorsquoहम कय करlsquolsquo

नशकषक न कह lsquolsquoचनलए हम आस समझन क परय स करrsquorsquo lsquolsquoम न

लीनजए दक ऄपन ग व क त ल ब म एक ब ास सीध गड़ हअ ह

त ल ब क एक कीड़ ब ास पर प नी क उपरी सतह स 10 फीट

सीध उपर चढ़त ह आसक ब द वह कीड़ वह स 12 फीट नीच की

ओर अत हrsquorsquo

ऄतः यह सपषट ह दक वह कीड़ प नी की उपरी सतह स 2

फीट नीच ह प नी की सतह को यदद 0 स दश मय ज ए तो नीच क

पम न को कस ददख ए

परत मोन को ऄब भी यह समझ म नही अय की (10-12) दकस ऄक क बर बर होग ईसन कह

lsquolsquoमझ ऄभी भी समझ नही अय दक कय करा rsquorsquo तब नशकषक न प स और पटटी क एक खल नखल य

lsquolsquoहम र प स एक लमबी पटटी ह नजसक बीचो बीच 0 नलख ह 0 क द यी ओर 10 और ब यी ओर 10 ख न

बन ह द ायी ओर क ख नो म (नचतर-2) 1 स 10 तक ऄक नलख ह तथ दो प स ह एक ल ल और दसर

हर

P a g e | 32

आस खल म दो शत हः

पहलीः- फ क गए ल ल प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग लमबी पटटी पर 0 क द यी ओर

ईतन ही ख न चलग

दसरीः- फ क गए हर प स क उपरी फलक पर नजतन नबनद अएग ईतन ही ख न पटटी पर ब ायी ओर

चलग यह चलन ईस सथ न स पर रभ करग जह ा ल ल प स क क रण द नहन ओर चलकर पहाच थ

खल अरमभ होत हः

सबस पहल प स फ नतम फकती ह फ नतम क ल ल प स पर 5 तथ हर पर 3 नबनद अए शररतम

क ऄनस र फ नतम शनय स द नहन ओर 5 ख न चलगी और 3 ख न व पस अएगी ईसकी नसथनत नीच

नचतर 3 क ऄनस र 2 पर ह-

ऄब कमली दोनो प स फकती ह दोनो ही प सो पर 4 नबनद अए (शतम ऄनस र) कमली की नसथनत

को नीच दश मय गय ह-

ऄनत म र कश दोनो प स फकत ह ईसक ल ल प स पर 2 और हर प स पर 5 नबनद अए शतम क

ऄनस र र कश 2 ख न द ायी ओर चलत ह और वह स व पस मड़ कर 5 ख न ब यी ओर ज त ह वह

ऄपनी नसथनत शनय स तीन ख न ब ाए तरफ प त ह एक ब र दफर बचचो को समझ नही अत की र कश की

नसथनत को कय नलख

परत कमली और कछ ऄनय को कछ कछ समझ म अन लग ह दक शनय क द ायी ओर की सखय एा

िमशः एक-एक बढ़ रही ह द ाय ओर बढ़न क नलए नपछली सखय म 1 जोड़ कर िमशः ऄगली सखय पर पत

करत ह ईसी परक र ब ाय ओर ज न क नलए एक -एक घट कर िमशः पीछ व ली सखय पर पत करत ज त ह

शनय क द नहन ओर की सखय एा िमशः एक-एक जोड़न पर पर पत होती ह और शनय क ब ए ओर की सखय एा

िमशः एक-एक घट न पर पर पत होती ह

P a g e | 33

कय यह ब त अपक समझ म अइ मोन न

कह कय आसक ऄथम यह ह दक शनय क द यी ओर की

सखय एा धन तमक ह और 0 क ब यी ओर की सखय एा

ऊण तमक ह नशकषक न कह lsquolsquoनबलकल ठीक हrsquorsquo यदद

शनय स िमशः एक-एक कम करत ज एा तो 0-1=-1 -

1-1=-2 -2-1=-3 आतय दद सखय एा नमलती ह ऄतः

र कश की नसथनत -3 पर ह कयोदक शनय स ब ायी ओर तीसर ख न क यही म न

होग आस परक र शनय क ब ायी ओर -1-2-3-4-5 आतय दद सखय एा (सभी

ऊण तमक सखय एा) होगी जस-जस ब ायी ओर हम ज एग सखय कम होती ज एगी ऄथ मत जय द बड़ी

ऊण तमक सखय बनती ज एगी

फ नतम कहती ह दक शनय क द यी ओर की सखय य िमशः बढ़ती ज ती ह 1gt0 2gt1 3gt2

4gt3 5gt4 आतय दद और ब एा ओर की सखय कम होती ज एगी ऄथ मत -1lt 0 -2lt-1 -3lt-

2आतय दद

(अप ऊण तमक सखय ओ को समझन क नलए यह खल ककष म व घर पर जरर खल यदद अपको

प स पर पत नही होत ह तो दो रग क क गज लकर दोनो पर 1 स 6 तक की सखय ऄलग-ऄलग नलख कर आस

परक र मोड़ ल दक सखय नजर नही अए ऄब परतयक रग क एक-एक क गज खीच आनही ऄको स शत मनस र

खल खल)

ऄपन ऄनभव क अध र पर नीच दी गयी सखय ओ क बीच बन ब कस म ईनचत नचनह gt(बड़ ) य

(छोट ) lt लग एा

ऐस ही कछ और जोड़ सोच व ऄपन स नथयो को हल करन को द

P a g e | 34

ऊण तमक सखय एा

दिय कल प 1

पवम क ईद हरणो म अपन प य दक नजस परक र धन तमक सखय एा ह ईसी

परक र ऊण तमक सखय एा भी ह आन सखय ओ को श नमल करन स हम कइ नइ

सदिय एा कर प एाग जस 12 म स 14 घट प एग और ईततर को दश म प एाग 3 और

4 जोड़न पर पररण म 7 अत ह यदद जोड़ क परथम ऄक 3 नसथर रख तो ईसम

कौनसी सखय जोड़ दक पररण म िमशः 654321 और 0 पर पत हो आन म नो

को ख ली ब कसो म नलनखए ऐस और भी सव ल सोच व हल कर कय अप सबस

छोटी और सबस बड़ी ऊण तमक सखय क म न बत सकत ह

पण ाक

अप पर कत सखय ओ और पणम सखय ओ स पररनचत ह ईनम यदद ऊण तमक सखय एा जोड़ ल तो

शनय क द ाई ओर पर कत सखय एा ह और ब ायी ओर ऊण तमक सखय एा धन तमक सखय एा ऊण तमक

सखय एा तथ शनय को नमल कर पण ाक बनत ह पण ाक को I य म Z स ददख त ह ऄथ मत

पण ाक (I) = -3-21012345 अदद

नजस परक र सबस बड़ी पणम सखय नही ह ईसी परक र सबस बड़ी पण ाक भी नही ह कय अप सबस

छोटी पण ाक सोच सकत ह

सखय रख पर पण ाक सखय को ननरनपत करन

एक सरल रख खीनचए आस सरल रख पर एक सम न दरी पर कछ नबनद ऄदकत कीनजए आस रख

पर बीच म नसथत दकसी नबनद को शनय नलखकर आसक द नहन ओर धन तमक सखय एा तथ शनय क ब ाय

ओर ऊण तमक सखय एा नलनखए (नचतर-7 क ऄनस र) आस परक र बनी रख सखय रख कहल ती ह

छ य नचतर क म धयम स पण ाको क परदशमन-

यह ा

N = पर कनतक सखय एा

W = पणम सखय एा

I = पण ाक सखय एा

P a g e | 35

ईपरोकत सकतो को दखकर नचतर 8 म पण ाक म श नमल सखय ओ की पहच न कीनजए पणम सखय म कौन-

कौन सी सखय श नमल ह

पण ाको पर की गइ सदिय ओ को सखय रख पर परदरसशत करन

पण ाको को जोड़न -

जब दोनो सखय एा धन तमक हो जस 3 + 5 =

पहल शनय स 3 ऄक धन तमक ददश म दफर वही स 5 ऄक धन तमक ददश म ज न पर 8 पर

पहाचत ह ऄतः 3 + 5 = 8

और जब दोनो सखय एा ऊण तमक हो जस (-2)+(-5)

तो पहल ऊण तमक ददश म 2 ऄक ज त ह दफर वही स 5 ऄक ऊण तमक ददश म और बढ़ तो -7

ऄक पर पहचत ह

ऄथ मत (-2)+(-5) = -7

जब एक सखय धन तमक और दसरी सखय ऊण तमक हो-

जसः (v) 8 +(-5) =

(v)

पहल शनय स 8 ऄक धन तमक ददश म ज एग और दफर वह स व पस 5 ऄक ऊण तमक ददश म

लग शनय स ईस ददश को म लम कर यह ा हम धन तमक ददश म 3 पर पत होत ह ऄथ मत 8+(-5) = 3

(ब) -8 + 5 =

ऊण तमक ददश म 8 ऄक चलकर वह स व पस 5 ऄक शनय की ओर (धन तमक ददश ) म अन पर

ऄनतम नसथनत ऊण तमक ददश म 3 पर ह जो दक -3 ह ऄथ मत -8+5 = -3

आसी परक र अप भी दो-दो पण ाक लकर ईनह जोनड़ए पर पत पररण मो पर नवच र कर

P a g e | 36

आस परक र ईपरोकत ईद हरणो स यह म लम होत ह दक -

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

पण ाको को जोड़न म ईन सभी गणो क प लन होत ह नजनक पणम सखय एा प लन करती ह

1 दो पण ाको क योग एक पण ाक ही होग

2 सभी पण ाको क योग म िम नवननमय ननयम ल ग होत ह

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक सखय होती ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम

ह

4 पण ाको म शनय जोड़न पर ईनक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह

पण ाक सखय ओ क घट न

नजस परक र पणम सखय ओ म घट न की सदिय योग की नवपररत सदिय ह ईसी परक र पण ाक

सखय ओ म घट न की सदिय भी योग की नवपरीत सदिय ह ननमन ईद हरणो पर धय न दीनजए

(v) 14 - 18 = -4

(ब) 5 - 3 = 2

(स) 8 - 4 = 4

घट न की परदिय तो अप ज न चक ह परत यदद कभी 10 स -6 घट न को कह ज त ह तब

परश नी हो सकती ह कयोदक ऊण तमक सखय ओ को कस घट ए वह ठीक स समझ नही अत ह अआए

आस ब त को समझ

अप ज नत ह दक 5 + 0 = 5 8 + 0 = 8 111 + 0 = 111

ऄथ मत दकसी भी सखय म यदद शनय जोड़ ज ए तो योगफल वही रहत ह जो सखय क म न ह

आस तरह शनय को योजय ततसमक कहत ह

P a g e | 37

सोनचए 5 म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (-5)

ऄथ मत 5 + (-5) = 0 (योजय ततसमक)

आसी परक र (-7) म कय जोड़ दक शनय पर पत हो अपक ईततर होग (+7)

ऄथ मत (-7) + (+7) = 0 (योजय ततसमक)

यह ा (-5) योजय परनतलोम ह 5 क तथ + 7 योजय परनतलोम ह (-7) क

ऄतः दकसी सखय क योजय परनतलोम वह सखय ह नजस ईस सखय क स थ जोड़न पर योजय

ततसमक (शनय) पर पत होत ह

ऄथ मत सखय + सखय क योजय परनतलोम = योजय ततसमक

नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए

सखय सखय क योजय परनतलोम योजय ततसमक

35 + () = 0

-40 + () = 0

-17 + () = 0

-35 + () = 0

-13 + () = 0

पहली सखय म दसरी सखय घट न क ऄथम ह पहली सखय म दसरी सखय क योजय परनतलोम को

जोड़न कय अपको यह ब त ईनचत लगती ह

जस 12 -(5) = 12 +(5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(-5)

ईसी परक र 12-(-5) = 12 +(-5 क योजय परनतलोम)

= 12 +(+5) = 12 +5 =17

कय अप 10 म स (-6) को घट सकत ह

नीच ददए गए परशनो म घट यी ज न व ली सखय क योजय परनतलोम ननक ल कर हल कीनजएः

1) 3-(-7) 2) 12-(-10) 3) 15-(+7)

4) 7 -(+18) 5) 19-(-7)

उपर ऄभय स क परशनो म अप दख रह ह दक ऊण तमक सखय क ऊण तमक एक धन तमक सखय ह

और धन तमक सखय क ऊण तमक एक ऊण तमक सखय ह

जस - (-3) = +3

य (-1) times (-3) = +3

(-5) times (-3) = + 15

ऄथ मत दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल सदव धन तमक पण ाक होत ह

ऄभय स-41

P a g e | 38

आसी परक र

-(+7) = -7

य (-1) times (+7) = -7

(-5) times (+3) = -15

ऄथ मत एक ऊण तमक पण ाक तथ धन तमक पण ाक क गणनफल सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

घट न की सनकषपत नवनध

जब दकसी सखय को 10 100 1000 अदद स घट न होत ह तो अप सबस बड सथ न क 1 को

ईसस छोटी आक आयो म बदलत ह जस आस ईद हरण म दख -

ईद हरण 1 1 0 0

- 7

हल- यह ा आक इ क शनय स 7 नही घट सकत दह इ म भी शनय ह वह ा स भी अपको कछ नही नमल

सकत अप एक सकड को दस दह आयो म और आनम स एक दह इ को दस आक इ म बदलत ह -

स द आ स द आ

1 0 0 0 9 10 (100 = 90 + 10)

य न एक सकड़ छोटी आक आयो म बदलकर 9 दह इ और 10 आक इ बन ज त ह ऐस म सौ स

छोटी दकसी भी सखय को घट न अपक नलए अस न हो ज त ह

घट आए

स द आ

0 9 10 ( 100 - 7 = 90 + 10 - 7)

- 7 ( = 90 + 3 = 93)

9 3

एक और ईद हरण दख -

ईद हरण 2 1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

हल-

P a g e | 39

ददय ह - दसह ह स द आ

1 0 0 0 0

- 2 8 7 4

सखय दस हज र को छोटी आक आयो म बदनलए -

दसह ह स द आ

0 9 9 9 10 (10000=9990+10)

- 2 8 7 4

7 1 2 6

ईद हरण 3 1 0 0 0 - 8 7 6

9 9 (10)

- 8 7 6

आन ईद हरणो म अपन दख दक आक इ क ऄक को दस स घट य ज रह ह ब की सभी को नौ स

ऄब अप च ह तो सीध ईततर नलख सकत ह

100 - 23 = (9 - 2) (10 - 3) = 77

100 - 69 = (9 - 6) (10 - 9) = 31

1000 - 512 = (9 - 5) (9 - 1) (10 - 2) = 488

1000 - 32 = (9 - 0) (9 - 3) (10 - 2) = 968

1000 - 8 = 992

10000 - 982 = 9018

10000 - 8374 = 1626

पण ाको क घट न स सबनधत गण

1 दो पण ाको क ऄनतर एक पण ाक होत ह(सवरक गण)

2 पण ाक म स 0 घट न पर ईनक म न नही बदलत

3 परतयक पण ाक क पवमवती एव परवती भी पण ाक होत ह

जस 0 क पवमवती -1 एव -1 क पववती -2 -5 क पवमवती -6 आतय दद तथ -1 क

परवती 0-2 क परवती -1 -6 क परवती -5 आतय दद

P a g e | 40

बीज क क परयोग स जोड़न घट न की ज ाच

तमह पत ही ह दक दकसी सखय क बीज क जञ त करन क नलए ईसक ऄको क योग तब तक करत

ह जब तक एक ऄक व ली सखय न नमल ज ए ऄत म पर पत ऄक ही बीज क होत ह

जस - 45 क बीज क 4 + 5 = 9 ह

और 457 क बीज क 4 + 5 + 7 = 16

16 म दो ऄक ह आसीनलए 1 + 6 = 7

ऄथ मत 457 क बीज क 7 ह

बीज क की सह यत स हम ऄपन बन ए सव लो की ज ाच कर सकत ह

जोड़ की ज ाच

जोड़ क सव लो की ज ाच करन क नलए हम जोड़ी ज न व ली सखय ओ और योगफल क बीज क

जञ त करत ह

यदद सखय ओ क बीज क क योग ईततर क बीज क क बर बर हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण स समझत ह - 453 + 158 = 611

453 क बीज क 3 और 158 क बीज क 5 क योग ईततर 611 क बीज क 8 क बर बर ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आसी परक र ऄपन बन ए हए जोड़ क सव लो क ईततर की ज ाच अप खद ही कर सकत ह

घट न की ज ाच

यदद ईततर क बीज क म घट इ ज न व ली सखय क बीज क जोड़न पर उपर व ली सखय क

बीज क पर पत हो तो ईततर सही होग

अआए एक ईद हरण दख - 587 - 235 = 352

ईततर 352 क बीज क 1 और घटन व ली सखय 235 क बीज क 1 को जोड़न पर 2 पर पत होत ह

587 क बीज क भी 2 ह

ऄथ मत ईततर सही ह

आस तरीक स ईन परशनो क ईततरो की ज ाच कीनजए नजनह अपन हल दकय ह

P a g e | 41

पण ाको क गण

दिय कल प 1

नीच त नलक म पण ाक सखय ओ क गण करक ददख य गय ह

कछ ररकत सथ न त नलक म ह ईनकी परसत कीनजए -

ि पहली

सखय

दसरी

सखय

पहली सखय x

दसरी सखय

गणनफल ननषकषम

01

02

03

04

05

06

07

08

09

3

-6

-5

3

- 5

-7

-8

15

-17

4

-2

2

-6

-4

2

-12

-13

-19

3x4

(-6) x (-2)

(-5) x (+2)

(+3) x (-6)

+12

+12

-10

-18

दो धन तमक पण ाको क

गणनफल एक धन तमक

पण ाक होत ह

दो ऊण तमक पण ाको क गणनफल

एक धन तमक

पण ाक होत ह

एक धन तमक पण ाक और एक

ऊण तमक पण ाक क गणनफल एक

ऊण तमक पण ाक होत ह

9 99 999 अदद क गण

एक दो और तीन ऄको व ली दकसी सखय म िमशः 9 99 999 जसी सखय ओ क गण करन पर

हम एक मजद र पटनम नमलत ह अआए कछ ईद हरण दख -

8 x 9 = 72 47 x 99 = 46 53

7 x 9 = 63 78 x 99 = 77 22

5 x 9 = 45

P a g e | 42

अप दख रह ह दक गणय और गणक एक-एक ऄक व ली सखय एा ह पर पत गणनफल म दह इ क ऄक

हर ब र गणय स एक कम ह और दह इ म नमली आस सखय को 9 स घट न पर जो नमल ईस आक इ म रख

गय ह कय यही पटनम दसरी सखय ओ म भी नमलग

दख-

दह इ आक इ द

आ

6 x 9

4 x 9

= (6 - 1)

= (4 - 1)

(9 - 5)

(9 - 3)

= 5

= 3

4

6

= 54 सतय ह

= 36 सतय ह

यदद गणय और गणक दो-दो ऄको की सखय एा हो तो कय होग यह ा हम गणनफल क रप म च र

ऄको की सखय नमलगी (10x99 को छोड़कर)

ह स द आ ह स द आ

10 x 99

= (10 - 1) (99-9)

= 9 9 0

75 x 99

= (75 - 1) (99-74)

= 7

4 2 5

84 x 99 = (84 - 1) (99-83) = 8

3 1 6

आस थोड़ और बढ़ एा -

100 x 999 को हल कर

= 9 9 9 0 0

यदद 100 स बड़ी कोइ भी तीन ऄक व ली सखय ल तो गणनफल 6 ऄको की सखय होगी

दस ह ह स द आ

100 x 999 = (100 - 1)

99

(999 - 99)

999

217 x 999

999 x 999

= (217 - 1)

216

= (999 - 1)

998

(999 - 216)

783

(999 - 998)

001

= 216783

= 998001

P a g e | 43

ऄब थोड़ो सोच य सब कस होत ह

8 x 9 = 8 x (10 - 1) = 80 - 8 = 70 + 10 - 8

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

(7 + 1) (10 - 1) = 70 + 10 - 7 - 1

= 70 + 10 - 1 - 7

= 70 + 9 - 7

= 70 + 2

= 72

ऄब आन ईद हरणो को धय नपवमक दनखए-

3 x 2 = 6 2 x 1 = 2 4 x 2 = 8 1 x 4 = 4

5 x 3 = 15 2 x 8 = 16 7 x 3 = 21 9 x 9 = 81

उपर क पहल च र ईद हरणो म अप दख रह ह दक आक इ की सखय म आक इ की सखय क गण

करन पर आक इ की सखय ही नमल रही ह नीच क च रो ईद हरणो म भी आक इ म आक इ क गण हअ

और गणनफल म आक इ क स थ - स थ दह इ की भी कोइ सखय नमल रही ह

आसी तरह अप दख सकत ह दक दह इ म आक इ क गण करन पर य तो दह इ और सकड़ य

कवल दह इ की सखय नमलगी

जस 20 x 3 = 60 30 x 1 = 30 10 x 4 = 40

40 x 3 = 120 50 x 5 = 250 30 x 7 = 210

20 य नी दो दह इ म 3 क गण करन पर 60 आक आय ा य नी 6 दह आय ा नमली 4 दह आयो (40)

म 3 क गण करन पर 12 दह आय ा य 1 सकड़ और 2 दह आय ा नमली

यदद आन ब तो क धय न रखत हए गण कर तो गण करन थोड़ सनकषपत हो ज त ह अग कछ

ईद हरणो स हम समझग यह गण कस दकय ज त ह

ईद हरण 1 13 x 12

हल - 13

x 12

चरण - 1 13 आक इ 3 म आक इ 2 क गण दकय

x 12 6 आक आय ा नमली आनह आक इ म नलख

6

P a g e | 44

13

x 12

56

1 3

1 2

13

x 12

156

चरण - 2

पहली सखय की आक इ 3 म दसरी सखय की दह इ 1 क गण दकय 3

दह आय ा नमली दसरी सखय की आक इ 2 म पहली सखय की दह इ 1

क गण दकय 2 दह आय ा नमली कल 5 दह आय ा (3 + 2) नमली आस

दह इ म नलख

(3x1) + (2x1) = 3 + 2 = 5 दह आय ा

चरण - 3

पहली सखय की दह इ 1 म दसरी सखय की 1 दह इ क गण दकय 1

सकड़ नमल आस सकड़ म नलख कल 156 नमल

आन तीनो चरणो को आस तरह दख सकत ह -

स द आ

1 1 3 3

1 1 2 2

1 (3 + 2) 6

1 5 6 = 156

ईद हरण 2 12 x 31 को हल कर

हल

चरण - 1 1 2 आक इ 2 आक इ 1 = 2 आक आय ा

आक इ म नलख

x 3 1

चरण - 2 1 2 आक इ 2 दह इ 3 = 6 दह आय ा

आक इ 1 दह इ 1 = 1 दह आय ा

3 1 योग = 7 दह आय ा

7 2

P a g e | 45

चरण 3 1 2 सकड़ 1x सकड़ 3 = 1x3 = 3 (सकड़ म नलख )

हल नमल 12 x 31 = 372

x 3 1

3 7 2

आन दोनो ईद हरणो म गण करन पर हम ह नसल नही नमल यदद सखय ओ को थोड़ बड़ ल तो

यह नसथनत बनगी

अआए दख -

ईद हरण 3 43 x 12 को हल कर

चरण 1 4 3 आक इ 3 x आक इ 2 = 6 आक आय ा

x 1 2 (आक इ म नलख )

6

चरण 2 4 3 (आक इ 3 x दह इ 1) + (आक इ 2 x दह इ 4)

3 + 8 = 11 दह इ

x 1 2 11 दह इ = 1सकड़ + 1 दह इ

1 6

1 दह इ को दह इ म नलख 1सकड़ ह नसल क रप म अग क

नलए रख

चरण 3 4 3 दह इ x 4 दह इ 1 = 4 सकड़

= + 1 सकड़ (ह नसल क )

x 1 2

5 1 6 योग = 5 सकड़

आस सकड़ म नलख

गणनफल नमल 43 x 12 = 516

ईद हरण 4 हल कीनजए - 76 times 58

चरण 1

7 6 6 x 8 = 48 8 आक इ

4 दह इ (ह नसल क)

x 5 8

8

(4)

P a g e | 46

चरण 2

7 6 (6x5) + (8x7)

30 + 56 = 8 6 दह आय ा

x 5 8 + 4 दह आय ा (ह नसल क)

0 8 9 0 दह आय ा

(9) (4) = 9 सकड़ + 0 दह इ

दह इ म 0 नलख 9 सकड़ (ह नसल की)

चरण 3 7 6 7 x 5 = 3 5 सकड़

+ 9 सकड़ (ह नसल)

x 5 8 4 4 दह आय ा

4 4 0 8 4 हज र और 4 सकड़

(5) (4) आनह आनक सथ नो पर नलख

हल नमल 76 x 58 = 4408

पण ाको म गणन सदिय क गण

1 दो पण ाको क गणनफल सदव एक पण ाक होत ह आस सवरक गण कहत ह

जस- 3 x (-6) = -18 (यह ा 3 एव -6 क गणनफल -18 एक पण ाक सखय ह)

2 पण ाको की गणन सदिय िम-नवननमय ननयम क प लन करती ह

जस- (-7) x 2 = 2 x (-7) = -14

3 परतयक पण ाक म एक क गण करन पर वही पण ाक पर पत होत ह

जस- (-4) x 1 = 1 x (-4) = -4

यह ा सखय 1 को गणन-ततसमक ऄवयव कहत ह

4 दकसी पण ाक म ईसक गणन परनतलोम क गण करन पर सदव 1 पर पत होत ह

जस- 5 times 51 =1

यह ा सखय 5 क गणन परनतलोम ह शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव म नही ह

5 शनय क गण - दकसी पण ाक म शनय क गण करन पर गणनफल सदव शनय पर पत होत ह

जस- (-3) x 0 = 0 x (-3) = 0

6 पण ाको क गण पर स हच यम ननयम ल ग होत ह

जस- -3 x (4x5) = (-3x4) x 5

3 x (-20) = (-12) x 5

-60 = -60

P a g e | 47

7 नवतरण गण- पण ाको म गणन सदिय योग सदिय पर नवतरण गण क प लन करती ह

जस- 3times(-4+5) = 3times (-4)+3 times 5

य 3(-4+5) = 3 (-4)+3 times 5

= 12+15

= 3

पण ाको क भ ग

नपछल प ठ म पणम सखय ओ क सदभम म अपन भ ग दन सीख ह पण ाक सखय ओ क गण क

ईद हरण भी हम दख चक ह आनही क अध र पर हम पण ाको क भ ग क ब र म समझ सकत ह

3 times 4 = 12 -5 times 6 = - 30 (-7) times (-2) = 14

12 divide 3 = -30 divide -5 = 14 divide (-2) =

12 divide 4 = 30 divide 6 = 14 divide (-7) =

गणन एव भ ग सदिय एा परसपर नवपरीत सदिय एा ह यह शनय क नलए ल ग नही होत कयोदक

शनय स दकसी भी पण ाक को भ ग नही ददय ज सकत आसी अध र पर उपर ददए कथनो म परशन नचहनो क

सथ न पर सखय एा नलख

पण ाक म भ ग सदिय क गण

1 पण ाको क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3raquo4 म भ गफल पण ाक नही ह

2 परतयक पण ाक म (शनय को छोड़कर )ईसी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

जस- 7 divide 7

3 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म-1 पर पत होत ह

जस- 15 divide (-15)= -1

4 शनय म दकसी भी पण ाक सखय क भ ग दन पर भ गफल क म न शनय ही रहत ह

जस- 0 divide 16 = -1

5 दकसी पण ाक सखय म शनय स भ ग दन पर भ गफल जञ त नही कर सकत ऄथ मत

4 divide 0 ऄपररभ नषत

परशन वली-4

1 ननमन सखय ओ को सखय रख पर ननरनपत करक पररण म बत आए -

(i) 2 + (-4) (ii) -3 + 5 (iii) (-6) + (-3)

(iv) 6 + 4 + (-2) (v) 4 + (-3) + (-5) (vi) 0 + 3

(vii) 0 + (-5) (viii) 9 + 0 + (-1)

2 योगफल जञ त कीनजए-

(i) 1531 (-503) (ii) -55 -211 (iii) 117 -81

(iv) -18 172

P a g e | 48

3 ननमन म स परतयक ररकत सथ न म gt = य lt क नचहन लग आए नजसस कथन सतय हो-

(i) 8 + (-3) -3 + 8

(ii) -28 + 25 -25 + 28

(iii) -4 + 0 4 + 0

(iv) 0 + 9 9 + 0

(v) 25 + (+25) + 25 - (-25)

(vi) 208 + 53 208 - 53

4 ननमन गणनफल जञ त कीनजए-

(i) (+2) times (3) times (5) (ii) 3 times (-5) times (-6)

(iii) (-4) times 3 times (-2) (iv) (-6) times (-4) times 1

(v) 3 times 0 times (-2) (vi) 2 times (-7) times (-3)

5 ररकत सथ नो की परसत झ = य ढ नलखकर कीनजए -

(i) (2) times (5) (-3) times (5)

(ii) 2 times -4 times -3 8 times 3

(iii) 4 times -3 times -1 28

(iv) (-8) times (-5) 2 times 20

(v) 2 times -3 times 0 0 times -8

(vi) 4 times 5 times (-3) -4 times (+5) times (-3)

(vii) 3 times 8 times (-5) 3 times 8 times (-5)

6 दो पण ाको क योग 69 ह यदद ईनम स एक पण ाक 56 ह तो दसर पण ाक बत आए

7 दो पण ाको क योग 85 ह यदद एक पण ाक -15 ह तो दसर पण ाक जञ त कीनजए

8 ननमन म स परतयक क भ गफल जञ त कीनजए -

(i) 30 divide 2 (ii) 40 divide (-4) (iii) -48 divide 12

(iv) 24 divide 0 (v) -14 divide 1 (vi) 95 divide (-5)

9 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -80 divide = - 20 (ii) 46 divide = -23

(iii) -24 divide = 24 (iv) 12 divide = -1

10 नीच दी गइ सखय ओ क योजय परनतलोम जञ त कीनजए -

(i) 17 (ii) -23 (iii) 68

(iv) -75

11 ररकत सथ नो की परसत कीनजए -

(i) -18 + = 0 (ii) 26 + = 0

(iii) 161 + = 0 (iv) -79 + = 0

P a g e | 49

हमन सीख

1 दो धन तमक पण ाको क योगफल सदव धन तमक पण ाक तथ दो ऊण तमक पण ाको क योगफल

सदव ऊण तमक पण ाक होत ह

2 एक धन तमक एव एक ऊण तमक पण ाक क योगफल धन तमक पण ाक होग यदद धन तमक पण ाक

क अदकक म न ऄनधक हो तथ योगफल ऊण तमक होग यदद ऊण तमक पण ाक क अदकक म न

ऄनधक हो

3 दो पण ाको क योग हमश एक पण ाक होत ह यही पण ाको क योग क नलए सवरक ननयम ह

4 पण ाक म शनय जोड़न पर ईसक म न म कोइ पररवतमन नही अत ह शनय को योजय ततसमक

ऄवयव कहत ह

5 पण ाक म 1 क गण करन पर ईसक म न म पररवतमन नही अत ह सखय 1 को गणन ततसमक

कहत ह

6 दकसी धन तमक सखय को दकसी ऊण तमक सखय क स थ गण करन पर गणनफल ऊण तमक

सखय होत ह जस (+1) times (-1) = -1 य (-1) times (+1) = -1

7 ऊण तमक सखय क ऊण तमक सखय क स थ गण होन पर धन तमक सखय पर पत होती ह

जस - (-1) times (-1) = +1

8 दो पण ाको क योग ऄनतर एव गण एक पण ाक होत ह

9 पण ाक स 0 घट न पर ईसक म न नही बदलत

10 परतयक पण ाक की पवमवती एव परवती सखय होती ह

11 दकसी ऊण तमक सखय क योजय परनतलोम धन तमक सखय तथ दकसी धन तमक सखय क योजय

परनतलोम ऊण तमक सखय होती ह

12 पण ाक क भ ग पर सदव सवरक गण ल ग नही होत ह जस 3divide4 म भ गफल पण ाक नही ह

13 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक म ईसी पण ाक क भ ग दन पर भ गफल हमश 1 अत ह

14 शनय को छोड़कर परतयक पण ाक को ईसक योजय परनतलोम स भ ग दन पर पररण म -1 पर पत होत ह

15 शनय क गणन परनतलोम ऄनसततव नही रखत ह

16 पण ाको क गण -

गण योग सदिय ऄतर सदिय गणन सदिय भ ग सदिय

सवरक radic radic radic times

िमनवननमय radic times radic times

स हच यम radic times radic times

P a g e | 50

नपछली ककष म अपन वतत क ब र म पढ़ ह वतत क अक र को भी अप पहच नत ह जस- चड़ी

रोटी बलग ड़ी क पनहय आतय दद ऄपन च रो ओर प इ ज न व ली ऐसी 10 चीजो क ईद हरण ऄपनी

कॉपी म नलनखए

नीच कछ अकनतय दी गइ ह व वतत ह ऄथव नही ददए गए ररकत सथ न म नलनखएः

दननक जीवन म ईपयोग म अन व ली ऐसी कइ वसतएा ह नजनकी सह यत स अप ऄपनी

कॉपी म वतत बन सकत ह ऐसी कौन-कौनसी वसतएा अप पहच न सकत ह सची बन आए दकनही 3

वसतओ की सह यत स वतत बन आए

नजस वसत की सह यत स अपन वतत बन य ह ईसक दकन र कभी-कभी पणमतः वतत क र न होकर

टढ़ -मढ़ भी हो सकत ह आसनलए पणम वतत बन न क नलए परक र क ईपयोग करत ह

दिय कल प-1

परक र की सह यत स वतत खीचन - ऄपन जय नमनत बॉकस म रखी परक र को लीनजए परक र म

पनसल लग कर ईसको थोड़ स फल आए परक र की नोक को कॉपी क बीचो-बीच रखकर पनसल व ल नसर

को च रो ओर घम आए धय न रह परक र की नोक कॉपी पर ऄपनी जगह स नही हटनी च नहए आस परक र

बनी अकनत वतत कहल ती ह

नजस सथ न पर परक र की नोक अपन रखी थी वह ा पनसल की सह यत स एक बबद बन कर Oनलख यह

नबनद O वतत क कनर ह

P a g e | 51

ऄब वतत पर कइ बबद ABCDE एव F बन कर ननमन दररयो को म प (नचतर-6)

1 OA = 2 OD = 3 OB =

4 OE = 5 OC = 6 OF =

कय ईपरोकत सभी म प एक सम न ह

वतत पर कोइ भी बबद लन पर कय वह यही म प दग

आसी परक र परक र की सह यत स और दो वतत बन कर उपर क पररण मो की ज च कीनजए

अपन वतत बन न सीख नलय ह अआए ऄब वतत क नवनभनन भ गो को ज नन क नलए दिय कल प कर

दिय कल प-2

क गज़ पर परक र की सह यत स वतत बन आए तथ वतत क र अकनत को कची स क ट कर ऄलग

कीनजए आस वतत क र क गज की अकनत को आस परक र मोनड़ए दक एक भ ग दसर भ ग को ढक ल आस

ऄधमवतत क र अकनत को पनः दो बर बर भ गो म मोड़ ऄब आस क गज को खोलकर ईसम बन मोड़ क

ननश नो को पनसल की सह यत स रख दकत कीनजए तथ नीच दी गइ अकनत क ऄनस र न म दकत कर

रख खणड AC और BD की लमब इ म नपय कय व बर बर ह

कट न नबनद O स A तक O स C तक O स B तक और O स D तक की दरी न प कर

दनखए दक ईनकी लमब इ सम न ह य नही

अप दखत ह दक OAOB OC एव OD की लमब इ सम न ह य सभी वत की lsquolsquoनतरजय rsquorsquo ह

दिय कल प-3

ऄपनी कॉपी म परक र की सह यत स एक वतत बन आए वतत क कनर बबद को नचनहनत कीनजए

वतत पर कोइ बबद A लीनजए A को वतत पर नसथत नभनन-नभनन नबनदओ स आस परक र नमल आए दक कम स

कम एक रख खणड कनर स होत हए गजर अपन जो नवनभनन रख खणड खीच ह ईनह न पकर ऄपनी कॉपी म

नलनखए तथ नीच ददए गए परशनो क हल ढदढए-

1 सबस लमबी रख खणड कौन सी ह

2 कय सबस लमबी रख खणड कनर स होकर ज ती ह

3 एक ही वतत म ऐस दकतन सबस लमब रख खणड खीच ज सकत ह

नचतर- 7

नचतर- 8 नचतर- 9 नचतर- 10

नचतर- 11

P a g e | 52

दिय कल प 3 म अपन वतत पर नसथत दो बबदओ को नमल त हए कइ रख खणड खीच होग आनही

रख खणडो को जीव य च पकणम कहत ह सबस बड़ी जीव कनर स होकर ज ती ह वय स कहल ती ह (जस

रख खड AD) चादक कनर स ज न व ली परतयक जीव सबस लमबी जीव ह और अप यह भी ज नत ह दक

दकसी नबनद स ऄसखय रख खणड खीच ज सकत ह आसनलए दकसी वतत म भी ऄसखय वय स खीच ज सकत

ह

दिय कल प-4

ऄपनी कॉपी म ऄलग-ऄलग म प क 3 वतत बन आए तथ ननमन स रणी को पणम कीनजए -

ि स वय स की लमब इ नतरजय की लमब इ वय स divide नतरजय

01

02

03

ईपरोकत दिय कल प म अप प त ह दक दकसी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह ऄथ मत

rsquoनतरजय वय स की अधी होती हrsquo

ऄब वतत क च रो ओर क घर म पकर वतत क पररम प जञ त कर और घर तथ वय स म समबनध

समझ

अप ज नत ह दक दकसी भी बनद अकनत क घर की लमब इ ही ईस अकनत क पररम प ह ऄतः वतत

क पररम प ननक लन क नलए एक पटठ पर वतत बन कर ईस क ट नलनजए आसक दकन र पर पन स एक

ननश न लग आय ऄपनी कॉपी पर एक सरल रख खीचकर ईसक एक छोर पर भी ननश न A लग आए

वतत क र पटठ पर बन ननश न को सरल रख पर बन ननश न क उपर रनखए तथ पटठ को एक चककर तब तक

घम आए जब तक दक पटठ पर बन ननश न पनः सरल रख पर न अ ज ए सरल रख पर ननश न B

लग आए

नबनद A और B क बीच की दरी को म नपए यही म प आस वतत क पररम प होग आसी परक र नीच

ददए गए म प की नतरजय क वतत क टकर स रणी को पणम कीनजए -

ि स वतत क पररम प नतरजय की पररम प वतत क वय स पररम प divide वय स

01 35 समी

02 7 समी

03 105 समी

नचतर- 12

P a g e | 53

स रणी म पररम प divide वय स क म न सभी म लगभग सम न ह ऄथ मत परतयक वतत क पररम प तथ

वय स क ऄनप त एक ही (नसथर क) होत ह आस नसथर क को गरीक ऄकषर 120587 (प इ) स दश मत ह तथ आसक

म न लगभग 22

7 य 314 क बर बर होत ह

परशन वली 5

पर1 वतत बन आए

(i) नतरजय = 2 समी (ii) नतरजय = 35 समी

(iii) नतरजय = 42 समी (iv) नतरजय = 5 समी

पर2 वतत बन आए-

(i) वय स = 3 समी (ii) वय स = 6 समी

(iii) वय स = 68 समी (iv) वय स = 74 समी

पर3 32 समी नतरजय क वतत म 64 समी की एक जीव खीनचए

पर4 एक वतत की रचन कीनजए नजसकी सबस बड़ी जीव की लमब इ 8 समी ह

पर5 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो ईसक पररम प कय होग

पर6 ररकत सथ नो की परसत कीनजए

(i) वय स = 2 times

(ii) वतत क दो वय स पर परनतचछद करत ह

(iii) वतत की सबस बड़ी जीव को कहत ह

(iv) वय स वतत क स गजरत ह

(v) वतत की सभी नतरजय य होती ह

(vi) कनर स पररनध क दकसी नबनद को नमल न व ली रख वतत की ह

(vii) वतत म पररनध क दो नबनदओ को नमल न व ली रख को कहत ह

हमन सीख

1 वतत क कनर स वतत पर नसथत नबनद को नमल न व ली रख वतत की नतरजय ह

2 एक ही वतत की नतरजय य सम न होती ह

3 वतत पर नसथत दो नबनदओ को नमल न व ली रख वतत की

जीव कहल ती ह

4 वतत की सबस बड़ी जीव वय स होती ह जो वतत क कनर स

गजरती ह

5 दकसी भी वतत क वय स नतरजय क दगन होत ह

6 वतत क पररम प तथ वय स क ऄनप त सदव नसथर होत ह

आस नसथर क को 120587 कहत ह नजसक म न 22

7 य 314 क लगभग बर बर होत ह

P a g e | 54

पण ाक क प ठ म अपन पढ़ ह दक भ ग की सदिय हमश सवरक ननयम क प लन नही करती ह

ऄथ मत दकसी पण ाक को यदद दकसी ऄनय पण ाक स भ ग ददय ज व तो हमश पण ाक पर पत नही होत

सोचकर बत आय दक 8 म दकन-दकन सखय ओ क भ ग ज त ह और शष नही बचत और 7 म दकस-दकस

क भ ग ज त ह

गणनखड

2 times 5 = 10 म अपन दख दक 2 तथ 5 क भ ग 10 म परी तरह चल ज त ह

दकसी सखय क गणनखड व सखय एा ह जो ईस सखय को परी तरह नवभ नजत कर

10 divide 2 = 5 ऄथ मत 2 तथ 510 क गणनखणड ह

10 divide 5 = 2

दकसी सखय क गणनखड ईस सखय की सभी भ जक सखय एा ह गी

परतयक सखय कम स कम 1 व सवय स ऄवशय नवभ नजत होती ह

जस 12 म 1 क भ ग परी तरह चल ज त ह

12 म 12 क भ ग परी तरह चल ज त ह

कय अप ऐसी कोइ सखय ज नत ह नजसम एक क ऄथव ईसी सखय क भ ग परी तरह नही

ज त हो

भ जय सखय एा

वह सखय नजनम 1 तथ ईसी सखय क ऄनतररकत ऄनय सखय ओ स पर -पर भ ग ददय ज सकत

ह भ जय सखय कहल ती ह

अआए दख 12 म और दकन दकन सखय ओ क भ ग ज त ह

12 = 1 times 12

= 2 times 6

= 3 times 4

= 3 times 2 times 2

12 सखय 1 2 3 4 6 12 स पणमतय नवभ नजत हो ज त ह

ऄतः दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करत ह

P a g e | 55

ऄभ जय सखय एा

वह सखय नजसक गणनखड कवल 1 तथ सवय वही सखय हो ऄभ जय सखय कहल ती ह

जस 13 म कवल 1 एव 13 क पर -पर भ ग ज त ह ऄनय दकसी सखय क नही ऄतः 13 एक

ऄभ जय सखय ह आसी परक र 2 3 5 आतय दद ऄभ जय सखय एा ह

दिय कल प 1

नीच स रणी म कछ सखय ओ सभी गणनखड ददय गय ह शष सखय ओ क सभी गणनखडो को ररकत

सथ नो म नलनखए तथ एक गणनखड दो गणनखडो व ली एव दो स ऄनधक गणनखडो व ली सखय ओ को

ऄलग-ऄलग छ ारटय-

स रणी

सखय सभी गणनखड सखय सभी गणनखड

1 1 6 1623

2 12 7

3 8

4 142 9

5 10

ईपरोकत स रणी म हम तीन परक र की सखय एा ददख इ दती ह -

1 एक गणनखड व ली सखय ऐसी सखय नजसक कवल एक ही गणनखड ह ऐसी सखय 1 ह यह न

तो ऄभ जय सखय ह और न ही भ जय सखय यह एक ऄनदवतीय सखय ह

2 दो गणनखणडो व ली सखय एा 2 3 5 7 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक कवल दो ही गणनखड

होत ह ऄतः यह ऄभ जय सखय एा होगी आस परक र ऄभ जय सखय ओ क पॉच ऄनय ईद हरण

ऄपनी कॉपी म नलनखए

3 दो स ऄनधक गणनखणडो व ली सखय 4 6 8 9 10 आतय दद ऐसी सखय एा ह नजनक दो स

ऄनधक गणनखड ह य सभी भ जय सखय एा कहल ती ह

दिय कल प 2

एरटोसथनीज की छलनी भ जय और ऄभ जय सखय ओ को ऄलग-ऄलग छ टन क नलए एरटोसथनीज न एक

तरीक ऄपन य थ आस एरटोसथनीज की छलनी कहत ह

एरटोसथनीज की छलनी

स रणी म 1 स 100 तक की सखय दी गइ ह नीच ददय गय ननदशो क प लन कीनजए-

ननदश

(1) 1 को क ट दीनजए कयोदक 1 ऄभ जय सखय नही ह

P a g e | 56

(2) 2 क च रो ओर एक घर बन दीनजए तथ 2 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक लकीर

स क ट दीनजए जस 468 आतय दद

(3) ऄब ऄगली नबन कटी सखय 3 को घर लग कर 3 स नवभ नजत होन व ली सभी सखय ओ को एक

लकीर स क ट दीनजए यह ा हमन 2 और 3 स नवभ नजत होन होनी व ली कछ सखय ओ को क ट

ददय ह शष सखय ओ को क ट कर स रणी को पर कीनजए

(4) आसी परक र ऄगली नबन कटी सखय को घररय तथ ईसस नवभ नजत होनी व ली सभी सखय ओ को

क रटए

(5) यह परदिय तब तक दोहर आय जब तक 100 तक की सभी सखय ए कट न ज ए य नघर न ज ए

स रणी

आस परदिय क ब द आस छलनी म घरो क ऄदर की सभी सखय एा ऄभ जय सखय एा ह तथ 1 को

छोड़कर क टी गइ सभी सखय एा भ जय सखय एा ह

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

दिय कल प 3

भ जय और ऄभ जय सखय ओ को तो अपन ज न नलय ह ऄब अआए गणनखणड ननक लन क एक

खल खल

अप ऄपनी क पी म कछ घर बन आए परतयक घर क नीच नचतर नस र म न 1 2 3 4

आतय दद नलनखए और नीच नलख ननदशो क प लन कररए -

ननदश

1 क भ ग नजन सखय ओ म ज त ह ईन सभी घरो म 1 नलनखए

नजन सखय ओ म 2 क भ ग ज त ह ईन घरो म 2 नलनखए

नजन सखय ओ म 3 क भ ग ज त ह ईन घरो म तीन नलनखए

P a g e | 57

आसी परक र अग की सखय एा नलखत ज आए एव ननमननलनखत परशनो क ईततर दीनजए

परशन 1 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर म तर एक सखय ह ईस घर क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 2 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न नलनखए

परशन 3 ऐस दकतन घर ह नजनक ऄदर दो स ऄनधक सखय एा ह ईन घरो क ब हर की सखय क म न

नलनखए

घर क ऄदर की सभी सखय एा घर क ब हर की सभी सखय ओ क गणनखणड ह व सखय एा नजनक

म तर दो गणनखड (1 एव सवय वह सखय ) होत ह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

सहभ जय सखय एा

अआय 8 और 15 क गणनखडो पर नवच र कर

8 क गणनखड = 1 2 4 8

15 क गणनखड = 1 3 5 15

ईकत दोनो सखय ओ क गणनखणडो को दखन पर यह सपषट होत ह दक कवल 1 ही ह जो 8 और 15

क ईभयननषठ गणनखड ह 1 क ऄनतररकत और कोइ सखय ऐसी नही ह जो 8 और 15 क ईभयननषठ

गणनखड हो ऐसी नसथनत म सखय एा 8 और 15 सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

आसी तरह 9 10 और 49 क गणनखणडो पर नवच र कर

9 क गणनखड = 1 3 9

10 क गणनखड = 1 2 5 10

49 क गणनखड = 1 7 49

ईकत ईद हरण म कवल 1 ही ऐसी सखय ह जो 9 10 और 49 तीनो क ईभयननषठ गणनखड ह

आसक ऄनतररकत और कोइ सखय नही ह जो 9 10 49 सभी क गणनखड हो आसनलए 9 10 और 49 सह

ऄभ जय सखय एा ह

ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखड 1 हो सह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 58

(1) 1 स 100 क बीच अन व ली ऄभ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(2) 75 स 100 क बीच अन व ली भ जय सखय ओ को ऄपनी कॉपी म नलनखए

(3) 70 स 80 क बीच सबस जय द गणनखणड व ली सखय कौन सी ह

(4) कय 12 और 25 सह ऄभ जय सखय एा ह

(5) कय दो िम गत सखय एा सह ऄभ जय सखय एा होगी

सखय ओ क ऄनय परक र

1 सम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत होती ह सम सखय कहल ती ह

जस 2 4 6 8 10 12

2 नवषम सखय व सखय एा जो 2 स पणमतः नवभ नजत नही होती ह नवषम सखय कहल ती ह

जस 1 3 5 7 9 11 आतय दद

नीच अपको कछ नवषम सखय एा दी गइ ह ईनम स भ जय और ऄभ जय सखय ओ को छ ाटकर

स रणी म ददए गय सथ न पर नलनखए

41 45 47 53 55 57 63 67 69 71 73 77 81 83 87 89 91 93 95 97 99

स रणी

भ जय सखय एा ऄभ जय सखय एा

कय सभी नवषम सखय एा ऄभ जय होती ह

ऄभ जय गणनखड

अआय दख 42 क ऄभ जय गणनखणड कय होग

42 = 14 times 3 यह 3 ऄभ जय ह

कय 14 भी ऄभ जय ह

नही 14 को 2 times 7 नलख सकत ह

ऄथ मत 42 = 2 times 7 times 3 ऄब यह 2 7 3 सभी ऄभ जय सखय एा ह य 42 क ऄभ जय

गणनखणड ह आनह ऄभ जय गणनखणड कहत ह

6 क ऄभ जय गणनखणड कौन-कौन स ह और भी कछ सखय एा लकर ईनक ऄभ जय गणनखणड

पत कररए

ऄभ जय गणनखड जञ त करन

ऄभ जय गणनखणड कस पत कर कय एक-एक सखय को कइ-कइ ब र भ ग करक दख स म नय

तौर पर नीच ददय तरीक आसतम ल करन स दकसी भी सखय क ऄभ जय गणनखणडो क पत लग सकत

ह दी गइ सखय को सबस पहल 2 स भ ग करक दख यदद सखय 2 स नवभ जय ह तो सखय और दफर

ईसक भ गफलो म तब तक 2 क भ ग दत ह जब तक वह 2 स नवभ जय रहती ह दफर यदद सखय 3 स

ऄभय स

P a g e | 59

नवभ जय ह तो ईस म 3 स ब री-ब री तब तक भ ग दत ह जब तक वह 3 स नवभ जय ह आसी परक र 5 7

11 आतय दद क नलए भी वही परदिय दोहर त ह जब तक की भ गफल 1 पर पत नही हो ज त

ईद हरण 1 अआए 24 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

24 = 2 times 2 times 2 times 3

ऄतः 24 क ऄभ जय गणनखणड 2223 ह

ईद हरण 2 ऄब 30 क ऄभ जय गणनखड ननक ल

30 = 2 times 3 times 5

ऄतः 30 क ऄभ जय गणनखणड 23 एव 5 ह

1 ननमन सखय ओ क ऄभ जय गणनखणड जञ त कीनजए

(i) 16 (ii) 48 (iii) 60 (iv) 84

ऄभ जय गणनखड ननक लन तो अपन सीख नलय अआए ऄब दकसी सखय क सभी गणनखडो

पर नवच र कर

ईद हरण 3 कय 18 108 क गणनखड ह

परथम नवनध यदद 18 108 क गणनखड हो तो 108 म 18 क भ ग परी तरह चल ज न च नहए

18) 108 (6

- 108

0 ऄतः 108 क एक गणनखड 18 ह

नदवतीय नवनध (i) 18 क ऄभ जय गणनखड ननक नलए

(ii) 108 क ऄभ जय गणनखड पर पत कीनजए

18 = 2 times 3 times 3

108 = 2 times 2 times 3 times 3 times 3

चदक 18 क ऄभ जय गणनखडो म श नमल सभी सखय एा 108 क ऄभ जय गणनखडो म भी श नमल

ह आसनलए 108 क गणनखड 18 ह

ईद हरण 4 18 क सभी गणनखड नलनखए

नवनध 1 जस दक अप ज नत ह दक 18 म 1182369 आन सभी सखय ओ क भ ग ददय ज य तो शषफल

शनय (0) रहत ह

2 24

2 12

2 6

3 3

1

2 30

3 15

5 5

1

ऄभय स

P a g e | 60

ऄभय स

ऄतः 1182369 सभी 18 क गणनखणड ऄथव ऄपवतमक ह

गणनखड को ऄपवतमक भी कहत ह

नवनध 2 यह ा 18 क सभी ऄपवतमको को ननमन परक र स भी जञ त दकय ज सकत ह

18 = 1 times 18

18 = 2 times 9

18 = 3 times 6

आस परक र 18 क सभी ऄपवतमक होग 1 2 3 6 9 18

ईद हरण 5 60 क सभी गणनखडो को नलनखए

हल 60 = 1 times 60

= 2 times 30

= 3 times 20

= 4 times 15

= 5 times 12

= 6 times 10

ऄतः 60 क सभी गणनखड 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 होग

1 ननमननलनखत सखय ओ क सभी ऄपवतमक नलनखय

(i) 28 (ii) 36 (iii) 45 (iv) 72

आस नवनध स गणनखड ननक लन म अपको ऄनधक समय लग रह ह अपको नवभ जयत की ज च

क ननयम म लम नही ह नजसक क रण नबन भ ग ददय अप यह नही बत सकत दक दकसी सखय म 3 5

ऄथव 7 आतय दद क भ ग ज एग य नही अआय नवभ जयत पत करन क कछ ननयम सीख

नवभ जयत की ज ाच क ननयम

(1) 2 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक 0 2 4 6 8 हो तो वह सखय 2 स पणमतः नवभ नजत होगी

20 62 34 26 18 2 स नवभ जय ह

21 63 33 35 17 2 स ऄनवभ जय ह

यह ा 18 2 स नवभ जय ह अआए भ ग दकर आसकी ज ाच कर -

2 ) 18 ( 9

-18

0 2 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 61

2 ) 21 ( 10

- 2

01

- 00

1 2 स पणमतः नवभ नजत नही ह

(2) 3 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सभी ऄको क योगफल 3 स नवभ नजत होत ह तो वह सखय तीन स

नवभ नजत होगी

जस 111111 म सभी ऄको क योग 1+1+1+1+1+1 = 6 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

आसी परक र 5112 म सभी ऄको क योग 9 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत होगी

412 म सभी ऄको क योग 7 ह ऄतः सखय 3 स नवभ नजत नही होगी

(3) 6 स नवभ जयत की ज ाच

यदद कोइ सखय 2 तथ 3 स ऄलग-ऄलग नवभ नजत हो तो वह सखय 6 स भी नवभ नजत होगी

जस 216 2 स नवभ जय ह (आक इ ऄक 6 ह)

216 3 स नवभ जय ह (ऄको क योग 9 ह)

ऄतः यह 6 स भी नवभ जय होगी

आसी परक र 643212 2 स नवभ जय ह (कयोदक आक इ क ऄक 2 ह)

3 स नवभ जय ह (कयोदक ऄको क योग 18 ह)

ऄतः सखय 6 स भी नवभ जय होगी

(4) 9 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क ऄको क योग 9 स नवभ जय हो तो परी सखय भी 9 स नवभ जय होगी

जस 3663 9 स नवभ जय ह कयोदक (ऄको क योग 3+6+6+3 = 18 ह नजसम 9

क भ ग पर -पर ज त ह)

1827 9 स नवभ जय ह (ऄको क योग 18 9 स नवभ जय ह)

1227 9 स नवभ जय नही ह (ऄको क योग 12 9 स नवभ जय नही ह)

(5) 5 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय म आक इ क ऄक 0 ऄथव 5 ह तो वह सखय 5 स नवभ जय होगी

जस 1045 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 5 ह

940 5 स नवभ जय ह कयोदक आक इ क ऄक 0 ह

(6) 10 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क आक इ क ऄक शनय हो तो वह सखय 10 स नवभ जय होगी

जस 1000 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

2130 10 स नवभ जय ह (आक इ क ऄक शनय ह)

5003 10 स नवभ जय नही ह (आक इ क ऄक 3 ह)

P a g e | 62

(7) 4 स नवभ जयत की ज ाच

जब दकसी सखय क दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 4 स नवभ नजत होती ह ऄथव दह इ व

आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 4 स नवभ नजत होगी

जस - 79412 म दह इ एव आक इ क ऄको स बनी सखय 12 ह जो दक 4 स नवभ नजत ह ऄतः सखय

79412 4 स नवभ नजत होगी

1300 4 स नवभ नजत ह नजसम दह इ व आक इ क ऄक शनय ह

413 4 स नवभ नजत नही ह कयोदक 13 म 4 क भ ग पर -पर नही ज त ह

(8) 8 स नवभ जयत की ज ाच

यदद दकसी सखय क सकड़ दह इ आक इ व ल तीन ऄको की सखय 8 स नवभ नजत हो

य सकड़ दह इ व आक इ क सथ न पर शनय हो तो वह सखय 8 स नवभ जय होगी

31000 8 स नवभ जय ह (आक इ दह इ व सकड़ क ऄक शनय ह)

1816 8 स नवभ जय ह (816 8 स नवभ नजत ह)

12317 8 स नवभ जय नही ह (317 8 स नवभ नजत नही ह)

(9) 7 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क ऄनतम ऄक क दगन कर शष ऄको की सखय स घट आए तथ बची हइ सखय पर पनः

यही परदिय दोहर आय जब तक 1 य 2 ऄक की सखय पर पत नही हो ज ती यदद पर पत सखय 7 स नवभ नजत हो

तो दी गइ सखय भी 7 स नवभ जय होगी

जस 1729 म ऄनतम ऄक 9 ह 9 क दगन = 18

172 - 18 = 154 म ऄनतम ऄक 4 ह 4 क दगन = 8

15 - 8 = 7 ऄनतम ऄक 7 ह ऄतः 7 स नवभ जय ह

कय अप ज नत ह दक 1729 को र म नजन सखय भी कह ज त ह

भ रत क मह न गनणतजञ र म नजन जब आगलड म थ ईस समय वह एक ब र बहत बीम र हो गय

ईनस नमलन आगलड क परो ह डी अए ईनम जो ब तचीत हइ वह आस परक र ह -

र म नजन न पछ - अप कस अए

परो ह डी - टकसी दव र

र म नजन - टकसी क नमबर कय थ

परो ह डी - 1729 कोइ नवशष सखय नही ह

र म नजन - अप गलती पर ह यह सखय बहत रनचकर ह यह एक म तर ऐसी सबस

छोटी सखय ह नजस दो सखय ओ क घनो क योगफल क रप म दो नवनभनन तरीक स नलख ज सकत ह

ऄथ मत 1729 = 13 + 123 = 93 +103

(10) 11 स नवभ जयत की ज ाच

दकसी सखय क नवषम सथ नो क ऄको क योग ननक नलए तथ सम सथ नो क ऄको क योग

ननक नलए यदद नवषम सथ नो क ऄको क योग तथ सम सथ नो क ऄको क योग क ऄतर 0 11 ऄथव

11 क गणज हो तो वह सखय 11 स नवभ नजत होगी

P a g e | 63

ऄभय स

जस 856592 क नवषम सथ नो क ऄको क योग = 8+6+9 = 23

सम सथ नो क ऄको क योग = 5+5+2 = 12

दोनो योगो क ऄतर = 23 -12 = 11

ऄतः सखय 11 स नवभ जय ह

ईद हरण 6

ज ाच कीनजए की कय 805130425 11 स नवभ जय ह

हल सखय 805130425 क

1 नवषम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 8+5+3+4+5 = 25

2 सम सथ नो पर नसथत ऄको क योग = 0+1+0+2 = 3

योग क ऄतर = 25 - 3

= 22 जो 11 स नवभ नजत ह

ऄतः सखय 805130425 भी 11 स नवभ नजत होगी

1 नजस सखय स दी गइ सखय नवभ जय ह ईसम क ननश न लग आय

ि सखय नजनस सखय पणमतः नवभ नजत हो ज ए

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2550 radic radic radic radic radic radic

2 4914

3 9432

4 7332

5 13310

6 872

7 1210

2 27720 दकन-दकन सखय ओ स नवभ जय ह बत आए

3 नीच नलख कथन सतय ह ऄथव ऄसतय बत आए

(i) 78 2 स नवभ नजत हो सकती ह

(ii) 375 म 3 5 व 10 क भ ग पर -पर चल ज त ह

(iii) नजस सखय म आक इ क ऄक 0 हो वह सखय 5 स नवभ नजत होगी

(iv) दकसी सखय क सम सथ नो क ऄको क योग व नवषम सथ नो क ऄको क योग क ऄनतर

यदद 0 हो तो वह सखय 11 स भ जय होगी

(v) सखय 10080 िमशः 23456789 स पणमतः नवभ नजत ह

P a g e | 64

महततम सम पवतमक (Highest common factor)

दिय कल प 4

नीच 12 फीट लमब तथ 9 फीट चौड़ कमर को न पन क नलय एक लकड़ी क सकल बन न ह ईस

बड स बड़ सकल की लमब इ कय होगी नजसस 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प ज सक

12 फीट की लमब इ अप दकस-दकस म प क

सकल स न प सकत ह

अप प यग 1 2 3 4 6 12 फीट लमबी सकल स

12 फीट की लमब इ न पी ज सकती ह य सभी 12

क गणनखणड ह

ईसी परक र 9 फीट की लमब इ 1 3 और 9

फीट लमब सकल स न पी ज सकती ह य सभी 9 क

गणनखणड ह परनत ऐस बड स बड़ सकल की

अवशयकत ह जो 12 फीट और 9 फीट दोनो को न प

सक यह 12 और 9 क सबस बड़ ईभयननषठ

गणनखणड ऄथ मत rsquorsquo3rsquorsquo होग

चदक यह सबस बड़ ईभयननषठ गणनखणड (ऄपवतमक) ह आसनलए आस हम महततम सम पवतमक

(HCF) भी कहत ह

अआए ऄपवतमक (गणनखणड) की सह यत स एक स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक जञ त कर

ईद हरण 7

48 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 12 24 48

64 क सभी गणनखड 1 2 4 8 16 32 64

72 क सभी गणनखड 1 2 3 4 6 8 9 12 18 24 36 72

ईपरोकत सभी ईभयननषठ गणनखडो पर घर लग आए अप दखग 48 6472 क सम ऄपवतमक 1

2 4 8 ह आनम सबस बड़ ऄपवतमक 8 ह

ऄतः 48 64 72 क म स 8 ह

दो य दो स ऄनधक सखय ओ क समऄपवतमको म स सबस बड़ सम ऄपवतमक ईन सखय ओ क

महततम सम पवतमक (म स) कहल त ह

म स = सबस बड़ सम न गणनखड

म स जञ त करन की नवनधय ा

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स

ईद हरण 8 24 36 60 क म स जञ त कीनजए

P a g e | 65

24 = 2 times 2 times 2 times 3 36 = 2 times 2 times 3 times 3 60 = 2 times 2 times 3 times 5

ऄतः 24 36 60 क ईभयननषठ गणनखड

24 = 2 times 2 times 2 times 3

36 = 2 times 2 times 3 times 3

60 = 2 times 2 times 3 times 5

मस = 2 times 2 times 3 = 12

2 ऄपवतमक नवनध

24 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 8 12 24

36 क ऄपवतमक 1 2 3 4 6 9 12 18 36

60 क ऄपवतमक 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

ऄतः 24 36 60 क समऄपवतमक 1 2 3 4 6 12

सबस बड़ सम ऄपवतमक = 12

म स = 12

3 भ ग नवनध स म स जञ त करन

भ ग नवनध स मस दो तरीक स जञ त दकय ज सकत ह -

परथम नवनध

ईद हरण 9 16 तथ 36 क म स जञ त कीनजए

चरण

1) सबस छोटी ऄभ जय सखय 2 स 16 एव 36 को भ ग दन पर

2) 2 स 8 एव 18 को भ ग दन पर

3) चदक दकसी एक ही ऄभ जय सखय स 4 एव 9 को भ ग दन सभव नही ह

आसनलए नजन ऄभ जय सखय ओ स दी गइ सभी सखय ओ म एक स थ भ ग

ज त ह ईनक गणनफल ही मस होग

16 और 36 क महततम सम पवतमक 2 times 2 = 4

ईद हरण 10 60 90 210 क महततम सम पवतमक भ ग नवनध स जञ त कीनजए

चरण

1) 2 स 60 90 210 को भ ग दन पर

2) 3 स 30 45 105 को भ ग दन पर

2) 5 स 10 15 35 को भ ग दन पर

4) चदक दकसी ऄनय ऄभ जय सखय स 2 3 एव 7 को भ ग दन सभव नही ह

ऄतः 6090210 क मस 2 times 3 times 5 = 30

नदवतीय नवनध

आस नवनध स मस जञ त करन क नलए छोटी सखय क भ ग बड़ी सखय म तब तक दीनजए जब तक

दक शषफल भ जक स छोटी न अ ज ए ऄब भ जक को भ जय व शषफल को भ जक म नकर हल कर यह

P a g e | 66

दिय तब तक करत रनहए जब तक दक शषफल शनय न अ ज ए नजस भ जक स भ ग दन पर शषफल शनय

होग वही मस ह

ईद हरण 11 15 एव 63 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

15) 63 ( 4 3) 15 ( 5

- 60 -15

3 0

ऄतः 15 व 63 क मस 3 ह

ईद हरण 12 वह सबस बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 18 और 55 को भ ग दन पर िमशः 2 और 3

शष बच

हल चदक 18 को भ ग दन पर 2 शष बचत ह ऄतः सखय = 18 - 2 = 16 ह

ईसी परक र दसरी सखय = 55 - 3 = 52 ह

16 और 52 क मस ननक लन पर -

16) 52 ( 3

-48

4) 16 (4

-16

0

16 व 52 क मस 4 पर पत हअ

महततम सम पवतमक की नवषषत ए

अआय महतम सम पवतमक की नवशषत ओ को ईद हरणो क दव र समझ

ईद हरण 13 15 60 क म स ननक नलए

चदक 15 स 60 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 15 तथ 60 क म स 15 होग

ईद हरण 14

12 36 क म स ननक नलए

चदक 12स 36 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 12 तथ 36 क मस 12 होग

ईद हरण 15 20 40 क म स ननक नलए

चदक 20स 40 पणमतः नवभ नजत होत ह

ऄतः 20 तथ 40 क म स 20 होग

ईद हरण 16 15 और 16 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 15 एव 16 क म स 1 होग

आसी परक र 13 और 17 म 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखड नही ह

ऄतः 13 एव 17 क म स 1 होग

P a g e | 67

आसस यह सपषट होत ह दक -

1) यदद दो सखय ओ म बड़ी सखय छोटी सखय स परी तरह नवभ नजत होती ह तो छोटी सखय दोनो

सखय ओ क म स होगी

2) ऐसी सखय एा नजनक 1 क ऄल व कोइ ईभयननषठ गणनखणड नही होत ईन सखय ओ क मस 1

होत ह

परशन वली 61

1 ऄभ जय गणनखड नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 120 204 (ii) 144 198

(iii) 150 140 210 (iv) 108 135162

2 भ ग नवनध स महततम सम पवतमक जञ त कीनजए

(i) 252 576 (ii) 300 450

(iii) 72 96 144 (iv) 120 300 105

3 दो िम गत सखय ओ क महततम समपवतमक कय होग

4 ननमन स परतयक नभनन को ईसक हर और ऄश म ईनक महततम सम पवतमक स भ ग दकर सरल रप म

नलनखए

(i) 1444 256 (ii) 2211 3025

5 दो छोट टकरो म िमशः 85 और 68 लीटर पटरोल अत ह ईस म पन व ल बतमन की

ऄनधकतम धररत जञ त कीनजए नजसस परतयक टकर क पटरोल पर -पर म प ज सक

6 वह बड़ी स बड़ी सखय जञ त कीनजए नजसस 389 436 और 542 को भ ग दन पर िमशः 4 7 और 3

शष बच

7 एक नवदय लय की ककष 6 7 8 म िमशः 220 176 तथ 132 छ तर ह ऄनधक स ऄनधक छ तरो क

समह बन एा जो परतयक ककष म बन सक तथ परतयक समह म छ तरो की सखय सम न हो

8 हमीद क प स 527 सब 646 चीक व 748 सतर ह आनह बर बर-बर बर फलो क ढरो म रखन ह बड़ स

बड़ ढर म दकतन फल होग कल दकतन ढर बनग

9 एक अय तक र कमर की ब हरी लमब इ 122 मी एव चौड़ इ 92 मी ह यदद दीव र की मोट इ 1 मीटर हो

तो ईस बड़ स बड़ सकल की लमब इ जञ त करो जो अतररक भ ग की लमब इ व चौड़ इ को पणमतः न प सक

सकत अतररक लमब इ = 122 - 2 = 120 अतररक चौड़ इ = 92 - 2 = 90

(120 एव 90 क महततम सम पवतमक जञ त कीनजए)

गणज (Multiple)

नपछली ककष ओ म अप न पह ड़ तो पढ़ ही होग पह ड़ क ईपयोग गण करन व भ ग दन म भी अपन

दकय ह

अप ज नत ह दक 7 times 3 = 21 होत ह ऄथ मत 7 व 3 दोनो क एक गणज 21 ह

दो क पह ड़ म जो सखय एा अती ह व सभी दो क गणज ह आसी परक र 132639526578 आतय दद

सभी 13 क गणज होग

दिय कल प 5

नीच कछ सखय एा दी गइ ह ईनक परथम 5 गणजो को ददय गय बॉकस म नलनखए

P a g e | 68

4 क गणज

7 क गणज

12 क गणज

15 क गणज

16 क गणज

20 क गणज

लघतम सम पवतयम (Lowest Common Multiple)

दननक जीवन म हम नमलन व ल कछ ईद हरणो पर चच म कर -

ईद हरण 17 र म फल खरीदन ब ज र गय वह ा दक नद र न ईस दो तरह क कल

बत य पहल तरह क कल 10 रपय क 6 थ व दसरी तरह क 10 रपय क 8 कल थ

र म दस-दस रपय क नोट द कर नबन खदर दकए दोनो तरह क कल सम न सखय म खरीदन च हत ह

बत आए वह दोनो तरह क दकतन कल खरीद सकत ह

हल आसक नलए हम 6 व 8 क गणज नलखग

6 क गणज - 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78

8 क गणज - 8 16 24 32 40 48 56 64 72

आसक मतलब यह ह दक पहल तरह क 6121824 कल वह दस-दस रपय क िमशः एक

दो तीन च र नोट दकर नबन खदर दकए खरीद सकत ह

आसी तरह वह दसरी तरह क 81624 कल नबन खदर दकए खरीद सकत ह एक ही

सखय म खरीदन क नलए ईस दोनो म अनी व ली सखय क कल खरीदन होग ऄथ मत 6 व 8 क गणज म

जो सखय सम न ह ईनको लन होग

यह सखय ह 24 48 72

सम न सखय म कल खरीदन क नलए र म 24 48 व 72 कल खरीद सकत ह

अआए एक और ईद हरण दख

ईद हरण 18 एक दक नद र ऄपनी दक न क नलए थोक म पन खरीदन ज त ह ईस दो तरह क पन पसद

अत ह पहल परक र क पन क एक पकट म 12 पन ह तथ दसर परक र क पन क पकट म 15 पन ह थोक

दक नद र पकट खोलकर पन नही बचत ह कय अप बत सकत ह दक ईस कम स कम दकतन पकट

खरीदन च नहए नजसस खरीद गए दोनो परक र क पनो की सखय सम न हो

अआय आस परशन को ननमन स रणी क म धयम स हल कर

स रणी

पकट म पनो

सखय

कल पनो की सखय

1 पकट

म

2 पकट

म

3 पकट

म

4 पकट

म

5 पकट

म

12 12 24 36 48 60

15 15 30 45 60 75

P a g e | 69

आस परक र अप दख रह ह दक 12 पन व ल पकट यदद 5 खरीद ज व तो 60 पन होग और

15 पन व ल पकट यदद 4 खरीद ज व तब 60 पन होग

ईपरोकत परशन को हल करत समय अपन 12 और 15 क गणज ननक ल ह तथ जो ईभयननषठ गणज

सबस छोट ह वही च ह गय ईततर ह

गणज को lsquolsquoऄपवतयमrsquorsquoभी कहत ह आसनलए सबस छोट ईभयननषठ गणज को

लघतम सम ऄपवतयम य लघतम सम पवतयम कहत ह आस सकषप म लस(LCM) भी कहत ह

कय अप 1012 और 15 क सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम पर पत कर

सकत ह

10 क गणज नलनखए =

12 क गणज नलनखए =

15 क गणज नलनखए =

सबस छोट ईभयननषठ गणज य लघतम सम पवतयम =

नीच दी गइ स रणी म दी गइ सखय ओ क लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए

स रणी

िम सखय सखय एा सखय ओ क गणज य ऄपवतयम लघतम सम पवतयम

1 3 4 6 3 क ऄपवतयम = 3 6912151821242730

5 क ऄपवतयम = 5101520253035404550

6 क ऄपवतयम = 61218243036424854

30

2 4 6 9

3 4 9 12

4 6 1518

आस परक र यह कह सकत ह दक

(1) वह ऄपवतयम जो दी गइ सखय ओ क सबस छोट सम न ऄपवतयम हो दी गइ सखय ओ क लघतम

सम पवतयम कहल त ह

(2) दो य दो स ऄनधक सखय ओ क लस वह छोटी स छोटी सखय ह नजसम दी गइ परतयक सखय क

पर -पर भ ग चल ज त ह

ल स जञ त करन की नवनधय ा

(1) ऄभ जय गणनखड नवनध

ईद हरण 19 16 और 24 क लस जञ त कीनजए

16 = 2 times 2 times 2 times 2 24 = 2 times 2 times 2 times 3

P a g e | 70

(ii) सभी सखय ओ म सबस छोट ऄभ जय गणनखड ल यह गणनखणड दकसी भी सखय

म ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र अय हो ईस ईतनी ब र नलनखए

(iii) ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड को चननए और ईस भी ऄनधक स ऄनधक नजतनी ब र

दकसी सखय म वह अय हो ईतनी ब र नलनखए

(iv) आसी परक र सभी ऄभ जय गणनखडो को नलख कर गण करक लस जञ त दकय

ज त ह

16 = 2 times 2 times 2 times 2

24 = 2 times 2 times 2 times 3

सबस छोट ऄभ जय गणनखड 2 ऄनधकतम 4 ब र 16 म अय ह

ईसस बड़ ऄभ जय गणनखड 3 ऄनधकतम एक ब र 24 म अय ह

16 और 24 क ल स = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

(2) भ ग नवनध दव र

ईद हरण 20 121624 क ल स जञ त कीनजए

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग तीन सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

2 क भ ग एक सखय ओ म ज त ह

3 क भ ग दो सखय ओ म ज त ह

समसत भ जक सखय ओ क गणनफल ही लस ह

1216 और 24 क लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

दो सखय ओ क गणनफल तथ लस एव मस क मधय सबध

ईद हरण 21 म न लीनजए दो सखय एा 12 और 16 ह

अआय दोनो सखय ओ क गण करक दख जह ा परथम सखय 12 व नदवतीय सखय 16 ह

दोनो सखय ओ क गण = परथम सखय times नदवतीय सखय

= 12 times 16

= 192

ऄब दोनो सखय ओ क मस व लस भी जञ त करत ह

म स 2 12 16 लस 2 12 16

2 6 8 2 6 8

3 4 2 3 4

म स = 2 times 2 = 4 2 3 2

3 3 1

1 1

लस = 2 times 2 times 2 times 2 times 3 = 48

P a g e | 71

ऄथ मत मस times लस = 4 times 48 = 192

दोनो नसथनतयो म गणनफल सम न पर पत होत ह ऄतः यह कह सकत ह दक -

परथम सखय times नदवतीय सखय = म स times ल स

ऄथ मत दो सखय ओ क गणनफल = ईनक मस times ईनक लस

दिय कल प 6

स रणी म दी गइ सखय ओ क लस व मस ननक ल कर उपर ददय गय समबनध की ज ाच कीनजए

स रणी

परथम

सखय

नदवतीय

सखय

म स ल स म स times ल स परथम सखय times नदवतीय सखय

6

4

30

42

108

8

9

36

48

18

2 24 2 times 24 = 48 6 times 8 = 48

अप यह भी प त ह दक दो सखय ओ क मस ईनक लस क एक गणनखणड ह

परशन वली 62

मौनखक परशन

1 दो सखय ओ क म स 2 और ल स 12 ह यदद एक सखय 6 ह तो दसरी सखय

कय होगी

2 दो सखय ओ क गणनफल 338 ह आनक मस एव ल स क गणनफल बत आय

3 2 6 8 क लघतम सम पवतयम बत आए

4 7 और 14 क ल स 7 स बड़ ह य छोट

5 15 और 30 क ल स कय 30 स कम हो सकत ह

नलनखत परशन

1 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (गणनखड नवनध स)

(i) 14 28 (ii) 108 162 (iii) 12 15 45 (iv) 40 36 126

2 लघतम सम पवतयम जञ त कीनजए (भ ग नवनध स)

(i) 28 56 (ii) 112 168 (iii) 36 45 72 (iv) 180 184 144

3 55 मीटर लमब एव 22 मीटर चौड़ मद न म वग मक र दररय नबछ नी ह एक ही न प की कम स

कम नबछ इ ज न व ली दररय की सखय जञ त कीनजए (सकत - मस जञ त कर)

4 6 घरटय ा एक स थ बजन पर रभ हइ यदद व िमशः 2 4 6 8 10 12 सक ड क ऄतर ल म

बजती ह तो 30 नमनट म दकतनी ब र आकटठी बजगी (सकत - लस जञ त कर)

5 एक वय प री हर चौथ ददन र यपर ज त ह जबदक दसर वय प री हर 10 व ददन व दोनो यदद 3

जनवरी को एक स थ र यपर गय हो तो ऄगली नतनथ बत आए जब व पनः र यपर म एक स थ

P a g e | 72

पहचग

6 दो सखय एा 24 एव 36 ह यदद ईनक मस 12 हो तो ईनक ल स जञ त कीनजए

7 यदद दो सखय ओ क म स 13 लस 1989 ह यदद ईनम स एक सखय 117 हो तो दसरी सखय

जञ त कीनजए

8 शश क ननतय 465 रपय बच त ह कम स कम दकतन ददनो म वह रपयो की

परी - परी सखय बच सकग

सकत - 465 म 4 र पण ाक म ह ऄतः 65 पस और 100 पस क लघतम सम पवतयम जञ त कर एव

पर पत ल स म 65 पस क भ ग दन पर पणम ददनो की सखय पर पत होगी जो बचत की परी र नश

रपय म वयकत करग

9 कय दो सखय ओ क म स 14 और ल स 204 हो सकत ह ऄपन ईततर क पकष म तकम दीनजए

10 दकसी ददन रतनपर स र यपर की बस 40 नमनट क ऄतर ल स और र यपर स रतनपर की 45

नमनट क ऄतर ल म चलती ह यदद नवपरीत ददश स अन व ली दो बस दकसी नवषष पल स

1015 बज पर तः गजरती ह तो ईसक ब द ईस पल स दो नवपरीत ददश की बस दकस समय

गजरगी

सकत 40 और 45 क ल स 360 नमनट

36060 = 6 घट

1015 + 600 = 1615

1615 - 1200 = 415 श म

हमन सीख

1 दकसी सखय क गणनखड ईस सखय को पणमतय नवभ नजत करती ह

2 दकसी सखय क गणज ईस सखय स पणमतय नवभ नजत होती ह

3 परतयक सखय सवय क गणज एव गणनखड होती ह

4 1 परतयक सखय क गणनखड होत ह जो दक न ऄभ जय ह न ही भ जय

5 कवल 2 ही सम ऄभ जय सखय ह

6 दो य दो स ऄनधक सखय ओ क महततम सम पवतमक बड़ स बड़ ईभयननषठ गणनखड होत ह

7 लघतम सम पवतयम वह छोट स छोट ईभयननषठ गणज होत ह जो दी गइ सभी सखय ओ क गणज ह

8 दो सखय ओ क गणनफल ईनक महततम सम पवतमक तथ लघतम सम पवतयम क गणनफल क बर बर होत ह

9 2 क सभी गणज सम सखय एा कहल ती ह

10 सखय एा जो 2 क गणज नही ह व नवषम सखय एा कहल ती ह

11 दो सखय ओ क म स ईनक ल स क एक गणनखड होत ह

12 सखय ओ क महततम सम पवतमक सखय ओ स बड़ नही हो सकत ह

13 सखय ओ क लघतम सम वतयम सखय ओ स छोट नही हो सकत ह

14 ऐसी सखय एा नजनक कवल एक ही ईभयननषठ गणनखणड (1) होसह ऄभ जय सखय एा कहल ती ह

P a g e | 73

र ज न नपछली ककष ओ म नभनन सखय क ब र म पढ़ रख थ परनत वह आस ब त स परश न थ दक

नभनन सखय ओ की जररत ही कय ह

नचतर 1

तभी डॉली न अव ज लग इ lsquolsquoर ज रनशम और फरीद चलो हम सब रटफीन ख लrsquorsquo

रटफीन खोलन पर ईसम 10 पनड़य ा ननकली ऄब समसय यह अ गइ दक आन च रो क बीच 10

पनड़यो को बर बर-बर बर कस ब ाट ज ए

आसक ब ाटन क नलए डॉली न पहल सबको दो-दो पनड़य ब ाट दी ऄब शष बची दो पनड़यो को च रो

म ब ाटन थ ईसन दोनो पनड़यो को अध-अध नहसस म ब ाट कर च र टकड़ बन य और सभी क बीच ब ाट

ददए आस परक र सभी को दो और अधी पड़ी नमली र ज को ऐस लग दक यह अधी पड़ी ही 1 बट 2 क

बर बर ह ईसन ऄपन 1

2 पड़ी को दफर दो बर बर भ गो म ब ाटकर एक भ ग को ददख कर पछ - यह

नहसस दकतन ह

आस पर फरीद न ऄपन नहसस की अधी पड़ी को भी दो बर बर भ गो म ब ाटकर ऄपनी और र ज

की अधी पड़ी क च रो नहससो को एक स थ जम कर कह यह दखो परी पड़ी बन गइ चादक यह पड़ी च र

बर बर नहससो म ब ाटी हइ ह आसनलए परतयक टकड़ एक पड़ी क चौथ इ नहसस ह य 1 बट 4 ऄथव 1

4

ह दफर र ज न पछ lsquolsquoकय 2 टकड़ क बर बर होगrsquorsquo

P a g e | 74

रनशम न कह ह ा आसी परक र 3 टकड़ 3

4 क बर बर होग और च रो टकड़

4

4 ऄथ मत एक परी पड़ी क

बर बर होग और ऐस 5 टकड़ सव पड़ी ऄथ मत 1 1

4 होग

ऄब र ज सोचन लग जब पड़ी क सम न च र टकड़ो म स तीन टकड़ लन पर 3

4 पर पत होत ह तो

दकसी भी चीज़ क 3

5 पर पत करन क नलए ईस चीज़ क सम न 5 टकड़ो म स 3 टकड़ लन पड़ग

र ज तो कछ-कछ नभनन को समझन लग कय अपन समझ यह ज नन क नलए ऄपन अप को

परख नीच कछ अकनतय ा दी गइ ह आन अकनतयो क नीच नलखी गइ सखय क ऄनस र ईपयकत भ ग को

पनसल स छ य दकत कीनजए

1

2 भ ग

1

2 भ ग

1

2 भ ग

नचतर 2 नचतर 3 नचतर 4

1

3 भ ग

1

3 भ ग

2

6 भ ग

नचतर 5 नचतर 6 नचतर 7

1

4 भ ग

3

4 भ ग

12

16 भ ग

नचतर 8 नचतर 9 नचतर 10

P a g e | 75

1

2 भ ग

7

9 भ ग

3

4 भ ग

नचतर 11 नचतर 12 नचतर 13

3

6 भ ग

1

5 भ ग

2

10 भ ग

नचतर 14 नचतर 15 नचतर 16

आन म कौन-कौन स नभनन कल सथ न क सम न नहसस घर रह ह ईनह त नलक म भररए

नचतर िम क नभनन तमक म न पहल

नचतर क ऄनस र

नभनन तमक म न दसर

नचतर क ऄनस र

ननषकषम

नचतर 5 और 7

13 26 13 = 26

P a g e | 76

ईपरोकत सभी ईद हरणो म यह दख गय ह दक दकसी नभनन क ऄश और हर म यदद एक ही सखय

स गण दकय ज ए ऄथव एक ही सखय स नभनन क ऄश एव हर म भ ग ददय ज ए तो नभनन क म न नही

बदलत ऄथ मत दकसी नभनन को कइ परक र स वयकत दकय ज सकत ह नजनक ईद हरण नीच ददए गए हः-

1

2 =

2

4 =

3

6 =

4

8 =

5

10

2

3 =

4

6 =

6

9 =

8

12 =

10

15

आस परक र एक ही नभनन को कइ परक र स वयकत करन पर बन नभननो को समतलय नभनन कहत ह

दिय कल प 1

नभनन पर पत समतलय नभनन

2

3 स गण करन पर

3

3 स गण करन पर

4

4 स गण करन पर

5

5 स गण करन पर

6

6 स गण करन पर

2

3

2

3 times

2

2 =

4

14

2

7 times

3

3 =

6

21

2

7 times

4

4 =

8

28

2

7 times

5

5 =

10

35

2

7 times

6

6 =

12

42

3

8

4

5

5

9

4

6

दिय कल प 2

नीच कछ नभनन ददए गए ह ईनक ऄश ऄथव हर म ईनचत सखय नलखकर समतलय नभनन बन आए

(i) 3

5=

30 (ii)

4

7=

12 (iii)

7

9=

35 (iv)

34

51=

2

(v) 26

35=

5 (vi)

37

74=

2 (vii)

10

36=

5 (viii)

27

81=

3

(ix) 30

36=

6 (vi)

3

4=

21 (vii)

4

9=

54 (viii)

11

13=

55

P a g e | 77

उपर अपन समतलय नभनन बन न क कौनस तरीक ऄपन य

दिय कल प 2 (i) म हर क म न 5 ह आस ऐस नभनन म बदलन ह नजसक हर क म न 30 हो यह हम 5

को 6 स गण करन पर पर पत होत ह ऄतः तलय नभनन बन न क नलए ऄश को भी 6 स गण करन पड़ग

ऄथ मत 3

5 times

66 =

18

30

दिय कल प 3

नीच दो-दो नभनन क जोड़ ददए गय ह आन जोड़ो को ऐस तलय नभनन म बदनलए नजनक हर सम न

हो तलय नभनन को दी गइ त नलक म नलनखए

उपर अपन सभी नभनन यगमो को सम न हर व ल नभननो म बदल ह आनह सम न हर नभनन कहत ह

परनत ऄभय स िम क 8 9 10 11 म अपन यह भी प य होग दक यदद दोनो नभननो क हरो क लघतम

सम पवतयम ननक ल कर सम न हर बन य ज य तो नभनन ऄश और हर क सबस सरलतम रप म पर पत होग

P a g e | 78

ईद हरण 1 नभननो क िमण

उपर हम दखत ह दक 1

2 gt

1

3gt

1

4gt

1

5gt

1

6gt

1

7gt

1

8

ऄतः जब नभननो क ऄश सम न हो तो हर क बड़ होन पर नभनन क म न छोट हो ज त ह

ईद हरण 2 1

10 =

P a g e | 79

ऄभय स

ईपरोकत नचतर स यह सपषट होत ह दक

1

10lt

2

10lt

3

410lt

4

10lt

5

10lt

6

10lt

7

10lt

8

10lt

9

10lt

10

10

ददए गए सम न हर व ल नभननो म नजस नभनन क ऄश बड़ हो वह नभनन बड़ होत ह

ऄतः सम न हर नभननो म ऄश क बड़ य छोट होन पर नभनन बड़ य छोट होत ह

यदद हर सम न न हो तो बड़ य छोट नभनन पत करन क नलए सम न हर व ल तलय नभनन बन ए

ज त ह

जस 5

12 और

7

18 म कौन सी नभनन बड़ी ह

12 एव 18 क लघतम सम पवतयम 36 ह

5

12=

5times3

12times3=

15

36

तथ 7

18=

7times2

18times2=

14

36

सम न हर नभनन हए 15

36 और

14

36

ऄतः 15

36gt

14

36 य नी

7

12gt

7

18

नीच कछ नभनन सखय य दी गइ ह ईनह बढ़त हए िम म नलनखए

1 2

3

3

4

4

5 2

7

6

6

7

5

9

3 7

9

11

15

13

18 4

3

7

8

9

5

12 5

11

12

11

13

11

14

अपन नभननो को सम न हर नभननो म बदलकर ईनह बढ़त ऄथव घटत िम म नलखन सीख नलय ह

आसी परक र नभननो को सम न हर बन कर भी जोड़ एव घट य ज त ह

ईद हरण 3 हल कर 3

5+

7

9+

2

3

आन नभननो को जोड़न क नलए हम हर सम न करन होग त दक हम बर बर टकड़ जोड़ सम न हर

बन न क नलए सवमपरथम सभी हरो क लघततम ननक लत ह

3 593

531 लघतम सम पवतयम = 3times5times3 = 45

ऄब सभी नभननो को 45 हर व ली तलय नभनन सखय बन त ह

P a g e | 80

ऄतः सखय एा बनी 27

45

35

45+

30

45

ऄत 3

5 +

7

9+

2

3 =

27

45+

35

45+

30

45 [चदक सभी नभननो क हर सम न ह आसनलए ऄशो को जोड़न पर]

27+35+30

45=

92

45

ईद हरण 4 हल कर 1

3 +

3

5minus

8

12

3 5 और 12 क लघतम सम पवतयम

3 3512

154

ल स = 3 times5times4 = 60

1

3 +

3

5minus

8

12=

20

60+

36

60minus

40

60

20+36minus40

60=

16

60 =

4

15

(सरलतम रप अप ज नत ह दक नभनन क ऄश व हर म एक ही सखय क भ ग दन पर नभनन सखय

क म न म पररवतमन नही होत ह ऄतः यह ा 16

60 म ऄश व हर म 4 क भ ग दकर

4

15 पर पत दकय ह)

ऄभय स - हल कर

उपर परशनो को हल करत समय अपन यह प य ह दक कइ हल ऐस ह जह ा ऄश क म न हर स

P a g e | 81

ऄनधक ह ऐस नभननो को नवषम नभनन ऄथव ऄननचत नभनन कहत ह

जस - 13

9 म ऄश (13) gt हर (9)

ऄतः 13

9 एक ऄननचत नभनन ह आसी परक र

11

10 भी एक ऄननचत नभनन ह

13

9 को 1 +

49 य 1

49 क रप म भी नलख ज सकत ह आस नमशर नभनन कहत ह

जब नभनन क ऄश हर स छोट हो तो ईस ईनचत नभनन कहत ह

जस - 3

9

5

7

101

106 आतय दद

दिय कल प 4

नीच ददए गए नभननो स ईनचत तथ ऄननचत नभननो को पहच न कर ऄननचत नभननो को नमशर नभनन

क रप म नलनखए

नभनन सखय ओ क गण एव भ ग

दो नभननो क जब गण होत ह तब ऄश क ऄश क स थ एव हर क हर क स थ

गण हो ज त ह जस ऄगर हम अध क अध ननक लन हो तो वह 1

2times

1

2 ह आसी तरह

पौन क अध 3

4times

1

2 होग हम यह भी ज नत ह दक अध क अध एक प व होत ह

1

2

क दगन 1 होत ह ऄथ मत हर को हर स और ऄश को ऄश स गण करन पर ईततर पर पत होत ह

जस 3

8times

2

5 times=

3times2

8times5=

6

40=

3

20

अआए भ ग की सदिय को नीच ददए गय ईद हरणो स समझ -

6 divide 3 क मतलब यह हअ दक 6 म 3 दकतनी ब र अत ह ऄब यह सोच दक 1

2 म

1

4 दकतनी ब र

अत ह दोनो सव लो म ईततर 2 ही ह आसी परक र 3

2 म

1

2 तीन ब र अत ह

P a g e | 82

ऄभय स

3 divide 5 = 3

1 divide

5

1=

3

1times

1

5=

3

5

8 divide 9 = 8

1 divide

9

1=

8

1times

1

9=

8

9

आस परक र जब एक नभनन को दसर नभनन स भ ग ददय ज त ह तब भ जक की नभनन सखय ईलट दी

ज ती ह ऄथ मत भ जक क ऄश हर म और हर ऄश म चल ज त ह तथ भ ग क नचनह गण म बदल ज त

ह

ननमन नभननो को हल कर सरलतम रप म नलनखए -

(1) 1

3 divide

5

7 (2)

121

70 divide

11

35

(3) 27

8 divide

81

16 (4)

33

28 divide

11

4

आसी परक र कछ और सव ल बन आए और स नथयो स हल करव आए

सखय ओ क सथ नीय म न (Place Value)

ऄब तक अप सखय ओ स कइ तरह क खल खल चक ह जोड़न घट न गण

करन एव भ ग दन सीख चक ह आस दौर न अपन ऄको क सथ नीय म नो जस आक इ

दह इ सकड़ हज र आतय दद को भली-भ ानत समझ और परख ह अआए ऄको क सथ नीय

म न क ब र म अग कछ और चच म कर

ऄक 3 6 और 8 को िम बदलकर 3 ऄको की दकतनी सखय य बन सकत ह

(i) 368 (ii) 386 (iii) (iv) (v) (vi)

परतयक ब र अप ईनही ऄको (36 और 8) क ईपयोग कर रह ह परनत सखय ओ क म न नभनन-नभनन

कयोहो रह ह ऄपन स नथयो स चच म कर क रण नलनखए-

मरी न हमीद स कह - 368 म 8 क म न 8 ह

386 म 8 क म न 80 ह

836 म 8 क म न 800 ह

आस परक र एक ही ऄक म न ऄलग-ऄलग सथ नो पर ऄलग-ऄलग हो रह ह यदद हम अठ हज र

अठ सौ ऄठय सी (8888) नलख तो ऄक 8 क म न एक सथ न पर 8000 ह एक सथ न पर 800 ह

P a g e | 83

एक सथ न पर 80 ह तथ एक सथ न पर 8 ह

अआय दो सखय ओ 368 और 895 को जोड़ कर दख -

कय आस तरह योग दश मन सही ह

आक इ क ऄको को जोड़न पर 13 दह इ क ऄको को जोड़न पर 15सकड़ क ऄको को जोड़न पर 11 पर पत

हए आस योगफल को सथ नीय म न क अध र पर दख तो 11 सकड़ 15 दह इ 13 आक इ पर पत होत ह

ऄतः आस ननमननलनखत रपो म नलख ज सकत ह-

11 सकड़ + 15 दह इ + 13 आक इ परनत दकसी भी सथ न पर सबस बड़ ऄक 9 ही हो सकत ह कयोदक

10 होन पर ईस सथ न पर कवल 0 रह ज एग और 1 ऄगल सथ न पर जड़न क नलए चल ज एग उपर

ईद हरण म 8 और 5 जोड़न पर 13 आक इ होत ह 13 की सखय म 3 आक इ और 1 दह इ होन क क रण

3 को आक इ क सथ न पर तथ 1 दह इ सथ न पर 6 और 9 क स थ जोड़ ज त ह आस परक र सभी दह इ

क ऄको को जोड़न पर 6 + 9 + 1 = 16 दह इ अय 16 दह इ म 10 दह इ बर बर एक सकड़ होन क

क रण कवल 6 दह इ क सथ न पर नलख ज वग तथ 10 दह इ क 1 सकड़ को सकड़ क ऄको म जोड़

ज यग आसस 3 + 8 + 1 = 12 सकड़ बन ज एग आसी िम म नवच र करन पर 12 सकड़ म 10 सकड़

बर बर 1 हज़ र होत ह आसनलए ईस ऄलग कर सकड़ क सथ न पर कवल 2 लग आस परक र शष बच 10

सकड़ क म न 1 हज र होन क क रण हज़ र क सथ न पर 1 नलख ज यग आस परक र ईपरोकत परशन क

योगफल -

हज र सकड़ दह इ आक इ

1 2 6 3 = 1263

उपर ददए गए ईद हरण की तरह अप ननमननलनखत सखय ओ क योगफल जञ त कीनजए

(1) (2)

(3) (4)

ऄब यह सपषट हो गय दक 10 आक इ = 1 दह इ 10 दह इ = 1 सकड़

10 सकड़ = 1 हज र 10 एक हज र = एक दस हज र और दस दस हज र = 1 ल ख होत ह

P a g e | 84

आसी परक र यदद आसक ईलट चल तो -

आस परदिय म द एा स ब एा बढ़त समय िमशः 10 क गण होत ह आसक ईलटी ददश म चलन

पर िमशः 10-10 क भ ग होत चलत ह ऄब सोच दक आक इ म 10 क भ ग दन पर कय होत ह अप

को य द होग

1 divide 10 = 1

10= 01

आसी परक र आस िम को ज री रख ज ए तो -

ऄतः हम कह सकत ह दक -

नजस परक र द एा स ब एा ज त समय सथ नीय म न दस गण हो ज त ह ईसी परक र ब एा स द एा

अत समय सथ नीय म न 1

10 गण हो ज त ह य 10 व ा भ ग हो ज त ह

अआए आस ननमन ईद हरण स दख -

0325 क सथ नीय म न ननक ल -

य 03 + 002 + 0005 = 0325

P a g e | 85

आसी परक र 0628 = 06 + 002 + 0008

य 0628 = 6

10+

2

100+

8

1000

दिय कल प 5

नीच दी गयी स रणी म सथ नीय म न क ऄको को ईनचत सथ न स भररए

ककष 5वी म हमन लब इ क ब र म ऄधययन दकय ह नजसम हमन सीख हः-

10 नममी = 1 समी

1 नममी = 1

10 समी = 01 समी

100 समी = 1 मी

1 समी = 1

100 मी = 001 मी

1000 मी = 1 दकमी

1 मी = 1

1000 दकमी = 0001 दकमी

ईद हरण 5

रमश एक शहर स दसर शहर की 1505 दकमी की दरी टरन स 657 दकमी बस स तथ शष 900

मी की दरी पदल ही तय करत ह बत आए रमश न कल दकतनी दरी तय की

हलः-

रमश दव र तय की गइ दरीः-

टरन दव र 1505 दकमी

बस दव र 657 दकमी

पदल 900 मी

P a g e | 86

ऄभय स

हम ज नत ह दक

1 मी = 1

1000 दकमी

900 मी = 1

1000 times 900 = 09 दकमी

ऄतः

1505 दकमी

657 दकमी

+ 09 दकमी

= 2171 दकमी

ऄतः रमश न कल 2171 दकमी की दरी तय की

अप ज नत ह

1 रपय =100 पस

1 पस = 1

100 रपय = 001 रपय

ईद हरण 6 यदद 6 पनो की कीमत 72 र ह तो 1 पन की कीमत बत आए

हलः-

जबदक 6 पन की कीमत 71 र ह

तब 1 पन की कीमत = 72

6 र

= 12 रपय

ऄतः 1 पन की कीमत 12 रपय होगी

ईद हरण 7

दकसी ददन दोपहर क समय एक शहर क त पम न 360 सटीगरड थ और र त को दस बज 2850

सटीगरड हो गय बत आए त पम न म दकतनी नगर वट अइ

हलः-

दोपहर क समय त पम न = 360deg सटीगरड

र त क समय त पम न = 285deg सटीगरड

त पम न म नगर वट = 360deg - 285deg

= 75deg सटीगरड

1 एक मीटर कपड़ की कीमत 2475 र ह तो 28 मी कपड़ की कीमत बत आए

2 ऄनज दक नद र स एक पसतक 14360 र म खरीदत ह और वह दक नद र को 500 र दत ह

बत आए दक नद र न ऄनज को दकतन रपय लौट य

3 ऄकषत ऄपन ग ाव ज न क नलय 26 दकमी क र स ज त ह 105 दकमी 500 मी बस स ज त ह

P a g e | 87

और बची हइ दरी 1 दकमी 250 मी को पदल चलकर तय करत ह बत आए वह कल दकतनी दरी

तय करत ह

4 दो शहरो क त पम न िमशः 2050ह सटीगरड और 24ह सटीगरड ह बत आए दोनो शहरो क

त पम न म दकतन ऄतर ह

परशन वली 7

1 नीच ददए गए कथनो म सतय कथनो क अग सतय एव ऄसतय कथनो क अग ऄसतय नलनखए ऄसतय

कथनो को सध र कर नलख

(i) 13

16 और

78

119 तलय नभनन ह

(ii) 33

17 एक ईनचत नभनन ह

(iii) 15

22 और

60

88 तलय नभनन ह

(iv) 23

103 एक ऄननचत नभनन ह

(v) 13

3 को नभनन क रप म 4

1

3 भी नलख ज सकत ह

(vi) 3

2lt

2

3

(vii) -1 lt 01

(viii) 2 x 3 = 6

(ix) 135

1000= 0135 होत ह

(x) 056 x1000 = 56 होत ह

2 ननमन नभननो को घटत िम म नलनखए

(i) 5

6

7

8

8

9 (ii)

1

2

3

4

1

6

7

6

8

12

ननमन सखय ओ को घटत िम म नलनखए

(iii) 0008 08 008 8 8 (iv) 01 0099 00992 0012

3 ननमन नभननो को बढ़त िम म नलनखए

(i) 5

6

9

24

3

2

1

3

5

8 (ii)

1

2

1

4

1

6

1

8

2

15

4 ननमन क म न पर पत कीनजए -

(i) 1

3+

5

8+

3

5+

7

4+

13

6 (ii) 9 - 9 - 09 - 009 - 0009

(iii) 3

4times

7

5times

4

3 divide

28

15 (iv)

13

27times

3

26 divide

1

18

P a g e | 88

(v) 17

6+

19

4+

5

2+

4

3 (vi)

6

7+

13

14minus

9

21

5 ररकत सथ नो को भररए -

(i) 4

5+

helliphellip

30 (ii)

7

5+

helliphellip

55

(iii) 6

7+

helliphellip

42 (iv)

4

9+

helliphellip

18

6 ननमन म स ईनचत व नवषम नभनन को छ ारटए -

17

4

4

5

8

9

16

13

15

16

6

5

3

7

8

5

7 ननमननलनखत क सथ नीय म न जञ त कीनजए

(i) 84323 (ii) 14876 (iii) 87640314

हमन सीख

1 दकसी भी नभनन को ऄनक समतलय नभननो म बदल ज सकत ह आसक नलए नभनन क ऄश व हर को

सम न सखय स गण य भ ग दकय ज त ह

2 नभननो की तलन

(i) यदद नभननो क ऄश बर बर हो तो छोटी हर व ली नभनन बड़ी नभनन होगी

(ii) यदद नभननो क हर बर बर हो तो बड़ ऄश व ली नभनन बड़ी होगी

(iii) नभननो की तलन हर क लघततम सम पवततमक लकर सभी नभननो को सम न हर

नभनन बन कर दकय ज सकत ह

3 नजन नभननो क हर ऄश स छोट हो ईनह नवषम य ऄननचत नभनन कहत ह

4 नजन नभननो क हर ऄश स बड़ हो ईनह ईनचत नभनन कहत ह

5 जब दो नभननो क गण करत ह तब ऄश क ऄश स एव हर क हर स गण हो ज त ह

6 नभनन स भ ग दन म भ जक नभनन सखय ईलट ज ती ह एव भ ग की जगह गणन नचहन लग ज त

ह

P a g e | 89

जबअपदरव ज खोलतऄथव बनदकरतहतोदरव ज ऄलगऄलगनसथनतयोमदीव रकस थऄलग

ऄलगकोणबन त हयददशरीरकोएकसीधीरख म नलऔरह थकोदसरीसीधीरख तोह थकोजस

जसघम तहशरीरकस थह थऄलगऄलगकोणबन त ह

दननकजीवनमऔरकइसथ नोपरभीअपनकोणोकोबनतहएदख हजसघड़ीकीदोसइयोक

बीचबन कोणकचीकीदोभज ओकबीचबन कोणआतय दद

औरकह ाकह ाअपनकोणोकोबनतदख हऄपनीकॉपीमनलनखए

अआएकछईद हरणोकोदखनजनमकोणबनरहह

घड़ी क सभी नचतरो म बड़ी सइ 12 पर ह तथ छोटी सइ की नसथनत ऄलग-ऄलग ह नचतर 1 म दोनो

सइयो क बीच क झक व य घम व कम ह नचतर 2 3 एव 4 म दोनो सइयो क बीच झक वघम व बढ़त

ज त ह आसी परक र कची क ईपयोग करत समय ईसकी दोनो भज ओ क बीच झक व य घम व बदलत

रहत ह नडव आडर की दोनो भज ओ क बीच भी ईपयोग क ऄनस र घम व बदलत ह भोजन करत समय

अपन ऄनभव दकय होग दक कोहनी पर बदलत घम व य झक व क क रण ही ख न थ ली स मह तक

पहचत ह

rsquorsquoदकसी नबनद पर दो भज ओ क बीच बनन व ल ऐस ही घम व य झक व को कोण कहत हlsquolsquo

P a g e | 90

आसी परक र जब दो रख एा ऄथव दकरण एक दसर को क टती ह ऄथव नमलती ह तो ईन रख ओ क

बीच क घम व ऄथव झक व को कोण कहत ह

नीच ददए गए नचतरो म दकस नचतर म कोण बन रह ह और दकस नचतर म कोण नही बन रह ह

ईपरोकत नचतरो म अपन दख दक नचतर 5 म कोण बन रह ह परत नचतर 8 म कोण नही बन रह ह

कयोदक दो भज ओ म स एक सीधी रख नही ह ऄथ मत दो सरल रख ओ ऄथव रख खणडो स ही कोण बन

सकत ह

नशकषक व ऄपन स नथयो क स थ ऄपन असप स क व त वरण व वसतओ म बनन व ल कोणो क

ब र म चच म कर ऄपन अस प स बनन व ल कोणो की सची को और बड़ बन एा

दिय कल प 1

नजस परक र नहनदी क ऄकषर lsquoतरrsquo म तथ ऄगरजी क ऄकषर A म नीच ददख ए ऄनस र कोण बन रह ह

ईसी परक र नहनदी और ऄगरजी क ऄकषरो को नलखकर ईनम बनन व ल कोणो को नचहन दकत कीनजए दकन

ऄकषरो म कोइ भी कोण नही बनत

P a g e | 91

दिय कल प 2

ईपरोकत नचतरो को दख और बत आए दक परतयक म दकतन कोण ह

नचतर कोणो की सखय

(15)

(16)

(17)

ऄब अप कोणो को पहच नन लग ह तथ कोण दकस तरह बनत ह यह भी ज नन लग ह कय अप

बत सकत ह दक एक कोण बनन क नलए कय -कय जररी ह

परतयक कोण म दो भज एा होती ह य दोनो दकसी नबनद पर नमलती ह नजस नबनद पर नमलती ह ईस

कोण क शीषम कहत ह

जस नचतर 18 म कोण AOB को दख OA और OB भज एा ह जो

कोण क शीषा O पर नमलती ह आसम OA की ददश स OB की ददश

ज न म दकतन घम व हअ ह यह कोण AOB बत त ह

कोण को सकत को स दश मत ह

कोणो को ईनक न म स पढ़न

P a g e | 92

नचतर 19 म कोण को PQR य RQP क न म स पढ़त ह य नलखत ह नचतर 20 म कोण को

XYZ य ZYX क न म स पढ़त ह

य द रख- नजस नबनद पर कोण बनत ह ईस शीषम कहत ह शीषम क सथ न नलखत य बोलत समय

हमश बीच म होत ह

आसी परक र नचतर 21 म कोण को ऄ ब स य स ब ऄ पढ़त य नलखत ह

दिय कल प 3

ननमन नचतरो म बन कोणो क न म ददय गय सथ न पर दोनो परक र स नलनखए-

नचतर िम क कोणो क न म

जस- 22 AOB य BOA

23

24

25

26

27

28

P a g e | 93

कोण की म प

दिय कल प 4

दो झ ड़ की सीक य ब ास की कमची लीनजए ईनक एक-एक नसर

को नमल कर ईस पर एक नपन नचतर नस र लग दीनजए अपक कोण बन न

व ल यतर ऄब तय र ह ऄब अप एक सीक को नसथर रखकर दसर सीक को

घम न पर अपको ऄलग-ऄलग म न क कोण नमलग अआए आसकी कछ

नसथनतयो पर नवच र कर -

OB को नसथर रखकर OA को घम त ह जस-जस घम व बढ़त ह तो कोण क म न भी

बढ़त ह य AOB lt AOB lt AOB

कोण बन न व ल यतर स ऄब अप सबस बड़ व सबस छोट कोण बन कर ऄपन ऄधय पक को

बत ए

नीच ददए गए कोणो म स बड़ कोण बत आए

P a g e | 94

कय LMN gt OPQ ह क रण बत आए

ऐसी नसथनत जब दो कोणो को दखकर छोट य बड़ नही बत य ज सक तब हम ऐस कोणो क

म प को च ाद स न प कर पत लग एाग

अप ऄपन च ाद को दख आसक घम वद र सतह पर सम न दरी पर ननश न लग ह आनह नगनकर

पत लग ए दक आस पर कल दकतन ननश न बन ह ऄलग-ऄलग म न क ऄशो को पहच न तथ ईसकी

नसथनत दख

अआए ऄब दकसी एक नननित म प क कोण बन त ह अपन ककष -5 म कोण तो बन य ही होग

कोण बन न क नलए सकल और च ाद की अवशयकत पड़ती ह ऄपन कमप स ब कस म रख च ाद को दनखए

और आसक दकन र तथ आनम बन कल खणडो क ब र म ऄपन कॉपी पर नलनखए

नजस परक र लमब इ न पन क नलए मीटर समी आतय दद आक आयो क ईपयोग दकय ज त ह ईसी

परक र दो रख ओ क बीच कोण को म पन क नलए नजस आक इ क ईपयोग दकय ज त ह ईस lsquolsquoऄशrsquorsquo(0)

कहत ह

जस- 45 ऄश = 45deg

225 ऄश = 225deg

दिय कल प 5

अआय ऄशो क ब र म ज नन क परय स कर ऄपन कॉपी क कोर पनन पर सकल की सह यत स एक

लमबी रख खीनचए तथ आस रख क बीचो बीच च ाद की अध र रख को रनखए च ाद क ब हरी सीम पर

पननसल की सह यत स 0 स 180deg (ऄश) तक नचतर नस र रख खीनचए (नचतर 36)

P a g e | 95

नचतर 37 की तरह च ाद हट न पर वह ा एक ऄधमवतत क अक र बनत ह ऄब च ाद को पवम अध र

रख पर आस परक र रख दक घम वद र छोर नीच की ओर ठीक नवपरीत ददश म रह (नचतर 38) ऄब च ाद क

घम वद र सीम म 0 स 180deg तक पनसल पव मनस र घम एा च ाद हट न पर अपको एक वतत क र रचन

नमलगी (नचतर 39)

आस नचतर क अध र पर ननमन परशनो क ईततर दीनजए

1 एक ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 37) = 180deg

2 दसर ऄदधमवतत क कनर पर बन कोण (नचतर 38) =

3 दोनो ऄदधमवततो दव र सयकत रप स कनर पर कल बन कोण =

अप प त ह दक पहल 180deg और ब द म 180deg क कोण बन आस परक र 360deg क कोण एक नबनद

पर बनत ह यह नबनद आस परक र बनन व ल वतत क कनर नबनद भी ह

वतत क र क गज़ क टकड़ को क टकर बीच स ऐस मोनड़ए नजसस वतत दो बर बर भ गो म बाट ज ए

अप प एग दक O स होकर एक सरल रख पर पत होती ह नजस पर 180deg क कोण बन ह आस कोण को

सरल कोण भी कहत ह

आसी परक र एक वतत क कनर पर दकतन सरल कोण बन सकत ह

अपन वतत क र क गज़ को दो भ गो म मोड़कर सरल कोण पर पत दकय ह ऄब ईस पनः दो भ गो म

आस परक र मोड़ दक वतत च र बर बर भ गो म बाट ज ए (नीच नचतर नस र)

P a g e | 96

ऄब वतत नबनद O पर च र सम न भ गो म बट गय ह अप बत ए दक नबनद O पर बन च रो कोणो

क म प ऄलग-ऄलग दकतन ऄश क ह

ऄभय स 1

अप ऄपनी कॉपी म नवनभनन न प क 5-5 कोण बन आय ईनह न नपय एव ऄपन स नथयो व ऄधय पक

स ज ाच कर आए

च ाद की सह यत स कोण बन न क नलए सवमपरथम एक सरल रख AB खीचत ह आस सरल रख

क नजस नबनद O पर कोण बन न ह वह च ाद क मधय नबनद को आस परक र रखग दक च ाद क अध र पर

बनी सरल रख और कॉपी पर बनी सरल रख एक सीध म रह ऄब च ाद क 0deg स उपर नलख गए ऄक को

पढ़त चल नजस म प क कोण बन न ह वह ा एक नबनद लग ए म न लीनजए अपको 60deg क कोण बन न

ह तब च ाद क शनय स 60deg तक उपर बढ़ और एक नबनद च लग ए च ाद हट कर आस नबनद को सरल रख

क नबनद स नमल ए ऄब POB = 60deg क बन गय ह

P a g e | 97

दिय कल प 6

अपको कछ रख एा दी गइ ह परतयक रख म ददए हए नबनद पर अप ददए हए म प क (नचतर 44 की

तरह) कोण बन आए

ईपरोकत नचतरो म अपन दकन नबनदओ पर कोण बन य तथ कोणो को दकस ओर स शनय स न पन

शर दकय

एक ब त कय अप ज नत ह दक वयनकत क वय य म क समय स वध न की मर म दोनो एनड़यो क बीच 30deg

क कोण बनन च नहए ऐसी और भी ब त पत कररए

P a g e | 98

दिय कल प 7

नचतर म कोणो क म प तथ भज ओ की लमब इ न पकर दी गइ स रणी म नलनखए तथ नीच नलख

परशनो क ईततर दीनजए

(1) कय COD gt AOF EOFgt COD यदद नही तो कयो नही

(2) कय कोणो क म प भज ओ की लमब इ पर ननभमर ह

(3) दो भज ओ क बीच बन कोणो क ऄनधक य कम होन दकस ब त पर ननभमर करत ह

दिय कल प 8

नचतर 52 म कोण Xdeg व Ydeg क म न च ाद की सह यत स म नपय कय Xdeg = Ydeg ह ऄपनी कॉपी

म नलनखए

P a g e | 99

दिय कल पो स सपषट होत ह दक कोणो क म प कोण बन न व ली भज ओ की लमब इ (च प) पर

ननभमर नही करत कयोदक कोण सरल रख ओ ऄथव दकरणो स नमलकर बन हो सकत ह नजनक नवसत र

ऄसीनमत होत ह दोनो रख एा ऄसखय नबनदओ स नमलकर बनी होती ह ऄतः दो सरल रख ओ क बीच

दकनही दो नबनदओ की दरी कोण की म प नही ह

परशन वली 81

1 कोणो क न म नलनखए -

2 च ाद की सह यत स कोण म प कर नलनखए तथ ऄपन स थी स ईततर क नमल न कररए-

P a g e | 100

3 च ाद की सह यत स ननमन कोण बन ए -

(i) 45deg (ii) 75deg (iii) 90deg (iv) 120deg (v) 155deg

(vi) 210deg

4 6 बज घड़ी की दोनो सइयो (घट एव नमनट) क बीच दकतन कोण बनग

कोणो क परक र

कय अप बत सकत ह दक घड़ी म जब ठीक 12 बज रह हो तो घट और नमनट सइ क बीच दकतन

ऄश क कोण बनत ह

कोण क म प

कय अप बत सकत ह दक 12 घट म दकतनी ब र घड़ी की बड़ी सइ (नमनट) छोटी सइ (घट ) को

ढक लगी

कय अप बत सकत ह जब एक सइ दसरी सइ को ढक लगी तब ईनक बीच झक व दकतन ऄश क

होग

आसी परक र जब एक रख दसरी रख को ढक ल तो ईनक बीच शनय ऄश क कोण बनत ह

ऄब घड़ी म 2 बज कर 45 नमनट की नसथनत को दनखए तथ बत आए दक दोनो सइयो क बीच दकतन ऄश क

कोण बनग

नचतर 54 म AOB = 0deg ऄथ मत OA रख खणड क ठीक उपर OB रख खणड ह नजसस ईनक बीच

क झक व शनय ऄश क ह नचतर 55 म BAO क म न कय होग

P a g e | 101

1 शनय कोण वह कोण नजसक म प 0deg हो शनय कोण कहल त ह

परनत नचतर 55 म OA और OB दोनो रख खणड नवपरीत ददश म ह और नमलकर एक बड़

रख खणड बन रह ह ऐसी नसथनत म AOB = 180deg आस सरल कोण क न म स ज नत ह

(2) सरल कोण वह कोण नजसक म प 180deg हो सरल कोण कहल त ह

(3) नयनकोण वह कोण जो 0deg स बड़ तथ 90deg स छोट हो नयनकोण कहल त ह

(4) समकोण वह कोण नजसकी म प 90deg हो समकोण कहल त ह समकोण म एक भज दसरी भज

पर लमब होती ह

P a g e | 102

(5) ऄनधक कोण एक कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक परनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण कहल त

ह

(6) परनतवती कोण (वहत कोण) वह कोण नजसक म प समकोण 180deg स ऄनधक तथ 360deg स कम

हो परनतवती कोण कहल त ह

(7) समपणम कोण यदद कोइ दकरण ऄपन पर रनमभक नबनद क च रो ओर एक पर चककर लग न क ब द

ऄपन पर रनमभक नसथनत स समप ती हो ज ए तो आस परक र बन कोण समपणम कोण कहल त ह यह

कोण 360deg क होत ह

दिय कल प 9

ननमन कोणो को न पकर दख और ईनक परक रो को ददए गए ब कस म नलख

P a g e | 103

P a g e | 104

परशन वली 82

परशन 1 सतय कथन को छ ारटए ऄसतय को सध र कर नलनखए

(i) सरल कोण 180deg क होत ह

(ii) ऄनधक कोण 180deg स ऄनधक क होत ह

(iii) नयनकोण 90deg क कम क होत ह

(iv) तीन बज घड़ी की घट एव नमनट दोनो सइयो क मधय समकोण बनग

(v) 2

3 समकोण बर बर 60deg क कोण होत ह

(vi) कोण नजसक म प 90deg स ऄनधक दकनत 180deg स कम हो ऄनधक कोण ह

(vii) च ाद म कल 180deg क कोणो को दश मय ज त ह

परशन 2 नीच ददए कोणो म स नयनकोण समकोण ऄनधक कोण सरल कोण छ ारटए -

(i) 120deg (ii) 30deg (iii) 90deg

(iv) 180deg (v) 70deg (vi) 105deg

(vii)) 72deg (viii) 36deg (ix) 15deg

(X) 75deg

परशन 3 ननमन कोण-यगमो की तलन कोणो को म प कर कीनजए -

P a g e | 105

हमन सीख

1 दो भज ओ क बीच फल व य झक व को कोण क म प कहत ह

2 दकसी कोण को म पन की आक इ ऄश य नडगरी ह आस दकसी सखय क उपर षहष स दश मय ज त

ह जस - 30deg 45deg 90deg 180deg 360deg

3 एक कोण नजसक म न

0deg हो शनय कोण कहल त ह

0deg और 90deg क बीच हो नयनकोण कहल त ह

90deg क बर बर हो समकोण कहल त ह

90deg और 180deg क बीच हो ऄनधक कोण कहल त ह

180deg हो तो वह सरल कोण कहल त ह

180deg और 360deg क बीच हो परनतवती कोण कहल त ह

360deg हो तो वह समपणम कोण कहल त ह

P a g e | 106

अपन पज सथल पर लगी पत क सवततरत ददवस एव गणततर ददवस म श ल को सज न क नलय

ईपयोग दकय गय तोरण तथ पर ठ जसी ऄनक रचन एा दखी ह आनही स नमलती जलती कछ और

अकनतयो को दख-

1 कमप स ब कस म रख सट सव यर (नचतर 1)

2 क पी क पनन क मड़ हअ भ ग (नचतर 2)

3 नचतर 3 म ददय गय तीनो नबनदओ को रख खणडो दव र नमल न पर बनी अकनत

आन अकनतयो म कय सम नत ह

कय अपन अस-प स आस तरह की और अकनतय ा दखी ह कह ा-कह ा दखी ह नलनखए ऐसी

अकनतय ा नीच ददख ए गए नचतरो म भी ढादढ़एः-

P a g e | 107

अपन आन अकनतयो को दकस अध र पर छ ाट ह

छ ाटी गइ सभी अकनतयो म यह सम नत ह दक आनम तीन भज एा और तीन शीषम ह आसनलय आनह

नतरभज कहत ह

नीच नचतर 17 स 23 तक सभी अकनतय ा तीन भज ओ स बनी हइ ह परनत ईनम स सभी नतरभज

नही ह नतरभज नही होन क क रण पर नवच र कीनजए

P a g e | 108

अपन रख खणड क प ठ म बनद और खली अकनत क ब र म पढ़ ह उपर ददए गय नचतरो म भी

नचतर 18 और 20 बनद अकनतय ा ह ब की सभी खली अकनतय ा ह जो बनद ह ईनम तीन रख खणडो स

तीन कोण भी बन रह ह खली अकनतयो म तीन भज एा तो ह परनत यह तीन भज एा तीन कोण नही बन

रही ह आसनलय तीन रख खणडो स बनी सभी अकनतय ा नतरभज नही ह तीन रख खणडो स बनी बनद

अकनत ही नतरभज ह

दिय कल प 1

नीच परतयक नचतर म तीन-तीन नबनद ददए गए ह कय आन तीन नबनदओ को रख खणड दव र नमल कर अप

नतरभज बन सकत ह

P a g e | 109

ददए गए नचतरो म अपन दख दक जह ा तीनो नबनद एक सरल रख म ह ईनह तीन रख खणडो दव र

नही जोड़ ज सकत ऄतः व नतरभज नही बन रह ह ऄथ मत lsquolsquoतीन ऐस नबनद जो एक सरल रख म न हो

ईनह रख खणडो दव र नमल न पर जो बनद अकनत बनती ह वही नतरभज हrsquorsquo

नतरभज क भ ग

नतरभज ABC म A B और C शीषम ह तथ AB BC और CA भज एा ह ABC BCA और

CAB तीन कोण ह

दिय कल प 2

उपर नचतर म परतयक शीषम पर दो भज एा नमल रही ह और एक कोण बन रह ह नीच ददय गए

नतरभजो म शीषम भज एव कोणो क न म नलनखए -

P a g e | 110

नतरभज क ऄनतःकोण

दकसी नतरभज की तीन भज ओ दव र नघर हए कषतर म जो कोण बनत ह व सभी ऄनतःकोण कहल त

ह नचतर ि 33 34 35 एव 36 म अपन नजतन कोणो क न म नलख ह व सभी ऄनतःकोण ह

दिय कल प 3

ननमन नतरभजो नचतर ि 37 38 39 40 म ऄनतःकोणो को च ाद की सह यत स न पकर ईनक म प

त नलक म भररए तथ ईनक योगफल जञ त कीनजएः-

ईपरोकत त नलक स यह पर पत हो रह ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो क योगफल लगभग 180deg

ह

P a g e | 111

नतरभज क तीनो ऄनतःकोणो क योग 180deg क बर बर होत ह आस नसदध करन क तरीक हम

ऄगली ककष ओ म दखग

दकसी नतरभज म ददय गय दो कोणो क अध र पर तीसर कोणो क म न जञ त कीनजए -

नतरभज क बनहषकोण

तीनो भज ओ स नघर कषतर क ब हर नतरभज की दकसी एक भज को दकसी एक ददश म अग बढ़ न

पर बन कोण बनहषकोण कहल त ह

ईपरोकत नचतरो म परतयक नतरभज की एक भज को D तक बढ़ य गय ह नजसस िमशः ACD

CAD और ABD पर पत होत ह य सभी बनहषकोण ह परतयक बनहषकोण एक ऄतःकोण स जड़ हअ ह

नजस बनहषकोण क समपरक कोण भी कह सकत ह बनहषकोण स जड़ यही ऄतःकोण बनहषकोण क

lsquolsquoननकटसथ ऄतःकोणlsquolsquo कहल त ह जसः-

P a g e | 112

बनहषकोण स जड़ ऄतःकोण ननकटसथ ऄतःकोण कहल त ह और नतरभज क बच हए दो ऄतःकोण दरसथ

ऄतःकोण कहल त ह नचतर 41 म BAC और CBA नचतर 42 म ABC और BCA तथ नचतर 43

म BCA एव CAB दरसथ ऄतःकोण ह

ननमन नचतरो म बनहषकोण एव बनहषकोण क ननकटसथ ऄतःकोणो को छ ारटय यदद दकसी नचतर म

बनहषकोण नही बन रह ह तो कयो

नचतर 45 और 46 म बनहषकोण नही बन रह ह कयोदक QRS और UVW सरल रख एा नही ह

दिय कल प 4

अप ननमन अकनतयो म नतरभज क ननकटसथ ऄतःकोण दरसथ ऄतःकोण एव बनहषकोणो को छ ाटकर

दी गइ त नलक म भररएः-

P a g e | 113

दकसी नतरभज क बनहषकोण तथ ननकटसथ एव दरसथ ऄतःकोणो को अपन पहच न नलय ह अआए

आनही कोणो स समबननधत एक और दिय कल प कर-

दिय कल प 5

ननमन नतरभजो म X Y तथ क म न जञ त कीनजए तथ नीच दी गइ त नलक को पणम

कीनजएः-

P a g e | 114

X तथ Y + Z म कय सबध ह

ईपरोकत त नलक स यह सपषट ह दक नतरभज क दकसी एक बनहषकोण क म न ईसक दरसथ ऄतःकोणो

क म प क योग क बर बर होत ह

नतरभज क वगीकरण

अपन ऄभी तक नवनभनन अकनत क नतरभजो को दख ह भज ओ एव कोणो क अध र पर नतरभज को

ननमन नस र वगीकत दकय ज सकत हः

1 भज ओ क म पो क अध र पर नतरभज क वगीकरणः

(ऄ) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा ऄसम न म प की हो नवषमब ह नतरभज कहल त ह

(ब) वह नतरभज नजस की कोइ भी दो भज एा बर बर म प की हो तथ तीसरी भज ऄलग म प

की हो समनदवब ह नतरभज कहल त ह

(स) वह नतरभज नजसकी तीनो भज एा बर बर म प की हो समब ह नतरभज कहल त ह

ननमननलनखत त नलक म नतरभज की भज ओ क म प ददए गए ह म प क अध र पर नतरभजो क

वगीकरण कीनजए -

ऄभय स

P a g e | 115

दिय कल प 6

ननमन नचतरो म भज ओ को म पकर नतरभजो क वगीकरण कीनजएः-

2 कोणो क अध र पर वगीकरण

(ऄ) नयनकोण नतरभज - नजसक परतयक कोण नयनकोण होत ह

(ब) समकोण नतरभज - नजसक एक कोण समकोण होत ह

(स) ऄनधक कोण नतरभज - नजसक एक कोण ऄनधक कोण होत ह

दिय कल प 7

ददय गए कोणो क म प क अध र पर नतरभजो क वगीकरण कर नीच दी गइ त नलक म नलनखएः

P a g e | 116

दिय कल प 8

ननमननलनखत नचतरो म नतरभज क कोणो को म प कर नतरभज क वगीकरण कोणो क अध र पर

कीनजए एव ररकत सथ नो म नतरभज क परक र नलनखएः-

नवनभनन नतरभज बन कर ईनक कोण व भज एा म प व ईनको ईनक परक र क ऄनस र छ ाट

P a g e | 117

3 कोण एव भज ओ क अध र पर वगीकरण

दिय कल प 9

ननमन नचतरो म अप भज ओ एव कोणो को ऄलग-ऄलग म प कर त नलक म नलख भज एव कोणो

क अध र पर ननमन नतरभजो क वगीकरण कीनजए-

आन पररण मो स ननमननलनखत ननषकषम ननकलत ह-

(1) नवषमब ह नतरभज म तीनो भज ओ क म प ऄलग-ऄलग ह तथ तीनो कोणो क म प भी ऄलग-

ऄलग ह

(2) समनदवब ह नतरभज म दो भज एा और दो कोण बर बर ह

(3) समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर ह

P a g e | 118

दिय कल प 10

नननित म प की सीक लकर नीच ददय गय म पो क अध र पर नतरभज बन ए

8 समी 10 समी एव 12 समी लमबी भज एा

पहल हम 8 समी 10 समी एव 12 समी म प की तीन सीक लत ह तथ सीको क नसर स नसर को

सट कर ननमन परक र स नतरभज बन न क परय स करत ह

अप दख रह ह दक ददय गय म पो स नतरभज बन न सभव ह

उपर समझ ए गए तरीक स ननमन म पो क नतरभज बन आए तथ यह दनखए दक कय सभी नसथनतयो

म नतरभज बन प रह ह यदद नही तो क रण पत लग ए

1 8 समी 10 समी और 12 समी

2 5 समी 9 समी और 3 समी

3 6 समी 8 समी और 9 समी

4 5 समी 7 समी और 12 समी

5 15 समी 5 समी और 12 समी

आनस पर पत ननषकषो क नमल न कर

1 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बनग

2 यदद नतरभज की दो भज ओ क योग तीसरी भज स कम हो य बर बर हो तो नतरभज नही बनग

जस ईद हरण 2 और 4 की नसथनत

ईद 2 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 3 समी तर 8 समी सबस बड़ी भज की म प 9

समी स कम होन क क रण नतरभज नही बनत ह

ईद 4 की नसथनत- नतरभज की दो भज ओ क योग 5 समी + 7 समी = 12 समी नतरभज की तीसरी भज

की म प 12 समी क बर बर होन क क रण नतरभज नही बनत

P a g e | 119

ऐस नवनभनन म पो क नतरभज बन कर छ तर सवय ज च और ऄपन नमतरो स भी बनव ए

परशन वली 91

पर1 जली न ननमननलनखत कथन नलख आनम स अप सतय एव ऄसतय कथन छ ाट कर

नलनखए ऄसतय कथनो को सध र कर नलनखए

(i) दकसी नतरभज म एक भज शष दो भज ओ क योग स छोटी नही हो सकती

(ii) दकसी नतरभज म तीन भज एा तीन शीषम व तीन ऄतःकोण होत ह

(iii) दकसी नतरभज की एक भज शष दो भज ओ क योग क बर बर होती ह

(iv) दकसी नतरभज क एक कोण ऄनधक कोण होत ह तो नतरभज को ऄनधक कोण

नतरभज कहत ह

(v) दकसी नतरभज म दो कोण 90deg क हो सकत ह

(vi) नयन कोण नतरभज म तीनो कोणो क म प नयनकोण होन जररी नही ह

(vii) नतरभज क दो कोण क म प ददय हो तो तीसर कोण ननक ल ज सकत ह

(viii) समब ह नतरभज म तीनो भज एा बर बर होती ह परनत तीन कोण बर बर नही होत

(ix) समनदवब ह नतरभज म बर बर भज ओ क स मन क कोण बर बर होत ह

(x) समब ह नतरभज सदव नयनकोण नतरभज होत ह

पर2 नतरभज क दो कोण 65deg एव 75deg क ह तो तीसर कोण जञ त कीनजए

पर3 समकोण नतरभज क एक कोण 45deg ह तो दसर कोण क म न जञ त कीनजए

पर4 समब ह नतरभज म परतयक कोण क म प दकतन होत ह

पर5 यदद दकसी नतरभज क एक कोण क म प ऄनय दो कोणो क म पो क योग क बर बर हो तो

कय वह नतरभज समकोण नतरभज होग

पर6 कय ननमननलनखत नसथनतयो म नतरभज की रचन की ज सकती ह - ह य नही म ईततर

दीनजए

(i) यदद दो कोण समकोण हो

(ii) यदद दो कोण ऄनधक कोण हो

(iii) सभी तीनो कोण 60deg क बर बर हो

(iv) सभी कोण 60deg स ऄनधक हो

(v) तीनो कोण नयनकोण हो

(vi) सभी कोण 60deg स कम हो

P a g e | 120

चतभमज

यदद अप च र सीको को ईनक नसरो स अपस म जोड़ कर रख तो कइ परक र की

अकनतय ा बन सकती ह आनम स कछ अकनतय ा ननमन नस र हो सकती हः-

नचतर िम क 71 स 74 तक बनी सभी अकनतय ा खली हइ ह परनत नचतर िम क 75 म बनी अकनत च रो

ओर स नघरी एक बद अकनत ह ऐसी अकनत को चतभमज कह ज त ह आसम च र भज एा होती ह पतग

कबिी क मद न पसतक कॉपी आतय दद चतभमज क ईद हरण ह

rdquoच र भज ओ स नघरी हइ बद अकनत को चतभमज कहत हldquo

चतभमज क ऄग

ननमन दकत नचतर को धय न पवमक दख-

ईपरोकत नचतर म ननमन दकत ब त ददख इ पड़ती ह

(1) AB BC CD व DA चतभमज की च र भज एा ह

(2) दो भज एा जह ा नमलती ह वह नबनद चतभमज क शीषम कहल त ह ABC और D चतभमज क च र

शीषम ह

(3) असनन शीषो को छोड़कर ऄनय शीषो को जोड़न व ल रख खणड नवकणम कहल त ह AC तथ BD

चतभमज क दो नवकणम ह

P a g e | 121

(3) परतयक शीषम पर एक-एक ऄनतः कोण बन रह आस परक र कल च र ऄनतः कोण

BAD ADC DCB व CBA बन ह

दिय कल प 11

नीच ददय नचतरो म भज ओ शीषो तथ ऄनतः कोणो को पहच न कर ईनचत सथ न पर नलनखएः-

चतभमज की सलगन भज एा एव सममख भज एा

सलगन नचतर म चतभमज KLMN म शीषम K पर NK KL

भज एा नमल रही ह ऐसी भज एा सलगन भज एा कहल ती ह

आसी परक र भज एा KL और LM शीषम L पर नमल रही ह

ऄतः KL एव LM सलगन भज एा ह

बत आए आस चतभमज म ऄनय सलगन भज ओ क न म कय ह

P a g e | 122

चतभमज क ऄनतः कोणो क योग

चतभमज ABCD क नवकणम AC ईस दो नतरभजो DAC तथ

ABC म ब ाटत ह

हम ज नत ह दक नतरभज क तीनो ऄनतः कोणो की म पो क योग 180deg होत

ह सपषट ह चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग दोनो नतरभजो क

ऄनत कोणो की म पो क कल योग क बर बर होग

आस परक र चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योग

= 180deg + 180deg = 360deg

चतभमज क च रो ऄनतः कोणो की म पो क योगफल 360deg य च र समकोण होत ह

चतभमज क परक र

10 समी 5 समी 10 समी 5 समी म प व ली च र सीक लीनजए तथ ईनक नसरो को नमल त

हए नवनभनन अकनतयो व ल चतभमज बन आए -

आन सीको स बनन व ली कछ चतभमज अकनतय ा नीच दी गइ ह

P a g e | 123

ईपरोकत म स नचतर िम क 8283848586 और 87 म चतभमजो की भज एा सम नतर एव बर बर ह य

चतभमज सम नतर चतभमज कहल त ह

ldquoव चतभमज नजनकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त हrdquo

नचतर िम क 82 और 83 ऐस सम नतर चतभमज ह नजनम परतयक कोण 90deg क ह आनह अयत कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत (Rectangle) कहल त हrdquo

नचतर िम क 88 म चतभमज क शीषो A एव C नसथत सलगन भज ओ क यगम बर बर ह ऐस चतभमज

पतग क र चतभमज कहल त ह

ऄब 5 समी लमब इ की च र सीक लकर चतभमज बन आए -

P a g e | 124

ईपरोकत सभी चतभमज ऐस सम नतर चतभमज ह नजनकी सभी भज एा बर बर ह ऐस चतभमजो को

सम चतभमज कहत ह

ldquoवह सम नतर चतभमज नजसकी परतयक भज की लमब इ बर बर हो सम चतभमज (Rhombus) कहल त

हrdquo

नचतर िम क 89 म परदरसशत चतभमज क परतयक कोण 900 क ह

ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम (Squre) कहल त ह

ऄब अप च र ऄलग-ऄलग लमब आयो की सीक लकर चतभमज बन आए अपक दव र बन ए गए

चतभमजो म स कछ आस परक र क हो सकत ह

P a g e | 125

नचतर िम क 92 म चतभमज की परतयक भज ऄलग-ऄलग म प की ह तथ सममख भज एा सम नतर

नही ह ऐस चतभमज नवषमब ह चतभमज कहल त ह नचतर कम क 93 एव 94 म चतभमजो की सममख

भज ओ क एक यगम सम नतर ह ऐस चतभमज समलमब चतभमज कहल त ह

दिय कल प 12 (ऄ)

नीच ददय गय नगरड (ज लक) नबनदओ को जोड़कर ननदश नस र चतभमज बन कर न म नलनखए

(1) एक चतभमज नजसकी कोइ भी भज बर बर नही ह तथ कोइ भी यगम सम नतर नही ह

(2) एक चतभमज नजसकी सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर ह

(3) एक चतभमज नजसकी सममख भज एा बर बर एव सम नतर ह

दिय कल प 12 (ब)

ऄपन अस-प स की 5 वसतओ क न म बत आए जो चतभमज अक र की हो

P a g e | 126

परशन वली 92

परशन 1 ख ली सथ न भररए

(i) वह चतभमज नजसकी सभी भज ए अपस म बर बर होकहल त

ह

(ii) वगम क परतयक कोण ऄश क होत ह

(iii) सम नतर चतभमज की सममख भज एाएव सम नतर होती ह

(iv) चतभमज म सममख भज ओ क कवल एक यगम सम नतर होत ह

(v) ऐस चतभमज नजसकी सभी भज एा ऄसम न होचतभमज कहल त ह

परशन 2 सतयऄसतय कथन छ रटए

(i) समलमब चतभमज क परतयक कोण 900 क होत ह

(ii) परतयक अयत एक वगम होत ह

(iii) अयत की सममख भज एा बर बर होती ह

(iv) समचतभमज क परतयक कोण सदव समकोण होत ह

(v) कबिी क मद न अयत क र होत ह

हमन सीख

1 नतरभज तीन भज ओ स नघर कषतर ह

2 नतरभज एक बनद अकनत ह यदद तीनो भज एा नमलकर बनद अकनत नही बन ती तो नतरभज नही

बन सकत

3 शीषम भज एव कोण नतरभज क भ ग ह

4 नतरभज म तीन कोण होत ह

5 नतरभज क तीनो ऄतःकोणो क म पो क योग दो समकोण (1800) क बर बर होत ह

6 नतरभज की एक भज बढ़ न पर बन हअ बनहषकोण नतरभज म नसथत दरसथ ऄतःकोणो क म पो क

योग क बर बर होत ह

7 भज ओ की म प क अध र पर नतरभजो को समब ह समनदवब ह तथ नवषमब ह नतरभज म वगीकत

दकय ज त ह

8 कोणो क अध र पर नतरभजो को नयनकोण समकोण तथ ऄनधक कोण नतरभज म वग मीकत दकय

ज त ह

9 नवषमब ह नतरभज क तीनो भज ओ की म प तथ तीनो क णो क म प ऄलग ऄलग होती ह

10 समनदवब ह नतरभज म दो भज एा एव दो कोण बर बर होत ह

11 समब ह नतरभज म तीनो भज एा और तीनो कोण बर बर होत ह

12 नतरभज म दो भज ओ क योग तीसरी भज स ऄनधक हो तभी नतरभज बन सकत ह

P a g e | 127

13 च र भज ओ स नघरी बद अकनत चतभमज कहल ती ह

14 चतभमज क ऄगो म शीषम भज नवकणम व कोण सनममनलत ह

15 चतभमज क च रो ऄनतःकोणो की म पो क योग 360deg होत ह

16 वह चतभमज नजसकी सममख भज एा परसपर सम नतर एव बर बर हो सम नतर चतभमज कहल त ह

17 वह सम तर चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो अयत कहल त ह

18 ऐस चतभमज नजसकी भज एा ऄलग-ऄलग म प की हो तथ सममख भज एा सम नतर न हो

नवषमब ह चतभमज कहल त ह

19 ऐस चतभमज नजसकी सममख भज ओ क एक यगम सम नतर हो समलमब चतभमज कहल त ह

20 वह सम नतर चतभमज नजसकी सभी भज एा बर बर हो समचतभमज कहल त ह

21 ऐस सम चतभमज नजसक परतयक कोण 90deg क हो वगम कहल त ह

22 पतग क र चतभमज म दो असनन भज ओ क यगम बर बर होत ह

P a g e | 128

मोहन और रम सबह कप स दध पीत ह मोहन दो कप दध म तीन चममच शककर ड लत ह रम

एक कप दध म दो चममच शककर ड लती ह दोनो क दध म शककर की तलन कस कर

दननक जीवन म दकसी वसत की खरीदद री करनी हो खल खलन हो य दकनही दो नवकलपो म स

जय द ईपयकत नवकलप चनन हो आन जस सभी क यो म तलन की अवशयकत होती ह कौन सी सबज़ी

बहतर ह द मो म दकतन ऄनतर ह जस ननणमय हम कइ ब र लन पड़त ह एक ईद हरण दनखए - शय म

अल खरीदन ब ज़ र ज त ह एक दक नद र अल की कीमत बत त ह - 20 रपय क तीन दकलो दसर

दक नद र कीमत बत त ह - lsquolsquoप ाच दकलो 30 रपय मlsquolsquo ऄब शय म सोच म पड़ ज त ह दक कौन स

नवकलप बहतर ह ऐसी नसथनतयो म ऄनप त की जररत महसस होती ह कय अपक स मन कभी ऐसी

नसथनत अइ ह जह ा अपको बहतर नवकलप सोचन की जररत पड़ी ऐसी कछ पररनसथनतयो क ब र म

सोनचए एव नलनखए

ऄनप तो को नवनभनन तरीको स वयकत दकय ज त ह ऄनप त को हम rsquo rsquo नचहन स दश मत ह

ईद हरण क नलए एक दक नद र कहत ह दक rsquorsquoआस वषम नबिी दगनी हइlsquolsquo आसक ऄथम यह ननकल

दक आस वषम म नबिी नपछल वषम की ऄपकष दो गनी हइ ऄथ मत आस वषम और नपछल वषम की नबिी क

ऄनप त 2 1 ह

एक और ईद हरण ल - दकसी नवदय लय म परतयक 45 छ तरो पर एक ऄधय नपक ह आसक मतलब

यह हअ दक छ तर ओ तथ ऄधय नपक ओ क ऄनप त 45 1 ह ऄब यदद हम कह दक नवदय लय म 90

छ तर ए ह तो सपषट ह दक नवदय लय म दो ऄधय नपक ए ह ऄथ मत नवदय थी तथ ऄधय नपक क ऄनप त 45

1 य 90 2 ह

रीत न कह दक lsquolsquoनवदय लय म ऄधय नपक सखय तथ छ तर ओ की सखय क ऄनप त 1 45 हrsquorsquo

कय ईसक यह कहन सही ह ऄनप त म हम यह दखन होत ह दक हम दकसकी तलन दकसस कर रह ह

जस - यदद हम ऄधय नपक सखय की तलन छ तर ओ की सखय स करत ह तो ऄनप त होग 1 45 और

यदद हम छ तर ओ की तलन ऄधय नपक स करनी ह तो ऄनप त 45 1 होग ऄब यदद ईस नवदय लय म

कल 5 ऄधय नपक ए ह तो बत आए दक नवदय लय की कल छ तर ओ की सखय दकतनी ह

दिय कल प 1

(1) ननमन कथनो को ऄनप त म नलनखए

(i) दकसी हॉल म परषो की सखय 150 ह तथ मनहल ओ की सखय 100 ह परषो तथ

मनहल ओ की सखय क बीच ऄनप त नलनखए 150 100

(ii) शम मजी की ईमर 40 वषम ह तथ ईनकी पतनी की ईमर 35 वषम ह दोनो की ईमर क बीच क

ऄनप त नलनखए

(2) दकसी ककष म 20 लड़क तथ 25 लड़दकय ा ह ननमन ऄनप त बत आए -

10

ऄनप त

P a g e | 129

(i) लड़दकय ा तथ लड़को क बीच

(ii) लड़को तथ लड़दकयो क बीच

(iii) लडदकयो तथ कल नवदय रसथयो क बीच

(iv) लड़को तथ कल नवदय रसथयो क बीच

3 रमश एक घट म 6 दकलोमीटर पदल चलत ह त र 1 घट म 4 दकलोमीटर पदल चलती ह रमश

की गनत तथ त र की गनत क बीच क ऄनप त कय ह

4 र म की अय 30 वषम ह तथ शय म की अय 20 वषम ह र म की अय और शय म की अय क बीच

ऄनप त कय होग

शय म तथ र म की अय क बीच ऄनप त कय होग

एक और ब त पर नवच र कीनजए

यदद एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह तक रह और दसर वषम 120 ददन रह आन दोनो वषो म

वष म क ददनो क ऄनप त कय होग कय अप आस 20 120 नलख सकत ह क रण बत आए

एक और ईद हरण दनखए

र नी ऄपन घर स नवदय लय तक की दरी 50 नमनट म तय करती ह ईम वही दरी 1 घट म तय करती

ह तो र नी दव र नलए गए समय और ईम दव र नलय गय समय क ऄनप त कय होग कय आस हम 50 1

नलख सकत ह आस पर नवच र कीनजए

आसी परक र क और सव ल अप सवय बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आय

दननक जीवन म हम र स मन आस परक र की समसय ए ऄनक ब र अती ह जब हम नभनन न पो की

अपस म तलन करत ह ऐसी नसथनतयो म जह ा सीध-सीध तलन करन सभव नही होत ह वह ा र नशयो को

सम न आक आयो य सम न म तरक म बदलन पड़त ह

वष म क ईद हरण दनखए - एक वषम म वष म क मौसम 20 सपत ह क ह और दसर वषम म 120 ददनो क

यह ा हम सम न म तरक म बदलन क नलए 20 सपत ह को ददनो म बदलग जो दक आस परक र होग -

1 सपत ह म 7 ददन

there4 20 सपत ह म 7 times 20 ददन ऄथ मत 140 ददन

ऄब दोनो वषो म वष म क ऄनप त जञ त करन अस न हो गय कयोदक हम र स मन दोनो म तरक

सम न ह ऄथ मत 140 ददन तथ 120 ददन पहल वषम की वष म क ददनो तथ दसर वषम की वष म क ददनो क

ऄनप त हअ 140 120 नजसक सरलतम रप 7 6 ऄब अप र नी तथ ईम दव र नवदय लय ज न म लग समय

क ऄनप त जञ त कीनजए

P a g e | 130

दिय कल प 2

ननमन कथनो को ऄनप त क रप म नलनखए -

(i) पड़ क नचतर की लमब इ 25 समी ह तथ पड़ की लमब इ 13 मीटर ह

(ii) र म को गहक यम करन म 40 नमनट लगत ह तथ शय म को 1 घट लगत ह

(iii) अननद 15 म ह ब द र यपर अय तथ ऄमीन 2 वषम ब द

कछ और ऄसम न म तरक व ल सव ल सवय खोनजए तथ ईनक ऄनप त नलनखए

ऄनप त म नजन दो र नशयो की तलन करत ह ईनह पद कहत ह - पहल पद तथ दसर पद जस

यदद हम rsquoarsquo की तलन rsquobrsquo स कर रह ह तो आस ऄनप त रप म नलखग ab जह ा rsquoarsquo पहल पद ह तथ rsquobrsquo

दसर पद ह और यदद rsquobrsquo की तलन rsquoarsquo स करत ह तो rsquobrsquo पहल पद तथ rsquoarsquo दसर पद होग तथ ईनक

ऄनप त ba होग

एक ऄनय ईद हरण म नीच दश मए गए अयत क नचतर म भज क म प दश मए गए ह-

ईपरोकत नचतरो म अयत (िम क 1) म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह व नचतर िम क 2 क

अयत म लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 4 2 ह

यह ा दोनो अयतो क कषतरफल क ऄनप त होग 2 8 य 1 4

अपन भ रत क म ननचतर तो दख होग भ रत जस नवश ल दश को छोट म ननचतर म दश मन कस

सभव ह अप आस पर नवच र कर

दकसी भी म ननचतर क नीच एक पम न (सकल) नलख होत ह 1 समी तर 100 दकमी ऄथ मत 100

दकमी की दरी को म ननचतर म एक समी स दश मय गय ह आस परक र यह भी एक परक र क ऄनप नतक

नचतर ह

ऄथ मत दो र नशयो क बीच तलन क नलए ऄनप त क परयोग दकय ज त ह चदक र नशयो क

अाकड़ बहत बड़ ऄथव बहत छोट हो सकत ह आसनलए तलन म सनवध क नलए ऄनप त को सरल रप म

दश मय ज त ह

ऄनप त क परयोग करन क पहल धय न रख दक र नशयो म सम न आक इ क ईपयोग हो

दिय कल प 3

1 ककष क छ तर एक-एक करक ऄपनी उा च इ जञ त करग

2 छ तर दोनो ह थ फल कर ह थो क नसरो क बीच की दरी क म पन करग

3 परतयक छ तर की उा च इ तथ ईसक दोनो ह थ क नसरो क बीच क दरी क मधय कय सबध पर पत हो

P a g e | 131

रह ह ननषकषम ननक नलए

स रणी परी कीनजए ndash

ऄनप नतक नचतरो म सौदरय बोध

ऄनप त कवल सखय ओ म ही नह ी वरन हम र दननक जीवन स जड़ कइ पहलओ म दखन को

नमलत ह

ईद हरण क नलए - यदद दकसी नचतर म बन वयनकत की ट ग बहत ऄनधक लबी ह य शरीर की तलन

म नसर ऄनधक बड़ ह तो वह वयनकत कस लगग ज नहर ह दक वह कछ ऄटपट लगग आसी परक र म न

लीनजए अपकी ककष की एक दीव र ह नजसकी लमब इ एव चौड़ इ कम ह और ईस छोटी सी दीव र पर एक

बहत बड़ी तसवीर लग रखी ह य दीव र बहत ऄनधक बड़ी ह और ईस पर एक कोन म य बीच म छोटी

सी तसवीर लगी ह एक बहत बड़ फरम ह और ईसम छोट स नचतर लग ह आनम स बहत सी पररनसथनतय

हम ऄटपटी परतीत होगी कयोदक आनम ऄनप त हीनत ह हम री दनषट चीजो क बीच नननित ऄनप त

ढढती ह

नीच कछ ईनचत ऄनप नतक तथ ऄनप तहीन नचतर ददय गय ह आनम स ऐस नचतरो की पहच न

कीनजए नजनम ऄनप त ईनचत लगत ह और सोनचए दक अपन कय दख कर ब की नचतरो को छोड़ ह

ऄथ मत अप ऄपन ईततर क क रण सोनचए

P a g e | 132

दो र नशयो की तलन

नचतर ऄनप नतक ह य नही नवनभनन नहससो क अक रो की तलन पर ननभमर ह ईद हरण क नलए

दरव ज क पलल बहत जय द लमब ह और आसी तरह म नचस की नडबबी लमब इ भी ब की भज ओ की

तलन म बहत ऄनधक ह म नो हम लमब इ और चौड़ इ की तलन करन च हत ह आन दोनो र नशयो की

तलन कइ तरीक स की ज सकती ह व तलन करन क कइ अध र ह सबस सरल तो यह पत करन ह दक

पहली र नश दसरी र नश स दकतनी ऄनधक य दकतनी कम ह आसकी ज नक री कइ परक र स पर पत की ज

सकती ह

1 परीकष म शब न को 40 ऄक तथ रण को 20 ऄक नमल तो रण को शब न स 20 ऄक कम पर पत

हए

2 श ल म 600 छ तरो म स 200 छ तर कम अए तो ईस ददन श ल म 400 छ तर अए

3 दो रख खडो की लमब इ 8 समी एव 4 समी हो तो पहली रख खणड की लमब इ दसर रख खणड स 4

समी ऄनधक ह

4 दकसी दरव ज की उा च इ 8 दफट ह और आसकी चौड़ इ 2 दफट ह तो आसकी उा च इ चौड़ इ स 6 दफट

ऄनधक ह दरव ज क सदभम म उा च इ व चौड़ इ क ऄतर 6 दफट ह बत न स वह दकतन ईपयकत ह

पत नही चलत यदद दकसी दरव ज की उा च इ 18 दफट और चौड़ इ 12 दफट हो तो भी ऄनतर 6

दफट ह जबदक दोनो म बहत ऄतर ह दोनो र नशयो म तलन क एक और अध र हो सकत ह

हम यह भी दख सकत ह दक पहली र नश दसरी र नश क ऄथव दसरी र नश पहली र नश क दकतन

गण ह आसस पहल दरव ज म उा च इ चौड़ इ की तलन म 4 गण ह जबदक दसर म उा च इ

चौड़ इ क डढ़ गण ह

नीच स रणी म भी दो र नश लकर ईनकी तलन की गइ ह

अप दननक जीवन क कछ ईद हरण बत आए नजसम आसी परक र पत करन हो दक एक र नश दसरी

र नश क दकतनी गनी ह अपक कमर की लमब इ 30 फीट एव चौड़ इ 15 फीट ह ऄथ मत कमर की लमब इ

चौड़ इ स दगनी ह आस आस परक र स नलख ज सकत ह ndash

कमर की लमब इ 30 फीट 2

कमर की चौड़ इ 15 फीट 1

ऄथ मत लमब इ चौड़ इ स दगनी ह य कमर की लमब इ तथ चौड़ इ क ऄनप त 2 1 ह यह भी कह सकत

= = =

P a g e | 133

ह दक चौड़ इ और लमब इ क ऄनप त 1 2 ह

ऄतः ऄनप त पररम ण क अध र पर बन सबध ह

1 50 पसतको एव 10 पसतको क मधय ऄनप त = 50 10 = 5 1

2 र म की ईमर 20 वषम एव शय म की ईमर 30 वषम ह दोनो क ईमर क मधय ऄनप त

= 20 30 = 2 3

3 400 दकलो गह एव 100 दकलो गह क मधय ऄनप त = 400 100 = 4 1

4 र नश a तथ र नश b क मधय ऄनप त = a b

ऄभय स 1

स रणी म नशकषक एव छ तर ऄनप त जञ त करक स रणी पणम कीनजए

ऄनप त क ब र म कछ ब त

1 दो र नशयो a तथ b क मधय ऄनप त को a b स दश मत ह नजसम a पहल तथ b दसर

पद ह ( जह ा a तथ b पणम सखय एा ह )

2 ऄनप त जञ त करत समय एक ही परक र की र नशयो को सम न आक इ स दश मय ज त ह

दिय कल प 4

शली और ईसक पररव र क सदसय एक पड़ क प स खल मद न म खड़ थ शली न परछ आयो को

दख और ईनको न पन लगी ईसन पररव र क परतयक सदसय की परछ इ की लब इ और ईनकी उा च इ को

ननमन नस र त नलक म दश मय ndash

ऄब शली क स मन एक समसय अ गइ पररव र क सदसयो की उा च इ तो ईस म लम थी और ईसन परछ इ

की लब इ न प ली लदकन पड़ की उा च इ नही म प सकी कयोदक पड़ की उा च इ जञ त करन मनशकल थ

कय वह परछ इ दखकर पड़ की उा च इ ननक ल सकती ह अआए दख शली न आस समसय को कस

हल दकय -

P a g e | 134

ईसन त नलक म सखय ओ क बीच एक समबनध दख परतयक वयनकत की उा च इ ईसकी परछ इ स

दगनी ह ईसन सोच दक यदद ईसी सथ न पर सभी सदसयो की उा च इ एव परछ इ की लमब इ क ऄनप त

2 1 ह तो पड़ की उा च इ भी परछ इ की लमब इ की दगनी होगी ईसन आसस पत कर नलय दक पड़ की

उा च इ 430 समी ह

ईद हरण 1

एक वयनकत न 25 रपय ऄपन पतर को एव 36 रपय ऄपनी पतरी को ददय तो ईनको ददए गए रपयो

क ऄनप त जञ त कीनजए

हल पतर क भ ग = 25 रपय

पतरी क भ ग = 36 रपय

पतर क भ ग पतरी क भ ग तर 25 36

ईद हरण 2

एक डड की लब इ 90 समी एव एक ब ास की लमब इ 4 मीटर 50 समी ह तो डड एव ब ास की

लमब इयो क ऄनप त जञ त कीनजए

हल डड की लमब इ = 90 समी

ब ास की लमब इ = 4 मीटर 50 समी

= (400 + 50) समी 1 मीटर = 100 समी

= 450 समी

(यह डड एव ब ास की लमब इ ऄलग-ऄलग आक इ म ह ऄतः एक ही आक इ समी म बदलन

अवशयक ह)

ऄतः डड की लमब इ ब ास की लमब इ = 90 450

= 1 5 (सरलतम रप)

ईद हरण 3

र जश की एक महीन की अमदनी 12500 रपय ह आसम स वह 2500 र की बचत करत ह

ऄनप त जञ त कीनजए

1 र जश की अमदनी और ईसक खचम क बीच

2 र जश की अमदनी और ईसकी बचत क बीच

हल र जश की म नसक अमदनी = 12500 रपय

र जश की म नसक बचत = 2500 रपय

र जश क म नसक खचम = 12500 - 2500 रपय

= 10000 रपय

ऄतः र जश की अमदनी क ईसक खचम स ऄनप त = 12500 10000

= 5 4

र जश की अमदनी क ईसकी बचत स ऄनप त = 12500 2500

= 5 1

P a g e | 135

ईद हरण 4

एक पन क मलय और एक पनसल क मलय क ऄनप त जञ त कीनजए जबदक पनो क मलय 144 र

परनत दजमन एव 10 पनसल क मलय 90 र हो

हल यह सबस पहल एक पन और एक पनसल क मलय जञ त करन होग

एक दजमन य 12 पनो क मलय = 144 र

1 पन क मलय = 144

12 = 12 र

10 पनसल क मलय = 90 र

1 पनसल क मलय = 90

10 = 9र

ऄतः 1 पन क मलय 1 पनसल क मलय = 12

9 =

4

3 = 4 3

ईद हरण 5

छोट एव बमट क बीच 40 टॉफी को 4 1 क ऄनप त म ब ारटए

हल कल भ गो की सखय = 4 + 1 = 5

40 टॉफी को 5 भ गो म ब टन पर 4 नहसस छोट को एव 1 नहसस नमनट को नमलग

ऄतः छोट क नहसस = 40

5 times 4

= 32 टॉफी

और नमनट क नहसस = 40

5 times 1

= 8 टॉफी

ईद हरण 6

ननमननलनखत म पो क ऄनप त जञ त कीनजए -

(ऄ) 5 र तथ 50 पस

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म

हल (ऄ) 5 र तथ 50 पस क ऄनप त -

5 र = 5 times 100 पस = 500 पस

ऄनप त 500

50 =

10

1 = 10 1

(ब) 500 समी तथ 10 मीटर क ऄनप त

10 मीटर = 10 times 100 समी

ऄनप त = 500

10times100 =

1

2 = 1 2

(स) 8 दकगर तथ 640 गर म क ऄनप त

8 दकगर = 8 times 1000 गर म = 8000 गर म

ऄनप त = 8000

640 =

25

2 = 25 2

P a g e | 136

परशन वली 101

1 ऄपन अस प स स ननमननलनखत वसतए आकटठी कीनजए ईन वसतओ की लमब इ जञ त कर

लमब इयो क बीच ऄनप त पत कीनजए ऄनप त को सरलतम रप म नलनखए

(i) अलनपन क कील स (ii) कील क पननसल स

(iii) पन क कील स (iv)कील क अलनपन स

(v) अलनपन क पन स (vi) पन क पननसल स

(vii) पननसल क अलनपन स (viii) पन क अलनपन स

2 ननमननलनखत क ऄनप त जञ त कीनजए

(i) 15 नमनट क 1 घट स (ii) 250 गर म क 1 दकलोगर म स

(iii) 15 पस क 1 रपय स (iv) 15 पस क 5 रपय स

(v) 212 समी क 1 मीटर स (vi) 10 मीटर क 25 समी स

(vii) 40 समी क 25 मीटर स

3 ननमन म स परतयक ऄनप त को ईसक सरलतम रप म नलनखए

(i) 150 400 (ii) 85 255

(iii) एक दजमन एक कोरी (iv) 27 57

(v) 24 68 (vi) 250 375

(vii) 65 91 (viii) 25 75

(ix) 50 225 (x) 500 10000

4 नवश ख की व रसषक अमदनी 80000 रपय ह ईसन 5000 रपय अयकर क रप म द ददए ननमन

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) अयकर अय

P a g e | 137

(ii) अय अयकर

5 मनन और बनन न एक दौड़ म भ ग नलय ननध मररत समय म मनन न 210 मीटर की दरी तय की और

ईतन ही समय म बनन न 180 मीटर की दरी तय की मनन और बनन क दव र तय की गइ दरी क

ऄनप त कय होग

6 सतीश एक वजञ ननक क रप म क यम करत ह और ईनकी अय 20000 रपय परनत म ह ह ईनकी

पनतन ऄनीत डॉकटर ह तथ ईसकी अय 15000 रपय परनत म ह ह ननमननलनखत ऄनप तो को जञ त

कीनजए

1 सतीश की अय ऄनीत की अय

2 सतीश की अय ईनकी कल अय

7 एक सकल म कल नवदय रसथयो की सखय 1500 ह ईसम स लड़दकयो की सखय 600 ह लड़को तथ

लड़दकयो की सखय क ऄनप त जञ त कीनजए

8 20 गबब रो को दो बचचो क बीच 2 3 क ऄनप त म ब रटए बत आए दोनो को दकतन-दकतन गबब र

नमल

9 र जश और ज वद न नमलकर एक दक न खोली दक न म र जश न 45000 र तथ ज वद न

36000 र लग ए बत आए र जश और ज वद दव र लग इ पनजयो क मल ऄनप त कय ह

10 दकसी परीकष म 117 परीकष रसथयो म स 65 ऄसफल हो गए तो सफल और ऄसफल परीकष रसथयो की

सखय म कय ऄनप त ह

11 रतन और शील न नमलकर ऄपन च च क बगीच स 18 अम तोड़ दोनो ऄब आस अम को अपस म

ब ाटन च हत ह रतन च हती ह दक ईमर क ऄनप त म अमो को ब टन च नहए ऄब बत आए दक

ऐस ब ाटन पर रतन और शील को दकतन-दकतन अम नमलग जबदक रतन की ईमर 15 वषम तथ

शील की ईमर 12 वषम ह

12 वतमम न म एक नपत तथ पतर की अय 50 वरष एव 20 वषम ह नपत की ईमर तथ पतर की ईमर क

ऄनप त जञ त कीनजए -

(i) वतमम न म नपत पतर की अय क ऄनप त

(ii) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 10 वषम थी

(iii) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 35 वषम थी

(iv) दोनो की अय म ऄनप त जब पतर की अय 40 वषम की होगी

(v) दोनो की अय म ऄनप त जब नपत की अय 75 वषम की होगी

13 र म और शय म की अय क ऄनप त 3 4 ह यदद ईनकी कल अय 21000 र ह तो र म और

शय म की अय बत आए

14 A और C क बीच म नबनद B आस परक र ह दक AB BC = 7 3 क यदद AC = 40 दकमी ह तो

बत आए AB तथ BC क म न दकतन होग

15 मर प स 6 समोस ह आनह म ऄपन नमतरो म ब टन च हत हा यदद

(i) म 1 1 म दो नमतर क मधय ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

P a g e | 138

(ii) म 2 1 3 म तीन नमतरो म ब ाट तो परतयक को दकतन-दकतन समोस नमलग

ऐदकक नवनध

नीच दी गइ कछ नसथनतयो को दनखए -

1 अप ब ज र ज त ह और दो कॉनपय ा 20 र म खरीदकर ल त ह ऄब यदद अपको और 5 कॉनपयो

की जररत ह तो अपक प स दकतन रपय होन च नहए

2 शय म क सकटर म 2 लीटर पटरोल ह ईस ऄनद ज़ ह दक वह आतन पटरोल स 50 दकलोमीटर की दरी

अर म स तय कर सकत ह यदद ईस 100 दकलोमीटर दर ज न ह तो ईसक सकटर म कम स कम

दकतन पटरोल होन च नहए

3 अप ऄपन जनमददन पर ऄपन दोसतो को तोहफ दन च हत ह अप नखलौन की दक न पर एक

ग ड़ी पसनद करत ह यदद 75 र म 3 ग नड़य ा नमलती ह और अपको 15 ग नड़य ा खरीदनी ह तो

अपक प स दकतन रपय होन च नहए

ईपरोकत नसथनतयो क हल क ब र म सोनचए

पहली नसथनत को दनखए -

दो कॉनपयो की कीमत 20 र ह

तो 1 कॉपी की कीमत होगी = 10 र

ऄब 1 कॉपी की कीमत 10 र ह

तो 5 कॉनपयो की कीमत = 10 times 5 = 50 र

आसी नवनध क ऄनस र ब की दो नसथनतयो को हल कररए

आस परक र क कछ ऄनय सव ल बन कर ऄपन नमतरो स हल करव आए

जब ऄनक वसतओ क मलय जञ त होन पर एक वसत क मलय जञ त करक व नछत वसतओ क मलय

जञ त दकय ज त ह तो ईस ऐदकक नवध य ऐदकक ननयम कहत ह

दिय कल प 5

ननमन दकत स रणी क ऄवलोकन कीनजए एव ररकत सथ नो की परसत कीनजए

हम दखत ह दक

2 घट म तय की गइ दरी = 8 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 82 = 4 दकमी

5 घट म तय की गइ दरी = 4 times 5 = 20 दकमी

P a g e | 139

यह ा स आदकल क र रलग ड़ी दव र 5 घट म तय की गइ दरी ननक लन क नलए पहल परतयक क

दव र 1 घट म तय की गइ दरी जञ त करनी पड़गी

ईद हरण 7

यदद एक छ तर व स म परनत 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकलो ह तो 30 बचचो क नलए

च वल की दकतनी खपत होगी

हल आस समसय क हल दो चरणो म करग

चरण 1 - सबस पहल जञ त करग 1 बचच क नलए दकतन च वल लगग

जबदक 10 बचचो क नलए च वल की खपत 2 दकगर ह

आसनलए 1 बचचो क नलए च वल की खपत 2

10 =

1

5 दकगर

चरण 2 - आसम हम 30 बचचो क नलए च वल की खपत जञ त करग

जबदक 1 बचच क नलए च वल की खपत ह 1

5 दकगर

आसनलए 30 बचचो क नलए च वल की खपत 30 times 1

5 = 6 दकगर

ऄतः 30 बचचो क नलए 6 दकगर च वल की खपत होगी

ईद हरण 8

एक हव इ जह ज 5 घट म 4000 दकमी ईड़त ह वह तीन घट म दकतन ईड़ग

हल

पहल चरण म एक घट म हव इ जह ज दव र तय की गइ दरी जञ त की ज एगी तथ दसर चरण म

पछ गए समय (ऄथ मत 3 घट) म दरी दकतनी होगी जञ त की ज एगी

चरण 1- 5 घट म तय की गइ दरी = 4000 दकमी

1 घट म तय की गइ दरी = 40005 दकमी = 800 दकमी

चरण 2- 1 घट म तय की गइ दरी = 800 दकमी

3 घट म तय की गइ दरी = 3 times 800 = 2400 दकमी

आस परक र हव इ जह ज 2400 दकमी दरी तय करग

ईद हरण 9

एक मनहल की 15 महीन की बचत 18000 र ह

1 ईसकी स त महीन की बचत कय होगी

2 दकतन महीनो म ईसकी बचत 30000 र होगी

हल

चरण 1- जबदक 15 मनहन की बचत 18000 र ह

आसनलए 1 मनहन की बचत = 1800015 = 1200 रपय

चरण 2- 1 महीन की बचत 1200 र ह

7 मनहन की बचत = 1200 times 7 = 8400 रपय

1200 र की बचत होती ह 1 महीन म

30000 र की बचत होगी 30000times1

1200 = 25 मनहन म

P a g e | 140

परशन वली 102

1 तीन कॉनपयो की कीमत 1650 र ह तो 7 कॉनपयो की कीमत जञ त कीनजए

2 एक क र 3 घटो म 165 दकलोमीटर चलती ह तो वह क र

(i) 440 दकलोमीटर की दरी दकतन समय म तय करगी

(ii) 612 घटो म दकतनी दरी तय करगी

3 72 दकत बो क वज़न 9 दकलोगर म ह

(i) 80 दकत बो क वज़न जञ त कीनजए

(ii) दकतनी दकत बो क वज़न 6 दकलोगर म होग

4 दकसी मज़दर की 25 ददनो की अय 1500 र ह ईसकी 30 ददनो की अय जञ त कीनजए

5 यदद 22 मीटर कपड़ क मलय 704 र ह तो 20 मीटर कपड़ क मलय कय होग

6 स ररणी परी कीनजए

हमन सीख

1 दो सम न र नशयो क ऄनप त यह दश मत ह दक एक र नश दसरी र नश स दकतनी गनी ह

2 दो र नशयो क ऄनप त पर यः ईनक सरलतम रप म वयकत दकय ज त ह जस na nb को a b नलख

ज त ह

3 दी गइ र नशयो स पहल एक र नश क आक इ म न जञ त कर दफर व नछत सखय म र नशयो क म न

जञ त करन की नवनध को ऐदकक नवनध कह ज त ह

दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 -

- 10

- 3000

P a g e | 141

11

चर सखय

अप ऄपन च रो ओर ऐसी कइ चीजो को दखत ह नजनम कछ क म न नसथर होत ह और कछ क म न बदलत

रहत ह जस- दकसी कसी क भ र तो अज कल य कछ ददनो क ब द भी वही रहग परनत जब बीज क

ऄकरण हम दखत ह तो ईसस ननकल पौध की लमब इ धीर-धीर बदलती रहती ह आसी परक र ककष की लमब इ

एव चौड़ इ नसथर ह परनत ब ररश क ददनो म कएा क प नी क सतर एक म ह ब द दकतन बदल ज एग यह नही

बत य ज सकत अप ऄपनी क पी म आस तरह क 5 ईद हरण नलनखए जह ा म न नसथर रहत ह एव 5

ईद हरण ऐस नलनखए जह ा म न बदलत रहत ह

ककष म ईद हरण को कॉपी म नलखत समय ऄन न रोहन स कह दक म तो यह ा नलख गी दक मर

नपत जी की ईमर तो बदल रही ह परनत ईनकी उा च इ नसथर ह रोहन न भी कह दक म यह ा नलखाग दक हम र

खत क रकब च र एकड़ ह परनत ईसम पद होन व ली फसल कभी कम तो कभी जय द होती ह

ईपरोकत ईद हरणो म अपन दख दक कछ म न तो बदल रह ह परनत कछ म न नसथर ह नीच अपको

कछ पररनसथनतय ा दी गइ ह अप अपस म चच म कर ररकत सथ नो म पररनसथनत क ऄनस र म न नसथर ह ऄथव

बदल रह ह नलनखए

दिय कल प - 1

ऄनतम ईद हरण को हल करत समय हमीद न ऄपन स नथयो स कह lsquolsquoयदद अल बड़ होग तो 1 दकगर

म कम अएाग परनत यदद अल छोट होग तो 1 दकगर म जय द अएाग हम तो यह भी नही बत सकत दक एक

थल म अन व ल अलओ की सखय कय होगी ऐस ही कछ कल हम र स थ घर म हअ नपत जी न हम सभी

भ इ - बहनो को चककर म ड ल ददय ईनक रम ल म कछ टॉदफय ा बधी हइ थी ईनहोन पछ lsquolsquoआस रम ल म

दकतनी टॉदफय ा हlsquolsquo हम टॉदफयो की सखय म लम ही नही थी तो कस बत त कय टॉदफयो की सखय बत न

क कोइ तरीक नही ह आस पर र ज न कह दक चलो ऄपनी गनणत नशनकषक स पछ

नशनकषक न बचचो की समसय को सन और एक नइ समसय बचचो क स मन रख दी ईनहोन पछ दक आस

चॉक क नडबब म दकतन चॉक ह बचचो न ऄद ज स ऄलग-ऄलग सखय बत यी - हमीद न 12 र ज न 18 ऄन

न 16 रोहन न 20 आतय दद नशनकषक न कह lsquolsquoआसम स यदद 5 चॉक ननक ल द तो अपक ऄनस र नडबब म

दकतन चॉक बचगlsquolsquo हमीद र ज ऄन और रोहन न नहस ब लग कर सखय िमशः बत य 12-5 = 7 18-5 =

13 16-5 = 11 20-5 = 15

चादक नडबब म चॉक की सखय म लम नही थी आसनलए ईततर ऄलग-ऄलग अए यदद आन सखय तमक

म नो की जगह हम lsquolsquoचॉक की सखय - 5lsquolsquo नलख तो सभी क ईततर एक सम न अ ज एग दकनत आस

परक र नलखन स ब र-ब र चॉक की सखय नलखनी पड़गी कय आस सकषप म नलखन क कोइ तरीक ह

िम क पररनसथनतय ा म न नसथर हबदल रह ह

1 सपत ह म ददनो की सखय

2 म ह जनवरी म ददन क त पम न

3 अपकी ककष म रोज़ अन व ल छ तरो की सखय

4 हॉकी क खल म खलन व ल नखल नड़यो की सखय

5 1 दकलोगर म अल म अलओ की सखय

P a g e | 142

यदद नडबब म चॉक की सखय को हम ldquoचldquo नलख और आसम स 5 चॉक ननक ल द तो नडबब म चॉक की

सखय =च-5 होगी आसी तरह यदद आस नडबब म 3 चॉक ड ल द तो नडबब म चॉक की सखय = च+3 होगी

अआए आस समझन क नलए एक और ईद हरण दख-

टॉफी क पकट म 20 टॉदफय ा ह परनत पकट की कीमत म लम नही ह-

यदद 1 ट फी क मलय 50 पस ह तो पकट क मलय 20 times 050 र = 10 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 1 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 1 र = 20 रपय होग

यदद 1 टॉफी क मलय 2 रपय ह तो पकट क मलय 20 times 2 र = 40 रपय होग

आस परक र यह ा पकट क मलय तर 20 times 1 टॉफी क मलय) होग यह ा यदद 1 ट फी क मलय क सथ न

पर हम x र य y र य z र य कोइ भी ऄकषर नलख तो पकट क मलय = 20x र य 20y र य 20z र

होग ऐस ही एक और ईद हरण दखत ह

एक वगम की परतयक भज की लमब इ 2 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 2 आक इ यदद वगम की

परतयक भज की लमब इ 3 आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 3 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ 7

आक इ ह तो वगम क पररम प = 4 times 7 आक इ यदद वगम की परतयक भज की लमब इ a आक इ ह तो वगम क

पररम प = 4 times a आक इ

उपर क सभी ईद हरणो म अपन दख दक कछ र नशय ा तो नसथर ह जस पकट क मलय 20x र म 20

तो नसथर ह परनत x र ऄथ मत 1 टॉफी क मलय क बदलन पर पकट क मलय बदल ज त ह आसी परक र वगम क

पररम प 4a म 4 नसथर ह परनत भज क म न य a आक इ क बदलन पर वगम क पररम प बदल ज त ह सभी

ईद हरणो को दखन क ब द हमीद न सोच दक सभी बदलन व ल म नो को दकसी ऄकषर दव र नलख ज त ह

आसनलए हम कह सकत ह दक मर नपत जी क रम ल म z टॉफी रही होगी z क म न हम कछ और ज नक री

नमलन पर ही ननक ल सकत ह ऄनयथ नही

आस परक र य बदलन व ली र नशय ा ही चर ह आनक कोइ भी म न हो सकत ह आनह नहनदी ऄथव

ऄगरजी वणमम ल क दकसी भी ऄकषर जस ऄ ब स द य क ख ग घ य a b c य p q r य x y z दव र

नलख ज सकत ह आनही ऄको को चर क य बीज क भी कहत ह

जब भी ऐसी सखय नजसक म न म लम नही ह अती ह तब ईस सखय क सथ न पर बीज ऄक य

चर क क ईपयोग दकय ज त ह आन बीज क य चर को क ईपयोग स परशन हल करन अस न हो ज त ह

आस परक र ऄकगनणत क वय पकीकरण क नलए भी चरो क ईपयोग दकय ज त ह जस

1 दकसी सखय तथ ईसक ब द अन व ली सखय क बीच कय सबध ह 4 क ब द अन व ली सखय कय

ह यह सखय 5 ह ऄथ मत 4+1 आसी परक र 1000 क ब द अन व ली सखय कय ह यह सखय 1001

ह ऄथ मत 1000+1 ऄतः यदद कोइ सखय दी गइ हो तो ईसक ब द व ली सखय दी गइ सखय म 1

जोड़कर पर पत की ज ती ह यदद कोइ सखय x ह तो ईसक ब द अन व ली सखय x+ 1 होगी

2 आसी परक र कय अप दकसी सखय क पहल अन व ली सखय क नलए ननयम बन सकत ह

3 कय अप सम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह 2 4 6 8 आतय दद सम सखय य ह

आन सभी सखय ओ क एक गणनखड 2 ह ऄथ मत दकसी भी पण ाक सखय को 2 स गण कर सम सखय

पर पत की ज सकती ह म न ल दक n कोइ पर कतगणन सखय ह तो 2n एक सम सखय क रप म नलखी

ज सकती ह

P a g e | 143

4 कय अप नवषम सखय ओ को चर क क रप म नलख सकत ह यदद सखय ओ को दख तो अप यह प त

ह दक सम और नवषम सखय एा एक क ब द एक अती ह ऄथ मत नवषम सम नवषम सम

नवषम जस 1 2 3 4 5 6 7 8 यह ा परतयक सम क पहल व ली सखय नवषम ह

तथ ब द व ली सखय भी नवषम ह अपन आसक पहल सम सखय ओ को 2n स बत य ह दकसी सखय

क पहल अन व ली सखय x- 1 ह तथ ब द म अन व ली सखय x + 1 ह तो दकसी सम सखय ऄथ मत

2n क पहल अन व ली सखय 2 n-1 होगी तथ ब द म अन व ली सखय 2n +1 होगी आस परक र

(2 n-1) य (2n + 1) नवषम सखय क नलए नलख ज सकत ह

नीच दी गइ सखय य कछ ननयमो स जड़ी ह अप आनह द व ा पद क रप म नलनखए ndash

परशन वली 11

परशन 1 ननमननलनखत को सखय ओ ऄकषर सखय ओ तथ मलभत सदिय ओ क नचहनो की सह यत स ददख आए

यह भी बत आए दक परतयक ऄकषर कय बत त ह

(i) एक वतत क वय स ईसकी नतरजय स दोगन ह

(ii) एक अयत क कषतरफल ईसकी लमब इ एव चौड़ इ क गणनफल क बर बर ह

(iii) नविय मलय िय मलय तथ ल भ क योगफल क बर बर होत ह

(iv) दकसी सखय म दसरी सखय को जोड़ गय ह

(v) दकसी सखय म स 7 ननक ल गए

(vi) नमशरधन मलधन तथ बय ज क योगफल क बर बर होत ह

परशन 2 सहीगलत कथन छ ारटए व गलत कथनो को सध र कर नलनखए

(i) सखय a क परवती a + 1 ह

(ii) x क म न पररनसथनत क ऄनस र बदलत रहत ह

(iii) 2n एक नवषम सखय होगी

(iv) m x n दो ऄजञ त सखय ओ क गणनफल ह

(v) चर को को स म नयतः ऄगरजी वणमम ल क छोट ऄकषरो स दश मत ह

हमन सीख

1 जो ऄकषर सखय ओ को दश मन क क म म अत ह ऄकषर सखय कहल त ह

2 य ऄकषर चर क क रप म सखय ओ को ही दश मत ह ऄतः व ईन सभी ननयमो क प लन करत ह जो सखय ओ

दव र की ज ती ह

3 वह र नश नजसक एक नननित सखय तमक म न हो ऄचर र नश कहल ती ह

4 वह र नश नजसक कइ सखय तमक म न हो सकत ह चर र नश कहल ती ह

5 ऄकगनणत म हम एक नननित म न व ली सखय क ईपयोग करत ह जबदक बीजगनणत म ऐस ऄकषरो क परयोग

करत ह नजसक म न एक स ऄनधक हो सकत ह

6 दकसी सखय क बीजीय भ ग चर र नश कहल त ह p = 4a म p और a चर र नश तथ 4 ऄचर र नश ह

P a g e | 144

नपछल प ठ म अपन चर र नशयो क ब र म पढ़ ह आनह चर ऄको य बीज ऄको क रप म दकस

तरह नलखत ह यह भी अप सीख चक ह ऄब अप बदलन व ली ऄथव ऄजञ त म न व ली र नश को चर

ऄक स एव नसथर रहन व ल म नो को नसथर ऄको क दव र बड़ी अस नी स बत सकत ह आस परक र lsquolsquoचर क

एव नसथर क स बन हअ वयजक ही बीजीय वयजक हrsquorsquo नपछल प ठ म अपन जह भी चर क क ईपयोग

दकय ह ईन सभी को बीजीय वयजक भी कह सकत ह

अआए दननक जीवन म बीजीय वयजको क ईपयोग कस होत ह दख

रनज़य की ईमर म लम नही ह ऄब यदद कह ज ए दक 5 वषम पवम रनजय की ईमर कय रही होगी

य 3 वषम ब द रनज़य की ईमर दकतनी होगी आन सभी परशनो क ईततर बीजीय वयजको क रप म ददय ज

सकत ह

यदद रनज़य की ईमर को y वषम स दश मय ज ए तो 5 वषम पहल रनज़य की ईमर y - 5 वषम रही होगी

तथ 3 वषम ब द y + 3 वषम होगी यह y - 5 तथ y + 3 बीजीय वयजक ह अआए बीजीय वयजक क रप

म कछ और गनणतीय समसय ओ को वयकत कर

1 र ध क पर पत क नह क पर पत क स 3 कम ह यदद नह क पर पत क x ह तो र ध क पर पत क x - 3

होग

2 अयत की लमब इ चौड़ इ स 4 आक इ ऄनधक ह यदद अयत की चौड़ इ y आक इ ह तो लमब इ (y

+ 4) आक इ होगी

3 दकसी अयत क र मद न की लमब इ x ह तथ चौड़ इ y ह तो ईस मद न क च रो ओर 1 चककर

लग न म तय की गइ दरी कय होगी एक चककर लग न म तय की गइ दरी p = x + y + x + y

होगी x

y y

x

दिय कल प 1

ननमननलनखत को बीजीय वयजक क रप म नलनखए

1 दकसी सखय क तीन गण

2 दकसी सखय स 6 ऄनधक

3 दकसी सखय स 17 कम

4 दकसी सखय क 5 व भ ग

5 दकसी सखय क दगन स 12 ऄनधक

6 दकसी सखय क स त गण स 3 कम

7 दकसी सखय क च र गण क तीसर भ ग

8 दकसी सखय म ईसी सखय क 7 गण जोड़ ज ए

P a g e | 145

9 दकसी सखय क 5 गण स ईसी सखय क 6 गण घट य ज ए

10 दध क भर नडबब स 5 लीटर दध ननक ल नलय तो दकतन लीटर दध बच

ईपयमकत दिय कल पो म अपन दख दक सभी बीजीय वयजक चर क और नसथर क स नमलकर बन ह

दिय कल प 2

नीच स रणी म चर क तथ नसथर क को ऄलग-ऄलग छ टकर ददए गए सथ न पर नलनखए-

िम क वयजक चर क नसथर क

1 Z Z 1

2 X + 5 X 1 5

3 Y ndash 8

4 3x + 2y

5 2xy ndash 3 X y 2 -3

6 7 ndash 3x

7 33x

8 Y - x

कय उपर स रणी म सभी बीजीय वयजको क पद सम न ह

यह z एव 33x म पद की सखय 1 ह तथ शष कथनो म पदो की सखय 2 ह नजसक ऄथम यह हअ

दक-

दकसी बीजीय वयजक म ऄलग-ऄलग चर क एव नसथर क क बीच नजतन ब र $ ऄथव - नचहन क

ईपयोग होत ह बीजीय वयजक म पदो की सखय ईसस 1 ऄनधक होगी

दिय कल प 3

ननमननलनखत ररकत सथ नो पर बीजीय वयजको क पदो की सखय नलनखए

1 3x + 8 (दो)

2 3 + y ndash 7p ()

3 2x + 3xy + z ()

4 8x ()

5 9 + 3a ndash 3x + b ()

6 5xyz ()

P a g e | 146

अपन चर को एव नसथर को को ज न नलय ह जस 3x + 8y + 7 म x और y तो चर क ह परनत

3 8 और 7 नसथर क ह जस अपन चर क प ठ म दख ह 3x व सतव म x क तीन गण ह ईसी परक र

8लy भी y क 8 गण ह आसक ऄथम यह हअ दक चर क क स थ जो नसथर क ह वह चर क को गण करन

व ल ऄक ह आसनलए हम आस गण क कहत ह ऄतः 3x + 8y + 7 म 3 गण क ह x क 8 गण क ह y क

तथ 7 नसथर क ह आसी परक र 9ab म ab चर क ह तथ 9 ईनक गण क ह

दिय कल प 4

ननमननलनखत बीजीय वयजको क गण क एव चर क को ऄलग कीनजए तथ सम न चर क व ल

वयजको को छ ाटकर ऄलग नलनखए

िम क वयजक गण क चर क

1 8x

2 9py

3 Xyz

4 18ab

5 Yz

6 -1

2 yz

7 3xyz

8 32x

9 -3py

10 -3

5 yz

ईपयमकत दिय कल प म अपन प य दक 8x तथ 32x म चर क क म न x ह ईसी परक र 9py तथ

-3py म चर क क म न py ह xyz तथ 3xyz म चर क क म न xyz ह yz -1

2 yz एव -

3

5 yz म चर क

क म न yz ह आस परक र सम न चर क व ली र नशयो को lsquolsquoसज तीयrsquorsquo चर क व ली र नशय ा कहत ह

सज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न होत ह lsquolsquoसज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

ईनक गण क व ल भ ग ऄलग-ऄलग हो सकत ह

नवज तीय पद

ऐस समसत पद नजनम चर क य बीज क व ल भ ग सम न न हो ईनह lsquolsquoनवज तीय पदrsquorsquo कहल त ह

P a g e | 147

दिय कल प 5

ददय गय बीजीय वयजको क सममख स रणी म ददए गए वयजको म स सज तीय चनकर घर लग ए ndash

परशन वली 12

परशन-1 ननमननलनखत वयजको म एक पदीय और नदवपदीय वयजक पहच नकर नलनखए

(i) 3x + 4y (ii) 9+ 3y (iii) 4a ndash 7b

(iv) 5x + 1 (v) a - 30 (vi) 4ab

(vii) abc - 1 (viii) 3xy (ix) ab + bc

(x) a + abc

परशन-2 ननमननलनखत वयजको म स सज तीय वयजक को चननए ndash

5xy7c-4

5119910119911-7bc-

9

4119909119910

2

7119911-2cbc-37pqr

11

131199101199117z9pqr

हमन सीख

1 सखय ओ क सथ न पर परयोग दकय ज न व ल ऄकषर चर र नश कहल त ह आनह बीजीय र नशय ा भी

कहत ह

2 एक सम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को सज तीय पद कहत ह

3 ऄसम न ऄकषर सखय एव घ त व ल पद को नवज तीय पद कहत ह

4 चर एव ऄचर ऄथव चर एव चर जब +-x ऄथव divide नचहन स जड़त ह तो ईनह बीजीय वयजक

कहत ह

5 एक पद व ल बीजीय वयजक को एक पदीय वयजक कहत ह

6 दो पद व ल बीजीय वयजको को नदवपदीय वयजक कहत ह

P a g e | 148

ककष म कछ छ तर व छ तर ए अपस म चच म कर रह थ मरी न कह - अज म घर स अ रही थी तो

कपड़ की दक न पर बड़-बड़ ऄकषरो म नलख थ lsquolsquoछट छट छट 10 परनतशतlsquolsquo आसक कय मतलब ह

ऄरण न कह - यदद 100 र क कपड़ खरीद तो ईस पर 10 र की छट नमलगी वह कपड़ 90 र म

नमलग

मरी - यदद 40 र क कपड़ खरीद तो दकतन की छट नमलगी

सलम - 4 र की छट नमलगी ऄथ मत 36 र दन पडग

मरी - परीकष की ऄक सची म भी तो पर पत क क स थ परनतशत ऄक नलख ज त ह

रमश - परनतशत क ईपय ग और कह ा-कह ा होत ह

सलम - चलो नमलकर आसकी सची बन य

सभी छ तर सची बन न म जट गए सोच नवच र कर ईनहोन कछ ईद हरण नलख -

1 परीकष म ऄननल को 93 परनतशत ऄक पर पत हए

2 नपछली व रसषक परीकष म 87 परनतशत छ तर एा एव 76 परनतशत छ तर ईततीणम हए

3 बक जम र नश पर 5 परनतशत व रसषक बय ज दत ह

4 वय प र क कषतर म ल भ तथ ह नन को परनतशत म बत य ज त ह

5 दश क 70 परनतशत लोग ग व म रहत ह

6 ठड क मौसम म नबकन व ल पखो पर 15 परनतशत की छट

चलो हम भी समझ दक परनतशत कय ह और आसकी कय जररत ह

परनतशत की अवशयकत कयो

एक परीकष म ईम को 10 म स 8 ऄक पर पत हए नवनय को 20 ऄक म स 15 ऄक पर पत हए कय

अप बत सकत ह दक दकसको जय द ऄचछ ऄक पर पत हए ह

दोनो क ऄको की तलन करन क नलए दोनो क हर सम न करन होग

ऄथ मत ईम क पर पत क 8

10 =

8times2

10times2 =

16

20 ह

तथ नवनय क पर पत क 15

20 ह

ऄब कयोदक दोनो नभननो क हर सम न ह ऄतः आनकी तलन कर सकत ह

ऄब हम कह सकत ह दक ईम क पर पत क ऄनधक ह ऄथ मत जब भी तलन करनी हो हम दकतन म स

नमल ह ईस बर बर करन होत ह

P a g e | 149

यदद दोनो क पर पत क आस परक र बदल ज एा दक हर 100 हो तो -

ईम क पर पत क 8

10 =

8times10

10times10 =

80

100

चदक 10 म 8 ऄक बर बर ह 100 म 80 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक ईम क पर पत क

80 परनतशत ह

नवनय क पर पत क 15

20=

15times5

20times5 =

75

100

चादक 20 म 15 ऄक बर बर ह 100 म 75 ऄक क आसनलए यह कह ज सकत ह दक नवनय क

पर पत क 75 परनतशत ह

ईम क पर पत क क परनतशत ऄनधक ह

आस परक र उपर ईद हरणो म अपन दख होग दक परनतशत क ऄथम lsquoपरनत सकड lsquo स ह यह अकड़ो

की तलन करन म ईपयोगी ह एक सम न अध र जो हर पररनसथनत म तलन क क म अ सक यह अध र

स म नयतः 100 नलय ज त ह जब पर पत को की तलन 100 क अध र पर की ज ती ह तब ईनक 100 म

स पर पत को को परनत सकड़ कहत ह ऄतः परनतशत म lsquoपरनतrsquo क ऄथम परतयक और lsquoशतrsquo क ऄथम सकड़ स ह

परनतशत क नलए नचनह क परयोग दकय ज त ह

ननमननलनखत त नलक म पर पत को की तलन कर दक दकस ऄनधक ऄक पर पत हए आसक नलए हम

पत करग दक दकसक ऄको क परनतशत ऄनधक ह

सलम क पर पत क क परनतशत सबस ऄनधक ह सोनचए दक यदद हम ऄनय दकसी तरीक स तलन

करन च ह तो कय वह आतन अस न होग

दिय कल प 1

नीच दी गइ त नलक को भररए तथ दखकर बत आए की दकस नवदय लय क परीकष फल जय द

ऄचछ ह आसक नलए भी अप परनतशत ननक लग

P a g e | 150

ईपरोकत दिय कल प स यह सपषट ह दक दो य दो स ऄनधक पररनसथनतयो क बीच तलन परनतशत की

सह यत स बड़ी अस नी स की ज सकती ह

यदद परनतशत 100 क अध र स तलन ह तो कय कभी परनतशत म म न 100 स ऄनधक हो

सकत ह अआए दख

ईद हरण 1

एक ददन सबजी-ब ज र म 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी दसर ददन 750 दकलोगर म

अल की खरीदी की गयी तो बत आय दक अल की खरीदी दकतन परनतशत बढ़ी

चदक पहल ददन 300 दकलोगर म अल की खरीदी की गयी

दसर ददन 750 दकलोगर म अल खरीद गय

आस परक र अल की खरीदी म बढ़ोततरी -

= 750 दकगर - 300 दकगर

= 450 दकगर

ऄब 300 दकगर अल की खरीदी म 450 दकगर म बढ़ोततरी हइ ह

there4 1 दक गर म म 450

300 दकगर अल की खरीदी म बढ़ोतरी हइ

ऄतः अल की खरीदी म बढ़ हअ परनतशत

= 450times100

300= 150

कय अप दननक जीवन क ऐस ईद हरण सोच सकत ह जह ा (i) परनतशत 100 स कम (ii) बर बर

और (iii) 100 स ऄनधक ईपयोग म ल य ज त ह

प ाच-प ाच ईद हरण सोच व ऄपन दोसतो को बत ए

P a g e | 151

दिय कल प 2

ननमननलनखत नचतर क दकतन परनतशत भ ग को छ य दकत दकय गय ह तथ छ य दकत भ ग क

नभनन तमक म न कय ह ददए गए ररकत सथ न म नलनखए

जस -

P a g e | 152

नचतर 8

अपन उपर बन नचतरो म परतयक छ य दकत भ ग को परनतशत एव नभनन म बदलकर दख ह

कय परनतशत नभनन क बदल हअ एक रप ह

अआए कछ ईद हरणो को हल करक दख

दिय कल प 3

अपन पवम म सीख ह दक दकसी नभनन क हर यदद 100 हो तो वह नभनन ऄश क परनतशत क

बर बर होत ह ननमननलनखत नभननो को परनतशत म बदनलए

P a g e | 153

दिय कल प 4

नीच कछ परनतशत को नभननो म बदल गय ह शष की परसत कीनजए ndash

नशकषको क नलए (यदद नवदय थी 120783

120784 को परनतशत म बदलन क नलए सीध

120783

120784times 120783120782120782 करत ह तो मल ननयम

समझ त हए ईस वस करन द)

ईपरोकत दिय कल प म अपन दख दक 100 क नभनन रप 1

1 ह

आस परक र 50 क नभनन रप 1

2 ह

ऄतः परनतशत नभनन क ही एक रप ह

ईद हरण 2

एक श ल म 26 जनवरी क ददन कल 200 लडड ल य गय ईनम स 90 लडड छ तरो म ब ाट ददय

गय बच हय लडडओ की सखय जञ त कीनजए

हल परशन नस र

कल लडड तर 200

ब ट गय लडडओ की सखय = 200 क 90

= 200times90

100

ब ाट गए लडड = 180

शष लडड = 200 - 180

= 20 लडड

P a g e | 154

ईद हरण 3

एक ग ाव की जनसखय 10000 ह ईसम 60 मनहल एा 25 परष और शष बचच ह परतयक की

सखय जञ त कीनजए

हल- ग ाव की जनसखय = 10000

चदक 60 मनहल एा ह ऄथ मत 10000 क 60 मनहल एा

there4 मनहल ओ की सखय = 10000times60

100 = 6000

ऄतः मनहल ओ की सखय तर 6000

ऄब चदक 25 परष ह ऄथ मत 10000 क 25

there4 परषो की सखय = 10000times25

100 = 2500

ऄतः परषो की सखय = 2500

बचचो की सखय = 10000 ndash (6000 + 2500)

= 10000 - 8500

= 1500

ईद हरण 4

शय म न एक दक न स 50 रपय की एक पसतक खरीदी दक नद र न ईस 20 परनतशत की छट दी

तो शय म को दकतन रपय दक नद र को दन होग

हल 100 रपय म 20 रपय की छट

there4 1 रपय म 20

100 रपय की छट दत ह

there4 50 रपय म = 50times20

100 = 10 रपय की छट दग

ऄतः शय म को 50 - 10 = 40 रपय दक नद र को दन होग

ईद हरण 5

i 650 रपय क 50 जञ त कीनजए

ii 750 दकगर क 5 जञ त कीनजए

हल

i 650 रपय क 50 = 650times50

100

= 325 रपय

ii 750 दकगर क 5 = 750times5

100 = 375 दकगर

P a g e | 155

ईद हरण 6

धवल को व रसषक परीकष म 500 म स 450 ऄक नमल तथ यश को 900 म स 675 नमल दोनो म

स दकसक परीकष फल ऄचछ ह

परशन नस र ndash

ईपरोकत हल स सपषट ह दक धवल क परीकष फल यश स बहतर ह

परशनो को नयी नवनध य ऄनय नवनध स भी हल करन क परय स कर ऄपनी नवनध पर ऄपन स नथयो

व नशकषक महोदय स चच म कर

परशन वली 13

1 ननमननलनखत को परनतशत म बदनलए

(i) 3

2 (ii)

5

2 (iii)

1

5 (iv)

3

20

2 ननमननलनखत परनतशतो म परतयक को नभनन म वयकत कीनजए

(i) 50 (ii) 15 (iii) 2 (iv) 10

3 360 र क 60 जञ त कीनजए

4 480 दकलोगर म क 15दकतन होग

5 सीत को 500 म स 250 ऄक पर पत हए ईसक पर पत क क परनतशत जञ त कीनजए

6 र म को 10 र की गनणत की पसतक म 10 छट नमलती ह तो वह पसतक ईस दकतन म नमलगी

7 एक श ल म 15 ऄगसत क ददन कल 300 टॉदफय ा ल यी गयी ईनम स 99 टॉदफय ा छ तरो म

ब ाटी गयी बची हइ ट ादफयो की सखय जञ त कीनजए

8 यदद रप को व रसषक परीकष म 600 म स 390 ऄक पर पत होत ह तो ईस दकतन परनतशत ऄक पर पत

हए

9 यदद दकसी रबर को खीचकर दगन लमब कर ददय ज त ह तो लमब इ म वनदध परनतशत जञ त

कीनजए

10 दकसी शहर की कल जनसखय क 40 परष 35 मनहल एा और शष बचच ह यदद बचचो की सखय

18000 हो तो परषो और मनहल ओ की सखय जञ त कीनजए

11 दकसी ग ाव की जनसखय 3000 ह पहल वषम 10 बढ़ती ह एक वषम ब द ईसम 10 की कमी

अती ह तो जनसखय म होन व ली परनतशत बढ़ोतरी य कमी जञ त कीनजए

P a g e | 156

12 एक वयनकत 630 रपय क स म न खरीदत ह दक नद र न ईसस कवल 567 रपय नलए हो तो ईस

वयनकत को दकतन परनतशत की छट नमली

13 दकसी सखय क 75 600 रपय ह तो वह सखय जञ त कीनजए

14 बक म एक वयनकत न 5000 रपय जम कर य कछ वषो क ब द ईस 6000 रपय नमल तो ईसक

धन म दकतन परनतशत की वनदध हइ

15 दकसी ककष की दजम सखय 40 ह आनम 36 लड़क ईततीणम हो गय हो तो ईततीणम एव ऄनततीणम क

परनतशत जञ त कीनजए

16 दकसी ग व म 90 वयनकत स कषर ह यदद ईस ग व की जनसखय 1600 ह तो स कषर एव ननरकषर

की सखय जञ त कीनजए

हमन सीख

1 परनतशत क ऄथम lsquolsquoपरनत सकड़ rsquorsquo स ह

2 परनतशत की सह यत स तलन कर सकत ह

3 परनतशत को नभनन दशमलव तथ ऄनप त म वयकत कर सकत ह एव नभनन दशमलव तथ ऄनप त

को भी परनतशत म वयकत कर सकत ह

P a g e | 157

अप दो सखय ओ की तलन करन क नलए कहत ह दक एक सखय दसरी सखय स बड़ी ह छोटी ह य

सम न ह

दिय कल प 1

नीच तलन पर अध ररत कछ कथन ददए गए ह जो ऄपणम ह ख ली बॉकसो म = gt य lt क नचहन

क ईपयोग कर कथनो को पणम कीनजए -

जस 1 3 + 5 7 2 8 + 7 15

3 4 + 6 11 4 13 + 8 18

5 23 + 7 30

अपन दकस तरह आन नचहनो क ईपयोग दकय ह ऄपन तको क ब र म सोच

यह ा पर दो पकष ददए गए ह ब कस क ब ाय तरफ ब ाय पकष तथ द य तरफ द य ा पकष ह कथनो म 3

+ 5 ब य ा पकष ह चदक यह द य ा पकष 7 स बड़ ह ऄतः 3 + 5 gt 7

नजन कथनो म = नचहन क ईपयोग दकय गय ह ईनह छ ाटकर ऄपनी कॉपी म नलनखए

नजन कथनो को अपन कॉपी म नलख ह ईनह छोड़ ब की ऄसम नत क कथन ह अआए कछ और

कथनो को दख नजनम चर को क ईपयोग दकय गय ह

जस x + 5 = 13 म यदद x = 5 हो तो x क सथ न पर 5 रखन पर ब य ा पकष = 5 + 5 = 10 होत ह

द य ा पकष = 13 ह ऄतः यह कथन सही नही ह ब य ा पकष sup1 द य ा पकष परनत x क सथ न पर 8 रखन पर

दोनो पकष बर बर हो ज त ह और यह कथन सही हो ज त ह

दिय कल प 2

नीच कछ कथन ददए गए ह ईनक स मन ग क म न ददय गय ह ग क ददए गए म न क नलए

कथन सतय ह य ऄसतय बॉकस म नलनखए -

1 x + 3 = 8 यदद x = 5 तो कथन ह

2 x - 2 = 4 यदद x = 7 तो कथन ह

3 x + 2 = 10 यदद x = 8 तो कथन ह

4 7 = 12 - x यदद x = 3 तो कथन ह

5 3 = x - 9 यदद x = 5 तो कथन ह

जो कथन ऄसतय ह कय व ग क दकसी म न क नलए सतय होग यदद ह ा तो परतयक क नलए ग क म न को

ऄपनी कॉपी म नलनखए आस परक र ईपरोकत कथन तभी सतय होग जब दोनो पकष अपस म बर बर होग

ऐस कथन नजनम चर क श नमल हो और दोनो पकष बर बर हो समीकरण कहल त ह ऄथ मत सम नत व ल

gt

सतय

P a g e | 158

व कथन नजनम एक य एक स ऄनधक बीजीय ऄक होत ह rsquorsquoसमीकरणlsquolsquo कहल त ह आसम बर बर क ब यी

ओर क समसत चर और ऄचर पदो को समीकरण क rsquorsquoब य ा पकषlsquolsquo और द य ओर क समसत पदो को

समीकरण क rsquorsquoद य ा पकषlsquolsquo कहत ह

समीकरण कयो

एक ददन नरश न ऄपन स नथयो स एक सव ल पछ दो टोकररयो म ऄमरद रख हए ह दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद ह यदद पहली टोकरी म 8 और ऄमरद रख ददय ज ए तो दसरी

टोकरी म पहली टोकरी क बर बर ऄमरद हो ज त ह कय अप लोग दोनो टोकररयो म ऄमरदो की सखय

बत सकत हो

नरश क सभी स थी हल सोचन लग परनत ईनह कछ सझ नही रह थ तभी ऄन न बत य दक

पहली टोकरी म 8 तथ दसरी टोकरी म 16 ऄमरद ह नरश न कह दक ईततर तो ठीक ह परनत तमन आस

कस हल दकय

ऄन न बत य - lsquolsquoमन पढ़ ह दक दकसी सखय म यदद ईसी सखय को जोड़ ददय ज ए तो ईस सखय

क दो गण पर पत हो ज त ह चादक पहली टोकरी म रख ऄमरदो म 8 ऄमरद और जोड़न पर ऄमरदो की

सखय दो गणी हो ज ती ह तो वह सखय 16 ही होगी कयोदक 8 म 8 जोड़न पर 16 होत हlsquolsquo

नरश न बत य दक आस एक और तरीक स हल कर सकत ह -

ऄमरद (पहली टोकरी म) + 8 = पहली टोकरी क 2 गण ऄमरद (दसरी टोकरी म)

8 म 8 जोड़न पर ही दो गण हो सकत ह ऄतः पहली टोकरी म 8 ऄमरद ह एव दसरी टोकरी म

16 ऄमरद ह

तभी फरीद न कह lsquolsquoहमन चर र नश व ल प ठ म पढ़ ह दक जब दकसी सखय क म न म लम

नही ह तो ईस हम कोइ भी चर क म न सकत हrsquorsquo

म न दक पहली टोकरी म x ऄमरद ह

तो दसरी टोकरी म 2 x ऄमरद ह ग

ऄब पहली टोकरी म 8 ऄमरद और नमल न पर ईसम x + 8 ऄमरद हो गए और यह दसरी

टोकरी क ऄमरद क बर बर ह

ऄथ मत x + 8 = 2x

नरश न कह lsquolsquoऄर व ह यह तो एक समीकरण बन गय और यह ा x क म न 8 रखन पर यह कथन

सतय हो ज त ह आसक मतलब यही हअ दक ऄजञ त म न व ल सव ल को समीकरण की सह यत स बड़ी

अस नी स हल दकय ज सकत हlsquolsquo

अपन भी दख दक ऄजञ त र नशयो क म न ननक लन क नलए समीकरण दकस परक र ईपयोगी ह

अआए ऄब हम समीकरण कस बन य ज त ह दख

दसरी टोकरी म

ऄमरद पहली टोकरी

क 2 गण ऄमरद

पहली टोकरी म

ऄमरद

P a g e | 159

समीकरण कस बन ए

एक खल खलत ह अप सब ऄपन मन म ऄपनी-ऄपनी ईमर सोनचए आसम 5 जोड़ दीनजए योगफल

को 2 स गण कर ईसम 10 घट आए जो ऄनतर अय ईसम ऄपनी ईमर को घट दीनजए अपक ईततर ही

अपकी ईमर ह

नरश क हल नशकषक क ननदश ऄन क हल

12 वषम ऄपनी ईमर सोच 11 वषम

12 + 5 = 17 वषम 5 जोनड़य 11 + 5 = 16 वषम

17 times 2 = 34 वषम 2 स गण कीनजए 2 times 16 = 32 वषम

34 - 10 = 24 वषम 10 घट आए 32 - 10 = 22 वषम

24 - 12 = 12 वषम ईमर को घट आए 22 - 11 = 11 वषम

आसी परक र सभी न प य दक ईनहोन जो ऄपनी ईमर सोची थी वही ईततर क रप म अ रही ह यह

कस हअ अआए आस समझ -

म न दक सोची गइ ईमर x वषम ह

ईमर म 5 जोड़ = x + 5

योगफल को 2 स गण दकय 2(x + 5) = 2x + 10

10 घट य 2x + 10 - 10 = 2 x

सोची गयी ईमर को घट य 2 x - x = x

अप वही हल पर पत कर रह ह जो ईमर अपन सोची थी

आस हल को दखत ही र ज न कह lsquolsquoऄब म भी समीकरण बन न क परशन पछ सकत हा दकसी सखय

म 2 क गण कर 5 घट न स 3 अत ह तो समीकरण कय होगी ऄन न ततक ल समीकरण बन य -

rsquorsquoम न दक सखय ग ह 2 क गण करन पर अय 2x आसम 5 घट न पर नमल 2x - 5 जो 3 क बर बर ह

ऄथ मत समीकरण होग -

2x - 5 = 3

ऄन न कह lsquolsquoऄब म तमह एक समीकरण द रही हा तम आस शबद रप म कस बदलोग

समीकरण 7 y - 5 = 9

हमीद न तरत सोच दकसी सखय म 7 क गण करक 5 घट न पर 9 क बर बर ह

ऄब सभी नवदय थी समीकरण बन न और समीकरण को शबद रप म बदलन म ददलचसपी ददख न लग

परशन वली 141

परशन 1 ननमननलनखत म स समीकरण छ टकर नलनखए -

i x - 4 = 10 (vi) 7 = 2x - 5 (x) ly +lx = px

ii x - 4 - 10 (vii) 3x ndash 2x =2x

iii 2y - 3 + 9 (viii) 5

119909= 3

iv 5 (2y ndash 3) = 15

(v) 3 x + 4 (ix) 45 +32z + z

P a g e | 160

परशन 2 ननमननलनखत समीकरणो क ब य ा एव द य ा पकष बत आए -

i x - 5 = 9

ii 2 x - 3 = 7

iii 2y = 9 - y

iv 2y = 6

v 15 = 2a + 5

परशन 3 ननमननलनखत कथन म ऄजञ त सखय y क परयोग करक समीकरण म बदनलए -

i दकसी सखय क दगन म स 3 कम करन पर 17 अत ह

ii दकसी सखय क छठ भ ग 7 ह

iii दकसी सखय एव 5 क ऄनतर 8 ह

iv दकसी सखय म 7 क गण कर 5 घट न स 9 बचत ह

परशन 4 समीकरणो को कथन क रप म नलनखए

i x - 6 = 9

ii 7y - 14 = 0

iii 2119909

3 = 6

iv 119909

2+ 5 = 10

v 38 - 2 x = 4

समीकरण हल करन

अपन दिय कल प 2 म यह दख दक परतयक कथन x क कवल एक म न क नलए ही सतय ह जस-

x + 2 = 4 म यदद x = 7हो तब कथन ऄसतय ह कय दक x क म न 7 रखन पर ब य ा पकष द य

पकष क बर बर नही होत यह x = 2 रखन पर ही सतय होत ह ऄथ मत आस परक र क परतयक समीकरण क

कवल एक ही हल ह

दिय कल प 3

नीच दी गइ स रणी म ग क चर क व ल समीकरण ददए गए ह x क ऄलग-ऄलग म न क नलए आस

समीकरण क दोन पकष सम न ह य ऄसम न ईद हरण क ऄनस र भररए ndash

P a g e | 161

x क नजस म न क नलए समीकरण क दोनो पकष बर बर ह वही समीकरण क हल ह आस नवनध को

तररट एव परय स नवनध कह ज त ह

अआए तर ज क म धयम स समीकरण क कछ गणो को नचनतरत करक दख

नचतर 2 क समीकरण x - 2 = 3 म ब य ा पकष x - 2 ह तथ द य ा पकष 3 ह यह तर ज सतलन की

ऄवसथ म ह ऄब यदद हम तर ज क ब एा पलड म कछ भ र रख तो सतलन ल न क नलए द एा पकष म भी

ईतन ही भ र रखन पड़ग ईसी परक र यदद द एा पकष स कछ भ र ननक ल ल तो सतलन क नलए ब एा पकष

स भी ईतन ही भ र ननक लन पड़ग ऄथ मत यदद दकसी समीकरण क एक पकष म कोइ सदिय की ज ए तो

दसर पकष म भी वही सदिय करनी होगी तभी समीकरण क दोनो पकष बर बर रहग

यह जञ त ह दक ( - 2 ) + ( 2 ) = 0 होत ह ईपरोकत समीकरण म ब एा पकष म यदद 2 जोड़ ददय

ज ए तो x बचग चदक ब एा पकष म दो जड़ रह ह तो समीकरण को सतलन म रखन क नलए द एा पकष म

भी 2 जोड़न पड़ग

ऄथ मत - x - 2 = 3

X - 2 + 2 = 3 + 2

X + [(- 2) + (2)] = 5

x = 5

आसी परक र यदद 7 x = 21 हो

7 म 7 क भ ग ददय ज ए तो 1 पर पत होत ह यदद 7 x म 7 क भ ग द तो x पर पत होग चदक

ब एा पकष म 7 क भ ग ददय ज रह ह तो द एा पकष म भी 7 क भ ग दन पड़ग

ऄथ मत - 7x = 21

7119909

7=

21

7

x = 3

ईद हरणो म अपन सीख दक दकसी समीकरण क दोनो पकषो म यदद कोइ नसथर क जोड़ ददय ज ए

य दकसी नसथर क को घट ददय ज ए ऄथव दकसी नसथर क स गण दकय ज य य भ ग ददय ज ए तो

समीकरण क सतलन म कोइ पररवतमन नही होत

P a g e | 162

दिय कल प 4

नीच दी गयी स रणी म समीकरणो क दोनो पकषो म कय जोड़ घट य गण कर य भ ग द दक चर

क म न पर पत हो ज ए ददए गए ईद हरण क ऄनस र ररकत ख नो को भररए ndash

ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x + 3 = 10

ii 6 = y + 4

iii s + 6 = 15

iv 7 + t = 25

दिय कल प 5

अपन सरल समीकरण (नजसम सदिय एक ही ब र करनी पड़ रही ह) को हल करन सीख नलय

ह अआए ऄब कछ ऐस समीकरण हल कर नजसम दो सदिय करनी पड़ रही ह

P a g e | 163

P a g e | 164

ऄभय स 1

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

(i) 3x + 8 = 20 (ii) 4x + 10 = 30

(iii) 5x - 7 = 8 (iv) 6x - 7 = 11

(v) 3x + 21

7 = 0 (vi) 29 = 7x + 1

(vii) 60 ndash 8x = - 4 (viii) 19x + 7 = 45

समीकरण बन न एव हल करन तो अप भली भ ानत सीख चक ह कछ सखय ओ स समबननधत

समसय ओ को समीकरण क दव र हल कर

ईद हरण 1 दकसी सखय म 5 की वनदध की ज ए तो सखय 20 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल

म न दक वह सखय x ह तो सखय म 5 जोड़न पर = x + 5

समसय ऄनस र

ऄब x + 5 = 20

दोनो पकषो म 5 घट न पर

X + 5 - 5 = 20 - 5

x = 15

सतय पन -

ब य ा पकष = x + 5

= 15 + 5 (x क म न रखन पर)

= 20

= द य ा पकष

ईद हरण 2 दकसी सखय म 6 की कमी करन पर वह सखय 10 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र सखय म 6 की कमी करन पर सखय x - 6 हो ज ती ह जो 10 क बर बर ह

ऄथ मत x - 6 = 10

दोनो पकषो म 6 जोड़न पर x - 6 + 6 = 10 + 6 (यह ा - 6 + 6 = 0 और 10 + 6 = 16)

x = 16

सतय पन - ब य ा पकष = x - 6 = 16 - 6 (x क म न रखन पर)

= 10

= द य ा पकष

ईद हरण 3 दकसी सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह वह सखय कय होगी

हल म न दक वह सखय x ह

तो परशन नस र ईस सखय क दगन म 7 जोड़न पर सखय 37 हो ज ती ह

P a g e | 165

पहल चरण सखय क दो गण = 2 x

दसर चरण 2x म 7 जोड़न पर 2x + 7

तीसर चरण कथन नस र 2 x + 7 = 37

2 x + 7 - 7 = 37 - 7 (दोनो पकषो म 7 घट न पर)

2119909

2 =

30

2

(दोनो पकषो म 2 क भ ग दन पर)

x = 15

सतय पन

ब य ा पकष = 2 x + 7 = 2 times 15 + 7 (x क म न रखन पर)

= 30 + 7

= 37

= द य ा पकष

ईद हरण 4 दकसी सखय क एक नतह इ करन पर वह सखय 11 हो ज ती ह वह सखय जञ त कीनजए

हलः म न दक वह सखय x ह

परशन नस र

आस सखय क एक नतह इ ऄथ मत बर बर ह 11 क

ऄथ मत 119909

3= 11

x क म न ननक लन क नलए समीकरण क ब य पकष क हर स 3 को हट न होग

आसनलए दोनो पकषो म 3 क गण करन पर

119909

3times 3 = 11 times 3

x = 33

सतय पन 33 क एक नतह इ = 33

3= 11

ईद हरण 5 म लती एव ईसक नपत की अय क योग 49 वषम ह यदद म लती की अय 12 वषम हो तो

ईसक नपत की अय जञ त कीनजए

हल म न दक म लती क नपत की अय x वषम ह

परशन नसर म लती की अय 12 वषम ह

दोनो की अय क योग = x + 12

चदक दोनो की अय क योग 49 वषम ह

ऄतः x + 12 = 49

x + 12 - 12 = 49 - 12 (दोनो पकषो म 12 घट न पर)

x + 0 = 37

x = 37

नपत की अय 37 वषम ह

P a g e | 166

सतय पन - नपत की अय एव म लती की अय क योग

= 37 + 12

= 49 वषम

ईद हरण 6 नशव गी क परस म कवल 50 पस क नसकक ह यदद पसम म 25 र हो तो नसकको की सखय जञ त

कीनजए-

हल म न लो दक नसकको की सखय ग ह

परतयक नसकक क मलय = 50 पस 1

2= रपय

x नसकको क मलय = 1

2119909 रपय

ऄतः परशन नस र 1

2 119909 = 25

1

2 119909 x 2 = 25 x 2 (दोनो पकषो म 2 क गण करन पर)

x = 50

ऄतः नशव गी क पसम म 50 पस क 50 नसकक ह

ज ाच 50 नसकको क मलय = 50 x 50

= 2500 पस

= 2500 र

परशन वली 142

1 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए -

i x - 3 = - 4

ii z - 8 = 0

iii 3y = 9

iv 16 = 3y + 7

v 5+ 119909

3 = 7

vi 9z - 7 = 14

2 ननमननलनखत समीकरणो को हल कीनजए एव ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए -

i 3 (2 + x ) = 12

ii 10 - z = 6

iii 119909

5= 15

iv 7 ndash 4y = 3

3 दकसी सखय क दोगन 10 ह सखय कय होगी

4 दकसी सखय क दगन म 35 जोड़ ज ए तब 85 पर पत होत ह वह सखय कय होगी

5 25 पस क दकतन नसकक 10 र क बर बर होग

P a g e | 167

6 दकसी सखय क अध म स यदद 4 घट य तब 6 पर पत होत ह सखय कय होगी

7 ईम क प स कछ मीटर कपड़ ह ईसम स 2-2 मीटर कपड़ क वह 4 पद बन दती ह ईसक ब द भी

ईसक प स 5 मीटर कपड़ बच रहत ह तब पर रभ म ईसक प स दकतन मीटर कपड़ थ

हमन सीख

दकसी भी समसय को समीकरण क दव र हल करन क नलए ननमननलनखत ब तो पर नवशष धय न

ददय ज न च नहए -

1 समसय को ऄचछी तरह पदढ़ए एव ननध मररत कीनजए दक कौन-कौन सी जञ त र नश एव कौन-कौन

सी ऄजञ त र नश ह

2 ऄजञ त र नश को x y z आतय दद स वयकत कीनजए

3 समसय को एक-एक शबद क ऄनस र जह ा तक सभव हो गनणतीय कथन म पररवरसतत कीनजए

4 व र नशय ा ननध मररत कीनजए जो बर बर हो और ईनस एक ईनचत समीकरण बन आए

5 समीकरण को ऄजञ त र नश क नलए हल कीनजए

6 यह ज ाच कीनजए दक अपक ईततर समसय म दी हइ शतो को सतषट करत ह ऄथव नही

P a g e | 168

सकल क ईपयोग

अप जब कपड़ खरीदन ब ज र ज त ह तो दक नद र ऄकसर एक लोह की छड़ स न प कर कपड़

दत ह अपन भी लमब इ न पन क नलए कइ ब र ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल क ईपयोग दकय ह

ऄपन कमप स बॉकस म रख सकल को दनखए तथ नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए-

सकल म म पन क नलए दो परक र क पम न होत ह पत कर दक दोनो पम नो की आक इ दकतन-

दकतन छोट खणडो म बटी ह सबस छोट खणड की म प कय ह

सकल क ईपयोग अप समय-समय पर करत रहत ह कय ऄपनी कॉपी पर ऐस तीन रख खणड

खीच सकत ह नजनकी लमब इ िमशः 35 समी 42 समी और 89 समी हो

और भी ऐस नवनभनन म पो क रख खणड खीच

सकल क ईपयोग अप जीवन म कह ा-कह ा करत ह सची बन ए

वतत बन न

वतत बन न क नलए अपन परक र क ईपयोग तो दकय ही होग अप यह भी ज नत ह दक वतत

कय होत ह कौन-सी अकनतय वतत क र ह चनलए अस-प स की वतत क र चीजो की सची बन ल यह

सची अपन पहल भी बन इ होगी आस ब र और लमबी सची बन ए

परक र क ब र म ज नन

(1) एक परक र की दकतनी भज एा होती ह

(2) कय यह भज एा सम न लमब इ की ह

(3) नोकव ली भज क कय ईपयोग ह कय नोक नतरछी होनी च नहए

(4) वतत बन त समय यदद नोक व ली भज ऄपन सथ न स नखसक ज ए

तो कय वतत ठीक बनग

अप परक र की बन वट एव ईपयोग करन क तरीक समझत ह ऄपनी

कॉपी पर 32 समी 47 समी और 51 समी नतरजय क वतत बन ए कछ

और भी वतत ऄपन मन स सोच कर बन ए

जय नमतीय बॉकस क ऄनय ईपकरण

रख खणड क ऄधय य म अपन नडव आडर क ईपयोग भी दकय ह कय अप

बत सकत ह दक परक र और नडव आडर क ईपयोग कय -कय ह

आस परक र अपक जय नमनत बॉकस म एक च ाद भी रख हअ ह आस धय न स

दनखए और ददए गए

P a g e | 169

परशनो क ईततर दीनजए -

(1) च ाद की अकनत कसी ह

(2) च ाद क ऄदधमवतत क रनम भ ग कल दकतन खणडो म बाट ह

(3) कय अप ऄपनी कॉपी पर 47 95 तथ 170 क कोण बन सकत ह

ऄपन जय नमनत बॉकस म रख सकल परक र नडव आडर और च ाद स तो पररनचत हो ही चक ह

कय अपक जय नमनत बॉकस म और कोइ ईपकरण भी ह

जो दो नतरभज कर ईपकरण बच ह ईनह ननक ल कर ऄपनी कॉपी पर रनखए एव परतयक स सट कर

पननसल को आस परक र चल आए दक ईपकरणो की ब हरी अकनत कॉपी पर ईभर अए

दोनो ईपकरणो क परतयक कोण को म नपय

ऄब तो अप समझ ही चक ह दक परतयक नतरभज क र ईपकरण क एक कोण 90ह ह तथ ब की

दोनो कोण एक म 45-45 क ह एव दसर म 30 एव 60 क ह

आन दोनो ईपकरणो को सट सव यर (गननय ) कह ज त ह

अप सट सव यर की सह यत स दकसी रख पर 90ह क कोण बन आए एव च ाद की सह यत स

कोण को म पकर ज ाच कीनजए

यदद सट सव यर स बन य गए कोण क म प ठीक 90ह क नही ह तो दकतन ऄलग ह आस ऄतर

क क रण सोनचए

सट सव यर की सह यत स रचन एा करन

दकसी दी हइ रख खणड पर ऐस नबनद स लमब खीचन जो रख पर नसथत नही हः

PQ कोइ रख खणड ह तथ M आस रख खणड क ब हर कोइ नबनद ह

रचन क पद

1 सकल क आस परक र रनखए दक ईसक एक दकन र PQ ऄनददश रह(नचतर-2)

2 सकल स सट कर सटसव यर की एक लमबवत भज को रनखए धय न रह दक सकल नहल न प य

दसरी भज सकल क लमबवत ह

3 सकल को कसकर दब ए रनहए तथ सटसव यर को सकल स रगड़त हए आस परक र चल आए दक

सटसव यर की दसरी लमबवत भज ददए गए नबनद M को छन लग (नचतर-4)

4 नबनद M को छ रही सटसव यर की भज क ऄनददश रख खणड खीनचए

5 यह ML रख खणड PQ पर लमब होगी

P a g e | 170

सट सव यर और सकल की सह यत स सम नतर रख ए खीचन

अपन यह पढ़ ह दक दो सम नतर रख ओ क बीच की लमबवत दरी हमश सम न होती ह अपन

सट सव यर स दकसी सरल रख पर लमब खीचन सीख नलय ह कय अप सट सव यर और सकल की

सह यत स ऄपनी कॉपी पर दी गइ सरल रख क सम नतर कोइ सरल रख खीच सकत ह परय स करक

दनखए अपन दकस तरीक स सम नतर रख खीची ह वह भी नलनखए

दकसी रख क ब हर नसथत नबनद स आस रख क सम नतर दसरी रख खीचन

रचन क पद -

AB रख क ब हर कोइ नबनद P ह नबनद P स AB क सम नतर एक रख खीचनी ह

1 AB रख क ऄनददश सट सव यर की लमबवत भज ओ म स एक भज को रनखए

2 सटसव यर नहलन न प य ऄब सट सव यर की दसर लमबवत भज क ऄनददश सट कर सकल को

रनखए (नचतर 4)

3 सकल को आस तरह स दब ए रनहए दक वह नहल न प ए

4 सकल स रगड़त हए सटसव यर को ददय गए नबनद की ओर तब तक ल ज आए जब तक दक सटसव यर

की भज नबनद P को छन न लग (धय न रह सकल सरकन न प य)

5 ऄत म सटसव यर को ईसी नबनद पर नसथर रखकर P स होकर सटसव यर की भज क ऄनददश एक

सरल रख खीच यह PS सरल रख AB क सम नतर होगी च ह तो ऄलग-ऄलग जगह पर AB

और PS क बीच की दरी को म प कर ज ाच ल

दकसी रख क सम नतर रख खीचन क ऄथम यह ह दक ईस रख पर एक लमब रख खीचन

तथ लमब रख पर दफर स एक लमब खीचन जस नचतर म दश मय गय ह AB रख पर RQ लमब ह RQ

पर RS दफर स एक लमब ह ऄब AB तथ RS सम नतर ह

P a g e | 171

दकसी दी गइ रख स नननित दरी पर दसरी सम नतर रख खीचन

म न लीनजए AB रख स 6 समी दर एक सम नतर रख खीचन ह

रचन क पद (1) AB रख खीनचए

(2) सटसव यर और सकल क परयोग कर AB पर एक लमब

खीनचए (नचतर 7)

(3) PQ पर कोइ नबनद R आस परक र लीनजए दक Q स R

की दरी 6 समी हो

(4) सटसव यर की सह यत स R पर लमब RS

खीनचए RS ही AB क सम नतर होगी तथ AB स

6 समी की दरी पर होगी

ऄभय स 1

1 3 समी क रख खणड खीचकर ईसस ननमननलनखत दरी पर सम नतर रख खीनचए

(i) 15 समी (ii) 20 समी (iii) 22 समी (vi) 31 समी

परक र और सकल की सह यत स रख खणड क समनदवभ जक खीचन

अआए एक दिय कल प कर -

दिय कल प 1

दकसी म प क एक रख खणड AB खीनचए A नबनद पर परक र रखकर B तक फल आए और A को

कनर म नकर एक वतत खीनचए ऄब आसी न प क एक वतत B को कनर म नकर खीनचए दोनो वतत नजन

नबनदओ पर कटत ह ईनह नचहन दकत कर एव न म दीनजए

ऄब परक र क फल व को कछ कम करक पनः A नबनद पर रखकर

एक वतत तथ B नबनद पर रखकर ईसी न प क दसर वतत खीनचए य दोनो

वतत उपर नीच नजन नबनदओ पर एक दसर को क टत ह ईन नबनदओ को पनः

नचहन दकत कर R एव S न म दीनजए

P a g e | 172

आसी परक र परक र क फल व को कम करत ज आए तथ A एव B नबनदओ स वतत बन त ज आए तथ

सम न न प क वततो क कट न नबनदओ को नचहन दकत करत ज आए नीच पछ गए सव लो क जव ब ढदढ़ए -

1 अप वततो को िमशः छोट करत ज रह ह कय दो सम न न प क वतत जो नबनद A एव नबनद B स

खीच ज रह ह हमश एक दसर को क टग यदद नही तो दकस न प तक A और B नबनदओ स खीच

गए वतत एक दसर को क टग

2 अपन जो PQRSTU आतय दद नबनद पर पत की ह कय व सभी समरख ह कय अप

बत सकत ह दक ऐस कयो ह

3 रख AB को रख PQ दकस ऄनप त म क टती ह

4 रख AB रख PQ क स थ दकतन ऄश क कोण बन ती ह

ईपरोकत दिय कल प को हल करत समय अपन प य होग दक जस ही A और B नबनदओ स खीच

गए सम न अक र क वतत की नतरजय रख खणड की लमब इ क अध स कम हो ज ती ह तो व एक दसर को

नही क टत PQRSTU आतय दद सभी नबनद समरख ह एव PQ रख AB रख को समनदवभ नजत

करती ह तथ आन दोनो रख खणड क मधय 90deg क कोण बनत ह

आस परक र अप कह सकत ह दक दकसी दी गइ म प की रख खणड क यदद लमब समनदवभ जक

खीचन ह तो परक र को रख की लमब इ क अध स जय द फल आए तथ रख खणड क पर रनमभक एव

ऄनतम नबनदओ पर परक र रख वतत य वतत खणड बन आए ऄब दोनो वतत य वतत खणडो की जो कट न

नबनदए ह गी ईनह नमल न पर रख क लमब समनदवभ जक पर पत होग

दिय कल प 2

1 ऄपनी कॉपी म A एव B को दो नबनद लीनजए और ईनह नमल आय A B

2 नबनद A पर परक र की नोक रखकर AB रख खणड क अध स ऄनधक म प लकर रख AB क दोनो

ओर म प (वततखणड) बन आय

3 परक र की नोक को ऄब B नबनद पर रखकर ईसी न प स पनः AB क दोनो ओर च प बन आय जो

पवम म बन ए गए च प को क टत ह आनह P एव Q क न म दीनजए

4 ऄब PQ को नमल आए

5 रख खणड PQ AB को नजस नबनद पर क टत ह ईस O क न म दीनजए ऄब AO एव OB क

म प कर दनखए कय AO = OB

6 POB को म नपए कय POB=900आस परक र पर पत रख PQ रख

AB क लमब समनदवभ जक होग

P a g e | 173

परक र की सह यत स ऄलग-ऄलग न प क कोण बन न

दिय कल प 3

1 दकसी भी नतरजय क एक वतत खीचकर ईसक कनर को नचनहनत कीनजए

2 वतत पर कोइ नबनद A लीनजए A पर परक र को रखकर नजस नतरजय क

अपन वतत बन य ह ईसी नतरजय क एक च प वतत पर क रटए

3 नजस नबनद पर च प कट ह ईस नबनद पर परक र को रखकर ईसी नतरजय

क च प पनः क रटए

4 वतत पर च प क टन की आस परदिय को दोहर आए

नीच ददए परशनो क ईततर ढदढए

1 वतत को ईसकी नतरजय क न प व ल दकतन च पो म ब ाट सकत ह

2 कनर स सभी च पो क कट न नबनद को नमल आए दो िम गत कट न नबनदओ दव र कनर क स थ जो

कोण बन य ज रह ह ईनक म प कय ह

3 कय सभी कोण सम न म प क ह

4 यदद सभी कोण सम न म प क ह तो एक कोण क म प कय होग

ईपरोकत दिय कल प क परशनो क ईततर ढढ़त हए अपन प य दक दकसी वतत पर ईसकी नतरजय क

बर बर म प व ल छः च प कट सकत ह िम गत कट न नबनदओ दव र बन य गय परतयक कोण 600 क ह

कय ऄब अप सकल और परक र की सह यत स 600 कोण बन सकत ह

अआए सकल और परक र की सह यत स 600 क कोण बन य-

1 एक रख खणड खीनचए तथ आसक नबनद O पर एक ऐस ऄदधमवतत बन आए जो OA को D पर क टत

ह (नचतर 11)

P a g e | 174

2 D पर परक र को रखकर नजस नतरजय क ऄपन ऄदधमवतत खीच

ह ईसी नतरजय क च प ऄदधमवतत पर कट न बबद M पर पत कीनजए

(नचतर 12)

3 OM को नमल त हए B तक बढ़ आए (नचतर 13)

4 AOB = 600 होग

अपन पहल भी वतत को ईसकी नतरजय क बर बर सम न छः भ गो म ब ाट ह तथ यह भी दख ह

दक परतयक भ ग कनर स 600 क कोण बन त ह उपर अपन एक ब र च प क टकर 600 क कोण पर पत

दकय ह आसी च प को लकर यदद अप एक ब र M नबनद स अग पनः च प क टग तो अपको 1200 क

कोण नमलग तथ तीन ब र क टन पर 180

ऄभय स 2

1 परक र और सकल की सह यत स 1200 क कोण बन आए

कोण क समनदवभ जक खीचन

रचन क पद

1 ABC क नबनद B को कनर म नकर एक च प आस परक र क रटए दक वह AB को D नबनद पर तथ

BC को E नबनद पर क ट (धय न रह दक च प न ही बहत छोटी हो और न ही बहत बड़ी)

2 D को कनर म नकर एक च प बन आए पनः ईसी नतरजय क च प E स आस परक र बन आए दक दोनो

च प एक दसर को R पर क ट (नचतर 16)

3 B को R स नमल त हए अग बढ़ आए

4 रख BR ही ABC क समनदवभ जक ह

ऄभय स 3

1 520 क कोण बन कर ईसक समनदवभ जक खीनचए

2 1700 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए

3 600 क कोण बन कर आसक समनदवभ जन कीनजए और न प कर बत आय दक यह कोण

दकतन ऄश क ह

P a g e | 175

ददए गए कोण क बर बर कोण की रचन करन

म न लीनजए AOB ददय हअ ह AOB क बर बर एक दसरी कोण की रचन करनी ह

रचन क पद -

1 QP रख खीनचए Q नबनद पर AOB क बर बर कोण बन न ह

2 परक र को थोड़ स फल कर व O नबनद पर रनखए तथ आस परक र क एक च प क रटय जो OA

और OB दोनो भज ओ को िमशः R एव S पर क टत ह(नचतर 17)

3 आसी न प क च प Q नबनद पर परक र रखकर भी क रटए जो PQ को T पर क टत ह

4 परक र को R पर रखकर S तक फल आए एव ईसी म प क च प T पर रखकर TU क रटए और U

पर पत कीनजए (नचतर 18)

5 QV को नमल त हए R तक अग बढ़ आए

PQV = AOB

ऄभय स 4

1 च ाद की सह यत स 550 क एक कोण बन आए तथ आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

2 च ाद की सह यत स 1200 क कोण बन कर आसक बर बर एक कोण परक र एव सकल की

सह यत स बन आए

रख खड क ब हर दकसी नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 एक रख AB खीनचए और आसक ब हर नबनद P लीनजए

2 P को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय क एक च प क रटए जो AB को D और E पर क ट (नचतर

20)

3 D और E को कनर म नकर सनवध जनक नतरजय स दो च प क रटए जो एक दसर को R पर क ट

(नचतर 21) PR को नमल कर बढ़ आए

आस परक र PR AB

P a g e | 176

4 PRAB को Q पर नमलत ह (नचतर 22)

रख खड पर नसथत नबनद स रख खड पर लमब खीचन

रचन क चरण

1 सवमपरथम एक रख खड AB खीनचए नजस पर नबनद P नचनहनत कीनजए

2 नबनद P पर परक र की नोक रनखए तथ दकसी भी न प की नतरजय लकर रख खड AB पर ऄदधमवतत

क रटए जो दक रख खड AB को दो नबनदओ Q तथ R पर क टत ह (नचतर 24)

3 ऄब R पर परक र रनखए और दकसी भी म प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर की ओर एक च प

क रटए पनः rsquoQrsquo पर परक र रखकर ईसी च प की नतरजय लकर ऄदधमवतत क उपर ओर एक और

च प क रटए जो अपस म नबनद M पर क टत ह (नचतर 25)

4 नबनद M को P स नमल दीनजए (नचतर 26)

पर पत रख खड PM ही वह लमब रख ह

ऄथ मत PM AB

P a g e | 177

परशन वली 15

1 5 समी क एक रख खड खीनचए आसस 3 समी की दरी पर एक सम नतर रख खीनचए

2 सटसव यर की सह यत स ननमननलनखत कोण की रचन कीनजए

(i) 450 (ii) 600 (iii) 300 (iv) 900 (v) 1200

3 ननमननलनखत न प क रख खड लकर ईसक समनदवभ जन कीनजए

(i) 5 समी (ii) 45 समी (iii) 36 समी (iv) 54 समी

4 परक र व सकल की सह यत स ननमननलनखत कोण बन आय

(i) 600 (ii) 900 (iii) 1200 (iv) 1500

5 परक र व सकल की सह यत स ईपरोकत कोणो क समनदवभ जक कीनजए

6 च ाद की सह यत स ननमननलनखत न प क कोण बन आय एव परक र व सकल की सह यत स ईसक

सम न कोण की रचन कीनजए

(i) 680 (ii) 920 (iii) 1080 (iv) 1260 (v) 1530

P a g e | 178

16

कषतरनमनत-1

कषतरफल

अपन ऄधय य 2 म बनद एव खली अकनतयो को समझ ह दननक जीवन म कइ अकनतयो को दखत रहत

ह ननमननलनखत अकनतयो को धय न स दनखए

नचतर 1

उपर बनी अकनतयो म अकनत क दकसी बबद य छोर स पर रभ कर नबन पनसल ईठ य एव दकसी

नहसस पर दब र चल नबन दफर ईसी बबद य छोर पर पहाच सकत ह यदद पहाच सकत ह तो यह एक बद

अकनत होगी और यदद नही तो यह एक खली अकनत होगी

ऄथ मत बद अकनत क कोइ ऄनतम बबद नही होत

कय अप बत सकत ह दक ननमननलनखत मद नो की अकनतय ा खली ह य बद ह

1 खो - खो क मद न

2 फटब ल क मद न

3 नगलली डड नजस मद न म खल ज त ह वह मद न

4 कबिी खल क मद न

P a g e | 179

5 नबललस नजस कषतर म खल ज त ह वह कषतर

कषतरफल (Area)

सभी बद अकनतयो क ऄदर कछ जगह होती ह आन अकनतयो क ब हर नसथत दकसी बबद स आनक

ऄदर नसथत दकसी बबद तक अकनत की रख को क ट नबन नही ज सकत बद अकनतयो क ऄदर की जगह

ही ईसक कषतर ह कछ अकनतयो म जय द जगह होती ह नजनम जय द जगह होती ह वही बड़ी होती ह

कोइ वसतअकनत समतल पर नजतनी जगह घरती ह वह ईसक कषतरफल कहल त ह

गर फ पपर की सह यत स दकसी अकनत क कषतरफल न पन -

अयत क कषतरफल

ककष 5वी म अपन अयत क ब र म पढ़ होग यह एक चतभमज ह नजसक अमन स मन

की भज बर बर ह तथ परतयक कोण समकोण ह

दिय कल प 1

1 एक अयत ह नजसकी लमब इ 6 समी एव चौड़ इ 3 समी ह परतयक भज पर एक-एक समी की दरी

पर लमब इ तथ चौड़ इ की ओर नचहन लग व

2 अयत को 1 समी times 1 समी क खणडो म ननमन नस र ब ट -

P a g e | 180

दश मए गए नचतर म 1 समी x 1 समी क बन रह वगो को नगननए

वगो की सखय = 18

1 वगम क कषतरफल = 1 वगम समी

18 वगम क कषतरफल = 18 वगम समी

ननषकषम नजतन बड़ अयत होग 1 वगम समी क वगो की सखय ईतनी ही ऄनधक होगी

कषतरफल = 18 वगम समी

= 6 समी times 3 समी य 3 समी times 6 समी

अयत क कषतरफल = लमब इ xचौड़ इ

चदक गण की सदिय िम नवननमय क ननयम क प लन करत ह ऄतः -

अयत क कषतरफल तर चौड़ इ ग लमब इ भी नलख सकत ह

ऄभय स

1 अपकी गनणत की पसतक दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

2 च क क नडबब और शय मपटट दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

3 ऄपन अस-प स की दकनही दो अयत क र वसतओ दव र घर गए सथ न क कषतरफल जञ त कीनजए

वगम क कषतरफल

वगम एक नवशष परक र क अयत ह

नजसकी भज ए सम न ह ऄथ मत लमब इ तथ चौड़ इ बर बर ह

4 समी times 4 समी भज व ल वगम को 1 समी times 1 समी व ल वगो म ब ाटन पर ndash

नचतर 7

1 वगम समी = 1 समी times 1 समी

वगम क कषतरफल = वगम खणडो की सखय एा

= 16

P a g e | 181

1 वगमखणड क कषतरफल = 1 वगम समी

16 वगमखणडो क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 16 वगम समी

वगम क कषतरफल = 4 समी ग 4 समी

वगम क कषतरफल = भज x भज = (भज )2

ईद हरण 1 यदद एक वगम की भज 5 समी ह तो आसक कषतरफल कय होग

नचतर म 5 समी भज क एक वगम ददख य गय ह परतयक भज पर 1-1 समी दरी पर नचहन ऄदकत

कीनजए

ऄब अमन-स मन क सभी नबनदओ को नमल कर अड़ी और खड़ी रख एा खीनचए

आस वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड़ ख नो को नगननय

वगम क कषतरफल = वगम क भीतर 1 समी लमब व 1 समी चौड ख नो की सखय

= 25 = 25 times 1 ख न क कषतरफल

= 25 times 1 वगम समी तर 25 वगम समी

ऄतः वगम क कषतरफल = वगम की लमब इ times वगम की चौड़ इ

= भज क वगम

ईद हरण 2 एक अयत की लमब इ 7 समी व चौड़ इ 3 समी ह आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हल यह ा अयत की लमब इ = 7 समी

अयत की चौड़ इ = 3 समी

P a g e | 182

आसनलय अयत क कषतरफल = लमब इ x चौड इ

= 7 समी x 3 समी = 21 समी2 य 21 वगम समी

ईद हरण 3 एक वगम क कषतरफल जञ त कीनजए नजसकी भज 8 समी लमबी ह

हल

ऄतः वगम क कषतरफल = भज x भज

= 8 समी x 8 समी

= 8 समी x 8 समी

= 64 समी2 य 64 वगम समी

परशन वली 16

(1) ननमननलनखत म स बनद अकनतयो को पहच ननय ndash

P a g e | 183

(2) परतयक अयत क कषतरफल जञ त कीनजए लमब इ व चौड़ इ ननमन नस र ह -

(I) लमब इ - 6 समी चौड़ इ - 2 समी

(II) लमब इ - 10 समी चौड़ इ - 1 समी

(III) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 6 समी

(IV) लमब इ - 135 समी चौड़ इ - 10 समी

(3) ननमननलनखत वगो नजनकी भज ननमन नस र ह क कषतरफल जञ त कीनजए -

(I) 6 समी

(II) 12 समी

(III) 13 समी

(IV) 35 समी

P a g e | 184

(4) ननमन अयतो म स परतयक अयत क कषतरफल ईसम परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व

खड़ी रख ओ को खीचकर जञ त कीनजए तथ सतर की सह यत स ऄपन ईततर की ज ाच भी कीनजए

(I) लमब इ - 5 समी चौड़ इ - 4 समी

(II) लमब इ - 12 समी चौड़ इ - 2 समी

(5) एक वगम की भज 6 समी ह आसक परतयक भज पर 1-1 समी की दरी पर अड़ी व खड़ी रख ओ को

खीचकर कषतरफल जञ त कीनजए और परशन (3) क एक स ऄपन ईततर की ज ाच कीनजए

हमन सीख

1 दकसी समतल पर कोइ वसत नजतन सथ न घरती ह वह ईसक कषतरफल होत ह

2 अयत क कषतरफल = लमब इ ग चौड़ इ

3 वगम क कषतरफल = भज ग भज = (भज )2

4 कषतरफल क म तरक वगम आक इ होत ह

- परायोजना कायण- अपनी सभी ववषयो की पसतको की ऱॊबाई और चौड़ाई नावपए तथा बताइय करक कौन सी पसतक मज़ पर सबस अधिक सथाना घरती ह

P a g e | 185

17

कषतरनमनत-2

पररम प

ननमननलनखत ध ग स बनी अकनतयो को दनखएः-

ईपरोकत नचतरो म यदद A स चलन पर रमभ कर और पर चककर लग कर पनः A पर पहाच तो तय की

गइ दरी अकनत को बन न म ईपयोग दकए गए ध ग की लमब इ क बर बर होगी यही अकनत क घर की भी

लमब इ ह

आसी परक र ध ग स ऄथव त र स नवनभनन अकनतय ा बन कर ईसक घर की लमब इ जञ त की ज

सकती ह आस ही कषतर क पररम प कहत ह

दकसी भी बद अकनत क पथ पर एक चककर लग न क नलए तय की गइ दरी ईस अकनत क पररम प

कहल ती ह

जस अपन दख दक दकसी कषतर की सीम पर एक चककर ही पररम प ह ऄतः दकसी कषतर को त र स

घरन ऄथव च रो ओर ऄह त बन त समय पररम प की अवशयकत पड़ती ह

पररम प (Perimeter)

दननक जीवन म कइ वसतएा ईपयोग म अती ह नजनक अक र वतत क र नतरभज क र अयत क र

होत ह अपन भी आन सभी अक र की वसतओ को दख ह अपकी कॉपी क पनन शतरज क बोडम करम

क बोडम आतय दद अयत क र ह

हम री कॉपी क पनन शतरज क बोडम पसतक शय म पटट अदद सभी अयत क र ह आनम स कछ

अयत क र वसतए वग मक र भी ह ऄपन अस-प स अयत क र वसतए छ रटए और ईनम स ईन अकनतयो

को ऄलग कीनजए जो वग मक र भी ह नीच ददए गए सथ न पर आनकी सची बन आए

P a g e | 186

ऄब आन अकनतयो क दकन रो पर धय न दीनजए और बत आय दक आनम दकतन दकन र ह

यह ा अप दख रह ह दक टबल क दकन रो की सखय 4 ह आसी परक र शतरज बोडम क दकन रो की

सखय भी 4 ह

अआए ऄब कछ अयत क र तलो क पररम प ननक ल

दिय कल प 1

टबल क उपरी तल क दकन रो को सकल की सह यत स न नपय और नलनखय

दकन र AB=helliphelliphelliphelliphellip समी BC=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

CD= helliphelliphelliphellip समी DA=helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip समी

ऄब आन सभी दकन रो की लमब इ को जोनड़ए और नलनखए

टबल क च रो दकन रो क योग

= AB + BC + C D + DA= + + + +

= समी

नसफम अयत क र ह वग मक र भी ह

1 अपकी कॉपी क पनन 1 शतरज क बोडम

2 2

3 3

4 4

5 5

P a g e | 187

दिय कल प 2

आसी परक र शतरज बोडम क ब हरी दकन र न नपय और ईनह जोनड़ए

PQ + QR + RS + SP = +++ = समी

दिय कल प 3

नचतर 6 म एक फटब ल खल क मद न P Q R S ददख य गय ह

6वी ककष क एक छ तर गोल रोज़ न सबह 5 बज ईठकर आस फटब ल मद न क दकन र पर एक

चककर लग त ह ऄब बत आय दक गोल रोज़ न दकतन चलत ह

गोल दव र एक चककर म चली गयी कल दरी = PQ की लमब इ + QR की लमब इ + RS की लमब इ

+ SP की लमब इ

आन सभी दिय कल पो (1) (2) और (3) म अपन दख दक अकनत क सभी दकन रो की लमब इ क

योग ईस अकनत क पररम प ह

ननमन अकनतयो क पररम प जञ त कीनजए तथ ररकत सथ न म नलनखए

पररम प =

नचतर - 7

AB + BC + CD + DE + EF + FA

= __ + __ + __ + __ + __ + __

पररम प = समी

P a g e | 188

पररम प =

नचतर क उपर ध ग रख कर

ध ग की लमब इ जञ त कीनजए

वही पररम प होग

पररम प =

ऄभय स 171

1 एक अयत क र बगीच की लमब इ 6 मीटर और चौड़ इ 3 मीटर ह आसम च रो ओर त र क घर

लग न ह तो अवशयक त र की लमब इ जञ त कीनजए

2 एक अयत क र मद न की लमब इ 100 मीटर व चौड़ इ 50 मीटर ह आसक च रो ओर दो चककर

लग न म कल तय की गइ दरी जञ त कीनजए

पररम प कस पत करग- ऄब अपक समझ म अ गय होग दक

अयत क पररम प = ईसक च रो भज ओ की लमब इ क योग

P a g e | 189

ऄब यदद दकसी अयत की लमब इ l आक इ और चौड़ इ b आक इ हो तो

अयत की पररम प = ईसकी च रो भज ओ की लमब इ क योग

= AB की लमब इ + BC की लमब इ + CD की लमब इ +DAकी लमब इ

= 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ

= 119897 आक इ + 119897 आक इ + 119887 आक इ + 119887 आक इ

= (119897 + 119897) आक इ + (119887 + 119887) आक इ

= 2 119897 आक इ + 2 119887 आक इ

= 2 (119897 + 119887) आक इ

ऄतः 119897 आक इ लमब b आक इ चौड़ अयत की पररम प = 2 (119897 + 119887) आक इ

अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

वगम क पररम प

एक वगम क भज की लमब इ 6 समी ह ईसक पररम प कय होग

वगम क पररम प = वगम क च रो भज ओ की कल लमब इ

= 6 समी + 6 समी + 6 समी + 6 समी

= 4 times 6 समी (6 समी वगम की एक भज )

ऄतः वगम क पररम प = 4 times एक भज की लमब इ

वगम क पररम प = 4 times भज

P a g e | 190

पररम प क म तरक

पररम प दकसी भी बद अकनत क कल घर की लमब इ ह ऄतः आसक म तरक कय होन च नहए

चादक पररम प व सतव म लमब इ ही ह ऄतः आसक म तरक और लमब इ क म तरक एक ही होग

ननमन स रणी म ररकत सथ नो को भररय-

स रणी - 1

िम क अयत की

लमब इ

119897

अयत की

चौड़ इ

119887

अयत क च रो भज ओ

क योग

अयत

की

पररम प

अयतवगम क पररम प

सतर की सह यत स

1 10 समी 5 समी 10 समी + 5समी +

10 समी + 5 समी =

30 समी

30 समी समी 2 (10+5) समी

समी + 5 समी = 2 times 15

समी

= 30 समी

2 5 समी 5 समी 5 समी + 5 समी 5

समी + 5 समी

= 20 समी

20 समी 4 times 5

= 20 समी

3 6 मीटर 4 मीटर

4 7 समी 7 समी

अआए दननक जीवन स समबननधत कछ और ईद हरण दख

ईद हरण 1

एक अयत क र मद न की लमब इ 50 मीटर एव चौड़ इ 25 मीटर ह एक ध वक आसक च रो ओर

10 चककर लग त ह जञ त कीनजए ईसन दकतनी दरी तय की ह

हल यह ा अयत की लमब इ (119897) = 50 मी

अयत की चौड़ इ (119887) = 25 मी

अयत क पररम प = 2 2 ( + b)

= 2 ( 50 मी + 25 मी)

= 150 मी

आस परक र ध वक एक चककर म 150 मीटर दरी तय करत ह

ध वक 10 चककर म 10 times 150 मीटर = 1500 मीटर दरी तय करग

P a g e | 191

22

7

oRr ds pkjksa vksj ds ksjs dh yEckbZ

oRr dk O kl

o`Rr dh ifjfegravek

2 r

ईद हरण 2 यदद एक वगम क पररम प 200 मीटर ह तो आसक कषतरफल जञ त कीनजए

हलः यह ा पररम प = 200 मीटर

4 times वगम क एक भज की लमब इ = 200 मीटर

वगम क एक भज की लमब इ = मीटर

= 50 मीटर

ऄब वगम क कषतरफल = भज times भज

= 50 मीटर times 50 मीटर

= 2500 वगममीटर य 2500 मीटर2

वतत क पररम प जञ त करन

वतत क प ठ म अपन वतत क च रो ओर क घर ननक लन स सबनधत दिय कल प दकय ह तथ यह

भी दख ह दक वतत क च रो ओर क घर की लमब इ और वतत क वय स क बीच क ऄनप त क बर बर होत

ह जह ा नसथर क ह आस सबध को ननमन नस र नलख सकत ह-

वतत क च रो ओर क घर ही वतत क पररम प ह नजस वतत की

पररनध कहत ह

यदद वतत की नतरजय = r हो तो वय स = 2r होग

ऄतः

य वतत की पररनध = 2r जह ा

वतत की पररनध (C)= 2r

P a g e | 192

ईद हरण 3 दकसी वतत की नतरजय 7 समी ह तो वतत की पररनध जञ त कीनजए

C = 2r

C = समी

ईद हरण 4 दकसी वतत क एक चककर 1 दकमी क ह ईस वतत की नतरजय कय होगी

C = 2r

1000 = [ 1 दकमी = 1000 मीटर]

7 times 1000 = 2 times 22 times r

r = मी

r = 1509 मी

ऄभय स 172

1 नवनभनन वततो की नतरजय ननमननलनखत ह पररनध की गणन कीनजएः

1 35 समी

2 105 समी

3 175 समी

2 नवनभनन वततो की पररनध की लब इ दी गइ ह नतरजय जञ त कीनजएः

1 500 मी 2 100 मी

3 22 समी 4 11 समी

3 एक पनहए की नतरजय ) मी ह गय रह दकमी दरी तय करन क नलए पनहए को दकतन चककर घमन

होग

2 22 7

744

2 22

7

r

7 1000

2 22

r

1750

11

P a g e | 193

परशन वली 17

(1) ननमन म स बनद अकनतयो को छ ाटकर ईनकी पररम प जञ त कीनजए

(2) ननमन अयतो म स परतयक क पररम प जञ त कीनजए लमब इ चौड़ इ ननमन नस र ह

I लमब इ = 15 समी चौड़ इ = 6 समी

II लमब इ = 12 समी चौड़ इ = 6 समी

III लमब इ = 35 समी चौड़ इ = 25 समी

IV लमब इ = 100 समी चौड़ इ = 50 समी

P a g e | 194

(3) नीच ददए गए कथन सतय ह य ऄसतय परतयक कथन क स मन ददए गए कोषठक म नलनखए तथ

ऄसतय कथनो को सध र कर कॉपी म नलनखए -

(I) परतयक वगम एक अयत होत ह ( )

(II) परतयक अयत एक वगम होत ह ( )

(III) अयत की परतयक भज समी म म पी गयी हो तो ( )

आसक पररम प मीटर म होग

(IV) अयत क पररम प ईसक च रो भज ओ क योग ( )

क बर बर होत ह

(4) एक वगम की भज 15 समी ह आसक पररम प जञ त कीनजए

(5) एक अयत की लमब इ 20 समी और चौड़ इ 05 मीटर ह तो आसक पररम प समी व मीटर म जञ त

कीनजए

(6) ननमन अकनतयो क न प समी म ददय गय ह ईसक पररम प जञ त कीनजए

P a g e | 195

(7) एक अयत क र मद न की लमब इ 25 मीटर व चौड़ इ 10 मीटर ह आसक दकन र दकन र एक

नखल ड़ी च र चककर पर करत ह ईसन दकतनी दरी तय की ह

हमन सीख

1 पररम प व कषतरफल कवल बद अकनतयो क ही सभव ह

2 बद अकनतय ा वह होती ह जो नबन दहर ए ऄपन पर रनभक नबनद पर सम पत होती ह

3 अयत क कषतरफल = लमब इ times चौड़ इ

4 अयत क कषतरफल = अयत क ऄनतः भ ग क कषतरफल

5 परतयक वगम अयत हो सकत ह परत परतयक अयत वगम नही हो सकत

6 वगम क कषतरफल = (भज )2

7 अयत क पररम प = 2 (लमब इ + चौड़ इ)

8 वगम क पररम प = 4 times भज

9 1 वगम मीटर = 1 मीटर times 1 मीटर

= 100 समी times 100 समी = 10000 वगम समी = 10000 समी2

- परायोजना कायण- अपनी का की ऱॊबाई और चौड़ाई माप कर पररमाप ऻात कीजजए

P a g e | 196

18

हम र असप स बहत सी अकनतय ा ह हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो आम रतो और ऄनय

चीज़ो को दखत ह आन सभी म हम सडौलपन व एक परक र की त रतमयत ददखती ह आनम स कइ

अकनतय ा सतनलत ऄनप त म ह कइ ऐसी भी ह जो कइ जगहो म एक सी ददखती ह कइ ऐसी भी ह जो

ऄपन अप म दो एक जसी अकनतयो स नमल कर बनी ददखती ह य सब अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

ददन-परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

य सब अकनतय ा सनदर लगती ह आनकी बन वट म सतनलत ऄनप त ह और समनमनत ह

P a g e | 197

दिय कल प 1

समनमनत ऄकष

दी गइ अकनतयो को दख यदद हम आनम स दकसी एक अकनत को आस तरह मोड़ प ए दक आसक

अध ब य ा भ ग अध द य भ ग स ऄथव अध उपर क भ ग नीच क अध भ ग स पणमतय नमलत

जलत हो तब हम कहग दक अकनत म समनमनत की रख ह ऐस म दोनो अध भ ग एक दसर क परनतनबमब

ह

नचतर 2 (क) दख टटी रख पर मोड़न पर नचतर क दोनो नहसस ठीक एक दसर को ढक लग ऐस ही

ब की नचतरो म भी दख

यदद हम मोड़न व ली रख पर एक समतल दपमण रख द तो भी समनमत अकनतयो म अकनत क एक

भ ग क परनतनबमब दसर भ ग को पणमतय ढ़क लग आन नचतरो म मोड़ (व सतनवक य क लपननक रख )

बन ए व एक दपमण लकर सभी नचतरो म टटी ल आन पर रखकर दख

कय दपमण म ददखी अकनत नचतर क ब की नहसस क सम न ही थी यह दपमण रख अकनत की

समनमनत की रख (य समनमनत ऄकष) कहल ती ह

रोहन क कहन ह दक उपर जो भी अकनतय ा बन ह व सभी समनमत अकनतय ा ह कय अप आसस

सहमत ह कयो

अप भी प ाच समनमत अकनतय ा बन आय और ईनक समनमनत ऄकष खीनचय

दिय कल प 2

समनमत अकनतय ा पहच ननय

नीच दी अकनतयो म स कौन-कौन सी अकनतय ा समनमत ह

P a g e | 198

समनमत अकनतयो को अपन कस पहच न

ऄब ईनक समनमनत ऄकष भी बन ए कय जो अकनतय ा समनमत नही ह

ईनम अप कछ जोड़ कर समनमत अकनतय ा बन सकत ह कोइ एक अकनत

लकर सोचो

समनमत अकनतयो म अकनत क अध भ ग समनमत ऄकष पर दसर अध

भ ग को पणमतय ढाक लत ह

अकनत िम क 3 (ख) समनमत अकनत नही ह दकनत ईसम यदद एक और खमभ जोड़ ददय ज ए तो

दफर नइ अकनत समनमत होगी आसक समनमनत ऄकष कह ा ह ब की अकनतय ा जो समनमत नही ह ईनह भी

आसी परक र समनमत बन ए

दिय कल प 3

कौन स ऄकषर समनमत ह

अप मोट क गज़ क टकड़ म स ABCD Y Z क रप क रटए दो नडबब लकर एक

पर समनमत ह एव दसर पर समनमत नही ह की पची नचपक द

ऄब ABCDको एक-एक करक दनखए पत कर दक कय ईस ऄकषर क अध भ ग समनमत

ऄकष पर शष अध भ ग को परी तरह ढक लत ह य नही

नजस ऄकषर म दोनो भ ग एक दसर को ढक लत ह ईस दकस नडबब म ड लग

समनमत व ल नडबब म कौन-कौन स ऄकषर अए

दकसम जय द ऄकषर ह

यही ऄभय स कखग ह ऄकषर क ट कर भी करो कौन स ऄकषर समनमत नमल

दिय कल प 4

ऐसी भी समनमनत

एक क गज़ लो एव ईस दो सम न भ गो म मोनड़य

एक अध भ ग पर सय ही य रग की कछ बद ड नलए दसर

भ ग को मोड़ कर पहल भ ग पर रखकर दब आए अप कय

दखत ह

कय पर पत अकनत समनमत ह यदद ह ा तो आसकी समनमनत

रख कह ा ह

कय ऐसी कोइ ऄनय रख भी ह जह ा स मोड़न पर दो सम न भ ग पर पत हो सकत होऐस ही कछ

और परनतरपो को बन न क परय स कीनजए

P a g e | 199

अप ऄपनी ककष म ईपलबध वसतओ को दख ईनम समनमत अकनत व ली वसतओ की सची

बन आए जस शय म पटट मज की उपरी सतह अपकी कॉपी अदद-अदद कय पख क पख की अकनत भी

समनमत ह चच म करक ऄपनी सची गरजी को ददख ए परतयक समनमत वसत क नचतर बन कर ईसम

समनमनत रख भी खीनचए

दिय कल प

ऄब आन नचतरो को दनखए -

कय य समनमत ह

अपन ऄपन घर की दीव र य ग ाव क ऄनय घरो की दीव र म बन हए नचतर दख ह ऄपनी कॉपी म

भी ऐस ही नचतर बन आए

कय व नचतर समनमत होत ह ईनक समनमनत ऄकष बन ए

दिय कल प 6

समनमनत पहच ननए

आनम स कौन स नचतर समनमत ह जो समनमत नही ह ईनह समनमत म बदल कर बन ओ

कय अपन कभी रगोली बन इ ह रगोली म ऐसी भी अकनतय ा नमलती ह

P a g e | 200

आनम ऄलग-ऄलग घरो म ऄलग-ऄलग तरह स रग भर ज सकत ह

रग भरन पर यह सनदर लगती ह कय आनम भी कोइ समनमनत ऄकष ह हरक अकनत म दख

कय दकसी अकनत म एक स ऄनधक समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 7

अपक जय नमनत बॉकस म दो सट सव यर म स एक क कोणो

की म प 900 600 और 300 ह ऐस ही दो सम न सट सव यर लीनजए

आनह अपस म नमल कर रनखए और एक पतग जसी बन आए

जस दक नचतर म ददख य गय ह आस अकनत म दकतनी समनमनत

रख एा ह

आसी परक र ऄब दसर परक र क दो सट सव यर (कोणो की

म प 900 450 और 450) लीनजए और पहल की तरह स थ-स थ जोड़

कर रनखए कसी अकनत बनी

आसम दकतनी समनमनत रख एा ह ऐसी और अकनतय ा सोचो नजनम एक स ऄनधक समनमनत

रख एा हो

दिय कल प 8

अयत और समनमनत

एक पोसटक डम लीनजए ईस लमब इ की ओर स मोनड़ए (नचतर 12 क) नजसस दक एक अध

भ ग दसर अध भ ग को पणमतय ढाक ल कय यह मोड़ एक समनमनत की रख ह

ऄपन ईततर क क रण बत ओ

आस खोनलए और पनः एक ब र चौड़ इ की ओर स सम न तरीक स मोनड़ए (नचतर 12 ख)

कय यह दसर मोड़ भी समनमनत की रख ह

कय अपको लगत ह आसम समनमनत की दो ही रख एा ह

उपर सट-सव यर स बन वगम क ब र म दफर स सोचो आसम समनमनत की दकतनी रख ए ह

P a g e | 201

दिय कल प 9

दपमण और समनमनत

नीच एक छ त क नचतर 13 (क)ह नचतर 13 (ख) म छतरी क अध नहसस को समतल दपमण क

स मन खड़ ददख य गय ह दपमण क चमकद र नहसस की ओर स स मन क अध नहसस और ईसक

परनतबबब को धय न स दख कय छतरी क नचतर पर परतीत होत ह

दिय कल प 10

नचतर म अध चहर ह रख AB पर समतल दपमण रखन पर कय चहर पणम परतीत होत ह

AB पणम अकनत क समनमनत ऄकष ह

दिय कल प 11

ऐसी कौन-कौन सी अकनतय ा ह नजनम समनमनत ऄकष पर समतल दपमण रखन पर दोनो तरफ क

नहसस परनतबबनबत होत ह

आन अकनतयो को दनखए तथ टटी रख ओ पर समतल दपमण की ऐसी नसथनत क पत लग आए

जह रखन पर परनतबबब अकनत और व सतनवक अकनत एक जसी ह

P a g e | 202

परशन वली 181

ननमन अकनतयो म कौन-कौन सी समनमत ह आनम समनमनत ऄकष ढदढ़ए समनमत अकनत म समनमनत ऄकषो

की सखय नलख व समनमनत ऄकष दश मए

वतत म समनमनत ऄकषो की सखय दकतनी ह

वतत ऄपन परतयक वय स क स पकष समनमत ह ऄथ मत दकसी भी

वय स पर स क टन पर दोनो नहसस बर बर होत ह

दिय कल प 12

एक वग मक र क गज़ लो आस एक ब र उपर स नीच एव पनः

एक ब र ब य स द य मोनड़ए ऄब दी गइ अकनत क ऄनस र नडज़ आन बन आए

जस दक ददख य गय ह जो अकनत बन इ गइ ह ईस पर स क रटए और मोड़

खोल कर क गज़ को फल ए

आनम दकतनी समनमनत रख एा ह

P a g e | 203

दिय कल प 13

समनमत रख एा

तीन बॉकस लो तीनो पर क गज़ की नचट चसप कर दो

पहल बॉकस पर एक समनमनत रख दसर पर दो समनमनत रख एा एव

ऄनय पर तीन य तीन स ऄनधक रख य नलख हअ हो

अप ऄपन ABC YZ क टकड़ो को दख एव म लम

कर दक आनम दकतनी समनमनत रख एा ह नजन ABCD म एक

समनमनत रख ह ईस एक क बॉकस म नजनम दो समनमनत रख एा ह

ईनह दो क बॉकस म एव नजनम तीन य ऄनधक समनमनत रख एा ह

ईनह ईस बॉकस म ड ल ऄपन स नथयो स चच म कर

कय ऄब अप बत सकत ह दक सबस जय द समनमनत

रख एा ऄगरजी क दकस ऄकषर म ह ऐस और भी नचतरो व अकनतयो को

आसी परक र समनमनत ऄकष क अध र पर छ रटए

समनमनत और कह ा-कह ा

1 बस म सफर करत वकत रोड स आन (म गम सचक) सकत य नचहन को दखत ह आन रोड स आन म

स व नजनम समनमनत की रख एा होती ह आनह पहच नो एव ऄपनी कॉपी म नलखो

2 पड़ोपनततयोडठल को दखो कय आनम समनमनत की रख एा होती ह

3 कय ददय गय नचतर म समनमनत की रख ह

4 कय त श क पततो म भी समनमनत की रख एा ह दकस पतत म दकतनी समनमनत

रख ह एक ह दो ह तीन ह य ऄनधक ह बत आए

5 खलो क मद नो एव बोडम म भी समनमनत की रख ए होती ह अप ऐस मद नो एव

बोडम की सची बन ए एव ऄधय पक को बत ए

6 सभी परक र क व हनो म भी समनमनत होती ह जस बसटरक

P a g e | 204

क गज़ो दव र बन वट

एक अयत क र रगीन क गज़ लो आस कइ ब र मोनड़ए एव आस नचतर म दी गइ अकनत क

ऄनस र क ट लो ऄब खोल कर दखो

आसको ऄपनी कॉपी पर रखकर आसम नवनभनन रग भर कर दखो कय आन नचतरो म समनमनत

ददख इ दती ह

रगोली

कय अपन कभी तयौह रो क ऄवसर पर घर पर कभी रगोली बन इ ह

कय आनम समनमनत क परयोग होत दख ह आस परक र क नवनभनन रगोली पटनम को क गज़ पर

ईत र कर एक एलबम बन ए

महदी

घरो म मनहल ओ को महदी लग त हए दख ह कय महदी म भी समनमनत होती ह ऄपनी

ककष की लड़दकयो क स थ चच म करो

P a g e | 205

परशन वली 182

पर1 नीच दी गइ अकनतयो म पत लग आए दक कौन सी समनमत ह एव कौन सी ऄसमनमत ह

पर2 ऄपन असप स म नसथत 5 ऄसमनमत अकनतयो क न म नलखो जो आस पसतक म नही अइ हो

पर3 900 क कोण बन आए और ईस पर समनमनत रख खीनचए

पर4 6 cm क एक रख खणड़ खीनचए और ईसक समनमनत ऄकष बन आए

पर5 नीच दी गइ अकनतय ा ऄधरी ह नजनक समनमनत ऄकष PQ ह आनह परी कीनजए

पर6 नीच कछ मड़ी हइ शीट की अकनतय ा दी गइ ह नजनकी तह पर अकनतय ा बन इ गइ ह परतयक म पणम

अकनत की रपरख खीनचए जो नडज आन क क टन क ब द ददख इ दगी

P a g e | 206

पर7 नीच दी गइ अकनतयो को एक च र तह व ल वग ादकत क गज़ पर बन त तो कसी ददखती

सोच कर वसी ही अकनत ऄपनी कॉपी म बन ओ यदद नही सोच प त तो क गज़ क ट कर पत

लग ओ

पर8 1 स 100 तक की सखय ओ म स समनमत सखय एा कौन-कौन सी ह पत लग ओ एव ऄपनी कॉपी म

नलखो

नतरनवमीय अकनतय ा

हम ऄपन दननक जीवन म कछ ऐसी ठोस वसतओ को दखत ह नजनक अक र सप ट नही

होत ह

P a g e | 207

फलक दकन र और शीषम

नतरनवमीय अक रो म हम ईनक फलको दकन रो और शीषो को सरलत स पहच न सकत ह

नचतर 28

ईद हरण क नलए एक घन को लीनजए घन भ की परतयक ईपरी सप ट (अयत क र) सतह एक

फलक ह आसक दो सलगन फलक एक रख खणड म नमलत ह जो घन भ क दकन र कहल त ह घन भ क

तीन सलगन दकन र एक नबनद पर नमलत ह नजस घन भ क शीषम कहत ह

आस परक र एक घन भ म 6 अयत क र फलक 12 दकन र और 8 शीषम होत ह

ऄभय स

1 ईनचत सबध जोनड़ए

(i) शक (i)

(ii) गोल (ii)

(iii) बलन (iii)

(iv) घन (iv)

(v) घन भ (v)

2 ननमन वसतएा दकस अक र की ह -

(i) चॉक क नडबब

(ii) टननस बॉल

(iii) प आप

(iv) जोकर की टोपी

(v) प स

3 दकनही च र वसतओ क न म बत आए जो एक घन भ अक र स नमलती जलती हो

4 दकनही ऐसी तीन वसतओ क न म बत आय जो बलन क अक र स नमलती जलती हो

P a g e | 208

5 नीच दी गयी गइ स रणी म नतरनवमीय अकनतयो क फलक दकन र व शीषो की सखय नलनखए -

हमन सीख

1 हम फलो को दखत ह सनदर नचतरो को आम रतो को और ऄनय चीज़ो को दखत ह य सब अकनतय ा

समनमत अकनतय ा ह

2 समनमतत स वसतएा सनदर लगती ह

3 ददन परनतददन हर जगह जब हम ऐसी अकनतयो को दखत ह जो बर बर सतनलत ऄनप त म हो तब

हम कहत ह य अकनतय ा समनमत अकनतय ा ह

4 हम र अस-प स कइ परक र की नतरनवमीय अकनतय ा होती ह आनम स कछ घन घन भ गोल

बलन और शक ह

P a g e | 209

19

स नखयकी

भनमक

श ल म ककष सज वट क क यमिम अयोनजत होन थ ककष 7वी क नवदय थी यह तय नही कर प

रह थ दक ककष क ऄदर दीव रो की पत इ दकस रग स कर इ ज य ईनकी श ल म हलक पील गल बी

हलक हर एव असम नी म तर च र रग ही ईपलबध थ ककष न यक क कहन पर सभी नवदय रसथयो न ऄपन

न म एव पसदीद रग एक पनन पर नलख ददय जो ननमन दकत स रणी म परदरसशत हः-

आन सचन ओ क अध र पर कय अप

यह ननणमय ल सकत ह दक दीव र पर कौन-स

रग स पत इ कर नी ह तभी रीत को एक

तरीक सझ ईसन बोडम पर रगो क न म

नलख तथ परतयक रग को पसद करन व ल

नवदय थी को ऄपनी पसनद क रग क स मन

ऄपन न म नलखन को कह

ऄब सची आस परक र बनीः-

P a g e | 210

चदक हलक पील रग पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय ऄनधक थी आस क रण आसी रग स

पत इ कर न क ननणमय नलय गय

दननक जीवन म कय अपन ननणमय लन क नलए कभी यह तरीक ऄपन य ह

अप ऄपनी ककष म तरम नसक परीकष म परतयक नवषय म 34 स ऄनधक और 34 स कम ऄक पर पत

करन व लो की सची बन आए कय आस अध र पर अप बत सकत ह दक दकस नवषय क परीकष फल सबस

ऄचछ ह और दकस नवषय क सबस खर ब

अाकड़ (Data)

कोइ भी ननणमय लत समय अपको कछ न कछ ज नक ररयो की अवशयकत होती ह आन अवशयक

सखय तमक ज नक ररयो को ही अाकड़ कहत ह

म न अपको ऄपनी ककष क नवदय रसथयो क पढ़न क नलए एक सम च र पतर खरीदन ह अप

कौनस सम च र पतर खरीदग नजस ऄनधक स ऄनधक नवदय थी पढ़न पसद कर यह ननणमय अप कस लग

सभी नवदय रसथयो न एक स रणी तय र की नजसम पसद क सम च र पतर क स मन सभी न ऄपन -

ऄपन न म नलख दफर नजस सम च र पतर को पसनद करन व लो की सखय सव मनधक ह ईस ही खरीदन

क ननणमय नलय गय

जली स रनणयो को ब र-ब र दख रही थी और सोच रही थी दक आन स रनणयो म न म नलखन क

कोइ मतलब ही नही ह हम तो म तर यह नगनन ह दक च ही गइ ज नक री क पकष म दकतन छ तर ह न म न

नलखकर ईसक सथ न पर दकसी सकत क भी ईपयोग दकय ज सकत ह

कय अप जली की सोच स सहमत ह कय ऐस कोइ तरीक सोच सकत ह नजसम न म क सथ न

पर कवल सकत नचनह क ईपयोग करक ही गणन की ज सक

बसत न एक सझ व ददय दक कयो न परतयक न म क सथ न पर एक-एक खड़ी लकीर क ईपयोग

दकय ज ए और ऄनत म सभी खड़ी लकीरो की नगनती कर ली ज ए सभी नवदय थी आसस सहमत थ

ऄननत न कह lsquolsquoचलो हम खलो की लोकनपरयत क िम पत लग वrsquoऄननत न बोडम म 4 खलो क

न म नलख और ऄपन-ऄपन पसद क खल क स मन परतयक नवदय थी को एक खड़ी लकीर खीचन को कह

स रणी कछ आस परक र बनीः-

P a g e | 211

परनत आस परक र की स रणी म जय द खड़ी लकीरो को नगनन म ऄसनवध होती ह आसनलए नजस

परक र स अपन छोटी ककष ओ म नगनती सीखत वकत दस-दस क बणडल बन ए थ ईसी परक र यदद प ाच-प ाच

क बणडल बन ल तो अपको नगनन म अस नी रहगी हम च र खड़ी लकीर खीचकर प ाचव क नलए आन

च रो लकीरो को क टत हए एक नतरछी लकीर (दश मय ऄनस र) खीचत ह जस 5 क नलए-

5 क नलए

19 क नलए

आसस नगनन म सरलत होती ह

ईपरोकत त नलक क ऄनस र दिकट पसद करन व ल नवदय रसथयो की सखय | | | | | | ऄथ मत 7 ह

आस ही ब रमब रत (Frequency) कहत ह परतयक म न क नलए एक खड़ी लकीर खीचन की परदिय को

टली (Tally) लग न कहत ह तथ आस नवनध को टली नवनध (Tally method) दव र अकड़ो क सकलन

(Collection of Data) कहत ह एव आसस पर पत स रणी को ब रमब रत स रणी (Frequency Table)

कहत ह

अप भी आस नवनध क ईपयोग कर ऄपन असप स क अकड़ो को एकनतरत करन क परय स कीनजए

ईद हरण-1 एक ग व क 20 घरो म बचचो की सखय आस परक र हः-

आन अाकड़ो क दव र टली नवनध क परयोग कर ईपयकत ब रमब रत स रणी क ननम मण कीनजए

परतयक घर म बचचो की सखय ईनक नलए टली नचनह तथ ब रमब रत क नलए कॉलम बन त ह तथ

परतयक म न क नलए ईसक स मन टली नचनह लग त ह प ाचव नचनह को सनवध क नलए पर रनभक

च र नचनहो को क टत हए नतरछ लग त ह

आस स रणी म अपन बचचो की सखय क नलए कवल शनय स च र तक क ऄको को ही कयो नलख ह

यदद आस 1 स शर दकय ज त तो कय होत

यदद स रणी म बचचो की 01234567 तक नलखत तो कय होत

P a g e | 212

अाकड़ो क नचतर तमक परदशमन

र जश अज क सम च र पतर पढ़ रह थ नजसम नलख थ ः-

lsquolsquoलड़दकयो न लड़को स ब जी म रीrdquo

आस वषम की 8वी बोडम की परीकष म

लड़दकय ा सभी कषतरो म लड़को स अग रही

र जश नचतरो को दखकर सोचन लग -

lsquolsquoयह तो अकड़ो क परदशमन क ऄचछ तरीक ह

आन नचतरो को दखकर बड़ अस नी स यह समझ

ज सकत ह दक छ तर ओ क परीकष फल छ तरो स

सभी परक र स ऄचछ हrdquo ऐस ही कछ हम जब

पर थमन म ल आन बन कर खड़ होत ह तब दखन

को नमलत ह ल आनो की लमब इ की सह यत स

ककष क छ तर सखय की तलन की ज सकती ह र जश न ऄपन स नथय स कह - lsquolsquoकयो न स रणी-3 म

एकनतरत अाकड़ो की मदद स खलो की लोकनपरयत को नचतर रप म परदरसशत दकय ज एrsquorsquo

स रणी-3 म कल नवदय रसथयो की सखय 16 थी आनम स फटब ल क खल पसद करन व ल 3

दिकट पसद करन व ल 7 वॉलीबॉल पसद करन व ल 1 कबिी पसद करन व ल 5 नवदय थी थ आनह नचतर

रप म दकस परक र परदरसशत दकय ज सकत ह

जली न कह lsquolsquoयदद हम परतयक छ तर क नलए एक नचतर बन ए तो फटब ल क अग 3 नचतर दिकट

क अग 7 नचतर वॉलीबॉल क अग 1 और कबिी क अग 5 नचतर बनग-

फटब ल

दिकट

वॉलीबॉल

कबिी

आसी परक र नचतरो क दव र परदशमन को नचतर अरख (pictograph) कह ज त ह यह अस नी स

समझन योगय होत ह एव नचतरो को दखकर ननषकषम ननक ल ज सकत ह

दणड अरख

नचतर अरख की नवनध स परदशमन म हम बहत स नचतरो को बन न की अवशयकत

होती ह जो कभी-कभी ऄवय वह ररक हो ज ती ह दकनत यदद हम परतयक छ तर क

नलए 1 समी लमब इ लकर यदद दणड बन ए तब अकड़ो क परदशमन म और सरलत

होगी तथ आन दणडो को कषनतज ऄथव ईधव मधर दोनो तरीको स बन य ज सकत ह

P a g e | 213

आन अरखो म दणडो की चौड़ इ सम न रखी गयी ह आन दणड अलखो को दखकर आन खलो की

लोकनपरयत क ऄनद ज अस नी स लग य ज सकत ह ईकत ननरपण म नवदय रसथयो की सखय कम थी

ऄतः परतयक नवदय थी क नलए दणड की लमब इ 1 समी लकर ईस कॉपी म अस नी स दश मय ज सकत ह

दकनत यदद नवदय रसथयो की सखय ऄनधक हो तो ऐसी नसथनत म ईस कॉपी पर कस दश मएग

ऐसी नसथनत म दणडो की उा च इ क ननध मरण करन मखय समसय ह

अआए आस पर नवच र कर-

र जश नजस मोहलल म रहत ह वह 750 परष 660 मनहल ए एव 140 बचच ह हम आस अरख क दव र

परदरसशत करन ह

आन अाकड़ो क दणड क रप म परदरसशत करन क नलए दणडो की उा च इ कय होनी च नहए

यदद हम परतयक वयनकत क नलए 1 समी की उा च इ ल तो परषो क नलए 750 समी मनहल ओ क

नलए 660 समी एव बचचो क नलए 140 समी क दणड बन न होग दकनत आस ऄपन कॉपी म बन न सभव

नही ह

यदद हम परनत 10 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब य दणड िमशः 75 समी 66 समी एव

14 समी क दणड बनग दकनत आस भी हम ऄपनी कॉपी म परदरसशत नही कर सक ग

यदद हम परनत 100 वयनकतयो क नलए 1 समी क दणड ल तब दणड की लमब इय ा िमशः 75 समी

66 समी एव 14 समी होगी जो दक अस नी स हम री कॉपी म बन इ ज सकती ह तो अआए दखत ह

दक आस दकस परक र स हम एक दणड नचतर क म धयम स दश मएग-

P a g e | 214

आन अकड़ो को परदरसशत करन म दणड को ईधव मधर बन य गय ह आस ईधव मधर दणड अरख

(Vertical Bar Graph) कहत ह दणडो को हम कषनतज रप म भी परदरसशत कर सकत ह

यदद हम दणडो को कषनतज रप म परदरसशत कर तो ईस कषनतज दणड अरख (Horizontal Bar

Graph) कहग (नचतर-6)

ऄननत क मन म एक परशन ईठ रह थ दक दणड अरख की कय ईपयोनगत ह कयोदक ब रमब रत

स रणी क ऄवलोकन स भी हम वही ज नक री नमल ज ती ह जो दणड अरख स नमलती ह

अआय ऄननत क आस परशन क हल ढढ

नीच वषम 1991 स वषम 2000 तक गहा क ईतप दन क अकड़ ददए गए ह ः-

आन अकड़ो को दणड-अरख दव र आस परक र वयकत कर सकत ह-

P a g e | 215

आस दणड अलख को दखकर कय अप बत सकत ह दक दकस वषम म गहा क ईतप दन सबस कम और

दकस वषम म सबस ऄनधक हअ आसस और कय -कय ज नक ररय अपको नमल सकती ह नलनखए

अप प यग दक वषम 1995 म सबस ऄनधक तथ वषम 1991 म सबस कम गहा क ईतप दन हअ ह

यह भी प त ह दक 1992 एव 1999 दोनो वषो म गह ईतप दन एक सम न हअ ह कय

ब रमब रत स रणी को कवल दखकर ऐस ही ननषकषम ननक ल प यग

यह सपषट ह दक नसफम अकड़ो को दखकर दकसी ननषकषम म पहचन करठन होत ह आसक नलए सभी

ददय गए अकड़ो क सकषम ऄधययन जररी ह जबदक दणड अरख को कवल दखकर ही कह सकत ह दक दकस

वषम ईतप दन सबस ऄनधक और दकस वषम सबस कम हअ ह ऄतः दणड अरख क मखय ल भ यह ह दक आस

एक ब र दखकर ही समझ म अ ज त ह तथ ऄनय अाकड़ो स तलन बड़ी अस नी स की ज सकत ह

परशन वली 19

1 दकसी ककष म 20 छ तरो न गनणत की ज ाच परीकष म 5 म स ननमन ऄक पर पत दकए-

3 2 5 4 0 1 2 3 5

4 1 0 3 2 3 4

आन पर पत को को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

2 1 ऄपरल 2005 स 15 ऄपरल 2005 तक दकसी शहर क ऄनधकतम दननक त पम न नडगरी सनलसयस

म आस परक र रह 378 378 379 380 379 379 380 381 381

382 383 383 382 381 382

परतयक ददन क त पम न को टली नवनध स स रणीबदध कीनजए

3 नीच ददए गए स रणी म ककष 6वी क छ तरो क परीकष फल शरणीव र ददए गए ह आनक ऄवलोकन

कर ददए गए परशनो क ईततर दीनजएः-

P a g e | 216

शरणी छ तरो की सखय

परथम शरणी 12 (क) दकस शरणी क छ तरो की सखय सबस ऄनधक ह

नदवतीय शरणी 14 (ख) परीकष म बठ छ तरो की कल सखय दकतनी थी

ततीय शरणी 10 (ग) कल दकतन छ तर ईततीणम हए

ऄनततीणम 04

4 नीच दी गइ स रणी म दकसी कपनी की 5 वषो की व रसषक अय दी गइ

ह अकड़ो को दड अरख दव र दश मआए-

5

ननमन स रणी ऄलग-ऄलग टीवी सट क खरीदद रो की सचन दती ह आन अकड़ो को दड अरख

क रप दीनजए

6 ननमन स रणी एक नवदय लय की व रसषक परीकष म छ तरो क औसत पर पत को को दश मती ह अकड़ो

को दड अरख दव र परदरसशत कीनजए

P a g e | 217

P a g e | 218

उततर माऱा परशनावऱी 1

1- 1

2- 41600]

3- (i) gt (ii) gt (iii) = (iv) lt

(v) gt (vi) gt

4 20 5- 9899

परशनावऱी 21

1 1 2 0 3 4 4 464748 5 41806

(i) ऄसतय (ii) सतय (iii) सतय (iv) सतय (v) सतय

(vi) सतय (vii) ऄसतय (viii) ऄसतय

7 (i) 24 (ii) 78 (iii) 519 (iv) 1099 (v) 52331

8 (i) 26 (ii) 521 (iii) 1101 (iv) 52333

9 100000 10 99999 11 1

12 18 252421497 557 731

13 617 458 225 69 59

14 (ii)

15 6387

परशनावऱी 22

1 (i) 391 (ii) 40 (iii) 40 (iv) 39 (v) C

2 (i) (23589+411) + 1248=25248 (ii) (32+68) + (2546+544) = 3190

(iii) (247+153) + 376 = 776 (iv) (143+857) + 456= 1456

(v) (32958+12042) + 5000= 50000

3 0 4 दो पणम सखय ओ क योग सदव पणम सखय होत ह 5- (i) 4559 (ii) 0 (iii) 8 7 6

- 2 3 9

6 3 7

6 1 7 0 8 1216 76 = 16 9 32

10 20310

11 (i) भ गफल = 215 शषफल = 32 (ii) भ गफल = 14 शषफल = 735

(iii) भ गफल = 309 शषफल = 145

P a g e | 219

12 (i) 7 3 5 (ii) 4 9 3 1

_ 4 2 9 - 3 0 7 8

3 0 6 1 8 5 3

13 390 14- 3414 15 31825 16 9

17 780

परशनावऱी 3

1 (i) सतय (i) ऄसतय (i) सतय (i) सतय (i) ऄसतय

2 (i) 3 AB व CD (i) RS व PQ (i) SR व TU 4 C एव E

परशनावऱी 4

1 (i) -2 (ii) 2 (iii) -9

(iv) 8 (v) -4 (vi) 3

(vii) -5 (viii) 8

2 (i) 1028 (ii) -266 (iii) 36

(iv) 154

3 (i) = (ii) lt (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) gt

4 (i) 30 (ii) 90 (iii) 24

(iv) 24 (v) 0 (vi) 42

5 (i) gt (ii) = (iii) lt

(iv) = (v) = (vi) lt

(vii) =

6 13 7 100

8 (i) 15 (ii) -10 (iii) -4

(iv) ऄपररभ नषत (v) 14 (vi) 19

9 (i) 4 (ii) -2 (iii) -1

(iv) -12

10 (i) -17 (ii) 23 (iii) -68

(iv) 75

11 (i) 18 (ii) -26 (iii) -161

(iv) 79

परशनावऱी 5

5 44 समी

6 (i) नतरजय (ii) कनर (iii) वय स

(iv) कनर (v) सम न (vi) नतरजय

(vii) जीव

P a g e | 220

परशनावऱी 61

1- (i) 12 (ii) 18 (iii) 10 (iv) 27

2- (i) 36 (ii) 150 (iii) 24 (iv) 15

3- 1

4- (i) 36164] (ii) 201275 5- 17

6- 11 7- 44 8- 17] 113 ltsj 9- 30

परशनावऱी 62

मौनखक

1 4 2 338 3 24 4 7 स बड़ 5 नही

नलनखत

1- i 28 ii- 324 iii- 180 iv- 2520

2- i 56 ii 1904 iii 360 iv 16560

3 10 4 15 ब र 5 23 जनवरी

6 72 7 221 8 20 ददन

9 नही कयोदक म स सदव ल स क एक गणनखणड होत ह

10 415 स ाय

परशनावऱी 7

1 (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv ऄसतय (v) सतय (vi) ऄसतय

(vii) सतय (viii) ऄसतय (ix) सतय (x) सतय

2- (i) (ii)

(iii) 8 gt 8 gt 08 gt 008 gt 0008 (iv) 01 gt 00992 gt 0099 gt 0012

3- (i) (ii)

4- (i) (ii) 80001 (iii) (iv) 1 (v)

(vi)

5- (i) 24 (ii) 77 (iii) 36 (iv) 8

6 उचित अनचित

परशनावऱी 81

1- (i) AOB (ii) LMN (iii) PQR (iv) STU (v) अ ब स

1

3

9

24

5

8

5

6

3

2

1

8

2

15

1

6

1

4

1

2

8

9

7

8

5

6

7

6

3

4

8

12

1

2

1

6

519

40

15

14

3

4

P a g e | 221

4 180deg

परशनावऱी 82

1 (i) सतय (ii) ऄसतय (iii) सतय (iv) सतय

(v) सतय (vi) सतय (vii) सतय

2 (i) ऄनधक कोण (ii) नयन कोण (iii) समकोण (iv) सरल कोण

(v) नयनकोण (vi) ऄनधक कोण (vii) नयन कोण (viii)नयन कोण

(ix) नयन कोण (x) नयन कोण

परशनावऱी 91

1 (i) ऄसतय (ii) सतय (iii) ऄसतय (iv) सतय (v)ऄसतय

(vi) ऄसतय (vii) सतय (vii) ऄसतय (viii) सतय (ix) सतय

2 400 3 450 4 600 5 ह ा

6 (i) नही (ii) नही (iii) ह (iv) नही (v) ह (vi) नही

परशनावऱी 92

ईततर (1) (i) समचतभमज (ii) 90O (iii) बर बर

(iv) समलमब (v) नवषमब ह चतभमज

ईततर (2) (i) ऄसतय (ii) ऄसतय (iii) सतय

(iv) ऄसतय (v) सतय

परशनावऱी 101

2 (i) 1 4 (ii) 1 4 (iii) 3 20 (iv) 3 100

(v) 21 200 (vi) 40 1 (vii) 4 25

3 (i) 3 8 (ii) 1 3 (iii) 3 5 (iv) 9 19

(v) 6 17 (vi) 2 3 (vii) 5 7 (viii) 1 3

(ix) 2 9 (x) 1 20

4 (i) 1 16 (ii) 16 1

5 7 6

6 (i) 4 3 (iii) 4 7 7- 3 2

8 8 तथ 12 9 5 4 10 4 5

11 रतन को 10 अमशील को 8 अम

P a g e | 222

12 (i) 5 2 (ii) 4 1 (iii) 7 1 (iv) 7 4 (v) 5 3

13 र म को 9000 रपय तथ शय म को 12000 रपय

14 AB = 28 चिमी BC = 12 चिमी 15 (i) परतयि िो 3 (ii) 2 1 3

परशनावऱी 102

1 3850 र 2 (i) 8 घट म (ii) 35750 दकलोमीटर

3 (i) 10 दकलोगर म (ii) 48 दकत ब 4 1800 रपय 5 640 रपय

6 दकत बो की सखय मलय (रपय म )

50 2500

75 3750

2 100

60 3000

परशनावऱी 11

1 (i) a=2r (ii) A = 1 x b (iii) s = c + p (iv) a + b (v) x - 7

(vi) A = p + c

2 (i) सही (ii) सही (iii)गलत (iv) सही (v) सही

परशनावऱी 12

1 एक पदी- vi viii नदवपदी-i ii iii iv v vii ix एव x

2 5xy एव xy 7c एव 2c yz एव yz

7bc एव bc z एव 7z 37pqr एव 9pqr

परशनावऱी 13

1 (i) 150 (ii) 250 (iii) 20 (iv) 15

2 (i) (ii) (iii) (iv)

3 216 रपय 4 72 दकलोगर म 5 50 6 9 रपय

9

44

5

11

13

2

7

1

2

3

20

1

50

1

10

P a g e | 223

7 3 टॉदफय ा 8 65 9 100

10 परष 28800 मनहल एा 25200 11 1 की कमी

12 10 13 800 14 20 15 ईततीणम 90ए ऄनततीणम 10

16 स कषर 1440 ननरकषर 160

परशनावऱी 141

1 i iv vi vii viii ix व x क समीकरण ह

2 I ब यॉ ा = x ndash 5 द य ा = 9 II ब यॉ ा = 2 x ndash 3 द य ा = 7

III ब य ा = 2y द य ा = 9 ndash y Iv ब यॉ = 2y द य ा = 6

I ब य ा = 15 द य ा = 2a + 5

3 I 2y ndash 3 = 17 II = 7 III y ndash 5 = 8

IV 3y + 11 = 44 V 7y - 5 = 9

4 (i) सखय म स 6 कम करन पर 9 पर पत होत ह

(ii) सखय क 7 गन म स 14 कम करन पर शनय पर पत होत ह

(iii) सखय क दगन म तीन क भ ग दन पर 6 पर पत होत ह ऄथव दकसी सखय

क दो नतह इ 6 पर पत होत ह

(iv) सखय क अध म 5 जोड़न स 10 पर पत होत ह

(v) 38 म स दकसी सखय क दगन कम करन पर 4 पर पत होत ह

परशनावऱी 142

(i) x = -1 (ii) z = 8 (iii) y = 3 (iv) y = 3 (v) x = 6

(vi) z =

2- (i) x= 2 (ii) z = 4 (iii) x = 75 (iv) y = 13 5

4 25

5 40

6 20

7 13 मीटर

y

6

7

3

P a g e | 224

परशनावऱी 16

(1) बनद अकनतय -

(i) (ii) (iii) (iv) (v)

(vi) (vii) (viii) (ix)

(2) (a) 12 वगम समी (b) 10 वगम समी

(c) 72 वरग मीटर (d) 135 वगम मीटर

(3) (a) 36 वगम समी (b) 144 वगम समी

(c) 169 वगम समी (d) 1225 वगम समी

(4) (a) 20 वगम समी (b) 24 वगम समी

(5) 36 वगम समी

परशनावऱी 17

1) (i) 12 समी (ii) 12 समी (iv) 6 समी

(vi) 8 समी (vii) 8 समी (viii)15 समी

2) (i) 42 समी (ii) 36 समी

(iii)12 समी (iv) 3 मीटर य 300 समी

3) (i) सतय (ii) ऄसतय (iii)ऄसतय (iv) सतय

4) (i) 60 समी

5) 14 मीटर

6) (i) 8समी (ii) 16समी (iii)32 समी (iv) 24 समी

(v) 20 समी (vi) 13 समी (vii) 18 समी

7) 280 मीटर

उततरमाऱा 181

1

P a g e | 225

उततरमाऱा 182

पर1

पर2 सवयॊ बताओ

पर3 पर4

पर5

पर6

पर7

पर8 3 8 11 13 18 22 33 44 55 66 77 88 99 83 38 80

P a g e | 226

उततरमाऱा 19

परषन 1

परषन 3 (क) नदवतीय शरणी (ख) 40 (ग) 36

P a g e | 227

पररनशषट

वददक गनणत की नवनधय ा

अप पण ाक प ठ क ऄतगमत वददक गनणत की नवनधयो स घट न व गण करन सीखग आस सीखन

क पवम अपको वददक गनणत की कछ पवम ऄवध रण ओ को ज नन अवशयक ह नजनकी चच म यह ा की ज

रही ह -

ऄभी तक अपन जोड़न घट न गण एव भ ग करन सीख नलय ह आन सदिय ओ को

करन की कछ सरल और मजद र नवनधय ा वददक गनणत म भी ह यह ा हम ईन नवनधयो स अपक पररचय

कर एाग आन नवनधयो क ब र म ज नन क पहल अआए ऄको स पररचय कर ल -

ऄक - 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 य दस ऄक ह आनही ऄको क परयोग कर सभी सखय एा नलखी

ज ती ह

बीज क - वददक गनणत म 1 स 9 तक क ऄको को बीज क कहत ह दकसी सखय क बीज क जञ त

करन क नलए सखय क ऄको क योग तब तक करत ह जब तक एक ऄक की सखय पर पत न

हो ज ए

ईद हरण क नलए -

35 क बीज क जञ त करन क नलए आसक ऄको को जोड़ग

3 + 5 = 8

ऄतः 35 क बीज क 8 ह

आस परक र ndash

97 क बीज क -

9 + 7 = 16 लदकन 16 म 2 ऄक ह

ऄतः आसक ऄको को भी जोड़ग

1 + 6 = 7

ऄतः 97 क बीज क 7 ह

P a g e | 228

परम नमतर ऄक - नजन 2 ऄको क योग 10 होत ह व अपस म (एक दसर क) परम नमतर कहल त ह

जस - 1 + 9 = 10

ऄतः 1 क परम नमतर 9 ह

और 9 क परम नमतर 1 ह

अआए ऄब थोड़ ऄभय स कर

ऄभय स

1 सखय एा नलखन क नलए कौन-कौन स ऄको क परयोग होत ह

2 नीच नलखी सखय ओ क बीज क बत आए -

(i) 12 (ii) 15 (iii) 17 (iv) 19

(iv) 37 (v) 44 (vi) 56 (vi) 67

(vi) 96 (vi) 183

3 आनक परम नमतर बत आए ndash

(i) 2 (ii) 3 (iii) 4 (iv) 5

एक नधकन पवण

एक नधकन पवण क मतलब ह पहल की सखय स एक ऄनधक

जस 2 क एक नधक ह 3 आसी परक र 3 क एक नधक ह 4

कय अप 1 स 9 तक परतयक सखय क एक नधक बत सकत ह

एक नयनन पवण

एक नयनन पवण क ऄथम ह पहल की सखय स एक कम

जस 8 क एक नयनन 7 ह आसी परक र 5 क एक नयनन 4 ह ऄब अप 9 स 1 तक परतयक

सखय क एक नयनन बत आए

P a g e | 229

वददक गनणत की नवनधयो म ऄनक सथ नो पर एक नधकन पवण और एक नयनन पवण क

ईपयोग होत ह

ऄब बत आए

आन सखय ओ को दो ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 22 (ii) 43 (iii) 30 (iv) 58

कभी-कभी सखय क एक स ऄनधक ब र एक नधक ऄथव एक नयन करन की भी

अवशयकत होती ह

जस 12 क एक ब र एक नधक करन पर 13 13 स पनः एक नधक करन पर 14 ऄथ मत 12 स

दो ब र एक नधक करन पर सखय 14 पर पत होती ह

अआए ऄब 12 स ही दो ब र एक नयन करत ह

12 स एक ब र एक नयन करन स 11 नमल 11 स एक ब र एक नयन करन पर 10 नमल

ऄथ मत 12 स दो ब र एक नयन करन पर सखय 10 पर पत होती ह

आन सखय ओ को तीन ब र एक नधक करन पर कौन-कौन सी सखय एा पर पत होगी

(i) 23 (ii) 15 (iii) 36 (iv) 42

ऄपन मन स सखय एा लकर ईन सखय ओ क एक नधक करन क ऄभय स कीनजए

ऄब बत आए

नीच नलखी सखय ओ को दो ब र एक नयन करन पर कौन-कौन सी सखय पर पत होगी

(i) 16 (ii) 30 (iii) 67 (iv) 75

आनही सखय ओ को 3 एक ब र नयनन करन पर कौन-कौन सी सखय एा नमलगी

ऄपन मन स कछ सखय एा चनकर दो एव तीन ब र एक नयन करन क ऄभय स कीनजए

P a g e | 230

परम नमतर की सह यत स जोड़न

यदद दकसी सखय म 1 2 3 जोड़न हो तो अवशयकत क ऄनस र एक नधक कर जोड़ ज

सकत ह

परनत जब जोड़ ज न व ली दोनो सखय एा 5 स बड़ी हो तब परम नमतर की सह यत स

जोड़न अस न होत ह

अआए आसक एक ईद हरण दख -

9

+ 7

यह ा हम 9 और 7 को जोड़न ह 9 क परम नमतर ऄक 1 ह

ऄतः 7 स 1 लकर 9 म नमल ददय

ऄब 9 + 1 = 10

और 7 स 1 ननक लन पर बच 6

10 म 6 जोड़न पर नमल 16

ऄथ मत 9

+ 7

1 6

आसी परक र परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए-

(i) 7 + 8 (ii) 8 + 6 (ii) 9 + 8 (iv) 6 + 9

आसी परक र 5 स बड़ी दो सखय एा लकर ईनह परम नमतर की सह यत स जोड़न क ऄभय स कीनजए

P a g e | 231

2

81

45

)1(

27

81

45

)1(

81

45

2

81

45

27

81

45

एक नधक नचहन () लग कर जोड़न

अप ह नसल लग कर जोड़न की नवनध ज नत ह अआए यही स शर करत ह एक ईद हरण ल

ईद हरण 1 हल कीनजए -

आक इ क ऄको को जोड़न पर ( 4+8) 12 पर पत होत ह आस योगफल की आक इ 2

को योगफल क रप म नलखत ह और ह नसल 1 को दह इ क सतमभ म 5 क उपर

नलखत ह

ऄब दह इ क सतमभ क सभी ऄको को जोड़त ह

ह नसल क 1+5 +1=7 आस दह इ क योगफल क रप म नीच नलखत ह

योगफल 72 पर पत होत ह

यदद आक इ क ऄको क जोड़ स नमलन व ल

ह नसल 1 को नबनद क रप म दआ इ क सतमभ म लग ल तो भी योगफल वही पर पत

होग एक ब र दफर आसी जोड़ को दख

आक इ क 4 और 8 क जोड़ 12 नमल

12 क 2 को योगफल क रप म आक इ म नलख और ह नसल 1 को दह इ

क 1 क उपर नबनद क रप म ऄदकत कर आस नबनद को ही एक नधक

नचहन कहत ह

ऄब दह इ क ऄको को जोड़ 5 +(middot)+1 = 7 (middot) को 1 नगन

कल योगफल 72 पर पत हअ

एक और ईद हरण दख

ईद हरण 2 हल कीनजए -

81

45

42

64

P a g e | 232

0

42

64

07

42

64

आक इ क 6 और 4 को जोड़ 6+4=10 नमलग

जोड़ 10 क 0 को योगफल क रप म आक इ क सतमभ म नलख

ह नसल 1 को एक नधक (bull) क रप म 2 क उपर लग एा

ऄब दह इ क जोड़ कर 4 +(bull)+2=7

(bull) को 1 नगन

कल जोड़ 70 पर पत हअ

आस यनकत स तब अस नी होती ह जब सखय एा दो स ऄनधक हो

ईद हरण 3 हल कीनजए -

आक इ क 7 और 8 को जोड़ 15 नमलग

1 को एक नधक नचहन क रप म 4 क उपर ऄदकत कर और 5 को 9 स जोड़ 14

नमलग 14 क 1 को एक नधक नचहन क रप म दह इ क 1 क उपर ऄदकत कर 4

को योगफल क रप म नीच नलख ऄब दह इ क ऄको को जोड़

2+(bull)+4+(bull)+1=9

ईद हरण 4 हल कीनजए -

हल-

91

84

72

91

52

81

P a g e | 233

26

91

52

81

82

57

1 + (bull) + 2 + (bull) + 1 तर 6

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर योग कर-

1 2 3 4 5 6

एक नधक नचहन (bull) लग कर घट न ndash

घट न क ऐस सव ल जह ा सखय ओ क पनसायोजन ( ईध र लन व ल परशन) करन पड़त ह हम

एक नधक नचहन लग कर घट त ह यह ा हम वददक गनणत की एक और ऄवध रण परमनमतर क ईपयोग

करन होत ह (ऐसी दो सखय एा नजनक योग 10 होत हो एक दसर की परमनमतर कहल ती ह जस 3 क

परमनमतर 7 ह और 7 क परमनमतर 3 कयोदक 3+7=10 आसी तरह और 6 और 4 क परमनमतर ह 5 सवय

क परमनमतर ह) अआए एक ईद हरण स घट न की दिय समझत ह

ईद हरण 1 - हल कर

6 स 7 को नही घट सकत 7 क परमनमतर 3 को 6 स जोड़

9 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख और 1 क उपर एक नधक

नचहन (bull) लग एा

ऄब 3 म स (bull) +1 य न 2 घट एा

1 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख हल 19 नमलग

ईद हरण 2 हल कीनजए ndash

63

32

54

83

42

71

82

71

51

91

82

73

63

71

82

71

63

P a g e | 234

5 म 8 नही घट सकत ( 8 क परमनमतर 2 को 5 स जोड़ 7 नमलग )

आस पररण म क रप म नीच नलख

2 क उपर एक नधक नचहन (bull) लग एा

7 म स (bull)+2 य न 3 घट एा

4 नमलग आस पररण म क रप म नीच नलख

हल 47 नमलग

ऄभय स

एक नधक नचहन लग कर घट एा

1 2 3 4 5 6

81

27

91

73

82

04

62

53

82

64

93

86

• 1
• 2 6th Math front page 1-8
• 3 Final Math 6th Unicode book
• 4