bai tap toan 11 co ban 2009-2010

8/8/2019 BAI TAP TOAN 11 CO BAN 2009-2010

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Bi tp ton 11- C bn

PHAN I: AI SO VA GIAI TCH

CHNG I : HAM SO LNG GIAC VA PHNGTRNH LNG GIAC

NHAC LAI CAC CONG THC LNG GIAC LP 101. Cac gia tr lng giac ac biet:

GTLG0

6

4

3

2

sin 01

2

2

2

3

21

cos 1 32

2

2

1

20

tan x 0 33

1 3 ||

cot x || 3 13

30

2. Cac cong thc lng giac c ban:

2 2

2

2

22

sin costan ; cot

cos sin

sin cos 1

11 tan

cos

11 cotsin

tan .cot 1

= =

+ =

+ =

+ =

=

3. Cong thc cong:

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

sin( ) sin cos sin cos

sin( ) sin cos sin cos

tan tantan( )

1 tan tan

tan tantan( )

1 tan tan

a b a b a

a b a b a

a b a b b

a b a b b

a ba b

a ba b

a ba b

+ = = ++ = + =

=

+++ =

4. Cong thc nhan oi:2 2 2 2

2

sin2 2sin cos

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

2tantan2

1 tan

a a a

a a a a a

aa

a

=

= = =

=

5. Cong thc ha bac: 2 21 cos2 1 cos2cos ; sin2 2

x x

x x

+ = =

To Toan Trng THPT T Thuc Phan Chau Trinh1


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6. Cong thc bien oi tch thanh tong:

[ ]

[ ]

[ ]

1cos cos cos( ) cos( )

2

1sin sin cos( ) cos( )

2

1sin cos sin( ) sin( )

2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

= + +

= +

= + +

7. Cong thc bien oi tong thanh tch:

cos cos 2cos cos2 2

cos cos 2sin sin2 2

sin sin 2sin cos2 2

sin sin 2cos sin2 2

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

+ + =

+ =

+ + =

+ =

8. Cung lien ket: Sin bu; cos oi; phu cheo; hn kem - tan,

cot.Lien he Ten Cong thc

+ = Bu

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

= = = =

= oi

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

= = = =

2

+ =

2

Phu

sin cos2

cos sin2

tan cot2

cot tan2

= = = =

= Hn kem

sin( ) sin

cos( ) cos

tan( ) tan

cot( ) cot

= = = =

1. HAM SO LNG GIACA. KIEN THC C BAN

Ham so Tap xac nh Tapgia tr

Tnh tuanhoan

Tnh chanle

siny x= D = R [ ]1;1 Tuan hoan chuk 2

Ham sole

cosy x= D = R [ ]1;1 Tuan hoan chuk 2

Ham sochan

sintan

cos

xy x

x= = \ ,

2 D k k

= +

R ZR Tuan hoan chu

k Ham sole



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Bi tp ton 11- C bn

coscot

sin

xy x

x= = { }\ , D k k = R Z

R Tuan hoan chuk

Ham sole

Lu y:

+ =

+ = + = + =

sin ,sin( )

sin ,

cos ,cos( )

cos ,

tan( ) tan

cot( ) cot

x kchan x k k

x kle x kchan

x k k x kle

x k x k

x k x k

Z

Z

Z

Z

B. BAI TAP:1). Tm tap xac nh cua cac ham so sau:

a) sin3y x= b)2

cosyx

= c) cosy x=

d) 1sin1

xyx

+=

e) 1 cossin

xyx

+= f) 32cos

yx

=

g) tan3

y x =

h) cot

6y x

= +

i) tan 26

y x =

j) cot 33

y x =

k)

1 cos

1 cos

xy

x

+=

2).Xet tnh chan le cua cac ham so sau:

a) cos3 y x x= b) 3 sin2 y x x= c) sin y x x=

d)

3

2

sinx x

y x

= e) 3cos4x

yx= f)

2

sin2 y x x= +

2. PHNG TRNH LNG GIAC C BAN

A. KIEN THC C BAN

1).

2sin sin

2

u v ku v

u v k

= += = +

ac biet:sin 1 2

2u u k

= = +

sin 0u u k= =sin 1 2

2u u k

= = +

2).

2cos cos

2

u v ku v

u v k

= += = +

ac biet: cos 1 2u u k = =

cos 02

u u k

= = +

cos 1 2u u k = = +

3). tan tanu v u v k = = +4). cot cotu v u v k = = +



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Lu y:1. sin cos ;cos sin ; tan cot ;cot tan

2 2 2 2

= = = =

2. sin sin( ); tan tan( ); cot cot( ); cos cos( ) = = = =

B. BAI TAP:1). Giai cac phng trnh lng giac sau:

a) 3sin2

x = b)1

sin4

x = c) ( )01

sin 602

x =

d) sin 2 1x = e) 2cos 36 2

x =

f) ( )01

cos 2 502

x + =

g) ( )2

cos 25

x = h)2 2

tan tan5 7

x = k) ( )03

tan 3 303

x =

l) 3cot 46 3

x =

m) 0cot 20 33

x + = n) cos 2 cot 0

4x x =

o) ( ) ( )1 cos 2 3 cos 0x x+ = p) cot 1 cot 1 03 2

x x + = q) ( )sin 3 cot 1 0x x + =

2). Giai cac phng trnh lng giac sau:

a) 3sin 2

2x = b) ( )

1sin 2

3x + = c)sin3 1x =

d)

2sin 0

3 3

x

= e) ( )

2cos 1

3x

= f)0

cos3 cos12x =

g)3 1

cos2 4 2

x =

h) ( )03

sin 2 202

x + = i) ( )02

cos 2 252

x + =

j)cot(4 2) 3x + = k) ( )03

tan 153

x + = l)cos3 sin 4x x=

m) 21

cos 24

x = n)cos 2 tan 0x x = o)sin 3 cot 0x x =

p) 02sin(3 60 ) 2 0+ =x3). Giai cac phng trnh lng giac sau:

a) sin 2 sin6

x x =

b)

2sin

6 2x

+ = c)

3cos 3

3 2x

=

d) cos 3 sin4

x x =

e) 8 cos 2 12 0x = f)

1tan

4 3x

=

g) 3cot 3 03

x + =

h) ( )0tan 2 15 1x = k) ( )0 0cos 4 30 cos30x =

4). Giai cac phng trnh lng giac sau:

a) cos 2 cos34

x x =

b) ( )sin 2 sin 3

3x x

+ =

c) sin 2 cos3 2

x x + =

d) cos 3 sin 2 0x x = e) sin 3 sin 5 0x x+ = f) tan tan 2 1x x =



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g) tan cot 2x x= h) cos 3 sin 04 3

x x + =

i)

0 0sin(2 50 ) cos( 120 )x x+ = +

j) ( ) ( ) ( )2 0 2 0 0cos 30 sin 30 sin 60 = + x x x

3. MOT SO PHNG TRNH LNG GIAC THNG GAP

A. KIN THC C BN1). Phng trnh bac hai theo mot ham so lng giac:

Dang:

2

2

2

2

sin sin 0

cos cos 0

tan tan 0

cot cot 0

a x b x c

a x b x c

a x b x c

a x b x c

+ + =

+ + =

+ + =

+ + = at: ( )sin cost x t x= = ieu kien 1 1t ( )tan cott x t x= = Khong co ieu kien t.

2). Phng trnh thuan nhat bac hai:2 2sin sin .cos cosa x b x x c x d + + = (*)

TH1: cos 02

x x k

= = + ( )2sin 1x = the vao (*)

TH2: cos 0x . Chia 2 ve (*) cho 2cos x ta c phng trnh bac 2theo tan x

Lu y:2

2

11 tan

cosx

x = +3). Phng trnh bac nhat oi voi sinx va cosx :

sin cosa x b x c+ = .Chia 2 ve cho 2 2a b+

Lu y:sin( ) sin cos sin cos = B. BAI TAP

1). Giai cac phng trnh lng giac (phng trnh bac nhatoi vi mot ham so lng giac)

a) 2cos 2 03x

+ = b) 2 sin 1 02x

= c) 2 tan 3 5 0x + =d) 3cot 2 1 0x = e) 3 cos5 1 0x + = f) 2 2 cos 4 6 0x + =

g) ( )01 sin 30 0x = h) sin 2 cos 0x x+ = k) 22sin 1 03

x =

2). Giai cac phng trnh lng giac (phngtrnh bac hai theo mot ham so lng giac).a) 2sin 4sin 3 0x x+ = b) 22 cos 3 2 cos 3 0x x = c) 24sin 2 3sin 2 1 0x x =d) cos 2 sin 1 0x x = e) 2cos sin 1 0x x = f) 23cos 5 2sin5 2 0x x + =

g)2

5sin 3cos 3 0x x+ + = h)2

2cos 3cos 1 0x x + = k)2

sin 2 13sin 2 5 0x x + =



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l) 22cos 3cos 1 0x x + = m)2sin 2 2 sin 4 0x x+ = n)22sin 2 sin 2 0

2 2

x x+ =

o) 2sin 2cos 2 02 2

x x + = p) 28cos 2sin 7 0x x+ = q) 22 tan 3tan 1 0x x+ + =

r) tan 2cot 1 0x x + = s) cos 2 9cos 5 0x x+ + = t) 22sin 2 3 cos 2 1 0x x+ + =

u) 2cos 2 3cos 4cos2

xx x = v)cos 2 9cos 5 0x x+ + = w)1 cos 4 cos 2x x+ =

3). Giai cac phng trnh lng giac (phngtrnh bac hai theo mot ham so lng giac).a) cos 2 3sin 2 0x x + = b) 2sin cos 1 0x x + = c) 2 24sin 2 8cos 3 0x x + = d) cos 2 9 cos 5 0x x+ + = e)

2cot 4cot 3 0

2 2

x x+ + = f) 3tan cot

2x x =

g) 2cos sin 1 0x x+ + = h) 3 2sin 3sin 2sin 0 x x x+ + =

i) ( )2tan 3 1 tan 3 0x x+ = k) ( )24cos 2 2 1 3 cos 2 3 0x x + + =4). Giai cac phng trnh lng giac (phngtrnh thuan nhat bac hai oi vi sin x va cosx )a) 2 23sin 8sin cos 4cos 0 x x x x+ + = b) 2 2sin 8sin cos 7cos 0 x x x x + =c) 2 24cos 3sin cos sin 3 x x x x+ = d) 2 22sin sin cos cos 2 x x x x =e) 2 24sin 4sin cos 3cos 1 x x x x + = f) 2 2cos sin 2 5sin 2 x x x+ + =g) 2 23cos 2sin 2 sin 1 x x x + = h) 2 24cos 3sin cos 3sin 1 x x x x + =i) 22sin 3 sin 2 3x x = k) 2 23sin sin 2 3 cos 1 x x x+ =l) 2 23sin 5cos 2cos 2 4sin 2 0 x x x x+ + = m) 2 22sin sin cos 3cos 0 x x x x+ =

n) 2 23sin 4sin cos 5cos 2 x x x x + = o) 2 21

sin sin 2 2cos2

x x x+ =

p) 2 22sin sin cos cos 2 x x x x = q) 2 2sin 3sin cos 2cos 0 x x x x + =s) 2 2sin 3 sin 2 cos 1 0 x x x+ + = t) 2 2sin 3 sin cos 2cos 2 0 x x x x + =u) 2 24sin 3 3 sin 2 2cos 4 x x x+ =

5). Giai cac phng trnh lng giac (phngtrnh bac nhat oi vi sin x va cosx ).a) 3 cos sin 2x x+ = b) cos3 sin 3 1x x = c) 2 cos sin 2x x =

d) 4cos 3sin 52 2

x x+ = e) sin 5 cos5 1x x+ = f) 3sin 4 cos 1x x =

g) cos 3 sin 2x x+ = h)6

sin cos2

x x+ = k) sin cos 1x x =

l)sin cos 2x x+ = m)sin 3 cos 2x x+ = n)3sin 3 cos 3x x =

o)3sin 4cos 5 0x x = p) 3 cos sin 2x x+ = q)cos 3 sin 3x x+ =

r) cos 3 sin 1x x+ = s)sin 3 cos 2x x+ = t)cos sin 2 sin 2 x x x =

u)cos 3 sin 2cos3 = x x x v)sin 5 3 cos 2 4x x+ = w)3sin 2 3 cos 2 4x x = 6). Giai cac phng trnh lnggiac (phan tch thanh tch so)



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a) sin sin 2 sin 3 x x x+ + = b) cos cos 3 cos 5 0 x x x+ + =c) cos cos 3 cos 5 cos 7 x x x x+ + + = d) sin sin 2 sin 2 sin 4 x x x x+ + + =e) 2 sin cos 2 2 cos 2 1 sin x x x x+ = + f) cos 3 cos 8 cos 5 x x x + =g) cos 2 cos8 cos6 1 x x x + = h) 5cos 2sin 2 0x x =i)sin2 2cos 0x x = j) 2 cos sin 2 0x x =k) 2sin 2 2 sin 4 0x x+ = l) cos3 cos4 cos5 0x x x + =m)sin7 sin3 cos5x x x =

7). Giai cac phng trnh sau:(dung cong thc ha bac)

a) 2 2 21

sin sin 2 sin 32

x x x + = b) 2 2 23

sin sin 3 sin 52

x x x+ + =

c) 2 2sin sin 2 1x x+ = d) 2 2 2 2sin sin 2 sin 3 sin 4 2 x x x x+ + + =e) 2 2sin 2 cos 3 1x x+ =

CHNG II : TO HP XAC SUAT

1. QUY TAC EM

1). Quy tac cong: Mot cong viec c hoan thanh bi mottrong hai phng an A hoac B. Co m cach thc hien phng an A, ncach thc hien phng an B th se co m+n cach hoan thanh congviec.2). Quy tac nhan: Mot cong viec c thc hien qua hai hanh

ong lien tiep A va B. Neu co m cach thc hien hanh ong A, mcach thc hien hanh ong B th se co m n cach hoan thanh congviec.

BAI TAP:1). Mot lp co 18 ban nam va 12 ban n. Hoi co bao nhieu cachchon :

a.Mot ban phu trach quy lpb.Hai ban, trong o gom mot nam va mot n

2).Tren gia sach co 10 quyen sach Toan, 8 quyen Vat ly va 6quyen Hoa hoc. Hoi co bao nhieu cach chon :

a.Mot quyen sach bat k

b.Hai quyen sach khac monc. Ba quyen sach khac mon3). Nam en ca hang van phong pham e mua qua tang ban. Trongca hang co ba mat hang : But, v va thc trong o co 5 loaibut, 4 loai v va 3 loai thc. Hoi Nam co bao nhieu cach chon motmon qua gom mot but, mot v va mot thc.4).Trong oi van nghe co 8 ban nam va 6 ban n. Hoi co bao nhieucach chon mot oi song ca nam n ?5). Lp hoc co 20 hoc sinh nam va 15 hoc sinh n. Hoi co bao nhieucach chon mot ban can s lp gom 4 ban : mot lp trng, mot

lp pho hoc tap, mot lp pho lao ong, mot lp pho van the my.Neu lp trng phai la hoc sinh nam va lp pho van the my phaila hoc sinh n th co bao nhieu cach chon?



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6). Co 10 cap v chong i d tiec. Tnh so cach chon mot ngi anong va mot ngi phu n trong ba tiec e phat bieu y kien, saocho

a.Hai ngi o la v chongb.Hai ngi o khong la v chong

7). Gia hai thanh pho A va B co 5 con ng i. Hoi co bao nhieucach i t A en B roi tr ve A ma khong co con ng nao c ihai lan?8). e chuan b cho tiec ci, oi v chong muon at ban tiecgom mot mon khai v, ba mon an chnh va mot mon trang mieng.Nha hang o co the thc hien 10 loai mon khai v khac nhau, 30mon an chnh va 5 mon trang mieng. Hoi oi v chong o co baonhieu cach chon ban tiec e ai khach?9).T cac ch so 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, co the lap c bao nhieu so tnhien:

a.Co ba ch so

b.Le va co ba ch soc. Chan va co ba ch sod.Co ba ch so khac nhau

10). T cac ch so 0, 1, 2, , 8, 9 co the lap c bao nhieu sot nhien:

a. Co bon ch sob.Co bon ch so khac nhauc. Co bon ch so va chia het cho 5d.Co bon ch so khac nhau va chia het cho 5

2. HOAN V CHNH HP TO HP

1). Hoan v:T n phan t sap th ta). nh ngha: Cho tap hp A gom n phan t ( 1n ). Moi cach

sap th t n phan t cua tap A c goi la mot hoan v cua nphan t o.

b). So hoan v cua n phan t: ! ( 1)...2.1nP n nn==2). Chnh hp: T n lay k sap th ta). nh ngha: Cho tap hp A gom n phan t ( 1n ). Lay ra k

phan t va sap xep chung theo mot th t nao o, moi ketqua c goi la mot chnh hp chap k cua n phan t.

b). So chnh hp chap k cua n phan t:!

( 1)...( 1)( )!

k

n

n A nn n k

n k= = +

(0 ) k n

3). To hp: T n lay ka). nh ngha: Cho tap hp A gom n phan t ( 1n ). Moi tap

con gom k phan t cua A c goi la mot to hp chap k cua nphan t.

b). So cac to hp chap k cua n phan t:!

!( )!

k

n

nC

k n k=

(0 ) k n

c).Tnh chat:

=k n kn n

C C (0 ) k n



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1

1 1

+ =

k k k

n n nC C C (1 )


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3).Tm he so cha 31x trong khai trien cua bieu thc40

2

1x

x +

4).Tm so hang khong cha xtrong khai trien8

3 18

x +


212x

x


2x

x +


3

3

1x

x +


2 1xx

+

9).Tm he so cha7

x trong khai trien cua bieu thc ( )12

1 x10). Biet he so cua 2x trong khai trien cua ( )1 3

nx+ la 90. Tm gia

tr n?

4. PHEP TH VA BIEN CO1). Phep th ngau nhien (goi tat la phep th) la mot thnghiem, mot phep o hay mot s quan sat hien tng nao o ma:

- Ket qua cua no khong oan trc c.- Co the xac nh c tap hp tat ca cac ket qua co thexay ra cua phep th o.

2). Khong gian mau: Tap hp tat ca cac ket qua co the xay racua mot phep th. K hieu (o-me-ga).3). Bien co: La mot tap con cua khong gian mau.

- Bien co khong la bien co khong bao gi xay ra.- Bien co chac chan la bien co luon xay ra

4). Phep toan tren cac bien co:- A B : Hp cua cac bien co A va B ( A B xay ra A xay rahoac B xay ra).- A B (hay .A B ): Giao cua cac bien co A va B ( A B xay ra Ava B ong thi xay ra).

= A B th ta noi A va B la 2 bien co xung khac (khongong thi xay ra).- \= A A c goi la bien co oi cua bien co A. (A va A xungkhac va = A A )

BAI TAP:1). Gieo mot con suc sac can oi, ong chat va quan sat so chamxuat hien.

a. Mo ta khong gian mau.b.Xac nh cac bien co sau: A: Xuat hien mat chan cham ;

B: Xuat hien mat le cham ; C: Xuat hien mat co so cham

khong nho hn ba.c.Trong cac bien co tren, tm cac cap bien co xung khac.



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2).Trong hop co 3 bi trang va 4 bi o. Lay ngau nhien ong thi 2bi trong hop.

a.Xac nh khong gian mau.b.Xac nh cac bien co: A: Hai bi cung mau o ; B: Hai bi cung

mau trang ; C: Hai bi cung mau ; D: Hai bi khac mau.c.Trong cac bien co tren, tm bien co xung khac, bien co oi

nhau.3). Gieo mot ong tien, sau o gieo mot con suc sac va quan sat sxuat hien mat sap (S) va mat nga (N) cua ong tien va so chamtren mat con suc sac.

a.Xay dng khong gian mau.b.Xac nh cac bien co sau:

A: ong tien xuat hien mat sap va con suc sac xuat hienmat chan chamB: ong tien xuat hien mat nga va con suc sac xuat hienmat le cham

C: Mat le cham xuat hien

5. XAC SUAT CUA CAC BIEN CO

1). nh ngha:( )

( )( )

n AP A

n=

2). Tnh chat:a. ( ) 0, ( ) 1 = =P Pb. 0 ( ) 1 P A , vi moi bien co A.c. Neu A va B xung khac th: ( ) ( ) ( ) = +P A B P A P B (cong thc cong

xac suat)d. ( ) 1 ( )= P A P A , vi moi bien co A.e. Neu A va B oc lap th: ( . ) ( ). ( )=P A B P A P B (cong thc nhan

xac suat)BAI TAP:

1). Mot bnh ng 4 vien bi xanh va 3 vien bi o.a.Lay ra ong thi 2 vien bi. Khong gian mau co bao nhieu phan

t?b.Lay mot vien bi, goi la a e ra ngoai, roi lai lay mot vien bi

th hai, goi la b. Ket qua la cap sap th t (a,b). Khong gianmau co bao nhieu phan t?

c. Lay mot vien bi th nhat, goi la a, bo lai bnh, roi lay ra motvien bi th hai, goi la b. Ket qua la cap sap th t (a,b).Khong gian mau co bao nhieu phan t?

2). Gieo hai con suc sac can oi, ong chat xanh va o, khong gianmau gom 36 cap (x,y) vi x la so cham tren con suc sac xanh, y laso cham tren con suc sac o.Tnh xac suat cua cac bien co sau:

a.x le va y chan.b.x y>c. 4x y+ , *nN .Day so ( )nu c goi la day so giam neu 1n nu u+ < , *nN .Phng phap xet tnh tang giam cua day so:

1. Xet hieu 1n nH u u+=

Neu 0H > , *nN th day so tang. Neu 0H < , *nN th day so giam.

2. Neu 0nu > , *nN th lap t so1n

n

u

u+ :

Neu1 1n

n

uu

+ > , *nN th day so tang.



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Neu1 1n

n

u

u+ < , *nN th day so giam.

3). Day so b chanDay so ( )nu c goi la b chan tren neu ton tai mot so M sao cho

*, Nnu M n .

Day so ( )nu c goi la b chan di neu ton tai mot so m sao cho*, N

nu m n .

Day so ( )nu c goi la b chan neu no va b chan tren va b chan

di, tc ton tai hai so m va M sao cho *, Nnm u M n .

BAI TAP:1). Viet nam so hang au cua cac day so co so hang tong quat nu cho bi cong thc:

a. 2 1= n nnu

b. 2 12 1

=

+

n

n nu

c. 11 = +

n

nu

n

d.2 1

=+

n

nu

n

2). Cho day so ( )nu , biet:

1 11, 3+= = +n nu u u vi 1na.Viet nam so hang au cua day so.b.Chng minh bang quy nap: 3 4= nu n .

3). Cho day so ( )nu , biet:2

1 13, 1+= = +n nu u u vi 1n

a.Viet nam so hang au cua day so.b.Chng minh bang quy nap: 8= +nu n

4). Xet tnh tang giam cua cac day so sau:

a)

1

3= +nu n b)3

2

+

= +nn

u n c)

1

1

= +nn

u n

d)2 1

2

+=

+nn

un

e)2 1

5 2

+=

+nn

un

f) ( 1) (3 2)= +n nnu

g) ( 1) (2 1)= +n nnu

5). Xet tnh tang giam cua cac day so sau:

a.2

1

1=

+nu

n

b. 2 1

2

=

n

n nu



16/57

Bi tp ton 11- C bn

c. 12

=

n

nu

6). Trong cac day so sau day so nao b chan di, b chan tren va bchan?

a. 22 1= nu n

b.1

( 2)=

+nu

n n

c.2

1

2 1=

nu

n

d. sin cos= +nu n n3. CAP SO CONG

1). nh ngha: Cap so cong la mot day so (hu han hoac vohan), trong o ke t so hang th hai, moi so hang eu bang so hang

ng ngay trc no cong vi mot so khong oi d.( )

nu la CSC 1+ = +n nu u d vi moi *Nn

So d c goi la cong sai cua CSC.2). Cac cong thc cua cap so cong:

a. 1+ = +n nu u d

b. 1 ( 1)= + nu u n d

c. 1 12

++= k kk

u uu , 2k

d. 1( 1)

.

2

= +

n

n nS n u d , 1

( )

2

+= n

n

n u uS

BAI TAP1). Trong cac day so ( )nu sau ay, day so nao la cap so cong? Tnhso hang au va cong sai cua no.

a. 3 1= nu n

b. 5 2= nu n

c. 12

= n

nu

d. 3= nnu

e.7 3

2

=

n

nu

2). Cho cap so cong biet:

a. 47

10

19

= =

u

uTm 1 15, ,u d S

b. 1 3 51 6

10

17

+ = + =

u u u

u uTm 1 10, ,u d S

c.7 3

2 7

8. 75 = =

u uu u

Tm 1 20, ,u d S



17/57

Bi tp ton 11- C bn

d. 1 54

2 0

14

+ = =

u u

STm 1 16, ,u d S

e.6

2

2 4

8

16

=

+ =

u

u uTm 1 8, ,u d S

3). Tm 3 so hang lien tiep cua mot CSC biet tong cua chung la 12 vatong bnh phng cua chung la 56.4). Tm x e 3 so lien tiep sau lap thanh cap so cong: 21, 1,3 5+ x x x

4. CAP SO NHAN

1). nh ngha: Cap so nhan la mot day so (hu han hoac vohan), trong o ke t so hang th hai, moi so hang eu bang so hangng ngay trc no nhan vi mot so khong oi q.

( )n

u la CSN 1 .+ =n nu u q vi moi *Nn

So q c goi la cong boi cua CSN.2). Cac cong thc cua cap so nhan:a. 1 .+ =n nu u q

b. 2 1 1. +=k k ku u u

c. 2 1 1. +=k k ku u u , 2k

d. 1(1 )

1

=

n

n

u qS

q

BAI TAP

1). Chng minh cac day so ( )nu sau la cap so nhan :

a.3

.25

n

nu =

b.5

2n n

u =

c. 12

n

nu

=

2). Tm cong boi cua mot CSN hu han biet 1 2u = va so hang cuoicung 11 64u = .

3). Cho cap so nhan ( )nu vi cong boi q.

a.Biet 1 62, 486u u= = . Tm q, 9S

b.Biet2

3q = , 4

8

21u = . Tm 1u , 10S

c. Biet 1 3, 2u q= = . Hoi so 192 la so hang th may?4). Cho cap so nhan thoa:

a. 4 25 3

72

144

u u

u u

= =

Tnh 1 10, ,u q S

b. 1 3 51 7

65

325

u u u

u u

+ = + =

Tnh 1 10, ,u q S



18/57

Bi tp ton 11- C bn

c. 1 2 54 5 6

13

351

u u u

u u u

+ + = + + =

Tnh 1 10, ,u q S

5). Tm cac so hang cua cap so nhan ( )nu co nam so hang, biet:a. 3 3u = va 5 27u =

b.4 2 25u u = va 3 1 50u u =

CHNG IV- GII HAN1. GII HAN CUA DAY SO

A. KIEN THC C BAN:Neu , lim 0 lim 0n n n nu v n v u< = = lim c c=

lim limn nu L u L= = 33lim lim

n nu L u L= = ;

lim , 0 0, limn n nu L u n L u L= > > = 2 1

1 1 1...

1

uS u u q u q

q= + + + =

1

lim lim 0nn

u u= + =

3

1 1 1lim 0; lim 0; lim 0;

n n n= = =

lim 0nq = neu 1q < ; *1

lim 0,k

k Nn

= ;

lim 0k

c

n=

3lim ; lim ; lim ;n n n= + = + = +

lim nq = + neu 1q > ; *lim ,kn k N= +

limn

u = , lim nv = lim nu = , lim 0nv L= lim 0nu L= , lim 0nv =

lim nu lim nv lim .n nu v lim nu Daucua

L

lim .n nu v Daucua L

Daucua

nv

lim n

n

u

v

++

++

++

++

++

++

++

++

++

B. BAI TAP:

Bai 1: Tm cac gii han sau:a)

2 1lim

1

n

n

++

b)2

2

3 4 1lim

2 3 7

n n

n n

+ + +

c)3

3

4lim

5 8

n

n n

++ +

d)( ) ( )

( )3

2 1 3 2lim

6 1

n n n

n

+ +

+e)

2

1lim

2

n

n

++

f)2

4lim

3 2

n

n n

+ +

g)( )

( )3

2 1lim

6 1

n n

n

+

+h)

3 2lim

1

n

n

++

i)( ) ( )

( )

2

3

2 1 3 2lim

6 1

n n n

n

+ +

+

j)2

2

4 3lim

7

n n

n

+

k)3 2

3

5 3 1lim

1 3

n n

n

+

l)2

3

10lim

3 4

n n

n n

+



19/57

Bi tp ton 11- C bn

m)3 3 5

lim2

n n

n

+ +

n)2

lim2 5

n n n

n

++

o)

3

(2 1)(3 2)(4 3)lim

5 7

n n n

n

+ +

p)

2 2

3

( 1) ( 2)

lim ( 1)(2 3)

n n

n n

+ ++ + q)

3

4 2

2 3lim 4 1

n n

n n

+ + r)

3 2 2lim 1

n n

n

+ +

s)3

2

3 5 1lim

4

n n

n

++

t)2

2lim

2 1

n n

n n+

Bai 2: Tm cac gii han sau:

a)2 1

lim2 3

n

n

++

b)2 1

lim2 2

n

n

++ +

c)1

lim1

n

n

++

d)2

lim

1

n

n n

+ +

e)3 3 2

lim

2

n n

n

+ +

+

f)3 3

2

1 1lim

3 2

n

n

+

+ g)

32 3

2

1lim

1 3

n n n n

n n

+ + +

+ +Bai 3: Tm cac gii han sau:

a) ( )lim 1n n+ b) ( )2 2lim 5 1n n n n+ +

c) ( )2 2lim 3 2 1 3 4 8n n n n+ + d) ( )2lim 4n n n

e) ( )2lim 3n n + f) ( )lim 1n n+ +

g) ( )3 2 3lim n n n + h) ( )

3 3lim 1n n +

i)3 3

2

1lim

1

n n

n n

+

+ j) ( )3 3 2 2lim 3 1 4n n n n + +

Bai 4:Tm cac gii han sau:

a)1 4

lim1 4

n

n

+

b)1

2

3 4lim

3 4

n n

n n

+

+

+

c)3 4 5

lim3 4 5

n n n

n n n

++

d)1

1

2 6 4lim

3 6

n n n

n n

+

+

+ +

e)2

2

3 4 1lim

2nn n

n

+ +

Bai 5: Tm cac gii han sau:a)

sinlim

1

n

n

+b)

2

sin10 cos10lim

2

n n

n n

++


a)2

1 3 5 ... (2 1)lim

3 4

n

n

+ + + + ++

b)2

1 2 3 ...lim

3

n

n

+ + + +

c)2 2 2 21 2 3 ...

lim( 1)( 2)

n

n n n

+ + + ++ +

d)1 1 1

lim ...1.2 2.3 ( 1)n n

+ + + +

e)1 1 1

lim ...1.3 3.5 (2 1)(2 1)n n

+ + +

+ Bai 7: Tnh cac tong sau:



20/57

Bi tp ton 11- C bn

a)1 1

1 ...2 4

S= + + + b)1 1 1

1 ...3 9 27

S= + +

c) 2 31 0,1 (0,1) (0,1) ....S= + + + + d) 2 32 0,3 (0,3) (0,3) ....S= + + + +

2. GII HAN HAM SOA.KIEN THC C BAN

00

limx x

x x

=

0

limx x

C C

=

1

lim 0x x

=

1

lim 0kx x

=

limk

x

x+

= +

, 2

lim, 2 1

k

x

k lx

k l

+ == = +

( ) ( ) ( )0 0 0

lim lim limx x x x x x

f x L f x f x L +

= = =

Gii han cua tch :( )

0

limx x

f x

( )0

limx x

g x

( ) ( )0

lim .x x

f x g x

0L > + + 0L > +

+ Gii han cua thng:

B. BAI TAPBai 1:Dung nh ngha tnh cac gii han sau:

a)2

3

9lim

3x

x

x

b) ( )21

lim 3 1x

x x

+ + c)2

3

9lim

4x

x

x

+

d)2

2

2 9lim

4x

x

x+

+

Bai 2:Tm cac gii han sau::a)

2limx

x b) ( )2

lim 3x

x

+ c) ( )22

lim 2 3 5x

x x

+ d) ( ) ( )0

lim 3 2x

x x

+

e)1

5 2lim

1x

x

x

++

f)2

2

3 1lim

1x

x x

x

+

g)2

5 2 1lim

1x

x x

x

+ +

Bai 3:Tm cac gii han sau:


( )0

limx x

f x

( )0

limx x

g x

Daucuag(x)

( )

( )0lim

x x

f x

g x

L Tuy y 0

L > 00

+ +-

L < 0+ - +


21/57

Bi tp ton 11- C bn

a) ( )3lim 2x

x x+

+ b) ( )3lim 2x

x x

+ c)2

2

5 3 1lim

2 3x

x x

x+

+ ++

d)2

2

5 3 1lim

2 3x

x x

x

+ ++

e)4 2

4

5 1lim

2 3x

x x

x+

+ ++

f)4 2

4

5 1lim

2 3x

x x

x

+ ++

g)2

3 1lim

2 3x

x

x+

++

h)2

3 1lim

2 3x

x

x

++

i)2

3

3 1lim

2 5x

x

x+

++

j)2

3

3 1lim

2 5x

x

x

++

k)2 2 2

lim1x

x x

x+

+ ++

l)2 2 2

lim1x

x x

x

+ ++

m) 2lim 2x

x x+

+ n) 2lim 2x

x x

+ o)24 1

lim3 1x

x

x

+

q)4

2

3 5lim

2 4 5x

x x x

x x

+ +

r)2

2

3 4lim

4 1x

x x

x x

+ +

+ s)

2 29 1 4 2lim

1x

x x x

x

+ ++

Bai 4: Tm cac gii han sau::

a)( )

23

5 2lim

3x

x

x

+

b)

( )2

3

2 3lim

3x

x

x

+

c)

3

5 2lim

3x

x

x

+

d)3

5 2lim

3x

x

x+

+

e)2

2

5 2lim

2x

x x

x

+ +

f)2

2

5 2lim

2x

x x

x+

+ +

Bai 5: Cho ham so : ( )22 3 1 , 2

3 7 , 2

x x xf x

x x

+ =

+


22/57

Bi tp ton 11- C bn

Bai 9: Tm cac gii han sau:(dang0

0)

a)3

21

1lim

1x

x

x

b)2

2lim

4 1 3x

x x

x

++

c)3

0

1 1lim

3x

x

x

d)3

21

1lim

3 2x

x

x

+

+

e)

3

1

7 2lim

1xx

x + f)3

1

1lim

1xxx g)

3

01 1lim

xx x

x + h) 0 1 4 3limx x xx + + +

i)0

9 16 7limx

x x

x

+ + + j)( )

3 2 3

21

2 1lim

1x

x x

x

+


a) ( )2limx

x x x+

+ b) ( )2lim 2 1 4 4 3x

x x x+

c) ( )2 2lim 1 1x

x x x x+

+ + +

d) ( )3 3lim 1x

x x+

+ e) +xlim ( xxx 52 + ) f) xlim ( 1

22 + xxx )

g) ( )32 3

lim . 1x x x x+ + h) ( )3 33 2 3

lim 5 8x x x x x+ + +Bai 11: Tm cac gii han sau:

a) 212 1

lim1 1x x x

b) 31

1 3lim

1 1x x x

c) 2 211 1

lim3 2 5 6x x x x x

+ + Bai 12: Tm cac gii han sau:

a)x

x

x

5sinlim

0b)

x

x

x 3

2tanlim

0c) 20

cos1lim

x

x

x

d) 30 45sin.3sin.5sin

limx

xxx

x

e)x

xx

x 30 sin

sintanlim

f)xx

x

x sin

cos1lim

3

0

g)x

x

x 2sin

121lim

0

+

h)x

xx

x sin

3sin5sinlim

0

i) xxx tancos1

lim2

j) xxx

x sin.2cos1lim

2

0 k) 3cos41sin2

lim 26

x

x

x l) xxx 3cos1 5cos1lim0

3.HAM SO LIEN TUC

Bai 1: Xet tnh lien tuc cua cac ham so sau tai iem x0 :

1. f(x) =

2 93

3

6 3

xkhi x

x

khi x

=

tai x0=3

2. f(x) =

2

25 55

9 5

x khi xx

khi x

=

tai x0=5

3. ( )

2 3

2

2 7 5khi 2

3 2

1 khi 2

x x xx

f x x x

x

+ = +

=

taix0=2

4. ( )

3

3

2khi 1

1

4 khi 13

x xx

xf x

x

+ + +=

=

tai x0=

-1

5. ( )1 2 3

khi 22

1 khi 2

xx

f x x

x

=

=

tai x0=2

6. ( )

3

3 2 2 khi 22

3khi 2

4

x xxf x

x

+ = =

tai x0=2

7. ( )

2khi 4

5 3

3khi 4

2

xx

xf x

x

+ =

=

tai x0=4

8. ( )

2 +4 2

2 1 2

x khi x

f x x khi x

tai x0= -1

10. ( )2 0

1 0

x khi xf x

x khi x

=

tai

x0=5

12. ( )3 22 1

2

x xf x

x

+ =

tai x0=2

13. f(x)=5

14

++

x

xx tai x0 = 5

Bai 2: Chng minh cac ham so

a) ( )

2 2 3khi 1

1

4 khi 1

x xx

f x x

x

+ =

=

lien tuc tren R

b) ( )

3

3

2khi 11

4khi 1

3

x xxxf x

x

+ + +=

=

lien tuc tren R

c) ( )

2

2

7 4khi 3

5 6

3khi 3

4

xx

x xf x

x

+ +=

=

lien tuc tren { }\ 2R

Bai 3: Tm a e ham so lien tuc tren R

1) ( )

2 1

2 3 1

x khi xf x

ax khi x

3) ( )

2 42

2

a 2

xkhi x

f x x

khi x

=

=

Bai 4: Cho ham so f(x) =3 2

2 5 0

4 1 0

x x khi x

x khi x

+

Tm a e ham so lien tuc tai x=2, ve o th ham so vi a vatm c.

Bai 8:a. Chng minh rang phng trnh 3 23 5 -1 0 x x x+ + = co t nhat mot

nghiem trong khoang (0;1)b. Chng minh phng trnh 3 3 1 0x x + = co 3 nghiem phan

biet.Chng minh phng trnh 5 43 5 2 0 x x x + = co t nhat 3nghiem phan biet trong khoang ( 2;5) .

CHNG V- AO HAM

Cac cong thc tnh ao ham.'( ) 0c = ( ) ' 1x = ( )' 'ku ku=

( )'

' 'u v u v = '

2

' 'u u v uv

v v

=

( )'

' 'uv u v uv= + ( )'

' ' 'uvw u vw uv w uvw= + +

'

2

1 1x x

=

( )' 1

2x

x=

'

2

1 1. 'v

v v

=

( )' '

2

uu

u=

'(sin ) cosx x='(cos ) sinx x=

'

2

1(tan )

cosx

x=

'

2

1(cot ) sinx x=

'(sin ) 'cosu u u='(cos ) 'sinu u u=

'

2

1(tan ) . '

cosu u

u=

'

2

1(cot ) . 'sinu uu=

Phng trnh tiep tuyen:- Ham so ( ) y f x= co o th la ng cong (C). Tiep tuyen

vi (C) tai 0 0 0( , )M x y co he so goc 0'( )k f x= .- Phng trnh tiep tuyen tai 0 0 0( , )M x y : 0 0 0'( )( )y f x x x y= +

BAI TAP:1.Tnh ao ham cac ham so sau bang nh ngha:a. 2( ) 4 1 y f x x x= = + tai 0 2x =b. 3( )y f x x x= = tai 0 1x =

c. 3( ) 2 y f x x x= = + tai 0 1x =



25/57

Bi tp ton 11- C bn

d.1

( )2

x y f x

x

= =

+tai 0 0x =

e.1

( ) y f xx

= = tai 0 2x =

f. ( ) 2 3 y f x x= = + tai 0 11x =

g. 3( ) 3 1 y f x x= = tai 0 3x =

h.4 2

( )3 1

xy f x

x

= =

+tai 0 2x =

2. Cho Parabol (P) co phng trnh 2y x=

. Tm he so goc cua tiep tuyenParabol(P).

a. Tai iem ( 2;4)A b. Tai giao iem cua (P) vi ng thang 3 2y x= .

3. Viet phng trnh tiep tuyen cua o th ham so 3y x= , biet:a. Tiep iem co hoanh o bang -1.b. Tiep iem co tung o bang 8.c. He so goc cua tiep tuyen bang 3.

4.Tnh ao ham cac ham so sau:

a) 27 y x x= + b) 3 2 1 y x x= + c) 4 32

3 5 1

3

y x x x= +

d) 5 4 3 21 3

3 2 55 4

y x x x x= + + + e) 22

2 3y xx

= + f) 32 y x x=

g) 5 34 2 3 y x x x= + h) 5 4 3 22 3 6 3 1 y x x x x x= + + + i)4 3 2

14 3 2

x x xy = +

j) 2 41 1

2 0,54 3

y x x x= + k)4 3 22 4

12 3 5

x x xy = + l) 5 23 (8 3 ) y x x=

m)1

5 y x xx

= + n) 53

1 y x x

x= +

5.Tnh ao ham cua cac ham so sau:a) 33 (2 3) y x x= b) 2 2( 1)(5 3 ) y x x= + c) (2 1)(3 2) y x x x= +

d)2

2

1

xy

x=

e)

2

5 3

1

xy

x x

=

+ +f)

2

3

5y

x x=

g)1

5 2

xy

x

=

h)

2 3

7 3

xy

x

+=

i)

2 2 3

3 4

x xy

x

+ +=

j)2

2

7 3

3

x xy

x x

+ +=

k)

22 3 4

1

x xy

x

+ =

+l)

3

2 3y x

x x= + +

m)1

2 1y

x=

n)

1

xy

x=

+

o)1

1 2

x xy

x

+=

+p) 2 2

2

(1 )(2 3 )y

x x=

+ q) 3

4y x

x= + r)

2 3

1 1y

x x=

s)4 2

1

1y

x x=

+ +

6. a. Cho ham soax b

ycx d

+=

+. CMR:

2'

( )

a b

c dy

cx d=

+

b. Cho ham so

2ax bx c

y dx e

+ +

= + . CMR:

2

2

2

'( )

b cadx aex

d eycx d

+ +

= +



26/57

Bi tp ton 11- C bn

c. Cho ham so2

2' ' '

ax bx cy

a x b x c

+ +=

+ +. CMR:

2

2 2

2' ' ' ' ' '

'( ' ' ')

a b a c b cx x

a b a c b cy

a x b x c

+ +=

+ +

Chu y: ' '

' '

x y xy x y

x y

=

7. Ap dung cac ket qua bai 6, tnh ao ham cac ham so sau:

a)1

2 3

xy

x

=

+b)

3 2

4 7

xy

x

=

+c)

22 3 5

4 1

x xy

x

+=

+

d)2 4 2

3 2

x xy

x

+ +=

+e)

2

2

3

3 2 4

x xy

x x

+ =

f)

2

2

2 3

2 5

x xy

x x

+ =

8.Tnh ao ham cua cac ham so sau:

a) 2 5( 3)y x= + b) 7 2( ) y x x= + c) 3 2 8( 2 1) y x x= +

d) 2 3( 1)( 2) ( 3) y x x x= + + + e) 3 2 4( 2 1)(2 1) y x x x= + + f) (1 3 ) 3 y x x=

g)2

(2 5) 2 5 y x x x= + + h)2 5

( 4 1) y x x= + i)2

3 2 y x x= +j) ( )

632 y x x x= + k) 22 5 y x x= l) 4 8

1

1y

x x=

+ +

m)2 3

2 1

x xy

x

+ +=

+n)

3 2x xy

x x

+= o) 1

1

xy

x

=

+

p)7

1y x

x

= +

q)41 2

xy

x=

+r)

12 1

1y x

x= + +

+9.Tnh ao ham cua cac ham so sau:

a) 5sin 3cos y x x= b) 2cos(2 5 14) y x x= + c) 2cot 1 y x x= +

d) sin 3 5y x= + e) cos5 .cos7 y x x= f) 2cos .sin y x x=

g) 5cosy x= h) 4tan 2y x= i)2

sin cos

xy

x x=

+

j)tan

1 tan

x xy

x=

+k)

sin cos

sin cos

x xy

x x

+=

l) cot y x x=

m)sin

sin

x xy

x x= + n)

1tan

2

xy

+= o)

sin

1 tan

x xy

x=

+p) 1 2 tany x= + q) sin(sin )y x= r) 2sin 1y x= +

s)3 2

cot 1y x= + t)2

sin (cos 3 )y x= u)2

(tan cot ) y x x= +v) 2(sin cos ) y x x= w) 2(1 sin 2cos ) y x x= + + x) cos(sin 2 )y x= tan(sin )y x=

y) 2sin (tan 3 )y x= z) 2cos 24

y x

=

10. Chng minh rang cac ham so sau co ao ham khong phuthuoc vao x:

a. 6 6 2 2sin cos 3sin cos y x x x x= + +

b. 2 2cos cos3 3

y x x = + + +

2 2 22 2cos cos 2sin

3 3 x x x

+ +

11. Viet phng trnh tiep tuyen cua ng cong3y x=

a. Tai iem ( 1; 1)



27/57

Bi tp ton 11- C bn

b. Tai iem co hoanh o bang 2c. Biet he so goc cua tiep tuyen bang 3

12. Viet phng trnh tiep tuyen cua ng hyperbol1

yx

=

a. Tai iem1

;2

2

b. Tai iem co hoanh o bang -1

c. Biet he so goc cua tiep tuyen bang1

4

13. Viet phng trnh tiep tuyen cua o th ham so :

a.1

1

xy

x

=

+, biet hoanh o tiep iem la 0 0x =

b. 2y x= + , biet tung o tiep iem la 0 2y = .

14. Cho ham so 3 25 2 y x x= + co o th la (C). Viet phng trnh tiep

tuyen cua (C) sao cho tiep tuyen o:a. Song song vi ng thang 3 1y x= +

b. Vuong goc vi ng thang1

47

y x=

c. i qua iem A(0;2)15. Tnh ao ham cap 2 cua cac ham so sau:

a) 3 22 1 y x x x= + + b) 4 22 5 y x x= + c) 2 4y x= +

d)1

2 1y

x=

+e)

2

1y

x= f) 2 1 y x x= + +

g) sin 2 cos 2 y x x= + h) 2 sin y x x= + i) .cos y x x=

16. Chng minh cac ang thc:a) sin cos y x x= + CMR: 2 2( ') 2y y+ = b) 22 y x x= CMR: 3. '' 1 0y y + =

c)3

4

xy

x

=

+CMR: 22( ') ( 1) '' y y y= d)

53y

x= + CMR: . ' 3x y y+ =

e) cos2y x= CMR: 2 24 ( ') 4y y+ = f) tany x= CMR: 2' 1 0y y =g) 2cosy x= CMR: '. '' sin 4 y y x= h) sin y x x= CMR: 2( ' sin ) '' 0 xy y x xy + =i) cos y x x= CMR: 2(cos ') '' 0 xy x y xy+ + =

j) sin cos y x x= + CMR: ' 2 '' 2sin 0 y y y x+ + =17. Tnh ao ham cua cac ham so sau en cap a ch ra:

a) sin 2 ; '''( ) y x y x= b) sin 2 ; ''( )y x x y x=c) 4 (4)cos 2 ; ( ) y x x y x= d) (4 )sin .sin 5 ; ( ) y x x y x=



28/57

PHAN II: HNH HOCCHNG I: PHEP DI HNH VA PHEP ONG DANG

TRONG MAT PHANG2. PHEP TNH TIEN1).Trong mat phang Oxy, cho iem E(-3; 5) va vec t v =(1;2). Phep tnh

tien theo vec t v bien iem E thanh iem F. Tm toa o iem F.2).Trong mat phang Oxy, cho vec t v =(2;1), iem M(3; 2). Tm toa ocua cac iem A sao cho:

a.A la anh cua iem M trong phep tnh tien theo vec t vb. M la anh cua iem A trong phep tnh tien theo vec t v

3). Phep tnh tien theovect v =(2;3) bien ng tron (C):012622 =+++ yxyx thanh ng tron (C) co tam I. Tm toa o cua I.

4). Trong mat phang Oxy, cho vec t ( )4;3 =u Tm anh cua cac ngthang va ng tron sau qua phep tnh tien theo vec t u :

a) 012 =+ yx b)2 3 0x y+ + = c) 3=x

d) 12 += xy e)

=+=

ty

tx

2

21f) ( ) ( ) 421 22 =++ yx

g) 044222 =++ yxyx h) ( ) 32 22 =+ yx i) 01622 =++ yyx5). Phep tnh tien theo vect v =(3;m) 0 bien ng thang ( ):4x+6y1=0thanh chnh no. Gia tr cua m bang bao nhieu?6). Phep tnh tien theo vect v 0 bien ng thang ( ):3xy2=0 thanhng thang ( ):3xy+18=0. Tm toa o cua v biet v vuong goc vi( ) va ( )7). Co hay khong mot phep tnh tien theo vect v bien ng tron (C):( ) ( ) 831 22 =++ yx thanh ng tron (C): 0128422 =++++ yxyx ?

8). Cho hnh bnh hanh ABCD. Dng anh cua tam giac ABC qua phep tnhtien theo vec t AD .9). Cho tam giac ABC co G la trong tam. Xac nh anh cua tam giac ABCqua phep tnh tien theo vec t AG . Xac nh iem D sao cho phep tnh

tien theo vec t AG bien D thanh A.10). Tm vec t v biet phep tnh tien theo vec t v :

a.Bien ng thang 01:1 = yxd thanh 05:'

1 =+ yxd va bien ngthang 0112:2 =+ yxd thanh 012:

'

2 =++ yxd

b.Bien ng thang 01:1 =+ yxd thanh 05:'1 =+ yxd va bien ng

thang 02552:2 =++ yxd thanh chnh no.

3. PHP I XNG TRC1). Trong mat phang Oxy cho 2 iem ( )2;1 A , ( )1;3B . Tm anh cua A, B vang thang AB qua phep oi xng truc Ox.2). Trong mat phang Oxy, cho iem ( )5;3 M , ng thang 0623: =+ yxd va ng tron (C) 044222 =++ yxyx . Tm anh cua M, d, ( C) qua phepoi xng qua truc Oy

3). Tm anh cua cac ng thang va ng tron sau qua phep oixng truc Ox:a) 012 =+ yx b)2 3 0x y+ + = c) 3=x


29/57

d) 12 += xy e)

=+=

ty

tx

2

21f) ( ) ( ) 421 22 =++ yx

g) 044222 =++ yxyx h) ( ) 32 22 =+ yx i) 01622 =++ yyx4). Trong mat phang Oxy cho ng thang d co phng trnh : 052 =+ yx .

a.Viet phng trnh ng thang d la anh cua d qua phep oi xng

truc Oy.b. Tm toa o iem O la anh cua goc toa o O qua phep oi xngtruc d.

5). Trong mat phang Oxy cho ng thang d co phng trnh : 032 = yx va ng tron 2 2( ) : ( 2) ( 3) 4C x y + = .

a.Viet phng trnh ng tron ( )'C la anh cua ( )C qua phep oi xngtruc Ox.

b.Viet phng trnh ng tron ( )'C la anh cua ( )C qua phep oi xngtruc d.

6). Cho t giac ABCD. Hai ng thang AC va BD cat nhau tai E. Xac nh

anh cua tam giac ABE qua phep oi xng qua ng thang CD.7). Tm cac truc oi xng cua hnh ch nhat, hnh vuong.

4. PHEP OI XNG TAM1). Trong mat phang toa o Oxy, cho iem ( )3;2 A ,ng thang

0123: =+ yxd va ng tron (C): 02822 =+++ yxyx . Tm anh cua A, d, ( C)qua phep oi xng tam O2). Tm anh cua cac ng thang va ng tron sau qua phep oixng tam O:

a) 0323 =+ yx b) 052 =+ yx c) 05 =+ yx

d) ( ) ( ) 831 22 =++ yx e) 046422 =+++ yxyx3). Trong mat phang toa o Oxy cho iem A(2,-2) va ng thang d cophng trnh:2x + y 1 = 0 .

a.Tm anh cua A va d qua phep oi xng tam Ob.Tm anh cua d qua phep oi xng tam A.

4). Trong mat phang toa o Oxy, cho iem A(1, -3) va ng thang d cophng trnh: 2x + y 3 = 0, ng tron (C) co phng trnh :

036422 =++ yxyx .a.Tm toa o iem A va phng trnh d lan lt la anh cua A va d quaphep oi xng truc Ox

b.Viet phng trnh ng tron ( )'C la anh cua (C) qua phep oi xngtam A.

5). Tm anh cua tam giac ABC qua phep oi xng tam G, biet G latrong tam cua tam giac ABC.6). Cho hnh luc giac eu ABCDEF. Tm truc va tam oi xng cua hnh7). Cho hai ng thang 033: = yxk , 0: =+ yxl . Phep oi xng tam Ibien (k) thanh 013:' =+ yxk , ( )l thanh 06:' =+ yxl . Tm toa o cua I.

5. PHEP QUAY1). Cho tam giac ABC. trong tam G.

a.Tm anh cua iem B qua phep quay tam A goc quay090 .

b.Tm anh cua ng thang BC qua phep quay tam A goc quay - 090 .c.Tm anh cua tam giac ABC qua phep quay tam G goc quay 090 .


30/57

2). Cho hnh vuong ABCD tam O( cac nh sap theo chieu kim ong ho).M la trung iem cua AB, N la trung iem cua OA. Tm anh cua tam giacAMN qua phep quay tam O goc 0903). Trong mat phang toa o Oxy cho ng tron co phng trnh :

044222 =++ yxyx . Viet phng trnh ng tron la anh cua ng trona cho qua phep quay tam O goc quay 090 , - 090

4). Trong mat phang toa o Oxy, cho iem A(2, -2) va ng thang d cophng trnh : 012 =+ yx . Tm anh cua A va d qua phep quay tam O goc090 .

5). Phep quay tam O goc quay 045 bien A(0;3) thanh A co toa o nhthe nao?6). Cho M'(4;-3). Goi ( ( )MOQM 0' 90;= . Toa o cua M la bao nhieu ?7). Cho luc giac eu ABCDEF, O la tam oi xng cua no, I la trungiem cua AB.

a.Tm anh cua tam giac AIF qua phep quay tam O goc 0120b.Tm anh cua tam giac AOF qua phep quay tam E goc 060

6. PHEP DI HNH- HAI HNH BANG NHAU1). Trong mat phang toa o Oxy, cho cac iem ( )2;3A , ( )5;4B , ( )3;1C .

a.Chng minh rang cac iem ( )3;2'A , ( )4;5'B , ( )1;3'C theo th t la anhcua A, B, C qua phep quay tam O goc - 090

b.Goi tam giac 111 CBA la anh cua tam giac ABC qua phep di hnh coc bang cach thc hien lien tiep phep quay tam O goc - 090 vaphep oi xng qua truc Ox. Tm toa o cac nh cua tam giac 111 CBA .

2). Trong mat phang Oxy cho iem M( 2;1). Phep di hnh co c bang

cach thc hien lien tiep phep oi xng qua tam O va phep tnh tientheo vect ( )3;2=v bien M thanh iem N. Tm toa o iem N3). Trong he truc toa o Oxy, cho ng thang (d): 3x + y 3 = 0 .Tmphng trnh ng thang (d) la anh cua (d) qua phep di hnh co cbang cach thc hien lien tiep phep oi xng truc Ox va phep tnhtien theo vec t ( )3;2 =v .4). Tm anh cua ng thang d: 0632 =+ yx va ng tron (C ):

0422 =+ yyx qua phep di hnh co c bang cach:a.Thc hien lien tiep phep quay tam O goc 090 va phep tnh tientheo vec t ( )4;2 =u .

b.Thc hien lien tiep phep oi xng truc Ox va phep tnh tien theovec t ( )3;2 =u .

c. Thc hien lien tiep phep quay tam O goc - 090 va phep oi xngtam O.

5). Dng anh cua hnh vuong ABCD qua phep di hnh co c bangcach thc hien lien tiep phep oi xng tam A va phep quay tam Agoc quay 090 .6). Chng minh rang neu phep di hnh F bien oan thang AB thanhoan thang AB th no cung bien trung iem I cua AB thanh trung iem Icua AB.7). Cho hnh ch nhat ABCD. Goi E,F,H, K,O,I,J lan lt la trung iem cuacac canh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO. Chng minh rang 2 hnh thang AEJK vaFOIC bang nhau.


31/57

7. PHEP V T1). Cho tam giac ABC vuong tai A, G la trong tam tam giac. Tm anh cuatam giac ABC qua phep v t :

a.Tam G, t so1

2

b.Tam G, t so 2c.Tam A, t so - 22). Trong mat phang Oxy cho (d): 052 =++ yx . Phep v t tam O t so k=2 bien ng thang d thanh ng thang d , tm phng trnh cua d3). Cho ng tron (C) co phng trnh: 046222 =++ yxyx . Anh cua (C)

qua phep v t

2

1;OV la ng tron (C'), tm phng trnh cua ( C)

4). Neu ABIA 2= th phep v t tam I bien A thanh B theo t so k bangbao nhieu?5). Cho ng thang d: 042 =+ yx .

a.Viet phng trnh cua ng thang d la anh cua d qua phep v ttam O t so k= 3

b.Viet phng trnh cua ng thang d la anh cua d qua phep v ttam I( -1;2) t so k= -2

6). Tm anh cua cac ng thang va ng tron sau qua phep v ttam O t so k= -2:

a. 2 3 0x y+ =

b. 2 3 4 0x y + =

c.2 2 8 3 0 x y x y+ =

d.2 2

16 12 44 0 x y x y+ + =7). Tm anh cua cac ng thang va ng tron bai 6 qua phep vt tam I(-2; 3) t so bang 4.8). Tm tam v t cua cac cap ng tron sau:

a. ( ) ( ) ( ) 431: 221 =+ yxC va ( ) ( ) ( ) 1631:22

2 =+ yxCb. ( ) 02: 221 =+ xyxC va ( ) 0441216:

22

2 =++ yxyxCc. ( ) 04: 221 =++ yyxC va ( ) 022:

22

2 =+ yxyxC

8. PHEP ONG DANG

1). Cho tam giac ABC. Xac nh anh cua no qua phep ong dang coc bang cach thc hien lien tiep phep v t tam B t so va phepoi xng qua ng trung trc cua BC.2). Trong mat phang Oxy cho iem M(1;2). Phep ong dang co cbang cach thc hien lien tiep phep v t tam O, t so v t k = -2 vaphep oi xng tam O se bien M thanh cac iem N. Tm toa o cua N.

3). Cho ng thang d : 22=x . Viet phng trnh ng thang d la anhcua d qua phep ong dang co c bang cach thc hien lien tiepphep v t tam O t so k=1/2 va phep quay tam O goc 045 .4). Trong mat phang Oxy, cho iem I(1,2) va ng tron tam I, ban knh

2. Viet phng trnh ng tron la anh cua ng tron tren qua phepong dang co c bang cach thc hien lien tiep :

a.Phep quay tam O, goc045 va phep v t tam O, t so 2.


32/57

b.Phep oi xng truc Oy va phep v t tam O t so 2 .c. Phep oi xng tam O va phep v t tam O t so -2

5). Tm anh cua ng thang d: 0632 =++ yx va ng tron ( C):044222 =++ yxyx qua phep ong dang co c bang cach thc hien

lien tiep :

a.Phep quay tam O, goc

090

va phep v t tam O t so -2.b.Phep v t tam O t so 3 va phep tnh tien theo vec t ( )6;5=uc. Phep v t tam I(-2; 3) t so bang -2 va phep oi xng truc Ox

6). Cho hnh ch nhat ABCD, AC va BD cat nhau tai I. Goi H, K, L, J lan ltla trung iem cua AD, BC, KC, IC. Chng minh 2 hnh thang JLKI va IHDCong dang vi nhau.7). Cho tam giac ABC vuong tai A, AH la ng cao ke t A. Tm 1 phepong dang bien tam giac HBA thanh tam giac ABC.

ON TAP CHNG I1). Cho luc giac eu ABCDEF tam O. Tm anh cua tam giac AOF:

a.Qua phep tnh tien theo vec t ABb.Qua phep oi xng qua ng thang BE.c. Qua phep quay tam O goc 0120 .

2). Trong mat phang Oxy, cho iem ( )2;1A , ng thang d: 013 =++ yx vang tron ( C): 044622 =+++ yxyx . Tm anh cua A, d, ( C) qua:

a.Phep oi xng qua truc Oxb.Phep tnh tien theo vec t (2;1)u =c. Phep oi xng qua goc toa od.Phep quay tam O, goc 090 .

3). Trong mat phang Oxy cho ng thang d co phng trnh : 03 =+ yxva ng tron ( C) tam I( 3;-2) , ban knh bang 3.

a.Viet phng trnh ng tron ( C)b.Viet phng trnh ng thang d va ng tron ( C) la anh cua dva ( C) qua phep v t tam I t so .

c.Tm anh cua d va (C ) qua phep di hnh co c bang cach thchien lien tiep phep oi xng truc Oy va phep tnh tien theo vec t

( )3;2 =ud.Tm anh cua d va (C ) qua phep ong dang co c bang cach thchien lien tiep phep oi xng tam O va phep v t tam O t so -2

4). Cho tam giac ABC . Dng anh cua no co c bang cach thc hienlien tiep phep v t tam A t so 2 va phep oi xng tam B.5). Cho hnh ch nhat ABCD. Goi O la tam oi xng cua no. Goi I, F, J, Elan lt la trung iem cua cac canh AB, BC, CD, DA. Tm anh cua tamgiac AEO qua phep ong dang co c t viec thc hien lien tiep phepoi xng qua ng thang IJ va phep v t tam B t so 2.

CHNG II: NG THANG VA MAT PHANG TRONGKHONG GIAN. QUAN HE SONG SONG

A. KIN THC C BN

1. Cac ky hieu:iem: A, B, C ng thang: a, b, c, d Mat phang: mp(P), mp(Q), mp( ) , mp( ) hoac (P), (Q), ( ) , ( )


33/57

Quan he lien thuoc:

A

AA

A

aa

A a A a ( )A ( )A a

( )a 2. Cac tnh chat tha nhan:

Cach 1. Co mot va ch mot mat phang i qua 3 iem khongthang hang.

C

BA

Cach 2. Neu mot ng thang i qua 2 iem phan biet cua motmat phang th moi iem cua ng thang eu thuoc mat phango.

d BA

Cach 3. Neu hai mat phang co mot iem chung th chung comot ng thang chung duy nhat cha tat ca cac iem chung cuahai mat phang o. ng thang chung o c goi la giao tuyencua hai mat phang.

d

Cach 4. Co t nhat 4 iem khong cung thuoc mot mat phang.Neu co nhieu iem cung thuoc mot mat phang th ta noi nhng iemo ong phang, con neu khong co mat phang nao cha cac iemo th ta noi rang chung khong ong phang.


34/57

C

DB

A

3. V tr tng oi:a) Gia ng thang d va mat phang ( ) co 3 v tr tng oi.

I

d

d

d

//( )d d cat ( ) ( )d ( )I d =

b) Gia hai mat phang ( ) va ( ) co 3 v tr tng oi.

I

a

( ) //( ) ( ) cat ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a =

Lu y: I la iem chung cua ( ) va ( ) ta viet ( ) ( )I c) Gia hai ng thang a va b co 4 v tr tng oi.

I ba

a b

a

bb

a

//a b a cat b a b a, b cheo nhau I a b= (khong ong phang)

4. Ba cach xac nh mot mat phang:Cach 1.Biet 3 iem khong thang hang.Cach 2.Biet mot iem va mot ng thang khong i qua iemo.Cach 3.Biet hai ng thang cat nhau.


35/57


36/57

7. Quan he song song trong khong gian:Cac nh ngha:

Hai ng thang song song: la hai ng thang cung nam trong

mot mat phang va khong co iem chung.

ba

ng thang song song vi mat phang: ng thang d vamat phang ( ) c goi la song song vi nhau neu chung khongco iem chung.

d

nh l: Neu ng thang d khong nam trong mat phang ( ) va dsong song vi ng thang d nam trong ( ) th d song song vi ( ) .

d'

d

Hai mat phang song song: Hai mat phang ( ) va ( ) c goi lasong song vi nhau neu chung khong co iem chung.

nh l: Neu mat phang ( ) cha hai ng thang cat nhau a, bva a, b cung song song vi mat phang ( ) th ( ) song song vi ( ) .

Thiet dien MNPQ

N

Q

N

M

DB

C


37/57

M

b

a

Cac nh l ve giao tuyen:nh l 1: Neu hai mat phang phan biet lan lt cha hai ngthang song song th giao tuyen cua chung (neu co) cung song songvi hai ng thang o hoac trung vi mot trong hai ng thango.

d

d

d1

nh l 2: Cho ng thang a song song vi mat phang ( ) . Neu matphang nao cha a ma cat ( ) th se cat ( ) theo mot giao tuyensong song vi a.

b

a

nh l 3: Neu hai mat phang phan biet cung song song vi motng thang th giao tuyen cua chung (neu co) cung song song ving thang o.

d' d

nh l 4: Cho hai mat phang song song. Neu mot mat phang catmat phang nay th cung cat mat phang kia va hai giao tuyen songsong vi nhau.


38/57

b

a

nh l 5: (nh l Ta-let trong khong gian) Ba mat phang oimot song song chan tren hai cat tuyen bat k nhng oan thangtng ng t le.

d'd

C'

C

B'B

'

8. Hnh lang tru va hnh hop:

Cac canh ben cua hnh lang tru bang nhau va song song vi nhau. Cac mat ben cua hnh lang tru la cac hnh bnh hanh. Hai ay cua hnh lang tru la hai a giac bang nhau. Tuy theo ay cua lang tru la tam giac, t giac, ngu giac ma

ta goi lang tru la lang tru tam giac, lang tru t giac, langtru ngu giac

Hnh lang tru co ay la hnh bnh hanh c goi la hnh hop.

nh

Canh ben

Mat ben

Mat ay

D'

E''

B'

E

DC

B

C'

= =

AB BC CA

A B B C C A


39/57

9. Hnh chop cut:

E

C

D

S

D'

C'B'

E'

'

B

P

Hai ay la hai a giac co cac canh tng ng song song va cac tso cac cap canh tng ng bang nhau.

Cac mat ben la nhng hnh thang. Cac ng thang cha cac canh ben ong quy tai mot iem.

B.BAI TAP1. AI CNG VE NG THANG VA MAT PHANG

TM GIAO TUYEN CUA HAI MAT PHANG

1. Cho 4 iem A, B, C, D khong ong phang. Goi M, N lan lt la trung iem

cua AC, BC. Tren oan BD lay iem K sao cho KD < KB.a). Tm giao iem cua ng thang CD vamp(MNK).

b). Tm giao tuyen cua 2 mat phang (MNK) va(ACD)

2. Cho hnh chop S. ABCD. Lay I va J tren cac oan SA, SB sao cho IJ khongsong song vi AB. Lay iem K trong t giac ABCD. Tm giao tuyen cuamat phang (IJK) vi cac mat phang (ABCD), (SBC), (SAD), (SCD).

3. Cho t dien ABCD, M la iem trong ABD, N la iem trong ACD.

a). Tm giao tuyen cua mat phang (AMN) va (BCD).b). Tm giao tuyen cua mat phang (DMN) va (ABC)4. Cho t dien ABCD. Goi I va J lan lt la trung iem cua AD va BC.

a). Tm giao tuyen cua mat phang (IBC) va (JAD)b). M la trung iem cua canh AB, N la trung iem cua canh AC. Tmgiao tuyen cua mp(IBC) va mp(DMN).

5. Cho hnh thang ABCD, AB ay ln va S(ABCD). Lay M tren oan SD.a). Tm giao tuyen cua (MBC) vi (SAC).b). Tm giao tuyen cua (MBC) vi (SAD)

6. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh tam O. Goi M, N, P lanlt la trung iem BC, CD, SO. Tm giao tuyen cua:

a). (MNP) vi (SAB)b). (MNP) vi (SBC)c).(MNP) vi (SAD)


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16. Cho hnh chop S.ABCD, M thuoc oan SB. Tm giao iem cua SC vamp(ADM).

17. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh thang, ay ln AB. Goi I, J, K lanlt la 3 iem tren cac canh SA, AB, BC.a). Tm giao iem cua IK va mp(SBD).b). Tm giao iem cua SD va mp(IJK), SC va mp(IJK).

18. Cho hnh chop S.ABCD. iem M thuoc oan SC.a) Tm giao iem N cua SD va mp(ABM).b) Gia s AB khong song song vi CD. CMR:AB, CD, MN ong quy.

19. Cho t dienABCD, trenAB vaAC lan lt lay cac iem M, N sao choMN khong song song vi BC. Tm giao iem cua MN va (BCD).

20. Cho t dien ABCD, M, N lan lt la trung iem cua AC va BC. Lay Ktren canh BD sao cho > KB KD. Tm giao iem cuaa). CD va (MNK)b). AD va (MNK)

21. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thang, ay ln AB. Goi N, Plan lt la trung iem cua SA, SB. M la mot iem tuy y tren canh SD.

Tm giao iem cua:a). MN va (SBC)b). SC va (MNP)

22. Cho hnh bnh hanh ABCD va iem S khong thuoc mat phang (ABCD).Goi M la trung iem cua SD. Tm giao iem I cua BM va (SAC), giao iem

J cua SA va (BCM). Chng minh 2.= IB IM .a). Cho bon iem A, B, C, D khong ong phang. Goi M, N lan lt latrung iem cua AC va BC. Tren oan BD lay iem P sao cho 2 PB PD= .b). Tm CD (MNP)c).Tm (MNP) (ACD)

23. Cho hnh chop S.ABCD vi AB va CD khong song song. Goi O AC BD= va M la trung iem cua SC.a). Tm (SAC) (SBD)b). Tm P = SO (MAB).c). Tm N = SD (MAB)

24. Cho hnh chop S.ABCD viAB va CD khong song song. M la mot iemthuoc mien trong cua tam giac SCD.a). Xac nh iem ( )= N CD SBM .b). Tm (SBM) (SAC)

c).Tm ( )= I BM SAC d). Tm giao iem P cua SC va (ABM), t o suy ra giao tuyen cua(SCD) va (ABM).

CHNG MINH BA IEM THANG HANG, BA NG THANG ONGQUY25. Cho hnh chop S.ABCD. Goi I va J la hai iem tren

hai canh AD, SB.a). Tm giao tuyen cua hai mp (SBI) va (SAC). Tm giaoiem K cua IJ va mp(SAC)b). Tm giao tuyen cua hai mp (SBD) va (SAC). Tm giaoiem L cua DJ va mp(SAC)c).AD cat BC tai O, OJ cat SC tai M. CMR: A, K, L, M thang hang.

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26. Cho hnh chop S.ABCD co AD khong song song BC.Lay M SB va O la giao iem cua AC vi BD.a). Tm giao iem N cua SC vi (AMD).b). AN cat DM tai I. Chng to S, I, O thang thang.

27. Cho hnh chop S.ABCD ay la hnh thang (AB // CD).Lay , , M SA N SB P SC sao cho MN cat AB tai E, NP cat BC tai F, MP cat AC

tai G. Goi O la giao iem hai ng cheo cua ay hnh chop.a). Tm giao iem O cua SO va (MNP)b). Chng minh rang E, F, G thang hang.

28. Cho t giac ABCD co AB khong song song CD va S mp(ABCD). Goi M la trung iem oan SC.a). Tm giao iem N cua SD va mp(MAB).b). Goi O la giao iem cua AC va BD. CMR: SO, AM, BNong quy.

29. Cho t dien ABCD. Lay M, N, P lan lt tren AB, AC,BD sao cho MN cat BC tai I, MP cat AD tai J. CMR: PI, NJ, CD ong quy.

30. Cho t dien ABCD. Lay M, N, P, Q tren cac oan AB,

BC, CD, DA sao cho MN cat PQ tai I.a). Chng to A, C, I thang hang.b). CMR: BD, MQ, NP ong quy.

31. Cho hnh thang ABCD, ay ln AB, S la mot iem khong thuoc matphang ABCD. Tren SA, SB lan lt lay M, N sao cho MN khong song songvi AB. Goi O la giao iem cua AC va BD.a). Tm AB (MNP)b). Tm giao tuyen cua (MNP) vi (SBC) va vi (SAD).c). Goi K la giao iem cua hai giao tuyen tren va = E AD BC . Chngminh S, K, E thang hang.

32. Cho t dien ABCD. Goi E, F, G lan lt la ba iem tren ba canh AB, AC,BD sao cho EF cat BC tai I, EG cat AD tai H. Chng minh CD, IG, HF ongqui.

33. Cho hnh chop S.ABCD. Goi I,J, Kla cac iem tren SA, SB, SC, goi O lagiao iem cuaAC va BD. Gia s ng thang SD cat (IJK) tai L. Chngminh IK, SO vaJL ong qui.

TM THIET DIEN CUA HNH CHOP.34. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh. Goi M, N, P lan

lt la cac iem tren CB, CD, SA. Tm thiet dien cua hnh chop vamp(MNP).

35. Cho t dien ABCD. Goi H, K lan lt la trung iem AC va BC. Lay

iem M trong BCD sao cho KM cat CD. Tm thiet dien cua (HKM) va tdien ABCD.

36. Cho hnh chop S.ABCD. M la iem nam trong SCDa). Tm giao tuyen cua (SBM) va (SAC)b). Tm giao iem cua BM va mp(SAC).c). Tm thiet dien cua (ABM) va hnh chop S.ABCD.

37. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh tam O. M, N, I la 3iem tren AD, CD, SO. Tm thiet dien cua (MNI) va hnh chop S.ABCD.

38. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh. Trong matphang ay, dng ng thang d i qua iemA va khong song song vicac canh cua ABCD, d cat oan BC tai iem E. Lay mot iem F trencanh SC.a). Tm giao iem M cua CD va (AEF).b). Tm thiet dien cua hnh chop cat bi mat phang (AEF).


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39. Cho hnh chop S.ABCD co ayABCD la hnh thang, ay ln AD. Goi M,N lan lt la trung iem cua cac canh SA va SB.a). Tm giao iem cua SC vi (DMN).b). Tm thiet dien cua hnh chop S.ABCD khi cat bi mat phang(DMN).

TONG HP40. Cho 2 hnh thang ABCD va ABEF co chung ay ln AB va khong cung

nam trong 1 mat phang.a). Xac nh giao tuyen cua: (AEC) va (BFD) ; (BCE) va (ADF).b). Lay iem M tren oan DF. Tm giao iem cua ng thang AMva mp(BCE)

41. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh thang, ay ln AB. M va N latrung iem cua SB va SC.a). Tm giao tuyen cua (SAD) va (SBC)b). Tm giao iem cua SD va mp(AMN).c).Tm thiet dien cua mp(AMN) va hnh chop S.ABCD.

42. Cho hnh chop S.ABCD. Goi M, N la 2 iem lan lt thuoc oan BC va

SD.a). Tm giao iem I cua BN va mp(SAC)b). Tm giao iem J cua MN va mp(SAC)c).DM cat AC tai K. CMR: S, K, J thang hang.d). Tm thiet dien cua (BCN) va hnh chop S.ABCD.

2. HAI NG THANG CHEO NHAU VA HAI NG THANG SONGSONG

CHNG MINH HAI NG THANG SONG SONG1. Cho t dien ABCD. M, N lan lt la trung iem cua AB va AC, mp( )

cha MN cat DC, DB tai E, F.

a). CMR: MNEF la hnh thang.b). nh v tr cua ( ) e MNEF la hnh bnh hanh.2. Cho 2 hnh bnh hanh ABCD va ABEF khong ong phang.

a). CMR: CD // EF.

b). Goi M, N lan lt tren AC va AD sao choAM ANAC AD

= va H, K lan lt

tren BF va AF sao choFH FK FB FA

= . CMR: MN // HK.

c).ChoAM 1AC 3

= vaFH 2FB 3

= . CMR: NK // CE.

3. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh. H va K lan lt laiem tren SA va SB sao cho

SH SK SA SB

=

a). CMR: HK // CDb). Mp( ) cha HK va cat SC, SD tai M, N. CMR:HKMN la hnh thang

4. Cho t dien ABCD. Goi K, L lan lt la trong tam cua hai tam giac ABCvaABD. Chng minh KL // CD.

5. Cho hnh chop nh S, ay la hnh thangABCD viAB // CD. Mat phang () quaAB cat cac canh SC, SD lan lt tai M va N. Chng minh MN //AB.

6. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thang, AB la ay ln. Goi M,

N lan lt la trung iem cua SA, SB.a). Chng minh MN // CD.

b). Tm ( )= P SC AND .

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c).Keo dai AN cat DP tai I. Chng minh SI // AB // CD. T giac SABI la hnhg?

7. Cho hai hnh bnh hanh ABCD va ABEF khong cung nam trong mot matphang. Tren cac ng cheo AC, BF lan lt lay hai iem M, N sao cho

1

3= =

AM BN

AC BF . Chng minh: MN // DE.

8. Cho t dien ABCD. Goi M, N lan lt la trung iem cua AB, CD va G latrung iem cua MN.a). Tm giao iem A cua ng thang AG va mat phang (BCD).b). Qua M ke ng thang Mx song song vi AA va Mx cat (BCD) tai

M. Chng minh B, M, A thang hang va = =BM M A A N .c). Chng minh 3 =GA GA .

GIAO TUYEN CUA HAI MAT PHANG CHA HAI NG THANG SONGSONG, THIET DIEN SONG SONG VI MOT NG THANG:

9. Cho t dien ABCD. Goi M, N la trung iem AB va AC. Tm giao tuyen cua

mp(BCD) va (DMN).10. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh. Goi H, K latrung iem SA va SB.a). CMR: HK // CDb). M la iem thuoc canh SC (M khong trung S). Tm giao tuyen cua

(HKM) va (SCD).c).Tm giao tuyen cua mp(SAD) va (SBC).

11. Cho t dien ABCD. I, J la trung iem BC va AC. M AD.a). Tm giao tuyen cua (MIJ) va (ABD).b). Goi N la giao iem cua BD va giao tuyen cau a. K la giao

iem cua IN va JM. Tm tap hp iem K khi M chay tren AD.

c).Tm giao tuyen cua (ABK) va (MIJ).12. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh. Goi H, K, I, J lan lt

la trung iem cua SA, SB, SC, SD.a). CMR: HKIJ la hnh bnh hanh.b). Goi M la iem bat ky tren canh BC. Tm thiet dien cua (HKM)

va hnh chop S.ABCD.13. Cho hnh chop S.ABCD. M, N la 2 iem bat ky tren SB, CD. ( ) la mat

phang qua MN va song song vi SC.a). Tm giao tuyen cua ( ) va mp(SBC) ; ( ) va mp(SCD) ; ( ) va

mp(SAC).

b). Tm thiet dien cua mp ( ) va hnh chop S.ABCD.14. Cho hnh chop S.ABCD. M la iem tren canh AB, ( ) la mat phang quaM va song song vi SA, BC. Tm giao tuyen cua ( ) vi (SAB), (ABCD),(SBC), (SAD) va xac nh thiet dien cua ( ) vi S.ABCD.

15. Cho t dien ABCD. Goi I la trung iem BC, M la 1 iem tren canh DC,( ) la mp qua M va song song vi BC, AI.a). Tm giao tuyen cua ( ) vi (BCD), ( ) vi (AID).b). Tm thiet dien cua ( ) va t dien ABCD.

16. T dien ABCD co M, N la trung iem cua AB; AC; P la trung iem BC;O la iem nam trong ABC, I nam tren DO.

a). Tm giao tuyen cua (DBC) vi (MND), (IMN).b). Tm giao tuyen cua (IMP) vi (DAB) va (DBC).17. Hnh chop S. ABCD co ay ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh, M la

iem tren SC.


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a). Tm giao tuyen cua (SAD) va (SBC).b). SD cat (AMB) tai N. T giac ABMN la hnh g?

3. NG THANG VA MAT PHANG SONG SONG

1. Cho 2 hnh bnh hanh ABCD va ABEF khong cung nam trong mot matphang.

a). Goi O va O lan lt la tam cua hnh bnh hanh ABCD va ABEF.CMR: OO // (ADF) ; OO // (BCE).

b). Goi M, N lan lt la trong tam cua ABD va ABE. CMR: MN //(CEF).

2. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh. Goi G la trong tamcua tam giac SAB, I la trung iem AB. Goi M tren oan AD thoa AD =3AM.a). Tm giao tuyen cua 2 mat phang (SAB) va (SDC).b). ng thang qua M va song song vi AB cat CI tai N. CMR: NG //

(SCD) ; MG // (SCD).

3. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh ch nhat. Goi M, N, P lan lt latrung iem AB, CD, SA.a). CMR: MN // (SBC) ; MN // (SAD).b). CMR: SB // (MNP) ; SC // (MNP).

4. Cho hnh chop S.ABCD. Goi O la giao iem cua AC va BD, mp( ) qua O vasong song vi AB va SC. Xac nh thiet dien cua mp( ) va hnh chop.

5. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh. Goi M la trung iemcua AB. Mp( ) qua M va song song vi BD, SA. Xac nh thiet dien cuamp( ) va hnh chop.

6. Cho t dien ABCD. Goi M, N lan lt la trong tam cua ABD va ACD.CMR: MN // (BCD) ; MN // (ABC).

7. Cho 2 hnh vuong ABCD va ABEF khong cung nam trong mot mat phang.Tren cac ng cheo AC va BF ta lay cac iem M, N sao cho AM = BN.Mp( ) cha MN song song vi AB, cat AD va AF tai M va N.a). T giac MNNM la hnh g?b). CM: MN // EC.c).CM: MN // mp(DEF).

8. Cho hnh chop S.ABCD, tren SA, SC lan lt lay hai iem E, F sao cho

=SE SF

SA SC . Chng minh rang // ( ) EE ABCD .

9. Cho t dien ABCD, goi E la trung iem cua canh BD, I va J lan lt latrung iem cac oan CE va CA. Chng minh IJ // (ABD).

10. Cho hai hnh bnh hanh ABCD va ABEF khong cung nam trong motmat phang.a). Goi O va O lan lt la tam cua cac hnh bnh hanh ABCD va

ABEF. Chng minh rang ng thang OO song song vi cac matphang (ADF) va (BCE).

b). Goi M va N la trong tam cua cac tam giac ABD va ABE. Chngminh MN // (CEF).

11. Cho t dien S.ABC. Goi I, J lan lt la trung iem cua AB va BC. H, Klan lt la trong tam cua tam giac SAB va SBC.

a). Chng minh ( )// AC SIJ , ( )// HK SAC .b). Tm giao tuyen cua (HBK) va (ABC).


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12. Cho t dien ABCD, G la trong tam tam giac ABD, M la mot iemtren canh BC sao cho 2MB MC = . Chng minh ( )//MG ACD .

13. Cho hnh chop S.ABCD. M, N la hai iem bat k tren AB va CD. ( ) lamat phang cha ng thang MN va song song vi SA.a). Tm giao tuyen cua () vi hai mat phang (SAB) va (SAC).b). Xac nh thiet dien cua hnh chop khi cat bi mat phang ().

14. Cho hnh chop S.ABCD. Lay hai iem M, N tuy y tren SB va CD. ( ) lamat phang qua MN va song song vi SC.a). Tm giao tuyen cua () vi cac mat phang (SBC), (SCD), (SAC).b). Xac nh thiet dien cua hnh chop khi cat bi ().

15. Cho hnh chop S.ABCD vi ay ABCD la hnh thang, ay ln AB. Goi Mla mot iem bat k tren canh AB. ( ) la mat phang qua M va songsong vi AD, SB. Mat phang () cat hnh chop theo thiet dien la hnh g?

16. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thoi canh a, SA SB a= = ,3SC SD a= = . Goi E. F lan lt la trung iem cua cac canh SA, SB, M la

mot iem tren canh BC.

a). Xac nh thiet dien cua hnh chop khi cat bi (MEF). Thietdien la hnh g?b). at ( )0= BM x x a , tnh FM va dien tch thiet dien tren theo a

va x.17. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh vuong canh a. Tam giac

SAB vuong tai A va 2=SA a . Tren canh AD lay iem M va at = DM x.Mat phang () qua M va song song vi SA, CD.a). Tm giao tuyen cua () vi cac mat phang (ABCD), (SAD), (SCD).b). Goi cac giao iem cua () vi BC, SC, SD lan lt la N, P, Q. T

giac MNPQ la hnh g?

c).Tnh dien tch t giac MNPQ theo a va x?d). Goi I la giao iem cua NP va MQ. Chng minh rang I luon thuocmot ng thang co nh.

4. HAI MAT PHANG SONG SONG

1.Trong mp( ) cho hnh bnh hanh ABCD. Ta dng cac na ng thang songsong Ax, By, Cz, Dt nam ve mot pha oi vi mp( ). Mp( ) cat 4 ngthang mi dng tai A, B, C, D.a). CMR: (AA,BB) // (CC,DD)b). CMR: ABCD la hnh bnh hanh.

c).CMR: AA + CC = BB + DD2. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh. H, K, I la trung iem SA,SB, SC.a). CMR: mp(HIK) // mp(ABCD)b). Goi G la giao iem cua SD va mp(HIK). CMR: GH // AD, GK // BD.c).Goi M la giao iem cua AI va DK, N la giao iem cua DH va AG. CMR:

MN // (ABCD).3. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh tam O. Goi M, N lan lt

la trung iem cua SA va CD.a). CMR: mp(OMN) // mp(SBC).b). Goi I la trung iem SD, J la iem tren mp(ABCD) cach eu AB

va CD. CMR IJ // mp(SAB).

HNH LANG TRU:

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1. Cho hnh lang tru tam giac ABC.ABC. Goi M va M lan lt la trung iemBC va BC.a). CMR: AM // AMb). Tm giao iem cua AM va mp(ABC)c).Tm giao tuyen d cua mat phang (ABC) va (BAC)d). Tm giao iem G cua d vi mp(AMA). CMR: G la trong tam ABC

2. Cho hnh lang tru tam giac ABC.ABC. Goi I, I la trung iem BC va BC.Goi M, N, P la tam cua ABBA, BCCB, CAAC.a). CMR: II // AA , AI // AIb). Tm giao iem cua IA va mp(ABC)c). Tm giao tuyen cua mp(ABC) va (BAC) , mp(ABC) va (ABC).d). CMR: 3 mp (ABC), (MNP), (ABC) song song

3. Cho hnh lang tru tam giac ABC.ABC. Goi H la trung iem AB.a). CM: CB // (AHC)b). Tm giao iem cua AC va (BCH).

4. Cho hnh hop ABCD.ABCD. Goi M, M la trung iem AA va CC, P DD.a). Xac nh giao iem cua BB va mp(MMP)

b). Tm thiet dien cua (MMP) va hnh hopc). Tm giao tuyen cua (MMP) va (ABCD)5. Cho hnh lap phng ABCD.ABCD. Goi M, N, P la trung iem BB, CC, BD.

a). CMR: MNP canb). CMR: BDA va CBD la tam giac eu.c). CMR: 3 mat phang (MNP), (BDA), (CBD) song song nhau.

6. Cho lang tru tam giac ABC.ABC. Goi M, M lan lt la trung iem cuacac canh BC va BC.a). Chng minh // AM A Mb). Tm (ABC) AM

c). Xac nh ( ) ( ) = d AB C BA C d). Tm ( )= G d AM M . Chng minh G la trong tam cua tam giac

ABC.7. Cho hnh chop S.ABCD, ay ABCD la hnh bnh hanh tam O. Goi M, N lan

lt la trung iem cua SA, SD.a). Chng minh (MNO) // (SBC).b). Goi P va Q lan lt la trung iem cua AB va ON. Chng minh PQ

// (SBC).8. Cho hai hnh bnh hanh ABCD va ABEF khong cung nam trong mot mat

phang. Goi M, N, P, Q lan lt la trung iem cua AB, DC, EF, BC. Chng

minh rang:a). (BEC) // (DAF)b). (BNE) // (DMP)c).PQ // (ACF)d). BP // (NEQ)

9. Cho t dien ABCD. Goi I, J, K lan lt la trong tam cua cac tam giacABC, ACD, ADB.

a). Chng minh (IJK) // (BCD) va1

9 = IJK BCDS S

b). Tm thiet dien tao bi t dien ABCD khi cat bi mat phang

(IJK).10. Cho hnh lang tru ABC.ABC. Goi H la trung iem cua AB.a). Chng minh CB // (AHC)


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b). Tm giao tuyen d cua hai mat phang (ABC) va (ABC). Chngminh d // (BBCC).

c). Xac nh thiet dien tao bi hnh lang tru ABC.ABC khi cat bi matphang (H,d).

BAI TAP ON CHNG II

1. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh thang, ay ln AB. Goi M, N theoth t la trung iem cua cac canh SB va SC.a). Tm giao tuyen cua hai mat phang (SAD) va (SBC).b). Tm giao iem cua ng thang SD vi mat phang (AMN).c).Tm thiet dien cua hnh chop S.ABCD khi cat bi mat phang (AMN).

2. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh.a). Tm (SAC) (SBD), (SAD) (SBC), (SAB) (SCD).b). Mot mat phang () song song vi AB, cat SA, SB, SC, SD lan

lt tai M, N, H, K. T giac MNHK la hnh g? Khi nao MNHK la hnh bnhhanh?

c).Goi = I MH NK . Chng minh I luon thuoc mot ng thang co nh.3. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh bnh hanh tam O.a). Tm giao tuyen cua (SAC) va (SBD), (SAB) va (SCD)?b). M, N lan lt la trung iem cua SA va SB, tm giao iem K cua

DN vi (SAC)? Chng minh rang M, K, C thang hang.c). Tm thiet dien cua hnh chop khi cat bi mat phang (OMN)? Thiet

dien o la hnh g?4. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh bnh hanh tam O. Goi M, N

lan lt la trung iem cua SB, SD.a). Tm giao tuyen d cua (AMN) va (ABCD)? Chng minh d // (OMN).b). Tm giao iem I cua SO va (CMN).

c). Tm thiet dien cua hnh chop khi cat bi mat phang (AMN)?d). Goi P la trung iem cua SA. Chng minh rang ba ng thangSO, MN, CP ong qui.

5. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thang, ay ln AB. M la motiem tren canh AD, (a) la mat phang qua M va song song vi matphang (SAB).a). Xac nh thiet dien cua hnh chop khi cat bi mat phang (a)?b). Thiet dien tren la hnh g?

6. Cho lang tru tam giac ABC.ABC. Goi I, K, G lan lt la trong tam cuacac tam giac ABC, ABC, ACC.a). Chng minh (IKG) // (BBCC).b). Chng minh (AKG) // (AIB).c).Xac nh thiet dien cua lang tru khi cat bi (IKG).

CHNG III QUAN HE VUONG GOC

BAI 1: VECT TRONG KHONG GIAN1. Cho hnh hopABCD.ABCD. Chng minh rang:

a) AB B C DD AC + + = b) BD D D B D BB =c) 0 AC BA DB C D + + + =

2. Cho t dien ABCD. Goi M va N lan lt la trung iem cua AB va CD.Chng minh rang:


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a) ( )1

2MN AD BC = +uuuur uuur uuur

b) ( )1

2MN AC BD= +uuuur uuur uuur

3. Cho t dien SABC. Tren SA lay iem M sao cho 2MS MA= va tren oan

BC lay iem N sao cho1

2 NB NC = uuur uuur

. Chng minh rang ba vect AB , MN, SC

ong phang.

BAI 2: HAI NG THANG VUONG GOC1. Cho t dien ABCD.

a). Chng minh rang: . . . 0AB CD AC DB AD BC+ + =b). Chng minh rang neu t dien noi tren co cac canh AB, AC

lan lt vuong goc vi CD va BD th ta co AD BC .2. Cho hnh chop t giac S.ABCD, ay la hnh vuong, canh ben va canh

ay eu bang a. Tnh cac tch vo hng: .SA SB , .SASC, .SA BA3. Cho hnh lap phng ABCD.ABCD. Goi M va N lan lt la trung iem

cua AD va BB. Tm goc gia hai vect NM va 'AC .4. Cho t dien eu ABCD canh a. Tnh goc gia 2 vect

ABva CD .

5. Cho hnh lap phng ABCD.ABCD.a). Tnh cac goc gia hai ng thang AC va DA, BA va BC, AC

va CDb). Chng minh ' BD ACc).Goi M, N lan lt la trung iem cua AB, BC. Tnh goc gia MN va CD,

BD va AD.6. Cho t dienABCD co AB AC AD= = va 060 BAC BAD= = .

a). Chng minh rang hai ng thangAB va CD vuong goc nhau.b). Goi M, N lan lt la trung iem cua AB va CD. Chng minh

MN AB , MN CD .7. Cho hnh chop tam giac S.ABC co SA SB SC = = va ASB BSC CSA= = . Chng

minh SA BC , SB AC va SC AB .8. Cho t dienABCD co tat ca cac canh bang a va M la trung iem cua

BC. Tnh goc gia hai ng thangAB va DM.9. Cho hnh chop S.ABCD co ayABCD la hnh vuong canh a. ( )SA ABCD va

6SA a= . Tnh goc hp bi cac cap ng thang: SB va CD,SC va BD.

10. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thang vuong tai A va D,

AD DC a= = , 2 AB a= , SA vuong goc vi AB va AD,2

3

aSA = . Tnh goc gia

hai ng thang SB va CD, SD va BC.11. Cho t dienABCD. Goi M, N lan lt la trung iem cua cac canh BC

va AD. Tnh goc gia hai ng thang AB va CD biet 2 AB CD a= = va3MN a= .

12. Cho t dien ABCD co AB AC AD= = va 060 BAC BAD= = , 090CAD = . Chngminh rang:a). AB CDb). Neu I va J lan lt la trung iem cua AB va CD th IJ AB va

IJ CD .

BAI 3: NG THANG VUONG GOC VI MAT PHANG1. Cho t dien S.ABC co ABCD vuong tai B va ( )SA ABC ^ .


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a). Chng minh cac mat cua hnh chop eu la cac tam giacvuong.

b). Goi AH la ng cao cua SABD . Chng minh AH SC ^

c).Goi AK la ng cao cua SACD .Chng minh AHKD vuong.d). Chng minh ( )SC AHK ^ . Suy ra SHKD vuong.e). HK cat BC tai I. Chng minh rang ACID vuong.

2. Cho t dien SABC co tam giac ABC vuong goc A, ( )SB ABC va SB BA=. Goi H, K, I lan lt la trung iem cua SA, AB, BC. Chng minh rang:

a). ( ) AC SAB

b). ( ) BH SAC

c). KI SAd). AB HI

3. Cho t dien ABCD co AB CD , AC BD . Goi H la trc tam cua tam giacBCD. Chng minh rang:

a). ( )CD ABH

b). ( ) BD ACH

c). ( ) AH BCD

d). AD BC 4. Cho hnh chop S.ABCD co ABCD la hnh vuong tam O va ( )SA ABCD^ .

a). Chng minh cac mat cua hnh chop la cac tam giac vuong.b). Chng minh SC BD^

c).Goi AM, AN la ng cao cua SABD , SADD . Chng minh ( )SC AMN ^ .5. Cho hnh chop S. ABCD co ay ABCD la hnh thoi tam O. Biet rang SA SC =

va SB SD= .

a). Chng minh ( )SO ABCD^ .b). Goi I, J lan lt la trung iem cac canh AB, BC. Chng minh rang

( ) IJ SBD^6. Cho hnh chop S.ABCD co ABCD la hnh vuong tam O va ( )SO ABCD^ . Goi I

la trung iem BC.

a). Chng minh ( ) BC SIO^ .b). Goi OH va OK la cac ng cao cua SIOD va SOCD . Chng minh

SC HK ^ .7. Cho t dien ABCD co hai mat ABC va DBC la 2 tam giac can co chung

ay BC. Goi I la trung iem BC.a). Chng minh BC AD^

b). AH la ng cao cua ADID , chng minh ( ) AH BCD^ .8. Cho hnh chop S.ABC co ay ABC la tam giac vuong tai A, ( )SA ABC ^ . Goi

H la hnh chieu vuong gioc cua A len (SBC). Chng minh H la trc tamcua SBCD .

9. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thoi va ( )SA ABCD . Goi I, K

lan lt la hai iem tren SB va SD sao choSI SK

SB SD= . Chng minh

a). BD SC b). ( ) IK SAC


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10. Cho t dien SABC co SA vuong goc vi mat (ABC) va tam giacABCvuong tai B. Trong mat phang (SAB) dng AM vuong goc vi SB tai M.

Tren canh SC lay iem N sao choSM SN

SB SC = . Chng minh rang:

a). ( ) BC SAB

b). ( ) AM SBC

c). SB AN

11. Cho hnh chop S.ABCD co ayABCD la hnh vuong, ( )SA ABCD . Goi H,Klan lt la hnh chieu cua iemA len SB va SD. Chng minh rang:

a). ( ) BC SAB va ( )CD SAD

b). ( ) AH SBC va ( ) AK SCD

c). ( )SC AHK

d). (SAC) la mat phang trung trc cua oan HK.

12. Cho t dien OABC co ba canh OA, OB, OC oi mot vuong goc.a). Chng minh rang cac cap canh oi cua t dien vuong gocnhau.

b). Goi H la hnh chieu cua O len mat phang (ABC). Chng minh Hla trc tam tam giac ABC.

c).Chng minh:2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC = + +

13. Cho hnh chop S.ABCD co ay la hnh vuong tam O canh a va2SA SB SC SD a= = = = . Chng minh rang:

a). ( )SO ABCD

b). ( ) AC SBD

c). ( ) BD SAC

d). Tnh goc gia SC va (ABCD)?14. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh vuong tam O canh a.

( )SA ABCD va 6SA a= . Tnh goc hp bi:a). SB, SC, SD va (ABCD)b). SO va (ABCD)c).SC va (SAB)

d). SB va (SAC)15. Cho hnh chop S.ABC co ay ABC eu canh a, 3

2

aSA SB SC = = = . Xac

nh va tnh goc cua SA va (ABC).16. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh thang vuong tai A va D,

2 AB a= , AD CD a= = , ( )SA ABCD , 2SA a= . Tnh goc cua SB, SC vi ( )ABCD .17. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh vuong tam O canh a.

( )SA ABCD . Goc hp bi ng thang SC va (ABCD) la 045 .Tnh:a). Goc hp bi SD va (ABCD)b). Goc hp bi SO va (ABCD)

c).Goc hp bi SB va (SAC)

BAI 4: MAT PHANG VUONG GOC VI MAT PHANG


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1. Cho hnh chop S.ABC, ( )SA ABC ^ , ABCD vuong can tai B, I la trung iemcua AC. Chng minh:

a). ( ) ( )SBC SAB^

b). ( ) ( )SBI SAC ^

2. Cho hnh chop S.ABCD, ay ABCD la hnh ch nhat, ( )SA ABCD^ . Goi E, Fla hnh chieu cua A tren SB, SD.

a). Chng minh ( ) ( )SAB SBC ^ , ( ) ( )SAD SCD^

b). Chng minh ( ) ( ) AEF SBC ^ , ( ) ( ) AEF SCD^ .3. Cho t dien ABCD co hai mat ben ( )ABC , ( )ABD cung vuong goc vi

mat ay ( )BCD . Dng ng cao BE, DF cua tam giac BCD, ng cao DKcua tam giac ACD.

a). Chng minh ( ) AB BCD^

b). Chng minh ( ) ( ) ABE ADC ^ , ( ) ( ) DFK ADC ^

c).Goi H, O la trc tam cua ACDD va BCDD . Chng minh ( )OH ACD^

4. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh vuong va mat ben SAB latam giac eu va ( ) ( )SAB ABCD^ . Goi I la trung iem cua AB.

a). Chng minh ( )SI ABCD^

b). Chng minh SADD , SBCD la cac tam giac vuong.c).Chng minh ( ) ( )SAD SAB^ , ( ) ( )SBC SAB^ .

5. Cho hnh chop S.ABC, ABCD vuong can tai C, SACD la tam giac eu vanam trong mat phang vuong goc vi ( )ABC . Goi I, M lan lt la trungiem cua SC va AC. Chng minh:

a). ( ) ( )SBM ABC ^

b). ( ) ( )SBC SAC ^c). ( ) ( ) ABI SBC ^

6. Cho t dien S.ABC co cac canh SA, SB, SC oi mot vuong goc nhau. Hla trc tam cua tam giac ABC. Chng minh : ( ) ( )SAH ABC ^ , ( ) ( )SBH ABC ^ ,

( )SH ABC ^7. Cho hnh vuong ABCD va tam giac can SAB nam tren hai mat phang

vuong goc vi nhau.

a). Chng minh ( ) ( )SAD SAB^

b). Goi I la trung iem AB, K la trung iem cua AD. Chng minh( ) ( )SCK SID^

8. Cho hnh chop S.ABCD co ayABCD la hnh thoi canh a va SA SB SC a= = = .Chng minh:

a). ( ) ( ) ABCD SBD

b). Tam giac SBD vuong.9. Cho hnh chop S.ABC co ayABC la tam giac vuong tai B va ( )SA ABC .

Chng minh:

a). ( ) ( )SAB SBC

b). ( ) ( )SAC ABC

c). ( ) ( )SBC SAB


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10. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh vuong tam O canh a,

( )SO ABCD va2

aSO = . Goi I, J lan lt la trung iem cua cac oan

thangAD, BC. Chng minh:

a). ( ) ( )SAC SBD

b). ( ) ( )SAD SBC

c). ( ) ( )SIJ SBC

11. Cho t dienABCD co ay BCD la tam giac vuong tai C va ( ) AB BCD.a). Chng minh ( ) ( )SAB SBC b). T B ke BH AC , ke BK SC . Chng minh tam giac CHKvuong

tai K.12. Cho t dien SABC co SA SC = va ( ) ( )SAC ABC . Goi M la trung iem

cuaAC. Chng minh ( ) ( )SMB ABC

.13. Cho t dienABCD co cac mat (ABD) va (ACD) cung vuong goc vi(BCD). Goi DE, BKla cac ng cao cua tam giac BCD, BF la ng caocua tam giacABC. Chng minh:

a). ( ) ( ) ADE ABC

b). ( ) ( ) ADC FBK

c). ( ) ( ) ABC FBK

14. Cho hnh chop S.ABCD co ay ABCD la hnh ch nhat, tam giac SABcan tai S va nam trong mat phang vuong goc vi ay. H la trung

iem cua AB. Chng minh:

a). ( )SH ABCD

b). ( ) ( )SAB SBC

c). ( ) ( )SAB SAD15. Cho hnh chop eu S.ABCD co tat ca cac canh bang a. Goi O la tam

cua hnh vuongABCD.

a). Chng minh ( )SO ABCD , tnh o dai oan SO.

b). Goi M la trung iem cua oan SC. Chng minh

( ) ( )MBD SAC

.c). Tnh o dai OM, tnh goc gia hai mat phang (MBD) va (ABCD).16. Tnh goc hp bi hai mat cua mot t dien eu.

17. Cho t dien ABCD, ( ) AB BCD , BCD eu canh a,2

aAB = . Tnh goc gia

hai mat phang sau:a). (ABC) va (ABD)b). (ACD) va (BC

bai tap toan 11 co ban 2009-2010

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